Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби - Лапко А.Ф.

Автор: Лапко А.Ф.
Теги: математика издательство физматлит серия справочная математическая библиотека математические факты теоремы и формулы
Год: 1961
Похожие
Математический анализ: ряды, функции векторного аргумента. Том 2
Математический анализ. Вычисление элементарных функций
Цепные дроби
Специальные математические функции и их аппроксимации
Текст
                    
ПРАВОЧНАЯ
Математическая
И БАИ ОТЕ КА
I IfllLI I/I s Г1 1 L\l\rl ГI
АНАЛИЗ
фун КЦИ И, П РЕДЕ/1 Ы
РЯДЫ, ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
фИ$МАТГИ$19б1

СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА
«ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
Л. А. ЛЮСТЕРНИКА
и
А. Р. ЯНПОЛЬСКОГО
В. Л. ДАНИЛОВ, А. н. ИВАНОВА, Е. К. ИСАКОВА,
Л. А. ЛЮСТЕРНИК, Г. С. САЛЕХОВ,
А. Н. ХОВАНСКИЙ, Л. Я. ЦЛАФ, А. Р. ЯНПОЛЬСКИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
ФУНКЦИИ, ПРЕДЕЛЫ, РЯДЫ,
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1961
АННОТАЦИЯ
Этой книгой открывается серия справочников по
различным разделам математики. В выпусках серии
дается изложение основных понятий классической и
современной математики. Характер изложения кон-
спективный; в логически связной форме разъясняются
математические факты; теоремы и формулы, как пра-
вило, даются без доказательств; излагаемый материал
иллюстрируется примерами, выявляющими его значение,
в частности, для приложений; приводятся различные
таблицы; сообщаются краткие исторические сведения.
Главное внимание уделяется идейной стороне вопроса,
не заслоненной излишними деталями.
Серия рассчитана на читателя, знакомого с основами
математического анализа. Выпуски серии могут служить
как для получения справки из знакомого читателю
раздела, математики, так и, в случае надобности, для
первоначального ознакомления с новым для него раз-
делом.
Настоящий выпуск серии СМБ посвящен основным
понятиям анализа, связанным с предельным переходом.
В нем излагаются следующие вопросы: числовая прямая и
функции на ней, пространства п измерений, функции
и операторы в них (включая основы теории выпуклых
тел), числовые и функциональные ряды, ортогональные
ряды и многочлены, цепные дроби, некоторые системы
чисел и функций, в том числе простейшие специальные
функции.
Справочник предназначен для лиц, пользующихся
в своей работе математическим анализом (математи-
ков, физиков, инженеров), а также для студентов и аспи-
рантов.
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции серии выпусков «Справочной математической
библиотеки.»............................................. 11
Предисловие.............................................. 16
Глава I
Числовая прямая и функции на ней
§ 1.	Действительные числа и числовая прямая.............
1.	Действительные числа...........................
2.	Числовая прямая...............................
3.	р-ичные системы...............................
4.	Множества действительных чисел................
5.	Ограниченные множества, верхняя и нижняя границы
6.	Теория иррациональных чисел ..................
§ 2.	Функции. Последовательности .................   .	.
1.	Функции одного переменного.....................
2.	Верхняя и нижняя границы функции..............
3.	Четные и нечетные функции.....................
4.	Обратные функции .............................
5.	Периодические функции ................,	. . . .
6.	.Функциональные уравнения.....................
7.	Последовательности чисел......................
8.	Верхняя и нижняя границы последовательности . .
9.	Наибольший член последовательности............
10.	Монотонные последовательности ♦ ..............
11.	Двойные последовательности . . <	....... .
§ 3.	Предельный переход............................
1.	Предельная точка множества . . . . ., .г. . . . . .
2.	Предельная точка и предел последовательности . .
3.	Основные теоремы о пределах ......... ........
4.	Некоторые предложения о пределах / . ..... .
5.	Верхний и нижний пределы последовательности . .
6.	Равномерно распределенные последовательности . .
7.	Рекуррентные последовательности...............
8.	Символы о (<хл) и О(ап).......... ............
Предел функции ................................
Непрерывность функции справа и слева...........
Непрерывные функции. Разрывные фу! кции ....
Последовательности функций.....................
Равномерная сходимость функций.................
19
19
19
20
22
24
25
28
28
29
31
32
32
33
34
35
35
36
37
38
38
39
41
41
42
43
44
45
46
47
48
48
50
9.
10.
11.
12.
13.
6
СОДЕРЖАНИЕ
14.	Сходимость в среднем........................ 51
15.	Символы о(х) и О(х)......................... 52
16.	Монотонные функции.......................... 53
17.	Выпуклые функции............................ 53
Глава II
/г-мерные пространства и функции в них
Введение ...............................................
§ 1.	л-мерные пространства..............................
1.	n-мерное координатное пространство............
2.	n-мерное векторное пространство ..............
3.	Скалярное произведение .......................
4.	Линейная система и ее базисы . . .............
5.	Линейные функции . . .............. . ........
6.	Линейная оболочка.............................
7.	Ортогональные системы векторов................
8.	Биортогональные системы векторов................
9.	Проекция вектора на многообразие .............
§ 2.	Предельный переход, непрерывные функции и операторы
1.	Предельный переход в л-мерном пространстве . . .
2.	Ряды векторов.................................
3.	Непрерывные функции л переменных..............
4.	Периодические функции л переменных............
5.	Предельный переход для линейных оболочек . . . .
6.	Операторы из Еп в Ет .........................
7.	Итерационные последовательности...............
8.	Принцип сжатых отображений....................
§ 3.	Выпуклые тела в л-мерном пространстве..............
1.	Основные определения..........................
2.	Выпуклые функции..............................
3.	Выпуклые тела и нормы векторов................
4.	Опорные гиперплоскссти........................
5.	Опорные функции и сопряженные пространства . .
6.	Основные теоремы об опорных гиперплоскостях . .
7.	Связь между взаимными выпуклыми телами . . . .
8.	Конус. Касательный конус......................
9.	Теорема Хелли.................................
10.	Линейные операции над множествами.............
56
57
57
58
59
60
63
66
67
68
69
71
71
73
75
80
82
84
86
88
90
90
92
93
94
95
97
98
99
101
101
Глава III
Ряды
Введение................................................104
§ 1.	Числовые ряды......................................109
1.	Знакопостоянные	и	знакопеременные ряды........109
2.	Свойства сходящихся	рядов......................НО
3.	Общие признаки сходимости знакоположительных
рядов............................................  НО
4.	Оценки остаточных членов, соответствующие раз-
личным признакам сходимости.......................112
СОДЕРЖАНИЕ
7
5.	Частные признаки сходимости знакоположительных
рядов. Оценки остаточных членов...................114
6.	Сходимость знакопеременных рядов..............123
7.	Бесконечные произведения и их сходимость .... 125
8.	Двойные ряды. Основные понятия и определения . . 130
9.	Некоторые свойства двойных рядов..............131
10.	Некоторые признаки сходимости двойных знакополо-
жительных рядов. Оценки остаточных членов .... 133
§ 2.	Функциональные ряды ........................... 138
1.	Основные свойства и признаки сходимости.......138
2.	Степенные ряды................................141
3.	Действия над степенными	рядами.	Ряд	Тейлора . . 143
4.	Комплексные ряды..............................149
5.	Тригонометрические ряды	Фурье................152
6.	Асимптотические ряды..........................161
7.	Некоторые способы обобщенного суммирования
расходящихся рядов................................164
§ 3.	Методы вычисления рядов............................168
1.	Элементарные приемы точного суммирования .... 168
2.	Суммирование рядов с помощью функций комплекс-
ного переменного..................................170
3.	Суммирование рядов с помощью преобразования -
Лапласа...........................................172
4.	Интегральные оценки для конечных сумм и беско-
нечных рядов......................................176
5.	Преобразование	Куммера .......................180
6.	Улучшение сходимости рядов, соответствующее дан-
ному признаку сходимости..........................180
7.	Преобразование	Абеля..........................185
8.	Способ А. Н. Крылова улучшения сходимости три-
гонометрических рядов.............................187
9.	Способ А. С. Малиева улучшения сходимости три-
гонометрических рядов.............................191
Глава IV
Ортогональные ряды и ортогональные системы
Введение................................................194
§ 1.	Ортогональные системы..............................196
1.	Ортогональные системы функций, определенных
в п точках........................................196
2.	Ортогональные системы в Еп(хъ х* ...» хп) . . . . 196
3.	Наилучшее квадратическое приближение..........197
4.	Ортогональные системы, тригонометрических функ-
ций ..............................................198
§ 2.	Общие свойства ортогональных и биортогональных
систем..................................................200
1.	Ортогональность. Скалярное (внутреннее) произве-
дение ............................................200
2.	Ортогональные системы. функций Бесселя, Хаара
8
СОДЕРЖАНИЕ
3.	Линейная независимость. Процесс ортогонализации 210
4.	Коэффициенты Фурье. Замкнутость системы . ... 214
5.	Ряды Фурье по тригонометрической системе .... 217
6.	Биортогональные системы функций...............219
§ 3.	Ортогональные системы многочленов..................223
1.	Нули ортогональных многочленов................224
2.	Рекуррентные соотношения для ортогональных
многочленов .....................................225
3.	Степенные моменты. Выражение ортогональных
многочленов через степенные моменты..............226
4.	Связь ортогональных многочленов с цепными дро-
бями ............................................227
5.	Обращение ортогональных разложений в последова-
тельность аппроксимирующих дробей................230
6.	Ортогональные многочлены и квадратурные формулы
гауссовского типа................................232
7.	Замкнутость ортогональной системы многочленов . . 233
8.	Формула Кристоффеля. Сходимость рядов Фурье
по ортогональным многочленам.....................233
§ 4.	Классические системы ортогональных многочленов . . . 235
1.	Дифференциальное уравнение Пирсона............235
2.	Дифференциальное уравнение для соответствующих
классов ортогональных многочленов................237
3.	Выражение через вес многочлена л-й степени из
ортогональной системы многочленов................238
4.	Производящая функция ортогональной системы
многочленов с весом Пирсона....................  238
5.	Многочлены Лежандра.......................... 239
6.	Многочлены Якоби . .........................  245
7.	Многочлены Чебышева первого	рода	. .........249
8.	Многочлены Чебышева второго	рода	........ 255
9.	Многочлены Лагерра..........................259
10.	Многочлены Эрмита ..........................  261
11.	Многочлены Чебышева, ортогональные на конечной
системе точек .................................... 263
Глава V
Цепные дроби
Введение ................................................. 266
§ 1.	Цепные дроби и их основные свойства	. 267
1.	Вычисление подходящих дробей .......... 267
2.	Преобразования цепных дробей	. 269
3.	Сжатие и растяжение цепных дробей ...............270
4.	Преобразование цепных дробей, вытекающее из
теоремы Штольца . .... . ...... . . ,Л	.	.	.	272
5.	Свойства правильных цепных дробей . . ...	.	.	.	276
6,	Равноценные и соответствующие цепные дроби	.	.	.	280
7.	Построение соответствующих дробей. Метод Вис ко-
ватова . .	. . . . . . . . , .	. . 282
8< Метод Аппеля....................................  284
СОДЕРЖАНИЕ
9
§ 2. Основные признаки сходимости цепных дробей ..... 285
¥ ’	1. Сходимость цепных дробей ......................285
2.	Необходимый и достаточный признак сходимости
цепной дроби с положительными членами звеньев
(признак Зейделя)............ . . ................288
3.	Достаточные признаки сходимости цепных дробей
с положительными членами звеньев................•	289
4.	Первая серия достаточных признаков сходимости . 290
5.	Признаки сходимости предельно-периодических цеп-
ных дробей........................................293
§ 3. Разложение некоторых функций в цепные дроби........294
1.	Метод Лагранжа.................................294
2.	Основное дифференциальное	уравнение............294
3.	Разложение степенной	функции	в	цепную дробь . . 295
4.	Разложение логарифмической функции в цепную
дробь..............................................297
5.	Разложение показательной функции в цепную
дробь.............................................297
6.	Разложение функции у = arctg х в цепную дробь . . 298
. х
7.	Разложение функции у = J в цепную дробь
8.	Разложение для tgx и thx в цепную дробь . . . .
9.	Разложение функции Прима в цепную дробь . . . .
10.	Разложение неполной гамма-функции в цепную
дробь............................................
11.	Формула Тиле..................................
12.	Дробно-рациональные приближения для sin х и sh х
13.	Дробно-рациональные приближения для cos х и ch х
14.	Дробно-рациональное приближение для интеграла
вероятности........................................
15.	Обращение ряда Стирлинга в цепную дробь ....
16.	Дробно-рациональное приближение для гамма-
функции ...........................................
17.	Дробно-рациональное приближение для логарифма
гамма-функции .....................................
18.	Дробно-рациональное приближение для производной
логарифма гамма-функции..........................
19.	Формула Обрешкова............................
§ 4. Метод матриц.................................   .
1.	Извлечение квадратного корня с помощью матриц
второго порядка ..................... ..........
2.	Решение квадратных уравнений с помощью матриц
второго порядка . ...............................
3.	Связь метода матриц с теорией цепных дробей . . .
4.	Разложение квадратических иррациональностей
в непериодические цепные дроби при помощи
матриц второго порядка с переменными элементами
>	5. Извлечение корня любой рациональной степени
г с помощью матриц....................  .	. . . . « . .
299
300
301
302
303
304
305
306
306
307
307
308
311
313
315
317
318
10
СОДЕРЖАНИЕ
6.	Решение уравнений третьей степени с помощью
матриц...........................................320
7.	Возвратные ряды. Метод Бернулли — Эйлера .... 322
8.	Связь между методом Бернулли — Эйлера и методом
матриц...........................................323
9.	Решение уравнений высших степеней с помощью
матриц...........................................325
10.	Понятие	об алгоритме Якоби....................326
Глава VI
Некоторые системы чисел и функций
§ 1.	Некоторые константы и системы чисел................329
1.	Константы.....................................329
2.	Некоторые системы чисел...................  .	340
§ 2.	Числа и многочлены Бернулли и Эйлера...............348
1.	Числа и многочлены Бернулли....................348
2.	Числа и многочлены Эйлера.....................359
§ 3.	Простейшие кусочно-линейные функции и дельтаобразные
функции.................................................364
1.	Кусочно-линейные функции......................364
2.	Ь(дельта)-функция.............................371
§ 4.	Простейшие специальные функции.....................374
L Эллиптические интегралы.........................374
2.	Интегральные функции .........................379
3.	Интеграл вероятности..........................384
4.	Интегралы Френеля.............................387
5.	Гамма- и бета-функции Эйлера..................390
6.	Функции Бесселя...............................406
Библиография............................................416
Указатель обозначений...................................421
Алфавитный указатель....................................424
ОТ РЕДАКЦИИ СЕРИИ ВЫПУСКОВ
«СПРАВОЧНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ БИБЛИОТЕКИ»
(СМБ)
На русском языке имеется ряд получивших признание
справочников по элементарной математике, а также по высшей
математике, соответствующих втузовскому курсу, или не-
сколько выходящих за его пределы. В разделах математики, не
представленных в таких справочных изданиях, до недавнего
времени нуждался сравнительно ограниченный круг лиц.
Однако за последнее полтора десятилетия положение су-
щественно изменилось. Значительно возросло число спе-
циалистов, получивших математическое образование. В еще
большей степени выросло число специалистов-нематематиков:
физиков, инженеров новых специальностей и др., исполь-
зующих в своей работе математический аппарат. Появились
втузы и отдельные факультеты втузов с повышенной про-
граммой по математике. Возросло число аспирантов техни-
ческих специальностей, изучающих дополнительные главы
математики. При многих университетах организованы мате-
матические курсы повышения квалификации инженеров.
Повсеместно возникают вычислительные центры со штатами
вычислителей — математиков и инженеров. Математические
методы начинают применять в своей работе и такие прежде
далекие от математики специалисты, как экономисты, линг-
висты, биологи, медики и др.
Для этих именно лиц — математиков и нематематиков —
предназначены выпуски серии. Это весьма широкий круг
читателей, состоящий из студентов и аспирантов вузов,
работников научно-исследовательских институтов, заводских
лабораторий и высших учебных заведений, которым в их
повседневной работе и учебе приходится встречаться с самыми
разнообразными областями математики. К числу таких
12	ОТ РЕДАКЦИИ
областей относятся не только исторически давно оформившиеся
и продолжающие развиваться разделы, но и недавно воз-
никшие, например, теория линейного и нелинейного про-
граммирования, теория информации, теория игр и т. д.,
потребность в которых возникла в связи с бурным разви-
тием физики, техники и экономики. Так, в частности, новая
вычислительная техника, обслуживающая самые разнообраз-
ные области науки, техники и народного хозяйства, вызвала
к жизни новую математическую дисциплину—программиро-
вание на вычислительных машинах.
Наряду с продолжающимся внедрением в практику
«традиционно-прикладных» разделов математики начинают
приобретать практическое значение и некоторые разделы,
ранее считавшиеся чисто теоретическими. В связи с этим
нередко встречающееся подразделение математики на «при-
ложимую» и теоретическую, предназначенную только для
внутреннего потребления в самой математике, в значитель-
ной степени утратило свое значение. Одним из многих при-
меров может служить теория выпуклых тел, основы которой
излагаются в данной книге. Эта теория не так давно пред-
ставляла только геометрический (и теоретико-числовой)
интерес, но за последние годы стала играть большую роль
в ряде вопросов прикладной математики (линейное програм-
мирование, теория игр и др.). Другим примером может слу-
жить качественная теория дифференциальных уравнений,
нашедшая применение в радиотехнике, в теории автомати-
ческого регулирования и в других технических дисциплинах.
Общеизвестна- роль спектральных операторов в теорети-
ческой физике. В связи с потребностями «машинной матема-
тики» и некоторых технических наук возникла прикладная
математическая логика.
Математика оказывает все большее влияние на практику
и своей логической стороной, силой математического мыш-
: лен,ия. Это определяется характером современной матема-
тики, создаваемыми ею понятиями (модели и др.), приобре-
- тающими универсальное значение.
Ив самой математике некоторые прикладные разделы
получили дальнейшее развитие на базе других разделов теоре-
тического характера. Так, современная теория вероятностей,
математическая статистика и связанные с ними новые области,
например теория информации, используют понятия теории
ОТ РЕДАКЦИЙ
13
функций действительного переменного, современный приклад-
ной анализ строится на базе функционального анализа и т. д.
Многие разделы прикладной математики значительно вы-
росли и изменили свое содержание. Еще недавно прибли-
женные методы для решения задач анализа охватывали
сравнительно узкий круг вопросов. Однако в настоящее
время положение изменилось. Появившаяся возможность
численно решать на машинах новые более сложные задачи,
в том числе и задачи современной физики и техники, зна-
чительно расширила область применения приближенных
методов. В математических расчетах стали широко пользо-
ваться большем набором «специальных» функций, впервые
протабулированных в последнее время.
Неизмеримо выросла роль статистических методов в при-
ложениях математики, в частности, в указанных выше новых
областях прикладного анализа. В связи с новой вычисли-
тельной техникой появился метод статистических испытаний
(так называемый метод Монте-Карло) в приближенном
численном решении задач алгебры и анализа.
И в таких классических разделах математики, как вариа-
ционное исчисление, дифференциальные уравнения с частными
производными и др., появился ряд новых задач, поставлен-
ных современной наукой и техникой.
Все эти обстоятельства коренным образом изменили
«математическую конъюнктуру» и вызвали жизненную не-
обходимость в справочных изданиях более широкого про-
филя, нежели существующие справочники. В этих условиях
справочные руководства должны освещать не только доста-
точно подробно изученные классические области математики,
но и новые разделы и направления, если они уже сложились
и стали нужными широкому кругу читателей.
В выпусках настоящей серий будут содержаться разделы
математики как непосредственно встречающиеся при решении
различных прикладных задач, так и служащие основой для
выработки методов решения таких задач.
Перед серией в целОхМ поставлены две цели: с одной
стороны, выпуски ее должны дать возможность получить
справку из того или иного уже знакомого читателю раз-
дела математики; с другой стороны, они должны, в случае
надобности, служить и для первоначального ознакомления
С новыми разделами.
14
ОТ РЕДАКЦИИ
Известно, что попытки самостоятельно изучить новые
незнакомые области математики по имеющимся учебным
курсам, а тем более монографиям, часто бывают мало эффек-
тивны. Это объясняется тем, что нередко эти курсы напи-
саны мало доступным нематематику языком и чрезмерно
перегружены материалом. Между тем на первых порах
читатель может ограничиться только основными фактами,
изложенными в конспективной, но логически связной форме.
Во многих случаях этогэ бывает достаточно для приложений.
Поэтому в выпусках серии уделяется особое внимание
выявлению идейной стороны вопроса, не заслоненной дета-
лями. Формулируются и разъясняются основные понятия,
излагаются основные факты. Теоремы и формулы приво-
дятся, как правило, без доказательств, за отдельными
исключениями, когда это требуется для понимания существа
вопроса или в тех случаях, когда они имеют принципиаль-
ное самостоятельное значение. Впрочем, и в этих случаях
часто бывает достаточно ограничиться указанием в общих
чертах только хода рассуждений.
Излагаемый материал иллюстрируется примерами, вы-
являющими его значение, в частности, для приложений.
Невозможно дать исчерпывающие сведения по каждому
из разделов, поэтому их изложение сопровождается достаточно
полным списком литературы по данному вопросу. Приводи-
мая библиография поможет читателю, в случае надобности,
обратиться к источникам, по которым он сумеет более под-
робно изучить интересующий его вопрос, познакомиться с
доказательствами теорем, выводом формул и т. д.
Всюду, где это представляется возможным, приводятся
краткие исторические сведения.
Естественно было бы желать единообразного стиля изло-
жения материала в выпусках серии. Однако осуществить это
желание в полной мере невозможно. Теоретическому материалу
больше соответствует повествовательная форма изложения,
чисто справочному — лаконическая, позволяющая экономно
использовать объем книги, что весьма важно, если учесть,
что в выпусках серии справочный материал в узком смысле
слова (формулы, таблицы и т. д.) должен быть представлен
с большей полнотой, чем в учебниках. Наконец, своеобразие
новых областей математики (программирование и др.) требует
отыскания особых форм изложения, во многом отличных от
ОТ РЕДАКЦИИ
15
того традиционного стиля, которым излагаются классические
разделы.
Приступая к изданию серии выпусков СМБ, мы учиты-
ваем наличие различных справочников по математике на
русском языке. Поэтому обычно в нее не включается мате-
риал, относящийся к элементарной математике и к втузовскому
курсу высшей математики, достаточно освещенный в суще-
ствующих справочниках. В случае надобности будут даваться
ссылки на широко распространенный «Справочник по мате-
матике для инженеров и учащихся втузов» И. Н. Бронштейна
и К. А. Семендяева. Однако некоторые повторения неизбежны.
Отдельные вопросы, излагаемые в «Справочнике» Бронштейна
и Семендяева,, могут быть частично изложены и в нашей
серии, если они требуют более подробного или более глу-
бокого освещения.
В ближайший период предполагается издать выпуски,
серии по следующим разделам: математический анализ,
высшая алгебра, дифференциальные и интегральные уравне-
ния, качественные методы анализа, интегральные преобра-
зования и операционное исчисление, программирование,
вариационное исчисление и вариационные методы, прибли-
женные методы анализа, функциональный анализ и др.
Как правило, каждый отдельный выпуск посвящается
одному разделу или нескольким родственным по тематике
разделам и по возможности независим от содержания других
выпусков. Это, впрочем, не исключает, в случае необходи-
мости, перекрестных ссылок между выпусками.
Информация о вышедших в свет, а также готовящихся
к печати выпусках серии будет даваться в конце каждого
выпуска.
Редакция серии обращается к читателям с просьбой на-
правлять свои замечания и пожелания по адресу: Москва, В-71,
Ленинский проспект, 15, Физматгиз, редакция, справочной
литературы.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящей книгой открывается серия справочников по раз-
личным разделам классической и современной математики. Этот
выпуск серии «Справочная математическая библиотека» (СМБ)
вместе со следующим, посвященным операциям дифферен-
цирования и интегрирования, охватывает основную часть
материала, излагаемого в больших курсах математического
анализа. В этот выпуск включены общие вопросы теории
непрерывных функций одного и нескольких переменных (вместе
с геометрической базой этой теории), теории предельного
перехода для последовательностей чисел и векторов, а также
теории числовых нефункциональных рядов и других анало-
гичных бесконечных процессов, в частности бесконечных
цепных дробей.
Глава I «Числовая прямая и функции на ней» (авторы
Л. А. Люстерник и Е. К. Исакова) посвящена действительным
числам, числовой прямой, предельному переходу на ней,
функциям одного переменного. Материал этой главы ближе
всего стоит к тому, что принято называть введением в мате-
матический анализ.
В главе II «л-мерные пространства и функции в них»
(автор Л. А. Люстерник) осуществляется переход от функ-
ций- одного переменного к функциям п переменных, что
геометрически отвечает переходу от числовой прямой к про-
странству п измерений Еп. Эта глава содержит основы тео-
рии n-мерного пространства Еп. § 1 посвящен основам
/г-мерной геометрии и, в частности, теории ортогональных
систем векторов в Еп, которая служит простейшей моделью
для изложения (в главе IV) теории ортогональных систем
функций. § 2 посвящен предельному переходу в Еп, непре-
рывным функциям п переменных и их системам (операто-
рам в Еп). Вследствие большой роли, которую играет в тео-
ПРЕДИСЛОВИЕ
17
ретической и прикладной математике теория n-мерных вы-
пуклых тел, в главу включен § 3, в котором дается изложение
этой теории.
Глава III «Ряды» (авторы Г. С. Салехов и В. Л. Дани-
лов) состоит из теории рядов и практических методов их
вычисления.
В § 1 излагается теория числовых рядов с включением
вопросов, относящихся к бесконечным произведениям, двой-
ным рядам и суммированию сходящихся рядов. Наряду с клас-
сическим материалом здесь приводятся и новые результаты
об общих признаках сходимости рядов и оценках остаточ-
ного члена.
В § 2 рассматриваются важнейшие классы функциональ-
ных рядов: степенные, тригонометрические, а также асимп-
тотические степенные ряды и их сходимость. Здесь же при-
ведены некоторые способы обобщенного суммирования рас-
ходящихся рядов.
В § 3 приведены различные вычислительные методы тео-
рии рядов.
В главе IV «Ортогональные ряды и ортогональные системы»
(авторы А. Н. Иванова и Л. А. Люстерник) содержатся
общие вопросы разложения функций в ортогональные (а также
биортогональные) ряды. Здесь рассматриваются также общие
ортогональные системы многочленов и кла&сщ.ческие системы
ортогональных многочленов Лежандра, Чебышева, Эрмита
и др.
В главе V «Цепные дроби» (автор А. Н. Хованский)
дается изложение раздела анализа, которым занимались круп-
нейшие математики XVIII и XIX веков, но который потом
оказался несправедливо забытым. Цепным дробям не нашлось
места во многих современных больших курсах анализа, а
между тем сравнительно недавно некоторые элементы теории
цепных дробей изучались даже в средней шише. В последнее
время появился интерес к цепным дробям в связи с их при-
менением к вычислительной математике и другими приложе-
ниями. В этой главе особое внимание уделено представлению
функций цепными дробями.
Глава VI «Некоторые системы чисел и функций» (авторы
Л. А. Люстерник, Л. Я. Цлаф и А. Р. Янпольский) носит
более справочный (в узком смысле слова) характер. Здесь
содержится материал о некоторых констштах, о наиболее
2 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
18
ПРЕДИСЛОВИЕ
важных системах чисел, включая числа Бернулли и Эйлера,
о многочленах Бернулли и Эйлера, о некоторых разрывных
функциях, о простейших специальных функциях (эллиптиче-
ских интегралах, интегральных функциях, гамма- и бета-функ-
циях, некоторых функциях Бесселя и др.). Вместе с орто-
гональными многочленами эти функции после элементарных,
являются наиболее употребительными в математической прак-
тике. Заметим, что в одном из последующих выпусков будут
даны специальные функции более полно и притом в комплекс-
ной области.
ГЛАВА I
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ
§ 1. Действительные числа и числовая прямая
1. Действительные числа. Все действительные или ве-
щественные числа разбиваются на два класса: рациональные
и иррациональные числа. К рациональным числам относятся
все целые и дробные числа (положительные, отрицатель-
ные и нуль), к иррациональным — все остальные числа.
Множество всех рациональных чисел является всюду плот-
ным, т. е. между любыми двумя различными рациональными
числами а и b (а < Ь) найдется, по крайней мере, еще одно
рациональное число с (а < с < Ь), а значит, и бесконечно
много рациональных чисел.
Иррациональными числами являются, например: ]Z2 =
= 1,41421356. .тс = 3,14159. . ., £ = 2,7182818. .. —осно-
вание натуральных логарифмов и т. д. Иррациональные
числа состоят из алгебраических и трансцендентных чисел.
Алгебраическими иррациональными числами называются все
нецелые действительные корни алгебраических уравнений
хя-Ьа1х'*-1+ ... +«я_1Х + «я = 0,
где ai (Z ===== 1, 2, ..., п) — целые числа; например, корни
з	5
х==у 10, x—v 8 уравнений х3— 10 = 0, х5—8 = 0, корни
уравнения х5 — Зх4 — 2х3 -|- х2 4~ 1 = 0 и т. д. Остальные
иррациональные числа называются трансцендентными', при-
мерами их являются числа: тс, е, е\ 2^2 , Ign (где п — любое
целое число, не равное 10л) и т. д.
2. Числовая прямая. Выберем на прямой Ех\ начало
отсчета — начало координат 0, масштаб — единицу длины
2*
20 ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ	[3
и направление — ориентацию. Каждому действительному
числу х на прямой Ех поставим в соответствие точку Л(х),
имеющую координату (абсциссу) х, и, наоборот, каждой
точке Л(х) на прямой Ех поставим в соответствие действи-
тельное число х — ее абсциссу. Прямая Ех называется чис-
ловой прямой или одномерным координатным простран-
ством (об n-мерных координатных пространствах Еп см.
гл. II).
Число
(— а при а < 0,
1 1	( а при а 0
называется абсолютным или арифметическим значением
числа а.
Справедливы соотношения:
|«+*|<н+|ч
\а • |== |а| • |г>|.
|т । Ш*
Число \а — Ь\ есть расстояние между точками а и b на
прямой Ех (см. гл. II, § 1, п. 1).
3.	р-ичные системы. Всякое действительное число пред-
ставимо десятичной дробью, т. е. имеет определенное раз-
ложение в десятичной системе счисления. Десятичная система
является частным случаем позиционной р-ичной системы,
за основание которой может быть взято любое натуральное
число р > 1. Знаки 0, 1, 2, ..., р — 1 называются цифрами
этой системы, a pk (& = 0, ±1, ±2, ...) — единицами
k-го разряда в этой системе.
Каждое целое положительное число N представимо и
притом однозначно в виде
п
^ = ОоР04-а1Р1+ ••• -Jra„pn='Sialpl, (1.1)
1 = 0
где ai — цифры. Равенство (1.1) записывают в таком виде
^ = апап_хап_2...ахай.	(1,1')
3]	§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ 21
Аналогично, любое положительное действительное число 5,
рациональное или иррациональное, представляют р-ичной
дробью
п
5= 2 «кРк.	(1.2)
k = -со
что записывают в виде
S =	• • • aiO0,	2#—з • • •	(1 •2/)
Если 5 — иррациональное число, то оно однозначно пред-
ставляется бесконечной непериодической р-ичной дробью
вида (1.2) (соответственно (1.2')).
Если же число 5— рациональное, то оно представимо
бесконечной периодической р-ичной дробью, например, в деся-
тичной системе число S = ~ записывается так:
5 = 0,1666... =0,1 (6).
В двоичной системе S = ~ выражается бесконечной дробью
s=o,ooioioi... =0,0(01)=±4.45-4-...
О О/
р-ичные рациональные числа суть числа, представимые
дробями со знаменателем pk(k— 1, 2, ...); каждое из таких
чисел имеет два представления в р-ичной системе: одно с О
в периоде, другое — с р — 1 в периоде.
Например, число 5 = ~ выражается в двоичной системе
так:
5 = 0,1000... ==0,1 (0),
•5=0,0111 ... =0,0(1);
а в десятичной системе
5 = 0,5000... =0,5(0),
5 = 0,4999 ... = 0,4(9).
Выбирая одно из этих представлений для р-ичных рацио-
нальных чисел, например первое — с 0 в периоде, получим
однозначное представление р-ичных рациональных чисел
бесконечными периодическими р-ичными дробями, а вместе
с этим — однозначное представление для всех действительных
чисел.
22 ГЛ. L ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ |4
У различных народов в древности встречались элементы раз-
ных /?-ичных систем, следы которых сохранились и до настоящего
времени в некоторых языках, например, при р = 12 (счет дюжи-
нами и гроссами), р = 20 (следы этой системы сохранились во
французском языке), р = 40 («сорок сороково) и т. д. Значительного
развития получила 60-ричная система, возникшая в древнем Вави-
лоне (ее следы остались в мерах углов и времени). Шестидесяте-
ричная система в Средние века долго конкурировала на Ближнем
Востоке и в Средней Азии с десятичной. Десятичная система воз-
никла в Индии, получила дальнейшее развитие в Средней Азии
и оттуда перешла в Европу.
В настоящее время в вычислительных машинах широко
применяется двоичная система (и связанные с нею системы,
имеющие в основании степени двойки — р = 2*, k > 1 —
целое). В машине Московского государственного универси-
тета «Сетунь» используется троичная система счисления.
Иногда в качестве р цифр р-ичной системы применяется
набор р чисел, отличных от 0, 1, 2......р — 1. Например,
в троичной системе удобным является набор цифр: —1, 0, 1.
В двоичной системе можно пользоваться цифрами —1 и 1.
Более общие позиционные системы — неоднородны?, в которых
отношения единиц последовательных разрядов — разные числа. Такие
системы применялись (до введения метрической системы) для изо-
бражения «именованных» чисел, именно, для изображения таких
величин, как длина, вес и т. д. Например, в дореволюционной России
для измерения веса была система единиц: 1 пуд (а^16 кг)—40 фунтов,
1 фунт (^ 400 г) = 32 лота и т. д.
4.	Множества действительных чисел. Будем рассматри-
вать различные множества действительных чисел. Например,
множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4..и, ..., множество
всех правильных дробей, множество всех рациональных чисел,
множество всех действительных чисел между 0 и 1 и т. д.
Числа называются элементами соответствующих множеств.
Рассматривают множества не только действительных чисел, но и
множества элементов произвольной природы. Например, множество
точек плоскости, множество деревьев в некотором районе и т. д.
Элементами данных множеств будут, соответственно, точки плоско-
сти, деревья и т. д.
Множества в этой книге обозначаются большими бук-
вами: А4, АГ, Д, В, X, Y и т. д. или символом {хд},
где хп— элементы множества.
Множество чисел, удовлетворяющих неравенствам а < х < £
(а, b — числа), называется интервалом и обозначается: (а, Ь).
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ 23*
Множества чисел, удовлетворяющих неравенствам х < а,
х > Ь, называются бесконечными интервалами и обозна-
чаются, соответственно, (—оо, а) и (6, +°°)* Множество
чисел х, удовлетворяющих неравенствам а х, Ь, назы-
вается отрезком (или сегментом, или замкнутым проме-
жутком) и обозначается [а, #].
Множества точек х, удовлетворяющих неравенствам
а х < Ь. а < х
называются полуинтервалами и обозначаются, соответ-
ственно, [а, Ь), (а, #].
Аналогично определяются бесконечные полуинтервалы
(—оо, а] и [6, 4"°°)-
Интервал (х—в, x + s)(s>0) называется ^-окрестностью
точки х.
Если элемент х принадлежит (не принадлежит) мно-
жеству X, то это символически записывают так: х £ X (х £Х
или х(^Х).
Если все элементы множества X являются одновременно
элементами множества К, то X называется подмножеством
множества Y, что символически записывают так: Ас/. В про-
тивном случае X не является подмножеством Y, что симво-
лически записывают так: XczY (или Xtj:Y). Например,
1-£(0, 1), а£[а,Ь), а£(а,Ъ), Ь^{а, Ь);
(О, 1)g[0, 1). II. 2]Е(0, 1), (а, Ь)с[а, Ь).
Множество М всех тех элементов, которые принадлежат
как множеству А, так и множеству В, называется пересече-
нием или произведением множеств А и В, и символически
обозначается так:
М = А П В (М ~ А^ В = А • В = АВ).
Например,
(0. И = [-у. 1]п (0. 2). Ь = (а, Я л [*. С)
и т.,д.
Множество 7И, состоящее из всех элементов, которые
принадлежат либо множеству А, либо множеству В, назы-
вается объединением или суммой множеств А и В, и сим-
волически обозначается так:
24
ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ
[5
Например,
(0. 2) и [у. 4-оо) = (0, 4-00), (—3, 7] U (5, 8] = (—3, 8|.
Множество М, состоящее из тех элементов множества В,
которые не принадлежат множеству А, называется дополне-
нием множества А до множества В, или разностью мно-
жеств А и В, и символически обозначается так:
=	(М = В — А).
Например,
(7, 81 = (5, 8J\(—3, 7], (О, 2)\[0, 4) = [| ’ 2) и т- д-
Запись В\Д употребляется и в более общих случаях.
5.	Ограниченные множества, верхняя и нижняя гра-
ницы. Множество чисел X называется ограниченным сверху
(снизу), если существует число М (т), не меньшее (не боль-
шее) всех чисел х из X. Число М (т) называется верхней
(нижней) границей множества X.
Множество X называется ограниченным, если оно огра-
ничено сверху и снизу.
Например, множество (— оо, 0) ограничено сверху, мно-
жество (0, -|-оо) ограничено снизу, а (О, 1) — ограниченное
множество.
Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) гра-
ниц множества X называется точной верхней (нижней) гра-
ницей или гранью М*(т*) множества X и символически за-
писывается так:
AT = supx =
\	J
Числа ЛГ и т* обладают следующими свойствами:
1)	Для любого х из X справедливы неравенства
ЛГ^х, т*^х..
2)	Каково бы ни было число е > О, найдется такое число
х0£Х, для которого, соответственно,
Хц^М* — s,	+
Например,
sup х = 0, inf х = 0.
*€(-оо,0)	*6(0, х)	*	...
6]
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВАЯ -ПРЯМАЯ
25
3)	Если множество Х={х} ограничено сверху (снизу),
то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) границу.
Частными случаями точной верхней и нижней границ
множества служат введенные ниже (§ 2, п. 2) понятия точ-
ной верхней и нижней границы функции.
6. Теория иррациональных чисел. Во второй половине
XIX века в связи с критическим пересмотром основных
понятий анализа появились строгие теории иррациональных
чисел Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса.
Теория Дедекинда. Множество всех рациональных
чисел со всеми их свойствами считается данным. Множество
всех рациональных чисел разбивают на два класса А и Д'.
Такое разбиение называют сечением в области рациональ-
ных чисел, если выполнены условия:
а)	каждое рациональное число попадает в одно и только
одно из множеств А и Д',
б)	каждое число а из множества А меньше каждого
числа а' из множества Д'.
Множество Д' называется верхним классом, а мно-
жество А — нижним; сечение обозначают так: Д|Д'.
Сечения могут быть трех видов:
1)	либо в нижнем классе А нет наибольшего числа,
а в верхнем классе Д' есть наименьшее число г;
2)	либо в нижнем классе А есть наибольшее число г,
а в верхнем классе Д' нет наименьшего;
3)	либо ни в нижнем классе нет наибольшего, ни в верх-
нем— нет наименьшего.
В первых двух случаях говорят, что сечение произво-
дится рациональным числом г (которое является пограничным
между классами А и Д'), или говорят, что сечение опреде-
ляет рациональное • число г. В третьем случае сечение А | Д'
не определяет никакого рационального числа; говорят, что
сечение вида 3) определяет некоторое иррациональное число а.
Например, если в класс А отнести все числа а^О,
а* также те числа а > 0, у которых а2 < 2, а в Д' — все
остальные, то сечение Д| Д' определяет иррациональное
число
Все действительные числа можно упорядочить следующим
образом: два иррациональных числа а и р, определяемые
соответственно сечениями Д | Д' и В|В', считаются равными,
26 ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ и ФУНКЦИИ НА HEFT [6
если сечения Л|Л' и В\В' тождественны, и наоборот, если
сечения А | А' и В | Вг совпадают, то говорят, что соответ-
ствующие иррациональные числа равны. Говорят, что число
а > р, если класс А целиком содержит в себе класс В, не
совпадая с ним, и а > г, где г — любое рациональное число
класса А. Таким образом, для любых двух действительных
чисел аир возможно только одно из соотношений: а=р,
а < р, а > р.
Если произвести, аналогично выше определенным, сечения
в области уже всех действительных чисел* то оказывается,
что для любого такого сечения Д| Л' всегда существует
действительное число, его производящее (в этом заключается
основная теорема Дедекинда). Это свойство множества всех
действительных чисел называют его полнотой или непрерыв-
ностью.
Для действительных чисел вводят понятия арифметиче-
ских операций и законов (сложения, умножения, деления
на число, отличное от нуля, и т. д.) над ними. Например,
под суммой двух действительных чисел а и р понимают такое
действительное число у = а—|~р, которое удовлетворяет со-
отношению а-\-Ь < у < af -Н У, где a, ar, b и bf— всевоз-
можные рациональные числа, удовлетворяющие неравенст-
вам: а < а < а', b < р < Ь'.
Аналогично вводят и все другие арифметические операции
с сохранением основных свойств.
Теория Кантора. Рассматривают всевозможные фун-
даментальные последовательности (см. § 3, п. 2) рацио-
нальных чисел. Последовательность рациональных чисел,
сходящаяся к рациональному пределу, является фундамен-
тальной. В то же время существуют фундаментальные после-
довательности рациональных чисел, не имеющие рациональ-
ного предела, например, последовательность десятичных
приближений {1; 1,4; 1,41; ...} квадратного корня из двух.
Две бесконечные последовательности {хл} и {ул| назы-
ваются эквивалентными или кенфинальными, если |хя—-ул|
стремится к нулю при п->оо. Это означает, что две экви-
валентные фундаментальные последовательности {хя} и {уп}
могут иметь лишь один и тот же рациональный предел х
при п —> оо. Все эквивалентные м$жду собой фундаментальные
последовательности рациональных чисел относят к одному
классу — классу эквивалентности, а множество всех фунда-
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ 27
ментальных последовательностей рациональных чисел разби-
вают на классы эквивалентности.
Существуют две возможности: либо имеется рацио-
нальное число г — общий предел при п~>со всех последова-
тельностей {хл} из одного и того же класса эквивалентности X
либо среди всех рациональных чисел такого числа нет.
В первом случае говорят, что класс эквивалентности X
определяет рациональное число г; во втором случае говорят,
что класс эквивалентности X определяет иррациональное
число х (которое также считается пределом последователь-
ностей из класса X при п->оо). Каждый класс эквивалент-
ности определяет действительное (рациональное или иррацио-
нальное) число.
Далее вводят арифметические действия над всеми
действительными числами. Например, под суммой х-\-у двух
действительных чисел х и у понимают то число, которое
определяется классОхМ Х-\-У> где X—класс эквивалентности,
определяющий число х, a Y — класс эквивалентности, опре-
деляющий число у, при этом под суммой X-\-Y понимают
тот класс, куда входят последовательности вида {xn-j-yj,
где {хп} — любая последовательность из X, а {уп}—из Y.
Аналогично определяют и все другие арифметические
операции над действительными числами.
Действительное число х называется положительным(х>0),
если в соответствующем классе эквивалентности X суще-
ствует фундаментальная последовательность положительных
рациональьых чисел, не сходящаяся к нулю.
Неравенство а > р для двух действительных чисел аир
означает, что а — р > 0.
На множестве всех действительных чисел Ех можно также
определить понятия фундаментальных последовательностей
и классов эквивалентностей для них. Оказывается, что
на Ех все фундаментальные последовательности сходятся
(см. § 3, п. 2), поэтому любой класс эквивалентности
на определяет действительное число — общий предел вхо-
дящих в нею последовательностей. При таком пополнении
множества Ех не может быть получено новых чисел; в этом
смысле множество Ех является полным.
Таким образом, множество Ех действительных чисел полу-
чается в результате пополнения множества рациональных
чисел пределами всевозможных фундаментальных последова-
28 гл. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [1
тельностей рациональных чисел. Эта идея пополнения при-
обрела большое значение в функциональном анализе.
Из других теорий иррациональных чисел укажем, кроме
теории Вейерштрасса, на обоснование А. Н. Колмогорова
(см. [6], стр. 269) и на аксиоматическое построение действи-
тельных чисел (см. [4], стр. 157 и [15], стр. 180).
§ 2. Функции. Последовательности
1. Функции одного переменного. Если задано мно-
жество действительных чисел X={x} и каждому числу х
из X поставлено в соответствие число у, причем Y — {у} —
множество всех таких чисел у, то говорят, что задана
функция у = /(х) на множестве X. Множество X назы-
вается областью задания (определения) функции /(х),
а каждое число х из X—аргументом. Множество Y назы-
вается областью значений функции /(х). Если задан аргу-
мент х, то задано значение у = /(х) функции. Например,
для функции у = х3 множества X и Y совпадают со всей
действительной прямой Ех\ для функции y = tgx множество Y
есть вся числовая прямая Elt а Х=Ех — А1, где М — есть
множество всех чисел видау + пк (п = 0, ±1, ±2, ...);
для функции у —х! множества Y и X суть множества нату-
ральных чисел; для функции у — Е(х) (целой части х) X есть
числовая прямая Еь a Y—множество натуральных чисел.
Для функции	-1	при	X	<0,
sign х —	0	при	X	= 0,
	1	при	X	>0
множество X—числовая прямая, а множество Y состоит из
трех чисел: —1, 0,1.
Любое конечное множество чисел {aJ (Z = 1, 2, ...’, п)
можно рассматривать как функцию, заданную на конечном
множестве натуральных чисел Х={1, 2, .... п\ и относя-
щую каждому из этих чисел / значение функции f(i)=zal
(Z= 1, 2....n).
Понятие функции подверглось широкому обобщению,
X может быть множеством произвольных элементов. Говорят,
что на этом множестве задана числовая функция, если каждому
элементу х этого множества отнесено число /(х).
2)
§ 2. ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	29
В гл. II рассматриваются функции, определенные на
множестве точек (или векторов) ^-мерного пространства.
Площадь, ограниченная многоугольником, или его периметр
можно рассматривать как функции, определенные на мно-
жестве плоских многоугольников; такие физические величины,
как масса тела, его заряд и т. п., определены на множестве
соответствующих физических тел и т. д.
Элементы множества X, на котором определена функция,
называются иногда «точками».
2. Верхняя и нижняя границы функции. Верхняя
(нижняя) граница функции /(х), определенной на множестве Xt
есть число М(т) такое, что /(x)^Af (f(x)^m) для всех х
из множества X. Если это число существует, то функция /(х)
называется ограниченной сверху (снизу) на X. Функция,
ограниченная на X сверху и снизу, называется ограничен-
ной на X.
Наименьшая (наибольшая) из всех верхних (нижних) границ
функции f(x) называется точной верхней (нижней) грани-
цей или гранью М*(т*) функции f(x) и обозначается
Af* = sup f(x)	6n* = inf f(x)\
x^X	\ x^X )
Если существует такой элемент х0 (х}) из X, для которого
/(x0) = sup/(x)	=
то
sup/(x) = /(x0) Г inf f(x) = f(xiy\
х£Х	\х£Х	J
называется абсолютным максимумом (минимумом) функ-
ции f(x) и обозначается
/(х0) = sup f(x) === max/(x) (f(x^ — inf f(x) = min f(x)\
x£X	x£X	<	x£X	x£X J
Относительно функции f(x) в этом случае говорят, что
она достигает своего абсолютного максимума (минимума)
в точке х0 (х^.
Для конечного множества {ар а2, ап},через
шах {ар а2, ..., ап]	(min {ар а2, ...» ап}\
П	\ п	)
обозначают наибольшее (наименьшее) из чисел ар а2, ..., ап.
ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ
[2
Например,
inf = О,
rvVk %
х£(0,<х>)
min sin х = — 1, max sin x — 1,
x£Et
max {4, 3, 7, 11, 8} = 11, min {4, 3, 2, 10, 17} =2.
Имеют место неравенства:
1)	sup/(x)4-sup/1(x)>sup(/(x)+/i(x)),	(1.3)
x£X	x£X	x£X
inf f(x) -I-inf /1 (x) < inf (f (x)4-/1 (X)).	(1.4)
x£X	x£X
Если /(x), /i(x) и Д (x) Ц-/(x) достигают максимума
(минимума) на X, то
max f (х) + max	(x) > max (/ (x) 4~/i (x)),	(1.3a)
x£X	x£X	x£X
min f (x) + min fx (x) < min (/ (x) +/х (x) ).	(1.4a)
x£X	x£X	x£X
Случай равенства в (1.3a) (соответственно в (1.4а)) имеет
место, когда /(х) и Д(х) достигают максимума (минимума)
в одной и той же точке.
Например,
max sin х 4- max cos х = 2 > так (sin х + cos х) = У 2.
x£Et	x^Ei	x£El
2)	Если Ya:X (множество Y есть часть множества Я), то
sup/(y)< sup/(x), inf/(у)>inf/(х).
y£Y	х^Х	y£F	х£Х
Например,
1/2
max sin х =	< max sin х = 1,
max(3, 11, 15, 8)=15>max(3, 11, 8) = 11.
Часто пользуются следующими обозначениями:
(/(х) = «). (/(х)<а). (/(х)<а), (/(х)>а). (/(*)>а)
3]
§ 2. ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
31
и тому подобными, означающими множества точек xt для
которых удовлетворяются соответствующие неравенства (они
называются лебеговскими множествами).
Например, (х2<2) есть интервал (—]/2, У 2); (sinx=l)
есть множество чисел |(4n-p 1) тг где п— любое целое
число.
3.	Четные и нечетные функции. Будем рассматривать
функции, определенные на всей числовой прямой или на
отрезках I—а, а\ и интервалах (—а, а) (вообще на мно-
жестве Mt симметричном относительно начала координат).
Функция /(х) называется четной, если для любого х
из области ее определения имеет место равенство /(—х)—f{x),
и нечетной, если /(—х) — — f(x). Все четные степени х2П
являются четными функциями, а нечетные x2n+i— нечетными
функциями. Другими примерами четных функций являются
cos х, | х |, а нечетных—sinx, tgx и т. д.
Сумма четных функций — четная, нечетных — нечетная.
Произведение четных функций—четная функция, произведе-
ние четного числа нечетных функций есть четная функция,
нечетного их числа — нечетная. Например, sin х • tg х — четная
функция, х • sinx • tgx — нечетная. Произведение (и частное)
четной и нечетной функций—нечетная функция. Например,
| х | sin х — нечетная функция.
Константа является четной функцией.
Любая функция от четной функции есть четная функция,
например, sin (cos х) — четные функции. Четная функ-
ция от нечетной функции есть четная функция, например,
cos(sinx). Нечетная функция от нечетной функции есть не-
четная функция, например, tg (sin х).
Любая функция /(х) представима в виде суммы четной
функции /х(х) и нечетной /2(х):
/(*) = /1(х)+/2(х),
где
/2(х) = jl/(x)-/(-x)]-C
(С — постоянная).
С-0
32 ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [4
4.	Обратные функции. Если даны множества X и Е,
причем каждому элементу х из X отнесен некоторый эле-
мент у = А(х) из К, то говорят, что дано отображение
(или соответствие) А множества X в множество К.
Если у = Д(х), то y£F называется образом элемента
х£Х, а х — прообразом у.
Если каждому y£Y отвечает в качестве прообраза един-
ственный элемент х£Х, то отображение (соответствие), А
называется	однозначным^ отображением- X в У.
Пример 1. Пусть все дома некоторой улицы перенуме-
рованы натуральными числами от 1 до 80. Мы имеем взаимно
однозначное соответствие между множеством домов и мно-
жеством первых 80 натуральных чисел.
Пример 2. Пусть Е' — множество всех не равных нулю
действительных чисел; каждому числу х из Е' отвечает один
из двух знаков -|~ или —.Мы имеем отображение Е' в мно-
жество знаков, состоящее из двух элементов; прообразами
знаков (—) являются все положительные (отрицательные)
числа.
Пусть множества X и У суть некоторые множества чи-
словой прямой Ef, отображение A a f (х) множества X в У
есть некоторая функция y = f(x), определенная на множе-
стве X с областью значений У.
Если функция y — f(x) осуществляет взаимно однознач-
ное отображение множества X в множество У, то говорят,
что у функции / (х) существует обратная функция х = (р(у),
которая отображает множество Y в множество X. Множе-
ство Y для функции xi=cp(y) является областью определе-
ния, а множество X—областью ее значений.
Пример 3. y = sinx, х — arcsin у, X = —-% ’ у
Пример 4. у = tg х, х = arctg у, X — £— ~~
Пример 5. y = ekx(k^=O)t х = -^-!пу, X = EV
5.	Периодические функции. Функция / (х) называется
периодической, если существует такое число w > 0, что для
любого х справедливо равенство
/(х + (0) = /(х).	(1.5)
61
§ 2. ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
33
Число о) называется периодом функции / (х). Если
и со2 — периоды функции /(х), то <ог тоже период / (х).
Наименьшее из всех таких положительных чисел <о на-
зывается наименьшим периодом (или просто периодом)
функции f (х).
Теорема 1. Если непрерывная (см. § 3, п. 11) функ-
ция f (х) — периодическая, отличная от константы, то
у нее существует наименьший период (о0 > 0, и все осталь-
ные ее периоды со являются кратными to0.
Например, для функции f (х) = sin х имеем ш0 — 2к, для
f (х) = | sin х | период (о0 = к, а для /(х) — Е(х) (см. § 2,
п. 1) период <о0 = 1.
6.	Функциональные уравнения. Функциональным урав-
нением называется равенство, связывающее разные значения
функций; о функции, для которой такое равенство выполняется,
говорят, что она является решением этого функционального
уравнения, или, что для нее функциональное уравнение вы-
полняется.
Пример 6. Решениями функционального уравнения
/(х + у) = /(х) + /(у)	(1.6)
служат линейные функции
f\x) = kx (k— постоянная).
Можно показать, что они являются единственными не-
прерывными функциями, удовлетворяющими этому функцио-
нальному уравнению.
Пример 7. Решениями функционального уравнения
/(*)•/(у) = /(х+у)	(1.7)
служат показательные функции ах(а^>0), причем они яв-
ляются единственными непрерывными функциями, удовлет-
воряющими данному функциональному уравнению.
Заметим, что периодические функции удовлетворяют
функциональному уравнению
/(*+«) = /(*).
Можно также рассматривать системы функциональных
уравнений. Так, например, пара функций
/ (х) == sin х, ср (у) = cos у
3 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др,
34 ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [7
(и функций / (х) = О, ср(х) = 0) являются единственными
непрерывными решениями системы функциональных урав-
нений:
/(x + y)==/(x)«p(y)-t-/(y)<p(x).
? (*+У) = <f> (*) ? (у) —	(у),
если дополнительно потребовать положительности этих функ-
ций в интервале ^0, и выполнения условий /^у^=1,
?(у) = о.
7.	Последовательности чисел. Бесконечной числовой
последовательностью называется функция, определенная на
множестве натуральных чисел: каждому натуральному
числу п (п=1, 2, 3, ...) отвечает число хп —п-й член
последовательности {хл} = {хр х2, ..., хл, ...}. Число п
в выражении хп называется индексом {номером). Иногда
рассматривают последовательности {xn}t где п принимает не
только натуральные значения, но и п — 0 или значения лю-
бых целых чисел.
Будем говорить, что при т > п член хт следует за
членом хп (хп предшествует хт} независимо от того, ка-
ковы сами числа хп и хт по величине. Последовательность
считается заданной, если известен закон образования членов
последовательности. Часто удается найти выражение (фор-
мулу) для общего члена хп последовательности.
Пример 8. Арифметическая прогрессия
хп = а-^(п — \)d.
Пример 9. Геометрическая прогрессия
xn = aqn~1.
Пример 10. Десятичные приближения по недостатку
(избытку) числа те = 3,14159265...:
Х! = 3; х2 = 3,1; х3 = 3,14; х4 —3,141г ...
Пример 11. Пусть в десятичной системе задано число
п = а1а2 ... ak, где а2....... ak — цифры; тогда числа
хп — 0, аха2 ... ak и у„ = 0, akak_x ... ах образуют число-
вые последовательности при п=1, 2, ... Например, при
п==15 имеем Xi5 = O,15; у15 = 0,51.
§ 2. ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	35
Пример 12. Разложим натуральное число п на про-
стые множители:
n=Pl'-P2 Pkk-Pk*V Ртт
и определим последовательность {хп} следующим образом:
X = р1' • р1' ...	• n~(Z*+i+1) . . . n-(z/n+1)
при Л = 1, 2, 3, ...
Например, п==18 = 21-32, х18 = 3 • 2"1 = ~ .
Можно рассматривать не только числовые последовательности,
а также последовательности векторов, функций и т. д.
8.	Верхняя и нижняя границы последовательности.
Последовательность Х= {хп} называется ограниченной сверху
числом М, если хп М для всех номеров п. В соответст-
вии с определением, данным в § 1, п. 5, число М назы-
вается верхней границей последовательности {xj. Последо-
вательность Х=\хп} называется ограниченной снизу чи-
слом /п, если хп^т для всех хп из X. Число т называется
нижней границей последовательности {хл}. Последователь-
ность [хп] называется ограниченной, если она ограничена
сверху и снизу.
Наименьшее М* (наибольшее т*). из всех верхних Л4
(нижних т) границ называется точной верхней (нижней)
границей последовательности {хл.| и обозначается, по-преж-
нему, через
sup хл = ЛГ и 1п1хл — т*.
п	п
Для точной верхней и нижней границ последовательности
{хл} справедливы предложения, указанные в § 2, п. 2.
9.	Наибольший член последовательности. Иногда для по-
следовательности {и^} (& = 0, 1, 2,...) требуется найти max«fe —
k
наибольший член последовательности {и^}, если такой член су-
ществует; обозначим его через р.
р. = max Ufa
k
Номер (индекс) максимального члена последовательности {и^}
называют центральным индексом и обозначают через v. Если среди
3*
36 ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ }Ю
чисел Uk есть несколько равных числу р, то за число v прини-
мают наибольший из индексов этих чисел.
Если ип = ип (х) суть функции х, х £ X с: Еь то v = v (х), р «
= р (х) суть также функции х.
(	х^ )
Пример 13. Для последовательности < uk (х) = -^у- > (k = О,
1	хп
1,2,..	.) число (х) Е(х) — п, а максимальный член р (х) = ^у —
для нецелых х; если же х — целые, х = т, то v (х) == /и, ар (х) =
• =иш_1==ит. Например, при х —6 имеем ч (6) = 6, р (6) = п5 =
_ 65 _	_ 66
— 5! — и* — 6! ’
_ xk )
~0+1)!|
(й = 0, 1, 2,...) индекс максимального члена определяется нера-
венством
2л (2л + 1) < х < (2л + 2) (2л + 3),
при фиксированном х > 0 максимальный член ип отвечает значе-
нию л = Е (х).
Пример 14. Для последовательности < uk (х)
10. Монотонные последовательности. Последователь-
ность {хл} = {хр х2, •••• хп} называется монотонно возра-
стающей (убывающей), если
и неубывающей (невозрастающей), если
Последовательности вида (1.8) и (1.9) называются монотон-
ными, а последовательности вида (1.8)—монотонными
в строгом смысле (или строго монотонными). Например,
последовательности {хл}, где
хл == 2	- — , хп = 5	3^-1 » хп = 2 -р 5 (п 1)
2^+3	;
— монотонно возрастающие в строгом смысле; последова-
тельности {хл}, где
— ± _ 1
Хп~ п ’ Хп~ /йнй ’
jlj	§ 2. ФУНКЦИИ. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	37
— монотонно убывающие в строгом смысле; последователь,-
ность {х„}, где 1	1 .	i'	
= 1; Х2 “	~ "2 ’ х4 ~ 4" » Х5 ~ "4 » •//!
— невозрастающая; последовательность {хл}, где
Xj = 0, х2 == 12, х4 = 2, Xg = 3, х^ = 4, •••
— неубывающая.
Все указанные здесь последовательности являются моно-
тонными.	г
11. Двойные последовательности. Двойной последова-
тельностью {апт} называется функция от пары целочислен*
ных индексов п и т; каждой паре целых чисел п и т от-
вечает число апт — член последовательности {апт}.
Пример 15. |апп1 = -г2__|	(п. т= 1, 2, ..).
Если в десятичной системе числа п и т изображаются
так:	:	’ !
п = akak_i ••• а\>]	(1.10)
/п = 6Л-1 ••• J
(можно считать, что п и т изображаются одинаковым чи-
слом цифр, этого всегда можно добиться, поставив впереди
соответствующее число нулей), то можно построить двойную
последовательность {Nnm}, где
N — Nnm — ak^kak-\^k-\ •••	О’И)
Пример 16. Если п=103, /п —27=027, то Мх^21^=
= 100 237.
Обратно, каждому целому числу jV, изображаемому пра-
вой частью (1.11) (если у N число цифр нечетное (2£—1),
то добавим впереди цифру a2fe = 0), можно поставить в со-
ответствие пару целых чисел п и т по формуле (1.10).
Таким образом получаем взаимно однозначное соответст-
вие между множеством пар целых чисел и множеством всех
неотрицательных целых чисел.
Пример 17. Пусть дана двойная последовательность
\апт\ («, /п = 0, 1, 2, ...); ей можно отнести обычную по-
следовательность (W = 0, 1, 2,.*.), именно: при
N~Nnm имеем bN = anm.
38 гл. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [1
Говорят, что двойная последовательность {апт} располо-
жена в виде обычной последовательности
О суммировании двойных последовательностей (о двой-
ных рядах) см. главу III.
*
§ 3. Предельный переход
1. Предельная точка множества. Точка х0 называется
предельной точкой множества X, если в любой е-окрест-
ности точки х0 найдется еще по крайней мере одна точка
множества Х9 отличная от точки х0(е>0 — произвольное
число). Или, х0 есть предельная точка множества X, если
в любой ее ©-окрестности содержится бесконечно много то-
чек множества X. Предельных точек у множества может
быть не одна (даже бесконечно много), и они могут не при-
надлежать множеству X. Например, множество
при имеет одну предельную точку 0, которая не при-
надлежит этому множеству; каждая точка любого интервала
(а, Ь) (а также точки а и Ь) является предельной для него.
Теорема 2 (Больцано — Вейерштрасса). Всякое ограни-
ченное бесконечное множество X из Ех имеет хотя бы
одну предельную точку.
Множество М называется замкнутым, если оно содержит
все свои предельные точки.
Например, =	, ....	|—замкнутое
множество; любой отрезок [а, />] — замкнутое множество.
Множество М в Ех называется открытым или областью,
если любая его точка входит в М вместе со своей ©-окрест-
ностью.
Например, любой интервал (а, Р)—открытое множество,
любая система интервалов есть открытое множество.
Вся действительная прямая является открытым и замкну-
тым множеством; наоборот, любой полуинтервал (а, р],
[а, Р) не замкнутое и не открытое множество.
Дополнение открытого (замкнутого) множества Л1
до Ех является замкнутым (открытым) множеством.
Например, дополнение к открытому множеству (— ею, 0) U
(J (1, 4"°°) есть замкнутое множество [0, 1].
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
39
2. Предельная точка и предел последовательности.
Число х называется предельной точкой последовательности
Х=^{хп], если в любой s-окрестности точки х найдется по
крайней мере один член хт последовательности X, отличный
от точки х (а значит и бесконечно много членов последо-
вательности {хя}).
Ограниченная бесконечная последовательность X — {хп}
имеет хотя бы одну предельную точку.
Постоянное число х0 называется пределом последователь-
ности {xj, если для любого числа е > О, как бы оно мало
ни было, найдется такой номер N (зависящий только от вы-
бора числа е), что для всех номеров я > N выполняется
неравенство
I хп — х0 I < 8.
В этом случае говорят, что {хп} имеет конечный предел х0
и пишут lim xn = xQ (limes — предел), или {хп\ сходится
п. > оо
к х0 и пишут хл-»х0. Последовательность {хя}’ называется
в этом случае сходящейся. Геометрически это означает,
что для любого е > 0, начиная с некоторого номера Ng,
все точки хп попадут в окрестность (х0 — е, х04-е). В част-
ности, хп называется бесконечно малой, если lim хя = 0.
П “> ОО
Последовательность, не имеющая предела, называется расхо-
дящейся.
Последовательность {xj, обладающая тем свойством,
что для всякого е > 0 существует такой номер N* что для
всех /я > N, я > W имеет место неравенство | хт — хп \ < в,
называется фундаментальной.
Общим критерием сходимости последовательности {хл}
является
Критерий Больцано — Коши. Для того чтобы
последовательность {хп} была сходящейся, необходимо и
достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Говорят, что предел последовательности {xj равен бес-
конечности:
lim хп — оо,
п -> оо
если для любого сколь угодно большого числа К > 0 найдется
такой номер /V, что при я > N имеет место неравенство
4о ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ-И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [2
£слц яри этом числа хп(п > N) положительные .(отрица-
тельные), то пишут
lim хп — -\-ъо f lim хп = — оо\.
П > СО	\Л > ОО	/
Некоторые пределы.
1	lim +	+ ... Ч~аа __а_
Д оо +	•- '+*« ~ b
,0 . .. (У'а +^ь)"
2	. hm И—J ~-=УаЬ.
П + оо'	~
п
; 34 lim У а — 1 при а > 1.
П -> оо
	«Г—
4. Tim у п = 1.
т -> оо	•	'
(Ь * 0).
5. lim - п =е (см. (6.36)).
«> °° у
6- lim-л.......-	-......
п*°° V(« + l)(«4-2) .... 2/i
е
Т‘
3	, п
1 +1Г2 -hjp + +УЛ 
8. Для р > 1
lim
п > оо
[Ur)’+Ur)’+ -JM
п
9.	Для а > 0
lim ... _0
п -> оо	п*
10.	Если обозначить
а __до + Д1 +  • • +^п и q _______Л/й~а а
п [ 1	И ^п-\ У а0а1 • ’ •	*
ю при ak — Ckn
п___	п _
lim |/ Ап = 2, lim yGn—Ye.
П > оо	П > ОО
4|	§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД	41
11.	Если для Ап и Gn сохранить обозначения, введенные
выше, то при ak — a-[-kd(k==0, 1, 2, ...), а > 0, d > б,
имеем
3.	Основные теоремы о пределах. 1°. Последователь-
ность мржет иметь только один предел,
2°. Если последовательность имеет конечный (беско-
нечный) предел, то она ограниченная (неограниченная),
3°. Если последовательность \хп} имеет единственную
предельную точку х0, то последовательность {хп} схо-
дится и х0 есть ее предел. Обратно, если последователь-
ность сходится к х0, то х0 есть единственная ее
предельная точка,
4Э. Если х есть предельная точка последователь-
ности {ап}9 то существует подпоследовательность
сходящаяся к х. Обратно, если у есть предел некоторой
подпоследовательности то у есть предельная точка
последовательности {ап],
5°. Аналогично, если х есть предельная точка мно-
жества М числовой прямой Ег, то М содержит последо-
вательность {хп} чисел, отличных от х, сходящуюся к х,
6°. Предполагая, что существуют litn хп и lim ytl,
П -> со	л -> оо
имеем*,
lim (х„ ± у„) = lim х„ ± lim у„.
П > со	П->ОО	«~>ОО
lim (х„ • у„) == lim хп • lim у„,
lim хп
lim =
-> ОО Уп
-п------, где lim уя =£ 0;
lim Уп п-»™ п
П-+СО ,,
если хп< уп, то
lim хп lim уп.
4.	Некоторые предложения о пределах. Г. Если
lim ап — а и все О (I — 1, 2, ...), то
Нт уга1а2 ,.. ап =? a, lim	= а.
П-> СО	п СО	П
42
ГЛ. 1. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ
15
2°. Если А — наибольшее из чисел
av а2, ..ап (az>0)
и
р. > 0 (Z = 1, 2, 3..п),
те
т _______________________________________
lim V Р^-\-р2а^+ ... -\-рпа^= А,
т -> оо
_ лт + 1 । _ лт4-1 t । „ лт+1
..	+Р*2а2	+ +Рпап л
11ГП ------------------------— = Д.
т -> оо рха™ + р2а™ + ... + Рпа™
3°. Если для последовательности {ал} существуют
прзделы
п —	_
lim у ап = а
П -> оо
U
lim ^ = а,
Л -> оо ап
то
а — а.
4\ Если
lim —:---—-г-— — О, pt > О,
п _> ооРо + Р\ + • • • + Рп
и существует предел sn, равный s при п-^сю, то
^оРл + ^1Рл-1 + ^2рл-гЧ~ ... A-SnPo _ $
[ -> оо А + Pi + Ра + • • • + Рп
5.	Верхний и нижний пределы последовательности.
Верхний (нижний) предел последовательности {хл) есть
точная верхняя (нижняя) граница множества чисел, предель-
ных для этой последовательности, и обозначается так:
lim хи
Л ОО
( Пт х^.
П^СО
61
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
43
Например,
ШЙ Г(-1)в + |] = 1.
п оо L	J
Нт Г(-1>л + ^] = -1.
П ОО
в то время как
Г/ пл I 1]	3
лтД’-1’ +»1=2-
Каждая ограниченная последовательность имеет верхний
и нижний пределы.
Если последовательность сходится, то ее предел совпа-
дает с ее верхним и нижним пределами; если верхний и ниж-
ний пределы совпадают, то последовательность сходится
к их общему значению.
Для любой последовательности, имеющей верхний и
нижний пределы, легко построить монотонные последователь-
ности, сходящиеся, соответственно, к верхнему и нижнему
пределам: к нижнему — монотонно невозрастающую {х^},—
к верхнему — монотонно неубывающую |х*}:
x’=sup {хп, х„+1, хя(_2, . . .}.
Хп+1> хп+2’ •••!
lim х„ = lim х* lim хп = lim х*п.
п	п ___ п	*п
Л СО	Л~»СО	л -> ОО	Л-^ОО
Если {хп}—монотонно неубывающая (невозрастающая)
последовательность и а = lim х , то х* = х. х = а
Л	Л Л фП
Л -> СО
(х* — а, х — х„).
V л ' »п л/
6.	Равномерно распределенные последовательности.
Пусть последовательность {хп} расположена на отрезке \а, Ь].
Обозначим через ЛГя(а, р) число тех точек xk
(/г — L, 2..... и), которые расположены в интервале
(а, р) cz \а9 #]. Если существует предел
1-	^л(а» 3)	Q
lim —я - = а — В — а,
Л ^>ОО	п
44 ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [7
•	каков бы! ни был интервал (а, р) а: [а, £], то последова-
тельность {хп}' называется равномерно распределенной на
отрезке [а, Ь\.
Пример 18. Последовательность {ул} примера 11
(см. § 2, п. 7) есть равномерно распределенная на [0, 1]
последовательность.
Пример 19. Последовательность {хл|, где
•	хп = ап* — [лпа], а > 0, 0 < о < 1 (п = 1, 2, ...),
([х] —целая часть х)— равномерно. распределена на [0, 1].
Пример 20. Последовательность {хп}, где
хп = я (In rif— [a (In n)a], а > 0, а > 1 (п = 1, 2, ...),
— равномерно распределена на отрезке [0, 1].
Равномерно распределенные последовательности, имеют
применение при численном интегрировании. Очевидно, все
. внутренние точки отрезка, [а,	— предельные для. {хл},
кроме того,
а= lim хп, b — lim хп.
П~>ОО	Л -> °°
Для любой непрерывной на [а, функции f (х) и равно-
мерно распределенной на [а, последовательности {хп}
справедливо соотношение
л	bt
lim 1 V/(%.) = —1— ff(x)dx.
П^тп J I’ b-aj
I = 1	а
Обратно, если это равенство выполняется для всех непре-
рывных на 1а, функций, то последовательность {хл{ —
' равномерно распределенная.
7. Рекуррентные последовательности. Говорят, что по-
следовательность {хл} задана рекуррентной формулой, если
задано несколько ее первых членов и известна функция, с
помощью которой хп выражается через предыдущие члены:
Xn = f(XU-\’ Хп-К •••• хп-^ Р>[ («=1. 2, ...).
Например, хг— 1, х2 = 2, хл — x„_i 4-хл_2 (п = 3, 4,. ..).
Сама последовательность называется иногда рекуррент-
ной (или возвратной).
8]
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
45
Простейшим примером рекуррентной последовательности
является итерационная последовательность {хп}:
xn = f(xa-J-
Последовательности итерационные, а также вообще рекур-
рентные, имеют большое применение в приближенных мето-
дах. Например, в методе последовательных приближений и
методе Ньютона.
а)	Метод последовательных приближений
для решения уравнения х = f (х), где / (х) — непрерывная
функция, приводит к итерационной последовательности {хп}:
Xk+i^ f	=== 0, 1, 2, ...),
где за х0 принимают некоторое произвольное число. Тогда
оказывается, что если последовательность {хп} сходится
к х, то х есть решение уравнения: х — f (х).
б)	Метод Ньютона (касательных) для нахожде-
ния корня уравнения / (х) = 0, / (х) — дифференцируемая
функция, также приводит к итерационной последователь-
ности {хп}:
ft+1 “ /' (**)
(А; = 0, 1. 2, ...),
где за х0 принимают некоторое число; тогда, если \хп} схо-
дится, то lim хп — х есть искомый корень, т. е. /(х) = 0.
П -> со
(Достаточное условие сходимости последовательности {xj,
указанной в методе а), см. выше.)
8* Символы о(ая) и О(ал). Переменная величина, при-
нимающая некоторую последовательность {aj значений, на-
зывается вариантой. Например, переменный член любой
прогрессии является вариантой.
Если даны варианты ал и $п, а их отношение
к нулю при п~»оо ( lim -^-=0), то
\л -> ОО г»	/
а«(₽я) есть бесконечно малая (большая)
а„
стремится
говорят, что
величина по
сравнению с рл(ап) и символически записывают:
Например, = о М-), п = о (л2).
46 ГЛ. 1. ЧИСЛОВАЯ-ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ |9
Если ал, рл— бесконечно малые величины и ап — о(фп),
то говорят, что ал фл) есть бесконечно малая высшего
(низшего) порядка по сравнению с $п (ап), или ал (рл) убы-
вает быстрее (медленнее), чем рл (ал). Если ал, $п — бес-
конечно большие величины и ал = о фл), то говорят, что
ал (рл) растет медленнее (быстрее), чем рл (ал).
Если | ап | С |	|, С > О (С — постоянная), то говорят,
что рл убывает не быстрее ап или ал растет не быстрее £я,
и символически записывают:
% ~ О (?«)•
В частности, если Нт = С Ф 0, то ал — О (рл)
или рл — О (ап)._____________
Например, п = О(|/ п2-|- 1).
Равенство
% = 0(1)
означает, что последовательность {ал} ограничена, т. е. что
| ап | С при всех п.
Теорема 3. Пусть дана произвольная последова-
тельность |ХЛ| — (х* | следующих последовательностей*.
\ ~ {хг х2* хз» • • ’ X\i> • • •}»
х2= {4 4 Х1..........4- •••}*
Х„ = |х« х.« х.«...........х" ..
п | Г 2’	3*	* т* I ’
Тогда существует последовательность чисел Х= {xk} =-
= {хр х2,	х&, ...}, быстрее возрастающая (быстрее
убывающая), чем любая из этих последовательностей (х"|.
Например, если Хп = {пт} = {п1, п2, п\ ..., пт,
то последовательность Х= {m!J = {1!, 21, 3!, ..., т\,
возрастает быстрее любой последовательности
пт
lim —г —0 при любом п.
т -> оо
9.	Предел функции. Пусть функция f (х) определена
на некотором множестве X. Тогда говорят, что число А
10]
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
47
есть предел функции f (х) при х->х0:
A — lim /(х),
Х->Х0
или что /(х) стремится к А при х->х0, если для любой
последовательности {хл} из X, сходящейся к х0 ( lim хд=х0),
п -> оо
последовательность {/(хп)} сходится к А. Или, иначе, чис-
ло А есть предел функции /(х) при х->х0:
Л = lim /(х)	(/(х)->Л при х->х0),
х~>х0, х£Х
если для любого положительного числа е найдется такое
число 3 > 0, что неравенство |/(х)— Л| < е выполняется,
как только 0 < | х — х01 < 8, х£Х. Например,
4. sin х .
hm —- = 1,
х->о х
hm ~— = 1,
х-> О х
lim
х ~>о
1 — COS X
Х2
1
2 ’
lim ха 1п х — 0 для любого а > 0.
х ->0
10.	Непрерывность функции справа и слева. Будем
рассматривать функции y = f (х), определенные на множе
ствах X из обычно это следующие множества:
{a, b]t (a, J3), [а, ft), (а, р], (—оо, -f-oo), (— оо, 0],
[0, -|~оо), (—оо, 0), (0, 4-оо)
и т. д.
Пусть функция f (х) определена на некотором интер-
вале (х0, а). Говорят, что число Л = f (хо4~О) есть предел
функции f (х) справа в точке х — х0, если для любой
последовательности {хлУ из (х0, а), сходящейся к х0,
/ (хя) сходится к Л. Аналогично определяется в точке х = х0
предел слева /(х0—0) = 5для функции /(х), определенной
на некотором интервале (ft, х0). Например, для функции
у = Е(х) (см. § 2, п. 1) и для целого аргумента х — п
имеем: Е(п— 0)=а— 1, £(п-}~0)=п. Для аргумента х0 = 0
пределы слева и справа функции f (х) обозначаются соот-
ветственно /(—0) и /(4-0). Например, если /(x) = signx
(см. § 2, п. 1), то /(—0) = — 1, /(4-0) = 4-1.
Функция / (х), определенная в точке х = х0, непрерывна
в ней справа (слева), если существует /(хоЦ-О) (/(х0—0)),
равное /(х0).
48 гл. 1. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ ". [Ц
А
11.	Непрерывные функции. Разрывные функции. Если
f Uo - 0) = f (х0 + 0) = f (х0),	' (1.12)
то функция /(х) называется непрерывной в точке х = х0.
Если /(х) не определена на интервале (Ь, х0) или (х0, а),
то в равенстве (1.12) отбрасывается левый или, соответственно,
правый член. См. также стр. 76. Если функция /(х), опре-
деленная на множестве X, непрерывна в каждой точке х из X,
то она называется непрерывной на множестве X.
Например, f (х) — У х непрерывна для всех х^О.
В противном случае функция / (х) называется разрывной.
Говорят, что в точке х = х0 функция /(х) имеет разрыв
первого рода или скачок, если существуют f (х0 — 0) и
/(хо+О), но не выполняется равенство (1.12). Во всех
остальных случаях разрыва функции точка х = х0 назы-
вается точкой разрыва второго рода. Например, функция
=	« и<1,
( 4“ 1 для I х О 1
имеет разрыв первого рода в точках = — 1 и х2~-\~1.
Часто рассматривают функции у = f (х), которые в точке
разрыва первого рода х = х0 равны среднему арифметиче-
скому значению:
/(хо) = /(*о~О) + /(*о + О) .
Например, для функции /(х) — sign х (см. § 2, п. 1):
/(0) =	.
Функция / (х) называется равномерно непрерывной на мно-
жестве X, если для каждого з>0 существует 8 = 8(е)>0
такое, что для любой пары значений х', х" £ Х9 для ко-
торых /(х) имеет смысл, из \ хг — х" | < 3 следует
| / (х') — / (х") | < е. Функция / (х), определенная и непре-
рывная на ограниченном отрезке [а, £), равномерно непре-
рывна на этом отрезке {теорема Кантора).
12.	Последовательности функций. В анализе большую
роль играют последовательности функций {/Л(х)}(л =
— 1, 2, ...), определенных на некотором множестве X
12]
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
49
числовой прямой Можно по-разному определять пре-
дельный переход для таких последовательностей. Естественно
начать с предельного перехода в каждой точке, когда для
любого фиксированного х из X последовательность \fn (х)}
превращается в числовую последовательность. Если последо-
вательность {fn(x)} сходится при п оо для любого х из X
то ее предел зависит от точки х£Х, т. е. является функ-
цией f (х) (предельная функция), и это записывается так:
Л (х) -* >-<£> / (*)	или lim fn (*) = /(•*).	* €
п > со
Пример 21.
тс	. л
— при х < О,
lim arctgnx — ~ signx —	0 при х = 0,
п -> + со
ТС	V. л
у при X > 0.
Этот пример показывает, что предел непрерывных функ-
ций может быть разрывной функцией.
В результате двойного предельного перехода можно полу-
чить в пределе функции, обладающие еще более сложными
разрывами, например,
lim lim (cos ! x)“ = у (x),
tn -> ОО П -> CO
где yjx)— функция Дирихле-.
( 1, если x — рациональное,
у(х) = { *
( 0, если х — иррациональнее.
Замечание. Наряду с последовательностями функций
в анализе часто встречаются последовательности чисел, зави-
сящие от функций (функционалы). Пределами таких после-
довательностей определяются, например, средние значения
функций.
Если функция / (х) интегрируема на [а, />] и /УЛ =
— /(а4-Л),	=	то
. П	*
лТаЛ	=	dX
k = \	а
4 Зак. 2048. В Л. Данилов и др.
50 ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [13
есть среднее арифметическое функции / (х) на [а,
п------------------------(	1 f	)
Иш У /1я/2л.. ,/„„ = exp {j-— / f(x)dx\
— среднее геометрическое функции f (х) на [а, #|,
(л х -1	г Ь \ -1
V 1 I	/ f dx 1
=<»-“) ,/л7>
K~l I	\а	i
— среднее гармоническое функции / (х) на. [а, 6].
Справедлива также следующая
Теорема 4. Если функции /(х) и g(x) непрерывны
и положительны на (а, />], то
п Г~ь
1) lim {/ f g (х)[/ (x)f dx = max /(х),
л -> со f	~	х£ [а, 6]
b
f £(*)1Лх)Г+' dx
2) lim —5----------------= max f (х).
п > оо	*£[а, 6]
£(Х) [f(x)]“dx
13.	Равномерная сходимость функций. Исключительно
большую роль в анализе играет понятие равномерно сходя-
щейся последовательности функций
Определение. Последовательность функций
определенных на множестве X<z.Ev сходится при п—>оэ
равномерно к функции f (х), определенной тоже на множе-
стве X, если для любого положительного числа г > 0 можно
найти такое целое число N — N(o), не зависящее от х£Х
что для всех номеров n^N выполняется неравенство
!/»(*)—/(•*)! <«.
(1.13)
Если	сходится при п —>оо в каждой точке х^Х
но не выполняется условие равномерности (1.13), то говорят,
что {/л(х)} сходится неравномерно к функции f (х) на
множестве X При неравномерной сходимости число N
141
§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
51
зависит не только от выбора числа 8, но и от числа х£Х:
N = N(s, х).
Теорема 5. Если все функции fn (х) последователь-
ности {fn(x)}> сходящейся при п->оэ равномерно к /(х)
на X непрерывны, то предельная функция /(х) также
непрерывна на X.
Отсюда следует, что если предельная функция разрывна,
то сходимость при п—>оо последовательности {/w(x)j
неравномерная.
Пример 22. Последовательность {f п(х)}={хп} сходится
при п —>оо равномерно к /(х) — 0 на любом отрезке [О, q],
О < q < 1; на отрезке [0, 1]
эта последовательность схо-
дится неравномерно к функ-
ции
( 0 при 0 х < 1,
/(х) = 1	1
J v '	(1 при х= 1.
Критерий Коши. Для
того чтобы последователь-
ность функций {/л(х)},
определенных на множестве
XczFp сходилась равно-
мерно при /д->оо к функ-
ции / (х), необходимо и до-
статочно, чтобы для любого
положительного числа г > 0 существовал такой номер N,
зависящий только от е, что | fn (х) — fm (х) | <е для всех х
из X, как только и > W и т > N.
Геометрическое истолкование равномерной
сходимости. Пусть fn (х)—непрерывные функции на #]
и пусть последовательность {/л(х)} сходится при п->оо
равномерно к функции f (х), непрерывной на [а, />]. Тогда
все кривые у = /л(х) при п > 2V попадут в е-окрестность
кривой y=^f(x) (см. рис. 1), а именно, будут заключены
в полосе между кривыми у = /(х)— е и у — /(х)4"£-
14.	Сходимость в среднем. Последовательность функ-
ций {/л(х)} сходится при п —>оо в среднем на отрезке
]а, b\czEx к функции f (х), если для любого положительного
4*
52 гл. I. ЧИСЛОВАЯ прямая И ФУНКЦИИ НА НЕЙ [15
числа 8 > 0 найдется такой номер 7V, что для всех n > У
имеет место неравенство
ъ
f{fn(x)-f(x)]2dx<z
а
(предполагается, что этот интеграл существует).
Сходимость в среднем часто применяется в различных
разделах анализа, например, в приближенных методах анализа.
Обобщением сходимости в среднем является сходимость,
определяемая нормой пространства (см. гл. II, § 1, п. 2).
15.	Символы о(х) и О(х). Если для двух функций х(/)
и у (0, определенных на множестве X, их отношение
x(t)	> Z- W / V X (0 л\
-уру-стремится к нулю при t->a£X Mim —то го-
ворят, что x(t) (у (/)) есть бесконечно малая (большая) вели-
чина по сравнению с у(0 (x(t)) и символически записывают:
x(0 = o(y(0).
Например, t2 = о (sin t) при t > 0, tn = о (ef) при t -> со
и любом п > 0.
Если x(t) и y(t)— бесконечно малые величины при t~+a,
и x(t) — о (у (/) ), то говорят х (t) (у (0) есть бесконечно
малая высшего (низшего) порядка по сравнению с y(t)(x(t)),
или: х (t) (у (t)) убывает быстрее (медленнее), чем у (t) (х (t)).
Если x(t), y(t) — бесконечно большие величины при t а,
и x(t) — o(y(t)), то говорят, что x(t)(y(t)) растет медлен-
нее (быстрее), чем y(t)(x(t)).
Если | х (t) |^С | у (t) | (С>0—постоянная), то говорят, что
x(t) убывает не быстрее y(t) или x(t) растет не быст-
рее y(t) и символически записывают:
х(0==О(у(0).
Например, t = О [t sin и t — О (tg 2/) при t —> 0, е* — О (е2)
и ef —	при /—>оо.
В частности, если lim —= (С — постоянная), то
У (О
, х(/)-О(у(0) ,и у.(() = О (х(/)).
17J	'	§ 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕВОД	ГЗ
Теорема 6. Какова бы нй была последовательность
функций {fn(x)}> определенных в окрестности точки х = а,
всегда существует функция у (х)£М, быстрее убывающая
{возрастающая) при х->а, чем любая из функций fn(x).
16.	Монотонные функции. Функция f (х) называется
монотонно невозрастающей (неубывающей) да множестве X
(например, на Да,. £>]), если для любых значений хг и х2 из X
таких, что Xj << х2, выполняется соотношение /(х1)^/(х2)
(f (хЛ) f (х<^).. Функция f (х) называется монотонно воз-
растающей (убывающей) в строгом смысле (или строго
монотонной), если f (х^ < f (х2) (f (xx) > f (x2)) для лю-
бых :jq и x2 из X, для которых Xj < х2.	у .
Функции монотонно невозрастающие, монотонно неубы-
вающие и строго монотонные называются монотонными.,
У монотонной функции f (х) всегда существуют предел
слева и предел справа в ее точке разрыва х — х0; при этом,
если f (х) — невозрастающая функция, то
/ (х0 - 0) > f (х0) > / (х0 + 0);
если же f (х) — неубывающая функция, то
Пусть f(x) = y — монотонно возрастающая (убывающая)
непрерывная функция, определенная на отрезке, или интервале,
или полуинтервале Х£Ех, отображающая X в некоторый
отрезок, или интервал, или полуинтервал /сзЕр тогда суще-
ствует обратная к f (х) функция х = (у), определенная на Y.
Функция <р(у) непрерывна на Y и монотонно возрастает или
убывает вместе с f (x). Например, функция у — х2 на полу-
интервале (0, +°о) имеет обратную функцию х — у на
(0, 4-оо).
17.	Выпуклые функции. Функция f (х), определенная
на множестве ,Х (конечном или бесконечном интервале, полу-
интервале, отрезке) называется выпуклой, если для произ-
вольных чисел Xj и х2 из X выполняется неравенство
/ (^4^) < Il/	(*2)к
функция f(x) называется вогнутой, если выполняется
54
ГЛ. I. ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ И ФУНКЦИИ НА НЕЙ
[17
обратное неравенство
/(xL+xL)>^ [/(Х1)+/(х2)].
Геометрически это означает, что если f (х) выпукла, то
любая дуга кривой y~f(x) лежит не выше стягивающей
ее хорды; если же f (х) вогнута, то, наоборот, любая дуга
кривой у = f (х) лежит не ниже стягивающей ее хорды.
Например, функции | х |, х2, ех, х -| х |—выпуклые,
а функции —| х|, Ух, —е~х— вогнутые; функция^ у = ха
(х >0) выпукла при а 1 и а < 0 и вогнута при 0 <а < L
Для того чтобы функция f (х) была выпуклой на [а, Ь],
необходимо и достаточно, чтобы для любых чисел хр х2, х3,
удовлетворяющих условию а xt < х2 < х3 Ь, имело
место неравенство
X}	f	(-^1)	1 х2	/	(х2)	1 Х3	f	1	>0.
Если функция f (х) непрерывна (даже только непрерывна
Ч	X	/(* — h)+f(x + h)
справа) и f(x) = ~------1то она выпукла.
х
Если функция /(х) монотонна на [а, Ь], то
а
— выпуклая функция.
Необходимо иметь в виду, что график выпуклой функции
обращен выпуклостью вниз, т. е. по принятой в геометриче-
ских приложениях терминологии является вогнутой кривой.
Выпуклые функции обладают следующими свойствами:
1°. В каждой точке своей области определения выпуклая
(вогнутая) функция /(х) непрерывна.
2°. Если функция / (х) — выпуклая, то —/ (х) есть
вогнутая функция на множестве X.
3°. Выпуклая (вогнутая) функция f (х), не равная постоян-
ной на отрезке [а, Ь\, не может достигать максимума (мини-
мума) внутри отрезка [а, />].
4°. Если функция /(х) выпукла (вогнута) на [a,
а / (х) — линейная функция, причем l(a) = f (а) и 1(b) = f (b),
то либо /(х)</(х) (/ (х) > /(х)) во всех точках интер-
вала (а, Ь), либо /(х)==/(х).
17]
S 3. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
55
5°. Линейная комбинация выпуклых функций с положи-
тельными коэффициентами — функция выпуклая, в частности,
сумма конечного числа выпуклых функций—выпуклая функция.
6°. Если f (и) — неубывающая выпуклая функция,
а и — ср (х) — выпуклая функция, то / [ср (х)[ — выпуклая
функция от х.
7°. Функция, обратная убывающей (возрастающей) вы-
пуклой функции, — выпуклая (вогнутая) функция.
8°. Если /(х) выпукла на [а, Ь\, то для любых поло-
жительных чисел pz>O(Z=l, 2, ..., д) таких, что
Р\ 4-Р2+ • • • + Рп— 1 и любых точек хр х2, .... хп на
отрезке [а. выполняется неравенство
f (Plxl + PiX2 + • • • 4" РпХМ Plf (*1) +
+ Рг/ (-*-2) + • • • 4" Pnf (•*•»)•
9°. Всякая выпуклая функция f (х), удовлетворяющая
условию f (х0) — 0, представима в виде
/(х)= Р(/)Л,
где p(t) — неубывающая, непрерывная справа функция.
Функция ср(х), определенная на множестве Хс:Е}, назы-
вается логарифмико-выпуклой функцией, если 1п ср (х) есть
выпуклая функция, т. е. выполняется соотношение
<?2 (	< С? (*1) хр (х2)
для любых хт и х2 из X. Логарифмико-выпуклая функция
есть функция выпуклая. Например функция cp(x) = xlnx —
логарифмико-выпуклая при х > 0; ср (х) = ех* — логарифмико-
выпуклая для всех х£(—оо, Ц-оо); ср(х)=х\ k — целое,
логарифмико-выпуклая при х£ (— оо, оо) и четных k Ф 0,
со
прих£(0, 4~оо) и любых Л=£0; Г(х)= J* dt — ло-
о
гарифмико-.выпуклая для х>0 (о функции Г(х) см. гл. VI,
§ 4, п. .5).
ГЛАВА П
л-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ
Введение
В, главе I рассматривались функции одного Переменного,
как функции точки числовой прямой Еу Аналогично функ-
ции /(х, у) двух переменных можно рассматривать как функ-
ции точки плоскости Е2 с координатами х, у, а функции
/(х, у, z) трех переменных — как функции точки простран-
ства Е3 с координатами х, у, z.
В связи с этим уже примерно со средины прошлого века
были введены в математику координатные пространства п
измерений, и функции п переменных стали рассматриваться
как функции точки таких n-мерных пространств. Вместе
с тем на n-мерныё пространства был обобщен ряд понятий
обычной двумерной и трехмерной геометрий.
Такое обобщение оказалось не только формальным. Вы-
работанная у нас геометрическая интуиция переносится
в известном смысле на многомерные объекты и геометризи-
рование изложения вопросов анализа и алгебры п переменных
вносит большую наглядность. Геометрическая интуиция дает
иногда возможность угадывать факты в n-мерной геометрии,
которые могут быть истолкованы как соответствующие факты
анализа и алгебры.
В § 1 настоящей главы излагается теория п-мерных про-
странств, в частности, теория ортогональных систем векторов,
которая является элементарным аналогом более сложной теории
систем ортогональных функций, излагаемой в главе IV.
§ 2 посвящен предельному переходу, непрерывным функ-
циям и их обобщенно-непрерывным операторам в п-мерном
пространстве. Он непосредственно связан с главой I, в кото-
рой рассматривались те же вопросы для частного случая п = 1.
1]	8 1. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА	57
В § 3 дается изложение одного из разделов п-мерной
геометрии — теории выпуклых n-мерных тел, которая кроме
геометрического интереса приобрела значение в ряде вопросов
прикладной математики. Следует отметить, что, если рас-
сматривать выпуклые тела не в n-мерном пространстве,
а ограничиться теорией трехмерных выпуклых тел, то суще-
ственного упрощения не получилось бы; между тем приложе-
ния на практике получила именно теория выпуклых тел
в пространстве большого числа измерений.
§ 1, n-мерные пространства
1. n-мерное координатное пространство. Элементом X
из п-мерного пространства Еп называется совокупность п
чисел хр х2, • ••> хп- Его обозначение: Х(хр х2, ...,
или Х=(хх, х2, ..., ха). Пространство есть совокуп-
ность таких элементов. .
Элементы пространства Еп трактуются двдяко: с одной
стороны, их рассматривают как точки с координатами
х2, ..., хЛ, с другой стороны — как векторы с координа-
тами хр х2.......хп (п-мерное векторное пространство).
Вначале мы будем пользоваться первой трактовкой.
Расстояние или метрику в пространстве Еп вводят
по-разному (см., например, ниже § 3, п. 3). Наиболее рас-
пространенной является следующая (так называемая евкли-
дова) метрика: расстоянием р(Х К) между точками
X(xlt ^2» • • •» хп) 11 ¥ (Уп Л» • • •». Угд аз К называют число
Р(Х			(2.1)
Пространство Еп с так введенным расстоянием называется
п-мерным евклидовым пространством.
Формула (2.1) обобщает формулы расстояния между, точ-
ками в аналитической геометрии для д=1, 2, 3.
Через 9 обозначают точку с нулевыми координатами
Q = (0, 0....0) (начало координат). Имеем .
р(Х 0)== J/.	(2.2)
58 гл. П. «-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [2
Введенные таким образом расстояния обладают следующими
свойствами:
1)	р(Х У)>.0, причем р(Х У) —0 лишь, если X—Y.
2)	р(Х, П = Р(Г X).
3)	Р(Х, Z)^p(X, F)H-p(r. Z)
{неравенство треугольника).
При всяких обобщениях понятия расстояния обычно ста-
раются сохранить эти свойства.
2. и-мерное векторное пространство, n-мерное про-
странство Еп можно рассматривать так же, как пространство
векторов. Над векторами в плоскости Е2 и в трехмерном
пространстве Е3 можно производить операции сложения и
умножения на скаляр (число). Каждый элемент X (хр х2,..., хп)
из Еп будем рассматривать как вектор с координатами
х2, хп.
Суммой векторов X{xv х2........ха) и К(ур у2,Ул)
называют вектор X-\-Y из Еп с координатами jq + yp
х2 + у2....хп-\-уп. Аналогично определяется разность
X—Y.
Если X—число (скаляр), а Х{хь х2........хп)—вектор
из Еп, то /X обозначает вектор из Еп с координатами
кх2, \хп. Векторы X и \Х называются коллинеарными.
Линейные операции над векторами сводятся к линейным
операциям над их координатами.
Нулевой точке 6 отвечает нулевой вектор 6 с компонен-
тами, равными нулю. Очевидно, что A’-f-6=X Х9 = 0.
Векторы
ех(1, 0, 0, ..., 0), е2(0, 1,0.0),	..., en(0t 0, ..0, 1)
или иначе
^*2» •••*	....
где 8Z/. — символы Кронекера:
. _ ( О при i Ф J,
i} ( 1 при i — j\
называются ортами. Для вектора <¥ = (Xj, х2, хл) спра-
ведливо равенство
3]
$ I. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
59
Нормой || Х|| вектора X называют число
НИ - yf
равное расстоянию р(Х 0) точки X до 9.
Норма вектора удовлетворяет условиям:
1)	||Х||>0, причем ||Х|| =0 лишь в случае -¥~6.
2)	ЦХА7Ц = 1МИН-
з)	H4-Hi<Hii+mi.
(2.3)
(2.4)
Расстояние р (JV, Y) между элементами X и Y, введен-
ное по (2.1), совпадает с нормой разности соответствующих
векторов
р(ХГ) = ||Х-Г||.	(2.5)
Сферой S(X0, г) в Еп радиуса г с центром в XQ назы-
вается множество точек (векторов) X, для которых
Р(Х A^sH-XolKr.
Употребляя для множеств в Еп введенную в гл. К § 2, п. 2
форму записи, имеем
S(X0, г) = (р(Х, Х0)<г).
3.	Скалярное произведение. По аналогии с двух- и трех-
мерным случаем скалярное или внутреннее произведение
векторов Х(ху х2, ...» хп) и Y(ур у2, • ••» Уп) из Еп
определяется равенством
ХГ==(ХГ) = 2хЛ.	(2.6)
Простейшие свойства скалярных произведений:
1) XY—YX.
2) ХХ = \\Х||2 > 0.
Неравенство Коши. Для любых векторов
X(xlt х2, ..., х^ а У(ур у2, Уп) из Еп выполняется
неравенство:
|ХГ|<Н||||Г||	(2.7)
или
п	Г п п
< 1/X*/(2-7'>
i = 1	* . I = 1 i = l
60 гл. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [4
Неравенства (2.7) и (2.7х) переходят в равенства
тогда и только тогда; когда векторы X и Y коллинеарны
(т. е. если Х—Ъ или если Y— XX, т. е. если все xz = 0
или yt — Хх^ (Z = 1, 2, . .., n)).
Угол между векторами. Пусть X(xlf х2, ..., хп)
и К(уР у2, •••» Уп) —два вектора из Еп, отличные от U;
угол ф между ними определяется равенством
уу
“4 5 * *’ = ИГЙГ	<2'8*
В силу (2.7) |cos<p |	1;	> ,
Величина проекции вектора X на вектор Y определяется
числом
...	^; = НИ cos ?.	. (2.9)
При ||У’||== 1 величина проекции вектора X на Y равна их
скалярному (внутреннему) произведению:
XY =||X||cos ср.	(2.10)
Пример 1. Величина проекции вектора X(xv х2,. .., хп)
на орт et (Z= 1, 2, ..., п) равна координате xz вектора X.
4. Линейная система и ее базисы, n-мерное векторное
пространство является частным случаем n-мерной линейной
системы.
Линейной системой L называется множество элементов,
к которым можно применять операцию сложения,, т. е. опе-
рацию нахождения по двум элементам а и b из L нового
элемента с из А, с = а-\-Ь9 и операцию умножения на дей-
ствительное число X, т. е. операцию нахождения по эле-
менту а из А и числу X элемента d = Ха из L. Эти опе-
рации обладают следующими свойствами:
1) (fl 4-ft) 4-с = а 4-(6 4-с).
2). а —|— b = bа.
3) Х(Х1а) = (ХХ1)а.	..........
4) Х(а + ^) = Ха + Хй.
5) (X —{— Xj) а = Ха —Х^а,
6) 1 • а = а.
Система L обладает нулевым элементом 0, для которого
a-f-О =а, 0-а = 6 при a£L.
4]
§ 1. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
61
Линейно независимые элементы. Элементы хх,
х2, ..., xk линейной системы называются линейно зависи-
мыми, если существует система чисел б2, .... ck, не
обращающихся одновременно в нуль, и таких, что
4_Г2Х2"Ь JTCkXk~^>	(2.Н)
если же такой системы чисел не существует, т. е. если ра-
венство (2.11) выполняется лишь при
C1 = C2Z= ... =сА = 0.
то элементы ху х2.......xk называются линейно незави-
симыми.
Пример 2. На плоскости векторы ХД!, 1) и -¥2(2, 3)
линейно независимы, а векторы Xj(l, 1) и Х3(3, 3) линейно
зависимы (так как ЗА\ — Х3 = 6). В трехмерном пространстве
векторы У] (1, 0, 0), К2(1, Ь 0) и 1» О линейно не-
зависимы; векторы Zr(l, 0, 0), Z2(2, 1, 1) и Z3(3, 2, 2)
линейно зависимы, так как
Zj — 2Z2 “4~ Z3 = 9.
Линейная система называется п-мерной, если у нее суще-
ствует п линейно независимых векторов, но любые ее
элементов линейно зависимы. Линейная система называется
бесконечномерной, если она содержит любое число линейно
независимых элементов, n-мерное векторное пространство
есть n-мерная линейная система.
Множество решений линейного однородного дифферен-
циального уравнения образует линейную систему. При этом
в случае обыкновенного уравнения n-го порядка эта система
/г-мерная; в случае уравнения в частных производных эта
система бесконечномерная.
Базисом n-мерной линейной системы Ln называется лю-
бое множество (ev е2.....еп) из п линейно независимых
элементов.
Любой элемент I системы L выражается линейно (и
притом единственным образом) через элементы базиса:
I — ххех 4~ х2е2 4~ ... -р хпеп\	(2* 12)
элементы x/e/(Z=l, 2.....п) называются компонентами
по базису (ev е2, ..., еп), а числа хп — координатами по
этому базису.
62 ГЛ. П. rt-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ (4
Пример 3. В п-мерном векторном пространстве базис
образуют орты ez:
^ = (1, О, 0, ..., 0), ^2 = (0, 1, 0, .... 0), ...
ед = (0, 0, .... О, 1).
Можно рассматривать n-мерную линейную систему как
n-мерное пространство, в котором базисные элементы играют
роль ортов.
Примеры п -мерных линейных систем. В анализе
часто рассматриваются линейные системы функций, для которых
сложение и умножение на число понимается в обычном смысле.
Приведем несколько примеров таких систем.
1) (п 4- 1)-мерная система многочленов
п
р w = 2 ckxk
степени не выше п. В качестве базиса можно принять систему
степеней
1, х, х3, хп,
а также любую систему многочленов
Ро = 1, Р|(х) = х + а10,
4-1
Р, (л) = х2 + й21х-Ь а2а..Рк(х) =xk + 2 akix‘>   
i = ()
л-1
.... Рп(х) = х°+ 2 ап1х‘-
/=0
2) Система однородных многочленов Рд. (х15 х2, ...» хп) сте-
пени k от п переменных лг2» ...» хп> т- е- сумм членов вида
ak,k,...knx\x2 хкпп’
где
k\ + k2 + ... + kn = k.
Базис такой системы состоит из всех одночленов вида х?’ х& ... хкп
1 z	п
степени k = kx -|- k2 + ... + kn. Число таких одночленов (т. е. число
измерений системы) равно
(П-М--1)!
n\(k — 1)! ’
Например, при № 3, k = 3 число их равно -оГоГ = Ю (9Т0 СУТЬ
tz! 2’
одночлены Хр х\х2, Х^Х3, ХгХ^ Х1Х2Х3, Л'^з» x2i х2х3, х2х|,
5]
§ t «-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
63
Если в Ln существует один базис(яр еъ ...,еп\ то
существует и бесконечное множество других базисов. Пусть
(>', г', .... е'^— другой базис,, тогда элементы et старого
базиса выражаются через элементы нового по формулам
(f= 1, 2. .... п).
причем определитель | aZy |*’". =£ 0. Элемент / выражается
через элементы нового базиса по формуле
п
I = 2
Связь между координатами xt и х' элемента I по бази-
сам (е^ и выражается формулой
(/ = 1, 2,	n).	(2.13)
Из сказанного выше следует, что элементы любой п-мер-
ной линейной системы Ln с базисом е2, .... еп) можно
рассматривать как векторы n-мерного пространства, у кото-
рого базисные элементы et играют роль ортов. Рассмотре-
нием таких пространств мы и ограничимся в данной главе.
5. Линейные функции» Линейной функцией или линейной
формой в Еп называется функция /(Л) = f (xv х2, ..., хл),
удовлетворяющая условиям:
1) /(^+Г) = /(Х) + /(К).	(2.14)
2) /(MQ — Х/(Х), где X—любое число. (2.15)
Если для ортов (i = 1, 2, ..., п) значения f (е^ — уz, то
(п \ п
S х1е1 ) = 2 У(Х{.	(2.16)
Числа yz— коэффициенты линейной формы f.
Эти коэффициенты можно рассматривать как координаты
вектора К==(ур у2, ..., уп) из Еп\ тогда из (2.16) имеем
f(X) = YX.	(2.17)
64
ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ
(5
Линейная функция f (X) равна скалярному произведе-
нию фиксированного вектора Y на переменный вектор X.
Принято говорить, что функция f(X) порождается векто-
ром Y.
Скалярное произведение XY есть билинейная функция
от X и К: она является линейной функцией от X, если
фиксировано Y, и линейной функцией от К, если фиксиро-
вано X,
Имеет место равенство
|| Y || = max YX,	(2.18)
lixil <1
т. е. норма вектора К, порождающего линейную форму YX,
равна максимуму ее значений на единичной сфере ||Х|| С 1.
Критерий линейной независимости. Опре-
делитель Грама для векторов. Пусть
2Q (xt«p	хfa) (I — 1, 2, ..zz)
— векторы пространства Еп. Образуем из них определитель
Д(ХР Х2, ..., Хп) =
Хц Xj2 ... Х\п
Х21 Х22 • • • Х2п
Х/ll ХП2 . . . Хпп
(2.19)
Теорема 1. Для того чтобы векторы Xv Х2, ..., Хп
чз Еп были линейно независимы, необходимо и доста-
точно выполнение неравенства
А(^р Х2.....Хя)#=0.
. Определителем Грама Гх,, х2,хт векторов Xv Х2,...»Хт
из Еп называется определитель
Гад...* = т	(ВД) (ВД) .. (ВД) (Х2Хг) ..	 . (Х,Хт) : (хгхт)	(2.20)
	(ХМ (XmXt).;		
Свойства определителя Грама:
1)	Гад...
2)	Для' линейной независимости векторов Xv Х2, .. ., Хп1
необходимо и достаточно выполнение неравенства
Гад...хт> 0.	(2.21)
5]
§ 1. «-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
65
3)	При т = п
=	*2, «... W
Определитель Грама для функций см. гл. IV, § 2, п. 3.
Многообразия. Пусть Х}, Х2, ..., Xk — линейно не-
зависимые элементы из Еп (1 < k < д).
Множество элементов X вида
k
2 СЛ	(2.22)
1 = 1
при произвольных действительных ct называется k-мерным
линейным многообразием.
Одномерное линейное многообразие, т. е. множество
элементов вида X = Ха^ (хх =А 6) есть прямая, проходящая
через 9 и xv Часть этой прямой — множество элементов
вида Ar=Xx1, X > 0, — называется лучом.
Сдвинутым k-мерным многообразием или k-мерной
плоскостью называется совокупность элементов X вида
k
=	(2.23)
Z = 1
при фиксированных и линейно независимых Х2, ...» Х%
и произвольных значениях чисел cv с2, ..., ск. Оно получи-
лось сдвигом на вектор Х$ многообразия (2.22). Одномер-
ное сдвинутое многообразие — это прямая
X — X^tXx	(—оо < t < +оо).	(2.24)
Для прямой, проходящей через точки Хх и Х2, имеем:
Х=(1 —f)Xx+tX2 (—оо<4<4-со). (2.25)
Отрезком прямой, соединяющим точки Хх и Х2, назы-
вают множество элементов вида
X = (1 — ОЛ + tX2	(0 < t < 1).	(2.26)
(п — 1)-мерное сдвинутое многообразие называется гипер-
плоскостью.
Каждая гиперплоскость определяется уравнением
(т. е. есть множество точек Х(хх, х2, ..., хп), удовлетво-
ряющих уравнению)
YX=^yjXj=d,	(2.27)
5 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
66 гл. IL ft-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [6
где YX — линейная форма, порождаемая ненулевым вектором
К(ур Уг» • • •» Уп)* Обратно, каждое такое уравнение опре-
деляет гиперплоскость.
Вообще, каждое k-мерное сдвинутое линейно много-
образие (1	& < п) определяется системой уравнений
YtX = 2 y>i)Xj = di	(Z = 1, 2....га — k), (2.28)
/ = 1
где векторы Fz(yzi, yi2......у[п) (/=1, 2.........п — k),
порождающие соответственные линейные формы, линейно
независимы} иначе говоря, каждое такое многообразие опре-
деляется п — k линейными уравнениями. Обратно, п — k
уравнений (2.28) (при линейной независимости векторов Kz)
определяют сдвинутое k-мерное многообразие. Если все
правые части dz = 0, то получаем 6-мерное (несдвинутое)
многообразие. В частности, прямая (2.24) определяется п — 1
уравнением (2.28).
6.	Линейная оболочка. Линейной оболочкой множе-
ства Л4 из Еп называется наименьшее линейное многообра-
зие, содержащее М; иначе — линейная оболочка множества М
есть множество всех линейных комбинаций любого конечного
числа элементов М, т. е. элементов вида
В частности, если Xv Х2......Хк — линейно независимые
элементы из Ед, то их линейная оболочка есть 6-мерное ли-
нейное многообразие, состоящее из всех элементов вида
Заметим, что если векторы Xv Х2, ..., Xk образуют
базис 6-мерного линейного многообразия Ek из Еп, то можно
их дополнить векторами Zv Z2, .... Zn_k так, что векторы
Xv Х2, ..., Xkt Zp Z2, ..., Zn_k образуют базис в Еп.
Обозначим через Еп_к линейную оболочку векторов Az. Каж-
дый элемент Y из Еп можно представить, и притом одно-
значно, в виде
Y = X-^-Zt
(2.29)
7]
§ 1. h-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
67
k	n-k
x = 2 сЛ €	2=2 djZj е En_k.
i = 1	] ~ 1
Здесь пространство En есть прямая сумма многообразий Е&
и Е последнее символически записывают так:
(2.30)
X и Z в (2.29) называются компонентами вектора
Y в Еь и En_k.
7.	Ортогональные системы векторов. Два вектора X
и Y (ненулевых) называются ортогональными, если XY = 0
(т. е. если cos ср = 0). Векторы Хг, Х2, ...» Хт образуют
ортогональную систему, если они попарно ортогональны
между собой, т. е.
XiX/ = Q при	(2'31)
Векторы ортогональной системы линейно независимы.
Если, сверх того, |jJQj| = 1, то лекторы образуют орто-
нормированную систему. В этом случае
( о
хЛ/=гу=| 1
црп
при i — J.
(2.32)
Орты ev е2, ...» еа образуют ортонормированную си-
стему.
В п-мерном пространстве Еп существует бесчисленное
множество ортогоаальиых, в частности ортойормированных,
систем из п элементов, но нет ортогональных систем
из (м-{-1) элементов. Система из ж ортогональных векторов
в Еп образует базис в Еп — так называемый ортогональный
базис.
Теорема 2. Если векторы е'2, >♦., е'п образуют
ортонор миро ванную систему в Еп, то любой вектор X
из Еп может быть представлен (и притом единственным
образом) в виде
Х=^х'е' х] = Хе’	(2.33)
п
Н112= S	(2.34)
i = 1
5*
68 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [8
Переход от ортов elt е2, ..., еп в Еп к другому орто-
нормированному базису e'v г', ..., еп в Еп называется орто-
гональным преобразованием. При ортогональном преобра-
зовании внутреннее произведение векторов не изменяется,
т. е. если
k	п	п	п
х = 2 х<е, = 2 Y = 2 УЛ = 2 y'/i-
1 = 1	1 = 1 1 = 1	1 = 1
ТО
п	п
XY=^ixiyi = ^lx’iy\.
1=1	1=1
В частности, нормы ||X|| — V XX (см. (2.34)) всех
элементов из Еп и расстояния между любыми парами
Р(ХП = Н-Л таких элементов не меняются при ортого-
нальном преобразовании.
Вообще, если векторы е'Г е'2, ..., е'п образуют орто-
гональную систему, то
п	п
НИ2 = 2 х'*\\е'. II2 = 2 (*<)2-	(2.34')
По аналогии с теорией ортогональных рядов (см. главу IV)
можно называть коэффициенты в равенствах (2.33) и (2.33')
коэффициентами Фурье.
8.	Биортогональные системы векторов. Две системы
векторов Х2........Хп и Yv К2, ...» Yn из Еп образуют
биортогональную систему, если
^У} = 0 при i^J, X^J^O при / =	(2.35)
Путем умножения векторов Xt или Yt на константы
можно, сохраняя за новыми векторами прежние обозначения,
добиться, чтобы
Х^{=1	(/==1, 2, ..., и).
В этом случае каждый вектор Z из Еп можно представить
в виде
Z—^XjY^ x^ZXi,	(2.36)
1 = 1
gj	8 1. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ;	-	69
и в виде
п
=	(2.36')
/ = 1	•
Если в Еп задана система из п независимых векто-
ров Xv Х2, ...» Хп, то можно построить для нее систему
векторов У2, ...» Уп так, чтобы обе системы {Xt}
и {FJ были биортогоналъные. Если
=	ха......xin) и ^ = 0^, Уп........yin),
то построение системы {Kz} по системе {XJ сводится к по-
строению матрицы у» обратной к матрице	".
Об ортогональных и биортогональных системах функций
см. гл. IV.
I
Пример 4. Пусть 2^=2^ 0=1, 2, ..., п), где
Н
ej~ орты в Еп\ У. = е1 — ем (/=1, 2...........п — 1),
Уп = еп. Тогда {XJ и {У^}—биортогональные системы в Еп.
9.	Проекции вектора на многообразие. Пусть в п-мер-
ном пространстве Еп задано ^-мерное многообразие Ek
(1<Л<п). Говорят, что вектор X из Еп ортогонален Ek
(запись	если X ортогонален любому вектору У
из Ek, т. е.
ХУ = 0, если
Вектор XQ из Ek называется проекцией вектора X на Ek,
если X—XQ ортогонален Ek,
X. = ^EkX.	(2.37)
Имеем:
X=X0 + (X-X0), (Х-Ло)±Ей,
Если X£Ek, то np£feX = X.
Для любого вектора X из Еп существует, и притом един-
ственная, его проекция на Ek.
Если — проекция вектора X на Ek, то имеем:
1)	Н112=Ио112+Н-*о112-	(2.38)
2) Для любого вектора У £ Ek справедливо соотношение
И-Г||2> ||Х-Xfl||2,	(2.39)
70 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [9
причем знак равенства наступает лишь в случае, если Y = X^
Другими словами, минимум |[Х—К||2, где Y — любой вектор
из Ек, достигается при
Г = Х0 = пр^.
Пусть Ц, =£ 6 — некоторый вектор из Ек. Обозначим
через Ех множество векторов вида Шо (— оо < t < 4-оо),
т. е. прямую Ex—tUQ. Проекцией вектора Xна вектор
называется проекция X на прямую Eit т. е. имеем:
"Ре-.Х = П^Г	<2'40>
и, в частности, если ||£/0|| = 1, то
прУв Х=(XU0) ий = (|| АГ|| cos ?) UQ,
где — угол между векторами X и 170.
Разложение (2.33) вектора X по системе ортогональ-
ных векторов e'j (/ =	2, ..п) означает представле-
ние X в виде суммы его проекций на e'j.
Пусть Xv X%, ..., Xk — ортонормированные векторы
в Еп (k < п); они образуют ортогональный базис в Ек — их
линейной оболочке. Дополним их векторами Xk+j (/ = 1,
2, ...» n—k) так, что п векторов Л/(/ = 1, 2, .... п) обра-
зуют ортогональный базис в Еп.
Пусть X—произвольный вектор в Еп, тогда
k
пр£х=2*Л. с^хх^
к	I =1
Сумма первых k членов в разложении (2.33) или (2.33')
есть проекция вектора X на линейную оболочку первых k
из векторов Xt	2.....ri).
Пусть векторы {AJ (/ = 1, 2, ..k < ri) ортогональны.
п
Образуем всевозможные суммы 2 cier Выражение
достигает минимума, когда с. = х', где
с1 — «коэффициент Фурье»; cl — XXi при || Xi || = 1, ав общем
XX/
случае
Ij	§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД	7]
Теорема 3. Пусть {L^ (/—1, 2, .k) образуют
базис (вообще говоря, не ортогональный в Ek\ аХ—про-
извольный вектор из Еп. Тогда
k
^EX==^djLj'	(2.41)
л 7=1
где dj определяются из системы линейных уравнений
k
2	d} = XL; (/=1.2.......k),	(2.42)
7=1
определитель которой совпадает с определителем Грама Г.
При k — n система (2.42) переходит в систему для
определения компонентов вектора X по базису {LJ
(7=1. 2.....п).
§ 2. Предельный переход, непрерывные функции
и операторы
1. Предельный переход в «-мерном пространстве.
Рассмотрим линейную систему Ln с выбранным базисом.
Каждый элемент X£Ln определяется своими координатами
хх, х2..... хп, Х—(Ху х2, .... хп). Возьмем последо-
вательность {Хп} = {Хи Х2, ...} элементов Ln, где Хт =
= (*т1. хт2.....XJ- Элемент Х=(хр х2, .... х„) из L„
называется пределом для последовательности {А^}, если
xz= lim xmi	(2.43)
77?->OO
(т. e. если все координаты X являются пределами соответ-
ствующих координат членов последовательности {А^}). В этом
случае принято писать
Иш Хт,	(2.44)
т->со
говорят также, что последовательность {Хт} сходится к X.
Координаты элементов {Хт} и X зависят от выбора базиса
в Ln, но равенство (2.43), а значит и (2.44), не зависит от
выбора базиса в Ln: если при одном базисе координаты Хт
при т—>с*о стремятся к соответствующим координатам X, то
это свойство имеет место при любом выборе базиса.
72
ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ
[1
n-мерная линейная система, в которой определен предель-
ный переход, в указанном смысле, называется п-мерным
линейным пространством.
В евклидовых и, более общо, в нормированных (см. § 3,
п. 3) пространствах, в которых определено расстояние между
точками, или норма вектора, можно определить предельный
переход (2.44) следующим образом: X — lim Хт, если .
т->оо
lim р(Хот, Х)= Нт ||Хт —X|| =0.	(2.45)
т->оо	т->оо
Условие (2.45) эквивалентно условию (2.43). Поэтому,
если определить в линейном пространстве расстояние между
точками или норму вектора (§ 1, п. 1 или 7) и пользоваться
определением предела по формуле (2.45), то никаких измене-
ний в смысле предельного перехода в Ln не происходит1).
Не нарушая общности, мы будем в этой главе рассматри-
вать предельный переход в евклидовых пространствах Еп.
Так же как в одномерном случае (см. гл. I, § 3, п. 2),
будем называть последовательность {Хт} из Еп фунда-
ментальной, если для каждого числа е > О можно найти
такое N, что
Ит'-'М <е,
коль скоро т' > /V, т> N.
Для того чтобы последовательность {Хт} имела
предел, необходимо и достаточно, чтобы она являлась
фундаментальной последовательностью.
Понятие предельной точки (точки сгущения) для мно-
жества Мс.Еп есть непосредственное обобщение этого поня-
тия для Ер. точка X называется предельной для множества
Мс:Еп, если она является пределом для некоторой последо-
вательности {Хт} точек из М, отличных от X.
Другое эквивалентное этому определение: точка X назы-
вается предельной для множества М, если в любой сфере
S(X, е) с центром в X содержится отличная от X точка
множества М.
Имеет место аналог теоремы Больцано — Вейерштрасса
(см. гл. I, § 3, п. 1).
Всякое ограниченное бесконечное множество в Еп имеет,
по крайней мере одну, предельную точку.
*) Такое введение расстояния называется метризацией Ln.
2]
§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
73
Открытым множеством в Еп называется такое множе-
ство U точек из Еп, что если точка X принадлежит U, то
существует некоторая сфера с центром в X, принадлежа-
щая U. Открытое множество называется областью, если
любые две его точки можно соединить ломаной, целиком
принадлежащей этому множеству.
Примером области на прямой может служить конеч-
ный или бесконечный интервал; на плоскости — внутренность
круга, треугольника, полосы между двумя параллельными
прямыми и т. д.; в трехмерном пространстве — внутренность
шара, параллелепипеда, конуса и т. д.
Примером области в Еп может служить параллелепипед
(в Ех параллелепипед есть интервал), т. е. множество точек
Х(хр х2,...., хп), координаты которых удовлетворяют нера-
венствам at<Z	(Z=l, 2......«),	где и bt — за-
данные числа.
Пересечение любого конечного числа областей есть
область.
Граничной точкой области Q в Еп называется точка,
предельная для Q, но не принадлежащая Q. Множество гранич-
ных точек области Q называется границей Q. Область Q вместе
с границей образует замкнутую область (или тело) в Еп.
Например, для интервала (а, Ь) граница состоит из точек а
и Ь, а замкнутой областью будет отрезок {а, Ь]; для сферы
S(Aq, г) границей будет поверхность сферы, т. е. множество
точек X, для которых
Замкнутым множеством в Еп называется множество
в Еп, содержащее все свои предельные точки; например,
замкнутые области являются замкнутыми множествами.
Теорема 4. Дополнение вЕпк открытому множеству
(области) есть множество замкнутое, дополнение к зам-
кнутому — открытое.
Например, дополнение к сфере (||Х|| < г) есть замкну-
тое множество (|| Х|| ;>г), дополнение к замкнутой сфере
(||АГ|| 'С'*) есть область (||Х|| > г).
2» Ряды векторов. Законы предельного перехода для
векторов (точек) «-мерного пространства Еп в основном
74 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ
(2
совпадают с законами предельного перехода для Ех. Нетри-
виальным является обобщение на л-мерный случай теории
условно сходящихся рядов (т. е. рядов, которые сами схо-
дятся, тогда как ряды, составленные из их абсолютных вели-
чин, расходятся).
Ряд векторов из Еп
оо
=	(2.46)
Л-1
определяется аналогично числовым рядам.
Если Xk — (xkx,xk2, ..., то ряду (2.46) отвечает
k числовых рядов
со
2хл1 = хн4~х2/4”хз1~Ь • • •	(/=1, 2......л),	(2.47)
Л-1
членами которых являются координаты векторов Хк— членов
ряда (2.46).
Частичной суммой Srn ряда (2.46) называется сумма
первых его т членов
т
=	... +Xm.
Л-1
Ряд (2.46) называется сходящимся, если его частичные
суммы Sm сходятся при /л->со к некоторому вектору
S — сумме ряда (2.46):
со
Л = 1	т->со
Сходимость ряда (2.46) эквивалентна сходимости всех
числовых рядов (2.47). Если S = (sp s2, ...» sn), то
= 2 xki 0=1; 2, 3, ..., ri).
Ряд (2.46) называется абсолютно сходящимся, если схо-
дится ряд норм его членов
оо
2 Н»1|.
Л-1
Абсолютная сходимость ряда (2.46) эквивалентна абсо-
лютной сходимости числовых рядов (2.47).
3]
§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
75
Ряд (2.46) называется условно сходящимся. если он схо-
дится неабсолютно. Имеет место теорема Штейница, обобщаю-
щая теорему Римана (см. гл. III» § 1, п. 2).
1)	Если ряд (2.46) сходится абсолютно, то его
сумма не меняется при изменении порядка его членов.
2)	Если ряд (2.46) сходится условно, то при соответ-
ственной перестановке его членов можно изменить его
сумму или сделать ряд расходящимся.
3)	Суммы рядов, получаемых перестановкой членов
сходящегося ряда (2.46), заполняют целиком некоторую
k-мерную плоскость, Q^k^n (см. § 1, п. 5).
Для абсолютно сходящегося ряда k — Q. для условно
сходящегося k > 0.
Пример 5. Пусть хл = (—1)*р 5 — целое число,
1 s п. Каждое натуральное число т можно пред-
ставить в виде m = rs-\-k, где г — целое число, 1
Пусть
=	= где еь (й= 1, 2,	—орты.
Тогда, меняя порядок в ряде 2 Хт< можно получить в ка-
т
честве суммы любой вектор s-мерного многообразия^—ли-
нейной оболочки ортов ех. е2. ..., es (см. § 1, п. 6).
3. Непрерывные функции п переменных. Функции
точки (вектора) n-мерного пространства. Функ-
ции п переменных естественно трактовать как функции точки
(или вектора) n-мерного пространства. Пусть каждой точке
Х(хх, х2....хл) множества М n-мерного пространства Еп
отвечает число / (X) = f (хх, х2...хп), тогда говорят,
что на множестве М в Еп определена функция f(X) —
= f(xx, х2, ..., хп) точки (вектора) X или функция п
переменных—координат этой точки (вектора).
Так же как для функции одного переменного> вводится
понятие предельного перехода для функции в Еп.
Пусть функция f (X) определена на множестве Мс:Еп и
А — точка, предельная для М. Говорят, что / (X) стремится
к числу а, когда Х£М стремится к А, если для любой
последовательности {Хп} из М, сходящейся к А,
lim /(*„) = «•	(2.48)
Л->оо
76 ГЛ. IL n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [3
Соответствующая запись:
a — lim /(X).	(2.49)
А(Х£М)
(Если М есть область и А — внутренняя точка области,
то необходимо указание на то, что Хп стремится к Л, оста-
ваясь в 214.)
Другое определение равенства (2.49), эквивалентное пре-
дыдущему: равенство (2.49) означает, что каждому числу
е > 0 отвечает число т] > 0 такое, что при
0<||Х—Л||<7} и Х£М
выполняется неравенство
|/(Х) — а] <е.	(2.50)
Непрерывная функция. Рассмотрим функцию
f (Х) = f х2, •••’ хп)» определенную на множестве М
из Ent и точку Х(хр х2, ..., хп)этого множества. Говорят, что
функция f (X) непрерывна в точке Х£М, если имеет место
соотношение
lim /(ХОТ) = /(Х).	(2.51)
zn*->oo, Хт£М.
Это определение эквивалентно следующему: функция f (X)
непрерывна в точке X множества 214, если для любого числа
е > 0 можно найти такое число ц щ (е), что для всех точек X
из 214, лежащих в сфере
Р(Х X)=||X-X|| <71,	(2.52)
выполняется неравенство
|/(X)-/W|<8.		(2.52')
Функция, непрерывная в каждой точке множества А1,
называется непрерывной на 214.
Пример 6. Функция
1 = 1
Г	i = l
определена и непрерывна в каждой точке сферы ||Л’||2 < 1.
3]
§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
77
Линейную функцию f (X) (см. § 1, п. 5) можно опреде-
лить как непрерывную в Еп функцию, удовлетворяющую
условию аддитивности:
/(х1+х2) = /(х1)+/(х2).
Равномерная непрерывность. Функция f(X) —
= f(xv х2, .хп), определенная на множестве Af из Еп,
равномерно непрерывна на нем, если для каждого числа
е > 0 можно найти такое число > 0, что для любой пары
точек Хх и Х2 из Л1, для которых
Р(Хр Х2)= ЦХ^Х2|| < т],	(2.53)
выполняется неравенство
|/(Xj) —/(Х2)[ < е.	(2.53')
Число т| в (2.52) зависит от е и от выбора точна X,
в неравенстве же (2.53), определяющем равномерную
непрерывность функции, оно зависит только от е, но
не зависит от выбора точек Хг и Х2.
Каждая равномерно непрерывная на Ж функция непре-
рывна на Ж. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно
(например, функция ^=1=^=», непрерывная внутри сферы
||Х|| < 1, неравномерно непрерывна в ней^.
Аналогично одномерному случаю (см. гл. I, § 3, п. 11)
имеет место
Теорема 5. Функция f (X) — f (хг, х2..... хп), не-
прерывная на ограниченном замкнутом множестве U,
равномерно непрерывна в нем.
Максимум и минимум. Функция f (X), определен-
ная на множестве Ж, называется ограниченной на нем сверху
(снизу), если существует такая константа С, что для любой
точки X из Ж выполняется неравенство
f (X) С (соответственно f (X)	С).	(2.54)
Функция называется ограниченной на Ж, если она на Ж
ограничена сверху и снизу.
Если f (X) ограничена сверху (снизу) на Ж, то существует
число С (с) — точная верхняя (нижняя) граница чисел
78 гл. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [3
f(X)— значений функций f (X) в точках М:
C=sup f(X) (с = inf f(X)\.	(2.55)
Х£М	V	J
Если в М существует точка XQt в которой
/(AT0) = C = sup/(X),	:
Х£М
то верхняя граница С называется максимумом функции / (X)
на М:
С = f (X) = max / (АГ).	(2.56)
х$м
Х^ называется точкой максимума функции f (X) на М.
Аналогично, если в М существует точка в которой
ftX^c,
где
с = inf /(АГ),
Х$М
то нижняя граница с называется минимумом функции f (X)
на Ж, а Хх — точкой минимума f (X) на Л4:
f==/(^)== min/(,¥).	(2.57)
х$м
В этом случае говорят, что функция f(X) на М достигает
своего максимума (минимума) в точке XQ (соответственно Аг1).
Теорема 6. Непрерывная функция на замкнутом
ограниченном множестве достигает в ней максимума
и минимума.
Скачок функции. В задачах математической физики
часто встречается следующее обобщение понятая скачка на
случай функции многих переменных. Пусть — область в Еп.
Назовем ее «внутренней» к границе Г областью, а область
Qe = En— (Q/H-Г) — «внешней» к границе Г областью. Че-
рез At и Ае будем обозначать точки соответственно из QL
и Qe!). В Qt задана функция / (которая может и не
быть определенной на Г). Предположим, что существует пре-
дел f {А^ [/ (Л^)], когда Ae(Ai) стремится к точке А гра-
*) I и е — первые буквы слов «interior* и «exterior* (внутрен- |
нии и внешний).
3]
§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ переход
79
ницы Г, и обозначим:
/ДД)=Ит/(ЛД
Если ft (A) fe (А), то говорят, что, переходя через
границу Г в точке А из Qt в Qe, функция претерпевает
скачок
Пример 7» Рассмотрим в Е2 ограниченную замкнутую
выпуклую область Qt с границей — гладкой линией Г —
и область Qe = E2— Ql — Г. Для произвольной точки А£Е2
определим число а (Д) > 0, измеряющее угол, под которым
видна из А линия Г. (Он образуется лучами, соединяющими А
со всеми точками Г.)
Для точки Ai£Qi имеем а(Д^) = 2тс; для точки Ae£Qe
имеем 0 < а (Ае) < тс, причем если Ае стремится к точке
А £ Г, то а (Ае) —> тс. Для точки А границы Г имеем а (Д) = тс.
Для функции /(Д) = а(Д) в точке Д£Г имеем Д(Д) =
= f (А) = я < fi (А) = 2тс; скачок fe (А) — /, (А) = — тс.
Функции, зависящие от параметра. Каждую
функцию ср(хр х2, ...t хда;	/л) можно рассмат-
ривать как семейство
{t't 19 ... t (Х1’ х2» • • •» Хт) — ? (х1» Х2* • • •» хт> ^1» ^2» • • •» ^л)1
*	1 2 П	f
функций от т переменных хр х2, ..., хт, каждая из ко-
торых определяется набором п значений другой группы пе-
ременных t2, ..., tn — так называемых «параметров».
Ограничимся случаем системы {ft (х) — ср (х, 0} функций
одного переменного х, зависящих от одного параметра t; t
принимает любое значение из множества Т числовой пря-
мой Elt а каждая функция ft(x) определена для х-ов из
множества Х£Ех (общий случай п параметров и т перемен-
ных исследуется аналогично). Пусть /0 есть предельная точка
для Т. Если при любом t и х£Х функция ft(x) при
/ —> tQ (t £ Т) стремится к f (х), то говорят, что функции
{/Дх)} сходятся на множестве X к функции / (х). При
этом для любого х £ X и любого заданного числа у > О
можно указать число е, зависящее от и х, е = е(т], х),
такое, что
1Л(х)-/(х)1<Ч	(2.58)
при 0<|/ —/0| <е (f£T).
80 ГЛ. II. л-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [4
Например, пусть Т совпадает с интервалом (0, оо),
Х= [0, 1]; семейство функций {/Дх)} при 7->0 сходится
к f (х) на [0, 1], если
\ -С / \ sin tx г ,
а) ЛО) = -у-. /(*) = х.
б) /Дх) = (1-Нх)'. f(x) = e*.
1	Г 0 при 0 < х < 1,
в) ft(x) = x^ /(*) = { 1	1
*	(1 при х — 1.
Сходимость {ft (х)} к / (х) на X называется равномерной
при t—>tQ (t£T), если для любого заданного ц > 0 най-
дется зависящее от него число s: е = е(т]) такое, что нера-
венства (2.58) выполняются одновременно для всех х из X
при 11 — | < е (е уже не зависит здесь от выбора х).
В примерах а), б) имеем случай равномерной сходимости,
в примере в)—неравномерной.
Приведем следующие свойства равномерной сходимости
семейства функций {/Дх)}:
1°. Если при	семейство {/Дх)} равномерно
сходится на X к f (х) и {/д} — любая последовательность
из Т, сходящаяся к то последовательность функ-
ций {Лл(х)) равномерно сходится к / (х).
2°. Если все функции {/Дх)} непрерывны на X, то их
равномерный предел — функция f (х), непрерывна на X,
(См. примеры а), б). В примере в) предельная функция раз-
рывна, что указывает на неравномерную сходимость {/Дх)}
К /(*)•)
3°. Пусть функция двух переменных ср(х, t) непрерывна
в прямоугольнике a^x^av b^t^bv Обозначая /Дх) —
— ф(х,/) при ^£[6, дД f (x) — ? (х* by), получаем, что
функции ft(x) равномерно сходятся к f (х) при t->bv
4.	Периодические функции п переменных. Много-
образие постоянства. Пусть Ek(l^k^.ri)— линей-
ное многообразие в Еп, a f (X) — функция, определенная в Еп.
Многообразие Ek есть многообразие постоянства для функ-
ции f (X), если для любого Х£Еп и любого Y из Ек
/(Х+Г) = /(Х).	(2.59)
4]	§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД	81
Например, для функции /(*4~у) двух переменных х
и у прямая х = — у есть многообразие постоянства. В самом
деле, добавляя к вектору (х, у) любой вектор (х0, — х0)
этой прямой, мы не изменим этой функции.
Введем базис в Еп из элементов К2, ..., Yk\
Zv Z2, • • •• z«-*’ где ^1» ^2» • • •» образуют базис в мно-
гообразии постоянства Ek. Каждый элемент Х£Еп пред-
ставим в виде (см. (2.29))
X—Y-^-Z,
n-k
Y^Ek, Z=S^Z(.
Z = 1
при этом
/(A) = /(K + Z) = /(Z).
Функция f(X) = f(Z) сводится к функции п— k пере-
менных— координат Zlf Z2.....Zn~k вектора Z.
Периоды функций п переменных. Периодом
функции /(А), определенной на Еп, называется вектор ю
(отличный от нулевого 6) такой, что при любом X
/(А+(о) = /(А).	(2.60)
Из (2.60) следует, что все элементы К =# 0 многообразия
постоянства функции f суть ее периоды. Функция f(X).
обладающая периодом, не принадлежащим многообразию по-
стоянства, называется периодической.
Ограничимся рассмотрением периодических функций, не
имеющих многообразий постоянства. Заметим, что всякая
периодическая функция имеет бесконечное множество
периодов (вместе с (о периодом является и всякий вектор
вида &<о, где k— любое целое число).
Теорема 7. Если (о и (Oj — периоды функции /(А),
то их сумма <о 4- coj есть тоже период этой функции.
Если (Dp о>2, ..., (дт—периоды функции /(А), то
периодом ее является и любой вектор <о вида
т
(D = 2
где — произвольные целые числа.
Периоды (Ор (о2, ..., (пт .образуют систему основных
периодов функции f (А), если все ее периоды представямы
в виде линейных комбинаций с целочисленными коэффициен-
6 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
82 ГЛ. П. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [5
тами от этих периодов и не представимы в виде таких ли-
нейных комбинаций меньшего числа периодов.
Пример 8/ На плоскости Е2 рассмотрим функцию
f(X)=f(xlt х2) == sin А4 cos х2. У нее есть система из двух
основных периодов, а именно, векторов е)1(2тс, 0) и e>2(0, 2z).
Можно было бы в качестве основных периодов взять и о)3 =
= (2 тс, 2тс) (тогда в>2 = о>3 — «0.
Теорема 8. Непрерывная периодическая функция п
переменных, не имеющая многообразия постоянства,
имеет основную систему периодов, состоящую не более
чем из п периодов.
Пример 9. Пусть <ор (о2, ..., <&п — система линейно
независимых векторов в Еп. Образуем множество А всевоз-
можных векторов (точек) вида
п
где числа пг— целые. (Такое множество называется цело-
численной сеткой в Еп.) Обозначим через р(Х, Л) рас-
стояние от точки Х£Еп до ближайшей точки Л; р(Х, Л)
есть функция X. Она имеет в качестве системы основных
периодов векторы а)р а>2...(од.
Пример 10. Непрерывная функция комплексного пере-
менного f (x-\-iy) — P(x, y)-\-iQ(x, у) (не равная константе)
может иметь не более двух независимых периодов (теорема
Якоби).
5.	Предельный переход для линейных оболочек. Пусть
ах, а2, .... ар — линейно независимые элементы в Е. Будем
обозначать через L(av а2, ...» ар) — их линейную оболочку.
Если b2, ..., Ьр — другой базис в р-мерном многообра-
зии L(ar....ар), то Lp(bv b2.....bp) — L„(al, а2....ао).
Рассмотрим семейство векторов 1а, непрерывно зависящих
от параметра а, такое, чтобы, при 04 ар а2—>а и 04-xz
выражение ~стремилось к вектору, который обо-
значим через ~. При а2 =£ 04 будем считать /а, и линейно
независимыми. Выбрав в L2(l^, 1а) другой базис
1„ —
1	а2	а1
5]
£ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
83
будем иметь
^2(Ах,, 4*) = ^20«i» ~а2	) •
X ад—«1 /
1 ^Z 1	U
Полагая векторы 1Л и ^1а линейно независимыми, получим,
что при otj-xx, а2—>а плоскость £г$ч> W =^2	д*’)
_ /1	d t \
стремится к плоскости L2LZa,
При аналогичных условиях ^полагая, что системы векто-
ров /й1, /Яа, ...»Za при попарно неравных числах ар а2, ..., ар
1 d t	dp ,	\
и векторов /а, — /а, ...» —- Za линейно независимы ) получим
da	dap	/
при az->a (I— 1, 2, ...» р):
(d	rip~^
l” Tala......
Для семейства функций /а(х), зависящих от параметра а,
при тех же условиях и при az—>а (Z — 1, 2, .. ., р)
получим, что	А3(х), ...» /а (х)) стремится к
/	д	ЭР-1 \?
Lp\fAx), ^/aU)...........НапРимеР- ПРИ
az -> a (Z = 1, 2, ...) получим:
Lp(Ax. е*.......eipx)->Lp(e'lX, xe™.....xP-'e**),
/ 1 1 1 \
/ ------, ------, .... ------)->
P\x — «! X — a2	X — apJ
	_J.....V
p \ X — a (x — a)2.............(X — a)p)
Lp{x\ xa\ ...» x*p} Lp (x«, xa In x.......x* In"-1 x),
L2(|X —ail, ]x — a2l)->L2(|x — a|, sign |x —a|).
Пусть Ал есть л-мерная матрица, A/a(Z = 1, 2, ...» п) — ее
собственные значения (простые при a =# 0), х/а — соответствен-
ные собственные векторы: Ллх^ = X/exZa, || x7a || = 1. Предпо-
ложим, что # чисел XZa (Z = 1, 2, ...,	при а->0 стре-
мятся к собственному значению Хо матрицы Ло» а собствен-
ные векторы (Z = 1,2, ..к) — к собственному вектору хх
6*
84 ГЛ. II. «-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [б
матрицы Ло, отвечающему собственному значению Хо. Тогда линей-
ные оболочки (х1в, х2в, Х£в) стремятся к линейной оболочке
(х^, х2,...» х^),.где при I > 1 — присоединенные собственные
векторы матрицы Ло: Лох/ — \Qxi = х^ (Z == 2, 3, ...» k).
6. Операторы из Еп в Ет. Пусть Q — множество в Еп
(которое может совпадать с самим Ел); каждому элементу
А^Хр х2, ..хп) из Q отнесем элемент Y(ур у2, • • •> Ут)~
=sf(X) из Ет. Тогда говорят, что задан оператор f из Еп
в Ет, причем Q называют областью определения опера-
тора. Говорят также, что дано отображение f множества Q
из Еп в Ет или что оператор f осуществляет отображение
множества Q из пространства Еп в пространство Ет.
Если
^ = (У1. У2...Ут). -V = (X1,X2......х„),
r=/W.	(2.61)
ТО
yi = fiW — fi(.xl,x2......х„),	(2.62)
где Д — функция п переменных, определенная в Q, причем
формула (2.62) есть координатная форма записи оператора /,
а формула (2.61) — векторная. Функции (Z=l, 2, . .., т)
называют компонентами оператора f и записывают
/=(Гр /2, ...» /J.
Каждые т функций /z(xp х2, ...» хл)(/=1,2, ..., т)
от п переменных определяют оператор f из Еп в Ет, где
/=(/>. А....../»)•
Обычная функция f (хр х2, ..., хл) есть оператор из Еп
в (в числовую прямую).
Оператор f(X) называется непрерывным в Q, если из
(Хп и X входят в Q) следует, что
Для того, чтобы оператор /(X) = (/1(X), f2(X)....../„W)
был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы все функ-
ции /{(Х) — fх2, .... х„) были непрерывны в Q.
6]
S 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ переход
85
Например, функции
Z, = V1—х2 ———||Х||2,
Z2 = х 14- х2 + х3
задают оператор из £3(хр х2, х3) в плоскость E2(ZX, Z2),
определенный в трехмерном шаре ||Х||2< 1 и непрерывный
в нем. Функции комплексного переменного дают нам пример
операторов из Е2 в Е2 (отображений плоскости в плоскость).
Иногда вместо термина оператор из Еп в Ет употребляется
термин «вектор-функция». Обычную функцию п переменных
(/п==1, п>1) называют скалярной функцией векторного
переменного} оператор из Ех в Еп, где п > 1, называется век-
mop-функцией скалярного переменного или просто вектор-
функцией, оператор из Еп в Ет, где п>1, /п > 1, назы-
вают вектор-функцией векторного переменного.
Пусть дана вектор-функция X—X(t), где t пробегает
числовую прямую (или ее отрезок), X—точка Ет. Мно-
жество точек Ет вида X(t) называется кривой или ли-
нией в Ет.	*
Линейные операторы. Линейным оператором
(отображением) из En(xv х2, ...» хл) в Ет(ух, у2, .. ., ут)
называется оператор Y (А), удовлетворяющий условиям:
1) Г(Х1+Х2)=К(Х1) + У(Х2).
2) Оператор Y (X) непрерывный.
Из условий 1) и 2) вытекает однородность линейного
Оператора:
У(кА) = ХУ(Х).
Теорема 9. Линейный оператор Y (X), где
Y = (ylt у2, ..., ут), Х=(хр х2....хп), имеет вид:
У, = апх1 + а12х2 + • • • + ainxn 0 = 1...»). <2-63)
т. е. каждая координата yt(X) оператора Y(X) есть
линейная функция от Х=(хх, x2t ..., хп).
Каждый линейный оператор Y (X) из Еп в Ет опреде-
ляется прямоугольной матрицей
Л=НМ (/=1,2.............m; J=l, 2.........п), |
Y = AX.	j(2-W)
86 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [7
Обратно, каждая такая матрица определяет линейный
оператор из Еп в Ет (по формуле (2.63)). При т = п
линейный оператор из Еп в Еп определяется квадратной
матрицей
Формула (2.63) представляет координатную форму записи
линейного оператора (преобразования) из Еп в Ет.
7.	Итерационные последовательности. Рассмотрим в Ek
последовательность векторов
{хп} = {Хй. Xlt Х2, ... }. Хя = (хя1, хя2.....хяй), (2.65)
или отвечающие ей k числовых последовательностей
~ хи* •••}	(/= 1, 2, ..., А). (2.66)
Последовательность векторов (2.65) (или система числовых
последовательностей (2.66)) называется итерационной, если
*я = /(*л-1)	(^=1> 2, 3, ...),	(2.67)
где f — оператор из Ek в Ek. Если /=(/Р /2» •*•»/*)>
то равенство (2.67) в координатной форме записывается
в виде
xni = f1» Xn-1, 2» •••»	(Z==l, 2» ...» k).
(2.68)
Задав %0 — (x01, x^t ..., х0Д последовательно находим по
(2.67) или (2.68)
—(хп, Х12, ...» А;1й), АГ2 = (х2р Х22, ...» AT2fe), ...
Иногда зависимость (2.68) записывается в виде
xni~ f i(Xn\> хп2* •••» Xn,i-V Хп-Ы> Х п-1,1+1...Хп-1,к)‘
(2.69)
(При нахождении Z-й компоненты n-го вектора Хп исполь-
зуются уже найденные его компоненты хпХ, хп2, ..., xnt ^х.)
Пример 11. К. Ф. Гаусс рассмотрел последователь-
ность пар положительных чисел {ал, (n = 0, 1, 2, ... )
или плоских векторов, где а0, р0 заданы (%^>Р0)> и
ап=..^-1+А--1-,	=
7]	§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД	87
При п—>со последовательности {ал}. и {{Зл} стремятся к общему
пределу a— lim ал = lim (Зл — «арифметико-геометриче-
д оо	л -> оо
скому среднему чисел а0, р0»
ТС
Я	1	/•	df________
« = ><“».₽.)= 2ё 0=v/ ,/. -S-Й ., '
О 1/1---------$  Sin2 ср
У	а$
Пример 12. Рассмотрим последовательности частичных
X	хп
сумм $„ = 1 +ff + ••• + степенного ряда для ех. Обо-
хп
значая ал = л, ₽« —имеем: (о^, ро, $0) — (О, 1, 1). Полу-
чаем итерационную последовательность (ал, рл, $л) вида (2.69)
ал == ал_11, Рл==::Рл-1’^> sn ~ sn-i
®л
Формула дает единообразную схему последовательного по-
строения (ад, рл, sn) (и значит и sn) для п=1, 2, 3, ...
Такое единообразие перехода от одного члена итерационной
последовательности к следующему ее члену очень удобно
для вычислений на программно управляемых машинах.
Итерационный процесс. Обобщим понятия § 2,
п. 3 на операторы из Еп в Еп.
Пусть задан непрерывный оператор f из Еп в Еп:
Y = f(X), К = (У1, у2.....уя), X=(xp х2.........х„),
или, в координатной форме,
=	х2, ..., хп) (/=1, 2.......п).
Исследуем уравнение
X=f(X)	(2.70)
или, в координатной форме, систему уравнений
х^ = /^(Хр х2, ...» хл).	(2.71)
Образуем итерационную последовательность элементов
Xq9 Ху Х2, ...» Хт, ...; Хт — (хту хт2, ...» xmn)t
88 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [8
где Х0(х01, х02, ...» xQn) — произвольный элемент Еп,
Xm+l=f(Xm) (/n = 0, 1, 2, ...),	(2.72)
а в координатной форме
Хт+Ъ i = fi(XmV хт2* •••» хтпУ	2, . .., п).
(2.73)
Если последовательность Хт сходится к X*, то X*
есть решение уравнения (2.70).
Заметим, что решение X* уравнения называется непо-
движной точкой преобразования Y = f(X).
8.	Принцип сжатых отображений. Введем в простран-
стве Еп норму (см. § 1, п. 2). Оператор (преобразование) f
из Еп в Еп называется сжатым, если существует такая
константа q (0 < q < 1), что для любых X и Xj из Еп
\\f(Xx)-f(X)\\^q\\Xx-X\\.	(2.74)
Следующая теорема одновременно дает и условие суще-
ствования неподвижной точки преобразования Y — f(X),
т. е. решения уравнения (2.70), и условие сходимости ите-
рационного процесса (2.72).
Теорема 10 (принцип сжатых отображе-
ний). Если отображение Y = f(X) сжатое (т. е. выпол-
няется условие (2.74) при q < 1), то:
1)	Существует решение Х—Х* уравнения (2.70), т.е,
неподвижная точка X* преобразования Y = f(X).
2)	Это решение единственное.
3)	При любом выборе начального приближения Хо
итерационный процесс (2.72) сходится к решению X*:
Х* = lim Хт.	(2.75)
т ->оо
4)	Последовательность Хт сходится к X* со скоростью
геометрической прогрессии со знаменателем q, а именно:
пп
(2.76)
1 V
Приведем некоторые достаточные условия того, что опе-
ратор представляет сжатое отображение в различных нормах.
Предполагается, что функции //(Х) = //(лгр х2, ..., хя) —
8]
§ 2. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
89
координаты оператора f(X)— имеют непрерывные частные
производные по всем аргументам.
Для выполнения условия (2.74), а значит и следствий
теоремы, достаточно, чтобы
а)	в евклидовой метрике
|~ dfj(xx, ...хп) q < j	(2.77)
i = i ;=i
б)	в метрике Ш(п) (см. стр. 97):
п
£ |	| <9/ < 1	(/=1,2.......п).
J-1	(2.77х)
Применение к решению систем линейных
алгебраических уравнений. Рассмотрим систему
линейных алгебраических уравнений
(2.78)
или, в векторной форме,
Y = AX-\-B,	(2.79)
Д=||а£7!|, B = (bv b2, ..., Ьп). (2.80)
При любом начальном векторе АГ0(х01, х02, .... xQn) обра-
зуем систему векторов Хо, Xv Х2, ..., Хт, ...
Хт2> •••* хтп)*	(2.81)
где
=	+ (m = 0, 1, 2, ...)	(2.82)
или, в координатной форме,
*m+l, i=	(i=l. 2......»). (2.83)
Из (2.77) и (2.77х) следует, что для сходимости последова-
тельности векторов Хт при /п->оо к вектору-решению
х*............ х*) системы (2.79) или системы (2.78) доста-
точно, чтобы:
it п
90
ГЛ. П. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ
П
ИЛИ
п
б) 2 I aij I = < 1	0’ = 1» 2, ..., п)
/«I
(<7 = тах^; /=1, 2, ...» п),
при этом точность ||Х* — n-го приближения Хп опре-
деляется формулой (2.76); в случае а) — норма евклидова,
в случае б) —
§ 3. Выпуклые тела в n-мерном пространстве
Теория выпуклых тел в n-мерных пространствах была
построена Г. Минковским; она нашла приложения во многих
вопросах анализа, геометрии и теории чисел, а в последнее
время — в новых разделах прикладной математики: в теории
игр, в линейном программировании. На базе этой теории
выросла теория n-мерных нормированных пространств, бес-
конечномерное обобщение которой играет большую роль
в математическом анализе.
1. Основные определения. Выпуклым множеством
в пространстве Еп называется такое множество, которое
вместе с двумя своими точками А и В содержит и весь
соединяющий их отрезок.
Частные случаи: выпуклая область Q — область, явля-
ющаяся выпуклым множеством, выпуклое тело Q—выпук-
лая область Q вместе с ее границей Г. Точки области Q на-
зываются внутренними, точки Г — граничными для Q.
На прямой: интервал — выпуклая область, отрезок — вы-
пуклое тело. На плоскости: внутренность круга или тре-
угольника— выпуклые области; круг и треугольник (вместе
с границей) — выпуклые тела. В трехмерном пространстве:
внутренность цилиндра, шара, куба — выпуклые области;
цилиндр, шар и куб (вместе с границей) — выпуклые тела,
причем шар и куб — ограниченные выпуклые тела, а ци-
линдр— бесконечное выпуклое тело.
Замкнутое выпуклое множество, лежащее в ^-мерной
плоскости и не лежащее ни в одной (k—1)-мерной пло-
скости, называется k-мерным выпуклым телом (0 k п).
Точку будем называть нульмерным выпуклым телом. (Пустое
множество также считается выпуклым.)
1]	§ 3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 91
Выпуклое множество (тело) может быть ограниченным
и неограниченным (см. все вышеприведенные примеры). При-
мером неограниченного выпуклого тела может служить полу-
пространство в Еп9 т. е. множество точек X, удовлетво-
ряющее неравенству (fX С), где / — линейный функционал
в Еп, С — константа; все пространство Еп и любая его
гиперплоскость суть примеры неограниченных выпуклых
множеств.
Пересечение выпуклых множеств в Еп есть выпуклое
множество, пересечение выпуклых тел в Еп — выпуклое
k-мерное тело (k^n).
Выпуклый многогранник есть замкнутое выпуклое тело —
пересечение конечного числа полупространств.
Выпуклой оболочкой множества М в Еп называется
множество Q точек Х£Еп, представимых в виде
i
(2-84)
где/ — любое целое число, /<Х Xt—произвольные точкиМ9
— произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие
условию
Пример 13. Выпуклая оболочка, пары точек А нВ
есть соединяющий их отрезок; выпуклая оболочка трех точек,
не лежащих на одной прямой, — треугольник; выпуклая
оболочка четырех точек, не лежащих в одной плоскости,—
тетраэдр с вершинами в этих точках.
Выпуклая оболочка множества 7И есть пересечение всех
выпуклых множеств, заключающих 2И, или наименьшее вы-
пуклое множество, заключающее Л4. Каждый ограниченный
выпуклый многогранник есть выпуклая оболочка конечного
числа точек — вершин этого многогранника.
Крайние точки. Точка А называется крайней точкой
выпуклого тела Q, если А не является внутренней точкой
любого отрезка, принадлежащего Q.
Каждая крайняя точка Q есть его граничная точка; но
не всякая граничная точка Q является его крайней точкой.
Например, для многогранника (многоугольника) крайними
92 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [2
точками являются лишь его вершины. Для круга и шара все
граничные точки являются крайними. В дальнейшем под выпук-
лым телом будем понимать лишь ограниченное выпуклое тело.
Выпуклое тело Q есть выпуклая оболочка его крайних
точек.
2. Выпуклые функции. Функция /(Аг)=/(х1, х2, ..хл),
определенная в Еп (или на выпуклом множестве Q из СД на-
Рис. 2.
зывается выпуклой, если для любых X и Y из Еп (из Q)
выполняется неравенство
/	W + / (П1	(2.85)
(и вогнутой, если выполняется обратное неравенство).
Выпуклая функция удовлетворяет и более общему нера-
венству:
f [(1 -1)X-\-tY\ < (1 -1) f (X) + tf (K)	(2.85')
для любого t из [0, 1].
3]	§ 3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 93
О выпуклых функциях одного переменного см. гл. I, § 3,
п. 17.
Если f (X)— выпуклая функция, с0 — ее нижняя гра-
ница в Еп (8 Q), то при любом c^cQ множество точек
из Еп (из Q), удовлетворяющих неравенству
f(X)<c,
есть выпуклое тело (множество).
Пример 14. На плоскости Е2(хъ х2) функции
fp <xlt хг) = ( I X) 1Р 4-1 х2\р)'1р
при суть выпуклые функции. При /?->со fp(xlt х2) стремится
к функции	х2) = шах (| х} |, |*2|) (см. рис. 2). Линии
/п (X], х2) = 1 при разных р приведены на рисунке. Все они про-
ходят через точки Д (1, 0), Л2 (0, 1), А3 (—1, 0), А4 (0, —1).
Линия х2) = 1 есть граница квадрата с вершинами
в точках Вх (1, 1), В2(—1, 1), В3(-1, -1). В4 (1, —1).
Линия Л (хь х2) = 1 есть граница квадрата с вершинами Alf
А2> А3, А4.
Линии fp = 1 при 1 < р < оо расположены между этими двумя
линиями.
Линия f2\xb х2) = 1 есть окружность радиуса 1.
Фигуры	ограниченные этими линиями, выпуклые. При
р < 1 такие фигуры уже не выпуклые. Например, при р =
получим фигуру, ограниченную астроидой.
3. Выпуклые тела и нормы векторов. Пусть Q—выпуклое
тело в Еп, заключающее внутреннюю точку 9. Каждая точка X
из Еп представима (и притом при X Ф 9 однозначно) в виде
AF = kAr0, где к > 0, Xq — точка границы Q. Если X лежит
вне Q, то k> 1; если X лежит внутри Q, то k< 1; если X
лежит на границе Q, то Х=1. Точка 9 представима в виде
0 • Хо (т. е. для точки 6 число к = 0).
Определим теперь в Еп функцию ср^АТ) следующим обра-
зом: в точке X=IXQ
. (*)=>•;
(АГ) больше, равно или меньше 1 в зависимости от того,
лежит ли X вне, внутри или на границе Q;
?<?(6) = 0.
94 ГЛ. И. п. МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ (4
^(Х) есть выпуклая функция. Тело Q есть множество
точек Еп, для которых cpQ (X)	1, граница Q определена
уравнением cpQ (X) = 1.
Свойства функции ср^(X):
1)	cpQ(X)3>0, причем лишь при Х=$ имеем cpQ = O.
2)	При Х>0 cpQ(XX) = XcpQ(X) {что означает положитель-
ную однородность функции).
3)	+
Если Q есть центральное симметричное выпуклое тело
с центром в 0 (т. е. из X£Q следует — X£Q), то доба-
вляется свойство
?<г(МГ) = |Х|<Р<г(Х) при Х<0.
Свойство 2) переходит в более сильное:
2') Tq(M0 = |X|?<?(X)
при любом действительном X. Если дана функция ср, удовлет-
воряющая условиям 1)—3), то множество Q, определенное
неравенством cpQ (X) <1 1, есть выпуклое тело, а при выполне-
нии условия 27) — центрально-симметрическое выпуклое тело
с центром в 0.
Евклидова норма ||Х|| вектора X в Еп удовлетворяет
условиям 1), 2'), 3). Можно обобщить понятие нормы век-
тора в п~мерном пространстве: в качестве нормы можно
взять любую функцию ср (X), удовлетворяющую условиям 1),
2), 3). Будем такое пространство обозначать через Ent^
Если ||Х|| = ср(X), то условия 1)—3) перепишутся в виде:
1) ||Х|| ^>0, и лишь при X— 0 имеем ||Х|]=0.
2)	При Х>0 имеем ||ХХ|| =Х ||Х||.
3)	||Х4~И|	||Х|| 4- ||К|] (аксиома треугольника).
При четности ср условие 2) заменится более сильным:
2') ||ХХ|| = |Х|||Х|| (при любом X).
Пространства Еп, в которых введена норма, удовлетво-
ряющая приведенным выше условиям, называются нормиро-
ванными. Например, евклидовы пространства — нормирован-
ные (см. § 1, п. 7).
4.	Опорные гиперплоскости. Рассмотрим линейную форму
п
fX = ^ilixi в гиперплоскость (fX—С) и полупро-
51
§ 3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В «-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
95
странство (/Х<;С). Гиперплоскость (fX-С) называется
опорной к выпуклому телу Q, если Q лежит целиком
в полупространстве (fX С) и если эта гиперплоскость имеет
общие точки с границей Q.
Пример 15. В двумерном случае опорные гиперпло-
скости переходят в опорные прямые. Для круга опорные
прямые совпадают с его касательными. Для треугольника
опорные прямые— это три прямых^ на которых лежат его
стороны, а также все прямые, проходящие через его вер-
шины и лежащие в его внешних углах. В трехмерном про-
странстве опорные гиперплоскости переходят в опорные
плоскости*, для шара опорные плоскости — это его каса-
тельные плоскости, для куба—плоскости его граней и дру-
гие плоскости, проходящие через ребра или только через
вершины куба и не пересекающие внутренней части куба.
Пусть уравнение опорной гиперплоскости будет
fX=C.	(2.86)
Теорема 11. Число С в правой части (2.86) опреде-
ляется равенством
С = шах/Х.	(2.87)
Таким образом, уравнение опорной гиперплоскости имеет
вид
fX=maxfX.	(2.88)
Теорема 12. Линейный функционал fX достигает
своего максимума С на Q в крайней точке Q, т. е.
пересечение (fX=C) и Q содержит точкуг крайнюю для Q.
Следствие. Каждая опорная гиперплоскость к телу Q
проходит через одну из его крайних точек (в частности,
каждая опорная гиперплоскость к многоугольнику проходит
через одну из его вершин).
5* Опорные функции и сопряженные пространства.
Пусть в пространстве Еп введена норма ||ЛГ||=<ря(Л) и Q
есть замкнутая единичная сфера*. Q = (||X[[<; 1); Q есть
выпуклое тело в Еп.
Если
liXi
96 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [5
есть линейная форма в Еп ~ Епг то соответственная опорная
гиперплоскость к Q определяется уравнением
1Х=С(= max IX).	(2.89)
ЦХ||<1
Каждая литеЯняя форма IX является вектором I с компо-
нентами /р Z2, ...» 1п, Совокупность таких форм образует
n-мерную линейную систему Ln. Можно ввести в Ln норму,
именно, положить:
||/1|* = ф(/)= max IX.	(2.90)
«XII <1
Эта норма удовлетворяет вместе с нормой ||Х|| условиям
1), 2), 3) (см. п. 3) или соответственно 1), 2'), 3).
Имеем:
|ZX|<mi*l|.	(2.91)
Это неравенство есть обобщение неравенства (2.7) для
евклидовой метрики. Уравнение (2.89) запишется в виде
IX= ||Z||*.	(2.92)
Сопряженные пространства. Введенное таким
образом пространство Ln = En,^ линейных форм в Еп^ назы-
вается сопряженным к исходному пространству Еп .
Применяется запись:
(2.93)
Для евклидова пространства сопряженное пространство
также евклидово.
Теорема 13 (Минковского). Если пространство Еп,^
считать исходным, то сопряженным к нему будет про-
странство Еп<?
Е‘.,=Еп	(2-0«)
{пространство, сопряженное к сопряженному, есть ис-
ходное).
Такое соотношение взаимной сопряженности пространств
Е и называется рефлексивностью. Функции ф (JV)
и if (Г) называются взаимными-, они связаны соотношением
max IX = $(!),	max IX—у (X).	(2.95)
<Р(Х)<1	ф(/)<1
6]
§ 3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
97
Соответственно выпуклые тела Q и Q*, определенные нера-
венствами срХ 1, ф/ 1, называются также взаимными.
(Для бесконечных пространств теорема Минковского уже,
вообще говоря, не верна.)
Пример 16. Пусть	есть n-мерное про-
странство с нормой
/ п У'*
HII^SlMJ •
При р>\ имеем Га р = 1а где 1 + 1=1.
При р = 2 (случай евклидовой нормы) имеем q — 2
(n-мерное евклидово пространство /л>2» сопряженное само
себе*. /д, 2 — 1п> 2).
Пример 17. Пусть /п>1 есть n-мерное пространство
с нормой
п
ни = Sim
тп— /г-мерное пространство с нормой
||У|| =тах(|у1|, |у2|..................|у„|);
имеем:
Г = т , т* = I ..
л, 1 п п Л, 1
Всякая линейная функция YX в Enij? может рассматри-
ваться как скалярное произведение векторов X из Еп>? и Y
из Еп*.
6. Основные теоремы об опорных гиперплоскостях.
Теорема 14. Пусть Q — выпуклое тело в п-мерном
пространстве Еп. Через каждую точку границы Q можно
провести гиперплоскость, опорную к Q.
Обобщением этой теоремы является следующая
Теорема 15. Проведем через внутреннюю точку А
п-мерного выпуклого тела Q из Еп k~мерную пло-
скость Lk(k<n). Она высекает из Q k~ мерное выпуклое
тело Qk. Пусть Lk~x есть (к — \)-мерная плоскость
в Lk, опорная к Qk. Можно провести (п—\)-мерную
гиперплоскость Ln_x в Еп, опорную к Q и заключаю-
щую Lk_x.
7 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
<98 ГЛ. И. «-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [7
Пусть в ^-мерном линейном многообразии EkaEn
(1 С А.< п) задана линейная форма lkX. Линейная форма 1пХ
во всем пространстве Еп называется расширением формы L,
если для Х^Ек
Форма 1к в Lk имеет норму
Форма 1п в Еп имеет норму
IIU = IIMz = max lnX.
п ЦХ||<1
Отсюда следует: ||/яЦ	|[7Л||£ , т. е. при расширении линей-
k
ной формы ее. норма может только увеличиться.
Теорема 16. Любую линейную форму lkX, определен-
ную в k-мерном многообразии Lk из Еп, 1 k < п, можно
распространить на все пространство Еп без изменения
нормы.
Эта теорема распространяется на бесконечные простран-
ства {теорема Банаха—Хана).
7. Связь между взаимными выпуклыми телами.
Пусть Q и Q*—единичные сферы в Еп и В*. Установим
связь между точками их границ — взаимную, но не одно-
значную.
Уравнение (2.89) опорной плоскости к Q в Еп можно
записать в виде
п
V=2V(=i.
i«1
В этом случае (см. (2.92)) ||К0[|* = 1. Формула (2.92) перей-
дет в следующую:
го*= 11го1Г=1-	(2.96)
Отнесем каждой точке XQ из Еп, для которой ||X0|[ = 1
(т. е. точке границы Q), все проходящие через нее опорные
плоскости к Q, уравнения которых записаны по формуле (2.96).
Имеем:
Г<Л=1, Н0|| = ||Г0||*=1.	(2.97)
gj 5frT3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В n-MEPHOM ПРОСТРАНСТВЕ 99
Формула (2.97) дает выражение для тех Y^£E*n, которые
отвечают данному Х^Еп\ она -носит симметрический отно-
сительно Хо и Уо характер, что указывает *на взаимность
этого отображения.
Теорема 14 показывает, что каждому из границы
Q(||XO|| = 1) отвечает по крайней мере один Ко из границы
Q*(HM*=1)-
Пример 18. На плоскости т2 сфера
(||X|| = max(|xi|, |x2IX D
есть квадрат Q == ВХВ2В3В4\ на плоскости Zlt 2 сфера
(|| Y || — | ут | +1 у21 "С 1) есть квадрат Q* = А}А2А3А4. Точке
Хо(1, 1) = В1 границы квадрата Q отвечают те К0(ур у2),
для которых
1 = ЗД = У1х14-У2*2==У1 + У2; Roll =1У11 + 1У21 =1>
значит, у, = |у1|>0, у2 = |у2|>0-
Таким образом, эти точки заполняют сторону АгА2 ква-
драта Q*.
Сторона ВгВ2 квадрата Q лежит на опорной прямой Х1= 1,
т. е. 1 • Л\4-0 • Х2— 1. Ей отвечает точка Уо(1, 0)<—вер-
шина А2 квадрата Q*. Остальным вершинам Q отвечают
остальные стороны Q*, сторонам Q — вершины Q* и обратно.
В трехмерном пространстве выпуклые тела Q и Q* могут
быть выпуклыми многогранниками лишь одновременно, при-
чем вершинам Q отвечают грани Q*, ребрам Q — ребра Q*,
граням Q — вершины Q* и обратно. Такие многогранники
называются взаимными. Например, если Q — куб, то Q*—ок-
таэдр (и обратно); если Q — додекаэдр, то Q* — икосаэдр
(и обратно).
В n-мерном случае Q и Q*~ могут быть многогранниками
лишь одновременно, ^-мерным граням Q (0 k <Сп — О
отвечают (п—k—1)-мерные грани Q*.
8. Конус. Касательный конус. Конусом К в Епс вер-
шиной в XQ£En называется множество точек Еп, отличное
от всего Еп, и такое, что если X принадлежит К, то и весь
луч (ZJV), 0<f<oo, принадлежит/С. Мы будем без огово-
рок считать, что конус К является выпуклым телом. Такой
конус вместе с двумя своими лучами, образующими острый
угол, содержит и весь угол. На плоскости такие конусы —
7*
100 ГЛ. II. n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ (8
это углы, не превосходящие тс. В трехмерном пространстве
примерами конусов являются двугранные углы, не превосхо-
дящие тс, обычные круг-
4/	лые конусы или правиль-
/	ные пирамиды, неогра-
/	ниченно продолженные,
/ - и т' д’
/уУ^	Пусть Хо — точка гра-
/У^	\	ницы выпуклого тела Q
* I	в Еп\ обозначим через
У	J	наименьший конус
У	У с вершиной в Хо, содер-
У	^^У	жащий Q; этот конус со-
/	__	_____________ стоит из всех лучей, со-
• q единяющих Ао с точками Q
Рис. 3.	и предельных для них
лучей. Назовем границу
этого конуса касательной конической гиперповерхностью
к Q в точке Хо; возможны два случая:
1) Конус /С(А0) совпадает с целым полупространством,
его граница есть единственная опорная в точке Ао гипер-
плоскость к Q, которая «ка-	_____
сается» Q в точке Ао.
2) Конус /С(А0) есть пра-	У	\
вильная часть полупростран-	У	\
ства; через точку Ао проходит	/	С |
бесконечное множество опор- /	/
ных к Q гиперплоскостей. Та- дг /	/
кую точку называем точкой X. I	/
заострения.	X. \	У
Пример 19. На плос- Хк	у
кости конус К (Ао) превра-	^У
щается в угол, ограниченный
двумя касательными к Q в точке	дг
Ао = О лучами (лучи ОД, ОВ
на рис. 3); если этот угол ра-	Рис. 4.
вен тс, то оба луча образуют
единственную опорную прямую (прямая А'В' на рис. 4),
касающуюся границы Q в точке О. Если угол меньше тс,
то точка О есть точка заострения, через О проходит
бесконечное множество опорных прямых.
10]	§ 3. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ю1
Пример 20. Пусть Q — выпуклый многогранник в Е3.
Если точка Хо лежит внутри его грани, то K(XQ)— полупро-
странство, ограниченное плоскостью грани, единственной
опорной к Q плоскостью в точке Хо. Если лежит внутри
ребра АВ. то /С(А0) есть двугранный угол, меньший тг,
ограниченный плоскостями граней, сходящихся в АВ\ суще-
ствует бесчисленное множество опорных плоскостей к Q
в точке Ао, все они проходят через ребро АВ. Если Ал0
есть вершина Q. то /CpQ есть многогранный угол с вер-
шиной в XQ, ограниченный плоскостями сходящихся в XQ
граней; точки ребер, и тем более вершины Q, суть точки
заострения.
9. Теорема Хелли. Приведем интересную теорему о пере-
сечении выпуклых тел.
Теорема 17. Пусть в Еп дано произвольное мно-
жество выпуклых тел {Q}, из которых хотя бы одно
ограничено. Если любые п + 1 из них имеют общую
точку, то существует точка, общая для всех тел
из {Q}.
Например, если на прямой задано такое произволь-
ное множество отрезков, что любая пара из этих отрезков
имеет общую точку, то существует точка, общая всем от-
резкам.
10. Линейные операции над множествами. Опреде-
ление. Пусть А и В произвольные множества из Еп.
Векторной суммой А-^В этих множеств назовем множе-
ство {А*} точек из Е^ представимых в виде XsAj+A^,
где Хх£ А. Х2£В.
Пример 21. Если А произвольное множество, а —
одна точка (вектор), то Л + а есть множество, получен-
ное параллельным переносом (сдвигом) множества А на
вектор а.
Пример 22. Если А — ось х. В — ось у, то А-\-В
есть вся плоскость.
Пример 23. Если А в Еп есть n-мерная замкнутая
сфера радиуса р с центром в 9, то Л + В есть «слой»
толщиной р вокруг В, т. е. множество точек Еп, удален-
ных от В на расстояние, меньщееили равное р.
102 ГЛ; IL n-МЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ФУНКЦИИ В НИХ [10
Теорема 18, Векторная сумма выпуклых мно-
жеств (тел) есть выпуклое множество (тело)..
Определение. Если к есть некоторое число, А —
множество в то кД есть множество всех точек вида кЛГ,
где Х£А.
Подобным преобразованием множества А с коэффи-
циентом преобразования к > 0 называется преобразование
множества А в множество кД. Симметрическим отображе-
нием А относительно центра 6 называется преобразование
множества Д в —Д.
При к = 0 множество кД состоит из одной точки 0.
Если А — выпуклое множество (тело), то кД есть вы-
пуклое множество (тело).
Если Д/ (Z = 1, 2..п)— выпуклые множества (тела),
п
то 2 ^Д/— выпуклое множество (тело) при любой системе
неотрицательных чисел кр \...кл. Пусть Тх = и
Т2 (I — С2) — две параллельные опорные гиперплоскости
к выпуклым телам Qx и Q2, a (Z, (Zj С2) — отвечаю-
щие им полупространства, содержащие соответственно Qi
и Q2; t2 — произвольные положительные числа. Тогда
txT\-\-t2T2— параллельная им опорная гиперплоскость
(I = txCx + t2C2) тела Q = ZIQ1-|-f2Q2, лежащего в полупро-
странстве (I ^ i1Ci-^-t2C2).
Теорема 19 (Брунна — Минковского). Пусть
в Еп заданы выпуклые тела До и Аг и «линейная си-
стема» выпуклых тел Д/ = /До+(1—/)ДР
п-мерные объемы Jn тел До, Аг и всех At связаны нера-
венством Брунна — Минковского
VZTwxi	* /тда). <2-98>
Случай равенства наступает тогда и только тогда,
когда До и Д!— гомотетические выпуклые тела, т. е.
получаются одно из другого подобным преобразова-
нием и параллельным сдвигом (Дг = тД0 + Ь, т^-0, b —
вектор).
Неравенство (2.98) доказано (в 1887 г.) Брунном; слу-
чай равенства — (в 1891 г.) Г. Минковским.
10]	§ з. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА В n-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЮЗ
п ______
Неравенство (2.98) означает, что V Jn(At)есть вогнутая
функция для любого I на [0, 1].
Теорема остается справедливой и для невыпуклых тел, и
вообще для любых множеств, если под Jn(A) понимать внешнюю
/z-мерную меру множества А или меру в случае его измеримости
(см. [7]).
Теорема Брунна — Минковского применяется при дока-
зательстве изопериметрических и ряда других геометрических
свойств выпуклых тел.
ГЛАВА HI
РЯДЫ
Введение'
В главе I рассматривались бесконечные последовательности
и их пределы. С последовательностями тесно связаны бес-
конечные ряды, или просто ряды,
оо
а1~1~а2Ч- • • • +fln+ • • • =	(3-0
л = 1
— «суммы бесконечного множества слагаемых».
Ряды весьма широко используются в самых различных
разделах математического анализа и при решении приклад-
ных задач, являясь одним из наиболее универсальных и
эффективных средств как исследования, так и вычисления.
Примеры рядов — бесконечные геометрические прогрессии —
встречались уже в античной математике. В процессе создания ана-
лиза бесконечно малых появились ряды, с помощью которых
вычислялись значения тех или иных функций: ряд для логарифма
у Меркатора, ряды для sin х, cos х, arcsin х, arccos х, (1 + х)*
и т. д. у Ньютона. Весьма широко пользовался рядами для представ-
ления функций в разнообразных вычислениях Эйлер, причем на-
ряду со степенными рядами у него применяются тригонометри-
ческие ряды. Эйлер использовал и расходящиеся ряды; он, по-види-
мому, первым стал заниматься улучшением сходимости рядов.
Огромный фактический материал по рядам, накопленный к на-
чалу XIX века, поставил перед наукой задачу строгого обоснова-
ния теории рядов. Исследования в этом направлении Абеля, Гаусса,
Коши и др. сыграли большую роль в обосновании математиче-
ского анализа в целом.
Настоящая глава посвящена основам теории и практике
вычисления рядов. В § 1 рассмотрены числовые ряды,
в § 2 — функциональные ряды, в § 3 — различные методы
их вычисления; о векторных рядах см. главу IV.
1]
ВВЕДЕНИЕ
105
!• Основные понятия. Определение. Рядом назы-
вается символ (3.1), составленный из членов бесконечной
последовательности {ап} (п=1, 2, 3, ...). Каждому ряду
отвечает последовательность {$Л} (п=1, 2, 3, ...) его
частичных сумм, где
п
sx = ax,	.... «л= 2й*. ••• (3-2)
k - 1
Пример 1. Для ряда
ОО
 >+w+^+-=w
я = 1
имеем
При рассмотрении последовательности частичных сумм
могут встретиться следующие два случая.
Случай 1. Последовательность {$Л} имеет определен-
ный конечный предел
S— lim sn.
«~>оо
Этот предел называют суммой ряда (3.1) и записывают:
(3.3)
л= 1
В примере 1
оо
п = 1
Случай 2. Последовательность {$Л| не имеет конеч-
ного предела.
Пр и мер 2.
1-1-2-1-3 4- ... 4-«4- ... = Sn;
п = 1
Sj = 1, s2 = 3,
_ __ О 4-«) п
sn— g
При п->оо частичная сумма ая->оо.
Мб	ГЛ; HI. РЯДЫ	(1
Пример 3.
1 _ 1 4- 1 _ 1 4- ... = 2(— l)*-i
7Г=1
( 0 при п четном,
$, — 1 , $о = 0,	$о=1..... $ = <
z	п ( 1 при п нечетном.
Пример 4.
1-24-4 — 84- ... =5<—2)*"1;
Л = 1
$i= 1. S2 = — 1, $3 — 3, $4 = — 5.... $д= 1 —	•
В случае 1 ряд „называется сходящимся, в случае 2 (при-
меры 2, 3, 4)—расходящимся.
Пример 2 иллюстрирует важный частный случай рас-
ходящихся рядов, когда $rt —> оо (или $п—>— оо); при-
мер 3— случай, когда sn «колеблется», оставаясь ограни-
ченной; пример 4 — случай, когда $я «колеблется», но
является неограниченной.
В этом параграфе рассматриваются лишь сходящиеся ряды.
Для сходящегося ряда (3.1) сумма S ряда может быть пред-
ставлена в виде
5 = $„4-Яй.	(3.4)
где
ОО
яя = ап+14~йи+2+ • •• == 5 й* (3.5)
£ = /14-1
и носит название остатка или остаточного члена ряда.
Под вычислением (или суммированием) ряда понимают
нахождение суммы ряда 5.
Таким образом, для вычисления ряда следует убедиться
в его сходимости.
Точное суммирование ряда (некоторые приемы точного
суммирования будут указаны ниже) удается выполнить лишь
для узкого класса рядов. Большей же частью сумма ряда
определяется приближенно. При приближенном суммиро-
вании сумму S заменяют частичной суммой $л.
Из самого определения суммы сходящегося ряда следует,
что
lim Rn= lim (S — $я) = 0.	(З.б)
л->оо	л-»оо
ВВЕДЕНИЕ
107
21
Это показывает, что при достаточно большом п остаточ-
ный член Rn может быть сделан сколь угодно малым по
абсолютной величине..
Для обеспечения требуемой точности при замене S на sn
возникает необходимость оценки разности
S Sn=Rni
т. е. остаточного члена.
Вместе с тем, для практического удобства расчетов
требуется, чтобы число членов п частичной суммы sn,
которое следует взять для достижения необходимой точ-
ности, было невелико. Существуют ряды, для вычисления
которых с достаточной точностью пришлось бы брать п по-
рядка тысяч и даже десятков тысяч. О таких рядах говорят,
что они медленно сходятся.
Пример 5. Для вычисления суммы ряда
со
‘-4+1-т+
Л»1
с точностью до 0,001 необходимо просуммировать тысячу
членов ряда.
Отсюда и возникает вопрос об улучшении сходимости
ряда, т. е. таком его преобразовании, после которого для
вычисления ряда с той же точностью требуется меньше
членов частичной суммы stt преобразованного ряда. Итак, для
вычисления рядов основными вопросами являются: сходимость,
оценка остаточного члена, улучшение сходимости.
2. Некоторые признаки сходимости рядов. Признак
Коши сходимости последовательностей (3.2) в применении
к рядам принимает следующую форму.
Признак Коши. Для сходимости ряда (3.1) необхо-
димо и достаточно, чтобы при любом данном s > 0 существо-
вало такое пе, что
|ал + 1 +Лл+2+ • • • + ап+т\ < 8
для всякого п > и для любого целого положитель-
ного т.
Из этого признака при т = 1 вытекает важное след-
ствие.
108
ГЛ. III. РЯДЫ
[2
Если ряд (3.1) сходится, то его общий член ап стре-
мится к нулю с ростом п:
аЛ->0 при п—>оо.
Это условие является необходимым, но не достаточным
для сходимости ряда.
Пример 6. Гармонический ряд
1+4+1+ ••• =24
П = 1
1 л
расходится, хотя а/г = — —> О при л —> оо.
Признак Коши является самым общим необходимым и
достаточным критерием для установления сходимости или
расходимости ряда.
Однако обычно непосредственное его применение затруд-
нительно. В теории рядов получен целый ряд достаточных
признаков сходимости и расходимости рядов разной степени
общности, которые получили широкое применение. Из них
исторически первым является
Признак Даламбера. Если для ряда (3.1) суще-
ствует предел
lim 1 ?g-+p- ==
7Z->OO I аП I
то ряд сходится при q < 1 и расходится при q > 1. (В слу-
чае q — 1 признак Даламбера ответа не дает.)
Более общим является
Признак Коши — Адамара. Обозначим
q = lim
й->оо
Тогда ряд (3.1) сходится при q < 1 и расходится при q > 1.
(В случае q = 1 признак ответа не дает.)
Принцип мажорирующих рядов. Ряд
со
^1 + ^2 +  • • = 2 Ьп	(3.7)
Л = 1
с неотрицательными членами Ъп называется мажорирую-
щим для ряда (3.1), если при любом я, начиная с неко-
торого
I I
1]	§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ	109
Из сходимости ряда (3.7) следует сходимость
ряда (3.1).
На принципе мажорирования основаны многие признаки
сходимости, в частности, признаки Даламбера и Коши —
Адамара.
§ 1. Числовые ряды
1. Знакопостоянные и знакопеременные ряды. Если
все члены ряда имеют одинаковые знаки, то ряд называется
знакопостоянным. К числу таких рядов относятся ряды,
все члены которых только положительные {знакоположи-
тельные pndbi)i и ряды, все члены которых только отрица-
тельные {знакоотрицательные ряды).
Если не все члены ряда имеют одинаковые знаки, то
ряд называют знакопеременным. В случае конечного числа
членов, имеющих один знак, при исследовании сходимости
их можно отбросить и рассматривать остающийся знако-
постоянный ряд. Теория же рядов с бесконечным количеством
положительных и отрицательных членов имеет некоторые
принципиальные отличия от теории знакопостоянных рядов.
Частным случаем принципа мажорирования рядов является
Теорема 1. Ряд с членами произвольных знаков
оо
а\ 4~ а2 Н- • • • + ап + • • • ~ 2 ап (3.8)
Л = 1
сходится, если сходится ряд
1а11 + |я214~ • •• +|«я1+ ••• = 2 ! ап I» (3.8*)
/2 = 1
составленный из абсолютных величин членов ряда (3.8).
В этом случае ряд (3.8) называют абсолютно сходя-
щимся. Все сходящиеся знакопостоянные ряды — абсолютно
сходящиеся.
Возможны случаи, когда ряд (3.8) сходится, а ряд (3.8*)
расходится. Тогда ряд (3.8) называют неабсолютно, или
условно сходящимся.
Пример 7. Ряд
1.1	_ _ у (-1)"-1
1	2’3	~ £4 п
/2 = 1
сходится и сумма его равна S = In 2.
ПО	хл. т^рвды	[2
Ряд же, составленный из абсолютных величин членов
этого ряда, есть расходящийся гармонический ряд.
2.	Свойства сходящихся рядов. Сочетательное
свойство. Если члены сходящегося ряда
а1 + а2 4" • • • + ап + • • • — 2 ап
Л = 1
объединить в произвольные группы, не меняя расположе-
ния членов:
#1+ .	4“#/Ъ> 0^ + 14“	Н-Олр Chti + l 4" ... Ч-#ла» ...
•••• %-t+1-b	+ *4- ••••
где {пй} — частичная возрастающая последовательность номе-
ров из натурального ряда, то ряд из сумм членов этих групп
(аг4- ... +оЛ1) + (аЯ1+1-	... 4“#л2)4~ • • •
всегда сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.
Этим свойством можно воспользоваться для улучшения схо-
димости рядов.
Переместительное свойство абсолютно
оо
сходящихся рядов. Если ряд 2 ап абсолютно схо-
Д = 1
дится, то ряд, полученный из него любой перестановкой
членов, также сходится и имеет ту же сумму, что и исход-
ный ряд.
Неабсолютно сходящиеся ряды переместительным свой-
ством не обладают. Более того, имеет место
Теорема 2 (Римана). Можно так переставить
члены неабсолютно сходящегося ряда, чтобы преобразо-
ванный ряд имел сумму, равную любому наперед задан-
ному числу, или стал расходящимся.
3.	Общие признаки сходимости знакоположительных
рядов. Если требуется определить сходимость ряда с поло-
жительными членами
S	(3.9)
А = 1
3J
§ L ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
111
то для этого выбираем другой ряд с положительными чле-
нами	
со 2^	(3.10)
по нашему усмотрению, например, такой, чтобы сходимость и сумма его заранее были нам известны. Введем обозначение:	
3 II	(3.11)
Rm является остаточным членом ряда, который равен ко- нечному положительному числу, если ряд (3.9) сходится, и оо, если ряд (3.9) расходится;	
*	«й+Z	(3.12)
где 1 — параметр, принимающий такие целочисленные зна- чения, что	т — фиксированное целое положи- тельное число; А V) = (0»	(3.13) Л->оо	
lim Ak(!) = A(l). /?->оо Пусть п п->оо	1 	 п	_ 1гт 2а—Дя? л->оо k-m	(3.14) (3.15) (3.16)
в том случае, когда нижний и верхний пределы совпадают,
т. е. когда существует предел, введем обозначения:
lim Л/г(1) = Л(/),	(3.17)
#->ОО
п
иш 2 ьк = вт.
(3.18)
Имеют место следующие достаточные признаки сходи-
мости ряда (3.9).
112
ГЛ. III. РЯДЫ
[4
Признак I. Если А(1)У>9 и Вт<-\-&э> то ряд (3.9)
сходится, если же —оо < Л(/)<СО и Вт = — оо, то
ряд расходится.	~
Признак И. Если А(1)<^9 и Вт^>—оо, то ряд
сходится, если же 0 А (I) < 4~ со и Вт=+ оо, то
ряд расходится.
Признак III. Если А(1)>9 и В^<+оо или
А (Г) < 0 и ВтУ> — оо, то ряд сходится; если же
0<Л(/)<+оо и Вт=4“°о или —oo<4(Z)<0 и
Вт = — оо, то ряд расходится.
Из признаков I, II и III путем соответствующего выбора
вспомогательного ряда (3.10) можно получить, как частные
случаи, ранее известные, а также новые достаточные признаки
сходимости рядов с положительными членами (см. п. 5).
Эти признаки содержат, в частности, также известный необ-
ходимый признак сходимости, утверждающий, что если ряд
(3.9) сходится, то lim ап — 6.
п ->оо
4.	Оценки остаточных членов, соответствующие раз-
личным признакам сходимости. В том случае, когда для
ряда (3.9) выполнен один из признаков сходимости I, II и III,
можно дать и соответствующую оценку остаточного члена
этого ряда.
1)	Для признака I
,„РДЛ,(О	(ЗЛ9)
Л>m	т
где т такое, что все Ak (Z) > 0; Z — целочисленный параметр,
удовлетворяющий условию /ra-|-Z^>0.
2)	Для признака II
т	т
где т такое, что все Ak(l)<^9 и m-J-Z^-O.
3)	Для признака III, если A (Z) > 0, имеет место оценка
(3.19), а если Д(/)<0 — оценка (3.20).
Для признака III бывает удобно пользоваться следующими
частными случаями оценок (3.19) и (3.20):
4]
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ ряды
113
а)	Когда А (I) > 0 и последовательность {Ak (/)} при k т
монотонно возрастающая, то
б)	Когда Л(/)<0 и последовательность {^(/)) при
k^m монотонно убывающая, то
<3-22>
в)	Когда Л(/)<0 и последовательность {Дй(/)} при
k^m монотонно возрастающая, то имеет место (3.21).
г)	Когда A (Z) > 0 и последовательность {Ak (/)} при k т
монотонно убывающая, то имеет место (3.22).
Пример 8. Оценим остаточный член ряда
Полагая, например, bn — zn+l— zn, где zn =— при
условии т > 1 и /^0, имеем
А (2^+Р (/п + /)3
2m2(m+l)2
Л(/)= lim -^- = 1, вт= lim (zn+1 — zm) =	.
ги-»оо atn+l	/z->oo
Легко проверить, что последовательность {ДДО)} (пг—\,
2, 3, ...) монотонно возрастающая, а последовательность
{Лш(1)} (т=1, 2, 3, ...) — монотонно убывающая.
Следовательно, при / = 0 и т^.1, согласно (3.21),
имеем
i р (”* + i)2
2m2	(2m + 1) m3 ’
а при /=1, согласно (3.22),
1	п	1
(2m + 1) (m + 1)	П/я+1	2m2 ’
Из последних двух неравенств, выбирая наибольшие нижние
и наименьшие верхние значения, получим
1	("* + Р2
(2m — l)m	(2m + l)m3 ’ У
8 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
114
ГЛ. II!. РЯДЫ
[5
Этот пример показывает, что при одной и той же выбран-
ной последовательности {£л} и при различных значениях
индекса I можно получить оценки, не перекрывающие
друг друга.
5. Частные признаки сходимости знакоположительных
рядов. Оценки остаточных членов. Из общих признаков
сходимости I, II и III (п. 3) следуют многие известные класси-
ческие признаки сходимости рядов с положительными членами.
Здесь приводятся некоторые из этих признаков и соот-
ветствующие им оценки остаточных членов (см. [8]).
Г. Обобщенный признак Даламбера. Следую-
щие два признака можно рассматривать как некоторое обоб-
щение приведенного ранее признака Даламбера.
Признак Я. Если для некоторого фиксированного I
А (I) = lim —а". < о,
п->оо &п+1
оо
то ряд 2 ап сходится, если же
A(l) — lim -g"+1 — a"->0,
(3.23)
(3.24)
то ряд расходится.
Признак В, Если для некоторого фиксированного I
величина
Д(/)= lim -я+1~д^
д->оо аП+1
отрицательная, то ряд сходится; если же она положительная,
то ряд расходится.
Из признаков Л и В, в частности, при / = 0 получаем
признак Даламбера (Введение, п. 2).
оо
Если сходимость ряда 2 установлена с помощью
л»1
признаков А или В, то на основании оценки (3.20) имеем
___________________~~ ат <2 R _________________________________________________________________________________________________~~ ат-__________________________________
inf .ай±‘~.а& m+Z^ sup ,afe+i—Ч ’
ak+i	k>m ак+[
(3.25)
5]
$ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
115
Если последовательность | Л* (/) —	# I при k >- tn
I	ak+i 1 r
монотонно возрастающая, то
_____ ат	п	_________— ат_____
ат+\ ат______________________________________m+Z |«т_*
am+Z	Л->оо ak+i
Если же последовательность {Л^(/)} при k^m
тонно убывающая, то
ат
lim
£->оо	<Чг + 1
(3.26)
моно-
(3.27)
(3.28)
Пример 9.
Нетрудно проверить, что если /~4~1 < 0, то последователь-
ность | Ак (/) = ~ ak~ | Ддя РяДа (3.28), начиная с неко-
торого k^N(l)t отрицательна и монотонно убывает. Если
/4-1 > 0, то последовательность {Лл(/)} отрицательна и
монотонно возрастает.
Таким образом, на основании (3.27) при I +1	0, на-
чиная с некоторого т^> N(I) (например, при / = — 1, на-
чиная с т^>1), имеем
1 <R <___________________(м + Р2_________
2/n+z-i^2	2m+z~\m + /)2(OT24-4m4-2) ‘
При /-+-1 >0 в этой оценке следует изменить знаки не-
мы убеждаемся в том, что наияучшая верхняя оценка дости-
гается при I — —1, а наилучшая нижняя оценка—при
/ = 0, и тогда получаем 0,000686	0,000703.
116
ГЛ. HI. РЯДЫ
(5
2°. Обобщенный признак К о ш и. Полагая Ьп —
и применяя признаки I, II (п. 3), получим следующий при-
знак сходимости, который можно рассматривать как обобще-
ние признака Коши — Адамара.
Признак С. Если для некоторого фиксированного I
и р < 1
00
то ряд 2 ап сходится; если же при некотором I и р > 1
Л = 1
0<
ап+1
то ряд расходится.
При / = 0 из этого признака получаем известный при-
знак Коши — Адамара (Введение, п. 2).
оо
Если сходимость ряда 2 ап установлена с помощью
Л = 1
признака С, то, согласно (3.19), при любом т +1 > 0 будем
иметь
пт
-------1?--------------------------------1-. (3.29)
(1 — р) sup —	(1 — о) inf —-—
ak+l	k^m ak+l
Здесь р < 1 — произвольное число, для которого lim —— >0.
п -> ОО
Если последовательность { Ак (t) = у | при k т является
монотонно возрастающей, то
(1 — р) lim ——
&->оов&+1
(3.30)
Если же последовательность {ЛЛ (/)} при k^tn монотонно
убывает, то
ат+1 <s п	?т_
1—й
v	(I —р)Нш __L_
(3.31)
5]	§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ	117
Пример 10.
оо
Srrz (° <*<!)•	(3-32)
л = 1]/П
Нетрудно показать, что к ряду (3.32) при усло-
вии	может быть применена оценка (3.31).
Считая р = х, будем иметь
Ym+l	Ym+l
________________________ s' Р s' л_
т+1 __________________________1—х *
(1 — х) ут + 1
3°. Признак Раабе. Из общего признака III (п. 3),
в частности, можно получить
оо
Признак D, Ряд 2 ап сходится, если для любого
целого /^>0 величина
А ([) = lim	< о, (3.33)
/1->оо	^/z+Z
и расходится, если
Я(/)>0.
При / = 0 получаем
оо
Признак Раабе. Ряд 2 ап сходится, если
п-1
lim п(1 —-^+Ц> 1,
п ->оо \	лл /
и расходится, если, начиная с некоторого п,
Пример 11.
i„(„+o(,.+2)-	<з-з4>
Л = 1
Сходимость этого ряда легко устанавливается применением
признака D. Здесь можно использовать также оценки оста-
точного члена п. 4, соответствующие случаям 3), в) и 3), г).
118
ГЛ. in. РЯДЫ
Применяя оценку 3), в) (п. 4) при и /^>2, получим
__________(m-l)(m + 3)__________ ..
(2m —3)(m + /)(m+ /+1)(т + / + 2>
^2т (m + V)(m + ty* <3,35>
Применяя же оценку 3), г) (п. 4) при m—f—Z> О, /<^1
4Z Л
и т > —х-, будем иметь
zZ •— О
___________(от —1)(от + 3)__________ _
(2от — 3) (от +/) (от + /-f-1) (от 4-Z + 2) *S'/Vm+Z<^
2от(от+1)(от + 2)'	<3,36>
Сравнивая неравенства (3.35) и (3.36), например, прит-]-/= 12,
легко получим, что
0,00315	0,00337,
тогда как истинное значение RX2 = 0,00320.
4°. Признак Гаусса. Если lim = I, то, как
П -> оо ап
указывалось ранее, признак Даламбера не решает вопроса
оо
о сходимости ряда ап- Если при этом отношение
ап
имеет вид
ап п* + qn1"1 + Ф (й)
где ср(п) и ф(л) имеют порядок ниже, чем п1'*1, то сходи-
мость и расходимость ряда устанавливается с помощью
следующего признака.
со
Признак Гаусса. Ряд 2 ап сходится при q — р > 1
72=»1
и расходится при q— р ^1.
Пример 12. Гипергеометрический ряд при х—1 [7]
i s(g-MW + l) , а(а + 1)(а + 2)р({3 + 1)(р + 2) ,
1-1 L 1-2.T(T+1) “Г 1.2.3.Т(т+1)(т + 2)
(3.37)
5|	§ i. числовые ’ряды	ng
скалится при условии, что
!>« + ₽•
Заметим, что ряд (3.37) при любых действительных а, р, у, на-
чиная с некоторого номера п, знакопостоянен (предполагается,
что ни одно из чисел а, р, 7 не является отрицательным).
В данном случае, например, при / — 0 имеем
Лв (0) = -(Т-~~Д(Тд~ (Т _ а - Р)
И
Д(0) = -(у_а_р)<0.
Учитывая, что последовательность {Ап (0)}, начиная с п > — у,
будет монотонно возрастающей или монотонно убывающей,
и воспользовавшись оценками (3.26) и (3.27), получаем
+ у) тат< р <	.
(/И > — 7),
где
„ - «(«+!).+
т	м!т(т+1) ... (т+уя—1)
5°. Интегральный признак Коши. Пусть общий
ОО
член ряда 2 ап с возрастанием п монотонно убывает. Тогда,
Л = 1
очевидно, можно подобрать бесконечное множество положи-
тельных функций а{х), монотонно убывающих и непрерыв-
ных при х > 0, и таких, что
«(«) = ап.
ОО
Пусть а(х) — одна из этих функций. Тогда ряд 2ал
п-1
сходится или расходится, смотря по тому, будет ли сходя-
щимся или расходящимся несобственный интеграл
оо
J a(x)dx.	(3.38)
а
где а >> 1.
120	гл. .ш. ряды	[5
Этот признак вытекает как частный случай из общих при-
знаков I и II (п. 3), если положить, например,
л+1
b„= j" a (x)dx и 1 — 0.
п
Пример 13. Дан ряд
<о>0>- (3-39>
л = 2
Выберем в качестве а(х) функцию ---=4--- и положим
а = 2, тогда
со
J xln1+ X alnx L <sln°2
2	*
следовательно, ряд сходится.
Пример 14. Дан ряд
оо
Елж- <3 40>
/1 = 3
Выберем а(х)= -у---4- «— и положим а = 3,
XIГ1X in IП «V
оо
Г 1	г
/ lhl„ = In In In X =ОО,
е/ X1 п X 1П 1П X	|о
3	°
следовательно, ряд расходится.	,
Пример 15. Дан ряд
оо
2^--	(3.41)
/1 = 1
Выберем а(х) — ^ и положим а=1. Учитывая, что
Г^£=/т=4- приа=#1,
х ( In х при а — 1,
5]	§ 1 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
121
получаем:
при а > 1,
при а 1.
Следовательно, ряд сходится при <з > 1 и расходится при
а 1.
Отметим следующее:
1) В силу того, что выбор функции а(х) в значительной
мере произволен, то, вообще говоря, можно дать бесконеч-
ное множество оценок, соответствующих данному признаку.
2) Когда последовательность {ап} монотонна, то оцен-
ками, соответствующими интегральному признаку Коши,
можно пользоваться независимо от того, с помощью какого
оо
признака будет доказана сходимость ряда 2 ап-
Пример 16.
оо
(а>1>.
Л = 1
X	1
Пусть, например, а (х) = . Функция а(х) при
монотонно убывает. Поэтому, вычисляя
jfe+i
л	Г -Г J а—1 I О — In я— 1
Л* = -г- / ха Xdx — —;-------------г-5----
й kJ	a In а 1 ka In2 а
k
и пользуясь оценкой (3.26), будем иметь
_________т(т\па + 1)________<	<
а®’-1 (а—l)^mln« +1 —
гл In я+ 1
(а — 1) In а *

6°. Теорема Н. В. Бугаева, признак В. П. Ерма-
кова. Пусть а (х) — функция, введенная при формулировке
интегрального признака Коши, а 8(х)— некоторая положи-
тельная дифференцируемая функция, возрастающая с ростом х
так, что lim —Uy = O. Тогда на основании интегрального
признака Коши можно получить следующую теорему.
122
ГЛ. HI. РЯДЫ
[5
Теорема 3	(Н. В. Бугаева). Если функция
8'(х)а[8(х)] при достаточно большом х монотонна, то
оо	оо
ряды 2 и 2 5' (n) о (В (п)1 одновременно сходятся или
/2 = 1	/2 = 1
расходятся.
Таким образом, любой признак сходимости, примененный
ОО
к ряду 2 (Л)я{В(п)], в то же время будет давать при-
/2 = 1
ОО
знак сходимости для ряда 2ЛЛ.
/2 = 1
Из теоремы Н. В. Бугаева, в частности, вытекает сле-
дующий
Признак В. П. Ермакова. Если
lim
К+СО «(«)
< 1.
оо
ТО ряд 2 ап
/2 = 1
сходится; если же
lim
/72 > ОО
ета (ет)
а (т)
> 1.
то ряд расходится.
л+1
Полагая, например, —	8'(x)a[8(x)]dx и пользуясь
/2
общими оценками, приведенными в п. 4, можно получить
бесконечное множество оценок ^для остаточного члена
оо \
ряда 2 ап) • которые соответствуют различным способам
/2 = 1	/
выбора функций 8(х).
7°. Признак Лобачевского. Если члены ряда
2
/2=1
монотонно убывают, то этот ряд сходится или расходится
одновременно с рядом
оо
2
т-1
6]	П. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ	123
где рт определяется из равенств
а(рда+1)<2"т.
Можно также
если функция
чений х.
Пример
определить рт из равенства
а(рт) = 2~т,
а(х) монотонна и определена для любых зна-
17.
Из уравнения
т
т — 22 и составляем ряд
оо т
определяем pt
2 Pm2-m= 2 2~.
т-1	т = 1
Этот ряд является сходящейся геометрической прогрессией,
и, следовательно, ряд
также сходится.
6. Сходимость знакопеременных рядов. Пусть дан зна-
копеременный ряд (3.8). Составим ряд (3.8*) из абсолютных
величин членов ряда (3.8).
Для установления абсолютной сходимости ряда (3.8)
к положительному ряду (3.8*) можно применить все признаки,
изложенные выше для знакопостоянных рядов. Однако при-
знаки сходимости ряда (3.8*), как указывалось, могут ока-
заться несправедливыми для ряда (3.8).
Знакочередующиеся числовые ряды. Знако-
чередующимися называют ряды, члены которых поочередно
имеют то положительный» то отрицательный знаки. Для этих
рядов справедлива
124	гл. hi. ряды	[6
Теорема 4 (Лейбница). Если члены знакочередую-
ОО
щегося ряда 2 ап монотонно убывают по абсолютной
Л = 1
величине'.
1«Я+1К1«Я| (в = 1,2,3,...)
и п-ый член стремится к нулю
lim ап = О,
л>оо
то ряд сходится.
Оценка остаточного члена знакочередующегося ряда
проста и эффективна.
Остаток знакочередующегося ряда, удовлетворяющего
условиям теоремы Лейбница,
^я = а/1+1+ал+2+ •••»
имеет знак своего первого члена ая+1 и меньше его по
абсолютной величине:
I*, I < I ал+11*
Более общими, чем критерий Лейбница, являются крите-
рии сходимости Абеля и Дирихле.
Пусть дан ряд
сю
2	а А + а2^2 + ••• +вл^я+ (3.42)
/1 = 1
где {яя} и {йя}—последовательности действительных чисел.
Признак Абеля. Ряд (3.42) сходится, если ряд
со
2^=^+^+ ...+М- •••	(3.43)
Л = 1
сходится, а числа ап образуют монотонную и ограниченную
последовательность
|ая| <К (л=1, 2, 3, ...).
Пример 18.
со
71
§ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
125
Признак Дирихле. Ряд (3.42) сходится, если частич-
ные суммы ряда (3.43) в совокупности ограничены:
|	< м (п=1, 2, 3, ...),	(3.44)
а числа ап образуют монотонную последовательность, стре-
мящуюся к нулю: lim ал = 0.
п->оо
Предположение (3.44) является более общим, чем пред-
положение о сходимости ряда (3.43), поэтому признак Абеля
вытекает из признака Дирихле.
7. Бесконечные произведения и их сходимость. Пусть
дана некоторая последовательность чисел (или функций)
А> Pi’ Рз....Рп< •••	(3.45)
Тогда символ
Пр» = ААРз ••• Рп •••	(3-46)
п = 1
называют бесконечным произведением.
Произведения конечного числа взятых последовательно
членов
Pl = Pl’ Р2 = PlP2’ Р3 = Р1РгРз.....Рп = Р1Р2 ”’Pn-lPa
(3.47)
называют частичными произведениями. Их последователь-
ность будем обозначать символом {PJ.
Пример 19.
Пп(п + 3)	_ 1-4 2-5 3-6
(п + 1)(и + 2) — 2-3 3-4 4*5 ‘ ’
л=1
Сходимость бесконечных произведений.
Различают четыре основных случая.
1)	Последовательность частичных произведений {Рп} имеет
конечный предел, отличный от 0:
lim РЛ = Р.	(3.48)
л>оо
Этот предал называют значением произведения и пишут
оо
МК	(3.49)
/1 = 1
126
ГЛ._ III. РЯДЫ
И
Само произведение в этом случае называют сходящимся»
В примере 19
n V 1 Л + 3	1
Р= hm -о-тН-г — V
л>0О 3 п + 1	3
2)	Последовательность {PJ стремится либо к +> сю, либо
к —оо.
Пример 20.
оо
JJn = 1 • 2 • 3 ... п ...; Рп = п!; lim п! = сю.
Л = 1	Л>ОО
3)	Последовательность {Рп} имеет пределом 0.
Пример 21»
Рп = ^ при любом п, Рп =	, lim = 0.
4)	Последовательность {Рп} не имеет предела (например,
колеблется).
Пример 22.
ТТ /__1 уг п (п + 3)	__
(л+1)(и + 2) —
_ 1-4/	2.5\3‘6/	4*7Л	1 д 1
— 2*3 \	3-4/4.5\	5*6/	З^^З*
В последних трех случаях произведение называют рас-
ходящимся.
Выделение случая 3) f lim — вносит некоторое
\«->оо	/
отличие от классификации, принятой для бесконечных рядов.
Однако это удобно для формулировки многих теорем о беско-
нечных произведениях.
Бесконечное произведение может быть представлено
в форме
оо
Пря = Рл.	(3.50)
Л = 1
где
Рт = Р1Р2 ••• Рт
— частичное произведение т первых членов, а
оо
’tm=An+lA«+2 ••• = П Рп (3.51)
7j	§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ	127
носит название остаточного произведения, которое анало-
гично остаточному члену ряда.
Теорема 5. Если сходится произведение (3.46), то
сходится при любом т и остаточное произведение (3.51)
(если все рп Ф 0); из сходимости остаточного произведе-
ния вытекает сходимость исходного произведения.
Итак, отбрасывание конечного числа начальных множите-
лей или присоединение в начале конечного числа множи-
не отра-
произведения
телеи на сходимости (
жается.
Если бесконечное произведение сходится, то
lim
Это вытекает из (3.50):
Р
™т— р
*т
и из того, ЧТО Р #= 0.
Если бесконечное произведение сходится, то
Л>оо
(3.52)
(3.53)
Это вытекает
из цепи равенств:
v	lim А.
lim —
Л->ОО	11га
= 1.
сходящегося произведения рп > 0,
п. Это следует из (3.53). Ввиду те
В случае
с некоторого
начиная
ремы 5,
не нарушая общности, будем полагать все рп > 0.
Существует связь между сходимостью бесконечных про-
изведений и рядов.
Для того чтобы бесконечное произведение (3.46) было
сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
ч
S Шря.	(3.54)
Л = 1
Если S — сумма ряда (3.54), то
Р = е$.	(3.55)
128	гл. ш. ряды	р
Обозначая через sn частичную сумму ряда (3.54), имеем
$„ = 1пРя, Pn = es».	(3.56)
Из непрерывности логарифмической и показательной функции
следует, что при стремлении Рп к конечному положитель-
ному пределу Р частичная сумма sn стремится к In Р, и
обратно, если существует конечный предел S, то для Р пре-
дел равен es.
Удобно представить n-ый член бесконечного произведения
в виде
Рп=1-\~ап
и записывать произведение (3.46) в форме
ЦО+О.	(3-57)
а ряд (3.54) в форме
51п(1+ая).	(3.58)
/1 = 1
Теорема 6. Если для достаточно больших п все
ап> 0 (или ап < 0), то для сходимости произведения
(3.57) необходима и достаточна сходимость ряда
2 ап.	(3.59)
/1 = 1
Для сходимости (3.57) и (3.58) необходимо, чтобы
1- п	к	1п(14-ая) <
lim 4Z„ = 0,	отсюда	lim	—!—— =1.
/2>ОО	/1->ОО	«
Для общего случая ап 0 бесконечное произведение (3.57)
сходится, если вместе с рядом (3.59) сходится и ряд
оо
2 а*	(3.60)
/1=1
Произведение, приведенное в примере 19, может быть запи-
сано так:
ПМ” + 3) ттЛ______________________2	\
я=х (n+l)(n + 2) -IJLV (п+1)(н + 2)?
7]	* 1. числовые ряды	129
Здесь
й„ = ________________________=11____
я	(п+1)(д + 2)
И
lim ап = 0.
п >оо
Из нижеследующего ясно, почему в случае
Р = 0
бесконечное произведение условно относят к «расходящимся».
Для того чтобы бесконечное произведение имело нулевое
значение, необходимо и достаточно, чтобы ряд (3.54) или
(3.58) имел суммой — оо.
Это имеет место, например, когда ап < 0 и ряд (3.59)
расходится, или, если ряд (3.59) сходится, но расходится
ряд (3.60).
Произведение (3.46) называют абсолютно сходящимся,
когда абсолютно сходится, ряд из логарифмов его множи-
телей (3.54).
Абсолютно сходящееся произведение обладает перемести-
тельным свойством.
Для абсолютной сходимости произведения (3.57) необхо-
дима и достаточна абсолютная сходимость ряда (3.59).
Для примера 19 имеем
I а 1 —_____?______— 2________5_____<< 2 —
1 п 1 (п + 1) (п + 2)— (п + 1) (п + 2) п2 ’
оо
Но — сходящийся ряд (см. пример 15), следовательно,
произведение сходится абсолютно.
Касаясь функциональных произведений, заметим, что их
теория относится к теории числовых произведений таким же
образом, как теория функциональных рядов относится к тео-
рии числовых рядов. Приведем пример функционального
произведения.
Пример 23. Произведение
при любом х изображает sin л,
9 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
130
гл. ш. ряды
{В
8. Двойные ряды. Основные понятия и определения.
Наряду с обыкновенными (простыми, ординарными) беско-
нечными рядами в анализе и приложениях применяются крат-
ные ряды, например двойные, тройные и т. д. Мы ограни-
чимся здесь кратким очерком теории двойных рядов.
Определение. Двойным рядом называется символ
2 Zj aki (или S aki)»	(3.61)
fe=0Z = 0	\ k, z=o /
составленный из членов двойной последовательности (k =
= 0, 1,2, 3,/ = 0, 1, 2, 3, ...), которой отвечает другая
двойная последовательность частичных сумм
& =	/=л-1
Зтп= 2	(3.62)
k, 1 = 0
Если при одновременном и не зависящем друг от друга
возрастании индексов /жил до бесконечности существует
конечный предел
оо
S = lim smn= 5 ««.	(3.63)
п ->оо	k, 1-Q
т-*оо
то его называют суммой двойного ряда (3.61). В этом слу-
чае ряд (3.61) называется сходящимся. В противном случае
ряд называется расходящимся.
Если члены akl просуммировать последовательно по одному
индексу, а затем по другому, то такую двойную сумму будем
называть повторным рядом. Очевидно, здесь возможны сле-
дующие два случая:
или
(3.64)
(3.65)
Повторный ряд (3.64) называется сходящимся, если схо-
дятся ряды	А = 2 ч	(з.бб) £=0	*
II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ	131
(при любом фиксированном индексе I) и
©О
Sa-	(3.67)
Аналогично ряд (3.65) называется сходящимся, если схо-
дятся ряды
оо-
=	(3.68)
1=0
(при любом фиксированном индексе k) и
оо
S^.	(3.69)
л=о
Введем обозначение
Л= lim ( lim smn\.	(3.70)
л->оо\ув-»©о /
Аналогично
В = lim ( lim smX	(3.71)
m -> оо -> co	/
Ряд, у которого все	называется двойным рядом
с положительными членами.
оо	оо
Если двойные ряды 2 aki и S !ан1 сходятся одно-
k, 1-0	k, 1 = 0
временно, то двойной ряд называется абсолютно сходя-
оо	foo
щимся. Если же ряд 2 аы сходится, а ряд 2 1вм1
й, 1 = 0	й, z = o
оо
расходится, то двойной ряд 2 aki называется неабсолютно
(условно) сходящимся.
9. Некоторые свойства двойных рядов. I. Если схо-
дится двойной ряд (3.61) и ряды (3.66), (3.67), то сходится
также повторный ряд (3.64), который имеет ту же сумму,
что и двойной ряд (3.61).
Подобно этому имеет место такое свойство.
И. Если сходится двойной ряд (3.61) и ряды (3.68),
(3.69), то сходится и повторный ряд (3.65), который имеет
ту же сумму, что и двойной ряд (3.61).
9*
132	гл. in. ряды	[9
Примечание. Из сходимости двойного ряда (3.-61),
вообще говоря, не вытекает сходимость рядов (3.66) и (3.68).
111. Для сходимости двойного ряда (3.61) с положитель-
ными членами необходимо и достаточно, чтобы его частич-
ные суммы были ограничены.
IV. Если из трех рядов с положительными членами (3.61),
(3.64) и (3.65) один сходится, то сходятся и два другие и
имеют ту же сумму.
Можно установить взаимно однозначное соответствие
между попарно равными членами двойной последователь-
ности и обычной последовательности В этом случае
оо	СО
говорят для краткости, ЧТО ДВОЙНОЙ ряд 2 akl И Ряд У &S
k, 1 = 0	<$ = 0
состоят из одних и тех же членов,
оо	оо
V.	Если двойной ряд 2 aki и положительный ряд 2
k,l = 0	$—0
состоят из одних и тех же членов, то из сходимости одного
ряда вытекает сходимость другого и они имеют одинаковую
сумму,
оо
VI.	Если сходится двойной ряд 2 I akl I* Т0 СХОДИТСЯ и
Ь, 1 = 0
. оо
ряд 2 aki (н0 обратное не имеет места).
k, 1 = 0
ио	оо
VII.	Если ДВОЙНОЙ ряд 2 akl И Ряд S bs состоят из
k, 1 = 0	‘	5 = 0
одних и тех же членов, то из абсолютной сходимости одного
ряда следует также абсолютная сходимость другого ряда.
При этом оба ряда имеют одинаковую сумму.
VIII.	Члены абсолютно сходящегося ряда можно переста-
влять в любом порядке, не изменяя его сумму.
Указанные свойства двойных рядов могут быть полезными
при доказательстве сходимости и вычислении сумм двойных
рядов.
Пример 24. Легко доказать, что двойной ряд
оо
У -----!---	(3.72)
А <*+'>
сходится при а > 2 и расходится при а 2.
$ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
133
.10]
В самом деле, полагая k-\-l = ni, получаем, что тп — 1
членов ряда (3.72) равны Поэтому ряд (3.72) можно
представить через простой ряд
m=2	т=2	т = 2
Оба ряда в правой части (3.73) сходятся при а > 2 (при-
мер 15), следовательно, сходится и ряд в левой части (3.73).
В силу .свойства V двойных рядов сходится и двойной ряд
(3.72), и его сумма равна сумме простого ряда (3.73).
10. Некоторые признаки сходимости двойных знако-
положительных рядов. Оценки остаточных членов. Для
оо
сходимости любого двойного ряда 2 aki необходимо, чтобы
л, 1=0
lim а^ = 0,	(3.74)
k ->оо
I ->оо
когда k и I стремятся к бесконечности независимо друг от
друга.
Для двойных рядов с положительными членами можно
дать более жесткие необходимые условия сходимости, чем
(3.74).
А именно, для сходимости двойного ряда с положитель-
ными членами необходимо, чтобы
»	lim 2	= ®	(3.75)
Й->оо 1 = 0
и
lim ^ак1 = 0,	(3.76)
Z->oo л=0
и, следовательно, тем более должны выполняться условия
k
lim 2 aki~ 0	(3.77)
k -> оо 1 = 0
И
I
lim 2«н = °-	(3.78)
Zr>oo Ла0
134	ГЛ. гп. РЯДЫ	(Ю
Из (3.77) и (3.78) следует также
следующих условий:
lim а^ = 0,
k -> 00
/ -> оо
Пт ак1 — 0 при
k ->00
lim ак1 — 0 при
необходимость выполнения
любом I,
любом k.
(3.79)
Аналогично тому,, как это имело место для простых рядов
с положительными членами (см. § 1, пп. 3 — 5), путем срав-
нения членов двух рядов можно получить ряд общих при-
знаков сходимости двойных рядов с положительными членами
и указать соответствующие им оценки остаточных членов.
Пусть задан двойной ряд
оо
2 аы	(3.80)
k, z=o
с положительными членами и некоторый другой ряд
S/w	(3.81)
k, 1-0
Факт сходимости или сумма ряда (3.81) предполагаются за-
ранее нам известными. Введем обозначения:	=
Пт ^- = А,	(3.82)
Л->ОО
В том случае, когда А = А, положим
Jim = А	(3.84)
п -> оо akl
В дальнейшем остаточным членом двойного ряда (3.80)
будем называть выражение
^тт ~	гтт*	(3.85)
где
& = оо, l=m—1	Л«т-1,/«оо
гтО —	2, n akl> r0m — v	akl
k»m, /« О	Л « 0,
101
S 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
135
и
оо
ktl-m
Выражение (3.85), соответствующее остаточному члену ряда
(3.81), обозначим через Втт.
Пользуясь введенными обозначениями, можно сформули-
ровать следующие общие достаточные признаки сходимости
для двойного ряда (3.80):
1°. Если 0<;Втот<4“°° Для всех /и> N и Л>0, то
ряд сходится.
2°. Если — оо < Втт 0 для всех /п > W и Л < 0, то
ряд сходится.	_
3°. Если при конечных А и А, имеющих, один и тот же
знак, Втт = ± оо, то ряд расходится.
4°. Если 0 < Втт < 4-оо для всех m > N h выполнены
условия — оо<Д<4~оо и А= +°°» то РЯД сходится,
5°. Если — оо < Втт < 0 для tn > N и выполнены усло-
вия — оо < А < 0 и А = — оо, то ряд сходится.
В том случае, когда ряд (3.80) сходится, имеют место
следующие оценки остаточного члена:
п	Втт
, * bkt < тГП< ЬЫ *
inf —sup —
k+l^makl
<3.86)
При A = 4"00 или A — — 00 (или Л=±оо)
—LM-T-	(3'87)
inf
Z > 7П I	1
Далее, выбирая различными способами bkl, из вышепри-
веденных общих признаков сходимости можно получить и
различные практически удобные достаточные признаки схо-
димости двойных рядов с положительными членами. Нера-
венства (3.86) и (3.87) позволяют дать оценки остаточных
членов, соответствующие выбранному признаку сходимости.
Мы здесь ограничимся рассмотрением лишь одного кон-
кретного случая, например, полагая
(3*88)
136
ГЛ. III. РЯДЫ	[10
Тогда из приведенных выше общих признаков следует, что
двойной ряд 1)	оо 2 akl СХОДИТСЯ, ft, 1 = 0 lim а р > ОО	если	
		= 0,	(3.89)
2)	А = lim	-^>0.	(3.90)
	k+1-^со		
и расходится,	если		
	А = lim	^-<Q.	(3.91)
	Л+Z-^oo	akl	
Оценка остаточного члена, соответствующая этому признаку,
имеет вид
ат$ 4“ aQtn атт < д <* а.то 4~~ аот атт  *	Q2)
sup ,	inf
k+l>m аМ	k + l>m аМ
где bkl определяется равенством (3.88).
Выполнение одного условия (3.90) не является достаточ-
оо
ным для сходимости двойного ряда S akV
kt z=o
Пример 25. Ряд
«= i ага/.
ft, Z = 0
очевидно, заведомо расходится; в то же самое время имеют
мэсто условия Л = 0,1 >0, однако lim а =оо.
.	р > оо
Пример 26. Рассмотрим двойной ряд
оо
5== 2 (*+!)!(/+1)! •	<3,93>
k, z=o
Условие (3.89) здесь выполняется, так как
Д”1» арр = Ijpp- = 0.
101
i 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
137
Согласно (3.90) имеем
lim —= lim
£+/->оо akl Л + /->00
= lim ft±»»j±0 =
ak+t, l+i — ak, l+i—g*+i./4-Дм
Дм
Г±1 /4-2	при	фиксированном Z;
А±1 k 4-2	при	фиксированном k;
1,	если	одновременно
k и /->oo.
Но для всех k,	очевидно,	имеют	место неравенства
1	/+1	> <	„	1	* + 1 . 1	„	А	1	г
2^ Z + 2 И	2	Л + 2 1 *	Т*е‘	— — 2* Рледова’
тельно, ряд (3.93) сходится.
Для оценки Rmm, согласно (3.92), сначала заметим, что
для функции F(xt у) —	необходимые условия
-ч	л	\х ~т~ \У г
dF	dF	А
экстремума —	= Q ни при каких конечных положи-
тельных х и у не выполняются, причем наибольшие и наи-
меньшие значения этой функции могут достигаться только
на границе области т х, у < сю.
Пользуясь этим обстоятельством, нетрудно показать, что
inf ±ki _ inf (*+1)(*+1) _ /и+1 1
к+1>т g«	(Л + 2)(/ + 2) - m + 2 • 2
и
(ЛЧ-!)(/+1)
(k 4-2) (/4-2)
= 1.
sup
k+l > т
Подставляя	найденные	значения	в неравенство	(3.92), будем
иметь
2____________1____<R
(т 4-1)!	[(т4-1)!]2
/	4	(т + 2)	2(т4-2)
(«4-1)(«4-1)1	(«4-1)[(«4-1)!р •
Например, при т — 4 получим
0,0159	0,0382.
138
ГЛ. III. РЯДЫ
п
§ 2.	Функциональные ряды
1.	Основные свойства и признаки сходимости. В этом
параграфе рассматриваются функциональные ряды, т. е. ряды,
членами которых являются функции. Для простоты ограни-
чимся рядом
«1 (х)4- «2(х)+ ... + ип (х) + ... = s «я (*)• (3.94)
л» 1
члены которого суть функции одного переменного. Обобщение
на случай двух или нескольких переменных получается непо-
средственно.
Определение. Функциональным рядом называется
символ (3.94), составленный из членов последовательности
функций {ип (х)}, определенных на множестве Х= {х} число-
вой прямой Ev которой отвечает последовательность {$я}
л
»я= S «и*)
Л» 1
частичных сумм ряда (3.94).
Существуют различные виды предельного перехода для
функции sn(x): равномерный, неравномерный, в среднем
и т. д. Им отвечают различные формы сходимости функцио-
нальных рядов.
Пусть последовательность {$д(х)} сходится на X равно-
мерно (неравномерно) к функции S(x). Тогда ряд (3.94)
называется равномерно (неравномерно) сходящимся, a S (х)—
его суммой:
5(х) = 2 «„(х).	(3.95)
л= 1
Условие равномерной сходимости ряда. Для
того чтобы ряд (3.94) сходился равномерно в X, необхо-
димо и достаточно, чтобы для каждого числа е > 0 суще-
ствовал такой не зависящий от х номер 2V, что при п > N и
любом 2, 3, ... неравенство
л-4 т
2
& = Л +1
йл(х)
< 8
справедливо для всех х из X одновременно.
1]
§ 2. функциональные ряды
139
Если все члены ряда (3.94), равномерно сходящегося на
множестве X, умножить на одну и ту же функцию г>(х),
ограниченную в X,
\v(x)\^M.
то равномерная сходимость сохранится.
Признаки равномерной сходимости рядов.
1°. Признак Вейерштрасса. Если члены ряда (3.94)
удовлетворяют на множестве X неравенствам
("=1. 2. 3, ...),	(3.96)
где сп — члены некоторого сходящегося числового ряда, то
ряд (3.94) сходится в X равномерно.
При наличии неравенства (3.96) ряд
со]
называют мажорантным рядом для (3.94). Функциональный
ряд, удовлетворяющий признаку Вейерштрасса, является абсо-
лютно сходящимся, более того, при этом равномерно схо-
дится и ряд
21 «„(•»)!•
п- 1
Возможны случаи, когда ряд (3.94) сходится равномерно,
не будучи сходящимся абсолютно.
Для функциональных рядов вида
2 ап (х) Ъп (х)=ai (х) Ьх (х) + ... 4-ап (х) Ьп (х)4~... (3.97)
п= 1
имеют место следующие признаки.
2°. Признак Абеля. Ряд (3.97) сходится равномерно
на множестве X, если ряд
jb„(x) = Mx)4-Mx)+ ...	(3.98)
Л = 1
сходится равномерно на множестве X, а функции ап(х) при
любых х образуют монотонную последовательность и при
любых х ц, п ограничены:
|ол(х)|</С.
140	ГЛ. III. РЯДЫ	(1
3°. Признак Дирихле. Ряд (3.97) сходится равно-
мерно на множестве X, если частичные суммы sn(x) ряда
(3.98) при любых х и п ограничены:
|$л(х)|<Л1,
а функции ап(х) при любом х образуют монотонную по-
следовательность, сходящуюся к нулю равномерно на мно-
жестве X.
Отметим еще некоторые свойства суммы функционального
ряда. Если функции ип(х) ряда (3.94) определены на интер-
вале Х—(а, Ь) и все непрерывны в точке х = х0 это-
го интервала, и, кроме того, ряд (3.94) сходится равно-
мерно, то и сумма ряда S(x) в точке х = х0 также не-
прерывна.
Отсюда вытекает и следующее утверждение: если функ-
ции ип(х) непрерывны во всем интервале Х—(а, Ь) и ряд
(3.94) на нем сходится равномерно, то сумма S(x) ряда (3.94)
непрерывна на всем интервале. Равномерная сходимость
в приведенных формулировках является условием достаточ-
ным, но не необходимым, так как непрерывной суммой на
интервале могут обладать ряды, сходящиеся в нем неравно-
мерно. Мы не будем здесь формулировать необходимые и до-
статочные условия непрерывности суммы ряда, укажем лишь,
что равномерная сходимость является необходимым и доста-
точным условием, если члены ряда (3.94) на интервале
Х=(а, Ь) вдобавок еще положительны.
Почленное интегрирование рядов. Если члены
ял(х) ряда (3.94) непрерывны на интервале Х—(а, Ь) и
ряд (3.94) сходится на этом интервале равномерно, то инте-
грал от суммы S(x) ряда (3.94) равен сумме интегралов от
членов ряда
Ь	оо Ь
J" S(x)dx = ^ J’ ип (х) dx. (3.99)
а	п=1 а
Иными словами, при этих условиях допустимо почленное
интегрирование ряда.
Обобщением предыдущей теоремы является следующая:
если члены ряда ип(х) интегрируемы (в смысле Римана)
на интервале Х=(а, Ь), а ряд (3.94) сходится равномерно,
2J	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ	141
то сумма ряда 5(х) также будет интегрируема и справед-
ливо соотношение (3.99).
Почленное дифференцирование рядов. Если
члены ип(х) ряда (3.94) определены на интервале Х = (а, b)
и имеют на нем непрерывные производные я'(х) и в А’
сходится ряд (3.94) и, кроме того, равномерно сходится
ряд, составленный из производных:
СО'
У1и'п(х) = и\(х)-1ги’2(х) + ... -Ьи' (х)4- ....
л = 1
то и сумма ряда (3.94) S(x) имеет в X производную,
причем
S'(x) = S<(x).	(3.100)
п-1
иначе говоря, производная от суммы ряда равна сумме ряда,
составленного из производных, т. е. допустимо почленное
дифференцирование ряда (3.94). Отметим,, что ограничения
этой теоремы могут быть несколько ослаблены (см. (11]»
т. И, § 407).
2.	Степенные ряды. Этот раздел теории функциональ-
ных рядов имеет особо важное значение.
Ряд вида
2ая(х —х0)я=а04-а1(х —х0)4- ... 4-а„(х — х0)я+ • • •
/1 = 0
(3.101)
называется степенным. Заменой переменной х1 — х— х0
(индекс «1» мы далее опускаем) он сводится к ряду
2 апхп ==^о + а1х4“л2х2Ч~ ••• -\~апхП~^~ ...,(3.102)
п = 0
которым мы далее и будем заниматься.
Возможны 3 случая.
Случай 1. Ряд (3.102) сходится при любом дей-
ствительном х, т. ,е. на всей оси Ev Тогда ряд называют
всюду сходящимся.
Случай .2, Ряд (3.102) сходится лишь при х = 0.
Тогда ряд называют всюду расходящимся.
ГЛ. III. РЯДЫ
Р
гм
142
Случай 3. Ряд сходится на некотором интервале
(—R, +/?), О <R< оо; число /? навивают радиусом схо-
димости ряда.
Условимся считать, что случаю 1 соответствует радиус
сходимости /? —оо, а случаю 2—радиус сходимости /? = 0.
Пример 27. Ряд
сходится при любом х (R — CX)).
Пример 28. Ряд
2 n\xn=s х+2!х2 + 3!х3 + ...
л = 1
сходится лишь при х —О (/? = 0).
Пример 29. Ряд
2*л == 1 -J-x-J^x2-)- ...
л=0
сходится на интервале (—1, +1) (R=l).
Пример 30. Ряд
/2 = 1
сходится на полуинтервале [—1, 4-1) (7? = 1).
Пример 31. Ряд
сходится на отрезке [—1, +1] (/? = !).
Если имеется предел (см. признак сходимости Даламбера)
lim l^±il=p’
Ж-XDQ I Un |i
TO
R = j.	-	(3.103)
(R =i оо при p = 0, R = 0 при p = oo).
31
$ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ	Ю
Исходя из признака Коши, получаем
Д=± = —L.	(3.104)
lim
Л ~>0О
Если ряд (3.102) имеет радиус сходимости R > 0, то ка-
ково бы ни было положительное число г < R, ряд (3.102)
сходится равномерно относительно х на отрезке [—г, г].
Сумма S(x) ряда (3.102) для всех значений х между —R
и R является непрерывной функцией от х.
Теорема 7 (о тождестве степенных рядов).
Если два степенных ряда
со	оо
2 апх* и ^Ьпхп
л = 0	/1=0
в окрестности точки х — 0 имеют одну и ту же сумму
S(x\ то эти ряды тождественны, т. е. соответствую-
щие коэффициенты их равные ап — Ьп.
Следующие положения касаются поведения степенного ряда
на концах интервала сходимости. Если степенной ряд (3.102)
на конце интервала сходимости расходится, то сходимость
ряда на полуинтервале f0, R) не может быть равномерной.
Обратное утверждение: если степенной ряд (3.102) схо-
дится и при x — R (х = — R) (даже неабсолютно), то ряд
сходится равномерно во всем отрезке [0, R] ([—R, 0]).
Теорема 8 (Абеля). Если ряд (3.102) сходится
при x — R, то сумма его сохраняет непрерывность (слева)
при атом значении х, т. е.
lim S(x) = S(R).
См. пример 30 при х = — R = — 1 и пример 31 при
х =— R = —1, x = R=l.
3.	Действия над степенными рядами. Ряд Тейлора.
Интегрирование и дифференцирование сте-
пенных рядов, а) Степенной ряд (3.102) на отрезке [0, х],
где | х | < /?, можно интегрировать почленно:
х	оо х	оо
f= 2 f апхП^х = ^ап^^;	(3.105)
©	’	0	л=©
144	гл. HI. РЯДЫ •	-	[3
х может достигать того конца отрезка, на котором ряд
(3.102) сходится.
б) Степенной ряд (3.102) внутри его отрезка сходимости
можно дифференцировать почленно сколько угодно раз:
S' (х) = 2 яя/1хл~1,
п=1
S" (х) — 2 п (га — 1) апхп~2,
п-2
S(m) (х) — 2 п (п — 1)... (« — т 4-1) аихп~т;
п=т
это справедливо и для того конца отрезка, на котором ряд
сходится.
Ряд Тейлора. Различные формы остаточ-
ного члена. Функция, представляемая степенным рядом
на его интервале сходимости, имеет внутри интервала про-
изводные всех порядков. Сам ряд является рядом Тейлора
этой функции.
Если функция разлагается в ряд Тейлора в окрестности
точки х0, то в этой окрестности
/(х) = 2а„(х-х0)л,	(3.106)
« = 0
где
(01=1).	(3.107)
Частный случай ряда Тейлора при хо = О иногда назы-
вают рядом Маклорена. Как следует из (3.106) *и (3.107),
он имеет вид
• /(х) = 2а„х«,	(3.108)
я=0
где
;	/<”1(0)	•
— п! •
Ограничиваясь конечным числом членов в ряде Тейлора,
можно представить функцию / (х) в виде частичной суммы sn
3]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ	145
этого ряда и остаточного (или дополнительного) члена. гд:
/(*) = ak(x — х0)*+ 2 ak(x — х0) = s„(x)-|-(х).
k-0	k=n+l
(3.109)
При x->xQ остаточный член гп(х) представляет собой беско-
нечно малую порядка выше n-го (по сравнению с х—х0).
Известны различные формы остаточного члена ряда Тей-
лора.
Форма Шлемильха и Роша
Га(X) =	(1 -6)л+1-' (х—х0)л+1. (3.110)
Здесь р > 0, 0 < 6 < 1.
Придавая р конкретные значения, получаем более част-
ные формы остаточного члена, а именно:
Форма Лагранжа (р = п-|-1)
г„(х)= /(Я+1)[^оД61^~Хо)1 (x-x0)n+1 (0<6< 1). (3.111)
Форма Коши (р=1)
Гп(х) = ./!1П[Хо+^(х-х,)] (1 _0)„(х_Хо)л+1 (О< 0< 1).
(3.112)
Эти формы остаточного члена, несмотря на неопреде-
ленность величины 6, позволяют оценить точность замены
функции f (х) многочленом n-й степени $л(х). Если (п-|-1)-я
производная на интервале между х и х0 ограничена по абсо-
лютной величине числом Л4, то из (3.111) имеем
Пример 32. Разложение в ряд Тейлора в окрестности
точки xQ — 0 функции f (х) = ех имеет вид:
у	у2
_	+	... 4-^r+^W.
ГДе	( *e+l _д_ х"+2	| '
. . : rnW	(л 4-1)! "t" («4-2)1 “f" " '
10 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
146	ГЛ. Ш. РЯДЫ	(3
По формуле (3.111)
Г (х\- g8X хл+1
r»w—(п+1)!	•
Тогда (при х > 0)
кя(-*)1 < (« + !)! '
Так, например, при х= 1
knU)! < (я + ij! •
Остаточный член может быть выражен и в интегральной
форме, которая не содержит никаких неопределенных чисел:
X
Гп = 7ГГ / /<Я+1) V dt- <3-113>
Ха
Для рассмотренного выше примера можно записать:
X
rn<x)=iff ef{x — t)adt.
о
Отметим, что ряд Тейлора может быть сходящимся, не
представляя порождающую его функцию / (х).
Пример 33 (Коши). Пусть имеется функция ср(х),
которая в окрестности х = 0 представлена в виде ряда
?(х) = <р(0)4-^х4-^ж2+ ...	(3.114)
__
Добавим к ней функцию ф(х) = е Если доопреде-
лить ф(х), положив ф(0) = 0, то как ф(0), так и все произ-
водные ф(л) (0) равны нулю» поэтому разложение функции ф (х)
в ряд Тейлора в окрестности х = 0 тождественно равно
нулю. Но тогда
/(х)^(хт(х)=(р(0Н-^х+-^-х2+ ... (3.115)
Отсюда ясно* что из совпадения разложений функций
(3.114) и (3.115) нельзя сделать вывода о равенстве левых
частей: f (х) #= ср (х).
Вообще, если две функции f (х) и <р (х) равны при х = х0
и равны все их производные, в то время как функции не
3}	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды	147
равны тождественно, разложения их в ряд Тейлора в окрест-
ности x — Xq совпадают.
Различные действия над степенными ря-
дами. Подстановка ряда в ряд. Пусть дан ряд
г = /(у) = «04-а1У+«2УЧ- ••• 4-=2йл№. (З.П6)
л=0
сходящийся в интервале (—R, R). Переменная у, в свою
очередь, выражается степенным рядом как функция х:
у = ?М = НМ+М2 + ... = 5 Ьпхп, (3.117)
сходящимся в интервале (—г, г). Требуется представить z
степенным рядом в зависимости от х и определить интервал
сходимости полученного ряда. Формально подставляя ряд
(3.117) в ряд (3.116), имеем
г=/[?(х)1=	(2	=я04-л1х+л2х24-...==
= 2 Л„х»	(3.118)
л = 0
где
А — ао4-й1^оН_а2^о+ •••>
.4j = a1bl 4~	-4“ 3e3^ftj -f- ...,
Л2 = a-fi2 + o2(bi 4“ 2^o/>2)4”803(^)61 -f- bo &2)4~ • • • >
На вопрос о сходимости ряда (3.118) отвечает
Теорема 9. 1°. Если
1М>₽.
то ряд (3.118) расходится, если же
1*о1<Я,
то ряд сходится в интервале (— Rv KJ, где
^i= л[+7?Д{^| ‘	(3.119)
10*
148
ГЛ. HI. РЯДЫ
[3
причем р — произвольное положительное число, которое
удовлетворяет условию р < г и может быть взято сколь
угодно близко к г, а М — верхняя граница чисел |^|рщ
(т—\. 2, 3, ...), так что | bm | рт М для всех т.
2°. Если Ьо — 6, то ряд (3.118) будет сходиться в
интервале (—/?р Я0, причем
р  ^Р
3°. Если ряд z = S апУп сходится для всех у, т. е.
в интервале (— оо, + оо), то Ря& (3.118) будет сходиться
для | х | < г, т. е. в интервале (— г, г).
Умножение и деление степенных рядов. Тео-
рема 10. Произведение рядов
f(x)= S апхП а ?(•«)== S Ьпхп,
п = 0	л = 0
сходящихся соответственно в интервалах
Л = (—^1) а 12 — (—R%> R%)>
определяется равенством
F(x) = f (х)ф(х) = с04-с1х-|-с2х2-|-  •• = 2 спхп,
п-0
где cQ = aobQ, сг — aQbx -4- axbQ, с2 = aQb2 + ахЬА + а2Ь0 и т. д.,
и сходится в меньшем из интервалов /р /2.
оо
Частное от деления 1 на степенной ряд 1+2 Ьпхп*.
л=1
/<*)=—4—
1 + 2 ь»хП
/2 = 1
сходящийся в интервале (—г, г), определяется рядом
оо
/(х) = 1-ь-л1х4-л2х24- ... = 14-2 А,*". (3.120)
/1 = 1
где А} — — Ь\, А2 — Ь\ — Ь%, Дз — — Ь^-^-ЯЬ^Ьъ — Ьз и т. д.
Теорема И. Ряд (3.120) сходится в интервале
(— Л1+~Т ’ лГ+т) ’ г^е ® < Р <г и р можно взять
4]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды	149
сколь угодно близким к г, а М представляет верхнюю
границу чисел | bm [ pm (m — 1, 2, 3, ...).
Отсюда легко перейти к делению двух степенных рядов
со
2 а»жЛ
у (х)   Др й\Х 4" UjX^ -f- ...   л— О_
Ф(х) *04-м+м*+	~'
2 ьпхП
л «0
Имеем
W=^("o+aix+a2x2+ •-)(1 +	• • •).
ГДё	~	•	!
1+14X«=------------L;----
1
находится, как указано выше. Тогда разложение
* ?<*) — У с хп
Ф(х) — JjV
л = 0
будет сходиться в интервале, определяемом из вышеприве-
денных теорем.
4.	Комплексные ряды. Числовым (или функциональным)
комплексным рядом
•	•	(3.121)
п - 1
называется ряд, члены которого являются комплексными
числами (или функциями):
cn = an + ibn.	(3.122)
Сходимость комплексного ряда (3.121) к сумме
S — А-\~1В равносильна сходимости двух действительных
рядов
2Х	. (3.123)
л = 1
2Х	(3.124)
.	л = 1	;
соответственно, к суммам А и В.
150
гл. in. ряды
[4
Имеет место
Теорема 12, Если сходится положительный ряд
1 = 1^4 + ^.	(3.125)
п-\	П = 1
составленный из модулей членов ряда; (3.121), то и
ряд (3.121) также сходится.
В этом случае ряд (3.121) называется абсолютно схо-
дящимся. Для комплексных рядов сохраняют свою силу
признаки Даламбера и Коши. На абсолютно сходящиеся
комплексные ряды переносится теорема о перестановки
членов ряда и правило о почленном умножении рядов. Все
теоремы об абсолютно сходящихся действительных рядах
сохраняют силу для абсолютно сходящихся комплексных
рядов.
Функции комплексного переменного. Если
каждому значению комплексного переменного z из области Z
в комплексной плоскости соответствует одно значение дру-
гого комплексного переменного w = «-|-Z<v, то w называют
комплексной функцией от z в области Z и записывают
w = f(z).	(3.126)
Если функция f (z) в окрестности точки zQ представима
в виде ряда Тейлора, т. е. разлагается в сходящийся сте-
пенной ряд по степеням (z — zQ), то ее называют аналити-
ческой функцией от z в точке zQ. Если f (z) представима
в виде степенного ряда в окрестности любой точки области Z
(открытой или замкнутой), то ее называют аналитической
функцией от z в области Z. Функции, обладающие таким
свойством, представляют наибольший интерес для прило-
жений.
Комплексный степенной ряд
2<„(г-г0Г	(3.127)
я=0
обладает рядом свойств, подобных свойствам действительного
степенного ряда. Без утраты общности будем далее рассма-
тривать ряд
2 с/.	(3.128)
л = 0
4]
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды
йг
Так как вместо интервала сходимости для него по-
является круг сходимости, то термин радиус сходимости
здесь приобретает точный смысл.
Если коэффициенты сп степенного ряда (3.127) — действи-
тельные числа, то радиус R круга сходимости совпадает
с прежним радиусом сходимости.
Имеет место следующее предложение: если ряд (3.128)
сходится в некоторой точке £0 окружности J z | = R, то при
приближении точки z к точке zQ изнутри по радиусу имеем
оо	оо
lim 2 спгП = 2
z->z0 л=0	л-0
Внутри круга сходимости комплексный степенной ряд
можно дифференцировать почленно.
Если разлагать функцию в ряд по степеням z, то рас-
стояние от начала (я—0) до ближайшей особой *) точки
функции равно радиусу сходимости суммы ряда.
Пример 34.
1_==1_г2 + г4_26_|_ ...
1 I'
оо
... +(—1)"г2я + • • • = S (—1)V«.	(3.129)
л=0
Если взять действительную ось z — x, то разложение
=	+	...	(3.130)
имеет радиус сходимости /? = 1, хотя при переходе через
точки ± 1 функция	--g и ее производные никакого разрыва
не претерпевают. Обращаясь к разложению (3.129) в комплекс-
ной плоскости, видим, что в точках ± Z функция теРпит
разрыв. Это и является причиной расходимости разложе-
ния (3.130) при |,х| > 1.
Если ввести обозначения cn = an-\-ibn (ап, Ья — действи-
тельные числа), |г| = г, argz = 6, то ряд (3.128) может
*) Особой называется точка, в окрестности которой функция
не представима степенным рядом.
1.52
ГЛ. 111. РЯДЫ
[5
быть записан в форме:
оо 	  оо - .•	• з-
2 cnzn = 2 («в 4- ibJ rneini =
п = 0	л = 0
оо
= 2 г" («в 4- n) (cos «9 4~ * «8) =
я-о
ОО	оо
= 2 rn (ап cos ~~ bn sln «9) 4” i 2 rn &п cos	4~ ап sto я*0-
л = 0	л=0
Далее, обозначая апгп — Ап, —Ьпгп = Вп, имеем:
оо	оо
2 <.*• = 2 (Лп cos п9 + Вп sin »9) 4-
л«0	/1=0
ОО
+ I 2 (-----C0S 4" 4 s*n д0)-
/1 = 0
Таким образом, действительная и мнимая части ряда записы-
ваются в виде тригонометрических рядов.
Пример 35.
оо
/1 = 0
1	_	1	___ 1 —г cos 0 f
1 —г 1 — (г cos 0 -Hr sin 0)	1 •— 2r cos 6 + г2 '
оо	оо
4- i	= Srk cos м+1Srk sin *0’
Л=0	jfe=l
откуда
1 — r cos 6
1 — 2r cos 0 + r2
r*cos^»
*=o
rsin8	= у r*SinЛ9
1— 2rcos0 + r» — Z^r S1
Л=»1
5. Тригонометрические ряды Фурье. Функция / (х),
имеющая период *) (/ (х) = / (х + 2тгп), п— ± 1, ±2, ..
*) Если период функции /(х) равен 2L, то перейти к периоду 2тс
Л -	• w
можно, если ввести переменную у = поэтому все дальнейшие
рассуждения сохраняют общность.
5]
$ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
153
при определенных приводимых далее ограничениях может
быть представлена в форме бесконечного тригонометриче-
ского ряда Фурье
оо
f(x)— -у- + 2 (ап cos их,+ bn sin их).	(3.131)
п-1
Для определения коэффициентов ряда (3.131)
формулы Эйлера — Фурье
ТС
ап = ± У* f (х) cos nxdx	(n = 0, 1, 2, ...),
— тс
тс
bn = -^ У*/(х)sinпхdx (я=1, 2, 3, ...).
-•ТС
служат
(3.132)
Для того чтобы ряд Фурье (3.131) сходился к заданной
функции /(х), т. е. чтобы сумма его в каждой точке х0
интервала (0, 2к) равнялась значению /(х0) в этой точке,
функция f (х) должна удовлетворять некоторым условиям
(см. ниже, а также гл. IV, § 2, п. 5).
Теорема 13 (локализации). Поведение (т. е. схо-
димость или расходимость) ряда Фурье функции /(х)
в некоторой точке х0 зависит исключительно от значе-
ний, принимаемых функцией в непосредственной близости
от точки х0.
Сумма Sq ряда (3.131) для функции f (х) в точке х0
определяется следующим образом:
а)	когда функция f (х) в точке xQ непрерывна, то
So = / (Xq)»
б)	когда функция /(х) в точке х0 имеет разрыв первого
рода (а следовательно, пределы /(хо4~О) и f (х0 — 0) суще-
ствуют), то
о  fixQ + 0) + / (хо — 0)
о0 ——2	•
Функцию / (х) называют гладкой на отрезке [a, ftj,
если она на этом отрезке обладает непрерывной произ-
водной.
154
ГЛ. Hi. ряды
[5
Непрерывную функцию f (х) называют кусочно-гладкой
на отрезке [a, ft], если этот отрезок можно разбить на ко-
нечное число частичных отрезков, на каждом из которых f(x)
является гладкой функцией.
Разрывную функцию f (х) называют кусочно-гладкой на
отрезке [а, Ь]9 если: 1) на этом отрезке она имеет лишь
точки разрыва первого рода и притом в конечном числе,
2) на каждом из частичных отрезков [а, р], на которые
точки разрыва разбивают отрезок \а9 ft], непрерывная
функция
f (а 4~ 0) для х — а,
g(X~) =
f (х) для а < х < р,
f (Р — 0) для х — р
оказывается кусочно-гладкой.
Признак сходимости ряда Фурье. Ряд Фурье
кусочно-гладкой (непрерывной или разрывной) функции f (х)
периода сходится для всех значений х0, причем его сумма
равна So.
Если кусочно-гладкая функция /(х) всюду непрерывна,
то ряд Фурье сходится абсолютно и равномерно.
Теорема 14. Пусть /(х) — абсолютно интегрируе-
мая функция периода 2я, непрерывная и обладающая
абсолютно интегрируемой производной на некотором
отрезке [a, ft] {производная может и не существовать
в отдельных точках). Тогда ряд Фурье сходится к / (х)
равномерно на всяком отрезке ]а-4-8, ft— 8] (8 > 0).
Эта теорема справедлива, в частности, для абсолютно
интегрируемой функции /(х) периода 2тс, непрерывной и
кусочно-гладкой на отрезке [a, ft].
Пример 36. Функция /(х) = — In 12 sin |, обращаю-
щаяся в бесконечность для х = 2йтс (А—0, ±1, ±2, ...),
имеет период 2тс. Ее ряд Фурье	/
. |п . х|	.	cos2x	.	cos3x	,
— In 2 sin -к- — cos x -4---о---1---5-----г	• • •
| Z |	Z	о
Признак Дирихле — Жордана. Ряд Фурье функ-
ции /(х) в точке х0 сходится к сумме So, если на некото-
ром отрезке (х0 — 8, х0—f—S] функция имеет ограниченное
изменение.
5J	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ	155
Более частная формулировка:
Признак Дирихле. Если функция f (х) периода 2те
кусочно-монотонна на отрезке I—к, к] и имеет в нем ко-
нечное число точек разрыва, то ее ряд Фурье сходится
к сумме f (х$) в каждой точке непрерывности и к сумме
50=	в каждой точке разрыва (см. гл. IV,
§ 2, п. 5).
Признак Дини сходимости рядов Фурье.
Ряд Фурье функции / (х) в точке х0 сходится к сумме Sn,
если при некотором h > 0 интеграл
h.
о
существует, где
<Р (О = f (*0 + V + f (хо - 0 - 250.
Частным признаком сформулированного признака Дини
является
Признак Липшица. Ряд Фурье функции f (х) схо-
дится в точке х0, где она непрерывна, к сумме SQ — f(xQ),
если для достаточно малых t > 0 выполняется неравенство
|/(х0±О-/(х0)|<АА
где L и а — положительные постоянные (а^*1).
В частности, под этот признак подходят кусочно-диффе-
ренцируемые функции..
Признаки Дини и Дирихле — Жордана не вытекают один
из другого.
В случае функции f (х), заданной либо только на полу-
интервале (—к, те], либо определенной и вне его, но непе-
риодичной, для применения изложенной выше теории вместо
функции f (х) вводится вспомогательная функция f* (х), обла-
дающая следующими свойствами:
/»(Х) = /(х),	(—1Г<Х<»,
а на остальные действительные значения х функция /‘(х)
распространяется по закону периодичности.
156
ГЛ. III. РЯДЫ
(5
К функции /*(х) применимы все приведенные выше тео-
ремы и предложения. Внутри интервала ряд представляет
функцию / (х).
Этого построения не требуется, если f (— те) = f (те).
Тогда на всем открытом интервале (включая концы его) ряд
Фурье сходится к функции /(х). Но вне этого интервала
сумма ряда вообще уже не совпадает с функцией f (х), если
последняя задана на всей действительной оси.
С учетом сноски в начале настоящего пункта можно
утверждать, что произвольно заданная в произвольном про-
межутке функция в весьма широком классе случаев (включая
кусочно-дифференцируемые или кусочно-монотонные функции)
оказывается разложимой в тригонометрический ряд (допол-
нительно см. гл. IV, § 2, п. 5).
Разложения только по синусам или только
по косинусам. Ряд Фурье четной функции (/ (х) = f (— х))
содержит только косинусы:
оо
/W-y + 2 fi/osw:.
/1 = 1
Ряд Фурье нечетной функции f (х) (= — f (— х)) содержит
только синусы
оо
/ (х) — 2 bn sin пх.
Л = 1
Каждая функция f (х), заданная на отрезке [—те, те],
может быть представлена в виде суммы четной j\(x) и не-
четной /2(х) составляющих функций:
/(*) = /j(x)+/2(-v),
где
Если функция задана лишь на отрезке [0, те], то опре-
деляя ее по произволу на интервале [—те, 0], можно полу-
чить различные ряды Фурье, которые в точке х0 между
Оите будут иметь сумму 50, сходящуюся либо к f (х0),
Л /(^о + О)4-/(хо —0) ,	ч
либо к - 	—-	(в случае разрыва).
Достраивая функцию в (—те, 0) как четную, т. е. полагая
/(—х) = /(х), получим разложение лишь по косинусам,
51
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ряды
1’57
достраивая ее как нечетную (/ (— х) = — f (х) ), получим
разложение лишь по синусам.
Пример 37. f(x) — x (0<;х<;тс).
1.	Пусть f (х) — f (— х) — — х (— тс < х < 0); тогда
г z ч тс 4 /	. cos Зх . cos 5х ,	\
/(х)=т--(cosxH----3J—Ч--5^-+...).
2.	Пусть f (х) = — /(— х) = х (— те < х < 0); тогда
/(х) = 2(-^£-
sin 2х
“Т“
sin3x
“3~“'
Порядок коэффициентов Фурье. Если периоди-
ческая функция fix) имеет конечное число точек разрыва
первого рода (на периоде), то ее коэффициенты Фурье при
п->оо будут бесконечно малыми вида 0^-^ (см. гл* U
§ 3, пп. 8 и 15).
Это означает, что

где Л4 — некоторое постоянное положительное число, каково бы
ни было п.
Если периодическая функция /(х) всюду непрерывна, то
ее коэффициенты Фурье при п -> оо будут бесконечно
малыми порядка выше, чем —, т. е. вида о \ — I (см. гл. 1,
§ 3, пп. 8 и 15).
Это означает, что
lim пап = Hm =
Л оо	П оо	%
Если периодическая непрерывная функция имеет всюду
непрерывные производные до (т—1)-го порядка вклю-
чительно, то ее коэффициенты Фурье ап и Ьп будут
при п->оо порядка выше, чем т. е.
iim птап^ lim = 0^
п оо	П-> ОО
158	гл. ш. ряды	[5
В частности, если периодическая функция f (х) имеет
всюду непрерывные производные любого порядка, то ее коэф-
фициенты Фурье ап и Ьп удовлетворяют условию
птап -> 0, птЬп -> О
при л->оо, каково бы ни было т.
Интегрирование рядов Фурье. Рассмотрим сна-
чала непрерывную функцию /(х), заданную всюду на Ev
Теорема 15. Если абсолютно интегрируемая функ-
ция /(х) задана своим рядом Фурье
/ (х) ~	(ап cos пх 4- bn sin пх),	(3.133)
л = 1
Ь
то / (x)dx может быть найден почленным интегриро-
а
ванием ряда (3.133) независимо от того, сходится послед-
ний или нет, т. е.
ь
f f (х) dx =
а
оо
а0 /к Лх I V* ап (sin nb — sin па)—bn (cos nb — cos па)
—	21	п
Л = 1
(3.134)
Теорема 16. Пусть абсолютно интегрируемая функ-
ция задана своим рядом Фурье (сходящимся ила нет)
(3.133). Тогда для ее интеграла имеет место следующее
разложение в ряд Фурье:
х	оо
f/(x)dx=24+
О	л = 1
[	cos лх,-р (ап + (~l)n+1a°) sin лх
«=1	...	>	(3.135)
(— < X < к).
5}
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
159
Частный случай этой теоремы: ао = О (прочие
теоремы сохраняются); тогда для всех х
оо
Ьп । V — cos пх + ап s*n пх
~п~ ‘	п	*
о	// = 1	Л = 1
ЛиФсЬеоенциоование рядов Фурье.
f f (X) rfx=2
условия
(3.136)
Тео-
рема 17. Пусть f(x)— непрерывная функция периода
2я, обладающая абсолютно интегрируемой производной
(которая может и не существовать в конечном числе
точек). Тогда ряд Фурье для f'(x) может быть получен
из ряда Фурье (3.133) функции f(x) почленным диффе-
ренцированием'.
оо
f (х) — S п <J>n cos пх — ап sin пх). (3.137)
/1 = 1
Теорема 18. Пусть f(х) — непрерывная функция
периода 2к, обладающая т производными, причем первые
т— 1 производные непрерывны, а т-я производная абсо?
лютно интегрируема {т-я производная может и не су-
ществовать в конечном числе точек). Тогда: 1) ряды Фурье
для всех т производных могут быть получены почленным
дифференцированием ряда Фурье для f (х), причем все
эти ряды, кроме, может быть, последнего, сходятся
к соответствующим производным', 2) для коэффициентов
Фурье функции f(x) имеют место соотношения (см. выше):
lim пТГ1ап — lim nmbn = 0.	(3.138)
п -> оо	п -> ОО
При этом ряд для f(x) и все ряды, полученные из него
почленным дифференцированием, за исключением, может
быть, последнего, сходятся равномерно.
В известном смысле обратной для этой теоремы является
Теорема 19. Пусть дан тригонометрический ряд
(ап cos пх s*n пхУ* (3.139)
Л = 1
Если для коэффициентов ап и Ьп справедливы соотношения
1птал|<А1,	(m>2, Af = const).
160
гл. III. ряды
(5
то сумма ряда (3.139) есть непрерывная функция периода
2тс, обладающая т— 2 непрерывными производными, ко-
торые могут быть получены почленным дифференциро-
ванием.
Теорема 20. Пусть непрерывная функция /(х) за-
дана на отрезке [—тс, к] и обладает абсолютно интег-
рируемой производной {которая может не существовать
в конечном числе точек). Тогда
оо
/' (х) ~	{(пЬц + (— 1)"с) cos их — пап sin пх], (3.140)
« = 1
где ап и Ьп — коэффициенты Фурье функции f (х), а по-
стоянная с определяется равенством
c =	(3.141)
Теорема 21. Пусть дан ряд
оо
-у- + (ап cos пх “И s*n пх\ (3.142)
п-\
Если ряд
оо
^ + 2 Кга^п + (—l)"c)cosnx — пап sin их], (3.143)
Л = 1
где
с— lim [(— 1)л+,и^].	(3.144)
п -> оо
является рядом Фурье от некоторой абсолютно интег-
рируемой функций ср(х)*), то ряд (3.142) является рядом
Фурье от функции f (х) = J* ср (х) dx 4--—- 4~ ап> непре-
0	п = 1
рывной для —я < х < тс, сходится к этой функции,
причем, очевидно, /'(х) —ср(х) во всех точках непрерыв-
ности ср (х).
*) Сходимость ряда (3.143) не предполагается.
6]
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
161
Теорема 22. Пусть дан ряд
+	—1)л (^cosnx-j-^sinnx), : (3.145)
л.= 1
где ап и Ьп положительны. Если величины пап, nbn не воз-
растают (начиная с некоторого п) и стремятся к нулю
при п —> оо, то ряд сходится для — те < х < те и имеет
дифференцируемую сумму f(x), причем
оо
ff(x) — 2 (~ 1	Фп C0S ПХ “ an sin пх\
л = 1	'
т. е. ряд (3.145) можно дифференцировать почленно.
Можно сформулировать подобные теоремы для функций,
заданных на отрезке [0, те] (см., например, [10]).
Дополнительные сведения о тригонометрических рядах
см. в главе IV.
6. Асимптотические ряды. Если некоторую функцию
F (х), определенную при х х0, рассматривают при больших
значениях аргумента х, то может оказаться полезным опре-
делить такую функцию 5(х), простую по структуре, чтобы
имело место соотношение
R(x) — F(x)— S(x)->0 при х —> оо.
Тогда при больших значениях х можно заменить F (х) через
5(х). Если F(x) допускает разложение (при х > х0)
оо
F(x) = x04-4+...4-A-+^-+... =2
'	п=Ъ
(3.146)
то, положив
п
.	»»<*)=£4=л«+т+---+^ <ЗЛ47>
.	X	Л	Л
.	*> . . -	«=(л -
И
/?n(x/=F(x)-Sn(x)n 2 А==Л±к+..„ (3.148)
Л = л+1
11 Зак. 204S. В. Л. Данилов и др,
162
ГЛ. Ш. РЯДЫ
(б
имеем
lim xnRn(x) = O, или Яп(х) = о(4г). (3.149)
т. е. Rn(x) — бесконечно малая порядка выше п-го.
Если F (х) не допускает разложения (3.146), то все же
иногда удается подобрать такой ряд вида (3.146), что при
любом фиксированном п выполняется условие (3.149).
Ряд (3.147) называют асимптотическим для функции
F (х) и пишут
(3-150)
й-о х
Ряд (3.147) может быть расходящимся, однако ценность его
сохраняется, так как он дает приближенные формулы
Г(х)«л04-А+
причем степень приближения указана соотношением (3.149).
Пример 38. Рассмотрим функцию
F (х) — J
Повторное интегрирование по частям дает:
F (х) = 4-	• • • +(-1)л_1	4-*„(*).
где
Rtt(x) = (-Vfntf ~^dt.
следовательно,
1^Л(Х)|<-Д
6]
§ 2 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
163
и условие (3.149) выполняется. Итак,
Этот ряд — расходящийся, так как
lim ап —
П~> СО
lim /____мл (я — 1)!
П -> оо v 7 хп
— оо.
Если функция F (х) допускает асимптотическое разло-
жение, то оно является единственным.
Асимптотическое разложение произведения двух функций
F (х) и G (х), каждая из которых имеет асимптотическое раз-
ложение
F(x)~	(3.151)
й=0	й=0
равно формально полученному произведению асимптотических
разложений (3.151):
Р(х)0М~£Лг‘2^г6 = SC**"4, (3.152)
jfe = 0	/? = 0
где
т
Cm=^AkBm_h.	(3.153)
fe = 0
Если асимптотическое разложение функции F (х) (3.150) начи-
нается с члена Л2х~2, то в промежутке от х до -|-оо его
можно формально интегрировать почленно, т. е.
00	со 00	оо
f F(x)cix~'£ f = 2 '/fr~~L~ k-i'
/	л ZH*-1)**’*
Формальное дифференцирование асимптотического разло-
жения недопустимо.
Если функция F (х) имеет асимптотическое разложение
без свободного члена (Ло =0 и F(x)->0 при х->оо), то
это разложение можно потенцировать*.
ер ю= 14- Д 2_ [F (х)]т~ 1 +
11*
164
ГЛ. Ш. РЯДЫ
(7
Итак, асимптотическое разложение является источником
приближенных формул для вычисления функции при больших
значениях аргумента, причем точность формулы (3.147) тем
выше, чем больше значения аргумента.
Существуют функции, не тождественно равные нулю, для
которых все коэффициенты Ak в асимптотическом представ-
лении (3.150) равны нулю. Такие функции называются асимпто-
тическими нулями. Асимптотическим нулем является любая
функция F (х), для которой выполняется оценка:
F(x) = o(±)
при любом п. Например, F (х) = е~х— асимптотический нуль.
Добавление такой функции к левой части представления
(3.150) не меняет его правой части.
Не всякая функция F (х), определенная на полуинтервале
[а. 4-оо), допускает асимптотическое разложение (3.150), но
если такое разложение существует, то для данной F (х) оно
единственно (коэффициенты определяются однозначно). С дру-
гой стороны, для любой последовательности чисел {Д#} суще-
ствует функция F (х), для которой Ak суть коэффициенты
асимптотического разложения (3.150). Однако эта функция
F (х) определяется неоднозначно (с точностью до асимптотиче-
ского нуля).
7. Некоторые способы обобщенного суммирования
расходящихся рядов. Некоторые классы расходящихся
рядов, т. е. не имеющих суммы в обычнохм ее понимании,
целесообразно суммировать обобщенно.
Определение обобщенной суммы обычно удовлетворяет
двум условиям:
1°. Условие линейности. Если ряду соот-
ветствует обобщенная сумма Д, ряду — обобщенная
сумма В, то ряд 2 (Рал 4~	где Р и Я — произвольные
постоянные, должен иметь обобщенную сумму, равную pA-}-qB.
2°. Условие перманентности. Если ряд схо-
дится в обычном смысле к сумме Д, то он должен иметь
и обобщенную сумму, равную А.
Общая схема построения линейных перманентных методов
суммирования состоит в следующем.
7]	§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ	165
В некоторой области А' изменения параметра х задается
последовательность функций:
То(*)> TiO)> •• • Т«(х)- •••	(3.155)
Пусть область X имеет точку сгущения — конечное или не-
собственное число ш.
По данному числовому ряду
За„	(3.156)
л=0
строится функциональный ряд
оо
(3.157)
/1=0	.
Если этот ряд, по крайней мере для х, достаточно близ-
ких к о), сходится и его сумма S(x) при х—хо стремится
к пределу Л, то это число А и принимается за обобщенную
сумму ряда (3.156). Для выполнения перманентности метода
на функции Тд(х) налагаются два требования:
1) Ит (х) = 1 (n = 0, 1, 2, ...» );	(3.158)
Х-> (О
2) при всех х£А
lioWI+ 21ъ(х>—<00 (3-159)
/1 = 1
(К — const).
Рассмотрим ниже два метода обобщенного суммирования,
охватываемые приведенной общей схемой.
1°. Метод степенных рядов (Пуассона). По
данному числовому ряду (3.156) строится степенной ряд
оо
—ao+«i*4-• • •+«я*я4-• • •;	(3.160)
/1=0
если этот ряд в интервале 0 < х < 1 сходится и его сумма
5(х) при х->1 имеет предел А:
lim S(x) = A
го число А называется обобщенной (в смысле Пуассона)
суммой данного ряда (3.156).'	 (
166
ГЛ. III. РЯДЫ
(7
Этот метод вытекает из общей схемы, если положить
Х=(0, 1), о) = 1, ь(х) = х* (д = 0, 1, 2,
Пример 39. Возьмем ряд, рассмотренный Эйлером:
l—1+l—l-pi—l^ ...	(3.161)
Он не имеет суммы в обычном смысле, так как sn колеблется
между 0 и 4-1. Соответствующий степенной ряд (3.160)
имеет вид
1 — х 4- х2 — х3 4” х4 — х5 4- ... = 5 (—1)п*я-
п = 0
Его сумма при 0 < х < 1 равна (как сумма бесконечной
геометрической прогрессии)
=	(3.162)
1	-f-л.
обобщенная сумма ряда (3.161) в смысле Пуассона:
А= lim 4—= 1	(3.163)
х->1-0 1 « х *
Пример 40. Ряд
2	sinnS	(—it	0-С	(3.164)
п-1
сходится лишь при 6 = 0 и 6 = ± тс. Соответствующий сте-
пенной ряд
2xrtsinn0	(3.165)
л = 1
при 0 < х < 1 имеет сумму
е/<Л— ArsinO •
°W— 1—2XCOS04-*2 •
Отсюда обобщенная сумма равна
л 1-	х sin 0	sin 0	1,0
А "4'™ о 1 — 2л cos 0 4-х2 ~ 2 (1 — cos 6) ~ 2 Ctg 2 ’ <3,166^
7]
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
167
* 2°. Метод средних арифметических (Чеза ро).
По частным суммам sn данного числового ряда (3.156):
$0 — «о»	$1 — й0 ^1»
п
S2 = ao + fll + a2............... sn = ^ak
k^(j
(3.167)
строятся их последовательные средние арифметические
___ с Л ________ «$о + $1	Д ____$о + $1+ ... 4" $/1-1
1 — ^0»	^2	2	» • • •»	п
(3.168)
Если г последовательность {Лп} при /г—>оо имеет пре-
дел А, то это число называется обобщенной (в смысле Че-
заро) суммой ряда (3.156).
Из общей схемы этот метод вытекает, если положить
Х=п, а) = 4-оо, 1т(п) =
1—при /п = 0, 1.n—1,
О при т^п.
Пример 41. Снова обратимся к ряду (3.164), При 0 =£ О
cos -g- 0 — cos f n 4-	9
sn =	j	,
2 sin -g- 0
nA — n 1 0 Sin (д 4- 1) e — sin 9
4 - 2 ct? 2	л • 2 1 a
4 Sin2 ту V
Л	.	1,0
A — lim A„— Q-ctg-g-.
Л~>ОО	Z	X
$
Таким образом, обобщенная сумма в смысле Чезаро полу-
чилась равной обобщенной сумме в смысле Пуассона.
Для выяснения взаимоотношения между методами Пуас-
сона и Чезаро приведем следующую теорему:
Теорема 23 (Фробениуса). Если ряд суммируем
по методу средних арифметических к конечной ъсуммеъ Аг
то одновременно он суммируем также и по методу
степенных рядов и притом к той же сумме.
168	ГЛ. ш. РЯДЫ	[1
Отметим, что метод Пуассона приложим к более широ-
кому классу рядов, 'чем метод Чезаро, но не противоречит
ему, когда они приложимы оба.
§ 3.	Методы вычисления рядов
В этом параграфе рассматриваются некоторые способы
конечного суммирования рядов, некоторые оценки рядов,
конечных сумм и произведений, а также важный для прак-
тических вычислений вопрос улучшения сходимости рядов,
т. е. приемы, позволяющие данный ряд заменить другим,
имеющим ту же сумму, но сходящимся к ней быстрее.
1.	Элементарные приемы точного суммирования.
Весьма редко удается точно просуммировать бесконечный
ряд, полученный в результате решения какой-либо задачи.
Приведем некоторые простые приемы точного конечного
суммирования.
со
Теорема 24. Если члены ап ряда 2 ап можно Пред-
ало
ставить в виде ап = Ьп — Ьп+г и если числа Ьп образуют
последовательность {Ьп}, имеющую предел а, то сумма
ряда
8=^ап = Ьй — а.	(3.169)
л = 0
Пример 42. Дан ряд
оо
у _	, L___________•
я^/л(Л + 1)(/л + Ул + 1) ’
тогда
___________1 _____________________1
(n + 1) (/й + /й+1) ~~ /МП ’
причем lim -1=-=0, следовательно, S=1 (Z>0 = />, = 1).
Л->оо У П
со
Теорема 25. Если члены ряда 2 ап представимы
п = 0
в виде	.
ап — ai^/i+i+aA+2+	• +а/Л+р’	(3.170)
1]	§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ	169
где , р — некоторое фиксированное целое положительное
число 2? Ьп образуют последовательность? имеющую
предел а, и az представляют некоторые числа? удовле-
творяющие условию
«2	• • • -Ьар = 0»	(3.171)
оо
то ряд 2 ап сходится? причем его сумма равна
л=0
S = a1^14“(ai + a2)^+ • • • +(ai4“a2“h • • •
+ (аг+ 2а34-За4 + (р— 1)ар) а. (3.172)
Пример 43. Для ряда
VI 4/г+ 6
(л+1)(и + 2)(п + 3)
п=0
имеем
4п + 6	_	1	.	2	3 п
(n + 1) (« + 2) (п 4“ 3) —	1	/х + 2	/х + 3 ’
Следовательно, a1 = 1, a2 = 2, a3 = —3.
Условие (3.171) выполняется: 1-4-2— 3 = 0. Кроме того,
/?л=~->0 при п->со. Тогда по формуле (3.172) находим
5=1 • 14-(1 + 2)± = |.
ОО
Теорема 26. Если члены ряда 2 ап представимы
л = 0
в виде
ап~	bn + q*
где q — целое положительное число? а последователь-
ность чисел bQ, blt b2> ... имеет пределом то сумма
ряда
оо
5= 2ал —+	+ ^-i— ч^
л = 0	,	,	,	,
Для конечного суммирования рядов используются таблицы
разложений функций в ряды и соответствующие разделы
справочных изданий. Имея какой-либо ряд, следует убедиться,
нет ли его в справочнике,, либо нельзя ли его привести
170	гл. in. ряды	(2
к известному ряду путем замены переменных, либо иных
преобразований.
Пример 44. Имеется ряд
оо
2 kpksinkxt |pl < 1.
Л=1
В справочнике [7] приведена формула 1.447 3, которую
представим в виде
V pkcoskx = ~z—। 2—4"	(I/71 < D-
21 — 2р cos х + р2 2	41 г 1	7
&=1
Равномерная сходимость этого ряда и ряда из производных
его членов по х следует из сравнения их соответственно
оо	оо
с мажорантными рядами 2 \p\k и 2^1р1*> Дифференци-
*=1	Л=1
руя обе части равенства по х, находим сумму ряда
(см. § 2, п. 1):
ОО ’
Л-1
2.	Суммирование рядов с помощью функций комплекс-
ного переменного. Если тригонометрические ряды
ОО
y + ^«ncoso = A(4	(3.173)
Л-1
2 ап sin пх — f2 (х)	(3.174)
Л-1
оо
имеют положительные коэффициенты ап и ряд схо-
Л-1
дится, то ряды (3.173) и (3.174) являются рядами Фурье для
непрерывных функций.
Для нахождения функций fx{x) и /2(х)—сумм заданных
рядов (ЗЛ73) и (3.174) — можно иногда использовать функ-
ции комплексного переменного.
21
§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ
171
Пусть
оо
'р(г) = 4г + ^йиги
л = 1
— сумма сходящегося в круге | z | < 1 ряда. Если
lim ср(z) — lim ср(ге/х) = (е1х)г то fi(x)-\-if2(x) = ^(eix)9
|Z|->1	г->1
т. е. имеем после выделения действительной и мнимой частей
функции ср(г/лг):
/,(*) = Re {<р(^)}.	(3.175)
/2(x)=Im{?(e^)}.	(3.176)
Пример 45. Установить сходимость и просуммировать
ряды
оо
1 . COS X . COS 2х .	1 I V1 COS ПХ /о 177Х
1 ‘	1! + 2!	‘	—1 ’ п\ ’	(о. и О
ОО
smx t sin 2x .	VT sin nx	17Q4
1! •	2!~ +	~ Zt n\ *
n = l
Сходимость рядов (3.177) и (3.178)
из сравнения с рядом
rt=l
немедленно следует
являющимся мажорантным для данных рядов. Далее положим
оо
?(2)= 1 + 2тг = ^
п = 1
Представляя z в показательной форме z — reix и устремляя
г к 1, имеем
ее х — ecos x+i sin х — ecos х [cos (sin x) + I sin (sin x)] —
oo
__iiV1 (cos x +sin x)n
+£ 55
ec°s X cos (sfn	_|_ 4-ecos x sjn (sjn —
oo	oo
__i ! V1 cos nx t Vi sin nx
~ 1 "1“Zjl	n! Zl n! •
n = l	/1 = 1
172	ГЛ. III. РЯДЫ	[3
Отсюда	1 -F 2 ”~r“ — eCOSXcos(s'n А')<	(3.179) я=1 2J5H^£ = ecosxsin(sinx).	(3.180) 71 = 1
3.	Суммирование рядов с помощью преобразования
Лапласа. Определениепреобразования Лапласа.
Предположим, что при любом х > 0 модуль функции ср (х)
растет медленнее, чем некоторая экспоненциальная функция,
т. е. существуют такие числа М и $0, не зависящие от х,
что для любого х имеет место неравенство
| ср (х) I < Ме*ох.	‘ (3.181)
Пусть р = + 1<з — некоторое комплексное число. Тогда
интеграл
оо
a(p) = f e~Px<f(x)dx	(3.182)
О
существует и имеет производные всех порядков в полупло-
скости Rep>s0. Интеграл (3.182) называется преобразова-
нием Лапласа функции ср(х). Сокращенно принято назы-
вать ср(х) оригиналом или прообразом, а функцию а(р) —
соответственно изображением или образом.
Для оригиналов и изображений многих функций соста-
влены таблицы (см. например, [7]).
Суммирование числовых рядов [9]. Если для
сходящегося бесконечного ряда
$=2(±1)*«(£)	(3.183)
*=1
члены его представляют собой изображение оригинала ср (5),
т. е.
оо
о
31
§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ
173
то (с сохранением соответствия знаков ±) имеет
дующая формула
£(+1)*а(*)=± f
£ 'I
место сле-
(3.184)
Пример 46. Зная, что
со
о
согласно формуле (3.184) будем иметь
оо	00
У—1__± Г
k2 + а2 ~~ a J
&=1	о
sin _ те
И —1 ~ 2а
.. я
cth тса-------г.
а£
Производящие функции. Если члены последова-
тельности {fk(f)} (k—1, 2, 3, . ..), определенные в неко-
тором интервале а < t < р, являются коэффициентами раз-
ложения известной функции F (х, t) в ряд Тейлора по сте-
пеням х для |х|< 1, т. е.
F(x, 0==2**Л(0»	(3.185)
то F(x, t) называется производящей функцией для после-
довательности; {fk(О/. В качестве {Д-(0} можно, например,
взять одну из следующих последовательностей:
а) степенную последовательность /2».Л ...» причем
F(x, 0 =	=	(3.186)
fe=l
где | xt | < 1;
б) последовательность тригонометрических функций
или
причем
sin Л sin 2Л sin 3/, ...
cos tt cos 2Л cos 3/......
co
Fi(x. f) — i_2xcost + xt = J] x* suikt
*=i
(3.187)
174
ГЛ. III. РЯДЫ
13
и
со
'>-1Д“оо.~;т-л.=2^с°5и' <зл88>
£=1
где t может меняться в любом промежутке и |х| < 1;
в) последовательность полиномов Чебышёва Тх(х}> Т2(х),
Т3 (х)> • •1« для которой имеет место
со
(>=га^==2>‘7'«('>-	<3-189>
£=1
где 111С 1 и [ х | < 1;
г) последовательность полиномов Лежандра Рг(Г), Р2^\
P3(t), ...» причем
со
(3.190)
/? = 1
где 111	1 и | х | < 1.
Заметим также, что бесконечные ряды (3.186) — (3.190)
при х = ± 1 сходятся или колеблются в конечных пределах
(т. е. сумма первых ш их членов по абсолютной величине
остается меньше некоторой постоянной, не зависящей от
t и ш).
Суммирование функциональных рядов [9].
Предположим, что для бесконечной последовательности функ-
ций (k= 1, 2, 3, ...) известна ее производящая функ-
ция F (х, /) (см. выше). Пусть ряд
S(t, х) = S a (k) xkfk (0	(3.191)
Л = 1
сходится в некотором интервале а < t < £ и для | х | С 1.
Если коэффициенты a (k) ряда (3.191) как функции индекса k
представляют собой изображение оригинала <р (5), то для
суммы ряда (3.191) имеет место формула
S (/, X) = J <Р (5) F (хв-«, 0	(3.192)
о
3]	S 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ
175
Пример 47, Зная, что для любого 7^-0 и k > 0
дробь является изображением оригинала e-EZ, т. е.
СО
о
и. пользуясь формулами (3.187), (3.188) и (3.192) для целого
положительного /, будем иметь
оо
*)=2ттг =
m
—1 )rxf sin (r -/)/-}- sin It —
=x-4 V
. m-1
_	I n (1 _2x cos 14- x2) cos It arctg f t L (3.193)
ад
i —1 Г ™
— ---- 2jC^(—iyVcos(r—l)t—cos It —
m»\
coe«in(i_2XCosf4-x2)H-sin//arctgr-^^-. . (3.194)
1 " Лг LUO !r
Формулы (3.193) и (3.194) остаются справедливыми при
любом t и |х|<1, за исключением точек разрыва [11],
которые могут появиться для рассматриваемых тригонометри-
ческих рядов при х = ± 1.
Пользуясь производящими функциями (3.186), (3.189),
(3.190), а также формулой (3.192) при положительном и
целочисленном /, аналогично формулам (3.193) и (3.194),
можно установить также формулы суммирования для рядов
La k + l
k + l 9
оо
у хкРк (0
2d k+i •_
/г=>1

176
гл. III. РЯДЫ
и
4. Интегральные оценки для конечных сумм и беско-
нечных рядов. Формула Эйлера. Если функция а(х)
имеет производную до n-го порядка включительно для
(т и k — целые положительные числа), то имеет
место следующая формула Эйлера:
£-1	* *	л-1
2 а ('') = f a(0^+24rlo<’-1)(A) —	—
t = m	m	к = 1
* fc~l
(3.195)
О	t=m
где Yn (t) = Bn(t) — Bn, Bn — числа Бернулли, Bn (/) — мно-
гочлены Бернулли (см. гл. VI).
Первая интегральная оценка. Предположим,
что а(й) (х)^-О **) в промежутке q^ix^p-\-\ (р и q — це-
лые положительные числа). Обозначим наибольшее значение
функции Yn{t) на отрезке	1 через Мп, а наименьшее
значение через тй. Тогда имеет место следующее неравенство:
р
+	1а(л-1) (р + 1)- а(я-1) (?)]< £ а (А) <
k~q
<sn(p + \, ?)--^1а<"-О(р + 1)-а(«-1>(?)], (3.196)
где ***)
Р+1	л-1
Мр-Н. 0 = J «(0^4-2(?)b
q	v = l
л-1
*) При /1=1 надо считать	(k) — (m)l = 0;
v»l
кроме того, здесь и всюду дальше для всякой функции /(х) при-
нято, что /0)(х)=/(х).
**) Если а(*) (дгХД то'знаки неравенства (3.196) надо менять
на обратные.
***) При л = 1 надо считать
л-1
У (р +1) - в°‘1) (9)1 = 0.
4	V.1	‘ '	'• '
.4]	§ з. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ	177
Приведена некоторые значения для величин Мп и тп:
Mt = 1,/Wj = 0; Л42 = 0, т2 = — Ж3 = ^,,т3 = —
тИ4 = ^, т4 = 0; М5	0,0244582....	—0,0244582...
Можно доказать, что
M2l = ^21 (у) >0 и ^2/ — 0» если — четное,
М21 = 0 и m2l = K2Z 0J < 0» если — нечетное.
Если сделать следующие предположения:
а)	а(л)(х)^.О при ^<^х<ос;
б)	lim (х) = 0 при m = 0, 1, 2, ..., п—1;
Х->оо
оо
в)	интеграл J* a(x)dx сходится,
q
то при /?—>со согласно (3.196) получим
««(Н-00- ?)4--^га<л~° (<?)<
ОО
< 2 а < s„(+ оо, ?)+ $ а<^> (?), (3.197)
* = <7
где
00	я-1
sn ( 4- я) = f a(t)dt — 2 "ТГ вЬ-1)
q	v = l
Пример 48. Зная, что производные любого порядка
для функции а(х) = -Д= в промежутке 1^х<;101 будут
знакоопределенными, можно оценить значение суммы
пользуясь неравенством (3.196).
12 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
178	гл.	III. РЯДЫ	И
Например, будем	иметь		
18,1	<5<	19	при п — 1;	
18,55	<5<	18,61 при п = 2;	
18,5890	<$<	18,5909 при п = 6.	
Вторая интегральная оценка. Если предполо-
жить, что(—I/”"1 flC27”) (х) ^0 ♦) для q х -J- 1, то имеет
место оценка
s2m-i(Р + и ?) +	[а*2'”-1’(Р -Н) -а(2'"-и(?)]>
р
>£«(*)> (Р-Н. ?). (3.198)
k^q
где
Р+*	2т-2
«2И-1(р4-1.?)=J e(0^ + 2-&-le<v‘1)^+1>-a<’'1>(^
q	v-1
Если предположить:
а)	(—l)'B“la(2m)(x)>0*) при ?0<Ч-°о;
б)	lim а*2*”0 (х) = 0 для А=1, 2...т;
Л->оо
оо
в)	интеграл J* a(x)dx сходится.
<7
то имеет место следующая оценка:
оо
s2m-l (+	?) — -fer a(2m~X4q)> 2 а W >S2m-l(+ °°-
(	(3.199)
где
00	2т-2
а2(„-1(+оо, q) = f
q	v«l
*) Если (—l)™""1 аРт} (а:)<0, то знаки неравенства (3,198)
и (3.199) меняются на обратные.
2т-2
♦*) При т = 1 надо положить a^"l) (q) = В{а (q).
v=»l
4]
§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ
179
_з
Пример 49. Зная, что для функции а (х) = х2 при
всех х > 0 имеет место условие (—l)4aIV (х) > 0, можно
произвести оценку для суммы
100 1
fe=l
пользуясь неравенством (3.198) при /п = 2. Будем иметь
40501,2260 < S < 40501,2265.
Первая и вторая интегральные оценки могут быть исполь-
зованы не только для вычисления конечных сумм и беско-
нечных рядов, но также и для вычисления конечных и
бесконечных произведений.
Пример 50. Произведем оценку величины произведения
Р = р!.
р
Логарифмируя, имеем S = lnP = 21nA.
£ = 1
Заметим, что для функции а(х) = 1пх в промежутке
1 х р 4-1 выполнены условия
1	1	9
Я'(*) = ~>°» *"(*) = -^<0 и а"'(х) = -^>0.
Используя оценку (3.196), например, при п = 3, будем иметь
*з(Р-Н.	(/> + !)-«"
<$з(р+1,	(3.200)
5зг(р+ t	g-)i«(p+O—р[1	+
Потенцируя неравенство (3.200), окончательно получим
Уз <2+р)р	Уз (2+р)р
1ре 216 (р+ip	p\^Lpe2W О’+О3,
где	111
Lp = (р 4-1)+ ^е'Р I1
Далее рассматриваются преобразования рядов, улучшаю-
щие их сходимость.
12*
180
ГЛ. III. РЯДЫ
(5
5. Преобразование Куммера. Пусть дан ряд с положи-
тельными членами
со
=	(3.201)
п-т
и некоторый вспомогательный ряд
оо
=	(3-202)
п-т
который сходится и	имеет	конечную сумму	Вт.	Пусть
существует конечный предел
Д=	lim ^-=#0.	(3.203)
п ~>ОО ап
При этих условиях ряд (3.201) сходится (см. признак HI,
§ 1) и имеет место следующее тождество:
'ОО
+ <3-204>
п=т
которое называется преобразованием Куммера для ряда
(3.201).
сходимости рядов, соответствующее
сходимости. Преобразованием (3.204)
для улучшения сходимости ряда (3.201).
6. Улучшение
данному признаку
можно пользоваться
В самом деле, согласно (3.204) сходимость (3.201) будет
улучшена в том смысле, что общий член =	ап
ОО .
преобразованного ряда 2будет стремиться к нулю
п = т
<1) ‘
быстрее, чем т. е. lim ---------—0; Очевидно, чем быстрее
я.->оо . ап
Ьп .	'
отношение —будет стремиться к своему конечному пре?
ап
делу А Ф 0, тем быстрее будет сходиться ряд в правой
части (3.204). -
Преобразование (3;204) можёт быть применено к одному
и тому же ряду (3/201)' последовательно несколько раз.
6]	§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ	181
Предположим, например, что члены вспомогательных
рядов
оо
= (Л = о, 1, 2............р)
п=т
последовательно подобраны так, что
1) сумма (k = 1, 2...........р) заранее нам известна,
2) Ak = lim А™ где
п->со	а*>	\	/
причем все Ak ограничены и не равны нулю.
Л(Л)
Тогда, полагая -~-=1—е^), где lim sW = 0, после
п ->эо
р-кратного преобразования ряда (3.201) будем иметь
Иногда может оказаться, что для некоторого k все 8^=0,
и мы получим точную сумму ряда (3.201).
Всякое преобразование типа (3.204) определяется выбором
оо
некоторого ряда которому соответствует некоторый
со.
достаточный признак сходимости ряда У ап, получаемый
п-1
из признака III. Именно в этом смысле и можно говорить
о том, что всякому признаку сходимости, вытекающему
из признака III, соответствует свой способ улучшения сходи-
мости ряда. Практически может оказаться выгодным в пре-
образовании (3.205) брать все Ьп\ Ь%\ ... равными
или различными, т. е. этапы улучшения сходимости выбирать
в соответствии с этим по тому же Или различным признакам
сходимости. В качестве приложения преобразования (3.205)
ниже рассматриваются приемы улучшения сходимости рядов,
соответствующие признакам Даламбера и Гаусса.
.Улучшение сходимости рядов, соответ-
ствующее признаку Дал ам б ера. В тождестве (3.204)
182
ГЛ; Ш. РЯДЫ*
(6
положим Ьп — ап+1 — ап = Ьап и считаем ряд сходя-
щимся по признаку Даламбера, т. е.
Ит £д+1==р< 1.
П ->ОО ап
Пусть р =# 0, тогда
=	=	+	(3.206)
п-т	п-т
где
Ао = lim .
°	„->00	«„
Применяя преобразование (3.206) к ряду
ОО
V аР>, где = а —	,
Л* п	п п Aq
п-т
еще раз, будем иметь
Здесь принята следующая символическая запись:
Итак, последовательное применение вышеуказанного преобра-
зования р раз (учитывая принятие символического обозна-
чения) для первоначального ряда дает
^т~Ха«— л" П Ак О Лй_1) йт~^
п-т	1-5=1
оо р—\
+	(З-ЗОТ)
п-т <s»0
6J
§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ
183
где
Ло= lim -^5
°	л->« «л
(Л=1. 2. 3.р).
Преобразование Эйлера. Предположим, что для
степенного ряда
2 *пхп	(3.208)
Л »1
выполнены следующие условия:
lim .an+i = 1 *) и lim Д\я+1- == 1	(3.209)
(Л = 1, 2....р).
Тогда к ряду (3.208) можно применить преобразование (3.207),
которое приводит к следующему известному преобразованию
Эйлера:
°° ’	р_ 1	ъ .
л = 1	£==1
+ <3-210>
л = 1
Пример 51. Пусть ап — Р (п) есть некоторый многочлен
степени т; легко проверить, что здесь условия (3.209) для
всех k^m будут выполнены и, кроме того, для любого
k > т будем иметь Д*ал — 0. Тогда, применяя формулу (3.210),
при условии [ х | < 1, получаем
2 Р (п) хп =	+ 2 &Р а)(т=7)6+1-
л = 1
*) Это обеспечивает сходимость ряда (3.208) при условии
|л|<1 (см. [11], т. II).
184
ГЛ. III. РЯДЫ
[6
Улучшение сходимости рядов, соответству-
ОО
ющее признаку Гаусса. Предположим, что ряд 2 ап
п~т
сходится, так как выполняются условия признака Гаусса,
т. е. условия
«л+i __ ”Х+Р1Л) ~1 + ?(я)
ап 4-	+ ф (п) ’
где ср(п) и ф(/г) имеют порядок ниже, чем и, кроме
того, qx—	1 (см. § 1, п. 5).
оо
Если положить Ьп==(п-\-1)ап+1 — пап, то к ряду 2 ап
п—т
можно применить преобразование (3.204). Будем иметь
п= т
___ГПйт
qi—Pi — X
п = т
Р1^ х+р2п^ 2+ ... +Х
лх +	+ ... + (7х
(3.211)
где p'v ру .... р[ — некоторые новые коэффициенты, не
зависящие от п. Преобразование (3.204) для ряда (3.211)
можно повторить.
Пример 52. Если к ряду
оо
5==^1 л (л 4-1)
п -1
применить преобразование (3.211) дважды, то получим
1
5 =
п (п + 1) (л + 2) (и. + 3)‘
Учитывая лишь три члена последнего ряда, будем иметь
60’ тогда ка1> точн^я сумма 5=1.
Пример 53, К ряду
ос
5 = 2 . йл*.
л« tn
(3.212)
7J
S 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ
185
где
ТТ (а+ *)(? +ft)
и а+р—7 < О,
преобразование (3.211) может быть применено неоднократно.
После р-кратного преобразования ряда (3.212) будем иметь
е —......	_г_
£-1 к
>	У ТГ	(т + з-*)(т + $-Р)	,
~ Т(7 — а — (3)	J-L (t + $ + 1)(74-s + 1 —“ — ₽)~Г'
ТГ O + s-a)(7 + s-p) V ап
“Г" XX	7 + S — а — В	Р
s~°	«=mJJ (П_|_7 —$)
5 = 0
7. Преобразование Абеля. Преобразованием Абеля на-
зывается тождество
п	л-1
S =	+ S (aft^-aft+1)Bft. (3.213)
k=1	k= 1
k
где Bk = 2 Оно является аналогом формулы интегриро-
вания по частям для конечных сумм. Полагая в (3.213) k->oo,
перейдем к бесконечным последовательностям {afe} и
Из (3.213) при условии, что {Вл} ограничена и lim aft = 0,
<	z 	fc-»OO
следует:
оо	оо
SaA?ft = S(as a*+i)^fe-	(3.214)
£ = 1
Это преобразование может быть использовано для улучшения
сходимости бесконечных рядов (см. [1]).
Пример 54. Улучшим сходимость тригонометрических
рядов
оо	оо	,	,
2 «*sinZ!X и 2 «й СОвЛХ, где lim«ft = 0,
ft=l	k=\
186
ГЛ. III. РЯДЫ
[7
зная, что
и
Пользуясь преобразованием (3.214), положив ай = uk, Дал=
= uk+1 — uk, будем иметь
~	ttlCtg-g-
2j «л Sin kx =-2----|-
Ч----A«ftcos(A4-y)x, (3.215)
2sin2- ГГ1
оо	оо
aftcos^x = — ~----Дйй sin(^Ф.216)
Л=1	2sinj Аз1 Х 7
Очевидно, этими преобразованиями тригонометрических ря-
дов выгодно пользоваться в том случае, когда uk стремится
к нулю медленно и lim -^£- = 0. Улучшение сходимости
k ->оо Uk
будет тем сильнее, чем быстрее стремится к нулю.
Если к рядам (3.215) и (3.216) преобразование (3.214)
применить вторично, то получим
uk s\nkx—
k-\
и
1
X Д2й* sin (* + 0 *
4sin2-i^wi
00	00
У «ftcos&x== —	— йг)' C°S Хг X Д2«*соз(Л-|- 1) х,
£
$ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ	187
где Д2яй = «й+2—	+ — разность второго порядка.
Например, если uk — ~t то будем иметь kuk — bi), ,
к	к -ф- 1 j
Д2“л== Л (Л+1Н*+2) и Т‘ Д‘
8. Способ А. Н. Крылова улучшения сходимости три-
гонометрических рядов. Если функция / (х) удовлетворяет
условиям Дирихле, то она разлагается в сходящийся ряд Фурье
/(х) = -у -|-	(дя cos пх + />п sin пх),	(3.217)
п »1
причем коэффициенты Фурье ап и Ьп имеют, если f (х) —
функция ограниченной вариации, порядок-^. Такой ряд схо-
дится медленно. Ускорить его сходимость можно приемом
выделения медленно сходящейся части. Пусть / (х) имеет всюду,
за исключением конечного числа точек хф\ х&9 ... х^,
I 2’	т0’л
ограниченные производные &-го порядка. В указанных точ-
ках /(х) претерпевает разрыв 1-го рода, а величина скач-
ка ht равна
^ = /(х;°) + 0) —/(х(°) —0) (/=1,2.....т0). (3.218)
Пусть у y-й производной также имеются разрывы 1-го рода
в точках х^\ х^\ ..., х^> с величиной скачка
А(/) = у(7) (Хр-|_О)_/Л (х<Л-0)	(3.219)
(/=1,2....т/,	У=1,2, ...,Л).
Тогда /(х) можно представить в форме
mQ	rrii
/«=24	+24- *?’)+   •
Z-l	/ = 1
mk
•••+24	<3-220>
Z-1
или
k MJ
/(*)=422а'У)°Хх-^л)+^х)’ (3-221)
188
гл. in. РЯДЫ
[8
где
оо	I	2 ~ “ ПРИ ^2-<й<0,
М«) = £=^ = ! 2^	,,,«<»<!..	(3.222)
Л = 1	I 2
(	0 при и = 0, 2л, —2л.
00	оо
/z X . Л2	V C0S ПИ
a0(u)du---g-= ~2^~ИГ':=
О	/г = 1
л2	(л 4* и)2
12	4
л2	(л — и)2
“12	4~"~
при — 2л <; а <; о,
(3.223)
при 0 и 2л.
Интегрируя еще раз, получаем а2(й):
оо
, ч V1 sin пи Зли2 — 2л2/г — zz3 /п .	, о ч /О
С2 (и) = — X —^з~ =--------12------- (° < « < 2к). (3.224)
п = 1
Функция ср(х) непрерывна вместе с k первыми производ-
ными и ряд Фурье для нее
оо
? (х) = -у + 2 (% cos пх + ?л sin пх)
Д = 1
сходится быстро, так как коэффициенты % и $п имеют поря-
док . Ряд для функции f (х), если учесть разложения
(3.222) —(3.224), будет '
V» 1 (0) V sin п{х —
Z = 1	/z = l
v i b(i)VC0S"(x“J^))
~ ^i~Kni ЛЛ n» ~
1 = 1	fl ~ 1
_	4p£^(i^):+
Z»1 я = 1
O°	’
,.... ' s ... + у -и- 2 s0*5 nx	dn n*)' <3-225>
/1«1	I
81
§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ
189
Таким образом из ряда Фурье (3.217) выделяются мед-
ленно сходящиеся части.
Часто, не имея самой функции, мы получаем каким-либо
способом ее ряд Фурье, причем, если этот ряд сходится
медленно, то он мало пригоден для вычисления значений
самой функции, не говоря уже о ее производных. В этом
случае часто удается провести улучшение сходимости, если
использовать известные ряды для о (х — х0) и т. л. Покажем
это на примере [3].
Пример 55. Дан ряд Фурье
=	sinnx (0 <*<*)• (3.226)
n = l
Выделим из коэффициента низшие степени
п	_ J_	.	1	.	1
л2 — 1 п	'	л3	'	п5 —	п3 ’
Тогда исходный ряд можно разбить на три:
л
2 Vi00®"?
f (x) = — — 2j--~~ sin nx —
n=l
к
COS л-g-
----=— sin пх —
л3
п = 1
^.СО8Л~
^п8_„з sinrax- (3.227)
n = l
Первые два ряда суммируются в конечном виде:
(3.228)
190
ГЛ. III. РЯДЫ	[8
(3.229)
Пользуясь (3.222) и (3.224), получаем:
! Зг(х)=
S2(x) —
___ (х — пу
бте
(3.231)
(3.230)

Следовательно,
/(x) = 51(x)+S2(x)-42
/1 = 1
к
cos п
</- 2--П Sin ПХ
п3 (п2— 1)
(3.232)
Оставшийся ряд сходится быстро (порядок его коэффициен-
тов и полученное выражение (3.232) позволяет легко
вычислять значения функции и ее первых производных.
В том случае, когда приведенных выше рядов для а0,
а2 недостаточно для улучшения сходимости, может ока-
заться полезным ряд:
cos x-f-icos 2х-~cos Зх-4~ ... =
= — RellnJ 1— е‘х\] = — ln|2sin-y| (3.233)
9]	§ 3. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РЯДОВ	191
и ему аналогичный:
cos 2х . cos Зх । cos 4х .	_
"ТТ2 |--27з-~Г-зТ4 Г ... —
— (1 — cos х) In 12 sin 14-	~ ) sin х -J- cos х,	(3.234)
Пользуясь указанными рядами, можно улучшить сходимость
любого ряда вида
со
У] sin nxQ + В cos nxQ) sin пх 4~
/2 = 1
4~ (с (тг) sin лхо + (77) cos	cos пх
где А —), В —), С—I, D — 1 — аналитические функции
\п J \п) \п /	\п)
1
от — для малых значений аргумента.
9. Способ А. С. Малиева улучшения сходимости три-
гонометрических рядов. Ряд Фурье для функции, имеющей
производные всех порядков внутри интервала (0, 2тс), причем
сама функция или одна из ее производных имеют различные
значения при х = 0 их = 2тс, сходится медленно. А. С. Ма-
лиевым предложен способ получения быстро сходящихся три-
гонометрических разложений функций этого вида, состоящий
в следующем.
Пусть заданная в интервале (0, тс) функция f (х) имеет
на нем непрерывные производные до (k — 1)-го порядка вклю-
чительно и &-я производная удовлетворяет условиям Дирихле.
Эту функцию можно разложить в ряд по функциям cos2nx
и sin2nx, либо в ряд по одним sin/IX или по одним cosnx (в
зависимости от того, четно или нечетно продолжена f (х) на
интервал (—тс, 0)). Ряды эти, вообще говоря, сходятся мед-
ленно. Добиться порядка в коэффициентах Фурье можно,
если предварительно продолжить функцию на интервал (— тс, 0)
таким образом, чтобы при периодическом продолжении на
всю действительную ось функция имела бы k производных,
причем й-я производная удовлетворяла б® условию Дирихле.
192
ГЛ. Ш. РЯДЫ
де
Дж этого возьмем f (х) на интервале .(—зс, 0) в -форме,
например, многочлена (2k—1)-й степени <р(х), имеющего
со своими производными до (k—1)-го. порядка в точках 0
и z значения, соответственно равные значениям f (х) и ее
производных при х = 0 и х — я. Удобно выбрать ср (х) в виде
<р(х) = (* W[\ +	...	+ .
+ х*[в0+В1(х-Н)+ ... +	+
Тогда коэффициенты До, Др .Ak_x\ В^	Bk_1
определяются последовательно из уравнений:
?(0) = ^До = /(0),
<f' (0) = &я*_1Л0 4- я% = /' (0).
(0) =cLi&(& -1)... 2 «4Н-С1_1Л (k -1)...з	4-...
... +с::^-Ч_24-с11Мда_1=/*-1)(0);
<р (— я) = (— п)6В0 — f (it).
<р'(—я) = Л(—я)*“1В04-(—k)*Bj =/'(я),
ф(й-1)(_к) =	k (k — 1) ...2 (— я) Во4-_
4-С1_!*(А — 1) ... 3(— it)2Bj4“ ...
... 4-	(- *)* Вк_х = /*-» (я).
После построения многочлена ф(х) получаем функцию
( ?.(Х) при—it<x<0,
Y (Л)	J у	ПрИ Q х
Эта функция, продолженная периодически, имеет k—1
непрерывных производных и k-ю производную, удовлетво-
ряющую условиям Дирихле. Ряд Фурье для <]»(х) сходится
как и на интервале (0, я) дает функцию / (х).
Пример 56 (3].
/ (х) == х —	(0 < х < п).
gj -	5 з. методы вычисления рядов ’ ‘	№
Пусть k = 3 (длясходимости порядка . Тогда
?(*)=(* + к)3 (-	— А х- А +
+ х3[-i~i<xА«) ~ V<х + л)2]•
Разлагая в ряд функцию
,.ч	( ?(*) (—»О<0),
Ф х) — I J. (Х) (0 < х < к),
получим  ,	.. . , J. 	; .	-....... .	.
,	240 V /1	12 А ,
/(^ = ^3- Zi	cosrexA
п = 1, 3, 5 ... .	.
-	. ’ 1440' V 1 • 1
+	п» sin/ix-
п « 2, 4, 6, <..
ГЛАВА IV
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ
СИСТЕМЫ
Введение
Последовательность функций {/„(х)} называется ортого-
нальной на интервале (а, Ь), если при i=f= j
ь
J ft(,x)fj(x)dx = 0.
а
В анализе большую роль играют представления функций
в виде ортогональных рядов
оо
2	(х),
Л = 1
т. е. рядов по ортогональной системе функций. Классическим
примером ортогональных рядов являются тригонометриче-
ские ряды.
Теория ортогональных рядов возникла в связи с реше-
нием задач математической физики так называемым методом
Фурье. С помощью ортогональных рядов решаются и линей-
ные интегральные уравнения с симметрическим ядром.
Теория ортогональных систем функций имеет замечатель-
ную аналогию с теорией ортогональных систем векторов
(см. гл. II, § 1). Эта аналогия была замечена давно и отра-
зилась в терминологии. В дальнейшем она привела к кон-
цепции пространства Гильберта — бесконечномерному ана-
логу n-мерных евклидовых пространств (см. гл. II), причем
ортогональные системы функций играют роль ортогональных
систем векторов в гильбертовых пространствах. При этом,
ВВЕДЕНИЕ
195
чтобы теория ортогональных систем функций приобрела
законченность, пришлось обобщить основные понятия ана-
лиза, в частности понятие интеграла, что привело к так
называемому интегралу Лебега.
В настоящей главе излагается более элементарная часть
теории, главным образом, ее «выкладочная» сторона. Везде
в этой главе, если это не оговорено особо, интеграл пони-
мается в смысле Римана.
n-мерные векторы можно интерпретировать как функции,
определенные в п точках; такая интерпретация изложена
в общих чертах в § 1, п. 1; при этом аналогия с ортого-
нальными рядами функций выступает более рельефно. В § 2,
п. 6 дается представление о биортогональных системах
функций — аналоге биортогональных систем векторов. Пер-
вый пример таких систем дан П. Л. Чебышевым в связи
с задачей интерполяции.
Ортогональные системы функций связаны с задачей при-
ближения сложных функций более простыми, когда мерой
близости двух функций /(х) и <р(х) является их квадрати-
ческое уклонение
ь
J l/(x) —?(x)]2dx,
а
Задача о наилучшем приближении (с этой точки зрения)
функций многочленами привела к созданию теории ортого-
нальных многочленов (простейшей системе ортогональных
функций). Первым примером ортогональных систем много-
членов была система многочленов Лежандра. Общая теория
ортогональных систем многочленов принадлежит П. Л. Чебы-
шеву. Этой теории посвящен § 3.
С единой точки зрения классические системы ортогональ-
ных многочленов изложены в § 4, пп. 1—4.
Последние пункты § 4 посвящены конкретным системам
многочленов — Лежандра, Якоби, Чебышева, Эрмита, Лагерра
(а также аналогу Чебышева многочленов Лежандра для конеч-
ного числа точек). С помощью отрезков рядов по ортого-
нальным многочленам можно найти в ряде случаев и хорошие
равномерные приближения функций. Особенно часто такие
приближения дают отрезки рядов по многочленам Чебышева
(см. § 4, п. 7).
13*
^ Д96ГЛ. IV. ОРТОГ0НАдаНад^РЯДЬЬ;И7ОРТРГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМ^ (1
.	\ § 1. Ортогональные сйстемы -/Ф
L Ортогональные системы функций, определенных
в п точках. Логически простейшими примерами ортогол4Йь-
ных систем функций являются системы функций, определен-
ных в п точках. Ограничимся случаем функций одного пере-
менного (хотя все сказанное непосредственно обобщается на
функции многих переменных).
Имеются конечное множество чисел (или точек числовой
прямой) хр х2, ..., хп и функции /(xz), определенные
в этих точках. Каждую такую функцию можно рассматривать
как вектор / с компонентами /z = /(xz) (/=1, 2, .... л).
«Длина» или норма такого вектора есть
11/11 = ]/	(4.1)
Совокупность этих векторов (функций) образует л-мерное
евклидово пространство, которое обозначается символом
£л(хр х2, ..., хл) (см. гл. И).
Базис в Еп(хх, х2, ..., хп) состоит из любой системы п
линейно независимых функций /<х>, /<2>, ..., /<п) на мно-
жестве Хр х2, ..., хят
2. Ортогональные системы в Еп (Яр х2, .... хя).
Функции f(xj) и <р(х4) ортогональны на множестве точек
Хр х2, ..., хя, если .
(/. <Р>	2 ffft = 2 / (*/) «р (х,) = 0.	(4.2)
j=»l	l»l
что отвечает ортогональности векторов с координатами ft
и <pz (/= 1, 2, ... , л).
Система функций(xz)(^=l, 2......./)из£л(хр х2,...» хл)
называется ортогональной, если
..	.	(|1/(7)||2>0 при k — j,
i при
Ортогональная система из п функций называется полной.
Существует в £л(хр х2, ...» хл) бесконечное множество
ортогональных систем из п функций {/(7)} (/ = 1, 2, ..., п).
a ;	 <vi97
Функции каждой такой системы образуют ортогональный
базис в пространстве En(xv х2....... хп). Каждая функ-
ния f (х^ из Еп (хр ..хл) линейно выражается через
функции ортогонального базиса
/W~ 3 ^/<Л (х,).	(4.4)
; Z"1. .: . .	 : .
Коэффициенты Cj в (4.4) называются «коэффициентами
Фуръеъ функции f по системе функций /W, /(2\	/<л),
причем	-л
9 = (/;/</))= 2 У	(4.5)
I = 1
Коэффициент Cj есть проекция вектора / на базисный век-
тор /(Л.
Если для всех /(У) (/=1,2....п) ортогонального базиса
имеет место равенство ||/(у)|| = 1, то базис называется орто-
нормированным. Если базис /(7) (/=1,2, ..., п) ортонорми-
рован, то для любой функции / (xz) из Еп (хг, х2, .... хл) имеем
п
П/112=2 4	(4.6)
где Cj — коэффициенты Фурье функции f по ортонормиро-
ванной системе (/(7)) (следует из формулы (4.4) и линейных
свойств скалярного произведения).
Если ортогональная нормированная (||/(7>|| = 1) система
не полная, т. е. число ее элементов I < п, то вместо
равенства (4.6) получается неравенство
ll/ll2> 1	(4.7)
7=1 7
Равенство (4.6) и неравенство (4.7) в пределе при п —>оо
переходят в соответствующие равенство ПарсеваЛя и нера-
венство Бесселя (см. § 2, п. 4).
3. Наилучшее квадратическое приближение. Квадра-
тическим приближением функции /(х) функцией ср(х) по
системе точек хр х2, .... хп называется
II/ — ФII = 1/ g(/ С«4) -1	Ь (4-8)
198 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [4
; Будем, рассматривать «обобщенные многочлены». 1-го
порядка. т. е. функции вида
(4.9)
11	k-\
где {/(^} (Л=1, 2, ...» Z; I < п)—ортогональная система
функций из Еп (хр х2, .... хп).
Теорема 1. Среди всех «обобщенных многочленов»
l-го порядка (I С п) наилучшее квадратическое приближе-
ние функции f{xj) в точках хр х2, ..хп дает «много-
член» вида
2^/(А)(х/).	(4.10)
Л = 1
где ck — «коэффициенты Фурье».
Этот многочлен Z-го порядка совпадает с суммой первых I
членов суммы (4.4). При 1 = п это наилучшее приближение
равно нулю.
4. Ортогональные системы тригонометрических функ-
ций. Важнейшими примерами ортогональных систем на конеч-
ном множестве точек являются, во-первых, ортогональные
системы многочленов, введенные П. А. Чебышевым
(см. § 4, п. 11), во-вторых, ортогональные системы три-
гонометрических функций.
Itz
Пример 1. На системе 2п точек xt = — (Z = 0, ± 1,
±2, ..,, ± п — 1, — п) ортогональной является система функ-
ций {cos£xz} (& = 0, 1, 2, ..., п). Всякая четная функ-
ция /(xz), определенная в этих точках, представима суммой
п
/(•«i) = -y- + 2c*cos*xi1	С4-11)
Й=1
где
л-1
/(xi)c°s**z-
i = -n
При м e р 2. На системе 2п — 1 точек xz = (I = ± 1,
±2, .,±n — 1, —м)ортогональной является система п— 1
4]	-	I. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ	; !	199
функций {sin kxt\ (6=1,2,..., п—1). Всякая нечетная
функция ср (xz), определенная в этих точках, представима суммой
л-1
<Р (*/) = 2 ck sin kxit	(4.12)
k= 1
где
л-l
^ = ^2?Uz)sin kxi-
i = ~n
Пример 3. На системе 2n точек
xz = -^(z = 0, ±1, ±2.........±	n—1, —n)
ортогональной является система 2n функций {cosAx, sin/x},
где A = 0, 1, 2, .... tr, 1=1, 2....n—1.
Всякая функция ф (xz), определенная в этих точках, пред-
ставима в виде
ф (Xj) •= ~ (аь cos kxt+Ьк sin Axz), (4.13)
Л = 1
где
л-1
= S '|»(xi)cos*xz,
/ = -л
л-1
*й = - S ’I'^sinftxp
Z = -л
Формула (4ЛЗ) переходит в формулу (4.11), если
ф(х) — четная функция, и в формулу (4.12), если ф(х)—не-
четная функция.
Любая периодическая функция ф (xz), определенная во всех
точках xt =	, где I — любое целое число, представима
по формуле (4.13), а в случае ее четности или нечетности—по
формулам (4.11) и (4.12).
Эти формулы, найденные Эйлером и Лагранжем, при
п->оо переходят в формулы (4.42) и (4.43). Они лежат
в основе численных методов гармонического анализа.
200 ГЛ. 1У. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ({
§' 2. ОбйЬгё свойства ортогональныхи биортогональкых
... L... -,-<?ИСТ:еМ .. ..... . 
1. Ортогональность. Скалярное (внутреннее) произве-
дение. Известное свойство ортогональности двух векторов
в евклидовом пространстве п измерений состоит в Том, что
их скалярное произведение равно нулю (см. гл. П, § 1, п. 3).
По аналогии с понятием ортогональности векторов опреде-
ляется понятие ортогональности функций.
Скалярным (внутренним) произведением функций f(x)
и g(x) на [a, ft] называется выражение
а .
(/• g) = ff(x)g (x)dx.	(4.14)
(Здесь, естественно, предполагается, что f (X) • g (х) интегри-
руемо на [a, ft].) Если
ь
(f. g)= f f(x)g(x)dx = 0,
a
то функции /(x) и g(x) называются ортогональными на [at ft].
Пример 4. Функции sin x и cos x ортогональны на
отрезке [0, тс], так как
/* •	sin2x Г л
/ stnxcosxax==—5— = 0.
- • > S	- - 2 '°	'
Дальнейшим обобщением понятия, ортогональности является
понятие ортогональности функций по весу.
Пусть р(х) некоторая фиксированная неотрицательная
на [a, ft] функция.
Любые две функции / (х). и g (х), для которых
f f(x)g (*) Р (х) dx = 0,	 ‘ (4.15)
а
называются ортогональными на отрезке [a, ft] по весу р(х).
1J	: S >2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ gQ|
П р и м е Р 5, Функции sin (я arccos х) щ cos (п arccos х)
ортогональны на [—1, +1] по весу
1
/Г=^2 ’
так как
sin (п arccos х) cos (п arccos х)
-=--2...dx
/1—х2
Все рассматриваемые в этой главе интегралы считаем
существующими в смысле Римана.
Для функций /(х), g(x) и веса р(х), не интегрируемых по
Риману, но интегрируемых по Лебегу, понятие ортогональности
естественным образом обобщается.
Пусть функция р (х) неотрицательна на [а, д], отлична от нуля
на множестве меры нуль и интегрируема по Лебегу на [а, Ь]. Тогда
I
j* р (х) dx > 0.
а
Пусть функция /(х) такова, что j*f2(x)dx существует в смысле
а
Ъ
Лебега. Тогда существует и J* f2(x)p(x)dx. В этом случае гово-
а
рят, что /(х) интегрируема по весу р(х) на [а, 6] с квадратом
(в смысле Лебега), и обозначают множество таких функций
через £р(х)(а, Ь).
Если р(х)~1, то обозначают просто L2(at b).
1 ' ' 
Например, функция / (х) = х 3 принадлежит L2 (0, 1),
1
а у(х) = х 2 не принадлежит /Л(0, 1).
Имеет место следующее предложение: если /(х) и g (х) при-
надлежат £2^(а, Ь), то существует
ь
f f{x)g(x)p{x)dx
202 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ и ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [1
и выполняется неравенство Коши — Буняковского'.
ъ	Г ь	ь
ff(x)g (x)p(x)dx^ 1/ Jf2(x)p(x)dx J g2(x)p(x)dx
a	r a	a
(являющееся обобщением соответствующего неравенства для век-
торов, см. гл. II, § 1, п. 2).
Скалярным произведением в L2p^(at b) функций f(x) и g(x)
называется выражение
ь
if, g)= f f(x)g (X) p (x) dx.
a
Функции f(x) и g(x) из L2p b) называются ортогональными
no весу p (x), если (/, g) = 0.
Пусть a(x)— неубывающая функция на [a, д]. Будем рас-
сматривать функции / (х), для которых существует интеграл
Стилтьеса
ь
J /2(x)do(x).
а
Тогда существует и
Множество таких функ-
ций будем обозначать через L\xy(at b).
Для любых двух функций f (х) и g (х) ИЗ (х) (о, Ь)
существует
J	(4.16)
а
и имеет место соответствующее неравенство Коши — Буня-
ковского. Интеграл (4.16) называется скалярным (внутрен-
ним) произведением функций f (х) и g(x) из £а(*)(я, Ъ).
Функции f (х) и g(x) называются ортогональными по
«интегральному» весу а(х), если
ь
<f. g)— //(x)g(x)da(x) = 0,
а
т. е. равно нулю их скалярное произведение.
1]	§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ *203
В случае, когда а (х) имеет конечное число точек роста: хт,
х2, ...» л;я, интеграл (4.16) превращается в конечную сумму
п
2 / (•*/) g <*i) 1° (*1 + 0) — 6 (*< — 0)].	(4.17)
4 = 1
Если все скачки о(х) равны 1. т. е.
a(xz—0)=1
для всех Z, то (4.17) превращается в
п
2/(*/)£ (*г)-	(4.18)
i = 1
Здесь на ортогональность функций / и g влияют только
значения их в конечном числе точек — точках роста функ-
ции а(х). В связи с этим можно рассматривать функции f
и g, как заданные ^только в этих точках (как в § 1, п. 1).
Тогда (4.18) есть обычное скалярное произведение векто-
ров / и g из En(xlt ...» хй). Случай, когда а(х) имеет
конечное число точек роста, есть особый случай еще и
потому, что только в этом случае существует лишь п линейно
независимых ортогональных между собой функций (см. § 1, п. 1).
Введенные выше понятия ортогональности двух функций
объединяются общим свойством: внутреннее произведение
функций /(х) и g(x) в каждом из рассмотренных случаев
равно нулю. Все дальнейшие рассмотрения (если это не ого-
ворено особо) не зависят от того, каким из рассмотренных
способов введено понятие внутреннего произведения. Поэтому
в дальнейшем будем внутреннее произведение функций /(х)
и g(x) обозначать вообще символом (/, g), понимая под
ним любое из рассмотренных выше определений. Случай,
когда
ь
(f< g) = f f(x) g(.Jc)d<3(x)
a
объединяет все другие определения скалярного произведения.
Случай «дифференциального» веса р(х) получается отсю-
да, когда а (х) имеет интегрируемую производную, тогда
204 ГЛ.. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Й ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [2
da (x)raj? (х) dx^n интеграл (4.16) превращается в <
f f(x)g(x)p(x)dx.
Ортогональность без веса есть случай, когда da(x) = dx.
Ортогональность функций, определенных в конечном числе
точек, соответствует Конечному числу точек роста функ-
ции а(х).
Поэтому в дальнейшем, когда это будет нужно, будем
Для (/, ^ пользоваться выражением (4.16).
Скалярное произведение функции f (х) на f (х), Т. е. (/, /),
обычно обозначают ||/||2 и величину ||/|| =)Л(/,/) назы-
вают квадратичной нормой функции. Эта величина яв-
ляется нормой f (х) в соответствующем нормированном про-
странстве.
Величина
И/-£|| = |/
а
называется квадратическим уклонением функций /(х) и g(x).
Эта величина является в известном смысле мерой близости
функций / (х) и g (х).
2. Ортогональные системы функций Бесселя, Хаара
и др. Пусть любые две функции последовательности
?i(x), ?2(х)..... ?Л-(*)» • • •
ортогональны на (a, ft), т. е. (срй <ру) = 0, если Z=£ J.
Такую последовательность функций называют ортогональ-
ной системой функций на (a, ft). Если система функций
?iW. ъ(х)> •	4W- • • •
ортогональна и каждая из функций отлична от нуля, то
ортогональной является и система функций
A w — и т, (Л) II  V? (-9 - II <р2 (Л) Ц., w — и (л) ц *   •
V I &Z ОБЩИЕ-СВОЙСТВА л ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ г ^^205
Каждая функция этой системы удовлетворяет условию > -
|1Ш)11 = /(^Й=1.	(4.19)
Такие системы наиболее удобны. Они называются орто*
нормированными (или ортонормальными).
Ортогональная система	
называется полной в пространстве Ll(Xy(a, Ь), если среди
всех функций из Ь)нет функции, отличной от нуля и
ортогональной ко всем функциям системы
?i(4 ?2W........?«(*)......
т. е. из того, что
h
f f(x)<?n(x)da(x)==0
а
для всех п, следует, что
. /(х) = 0 .	, г
(за исключением, быть может, множества меры нуль).
В случае конечного числа точек роста а(х) полная си-
стема содержит столько функций, сколько точек роста
у функции а(х).
Пример 6. Система функций
sin х, sin 2х, ..., sin пх, ...	(4.20)
ортогональна на (0, к), так как
«
J* sin тх sin пх dx — 0 при т^п.
о
Система полная.
Пример 7. Система функций
1, cos х, cos2x> ...., cos их, ...	(4.21)
206 гл. iy. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ -СИСТЕМЫ. (2
ортогональна на (0, лс), так. как	•
; те t 4
• J cos тх cos пх dx = 0 при m=f=n.
о
Система полная.
Пример 8. Система функций
1, sin х, cos х, sin2x, cos2x....sinnx, cosnx, ... (4.22)
ортогональна на (0, 2тс), так как
2те J* sin тх cos nxdx =0 0	при	всех тип,
2те		
| sin тх sin пх dx =0	при	т =£ п,
о
2те
j cos тх cos пх dx = 0 при	т #= п
0 (т = 0, 1, 2, ...; п = 0,	1, 2, .
Система полная.
Система функций Бесселя. Пусть Jrt(x)— функ-
ция Бесселя порядка nt а Х2, ....	...—положитель-
ные корни уравнения
J„(x) = 0
или уравнения
<W = o.
Тогда система функций:
4М Л(М> лад. •••. лад,... (4.23)
ортогональна на [0, 1] по весу х, так как при z =£ J
1
J jn (№) jn (Хух) х dx = 0.
О
Система (4.23) полная.
Система функций Хаара. В последнее время на-
чинает находить применение ортогональная система Хаара.
Эта система состоит из кусочно-постоянных функций х*(/), где
2] S 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 207
xS))(O = i		при при при	*ею. II; '€(? 1],	1
Х?)(0 = '	1 —1			
	0	при	/ = |;	
	/2	при		
х?ЧО = <	-У 2	при	'е(т !]•	
	0	в остальных точках;		
	/2	при	со |м* гх |СЧ	
Х<2)(0=-	— У 2	при	СО |*Ф	
	0	в остальных точках;		
х^(')=-	2 —2	при при	(Т»	(Т> сю] >—	•	(4.24)
	0 2	в остальных точках; /гГ1 3\ прн	8-).		
Х^2>(0 = -	—2	при	оо| со	
	0 [	2	в остальных точках; ,ГГ1 при	•§-).		
Х^) = |	1 ~2	при	ГЛ оо| сл 4^1 со ।	1	
	1 о 2	в остальных точках; при	1).		
Х^4)(0 =	—2	при	<е(|, 1],	
	0	в остальных точках.		
2б6гл. iv:'ЬРТогойалЬййё ёядй й;6ртог<5налбные системы (2
Вообще,	__ ___________________
:	уО)(О) = jA 2*. Z<2"><1>=^ X /2я.
Х'*’(0 =
1/о7Г	./~Г2&-—2 2k—1\
И Я г П P® • • € k 2^ +Д * к 2Л 1 / ’
' i/on"	^(2k— 1 2k "|
У 2 при /Cy2\l+1 ’ 2rt+1 J *
О- в остальных точках (0,< 1 ]<,
Функцйи Хаара являются производными от ^многоуголь-
ных» функций из базиса Шаудера. Ортогональность системы
Хаара следует из того, что при одном й трм^ же п
Х^ (О Х(„й) (О s 0 при j > k > 1,
(4.25)
следовательно, и
(z“. z?>)=»
При разных нижних индексах /п и п, где т > п, и любых /
и k подынтервалы, где (t) =# 0, целиком содержатся в ин-
тервалах постоянства (0 при т > п
2k	-  '	, >	; :
1	2ОТ+1	\
/ Х^(Ох^(ОЛ=Х / х«(/)Л = ^-^) = 0,
О	2k-2
2m+i
где к — значение	на интервале постоянства.
Система функций Хаара обладает важным аппроксимацион-
ным свойством: ряд Фурье (см. гл. III) любой непрерывной функ-
ции по системе Хаара сходится к ней равномерно на [0, 1].
Понятие ортогональности функций одного переменного
на отрезке обобщается естественным образом и на функции
нескольких переменных, определенные в некоторой области.
Функции f (Р) и g(P) точки Р пространства называются
ортогональными по , области D этого пространства, если
n-мерный интеграл
f f(P)g(.P)dP = Q.	(4.26)
D
Так же определяется ортогональность f (Р) и g(P) по
2J IA ОБЩИЕ. СВОЙСТВА' ОРТОГОНАЛЬНЫХ; СИСТЕМ; ; $$
весу k(Py.
f f(P) g(p) k (P)dP = 0. ? 	(4.27)
Пример 9. Задача/о колебании плоскойsзакрепленной
мембраны приводит к дифференциальному уравнению
:	Д(/4-к£7===0	i
(где к —оператор Лапласа) граничным условием U = 0.
Собственные функции этого уравнения, соответствующие раз-
личном значениям X, ортогональны:
' J* J* Ц У) Uk (х> У) dxdy — °- Л
G '
Пример 10. Пусть cpj (х), <р2 (х)..<рп(х), • • • —система
функций, ортогональных на отрезке [а, д]. Тогда система
функций
(аг, у) = ъ(х)ч;(у)	(4.28)
ортогональна по площади на квадрате а^х ^.Ь, а<^у^Ь.
Действительно, *
ь ь
J f (*) (У) П (х) ?z (У)dx dy =1 ’
а а
b	b
~/ч>1 (*) О)dx f <Р/ (у) <Pi (у) dx аУ= 0.
а	а
если либо i=hk, либо j^l, т. е. если Uitj(x, у) и
у) — разные функции системы (4.28).
Системы вида (4.28) используются, например, при разло-
жении симметричного ядра интегрального уравнения
ср(х) = Х J* ^(^, s)4(s)ds-\-f (х)	(4.29)
а
в ряд по собственным функциям этого уравнения.
Если {cpz(x)}—нормированная система собственных функ-
ций уравнения (4.29), соответствующих собственным значе-
ниям -X, а {О/(х)) — система собственных функций; соответ-
ствующих нулевому собственному значению, то система
функций (где I и j — любые):
?/(*)?/«). ОД*) ?;(«). ?г(*)0/(5).	(4.30)
14 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
210 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [3
ортогональна на квадрате (а х b\ a^s^b), так как
система {cpz (х), Oj(x)} ортогональна на [а, д].
Система (4.30) полна в пространстве функций, интегрируе-
мых с квадратом на (а х bt а s Ь). Поэтому функция
/С(х, $), интегрируемая с квадратом, разлагается в ряд по этой
системе. Коэффициенты Фурье функции К (х, $) по функциям
<р/(х)сру(5) при /#= у, Oz(x)<py(s) и	при любых I
и j равны нулю, а по функциям <pz (х) <pz (5) равны у- в силу
соотношений	1
ъ ь	ь ь
J* J*/С(х, 5)cpz(x)cpy(s)dxds = j*Cpz(x) У/С(х, s)(?j(s)ds —
а а	а	а
b
= <pz(x)fy(x)dx = 0, если i=/=j,
1 а
Ь b	b	b
J* J*K(x, s)<fl(x)Oj(s)dxds — J*<pz(x)J*K(x, s)0j(s)ds = 0,
a a	a	a
b b	b	b
J f K(x, s)cpz(x)<pz(s)dxds = j*cpz(x) JK(x, s)<fi(s)ds =
a a	a	a
b
= Ti f ?/(x)'Pz(x)dx = T;-
_	a
Поэтому
co
K(x, s) = ^4-<pz(x)<f>z(s).
Аналогично введенному выше понятию ортогональности
функций на области D n-мерного пространства рассматри-
ваются также понятия ортогональности функций по поверх-
ностям и линиям. Например, по поверхности шара ортого-
нальными являются сферические функции Лапласа,
3. Линейная независимость. Процесс ортогонализации.
Система п функций называется линейно независимой, если
для любой системы п числовых множителей, для которой
п
X/ > о,
/-1
13J i & % ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ; 211
функция	отлична от нуля.
Если же существует такая система множителей Хр что
х1?1 (*) + х2?2 (*)+...+	(*) = °.	(4.31)
где хотя бы один коэффициент Xz отличен от нуля, то си-
стема функций срх (х), ср2 (х), .... срл (х) называется линейно
зависимой. (В случае функций из L2p(a, Ъ) равенство (4.31)
может иметь место для линейно независимой системы на
множестве меры нуль.)
Понятие линейной независимости функций аналогично
понятию линейной независимости векторов n-мерного вектор-
ного пространства (см. гл. II, § 1, п. 4).
Пусть для каждой пары cpz(x) и сру(х) системы функций
?i(4 ?г(х)» •••• ?л(х) определено внутреннее произведе-
ние (срр сру).
По аналогии с определителем Г рама для системы векторов
(см. гл. II, § 1, п. 5) вводится определитель
(?1,	?1)	(<?Ь ?2)	...	(?1,	?Л)
=	(?2>	<Р1)	(?2> <р2)	...	(?2,	<рл)	, (4	32)
(<Рл,	<Р1)	(<Р/Р ?г)	...	(?л,	?л)
который называется определителем Грама системы функ-
ций (х), .... сря (х).
Свойства определителя Грама. Г. Для любой
системы функций определитель Грама ДП^.О.
2°. Пусть система функций срр ср2.....<рл определена
на отрезке [а, и пусть интервал (ар содержится в ин-
тервале (а, Ь).
Тогда, если Дп— определитель Грама для этой системы
на [а, и (cpz, сру) определяется формулой
ь
(?/> ?/)= J ?/(*) ?/(*)<*«(*).
а
а Дд — определитель Грама этой же системы на [ар 6J, то
Ал.
Это свойство верно и для определителя Грама функций
многих переменных в области Q: с уменьшением области
определитель Грама может только уменьшиться.
14*
; 212 ГЛ. IV. РРТОГОНДЛЬНЫР РЯДЫ .Я. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ;[3
Т е о р е м а 2.,,. Для щогр , ч™обы копенная система
функцийбыла дцнёйио нёзависйма, необходимо и доста-
точно. чтобы ее определитель Грама был отличен рт
нуля.
Теорема 3. Всякая конечная ортогональная система
функций лине$нр независима..
. Теорема, 3 eqTb рчевидное следствие теоремы 2, так как
, определитель. Грама ортогональной системы функция равен
произведению квадратов норм всех функций системы, каждая
из которых больше нуля. ,	t	к
Бесконечная последовательность функций хр1 (х), <р2(х), ....
..., срл(х), ... называется линейно независимой. если, любая
ее конечная подсистема линейно независима.
Пусть дана система линейно независимых функций срр
ср2...<рл и пусть /(х)— некоторая данная функция. Рас-
смотрим задачу о наилучшем квадратическом приближении
функции f (х) с помощью линейных комбинаций функций
системы срр ср2..срл, т. е. из всех линейных комбинаций
п
2 dtfi найдем ту, которая обращает в минимум выражение
п
f — IB dft i
Коэффициенты наилучшей линейной комбинации находятся
из системы линейных уравнений
п	2
/—2^?/
Z = 1
т. е.
д
ddk
= 0	(6=1,2..п).
<Pi) + d2 (<р2, <Р1)+ ••• + <*„(?„.	=	?i).
<?2)4- ••• 4-^я(?я. 'Р2> = (/. %).
di (?р ?n)4-rf2(?2« <РЯ)-+- • • • 4-М<Ря> ?я) = (/. ?я)-
(4.33)
Определитель этой системы есть определитель Г рама;
в силу линейной независимости исходной системы он отли-
чен от нуля и система (4.33) имеет единственное решение.
Очевидно, нахождение коэффициентов dv d2...........dn из
r J 2/:6бШиЕ tBOCTBA 'СЙЙТЙ4 213
"Системы (4.33) будет наиболее простым, если исходная
система была ортогональная. Тогда система (4.33)превра-
Лщаётся в систему 	1	" Л<л;’?
• >	<	...» «);,	(4.34)
Исходя из всякой (конечной или бесконечной) линейно
независимой системы функций (или векторов) можно по-
строить ортогональную систему, элементами которой являются
1 некоторые линейные комбинации элементов исходной системы.
Рассмотрим процесс построения такой системы. Он называется
процессом ортогонализации" Шмидта.
Пусть дана линейно независимая система
<Р1>	-•> <Р/г
Положим
(?1. <?|) /’
Пусть
ф2 = ср2(х) — с21<»1(х).
Коэффициент с21 можно подобрать так, чтобы (ф2, ш,) =Ч>,
для этого положим
Z1 ((Oj, (|>1)	*'
Выбрав так коэффициент с21, пбложйм
/ \	$2 (х)
Ш2(х) = А <- .
*	(М^
Здесь (ф2, ф2) Ф 0, так как иначе ф2:(х) в 0, а это значило бы
что cpj и <р2 линейно зависимы.
Пусть функции Юр о)2.....®п-\ Уже построены. Тогда
положим
л-1
Фл С*) =	(*) — 2 Cni^i (X),
i«»1
где числа сп1 подобраны тай, чтобы (х) была ортогональна
ко всем функциям «^(х), .... <%_r(x). Для этого следует
взять £я/ = Срл, Затем полагаем шд (х) =	, где
(фл, фл)=/= 0 вследствие линейной независимости функций
• • •» Этот процесс можно продолжить неограниченно.
214 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [4
Построенная таким образом система (jc), ...»<од(х), ...
будет ортонор мированной.
Совершенно аналогично происходит процесс ортогонали-
зации системы векторов.
Для системы векторов в n-мерном пространстве или функ-
ций, определенных в п точках, такая система содержит не
более п элементов.
4. Коэффициенты Фурье» Замкнутость системы. Пусть
®2(Х)......<»я(х)- •••	(4.35)
— ортонормированная система функций. И пусть для функ-
ции f (х) существуют внутренние произведения с каждой
функцией системы. Числа	<dz) называются коэффи-
циентами Фурье функции j (х) по системе (4.35). В част-
ном случае, когда система (4.35)— тригонометрическая, числа
ct — хорошо известные из теории рядов Фурье коэффициенты
Фурье функции f (х).
Коэффициенты Фурье для функции являются аналогами
проекций вектора на векторы ортонормированной системы
векторов. Для всякой функции, имеющей все коэффициенты
Фурье, можно формально построить ряд
оо
(4.36)
& = 1
Этот ряд называется (по аналогии с соответствующим рядом
по тригонометрической системе) рядом Фурье функции f(x)
по системе (х)..........%	(х) ...
Неравенство Бесселя и равенство Парсе-
в а л я. Для всякой функции f (х), для которой существуют
(/, /) и все коэффициенты Фурье, имеет место неравенство
Бесселя
п
2	(/,/),	(4.37)
i = l
оо
откуда следует, что ряд 2 сходится и
i = l
gc? <(/./).	(4.38)
4J -	8 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ  215
оо
В частном случае, когда2 с| = (/. /), неравенство (4.38)
Z = 1
превращается в равенство. Оно называется равенством Пар-
севаля.
Пусть
“1 (х), а>2 (х).(йя (х), ...	(4.39)
— ортонормированная система функции на (a, b)t а / (х)—*
функция, заданная на (а, Ь), для которой существует (/, /).
Рассматривая задачу наилучшей квадратической аппро-
ксимации функции / (х) линейными комбинациями
Z = 1
мы пришли (см. п. 3 этого параграфа) для ортогональной
системы {wz(x)} к выражению коэффициентов, дающих наи-
лучшее приближение (4.34),
л U
k	<*>k) ’
что в случае нормированной системы дает
dk = (f. ^^ck-
Отсюда следует
п
Теорема 4. Из всех линейных комбинаций 2(*)
наименьшее значение квадратического отклонения от функ-
ции f (х) имеет конечная сумма Фурье
2	(X)
(т. е. та линейная комбинация, у которой di = ci).
Ортонормированная система (^(х), ..., а>л(х), ... на-
зывается замкнутой, если выполняется равенство Парсеваля
оо	Ъ
2^2= f f2(x)da(x)	(4.40)
Z = 1	а
2ШГЛ. 1У.?Ш?ГОГ0НАЛБНЫЕ :РЙДЬГ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ гСИОДЕМЫ [4
для$ любойьфункцидекЛ^х) из £^(а, Ь). В этом случае
при п->оо,
что в силу равенства
J" /2(x)ch(x) —	=
/ (*) — 2 ciwi (*> d<5 <х)
означает стремление к нулю квадратического отклонения
п
/ О) — 2 Ci^i (*)
/ = 1
2
do (х)
(4.41)
при я—>оо.
Если (4.41)
что ряд Фурье
стремится к нулю при /г->оо, то говорят.
оо
2	(х)
1=1
сходится в среднем к функции f (х).
Следовательно» для любой функции f (х) из Д2(х)(а, Ь)
ее ряд Фурье по любой замкнутой системе сходится к ней
в среднем.
Пример 11. Тригонометрическая система (4.22) замкнута
на (0, 2гс).
Пример 12. Теорема 5 (В. А. Стеклова). Сово-
купность собственных функций уравнения Штурма —
Лиувиля образует замкнутую систему.
Именно в связи с этой теоремой и было введено В. А. Стек-
ловым понятие замкнутости системы.
Из равенств Парсеваля следует, что всякая ортогональная
система* замкнутая, в L^x^(at А), полна и всякая полная орто-
гональная система в (а, Ь) .замкнута* ‘ /
5f t	ОБЩИЕ-СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ J31CTEM ?	217
5. Ряды Фурье по тригонометрической ; системе1^).
Задача о представлении произвольной функции f (х) триго-
нометрическим рядом
-у-4-^«яС08пх4-/>п81п«х	(4.42)
Л = 1
возникла в середине восемнадцатого столетия в связи с зада-
чей о колебании струны. Этой задачей занимались все круп-
нейшие математики того времени. Основной шаг в решении
этой проблемы был сделан Фурье, который установил* **),
что благодаря ортогональности тригонометрической системы
коэффициенты ряда (4.42) могут быть выражены в виде:
2тс
о
2тс
а„==~ j* / (х) cos пх dx,
6
2те
Ьп = У* f (х) sin пх dx
6
(4.43)
(отсюда и название коэффициентов Фурье в случае про-
извольной ортогональной системы).
Фурье сформулировал теорему о том, что произвольная
(Графически) функция может быть представлена рядом Фурье.
Исторически первой теоремой о сходимости рядов Фурье
была
Теорема 6 (Д и р и х л е, 1829 г.). Всякая функция,
допускающая интегрирование в любом промежутке на
(О, 2тс) и не имеющая на нем бесконечного числа экстре-
мумов, разлагается в ряд Фурье, сходящийся в каждой,
точке х к значению
/(х + 0)+/(х-0)
2	•'	’
К: ' - .  ’ .
м *) Более подробные сведения о тригонометрических рядах
Фурье см. в гл. III.
**) До Фурье это было замечено Эйлером.
218 гл. IV; ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
Существеннейшим моментом в доказательстве Дирихле
явилось представление частной суммы ряда Фурье sn (х)
и остатка в виде интегралов
I С Sin-^iL(X —а)
Sn = 2й J f <*>---. ( х — а\ ' da
-«	SHI ( 2 )
и
• 2п+1.
. С	Sin—5 (Х — а)
/(х)-$я(х) = —	(/(х)-/(а))--- da,
sin(~2~)
и следующие соображения:
1)	если 0 < с <	, то при п -> оо
о
2)	если 0 <_b <с -g- и <р (Р) 'Монотонна, то
/?(?) ~S1"(sM~'	“*° при п_>0°-
ъ
Этим же методом доказывается несколько более общая
теорема.
Теорема 7. Если /(х)— функция с ограниченным из-
менением, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке х
/(х + 0)+/(х—0)	„	.
к значению ——-	. Если f (х), кроме того,
непрерывна во всех точках некоторого интервала, то
в нем ряд Фурье сходится равномерно.
Теорема 8 (признак Лебега). Пусть
?(0 = ?х(0 = /(х+0+/(х-0-2/(х)
и
h
=f MW.
о
6]	S 2, ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНЫХ‘СИСТЕМ:	219
Если
при h-+0
и
те
у* I ? (О — У (*+•п) I q При 7} о,
то ряд Фурье функции f (х) сходится к f (х) в точке х.
Теорема 9 (Дини — Липшица). Если /(х) непре-
рывна и ее модуль непрерывности <о(3) удовлетворяет
условию
(о (8) In у-> 0 при 8->0,
то ряд Фурье /(х) равномерно сходится.
Теорема 10 (Валле-Пуссен а). Если функция
t
= ± f ^dt
б
имеет ограниченное изменение в некотором интервале
с левым концом t = 0 и / (t) -> 0 при t -> 0, то ряд Фурье
функции /(х) сходится в точке х к значению f (х).
Теорема 11 (Харди). Если
f (X 4- h) — f (х) = о [(in
и коэффициенты сп ряда суть величины порядка О(п~*),
где § > 0, то ряд Фурье сходится в точке х к значе-
нию f (х) (о символах о(п) и О(п) см. гл. I, § 3, п. 8).
6.	Биортогональные системы функций. Биортогональ-
ной системой функций на (at b) называют систему функ-
ции, состоящую из двух последовательностей
?I)W- Т1(*).	•••• ?»(*)....1	.
<|>о(х). <|»1(Х), ф2(х), ...» ф„(х).J
удовлетворяющих на (а, Ь) условию
220 ГЛ.ч№:<>₽ТОТОНАДЬНЫГТЯДЫ-уМг:О1>Т0ГОНАЛ}ЖЫВ СИСТЕМЫ^
где ^у-^т-символы Кронекера (см. гл. II, § 1, пи ?). Здесь
.и*-? мг
внутреннее произведение (<pz, фу) есть либо ; J* <p$ydx,
Ь	а
либо J* Т/Фу da (х). В последнем случае говорят о системе
а	~
функций, биортогоналъных по весу а(х) или р(х), если
da(x)—p(x)dx.
Всякой функции, для которой существуют встречающиеся
далее внутренние произведения, можно сопоставить ряд
со
/(Х)~2ЛЛ(4	(4.45)
fc=0
где
^ = (/. ФД
и рассматривать вопрос о сходимости этого ряда и о воз-
можности использования его отрезков для приближенного
представления функции.
Пример 13. Биортогональная система Чебышева на
(—1, 1) по весу р(х)=1:
(*) = sign
sin (& +1) ?
sin <р
. £ + 1
d/k+1
(4.46)
где x — cos ср (Л> = 0, 1,2,...),
a J в формуле (4.46) пробегает все нечетные делители & + U
причем d—\ и с/= & —j—1, если оно нечетно, включаются;
функция sign х введена в гл. I, § 2, п. 1; p,(d) есть функ-
ция Мёбиуса, т. е.
1Ч1) = 1;
|А(а) = 0, если а делится на квадрат, отличный
от единицы;
|х(а).=:(—1)г, если а не. делится на квадрат, отличный
t от единицы, и г есть число простых
делителей числа а, отличных от 1.;!
Функции срА(х) этойксистемы кусочно-постоянны, а-фй(х)—
многочлены относительно х, имеющие k простых нулей на

2. ОБЩИВ СВОИСТВА 1ОРТОПЭНАЛЬНЫ1Г СИСТЕМ ; (£§21
(—1, Ниже приводится несколько первых функций этой
системы:
* О'^-Н\ УУ	, - ?У :Х.	.'П	? |  Г' У I \ ‘ 1
То*= Ь	Фо~у>
?1 (*) =	1 для	—1 <х <	•.0,Ч^.-А	а:.-.		
	ДЛЯ —1 для	0 < х <_ 	1 < X <	; 1, Я ’	ф1(х) = х.	
q-2(x) =	-У 1 ДЛЯ	' 1 ” 2 < х ‘	2 ’	<}2(х) = 2(х2 —	ц з)
	— 1 для	1 2 < Х 4	< 1,		
ф3(х) = 2х(2х2 — 1).
Пример 14.. Биортогоналъная система Маркова на
(—1, +1) по весу p(x) = pyL=:
<?o = 1-	to = 7 •
.	.	1 V (—i)ft	k<t
<P* = Sign cos k<t. Ф* = у2| d"cos d ’
где x = cos cp, d в формуле (4.47) пробегает все нечетные
делители числа k, не содержащие квадратных множителей,
a h есть число простых множителей вида 4/п4~1, содер-
жащихся в d(m Ф 0), (о функции sign х см. гл. I, § 2, п. 1).
Здесь так же, как и в системе Чебышева, <рА (х) — кусочно-
постоянны, а фЛ(х)—многочлены от х. Ниже приводится
222 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [6
несколько первых функций этой системы:
?о = 1>
т,«={ +;
+1
?2(Х) = ' — 1
+ 1
на (— 1, 0),
на (0, 1)
На (	/2 ’ /2 ) ’
на
\/2	)
Ф1(*)=4
ф2(*)=4'<2х2-1>-
<Рз(х) =
— 1 на
4-1 на
— 1 на
4-1 на
<]»з(х) = 2х(х2 —
Ряды по функциям Чебышева и Маркова напоминают ряды
по одним синусам идя одним косинусам.
Переходя от многочленов и интервала (—1, 4“ О к три-
гонометрическим суммам и интервалу (— тс, 4-т:)« можно
объединить обе системы в одну, которая порождает ряды,
соответствующие тригонометрическим рядам общего вида.
Биортогональную систему называют системой Чебышева-
Маркова относительно веса <з(х), если %(х) есть много-
член степени А, а
<pft(x) = signQft(x),
где Qk (х) — многочлен степени Л.
Теорема 12. Биортогональная система Чебышева —
Маркова для данной функции а (х) единственна; много-
член Qk(x), входящий в выражение фй(х), есть тот
многочлен степени k со старшим коэффициентом, рае-
I. 9. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 223
ним 1, для которого
1 1
f |QftO)| da(x) = min f\PR(x)\d<3(x).
Ji	pk^-i
Система многочленов срл (x) после этого определяется при
помощи процесса, аналогичного процессу ортогонализации
Шмидта (при рассмотрении рядов по системам Чебышгва —
Маркова естественна метрика пространства £*(х)).
§ 3.	Ортогональные системы многочленов
Отдельные системы ортогональных многочленов были
введены Лежандром, Якоби, Чебышевым и другими авторами.
Из них исторически первой была система многочленов
Лежандра. Работы Чебышева заложили основу общей теории
систем ортогональных многочленов.
Пусть система
Р0(х), Р,(х)......Р„(х).......... (4.48)
где Рп(х) многочлен n-й степени, ортогональна на (а, Ь)
(интервал, в частности, может быть и бесконечен) в смысле
ъ
(Рт< Рп) =fpm (*) Рп (*) do (х),	(4.49)
а
где а(х) имеет бесконечное число точек роста (в частности
d<s(x) = p(x)dx, где р(х) интегрируема на (а, Ь)). Система
(4.48), с точностью до постоянного множителя при много-
членах, может быть получена с помощью ортогонализации
(см. § 2, п. 3) из системы функций: 1, х, х2...хл, ...
Условимся обозначать в дальнейшем многочлены ортогональ-
ной системы (4.48), определенные условием, что их старший
коэффициент равен 1, через Рл(х):
Р0(х)=1, Л(х) = х+в10> ...	|
•••>Рп(х) = хП + ап,п-1ХП *+	+ап.0’>
а многочлен ортонормированной системы — через Рп(х), т. е.
ь
J^(x)rfo(x)=l.	(4,51)
а
224 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ'РЯДЫ И! ОРТОГОНАЛЬНОЕ СИСТЕМЫ [Р
Коэффициенты Фурье функции /(х) .в -разложении; Ж;
многочленам {/*«(*)}' имеют вид
I Ь '
’ • ''	7; л г \а , /; - ' г
В частности, если ds(x) — G(x)dxt то	f г (.и
ь
(4.52)
Заметим, что для вычисления интеграла (4.52) вовсе не надо
определять значения Рп{х) на всем интервале. Обозначал
cp(-i) (х) =	и при i > 5 ср<-0 (х)= J* <?(-*+*) (5) d^
а	а
получаем интегрированием по частям
Сп =	(*) Рп (*) - ?(~2) (*) Р'п W	. ♦
... +(_1)«?(^1)W-P(n)(^,
Таким образом, для нахождения коэффициентов с0, cv ..., ет
достаточно последовательным интегрированием функции ср(х)
найти значения ср^”1^), <p(”2)(Z>), ..., <^~m)(b)t и значения
многочленов Pk(x)(k — 1, 2, ..., т) и их т производных
(при & = 0, 1, ..., т) в точке Ь.
1. Нули ортогональных многочленов. Тео ре а 13.
Многочлен п~й степени Рп(х) ортогональной системы (±AS)‘
имеет п действительных, различных между собою про-
стых корней, причем все его корни лежат на (а, Ь).
Теорема 14. Нули многочленов Рп{х) и Рп_х(х) из.
системы (4.48) перемежаются: между любыми двумя
нулями Рп(х) есть нуль Рп~х(х).
Из теоремы 14 следует, что Рп(х) и Рп_А(х) не имеют
общих нулей.
Теорема 15. Если \ (х) — число перемен знаков в ряду
PqW^ Р\(х)^ • • >Рп(х)> то число корней многочлена Рп(х)
в интервале (а, £) равно разности Х(а) — Х(р) (свойство
так называемых систем Штурма).
2]	§ 3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 225
2.	Рекуррентные соотношения для ортогональных
многочленов. Пусть Рп+ъ(х),	Рп(х)— любые три
последовательных многочлена из системы (4.48), удовлетворяю-
щие условию (4.50). В этом случае имеет место соотношение:
^л+2(х) — (Х	ал + 2)^>д + 1 (х)	\i+l?n (х)»	(4.53)
где параметры ай+2 и Хл+1 определяются формулами:
ь
JxP^+1(x)da(x)
а
— Ъ
J Р2п И (*) da (х)
а
Ъ
лп+1------g
J ?п (-*) da (х)
(4.54)
Очевидно, Хд+1 > 0.
Параметры ал+2, \i+i выражаются через коэффициенты
многочленов Рп+^ Pn+v ?п- ^слй
_	ft-i
Ра(х) = х*4-
то
ал-Ь2 — a/i+b п ~ ап+Ъ л+1»
\i+l — ап+Ъ л-1 ал+2ал+Ь п ап+2, п*
Из формул (4.54) следует, что если (а, Ь) — конечный
интервал, то для всех п
а<ьп+г<Ь,
где с2 = max (| а |, | Ь |).
Примеры таких рекуррентных - соотношений см.
пп. 5—10.
(4.55)
в § 4,
15^ Зак- 2048. В. Л. Данилов и др.
226 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [3
3.	Степенные моменты. Выражение ортогональных
многочленов через степенные моменты. Числа
Н« = fxnda(x)	(4.56)
а
называются степенными моментами веса о(х).
Для системы
1, х, х2, ..хп, ...
попарные внутренние произведения выражаются через степен-
ные моменты
ь
(хт, хп)= f хтхп da (х) = рп+т.
а
Определитель Грама системы степеней
	Р-о	Н	• • • Ил	
	р-1	Р-2	... р-л+1	¥=0.
	р-л	Р-л+1	• • • Р-2Л	
(4.57)
Процесс ортогонализации системы степеней дает для
многочленов Рп(х) (4.51) выражение
Но Н1 ... Ня-1 1
1
Рл(х) =
Hi Но ... Нп X
(4.58)
Ня Ня+1 ••• Ноя-l Хп
а для многочленов Рп(х) (4.50) — выражение
	Но ••• Ня-1 1	
	Hi ... Ня х	(4.59)
	Р-Л ••• Р-2Л-1 хП	
_ 1
“» + 2 — Д„+1
где n = 0, 1
4]	§ 3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 227
Параметры а и X рекуррентного соотношения (4.53) также
могут быть выражены через степенные моменты
Но • • • Н/1	Н/Ц-2
Hi ' • •• Нй+1 Р'Д+з _
Нд+1 ••• Н2Д+1 Нгд+з
Но ••• Ид-i Нл+1
____1 Hi • • • Ид Нд+2 ,	60)
^п ...........................
Рп • • • р2д-1 Н2Д+1
2,
«-! = — . k„+1 = A±l>J. (д = о, 1, 2, ...)•
Но
а Д_!=1.
4.	Связь ортогональных многочленов с цепными дро-
бями. Дробь
Pn(t)-Pn(x)
t — X
есть симметричный многочлен степени п — 1 относительно t
и х. Поэтому функция
Rn-i (*) = J - ^\~Рхп {^ da (t)	(4.61)
а
есть многочлен степени п — 1 относительно х.
Многочлены /?я+1(х), Rn(x) и Rn_x(x) удовлетворяют
тому же рекуррентному соотношению (4.53), что и много-
члены Рл+2(х)»	Этот факт указывает (см.
гл. V), что Rn_\(x) и Рп(х) являются соответственно чи-
слителем и знаменателем подходящей дроби n-го порядка
цепной дроби типа Чебышева:
—ь— , —^1— ,	, ---.	(4,62)
* —«1 + Л —а2 + ... +	—«д+1
15*
228 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ (4
Многочлены Rn_x(x) называются многочленами 2-го рода
относительно веса а(х). Они являются знаменателями цеп-
ной дроби
..Х|  ,  -Х*. , - , -----,	(4.63)
X — а2 + X — а3 + ••• + х — ал4.1 +•••
и ортогональны относительно некоторого другого веса.
Если интервал (а, Ь) конечен, то последовательность
подходящих дробей цепной дроби (4.62) сходится
&п (х)
для всех значений х, лежащих вне интервала (a, b)t к вели-
чине интеграла
(4.64)
а
В случае, когда интервал (а, Ь) бесконечен, цепная
дробь (4.62) не всегда сходится. Вопрос о сходимости ее
связан с определенностью соответствующей проблемы мо-
ментов.
Независимо от сходимости цепная дробь (4.62) связана
с интегралом (4.64) следующим свойством: разложение, под-
R (хУ
ходящей дроби —gr1 k <. цепной дроби (4.62) в ряд по от-
Рп (•*)	J
рицательным степеням х совпадает до членов порядка
(включительно) с рядом
+ $ +	••• +^+^г+ .... (4.65)
который может быть получен, если в интеграле (4.64) функ-
цию • -j- разложить в ряд по степеням -у и формально
проинтегрировать почленно (при этом сходимость ряда (4.65)
несущественна)^
Цепная дррбк типа Чебышева, обладающая указанным
свойством, называется присоединенной (assoziierte, Perron [8J)
для ряда (4.65).
В случае, когда -a.(x).s cdnst, для х < 0 цепная дробь
(4.62) может быть преобразована в цепную дробь типа
Стилтьеса
-J- ;-! -L J_	,• (4.66)
4]	§ 3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 229
так, что n-я подходящая дробь дроби (4.62) совпадает
с 2п-й подходящей дробью цепной дроби (4.66). В силу
этого разложение в ряд по отрицательным степеням х
подходящей дроби цепной дроби (4.66) совпадает с рядом
(4.65) до членов включительно. Дробь типа Стилтьеса,
обладающая этим свойством по отношению к ряду (4.65),
называется соответствующей ему (correspondirende, Per-
ron [8]). Из теории цепных дробей известно, что всякая цеп-
ная дробь типа Стилтьеса (с а, =£ 0) обладает соответствую-
щим рядом, и всякая цепная дробь типа Чебышева обладает
присоединенным рядом.
Большое значение для анализа имеет обратная задача:
превращение наперед заданного ряда по отрицательным сте-
пеням х в соответствующую или присоединенную цепные
дроби, дающие рациональные приближения для функции,
заданной рядом.
Не всякий наперед заданный ряд обладает соответствую-
щей или присоединенной ему цепной дробью. Ряд, обладаю-
щий этим свойством, называется семинормальным.
Теорема 16. Ряд
^0	|	|	|	|
X ' Х^ • • • Г -f-1 I • • •
тогда и только тогда семинормален, когда отличны от
нуля все определители*.
C1	С2 . . . Сп^.\
с2	с3 . . . Сп.
сП-\ СП ••• ^2л—3
Тогда коэффициенты цепной дроби (4.66), соответ-
ствующей этому ряду, выражаются через и сле-
дующим образом*.
„	_	Фу+1Уу- 1	„	__ +
«2,-	—' «2<+1 — --^7’
где ср0 = 1 и — 1.
Соответствующая ряду дробь (4.66) может быть сжатием
(см. гл. V, § 1, п. 3) превращена в дробь присоединенную.
230 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ и ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [5
5. Обращение ортогональных разложений в последо-
вательность аппроксимирующих дробей. Подобно обраще-
нию ряда
Ср	।	।	।	сп	।
X X2 * Xz ’	• • • ' I	-j-1	1	• • •
в цепную дробь
1 11
П\Х -f- 0,2 4“ ЛзХ -f- • • •9
можно поставить задачу обращения ряда
оо
Я(х)=2сЛ(х),	(4.67)
А? = 0
где {<Dfe(x)} —система функций, ортогональных с некоторым ве-
сом на (at b)t в последовательность рациональных дробей вида
»-Н1
У apitx)
S д*М*)
/ = 0	у
При этом, по аналогии с рассмотренным обращением сте-
пенных рядов в цепные дроби, числа at и bt подбираются
так, чтобы первые n—|— 1 членов разложения дроби (4.68) по
ортогональной системе {o>z(x)} совпадали с таковыми у рас-
сматриваемого ряда (4.67). Дробь (4.68) в этом случае также
будем называть n-й подходящей дробью.
Задача отыскания такой подходящей дроби, вообще говоря,
неразрешима. Однако для некоторых систем, а именно, для
систем, удовлетворяющих соотношению
(х) ш, (х) = Л<ой+1 (х) 4-Вкшк (х) 4-ckwk_x(х). (4.69)
задача имеет решение. Соотношению (4.69) удовлетворяют
многие ортогональные системы, в частности, все ортогональ-
ные системы многочленов, система тригонометрических функ-
ций {cosnx}, функции Бесселя {Ул(х)} и др.
Формальный процесс обращения ряда (4.67) в дробь (4.68)
может быть для этих систем осуществлен следующим образом.
5J ' 7	3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ «	231
Дробь (4.68) ищется в виде n-й подходящей дроби цепной
дроби вида
«0	(Х) ~F gl а>1 (*) 4~ а2 (*) 4~ <*3	/д улх
1 + р1со1 (х) 4“ 71 +	72	+	(*) + 7з + ...	*	'
Тогда требование соответствия ряда (4.67) и дроби (4.68)
можно записать в виде
со
рп (*) — Чп (х) 2	(х) =
£ = 0
= ^я+1шл+1 (•^)+^Й-2С0я+2(а:)+ ...	(4.71)
Сравнение коэффициентов при одинаковых функциях
(о0(х), ...» wrt(x) в соотношении (4.71) приводит к следую-
щим выражениям для коэффициентов az, 7Z (Z= 1, ..., n)
цепной дроби (4.70):	. _
j(n-2)z>
ID	Л	D	Un—1
ai = l. p1 = T1 = 0» T2 = B1. T„ = - .(n-3j " ->
an~2
Pn -	dfa2>
+ 4Д~2Х+
n~	4"-1)	•	’
(4.72)
с помощью которых Pn (x) и qn (x) находятся по рекуррент-
ным соотношениям
7’Л-г) = £[Л-1М+1")1^ШлРл-2М+тЛ-зИ. j
Яп (*) = Мл-1 (*Ж«>1 (^)+₽я1 Яп-2 (х) + 7„д„_3 (х), / (  }
где положено
<7_2 = 0,	?_1 = 0,	^0 = 1,	^(х) = 1,
Р-2 = 0, Р_1 = С1, Р0 = С0, Р j (х) = Со-|-CjiOj (х)
(здесь Ап, Вп, Сп — коэффициенты соотношения (4.69)).
Для получения достаточно быстро сходящихся рациональ-
ных аппроксимаций указанным способом часто оказывается
эффективным применение разложений па ортогональной
системе многочленов Чебышева 1-го рода (см. § 4, п. 7).
-232 ГЛ IV; ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ, (б
6. Ортогональные многочлены я квадратурные . фор-
мулы гауссовского типа. Формула для приближенного
вычисления определенного интеграла
‘	b	п
f f(x) da (х)^% Affix'?)	(4.74)
а	/ = 1
называется квадратурной формулой гауссовского типа, если
узлы х/л) (Z — 1, ..., п) и коэффициенты (I = 1, 2, ..., и)
выбраны так, что формула (4.74) является точной, когда
f (х) — произвольный многочлен степени, не превосходящей
2п — 1.
Теорема 17. Если (4.74) — квадратурная формула
гауссовского типа, точная для многочленов степени,
не превосходящей 2п — 1, то узлы ее
x(f\ xf, . . ., х'р
суть п корней многочлена Рп(х) из системы многочленов,
ортогональных на (а, Ь) по весу а (х), а коэффициенты А{р
R (х)
суть коэффициенты разложения дроби —1 -  п~й под-
Pfl (х)
ходящей цепной дроби (4.62) в сумму простых дробей
Vi W . V л(»)	1
Р„(Х)	Z х — х^’
т. е.
А{п) _ Rn-\ (Х/Я))	(4 75'
‘ - W') •	<4-75)
Иначе, формула (4.75) может быть записана в виде
1 1
В частном случае, когда d<3(x) — dx и [а,	= [0, 1],
. формула (4.74) есть обычная квадратурная формула Гаусса,
узлы которой—корни многочлена Лежандра степени п.
BJ	S3 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ , МНОГОЧЛЕНОВ 233
7. Замкнутость ортогональной системы многочленов»
Для замкнутости системы многочленов {Ря(х)}, ортогональ-
ных на (а, Ь) по весу а(х) в пространстве (а, Ь), необхо-
димо и достаточно, чтобы проблема моментов для последо-
вательности моментов веса о(х) была определена или а(х)
была бы ее экстремальным решением (см. [7]).
Проблема моментов для конечного отрезка [а, всегда
определена, поэтому ортогональные системы многочленов по
любому весу на конечном отрезке замкнуты. В частности,
замкнуты системы многочленов Лежандра, Чебышева, Якоби
(см. § 4).
Проблемы моментов для веса Лагерра (см. § 4, п. 9) на
(О, -f-oo) и веса Эрмита (см. § 4, п. 4) на (—сю, Ч-оо)
определены, эти системы многочленов замкнуты.
Таким образом, ряды Фурье по ортогональным многочленам
функции /(х) из £а(Х), в случае всех классических весов,
сходятся в среднем к этой функции.
Для рассмотрения сходимости рядов по ортогональ-
ным многочленам {Рп(х)} в каждой точке и равномерной
сходимости необходимы асимптотические оценки |Ря.(х)|
при д->оо.
8. Формула Кристоффеля. Сходимость рядов Фурье
по ортогональным многочленам. Пусть \Рп(х)\— ортонор-
мированная система многочленов по весу <з(х) на (а, Ь).
а /(х)— произвольная функция из множества L^xy(at b).
Обозначим через sn п-ю частичную сумму ряда Фурье
функции /(х) по системе {Ря(х)}:
п
s„(x)=^CkPk(x).	(4.76)
fe-0
Если воспользоваться выражением коэффициентов Фурье,
то sn(x) может быть представлена в виде
Ь	/ П	ж
(*) = f / (о (2	®	)d° (4-77)
а \*-0	/
Выражение
п
Щ,х)=2№Рк(*)	(4.78)
Л-0 > •'	•?
234 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ . СИСТЕМЫ [£
называется ядром интеграла (4.77). Для ядра Kn(t, х) имеет
место следующая формула:
Кп (А х) = у —+1 --^n (X)t-Z^n+-'	> (4.79)
где определяется формулой (4.54). Формула (4.79),
полученная Кристоффелем для случая а = — 1, b = -|- 1,
da(x) = dx и обобщенная Дарбу на случай произвольного
веса, называется формулой Кристоффеля— Дарбу.
Из формулы (4.77) и соотношения
ь
f К„(t, x)da(x)=l
а
вытекает формула для остатка ряда Фурье функции f (х) по
системе {Рп(х)}:
s„(x)—f(x) =
ь
^«4-1 (О 1^л4-1 (О СО	(^) РП (01 (0» (4.80)
а
где
Из формулы (4.80) получаются две следующие теоремы
о сходимости ряда Фурье функции f (х).
Теорема 18. Если все многочлены Рп(х) в точке х
ограничены и функция (/) входит в Ll^(a, д), то в точке х
ряд Фурье
оо
^CkPk{x)
k = 0
сходится и
/(*)= 2сЛ(х).
&=о
Определение. Последовательность функций (х),
<f2CO» •••»	называется равномерно ограниченной,
если существует такая постоянная М, что |	(х) | < М для
всех функций системы.
Теорема 19. Если многочлены Рп (х) равномерно огра-
ничены на (а, Ь), то для любой функции /(х), интегри-
1]	§4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ -235
руемой на (а, Ь) по весу а (х), ее ряд Фурье по системе
{Рл(х)} сходится во всякой точке х, в которой суще-
ствует интеграл
ь
f
а
к значению /(х).
Следующие теоремы устанавливают сходимость ряда Фурье
функции f (х) по ортогональной системе многочленов {Рп (х)}
вне зависимости от свойств этой системы, по структурным
свойствам функции /(х).	*
Теорема 20. Если функция f (х) удовлетворяет усло-
вию Липшица с показателем a>i:
I f f i) I < М I х2 — •#! | »
то ряд Фурье функции /(х) по системе ортогональных
многочленов {Рл(х)} сходится почти всюду на (а, Ъ).
ъ
Определение. Функцию Ln (х) = J* | Кп (t, х) | da (/)
а
называют функцией Лебега ортонормальной системы
{PnWi-
Теорема 21. Пусть функция f(x) непрерывна и ее
наилучшее приближение многочленами степени п
Ea(f) = inf max I f (x) — Q„ (x) |
удовлетворяет соотношению
Ln (xo) •£«(/)-* 0	при n -> oo.
Тогда ряд Фурье функции f (х) по ортогональной систе-
ме {Рп (х)} сходится в точке х = х0 к значению f (х0).
§ 4.	Классические системы ортогональных многочленов
1.	Дифференциальное уравнение Пирсона. Уравнение
Р' _ а0 + «1*	(  ь.(х)\	.. ...
Р Ро + М+М* \	₽(*)/	v '
называется уравнением Пирсона. Решения уравнения назы-
’236 ГЛ. IV. 'ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ Ц
ваются функциями Пирсона. Уравнение (4.81) было введено
Пирсоном для представления эмпирических законов распре-
деления. При ocj = — 1, а0 = 0, р0 — 1, [^ = р2 = 0 решением
ха
этого уравнения является классическая функция е 2 — плот-
ноешь нормального закона распределения.
Веса всех важнейших систем ортогональных многочленов
являются функциями Пирсона.
В е с Я к о б и
р(х) = (1-х)х(14-хЛ	(4.82)
где к > — 1, р. > — 1. Вес Якоби р (х) определен на [— 1, 11
и имеет на нем все моменты. Уравнение Пирсона веса Якоби
р' _ (И _. X) — (р. + X) х
р ~	1—х2
(4.83)
Вес Чебышева — частный случай веса Якоби, соответ-
м )	1	1
ствующий к — — у » Р — — 2” ’
<4-84’
Дифференциальное уравнение Пирсона для веса Чебышева
Вес Лежандра f ;х) = 1— частный случай веса Якоби,
соответствующий 1 = 0, рь = 0. Дифференциальное уравнение
Пирсона
р' _	1
Р — 1—х2‘
(4.86)
К перечисленным функциям сводится с помощью линейной
замены независимой переменной любая функция Пирсона,
имеющая все моменты, для которой в уравнении (4.81) зна-
менатель р (х) имеет действительные различные корни. •
В случае, когда знаменатель р (х) имеет кратные или
комплексные корни, функции Пирсона не могут быть весами
ортогональной системы многочленов, так как не имеют всех
моментов на интервале, на котором они определены.
2)	§ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ	237
Вес Чебышева — Лагерра
р(х) = ххе~^, где X > — 1Э р. > 0.	(4.87)
определен на (0, 4-оо). Уравнение Пирсона веса Чебышева —
Лагерра
К этим функциям сводится с помощью линейной замены
независимого переменного всякая функция Пирсона, имеющая
все моменты на (0, 4~оо), для которой в уравнении (4.81)
знаменатель р(х) есть многочлен первой степени ф2 = 0).
Вес Чебышева — Эрмита
=	(4.89)
определен на (—оо, -}-оо). Уравнение Пирсона
— =— 2х.
Р
К функциям Чебышева — Эрмита сводится любая функция
Пирсона, имеющая на (—оо, -|-оо) все моменты, для кото^
рой в уравнении (4.81) р(х) = const (pj —р2 = 0).
Таким образом, все функции Пирсона, могущие служить
весами ортогональной системы многочленов, сводятся к одному
из перечисленных основных весов.
2.	Дифференциальное уравнение для соответствую-
щих классов ортогональных многочленов. Многочлены
ортогональных систем, весами которых являются функции
Пирсона, удовлетворяют линейным дифференциальным урав-
нениям 2-го порядка, к которым часто приводят различные
физические задачи, что и обусловливает важность их для
приложений.
Если вес р (х) ортогональной системы многочленов удовле-
творяет уравненик)
: .	Pz _	+	--	-
Р ₽0. +	Г
то многочлен n-й степени этой системы удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению
₽(x)Z+Ja(x)^'(^]f	(4.90)
где = n|at4~(«+ а ?(*) и ,Р(х).см,. (4.81). - .
238 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [3
Пример 15. Для веса Чебышева:
а(х) = х, 04=1,
₽(х)=1-х2, ₽2 = -1.
Уравнение для многочленов Чебышева имеет вид
(1 — х2) у" — ху' 4“ п?у — 0.
3.	Выражение через вес многочлена n-й степени из
ортогональной системы многочленов. Рассмотрим ортого-
нальную систему многочленов с весом Пирсона р(х) из (4.81).
Пусть Рп(х)— многочлен n-й степени из системы многочле-
нов, ортогональных по весу р(х). Многочлен Рп(х) пред-
ставляется в виде
1
W = Л {₽(*)?”	(4-91)
Эта формула была получена Родригом для многочленов
Лежандра (в 1814 г.), подобные формулы получены и для
других многочленов. Формула Родрига в общем виде (4.91)
впервые опубликована в [5].
Если Ап = 1, то коэффициент у Рп (х) при старшем
члене
2л
П («1 + Ш	(4.92)
Л = л+1
а при х^”1
g =	. пап.	(4.93)
п aj 4- 2flfi2 П	'
Коэффициент при старшем члене у нормированного мно-
гочлена
а
4.	Производящая функция ортогональной системы
многочленов с весом Пирсона. Рассмотрим ортогональную
систему многочленов {/\(х)}, где Рп(х) определен по фор-
муле (4.91) с константой Ап—1.
5]	‘Л -4. ^КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 239
Производящей функцией системы {Рп (х)} называется функ-
ция ф(г, w) двух комплексных переменных z и w такая, что
ф (z, W) — 2 ~пГ'wn'	(4.95)
л = 0
Теорема 22. Для любой ортогональной системы
многочленов {Р„(х)} с весом р(х), удовлетворяющим усло-
вию (4.81), существует производящая функция (4.95),
которая определяется формулой
<4-96’
где — тот корень квадратного уравнения
5 —2 — ^(5) = 0,	(4.97)
который при малых w близок к z.
Пример 46. Найдем производящую функцию для мно-
гочленов Лежандра.
Уравнение (4.97) в этом случае имеет вид
5—(z+w) = о,
причем
=	1 ± /l+4wz-H4w2)
выбирается так, чтобы при малых w было близко к z.
т. е.
= -i 1 + /1+4^ + 4ад2).
Применяя формулу (4.96) и полагая p(x)s=sl, получаем
Ф(г. «1) = -^== 1	(4.98)
У 1 + 4wz + 4о>2
Производные ортогональных многочленов с весом Пирсона
также являются ортогональными многочленами относительно
веса
Pi (х) = ехр(у*	(X) dx}.
5.	Многочлены Лежандра. Исторически первой системой
ортогональных многочленов была система многочленов с весом
р(х)=1 на [—1,	введенная Лежандром в 1785 г.
240 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [5
Введем обозначения: Ln(x)— многочлен Лежандра, в ко-
тором не фиксирован множитель, с точностью до которого
определяется система ортогональных многочленов, Ln(x)—
многочлен степени п со старшим коэффициентом, равным 1,
и Ln(x) — нормированный многочлен Лежандра.
Формула Родрига:
£я(х) = л/-1(^~1)П».	(4.99)
Из формул (4.92) — (4.94) следуют выражения для Ln(x)
и/я(х):
» -£ ~	<4-10°)
4 W =	(«-!> «100
Явное выражение многочленов Лежандра:
Ж
Ln (х) = А„ 2 (-1)*	Скхп~2ь. (4.102)
Из формулы (4.102) следует, что при п четном Ln(x) —
четная относительно х функция, при п нечетном — нечетная.
Рекуррентная формула. Для многочленов Ле-
жандра в. формуле (4.54)
а -0	1	<” + 1)а
_ -	(2n Н-1) (2/1Ж 3) *
т. е.
^/+2 (*) —	(*)*-	+ 1Н2п;+“3)	<4.103)
Очевидно, £0(х)=1, £х(х) = х; из формулы (4.103)
далее подучаются:^
£2(Х) = у(Зх2-1).
Z4 (х) = ~ (35х4	ЗОх2 + 3).
•Й .	^(315х5>-- 350xJ H-75х) и т. д. . ч
5]	§ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 241
Цепная дробь (4.62) для многочлена Лежандра имеет вид
14	9	(л + 1)2
2^	3	15	35	(2/2 + 1) (2/г + 3)
х — х — х — х — ... — х — ... (4.104)
Знаменатель n-й подходящей дроби (4.104) есть Ln(x).
х 1
Цепная дробь (4.104) сходится к In -J, f в0 всякой
точке х, лежащей вне [—1, 4~П-
Производящая функция. Пусть Н(х, w)— про-
изводящая функция многочленов Лежандра (4.95); тогда фор-
мула (4.98) дает
Я(х, «!) = -==!==-,	(4.105)
у 1 _|_ 4WX 4- 4ш2
и
-  ..............1 .... =	У wn,
+ 4wx 4- 4w2 “j
где
ИЛИ	‘ -
/У (х, w) = 1 — 2xw -4- 2 (Зх2 — 1) w2 — 4 (5х3 — Зх>^4^
Н- 2 (35х4 — ЗОх2 4- 3) w4 + ...
Производящую функцию для многочленов Лежандра часто
записывают в виде
/У(х, /) =	, где /as"—2w»
v ' /I —2х/4-/2
тогда
.	1 =У ik	"
/1— 2xt + t» М
-л .. .
,	-	’ !.’« -Л :.~г,
где /*(*> определяется из формулы -.0^93) при ффр
16 Зак. 2048. В. Л. Данилов в др.
242 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ :[S
Многочлены Ln(x) и Ln(x) выражаются через много-
член 1п(х) следующим образом:
(х)	(2п — 1)!!
4w=]/"
(4.106)
Для многочленов 1п(х) имеет место рекуррентная формула
(п + 2) /л+2 (х) = (2п + 3) х/л+1 (х) - (п +1) 1п (х).	(4.107)
Дифференциальное уравнение для многочленов Лежандра
имеет вид
(1 — х2) у" — 2ху' + п (п -j- 1) у = 0.
Интегральное представление многочленов Лежандра.
Многочлен
= 72й)й "dip	~
может быть представлен в виде
те
l„(x) = ± f (х 4- Z /Г=Т2 cos <р)л	(4.108)
о
Интеграл в формуле (4.108) называется интегралом Лапласа
(интеграл имеет действительные значения для действительных х,
несмотря на то, что подынтегральная функция комплексная).
На рассматриваемом отрезке ортогональности [—1,
многочлены 1п (х) равномерно ограничены.
Из формулы (4.108) следует, что
IU*)I<1	(4.Ю9)
для
|x|<J.
Для точек, лежащих внутри интервала (—1, +D» имеет
место более точная оценка
Неравенство Турана
/п(х)-/„_1(х)/я+1(х)>0
прив^.1,—i<;x<;i.
5]	S 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: МНОГОЧЛЕНОВ^ 243
Разложение некоторых функций по много-
членам Лежандра:
—V’ (Ak I D	2# -J- 2)	. z x
(2n + l)(2n + 3)... (2n + 2A* + l) Z2* W’
k=i
।	м ь i__ q\ -	ty •••	26 -f~ 2)	. z ч
-t-(2n + 3)(2n + 5)...(2n + 2^ + 3) Z2*+1W«
*=1
oo
И<.-
/1— X2
-У (4« + 3)(-2t~0!l(2t + 1)"lgt4.,(x). |x| <1,
2 ЙО	22й+ ]Л! (k + 1)! 2ft+1 7 1	’
VTTTy2-= JL{ ± _ У (4k_ь к (2^-3)!!(2fe-l)i!
2^2	‘	'	22й+1Л!(&+ 1)!	^2*(х) *
И<1,
V/(2^ —1)!!\2Г/ /х ,	/	1,^1
arcsin х — у X	) ^2ft+i (х) hk-i (Х)Ь Iх I < 1 •
Сходимость рядов Фурье по многочленам
Лежандра.
Теорема 23. Если f (х) имеет на [—1, 4~1] непре-
рывную вторую производную, то она разлагается в равно-
мерно сходящийся ряд по многочленам Лежандра на
[-1,4-1].
В силу формул (4.106) и (4.109) для нормированных
многочленов Лежандра имеет место оценка
|inWI</~^44 для I^K1’	(4Д11>
16*
244 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [5
Формула (4.111) и соответствующая оценка ядра Kn(t, х)
для многочленов 1а(х) дают оценку для функции Лебега
(см. § 3, п. 8)
М*)<(« + 1)2-	(4.112)
Из теоремы 21 (см. § 3, п. 8) и формулы (4.112) следует
Теорема 24. Всякая непрерывная функция f (х), наи-
лучшее приближение которой удовлетворяет условию
lim л2£'п(/) = 0,	(4.113)
Л->оо
разлагается в равномерно сходящийся на [—1, +1] ряд
по многочленам Лежандра.
Из теоремы 23 и формул (4.106) и (4.110) следует
Теорема 25. Функция f (х), квадрат которой инте-
грируем на [—1, 1], разлагается в сходящийся к ней
ряд Фурье по многочленам Лежандра в каждой точке х,
для которой существует интеграл
(4.114)
'	— 1  
Замечание. Условие (4.114) выполняется, в частности,
если существует конечная производная f' (х) в точке х.
Теорема 26. Пусть /(х) — функция, квадрат кото-
рой интегрируем на [—1, 1], и пусть в точке х суще-
ствуют левый и правый пределы функции /(х): / (х —,0)
и /(х + 0). Тогда, если интегралы
и y(/(V^,
— 1	•	X
конечны, то ряд Фурье по многочленам Лежандра схо-
"а	f(x — 0)+/(х + 0)
дится в точке х к —-------V < .
* Теорема 27Если, f(х), на [—1, -|-1] удовлетворяет
условию Дини—Липшица-	-
lim со (й) In (о) = 0
6->0
(г&ё (о)*= sup ’. "'“{l /(х^ —/ (х2) | ! — модуль непрерыв-
нрсти функций f	~nio во всех точках интервала она
6]	§ 4. классйчёскйе сйстёмы'многойлёнОв 245
разлагается в ряд Фурье по многочленам Лёжандрй, при-
чем сходимость этого ряда равномерна на всяком сег-
менте [—1 -f-/г, 1—h} (h > 0).
6. Многочлены Якоби* Многочленами Якоби называют
многочлены, ортогональные на [—1, Ц-1] по весу
р(х) = (1-х)х(1+хЛ	(4.115)
где Х>— 1, pi > — 1. Вес (4.115) есть вес Пирсона (см.
§ 4, п. 1). Высказанное выше определение задает многочлены
Якоби с точностью до постоянного множителя. Если этот
множитель не фиксирован, будем многочлены Якоби обозна-
чать J«,|fc)(x), если этот многочлен имеет коэффициент
при хл, равный единице, то — через	если много-
член нормирован, то — через /д’^(х).
Многочлены Лежандра (см. п. 5) являются частным слу-
чаем многочленов Якоби, соответственно при Х = рь = О.
Далее (см. пп. 7, 8) специально рассматриваются случаи
X == pi = и X = р — — Многочлены, соответствующие
этим значениям X и рь, называются многочленами Чебышева
(2-го и 1-го рода соответственно).
Вообще, случай X = р имеет некоторые особенности.
Многочлены Якоби при X = |i называют ультрасферичё-
скими.
Формула Родрига. Формула (4.91) для многочленов
Якоби дает
10 (х) = Ап (1 - х)"х (1 + X)-115$- [(1 - х)х+" (1 + х/+я].
(4.116)
причем для J«,|l)(x) имеем
а —(____iy> rfi + (t~bn-b 1)	(л пук
— ( Г(Х + 1л4-2л + 1) ’	I*-10 11'*
а для Jn’ *\х)
л :_/___о~(^+11+2л+1) Г (X 4~ Iх 4~ Д 4~ 1)Г(X Ч~ Iх-f--2n-|-1)
" Х ' г	Г(Х4-л-р1)Г(|л4-п4-1)л!	•
(4.118)
246 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [6
Эти формулы годны для п > 0. Они верны и при п — 0,
если только к-1-1 #= 0; если же к -[- jx-J- 1 = 0, то при
п = 0 они теряют смысл, однако ясно, что
7^rt(xj=1.
Явное выражение. Если в формуле Родрига (4.116)
(____пл
Ап =	» т0 соответствующий многочлен Якоби будем
обозначать	Часто удобно рассматривать именно
этот многочлен Якоби. Для него имеет место формула
уа.!‘)(х) =
__ 1 VpJ Г(Х + п4-1)Г(ц4-п4-1) z„	। itfe
~ 2лл! Zj "r(Hn-Hl)r(llTHl) }
a=o
(4.119)
Рекуррентная формула. Общая рекуррентная фор-
мула (4.54) для трех последовательных многочленов из
системы ортогональных многочленов в случае системы много-
членов Якоби имеет вид
№ (X) = (х - а„+2)	(х) - Хя+17£> ^(х), (4.120)
где
_	р2 —X2	)
ал+2— (X + р4-2л + 2)(X + р + 2л + 4) ’	I
х  ________0-4~ » 4~ 1) (и 4-п4-1) fi4~ !*4~п 4-1)	1ы и
«+1— (X + р + 2л + 1)(Х + р + 2п + 2)2(X + р4-2л4-3)
(4.121)
Так как
то из формулы (4.120) можно последовательно получить все
многочлены Якоби. Однако эти выражения очень громоздки,
например,
7?"‘’W = *! + 2-4:St*
(k-pi)2 + (k + ?x)-4
^“(k + |x + 3)(k + (x + 4)
и т. д. Наиболее практичной для их фактического вычи-
сления является явная формула (4.119). Имеются полные
таблицы многочленов Якоби (см. [3]). Для многочленов
6]	L КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ ,	247
Якоби существуют рекуррентные соотношения не только
по параметру п, ло и по параметрам X и л; к, р и п, сле-
дующие из формул Гаусса для гипергеометрических функ-
ций, частным случаем которых являются многочлены Якоби.
Производящая функция. Пусть 1(х, w)— про-
изводящая функция многочленов Якоби (см. п. 4). Тогда фор-
мула (4.96) дает
I (х, w)	(1 + 2w + V 14-4wx4-4w2)-xX
V 1 + 4xw + 4w2
х(1—2w 4~ 1-j-4wx “|-4w2 ) и (4.122)
и
~ /М(Х\
I (x, w) = 2 -T2"	(4-123>
n=0
где
= (1 -x)-x(l +x)-'x^r [(1	-ЬхГ+я].
. (4.124)
Часто производящую функцию для многочленов Якоби
записывают в виде
f)=	(1 -‘+n-Wx
Х(1+*4-]<1—2Х/+/2)"11, (4.125)
где t = — 2w; тогда коэффициенты разложения по степеням t
суть многочлены ^(х) (см. (4.119)). Для ультрасфери-
ческих многочленов (К = jx) производящая функция упро-
щается, если ввести вместо многочленов (х) много-
члены
г(а + |)г(п + 2а) хх
7» ’(х) = —---------p-/e (X), где а = Х4--1;
Г(2а)Г^ + а + у)
именно
(1 — 2^ + ^)"“ = 2 ^n}{x)tn.	(4.126)
п = 0
248 ГЛ. IV; ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ (б
Пользуясь ультрасферическими многочленами Н. Я. Сонин
получил формулу, аналогичную формуле Тейлора,
/ (х 4- а) = 2Т (V) 2 (л 4- V)	/ (х). (4.127)
	'	д«0
где Jft(a)— функция Бесселя, D = -^— .
Дифференциальное уравнение многочленов
Якоби. Дифференциальное уравнение (4.90) для многочле-
нов, ортогональных по весу Пирсона, в случае многочленов
Якоби имеет вид
(1 - X2) у" 4- (([* - к) - (И 4-х 4- 2) х] У' 4-
tt(к—р. п-р 1)у = 0. (4.128)
Оценки для многочленов Якоби и сходи-
мость рядов Фурье. При условии
о — max (X, pj — у	(4.129)
имеют место следующие теоремы.
Теорема 28. Наибольшее по модулю значение мно~
гочлена (х) достигается на отрезке 1—1, 1| в
одной из точек х = ± 1.
Теорема 29. Нормированные многочлены Якоби при
условии (4.129) удовлетворяют соотношению
для всех | х |	1.
Здесь М — постоянная, зависящая от К и р.
Из теоремы 29 следует оценка для функции Лебега
многочленов Якоби
Lrt(x) < М^2'*2,
откуда, а также из общей теоремы 21 (см. § 3), следует
Теорема 30. Пусть	и р есть натуральное
число» не меньшее чем 2<з Ц- 2. Всякая функция / (х),
заданная на 1—1, 1] и имеющая непрерывную произ-
водную порядка р» разлагается в равномерно сходящийся
ряд Фурье по многочленам Jn (Л’ (х).
7]
§ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 249
с 7. .Многочлены Чебышева первого, рода». Многочлены
Чебышева , первого рода являются частным случаем много-
членов Якоби (СМ. § 4, П. 6), СООТВеТСТВуЮЩИМ к=|Х==:---
Многочлены 2	2 были введены в рассмотрение впервые
П. Л. Чебышевым в 1857 г. при решении проблемы наилуч-
шего приближения непрерывных функций многочленами.
Будем их обозначать через Тл(х); многочлены Тп(х) были
получены Чебышевым в форме
Тп (х) = cos (п arccos х).	(4.130)
Формула (4.130) определяет Тп (х) только на отрезке [—1, 1].
Однако определение (4.130) может быть распространено на
все значения х с помощью известной тригонометрической
формулы
cos Hep = cosrtcp — С2п cos"~2cp sin2 ср	Сп cos'1”4 ср sin4 ср — ...
(в дальнейшем без оговорок предполагается такое дополнение
определения (4.130)).
Многочлен Тп(х), кроме общих свойств, которыми он
обладает как многочлен ортогональной системы многочленов,
имеет много замечательных так называемых экстремальных
свойств, мы эти свойства излагаем после свойств, общих
всем ортогональным многочленам.
Формула Родрига
=	(4.131)
Многочлен со старшим коэффициентом, равным единице,
будем обозначать через Tn(x), нормированный — через Тл(х).
Явное выражение. Формула (4.130) дает явное вы-
ражение многочленов Чебышева, причем
Тп (х) = cos (п arccos х),
/ 2~
Тп (*) === 1/ — cos (и arccos х).
(4.132)
250 ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ^ СИСТЕМЫ [?
Выражение (4.130) может быть представлено также в виде
тп (*) — у к* + Кх2— 1 )П + (х — /х2 — 1)"]
ИЛИ
И]
тп (х) = 2 (- 1)* C*_k 2«-2ft-’Z-2ft
*=о
(4.133)
Нули многочлена Тл(х), как следует из формулы (4.130),
суть числа
4Я) = СО8 (2-~1)я-	(Л=1. 2......п).	(4.134)
Рекуррентные формулы
Тп (X) = 2х7’„_1 (х) - Тп_2 (X).	(4.135)
Тп (х) = хТл_1 (х) -1 Тп_2 (х)	(4.136)
следуют из формулы (4.120) при К —р,=— 2-. Так как
Т0(х)=1, 7'1(х) = х, то из равенства (4.135) следует
Т2(х) = 2х2~ 1,
Тг(х) = 4х3 — Зх,
Т4(х) = 8х4—8х2 + 1,
Т5 (х) = 16х5 — 20х3	5х,
Т6(х) = 32хб—48х44-18х2 + 1 и т. д.
Цепная дробь (4.62) для многочленов Чебышева имеет вид
2.	±	1
2L 4	4	4	(4.137)
X — X — X — X —... ,
здесь
1
= f хг = 4, dt = 0.
°	J /г —Х2	»	4 I
Знаменатель n-й подходящей дроби цепной дроби (4.137)
есть Тп(х). Цепная дробь (4.137) сходится для всех х вне
интервала (—1, 1) к функции
7С
7]	М. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ	251
Производящая функция. В разложении функций
1 ___________________________/2
 <4-,38)
по степеням t коэффициент при tn есть многочлен Тл(х)
со
Пх, Ъ =	=То + 2^П(х)^
л = 1
Дифференциальное уравнение для многочленов Чебышева
имеет вид
(1 — х2) у" — ху' + п2у = 0.	(4.139)
Разложение функции в ряд Фурье по мно-
гочленам Чебышева и его сравнение с ее
разложением в ряд Маклорена. Ряды Фурье по
многочленам Чебышева Тп(х) широко применяются для равно-
мерной аппроксимации функций. Заметим, что разложение
в ряд Фурье по многочленам Тп(х) функции /(х) на
[—1, 1] сводится к разложению функции /(cosx) на
[—к, тг] в ряд Фурье по косинусам.
Например,
eacos^ = /Q(a)-\-2 2 Л (я) cos п ср,
где 1п (а) — функция Бесселя, поэтому замена х = cos ср дает
е« = /0(Л)-|-2 2 Ц(а)Тп(х).
Л®1
Таким же образом получается разложение для f(x) = xn
из известных тригонометрических формул
(л-1	\
2C^cos 2 (zi — &) <p4-C£, j,
й=0	/
Л-1
cos2"-1 ? =	2 Сгл-1 cos (2я — 2k — 1) <р.
£-0
(4.140)
252 гл. IV. бРТОГОНАЛБНЫЁ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [7
Замена х = cos ср дает
(«-1	1 ч
T2n-2k С*0 ~Ь^2л j , |
*=0
. ,	л-1
Х = 92/1-2	^2/1 —17^2/t—2fe —1
k = 0
Аналогично, из разложений по косинусам следуют разложе-
ния по многочленам Чебышева Тп(х) (при | х | < 1)
1П(1 —
1x1— 1 х ' — тс	тс	— 1 ’ /1 = 1	(4.141)
оо sign х = 4 2 (- 1>”+1 -ГГ«~-1Х) >	(4.142)
/1 = 1	
оо cos ах = J0(a>+ 2]£(- 1)4» Т2п(х), /1 = 1	(4.143)
ОО sin ах = 2 S (- 1)пИ4г-1 («) Ъп-1 (X), п-1	(4.144)
ОО >-oslnx=*2( л = 1	(4.145)
оо е»* = /0(а) + 2 2 1п(а)Тп(х), /1 = 1	(4.146)
оо . 2?х+?2)=-2^4 Т„(х) (|9|<1).	(4.147)
Л = 1
Вообще, если ^ — коэффициент Фурье /(cosx) по
системе {cos пу}, то
’ х	1
с*= ~-f f (cos <Р) cos иср dcp ==	f f(x)Tn (X)	.
0	-1
(4.148)
Грубо говоря, при приближенном представлении таких
фукций суммой одинакового числа членов получается оценка
7]	§4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ . 253
точности для разложения по многочленам Чебышева в 2Л-1
раз лучше, чем для ряда Тейлора.
Например, при | х |	1 из (4.146) следует, что для
f(x) = enx при больших п
[дП	лЯ-|-2	"1	дП
nl2n (n-h 1)!2Л+2 ' ‘’’J	п!2я-1’
в то время как
/”>(0)  ап
п\ п\ •
Если под интегралом в формуле (4.148) подставить вы-
ражение f (х) по формуле Маклорена
/(х) = /(0)-Ь/'(0)х + ^-х2+ ... +2^р_х"+..„
то благодаря свойству ортогональности многочленов Тк (х)
и выражению (4.139) и (4.140) получается интересная связь
между коэффициентом Сп в разложении / (х) по многочле-
нам Чебышева и соответствующим коэффициентом формулы
Маклорена для f (х), а именно,
е _ 1 //">(0) , /”+2>(0) , /я+4)(0)	,
«“ 2 \ л!	(л + 2)! 1! ~г (« + 4)!2! '
. ..) (4.149)
Из формулы (4.149) следует, что если при больших п глав-
//л)(0) .	\	/л)(0)
пая часть Г—• • • ) сводится к > т0
<4Л5°)
Из соотношения (4.150) следует» что для |, .х | < у лучшим,
вообще говоря, является разложение функции .в ряд Макло*
рена, а для ^- < | х| < 1 лучшим оказывается разложение
по многочленам Чебышева, так как-' ? — л
тах|СяТ„(х)| = С„—г < тах_
254 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [7
Сходимость рядов Фурье по многочленам
Чебышева. Благодаря тому, что
из теоремы 19 § 3 следует
Теорема 31. Для любой функции f (х), интегрируе-
мой на (—1, 1) по весу	ее ряд Фурье по си-
стеме {Тп (х)} сходится к значению f (х) в каждой точке х,
для которой существует интеграл
Г	dt
J X — t 1 __ /2 *
— 1
Функция Лебега системы многочленов Чебышева удовле-
творяет неравенству
£л(х)<2 + 1пп.
Поэтому (см. теорему 23 § 3) имеет место
Теорема 32. Всякая функция f (х), для которой
lim Ел(/)1пп = 0,
п -> оо
разлагается в равномерно сходящийся ряд по многочле-
нам Чебышева.
Экстремальные свойства многочленов Че-
бышева. Теорема 33 (Чебышева). Из всех мно-
гочленов со старшим коэффициентом, равным единице,
наименьшее уклонение от нуля имеет многочлен Тп(х),
т. е.
max |Тл(х)|< max |Q„(x)|
для всех многочленов Qn(x) степени п, имеющих стар-
ший коэффициент, равный единице.
Следствие. Так как
max | Т (х)\ =
то для всякого многочлена Qn(x) со старшим коэффициен-
том, равным единице,
max | Qn (х) | >	,
.8]	i 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ 255
Следствием теоремы является следующее интерполяцион-
ное свойство нулей многочлена Чебышева. Пусть для функ-
ции /(х), дифференцируемой п раз на |—1, 1J, строится
интерполяционный многочлен Qn^(x) степени п—1 по п
точкам хр х2, хп. Тогда остаточный член точечной
интерполяции выражается формулой
Rn (х) = f(x) — Q„_1 (х) =f-^P (X-Xj (Х-Хг) ... (x-x„),
где
xz<xi+i и 5€(Xp x„).
Если узлы интерполяции xp x2, ..., xn суть нули мно-
гочлена Чебышева Тп(х), то
max | (x — x0 (x — x2) .. .. (x — хя) |
i]
имеет наименьшее значение.
Таким образом, если в формуле (4.148) коэффициент
(£) мало меняется в зависимости от изменения х£(—1, 1),
то узлы интерполяции, являющиеся корнями многочлена Тп (х),
дают наименьшее значение остаточного члена.
Теорема 34 (Чебышева). Из всех многочленов
Qn(x\ подчиненных условию Qn(£) = M, где |$| < 1, наиме-
нее. уклоняется от нуля на отрезке [—1, 1] много-
МТп (х)
член тд(б) ’
Теорема 35 (А. А. Маркова и В. А. Маркова).
Если на [—1, 1] многочлен Qn(x) удовлетворяет нера-
венству
|<2д(х)|<А1,
то производная порядка k этого многочлена удовлетво-
ряет на [—1, 1] неравенству
|	(х) | < Ж п3 (”2 ~ Р 5~ • 1п>~(* ~1)8] ,	(4.151)
причем знак равенства в (4.151) имеет место только
для многочлена Тп (х) в точках х = ± 1.
8. Многочлены Чебышева второго рода. Многочлены
второго рода относительно веса  - 1  (см. § 3, п. 4),
256 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [8
т. е. числители подходящих дробей цепной дроби (4.137)
образуют ортогональную систему на |—.1, Г] по весу
р(*) = 1^1 —х2 и, таким образом, являются многочленами
Якоби, соответствующими случаю к = р = ~. Они назы-
ваются многочленами Чебышева второго рода. Будем их
обозначать через Uп (х)._
Многочлены Чебышева (7п(х) и	связаны соотно-
шением
t/;(x) = C„^-T„+1(x).	(4.152)
Явное выражение многочленов. Из формулы
(4.152) следует выражение
(/„ (X) = Сп ?.М(«+/)^со8х].	(4.153)
г 1 Ж2
Формула (4.153) определяет Un(x) только в интервале
(—1, 1), однако это определениё распространяется на все
значения х с помощью известного тригонометрического то-
ждества
sin (п -4-1) «р== 5шя+1<р — Cn+isin'’~1<pcos2‘<f>-|-
sinn—8 <р cos^ <р— ...
Пусть t/n(x) имеет коэффициентом при х" единицу,
а й„(х) имеет ||47я|| = 1. Тогда
(4.154)
. . и, < .> . 1/'	К-.+1- Ч M.i.sr.,
Рекуррентная? формула. Как числители цепной
дроби (4.137) многочлены Un (х) /удовлетворяют тому же
рекуррентному соотношению, что и Тл+1(х),
8]	$ 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ	257
где £/0 (х) = 1, Ux (х) = х; отсюда
t/2 (х) = X2 ’— ,
t73(x) = X3 —уХ,
й4(х) — х* — 4х2+тк и т- а-
Цепная дробь для многочленов Un(x). Мно-
гочлены Un(x)> образующие ортогональную систему по весу
р(х) = /Т — х2, в свою очередь являются знаменателями
л-й подходящей дроби цепной дроби
Л 1 А
2 4 4
.	»	(4.156)
где
1
X0 = Y= f	а \ = | G=l. 2, ...)•
-1
Числители n-й подходящей дроби цепной дроби (4.156) суть
^л-1(х). Цепная дробь (4.156) сходится для всех х, лежа-
щих вне отрезка [—1, +1], к функции
/ (х) = (х — У X2 — 1) Tt.
Ряды Фурье по многочленам Чебышева Un(x).
Имеют место оценки
1<7л(*)|</'т(Л + 1)
ип (х) I < т/ —	(—1 < X < 1).
I П\ /I У тс |<1 х2 v	7
(4.157)
Из оценки (4.157) и общих теорем (см. § 3, п. 5) сле-
дуют теоремы.
Теорема 36. Всякая функция, имеющая непрерыв-
ную производную третьего порядка, разлагается в равно-
мерно сходящийся ряд по многочленам йп(х).
Теорема 37. Каждая функция /(х) из —Ь D
разлагается в ряд Фурье по ортогональным многочле-
17 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
258 гл. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [8
нам &п(х) в каждой точке х, для каждой f(x) сущест-
вует интеграл
f	(4.158)
— 1
Теорема 38. Если функция f(х), заданная на
I—1» 11» удовлетворяет условию Дини—Липшица
lim w (8) In 8 = О,	(4.159)
8->0
то в интервале (—1, 1) она разлагается в ряд Фурье
по многочленам Un(x), сходимость которого равномерна
в любом интервале (—1—/г).
Формула (4.152) позволяет (при выполнении соответствен-
ных условий сходимости) из разложения
f(x) = %anTn (х) .	(4.160)
л = 0
получить почленным дифференцированием разложение
, оо . .
Л = 1
Из приведенных выше разложений (4.139) — (4.142) по
многочленам Тп получаем следующие разложения по много-
членам Un:
оо
Л-1
со
signx_±y
Sign х —	4П2 _ 1	’
‘	Л = 1
.	оо
sin ах == ~ 1)л2пУ2л (а) и2я_г (х),
Д = 1
оо
•' • ! cos ах =-|- ^ (—1)я+1 (2« —
Л = 1	*
И Т. Д.
I 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ	259
Экстремальное свойство многочленов ^(х).
Т е о р е м а 39 (Ч е б ы ш е в а). Из всех многочленов Qn(yc)
степени п со старшим коэффициентом, равным единице,
наименьшее значение интегралу
1
/ I <?«(*) I
-1
дает многочлен Qn(x)^Uп(х).
9.	Многочлены Лагерра. Многочлены, ортогональные на
интервале (0, -|-оо) по весу р(х) = хае~х (а > — 1), обычно
называются многочленами Лагерра или Чебышева — Лагерра.
При а = 0 эти многочлены впервые встречаются в ана-
литической механике Лагранжа, затем в посмертных мемуа-
рах Абеля. В 1859 г. Чебышев рассматривал эти многочлены,
получил для них рекуррентную формулу и разложение в цеп-
ную дробь, и только в 1878 г. их рассматривает Лагерр.
Случай любого а > — 1 впервые рассмотрел Сохицкий.
Иногда многочленами Лагера называют -только случай
а = 0, а в случае <х =# 0 говорят об обобщенных многочле-
нах Лагерра. Будем их обозначать /,„(*).
Формула Родрига
Гл(х) = Ллх--е^(х’'«е^).	(4.1G1)
Многочлен £л(х) со старшим коэффициентом, равным еди-
нице, получается из (4.161) при Лл = (—1)л, а нормирован-
ный многочлен £л(х)— при
А =	(~1/!
п /я!Г(а + п+1)
Рекуррентная формула
А’, 2 (X) = (x-a-2«-3)Z‘+1 (х) - (п + 1) (п 4- а + 1)Z‘ (х).
(4.162)
В случае а = 0 она превращается в формулу
£я+2 (*) = (х - 2» - 3) £л+1 (х) - (а + 1 )21п (х),
из которой, исходя из £0(х)= 1, А1(х) = х—1, цаходим
£2 (х) — х2 — 4х + 2.
£3 (х) = х3— 9х2	18х:— 6, и т. д.
17*
260ГЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ5 РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ (9
Цепная дробь для многочленов L*n(х). В случае
а = 0 цепная дробь (4.162), знаменателем n-й подходящей
дроби которой является многочлен Ln(x), имеет вид
1 ** 22 32
х—1 — х —3 — х —5 — х —7 — ...	(4.163)
Цепная дробь (4.163) сходится для всех х, не лежащих
на (0, -оо), к функции
ОО
о
Цепная дробь для любого а
Г (а + 1)	а+1	2 (а2)	3(«4-3)
X —(а-f-l) _ х — (a-f-3) — х — (а+ 5) — х —(a-f-7) — ...
(4.164)
сходится при любом х, не лежащем на (0, 4- оо), к функции
ОО
о
Дифференциальное уравнение для L„ (х)
ху" + (<х + 1 —х)у'+пу = 0.	(4.165)
Сохоцкий получил формулу для представления степени хп
по многочленам Лагерра
хя = Г(л-4-а-4-1)^ г(п —А4-а4-1) •
fe=0
Производят а яфункция
<4.166)
Формула (4.166) впервые получена Сохоцким. Произво-
дящая функция может быть также представлена в виде
ф а х)~	= V	/4 j
!Д ’ ?	. >й,лГГ(а4-«+1)’
Ю) I 4. КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ ' 261
где —функция Бесселя. Формулу (4.167) получил
Н. Я. Сонин. Сониным получены были также соотношения
1	^я+1С*) _ Г« z„\	.
(л 4-1)	57	—Ln w 57~ ’
«(n4-a)Z.^i(x)
(4.168)
Замкнутость системы {£«(х)}. Проблема моментов
для последовательности
Pn=f е~ххл+п dx
о
определена, откуда по теореме Рисса (см. § 3, п. 7) следует
замкнутость системы {L„ (х)} в пространстве L2e-xx« (0, + оо).
Многочлены Лагерра могут быть получены из многочле-
нов Якоби путем предельного перехода
L„(x)= lim	(4.169)
|1->ОО	\	г* /
(формула К. А. Поссе).
10.	Многочлены Эрмита. Многочлены, ортогональные
X9
на (— оо, 4“ оо) по весу р (х)=е 2, называются многочленами
Эрмита. Иногда многочленами Эрмита называют многочлены,
ортогональные по весу Впервые такие многочлены встре-
чаются у Лапласа, а затем у Чебышева (1859 г). Чебышев
получил для них формулу Родрига и разложение в цепную
дробь. Через 5 лет после Чебцшева эти многочлены были
рассмотрены Эрмитом.
Формула Родрига
— АП I
Ял(х) = Д„е2	2 )-,	(4.170)
при А= (—1)" получаем Н (х)— многочлен со старшим
коэффициентом, равным единице; при Ап =	— норми-
рованный многочлен Нп (х).
282 ГЛ. JV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [10
Рекуррентная формула
77«+1 (•*) = хНп (*) — «Т7л-1 (*);
так как Н0(х) = 1, /?1(х)=х, то получаем
772(х) = х2—1,
. Н3(х) = х3— Зх,
Я4(х) = х4—6х2+3,
Н5 (х) = х5 — 1 Ох3 -|-15х, и т. д.
Производящая функция
/'-Г_ V Яя(х)<»
(4.171)
л!
(4.172)
л=0
Цепная дробь (4.62), знаменателем п-й
дроби которой является многочлен Нп(х), есть
/2Г _i_ ,2.	3
X — X — X — X — ...
Дробь (4.173) сходится для всех не действительных значений х
к функции
подходящей
(4.173)
р
е~ 2
-—т dt.
Дифференциальное уравнение для много-
членов Эрмита
у" — ху' + пу = 0.	(4.174)
Многочлены Нп (х) могут быть получены также из много-
членов Якоби /д* Х)(х) при Х->оо
Нп(х) р
- \ = lim
п
(4.175)
Замкнутость системы многочленов Эрмита.
Проблема моментов для последовательности
р-п = J х"е 2 dx
«-OQ
11]	14, КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ	263
определена. Поэтому из теоремы Рисса (см. § 3, п. 7) следует
замкнутость системы {Нп(х)} в пространстве L2 # (—оо, -j-oo).
“У"
е
11.	Многочлены Чебышева, ортогональные на конеч-
ной системе точек. В мемуаре «О непрерывных дробях»
в 1855 г. и ряде других работ Чебышев рассматривает раз-
ложение суммы
N
2^, *«=*
i = 1
в цепную дробь и изучает свойства знаменателей ее подхо-
дящих дробей.
Если а(х) есть ступенчатая функция с точками роста xv
х2, .xN, скачки в которых равны соответственно лц,
/П2, ..., mN, то
N	оо
= f 1^-	О.пв)
/ = 1	— оо
Знаменатели подходящих дробей цепной дроби (типа (4.62)),
соответствующей интегралу (4.176), суть тогда многочлены,
ортогональные по весу <з(х).
Ортогональность Ps(x) и Pk(x) по весу а(х) в этом
случае означает, что
N
Тогда цепная дробь (4.62) конечна, система ортогональных
многочленов также конечна и содержит ровно W многочле-
нов Р0(х), Ру(х)> .. ., PN~x(x). Чебышев применил резуль-
таты своих исследований к интерполированию по способу
наименьших квадратов. Задача интерполирования по спо-
собу наименьших квадратов ставится так. Заданы значения
функции /(х) в точках хр х2...xN. Среди всех много-
членов данной степени п < Л/ найти такой многочлен Qn (х),
чтобы сумма
Sj/CO-Q.W	(4.177)
была наименьшей (см. § п. 3).
264‘ТЛ. IV. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ’СИСТЕМЫ [Ц*
Пусть в (4.176) 62(xj)= 1, тогда
Д'	ОО
". SI/ (*а- Qn (*/)i2 = /(/(*)-<?„ (х) у2 da (х).
Z = 1	—оо
И, как следует из § 2, п. 4, наименьшее значение выра-
жение (4.177) принимает, когда Qn(x) есть п-й отрезок
ряда Фурье функции f (х) по системе многочленов, ортого-
нальных по весу а(х).
Для системы равноотстоящих узлов на отрезке [0, 1J
=	(/=1, 2, .... Л/)
Чебышев построил ортогональную систему многочленов
|Ш.)2~ 1}. Они также называются многочленами Чебышева,
Будем их обозначать N (х) (многочлен k-й степени по си-
стеме {х,
Pit. n (х) = 1 4-	4- а2х (х —. 1) 4- а3х (х — 1) (х — 2) 4-...
.	.. . 4~«*х(х—1)...(х — Л4-1),
ГД9
(-irqq+1
s~ п(п — 1)... (п — $4-1) •.
В частности,
p0>JV(x)=l.
P1>JV(x)=l-2-£,
^»w=‘-6^+6w^y-
D- _____ 1	1 9 X I QO X(X 1)	X (X—1) (X — 2)
F3. TVW— 1	12 N 4-30 ЛГ(ЛГ_1) 20 ?/(ЛГ_1)(ЛГ_-gj.
Pit N(X) = 1 -204- 90	-
_i Ал x (x 1) (x 2) i ул x (x 1) (x — 2) (x — 3)
W ЛГ(2\Г—1)(ДГ —2)	N(N —\){N — 2) (N — 3) '
PS> „(x) = 1 - 30 -£+ 210	-
__560 x(x D (x 2) - пол x(x 1) (x — 2) (x — 3)
(N- 1)(N-2) oou	—
— 252 x(x—l)(x —2)(x —3)(x —4)
1)^—2)^ —3)^ — 4)
П] $ € КЛАССИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ МНОГОЧЛЕНОВ - 265
и т. д. Интерполяционный ;.многочлен степени т по системе
узлов |xz = -^| для функции /(х), определяемый по спо-
собу наименьших квадратов, есть отрезок ряда Фурье функ-
ции f (х) /n-го порядка по системе {/\дг(х)}
Qm (x) — 2 k> N (x)»
Й = 0
где
1 •	_ N .
C6 = f/ (X) Pk' N (X) da (x) = 2 / (Xt) Pk, N (xi).
0	i = l
Выражение для Cft не зависит от степени интерполяции /п.
При увеличении степени интерполяционного многочлена лишь
добавляются новые члены
Qm+\(x) Ол 00
П. Л. Чебышев указал на то, что случай, когда функция о(х)
непрерывна, можно получить путем предельного перехода из
случая, когда функция а(х) имеет конечное число точек роста.
В частности, из многочленов Pk, дг(х) при Af->c6
могут быть получены многочлены Лежандра. Если Lk (х) —
многочлен Лежандра, нормированный условием, чтоЛй(1)=1,
то
/ /о п (2*)! г
£ft(2x (*1)2
(£ = 1. 2, ...).
(4.17а)
ГЛАВА V
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Введение
1. Обозначения ценной дроби. Основные определения.
Цепной, или непрерывной, дробью называют выражение
*2 "Г* •
‘ I ап
Ф Ьп+-'
Вследствие громоздкости такого рода записи различные
авторы предлагали другие виды записи цепной дроби, на-
пример:
*"+П7+т17+ •••	’ (ПрвнгсгеИм)
s«+x+x+<Мк,ллер>
»« + т7 + 77+ ... +^+ ...•	(P»w). (5.1)
Мы будем пользоваться последним обозначением. Прингс-
гейм предложил также обозначение цепной дроби в виде
Г а 100
Ио» “тЧ • Если же в цепной дроби (5.1) ах и Ьх следуют
L Jj
иному закону, чем остальные ап и Ьп, то Прингсгейм поль-
л	Г, ai а., 1°°
зовался обозначением 0П; -г~, ~ .
L 0 J2
Дробь ~ называют п-м звеном цепной дроби (5.1);
ап и Ьп—членами п-го звена цепной дроби; а2, а3,
1]
§ 1. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 267
называют частными числителями ее; bv fr2, £3, ...—ее
частными знаменателями; bQ называют нулевым звеном
цепной дроби.
Все члены звеньев цепной дроби предполагаются конеч-
ными. Все частные знаменатели цепной дроби обычно счи-
тают не равными нулю.
Цепная дробь, имеющая конечное множество звеньев, на-
зывается конечной.
Цепная дробь, имеющая бесконечное множество звеньев,
называется бесконечной.
2. Краткая историческая справка. Алгоритмы, сходные с цеп-
ными дробями, применялись еще древнегреческими _математиками
(алгоритм Евклида, архимедовы приближения для УЗ). Из средне-
вековых математиков близко подошел к цепным дробям Омар Хайям
(ок. 1040—1123 гг.), пытавшийся обобщить алгоритм Евклида на
случай несоизмеримых величин. Впервые же цепные дроби, как
таковые, появились в «Алгебре» итальянского математика Р. Бом-
белли, вышедшей в 1572 г. Ряд выдающихся математиков XVII века,
в том числе Дж. Валлис и Хр. Гюйгенс, занимались цепными дро-
бями, но основателем теории цепных дробей как самостоятельного
раздела математики является Л. Эйлер. Почти все крупные мате-
матики XVIII века и первой половины XIX века внесли свой вклад
в развитие теории цепных дробей. В настоящее время вновь воз-
рос интерес к цепным дробям в связи с их большим теоретическим
и прикладным значением. В частности, цепные дроби используются
в различных  приближенных вычислениях. С их помощью можно,
например, приближенно вычислять значения многих функций, раз-
ложение которых в степенной ряд сходится медленно или даже
расходится.
§ 1. Цепные дроби и их основные свойства
1. Вычисление подходящих дробей. Подходящие
дроби. Конечную цепную дробь
h I
0 bi -f- ь2 4- ... + ьп Qn
называют п-й подходящей дробью цепной дроби (5.1). При
этом полагают
Ро _ Р-i _ 1
Qo ““ 1 ' Q-i ~ 0 ‘
Основные рекуррентныесо от ношения:
Лх — ^п^п-1 +
=	4“ а/А-2
(л=1, 2, 3, . . .). | (5.2)
268	ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
И
Равенства (5.2) позволяют последовательно вычислять под-
ходящие дроби. При этом целесообразно пользоваться сле-
дующей схемой:
Л I Д| а*
°’t‘ bt + b2 + ... + Ь„ +
1 Pi £2	Рц_
0 1	<?! Qt • • • Q„ " •
Пример 1.
/2 = Ц-(/2-1)=1+7-}Ьт=5= ;
-1 + ± 1 1'1 1
2+2+ 2 + 2 + 2+.,.
±	1	А	7	1Z	41	99
0	1	2	Т	12	29	70
1	1,5 1,4 1,417 1,4138 1,41429
Разность между соседними подходящими
дробями
Рп___РЯ-1  / 1 \«+1 а\а2 • • • ап
Qn	Qn-i	к '	Qn-iQn
(n=l, 2, 3, ...). (5.3)
Разность между подходящими дробями, ин-
декс ы которых отличаются на 2:
= (— 1 )я+1 -,аД"•	(п=1,2, 3, ...).
vn+i Vfl-i	V/i-iV/j+i
(5.4)
Цепные дроби с положительными членами
звеньев. Из равенств(5.4)следует, что если все члены звеньев
цепной дроби положительны, то ее подходящие дроби чет-
ного порядка образуют монотонно возрастающую, ограничен-
ную сверху числом %+--у- последовательность. Такая по-
следовательность имеет предел. Следовательно, в этом слу-
чае lim существует. Точно так же, если все члены
Д->ОО
звеньев цепной дроби положительны, то ее подходящйе дроби
нечетного порядка образуют монотонно убывающую, огра-
ниченную снизу числом bQ последовательность. Такая последо-
вательность также имеет предел. Следовательно; в Зтом случае
2] I J. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
и lim существует. Таким образом, значение цепной
П->&> *<2/1—1
дроби, все члены звеньев которой положительны (если это
значение существует), всегда больше любой подходящей
дроби четного порядка и меньше любой подходящей дроби
нечетного порядка этой цепной дроби. Значением любой цеп-
р
ной дроби (5.1) считается число lim
й->оо V/t
2. Преобразования цепных дробей. Основное то-
ждественное преобразование
t, i Д{	_h _L.
bt + Ь2 +....+Ь„ 0» +
| P)ai Р\Р2а2	Рп-\РпаП
РФ\ + р2&2 + ... + Рп&П + ...’
где Рр р2, ... — любые числа, конечные и отличные от нуля.
Обыкновенные цепные дроби. Пользуясь пре-
образованием (5.5), всегда можно привести цепную дробь
(5.1) к виду
, 1 1 1
а°	+ аа + ... +.afl + ... ’
(5.6)
где
о о* 2£-i aia3...a2k^t * 2Л а2а4 ... а2ь
Дробь (5.6) называется обыкновенной цепной дробью, а числа
ар а2, ...—неполными частными обыкновенной цепной
дроби.
Обыкновенную цепную дробь с натуральными неполными
частными называют правильной. В теории чисел обычно рас-
сматривают только правильные цепные дроби.
Цепные дроби, у которых все частные зна-
менатели равны 1. Такие дроби получаются из дроби
(5.1) путем преобразования (5.5), в котором положено
рп = -А- (п = 1, 2, ...). При — 0 такая дробь имеет вид

270	ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	[3
Члены звеньев цепных дробей (5.6) и (5.7) связаны соот-
ношениями
Цепная дробь Даниила Бернулли. Цепная дробь,
подходящие дроби которой равны KQi Kv К2..имеет вид
„ Ki —Ко Ki—К2 (К1~Ко)(К2-К3)
1	+/<2_/<о+	К3-К	+...
(КЛ —2 КЛ-3)(КЛ-1-Кл)	/е о\
... +	кл-кл_2 + ...•
Пример 2. Цепная дробь, у которой Кп — "pfzpijr
(n = 0, 1, ...), имеет вид
3	15	3-7	5-9	(2л —3)(2/г + 1)
4« 1 — 4-2 — 4-3 — 4*4 — ... — 4л
11	3 15
1	4	27	240
3. Сжатие и растяжение цепных дробей. Если за Ко,
КР К2, ... взять некоторую подпоследовательность подхо-
дящих дробей цепной дроби (5.1). то говорят, что дробь
(5.8) получилась путем сжатия дроби (5.1). Если же за
Ко, Кр К2, ... взять последовательность, включающую
в себя, в частности, все подходящие дроби выражения (5.1),
то говорят, что дробь (5.8) получилась путем растяжения
дроби (5.1).
р
Положив Кп —	, имеем
V2/I
h 1 Д1	h I____
°	+ ь2 + ... + ъп 4~...	0 bxb2 + a2 —
a2a3b4	а4аъЬ2Ь g
— (^2^3 4~ Лз) b4 + btfli — (b4b5 + a5) b6 + bAa6 — ...
_____a2n-2a2n-yb2n^4b2n_______ gv
... —(b2n~2b2n~i + #2Л-1) b2n + b2n-2a2n — ...*
Пример 3.
l/~2  1-L.l 1	-- 1 _1_1 11	1
Г z — lT2f2+	1	5 — 6 — 6 — ... — 6 —... \
J_ 141239
7	5	29 169
31
§ I. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
271
Положив =	, имеем
М2Л+1
। Д1 д2	#Л	* Ml + Д1
0 bi + Ь2 + • • • + Ъп + • • • ai —
Д1Д2^3	Дз^4^1 ^5
— (^1^2 4“ а2) ^3 + Мз — (^3^4 4“ а4)	4" &За5 — . ..
________а2п-1а2п^2п-3^2п +1_______
••• ---(^2л-1^2л + а2п) &2п+1 + ^2Л-1а2Л-Н — •••*
Здесь знак = показывает, что подходящей дробью нуле-
вого порядка цепной дроби, стоящей в правой части послед-
него равенства, является дробь у, а не у, так как эта
цепная дробь имеет своими подходящими дробями только
все подходящие дроби нечетного порядка цепной дроби (5.1).
Пример 4.
1-1-1/2 — 2-к—	"	— A JL JL JL
И 24 ... 424. ...“’2- 6 - 6 — 6-^...’
1 5 29 169 985
0 2	12 70 408
*
Если заменить знак — обычным равенством, то мы по-
лучим разложение
Кг/?+о=а_4_4_ 1
£ £ 30	175 1020
1 2	11	64	373
Связь между обыкновенным и особым зна-
чениями цепной дроби. Цепную дробь (5.1) в случае,
если ^q = 0, можно рассматривать двояко, в зависимости от
того, считать ли ее подходящую дробь нулевого порядка
равной у или В первом случае значение цепной дроби
называют обыкновенным, а во втором — особым. Обозначив
обыкновенное и особое значение одной и той же цепной
дроби, соответственно, через К и К, имеем
z___ d\	йз	7s *	Л2
k bi + b2 +	b\ + b2 + ...
0	d\b2	1	'Л\Ь2 4~ &2
1 ь^	bib2 4* ^2	о bi	bib2
272	'	ГЛ. v. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	[4
Цепная дробь, для которой К является обыкновенным
значением, есть
___	#3 Л4
Ъ\ — Ь2 + ~	+ Ь4 + • • •
«1
О aib2 ~h&2
1 bi Ь\Ь%
Отсюда связь между К и К выражается соотношением
К=—^ а>--------.
Ь\К 4“ Ь\ — й\
4. Преобразование цепных дробей, вытекающее из
теоремы Штольца. В математическом анализе известна сле-
дующая
Теорема Штольца. Пусть
lim Рп = оо, lim Qn = 00, Qn+i > Qn
п-+<х>	л->оо
для всех п, Тогда
lim .^.п. -------------- lim
XQn+i-Q/,’
если предел, стоящий в правой части последнего равен-
ства, существует.
Пользуясь этой теоремой и основным рекуррентным соот-
ношением (5.2), преобразуем дробь (5.1) в цепную дробь,
. р ___________________________________________р
подходящая дробь n-го порядка которой есть
где Рп и Рп_х — соответственно числители подходящих дро-
бей n-го и (п—1)-го порядка цепной дроби (5.1), a Qn и
Qn~i— знаменатели тех же дробей. Эта цепная дробь имеет
вид
г | а1	ап	_ h !	#2 + ^2- 1
°Q~i~bi+ ... + *„+	‘^“^-1+ ^2-1	+
Дз 4~ — 1	Дд +	— 1	„ ,
а2 + ^2 — 1	2	an~\~\~bn_i— 1	п~1
Ik	1 f аз + b3 —• 1 , t h , , ап + Ьп — 1
+	+ •«. ± ьп — 1 +• -—~тгт-+•••
4]	S1. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 273
Пример 5..
t/”q_i . 1	1	1	1	__
ya— i-t-1+2+i + 2 + ...~
1	2 5 7 19
1	1 3 4 11
_ ill 11111
— 1'1“0+1 + 1+ 3+1 + 3+ ...
1	1	£	1	24
1	0	2	2	14 ’ ’	*
Более общее преобразование цепных
дробей, вытекающее из теоремы Штольца.
Применим теорему Штольца к последовательности
р
где(п = 0, 1, 2, ...) — подходящие дроби цепной дроби
ЧП
(5.1),	а т0,	т2, ... любые числа, не равные нулю. Тогда,
если для всех п выполняется неравенство ynQn > 4n_xQn~lt
то в силу теоремы Штольца имеет место соотношение
Р П ' i:m — In-\Pfl-1
"Qn n^colnQn — "tn-lQn-i
lim
п -> оо
если предел, стоящий в правой части последнего равенства,
существует.
Пользуясь этим равенством и основным рекуррентным
соотношением (5.2), преобразуем дробь (5.1) в цепную дробь,
подходящая дробь n-го порядка которой есть	.
Чпчп — 7л-1Мл-1
Эта цепная дробь имеет вид
jz__а । Д1	ап ________
0	+ ^2 + • • * + Ьп + • • •
— (7172*2 + 7о72*2 ~~ 7o7i)
= М-------I1L Л--------------;-----------
71^1 — 7о +	^2—1	+
7273^3+ 7173^3 — 7172 g
7172^2 + 7072^2 — 7o7i 2__
[ 73^3 — 72 । 7о 727з^з+ 717з^з —7172 + ...
72	^ 72 7i72^2 + 7o72^2 —7o7i
7л-\1пап + ln-2tn^n 1п-21п- 1 а
______7л-2Тл~1дл-1+7л-з7л-1^л-1—7л-з7д-2 п
। 7д^л—7л-1 । 7л-з	7я-17лдл+7л-27л^л 7л-27л-1______.
7/^г Т 7л—1 7л-27п-1дл-1+7л-?7д-1^л-1—7л-з7л-2	’ ‘ ’
18 Зак. 2048. В. Л, Данилов и др.
274.	ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	[4
Пример 6. (тя — л4-1; л —0, 1, 2, ...)
у 2 —1-1- А	А А —
г z — 1 । 24-24- ... 4- 2 4- ••• —
_	, 2	5	11 95 319	(/23_3n+i)(n2 +_
— 1_т- 3 4- 2 + 12 4-264- 44 + ...+	2(п2 —3*
£	5	15 235 7535
1	3	11 165 5335’”
Тем самым получено разложение ]Л2 в непериодическую
цепную дробь. В учебниках теории чисел доказывается тео-
рема, утверждающая, что всякую квадратичную иррациональ-
ность можно разложить в периодическую цепную дробь и
что, обратно, значение всякой сходящейся периодической цеп-
ной дроби есть некоторая квадратичная иррациональность.
Однако, при этом не всегда указывается на то, что квадра-
тичную иррациональность можно разложить и в непериоди-
ческую цепную дробь, причем таких разложений существует
бесконечное множество. Полученное нами разложение У 2
в периодическую цепную дробь сходится медленнее, чем ис-
ходное разложение У 2.
Следствие теоремы Штольца и вытекающие
из них преобразования цепных дробей. Пусть
последовательность
удовлетворяет условиям теоремы
( р2 Ч
Штольца. Тогда и последовательность I -Jr } удовлетворяет
I Qn J
условиям этой теоремы. Поэтому
Ит ^- =
П->оо V/1
lim
Л-> ОО
РП + РП-х
Qn + Qn-i
На основании этого равенства можно получить следующее
преобр)азование цепной дроби:
л । Д|	ап — Ь -4
63-—л34-1
Ь2—+ 1	.	~^г4~1
и 2—»2Т *
Й1
М-1-
- W		/у.
—дл-14~1
л-b -1-1_ап~^ -
,+ л+ ^-^4-14-..
4J § Т. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 275
Пример 7.
Из теоремы Штольца нетрудно также получить равенство
lim = lim
п оо Qn П -> ОО Wn±ln-kQn-k
где {^л}—некоторая последовательность, члены которой все
отличны от нуля. На основании этого равенства можно по-
лучить сколь угодно много различных тождественных преоб-
разований данной цепной дроби.
Еще одно преобразование цепных дробей.
Рассмотрим тождество
+ . • <5Л°)
Ь\ + Ь2 + ...	1 + dK + d2 + ...
Предположим, что подходящие дроби четного порядка
дробей, входящих в это тождество, равны между собой, если
индексы их одинаковы. Тогда, произведя сжатие этих цеп-
ных дробей и путем основного тождественного преобразова-
ния сделав равными между собой соответственные члены
звеньев сжатых дробей, получим две следующие системы
уравнений, связывающие члены звеньев исходных цепных
дробей:
# А»
Г2л-2Г2л-Ал-Ад — а2л-2а2д-Ал-4^2л (Л “ 2»
и
CA4“^AH”f2— ^Д4"й2’
Ал-2^2л-1 + Г2л-1) ^2л 4“Ад-2С2/г =
(5.П)
(5.12)
— Ал-2^2л-1+а2л-1)^2л 4~^2л-2а2д (П---2» 3, . . .). ,
. Системы (5.11) и (5.12), взятые совместно, содержат 2п
уравнений с 4я неизвестными сп и dn(n=\, 2, .. .). Поэтому
в общем случае из уравнений (5.11) й (5.12) нельзя выра-
зить сп и dn (п — 1, 2, ...) через av a2i .... 6/, b2, ...
18*
276	гл. V. ЦЕПНЫЕ ДРОВЙ	(5
или, обратно, ая, Ь„(п=1, 2, ...) через <?,. с2, .... d\,
d2, ... Но если />0=1. си = ая, d2a = t>2„, d2„^j =
(п=1, 2, ...; кл=#1), то тождество (5.10) примет вид
CL\
ап
1	41)^2	&2	£4^2
1	^1^2 "j- ^1^2 "f” 2#2	1 ““ ^2^3^4	2#з^4 *4* 2^4^2	'
______________________g2fl-1^2rt______________ Д2«^2п-2
♦ • •*“• ^2Д-2^2П-1^2Л + 2й2л-1^2Л + 2а2я^2Л-2
1
Пример 8.
; ...... , 1 1
_ 1	2	Г	1	1	1	1
— 1 _ 8 — 1 — 8	— 1 — 8 — 1 —	.
2JL	I	7	48	41	280	239
1 1	6	5	34	29	198	169...
Если выполняются равенства
*0—1, а,----—— ...
. . а2П + ! -а2П .
&2П
то равенство (5.10) принимает вид
1 I Ол а2	__
(5.13)
(5.14)
1	<Z] Л3 Л2
а2П+\ а2п
.(5.15)
5. Свойства правильных цепных дробей. Правильные
цепные дроби. Цепную дробь, у которой все частные
числители равны единице, а все частные знаменатели являются
натуральными числами, называют правильной, или арифме-
тической. Из равенства (5.3) следует, что все подходящие
дроби правильной цепной дроби несократимы.
Алгоритм Евклидаиразложение рациональ-
ных чисел в правильные цепные дроби. Пусть
даны два натуральных числа и и v, причем и > о. Разделив
и на vt имеем
а	. «г
=?о+V
5]	! J. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 277
где q0— частное, Ид— остаток отделения. Разделив v на и,,
имеем аналогично
-^-s=.q.~\——.
«1 71 ' «1
Продолжая, получим
«2 V2 «2
и т. д. Такой; процесс последовательных делений называется
алгоритмом Евклида. Так как и, uv и2> ...—монотонно
убывающая последовательность натуральных чисел, то такой
процесс конечен, т. е. существует такой индекс д, что
— qn (следовательно, ип Ф 0, ия+1 = 0). Отсюда ип
ип
является наибольшим общим делителем чисел и и о. Часто
его обозначают через (ut v).
Пример 9. Найти наибольший общий делитель чисел 816
и 323.	':
Вычисления обычно располагают так:
8161323
646 2
323|170
170 1
170|153>
153 | 17 1
0 9
(816, 323)= 17. Отсюда разложение в правильную цеп-
ную дробь имеет вид
816 _ 9 । 1 2 1
323 ~	1 + 14-9
1 1
1	1	2 19 •
Таким образом, алгоритм Евклида позволяет не только на-
ходить наибольший общий делитель двух натуральных чисел,
но и разлагать их отношение в правильную цепную дробь.
Решение в целых числах неопределенного
уравнения первой степени при помощи алго-
ритма Евклида. Уравнение ах-+^у==г, где а, Ьъс
278
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
[5
известны, а х и у неизвестны, называют неопределенным
уравнением первой степени. Такое уравнение имеет беско-
нечное множество решений. Но часто требуется найти лишь
целые числа, удовлетворяющие этому уравнению, т. е., как
говорят, требуется решить это уравнение в целых числах.
При этом рассматривают лишь такие уравнения, у которых а,
bt с — целые числа. Уравнение ах-±-Ьу~с имеет целочис-
ленные решения лишь в том случае, когда с делится на (а, Ь).
Поэтому мы всегда можем считать, что а и b взаимно просты.
Тогда общее решение в целых числах рассматриваемого урав-
нения имеет вид
^ = (-1)"^-!-^.
где t — произвольное целое число, Р'п_г и Q„_j — числитель
и знаменатель предпоследней подходящей дроби
НИИ
а___Рп
ь — Qn
в разложе-
в правильную цепную дробь.
Пример 10. 43х4~37у» = 21.
43 (37,
37|£_1
611 6
о 6
37	1 и- 6 + 6
1	7	43
1	6	37
т. е.
х = — 21 • 6-|-37/ = 37/ — 126,
у = 21 .7 —43/= 147 —43/,
х = 37/— 15, у = 18 — 43/,
цепной
Пусть мы
где снова /—любое целое число.
Подходящие дроби правильной
дроби как наилучшие приближения,
разложили любое действительное число А в правильную
р
цепную дробь. Обозначим через подходящую дробь л-го
V/1
порядка этой цепной дроби. Тогда имеет место неравенство
1л. Рп\' 1
I Qn n QnQn-n’.
<5]	|1. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 279
Эти подходящие дроби являются наилучшими приближе-
ниями к числу А в том смысле слова, что никакая рациональ-
ная дробь со знаменателем, не превышающим не может
Р
отличаться от А меньше, чем дробь .
Чп
Разложение действительных иррациональ-
ных чисел вбесконечные правильные цепные
дроби. Всякое действительное иррациональное число можно
однозначно представить в виде бесконечной правильной цепной
дроби. Обратно, всякая бесконечная правильная цепная дробь
(такая цепная дробь обязательно сходится, согласно при-
знаку сходимости Зейделя, см. § 2, п. 2) является разложе-
нием одного и только одного иррационального действитель-
ного числа.
Периодические правильные цепные дроби,
п	.,11
Правильная цепная дробь +	называется чисто
периодической, если последовательность ее частных знаме-
нателей #0, qv q2, ... представляет собой повторение одного
и того же периода из п чисел <у0, qv . . ., qn_y
Если же такое повторение начинается не с qQ, а с неко-
торого qk (/г^>1), то правильная цепная дробь называется
смешанной периодической.
Аналогично вводится понятие периодических цепных дро-
бей и для цепных дробей общего вида, но в теории чисел
рассматриваются, главным образом, правильные периодические
цепные дроби.
Разложение квадратичных иррационально-
стей в периодические цепные дроби. Всякая пе-
риодическая цепная дробь (не обязательно правильная) пред-
ставляет квадратичную иррациональность. В теории чисел
важную роль играет теорема Лагранжа, утверждающая, что
всякая квадратичная иррациональность разлагается в перио-
дическую правильную цепную дробь.
Например,
/5 +1_ , , 1	1 Г.
2	1 + 1 + 1 4-	’
/13 = 3 +
1 1 1 ± 1 1 JL ± 1
1	1 Ч~ 1	1 Н” 1	1	1 Ч”
‘280	.	ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	[6
г—	*
Заметим, что разложение У 13 в цепную дробь общего вида
1/1з = з+(ГГз-з)=з+г^=
-З-Д-* 111
-t- 34-3 + 3 + 3+ ...
получается проще и сходится быстрее. Поэтому разложение
квадратичных иррациональностей в правильные цепные дроби
имеет более теоретический, чем практический интерес.
6. Равноценные и соответствующие цепные дроби.
Определение равноценных и соответствую-
щих цепных дробей. При преобразовании степенного ряда
А) + “ЬА*2••• в цепную дробь могут встретиться
два случая: 1) подходящие дроби цепной дроби совпадают
с частными суммами исходного степенного ряда; 2) эти под-
ходящие дроби не совпадают с частными суммами исходного
степенного ряда. В первом случае цепная дробь называется
равноценной исходному ряду, а во втором случае — соот-
ветствующей исходному ряду. Разложение n-й подходящей
дроби соответствующей цепной дроби в степенной ряд сов-
падает с исходным степенным рядом до члена с хп включи-
тельно. Ясно, что равноценная цепная дробь является лишь
другой, формой записи степенного ряда и не дает новых при-
ближенных выражений для его суммы. Напротив, соответ-
ствующая цепная дробь имеет своими подходящими дробями
дробно-рациональные функции переменного, по степеням кото-
рого разложен исходный ряд, и поэтому дает бесконечное
множество новых приближенных выражений для его суммы.
При этом в отношении сходимости степенной или числовой
ряд и соответствующая ему цепная дробь могут вести себя
по-разному. Они могут или оба сходиться, или оба расходиться,
или же один из них может сходиться, а другой — расходиться.
Области сходимости степенного ряда и соответствующей
ему цепной дроби могут быть поэтому различными. Суще-
ствуют, например, степенные ряды с радиусом сходимости,
равным нулю, которые можно преобразовать в соответствую-
щие цепные дроби, сходящиеся в довольно широкой об-
ласти.
С помощью преобразования (5ЛЗ) равноценные цепные
дроби иногда нетрудно преобразовать в соответствующие.
8 L ЦЕПНЫЕ ДРОВИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 281
Так. как равноценную дробь гораздо легче построить, чем
соответствующую, то применение равноценных дробей для пре-
образования их в соответствующие представляет практический
интерес.
Построение равноценных дробей. Для этой
цели проще всего использовать тождество Эйлера
с*х с,е*Х	^п-гСпх
А п —1 _C1 + c^_C2 + CjA;_.	+спх-...-
п-О
.	.	. ;	:	. I	<516>
Этому тождеству можно также придать вид
'оо •	'
= CiX CoC*x С1СзХ
п . , .	1 — Cq 4- С[Х — Cj +c2X— с2-^с^х — ...
n »0 ’
.......................... '	.	(5.17)
-	c»-< +*nx — •••
ПримеpH.
..	X3 . X5 X7
arctgx = x----з~ + ~5“ —”7—!-••• =
_x xs 9x2	(2л—I)2 x2
1 4-3 — x2 + 5 —3x2 + _ + 2л4-1 — (2л — l)x2 + ... *
В частности, при х=1 имеем
* _ 1	12	З2	52	(2л —I)2
4—1+24-2 + 2 + 2 + ...+	2 . + ... ’
21	1	1з	’	76	Z??
1 1	3	15	105	985...
Последнее разложение впервые получил Брункер (1620—
1684 гг.)’ Это соотношение считается первым по времени
разложением трансцендентного числа в* цепную дробь.
Применяя к разложению arctgx в равноценную цепную
дробь преобразование (5.13), получим цепную дробь
.	5х3 —Зх5
arctgx=x-
1
х	15х 4- 4х3 -НЗх5
Г 15 4-9*»
15* — 5х»4-3*5
15
282	гл. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	[7
которая уже не является равноценной. В частности, при
х — 1 имеем
К_1	2	9	25	49	81	(4 л—I)2	(4л +1)2
24— 1 — 152 — 1 —408 — ...—	1	— 8 (8л2+8л+3) — .
1	22	13	1426	789
1	24	15	1680	945...
7. Построение соответствующих дробей. Метод Вис-
коватова. Члены звеньев соответствующей цепной дроби
можно выразить через коэффициенты членов исходного сте-
пенного ряда, но в полученные при этом соотношения входят
определители высоких порядков. Это в большинстве случаев
делает такие соотношения практически непригодными. Поэтому
на практике лучше применять метод последовательного полу-
чения членов звеньев соответствующей цепной дроби из чле-
нов степенного ряда. Такой метод был в принципе предложен
в начале XIX века русским ученым В. Висковатовым. Метод
Висковатова приводит к следующему тождеству:
f /д.\ _ а10 4~	1-У "Р <*12*2 + «13-У3 +	__«10	а20-У	«30*
«00 4“ а0\Х -f- «02-У2 '4“‘®03’У3 4“ * • • аоо 4~ «10 + «20 +
где
атп — am-l,0am-2, л + 1	am-2, 0am-l, я+Г
Вычисления коэффициентов атп удобно располагать по сле-
дующей схеме:
aoo	aoi	а02	•	•	•
аю	ап	а12	....
а20	a2i	a22	•	•	•
аЗЭ	а31	а32	•	*
Пример 12. Разложим в цепную дробь выражение
Т^5х4-6х» (* < з)* Имеем
1 —5 6
1 —1
—4	6	,
—2
— 12.
7]	11. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА 283
Следовательно,
1 — х	____ 1	4х	2х	12х	"
1—бх+бх2 — Т —	Т	—	‘=4	—	—2	—
___ 1	4х	х	Зх
— Т—	1	+	2*	—	1
О 1	1	2 + х 2 — 2х
1 1	1— 4х	2 — 7х	2 — 10*+12x2
Если при вычислении коэффициентов атЛ окажется, что
а*о = О, то (&4~2)-я строка схемы получится путем сдвига
строки на одно место влево; (Аг—]—3)-я строка
получается комбинацией (&4“2)-й и &-й по общему правилу,
(&4”4)-я строка — комбинацией (Аг —3)-й и (&-}-2)-й и т. д.
Разложение в этом случае имеет вид
£ /	_ «10	«20^	«30*
«00 + «10 + «20	+ •••
0* afe, I*2 gfe+1, gfr4-2, Iх
... + «£-2,0 +«Л-1,о+ ak, 1 + аЛ + 1, 1 +•••
Пример 13. Разложим в цепную дробь выражение
1— Зх3 /	У17 —1\ тл
Vх < —&—) • Имеем
1	0—10—4
1	0	0	—3
0—1	3—4
.• . ....	;	— 1 •	3	—4
—3	4	3
—5	15
25 -15	:
300
—300 • 15.
284	ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	[8
1—Зх4 _ 1 X*	Зх	5х 25х	ЗООх	)5х _
1 —х4 —4хч “1—1-----------1--3	+ -5 +	25 — 1 —
___1_ х2	Зх	5х
““1—14-	1	—	3	4-
0 1	1	14-Зх	34- 4х
1 1	1— X* 14.3л —л2	34-4Х —зЛ2
5л	12л	Зл
4- I —	5	' — Iе
3 + 9л 4- 15л2	154-9л4-27л*	15 —45л3
3 4-9л 4-12л2 15 4-9л 4-12л2 4-36л3 — 60л*	15—15л2 — 60л4 *
8. Метод Аппеля. Аппель в 1913 г. предложил следую-
щий метод, позволяющий разложить любое положительное
число в цепную дробь.
Пусть N — любое положительное число. Пусть а есть
квадратный корень из N, вычисленный с недостатком с Точ-
ностью до 1. Тогда N = а2-|-/?, где 0 < R < 2а 4-1. Будем
считать а = 0, если Af < 1. Положим 7? ==	, где > 1.
Пусть ах — квадратный корень из Np вычисленный с недо-
статком с точностью до 1. Тогда W) = а?4-/?ь где 0< /?3<
<2ai4-l. Положим = и неограниченно продол-
жим этот процесс. Вообще говоря, при этом /V разлагается
в бесконечную цепную дробь.
Если Np — Nt то Л/ разлагается в чистую периодическую
цепную дробь. Если Np = Nm (1 < /п < р), то W разлагается
в смешанную периодическую цепную дробь.
Пример 14.
5==22-}-1 =224-у»	5==22 + ^+5.+
Пример 15.
2=i’+4- з=1!+4. т=1!+|.
2
6 = 22-}-|-, |=Р+|.	...
У
9_12_1_3_	3	3	5	3	3
“Г" I4 4- I4 4- 24 4- I4 4-/1» 4-14 4- ...*
увторой период
1JI 2. ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 285
Пример 16.
1+/13	0,3	3	3
2	“ 1 т" 1» + 1* 4- 1* + ...*
Аппель указал и более общее соотношение
л, . 0 + 1)д-*я	(*1 + 1)”
al	+	а2	+ ...
Здесь а,, а2, ... — натуральные числа, а а может равняться
и нулю. При этом можно брать корень n-й степени из числа
с недостатком или с избытком с точностью до 1, или даже
различным образом чередовать в получаемом разложении
приближения корня с недостатком и с избытком;
§ 2. Основные признаки сходимости цепных дробей
1. Сходимость цепных дробей. Выше было указано, что
р
цепную дробь, у которой lim существует и конечен,
Я->ОО ЧП
называют сходящейся. Значение цепной дроби в этом случае
принимается равным этому пределу. Но из сходимости цеп-
р
ной дроби еще не следует, что lim —- равен той величине,
ЧП
которую разложили в цепную дробь.
Существенно и несущественно расходя-
р
щиеся цепные дроби. Если lim -— = 4”°° или
л->оо чп
2-
lim	= — оо, то цепную дробь называют несущественно
р
расходящейся. Если же lim не существует, то цепную
я->оо чп
дробь называют существенно расходящейся. Понятия суще-
ственной и несущественной расходимости введены Перроном.
Безусловно и условно сходящиеся цепные
дроби. Известно, что сходимость рядов и бесконечных
произведений не зависит от отбрасывания конечного множе-
ства их первых членов. Но у цепных дробей отбрасывание
конечного множества звеньев (исключая нулевое звено) может
286
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	П
превратить сходящуюся дробь в несущественно расходящуюся.
Поэтому Прингсгейм ввел следующее понятие: цепную дробь
[а *1°°
называют безусловно сходящейся, если для всех
«Ч Ji
[а
у-J сходится. Если же хотя бы для одного
•
называется условно сходящейся. Отсюда вытекает, что для
цепных дробей, вообще говоря, нельзя давать признаки схо-
димости в предельной форме, как это делается для рядов.
Условие сходимости, связывающее, например, ап и должно
выполняться для всех натуральных п. Следует подчеркнуть,
что отбрасывание конечного множества звеньев может пре-
вратить сходящуюся цепную дробь только в сходящуюся
или в несущественно расходящуюся.
Необходимый признак сходимости цепной
Г 1
дроби — (теорема Коха). Сходимость ряда
L a-у Ji
оо
2 |аЛ| достаточна для конечности пределов lim Р2п = Р\
Л = 1	л-х»
lim P2n+l = P', lim Qin = ,im 0^+1 = Q' и Для вы-
л ~>оо	л—>со	Л->00
полнения соотношения P'Q — PQ' = 1. Отсюда следует, что
оо
расходимость ряда 2 la« | необходима для сходимости дроби
л=1
F—Г
L «V1
Равномерная сходимость цепной дроби.
Если члены звеньев цепной дроби являются функциями конеч-
ного или бесконечного множества переменных, то эту дробь
называют равномерно сходящейся на множестве Е изменения
р
этих переменных, когда ее подходящие дроби ъ Е равно-
Чп
мерно стремятся к пределу, т. е. когда можно для любого
s > 0 найти такое число N, что для на всем мно-
жестве Е число Qn #= 0 и имеет место неравенство ,
I-&-- lim A|<g ' (5.18)
J Чп X-х» SA |
1] § 2. ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 287
Из такого определения следует, что при этом ряд
(см. (3])
PN , V (Р*	Р>-'\РК ! V f 1чХ-1 «Л ••• «X
(5.19)
Е7 1 •	Pfl
равномерно сходится в Е к lim так как — является
’	л->оо V»	ЧГЛ
р
его частной суммой, a lim есть его сумма. Обратно из
Д-^ОО М/1
равномерной сходимости этого ряда следует условие (5.18),
т. е. равномерная сходимость цепной дроби. Из этого опре-
деления вытекает также, что значения цепной дроби и ряда
(5.19) совпадают между собой для любого х£Е, т. е. что
цепная дробь и ряд (5.19) тождественно равны друг другу
на множестве Е.
Условие сходимости цепной дроби к той
функции, которая разложена в эту цепную
дробь. Равномерная сходимость цепной дроби
Т+^ТЧ- ...+£Т'+ ... (^^0;	2, ...) (5.20)
на множестве Е достаточна для того, чтобы эта дробь схо-
дилась на множестве Е к той функции /С(х), которая раз-
ложена в эту цепную дробь.
Из этой теоремы следует, что если дробь (5.20) равно-
мерно сходится при | х | < р, то она сходится при | х | < р
к регулярной однозначной аналитической функции, которая
разложена в эту цепную дробь и которая разлагается в схо-
дящийся при | х | < р к той же функции степенной ряд, со-
ответствующий дроби (5.20). Таким образом, получено усло-
вие, при котором соответствующие друг другу цепная дробь
и степенной ряд сходятся к одной и той же функции. Заме-
тим, что область | х | < р можно заменить любой областью Г,
содержащей внутри себя нулевую точку.
Если же нулевая точка является граничной точкой мно-
жества Е, то р = 0, т. е. степенной ряд, соответствующий
дроби (5.20), расходится всюду, кроме, нулевой точки. Но
дробь (5.20), равномерно сходящаяся на множестве £*, тем
не л«енее сходится на ?том множестве к функции, которую
-:288
• ГЛ, V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
(2
мы разложили в эту ценную дробь. Эта функция в данном
случае разлагается в окрестности нулевой точки в расходя-
щийся степенной ряд, т. е. не является аналитической. Тем
самым подходящие дроби цепной дроби (5.20) являются при-
ближенными выражениями неаналитической функции, что до
известной степени разрешает проблему приближенного вычи-
сления неаналитических функций.
Условие тождественного равенства двух
равномерно сходящихся цепных дробей. Если
значения двух цепных дробей, равномерно сходящихся внутри
области Т, которая содержит нулевую точку, совпадают
между собой в области S, которая целиком содержится
внутри Т, то эти дроби тождественно ’равны между собой
внутри области Т.
Г С х 3^
Равномерная сходимость дроби 4-	. Равно-
*- 1 -Wi
г с х 1°°	4
мерная сходимость дроби	внутри области Т, содер-
l * Лп+1
жащей нулевую точку, достаточна для рарномерной сходи-
Г Ci с
мости внутри Т дроби К (х)	-у-; -4~ > за возможным
L 1	1 J2
исключением конечного числа точек х' несущественной рас-
Г с 1 'С гХ
ходимости. Дробь	сходится при этом внутри Т
к однозначной аналитической функции К (х), регулярной
внутри Т, кроме точек х', являющихся полюсами этой функции.
2. Необходимый и достаточный признак сходимости
цепной дроби с положительными членами звеньев (при-
знак Зейделя). Как было показано, расходимость ряда
V?	Г 1 3°°
У I ап | необходима для сходимости дроби — . Зейдель
L ап Ji
л=1
и независимо от него Штерн доказали, что если все члены
звеньев этой дроби положительны, то расходимость ряда
оо
2 необходима и достаточна для ее сходимости.
л = 1
Пример 17. Цепная дробь
11 2 .
•	2 + 2 + 2 4- ...........
' 3] § 2. ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 289
сходится в силу признака Зейделя, так как ряд 2 4~2 + • ••
расходится.
Заметим, что сходимость цепной дроби с положительными
членами звеньев зависит от расходимости некоторого ряда,
т. е. от поведения всей совокупности членов звеньев, а не
от каждого из них. Поэтому сходящаяся цепная дробь с поло-
жительными членами звеньев сходится безусловно.
При переходе от цепной дроби вида (5.6) к цепной дроби
общего вида (5.1) получается следующая формулировка приз-
нака Зейделя, предложенная Штерном.
Расходимость по крайней мере одного из рядов
оо
• • • ^2п— 1 А
#2^4 • • • fyln ЪП'
/1 = 1
... „А (5.21)
«1«3 ... Д2Л+1	2" + 1
/1 = 1
необходима и достаточна для сходимости цепной дроби (5.1),
все члены звеньев которой положительны.
3. Достаточные признаки сходимости цепных дробей
с положительными членами звеньев. Установить расходи-
мость одного из рядов (5.21) на практике довольно трудно.
Поэтому нередко удобнее пользоваться различными доста-
точными признаками сходимости цепных дробей с положи-
тельными членами звеньев. Ниже приведены некоторые из
таких признаков.
1°. Расходимость
мости дроби (5.1)
(Штольц).
ряда 2-^
п = 2
достаточна для сходи-
с положительными членами звеньев
/1 = 2
достаточна
2°. Расходимость ряда
димости дроби (5.1) с положительными членами
(Заальшюц и Прингсгейм).
для схо-
звеньев
3°. Расходимость ряда
19 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
2ЭД <n i ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
достаточна для сходимости дроби (5.1) с положительными
членами звеньев (Арндт).
Заметим» что если
i 1Z 4_ А I	£1	ап
Д “	*1 + *2 + ...
ТО
__ IS_ __ U I а\ - а2	ап
0 — 4— ь2 + ... + — ьп + •.. *
Поэтому все признаки сходимости цепных дробей с положи-
тельными членами звеньев легко распространить на цепные
дроби, у которых все частные числители положительны, а все
частные знаменатели отрицательны.
4. Первая серия достаточных признаков сходимости.
Пусть числа гр г2, ••• удовлетворяют следующим условиям
(Скотт и Уолл):
О nJ 1-Н2| >| С2|>
2) П I 1 + с2 + сз I I сз |>
3) Gil1 4*С«Ч-С:л+11^-глГЯ-2]СлИ-1<:п+1 I (я>.3),
4)гл>0	(»>3).
(5.22)
Под с2, с3, ... понимаются частные числители дроби
к=4 + т + т+...+т+...-	<5-23’
Если числа гр г2, .... удовлетворяют условиям (5.22) и
св
ряд 2J Г^.Г2 ... гп сходится, то дробь (5.23) сходится,
/1=1 I
причем выполняется неравенство
оо
|К|<1+ Snn ..<Гл-	<5-24)
/1 = 1
Если числа гр г2, ... удовлетворяют условиям (5.22) и
по крайней мере один из сп равен нулю, то дробь (5.23)
сходится.
Если cv с2, . ..—функции некоторых переменных, то
сформулированный выше признак сходимости примет следую-
4] § 2. ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ
щий вид. Ёслй числа гр г2, • * • удовлетворяют условиям (5.22)
и ряд 2 г\г2 • •' гп сходится на множестве Е, то дробь (5.23)
и= 1
равномерно сходится на множестве Е, причем выполняется
неравенство (5.24).
В частности, множество Е можно выбрать на основании
следующей теоремы Скотта и Уолла:
Совокупность условий
л>‘-''•!<££ ..<’=2-3-"Л <*•“>
где р2 — члены некоторой числовой последовательности,
достаточна для равномерной сходимости дроби (5.23) и для
выполнения неравенства
Л1
Pt
Pl — l
________________1__________.  ~
1+ 2(а- 1)(А-1)... (^-1) '
/2 = 1	-
(5.26)
1
Неравенство (5.26) переходит в равенство, если, сп = ~-~-
(д — 2, 3, ...).
Если рх — 1, то теорема Скотта и Уолла примет следую-
щий вид. Пусть выполняются условия:
1)Л = 1.
2)	(я = 2, 3, ...),
7 1 л1 Pn-tPn
СО
3) ряд 2 (л — 1) (Рз — 0' • • • (Рп+1 — 1) сходится.
/1=1
Совокупность этик условий достаточна для равномерной
сходимости дроби (5.23) и для выполнения неравенства
IKI < 1 + 2 (Рг~ 1)(Рз- 1) • • • (Ря+1 - 1).
/2 = 1
Это неравенство переходит в равенство, если сп = ' Рп
(л = 2, 3, ...).'
Од | j
В частности, если рп —....  7\- * то на основании соотно-
ся	п4- k
йёйий (5.25) и (5.26) имеем следующую теорему. ;
19*
292	ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБЙ	{4
Условие
КI <	(« - 2. 3. ...)	(5.27)
достаточно для равномерной сходимости дроби (5.20), причём
при k Ф 2 имеет место оценка

(5.28)
Исследование ряда, стоящего в знаменателе правой
части последнего неравенства, показывает, что этот ряд схо*
дится при k > 1 и расходится при k 1. Кроме того,
из неравенства (5.27) следует, что — 1 < k < 3. Поэтому
оценка (5.28) при —1 <	1 имеет вид

(5.29)
и лишь при 1 < k < 3 сохраняет вид (5.28).
Признак Ворпицкого. При k — имеем рп~2.
В этом случае условие (5.27) примет вид
' (« = 2. 3. ...),	(5.30)
причем согласно оценке (5.29) [ К |	2. Однако эту оценку
можно заменить более точной
2
3
(5.31)
Теорема Ван Флека. Условие
(л = 2, 3. ...)	(5.32)
л « Г 1 V Г
достаточно для того, чтобы дробь К = у • ~i ]
сходилась
в круге | z | < J— к регулярной
аналитической нерациональ*
ной функции, которая также равна ряду, соответствующему
»	I гл 4 I / 2
этой дроби, причем /С—з1^'3‘
Доказательство этой теоремы вытекает из признака Вор*
пицкого.	.
* 5] § 2. ОСНОВНЫЕ ПРИЗНАКИ...СХОДИМОСТИ. ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ 293
5. Признаки сходимости предельно-периодических
> Га 3°°
цепных дробей. Цепную дробь у- . . У которой av=/=0,
.	UR* A называют, предельно-периодической.
V-fccr"	•’ ?->о6’-’	•
Такие дроби имеют большое прикладное значение, так как
они связдны с разложениями многих распространенных функ-
ций Ь цепные дроби.
Призраки сходимости предельно-периодических цепных
дробей вытекают из следующей теоремы:
Условие lim sup {| j} g достаточно для того, чтобы
i t	’
дробь -•	• Л
<т; .л V
(5.33)
сходилась в круге
1	/	к
< 4^ (исключая могущие там быть
полюсы) к регулярной аналитической нерациональной функ-
ции, причем полюсы последней являются точками несуществен-
ной расходимости дро.би (5.33). В окрестности нулевой точки эта
функция равна ряду, соответствующему цепной дроби (5.33).
S Выбрав в этой тёбрёме в качестве g любое сколь угодно
малое положительное число, приходим к следующей теореме.
Условие lim — 0 достаточно для того, чтобы дробь (5.33)
V ->оо
равномерно сводилась в любой конечной’области плоскости
комплексного переменного zt за йсключёйием конечного мно-
жества точек несущественной; расходимости, к аналитической
функции, которая регулярна’: в окрестности нулевой точки,
а в остальной части области регулярна, за исключением ука-
занных точек несущественной расходимости дроби (5.33),
'которые являются полюсами функции. Точка z= оо является
существенно, рсобой (точкой этой функции.
: Для обобщения этой теоремы, предположим, что lim =
== с 0, Тем^самьде придем следующей теореме.
Условие lim с¥ = с =£ 0 достаточно для равномерной схо-
: "" г:-I	:vd^x> '	J-i’:	1	,
димости дроби (5.33), за Исключением конечного множества
точек несущественной расходимости в'любой области TazT,
где Т есть плоскость комплексного переменного z с разрезом
294
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
(I
по действительной оси от точки (—— , 0^ до бесконечно
удаленной точкй, не проходящим через нулевую точку.
Если же этот разрез начинается от нулевой точки, то имеет
также место следующий признак Стилтьеса. Пусть выпол-
няются условия:
1)	ар а2, ... действительны и неотрицательны, г 4 .
2)	ар а3, ..., а2л+р ... не все равны нулю,
• 00	'	'	'
3)	ряд 5®* расходятся.
Совокупность этих условий достаточна для равномерной
г z -|°°	'
сходимости дроби — I в любой конечной области, лежа-
щей внутри плоскости комплексного переменного z> разрезан-
ной по отрицательной части действительной оси.
§ 3.	Разложение некоторых функций
в цепные дроби
1.	Метод Лагранжа. Лагранж предложил следующий
способ решения дифференциальных уравнений с помощью
цепных дробей. Пусть дано дифференциальное уравнение,
связывающее у с х. Пусть у^£0, когда | х |а^0. Положим
тогда у = -з-~— и подставим это соотношение в исходное
1 “г У1
уравнение. Получим дифференциальное уравнение, связываю-
щее yj с х. Пусть yj при | х | » 0. Положим yj =
и повторим тот же процесс. В итоге мы придем к решению
1 г$ -|°°
исходного уравнения в виде цепной дроби	удобнее
искать в виде алхЧ где ул^0.
Таким приемом можно решить многие дифференциальные
уравнения. Но при этом обычно бывает трудно найти зави-
симость Вл от индекса п, т. е. найти общее звено цепной
дроби.
2< Основное дифференциальное уравнение. Применим
метод Лагранжа к уравнению
(а4-«'х)жу.4гф4-₽'х)у+	=	у(0) = 0.	(5.34)
3J § 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ ^5
п
Положив у —---г-5-i-
« + ? 4- У1
приведем это уравнение к виду
(а 4- а'х) ху' + [а	р — (а' + р') х] у, +- у* =
^[(a-hpH-a'+P'l.+ l&l*-
Повторяя этот процесс, получим цепную дробь
__ U [(а^р)(^ + Н + г]л:	+
я 4 р 4~	2<% 4~	4- Зя 4- р 4” • * •
f(rta + р) (да' 4- £') 4- X (Л2аа'“~па3,+Ла,3 4“ 7*) х
~ 2пТ+ 3	4- ’	(2n + l)a4-fi ~ + • • • *
Отсюда нетрудно заметить, что дифференциальное урав-
нение
(a-]-a'xk) ху' 4-(? + ₽'**)у+7У2=^-*Л	у(в) = 0 (5.35)
имеет решение
_ Zxk [(ka 4- ?) № 4- И + 70] х*
2Ла4-р	4~
(k2aa' — k<$' 4- ka'ft 4~ 7^) Xk
4“	,3£a4“^	4“ ♦ • •
[(«*« + ?) 0K +и+
... 4*	2nka + Э	4-
(n2k2wx' — ttktfb' 4“	4“ 7*) *k	/к оя\
4-'	(2п 4-1) 4- з ’ + ... * б }
Почти все дифференциальные уравнения, рёшения которых
были разложены в цепные дроби Лагранжем, Эйлером и дру-
гими математиками, являются частными случаями уравне-
ния (5.35). Естественно поэтому назвать уравнение (5.35)
основным дифференциальтм уравнением.
3« Разложение степенной функции в цепную дробь.
Положим у ==(1 +х/» r^e V—любое действительное число.
Тогда (j^x)y' = vy, у(0)==1. Положив
приведем дифференциальное уравнение к виду
(1 4-х)хг'-Н1 —(1— v).x12-4-z2==(1 — v)x, z (0) = 0.
Это частный случай, уравнения (5.35), в котором положено
k = a — а' = = 7 = 1, pz — •— (1 — v), 8=1 — v.
2Й6	ГЛ-1 V. ЦЕПНЬ1Ё ДРОБИ '	(3
Отсюдй и из разложения (5.36) имеем
Н-|-хГ=1+- —	О +
(2 —v)x	(n — v)x (л-Н)х	Ч7.
+	2 '+...+	2	+ 2«+1 + ..•’ 1 °
Это разложение было получено Лагранжем. В силу выше-
указанных признаков сходимости оно сходитсяна плоскости
комплексного переменного х, разрезанной по действительной
оси от х = — оо до х — — 1.
Степенной ряд, в которШ разлагается функция у=(1-|-х)\
сходится в открытом круге радиуса 1 с центром в нулевой
точке. Таким образом, разложение функции у — (1—|—jc)v
в цепную дробь сходится в гораздо более широкой области,
чем разложение той же функции в степенной ряд.
Пример 18. Положив х=1, v = i, имеем
2	4	5
±	10	106
3	8	84 • • ’
Зл—1	3^4-1
2 + 3(2л4-1) + ... *
1
(1 —^2) х*
Сжав разложение (5.37) по формуле (5.9), получим
(1 +*) = 1 +24.(1 —v)x — ~3(2 + x) —
(4— -2)х2	(п1 —
_ 5(2 + х) ~ ... - (2л+1)(2 + х) - ... •
Это разложение сходится в той же области, что и разложе-
ние (5.37).
Для разложения квадратичных иррациональностей в цеп-
ные дроби существует следующий элементарный способ. —
Пусть Ух ж а. Тогда Ух = а + (1^х—а) — а +	.
л 4~ у X'
Следовательно,
। х— а* х—а2
у х — d 4- —х— . —х— .	.
' г<2л ,г|г 2#; - 4“ •	{
Это разложение сходится на. плоскости комплексного пере-
менного х, кроме отрицательной части действительной оси.
 .5)	$ 3. РАЗЛОЖЕНИЕ,,ФУНКЦИИ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 297
4. Разложение логарифмической функции в цепную
дробь. Разложению (5.37) можно придать вид
(1Н-лУ —1	х (1 —^)х	(14-4-*	(2 — ^х
V	1 +_	2	+	3	+	2	+
(2 + >) *	(п — у) х (п-ЬУ)х
+	5	+ • • • +	2	4- 2п 4-1 4~ ...
(1~ I лгУ_1
Полагая v — 0; получим, так как lim ----X • /. — = in (1Ц-х),
b:»	. ,	v ->4-00
I /1 ।	\___x x x 2x 2x	nx nx
—	3 +-j“ + -5' + _ +"2’ + 2^Vf+... ‘
‘	(5.38)
Это разложение и способ его получения из разложения (5.37)
были найдены Лагранжём/ Разложение (5.38) сходится на
плоскости кЬМплёксйого переменного х, разрезанной по дей-
ствительной оси от х = — оо до. х == — 1...
Пример 19. Положив х=1, имеем
. 9__ 111	п п
2 3 2п + 1 + •
£11 1
11	3	10...
5/ Разложение показательной функции в цепную
дробь. При замене хнаразложение (5.37) примет вид
’ ! ' .24-v ’ * ’	• :: П — 'v.-; • П 4-
------X	-------X -----------!--X .
V	V	V
-1	'«  5i : ‘ -р- \ ; *1^! t!? 2	;• 4- 2п .-f- 1 ~Г . . .
Устремив v к оо, получим в пределе
vX-'V I	. 4 х''~	'	' г	х
е- — 1 "т Т— 2 4- 3 — 2 4-5 — ... — 2 4-2п4-1—
...	.	(5.39)
Это разложение сходится йа всей плоскости комплексного
переменного х. Оно и способ его получения из разложения
(5.37) были найдены Ла^райЖеМ. Сжав цепную дробь (5.39)
298	ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	(6
по формуле (5.9), придем к разложению, полученному Эйлером:
х . . 2х х2 х2	х2
е —1~т~ 2 — X + 6 + 10 + ... + 2(2л4-1) 4- ... • .
Это разложение также сходится на всей плоскости ком-
плексного переменного х.
6.	Разложение функции у — arctg х в цепную дробь.
Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид
5’(0) = (|-
Положив у =
X
Т+7
, приведем это уравнение к виду
• (1 + х2)х^ + (1 — x^z^z^ — x2.
Это частный случай уравнения (5.35), в котором положено
а == а'— = 7 = 8 === 1, ₽' = — 1, k = 2.
Поэтому из разложения (5.36) имеем
,	ххх2 4х2	9л2	п2х2
arctg х —	+ Т + ~~5~ 4- ~1~ 4-...4- 2«4-1 4-...‘
(5.40)
Это разложение было найдено Ламбертом (1728—1777 гг.).
Оно сходится на всей плоскости комплексного переменного х,
за исключением двух разрезов по мнимой оси от —сю I до
— I и от I до 4~ooZ. Таким образом, это разложение схо*
дится в гораздо более широкой области, чем степенной ряд,
в который разлагается функция у = arctg х (этот ряд схо-
дится внутри круга единичного радиуса с центром в нулевой
точке).
Члены звеньев цепной дроби (5.40) удовлетворяют усло-
виям (5.14). Отсюда на основании равенства (5.15) можно
получить еще одна разложение для arctg х
4	х3 9х2	4х2	. (2/г+1)2х2
arctg х — х	з	4- 5	4- 7	4- ... 4- 4я + 1!	+
J ''	(2п)»х*
4л 3	•

• 7J § 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 299
х
7.	Разложение функцииу = / - di . в цепную дробь,
о ’+'
Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид
у' = ——Г. у(0) = 0.
14-х* л 4 '
Положив .....	,	,
приведем это уравнение к виду
: (1	-- Xk)Z-}-Z2 = Xk.
Это частный случай уравнения (5.35), в котором положено
а = а/ = р = т = 8=1, Р' = —lt k является любым числом.
Поэтому из разложения (36) имеем
/* dt _____ х xk	k2xk (£-f-l)2x*
J T+Tk	1	+ M=T +	2*4-1	+ 3Z? + 1	+ ...
о 1
nW** (nk + Wx*	-
... 4- 2/iA-f-l + (2Я-+-1) £4-1 4- ...’
Это разложение было получено Лагранжем. Оно сходится
на плоскости комплексного переменного xk, разрезанной по
действительной оси от —оо до —4. При k=l разложение
(5.41) переходит в * разложение для In (14-х), при k = 2 —
в разложение для arcigx.
о	Г dt .
Заменив в интеграле у
и положив &(р 4~ 1) = (7» получим
ложение'
величину х через х^+1
из равенства (5.41) раз-
tPdt _ ХР^ (р+1)2Х* q2xQ
1+^ ~ />+1 + <? + !+/> + 2^ + 1+р + ...
fpq2xq (nq + 1 + pYxq
_ + 2/^+14-J>+ (2n^l)q + l+p 4-...’
300
ч гл. V.: ЦЕПНЫЕ ДРОБИ, ; .
га
Например,
X
Г	t*dt	_	1	9	16	49	16/Р	(4rt + 3)*
J	1 + /4	3 + 7	+ 11	+ 15 + ...+8/1 + З+ 8n + 7 +...’
о.. .
2J_	2	эз	1738
1	3	30	378	7140	...
Пользуясь условиями (5.14) и равенством (5.15), можем при-
дать разложению (5.42) следующий вид
/ tPdt — хР+'	(g+l+p)a xq
J 1 + /^ P + 1	<7 + I + P + ty +1 + P +
g2xq	(ng +1 + p)2xq n2g2xq________
+ 3g + 1 +p + ... + 2/^-t-l+p + (2д+1)^ + 1+/? + .. /
Например,
i
/	t*dt	_ 1	1	49	16
J А	: 1+*4	3	.7.+	11 + 15 + .
V		1	4	93	1459
		3	21	378	6006
(4/:+ 3)2	16п2
... + 8/i+ 3 + 8n + 7 + ... *
8.	Разложение для tgx и th л: в цепную дробь. Диф-
ференциальное уравнение для y = tgx имеет вид
/=1+у2. у(0)=0.
Положив у
X
1+*
приведем это уравнение к виду
xzf +- z +- z2 = — х2.
Это — частный случай уравнения (5.35), в котором положено
а'= Р' = 0, a = p = Y==l, 6 — —1, k — 2. Поэтому из
разложения (5.36) имеем
у у2 у2	у2
= +43>
Это разложение было найдено Ламбертом. Оно сходится на
всей плоскости комплексного переменного х, за исключением
тех точек, в которых tgx обращается в оо.
9]	8 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 301
Заменив в разложении (5.43) х через у- и умножив по-
лученное равенство на Z, будехМ иметь
х х2 х2	х2	z-
th х — 1 + 3	5 +	+ 2л + 1 + ...'	<5,44)
9.	Разложение функции Прима в цепную дробь.
Функцией. Прима называется интеграл
J*	(а > 0, х > 0).
Введем функцию
ОО
у = х1““ех J* t^e^dt.
X
Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
ху' — (1 — л + х) у — — х.
Положив х — , У = тп~ • придадим этому уравнению
t	1 и
вид
— —a)/]tt4-a2=(i —tt(o) = o.
Это — частный случай уравнения (5.35), в котором положено
а = 0, й==а' = р = 7=1, р' = — (1—а), 3=1—л. По-
этому из разложения (5.36) имеем
_(1— a)t t (2 — a)t	nt (n + l — a)t
°— 1 +1 + 1 + ...+ 1 + 1 +...•
Переходя к первоначальным обозначениям, получим
оо
J at — х + 1 + х + 1 + ...
. ...+т+-2±г=1£+...- <5-45>
302	гл. v: цепные1 дгоёи ' 7 ’ ; i! fio
Сжимая это разложение на основании формулы, (5;9^, будем
иметь
= -------------.
J	л + 1 — а — х 4- 3 —а — x-j-5 — а — ...
х
л й)------	• (5.46)
... — х + 2п 4~ 1 — а — ...	'	7
х
Интеграл j* ~f~dt называют интегральной показательной
— оо
функцией и обозначают через Ei (х) (см. (6.393)). Из разло-
жения (5.45) получим при а = 0 и х «< 0
Е1» = е'(т-Кт- _ _Т-7- ...У <5Л7>
Функцию
X
о
называют интегральным логарифмом и обозначают через
li(x) (см. (&.394)). Из разложения (5.47) получим
.. z ч х 1	1	п п
И (х) ----- -г- “j---	' V *7  *
v 7	1пх — 1 — Inx — ... — 1 — Inx — ...
10.	Разложение неполной гамма-функции в цепную
дробь• Для получения разложения неполной гамма-функ-
ции, т. е. интеграла
fto-'e-tdl (а>0),
о
введем функцию
х
у = х~аех J 1а~хе~1 dt (х > 0),
о
удовлетворяющую дифференциальному уравнению
н- (а —X), у — 1 = 0, : у (0) = .
Ц] S3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 303
Положив1 в этом уравнении у — —-ц—; получим
I - J 1
ху'4- (а Ч- х) У! + у2 = — ах.
Это — частный случай уравнения (5.35), в котором положено
^ = a = pz = 7=l, a' —0, p = a, 8 = — а. Поэтому из
разложения (5.36) имеем
X
Г	ах х (1+а)х
J * е dt = -^-т+т+-2+т--зтт-+
2х	пх (а-{-п)х
,	,	+ 4 + лГ — ... + 2п + а — 2п + 1 + а + ... * ;
И. Формула Тиле. Ряду Тейлора
/(х4-Л) = /(х)+А /' (х) +	/" (х) + ...
... 4-^/n)U)4- ...‘.
в теории цепных дробей соответствует формула Тиле
f.(x + Л) = / (х) +	2r г if (X) + 3гг2/(х) 4- ...
_____h
... + nrrn_xf(x) + ..."
Здесь rnf(x) называется обратной производной n-го по-
рядка от функции / (х). Обратные производные определяются
соотношениями
rf (х) =	, г2/ (х) = f (х) + 2rrtf (х),
и вообще при п^2
rnf О) = rn-2f<x) + nrrn-lf (*)•
Например,
гех = е~х, г2ех = — е\ .... г2пех = (—1)пех,
Г2п^Х = (-!)"(« 4- 1)еЖ.
Отсюда
(2/г +1) гг2ле* = (— 1)" (2п 4-1) ё~х,
(2п Н- 2) rr2h+lex = 2 (-l)n+1 ех.
304
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
(12
При помощи этих соотношений, заменив в формуле
Тиле х через 0 и h через х, вновь получим разложение (5.39).
Таким образом, формула Тиле также является источни-
ком получения разложений различных функций в соответст-
вующие цепные дроби.
12. Дробно-рациональные приближения для sinx и
shx. Общий вид разложения в цепную дробь sinx неиз-
вестен. По методу Висковатова можно найти лишь конечное
множество звеньев такого разложения. Например,
.	_ х_ х*	7х2	Их2
sinx— J +	6	_	10	+	98	_
х 6х 60х— 7х3	5880х— б20х3
1	“6“+ х2 60 + Зх2 5880 + 360х2 + 11х4
551х2
— 198 + ...
и
х3	Зх2	11х2
sm х — х в +	10	—	42	4-
х 6х —х3 60х —7х3	2520х —360х3 + Их5
1	6	604-Зх2	2520 + бОх2
25х2
+ 66 — ...
Из приближения
. t 60х— 7х3
sin х ~ ч 2	(5.48)
следует, что sin0,7071, если положить у ^0,7854.
Таким образом, в силу периодичности функции у = sinx
и соотношений sin — хj = cos х и cos х = У1 — sin2 х
приближение (5.48) позволяет при помощи арифмометра вы-
числить четырехзначную таблицу этой функции. Пользуясь
подходящими дробями более высоких порядков, можно та-
ким же образом получить при помощи арифмометра таблицы
функции у = sinx с любым количеством верных десятичных
знаков.
13] S з. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 305
Так как shx =— ZsinZx, то из полученных разложений
для sinx имеем следующие разложения для shx:
, х sh х = -у __	X2	7х2	Их2	
	6 +	10	—	98	
X	6х	60х + 7х3	5880х + 620х3	
1	6 —X2	60 —Зх2	5880 — 360х2 + Их4 ’•	•
551х2
+ 198 — ...
и		
sh х — х 4-	X3	Зх2
	~6"	—	10	+
X	6х + X3	60х + 7х3
1	6	60 —Зх2
11х2
42
2520х + 360х2 + Их5
2520 — 60х2
25х2
— 66 + ...
13. Дробно-рациональные приближения для cosx и
chx. Общий вид разложения в цепную дробь cosx неиз-
вестен. По методу Висковатова можно найти лишь конечное
множество звеньев такого разложения. Например,
1	X2	5х2	Зх2	313х2
COSX “ Уу	2	-	6	+	50	- 126 + ...
1	2	12 — 5х2	600 — 244х2	
1	2 + х2	12+ х2	600-|-56х2 + Зх4 •	• •
и				
	X2	X2	Зх2	13х2
cos X = 1 —	2 +	6	-	ю +	126 — ... *
1	2 —х2	12 —5х2	120 —56х2 + 3х4	
1	2	12-|-х2	120 + 4х2	•
Отсюда,	так как	ch х = cos Zx, получим следующие раз-		
ложения:				
u 1	X2	5х2	Зх2	313х2
СП X == —				 -	—	
uu л	* 		2	+	6	-	50	+	126 — ...
1	2	12 + 5х2	600 + 244х2	
1	2 —х2	12 —х2	600 — 56х2 4-Зх4 • •	•
20 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
306
ГЛ; : V. ЩЕПНЫЕ . ДРОБИ
[14
_. х»	Зх*	13х*
СП X — 1 -+-	2	_	6	+	10	_ 126 +	•
1	24-х2	124-5х2	120 4-56х24-Зх<
1	2	12 —х2 120 —4х2
14.	Дробно-рациональное приближение для интеграла
вероятности. Общий вид разложения в цепную дробь анте-
2 /*
грала вероятности erfx^-^l е~? dt неизвестен. По
V. те J
F о
методу Висковатова можно найти лишь конечное множество
звеньев такого разложения. Например,
х2
10	+
39х2
7
х Зх ЗОх — х3	210х +110х3
1	3-f-x2	30 +9х2	210 + 180х2 + 39х4
739х2
— 234 + ...’
15.	Обращение ряда Стирлинга в цепную дробь» Возь-
мем ряд Стирлинга (см. (6.509) и (6.516)):
1пГ(х) = /х--In х — х 4~ In 2к~|-Дх),
^2П
(2/г — 1)2/гх2Л“1
а В» В4, .. .—числа Бернулли (см. гл. VI, § 2, п. 1, 1°):
Пользуясь методом Вискойатова, можно обратить ряд Стир-»
линга в цепную дробь, общее звено которой неизвестно,
In Г (х) = (х — у) In х — х 4~у In 2z 4"
,1	2	.53 г 1170 , 22999	. .
.	+ 12х + 5х + $2х + 53х + 429х + ,. Л
17J	8 з. разложение Фтекпиш в/цепные дроби 307:
16.	Дробно-рациональное приближение для гамма-?
функции. Если в разложении гамма-функции
Г(1-Ь>)=2 «х.
п =0
где
я	оо
г0= 1, =	( 1)	2	^),
/г-1	m = l
= Ctt0,57722 (постоянная Эйлера, см. (6.56)), вычислить
коэффициенты, то получим приближенно
Г (1 + х)	1 — 0,57722* + 0,98906х2 — 0,90748х3 +
. 4-0,98173*4— ...
Применив к этому приближению метод Висковатова, будем
иметь, в частности,
г(1+*>~	=7-w.	<5.49>
Это приближение во многих случаях является достаточно
точным, как видно из следующей таблицы:
X	Г(1+х)	Т(х)	X	г <1 ч-х)	7(х)
— 0,5	1,7725 -	1,7767	0,1	0,95135	0,95135
— 0,4	1,4892	1,4902	0,2	0,91817	0,91816
— 0,3	1,29806	1,29823	0,3	0,89747	0,89743
— 0,2	1,16423	1,16425	0,4	0,88726	0,88711
— 0,1	1,06863	1,06863	0,5:	0,8862	0,8858
0	1	1	0,6	0,8935	0,8927
			0,7	0,9086	0,9071
			1	1	0,994
17.	Дробно-рациональное приближение для логарифма
гамма-функции. Приближение этой функции, полученное на
основании ряда Стирлинга, требует знания 1пх. Но можно
20*
308
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
[18
получить более простое приближение, исходя из разложения
СО	;
in Г(1 + X) = - Сх 4-2 (~-!р-	(5.50)
п~2
оо
где sn —	, С— постоянная Эйлера. Вычисляя коэф-
фициенты, получаем приближенно
In Г (1 + х)	— 0,57722х + 0,82247х2 — 0,40068х3 +
4~0,27058х4 — .. .
Применив к этому приближению метод Висковатова, будем
иметь, в частности,
Отсюда
1-Г(1 +х)«
— 0,57722x 4-0,59769л2
14-0,38941х — 0,13928х2 *
-0,25068x4-0,25957x2
1 4-0,38941х —0,13928x2 :
Т(х). (5.51)
Точность этого приближения видна из таблицы.
X	1g Г (1 +х)	Г(х)	X	igrd+x)	Г (ж)
— 0,5	0,2486	0,2469	0,1	Г,97834	Г,97834
— 0,4	0,1730	0,1725	0,2	Г96292	L96293
— 0,3	0,11329	0,11321	0,3	L95302	Г95305
— 0,2	0,066039	0,066029	0,4	L94806	L94818
— 0,1	0,0288268	0,0288266	0,5	Г,9475	L9479
0	0	0			
18.	Дробно-рациональное приближение для производ-
ной логарифма гамма-функции. Функция
ЧГ(х) = -^1пГ(1+х)
имеет, согласно (5.50), разложение
W(x) = -C+$2x-s3x2 4- ... 4-(-1)«+^л+1х"+ ....
19J	S3. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 309
откуда
(х) ~ _ 0,57722 + 1,64493* — 1,20206*2 +
+ 1.08232*3— ...
Применяя к последнему приближению метод Висковатова,
поручим, в частности,
ф (х} W 0,57722 + 1,25687* — ?, .
* w ~ 1 + 0,67228* — 0Д6670*2 “ 1	}
Точность этого приближения видна из таблицы.
	W(x)	Т(х)	X	*'(*) .	Т (*)
—0,5	—1,964	—1,938	0,1	—0,4238	—0,4237
—0.4	—1,541	—1,538	0,2	—0,2889	—0,2890
—0,3	—1,220	—1,218	0,3	—0,1692	—0,1687
-0,2	—0,9650	—0,9647	0,4	—0,0614	—0,0600
—од 0	—0,7549 -0,57722	—0,7549 —0,57722	0,5	0,0365	0,0396
19.	Формула Обрешкова. Знание общего вида звеньев
цепной дроби, в которую разложена данная функция, не-
достаточно для определения общего' вида подходящей дроби
этого разложения^ Все же в некоторых случаях общий вид
подходящей дроби возможно определить. Наиболее общий
подход к этому вопросу достигается при помощи формулы
Обрешкова, которая является одним из обобщений формулы
Тейлора. Формула Обрешкова имеет вид
.	/л
2 (- 1)’ тЯ- /(,) (*) = S
>==р	^m+k	v=p ^m+k
. x ' .
+ (k + my f (x—t)m(x0 — t)kf{m+k+\t)dt. (5.53)
Vo
Получение дробио-рациональных прибли-
жений степенной функции при помощи фор-
310	ГЛ- V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ	ДО
мулы Обрешкова. Положим в (5.53) х0 = 1, f (х) = хп,
где п — любое действительное число. Тогда ‘
ЗД (Х-1Г
При m — k это равенство примет вид
(x — iy
В частности, при k~\
2 — п + пх
л + (2 — п)х
Например, при х = 2 и п = у имеем ^2	1,273
(точное значение f 2 = 1,2599 ...)•	• -
Получение дробно-рациональных прибли-
жений показательной функции при помощи
формулы Обрешкова. Положим в (5.53) хо = О,:
f(x) = ex. Тогда
В частности, при m = k
х	(»+1)+С^(2Л-1)... (Л+1>х+с| (2Л—2) ... (ft+O-tr’+.-.+x* . i
~ 2fc(24-l)...(*+l)-Cj(2ft-l)...(S+l)Xd-c|(2ft-2)...i*+l)x‘-...+(-i)ftxft’
(5.54)
I
и
§ 4. МЕТОД МАТРИЦ
311
Из соотношения
и из (5.54) имеем
1
th х =	.
е2* + 1
С\ (2Л-1)(2Л-2)...(Л + 1)лг~С^(2Л~3)(2Л-4)...(Л + 1)4^+...
Л(2Л-1)...(Л+1)х+с|(2Л-2)(2Л-3)...(Л+1)2лв4-С^(2А~4)...(А4-1)8х<+...
Заменив в последнем равенстве х на 1х и разделив правую
и левую части на /, получим общее выражение для под-
ходящих дробей разложения tgx в цепную дробь.
Получение дробно-рациональных прибли-
жений логарифмической функции при помощи
формулы Обрешкова. Положим в (5.53) х0=1,
/(х) = 1пх. Тогда
т
1пх«^(— 1)'
V = 1
к
SCk (х—l)v
! rv	V rv
V = 1 Gm+/?	™
В частности, при m = k
1
Например, при k = I
При k = 2
§ 4. Метод матриц
1. Извлечение квадратного корня с помощью матриц
второго порядка. Теория цепных дробей строится при по-
мощи основных рекуррентных соотношений (5.2). Есте-
ственно рассмотреть обобщения цепных дробей, основанные
на других линейных рекуррентных соотношениях, связываюг
щих числители и знаменатели соседних подходящих дробей.
Рассмотрим подробнее соотношения
РП — 4й P/Ai-V
0я = тяЛ-1+8Л-Р
(п=\, 2, ...).
(5.55)
312
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ -ДРОЦИ
[1
С помощью матриц эти равенства можно записать/гак: ;
__ 1ап ?Л \ /Рп-1 \
<Qn) МЛ ^Л' 'Ол-1<
(л=.1, ?,
(5.56)
Положим ал = а, ря —я, 7Л=1, Ъп = а (л=1, 2, ...).
Тогда соотношения (5.55) и (5.56), соответственно, примут
вид
(5.57)
и
(^п\___(а п~1 \
\QnJ '1 а' W-J
(л=1, 2, ...).
(5.58)
При а —0 процесс (5.57) расходится^ Поэтому будем'
р
считать, что а 0. Если Иш существует, то он может
л -ко Чп
равняться либо У и» либо — У и. Следовательно, при
и < 0 процесс (5.57) расходится. Обозначим
—У и — Хр У и т= х2.
Тогда имеем четыре случая:
l) -a>x2, х2<
2) 0 < а < х2,	*
Р2П — 2	Pin у Pjn+1 Pjn—1
Qin—i Qin 2 Огл-н Qzn-i
3) X! < а < 0,
Pin-1	P 20+1
Qin-1	Qin^-1	1
’г:'Рпл^
lim -^±=ix«.
л->ао Qn 2
Pyi	P^n-2	I	|Jm Px
Qin	Qin-2* I Qn ;	1
< Qn ?	• -L::	• .. v:
g 4. МЕТОД МАТРИЦ
313
ii
Например:
1)	а > лг2-
/5	22\	£	47	455	4409
\1	5/	1	10	97	940
5	4,7	4,6907	4,69043
'		/22 < 4,69043.
2)	0 < а < х2.
(5	эт\ 5	52	__26	265	2702	_ 1351
\1	5/1	10	~ 5	.51	520	260
5	5,2	5,19607	5,19616
5,19607 < /2? < 5,19616.
3)	Xj < а < 0.
/~1	2\	—1 з _7	17	—41
\	1-1/	1	-^2	5	—12	29
— 1 — 1,5 —1.4 — 1,416—1,4137
— 1,416 < —/2 < — 1,4138.
4)	а < х,.
/ — 2	3\ _2	7	— 26	97
\	1 —2/	1	—4	—56
— 2 —1,75 —1,734 —1,73214
—1,73214 <—/З.
2. Решение квадратных, уравнений с помощью матриц
второго пррядка. Положим в (5.55) ап = а, £я = — q, = 1,
Ъп=~а-}- ft. Тогда Соотношения (5.55) и (5.56) примут вид
Рп^ аРп-\~ Я$п-1>	|	<559
и
(&н: г4)(£-.',)-
,‘р
Если lim’ -у существует; то он может быть только корнем
квадратного уравнения	= 0. Следовательно, при
р2 — 4д < 0 процесс (5.59) расходится, так как в этом
314
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
случае корни квадратного уравнения комплексны, а последова-
тельность с действительными членами не может иметь ком-
плексный предел.
Обозначим
_ — р —V>2 —4?	_ — p-f-Vp2 —4?
2	, х2	2
При а = х' у-— процесс (5.59) расходится. В случае схо-
димости процесса имеем четыре случая:
п-\ .
1)а>х2, x2<Qnn^Qn_^
-р -^2
2) ‘Т .1 <а<х2,
Р1П-2	Pin	,
Qin-i	Qin>2<
lim тЛ — Xf,
/2->оо v«
^2n+l <
Qtn+i Qm-i
3)х1<в<^,
Р1П—\	Р1П+1	Р2п	Рщ-1
1	Qm	4 Qm-i	’
Рп-l	Рп	/ „
Qn <• *»•
уравнение
х2Ч-2х — 1 =0
Qtn-i Q2/H-1
4) а < хр
lim ур- = хх.
n-»oo Vn
Например,
имеет корни
xb2 — — 1+^2 или	—.2,414 и х2я^0,414.
1) а > х2.
_. /1 Ц1А-А А ю _А
а—1' V1 3/1 4 “ 2 7 24 “ 12 ’
1	0,5	0,43	0,417
Xi -р*	'•	'	•
2) 'J < а < х2.
п_ а У° Ц 0 1 £	5
“ —Д1 2/ Г У 5	12'
О 0,5 0,40 0,417
3]	§ 4. МЕТОД МАТРИЦ .	315
V л Х* + Х*
:	2	'
_	9	/—2	г\ — 2	5	— 12	29
а~	Д	\ 1	0/ 1 ~	—2	5	~^12'
— 2 —2,5 —2,40 —2,416
4) а < хР
/ —3	1 \ — з 10 _ 5	—17	58 _ 29
Л~-г-3, j _ly| j _4 - __2	7	— 24““—12*
— 3	— 2,5	—2,428	— 2,416 .
3. Связь метода матриц с теорией цепных дробей.
Найдем условия, при которых равенства (5.55) могут перейти
в равенства (5.2). Для этого заменим в равенствах (5.55) п
через п— 1, найдем Qzl_1 и Рп_х из полученных соотноше-
ний и подставим их в равенства (5.55). Введя для краткости
обозначение	получим
р«=(а-+^г)р--^р-! <5'61>
и
 <5-62)
\ In— 1	/	1П—1
Равенства (5.61) и (5.62) показывают, что Рп и Qn можно
считать числителем и знаменателем подходящей дроби п-го
порядка некоторой цепной дроби в том случае, если
In „ I ft _ Рп ft I п Рп ___ 7п
^7аП-1+%— Ря_, я-1+ая>	7я_
Этим условиям легко придать вид
ап---^п __ ап-1----^П-1 __ _________ а1
Рп — Рп-1 • • • Р1
Рп _ Ри-1 _	_ Р1
7п 7п-1	” *	71 *
Таким образом, матрица
«п Рп
71 о _	«1.—^1 Q
(п>2).
(5.64)
316
ГЛ.У. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

равносильна цепной дроби, частные числители ап и частные
знаменатели Ьп которой выражаются равенствами
=	1Тл-1	%-Аг-1)«	йд-1 4“ал-1
(* * >2).
Из соотношений
/ g0 Ро \ / 1 \ _ / «о \ _/ ^0 \
\?о &о/\О/	\7о7“\1/
а\ Pi \ / \ / Мо + Pi	/ Mi + а\
71 &i / \ 1 /	х 7i^o + &1 /	х ^1
находим нулевое и’первое звено- цепной .дроби. Таким обра-
зом, матрица (5.64) вместе с матрицей	приводит
*•	Цо/
к цепной дроби \
а1ао + Pi — ао (7igo 4“ М fti : 1
71«о + &1	4“	4г~^1+а2 4“ ...
'	Р»,
Ъ^Л (Pzz—1T/Z—1 “,ап-/л-1)
-^-g--------------—:	. (5:65)
|	ГП *	f л	I	• •	.
• • • '	"Й7--°/г-1 4- ал + . • •
Рл-1
/1 2\/1 2\	/3 4\
(1 12\1 1/ \2 3/* а‘
(1 z \	/—
I приводит к У 2 и равно-
сильна цепной дроби
1/2 — 14-— —	—	А
V 2 . .	2 + 2, + 4г 2 +... V
В теории цепных дробей сжатие производится при помощи
довольно сложной формулы (5.9) и аналогичных ей. Здесь
оно производится гораздо легче при помощи возведения
матрицы в квадрат, в куб и т. д. Имеем
= 2.4 —3 • 3 = —1,
71л = 34-3 = 6	(и>2).
Нулевое и первое звено , новой цепной- дроби необходимо
определять; не на основании этой матрицы,; а непосредственно,
4}
$ 4. МЕТОД МАТРИЦ
317
зная первые подходящие дроби исходного разложения для V 2.
Получим
Пользуясь кубом исходной матрицы, получим
/3 4\/1 2\ /7 10\
\2 3/U 1/ \5 7 Г
i/o— 1 _L __L
И — 1 ~Г 12 + 14 + 14 + ... ’
4* Разложение квадратических иррациональностей в не-
периодические цепные дроби при помощи матриц второго
порядка с переменными элементами. Результаты предыду-
щего пункта позволяют получить сколь угодно много раз-
ложений квадратических иррациональностей в непериодиче-
ские цепные дроби.
Пример 21. Матрица
/ 1	2(n + D\
U + 1	1 )
удовлетворяет условиям (5.63). Кроме того, она приводит
к равенству
Рп _ P^1 + 2(n-hl)Q^i
Qn — (ti+\)Pn^ + Qn^ ’
откуда lim ~-^ = ]/г2. Равноценная ей цепная дробь (5.65)
л->оо
имеет вид
Vo — ii 2	21	8,17	15 31	24,49
—+ 5 +—т~+	9	+ п + ...
(л2— 1) (2n2— 1)
... + 2л+1	+ ... *
Точно так же получим, исходя из матрицы
/ п 2(п4-1)\
\л + 1	и / ’
цепную дробь
1/9 — 1	21	(**-1)(п»4-2п-Ц
у 1 +' 7 +... 4-	2/is—1	+...*
318
ГЛ. V. ЦЁПНЫЕ ДРОБИ
15
5. Извлечение корня любой рациональной степени
с помощью матриц. Извлечение корня третьей
степени с помощью матриц. Рассмотрим три по-
следовательности {Ря}\ {Q„}, {R„), члены которых связаны
друг с другом соотношениями:
Pn = aPn-i+tQn-x+tRn_v
Qn = Pn-i+aQn-i
Рп = Pn-X + Qn-l + aPn-l
(я=1, 2, ...). (5.66)
С помощью матриц эти соотношения запишутся так:
[ Рп \ I а I * \ / V
Qn =( 1 а /II (?й_, I.	(5.67)
' ^п '	' 1 1 а / \ Rji-\ /
р	q	'
Пусть х = lim и у — lim существуют и конечны.
Л-»ОО Wn	Я->СО
Тогда
x =	y = ~frt.					
Пример	22. Пусть	а==^ 1, t =	= 2. Тогда		
z1 2 2\	1	5	19	73	281	1081
( 1 1 2	1	4	15	58	223	858
kill/	1	3	12	46	177	681
4 (приближенно) 1		1,67 1,583	1,5870	1,58757	1,58737
2 (приближенно) 1		1,33 1,250	1,2609	1,25989	1,259912
Известно,	что 1^2	1,2599210,	1X4»	i 1,5874011.	
Пользуясь квадратом, кубом или более высокими степе-
нями исходной матрицы, можем сколь угодно усилить схо-
димость процесса.
Извлечение корня четвертой степени с по-
мощью матриц. Обобщая соотношения (66), рассмотрим
следующие равенства:
Рп = аРп-х + *Qn-i + tPn-x +
Qa — />в-1+вСл-14-^л-1+^»-р (д = 1 2	)
Pn = Pn-x+Qn-l+<*P„-x+tSn_l,
Sn^Pn-x+Qn-x + Pn-x+^n-r I
5)
§ 4. МЕТОД МАТРИЦ
319
С помощью матриц эти соотношения запишутся так:
Рп\	fa	t	t	t\ /Pa_\ \
Qn ]__/ 1-	a	t if I
Rn J	\ 1	1	a	t \ Rn^ Г
Sn '	*1	1	1	a 1 * Sji-i '
Тогда
lim -?^=)/'*5, lim Ф- = ]7*’ = /7, lim + = ]/7,
n->oo	n->oo ^n	П-+ОО ^n
если э.ти пределы существуют и конечны. При а = 1 имеем
таблицу							
/1	t	t	/\	1	1+3/	1 + 12/+ 3/2	1 4- 31* 4- 31*2 4-13
1 1	1	t	/ |	1	2 + 2/	3 +12/ + /2	4 4-40*4-20*2
1 1	1	1	t 1	1	з + /	6 + 10/	10 4-44*4-10*2
\1	1	1	1/	1	4	10+6/	20 4-40*4-4*2.
Отсюда,	в	частности,			получаются неравенства		
**4-12*4-3
Ы +10
6*2 +10*
**4-12*4-3
17 * <" б*2 4-Ю* < * <" 9)
V * <• **4-12*4-3 u <>г^уь
*2 4- 12* 4- з
6*4-10
(*>9).

Область применимости этих приближений ясна из следую-
щей таблицы:
t	.f+12/4-3	Vt	6/24-10/
	' 6/416		^4 12/43
1	1,000	1,000	1,000
2	1,409	1,414	1,419
3	1,714	1,732	,1,750
4	1,971	2,000	2,030
5 ,	2,200	2,236	2,273
6	2,413	2,449	2,486
7	2,615	2,646	2,676
8	2,810	2,828	2,847
9	3,000	3,000	3,000
10	3,186	3,162	3,139
11	3,368	3,317	3,266
12	3,549	3,464	3,381
13	3,727	3,606	3,488
320
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
Извлечение корня любой рациональной сте-
пени с помощью матриц. Обобщая вышеизложенный
метод, видим, что квадратная матрица n-го порядка
a	i	t	...	t
1	а	, t	...	t
1	1	1	...	a
позволяет получить приближенные значения для
Л у— п г—	tl  
Vt, у?......... у/"-1.
Например, чтобы вычислить у 4, достаточно проделать
следующие выкладки:
1	2	2	2	2	2	2	1	13	127
1	1	2	2	2	2	2	1	12	115
1	1	1	2	2	2	2	1	11	104
1	1	1	1	2	2	2	1	10	94
1	1	1	1	1	2	2	1	9	85
1	1	1	1	1	1	2	1	8	77
1	1	1	1	1	1	1	1	7	70
В частности,	1,223 или ]/Ч	1,214.
Точное значение этого корня есть 1,219...
Сходимость алгоритма Эйлера. Метод извле-
чения корня любой рациональной степени при помощи матриц
был впервые предложен Эйлером (хотя и не в матричной
форме). Условия его сходимости были недавно изучены
Л. Д. Эскиным. В частности, он доказал, что алгоритм Эй-
лера сходится при любом t > 0, если только выбрать надле-
жащим образом нулевое приближение. Более того, алгоритм
Эйлера сходится и при комплексных Л что позволяет с его
помощью приближенно извлекать корни из комплексных чисел.
6. Решение уравнения
матриц. Матрица
«н
а21
«31
третьей степени с помощью
«12
«22
«32
«13
«23
«33
(5.&&)
6J	8 4. МЕТОД МАТРИЦ.	321
приводит к уравнениям
х = апХ а12У fll3 и V — а*хХ ДддУ Ддз	(5 69)
#31-^ + #32У + #33	#31* 4~ а32У 4~ а33
Исключая х из этих уравнений, приходим к уравнению тре-
тьей степени относительно у. Следовательно, матрица (5.68),
в случае сходимости соответствующего процесса, может слу-
жить для приближенного вычисления одного из корней не-
которого уравнения третьей степени.
Из уравнений (5.69) нетрудно получить уравнения
v = 1 I — #31) * 4" (#22--#32) У 4~ #23 — а33
о>з\х 4* #згУ 4- азз
х = V I (Д11 — х (Д12 — Дд2^у g|3 — Ддэ
#31* 4е #ззУ + #зз
Потребуем, чтобы выполнялось равенство у2 = х. Для этого
достаточно, чтобы полученные равенства приняли вид
v _ j 1______#23 — #зз	х _ v [	(#23 — #зз) У .
#31* 4" #ззУ 4-#зз *	#31* 4* Д32У 4" азз
Тогда
#21 = #31»	#22 = «32»	#11 === #21»	«13 ~ «23»
#12 —#22 = «23	«33*
Матрица (5.68) примет вид
#11 #22 4" #13 ““ #33	#13 \
#11	#22	#13	(5.70)
O|j	#22	#33
Она приводит к уравнению
«„/ + («22—«11)У2+(вЗЗ ——«13==°-	<5-71)
Положим, в частности, ап == ли= 1 и.обозначим	— 1 =р,
а13 = — q. Матрица (5.70) примет вид
1 —Р — Я —Я \
1	1	-Я ).	(5.72)
1 1
Она приводит к уравнению
у3+ру+?=0-
При р = 0, q — — t матрица (5.72) обращается в матрицу
для извлечения кубичного корня.
21 Зак. 2048. В. Л, Данилов и др,
322
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ -ДРОБИ

Пример 23. Применим матрицу (5.72) для приближен-
ного нахождения одного из корней уравнения х3—х — 1=0.
Имеем
2	1 \	1	4	12	37	114	351	1081
1	1 )	1	3	9	28	86	265	816
1	0/	1	2	7	21	65	200	616
		1	1,5	1,285	1,333	1,292	1,325	1,324
Заметим, что такой метод обладает быстрой «ходимостью
лишь в том случае, если уравнение не имеет двух корней,
близких друг к другу по абсолютной величине.
7.	Возвратные ряды. Метод Бернулли — Эйлера. Сте-
ОО
пенной ряд 2 апхП> коэффиииеиты которого, начиная с не-
п» 0
которого, связаны одним и тем же линейным соотношением,
называется возвратным. Имеет место теорема: чтобы сумма
оо
ряда 2 апхП* сходящегося при |х| < 1, была рациональной
/2=0
ОО
функцией от х, необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 апх”
был возвратным.
Д. Бернулли и Эйлер применили возвратные ряды к реше-
нию алгебраических уравнений. Коши обосновал этот метод,
указав, что если Xj есть наименьший по абсолютной вели-
чине корень многочлена Q(x), то радиус, сходимости, ряда
оо
2 а*хп
п~0
— Q (х) ’
где Р(х)— многочлен, не имеющий общих корней с Q(x),
и степень которого не выше степени Q(x), определяется по
признаку Даламбера соотношением
откуда
lim ав+|Х| =1,
п ->оо ап
X, = lim .
П -►©О
В)	« 4. МЕТОД- МАТРИЦ .	323
- Например, для решения уравнение х3 — Зх -+* 1 ~ ® Эйлер
пользовался следующим разложением
I_3x+F=1 -+-Зх -Ь 9x2+26x3 +75х< 4- 216х54~
4- 622х6 + 1791 х14- 5157х8 4- 14849х9 4-
4-42756jc«4- ... апхп.
/1=0
Йдесь х, = lim , где Xj — наименьший по абсолют-
/7 -> СО &П+1
ной величине корень уравнения х3—Зх + 1 =0. Сходимость
процесса видна из следующей таблицы:
п	а» аЛ.+.1
1	0,333
2	0,333
; з	0,346
4	0,3467
5	0,34722
6	0,34727
7	0,347292
Заменяя х на р можно тем же способом приближенно
найти наибольший по абсолютной величине корень уравне-
ния Q(x) = 0.
Метод Бернулли — Эйлера также обладает быстрой схо-
димостью лишь в том случае, если уравнение не имеет двух
корней, близких друг к другу по абсолютной величине.
8.	Связь между методом Бернулли —Эйлера и мето-
дом матриц. Найдем но методу Бернулли—Эйлера наимень-
ший по абсолютной величийе корень уравнения х3+рх4~0=О.
Для этого достаточно разложить в возвратный ряд выраже-
ние —:——;—г. Имеем
q + p* + *3
--i---i Г == ^0	^1X —АлХ? —|— • • «
q + рх + х3 01	1	1	2	*
21*
324
ГЛ. V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
(8
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по-
лучим
А —4*’ 7Я1 + рЛ0 = 0, qA2-j-pAv = 0, qA$-\-рА2-\-Ац===&
ч
и в общем случае
РАп-х^ Ап-ъ — ®
Это соотношение можно записать в виде матричного равен-
ства
I 0	q	0\	/Ап-$\	/qAn~2\
I 0	0	q I	| Ля_2 j —	I qAn_ | 1	е
\_1	о	— pl	\An^J	\qAn /
Но это равенство дает только один новый коэффициент Ап,
а два предыдущих повторяет. Взяв куб матрицы, составлен-
ной из коэффициентов, мы сразу получим три новых коэф-
фициента:
/ 0 Я	0\3 /Л-з\ [Я*Ап \
10 0	q\ I Ап~2 I == I q3An^i I t
1 о —pt \An~J 43An^J
т. е.
/ Я2	0	pq*	\[Ап-3\	lq3A“ \
1~Р?	q2	— ptq	j I Ля_2 I =
\ p*	— pq	p3 + q*	I \An_J	\q3An+J
Применяя этот прием к уравнению х3 — Зх — 1 = 0, по-
лучим
/—1	0	3\	1	26	622	14849
/—3—1	9)	з	75	1791	42756
\—9 _з 26 / 9 216 5157 123111
Можно брать еще более высокие степени исходной
матрицы; это еще более усилит сходимость, но при этом будут
получаться не все коэффициенты возвратного ряда. Элементы
получаемых матриц можно делить на одно и то же число,
так как нам нужно только отношение соседних коэффициен-
тов. Но при этом, вообще говоря, полученный ряд будет
отличаться от возвратного ряда, в который разлагается выра-
жение
q + px + x3'
I
§ 4. МЕТОД МАТРИЦ-
325
9]
При замене х на у таким же образом можно вычислить
наибольший по. абсолютной величине корень уравнения
= 0 (если соответствующий процесс сходится).
9.	Решение уравнений высших степеней с помощью
матриц. Методом, аналогичным вышеизложенным, можно
составить матрицы л-го порядка, которые могут служить
для приближенного вычисления корней некоторого уравнения
л-й степени. Например, матрица
k	lan	0 ...	0	0	0	0	0
0	k	• • •	0	0	0	0	0
0	0	° •••		0	0	0	0
0	0	0 ...	k		0	0	0
0	0	0 ...	0	k		0	0
0	0	0 ...	0	0	/г	0	
	— lax	-/я2 ...	— lan-s	- lan-i		Л — Idfl— 1	— l(ln _ 2
k 0	0	0 ...	0	Q	0		k
в случае сходимости соответствующего процесса может слу-
жить для приближенного вычисления одного из корней урав-
нения
a„xn4-a„_ix',-14- ... 4-aiX + ao = O.
Например, для уравнения
х4 — 8х34-х2—x-j- 1 ==0,
положив	k=l = l	, имеем
1	1 0	0	1 (2) 1 2	4	11	58	455
0	1 0	1	1 (2) 1 2	7	47	397	3500
—1	1 9 —1	1 (8) 4 35 310 2753 24463 217403
0	0 1	1	1 (2)	1	5	40	350	3103	27566 1	4	7	7,75	7,866	7,8837	7,8866
Точное значение этого корня есть 7,8873 ...
326
ГЛ, V. ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
110
10.	Понятие об алгоритме Якоби. Эйлер поставил и
отчасти разрешил задачу о решении в целых числах уравне-
ния otjXj 4~а2*2Н-азхз —0- Якоби поставил аналогичную за-
дачу для уравнения
«1*14-«2*2+ ••• +аЛ = °
и разработал для этой цели особый алгоритм, являющийся
обобщением алгоритма цепных дробей. Якоби придал,
в частности, этому алгоритму следующий вид:
««+! = '»» — Рп»п>
= —
(5.73)
Здесь рп и qn — натуральные числа, подобранные так, чтобы
и были возможно меньшими положительными чис-
лами. С помощью чисел рп и qn мы составляем следующие
соотношения:
Я—1 “f” Рд^л-2~1“ ^л-З»	1
= Яп&п-\ “h Рп^п-2 + ^л—3»	(5.74)
Сл — ?лСл-1 + РлСл-2 + Сл-3- -	
При этом полагаем, что
А-2	Л-i		/1	0	0
	В-1	Во	1 = [0	1	0
£-2	С_(	с0/	\о	0	1
Тогда, в случае сходимости алгоритма Якоби,
lim	Ап _	, "1	lim	А =	_ V1
п ->оо		«Ч *	л ->оо	Сп	Wi •
Алгоритм Якоби позволяет найти небольшие целые числа Лл,
Вп, Сп, приближенно пропорциональные данным большим
числам их,
Пример 24. Решим приближенно уравнение
х : у :	49 ; 59 : 75.
10]
S 4. МЕТОД МАТРИЦ
327
Пользуясь алгоритмом Якоби,					имеем			
Л	«л	*л		Рп	Яп	•^л	Вп	Ся
—2						1	0	0
—1						0	1	0
0						0	0	1
1	49	59	75	1	1	1	1	I
2	10	26	49	2	4	4	5	6
3	6	9	10	1	1	5	6	8
4	3	4	6	1	2	15	18	23
5	1	0	3	0	3	49	59	75
6	0	0	1					
Итак, например, 5 : 6 : 8 « 15 : 18 : 23 йй 49 : 59 : 75.
Порядок заполнения этой таблицы таков: сначала вы-
писываем «1 = 49, 01 = 59, a»i = 75 и Ап, Вп, Сп при
п ——2» —1, 0. Затем, согласно алгоритму (5.73), вычи-
сляем pr, qlt и2, о2, Далее с помощью соотношений (5.74)
вычисляем Av Вг, Сг. Затем, согласно алгоритму (5.73),
вычисляем р2, q2, uz, о3, w3. С помощью соотношения (5.74)
вычисляем А2, В2, С2 и т. д.
ГЛАВА VI
НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
Настоящая глава содержит сведения о часто встречаю-
щихся в анализе константах и функциях в действительной
области*).
При изложении приходится считаться с установившимся
в математической литературе отсутствием единообразия в опре-
делениях. Так, например, обычно производящая функция
последовательности функций определяется как функция двух
переменных / (х, у), для которой в некоторой области пло-
скости Оху выполняется соотношение
/(х, у)= 2 ?Я(*)У".
л= 1
т. е. срл(х) являются коэффициентами разложения функции
/ (х, у) в ряд по степеням у (см. определение производящих
функций для бесселевых функций и многочленов Лежандра).
В других случаях функция f (х, у) называется производящей
для последовательности функций, если
/(х, у)=£^у«
л=1
(см. определение производящих функций для многочленов
Бернулли и Эйлера).
Нет единообразия и в обозначениях тех или иных функ-
ций. В таких случаях приводятся разные обозначения, но
используется лишь одно из них.
*) Сведения о функциях комплексного переменного будут даны
в одном из последующих выпусков.
1]	§ 1. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 329
§ 1.	Некоторые константы и системы чисел
1.	Константы. 1°. Число те:
те = 3,14159 26535 89793 ...
Число те появилось в связи с вычислением длины окруж-
ности посредством последовательного нахождения периметров
вписанных и описанных правильных многоугольников с 2п сто-
ронами. те — трансцендентное число.
Некоторые приближенные значения числа те:
22
те « -у (архимедово число);
355
« « -jjg- (мециево число).
Некоторые представления л в виде рядов и
произведений. Полагая х = 1 в степенном разложении
arctg х. имеем ряд Лейбница
Г=>-1+т-|+---+(-‘)*2ГТГ+-	(в»
Из того же разложения при х = следует
- —	---- — +	+..Л.	(6.2)
б /3 \	3 3	5 З2 7 З3 )
Так как тс — 16 arctg — 4 arctg (формула Машина), то
1fi/l 1 1 _j_ 1 _L	\_
1t“ 10 \5 — 3 5s 5 56	7 б2 "*"9 5»
"згзэ3 Ь---)-	(6.3)
Формула Валлиса
ТПТ-	(6Л)
Цепная дробь
« _1 Д j?	л»	" f65v
4	l-f”3^"5*f*...-|” 2л *•{" 1	• • 
33G ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ
Другие соотношения:
« = уп____________L_]
4 L (2л + I)2 J ’
/1=1
T = 2 arctg
« = 1
T = S arctg л’ + л + l •
n= 1
	00 я _ у	1 8 “Z/ (4л4-1)(4л4-3) * л = 0
/»	M—1 «	V(-1) T—zU 2v —1 V = 1	, / IV. V^-2 . 0(-nn£im (	С2»)2*	(2л)2да+2 ’
	0<9<l.
n те	Vi 2n n2 + >2 M = 1			2^	|__L _|_ е2^—1 2л ~
у (-___________1___. »(—i)"1	'
‘	(2л2)2*1-1 2fi—1 -1-(2n2)m+1 2/n + l ’
* _ 2	2 2
2	/2 /2 + /2 V24-/24-/2
2 те		оо — 1 Гcos 2Д+1 * Я = 1 	L, 	J—	
те2 _ 39 j	1		
4	16	1 I2.22.32	1 22-32-42 1 3*-4*-5* 1	• • •
00
_ — V 1
6 ~ Z4 n* •
/1 = 1
00
«»__ у I
8~	(2л 4-1)2 ‘
/1 = 0
[1
(6.6)
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.И)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
1] . i !. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ
ОО
4 .V (-I)"- А-.
Л = 1
1У= у(1п2)24~2
Л = 1
Зя2 _ 1_9V	1
32	Zd (4n2—I)3 •
Л- 1
± -1 _1_ JL _1__L- _L 4-
16	2 ' 1232	3252	б2?2
Згс2 1 ,	1,	1	,	1
256 — 9	123252	325272	527г92
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6.21)
Неравенства, связанные с числом тс. Если
ая(л==1,2, ...), а„>.0, но не все ап равны нулю, то
(W<-’24S»!4.	(6.22)
л—1	л—1 Л—1
причем к2 является наилучшей константой в том смысле»
что существует последовательность ап, для которой дости-
гается знак равенства. Если / (х)	0, f (х) ф 0, / £ L? (0, сю),
х/££2(0, оо), то
'со	\4 .	/ оо	°°
<~2< J f2{x)dx J x2/2(x)dx|, (6.23)
о J До	lo	J
где к2 является наилучшей константой в том смысле, что
существуют /(х), для которых знак равенства достигается.
Интегральные представления к:
4=/	(б--24)
о
оо
u f sin х cos mx .	- .
y = J ------------dx, m<l. (6.25)
6
00
= f s^dx.	(6.26)
6
332 ГЛ- VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [1
со	ОО
у |/*-^ == У* sin (х2) dx — J' cos (х2) dx.
о	о
= f e-^dx.
о
ОО
^-j- = У* x2e~xadx.
о
ОО
я2  Г xdx
оо
тс2  Г xdx
12~ о еЖ + 1
I
к2__ С \wxdx
6 ~ J х-1 ’
о
1
к2___ Г Inxdx
"8	х2—1 *
о
1
Я2_ Г ln(l+x)dx
12~J х
о
2°. Число е:
е = 2,7182818284 59045...
(6.27)
(6.28)
(6.29)
(6.30)
(б:з1)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
Число Эйлера е определяется как предел
е = lim (1 +-Y = lim (1 -f- а)« .	(6.36)
п ->оо \ п '	а ->0
е — число трансцендентное.
li
$ 1. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 33J
Выражения для е, е*, е~\ (1 +е)2 в виде и произведений:	рядов
-2^	(6.37)
_ 1 V п”	(6.38)
Рт+1 — 1 + mPl "I-	1-2 А + ••• +Рт>	
Р1=1, />2 = 2’ Рз = 5- Р4=15- Р5 = 52’ •• I	1	1 2/4V /6-8V /10-12.14-1648 e~lU/ \5-7/ \ .9-11 • 13-15/	•
	(6.39)
.2_1У 2я(" + 1) е ~ 3 Zrf п! п = 0	(6.40)
оо o+^W. л = 0	(6-41)
	(6-42)
оо '-=2н»”й- /12=0	(6-43)
1	nVW\ — lim		 Л->ОО п fl	(6.44)
ya(a + d)(a + 2d).,. [a + (n-l)d] 2е~г s= hm		 л->оо	1 fe-0	• (6.45)
е~ 1 — 3 4- 6 + Ю+ ... +2(2я + 1)+ ... (цепная ДРобь)-
(6.46)
334 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
[1
Нс	^которые неравенства. При (6.47) 1+4<А	(6.48) 0 <1— е‘(1 —	(6.49)
При и	л>о- О° п 	 ... “я 3	О	(6.50) 21й» п-\ lim sup И1+ “”+!. е.	(6.51) Л->оо	*П
Миним	[умы min хж = е-1.	(6.52) 0<х<оо min £- = е.	(6.53) 0<-г<оо1пл
Чи вле!вс	ело е есть основание логарифмов, при котором удо- бряется неравенство loge х х — 1 (Остроградский).	(6.54)
Фу	нкции ех и е~х определяются как пределы (655)
3°. Постоянная Эйлера — Маскерони С:
С= 0,57721 56649 01532 5 ...
Постоянной Эйлера — Маскерони С называется предел
(6.56)
1|	$ L НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 335
существование которого следует из сходимости ряда с общим
членом	я+1
£(«)=— f t-'dt.
п
Неизвестно, рациональна или иррациональна С.
Интегральные представления. Так как
откуда, переходя к пределу, находим
1	GO
C==j*(l—e~y)y~xdy— § e~yy~xdy (6.57)
о	1
или
C=j(l— е~* — е~~)г'М.	(6.58)
О
Из (6.58) следует, что
C=J ((1 — е-0"1 —	(6.59)
О
336	ГЛ;:VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [1
Другие интегральные представления:
C= — f е~'In tdt.	(6.60)
О
1
c=f [т+га]й<-
О
оо
с=-/(с“'-гт<)т-	<6-62>
о
с“‘-7(т-гр)7-	<“3>
О
оо
С=/(г^-(-«-')т.	(6.64)
о
оо
С=/(-ТТ!Г-'")*-	<6-65>
О
с=/(т7й-£7£)л	(6'66)
1
С= — У* In In у dt.	(6.67)
О
С=У* (-f-arcctg/ — e~pt)j —,nР-	(6-68)
О
оо
С= J* arcctgf — cos pt} dt—In p,	(6.69)
о
oo
c= —— /* sinHn/v-	(6.70)
W J	p
0
1]	8 1. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 337
Асимптотическое разложение:
m-1	111
= Х ~п ~1пт+’2т + т2й»_"12б«?+ •••
•+!?₽+’«<'<' О-7»
Бесконечные произведения, выражающиеся
ч е р е з е и С:
en	e
---p= lim -
। JL m->oo
~ n
1 , x t
----In m i+ln m
m J
т
т
= ес lim
m~>oo
= ес. (6.72)
t
— t
С= Ит
._Л_
г
tn
\—tn
(6.73)
4°. Постоянная Каталана О:
0 = 0,91596 55941 77219 0 ...
Постоянной Каталана G называется число
G=J™^dx,
о
(6.74)
Выражение постоянной Каталана в виде ря-
да получается, если в (6.74) разложить arctgjc в степен-
ной ряд:
(6.75)
22 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др,
338  гл. VI, НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ « ФУНКЦИИ [1
Другие интегральны^ представления:
тс
*2
°Ч/ет- <6-76>
и
те
*4
G = jln24-2 У* ttgtdt.	(6.77)
О
те
*4
О — — yln24-2 У* tctgtdt.	(6.78)
О
те
2
±О = — 4In2-f- [ .—	(6.79)
4	1 J (cos/±sm t) sin t	v '
о
те
T
G = vl«2 4- f	(6.80)
‘	8	1 J (sin 14- cos t) sin t	x 7
0
те
*4
G = —41n2 —2 f lnsin/dt (6.81)
J
0
те
7
G = —4In 2-1-2 f Incos/dt (6.82)
J
0
те
"7
±О = уУ*ln(l ±cosO^ + -Jln2.	(6.83)
0
те
*2
G=y’ln(l-f-tg?)^ — -Jln2. (6.84)
u
1] t,l. некоторые константы и системы ЧИСЕЛ 339
1
=	(6.85)
о
1/*Т
F 2
G = — 4г In 2 — 2 /*	(6.86)
2 J /1-^
ОО
0 = f In (1+07^72-7^2.	(6.87)
О
1
С=_"1п2 — 1 р-а^+А dt. (6.88)
4	2 J т< 1 _ /2	v '
о г
1
G = -£-ln2 —	dt.	(6.89)
о	J 1 -j-1*
О
1
о=/'"т±гттх-	<6-9°>
О
о=¥'"2-/'”4т?тт^;	<6-91)
О
1
G=±vln2-4--l f агс^* dt. (6.92)
4	& J 1 — Г
0
oo
°=/ ^fsF^+Tln2, (6,93)
0
1
О = f 77Й4- dt 4--J In 2.	(6.94)
0
00
0 = — f-T^dt.	(6.95)
0
1
G=^ln2 4-y,^j —arctg^j4~7‘	(6-96)
0
22*
34ft< ГЛ, VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [2
1
с= 2/(т~агс,8')г=7ТТ(Г —Т1"2-	<М7>
О
оо
<6-98’
СО
°=н+т/<а'“'е'>’7Грг-	<6-">
Выражения через полные эллиптические ин-
тегралы (см. (6.380) и (6.381)):
1
С = у f K(k)dk.	(6.100)
б
I
G= f E(k)dk — 1.	(6.101)
б
2. Некоторые системы чисел. 1°. Факториалы.
При п — целом положительном
n!= 1 .2-3 ... п.	(6.102)
По определению
0! = 1.
Обобщением понятия факториала является гамма-функция
(см. § 4, п. 5).
При т— целом положительном:
(2m)!! = 2* 4.6 ... 2m.	(6.103)
(2m4-l)!!==l .3-5 ... (2m-4-l).	(6.104)
(2rn)! = 2mrn!(2rn — 1)!!	(6.105)
Число «II называют двойным факториалом числа п.
Выражения для факториалов. обратных
факториалов и их сумм:
оо
"лйГ m (m + 1)... (m 4- п) *	(6.106)
2]	П. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 341
(/14-1)!= 1+ 2 kk\	(6.107)
Sw=£T£2!=chl=1’54308---	<6-108>
Я = 1
S(aThir=iT£2i=shl = l'1752<’1'" <6J09)
л=1
2-^-= cos 1=0.54030...	(6.110)
л=0
S<- 1>Я"1 (2Л—1)! = Sin 1 = °’84147 • • • <6Л 10
Л = 1
S-^- = Zo<2) = 2’27958530---	<6Л12)
л=0
S -ЩпТ1)! =/»(2)= 1’590636855- • • <6Л 13)
/1=0
оо
Етяетж-'ич.	(ели)
л=0
2-^ = ло(2) = °.22389078...	(6.П5)
/1=0
2 7г£тЩ = Л<2) = 9-57672481”-	<6Л,6>
л=0
ЁлН^=-'«(2)-	(6-117)
л=0
Оценки и асимптотические формулы:
]Л^еУп(^)П <п\<еУп(^П.	(6.118)
л!-(у)”.	(6.119)
342 СЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ Й ФУНКЦИЙ (2
4.
(6.120)
в!
Г (1 +1^- + • • •) (Стирлинг).
Я4-к
"io 1 л 1	- «
(6.121)
(2п—1)!! = /2(2в)яе"
(6.122)
/ . 1
г__ I n+ o’ I
п I = у 2-гс I-/
Формула для логарифма факториала:
1пп!=2,п^([у] + Ы + [Й+ •••)'
Р<п
6
в 24лЫ2 (Гаусс).
(6.123)
(6.124)
где сумма распространяется по всем простым числам pt
не превышающим п. ([х] есть целая часть х. См. § 3,
п. 1, 3°).
Делители факториала. Наибольший показатель,
с каким простое число р входит множителем в п!, есть
[-1 + Ы+ •••	(6-125)
L р J IР* J	L Р J
где pft<n, но pft+1>«.
Например, наивысшая степень числа 2, на которую
делится 501, есть
50 . Г 50 1 . Г 50 1 . Г 50 I . Г 50 I
т-НтНт]+Ы+кг471
Следовательно, 50! делится на 247.
2°. Символы Кроне кера 8„ (или 8m/z)
Интегральное представление:
'	*» =	(6.127)
2) I 1. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 343
где {<?*(•*)} — ортонормированная на [а, система
функций.
Например,
те
1	/*
8д=— I cos лх cos/их dx.	(6.128)
— те
3°. Биномиальные коэффициенты |	| или
Сд при п произвольном действительном и т натуральном
определяются формулой
( п \ _ /*(л —1)... (я--т + 1)	j 29.
\т)	т\	*	\ •	/
При п целом положительном
(") = <6ЛЗ°)
\ т / mi {п — m)i
Обобщением понятия биномиальных коэффициентов служит
бета-функция (см. § 4, п. 5, 2°).
Некоторые соотношения между биномиаль-
ными коэффициентами (и, т — целые):
^^ = 0 при и > 0, /»>«.	(6.131)
(:)=(»-»)• <блз2>
O+UiiH-Xt)- <6,33>
(;)+("+')+... +("t‘)=(“+l+4)- <6-134’
(o”)-G) + (2)— + <-1С) = <-1>*('’«1)- (еЛ35>
(2"1+1)+(2"з'1)+	+(2» + 1) = 2’"- (6J36)
(;)+(;)+(?)+<б-1з7)
(?)+(з)+(з)+=2”'-	<6-13®
( о“)+ (?)+ • • • +(»- 1)= 2““!	<6-139>
344 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [2
(2”) + ( з")4" • '• +(»-1) = 22я-г («—четное). (6.140)
Н)-3(з) + 3’(б)-31(?)+--- =
= (-1)"‘^н1п^-. (6.141)
(2)+(з)+(е)+	-т(2а+2со’-т)- <6142>
(”)+(!)+(")+ ••• =|(2' + 2eoS!l±4U). <6143)
(2) + (з) + (з)+ ••• = 1(2”+ 2cosi!*2^). (6.144)
(о) + (») + (з)+ ...=|(2’-' + 2*«»-т)- <6145)
(?)+(б)+(») + ••=|(2"-' + 2^".-^). (6.146)
(") + (б) + (1»)+ ••=4(2'-'-2^osi). (6.147)
(з) + (") + (1")+ ••• =4(2"'-2^«I"-t)- (6J48)
(о")-(2) + (3)-(б)+  =21“8Т- <6149>
(?)-(5)+(s)-(;)+ =2^»'"т- <б15°>
G)+2 (" )+з G)+ •   +(«+>>( “ )=-(»+2> 2-1.
(;)-2(“)+з(")-...+(-1)'-,»(’)=о (»^ix
4G)-1G)+  +т¥г-(:)=-4г- <6153>
(о") + 7(0+1(2“)+- + 7ТтС) = ?^- <6-134>
2(»")+?(г)+?а)+-+^с)=^-<^зз>
2] fl. НЕКОТОРЫЕ" КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 345
(п-ипчш--
... +4- (б-15б)
("t1)+2[G)+("71)+-+(DJ=
= 124-224- ... +«2. (6.157)
(о")(П+(?)(^.)+-+(П(о)=(”Г)-<6-158)
=(.-»)=<г=Жт5г- <6J59>
CT-G7+-+©=<-)”(?)=
(2%+1у-(271)Ч .. ._(2» + 1у = 0. (6.162)
(7+’(7+ ...+»(:) =
=<2»-')(2„"212)=т^>- (6.163)
Биномиальная и полиномиальная формулы:
(«,+<,)'=.2	“»•	(6-161)
*1+Ъ=Я
(^! 4~ + ... Ч~ ар)п —
= У	---re’'e>...ek (6.165)
*1+ъ+«».+*р=л
346 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [2
Некоторые тождества, связанные е бино-
миальными коэффициентами:
п
2 4(а)х*<1-*>”"*=*•	<6Л66>
п
2 £( 2) х‘ < - *>”'*=(> -1) +4 * <6-167>
л»о
п
2(4-4(J)**(1^*)"'*=,£ilF5>’ (6Л68)
А=0Ч
Многочлены Бернштейна Вл(/) функции /(х)
определяются соотношением
п
вп </)=2 (1)х* (1 - х>п_* f (4) •	(6-169>
л=()
Если функция /(х) непрерывна на интервале 0^х< 1, то
последовательность Вл(/) равномерно сходится к / (х) на
этом интервале:
Ии» Вп (/) = /(*)
п -> оо ' Асимптотические формулы: |9Л|< \ п / 1	п+? = \т/ у	п-т+-- т 2 (п — т)	- п и и	л-1 у| / п\к 1Ьп / 2 \“ №0	1.	(6.171) ► 0 при п —> со. (6.172) (6.173)
21
I 1. НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ И СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ 347
р.*+л~й^_А_у“+,4	617
\ п ) У 2ъп \k — 1/
k и I — действительные, k > 1.
(” Г) = ТШ + 2 с«“’"'+0	<6-175>
5=1
Числа Фибоначчи и золотое сечение. Суммы
m
«.= 2 ("-<:+1))
л=о
связаны соотношениями
ая = «я-1 + «я-2* *>2, ^ = #2 = 1.	(6.177)
Числа и„ называются числами Фибоначчи. Имеет место
формула Бине
/1 + Уг5\п _ /1—/5\”
«» = ----—У-----------(6-178)
Приведем последовательные значения чисел Фибоначчи uv
«2» «з» • • •:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Числа Фибоначчи возникают при разложении в цепную
/5—1	1	1	о
дробь числа -—х— = т г T-l • Здесь подходящие
I I* * I* • • *
дроби имеют вид —(я = 1, 2, ...).
к	/5—1
Число а = -—g— называется иногда числом золотого
сечения. Оно определяется как среднее пропорциональное
между 1 и его дополнением до 1:
а2=Ь(1—а).
34S ГЛ. VL НЕКОТОРЫЕ- СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
п
В античной эстетике считали, что, например, прямоуголь-
ник с отношением сторон а или эллипс с отношением осей а
особенно приятны для глаза. Отсюда и название золотое
сечение.
§ 2, Числа и многочлены Бернулли и Эйлера
1. Числа и многочлены Бернулли, Для получения сте-
пенных разложений многих функций оказываются полезными
специальные последовательности чисел, например числа Бер-
нулли и Эйлера.
1°. Числами Бернулли Вп(п — 0, 1, 2, ...) называются
коэффициенты разложения в степенной ряд функции t(e*—I)”*1
при 111 < 2тс;
•?^t=2s"£-	<6179>
Эти числа появились у Я. Бернулли (Ars Conjectandi, 1713)
в связи с задачей о суммировании степеней натуральных чисел.
Числа Вп фигурируют в степенных разложениях функций tg t,
tht, tctgt, tciht и др., в формуле суммирования Эйлера —
Маклорена, в асимптотическом представлении гамма-функции
Эйлера.
Не существует единообразия в обозначениях чисел Бер-
нулли. В некоторых работах через Вп обозначают то, что
в обозначениях данного параграфа есть или В2л> или | &2п !•
Рекуррентные соотношения. Из соотноше-
ния (6.179), переписанного в виде
оо
Л = 0
после перемножения рядов в правой части и сравнения коэф-
фициентов при одинаковых степенях /, следует
Сд + 1ВЛ —“Ь •••	+	Л+1 “F • ••
•••+с:+1В1+во = О (6.180)
или, в символической форме,
(14-В/+1 —(6.181)
1]	§ 2. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА 349
где после возведения в степень по биномиальной формуле
все показатели степени следует заменить индексами.
Так как
оо
= 2	^2*+1 (2Л +1)! •	182)
&=о
то все числа Бернулли Вп с нечетными индексами, начиная
с п = 3, равны нулю. Все числа Бернулли с четными индексами
отличны от нуля, причем В2п положительны при п нечетных
и отрицательны при п четных (см. (6.194))
Формула Лапласа
	1 2!	1	0	... 0	
	1	1			
	3!	2!	1	... о	
Вя = (-1)л«!	1	1	1	п	(6.183)
	4!	3!	2!	и	
	1	1	1	1	
	(Л+1)1	п!	(«-1)1	••• 2!	
дает явное выражение значения числа Бернулли через его
номер.
Числа Бернулли рациональны. Это следует,
например, из предыдущей формулы.
Теорема Штаудта. Каждое число Бернулли ВЛ
может быть представлено в форме
Вп = Са-^-^[,	(6.184)
где Сп есть целое число, а сумма распространена на все
k > 0 такие, что k 4- 1 — простое число, a k есть дели-
тель п.
Например, для п = 6 делителями п будут числа Л=1.'
2, 3, 6. Прибавляя к каждому из них единицу, имеем
числа 2, 3, 4, 7, из которых простыми являются 2, 3, 7.
п	D .	1	1	1	1
Следовательно, В$ = 1 — у— у— у =	.
35(У ifr. Vt: НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [1
Некоторые числа ‘ Бернулли:
^о-1'	в\—	"2’ В2 —	.	#4~ зо"»
о ___ 1 о _________ 1 о _______ 5
°6 — 42 ’	8	30 » °ю 66 >
о ®91	„ _7 R _	3617 R 43867
#12 —~ 2730 ’	14~ 6’	36—	510 •	18“ 798 ’
_	174611 д _ 854513
"20 —	330 * #22 — 123 ’
R	236364091 д _ 8553103
#24	2730	’	#26 —	6	’
„ _	23749461029 R _ 8615841276005
#28 — —	870	• #зо— 14322
o 7709321041217 д _ 2577687858367
#Э2 —	дю • #34	6	’
д _	26315271553053477373
#36—	1919190
n 2929993913841559 д _	261082718196449122051 '
#38 —	§	’ °40 —	13530	*
Некоторые степенные разложения с коэф-
фициентами, выражающимися посредством
чисел Бернулли. Так как — cth — —	----I- —, то иэ
2	2 е* — 1	2
(6.179) следует после замены t на 2t, что
со
Sn2W п 12^ '
- Id <*.	(6.185)
Л = 1
Используя соотношения
tfcthtt = fctg/» tg/ = ctg/ — 2ctg2/,
t cosec t = t ctg 14-/ tg ,
th t = 2 cth 2/ — cth t,
csch t — — cth Z — cth у,
If Fe. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА 351
получим
tctgt — 1 +2 1~1(УВ2я/ая> |Л <*• . (6.186)
/1=1
|(|<^. (6.|87)
п=1
f cosec 2 = 1	(2~(227)!(~1)П в^гл' 1Н<«. (6.188)
/2 = 1
оо
th^=2^Srk^2',’5 И<Г <6Л89)
/2 = 1
/csch/=14-S^^-B2Z’*1. 1П<«. (6.190)
/2 = 1
ОО
/2=1
11	|<|<-J. (6.192)
/2=1
,„М = у(-1)^'2”(2"-'|(|<. (6.193)
Г жм	П \£П/1
/2 = 1
Выражение сумм некоторых числовых ря-
дов посредством чисел Бернулли. Из сопоставле-
ния разложения (6.186) и
ОО	оо	оо
tctgt = 1 + 2 2	= 1 — 2 2 2 i
/72 = 1	Л=1	/Я=1
следует
m=l
352 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ fl
Из формулы (6.194) следуют равенства:
_ (-1)"-' (2*)2« д
~	2 (2 л)!	2я‘
(6.195)
«>•>«»
m=l
V 1	__ (—1)П“1(22Я—l)»2" д
(2m — 1)2Л	2f2n\! Dia'
т-\
2 (2л)!
(6.197)
В частности,
= В2^ =
Sr nm+l _L. ^2д2 — 2EL
к 4	т2 “ 2 ~ 12 *
т=1
S°°	1	_ЗВ2Я2 «2
(2m—1)2~ 4	8 *
т=1
V 1 ____ л2
m4 ~~ 90 *
т-\
V 1 — я*
Zi т* “945 *
лг = 1
V ”8
-«im8 — 9450’
пг=1
(6.198)
(6.199)
(6.200)
(6.201)
(6.202)
(6.203)
Некоторые интегралы, выражающиеся по-
средством чисел Бернулли. Интегральные пред-
ставления чисел Бернулли. Из соотношения
СО
1	1	di
mia	ai
0
6 •
IJ 8 2. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА -	353
и (6.194) следуют соотношения:
оо в».=(	(6.204)
	(6.205)
*2П-( О	J	
В2п = (—l)""12л (2я ~1} f t2n~2 In(1 — е'2*')dt. о	. • В -( i)«-'PY” 4n P2n'ldt-	(6.206) (6.207)
°2п — ( и	22л—1 J shpt ai- 0	
д —( n” п	/ (In*)2””1.jv а2п — ( V 22Л-мл J 1—х ах:. 0 д — (	iy*-i.	Г (ln^)2/z	(6.208) (6.209)
2п ' 1'	(1—22Л)я2Л J 1—72 0 • В -( IV»- 4я	/(1п<)2Я-~1^- • '	-	
	(6.210)
£>2л—(l—22n)n2nJ 1—t2 :	*	’ о	-	
1  в2я = (-1)я^ f (ГпО2Я-‘ 0		 -	(6.211)
1 Я —( 1V2-1	/ Ли - "Ь^ j/	(6.212)
П2п — \ U ^zn 1) k2/z J v” (1 — t2)2 °4 ’ 6	
7 =c-ir-	/(in tg O’”-'	• 0	(6.213)
0	(6.214)
23 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
354 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЯ [1
2°. Многочлены Бернулли определяются формулой:
Вп (х) = (х + В)“ = J (") Вкх*-*.	(6.215)
*=о
В ряде работ вместе с многочленами Вп(х) вводятся много-
члены
^п{х) = Вп{х)-В^	(6.216)
Из (6.215) следует, что
^(0) = ^ ?я(0) = 0.	(6.217)
Производящей функцией для многочленов Бер-
нулли является функция — I)*1. Ее разложение в сте-
пенной ряд, сходящееся при 1tJ < 2я, имеет вид
text	- I)"1 = 2 В„(х) - J.	(6.213)
л«0
Разностное уравнение
/(х4-1) —/(х) = лхл-‘	(6.219)
удовлетворяется многочленом Бернулли. Это вытекает из
(6.218) и соотношения
/<?(ж+1) f (е' — I)-1 — text (? — I)-1 = text.
Рекуррентные формулы. Дифференцирование
(6.215) дает
я;(х)=пВ„_1(х).	(6.220)
откуда
В„(х) = £1/г(0)4-й/вя_1(х)4х.	(6.221)
О
1)	§ 2. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА 355
Некоторые многочлены Бернулли:	
В0(х)=1.	(6.222)
В1(х) = х — у.	(6.223)
В2(х) = х2—х4--|.	(6.224)
В3(х) = х3 — ух24-1х.	(6.225)
В4(х) = х4 — 2х3 4-х2	X. oU	(6.226)
В5 (X) = X5 — X4 4-у X3 — -g- X.	(6.227)
В6 (х) = Xе — Зх5 4-у X4 — у X2 4-'	(6.228)
В7 (X) = х7 — 1.x8 4- у X5 — X3 4-g- X	(6.229)
В8 (х) = X8 — 4х7 4- у X6 — 4 X4 4- у X2 — 4.	(6.230)
В9 (х) = х9 —	х8 4- 6х7 — 4 х5 4~ 2х3 —	х.	(6.231)
В10 (X) = х10 — 5х9 4- у X8 — 7х« 4- 5х4 — -g-x2 4- .	(6.232)
Нули многочленов Бернулли. Имеет место фор- мула B^-x) = (~V)nBn(x),	(6.233)	
откуда, при х = 0 Вя(1) = (—1)ЯВЛ,	(6.234)
и, так как B2ft+1 = 0, то	
ВЯ(1)-ВЯ = ВЯ(1)-ВЯ(0) = 0 для всех п. Из (6.216) и (6.235) вытекает, что	(6.235)
Ъ(0) = ?„(1) = 0.	(6.236)
Из (6.233) при л = 2£4"1 лля х = -^ следует	
^2»+1 (у)	#2»+1 (у)	(6.237)
23*
356
ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ :
П
ИЛИ
Ф2*4 1(у) — 0*
(6.238)
На отрезке [0, 1] многочлены <?л(х) с четными индексами
обращаются в нуль в точках х — 0 и х = 1 и только в этих
точках; многочлены <рл (х) с нечетными индексами обращаются
в нуль в точках х = 0, х = у, х = 1 и только в этих
точках.
На интервале (0, 1) многочлены ^(х) с четными индек-
сами знакопостоянны, имея знак (—1)*; многочлен (х)
имеет на интервале (в, знак (—а на интервале
(у, знак (—1/.
Теорема умножения для многочленов Бер-
нулли:
т-1
Вп (тх) = тп~1 2 Вп (* 4~) •	(6.239)
5 = 0
Это соотношение следует из того, что
V (т*)*п_______ emxti ___JL^^0 +^+ ...
21 п\	г* —1	т	emt—l
г=0
т-1 (жч ~)т/	т-1 оо п (х f _£Д mntn
_ _1_ V £__ 1 У У \ ф т)т 1
т emt_______________1 т 21 21 п\
5=0	5=0 /г=0
(6.240)
Тригонометрические разложения многочле-
нов Бернулли на интервале (0, 1):
оо
О / Ч	1 V sin2rcmx	/с
^(х) —X — -2 = — 2j т •	(6,241)
т=1
вя (х) = 4- S	.	(6.242)
т=1
1] S 2. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА 357
=	(6.243)
т=1
( 1)” 1 D (х\ —	1 V1 2 * * s'n	24л\
(2n + l)l °2n+iW 22Лл2Л+1 m2n+l ' 'У-й^>
m=l
Интегральные представления многочленов
Бернулли на интервале (0, 1):
оо
в,. « = (-1)"*'2»<6-245>
О
(п=1, 2, ...).
оо
Ва+, w=(-1)"' <2»+1) / c-raSSsi <“	(б-246)
О
(n = 0, 1, 2, ...).
Применение к суммированию степеней на-
туральных чисел. Придавая х в (6.219) значения 0, 1,
2, ..., р и суммируя, получим
5=1
или, заменив п—1 на л,
2 sn = б«+1</,+^)-Дя+1 (	(6.247)
5 = 1
Например:
р
=	+')- Ь = | (р» +1	+ £) =
‘ )№ + !). (6.248)
р
= вл£±о=а = |(^2р.+л=£<г+0!.
4-1
(6.249)
358 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
(1
Р
Ss.=^a^=.(p5_^. + 3p>_f)=
5=1
= 1 р (р 4-1) (2р + 1) (Зр2 4- зр - 1). (6.250)
р
+1)-В6 ==Цр6_ 3Р5 + 5 Р4_	=
5=1
= ^p2(p + l)2(2p2 + 2p + l).	(6.251)
Формула Эйлер а—М аклорена устанавливает связь
между интегралами и суммами:
т	Г	m—1
f/Wux= tw+/S!i+^/w
-2 w17'2^1’
(6.252)
Если функция f(x) и все ее производные, встречающиеся
в формуле (6.252), стремятся к нулю, а производные четного
порядка отличны от нуля и все имеют один и тот же знак,
то формула суммирования имеет место при /п == оо, если
входящие в нее сумма и интеграл сходятся.
Формула Стирлинга получается из формулы Эйлера—
Маклорена, если в последней положить /(х) = 1пх и ниж-
ний предел интегрирования сделать равным единице:
т-1
In k = т In т — т — In т 4-1 4"
*=i
л-1
<6-253>
г = 1
При п = 2 из (6.253) вытекает асимптотическая фор-
мула Стирлинга для факториала (см. (6.121»:
т\ж 2 е~т.	(6.254)
2]	§ 2. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА 359
2. Числа и многочлены Эйлера. Г. Числами Эйлера
Ek(k = 0, 1, 2, .*.) называются коэффициенты разложения
в степенной ряд функции
sch t — Ek ,
fe=0
п
4 “2
Отсюда, в силу четности функции sch t = ~t
Эйлера с нечетными индексами равны нулю
(6.255)
числа
^2m+i = 0	(т= 1, 2, «..).	(6.256)
Рекуррентные соотношения. Из (6.255) следует
п=0	й=0
откуда Ео = 1 и
е» + ад + ад+ ... +СЙ-!Ег.-г + Е!л = 0. (6-258)
В символической записи
(£_|_ 1)« -НЕ— 1)п = 0, Ео=1.	(6.259)
Некоторые числа Эйлера:
Ео=1, Е2 = —1, Е4 = 5, Е6 = — 61, Е8— 1385,
Е,о = — 50251, Е12 = 2702765
Е„ = — 199360981. Е]6 = 19391512145.
Е18 = — 2404879675441. Е20 = 370371188237525.
Все эйлеровы числа целые. Это следует из рекуррент-
ных формул для получения Ek. Знаки двух соседних чисел
с четными индексами противоположны.
Теорема Сильвестра. Если а, р, ?> ... — дели-
тели числа п — т, то разность Е2а— Е2т делится на
360 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [2	(
те из чисел 2а + 1, 2{5 + 1, 27 +1.которые являются
простыми числами.
Связь с числами Бернулли, Исходя из тождества
2х
1 е2ЛГ —1
2хе~х
ех + е~х ’
получаем
/2 = 0	/=0	/и=0
откуда
*,=-(6.260)
Исходя из тождества
4х' (е3х _ gX) _______
— еХ^е
получаем
откуда
р _ (4В + 3)*-(4В+1)*
ck-l----------9k	'
Из последнего соотношения следует, что
“ii£!.=(S + |p'-(B + lf. (6.262)
откуда, учитывая (6.215) и (6.233),
, 2<*+»	(6.263)
Знаки чисел Эйлера. Как следует из изложенного
на стр. $56, В2л+1 (х) на интервале (о,	имеет знак (— I)**1»
следовательно, E2k имеет знак (— 1)*.	(
Некоторые степенные разложениям коэф-
фициентами, выражающимися посредством чи-
2j § 2. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА 361
сел Эйлера. Замечая, что secf = schtf, получаем
sec t = £ (- !)*	/2* 111 < .	(6.264)
ft=O
Интегрируя последний ряд, получаем
ОО
|пМт+4)1=i'i <f • <6-265>
£ = 0
Интегрирование ряда (6.255) дает
оо
arctg е* — + 2 ’S’	-1-1)] •	(6.266)
*-о
Выражение сумм некоторых числовых ря-
дов посредством чисел Эй лера. Полагая в (6.244)
x = -j- и учитывая (6.263), получаем
!____L__J____1_____1___l.	Z6 267)
32*+» ' 52*+1	7»*+« 1 ‘ ‘	4*+i (2ft)! *' ’	'
Например.
2 (—l)"1 2m 4-1 ~ Т ’	1)'" (2m 4- 1)з= t32• (6-268)
m*0	т«0
Интегральные представления чиселЭйлера.
Из (6.246) и (6.263) следует
£2п = (—1)"22«+1р2Л8с11(те()Л (д = 0, h 2, ...). (6.269)
О
2°. Многочлены Эйлера определяются формулой
п
E.W=(-»-|+4)* = S(;)2-‘E.(»—|)" . (6.270)
ft-0
где Ек — числа Эйлера.
362 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [2
Производящей функцией для многочленов Эйлера
является функция 2г-*'(е* I)”1. Ее разложение в степен-
ной ряд, сходящееся при j t ] < те, имеет вид
ОО	.
=	<6.271)
fc = 0
Разностное уравнение
/(* + 1)+/(х) = 2х« ’	(6.272)
удовлетворяется многочленом Эйлера Еп (х). Это следует
из соотношения
2е<*+1> t (ег _|_ 1)-»	(et I)"1 = 2Л
Рекуррентные формулы. Дифференцируя (6.270),
получаем
£;(х) = лГл_1(х),	(6.273)
откуда
£л(х) = Дй(4) + п / E^xydx. (6.274)
1
2
Так как £п^^ — 2~пЕп (см. (6.270)), то
Ея (х) = 2~"Е„ + « /	(х) dx. (6.275)
1
2
Из соотношения
2^»^4-1)-’в2£г(х)^ 2 -S- = 2£»(^ + l)-S
г-0	m-О	д«0
следует рекуррентная формула
п
Еп (х + 1) =	(г ) Е' (*)•	(6-276)
7-0 4
2] S 2. ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ БЕРНУЛЛИ И ЭЙЛЕРА 363
или, учитывая (6.272),
Е„ (х) = 2х« - 2 (?) Ег (х).	(6.277)
г=0
Некоторые многочлены Эйлера:
£0(х)=1.	(6.278)
Е1(х) = х-(6.279)
Е2 (х) = х2 — х.	(6.280)
Е3(х) = хЗ_|х2+|.	(6.281)
£4(х) = х4—2х34-х.	(6.282)
F5(x) = x5—Jx4+-|x2-1.	(6.283)
£6(х) = х6 — 3х54-5х3—Зх.	(6.284)
Е7(х) = х7-1х®+^-х4-^-х2-|--^-. (6.285)
Еа (х) = х8 — 4х7 + 14х5 — 28х3 — 17х.	(6.286)
Связь с многочленами Бернулли. Исходя из
соотношения
xt / t	X-1	. .. t	xt x .	.4_i
/z? 2 (e. 2	) — tJx* (et—\)-'—te 2 («' — 1) .
получаем
E„-x (x) = «->2» { Ba (A+l) _ Bn (4-) } =
= n"72 { Bn (x) - 2aBn )}. (6.287)
Тригонометрические разложения много-
членов Эйлера. Используя тригонометрические разложе-
ния многочленов Бернулли на интервале 0 < х < 1, получаем
Е2к(х) = (— 1)* 4 (2k)! 2 [(2л Н-1) я]-2*-1 sin (2п +1) гсх
п = 0
(п= 1, 2, 3, ...).	(6.288)
Ezk+i С*7) =
= (—1)*+‘4(2А+1)! 5 [(2«4- 1) ГС]"2*"2 cos (2л-4-1) гсх
л=0
(я = 0, 1, 2, 3, ...). (6.289)
364
ГЛ. VT. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
Теорема умножения
т-1
Еа(тх) = т»<-1УЕп+ 4)’	« = 2* + 1  (6.290)
г=0
т-1
ВДЯж)=-2Я«(»+1)’1 2(-0гВя+1(х+^), m — 2k.
г=0
(6.291)
Интегральные представления многочленов
Эйлера получаются аналогично представлениям мно-
гочленов Бернулли
оо
£ (х) = (—1)"4 [-сЙ——У'(6.292)
2л v 7 v 7 J ch 2nt — cos 2nx	4	7
о
(0<x<l; n = 0, 1, 2, ...),
oo
£	(x) = (—1)"+,4 f	dt (6.293)
2»+iv /	\ j j ch2itf—cos 2лх '	'
0
(0<x< 1; n = 0. 1, 2, ...).
§ 3. Простейшие кусочно-линейные функции
и дельтаобразные функции
1. Кусочно-линейные функции. 1°. Абсолютная
величина х (обозначается |х|):
и=
о.
х.
х < 0,
х = 0,
х>0.
(6.294)
|x+y|<kH-|y|. к — у|>||л| — |у||. (6.295)
Биномиальное разложение, | х j < 1, | х | = )/4 — (1 — х2):
=	да»)
Й-2
1)	§ 3- ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 365
Приближение многочленами Бернштейна (см. § 1, п. 2)
четной степени, | х | С 1:
(6.297)
Приближение многочленами Фейера, | х | те:
I XI == lim = lim
/2->ОО	Л->ОО
П-1
те 8 V4 п — k
Т—Т 21 2л — 1
#=1
cos (2k — 1) х
(2k — I)2
(6.298)
Разложение по многочленам Лежандра Рп(х) (см. гл. IV,
§ 4, п. 5), |х|< 1:
И= S «Л(4
а2Л+1“0’	а2 = '§'* a2ft“( l)ft+1(4A-[~l)	4-2)!!*
(6.299)
Разложение Фурье, | х | < те:
I r I_ тс 4 cos (2£ 4~ 1) *	/<? ЧПОЧ
।Х । ~ 4 ~ те 21	(2k + I)2	* (b.dUU)
л«о
Интегральное представление:
оо
I .	2 С 1 — cosxf ,,	/лоам
1XI = - J ------Гг--dt.	(6.301)
о
Многоугольные функции, приближение не-
прерывных функций многоугольными. Пусть
даны точки Ai(xlt yz) (Z = 0, 1, 2, и, ...). Функция
fn {X) = уо + -у- [ X — хо +1 X — хо | ] 4-
д-1
+ у 2 (А/+1 — kt) [(х — Xi) 4-1 х — xt I ]. (6.302)
/=1
где kt =	называется многоугольной, ее графиком
366 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ (1
является многоугольник АцАгА2 ... Аа,
в виду, что
1	(О
^[х—а-(-|х —а|] = {
2	I х — а
Следует иметь
при
при
х > а.
х < а,
Если f(x) — функция, непрерывная на [а, #], то раз-
биению а = Xq < хг < х2 < ... < хп = b отвечает много-
угольная функция, графиком которой является вписанный
в график функции многоугольник с вершинами в точках
(xt, yz), — (i — 0, 1, 2.........n).
Каждая непрерывная функция есть равномерный предел
многоугольных функций.
Учитывая разложения (6.296) — (6.301), получаем, что
любая многоугольная функция, определенная на произволь-
ном отрезке [а, д], является пределом сходящейся равно-
мерно на [а, последовательности многочленов (теорема
Вейерттрасса).
Базис Шаудера. Многоугольная функция
ЛрС*) ==р7~7(1 х~ а1 — |2х — а — р| + |х — Р|), а< ₽.
(6.303)
равна нулю вне интервала (а, р); на интервале (а, р) гра-
фиком ее является равнобедренный треугольник с высотой 1:
Лф(*)в0‘ <*<«. х >Р;
Л? (*) = 2х — 2а, х < °
(6.304)
^(х) = — 2х4-2р,
Пусть у = / (х) — непрерывная функция на интервале
(а, Р). Введем числа
^(/) = /(2Г1)-| (/(«)+/(₽)].	(6.305)
Базисом Шаудера называется последовательность функций
на [0,1]:
1, х, F0I(x), F ±(х), Fl (х), F £(х),
и" 2	2’	’4
Fi_ •••• Fj_ л-1 (х),...
4’2	2* ’ 2*
(6.306)
(1 = 0, 1, ..... 2*—1; Л = 0, 1, 2,
1
1] П. ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-Л ИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 367
Любая непрерывная на интервале fO. 1J функция f(x)
разлагается, и притом однозначно, в ряд
/(x) = /(0) + (/(l)-/(0)U +
со 2fe-l
+2 2/(	<+1(х). (6.307)
1=0	- • - -------- , -
2^	2^	2^	2^
Частичная сумма последнего ряда
S„ (х) = f (0) + [/ (1) - f (0)1 х 4-
п 2*-1
/+1(х) (6.30&)
К = 0 I = 0	, • —-	.—,  
2«	2*	2*	2^
имеет своим графиком ломаную, вписанную в кривую у = f (х),
с вершинами в точках , f j (Z = 0, 1, ..., 2rt).
Производные от функций базиса Шаудера образуют
систему функций Хаара (см. (4.24) и (4.25)).
2°. 3 н а к х (сигнатура): sign х.
	—1	при	х < 0,
sign х ~ 	0	при	х = 0,	(6.309)
или sign х = или sign х — t	1 х ;Гх[ 1 о lim 1 ОО	при х>0 при х #= 0, (6.310) при х = 0 9 — arctg пх.	(6.311)	
Разложение Фурье:
4 V1 sJn (2& ~rl) х t .
signx = ~JL	ИО- (6.312)
fe==0
Разложение по многочленам Эрмита (см. гл. IV, § 4, п. 10):
sign X = 2 (— 1)«Н2я+1 (х).	(6.313)
368 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [1
Интегральное представление
хт
signx = lim у* -^—-dt.	(6.314)
о
Последовательность знаков синуса (функции Радемахера)
рл (t) = sign (sin 2Aitf),	(6.315)
rk (t) — sign (sin 2knt).	(6.316)
3°. Целая часть x (обозначения: [x], entierex, E(x)).
Если x = /i + r, n— целое, 0<>< 1, to [x] = n.
Имеют место следующие соотношения:
[* + У1>[х]-Ну].	(6.317)
= п—целое.	(6.318)
W+[*+t]+ ••• +[* + 24±] = 1и*1- <6-319>
Если р и q — взаимно простые целые числа, то
[|ЖЖ]+ - +[<^>£]=
(6.320)
— 51 + $г + ••• +5л+ ••• 4"V (6.321)
где sk — число делителей числа k.
Разложение Фурье
X — М = у — v У -sln^ (6.322)
Д = 1
(х =/= О, ±1, ±2, ±3, ...).
Функция {х} = х — [х] называется дробной частью числа х.
Это есть периодическая функция с периодом, равным еди-
нице.
1] S 3. ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 369
4°. Расстояние до ближайшего целого числа
(обозначение: (x)J:
(x) = min {х —[х], 1-4-[х] — х}.	(6.323)
Функция (х) — периодическая с периодом, равным единице.
Разложение Фурье:
/	_ 1	2 * У СО82л (» + !)*	zfi ч24ч
W—4 2d (2л4-1)«	•	(6.324)
п = 0
5°. Функция скачка 1 (х) (единичная функ-
ция Хевисайда):
I 0	при	х < О,
1(х)= .	. _	(6.325)
(1	при	х>0.	'
Прямоугольный импульс
{О при х < а, х > 8,
1 пр»	’>" <6-326’
Если f (х)— функция, непрерывная на [а, д], то после-
довательность функций
/„ (*) = S / (**) 11 (X - хй) - 1 (х - хй_!)1 (6.327)
равномерно стремится к f (х) при неограниченном измель-
чании [а, на частичные интервалы точками xk\
а = х0 < хг < х2 < ... < хп = Ь.
6°. Изображение некоторых кусочно-линей-
ных функций при помощи интегралов и рядов:
,/2 fsinfca t wt J 1
У Vj — cosU*= 0
0	4
при
при
О < х < а,
х^а.
О
2 V 2а . лте	ппх
Zr X — sin -у-cos—-
а	ъп 2	а
{1 при 0 < х < а,
О при х > а.
-4-1 при 0 < х < ув,
—1 при •^а<х<а.
(6.328)
(6.329)
(6.330)
24 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др.
370 ГЛ. VL НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ (1
СО
0<х<а.	(6.331)
п-\
iy_£_sln-^ = i_A
а Ал ъп а	а
О < х < а, (6.332)
Л=1
2 V 2дг
а АЛ тс2и2
Л = 1
. пк . пкх
sin —н- sin----=
2 а
при
при
Л	1
0<X<2S1
<_o.
(6.333)
1 — 6	и
-g-U-COS-y
KU2
cos
ut ,
~Vdtl =
при 111
1 — 9.
(6.334)
х
а — х
О при |/|>.l.
f°sin8T	t л fl-Id при |/|<1,
J «f2	l о	при Id>l.
00	.	Л
1 при 0 < x < a,
CO
L f ^LZ03Zxdz=	при	x = a,
о	л
О при x > a.
(6.335)
(6.336)
—1
0
1
dx —
lim -уУ* s-°cos(x — a)tdt =
при а < О,
при а = 0,	(6,337)
при а > 0.
0 при х<а — Л.
~ при х — а — h,
1 при а—А<х<«4-Л,
-i- при x = a-\-h,
О при х > а + Л.
(6.338)
2]	§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 371
2. 8 (дельта)-функция. Последовательность функций
{яДх)} называется слабо сходящейся на интервале (a, b)t
если для любой непрерывной функции / (х) существует
предел
ъ
lim Г f(x)U'(x)dx.	(6.339)
V->OO J
а
Если последовательность {«, (х)} удовлетворяет условиям:
1. Каково бы ни было Л4 > О при | а | At, | b | At
ь
J «, (х) dx
а
(6.340)

II. Для фиксированных а и bt | а | > 0, | b | > 0,
Г z ч j (0 ПРИ # < b < 0 или
lim I «v(x)dx = {
*->оо^	( 1 при я<0<£,
0 < а < Ь,
(6.341)
то предел (6.339) существует, не зависит от выбора после-
довательности {«v(x)} и равен /(0). При этом предельный
элемент сходящейся (слабо) последовательности {av(x)} на-
зывают дельта-функцией*. 8(х). Итак,
ь
J f (х) 8 (х) dx = f (0).	(6.342)
а
Последовательности, удовлетворяющие условиям I и II,
называются дельтаобразными.
Примеры дельтаобразных последовательностей:
«,(х) = ~~ е» . s>°> и,(х)->8(х),	(6.343)
g<(x)= 2^_ е~ />0, и/(х)->8(х).
(6.344)
и,(х) = —-, 0 < v < оо, а, (х) —> 8(х). (6.345)
24»
372 гл- VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [2
Простейшие свойства дельта-функции:
8(—х) = 8(х).	(6.346)
/ (х') Цх' — х) = / (х) 8 (х' — х).	(6.347)
х8(х) = 0.	(6.348)
8<fW) = S-7PW-=2-T7rar' <б-349>
$
где х3 — простые корни уравнения с? (х) = 0.
8(ах) = -^-.	(6.350)
I ** I
8 (х2 — а2) = 8 ~	8(* + а) .	(6.351)
2 | X j
|х|8(х2) = 8(х).	(6.352)
Сходимость приводимых ниже разложений в ряды и ин-
тегралов понимается как слабая сходимость.
Разложение Фурье, |х|<^/:
8 (X - Х9 =	+ Т S cos -П1С {ХГ Х } ’ (б-353)
/2 = 1
Разложение по бесселевым функциям (см. § 4, п. 6),
О l/’rrr \Sn	( S/l ~~R )
8(r'-r) = S^-----------  5 / V..*L' <6-354>
Л = 0	m
Разложение по многочленам Лежандра, | x |	1:
8(x'-x) = 2 21+Lp„(x')P„(x).	(6.355)
/2 = 0
Разложение по многочленам Эрмита:
00	x9+xfS
8(х'-х)=27^-г~^_Hn(x')Hn(x). (6.356)
2J
§ 3. ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИИ 373
Интегральные представления. Интеграл Фурье:
со
3 (х' — х) = У* cos k (х' — х) dk,
— ОО
Интеграл Фурье — Бесселя:
со
5 (г' - г) = /7Т7* f Jm (kr) Jm (kr') dk,
0
co
3(r,) = r' f kJ0(kr')dk.
0
Свертка:
oo
J 8(/ —|*i)8(f —|*2><й = 3(Н1 —p-j).
—OO
(6.357)
(6.358)
(6.359)
Производные дельта-функции:
3(x)=l'(x).	(6.360)
J/(x)3'(x —A) dx = -/'(*).	(6.361)
"-CO
//(x)8w(x —/i)dx = (—1)7W(*).	(6.362)
—co
Ряды дельта-функций:
cosx+cos2*+ • •• -|-cosnx4- ...=
= —l-l-Tt —2irn). (6.363)
— OO
sin x 4- 2 sin 2x ... 4- n sin nx 4" • • • —
= _ « 2 (x — 2wi). (6.364)
—OO
cosx4-4cos2x4- ••• 4~re2cosftX 4~ • • • =
=« 28" (*—2™)- <6-365)
••00
374 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ
(1
§ 4. Простейшие специальные функции
1. Эллиптические интегралы. Определения. Любой
интеграл вида

dx,
где R(x)—рациональная функция от х, а Р(х) — многочлен
третьей или четвертой степени, может быть преобразован
к сумме интегралов, приводящих к элементарным функциям, и
к интегралам, называемым’ эллиптическими интегралами
в лежандровой нормальной форме. Это следующие интегралы:
Эллиптический интеграл первого рода
sin
F(k, <?)= ( -г-  .....(6.366)
У /(1—х2)(1 —Fx2)
Эллиптический интеграл второго рада
sfn
Е(Л, ?) = /	(6.367)
Эллиптический интеграл третьего рода
sin-
П(А. X, ф)= Г ------------?^===.' (6.368)
Иногда применяются обозначения: F(<?, k), Е(<?, k)
н П(<?, X, k).
Параметр k называется модулем этих интегралов, а чи-
сло X—параметром интеграла третьего рода, £2< 1.
Число kr = У' 1 — k2 называется дополнительным мо-
дулем.
Вместо k часто вводится а, причехМ k = sin а.
Если положить x = sin<p, то эллиптические интегралы
приводятся к нормальной тригонометрической форме:
<р	<р
™ =/<- <W69)
1]	$ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ’	375
?	_______________ Ф
Е (k, ср) = J* У1 — k2 sin2 ф dty = J* Дф t/ф,
о	о
(6.370)
П (А, X, ср) — У*	yi-tf sin2 j — f (14-Х sin2 ф) Дф ’
2___________ (6.371)
где Дф — У1 — k2 sin2 ф.
Для нередко встречающейся комбинации этих интегралов
принято обозначение
<р
гл/х. \ Е (k, <р) — E(k, ф) Г sin2 ф ,,
D(k, <?) =	= J =
sin <р
х* dx
(6.372)
— хг) — кгх*) ‘
Представление в виде, ряда:
F(k. ?) = л0 + |л1л2+^л2^ + -Ь|1|лз*б+....
(6.373)
Е(А, <р)х=8Л0-4л1Л2-11.Л2Л<-11^.Л8Лв-
“ 27ЙПГ(6.374)
где
Л„ = Jsin^ada (л = 0, 1, 2. ...).	(6.375)
о
Коэффициенты Ап можно вычислять последовательно по
формулам:
Л0==<р, Лл^^1лй_]-А-со5?51п2«-1?. (6.376)
Если <р близко к -у, то удобно пользоваться формулами:
F (k, <f) = F (k, у) - F (k, ?1),	(6.377)
; E(k, <р) = е(л, у) — E(k, ^H-tfsinfsinft, (6.378)
376
ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
(1
где ср1 определяется из равенства
sin<pl=-7=f.°sy.	(6.379)
Yl /1 —’
Если верхний предел интегралов равен у (<р =	, то
получаются полные эллиптические интегралы.
Полный эллиптический интеграл первого рода
2	1
/, f dy   Г_______________________________________
V' 2J~J ty—J /(1 — х2)(1 — kW) ‘
о о
(6.380)
Полный эллиптический интеграл второго рода
2	1	______
E = E(k, -J) = J\<?d<? = У*	(6.381)
о	0	"
При этом
D = D(k, =	(6.382)
Представление в виде ряда и произведения:
*= у 11 + 2 [	*4 •	(6-383)
I П = 1	I
<б-зм>
’	Д=1	'
Р = к525^Гг[тЙг]1]2а2Л"2>	(61385)
<Ю	1 _1Л1_£2 /
(6.386)

Рис. 7. Эллиптический интеграл первого Рис. 8. Эллиптический интеграл второго
рода F (k, ?); у = const, k = sin а.	рода Е (k> <р); == const, k = sin а.
2J
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
379
При Л, близких к 1, применяются формулы:
к = т + (I)2 (m - 1) е + (I4)2	- 1 - зМ k'* +
+(4^)2(—	<6-387>
£=	2^(ОТ—ТУ” Тт)*'
, 1*.3».5	2	2	1 \мв	,
+ 22-42*6	\	1-2	3-4	5*6/	‘	(6.388)
о	1	4
Здесь tn = In ~~гт.
k
Некоторые интегралы:
/«‘=_>£=™Г5.	(6.389)
f	(6.390)
$ Kkdk = E— 1г,2К=&(К—D).	(6.391)
/1 Д_ Ь2 k'*
Ek dk =	£—к. (6.392)
Графики эллиптических интегралов даны на рис. 5, 6, 7, 8/
2, Интегральные функции. Определения. Инте-
гральными функциями называются следующие определенные
интегралы:
Интегральная показательная функция
X
Ei(x)= У ~dt (х<0).	(6.393)
—оо
Интегральный логарифм
(°<je< 1)-	(6.394)
о
Интегральный синус
оо
si (х) = — f dt (si 0 == —	.	(6.395)
X
380 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [2
Интегральный косинус
СО
Ci (х) = — f dt (х > 0).	(6.396)
X
Кроме того, вводятся обозначения:
X
Si(x) = -J + si(x) = У* ^-dt	[Si(oo) = |], (6.397)
о
Ci (х) = ci (х).	(6.398)
При х > 1 функция И (х) определяется как
г 1-S	X ->
При х > 0 функция Ei (х) принимает комплексные значе-
ния и через Ei(x) обозначается действительная часть Ei(x).
Впрочем, иногда черточка над Ei опускается.
Соотношения между интегральными функциями:
Ei (In %) = li (х) (х < 1).	(6.399)
Ei(lnx) = li(x) (х>1).	(6.400)
li (е-*) == Ei (х) (х < 0).	(6.401)
Ei (Zx) = ci (x) + i si (x).	(6.402)
Ei (x ± Z0) = Ei (x) q: itZ.	(6.403)
Si (— x) = — Si (x).	(6.404)
si (— x) = — si (x) — к.	(6.405)
Ci (— x) = Ci (x) ± itZ (x > 0).	(6.406)
Si(2x) = -^2^-+dt.	(6.407)
о
Представление в виде ряда
00 k
•.	Е1(х) = С4-1п(--*)+2-Ш	(*<0)- <6-408)
Л=1
21
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
381
Ei(x) = C4-lnx + 2	(*>0).	(6.409)
£=1
Н(х) = С4-1п(-1пх)4-21^П“ (0<*<1). (6.410)
fe=i
оо
li(x) = C+lnlnx+24^ (х>1). (6.411)
Й=1
°°	2k 1
8l(Jf) = — j+2(— 1)*+‘ (2й —l)(2fe —l)i * <6-412)
fcasl
со
ci(x) = C4-lnx4-2(-l/^gJT.	(6.413)
л=1
Здесь С=0,57721 56649... —постоянная Эйлера (см. стр. 334).
Приближенные формулы (для малых значений х):
11(х)^-----------------V-	(6-414)
In—
х
Si(x)«x.	(6.415)
si(x)»x —-J.	(6.416)
Ci(x)»Ei(x)«Ei(—x)«C4-lnx.	(6.417)
Асимптотические формулы (для больших	значений х):
Ё1 (х) = 4(1	+ +	• • •)• (6>418)
... cos х /.	2! . 4!	\
Si(x) =--—— - ...)-
sin х /1!	3! . 5!	\	cos х /л , < Лч
----------------------------—• <6-4,9>
“ W = ^(1
Ei(x)a!-^.	(6.421)
El(—(6.422)
382
ГЛ. vr. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
[2
Некоторые числовые значения:	
Ei(—1) = —0,21938 3934 ...	(6.423)
Ei(1)= 1,89511 7816 ....	(6.424)
li (1,45136 92346 ...) = 0.	(6.425)
Некоторые пределы:	
lim si (x) = — те.	(6.426)
X->-OO	
lim ci (x) = ± ttZ.	(6.427)
jt->-oo	
tim [xPsi(x)] = 0 (p < 1).	(6.428)
дг->4-оо	
lim [xP ci (x)J = 0 (p < 1).	(6.429)
Я-»+ОО	
lim e~x Ei (x) = 0.	(6.430)
jr->+oo	
lim xe"* Ei (x) = 1.	(6.431)
. х->+оо
Некоторые интегралы:
;1__________________________________________о-тх
Ei (— mt) dt = x^\ (— тх)---------------. (6.432)
о
оо
f e-*Ci(90<a==-|in(i+-£).
О
со
f e~pt si {qt) dt = — j- arctg .
o
co	co .
У* cos t Ci (f) dt — У* sinf sT(O^ = —-j.
о	о
co	co
У* Ci2 (0<tf = / si2(0^ = Y-
о	0
(6.433)
(6.434)
(6.435)
(6.436>
Рис. 10. Интегральная показательная функция Ei (х)
и интегральный логарифм И (л).
384
ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ
[3
f Ci (0 si (0 dt = — In 2.	(6.437)
О
У* ci (a/) ci ($t)dt = f si (а/) si ($t)dt =
о	о
£ при а > ₽,
я	(6.438)
2f> при а < р.
Графики интегральных функций даны на рис. 9, 10, 11.
Рис. 11. Интегральная показательная функция —Ei(—x).
3. Интеграл вероятности. Определение.' Интегра-
лом веротпге»ет№-п9жн№ется функция
erf х —
e~pdt
[erf(oo) = 1].	(6.439)
3] i 4. простейшие специальные функции 385
Часто интегралом вероятности называется функция
Г 2 Г
Ф(х) = у е 2 dt	(6.440)
о
или (по С. Н. Бернштейну)
ФбМ=й/ г’л=1ф^=Wt?)- <6-441’
Встречаются также обозначения:
со
erfc х = 1 — erf х — -^= / e~pdt, (6.442)
у те е/
X
оо
£(х) = f e~pdt=^^cx.	(6.443)
X
Соотношения между функциями erfx и Ф(х):
Ф(х) = еН(ру.	(6.444)
erf х = Ф (х У2).	(6.445)
Производные интеграла вероятности:
-£-(erfx) = -^Le-<	(6.446)
ах	у те
£ф(х)=/|.~Л	(6.447)
Интеграл от интеграла вероятности:
Г erf xdx —xerf х4~ —(6.448)
«/	У те
25 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др,
386 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [3
Другие интегральные представления:
х2
erix — —^=r I*-^rdt.
У t
X
erf (ху) = -|=- /* dt.
г 0
. -	" ' -	*	, -	-X
Г~ Р е~4*
ег< (/ ?*) = /Ч / **'
о
(6.449)
(6.450)
(6.451)
Представление в виде ряда:
erf х =
Л+1
х^-1
(2А —1)(А —1)!
2	V 2*х»*+'
2j(2*+l)ir
r	s=o
(6.452)
4]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ '	387
Асимптотические формулы:
0°	/
_ l’ ХЙ г(£+ к) х
erf (/х) = 1 - Ъ-* > (-1)*	R„, (6.453)
где
г(«+|)
l*J<---------i------• х = хе^ и ср2 < к2; (6.454)
,л+т Ф
|х| cos«£
erfcx^y=-[l — -2J2-+<2^2)2 — (2^+	<6-465)
График функции erfx приведен на рис. 12, на кото-
ром, кроме графика erfx, даны для сравнения графики функ-
ций th х и 1 —е~х.
4. Интегралы Френеля. Определения. Интегралами
Френеля называются следующие функции:
Синус-интеграл Френеля
__ X
S(x) = j/"1 f Sitl/2rf/
О
[s (4-00) = 4], (6.456)
Косинус-интеграл Френеля
X
С(х) = |/~^ f cos fl dt
О
[с (4-00) =4]. (6.457)
Иногда
Френеля:
встречаются и такие определения интегралов
X
s*(x) = f sin-Jf2= $()/"Jx),
6
(6.458)
C*(x)^= f co^fldt = c(^~^x).	(6.459)
0
25*
388 ГЛ. Vt. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
К
Другие интегральные	представления:	
5(х) =	1 rs J	X9 f^Ldt. ’ Vt
С(х) =	1 1 ГГ« J	X9 С COS t J. ' —-pz^r-at. V t
S(xy) =	2у /2. J	X I sin (y2/2) iff.
С(ху) =	2у . Г2к J	X Г cos (y2£2) dt.
Представление в виде	ряда:	
<$(•*) —]/\ 2 ( 1)* (2Л4-1)!(4Л + 3)
й=0
/— 00
/ 2 VI	Н«+1
£(•*) = ]/	(2*)! (4* 4-1) '
(6.460)
(6.461)
(6.462)
(6.463)
(6.464)
(6.465)
Асимптотические формулы:
S(x) = l — -J^-cosx24-O(^)	(х->оо). (6.466)
C(x) = | + pJ=-sinx2 + 0(-l-)	(х->оо). (6.467)
Связь интегралов Френеля с функциями Бесселя и инте-
гралом вероятности:
Л®
S(x) = l f J\Jf)dt.	(6.468)
о Т
JT2
С(х) = 4 /*7 1 V)dt.
4 '	2 J —F
о
(6.469)
4]
S 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
389
Z
C(z)-|-/S(z) = l/’	=	[ elp dt. (6.470)
г 2 \у l) г -те д/
C(z) — lS(z) = -y=rVci(zV /) = /"4 f e-^dt. (6.471)
.0
mu
uni________
—;rS---

II1111 /1/111 I А 1 / А \
S
с

ж


1,0
0J3
0,8
0,7
0,6
0,5
Ofi
0,3
0,2
0
0.	10	20	30	40	50
----
Рис. 13. Интегралы Френеля S (х) и С (х), х2 = г.
Некоторые пределы:
lim S (x) = lim C (x) = -1.
jr->+oo	x->+oo
(6.472)
(P < 1).
(6.473)
26 Зак. 2048. В. Л. Данилов и др,
390
ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
(5
Некоторые интегралы:
f S(ax)dx = pS(ap) + -^^^-!-
0	ay 2я
f С (ax) dx = pc (ap) —	.
У	аУ2я
г г 1	i	2 2 cos 4sin 4"
J [1-S(x)]sin2pxdx =--------д---
0
Г г 1	1	2 V~2 sin у sin
J [у — с (*)] sin 2рх dx —------------------—
о
(6.474)
(6.475)
(6.476)
(6.477)
Графики интегралов Френеля даны на рис. 13.
5. Гамма- и бета-функции Эйлера. Важными неэле-
ментарными функциями являются так называемые В- и Г-
функции Эйлера. Эти функции, определяемые несобственными ‘
интегралами, зависящими от параметров, хорошо изучены, для
них составлены достаточно подробные таблицы.
Ниже приводятся основные свойства этих функций. Все
содержащиеся в формулах параметры действительные. Исполь- 1
зуемые операции дифференцирования, интегрирования, пере-
мены порядка интегрирования, суммирования и т. д. законны,
ибо рассматриваемые интегралы при соответствующих зна-
чениях параметров абсолютно и равномерно сходящиеся.
1°. Определение, функциональные уравне-
ния и простейшие свойства Г (гамма)-фун кци и
Эйлера. Для a > 0 гамма-функция Эйлера определяется
интегралом
оо	I
Г(а) = J* x°-~1e~xdx.	(QA18)
5]	14. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	391
Замена переменных приводит к формулам:
Г(а) = У’(1п1у"1йх,	(6.479)
О
Г (а) » J t^e~eX dx.	(6.480)
—ОО
Интегрирование по частям (6.478) дает
Г(а) = (а— 1)Г(а — 1)	(6.481)
и вообще, для целых п и а > 0 имеем
Г(а) = (а—1)(а —2) ...(а —«+1)Г(а —«4-1). (6.482)
Полагая в (6.482) а = п — целое, получаем
Г(п) = (я—1)1	(6.483)
Продолжение гамма-функции на отрицательную полуось
осуществляется по формуле
Г(а-1)=-^-	(6.484)
ИЛИ
Г(х) = Г(х + 1)	(6.485)
сначала на интервал (— 1, 0), затем на интервал (—2, —1),
так что при — л < х < — (п — 1)
Г<Х>==х(х + 1Г)(Х4(Дп-1)’	<6-486>
откуда при 0 < а < 1
Г (а — п) == (— 1)« --г 7о Г(°р—----г. (6.487)
4	• 7	4	7 (1 — а) (2 — а) ... (л — а) v 7
Функция Г(х-[“1) часто обозначается символом П(х).
Гамма-функция разрывна при всех целых отрицательных
значениях аргумента, ибо из (6.485) следует, что
Иш | лгТ (х -J-1) | = оо.	(6.488)
х-*-п
X >-п
26*
392 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [5
Из (6.478) следует, что в точках непрерывности гамма-
функции ее производные вычисляются по формулам
Г'(а)= j x*~xe~x\nxdx9
о
Г(*) (а) = J* ха-1 e~x(\nx)kdx,
о
(6.489)
Примечание. Алгебраическим дифференциальным
уравнением n-го порядка называется уравнение вида
F(x, у(х), у'(х), ..., y(n)(x)) = 0,
где F— многочлен относительно своих аргументов х, у(х),
у' (х)...у<л> (х). Функция у (х) называется гипертрансцен-
дентной, если она не является решением никакого алгебра-
ического дифференциального уравнения с коэффициентами —
многочленами. Функция Г(х) является гипертрансцендентной
функцией.
Например, у (х) = sin х является решением алгебраиче-
ского уравнения у/2 + у2 = 1, и поэтому не является гипер-
трансцендентной функцией.
Простейшая асимптотическая формула. Из
оценки (при 0 < а < 1)
паГ (п) — ^'лпа+л-1 < Г (а -]-я) =
П оо
== J 4- J < «®-1Г(п4-1) + е-Ппа+п~1 (6.490)
0 п
следует
lim	= 1.	(6.491)
/2! па—I	\	'
ПЖ п
Представление гамма-функции в виде ряда указано
в гл. III, § 3, п. 16.
Выражение Г(а) и Г“!(а) в виде бесконечных
произведений. Из (6.491) после замены Г(а4~п) по
формуле (6.482) следует формула Эйлера — Гаусса
Г(а) = lim па__________п]_________ /6 492\
д-»оо а(а+1)(а + 2) ... (а + я) *	7
5]
§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ специальные ФУНКЦИИ	393
или
Г(а) = lim п‘ —----------------- (6.493)
"-*00 Ц(»+^).
v = 0
Из последней формулы, учитывая преобразование
получается формула Вейерштрасса
т^=г’'(“)=лП(('
V = 1
(6.494)
где С—постоянная Эйлера — Маскерони (6.56).
Формула дополнения
Г(«)Г(1-«)=^	(6.495)
следует из (6.493) и формулы
ла
sin ла ’	..
11ГП
п -> оо
В частности, из (6.495) следует
(6.496)
Так как из формулы дополнения получается
(6,497)
394
ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ
Г5
то в силу соотношения
п-1
fe-i
kn п
Т“-2*=г
имеет место формула (произведение Эйлера)
п-1
(2я) 2
О
.Г
(6.498)
Формула умножения
£-1	к~Х -jfea-4-1
JJr^a+^=(2?c) 2 h ^Г(Аа), а>0, k— целое >1,
(6.499)
следует из (6.493). При А = 2 получается формула удвое-
ния (Лежандр)
-2а + 2Г(2а).	(6.500)
Логарифм гамма-функции. Логарифмирование
(6.493) и переход к интегралам приводит к интегральному
представлению логарифма гамма-функции:
с
Р(епх__е(п+а)х епх_________g(«+l) х
----------------a-----------------
о
Г 1 —	— Qt (1 _ ех\
' -------я—----------- е dx>
х (1 — ех)
о
-QD
(6.501)
5]	8 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	395
Другие интегральные представления:
1пГМ=а>0.
О
(6.502)
1
ШГ(а) = f [$=*--{(а- 1)]-^-,	а > 0. (6.503)
6
Формула Раабе. Логарифмирование произведения
Эйлера (6.498) дает
л
Z 1пГ(4)‘н’=(т—
откуда при
k	1
— = а, — = аа, п->оо
а	п
следует
1
j* In Г (а) da = In /2й.	(6.504)
о
Дифференцированием по параметру вычисляется ин те*
грал Раабе-.
1
J== J* lnT(a4-x)dx =
о
= a (In a — 1) ~|- In Y2^.
(6.505)
Другое выражение для интеграла Раабе получается ин-
тегрированием (6.501)
о
J =	(6.506)
J х L х е* — 1	\	2/ J 4
—оо
396
ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
(5
Из формул (6.501), (6.506) следует
о
1пГ(а) —У* f(x)e™dx, (6.507)
— ОО
где
Вводя функцию Бине
о
ш'а)= J'f(x)eaxdx,	(6.508)
— ОО
получаем асимптотическое выражение для логарифма гамма-
функции
In Г (а) — 1п]Л 2тг4-(а — у) In а — а +" ш (а)- (6.5 09)
Из (6.501) и (6.506) следует также
о
J— 1пГ(а-|-1)= J* F(x)e^dx, (6.510)
— ОО
где
/	X \
Отсюда следует асимптотическая формула для
1пГ(а + ^)===а(1па—O + lnK^—(1)х(а), (6.511)
где
о
coj (а) = J* F (х) е*х dx.	(6.512)
— ОО
Имеет место соотношение
(Dj (а) = W (а) — со (2а),	(6.513)
получающееся из прологарифмированной формулы удвое-
ния (6.500) с заменой In Г (а) и In Г (2а) по (6.509) и
1пГ^а-|--“) по (6.511).
5]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	397
Шаару принадлежат формулы:
0	°° 2
»(«> = f f(x)^ax=^ f	*4Х. =
". <“>=f < -if <> -e!“) =
0	0
0
=v	(6-515)
Асимптотические формулы Стирлинга и
Гаусса. Используя формулы (6.179) и (6.508), получаем
для функции Бине ряд Стирлинга
+ (2л —	— 2) а2Л-з (6.516)
где
Я = 8 (2«-1)2«	'	0<9<1.	(6.517)
При п = 1
и из (6.509) вытекает формула Стирлинга
1пГ(а) = 1пУ2^ + (а —yjlna—	(6.518)
Г (а) = У2тха 2е “ 12а.	(6.519)
При а, равном целому т, снова получается формула Стир-
линга
т! = УЪкт f-y V е1^,	(6.520)
398 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [5
Из (6.513) и (6.516) следует асимптотическая формула
для cdj (<х):
+Л(|-у)-з-+--- <6-521>
В частности,
•1<«)=«А(1-т)т = Ж-’	(6.622)
Из (6.522) следует формула Гаусса
1пГ(а + 1) = а(1па-1) + 1п/2^--(6.523)
При п целом и а = п + -^- имеет место формула для
факториала, дающая лучшее приближение чем формула
Стирлинга:
1
/	1 \п+2
_ р+оЧ _________L_
n! = /2irl--- е 24я+12.	(6.524)
Степенное разложение логарифма гамма-
функции. Из (6.481) и (6.493) следует
1п Г (1	а) = In аГ (а) = 1п а 4- In Г (а) =
1 L	у=1
= -Ох + ^-а2-^-аЗ + ^-а4-|- ....	(б.б25)
где
••• •••
5]	9 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Тригонометрическое разложение
рифма гамма-функции (ряд Куммера).
*€(0. И
оо
In Г (а) «х -у—(ап cos -|- bn sin 2/жа),
Л-1
где
1
ап = 2 J lnr(x)cos2/ncxdx	(n = 0, 1, 2, ...),
о
1
bn~2 J lnr(x)sin2nicxdx (№1, 2, 3, ...),
о
то в силу формулы дополнения
оо
In Г (а) —|— In Г (1 — а) = а0	%ап cos2nrca =
л-1
= In 2те — In sin тгх == In	—~^ПКХ
л-1
откуда
1а0 = 1п/2^, а„ = -^	(»=1, 2, ...).
Из (6.502) и (6.64) имеем
1 1.
. о Г dt —	I A . o
bn = 2 J J 1 —j—---------x + 1 j sin 2nrcx rfx =
о 0
= ± f/_J________^-2лЦ^ = ± f/_i___________e
ПК J \ 1 + W2	/ w П7С J \ 1 -|- u2
0	0
oo
+ i /(‘“-‘““Э V <C+I°2“)-
0
399
лога-
Если при
(6.526)
(6.527)
(6.528)
(6.529)
(6.530)
400 ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [5
Другие разложения логарифма гамма-функ-
ции:
1пГ(1 Н-а) = 4-^-----Са — ^-а3 — ^-а5 — .... (6.531)
v 1 7	2 sin ла	3	5	4	7
* т! /1 ।	1	1 -	1 4- а	.
In Г (1 4-а) = -п-^---Q-ln-s—----k
4,7	2 Sin ла	2	1 — а	1
/уЗ
+(1 _ С)а-(s3- 1)^--(s5- 1)^-- ... (6.532)
Логарифмическая производная гамма-фу н к-
ц и и (п с и - или дигамма-функция). По определению,
т<*>=Я£т=ж'пГ(’+1)’
(6.533)
следовательно,
^(а) = Ф(а) + 4-
Функция ф(а) удовлетворяет функциональным уравнениям:
Ф(1 4-а) — ф(а) = 1.	(6.534)
ф (а) — ф (1 — а) = — тс ctg тса.	(6.535)
1 ф(а) —ф(—а) = —irctgroz ——.	(6.536)
ф (1 4-а) —ф(1 —а) = — itctgira4-y.	(6.537)
Ф (д + а) — Ф (-g- — а) =	(6.538)
т-1 Ф(та) = /и-1 2 ф(а + ^) + ,пт- г = 0	(6.539)
Из (6.492) следует формула
Н’) = Т5Г = -7~С+2(-5—7Тт)' <6-54°>
v = l
5]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	401
или вследствие того, что
ф(«) = -С +	(6.541)
у = 0
Из (6.541) следует
/1 _ /а-1
(6.542)
о
После замены переменной 1-|~у = <’\ с учетом (6.63),
получается формула Коши
а > 0. (6.543)
Другие интегральные представления:
оо
<|> (а) = — С4- /* -g~-~g~fa- dt, а > 0.	(6.544)
о l~e
ОО
*(a)== f a>0- (6-545)
co
<b(a) = lna — 4--2 f-------, a > 0. (6.546)
T	2a J (/2+a2)(^—l)	v 7
1
—&)"' «>» <6-547>
0
co
>?(«)=/IO 4-0"1-(1+О"в]-т--С, a > 0. (6.548)
0
402 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИИ [5
Некоторые частные значения гамма-функ-
ции и ее производных:
Г(1) = Г(2)=1.	(6.549)
Г(0.5) = ]/гк.	(6.550)
Г(—0,5) = —2]ЛГ.	(6.551)
r(re4-4)==-&L<2ra-1)H	<6-552*
г(±-») = (_1)-^пг.	(6.553)
ф(1) = — с.	(6.554)
= — С— 2 In 2.	(6.555)
ф({) = -С-у-31п2.	(6.556)
Ф(т) = -С+7-31п2.	(6.557)
Ф'(1)'=4-	(6.558)
ф'(|)=4-	<5-559>
Графики Г(х), П(х), р-7-г и уД-ч даны на рис. 14 и 15.
1 \Х)	11 ^Х)
Свойства гамма-функции, однозначно опре-
деляющие ее. Функция F(x), непрерывная вместе со
своей производной при х > 0, есть гамма-функция Г(х),
если она удовлетворяет какой-либо группе условий из
числа приведенных ниже:
I. a) F(x-|-l) = xF(x),
б) F(x)F(l — x) = -r^—,
в) F(x)f(x-|-l) = £rF(2x).
II. a) F(xH-l) = xF(x),
6) F (x) F (x+|) =	F (2x),
в) F (x) + 0 при x > 0.
——
Рис. 14. Гамма-функции Г(х) и Г(х + 1) = П(х).
-3	-2	-1	0 Для Г t 2
1,2
0,8
0,0
±0,0
-0,4
-0,8
-1,2
4
2	3	4
-4	-3 ~Z -1	0 для /у /
Рис. 15. Функции =Д—г и 	.
J Г (х) П (х)
434
ГЛ. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
(5
Ш. a) F(l)= 1,
б) F(x-H) = xF(x),
в) F (х) — логарифмико-выпуклая функция при х > О
(гл. I. § 3, п. 17).
IV. a) F(l)=l,
б) F(x4-l) = xF(x),
в) (у) F (х) убывает при х > 0 (или х > 2И).
2°. Определение, функциональные уравне-
ния и простейшие свойства В (бета)- функции
Эйлера. Бета-функция Эйлера определяется интегралом
1
В (а, Р) = Jx’-^l — x)3-1rfx, а > 0, 0 > 0.	(6.560)
о
Интегрирование по частям приводит к функциональным соот-
ношениям
В(а. Р) = a|7-i B(a’ ₽-1)’	₽>1, (6-561)
В(*• ?) =	(«- М).	* > 1. (6.562)
В-функция симметрична:
В (а, Р) = В(Р, а).	(6.563)
Связь с биномиальными коэффициентами
и их обобщение. Так как при т и п натуральных
В(/п, п) =
(п — 1)! (zn — 1)!
(т + п — 1)!
(6.564)
в
то
1	___/т + п — 1 \
пВ (т, п)	\ т — 1 / ’
1	___1т + п — 1 \
/пВ (т, п) \ п — 1 / ’
(6.565)
5]	8 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 405
откуда при а > 0, р > О
( t—1 )= ав (а, Р) ’	(6.566)
( t- 1 1 ) = рВ(а,р) •	<6-567)
Выражение через гамма-функцию. Замена
в (6.560) х через приводит к формуле
В(“’ <W68>
Откуда
В(а. р)Г(а + Р)=	+
J а+у)а+₽
оо со
= J* J9е~х (1+У)ха+?'~1уа~1 dx dy =
о о
оо	оо
*= У*	dx J* е~хУ (ху)^1 d (ху),	(6.569)
о	о
и, наконец,
в<“' ₽>=-тО-	(6-570)
Другие интегральные представления:
К
2
В (а. Р) == 2 f sin2»-! ф cos2?-1 <f> d<f.	(6.571)
о
к
Т
В (а, ^) = 2 У* sin2a <р cos20 <р d<p, а>—р>—у*
о
(6.572)
406 гл. VI. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ
[ft
ОО	оо	...
В (а, Р)= / -? \ dt~2 f .	1 .  dt, (6.573)
J (1+0“+? J (l+/’)‘+f	4	}
а > 0, p > 0.
B(a’₽)=J ’ir+TF*'dt' a > °’ ₽ > °- (6-574)
B(«,a)= > f О-У-Ч.
v ’	22*-1 J yT
(6.575)
Представления в виде ряда и бесконечного
произведения:
в (». f) - } 2 (- !)•	•?><> (6.576)
л-0
в<*1>>=П(Ш+»)-	(6ЭТ7>
6. Функции Бесселя. Функции Бесселя пер-
вого рода Jn(x) определяются как коэффициенты сте-
пенного разложения по переменной t производящей функции
e4(/_7)<
(6.578)
7 у (—
Jn’
5 = 0
— оо < х < 4- оо, (6.579)
^й(х) = (-1)"/я(х).
(6.580)
6]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ	407
Функции Бесселя мнимого аргумента /л (х)
определяются из соотношения
е2'	’ = 2 In(x)tn‘.	(6.581)
П - —ОО
ОО
4М = 2 2л+2* (л + $)[5| >	(6.582)
5 = 0
/л(х) = Г%(/х),	(6.583)
Лп(х)=/^л(/х)=/л(- 1)" Jn(lx)=rnJn(lx)=In(xY (6.584)
Тригонометрические формы производящих
функций. Из (6.578) при f = следует
eix sin <Р — JQ (х) 4“ 2Ц (х) sin ср -|“
+ 2J2 (х) cos 2ср -}- 2ZJ3 (х) sin Зср -|- 2J4 (х) cos 4ср + ..., (6.585)
откуда
оо
cos (х sin ср) = JQ (х) + 2 2 Лй (х)cos 2Л<р,
k=1
sin (х sin <р) = 2 2 -4й+1 (х) sin (2Л -|- 1) ®,
л-о
аналогично
е1*cos * = Jo (х) -|- 2 2 isJs (х) cos scp,
5=1
ОО
cos (х cos <р) = Jo (х) + 2 2 (—	(х)cos 2^?>
ft = l
sin (х cos <р) = 2 2 (— 1)* Лй+i (х) cos (2k +1) <р.
ft
Интеграл Бесселя. Рассматривая (6.586),
(6.589), (6.590) как разложения Фурье, получаем
1С
/, ч (к/_(х) ПРИ я=2А, л=0,
cos cos (х sin ф) dtp = { "
т ' т' т I о при л=2й+1.
/•	( 0 при ге=0, ге=2А,
/ sinп<оsin(х sin<р)d<o — >
J r Y Y (х) при п=2А+1.
(6.586)
(6.587)
(6.588)
(6.589)
(6.590)
(6.587),
(6.591)
(6.592)
408
гл. vi. Некоторые системы чисел и функций
16
Из этих формул вытекает, что
тс
Jn(x) = -i У* cos (лер — х sin ср) dep (Бессель), (6.593)
о
где п есть нуль или целое положительное число.
Теорема сложения. Так как
z, Jn(u-\-v)tn — е2	— е2 е 2	=
П» -оо
= 2 4(«)^ 2 Л («)*'.
S = —00	г = —оо
ТО
/я(«4-®)= 2 4(«)4-Д®)-	(6-594)
5 = — оо
ИЛИ
/я (« 4- = 2 4 («) Jn-s (*)+
5 = 0
4- 2 (- {4(«)4+,(®)4-4+,(«) л(®)}- <6-595)
5 = 1
Аналогично
/„(«4-v)= 5 4(“)4-jW=24(s)4-s(®) +
5=~ОО	5 = 0
4-2{Л(«)/„+Д®)4-/я+#(«)Л(®)}-	<6-596>
5=1
6]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	409
Теорема сложения в форме Неймана. Из рис. 16
следует
R — V г2 4- р2 — 2rp cos ф,
R cos (ср + а) — г cos а -|“ р cos р = г cos а -|- р cos (тс — ф	а) =
— г cos а 4“ р cos (а — ф).
cos (<р + а) &ir COS а^/'р cos (а-ф)
откуда
2 lnJn (Я) einfelna = 2 imJm (r) eima 2 (~ O' i‘Ji (?) eil<4etu =
n	ml
= 2^"” 2(-1)Ч(р)4н(')‘‘"*- (6.597)
fl	1= — OO
И
Jn(R) 2j- 1)'Л(р)Л-,(г)е-Ч	(6.598)
JB(/?)cosn? = ^(-l),J,(p)JB_;(r)cos/i]>. (6.599)
J„ (R) sin щ = 2 (- 1)'+1 Jt (P) Jn-t (r) sin /<]». (6.600)
При n = 0
Jo (R) = Jo (R) Jo (P) + 2 2 Ji (?) Jt (r) cos /ф.	(6.601)
При г — p, R = 2p sin = z sin 9
(z sin 9) = ^0 (-J) + 2 2 Jl (-J) cos 2/9.	(6.602)
Z = 1
Дифференциальное уравнение Бесселя, ко-
торому удовлетворяют функции Бесселя Jn(x). есть
x2-S + x5-+<x2-ra2)y = 0-	<6-б03>
Соответственно 1п(х) удовлетворяет уравнению
х2-&Н-х17~ (х24-п2)у = 0.	(6.604)
27 Зак. 2048. В Л. Данилов и др.
410 гл. Vt. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [6
Рекуррентные формулы:
Jn+d^ = -^Ja(x)-J'n(x).	(6.605)
Jn-iW = ^Jn(x)-]-J'n(x).	(6.606)
J'n (х) = у lJ»-i W “ i (*)1-	(6-607)
A+iW+7«-iW = 74(4	(6-608)
^(ЛЛ)=ЛЛ.„ ^(х-Ч) = -х-Ч+1. (6.609)
Функции Бесселя первого рода Jn(x)t п—не-
целое,
со
+	+ D Ш"' <6-610>
5 = 0
удовлетворяют дифференциальному уравнению (6.603).
ВторыхМ линейно-независимым решением этого уравнения
служит функция У_л(х) (п—нецелое) и потому общее решение
имеет вид
у = С^„(х)-{-С^_а(х),
где Сг и С2 — произвольные постоянные. Рекуррентные фор-
мулы (6.605)—(6.609) имеют место также для Ул(х), где
п нецелое.
Функции Бесселя первого рода полуцелого
порядка J j (х) выражаются через элементарные функ-
п+1
ции, в частности,
/х\2 ЛГ 2 V/ *2S	_ЛГ 2х sinx____
“\2/ V	(2$-Ь1)! — V я х —
5-0
J £<*) =
” 2
2
— cosx.
тех
2 .
— sin X.
пх
(6.611)
(6.612)
6]	§ 4. ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	411
Выражения для J i (х) при любом целом п могут быть полу-
чены последовательным применением рекуррентных формул.
Функции Бесселя второго рода Yл(х) (функ-
ции Вебера) выражаются через функции Бесселя первого
рода посредством равенств:
v / \	1- A(*)COSVrt —	(X)
=	------------	' при п целом, (6.613)
sin vic
1/ / \ Jn(x) COS ПК—	zr. лч
Кл(х) = ^-^—ПРИ л нецелом. (6.614)
Функция Кл(х), так же как и функция Jn(x)t удовле-
творяет дифференциальному уравнению (6.603), общее решение
которого при п целом имеет вид у = С1Ул(х)-(-С2Кл (х).
В качестве второго решения уравнения (6.604) обычно
берут функцию Макдональда
Кп (х) =	ПРИ я нецелом. (6.615)
sin riiz
Рекуррентные формулы:
Уп+Лх)==-уУп(х)-У'п(х).	(6.616)
^-1w=Trn<x>+r»<x>-	<6-617>
У’п (X) = ^1Уп-1 (*)-Гя+1(х)1.	(6.618)
^+1(х) + Г„-1(х) = ^-Гп(х).	(6.619)
4+1 (X) - 4-1 (X) = -	/„ (л).	(6.620)
Кл+1 (X) - /<„-! (X) =~ *я (X).	(6.621)
Соотношения между функциями	Бесселя
первого и второго рода:
4 (*) >4+, (х) - Yn (х) Jn+i (х) = - А.	(6.622)
4 (X) КпЛ! (X)	(X) /n+J (X) = Y •	(6.623)
27*


414 гл. vr. НЕКОТОРЫЕ СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ И ФУНКЦИЙ [6
Представление в виде ряда:
А (х) = 1 - (4)’ + «У - Af + ...	(6.624)
AM = 7~7г(т) + та(?) — зпг(г) +  <6-625>
0°	п
6» (х) = | (с+Ш f) 4 (х) - li) AC- (f) ”2 ±. (6.626)
п=1	Й = 1
ri(x) = 4(c+lni)j,(x)-A_
со	/ П	1
42^(1) 224+4т •
л-0	\ й = 1	/
+ т^($ +	<6.628)
А <•«) = 7 + 7Г (т)' + да (тУ + та (т)’ +    <6'629>
Ка (х) = - (с + 1п -J) /„ (х) + 2 -Aj (i)“ 2 4 • (6.630)
/1=1 £=1
/С1(х) = (с+1п^)/1(х)4-1-
оо	/П+1	%
где С—эйлерова постоянная (см. § 1, п. 1, 3°).
Асимптотические формулы (при больших зна-
чениях х).
4 (х)	[ро (х)5111 (х+^-) 4- Qo (*)cos (х+т)] >
(6.632)
Л (*)« ]/"[л (X) sin (х — j) + Qj (х) cos (х — -•)].
(6.633)
6)	$ 4 ПРОСТЕЙШИЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ	415
Уо(ху	~	[—ро (*)cos (х 4-J)+Qo (*)sin (х+т)] • (6.634)
	« У	[— Р1 (*)cos (* — т) +	sin (х — т)] ’ (6.635)
где	р . . _ 1	Р-32	. 12 - 32 - 52-72 Но(х)—1	2! (8л)2 +	4! (8л)’	•••’ 1	I2 • З2 • б2 <?о(*)—	1!8лг ' 3!(8х)3	•••’ р f^_l 1 Р‘3‘ 5	12 - 32 - 52 - 7 -9 lw	1 2! (8л)2	4!(8х)4	1 П ( \	1-3	12-32-5-7 , 41W= 1!8д.	3!(8х)3 “г"*--
	,_^(1+_p+_p^L+p^ + ...Y (6.63б) /2лл \	8л 2!(8х)2	3!(8л)3	/
	(6.637) /2лл \	8л 2!(8х)2	3!(8л)3	/
«0(хУ	_лI2 ,	12-32	12 - 32-52 .	\ V 2дД	8л ’ 2!(8х)2	3!(8х)3 (6.638)
	1-3	12-3-5 . 12-32-5-7	\ ~"е V 2х V 1 8х 2!(8х)2 1	3!(8х)3 (6.639)
Графики бесселевых функций даны на рис. 17, 18, 19)
20, 21.
БИБЛИОГРАФИЯ
Литература к главе I
1.	Бронштейн И.’ Н. и Семендяев К. А., Справочник по
математике для инженеров и учащихся втузов, М., Физмат-
гиз, 1959.
2.	Валл е-П у с с е н Ш., Курс анализа бесконечно малых, М.-~ Л.,
ГТТИ, 1933.
3.	Г^у j с а ^., Курс математического анализа, М.—Л., ГТТИ,
4.	Дубовицкий А. Я., Аксиоматическое построение дейст-
вительных чисел, Математическое просвещение, вып. 2
(1957).
5.	Карцев М. А., Арифметические устройства электронных
цифровых машин, М., Физматгиз, 1958.
6.	Колмогоров А. Н., К обоснованию теории вещественных
чисел, Математическое просвещение, вып. 2 (1957).
7.	Колмогоров А. Н., К обоснованию метода наименьших
квадратов, УМН 1, вып. 1 (1946).
8.	Красносельский М. Г., Выпуклые функции и простран-
ства Орлича, М., Физматгиз, 1958.
9.	Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного,
М. — Л., Учпедгиз, 1940.
10.	Немыцкий В., С л уде кая М., Черкасов А., Курс
математического анализа, т. I, II, М., Гостехиздат, 1957.
11.	Полна Г. и С е г ё Г., Задачи и теоремы из анализа, т. I, II,
М., Гостехиздат, 1956.
12.	Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. I, М., Гостех-
издат, 1952.
13.	Уиттекер Е. Т. и В а т с о н Г. Н., Курс современного ана-
лиза, т. I, II, ОНТИ, 1934.
14.	Ф и х т е н г о л ь ц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. I, II, III, М. — Л., Гостехиздат, 1951, 1951,
1949.
15.	Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М.,
Физматгиз, 1959.
16.	Хинчин А. Я., Простейший линейный континуум, УМН 4,
вып. 2 (1949).
БИБЛИОГРАФИЯ
417
Литература к главе II
1.	Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых по-
верхностей, М.— Л., Гостехиздат, 1948.
2	Александров А. Д., Выпуклые многогранники, М.— Л.,
Гостехиздат, 1950.
3.	Гильберт Д. и Ко н-Ф о с с е н С., Наглядная геометрия,
М.— Л., ОНТИ, 1936.
4.	Лаврентьев М. А. и Люстерник Л. А., Основы ва-
риационного исчисления, т. 1, ч. 1, М.— Л., ОНТИ, 1935.
5.	Люстерник Л. А., Выпуклые фигуры и многогранники,
М., Гостехиздат, 1956.
6.	Люстерник Л. А., Применение неравенства Бруна — Мин-
ковского к экстремальным задачам, УМН, вып. II (1936).
7.	Люстерник Л. А., Неравенство Бруна — Минковского для
произвольных измеримых множеств, ДАН 3 (1935), 55—58.
8.	Линейные неравенства и смежные вопросы, Сб. переводов под
ред. Л. В. Канторовича и В. В. Новожилова, М., ИЛ., 1959.
9.	Минковский Г., Общие теоремы о выпуклых многогран-
никах, УМН, вып. II (1936).
10.	Смирнов В. Н., Курс высшей математики, т. I, М., Гостех-
издат, 1952.
11.	Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. I, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
12.	Хелли Э., О совокупности выпуклых тел с общими точками,
УМН, вып. II (1936).
13.	Шилов Г. Е., Введение в теорию линейных пространств,
М., Гостехиздат, 1952.
14.	Ш к л я р с к и й Д. О., Условно сходящиеся ряды векторов,
УМН, вып. X (1944), 51—59.
15.	Ш р е й е р О. и Ш п е р н е р Е., Введение в линейную алгебру
в геометрическом изложении, М. — Л., ГОНТИ, 1934.
16.	Я г л о м И. М. и Болтянский В. Г., Выпуклые фигуры,
М. — Л., Гостехиздат, 1951.
Литература к главе III
1.	А л и х а ш к и н Я. И., Один способ расчета дебита для напор-
ного притока к несовершенной скважине, Вычислит, матем. № 1,
Изд. АН СССР (1957).
2.	Г у р с а Э., Курс математического анализа, т. I, М. — Л.,
ГТТИ, 1933.
3.	Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближенные ме-
тоды высшего анализа. Изд. 4-е, М. — Л., Гостехиздат, 1952.
4.	Привалов И. И., Ряды Фурье, М. — Л., ОНТИ, 1934.
5.	Романовский В. И., Введение в аналив, Ташкент, Гос-
учпедиздат УзССР, 1939.
6.	Рыжик И. М. и Г р а д ш т е й н И. С., Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
7.	Салехов Г. С., Вычисление рядов, М., Гостехиздат,
1955.
418
БИБЛИОГРАФИЯ
8.	Салехов Г. С., Приложение преобразования Лапласа к сум-
мированию рядов, разложенных по специальным функциям,
Уч. зап. Казанск. пед. ин-та, вып. 10 (1955).
9.	Толстов Г. П., Ряды Фурье, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
10.	Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. Il, III, М.— Л., Гостехиздат, 1951, 1949.
11.	Харди Г., Расходящиеся ряды, М., ИЛ, 1951.
12. Knopp К., Theorie und Anwendungen der unendlichen Reihen,
Berlin, 1924.
Литература к главе IV
1.	Г e p о н и м у с Я. Л., Теория ортогональных многочленов,
М.—Л., Гостехиздат, 1950.
2.	Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, М.,
ИЛ, 1948.
3.	Кармазина Л. Н., Таблицы многочленов Якоби, М., изд.
АН СССР, 1954.
4.	Качмаж С. и Штейнгауз Г., Теория ортогональ-
ных рядов, 1958.
5.	Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В., Методы теории
функций комплексного переменного, М., Физматгиз, 1958.
6.	Люстерник Л. А., О вычислении значений функций одного
переменного, Математическое просвещение, вып. 3 и вып. 4
(1958).
7.	Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л.,
Гостехиздат, 1947.
8.	С т е с и н И. М., Обращение ортогональных разложений в не-
прерывные дроби, Вычисл. матем., № 1 (1957).
9.	Хаусхолдер, Численный анализ, 1957.
10. Ч е б ы ш е в П. Л., Собрание сочинений, т. I, М., изд. АН СССР,
1944.
11. Perron О., Die Lehre von der Kettenbriicken, Leipzig und
Berlin, 1928.
Литература к главе V
1.	Арнольд И. В., Теория чисел, М., Учпедгиз, 1939.
2.	Бертран Ж., Алгебра, ч. II, СПб, 1901.
3.	Виноградов И. М., Основы теории чисел, М. — Л., Гос-
техиздат, 1949.
4.	Воробьев Н. Н., Числа Фибоначчи, М., Гостехиздат, 1951.
5.	Коши О., Курс алгебраического анализа, Лейпциг, 1864.
6.	Лобачевский Н. И., Алгебра или вычисление конечных,
т. IV полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского, М. — Л.,
Гостехиздат, 1948.
7.	М а р а к у е в Н. Н., Элементарная алгебра, т. I, Теория, М„
1903.
8	Марков А. А., Лекции о непрерывных дробях (см. Избран-
ные труды по теории непрерывных дробей и теории функций,
наименее уклоняющихся от нуля), М. — Л., Гостехиздат, 1948.
БИБЛИОГРАФИЯ
419
9.	Мешков А., Курс высшей алгебры, Отдел первый, СПб,
1862.
10.	Остр о градский М. В., Лекции алгебраического и транс-
цендентного анализа, Первый год, СПб, 1837.
11.	Рощин П., Записки по дифференциальному и интегральному
исчислениям, Первая часть, СПб, 1888.
12.	Сегал Б. И., Непрерывные дроби, Математическое просве-
щение, вып. 7 (1936).
13.	С т и л т ь е с Т. И., Исследования о непрерывных дробях, М.,
ОНТИ, 1936.
14.	С у ш к е в и ч А. К., Теория чисел, Харьков, Изд. Харьк. ун-та,
1954.
15.	Фербер К., Арифметика, 1914.
16.	Хин чин А. Я., Цепные дроби, М. — Л., Гостехиздат, 1949.
17.	X и н ч и н А. Я., Элементы теории чисел, Энциклопедия эле-
ментарной математики, Книга первая, М.—Л., Гостехиздат,
1951.
18.	Хованский А. Н., Приложение цепных дробей и их обоб-
щений к вопросам приближенного анализа, М., Гостехиздат,
1956.
19.	Хованский А. Н., Работы Л. Эйлера по теории цепных
дробей, Истор.-матем. исслед., выпуск X (1957), 305—326.
20.	Чеботарёв Н. Г., Теория непрерывных дробей, Казань,
1938.
21.	Эскин Л. Д., Об алгоритме Эйлера для извлечения корней,
Учен. зап. Казанск. ун-та 115, кн. 14 (1955), 139—143.
22.	Эскин Л. Д., К вопросу о характере сходимости алгоритма
Эйлера извлечения корней, Изв. высш, учебн. завед., Матем.
4 (5) (1958), 275—278.
Литература к главе VI
1.	Валл е-П у с с е н Ш. Ж., Курс анализа бесконечно малых,
М., ГТТИ, 1933.
2.	Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е., Обобщенные функции
и действия над ними, М., Физматгиз, 1958.
3.	Г е л ь ф о н д А. О., Исчисление конечных разностей, М. — Л.,
Гостехиздат, 1952.
4.	Градштейн И. С. и Рыжик И. М., Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений, М. — Л., Гостехиздат, 1951.
5.	Иваненко Д. и Соколов А., Классическая теория поля,
М. — Л., Гостехиздат, 1949.
6.	Кудрявцев В. А., Суммирование степеней чисел натураль-
ного ряда и числа Бернулли, М. — Л., ОНТИ, 1938.
7.	Ландау Э., Введение в дифференциальное и интегральное
исчисление, М., ИЛ, 1948.
8.	Уиттекер Е. Т. и В а т с о н Г. Н., Курс современного ана-
лиза, М.—Л., ГТТИ, 1934.
9.	Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. I, II, III, М. — Л., Гостехиздат, 1951,1951,1949.
10.	Харди Г., Расходящиеся ряды, М., ИЛ, 1951.
420
БИБЛИОГРАФИЯ
11.	Чез аро Э., Элементарный учебник алгебраического анализа
и исчисления бесконечно малых, ч. I, М. — Л., ОНТИ, 1939.
12.	Ч е з а р о Э., Элементарный учебник алгебраического анализа
исчисления бесконечно малых, ч. II, Одесса, Матезис, 1914.
13.	Шпильрейн Я. Н., Таблицы специальных функций, ч. 1
и II, М. — Л., ГТТИ, 1933.
14.	Я н к е Е. и Э м д е Ф., Таблицы функций, М., Физматгиз,
1959.
15.	В a t е m an Н., Higher Transcendental functions, New York, 1953.
16.	N or I u nd N. E., Vorlesungen uber Differenzenrechnung, Sprin-
ger, 1924.
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
(а, Ь) — интервал а < х < b 22
(— со, а) — бесконечный интер-
вал х < а 23
(Ь, + оо) — бесконечный интер-
вал х > b 23
[а, Ь] — отрезок а < х < b 23
(а, Ь\ — полуинтервал b 23
[а, Ь) » а < х < b 23
(— оо, а\ — бесконечный полуин-
тервал х < а 23
[6, + оо) — бесконечный полуин-
тервал х > В 23
{хл}—множество элементов хп 22
х^Х—элемент х принадлежит
множеству X 23
х £Х или х^ X — элемент х не
принадлежит множеству Х23
Xc.Y—множество X есть под-
множество множества Y 23
Хс. у ИЛИ Х^У — множество X
не является подмножеством
множества Y 23
или А + В — объединение
(сумма) множеств Л и В 23
А П В, или Л X В, или А • В, или
АВ — пересечение (произве-
дение) множеств Л и В 23
В\Л или В — Л — дополнение
множества Л до множе-
ства В 24
sup х — точная верхняя граница
(грань) множества 24
sup f(x) — точная верхняя гра-
ница (грань) функции 29
inf х — точная нижняя граница
х£Х
(грань) множества 24
inf f(x) — точная нижняя гра-
ница (грань) функции 29
max {льа2, . ..,ял}—наибольшее
п
из чисел аь а2, ..ап 29
min {дь а2, ..ал>—наименьшее
п
из чисел аъ а2, ..ап 29
= {#i, л2, .,ял, ...} по-
следовательность с общим
членом ап 34
{апт} — двойная последователь-
ность 37
о(ал) 45
О(ап) 46
о(х), О(х) 52
lim / (х) — предел функ-
х ->г0, х£Х
ции f(x) при х -> л?о, х С X 47
Bi — одномерное координатное
пространство (числовая пря-
мая) 20
Еп— л-мерное координатное про-
странство 56, 57
Ek + En-k — прямая сумма мно-
гообразий 67
р (X Y) — расстояние 57
6 (0, 0, ..0) — начало коорди-
нат 57
/(X) = f(xi,x2, ...,хл)—линей-
ная функция, или функция
вектора (точки) 63, 75
||Х|| — норма вектора X 59
Гхх х —определитель Грама
для векторов 64
Ln—л-мерная линейная система
61
422
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Xj_£fc— вектор X из Еп ортого-
нален 69
пр£ X — проекция вектора X на
k 69
пр^Х—проекция вектора X на
вектор Uq 70
Hm f(X) — предел функ-
X->A(X£Af)
ции f (X), когда X С М и стре-
мится к Л 75
Qe — внешняя область 78
Qi — внутренняя область 78
Р = (/ь /2, .. •, fm) — оператор 84
Y — Е(Х) — векторная форма за-
писи оператора 84
У/ =//W = //(^b *2, ...» *л) —
координатная форма записи
оператора 84
У1 — ai\Xi + ai2x2 + ... -}-ainxn
(Z = 1, 2, ..л) — координат-
ная форма записи линейного
оператора 85
ЕПф — пространство с нормой
? (Х)*94
= ^—пространство Еп.^ со-
пряжено пространству Еп^ 96
Рт = Р\Р2 ... Рт — частичное
произведение т первых членов
126
{Рт} — последовательность ча-
стичных произведений 125
оо
~Рт +\Pm-\-2 • • • “ JJ Рп
п=т 1-1
остаточное произведение 127
со
2 aki — двойной ряд 130
k, 1 = 0
R — радиус сходимости степен-
ного ряда 142
гл (х) — остаточный член ряда
Тейлора 145
оо
ское разложение в ряд функ-
ции F(x) 162
ь
(f,g)= f f{x)g(x)d<s(x)—cK&-
а
лярное (внутреннее) произве-
дение функций f (л) и g (х) 203
H/Ц — квадратичная норма функ-
ций 204
f(f— g)2da(x) —
а
квадратическое уклонение
функций 204
rnf (х) — обратная прозводная
л-го порядка от f(x) 303
h I ~
°	^1 + ^2 + • • • + Ьп + . . .
бесконечная цепная дробь 266
Рп
—л-я подходящая дробь 267
Vn
К, К — обыкновенное и особое
значения одной и той же цеп-
ной дроби 271
С — постоянная Эйлера—Маске-
рони 334
G — постоянная Каталана 337
л! — л факториал 340
л!! — двойной факториал л 340
*пт или Ъ™— символы Кроне-
кера 342
( ) или С™ — биномиальные
W	п
коэффициенты 343
Рп[х), РП(Х), (х) — произ-
вольные ортогональные мно-
гочлены 223
Вп — числа Бернулли 176, 348
^п(х)—многочлены Бернулли
176, 354
<РП(*) = Я«(*) —354
(/) — многочлены Бернштей-
на 346
Л«(х), £“(х), Z^(x)-много-
члены Лагерра 259
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
423
Ln (х), Ln (х), Ln (х), ln — много-
члены Лежандра 240, 241
Тп (х), Тп (х), tn (х) — много-
члены Чебышева 1-го рода 249
ип (х), ип (х), Un (х) — много-
члены Чебышева 2-го рода 256
Р* v (х) — многочлены Чебы-
шева по системе точек 264
Еп — числа Эйлера 359
Еп(х)— многочлены Эйлера 361
Нп(х), ^пМ, Нп(х> — много-
члены Эрмита 261
4х’7<х^>(х), /^(х).
^•^(х)—многочлены Якоби
245, 246
| х | — абсолютная величина х 364
signx— знак х 28, 367
Гх] или Е(х)— целая часть х
28, 368
{х}—дробная часть х 368
(х) — расстояние до ближайшего
целого числа 369
1 (х) — единичная функция Хеви-
сайда 369
& (х) — дельта-функция 371
В (а, р) — бета-функция Эйлера
404
Г (а)—гамма-функция Эйлера 390
Ei (х)—интегральная показатель-
ная функция 302, 379
Ei (х) — действительная часть от
Ei (х) 302, 380
lix—интегральный логарифм 302,
379
si (х) или Si х — интегральный
синус 379, 380
cix или Cix—интегральный
косинус 379, 380
erf х, Ф (х), ФБ (х), erfc х, L (х) —
интеграл вероятности 384, 385
F <?) — эллиптический интег-
рал 1-го рода 374
E(k, <р) — эллиптический интег-
рал 2-го рода 374
П (k, X, <р) — эллиптический ин-
теграл 3-го рода 374
D(k, y) = f375
К—полный эллиптический ин-
теграл 1-го рода 376
Е — полный эллиптический ин-
теграл 2-го рода 376
D =	376
ф (а), Ч" (а) — логарифмическая
производная гамма-функции
(пси-функции) 400
S(x), S*(x)—синус-интеграл Фре-
неля 387
С (х), С* (х) — косинус-интеграл
Френеля 387
Jn(x)— функция Бесселя 1-го
рода 406
Yn (•*) — Функция Бесселя 2-го
рода 411
1п (х) — функция Бесселя мни-
мого аргумента 407
Кп (х) — функция Макдональда
411
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель 104, 259
Абеля преобразование 185
— признак равномерной сходи-
мости функционального ряда
139
-----сходимости числового ряда
124
— теорема 143
Абсолютная величина х 364
------, биномиальное разложе-
ние 364
------, интегральные предста-
вления 365
------, приближение многочле-
нами Бернштейна и Фёйера
365
------, разложение по многочле-
нам Лежандра 365
------, — Фурье 365
Абсолютное (арифметическое)
значение числа 20
Алгоритм Евклида 277
— Якоби 326
Аппель 284
Аппеля метод разложения чисел
в цепную дробь 284
Архимедово число 329
Асимптотическая формула Гаус-
са 398
Асимптотический нуль 164
— ряд 161, 162
Асимптотическое разложение, по-
тенцирование 163
----, почленное интегрирование
163
----произведения 163
----функции 162, 163, 164
Базис n-мерной линейной си-
стемы 61
Базис ортогональный 67, 190
—	ортонормированныи 197
—	Шаудера 366, 367
Банаха — Хана теорема 98
Бернулли Д. 322
Бернулли многочлены 354
—	цепная дробь 270
— числа 348
Бернулли — Эйлера метод 322
Бернулли Д. 348
Бернштейна многочлены 346
Бесконечно малая (большая) ве-
личина 39, 45
Бесселя дифференциальное урав-
нение 409
— интеграл 407
— неравенство 214
— ортогональная система функ-
ций 206
— функции 406—415
Бета-функция 343, 390, 404
—, выражение через гамма-функ-
цию 405
—, интегральные представления
405
—-, представления в виде ряда и
бесконечного произведения
406
—, свойства 404, 405
—, связь с биномиальными коэф-
фициентами 404
—, функциональные	уравнения
404
Бине функция 396
Биномиальная формула 345
Биномиальные коэффициенты 343
---, асимптотические формулы
346, 347
---, соотношения 343—345
---, тождества 346
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
425
Биортогональная система векто-
ров 68
— — функций 219
------Маркова 221
------Чебышева 220
------Чебышева — Маркова
222
Больцано — Вейерштрасса теоре-
ма 38, 72
Больцано — Коши критерий схо-
димости последовательности
39
Бомбелли Р. 267
Брункер 281
Брунн 102
Брунна — Минковского неравен-
ство 102
Бугаева теорема 122
Валле-Пуссена признак сходимо-
сти ряда Фурье 219
Валлис Дж. 267
Валлиса формула 329
Варианта 45
Вебера функции 411
Вейерштрасса признак равномер:
чой сходимости функциональ-
ного ряда 139
—	теорема 366
—	формула 393
Векторная сумма 101
Вектор-функция 85
—	векторного переменного 85
—	скалярного переменного 85
Векторы коллинеарные 58
—	ортогональные 67
Вес системы ортогональных
многочленов 236, 237
Висковатов В. 282
Висковатова метод построения
соответствующих цепных дро-
бей 282
Возвратный ряд 322
Ворпицкого признак сходимости
цепных дробей 292
Выпуклая область 90
— оболочка множества 91
— функция 53, 92
Выпуклое множество 90
— тело 90, 92
---^-мерное 90
Выпуклое тело неограниченное
91
----нульмерное 90
----ограниченное 91
Выпуклые тела взаимные 97, 98-
----гомотетические 102
Выпуклый многогранник 91
Вычисление (суммирование) ряда
106
Гамма-функция 340, 390, 400
—, асимптотическая формула 392
—, выражение в виде бесконеч-
ных произведений 393
—, графики 403
—, дробно-рациональное прибли-
жение 307
— неполная, разложение в цеп-
ную дробь 302
—, произведение Эйлера 394
—, производные 392
—, свойства 402, 404
—	, формула Вейерштрасса 393
—	, — дополнения 393
—	-, — удвоения 394
—	, — умножения 394
—	, — Эйлера — Гаусса 392
—, функциональное	уравнение
390, 391
—, частные значения 402
Гаусс К. Ф. 86, 104
Гаусса асимптотическая формула*
398
— признак сходимости ряда 118
Гиперплоскость 65, 66
—, опорная к выпуклому телу
95
Грама определитель для векто-
ров 64
Граница (грань) множества верх-
няя (нижняя) 24
-------точная 24
— последовательности верхняя
(нижняя) 35
----точная 35
— точная верхняя (нижняя) 77
— функции верхняя (нижняя) 29
----точная 29
Граничная точка области 73
Грань множества 24
----верхняя (нижняя) 24
28 Зэк. 2048 В. Л. Данилов и др,
426
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Грань функции 29
----верхняя (нижняя) 29
Гюйгенс Хр. 267
Даламбера обобщенный признак
сходимости ряда 114
— признак сходимости ряда 108,
109
Дарбу Г. 284
Двойной ряд 130
----абсолютно сходящийся 131
----, признаки сходимости 133—
136
----расходящийся 130
----с положительными членами
131
----, свойства 131, 132
----сходящийся 130
----условно сходящийся 131
Дедекинда теория иррациональ-
ных чисел 25, 26
Действия над степенными ря-
дами 147, 148, 149
Дельта-функция 371, 372
—, интеграл	Фурье — Бесселя
373
—, интегральные представления
373
—, производные 373
—, разложение по бесселевым
функциям 372
—,-----многочленам Лежандра,
Эрмита 372
—, — Фурье 372
—, ряды 373
—, свертка 373
Дини — Липшица признак равно-
мерной сходимости ряда
Фурье 219
Дини признак сходимости ряда
Фурье 155
Дирихле—Жордана признак схо-
димости ряда Фурье 154, 155
Дирихле признак равномерной
сходимости функционального
ряда 140
----сходимости числового ряда
125
-------ряда Фурье 155
—	теорема 217
—	функция 49
Дифференциальное уравнение,
решение с помощью цепных
дробей 294
Дифференцирование рядов 141
----Фурье 159, 160, 161
— степенных рядов 144
Дополнение множества 24
Дробная часть числа 368
Дробно-рациональное приближе-
ние для гамма-функции 307
------- интеграла вероятности
306
-------cos х и ch х 305
-------логарифма гамма-функ-
ции 307
------- производной логарифма
гамма-функции 308
-------sin х и sh х 304
Евклида алгоритм 277
Единица 6-го разряда 20
Единичная сфера 95
— функция Хевисайда 369
Ермакова признак сходимости
ряда 122
Зайдель 288
Зайделя признак сходимости
цепной дроби 288
Замкнутая ортонормированная
система 215
Замкнутый промежуток 23
Звено цепной дроби 266
------- нулевое 267
Знак (сигнатура) х 367
----, интегральные представле-
ния 368
----, последовательность знаков
синуса 368
----, разложение по многочле-
нам Эрмита 367
----, — Фурье 367
Значение бесконечного произве-
дения 125
Извлечение корня рациональной
степени с помощью матриц
311, 318, 320
Изображение (образ) 172
Индекс (номер) 34
— центральный 35
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
427
Интеграл Бесселя 407
— вероятности 384, 385
----, асимптотические формулы
387
----, график 386
----, дробно-рациональное при-
ближение 306
----, интегральные представле-
ния 385, 386
----, представление в виде ряда
386
----.производные 385
— Лапласа 242
Интегралы Френеля 387
----, асимптотические формулы
388
----, графики 389
----, интегральные представле-
ния 388, 390
----, пределы 389
----, представление в виде ряда
388
----, связь с функциями Бесселя
и интегралом вероятности 388
Интегральная оценка произведе-
ния 179
----сумм и рядов 176, 178
— показательная функция 302,
379
— форма остаточного члена 146
Интегральные функции 379, 380
----, асимптотические формулы
381
----, графики 383, 384
----, интегралы 382
----, пределы 382
----, представление в виде ряда
380, 381
----, приближенные формулы
381
----, соотношения между ними
380
----, числовые значения 382
Интегральный косинус 380
— логарифм 302, 379
—	синус 379
Интегрирование асимптотическо-
го разложения 163
—	рядов 140
----Фурье 158, 160
—	степенных рядов 143
Интервал 22
— бесконечный 23
Интерполирование по способу
наименьших квадратов 263
Итерационный процесс 87
Кантора теорема 48
— теория иррациональных чисел
26
Касательная коническая гипер-
поверхность 100
Каталана постоянная 337
Квадратическое приближение
функции 197
------наилучшее 198, 212, 215
—уклонение функций 204
Квадратичная норма функции
204
Квадратурная формула гауссов-
ского типа 232
Колмогоров А. И. 28
Компонента вектора 67
—	оператора 84
—	по базису 61
Конус 99, 100
Координата по базису 61
Координатное пространство
п-мерное 56, 57
----одномерное 20, 28
Косинус-интеграл Френеля 387
Коха теорема 286
Коти О. 104, 322
Коши — Адамара обобщенный
признак сходимости ряда 116
----признак сходимости ряда
108, 109
Коши — Буняковского неравен-
ство 202
Коши интегральный признак схо-
димости ряда 118
—	критерий равномерной сходи-
мости 51
—	неравенство 59
— признак сходимости ряда 107,
108
— форма остаточного члена ряда
Тейлора 145
Коэффициенты биномиальные
343—347
— линейной формы 63
— Фурье 68, 153, 157, 158, 197
28*
428
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Коэффициенты Фурье функции
по заданной системе 214
Кристоффелъ 284
Крис-тоффеля — Дарбу формула
284
Критерий Больцано — Коши схо-
димости последовательности
39
— Коши равномерной сходимо-
сти 51
— линейной независимости 64
Кронекера символы 58, 342
Круг сходимости комплексного
ряда 151
Крылова способ улучшения схо-
димости тригонометрического
ряда 187
Куммера преобразование для ря-
да 180, 181
— ряд 399
Кусочно-линейные функции 364—
370
----, изображение при помо-
щи интегралов и рядов 369,
370
Лагерр 259
Лагерра многочлены 259—261
Лагранж 199, 259, 294, 295, 297,
299
Лагранжа метод решения диф-
ференциальных уравнений с
помощью цепных дробей
294
— форма остаточного члена ряда
Тейлора 145
Ламберт 298, 300
Лаплас 261
Лапласа интеграл 242
— преобразование 172
— формула 349
Лебега признак сходимости ряда
Фурье 218
— функция ортонормальной си-
стемы 235
Лебеговское множество 31
Лежандр 223, 239
Лежандра вес 236
— многочлены 240—244
— формула удвоения 394
Лейбница ряд 329
Лейбница теорема для знако-
чередующихся рядов 124
Линейная оболочка множества
66	<
— система 60
----бесконечномерная 61
----п-мерная 61, 62
— форма 63, 94, 95
Линейное пространство п-мерное
72
Линейность обобщенной суммы
164	!
Линейный оператор 85
— функционал 95
Линия (кривая) в Ет 85	t
Липшица признак сходимости
ряда Фурье 155
Лобачевского признак сходимо-
сти ряда 123
Логарифм гамма-функции 394	j
----, асимптотические формулы
396, 397, 398
----, степенное разложение 399
----, тригонометрическое разло-
жение 399
— факториала, формула 342
Логарифмическая производная
гамма-функции 400
Локализации теорема 153
Луч 65
Мажорантный (мажорирующий) *'
ряд 108, 139
Макдональда функция 411
Маклорена ряд 144
Максимум функции 78	I
----абсолютный 29
Малаев А. С. 191	'
Малиева способ улучшения схо-
димости тригонометрического
ряда 191
Маркова биортогональная систе-
ма 221
— теорема 255
Меркатор 104
Метод Бернулли — Эйлера 322	’
— Висковатова построения соот-
ветствующих цепных дробей
282
— матриц, связь с методом Бер-
нулли— Эйлера 323
I
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
429
Метод матриц, связь с цепны-
ми дробями 315
— Пуассона обобщенного сумми-
рования 165, 167, 168
^Чезаро обобщенного суммиро-
вания 167, 168
Метризация линейной системы
72
Метрика 57
— евклидова 57
Мециево число 329
Мёбиуса функция 220
Минимум функции 78
----абсолютный 29
Минковский Г. 90, 102
Минковского теорема 96
Многогранники взаимные 99
Многообразие линейное ^-мерное
65
----одномерное 65
— постоянства 80
— сдвинутое ^-мерное 65, 66
Многоугольная функция 365
Многочлен второго рода относи-
тельно веса а(х) 228
Многочлены Бернулли 354, 355
----, интегральные представле-
ния 357
----, нули 355
----, применение к суммирова-
нию степеней натуральных
чисел 357
----, производящая функция 354
----,разностное уравнение 354
----, рекуррентные формулы 354
----, теорема умножения 356
----, тригонометрические разло-
жения 356
—	Бернштейна 346
—	Лагерра 259
----, дифференциальное уравне-
ние 260
----, замкнутость системы 261
----обобщенные 259
----, производящая функция 260
----, рекуррентная формула 259
----, формула Родрига 259
-	т	, цепная дробь 260
—	Лежандра 240, 245, 265
----, дифференциальное уравне-
ние 242
Многочлены Лежандра, интег-
ральное представление 242
----, неравенство Турана 242
----нормированные 240, 242,
243
----, оценка 242, 243
----производящая функция 241
----.разложение функций 243
----, рекуррентная формула 240,
241
----, формула Родрига 240
----,цепная дробь 241
----. явное выражение 240
— ортогональные 223
— ультрасферические 245
— Чебышева второго рода 245,
256
---------, рекуррентная форму-
ла 256
---------, цепная дробь 256
---------экстремальное свой-
ство 259
---------, явное выражение 256
— Чебышева — Лагерра 259
— Чебышева первого рода 245,
249, 256
---------, дифференциальное
уравнение 251
---------t интерполяционное
свойство нулей 255
---------нормированные 249
------------------.оценка 252, 253
---------, производящая функ-
ция 251
---------, разложение некото-
рых функций 251, 252
---------, рекуррентная форму-
ла 250
---------, формула Родрига 249
---------,цепная дробь 250
— —------, экстремальные свой-
ства 249, 254, 255
---------, явное выражение 249
---- по системе точек 263
— Эйлера 361
----, выражения многочленов
363
----, интегральные представле-
ния 364
----, производящая функция 362
----, разностное уравнение 362
430
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Многочлены Эйлера, рекуррент-
ная формула 362, 363
----, связь с многочленами Бер-
нулли 363
----, теорема умножения 364
----, тригонометрические разло-
жения 363
— Эрмита 261
----, дифференциальное, уравне-
ние 262
----, замкнутость системы 262
----нормированные 261
----, производящая функция 262
----,	рекуррентная формула 262
----, формула Родрига 261
— —, цепная дробь 262
— Якоби 245, 249, 261, 262
----, дифференциальное уравне-
ние 248
----нормированные 245
•---, оценка 248
----, производящая функция 247
----, рекуррентная формула 246,
247
----.формула Родрига 245
----, явное выражений 246
Множество выпуклое 90
—	замкнутое 38, 73
—	ограниченное 24
—	, — сверху (снизу) 24
—	открытое (область) 38, 73
Модуль эллиптического инте-
грала 374
------дополнительный 374
Монотонность последовательно-
сти 36
—	функции 53
Мюллера запись цепной дроби
266
Мэшина формула 329
Неполное частное цепной дроби
269
Непрерывная дробь 266
Непрерывность 26
—	функции справа (слева) 48
Непрерывный оператор 84
Неравенство Бесселя 214
—	Брунна — Минковского 102
— Коши 59
— Коши — Буняковского 202
Неравенство треугольника 58
Норма 59
—	вектора 94
---евклидова 94
Нули ортогональных многочле-
нов 224
Ньютон И. 104
Область 38, 73
—	внешняя 78
—	внутренняя 78
—	выпуклая 90
—	задания (определения) функ-
ции 28
—	замкнутая 73
—	определения оператора 84
Обобщенная сумма 164, 165, 167
Обобщенный многочлен 198
Образ 32
Обрешкова формула 309
Объединение множеств 23
Обыкновенное значение цепной
дроби 271
Оператор из Еп в Ет 84
—	линейный 85
---, координатная форма за-
писи 86
—	непрерывный 84
—	сжатый 88
—, форма записи векторная 84
—,-----координатная 84
Опорная гиперплоскость 95
---.основные теоремы 97, 98
— плоскость 95
— прямая 95
— функция 95
Определитель Грама векторов 64
---системы степеней 226
-------функций 211
Оригинал (прообраз) 172
Орт 58
Ортогонализация многочленов
226
— системы степеней 226
Ортогональная последователь-
ность 194
— система векторов 67
---многочленов, условие замк-
нутости 233
---функций 196, 204
-------Бесселя 206

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
431
Ортогональная система функций
Ха ара 206, 208
Ортогональное преобразование
68
— разложение, обращение в по-
следовательность аппроксими-
рующих дробей 230
Ортогональные многочлены 223
----, выражение через степенные
моменты 226
----, рекуррентные соотношения
225
----, связь с цепными дробями
227
Ортогональный базис 67, 196
— ряд 194
Ортонормированная система век-
торов 67
----функций 205
------замкнутая 215
Особое значение цепной дроби
271
Остаток 106
Остаточное произведение 127
Остаточный член двойного ряда
134, 135
----знакочередующегося ряда
124
----ряда 106
------, оценки 112
------Тейлора 145, 146
------Фурье 284
---------1 представление в виде
интеграла 218
Отображение взаимно однознач-
ное X в Y 32
— множества из Еп в Ет 84
Отрезок 23
—	прямой 65
Оценка остаточного члена двой-
ного ряда 135, 136
------ряда 112, 113
Параметр 79
—	эллиптического интеграла
третьего рода 374
Парсеваля равенство 215
Переместительное свойство абсо-
лютно сходящихся рядов ПО
Пересечение множеств 23
Период функции 33
Период функции п переменных 81
Перманентность обобщенной сум-
мы 164
Перрон 285
Пирсон 236
Пирсона уравнение 235
— функция 236
Плоскость ^-мерная 65
Плотность нормального закона
распределения 236
Повторный ряд 130
---сходящийся 130, 131
Подмножество 23
Подобное преобразование 102
Подстановка ряда в ряд 147
Подходящая дробь 230, 267
---, рекуррентные соотношения
267, 268
Полиномиальная формула 345
Полная система 196
Полнота 26, 28
Полный эллиптический интеграл
первого, второго рода 376
Полуинтервал 23
— бесконечный 23
Полупространство 91
Порядок коэффициентов Фурье
157, 158
Последовательность двойная 37
—дельтаобразная 371
— итерационная 45, 86
— монотонная 36
—, — в строгом смысле 36
— монотонно возрастающая
(убывающая) 36
---неубывающая (невозра-
стающая) 36
— ограниченная 35
—сверху (снизу) 35
— равномерно распределенная
44
---сходящаяся 50
—	расходящаяся 39
—	рекуррентная (возвратная) 44
—	слабо сходящаяся 371
—	сходящаяся 39, 71
—, — в среднем 52
— фундаментальная 39, 72
— функций 48
--- равномерно ограниченная
284
432
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Последовательность частичных
сумм 105
— числовая 34
Поссе формула 261
Постоянная Каталана 337
----, выражение в виде ряда
337
----, — через полные эллиптиче-
ские интегралы 340
----, интегральные представле-
ния 337—340
— Эйлера — Маскерони 307, 334,
337
------, интегральные представ-
ления 335, 336
Потенцирование асимптотиче-
ского разложения 163
Предел последовательности 39,
71
----верхний (нижний) 42
----, основные теоремы 41
—	функции 47
----справа (слева) 47
Предельная точка множества 38,
72
----последовательности 39
—	функция 49
Предельный переход в и-мерных
пространствах 71
------нормированных про-
странствах 72
----для линейных оболочек 83
Преобразование Абеля 185
— Куммера 180, 181
— Лапласа 172
— подобное 102
— цепных дробей 269, 272, 273,
274, 275
— Эйлера 183
Признак Абеля равномерной схо-
димости функционального
ряда 139
----сходимости числового ряда
124
— Валле-Пуссена сходимости ря-
да Фурье 219
— Вейерштрасса равномерной
сходимости функционального
ряда 139
— Ворпицкого сходимости цеп-
ных дробей 292
Признак Гаусса сходимости ря-
да 118
— Даламбера обобщенной схо-
димости ряда 114
----сходимости ряда 108, 109
— Дини — Липшица равномер-
ной сходимости ряда Фурье
219
— Дини сходимости ряда Фурье
155
— Дирихле — Жордана сходимо-
сти ряда Фурье 154, 155
— Дирихле равномерной сходи-
мости функционального ряда
140
-----сходимости числового ряда
125
-------ряда Фурье 155
— Ермакова сходимости ряда
122
— Зайделя сходимости цепной
дроби 288
— Коши — Адамара обобщенной
сходимости ряда 116
-------сходимости ряда 108,109
— Коши интегральный сходимо-
сти ряда 118
-----сходимости ряда 107, 108
— Лебега сходимости ряда
Фурье 218
— Лейбница сходимости ряда
124
— Липшица сходимости ряда
Фурье 155
— Лобачевского сходимости ря-
да 123
— Раабе сходимости ряда 117 -
— Харди сходимости ряда Фурье
219
Признаки сходимости знакопо-
ложительных рядов общие
ПО, 112
----цепной дроби 286, 289, 290
Прима функция 301
Прингсгейм 286
Прингсгейма запись цепной дро-
би 266
Принцип мажорирующих рядов
108, 109
— сжатых отображений 88
Прогрессия арифметическая 34
АЛФАВИТНЫЙ указатель
433
Прогрессия геометрическая 34
Проекция вектора на вектор 60,
70
------многообразие 69
Произведение абсолютно сходя-
щееся 120
—бесконечное 125 ’
—	, интегральная оценка 179
—, критерий сходимости 127, 128
—	множеств 23
—	расходящееся 126
—	степенных рядов 148
—	сходящееся 126
—	функциональное 129
—	частичное 125
Производящая функция 328
--- ортогональной системы
многочленов 239
---последовательности 173, 174
Пространство векторное п-мер-
ное 57, 58
— евклидово п-мерное 57
— координатное п-мерное 56, 57
:--одномерное 20
—	нормированное 94
—	сопряженное 96
Процесс ортогонализации Шмид-
та 213
Прямая 65
— сумма многообразий 67
Прямоугольный импульс 369
Пси-функция 400
Пуассона метод обобщенного
суммирования 165, 167, 168
Раабе признак сходимости ряда
117
Равенство Парсеваля 215
Равномерная сходимость, геомет-
рическое истолкование 51
---, критерий Коши 51
---функций 50, 51
---цепной дроби 286, 288
Радемахера функции 368
Радиус сходимости степенного
ряда 142, 151
Разложение вектора по системе
ортогональных векторов 70
— квадратических иррациональ-
ностей в непериодические
цепные дроби 317
Разложение функций в цепные
дроби 294—310
— чисел в цепные дроби 277,
279, 281, 284
Разность векторов 58
— множеств 24
Расстояние 57
— до ближайшего целого числа
369
Растяжение цепной дроби 270
Расширение формы 98
Рефлексивность 96
Решение алгебраических уравне-
ний с помощью матриц 313,
320, 325
— функционального уравнения 33
Римана теоремы 75, НО
Роджерса запись цепной дроби
266
Родрига формула 238
Ряд 105
—	абсолютно сходящийся 109
— асимптотический 161, 162
---.степень приближения 162
—	векторов 74
---абсолютно сходящийся 74
---сходящийся 74
—	возвратный 322
—	гармонический 108
—	двойной 130
—	знакоотрицательный 109
—	знакопеременный 109
—	знакоположительный 109
—	знакопостоянный 109
—	знакочередующийся 123
—, интегральная оценка 176, 178
— комплексный 149, 151
---абсолютно сходящийся 150
— Куммера 399
— Лейбница 329
— мажорантный (мажорирую-
щий) 108, 139
— Маклорена 144
— ортогональный 194
— повторный 130
— расходящийся 106, 164
—	семинормальный 229
—	степенной 141
—	Стирлинга 397
— Стирлинга, обращение в цеп-
ную дробь 306
434
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ряд СХОДЯЩИЙСЯ 106
----, свойства 110
— Тейлора 144
----, формы остаточного члена
145, 146
— условно сходящийся 109
—	функциональный 138
----.дифференцирование 141
----, интегрирование 140
----,признаки равномерной схо-
димости 139, 140
----, сходящийся неравномерно
138
----, — равномерно 138
----,условие равномерной схо-
димости 138
—	Фурье 153
----, дифференцирование 159,
160, 161
•---, интегрирование 158, 160
----по косинусам 156
-------многочленам Лежандра
243
---------Чебышева 254, 257
--------- Якоби 248
-------синусам 156
----, признаки сходимости 154,
155, 218, 219, 284, 285
---- функции по заданной си-
стеме 214
Сегмент'23
Семейство функций, зависящих
от параметра 79, 80
Сечение в области рациональных
чисел 25
—	золотое 347
Сжатие цепной дроби 270
Сигнатура (знак) х 367
Символы Кронекера 58, 342
----, интегральное представле-
ние 342
Симметрическое отображение
102
Синус-интеграл Френеля 387
Система основных периодов 81
—	счисления десятичная 20
----р-ичная 20
— функций биортогональная 219
----, — по весу 220
— — линейно зависимая 212
Система функций линейно неза-
висимая 211, 212
----бесконечная 212
----ортогональная 196, 204
----ортонормированная 204
---- полная 196
---- в пространстве
L\{x}(a,b) 205
----Хаара 206, 367
Скалярная функция векторного
переменного 85
Скалярное произведение векто-
ров 59, 64
---- функций 200
----из L2 р, х(а, Ь) 202
----b) 202
Скачок функции 78
Скотт 290
Сонин Н, Я. 248, 261
Соответствие (отображение) X
в У 32
Сохоцкий 259, 260
Среднее арифметико-геометриче-
ское чисел 87
—	арифметическое функции 50
—	гармоническое функции 50
—	геометрическое функции 50
— значение функции 49
Стеклов В. А. 216
Стеклова теорема 216
Степенной ряд 141
----всюду сходящийся (расхо-
дящийся) 141
----, почленное дифференциро-
вание 144
----,— интегрирование 143
----, умножение, деление 148,
149
Степенные моменты 226
Стирлинга ряд 306, 397
— формула 358, 397
Сумма векторов 58
— двойного ряда 130
— множеств 23
— обобщенная расходящегося
ряда 164, 165
----ряда в смысле Пуассона,
Чезаро 165, 167
-------> линейность и перма-
нентность 164
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
435
Сумма ряда 105
----Фурье 153
Суммирование ряда 106
----обобщенное методами сте-
пенных рядов и средних
арифметических 165, 167, 168
----преобразованием Лапласа
172
----с помощью функций ком-
плексного переменного 170
*---точное 168, 169
----функционального 174
----числового 172
Сфера 59
Сходимость бесконечных произ-
ведений 125, 126
— в среднем 51
— двойного ряда, признаки
133—136
— комплексного ряда 149
— последовательности в среднем
52
----, критерий Больцано — Ко-
ши 39
----неравномерная 50, 51
----равномерная 50
— равномерная ряда Фурье, при-
знак Дини — Липшица 219
--------семейства функций 80
----степенного ряда 142, 143
----функционального ряда, при-
знак Абеля 139
---------, — Вейерштрасса	139
--------->— Дирихле 140
— ряда,	интегральный признак
Коши	119
----, обобщенный признак Да-
ламбера 114
----1----Коши—Адамара 116
----, признак Абеля 124
----,— Гаусса 118
----, — Даламбера 108, 109
----, — Дирихле 125
----, — Ермакова 122
----, —Коши 107, 108
----, — Коши — Адамара 108,109
----, — Лейбница 124
----, — Лобачевского 123
----, — Раабе 117
----Фурье 284, 285
---------в среднем 216
Сходимость ряда Фурье, при-
знак Валле-Пуссена 219
------, — Лебега 218
-------, —Харди 219
-------, признаки 154, 155
— семейства функций 79, 80
— цепной дроби, достаточные
признаки 289, 290
-------, необходимый признак
286
Тейлора ряд 144
Тело 73
— выпуклое 90, 92
Теорема Абеля 143
— Банаха — Хана 98
— Больцано — Вейерштрасса 38,
72
— Брунна — Минковского 102,
103
—	Бугаева 122
—	Ван Флека 292
—	Вейерштрасса 366
—	Дирихле 217
—	Кантора 48
—	Коха 286
—	Лейбница для знакочередую-
щихся рядов 124
—	локализации 153
—	Маркова 255
—	Минковского 96
—	о тождестве степенных рядов
143
—	Римана 75, ПО
—	Стеклова 216
—	Фробениуса 167
—	Хелли 101
— Чебышева 254, 255, 259
—Штаудта 349
—	Штейница 75
— Штольца 272, 274
—	Якоби 82
Теоремы о пределах последова-
тельности 41, 42
Тиле формула 303
Точка внутренняя 90
—	граничная 90
--выпуклого тела 91
—	заострения 100
—	крайняя выпуклого тела 91
—	максимума 78
436
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Точка минимума 78
— неподвижная преобразования
88
— особая 151
— разрыва второго рода 48
--- первого рода 48
— сгущения 72
Тригонометрический ряд 194
---Фурье 153
Угол между векторами 60
Улучшение сходимости ряда,
преобразование Абеля 185
------, преобразование Куммера
180, 181
------,— Эйлера 183
------1 соответствующее при-
знаку сходимости 181, 184
---тригонометрического ряда
185, 186, 191
Уолл 290
Уравнение опорной гиперплоско-
сти 95
— Пирсона 236
---веса Лежандра 235
------Чебышева 236
------Чебышева — Лагерра 237
------Чебышева — Эрмита 237
------Якоби 236
Условие равномерной сходимо-
сти ряда 138
Факториал 340
—, асимптотические	формулы
341, 342
— двойной 340
—, делители 342
оценки 341, 342
Фибоначчи числа 347
Формула асимптотическая Гаус-
са 398
— Валлиса 329
— Кристоффеля — Дарбу 284
—	Мэшина 329
—	Обрешкова 309
—	Поссе 261
—	Родрига 238
—	Стирлинга 358
—	Тиле 303
Эйлера — Маклорена 358
Формулы Хаара 397
Формулы Эйлера —Фурье 153
Френеля интегралы 387
Фробениуса теорема 167
Фундаментальные последователь-
ности конфинальные (эквива-
лентные) 26, 27
Функции Бесселя, асимптотиче-
ские формулы 414
---второго рода 411
---------t рекуррентные форму-
лы 411
---.графики 412, 413
---мнимого аргумента 407
---первого рода 406, 410
---------э дифференциальное
уравнение 410
——  -----полуцелого порядка
---------, производящая функ-
ция 407
---------, рекуррентные форму-
лы 410
---------, теорема сложения 408,
409
---------t тригонометрическая
форма производящей функ-
ции 407
---, представление в виде ряда
414
---соотношения между ними
411
—	Вебера 411
—	взаимные 96
— кусочно-линейные 364—370
— непрерывные, приближение
многоугольными функциями
366
— ортогональные 196, 202
—, — на отрезке 200
—, — по весу 200, 202
—,-------области 208
— Радемахера 368
Функционал 49
Функциональное уравнение 33
Функциональный ряд 138
Функция 28, 84
—	аналитическая 150
— arctg х, разложение в цепную
дробь 298
—	билинейная 64
—	Бине 396
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
437
Функция вогнутая 53, 92
— выпуклая 53, 55, 92
—	гипертрансцендентная 392
—	гладкая 153
—	- Дирихле 49
—	Е(х) 28
—, интегрируемая с квадратом
по весу на отрезке 201
— кусочно-гладкая 154
— Лебега ортонормальной си-
стемы 285
— линейная 63, 94, 95
—	логарифмико-выпуклая 55
— логарифмическая, разложение
в цепную дробь 297
—	Макдональда 411
—	Мёбиуса 220
—	многоугольная 365
—	монотонная 53
—	, — в строгом смысле 53
— монотонно возрастающая
(убывающая) 53
--невозрастающая (неубы-
вающая) 53
—, непрерывная в точке 48, 76
—	, — на множестве 48, 76
—	нечетная 31
—	обратная 32
—, ограниченная на множестве
29, 77
—, — сверху (снизу) на множе-
стве 29, 77
—	опорная 95
—	периодическая 32, 81
—	Пирсона 236
— показательная, разложение в
цепную дробь 297
—	предельная 49
— Прима, разложение в цепную
дробь 301
—	производящая 173
—	равномерно непрерывная 48,
77
—, разложение по многочленам
Лежандра 243, 244
—t--------Чебышева 251, 252,
257, 258 .
—,--------Якоби 248
—, разрывная в точке 48
—	sign х 28
—	скачка 369
Функция степенная, разложение
в цепную дробь 295
— tg*, разложение в цепную
дробь 300
— точки (вектора) 75
“	(X) 93
— Чебышева — Эрмита 237
— четная 31
Фурье 217
Фурье коэффициенты 68, 153,
157, 158, 197
— ряд 153
Хаара ортогональная система
функций 206, 208, 367
Харди признак сходимости ряда
Фурье 219
Хевисайда единичная функция
369
Хелли теорема 101
Целая часть числа 368
Цепная дробь 266
----безусловно сходящаяся
286
----Бернулли 270
----бесконечная 267
----, запись Мюллера 266
----, — Прингсгейма 266
----, —Роджерса 266
----конечная 267
----обыкновенная 269, 271
---- особая 271
----периодическая 279
---- правильная 269, 276
----предельно-периодическая
293
----, признаки сходимости 286—
293
----присоединенная 228
----равномерно сходящаяся 286
----равноценная 280
-------.построение 281
----, расходящаяся несуще-'
ственно 285
----, — существенно 285
----соответствующая 280
-------,построение 282
----, — ряду 229
----сходящаяся 285
438
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Цепная дробь типа Стилтьеса
228
------Чебышева 227
----условно сходящаяся 286
Цепные дроби, применение к ре-
шению дифференциальных
уравнений 294
----, условие тождественного
равенства 288
Цифра 20
Частичная сумма ряда векторов
74
------Фурье, представление в
виде интеграла 218
Частный знаменатель цепной дро-
би 267
— числитель цепной дроби 267
Чебышев П. Л. 195, 223, 249, 259,
261, 265
Чебышева биортогональная си-
стема функций 220
— вес 236
Чебышева — Лагерра вес 237
----многочлены 259—261
Чебышева — Маркова биортого-
нальная система функций
222
Чебышева многочлены 245, 249—
258
— теорема 254, 255, 259
Чебышева — Эрмита вес 237
Чезаро метод обобщенного сум-
мирования 167, 168
Числа Бернулли 348, 349, 350
----, интегральные представле-
ния 353
•---, рекуррентные соотношения
348
----, формула Лапласа 349
— действительные, арифметиче-
ские операции 26, 27
— иррациональные, теория Деде-
кинда 25, 26
----, — Кантора 26
— Фибоначчи 347
— Эйлера 359
----, интегральные представле-
ния 361
---, рекуррентные соотношения
359
Числа Эйлера, связь с числами
Бернулли 360
---, теорема Сильвестра 359
Число алгебраическое 19
— архимедово 329
— действительное (веществен-
ное) 19
---, представление р-ичной
дробью 21
—е, определение и представле-
ние в виде рядов и произве-
дений 332, 333, 334
—	золотого сечения 347
— иррациональное 19, 25, 27
—	мециево 329
-	я 329
---, интегральные представле-
ния 331, 332
---, представление в виде ря-
да или произведения 329,
330
— положительное 27
— рациональное 19, 25, 27
---р-ичное 21
—	трансцендентное 19
Числовая прямая 20
Член n-го звена цепной дроби
266
— последовательности наиболь-
ший 35
Шаара формулы 397
Шаудера базис 366
Шлемильха и Роша форма оста-
точного члена ряда Тейлора
145
Шмидта процесс ортогонализа-
ции 213
Штаудта теорема 349
Штейница теорема 75
Штерн 288
Штольца теорема 272, 274
Эйлер Л, 104, 166, 199, 217, 267,
295, 298, 320, 322, 326
Эйлера бета-функция 390
—	гамма-функция 390
Эйлера — Гаусса формула 392
Эйлера — Маклорена формула
358
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
439
Эйлера — Маскерони постоянная
307, 334
Эйлера многочлены 361
— преобразование 183
—	произведение 394
Эйлера — Фурье формулы 153
Эйлера числа 359
Элемент множества 22
—	нулевой 60
—	«-мерного пространства 57
Элементы линейно зависимые 61
---независимые 61
Эллиптические интегралы, гра-
фики 377, 378
Эллиптический интеграл в ле-
жандровой нормальной форме
374
Эллиптический интеграл первого,
второго, третьего рода 374
----полный 376
----, приведение к нормальной
тригонометрической форме
374
е -окрестность 23
Эрмит 261
Эрмита многочлены 261, 262
Эскин Л. Д. 320
Ядро интеграла 284
Якоби 223, 326
Якоби алгоритм 326
— вес 236
— многочлены 245—248
— теорема 82
С правочно-математическая библиотека,
под общей редакцией
чл.-корр. АН СССР Л. А. Люстерника и доц. А. Р. Янпольского
Математический анализ
(функции, пределы, ряды, цепные дроби).
Редактор А. Ф. Лапко.
Техн, редактор В. И. Крючкова.
Корректор Л. О. Сечейко.
Сдано в набор 13/XII 1960 г. Подписано к печати 22/1V 1961 г.
Бумага 84xlO8J/32. Физ. печ. л. 13,75. Условн. печ. л. 22,55.
Уч.-изд. л. 23,16. Тираж 20 000. Т-03149. Цена книги 1 р. 26 к.
Заказ № 2048.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Типография № 2 им. Евг. Соколовой УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
Цена 1 р. 26 к.
СПРАВОЧНАЯ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
БИБЛИОТЕКА
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ
1.	АРАМАНОВИЧ И. Г., ГУТЕР Р. С. и др.,
Математический анализ (дифференцирова-
ние и интегрирование).
2.	ДИТКИН В. А. и ПРУДНИКОВ А. П.,
Интегральные преобразования и операцион-
ное исчисление.
3.	ЗАХАРОВ В. К., ЛЮСТЕРНИК Л. А.
и др., Таблицы сумм, рядов и произведений.
Формулы для вычисления элементарных
функций.