Автор: Горшков А.Г. Трошин В.Н. Шалашилин В.И.
Теги: механика деформируемых тел упругость деформация общетехнические дисциплины сопротивление материалов
ISBN: 5-9221-0181-1
Год: 2005
Текст
УДК 539.3/.6
Г67
ББК 30.121
Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И.
Сопротивление материалов: Учеб. пос. 2-е изд., испр. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 544 с. - ISBN 5-9221-0181-1.
Изложен курс «Сопротивление материалов», отвечающий программе
Минобразования для подготовки специалистов в области техники и техноло-
технологии. Много внимания уделяется технике решения задач, которая демонстри-
демонстрируется многочисленными примерами. Для контроля усвоения материала и
выработки навыков решения задач даны контрольные вопросы и задачи, что
делает книгу особенно полезной при самостоятельном изучении предмета.
Книга может быть также полезна инженерам при проведении прочностных
расчетов.
Первое издание выходило в 2000 г. в издательстве МАИ.
ISBN 5-9221-0181-1 © ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2005
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава 1. Основные понятия, определения, допущения ... 7
1.1. Предмет и задачи курса 7
1.2. Основные гипотезы и допущения 10
1.3. Внешние нагрузки 14
8.1. Контрольные вопросы 16
Глава 2. Метод сечений, внутренние силы, напряжения . . 18
2.1. Метод сечений и внутренние силовые факторы 18
2.2. Напряжения 30
2.3. Связь напряжений с внутренними силовыми факторами ... 33
2.4. Принцип Сен-Венана 35
8.2. Контрольные вопросы 38
Глава 3. Механические свойства материалов 40
3.1. Элементарные деформации 40
3.2. Испытания на растяжение и сжатие 43
3.3. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона 53
3.4. Влияние условий при испытаниях на механические характери-
характеристики 55
3.5. Испытания на сдвиг 59
В.З. Контрольные вопросы 62
Глава 4. Центральное растяжение—сжатие бруса 64
4.1. Статические дифференциальные и интегральные зависимости
при центральном растяжении—сжатии 64
4.2. Геометрические дифференциальные и интегральные зависи-
зависимости при центральном растяжении-сжатии 68
4.3. Физическая сторона задачи центрального растяжения-сжатия
бруса 72
4.4. Методика расчета напряженно-деформированного состояния
при центральном растяжении-сжатии (статически определи-
определимые конструкции) 74
4.5. Расчет простейших статически неопределимых конструкций . 85
4.6. Влияние нагрева на напряженно-деформированное состояние
при центральном растяжении-сжатии 89
4.7. Потенциальная энергия бруса при растяжении-сжатии .... 98
4.8. Напряжения в непоперечных сечениях бруса при центральном
растяжении-сжатии 106
4.9. Расчет на прочность при центральном растяжении—сжатии . 108
В.4. Контрольные вопросы 111
3.4. Задачи 112
Глава 5. Двухосное растяжение—сжатие и чистый сдвиг . . 115
5.1. Напряженное состояние при двухосном растяжении-сжатии . 115
5.2. Чистый сдвиг 117
5.3. Закон Гука при двухосном растяжении-сжатии. Связь между
модулями упругости Е л G л коэффициентом Пуассона // . . 119
8.5. Контрольные вопросы 122
3.5. Задачи 122
Глава 6. Кручение 124
6.1. Статические дифференциальные и интегральные соотноше-
соотношения при кручении 125
ОГЛАВЛЕНИЕ
6.2. Геометрические дифференциальные и интегральные соотно-
соотношения 127
6.3. Кручение бруса круглого и кольцевого сечений 129
6.4. Кручение брусьев некругового поперечного сечения 135
6.5. Кручение брусьев тонкостенного открытого сечения 139
6.6. Кручение брусьев тонкостенного замкнутого сечения 143
6.7. Потенциальная энергия деформации при кручениии 148
6.8. Примеры расчетов 149
В.6. Контрольные вопросы 160
3.6. Задачи 161
Глава 7. Геометрические характеристики сечений 163
7.1. Статические моменты и центр тяжести сечения 163
7.2. Моменты инерции 168
7.3. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей
координат 169
7.4. Изменение моментов инерции при повороте осей координат.
Положение главных осей инерции 173
8.7. Контрольные вопросы 177
3.7. Задачи 178
Глава 8. Прямой изгиб 180
8.1. Статические дифференциальные и интегральные соотноше-
соотношения при изгибе 181
8.2. Геометрия деформаций и нормальные напряжения при чистом
изгибе 194
8.3. Напряжения при поперечном изгибе 198
8.4. Касательные напряжения при изгибе в балках тонкостенного
сечения. Центр изгиба 203
8.5. Расчет на прочность при изгибе 210
8.6. Дифференциальное уравнение упругой линии балки 217
8.7. Потенциальная энергия изгиба балки 228
8.8. Интеграл Мора для определения перемещений при изгибе . . 231
В.8. Контрольные вопросы 246
3.8. Задачи 248
Глава 9. Общий случай деформации бруса 251
9.1. Нормальные напряжения в общем случае деформации бруса 252
9.2. Касательные напряжения в общем случае деформации бруса 259
9.3. Деформации в общем случае нагружения бруса 264
9.4. Плоские статически определимые рамы 268
9.5. Пространственные статически определимые рамы 276
9.6. Витые пружины 279
9.7. Теоремы взаимности работ и перемещений. Теорема Кастили-
ано 282
8.9. Контрольные вопросы 286
3.9. Задачи 287
Глава 10. Статически неопределимые системы. Метод сил . 290
10.1. Степени свободы, связи, степень статической неопределимости 290
10.2. Основная и эквивалентная системы. Канонические уравнения
метода сил 297
10.3. Учет симметрии при раскрытии статической неопределимости
методом сил 308
10.4. Пространственные и плоскопространственные системы . . . . 318
ОГЛАВЛЕНИЕ
10.5. Комбинированные или смешанные системы 322
В. 10. Контрольные вопросы 325
3.10. Задачи 327
Глава 11. Расчет на прочность при сложном напряженном
состоянии 329
11.1. Анализ напряженного состояния в точке 329
11.2. Круговая диаграмма Мора 336
11.3. Закон Гука и потенциальная энергия деформации при слож-
сложном напряженном состоянии 342
11.4. Гипотезы прочности 346
11.5. О прочности и разрушении 361
8.11. Контрольные вопросы 370
3.11. Задачи 371
Глава 12. Устойчивость сжатых стержней 373
12.1. Общее понятие об устойчивости состояния равновесия .... 373
12.2. Метод Эйлера 375
12.3. Энергетический метод 384
12.4. Расчеты на устойчивость за пределами пропорциональности . 393
12.5. Об устойчивости деформированного состояния 402
12.6. Продольный изгиб реальных (неидеальных) стержней .... 406
12.7. Продольно-поперечный изгиб 409
В. 12. Контрольные вопросы 421
3.12. Задачи 423
Глава 13. Расчет стержневых систем при упругопластиче-
ских деформациях 425
13.1. Схематизация диаграмм напряжений 425
13.2. Расчет предельных нагрузок для статически определимых си-
систем 427
13.3. Расчет предельных нагрузок для статически неопределимых
систем 434
В. 13. Контрольные вопросы 443
3.13. Задачи 443
Глава 14. Динамическое нагружение 445
14.1. Квазистатическое нагружение 445
14.2. Ударное нагружение. Техническая теория удара 449
14.3. Удар горизонтально движущейся массой 454
14.4. Удар вертикально движущейся массой 458
В. 14. Контрольные вопросы 461
3.14. Задачи 462
Глава 15. Прочность при циклически изменяющихся во вре-
времени напряжениях 463
15.1. Усталость материала 463
15.2. Цикл напряжений. Методика экспериментального определе-
определения предела выносливости 466
15.3. Диаграмма предельных амплитуд и ее схематизация 471
15.4. Влияние конструктивных факторов на сопротивление усталости 474
В. 15. Контрольные вопросы 485
Ответы на вопросы и задачи 487
Приложения 529
Список литературы 542
ПРЕДИСЛОВИЕ
Работая над этой книгой, мы ставили своей главной целью
создание такого учебника, который позволил бы читателю не
только изучить основные идеи и методы классической инженер-
инженерной дисциплины «Сопротивление материалов», но и получить
определенный навык решения задач, связанных с расчетом кон-
конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Поэтому в
книге много внимания уделено технике решения таких задач.
Мы стремились учесть, что «Сопротивление материа-
материалов» — это лишь одна из дисциплин, формирующих инженера-
механика. Поэтому мы постарались воспользоваться теми воз-
возможностями, которые «Сопротивление материалов» предста-
представляет для демонстрации прикладного смысла ряда математи-
математических понятий и методов.
Книга разбита на разделы трех уровней (главы, парагра-
параграфы, пункты). Разделы третьего уровня (пункты) пронумеро-
пронумерованы тремя цифрами. Каждый из них содержит такой объем
информации, деление которого не имеет смысла. Пункты, поме-
помеченные буквой «К», содержат комментарии, в основном истори-
исторического характера. Авторы глубоко убеждены в необходимости
хотя бы упоминания имен тех ученых, труды которых легли в
основу этой замечательной инженерной дисциплины.
Работа между авторами распределилась следующим обра-
образом. Концепция учебника разработана А. Г. Горшковым и
В. И. Шалашилиным, основной текст написан В. И. Шалашили-
ным и обсужден с В. Н. Трошиным. В. Н. Трошин подготовил
контрольные вопросы, задачи и ответы к ним. Общая редакция
проведена А. Г. Горшковым.
Авторы
ГЛАВА 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ,
ДОПУЩЕНИЯ
1.1. Предмет и задачи курса
1.1.1. Прежде чем начать изложение, непосредственно ка-
касающееся избранного нами предмета, необходимо определить
этот предмет и ввести хотя бы начальную терминологию. Од-
Однако мы, как и все авторы подобных курсов, находимся в за-
затруднительном положении, поскольку многообразие и широта
изучаемого предмета не позволяют на этом этапе дать краткие и
одновременно точные определения самого предмета и исходных
терминов. Эта проблема с трудом решается даже в математи-
математических курсах аксиоматического характера. Мы же вынуждены
опираться на жизненный опыт читателя, используя имеющие-
имеющиеся у него на основе этого опыта представления о тех вопросах,
которые будут изучаться в дальнейшем. Поэтому на первом эта-
этапе некоторая расплывчатость определений неизбежна. В то же
время цель обучения — сформировать у учащегося определен-
определенную систему понятий. А понятие всегда глубже его определения
хотя бы потому, что оно включает знание исключений из этого
определения. Однако даже не очень точное определение хорошо
тем, что оно помогает выработать понятие, которое формирует-
формируется и уточняется в процессе изучения всего курса. Поэтому мы
просим читателя отнестись к используемым ниже определени-
определениям, особенно в этой главе, с учетом только что сказанного.
1.1.2. Создавая самые различные предметы, машины, со-
сооружения, человек прежде всего заинтересован в их безотказ-
безотказной работе. Одной из самых распространенных причин отказов
является разрушение конструкций или их элементов либо недо-
недопустимая их деформация.
Под разрушением здесь понимается непредусмотренное раз-
разделение тела (конструкции или ее элементов) на части.
8 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛ. 1
Деформация — изменение размеров или формы тела.
Чтобы быть работоспособной, всякая конструкция должна
быть прочной и жесткой.
Прочность — это свойство конструкции выдерживать внеш-
внешние воздействия без разрушения и развития чрезмерных дефор-
деформаций.
Жесткость — способность конструкции сопротивляться де-
деформированию, т.е. сопротивляться внешним воздействиям без
значительных деформаций.
Внешние воздействия могут быть самыми разнообразными.
Это и силовые воздействия (нагрузки), и нагрев или охлажде-
охлаждение, и различного рода облучения, а также и другие воздействия
внешней среды того или иного физического или химического
характера. Наиболее распространенными и хорошо изученными
являются силовые и температурные воздействия на конструк-
конструкцию.
Часто причиной разрушения или недопустимых деформа-
деформаций является потеря устойчивости равновесного состояния кон-
конструкции или ее элемента. Под устойчивостью в механике по-
понимается свойство тела, находящегося в состоянии равновесия
(или движения), определенным образом реагировать на возму-
возмущающие воздействия. Состояние равновесия называется устой-
устойчивым, если малые возмущения вызывают малые отклонения от
этого состояния.
Прочность, жесткость и устойчивость конструкции долж-
должны быть обеспечены не в ущерб работоспособности и стоимо-
стоимости конструкций. Так, самолеты и другие летательные аппара-
аппараты должны быть возможно более легкими, а используемые в
них материалы и технология производства — обеспечивать ра-
разумную их стоимость. Природа, решая этот вопрос для своих
созданий — растений и животных, использовала эволюционный
процесс естественного отбора, который основан на массовом экс-
эксперименте по выживанию особей под воздействием внешней сре-
среды. Среди этих воздействий были и такие, которые требовали
достаточной прочности при минимальных затратах. В результа-
результате ей удалось создать такие замечательные в смысле прочности
тела, как ствол бамбука, кости птиц и млекопитающих и т.д. Че-
Человек при создании конструкций вынужден ориентироваться на
минимум эксперимента, который требует обычно больших ма-
материальных затрат и длительного времени, и переносить центр
тяжести на теоретические исследования. В частности, насущ-
насущная необходимость в изучении таких фундаментальных свойств
тел, как прочность, жесткость и устойчивость, привела к со-
созданию в рамках механики обширного раздела этой науки —
механики твердого деформируемого тела. Сопротивление мате-
материалов является частью этого раздела, сконцентрировавшей его
1.1 ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ КУРСА 9
результаты прикладного характера, на которых основан расчет
прочности, жесткости и устойчивости простейших, но наиболее
распространенных элементов конструкций.
1.1.3 К1). Наиболее ранние из известных нам опытов по
изучению прочностных свойств материалов были поставлены
Леонардо да Винчи A452-1519). Он проводил испытания про-
проволок на растяжение и балок на изгиб. Однако полученные им
результаты остались не опубликованными. Первыми печатны-
печатными исследованиями в области сопротивления материалов были
два первых диалога в знаменитой книге Г. Галилея A564-1642)
о двух науках [1 A638 г.)], где он рассматривает работу бруса на
растяжение и изгиб. Хотя некоторые представления Г. Галилея
были неточны, но именно его работы положили начало система-
систематическим экспериментальным и теоретическим исследованиям в
области сопротивления материалов и механики твердого дефор-
деформируемого тела. Подробный анализ результатов исследований
Л. да Винчи и Г. Галилея приведен в книге [2].
1.1.4. Несмотря на разнообразие форм, самые различные
конструкции можно разбить на элементы, которые по своей фор-
форме могут быть отнесены к одной из трех групп.
Первую группу составляют элементы, два размера кото-
которых малы по сравнению с третьим. Такие элементы называют
брусьями (стержнями, балками).
Геометрически форму бруса можно образовать движением
плоской фигуры (сечения) вдоль некоторой линии (оси бруса)
так, чтобы плоскость фи-
фигуры была перпендикуляр-
перпендикулярна оси бруса и пересека-
пересекалась с ней в центре тяжести
сечения (рис. 1.1). Каждое
мгновенное положение фи- V )^^^ I I Ось бруса
гуры называют поперечным / поперечное сечение
сечением бруса. '
В зависимости от фор- Центр тяжести
мы оси различают прямые и
криволинейные брусья. Их с*
поперечные сечения могут быть постоянными по длине оси либо
изменяться плавно или ступенчато.
Простейшим является прямолинейный брус постоянного се-
сечения. Прямолинейный брус, растянутый или сжатый силами
вдоль его оси, называют также стержнем. Если прямолиней-
прямолинейный брус нагружен так, что его ось при деформации изгибается,
то его обычно называют балкой.
г) Здесь и далее пункты, помеченные буквой «К», содержат комментарии,
в основном исторического характера.
10 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛ. 1
Примерами брусьев в авиационных конструкциях являют-
являются стрингеры, лонжероны, тяги управления. Они часто бывают
тонкостенными, т.е. такими, что их поперечное сечение образо-
образовано из удлиненных элементов малой толщины.
Ко второй группе относятся тела, у которых один из разме-
размеров мал по сравнению с двумя другими. Такие тела называют
оболочками. Их форма обра-
образуется двумя близко располо-
расположенными поверхностями, кото-
которые называют лицевыми. По-
Поверхность, равноудаленная от
- / ^ -^ -Х| лицевых, называется срединной
Лицевые ^^\SX \\\ / 1 Д\ т>
/$\ 4 ^ ^ РасСТ0яние
поверхности /$\ ^^4
/ xy^-^ лицевыми поверхностями, из-
Срединная / V^ меренное по нормали к сре-
поверхность динной поверхности, называют
толщиной оболочки. Оболочки
Рис. 1.2 с плоской срединной поверхно-
поверхностью называют пластинами.
Оболочки и пластины широко используются в самых различ-
различных конструкциях. В авиационных конструкциях они образуют
обшивку планера, корпус турбореактивного двигателя и т.д.
Третью группу образуют тела, все три размера которых од-
одного порядка. Такие тела иногда называют массивами.
Учет особенностей формы бруса и оболочки позволил со-
создать такие их расчетные модели, на основе которых при срав-
сравнительной простоте расчета на прочность обеспечивается доста-
достаточная для практики точность такого расчета.
Основным объектом изучения в сопротивлении материалов
является брус. Оболочки и пластины исследуются в теории пла-
пластин и оболочек. Массивами занимается теория упругости. Ме-
Методы расчета конструкций, образованных из элементов этих
трех групп, составляют основной предмет строительной механи-
механики. Эти дисциплины вместе с некоторыми другими и составляют
механику твердого деформируемого тела.
1.2. Основные гипотезы и допущения
1.2.1. Окружающие нас твердые тела обладают самыми
различными свойствами. Они различаются по размерам, форме,
материалу и его структуре, вкусу, цвету, запаху и т.д. Механика
твердого деформируемого тела изучает поведение тел при их де-
деформировании. Поэтому ее интересуют только те свойства тел,
которые существенно сказываются на процессе их деформирова-
деформирования. Опыт показывает, что сопротивление тел деформированию
во многом определяется материалом, из которого они состоят.
1.2 ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ И ДОПУЩЕНИЯ 11
Структура (микроструктура) известных нам материалов разно-
разнообразна. Металлы, как правило, имеют кристаллическую ми-
микроструктуру, дерево состоит из волокон, структура пластмасс
может быть самая разнообразная и определяется технологией
их изготовления и т.д. Механика твердого деформируемого тела
использует различные модели материалов, каждая из которых
моделирует свойства групп, сходных по своим деформативным
свойствам материалов. Эти модели могут учитывать лишь от-
отдельные свойства материалов или несколько свойств. Чем проще
модель, тем проще, как правило, ее математическое описание. В
то же время модель должна отражать процесс деформирования
материала с определенной точностью. Иными словами, необхо-
необходима определенная степень адекватности модели и натуры.
Одно из самых общих свойств рассматриваемых на практике
конструкций состоит в том, что их характерные геометрические
размеры существенно больше характерных для микрострукту-
микроструктуры размеров. Это свойство и легло в основу самой общей гипоте-
гипотезы механики твердого деформирующего материала — гипотезы
сплошности, которая предполагает, что материалы, из которых
изготовлены исследуемые тела, являются сплошными и непре-
непрерывными. Эта гипотеза позволяет отвлечься от реальной дис-
дискретной структуры материалов (атомной, молекулярной, кри-
кристаллической, волокнистой) и таким образом обеспечивает еди-
единообразный подход к различным по микроструктуре телам и
создает условия для использования удобного и хорошо разрабо-
разработанного математического аппарата непрерывных функций.
Следующей по общности является гипотеза однородности,
которая предполагает, что свойства материала во всех точках
тела одинаковы. Она основана на том, что степень однородности
металлов, являющихся основными конструкционными материа-
материалами, высока.
Такие материалы, как дерево, композитные материалы и т.п.
обладают меньшей степенью однородности. Но в большинстве
этих случаев расчеты, основывающиеся на гипотезе однородно-
однородности, дают удовлетворительные результаты.
1.2.2 К. Представление о сплошности тела неявно использу-
используется во всех ранних исследованиях, начиная с работ Л. да Вин-
Винчи и Г. Галилея. Лишь в 1812 г. С. Пуассон A781-1840) пред-
предложил модель пластины как системы частиц, распределенных в
ее срединной плоскости. Позже подобные модели рассматрива-
рассматривали Л. Навье A785-1836), О. Коши A789-1857) и некоторые дру-
другие ученые. Однако и они используют вместо суммирования по
системе частиц операцию интегрирования, неявно переходя та-
таким образом от системы частиц к непрерывной среде. Впервые,
по-видимому, уравнения упругого деформирования тела без ис-
использования каких-либо дискретных моделей, а на основе пред-
12 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛ. 1
ставления, что взаимодействие частиц тела описывается неко-
некоторой непрерывной и дифференцируемой функцией, построил
Д. Грин A793-1841) в 1828 г. Введение такой функции с самого
начала равносильно предположению о сплошности и непрерыв-
непрерывности среды.
1.2.3. Широкое распространение получили такие материа-
материалы, свойства которых не зависят от направления. Иными сло-
словами, если из таких материалов выделить куб, то его свойства
не будут зависеть от того, как именно был ориентирован этот
куб по отношению ко всему остальному материалу. Такие мате-
материалы называются изотропными. Материалы же, свойства ко-
которых различны по разным направлениям, называются анизо-
анизотропными. Металлы близки к изотропным материалам. Неко-
Некоторая незначительная анизотропия их механических свойств мо-
может быть внесена при их обработке (прокатка, волочение и т.п.).
Дерево, многие композитные материалы, железобетон и многие
другие материалы обладают явной и существенной анизотропи-
анизотропией механических свойств. Мы в основном ограничимся иссле-
исследованием изотропных материалов. Если будут рассматривать-
рассматриваться анизотропные материалы, то это будет специально оговари-
оговариваться.
1.2.4. Из опыта известно, что при не слишком больших уси-
усилиях тела, хотя и деформируются под действием этих усилий,
но сразу же после того, как усилия перестают действовать, вос-
восстанавливают свои размеры и форму. Однако большие усилия
могут вызвать такую деформацию, которая частично сохранит-
сохранится и после прекращения действия сил. Такая деформация назы-
называется остаточной. Для большинства окружающих нас предме-
предметов, сооружений, машин остаточные деформации не допускают-
допускаются. В то же время остаточная деформация часто используется
при изготовлении различных деталей, например при прокатке,
штамповке и т.п.
Деформации тела называются идеально упругими, если сра-
сразу же после снятия нагрузки тело восстанавливает свои первона-
первоначальные размеры и форму. Для большинства материалов суще-
существует некоторый предел, до которого его деформации упруги
и практически пропорциональны нагрузкам. Такие деформации
называют линейно-упругими, а соответствующий им закон де-
деформирования известен как закон Гука (Р. Гук A635-1703)).
Мы, за некоторыми исключениями, будем рассматривать
лишь линейно-упругие деформации, хотя механика твердого де-
деформируемого тела содержит разделы, рассматривающие и дру-
другие виды деформаций (теории пластичности и ползучести, рео-
реология) .
1.2.5. К абсолютному большинству конструкций предъявля-
предъявляется следующее требование: возникающие в процессе их эксплу-
1.2 ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ И ДОПУЩЕНИЯ 13
атации деформации должны быть малы по сравнению с основ-
основными размерами конструкций. Так, большие деформации крыла
самолета существенно изменяют его аэродинамические характе-
характеристики, в результате чего крыло может перестать создавать
необходимую подъемную силу. Исключение составляют такие
конструкции и их элементы, в которых большие деформации со-
создаются и используются сознательно, как, например, в гибких
элементах приборов, в амортизирующих устройствах и т.п.
Малость деформаций позволяет значительно упростить за-
запись и решение уравнений равновесия конструкции и ее частей,
пренебрегая малыми изменениями размеров и формы послед-
последних. Это и составляет содержание принципа малости дефор-
деформаций, согласно которому ввиду малости деформаций можно
записывать уравнения равновесия, используя в них недеформи-
рованные размеры и форму конструкции и ее частей. Погреш-
Погрешность, вносимая этим в решение, будет тем меньше, чем меньше
деформации по сравнению с недеформированными размерами
конструкции.
Следует заметить, что в некоторых случаях, например в за-
задачах устойчивости, в уравнениях равновесия необходимо учи-
учитывать малые отклонения от равновесного состояния, поскольку
именно эти отклонения сами являются предметом исследования.
1.2.6. Если элементы конструкции деформируются линей-
линейно-упруго (в пределах закона Гука) и имеет место малость де-
деформаций конструкции, то и деформация всей конструкции под
действием внешних сил также подчиняется закону Гука, т.е.
Д(Р) = кР. A.2.1)
Здесь Р — внешняя сила; R — созданная силой Р деформация
конструкции; к — коэффициент пропорциональности. Из A.2.1)
ясно, что при Р = 1 коэффициент к = ДA)/1, таким образом,
к — деформация при единичной внешней силе.
Из A.2.1) следует, что при увеличении силы в с раз точно
так же возрастет созданная ею деформация:
R(cP) =cR(P). A.2.2)
Ясно также, что при отсутствии силы нет и созданной ею де-
деформации, т.е.
Д@) = 0. A.2.3)
Линейная упругость и малость деформаций конструкции яв-
являются достаточными условиями того, чтобы конструкция под-
подчинялась принципу независимости (наложения, суперпозиции)
действия сил, который формулируется следующим образом:
Деформация конструкции под действием группы нагрузок
не зависит от последовательности их приложения и равна
сумме деформаций от каждой из нагрузок в отдельности.
14 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛ. 1
Для двух нагрузок Р\ и ?2 принцип независимости действия
сил можно записать в виде
R(Pi + P2) = R(Pi) + Д(Р2). A-2.4)
При действии внешних сил между частями конструкции воз-
возникают силы взаимодействия, так называемые внутренние силы.
Подробно мы рассмотрим эти силы в гл. 2. Здесь же отметим,
что принцип независимости действия сил может быть отнесен
и к частям конструкции. А так как их деформации пропорцио-
пропорциональны действующим на них внешним и внутренним силам, то
принцип независимости может быть применен и к внутренним
силам. Таким образом, в соотношениях A.2.2)—A.2.4) под R(P)
можно понимать не только деформации, но и внутренние силы,
возникающие в результате действия внешней силы Р.
1.2.7 К. Соотношения A.2.2)—A.2.4) с математической точки зрения
указывают на линейность зависимости R(P), а также на то, что в этих усло-
условиях внутренние силы и деформации подчиняются линейным уравнениям.
Математический аппарат решения таких уравнений исчерпывающе разра-
разработан и составляет основное содержание читаемых в вузах математических
курсов, что избавляет нас от необходимости в дальнейшем подробно оста-
останавливаться на методах решения возникающих линейных задач и позволя-
позволяет сосредоточиться в основном на инженерном и механическом содержании
этих задач.
1.3. Внешние нагрузки
1.3.1. Нагрузки, действующие на тело, являются результа-
результатом его взаимодействия с другими телами или с внешней средой,
которая может быть представлена такими сплошными средами,
как газ или жидкость, а также физическими полями различ-
различной природы. Например, конструкция может иметь некоторые
опорные устройства, силы взаимодействия с которыми называ-
называют опорными реакциями. Опорные реакции являются для кон-
конструкции внешними силами.
Нагрузки, действующие на тело, можно классифицировать
по способу их приложения к телу и по характеру действия во
времени.
1.3.2. По способу приложения к телу силы делятся на объ-
объемные^ поверхностные, погонные и сосредоточенные.
Объемные силы непрерывно распределены по всему объему
тела. Их мерой является интенсивность объемных сил, которая
в каждой точке тела, например в точке А, задается вектором
с\у(А). Если ARy — вектор равнодействующей объемных сил,
приходящихся на элементарный объем AV, который выделен
около точки А (рис. 1.3), то
= lim *gf. A.3.1)
1.3
ВНЕШНИЕ НАГРУЗКИ
15
Заметим, что предельный переход здесь возможен в силу гипо-
гипотезы сплошности.
Часто требуется подсчитать равнодействующую Ry объем-
объемных сил, приходящихся на конечный объем V тела. Тогда из
определения интенсивности A.3.1) следует
Ry=
A.3.2)
Примерами объемных сил могут служить гравитационные
силы (силы тяжести, электромагнитные силы, силы инерции и
т.п.).
Поверхностные силы непрерывно распределены по поверх-
поверхности тела. Их интенсивность qs(B) в точке В поверхности S
(см. рис. 1.3) равна
где AUs — равнодействующая поверхностных сил, действую-
действующих на элемент поверхности A*S, который выделен около точ-
точки В.
ARc
V А/
Рис. 1.3
Равнодействующая R^ поверхностных сил, приложенных к
конечной поверхности 5, в силу A.3.3) будет
Rs = f
dS-
A.3.4)
Примерами поверхностных сил являются аэродинамические
силы на поверхности крыла самолета, силы давления воды на
плотину и т.п.
Погонные силы — это силы, распределенные вдоль линии. Их
интенсивность сц{С) в точке С линии / (см. рис. 1.3) будет
(L3-5)
16 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛ. 1
где AR/ — равнодействующая погонных сил на элементе А/ ли-
линии /, выделенном около точки С. Равнодействующая R/ погон-
погонных сил, приложенных к конечному отрезку / линии:
R; = J
A.3.6)
И, наконец, сосредоточенная сила — это сила, приложенная
к точке тела, например сила Р, приложенная к точке D (см.
рис. 1.3).
Следует сразу заметить, что погонные и сосредоточенные си-
силы как таковые в природе не существуют, поскольку их опреде-
определения включают абстрактные математические понятия линии и
точки. Эти нагрузки являются удобными для расчета моделя-
моделями реальных локальных поверхностных сил, приложенных со-
соответственно по сильно вытянутым в одном направлении узким
полоскам поверхности или по малым по сравнению с поверхно-
поверхностью площадкам. Правомочность таких моделей и область их
применения мы обсудим в гл. 2 в связи с принципами перехода
от реальной конструкции к расчетной схеме.
1.3.3. По характеру действия во времени нагрузки делятся
на статические и динамические.
Все нагрузки так или иначе меняются во времени. По мере
их изменения меняется и деформация тела, за счет чего точки
тела совершают движение, которое мы назовем деформацион-
деформационным. Деформационное движение сопровождается инерционны-
инерционными силами. Если эти инерционные силы настолько малы, что
ими можно пренебречь по сравнению с максимальными значе-
значениями нагрузки, то такие нагрузки называются статическими. В
случае действия статических нагрузок деформационное движе-
движение не рассматривается и расчет проводится для максимального
значения таких нагрузок.
Если же инерционные силы деформационного движения
сравнимы с максимальными значениями нагрузки, то такая на-
нагрузка является динамической и расчет на ее действие требует
анализа деформационного движения тела.
Динамические нагрузки возникают, например, при посадке
самолета, при полете в неспокойной атмосфере, при землетрясе-
землетрясениях и т.п.
В.1. Контрольные вопросы
В. 1.1. Что такое деформация?
В. 1.2. Что такое прочность, жесткость и устойчивость кон-
конструкции?
B.I КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 17
В. 1.3. На какие три группы можно разбить элементы ре-
реальных конструкций?
В. 1.4. Что называется брусом? Что такое поперечное сече-
сечение бруса? Какие типы брусьев вы знаете?
В. 1.5. Что такое оболочка и массив?
В.1.6. Сформулируйте гипотезу сплошности. На каком
свойстве реальных тел она основана? Какие возможности она
открывает?
В. 1.7. В чем заключается гипотеза однородности материа-
материала? На чем она основана?
В. 1.8. Что такое изотропные и анизотропные материалы?
Какие материалы близки к изотропным? Какие проявляют яв-
явную анизотропию?
В. 1.9. Что такое остаточная деформация?
В. 1.10. Какие деформации тела называют идеально упру-
упругими?
В.1.11. Что такое линейно-упругая деформация? Сформу-
Сформулируйте закон Гука.
В. 1.12. В чем заключается сущность принципа малости де-
деформаций, и где он используется?
В. 1.13. Сформулируйте принцип независимости действия
сил. Какие условия являются достаточными, чтобы этот прин-
принцип мог быть применен к рассчитываемой конструкции?
В. 1.14. Что такое внешние нагрузки? По каким признакам
они классифицируются?
В. 1.15. Дайте определение объемным, поверхностным, по-
погонным силам и их интенсивностям. Что такое сосредоточенная
сила? Приведите примеры перечисленных типов нагрузок.
В. 1.16. Что служит критерием разделения нагрузок на ста-
статические и динамические?
ГЛАВА 2
МЕТОД СЕЧЕНИЙ, ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ,
НАПРЯЖЕНИЯ
2.1. Метод сечений и внутренние силовые факторы
2.1.1. Форма и размеры всякого твердого тела удержи-
удерживаются силами взаимодействия составляющих его частиц. Под
действием нагрузок и других внешних воздействий тела дефор-
деформируются, что выражается в изменении расстояний между ча-
частицами, а значит, и в изменении сил взаимодействия между
ними. Мы будем изучать именно эти изменения сил взаимодей-
взаимодействия и называть их в дальнейшем внутренними силами.
Таким образом, внутренние силы — это силы взаимодей-
взаимодействия между частями тела, возникающие вследствие его дефор-
деформации.
Такое определение внутренних сил предполагает, что в неде-
формированном теле внутренние силы равны нулю.
Появление внутренних сил в теле может быть вызвано не
только внешними нагрузками. Они возникают при неравномер-
неравномерном нагреве и охлаждении или в результате таких технологи-
технологических операций, как штамповка, прокатка и т.п. В дереве вну-
внутренние силы могут возникнуть при неравномерном высыхании,
в бетоне — при затвердевании. Определение внутренних сил та-
такого рода является сложной задачей, которая требует специаль-
специальных исследований и которая изучена, на наш взгляд, недоста-
недостаточно. Мы лишь слегка коснемся задач такого рода при анализе
усилий, возникающих в некоторых конструкциях при нагреве.
Нетрудно понять, что внутренние силы являются основным
объектом изучения в механике деформированного твердого те-
тела, так как знание их позволяет судить о прочности и жесткости.
Действительно, разрушение произойдет там, где внутренние си-
силы превысят допустимый для материала предел сил взаимодей-
взаимодействия его частиц. Жесткость, как способность тела сопротив-
2.1
ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
19
ляться деформированию, также определяется внутренними си-
силами, поскольку сами они вызваны деформациями.
2.1.2. Внутренние силы изучаются с помощью метода сече-
сечений. Чтобы продемонстрировать этот метод, рассмотрим тело,
находящееся в равновесии под действием системы п внешних
сил Pi (г = 1,...,п) (рис. 2.1). Как известно из теоретической
механики, необходимым и достаточным условием равновесия те-
тела является равенство нулю главно-
главного вектора этих сил и их главного
момента относительно произвольно
выбранной точки, т.е. должны вы-
выполняться векторные уравнения
B.1.1)
г=1
г=1
где М^ — вектор момента силы fi Рис. 2.1
относительно выбранной точки.
Возьмем произвольно некоторую плоскость, разделяющую
тело на две части, и рассмотрим эти части тела, которые обо-
обозначим римскими цифрами /и //(рис. 2.2). Как само тело, так и
его части должны находиться в равновесии. Однако в силу про-
произвольности выбора плоскости внешние силы, действующие на
каждую из частей тела, уже не
удовлетворяют условиям равнове-
равновесия вида B.1.1) и равновесие ча-
частей тела обеспечивается силами
их взаимодействия, т.е. внутренни-
внутренними силами.
Внутренние силы, действую-
действующие на одну часть тела со сторо-
стороны другой, как любую систему сил,
можно свести к главному вектору
и главному моменту. Покажем, что
главный вектор и главный момент Рис. 2.2
внутренних сил, действующих на
части тела, можно найти, ничего не зная о распределении самих
внутренних сил по телу и пользуясь только условиями равнове-
равновесия. Для этого мысленно рассечем тело плоскостью на части /и
//и рассмотрим эти части отдельно. Выберем в сечении некото-
некоторую точку О (обычно это центр тяжести сечения) и обозначим
через R/ и М7 главный вектор и главный момент относитель-
относительно точки О внутренних сил, с которыми часть // действует на
часть /. Точно так же обозначим через Ип и М7/ главные вектор
и момент внутренних сил, действующих на часть // со стороны
части / (рис. 2.3). Как равнодействующие сил взаимодействия
20
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
векторы R/, Ип и М7, М7/ должны быть взаимны, т.е. равны
по величине и противоположны по направлению:
B.1.2)
R7 = -К11,
М1 = -Мп.
Рис. 2.3
Запишем условия равновесия отсеченной части /:
^2 Рг + R7 = 0, ^Mi + M1 = 0. B.1.3)
iei iei
Здесь символ ^ означает, что суммируются силы или их мо-
iei
менты, приложенные к части /.
Точно так же для части // условия равновесия имеют вид
ieii
iei
Складывая соответственно равенства B.1.3), B.1.4), приходим с
учетом взаимности B.1.2) к условиям равновесия для всего тела
B.1.1).
Каждое из уравнений B.1.3), B.1.4) является уравнением с
одним неизвестным. Из них получаем
B.1.5)
ieii ieii
Заметим, что для определения R/, R11 и М7, М7/ доста-
достаточно решить уравнения равновесия для любой из отсеченных
частей. Например, для части / из B.1.3) найти R/ и М^, то-
тогда для другой части Ип и М7/ определятся по свойству вза-
взаимности B.1.2). На практике это позволяет решать уравнения
равновесия для той отсеченной части, для которой они проще.
2.1
ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
21
R
Подчеркнем основную идею метода сечений. Она состоит в
том, что силы, внутренние для тела, для отсеченной части те-
тела рассматриваются как внешние. А это позволяет включать
их в уравнения равновесия отсеченной части точно так же, как
и действующие на нее внешние силы и, решая эти уравнения,
определять главный вектор и главный момент внутренних сил.
2.1.3. Чтобы решить уравнения B.1.3) или B.1.4), необхо-
необходимо записать их в координатной форме, для чего прежде всего
необходимо задать систему координат. Выбор начала координат
и координатных осей обычно определяется удобством решения
задачи, а часто и традициями. Так, для бруса наиболее инте-
интересны внутренние силы в поперечном сечении. При этом удобно
выбирать начало координат в цен-
центре тяжести сечения, а декарто-
декартовы оси направлять так, чтобы од-
одна из них была перпендикулярна
(нормальна) к плоскости сечения, а
две другие лежали в этой плоско-
плоскости. Принято нормальную к сече-
сечению ось обозначать буквой ж, а оси
в плоскости сечения — буквами у
и z (рис. 2.4).
Для составляющих RXl Ryi Rz
главного вектора R внутренних сил
установились следующие обозначения и названия: Rx = N —
продольная (нормальная) сила; Ry = Qyi Rz = Qz — перерезы-
Mv
м
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Рис. 2.6
вающие (поперечные) силы (рис. 2.5). Составляющие MXl Myi
Mz главного момента М внутренних сил, приведенных к цен-
центру тяжести сечения, принято обозначать и называть так: Мх =
= Мк — крутящий момент; Myi Mz — изгибающие моменты (см.
рис. 2.5). На рис. 2.6 моменты М&, Му, Mz показаны в виде пар
22
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
сил. Все силы и моменты TV, Qyi QZl М&, Му, Mz часто называют
внутренними силовыми факторами. Уравнения для их опреде-
определения, представляющие собой координатную форму векторных
уравнений B.1.3), принимают с учетом этих обозначений вид
+ N = О,
мк = о,
B.1.6)
Здесь обозначено:
, P%z — составляющие силы Р^ по осям
q(x)
ж, у, z\ Mix, Miy, Miz — составляющие момента М^ силы Р^ по
осям ж, у, z или, другими словами, моменты силы Р^ относи-
относительно этих осей.
Каждое из уравнений B.1.6) содержит лишь один неизвест-
неизвестный внутренний силовой фактор, что позволяет легко найти его.
Координатная форма уравнений равновесия B.1.6) для отсечен-
отсеченной части // имеет аналогичный вид.
2.1.4. С помощью метода сечений можно получить ряд
важных соотношений, определяющих характер изменения вну-
внутренних силовых фак-
факторов в брусе. Рассмо-
Рассмотрим для этого прямоли-
прямолинейный брус, нагружен-
нагруженный внешней нагрузкой
самого общего вида, ко-
которая состоит из со-
сосредоточенных СИЛ Pj,
приложенных в точках
оси бруса с координата-
координатами хР., сосредоточенных
моментов Mj в точках
%., погонной нагрузки
интенсивностью q(x) и
погонной моментной на-
нагрузки интенсивностью т(х) (рис. 2.7). Зададим систему коор-
координат ж, у, z, причем, как принято, направим ось х вдоль оси
бруса.
Векторы нагрузок имеют составляющие по осям координат
т{х)
Рис. 2.7
= [Pi*, Ргу,
, Чу,
= [Mj
, Mjz]T, m = [mx,
, mz]
jx, Mjy, Mjz]
Здесь мы воспользовались принятой в математике координатной
формой записи векторов.
2.1
ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
23
Будем считать составляющие нагрузок положительными, ес-
если они направлены в сторону положительного направления осей
координат. Знаки внутрен-
внутренних силовых факторов не
связаны с осями координат.
Чтобы понять это, рассмо-
рассмотрим простейший случай на-
гружения бруса, когда он
растянут силой вдоль оси.
Как видно из рис. 2.8, в его
сечении возникает продоль-
продольная сила 7V, которая может рис 2 g
быть направлена как влево,
так и вправо в зависимости от того, к какой из отсеченных
частей она приложена. Поэтому знаки внутренних сил обыч-
обычно связывают с характером их действия на отсеченную часть.
Так, продольная сила N счита-
считается положительной, если она
стремится растянуть отсечен-
отсеченную часть; Qy > 0, если она
стремится повернуть отсечен-
отсеченную часть по часовой стрелке
в плоскости ху\ момент Mz > О,
если он деформирует брус так,
что сжаты верхние волокна (рис. 2.9). На рис. 2.10 показаны
принятые в книге положительные направления всех внутренних
силовых факторов.
Рассечем брус двумя близкими поперечными сечениями, пе-
пересекающими ось х в точках х и x-\-dx так, чтобы на длине dx не
были приложены сосредоточнные силы и моменты (рис. 2.11).
Рассмотрим равновесие выделенного этими сечениями элемента
бруса dx под действием приложенных к нему внешних и вну-
внутренних сил. (Обозначая здесь и всюду ниже приращение А А
некоторой величины А через cL4, мы подразумеваем, что совер-
совершается обычный для дифференциального исчисления переход к
пределу при А А —>> 0.)
В сечении х на элемент действуют внутренние силовые фак-
факторы N(x), Qy(x), Qz(x), Mz(x), My(x), Mk(x), а в сечении
x-\-dx — N(x + dx), Qy(x + dx), ..., Mk(x + dx). Ввиду малости dx
при переходе от сечения х к сечению х + dx имеет смысл учиты-
учитывать только основную, линейную часть приращения внутренних
силовых факторов. Поэтому с точностью до величин высшего
порядка малости
Г) (т _L dr\ — A (т) 4- НО A 1 ffi
Рис. 2.9
24
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
На рис. 2.11 для большей наглядности показаны усилия и мо-
моменты, действующие на элемент в плоскости жу, а на рис. 2.12 —
Mz
Mv
Рис. 2.10
N(x)
Mz(x)
mz(x)
dx
Рис. 2.11
отдельно только моменты относительно оси х. Соответствующие
этим моментам пары изображены так, что сила, направленная
на нас, показана точкой, а от нас — крестиком.
2.1
ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
25
Действующие на элемент бруса внешние силы и моменты
определяются погонными нагрузками qXi qyi qz и моментами
тх, ту> mz и в соответствии с
определением погонных нагру-
нагрузок A.3.5) могут быть с точно-
точностью до величин высшего по-
порядка малости подсчитаны как
qx(x) dx,qy(x) dy,... ,mz(x) dx.
B.1.9)
Теперь нетрудно записать
условия равновесия элемента,
состоящие в равенстве нулю
сумм проекций действующих
Mk(x)+dMk
Рис. 2.12
на элемент сил на координатные оси и сумм моментов этих сил
относительно координатных осей. Эти уравнения примут вид
>ж = 0 : (N(x) + dN) +qxdx- N(x) = О,
= 0 : Qy(x) +qydx- (Qy(x) + dQy) = 0,
= 0 : Qz(x) + qz dx - (Qz(x) + dQz) = 0,
= 0: (Mk(x) +dMk) -Mk(x) +mxdx = 0,
B.1.10)
у = 0: (Му(х) + dMy) - Му(х) - (Qz(x) + dQz) dx
da
~2
+ qz dx-^- + my dx = 0,
z = 0 : (Mz(x) + dMz) - Mz(x) - (Qy(x) + dQy) dx +
+ qy dx— + mz dx = 0.
Усилия и моменты, показанные на рис. 2.11, вошли в первое,
второе, пятое и шестое уравнения B.1.10), а моменты, данные
на рис. 2.12, — в четвертое.
Из уравнений B.1.10) после упрощения и отбрасывания сла-
слагаемых, имеющих более высокий порядок малости, получаем
следующие соотношения, которые принято называть дифферен-
дифференциальными зависимостями для бруса:
dN
dx
dx
dMk
dx
dM,
dx
- = Qz - my.
dQz =
dx
dMz
dx
= Qy — mz.
B.1.11)
26
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
Обычно в брусьях внешняя нагрузка такова, что mz = 0, ту =
= 0; тогда две последние дифференциальные зависимости упро-
упрощаются:
dMz
dx
dMy _
B.1.12)
2.1.5. Рассмотрим элементы, выделенные из бруса сече-
сечениями, близкими к точкам приложения сосредоточенных сил и
xPi
1
4 ^
щ
1
i »
Prx
,dx,
Рис. 2.13
моментов. На рис. 2.13 а, 5, где эти элементы показаны также в
плоскости ху, обозначено:
\Xi) " v^i)
Равнодействующие приложенных к этим элементам погонных
нагрузок и моментов, равные qx(xpi) • 2cfe, qy(xpi) • 2cfe, ...
..., mz(xpi) • 2dx, ... , являются из-за множителя dx малыми
по сравнению с конечными величинами сосредоточенных сил Pi
и моментов Mj и поэтому в уравнениях равновесия их не следует
учитывать.
Составляя условия равновесия элемента, выделенного около
точки А приложения сосредоточенной силы Pi (рис. 2.13 а), лег-
легко получаем следующие соотношения:
JV+ = N~ -
= Qz+
M + = Mfc", M + = My , M + = M -.
B.1.13)
Из условий равновесия элемента, который выделен в окрест-
окрестности точки В приложения сосредоточенного момента Mj
2.1
ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
27
(рис. 2.13 б\ получаем
,у ,„, ,, ,,, BL14)
±к — ±v±k — iv±JX, ±v±y — My — Mjy, M+ = Mz — Mjz.
Из соотношений B.1.13), B.1.14) следует, что при переходе
через точки приложения сосредоточенных сил и моментов со-
соответствующие внутренние силовые факторы изменяются скач-
скачком на величину соответствующего внешнего сосредоточенно-
сосредоточенного усилия или момента. В реальных брусьях скачков, конечно,
быть не может. Но полученные соотношения отражают тот факт,
что локальные нагрузки вызывают в брусе быстрое (в пределах
участков их приложения) изменение соответствующих внутрен-
внутренних силовых факторов.
2.1.6. Рассмотрим теперь брус, один конец которого защем-
защемлен (т.е. полностью закреплен от любых перемещений), а дру-
другой — свободен. На рис. 2.14 показана проекция такого бруса
Рис. 2.14
на плоскость ху. Рассечем брус сечением в точке х = хс на две
части I a II (рис. 2.15). Ясно, что можно составлять уравнения
28 МЕТОД СЕЧЕНИЙ ГЛ. 2
равновесия только для части /, так как часть // защемлена и
не имеет степеней свободы. Пользуясь рис. 2.15, нетрудно соста-
составить уравнения проекций сил на оси ж, у и моментов относи-
относительно оси z, проходящей через центр тяжести сечения перпен-
перпендикулярно плоскости ху (на рис. 2.15 след оси z на плоскости
ху совпадает с точкой С). Остальные уравнения можно соста-
составить аналогично. В результате из условий равновесия части /
получаем
N(xc) = J qx(x) dx
^c) — J 4y\x) ax
l B.1.15)
xc) = — Г qz(x) dx —
xc
i
Mk(xc) = J mx(x)dx-
xc iei
i i
My(xc) = Г (x — xc)qz(x) dx + ? my(x) dx +
pi ~ xl)Piz +
iei jei
l i B-1-16)
Mz(xc) = I (x — xc)qy(x) dx + I mz(x) dx +
Здесь / — координата правого конца бруса (длина бруса). Эти
уравнения по существу являются расшифрованными уравнени-
уравнениями B.1.6) для отсеченной части /бруса. Вошедшие в них инте-
интегралы являются равнодействующими усилиями или моментами
погонных нагрузок qx(x), qy(x), qz(x) и моментов mx(x), my(x),
mz(x).
Отметим, что в уравнениях B.1.15), B.1.16) содержится та
же информация, что и в соотношениях B.1.11), B.1.13), B.1.14).
Действительно, если считать координату сечения переменной и
продифференцировать по ней равенства B.1.15), B.1.16), учи-
учитывая, что интегралы имеют переменный нижний предел, то
придем к дифференциальным зависимостям B.1.11).
2.2 ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ 29
Продемонстрируем это на примере выражения для Mz. На-
Напомним формулу дифференцирования интеграла по переменно-
переменному пределу:
Тогда, дифференцируя второе соотношение в B.1.16), полу-
получаем
dx
(I I \
J xqy(x) dx-xcf qy(x) dx J - mz(xc) - ^ Piy =
xc xc J iel
= -xcqy(xc) - J qy(x) dx + xcqy(xc) - mz(xc) - ^ Piy.
xc iei
Подчеркнутые слагаемые уничтожаются, а второе и послед-
последнее слагаемые, как это видно из B.1.15), составляют Qy(xc). В
результате имеем
dMz гл г \ / \
— = Qy{xc) -mz(xc),
что с точностью до обозначения аргумента совпадает с послед-
последним соотношением в B.1.11).
Иначе говоря, выражения B.1.15), B.1.16) представляют со-
собой общее решение дифференциальных уравнений B.1.11), учи-
учитывающее скачки, заданные условиями B.1.13), B.1.14). С этой
точки зрения видно, что соотношения B.1.16) можно заменить
на следующие:
Му(хс) = - J Qz(x)dx + J my(x)dx
xc xc jei
B.1.17)
i i
Mz(xc) = — f Qy(x) dx + f mz(x) dx +
Сравнивая между собой выражения в B.1.15), B.1.17), заме-
замечаем большое сходство в их структуре. Это единообразие вместе
с простотой алгоритмизации входящих в них операций сумми-
суммирования и интегрирования делает их удобной основой для авто-
автоматизации процесса вычисления внутренних силовых факторов
на ЭВМ.
30
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
2.2. Напряжения
2.2.1. В предыдущем разделе были изучены свойства вну-
внутренних силовых факторов, которые интегрально (в целом) от-
отражают взаимодействие отсеченных частей тела. Но, как уже
отмечалось, для суждения о
прочности и жесткости тел
нам необходимо более де-
детальное знание внутренних
сил.
Взаимодействие частиц
тела на молекулярном уров-
уровне характеризует рис. 2.16,
на котором показаны си-
силы взаимодействия Р двух
неполярных молекул в за-
висимости от расстояния г
между ними. Характерные
расстояния го и г\ име-
Рис. 2.16 ют порядок 10~9 м. При
г > г\ силы притяжения
сильно убывают и изменяются почти обратно пропорциональ-
пропорционально г . Следовательно, во взаимодействии двух частей тела
участвуют частицы, которые распо-
10~9-н10~8м ложены в очень тонких слоях тела
' (толщиной около 10~8 -т-10~9 м), при-
~ легающих к сечению со стороны отсе-
ЩЩ ченных частей. На рис. 2.17 эти слои
^^ заштрихованы.
Эта физическая особенность вза-
взаимодействия и легла в основу пред-
предположения, что силы взаимодействия
^Сечение отсеченных частей непрерывно рас-
распределены по поверхности сечения,
Рис 2 17 т.е. в данном сечении внутренние си-
силы являются поверхностными. А по-
поверхностные силы, как мы уже знаем из разд. 1.3, характеризу-
характеризуются своей интенсивностью. Для того чтобы подчеркнуть отли-
отличие внутренних сил от внешних, для интенсивности внутренних
сил введен специальный термин — напряжение. Таким образом,
напряжение р (А) в точке А сечения F (рис. 2.18, а) будет
(А) = lim ^,
B.2.1)
где АР — равнодействующая внутренних усилий на элементар-
элементарной площадке AF сечения F.
2.2
НАПРЯЖЕНИЯ
31
2.2.2. Вектор напряжений р (иногда его называют полным
напряжением) удобно раскладывать на составляющие по нор-
нормали п к сечению и в плоскости сечения, как это сделано в точке
А на рис. 2.18 б.
АР
nl
Рис. 2.18
Составляющую полного напряжения р по нормали п к сече-
сечению называют нормальным напряжением и обозначают грече-
греческой буквой а с индексом, соответствующим нормали к сечению,
т.е. в данном случае ап.
Составляющую полного напряжения р в плоскости сечения
обозначают тп и называют касательным напряжением.
Часто удобно Тп разложить на составляющие по осям в плос-
плоскости сечения. На рис. 2.19 в сечении введены оси / и m и тп
разложено на составляющие тп\ и тпт. Таким образом, у состав-
составляющих касательного напряжения имеется два индекса, первый
из них обозначает нормаль к сече-
сечению, а второй соответствует оси, вдоль
которой эта составляющая действует.
На рис. 2.20 показаны напряжения,
действующие по граням элементарно-
элементарного кубика, выделенного из тела сече-
сечениями, которые параллельны коорди-
координатным плоскостям в декартовых осях
х, у, z.
Знак напряжений устанавливает-
устанавливается следующим правилом: в сечении,
внешняя нормаль к которому совпадает с положительным на-
направлением координатной оси, напряжения положительны, ес-
если они совпадают по направлению с координатными осями.
Для нормальных напряжений удобно пользоваться более про-
простым, но следующим из этого правилом: нормальные напряже-
напряжения положительны, если они растягивающие. На рис. 2.20 по-
показаны положительные направления напряжений.
Заметим, что понятие напряжения связано с сечением. Через
заданную точку тела, например точку В на рис. 2.21, можно
Рис. 2.19
32
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
dz
Рис. 2.20
провести сколько угодно сечений, и в каждом из них в точке В
будет свое напряжение. Два таких возможных сечения показаны
на рис. 2.21. Поэтому, говоря о
напряжении в точке, необходимо
указать сечение, в котором оно
действует. Совокупность напря-
напряжений в точке во всех сечениях,
проходящих через данную точ-
точку тела, обычно называют на-
напряженным состоянием в точ-
точке.
2.2.3. Подробно напряжен-
напряженное состояние в точке будет изу-
изучено в гл. 11. Здесь же мы ука-
укажем на одно фундаментальное
свойство касательных напряже-
напряжений. Для этого запишем сум-
сумму моментов сил, действующих
на показанный на рис. 2.20 элементарный кубик, относитель-
относительно оси z с учетом, что длины ребер кубика равны dx, dy и
dz. Так как кубик вместе с телом находится в равновесии,
то составленная нами сумма
должна быть равна нулю. Видно,
что моменты относительно оси
z дадут только усилия от каса-
касательных напряжений тух и rxyi
действующие на видимых гранях
кубика. Действительно, усилия
от напряжений aZi rXZi ryz парал-
параллельны оси z и поэтому не дадут
моментов относительно нее, а
моменты усилий от напряжений
(Ух, (У у, tZXi rzyi действующих
на противоположных гранях,
уравновесятся. Так как грани
кубика малы, то можно считать
Рис. 2.21
у ,
напряжения на них постоянными. Поэтому, чтобы получить
усилия от этих напряжений, нужно в соответствии с опре-
определением B.2.1) умножить напряжения на площади граней,
на которых они действуют. Тогда усилия от тух и тху равны
ryxdxdz и TXydydz. Умножая их соответственно на плечи dy и
dx, получаем их моменты относительно оси z:
Mz = тух dx dz dy — тху dy dz dx = 0.
2.3
СВЯЗЬ НАПРЯЖЕНИЙ С ВНУТРЕННИМИ ФАКТОРАМИ
33
Отсюда следует, что тху = тух\ рассматривая точно также
моменты относительно осей ж и у, получим в итоге
и- — и- (9 9 9\
^ху — тух->
Рис. 2.22
Tyz = Tz
Это свойство называют свой-
свойством парности касательных
напряжений. Оно формулирует-
формулируется так:
Во взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных площадках составляющие
касательных напряжений, нор-
нормальные к линии пересечения
площадок (к ребру), равны и на-
направлены одновременно либо от
ребра, либо к ребру.
На рис. 2.22 показаны две
произвольные взаимно перпен-
перпендикулярные площадки с норма-
нормалями ? и г/. Свойство парности
относится только к T^ri и т^, и не касается т^ и т^.
2.2.4 К. Понятие усилий в продольных волокнах бруса,
близкое по смыслу к нормальным напряжениям в его попереч-
поперечных сечениях, использовалось уже в работах Г. Галилея. В даль-
дальнейшем это понятие развивалось в работах Ф. Мариотта A620-
1684), Парана A666-1716), Ш. Кулона A736-1806), Т. Юнга
A773-1829) также применительно к теории растяжения и из-
изгиба бруса. В то же время Л. Навье подсчитывал силы взаи-
взаимодействия отсеченных частей как суммы (интегралы) сил вза-
взаимодействия их частиц. Впервые в явном виде понятие напря-
напряжения, а значит, и предположение о том, что внутренние силы
распределены по поверхности сечения, ввел один из крупней-
крупнейших математиков и механиков XIX века О. Коши A789-1857).
Это понятие было высказано в основополагающих работах по
математической теории упругости, но оно быстро было исполь-
использовано и в исследованиях прикладного характера, что придало,
в частности, теории деформаций бруса современный вид.
2.3. Связь напряжений с внутренними силовыми
факторами
2.3.1. Пусть в конечном сечении F бруса известно распре-
распределение нормальных ax(y,z) и касательных rxy(y,z), rxz(y,z)
напряжений (рис. 2.23). Тогда нетрудно подсчитать внутренние
силовые факторы TV, Qyi ..., как равнодействующие элементар-
элементарных усилий от напряжений. Для этого разобьем сечение F на
2 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
34
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
dF
Рис. 2.23
элементарные площадки dF с ко-
координатами у, z. Элементарные
усилия от напряжений на этих
площадках равны ах(у, z) dF,
rxy(y,z) dF, rxz(y,z) dF, а момен-
моменты этих элементарных усилий
относительно осей у, z, x будут
zax dF, yax dF, yrxz dF - zrxy dF.
Суммируя элементарные усилия
и моменты по всем площадкам,
т.е. интегрируя их по площади
поперечного сечения, получаем
N = J axdF, Qy = - J тху dF, Qz = - J txz dF,
F F F
Mz = - J yax dF, My= J zax dF, B.3.1)
хр
= / (yrxz - zrxy) dF.
F
Знак « —» в выражениях для Qy, Qz, Mz учитывает, что ин-
интегралы в этих выражениях соответствуют силам и моменту,
направления которых противополож-
противоположны установленным правилом знаков
(см. рис. 2.10) положительным на-
направлениям для внутренних силовых
факторов.
Иногда для подсчета М& удобно ис-
использовать полярные координаты р и
а (рис. 2.24). В этом случае состав-
составляющие касательных напряжений в
соответствии с правилом их индекса-
индексации будут тха и тхр. Подсчитывая М^
как интеграл по сечению от моментов элементарных касатель-
касательных усилий, получаем
Мк= J ртха dF.
B.3.2)
2.3.2. Соотношения B.3.1) позволяют найти внутренние
силовые факторы по известным напряжениям в сечении. Но
при расчете конструкций на прочность и жесткость возника-
возникает, как правило, обратная задача: сначала методом сечений
определяются внутренние силовые факторы, а по ним требу-
требуется найти напряжения. Нетрудно видеть, что только на осно-
2.4 ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА 35
вании соотношений B.3.1) такую задачу нельзя решить од-
однозначно. Действительно, на рис. 2.25 показаны два различ-
различных распределения напряже-
напряжений. Если в них (<7i + <J2)/2 =
= сто, то им соответствует оди-
одинаковая продольная сила N =
= (JqF. Как мы покажем в
дальнейшем, для однозначно-
однозначного определения напряжений по
внутренним силовым факторам
соотношения B.3.1) необходи-
необходимо дополнить информацией о р
характере распределения на-
напряжений. Способы получения и использования такой инфор-
информации будут рассмотрены в главах 4, 6, 8.
2.3.3. В большинстве руководств по сопротивлению мате-
материалов нашла отражение сложившаяся в расчетной практике
традиция рассматривать элементарные напряженно-деформи-
напряженно-деформированные состояния бруса, когда в его поперечных сечениях воз-
возникают лишь отдельные внутренние силовые факторы.
Если в поперечных сечениях бруса отлична от нуля только
продольная сила N, то напряженно-деформированное состояние
такого бруса называют центральным растяжением-сжатием.
Если не равен нулю только крутящий момент, то говорят, что
брус находится в состоянии кручения.
Если же не равны нулю только изгибающие моменты
Mz, My и перерезывающие силы Qy, Qz, то напряженно-
деформированное состояние такого бруса называют изгибом.
В главах 4, 6, 8 мы также рассмотрим эти элементарные со-
состояния бруса и еще вернемся к частному виду для этих случаев
соотношений B.1.11), B.1.13)-B.1.16), B.3.1).
2.4. Принцип Сен-Венана
2.4.1. Распределение напряжений в твердых телах облада-
обладает одним общим свойством, которое следует из анализа различ-
различных решений и подтверждается экспериментально. Это свойство
составляет содержание принципа Сен-Венана.
Будем называть нагрузку локальной, если размеры площад-
площадки, к которой она приложена, малы по сравнению с размерами
тела. Тогда принцип Сен-Венана формулируется так:
Напряжения, вызванные локальной нагрузкой, в точках те-
тела, достаточно удаленных от места приложения к нему этой
нагрузки, мало зависят от конкретного характера распределе-
распределения нагрузки, а определяются только ее главными вектором и
моментом.
36
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
Так, для показанных на рис. 2.26 трех способов приложения
силы Р к брусу напряженное состояние в точке А, удаленной от
места нагружения, практиче-
практически одинаково.
Будем называть нагрузки
статически эквивалентными,
если равны их главные векторы
и главные моменты. Показан-
Показанные на рис. 2.26 нагрузки
статически эквивалентны. Со-
Согласно принципу Сен-Венана
напряжения и деформации
от статически эквивалентных
локальных нагрузок вдали от
площадок, к которым приложе-
приложены эти нагрузки, практически
одинаковы.
На рис. 2.27 показаны на-
напряжения в плоской полосе
толщины 8 при сжатии ее рав-
равномерно распределенными по
торцам усилиями р и стати-
статически эквивалентными им со-
сосредоточенными силами Р =
= рЬ8. Неравномерность рас-
распределения напряжений при
Рис. 2.26 нагружении сосредоточенными
силами затухает на длине с/,
близкой по величине к ширине полосы Ъ (d ~ b).
Отметим также, что локальные нагрузки, статически эк-
эквивалентные нулю, т.е. с равными нулю главными вектором
и моментом, не вызывают на-
напряжений вдали от площа-
площадок, к которым они прило-
приложены. На рис. 2.28 показана
полоса, сжатая сосредоточен-
сосредоточенными силами. Такая нагруз-
нагрузка является локальной и ста-
статически эквивалентной нулю,
так как силы уравновешены.
Область, в которой возникают
существенные напряжения, за-
заштрихована. Эту область назы-
называют зоной Сен-Венана. Мы ча-
Illlllllll
/
Illlllllll
. b ,
>
р=Р1ЬЪ
У////////////////А
Рис. 2.27
сто пользуемся этим эффектом в быту, например, когда переку-
перекусываем проволоку клещами. При этом мы совершенно уверены,
2.4
ПРИНЦИП СЕН-ВЕНАНА
37
что в местах, удаленных от места перекусывания примерно на
диаметр проволоки, никаких де-
деформаций проволоки не возни- i P
кает.
2.4.2. Принцип Сен-Венана
дает возможность оценить обла-
области применимости сосредоточен-
сосредоточенной и погонной нагрузок, введен-
введенных в разд. 1.3 как модели ло-
локальных нагрузок. Ясно, что эти
ill
Рис. 2.28
модели можно применять в том случае, если нас интересуют на-
напряжения вдали от места приложения локальных нагрузок.
Принцип Сен-Венана также широ-
широко используется при построении рас-
расчетных схем как моделей реальных
конструкций. Он позволяет при рас-
расчете основного напряженного состоя-
состояния отвлечься от реальных конструк-
конструктивных особенностей выполнения от-
отдельных узлов конструкции. Так, рас-
б
^ис-
четной схеме балки, показанной на рис. 2.29, могут соответство-
соответствовать самые различные конструктивные выполнения мест ее за-
закрепления и приложения на-
нагрузки. Некоторые из них пока-
показаны на рис. 2.30.
2.4.3. Формулировка прин-
принципа Сен-Венана несколько
расплывчата. Так, в ней не
конкретизированы размеры зо-
зоны, вне которой напряжения
не зависят от характера рас-
распределения локальной нагруз-
нагрузки (зона Сен-Венана). Опыт
показывает, что обычно эти
размеры близки, с одной сто-
стороны, к характерному размеру
площадки нагружения, а с
другой — к характерному раз- Рис 2.30
меру тела. Сказанное можно
пояснить на примере деформации тонкостенного стержня
(рис. 2.31 а). Приложенные к полкам стержня моменты изги-
изгибают полки в разные стороны. Если связывающая эти полки
стенка отсутствует, то моменты вызовут одинаковый изгиб
полок по всей их длине (рис. 2.31 б). По мере увеличения
жесткости стенки (увеличения ее толщины #), которая связы-
связывает полки и заставляет их компенсировать изгибы друг друга,
-db-
38
МЕТОД СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 2
зона изгиба полок будет уменьшаться. Анализ этой задачи
показывает, что для тонкостенного стержня локальной можно
считать нагрузку, приложенную к площадке, максимальный
размер которой имеет порядок
толщины сечения.
г
5 = 0
Рис. 2.31
2.4.4 К. Изложенный выше прин-
принцип был сформулирован Б. Сен-Ве-
наном A797-1886), одним из крупней-
крупнейших механиков XIX века, в работе, ка-
касающейся анализа распределения на-
напряжений в балках при изгибе. В сво-
своих работах Б. Сен-Венан, в частности,
установил связь между точным реше-
решением задачи изгиба балки, которое по-
построено в теории упругости, и прибли-
приближенным решением используемой в со-
сопротивлении материалов технической
теории изгиба балок. Он определил
области, в которых различия этих ре-
решений существенны, и таким образом
установил пределы применимости ре-
результатов значительно более простой
технической теории.
В.2. Контрольные вопросы
8.2.1. Что мы называем внутренними силами? Какой метод
применяется для их изучения?
8.2.2. Возникают ли внутренние силы в ненагруженном те-
теле? В недеформированном теле?
8.2.3. В каком месте произойдет разрушение тела: там, где
приложена максимальная внешняя нагрузка, или там, где вну-
внутренние силы превысят допустимый для
материала тела предел?
8.2.4. Что мы называем отсеченной
частью тела? В чем заключается основная
идея метода сечений?
8.2.5. Почему обе отсеченные ча-
части, на которые разделено тело некото-
некоторым произвольным сечением, равноценны
с точки зрения определения внутренних
сил, действующих в этом сечении
¦?
Рис. 2.32
В.2.6. Что такое внутренние силовые
факторы?
В.2.7. Покажите, что внутренние силовые факторы в се-
сечениях 1 и 2 нагруженного уравновешенной системой сил тела
(рис. 2.32) равны нулю.
В.2
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
39
Рис. 2.33
8.2.8. Сколько уравнений равновесия отсеченной части и
в какой форме (векторной или координатной) необходимо запи-
записать их для вычисления вну-
внутренних силовых факторов в се-
чении?
8.2.9. От чего зависят зна-
знаки внутренних силовых факто-
факторов: от характера их действия на
отсеченную часть или от направления координатных осей? Про-
Продольная сила N (рис. 2.33) положительна или отрицательна?
8.2.10. Какие величины связаны дифференциальными за-
зависимостями для бруса?
8.2.11. В каком месте бруса внутренние силовые факторы
будут изменяться скачкообразно?
8.2.12. Можно ли судить о
прочности и жесткости бруса, зная
только величину внутренних сило-
силовых факторов в его поперечных се-
сечениях?
8.2.13. Что такое напряжение?
Дайте определение напряжению в
точке (полного напряжения) данно-
данного сечения. На какие компоненты
принято раскладывать полное на-
Рис. 2.34
пряжение? Как они называются и
обозначаются?
8.2.14. Обозначьте напряжения (с расстановкой индексов)
на рис. 2.34 согласно принятым правилам обозначения. Укажите
их знаки.
8.2.15. Что такое напряженное
состояние в точке?
8.2.16. Сформулируйте свой-
свойство парности касательных напряже-
напряжений.
8.2.17. Обозначьте напряжения,
изображенные на рис. 2.35, и допол-
дополните их недостающими парными на-
напряжениями.
8.2.18. Как, зная напряжения
в поперечном сечении бруса, найти
внутренние силовые факторы в этом
сечении? Как решить обратную задачу?
8.2.19. В чем заключается принцип Сен-Венана? Где и как
он используется?
Рис. 2.35
ГЛАВА 3
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
3.1. Элементарные деформации
3.1.1. В предыдущей главе были рассмотрены свойства
внутренних сил, обусловленные только условиями равновесия
тел и их частей. Особо подчеркнем, что эти свойства никак не
зависят от материала, из которого состоят тела. И для двух тел
с одинаковой геометрией и одинаковыми нагрузками, но выпол-
выполненных из различных материалов, все соотношения гл. 2 будут
абсолютно одинаковы (конечно, при условии малости деформа-
деформаций). Но, как уже отмечалось, этих соотношений недостаточно
для того, чтобы полностью определить распределение внутрен-
внутренних сил в теле. Для этого необходимо изучить свойства мате-
материала тела. Причем из всевозможных свойств материала проч-
прочность и жесткость тела определяются способностью материала
сопротивляться деформированию. А эти его свойства невозмож-
невозможно определить без эксперимента. Но эксперимент — это, как пра-
правило, трудоемкое и дорогое дело. Поэтому он должен быть спла-
спланирован так, чтобы необходимая информация была получена с
наименьшими затратами.
3.1.2. Рассмотрим деформацию элементарного кубика с
ребрами длиной /q и направим оси ж, у, z вдоль ребер. При его
деформации изменяются длины ребер и углы между ними. Кон-
Конструкционные материалы (металлы, дерево, композитные мате-
материалы и т.п.) допускают обычно небольшие деформации до раз-
разрушения. Поэтому мы ограничимся изучением таких деформа-
деформаций кубика, при которых изменения длин его ребер (удлинения)
малы по сравнению с начальной длиной ребер /о, а изменения
углов между ребрами (сдвиги) малы в сравнении с начальны-
начальными прямыми углами между ними. В этих ограничениях про-
произвольная малая деформация кубика (с точностью до величин
высшего порядка малости) сводится к превращению его в ко-
косоугольный параллелепипед. Такую деформацию кубика можно
3.1
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
41
представить как сумму (суперпозицию) шести элементарных де-
деформаций, показанных на рис. 3.1. В первых трех из них углы
остаются прямыми, а изменяются только длины ребер соответ-
соответственно на малые величины Д/ж, А/^, А/^. Деформации такого
рода называют удлинениями, считая их положительными, если
У
~А1х
Рис. 3.1
длина ребер увеличивается. В остальных трех деформациях, на-
наоборот, длины ребер остаются неизменными, а меняются углы
между ребрами в плоскостях ху, yz и zx соответственно на ве-
величины jxyi lyz и Jzx- Такие деформации называют сдвигами,
и их считают положительными, если прямой угол при деформа-
деформации уменьшается.
Сдвиги jxy, jyZl jZXl будучи угловыми величинами, являются
безразмерными, и при одинаковой сдвиговой деформации куби-
кубиков различной величины они равны. Это свойство сдвигов позво-
позволяет легко переносить результаты испытаний образцов на тела,
которые по своим размерам могут существенно отличаться от
образцов.
Очевидно, что удлинения А/ж, А/^, Alz (их также называ-
называют абсолютными удлинениями) таким свойством не обладают.
Поэтому удобнее иметь дело с относительными удлинениями
(относительными деформациями):
Alx
/о :
Aly
/о :
Alz
/o
C.1.1)
42 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ ГЛ. 3
Действительно, легко видеть, что если кубик с ребрами дли-
длиной 2/q составить из восьми кубиков с ребрами длиной Iq и при-
придать всем этим кубикам одинаковые относительные деформа-
деформации, то и относительные деформации составленного кубика бу-
будут такими же. Часто ?ж, еу, ez называют удлинениями, опуская
слово «относительные» (если это, конечно, не вызывает путани-
путаницы).
Для изотропного материала кажется достаточным изучить
его свойства при удлинении в одном направлении и при сдвиге в
одной из плоскостей. Но это будет так только в пределах закона
Гука.
Испытания анизотропных материалов приходится проводить
с учетом анизотропии. В общем случае анизотропии необходимо
исследовать все шесть элементарных деформаций.
3.1.3 К. Для уточнения понятия относительной дефор-
деформации, введенного формулами C.1.1), рассмотрим продольное
удлинение стержня, длина которого до деформации равна Iq.
Если в результате деформации его длина стала Iq + А/, то его
продольное удлинение по формулам C.1.1) будет
е = ?. C.1.2)
В то же время удлинение стержня А/ можно рассматривать
как результат процесса, состоящего из ряда последовательных
удлинений. Пусть на одном из этапов этого процесса длина до
начала этапа была /, а длина после его окончания стала I + dl.
Тогда на этом этапе относительное удлинение стержня будет
d? = f. C.1.3)
Это удлинение обозначено через ds потому, что по своему
смыслу оно является лишь приращением удлинения ?, получен-
полученного стержнем в итоге всего процесса.
Тогда это суммарное по всем этапам относительное удлине-
удлинение можно подсчитать как
?= J de. C.1.4)
к
Учтем выражение C.1.3) и проинтегрируем C.1.4). Получим
= f ^ = ln(/o + A/)-ln(/o)=ln^-^ = ln(l+6). C.1.5)
е=
Деформацию ?, введенную соотношением C.1.3) так, что в про-
процессе удлинения в каждый момент учитывается текущая (мгно-
3.2
ИСПЫТАНИЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
43
венная) длина стержня, называют логарифмической деформаци-
деформацией. Связь между деформацией е = Д///(ь отнесенной к началь-
начальной длине /о, и логариф-
8/8
1,0
мической деформацией е
определяется соотношени-
соотношением C.1.5). На рис. 3.2 пред-
представлено отношение ~ё/ е в
зависимости от е. Из него
видно, что при е < 20%
различие между двумя де-
деформациями незначитель-
незначительно. Так, при е = 20% оно
составляет ~ 10%. А так
Рис. 3.2
как для конструкционных материалов максимальная допусти-
допустимая деформация обычно не превышает 10-15%, то вполне до-
допустимо пользоваться менее точным, но более простым опреде-
определением деформаций, даваемым формулами C.1.1).
3.2. Испытания на растяжение и сжатие
3.2.1. Для исследования свойств материалов при удлине-
удлинении проводят испытания на растяжение и сжатие. Методика
этих испытаний установилась и к настоящему времени стандар-
стандартизирована.
Испытываются образцы стандартной формы на специальных
испытательных машинах. При выборе формы образца учитыва-
учитывают основное требование, чтобы на той части образца, где будут
проводиться измерения, напряженное состояние было однород-
однородным (одинаковым по длине). Для этого изготовляют круглые то-
точеные или плоские образцы. Последние используют для испыта-
испытания листовых материалов. Форма и размеры одного из стандарт-
стандартных образцов показаны на рис. 3.3. Выступы по концам образца
служат для закрепления их
в захватах испытательной
машины. Захваты имеют
специальную конструкцию,
позволяющую создавать рас-
растягивающую образец силу
так, чтобы она действовала
почти строго вдоль оси об-
образца. На основании принци-
принципа Сен-Венана деформация
средней части образца между точками АиВне зависит от рас-
распределения нагрузки в зоне захвата, и поэтому она однородна.
В зоне однородности выбирают измерительную базу длины /q
и устанавливают специальный прибор (тензометр), позволя-
= 200
Рис. 3.3
44
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГЛ. 3
ющий с большой точностью измерять удлинение А/ базы Iq.
Динамометры испытательной машины дают возможность в
каждый момент фиксировать растягивающую образец силу Р.
Испытания проводят ступенями, фиксируя на каждой ступени
нагружения величины Р и А/. Обычно испытательные машины
снабжены также и устройством,
Pk позволяющим автоматически
строить график зависимости Р
от А/.
График Р(А/), построенный
по точкам или автоматически,
называют диаграммой растя-
растяжения. Для малоуглеродистой
~^ стали он имеет вид, показанный
на рис. 3.4.
Пользоваться диаграммой
растяжения неудобно, так как
она существенно зависит от размера поперечного сечения
образца и длины выбранной измерительной базы Iq. Для того
чтобы исключить влияние этих факторов, диаграмму Р(А1)
перестраивают, переходя к величинам а и ? по следующим
формулам:
Р А/ /qoi\
<т = -, е = -, C.2.1)
где Fq - площадь поперечного сечения образца в пределах базы
Iq до нагружения (начальная площадь сечения образца).
Рис. 3.4
Рис. 3.5
Диаграмма а{е) для растяжения малоуглеродистой стали по-
показана на рис. 3.5. Она практически не зависит от размеров об-
образца и фактически является характеристикой материала.
3.2 ИСПЫТАНИЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ 45
На диаграмме а{е) можно отметить несколько характерных
точек. На участке 0-1 (при а ^ аиц) зависимость между а и ?
линейная. Это участок закона Гука, на котором
а = Ее (а^аиц). C.2.2)
Коэффициент пропорциональности Е называют модулем Юнга
{модулем упругости) при растяжении или модулем упругости
1-го рода, а предельные напряжения <тпц, при которых еще вы-
выполняется закон Гука, называют пределом пропорциональности.
На участке 0-2 (при а ^ ^упр) деформации упруги, т.е. после
снятия нагрузки размеры образца сразу же становятся равны-
равными его размерам до нагружения. Напряжение сгуПр называется
пределом упругости.
Для большинства конструкционных материалов <тпц и сгупр
близки. В то же время для некоторых видов пластмасс и для
большинства резиноподобных материалов различие между <тпц
и сгуПр может быть существенным.
На участке 3~4 (при а = <тт) происходит рост деформаций
без роста напряжений, т.е. образец удлиняется при постоянной
нагрузке. Это явление называют течением материала] напря-
напряжение <тт, при котором оно происходит, — пределом текучести,
а участок 3~4 на диаграмме а{е) — площадкой текучести.
На участке ^-5, т.е. при аТ ^ а ^ аич, для увеличения де-
деформаций образца снова требуется увеличение приложенной к
нему силы. Этот участок диаграммы ст(е) называют участком
упрочнения, а максимальную величину а = P/Fq при испытании
образца обозначают через аич и называют пределом прочности.
Для этой величины широко принято также обозначение <тв и
название - временное сопротивление.
На участке 5-6 деформация образца сопровождается паде-
падением нагрузки и в точке 6 образец разрушается.
На рис. 3.6 показаны последовательно деформированные
формы образца. На участке упрочнения {4~5) (см. рис. 3.5) на
образце появляется сначала мало заметное, а потом все более
явное местное сужение, называемое шейкой, развитие которого
заканчивается разрывом образца.
Обратим внимание читателя на тот факт, что до появления
шейки деформация образца на базе Iq однородна и площадь его
поперечного сечения F мало отличается от своей начальной ве-
величины Fq. Поэтому на этом этапе испытания величина а =
= P/Fq близка к напряжениям в образце. Но при появлении
шейки деформация становится неоднородной и величина а =
= P/Fq близка к напряжениям в образце вне шейки. В том же
месте образца, где образовалась шейка, нормальные напряже-
напряжения в поперечных сечениях образца меняются как по длине об-
образца, так и в поперечном сечении. Они достигают своего мак-
46 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ ГЛ. 3
симального значения в самом тонком сечении шейки, площадь
которого обозначим через F. Тогда среднее по этому сечению
напряжение равно P/F, его часто называют истинным напря-
напряжением и обозначают <тист. В процессе деформаций образца ис-
истинные напряжения а^СТ всегда возрастают, их график показан
на рис. 3.5 пунктиром.
Рис. 3.6
Учитывая эти особенности испытаний, диаграмму а(е) на-
называют диаграммой условных напряжений. Получаемое по ней
значение предела прочности <тпч = Ртах/^о значительно меньше
истинных напряжений в шейке в момент разрыва образца. По-
Поэтому сгпч называют условным пределом прочности. Несмотря
на свою условность, он является достаточно удобной характери-
характеристикой для сравнения прочности различных материалов
Характерные напряжения аиЦ1 сгупр, аТ и аич, а также модуль
упругости при растяжении Е называют механическими харак-
характеристиками материала.
3.2.2. Диаграмма Р(А1) и соответствующая ей диаграмма
<j(e), показанные на рисунках 3.4, 3.5, получены при таком испы-
испытании образца, в процессе которого его деформация постоянно
растет. Если остановить рост деформации образца и начать ее
уменьшать, то нагрузка на образец уменьшится. Такой процесс
называют разгрузкой. На рис. 3.7 стрелками показан ход диа-
диаграммы а(е) при нагрузке образца до точки В и далее при раз-
разгрузке. При этом характерно, что зависимость а(е) на участке
разгрузки B-D практически является прямой линией, которая
параллельна участку закона Гука О-А.
В точке D нагрузка на образец отсутствует, а его деформа-
деформация ?ост при этом называется остаточной деформацией.
Если этот образец снова начать нагружать, то его диаграм-
диаграммой сг(е) будет кривая DBC. Процесс догрузки показан стрелка-
3.2
ИСПЫТАНИЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
47
ми на рис. 3.7. Таким образом, предварительно деформирован-
деформированный образец будет уже деформироваться без площадки теку-
текучести, а его предел пропорциональности, соответствующий на-
напряжению в точке В, будет вы-
выше сгПц для недеформирован-
ного образца. Этим свойством
иногда пользуются для уве-
увеличения <тпц путем предвари-
предварительного деформирования ма-
материала. Следует, однако, за-
заметить, что выигрывая в ве-
веНагрузка
Разгрузка
А
а L
L
^
D j
Догрузка
?ост
Рис. 3.7
личине сгПц при растяжении, q
мы при этом уменьшаем аиц
при сжатии. Поэтому такую
модификацию свойств матери-
материала при растяжении имеет смысл проводить лишь в том случае,
если он будет в конструкции работать только на растяжение.
Такие же свойства материал приобретает и в результате
некоторых технологических операций, как, например, холодная
штамповка, гибка и т.п. Говорят, что материал приобретает тех-
технологический наклеп.
Отметим, что после отпуска (нагрева до характерной для
данного материала температуры отпуска и последующем мед-
медленном охлаждении) диаграмма с (б) деформированного образ-
образца становится такой же, как у недеформированного. Иными сло-
словами, отпуск снимает все изменения, которые накопились в ма-
материале за счет его деформирования, в том числе и остаточные
напряжения.
3.2.3. Изложенная выше методика испытаний и соответ-
соответствующая ей терминология складывались постепенно и вклю-
включили в себя результаты работ многих ученых. Окончательную
форму они приняли в XIX веке, когда основным конструкцион-
конструкционным материалом была малоуглеродистая сталь. Диаграмма <j{s)
для этой стали с ее характерными
точками (см. рис. 3.5) и определила
номенклатуру механических харак-
характеристик.
В XX веке во многом под вли-
влиянием требований авиации стали
широко использоваться новые кон-
конструкционные материалы — сплавы
алюминия, магния, а в последнее де-
Рис. 3.8
сятилетие и сплавы титана. Эти материалы имеют диаграмму
а(е) (рис. 3.8), для которой характерно отсутствие ярко выра-
выраженной площадки текучести.
48
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГЛ. 3
J0,005
0,005% 0,2%
Рис. 3.9
Разработанные для стали механические характеристики ока-
оказались удобными в расчетах. В результате этого, а также в силу
традиций, номенклатуру механиче-
механических характеристик для новых мате-
материалов стремились привести к уже
используемой. Для них были вве-
введены условные пределы упругости
и текучести. При этом за услов-
условный предел упругости принято на-
напряжение, при достижении которо-
которого и последующей разгрузке оста-
остаточная деформация образца составля-
составляет бост = 5 • 10 = 0,005 %. Такой пре-
предел упругости обозначают через <то5оо5
(рис. 3.9). Иногда за предел упругости
принимают напряжение ао,ооъ т-е- такое, которому соответству-
соответствует остаточная деформация аост = 0,001 %.
В качестве условного предела текучести обычно берется
сго,2, т.е. напряжение, соответствующее остаточной деформации
?ост = 0,002 = 0,2% (рис. 3.9). В
некоторых случаях в качестве пре-
предела текучести принимается <то55-
В большинстве случаев доста-
достаточная для инженерной практи-
практики точность расчета достигается
в предположении, что деформация
материала пропорциональна напря-
напряжениям, т.е. подчиняется закону Гу-
ка, вплоть до <тт. Такое предположе-
предположение соответствует замене реальной
диаграммы а(е) ломаной, которая показана на рис. 3.10 пунк-
пунктиром. Фактически такое предположение отождествляет <тпц с <тт.
3.2.4. Испытания материалов при сжатии проводятся на
коротких образцах, изготовленных в форме кубов, а также
призм или цилиндров с высотой, немногим превышающей мини-
минимальный поперечный размер. Так, для цилиндрического образ-
образца диаметром в один сантиметр высота берется не больше двух
диаметров. Это вызвано тем, что при большей высоте образ-
образца его сжатие будет сопровождаться искривлением, что исказит
результаты испытаний.
Диаграмма сг(е) при сжатии строится по диаграмме Р(А1)
точно так же, как и при растяжении, т.е. по формулам C.2.1).
Вид этой диаграммы для образца из малоуглеродистой стали
показан штрихпунктиром 3 на рис. 3.11. Для сравнения там же
приведены диаграммы <у{е) (сплошная линия 1) и <тист(б) (штри-
(штриховая линия 2) при растяжении.
Рис. 3.10
3.2
ИСПЫТАНИЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
49
При сжатии образец укорачивается, а его поперечные разме-
размеры увеличиваются. Причем из-за трения между торцами образ-
образца и плитами сжимающего его прес-
пресса образец принимает бочкообраз-
бочкообразную форму. На рис. 3.12 пока-
показаны последовательные деформи-
деформированные формы цилиндрического
образца из малоуглеродистой ста-
стали. Ввиду высоких пластических
свойств этого материала образцы из
него при испытаниях на сжатие не
удается разрушить.
Чтобы отличить механические
характеристики при растяжении и Рис. 3.11
сжатии, к их обозначениям добавля-
добавляют в индексе буквы «р» и «с» соответственно. Так, предел те-
текучести при растяжении обозначается через <ттр, а при сжатии
через атс.
В табл. 3.1 даны наиболее важные для расчетов механи-
механические характеристики некоторых часто используемых в кон-
конструкциях материалов. В этой таблице приведены также значе-
значения удлинений при разрыве; 6 — среднее, остаточное удлинение,
которое получает при разрыве участок
образца с первоначальной длиной, рав-
равной пяти начальным диаметрам образ-
образца и такой, что шейка образовалась как
раз в его середине. Иногда S подсчиты-
подсчитывают на базе в 10 диаметров.
Для измерения 6 на образце до ис-
испытания наносят ряд рисок так, чтобы
расстояние между ними было равно диаметру образца. После
разрыва образца совмещают его части по сечению разрыва и
замеряют расстояние 1\ между теми двумя рисками, которые
примерно симметрично расположены по отношению к шейке и
расстояние между ними до испытания было равно Ы. Тогда S
можно подсчитать как
Рис. 3.12
5 =
h -bd
5d
•100%.
3.2.5. Материалы, которые способны получать большие
остаточные деформации до разрушения, называют пластичными.
Пластические свойства материалов определяются их текуче-
текучестью. Механизм течения материала состоит в скольжении его
частиц друг относительно друга по поверхности скольжения.
При растяжении и сжатии эти поверхности располагаются под
углом около 45° по отношению к оси образца (рис. 3.13 а).
Материал
1
Сталь малоугле-
малоуглеродистая
Сталь 30
Сталь 30
Сталь 45
Сталь 45
Сталь 30 ХГСА
Сталь ЭИ503
Чугун серый
СЧ28
Термообработка
2
Незакаленная
Незакаленная
Закаленная
Незакаленная
Закаленная
То же
То же
-
МПа
3
2-Ю5
2-Ю5
2-Ю5
2-Ю5
2-Ю5
2-Ю5
1,8-105
0,7-105
Стр,
МПа
4
250
330
1030
370
1040
1400
800
140
1
Алюминиевый
сплав Д 16
2
Закалка + есте-
естественное старе-
3
0,75-105
4
320
Таблица 3.1
О
3
3
0
3
0
0
0
3
Свс,
МПа
7
-
-
-
-
-
-
-
640
6, %
8
42
28
11
24
13
10
15
0,6
н
>
а
н4
н
о
а
н
о
и
о
а«
о
н
и
>
н
а
о
со
чание табл. 3.1
со
to
13
о
52
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГЛ. 3
Рис. 3.13
Внешне этот эффект хорошо наблюдается при растяжении по-
полированных образцов, блестящая поверхность которых при на-
наступлении текучести становится матовой. Под микроскопом хо-
хорошо видно, что это проис-
происходит за счет появления на
поверхности сетки полос, на-
наклоненных под углом 45° к
оси образца (рис. 3.13 б).
Эти полосы являются следа-
следами поверхностей скольжения
на поверхности образца. Их
называют линиями Людерса-
Чернова. Впервые они были
независимо описаны немецким
ученым В. Людерсом A860)
и известным русским уче-
ученым, одним из основателей ме-
металловедения Д. К. Черновым
A884).
Материалы, которые, нао-
наоборот, способны разрушаться
без образования заметных
остаточных деформаций, на-
называют хрупкими. Удлинение при разрыве S как раз и характе-
характеризует пластические свойства материала. Обычно для хрупких
материалов 6 не превышает 2 -т- 5 %.
Величину 6 = 5% условно принима-
принимают за границу, разделяющую хруп-
хрупкие и пластичные материалы.
Пластичными материалами яв-
являются стали, сплавы алюминия
и титана и большинство других
конструкционных материалов. Пла-
Пластичность лежит в основе многих
технологических процессов, таких,
как гибка, штамповка, волочение и
т.п. Хрупкими материалами явля-
являются чугун, стекло, бетон и др.
Диаграмма <j(s) для хрупкого
материала показана на рис. 3.14. У
такого материала отсутствует явление текучести и деформации
упруги почти вплоть до разрушения. Как правило, для пластич-
пластичных материалов пределы текучести при растяжении <ттр и сжа-
сжатии атс близки и их принято считать равными. Для хрупких
же материалов характерно существенное различие между пре-
пределами прочности при растяжении <тпч.р и <тпчх. Так, для чугуна
-*пч.р
Рис. 3.14
3.3
ПОПЕРЕЧНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ
53
отношение сгпч.р/сгпч.с лежит в пределах 0,2 -=- 0,4. Еще меньше
это отношение для бетона и керамических материалов.
Характер разрушения образцов из хрупких материалов при
растяжении и сжатии различен. При растяжении образец раз-
разрушается по плоскости, нормальной к оси образца, т.е. к про-
продольной силе (рис. 3.15 а). При сжатии же разрушение проис-
происходит по плоскостям, наклонным к оси образца примерно под
углом в 45° (рис. 3.15 б"), или
по продольным плоскостям
(рис. 3.15 в). Последний вид
разрушения происходит, если
приняты специальные меры
для устранения трения меж-
между торцами образца и плита-
плитами пресса, для чего их сма-
смазывают парафином или дру-
другими аналогичными смазы-
смазывающими веществами. Объ-
Объяснение таких форм разру-
разрушения будет дано в гл. 11.
V&^h—/
1
)
1
1
I
Рис. 3.15
Некоторые материалы,
наоборот, лучше работают на
растяжение, чем на сжатие.
К ним относятся материалы,
имеющие волокнистую или слоистую структуру, такие, как
дерево, некоторые виды композитных материалов. Но встре-
встречаются и металлы, обладающие таким свойством, например,
магний.
3.3. Поперечная деформация. Коэффициент Пуассона
3.3.1. В экспериментах на растяжение и сжатие замечено,
что продольная деформация образца всегда сопровождается по-
поперечной деформацией. При
удлинении образца его попе- ky ,д^
речные размеры уменьшают-
уменьшаются не только при образова-
образовании шейки, но и с самого на- ^
чала деформирования образ-
образца, а при сжатии поперечные
размеры образца увеличива-
увеличиваются. На рис. 3.16 пунктиром
показана деформированная форма базового участка образца,
размеры которого до деформации были !о и do, а в результате
деформации изменились на величины А/ и Ad. Тогда его отно-
А/
Рис. 3.16
54
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГЛ. 3
C.3.1)
сительные деформации будут
A/ Ad
/о у do
Знак « —» в выражении для еу учитывает, что поперечный
размер уменьшается и поэтому его относительная деформация
отрицательна.
Опыты показывают, что при деформациях в пределах закона
Гука отношение между продольной ех и поперечной еу дефор-
деформациями остается постоянным, т.е.
еу = —цеХ1 C.3.2)
где /1 — постоянный коэффициент, называемый коэффициентом
Пуассона. Величина /i зависит только от материала и поэтому
является его механической характеристикой.
3.3.2. Для металлов величина /i лежит обычно в пределах
0,2 -=- 0,35, а для различных изотропных материалов — 0 -=- 0,5.
Заметим, что из физических со-
соображений fi ^ 0,5. Для того что-
чтобы понять этот факт, рассмотрим
объемную деформацию кубика с
единичными ребрами, растянутого
в одном из координатных направ-
направлений.
На рис. 3.17 штриховыми лини-
линиями показано деформированное со-
состояние такого кубика. Его ребра в
направлении растяжения удлинят-
удлинятся на величину ?, а в поперечном
Рис. 3.17 направлении укоротятся на вели-
величину lie. Найдем приращение объ-
объема AV кубика. Его объем до деформации Vq = 1 • 1 • 1, а после
деформации V = A + е)A — iie){l — lie). Тогда
AV = V — Vq = A + б)A — iie)(l — lie) — 1 = A — 2/i)e — fie +/i e .
Так как деформации малы, т.е. е <С 1,то вторым и третьим
слагаемыми в этой сумме можно пренебречь по сравнению с пер-
первым. Поэтому
А Т/" (Л О \ /О О 1 \
AV « A — 2/i)e. {6.6.6)
Отсюда видно, что AV = 0 при /i = 0,5. А это значит, что
объем материала при деформации не изменяется, т.е. материал
является несжимаемым. Практически несжимаемыми являются
многие жидкости. Опыты показывают, что при течении метал-
металлов величина /i также близка к 0,5.
Если бы коэффициент /i оказался большим 0,5, то, как следу-
следует из формулы C.3.3), такой материал обладал бы парадоксаль-
парадоксальными свойствами: при растягивающих деформациях его объем
3.4
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ
55
Рис. 3.18
уменьшался бы, а при сжимающих — увеличивался. Такое свой-
свойство позволило бы создать вечный двигатель. Мы себе такой за-
задачи не ставим, но читатель при
некоторой доле фантазии может
придумать подобные гипотетические
двигатели. Основу такого двигателя
могло бы составить устройство, изо-
изображенное на рис. 3.18. Оно состо-
состоит из абсолютно жесткого цилиндра
1 с поршнем 2. Объем цилиндра за-
заполнен несжимаемой жидкостью 5, в
которую погружен некоторый объем
4 из материала с /i > 0,5- При на-
гружении поршня силой Р объем 4
увеличился бы и поршень передви-
передвинулся бы навстречу силе, т.е. была
бы совершена отрицательная работа.
Иными словами, если бы сила Р создавалась каким-либо грузом,
то этот груз вместе с поршнем 2 поднялся бы на некоторую ве-
величину и таким образом совершенно «бесплатно» образовался
бы необходимый для вечного двигателя запас энергии.
З.З.ЗК. Поперечные деформации в экспериментах на растяжение
впервые, по-видимому, были отмечены Т. Юнгом и описаны в его кур-
курсе лекций по натурфилософии в 1807 г. Французский ученый С. Пуассон
A781-1840) в 1829 г. теоретически пришел к выводу о необходимости появ-
появления поперечных деформаций. При этом он исходил из модели среды как
системы частиц, между которыми действуют молекулярные силы.
3.4. Влияние условий при испытаниях на механические
характеристики
3.4.1. Деление материалов на пластичные и хрупкие явля-
является условным и не только потому, что условной является грани-
граница S = 5 %. Эти свойства во многом зависят от внешних условий,
при которых производятся испытания. Так, при низких темпе-
температурах сталь может стать хрупким материалом, а образец из
чугуна, испытываемый при высоком давлении, разрушается с
образованием шейки и ведет себя как пластичный материал. Од-
Одна и та же высоколегированная сталь может быть пластичной
после отпуска и хрупкой после закалки.
3.4.2. На рис. 3.19 даны зависимости модуля упругости Е,
предела прочности <тв, предела текучести <тт и удлинения при
разрыве S для малоуглеродистой стали от температуры, при ко-
которой проводятся испытания.
Некоторое ухудшение пластических свойств в области тем-
температур 150-7- 300° характерно только для малоуглеродистых
56
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГЛ. 3
сталей. Легированные стали и сплавы алюминия обычно при
повышении температуры улучшают пластические свойства. На
рис. 3.20 приведено изменение предела текучести ат при нагреве
для алюминиевых спла-
220
800
<т,МПа
700
600
500
400
300
200
100
в
v 0
\
\
Ч
—^
/
J
Е
\
/
\
\
\
180
140
вов, употребляемых
США.
При понижении тем-
температуры и углублении
в область отрицатель-
отрицательных температур пласти-
пластические свойства практи-
практически всех материалов
ухудшаются. Как гово-
говорят, происходит «охруп-
чивание» материалов. С
этим явлением приходит-
приходится считаться при проек-
проектировании машин, пред-
предназначенных для рабо-
работы в северных районах
нашей страны. В част-
частности, для таких машин
подбираются материалы,
менее чувствительные к
низким температурам.
Влияние связанных с повышением температуры технологи-
технологических операций, таких, как закалка и отпуск, на механические
характеристики можно про-
проследить по табл. 3.1. Закал-
Закалка обычно приводит к ухуд-
ухудшению пластических свойств
сталей, а отпуск — к их вос-
восстановлению.
3.4.3. Другим фактором,
от которого зависят механиче-
механические характеристики материа-
материалов, является время.
На обычных испытатель-
испытательных машинах скорость де-
деформирования образцов de/dt
невелика, она лежит в преде-
преде45
5,%
35
25
15
0 100 200 300 400 t,°C
Рис. 3.19
600
ат,
МПа
400
200
Чг
^
М276
-7075
\
,,2024
^^
ч. \
-М237
ч/ **
•
0 100 200 300 400 t°C
Рис. 3.20
лах 10 5 -i- 10 2с 1и поэтому практически не сказывается на
результатах испытаний. По мере увеличения скорости деформи-
деформирования наступают такие условия, когда пластические дефор-
деформации не успевают полностью развиться. Поэтому с увеличени-
3.4
ВЛИЯНИЕ УСЛОВИЙ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ
57
ем скорости деформирования сами деформации становятся все
более хрупкими, а разрушающая нагрузка увеличивается из-за
меньшего развития шейки. Модуль упругости от скорости прак-
практически не зависит. Это подтверждается совпадением величин
модуля, полученных из испытаний на медленное статическое ра-
растяжение, и из испытаний, основанных на замере частот коле-
колебаний.
При дальнейшем увеличении скорости деформирования су-
существенными становятся процессы распространения волн де-
деформаций по образцам. В этих условиях волновая природа про-
процесса делает невозможным создание необходимого для измере-
измерений поля однородных деформаций. Поэтому прямых количе-
количественных экспериментальных данных о свойствах материалов
при таких скоростях деформаций пока получить не удалось. Ка-
Качественно же тенденция к охрупчиванию материала и увеличе-
увеличению <тпч сохраняется.
3.4.4. В медленно протекающих процессах, которые хорошо
моделируются длительным нагружением постоянными нагруз-
нагрузками или длительной постоянной деформацией, существенным
оказывается сама длительность нагружения или деформации.
Простейшим экспериментом такого рода является растяже-
растяжение образца под действием постоянной во времени нагрузки.
Даже если возникающие при этом напряжения а = P/Fq мень-
меньше предела упругости, в экспериментах отмечается рост дефор-
деформаций во времени. Особенно этот эффект, названный ползуче-
ползучестью, проявляет себя при испытании пластмасс. Для металлов
ползучесть становится существенной при повышенных темпера-
температурах.
В
.2'
-~~~— г
Рис. 3.21
На рис. 3.21 показан характер изменения во времени t де-
деформации е образца при постоянных уровнях напряжений <ti,
58
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГЛ. 3
сг2, аз- Кривые i, 2 соответствуют установившейся ползучести,
кривая 3 - неустановившейся, когда скорость нарастания де-
деформаций растет, что приводит в итоге к разрушению образца
при напряжениях, которые могут быть значительно меньше <тпч.
Поэтому часто говорят о пределе длительной прочности как о
минимальных напряжениях, при которых ползучесть становит-
становится неустановившейся.
Пунктирные кривые на рис. 3.21 демонстрируют процесс из-
изменения деформаций в образцах после снятия с них нагрузок в
точках Аи В. При этом деформация сначала сразу же уменьша-
уменьшается на величину упругой деформации, а со временем может ис-
исчезнуть полностью (кривая 1')
или частично BГ). Процесс
восстановления деформаций
называется последействием.
Кривая 1' соответствует упру-
упругому, а кривая 2' — неупруго-
неупругому последействию.
На рис. 3.22 показаны
кривые ползучести для стали
ЭИ756 при температуре 600° С
и при различных значениях
уровня напряжений а.
Рассмотрим другой экспе-
эксперимент, демонстрирующий из-
изменение во времени напряже-
•10'
7,5
5,0
2,5
гг
f
// <S-
ft
-200
ОМПа
у
1
Al90
/180
^170
-"^а=140МПа
0 100 200 300
Рис. 3.22
ний при постоянной деформации. Сначала образцу задается де-
деформация А (рис. 3.23), а затем его концы закрепляются. После
чего замеряется сила Pq, с которой образец действует на захва-
захваты (опоры). В таком эксперименте наблюдается уменьшение на-
напряжений во времени при постоянной деформации е = А/1. Эти
явления называют релаксацией.
g=P/F0
Рис. 3.23
С явлениями ползучести и релаксации необходимо считать-
считаться при проектировании конструкций, которые длительное вре-
3.5
ИСПЫТАНИЯ НА СДВИГ
59
мя работают в условиях повышенных температур, а также кон-
конструкций из пластмасс и многих композитных материалов.
3.4.5. Для некоторых конструкций, например для атомных
реакторов и для сооружений, предназначенных для длительной
работы в космосе, необходимо учитывать фактор длительного
радиоактивного облучения. Эксперименты показали, что из всех
факторов такого облучения на механические свойства материа-
материалов наиболее сильно влияет нейтронное облучение.
Пролетая через массу материала, нейтроны искажают его
кристаллическую решетку, создавая в материале изменения,
аналогичные наклепу при технологическом деформировании
материала. В результате облучения предел текучести и предел
прочности материала увеличиваются, а удлинение при разрыве
S уменьшается.
Дозу облучения принято характеризовать числом нейтро-
нейтронов, прошедших через 1 см2 поверхности тела, и измерять в
нейтрон/см2. На рис. 3.24 показано изменение предела прочно-
ат, ав, МПа
600
400
200
f
-——
-
--
aT
-
50
5,%
25
0 2 4 6 8 10-1019 нейтрон/см2
Рис. 3.24
сти аВ1 предела текучести ат и удлинения при разрыве S при
увеличении дозы облучения. Видно, что аналогично техноло-
технологическому наклепу облучение приводит к охрупчиванию мате-
материала.
3.5. Испытания на сдвиг
3.5.1. Для исследования механических свойств материалов
при второй элементарной деформации — сдвиге — испытывают
плоские или трубчатые образцы.
60
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ
ГЛ. 3
Плоские образцы при испытаниях закрепляют в специальной
квадратной рамке, элементы которой скреплены друг с другом
шарнирно (рис. 3.25) и достаточ-
достаточно массивны, чтобы при испыта-
испытаниях их деформации были малы и
ими можно было бы пренебречь в
сравнении с деформациями образ-
образца. Нагружая рамку, как это по-
показано на рис. 3.25, строят зависи-
зависимость Р от угла сдвига 7, выбран-
выбранного на образце базового квадра-
квадрата. Для исключения влияния раз-
размеров образца от силы Р перехо-
переходят к касательным напряжениям
по формуле т = Р/15, где / — размер стороны базового квадрата,
a 6 — толщина образца. В результате испытаний по аналогии с
диаграммой а(е) строят диаграмму тG).
Чаще же для испытаний на сдвиг используют трубчатые об-
образцы (рис. 3.26), которые при испытаниях закручивают момен-
моментом М. Как будет показано в гл. 6, при закручивании таких об-
Образец
Базовый
квадрат
Рис. 3.25
М
©м
<§>
Рис. 3.26
разцов в них возникает однородная деформация сдвига. Если
ср — угол поворота друг относительно друга двух базовых се-
сечений, взятых на расстоянии / по длине образца, то ясно, что
сдвиг 7 можно найти как
21
C.5.1)
Здесь d — средний диаметр образца.
Касательные напряжения т, вызываемые моментом М, под-
подсчитывают по формуле
—, C.5.2)
т =
где 8 — толщина базового участка образца. Эта формула будет
выведена в гл. 6. Здесь же читатель легко установит связь C.5.2)
между Миг, подсчитав М как момент равномерно распреде-
3.5
ИСПЫТАНИЯ НА СДВИГ
61
ленных по поперечному сечению трубы касательных напряже-
напряжений т, направленных касательно к контуру сечения. Для этого
достаточно использовать формулу B.3.2).
Диаграммы т(р/) сходны с диаграммами сг(е) (см. рис. 3.5)
при растяжении. На них отмечаются аналогичные характерные
точки 1-6 (рис. 3.27) и вво-
вводятся аналогичные механи-
механические характеристики при Т]
сдвиге, а именно: тпц — пре-
предел пропорциональности как
предельное напряжение, при
котором еще выполняется за- ху
кон Гука при сдвиге, т.е. ™
т = G-у, C.5.3)
где G — модуль упруго-
упругости (Юнга) при сдвиге или
Рис. 3.27
— предел прочности.
модуль упругости 2-го ро-
рода; тУпр — предел упругости;
тт — предел текучести; тпч (или тв
Для хрупких материалов характер диаграммы т(р/) аналоги-
аналогичен диаграмме &(е).
Существенна разница в характере разрушения хрупких и
пластичных образцов. На поверхности пластичных образцов при
текучести появляются линии Людерса-Чернова, направленные
вдоль оси образца и перпендикулярно к ней. Разрушение та-
Рис. 3.28
ких образцов происходит путем среза по поперечному сечению
(рис. 3.28 а). Это свидетельствует о том, что причиной разруше-
разрушения является появление предельно допустимых для материала
касательных напряжений.
62 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАТЕРИАЛОВ ГЛ. 3
Разрушение хрупких образцов из материалов, хуже работаю-
работающих на растяжение, чем на сжатие, происходит по винтовой по-
поверхности, которая наклонна к оси образца на угол ~ 45° (рис.
3.28 б). Причины такого характера разрушения станут ясны поз-
позже при анализе напряженного состояния, соответствующего де-
деформации сдвига.
3.5.2. Влияние различных условий, таких, как нагрев, тер-
термообработка, облучение и т.п., а также скорости нагружения
при испытаниях на сдвиг в целом аналогично их влиянию при
растяжении-сжатии. Имеют место и такие явления, как ползу-
ползучесть и релаксация.
Вообще говоря, для изотропных материалов испытания на
сдвиг не имеют самостоятельного значения. Как это будет пока-
показано в главах 5, 11, деформация сдвига специальным выбором
осей координат может быть сведена к суперпозиции деформа-
деформаций растяжения и сжатия в двух взаимно перпендикулярных
направлениях. Это позволяет теоретически построить диаграм-
диаграмму сдвига r{pf) по диаграмме <j{s) для растяжения и сжатия и
установить связь между механическими характеристиками ра-
растяжения и сдвига.
На этом мы завершаем краткий обзор механических свойств
материалов. Более подробно с этими вопросами читатель может
ознакомиться в книгах [3, 4, 5], а также в справочной литературе
по свойствам материалов [6, 7].
В.З. Контрольные вопросы
8.3.1. Что такое абсолютные и относительные удлинения?
Чем определяется их знак?
8.3.2. Что называют сдвигами? Когда они положительны?
8.3.3. Для чего необходимо изучение механических свойств
материалов?
8.3.4. Что такое диаграмма растяжения? Как она строится?
8.3.5. Почему для удобства пользования диаграмму растя-
растяжения Р(А1) перестраивают в диаграмму c(s)? Почему послед-
последнюю называют диаграммой условных напряжений?
В. 3.6. Назовите характерные участки на диаграмме с (б)
для малоуглеродистой стали и определяющие их напряжения.
8.3.7. Что называют механическими характеристиками ма-
материалов? С какой диаграммы снимают эти характеристики?
8.3.8. Что такое остаточная деформация?
8.3.9. К каким качественным изменениям в материале об-
образца может привести разгрузка образца и затем повторное его
нагружение?
В.З. 10. Какой термической обработкой снимаются остаточ-
остаточные напряжения в материале?
В.З КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 63
В.3.11. Для каких материалов вводятся условные пределы
упругости и текучести? Чем это вызвано?
В.З. 12. Что такое удлинение при разрыве? Что отражает
эта характеристика материала?
В.З. 13. Какой материал называется пластичным? Приведи-
Приведите примеры. В чем заключается механизм течения материала?
Что такое линии Людерса-Чернова?
В.З. 14. Какой материал называется хрупким? Приведите
примеры таких материалов. В чем различие характера разру-
разрушения этого материала при растяжении и сжатии?
В.З. 15. Что такое коэффициент Пуассона?
В.З. 16. Какое влияние на механические характеристики ма-
материалов оказывает изменение температуры?
В.3.17. Как влияет скорость деформирования на механиче-
механические характеристики?
В.З. 18. Что называется ползучестью и последействием? Что
такое релаксация?
В.З. 19. Как влияет радиоактивное облучение на механиче-
механические характеристики материалов?
В.3.20. Какая диаграмма строится по результатам испыта-
испытания на сдвиг? Какие характеристики материалов при этом сни-
снимаются?
ГЛАВА 4
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
В этой главе, а также в главах 6 и 8 мы рассмотрим эле-
элементарные напряженно-деформированные состояния бруса: цен-
центральное растяжение-сжатие, кручение и изгиб. Выбор именно
этих состояний для анализа традиционен. Но в основе такой тра-
традиции лежит то, что при максимальной простоте каждого из них
любое сложное напряженно-деформированное состояние бруса
можно представить как их суперпозицию.
Мы будем рассматривать простейший брус — прямолиней-
прямолинейный (с прямой осью). Пути обобщения результатов на брусья с
кривой осью будут обсуждены в гл. 9.
Обращаем внимание читателя также на то, что, хотя цен-
центральное растяжение-сжатие является простейшим из элемен-
элементарных состояний, использованные при его анализе идеи, мето-
методы и подходы с тем же успехом будут применены в дальнейшем
и при анализе кручения и изгиба.
Центральным растяжением-сжатием бруса называется
такое напряженно-деформированное состояние бруса, когда в
его поперечных сечениях из шести внутренних силовых фак-
факторов отлична от нуля только продольная сила.
4.1. Статические дифференциальные и интегральные
зависимости при центральном растяжении—сжатии
4.1.1. Из данного выше определения центрального растя-
растяжения-сжатия и из уравнений равновесия вида B.1.6) отсечен-
отсеченной части бруса, образованной поперечным сечением, следуют
определенные требования к внешним нагрузкам. Ясно, что цен-
центральное растяжение-сжатие бруса возникает только при таких
нагрузках на него, при которых отлична от нуля только сумма
проекций на ось бруса х всех действующих на отсеченную часть
нагрузок. А суммы их проекций на лежащие в плоскости попе-
4.1
СТАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
65
речного сечения координатные оси у и z и суммы их моментов
относительно всех трех осей равны нулю.
Для прямолинейного бруса этим условиям могут удовлетво-
удовлетворять только нагрузки, равнодействующие которых направлены
строго вдоль оси бруса, т.е.
вдоль оси х. Брус, нагружен-
нагруженный такими нагрузками, изо-
изображен на рис. 4.1, где q(x) —
Ф)
интенсивность погонной на-
нагрузки, направленной вдоль
оси ж, a Pi — величина сосре-
сосредоточенной силы, приложен-
приложенной в сечении х,
pi-
- — '
X
dx ~^
1
X
pi
. ¦
Jx
Рис. 4.1
4.1.2. Напомним, что
продольная сила считается
положительной, если она стремится растянуть отсеченную
часть, к которой она приложена. Это правило знаков показано
на рис. 4.2, на котором продольная сила N(x\) в сечении х\
положительна, a N(x2) —
отрицательна. На рис. 4.2
отсеченные части, получив-
получившиеся в результате рассе-
рассечения бруса по сечениям х\
и #2, условно раздвинуты.
Как видно из этого рисунка,
положительная продольная
N(x})>0
N(x2)<0
Рис. 4.2
сила может быть направле-
направлена и вдоль положительного
направления оси х и против него в зависимости от отсеченной
части, к которой она приложена. Это всегда характерно для сил
взаимодействия. Поэтому знак продольной силы и других вну-
внутренних сил всегда связывают с
характером их действия на от-
отсеченную часть.
Рассмотрим равновесие эле-
элемента бруса, выделенного из
него двумя близкими попереч-
поперечными сечениями с координата-
координатами ж и x+dx (см. рис. 4.1). Этот
элемент изображен на рис. 4.3.
N(x)
-^
ФУ
X
dx
Рис. 4.3
Действие на него находившейся слева отброшенной части бруса
заменим продольной силой N(x), а действие правой отброшен-
отброшенной части - силой N(x + dx), которая с точностью до малых
высшего порядка равна N(x) + dN (см. п. 2.1.4). Кроме того,
на элемент действует распределенная нагрузка, интенсивность
3 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
66
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
которой ввиду малости dx можно считать постоянной вдоль эле-
элемента и равной q(x). Тогда равнодействующая этой нагрузки
равна q(x) dx.
Ясно, что из шести условий равновесия этого элемента нетри-
нетривиально только требование равенства нулю проекций действую-
действующих на него сил на ось х. Составим это условие:
У" Рх = -N(x) + (N(x) + dN) + q(x) dx = 0.
Из него сразу следует соотношение
dN , ч
D.1.1)
D.1.2)
Стрелки в этом соотношении, которое называют ста-
статической дифференциальной зависимостью при растяжении-
сжатии, указывают на принятые при его выводе положительные
направления оси х и нагрузки q(x). При изменении этих направ-
направлений знак в D.1.2) может измениться. Читатель может легко
убедиться, что при совпадении направлений х и q в D.1.2) будет
знак « —», а при несов-
несовпадении — «+».
4.1.3. Рассмотрим
^ теперь равновесие эле-
N(xpi-dx)=N~ | N(xpi + dx)=N+ мента, выделенного око
ло точки приложения
сосредоточенной силы
Pi (рис. 4.4). Из внеш-
внешних сил на него дей-
действует Pi. Co сторо-
Рис. 4.4 ны отброшенных ча-
частей бруса на элемент
действуют силы N(xpi — dx) и N(xpi + dx), которые так же, как
в п. 2.1.5, обозначим через N~(xpi) и N+(xpi). Тогда условие
равновесия элемента примет вид
dx
dx
Откуда
N+(xpi) = N-(xpi)-Pi. D.1.3)
Это соотношение означает, что в сечении xpi, где приложена со-
сосредоточенная сила Pi, продольная сила N испытывает скачок
на величину этой силы. Характер графика (эпюры) продольной
силы в окрестности точек приложения внешних сосредоточен-
сосредоточенных сил показан на рис. 4.5.
Как уже отмечалось в п. 2.1.5, в реальных брусьях скачков
не может быть, но соотношение D.1.3) отражает то обстоятель-
4.1
СТАТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
67
У
Л,
К1
ним
!
МНИ
ство, что локальные нагрузки, направленные вдоль оси бруса,
вызывают быстрое изменение продольной силы.
Соотношения D.1.2), D.1.3)
являются частным случаем по-
полученных ранее выражений
B.1.11), B.1.13) для централь-
центрального растяжения-сжатия.
4.1.4. Рассмотрим равно-
равновесие конечной отсеченной ча-
части 1 бруса от сечения хс до
свободного конца с координа-
координатой х = / (рис. 4.6). Равнодей-
Равнодействующую распределенной на-
нагрузки q(x) мы можем, как и ранее, получить, разбив эту отсе-
отсеченную часть на участки dx и просуммировав по участкам рав-
равнодействующие q(x) dx распределенной на них нагрузки. Тогда
l
эта равнодействующая будет равна / q(x) dx. Поэтому уравне-
Хс
ние равновесия отсеченной части 1 запишется в виде
Рис. 4.5
l
= -Щхс) + / q(x) dx +
Отсюда получаем выражение для N(xc):
= /¦
Рг = 0.
D.1.4)
которое конечно совпадает с
первым из полученных ра-
ранее интегральных соотноше-
ний B.1.15).
Иногда удобно использо-
вать уравнение равновесия для
конечной отсеченной части, об-
образованной сечениями при х =
= х\ и х = Х2 (рис. 4.7).
Для него из условия равнове-
равновесия ^2 Рх — 0 имеем
q(x) P
Рис. 4.6
N(x2)=N(xi)- Jq(x)dx
Pi. D.1.5)
xi ie[xi,x2]
Выражения D.1.4) и D.1.5) с математической точки зрения
представляют собой возможные формы общего решения диф-
дифференциального уравнения D.1.2) с учетом скачков при х = xpi
68
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
функции N(x), определенных соотношениями вида D.1.3). Так
же, как и в п. 2.1.6, в этом можно убедиться, продифференциро-
продифференцировав D.1.4) по жс, а D.1.5), например, по х%- Учитывая прави-
Рис.4.7
Рис. 4.7
ло дифференцирования интеграла по переменному пределу (см.
п. 2.1.6), получаем соответственно
dN , ч dN
что совпадает с точностью до обозначения координатной оси с
соотношением D.1.2).
4.2. Геометрические дифференциальные и
интегральные зависимости при центральном
р ас тя лее н и и—с жат и и
4.2.1. Рассмотрим геометрию деформаций бруса сначала в
том простейшем случае центрального растяжения-сжатия, кото-
который реализуется при испытании образцов (см. разд. 3.2), т.е. рас-
рассмотрим деформацию бруса, нагруженного по концам силами Р
вдоль его оси (рис. 4.8). Вбли-
Вблизи концов бруса образуются
зоны Сен-Венана, в кото-
которых напряженное состояние
зависит от того, как конструк-
В
—
\ в
а
а
А
А
С
¦
С 1
Зоны Сен-Венана ,
Рис. 4.8
тивно реализуется передача
растягивающих сил на брус.
На остальной части бруса
напряженно- деформированное
состояние будет однородным, т.е. неизменным по длине бруса.
Так как внешние силы Р приложены по оси бруса, то централь-
центральное растяжение-сжатие в нем может возникнуть только тогда,
когда его ось при деформации остается прямой (рис. 4.9 а).
Действительно, как это видно из рис. 4.9 5, если ось бруса
изгибается, что может произойти при потере устойчивости
под действием сжимающих усилий, в сечении бруса возникнет
4.2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ
69
изгибающий момент Mz = Ру, т.е. такое состояние бруса уже
не будет центральным растяжением-сжатием, и оно будет
изучаться специально в гл. 10.
Итак, при центральном растяжении-сжатии прямая до де-
деформации ось бруса остается прямой и при деформации.
N=P
В
С
Рис. 4.9
Рассмотрим теперь произвольное поперечное сечение бруса в
зоне его однородной деформации, например сечение А-А. Дву-
Двумя поперечными сечениями В-В и С- С, симметричными отно-
относительно А-А, выделим элемент бруса и рассмотрим его дефор-
деформацию. В силу однородности состояния этот симметричный эле-
элемент симметрично нагружен рас-
распределенными по сечениям С- С и
В-В внутренними силами (напря-
(напряжениями) , равнодействующими ко-
которых являются продольные силы
N (рис. 4.10). Симметрия элемента
и деформирующей его нагрузки от-
относительно сечения А-А позволяет
заключить, что это сечение остает-
остается при деформации бруса плоским
и нормальным к оси бруса. А так
как сечение А-А было выбрано про-
N
В
а
А
а
N
С
Рис. 4.10
извольно, то отсюда следует, что все сечения бруса при его
растяжении-сжатии остаются плоскими и нормальными к его
оси (кроме, конечно, сечений в зонах Сен-Венана).
При неоднородной по длине бруса деформации, а также для
брусьев переменного сечения такой характер деформации бруса
уже нельзя доказать строго либо ввиду отсутствия симметрии в
нагружении элемента, либо из-за несимметричности самого эле-
элемента. Для этих случаев мы будем постулировать именно такой
характер деформации, принимая гипотезу, которую называют
гипотезой плоских сечений.
70
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
u(x)t
X
1
1
| —
1
1
1
1
1
1
1
1 __
dx
; и(х + dx) да и(х) + du
¦---J
Рис. 4.11
При центральном растяжении-сжатии ось бруса остает-
остается прямолинейной, а плоские до деформации поперечные сечения
остаются плоскими и нормальными к оси бруса после деформа-
деформации.
Впервые она была предложена Я. Бернулли в 1694 г. в более
сложной задаче об изгибе бруса.
4.2.2. Рассмотрим теперь соответствующую гипотезе плос-
плоских сечений деформацию элемента бруса длиной dx, выделенно-
выделенного поперечными сечениями с координатами х и x-\-dx (рис. 4.11).
Пусть и(х) - перемещение сечения и будем считать, что и > О,
если сечение перемещается вправо. Тогда перемещение u(x-\-dx)
сечения х + dx с точностью
до малых высшего порядка
будет равно
и(х + dx) = и(х) + du.
D.2.1)
На рис. 4.11 элемент dx
после деформации показан
пунктиром.
Ввиду малости dx де-
деформацию элемента мож-
можно считать однородной. Это
позволяет непосредственно использовать для ее исследования
результаты экспериментов на растяжение-сжатие, описанных в
гл. 3. Для этого по аналогии с принятой при описании экспери-
эксперимента относительной деформацией е = А/// введем для описа-
описания деформаций элемента относительное удлинение
А с\т ,
i-J tl/Uj /л q q\
dx
Здесь Adx — удлинение элемента dx. Ясно, что оно равно раз-
разности перемещений его концевых сечений:
Adx = и(х + dx) - и(х). D.2.3)
Учитывая D.2.1), получаем, что Adx = du и поэтому
ех = g. D.2.4)
Это соотношение называют геометрическим дифференци-
дифференциальным соотношением при растяжении-сжатии. Так же, как и
статическое дифференциальное соотношение D.1.2), его можно
рассматривать как дифференциальное уравнение для переме-
перемещения и и находить и как решение этого уравнения. Только в
отличие от продольной силы N перемещение и является по сво-
своей физической природе непрерывной функцией. Действитель-
Действительно, разрыв (скачок) в перемещении и означает, что перемеще-
перемещения бесконечно близких сечений, лежащих по разную сторону
4.2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ 71
от сечения, где произошел скачок и, различаются на конечную
величину. А это значит, что произошел разрыв бруса, т.е. брус
разрушился.
Учитывая непрерывность и, общее решение можем получить,
проинтегрировав соотношение D.2.4):
X X
I du = / ех dx.
хо хо
Вычисляя интеграл в левой части этого соотношения, полу-
получаем
х) —и(хо) = J
и(х) —
или
х
u(x) = и(х0) + J ex dx. D.2.5)
Здесь u(xq) и u(x) — перемещения сечений с координатами xq и
х соответственно.
Из решения D.2.5) можно легко получить удлинение конеч-
конечного участка бруса между сечениями х\ и х2. Так как по смыслу
это удлинение А/ равно разности и(х2)— и(х\) перемещений кон-
концевых сечений участка, то
Х2
А/ = и(х2) - u(xi) = J ex dx. D.2.6)
XI
Если начальная длина этого участка х2 — х\ равна /, то со-
соотношение D.2.6) удобно записать в форме
А/= J exdx. D.2.7)
I
Такая запись, в частности, подчеркивает тот факт, что удли-
удлинение участка бруса не зависит от выбора начала координаты х.
Чтобы подчеркнуть физический смысл соотношения D.2.7),
обратим внимание читателя на то, что ех dx по смыслу выра-
выражения D.2.2) является удлинением Adx элементарного участка
бруса dx. Учтем также, что интеграл является пределом инте-
интегральной суммы. Тогда формула D.2.7) отражает простой гео-
геометрический факт, что удлинение участка бруса / складывается
из удлинений Adx элементарных участков dx, на которые раз-
разбит конечный участок /.
Заметим, что в некоторых конструкциях разрыв в перемеще-
перемещениях может быть специально предусмотрен. В таких конструк-
конструкциях этот зазор либо исчезает в результате деформаций, либо,
72 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
наоборот, появляется. Широко известным примером такой кон-
конструкции является механизм открытия клапанов в автомобиль-
автомобильном двигателе. В нем предусмотрен тепловой зазор, который
имеет место в холодном двигателе и исчезает по мере его нагре-
нагрева. Наличие такого рода разрыва г в перемещениях в сечении
хг бруса при центральном растяжении-сжатии можно описать
условием, аналогичным условию D.1.3):
и+(хг) -и~(хг) =г. D.2.8)
Здесь
u+(xr) = u(xr + dx), u~(xr) = u(xr — dx).
Тогда, если разрыв попадает на участок интегрирования жо, х
(xq < хг < ж), соотношение D.2.5) принимает вид
х
и{х) = и(х0) + f ?xdx + r. D.2.9)
Если разрыв находится на участке /, то соотношение D.2.7) сле-
следует записать так:
А/= f sdx + r. D.2.10)
4.3. Физическая сторона задачи центрального
растяжения—сжатия бруса
4.3.1. Дифференциальные и интегральные соотношения
двух предыдущих разделов были построены на основании соот-
соотношений статики (условий равновесия) (см. разд. 4.1) или опи-
описывали геометрию деформаций (см. разд. 4.2), соответствующих
гипотезе плоских сечений. Эти соотношения никак не связаны
с материалом бруса и справедливы для брусьев из любого ма-
материала. Но связать их между собой можно только, учитывая
свойства материала бруса.
4.3.2. Итак, рассмотрим брус из изотропного материала.
Гипотеза плоских сечений устанавливает такую геометрию де-
деформаций при растяжении-сжатии, что все продольные волокна
бруса имеют одинаковую деформацию ?ж, независимо от их по-
положения в поперечном сечении F, т.е.
ех = const no F. D.3.1)
Предположим, что все продольные волокна деформируются
совершенно одинаково не только в продольном, но и в попереч-
поперечном направлениях, т.е. что деформация бруса однородна по се-
сечению. Рассмотрим теперь такие продольные волокна, которые
частью своей боковой поверхности расположены на поверхности
4.3
ФИЗИЧЕСКАЯ СТОРОНА ЗАДАЧИ
73
бруса, как, например, волокно, показанное на рис. 4.12. Посколь-
Поскольку на боковую поверхность бруса при центральном растяжении-
сжатии не действуют никакие
нагрузки, в том числе и дав-
давление, то из однородности де-
деформаций по сечению следу-
следует, что на всей боковой по-
поверхности граничного волок-
волокна не действуют никакие на-
нагрузки. Переходя от гранич-
граничного волокна к соседнему вну-
внутреннему, точно так же заклю-
заключаем, что и его боковые по-
поверхности свободны от нагру-
нагрузок. А это значит, что при цен-
центральном растяжении-сжатии
продольные волокна бруса между собой не взаимодействуют. То-
Тогда можно считать, что все продольные волокна бруса находятся
в таких условиях, в каких находится образец при его испыта-
испытании на растяжение-сжатие. Иными словами, предположение об
однородности деформации по сечению позволяет перенести ре-
результаты испытаний образцов на брусья произвольного попереч-
поперечного сечения и произвольных размеров. И теперь на основании
D.3.1) мы можем заключить, что в случае растяжения-сжатия
однородного бруса нормальные напряжения также постоянны
по поперечному сечению бруса, т.е.
ах = const no F. D.3.2)
А это позволяет сразу же установить связь между напряже-
напряжениями ах и продольной силой N. Как было показано в разд. 2.3,
интегральная связь между N и ах имеет вид
Граничное продольное волокно
Рис. 4.12
N= faxdF.
Отсюда с учетом D.3.2) имеем
N = ах J dF = oxF
N
или ах = —.
D.3.3)
D.3.4)
Связь между напряжениями ах и деформациями ех в соот-
соответствии с принятыми допущениями тождественна получаемой
в экспериментах на растяжение-сжатие связи между а и ?, т.е.
диаграмме cr{s). Иными словами, для напряжений ах по диа-
диаграмме а(е) при а = ах определяются деформации е = ?ж, ко-
которые, в свою очередь, можно использовать для определения
с помощью соотношений разд. 4.2 перемещений сечений бруса
74 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
или удлинений всего бруса и его участков. Конечно, на площад-
площадке текучести при ах = ат деформация ех не определена и ее
конкретная величина зависит от условий деформирования бру-
бруса или той конструкции, частью которой он является. Подробно
этот вопрос будет выяснен в гл. 13.
Если деформации подчиняются закону Гука, т.е. линейно
упруги, то получаемая из эксперимента связь между ах и ех
наиболее проста:
ех = ^ или ах = Еех. D.3.5)
4.3.3. Значительно более сложны соотношения между ах
и ?ж, предназначенные для описания таких явлений, как пол-
ползучесть и релаксация. В эти соотношения обязательно должно
входить время. В рамках данного курса мы этих вопросов ка-
касаться не будем и для первого знакомства с ними рекомендуем
читателю обратиться к книгам [5, 8].
4.4. Методика расчета напряженно-деформированного
состояния при центральном растяжении—сжатии
(статически определимые конструкции)
4.4.1. К этому моменту нами уже рассмотрены все необхо-
необходимые методы и соотношения, позволяющие полностью рассчи-
рассчитать напряженно-деформированное состояние бруса, работаю-
работающего на растяжение-сжатие, или конструкций, состоящих из та-
таких брусьев. Наиболее просто произвести такой расчет для кон-
конструкций, в которых продольные силы можно определить мето-
методом сечений из условий равновесия, т.е. для статически опреде-
определимых конструкций.
Методика расчета в таком случае состоит из следующих эта-
этапов.
1. Определение продольных сил методом сечений из условий
равновесия отсеченных частей. Результатом такой операции для
отдельного бруса будет знание продольных сил N(x) во всех се-
сечениях бруса в зависимости от координаты сечения х по длине
бруса /. При вычислении на этом этапе удобно пользоваться ста-
статическими дифференциальными и интегральными зависимостя-
зависимостями:
f = "Л(ж); D4Л)
х
N(x) =N(xq) - Jq(x)dx- ^ Рг, х > х0. D.4.2)
хо i?[xo,x]
4.4 МЕТОДИКА РАСЧЕТА СОСТОЯНИЯ 75
2. Определение напряжений в сечениях бруса по формуле
**{*) = Щ- D-4.3)
3. Определение по диаграмме а(е) деформаций ех{хI соот-
соответствующих напряжениям ах(х). Если деформации линейно
упруги, то
"М = ^ = шту D-4)
4. Определение перемещений и сечений бруса и удлинений
всего бруса длиной / или его частей. При вычислениях на этом
этапе удобно пользоваться геометрическими дифференциальны-
дифференциальными и интегральными зависимостями:
% = ех(х), D.4.5)
X
и(х) = u(xq) + fsx(x)dx, D.4.6)
Хо
А/= f ex(x)dx. D.4.7)
i
Рассмотрим пример расчета по этой методике.
Пример 4.1. Рассчитаем напряженно-деформированное
состояние бруса, показанного на рис. 4.13 а. На участке меж-
между сечениями 0 ж 1 площадь поперечного сечения бруса равна
2F, а на участке 1-3 — F. В сечении 1 к брусу приложена со-
сосредоточенная сила 2q$a. На участке 1-3 брус нагружен погон-
погонной распределенной нагрузкой q(x), график которой показан на
рис. 4.13 б. В прочностных расчетах принято называть графики
каких-либо величин эпюрами. Обычно эпюры строят с точно-
точностью до постоянного множителя, который указывается рядом с
эпюрой в фигурных скобках.
При построении эпюры N(x) (рис. 4.13 в) удобно сначала
по статической дифференциальной зависимости D.4.1) предска-
предсказать характер изменения N(x) на участке. Потом методом сече-
сечений найти величины N в начале и конце участка, а при необходи-
необходимости и построить аналитическое выражение N(x) на участке.
На участке 0-1 интенсивность погонной нагрузки q(x) = О,
поэтому из D.4.1) видно, что dN/dx = 0. Следовательно, про-
продольная сила N на этом участке постоянна. Значит, достаточно
найти ее в любом сечении. Для этого рассечем брус в произ-
произвольном сечении на участке и рассмотрим равновесие отсечен-
отсеченной части, показанной на рис. 4.14 а. В данной задаче можно
составить только условия равновесия правой отсеченной части,
поскольку левая отсеченная часть закреплена и не имеет степе-
степеней свободы. При составлении условий равновесия отсеченных
76
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
частей удобно направлять продольную силу N в положительном
направлении, т.е. так, чтобы она стремилась растянуть отсечен-
§^
б q(x)
в N(x)
д и(х)
Iq.a
0\
2F
3/2.
3/2^
1/4
Я(*)
z
->I—*¦
-1/2
1/4
U(x)
1/2
{^о}
{V}
{^оа/№}
//
7/8 3/4 + 1/6
Рис. 4.13
ную часть, к которой приложена. В этом случае растягивающие
продольные силы в результате вычислений окажутся положи-
положительными, а сжимающие — отрицательными, что соответствует
принятому для N правилу знаков.
Составим для отсеченной части, показанной на рис. 4.14 а,
условие равновесия ^2 Рх = 0:
-iV0_i - 2q0a + J q(x) dx = 0.
D.4.8)
1-3
4.4 МЕТОДИКА РАСЧЕТА СОСТОЯНИЯ 77
В этом уравнении последнее слагаемое является равнодейству-
равнодействующей распределенной нагрузки на участке 1-3. Для ее опре-
определения нет необходимости вычислять интеграл аналитически.
ь
Достаточно вспомнить, что f f(x)dx есть площадь между гра-
а
фиком /(ж), осью х и абсциссами х = аих = Ьи она положи-
положительна, если f(x) > 0. У нас есть график q(x) (см. рис. 4.13 б).
Подсчитав площадь этого графика на участке 1-3, получим ис-
искомую равнодействующую q(x):
q(x) dx = qoa + -qoa = -qoa.
1-3
Тогда из D.4.8) получаем 2# а
продольную силу Nq-i на / °
участке 0-1:
a
Она постоянна. Изобра-
Изобразим ее на эпюре N(x)
(рис. 4.13 в).
Найдем теперь N(x) б
на участке 1-2, на кото- a-dx
ром q(x) = qo = const,
dN
и, следовательно, —— =
dx
= — qo = const. А это
означает, что на участ-
участке 1-2 N(x) меняется по
линейному закону. Поэто-
Поэтому для построения эпюры
N(x) на этом участке до-
достаточно найти две точ-
точки, через которые прохо-
проходит соответствующая ей —
прямая линия. Для этого рис 4 14
рассмотрим две отсечен-
отсеченные части, одна из которых образована сечением, сдвинутым
вправо на расстояние dx от сечения 1, а другая — сечением 2.
Первая отсеченная часть показана на рис. 4.14 б. Для ее равно-
равновесия необходимо, чтобы N^~ (см. п. 4.1.3) была равна равнодей-
равнодействующей распределенной нагрузки, т.е.
q(x) dx = -qoa.
1-3
78
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
Из равновесия второй отсеченной части, показанной на рис.
4.14 в, видно, что
q(x) dx = -qoa.
2-3
Прямая, проходящая через эти точки на эпюре N (рис.
4.13 в), и соответствует функции N(x) на участке 1-2 бруса.
Перейдем к участку 2-3. На нем q(x) меняется по линейному
закону. Поэтому из статической дифференциальной зависимо-
зависимости dN/dx = —q(x) следует, что N(x) меняется по квадратич-
квадратичному закону. Этот закон легко получить из условий равновесия
отсеченной части, показанной на рис. 4.14 г. В качестве коор-
координаты х удобно взять расстояние от сечения 3 до текущего
сечения. Тогда
/rp
qo-dx =
a
2a
D.4.9)
Легко видеть, что этот же результат получается, если равнодей-
равнодействующую распределенной нагрузки на отсеченной части под-
подсчитывать как площадь показанного на рис. 4.14 д участка эпю-
эпюры q(x). Кривая, соответствующая выражению D.4.9), изобра-
изображена на участке 2-3 на рис. 4.13 в.
Обычно нет необходимости строить такого рода кривые абсо-
абсолютно точно. Достаточно провести их приближенно. Для этого
заметим, что, если прямая полностью
д(х) определяется двумя точками, через кото-
которые она проходит, то квадратичная пара-
парабола определяется тремя точками или дву-
двумя точками и касательной к ней в одной
из точек. Одну из таких точек мы имеем
в сечении 2, где N2 = -qoa. Вторую точ-
точку получим, рассматривая равновесие от-
отсеченной части, образованной сечением на
расстоянии dx слева от сечения 3 (рис. 4.15). Видно, что
dx
Рис. 4.15
N:
= / q(x) dx —>> 0 при dx —>> О,
dx
т.е.
dN
= 0. Так как в сечении 3 q = 0, то —— = 0, а это
ах
означает, что касательная в точке 3 к той же параболе, кото-
которую мы хотим строить, горизонтальна. Этого уже достаточно,
чтобы провести эту кривую через точки N2 = -q^a, Щ = 0 и
так, чтобы она касалась оси х в точке 3. Кроме того, так как в
4.4 МЕТОДИКА РАСЧЕТА СОСТОЯНИЯ 79
сечении 2 нет скачка на эпюре q(x), то в этой точке парабола
должна касаться прямой на участке 1-2. Строя искомую парабо-
параболу по лекалу с учетом еще и этого обстоятельства, мы проведем
ее уже практически точно.
Итак, эпюра N(x) построена и показана на рис. 4.13 в. Теперь
для построения эпюры а(х) необходимо разделить силы N(x) на
площади F(x) поперечных сечений бруса. Сделав это, получа-
получаем эпюру ах(х), изображенную на рис. 4.13 г. Так как в нашем
случае деформации упруги, т.е. ех = ах(х)/Е, то эпюра ех{х)
отличается от эпюры ах(х) только постоянным множителем. В
таком случае нет необходимости в отдельном графике для ех.
Достаточно указать для эпюры, показанной на рис. 4.13 г, мас-
масштабный множитель {qoa/EF}, соответствующий деформации
ех. Таким образом, эпюра на рис. 4.13 г изображает графики
ах(х) и ех(х) с соответствующими масштабными множителями
{qoa/F} и {qoa/EF}.
При построении эпюры перемещений и(х) сечений бруса
(рис. 4.13 д) прежде всего обратим внимание на то, что сече-
сечение 0 заделано и, следовательно, его перемещение равно нулю.
Это позволяет, приняв в точке 0 начало координат х и учиты-
учитывая, что тогда и@) = 0, записать геометрическую интегральную
зависимость D.4.6) в виде
х
и(х) = J exdx. D.4.10)
о
Эта формула геометрически означает, что перемещение и(х) се-
сечения х равно площади эпюры ех на участке от сечения 0 до
сечения х. При этом площадь эпюры ех считается положитель-
положительной на участках, где ех > 0, и отрицательной там, где ех < 0.
Подсчитывая площади эпюры ?ж, легко находим перемещения
сечений 1 и 2:
_ 1 qoa _ 1 qoa2
2
1 qoa 1 / 3 qoa 1 qoa \ 3 qoa
42 ~ ~4~EF 2 V2 ?F 2 ~KF) п ~ 4~EF'
На участке 0-1 в соответствии с геометрической дифференци-
дифференциальной зависимостью du/dx = ех и так как ?ж = const, график
|/(ж) является прямой линией, которая проходит через точки
г^о = и@) = 0 и щ = и(а) = —-^—-. Эта прямая построена
на рис. 4.14 д. В качестве масштабного множителя удобно взять
величину {qoa2/EF}.
80 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
На участке 1-2 ех изменяется линейно. Поэтому в силу то-
того, что du/dx = ех, и(х) здесь меняется уже по квадратичному
закону. Так как ех > 0, то и(х) возрастает, причем в начале
участка ех, а значит, и скорость возрастания и(х) больше, чем в
его конце. Поэтому парабола имеет выпуклость вверх. Для того,
чтобы уточнить ход параболы на участке 1-2, можно поступить
следующим образом: продлить прямую ех до пересечения с осью
х (пунктир на рис. 4.13 г) в середине участка 2-3. Тогда в этой
точке квадратичная парабола должна иметь максимум, и его ве-
личина равна площади эпюры ех на участке от ж = (J до ж = -а:
§
J
р Ит - l qoa а + 1 • 3 qoa • 3 п - 7
sxdx---—a+- -— -а--
о
-1 2 о 2
m I qoa 3 qoa
1еперь по двум точкам щ = —-1——, U2 = ттттт и с учетом
4 hit 4 hit
того, что при своем продолжении парабола при х = -а имеет
„ 7 qoa2 r -г^
максимум, равный --—, строим эту параболу. Ье ход на участке
8 EF
2-3 показан пунктиром. При необходимости можно построить и
аналитическое выражение этой кривой. Для этого достаточно
составить аналитическое выражение прямой ех на участке 1-2.
Сделать это можно, используя выражение для прямой линии,
проходящей через две точки:
, . 3 дра
?[Х)~ 2 JJLF _ х-а
1 дра 3 дра 2а — а'
2EF 2EF
Отсюда получаем ех{х) = -^ ( —х + -а), х Е (а, 2а].
Тогда на участке 1-2
= / е(х) dx = / exdx + / ех dx = u(a) + / exdx =
X
U[X) =
О О
х
_ 1 дра2
~ 4 EF
Непосредственно проверяя значение этого выражения при х =
= а,ж = 2аиж = -а, получаем, что такая парабола проходит
4.4 МЕТОДИКА РАСЧЕТА СОСТОЯНИЯ 81
через точки
(х = а и = -- —]
На участке 2-3 и(х) меняется по кубическому закону, так
как здесь ех(х) имеет квадратичный закон изменения. Кроме
того, так как ех% = ех{3а) = 0, эта кубическая парабола имеет
максимум при х = За, а в точке 2 (при х = 2а) она касается
только что построенной квадратичной параболы и(х) участка
1-2. Подсчитаем перемещение конца бруса (сечение 3):
щ = иCа) = I sxdx= I exdx-\- I sxdx = -^—-\- I exdx.
0-3 0-2 2-3 2-3
Из графика ?х(х), данного на рис. 4.14 г, легко видеть, что на
участке 2-3
'•<•> = Ш^Ч^- <4А11>
Действительно, при х = За ?жCа) = 0, а при х = 2а
ех{2а) = т-^. Учитывая это, получаем
За
Г е dx = qo f (x - Q~^2 A~ - l qoa
J x 2aEF J ^
2-3 2a
Поэтому
3 qoa2 1 qoa
+
2
^ uCa) + .
Остается только провести через точку -—— при х = 2а и
11 а0а2 о
точку —-— при х = да кривую, имеющую выпуклость вверх,
12 EF
касающуюся в точке 2 (х = 2а) кривой участка 1-2 и имеющую
в точке 3 (при х = За) максимум.
При необходимости нетрудно построить и аналитическое вы-
выражение кривой и(х) и на участке 2-3. Для этого достаточно
воспользоваться выражением D.4.11) для ех(х) на этом участке
и формулой D.4.10), представив ее в виде
i(x) = uBa) + Г ех{х) dx,
2a
где перемещение иBа) уже вычислено и равно т^^г-
82
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
При разборе этого примера мы подробно остановились на
технике построения эпюр с использованием дифференциальных
и интегральных зависимостей, поскольку эти приемы при неко-
некотором навыке оказываются весьма эффективными.
4.4.2. Для бруса постоянного сечения F и длины /, нагру-
нагруженного силами только по концам, соотношения существенно
упрощаются. Так как у такого бруса q = 0 и отсутствуют сосре-
сосредоточенные нагрузки (кроме концевых сил), то из D.4.1), D.4.2)
следует, что N = const по /. Тогда и ах = — = const по /, а также
и ех = ^ = —— = const по /. И из D.4.6), D.4.7) следует, что
.С/ .С/ Г
и{х) = u(xq) + ех(х - xq) = u(xq) + —(ж -
EF'
D.4.12)
Конструкции, составленные из такого рода брусьев (стерж-
(стержней), скрепленных между собой шарнирами, часто называют
фермами. Некоторые фермы показаны на рис. 4.16. Фермы, у ко-
которых оси всех составляющих их стержней лежат в одной плос-
плоскости и которые нагружены в этой же плоскости, называются
плоскими фермами.
Шарниры, соединяющие между собой стержни ферм, явля-
являются устройствами, которые не оказывают сопротивления вза-
взаимному повороту скрепляемых элементов. Поэтому в них возни-
возникают только силы взаимодействия стержней. В фермах шарни-
4.4
МЕТОДИКА РАСЧЕТА СОСТОЯНИЯ
83
ры выполнены так, чтобы силы, действующие со стороны шар-
шарнира на соединенные им стержни, были направлены вдоль осей
стержней. Один из возмож-
возможных конструктивных вариан-
вариантов выполнения шарнира пока-
показан на рис. 4.17.
Рассмотрим пример опре-
определения продольных сил в
стержнях плоской статически
определимой фермы.
Пример 4.2. Плос-
Плоская ферма, показанная на рис.
4.18, состоит из пяти стерж-
стержней 1-5 и жесткого элемента
BCD (диска). Продольную си-
силу в г-м стержне фермы обо-
обозначим через Ni. Определим
Ni из условий равновесия отсеченных частей, показанных на
рис. 4.19. На нем через Npx и Npy обозначены усилия взаи-
взаимодействия узла D с диском BCD.
Уравнения равновесия можно записать в следующем виде.
Узел А (рис. 4.19 а)
Рис. 4.17
Ру = 0 ->
sin a + Р = О,
Диск BCD (рис. 4.19 б)
Т,Ру = 0^ NDy + Ni sin а + 2Р = О,
? Мс = 0 ->> NDxl - Nil cos a = О,
^ Рх = 0 —>• — N% + N2 + N\ cos a -
Узел D (рис. 4.19 в)
D.4.13)
= 0.
= 0 -> 7V4sin^
= 0 ^ -JV5 -
= 0,
= 0.
Уравнения записаны в такой последовательности, чтобы в
каждом последующем уравнении появлялось лишь одно новое
неизвестное. Решая их с учетом вытекающих из треугольников
ABC и DEF значений sin а = 1/л/5, cos а = 2/л/5, sin/З =
= cos/3 = л/2/2, получаем следующие величины искомых про-
84
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
= -Р,
= -2Р,
дольных сил:
JVi = -Рл/5, N2 = 2Р,
N3 = -2Р, 7V4
Теперь по формуле D.4.12) мы можем найти удлинения всех
стержней Ali = Nili/EFi, а значит, и длины деформированных
стержней. Положительные
значения продольных сил
соответствуют растянутым
стержням, а отрицатель-
отрицательные — сжатым, поэтому по-
положительные значения AL
2/
D
С
2Р\
В
Рис. 4.18
соответствуют удлинениям
стержней, а отрицатель-
отрицательные — их укорочениям.
Знание деформированных
длин стержней позволяет
нам, вообще говоря, по-
построить деформированное
состояние системы и, таким
образом, найти перемеще-
перемещения всех ее точек. Но очевидно, что такой подход неудобен. Раз-
Разработаны простые и эффективные методы определения переме-
перемещений ферменных конструкций, которые будут рассмотрены в
разд. 4.7.
В
N,
Dy
k
Г
\2P
P
N4
vZ)x
Рис. 4.19
В случае расчета сложной многоузловой ферменной кон-
конструкции, содержащей много дисков, изложенный выше подход,
конечно, также применим, но он трудоемок. Для облегчения
4.5
РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ КОНСТРУКЦИЙ
85
этих расчетов и проведения их с помощью ЭВМ разработаны
специальные методы и основанные на них программы для ЭВМ.
Более широко методы расчета сложных ферменных конструк-
конструкций рассматриваются в строительной механике.
4.5. Расчет простейших статически неопределимых
конструкций
4.5.1. В гл. 11 будет рассмотрена общая методика расчета
сколь угодно сложных статически неопределимых конструкций.
Здесь же мы на простейших примерах познакомим читателя с
особенностями поведения и расчета таких конструкций.
Пример 4.3. Найдем продольные силы простой трех-
стержневой фермы (рис. 4.20), возникающие в результате дей-
действия на нее силы Р. Будем считать, что все стержни этой фер-
фермы выполнены из одинакового материала с модулем упругости
1-го рода Е и имеют одинаковые поперечные сечения площади F.
Имея уже опыт решения ферменной конструкции (см. при-
пример 4.2), составим сначала уравнения равновесия узла А, выре-
вырезанного из фермы и показанного на рис. 4.21:
Рх = 0 -»¦ -
Py = 0 ->¦ Ni
i cos 45° + N2 cos 45° = 0,
sin 45° + N2 sin 45° - N3 - P = 0.
D.5.1)
Таких независимых уравнений можно составить только два, так
как узел плоский и все действующие на него силы сходятся в
N
У
45 е
Рис. 4.20
Рис. 4.21
точке А. Но эти два уравнения статики содержат три неизвест-
неизвестные продольные силы. Поэтому эта ферма является статически
неопределимой. Для ее решения рассмотрим деформацию систе-
системы. В силу симметрии фермы и действующей на нее нагрузки,
86 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
как это следует из первого уравнения равновесия D.5.1), про-
продольные силы в ее боковых стержнях одинаковы: N\ = N2-
А так как одинаковы жесткости и длины этих стержней, то и их
удлинения равны, т.е. A/i = Д/2. Поэтому узел А под действием
силы Р опустится строго вдоль стержня 3. Деформированное
состояние фермы показано на рис. 4.22 штриховыми линиями.
Ясно, что опускание А А' узла А равно укорочению Д/з среднего
стержня. Чтобы найти удлинение A/i бокового стержня, доста-
достаточно вычесть из новой его длины О А' старую О А. Для этого
можно провести через точку А дугу окружности с центром в
точке О до пересечения с О А!'.
Но так как смещение А А' мало,
то с достаточной точностью мож-
можно заменить дугу окружности ка-
касательной или опустить из точ-
точки А перпендикуляр на О А', ко-
который пересечет О А' в точке В.
Тогда A/i = ВА'. В треугольни-
треугольнике ABA1 из-за малости смещения
АА1 угол В А! А близок к углу 45°,
который был между стержнями 1
и 3 до деформации, и поэтому с
той же точностью можно принять,
что ZBAA' = 45°. Заметим, что та-
ис' ' кое же допущение нами уже сде-
сделано неявно при составлении уравнений равновесия узла А
(см. D.5.1)), в которых в соответствии с принципом малости
деформаций использованы углы, соответствующие недеформи-
рованной ферме. Итак, с принятой точностью можно считать
треугольник В А1 А прямоугольным равнобедренным. Поэтому
АА1 = л/2 В А1 или
А/3 = л/2Д/ь D.5.2)
Однако при линейно-упругих деформациях Д/i = Nily/2/EF,
а А/3 = —N^l/EF. Знак «минус» здесь учитывает, что в урав-
уравнения равновесия D.5.1) N% входит как растягивающая сила,
и поэтому величина N^l/EF является удлинением стержня, а в
уравнении D.5.2) А/з — это укорочение стержня. С учетом этого
из D.5.2) следует, что
N3 = -2NX. D.5.3)
Уравнение D.5.2) отражает простой геометрический факт:
при деформации боковые и средний стержни все время остаются
соединенными в узле А, т.е. стержни деформируются совместно.
Поэтому уравнение D.5.2) и следующее из него уравнение D.5.3)
называют уравнением неразрывности деформаций, или уравне-
4.5
РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ КОНСТРУКЦИЙ
87
2q a q(x)
%
1
нием совместности деформаций. Решая систему из уравнений
равновесия D.5.1) и совместности деформаций D.5.3), получаем
усилия в стержнях фермы:
р *? р
2 + у2 2 + у2
Этот простой пример показывает, что при решении статиче-
статически неопределимых систем к уравнениям статики добавляются
уравнения совместности деформаций.
4.5.2. Пример 4.4. Рассмотрим теперь брус, приведен-
приведенный в примере 4.1 (см. рис. 4.13), но будем считать, что заделаны
оба его конца (рис. 4.23). По-
Попытка применить к нему сра-
сразу метод сечений оказывает-
оказывается безуспешной, так как при
рассечении бруса обе его ча-
части остаются заделанными и
потому не имеют степеней сво-
свободы, необходимых для со-
составления уравнений равнове- ruj
сия. Поэтому сначала отбро-
сим опоры и заменим их реак- ^ °
циями, которые обозначим через До и Дз (рис. 4.24). Теперь для
такого бруса можно составить уравнение равновесия:
Рх = 0 ->> -До - 2q0a + J q(x) dx + Д3 = 0.
1-3
Отсюда, учитывая, что / q(x) dx равен площади эпюры q(x)
1-3
на участке 1-3, получаем
2q a q(x)
~ ~ 1 D.5.4)
q{x)
0
Но в этом уравнении статики —
две неизвестных реакции До и
Дз, поэтому такой брус стати-
статически неопределим. Замечаем, Рис- 4-24
что он деформируется так, что его общая длина За не изменя-
изменяется, т.е. его общее удлинение равно нулю:
А/о-з = 0. D.5.5)
Но удлинение всего бруса равно сумме удлинений его участков:
А/о-з = A/o-i + A/i-2 + А/2-3. D.5.6)
Так как на участке 0-1 q = 0 и из статической дифференци-
дифференциальной зависимости dN/dx = —q следует, что N = const, то
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
удлинение этого участка можно подсчитать по формуле D.4.12)
как
Л Т
A/o-i =
2EF
Продольную силу TVo—1 найдем методом сечений из условия рав-
равновесия отсеченной части, показанной на рис. 4.25 а. Получаем
TVq-i = Roi тогда
A/o-i =
Roa
D.5.7)
2?0а
2EF'
На участках 1-2 и 2-3 про-
продольная сила переменна, и для
подсчета A/i-2 и А/2-3 вос-
воспользуемся формулой D.4.7) и
законом Гука ех = N/EF. По-
Поэтому
2qQa
+ — + +,
А/
= J ex dx = J -^
Рис. 4.25
показанных на рис. 4.25 0, в, получаем
Ah 2= Г N<"Xl)
1-2
Определяя -^1
7У2-з(ж2) из условий рав-
равновесия отсеченных частей,
EF
¦ dx\ =
f
— J
А/2-я =
N(x2)
EF
D.5.8)
2-3
a r>
-I
1 2
+ 2goft — qoa — I ^0^2 — — Qo —
EF
Rod + -qoa
о
EF
Подставим полученные удлинения участков в уравнение сов-
совместности D.5.5). В результате простых вычислений получим,
что Rq = ——go^, а из уравнения равновесия D.5.7) сразу най-
U
дем, что i?3 = — -^.
U
Полученный результат изображен на
рис. 4.26 а. Теперь задача отыскания продольных усилий в се-
сечениях бруса становится статически определимой и можно най-
4.6
ВЛИЯНИЕ НАГРЕВА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
89
ти N(x), crx(x), ?x(x) и и(х) по методике, которая изложена в
п. 4.4.1 и использована при решении примера 4.1. Мы предо-
предоставляем читателю возможность попрактиковаться в построе-
построении эпюр, а для проверки приводим на рис. 4.26 результаты
решения. Отметим, что
прежде чем строить
эпюру перемещений и(х),
сразу же после построе-
построения эпюры ех(х) можно
легко проверить пра-
правильность определения
реакций из уравнения
совместности D.5.5),
которое при проверке
удобно записать в виде
А/о-з = / ех dx = 0.
0-3
А это геометрически
означает, что должна
быть равна нулю пло-
площадь эпюры ?х(х).
26
зо^о*
п
б q{x)
в N(x)
г ех(х)
д и(х)
а
IIIIIII
МММ
13
30
-А
— 1
с
1
34
Ш 26
30
30
/F
2
1 а
TUtttw
^ п.
6
/JO
r-r-тГТТ ТТТТТП-п-,^
}
(V)
\ef)
EF
Рис. 4.26
4.6. Влияние нагрева на напряженно-деформированное
состояние при растяжении—сжатии
4.6.1. При описании температурных деформаций мы огра-
ограничимся известным читателю еще из школьного курса физики
законом линейного температурного расширения. Согласно это-
этому закону стержень длиной / при свободном расширении из-за
нагревания на At удлинится на величину
А1г = aAtl. D.6.1)
Здесь а — коэффициент линейного температурного расширения.
Из формулы D.6.1) видно, что а измеряется в град и по сво-
своему смыслу а — это удлинение стержня единичной длины при
нагревании на один градус; в этом случае А1г = а • 1 • 1.
Чтобы отличить удлинение стержня, образовавшееся вслед-
вследствие нагрева, мы ввели у А/ верхний индекс t.
Удлинение стержня под действием продольной силы N будем
обозначать через AlN, а при одновременном действии нагрева и
продольных усилий — как А/.
Будем считать, что такое удлинение подчиняется гипотезе
Дюамеля-Неймана:
А/ = AlN + AlK D.6.2)
90
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
Эта гипотеза по существу постулирует принципы суперпозиции
для силовой и температурной деформаций. Для конструкцион-
конструкционных материалов она с достаточной точностью подтверждается
экспериментально.
Если соотношение D.6.2) разделить на недеформированную
длину стержня / и таким образом перейти к относительным де-
деформациям, то гипотеза Дюамеля-Неймана запишется в форме
ex = eNx +е{ = е% + aAt. D.6.3)
Если при этом силовая деформация подчиняется закону Гука
е^ = ах/'Е, то из D.6.3) получим соотношение
ех = ^ + aAt. D.6.4)
Это соотношение по существу дополняет закон Гука слагаемым,
учитывающим линейное температурное расширение. Заметим,
что изменение температуры может сказаться и на первом сла-
слагаемом в D.6.4), если учесть, что, вообще говоря, модуль упру-
упругости Е также зависит от температуры, т.е. что Е = E(t) (см.
п. 3.4.2).
4.6.2. Рассмотрим сначала влияние нагрева на статически
определимые системы. Прежде чем переходить к общим выво-
выводам, решим две простые
а 2а задачи.
Пример 4.5.
Найдем напряженно-де-
напряженно-деформированное состоя-
состояние знакомого нам по
примеру 4.1 бруса, пока-
показанного на рис. 4.27 а,
при его нагреве. Закон
изменения температуры
At по длине бруса дан
на рис. 4.27 б.
Для определения
продольной силы TVo—1
участке 0-1 рассечем брус и рассмотрим равновесие от-
отсеченной части, изображенной на рис. 4.28. Из-за отсутствия
внешних нагрузок условие равновесия ^ Рх = 0 для отсеченной
части имеет максимально простой вид
JVo-i = 0. D.6.5)
Точно так же из условия равновесия отсеченной части на
учатке 1-3 получим, что и на этом участке продольная сила не
возникает, т.е.
0
с = е$
и(х)
2F
2 F
^тттТТТТШ
-1 Ы
Л {<*'о}
Рис. 4.27
на
JVi-з = 0.
D.6.6)
4.6
ВЛИЯНИЕ НАГРЕВА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ
91
'0-1
Этот результат в рассматриваемой задаче отражает тот оче-
очевидный факт, что расширение бруса при его нагревании про-
происходит без каких-либо стес-
стеснений, свободно. В этих усло-
условиях напряжений в брусе не
возникает, т.е. ах = N/F = 0,
и поэтому е^ = 0, а значит,
ех = 4 = oiAt. Эпюра отно- Рис 4 2g
сительных деформаций ех в
этом случае подобна эпюре температур At(x) (рис. 4.27 в). ИН-
ИНГЕ
тегрируя ее в соответствии с соотношением и = и@) + § sxdx,
о
как это делалось в примерах 4.1 и 4.4, приходим к эпюре, пока-
показанной на рис. 4.27 г.
Если нагрев происходит при одновременном нагружении бру-
бруса внешними силами, например, рассмотренными в примере 4.1
(см. рис. 4.13), то по принципу суперпозиции, постулирован-
постулированному гипотезой Дюамеля-Неймана, результат одновременного
действия нагрева и нагрузок может быть получен как сумма ре-
результатов их действия в отдельности. Иными словами, в этом
случае мы можем получить решение, просуммировав эпюры,
данные на рис. 4.13 и 4.27.
Заключая этот пример, обратим внимание читателя на то,
что при действии только нагрева на рассмотренный брус урав-
уравнения равновесия его отсеченных частей D.6.5) и D.6.6) являют-
являются однородными. В силу статической определимости бруса они
полностью и однозначно определяют продольные силы. И по-
поскольку эти уравнения являются линейными относительно ис-
искомых продольных сил TVq—1 и iVi_3, то в силу их однородности
они имеют единственное ну-
нулевое решение. Простота же
уравнений D.6.5) и D.6.6)
не меняет их общих свойств:
линейности, однородности и
однозначной разрешимости.
Пример 4.6.
Рассмотрим знакомую нам
уже ферму, изображенную
на рис. 4.18. Пусть на нее не
действуют внешние силы, а
стержни i, 3 и 5 нагревают-
нагреваются на температуру At (рис.
4.29). Найдем усилия, возникающие в стержнях этой фермы
вследствие нагрева. Так же, как и в примере 4.2, методом се-
сечений выделим узлы А, диск BCD и узел D (рис. 4.30 а, б, в) и
Рис. 4.29
92
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
составим уравнения их равновесия:
Узел А (рис. 4.30 а)
^2 Рх = 0 ->> 7V2 + iVi cos a = 0.
Дшж BCD (рис. 4.30 5)
^Py = 0^NDy + N1 sin a = 0,
? Мс = 0 -+ NDxl - Nrf cos a = 0,
D.6.7)
Узел D (рис. 4.30 в)
X) ^ = 0 -> -7V4 sin ^ -
ЕЯ* = 0 -> -JV5 - 7V4co
= 0,
= 0.
= 0.
Так же, как и уравнения D.4.13), эти уравнения являют-
являются линейными относительно искомых усилий в стержнях 7V"i,
7V2, • • • , Щ и сил взаимодействия N^X1 N^y диска BCD с уз-
У 2 ,
"Dy
B\&
Рис. 4.30
лом D. Но в отличие от D.4.13) уравнения D.6.7) являются
однородными. Решая их последовательно, мы приходим к то-
тому, что все искомые усилия равны нулю и это решение явля-
является единственным. Таким образом, нагрев стержней рассмо-
рассмотренной статически определимой фермы не вызывает появления
продольных сил в ее стержнях. Если одновременно с нагревом
ферма нагружается внешними силами, например, показанными
на рис. 4.18, то усилия в стержнях определяются из уравнений
D.4.13). И, следовательно, нагрев рассмотренной в примере 4.2
статически определимой фермы никак не скажется на усилиях
в ее стержнях.
4.6 ВЛИЯНИЕ НАГРЕВА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ 93
Обобщим теперь результаты решения рассмотренных в при-
примерах 4.1, 4.2, 4.5 и 4.6 статически определимых систем. Несмо-
Несмотря на различную форму и сложность их уравнений равновесия,
все эти уравнения имеют общие свойства:
1. Все уравнения равновесия линейны относительно искомых
продольных сил.
2. При действии только нагрева уравнения равновесия яв-
являются однородными, а при одновременном действии нагрузок
и нагрева свободные члены в уравнениях равновесия зависят
только от нагрузок.
3. Так как эти системы статически определимы, то продоль-
продольные усилия в них однозначно (!) определяются только из урав-
уравнений равновесия.
Эти три свойства характерны для уравнений равновесия лю-
любой статически определимой системы. Из них в силу общих
свойств решений линейных алгебраических уравнений следует,
что при действии только нагрева в статически определимых си-
системах не появляется продольных сил, а при одновременном дей-
действии внешних сил и нагрева нагрев не сказывается на величи-
величинах продольных сил и они определяются только нагрузкой.
4.6.3. Заметим, что первые два свойства характерны и для
уравнений равновесия статически неопределимых систем, но
третьим свойством они не обладают. Как мы увидим из решения
следующих примеров, именно это обстоятельство не позволяет
распространить сделанные только что для статически опреде-
определимых систем выводы на статически неопределимые системы.
Пример 4.7. Определим напряженно-деформированное
состояние заделанного с двух сторон бруса, показанного на рис.
4.31 а, при его нагреве до температуры, закон изменения кото-
которой дан на рис. 4.31 б. Подобный брус, но под действием на-
нагрузок, мы уже рассматривали в примере 4.4, где убедились,
что он является статически неопределимым. Поэтому сначала
отбросим опоры и заменим их реакциями, которые обозначим
через Rq и R% (рис. 4.32). Тогда уравнение равновесия бруса
примет вид
-До + д3 = 0. D.6.8)
Хотя это единственное уравнение равновесия в отличие от D.5.4)
однородно, но оно также содержит две неизвестных реакции
Rq и i?3, что указывает на статическую неопределимость бру-
бруса. Уравнение совместности деформаций бруса, как и в примере
4.4, должно отражать тот факт, что закрепление концов бруса
делает невозможным изменение его длины, т.е.
А/о-з = 0. D.6.9)
94
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
По-прежнему удлинение всего бруса можно подсчитать как
сумму удлинений его частей:
А/о-з =
jat0EF
N
О 1
1/5
2/5
9/25
jat0EF
{atoa}
Рис. 4.31
Подсчитывая удлинение Д/q-i, прежде всего замечаем, что
участок 0-1 не нагревается и причиной появления его удлине-
удлинения является только продольная
Я3 сила -ZVo-ь т-е- Д^о-1 — Д^1-
А силовое удлинение для тако-
такого участка бруса можно найти
Рис. 4.32 по формуле D.4.12) как A/o-i =
= No_ia/(E2F). Из условия рав-
равновесия отсеченной части бруса, показанной на рис. 4.33 а, по-
получаем, что iVo—I = Rq- Тогда
A/o-i =
Roa
2EF'
D.6.10)
4.6 ВЛИЯНИЕ НАГРЕВА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ 95
На участке 1-3 причинами удлинения являются как про-
продольная сила -ZVi-з, так и нагрев, т.е.
А 7 A iN A it
Z\/x з = ^^1—3 ~1~ ^^1—3*
Силовое удлинение мы также можем подсчитать по формуле
D.4.12), так как из условия равновесия отсеченной части, данной
на рис. 4.33 5, следует, что A/i-з =
= Rq = const. Поэтому Rq I | Nq-i
. D.6.11)
.N
1-3
Для подсчета температурного ^
удлинения участка 1-3, на кото-
котором температура переменна, вое- ^
пользуемся интегральным соотно-
соотношением D.4.7), которое конечно Рис. 4.33
справедливо для любых деформа-
деформаций независимо от их природы, в том числе и для температур-
температурных деформаций. Поэтому
= J elxdx. D.6.12)
Но ех = «At, значит Al\_3 = a f At(x) dx. Вычисляя здесь
1-3
интеграл от заданного на рис. 4.31 б закона распределения At(x)
как площадь эпюры At(x) на участке 1-3, получаем
Д/*_3 = сД*0 • 2а = atoa. D.6.13)
Суммируя силовое D.6.11) и температурное D.6.13) удлине-
удлинения, получаем
^^ D.6.14)
После подстановки Д/0-1 D.6.10) и A/i_3 D.6.14) в D.6.9)
приводим уравнение совместности к виду
+ f^ + atoa = 0. D.6.15)
Из этого уравнения находим, что
До = -latoEF.
О
Тогда из уравнения D.6.7) сразу следует, что и
R3 = -l
5
96
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
Знак « —» в полученных для Rq и R% выражениях свидетель-
свидетельствует о том, что истинные направления этих реакций не соот-
соответствуют направлениям, принятым при составлении уравнений
равновесия всего бруса D.6.8) и его частей (см. рис. 4.33). В на-
нашей задаче нетрудно, конечно, угадать истинные направления
реакций, так как, стремясь расшириться при нагреве, брус упи-
упирается в опоры, реакции которых создают в нем сжимающую
силовую деформацию, компенсирующую температурное расши-
расширение. Но в более сложных системах это сделать иногда очень
трудно. Наш пример показывает, что в этом и нет необходимо-
необходимости, так как знак у полученной в результате решения реакции
покажет, совпадает ли истинное ее направление с принятым при
составлении уравнений равновесия и совместности.
Полученные реакции изображены на рис. 4.31 в и далее по-
построены эпюры продольных сил, напряжений и деформаций
точно так же, как это делалось в примерах 4.1 и 4.4. Только
здесь еще учтены и темпера-
температурные деформации. Для си-
силовой е^ и температурной ех
деформаций построены от-
отдельные эпюры (рис. 4.31 е и
4.31 ж), а эпюра для общей
деформации ех = ?^ + ех по-
получена графическим сумми-
суммированием эпюр ?^ и ех.
Пример 4.8. Най-
Найдем усилия, возникающие в
показанной на рис. 4.34 фер-
ферме при равномерном нагрева-
нагревании ее 3-го стержня на темпе-
температуру At. Составляя урав-
уравнения равновесия для узла А
Рис. 4.34 (рис. 4.35), получаем
= 0 -> -7Vicos45° + 7V2cos45° = 0,
Py = 0
sin45° + N2 sin45° - N3 = 0.
D.6.16)
D.6.17)
В отличие от уравнений равновесия D.5.1), построенных при
решении в примере 4.3 для нагружения фермы силой Р, эти
уравнения однородны. Но так же, как и в примере 4.3, в этих
двух уравнениях содержится три неизвестных усилия 7V"i, N2i
N3, что является следствием статической неопределимости си-
системы. Для составления уравнения совместности деформаций
рассмотрим деформированное состояние фермы, которое пока-
показано на рис. 4.34 штриховыми линиями. Из ААА1В точно так
4.6 ВЛИЯНИЕ НАГРЕВА ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ 97
же, как и в примере 4.3, получаем уравнение
А/3 = л/2 AZi, D.6.18)
которое не отличается от уравнения D.5.2). И это не случай-
случайно, так как совместность деформации — это, конечно, свойство
самой деформации системы, и оно не за-
зависит от причин, ее вызывающих. уN{ N2j
Перейдем теперь в уравнении сов-
местности деформаций D.6.18) к усили- ^ , \45С
ям. Стержень 1 деформируется только
под действием возникающей в нем про-
продольной силы N\. Поэтому
Ah = A/f = -NxVbl/EF.
Знак « —» здесь необходим, так как
усилие N\ растягивающее и величина
N\y/2l/EF является удлинением, а А1\ рИс. 4.35
в уравнении D.6.18), как это видно из
рис. 4.34, является укорочением 1-го стержня. При подсчете А/з
необходимо учесть, что 3-й стержень одновременно растягива-
растягивается силой N$ и удлиняется в результате равномерного нагрева
на температуру At. Поэтому
Подставим теперь полученные выражения для Ah и А/з в
уравнение D.6.18) и получим уравнение совместности деформа-
деформаций в усилиях:
^2^Р + ^ + aAt ¦ I = 0. D.6.19)
EF EF
Упростив это уравнение и решив его совместно с уравнения-
уравнениями равновесия D.6.16), D.6.17), получим
АТ АТ aAt-EF AT V2aAt-EF
iVi = iV9 = — ^-, iVQ = — ^ .
Знак « —» здесь означает, что в стержнях фермы возникают
сжимающие продольные силы. Это соответствует и физическим
представлениям о характере работы фермы при нагревании ее
3-го стержня.
Примеры 4.7 и 4.8 позволяют увидеть общие свойства разре-
разрешающих уравнений для статически неопределимых систем, со-
состоящих из уравнений равновесия и уравнений совместности де-
деформаций. Как видно, уравнения равновесия D.6.8) или D.6.16),
D.6.17) являются линейными и однородными алгебраическими
уравнениями. Но их недостаточно для определения неизвестных
4 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
98 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
усилий. Поэтому к ним добавляют уравнения совместности де-
деформаций (D.6.15) или D.6.19)), которые при нагреве элементов
системы в общем случае являются неоднородными.
Таким образом, в отличие от статически определимых си-
систем, в статически неопределимых системах при нагреве их эле-
элементов обычно возникают продольные силы.
Конечно, можно найти такие распределения температур по
системе при ее нагреве, чтобы ее деформация не сопровожда-
сопровождалась возникновениями усилий в стержнях. Например, для по-
показанной на рис. 4.34 фермы нагрев 3-го стержня можно со-
сопровождать таким охлаждением 1-го и 2-го стержней, чтобы их
температурные удлинения и укорочения полностью компенси-
компенсировались, т.е. удовлетворяли условию D.6.17). Тогда в ферме
никаких усилий не возникнет. При решении это обстоятельство
выразится в том, что уравнение совместности деформаций пос-
после перехода к усилиям станет однородным. А это вместе с од-
однородностью уравнений равновесия приведет к единственному
нулевому решению.
4.7. Потенциальная энергия бруса при
растяжении—сжатии. Определение перемещений
ферм
4.7.1. Энергетические методы широко используются для
решения самых различных задач механики, в том числе и задач
механики твердого деформируемого тела. Начало этим мето-
методам положили работы одного из создателей дифференциального
и интегрального исчисления Г. Лейбница A646-1716), который
ввел для описания движения материальной точки так называе-
называемую живую силу тv , с точностью до множителя 1/2 совпадаю-
совпадающую с современным понятием кинетической энергии. В механи-
механике твердого деформируемого тела и ее разделе — сопротивлении
материалов — эти методы также широко используются. С их по-
помощью можно простым путем решать многие сложные задачи.
Наиболее просто и наглядно эти методы работают при решении
задач линейно-упругого де-
деформирования. Мы здесь
ограничимся именно этим
классом задач.
Сначала рассмотрим са-
самый простой случай — дефор-
деформацию прямого бруса посто-
Рис. 4.36 янного сечения F, статически
растянутого силами, приложенными к его концам (рис. 4.36).
Эти силы обозначим через 7V, как мы всегда обозначаем про-
продольную силу. Такое обозначение не вызовет недоразумений,
4.7
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ БРУСА
99
так как продольная сила в любом из сечений стрежня также
равна N. Под действием этих сил стержень удлинится на ве-
величину А/. При этом, поскольку нагружение статическое и де-
деформации происходят в пределах закона Гука, между силой N
и удлинением А/ сохраняется пропорциональная зависимость,
изображенная на рис. 4.37.
Так как деформация упруга, потерь
энергии не происходит. Поэтому работа
А, совершенная силой 7V, накопится в
стрежне в виде потенциальной энергии
деформации П, т.е. имеет место закон со-
сохранения энергии:
П = А.
D.7.1)
Рис. 4.37
Можно считать, что левый конец бру-
бруса закреплен, тогда работу А совершает
только сила 7V, приложенная к правому
концу бруса. Из курса физики известно, что работа А перемен-
переменной силы Р па прямолинейном пути х от точки xq до точки х\
равна интегралу от силы по этому пути, т.е.
XI
А= J P(x) dx.
В нашем случае работа А силы N на пути А/ запишется в виде
интеграла:
A= J Nd(Al).
D.7.2)
При линейной зависимости между силой и удлинением этот ин-
интеграл равен площади, заштрихованной на рис. 4.37, т.е.
А=^
D.7.3)
Поэтому при линейно-упругой деформации рассматриваемо-
рассматриваемого бруса в нем накопится потенциальная энергия деформации:
П = X-
= X-Nfl = l-Nexl.
D.7.4)
Для такого бруса закон Гука устанавливает пропорциональную
зависимость между N и А/,
N1
или
N
D.7.5)
100
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
Потенциальную энергию деформаций для него можно запи-
записать в одном из следующих видов:
П = ~
2 EF'
= 1-EFl[fJ=1-EFe2xl.
D.7.6)
D.7.7)
Рассмотрим теперь растяжение-сжатие произвольно нагру-
нагруженного бруса длиной /, например, показанного на рис. 4.1.
Разобьем этот брус на элементы длиной dx каждый. В каждом
элементе накопится потенциальная энергия деформаций dH. То-
Тогда общую потенциальную энергию
деформации бруса П можно найти в
N(x)+dN виде интеграла
N(x)
F(x)/
X
dx
П = J dU.
D.7.8)
Для того чтобы найти сШ, рассмо-
рассмотрим элемент бруса (рис. 4.38). Вви-
Рис. 4.38 ду малости длины элемента dx, с точ-
точностью до малых высшего порядка
можно считать продольную силу и площадь поперечного сече-
сечения постоянными по длине элемента и равными N(x) и F(x).
Тогда для вычисления накопленной в элементе потенциальной
энергии деформаций dU можно использовать одну из только что
построенных формул D.7.4), D.7.6) или D.7.7) с учетом, что
длина элемента равна dx. В итоге получим три различных вы-
выражения для П:
П = \
Nex
тт 1 Г N2 л
n=2J EF**,
i
H = \$EFe2xdx.
D.7.9)
D.7.10)
D.7.11)
Теперь легко подсчитать потенциальную энергию деформации
фермы как сумму энергий деформации составляющих ее стерж-
стержней. Если Ni — продольная сила в г-м стержне длиной \{ с жест-
жесткостью EiFij то в нем согласно D.7.6) накопится потенциальная
энергия деформации
П, = \Ш- D-7-12)
4.7
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ БРУСА
101
Общую потенциальную энергию деформации фермы найдем
как сумму энергий составляющих ее стержней:
4.7.2. Рассмотрим теперь вопрос об определении переме-
перемещений ферм. Для простых ферм (см. рис. 4.34) перемещение
узла может быть легко найдено из геометрических соображе-
соображений. Так, для фермы на рис. 4.34 перемещение А А' узла А рав-
равно удлинению 3-го стержня А/з- Оно может быть сразу найде-
найдено как АА' = А/з = N^l/EF. Для сложных же ферм также
можно найти перемещения узлов из геометрических соображе-
соображений. Однако реализовать такой подход даже для сравнительно
простой фермы из примера 4.2
(см. рис. 4.18) затруднительно.
Мы рассмотрим здесь общий ал-
алгоритм определения перемеще-
перемещений узлов ферм.
Пусть в стержнях некоторой
фермы (рис. 4.39), нагружен-
нагруженной силой Р, возникли усилия
Ni(P). Необходимо найти пере-
перемещение S узла С фермы в неко-
некотором направлении С С1'. Потен-
Потенциальная энергия, накопившаяся в стержнях фермы в резуль-
результате того, что нагрузка Р совершила работу А(Р), будет
D.7.14)
С
Рис. 4.39
Рассмотрим вспомогательное
состояние фермы, которое воз-
возникает в ней при нагруже-
нии ее единичной силой в на-
направлении искомого перемеще-
перемещения (рис. 4.40). Пусть N{A) —
продольные силы в стержнях
фермы от действия единичного
усилия. Единичная сила в процессе нагружения совершила ра-
работу АA), которая накопилась в стержнях в виде потенциальной
энергии деформации ПA), т.е.
-. D.7.15)
Рис. 4.40
Теперь рассмотрим следующее двухэтапное нагружение фер-
фермы. Сначала нагрузим ее единичной силой, а потом, не снимая
102 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
единичной силы, нагрузим ее силой Р. Усилия в стержнях фер-
фермы, возникшие в результате такого ее нагружения, обозначим
через Ni(l + Р), работу нагрузок — через АA + Р) и потенци-
потенциальную энергию деформации фермы — через ПA + Р). Ясно,
что
ПA + Р) = \ J2 [m(EFP/k = ^A + Р). D.7.16)
По принципу суперпозиции
Щ1 + Р) = Щ1) + ЩР). D.7.17)
Тогда из D.7.16) следует
¦ У Мг(Р)МгAIг 1
2J (EF) 2
471
(EF)i 2-J (EF)i 2^ (EF)i ' ^•i'LO>
i i i
Рассмотрим теперь подробнее работу АA + Р), совершенную
единичной и основной нагрузками. На первом этапе нагружения
единичная сила совершит работу АA), определенную формулой
D.7.15). На втором этапе нагружения сила Р совершит работу
А(Р) согласно формуле D.7.14). Но, кроме того, на втором эта-
этапе единичная сила, оставаясь постоянной, смещается вместе с
узлом С и переместится в направлении своего действия как раз
на величину искомого перемещения S. Поэтому на этом пути она
совершит работу 1 • 6. Таким образом,
АA + Р) = АA) + А(Р) + 1-6. D.7.19)
Сравнивая теперь слагаемые в правых частях выражений
D.7.18), D.7.19) и учитывая при этом равенства D.7.14) и
D.7.15), получаем, что
шшти. D.7.20)
Здесь Ni(l) = Ni(l)/1 — безразмерные единичные продольные
силы в стержнях. Их можно получить, определив усилия iVj(l) в
стержнях от единичной силы, приложенной в направлении иско-
искомого перемещения, и разделив размерность полученных усилий
на размерность силы. А можно сразу рассматривать единич-
единичную нагрузку как безразмерную «силу», определяя безразмер-
безразмерные продольные силы Ni(l) в стержнях по тем же правилам
и уравнениям, что используются при определении продольных
сил Ni(l).
При выводе формулы D.7.20) никак не использовались спе-
специфические свойства нагрузки Р (вид, место приложения, на-
направление). Просто Ni(P) рассматривались как продольные си-
4.7
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ БРУСА
103
2/
лы, возникшие в стержнях от внешней нагрузки. Ясно, что фор-
формула D.7.20) для определения перемещений от любой другой
внешней нагрузки не изменится, если под Ni(P) понимать про-
продольные силы, возникающие в стержнях от этой нагрузки.
В результате вычислений по формуле D.7.20) величина пе-
перемещения S может оказаться отрицательной. Это означает, что
последнее слагаемое в D.7.19) (т.е. работа единичной силы на
перемещении S) отрицательна. А это, в свою очередь, означа-
означает, что перемещение происходит против направления единичной
силы.
Изложенный метод вычисления перемещений называется ме-
методом Мора (см. п. 4.7.4), или методом единичной нагрузки.
Пример 4.9. Определим с помощью формулы D.7.20)
вертикальное перемещение узла А фермы, рассмотренной в при-
примере 4.2 и показанной на
рис. 4.18. Результаты вы-
вычислений удобно предста-
представить в форме табл. 4.1. Рас-
Рассмотрим случай, когда все
стержни выполнены из од-
одного материала и имеют
одинаковую площадь попе-
поперечного сечения F. Пятая
строка табл. 4.1 содержит
усилия Ni(l) в стержнях
фермы от приложенного в
узле А вертикального еди- Рис. 4.41
ничного усилия, соответ-
соответствующего искомому вертикальному перемещению этого узла
(рис. 4.41). Они определяются из решения следующих уравне-
уравнений равновесия для отсеченных частей, показанных на рис. 4.42.
Узел А (рис. 4.42 а)
ZPy = 0->-]Vi(l) -1 = 0,
? Рх = 0 -+ 7V2A) - JVi(l) cos a = 0.
Диск BCD (рис. 4.42 б)
= 0^ NDy(l) + N1(l)sina = 0,
= 0 -+ ~NDx(l)l - JVi(l)/cosa = 0,
D.7.21)
104
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
Узел D (рис. 4.42 в)
? Ру = 0 -> —J\T4A) sin/3 - JV^(l) = 0,
?Рж = о -> 7V5A) - 7V4(l)cos/3 -7V^ = 0.
в
NDy(l)\
a NiV)
Рис. 4.42
Суммируя результаты по шестой строке, получаем искомое
перемещение узла А:
Таблица 4.1
1. Номер стержня г
2. Длина стержня U
3. Продольная сила
от внешней нагруз-
4. Удлинение стерж-
5. Продольная сила
от единичной на-
нагрузки iVj(l)
6. Произведение
AhNi(l)
1
2,24/
-2,24Р
-2,24
2
2/
2Р
4rEF
2
3
/
-2Р
~2Жр
-2
4Жр
4
1,41/
1,41Р
2Жр
-1,41
5
/
Р
Р/
EF
3
4.7 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ БРУСА 105
4.7.3. При вычислениях в примере 4.9 выяснилась возмож-
возможность другой формы записи формулы D.7.20). Так как произ-
произведения Ni(P)li/(EF)i равны по D.4.12) удлинениям стержней
A/j, то вместо D.7.20) получаем следующую формулу для опре-
определения перемещений:
iNi{l). (АЛ.22)
Если не переходить к усилиям от безразмерной единичной
силы, то из равенства энергий
ПA + Р) =АA + Р) D.7.23)
получим, что
YliNi(l). D.7.24)
Это равенство означает, что на втором этапе нагружения работа
единичной силы на искомом перемещении S равна сумме работ,
которые совершают вызванные этой единичной силой продоль-
продольные силы Ni(l) на удлинениях Д/^, полученных стержнями си-
системы в процессе ее деформации от внешней нагрузки.
Просматривая с этой точки зрения вывод соотношения
D.7.24), читатель легко может убедиться, что оно не изменит-
изменится, если удлинения А/^ образуются не под действием нагрузки
Р, а в результате какого-либо другого внешнего воздействия,
например в результате нагрева. Это позволяет обобщить фор-
формулу D.7.22) на случай температурных удлинений и записать
ее в форме
^{? + А11)Щ1). D.7.25)
Но так как температурное удлинение Al\ = c^At^, то
8 = Y,(Al? + а{Аии)Щ1). D.7.26)
С помощью этой формулы легко подсчитывать перемещения
узлов статически определимых ферм, вызванные их нагревом.
Так как в таких фермах нагрев не изменяет усилий в стрежнях,
то вызванную нагревом часть 8* общего перемещения 8 можно
определить как
t YiAtiliNi(l). D.7.27)
Найдем, например, вертикальные перемещения узла А пока-
показанной на рис. 4.18 фермы, вызванные нагревом на температу-
температуру At 4-го и 5-го стержней. Из табл. 4.1 берем N±A) = —1,41,
106 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
Л/"бA) = 3. Тогда искомое перемещение
6г = аДгл/2/(-1,41) + aAtl • 3 = aAtl.
В статически неопределимых фермах, как это видно из при-
примеров 4.7, 4.8 и как показано в п. 4.6.3, нагрев обычно изменяет
усилия в стержнях и формула D.7.27) неприменима. Переме-
Перемещения в таких фермах от нагрева необходимо подсчитывать по
формуле D.7.26). Возможные упрощения расчетов по этой фор-
формуле будут даны в гл. 9 при обсуждении общих методов решения
статически неопределимых систем.
4.7.4К. Формула D.7.20) впервые была получена в 1864 г. Д. Максвел-
Максвеллом, который широко известен как создатель уравнений электромагнитного
поля. Она была получена из геометрических соображений. Работа Д. Мак-
Максвелла, в которой был сформулирован метод расчета ферм, была написана
в абстрактной форме без чертежей и примеров и, видимо, по этой причине,
осталась незамеченной инженерами. Десять лет спустя эту формулу зано-
заново открыл О. Мор. В основу своих рассуждений О. Мор положил принцип
возможных перемещении и на его основе пришел к равенству D.7.24). При-
Приведенный нами вывод формулы D.7.20) близок к данному О. Мором. В нем
также использовано понятие потенциальной энергии деформации фермы,
которое стало широко применяться после работ Л. Менабреа и А. Касти-
лиано. Последний в 1879 г. получил формулу D.7.20) из условия минимума
потенциальной энергии деформаций. Подробнее этот подход будет рассмо-
рассмотрен в гл. 9.
4.8. Напряжения в непоперечных сечениях бруса при
центральном растяжении—сжатии
4.8.1. Изучим подробнее напряженное состояние бруса при
центральном растяжении-сжатии. В поперечных сечениях тако-
такого бруса, как это по-
F ox=N/F казано в п. 4.3.2, воз-
г^п \ *^« ^^Ш ла никнут равномерно рас-
™ 1^"~" \ ^™ """^ ^ _^ пределенные по площа-
х ди f поперечного се-
сечения нормальные на-
напряжения ах = N/F
(рис. 4.43). Найдем на-
напряжения, действующие
в сечении бруса Fai нормаль к которому п направлена под уг-
углом а к оси х (рис. 4.43). Для этого рассмотрим левую отсечен-
отсеченную часть бруса (рис. 4.44). Полные напряжения р в сечении Fa
также равномерно распределены по сечению. Из условия равно-
равновесия отсеченной части бруса ^ Рх = 0 получаем
-axF+pFa = 0. D.8.1)
V
4.8
НАПРЯЖЕНИЯ В НЕПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ БРУСА
107
Отсюда, учитывая, что Fa = F/ cos а, следует, что
р = ах cos а.
D.8.2)
Разложим полное напряжение р на нормальное ап и касатель-
касательное тп. Из рис. 4.45 видно, что
ап = р cos а, тп = р sin a. D.8.3)
Отсюда, учитывая D.82), получа-
получаем
ап = ax cos a,
= ax cos a sin a = -сгж sin 2a.
N T~
F/cosa
D.8.4)
Рис. 4.44
Из этих формул, с учетом свойств
тригонометрических функций cos а и sin a, можно сделать сле-
следующие выводы.
1. Максимальные нормальные напряжения равны ах и дей-
действуют в поперечных сечениях бруса.
2. Касательные напряжения
во взаимно перпендикулярных
сечениях равны по абсолютной
величине, т.е.
Рис. 4.45
Анализируя направления
касательных напряжений на
взаимно перпендикулярных пло-
площадках (рис. 4.46), приходим
к выводу, что они направлены одновременно либо к линии пере-
пересечения этих площадок (рис. 4.46 а), либо от нее (рис. 4.46 б).
Рис. 4.46
Это свойство, как мы уже знаем, называется свойством пар-
парности касательных напряжений. Как мы увидим в дальней-
дальнейшем, оно характерно не только для растяжения-сжатия, но и
для любого напряженного состояния.
108 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
3. При растяжении-сжатии касательные напряжения дости-
достигают своего максимального значения в сечениях, расположен-
расположенных под углом 45° к оси бруса (см. формулу D.8.4)), т.е. при
а = 45°:
тах|тп(а)| = -ax max | sin2a\ = ^.
Появление линий Людерса-Чернова при растяжении пластич-
пластичных образцов (см. п. 3.2.5) как раз и связано со скольжением
материала по поверхностям, в которых действуют максималь-
максимальные касательные напряжения.
Этим же объясняется и характер разрушения хрупких об-
образов при сжатии (см. п. 3.2.5), когда сжимающие нормальные
напряжения не могут быть причиной разрушения. Поэтому раз-
разрушение происходит по плоскостям действия максимальных ка-
касательных напряжений.
4.9. Расчет на прочность при центральном
р ас тя лее н и и—с жат и и
4.9.1. В итоге длительного опыта расчетов самых различ-
различных конструкций на прочность установилась такая их форма,
которую принято называть расчетом на прочность по допускае-
допускаемым напряжениям. Наиболее простой вид эта форма расчета на
прочность имеет для такого элементарного напряженного состо-
состояния бруса, как центральное растяжение-сжатие, которое непо-
непосредственно моделируется в образцах при испытаниях материа-
материалов на растяжение-сжатие (см. гл. 3). В этом случае конструк-
конструкция считается прочной, если нормальные напряжения ах в ее
поперечных сечениях удовлетворяют основному условию проч-
прочности:
-Мс ^ °х <, МР- D.9.1)
Здесь [сг]р и [а]с — допускаемые напряжения на растяжение и
сжатие. Знак « —» в D.9.1) учитывает, что допускаемые напря-
напряжения на сжатие [<т]с принято брать по абсолютной величине.
Допускаемое напряжение определяется как
И = ^р D-9.2)
Здесь егдред — предельное напряжение; [п] — коэффициент за-
запаса.
Предельное напряжение выбирается в зависимости от мате-
материала и требований к конструкции. Если конструкция выполне-
выполнена из пластичного материала и в ней недопустимы пластичные
деформации, то в качестве апред выбирают ат. Для конструкций
из хрупкого материала <тПред = <тв. Если конструкция и деталь
4.9 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ 109
работает в условиях циклически меняющихся нагрузок, то до-
допускаемые напряжения выбираются на основе предела выносли-
выносливости. Эти вопросы подробно будут рассмотрены в гл. 15.
Величина коэффициента запаса [п] нормируется, т.е. опреде-
определяется нормативными документами, которые различны в раз-
разных отраслях промышленности. Например, в авиации это «Нор-
«Нормы прочности», в строительстве — «Строительные нормы и пра-
правила» (СНИП) и т.д. Поскольку к конструкциям предъявляются
самые различные требования при их эксплуатации, то введение
каких-либо единых норм по прочности не имеет смысла. Но во
всех отраслевых нормах прочности при выборе коэффициента
запаса обязательно учитывают следующие три фактора:
1. Степень неточности в определении нагрузок на конструк-
конструкцию и напряжений в ней. Чем выше эта неточность, тем больше
величина коэффициента запаса.
2. Степень разброса в механических характеристиках мате-
материалов, которая даже в одной партии материала может дости-
достигать 10%.
3. Степень ответственности конструкции (или ее детали). В
авиации, например, коэффициент запаса принимается в преде-
пределах от 1,3 до 2,0. Такие сравнительно малые величины коэф-
коэффициентов запаса определяются жесткими ограничениями по
массе конструкции. В связи с высокой ответственностью кон-
конструкций в авиации при расчете нагрузок и напряжений приме-
применяются методы расчета, обеспечивающие высокую точность их
определения. Кроме того, предусмотрено обязательное проведе-
проведение испытаний с целью установления фактической прочности
отдельных узлов и целых летательных аппаратов, а также тща-
тщательный контроль за состоянием конструкции в процессе экс-
эксплуатации. Более подробно эти вопросы освещаются в курсах
расчета на прочность самолета и т.п.
4.9.2. Основное условие прочности D.9.1) можно заменить
двумя эквивалентными ему условиями:
СГр max ^ Мр, |<7с|тах ^ Мс- D.9.3)
Здесь сгр тах и |сгс|тах — максимальные растягивающие и сжи-
сжимающие (по абсолютной величине) напряжения. Сечения (или
точки сечений), в которых эти напряжения действуют, называ-
называются опасными или расчетными сечениями (или точками).
Различают следующие виды расчета на прочность.
1. Поверочный расчет. Часто размеры конструкции полно-
полностью определены конструктивными и технологическими сообра-
соображениями, а нагрузки — условиями работы конструкции. То-
Тогда расчет сводится к проверке выполнения условий прочно-
прочности D.9.1) или D.9.3). При таком расчете обычно подсчитывают
фактический запас прочности конструкции п как минимальный
110 ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА ГЛ. 4
из двух величин:
п = min
I СГпред р СГпред с I /^ g
I СГр max |CTc|max I
Ясно, что конструкция удовлетворяет условиям прочности,
если п ^ [п].
2. Проектировочный расчет. На определенном этапе про-
проектирования конструкции наступает момент, когда известны
основные размеры конструкции и действующие на нее нагрузки.
Тогда часть неопределенных еще размеров (обычно это размеры
поперечных сечений элементов конструкции) можно определить
из условий прочности элементов. Такой расчет называют проек-
проектировочным.
Так, при проектировании статически определимой фермы
продольные силы Ni в ее стержнях могут быть определены из
геометрии фермы и действующих нагрузок. Тогда площади по-
поперечных сечений стержней можно найти из условий прочности.
Для растянутых стержней эти условия примут вид
а% = тг ^ [а]р- D9-5)
Отсюда заключаем, что конструкция будет прочной, если
F > Ni = F (A Q (\)
-*- г ^ г и -*- г потр? y-t.u.yjj
LaJp
где Fi потр — минимальная потребная из условий прочности пло-
площадь сечения стержня. Аналогично определяют и площадь по-
поперечных сечений сжатых стержней 1).
Обычно стержни и другие элементы конструкций изготав-
изготавливают из имеющихся в наличии полуфабрикатов, таких как
прутки, трубы, уголки, швеллеры, двутавры и т.п. Тогда усло-
условие D.9.6) является для конструктора ориентиром, позволяю-
позволяющим выбрать конкретный размер полуфабриката из имеющейся
номенклатуры.
3. Расчет допускаемой нагрузки. Часто поверочный расчет
проводят в несколько видоизмененной форме. А именно, опре-
определяют такую нагрузку на конструкцию, при которой фактиче-
фактический запас прочности конструкции равен коэффициенту запаса
[п]. Такую нагрузку называют допускаемой.
Возможны и другие виды расчета на прочность.
) Следует обратить внимание на то, что сжатые элементы конструкций
могут потерять устойчивость. Особенно часто это происходит в тонкостен-
тонкостенных конструкциях. Поэтому для них определяющим является не условие
прочности, а условие устойчивости. Подробнее эти вопросы будут рассмо-
рассмотрены в гл. 12.
В.4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 111
В.4. Контрольные вопросы
8.4.1. Какое напряженно-деформированное состояние бру-
бруса называется центральным растяжением-сжатием? При каких
внешних нагрузках оно возникает?
8.4.2. Связан ли знак продольной силы N с направлением
оси х бруса? В каком случае продольная сила считается поло-
положительной?
8.4.3. Как связана продольная сила N с интенсивностью
нагрузки дис сосредоточенной силой Р?
8.4.4. Какой характер деформации бруса предполагается
гипотезой плоских сечений?
8.4.5. Как связано относительное удлинение е с перемеще-
перемещением и поперечного сечения бруса и с абсолютным удлинением
А/ его конечного участка?
8.4.6. Как распределяются нормальные напряжения ах
по поперечному сечению бруса при центральном растяжении-
сжатии? Как их вычислить?
8.4.7. Приведите две формы записи закона Гука (связь
между е и а и между А/ и N).
8.4.8. Что необходимо сделать (и это будет достаточным)
для определения продольных сил в сечениях статически опре-
определимой конструкции?
8.4.9. Что необходимо рассмотреть (помимо условий рав-
равновесия) для решения статически неопределимой системы?
8.4.10. В чем разница записи относительного удлинения е
для ненагретого и нагретого брусьев?
8.4.11. Сказывается ли нагрев нагруженных статически
определимых систем на величинах возникающих в них продоль-
продольных сил?
8.4.12. В какой форме выражается закон сохранения энер-
энергии при деформации бруса? Как выглядит это выражение в рам-
рамках закона Гука?
8.4.13. В чем состоит идея метода Мора (метода единичной
нагрузки) определения перемещений?
8.4.14. Почему формулу для определения перемещений,
вызванных только нагревом, 5f = ^a^At^TV^(l), нельзя при-
г
менять в статически неопределимых фермах?
8.4.15. В каких сечениях бруса при центральном растяже-
растяжении-сжатии действуют максимальные нормальные и касатель-
касательные напряжения?
8.4.16. Как записать условие прочности конструкции при
р астяжении-сжатии ?
8.4.17. Что такое допускаемое напряжение?
112
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
У//////А
8.4.18. Как выбираются предельные напряжения?
8.4.19. Какие факторы обязательно учитываются при вы-
выборе коэффициента запаса?
8.4.20. В чем разница между фактическим запасом проч-
прочности и коэффициентом запаса конструкции?
3.4. Задачи
3.4.1. На ферму (рис. 4.47) действует груз Р и вес диска ВС
G = -Р (вес считать сосредоточенным в середине диска). Опре-
Определить допускаемую величи-
величину груза Рдоп, считая задан-
заданными параметр площади по-
поперечного сечения F и допус-
допускаемое напряжение [а]р (ма-
(материал всех стержней одина-
одинаковый). При найденном зна-
значении Рдоп определить вер-
вертикальное перемещение узла
А (модуль упругости Е и раз-
размер / считать заданными).
Насколько изменится это пе-
перемещение, если подкос BE
нагреть на At°C (коэф-
(коэффициент линейного рас-
расширения а задан)?
3.4.2. Для ступенча-
ступенчатого бруса, нагруженно-
нагруженного внешними силами, как
показано на рис. 4.48, по-
построить эпюры 7V, а, ?,
и. Считая заданными д,
/, Е, F, сго,2, определить
запас прочности п и пе-
перемещение щ сечения 3.
3.4.3. Определить про-
продольные усилия и нор-
нормальные напряжения в
горизонтальном и наклон-
наклонном стержнях конструкции
(рис. 4.49), нагруженной ука-
указанными силами, построив
при этом для горизон-
горизонтального стержня эпюры
7V, <т, ?, и. Будет ли про-
Ф)
Рис. 4.48
Рис. 4.49
3.4
ЗАДАЧИ
113
Рис. 4.50
дольное перемещение правого конца этого стержня равно
полному перемещению узла С? Все величины, указанные на
рисунке, считать заданными.
3.4.4. Для фермы, показанной на рис.
4.50, найти полное перемещение узла С
(Р, /, Е, F считать заданными). На какую
температуру At°C надо нагреть нижний
и охладить верхний стержни, чтобы в ре-
результате совместного действия силы Р и
температуры At перемещение узла С ока-
оказалось равным нулю? Коэффициент ли-
линейного расширения материала стержней
а задан.
3.4.5. Из условия прочности кон-
конструкции (рис. 4.51) определить мини-
минимальное значение параметра F, кото-
которым заданы площади поперечных сече-
сечений стержней AD и CD (q, /, Е, [а]р > [а]с
считать заданными). Используя получен-
полученное значение Р, опреде-
определить перемещение узла С.
Считать элемент ЕАВС
абсолютно жестким диском.
Сняв внешнюю нагрузку, на-
нагреть стержень AD на At°C
и определить температурные
напряжения в стержнях
(коэффициент линейного
расширения а задан).
3.4.6. Стальной стер-
стержень находится внутри дю-
дюралевой трубы (рис. 4.52).
Какую часть внешней си-
силы Р воспринимают сталь-
стальной и дюралевый элементы
конструкции, жесткости на
сжатие которых равны ECFC
и E^F^ соответственно? Счи-
Считая заданными Р, / и жестко-
жесткости, определить продольную
деформацию конструкции.
3.4.7. Горизонтальный
стержень оказался короче Рис- 4-52
нужной для сборки длины на величину г (рис. 4.53). Опреде-
Определить максимально возможную величину г, при которой мож-
Рис. 4.51
Дюраль
ErFr
114
ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ БРУСА
ГЛ. 4
но еще смонтировать конструкцию, удовлетворяющую условию
прочности. Считать заданными Е, F, /, [а]р = [а]с = [а].
Рис. 4.53
IF
I
Рис. 4.54
3.4.8. На какую температуру At[°C] надо нагреть горизон-
горизонтальный брус (рис. 4.54), чтобы собрать конструкцию? Вычис-
Вычислить максимальные монтажные напряжения в собранной кон-
конструкции, которые возникнут после охлаждения горизонталь-
горизонтального бруса до исходной температуры. Принять г = 0,5 мм, / =
= 500 мм, а = 1Q-5 град, Е = 2 • 105 МПа.
ГЛАВА 5
р
ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ И
ЧИСТЫЙ СДВИГ
Напряженное состояние,
которое возникает в пластине,
нагруженной в ее плоскости,
называют плоским напряжен-
напряженным состоянием. Для нас сей-
сейчас интересен частный случай
плоского напряженного состоя-
состояния прямоугольной пластины
толщины E, нагруженной рав-
равномерно распределенными по
площадям ее кромок нор-
нормальными нагрузками qx и
qy (рис. 5.1). Такое состояние
пластины называется двухосным растяжением-сжатием.
5.1. Напряженное состояние
при двухосном растяжении—сжатии
5.1.1. Равномерность распределения нагрузок по кромкам
позволяет рассмотреть двухосное растяжение-сжатие как супер-
суперпозицию (наложение) состояний растяжения-сжатия по осям х
и у. Рассматривая отсеченные части, образованные нормальны-
нормальными к осям хну сечениями /-/ и 11-11 (рис. 5.2) и учитывая
равномерность деформаций, нетрудно заключить, что
°х = Чх и оу = qy. E.1.1)
Найдем теперь напряжения в сечении, которое нормально к
плоскости пластины и нормаль к которому п составляет угол а
с осью х. На рис. 5.1 это сечение АА. Для этого тремя сечения-
сечениями (АА, 1-1 ж II-II) выделим из пластины треугольный элемент
BCD, заштрихованный на рис. 5.1, и рассмотрим его равнове-
116
ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ
ГЛ. 5
сие. Этот элемент с действующими на него усилиями показан
на рис. 5.3. Площадь грани CD обозначим через Fn , а площади
1
i
1
T
Л
¦tttmt'
\\W\\\Y
i
tttttfttttttt
Рис. 5.2
граней ВС и BD — через Fx и Fy соответственно. Ясно, что
Fx = Fncosa, Fy = Fnsina. E.1.2)
На грани SG действуют напря-
Чжения ах, равномерно распределен-
распределенные по площади грани. Поэтому им
соответствует равнодействующее уси-
усилие cxFx. Точно также напряжениям
ау, действующим на грани BD, со-
соответствует равнодействующее усилие
<JyFy. На грани CD возникают инте-
интересующие нас нормальные ап и каса-
касательные rnt напряжения. Соответству-
Соответствующие им усилия равны onFn и rntFn.
Чтобы получить ап и rnt, рассмотрим
условия равновесия элемента в виде
сумм проекций на оси nut действу-
действующих на него сил:
x cos a - (jyFy sin a = О,
+ crxFx sin a - ayFy cos a = 0.
E.1.3)
Отсюда, используя соотношения E.1.2), после сокращения на
Fn получаем
= ах cos a + Oy sin a,
^ = (сг7/ — Or) sin a cos a = ау ^ аж sin 2a.
E.1.4)
Эти формулы позволяют найти напряжения в произвольном,
нормальном к плоскости пластины сечении. Читатель может
5.2
ЧИСТЫЙ СДВИГ
117
легко получить их также и другим путем, рассматривая двух-
двухосное растяжение-сжатие как суперпозицию двух таких одноос-
одноосных состояний и используя формулы D.8.4) для них. Различие
в знаках для т в D.8.4) и E.1.4) объясняется различием в их
направлениях.
5.1.2. Так как |sin2a| = | sin[2(a + 90°)]|, то из формул
E.1.4) сразу следует, что касательные напряжения в двух вза-
взаимно перпендикулярных сечениях равны
Ы(а)\ = \тпг(а + 90°)\. E.1.5)
Анализируя их направления, приходим к двум возможным
случаям, показанным на рис. 5.4. Таким образом, как и в случае
Рис. 5.4
одноосного растяжения-сжатия, мы пришли к свойству парно-
парности касательных напряжений. В этом нет ничего удивительного,
так как, если свойство парности существует для каждого из од-
одноосных растяжений-сжатий, то оно, конечно, сохраняется и в
их суперпозиции.
5.2. Чистый сдвиг
5.2.1. Особый интерес представляет такое напряженное со-
состояние пластины, когда она в одном направлении растянута, а
в другом сжата одинаковыми по величине напряжениями, т.е.
когда
ах = а, оу = -а. E.2.1)
Тогда в произвольных сечениях возникнут напряжения, которые
в соответствии с формулами E.1.4) будут
ап = a cos 2a,
Tnt — ~~ crsm2a.
E.2.2)
В площадках, расположенных под углом ±45° к осям ж и у, ка-
касательные напряжения оказываются максимальными и равны-
равными <т, а нормальные напряжения равны нулю. Напряжения в
таких сечениях показаны на рис. 5.5. Из него видно, что для
118
ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ
ГЛ. 5
выделенного сечениями под углом 45° прямоугольного элемен-
элемента пластины реализуется напряженное состояние, соответству-
соответствующее второй элементарной деформации — сдвигу (см. п. 3.1.2)
и создаваемое в эксперимен-
экспериментах при испытании материалов
на сдвиг (разд. 3.5). Такое на-
напряженное состояние называ-
^ ют чистым сдвигом.
5.2.2. Как следует из
экспериментов, в пределах
линейно-упругих деформаций
при чистом сдвиге касательное
напряжение г и деформация
-^ сдвига 7 связаны законом
Гука:
т = Gj. E.2.3)
На рис. 5.6 пунктиром
р 5 5 показано деформированное
состояние элемента пластины
при чистом сдвиге. В этом элементе при упругих деформациях
накопится потенциальная энергия деформации сШт, равная ра-
работе деформирующей силы т dx • S на пути А = j dy (напомним,
что 6 — толщина пластины):
dHT = -т dx • #7 dy = -rj5 dx dy.
E.2.4)
Как и ранее в гл. 4 (см. п. 4.7.1), множитель - учитывает,
что при линейно-упругих деформациях в соответствии с зако-
законом Гука E.2.3) сила пропорциональ-
пропорциональна пути.
Получим удельную энергию де-
деформации чистого сдвига UT1 т.е.
энергию деформации в единице объ-
объема. Для этого энергию деформации
в элементе dHT нужно разделить на
объем элемента dV = dxdy • 5:
У
/
/
/
/
/
/
т
dx
dy
A=y-dy
U
UT = dUT/dV = ^
E.2.5)
Рис- 5-6 Закон Гука E.2.3) позволяет выра-
выразить UT как через напряжение т, так и через сдвиг 7:
UT = ~ или UT = -(
E.2.6)
5.3
ЗАКОН ГУКА. СВЯЗЬ МЕЖДУ Е, G И ц
119
5.3. Закон Гука при двухосном растяжении—сжатии.
Связь между модулями упругости Е и G и
коэффициентом Пуассона /х
5.3.1. Взгляд на двухосное растяжение-сжатие как супер-
суперпозицию двух одноосных состояний (рис. 5.7) позволяет обоб-
обобщить на него и закон Гука.
Пусть ех и еу — относительные удлинения или удлинения
сторон единичного квадрата при двухосном растяжении-сжатии.
На рис. 5.7 деформиро-
деформированные состояния такого
квадрата показаны пунк-
пунктиром. В состоянии од-
одноосного растяжения на- —| *
т
1
i
1 \
1\
гу = <5у/Е
пряжениями ах его гори-
горизонтальная сторона (в на-
направлении х) удлинится
на величину ех = <JX/E1 Рис- 5-7
а вертикальная сторона вследствие эффекта Пуассона укоро-
A)
тится на еу = —
р
=
. В состоянии же одноосного
растяжения под действием напряжении ау вертикальная сторо-
сторона квадрата получит удлинение еу = сгу/Е, а горизонтальная в
силу эффекта Пуассона укоротится на ех — —ЦЕу = —\iGyjE.
Тогда при одновременном действии ах и ау получим удлинения:
^Ьх - Е V Е,
— A1) _l А2) — _л^?. -L ?JL
~ЬУ ^ЬУ ~ ^ Е ^ Е'
E.3.1)
Отсюда сразу следуют формулы закона Гука при двухосном
растяжении-сжатии изотропного материала:
_ J.
?y = U
E.3.2)
Рассматривая эти соотношения как уравнения с неизвестными
ах и ау, нетрудно выразить напряжения через деформации:
(Ух =
(У it =
Е
\ех +
Е
E.3.3)
5.3.2. Теперь найдем потенциальную энергию деформации
-, накопившуюся в единичном квадрате при его деформации.
120
ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ
ГЛ. 5
Ее можно подсчитать как работу деформирующих квадрат уси-
усилий ах • 1 • 5 и ау • 1 • 5 (S — толщина квадрата, а 1 • S — площадь
его боковых граней) на путях ех • 1 и еу • 1. Связь между силами
и их путями определяется законом Гука, поэтому
= -ах
15ет
I5ev
1 =
1,
OyEy) • 1 • 1 • 6. E.3.4)
Так как объем единичного квадрата V = 1
потенциальная энергия деформаций
удельная
E.3.5)
Используя закон Гука в форме E.3.2) или E.3.3), можно лег-
легко найти выражения Ua через напряжения или через деформа-
деформации:
U — —{о1 — 2ист а + <т2) E 3 6)
Ua = 2A^D + 2^еу + ?*)• E.3.7)
5.3.3. К настоящему моменту мы знаем три константы, ха-
характеризующие линейно-упругую деформацию изотропного ма-
материала. Это модули упругости Е и G при растяжении и сдви-
сдвиге, а также коэффициент Пуассона \i. Возникает вопрос: нет ли
между этими константами каких-либо связей? Наличие таких
связей могло бы упростить экспериментальное определение кон-
констант. Покажем, что такая
связь существует.
Сначала обратим внимание
читателя на то, что потен-
потенциальная энергия деформации
является величиной скаляр-
скалярной. Поэтому для таких одно-
одноух родных напряженных состоя-
состояний, как двухосное растяжение
или чистый сдвиг, величина
потенциальной энергии дефор-
деформации, накопившейся в неко-
некоторой части пластины, зависит
только от площади этой части,
а не от ее формы или ори-
ориентации. Действительно, П^ в
части пластины F\ (рис. 5.8)
можно подсчитать как сумму (интеграл) элементарных энергий
сЩя-, накопившихся в составляющих эту часть пластины элемен-
Рис. 5.8
5.3
ЗАКОН ГУКА. СВЯЗЬ МЕЖДУ Е, G И ц
121
тарных объемах dV = SdF, т.е.
П^= f dUa.
Используя удельную энергию деформации Uai нетрудно полу-
получить, что
dUa = Ua dV = UaS dF.
Следовательно,
П^= JuaSdF.
Но так как напряженное состояние однородно, то Ua не зависит
от положения выделенного элемента dF. Поэтому
Из этого, в частности, следует, что потенциальные энергии де-
деформации в единичных квадратах, показанных на рис. 5.9, рав-
равны. Для квадрата «а» при ах = а и ау = —а по формуле E.3.6)
получим
Квадрат «5», как это показано в п. 5.2.1, в этом частном
случае двухосного растяжения-сжатия находится в состоянии
чистого сдвига под действием
касательных напряжении т =
= о. Тогда по E.2.6) имеем
Пт = UT6 • 1 • 1 =
-1 2 1 2
E.3.9) —
Теперь ввиду равенства для
этого случая П^ и Пт, сравни-
сравнивая E.3.8) и E.3.9), легко по-
получаем
<jv= -a
Этот же результат можно Рис- 5.9
получить и чисто геометриче-
геометрически, связав деформации диагоналей квадрата «5» (рис. 5.9) ех
и Еу с его деформациями сдвига. Подробно с таким выводом
можно ознакомиться, например, в [3].
122
ДВУХОСНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ
ГЛ. 5
5.3.4К. Следует сказать, что вопрос о количестве независимых кон-
констант, характеризующих упругое поведение материала, был предметом дли-
длительной дискуссии в XIX веке. Вслед за С. Пуассоном все ведущие ученые
французской школы механиков — Л. Навье, О. Коши, Д. Ламе, Б. Клапей-
Клапейрон и др. — считали, что упругие свойства изотропного тела определяются
одной константой, а коэффициент Пуассона независимо от материала все-
всегда равен 1/4. Английский ученый Джордж Грин A793—1841), впервые в
явной форме отказавшийся от молекулярного подхода и рассматривавший
деформируемое тело как сплошную среду, пришел к выводу, что упругое
поведение изотропного материала должно характеризоваться двумя неза-
независимыми константами. Дальнейшие многочисленные экспериментальные
исследования, проводившиеся многими учеными, подтвердили точку зре-
зрения Д. Грина.
В.5. Контрольные вопросы
8.5.1. Какое напряженное состояние называется чистым
сдвигом? Как реализовать такое состояние в пластине, нагру-
нагруженной в ее плоскости?
8.5.2. Какую форму принимает закон Гука при чистом
сдвиге?
8.5.3. Какую форму принимает закон Гука при двухосном
р астяжении-сжатии ?
8.5.4. Зависит ли потенциальная энергия деформации эле-
элемента, находящегося в однородном плоском напряженном состо-
состоянии, от его формы в плоскости пластины, или она определяется
только площадью элемента в этой плоскости?
8.5.5. Как связаны между собой упругие константы Е, G и
\i изотропного материала?
3.5. Задачи
в
Рис. 5.10
3.5.1. Вычислить нормаль-
нормальные и касательные напряжения
в диагональном нормальном се-
сечении АВ (рис. 5.10) нагружен-
нагруженной в своей плоскости тонкой
квадратной пластины. Показать,
что касательные напряжения в
этом сечении будут максималь-
максимальными.
3.5.2. При каких направле-
направлениях и значениях ах и ау в задаче
5.1 касательные напряжения во
всех нормальных сечениях пла-
пластины будут равны нулю? Чему
равны при этом нормальные на-
напряжения в этих сечениях?
3.5
ЗАДАЧИ
123
В
3.5.3. По граням элемента ABC', выделенного из тонкой
квадратной пластины, действуют касательные напряжения, рав-
равные т (рис. 5.11). В каких нормальных к
плоскости элемента сечениях касательные на-
напряжения равны нулю? Чему равны нор-
нормальные напряжения в этих сечениях?
3.5.4. Вычислить относительные удлине-
удлинение и укорочение диагоналей элемента в зада-
задаче 5.3, если для материала пластины заданы
его упругие постоянные Е и /i.
3.5.5. Покажите, что отношение относи-
относительного сдвига 7 в плоскости элемента ABC',
рассмотренного в задачах 5.3 и 5.4, к относительному удлине-
удлинению диагонали АС ?ас-> вычисленному в задаче 5.4, равно двум.
Рис. 5.11
D
ГЛАВА 6
КРУЧЕНИЕ
Рис. 6.1
Если в поперечных сечениях бруса под действием внешних
нагрузок из шести возможных внутренних силовых факторов
возникает только крутящий момент, то такое напряженно-де-
напряженно-деформированное состояние
т(х) /т\ м .... бруса называют кручением.
В брусе с прямой осью
кручение создается только
при действии на него момен-
моментов (пар сил), плоскости дей-
действия которых перпендику-
перпендикулярны оси бруса (рис. 6.1).
В этом легко убедиться, рас-
рассматривая условия равнове-
равновесия отсеченных частей бруса.
Внешние моменты, вызываю-
вызывающие кручение, в отличие от крутящего момента называют скру-
скручивающими моментами. На рис. 6.1 при изображении фрон-
фронтальных проекций пар сил,
соответствующих этим мо-
моментам, принято, что сила,
показанная знаком Q, на-
направлена на нас, а знаком
0 — от нас (рис. 6.2). Зна-
Знаками • и + показано направ-
направление погонного скручиваю-
скручивающего момента с интенсивностью т(х). (Подобные обозначения
употребляются в электротехнике для указания направлений то-
токов, перпендикулярных плоскости чертежа.)
Для крутящих моментов принято следующее правило знаков:
крутящий момент положителен, если со стороны внеш-
внешней нормали к сечению видно, что он поворачивает отсеченную
часть против часовой стрелки.
О
— со —
0
Ф
— со —
Рис. 6.2
6.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ
125
Это правило проиллюстрировано на рис. 6.3 как в изомет-
изометрическом изображении, так и в проекции бруса на плоскость
рисунка.
Mk>0
Рис. 6.3
Перейдем теперь к анализу напряженно-деформированного
состояния бруса при кручении. При этом мы будем, насколько
возможно, придерживаться последовательности, в которой та-
такой анализ проводился для центрального растяжения-сжатия в
гл. 4.
6.1. Статические дифференциальные и интегральные
соотношения при кручении
Мк (х + dx) « Мк (х) + dMk
6.1.1. Рассмотрим сначала равновесие показанного на
рис. 6.4 элемента, выделенного из бруса сечениями х и x + dx. На
него действует погонный момент,
интенсивность которого в виду
малости dx можно принять посто-
постоянной по длине элемента и рав-
равной т(х). Тогда равнодействую-
равнодействующая этого распределенного мо-
момента равна т(х) dx. Отброшен-
Отброшенные левая и правая отсеченные
части бруса действуют на элемент
крутящими моментами Мк(х) и
Мк (х + dx) « Мк (х) + dMk. Соста-
Составляя условие равновесия элемен-
элемента как равенство нулю суммы дей- Рис- 6.4
ствующих на него моментов относительно оси бруса ж, получаем
= -Мк(х) + (Мк(х) + dMk) + m(x) dx = 0.
126
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
Отсюда сразу следует
dMk
dx
= —mix)
F.1.1)
М
dx
k
&
Это и есть статическая
Мк дифференциальная зави-
зависимость при кручении.
Она аналогична зависимос-
зависимости dN I dx = — q при рас-
растяжении-сжатии, а значки
«—>>» и « ' » подчеркивают
положительные направле-
направления оси х и интенсивности
т(хI принятые при ее
выводе.
Рассмотрим элемент,
выделенный двумя сече-
сечениями, близкими к сечению, где приложен внешний момент М
(рис. 6.5). Из условий его равновесия получаем
dx
Рис. 6.5
Мх = 0 -+ М? - М~ = -М.
F.1.2)
Это соотношение аналогично полученному в гл. 4 выражению
D.1.3). Оно показывает, что в
©Mi М2ф
Рис. 6.6
окрестности сечения, где прило-
приложен сосредоточенный скручиваю-
скручивающий момент М, крутящий момент
М& меняется скачком. Вид эпюры
вблизи таких сечений показан
на рис. 6.6.
6.1.2. Рассмотрим теперь рав-
равновесие конечной части бруса, вы-
выделенной из него сечениями х\ и
Х2 (рис. 6.7). Из условия ее равно-
равновесия ^2 Мх = 0 получаем
Мк(х2) = Mk(xi) — i m(x) dx —
F.1.3)
X\
Второе слагаемое в правой части этого соотношения является
равнодействующим моментом распределенного момента т(хI
приложенного к рассматриваемой отсеченной части. А третье
слагаемое составляет сумму сосредоточенных моментов на от-
отсеченной части. Выражение F.1.3) является общим решением
дифференциального уравнения F.1.1) с учетом скачков, опре-
определенных соотношениями вида F.1.2). Это нетрудно доказать,
6.2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
127
продифференцировав F.1.3) по ж 2 точно так же, как это было
сделано с аналогичным выражением D.1.5) при рассмотрении
растяжения-сжатия (см. п. 4.1.4).
Выражения F.1.1)—
) Мк(хх) М М2
()
F.1.3) вместе с условиями
отсутствия в брусе при
кручении продольных и
перерезывающих сил, а
также изгибающих момен-
моментов являются для случая
кручения бруса частным
видом общих соотношений
B.1.11)-B.1.15).
т(х)
Q
Рис. 6.7
6.2. Геометрические дифференциальные и
интегральные соотношения
6.2.1. Рассмотрим деформацию прямого бруса при круче-
кручении. Для нее характерно, что сечения бруса поворачиваются от-
относительно некоторой продольной оси, а сама эта ось остается
прямолинейной. Обозначим угол поворота сечения с координа-
координатой х через (f(x). Будем считать, что он положителен, если на
боковой проекции бруса верхняя часть сечения перемещается на
нас. Тогда для бруса, левый ко-
конец которого закреплен, поло- 0 м
жительный угол поворота по-
появляется при возникновении в
брусе положительного крутя-
крутящего момента (рис.
Mk=M>0
ср>0
Рис. 6.8
Mk>0
©
По аналогии с относитель-
относительным удлинением бруса е введем
относительный угол закручива-
закручивания в как угол закручивания на единицу длины бруса. Если
брус постоянного сечения и длины / нагрузить скручивающими
моментами, приложенными по концам
бруса (рис. 6.9), то его напряженно-
деформированное состояние будет по-
постоянно (однородно) по длине. Для та-
такого бруса в = tp/l, где (р — угол закру-
закручивания бруса, т.е. угол, на который его
правый конец повернется относительно
левого. Чтобы связать в и ср при неод-
неоднородном по длине кручении бруса, рас-
рассмотрим деформацию его элемента между сечениями х и x-\-dx.
Его левое сечение повернется на угол <р(х), а правое — на угол
(p(x-\-dx) яар(х) +d(p (рис. 6.10). Угол поворота правого сечения
I
Рис-
128
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
относительно левого сечения, как нетрудно понять, равен dip. A
это и есть угол закручивания элемента бруса. Чтобы получить
относительный угол закру-
чивания #, нужно отнести
Ф dcp к длине элемента dx. Ta-
ким образом,
dx
с/ж
F.2.1)
6.2.2. Получим теперь
угол закручивания <^2-1
элемента бруса конечной
длины, расположенного
Рис. 6.10 между сечениями х\ л Х2-
Вычислим его как угол поворота сечения Х2 относительно
сечения х\\
Х2 Х2
= J dip= J 9dx.
F.2.2)
X\
X\
В этом выражении угол закручивания по существу получен как
сумма (интеграл) углов закручивания dip = в dx бесконечно ма-
малых элементов dx, составляющих конечный элемент.
Соотношение F.2.2) является одной из возможных форм
записи общего решения дифференциального уравнения F.2.1),
учитывающей, что по своему физическому содержанию угол по-
поворота ср является непрерывной функцией. Ведь разрыв функ-
функции (р(х) соответствует конечному углу поворота двух бесконеч-
бесконечно близких сечений, а это физически означает разрушение бруса
(если, конечно, такой поворот не предусмотрен конструкцией).
Аналогичные соотношения между перемещением и и относи-
относительным удлинением е были получены и подробно разобраны
выше, в разд. 4.2 для растяжения-сжатия бруса.
6.2.3. Следует отметить, что статические и геометрические
соотношения при растяжении-сжатии (см. разделы 4.1, 4.2) и
при кручении (см. разделы 6.1, 6.2) совершенно аналогичны и
могут быть получены друг из друга заменой TV, g, и, е на М&,
771, <р, в. Это их свойство можно полезно использовать, в частно-
частности, при построении численных алгоритмов решения задач ра-
растяжения и кручения на ЭВМ. Однако полной аналогии между
растяжением-сжатием и кручением нет. Различие между ними
состоит в характере распределения напряжений по сечению, ко-
которое, как это будет видно в дальнейшем, при кручении суще-
существенно зависит от формы сечения.
6.3
БРУС КРУГЛОГО И КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЙ
129
6.3. Кручение бруса круглого и кольцевого сечений
Рис. 6.11
6.3.1. Рассмотрим кручение бруса, являющегося сплошным
круговым цилиндром и нагруженного скручивающими момен-
моментами по концам (рис. 6.11). При таком нагружении деформация
бруса будет однородна
по длине. Кроме того, м
брус и действующие на
него моменты обладают
симметрией вращения от-
относительно оси цилиндра
х. Поэтому деформиро-
деформированное состояние бруса
должно обладать такой же
симметрией. Следователь-
Следовательно, при кручении ось бруса
останется прямолинейной,
а деформированное состо-
состояние будет однородно в
окружном направлении,
т.е. не будет зависеть от угловой координаты полярной системы
координат с полюсом в центре круга поперечного сечения.
Имеется также симметрия бруса и обратная симметрия скру-
скручивающего момента относительно продольных сечений бруса
плоскостями, содержащими ось х. Всем этим требованиям сим-
симметрии деформированного состояния удовлетворяет следующее
предположение о характере деформации бруса.
Ось круглого бруса при кручении остается прямолинейной,
а поперечные сечения, оставаясь плоскими и нормальными к
оси, ведут себя как жесткие диски, т.е. их радиусы повора-
поворачиваются, но не деформируются и углы между радиусами не
меняются.
Такое предположение о характере деформации бруса опреде-
определяет форму гипотезы плоских сечений при кручении. Оно под-
подтверждается и простыми экс-
экспериментами. В них на бо-
боковую поверхность цилиндра
наносят прямоугольную сет-
сетку из продольных полос и по-
поперечных линий, являющих-
являющихся следами на боковой по- Рис 6 12
верхности поперечных сече-
сечений. При кручении цилиндра эта сетка искажается, но так, что
поперечные линии остаются окружностями, лежащими в плос-
плоскости поперечного сечения (рис. 6.12).
5 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
130
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
6.3.2. Рассмотрим теперь деформацию круглого бруса де-
детальнее. Для этого двумя близкими сечениями выделим из бру-
бруса элемент dx (рис. 6.13). Его
правое сечение повернется отно-
относительно левого на угол dip. Вы-
Выбранная произвольно образующая
поверхности цилиндра ab займет
после деформации положение abf.
Введем в плоскости сечения по-
полярную координату р как рассто-
расстояние от центра окружности сече-
сечения. Двумя продольными цилин-
цилиндрическими сечениями радиусов р
и р + dp выделим из элемента dx
кольцо толщиной dp и рассмотрим
его деформацию (рис. 6.14). Про-
Произвольная образующая cd поверх-
поверхности кольца при деформации повернется и займет положение
cd!. Поэтому прямой до деформации угол ecd уменьшится на
угол 7> который по существу является углом сдвига. Причем в
силу гипотезы плоских се-
сечений этот сдвиг однороден
(постоянен) в окружном на-
направлении.
В треугольнике cdd' дуга
ddf = jdx, а в секторе Odd1
та же дуга dd' = pdtp. Поэто-
Поэтому jdx = pdip. Следователь-
Рис. 6.13
но,
F.3.1)
Сопоставляя теперь де-
деформацию кольца с дефор-
Рис. 6.14 мацией чистого сдвига (см.
разд. 5.2, рис. 5.6), приходим к выводу, что такая деформация
кольца должна сопровождаться появлением в плоскости попе-
поперечного сечения касательных напряжений т, направленных ка-
касательно к окружности поперечного сечения кольца (рис. 6.15).
Эти касательные напряжения так же, как и деформации 7, одно-
однородны в окружном направлении. При линейно-упругих дефор-
деформациях сдвиг 7 и соответствующее ему касательное напряже-
напряжение т, как это следует из экспериментов на чистый сдвиг (см.
разд. 3.5), подчиняются закону Гука:
F.3.2)
6.3
БРУС КРУГЛОГО И КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЙ
131
Тогда, учитывая зависимость F.3.1), получаем, что
r = GPe. F.3.3)
Так как модуль при сдвиге G и относительный угол закручива-
закручивания в постоянны для сечения, то из этой формулы следует, что
т в сечении меняется пропорционально расстоянию р от центра
сечения, как это показано на рис. 6.16.
x=G9p
Рис. 6.15
Рис. 6.16
6.3.3. Формулой F.3.3) неудобно пользоваться для опреде-
определения касательных напряжений. При решении задач мы обычно
сначала методом сечений опре-
определяем внутренний силовой фак-
фактор, а потом уже по нему на-
находим соответствующие напряже-
напряжения. Такой алгоритм мы уже
успешно использовали при ана-
анализе растяжения-сжатия бруса в
гл. 4. Поэтому необходимо иметь
формулу, связывающую т с кру-
крутящим моментом Mfc. Для этого
введем в сечение бруса полярные
координаты />, а (рис. 6.17). То-
Тогда, по введенному в гл. 2 пра-
правилу индексации касательных на-
напряжений, т = тха. В п. 2.3.1 кру-
Рис. 6.17
тящий момент был подсчитан как интеграл по площади сечения
от моментов элементарных касательных усилий тха dF:
Мк= J ртха dF.
F.3.4)
и
Воспользуемся этим выражением, чтобы связать т =
. Подставим F.3.3) в F.3.4). Учитывая, что G и в не зависят
132 КРУЧЕНИЕ ГЛ. 6
от положения dF', получим
Mk = G6 f р2 dF. F.3.5)
F
Входящий в это соотношение интеграл зависит только от гео-
геометрии сечения. Он называется полярным моментом инерции
и обозначается как
Jp= J p2 dF. F.3.6)
F
Вместе с другими геометрическими характеристиками плос-
плоских фигур подробно он будет изучен в гл. 7.
С учетом этого обозначения из формулы F.3.5) получаем
соотношение, связывающее М& и в:
е = Щ-. F.3.7)
А теперь из F.3.3) сразу следует, что
г = ^р. F.3.8)
Jp
По этой формуле в круглом брусе при кручении можно найти
касательные напряжения по известному крутящему моменту. А
формула F.3.7) связывает М^ с относительным углом закру-
закручивания. Вместе со статическими и геометрическими диффе-
дифференциальными зависимости F.1.1)—F.1.3), F.2.1), F.2.2) фор-
формулы F.3.8) и F.3.7) позволяют получить полную информацию
о напряженно-деформированном состоянии круглого бруса при
кручении.
6.3.4. Заметим, что для расчета на прочность нам нужно
знать максимальную величину касательных напряжений в се-
сечении, которую мы обозначим через ттах. Из формулы F.3.8)
сразу следует, что в круглом брусе
_Мк _MkD
'max — ~^~pmax — ~? 7Г%
Up Up Z
Эту зависимость принято записывать в виде
Т -Mil
max ~~ wk'
Величину Wk называют моментом сопротивления кручению.
Как мы увидим в дальнейшем, к такому виду можно привести
формулу для определения ттах при кручении бруса любого се-
сечения, только для каждой формы сечения Wk вычисляется по-
своему.
6.3
БРУС КРУГЛОГО И КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЙ
133
В частности, как мы только что установили, для бруса круг-
круглого сплошного поперечного сечения
Wk = —.
к D
F.3.9)
Полярный момент инерции Jp для круга вычислим как инте-
интеграл:
F.3.10)
Jp= J p2 dF.
В полярных координатах dF можно подсчитать как площадь
криволинейного прямоугольника, заштрихованного на рис. 6.17.
Пренебрегая малыми высшего порядка, получаем, что dF =
= dp • pda. Поэтому двойной интеграл F.3.10) можно записать
в виде
D/2 2тг
Jp= J Jp3dpda. F.3.11)
о о
Подынтегральное выражение и пределы в этом двойном инте-
интеграле таковы, что можно разделить переменные и подсчитать
его как произведение двух одинарных интегралов:
D/2 2n 1 /т4
K dp I da = - f — j • 2тг =
о о
= f
32
В практических расчетах с достаточной степенью точности мож-
можно принять Jp^0,lD4. Тогда из F.3.9) получаем, что Wk =
3
16
6.3.5. Рассмотрим теперь
кручение бруса в виде круглой
цилиндрической трубы. Попе-
Поперечное сечение такого бру-
бруса представляет собой кольцо,
наружный диаметр которого
обозначим через D, а внутрен-
внутренний — через d (рис. 6.18).
Брус кольцевого сечения
обладает точно такими же
свойствами симметрии, что и
брус сплошного круглого сече-
сечения, показанный на рис. 6.11.
Поэтому и для него естествен-
естественно принять данные в п. 6.3.1 предположения гипотезы плоских
сечений о характере его деформации. На основе этих гипотез,
м
Рис. 6.18
134
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
анализируя деформацию выделенного из бруса элементарного
кольца, показанного на рис. 6.13, приходим к выражению F.3.1)
и далее для линейно-упругих деформаций к формуле F.3.3). Да-
Далее, с помощью интеграла F.3.4) приходим, как и в п. 6.3.3, к
формулам:
Мк
(j Jp Jp
d / / D
F.3.12)
В этих формулах, как и для сплошного круглого бруса,
Jp= f p2dF.
F
Только в этом выражении F — площадь кольцевого попе-
поперечного сечения. В полярных координатах этот интеграл имеет
вид
D/2 2тг
JP=
d/2 0
irD4
32 '
^0Дь> A — с), с = —. F.3.13)
Для подсчета ттах из F.3.12) с
учетом полученного значения для
Jp получаем
мк
-A-е4
"Л f 16
« 0,2Д3A-с4). F.3.14)
Распределение касательных на-
напряжений по сечению, определяе-
определяемое формулой F.3.12), для кольце-
кольцевого сечения показано на рис. 6.19.
6.3.6. Следует отметить, что
Рис 6 19 появление касательных напряже-
напряжений тха в поперечных сечениях
бруса в соответствии со свойством парности обязательно со-
сопровождается появлением равных им касательных напряжениях
тах в продольных сечениях бруса (рис. 6.20). Эти напряжения
являются причиной появления продольных трещин при круче-
кручении бревен, так как дерево легко раскалывается вдоль волокон
(рис. 6.21).
В разд. 3.5 мы отмечали, что образцы из хрупких материалов
разрушаются, как правило, с образованием винтовых поверхно-
6.4
БРУСЬЯ НЕКРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
135
стей, как было показано на рис. 3.28. Такой характер разруше-
разрушения легко объяснить, рассматривая элементы, выделенные из
поверхностного слоя образца.
Если элемент выделить про-
продольным и поперечными се-
сечениями, как это показано на
рис. 6.22 а, то видно, что
он находится в состоянии чи-
чистого сдвига. Если же вы-
выделить его винтовыми сече-
сечениями под углом 45° к оси
(рис. 6.22 б\ то, как показа-
показано в разд. 5.2, чистый сдвиг
для такого элемента будет ре-
реализован в виде двухосного
растяжения-сжатия с равны-
равными по величине напряжени-
напряжениями. Тогда разрушение про-
происходит по плоскостям, где
растягивающие напряжения
достигнут предельных для
данного материала значений,
что и происходит в образ-
образцах из хрупкого материала,
который обычно хуже все-
всего воспринимает растягиваю- Рис. 6.21
щие напряжения.
Рис. 6.20
Линия
разлома образца
Рис. 6.22
6.4. Кручение брусьев некругового поперечного
сечения
6.4.1. Попытки решить задачу о кручении бруса некруго-
некругового сечения с помощью гипотезы плоских сечений не привели к
136
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
успеху. Чем больше сечения отличались от кругового, тем боль-
больше результаты таких решений отличались от эксперименталь-
экспериментальных данных. Причина этого различия особенно ясно видна при
анализе кручения стержня
сплошного прямоугольного
сечения. На рис. 6.23 пока-
показано деформированное со-
состояние при кручении тако-
такого бруса из резины, на боко-
боковую поверхность которого в
недеформированном состо-
состоянии была нанесена прямо-
прямоугольная сетка. Четко вид-
Рис. 6.23 н0^ чт0 ПрИ деформации по-
поперечное сечение искривляется сложным образом. Как говорят,
сечение депланирует. Простых гипотез, удовлетворительно опи-
описывающих такую геометрию деформации бруса, построить не
удалось. Точное решение задачи о кручении бруса прямоуголь-
прямоугольного сплошного сечения, а также эллиптического, треугольного
и некоторых других простых по форме поперечных сечений по-
получено методами теории упругости. В частности, решение зада-
задачи о кручении бруса прямоугольного сечения дал Б. Сен-Венан
в 1855 г. Мы здесь приведем только те результаты этих решений,
которые необходимы для инженерных прочностных расчетов.
6.4.2. В поперечном сечении прямоугольного призматиче-
призматического бруса касательные напряжения при кручении распределя-
распределяются так, как это показа-
показано на рис. 6.24. Максималь-
Максимальные значения касательных
напряжений, знание кото-
которых необходимо для расче-
расчета на прочность, появляют-
появляются на середине длинной сто-
стороны. Формулу для их опре-
определения можно представить
в таком же структурном ви-
виде, что и для круглого сече-
сечения:
\в
ГГТТТгтх
= Щ-. F.4.1)
Рис. 6.24
Здесь Wk — момент сопро-
сопротивления кручению, который для прямоугольного сечения под-
считывается как
Wk = abh2 (b^h). F.4.2)
6.4
БРУСЬЯ НЕКРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
137
Коэффициент а зависит от отношения b/h, т.е. а = a(b/h), и
его значения для различных b/h приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
b/h
а
7
1
0,208
0,141
1,00
0
0
0
1,5
,231
,196
,859
1
0,
0,
0,
,75
239
214
820
2
0,246
0,229
0,795
3
0,267
0,263
0,753
4
0,282
0,281
0,745
0
0
0
6
,299
,299
,743
8
0,307
0,307
0,742
0
0
0
10
,313
,313
,742
оо
0,333
0,333
0,742
Иногда для расчета на прочность необходимо знать макси-
максимальные напряжения на середине короткой стороны сечения г в.
Их можно подсчитать как
тв = Т^тах- F.4.3)
Коэффициент 7 также зависит от отношения b/h и так как г в ^
^ Ттах, то j(b/h) ^ 1 G = 1 для квадратного сечения). Величи-
Величины коэффициента 7 также даны в табл. 6.1.
Для расчета деформаций бруса необходима связь между кру-
крутящим моментом М^ и относительным углом закручивания. Эту
связь можно представить в форме, сходной с F.3.7):
Здесь GJk — жесткость при кручении, a J& — геометрический
фактор жесткости. Для бруса круглого сечения, как это было
показано в разд. 6.3, J& = Jp. Для бруса прямоугольного сечения
Jk можно подсчитать как
(b^h). F.4.5)
Коэффициент /3 также зависит от b/h и его значения приве-
приведены в табл. 6.1.
Коэффициенты а, /3, 7 называют коэффициентами Сен-
Венана.
6.4.3. Особо обратим внимание читателя на две особенно-
особенности распределения касательных напряжений.
Во-первых, касательные напряжения в близких к контуру
точках поперечного сечения направлены вдоль контура (каса-
(касательно к контуру). Это нетрудно объяснить исходя из свойства
парности касательных напряжений. Действительно, если в такой
точке, например в точке К на рис. 6.25, касательное напряжение
~тх направлено произвольно, то его можно разложить на состав-
составляющие вдоль контура rxz и нормально к нему тху. Тогда на
боковой поверхности бруса должно появиться напряжение тух,
и по свойству парности тху = тух. Но боковая поверхность бруса
138
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
свободна от любых напряжений и поэтому тух = 0. А это означа-
означает, что и тху = 0. Таким образом, тх = rxz и потому направлено
вдоль контура.
Отсюда сразу становит-
становится понятной вторая осо-
особенность распределения ка-
касательных напряжений, а
именно их обращение в нуль
в угловых точках сечения.
Например, в точке С на рис.
6.25 обращаются в нуль обе
составляющие rxz и тху ка-
касательного напряжения тж,
так как равны нулю парные
Рис. 6.25
им напряжения rzx и тух на
свободной от напряжений боковой поверхности бруса.
6.4.4. Анализ решений о кручении брусьев самых различ-
различных поперечных сечений показал, что для всех них сохраняется
общая структура формул для определения ттах и в:
_ Мк в _ Мк F А 6)
'max — TTj--, & ^O^OJ
и
Только для каждого вида поперечного сечения величины
Jk определяются по-своему.
Для бруса эллиптического сечения с полуосями эллипса а и
b (а ^ Ь) характер распределения касательных напряжений по-
показан на рис. 6.26. Наибольшие касательные напряжения возни-
возникают в точках А по концам
малой оси, и необходимый
для их вычисления момент
сопротивления кручению
Wk = ^ab2.
F.4.7)
Напряжения в точках В по
концам большой оси можно
найти как
ТВ = -%ах = -ТА- F.4.8)
Величина геометрическо-
геометрического фактора жесткости J& для
Рис-
бруса эллиптического сечения подсчитывается по формуле
т" TTCL и /л i п\
Jk = -г^. F.4.9)
Для бруса с сечением в виде прямоугольного равносторонне-
равностороннего треугольника со сторонами а максимальные касательные на-
6.5 БРУСЬЯ ТОНКОСТЕННОГО ОТКРЫТОГО СЕЧЕНИЯ 139
пряжения появляются по серединам сторон. Необходимые для
расчета такого бруса момент сопротивления кручению Wk и гео-
геометрический фактор жесткости J& можно вычислить как
ттт CL -т V О 4 (П Л Л (Л\
Wb = —, Jh = -^—а . F.4.10)
Л 20' Л 80 v ;
6.4.5. Точное решение задачи о кручении брусьев более
сложного поперечного сечения методами теории упругости тре-
требует значительной вычислительной работы. Однако Л. Пранд-
тлем было отмечено совпадение математических формулировок
задач о кручении бруса и о деформации под равномерным дав-
давлением мембраны, натянутой на плоский контур, одинаковый по
форме с контуром поперечного сечения бруса. Не вдаваясь здесь
в подробности математической формулировки этих задач, отме-
отметим только, что согласно этой аналогии, которая названа мем-
мембранной (пленочной) аналогией, касательные напряжения в бру-
брусе пропорциональны углам наклона касательных к поверхности
мембраны, а крутящий момент пропорционален объему между
поверхностью мембраны и плоскостью контура, на который она
натянута. Последнее обстоятельство позволяет сравнивать жест-
жесткости сечений различных форм. Они, учитывая формулу F.4.6),
будут соотноситься как эти объемы для аналогичных мембран.
Таким образом, сравнивая объемы при деформации мембраны
на сложном контуре V и круглом контуре Vq (разумеется, при
одинаковых усилиях натяжения мембраны и равных величинах
давлений), мы можем найти геометрический фактор жесткости
сложного сечения:
J к — Т7~ V'
Имеются специальные приборы, позволяющие быстро изме-
измерять объемы V и Vq. Они описаны, например, в учебнике [3].
Более подробно с мембранной аналогией можно ознакомиться в
книгах [4, 9].
6.5. Кручение брусьев тонкостенного открытого
сечения
6.5.1. В различных конструкциях, а особенно в авиацион-
авиационных, широко применяются элементы в виде брусьев тонкостен-
тонкостенного сечения, которое бывает открытым (рис. 6.27 а, 5, в) и за-
замкнутым (рис. 6.27 г, д). Оказывается, распределения касатель-
касательных напряжений при кручении брусьев открытого и замкнутого
сечений принципиально различны. Простейшим брусом откры-
открытого сечения будет плоская полоса, показанная на рис. 6.28, ко-
140
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
гда длина прямоугольного поперечного сечения s значительно
больше его толщины S (s > 5). Из рассмотренного в п. 6.4.2
Рис. 6.27
решения Сен-Венана о кручении бруса прямоугольного сечения
следует, что с увеличением отношения s/5 коэффициенты Сен-
Венана а и /3 стремятся к зна-
значению, равному 1/3, а 7 стре-
стремится к 0,742:
Нт а Q) = I,
Hm/QH' F-5Л)
Нт 7 i =0,742.
При больших s /8 касатель-
Рис. 6.28 ные напряжения по толщине се-
сечения изменяются практически линейно, а по длине они практи-
практически постоянны, кроме коротких участков вблизи концов сече-
сечения (рис. 6.29). Таким образом, для такого
тонкостенного бруса с достаточной точно-
точностью можно принять, что
_ Мк л _ Мк
Wk (sJk
Wk = ^
Jk = \
F.5.2)
Рис. 6.29
6.5.2. Эксперименты показывают,
что характер распределения напряжений
принципиально не изменится, если из
такой полосы изготовить с помощью гибки
брус более сложного сечения, как, напри-
например, показанный на рис. 6.30. Поэтому и
расчетные формулы F.5.2) не изменяются,
6.5
БРУСЬЯ ТОНКОСТЕННОГО ОТКРЫТОГО СЕЧЕНИЯ
141
только в них под s понимается длина средней линии сечения,
одинаково отстоящей от длинных сторон его контура. На
рис. 6.30 средняя линия показа-
показана штрихпунктиром.
6.5.3. Рассмотрим теперь
брус сложного сечения, со-
составленного из тонкостенных
участков. Пусть длина г-го
участка равна Si, а его толщина
Si постоянна в пределах участ-
участка (рис. 6.31).
Кручение составного бруса
можно рассматривать как сов-
совместное кручение составляю-
Рис-
щих его простых брусьев. Обозначим через М1к долю общего для
всего сечения крутящего момента М&, которая воспринимается
простым брусом, соответствующим i-му участку сечения. Тогда
ясно, что
F.5.3)
Кручение каждого составляющего бруса описывается фор-
формулами F.5.2), т.е. для бруса, соответствующего i-му участку
сечения,
Ml M _ Мгк
'max \
Так как при совместном круче-
кручении все участки сечения повора-
поворачиваются на один и тот же угол,
то все относительные углы закру-
закручивания составляющих брусьев в1
равны относительному углу закру-
закручивания в всего сечения:
в1 = в. F.5.5)
G- -s
F.5.4)
Здесь
= ?*-, F.5.6)
Рис. 6.31
где Jjz — геометрический фактор жесткости составного сечения.
Сравнивая теперь F.5.6) и F.5.4), с учетом F.5.5) легко по-
получить, что
щ = ^мк.
F.5.7)
142 КРУЧЕНИЕ ГЛ. 6
Теперь после подстановки выражения F.5.7) в равенство F.5.3)
без труда находим, что
^А3, F-5.8)
т.е. жесткость при кручении составного бруса равна сумме жест-
костей составляющих его простых брусьев. Подставив Мгк из
F.5.7) в первую формулу F.5.4), получим т^пах для i-го участка:
^- F-5.9)
Отсюда видно, что наибольшие касательные напряжения ттах
возникнут на том участке сечения, где толщина S максимальна.
И потому момент сопротивления кручению Wk для составного
открытого тонкостенного сечения
Wk = ^-^-, <WX = max(u). F.5.10)
Umax г
Отметим, что приведенный здесь вывод момента сопротив-
сопротивления кручению Wk и геометрического фактора жесткости J&
составного сечения по существу является решением статически
неопределимой задачи совместного кручения простых брусьев,
составляющих брус сложного сечения. В этом решении соотно-
соотношение F.5.3) по существу является уравнением равновесия, а
равенства F.5.5) представляют собой уравнения совместности
деформаций. Такая постановка не учитывает взаимодействия
составляющих простых брусьев вдоль образующих, по которым
они соединены. Поэтому формулы F.5.8), F.5.10) дают несколь-
несколько заниженную величину
^ для геометрического фак-
фактора жесткости Jk и завы-
завышенную — для момента со-
сопротивления Wk-
Обратим также внима-
внимание читателя на то, что в
местах соединения элемен-
элементов составного сечения мо-
могут возникнуть повышенные
касательные напряжения. На
рис. 6.32 показан простейший
Рис б 32 составной брус. Рассматри-
Рассматривая напряжения в нем с точ-
точки зрения мембранной аналогии, мы замечаем, что в области
внутреннего угла контура сечения угол наклона мембраны а,
а значит, и соответствующие ему касательные напряжения зна-
6.6
БРУСЬЯ ТОНКОСТЕННОГО ЗАМКНУТОГО СЕЧЕНИЯ
143
Рис. 6.33
чительно возрастают. Чтобы избежать этого, внутренние углы
сечений прессованных профилей скругляют.
6.5.4. При кручении брусьев тонкостенного открытого се-
сечения могут возникнуть существенные депланации сечения.
Особенно наглядно депланация видна при кручении разрезан-
разрезанной вдоль тонкостенной трубы
(рис. 6.33), которое сопрово-
сопровождается значительными про-
продольными смещениями кро-
кромок разреза друг относитель-
относительно друга. Здесь при рассмо-
рассмотрении кручения считается,
что продольные смещения то-
точек сечения происходят сво-
свободно. На практике же часто
продольные смещения в от-
отдельных сечениях бруса стес-
стеснены. Так будет, если, напри-
например, в торцевых сечениях по-
показанного на рис. 6.33 бруса
поставить жесткие диафрагмы и соединить их с брусом так,
чтобы они не допускали продольных смещений. Это существен-
существенно изменит распределение касательных напряжений по сечению
и вызовет появление в нем значительных нормальных напря-
напряжений. Кручение бруса в условиях стеснения продольных сме-
смещений его сечений называют стесненным кручением. Особенно
значителен эффект стеснения депланации для брусьев откры-
открытого тонкостенного сечения. Задача о стесненном кручении по-
подробно разбирается в курсе строительной механики (см., напри-
мер, [10]).
6.6. Кручение брусьев тонкостенного замкнутого
сечения
6.6.1. При исследовании тонкостенного замкнутого сече-
сечения удобно ввести координату s вдоль средней линии сечения
(рис. 6.34). За начало координаты s ввиду замкнутости сечения
можно выбрать любую точку этой линии сечения. В общем слу-
случае толщина сечения 6 может быть переменна, т.е. 6 = S(s).
Прежде всего обратим внимание на то, что тонкостенность
сечения сказывается на характере распределения касательных
напряжений по нему. Как уже было показано в п. 6.4.3, каса-
касательные напряжения в точках, близких к контуру сечения, на-
направлены касательно к контуру. Действительно, в таких точках
нормальная к контуру составляющая касательного напряжения
тжп, которая показана штриховой линией на рис. 6.35, должна
144
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
быть равна напряжениям тпх на боковой поверхности бруса. Но
эта поверхность свободна от напряжений, поэтому тпх = 0, а
значит, и тхп = 0. Следовательно, тх = rxs.
Рис. 6.34
Рис. 6.35
В тонкостенных сечениях из-за малости толщины направле-
направления касательных к наружному и внутреннему контурам в точ-
точках, соответствующих некоторому значению координаты, незна-
незначительно отличаются друг от друга и от направления касатель-
касательной к средней линии (если, конечно, толщина медленно меня-
меняется вдоль контура). А если толщина постоянна, то все эти три
касательных параллельны. Поэтому естественно допустить, что
в тонкостенных сечениях касательные напряжения направлены
параллельно касательной к средней линии.
Нам уже известно, что касательные напряжения при круче-
кручении в брусе кругового кольцевого сечения распределяются про-
пропорционально расстоянию
5 , /V от центра круга (см. рис.
6.19 и формулу F.3.12)).
Если кольцевое сечение
является тонкостенным, то
расстояния от центра до его
наружного и внутреннего
контуров отличаются друг
от друга незначительно
(рис. 6.36), а значит, и
касательные напряжения
также мало изменяются по
толщине. Это подсказыва-
Рис. 6.36 ет^ чт0 для тонкостенных
замкнутых сечений можно предположить постоянство каса-
касательных напряжений по толщине.
6.6
БРУСЬЯ ТОНКОСТЕННОГО ЗАМКНУТОГО СЕЧЕНИЯ
145
Суммируя два сформулированных выше допущения, будем
предполагать, что в брусе тонкостенного замкнутого сечения
при кручении касательные напряжения направлены по каса-
касательной к контуру и постоянны по толщине.
Эпюра rxs по толщине, соответствующая такому предполо-
предположению, показана справа на рис. 6.35.
Двумя близкими поперечными сечениями и двумя нормаль-
нормальными к средней линии продольными сечениями при произволь-
произвольных s = «si и s = 52 (рис. 6.37 а) выделим из бруса элемент,
показанный на рис. 6.37 б. В точках поперечного сечения при
Рис. 6.37
s = 5i и s = ^2 действуют касательные к средней линии и посто-
A) B) тз
янные напряжения t#s и t#s. В продольных сечениях появляют-
A) A) B) B)
ся парные им касательные напряжения т5Ж — Txs и т5Ж — Txs •
Ввиду малости dx эти напряжения можно считать равномерно
распределенными по имеющим форму прямоугольников dx • 5\
и dx • 62 продольным сечениям. Поэтому результатом действия
- A) B)
на элемент напряжении т5Ж и t~sx являются направленные вдоль
р
оси х усилия Tsx dx 6\ и Tsx dx 62. Для равновесия элемента необ-
необходимо, в частности, чтобы была равна нулю сумма проекций
на ось х действующих на него сил. Следовательно,
T^dxSx-T^dx82 = Q. F.6.1)
Отсюда, учитывая парность касательных напряжений, полу-
получаем, что
4li 4f2 = 0. F.6.2)
А так как точки s\ и 52 выбраны произвольно, то из F.6.2) сле-
следует, что произведение rxs(sN(s) не зависит от координаты 5,
146
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
т.е. постоянно по контуру сечения:
rxs6 = const по s. F.6.3)
Это замечательное свойство распределения касательных на-
напряжений по тонкостенным замкнутым сечениям при кручении
часто называют свойством постоянства потока касательных
сил. В основе этого названия лежит гидродинамическая анало-
аналогия, согласно которой такое распределение касательных напря-
напряжений подобно распределению скоростей в потоке несжимаемой
невязкой жидкости, циркулирующей по замкнутой трубке, ко-
которая как бы образована внешним и внутренним контурами се-
сечения. В такой трубке из-за несжимаемости жидкости ее поток
(произведение ее скорости rxs на
«площадь» сечения трубки 8) во
всех сечениях одинаков.
6.6.2. Теперь можно лег-
легко подсчитать крутящий момент
Mk как результат действия на-
напряжений rxs. Для этого разо-
разобьем сечение на элементы ds.
Один из таких элементов за-
заштрихован на рис. 6.38. Дей-
Действующие на нем касательные
напряжения сводятся к усилию
rxs(s)S(s)ds. Выберем в сечении
произвольную точку О и обозначим через h(s) плечо усилия
rxs(s)S(s) ds относительно этой точки. Тогда крутящий момент
можно получить, суммируя (интегрируя) моменты касательных
усилий по всем элементам ds относительно точки О. Таким об-
образом,
Мк = § Txs(sM(s)h(s) ds = txs5 § h(s) ds. F.6.4)
Поток rxs6 вынесен за знак интеграла по замкнутому контуру,
так как в силу F.6.3) он постоянен по контуру. Рассмотрим по-
подробнее интеграл Ф h(s)ds. Из рис. 6.38 видно, что ds — это
основание ВС треугольника ОВС, a h(s) — его высота. Пло-
Площадь этого треугольника обозначим через duo и тотчас станет
ясно, что duo = -h(s) ds. Тогда
s(s)d(s)ds [[
Рис. 6.38
h(s) ds = 2 Ф -h(s) ds = 2 Ф rfo; = 2a;.
F.6.5)
При вычислении контурного интеграла по мере обхода средней
линии, т.е. при последовательном переходе от каждого элемента
ds к соседнему, площади duo складываются и при полном обходе
6.6
БРУСЬЯ ТОНКОСТЕННОГО ЗАМКНУТОГО СЕЧЕНИЯ
147
образуют площадь о;, заключенную внутри средней линии сече-
сечения (рис. 6.39). Таким образом, соотношение F.6.4) сводится к
виду
Мк = rxs5 • 2ио.
Отсюда сразу получаем
Мь
Из свойства F.6.3) следует, что
максимальные напряжения ттах воз-
возникают там, где минимальна толщина.
Поэтому
F.6.7)
Рис. 6.39
Как и ранее, здесь Wk — момент сопротивления кручению.
6.6.3. Перейдем теперь к вычислению геометрического
фактора жесткости Jk. Воспользуемся энергетическим подхо-
подходом. Для этого рассмотрим элемент dx бруса (рис. 6.40). Его
правое сечение х + dx повернется за счет
деформаций на угол dtp относительно ле-
левого. Если деформация линейно-упруга, то
на этом угле поворота момент Мк совершит
упругую работу:
ф Q
dA = X-Mk dip,
F.6.8)
которая накопится в элементе в виде потен-
потенциальной энергии деформации сШ, т.е.
dA = dU.
F.6.9)
dx
Рис. 6.40
Для подсчета dll разобьем элемент бруса dx
(рис. 6.41 а) продольными нормальными к
средней линии сечениями на более мелкие прямоугольные эле-
элементы dx • ds. Каждый такой элемент находится в состоянии
чистого сдвига (рис. 6.41 б) и в нем накопится потенциальная
энергия деформаций, равная линейно-упругой работе деформи-
деформирующей его силы rxs8 ds на пути jxs dx. Суммируя потенциаль-
потенциальные энергии по элементам вдоль контура средней линии, полу-
получаем
dU= j) -rxsSdsjxs dx = у (j) rxsSjxs ds.
Но по закону Гука jxs = rxsjG, поэтому
F.6.10)
148
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
Помножив и разделив подынтегральное выражение на ?, мы по-
получим возможность вынести (rxs6J из-под знака интеграла:
n-r dx / П2 X ds
dU = -{txs5) j> y.
Но из формулы F.6.6) следует, что
rxs5 =
поэтому
Подставим это выражение вместе с выражением F.6.8) в энерге-
энергетический баланс F.6.9). В итоге легко получим, учитывая, что
dip/dx = б,
ds
dx
1т xsdds
д dip Мк
~ ~dx~~ ~GTk'
Auj2
F.6.12)
fr
Рис. 6.41
Формулы F.6.7) и F.6.12)
для вычисления Wk и
Jk называют формулами
Бредта.
6.7. Потенциальная энергия деформации при кручении
6.7.1. Выражение для потенциальной энергии деформации
при кручении можно получить как
П = J
F.7.1)
где dH — потенциальная энергия, накопившаяся в элементе бру-
бруса dx, выделенного двумя бесконечно близкими поперечными
сечениями. В п. 6.6.3 для такого элемента было получено (см.
выражения F.6.8), F.6.9)), что dU = -M^dcp. Однако согласно
F.2.1) dip = в dx. Поэтому при линейно-упругой деформации
F.7.2)
6.8 ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ 149
Отсюда, учитывая, что в = Mk/GJk, получаем еще два выраже-
выражения для потенциальной энергии деформации:
X, F.7.3)
П = I J GJke2dx. F.7.4)
i
6.7.2К. Впервые кручение рассмотрел, по-видимому, Ш. Кулон A736-
1806) в связи с известными исследованиями по статическому электричеству.
В весах, с помощью которых Кулон измерял силы взаимодействия элек-
электрических зарядов, в качестве чувствительного элемента использовалась
работающая на кручение проволока, жесткость которой определялась по
крутильным колебаниям подвешенного на ней металлического цилиндра.
Результаты этих исследований были опубликованы в 1784 г.
Распределение касательных напряжений в сечении круглого бруса по-
получил Т. Юнг A807).
Б. Сен-Венан на основе подхода теории упругости рассмотрел кручение
брусьев некруглого сечения и дал метод определения для них моментов
сопротивления и геометрических факторов жесткости A853).
Теория кручения брусьев замкнутого тонкостенного сечения была со-
создана немецким инженером Р. Бредтом в 1896 г.
6.8. Примеры расчетов
Расчетные формулы для момента сопротивления кручению
Wk и геометрического фактора жесткости Jk для наиболее часто
встречающихся сечений даны в табл. 6.2. Этими формулами мы
будем пользоваться в рассмотренных ниже примерах.
Пример 6.1. Построим эпюры М&, ттах, в и (р для бруса,
изображенного на рис. 6.42 а, нагруженного сосредоточенным
моментом М = 2гп(I и погонным моментом интенсивности т(хI
эпюра которого показана на рис. 6.42 б. Сечения участков 0-2
и 2-3 показаны на рис. 6.42 в.
Прежде всего рассмотрим моменты сопротивления Wk и гео-
геометрические факторы жесткости J& для участков бруса.
На участке 0-2 сечение бруса — прямоугольное сплошное.
Для него в соответствии с п. 6.4.2 Wk и J& определяются фор-
формулами F.4.2) и F.4.5), в которых b = 2а и h = a (h ^ Ь):
Wk = a-2a-a2, Jk = /3 • 2а • а3.
В этих формулах коэффициенты Сен-Венана для отношения
b/h = 2 берем из табл. 6.1: а = 0,246, /3 = 0,229. Тогда
W®-2 = 0,492а3, J° = 0,458а4. F.8.1)
150
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. '
Таблица 6.2
Сечение
W,
Сплош-
Сплошные
сечения
Круговое
Прямо-
Прямоугольное
Эллипти-
Эллиптическое
В форме
равносто-
равностороннего
треуголь-
треугольника
0,2?>3A-С4)
~ d
А\Ш\А
аЪЪ2
b>h
тгаЬ
а
20
= 0,l,D4(l-C4)
/3bhs
тга3Ь3
а2 -Ъ2
80
Открытый
профиль
Тонко-
Тонкостенные
сечения
Составной
профиль
Jk
Замкну-
Замкнутый
профиль
6.8
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
151
На участке 2-3 сечение тонкостенное замкнутое. Для него
расчетными являются формулы Бредта F.6.7) и F.6.12):
Wk = 2ш8, Jk =
Л
т(х)
т
В
\тп
по А-А
по В-В
в 2а
2а
f
0,1 а
Рис. 6.42
По условиям задачи толщина S = ОДа, площадь, замкнутая вну-
внутри средней линии, ио = а - 2а. Так как толщина постоянна по
контуру сечения, то Ф -^ равен периметру сечения, т.е. 6а, де-
деленному на толщину S. Таким образом,
= 2 • 2а\1а = 0,4а3, J2k~3 =
= 0,267а4. F.8.2)
Интересно отметить, что сечение бруса на участке 2-3 по
площади в 2/0,6 = 3,3 раза меньше сечения на участке 0-2. В
то же время отношение моментов сопротивления этих участков
равно всего 1,23, а отношение геометрических факторов жест-
152
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
кости — 1,72. Отсюда видно, что тонкостенное сечение выгоднее
в весовом отношении, чем сплошное. Это объясняется тем, что
в тонкостенном сечении весь
материал работает при напря-
напряжениях, равных (или близких)
максимальным, а в сплош-
сплошном — материал внутренней
части сечения недогружен.
Определим М&. Для это-
этого необходимо воспользоваться
методом сечений. На участке
0-1 распределенного момента
нет, т.е. т(х) = 0. Поэтому, в
силу статической дифференци-
дифференциальной зависимости dM^/dx =
= — га(ж), на этом участке
М^~1 постоянен. Рассматри-
Рассматривая отсеченную часть, обра-
образованную произвольным попе-
поперечным сечением и показан-
показанную на рис. 6.43 а схематично, получаем из условия ее равнове-
равновесия ^2 Мх = 0, что
Рис. 6.43
= 2ш0/ - J m{x) dx.
F.8.3)
1-3
Отметим, что направление Мк было выбрано с учетом прави-
правила знаков, принятого в начале этой главы. Интеграл в F.8.3) яв-
является равнодействующим моментом распределенного момента
т(х). Его легко вычислить как площадь эпюры т(хI показан-
показанной на рис. 6.42 б. Поэтому он равен -ttiqI. Значит, Мк~ = -ttiqI.
Изобразим этот постоянный момент на эпюре М^ (рис. 6.44 а).
На участке 1-2 найдем М^~ . Так как т(х) изменяется
линейно (рис. 6.44 б), то в соответствии со статической диф-
дифференциальной зависимостью М^ меняется по квадратичному
закону. Рассматривая равновесие отсеченной части, образован-
образованной сечением, бесконечно мало сдвинутым вправо от сечения 1
(рис. 6.43 б\ получаем
= — Г т(х) dx = —-mo/.
1-3
Точно так же, рассекая брус в точке 2, из условия равновесия
6.8
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
153
отсеченной части (рис. 6.43 в) получаем
М&2 = — Г т(х) dx = —гп(I.
2-3
1
m(x)
Mk(x)
^max
e
ф
0
Л11
л 11
i
/1/2
3/2
/1,016
МММ
3,048
11111111
3,27
-ггттТТТТ
Л
1 •
0
II
II
1,09
-+++++H
LliliLUl^
l
.Ш
2,32
Ш
2,18
1,82
-+
2
Щ
1
3,62
Рис. 6.44
{т0/}
Строя эпюру М^ на рис. 6.44 в, соединим две полученные
точки квадратной параболой, касательная к которой в точке 1
горизонтальна, так как в этой точке т = 0, а значит, и dM^/dx =
= 0. Кроме того, так как на эпюре т(х) в точке 2 нет скачка,
то эпюры Mfc на участках 1-2 и 2-3 в точке # имеют общую
касательную. Но на участке 2-3, так как т(х) = mo = const,
изменяется линейно. В сечении 2 он уже найден, а в сечении
как легко видеть, равен нулю.
Эпюра М& является основой для построения эпюр ттах и
так как
_ Mfc й _ Мк
'max — Тт7 ^ "
154 КРУЧЕНИЕ ГЛ. 6
Эти эпюры, полученные после деления М& на Wk и GJ&, зна-
значения которых по участкам даны формулами F.8.1), F.8.2), по-
показаны на рис. 6.44 г и д.
Эпюра углов поворота сечений ср построена по эпюре отно-
относительных углов закручивания в с помощью интегрального со-
соотношения F.2.2). Это соотношение с учетом того, что угол по-
поворота заделанного сечения О равен нулю, можно записать в
виде
Хс
<р(хс) = f 6(x)dx. F.8.4)
о
Здесь хс — расстояние от рассматриваемого сечения до заделки.
Так же, как и при построении эпюр перемещений и по относи-
относительному удлинению е при растяжении (см. пример 4.1, форму-
формулу D.4.10)), эпюру <р(хс) можно построить, вычисляя интеграл
F.8.4) как площадь эпюры в(х) на участке от заделки до сече-
сечения хс.
Имея эпюру ттах, легко провести расчет на прочность. Усло-
Условия прочности при сдвиге имеют вид
|w| ^ [г]. F.8.5)
Допускаемое напряжение сдвига [г] определяется нормативны-
нормативными документами с учетом тех же соображений, что и при растя-
растяжении (см. разд. 4.9). Прочность изотропного материала, конеч-
конечно, не зависит от направления сдвига, поэтому в условии F.8.5)
взята абсолютная величина ттах. В нашей задаче, как это видно
из эпюры ттах на рис. 6.44 г, максимальное значение |ттах| =
= 3,О48то//а3. Поэтому условие прочности рассматриваемого
бруса принимает вид
3,O48mo//a3 ^ [г].
Отсюда, при заданных то, / и [г] можно найти размер се-
сечения а, т.е. произвести проектировочный расчет на прочность.
Например, при то = 1000 Н-м/м, / = 0,5 м, [г] = 80 МПа:
з/з,048т0/ з/з,048-1000-0,5 n no^
а = V ^7^ = V 80-1QS = °'°267 М-
Материал бруса — сталь, тогда G = 8 • 104 МПа. Максималь-
Максимальный угол поворота сечения бруса, как это видно из эпюры ср
(рис. 6.44 е), равен
ЮОО • 0,25
10_2L
= 0,022 рад = 1,28°
6.8
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
155
Пример 6.2. Брус, показанный на рис. 6.45, нагру-
нагружен посередине сосредоточенным моментом то/, а на участке
0-1 — распределенным моментом т(хI изменяющимся линейно
по длине участка. Рассчитаем моменты сопротивления и жест-
-I
т(х)
1 т(х) ©
т
В
по А-А
по В-В
Рис. 6.45
кости участков бруса. На участке 0-1 его сечение — сплошное
круговое, тогда, как было получено в разд. 6.3 (см. также табл.
6.2):
На участке 1-2 сечение бруса — тонкостенное и замкнутое,
поэтому по формулам Бредта F.6.7) и F.6.12) получим
Wk = 2ои5 = 2^
Г ds
J T
0,05d
Оба конца бруса заделаны. Отбросим эти заделки и заменим их
действие на брус реакциями — моментами Mq и М2, как это по-
показано на рис. 6.46. Составим уравнение равновесия для такого
156 КРУЧЕНИЕ ГЛ. 6
бруса:
ЕС
J
0-1
В этом уравнении интеграл, составляющий второе слагаемое,
является равнодействующим моментом распределенного момен-
момента т(х). Вычислив его как площадь эпюры га(ж), данной на
рис. 6.45, получим, что он равен -т$1. Тогда уравнение F.8.6)
сведется к виду
М0-М2 = \тъ1 F.8.7)
Больше нетривиальных уравнений равновесия для показанно-
показанного на рис. 6.46 бруса составить нельзя. А в этом уравнении —
два неизвестных Mq и М2. По-
Мо тгх\ то1 М2 этому брус является статиче-
ыч
совместности деформаций, кото-
которое в данном случае должно от-
отражать тот факт, что концы бруса
Рис 6 46 заделаны. А это значит, что сече-
сечения 0 и 2 бруса неподвижны, т.е.
угол поворота сечения 0 относительно сечения 2 равен 0:
<Ро-2 = 0. F.8.8)
Но <ро-2 можно получить как сумму
Согласно формуле F.2.2)
/Г М°~1 Г М1
в dx = / —^—^dx^ (fi-2 — I —\^dx. F.8.9)
0-1 0-1 1-2
Рассматривая равновесие отсеченных частей, показанных на
рис. 6.47, получаем
Момент ш°ж , являющийся равнодействующим приходящейся
ZL
на отсеченную часть доли распределенного момента т(х), под-
подсчитан как площадь эпюры га (ж), данной под отсеченной частью
на рис. 6.47.
6.8
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
157
После подстановки полученных выражений для М& в фор-
формулы F.8.9) получаем
м2-
¦ + ^
м2
G • 0,04d4
1-2
М2/
G • 0,04d4'
Рис. 6.47
Тогда уравнение совместности F.8.6) приводится к виду
Отсюда получаем
^ (lOM2 + f
50
25M2 ) = 0.
7г^
6 • 35
= -0,238m0/.
Из уравнения F.8.7) следует, что
Мо = ^ш0/ + М2 = 0,262ш0/.
Знак « —» у М2 означает, что его направление противоположно
принятому на рис. 6.46. Полученные реактивные моменты Mq
и М2 приложим к брусу (рис. 6.48 а). Теперь можно построить
эпюры Mfc, ттах, в и (р точно так же, как это сделано в примере
6.1. Предоставим это читателю в качестве упражнения, а для
контроля приведем на рис. 6.48 результаты.
Отметим, что для проверки решения этой задачи можно ис-
использовать уравнение совместности F.8.6). Из него ясно, что
о-2 — I 6 dx = 0.
F.8.10)
0-2
158
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
Здесь интеграл является площадью эпюры в. Подсчитаем ее сна-
сначала на участке 0-1:
Мк = М2 - ^f + то1 = 0,762m0/ - ^.
Но так как 0 = —?-, то
GJk
J 6dx- J
762ш0/ - 0,Ьт0х2/1 _
0,262 mQl
0
1,31
2,62
0
mQl
0,238т0/
2
, 0,762
0,238 .
I I I I I I I I I I I
.3,81
2,98
нищими
,7,62
5,95
.5,95
Рис. 6.48
по1}
m I2
~Gd*
А эта площадь, как видно из эпюры 0 (рис. 6.48 д), равна пло-
площади на участке 1-2, и потому условие F.8.10) выполняется.
6.8
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
159
Условие прочности для рассмотренного бруса |ттах| ^ [г].
Учитывая эпюру ттах, данную на рис. 6.48 г, это условие
запишем в виде
max|rmax| = 3,81— ^ [г].
Отсюда сразу следует, что
3,81т0/
Часто для длинных валов, работающих на кручение, определяю-
определяющей является не прочность, а жесткость. В этом случае при на-
напряжениях, меньших допускаемых, вал закручивается на недо-
недопустимый угол. Тогда размеры поперечного сечения такого вала
определяют из условия жесткости max|<p| ^ [ф\.
В нашем примере, как это видно из эпюры ср (рис. 6.48 е),
это условие имеет вид
Из него следует ограничение на размеры поперечного сечения
по жесткости:
4 /5,95mo/2
Пример 6.3. Рас-
Рассмотрим два тонкостенных се-
сечения бруса: замкнутую трубу
(рис. 6.49 а) и трубу, разрезан-
разрезанную вдоль образующей (рис.
6.49 б). Площади этих сече-
сечений одинаковые. Сравним два
бруса с такими сечениями по
прочности и жесткости.
Для замкнутой трубы по
формулам Бредта F.6.7),
F.6.12) получаем
g = 2ио5 =
Рис. 6.49
та _
Jk —
Для разрезанной трубы из формул F.5.10), F.5.8) следует
= f (И2,
4 = 1*8* = f
Отношения моментов сопротивления и жесткостей рассмо-
рассмотренных сечений будут:
3d J_l_ _ 3 /л\2
~ 4 U>
Kfc
Vt 2 8'
4
160 КРУЧЕНИЕ ГЛ. 6
Отсюда видно, что, если, например, S = 0,Ы, то момент со-
сопротивления разомкнутой трубы в 15 раз меньше замкнутой, а
жесткость соответственно в 75 раз меньше. Этот пример пока-
показывает, что в конструкции, работающей на кручение, тонкостен-
тонкостенный брус следует по возможности выполнять в виде бруса за-
замкнутого сечения. Если же без люков, отверстий и т.п. не удает-
удается обойтись, то необходимо их окантовывать. Причем зачастую
масса окантовки оказывается больше, чем масса вырезанного из
стенки бруса материала. Подробно эти вопросы рассматривают-
рассматриваются в курсах строительной механики, например в книге [10].
В.6. Контрольные вопросы
8.6.1. Какое правило знаков принимается для крутящего
момента?
8.6.2. Как связаны между собой крутящий момент и ин-
интенсивность скручивающего погонного момента?
8.6.3. В каких сечениях бруса крутящий момент меняется
скачкообразно?
8.6.4. Как связаны между собой относительный и абсолют-
абсолютный углы закручивания?
8.6.5. Какой характер деформации круглого бруса предпо-
предполагает гипотеза плоских сечений при кручении?
8.6.6. Как направлены и как распределяются касательные
напряжения в поперечном сечении при кручении круглого бру-
бруса? Как они связаны с крутящим моментом?
8.6.7. Что такое полярный момент инерции сечения бруса?
8.6.8. Что такое момент сопротивления кручению?
8.6.9. Что является причиной появления продольных тре-
трещин при кручении бревен? Чем объяснить разрушение по вин-
винтовым поверхностям образца из хрупкого материала, подверг-
подвергнутого деформации кручения?
8.6.10. Почему нельзя решить задачу о кручении бруса
некругового поперечного сечения на основании гипотезы плос-
плоских сечений?
8.6.11. Как направлены касательные напряжения в точках
вблизи контура поперечного сечения?
8.6.12. Каков общий вид формул для ттах и б? Какая вели-
величина в них определяется только формой и размерами попереч-
поперечного сечения бруса?
8.6.13. В чем суть мембранной аналогии? Как с ее помощью
можно найти геометрический фактор жесткости J& сложного
поперечного сечения?
8.6.14. В чем принципиальное различие распределений ка-
касательных напряжений при кручении брусьев открытого и за-
замкнутого тонкостенных сечений?
3.6
ЗАДАЧИ
161
В.6.15. Где возникнут максимальные касательные напря-
напряжения в составном открытом сечении?
8.6.16. Что такое стесненное кручение? Когда оно возника-
возникает?
8.6.17. Как ведет себя поток касательных сил в замкну-
замкнутом тонкостенном сечении? Какая аналогия отражает его пове-
поведение?
8.6.18. Где возникают максимальные касательные напря-
напряжения в замкнутом тонкостенном сечении?
3.6. Задачи
3.6.1. Брус замкнутого тонкостенного прямоугольного сече-
сечения скручивается моментами М, приложенными к его концам
(рис. 6.50). Считая допуска-
А-А
емое напряжение сдвига [т_|,
модуль сдвига G и разме-
размеры бруса заданными, опреде-
определить допускаемые величины
скручивающего момента [М]
и максимального угла закру-
закручивания [<Ртах]- Во СКОЛЬКО
раз уменьшится каждая из
этих величин, если брус раз-
разрезать по всей длине вдоль
образующей?
3.6.2. Для бруса, пока-
показанного на рис. 6.51, постро-
построить эпюры Мк, ттах, 0, (р
и вычислить запас прочно-
1 Л4 Н • м 7
сти, если т = 10 , / =
м
= ОД м, D = 50 мм, тт =
= 160 МПа. Принять с =
- - - 07
- D - и,/,
Ъ = 0,8L>.
3.6.3. Двухвальная кон-
конструкция (рис. 6.52) нагру-
нагружается скручивающим мо-
моментом М, приложенным к
диску, жестко соединенному
с обоими валами. Показать,
что отношение крутящих мо-
моментов, действующих в попе-
поперечных сечениях этих валов,
5=0,16
Рис. 6.50
Квадрат bxb
Рис. 6.51
А\
z©
А\
I
А-А 5 = 0,Ы
Рис. 6.52
6 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
162
КРУЧЕНИЕ
ГЛ. 6
равно отношению их жесткостей, и из условия жесткости опре-
определить длину /, если материал валов одинаковый и G, М, d и
[ср] считать заданными.
Рис. 6.54
Рис. 6.53
3.6.4. Для того чтобы соеди-
соединить разрезанную вдоль образую-
образующей тонкостенную трубу и квад-
квадратный стержень (рис. 6.53), по-
потребовалось предварительно за-
закрутить последний на угол сро в
месте соединения, так как квад-
квадратное гнездо в трубе не совпада-
совпадало с квадратом правого стержня.
Определить напряжения в тру-
трубе и стержне после сборки, если
материал стержней одинаковый и
<ро, G, ?>Ср, I заданы.
3.6.5. Определить максималь-
максимальные касательные напряжения в
стержне, скручиваемом момента-
моментами М по его концам. Считать М,
b и S заданными (рис. 6.54).
ГЛАВА 7
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЕЧЕНИЙ
Для расчета напряжений и деформаций при растяжении-
сжатии нам понадобилась единственная геометрическая харак-
характеристика сечения — его площадь. При кручении мы уже стал-
сталкивались с более сложными характеристиками, такими как по-
полярный момент инерции Jp и геометрический фактор жесткости
J&. Для изучения наиболее сложного из элементарных напря-
напряженных состояний бруса — изгиба — необходимо знать уже це-
целый комплекс взаимосвязанных геометрических характеристик
сечений. Этим вопросам и посвящена настоящая глава.
7.1. Статические моменты и центр тяжести сечения
7.1.1. Поперечное сечение бруса будем рассматривать как
фигуру F на плоскости, в которой введены декартовы коорди-
координаты z, у (рис. 7.1). Эту фигуру разо-
разобьем на элементы dF, каждый из кото-
которых имеет координаты z ж у. Тогда хо-
хорошо известную нам простейшую гео-
геометрическую характеристику сечения
площадь F можно найти как
F = J dF. G.1.1)
Рис. 7.1
Надеемся, что использование буквы F
для обозначений самой фигуры как области на плоскости zy и
для обозначения площади этой фигуры не вызовет недоразуме-
недоразумений.
164
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 7
=fzdF
G.1.2)
Интегралы
Sz=fydF, Sy
F F
называются статическими моментами сечения.
7.1.2. Рассмотрим простейшие свойства статических мо-
моментов, следующие уже из их определения.
1. Как всякие интегралы, статические моменты аддитивны
по области интегрирования. Иными словами, если область F
разбить на две (или более) части F\ и
/*2 (рис. 7.2), то ее статический момент
можно подсчитать как сумму статиче-
статических моментов этих частей:
Рис. 7.2
ydF= JydF+ JydF,
+ F2 Fi F2
+ F2) = Ss(Fi) + SZ(F2).
G.1.3)
2. Если область F расположена в первой координатной чет-
четверти (положение /на рис. 7.3), то, как это видно из определения
G.1.2), ее статический момент Sz > 0.
Если эта же фигура расположена в чет-
четвертой координатной четверти (поло-
(положение //на рис. 7.3), то Sz < 0. При пе-
перемещении F из положения /в положе-
положение // статический момент будет изме-
изменяться непрерывно и из положительно-
положительного станет отрицательным. Поэтому яс-
ясно, что найдется такое положение F,
при котором ее статический момент ра-
равен нулю. На рис. 7.3 это положение
показано штриховой линией.
Ось, относительно которой статиче-
статический момент сечения равен нулю, на-
называется центральной осью сечения.
Точка пересечения центральных
осей называется центром тяжести
сечения.
7.1.3. Для определения положения центральной оси рас-
рассмотрим, как связаны статические моменты сечения относитель-
относительно двух систем координат, оси которых попарно параллельны.
Из рис. 7.4 видно, что координаты элемента dF в этих осях свя-
связаны следующими очевидными соотношениями:
У2 = у1 + а, г2 = гг + Ь. G.1.4)
Sz<0
Рис. 7.3
7.1
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ
165
Учитывая их, получаем для SZ2:
SZ2 = fy2dF = f (yi + a) dF =
F F
Таким образом,
dF.
Аналогично
SZ2 = SZ1 + aF.
— Syi + bF.
G.1.5)
Рассмотрим специальный случай, когда оси одной из систем
координат являются центральными (рис. 7.5).
Уо\
ъ
Ух
Ух
G
1
/Л
г /
Zx/ ZX
а
У
Ъ Z2
Рис. 7.4
zT
и
Ус
у
ц.т.
У
/
Ут
Рис. 7.5
На рисунке через zCl yc обозначены центральные оси, а через
ут a zT — их расстояния до осей z и у соответственно. С учетом
таких обозначений формулы G.1.5) запишутся в виде
Sz = Szc + y^F, Sy = SyC + zTF. G.1.6)
Так как оси zc и ус — центральные, то, по определению, Szc = О
и SyC = 0. Поэтому
Sz = yTF, Sy = zTF. G.1.7)
Эти формулы позволяют найти статический момент инерции се-
сечения, если известны его площадь и положение центра тяжести.
Но из G.1.7) сразу следуют и формулы, позволяющие опре-
определить положение центра тяжести по известным статическим
моментам и площади сечения:
ут = ^, zT = ^. G.1.8)
7.1.4. Покажем, что введенное здесь понятие центра тяже-
тяжести соответствует понятию физического центра масс. Из курса
теоретической механики известно, что положение центра масс
тела с объемом V и плотностью р в декартовой системе коорди-
166
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 7
нат х, у, z определится формулами
JxpdV
v
Ум =
JypdV
JzpdV
G.1.9)
V V V
где знаменатель — масса тела.
Используем эти формулы для определения положения цен-
центра масс пластины толщиной h в ее плоскости zy. Для этого
объем пластины разобьем на элементы dV = hdF, каждый из
которых является столбиком высотой h и площадью основания
dF, лежащего в плоскости пластины. Если материал пластины
однороден, т.е. его плотность р постоянна по объему пластины,
то вторая из формул G.1.9) преобразуется к виду
Ум =
JyphdF
F
JphdF
F
phJydF
F
phfdF
F
_
F1
= dp-p-da
который в точности совпадает с соответствующим выражени-
выражением G.1.8). Такое совпадение физического определения центра
масс и геометрического определения центра тяжести позволя-
позволяет использовать уже известные
сведения о положении центра
масс простых и сложных фи-
фигу р.
В частности, очевидно, что
всякая ось симметрии сечения
является центральной осью.
Рассмотрим теперь несколь-
несколько примеров определения поло-
положения центра тяжести.
Пример 7.1. Найдем
положение центра тяжести по-
Рис. 7.6 лукруга. Выберем оси ? и у, как
показано на рис. 7.6. Ось у яв-
является центральной как ось симметрии. Координату ут цен-
центра тяжести найдем, как ут = Sz/F. Площадь полукруга F =
= -тгг2 = -nd2. Подсчитаем статический момент Sz. Для этого
2 8
удобно ввести полярные координаты р, а, как показано на рис.
7.6. Тогда
Г 7Г Г 7Г 3
Sz = Г у dF = Г Г р sin ар dp da = Г р2 dp Г sin a da = -^—.
F 0 0 0 0
Поэтому
У- = Т = -/— = з^ = 0,425г.
7.1
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ
167
Пример 7.2. Найдем центр тяжести фигуры, составленной
из прямоугольника и треугольника. Выберем оси координат, как
показано на рис. 7.7. Величины, относящиеся к треугольнику,
будем помечать верхним индексом «A)», а к прямоугольнику —
индексом «B)». Так как ось у — ось симметрии, то она является
центральной осью. Для определения
координаты ут центра тяжести фигу-
фигуры вычислим ее площадь F и стати-
статический момент Sz как для составной
фигуры:
| = 562;
Тогда
ЪЬ
ъ
1
У
V
\
2Ь
,0)
ъ
ь
\2
B)
Z
Sz 2,
= у = -ЪЬ-
Рис. 7.'
Пример 7.3. Определим площадь и положение центра
тяжести по оси х для фигуры, заключенной между осью х и
кривой у(х) = кхп (п = 0,1, 2,...)
на участке 0<ж<а (рис. 7.8).
Пусть также известно, что у(а) =
= h. Тогда кап = h. Следователь-
Следовательно, к=— и у=—хп. Разобьем
эту фигуру на столбики dF ши-
шириной dx. Тогда
dF = у dx = кхп dx = —хп dx.
G.1.10)
Площадь фигуры F найдем как
а
F= fdF= f lL
Рис. 7.8
G.1.11)
F 0
Для определения координаты хт центра тяжести найдем Sy:
Sv= [xdF= fx—xndx =
ha2
n + 2'
Тогда
G.1.12)
168
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 7
В дальнейшем при решении различных задач мы будем поль-
пользоваться формулами G.1.11), G.1.12) для вычисления площадей
и координат центров тяжести криволинейных треугольников ти-
типа данного на рис. 7.8. Запоминанию этих формул помогает
рис. 7.9, на котором первые два ри-
рисунка (п = 0, п = 1) соответству-
соответствуют известным фигурам — прямо-
прямоугольнику и треугольнику. А после-
последующий рисунок, например, п = 2,
можно получить с помощью очевид-
очевидной индукции.
y = const
F = a-h
7.2. Моменты инерции
7.2.1. Для показанной
рис. 7.1 фигуры интегралы
на
Jz = J у2 dF, Jy= f z2 dF
F F
G.2.1)
называются осевыми моментами
инерции.
Интеграл
Рис. 7.9
Jzy =
zydF
G.2.2)
называется центробежным моментом инерции, интеграл
Jp= f р2 dF G.2.3)
F
— полярным моментом инерции.
7.2.2. Рассмотрим сначала простейшие свойства моментов
инерции, следующие непосредственно из их определений G.2.1)-
G.2.3).
1. Как интегралы, моменты инерции обладают свойством ад-
аддитивности по области. Поэтому для фигуры F', составленной из
двух фигур F\ и i^ (см. рис. 7.2), момент инерции можно под-
подсчитать как сумму моментов инерции фигур F\ и i^, т.е.
J(F = Fi + F2) = J(Fi) + J(F2). G.2.4)
2. Так как р2 = z2 + у2 (см. рис. 7.1), то сразу ясно, что
Jp= J p2dF= f (z2 + y2)dF = Jz + Jy,
F F
т.е. полярный момент инерции равен сумме осевых.
G.2.5)
7.3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ОСЕЙ КООРДИНАТ
169
С /jzy>0
J
3. Полярный и осевые моменты инерции всегда положитель-
положительны как интегралы от положительных функций G.2.1), G.2.3).
4. Как это видно из опреде-
определения G.2.2), центробежный мо-
момент инерции может быть как по-
положительным, так и отрицатель-
отрицательным в зависимости от положения
фигуры относительно осей ко-
координат. Это проиллюстрировано
на рис. 7.10. Рассуждая так же,
как и в случае статических момен-
моментов, легко приходим к выводу, что
существует такое положение осей
координат относительно фигуры,
при котором Jzy = 0. Такие ко-
координатные оси называются глав-
главными осями инерции. Нетрудно показать, что если хотя бы одна
из осей фигуры является осью симметрии, то Jzy = 0 и такие
оси — главные. Предоставляем читателю доказать это самосто-
самостоятельно.
Более сложные свойства моментов инерции выявляются при
исследовании их изменений вследствие изменения положения
координатных осей относительно фигуры.
V
Рис. 7.10
7.3. Изменение моментов инерции
при параллельном переносе осей координат
7.3.1. Рассмотрим фигуру F и две системы попарно парал-
параллельных координатных осей z\, у\ и Z2, У2 (см. рис. 7.4). Выразим
моменты инерции фигуры F относительно осей Z2, У2 через их
значения для осей z\, у\. Для этого учтем, что
Z2 = z\ +
а.
G.3.1)
Тогда
JZ2= Jy22dF= J (yi + a)
F F
= J y\dF + 2a J
a2 J dF = J
Zl + 2aSZl + a2F.
Проделав аналогичные выкладки для Jy2 и JZ2y21 получим
следующие формулы преобразований моментов инерции при па-
170
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 7
раллельном переносе осей координат:
Jz2 —
Jy2 =
2aSZ
G.3.2)
2bS
2/1
- bSZl + aSyi + abF.
7.3.2. Особый интерес представляет частный случай этих
формул, когда одна из пар осей образована центральными осями
(см. рис. 7.5). Тогда
Jz JZn \ У-т-Г 1
Jy = J
yc
zTr,
7.3.3)
"¦"
т-Г' •
Эти формулы часто называют формулами Штернера. Из них
видно, что из всех параллельных координатных осей минималь-
минимальный осевой момент инерции фигуры будет относительно той оси,
которая проходит через центр тяжести.
7.3.3. Рассмотрим примеры вычисления моментов инерции.
Пример 7.4. Найдем моменты инерции прямоугольника
со сторонами В и Н относительно его центральных осей zCl yc и
осей z, у, совпадающих с его сторонами (рис. 7.11):
+Б/2 +Я/2
JZc= Jy2dF= J J y2dzdy =
-В/2 -Я/2
Точно так же
в_
' 2
В_
' 2
У_
3
~ 2
В_
' 2
вн6
12
G.3.4)
нв6
12
Так как оси zc и ус для прямоугольника
являются осями симметрии, то центробеж-
центробежный момент инерции для них равен нулю,
т.е. JZcyc = 0.
Перейдем теперь к осям z, у. Можно
было бы снова вычислить JZl Jyi Jzy как
Рис- 7-1:L интегралы по области 0<z<B,0<y<
< i7, но более просто их можно получить по формулам Штер-
нера G.3.3):
Jz =
(Н\2Р
ВН3
гг\ 2
?1 ВН =
вн3
нв3
J zy —
f f F = 0 + f f BH =
7.3
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ОСЕЙ КООРДИНАТ
171
Пример 7.5. Рассмотрим параллелограмм с основанием
В и высотой Н (рис. 7.12). Сравнивая его с имеющим такие
же основание и высоту прямоугольником, видим, что каждой
полоске dF параллелограм-
параллелограмма соответствует полоска dF <ty
прямоугольника равной пло-
площади. Поэтому их моменты
инерции относительно осей z
и zc равны. Следовательно,
для параллелограмма
т _ вн3 т вн3
Jzc —
н
Г_7
В
в
12
Рис. 7.12
Пример 7.6. Найдем моменты инерции треугольника
с основанием В и высотой Н (рис. 7.13). Дополнив этот тре-
треугольник до параллелограмма, как это показано пунктиром на
рис. 7.13, замечаем, что оба со-
составляющих параллелограмм тре-
треугольника одинаково расположены
относительно средней оси z\. По-
Поэтому их моменты инерции рав-
равны и каждый из них составляет
половину момента инерции парал-
параллелограмма относительно его цен-
центральной оси. Таким образом, для
треугольника
ВН3
т _ 1ВН3
24
Рис. 7.13
По формулам Штернера G.3.3) перейдем от оси z\ к цен-
центральной оси zc:
— Т — I — I F —
ВН3
н2 вн
~36~1г~
ВН3
24 36 2 36
А теперь с помощью тех же формул G.3.3) получим Jz:
Jz - Jzc + ^ з ) * ~ 36 + 9 2 " 12 *
Центробежный момент инерции Jzy можно вычислить как двой-
двойной интеграл по треугольной области F. Но можно сделать это и
следующим образом. Разобьем треугольник на горизонтальные
полоски толщиной dy, одна из которых показана на рис. 7.14.
Площадь этой полоски dF = ——^-Bdy. Ее центр тяжести ле-
н
жит на медиане аб, а его координата (абсцисса) равна, как это
видно из рис. 7.14,
Н -у (^ В\ НВ + уBС - В)
= С - ef = С -
н
2Н
172
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 7
Так как форма полоски близка к прямоугольной, то ее центро-
центробежный момент инерции относительно ее собственных централь-
центральных осей, т.е. первое слагаемое в тре-
третьей из формул G.3.3), можно не учи-
учитывать по сравнению со вторым слага-
слагаемым. Поэтому центробежный момент
полоски
yBC-B)]ydy.
В/2 С
Рис. 7.14
я
d Jzy = dF •
= B(H-y)l
2Я2
Момент Jzy для всего треугольника
получаем, суммируя (интегрируя) мо-
моменты dJzy полосок, т.е.
я
Jzy = / dJzy = f
Пример 7.7. Найдем моменты
инерции круга относительно осей, прохо-
проходящих через его центр (рис. 7.15). Поляр-
Полярный момент мы уже вычислили, когда рас-
рассматривали кручение бруса сплошного се-
4 т4
/ п г» г»\ т 7Г7" TTGf тт
(см. п. Ь.6.6): Jp = —- = ——. По
Z о2
чения
Jp =
Jy, ct для круга Jz = Jy. Поэтому
- т - 1 т - 7ГГ - ^4 - о
Рис. 7.15
Пример 7.8. Рассмотрим полукруг и найдем его моменты
инерции относительно осей zCi yCi проходящих через его центр
тяжести (рис. 7.16). Моменты Jyc и
Jz равны половине моментов инер-
инерции целого круга относительно тех
же осей:
zJ qi zJ у r^J \J • V/ ?iKj(Jb •
От оси z к оси zc перейдем по
формуле Штернера, используя из-
известное из примера 7.1 расстояние
4r 2d
между этими осями ут = — = —:
Зтг Зтг
Рис. 7.16
Jzc = Jz~y2TF = ^- (^rJ ^ = 0Д1г4 =
7.4
ПОВОРОТ ОСЕЙ КООРДИНАТ
173
7.4. Изменение моментов инерции при повороте осей
координат. Положение главных осей инерции
7.4.1. Рассмотрим, как связаны моменты инерции фигуры
F относительно двух пар осей
координат z, у и и, v с общим на-
началом координат и повернутых
друг относительно друга на угол
а (рис. 7.17). Как видно из этого
рисунка:
и = Od + de = z cos a + у sin a,
v = ас — се = у cos a — z sin a.
G.4.1)
Тогда Рис. 7.17
Ju = f v2 dF = J (y cos a — z sin aJ dF =
= cos2 a I y2 dF — 2 sin a cos a J zy dF + sin2 a J z2 dF =
У'
У
v\
0
z
/dFl
1 /
\
\а
z
= Jz cos2 a —
• 2 sin a cos a + Jy sin2
Проведя точно такие выкладки для Jv и Juv, получим формулы
преобразования моментов инерции при повороте осей коорди-
координат:
Ju — Л cos2 а — Jzy • 2 sin a cos a + Jy sin2 a,
Jv = Jz sin2 a + Jzy • 2 sin a cos a + J^ cos2 a,
Juv — (Л — «Л/) sin a cos a + Jzy(cos2 a — sin2 a).
Используя известные тригонометрические выражения
cos2 a = -A + cos 2a), sin2 a = -A — cos 2a),
2 sin a cos a = sin 2a, cos2 a — sin2 a = cos 2а,
представим G.4.2) в виде
ju =
jv = J
G.4.2)
J* Cos 2a - J^ sin2a,
2
Jy Cos 2a + Jzy sin 2a,
G.4.3)
—- sin 2а + Jzy cos 2а.
174 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ ГЛ. 7
Интересно отметить, что при а = 90° последняя формула G.4.3)
переходит в равенство Juv = —Jzy. Таким образом, при повороте
осей координат на 90° центробежный момент инерции меняет
знак. Он становится равен нулю, когда оси являются главными.
Угол агл, определяющий положение главных осей, найдем из
условия Juv = 0:
^ G.4.4)
Jy — J z
7.4.2. Осевые моменты инерции, как это видно из выра-
выражений G.4.3), являются непрерывными периодическими функ-
функциями угла а с периодом тг. Поэтому как всякие периодиче-
периодические функции на своем периоде изменения они должны достичь
максимального и минимального значений. Найдем их, исполь-
используя стандартную процедуру поиска экстремумов функций. Для
определения угла aextj ПРИ котором достигается экстремум, при-
приравняем к нулю производные от Ju и Jv по а:
dJu=Q dJ^ = 0 ,7 4 5ч
da da
Дифференцируя выражения G.4.3) по а, приходим в обоих слу-
случаях к уравнению
— (Jz — Jy) sin2aext — 2 Jzy cos 2aext = 0.
Отсюда сразу следует, что
xt = -^-. G.4.6)
J J
Jy J z
Сравнивая этот результат с выражением G.4.4), заключаем, что
оси, относительно которых осевые моменты инерции достигают
экстремальных значений, совпадают с главными осями инерции.
Чтобы найти моменты инерции для главных осей, воспользуемся
тригонометрическими соотношениями
sin в = g cos в = ,
л/1 + tg2 в л/1 + tg2 в
Отсюда, учитывая выражение G.4.4), получаем
sin 2агл = zy ; cos 2агл =
После подстановки sm2aTJI и cos2ara в формулу G.4.3) придем
к выражениям для максимального Jmax и минимального Jm[n
осевых моментов инерции:
FTZ ГТ~9
+ J2 G.4.7)
^ СЛ1 Q
которые и являются осевыми моментами для главных осей
7.4
ПОВОРОТ ОСЕЙ КООРДИНАТ
175
Рис. 7.18
Заметим, что Jz + Jy = Jp, а полярный момент определяет-
определяется только положением начала координат (полюса) и поэтому не
зависит от а. Следовательно, когда осевой
момент относительно одной из осей достигает
максимума, то осевой момент относительно
другой оси станет минимальным.
Обычно нет необходимости формально
определять, какой именно из главных осей
соответствует Jmax и какой Jm[n. Это сразу
видно по форме фигуры и по ее расположе-
расположению относительно главных осей. Например,
для показанной на рис. 7.18 фигуры видно,
что Jz > Jy.
В задачах изгиба бруса важно знать осе-
осевые моменты инерции сечений для тех глав-
главных осей, которые проходят через центр тяжести сечения. Такие
оси называются главными центральными осями.
Площади, положения центров тяжести и моменты инерции
некоторых часто встречающихся фигур даны в табл. 7.1.
Пример 7.9. Подсчитаем моменты инерции сечения, по-
показанного на рис. 7.19, относительно главных центральных осей.
Введем вспомогательные оси yi, z\.
Они выбраны так, чтобы было удоб-
удобно подсчитать моменты инерции со-
составляющих сечение двух прямо-
прямоугольников 1 и 2 с помощью фор-
формул, полученных в примере 7.4:
544,4
3 ° '
= b(SbK
~ 3
_ 8^ 2frDfrK _ 136^4
" 3 + 3 " 3 '
_ Ь2(8ЬJ
V
8Ь
2Ь
\
\
1'
Ь
\
\
\
\
{Ус
5/4 b
\
ё
' 4Ь
?
z\
_ Q
Рис. 7.19
4 4
Заметим, что оси z\, y\ являются главными, но не централь-
центральными.
Центр тяжести фигуры определяется быстро, если учесть,
что площади составляющих ее прямоугольников одинаковы.
176
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 7
cq
II
Ьн
ю
ю
о
-Г
II
072
о
II
й
II
Ьн
i
В.7 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 177
К центральным осям zc, yc перейдем с помощью формул
Штернера G.3.3):
JZc = JZ1 - y2TF = Ъ-^ЪА - (^bj2 ¦ 16 Ь2 = A81,3 - 36N4 = 145,3 Ь4,
Jyc = jyi - zlF = ±f-b4 - (hY ¦ 16 Ь2 = D5,3 - 25N4 = 20,3 b4,
JZcyc = Jziyi - yTzTF = 0 - \b • Ъ-Ъ ¦ 16 b2 = -30 64.
Вычислим угол наклона агл главных центральных осей и, v
к осям zCl yc:
9 Т 9 . ЧП h4
tg2aTJI = JzcVc = \* 2—# = 0,48.
Тогда 2атл = 25°407 и атл = 12° 507. Моменты инерции Ju и Jv
найдем по формулам G.4.7):
1—1 _ 1 /1 дк ог.4 , on ol4\ _|_
Z
+ ^A45,364 - 20,3fe4J + 4C064J = 82,864 + 69,364 = 152,1b4,
T OO 0^.4 r>Q OL4 -JO Г 7 4
В.7. Контрольные вопросы
8.7.1. Для чего нужно знать геометрические характеристи-
характеристики сечений?
8.7.2. От чего зависят знак и величина статического мо-
момента?
8.7.3. Что называется центральной осью сечения? Что та-
такое центр тяжести сечения? Покажите, что ось симметрии яв-
является центральной осью.
8.7.4. Как определить положение центра тяжести сечения
по известным его статическим моментам и площади?
8.7.5. Как связаны между собой полярный и осевые момен-
моменты инерции фигуры?
8.7.6. От чего зависят знак и величина центробежного мо-
момента инерции? Какие оси называются главными осями инер-
инерции? Покажите, что ось симметрии является одной из главных
осей инерции.
8.7.7. Как связаны моменты инерции фигуры относительно
параллельных координатных осей? Как упрощается эта связь,
если одна из осей центральная?
178
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ
ГЛ. 7
В.7.8. Полярный момент инерции круга Jp =
32
Чему
равен момент инерции круга относительно его центральной оси?
8.7.9. Воспользовавшись выражением момента инерции
круга относительно его центральных осей и свойством аддитив-
аддитивности, вычислить момент инерции для кольца с наружным и
внутренним диаметром Dud соответственно.
8.7.10. Относительно каких осей осевые моменты инерции
принимают экстремальные значения? Чему равны эти значе-
3.7. Задачи
3.7.1. Определить координаты центра тяжести трапеции
(рис. 7.20). Проанализировать полученные выражения, образуя
из трапеции прямоугольник (а = Ь) и треугольник (а = 0, a
затем и b = 0).
3.7.2. Показать, что оси z и у являются главными осями
инерции для трапеции, показанной на рис. 7.21 (а — произволь-
произвольный угол).
h
2 ,
h
2 ,
\
У
Рис. 7.20
Рис. 7.21
Рис. 7.22
3.7.3. Задаваясь в задаче 7.1 значениями а = 46 и h =
= 6, найти положение главных центральных осей и вычислить
моменты инерции относительно этих осей.
Указание: при вычислении центробежно-
центробежного момента инерции относительно центральных осей
треугольника следует воспользоваться выражением,
полученным в примере 7.6, и теоремой Штернера.
3.7.4. Вычислить осевые моменты инер-
инерции четверти круга (рис. 7.22) относительно
осей z,y и ус.
Указание: абсциссу zT центра тяжести чет-
четверти круга легко найти, зная положение центра тя-
тяжести полукруга, которое определено в примере 7.1.
Рис. 7.23
3.7
ЗАДАЧИ
179
3.7.5. Для показанной на рис. 7.23 фигуры вычислить мо-
моменты инерции относительно ее главных центральных осей.
Центр
тяжести
полу-
полукольца
Рис. 7.24
3.7.6. Найти положение главных центральных осей и вычис-
вычислить моменты инерции относительно этих осей для тонкостен-
тонкостенных сечений, показанных на
рис. 7.24. Толщину стенки
S для всех сечений считать
постоянной. Для сечения на
рис. 7.24 б определить также
и полярный момент инерции.
Швеллер №12
\ Уголки
/ равнополочные № 4
3.7.7. Для показанного
на рис. 7.25 составного сече-
сечения (см. ГОСТы 8240-72 и Рис. 7.25
8509-72) °) вычислить моменты инерции относительно его глав-
главных центральных осей.
°) Таблицы ГОСТов даны в приложении в конце книги.
ГЛАВА 8
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
м
Рис. 8.1
У
Изгибом называют такое напряженно-деформированное со-
состояние бруса, когда в его поперечных сечениях из шести воз-
возможных внутренних сило-
силовых факторов отличны от
нуля только перерезываю-
перерезывающие силы и изгибающие мо-
моменты.
Брус с прямой осью, на-
находящийся в состоянии из-
изгиба, часто называют бал-
балкой. Из условия равнове-
равновесия отсеченных частей бал-
балки легко понять, что ее
изгиб вызывают нагрузки,
нормальные к оси бруса (по-
(поперечные нагрузки) или со-
сосредоточенные моменты, в
плоскости действия которых
лежит ось балки (рис. 8.1).
Если все изгибающие
балку нагрузки лежат в
одной плоскости (или их
можно свести к такого вида
нагрузкам) и деформиро-
деформированная ось балки остается
в этой плоскости, то такой
изгиб называют прямым.
Общий случай изгиба,
как это будет показано в
с* 8'2 гл. 9, всегда можно предста-
представить как суперпозицию двух прямых изгибов. Такой изгиб обыч-
обычно называют косым изгибом. На рис. 8.2 показана деформация
8.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
181
двух балок, один конец которых защемлен, а к другому прило-
приложена вертикальная сила Р. Их деформированное состояние по-
показано штриховой кривой. На рис. 8.2 а деформированная ось
балки осталась в плоскости ху, в которой действует сила Р. Та-
Такой изгиб балки — прямой. А на рис. 8.2 б кроме вертикальных,
точки оси балки получили также и горизонтальные смещения.
Таким образом, ось балки вышла из плоскости ху и поэтому
ее изгиб является косым. Как мы увидим в дальнейшем, пря-
прямой изгиб возникает только при вполне определенной взаимной
ориентации плоскости действия нагрузки и сечения балки.
В этой главе мы рассмотрим прямой изгиб балки в плоскости
ху (рис. 8.3). В поперечных сечениях такой балки возникают
перерезывающая сила Qy и изгибающий момент Mz.
Mz>0
м
Рис. 8.3
Рис. 8.4
Правила знаков для Qy и Mz проиллюстрированы на рис. 8.4
для отсеченных частей балки. Как видно из этого рисунка,
Qy > 0, если она стремится повернуть
отсеченную часть, к которой она прило-
приложена, по часовой стрелке.
Из рис. 8.5, на котором деформиро- I
ванное состояние элемента балки показа-
показано штриховыми линиями, ясно, что по-
положительный изгибающий момент Mz
вызывает такой изгиб балки, что ее верх-
верхние волокна сжаты, а нижние растянуты.
При Qy = 0 изгиб называют чистым. А если
поперечный.
Рис. 8.5
Qy ф 0, то изгиб
8.1. Статические дифференциальные и интегральные
соотношения при изгибе
8.1.1. Рассмотрим равновесие элемента балки, выделенного
сечениями х и х + dx (рис. 8.6). На него действует погонная
распределенная нагрузка, интенсивность которой из-за малости
dx можно считать постоянной по длине элемента и равной q(x).
182
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
Тогда равнодействующая этой нагрузки равна q(x) dx. Co сто-
стороны левой отброшенной части балки на элемент dx действуют
Qy(x) и Mz(x), а со стороны правой — Qy(x + dx) « Qy(x) + dQy
Qy(x)
Mz(x)(-
X
, j
?_
dx
Рис. 8.6
и Mz(x + cfe) « Мг(ж) + dMz. Запишем условия равновесия эле-
элемента. Так как на балку не действуют нагрузки, направленные
вдоль оси ж, то условие ^Рх = 0 выполняется. Условие ^Ру =
= 0 запишется в виде
Qy(x) + q(x) dx - (Qy(x) + dQy) = 0.
Отсюда получаем
—^- = а(ж) т . (о.1.1)
d%; х ' х '
В этом статическом дифференциальном соотношении стрел-
стрелками показаны принятые при его выводе положительные на-
направления х и q.
Составим теперь для элемента второе условие равновесия как
условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-
либо точки, например точки А:
^
= 0 -»• -Mz(x) + (Mz(x) + dMz) -
- (Qy(x) + dQy) dx + q(x) dx-^- = 0.
Отбрасывая в этом равенстве слагаемые высшего порядка ма-
малости dQy dx и -q(x)(dxJ, получаем второе статическое диффе-
дифференциальное соотношение:
dMz
dx
= Qy{x).
(8.1.2)
8.1.2. Рассмотрим теперь элемент балки, выделенный в
окрестности точки с координатой жр, где приложена сосредо-
8.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
183
точенная сила Р (рис. 8.7). На рисунке использованы знакомые
читателю обозначения:
Qy = Qy(xP — dx), Q^ = Qy(xp ¦+
Условия равновесия этого элемен-
элемента запишем в виде q-
= 0 ->> -
-Q~dx +
М+ -Q+dx = 0.
Во
соотноше-
слагаемые
быть от-
dx
В
dx
\mz+
Рис. 8.7
Mz
Qy
Mz
втором из этих
ний бесконечно малые
Q~ dx и Q+ dx должны
брошены в сравнении с конечными
величинами М~ и М^~. Окончательно получаем, что в окрест-
окрестности точки приложения сосредоточенной силы Р пере-
перерезывающая сила Qy претер-
| Р \ р певает скачок на величину
t | j t I j этой силы, а изгибающий мо-
момент Mz непрерывен:
Q+ - Q- = Р, М+ = М~.
(8.1.3)
Характер эпюр Qy и Mz
в окрестности точки прило-
жения сосредоточенной силы
показан на рис. 8.8. Из это-
х х то рисунка видно, что скачок
Qy происходит в ту сторону,
Рис- 8-8 куда направлена сила (если
смотреть слева направо), а на эпюре Mz образуется согласно
(8.1.2) угол, направленный навстречу силе.
Рассмотрим теперь равновесие
элемента балки, выделенного около
сечения %, где приложен сосредо-
сосредоточенный момент М (рис. 8.9). Из
условий его равновесия нетрудно по-
получить, что
Q+ = Q-, м+ - М~ = М. (8.1.4)
Эти соотношения показывают, что в
сечении балки, где приложен сосре-
сосредоточенный момент М, перерезыва-
перерезывающая сила Qy непрерывна, а изгиба-
м
Рис. 8.9
184
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
м
1=
м
ющий момент Mz претерпевает скачок, равный М. Характер
эпюр Qy и Mz в окрестности такого сечения показан на рис. 8.10.
Из него видно, что форма
скачка Mz повторяет форму
пары сосредоточенного мо-
момента М.
8.1.3. Продифференци-
Продифференцируем соотношение (8.1.2) по
х и учтем (8.1.1). В итоге по-
получим
d2Mz
dx2;
(8.1.5)
Рис. 8.10
Вторая производная, как из-
известно из курса математики, определяет знак кривизны кривой.
Поэтому из (8.1.5) следует, что при q > 0, т.е. когда нагрузка q
направлена вверх, кривизна эпю-
эпюры Mz положительна, т.е. эта эпю-
эпюра имеет выпуклость вниз. И нао-
наоборот, если q направлена вниз, то
у эпюры Mz выпуклость обраще-
обращена вверх. Таким образом, выпук-
выпуклость эпюры Mz направлена на-
навстречу распределенной нагрузке
q. Это правило проиллюстрирова-
проиллюстрировано на рис. 8.11.
8.1.4. Чтобы получить инте-
интегральные статические соотноше-
соотношения, рассмотрим равновесие конеч-
конечного элемента балки, расположен-
расположенного между сечениями х\ и х%
(рис. 8.12). Условия его равновесия
имеют вид Рис. 8.11
/ q(x) dx-\-
I (x — x\)q(x) dx ¦
=0,
1.1.6)
ie[xi,x2]
= 0.
8.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
185
В первом из этих соотношений интеграл является равнодейству-
равнодействующей распределенной нагрузки с интенсивностью q(x), а во вто-
втором — ее равнодействующим моментом. Из (8.1.6) получаем
(8.1.7)
Qy{x2) -Qy(xi) = fq(x)dx+
Х2
Mz(x2) - Mz(xi) = - J (x -
dx
x\
E Mr (8-L8)
ie[xi,x2] je[xi,x2]
Соотношение (8.1.7) является одной из форм записи общего
решения дифференциального уравнения (8.1.1) с учетом скач-
Рис. 8.12
ков Qy вида (8.1.3), вызванных действием сосредоточенных сил
Pi. В этом нетрудно убедиться, продифференцировав (8.1.7), на-
например, по Ж2, в результате чего получим dQy/dx2 = q(x2)- Это
соотношение совпадает с (8.1.3) с точностью до обозначения ар-
аргумента. Чтобы установить связь между выражением (8.1.8) и
дифференциальным соотношением (8.1.2), продифференцируем
(8.1.8) по х2. Получим
dMz
Х2 Х2 \
(\ I Р Р \ (К)
= -— — / xq(x) dx + х\ \ q(x) dx + -j^-(x2 —
dx? \ J Jx// dx?
+ Qy(x2) = ~x2q(x2) + xiq(x2) + q(x2)(x2 - x{) + Qy(x2).
Здесь учтено, что dQy/dx2 = q(x2). Первые три слагаемых в пра-
правой части взаимно уничтожаются. В результате получаем, что
dMz/dx2 = Qy(x2). А это значит, что выражение (8.1.8) являет-
является одной из форм записи общего решения дифференциального
уравнения (8.1.2), учитывающего скачки вида (8.1.4). Другую
более удобную форму общего решения уравнения (8.1.2) можно
186
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
построить, интегрируя его непосредственно:
Mz(x2) -Mz(xi) = fQydx
?
Mr
3.1.9)
8.1.5. Рассмотрим примеры построения эпюр Qy и Mz для
статически определимых балок. Заметим сразу, что само по себе
построение этих эпюр, так же, как и эпюр N и М&, не являет-
является самоцелью, но это необходимый этап для расчета балки на
прочность и определения ее перемещений.
Пример 8.1. Рассмотрим балку, один конец которой сво-
свободен, а другой закреплен так, что исключены его перемещения
и поворот (рис. 8.13). Такое закрепление балки называют задел-
заделкой или защемлением. Со стороны такого закрепления на балку
действуют горизонтальная Rx и вертикальная Ry силы, называ-
называШШАШШШШААШ
О
М2
1
щ
I
1
[qa]
Рис. 8.13
емые реакциями опоры, а также момент Mr — реактивный мо-
момент. Все они показаны на рис. 8.13 штриховыми линиями. Их
можно найти из условий равновесия балки. Но при построении
эпюр Qy и Mz для консольной балки в этом нет необходимости,
так как после рассечения балки для ее левой части можно со-
составить уравнения равновесия, из которых и определяются Qy
и Mz.
При построении эпюры Qy прежде всего, исходя из соотно-
соотношений (8.1.1) и (8.1.3), заметим, что:
— скачок Qy будет только в сечении i, где приложена сосре-
сосредоточенная сила qa]
— на участке 2~4 q(x) = 0, поэтому Qy = const;
8.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
187
— на участках 0-1 и 1-2 q = const, и поэтому Qy меняется
по линейному закону.
Эти сведения помогают экономично воспользоваться мето-
методом сечений. Для построения эпюры Qy достаточно рассмотреть
отсеченные части балки, выделенные сечениями в точке #, слева и
справа от точки 1ив любой точке на участке 2~4 (рис. 8.14 а-г).
Для определения Qy составим для них условия равновесия
^2 Ру = 0. Например, для рис. 8.14 г такое условие имеет вид
(8.1.10)
qa — Qy2 — J q dx = 0.
0-2
Вошедший в это условие интеграл является равнодействующей
распределенной нагрузки на участке 0-2. Так как q = const, то
о1 /
Г
ш
qa
Qv
az2
}2qa
\м2
ш
~а
kqa
1
2
3 4
ж
Рис. 8.14
он равен q • 2а. Учитывая это, получаем из (8.1.10) Qy2
Точно так же находим Qyo = 0, Q~x = —qa, Q^x = 0.
= —qa.
188 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
Обычно такие условия равновесия просты, и при минималь-
минимальной тренировке нет необходимости их выписывать и решать. Той
же цели можно достигнуть, подбирая такую перерезывающую
силу, чтобы для отсеченной части выполнялось условие У^ Ру =
= 0, как это сделано для отсеченных частей на рис. 8.14 е, сне.
Знак полученной перерезывающей силы определяется по тому,
как она стремится повернуть отсеченную часть. Для отсеченных
частей на рис. 8.14 е, сне полученные в сечениях 3 а 4 перерезы-
перерезывающие силы qa стремятся повернуть отсеченную часть против
часовой стрелки, поэтому они отрицательны.
По полученным значениям легко построить эпюру Qyi дан-
данную на рис. 8.13.
При построении эпюры Mz учтем, что на ней будет скачок
в сечении 5, где приложен сосредоточенный момент qa2. Поэто-
Поэтому для определения необходимых для построения значений Mz
в точках 1, 2, 5, 4 рассмотрим равновесие отсеченных частей,
изображенных на рис. 8.14. Моментные условия равновесия для
этих отсеченных частей запишем в виде равенств нулю сумм
моментов всех действующих на них нагрузок относительно то-
точек, совпадающих с сечениями. Так, для отсеченной части на
рис. 8.14 д это условие имеет вид
^2 Мс = 0 ->> qa • 2а - 2qa • 2а - М~3 = 0. (8.1.11)
В этом уравнении второе слагаемое является равнодействующим
моментом распределенной нагрузки. Он подсчитан как момент
равнодействующей этой нагрузки. На рис. 8.14 д эта равнодей-
равнодействующая 2qa показана штриховой прямой. Из (8.1.11) получаем
М~3 = -2qa2.
Из условий равновесия всех других отсеченных частей получим
Mzq = 0, Mz\ = -\qa2, Mz2 = -qa2, M+3 = -qa2, Mz± = -2qa2.
Для определения Mz можно подбирать его величину и на-
направление так, чтобы для отсеченной части выполнялось усло-
условие ^2МС = 0, как это сделано для частей на рис. 8.14 е, сне.
По полученным значениям нетрудно построить эпюру MZl
показанную на рис. 8.13. При этом нужно учесть, что на участ-
участках 2-3 и 3~4 Qy = const, поэтому ввиду дифференциального
соотношения dMz/dx = Qy Mz меняется линейно. На участках
0-1, 1-2 Qy изменяется линейно, следовательно, Mz здесь ме-
меняется по квадратичному закону. Более того, так как Qyo = 0,
Qyi = 0, то в этих точках касательные к эпюре Mz горизон-
горизонтальны.
В точке 2 эпюра Qy непрерывна, поэтому парабола Mz на
участке 1-2 касается в точке 2 прямой участка 2-3. В точке i,
8.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
189
qa
q
наоборот, Qy изменяется скачком из-за сосредоточенной силы qa
и здесь на эпюре Mz образуется угол, направленный навстречу
этой силе.
Пример 8.2. Построим эпюры Qy и Mz для двухопорной
балки, показанной на рис. 8.15. Левая опора этой балки назы-
называется шарнирной опорой.
Она не позволяет сечению
А балки перемещаться го-
горизонтально и вертикально,
но не сопротивляется пово-
повороту этого сечения. Поэтому
результатом взаимодействия
балки с такой опорой бу-
будет появление горизонталь-
горизонтальных и вертикальных сил вза-
взаимодействия — реакций опор Rx и Ry (рис. 8.16 а). Правая опо-
опора называется катковой опорой. Она запрещает перемещения
сечения В балки только по нормали к плоскости опоры (в дан-
2а
ж
ис' '
Рис. 8.16
ном случае вертикальные перемещения) и не оказывает сопро-
сопротивления его перемещениям вдоль плоскости опоры (горизон-
(горизонтальным) и повороту. Поэтому в такой опоре возникает только
реакция, нормальная к плоскости опоры. В нашем случае это
реакция Ry (рис. 8.16 б). В литературе можно встретиться с
различными схематическими изображениями катковой опоры.
Некоторые из них показаны на рис. 8.16 б. Первую и третью
схему на этом рисунке используют также для изображения од-
односторонних опор — допускающих отрыв катка от опорной плос-
плоскости. Мы такие случаи рассматривать не будем.
Определение реакций опор для двухопорной балки необходи-
необходимо, так как рассечение ее приводит к образованию таких двух
частей, которые взаимодействуют с опорой. Для нахождения ре-
реакций опор отбросим опоры и заменим их действие на балку ре-
190
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
акциями Rax-> В>Ау> Rby (рис. 8.17). Теперь балка как тело на
плоскости имеет три степени свободы и поэтому можно соста-
составить три независимых уравнения для определения трех реак-
реакций. Так как на балку не действуют горизонтальные силы, то
из условия равновесия Y Рх = 0 сразу следует, что Rax — 0.
Реакции Rav и RBy удобно определять из условий Y Ма = 0 и
МА = 0 ->> qa2 + qa • а - 2qa • 2а + RBy • За = 0,
Мв = 0 ->> qa2 - qa • 2a + 2qa • a - Rav • За = 0.
3.1.12)
В этих условиях учтено, что равнодействующая распределенной
нагрузки равна 2qa и приложена посередине участка 1-2. Она
показана пунктиром на рис. 8.17.
Использование моментных
условий для определения реак-
реакций двухопорной балки приво-
приводит к тому, что каждое из урав-
уравнений (8.1.12) содержит толь-
только одну неизвестную реакцию и
поэтому реакции определяются
Рис 8 17 независимо. Если при опреде-
определении одной из них допущена
ошибка, она не скажется на второй. Условие ^2 Ру = 0 удобно
использовать для контроля правильности определения реакций.
б Q
в М
Рис. 8.18
2 1
Из (8.1.12) легко получаем, что RBy = -qa и Rav = -qa.
о о
Полученный результат показан на рис. 8.18 а. По нему легко
8.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
191
убедиться, что условие ^ Ру = О выполняется. Эпюры Qy и
Mz построены точно так же, как и в предыдущей задаче (см.
рис. 8.18 б, в). Более того, для такой балки в качестве отсечен-
отсеченной части можно принимать любую из двух образованных сече-
сечением частей балки. Поэтому появившуюся возможность выбо-
выбора можно использовать для упрощения решения. Необходимые
для построения эпюр Qy и Mz отсеченные части показаны на
рис. 8.19.
qa
+о
qaf
qa
\qa
0J
1Q-V
\qa
м~\ '
Lz2
У
\qa
Рис. 8.19
Максимальное значение Mz на участке 1-2 можно найти дву-
двумя способами. Первый из них использует метод сечений непо-
непосредственно и определяет Mzmax
как изгибающий момент из усло-
условия равновесия отсеченной части,
образованной сечением в точке, где
Qy = 0. Эта часть показана на
рис. 8.20. Из условия
= 0
2 2
легко найти, что M^max = -qa--a —
2 1 2 2
~q' за' за= *q
Mz
Рис. 8.20
Второй способ основан на соот-
соотношении (8.1.9). Так как на участке между точками С и В не
приложено сосредоточенных моментов, то
Mz(xB)-Mz(xc)= f Qydx.
с-в
хв
Но Mz(xb) = 0, тогда Mz(xc) = — / Qydx, поэтому Mz(xc) =
хс
— Мгтах равен площади эпюры Qy между точками С и В. Вы-
12 2 2о
числяя ее, получаем М^тах = - • -qa • -а = -qa .
Пример 8.3. Построим эпюры Qy и Mz для балки,
показанной на рис. 8.21. Эта балка состоит из двух частей, со-
соединенных между собой шарнирно в точке В. Для определения
опорных реакций отбросим опоры и заменим их реакциями, а
192
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
также рассечем балку по шарниру в точке В. Так как шарнир-
шарнирное соединение не сопротивляется повороту частей балки друг
относительно друга, то в сечении В не возникает изгибающе-
2а
в
Же
Рис. 8.21
го момента, а будет действовать только перерезывающая сила.
Полученные части изображены на рис. 8.22, где учтено, что в
шарнирной опоре D из-за отсутствия горизонтальных нагрузок
QvbL
QyB
ч
1 \
3
')
i
^(
с
< >
]
t,
< \
-*
f )
a
1 \
I
1 )
D
Рис. 8.22
не появится горизонтальной реакции. Теперь из условий равно-
равновесия для части балки АВ легко найти Ra и Qvb • При этом рав-
равнодействующую распределенной по линейному закону нагрузки
и точку ее приложения получим как площадь и центр тяжести
треугольной эпюры q(x) на участке АВ. На рис. 8.22 эта равно-
равнодействующая, так же, как и равнодействующая постоянной рас-
распределенной нагрузки на участке BD, показана штриховой пря-
мой. Из условия
а из условия
2
— 0 для части АВ получим Qvb — — -
о
= 0 следует, что Ra — -
о
-) найдем, используя для части BD условие
= —goa5 а из условия
. Теперь, зная
= 0, что
= 0 определим, что Re — —qoQ>-
Полученные реакции показаны на рис. 8.23 и там же приведены
эпюры Qy и Mz. Методика построения этих эпюр по участку
BD ничем не отличается от использованной выше в примерах
8.1 и 8.2. Там в силу достаточной простоты этих эпюр мы обо-
8.1
СТАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
193
шлись без их аналитических выражений, подсчитывая значения
Qy и Mz в характерных сечениях и соединяя полученные точки
0,257
Рис. 8.23
с учетом дифференциальных зависимостей. Предоставляем чи-
читателю возможность попрактиковаться в построении эпюр Qy и
Mz этим способом.
Для участка АВ такой подход затруднителен. Qy и Mz здесь
найдем из условий равновесия отсеченной части, показанной на
рис. 8.24:
МС = 0 -> -*±
2
~4о~3
Координату сечения, в котором
Qy = 0 и Mz достигает макси-
максимального значения, найдем из
условия Qy = 0:
a q0x2 п
= =Ь—=а « 1,15а.
л/3
Очевидно, что искомому мак-
максимуму Mz соответствует поло-
ж:ительное значение корня х\.
12a
2' 2a
q{
X
1
1)
X
3
V
2а
Mz
Рис. 8.24
7 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
194
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
Подставив его в выражение для MZl получим
Г*" (
(
м
8.2. Геометрия деформаций и нормальные напряжения
при чистом изгибе
8.2.1. Сначала изучим простейший случай изгиба — пря-
прямой чистый изгиб балки постоянного сечения. В таком состоя-
состоянии балка будет находиться, ес-
если она изгибается приложенны-
приложенными к ее торцам одинаковыми
моментами М и при этом ее
деформированная ось остается
в плоскости действия моментов
(рис. 8.25). Нетрудно методом
сечений убедиться, что Mz по-
Рис. 8.25 стоянен по длине балки. Более
того, напряженно-деформированное состояние балки также од-
однородно по длине (кроме, конечно, прилегающих к торцам зон
Сен-Венана, где распределение напряжений зависит от конкрет-
конкретного способа приложения моментов М к торцам).
Возьмем произвольное сечение А балки. Двумя симметрич-
симметричными относительно него сечениями С и С\ выделим элемент
балки (рис. 8.26). Этот элемент
симметричен относительно сече-
сечения А и нагружен симметрич-
симметрично, поэтому он должен и дефор-
деформироваться симметрично. Следо-
Следовательно, при деформации сече-
сечение А как плоскость симметрии
останется плоским и нормальным
к деформированной оси бруса. А
так так сечение А выбрано про-
mz=m}
с
i
с
MZ=M
Рис. 8.26
извольно, то такие же выводы можно сделать и относительно
любого сечения балки. Итак, при чистом изгибе поперечные се-
сечения бруса остаются плоскими и нормальными к деформиро-
деформированной оси балки.
Если балка имеет переменное сечение, то выделенный из нее
элемент уже не будет симметричным. Поэтому его деформация
будет сложнее. Но эксперименты показывают, что при плавном
изменении сечения балки характер ее деформирования мало от-
отличается от картины деформирования балки постоянного сече-
сечения. Поэтому можно принять так называемую гипотезу плоских
сечений, предполагающую, что при изгибе поперечные сечения
8.2 ГЕОМЕТРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ И НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 195
балки остаются плоскими и нормальными к ее деформирован-
деформированной оси.
Автором этой гипотезы является Я. Бернулли A694).
8.2.2. Выделим из балки двумя поперечными сечениями
элемент длиной dx и рассмотрим его деформации. На рис. 8.27
деформированное состояние эле-
элемента показано штриховыми ли-
линиями. Рассматривая балку как
состоящую из продольных воло-
волокон, замечаем, что верхние ее
волокна укоротились, а нижние
удлинились. Волокна АВ, ко-
которые отделяют сжатые волок- mz4
на от растянутых, будем назы- \
вать нейтральными волокнами
(на рисунке — штрих-пунктир).
После деформации между тор-
торцевыми сечениями элемента об-
образуется угол da, а нейтральные рис g 27
волокна искривиляются. Их ра-
радиус кривизны обозначен через р. Найдем относительное удли-
удлинение ех волокна CD, расположенного на расстоянии у от ней-
нейтральных волокон:
_ _CD- w C'D' _ _dx- (p-y)da _ _pda- (p - у) da _ _y
pda p
CD
dx
Здесь учтено, что CD = AB, a AB = dx = pda. Знак « —» учиты-
учитывает, что волокно CD укорачивается. Полученное соотношение
ех = -1 (8.2.1)
является математическим выражением гипотезы плоских сече-
сечений при изгибе балки в плоскости ху. Так как изгиб прямой, то
все волокна, расположенные на расстоянии у от нейтральных,
имеют одинаковую деформацию ех = —у/'р.
Теперь, чтобы перейти от деформаций к напряжениям, бу-
будем считать, что каждое продольное волокно балки при изгибе
находится в состоянии одноосного растяжения. Это равносильно
предположению, что в продольных сечениях балки при изгибе
не возникает нормальных напряжений, или, как иногда гово-
говорят, продольные волокна друг на друга не давят. Поэтому такое
предположение называют гипотезой о ненадавливаемости про-
продольных волокон. Фактически нормальные напряжения в про-
продольных сечениях балки возникают, но они малы по сравнению
с ах и ими можно пренебречь. Принятая гипотеза при линейно-
196
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
упругой деформации позволяет связать нормальные напряже-
напряжения в поперечном сечении ах с деформациями продольных во-
волокон ех соотношением закона Гука для одноосного растяжения:
ох = Еех. (8.2.2)
Учитывая гипотезу плоских сечений (8.2.1), получаем, что ах
распределяются по поперечному
сечению линейно:
(8.2.3)
= --ру.
Рис. 8.28
Линейный характер распределе-
распределения нормальных напряжений в се-
сечении балки показан на рис. 8.28.
8.2.3. Чтобы связать ах и MZ1
воспользуемся соотношением
(8.2.4)
в котором Mz подсчитан как равнодействующий момент относи-
относительно оси z элементарных продольных усилий ах dF (рис. 8.29).
Подставив в это соотношение ах по
(8.2.3), получаем yL
dF
Mz = *
= ??i. (8.2.5)
р
Напоминаем, что / у2 dF = Jz —
F
осевой момент инерции сечения
балки F.
Соотношение (8.2.5) устанавли-
устанавливает связь между кривизной оси Рис- 8.29
балки 1//9, жесткостью балки на изгиб EJZ и изгибающим мо-
моментом М7\
(8.2.6)
Mz
А после исключения из
ющую ах и Mz:
$.2.3) 1/р получаем формулу, связыва-
Mz
(8.2.7)
С помощью этой формулы мы могли бы найти нормальные на-
напряжения ах в сечении балки по определенному методом се-
сечений изгибающему моменту Mz. Однако нам пока неизвест-
неизвестно положение нейтральных волокон, от которых отсчитывает-
ся расстояние у. Найдем его, учитывая, что при чистом изгибе
8.3 НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ 197
продольная сила N равна нулю. Но N можно подсчитать как
равнодействующую элементарных продольных усилий ах dF в
соответствии с разд. 2.3 (см. рис. 8.29):
N= JaxdF. (8.2.8)
F
Подставив сюда (8.2.7) и приняв N = 0, получим
/Г* л /Г л /Г Г* Л/Г
axdF = - j ^ydF = --^ j ydF = --^Sz = 0.
F F F
(8.2.9)
Отсюда ясно, что так как статический момент Sz равен нулю,
то ось z является центральной осью сечения.
Учтем теперь, что при изгибе в плоскости ху изгибающий мо-
момент Му равен нулю . Но в соответствии с разд. 2.3 (см. рис. 8.29)
Му = J axzdF. (8.2.10)
F
Следовательно, с учетом формулы (8.2.7) получаем
Му= J axzdF= - J ^yzdF = -^ J yzdF = -^Jzy = 0.
F F F
(8.2.11)
Таким образом, при прямом изгибе в плоскости ху оси z и у
должны быть такими, чтобы центробежный момент инерции Jzy
был равен нулю, т.е. главными осями сечения.
Суммируя полученные результаты, приходим к заключению,
что прямой чистый изгиб бруса под действием изгибающего мо-
момента Mz происходит только тогда, когда оси z, у являются глав-
главными центральными осями сечения. В этом случае нормальные
напряжения ах и кривизна нейтральных волокон 1/р определя-
определяются выражениями
j_Mz 1 , Mz /QO1O\
ст* = ±ху' -Р = ±ж- (8-2Л2)
В этих формулах введены знаки «±», так как знак в них свя-
связан с направлением оси у. На практике по направлению изги-
изгибающего момента Mz всегда видно, как искривляется ось бруса
и какие волокна сечения растянуты, а какие сжаты, и поэтому
можно легко установить нужный знак.
198
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
1
%
8.3. Напряжения при поперечном изгибе
8.3.1. При поперечном изгибе балки в плоскости ху пере-
перерезывающая сила Qy не равна нулю. Такой изгиб консольной
балки вызывает, например, си-
р| ^ А ^ ла, приложенная к ее концу
(рис. 8.30). Рассматривая сим-
симметричный относительно сече-
сечения А элемент балки, пока-
показанный на рис. 8.31, замечаем,
что он нагружен несимметрич-
несимметрично. Поэтому и деформировать-
Рис. 8.30 ся он будет также несиммет-
несимметрично относительно сечения А,
и это сечение не останется плоским. Однако опыт показывает,
что геометрию деформации длинных балок {l/h ^ 8) при изгибе
с достаточной точностью можно описать гипотезой плоских се-
сечений: поперечные сечения
балки при изгибе остаются
плоскими и нормальными к ее
деформированной оси.
А такая картина деформа-
деформаций показана на рис. 8.27 и по-
подробно исследована в преды-
предыдущем разделе. Повторяя без
Рис. 8.31
изменений рассуждения, про-
проведенные в пп. 8.2.2 и 8.2.3,
приходим снова к формулам,
которые определяют нормальные напряжения и кривизну де-
деформированной оси, но теперь уже при поперечном изгибе:
ах = ±Mly, I = ±Ml.. (8.3.1)
8.3.2. Кроме нормальных напряжений, при поперечном из-
изгибе должны возникать и касательные напряжения тху. Это сле-
следует из того, что Qy ф 0, a Qy является равнодействующей дей-
действующих в сечении элементарных касательных усилий:
Qy=
3.3.2)
Принимая гипотезу плоских сечений, мы предполагаем так-
также, что при деформации каждое продольное волокно остается
нормальным к поперечным сечениям, т.е., что угол AC'D1 на
рис. 8.27 остается прямым. А это значит, что в плоскости ху де-
деформации сдвига jxy считаются равными нулю. Поэтому, если
мы попытаемся найти тху по деформации сдвига jxy с помощью
3.3
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
199
закона Гука так же, как это было сделано для нормальных на-
напряжений при переходе от (8.2.1) к (8.2.3), то мы получим, что
тху = Gjxy = 0. Но мы только что пришли к выводу, что если
при поперечном изгибе Qy ф 0, то и тху ф 0. Полученное про-
противоречие, как видно, является следствием гипотезы плоских
сечений, которая как раз и пренебрегает сдвигами jxy.
8.3.3. Вопрос о распределе-
распределении напряжений тху по сечени-
сечениям при поперечном изгибе дол-
долгое время оставался не решен-
решенным, и для приближенной оцен-
оценки величины тху принимали, сле-
следуя Л. Навье, что они равномер-
равномерно распределены по площади по-
поперечного сечения, т.е. что тху =
= Qy/F. Элементарное решение
этого вопроса было найдено вид-
видным русским инженером Д. Жу-
равским в 1844 г.
Рассмотрим подробнее напряженное состояние элемента бал-
балки, выделенного поперечными сечениями х и х + dx (рис. 8.32).
В этих сечениях действуют нормальные напряжения
Рис. 8.32
ат\х
-У,
(8.3.3)
а также касательные напряжения тху.
Рассечем этот элемент продольной плоскостью, нормальной
к оси у и проходящей на расстоянии у\ от оси z (см. рис. 8.32), и
рассмотрим верхнюю отсе-
отсеченную часть (рис. 8.33). В
продольном сечении возник-
возникнут касательные напряже-
напряжения туХ1 равные по свойству
парности напряжениям тху .
Для того чтобы образован-
образованная продольным сечением от-
отсеченная часть была в рав-
равновесии, необходимо выпол-
выполнение условия ^2РХ = 0 для
N(x)
N(x+dx)
•ух
Рис. 8.33
действующих на нее сил. Равнодействующие N(x) и N(x + dx)
нормальных усилий сх(х) dF и сгх(х + dx) dF, действующих на
200
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
отсеченной части F0TC сечения F, будут
Щх)= J ax(x)dF= f MlydF = ^ f
N(x + dx)= f ax(x + dx) dF = M* + dMzS°zTC.
*J Jz
(8.3.4)
Здесь S°TC — статический момент отсеченной части сечения от-
относительно главной центральной оси z.
Касательные напряжения тху и тух будем считать равномер-
равномерно распределенными по ширине Ъ(у\) продольного сечения. То-
Тогда действующая вдоль оси х равнодействующая касательных
усилий по площади продольного сечения Ъ(у\) dx будет равна
Tyxb(yi) dx. Условие ^Рх = 0 для показанной на рис. 8.33 отсе-
отсеченной части теперь можно записать в виде
N(x) - N(x + dx) + ryxb(yi) dx = 0. (8.3.5)
Подставив в это уравнение (8.3.4), получаем после упрощений и
деления на Ъ(у\) dx
_ dMz S°ZTC
Тух ~ ~cfoT Jzb(yi)'
Но, по статической дифференциальной зависимости, dMz/dx =
= Qyi а по свойству парности касательных напряжений тух =
= тху. Поэтому
'xy\
_ Qys°zTC(yi)
Jzb(yi) '
(8.3.6)
В этой формуле подчеркнута зависимость S°TC b и тху от ко-
координаты продольного сечения у\. Саму формулу (8.3.6) часто
называют формулой Д. Жу-
зОу_
2 ВН
" И
равского. Рассмотрим приме-
примеры ее использования.
Пример 8.4.
Найдем распределение каса-
касательных напряжений по пря-
прямоугольному сечению балки,
в котором результатом их
действия является сила Qy
(рис. 8.34). Для этого сечения
Jz = ВН3/12, Ь(уг) = В. Ве-
Величину S°TC подсчитаем как S°TC = F0TCy°TC. Здесь F0TC - пло-
У,
н
2
Н
2
^отс
6У///
V////
Qy
в
Ух
у™
Z
Рис. 8.34
/ 7Т \
щадь отсеченной части сечения; F0TC = В f — — у\ \ ;
у°тс - ко-
3.3
НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ
201
1 /Я \
ордината центра тяжести F0TC: у°тс = - ( — + у\ \. Поэтому
сотс В (Н
s* =^{j-
Н
В
После подстановки всех этих величин в формулу (8.3.6) получа-
получаем
_ QyS°zTC _ 6Qy
~ Jzb ~ BHS
'ху\
Таким образом, напряжения тху по высоте сечения распре-
распределяются по закону квадратичной параболы. Они обращаются
, я
в нуль при у\ = ± —, т.е. у верхней и нижней границ сечения.
Этот результат находится в соответствии со свойством парности
касательных напряжений, так как напряжения тху у верхней и
нижней границ сечения должны быть парны напряжениям тух
на верхней и нижней поверхностях балки, где тух = 0, поскольку
эти поверхности являются наружными.
Из (8.3.7) видно, что максимальная величина тху достигается
при у\ = 0, т.е. в средних по высоте точках сечения:
_ 6Q (Н\2 _ 3 Qy
max БЯ3 \2J 2BH'
Таким образом, формула Д. Журавского дает, что величина
в 1,5 раза больше средних по сечению напряжений Qy/BH.
Эпюра rxy(yi) показана справа на рис. 8.34.
Пример 8.5. Рас-
Рассмотрим теперь распределе-
распределение тху в балке треугольного
'ху
сечения. Из рис. 8.35 видно,
что
^отс _ ^
и
уГ =
VII
з Qy
ьтах - 2 BHI2
В
Рис. 8.35
Поэтому, учитывая, что Jz = Si73/36, получаем
QnoTC гл троте отс QA/~) owl/
у D z \с?уГ ут OKjKagy ?
:у ~ ~^ь~ - ТГь "
После упрощений имеем
= l2Qy
тху - вн3
b(yi)
202
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
Таким образом, и в треугольном сечении тху изменяются по ква-
2 1
дратичному закону и равны нулю при у\ = -Н и у\ = — -i7, т.е.
в верхней и нижних точках сечения.
Квадратичная парабола достигает своего максимального
значения в точке, равноудаленной от точек, где она обращает-
обращается в нуль. Поэтому напряжения тху максимальны при у\ = -Н
, что снова в 1,5 раза больше их
. Эпюра тху(у\) по-
пои равны ттах = -Qy
2
среднего по площади значения Qy
казана справа на рис. 8.35.
Более подробный анализ распределения
касательных напряжений по треугольному
сечению показывает приближенность форму-
формулы Д. Журавского. В точках вблизи конту-
контура сечения, как мы уже показали в пп. 6.4.3
и 6.6.1, вследствие парности касательные на-
напряжения Тх должны быть направлены каса-
касательно к контуру. А формула Д. Журавского
дает только их вертикальную составляющую
Рис. 8.36
'ху
(рис. 8.36).
Рис. 8.37
Еще большее отличие истинного распределения касательных
напряжений от даваемых формулой Д. Журавского (8.3.7) будет
у балок сложного сечения.
Так, для сечения, данного
на рис. 8.37, кривая 1 соот-
соответствует формуле Д. Жу-
Журавского, кривая 2 показы-
показывает распределение тху по
оси симметрии сечения АВ,
а кривая 3 — по линии CD.
Для сложных сечений фор-
формула Д. Журавского дает
удовлетворительную оценку величины ттах. В большинстве слу-
случаев это верхняя оценка.
8.3.4К. Первые попытки получить распределение напряжений в бал-
балках при изгибе были сделаны еще Г. Галилеем в 1638 г. Гипотеза плоских се-
сечений была сформулирована Я. Бернулли A694). Он пришел ко второму из
соотношений (8.3.1), устанавливающему пропорциональность между кри-
кривизной оси балки и изгибающим моментом. Правильное решение вопроса
о распределении напряжений было найдено, по-видимому, независимо друг
от друга Параном A713) и Ш. Кулоном A773). Ш. Кулон первым привлек
внимание к существованию касательных напряжений. Строгое решение для
балки прямоугольного сечения было дано Б. Сен-Венаном. Инженерная те-
теория касательных напряжений в балках была разработана Д. Журавским в
8.4
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
203
1844-1850 гг. Дмитрий Иванович Журавский A821-1891) — крупный рус-
русский инженер-путеец. Его первые самостоятельные работы были связаны
со строительством и проектированием мостов на железнодорожной линии
Петербург-Москва. Поскольку в конструкциях мостов тогда широко при-
применялось дерево (а дерево слабо сопротивляется сколу вдоль волокон), то
понятно, почему именно вопрос о касательных напряжениях в балках при-
привлек внимание Д.И. Журавского.
8.4. Касательные напряжения при изгибе в балках
тонкостенного сечения. Центр изгиба
8.4.1. Особый интерес представляет распределение каса-
касательных напряжений по тонкостенному сечению при попереч-
поперечном изгибе. В таких сечениях в точках вблизи контура каса-
касательные напряжения направлены касательно к контуру. Это их
свойство было подробно разобрано в п. 6.6.1 при анализе кру-
кручения брусьев тонкостенного замкнутого сечения. Так же, как
и там, будем предполагать, что и при поперечном изгибе ка-
касательные напряжения в тонкостенных сечениях постоянны по
толщине и направлены
/ j ч а
ох(х+ах)
dx
по касательной к средней
линии. Учитывая это,
несколько изменим рас-
рассуждения, которые про-
проводились в предыдущем
разделе.
Рассматривая эле-
элемент балки тонкостенно-
тонкостенного сечения, выделенный
сечениями х и х + dx,
мы рассечем его про-
продольным сечением не
нормально к оси у, а нор-
нормально к средней линии
сечения, вдоль которой
отсчитывается координа-
координата s. Этот элемент пока-
показан на рис. 8.38. Соста-
Составим для него условие
равновесия ^2 Рх = 0. Повторив с учетом сделанного изменения
все рассуждения разд. 8.33, приходим к формуле Журавского
для тонкостенных сечений:
Рис. 8.38
1 xs — ' sx —
JzS(s) v J
В отличие от формулы (8.3.6), здесь отсеченная часть сече-
сечения ^ротс выделяется сечением, нормальным к средней линии,
204
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
a S(s) — толщина сечения, измеряемая по нормали к средней
линии.
Обратим внимание на то, что для успеха вывода край от-
отсеченной части а, противоположный продольному сечению (см.
рис. 8.38), должен быть свободен от напряжений. Для этого до-
достаточно, чтобы сечение было незамкнутым.
Рассмотрим примеры пользования формулой (8.4.1).
Пример 8.6. Найдем касательные напряжения в сечении,
показанном на рис. 8.39. Сначала решим вопрос о направлении
Txs п0 участкам сечения. Обратимся к
участку 1~4- Перерезывающая сила Qy
является равнодействующей элементар-
элементарных касательных усилий, действующих
как раз на этом участке. Кроме того, мак-
максимальное значение тЖ5, как это следует
из формулы (8.4.1), будет достигаться в
тех точках сечения, которым соответству-
соответствует максимальное значение статического
момента S°TC отсеченной части сечения. А
это будет точка 5, где главная централь-
центральная ось z пересекает сечение. Учитывая
эти два обстоятельства, приходим к вы-
выводу, что на участке 1~4 rxs направлены
так же, как Qyi т.е. вниз. Чтобы найти направления rxs на гори-
горизонтальных участках сечения 0-1 и 2-1, выделим из бруса двумя
поперечными и тремя продольными се-
сечениями Т-образный элемент, показан-
показанный на рис. 8.40. Мы уже знаем направ-
направление Txs , тогда направление Txs опре-
определится по свойству парности. Напряже-
C) D)
ния Txs и t~xs должны иметь одинаковое
направление ввиду симметрии и такое,
чтобы уравновесить усилия от напряже-
-
ъ
b
-\
b
—»- -
4
b
i
3
b
0
z
5
-
Рис. 8.39
.A)
НИИ
и
F)
]Рх = 0!). Направления
определятся по свойству парности
тC) „ „D)
Рис. 8.40
C) D) т-г
по направлениям TxS и t~xs - Повторяя те же рассуждения для
-L-образного элемента, выделенного около точки ^, приходим
в итоге к показанным стрелками на рис. 8.41 а направлениям
напряжений rxs- Чтобы найти закон изменения rxs по участ-
участку 0-1, рассмотрим отсеченную часть сечения, показанную на
рис. 8.41 б. В качестве координаты сечения примем расстояние
s вдоль средней линии от начала участка, т.е. от точки 0. Тогда
Чу qotc
~Т~5 z
=hs8b-
8.4
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
205
Видно, что S°TC и rxs здесь линейно зависят от s. Их эпюры
показаны на рис. 8.41 а. Форма этих эпюр одинакова, только
они различаются масштабными множителями, которые даны
2
Ь
1
1
s
0
г—Ь
Рис. 8.41
в квадратных скобках. Эпюры на участке 2-1 построены точ-
точно так же. Отсеченная часть для участка 1~4 показана на
рис. 8.41 в. Чтобы подсчитать для нее 5°тс, удобно разбить ее на
два прямоугольника — горизонтальный от точки 2 до точки 0 и
вертикальный, который на рисунке заштрихован. Координату s
удобно отсчитывать от точки 1. Тогда
Sfc = S°z~2 + Sl~s = 2Ъ6Ъ + s
Как видно из этого выражения, на участке 1~4 S°TC меняется по
квадратичному закону и своего максимума 2,5Ь2E он достигает,
когда сечение совпадает с центральной осью z, т.е. при s = b.
Пропорционально S°TC меняются напряжения rxs. Поэтому они,
как и для участков 0-1 и 1-2, изображаются на рис. 8.41 а од-
одной эпюрой с соответствующими множителями. Удобно строить
эпюру S°TC и rxs так, чтобы она располагалась справа от сред-
средней линии, если смотреть по стрелке, определяющей направле-
направление rxs.
8.4.2. Рассмотрим теперь балку с сечением, показанным на
рис. 8.42. Рассуждая так же, как в только что решенном при-
примере, читатель без труда построит для него эпюры S°TC и тЖ5,
данные на этом рисунке. Сравнивая результаты для сечений ри-
рисунков 8.41 и 8.42, можно заметить, что в первом случае вопрос
о линии действия перерезывающей силы Qy как равнодейству-
равнодействующей элементарных касательных усилий от rxs решается легко
с учетом симметрии сечения. Для этого сечения сила действует
вдоль его вертикальной стенки 1~4-
Для сечения, данного на рис. 8.42, вопрос о линии дей-
действия Qy требует специального решения. Воспользуемся тем,
что Qy как равнодействующая элементарных касательных уси-
206
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
лий должна относительно любой точки на плоскости сечения
давать такой же момент, что и составляющие ее касательные
Рис. 8.42
усилия. В качестве такой точки удобно выбрать точку 2. Тог-
Тогда усилия по вертикальному участку не дадут момента отно-
относительно этой точки, а моменты от усилий на горизонтальных
участках одинаковы. Чтобы подсчитать момент от касательных
усилий по участку 0-1, разобьем его на элементарные участки
длиной ds. Тогда усилие на каждом таком участке будет rxs5 ds
(здесь 6 ds = dF — площадь элементарного участка). Плечо это-
этого усилия относительно точки 2 равно 6, поэтому его момент
будет равен brxsSds. Момент от элементарных усилий по всему
участку 0-1 подсчитаем, суммируя (интегрируя) элементарные
моменты по длине участка:
Г brxs6ds= Г b^^6ds = b^ Г S°zTCds.
0-1
0-1
0-1
Вошедший в итоговое выражение интеграл можно подсчитать
как площадь эпюры S°TC на участке 0-1. Она равна -ЬЬ25. При-
Приравнивая моменты касательных усилий к моменту Qye их рав-
равнодействующей, получаем
Qye = 2 Г
= 2^b Г
Jz J
Jz Jz
0-1 0-1
Отсюда расстояние е от линии действия Qy до точки 2 будет
8.4
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
207
Момент инерции этого сечения можно подсчитать как
0-l
12 + Ш
Qy=P
Рис. 8.43
Окончательно получаем, что e = -b.
8
Необходимость в определении линии действия Qy становится
очевидной при анализе изгиба сечения консольной балки, пока-
показанной на рис. 8.43. Пусть эта
балка нагружена силой Р, при-
приложенной вдоль вертикальной
стенки сечения. Тогда, рассма-
рассматривая отсеченную часть, мы
замечаем, что в сечении долж-
должны появиться не только каса-
касательные усилия, равнодейству-
равнодействующая которых Qy = Р обес-
обеспечивает условие равновесия
Y2 Ру = 0. Поскольку линии
действия Qy и Р не совпадают,
то в сечении появляются вну-
внутренние силы, которые образу-
образуют крутящий момент М& = Ре,
уравновешивающий момент Ре пары сил Р nQy. Это значит, что
таким образом нагруженная балка будет не только изгибаться,
но и закручиваться. А как это было показано в разд. 6.5 и в
примере 6.3, брусья с тонкостенными незамкнутыми сечениями
очень плохо работают на кручение. Чтобы избежать кручения
при изгибе рассмотренной бал-
балки, нужно совместить линии
действия Р и Qy так, как по-
показано штриховой линией на
рис. 8.43.
8.4.3. Теперь можно ре-
решить задачу об определении по-
положения линии действия перере-
перерезывающей силы для сечения об-
общего вида, данного на рис. 8.44.
Составим условие равенства мо-
момента перерезывающей силы Qy относительно некоторой точки
О моменту составляющих ее элементарных касательных усилий.
Если h(s) — плечо относительно точки О усилия rxsS ds, действу-
действующего на участке cLs, то это условие примет вид
Рис. 8.44
Qye = J h(s)rxs(sNds.
(8.4.2)
208 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
Здесь интегрирование проводится по всей длине L средней ли-
линии сечения.
Подставив в это равенство выражение (8.4.1) для rXSl после
простейших преобразований получим
e = j- Jh(s)S°zTC(s)ds. (8.4.3)
L
При вычислении интеграла в этой формуле нужно помнить,
что он порожден интегралом (8.4.2), который по своему смыслу
является равнодействующим моментом элементарных касатель-
касательных усилий. Поэтому в (8.4.3) статическому моменту S°TC необ-
необходимо присваивать направление rXSi а сам интеграл вычислять
как «момент» статического момента, т.е. по тем же правилам,
что и интеграл в (8.4.2).
Пусть теперь на эту же балку действуют горизонтальные на-
нагрузки, вызывающие появление в ее сечениях таких касатель-
касательных усилий TxgSds, равнодействующей которых является пере-
перерезывающая сила Qz. Тогда, рассуждая точно так же, можно
найти линию действия Qz. Точку пересечения линий действия
Qy и Qz называют центром изгиба (рис. 8.44). Силы Qy и Qz яв-
являются составляющими полной перерезывающей силы Q. Таким
образом, Q является равнодействующей возникающих в сечении
касательных усилий, а центр изгиба — это точка ее приложения.
Из примера 8.6 видно, что у симметричного сечения центр
изгиба лежит на оси симметрии. Доказательство этого утвер-
утверждения в общем случае предоставляем читателю.
Если бы при составлении уравнения (8.4.2) мы в качестве
точки О выбрали центр изгиба, то мы бы получили, что е = 0,
а уравнение (8.4.2) приняло вид
Jh(s)rxs(s)Sds = O. (8.4.4)
L
Механический смысл этого равенства позво-
Цр^ ляет понимать центр изгиба как точку, отно-
изгиба ><ч\ сительно которой равен нулю суммарный мо-
момент возникающих в сечении элементарных
касательных усилий. Такое понимание центра
ис' изгиба позволяет сразу сделать вывод, что
центр изгиба изображенного на рис. 8.45 уголкового сечения на-
находится в вершине уголка.
Центр изгиба также называют центром жесткости, а гео-
геометрическое место центров изгиба сечений балки называют ее
осью жесткости.
Рассмотрим примеры определения центра изгиба с помощью
формулы (8.4.3).
8.4
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
209
Пример 8.7. Найдем центр изгиба для сечения, показан-
показанного на рис. 8.46. Эпюру 5°тс, данную на этом рисунке, можно
легко построить так же, как в
примере 8.6. На наклонном участ-
ке 0-1 отсеченная часть сечения
от точки 0 до точки s имеет ста-
тический момент
Входящий в формулу (8.4.3) ин-
интеграл найдем как сумму инте-
интегралов по участкам, учитывая
направления моментов от каса-
касательных усилий. Примем положи-
положительными моменты, направлен-
направленные против часовой стрелки. То-
Рис. 8.46
гда, если К — точка, относительно которой подсчитывается мо-
момент, получим
f h(s)S°zTC(s)ds =
L
= %( f V2bS°zTCds+ f bS°zTCds- f bS°zTCds\ =
^0-1 1-2 3-2 ^
= 2(л/2Ь f S°zTCds + b f S°zTCds-b f S°zTCds\
^ 0-1 1-2 3-2 ^
Первый из этих интегралов вычислим с учетом выражения
(8.4.5):
0-1
Остальные интегралы легко вычислить как площади эпюры S"
по рис. 8.46:
юте
Z
j
1-2
ds =
Г соте j _ 1l3 г
j bz ds- -b д.
2-3
210
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
Тогда
Г h(s)S°zTCds = \V2b^5 = 2,3664?.
j з
Момент инерции Jz сечения можно подсчитать как удвоенный
момент инерции его верхней половины:
Jz = 2(J
22
t1) = 2 № + 2b6b2
2 36
Таким образом, е = ——b = 0,426.
5,6
Пример 8.8. Найдем центр изгиба разрезанной вдоль
тонкостенной трубы, сечение которой показано на рис. 8.47. Под-
Подсчитаем SZTC как статический
момент отсеченной части, со-
соответствующей центральному
углу в:
Центр
изгиба
Рис. 8.47
S°zTC(s) = S°zTC(r6) = J ydF =
гроте
0
= I r sin(pSr dip = r26(l — cos в).
Взяв центр круга в качестве точки для подсчета момента каса-
касательных усилий, получим
2тг
J hS°zTC ds= f rr26(l - cos в)г d6 = 2тгг46.
L 0
Момент инерции Jz тонкостенного кругового сечения будет
2тг
Jz = J у2 dF = J r2 sin cpSrdcp = тгг35.
Тогда
е =
о
2тгг46
тггЧ
= 2г.
8.5. Расчет на прочность при изгибе
8.5.1. Как следует из проведенного выше анализа, в по-
поперечных сечениях балки при изгибе возникают нормальные и
касательные напряжения:
MZli ^ _ QyST
(Ух =
Jzb
(rxs = bg
(8.5.1)
8.5
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ
211
Рассматривая распределения ах и тху по сечению, замечаем, что
они обладают следующей важной особенностью. Нормальные
напряжения достигают своих максимальных значений в тех точ-
точках сечения, для которых у = утах (Т-е- которые максимально
удалены от центральной оси z) и где касательные напряжения,
как правило, равны нулю или малы. А касательные напряже-
напряжения максимальны там, где максимально отношение S°TC /b, а это
обычно имеет место для точек сечения, лежащих либо на оси z,
либо вблизи нее, т.е. там, где равны нулю или малы нормальные
напряжения. Особенно наглядно это свойство видно для бал-
балки прямоугольного сечения (рис. 8.48). Поэтому при расчете на
прочность балок можно пренебречь взаимным влиянием нор-
Рис. 8.48
мальных и касательных напряжений и сформулировать условия
прочности балки отдельно по нормальным и по касательным на-
напряжениям, т.е. считать балку прочной, если выполняются усло-
условия
— \а\
тху
М-
(8.5.2)
Для металлических балок определяющим, как правило, яв-
является первое из этих условий, так как в них обычно тах|тж?/|
мал по сравнению с max |сг|ж, а [г] « 0,5 -=- 0,6[сг].
Для деревянных балок, у которых материал слабо сопротив-
сопротивляется сколу вдоль волокон, т.е. [г] мало в сравнении с [а], опре-
определяющим может оказаться второе из условий (8.5.2). То же са-
самое и по тем же причинам может случиться и для балок, выпол-
выполненных из волокнистых композиционных материалов. Особенно,
если эти балки тонкостенные.
Ниже мы подробно рассмотрим использование для расчета
на прочность первого из условий (8.5.2), т.е. условия прочности
по нормальным напряжениям.
212
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
8.5.2. Рассмотрим балку из материала, который одинаково
работает на растяжение и сжатие, т.е. у которого [а]р = [а]с =
= [а]. Тогда условие прочности по нормальным напряжениям
можно записать в виде
\а\ ^ [а]. (8.5.3)
Имея в виду линейный характер распределения нормальных на-
напряжений по сечению, это условие можно заменить равноцен-
равноценным:
Иглах ^ [а]. (8.5.4)
Здесь
Mz
~~1~Ут'с
Jz
¦ Утах — расстояние от центральной оси z сечения до наиболее
удаленных от нее волокон, как это имеет место для балки с сече-
сечением, показанным на рис. 8.49. Ча-
Часто эту формулу записывают в ви-
виде
Jz
= ^, Wz =
УУ z Углах
Величину WZl которая по существу
является геометрической характе-
характеристикой сечения, называют мо-
моментом сопротивления изгибу.
Для балки постоянного сечения
максимальные в сечении напряже-
напряжения атах достигнут своей наиболь-
наибольшей величины там, где действу-
действует максимальный по абсолютной величине изгибающий мо-
момент Mz. Поэтому условие (8.5.4) можно заменить следующим:
У'
Рис. 8.49
max(crmax) = ' ;
Wz
(8.5.5)
Иногда это условие удобно записывать в виде
тл/ >> тл/ — l^lmax
(8.5.6)
\у\
Здесь Wz Потр — минимальный потребный момент сопротивле-
сопротивления сечения балки. Как видно из (8.5.6), он определяется вели-
величиной |М^|тах/[сг], которая зависит только от нагрузки, и мате-
материала балки.
Пример 8.9. Для балки, рассмотренной в примере 8.3, счи-
считая ее стальной, подберем из условий прочности следующие се-
сечения: сплошное круглое, прямоугольное с отношением высоты
Н к основанию В, равным Н/В = 2, и стандартное двутавровое.
При этом примем, что а = 1 м, до = 0,02 Мн/м, [а] = 200 МПа.
8.5 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ 213
Как видно из эпюры Mz для балки, данной на рис. 8.23,
= l,17qa2. Тогда
1Д7доа2 1,17- 0,02 • 106 • I2 1 1 ? -, п-4 Я -, -, 7 _з
= ^^—= ^qTTo^ = 1Д7.10 м =117 см.
Момент сопротивления кругового сечения
лит Jz 7rd4 Id Trd3 n 1 j3
2/max 64/2 62
Минимальная величина Wz, при которой условие прочности еще
будет удовлетворено, равна Wz ПОтр- Минимальный диаметр кру-
кругового сечения, обеспечивающий прочность балки, найдем из
условия: Wz = 0,Ы3отр = WZ Потр = 117 см3. Отсюда следует,
что с/дотр = v^H70 = 10,5 см.
Подсчитаем момент сопротивления прямоугольника с учетом
того, что Н = 2В:
2/nmx 12 / 2 6 3
2-B3
о потр
2 Q Q
Из условия прочности Wz = -5дотр = Wz потр = 117 см найдем
минимальную величину В:
и Япотр = 2Бпотр = 11,2см.
потр = 2Бпотр
Балку с двутавровым сечением подберем по ГОСТ 8239-72
(см. приложение, табл. 3) 1). Как видно из таблицы, наимень-
наименьший момент сопротивления, удовлетворяющий условию прочно-
прочности Wz ^ Wz потр = 117 см3, имеет профиль № 18, для которого
Wz = 143 см3.
Все три рассмотренных нами сечения даны в одном масшта-
масштабе на рис. 8.50. Сравним массы балок, имеющих круглое, прямо-
прямоугольное и двутавровое сечения. Так как эти балки имеют оди-
одинаковую длину и выполнены из одного материала, то их массы
относятся как площади поперечных сечений. Площадь круглого
сечения FK = ттгс/потр = -тг • 10,б2 = 88 см2. Площадь прямо-
прямоугольного сечения Fu = ВиотрНиотр = 5,6 • 11,2 = 62,7 см2. Пло-
Площадь двутаврового сечения берем из табл. 3 приложения F^ =
= 23,4 см2. Видно, что двутавровая балка оказывается в Fu/F^ =
= 62,7/23,4 = 2,68 раза легче балки с прямоугольным сечением
Наша ось z соответствует оси х ГОСТа.
214
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
и в FK/F^ = 88/23,4 = 3,75 раза легче балки круглого сечения.
Такая выгодность двутаврового сечения по сравнению с круго-
круговым и прямоугольным становится понятной, если рассмотреть
распределение нормальных напряжений ах по этим сечениям.
Рис. 8.50
Эпюры ах показаны рядом с сечениями на рис. 8.50. Как видно,
форма двутаврового сечения такова, что основная часть мате-
материала, сосредоточенная в полках, работает при напряжениях,
близких к максимальным. В то же время у балки прямоугольно-
прямоугольного сечения значительная часть материала, расположенная вбли-
вблизи нейтральных волокон (вблизи оси z\ испытывает напряже-
напряжения существенно меньшие, чем допускает материал, т.е. работает
с недогрузкой. Еще хуже в этом смысле распределен материал
по круговому сечению.
Подсчитаем касательные напряжения в двутавровой балке.
Их эпюра, соответствующая формуле Д. Журавского, также по-
показана на рис. 8.50. Найдем ттах. Максимальная величина пе-
перерезывающей силы, как это видно из рис. 8.23, равна Qym3i^ =
= 1,67до^. Из табл. 3 приложения берем необходимые для расче-
расчета величины для профиля № 18: момент инерции сечения Jz =
= 1290 см4, толщина сечения на оси z d = 0,51 см, статический
момент верхней половины сечения S°TC = 81,4 см3. Тогда по
формуле (8.3.6)
_ 1,67доа5Гс _ 1,67 • 0,02 • 106 • 1 • 81,4 • 10~6 _
Jzd
1290- Ю-8 -0,51 -10-
= 41,3 МПа.
Максимальные же нормальные напряжения в этой балке
= \Mz\max/Wz = 163 МПа.
Поэтому ясно, что касательные напряжения для рассмотренной
балки не определяют ее прочность.
Еще меньше касательные напряжения будут в балке прямо-
прямоугольного сечения и тем более в балке круглого сечения. Пре-
Предоставляем читателю самому убедиться в этом.
8.5 РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ 215
Следует отметить одно важное свойство двутавровою сече-
сечения. Его форма такова, что большая часть нормальных напря-
напряжений, а следовательно, основная часть изгибающего момента
Mz воспринимается полками. А большая часть касательных на-
напряжений тху и, следовательно, основная доля перерезывающей
силы Qy воспринимаются стенкой.
8.5.3. Рассмотрим теперь расчет на прочность при изгибе
балки, материал которой по-разному работает на растяжение и
сжатие, т.е. когда [а]р ф [а]с. В этом случае условия прочности
сводятся к следующим:
^ Г 1 I I ^ Г 1 /О К Т\
Сх р ^ [^Jp? \&х с| ^ L^"Jc' (^O.O.iJ
Наиболее простая ситуация здесь возникает при расчете балки,
поперечное сечение которой симметрично относительно оси z,
так как в этом случае
тахсгжр = тах|ажс| = Т^тах. (8.5.8)
wz
Поэтому условия прочности (8.5.7) можно заменить одним усло-
условием:
I Л/Г I
Ир, Не}- (8-5.9)
Это условие отличается от условия (8.5.5) лишь тем, что в его
правой части используется минимальное из допускаемых напря-
напряжений для материала балки.
Фактически, как это видно из (8.5.8), требование симметрии
сечения относительно оси z не обязательно. Достаточно, чтобы
были одинаковы расстояния от оси z до наиболее удаленных от
нее растянутых и сжатых волокон.
Более сложный случай возникает при расчете балок с несим-
несимметричным относительно оси z сечением. Здесь, чтобы избежать
ошибок, необходимо рассматривать условия прочности для тех
сечений балки, где достигается максимальная и минимальная
величины Mz.
Пример 8.10. Для той же балки, изображенной на
рис. 8.23, определим размер Ъ поперечного сечения, форма кото-
которого дана на рис. 8.51. Материал балки — стеклотекстолит, для
которого
[а]р = 75 МПа, [а]с = 120 МПа.
Примем qo = 0,02 МН/м. Легко подсчитать, что для рассма-
рассматриваемого сечения Jz = 18,164, у\ = 1,756, у2 = 3,256. Обозна-
Обозначим через /— сечение, где действует Mzm[n = — 1,17до^2, а через
//— сечение, где Mz = M^max = O,42go«2. Эпюры ах в этих се-
сечениях показаны на рис. 8.51, причем сжимающие напряжения
направлены влево, а растягивающие — вправо. Тогда условия
216
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
прочности балки будут выполнены, если
<А
но
|У2| = Ы^! . 3,256 = 3,80*^6,
Jz J z
ап =
. 3,256 = 1,3
3.5.10)
Сравнивая величины напряжений, приходим вместо условий
(8.5.10) уже к двум условиям:
2 2
721 = 3,80^—6 ^ [а]с, о[ = 2,05^-— Ь ^ [а]р.
j^ j^
1,75Ь
3,25Z)
Рис. 8.51
Но так как 3,80/2,05 = 1,85, а [сг]с/[сг]р = 1,6, окончательно
приходим к выводу, что из этих двух условий определяющим
является первое:
о QQg0a27 _ 3,80goa2 < г л
' ~17 ~ 18Д63 ^ ^с'
Отсюда
з/з,80- 0,02 • 106 • I2
= v =
= ' M = ' CM'
Предоставляем читателю убедиться самому, что, если повернуть
сечение балки на 180°, то минимальный его характерный размер
b окажется больше только что рассчитанного. Нетрудно понять,
что это получается потому, что в рассчитанном положении (см.
рис. 8.51) в сечении /, где действует тах|М^|, наиболее уда-
удаленные от оси волокна расположены в сжатой зоне. А так как
8.6
УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ
217
материал балки лучше работает на сжатие, то при таком рас-
расположении сечения максимально используется именно это его
свойство.
8.6. Дифференциальное уравнение упругой линии
балки
8.6.1. Приступим к изучению перемещений балок при из-
изгибе. Возможность их определения предоставляет соотношение,
связывающее кривизну оси балки 1/р с изгибающим моментом
Mz (см. разделы 8.2, 8.3):
-Р = ±Ш- (8-6Л)
Обозначим вертикальные перемещения оси балки, называемые
прогибами, через v. Тогда изогнутая ось или, как ее называют,
упругая линия балки, представляет собой кривую v(x) в плос-
плоскости ху, где х — координатная ось, совпадающая с недефор-
мированной осью балки (рис. 8.52). Из курса математического
У,"'
Рис. 8.52
анализа известно выражение для кривизны 1/р плоской кривой
v(x):
1 v" i dv a d?v /^ n cx\
о [1 4- (?;M213/2 ' r/r' dr2' ' '
Подставив (8.6.2) в (8.6.1), получим дифференциальное уравне-
уравнение для v(x):
[i + (^J]3/2=±J|. (8.6.3)
Решение этого уравнения определяет форму упругой линии бал-
балки. Но так как оно нелинейно, то его аналитическое решение
может быть получено только для некоторых частных случаев
изгиба балок постоянной жесткости, которые были исследова-
исследованы еще Я. Бернулли, Л. Эйлером, С. Якоби, Ж. Лагранжем. И
даже для этих случаев решение связано с преодолением значи-
значительных математических трудностей.
218 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
Рассмотрим углы а(х) между касательными к оси балки и
осью х. Ясно, что в условиях гипотезы плоских сечений эти углы
равны углам поворота сечений балки (см. рис. 8.52). В соответ-
соответствии с геометрическим смыслом производной tga = v'.
Как мы уже отмечали ранее в гл. 1, для большинства кон-
конструкций деформированная форма мало отличается от неде-
формированной. Это свойство как раз и положено в основу
принципа малости деформаций, используемого при составлении
уравнений равновесия отсеченных частей конструкции. Для изо-
изогнутой балки это предположение равносильно тому, что углы
а(х) малы настолько, что (tgaJ = (v1J <C 1. В таком случае
можно пренебречь величиной (vfJ по сравнению с единицей.
Тогда 1/р = v11', и уравнение (8.6.3) упрощается и становится
линейным:
v" = ±Ц. (8.6.4)
Это уравнение называют дифференциальным уравнением упру-
упругой линии. Знак в нем зависит от выбора положительного на-
направления оси v. Как видно из рис. 8.53 а, если считать прогиб v
положительным, когда он происходит вверх, то при положитель-
положительном изгибающем моменте Mz балка изгибается так, что v" > 0.
В таком случае знаки v" и Mz в уравнении (8.6.4) будут согласо-
согласованы, если в нем принять знак «+». Противоположная ситуация
показана на рис. 8.53 б.
Mz>0
v">0
v"<0
Mz>0
Рис. 8.53
В принятом приближении углы наклона а упругой линии
к оси х настолько малы, что а ^ tga = v'. Поэтому диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка (8.6.4) можно заменить
системой двух дифференциальных уравнений первого порядка:
da | Mz dv /о п г\
Эти дифференциальные уравнения очень просты, и их общее
решение можно выписать, причем в различных формах:
8.6 УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ 219
1) с использованием неопределенных интегралов
(8.6.6)
C
(x) = J adx + D= JJ j^
здесь С и D — постоянные интегрирования, которые определя-
определяются из условий закрепления балки;
2) с использованием определенных интегралов
хо
v{r,) =v(xo)+ Jad?= (8.6.7)
Xq
4 / е \
( J ~ETzdx)
XQ
Здесь переменные ж, ? и г/ — координаты сечения, отсчитывае-
отсчитываемые вдоль одной и той же оси и от одного и того же начала.
Рассмотрим примеры применения общих решений (8.6.6),
(8.6.7).
Пример 8.11. Найдем прогибы двухопорной балки по-
постоянной жесткости EJZl показанной на рис. 8.54 вместе с реак-
реакциями опор Ra и Rb- На ее участках 0 ^ х ^ 2/ и 2/ ^ х ^ 3/
из условий равновесия отсеченных частей, данных на рис. 8.54,
получаем
Mz{x) = \qlx - \qx2 @ ^ х ^ 21), (8.6.8)
Mz(x)qlCl -x) B1 ^х^ Ш). (8.6.9)
Рассмотрим сначала участок между опорами, т.е. участок
О ^ х ^ 21. Формулы (8.6.6), (8.6.7) дают следующие выражения
для угла а и прогиба v (при xq = 0):
а^ = ш
= «(о) + ^ (|ге2 - к3
= v@) + r?a@) + Jj- (i/r?3 - ^т?4) .
к)
\ (8-6.11)
220
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
Из сравнения этих форм записи видно, что С = а@), D = v@).
Найдем их из условий закрепления балки г;@) = 0, vBl) = 0.
ql
аШШШШИШ.
в-
2/
у
)mz mz{
те,
Рис. 8.54
3/-jc
ql
Первое из этих условий сразу дает, что D = v@) = 0. Из второго
условия легко получаем
С а@) \
{ } 21EJZ [ 4
Таким образом, при 0 ^ х ^ 21:
24
3EJZ
2- (-1 - 1х2
EJZ U lX
v(x) - —?- (-13х - -1х3 + -ж4!
V[X) ~ EJZ U 4^ + 24Ж У *
Отсюда при х = 2/ получаем, что aBZ) = qls/(EJz).
Теперь нетрудно построить выражения для а(х) и г;(ж) на
участке 21 ^ х ^ 3/. Так как а{21) = ql3/EJZl а г;B/) = 0,
то форма общего решения (8.6.7) и выражение для Mz (8.6.9)
сразу приводят нас к искомому результату:
а(?) = а{21) + j JLtfl - x)dx = ?- (-
21
(8.6.12)
11^-^^=АЛ113-
21 21
8.6
УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ
221
Общее решение (8.6.6) дает с учетом (8.6.9) следующие выраже-
выражения для этого участка:
Определяя в этих выражениях Си D из условий аB1) = ——,
EJz
vBl) = 0, без труда приходим к выражениям (8.6.12), если в них
заменить г/ и ? на идентичную координату х.
Пример 8.12. Найдем прогиб двухопорной балки, нагру-
нагруженной сосредоточенной силой (рис. 8.55). Для этой балки
Mz = \Р(Ъа - х) Bа
х
За).
i
Г 2a
P
ъ
a
%%B x
1
Qy
mz
yMz Mzj
3a-x
Рис. 8.55
Воспользуемся формой (8.6.6) общего решения дифференци-
дифференциального уравнения упругой линии. Тогда
Р х2
v(x) = щ-^
5.6.13)
v(x) =
j
= 4г (ах2 - ^-
С2х + D2
За).
5.6.14)
Для определения четырех постоянных интегрирования Ci, Z?i,
С2, D2 используем, кроме условий закрепления концов балки
222 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
v@) = 0, г;(За) = 0, также условия непрерывности а и v на
границе участков, т.е. при х = 2а:
а" Bа) = а+Bа), г;" Bа) = v+Ba).
Здесь индексом « —» обозначены значения а и v при х = 2а
по выражениям (8.6.13), а индексом «+» — значения а и v по
выражениям (8.6.14). Такие условия часто называют условиями
сопряжения решений по участкам. Таким образом, получаем
систему уравнений
г;@) = 0 ->> Di = О,
-/о \ +/о \ п I Р BаJ ^ I Р \а 2 BаJ1
а Bа)=а+Bа)^С1 + —i-^ = C2 + —[4а - LJ_j ,
«(За) = 0 -> С2 ¦ За + Г>2 + 4г [аCаJ
С — --^- Г — _^L^L_ П _ 4Pq3
Решая эту систему уравнений, получаем
Ci
Поэтому
Р / 1 9 22 ?\
-—- [ —-Х + 2ах — —а ) Bа ^ х ^ За);
EJz V 3 9 /
ах2 - Ц-а2х + \аъ) Bа < ж ^ За).
8.6.2. Как видно из решения последнего примера, наличие
двух участков изменения Mz по длине балки и вызванная этим
необходимость сопрягать решения по участкам при х = 2а су-
существенно осложнили решение. А. Клебш в 1862 г. для балок
постоянной жесткости обнаружил такую форму представления
общего решения дифференциального уравнения упругой линии,
которая обеспечивает выполнение условий сопряжения решений
по границам участков.
Рассмотрим балку постоянной жесткости, изображенную на
рис. 8.56. Эта балка нагружена сосредоточенным моментом М,
8.6
УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ
223
сосредоточенной силой Р и погонной нагрузкой постоянной ин-
интенсивности q. Запишем выражения для изгибающего момента
Mz по участкам балки:
Mz(x) =
О @ < х < хм),
М (хм < х < хР),
М + Р(Х-ХР) (Хр
(8.6.15)
Для определения а(х) проинтегрируем первое из уравнений
(8.6.5), которое с учетом постоянства жесткости можно пред ста-
-rf
м
1
хм
X
р
2
р
>к\\
Xq
q
tiff1
Рис. 8.56
вить как EJza' = Mz. Запишем его решение в форме неопреде-
неопределенного интеграла (8.6.6), для чего проинтегрируем выражения
(8.6.15):
EJza(x) =
С\ @ ^ х ^ хм),
С2 + М(х — Хм) (хм < X
Хр),
М{х -
+ Р{Х ~*рJ + q{X ~6XqK (xq<x).
(8.6.16)
Интегрирование было проведено без раскрытия скобок. Инте-
Интеграл от М записан в виде М(х — жм), чтобы сохранить форму
решения, полученную для Рид. Постоянные Ci, C2, Сз? С±
нуж:но выбирать так, чтобы угол наклона упругой линии а(х)
не имел разрывов на границах участков балки, т.е. в сечениях
i, 2, 3. Поэтому в этих сечениях должны выполняться условия
LX yJb Jyl J — LX yJb Jyl J , LX yJLp J — LX
a~(xq) =a+(xq).
(8.6.17)
224 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
Здесь мы использовали принятые раньше, например в гл. 2, обо-
обозначения
а (хм)=а(хм-Aх),а+(хм)=а(хм-
Чтобы удовлетворить этим условиям сопряжения, для выраже-
выражений (8.6.16) должны выполняться соотношения:
С\ = С2, С2 + М(хР - хм) = С3 + М(хР - хм),
(8.6.18)
С3 + M(xq - хм) + Р^~2ХрJ =
2
Отсюда сразу следует, что С\ = С2 = С3 = С±. Если обозна-
обозначить через «о = а@) — угол наклона упругой линии в начале
координат (точка 0), то из (8.6.16) очевидно, что
d = EJza0. (8.6.19)
Прогиб балки v найдем из уравнений (8.6.5), для чего ис-
используем форму его решения (8.6.6) и полученные выражения
(8.6.16) и (8.6.19). Тогда
D\ + EJzaQX @ ^ х < хм),
D2 + EJzaox + М("мJ (хм < х <: хР),
v(x)=<, D3 + EJzaox + М(ж ~оЖмJ + Р(ж ~^рK (жр^ж^ж^),
I>4 + EJzaQX + М—
(8.6.20)
Постоянные D{ должны быть выбраны так, чтобы определяю-
определяющие прогиб балки выражения (8.6.20) не имели разрывов на гра-
границах участков, т.е. чтобы были удовлетворены условия
V~(XM) = V+(XM), V~(XP) = V+(XP), V~(xq) = V+(xq).
Подставив в эти условия выражения (8.6.20), мы получим для
Di уравнения, сходные с выражениями (8.6.18) для С{. Из них
очевидно, что D\ = D2 = D3 = D^. Обозначив через г>о = v@)
прогиб в начале координат, из первого выражения (8.6.20) по-
получаем, что
Di = EJzv0. (8.6.21)
Выражения для а(х) (8.6.16) и v(x) (8.6.20) можно записать в
компактной форме, если использовать так называемую функ-
8.6
УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ
225
цию Хэвисайда
H(Xi) =
(8.6.22)
график которой показан на рис. 8.57. С помощью этой функции
выражения (8.6.16) и (8.6.20) приводятся к форме:
EJza(x) = EJzao + M(x - хм)Н(хм) +
EJzv{x) = EJzv0 + EJzaox + M(x *м) Н(хм)
(8.6.23)
Последнее из этих выражений называют универсальным уравне-
уравнением упругой линии. При его выводе мы считали, что погонная
нагрузка q действует на участке
балки от xq до правого ее конца. Л, H(xt)
Если такая нагрузка действует на
участке от xq до x'ql то ее можно
рассматривать как результат нало- *
жения двух нагрузок, показанных р 8 ,_
на рис. 8.58. В этом случае универ-
универсальное уравнение упругой линии (8.6.23) запишется в форме
EJzv(x) = EJzv0 + EJzaox
H(xM)
(8.6.24)
ртт^. = ;
Xq X'q /\
, \
' \
'WWW)
•m
¦HI
Рис. 8.58
И, наконец, если на балку действуют в сечениях хм% несколь-
несколько сосредоточенных моментов М^, в сечениях xpj — несколько
сосредоточенных сил Pj и несколько погонных нагрузок q^ на
участках между Хф и х' к, то, используя принцип суперпозиции
8 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
226 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
нагрузок, можно записать универсальное уравнение упругой ли-
линии в форме
EJzv{x) = EJzv0 + EJzaox + ^Мг{х ~ *МгJН(хМг) +
. (8.6.25)
В этом уравнении положительными считаются такие М^, Pj,
(/fc, которые направлены так, как показано на рис. 8.56.
Рассмотрим примеры использования этого уравнения.
Пример 8.13. Найдем прогибы балки, рассмотренной
в примере 8.12 (см. рис. 8.55). На эту балку действуют две со-
сосредоточенные силы: -Р при х = 0 и — Р при х = 2а. Тогда
о
уравнение (8.6.25) для этой балки примет форму
EJzv(x) = EJzv0 + EJzaQx + f ^^#@) -
(ж2аK. (8.6.26)
Так как г;@) = 0, то г>о = 0. Величину «о найдем из условия,
что г;(За) = 0. Тогда
/о \ рт о , ^Р (ЗаK ОCа-2аK п
г;Cа) = EJzao • За + — -—— — Р- — = 0.
о и и
4 Ра2
Отсюда «о = —-77Т- Тогда из (8.6.26) получаем
9 EJZ
EJzv(x) = { --Pa2x+ — -Py 6 ; =
2
-Pin6- nzr 4-пт2 - ) Bn < т < la)
А этот результат конечно совпадает с решением примера 8.12.
Но, как видно, он получен проще и без громоздких вычислений.
Пример 8.14. Для консольной балки, данной на рис. 8.59,
запишем универсальное уравнение упругой линии и найдем про-
прогиб конца балки и угол поворота ее среднего сечения. В заделке
возникают реактивная сила 2qa и реактивный момент -да2, по-
8.6
УРАВНЕНИЕ УПРУГОЙ ЛИНИИ БАЛКИ
227
казанные штриховой линией. Их необходимо учитывать при на-
написании уравнения упругой линии. Кроме того, в заделке прогиб
и угол поворота равны нулю. Поэтому, если начало координаты
х выбрать в заделке, то «о = 0 и vq = 0. Тогда согласно (8.6.25):
2qa
HIHHH
да
Рис. 8.59
EJzv(x) = -^
Я@) -
24
я@)
EJza(x) = -^-(x-O)H(O)
J*-0K
24
Из этих выражений получаем
5 4 , 2 о 16 , 1 1
viZa) =
K а J Н[а) - qaK } Н{а).
25
( \ 9«3 ( 5 . о 1 1\ 5 да3 , й_ да3
Пример 8.15. Запишем выраж:ение для прогиба балки, по-
показанной на рис. 8.60. С учетом реакций опор, которые показаны
Я ^ Ча
qa
qa_
2 '
\\да
Рис. 8.60
228
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
штриховой линией, выражение для прогиба примет вид
EJzv(x) = EJzv0 + EJzaox + ^
(х — ОL тт/п\ I (х — аL
- qK 24 } Я@) + ^ 24
2 (х — aJ
.3
+ ^
Я(а)
Так как прогиб левого конца балки v@) = 0, то vq = 0. Величину
угла поворота левого конца «о найдем из условия, что г;(а) = 0.
Тогда
EJzv(a) = EJzaoa + у у - q^ = 0.
Отсюда «о = — — тт~г-
24 h/Jz
8.7. Потенциальная энергия изгиба балки
8.7.1. Найдем потенциальную энергию изгиба балки. При
поперечном изгибе в балке возникают нормальные ах и каса-
касательные тху или rxs напряжения.
Выделим из балки поперечны-
поперечными и продольными сечениями
элемент (продольное волокно)
(рис. 8.61), объем которого dV =
= dx • dF, и подсчитаем на-
накопившуюся в нем потенциаль-
потенциальную энергию деформации dll.
При линейно-упругой деформа-
деформации сила ах dF совершит упру-
упругую работу на пути sxdx, кото-
который она пройдет за счет удли-
удлинения элемента вдоль оси ж, а сила rxydF совершит упругую
работу на пути jxydx, который образуется из-за сдвига jxy в
плоскости ху. Эта работа и накопится в волокне в виде потен-
потенциальной энергии деформации. Поэтому
dF
Рис. 8.61
dU = -ax dF ex dx + -тху dF jxy dx.
3.7.1)
Заметим, что множитель - здесь появился вследствие ли-
линейной упругости деформаций (см. п. 4.7.1). Кроме того, при
получении (8.7.1) учтено, что сила rxydF не совершает работу
на удлинении ?xdx, а сила crxdF — на перемещении от сдвига
jxydx. Потенциальную энергию всего бруса получим, проинте-
8.7 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ИЗГИБА БАЛКИ 229
грировав выражение (8.7.1) по всему объему V бруса:
П = J dU = J J \{ахех + тху1ху) dFdx. (8.7.2)
V I F
Если в этом выражении использовать закон Гука ах = ЕеХ1
тХу = Gjxy и формулы, определяющие напряжения в сечении,
Mz QVS°ZTC
ах = —у, тху = —, то легко получить следующие выраже-
Uz J Z V
ния для П:
I F
= 2 J mi] v w + GJiJ hrj rfF ^-
i? f
Так как J у2 dF = Jz и dF = bdy, приходим к выражению
F
где ку — коэффициент, зависящий от формы поперечного сече-
сечения балки:
y-^^dy. (8.7.4)
я
Интегрирование в (8.7.4) проводится по высоте сечения. Напри-
Например, для прямоугольного сечения, используя полученное в при-
примере 8.4 выражение S°TC(y) = — ( — ) — у2 , легко можно под-
2 [\2 ; j
считать, что ку = 6/5.
Если сечение балки тонкостенное, то в нем возникают рав-
равномерно распределенные по толщине касательные напряжения
rxs = QyS°zTC/(JzS), a dF = Sds.
В этом случае
Здесь интегрирование проводится по всей длине L средней
линии тонкостенного сечения. Например, для сечения, показан-
показанного на рис. 8.39 (пример 8.6), формула (8.7.5) дает ку = 3,38.
230
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
8.7.2. Оценим вклад слагаемых в потенциальную энергию
деформаций (8.7.3) на примере консольной балки длиной / и
прямоугольного сечения В х Н,
нагруженной силой на конце
(рис. 8.62). Если начало коорди-
координаты х выбрать на левом кон-
конце балки, то для нее Qy = Р
и Mz = Рх. Кроме того, F =
= ВН, Jz = BH3/12. Матери-
Материал балки — сталь, для которой
коэффициент Пуассона \i = 0,3.
Тогда G = ?7/[2A + //)] = ?7/2,6.
Учитывая это, получим
по А-А
Рис. 8.62
2 J EJ, X " 2 J
EJZ
2Р2/3
ЕВН3
1 f к Q2y dx-1 f
_ j ky_dx_.J
P2dx
гУ~СЁг
_ 1 6 2 n
~ 2 ' 5 ' '
= 1,56
Тогда потенциальную энергию деформации (8.7.3) можно
представить в виде
_ 2Р2Г
~ ЕВН
Отсюда видно, что для длинной балки A/Н > 8) второе слагае-
слагаемое, определяющее долю потенциальной энергии деформации
балки от перерезывающих сил Qyi составляет менее 0,78/64 «
« 0,0122 = 1,22% от первого слагаемого — потенциальной энер-
энергии деформации от изгибающих моментов Mz. Поэтому для
длинных балок второе слагаемое в формуле (8.7.3) можно не
учитывать и принимать, что при изгибе балки
1 Г мz
=2J Et
(8.7.6)
Проведенные здесь расчеты могут быть использованы и для
оценки точности гипотезы плоских сечений, которая как раз и
построена на пренебрежении сдвиговыми деформациями.
ИНТЕГРАЛ МОРА
231
8.7.3. Потенциальную энергию от изгибающих моментов
MZ1 т.е. первое слагаемое в формуле (8.7.3), можно получить так
же, как получена потенциальная энер-
энергия бруса при центральном растяже-
растяжении-сжатии в п. 4.7.1. Для этого рас-
рассмотрим элемент балки длиной dx. При
его деформации под действием изги-
изгибающих моментов Mz ось бруса полу-
получит кривизну 1/р = MZ/EJZ (см. фор-
формулу (8.3.1)), и поэтому правое сече-
сечение повернется относительно левого на
угол da = dx/p (рис. 8.63). Если услов-
условно считать левое сечение неподвижным
(т.е. вести рассуждения в системе коор-
координат, связанной с левым сечением), то
при деформации элемента момент Mz
совершит упругую работу -Mz da, которая и накопится в эле-
менте в виде потенциальной энергии деформации:
1 1 dx 1 М%
Тогда потенциальную энергию всей балки получаем, суммируя
(интегрируя) ее по всем элементам, т.е.:
ис'
Получить второе слагаемое выражения (8.7.3) с помощью ана-
аналогичных рассуждений невозможно, так как гипотеза плоских
сечений пренебрегает сдвиговыми деформациями.
8.8. Интеграл Мора для определения перемещений
при изгибе
8.8.1. Применим к изгибу балки метод единичной нагруз-
нагрузки Мора, который был подробно разобран в п. 4.7.2 для ферм.
Определим прогиб балки vb(P) в точке В от действия попереч-
поперечной нагрузки, например, сосредоточенной силы Р, приложенной
в точке С (рис. 8.64). Заметим, что при линейно-упругой дефор-
деформации сила Р совершила на перемещении своей точки приложе-
приложения vc(P) упругую работу А(Р) = -Pvc(P)-
Эта работа накопилась в балке в виде потенциальной энергии
деформации П(Р) = А(Р). Если через MZ(P) обозначить изги-
232
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
бающие моменты, возникающие в балке в результате действия
силы Р, то согласно (8.7.3) П(Р) = - / *} ' dx. Поэтому
2 J EJZ
А(Р) = \Pvc{P) = \
(8.8.1)
Рассмотрим теперь, как в п. 4.7.2, двухэтапное нагружение
балки. На первом этапе нагрузим балку единичной силой в точ-
точке В (рис. 8.65 а). При этом точ-
точка В получит прогиб г>#A), на
котором единичная сила совер-
совершит работу АA) = - • 1vbA)-
Эта работа накопится в балке в
виде потенциальной энергии де-
деформации ПA), т.е. ПA) = АA).
Так как в балке в результате действия единичной силы возникли
изгибающие моменты М^A), то
Рис. 8.64
М|A)
EJZ
dx.
Таким образом,
If
(8.8.2)
с
Рис. 8.65
На втором этапе нагрузим бал-
балку в точке С нагрузкой Р, не
снимая с нее единичной силы
(рис. 8.65 б). На этом этапе си-
сила Р совершит упругую рабо-
работу -Pvc(P), а единичная сила,
оставаясь постоянной при изги-
изгибе балки на втором этапе, совер-
совершит работу 1 • vb (P) на искомом
перемещении vb(P)- Всего после
двух этапов нагружения единич-
единичная сила и сила Р совершат ра-
работу
(8.8.3)
vB(l) + \Pvc{P) + 1 • vB(P).
ИНТЕГРАЛ МОРА 233
В итоге двух этапов нагружения в балке появятся изгибающие
моменты Mz(l + Р), которые по принципу суперпозиции равны
MZA + P)=MZA)+MZ(P),
и накопится потенциальная энергия изгиба
x. (8.8.4)
Так как при упругой деформации энергия не рассеивается, то
ПA + Р) = АA + Р). Сравнивая выражения (8.8.3) и (8.8.4) и
учитывая (8.8.1) и (8.8.2), получаем
l.VB(P)= fM^Wdx. (8.8.5)
J EJ
Разделим это равенство на единичную силу и введем
Mz(l) = Mz(l)/1 как «изгибающий момент» от безразмерного
единичного «усилия», т.е. как функцию, которая для приложен-
приложенного к балке безразмерного единичного вектора строится по тем
же правилам, что и Mz(l) для единичного усилия. Тогда
МР)= fMdnmidx. (8.8.6)
i
Эта формула для определения прогибов балки называется
интегралом Мора.
Заметим, что при действии на балку более сложной нагруз-
нагрузки все рассуждения можно повторить. И если под MZ(P) пони-
понимать изгибающий момент в балке от этой нагрузки, то равенство
(8.8.1) не изменится, а в формуле (8.8.3) второе слагаемое заме-
заменится на А(Р). В итоге мы снова придем к выражению (8.8.6).
Из приведенных рассуждений ясно, что работа 1 • vb(P)
(8.8.5) будет положительна, если прогиб произошел по направле-
направлению единичной нагрузки. Поэтому положительное значение ин-
интеграла Мора (8.8.6) означает, что направления прогиба и еди-
единичной силы совпадают. Если же вычисления привели к отри-
отрицательному значению интеграла Мора, то это значит, что балка
получила в рассматриваемой точке прогиб, противоположный
направлению единичной силы.
8.8.2. Найдем угол поворота ав{Р) сечения В. Для этого
вернемся к только что проведенным рассуждениям и заметим,
234
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
В
что цель двухэтапного нагружения в том, чтобы на втором этапе
единичная сила совершила работу на искомом прогибе vb(P)-
Чтобы создать аналогичную
ситуацию для угла поворота
ав{Р)-> нужно на первом эта-
этапе нагрузить ее в точке В еди-
единичным моментом (рис. 8.66).
Тогда, повторяя все рассужде-
рассуждения, проведенные в п. 8.8.1 при
определении прогиба, приходим
к выражению
Г
= J
EJ,
(8.8.7)
Только здесь, в отличие от
(8.8.6), Mz(l) — это «изгибаю-
«изгибающий момент» от безразмерного единичного «момента», прило-
приложенного к балке в точке, где нужно найти а.
Сравнивая выражения (8.8.6) и (8.8.7), замечаем, что если
через S обозначить обобщенное перемещение, а под Mz(l) пони-
понимать «изгибающий момент» от соответствующего S безразмер-
безразмерного единичного обобщенного «усилия», то интеграл Мора для
определения S примет вид
5 =
MZ(P)MZA)
EJZ
dx.
(8.8.8)
Здесь понятия обобщенного перемещения и обобщенного усилия
(обобщенной силы) используются точно в таком же смысле, как
и в теоретической механике.
Если в качестве обобщенного перемещения принят прогиб
балки, то соответствующее ему обобщенное единичное усилие —
это единичная сила. Углу поворота сечения соответствует еди-
единичный момент.
Связь между обобщенным перемещением и обобщенным уси-
усилием определяется самим выводом интеграла Мора. Единичное
обобщенное усилие должно быть таким, чтобы на втором этапе
нагружения оно на обобщенном перемещении S совершало рабо-
работу 1 • д.
Приведем примеры более сложных обобщенных перемеще-
перемещений и усилий. Так, если требуется найти относительный угол по-
поворота ola-b сечений А и В балки, изображенной на рис. 8.67 а,
то в качестве обобщенного единичного усилия нужно принять
ИНТЕГРАЛ МОРА
235
два единичных момента, показанных на рис. 8.67 б. В этом легко
убедиться, если учесть, что
Г MZ{P)MAZ A) , . Г Mz(P)MBz(l) ,
= J EJ + J EJ =
В
1 дТЛ-
Рис. 8.67
Здесь через Мz A) и Мz A) обозначены изгибающие моменты
от единичных моментов, соответствующих углам а а и а в и по-
показанных на рис. 8.67 в, г.
Рассмотрим более сложный
пример. Пусть необходимо най-
найти площадь, заключенную между
недеформированной и деформи-
деформированной осями балки, заштрихо-
заштрихованную на рис. 8.68 а. Предоста-
Предоставляем читателю самому убедить-
убедиться, что если эту площадь рассма-
рассматривать в качестве обобщенного
перемещения, то ему соответству-
соответствует единичное обобщенное усилие в
виде распределенной по балке равномерной погонной нагрузки
единичной интенсивности (рис. 8.68 б).
8.8.3. Вернемся к выражению (8.8.5). Заметим, что в нем
q=\
UUUUUIUUUU
б
Рис. 8.68
(8.8.9)
236 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
где da — угол, который образовался между торцевыми сечения-
сечениями элемента dx в результате деформации балки от изгибающего
момента MZ(P) (см. рис. 8.63). Поэтому баланс энергий (8.8.5)
можно записать в форме
= fdaMz(l)= f ^Mz(l)dx = f-Mz(l)dx.
*J *J dx *J p
I I I
(8.8.10)
Это соотношение означает очевидный факт, что на втором
этапе нагружения балки, когда ее сечения под действием внеш-
внешних нагрузок (или каких-то других воздействий) поворачивают-
поворачиваются на углы а(х), возникающие в результате действия единично-
единичного усилия изгибающие моменты Mz(l) совершают в результа-
результате деформации элементов балки работу f daMz(l). Эта работа
l
необходимо должна быть равна работе единичной силы на пе-
перемещении vb ее точки приложения.
Аналогичные по сути рассуждения мы уже проводили в
п. 4.7.3 при пояснении физического содержания баланса энер-
энергий D.7.24).
Записывая баланс энергий вида (8.8.10) для обобщенного пе-
перемещения 6 и соответствующей ему обобщенной единичной си-
силы, получаем после деления на единичную силу следующее вы-
выражение:
5= Jldz(l)da= J ^Mz(l)dx= J-AIz(l)dx. (8.8.11)
i i i
Здесь Mz(l) имеет тот же смысл, что и в (8.8.8). Проведенные
выше рассуждения показывают, что формула (8.8.11) не изме-
изменится, если причиной деформации балки, т.е. причиной пово-
поворота на углы а(х) ее сечений, будет не внешняя нагрузка, а,
например, ее нагрев. Более того, баланс энергий (8.8.10) будет
сохраняться и при таких деформациях балки, которые не под-
подчиняются закону Гука (8.8.9), т.е. при нелинейно-упругих и при
пластических деформациях. Поэтому формула (8.8.11) является
более общей в сравнении с (8.8.8).
8.8.4. Дадим примеры вычисления интеграла Мора.
Пример 8.16. Для балки постоянного сечения, показан-
показанной на рис. 8.69 а, найдем прогиб в точке В и угол поворота
сечения А.
Необходимые для этого аналитические выражения для изги-
изгибающего момента MZ(P) по участкам балки найдем из условий
ИНТЕГРАЛ МОРА
237
равновесия отсеченных частей, показанных на рис. 8.69 б:
MZ(P) =
—qa2 + -qaxi @ ^ x\ ^ a),
-qa2 + -qa(a + x2) - №y =
2 r -i
^ qax - -qx22 @ ^ x2 ^ 2a).
(8.8.12)
ум
щ
/
У У У У У У
*< а В
)' г V У У У У У 1
С
M'l'11!1)'1
1 \' У У \
Т а
1 >з i *"
MZ(P)
в
h
2a-x.,
A ±
" 3a
I
I
В
2a -
J_
3a
Рис. 8.69
Здесь мы для каждого участка взяли удобные для вычислений
координаты х\ и х2. Для определения прогиба в точке В прило-
238 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
жим в этой точке единичную силу (рис. 8.69 в) и для таких же
отсеченных частей найдем Mz(l):
-xi @ ^ xi ^ а),
Теперь вычислим интеграл Мора, учитывая, что на участке
CD Mz(l) = 0:
VB= [Y
/ EJZ
г ab
БС
^т:
Отрицательный знак прогиба vb означает, что точка В смести-
сместилась против направления единичного усилия (рис. 8.69 в), т.е.
вверх.
Найдем теперь угол поворота сечения в точке А. Для этого
нагрузим балку в этой точке единичным моментом, как это по-
показано на рис. 8.69 г. Из условия равновесия отсеченных частей
для сечения на участках АВ ж ВС получим
Mz(l) = { За
oCL
Используя это выражение вместе с выражением (8.8.12) для
MZ(P), получаем
mz(p)mz(i) j / у 6 ) ,
=-rz CiX — — I —=-rz (IX \ —
Z J Z
I
2a
-I
0
2a ( qaz 5
2
-qx2
2
36
ИНТЕГРАЛ МОРА
239
8.8.5. Как видно из рассмотренных примеров, аналитиче-
аналитическое вычисление интеграла Мора требует не меньшей вычис-
вычислительной работы, чем определение перемещений с помощью
универсального уравнения упругой линии, рассмотренного в
разд. 8.6. Эти вычисления помогает упростить использование
следующего графоаналитического приема.
Прежде всего заметим, что при вычислении прогибов и углов
поворота сечений балки изгибающий момент от единичного уси-
усилия Mz(l) представляет собой функцию, линейную по участкам
балки. A MZ(P) в зависимости от характера нагрузки может
быть нелинейной функцией с угловыми точками и разрывами.
Поэтому для балок постоянной жесткости вычисление интегра-
интегралов Мора сводится к вычислению по участкам балки интегралов
вида
Х2
f f(x)(kx
(8.8.13)
XI
где х\, Х2 — координаты границ рассматриваемого участка, в
пределах которого Mz(l) является линейной функцией кх + Ь.
Функция f(x) в интеграле (8.8.13) представляет MZ(P). Раскро-
Раскроем скобки в (8.8.13). В результате получим
Х2 Х2 Х2
I f(x)(kx + b) dx = к I xf(x)dx + b I f(x) dx =
= к I xdft + b \ dft =
Здесь dQ = f(x)dx — эле-
элемент площади О, заключен-
заключенной между графиком f(x) и
осью х (рис. 8.70). Интеграл
J dft является площадью О,
п
a JxdQ = Sf — это ста-
о
тический момент площади О
относительно оси /. Но, как
установлено в п. 7.1.3, Sf =
= жт0, где хт — координата
центра тяжести площади О.
Поэтому
Х2
f(x)(kx + b) dx = /сжт0
кх + Ъ
Рис. 8.70
J
Ш = П(кхт + 6) =
где /г — значение функции кх + b при ж = хт.
(8.8.14)
240 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
Учитывая представление (8.8.14), вычисление интеграла Мо-
Мора для балки постоянного сечения —- f MZ(P)MZA) dx можно
свести к вычислению его по участкам /^, на которых Mz(l) яв-
является линейной функцией, т.е. к V —— Г MZ(P)MZA) dx.
г EJzh
Пусть, кроме того, нам удалось представить на участках \{
сложную функцию MZ(P) в виде суперпозиции
Mz (Р) = МР (Р) + МР (Р) + ... + AfW (P),
в которой эпюра, соответствующая каждому из слагаемых, пред-
представляет на \{ такую простую фигуру, что легко найти ее пло-
площадь О] и положение центра тяжести xJTi. Тогда, определив зна-
значения hi изгибающего момента М^A), соответствующие xJTi, мы
сможем подсчитать интеграл Мора как
= ^E fMz(P)Mz(l)dx =
f ^^ (8.8.15)
* з к h3
Такой способ вычисления интеграла Мора называют спосо-
способом Верещагина.
Задача вычисления интеграла Мора, таким образом, сводит-
сводится к представлению эпюры MZ(P) на участках линейности эпю-
эпюры Mz(l) в виде суммы простых фигур, для которых легко най-
найти площади и положения центров тяжести. Эту операцию назы-
называют расслоением эпюры. Существует два приема расслоения
эпюр. Поясним их на примерах.
Пример 8.17. Для балки, рассмотренной в примере 8.16
и показанной на рис. 8.69, найдем прогиб vb точки В. На рис.
8.71 показаны эпюры Q, MZ(P) и Mz(l), необходимые для опре-
определения vb- На участке АВ эпюра MZ(P) представляет собой
трапецию. Поэтому ее можно разбить на прямоугольник О{ и
треугольник О^.
На участке ВС эпюра MZ(P) представляет собой сложную
фигуру. Покажем, как такую фигуру в общем случае можно
разбить на простые. Для этого рассмотрим выделенный из бал-
балки двумя сечениями участок длиной /^, на котором на бал-
ИНТЕГРАЛ МОРА
241
ку действует распределенная нагрузка постоянной интенсив-
интенсивности q. Co стороны отброшенных частей на него действуют
мл
й Ь = -qtf
? ? \
\\Y
Ш
q4
ЦП
щц
ш
>
м2
Рис. 8.71
изгибающие моменты Mi, M2 и перерезывающие силы Qi, Q2
(рис. 8.72). Тогда эпюра MZ(P) на таком участке может быть
разбита на прямоугольник
О|, треугольник О? и сег-
сегмент квадратичной парабо-
параболы О?. Чтобы понять это,
достаточно представить
нагружение участка как
суперпозицию нагружений,
показанных на рис. 8.73.
Причем площадь сегмен-
сегмента О? с основанием L и
•of
ВЫСОТОЙ О = -QLJ МОЖНО
подсчитать, рассматривая ис' '
его как разность прямоугольника l{ x Ъ и двух квадратичных
треугольников, площадь каждого из которых, как мы устано-
242
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
вили в примере 7.3, равна -—Ъ (см. также рис. 7.9). Поэтому
о ?
Учитывая эти рассуждения, сложную фигуру на участке ВС
разбиваем на простые, как это показано на рис. 8.71 внизу.
ъ
Мл
У/////////////////ШЛ
h
vM2
м2
~nj
^тГГТПв
~2~
•ИНГПТПТпгг^
Рис. 8.73
В результате имеем
= g<?a a,
л\ Qa2 о
= ^- • 2а,
гл2 1 2 2 о
Щ = -• -qaz • 2а,
g^a a,
оз 2(
iZ9 = --
• 2а.
Значения М^A), соответствующие центрам тяжести площадей
п{, равны /ij = a/3, /i^ = 2а/9, h\ = а/3, /i| = 2а/9, Щ = а/3.
Вычисляя теперь интеграл Мора по формуле (8.8.15), замечаем,
что знаки MZ(P) и Mz(l) для О{, О^, О^, О| различны и поэтому
соответствующие им интегралы Qjhj в (8.8.15) отрицательны.
А для О| знаки MZ(P) и М^A) совпадают, поэтому 0^2 > 0.
Таким образом,
¦ \а ~ Т2
b ~
- ^a3 ¦ \a - Iqa* ¦ \a + 2-qa3 ¦ |aj = -^
Рассмотренный выше способ расслоения эпюры MZ(P) назы-
называют геометрическим расслоением. Покажем на примере этой
же балки другой способ расслоения эпюры.
Балку, уравновешенную под действием нагрузки и реакций
(см. рис. 8.69), защемим в точке Б, которая является грани-
границей участков линейности эпюры Mz(l). Так как действующие
на балку нагрузки и реакции уравновешены, то в защемлении
8.8
ИНТЕГРАЛ МОРА
243
не возникает никаких реакций, и оно поэтому никак не сказыва-
сказывается на деформациях балки. На полученных консольных балках
построим эпюры Mz от каждой из нагрузок отдельно, как это
показано на рис. 8.74, причем распределенную нагрузку будем
26/6
i_
w
Ш\\\\\\\\\\\*
5/6
Рис. 8.74
рассматривать как две нагрузки, каждая из которых действу-
действует на соответствующем участке линейности Mz(l). Фактически
мы здесь пользуемся принципом суперпозиции и поэтому лег-
легко убедиться, что сумма эпюр на рис. 8.74 дает эпюру MZ(P),
показанную на рис. 8.71.
Нетрудно подсчитать, что
= -• -qa2a,
= \lqa2 -2а,
о
= ^ • 2а,
Z
\ = - • —qa2 • 2а,
^ = hqa2 • 2а
Z
и найти по эпюре Mz(l) соответственно
,1 а ,2 4 /I 4 /2 1
К h 0 k а К
244
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
Здесь для подсчета площади 0% и определения положения ее
центра тяжести мы использовали формулы для квадратичного
треугольника, полученные в примере 7.3 (см. рис. 7.9). Исполь-
Используя полученные значения О] и hj, подсчитаем интеграл Мора
для vB-
я 1
я 4
13 я 4
qa "
— qa
з 1
,3 4,
-a-2qa ¦^\=-
qa
1
i
Такой прием расслоения эпюры MZ(P) называют силовым
расслоением. Он хорош тем, что сводит задачу расслоения к по-
построению эпюр Mz для кон-
консольных балок, нагружен-
нагруженных одной из четырех про-
простых нагрузок (рис. 8.75).
При этом полученные эпю-
эпюры являются простыми фи-
фигурами, площади и положе-
положения центров тяжести кото-
Q=±lrb Рых легко найти.
Этот прием легко обоб-
Рис g 75 щить на случай треуголь-
треугольной распределенной нагруз-
нагрузки q(x). Предоставляем читателю самому сделать такое обобще-
обобщение. При этом для подсчета соответствующих площадей и опре-
определения их центров тяжести можно воспользоваться результа-
результатами примера 7.3.
8.8.6. С помощью вычисления интеграла Мора способом
Верещагина легко вычислять перемещения и углы поворота се-
сечений балок, изгибная жесткость которых различна на участ-
участках.
Пример 8.18. На рис. 8.76 представлена балка с двумя
участками. Жесткость ее на участке АВ равна 2EJZ1 а на участ-
участке ВС — EJZ. Здесь же приведены силовое расслоение эпюры
MZ(P) и эпюра Mz(l) для определения угла поворота ас сече-
сечения С. Используя эти результаты, получаем
ас =
1
2EJZ
EJZ
6 8
32 EJZ
ИНТЕГРАЛ МОРА
245
В этой сумме порядковый номер слагаемого соответствует номе-
номеру эпюры MZ(P), данному в кружке на рис. 8.76.
[1]
Рис. 8.76
В этой главе мы рассмотрели несколько способов вычисления
перемещений при изгибе. Применение их требует определенно-
определенного навыка, и трудно отдать предпочтение какому-либо из них.
Опыт показывает, что обычно наиболее эффективным являет-
является тот способ, которым лучше всего владеешь. Однако все эти
способы применимы лишь для балок постоянного сечения, на-
нагруженных достаточно простыми нагрузками. В более сложных
случаях для облегчения расчетов необходимо привлекать ЭВМ.
8.8.7К. Основополагающим соотношением для рассмотренных в этой
главе способов определения перемещений балок является полученное на
основе гипотезы плоских сечений в 1694 г. Яковом Бернулли соотношение
(8.2.6) между кривизной деформированной оси балки и изгибающим момен-
моментом. Племянник Я.. Берну лли Даниил применил это соотношение к анали-
анализу малых поперечных колебаний балки. Он же предложил своему ученику
Л. Эйлеру заняться задачей об упругих кривых с помощью разрабатывае-
разрабатываемого последним аппарата вариационного исчисления. Этой задачей с раз-
разных позиций Эйлер занимался всю свою жизнь. Он разработал метод реше-
246 ПРЯМОЙ ИЗГИБ ГЛ. 8
ния нелинейного уравнения (8.6.2) и для больших изгибов балок и колец по-
построил целый ряд решений (эластики Эйлера). Эйлер же проинтегрировал
дифференциальное уравнение малых поперечных колебаний балки, а также
поставил и решил задачу об устойчивости стержней, сжатых продольными
силами. Практически одновременно с Эйлером задачами об упругих кри-
кривых и об устойчивости стержней занимался Ж.Л. Лагранж A736-1813).
А. Клебш A833-1872) в своем курсе «Теория упругости твердых тел»
A862) в качестве одной из многочисленных прикладных задач рассмотрел
задачу о малых прогибах балки и показал способ построения универсаль-
универсального уравнения упругой линии (8.6.23). О. Мор A835-1918) в 1868 г. разра-
разработал метод единичной нагрузки, применил его для определения прогибов
балок и пришел к интегралу (8.8.6). Позже этот метод был использован им
для определения перемещений ферм (см. разд. 4.7). Графоаналитический
способ вычисления интеграла Мора предложен А.Н. Верещагиным в 1924 г.,
когда он был студентом Ленинградского института инженеров транспорта.
В силу своей простоты этот метод быстро получил широкое распростране-
распространение, особенно для расчетов статически неопределимых систем.
В.8. Контрольные вопросы
8.8.1. Чем отличается прямой изгиб от косого? При каких
условиях возникает прямой изгиб?
8.8.2. Чем отличается чистый изгиб от поперечного?
8.8.3. Какими статическими дифференциальными соотно-
соотношениями связаны между собой интенсивность распределенной
нагрузки, перерезывающая сила и изгибающий момент?
8.8.4. В каких точках на своих эпюрах перерезывающая
сила и изгибающий момент претерпевают скачки? Какова вели-
величина каждого такого скачка?
8.8.5. Как связано направление выпуклости эпюры изги-
изгибающих моментов с направлением распределенной нагрузки?
Откуда эта связь следует?
8.8.6. Почему при построении эпюр в консольной балке нет
необходимости определять опорные реакции?
8.8.7. Как используются статические дифференциальные
соотношения при построении эпюр Qy и Mz в балках?
8.8.8. Как определить равнодействующую распределенной
нагрузки? Как вычислить ее равнодействующий момент?
8.8.9. Какие связи наложены на балку соответственно в
катковой, шарнирной опорах и в заделке? Какие реакции в них
возникают?
8.8.10. Как используются статические интегральные соот-
соотношения при построении эпюр в балках?
8.8.11. Какой вид имеет математическое выражение гипо-
гипотезы плоских сечений при прямом изгибе балки?
8.8.12. На чем основывается предположение о том, что де-
деформация продольных волокон балки подчиняется закону Гука
для одноосного растяжения-сжатия?
В.8 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 247
8.8.13. Как меняются нормальные напряжения по попереч-
поперечному сечению балки? Как их вычислить по заданному изгибаю-
изгибающему моменту?
8.8.14. Как при прямом изгибе связаны между собой кри-
кривизна деформированной оси балки и изгибающий момент в дан-
данном поперечном сечении?
8.8.15. Какое предположение принято относительно рас-
распределения тху по ширине сечения балки? Как определить тху в
поперечном сечении балки по действующей в нем перерезываю-
перерезывающей силе Qyl
8.8.16. Каким сечением выделяется отсеченная часть F0TC
для подсчета S°TC в формуле для тху?
8.8.17. В каких точках поперечного сечения действуют мак-
максимальные касательные напряжения при изгибе балок прямо-
прямоугольного и треугольного сечений? Как они отличаются от сред-
средних по сечению напряжений?
8.8.18. Какие особенности распределения касательных на-
напряжений по тонкостенному сечению?
8.8.19. В чем сходство и различие формул для определе-
определения касательных напряжений в тонкостенном и нетонкостенном
сечениях при изгибе балки?
8.8.20. Что такое центр изгиба (центр жесткости) сечения?
Для чего необходимо знать положение этой точки в сечении?
Что называется осью жесткости балки?
8.8.21. Почему при расчете балки на прочность можно пре-
пренебречь взаимным влиянием нормальных и касательных напря-
напряжений? Какие напряжения могут быть определяющими при рас-
расчете металлических, деревянных и композитных балок?
8.8.22. Что такое момент сопротивления изгибу?
8.8.23. Почему двутавровое сечение выгодно по сравнению
с другими сечениями балок, работающих на изгиб?
8.8.24. По каким сечениям балки (балка постоянного сече-
сечения) необходимо вести расчет на прочность, если:
а) материал балки одинаково работает на растяжение и сжа-
сжатие;
б) материал балки неодинаково работает на растяжение и
сжатие и сечение симметрично относительно нейтральной оси z\
в) материал балки неодинаково работает на растяжение и
сжатие, но сечение несимметрично относительно оси z?
8.8.25. Какие величины связываются дифференциальным
уравнением упругой линии балки? Как выбирается знак в этом
уравнении?
8.8.26. Из каких условий определяются произвольные
постоянные в общем решении дифференциального уравнения
упругой линии балки?
248
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
8.8.27. Почему в выражении (8.6.16) интеграл от М можно
записать в виде М(х — жм)?
8.8.28. Из каких слагаемых складывается потенциальная
энергия деформации балки? Какое из них является преобла-
преобладающим для длинных балок?
8.8.29. Какова цель двухэтапного нагружения балки при
выводе интеграла Мора?
8.8.30. Приведите две формы записи интеграла Мора для
обобщенного перемещения. Какая из них является более общей
и почему?
8.8.31. К чему сводится задача вычисления интеграла Мора
по способу Верещагина?
8.8.32. Какие два приема расслоения эпюр вы знаете? В
чем они заключаются?
3.8. Задачи
3.8.1. Для шести балок, показанных на рис. 8.77, построить
эпюры перерезывающих сил Qy и изгибающих моментов Mz.
V у у V ? fV
а
i
\ i i л А
а
2qa2
а
qa
а
JuJJiU
За
2т
Рис. 8.77 а, б, в
3.8
ЗАДАЧИ
249
а
^ да2
2а
шм.
а
а
2а
Л
2а
шшг
да
2а
Рис. 8.77 г, д, е
3.8.2. Для балки (рис. 8.78) построить эпюры Qy и Mz. Из
условия прочности определить размеры показанных на рисунке
поперечных сечений и сравнить массы балок этих сечений. До-
Допускаемое напряжение на растяжение [а]р = 70 МПа, на сжатие
[а]с = 40 МПа, q = 103 Н/м, а = 0,5 м.
1 ' \i Г 1 ' ' ' 1 ' ' ' 1 ' ' Г 1 ' М ' Г V Г V М ' 1 ' I
Рис. 8.78
3.8.3. Используя для балки в предыдущей задаче попереч-
поперечное сечение из задачи 7.5 (нагрузка приложена в плоскости сим-
250
ПРЯМОЙ ИЗГИБ
ГЛ. 8
метрии балки на верхней полке), вычислить допускаемую вели-
величину интенсивности нагрузки [д], полагая b = 10 м, а материал
и размеры участков балки прежними.
3.8.4. Полагая сечение той же самой балки (см. рис. 8.78
к задаче 8.2) составным (см. рис. 7.25 к задаче 7.7) и прило-
приложив нагрузку в плоскости наибольшей жесткости балки, опре-
определить ее запас прочности. Принять при этом ат = 240 МПа, q =
= 2,5 • 104 Н/м, а = 0,5 м.
3.8.5. Для сечений, показанных на рис. 7.24 а, б, г к задаче
7.6 построить эпюры S°TC и касательных напряжений. При этом
для сечений на рис. 7.24 а, б нагрузку считать приложенной
в вертикальной плоскости (Qy направлена сверху вниз), а для
сечения на рис. 7.24 г — как в вертикальной (то же направле-
направление Qy), так и в горизонтальной (Qz направлена справа налево)
плоскостях. Кроме того, для сечений на рис. 7.24 а, г определить
положение центра изгиба.
3.8.6. Для балки постоянного сечения, показанной на
рис. 8.79, найти прогиб на левом конце и угол поворота сече-
сечения, где приложена сила 2да, используя универсальное уравне-
уравнение упругой линии.
V Г 1' V Г l' V Г 1' V
2а
RA = ha
2а
2qa
RB = jqa
Рис. 8.79
3.8.7. Используя интеграл Мора, найти прогиб в середине
балки, изображенной на рис. 8.77 б к задаче 8.1.
3.8.8. Воспользовавшись способом Верещагина, определить
взаимный угол поворота двух сечений, расположенных непо-
непосредственно слева и справа от промежуточного шарнира, в бал-
балке, изображенной на рис. 8.77 д к задаче 8.1.
Рис. 9.1
ГЛАВА 9
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
Рассмотренные в главах 4, 6, 8 элементарные состояния бру-
бруса: центральное растяжение-сжатие, кручение и прямой из-
изгиб возникают в брусе при
соответствующих специальных
нагрузках. Так, в прямоли-
прямолинейном брусе центральное
растяжение-сжатие вызывают
нагрузки, равнодействующие
которых действуют по оси бру-
бруса. Прямой изгиб создают попе-
поперечные нагрузки в плоскости,
содержащей одну из главных центральных осей поперечного се-
сечения бруса. Кручение бруса возникает под действием таких на-
нагрузок, которые сводятся к моментам
в плоскости, нормальной к оси бруса.
В общем случае нагружения
бруса (рис. 9.1) нагрузка не обладает
такими специфическими особенно-
особенностями. Поэтому в его поперечных
сечениях могут возникнуть все
шесть внутренних силовых факто-
факторов (рис. 9.2), определить которые
можно из условий равновесия от-
отсеченных частей, как это сделано
в разд. 2.1. Но принцип наложения
действия сил, или принцип супер-
суперпозиции (см. п. 1.2.6), позволяет
нам в общем случае нагружения
бруса рассматривать напряженное
состояние в его поперечном сечении как суперпозицию шести
состояний, в каждом из которых действует только один из
внутренних силовых факторов (рис. 9.3).
Рис. 9.2
252
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
9.1. Нормальные напряжения в общем случае
деформации бруса
9.1.1. В первых трех из показанных на рис. 9.3 шести состо-
состояний продольная сила N и изгибающие моменты MZ1 My явля-
Рис. 9.3
ются результатом действия нормальных напряжений. Если оси
z, у — главные центральные оси сечения, то
F Jz Jy
Знак « —» во второй формуле учитывает, что при показанном
на рис. 9.3 направлении Mz в точках с положительной координа-
координатой у возникают сжимающие напряжения. При одновременном
действии TV, Mz и Му нормальные напряжения (9.1.1) склады-
складываются алгебраически, так как все они действуют вдоль оси х:
ох = ax(N) + ax(Mz) + ax{My) = % - Ц^у + ^z. (9.1.2)
Так как направление осей z, у может не совпадать с указан-
указанным на рис. 9.3, то формулу (9.1.2) удобно записывать в виде
N , Mz , My /п 1 о\
а* = f ± ху ± ¦?*• (9Л-3)
Конкретные знаки у второго и тре-
третьего слагаемых определяются на-
направлением осей. Если оси напра-
направить в сторону зон растянутых про-
продольных волокон в сечении (в сторо-
сторону значка Q на изображениях Mz и
Му ), как это показано на рис. 9.4,
то в формуле (9.1.3) нужно выбрать
оба знака «+». Продольные силы
по-прежнему считаются положительными, если они растягива-
растягивающие.
Рис. 9.4
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
253
9.1.2. Найдем положение нейтральной линии сечения, т.е.
линии, которая отделяет сжатую зону сечения от растянутой и
на которой лежат нейтральные продольные волокна. Очевид-
Очевидно, что на этой линии ах = 0. Поэтому при взаимной ориента-
ориентации осей z, у и моментов MZl My, соответствующих выражению
(9.1.2) и показанных на рис. 9.3, получаем следующее выраже-
выражение для нейтральной линии:
У —
MyJZ
MZJX
z
NJZ
MZF'
Нейтральная
,линия
Ясно, что на плоскости zy нейтральная линия является пря-
прямой линией (рис. 9.5). Более того, в трехмерном пространстве у,
z, ах эта линия является линией пересечения плоскости (9.1.2),
определяющей величину ах
в зависимости от координат
у, z точек сечения (плос-
(плоскость эпюры ах), с плоско-
плоскостью zy сечения. Плоскост-
Плоскостной закон распределения на-
напряжений позволяет также
легко найти те точки се-
сечения, в которых действу-
действуют наибольшие растягиваю-
растягивающие и сжимающие напряже-
напряжения. Это будут точки растя-
растянутой и сжатой зон сечения,
Сжатая зона
NJy
z= -
MVF
©
Растянутая зона
Рис
которые наиболее удалены от
нейтральной линии (точки А
и В на рис. 9.5). Тогда необ-
необходимые для расчета на прочность наибольшие растягивающие
&р max и сжимающие ас тах напряжения в сечении определяются
выражением (9.1.2), в которое надо подставить координаты этих
точек. Так, для случая, показанного на рис. 9.5,
N Mz .My
В этой формуле в соответствии с выбранными направления-
направлениями осей координаты точки А такие, что у а < 0 и za > 0.
9.1.3. Иногда удобно рассматривать деформацию бруса,
привязываясь к осям, которые не являются главными централь-
центральными. Деформация бруса, соответствующая закону плоских се-
сечений, при произвольном выборе координатных осей в сечении
может быть представлена как наложение (суперпозиция) трех
простых деформаций, показанных на рис. 9.6 (недеформирован-
ный элемент показан штриховой линией). Деформация 1 соот-
соответствует растяжению, когда ось остается прямолинейной и из-
254
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
меняется только расстояние между сечениями. Поэтому все во-
волокна бруса получают такое же удлинение, что и ось бруса, т.е.
- F
— с.
Рис. 9.6
Деформация 2 соответствует искривлению оси х только в
плоскости ху. При этом длина оси не изменяется, а ось при-
приобретает в плоскости ху кривизну 1/рху. Эта деформация соот-
соответствует рассмотренному в разд. 8.2 прямому изгибу в плос-
B)
кости ху (см. рис. 8.27). Поэтому деформация ех продольного
волокна бруса, имеющего координату у, определится выражени-
выражением (8.2.1) и будет ех2) = -У/рху.
Деформация 3 соответствует аналогичному прямому изги-
изгибу, но только в плоскости xz. И если pxz — радиус кривизны оси
бруса в плоскости xz, то ех = z/pxz (знак плюс здесь соответ-
соответствует тому, что волокна, у которых z > 0, удлиняются).
При наложении деформаций удлинение ех продольного во-
волокна с координатами z, у складывается из трех слагаемых
Е = М) , М , (з) = _ _у_ , j_
Рху Pxz
Оставаясь в рамках гипотезы о ненадавливаемости продольных
волокон, будем, как в п. 8.2.2, считать, что продольные волокна
бруса находятся в состоянии одноосного растяжения. Поэтому в
силу закона Гука нормальное напряжение
--^ + —), (9.1.5)
рху pxz)
что соответствует плоскостному закону распределения напря-
напряжений по сечению.
Чтобы связать удлинение оси бруса ? и ее кривизн kz =
= 1/'рХу и Ку = 1/Pxz c внутренними силовыми факторами N,
Mz и My, воспользуемся интегральными выражениями B.3.1),
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
255
которые для показанных на рис. 9.5 направлений осей z, у и
внутренних силовых факторов TV, MZ1 My имеют вид
N = J axdF, Mz = - J yax dF, My = J zax dF. (9.1.6)
F F F
Подставим сюда выражение (9.1.5) для ах. В результате придем
к трем соотношениям:
1 4- 9 1
' Рху pxz
(9.1.7)
N =
рху р:
Удобна матричная форма записи этих соотношений:
- Sze + Jz — - Jzy—),
рху ypxzJ
N
Мг.
Ly A
= Е
F
Sz
Sy —t
J Z J Z1i
e
l/pxy
\jpxz
= EJ
e
nz
Ky
(9.1.8)
Матрица J составлена из геометрических характеристик сече-
сечения. Если оси z, у — главные центральные оси сечения, то рав-
равны нулю статические моменты Sz и Sy и центробежный момент
Jzy и матрица J упрощается, становясь диагональной, а система
уравнений (9.1.7) распадается на три известных нам соотноше-
соотношения:
EJZ
Му =
EJV
N = EFe, Mz =
Рху ' * Pxz
Подставив полученные отсюда выражения для ?, 1/рху и l/pxz
в соотношение (9.1.5), мы легко придем к формуле (9.1.2).
Если оси не являются главными центральными, то ?, 1/рху
и 1/pxz находятся как решения системы (9.1.7). И хотя эта си-
система трех уравнений относительно трех неизвестных ?, l/pxyi
1/Pxz является линейной и ее решение не представляет принци-
принципиальных трудностей, аналитические выражения для решения
оказываются громоздкими и запомнить их становится трудно.
Поэтому проще перейти к главным центральным осям. При чис-
численной же реализации на ЭВМ решение системы (9.1.8) не со-
составляет труда, и оно может быть эффективно использовано.
Мы же будем далее считать оси z, у главными центральными
осями сечения.
9.1.4. Если в брусе продольная сила N и крутящий момент
Мк равны нулю, а изгибающие моменты Mz и Му не равны ну-
нулю, то в соответствии с классификацией форм изгиба, данной в
256
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
преамбуле к гл. 8, такой изгиб называется косым. В соответствии
с (9.1.3) нормальные напряжения в этом случае определяются
выражением
¦ MZ , My (г. л ^Ч
ах = ±—-у± -*-z. (9.1.9)
JZ Jy
Нейтральная линия (9.1.4) при косом изгибе проходит через
центр тяжести поперечного сечения и определяется соотноше-
соотношением
Пример 9.1. Рассмотрим изгиб консольного бруса дли-
длиной I и прямоугольного сечения а х 2а под действием силы
Р, направленной вдоль одной из диагоналей концевого сечения
(рис. 9.7 а). Оси z и у являются главными центральными осями,
и моменты инерции поперечного сечения равны
Jz = ^а(
= |а4,
Jy = ^
= \а\
Разложив силу Р на составляющие по главным центральным
осям, легко получить эпюры изгибающих моментов Mz и Му
в главных плоскостях (см. рис. 9.7 б). Определим нормальные
Рис. 9.7
напряжения, возникающие в сечении бруса, соответствующем
заделке. Оси z, у направим, как показано на рис. 9.8. Тогда
м^
Jz
Му
IPX 3
PI 6
Из условия ах = 0 следует выражение для нейтральной линии
у = —2^, которое показывает, что нейтральная линия совпадает
со второй диагональю прямоугольника. Важно отметить, что в
отличие от прямого изгиба, при косом изгибе нейтральная линия
не перпендикулярна плоскости действия нагрузки.
Э.1
НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
257
Максимальные растягивающие и сжимающие напряжения
действуют в наиболее удаленных от нейтральной линии точках
А и В:
в точке А
Mz
Jz
Му
ЗР1
2а +
6Р1
y/ba'
-а =
12Р1
л/5 а3
в точке В
(Ус
12Р1
л/5 а3'
Эти напряжения равны по
абсолютной величине, потому
что точки А и В одинаково
удалены от нейтральной ли-
линии.
Чтобы найти перемещение
концевого сечения #, опреде-
определим его вертикальную 5у и
горизонтальную Sz составляю-
составляющие. Вычислив интеграл Мора
с помощью способа Верещаги-
В
Mz =
Нейтральная
линия
Рис. 9.8
на, получим (эпюры Mz(l) и МуA) показаны на рис. 9.9)
- J
I
= Г
J
EJZ
EJV
¦ dx =
E--a*
1
12Р1] 2j _
'275 3
1 PI j 2, _
2VE ' 3 ~
PI3
2PI
I
получаем 6 (см. рис. 9.8).
1 4
Складывая геометрически Sy и Sz
Замечаем, что вектор S здесь нормален к нейтральной линии се-
сечения и не совпадает по направ-
направлению с силой Р, что характерно
для косого изгиба.
9.1.5. Напряженное состо-
состояние бруса, возникающее под
действием продольных нагрузок,
приложенных не по оси бру-
бруса, называют внецентренным
(нецентральным) растяжением-
сжатием. В этом случае пе-
перерезывающие силы Qyi Qx и крутящий момент М^ равны
нулю. Поэтому в поперечных сечениях бруса возникают только
нормальные напряжения ах, и они определяются выражением
(9.1.3). А уравнение нейтральной линии имеет вид (9.1.4), и она
не проходит через центр тяжести сечения.
Рис. 9.9
А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
258
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
Пример 9.2. Рассмотрим растяжение треугольной призмы
силами, действующими вдоль одного из ребер (рис. 9.10). Сече-
Сечение призмы — прямоугольный равнобедренный треугольник с
основанием 2а и высотой а.
Главные центральные оси его
обозначим через z и у, как по-
показано на рис. 9.11. Тогда
Jz~ 36
Подсчитаем TV, Mz и Му из
условия равновесия отсечен-
• 9-Ю ной части: N = Р, Mz = ^Ра,
My = Ра. Так как оси z и у направлены в сторону растянутых
продольных волокон (в сторону значка Q на изображениях Mz
и My), в формуле (9.1.3) нужно сохранить знаки «+». Поэтому
°х = Т
N , Mz
Р
а2
My
Ра/3
-4-
Ра
a4/6Z'
Уравнение нейтральной линии
получим из условия ах = 0.
Оно принимает вид y = — z —
— -а. Таким образом, нейтраль-
нейтральная линия проходит вертикаль-
вертикально, как показано на рис. 9.11.
Поэтому видно, что макси- линия
мальные растягивающие на-
напряжения возникают в точке Рис. 9.11
" а максимальные сжимающие — в точках
ул = i;Q>-)Za =
стороны ВС, например в точке В I zb = 0, у в = — т«) • Они рав-
равны:
6Р
6Р
9Р
/о\ Р , 6Р / 2 \ , 6Р п ЗР
°,(В) = астах = - + - (--а) + - ¦ 0 = --.
Полезно заметить, что если бы сила Р была приложена вдоль
оси бруса, т.е. при центральном растяжении, нормальные на-
9.2 КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ 259
пряжения были бы ах = N/F = Р/а2. Таким образом, даже ка-
кажущееся небольшим (в пределах сечения) смещение растягива-
растягивающей нагрузки относительно оси бруса, привело к увеличению
напряжений в девять (!) раз. Поэтому при проектировании эле-
элементов конструкции, которым предстоит работать на растяже-
растяжение или сжатие, нужно принимать специальные конструктивные
меры, чтобы возможно точнее обеспечить соосность нагрузки и
оси бруса.
9.2. Касательные напряжения в общем случае
деформации бруса
9.2.1. Перерезывающие силы Qyi Qz и крутящий момент
Мк в последних трех из данных на рис. 9.3 состояний являются
результатом действия касательных напряжений в сечении бру-
бруса. При рассмотрении кручения (см. гл. 6) и изгиба (см. гл. 8)
было показано, что характер распределения касательных напря-
напряжений по сечению существенно зависит от его формы. В этом
смысле все сечения можно разбить на две группы: тонкостен-
тонкостенные и нетонкостенные. В тонкостенных сечениях направление
касательных напряжений близко к направлению касательной к
средней линии (см. п. 6.6.1), и с достаточной точностью можно
считать, что они направлены вдоль средней линии. Это свойство
позволяет в тонкостенных сечениях суммировать касательные
напряжения, связанные с различными внутренними силовыми
факторами, алгебраически. Таким образом, если s — координата
вдоль средней линии, то в каждой точке тонкостенного сечения
txs = rxs(Qy) + rxs(Qz) + rxs(Mk). (9.2.1)
Здесь следует заметить, что при определении слагаемых в этой
сумме по формулам, полученным в главах 6 и 8, необходимо,
чтобы оси z, у были главными центральными, но система вну-
внутренних силовых факторов Qy, Qz, Mk должна быть приведена
к центру изгиба. Иначе говоря, при вычислении крутящего мо-
момента Мк из условий равновесия отсеченной части необходимо
помнить, что линии действия перерезывающих сил Qy и Qz про-
проходят через центр изгиба сечения. Поэтому, чтобы определить
Мк независимо от Qy и QZ1 нужно использовать условие равен-
равенства нулю моментов, действующих на отсеченную часть сил, от-
относительно оси жесткости бруса (а не относительно оси бруса ж,
проходящей через центры тяжести его сечений, как это иногда
делают по инерции).
Если сечение не является тонкостенным, то касательные на-
напряжения, связанные с перерезывающими силами Qy и Qz и
определяемые формулой Журавского (8.3.6), действуют в на-
направлении Qy и Qz. А касательные напряжения от кручения
260
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
бруса могут по направлению не совпадать с осями z, у. Поэто-
Поэтому суммирование касательных напряжений, связанных с раз-
различными внутренними силовыми факторами, необходимо здесь
проводить геометрически (векторно):
^xz(Qz)
(9.2.2)
Замечание о необходимости приводить систему внутренних
силовых факторов Qyi QZ1 M^ к центру изгиба сечения здесь
также остается в силе. Но для нетонкостенных сечений центр
изгиба обычно либо совпадает с центром тяжести (когда у се-
сечения две оси симметрии), либо близок настолько, что без су-
существенной ошибки можно считать Qy и Qz приложенными в
центре тяжести сечения.
9.2.2. Пример 9.3. Пусть брус тонкостенного незамкну-
незамкнутого сечения нагружен так, как показано на рис. 9.12. Рассмо-
Рассмотрим напряженное состояние в сечении бруса у заделки. Вну-
Внутренние силовые факторы, вытекающие из условия равновесия
отсеченной части, показаны на рис. 9.13. Величина М& получена
Ось жесткости
Рис. 9.12
Рис. 9.13
из условия равенства нулю моментов относительно оси жестко-
жесткости А-А (см. пп. 8.4.2, 8.4.3) сил, действующих на отсеченную
часть:
МА-а = 0 -»¦ Мк = \РЪ + Р ¦ |б = \РЬ.
Нормальные напряжения легко определяются на основе фор-
формулы (9.1.3):
Mz , Му lOPb , oPb
(Ух = -j-У + -^z = з у + -| z.
J J ^ ^
Здесь учтено, что для рассмотренного сечения Jz = -б3E, а
о
9.2
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
261
Jy = —b3S. Величина Jz подсчитана в п. 8.4.2, а величину Jy
читатель легко может определить самостоятельно.
Касательные напряжения rxs(Qy) и rxs(Qz) равномерно рас-
распределены по толщине сечения S и направлены касательно к
средней линии. Их величины и направления показаны на эпюрах
рис. 9.14. Первая из них получена в п. 8.4.1, вторую несложно
получить аналогично.
Рассмотренное сечение является тонкостенным незамкнутым
сечением. Поэтому, как показано в разд. 6.5, при кручении в нем
возникают линейно изменяющиеся по толщине касательные на-
напряжения rxs(Mk). Их величина вдоль средней линии не меня-
меняется. На рис. 9.15 rxs(Mf?) показаны вблизи точки В средней ли-
в
20 bb
в
!
ki
Рис. 9.14
Рис. 9.15
нии сечения. Величина ттах(М/с) определяется формулой F.5.9).
Для нашего сечения момент сопротивления кручению F.5.10)
Wk = ±(
3d
2bS3
Поэтому
bS3) = Ид2.
3
15 P
Тогда распределение rxs по толщине сечения, например, в точке
i?, можно получить как сумму показанных на рис. 9.16 эпюр.
При этом учтено направление rxs(Qy) и rxs(QzI показанное
стрелками на рис. 9.14. Максимальная величина rxs будет в точ-
точках внутреннего контура:
— ^^ м м — 169 р
32.
Например, при 6 = 0,16 получаем
1500 Р
60Ъд
15 р
32 6*'
-I f*-1 7 О I ГЛЛ 7 О } 7 О
262
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
Появление гх(М^) вызвано тем, что нагрузка Р приложена не
к оси жесткости бруса. Как видно, это привело к увеличению ка-
касательных напряжений в брусе в 2,7 раза, что связано с плохой
работой на кручение открытых сечений. Чтобы избежать воз-
возникновения тх(Мк) в рассмотренном брусе, нужно с помощью
простых конструктивных мер
(например, закрепив в тор-
торцевом сечении простейший
кронштейн) перенести внеш-
внешние силы на ось жесткости (в
точку А торцевого сечения).
При таком нагружении ока-
окажется, что М& = 0 и тх(Мк) не
возникнет.
При расчете на прочность
рассмотренного бруса замеча-
В /^
8Р
365
ЪР
2065
15Р
3252
Рис. 9.16
ем, что опасным является сече-
сечение в заделке бруса; в нем од-
одновременно действуют нормальные и касательные напряжения.
Например, в точке С (см. рис. 9.13) с координатами у с = —Ь,
1,
zc = —jb действуют максимальные сжимающие напряжения
(УС =
ЮРЬ,
21 Р
В этой же точке (при условии, что силы Р приложены к оси
жесткости) возникают касательные напряжения
тс = rxs(Qy) - rxs(Qz) = 8Ьг-20Ы = 40Ы-
Это обстоятельство не позволя-
позволяет проводить расчет на проч-
прочность только по нормальным
напряжениям, как это делалось
в гл. 8. Вопрос об учете одно-
одновременно действующих нормаль-
нормальных и касательных напряжений
будет рассмотрен в гл. 11.
Пример 9.4. Рассмо-
Рассмотрим брус прямоугольного сече-
сечения (рис. 9.17). Эпюры возника- р g -. „
ющих в его сечениях изгибаю-
изгибающих и крутящих моментов показаны на рис. 9.18. Изгибающие
моменты изображены в тех плоскостях, в которых они действу-
9.2
КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
263
ют, со стороны сжатых волокон. Видно, что наиболее нагружен-
нагруженным будет сечение бруса вблизи заделки. Действующие в нем
2Р1
Рис. 9.18
Рис. 9.19
внутренние силовые факторы показаны на рис. 9.19. Наиболь-
Наибольшие нормальные напряжения возникают в точке С и согласно
(9.1.3)
_ м^ _ щ_ _ „pi_
Jz Jy Ь3
Здесь и далее учтено, что Jz = -б4, Jy = -б4, ус = Ь, zc = --.
Касательные напряжения в точке С равны нулю.
В точке А действуют нормальные напряжения
My
Jy
а также касательные напряжения
ГХуА(Мк) = щ = -
и
Pl
= 2,03^ (« = 0,246)
'ху/
_ 1
- г -ь
ЗР
a t~xza{Qz) — 0. Поэтому в точке А
тхА = тхуА = тхуА(Мк) + TxyA(Qy) = Р B,03 + 0,75^) .
Аналогично находим, что в точке В действуют напряжения
= 3§, тхгВ(Мк) = jTxyA(Mk) = 0,795 • 2,03§ =
Поэтому в этой точке тж^ = тж^^ = —¦ A,62 + 0,38- ).
264
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
Сравним напряженные состояния в точках А, В и С, напри-
например при Ъ = ОД/. Тогда ахС = 6Р//63, тхС = 0, ажА = -ЗР//63,
тжА = 2ДР//63, ахВ = ЗР//63, тжБ = 1,66Р//63.
Так как в точках А ж В действуют одинаковые нормальные
напряжения, но в точке А касательные напряжения больше, то,
очевидно, что точка А опаснее точки В. Сравнивая же точки
А и С, мы не можем сказать заранее, какая из них опаснее,
так как хотя в точке А нормальные напряжения меньше, но они
действуют одновременно с касательными напряжениями. Таким
образом, мы снова пришли к проблеме, которая возникла в пре-
предыдущем примере, т.е. к проблеме расчета на прочность при
одновременном действии нормальных и касательных напряже-
напряжений.
9.3. Деформации в общем случае нагружения бруса
9.3.1. Получим потенциальную энергию деформации для
общего случая деформации бруса. Для этого найдем сначала по-
потенциальную энергию сШ, накопившуюся в элементе dx бруса.
В результате возникновения в брусе шести внутренних силовых
факторов элемент деформируется, т.е. ось элемента удлинится
на величину edx, а сечение х + dx повернется относительно се-
dx
чения х в плоскости ху на угол da = —, в плоскости xz — на
рху
угол df3 = dx/Pxz (см- рис. 9.6) и в плоскости zy (относительно
оси х) — на угол dip = в dx (в — относительный угол закручива-
закручивания бруса). На рис. 9.20 схематично показаны деформации оси
X
Рис. 9.20
вместе с теми внутренними силовыми факторами, которые со-
совершают на перемещениях, вызванных этими деформациями,
работу, накапливающуюся в элементе при его упругой дефор-
деформации в виде потенциальной энергии деформаций. Левый конец
элемента условно считаем неподвижным, т.е. введем оси коорди-
координат, связанные с левым сечением. Важно отметить, что каждый
9.3 ДЕФОРМАЦИИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НАГРУЖЕНИЯ БРУСА 265
внутренний силовой фактор совершает работу только на соот-
соответствующем ему перемещении или угле поворота. Тогда при
деформациях в пределе закона Гука
(Ж = dUN + dUMz + dUMy + dUMk = ^Ns dx + ^Mz da +
+ \МУ dp + l-Mk dip = l-Nedx + lM±dx + \^±dx+ l-Mk6dx.
Z Z Z Z Pxy ^ Pxz ^
(9.3.1)
Суммируя по элементам бруса, получаем его потенциальную
энергию деформации:
П= f dU=- f (Ne + ^- + ^- + Мкв) dx =
J 2 J V pxy pxz J
I I
= \ I (Ns + MZKZ + MyKy + Мкв^dx' ^9-3-2^
I
Если оси ж, у — главные центральные оси сечения, то, как по-
показано в разд. 9.1:
_ N 1 _ _ Mz 1 _ _ Му
S~ EF> pxy~Kz~ EJZ ' pxz ~КУ- EJy '
Добавив к этим соотношениям полученную в гл. 6 формулу в =
= Mfr/GJki мы можем легко получить одно из следующих вы-
выражений для П:
П = i J (EFe2 + EJzk?z + EJyn\ + GJk02) dx. (9.3.4)
i
В проведенных рассуждениях пока не учтена энергия дефор-
деформаций от напряжений тху и rXZi связанных с перерезывающими
силами Qy и Qz. В разд. 8.7 показано, что для достаточно длин-
длинных балок, т.е. для балок, деформацию изгиба которых удовле-
удовлетворительно представляет гипотеза плоских сечений, перерезы-
перерезывающие силы дают малую в сравнении с изгибающими момента-
моментами энергию деформации. Однако в случае необходимости можно
учесть и ее, добавив, например, к выражению (9.3.3) слагаемые
(см. п. 8.7.3)
+nQ, = \ / ky^dx + \ J kz^dx. (9.3.5)
l l
Полученные выражения нетрудно распространить на брус,
ось которого в недеформированном состоянии имеет небольшую
266
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
da-da0
Уху
Рис. 9.21
кривизну (т.е. когда радиус кривизны велик по сравнению с мак-
максимальным размером сечения в плоскости кривизны). Ведь для
такого бруса можно, как и ранее, считать, что внутренние сило-
силовые факторы совершают работу только на соответствующих им
перемещениях. Для этого рассмотрим
показанную на рис. 9.21 деформацию
оси элемента бруса с начальным ради-
1 da0
усом кривизны оси —— = —— в плос-
J F P% ds
-п 1 da
кости xv. Ьсли — = — — кривиз-
рху ds
на оси бруса в деформированном со-
состоянии, тогда его правое сечение при
деформации повернется, относительно
левого, на угол
7 7 о ds ds
da — da = — — —.
Pxy Pxy
Поэтому при линейно-упругой дефор-
деформации изгибающий момент Mz совер-
совершит на этом угле работу, которая накопится в элементе в виде
потенциальной энергии деформации:
dUMz = -Mz (— - -i-) ds = -Mzkz ds. (9.3.6)
2 \pxy Pxy/ 2
Здесь kz — изменение кривизны оси бруса при изгибе в плоско-
плоскости ху. Рассуждая так же, как в разд. 9.1, можно получить, что
для бруса с малой начальной кривизной оси сохраняется про-
пропорциональная зависимость между изгибающим моментом Mz
и изменением nz кривизны оси: nz = MZ/EJZ. Таким образом,
для такого бруса мы снова приходим к формулам (9.3.2)—(9.3.4),
только суммирование в них будет производиться вдоль криво-
криволинейной оси s. Кстати, так как для прямого бруса кривизны
недеформированной оси равны нулю, то для него nz и пу явля-
являются также изменениями кривизны, произошедшим вследствие
изгиба бруса.
9.3.2. Чтобы получить интеграл Мора для определения пе-
перемещений в общем случае деформации бруса, воспользуемся,
как в и разделах 4.7 и 8.8, методом единичной нагрузки. Для это-
этого рассмотрим двухэтапное на-
гружение бруса. На первом эта-
этапе нагрузим брус единичным
усилием в направлении искомо-
искомого перемещения (рис. 9.22 а).
При этом точка В получит в на-
направлении единичного усилия
перемещение ##A), на котором
ЫРУ
Рис. 9.22
9.3 ДЕФОРМАЦИИ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ НАГРУЖЕНИЯ БРУСА 267
это единичное усилие совершит работу АA). Эта работа нако-
накопится в брусе в виде потенциальной энергии деформации ПA) =
= АA). Так как в результате действия единичного усилия в бру-
брусе возникли внутренние силовые факторы NA), Mz(l), МуA),
), то согласно (9.3.3)
На втором этапе нагрузим брус основной нагрузкой, которая
иа рис. 9.22 б представлена силой Р. При этом сила Р совершит
работу
I
(9.3.8)
а единичная сила произведет работу 1 • 5в(Р) на искомом пере-
перемещении 6в(Р)- Всего же за два этапа нагружения единичная
сила и нагрузка Р производят работу
АA + Р) = АA) + А(Р) + 1 • 6В(Р). (9.3.9)
Эта работа накопится в брусе в виде потенциальной энергии де-
деформации ПA + Р), которую найдем по возникшим в брусе си-
силовым факторам:
NA + Р) = NA) + N(P); Mz(l + Р) = Mz(l) + MZ(P);
МуA + Р) = МуA) + Му(Р); МкA + Р) = МкA) + Мк{Р).
Поэтому
1 Г (
2 J \
N\l+P)
EF + EJZ + EJy + GJk
I
N\l) M|(l) M,2(l) M|(l)\ ,
_ 1 Г
~2J
1 Г (N\P) Ml{P) М2у(Р) MJ(P)\ ,
J
N(P)N(l) , М2(Р)М2A)
EF + ?J, + ?JW + GJk
(9.3.10)
268 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА ГЛ. 9
ТаккакПA + Р) = АA + Р), то из (9.3.8)-(9.3.10) получаем, что
_ С fN(P)N(l) , MZ(P)MZA) , My(P)My(l)
" J V EF + EJZ + ?J,
, GJk
I
Разделим это равенство на единичное усилие и введем без-
безразмерные единичные «внутренние силовые факторы» NA) =
= N(l)/1, Mz(l) = МгA)/1, МуA) = МA)/1, МкA) = МкA)/1
как функции, которые для единичного вектора, совпадающего
по направлению с искомым перемещением, строятся по тем же
правилам, что и обычные внутренние силовые факторы. В ре-
результате приходим к интегралу Мора для общего случая нагру-
жения бруса:
8в(Р) =
_ С fN(P)N(l) , М,(Р)М,A) , М„(Р)М,A) , Мк(Р)МкA)
~ J \ EF + EJZ + EJy + GJk
I
(9.3.11)
Так как деформации оси бруса связаны с внутренними сило-
силовыми факторами соотношениями
r-JL K -Mi. к -Mi. е-Ml
6~ EF' Z~EJZ' y~EJy' GJk'
то, рассуждая так же, как в п. 8.8.3, приходим к другой форме
интеграла Мора:
S = J (e~N(l) + KzMz(l) + КуМуA) + 0Mk(l)) ds. (9.3.12)
i
Эта формула используется и в том случае, если деформация бру-
бруса вызвана не нагрузками, а какими-либо другими причинами,
например нагревом.
Из рассуждений, аналогичных приведенным в пп. 4.7.3 и
8.3.3, ясно, что интеграл Мора в форме (9.3.12) можно приме-
применять и при деформациях бруса, которые не подчиняются закону
Гука, т.е. при нелинейно-упругих и пластических деформациях.
9.4. Плоские статически определимые рамы
9.4.1. Рамами называют составленные из брусьев плоские
или пространственные системы (конструкции), элементы кото-
которых работают преимущественно на изгиб и кручение. Рамами
ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ
269
являются, например, шпангоуты самолета, рама грузового ав-
автомобиля, каркас панельного здания и т.п. Примеры расчетных
схем рам показаны на рис. 9.23.
By
С Р
Рис. 9.23
Если оси жесткости составляющих раму элементов располо-
расположены в одной плоскости и в этой плоскости лежат также и дей-
действующие на раму нагрузки, то
такую раму называют плоской.
Она изгибается только в своей
плоскости. Если же оси жест-
жесткости рамы не лежат в одной
плоскости, как, например, у со-
составленного из балок швеллер-
швеллерного сечения рамы (рис. 9.24),
то она под действием нагрузки
в плоскости ху не только изги-
изгибается, но и закручивается (см.
пример 9.3).
В дальнейшем ограничимся
рассмотрением таких плоских
рам, у сечений которых имеется
хотя бы одна ось симметрии, лежащая в плоскости рамы. Так
как всегда ось симметрии сечения проходит через его центр из-
изгиба, то у такой рамы оси жесткости элементов лежат в плоско-
плоскости рамы.
9.4.2. Будем вводить такую систему координат, чтобы ра-
рама лежала в плоскости ху, а ось z была бы нормальна к плос-
плоскости рамы. С помощью метода сечений легко убедиться, что
действующие в плоскости рамы нагрузки вызовут в раме появ-
появление только тех внутренних силовых факторов, которые лежат
в плоскости рамы, т.е. продольной силы 7V, изгибающего момен-
момента Mz и перерезывающей силы Q. Они показаны на рис. 9.25
для рамы, данной на рис. 9.23 а. Для рам удобно вводить ко-
координату s вдоль оси брусьев, составляющих раму. Тогда знаки
Рис. 9.24
270
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
для Q и Mz логично ввести так, как показано на рис. 9.26. В
таком случае при совмещении элемента рамы с элементом бал-
И - - Л
Q
е>о
Рис. 9.25
Рис. 9.26
Яп
ки (см. рис. 8.5) положительные направления перерезывающих
сил и изгибающих моментов для них совпадут. Растягивающая
продольная сила по-преж-
по-прежнему считается положитель-
положительной.
Рассмотрим равновесие
элемента ds рамы, показан-
показанного на рис. 9.27. Радиус
кривизны его оси обозначен
через ро. Тогда dao = ds/pQ.
Кроме внутренних силовых
факторов N, Q, Mz, на эле-
элементы действует погонная
нагрузка интенсивностью q.
Составляющие ее по нор-
Рис. 9.27 мали к оси s рамы и вдоль
нее обозначены как qn и qs.
Рассуждая точно так же, как в пп. 4.1.2 и 8.1.1, приходим из
условий равновесия элемента к следующим соотношениям:
'Q + dQ \
N + dN
dN
Q -
7
dMz
ds
= Q.
(9.4.1)
(9.4.2)
(9.4.3)
Соотношение (9.4.1) является аналогом дифференциальной за-
зависимости D.1.2) и для элементов рамы с прямолинейной осью
A/ро = 0) полностью совпадает с ним. Точно так же соотно-
соотношение (9.4.2) обобщает зависимость (8.1.1) на криволинейные
элементы плоских рам. А равенства (9.4.3) и (8.1.2) совпадают
полностью.
9.4 ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ 271
Рассматривая равновесие элемента рамы, выделенного около
сечения, в котором приложены сосредоточенные силы или мо-
моменты, можно без труда получить соотношения, обобщающие на
рамы ранее построенные для бруса соотношения D.1.3) и (8.1.4).
Общий вывод здесь, по существу, тот же, что и в пп. 4.1.3 и 8.1.2:
в окрестности сечения, где приложен сосредоточенный внешний
силовой фактор, соответствующий внутренний силовой фактор
претерпевает скачок, причем на величину, равную сосредоточен-
сосредоточенному внешнему фактору.
Все это позволяет распространить на рамы те приемы по-
построения эпюр внутренних силовых факторов, которые исполь-
использовались для бруса (см. гл. 4) и балки (см. гл. 8). Напомним,
что в основе этих приемов лежит метод сечений.
9.4.3. Для определения перемещений в плоскости рамы
можно воспользоваться интегралом Мора (9.3.11), (9.3.12), с
учетом того, что в плоских рамах Му = 0 и М^ = 0. Поэто-
Поэтому интеграл Мора для плоских рам имеет вид
= Г
J
ds (9.4.4)
6= J (еЩ1) + кДгA)) ds. (9.4.5)
Первое слагаемое в этих интегралах составляет долю перемеще-
перемещения, образующуюся за счет удлинений и укорочений оси элемен-
элементов рамы, а второе — долю за счет изгиба оси.
Оценим порядок слагаемых в интеграле (9.4.4). Если b — ха-
характерный размер поперечного сечения рамы, то F = 0F2), Jz =
= 0F4). При нагружении рамы сосредоточенными силами, вели-
величина которых имеет порядок 0(Р), порядок MZ(P) будет равен
0(Р1), 0(МгA)) = 0@, 0(N(P)) = 0(P), 0(N(l)) = 0A) (* -
характерный размер оси рамы). Учитывая, что порядок произ-
произведения равен произведению порядков сомножителей, получим
для (9.4.4)
Отсюда следует, что так как характерный размер в сечении ра-
рамы значительно меньше характерного размера / ее оси, то пер-
первое слагаемое в интеграле (9.4.4) мало в сравнении со вторым и
его можно не учитывать. Поэтому обычно для плоских рам до-
достаточную точность при определении перемещения обеспечива-
272
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
ет использование интеграла Мора, учитывающего перемещение
только от изгиба их элементов:
5=
(9.4.6)
6 = J KzMz(l)ds. (9.4.7)
i
Исключение составляют только те случаи
^ V/ нагружения рам, когда изгибающие момен-
моменты в них либо равны нулю, как для рамы,
Рис. 9.28 приведенной на рис. 9.28, либо их появление
вызвано деформациями удлинения оси элементов рамы. Послед-
Последний случай характерен для некоторых статически неопредели-
неопределимых рам, и мы рассмотрим его в гл. 10.
9.4.4. Пример 9.5. Рассмотрим раму, показанную на
рис. 9.23 а. Сначала определим реакции, возникающие в ее опо-
опорах. Для этого воспользуемся уравнениями равновесия:
МА = 0 : RBy -3l-P-2l = 0-> RBy = ?Р,
= 0 : Р + Р • 3/ - RAy • 3/ = 0 -> RAy = |Р,
Проверка:
= 0?->-Р-Р+-Р|-Р =
О О
Х = О: RAx = P.
Mz
Эти реакции показаны на рис. 9.25.
Так как на раму не действуют распределенные нагрузки, то
на ее прямолинейных участках внутренние силовые факторы ли-
либо постоянны, либо меняют-
меняются линейно. На рис. 9.29 при-
приведены отсеченные части, из
условия равновесия которых
удобно определить TV, Q и
Mz в характерных сечениях.
На рисунке показаны поло-
положительные направления 7V,
Q и Mz в соответствии с
рис. 9.26 и с указанным на
рис. 9.25 положительным на-
Рис 9 29 правлением отсчета коорди-
координаты s.
На рис. 9.30 дана отсеченная часть для криволинейного
участка рамы.
" Q
дЛ
ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ
273
Из условий равновесия легко получить аналитические выра-
выражения:
2
N = — -Р cos ср — Р sin <p,
2
Q = Р cos <р — -Р sin <p,
2
Mz = -Р(/ — / cos (р) — PI sin ip.
о
На рис. 9.31 показаны эпюры TV, Q
и Mz. Эпюра MZi как и в балках,
построена со стороны сжатых воло-
волокон. На криволинейном участке Mz
достигает максимального для этого
участка значения. Соответствующий
ему угол сро легко найти из условия
= -, поэтому
= 56° 2(У.
Если сечение рамы посто-
постоянно, то опасным будет сече-
сечение вблизи точки С на вер-
вертикальном участке, так как в
нем максимальный изгибаю-
изгибающий момент М^тах = -Р1
действует совместно с наи-
наибольшим продольным усили-
усилием — сжимающей силой N =
= —-Р. В этом сечении
_Мг N
^с
Mz
N
Оценим слагаемые в этих вы-
выражениях. Пусть сечение ра-
рамы — квадратное, со сторо-
стороной а. Тогда для него Wz =
СГг
= 8— --— = 8— f 1 - —
/sincp
= 0. Получаем tg cpo =
0,535
Mz[Pl]
Рис. 9.31
ypmax v ч о9 ~ ч v ^ т
F a3 3 а2 а3 V 6/У
Так как а <^ /, то вторым слагаемым в скобках, т.е. напряжени-
напряжениями от продольной силы по сравнению с напряжениями от из-
изгибающего момента, можно пренебречь. Такая ситуация обычна
для рам. Исключение составляют те случаи, о которых упоми-
упоминалось в п. 9.4.3. Поэтому при расчете на прочность плоских
274
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
рам обычно учитывают только напряжения от их изгиба и усло-
условия прочности для них записывают так же, как и для балок
(см. разд. 8.5), например, в случае,
когда материал одинаково работа-
работает на растяжение и сжатие, они
сводятся к условию
На основе этого условия можно
произвести проектировочный или
поверочный расчет точно так же,
как это делалось для балок (см.
разд. 8.5).
Найдем угол поворота сече-
сечения С рассмотренной рамы. Для
вычисления интеграла Мора при-
приложим в сечении С единичный
момент и найдем Mz(l). Эпюра
Mz(l) показана на рис. 9.32. Там
Рис. 9.32
же показана отсеченная часть для криволинейного участка, из
условия равновесия которой следует, что
Mz(l) = —ft -Icostp) = -±A-соз(р).
Заметим, что так как при вычислении интеграла Мора необхо-
необходимо вычислять произведение MZ(P)MZA), то в выборе направ-
направления Mz(l) и координаты ср сечения на криволинейном участке
мы не вольны. Они должны быть такие же, как и при определе-
определении MZ(P) (см. рис. 9.30).
Интеграл Мора для прямолинейных участков можно вычис-
вычислить по способу Верещагина. В результате получаем
2 V3
тг/2
+ fPl(-~-
2 3
1/1
3 3
о
PI2
1
Для вычисления интегралов по криволинейным участкам можно
воспользоваться табл. 9.1.
ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ
275
И"
со
д.
о
т—1
см
т—1
S
о
Э-
й
"ей
О
т—1
1
о
т—1
simp
8
со |тр
см
.в
т—1 |СМ
т—1 |СМ
й
>
СО | "^
и.
см
.в
т—1 |СМ
т—1 |СМ
о
о
о
т—1 |СМ
о
^Н |СМ
^ ICN
ей
О
О
.S
см
т—1
со |см
т—1
1
й
а
1
О
о
1
т—1
Зтг
см
со |см
см
1
СО |тР
см
.в
.в
см
1
со |см
о
т—1
о
^ |CN
см
т—1 |СМ
т—1 |СМ
1
ей
О
о
1
т—1
.в
"ей
ей
О
О
1
т—1
1
СО |TfH
I
т—1
1
1
1
т—1
см
.в
1
ей
2^
ей
О
О
1
т—1
276 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА ГЛ. 9
9.5. Пространственные статически определимые рамы
9.5.1. Пример пространственной статически определимой
рамы показан на рис. 9.23 б. В сечениях такого рода рам могут
возникнуть все шесть внутренних силовых факторов.
Так же, как и для плоских, для пространственных рам обыч-
обычно напряжения и деформации, связанные с действием продоль-
продольных и перерезывающих сил, малы по сравнению с напряжения-
напряжениями и деформациями от изгиба и кручения. Поэтому в расчете на
прочность и при вычислении перемещений учитываются только
последние. Исключение составляют лишь те специальные слу-
случаи, когда изгиб и кручение рамы происходят лишь вследствие
деформаций растяжения-сжатия ее элементов.
Таким образом, для вычисления перемещений достаточно
воспользоваться следующими выражениями для интеграла Мо-
Мора:
s = Г [Mz(P)Mz(l) + Му(Р)МуA) + Мк(Р)МкAI ^
и L EJZ EJy GJk J
1 (9.5.1)
6 =
= f
i
Здесь s — координата вдоль оси рамы.
При расчете на прочность пространственных рам необходи-
необходимо учитывать, что в их сечениях одновременно действуют нор-
нормальные и касательные напряжения. Эта проблема уже возник-
возникла ранее в примерах 9.3 и 9.4. Способы ее решения будут рас-
рассмотрены в гл. 11.
9.5.2. Пример 9.6. Определим угол поворота а свободно-
свободного конца рамы в плоскости AOD (рис. 9.23 б). Для этого сначала
найдем изгибающие и крутящие моменты, возникающие в раме
от действия приложенных к ней сил Р. Отсеченные части, из
равновесия которых они определяются, изображены на рис. 9.33.
Для определения а нагрузим свободный конец рамы безраз-
безразмерным единичным моментом в плоскости AOD. Отсеченные
части для определения Mz(l), МуA) и М&A) изображены на
рис. 9.34. Во всех сечениях показаны только те внутренние си-
силовые факторы, которые в них не равны нулю.
На рис. 9.35 представлены эпюры моментов MZ(P), Му(Р),
Мк(Р), Mz(l), МуA), Mfc(l). Эпюры изгибающих моментов
расположены со стороны сжатых волокон в тех плоскостях, в
которых они действуют, а для эпюр М^ использовано введенное
в гл. 6 правило знаков: М& > 0, если со стороны внешней норма-
нормали к сечению видно, что этот момент поворачивает отсеченную
часть против часовой стрелки.
1.5 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ РАМЫ 277
мк{\)
Рис. 9.33
Му(\)
CD
Рис. 9.34
мк{\)
Для построения аналитических выражений иногда удобно
пользоваться проекциями отсеченных частей на плоскость, в
которой лежит криволинейная часть рамы. Они показаны на
рис. 9.36 а, б. Причем на рис. 9.36 б моменты представлены их
векторами. Из этих рисунков следует:
MZ(P) =Plsmcp, Mk(P) =Pl(l-cos<p),
~Mz(l) = -1 -sin^, Mfc(l) = 1 -cos (p.
278
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ.
М2(Р)
mz{\)
Рис. 9.35
Таким образом, угол поворота сечения D в плоскости AOD
(см. рис. 9.23 б) будет равен
CD
c J
^ / Mk(P)Mk(l)ds +
CD
jjg J Mk(P)Mk(l)ds =
ВС
7Г/2
AB
тг/2
cn f РЦ1 - costp) cos tpl dtp - ^j^.l
о
PI2
PI2
. 1-
2P12
I — ICOS ф
Mz(P)
В этих выражениях выписаны
только те слагаемые интеграла
Мора, которые на соответству-
соответствующих участках не равны нулю.
Mz A) Дальнейшие вычисления не труд-
трудны. В них нужно учесть форму и
Мк{\) размеры поперечного сечения ра-
5 мы. Если, например, участки ра-
рамы имеют прямоугольное сплош-
сплошное сечение со сторонами 26 и b
Рис. 9.36
и длинная сторона его расположена вдоль оси z, то
JCD = jBC = 2ЬЬ3/12, j?D = 4В = /3 • 2663 = 0,45864.
Э.6
ВИТЫЕ ПРУЖИНЫ
279
9.6. Витые пружины
9.6.1. С помощью разработанных в этой главе методов
можно легко решить вопрос о напряжениях и деформациях, воз-
возникающих в витых пружинах, которые являются широко рас-
распространенным элементом самых различных конструкций. В за-
зависимости от характера работы витые пружины подразделяют-
подразделяются на пружины растяжения, сжатия и кручения (рис. 9.37). Если
Рис. 9.37
отвлечься от особенностей конструктивного выполнения концов
пружин, то их рабочая часть может быть рассмотрена как про-
Рис. 9.38
странственный стержень, ось которого обычно является винто-
винтовой линией. Параметрами винтовой линии, которая на рис. 9.38
280
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
изображена на поверхности образующего цилиндра, являются
диаметр витка D, угол подъема а и число витков п. Подъем
витка можно задать также шагом «s, который связан с а очевид-
очевидным соотношением
S = 7fDtg<X
(9.6.1)
Поперечное сечение проволоки, из которой навита пружина,
обычно бывает круглым, но используются также пружины из
проволоки с квадратным
и прямоугольным сече-
сечением.
Рассмотрим пружины
растяжения. Под дейст-
действием внешней силы Р в
поперечном сечении обра-
образующего пружину бруса
возникает внутренняя си-
сила Р и момент M=PD/2
(рис. 9.39 а), уравнове-
уравновешивающий образованную
Рис. 9.39
у
внешней и внутренней силами Р пару сил. Внутренние силовые
факторы, действующие в сечении бруса, получим, раскладывая
Р и М по осям ху, связанным с этим сечением (рис. 9.39 б):
Q = Р cos а, N = Р sin а,
(9.6.2)
= — М cosa = —-PD cos а, Мизг = Ms'ma = -P,Dsm<x
Так как нас интересует удлинение пружины в направлении силы
Р, то единичной нагрузкой для вычисления этого перемещения
с помощью интеграла Мора будет единичная сила, совпадаю-
совпадающая по направлению с Р. Поэтому отсеченная часть при еди-
единичном нагружении будет выглядеть аналогично показанной на
рис. 9.39, но только при Р = 1. Поэтому внутренние силовые
факторы единичного состояния будут
Щ1) =
м
(9.6.3)
A) = -Dsina.
Перерезывающая сила Q и продольная сила N вносят малый
вклад в общую деформацию пружины. В этом читатель может
убедиться самостоятельно, проведя оценки, аналогичные дан-
данным в пп. 8.7.2 и 9.4.3. Поэтому в общем выражении интеграла
Э.6
ВИТЫЕ ПРУЖИНЫ
281
Мора (9.3.11) остаются только два слагаемых:
5 =
МкМкA)
GJk
dl
/
ГизгA)
EJZ
dl.
Угол а для витых пружин обычно мал (менее 10°). Поэтому с
достаточной для практических расчетов точностью можно поло-
положить, что / = nnD (п — число витков рабочей части), cos2 a ~ 1
и sin2 а^О. Таким образом, видим, что удлинение пружины на-
накапливается практически только за счет кручения образующего
ее винтового стержня и равно
Для пружины, навитой из круглой проволоки диаметром rf, J& =
= Jp = —— и из (9.6.4) получаем
32
5 =
8PnDs
Gd4
(9.6.5)
Так как образующий пружину растяжения-сжатия витой стер-
стержень работает в основном на кручение, то в нем преобладают
касательные напряжения и
_ \Мк\ _ PD
2Wk
проволоки
И Tmax =
Wk
Для круглой
Wk = 7Td3/16
= 8PD/nd3.
Для пружины кручения
(рис. 9.40 а) наибольший
интерес представляет угол
поворота одного ее конца
относительно другого при
нагружении ее моментом М.
Как видно из рис. 9.40 б, для
нее Мизг = Mcosa, M& = Msin<x При нагружении ее единич-
единичным моментом, совпадающим по направлению с М, появляются
Л^изгA) — cos а и Mk(l) = sin а. Ввиду малости угла а кручение
вносит малый вклад в деформацию пружины. Поэтому, полагая
1, получаем
Рис. 9.40
cos2 a
= /
tL Jz
tL Jz
Определяющими в пружине кручения являются нормальные на-
пряж:ения изгиба, и так как Мизт « М, то
= M/Wz.
282
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. 9
Рассмотренный здесь подход без принципиальных трудно-
трудностей можно распространить и на витые нецилиндрические пру-
пружины.
Выше мы неявно предполагали, что диаметр проволоки d мал
по сравнению с диаметром пружины D. Если это условие не
выполнено, то возникает необходимость учета кривизны витого
бруса, а иногда и перерезывающей силы Q.
9.7. Теоремы взаимности работ и перемещений.
Теорема Кастилиано
9.7.1. В разд. 9.3 была получена потенциальная энергия
деформации бруса. Она дает нам один из примеров потенци-
потенциальной энергии деформации упругого тела. Являясь некоторой
интегральной характеристикой напряженно-деформированного
состояния тела, эта энергия обладает рядом общих свойств, ко-
которые можно эффективно использо-
использовать при изучении состояния тела.
Здесь мы остановимся на некоторых
из этих свойств.
Рассмотрим линейно-упругую де-
деформацию тела, закрепленного так,
что исключены его смещения как
жесткого тела, под действием сил Р\,
Р2? приложенных в точках 1 ж 2
(рис. 9.41). Обозначим через Si пере-
перемещение точки 1 в направлении силы
Р\. Если это перемещение вызвано силой Р\, то запишем его как
Si(Pi). Точно так же, 5\(Р2) ~~ перемещение точки 1 в направ-
направлении Pi, но от силы Р2- Аналогично $2(Pi) и ^2(^2) — переме-
перемещения точки 2 в направлении силы ?2^ которые образовались в
результате действия сил Р\ и ?2 соответственно.
Пусть сначала тело нагружается силой Р\. Эта сила совер-
совершит при своем возрастании от нуля до конечного значения ра-
работу -PiSi(Pi). Далее приложим к телу силу Pi- Она совершит
работу -P2S2(Лз)- Но по мере роста этой силы точка 1 также
получит перемещение 5\(Р2), на котором сила Р\ произведет ра-
работу PiSi^Pz). Всего в результате суммарного нагружения силы
Р\ и ?2 совершат работу
|Pi<Ji(Pi) + 1^2(^2) + PiSi(P2), (9.7.1)
которая накопится в теле в виде потенциальной энергии дефор-
деформации.
Рис. 9.41
9.7 ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ РАБОТ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 283
Изменим порядок нагружения, т.е. приложим сначала силу
Р2, а потом Р\. Тогда они произведут работу
1Р252(Р2) + iPi<*i(Pi) + Р2ВД), (9-7.2)
которая также перейдет в потенциальную энергию деформации
тела.
Так как при упругой деформации конечное напряженно-
деформированное состояние не зависит от порядка приложения
нагрузок, то два выражения (9.7.1) и (9.7.2) для потенциальной
энергии деформации тела в конечном состоянии должны быть
равны. Сравнивая их, видим, что
Р161(Р2)=Р262(Р1). (9.7.3)
А это равенство означает, что работа первой силы на перемеще-
перемещении точки ее приложения, вызванном действием второй силы,
равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения
под действием первой силы.
Это утверждение и составляет содержание теоремы взаим-
взаимности работ. Для случая двух сил эта теорема была доказана в
1864 г. Д. Максвеллом. Но, как следует из самого понятия обоб-
обобщенных сил и обобщенных перемещений, соотношение (9.7.3) не
изменится, если под Р\ и Р2 понимать обобщенные силы, а под 5\
и 52 — соответствующие им обобщенные перемещения. Это было
впервые понято итальянским ученым Е. Бетти в 1872 г. Как мы
уже отмечали в связи с интегралом Мора, работа Д. Максвел-
Максвелла осталась незамеченной, и Е. Бетти сформулировал теорему
взаимности работ независимо. Поэтому ее часто называют тео-
теоремой Бетти.
Если силы Pi и Р2 равны по величине, то из (9.7.3) следует,
что
<*1(Р2) = ВД), \Pi\ = \P2\. (9.7.4)
Это соотношение называют теоремой взаимности перемеще-
перемещений: перемещение точки i, вызванное силой, приложенной в
точке 2, равно перемещению точки 2 под действием такой же
по величине силы, приложенной в точке 1.
Напомним, что речь идет о перемещениях точек приложения
сил по направлению этих сил.
С помощью теорем взаимности удается достаточно просто
разрешить ряд вопросов, которые другими способами решают-
решаются громоздко. Примеры применения теорем взаимности даны в
разд. 11.3, где доказывается симметрия тензора упругих коэф-
коэффициентов анизотропного материла, и в разд. 10.2, где из тео-
теоремы взаимности перемещений сразу следует симметрия коэф-
коэффициентов матрицы канонических уравнений метода сил.
284
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
9.7.2. Другое общее энергетическое соотношение дал в
1873 г. также итальянский ученый А. Кастилиано.
Рассмотрим упругое тело, закрепленное от смещений как
жесткого тела и нагруженное силами Pi, P2, ..., Рп (рис. 9.42).
Работа этих сил при упругой деформации накопится в теле в
виде потенциальной энергии деформации П. Пусть П тем или
иным способом удалось выразить как функцию сил Р^, т.е. П =
= n(Pi,..., Рп). Дадим одной из сил, например Р^, приращение
dPi (см. рис. 9.42). Тогда и энер-
, dPt гия деформации тела изменится и
станет равной
П + ЩбРг. (9.7.5)
Давая силе Pi приращение бЩ,
мы по существу сначала нагружа-
нагружаем тело силами Pi, ..., Рп, а по-
потом силой dP{. Изменим порядок
нагружения. Сначала приложим
силу dP{. При этом в точке при-
приложения силы появится малое пе-
перемещение dSi в направлении этой силы, на котором сила dP{
Рис. 9.42
совершит упругую работу - dP{
i. Приложим затем к телу все
силы Pi, ..., Рп. Эти силы совершат работу, которая накопится
в теле в виде потенциальной энергии деформации n(Pi,..., Рп).
Кроме того, при этой деформации тела сила с/Р^, оставаясь неиз-
неизменной, переместится вместе со своей точкой приложения на
величину ее перемещения Si и при этом совершит работу с/Р^,
которая также перейдет в потенциальную энергию деформаций.
Таким образом, при таком нагружении потенциальная энергия
деформации тела равна
- HP- Hfi- + 17 4- HP fi- (Q 7 ft)
2
Заметим, что здесь сила dP{ ведет себя точно так же, как еди-
единичная сила при выводе интеграла Мора (см. п. 9.3.2).
Так как потенциальная энергия деформации упругого тела
не зависит от порядка приложения сил, а определяется только
его конечным состоянием, то выражения (9.7.5) и (9.7.6) равны.
Отсюда, пренебрегая в (9.7.6) первым слагаемым, которое имеет
высший порядок малости, получаем
(9.7.7)
д.7
ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ РАБОТ И ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
285
Это и есть теорема Кастилиано: частная производная от по-
потенциальной энергии деформации по внешней силе равна пере-
перемещению точки приложения этой силы в направлении самой
силы.
Как и ранее, во всех проведенных рассуждениях силы Pi, ...
..., Рп могут пониматься как обобщенные силы, а перемещение
их точек приложения 8\, ..., 8п — как соответствующие этим
силам обобщенные перемещения.
Анализируя вывод теоремы Кастилиано, замечаем, что для
ее выполнения достаточно соблюдения двух условий:
1. Деформированное состояние тела должно однозначно
определяться действующими на него нагрузками, тогда потен-
потенциальная энергия деформации тела, представленная как функ-
функция этих нагрузок, будет однозначной функцией этих нагрузок.
2. Работа внешних сил при переходе из недеформированного
состояния в деформированное не должна зависеть от порядка
приложения этих сил.
Оба этих условия выполняются,
если тело линейно-упруго, справед-
справедлив принцип малости деформаций и
внешние силы консервативны.
Рассмотрим примеры использова-
использования теоремы Кастилиано для опреде-
определения перемещений.
Пример 9.7. Определим про-
прогиб конца консольной балки, нагру- ^ис- 9-43
женной силой Р (рис. 9.43). Ее потенциальная энергия дефор-
деформации
Mz=Px
EJZ
Тогда прогиб консоли 8 = дП/дР = -P13/EJZ. Подсчитав этот
о
прогиб с помощью интеграла Мора, читатель может легко убе-
убедиться в совпадении результатов.
Пример 9.8. Теорему Кастилиано можно использо-
использовать для вывода интеграла Мора. Чтобы избежать громоздких
выкладок, покажем, как это можно сделать, на примере изги-
изгиба балки. В примере 9.7 было определено перемещение точки
приложения силы. В общем случае, когда нужно найти прогиб
произвольной точки, например прогиб 8 а точки А на рис. 9.44,
введем фиктивную силу Ф, приложенную в этой точке. Идея
состоит в том, чтобы найти 8а как функцию РиФ. Тогда иско-
искомый прогиб будет равен значению этой функции при Ф = 0. По
принципу суперпозиции, MZ(P + Ф) = MZ(P) + Мг(Ф).
286
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
Поэтому потенциальная энергия деформации будет
П - 1 Г М* Иг - 1 Г М*^ + 2М,(Р)М,(Ф) + М2г{Ф)
И~2 J Ж 2J
EIZ
Прогиб 5д (-Р? Ф) получим как
л(рф)_дП_ Г Мг(Р)дМг(Ф)
EJZ
Г
J
Мг(Ф)дМг(Ф)
~EJZ M~
Но Мг(Ф) = ФМ^A), где Mz(l) — изгибающий момент от еди-
единичной силы, приложенной в
точке А. Поэтому дМг/дФ =
= Mz(l). Учитывая это, а
Ш также то, что Мг(Ф = 0) = О,
приходим к интегралу Мора:
MZ(P)
ф
р
Рис. 9.44
MZ(O)
Этот способ получения инте-
интеграла Мора называется ме-
методом фиктивной нагрузки. Он без труда может быть обобщен
на случай произвольно нагруженного бруса.
В.9. Контрольные вопросы
8.9.1. С какими внутренними силовыми факторами связа-
связаны нормальные напряжения в поперечном сечении бруса?
8.9.2. Как распределяются нормальные напряжения в по-
поперечном сечении бруса в общем случае его деформации? Как
при этом определяется нейтральная линия, и в каких точках
сечения будут действовать наибольшие растягивающие и сжи-
сжимающие напряжения?
8.9.3. Как проходит нейтральная линия в поперечном сече-
сечении при косом изгибе?
8.9.4. Как определяются перемещения при косом изгибе?
8.9.5. Как проходит нейтральная линия сечения в случае
внецентренного растяжения-сжатия? Почему надо стремиться
к соосности нагрузки и оси бруса?
8.9.6. Почему в тонкостенных сечениях касательные напря-
напряжения, связанные с различными внутреними силовыми факто-
факторами, нужно суммировать алгебраически, а в нетонкостенных —
геометрически?
3.9 ЗАДАЧИ 287
8.9.7. Из каких слагаемых складываются потенциальная
энергия деформации прямого бруса в случае общего нагруже-
ния?
8.9.8. Какие две формы записи интеграла Мора вы знаете?
Какая из них является более общей и может быть применена
при нелинейно-упругих и пластических деформациях?
8.9.9. Какие внутренние силовые факторы могут возник-
возникнуть в поперечных сечениях плоской рамы? Какое правило зна-
знаков принимается для них?
8.9.10. Какие деформации элементов плоской рамы пре-
преимущественно учитываются при определении ее перемещений?
В какой форме при этом записывается интеграл Мора?
8.9.11. Какие напряжения учитываются обычно при расче-
расчете на прочность плоских рам? Как проводится такой расчет?
8.9.12. Какие деформации преимущественно учитывают
при расчете перемещений пространственных рам? В какой фор-
форме записывается при этом интеграл Мора?
8.9.13. Какие внутренние силовые факторы возникают
в поперечном сечении витка пружины? Какие из них вносят
основной вклад в общую деформацию пружины?
8.9.14. По каким, в основном, напряжениям ведут расчет
на прочность пружин растяжения (сжатия) и кручения соответ-
соответственно?
8.9.15. В чем заключается содержание теорем взаимности
работ и взаимности перемещений?
8.9.16. Сформулируйте теорему Кастилиано. При каких
условиях она выполнима? Как она используется для определе-
определения перемещений?
3.9. Задачи
3.9.1. Шарнирно опертая балка (рис. 9.45) выполнена из
равнополочного уголка № 7,5 (d = 5 мм). Найти допускаемое зна-
значение силы Р и величину пе-
перемещения ее точки приложе- а 2а
ния 6, если [а] = 150 МПа,
Е = 2 • 105 МПа, а = 0,5 м.
3.9.2. Для консольной
балки (рис. 9.46), нагружен-
нагруженной силой Р в центре тяжести Рис g 45
концевого сечения, найти раз-
размер Ъ поперечного сечения, имеющего форму четверти круга
(см. задачу 7.4). Принять Р= 10 кН, [а] = 120 МПа, / = 1,5 м.
3.9.3. Равнополочный уголок № 7,5 (см. задачу 9.1) растяги-
растягивается силой Р, как это показано на рис. 9.47. Определить запас
288
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДЕФОРМАЦИИ БРУСА
ГЛ. '
прочности уголка, если Р = 12,5 кН, ат = 240 МПа. Какой
уголок при этом же запасе прочности понадобится, если силу Р
Рис. 9.46
qa
11,
2
i1
/
2a
'tl
/
^\45°
\/45°
a \
Рис. 9.48
Рис. 9.47
приложить вдоль его оси?
Какой будет выигрыш в мас-
массе при этом?
3.9.4. Для трех плоских
рам, показанных на рис. 9.48,
построить эпюры TV, Q, Mz.
Кроме того, определить
в буквенных выражениях
для рамы на рис. 9.48 а
вертикальное перемещение
8а точки А] для рамы на
рис. 9.48 б — горизонтальное
перемещение 8в точки В, а
для рамы на рис. 9.48 в —
угол поворота сечения
ал в точке А и размеры
поперечного сечения тонко-
тонкостенной трубы, из которой
выполнена эта рама, приняв
[а] = 150 МПа, q = 1 кН/м,
а = 0,5 м и отношение
среднего диаметра трубы к
толщине стенки, равным 20.
3.9.5. Построить эпюры
изгибающих и крутящих мо-
моментов в пространственных
рамах (рис. 9.49) и опреде-
определить в буквенных выражени-
выражениях угол поворота свободного
конца рамы на рис. 9.49 а в
3.9
ЗАДАЧИ
289
плоскости действия распределенной нагрузки, а также горизон-
горизонтальное перемещение точки А рамы на рис. 9.49 б в плоскости
Рис. 9.49
действия сосредоточенного момента. Рамы выполнены из прутка
диаметром с/, модуль сдвига G принять равным О,4?7. Считать,
что d^a.
10 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
ГЛАВА 10
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ.
МЕТОД СИЛ
Напомним, что статически неопределимыми системами
называются такие, внутренние силовые факторы в которых
нельзя определить только с помощью уравнений равновесия
(статики). Простейшие такие системы, образованные из элемен-
элементов, работающих только на растяжение-сжатие, мы уже рассма-
рассматривали в разд. 4.5, 4.6. Дополнительные уравнения для опреде-
определения продольных сил в стержнях этих систем были построены
из условий совместного деформирования их элементов. То же
самое относится и к рассмотренному в примере 6.2 статически
неопределимому брусу, работающему на кручение.
Для сложных статически неопределимых систем построение
условий совместного деформирования элементов затруднитель-
затруднительно. Поэтому были разработаны специальные методы для реше-
решения таких систем. Среди них наиболее прозрачным и эффектив-
эффективным является метод сил. С его помощью можно сравнительно
легко найти внутренние силовые факторы и деформации для
наиболее распространенных не очень сложных конструкций.
В последние годы для сложных конструкций создан ориен-
ориентированный на использование ЭВМ метод конечных элементов.
Этот метод изучается в курсе строительной механики. Он ре-
реализован в виде универсальных программ для ЭВМ, которые
позволяют рассчитать напряженно-деформированное состояние
сложных конструкций. Один из вариантов метода конечных эле-
элементов базируется на идеях метода сил.
10.1. Степени свободы, связи, степень статической
неопределимости
10.1.1. Чтобы судить о том, является ли сложная систе-
система статически определимой или статически неопределимой, нет
10.1
СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
291
необходимости составлять для нее систему уравнений равнове-
равновесия. Для этого разработан метод анализа структуры системы,
основанный на выработанных теоретической механикой поня-
понятиях связей и степеней свободы. Напомним об этих понятиях
на примере стержневых систем, так
как они являются нашим основным
объектом изучения.
Степенями свободы называют-
называются независимые координаты, опре-
определяющие положение системы при
ее движении. Например, положение
стержня на плоскости (рис. 10.1)
определяется координатами ж^, у а
его точки А и углом а с осью х пря-
прямолинейного участка АВ. Поэтому стержни на плоскости име-
имеют три степени свободы. Положение этого же стержня можно
определить, задав координаты его точек А и Б, но эти четыре
координаты не являются независимыми, так как длина / участка
АВ задана. Поэтому между этими координатами имеется зави-
зависимость
Рис-
которая позволяет по любым трем координатам найти четвер-
четвертую. Таким образом, среди координат точек А ж В независимы
только три. Этот пример демонстрирует очень важный факт:
число степеней свободы не зависит от выбора системы коорди-
координат, описывающей положение системы.
Тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. Это сле-
следует из того, что произвольное перемещение тела можно рас-
рассматривать как результат шести независимых движений: трех
плоско-параллельных движений вдоль координатных осей и
трех поворотов относительно этих осей.
Показанная на рис. 10.2 система из двух стержней АВ и
CD имеет шесть степеней свободы в плоскости жу, так как эти
стержни между собой не связа-
связаны и каждый из них имеет три
степени свободы.
На рис. 10.2 дана также си-
система EFG из двух стержней,
шарнирно связанных друг с дру-
другом в точке F. Видно, что поло-
положение этой системы определяет- х
ся координатами точки Е и угла-
ми а и /3. Поэтому у этой систе- ис'
мы четыре степени свободы. Таким образом, скрепление стерж-
стержней в точке F с помощью шарнира уменьшило число степеней
ю*
292 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ГЛ. 10
свободы на две. В этом случае на систему из двух стержней на-
наложено две связи.
Вообще связью называется устройство, накладывающее та-
такое ограничение на систему, что степень ее свободы уменьшается
на единицу.
Мы будем рассматривать обычно такие связи, которые ли-
либо запрещают какие-нибудь перемещения точек системы отно-
относительно опор (внешние связи), либо запрещают перемещения
элементов системы друг относительно друга (внутренние связи).
На рис. 10.3 показаны знакомые нам уже опорные устройства.
Рис. 10.3
Катковая опора, четыре схематических изображения которых
даны на рис. 10.3 а, запрещает перемещения конца стержня по
нормали к опорной плоскости, но не накладывает ограничения
на его перемещение вдоль плоскости и на его поворот. Поэто-
Поэтому катковая опора накладывает на стержень одну связь. Шар-
Шарнирная опора (рис. 10.3 б) накладывает на стержень две связи,
так как она запрещает горизонтальные и вертикальные переме-
перемещения конца стержня, но не ограничивает его поворот. Жест-
Жесткое защемление (заделка) (рис. 10.3 в) запрещает все три воз-
возможных в плоскости перемещения, поэтому оно накладывает на
стержень три связи. Эти опоры реализуют внешние связи. Свя-
Связи, наложенные на стержни EF и FG в точке F (см. рис. 10.2),
являются примером внутренних связей. Эти связи запрещают
перемещения концов стержней относительно друг друга, но не
ограничивают их взаимный поворот (изменение угла /3).
Мы будем рассматривать идеальные связи, т.е. связи, дей-
действия которых на систему сопровождаются возникновением ре-
реактивного усилия (реакции связи) в направлении связи. Ины-
Иными словами, отбрасывая связь, мы будем заменять ее реакци-
реакцией в направлении перемещения, запрещенного этой связью. На
рис. 10.4 показаны связи и заменяющие их реактивные усилия.
Для внутренних связей (см. рис. 10.4 г, д, е) реакции, по суще-
существу, являются внутренними усилиями или моментами. На этих
10.1 СТЕПЕНИ СВОБОДЫ 293
рисунках после снятия связей концы стержней для удобства по-
показаны условно раздвинутыми. Поэтому условно также и несов-
несовпадение линий действия некоторых реакций, которые являются
V
Рис. 10.4
силами взаимодействия и поэтому должны действовать вдоль
одной линии.
10.1.2. Если система, имеющая степени свободы, не изме-
изменяет своего положения и формы под действием внешних сил,
то эти силы должны удовлетворять условиям равновесия. Для
стержня на плоскости, имеющего три степени свободы, можно
составить три независимых уравнения равновесия (например,
^Рх = 0, ^2Ру = 0, ^М = 0). Для стержня в пространстве с
шестью степенями свободы имеется шесть независимых условий
равновесия. Такое совпадение числа степеней свободы с числом
независимых уравнений равновесия не случайно. Каждой степе-
степени свободы соответствует одно независимое уравнение равнове-
равновесия.
Во многих решенных в этой книге задачах мы уже часто
пользовались этим фактом для определения реакций опор. От-
Отбрасывая опоры и заменяя их действие реакциями, мы отбрасы-
отбрасывали связи и тем самым придавали системам степени свободы,
а соответствующие последним уравнения равновесия использо-
использовали для определения реакций.
То же самое можно сказать и про метод сечений, приме-
применение которого сводится к рассечению тела, т.е. к устранению
связывающих отсеченные части связей, замене этих связей соот-
соответствующими им реактивными усилиями взаимодействия (вну-
(внутренними силовыми факторами) и определению этих усилий из
294
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
V&P.
I |
условий равновесия отсеченных частей. Составить эти условия
равновесия стало возможным благодаря появлению новых сте-
степеней свободы у образовавшейся в результате рассечения систе-
системы из двух отсеченных частей.
10.1.3. Система, не имеющая степеней свободы, называется
кинематически (геометрически) неизменяемой. Такие системы
меняют свое положение или конфигурацию только за счет де-
деформации составляющих
их элементов.
В противоположность
им кинематически изме-
изменяемые системы меняют
свою форму без дефор-
деформации элементов. Приме-
Примерами таких систем яв-
являются различного рода
механизмы.
На рис. 10.5 а, б, в, г
показаны кинематически
неизменяемые, а на
рис. 10.5 d, e — кинемати-
кинематически изменяемые систе-
системы. Заметим, что на си-
системы, изображенные на
рис. 10.5 в, г, наложено
больше связей по срав-
сравнению с системами на
рис. 10.5 а, б.
Связи, входящие в
VW.
в
В
vrf?.
Vff7.
А
В
в
777.
Рис. 10.5
тот минимальный набор,
который обеспечивает
кинематическую неиз-
неизменяемость системы, называются необходимыми. На системы,
показанные на рис. 10.5 а, б, наложены только необходимые
связи.
Связи, наложенные на систему сверх необходимых, называ-
называются дополнительными, или лишними. Данные на рис. 10.5 в, г
системы получены из показанных на рис. 10.5 а, б наложением
лишних связей.
Если нам нужно снять с системы лишние связи и оставить
только необходимые, то такая задача решается обычно неодно-
неоднозначно. Так, все системы с необходимыми связями на рис. 10.6
получены из одной, данной на рис. 10.5 в, системы. В то же вре-
время нельзя произвольно делить связи на необходимые и лишние.
Сравнивая системы на рис. 10.5 г, б и е, замечаем, что сня-
снятие с кинематически неизменяемых систем с лишними связями
10.1
СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
295
(рис. 10.5 г) связей в точках В превращает их в механизмы, по-
показанные на рис. 10.5 е. А если с этих же систем снять связи в
точках А, то они остаются кинематически
неизменяемыми (рис. 10.5 б).
Поэтому, решая вопрос о том, являет-
является ли данная связь необходимой или лиш-
лишней, нужно иметь в виду, что снятие лиш-
лишней связи оставляет систему кинематиче-
кинематически неизменяемой. Если же при снятии
связи у системы появляются степени свобо-
свободы, т.е. она становится кинематически из-
изменяемой, то такая связь является необхо-
необходимой. Рис- 10-6
10.1.4. Снимем с системы необходимые и лишние связи и
заменим их реакциями этих связей. На рис. 10.7 показаны систе-
системы, полученные в результате такой операции из систем, данных
на рис. 10.5 г. В итоге система получит некоторое число сте-
степеней свободы, каждой из которых соответствует независимое
уравнение равновесия. Неиз-
Неизвестными в этих уравнениях
будут реакции отброшенных
связей.
Разность между числом
неизвестных реакций отбро-
отброшенных связей и числом
независимых уравнений рав-
равновесия называется степенью
статической неопределимо-
неопределимости. Например, системы,
показанные на рис. 10.7, по- 3 6
лучены после отбрасывания
связей из систем, данных на Рис- 10-7
рис. 10.5 г, и имеют по шесть степеней свободы. У первой из
них — восемь неизвестных реакций, у второй — семь. Поэтому
степень статической неопределимости первой системы равна
двум, а второй — единице.
При отбрасывании каждой необходимой связи система по-
получает одну степень свободы, которой соответствует одно урав-
уравнение равновесия. Поэтому число уравнений равновесия соот-
соответствует числу отброшенных необходимых связей. Отсюда ста-
становится ясно, что степень статической неопределимости равна
числу лишних связей. Кроме того, если мы сохраним часть или
даже все из необходимых связей, то это не приведет к ошибке
при отыскании степени статической неопределимости. Пример
этому дан на рис. 10.8 а. Но лишние связи должны быть отбро-
отброшены обязательно, иначе будет сделана ошибка. Это видно из
В
296
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
примера на рис. 10.8 5, где снята необходимая связь в точке В
и не сняты две внутренние связи в точке А.
R^
ШУМ
в
Рис. 10.8
Пример 10.1. Покажем, что плоская замкнутая рама
трижды статически неопределима. Снимем с рамы, показанной
на рис. 10.9, внешние связи и рассечем ее на две части, заменив
Рис. 10.9
действие отсеченных частей друг на друга внутренними силовы-
силовыми факторами. Всего получилось девять неизвестных реакций
связей. Каждая из двух отсеченных частей, как тело на плос-
плоскости, имеет три степени свободы. Поэтому можно составить
шесть уравнений равновесия.
Таким образом, степень статической неопределимости плос-
плоской замкнутой рамы равна трем. Предоставляем читателю воз-
возможность самостоятельно убедиться в том, что каждый врезан-
врезанный в замкнутый контур шарнир снижает степень статической
неопределимости на единицу.
Пример 10.2. Для определения степени статической
неопределимости плоской рамы, показанной на рис. 10.10 а,
можно поступить так же, как в предыдущем примере. В резуль-
результате придем, например, к системе, показанной на рис. 10.10 б,
из которой видно, что для определения реакций тринадцати от-
10.2
ОСНОВНАЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМЫ
297
брошенных связей можно составить лишь шесть уравнений рав-
равновесия. Таким образом, система семь раз статически неопреде-
неопределима. Но, имея уже некоторый
опыт, можно рассуждать так:
на систему в точках А и В
наложено пять внешних свя-
связей, из которых две лишние;
в замкнутом контуре 2 — три
лишние связи, а в замкнутом
контуре 1 с шарниром С —
две. Всего, таким образом, в
системе семь лишних связей и
поэтому она семь раз статиче-
статически неопределима. Рис 10 1
10.2. Основная и эквивалентная системы.
Канонические уравнения метода сил
10.2.1. Если со статически неопределимой системы снять
только лишние связи, то полученная система называется основ-
основной. Так как сняты все лишние связи, то основная система ста-
статически определима. На рис. 10.11 показаны примеры основных
для данных на рисунках 10.5 г и 10.10 систем. Как мы уже от-
Рис. 10.11
мечали, деление связей на необходимые и лишние может быть
сделано по-разному, в соответствии с этим и выбор основной си-
системы неоднозначен.
Реакции лишних связей будем называть лишними неизвест-
неизвестными и обозначать через JQ, где г — номер лишней связи.
298
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
Для решения нагруженной статически неопределимой исход-
исходной системы отбросим у нее лишние связи и заменим их реакци-
реакциями — лишними неизвестными. Полученная система называется
эквивалентной. На рис. 10.12 а показана исходная система —
дважды статически неопределимая рама — и один из вариантов
Рис. 10.12
соответствующих ей основной (рис. 10.12 б) и эквивалентной
(рис. 10.12 в) систем. На примере этой рамы мы и будем прово-
проводить все рассуждения, обобщив их потом на общий случай.
Эквивалентная система принципиально отличается от исход-
исходной тем, что она статически определима, и поэтому мы можем
методом сечений найти для нее внутренние силовые факторы, а
по ним — перемещения (например, с помощью интеграла Мора).
Это новое качество эквивалентной системы образовалось ценой
появления лишних неизвестных реакций Х\ и Х% отброшенных
связей. В эквивалентной системе перемещения 8\ и 82 в направ-
направлении отброшенных связей будут определяться как внешней на-
нагрузкой Р, так и лишними неизвестными Х\ и Х2, т.е. 8\ и 82
являются функциями Р, Х\, Х2
81 = 81{Р,ХЪХ2), 82 = 82(Р,ХиХ2). A0.2.1)
Если мы сможем подобрать Х\ и Х2 так, чтобы перемещения
в направлении отброшенных связей оказались равными нулю,
т.е. чтобы
81{Р,ХЪХ2) = 0, 52(Р,ХиХ2) = 0, A0.2.2)
то статически определимая эквивалентная система будет дефор-
деформироваться так же, как статически неопределимая исходная си-
система. А это значит, что найденные значения Х\ и Х2 равны
реакциям отброшенных лишних связей. Итак, задача сводится к
тому, чтобы найти Х\ и Х2, удовлетворяющие условиям A0.2.2).
Рассмотрим подробнее первое из этих условий. В нем 8\ — пере-
перемещение в направлении связи i, т.е. вертикальное перемещение
точки 1 (перемещение в направлении Х\). По принципу супер-
суперпозиции,
5l{P,Xl,X2) = 8l{P) + 5l{Xl) + 5l{X2). (Ю.2.3)
Этот факт иллюстрирует рис. 10.13.
10.2
ОСНОВНАЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМЫ
299
Если Si(P) можно определить сразу, то при определении
Si(Xi) и Si(X2) нам неизвестны силы Х\ и Х2. Но перемещения
пропорциональны вызывающим их силам (мы, как ранее было
условлено, ведем рассуждения в рамках закона Гука и принципа
малости деформаций). Поэтому (рис. 10.14)
<№) = 5пХи ёг{Х2) = ё12Х2, A0.2.4)
где $ц и 6\2 — коэффициенты пропорциональности, смысл ко-
1 „
\ХЛ
я
ЬХ(Х2)
т,
Рис. 10.13
торых становится очевиден из A0.2.4) при Х\ = 1 и Х2 = 1:
$x(Xi = 1) = $11 • 1, $i(X2 = 1) = $12 • 1. A0.2.5)
Таким образом, $ц и $12 — отнесенные к единице силы пере-
перемещения в направлении первой отброшенной связи (в направле-
направлении Х\) от единичных уси-
усилий, приложенных вместо
Х\ и Х2-
Если же «приложить» = хл
вместо Х\ и Х2 безразмер-
безразмерные единичные «усилия»,
как это делалось в мето-
методе единичной нагрузки при
вычислении перемещений с Рис. 10.14
помощью интеграла Мора в
пп. 4.7.2, 8.8.1, 9.3.2, то единицы в A0.2.5) становятся безраз-
безразмерными. А $ц и $12, принимают смысл перемещений в направ-
направлении Х\ от безразмерных единичных «усилий», действующих
вместо Х\ и Х2.
Таким образом, первое из условий A0.2.2) $i = 0 с учетом
соотношений A0.2.3) и A0.2.4) принимает вид
$ю + $nXi + $12X2 = 0. A0.2.6)
Здесь обозначено $ю = Si(P).
Рассуждая точно так же, нетрудно свести и второе условие
A0.2.2) $2 = 0 к уравнению
$20 Н~ $21^~1 Н~ $22-^2 = О? A0.2.7)
300
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
где E20 = <Ы-Р)? а #21 и (^22 — перемещения в направлении Х2
от безразмерных единичных «усилий», приложенных вместо Х\
иХ2.
Уравнения A0.2.6), A0.2.7) составляют систему канониче-
канонических уравнений метода сил для определения Х\ и Х2 в рас-
рассмотренной раме (см. рис. 10.12). Коэффициенты 5ц этих ка-
канонических уравнений являются перемещениями. Если для их
вычисления использовать интеграл Мора, то нужно знать вну-
внутренние силовые факторы, возникающие в основной системе от
основной нагрузки и от единичных безразмерных «усилий», со-
соответствующих лишним неизвестным. В нашем примере это сво-
сводится к задачам (состояниям), изображенным на рис. 10.15. Эти
задачи пронумерованы в соответствии с номерами лишних неиз-
Рис. 10.15
вестных, а за основной нагрузкой закреплен номер «0». В рамах,
как отмечалось выше, при определении перемещений достаточ-
достаточно учитывать только изгиб. Поэтому если Mz{ — изгибающий
момент в раме в г-м состоянии, то коэффициенты каноническо-
канонического уравнения Sij можно вычислить как интегралы Мора:
_ Г
" J
mzjmzi
A0.2.8)
В рассмотренном примере г = 1, 2, j = 0,1, 2.
10.2.2. Если исходная система п раз статически неопреде-
неопределима, то эквивалентная система для нее строится путем отбра-
отбрасывания п лишних связей и замены их п лишними неизвест-
неизвестными усилиями Х{ (г = 1,...,п). Для определения последних
условия равенства нулю перемещений Si (г = 1,..., п) в направ-
направлении отброшенных лишних связей приводят к п каноническим
уравнениям метода сил:
?12X2 + ... + SinXn = 0,
П = 0,
A0.2.9)
SnnXn = 0.
10.2
ОСНОВНАЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМЫ
301
Математически — это система линейных алгебраических
уравнений. Причем, как видно из A0.2.8):
Sij = SjU A0.2.10)
т.е. матрица коэффициентов канонических уравнений симмет-
симметрична, что существенно снижает объем вычислений при опре-
определении Sij. Рекомендуем читателю самостоятельно убедиться в
том, что соотношение A0.2.10) также сразу следует и из теоремы
взаимности перемещений.
Пример 10.3. Проведем подробно все вычисления для ра-
рамы, показанной на рис. 10.16 а. Она дважды статически неопре-
Исходная
система
Эквивалентная
система
Мл
0,15
0,425 Р
0,275
Рис. 10.16
делима. Наиболее очевидная для нее эквивалентная система да-
дана на рис. 10.16 5, а система канонических уравнений имеет вид
^20 + ^21
= 0,
+ ^22-^2 = 0.
На рис. 10.16 в, г, д даны изгибающие моменты в грузовом
и единичных состояниях. При вычислении коэффициентов Sij
будем пользоваться формулой A0.2.8). Так как участки рамы
прямолинейны и имеют постоянную жесткость, то можно вос-
воспользоваться способом Верещагина, вычисляя интегралы как
суммы произведений площадей участков одной эпюры на соот-
соответствующие их центрам тяжести значения моментов на другой
302 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ГЛ. 10
(линейной) эпюре. Тогда
6l0 = ш~ I M°Ml ds = ~ш~1Ра'а х а'
= ^j- / M0M2 ds = ~^j-\Pa -ахБ-а,
612 = hi = ^j-J
l
ds =
Система канонических уравнений после сокращений прини-
принимает вид
|*1 + 2Х2 = \Р
2Хг + \Х2 = \Р.
6 Ь
Ее решение: Хг = -Ар = -0Д5Р, Х2 = ^Р = 0,425Р. Соот-
Соответствующие этому решению состояние эквивалентной системы
и эпюра изгибающих моментов М^ показаны на рис. 10.16 е.
10.2.3. Как видно из только что рассмотренного примера,
раскрытие статической неопределимости требует выполнения
целого ряда операций и вычислений: построения эквивалентной
системы, определения внутренних силовых факторов (изгибаю-
(изгибающих моментов) в грузовом и единичных состояниях, вычисления
коэффициентов 5ц, решения системы канонических уравнений и
определения внутренних силовых факторов в эквивалентной си-
системе. На каждом из этих этапов не исключены ошибки. Поэто-
Поэтому необходима проверка решения. Она может быть основана на
том факте, что при вычисленных значениях лишних неизвест-
неизвестных эквивалентная система должна деформироваться так же,
как исходная. В примере 10.3 это означает, что в эквивалентной
системе должны быть равны нулю перемещения в направлении
отброшенных лишних связей, т.е. что
1= J EJ = ' 2= J EJ = (Ю.2.11)
10.2
ОСНОВНАЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМЫ
303
Однако при такой проверке, если ошибка сделана при построе-
построении эпюр Mi или М2, она войдет как в решение, так и в провер-
проверку и не будет замечена. Чтобы избежать этого, можно восполь-
воспользоваться тем, что результат решения, т.е. внутренние силовые
факторы в эквивалентной системе, не зависят от выбора эквива-
эквивалентной системы, так как все они эквивалентны одной и той же
исходной системе. Поэтому проверку можно производить с более
общих позиций: соответствуют ли деформации эквивалентной
системы связям, наложенным на исходную систему. Для этого
достаточно построить новую эквивалентную систему и прове-
проверить равенство нулю перемещений, соответствующих новым от-
отброшенным лишним связям, при уже определенных ранее вну-
внутренних силовых факторах. Для рассмотренной в примере 10.3
рамы новая эквивалентная система показана на рис. 10.17 а. На
рис. 10.17 б построена единичная эпюра для горизонтальной от-
х<2
х\
0,425
0,275 0,525
Рис. 10.17
брошенной связи (реакции опор показаны пунктиром). Соответ-
Соответствующее ей перемещение в эквивалентной системе равно нулю,
поэтому
Здесь My — эпюра, данная на рис. 10.16 е. Читатель может убе-
убедиться самостоятельно, что это условие выполняется. При про-
проведении вычислений на вертикальном участке рамы эпюру My
удобно геометрически расслоить. Один из возможных вариан-
вариантов расслоения дан на рис. 10.17 в.
10.2.4. При вычислении перемещений отдельных сечений
статически неопределимых систем можно воспользоваться тем,
что статически определимая эквивалентная система при опре-
определенных из канонических уравнений величинах лишних неиз-
неизвестных Xi деформируется так же, как исходная система. По-
304
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
этому искомые перемещения могут быть определены как пере-
перемещения в любой из эквивалентных систем. Так, если для рамы
на рис. 10.16 а нужно найти угол поворота в правой катковой
опоре, то можно воспользоваться как эквивалентной системой,
данной на рис. 10.16 5, так и данной на рис. 10.17 а. Соответ-
Соответствующие единичные эпюры представлены на рис. 10.18 а, б.
Проведя вычисления искомого угла поворота в как
ds и в =
EJZ
можно убедиться, что оба интеграла дают одинаковый резуль-
результат. Но во втором случае вычисления явно проще и
•ax- = -l
м
40
ie
I У а
Рис. 10.18
Рассмотрим пример раскрытия статической неопределимо-
неопределимости.
Пример 10.4. Рама, показанная на рис. 10.19 а, дважды
статически неопределима. Одна из возможных эквивалентных
систем для нее показана на рис. 10.19 б. Соответствующая ей
система канонических уравнений будет
5w + SnXi + S12X2 = 0,
^20 + ^21-^1 + ^22-^2 = 0.
Эпюры изгибающих моментов в грузовом и единичных со-
состояниях даны на рис. 10.19 в, г, д. В качестве координаты сече-
сечения на криволинейном участке возьмем угол <р, показанный на
этих рисунках. Тогда изгибающие моменты будут:
на участке АВ
Мо(ср) = 0, Mi(cp) = — asin(p, M2(^) = a(l —
10.2
ОСНОВНАЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМЫ
305
на участке ВС
Мо(ср) = 2Ра sin ((р - 90°) = 2Ра cos <p,
Коэффициенты 5ц у интеграла Мора на прямолинейном
участке вычислим с помощью способа Верещагина, а на кри-
Рис. 10.19
волинейных — с помощью табл. 9.1. Получаем
( * 2 \
= —— I — Г 2Ра2 cos if sin (pa dip — 2Pa2 x ^ — -^- x -a I =
bjz \ J 2 2 6]
Pa3
' 3EJZ '
52o = I Г 2Pa2 cos (p(l — cos ф)а dip + -Pa2 x 2a ) =
1 ' ra2sin2
14 +
2
Зтг
+
Pa2
3EJZ
2 a3
306
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
= hi = -егг[ - f a2sm(p(l - cos(р)ad(p + %- х 2а ) = --^гг,
V 0 7
а2A -
х 2а ) =
у
-(§-+
Система канонических уравнений после сокращений прини-
принимает вид
- Х2 = ±
8,71Х2 = 8,57Р.
Решив ее, найдем, что Х\ = 0,74Р, Х2 = 1,08Р.
Эпюра моментов в эквивалентной системе показана на
рис. 10.20 а. При ее построении удобно ориентироваться на эпю-
эпюру перерезывающих сил Q, которая показана на рис. 10.20 б.
Рис. 10.20
10.2.5. Выбор удачной эквивалентной системы иногда по-
позволяет значительно сократить и упростить вычисления. Хоро-
Хороший, наглядный пример тому дает задача о раскрытии стати-
статической неопределимости многоопорной балки (рис. 10.21 а). На
рис. 10.21 б, в изображены две из возможных для такой бал-
балки эквивалентные системы. Сравнивая их, видим, что система
на рис. 10.21 в приводит к значительно более простым вычис-
вычислениям, так как для нее 5\з = $14 = $15 — ^24 — 825 = ^35 = 0.
При этом просматривается простая закономерность 8ц = 0, если
\г — j\ ^ 2. А это значит, что система канонических уравнений
10.2
ОСНОВНАЯ И ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СИСТЕМЫ
307
Ш
" и
W/Ж , Ж
Ш. , У7/Ж
"¦ и
\хх ]х2 ]
Рис. 10.21
308 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ГЛ. 10
имеет трехдиагональную матрицу:
5\\Х\ + S12X2 +0 + 0 + 0
о
0 + S32X2 + S33X3 + 5здХд + 0
о
о
Данная структура будет сохраняться, сколько бы пролетов не
имела балка. Более того, для такой эквивалентной системы лег-
легко получить и стандартные формулы для вычисления коэффи-
коэффициентов 5ц:
612X2 -
522X2
^32^2
0
0
Ь 0 Н
h (^23-^3 Н
Ь ?33X3 Н
\- 5^Х<$ -\
ь о н
h 0
Ь 0
h ^34-^4
h 544X4
h 5ьаХл
Si-u =
!¦ 7 ' v~'fc-|-l 7
Здесь о;^ — площадь эпюры Mq на г-м пролете; г^л и n+in — рас-
расстояния от ее центра тяжести до левой и правой опоры пролета.
Таким образом, типовое уравнение для многопролетной балки с
произвольной нагрузкой принимает вид
hXi-л + 2G?; + L;_i_i )Х?; + LiXai = 6 ( LOi~^-
и называется уравнением трех моментов. Оно значительно
упрощает решение многопролетных балок.
10.3. Учет симметрии при раскрытии статической
неопределимости методом сил
10.3.1. Конструкции часто являются симметричными.
Учет этого обстоятельства позволяет упростить систему кано-
канонических уравнений.
Если геометрия системы симметрична относительно какой-
либо оси и если эта система нагружена также симметрично, то
систему будем называть прямосимметричной. Пример такой си-
системы дан на рис. 10.22 а.
Если же симметричная система нагружена обратносиммет-
рично, как это показано на рис. 10.22 5, то назовем ее обратно-
симметричной.
10.3
РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
309
Возможны и другие виды симметрии, например центральная
симметрия. Но мы здесь ограничимся лишь осевой симметрией,
хотя изложенный подход можно распространить и на другие ви-
виды симметрии.
Основным свойством прямосимметричной (обратносиммет-
ричной) системы является то, что она деформируется симмет-
симметрично (обратносимметрично). А это значит, что в симметричных
ее сечениях внутренние силовые факторы симметричны (обрат-
носимметричны), т.е. равны по величине и направлены так, что-
чтобы сохранялась прямая симметрия (обратная симметрия), как
это показано на рис. 10.22.
> \
V
t
q
м
м
м
1'1ЧЧП'|
* Ось прямой
симетрии
V )' г it \
М
м
>
Ось обратной
симетрии
Рис. 10.22
Рассмотрим сечение по оси симметрии прямосимметричной
плоской системы (рис. 10.23 а). Как и во всяком другом сече-
сечении, возникающие в нем внутренние силовые факторы TV, Q и
Mz должны быть взаимны, т.е. попарно равны по величине и
противололожны по направлению. В то же время по симметрии
они должны быть симметричны. Для N и Mz эти два требования
непротиворечивы и поэтому удовлетворяются для любых значе-
310
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
ний этих факторов. А для Q они противоречивы, так как вза-
взаимность требует для Q обратной симметрии. Но необходимость
удовлетворения обоих условий очевидна. А они могут быть удо-
удовлетворены одновременно только при Q = 0 в сечении по оси
симметрии.
М:
N
Q
м2
Q
Рис. 10.23
Рассуждая точно так же для сечения по оси обратной сим-
симметрии (рис. 10.23 б\ приходим к выводу, что в нем должны
быть равны нулю N и MZl так как по взаимности они должны
быть симметричны, а из требований симметрии — обратносим-
метричны.
Этот результат можно обобщить, заметив, что все шесть вну-
внутренних силовых факторов, которые могут возникнуть в брусе,
можно разбить на две группы по симметрии относительно плос-
плоскости сечения: прямосиммет-
ричные — это продольная си-
сила N и изгибающие момен-
Mz
My
ты М7 и М7
у
и обратносим-
метричные — перерезываю-
перерезывающие силы Qy и Qz и крутя-
крутящий момент Мк (рис. 10.24).
Общее правило можно
сформулировать теперь так:
в сечении по оси симмет-
симметрии прямосимметричной си-
системы равны нулю обрат-
носимметричные внутренние
силовые факторы, а в сече-
сечении по оси симметрии обратносимметричной системы равны ну-
нулю прямосимметричные внутренние силовые факторы.
10.3.2. Проведенные рассуждения носят качественный ха-
характер. К тому же результату можно прийти на основании ко-
количественных рассуждений. Для этого рассмотрим прямосим-
метричную трижды статически неопределимую раму, данную
Рис. 10.24
10.3
РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
311
на рис. 10.25 а. Эквивалентную систему построим, разрезав ра-
раму по оси симметрии, как показано на рис. 10.25 б. Система трех
канонических уравнений имеет вид
^20 +
#30 +
+ S12X2 + ?13-^3 = 0,
+ ^22-^2 + ^23-^3 = 0,
+ #32-^2 + $33X3 = 0.
A0.3.1)
Р/2 I I P/2
iTi
Рис. 10.25
Необходимые для подсчета коэффициентов 5ц эпюры в грузо-
грузовом и единичных состояниях даны на рис. 10.25 в. Заметим, что
эпюры Mo, Mi, M2 — прямосимметричны, а эпюра М% — обрат-
312 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ГЛ. 10
носимметрична. Поэтому коэффициенты
х Г М0Мз , п с с Г МхМъ , п
30 = J ~EJ~~ = ' 31 = 13 = J ~EJ~~ = '
I
как произведения симметричных эпюр на обратносимметрич-
ные. Это следствие симметрии системы, не зависящее от ее кон-
конкретной формы. Тогда система канонических уравнений A0.3.1)
упрощается:
6ю + SnXi + SuX2 = 0,
^20 + ^21-^1 + ^22-^2 = 0,
= 0.
Так как 63з = / ^т 3 сE ^ 0, то из последнего уравнения сле-
i
дует, что Хз = 0, т.е. в сечении по оси симметрии прямосиммет-
ричной рамы обратносимметричный внутренний силовой фак-
фактор, каким является перерезывающая сила Q, равен нулю.
Аналогичные рассуждения можно провести и для обратно-
симметричной рамы.
Пример 10.5. Рассмотрим прямосимметричную раму,
показанную на рис. 10.26 а. Она трижды статически неопре-
неопределима. Если при построении эквивалентной системы лишние
связи снять, разрезав раму по оси симметрии, то перерезываю-
перерезывающая сила в этом сечении равна нулю, как обратносимметричный
фактор. Поэтому нужно определить только два лишних неиз-
неизвестных — продольную силу Х\ и изгибающий момент Хъ- Это
и учтено в эквивалентной системе, данной на рис. 10.26 б. Си-
Система канонических уравнений для определения Х\ и Х2 имеет
вид:
^10 + ^ll-X'l + ^12-^2 = 0, #20 + 52\Х\ + 822X2 = 0.
Эпюры изгибающих моментов в грузовом и единичных со-
состояниях показаны на рис. 10.26 в. Учитывая симметрию, они
даны только для половины рамы. Перемножая их, получаем ко-
коэффициенты Siji
г- 1 1 72l I С 11/7 27
S12 = ?21 = --Jrl1
10.3
РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
313
Канонические уравнения после сокращений принимают вид
- \Х2 = i
2Х2 = -\ql2.
Решая их, получаем Х\ = -ql = 0,2g/, X2 = ——ql2 = — 0,37g/2.
5 o(J
V Г V Г V У V 1
2ql
V У V V V У V 1
\ ' 1 ' Г 1 ' )
ql
1\
1
/2
——-
м0
и
[I]
'г
м2
Рис. 10.26
На рис. 10.27 показан результат решения. Для его провер-
проверки выберем несимметричную эквивалентную систему, данную
ОДЗ,
0,37
,0,07
И &
на рис. 10.28 а. Перемножим эпюру М^, которая для удобства
показана на рис. 10.28 в расслоенной, с единичной эпюрой М[
314
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
(рис. 10.28 б). Получим
-| • 0,5 • 2 х 1 - 0,37 х 2 - 1 • 0,2 х 2 J =
+1 +х - °'74 - °'33 - °'74 - °'2) = й{2 ~ 2'
V V V V V V 1М М
1ГГ
= т
Результат оказался не равным нулю. Это объясняется тем, что
вычисления проводились с округлениями. Относительная ошиб-
ошибка составляет 0,01/2 = 0,005^0,5 %, что соответствует принятой
точности вычислений.
Пример 10.6. Рас-
Рассмотрим трижды статически
неопределимую раму, изобра-
изображенную на рис. 10.29 а. Она
обратносимметрична. Чтобы
иметь возможность рассечь
ее по оси обратной симмет-
симметрии, отбросим ее статически
определимую верхнюю часть
и заменим ее действие на
оставшуюся часть силой и
моментом (рис. 10.29 б). На
рис. 10.29 в дана эквивалент-
эквивалентная система, учитывающая
обратную симметрию, а на
рис. 10.29 г показаны эпюры
моментов в грузовом и единич-
единичном состояниях, необходимых
для вычисления коэффициен-
коэффициентов канонического уравнения
6ю + 6ц Х± = 0. Получаем
л 1 (Р12 I Зр/2
M\
Pls
Рис. 10.28
Поэтому Х\ = —
4
3
=
/3
EJZ
10.3
РАСКРЫТИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛИМОСТИ
315
На рис. 10.29 д показана итоговая эпюра изгибающих момен-
моментов My,- Как видим, использование обратной симметрии позво-
р
1 1
1
1
1
1
M0[Pl]
Рис. 10.29
лило свести решение триж:ды статически неопределимой рамы
к решению всего одного канонического уравнения.
10.3.3. Встречаются такие системы, рассечение которых по
оси прямой или обратной симметрии невозможно. В этом слу-
А'
2/
т
21
7777/.
Рис. 10.30
316
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
чае при построении эквивалентной системы отбрасывать связи
следует так, чтобы эквивалентная система сохранила свою сим-
симметрию.
Пример 10. 7. На рис. 10.30 изображена как раз такая
система. Там же даны для нее эквивалентная система, эпюры
изгибающих моментов в грузовом и единичном состояниях и ре-
результирующая эпюра My- Интересно отметить, что в качестве
лишней неизвестной здесь фигурирует обобщенная сила, состоя-
состоящая из двух реакций Х\ левой и правой опор. А коэффициенты
5ю и 6ц равны алгебраической сумме соответствующих верти-
вертикальных перемещений точек А и А' в грузовом и единичном
состояниях.
10.3.4. Рассмотрим примеры решения систем с двумя ося-
осями симметрии.
Пример 10.8. Кольцевая рама, данная на рис. 10.31 а,
трижды статически неопределима и имеет две оси симметрии.
Для построения эквивалент-
эквивалентной системы рассечем ее по
горизонтальной оси. Поступая
так, мы симметрично отбрасы-
отбрасываем связи, но при этом от-
отбрасываем шесть вместо трех
лишних связей. Так как сече-
сечения А и А' являются сечения-
сечениями по оси симметрии (горизон-
(горизонтальной), то в них перерезы-
перерезывающая сила равна нулю. Эти
сечения симметричны относи-
относительно вертикальной оси, по-
поэтому возникающие в них про-
продольная сила Х\ и изгибаю-
изгибающий момент Х2 симметричны,
что и учтено на рис. 10.31 б.
Поскольку кроме лишних
связей отброшены также и
необходимые, то система, изо-
изображенная на рис. 10.31 5, по-
получила степени свободы и по-
поэтому усилия Х\ и Х2 должны
удовлетворять условиям рав-
равновесия. Рассматривая их, по-
А'
PR/2
Р/2
Р/2
М2
в
0,32 PR
0Д8РД
Рис. 10.31
1
лучаем, что они будут удовлетворены при Х\ = -Р. А момент
Х2 никак не входит в условия равновесия и может быть опреде-
определен только из канонического уравнения #20 + ^22^2 — 0. Соответ-
10.4
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
317
ствующие грузовое и единичное состояния даны на рис. 10.31 в.
Из них получаем
Тогда
J; M2 = 1.
Z
EJz520 = Jm0M2 ds = A J \PR{1 - cos a) • 1 • Д da = (тг - 2)Pi?2,
27Г
= J
l-lRda =
022
= -0Д8РД.
Результирующая эпюра М^ приведена на рис. 10.31 г.
Пример 10.9. Рама, показанная на рис. 10.32 а, шесть раз
статически неопределима, так как она образована двумя замкну-
А'.
р
р i
2
Р
Р
Рис. 10.32
тыми контурами. Нагружена она так, что имеет горизонтальную
ось прямой симметрии и вертикальную ось обратной симмет-
симметрии. Эквивалентную систему образуем, рассекая раму в сечени-
сечениях А и А' по оси обратной симметрии. В этих сечениях равны
нулю продольная сила и изгибающий момент. Так как сечения
симметричны относительно горизонтальной оси симметрии, то
и возникающие в них перерезывающие силы также симметрич-
симметричны, поэтому эквивалентная система получает вид, показанный
на рис. 10.32 б. И для раскрытия статической неопределимости
нужно решить всего лишь одно каноническое уравнение. Даль-
Дальнейший ход решения читатель может провести самостоятельно.
Мы лишь приводим на рис. 10.32 в результирующую эпюру из-
изгибающих моментов.
318
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
10.4. Пространственные и плоскопространственные
системы
10.4.1. Раскрытие статической неопределимости простран-
пространственных систем принципиально не отличается от рассмотрен-
рассмотренного подробно случая плоских систем. Только при вычислении
коэффициентов канонических уравнений необходимо учитывать
те из шести внутренних силовых факторов, которые вносят су-
существенный вклад в деформации системы. Для пространствен-
пространственных рам, примеры которых приведены на рис. 10.33, опреде-
определяющими деформациями являются изгиб и кручение.
В
D
Рис. 10.33
Пример 10.10. На рис. 10.34 а дана эквивалентная систе-
система для рамы, показанной на рис. 10.33 а. Эпюры изгибающих и
крутящих моментов в грузовом и единичном состояниях даны
на рис. 10.34 5, в. Вычислим с их помощью коэффициенты ка-
канонического уравнения 5ю + 6цХ\ = 0. Элементы рамы имеют
жесткость на изгиб EJ и жесткость на кручение GJ^. Тогда
Тогда
1 = —J— =
^im
Если сечения стержней круглые, то J& = 2J. И так как G =
= — -, то при а = 0,3 получаем, что —— = 1+и, ~ -. Поэтому
2A + /1) GJk о
Х\ « -Р. Результирующая эпюра М^ дана на рис. 10.34 г.
о
10.4
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СИСТЕМЫ
319
Рис. 10.34
Пример 10.11. Рама, приведенная на рис. 10.33 5, имеет
две вертикальные плоскости симметрии, проходящие через точ-
точки АВ и CD. Это учтено при построении эквивалентной систе-
системы, половина которой показана на рис. 10.35 вместе с эпюрами
Mq и М\. Из условий равновесия этой части рамы видно, что
Рис. 10.35
продольная сила N равна 0, а изгибающий момент в вертикаль-
вертикальной плоскости равен -PL Поэтому неизвестным остается только
момент в горизонтальной плоскости Х\, который нужно опреде-
определить из канонического уравнения ^ю + ^n^i — 0. Однако эпюры
Mq и Mi таковы, что 6ю = 0. Поэтому Х\ = 0.
320
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
10.4.2. В конструкциях часто встречаются плоскопро-
плоскопространственные рамы — плоские рамы, нагруженные нормаль-
нормальной к их плоскости нагрузкой (рис. 10.36). Напомним, что мы
Рис. 10.36
рассматриваем такие плоские рамы, у которых ось симметрии
сечения лежит в плоскости рамы. Для статически определимых
плоскопространственных рам из условий равновесия легко по-
показать, что равны нулю все внутренние силовые факторы, ле-
лежащие в плоскости рамы. Если рама статически неопределима,
то, рассматривая систему канонических уравнений метода сил
для нее, можно убедиться, что она распадается на две незави-
независимые системы. Одна из них содержит только лишние неизвест-
неизвестные, действующие в нормальной к раме плоскости, а другая —
лежащие в плоскости. Вторая система является однородной и,
так как определитель ее ввиду кинематической неизменяемости
основной системы не равен нулю, она имеет единственное нуле-
нулевое решение. Читатель может рассмотреть это на примере си-
Рис. 10.37
стемы, приведенной на рис. 10.37 а. Эквивалентная система для
нее дана на рис. 10.37 б как суперпозиция двух систем: в первой
из них действуют те лишние неизвестные, плоскость действия
10.5
КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
321
которых нормальна к плоскости рамы, а во второй — лишние
неизвестные, лежащие в плоскости рамы.
Пример 10.12. Рассмотрим раму, показанную на
рис. 10.36 а. Отбрасывая ее статически определимую часть, при-
приходим к раме, данной на рис. 10.38 а, которая имеет вертикаль-
вертикальную плоскость прямой симметрии. Построенные с учетом этого
эквивалентная система и соответствующие ей эпюры моментов в
грузовом и единичном состояниях приведены на рис. 10.38 б, в, г.
0,5
Рис. 10.38
Каноническое уравнение — простейшее: дю + 5цХ\ = 0. Если
составляющие раму стержни имеют жесткость на изгиб EJ и
кручение GJkl то
? 1 Р12 , 1 Р12 л . 1 7 л , 1 7 л
Поэтому
1 *
EJ 4
GJk
Если, как и в примере 10.11, рама образована брусьями круглого
сечения и /i = 0,3, то EJ/GJk = 1 + /i = 1,3. Тогда Хх « 0,4Р/.
Соответствующая эпюра моментов дана на рис. 10.38 д.
11 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
322
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
10.5. Комбинированные, или смешанные системы
10.5.1. Системы, составленные из элементов, испытываю-
испытывающих различные напряженные состояния, называются комбини-
комбинированными, или смешанны-
смешанными. Чаще всего такие си-
системы состоят из элемен-
элементов, работающих на из-
изгиб или растяжение-сжатие
(рис. 10.39). На рисунке эле-
элементы / работают на изгиб,
а элементы //— на растяже-
растяжение. При расчете перемеще-
перемещений для таких систем, в том
числе и при вычислении ко-
ко2/
EF
Рис. 10.39
эффициентов канонических
уравнений, это необходимо
учитывать. Поэтому для систем, показанных на рис. 10.39,
-;
/
— ds.
A0.5.1)
EJ J EF
I II
Пример 10.13. На рис. 10.40 приведены эквивалент-
эквивалентная, грузовая и единичная системы для системы, данной на
Рис. 10.40
рис. 10.39 а. Для нее в соответствии с A0.5.1)
г 1 О72 47 , 1
1 Р12 5
El— х з
-Р.
3 EFP
Как видно, результат зависит от величины отношения
EJ/(EFl2). Поэтому, чтобы проконтролировать правильность
10.5
КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ
323
решения, удобно рассматривать предельные случаи. Один из
них возникает при F —>> 0, т.е. когда жесткость на растяжение
стержня // становится бесконечно малой. Тогда, как следует из
решения, Х\ —>• 0. Это согласуется с механическим понимани-
пониманием работы системы, которая при F —>> 0 в пределе обращает-
обращается в консольную балку. Второй предельный случай возникает
при F —>• оо. Тогда в пределе стержень // становится абсолютно
жестким на растяжение-сжатие и по своему действию на балку
становится равносилен катковой опоре, а в пределе Х\ принима-
принимает значение —Р. Предоставляем читателю возможность самому
16
убедиться, что в этом случае вертикальное перемещение правого
конца балки /равно нулю.
10.5.2. Рассмотрим раму, изображенную на рис. 10.41 а.
Эквивалентная система для нее приведена на рис. 10.41 б.
При ее построении учтено, что рама имеет горизонтальную ось
Рис. 10.41
прямой симметрии и вертикальную обратной симметрии. На
рис. 10.41 в, г даны изгибающие моменты и продольные силы в
грузовом и единичном состояниях.
Если, как это мы делали для рам во всех предыдущих при-
примерах, считать определяющей деформацию изгиба, т.е. подсчи-
подсчитывать коэффициенты 8ц как
Sij = / ^Y~ds,
I
то мы легко получаем, что дю = —P/3/3i?J, 6ц = 2/3/3EJ. Тот-
да Х\ = — -^- = -Р. Но в этом случае, как видно из рис. 10.41 5,
Оц 2
324 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ГЛ. 10
усилие, являющееся результатом действия сил -Р и Х\ = -Р,
будет направлено как раз вдоль того участка рамы, к которому
оно приложено. А это значит, что участки рамы будут не из-
изгибаться, а соответственно растягиваться и сжиматься. Таким
образом, мы пришли к результату, который находится в проти-
противоречии с начальным предположением о преимущественном из-
изгибе элементов данной рамы. Поэтому для правильной оценки
напряженно-деформированного состояния такой рамы необхо-
необходимо учитывать как изгиб, так и растяжение-сжатие ее элемен-
элементов, т.е. подсчитывать 5ц как
l l
Поступая так, мы получаем, что
, Pls . PI , 2 Is . 21
d + d +
Тогда
v _ PI-к t,_3J
Al~2"TTP №•
Для длинных балок к <С 1, поэтому, раскладывая Х\ в ряд Тей-
Тейлора по степеням к и сохраняя в этом разложении первые два
слагаемых, получаем, с точностью до величин порядка /с2, что
- 2k) = \P- кР.
Это учтено в результирующем состоянии, показанном на
рис. 10.41 д.
Оценим полученный результат с точки зрения возникающих
в раме максимальных нормальных напряжений. Для примера
рассмотрим раму прямоугольного сечения шириной b и высотой
1ч 1
h. Тогда F = bh, J = —bh . Учитывая, что TV^ & —-Р, подсчи-
12 у/2
таем максимальные напряжения в раме как сумму напряжений
от растяжения-сжатия и от изгиба:
к——Р1
/
Nz MSmax _ Р
а Т + ~Ж^~ ~^Дъп
Но
k
Тогда
= \{h/lf.
2л/2 bh I ~ ^2bh V + 2
+ 2 I
В.10 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 325
При / = Ю/i дополнительные напряжения, вызванные изгибом,
составляют всего 15 % от напряжений растяжения или сжатия.
Вообще видно, что появление изгиба в элементах такой рамы
вызвано растяжением или сжатием ее элементов. Поэтому такой
изгиб называют вторичным.
В любой плоской раме, элементы которой образуют треуголь-
треугольники (рис. 10.42 а), при ее нагружении силами в узлах опре-
определяющим является растяжение или сжатие элементов, а из-
Рис. 10.42
гиб является вторичным. В связи с этим одной из расчетных
схем для такой конструкции может быть принята схема фер-
фермы, в которой все элементы соединены шарнирно (рис. 10.42 б).
Такая система становится, как правило, статически определи-
определимой (статическая неопределимость может сохраниться только за
счет опорных устройств), так как в каждом из замкнутых тре-
треугольных контуров появляется три шарнира. А это существенно
упрощает расчет. Вторичный изгиб в такой расчетной схеме не
учитывается. Его принимают во внимание на этапе расчета на
прочность при назначении нормированного коэффициента запа-
запаса прочности.
В.10. Контрольные вопросы
В. 10.1. Чем определяется число степеней свободы системы?
Зависит ли это число от выбора системы координат?
В. 10.2. Сколько степеней свободы имеет стержень на плос-
плоскости и в пространстве?
В. 10.3. Что такое связь? Как изменяется степень свободы
системы при наложении на нее одной связи?
В. 10.4. Сколько связей накладывают на стержень катковая
опора, шарнирная опора, заделка?
В. 10.5. Что такое реакции связей? Как они направлены?
В. 10.6. Сколько независимых уравнений равновесия можно
составить для системы с п степенями свободы?
В. 10.7. Что такое кинематически неизменяемые и изменяе-
изменяемые системы?
326 СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ ГЛ. 10
В. 10.8. Какой (кинематически изменяемой или неизменя-
неизменяемой) является система, на которую наложены только необхо-
необходимые связи? Что такое лишние связи? Можно ли произвольно
делить связи на необходимые и лишние?
В. 10.9. Как определяется степень статической неопредели-
неопределимости системы?
В. 10.10. Обязательно ли отбрасывать все лишние связи при
определении степени статической неопределимости системы?
В.10.11. Сколько рассечений нужно сделать в плоском за-
замкнутом контуре, чтобы он стал статически определимым?
В. 10.12. Как получить из статически неопределимой систе-
системы основную? Однозначен ли выбор основной системы?
В. 10.13. Почему основная система статически определима?
В. 10.14. Что такое эквивалентная система? В чем принци-
принципиальное отличие ее от исходной?
В. 10.15. При каком условии эквивалентная система будет
деформироваться так же, как и исходная?
В. 10.16. Каков смысл коэффициентов 5ц канонических
уравнений метода сил? Что необходимо знать для их вычисле-
вычисления?
В. 10.17. Сколько канонических уравнений нужно записать
для п раз статически неопределимой системы и почему?
В. 10.18. Почему для проверки решения, как правило, вы-
выбирается новая эквивалентная система? В чем смысл такой про-
проверки?
В. 10.19. Почему проще определять перемещения не в ис-
исходной, а в эквивалентной системе?
В.10.20. Как удобнее раскрыть статическую неопредели-
неопределимость многопролетной балки?
В. 10.21. В чем сходство и различие прямосимметричной и
обратносимметричной систем? Каковы их основные свойства?
В. 10.22. В каких сечениях прямосимметричной плоской си-
системы перерезывающие силы Q всегда равны нулю?
8.10.23. В каких сечениях обратносимметричной плоской
системы продольные силы N и изгибающие моменты Mz всегда
равны нулю?
8.10.24. Как следует выбирать эквивалентную систему для
рам, рассечение которых по оси плоской симметрии невозможно?
В. 10.25. Как выбирается эквивалентная система для рам,
имеющих две оси плоской симметрии?
В. 10.26. Какие внутренние силовые факторы определяют
деформацию пространственной системы и учитываются при вы-
вычислении коэффициентов канонических уравнений?
В. 10.27. Чему равны все внутренние силовые факторы, ле-
лежащие в плоскости рамы плоскопространственной системы?
3.10
ЗАДАЧИ
327
В.10.28. В чем особенность расчета перемещений (в том
числе и коэффициентов канонических уравнений) в комбиниро-
комбинированных системах, работающих на изгиб и растяжение?
В. 10.29. Что такое вторичный изгиб?
3.10. Задачи
3.10.1. Для рамы (рис. 10.43) раскрыть статическую
неопределимость, построить эпюры изгибающих моментов и пе-
перерезывающих сил, сделать проверку и определить перемеще-
перемещение точки приложения момента М. Полагая сечение круглым с
диаметром й, найти d из условия прочности, если М = 75 Н-м,
[а] = 150 МПа.
м
ъ
¦tttttttttmm
2/
* /
Рис. 10.43
Рис. 10.44
3.10.2. Используя уравнение трех моментов, раскрыть ста-
статическую неопределимость балки (рис. 10.44) и построить эпю-
эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил.
3.10.3. Для рамы, показанной на рис. 10.45, раскрыть ста-
статическую неопределимость, используя ее симметрию, построить
эпюру изгибающих моментов и определить взаимный угол по-
поворота 6ав поперечных сечений в точках А и В.
4
2/
А В
1
Р
Ч
\ A2ql A- l ¦
Рис. 10.45 Рис. 10.46
3.10.4. Для показанной на рис. 10.46 самоуравновешенной
рамы раскрыть статическую неопределимость, построить эпюру
изгибающих моментов и определить взаимное перемещение Sab
точек А ж В.
328
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛ. 10
3.10.5. Используя симметрию плоскопространственной ра-
рамы кольцевого тонкостенного сечения (рис. 10.47), раскрыть ее
статическую неопределимость,
построить эпюры изгибающих
и крутящих моментов и опреде-
лить угол поворота в а в точке
А в плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной плоскости рамы и проходя-
проходящей через точки А и В. При-
Принять модуль сдвига материала
Рис. 10.47 рамы G = -Е.
о
3.10.6. Для самоуравновешенной плоскопространственной
рамы (рис. 10.48) раскрыть статическую неопределимость и по-
построить эпюры изгибаю-
изгибающих и крутящих момен-
моментов. Отношение изгибной
EJ
ql
жесткости рамы bJ к
жесткости на кручение
GJk принять равным -.
о
3.10.7. Раскрыть
статическую неопредели-
неопределимость комбинированной рис ^о 48
системы (рис. 10.49) и
построить эпюру продольных сил для ферменного элемента и
эпюры изгибающих моментов для остальных участков. Принять
EF = 2^.
EF
Рис. 10.49
Рис. 10.50
3.10.8. Используя симметрию системы (рис. 10.50), опреде-
определить реакции ее опор и показать, что в горизонтальном элементе
системы (тяге) никаких усилий не возникает.
ГЛАВА 11
РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ СЛОЖНОМ
НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
В гл. 9 в примерах 9.3, 9.4 мы столкнулись с напряжен-
напряженными состояниями, которые отличаются от простых состояний
растяжения-сжатия и чистого сдвига, воспроизводимых в стан-
стандартных экспериментах по определению механических свойств
материалов. В этой главе будут рассмотрены вопросы расчета
на прочность при таких сложных напряженных состояниях.
11.1. Анализ напряженного состояния в точке
11.1.1. Еще в гл. 2 (п. 2.2.2) было отмечено, что через дан-
данную точку тела можно провести сколько угодно сечений и на
каждом из них в этой точке
действует свое напряжение.
Напомним, что совокупность
напряжений в точке на все-
всевозможных проходящих че-
через нее сечениях называется
напряженным состоянием в
этой точке. На рис. 11.1 пока-
показаны нормальные и касатель-
касательные напряжения на гранях
элементарного кубика, выде-
выделенного в окрестности точки
О тела координатными плос-
плосz
A
-У
i
az
/ ^
/
/
у
костями системы координат /
ж, у, z. Как и в п. 2.2.2, х
первый индекс у касательно-
касательного напряжения — это индекс
нормали к сечению (площадке), на котором оно действует, а вто-
второй — индекс оси, вдоль которой оно направлено. Напряжения,
Рис. 11.1
330
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
показанные на рис. 11.1, в том числе и данные для невидимых
граней штриховой линией, положительны. Таким образом, нор-
нормальные напряжения положительны, если они растягивающие.
Положительные направления касательных напряжений на тех
гранях, внешняя нормаль к которым совпадает с положитель-
положительным направлением оси, совпадают с положительными направ-
направлениями двух других осей. На рис. 11.1 — это видимые грани
кубика. Если же внешняя нормаль к площадке противоположна
направлению координатной оси, как это имеет место для невиди-
невидимых на рис. 11.1 граней кубика, то положительные касательные
напряжения направлены противоположно соответствующим ко-
координатным осям. Они показаны пунктиром.
Девять составляющих напряжений аХ1 rxyi rXZi ayi ryXi ryZi
Oz-, Tzxi Tzy> действующих на трех взаимно перпендикулярных
площадках, называют компонентами напряженного состоя-
состояния. В п. 2.2.3 было доказано свойство парности касательных
напряжений:
Тху — Тух-, Tyz = Tzy^ Tzx = Txz. A1.1.1)
Оно следовало из тех условий равновесия элементарного куби-
кубика, которые требуют, чтобы были равны нулю суммы моментов
действующих на него сил относительно осей х,у, z.
Свойство парности касательных напряжений показывает, что
из девяти компонентов напряженного состояния независимыми
являются только шесть.
11.1.2. Покажем, что компоненты напряженного состояния
полностью определяют напряженное состояние в точке. Иными
словами, если мы знаем
компоненты напряженного
состояния в данной точке,
то мы можем найти напря-
напряжения на любой площадке,
проходящей через эту точ-
точку.
Для этого рассмотрим
равновесие показанного на
рис. 11.2 элементарного тет-
тетраэдра, три грани которо-
которого ОАВ, ОВС и ОАС ле-
лежат в координатных плос-
плоскостях, а четвертая ABC
является произвольной пло-
площадкой с нормалью V. Обо-
Обозначим через /, т, п напра-
направляющие косинусы нормали v в осях ж, у, z, т.е.
Z = cos(v, ж), т = cos (v, у), n = cos(v,z). A1.1.2)
Pz
•zy
Рис. 11.2
11.1 АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 331
Пусть F — площадь грани ABC', a Fx, Fy, Fz — площади
координатных граней О ВС, О АС, ОАВ. Тогда
Fx = Fl, Fy = Fm, Fz = Fn. A1.1.3)
Для того чтобы определить полное напряжение р„ на пло-
площадке ABC, достаточно найти его составляющие рх, ру, pz по
координатным осям. Проецируя действующие на тетраэдр силы
на координатные оси, получаем условия его равновесия в виде
рх = 0 : pxF - gxFx - TyxFy - rzxFz = О,
Py = 0 : PyF - rxyFx - ayFy - rzyFz = 0,
Pz = 0 : PzF - rxzFx - ryzFy - ozFz = 0.
Отсюда с учетом выражений A1.1.3), после сокращения на F,
приходим к соотношениям, позволяющим определить рх, ру, pz
и, следовательно, полное напряжение ри, через компоненты на-
напряженного состояния
Рх = сгх1 + тухт + rzxn,
Ру = гху1 + aym + rzyn, A1.1.4)
Pz — rxzl + ryzm + CTzn.
11.1.3. По составляющим рх,ру, pz полного напряжения на
площадке ABC легко найти нормальное напряжение ov на этой
площадке как
°v = Pxl +Pym +pzn. A1.1.5)
Тогда в соответствии с соотношениями A1.1.4) получаем, учи-
учитывая парность касательных напряжений:
аи = axl2 + aym2 + azn2 + 2rxylm + 2ryzmn + 2rzxnl. A1.1.6)
Величину касательного напряжения ту на площадке ABC
можем найти как
С точки зрения оценки прочности, нас прежде всего должны
заинтересовать площадки, на которых действуют экстремаль-
экстремальные по величине нормальные напряжения. Такие площадки на-
называются главными. Так как направляющие косинусы удовле-
удовлетворяют соотношению
/2+m2 + n2 = 1, A1.1.7)
то задача поиска главных площадок заключаются в отыска-
отыскании соответствующих величин /, m и п, при которых функ-
функция (jy A1.1.6) принимает экстремальные значения при условии
332
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
A1.1.7). Математически это задача на условный экстремум, ко-
которая сводится к отысканию экстремума функции Лагранжа:
Ф = °xl2
аут
azn
2
¦ 2rxylm ¦
2ryzmn ¦
+ 2rzxnl + a (I -l-m- n2). A1.1.8)
Здесь а — неопределенный множитель Лагранжа. Условия экс-
экстремума функции Лагранжа дФ/dl = 0, дФ/дт = 0, дФ/дп = О
приводят нас к соотношениям, которые удобно записать в виде
al = ах1 + тухт
am = тху1 + оут
an = rxzl
A1.1.9)
ryzm + azn.
Сравнивая эти соотношения с выражениями A1.1.4), видим,
что для главных площадок
рх =
ру =
^ = an.
A1.1.10)
т.е. al, am, an являются составляющими по координатным осям
полного напряжения на главной площадке. Более того, они про-
пропорциональны с коэффициентом пропорциональности а напра-
направляющим косинусам /, 777,, п, которые фактически являются со-
составляющими по координатным осям вектора единичной нор-
нормали v к искомой главной площадке. Поэтому вектор полного
напряжения р^ на главной площадке направлен вдоль нормали
v и является, таким образом, нормальным напряжением. А коль
скоро на главной площад-
площадке нормальное напряжение
и является полным напря-
напряжением, то касательное на-
напряжение на такой площадке
равно нулю.
На рис. 11.3 показано пол-
полное напряжение р^ на глав-
рис. ц.з ной (рис. 11.3 а) и неглавной
(рис. 11.3 б) площадках.
Множитель Лагранжа а является величиной напряжения на
главной площадке. Действительно, р = \1р\ + Р% +Р2- Но для
главной площадки рх, ру, pz определены выражениями A1.1.10),
поэтому
р = V' аЧ2 + а2т2 + а2п2 = ал/l2
т2 + п2 = а.
11.1
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
333
Направляющие косинусы главной площадки определяются
из уравнений A1.1.9), которые запишем в виде
(ах - а
тухт
rzxn = О,
(&у — о)т + rzyn = 0,
ryzm + (az — а)п = 0.
A1.1.11)
Для неизвестных /, га, п эти уравнения являются системой
линейных однородных уравнений. Так как /2 + га2 + п2 = 1, то
эта система должна иметь ненулевое решение. А это возможно
только тогда, когда ее определитель равен нулю:
'ух
(Jx — cr Tv-
тХу сгу — а
Txz Tvz
Tzx
Tz
Tzy
az — cr
=0.
A1.1.12)
Раскрывая этот определитель, приходим к следующему кубиче-
кубическому уравнению:
a3 — J\o2 + J20 — J3 = 0.
A1.1.13)
Здесь
= OxO
xOy
OyO
yOz
^Z^X TXy TyZ TZ
A1.1.14)
Все три корня уравнения A1.1.13) вещественны. Действитель-
Действительно, по математической классификации задача A1.1.11) является
задачей на собственные значения для системы линейных урав-
уравнений, матрица которой в силу парности касательных напря-
напряжений — симметрическая. А собственные значения симметри-
симметрической матрицы, являющиеся корнями ее характеристического
(векового) уравнения A1.1.13), всегда вещественны. Каждому
из них соответствует собственный вектор, являющийся в нашем
случае решением систем A1.1.11) и определяющий единичный
вектор нормали к главной площадке. Если корни различны, то
соответствующие им собственные векторы ортогональны и по-
поэтому три главные площадки взаимно перпендикулярны.
Сами же корни уравнения A1.1.13) являются напряжениями
на главных площадках. Они называются главными напряже-
напряжениями. Их принято обозначать через <ti, <Т2, <тз и располагать в
таком порядке, что а\ ^ <Т2 ^ &%.
334
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
Заметим, что напряженное состояние в точке тела определя-
определяется действующими на него нагрузками и поэтому оно не зави-
зависит от того, какая система координат выбрана для его описания.
Соответственно, и главные напряжения не зависят от выбран-
выбранной системы координат. Но они являются корнями уравнения
A1.1.13). Следовательно, и его коэффициенты Ji, J2, J3 так-
также не зависят от выбора системы координат, хотя компоненты
напряженного состояния <тж, <jyi <jZi rxyi ryZi rzx конечно опреде-
определяются системой координат. Поэтому главные напряжения ai,
<Т2, <тз и коэффициенты характеристического уравнения Ji, J2,
J3 называют инвариантами напряженного состояния.
Если элементарный кубик в окрестности точки тела выде-
выделить так, чтобы его грани совпадали с главными площадками,
то напряженное состояние можно рассма-
рассматривать как трехосное растяжение-сжатие
(рис. 11.4). А это значительно упрощает
анализ напряженного состояния.
Для определения положения главных
площадок, например, той площадки, на ко-
которой действует главное напряжение ai,
нужно задать в системе A1.1.11) а =
= <ti, тогда определитель системы стано-
становится равным нулю, и следовательно, ее
уравнения линейно зависимы, т.е. одно из уравнений являет-
является линейной комбинацией двух других. Выразив из этих двух
уравнений два неизвестных (например, / и т) через третье (п)
и подставив полученные выражения в условие I2 + т2 + п2 = 1,
найдем последнее неизвестное (п). А его уже используем для
вычисления двух оставшихся косинусов (/ и т) первой главной
площадки.
Для дальнейшего, однако, знание положения главных пло-
площадок не существенно.
Пример 11.1. Найдем главные напряжения для напря-
напряженного состояния, показанного слева на рис. 11.5. Для него
&х — (Уу — &Z — 0, тху = ryz = rzx = т. Поэтому характеристиче-
характеристическое уравнение A1.1.12) имеет вид
Рис. 11.4
—а т т
т —а т
т т —а
= 0.
Раскрыв этот определитель, получаем кубическое уравнение
A1.1.13): а3 —Зт2сг —2т3 = 0. Непосредственной проверкой убеж-
убеждаемся, что один из корней этого уравнения равен а = — т. Те-
Теперь, разделив кубическое уравнение на <т + т, сведем его к ква-
11.1
АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
335
дратному и определим его корни:
о\ = 2т, а2 = а3 = -т.
Это же решение можно получить, заметив, что площадка ABC
равнонаклонена к боковым граням и одинаково ориентирована
к действующим на них касательным напряжениям. Поэтому она
будет главной площадкой. Учитывая, что для нее I = т = п =
= 1/л/З, легко получаем по формуле A1.1.6) действующее на
ней нормальное напряжение а = 2т, которое является одним из
корней характеристического кубического уравнения.
*<*-'
' X
\
\
1/
Рис. 11.5
Таким образом, это напряженное состояние сведется к пока-
показанному справа на рис. 11.5 трехосному растяжению-сжатию.
11.1.4. Полученные в этом разделе соотношения допускают
удобную векторно-матричную формулировку. Для этого введем
векторы v — единичной нормали к площадке и р^ — полного на-
напряжения на этой площадке, а также матрицу Та — тензора на-
напряжений, составленную из компонентов напряженного состоя-
состояния:
V =
1
m
п
> Pi/ =
Рх
Ру
V
> Т(Т =
(Ух
Тху
т
Тух
(Ту
т
TZx
Tzy
G7
. A1.1.15)
Тогда соотношение A1.1.4) примет вид ри = Tav. Выражение
A1.1.5) определяет ov = (p^,v) как скалярное произведение век-
векторов ри и v. Систему A1.1.9) можно записать в форме Tav = av,
которая с точностью до обозначений совпадает с алгебраической
задачей на собственные значения, имеющей в традиционных для
линейной алгебры обозначениях вид: Ах = Хх (А — матрица,
х — вектор, А — собственное значение).
Отметим, что напряженное состояние в точке относится к та-
таким объектам, которые в математике называются тензорами и
336 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
являются развитием понятия вектор. Не вдаваясь в подробно-
подробности, заметим, что вектор имеет один инвариант преобразования
координат, т.е. одну величину, а именно — длину вектора, кото-
которая не зависит от выбора системы координат. У тензора второго
ранга, каковым является тензор напряжений Та, есть уже три
инварианта Ji, J2, J3.
11.2. Круговая диаграмма Мора
11.2.1. Если для векторов разработаны простые и нагляд-
наглядные геометрические образы, то для тензоров в силу их боль-
большей сложности такого пока не удалось добиться. Из известных
геометрических представлений тензора напряжений наиболее
удачное, на наш взгляд, разработал О. Мор A882). Он предло-
предложил каждой площадке, проходящей через заданную точку тела
и определенной нормалью V, сопоставлять точку на плоскости
gvtv с координатами, равными дей-
действующим на этой площадке нор-
нормальному (jy и касательному rv на-
напряжениям. Это соответствие пока-
показано на рис. 11.6. Плоскость gvtv мы
далее будем называть плоскостью
Мора.
Найдем сначала, какие же точ-
точки соответствуют площадкам, нор-
нормальным к той главной площад-
площадке, на которой действует G2- Эти
площадки параллельны о2 и вме-
Рис п б сте с площадками действия о\ и as
они выделяют элементарную приз-
призму, показанную на рис. 11.7 а. На рис. 11.7 б показан вид на нее
вдоль оси z. Проецируя силы, действующие на эту призму, на
направления ау и tv, получаем условия ее равновесия в форме
ау ds dz — о\ dy dz cos a — a^dx dz sin a = 0,
rv ds dz — o\ dy dz sin a + as dx dz cos a = 0.
Так как dx = cLssina, dy = cLscosa, то из этих соотношений
после сокращения на dz ds получаем
ov = ai cos2 a + cr3 sin2 a, 2
Ty = (&i — as) sin a cos a.
Перейдем в этих соотношениях к тригонометрическим функци-
11.2
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА МОРА
337
ям угла 2а, имея в виду, что
cos2 а = -A + cos 2а),
Тогда
sin2 а = -A — cos 2a), sin a cos а = - sin 2а.
G\ — (
Ту =
G\ — (
2
¦ sin 2a.
cos 2a,
A1.2.2)
dy,
ds
Рис. 11.7
Исключим из этих соотношений 2а. Для этого в первом из них
перенесем первое слагаемое из правой части в левую, возведем
оба соотношения в квадрат и сложим. В результате получим
2 J ' A1.2.3)
Сравним это выражение с урав-
уравнением окружности (х — xqJ +
+ (У — У оJ = г2> которое
на плоскости ху определяет
окружность радиусом г с цен-
центром в точке жо, Уо- Видно,
что уравнению A1.2.3) соот-
соответствует на плоскости Мора
окружность с центром на оси
(jy и радиусом -(<7i — <тз). На
рис. 11.8 это окружность, проходящая через точки, соответ-
соответствующие площадкам действия главных напряжений о\ и <тз.
Рассматривая точно так ж:е площадки, параллельные главным
Рис. 11.8
338
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
напряжениям о\ и аз, можно убедиться, что соответствующие
им точки на плоскости Мора лежат на окружностях, проходя-
проходящих соответственно через точки 02, оз и cri, 02 на оси av. Все
три эти окружности показаны на рис. 11.9 и образуют круго-
круговую диаграмму Мора напряженного состояния в точке. Можно
показать, что произвольно ориентированным площадкам соот-
соответствуют точки, которые лежат в области, заключенной меж-
между окружностями круговой диаграммы. На рис. 11.9 эта область
заштрихована.
Рис. 11.9
Из изложенного наиболее важны два следующих заключе-
заключения:
1. Площадкам, параллельным одному из главных напряже-
напряжений, соответствуют точки, лежащие на той окружности круго-
круговой диаграммы, которая проходит через два других главных на-
напряжения.
2. Максимальное касательное напряжение
W = ^^. (П.2.4)
Это напряжение действует на площадке, которой соответству-
соответствует точка А плоскости Мора. Так как эта точка лежит на боль-
большой окружности круговой диаграммы, то площадка действия
rmax параллельна <Т2- Обратим внимание также на то, что углу
а между такими площадками и первой главной площадкой
(см. рис. 11.7) соответствует угол 2а на диаграмме Мора (см.
рис. 11.8). Следовательно, так как для точки А (см. рис. 11.8)
11.2
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА МОРА
339
2а = 90°, площадка действия ттах равнонаклонена к площад-
площадкам, где действуют о\ и аз, т.е. образует с этими площадками
угол 45°.
11.2.2. Построим диаграммы Мора для некоторых харак-
характерных состояний.
Центральное растяжение—сжатие бруса. Выделим из
бруса, находящегося в состоянии центрального растяжения или
сжатия, элементарный кубик так, чтобы две его грани совпадали
с поперечными сечениями. В этих гранях действует напряжение
ах. В четырех остальных гранях, которые являются продольны-
продольными сечениями бруса, в силу гипотезы о ненадавливаемости про-
продольных волокон бруса нормальные напряжения не возникают.
Поэтому главные напряжения будут: для растяжения (ах > 0) —
0"! — axi ®2 — 0, аз = 0, а для сжатия (ах < 0) — о\ = G2 — 0,
Рис. 11.10
^ = &х- Соответствующие диаграммы показаны на рис. 11.10.
Из них сразу следует известный из разд. 4.8 результат: для цен-
центрального растяжения-сжа-
растяжения-сжатия ттах = -ах.
Двухосное растяжение.
Для кубика, находящегося в
состоянии двухосного растя-
растяжения, если ах > ау1 то о\ =
= <тж, <Т2 = Су, <тз = 0. На
рис. 11.11 показано это напря-
напряженное состояние и соответ-
соответствующая ему диаграмма Мо-
Мора, на которой помечены точ-
точки, соответствующие площад- р -и -и
кам А, В, С.
Чистый сдвиг. На рис. 11.12 показано напряженное состоя-
состояние чистого сдвига и эквивалентное ему двухосное растяжение-
340
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
сжатие, а также соответствующая этим состояниям диаграмма
Мора.
Рис. 11.12
11.2.3. Общий случай нагружения бруса.
В подавляющем большинстве случаев при анализе напряжен-
напряженного состояния можно так выделить элементарный кубик, чтобы
одна из его площадок оказалась главной. Так, в общем случае
нагружения бруса в точках его поперечного сечения всегда мож-
можно найти нормальное ах и касательное тх напряжения. Причем
ах будет связано с действием продольной силы N и изгибающих
моментов Mz и Му, а тх — с перерезывающими силами Qyi Qz
и крутящим моментом М^. Подробно этот вопрос обсуждался в
разделах 9.1, 9.2.
Выделим около точки А поперечного сечения бруса элемен-
элементарный кубик так, как это показано на рис. 11.13. Две грани
кубика должны лежать
в поперечных сечениях.
Из оставшихся четырех
граней, которые соот-
соответствуют продольным
сечениям бруса, две вы-
выберем так, чтобы они бы-
были нормальны тж, а две —
параллельны. Получен-
Рис. 11.13 ное напряженное со-
состояние показано на
рис. 11.14 а. При этом учтено свойство парности касательных
напряжений и то, что в продольных сечениях бруса //и ///нор-
///нормальные напряжения отсутствуют, так как предполагается, что
продольные волокна бруса друг на друга не давят. Диаграмма
Мора для этого состояния показана на рис. 11.14 б. Она постро-
vx(N,Mz,My)
11.2
КРУГОВАЯ ДИАГРАММА МОРА
341
ена по трем точкам /, //, ///, соответствующим трем граням
элементарного кубика. Так как на грани /// нет касательных
напряжений, то она является
главной площадкой. Тогда пло-
площадки /и //нормальны к главной
площадке. А это значит, что соот-
соответствующие им точки лежат на
одной из окружностей диаграм-
диаграммы Мора. Центром этой окруж-
1
ности является точка ov = -ах
на оси
а ее радиус R =
Точки пересечения этой
окружности с осью (jy соот-
соответствуют еще двум главным
площадкам. При этом одно из
действующих на них главных
напряжений будет обязательно
положительным, а другое
Рис. 11.14
отрицательным. Имея в виду, что главное напряжение на
площадке ///равно нулю, получаем, что в общем случае нагру-
жения бруса
A1.2.5)
Теперь, чтобы полно-
полностью построить круговую
диаграмму, остается только
провести окружности через
точки а\ и сг2, а также G2 и
аз оси ov.
11.2.4. Общий случай
напряженного состояния
с одной известной глав-
главной площадкой показан на
рис. 11.15 а. На рис. 11.15 б
дана соответствующая это-
этому случаю круговая диа-
диаграмма. Она построена с
помощью рассуждений, ана-
II
Рис. 11.15
342
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
логичных проведенным в п. 11.2.3, для следующих соотношений
между нормальными напряжениями:
a
>ay>az
и az
СГх + СГу
Из рисунка видно, что
СГХ +СГу
+СГу
(J3 =
A1.2.6)
При других соотношениях между сгж, сг^ и сг^ индексы у глав-
главных напряжений в A1.2.6) могут измениться. Диаграммы Мора
для двух других возможных случаев, когда первое из равенств
A1.2.6) определит главные напряжения а± и <тз или <Т2 и <тз, чи-
читатель может легко воспроизвести самостоятельно.
11.3. Закон Гука и потенциальная энергия деформации
при сложном напряженном состоянии
11.3.1. В разд. 5.3 для получения соотношения закона Гу-
Гука при двухосном растяжении-сжатии был использован прин-
принцип суперпозиции. Воспользуемся этим же принципом в общем
случае напряженного состояния. Для кубика с единичными ре-
ребрами оно может быть представлено как наложение трех одно-
одноосных состояний растяжения-сжатия вдоль координатных осей
и трех состояний чистого сдвига в координатных плоскостях
(рис. 11.16).
¦yz
Рис. 11.16
В первых трех из этих состояний ребра кубика удлиняются
(или укорачиваются) вдоль координатных осей, а углы между
ребрами не меняются. Так как длины ребер равны 1, то их удли-
удлинения равны относительным удлинениям ех, еу и ez. Ограничим-
Ограничимся изотропным материалом и рассмотрим подробно удлинение
ребра, направленного вдоль оси х. При действии ах оно в пре-
пределах закона Гука равно ^. При действии ау и az вследствие
.С/
11.3
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
343
эффекта Пуассона это ребро получает удлинения — iiey = —^-jk
и —\iez = —/i —. Для растягивающих az и ау эти удлинения от-
отрицательны, т.е. являются укорочениями. При одновременном
действии <тж, (jy и az удлинения суммируются:
= % — /i% — Ц^г ИЛИ
Ё^
Аналогичные рассуждения для ребер, направленных вдоль осей
уи2;, приводят в итоге к трем соотношениям закона Гука:
= д[(Тх - fJ,((Ty
еУ = -^\°У -
A1.3.1)
z = д[(Тг ~ fJ,((Tx
В последних из трех показанных на рис. 11.16 элементарных
состояний происходят только деформации сдвига в одной из ко-
координатных плоскостей. И при линейно-упругих деформациях
им соответствуют соотношения закона Гука (см. разд. 5.2):
1ху —
G '
Tzx
G '
A1.3.2)
11.3.2. Закону Гука A1.3.1), A1.3.2) легко придать матрич-
матричную форму, если ввести векторы, составленные из компонентов
напряженного и деформированного состояний. Эта форма имеет
вид
Jzx
1
Ё
Ё
Ё
0
0
0
fl
Е
1
Ё
~Ё
0
0
0
fl
Е
~Ё
1
Ё
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
0
0
1
G .
сгу
Tyz
Tzx
A1.3.3)
Заметим, что для любого материала, в том числе и для ани-
анизотропного, закон Гука означает линейную связь между компо-
компонентами деформаций и напряжений. Поэтому для анизотропно-
344
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
го материала соотношения закона Гука должны иметь форму
Ixy
Jyz
An
A2i
A31
A4i
A51
A12
A22
AS2
A42
A52
A13
A23
A43
^4-53
A14
A24
A34
A44
A54
A15
A25
A35
A45
Ale
Aq2 Aqz
A1.3.4)
dz = ay dx dz •
Коэффициенты A^, составляющие матрицу упругих характе-
характеристик, называются коэффициентами податливости. Отметим,
что матрица упругих характеристик симметрическая, т.е. А^ =
Проще всего это свойство доказать на основе теоремы о вза-
взаимности работ (см. разд. 9.7). Так, например, для кубика с ре-
ребрами dx, dy, dz работа силы ах dy dz на перемещении A\2<Jy dz,
вызванном действием силы ау dx dz, равна работе силы ау dx dz
на перемещении A2\oxdy, вызванном силой axdxdz, т.е.
ах dy dz
Отсюда сразу следует, что А\2 = А2\.
Этот же факт можно понять и из других соображений. Так
же, как и для напряженного состояния, можно ввести тензор
деформаций, составленный из компонент деформированного со-
состояния:
?х lyx 'Jzx
Jxy ?y Jzy
_ Jxz Jyz ?z
Он так же, как иТа — симметричен. Тогда соотношения закона
Гука A1.3.4) можно записать в форме Т? = АТа, где А — тензор
упругих характеристик. Он должен иметь более высокий ранг,
чем Т? и Тег. Но так как Т? и Та симметричны, то и А также
симметричен.
Заметим, что для изотропного материала коэффициенты А^
не зависят от выбора осей координат. Но не трудно понять, что
для анизотропного материала такая зависимость должна по-
появиться. Это обстоятельство подчеркивает тензорный характер
совокупности коэффициентов податливости.
11.3.3. Рассмотрим потенциальную энергию деформаций
dll, накопившуюся в элементарном кубике объемом dV с реб-
ребрами dx, dy, dz. Под действием напряжений ах, ау,..., rzx он
получает относительные деформации ех,еу,... ,jzx. В процессе
деформаций сила ах dy dz совершает упругую работу на пути
11.3
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
345
sxdx, сила rxydydz — на пути jxydx, сила aydxdz — на пути
Sy dy и т.д. Эта работа в силу закона сохранения энергии, кото-
который соблюдается при упругой деформации, аккумулируется в
объеме dV в виде сШ. Поэтому
dU = -{ахех + ауеу + azez +
+ ЪтхуЧху + 2ryzjyz + 2tzxjzx) dx dy dz.
Тогда удельная потенциальная энергия деформаций (энергия в
единице объема) будет
U = — = -{сгхех + ОуЕу + azez + + 2rxyjxy + 2ryzjyz + 2т^ж7^ж)-
A1.3.5)
Если материал изотропный, то, подставив сюда соотношения
A1.3.1), A1.3.2), получим выражение удельной потенциальной
энергии деформации через напряжения:
U = op
aza
zax
(Jx(J
y)]
). (п.3.6)
Если напряженное состояние приведено к главным осям, то по
координатным площадкам действуют только главные напряже-
напряжения ах, G2-) 0"з- Тогда
тт 1 Г 2 _|_ 2 | 2 о / _|_ _|_ \~| /-| -| о у\
При анализе условий перехода материала в пластическое со-
состояние оказывается удобным рассматривать напряженное со-
состояние как суперпозицию двух состояний, первое из которых
является равномерным
всесторонним растяже-
растяжением, а второе допол-
дополняет его до заданно-
заданного состояния. Это раз-
разделение показано на
рис. 11.17 для кубика
с единичными ребрами. р -м 17
Напряжение а подби-
подбирается так, чтобы изме-
изменения объемов первого AVq и исходного AV состояний совпада-
совпадали. Если рассмотреть кубик с единичными ребрами, то для него
62)A + 63) - 1 • 1 • 1 =
AV = A +
Так как наш анализ касается конструкционных материалов, для
которых относительные деформации малы (si ^С1, i = 1, 2, 3), то
346 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
с достаточной точностью AV = е\ +?2 + ?з- После подстановки в
это выражение соотношений закона Гука A1.3.1) получаем, что
AV = Ц^(<71 + а2 + а3). A1.3.8)
В первом напряженном состоянии все главные напряжения рав-
равны а. Поэтому формула A1.3.8) для него дает
AV0 = !^.3а. A1.3.9)
hi
Тогда из условия AV = AVq имеем
\ A1.3.10)
Потенциальная энергия первого состояния — энергия изменения
объема по A1.3.7) равна
U0 = ^ • За2 = ^(ai + а2 + а3J. A1.3.11)
Во втором напряженном состоянии объем не изменяется, а ме-
меняется форма — кубик вследствие деформации становится па-
параллелепипедом того же объема. Тогда потенциальная энергия
этого состояния — энергия изменения формы С/ф подсчитывает-
ся как разность U и Uq. С учетом выражений A1.3.7) и A1.3.11)
после простых преобразований получим
С/ф = U - Щ = -^[^1 + °\ + °\
= Ц± [Ы - о2J + (а2 - а3J + (а3 - агJ] . A1.3.12)
Эту же формулу можно получить, если учесть, что силы на-
напряженного состояния изменения объема не совершают работы
на деформациях состояния изменения формы и наоборот. По-
Поэтому взаимные работы отсутствуют, и С/ф можно подсчитать,
подставив в формулу A1.3.7) выражения для главных напряже-
напряжений второго состояния сгхф = о\ — а, а2ф = о2 — а, азф = аз — а.
Однако выкладки в этом случае более громоздки.
11.4. Гипотезы прочности
11.4.1. Расчет на прочность при одноосных напряженных
состояниях растяжения или сжатия основывается на том, что
именно такие состояния моделируются в стандартных экспери-
экспериментах при определении механических характеристик матери-
материала, рассмотренных в гл. 3. Совпадение расчетного и экспери-
экспериментального напряженных состояний позволяет, исходя из ре-
результатов эксперимента, прогнозировать поведение материала в
рассчитываемой конструкции.
11.4 ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ 347
Перенесение такого подхода на сложные напряженные со-
состояния потребует исследования поведения материала по мень-
меньшей мере в условиях трехосного растяжения-сжатия, к которо-
которому сводится любое сложное напряженное состояние. Здесь мы
попадаем в качественно новую ситуацию, связанную с неодно-
осностью напряженного состояния. Так, для получения механи-
механических характеристик материала при одноосном растяжении-
сжатии минимально необходимо испытать только два образ-
образца — один на растяжение, а другой на сжатие. Для получе-
получения полной информации о поведении материала при трехосном
растяжении-сжатии нужны испытания при всевозможных соче-
сочетаниях напряжений по разным направлениям. А таких сочета-
сочетаний бесконечное множество.
Главное, что нас интересует с точки зрения прочности, это
напряжения, при которых в материале наступают качественные
изменения механических свойств, т.е. когда в пластичном ма-
материале наступает текучесть, а в хрупком — разрушение. Та-
Такие напряженные состояния мы будем называть предельными.
При внешнем разнообразии наблюдаемых в эксперименте видов
предельных состояний все они, по существу, могут быть сведе-
сведены к трем видам. Первый из них наблюдается при испытаниях
образцов из хрупких материалов на растяжение. Это разруше-
разрушение отрыва по плоскости, нормальной по отношению к растя-
растягивающим напряжениям. Будем называть такое предельное со-
состояние хрупким отрывом. Второй вид предельного состояния
соответствует разрушению по плоскостям действия максималь-
максимальных касательных напряжений хрупких образцов при сжатии, т.е.
по плоскостям максимальных сдвигов. Это предельное состоя-
состояние хрупкого сдвига. И, наконец, предельное состояние текуче-
текучести, которое возникает при испытаниях образцов из пластичного
материала и сопровождается пластическими деформациями за
счет скольжения по плоскостям действия максимальных каса-
касательных напряжений.
Следует помнить, что хрупкий материал при определенных
напряженных состояниях может демонстрировать пластические
свойства. Так, например, при испытаниях чугуна и мрамора на
растяжение и сжатие в условиях высокого всестороннего дав-
давления наблюдается хорошо выраженная текучесть. А при ис-
испытаниях на растяжение пластичного образца наблюдаются по-
последовательно все три вида предельных состояний. Сначала на-
наступает текучесть, сопровождающаяся появлением на поверх-
поверхности образца линий Людерса-Чернова, которые указывают на
поверхности скольжения. Далее, после образования шейки в ее
узкой части происходит хрупкий отрыв с появлением около оси
образца концентрической линзообразной трещины. Это вызвано
тем, что около оси образца образуется состояние трехосного ра-
348
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
стяжения. И, наконец, по периферии шейки происходит хрупкий
сдвиг по конической поверхности под углом 45° к оси образца.
Эти этапы показаны последовательно на рис. 11.18. Все это еще
раз демонстрирует услов-
условность деления материа-
материалов на хрупкие и пла-
пластичные.
Проведем мысленно
следующий эксперимент.
Создадим по граням
кубика некоторые напря-
напряжения <т^, а у и а® и будем,
сохраняя постоянными
отношения между ними,
увеличивать их, пока в
кубике не наступит пре-
о лл 1О дельное состояние
.тис. 11.1о пред пред -р
такого эксперимента изобразить в пространстве <тж, ау, <jZi to
ему будет соответствовать продвижение вдоль выходящего из
с координатами
^, ^ и а®
с координатами а*ред, а*ред, а*ред (рис. 11.19).
начала координат луча от точки
до точки Аи™~
Задаваясь для различных образцов различными сочетаниями
начальных напряжений, можно получить в пространстве аХ1 ау1
az другие точки, соответству-
соответствующие предельным напряжен-
напряженным состояниям. Геометриче-
Геометрическое место таких точек назы-
называется поверхностью предель-
предельных состояний. Эта поверх-
поверхность дает полную информа-
информацию о прочностных свойствах
материала, т.е. зная ее, мож-
можно для любого напряженного
состояния судить о том, до-
допустимо или недопустимо оно
для данного материала.
Используя предоставля-
предоставляемые математикой методы
аппроксимации (приближен-
(приближенного построения), можно с
достаточной точностью по-
Поверхность
предельных
состояний
Рис. 11.19
строить поверхность предельных состояний по конечному числу
ее точек, т.е. по результатам конечного числа испытаний. Но
даже такое приближенное построение потребует значительного
11.4 ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ 349
числа экспериментов. Кроме того, имеются чисто технические
трудности в создании трехосных напряженных состояний.
Единственным из них, которое можно создать достаточно
легко, является состояние всестороннего равномерного сжатия.
Чтобы его реализовать, достаточно погрузить кубический,
сферический или цилиндрический образец в жидкость и со-
создать в ней высокое давление, которое и явится напряжением
равномерного сжатия. Испытывая образцы на одноосное растя-
растяжение в условиях всестороннего сжатия р, можно реализовать
предельное напряженное состояние, у которого О2 = о"з = — V-,
сг1 = сто- Такие испытания уже достаточно сложно технически
осуществить. При попытке же реализовать предельное напря-
напряженное состояние со всеми тремя растягивающими главными
напряжениями мы сталкиваемся уже с такими сложностями,
которые пока не удалось преодолеть. Таким образом, пытаясь
экспериментально установить поверхность предельных состо-
состояний, мы сможем в результате значительного числа сложных
экспериментов построить лишь некоторые ее участки.
11.4.2. Выход из создавшегося положения был найден на
пути создания гипотез о механизмах, причинах или условиях
возникновения предельного состояния — так называемых гипо-
гипотез (теорий) прочности.
Обобщим на случай сложного напряженного состояния поня-
понятие запаса прочности. Для напряженного состояния сг^, сг^ и сг^,
соответствующего точке А0 на рис. 11.19, запасом прочности п
назовем отношение отрезков ОАпред и О А0. Поэтому
_
п ~
В дальнейшем все напряженные состояния, соответствующие в
пространстве <тж, ayi az точкам на луче, который выходит из
начала координат, будем называть подобными. Подобными, на-
например, являются все напряженные состояния, соответствую-
соответствующие точкам на луче ОА°Аире^ на рис. 11.19. Таким образом,
A) A) A) B) B) B) г
напряженные состояния Ох,Оу,о\ и °х •> &у •> &z подобны,
A) A) A)
рс^тти —¦ = — = —
GB) сгB) сгB) '
Ux U у Оz
Два напряженных состояния назовем равноопасными, если у
них одинаковый запас прочности.
Подчеркнем, что равноопасными являются неподобные со-
состояния. Поэтому, если имеется критерий равноопасности, то
появляется возможность перейти от сложного напряженного со-
состояния к равноопасному состоянию одноосного растяжения. А
для одноосного растяжения из эксперимента известно предель-
предельное состояние, поэтому легко подсчитать его запас прочности,
350 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
который в силу равноопасности равен запасу прочности также
и для сложного состояния.
Таким образом, гипотезы прочности должны устанавливать
критерий равноопасности. Поэтому их обычно удобно формули-
формулировать в виде критерия равноопасности сложного и одноосного
напряженных состояний, при этом последнее называют эквива-
эквивалентным напряженным состоянием, а отличное от нуля глав-
главное напряжение одноосного состояния называют эквивалент-
эквивалентным напряжением и обозначают аэкв.
11.4.3. Теория максимальных нормальных
напряжений (первая теория) использует следующий кри-
критерий равноопасности: два напряженных состояния равноопас-
ны, если у них равны максимальные по абсолютной величине
нормальные напряжения. Поэтому для сложного напряженного
состояния с главными напряжениями <ti, <Т2, <тз равноопасными
будут: при преимущественном растяжении (<ri > |<тз|) — одно-
одноосное растяжение с аэкв = ai, а при преимущественном сжатии
(|сгз| > (J\) — одноосное сжатие с аэкв = а%. Таким образом, в
этой теории прочности
L {
[ а3 при
Сама формулировка критерия равноопасности построена здесь
так, чтобы использовать условие прочности для одноосного
растяжения-сжатия (см. разд. 4.9):
Теория максимальных нормальных напряжений отражает с
современной точки зрения те инженерные подходы к расчету на
прочность, которые были предложены еще Г. Галилеем и исполь-
использовались до конца XIX века преимущественно английскими ин-
инженерами, когда недостаточно были еще разработаны вопросы
прочности и анализа сложных напряженных состояний. В этой
теории учитывается только наибольшее из главных напряже-
напряжений, а влияние двух остальных главных напряжений полностью
игнорируется. Поэтому трудно ожидать от нее хороших резуль-
результатов в случаях, когда напряженное состояние существенно от-
отличается от одноосного. Это и подтвердили эксперименты. Так,
для состояния чистого сдвига, которое реализуется в экспери-
эксперименте, например при кручении тонкостенных труб, предельное
состояние достигается значительно раньше, чем предсказывает
первая теория. В испытаниях же на равномерное всестороннее
сжатие, когда о\ = О2 = о"з = —р, для большинства материалов
не удается достичь предельного состояния даже при очень вы-
высоких напряжениях. А первая теория здесь предсказывает, что
11.4 ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ 351
предельное состояние достигается при р = атс для пластичных
или при р = авс для хрупких материалов. Ввиду этого первой
теории придавалось обычно историческое значение.
Однако в последние годы эта теория прочности получила
применение для расчета прочности композитных материалов,
подобных ориентированным стеклопластикам. Эти материалы
называются материалами условно. По существу они представля-
представляют собой конструкцию, образованную двумя семействами высо-
высокопрочных волокон, которые ортогональны друг другу. Положе-
Положение этих волокон друг относительно друга зафиксировано путем
погружения их в значительно ме-
менее прочную и жесткую среду, так
называемую матрицу (рис. 11.20).
У стеклопластиков, например,
матрицей, фиксирующей стекло-
стекловолокна, является затвердевшая
эпоксидная смола. В таком мате-
материале прочность при растяжении
напряжениями ах определяется, ~л ^^sffi^^M
в основном, прочностью волокон, „ \/ атрица
' ^ ' Волокнаv
расположенных вдоль оси х и
практически не зависит от воло- _> 11О„
^ r m Рис. 11.20
кон по оси у и наоборот. 1аким
образом, сама конструкция материала позволяет при расчете
прочности вдоль одного из семейств волокон игнорировать
напряжения в ортогональном направлении. Разумеется, сказан-
сказанное верно для напряженных состояний, главные напряжения
у которых направлены вдоль волокон. А выполнение именно
этого условия позволяет наиболее эффективно использо-
использовать прочностные свойства ориентированных композитных
материалов.
Для бруса (см. п. 11.2.3) а\^ = - (ах ± л/о-% + 4т^ ]. Учи-
Учитывая это, формулу A1.4.2) для аэкв при расчете бруса можно
свести к следующей:
A1.4.3)
Здесь знак « —» берется в случае преимущественного сжатия,
т.е. при ах < 0.
11.4.4. Теория наибольших деформаций (вто-
(вторая теория) связывает переход в предельное состояние с мо-
моментом, когда наибольшая деформация достигает определенно-
определенного предельного значения, которое устанавливается из испытаний
на растяжение (или сжатие). Поэтому в ней формулируется сле-
следующий критерий равноопасности: два напряженных состояния
352 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
равноопасны, если у них равны наибольшие относительные де-
деформации.
Для сложного напряженного состояния с главными напря-
напряжениями <7i, <Т2, <тз, когда о\ > |<тз| (преимущественное растя-
растяжение) наибольшая деформация, как следует из разд. 11.3, опре-
определяется формулой A1.3.1) и равна е\ = -А?\ — /i(o + °ъ)\- По
этой же формуле для равноопасного эквивалентного состояния
простого растяжения ?^кв = — аэкв. По критерию равноопасно-
Е
СТИ Е\ = ?fKB, ПОЭТОМУ
^4 = ^i-M^2 + t73). A1.4.4)
А условие прочности здесь имеет вид
аэкв < апред.р-
При преимущественном сжатии, т.е. когда |сгз| > о"ь условие
равноопасности требует, чтобы ?з = ?^кв- Тогда условие прочно-
прочности принимает вид
^экв1 = Ws ~ /^(СГ1 + tJ2)| < |<7Пред.с|. A1.4.5)
Вторая теория прочности также слабо соответствует экспе-
экспериментальным данным. Единственная область, где она удовле-
удовлетворительно совпадает с экспериментом, это разрушение хруп-
хрупких материалов при сложных напряженных состояниях преиму-
преимущественного растяжения.
Для бруса, в котором а\^ = - (ох ± \/(?1 + 4т^ ), О2 = 0 фор-
мула A1.4.4) приводит к следующему условию прочности:
*IL = 1~^°х ± ^ Vv2x + 4т| < апред.р. A1.4.6)
Вторая теория прочности развивает предложение Ф. Мари-
отта, высказанное им еще в XVII веке. Наибольшее распростра-
распространение под влиянием трудов Ж. Понселе и Б. Сен-Венана она
получила во второй половине XIX века в работах французских
инженеров.
11.4.5. Теория максимальных касательных
напряжений (третья теория) отражает тот наблюда-
наблюдаемый в эксперименте факт, что пластическое течение являет-
является результатом скольжения материала по плоскостям действия
максимальных касательных напряжений. В пп. 3.2.5, 4.7.2 мы
уже обращали внимание читателя на это обстоятельство и от-
отмечали также, что линии Чернова-Людерса являются следами
поверхностей скольжения на поверхности образца. С учетом это-
этого третья теория строится на следующем критерии равноопасно-
11.4 ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ 353
сти: два напряженных состояния равноопасны, если у них равны
максимальные касательные напряжения.
Для сложного напряженного состояния ттах = -{(J\ — оз). По
этой же формуле для равноопасного эквивалентного состояния
одноосного растяжения {а\ = аэкв, О2 = о"з = 0) имеем ^
= -я"экв- По критерию равноопасности, т^х = ттах. Поэтому
2
<7^ = <7i -СГ3. A1.4.7)
Состояние текучести, по этой теории, не наступит, пока
аЩ < <тт, A1.4.8)
и возникнет при
а111 = а
Заметим, что аЩ всегда положительно, и поэтому его срав-
сравнивают с пределом текучести при растяжении атр. Но для боль-
большинства пластичных материалов пределы текучести при растя-
растяжении и сжатии одинаковы и для них третья теория достаточно
надежно предсказывает наступление текучести.
Исключение составляют напряженные состояния, которые
близки к всестороннему растяжению-сжатию, когда пластич-
пластичный материал начинает вести себя как хрупкий. К сожалению,
экспериментальное определение границ этого перехода наталки-
наталкивается на такие технические трудности, которые пока не удалось
преодолеть.
Определенным утешением служит то, что такого рода напря-
напряженные состояния в конструкциях возникают крайне редко.
Следует заметить, что эта теория прочности дает удовлетво-
удовлетворительные результаты и для описания разрушения хрупких ма-
материалов в тех случаях, когда разрушение путем отрыва невоз-
невозможно и оно происходит за счет сдвига по плоскостям действия
^тах- Так разрушаются образцы из хрупких материалов при
сжатии (см. п. 3.2.5, рис. 3.15 б). Таким образом, третья тео-
теория прочности позволяет рассматривать предельные состояния
хрупкого сдвига и текучести с единой точки зрения.
Для бруса сг15з = - [сгх ± у/а\ + 4т^ J, сг2 = 0, и для него
получаем из A1.4.7)
A1.4.9)
Впервые роль касательных напряжений при разрушении от-
отметил Ш. Кулон A776). Связь пластического течения мате-
материалов с максимальными касательными напряжениями была
экспериментально установлена французским инженером Треска
12 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
354 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
(Tresca, 1869). На основе его исследований Б. Сен-Венан сфор-
сформулировал условие A1.4.9) как условие пластичности и постро-
построил основные уравнения теории пластичности. Поэтому третью
теорию прочности часто называют теорией Треска-Сен-Венана.
11.4.6. Энергетическая теория (четвертая
теория). Эксперименты показывают, что при пластическом те-
течении материала коэффициент Пуассона \i становится равным
0,5. А это значит, что при деформации течения объем материа-
материала не меняется, а меняется только форма. Это, в свою очередь,
наводит на мысль, что при энергетическом анализе пластиче-
пластического течения определяющим фактором должна быть та часть
потенциальной энергии деформации, которая связана с измене-
изменением формы. Отсюда и возник энергетический критерий рав-
ноопасности: два напряженных состояния равноопасны, если у
них равны потенциальные энергии изменения формы.
Для сложного напряженного состояния эта энергия опреде-
определяется формулой A1.3.12)
По этой же формуле для простого растяжения с о\ = аэкв, G2 —
= <тз = 0 получаем, что ?7фКВ = —б^2<ТзКВ. По критерию равно-
опасности, С/ф = ?7фКВ, откуда сразу следует, что
IV 1 /7 \2 \ 1 Y2 i I Y2 (л л л л с\\
(Тэкв = —у уG\ — О~2) ~г уО~2 — &3) ~г ^СГз — &1) • ^11.4.1UJ
V 2
Состояние текучести не наступит, пока
4Тв < <7т, A1.4.11)
и возникнет, когда
<тэкв = <тт.
Так же, как и третья теория, энергетическая теория проч-
прочности хорошо предсказывает появление пластического течения
для материалов с одинаковыми пределами текучести при растя-
растяжении и сжатии, т.е. когда <ттр = <ттс = <тт. Но выражение для
аэкв A1-4.10) в сравнении с аЩ A1.4.7) имеет определенное пре-
преимущество, которое состоит в том, что все главные напряжения
входят в него равноправно. Это позволяет отказаться от строгой
их расстановки в порядке убывания и связать их с направлени-
направлением координатных осей. Если координатные оси ж, у сориентиро-
сориентированы так, что они совпадают с главными осями напряженного
состояния, то (у1^ъ можно записать в виде
— fT\2_i(fT — гг J СП 4 121
11.4 ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ 355
Для бруса, у которого а\^ = -ах ± \ ( -ах) + rj, формула
A1.4.10) после несложных преобразований сводится к следую-
следующей:
а™ = \/(т$ + Зт%. A1.4.13)
Сравнивая с 0"экв A1-4.9), видим, что для бруса третья и
четвертая теории дают близкие значения для эквивалентного
напряжения.
Первую попытку подойти к анализу предельного состояния с
энергетической точки зрения предпринял Е. Бельтрами A885),
который предложил в качестве критерия равноопасности ис-
использовать энергию деформации. Но такой подход противоре-
противоречил опытам, согласно которым при всестороннем равномерном
сжатии в материале может накапливаться значительная потен-
потенциальная энергия деформации, но предельное состояние при
этом не наступает. Поэтому польский ученый М.Т. Губер в 1904 г.
предложил исключить из рассмотрения энергию изменения объ-
объема и использовать в качестве критерия текучести только ту
часть энергии деформации, которая связана с изменением фор-
формы. Немецкий ученый Р. Мизес подошел к этому вопросу с дру-
другой точки зрения. Он предпринял поиск такого аналитического
выражения для <тЭКв5 которое было бы близко к третьей теории,
но было бы равноправно по отношению ко всем главным напря-
напряжениям. В результате Р. Мизес пришел к выражению A1.4.12).
Энергетическую теорию прочности часто называют теорией
Губера-Мизеса.
11.4.7. Теория предельных состояний (пя-
(пятая теория). Рассмотренные выше четыре теории прочности де-
демонстрируют единый с методологической точки зрения подход
к решению проблемы: выдвигается гипотеза о причине возник-
возникновения предельного состояния, которая в дальнейшем прове-
проверяется экспериментами. Не менее, а часто и более эффектив-
эффективным является так называемый феноменологический подход, ко-
когда теория строится на основе экспериментальных данных так,
чтобы она не только могла бы охватить все возможные случаи,
но и находилась бы в лучшем соответствии с этими данными.
При построении теорий прочности впервые такой подход был
использован О. Мором A900). Он исходил из допущения, что из
всех площадок с одинаковым по величине нормальным напря-
напряжением наиболее вероятно разрушение или текучесть на той, где
окажется наибольшим касательное напряжение. А на плоскости
Мора точки, соответствующие этим слабейшим площадкам, ле-
лежат на большой главной окружности круговой диаграммы Мо-
Мора (см. рис. 11.9). Поэтому можно рассматривать только эту
окружность и считать, что о2 никак не влияет на предельное
состояние.
12*
356
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
По результатам экспериментов при различных сочетаниях о\
и аз можно построить на плоскости Мора большие круги, соот-
соответствующие достигнутым в экспериментах предельным состоя-
состояниям. Их огибающую, показанную на рис. 11.21, будем назы-
Граница
допустимых
состояний
Jnp.c
пр
Jnp.p
Рис. 11.21
вать границей допустимых состояний. Можно предположить,
что для всех других неиспытанных напряженных состояний пре-
предельное состояние будет до-
достигнуто, когда большой
круг диаграммы Мора кос-
коснется границы допустимых
состояний.
Наиболее просто мож-
можно приближенно построить
границу допустимых состоя-
состояний как касательную к диа-
диаграммам предельных со-
состояний при растяжении и
сжатии, как это показано на
рис. 11.22. Тогда для предельного состояния са[ и <т|, главный
круг которого имеет центр в точке О и касается границы до-
допустимых состояний в точке С, можно записать соотношение,
следующее из подобия треугольников АСЕ и ABD:
СЕ ОрО-. A1.4.14)
/ /Dj Ej\
апр.с СГз Ос
О
т
cj* 0$ Стпр.р а
Рис 11 22
Но
BD ОрОс
СЕ = ОС — ОЕ = -(а\ — at) — -сгпред.р,
1 1
~ " ^пред.р?
ОрОс = U
11.4 ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ 357
Тогда из A1.4.14) после простых преобразований получаем,
что в этом предельном состоянии
* СГпред.р * A1 Л 1К\
ох — а3 — сгдред.р- A1.4.15;
и пред.с
Во всех ранее рассмотренных теориях прочности предельное
состояние достигалось при аэкв = апред.р. Единообразие будет
сохранено, если и в этой теории ввести эквивалентное напряже-
напряжение
аэукв = аг - ка3, к = ^-Е. A1.4.16)
Спред.с
Тогда предельное состояние достигается при а^КВ = сгПред.р5 а
условие прочности примет вид o~YKB < ^пред.р- Запас прочности
подобно остальным теориям прочности можно подсчитать как
I у
Наилучшие результаты теория Мора в рассмотренном при-
приближении дает для таких напряженных состояний, предельные
диаграммы для которых находятся между предельными круга-
кругами для растяжения и сжатия. Для этих состояний о\ > 0, а
(тз <0.
Для частного случая материалов, у которых сгпред.р = ^пред.с,
формула A1.4.16) дает для аэкв то же, что и третья теория. Для
бруса главные напряжения определяются формулами A1.2.5).
Поэтому для него получаем из A1.4.16)
V _ 1 -к 1 + к /9 | ^2 (ц 4 17)
иэкв ~~ 2 х^ 2 v х^ х' \ll.4l.h )
Рассмотрим теперь примеры использования теорий прочно-
прочности.
Пример 11.2. Завершим расчет на прочность бру-
брусьев, рассмотренных в примерах 9.3 и 9.4. В примере 9.3 рас-
рассмотрен брус открытого тонкостенного сечения (см. рис. 9.12).
Как там отмечено, чтобы избежать появления вызванных кру-
кручением больших касательных напряжений, необходимо, чтобы
нагрузки были приложены к оси жесткости (в точке А торце-
торцевого сечения). Тогда в опасном сечении вблизи заделки будут
5
2J
рис. 9.13). Нормальные напряжения при выбранных направле-
направлениях осей координат определяются выражением
_ Mz Му _ lOPb 2РЬ
Jz Jy -ъч —ъч
3 12
действовать Mz = WPb и M.y = -Pb, Qz = -P и Qy = P (см.
358
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
Нейтральную линию найдем из условия ах = 0. Это прямая
о
у = —-z = —lfiz. Распределение нормальных напряжений по
о
сечению показано на рис. 11.23 а. Касательные напряжения,
возникающие от действия перерезывающих сил Qy и QZ1 бы-
были получены в примере 9.3 и показаны здесь на рис. 11.23 5, в.
В
y=-l,6z
Рис. 11.23
Для расчета на прочность используем третью теорию прочно-
прочноОпасной точкой
сти, по которой для бруса сг^в = л/ах
сечения будет та, в которой максимальна величина аЩ. Анали-
Анализируя показанные на рис. 11.23 распределения по сечению ах и
rXSl приходим к выводу, что max сгэкв может быть достигнут в
точках D,C, В, Е.
В точке D с координатами у = 6, z = -b действует нормаль-
нормальное напряжение
а касательное напряжение в ней
txs(D) = 0.
Поэтому
11.4
ГИПОТЕЗЫ ПРОЧНОСТИ
359
В точке С с координатами у = —6, z = — -b:
ЗР 3 Р
тх(С) = rxs(Qy) - rxs(Qz) = ±?--±?- = 0,225?,
Ъ8 20
4т2(С) = -W(-5,25J + 4 • 0,2252 = 5,27-^.
00 00
В точке В с координатами у = b, z = —-b:
4
rxs{Qz) = |S + ^5 = 0,525g,
= fdл/2,252 +4- 0,5252 = 2,48^.
В точке ?? с координатами у = 0, z = — -Ь:
4
16 Ь5
Таким образом, опасной
будет точка Z? и условие
прочности примет вид
^ [а].
На основе этого условия, как
и ранее, можно произвести
проверочный или проектиро-
проектировочный (например, опреде-
определить потребную величину S)
расчеты на прочность или
найти допустимую величину
нагрузки.
Обратимся теперь к при-
примеру 9.4. Проведенный там
анализ напряжений в сече-
сечении у заделки бруса, пока-
показанного на рис. 9.17, можно
Рис. 11.24
360
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
свести к распределению напряжений для этого сечения, данно-
данному на рис. 11.24. Тогда в точках С ж А
PI PI
— = 5,05—.
О6 О6
Поэтому для этого бруса опасной оказывается точка С. Услови-
Условием прочности для него будет
таха
///
г Р1 ^ г л
= 6— ^ [а].
Пример 11.3. Рассмотрим брус кольцевого сече-
сечения. Пусть в его сечении действуют изгибающие моменты MZl
My и крутящий момент М&
(рис. 11.25). Для кольце-
кольцевого сечения любая пара
центральных осей является
главной. Поэтому изгиб в
двух плоскостях моментами
Mz и Му можно заменить
изгибом в плоскости дей-
действия момента Ми, который
представляет собой вектор-
векторную сумму Mz и My. Тогда
Ми =
Ц + м*, а плос-
плоскость его действия опреде-
определится углом а, таким, что
cos a =
Рис. 11.25
Максимальные нормальные напряжения действуют в точках А
и А' и равны crmax = Mu/WUl где Wu — момент сопротивления
изгибу: Wu = Ju I ( -D) • Максимальные касательные напряже-
ния действуют в точках сечения, прилегающих к его наружному
/
контуру, в том числе и в точке А: ттах = Мк / Wk, где Wk — мо-
мент сопротивления кручению:
= Jp
• Для любого
сечения Jp = Ju + JVl а для кольцевого, кроме того, Ju = Jv.
Поэтому для него Wk = 2WU. Если для расчета на прочность
использовать теорию максимальных касательных напряжений,
11.5 О ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИИ 361
то замечаем, что максимум аЩ достигается в точке А:
2y Ml _
Отсюда видно, что опасным сечением такого бруса, т.е. сечени-
сечением, где сг^кв достигает наибольшего значения, будет такое, где
максимальна величина М/// = \ М% + М| + М| (если, конеч-
конечно, сечение бруса не меняется по его длине).
Если для расчета применить энергетическую теорию, для ко-
которой сг^ = л/о~х + Зт^, то после аналогичных выкладок снова
придем к выражению, которое можно записать в виде
IV
IllclX С7ЭКВ т^ 7 экв ^ z , у , ^
Заметим, что полученные здесь соотношения справедливы и
для брусьев сплошного круглого и кругового замкнутого тонко-
тонкостенного сечений, так как для этих сечений также Wk = 2WU.
11.5. О прочности и разрушении
11.5.1. В предыдущем разделе сформулированы критерии
прочности. Для их правильного применения необходимо разо-
разобраться в самих понятиях «прочность» и «разрушение». Обычно
считается, что конструкция утратила прочность, если за счет ча-
частичного или полного разрушения ее элементов или вследствие
недопустимой деформации она перестала выполнять свои функ-
функции. В этом смысле прочность является интегральным свой-
свойством конструкции. Но критерии прочности связаны с напря-
напряженным состоянием в точке конструкции и поэтому определяют
локальные свойства как напряженного состояния, так и мате-
материала. Чтобы понять соотношение между интегральным и ло-
локальным в прочности, рассмотрим сначала такие конструкции,
у которых напряженное состояние во всех точках или в суще-
существенной части конструкции одинаково (однородно). Простей-
Простейшим примером такой конструкции является стержень постоян-
постоянного сечения, находящийся в состоянии центрального растяже-
растяжения под действием приложенных к его концам сил. Во всех его
поперечных сечениях возникают только постоянные по сечению
напряжения ах. Именно такое напряженное состояние и созда-
создается в образце при испытаниях на растяжение. Если этот стер-
стержень выполнен из пластичного материала, то при ах = ат насту-
362 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
пит состояние текучести, которое будет сопровождаться значи-
значительными необратимыми деформациями. А хрупкий стержень
при ах = <тВр разрушится. И в том, и в другом случаях локаль-
локальное напряженное состояние, оговоренное критериями прочности
как предельное, наступает одно-
I р временно во всех точках стерж-
ня и потому интегральная и
локальная сторона прочности
здесь неразличимы.
Рассмотрим теперь балку, на-
нагруженную сосредоточенной си-
силой (рис. 11.26). Если матери-
материал балки пластичный, то мо-
момент, когда максимальные на-
напряжения в ее опасном сечении
достигли предела текучести, т.е.
когда атах = аТ и напряженное
Рис 11 26 состояние в точке А стало пре-
предельным, для балки в целом не
сопровождается появлением недопустимых необратимых дефор-
деформаций и тем более разрушением. Здесь локальное наступление
предельного состояния не сказывается на интегральной прочно-
прочности балки. Этот и другие подобные случаи будут рассмотрены
в гл. 13, где будет показано, что для появления недопустимых
деформаций нагрузка должна быть значительно увеличена.
Если же балка выполнена из хрупкого материала, то дости-
достижение в точке А предельного состояния, когда <ттах = <гвр, бу-
будет сопровождаться катастрофическим ее разрушением — раз-
разделением на части по опасному сечению. Таким образом, здесь
локальное невыполнение условий прочности приводит к исчер-
исчерпанию общей (интегральной) прочности всей балки.
Из сказанного следует, что невыполнение локальных усло-
условий прочности является только необходимым условием потери
прочности конструкции. В то же время выполнение локальных
условий прочности — это достаточное условие прочности всей
конструкции.
11.5.2. Из проведенного рассуждения следует, что понятия
прочности конструкции и прочности материала хотя и связаны,
но различны. И сформулированные в разд. 11.4 критерии проч-
прочности фактически являются критериями прочности материала,
устанавливаемыми экспериментально на основе малого количе-
количества простых испытаний материала. В то же время прочность
материала интегрально характеризует связи, действующие меж-
между частицами материала — кристаллами, молекулами, атомами.
Поэтому ее можно оценить, рассматривая, например, взаимо-
11.5
О ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИИ
363
действие между двумя слоями атомов. Такие оценки были про-
проделаны и получено, что теоретический предел прочности мате-
материала as составляет величину порядка Е/2тг ~ 0,1Е. Получае-
Получаемые же в экспериментах пределы прочности материала в десят-
десятки, а иногда в сотни раз меньше теоретических. В этом можно
убедиться, обратившись к табл. 3.1 (с. 50). Снижение прочности
объясняется неоднородностью реального материала — наличием
дефектов его кристаллической решетки, микропор и микротре-
микротрещин, неизбежных при кристаллической структуре, инородных
включений и т.п.
Впервые разрушение материала при наличии в нем трещин
рассмотрел А. Гриффите A920). Он использовал энергетиче-
энергетический подход. Разберем подход А. Гриффитса на примере упру-
упругой пластины, растянутой однородными напряжениями ау = а
(рис. 11.27). Если в пластине нет трещины, то потенциальная
энергия ее деформации с учетом однородности напряженного
состояния
По=
A1.5.1)
v
Здесь V, F — объем и площадь пластины, at — ее толщина.
Возьмем теперь пластину с трещиной, имеющей длину 2/ и рас-
расположенной вдоль оси х. Будем рас-
рассматривать такие трещины, у которых
длина существенно меньше размеров
пластины, так чтобы можно было пре- ТТТТТ^ТТТТТ
небречь влиянием краев пластины на /\\\\\\\\\\
напряженное состояние в районе тре-
трещины. Потенциальная энергия дефор-
деформации П пластины с трещиной будет
меньше, чем у пластины без трещины.
Это следует из того, что для восстанов-
восстановления целостности пластины необходи-
необходимо затратить работу на стягивание кра-
краев трещины. Оценим разницу энергий
По и П. Она образуется за счет изме-
изменения напряжений в некоторой приле-
прилегающей к трещине области F\ (см. рис. 11.27). В силу эффек-
эффекта Сен-Венана размеры этой области малы. В вершине трещи-
трещины образуется местный пик напряжений, а вблизи поверхности
трещины а у = 0. Заметим, что для малых трещин, т.е. при от-
отсутствии влияния краев пластины на напряжения в окрестности
трещины, размеры области F\ пропорциональны длине трещи-
трещины, а форма области F\ не зависит от длины трещины. Более
ншшш
Рис. 11.27
364 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
того, и характер распределения напряжений внутри F\ также не
зависит от длины трещины. Математически это значит, что если
в функциях cri(x,y), а2(х,у), определяющих главные напряже-
напряжения, перейти к безразмерным координатам ж = ж//, у = у/1,
то о\ (ж, у), а2 (ж, у) от I зависеть не будут, а величина и форма
соответствующей F\ области F\ в координатах ж, у также не
будут зависеть от /. Кроме того, вследствие упругости дефор-
деформаций главные напряжения о\ и а2 пропорциональны ау = а.
Все это можно записать в виде следующих соотношений:
Fx = 12ТЪ ai(x,y) = <rfi(x,y), a2{x}y) = af2{x}y). A1.5.2)
Здесь /]_(ж,у), /2(ж,у) — функции, определяющие характер рас-
распределения напряжений в области F\ и не зависящие от I и а.
Тогда в соответствии с A1.5.1) получим для области F\\
Tio = \a-^Flt=\^l2Flt. A1.5.3)
Учитывая, что напряжения в сечениях, параллельных плоско-
плоскости пластины, равны нулю, т.е. аз = 0, подсчитаем П как
n = -J (aiei +a2?2)tdxdy = - J —(a\ + o\
Использовав безразмерные координаты ж = ж//, у = у/1 и
соотношения A1.5.2), получим
П = YElH
Вошедший в это соотношение интеграл не зависит ни от дли-
длины трещины 2/, ни от уровня напряжений а и является констан-
константой, интегрально отражающей неравномерность напряжений в
области F\. Для пластины без трещины напряженное состояние
равномерно и Д = 1, f2 = 0. Поэтому этот интеграл для нее
равен F\. Для пластины с трещиной из-за неравномерности на-
напряженного состояния он равен otF\, где а — величина, меньшая
единицы.
Таким образом, уменьшение энергии деформации пластины
за счет образования в ней трещины
АП = По - П = -A^l2t. A1.5.5)
2 Е
Здесь А = Fi(l — a) — безразмерная константа, которая в случае
малой трещины не зависит ни от а, ни от /.
11.5 О ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИИ 365
Появление трещины сопровождается образованием у пласти-
пластины новой поверхности — поверхности трещины, площадь кото-
которой равна 2-2И. Двойка здесь учитывает, что трещина имеет две
стороны. Так же, как и жидкости, твердые тела обладают по-
поверхностным натяжением. Поэтому для образования новой по-
поверхности необходимо затратить энергию, равную энергии по-
поверхностного натяжения этой поверхности. Пусть 7 — энергия
поверхностного натяжения, приходящаяся на единицу площади
поверхности. Тогда
AW = j-4lt A1.5.6)
— энергия, необходимая для образования поверхности трещины.
Рассмотрим теперь поведение трещины в пластине при воз-
возрастании напряжений а. Эксперименты показывают, что при ма-
малых а трещина практически не изменяется, а при достижении
некоторой критической величины напряжений ас трещина на-
начинает стремительно расти, что приводит к разрушению пла-
пластины. Чтобы разобраться в этой ситуации, произведем ее энер-
энергетический анализ, рассмотрев энергетический баланс при под-
подрастании длины трещины от / до / + dl. При таком росте тре-
трещины выделится энергия деформации, которая в соответствии
с A1.5.5) будет
d(AU) = &±dl = A^ltdl A1.5.7)
На образование новой поверхности Atdl необходимо затратить
энергию
d(AW) = *^p-dl = 4rftdl. A1.5.8)
При малых величинах а
d(AU) < d(AW), A1.5.9)
т.е. при подрастании трещины выделилось упругой энергии
с/(АП) меньше, чем необходимо затратить энергии d(AW) на об-
образование новой поверхности. На подрастание трещины, таким
образом, нужна какая-то внешняя энергия. Поэтому трещина в
этих условиях без внешних причин не растет. Говорят, что она
стационарна.
Критическое состояние наступает, когда при подрастании
трещины выделяется ровно столько энергии деформации, сколь-
сколько необходимо затратить энергии на образование новой поверх-
поверхности, т.е. когда
d(AIL) =d(AW). A1.5.10)
Отсюда, учитывая выражения A1.5.7), A1.5.8), A1.5.10), лег-
легко получим связь между длиной трещины / и тем критическим
366
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
напряжением ас, при котором трещина перестанет быть ста-
стационарной:
Г77Г
A1.5.11)
А условие стационарности трещины A1.5.9) можно записать в
виде
а < ас. A1.5.12)
Это же условие можно использовать и для определения крити-
критического размера трещины 1С при данном уровне напряжений а:
I <lc = ig. A1.5.13)
Для подсчета величины А, зависящей только от характера
распределения напряжений в зоне i*\, ослабленной трещиной,
А. Гриффите представил трещину как вытянутое эллиптическое
отверстие в пластине. Воспользовавшись известным решением
теории упругости, он получил, что А = 2тг.
Эксперименты, в которых А. Гриффите разрушал внутрен-
внутренним давлением тонкостенные трубки с прорезанными в них ал-
алмазом продольными трещинами, с удовлетворительной точно-
точностью подтвердили зависимость A1.5.11).
Другое подтверждение предположения о том, что дефекты
структуры материала существенно сказываются на его прочно-
прочности, А. Гриффите получил, определяя предел прочности тонких
стеклянных волокон. Он оказался в 50 раз выше, чем у массив-
массивных образцов, и приближался к теоретической прочности. Это
легко объясняется тем, что при вытягивании тонкого волокна
исключается возможность образования в нем трещин, перпен-
перпендикулярных его длине.
Экспериментальные исследования разрушения выполненных
из пластичных материалов образцов с трещинами также под-
подтвердили зависимость A1.5.11). Но при этом величина энергии,
которую необходимо затратить на
подрастание трещины, оказалась
значительно больше энергии, по-
потребной для образования новой
поверхности. Это связано с тем, что
вблизи вершин трещины образуются
зоны пластического деформирова-
деформирования материала FUJI. Они показаны
на рис. 11.28. При продвижении
Рис 1128 трещины они продвигаются и
увеличиваются в размерах.
При пластическом деформировании энергия необратимо рас-
рассеивается. В этом она подобна энергии поверхностного натяже-
натяжения, необходимой для образования новой поверхности трещины.
11.5 О ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИИ 367
Обозначим через Gc все энергетические затраты, необходи-
необходимые для образования трещины единичной длины в пластине
единичной толщины. В Gc входит энергия 27, затрачиваемая на
создание двух единиц новой поверхности, и энергия произошед-
произошедшего при этом пластического деформирования. В этом случае
AW = Gc-2lt. A1.5.14)
Тогда из баланса энергий A1.5.10) получаем аналогичную
A1.5.11) зависимость:
[^f? A1.5.15)
Величину Gc удобно определять из эксперимента по длине тре-
трещины 2/ и напряжению <тс, при котором трещина начинает ла-
лавинообразно развиваться:
Gc = ^f. A1.5.16)
Эта величина зависит от материала и характеризует его вяз-
вязкость как способность противостоять развитию трещин.
Часто вместо Gc используют показатель вязкости кс (трещи-
ностойкость), который связан с Gc соотношением
кс = л/GcE. A1.5.17)
По результатам эксперимента кс можно подсчитать по формуле
кс = асл/тг7. A1.5.18)
Удобство в использовании кс связано с тем, что он пропорцио-
пропорционален ас.
11.5.3. Кроме энергетического подхода, при исследовании
поведения трещин используются и другие подходы. Среди них
наиболее распространенными является так называемый сило-
силовой подход, основанный на анализе распределения напряжений
в окрестности вершин трещины. Этот анализ показал, что для
пластин напряжения в малой окрестности трещины распределя-
распределяются следующим образом:
в Л . в . ЗЛ
cos-(l-sin-sin-0),
кт 9.9 3 /л
тху = cos - sm - cos -в.
V 2тгг ^ ^ ^
Здесь г — расстояние от вершины трещины; в — полярный угол,
отсчитываемый от оси х.
368 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
Был обнаружен интересный и очень важный факт, что ха-
характер распределения напряжений A1.5.19) не зависит от раз-
размеров трещины и пластины и от вида действующей на пла-
пластину нагрузки. Все эти факторы сказываются только на ве-
величине коэффициента интенсивности напряжений А;/. Так, для
рассмотренного случая растянутой напряжениями неограничен-
неограниченной пластины с трещиной 2/ коэффициент интенсивности kj ока-
оказался равным
A1.5.20)
Сравнивая его с показателем вязкости кс A1.5.18), замечаем,
что трещина начинает лавинообразно развиваться как раз тогда,
когда
кг = кс. A1.5.21)
Это условие и является силовым критерием критического состо-
состояния трещины.
Независимость характера распределения напряжений
A1.5.19) от вида нагрузки позволяет подсчитывать коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений
для сложной нагрузки как сумму ко-
коэффициентов для отдельных ее со-
составляющих. Так, например, если на
неограниченную пластину с трещи-
трещиной 2/ одновременно действуют рас-
растягивающие напряжения <т, для ко-
которых Щ = о\[тЛ и приложенные
по центру пластины силы, величина
которых на единицу толщины рав-
равна Р, и для которых kf = Р/утп
(рис. 11.29), то
Рис'1L29 щ+р = щ + к? = aV7i + p/Vrf.
Это свойство коэффициентов интенсивности напряжений су-
существенно облегчает их использование и во многом объясняет
популярность их в расчетной практике.
11.5.4. Кроме рассмотренного вида трещины, которая на-
называется трещиной нормального отрыва, были исследованы
также и другие возможные виды развития трещины в пластине:
за счет сдвига берегов трещины в плоскости и путем сдвига из
плоскости (антиплоская деформация). Все три этих случая по-
показаны на рис. 11.30. Для них характерно, что напряжения в
малой окрестности вершины трещины распределяются по закону
11.5
О ПРОЧНОСТИ И РАЗРУШЕНИИ
369
Поэтому для сдвига и антиплоской деформации также удобно
пользоваться коэффициентами интенсивности напряжений, ко-
которые принято соответственно обозначать через кц и кщ.
II
III
Рис. 11.30
11.5.5. Проведенный выше анализ поведения трещины в
пластине основан все-таки на модели материала как сплошного
и однородного. Реальные же материалы имеют неоднородную
структуру, и неоднородности могут как способствовать разви-
развитию трещины, так и мешать ему. Так, например, трещина может
перестать расти, если она дойдет до гладкого
отверстия (рис. 11.31). Это объясняется тем,
что в этот момент резко уменьшается концен-
концентрация напряжений. На практике часто для
того, чтобы увеличить критические напряже-
напряжения конструкции, в которой появились трещи-
трещины, засверливают концы трещины.
Неоднородность композитных материалов
существенно сказывается на их трещиностой-
кости. Например, эпоксидная смола и углерод-
углеродные волокна имеют очень низкую вязкость. В
то же время углепластик, представляющий со-
собой композицию из армирующих углеродных
волокон в матрице из эпоксидной смолы, может при распро-
распространении трещины поперек волокон иметь вязкость, близкую
к мартенситной стали, которая относится к вязким материалам.
Это объясняется тем, что трещины, развивающиеся в эпоксид-
эпоксидной смоле, тормозятся на границах между смолой и волокна-
волокнами. Но вязкость углепластика на развитие трещин вдоль воло-
волокон остается низкой. Вообще у волокнистых материалов с одно-
однонаправленной структурой вязкость вдоль волокон существенно
ниже, чем поперек. Общеизвестный пример этого — дерево, ко-
которое легко колется вдоль волокон и с трудом — поперек.
Для изделий из композитных материалов, как уже отмеча-
отмечалось, характерно то, что их структура формируется одновремен-
одновременно с изготовлением самой детали. Это открывает среди прочих
Рис. 11.31
370 СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛ. 11
еще и возможность формировать структуру изделия, обеспечи-
обеспечивающую его высокую трещиностойкость.
11.2. Контрольные вопросы
В. 11.1. Что такое компоненты напряженного состояния?
Сколько их? Сколько из них независимых? Как определяются
их знаки?
В.11.2. Как понимать утверждение, что компоненты напря-
напряженного состояния полностью определяют напряженное состоя-
состояние в данной точке?
В. 11.3. Что такое главные площадки? Сколько их? Как они
взаимно ориентированы? Чему равны касательные напряжения
на этих площадках? Какие напряжения называются главными?
Как они обозначаются и соотносятся между собой?
В. 11.4. Почему главные напряжения называются инвари-
инвариантами напряженного состояния?
В. 11.5. Как ориентированы площадки, которым на плоско-
плоскости Мора соответствуют точки окружностей, проходящих через
точки о\ и аз, о и аз, о\ и сг2 соответственно?
В.11.6. Каким площадкам соответствуют точки, лежащие в
области, заключенной между окружностями круговой диаграм-
диаграммы Мора?
В. 11.7. В какой площадке из всех, проходящих через дан-
данную точку, действуют максимальные касательные напряжения?
В. 11.8. Как определить главные напряжения <ti, <Т2 и <тз в
точке бруса в общем случае его нагружения?
В. 11.9. Какие величины связаны шестью соотношениями
закона Гука?
В. 11.10. Что такое удельная потенциальная энергия из-
изменения объема и удельная потенциальная энергия изменения
формы?
В.11.11. Что такое предельные для материала напряжен-
напряженные состояния? К каким трем видам они сводятся?
В. 11.12. Что такое поверхность предельных состояний? Что
она отражает? В чем трудности ее построения?
В. 11.13. Какие напряженные состояния называются подоб-
подобными?
В. 11.14. Какие напряженные состояния называются рав-
ноопасными? Почему таковыми могут быть только неподобные
состояния?
В. 11.15. Что положено в основу сравнения двух напряжен-
напряженных состояний в гипотезах прочности? Почему сложное напря-
напряженное состояние обычно сравнивается с одноосным?
В. 11.16. Что такое эквивалентное напряженное состояние?
3.11
ЗАДАЧИ
371
В. 11.17. Какой критерий равноопасности положен в основу
теории максимальных нормальных напряжений? В каких слу-
случаях находит применение эта теория?
В. 11.18. Какой критерий равноопасности устанавливается
в теории наибольших деформаций? В каких случаях она дает
удовлетворительные результаты?
В. 11.19. На основе какого критерия строится теория макси-
максимальных касательных напряжений? Для каких материалов она
нашла широкое применение в расчетах?
В.11.20. Какой критерий равноопасности положен в основу
энергетической теории прочности? Для каких материалов она
используется?
В. 11.21. Какой подход положен в основу теории предельных
состояний? Как для заданного напряженного состояния здесь
определяется предельное состояние? Для каких материалов и
напряженных состояний эта теория дает наилучшие результа-
результаты?
8.11.22. Что такое локальная или интегральная прочность?
Как невыполнение или выполнение локальных условий прочно-
прочности соотносится с прочностью всей конструкции?
8.11.23. Почему прочность реального материала во много
раз меньше его теоретической прочности?
В. 11.24. Почему при малых напряжениях трещина практи-
практически не растет? При каком условии наступает критическое со-
состояние, т.е. стремительный рост трещины при энергетическом
подходе к проблеме?
В. 11.25. При каком условии наступает критическое состоя-
состояние трещины при силовом подходе к проблеме?
3.11. Задачи
3.11.1. Определить запас прочности в точке нагруженного
тела, напряженное состояние в которой, заданное его компонен-
компонентами, показано на рис. 11.32. Матери-
Материал тела пластичный, пределы теку-
текучести на растяжение и сжатие: атр =
= 280 МПа, сгтс = 220 МПа.
3.11.2. Выбрав соответствующие
теории прочности, проверить, выпол-
выполняется или нет условие прочности в
точке нагруженного тела, напряжен-
напряженное состояние в которой показано на ^х
рис. 11.33, если материал тела пла-
пластичный и имеет одинаковые преде-
пределы текучести на растяжение и сжатие: <тт
40 МПа
100 МПа
Рис. 11.32
- GТС — GТ
= 280 МПа; запас прочности п принять равным двум.
372
СЛОЖНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
ГЛ. 11
70МПа
3.11.3. Для бруса прямоугольного сечения, показанного на
рис. 11.34, найти размер b из расчета напряжений только по
изгибающим и крутящему моментам.
Расчет сделать по третьей теории
прочности. Принять [сг]р = [а]с =
= [а] = 120 МПа, Р = 0,6 кН.
3.11.4. Полагая сечение рамы
в задаче 10.5 тонкостенным кольце-
кольцевым со средним диаметром dcp и тол-
толщиной S = 0,Ыср, найти ее запас
ср,
прочности. Расчет сделать по четвер-
четвертой теории прочности. Принять <тт =
р -,-, оо =240 МПа, Р = 320 Н, / = 0,25 м,
dcp = z0 мм.
3.11.5. Вычислить тах<тЭКв п0 третьей теории прочности в
тонкостенном брусе, показанном на рис. 11.35. На сколько про-
20РЬ
Рис. 11.34
Рис. 11.35
центов увеличится запас прочности бруса, если силу Р перене-
перенести в центр изгиба того же сечения, где она приложена. Ка-
Касательные напряжения, образующие перерезывающую силу, в
расчетах не учитывать. Положение центра изгиба и величины
осевых моментов инерции взять из примера 9.3 гл. 9.
ГЛАВА 12
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
В этой главе будут рассмотрены особенности поведения
стержней под действием продольных сжимающих сил. Как по-
показывает опыт, сжатие стержня, даже если при-
приняты все возможные меры, чтобы сила действова-
действовала строго вдоль его оси, сопровождается изгибом
(рис. 12.1), который сначала незначителен. Однако
при увеличении силы наступает момент, когда из-
изгиб начинает резко возрастать, и именно он приво-
приводит к разрушению или недопустимым деформаци-
деформациям стержня, хотя напряжения от сжимающей силы
(если считать стержень прямолинейным) далеки
от предельных. Решение этой задачи дал в 1744 г.
Л. Эйлер в своей знаменитой книге «Методы на-
нахождения кривых линий...» Это исследование Эй-
Эйлера оказало значительное влияние на формирова-
формирование в механике и математике понятия устойчиво- I
сти и легло в основу обширного раздела механики
твердого деформируемого тела — устойчивости де- Рис 12 1
формируемых систем, методы и результаты кото-
которого особенно важны для расчета тонкостенных конструкций.
12.1. Общее понятие об устойчивости состояния
равновесия
12.1.1. Понятие устойчивости в механике многогранно и
может быть детально определено только в зависимости от объ-
объекта, к которому оно применяется, и от методов исследования
этого объекта. Но все же в его основе лежит наша практическая
деятельность. Например, чтобы на практике убедиться в том,
что положение равновесия какого-то предмета устойчиво, мы
испытаем его. Для этого мы можем слегка потолкать предмет
в разные стороны или как-то по-другому вызовем отклонение
374
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
его из положения равновесия. Как говорят, дадим возмущение.
И если предмет не отклонится сильно, мы придем к выводу, что
его равновесие устойчиво. А если предмет в результате сильно
отклонится от положения равновесия, например, упадет, то мы
скажем, что оно неустойчиво.
Таким образом, устойчивость положения равновесия систе-
системы определяется реакцией системы на возмущение. Подчерк-
Подчеркнем, что нельзя исследовать устойчивость какой-либо системы,
не возмутив ее!
12.1.2. Остановимся подробнее на возмущениях. Положение
стоящего на полу стула, с нашей точки зрения, безусловно устой-
устойчиво. Но ведь стул можно толкнуть (возмутить) так, что он упа-
упадет. Этот простой пример показывает, что всегда можно найти
настолько сильное (большое) возмущение, что система перейдет
совсем в другое положение равновесия или станет качественно
другой, например, сломается. Поэтому при исследовании устой-
устойчивости возмущения должны быть малыми, такими, чтобы они
вызывали малые отклонения от положения равновесия.
Есть еще одна сторона вопроса, о которой иногда забыва-
забывают. Обязательно нужно исследовать реакцию системы на все-
всевозможные возмущения, так как при
одних возмущениях отклонения мо-
могут оказаться незначительными, а по
отношению к другим система ока-
окажется неустойчивой. Это видно на
примере стержня, закрепленного на
оси вращения АВ (рис. 12.2). Его
положение равновесия неустойчиво,
так как любое малое отклонение
стержня в направлении его возмож-
возможного вращения приведет к тому, что
он повернется вокруг оси АВ и в ито-
итоге займет нижнее положение равно-
равновесия. Если же возмущение происхо-
происходит в плоскости ABC, то оно не при-
приведет к значительным отклонениям
в этой плоскости. Поэтому, если при исследовании устойчивости
положения равновесия стержня мы ограничимся только послед-
последними возмущениями, то придем к неверному выводу об устой-
устойчивости этого положения.
Все сказанное подводит нас к следующему определению: по-
положение равновесия системы устойчиво, если любые малые
возмущения вызывают малые отклонения системы от этого
положения.
По смыслу это определение совпадает с известным в мате-
математике определением устойчивости, данным A.M. Ляпуновым
Рис. 12.2
12.2 МЕТОД ЭЙЛЕРА 375
A892), только в последнем конкретизированы критерии мало-
малости возмущений и отклонений. В нашем случае эти критерии
могут быть установлены в зависимости от конкретных свойств
исследуемой системы.
12.1.3. Исследуем с помощью принятого определения по-
положения равновесия шарика, показанные на рис. 12.3.
о
Рис. 12.3
Положение А на рис. 12.3 а устойчиво, так как при незначи-
незначительном отклонении от него представленный самому себе шарик
будет колебаться около точки А, оставаясь вблизи нее. Если воз-
возмущение будет таким, что шарик перевалит через точку В, то
это не будет свидетельствовать о неустойчивости положения А,
так как такое возмущение нельзя считать малым.
Положение шарика на вершине С бугорка (рис. 12.3 б)
неустойчиво, так как любое малое смещение шарика из этого
положения приведет к его скатыванию с бугорка, т.е. к большо-
большому отклонению от точки С. Положение шарика в точке D на
плоскости на первый взгляд кажется устойчивым, так как если
возмутить шарик, переставив его в точку, близкую к точке D,
он в этой новой точке и останется. Но ограничившись только
таким возмущением, мы придем к неверному выводу, поскольку
не исследовали все возмущения. Действительно, если мы прида-
придадим шарику даже малую начальную скорость, то за достаточ-
достаточное время он далеко откатится от точки D (трение, конечно, не
учитывается). Таким образом, положение равновесия шарика на
плоскости неустойчиво, но оно имеет характерную особенность:
рядом с ним, сколь угодно близко к нему есть сколь угодно мно-
много других (смежных) положений равновесия. Такого рода поло-
положения равновесия выделяют среди неустойчивых и называют
положениями безразличного равновесия.
12.2. Метод Эйлера
12.2.1. Следуя Эйлеру, рассмотрим сжатый стержень, кон-
концы которого шарнирно закреплены (рис. 12.4 а). Такой стержень
называют стойкой Эйлера. Если он идеально прямой и сила Р
приложена строго вдоль оси стержня, то прямолинейное состо-
376
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
кр
яние стержня является состоянием его равновесия. Попробуем
найти такую величину сжимающей силы, при которой изогну-
изогнутое состояние стержня (рис. 12.4 б)
также является состоянием его рав-
равновесия. Такую силу (если она, ко-
нечно, найдется) назовем критиче-
критической и обозначим через Ркр. Введем
показанную на рис. 12.4 б систему ко-
координат, тогда функция v(x) окажет-
окажется прогибом стержня. Отбросим опо-
опоры, заменим их реакциями и рассмо-
трим равновесие данной на рис. 12.5
отсеченной части стержня. Из усло-
условий Y^Px = 0 и Y^Py = 0 следу-
следует, что в сечении С возникают такая
продольная N и перерезывающая Q
силы, что вертикальная составляю-
составляющая их равнодействующей равна Ркр,
а горизонтальная — нулю. Последнее
= 0 имеет вид
а
б
Рис. 12.4
условие равновесия
Мс
A2.2.1)
кр
Рассматривая изогнутое состояние стойки, мы фактически
исследуем ее возмущенное состояние. А возмущения должны
быть малы, следовательно,
прогибы v(x) будем считать
малыми. Поэтому можно
воспользоваться известным
из теории изгиба (п. 8.6.1)
соотношением закона Гука
_^ = у" « ±—-. Знак в
dx2 EJZ
нем определяется принятой
системой координат и пра-
правилом знаков для Mz. Как
видно из рис. 12.6, изгиба-
изгибающие моменты, принятые
положительными при состав-
составлении уравнения равновесия
A2.2.1), приводят к такому изгибу балки, что vff < 0. Поэтому
в рассматриваемом случае
v" = -Щ-. A2.2.2)
Исключив с помощью этого соотношения Mz из уравнения
A2.2.1), придем к следующему линейному дифференциальному
v(x)
кр
Mz>0
Рис. 12.5
Рис. 12.6
12.2 МЕТОД ЭЙЛЕРА 377
уравнению с постоянными коэффициентами:
v" + k2v = О, к2 = ^. A2.2.3)
EJz
Корни соответствующего ему характеристического уравне-
уравнения чисто мнимые и равны ±ik. Поэтому общее решение урав-
уравнения A2.2.3) имеет вид
v = Ci sin kx + С2 cos kx. A2.2.4)
Произвольные постоянные С\ и С2 должны быть определены
из граничных условий, которые соответствуют условиям закреп-
закрепления концов балки:
v@) = 0, v(l) = 0. A2.2.5)
Подставив в эти условия решение A2.2.4), приходим к двум
уравнениям
Ci • 0 + С2 • 1 = 0, d sin kl + С2 cos kl = 0. A2.2.6)
Отсюда следует, что С2 = 0 и
Cisin?;/ = 0. A2.2.7)
Это уравнение имеет два принципиально различных реше-
решения.
1. С\ =0. Этот случай, учитывая, что и С2 — 0, приводит нас
к решению г> = 0. Так как разыскиваются равновесные состояния
балки, то это решение соответствует уже известному нам фак-
факту, что прямолинейное (неизогнутое) состояние стойки является
состоянием равновесия. А то, что равен нулю прогиб г>, который
здесь играет роль возмущений, лишает нас возможности выска-
высказать какие-либо суждения об устойчивости этого состояния.
2. С\ 7^ 0. Но тогда для выполнения условия A2.2.7) необхо-
необходимо, чтобы
sin?;/ = 0. A2.2.8)
А это возможно, если
Ы = птг, п = 1,2,... A2.2.9)
Отсюда, так как к2 = PKp/EJZl следует, что
pin) = r^EJ±^ u = Clsin^, n = l,2,... A2.2.10)
12.2.2. Чтобы понять механический смысл полученного ре-
результата, рассмотрим случай, когда п = 1.
Так как разыскиваются состояния равновесия стойки, то
этот случай означает, что при Ркр = Ркр = tt2EJz/12 изогну-
изогнутое (возмущенное) состояние стойки
^ = Cisin^ A2.2.11)
378
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Рис. 12.7
является состоянием равновесия при любых С\ Ф 0. Ясно, что
С\ — максимальный прогиб стойки, равный в рассматриваемом
случае прогибу ее средней точки. По-
Поэтому все показанные на рис. 12.7 изог-
изогнутые состояния стойки наряду с ее
прямолинейным состоянием также яв-
являются состояниями ее равновесия. По-
Поскольку С\ — любое неравное нулю
число, то приходим к выводу, что при
^кр = ^кр У стойки, кроме прямолиней-
прямолинейного состояния равновесия, появилось
сколь угодно много сколь угодно близ-
близких к прямолинейному смежных изо-
изогнутых состояний равновесия. Таким
образом, прямолинейное состояние рав-
равновесия стойки при Ркр = Ркр стало
безразличным, т.е. механически эквива-
эквивалентным состоянию шарика на плоско-
плоскости. А безразличное состояние равновесия, как было установле-
установлено ранее, относится к неустойчивым.
12.2.3. Примененный здесь метод исследования называют
методом Эйлера. Чтобы избежать ошибок при его использова-
использовании и при толковании полученных с его помощью результатов,
необходимо четко понять, что он устанавливает только следую-
следующее.
1. При Р ф Ркр уравнение A2.2.3) при условиях A2.2.5) до-
допускает единственное решение v = 0. Это означает, что в этих
случаях у стойки есть единственное состояние равновесия —
прямолинейное.
2. При Р = РКр у уравнения A2.2.3) кроме тривиального
п гч П7ГХ
решения v = (J появляется множество решении v = Gisin——,
где С\ — любое не равное нулю число. То есть у стойки, кро-
кроме прямолинейного состояния равновесия, появляются смежные
изогнутые состояния.
Никаких сведений о том, является ли прямолинейное состоя-
состояние стойки при Р ф РКр устойчивым или неустойчивым, метод
Эйлера не дает. Об этом можно судить, опираясь на результа-
результаты эксперимента. Простейшие эксперименты показывают, что
при малых сжимающих силах Р < Ркр стойка устойчива. Для
того чтобы в эксперименте сделать силу Р большей, чем Ркр ,
придется принять какие-то меры, чтобы не дать ей изогнуться,
например, поставить промежуточную опору (рис. 12.8). Но, как
12.2
МЕТОД ЭЙЛЕРА
379
только эта опора будет убрана, стойка сразу же начнет сильно
изгибаться. Такое поведение свидетельствует о неустойчивости
ее прямолинейного состояния при Р > Ркр и позволяет заклю-
заключить, что реальной критической силой, при кото-
которой прямолинейное состояние стойки становит-
становится неустойчивым или, другими словами, теряет
устойчивость, является сила
7T2EJZ
A2.2.12)
12.2.4. Следует заметить, что проведенный
здесь анализ основан на использовании соот-
соотношения закона Гука v" = ±MZ/EJZ, которое
справедливо только при малых прогибах. Поэто-
Поэтому С\ <С /, т.е. возмущения малы. Если взять
точное выражение для кривизны (8.6.2), то вме-
вместо уравнения A2.2.3) мы придем к нелинейному
дифференциальному уравнению
+ k2v = 0.
A2.2.13)
Рис. 12.8
[1 + (V J]3/2
Решение этого уравнения можно свести к эллиптическим
функциям Якоби. Представление о множестве решений уравне-
уравнения A2.2.13) дает диаграмма на
плоскости Рг>тах (рис. 12.9), где
^тах — максимальный прогиб
стойки. Прямая ОАВЕ, совпа-
совпадающая с осью Р, соответству-
соответствует множеству прямолинейных со-
состояний стойки. Кривая CAD
определяет множество состояний
стойки, упругая линия которых
имеет одну полуволну, кривая
GBF — две полуволны и т.д. Ес-
Если на этой же диаграмме пока-
показать множество, соответствующее
решениям уравнения A2.2.3), то
оно, кроме прямой О ABE, будет
Рис. 12.9
состоять из показанных пунктиром прямых линий (Р = Ркр ,
Р - РB) ^
г — ^кр , • • • ) •
Как видим, точное и приближенное решения вблизи точек А,
В, .. .близки как кривая с касательной вблизи точки касания.
Поэтому уравнение A2.2.3) при малых прогибах г>тах <С I с до-
достаточной точностью отражает поведение идеальной стойки при
сжатии. Особенности поведения неидеальных (реальных) стоек
380
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
подробно будут обсуждены в разд. 12.6. Здесь же мы, забегая
вперед, укажем, что у реальных стоек при приближении сжи-
сжимающей силы к критическому
значению начинают резко нара-
нарастать прогибы, что и наблюдается
в эксперименте.
12.2.5. Рассмотрим стойки,
по-другому закрепленные. Для
стойки, один конец которой за-
защемлен, а другой — свободен
(рис. 12.10 а), введем систему ко-
координат, связанную со свободным
концом. Тогда отсеченная часть
(рис. 12.10 б"), из условий равно-
равновесия которой исходим, зеркаль-
зеркально совпадет с отсеченной частью
для стойки Эйлера, показанной
на рис. 12.5. Поэтому после анало-
аналогичных рассуждений мы придем
Рис. 12.10
Kp
/EJz
к совпадающему с A2.2.3) уравнению
v" + k2v = 0, к2 = Рк
с тем же общим решением
v = C\ sin kx + C2 cos kx.
Различие здесь в условиях закрепления стойки, из которых
разыскиваются постоянные интегрирования С\, С2- Система ко-
координат на рис. 12.10 выбрана так, что
v@) = 0, v'(l) = 0. A2.2.14)
Последнее условие отражает то, что стойка защемлена и по-
поэтому касательная к ее упругой линии при х = I всегда парал-
параллельна оси х. Эти условия приводят к двум уравнениям
Ci • 0 + С2 • 1 = 0, Cikcoskl - С2к sin kl = 0. A2.2.15)
Из них следует, что изогнутые формы равновесия стойки (С\ ф
Ф 0) существуют при cos kl = 0, т.е. при
77 тг Зтг 2п — 1
-7Г,
A2.2.16)
Отсюда получаем, что
(п) _
—
2п-
EJZ
v = С\ sm
2п -
A2.2.17)
Так же, как и ранее, стойка фактически теряет устойчивость
(равновесие стойки становится безразличным) при наименьшей
12.2
МЕТОД ЭЙЛЕРА
381
из
кр , т.е. при силе (п = 1):
т-> 7Г EJZ
4/2
7T2EJZ
BIJ
A2.2.18)
При этом у стойки, кроме прямолинейной, появляются смеж-
смежные изогнутые равновесные формы, определяемые выражением
кр
R и
\
В
A2.2.19)
Рассмотрим стойку, показанную
на рис. 12.11 а. Один конец
ее защемлен, другой — шар-
нирно оперт. При рассмотрении
равновесия ее отсеченной части
(рис. 12.11 б) необходимо учесть
реакцию R ее верхней опоры, воз-
возникновение которой легко объяс-
объяснить, если, рассматривая равно-
равновесие отсеченной части АВ стой-
стойки, учесть, что кривизна упругой а
линии в точке В, а значит, и из- р
гибающий момент в этом сечении
стойки равны нулю. Тогда условие ^Мс = 0 принимает вид
Mz - PKpv = Rx. A2.2.20)
Так как при выбранной системе координат и положительном
направлении Mz имеет место v" = —Mz/EJZl приходим к урав-
уравнению
v» + k2v = -rx, к2 = PKp/EJz, r = R/EJZ. A2.2.21)
В отличие от A2.2.3) это уравнение неоднородное, и его об-
общее решение состоит из общего решения однородного уравнения
и частного решения неоднородного. Поэтому его можно запи-
записать в виде
v
= С\ sin kx + С2 cos kx — ^x
A2.2.22)
В этом решении, кроме постоянных интегрирования Ci, C2,
неизвестна также величина г (так как неизвестна реакция R).
Поэтому необходимо поставить три условия, отражающие усло-
условия закрепления стойки:
г;@) = 0, v(l) = 0, v'(l) = 0.
A2.2.23)
Из первого условия следует, что С?2 = 0, а два оставшихся усло-
условия приводят к системе линейных алгебраических уравнений
382 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
A2.2.24)
для С\ и г:
С\ sin kl — -^l = О,
r
С\к cos kl — -^- = 0.
k2
Так как система однородна, то возможны два случая.
1. Определитель системы не равен нулю. Тогда систе-
система имеет единственное решение С\ = 0, г = 0, которое означает,
что v = 0, т.е. что стойка имеет в этом случае единственное пря-
прямолинейное состояние равновесия.
2. Определитель системы равен нулю. В этом случае
система имеет ненулевые решения, а ее уравнения линейно за-
зависимы, и, например, из первого уравнения A2.2.24) следует,
что
r = dk2^, где Ci^O.
С учетом этого, а также имея в виду, что С?2 = 0, получаем из
A2.2.22) изогнутую равновесную форму стойки:
v = Ci (зткх - s-^x) (d ф 0). A2.2.25)
Критическая сила определяется из условия равенства нулю
определителя системы A2.2.24):
sin kl — 11к2
к cos kl — г/к2
= 0. A2.2.26)
Раскрывая этот определитель, приходим к уравнению sin kl —
— kl cos kl = 0. Отсюда получаем для определения kl трансцен-
трансцендентное уравнение
tgkl = kl. A2.2.27)
Чтобы получить представление о множестве решений этого
уравнения, заметим, что оно состоит из множества точек пере-
пересечения графиков двух функций аргумента kl
fi=tgkl, f2 = kl,
которые показаны на рис. 12.12. Из рисунка видно, что наимень-
наименьший положительный корень уравнения A2.2.27) немного меньше
Задав его приближенное значение, например (fcZ)o = 4, мож-
можно далее уточнить его с помощью одного из итерационных ме-
методов. Чтобы успешно применить метод простой итерации, до-
достаточно преобразовать уравнение A2.2.27) к виду
kl = тг + arctg kl.
12.2
МЕТОД ЭЙЛЕРА
383
Тогда итерационный процесс принимает вид
(А;/)о = 4, (kl)i = тг + arctg (?;/)г-ъ г = 1, 2,...
Его можно легко реализовать даже на микрокалькуляторе. В
результате быстро придем к искомому решению Ы = 4,49. Тогда,
учитывая, что к2 = PKp/EJZl
получаем
%=kl
tt2EJz
р
кр
P @,7lJ '
A2.2.28)
12.2.6. Сравнивая вы-
выражения A2.2.12), A2.2.18)
и A2.2.28) для критических
сил различным образом за-
закрепленных стоек, замечаем,
что их можно записать в виде
Р = z?|?. A2.2.29)
Формы потерь устойчиво-
устойчивости этих стоек показаны на
рис. 12.13 а, б, в. Видно, что длина /i/, называемая приведенной
длиной, соответствует длине полуволны синусоиды на форме по-
кр
Рис. 12.12
Рис. 12.13
тери устойчивости стойки. Это подтверждается также анализом
критических сил и форм потери устойчивости стоек с промежу-
промежуточными опорами, показанных на рис. 12.13 г, д. Опоры постав-
поставлены так, что могут реализоваться только формы потери устой-
устойчивости A2.2.10) при п = 2 и п = 3. При этом приведенная
длина ill равна соответственно -/ и -/.
Z о
384
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Таким образом, знание приведенной длины /i/, т.е. длины
полуволны синусоиды на форме потери устойчивости стойки,
позволяет подсчитать критическую силу по формуле A2.2.29).
Рассматривая с этой точки зрения стойки, показанные на
рис. 12.13 е, сне, з легко найти для них приведенные длины.
Формула A2.2.29) называется обобщенной формулой Эйлера.
Входящий в нее коэффициент приведения длины /i определяется
условиями закрепления стойки.
12.3. Энергетический метод
12.3.1. Еще Торричелли A644) установил, что положение
системы тел под действием сил тяжести будет устойчивым, ес-
если центр тяжести этой системы занимает наинизшее положение.
Использование понятия энергии позволило Лагранжу обобщить
принцип Торричелли на случай произвольных потенциальных
сил и сформулировать следующий критерий устойчивости со-
состояния равновесия консервативной системы.
Если в некотором состоянии системы ее потенциальная
энергия имеет строгий минимум, то это состояние является
состоянием устойчивого равновесия системы.
Состояния равновесия, в которых потенциальная энергия
системы имеет строгий максимум, являются неустойчивы-
неустойчивыми. Это было доказано A.M. Ляпуновым и Н.Г. Четаевым.
Промежуточный случай, когда потенци-
потенциальная энергия системы в состоянии рав-
равновесия имеет экстремум, не являющийся
ни строгим минимумом, ни строгим макси-
максимумом, пока исчерпывающе не исследован.
Но в нашем случае, когда переход стерж-
стержня из состояния устойчивого равновесия в
неустойчивое определяется одним парамет-
параметром — сжимающей силой, такое промежу-
промежуточное состояние будет критическим, а си-
сила, при которой оно возникает, явится кри-
критической силой.
Проанализируем с точки зрения кри-
критерия Лагранжа прямолинейное состояние
стойки Эйлера. Потенциальную энергию в
этом состоянии обозначим через Эо- Срав-
Сравним прямолинейное состояние со смежным
изогнутым состоянием, в котором стойка получила прогиб v(x)
(рис. 12.14).
Энергию стойки в изогнутом состоянии обозначим через Эх.
Прямолинейное состояние стойки будет устойчивым, если для
Рис. 12.14
12.3 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 385
любых v(x) его энергия Эо строго меньше Эх, т.е. если
АЭ = Э1-Э0 >0. A2.3.1)
По сравнению с прямолинейным состоянием в изогнутой
стойке накопилась потенциальная энергия изгиба П. Но за счет
изгиба стойки точка приложения сжимающей силы Р опусти-
опустилась на величину А. И так как сила Р совершила при этом ра-
работу А = РА, то ее потенциальная энергия уменьшилась на ве-
величину А. Поэтому изменение потенциальной энергии системы
стойка-сила равно
ДЭ = П-А A2.3.2)
Таким образом, прямолинейное состояние стойки устойчиво,
если для любых малых прогибов v(x), определяющих смежное
состояние, выполняется условие
АЭ = П-А>0 A2.3.3)
или, что равнозначно, условие
П > А. A2.3.4)
12.3.2. Найдем, как связаны П и А с прогибом v(x). Потен-
Потенциальная энергия деформации равна (п. 8.7.6)
тт ! Г мz
П=2 J ETz
Чтобы перейти в этом выражении к прогибам г;(ж), вспомним
(п. 8.6.1), что при малых прогибах при изгибе имеет место соот-
соотношение закона Гука v" = ±MZ/EJZ. Поэтому
П = ±f EJz(v"Jdx. A2.3.5)
i
Для определения работы А необходимо найти укорочение
стойки А, которое образуется за счет того, что при изгибе стой-
стойки каждый ее элемент dx поворачивается на угол а (см. рис.
12.14) и поэтому его проекция на ось х станет короче на вели-
величину d\ = dx — dx cos a.
Так как угол а мал, то cos а « 1 — -a2, tg a « а. Но tg a = v'\
поэтому d\ = -(v1J dx.
Тогда
А= J dX = ±f(vfJdx. A2.3.6)
l l
13 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
386 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
Таким образом,
ДЭ = I Г EJz(v"f dx - ? Г (г/J dx. A2.3.7)
2 J 2 J
I I
Величина АЭ определяется формой функции v(x) и математи-
математически является функционалом. Для решения вопроса об устой-
устойчивости состояния необходимо рассмотреть всевозможные фор-
формы г;(ж), т.е. всевозможные смежные (возмущенные) состояния
стойки. Ясно, что АЭ больше нуля, когда больше нуля его ми-
минимальное значение. Так как минимум необходимо искать на
множестве всевозможных функций г;(ж), то мы приходим к стан-
стандартной задаче вариационного исчисления о поиске стационар-
стационарного значения функционала АЭ, которая сводится к условию
E(АЭ) = 0, где 6 означает вариацию.
Мы здесь не предполагаем рассматривать полную вариа-
вариационную формулировку задачи об устойчивости, но читатель
самостоятельно может убедиться, что уравнение Эйлера для
функционала A2.3.7) сводится к дифференциальному уравне-
уравнению A2.2.3) с граничными условиями A2.2.5). Таким образом,
энергетический метод приводит к тем же результатам, что и ме-
метод Эйлера. Но он позволяет судить об устойчивости прямоли-
прямолинейного состояния стойки. Непосредственной проверкой можно
убедиться, что при г;(ж) = С sm(irx/l) и при Р < Ркр = tt2EJz/12
имеет место АЭ > 0, т.е. состояние стойки устойчиво, а случаю
Р > Ркр соответствует АЭ < 0, и поэтому ее состояние неустой-
неустойчиво.
12.3.3. Возможен и другой ход рассуждений, основанный
на том, что признаком критического состояния является условие
АЭ = 0. Из него с учетом A2.3.7) получаем
fEJz(v"Jdx
P=l п М2 . • A2.3.8)
I
Из выражения A2.3.8) видно, что каждой функции г;(ж) соот-
соответствует свое значение Р. Поэтому это выражение для Р мож-
можно также рассматривать как функционал, и тогда задача опре-
определения критической силы сводится к определению минимума
этого функционала. Таким образом, Ркр = min(P). А функцию
г;(ж), для которой достигается min(P), находим из необходимо-
необходимого условия минимума SP = 0. Получающееся из этого условия
уравнение Эйлера для функционала A2.3.8) снова может быть
сведено к уравнению A2.2.3) с условиями A2.2.5).
Казалось бы, ничего нового такой подход не дает. Но следует
вспомнить, что функция и функционал вблизи своего экстрему-
экстремума (если он достигается не в угловой точке) изменяются слабо.
12.3 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД 387
Это свойство позволяет получать на основе выражения A2.3.8)
приближенные значения РКр, задаваясь функциями v(x), близ-
близкими по форме к той функции г;(ж), которой соответствует Ркр =
= min (P). Причем по самому смыслу минимума приближенные
значения критической силы окажутся несколько больше точного
значения. Это можно объяснить также и из физических сообра-
соображений. Ведь при потере устойчивости форма v(x) изогнутой оси
стойки образуется в условиях, когда изгиб ее ничем не стеснен.
Изгиб же стойки по другой форме v(x) уже не будет свободным,
для его реализации на стойку необходимо наложить дополни-
дополнительные связи, за счет которых жесткость стойки повышается
и критическая сила увеличивается.
Если для стойки Эйлера (стойки с шарнирно закрепленны-
закрепленными краями) задать в качестве v(x) полученную методом Эйле-
Эйлера форму потери устойчивости v(x) = CsmGnr//), то форму-
формула A2.3.8) даст после несложных вычислений точное значение
^кр = тг2EJz/l2. Зададим теперь форму потери устойчивости
приближенно в виде отрезка квадратичной параболы v(x) =
= Сх{1 — ж), выбранного так, чтобы удовлетворялись условия
закрепления v@) = v(l) = 0. Формула A2.3.8) даст нам прибли-
приближенное значение Ркр = 12EJz/l2. Ошибка около 20% является
следствием довольно грубого приближения, не учитывающего,
что из-за шарнирного закрепления стойки изгибающие момен-
моменты на ее концах также обращаются в нуль. Чтобы учесть это,
зададим функцию v(x) так, чтобы она удовлетворяла условиям
гт(О) = Щ = 0, Mz@) = Mz(l) = 0.
Последние условия, учитывая, что Mz = ±EJzv/f, равносильны
условиям
Чтобы последние условия были удовлетворены, зададим
v"(x) = Cx(l-x).
Отсюда после двукратного интегрирования получаем
v{x) = С (Lxs - ^ + С1Х + С2) . A2.3.9)
Постоянные интегрирования С\ и С2 определим из условий
v@) = v(l) = 0. Первое из них дает, что С2 = 0. Из второго
условия получим С\ = — j^l3- С учетом этого после подстановки
-| па
——
-| па тр т
выражения A2.3.9) в формулу A2.3.8) находим Ркр = —— —^ =
тр т
= 9,88—^, что отличается от точного значения только в третьем
знаке.
13*
388
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Разобранный пример подтверждает, что при удачной аппрок-
аппроксимации формы потери устойчивости стойки формула A2.3.8)
позволяет достаточно точно оценить критическую силу. Это осо-
особенно важно для тех случаев, когда метод Эйлера приводит к
громоздким вычислениям или к дифференциальному уравне-
уравнению, не имеющему точного решения.
12.3.4. Среди связей, которые накладывают опорные
устройства, наиболее распространены следующие.
1. Запрещается прогиб сечения х = жо, т«е.
v(x0) = 0. A2.3.10)
2. Запрещается поворот сечения х = жо, т«е.
v'(x0) =0. A2.3.11)
Альтернативными этим условиям являются соответственно
такие:
1. Разрешается свободный прогиб сечения, т.е. отсутствует
поперечная сила, равная реакции связи,
Qy(x0)=0. A2.3.12)
Так как dMz/dx = Qy, a Mz = ±EJzv/f, то это условие при
EJZ = const равносильно условию
v'"(x0) = 0. A2.3.13)
2. Разрешается свободный поворот сечения х = жо, т.е.
Mz(x0) = 0, A2.3.14)
что равносильно условию
v" (х0) = 0. A2.3.15)
Защемление
X
-'
/
/
/
у@)=0
у'@)=0
Шарнирное
закрепление
**
- /
/
1
1
1
i;@) = 0
Mz@) = 0
(^"@)=0)
Рис.
Свободный
конец
X
V
Mz@) = 0
(i;"@) = 0)
12.15
Скользящее
защемление
X
Qy(O)=o
(,'"@)=0)
Условия г;(жо) = 0, v'(xq) = 0 часто называют кинематиче-
кинематическими, а условия Mz(xq) = 0, Qy(xo) = 0 и следующие из них:
12.3
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
389
= 0, v'"(xq) = 0 называют статическими (т.е. силовы-
силовыми). На рис. 12.15 показаны различные варианты закрепления
конца стойки и соответству-
соответствующие им условия.
Возможны и более слож-
сложные опорные устройства.
Например, на рис. 12.16
показано упругое опирание |WW
конца стойки на пружи-
пружину жесткости к. Тогда про-
прогиб v конца стойки сопрово-
сопровождается появлением упру-
упру= Qy=kv
Рис. 12.16
гой реакции R = kv. Но R = Qy@I а для выбранных осей
координат и положительных направлений Qy и Mz дифферен-
дифференциальное соотношение и закон Гука имеют вид dMz/dx = — Qy
и Mz = EJzv". Поэтому это условие сводится к следующему:
kv@)+EJzv"@) =0.
12.3.5. Удовлетворительную для практики оценку крити-
критической силы для стойки можно получить, если в качестве функ-
функции, аппроксимирующей форму потери устойчивости стойки,
выбрать удовлетворяющий кинематическим и
статическим условиям закрепления многочлен
минимальной степени. Рассмотрим пример
определения Ркр с помощью такого многочле-
многочлена.
Пример 12.1. Для стержня, показанного
на рис. 12.17, условиями закрепления будут
v@) = 0, г/@) = 0, v(b) = 0,
Mz(l) = 0, Qy(l) = 0. A2.3.16)
Последние два из этих условий являются
статическими и сводятся к следующим:
кр
Н-г
V"{1) = 0, v'"(l) = 0.
A2.3.17)
Рис. 12.17
Поскольку форма потери устойчивости
определяется только с точностью до постоянно-
постоянного множителя, многочлен, удовлетворяющий этим пяти услови-
условиям, должен содержать по крайней мере шесть коэффициентов,
т.е. это будет многочлен пятой степени:
v(x) =
390
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Условия закрепления дают следующие уравнения для опре-
определения коэффициентов этого многочлена:
v@) = 0 : а0 = 0,
г/@) = 0 : ai = 0,
v(b) = 0 : a2b2 + a3b3 + a4fr4 + афъ = 0,
г/'(/) = 0 : 2а2 + 6а3/ + 12а4/2 + 20а5/3 = 0,
v"'(l)=0: 6а3 + 24а4/+ 60а5/2 = 0.
Последние три уравнения составляют систему трех линейных
уравнений для четырех коэффициентов а2, аз, а4, а§. Она позво-
позволяет три из этих коэффициентов, например, аз, а4, а5, выразить
через четвертый — а2. Для этого систему запишем в виде
За3/ + 6а4/2 + 10а5/3 = -а2,
а3/ + 4а4/2 + 10а5/3 = 0.
Последнее уравнение для упрощения вычислений домножено
на /. Дальнейшие вычисления проведем для b = -I. По правилу
Крамера получаем
Ai
А2 Аз
где А — определитель системы, а определители Ai, А2 и Аз
имеют вид
-1
-1
0
1
4
6
4
1
8
10
10
I-1
3 -1 10
1 0 10
23
i i-1
3 6-1
1 4 0
121
Подсчеты дают: А = ^/6, Дх = -18/5, А2 = i|i/4, A3 =
После простых преобразований получаем многочлен
v(x) = с(№3х2 - 1Ш2х3 + 1211хА - 34ж5), с = ^.
8А
Легко проверить, что он удовлетворяет всем условиям за-
закрепления A2.3.16), A2.3.17). Использовав этот многочлен для
12.3
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД
391
оценки по формуле A2.3.8), получаем
jEJz{v"Jdx
f(v'Jdx
= 7,26^.
Рис. 12.18
Точное значение критической силы: Ркр = &,22EJz/l2.
Вычисления в этом примере можно упростить, задав много-
многочлен так, чтобы он сразу удовлетворял пер-
первым трем условиям A2.3.16):
v(x) = сх2(х — Ь)A + ах + /Зх2).
Здесь учтено, что при х = 0 и х = b мно-
многочлен должен обратиться в нуль, т.е. эти
точки являются корнями многочлена. Легко
проверить и что возведение в квадрат пер-
первого сомножителя обеспечивает также вы-
выполнение условия ^'(О) = 0.
Коэффициенты а и /3 определяются из
условий A2.3.17).
Пример 12.2. Эффективность энер-
энергетического подхода становится особенно за-
заметна для стоек с непостоянной жесткостью
и сложной нагрузкой. Рассмотрим стойку,
показанную на рис. 12.18. Если задано возмущение v(x), то при-
приращение потенциальной энергии изгиба этой стойки равно
b l
П = I J EJ{v"J dx = \$ EJ2{v"J dx + ±f EJ^v"J dx.
I 0 b
i и Х2 опускания при возмущении точек при-
э2. Тогда эти силы совершают работу
А = Р1\1+Р2\2.
Но Ai образуется за счет поворота при возмущении v(x) всех
элементов dx стойки, а А2 — только элементов на участке от
заделки до промежуточной опоры, т.е.
l b
о о
В критическом состоянии П = А, поэтому
Обозначим через
ложения сил Р± и
тэ о
А кр — —
f(v'Jdx+Q-f(v'Jdx
о по
A2.3.18)
392
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Для приближенного задания формы потери устойчивости
можно принять многочлен, удовлетворяющий условиям закреп-
закрепления стойки
v@) = 0, г/@) = 0, v(b) = 0, v(l) = 0, v'{l) = 0.
Используя прием, указанный в конце предыдущего примера, та-
такой многочлен можно выписать сразу:
v(x) = cx2(x — Ь)(х — IJ.
Если задать Ъ = 0,5/, Р\ = Р2, J2 = 2Ji, то пос-
после подстановки v(x) в A2.3.18) и вычислений по-
получим
/
Пример 12.3. Рассмотрим устойчивость
стержня постоянного сечения под действием
собственного веса. Эта задача сводится к опре-
определению критического значения интенсивности
q равномерно распределенной сжимающей
продольной нагрузки (рис. 12.19). Решение
этой задачи методом Эйлера приводит к диф-
дифференциальному уравнению с переменными
коэффициентами, которое можно проинтегрировать с помощью
бесселевых функций. В результате придем к решению:
Рис. 12.19
qKp =
При использовании энергетического под-
подхода учтем, что потенциальная энергия
изгиба стойки при возмущенном прогибе
v(x) равна
П=1 Г EJ{v"fdx.
2 J
Нагрузка q совершает при возмущении
стойки работу, для подсчета которой рас-
Рис. 12.20 смотрим эту нагрузку как совокупность
сил, действующих на элементах dx. Од-
Одна из таких сил, действующая на элементе с координатой х
(рис. 12.20), совершает работу dA на укорочении Х(х) длины
стойки ж, образовавшемся за счет поворота ее элементов на этой
длине. Поэтому
х
= qdx- X(x) =qdx-\ Г
2 J
12.4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ 393
Тогда работа всей нагрузки будет
А=
О 0^0
Зададим аппроксимирующую функцию возмущенного про-
прогиба в форме
v(x) = c\l -cos— J .
Нетрудно видеть, что эта функция удовлетворяет условиям
v@) = 0, v'@) = 0, v"(l) =0.
Условие Q(l) = 0 не удовлетворяется, так как v'"(l) ^ 0. Но,
несмотря на это, из условия, что в критическом состоянии П =
= А, получаем после простых вычислений
jEJ(v"Jdx
829f
= 8,29^.
О \0 /
Читатель может в качестве упражнения подобрать много-
многочлен, удовлетворяющий всем кинематическим и статическим
условиям на концах стойки. Использование такого полинома
приводит к результату gKp = 8,03i?J//3.
12.4. Расчеты на устойчивость за пределами
пропорциональности
12.4.1. При получении критических нагрузок как мето-
методом Эйлера, так и энергетическим методом предполагалось,
что деформации стойки удовлетворяют закону Гука. К сожа-
сожалению, большинство реальных стоек имеют такие размеры, что
критические напряжения акр1 соответствующие подсчитанным
по формуле Эйлера A2.2.29) критическим нагрузкам Ркр =
= 7i~2i?J/(/iZJ, превышают предел пропорциональности матери-
материала сгПц, т.е. сгкр > сгПц. Поэтому для таких стоек формула Эйле-
Эйлера неприменима. Для дальнейшего удобно пользоваться форму-
формулой для критических напряжений, которая получается после де-
деления формулы Эйлера на площадь поперечного сечения стой-
стойки:
<хКр = ^, где акр = ^; А = /л1^. A2.4.1)
Введенный здесь безразмерный параметр А зависит только
от геометрических размеров стойки и условий ее закрепления.
394
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Он называется гибкостью стойки, так как чем он больше, тем
легче изогнуть стойку. Необходимо заметить, что, вообще гово-
говоря, гибкость стойки при изгибе ее в главных плоскостях ху и xz
различна, так как могут быть различны главные центральные
моменты инерции Jz и Jy и условия закрепления при изгибе в
разных плоскостях. Так, для стойки, показанной на рис. 12.21,
Jz > Jy, в т0 же время при изгибе в плоскости ху концы стойки
закреплены шарнирно и поэтому \i = 1; при изгибе же в плос-
плоскости xz концы стойки защемлены, поэтому /i = 0,5. Стойка
потеряет устойчивость, изгибаясь в той
\ р \ р плоскости, где гибкость больше. Поэто-
Поэтому в формуле A2.4.1) нужно в каче-
качестве параметра гибкости принимать наи-
наибольшую из двух величин 1 • ly/FУ Jz и
f
Формулу A2.4.1) также называют
обобщенной формулой Эйлера. Она при-
применима, если
<хкр < <хПц. A2.4.2)
Igr—г Это условие более подробно можно запи-
сать в виде
Рис. 12.21
А2
упц«
A2.4.3)
Поэтому условие A2.4.2) можно заменить равносильным
условием
A2.4.4)
Здесь Апц — минимальная гибкость, при которой еще можно
пользоваться формулой Эйлера.
Условием A2.4.4) удобно пользоваться при практических
расчетах, так как гибкость А = iily/F/J определяется конструк-
конструктивными параметрами стойки и может быть легко подсчитана.
Стержни, гибкость А которых больше Апц, т.е. для расчета ко-
которых можно использовать формулу Эйлера A2.4.1), называют
стойками большой гибкости.
Методы расчета на устойчивость стержней, гибкость кото-
которых А меньше, чем Апц (т.е. стержней, к которым неприменима
формула Эйлера), развивались, начиная с последней четверти
XIX века, по двум направлениям. Первое направление — назо-
назовем его эмпирическим — основывалось на обобщении экспери-
экспериментальных данных. Второе направление — теоретическое —
составили попытки обобщить на неупругие деформации метод
12.4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ 395
Эйлера. Нам кажется интересным проследить, как оба этих на-
направления объединились, наконец, в едином подходе.
12.4.2. Первые корректные опыты по определению крити-
критических нагрузок сжатых стержней были проведены И. Баушин-
гером в 1886 г. В этих опытах впервые особое внимание было
обращено на реализацию шарнирного закрепления концов стой-
стойки и совпадение линии действия сжимающей силы с осью образ-
образца. Эти опыты были дополнены и обобщены Л. Тетмайером в
1890 г. Эксперименты проводились над образцами из малоугле-
малоуглеродистой стали. Нанося результаты экспериментов на плоскость
<тКрА, Тетмайер приходит к следующим выводам.
1. Для большой гибкости, т.е. при А ^ Акр, формула Эйлера
удовлетворительно согласуется с экспериментальными данны-
данными. На рис. 12.22 это уча-
участок АВ квадратичной ги-
гиперболы Эйлера сгкр =
= тг2ЕуА2, показанный
сплошной линией. Пункти-
Пунктиром показан тот участок
АС гиперболы Эйлера, ко-
который не согласуется с экс-
экспериментом.
2. Для стоек из пла-
пластичного материла кри-
D
w *
К
L
А а*
<тк
Рис. 12.22
тические напряжения икр
ограничены сверху пределом текучести материала, т.е. акр
На рис. 12.22 этой границей является прямая <ткр = <тт.
При-
Причем <тКр = <тт для очень коротких стоек, т.е. для стоек с очень
малой гибкостью. Это наблюдается при испытании на сжатие
коротких цилиндрических образцов, в процессе текучести кото-
которых не происходит изгиба образца, а он в результате пластиче-
пластических деформаций принимает бочкообразную формулу (п. 3.2.4,
рис. 3.12). Из экспериментов установлено, что такая деформа-
деформация характерна для стальных стоек, гибкость которых не пре-
превышает величины Ат~0,2Апц (участок DF на рис. 12.22). Такие
стойки будем далее называть стойками малой гибкости. Как
показали дальнейшие эксперименты со стойками из других пла-
пластичных металлов, величина Ат вполне укладывается в пределы
0,2 -=- 0,4Апц. При отсутствии точных экспериментальных дан-
данных при расчетах обычно принимают Ат = 0,2Апц, обеспечивая,
таким образом, некоторый запас по устойчивости.
3. На участке между точками F и А для стоек средней гиб-
гибкости (Ат < А < 0,2Апц) Тетмайер предложил аппроксимировать
зависимость <ткр(А) прямой линией FA:
акр = а - Ь\. A2.4.5)
396
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Коэффициенты а и b в этой зависимости можно получить с по-
помощью выражения для прямой линии, проходящей через точки
F и А, с координатами (Ат,сгт) и (АПц,сгПц)
Ckd — сгт А — Ат
Это соотношение сразу следует и из подобия треугольников FGI
и FAK. Приведя его к форме A2.4.5), получим
Ъ =
<7Т — <7пп
а =
АПц
= <7Т
= <7
пц
ХПЦЬ.
Таким образом, предложение Тетмайера по определению
критических напряжений сводится к тому, что зависимость
^кр(А) определяется ломаной линией DFGAB, или, что одно
и то же, эмпирической формулой
при
при
при
пц,
A2.4.6)
— ) а — ЬХ при Ат < А < А
тг2Е
При практических расчетах удобно изобразить диаграмму
^кр(А), определяемую формулой A2.4.6), на миллиметровой бу-
бумаге.
Обратим внимание на тот факт, что для построения этой
диаграммы нужно знать только следующие характеристики ма-
материала стойки: Е, сгПц, сгт.
При наличии диаграммы сгкр(А) расчет критических напря-
напряжений для конкретной стойки сводится к определению ее гиб-
гибкости А = iilyF/J по конструктив-
конструктивным параметрам стойки и к снятию
с графика критических напряжений
сгкр, соответствующих подсчитанной
гибкости А.
12.4.3. Теоретические исследо-
исследования устойчивости сжатых стерж-
стержней за пределами пропорционально-
пропорциональности развивались по пути учета в рас-
рассуждениях метода Эйлера реальной
диаграммы напряжений cr{s) матери-
материала. Напомним, что при напряжени-
напряжениях выше сгПц зависимость деформа-
деформаций от напряжений определяется тем,
растут эти деформации или убыва-
убывают. На рис. 12.23 показана диаграм-
диаграмма сг(е) при сжатии. Если при напряжениях, соответствующих
точке Л, деформация растет, т.е. происходит догрузка, то напря-
О
Рис. 12.23
12.4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ 397
жения растут по кривой АВ. При малом увеличении деформа-
деформаций Ае изменение напряжений Асг в этом случае можно описать
с помощью так называемого касательного или тангенциального
модуля
Ет = ^. A2.4.7)
Тогда Асг = ЕтАе.
Если же деформации убывают, то напряжения изменяются
по закону разгрузки АС. Тогда, учитывая, что разгрузка про-
происходит по закону упругого модуля (участок АС параллелен
участку закона Гука СШ), имеет место связь
Асг = ЕАе.
Ф. Энгессер A889), рассматривая неупругое поведение стой-
стойки методом Эйлера, предположил, что все продольные волокна
при возмущениях работают по закону касательно-
касательного модуля. Так он пришел к формуле [р
A2.4.8)
^кр д2 '
которая отличается от формулы Эйлера только
тем, что в ней упругий модуль Е заменен каса-
касательным Ет.
Ознакомившись с работой Ф. Энгессера, круп-
крупный русский инженер и ученый Ф.С. Ясинский
A895) обратил внимание на имеющиеся в ней
неточности. Он указал, что при возмущении, так
как сжимающая сила постоянна (!), рост напря-
напряжений за счет изгиба в волокнах на вогнутой сто-
стороне стержня (волокна В на рис. 12.24) неизбежно рис. 12.24
должен сопровождаться их уменьшением на вы-
выпуклой стороне (волокна С). Таким образом, часть волокон бу-
будет испытывать догрузку и их поведение при этом подчиняется
закону касательного модуля, а часть волокон — разгружается
и подчиняется закону упругого модуля. Распределение напря-
напряжений по сечению в возмущенном состоянии для этого случая
показано на рис. 12.25 а. Энгессер, ознакомившись с этими за-
замечаниями, учел их и пришел A898) к формуле
^кР = ^К A2.4.9)
Здесь Еир — приведенный модуль — осредненный по сечению
модуль упругости.
Так как Ет < Еир < Е, то формула A2.4.9) дает завышенные
по сравнению с формулой касательного модуля A2.4.8) крити-
критические напряжения. При этом сложилась парадоксальная ситуа-
ситуация, когда казалось бы необоснованная формула A2.4.8) лучше
398
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
Р + АР
согласовывалась с экспериментальными данными, чем формула
A2.4.9). Причина этого была объяснена в 1946 г. американским
инженером Шенли. Критически пересмотрев рассуждения Эй-
Эйлера, Шенли обратил внимание на то, что в них не учитывается
возможность возмущений АР
продольной силы. Если счи-
считать, что поперечное возму-
возмущение сопровождается одно-
одновременным ростом продольной
силы, то становится возмож-
возможным такое возмущение стой-
стойки, при котором все ее про-
продольные волокна догружаются
(рис. 12.25 б). Тогда получа-
получает обоснование формула каса-
касательного модуля
тг2Ет
и
II
PIF
PIF
Л2
Рис. 12.25
^ Эта ситуация очень убедитель-
убедительно показывает инерционность
человеческого мышления. По-
Почти полвека оказалось необхо-
необходимо, чтобы расширить традиционный для метода Эйлера класс
возмущений и, кроме изгибных возмущений при постоянной
сжимающей силе, рассмотреть те же изгибные возмущения, но
с переменной силой.
12.4.4. Формула касательного модуля A2.4.8) фактиче-
фактически является уравнением, т.е. касательный модуль Ет является
функцией критических напряжений <ткр. Поэтому ее для боль-
большей наглядности можно записать в форме
При практических расчетах, чтобы избежать решения это-
этого уравнения, строят, исходя из диаграммы а{е) материала,
диаграмму сгкр(Л). Предварительно на основе диаграммы а(е)
(рис. 12.26 а) строят диаграмму Ет(а) (рис. 12.26 б). Для
этого в точке А диаграммы сг(е) определяют Ет = da/de =
= Аа/Аб и строят соответствующую точке А точку А' на диа-
диаграмме Ет(а). Затем определяют координаты соответствующей
точки А" на диаграмме сгкр(А) (рис. 12.26 в): акр = сг(А), А =
= тг л/Ет (А) /<ткр (А). Таким путем можно для каждой точки на
диаграмме а{е) найти соответствующую точку на диаграмме
сгкр(А). Если же диаграмма сгкр(А) построена, то определение
критических напряжений сводится к подсчету гибкости стойки
12.4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ 399
А = [dyjEjJ и нахождению для нее по диаграмме сгкр(А) соот-
соответствующей величины сгкр.
Читатель уже, по-видимому, заметил, что для построения
диаграммы <ткр(А) нужна только диаграмма о {в) материала, из
которого выполнена стойка. Таким образом, ситуация принци-
принципиально та же, что и при построении диаграммы сгкр(А) по Тет-
майеру (см. рис. 12.22), только здесь мы используем информа-
информацию обо всей кривой <т(б), а не об отдельных ее точках и участ-
участках.
о(А)
ЕТ(А)
а(А)
а(А)
Х(А) А,пц
Рис. 12.26
12.4.5. По аналогии с запасом прочности при расчетах
стержней на устойчивость вычисляют или задают запас устой-
устойчивости
% = ^ = ^, A2.4.10)
здесь Р — сила, сжимающая стержень; а = P/F — напряжения
от этой силы.
Если запас устойчивости пу задан, то допускаемую сжимаю-
сжимающую нагрузку и напряжение от нее вычисляют как
[Р] = ^Е [а] = ?!Ф. A2.4.11)
400 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
Пример 12.4. Для стоек, один конец которых защем-
защемлен, а другой — шарнирно оперт (см. рис. 12.13 в), определить
допускаемую сжимающую силу, принимая запас устойчивости
пу = 2,5. Стойки выполнены из двутавра № 12. Материал сто-
стоек — малоуглеродистая конструкционная сталь со следующими
характеристиками: Е = 2,1 • 105 МПа, апц = 210 МПа, ат =
= 240 МПа. Рассмотрим две стойки, одну длиной / = 2,3 м, а
другую — / = 1,5 м. Сечение стойки по сортаменту (с. 529) име-
имеет следующие геометрические характеристики: F = 14,7 см2,
«Лшп = Jy = 27,9 см4, %у = yJJy/F = 1,38 см.
Гибкость первой стойки А = iily/F/ Jy = /J>l/iy = 0,7 х
х 230/1,38 = 117; гибкость второй стойки А = 0,7-150/1,38 = 76.
Минимальная гибкость, при которой можно применять форму-
формулу Эйлера, равна Апц = тг^/Е/аиц = 3,14л/2,1 • 105/210 « 100.
Поэтому критическую силу для первой стойки можно подсчи-
подсчитать по формуле Эйлера
и _ 7T2EJ = 3,14-2,1-105 • 106 • 27,9 • 10~8 = 71 . Ю3 Н = 71 кН
Тогда [Р] = Ркр/% = 71/2,5 = 28,4 кН.
Для второй стойки А < Апц, поэтому формула Эйлера для
нее неприменима. Данные для материала позволяют провести
расчет по линейной формуле Тетмайера A2.4.5). Приняв Ат =
= 0,ЗАпц = 30, получаем для нее (п. 12.4.2):
_ сгтАпц - сгпцАт _ 240 • 100 - 210 • 30
п ~ Апц-Ат " 100^30
Ь = °т ~ а"ц = ^ = 0,43 МПа.
АПц Ат 7U
Тогда для второй стойки: акр = а-ЬХ = 253-0,43-76 = 220 МПа;
^кР = (TkPF = 220 • 106 • 14,7 • Ю-4 = 323 кН; [Р] = Ркр/% =
= 323/2,5 = 129 кН.
Проведенный расчет по своей структуре аналогичен расче-
расчету допускаемой нагрузки из условия прочности. Дадим пример
проектировочного расчета на устойчивость.
Пример 12.5. Стойка с защемленными концами, выпол-
выполненная из той же стали, что и в предыдущем примере, имеет
длину 1 м и нагружена силой 30 кН. Определить размер С ква-
квадратного сечения, обеспечивающего запас устойчивости пу = 3.
Основная трудность такого расчета в том, что неизвестно,
какой из трех расчетных формул A2.4.6) нужно пользоваться.
Оценим С по первой из них: акр = ат. Тогда
F = С2 = Рпу/ат = 30-103-3/B40-106) = 0,375-103 м2 = 3,75 см2.
12.4 УСТОЙЧИВОСТЬ ЗА ПРЕДЕЛАМИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ 401
Гибкость стойки А = [d^FjJ = 0,5 • 100 • 1,79 = 90. Так как
А > Ат, то такой расчет неверен. Поэтому воспользуемся фор-
формулой Тетмайера акр = а — ЬХ. Для материала стойки, как под-
подсчитано в предыдущем примере, акр = B53 — 0,43А) МПа. По-
Поскольку
А = ulyJYfj = 0,5 • 1л/12/С2 = 1,73/С,
'кр
нению
сгКр = Pny/F — Рпу/С2 = 30 • 3/С2 кН, то приходим к урав-
Решая это квадратичное уравнение, получим С = 2,05 см.
Соответствующая гибкость равна А = 84,5. Это удовлетворяет
условию применимости линейной формулы Тетмайера (Ат < А <
< Апц). Значит, расчет верен.
При использовании в проектировочном расчете диаграммы
<тКр(А), построенной в соответствии с формулой касательного
модуля, приходится вычислять несколько приближений, так как
аналитическое выражение сгкр(А) отсутствует. Можно также по-
получить решение графически, подобно тому, как это сделано ни-
ниже, в примере 12.6.
12.4.6. При расчете строительных конструкций допускае-
допускаемые напряжения [а]с для стержневых элементов, работающих
на сжатие, рассчитывают с помощью коэффициента снижения
допускаемого напряжения ср по формуле
[а]с = ^^?р?. A2.4.12)
Здесь п — запас прочности, а сгпред.с — предельное напряжение
для материала стойки при сжатии. Для пластичных материалов
оно равно пределу текучести атс. Значения ср в зависимости от
материала и гибкости А задаются в Строительных нормах и пра-
правилах (СНИП) таблицами. На рис. 12.27 на основе этих таблиц
построены графики ц>(\) для некоторых металлов. Величины
<р(А) определяются на основе диаграмм сгкр(А).
Пример 12.6. Проведем проектировочный расчет стойки
круглого сечения, два конца которой защемлены. Стойка нагру-
нагружена силой Р = 20 кН, ее длина I = 1 м, и выполнена она из
дюралюминия Д16Т (ат = 314 МПа). При расчете обеспечим
запас устойчивости пу = 2.
Расчет удобно производить графически. Для этого, учиты-
учитывая, что [а]с = P/F = 4Р/(тгс/2), получим из формулы A2.4.12)
d = л/0,16/A03(^). В то же время гибкость А = /jI^F/J = 2/d,
так как /i=-,/ = l, J = тгс/4/64. Из этих двух соотношений
исключим d и получим (р = (А/158J. График этой зависимости
402
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
показан на рис. 12.27 штриховой линией. Точка его пересече-
пересечения с заданным СНИП графиком зависимости <р(\) для Д16Т
50 100 150 X 200
7-сталь СтЗ, Ст4; 2-сталь стт=400МПа; 3-D16T
Рис. 12.27
и определит гибкость А = 82 искомой стойки. Диаметр сечения
стойки равен d = 2/А = 0,0244 м = 24,4 мм.
12.5. Об устойчивости деформированного состояния
12.5.1. Рассмотренные задачи об устойчивости являются
простейшими. В них исследован простейший по форме объект —
прямолинейный стержень, находящийся под действием нагру-
нагрузок в простейшем напряженно-деформированном состоянии —
центральном сжатии. Само же явление потери устойчивости де-
деформированного состояния относится к числу самых сложных
в механике и может проявиться при работе конструкции самым
неожиданным образом. Ниже да-
дадим понятие о некоторых более
сложных случаях потери устойчи-
устойчивости.
12.5.2. Консольный стержень,
который изгибается приложенной
к его концу силой, также может по-
потерять устойчивость. Это выразит-
выразится в том, что с какого-то момента
изгиб в плоскости действия нагруз-
нагрузки (прямой изгиб) начнет сопро-
сопровождаться изгибом в другой плос-
плоскости и кручением. Особенно на-
наглядно это явление можно наблю-
наблюдать на примере изгиба плоской полосы (рис. 12.28). Читатель
вполне может самостоятельно провести такой эксперимент, пы-
пытаясь изогнуть плоскую металлическую (слесарную) линейку
Рис. 12.28
12.5 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 403
«на ребро», т.е. в плоскости наибольшей жесткости. Для этого
один конец линейки можно закрепить в тисках. В этом случае
происходит потеря устойчивости прямого изгиба в плоскости ху
(см. рис. 12.28), в результате чего и появляется изгиб в плоско-
плоскости xz и кручение. Многочисленные примеры подобной потери
устойчивости стержней рассмотрены, например, в книгах [3, 11,
12, 9, 13].
12.5.3. Для бруса, образующего круговое кольцо, можно
наблюдать потерю устойчивости при сжатии его равномерной
нагрузкой. Причем он может терять устойчи-
устойчивость, изгибаясь в плоскости кольца, как пока-
показано пунктирной линией на рис. 12.29. Но ес-
если жесткость кольца на изгиб в его плоскости
велика по сравнению с жесткостью на изгиб
из плоскости (кольцо по форме близко к плос-
плоской шайбе), то такое кольцо может потерять
устойчивость, прогнувшись из плоскости, т.е.
перестав быть плоским кольцом (рис. 12.30). ис'
Длинная тонкостенная труба (цилиндрическая оболочка) под
внешним давлением может потерять устойчивость так же, как
кольцевой стержень на рис. 12.29. Если дли-
длина трубы значительно больше ее радиуса, то
можно не учитывать влияние ее концов на де-
деформацию средней части, и тогда деформация
средней части будет однородна по длине. По-
Поэтому в качестве модели для определения кри-
критического давления можно взять вырезанное
из трубы кольцо единичной ширины и рассмо-
рассмотреть его потерю устойчивости как для коль-
кольцевого бруса. Здесь нужно учесть, что для
трубы деформация вдоль ее оси равна нулю,
что равносильно рассмотрению деформаций
Рис 12 30 в плоскости поперечного сечения с несколько
увеличенным модулем упругости.
Более сложная задача возникает для цилиндрической обо-
оболочки, длина и диаметр которой имеют один порядок. Если тор-
торцы оболочки закреплены от радиальных смещений, то ее потеря
устойчивости имеет более сложный характер (рис. 12.31). В этом
случае нужна более сложная модель.
При осевом сжатии цилиндрическая оболочка также может
потерять устойчивость, но не изгибаясь как стержень, а с по-
появлением на ее поверхности периодической системы вмятин
(рис. 12.32).
Для потери устойчивости оболочек характерна существенная
зависимость критической нагрузки от незначительных отклоне-
отклонений их формы от идеальной. Так, при осевом сжатии цилиндри-
404
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
ческой оболочки критические напряжения за счет этого могут
снизиться в 3-4 раза.
\
Рис. 12.31
Рис. 12.32
Рис. 12.33
12.5.4. Во всех рассмотренных случаях деформированная
форма в момент непосредственно перед потерей устойчивости
незначительно отличается от недеформированной формы, и это
отличие можно не учитывать. Но для некоторых систем неучет
деформации системы до ее
\р потери устойчивости может
привести к существенной
ошибке. Одной из простейших
систем такого рода является
двухстержневая ферма (фер-
(ферма Мизеса), показанная на
рис. 12.33. Пунктиром дано ее
недеформированное состояние. При больших углах ао потеря
устойчивости такой фермы происходит за счет потери устойчи-
Р
вости ее стержней, в которых сжимающие усилия N = ——
2 sin ol
достигают критической эйлеровой силы. Но если угол ао мал и
усилия в стержнях, даже когда все три шарнира окажутся на
одной линии (а = 0), не достигают критических, такая ферма
также теряет устойчивость. Читатель легко может убедиться,
что зависимость между силой Р и углом а в равновесных со-
состояниях фермы при прямолинейных стержнях имеет характер,
показанный на рис. 12.34. По мере увеличения деформации фер-
фермы происходит уменьшение угла а, что соответствует движению
из точки А на кривой Р(&) (см. рис. 12.34) к точке В. В точке В
равновесие перестает быть устойчивым в том смысле, что рядом
12.5 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ 405
с основным состоянием появляются смежные формы равно-
равновесия. В результате происходит перескок из точки В в точку Е,
где равновесное состояние устой-
устойчиво.
В данной системе особенно ин-
интересно то обстоятельство, что
для нагрузки Р, которая нахо-
находится в пределах между Р\ и —
—Pi, у системы имеется три со-
состояния равновесия, соответству-
соответствующие точкам i, 2 и 3. Исследо-
Исследование этих состояний показывает,
е\
-а
°\
С
у
-л
в
"Л
а
\^
о\ а
Рис. 12.34
что два из них (точки 1 и 3) устойчивы, а одно (точка 2) —
неустойчиво (рис. 12.35).
Примерами технического использования систем, обладаю-
обладающих подобными свойствами, являются, например, хлопающие
мембраны (рис. 12.36), применяемые в предохранительных и пе-
переключающих устройствах.
Рис. 12.35
Рис. 12.36
12.5.5. Примером другой сложной ситуации, связанной с
потерей устойчивости, является стержень, нагруженный следя-
следящей силой, т.е. силой, которая сохраняет направление конца
стержня, к которому она приложена (рис. 12.37). Исследования
показывают, что при такой нагрузке у стержня имеется един-
единственное состояние равновесия — прямолинейное. Так как по
критерию Эйлера (см. 12.2) в критическом состоянии должны
появляться смежные состояния равновесия, то казалось бы, пря-
прямолинейное состояние такого стержня можно считать устойчи-
устойчивым всегда. Но такое заключение ошибочно, поскольку появ-
появление смежных форм равновесия — лишь один из возможных
признаков потери устойчивости. Исследование движения стерж-
стержня, нагруженного следящей сжимающей силой, показывает, что
существует такая сила, при превышении которой малые возму-
возмущения приводят к колебаниям стержня с нарастающей амплиту-
амплитудой. Причиной такого поведения является неконсервативность
следящей силы. Напомним, что консервативной силой называ-
406 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
ют такую, работа которой определяется только начальным и ко-
конечным состоянием. Работа же неконсервативной силы зависит
от пути, каким система пришла из начального в
конечное состояние. В нашем примере при пре-
превышении силой критической величины колебания
стержня происходят таким образом, что на каж-
дом цикле колебаний сила совершает положитель-
работу, которая идет на увеличение потен-
ф (
j циальной энергии деформаций (ведь рассеивание
/ энергии не учитывается). Потому-то и начинают
нарастать деформации.
К подобного рода явлениям относится и флат-
тер крыла самолета. Как известно, он выражает-
выражается в том, что при достижении некоторой скоро-
р 12 S7 сти возникают колебания крыла с нарастающей
амплитудой. Известен также случай разрушения
металлического моста от флаттера (Токомская катастрофа).
Потеря устойчивости деформированного состояния систе-
системы — явление интересное и многообразное. Мы здесь остано-
остановились лишь на некоторых ее примерах и аспектах. По этому
вопросу имеется обширная литература, из которой для началь-
начального чтения можно порекомендовать книги [11—13].
12.6. Продольный изгиб реальных (неидеальных)
стержней
12.6.1. До сих пор мы рассматривали поведение идеально
прямых стержней (стоек) под действием сжимающих сил, дей-
действующих строго по их оси.
/ _ Реальные стойки слегка ис-
искривлены и сжаты сила-
силами, приложенными не стро-
строго центрально, а с эксцен-
эксцентриситетом. Рассмотрим на
примерах, насколько пове-
поведение таких стоек отличает-
отличается от идеальных.
Сначала оценим роль
эксцентриситета сжимаю-
Рис 12 38 Щих сил- На Рис- 12.38 по-
показан такой стержень и его
отсеченная часть в деформированном состоянии. Условие рав-
равновесия отсеченной части:
= 0 : Mz - P[v + е) = 0.
Р^
V
~%(х)
е
_Р
X
12.6
ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ РЕАЛЬНЫХ СТЕРЖНЕЙ
407
При выбранных направлениях координат х и v
Mz = -EJzv".
Поэтому приходим к неоднородному дифференциальному соот-
соотA2.6.1)
ношению
v" + k2v = -к2е, к2 = P/EJZ.
Общее решение этого уравнения
v = C\ sin кх + С^ cos кх — е
в силу выбора осей координат должно удовлетворять гранич-
граничным условиям
v@) = 0, v(l) = 0.
Из этих условий получаем, что С2 = е, Ci=e(l — cos kl)/ sin kl.
Поэтому
v(x) = e ^— sinkx — A — cos kx) .
Максимальный прогиб будет в центре балки. После несложных
преобразований получим
=.© =
ы
1 - cos —
COS у
в
Из этого выражения видно, что при kl —>> тг, т.е. при приближе-
приближении Р к критической силе Ркр = tt2EJz/12 знаменатель cos —
стремится к нулю и поэтому г>тах неограниченно возрастает. На
рис. 12.39 показаны кривые изме-
изменения 'Ущах в зависимости от Р для
двух разных величин эксцентри-
эксцентриситета и таких, что е\ > е2- Чем
меньше эксцентриситет, тем ближе
кривая г>тах(Р) к ломаной (ЗАВ,
которая характеризует поведение
идеально прямой стойки, сжатой
без эксцентриситета.
12.6.2. Рассмотрим теперь
сжатие слегка искривленного
стержня. Начальное искривление Рис- 12-39
стержня обозначим через vq(x), а его прогиб — через v(x)
(рис. 12.40). Согласно условию равновесия данной на рис. 12.40
отсеченной части
О
Mz - P(v + v0) = 0,
408
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
но по закону Гука Mz = —EJzv". В итоге приходим к неодно-
неоднородному дифференциальному уравнению
v" + k2v = -k2v0, к2 = P/EJZ. A2.6.2)
Соответствующее ему однородное решение имеет вид С\ sin kx +
уо(х)
^, а частное решение для любой правой части v(x)
может быть построено, например, методом вариации произволь-
произвольных постоянных. Мы же здесь рассмотрим простейшую началь-
начальную искривленную форму в
виде полуволны синусоиды
vq = /osin^—. Тогда уравне-
i
ние A2.6.2) принимает вид
A2.6.3)
Стержень закреплен так, что
прогибы его концов равны
Рис. 12.40 нулю. Поэтому нужно найти
решение уравнения A2.6.3),
удовлетворяющее условиям v@) = v(l) = 0. Легко проверить,
тгж к2 fa
что функция v = / sin — при / = ч,-/ удовлетворяет и
(т) ~
уравнению A2.6.3), и условиям г;@) = v(l) = 0. Преобразуем
выражение для /:
/ =
кН2
/о _
/о
1 -
ре
_ Р/РкР
tt2EJz
1 -p
tt2EJz
Ho / является как раз максимальным прогибом стержня
%ах. На рис. 12.41 показана зависимость г>тах = / от сжимаю-
сжимающих сил для двух значений парамет-
параметра начального искривления, таких, что
/о > /о • Видно, что чем меньше /о,
тем ближе зависимость /Утах(Р) к лома-
ломаной ОАВ, которая характеризует изгиб
идеальности прямой стойки. Ситуация
аналогична эксцентрично сжатой стой-
стойке.
Общий вывод из рассмотрения вли-
Рис. 12.41 яния двух видов неидеальности — экс-
эксцентриситета сжимающей силы и начального искривления —
следующий: по мере роста сжимающей силы неидеальные стой-
стойки изгибаются. Но пока сжимающая сила Р далека от РКр5
О
12.7
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
409
гибы незначительны. Когда же сила Р приближается к своему
критическому значению, прогибы начинают возрастать, и тем
сильнее, чем ближе Р к Ркр . Это и наблюдается обычно в экс-
экспериментах, так как даже при очень тщательном изготовлении
реальные стойки далеко не идеальны.
12.7. Продольно-поперечный изгиб
12.7.1. Напряженно-деформированное состояние, возника-
возникающее в брусе при одновременном действии поперечных нагрузок
и продольной сжимаю-
сжимающей силы, называют про- 1)L yv(x)
дольно-поперечным изги-
изгибом. Как будет видно
из дальнейшего, наличие
продольной сжимающей
силы может существен-
существенно увеличить прогибы и
напряжения по сравне-
сравнению с теми, которые воз-
возникают в брусе от дей-
действия только поперечной
нагрузки.
На рис. 12.42 а по-
показано деформированное
состояние балки. Составим дифференциальное уравнение для
ее деформированной оси. Прогиб балки обозначим через v(x).
Для отсеченной части, данной на рис. 12.42 б, потребуем ра-
равенства нулю моментов действующих на нее сил относительно
сечения С:
Рис. 12.42
Mz + Sv- Мпоп = 0.
A2.7.1)
Здесь Мпоп — момент относительно сечения С действующих
на отсеченную часть поперечных нагрузок, включая реакцию
R\ левой опоры. Этот момент принят положительным, если он
направлен противоположно MZl т.е. для рассматриваемой отсе-
отсеченной части — по часовой стрелке. Если бы продольная сила
S была равна нулю, то это уравнение приняло бы простейший
вид Mz = Мпоп и означало очевидный факт, что изгибающий
момент уравновешивает момент действующих на отсеченную
часть поперечных нагрузок. Поэтому мы иногда будем обозна-
обозначать Мпоп = М^поп, рассматривая его как изгибающий момент
поперечных нагрузок. При малых прогибах в пределах закона
Гука (п. 8.2.3)
v" = ±MZ/EJZ. A2.7.2)
410
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
v">0
Mz>0
Рис. 12.43
При принятых на рис. 12.42 положительных направлениях Mz и
v, как это видно из рис. 12.43, в формуле A2.7.2) нужно принять
знак «+». Тогда уравнение A2.7.1)
после исключения из него Mz сведется
к виду
/? т v" _l qv — л/г (л о 7 Ч)
I J U z U \^ kJ U 1V-L z ПОП * l-L^.i.<J/
Это и есть дифференциальное урав-
уравнение деформированной оси балки
при продольно-поперечном изгибе.
Рассмотрим примеры его применения.
Пример 12.7. Найдем прогибы балки, показанной на
рис. 12.44 а. Ее отсеченная часть для х ^ -I дана на рис. 12.44 б.
Уравнение равновесия для
нее принимает вид ^Мс =
= 0:
Mz-Sv = -Рх (х <: ±,
z 2 V 2
Принимая положительным
направление v вниз, полу-
получаем, что v" = —MZ/EJZ.
Поэтому уравнение деформи-
деформированной оси балки будет
+ *, = -!*
Разделим его на EJZ и обо-
обозначим к2 = S/EJZl p =
Рис. 12.44
= P/EJZ. Тогда оно сведется к виду
v» + k2v = ~рх (
х ^ 1
A2.7.4)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение.
Соответствующее ему однородное уравнение совпадает с урав-
уравнением A2.2.3), и его решение нам известно. Так как корни ха-
характеристического уравнения мнимые, то однородное решение
равно Cis'mkx + C^cosfcx. Частное решение для A2.7.4) мож-
можно легко подобрать, оно равно ~-^х. Поэтому общее решение
уравнения A2.7.4) будет
v = C\ sin кх + С2 coskx — -т^х. A2.7.5)
Одно условие для определения постоянных интегрирования
С\ и С?2 получим, учитывая, что прогиб при х = 0 равен нулю:
г;@) = 0 : d • 0 + С2 • 1 - ±? • 0 = 0 -> С2 = 0.
12.7
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
411
Использовать условие v(l) = О мы не можем, так как все по-
полученные выше выражения, в том числе и A2.7.5), справедливы
только при х ^ -/. Но так как сила Р приложена посередине бал-
балки, то ее деформированная ось будет симметрична относительно
середины и в середине окажется максимальный прогиб. Поэтому
v1 (-/) =0. Используя это условие, получаем из A2.7.5)
Cikcos — -С2к$ш — - 1^ = 0.
1 V
Отсюда, учитывая, что С2 = 0, получаем С\ = - ——^г-—^-
2 к6 cos (kl/2)
Таким образом, выражение для прогиба балки принимает вид
sin kx
к cos (kl/2)
-X = --
sinkx
2 S V к cos (kl/2)
— х
A2.7.6)
Видно, что прогиб неограниченно растет, когда kl/2 стремится к
тг/2. Но так как к2 = S/EJZl то последнее равносильно тому, что
сжимающая сила S стремится к значению тг2EJz/l2, а это значе-
значение и есть эйлерова критическая сила SKp для рассматриваемой
балки. Физически это означает, что балка при S = SKp потеряет
устойчивость независимо от того, действует на нее поперечная
нагрузка или нет.
v(\IT)
)кр
Рис. 12.45
На рис. 12.45 а показан график изменения прогиба в средней
точке балки v A/2) в зависимости от продольной силы S при
двух постоянных значениях поперечной нагрузки Р = Р\ и Р =
= р2 (p2>Pi).
Следует заметить, что, вообще говоря, прогиб не может пре-
превысить величину //2, так как его максимум будет достигнут в
412
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
момент, когда концы балки соединятся (рис. 12.46). Получен-
Полученное неограниченное возрастание прогиба является следствием
использования приближенного выражения для кривизны бал-
балки 1/p~vff. Поэтому уравнение продольно-
поперечного изгиба A2.7.3) применимо
лишь при малых прогибах ((v'J <С 1).
На рис. 12.45 б даны зависимости про-
прогиба в центре балки от поперечной нагруз-
нагрузки при постоянных значениях продольной
силы S = Si и S = S2 (S2 > Si). Пунк-
Пунктиром показан график для случая попе-
поперечного изгиба (S = 0). Видно, что с уве-
увеличением продольной нагрузки возрастает
податливость (падает жесткость) балки на
поперечную нагрузку.
Сравнение графиков 12.45 а и б приводит нас к важному
заключению, что пропорциональная зависимость между нагруз-
нагрузкой и прогибом (а значит, и принцип суперпозиции) имеет место
только для поперечной нагрузки!
12.7.2. Для расчета на прочность необходимо знать изги-
изгибающий момент Mz. При продольно-поперечном изгибе для вы-
вычисления Mz можно воспользоваться двумя выражениями. Пер-
Первое из них следует из A2.7.2):
Рис. 12.46
Mz = ±EJzv".
Второе — из уравнения A2.7.1):
Mz = MZUOU-Sv.
A2.7.7)
A2.7.8)
Для балки, рассмотренной в примере 12.7, получаем с учетом
A2.7.6)
2 к cos (kl/2)'
_ Л = I p
^ 2
ou 2 x-r2
Результаты, разумеется, совпадают. Максимальное значение
Mz достигается в середине балки (х = 1/2) и равно
Ы
A2.7.9)
Пример 12.8. Рассмотрим балку, нагруженную попе-
поперечной равномерно распределенной нагрузкой q и сжимающей
силой S (рис. 12.47). Из условия равновесия отсеченной части,
12.7
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
413
которая дана на рис. 12.47 в деформированном состоянии, имеем
^Мс = 0 : Mz + Sv = \qx2 - \qlx.
Так как Mz = -\-EJzvn', то приходим к дифференциальному
уравнению
Его общее решение
v = С\ sin кх + Съ cos кх —
— ( — + 1х — х2) .
Qy
Mz
v(x)
Рис. 12.47
Учитывая условия закрепления балки (v@) = 0, v(l) = 0), опре-
определяем постоянные С\ и С2 и получаем
v = q
EJzk
Изгибающий момент любым из двух возможных способов вы-
вычисления получим в виде
Mz = EJzv" = \qx2 - X-qlx - Sv =
= — TT7 —г,— s'mkx — A — cos/еж) .
P L smkl v yJ
Ясно, что максимальный изгибающий момент действует в сере-
середине балки и равен
М
Mz
_ Я 1 - cos (kl/2)
2j ~ ~F cos(lfel/2) *
2p t
Видно, что при S —)> *SKp = —т^-^ имеет место А; —>> тг, поэто-
му sin/с/ —>• 0 и cos — —>• 0. Иными словами, при приближ:ении
сжимающей силы к критической прогиб и изгибающий момент
неограничено возрастают.
414 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
12.7.3. В рассмотренном только что примере изгибающий
момент Mz можно найти, не определяя сначала прогиб v. Для
этого продифференцируем дважды уравнение A2.7.1) и учтем,
что v" = MZ/EJZ и d2Mzn0JI/dx2 = q. В результате придем к
уравнению
М" + k2Mz = q, к2 = -$-. A2.7.11)
Такого вида уравнение при продольно-поперечном изгибе на-
называют дифференциальным уравнением изгибающих моментов.
Его общее решение
Mz = С\ sin кх + С2 cos кх + Mz чаСтн-
Вид частного решения зависит от характера распределенной на-
нагрузки q(x). В нашем случае q = const, поэтому Mz чаСтн = -h-
К
Постоянные С\ и С2 найдем, учитывая равенство нулю изгибаю-
изгибающих моментов по концам балки (М@) = 0, Mz(l) = 0), что явля-
является следствием ее шарнирного опирания. В результате придем
к выражению A2.7.10).
Важно отметить, что переход к уравнению A2.7.11) свя-
связан с двукратным дифференцированием уравнения равновесия
A2.7.1), а это требует, чтобы на участке балки, где применяется
уравнение A2.7.11), изгибающий момент был дважды диффе-
дифференцируемой функцией, т.е. не испытывал скачков и не имел
угловых точек. Это равносильно требованию, чтобы на этом
участке балки к ней не прикла-
прикладывались сосредоточенные мо-
моменты и силы.
Если же таковые имеют ме-
место, как, например, для балки,
показанной на рис. 12.48, то при-
приходится записывать уравнение
вида A2.7.11) для каждого из
Рис. 12.48 участков и стыковать решения
на границе участков с учетом
скачков перерезывающей силы и изгибающего момента. Для
примера приведем полную систему уравнений и условий для
данной на рис. 12.48 балки и уравнения моментов по участкам:
М" + k2Mz = qi @ ^ х ^ /i), М" + k2Mz = q2(h^x^ I).
Их решения
Mz = Сг$ткх + С2со$кх + ^ @
f
Mz = Сзя'ткх + C^coskx + ff (h ^ x ^ I).
12.7
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
415
Граничные условия и условия сопряжения:
М,@)=0: Ci-0 + C2-l + § = 0,
к
) - M-(h) = M : С3 sinklx + C4cosJfei-
— С\ sin kl\ — С2 cos kl\ = М,
Qj(h) ~ Qy(h) = P ¦ (M'z(h))+ - {M'Ah))- = P :
sk cos kl\ — C^k sin kl\ — C\k cos kl\ + C2A: sin fc/i = P,
M^(/) =0: C
п Jf
12.7.4. Внимательный читатель, по-видимому, уже заме-
заметил, что мы ограничились пока рассмотрением только шар-
нирно-опертой балки. Не
более сложна задача про-
продольно-поперечного изги-
изгиба консольной балки, по-
показанной на рис. 12.49, на
котором защемление лево-
левого конца заменено реакци-
реакциями. Уравнение деформи-
деформированной оси такой бал-
балки, полученное из условия Mz(O)=M+^qlz-Pl-Sv(l)
равновесия участка от се-
сечения в заделке (х = 0) до
сечения ж, имеет вид
/
Рис> 12.49
ЕJzv"
Общее решение этого уравнения
- (Р - ql)x.
v = С\ sin kx + С2 cos kx — 1 — —-^-x + -^— — -^-c
Из условий в заделке г;@) = 0, v'@) = 0 следует, что
п„ - g 1 М+Т~Р/ п. - р - <11
Изгибающий момент в этой задаче можно подсчитать по одному
из следующих выражений:
Mz = Mz поп - S[v(l) - v(x)}, Mz = -EJzv".
Уравнение изгибающих моментов здесь имеет вид
M'J + kMz = q.
416 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
При формулировке граничных условий для него необходимо
учитывать первое из приведенных выражений для Mz. В со-
соответствии с ним:
Мг@)=Мгпоп@)-5«@,
Qy@) = М'М = Q2non@) + Sv'@) =P-ql,
Mz(l) = Mzuou(l) = M,
Qy(l) = M'z(l) = Qynon(l) + Sv'(l).
Отсюда видно, что получить Mz независимо от прогибов позво-
позволяют только следующие два граничных условия:
М'М = Qy@) =P-ql, MZ{1) = М.
Более сложная ситуация возникает, когда балка закреплена
так, что она статически неопределима (рис. 12.50). В этом слу-
случае неизвестны опорные реакции, а от них зависит Mz поп, кото-
который составляет правую часть
уравнения деформированной
оси балки A2.7.3):
EJzv" + Sv = Mzuou.
Продифференцируем это урав-
нение два раза по ж и учтем, что
lvlz поп ~~ Ч-
В итоге получим уравнение для прогибов балки четвертого
порядка
{EJzv")" + Sv" = q.
При EJZ = const оно сводится к виду
«IV + fcV = ^, e=* A2.7.12)
Общее решение этого уравнения имеет вид
v = C\ sin кх + С2 cos кх + С%х + С\ + v*,
где г>* — частное решение, определяемое видом нагрузки q(x).
При q = const имеем ^* = g т х2.
Для определения четырех постоянных С\, С2, С%, С^ исполь-
используются условия закрепления балки
v@) = 0, ^@) = 0, v(l) = 0, Mz(l) = EJzv"(l) = М,
V
1,1*1.1
q
/
M
12.7
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
417
которые приводят к следующей системе линейных алгебраиче-
алгебраических уравнений (рассмотрен случай q = const):
d • 0 + С2 • 1 + С3 • 0 + С4 = О,
Cik + С2 • 0 + С3 = О,
d sin kl + С2 cos A;/ + C3l + С4 = -
-CiA;2 sin fe/ - C2k2 cos JW = -
t .С/ Jz
+ ——.
Решение этой системы хотя и громоздко, но может быть полу-
получено сравнительно легко.
12.7.5. Точное решение задачи о продольно-поперечном из-
изгибе балки на основе уравнения деформированной оси A2.7.3),
или A2.7.12), или уравнения изгибающих моментов A2.7.11)
обычно связано с громоздки-
громоздкими вычислениями. Рассмотрим
один из приближенных спо-
способов решения этой задачи,
основанный на энергетическом
подходе, который по смыслу
близок к энергетическому под-
подходу в задачах устойчивости
(разд. 12.3).
Сначала рассмотрим энер-
энергетический баланс при линей-
линейно-упругой деформации балки
под действием только попереч-
поперечной нагрузки (рис. 12.51 а).
Прогиб в этом случае обозна-
обозначим через vu. Работа внешних сил Pi будет равна А = -
2 г=1
Она полностью перейдет в потенциальную энергию изгиба бал-
балки
Рис. 12.51
Поэтому энергетический баланс в этом случае имеет вид
= \ /
dx.
A2.7.13)
г=1
Рассматривая продольно-поперечный изгиб (рис. 12.51 б),
будем считать, что сначала балка нагружена продольной силой
*S, а затем поперечными нагрузками Pi. Тогда в энергетическом
балансе необходимо учесть работу SX силы S на укорочении А,
14 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
418 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
которое балка приобретает при изгибе ее силами Pi. Но, как это
показано в разд. 12.3 (см. A2.3.6)), А = - f(v'Jdx.
2 i
Поэтому энергетический баланс примет вид
т
\Y,P^ + \sf(vfJdx = \$EJz{v"Jdx.
г=1 I I
Разделим это равенство на интеграл, стоящий в его правой ча-
части. При этом второе слагаемое левой части можно представить
в форме
b ^ /1О *7 \/^\
fEJz(v"Jdx/f(v'Jdx~SKp' У •• )
i i
Его знаменатель совпадает с энергетическим выражением для
критической силы A2.3.8), которая здесь обозначена через SKp.
При преобразовании первого слагаемого будем предпола-
предполагать, что упругие линии балки при поперечном и продольно-
поперечном изгибах подобны, т.е.
v(x) =avu(x). A2.7.15)
Это предположение основано на интуитивном представлении
о том, что наличие продольной силы не приводит к существенно-
существенному изменению формы деформированной оси балки. С его учетом
первое слагаемое принимает форму
fEJz(v"Jdx a2 J EJz(v^J dx a'
i i
Последнее равенство получено с учетом A2.7.13).
Таким образом, после деления на правую часть равенство
A2.7.3) сведется к следующему:
Отсюда получаем, что
Таким образом, в соответствии с предположением A2.7.15) про-
прогиб при продольно-поперечном изгибе можно получить как
% A2.7.16)
Кр
Для вычисления приближенного значения изгибающего мо-
момента имеются две возможности, которые предоставляют фор-
формулы A2.7.7), A2.7.8). Но так как полученное по A2.7.16) вы-
выражение для прогиба является приближенным, а всякая ошибка
12.7
ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
419
при дифференцировании возрастает, то предпочтительно поль-
пользоваться формулой A2.7.8), которая в нашем случае принимает
вид
м, = мгпоп + г^М-
Однако и формула, следующая из A2.7.7),
A2.7.17)
A2.7.18)
дает удовлетворительные результаты в тех случаях, когда де-
деформированная форма балки не слишком сильно отличается от
формы потери устойчивости.
Например, для равномерно нагруженной балки (пример 12.8)
при S = 0,55Кр формула A2.7.18) дает для Mzmax
72
max поп
1 - S/SKP T^5
Вычисления по точной формуле A2.7.10) с учетом того, что
к =
приводят к значению Mzmax = 0,254g/2.
12.7.6. При продольно-поперечном изгибе нормальные на-
напряжения в поперечных сечениях возникают как вследствие дей-
действия продольной силы *S, так
и от изгибающего момента Mz.
Для сечения, показанного на
рис. 12.52, их значения в точ-
точках А ж В подсчитываются по
формуле
S ^
= -— =F
r
УА-
В
A2.7.19)
Если сечение симметрично от-
относительно оси z, то
^. A2.7.20)
_ _S
— r= -\
F
Рис. 12.52
Далее мы ограничимся рассмо-
рассмотрением только таких балок.
По сравнению с ранее рассмотренными случаями расчета на
прочность здесь возникает принципиально новая ситуация, свя-
связанная с тем, что М^тах, а следовательно, и ат[п нелинейно
max
зависят от продольной нагрузки S. Эту нелинейную зависи-
зависимость наиболее наглядно демонстрируют приближенные фор-
формулы A2.7.17) и A2.7.18). Поэтому необходимо более детально
14*
420
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
разобраться с понятием «запас прочности». Для конструктора
удобно понимать запас прочности как число, на которое нужно
умножить нагрузку, чтобы в опасных точках сечений конструк-
конструкции были достигнуты предельные напряжения. До сих пор, по-
пока напряжения были пропорциональны нагрузкам, это число
можно было подсчитать как отношение предельного напряже-
напряжения к максимальному действующему, т.е. п = сгпред/сгтах. Но
при продольно-поперечном изгибе нелинейная зависимость на-
напряжений от продольной силы не позволяет поступить так же.
В связи с этим при продольно-поперечном изгибе, как правило,
возможен только повероч-
поверочный расчет, который сво-
сводится к двум основным слу-
случаям.
1. Продольная нагрузка
S на балку остается посто-
постоянной, а могут изменяться
только поперечные нагруз-
нагрузки. Так нагружена, напри-
например, стойка (рис. 12.53 а),
продольная сила в которой
создается весом груза S. В
Рис. 12.53 таких случаях под запасом
прочности обычно понима-
понимают число, на которое нужно умножить поперечную нагрузку,
чтобы напряжения достигли предельных. Если материал одина-
одинаково работает на растяжение и сжатие, то из A2.7.20) получаем
уравнение для определения п:
5 _ n\Mzm
"f wT
Здесь учтено, что Mz пропорционален поперечной нагрузке. Ес-
Если для подсчета Mzm8lX использовать приближенную формулу
A2.7.18), то придем к уравнению
о
_ S Tl\Mz поп г
пред — ~ ~г
F Wz(l-S/SKp)
Более точное значение получим при использовании форму-
формулы A2.7.17), но при этом нужно учесть, что сечение, в кото-
котором максимально значение MZ1 может не совпасть с сечением,
где действует максимальный момент от поперечной нагрузки
M - Поэтому получаем уравнение
поп max-
тах
м7
Svu
В.12 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 421
2. Продольная сила и поперечная нагрузка на балку меняют-
меняются одновременно и пропорционально. Так, например, нагруже-
нагружена стойка в конструкции, которая показана на рис. 12.53 б. Для
определения ее запаса прочности получаем уравнение
nS , M^?S)
Для определения Mzmax, возникающего при увеличении нагруз-
нагрузки в п раз, воспользуемся точным решением A2.7.9), в которой
учтем, что к = ^/nS/(EJz) = y/nP/BEJz).
Тогда приходим к трансцендентному уравнению для п:
Это уравнение можно упростить, если воспользоваться прибли-
приближенным решением A2.7.17) или A2.7.18). В последнем случае
приходим к сравнительно простому уравнению
пР , n\Pl
_
СТпред ~2F
Wz[l-
Это уравнение, в свою очередь, сводится к квадратному урав-
уравнению для п.
В. 12. Контрольные вопросы
В. 12.1. Чем определяется устойчивость состояния равнове-
равновесия системы?
В. 12.2. Какими должны быть возмущения при исследова-
исследовании устойчивости системы: малыми или большими? Достаточно
ли при этом ограничиваться всего одним возмущением? Что яв-
является критерием устойчивости состояния равновесия системы?
В. 12.3. Сформулируйте условия устойчивого, неустойчиво-
неустойчивого и безразличного положения равновесия системы.
В. 12.4. Какое состояние центрально-сжатого прямого стерж-
стержня называется критическим?
В. 12.5. В каком смысле метод Эйлера дает ответ на вопрос
об устойчивости прямолинейного состояния равновесия систе-
системы?
В. 12.6. Какие выводы позволяет сделать метод Эйлера при
422 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ГЛ. 12
В. 12.7. При каких прогибах дифференциальное уравнение
A2.2.3) упругой линии стойки с достаточной точностью отража-
отражает поведение идеальной стойки при сжатии?
В. 12.8. Какова структура обобщенной формулы Эйлера для
стоек с различным закреплением? Что такое приведенная длина
стойки? Чем определяется коэффициент приведения длины /i?
В. 12.9. При каком энергетическом условии состояние рав-
равновесия системы будет устойчивым (критерий Лагранжа)?
В. 12.10. Как формулируется энергетическое условие устой-
устойчивости прямолинейного состояния стойки?
В.12.11. Признаком какого состояния стойки является усло-
условие АЭ = П — А = 0? Как определяется соответствующая этому
условию сжимающая стойку сила Р? Как при этом определяется
критическая сила — Ркр?
В. 12.12. При каком условии значение критической силы —
Ркр, полученное энергетическим методом, будет совпадать с точ-
точным значением этой силы, полученным методом Эйлера?
В. 12.13. От чего зависит точность определения Ркр энерге-
энергетическим методом?
В. 12.14. Каким статическим (силовым) условиям соответ-
соответствуют следующие способы закрепления стойки: а) шарнир;
б) свободный конец; в) скользящее защемление?
В. 12.15. Что такое критическое напряжение стойки — сгКр?
Чему оно равно согласно обобщенной формуле Эйлера?
В. 12.16. Что такое гибкость стойки? От чего она зависит?
В какой плоскости изогнется стойка при потере устойчивости?
В. 12.17. Каковы пределы применимости формулы Эйлера?
В. 12.18. Как аппроксимируется диаграмма <ткр(А) соглас-
согласно Тетмайеру? Зависит ли диаграмма сгкр(А) от конструктивных
параметров стойки или определяется диаграммой а(е) ее мате-
материала?
В. 12.19. Какие две формулы предложил Энгессер для опре-
определения сгкр за пределами пропорциональности?
В.12.20. Чем принципиально отличаются подходы Энгессе-
ра и Шенли, приводящие к формулам приведенного и касатель-
касательного модулей?
В. 12.21. Как выбирается допускаемое напряжение для сжа-
сжатых элементов при расчете строительных конструкций? От чего
зависит значение коэффициента снижения допускаемых напря-
напряжений ср7
В. 12.22. Какое влияние на поведение сжатой стойки оказы-
оказывает эксцентриситет сжимающей силы и начальное ее искрив-
искривление?
В. 12.23. При каких нагрузках возникает продольно-попе-
продольно-поперечный изгиб?
3.12 ЗАДАЧИ 423
В.12.24. Почему уравнение продольно-поперечного изгиба
A2.7.3) применимо только при малых прогибах?
В. 12.25. Почему принцип суперпозиции при продольно-по-
продольно-поперечном изгибе применим только для поперечной нагрузки?
В. 12.26. Как найти изгибающий момент при продольно-по-
продольно-поперечном изгибе, не определяя прогибов в балке?
В. 12.27. Как определяется прогиб при продольно-попереч-
продольно-поперечном изгибе при энергетическом подходе к решению задачи?
В. 12.28. Как определяется изгибающий момент при том же
подходе?
В. 12.29. Как определяются нормальные напряжения при
продольно-поперечном изгибе?
В. 12.30. Почему запас прочности при продольно-попереч-
продольно-поперечном изгибе не может быть подсчитан так, как это делалось ранее,
т.е. п =
В. 12.31. Какие два случая поверочного расчета (опреде-
(определения запаса прочности) возможны при продольно-поперечном
изгибе?
3.12. Задачи
3.12.1. Четыре стойки из одного и того же пластичного
материала и одинаково закрепленные по концам имеют одну и
ту же длину и площадь поперечного сечения, но разные формы
этого сечения, а именно: круг, кольцо (dBU/du3ip = 0,5), квадрат
и прямоугольник (h/b = 2). В какой последовательности стойки
должны терять устойчивость при одинаковых условиях нагру-
жения их продольными силами, если гибкость каждой из них
превышает Ат?
3.12.2. При какой температуре Ткр равномерно нагревае-
нагреваемый стержень постоянного сечения (рис. 12.54) теряет устойчи-
устойчивость, если: начальная температура То, длина, форма и размеры
поперечного сечения, а также материал стержня заданы? Пове-
Поведение материала считать линейно упругим.
3.12.3. Применив метод Эйлера, определить критическую
силу для ступенчатого стержня, показанного на рис. 12.55.
3.12.4. Для стойки, показанной на рис. 12.56, определить
критическую силу и коэффициент приведения длины энерге-
энергетическим методом, задавшись приближенной формой потери
устойчивости сразу в виде многочлена, удовлетворяющего усло-
условиям закрепления стойки.
3.12.5. Задаваясь полиномом соответствующей степени с
неопределенными коэффициентами, найти критическую силу
424
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
ГЛ. 12
и коэффициент приведения длины для стойки, показанной на
рис. 12.57.
^^
j
4 4/
Рис. 12.54
Рис. 12.55
Рис. 12.56
Рис. 12.57
3.12.6. Для консольной балки постоянной жесткости EJZ
в плоскости изгиба составить дифференциальное уравнение ее
оси (рис. 12.58), найти функцию
ее прогибов, определить макси-
у/ мальный прогиб и максимальный
р изгибающий момент.
J 3.12.7. Пользуясь прибли-
приближенным выражением для про-
прогиба, вычислить максимальные
нормальные напряжения и запас
прочности для балки прямоугольного сечения, показанной на
рис. 12.59. Принять Р = 0,5 кН, S = 2 кН, Е = 2 • 105 МПа,
Рис. 12.58
1/2
НА
Рис. 12.59
ат = 240 МПа, / = 1 м, b = 10 мм, h = 30 мм. При решении
задачи учесть, что поперечные и продольная силы возрастают
одновременно и пропорционально.
ГЛАВА 13
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ
Прочность является интегральным свойством конструкции
и для конструкций из пластичного материала достижение пре-
предельных напряженных состояний в отдельных ее точках или да-
даже частях еще не означает, что она недопустимо сдеформиро-
валась или потеряла способность воспринимать возрастающие
нагрузки (см. п. 11.5.1).
В этой главе мы рассмотрим методы расчета конструкций с
учетом пластических деформаций их частей и оценки предель-
предельных для конструкций нагрузок, или, как принято говорить, пре-
предельной несущей способности конструкций.
13.1. Схематизация диаграмм напряжений
13.1.1. Как видно из рисунков 3.5, 3.8, экспериментально
получаемые диаграммы напряжения а{е) для пластичных мате-
материалов являются довольно сложными зависимостями, особенно
если учесть поведение материала при разгрузке (см. рис. 3.7). И
хотя расчет деформаций таких простых стержневых конструк-
конструкций, как фермы, балки и рамы с учетом реальных зависимостей
а(е) принципиальных трудностей не содержит, обычно он сво-
сводится к громоздким вычислениям. Поэтому рационально упро-
упростить расчет, схематизировав диаграмму <у{е) простой зависимо-
зависимостью. Вносимая при этом небольшая ошибка может быть легко
оценена и вполне окупается простотой вычислений.
Одной из самых простых и в то же время позволяющих
достаточно точно аппроксимировать реальную диаграмму сг(е)
является модель упругопластичного материала с упрочнением
(рис. 13.1 а). В ней участки реальной диаграммы заменены пря-
прямыми линиями. Соответствующие такой схематизации уравне-
426
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
ния по участкам будут
{— ат + Е\(е + ?т) при е < — ?т,
Ее при — ?т ^ е ^ ?т,
сгт + Е\(е — ?т) при ? > ?т.
Здесь .Bi — модуль упрочнения, который является угловым ко-
коэффициентом прямых АВ и А В'.
При развитых пластических деформациях можно при-
принять модель жесткопластичного материала с упрочнением
(рис. 13.1 б). Простейшей является диаграмма <т(?), реализу-
реализующая модель жестко-пластичного материала (рис. 13.1 в).
Рис. 13.1
13.1.2. Для основных конструкционных материалов мак-
максимальная упругая деформация составляет доли процента. Так,
для стали с сгпц = 200 МПа, Е = 2 • 105 МПа
?пц —
= 0,1%.
В дальнейшем при расчетах ограничимся упругопластическими
деформациями, лежащими в пределах 2%, т.е. |?| ^ 2%. В этом
случае пластические деформации сильно развиты и существен-
существенно превышают упругие. Но так как максимальные деформации
остаются все же малыми в сравнении с единицей, то это позво-
позволяет рассматривать исследуемые системы в рамках принципа
малости деформаций, т.е. при составлении уравнений равнове-
равновесия для систем и их частей не учитывать изменение их размеров
и формы за счет деформаций.
13.1.3. Одним из необходимых условий выполнения прин-
принципа независимости действия сил является деформация в пре-
13.2 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 427
делах закона Гука. При упругопластических деформациях это
условие не выполняется, и поэтому принцип независимости дей-
действия сил не действует. Это демонстрирует пример, представ-
представленный на рис. 13.2. Пусть действующие на стержень силы Р\
и Р2 такие, что сила Р\ вызывает в стержне пластические де-
деформации, а Р2 их не вызывает. Тогда при нагружении стержня
силой Р\ деформация стержня будет соответствовать участку
О А диаграммы нагружения, данной на рис. 13.2 а. Если теперь,
р
Pi-Pi
О
А/
р
Pi-Pi
о
Hi
С
f]
i Pi
A/
Po
Рис. 13.2
не снимая силы Р\, нагрузить стержень силой ?2, то его дефор-
деформация в соответствии с законом разгрузки будет происходить по
участку АВ. Если изменить порядок приложения сил и сначала
нагрузить его силой Р25 a потом Р\ (рис. 13.2 б), то деформации
останутся в пределах закона Гука и итоговое удлинение стержня
окажется меньше, чем в первом случае. А одним из следствий
принципа независимости действия сил является независимость
результата от порядка приложения сил.
13.2. Расчет предельных нагрузок для статически
определимых систем
13.2.1. Ограничимся рассмотрением конструкций из иде-
идеального упругопластичного материла без упрочнения, диаграм-
диаграмма сг(б) которого показана на рис. 13.3. Главное внимание уде-
уделим предельным нагрузкам для таких конструкций, среди ко-
которых рассмотрим сначала статически определимые. Простей-
Простейшими среди них являются статически определимые фермы, т.е.
системы, составленные из стержней, работающих только на ра-
растяжение или сжатие.
Самой простой фермой является стержень, нагруженный
растягивающей силой (рис. 13.4). Из условия равновесия пока-
428
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
занной на рис. 13.4 отсеченной части сразу видно, что N = Р. Но
продольная сила, которая может возникнуть в стержне, ограни-
ограничена его текучестью и ее максимальная (предельная) величина
равна Л^пред = <jtF', где F — площадь поперечного сечения. По-
Поэтому предельная величина нагрузки РПред = crTF.
ст
8Т
Рис. 13.3
Рис. 13.4
Рис. 13.5
Рассмотрим двухстержневую ферму, данную на рис. 13.5.
Предельное значение нагрузки Р будет достигнуто, когда на-
напряжения хотя бы в одном из стержней станут равными <тт. Из
условий равновесия узла
легко получить, что N\ =
= Р/л/2, N2 = Р/л/2.
Площади поперечных сече-
сечений стержней равны соот-
соответственно 2F и F. Поэтому
ах = Nl/{2F) = P/By/2F);
а2 = N2/F = P/(V2F).
Предельная нагрузка будет
достигнута, когда напряже-
напряжения во втором стержне станут равными аТ1 т.е. когда а2 =
= PUpen/(V2F) = сгт. Отсюда Рпред = V2aTF.
Анализируя эти два решения, можно отметить два опреде-
определяющих обстоятельства.
1. Продольная сила в г-м стержне Ni ограничена предель-
предельным значением Л^пред, которое достигается при возникновении
в этом стержне напряжений <тт. Поэтому |Л^пред| = crTi^. Здесь
учтено, что усилие в стержне может быть и сжимающим.
2. Так как ферма статически определима, возникающие в
ней продольные силы определяются только внешней нагрузкой
и пропорциональны ей (конечно, в условиях действия принци-
принципа малости деформаций), т.е. Ni = к{Р\ где к{ — коэффициент
пропорциональности между усилием в г-м стержне и нагрузкой.
13.2 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 429
Таким образом, нагрузка на ферму может возрастать до тех
пор, пока хотя бы в одном из ее стержней напряжения не до-
достигнут предела текучести <тт, т.е. пока выполняются условия
A3.2.1)
Отсюда ясно, что предельная нагрузка будет достигнута, когда
напряжение станет равным ат в том стержне, где оно макси-
максимально, т.е. когда
A3.2.2)
= ат
Пример 13.1. Определим предельную нагрузку на ферму,
рассмотренную в примере 4.2 (рис. 4.18). Если площади всех
стержней одинаковы, то максимальное напряжение возникает в
том стержне, где усилие максимально, т.е. в 5-м стержне. Тогда
условие A3.2.2) принимает вид РПред v§/ F = <тт. Отсюда
= GTF
/
Что же произойдет с фермой, когда нагрузка достигнет пре-
предельного значения, т.е. когда напряжения хотя бы в одном из
стержней достигли сгт? В этот мо-
момент этот стержень перестает рабо-
работать как связь, так как его дефор-
деформация е становится неопределенной.
То есть его действие на систему
фактически сводится к действию
на нее неизменной нагрузки, рав-
равной предельному усилию в стержне
(рис. 13.6). Но так как на статиче-
статически определимую систему наложе-
наложены только необходимые связи, то устранение хотя бы одной из
связей превращает ее в кинематически изменяемую — говорят,
что система превратилась в пластический механизм.
Сжатые стержни могут потерять устойчивость, поэтому для
них продольная сила ограничена также и критической силой.
С учетом этого условия A3.2.1) по сжатым стержням должны
быть дополнены условиями
пред
Рис. 13.6
\Oi
г/?%-
и кр г — ± кр г I
Таким образом, для сжатых стержней условия A3.2.1) можно
записать так:
Здесь стдредг — минимальное напряжение из двух: аТ и aKpi.
Ясно, что учет этого уточнения при расчете не вызовет принци-
принципиальных трудностей.
430
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
В
13.2.2. Обратимся теперь к статически определимым си-
системам, элементы которых работают на изгиб, т.е. к балкам и
рамам. Ограничимся случаем прямого изгиба.
Сначала рассмотрим простейший случай — чистый изгиб
балки прямоугольного сечения и определим для него предель-
предельный момент (рис. 13.7).
Пока момент М невелик —
деформации упруги и распре-
распределение напряжений по высо-
высоте сечения носит линейный ха-
характер. Это будет продолжать-
продолжаться до тех пор, пока напряжения
в верхних и нижних волокнах
не достигнут ат (рис. 13.8 а).
Соответствующий момент Мт
подсчитать легко, так как при линейном распределении напря-
напряжений атах = Mz/Wz. Поэтому Мт = aTWz = ат • -ВН2.
При дальнейшем увеличении момента М пластические де-
деформации распространяются от верхних и нижних волокон к
волокнам, лежащим ближе к нейтральной оси, и распределение
напряжений примет характер, показанный на рис. 13.8 б. В пре-
Рис. 13.7
Мпред
Мт < М< Мпред
б
Рис. 13.8
дельном случае пластическая деформация распространится на
все сечение (рис. 13.8 в). Пунктиром на рисунке показаны рав-
равнодействующие усилий в растянутых и сжатых волокнах. Зна-
Значение предельного момента равно
Мпред = NpyTp
NcyTC = 2aT • Х-ВЯ • ±Н = ±
A3.2.3)
Таким образом, для балки прямоугольного сечения Мпред в 1,5
раза больше Мт.
Предельный момент для балки произвольного по форме се-
сечения можно подсчитать аналогично. В предельном состоянии
(рис. 13.9) равнодействующие усилия в растянутой и сжатой
13.2 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 431
зоне образуют момент, поэтому они равны, т.е.
я пред
Рис. 13.9
Здесь Fp и Fc — площади действия растягивающих и сжима-
сжимающих напряжений. Отсюда видно, что для рассматриваемого
нами случая материала, оди-
одинаково работающего на ра-
растяжение и сжатие, т.е. при
<тТр = <ттс = <тт в предель-
предельном состоянии площади рас-
растянутой и сжатой зоны сече-
сечения равны и нейтральная ли-
линия делит площадь сечения
пополам (тогда как при упру- F' Ф ' Nc=oTFc
гих деформациях нейтраль-
нейтральная линия проходит через
центр тяжести сечения). Ве-
Величину предельного момента подсчитать нетрудно. Если утр и
Уте — расстояния от нейтральной линии до центров тяжести рас-
растянутой и сжатой зон сечения, то
Мфед = NpyTp + NcyTC = aTFpyTp + aTFcyTC = aT(\Sp\ + \SC\).
A3.2.4)
Здесь Sp и Sc — статические моменты относительно нейтральной
линии растянутой и сжатой зон.
Деформацию балки по мере увеличения момента характери-
характеризует зависимость ее кривизны 1/р от момента М (рис. 13.10.).
Пока М < Мт, деформации упру-
упруги и 1/р = M/(EJZ), т.е. кривиз-
кривизна пропорциональна моменту. Далее
рост кривизны начинает непропорци-
непропорционально увеличиваться. При прибли-
приближении М к Мпред малому прираще-
приращению момента соответствует большое
приращение кривизны, т.е. поведение
балки становится близким к поведе-
поведению растянутого стержня при воз-
возникновении в нем текучести в том
смысле, что при достижении предельной нагрузки деформация
стержня становится неопределенной.
13.2.3. Рассмотрим теперь двухопорную балку прямо-
прямоугольного сечения, нагруженную силой посередине пролета
(рис. 13.11). Предельная величина силы РПред будет достигнута,
когда максимальный изгибающий момент станет равным MnpeA.
При этом на балке образуются следующие характерные участ-
участки: 1) АВ, DE, где Mz ^ Мт и поэтому деформации упруги,
1/р
М
Мт
Рис. 13.10
м
пред
432
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
т.е. атах < аТ; 2) BCD, где Мт < Mz ^ Mupe^ и деформация
части волокон становится пластической. Соответствующие эпю-
эпюры напряжений ах показаны на рис. 13.11 а. Зона пластических
деформаций волокон заштрихована.
Пластический
шарнир
Рис. 13.11
В сечении С, где действует момент MnpeA, все волокна на-
находятся в состоянии текучести, и становится неопределенным
значение кривизны, т.е. одному и тому же моменту Мпред отве-
отвечает бесконечное множество значений кривизны. Поэтому бал-
балка ведет себя так, как будто в сечении С имеется шарнир, т.е.
как балка, изображенная на рис. 13.11 б. Говорят, что в сечении
С образовался пластический шарнир. Используя такую модель
балки, легко найти величину РПред из условий равновесия, на-
например, ее части СЕ. Для нее условие ^Мс = 0 запишется
как Мпред - 2^пред * ^ = °' Отсюда с учетом A3.2.3) РпреД =
= 4Мпред// = атВН2/1.
Отметим две важные особенности приведенного решения.
1. Для определения Рцред не важны размеры и формы зо-
зоны пластических деформаций, а важен только тот факт, что в
момент, когда М^тах становится равным Мпред и в сечении С
образуется пластический шарнир. В результате этого балка ста-
13.2 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 433
новится механизмом (пластическим механизмом), т.е. приобре-
приобретает степень свободы — возможность участков балки АС и СЕ
поворачиваться друг относительно друга. А это и позволяет со-
составить уравнение равновесия ^ Мс = 0 для части балки СЕ.
Таким образом, как и для ферм, момент достижения предельной
нагрузки сопровождается превращением системы в кинематиче-
кинематически изменяемую — в пластический механизм.
2. Так как балка находится в состоянии поперечного изгиба,
в ней кроме изгибающих моментов Mz возникают перерезыва-
перерезывающие силы Qy и, следовательно, касательные напряжения тху.
Их влиянием мы пренебрегаем, предположив, что продольные
волокна достигают состояния текучести, когда нормальные на-
напряжения в них становятся равными ат. Это предположение ча-
частично оправдано тем, что пластический шарнир образуется в
сечении, где действует Mzmax, a в таких сечениях перерезыва-
перерезывающая сила Qyi как правило, меняет знак (плавно или скачком),
а значит, меняют знак касательные напряжения тху, т.е. вблизи
этого сечения изгиб балки близок к чистому.
Пример 13.2. Найдем предельную нагрузку для рамы,
показанной на рис. 13.12 а. Сечение рамы — тонкостенная труба
Рис. 13.12
диаметра d и толщины 6. Видно, что Mzm8lX возникает в сече-
сечении А, где и образуется пластический шарнир. Поэтому в пре-
предельном состоянии рама становится пластическим механизмом
(рис. 13.12 б). Из условий его равновесия, например, из условия
^ Ма = 0, для участка АВ получаем Мцред = Дгред^- Поэто-
Поэтому ^пред = Л^пред/7- Величину MnpeA для тонкостенной трубы
найдем по формуле A3.2.4)
= 2gtSz,
434
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
где Sz — статический момент верхней части сечения. Легко под-
ть
= aTd2S/l.
считать, что Sz = -d?S. Поэтому MnpeA = aTd25, а РПред
Рис. 13.13
13.3. Расчет предельных нагрузок
для статически неопределимых систем
13.3.1. Чтобы разобраться в особенностях поведения ста-
статически неопределимых систем при упругопластических дефор-
деформациях, рассмотрим простую трехстерж-
невую систему (рис. 13.13). По мере ро-
роста нагрузки Р наступит момент, когда
в том стержне, где возникают наиболь-
наибольшие напряжения (сжимающие или растя-
растягивающие), они станут равными аТ1 т.е. в
этом стержне наступит текучесть. Одна-
Однако это еще не значит, что несущая спо-
способность конструкции исчерпана — два
других стержня обеспечивают кинема-
кинематическую неизменяемость системы. При
дальнейшем росте нагрузки усилие в том
стержне, где наступила текучесть, будет
оставаться постоянным и равным предельному Л^Пред = <?TF.
А в оставшихся стержнях усилия растут, пока в одном из них
также не будет достигнуто предельное усилие. В этот момент
текучесть наступит уже в двух стержнях; оставшийся упругим
стержень уже не может обеспечить кинематическую неизменя-
неизменяемость системы, и она превращается в пластический механизм,
т.е. ее несущая способность будет исчерпана. Рассуждая так для
случая более сложной статически неопределимой системы, необ-
необходимо для определения предельной нагрузки рассмотреть весь
процесс ее нагружения, а для этого уже на первом этапе нагру-
жения потребуется раскрыть статическую неопределимость си-
системы, чтобы найти тот стержень, в котором текучесть наступит
в первую очередь. Однако если нужно найти только предельную
нагрузку, то возможно более простое решение. Рассмотрим его
для системы, показанной на рис. 13.13. Стержни системы оди-
одинаковые и имеют одинаковую предельную силу Л^Пред = aTF
на растяжение и сжатие. Выбираем в этой один раз статически
неопределимой системе в качестве лишней связи стержень 1 и
заменим его усилием X. Напряженное состояние построенной
таким образом статически определимой системы (рис. 13.14 а)
можно представить как сумму грузового состояния (рис. 13.14 б)
и состояния самонапряжения (рис. 13.14 в). Усилия в стержнях
13.3 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 435
в этих двух состояниях легко найти из условий равновесия уз-
узла А. В грузовом состоянии они равны
Рис. 13.14
Для состояния самонапряжения Nl = X уравнения равнове-
равновесия узла А следующие:
Решая их, получаем
Nl = X, Щ = -0,258Х, Щ = 0,965Х.
Тогда усилия в стержнях системы равны
Ni = N® + Nl = X, N2 = N2 + Щ = 0,707P - 0,258X,
A3.3.1)
N3 = 7V3° + TVJ = -0,707P + 0,965X.
Эти выражения построены так, что усилия независимо от ве-
величин сил Р и X всегда удовлетворяют условиям равновесия.
Поэтому их называют статически возможными. Если усилие
X равно действительно действующему в 1-м стержне усилию, то
статически возможные усилия оказываются равными истинным
усилиям.
436
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
При упругопластических деформациях усилия в стержнях
системы ограничены предельными величинами, т.е. должны
удовлетворять следующим неравенствам:
N,
пред ^
у пред ->
г N3 < NnpeA. A3.3.2)
Учитывая выражения A3.3.1), приходим к системе неравенств:
0,707Р - 0,258Х ^ 7У
^ -0,707Р + 0,965Х
A3.3.3)
7Уп
Упред.
На плоскости РХ эти неравенства определяют шестиуголь-
шестиугольную область, показанную на рис. 13.15. Точкам внутри этой
области соответствуют
статически возможные
состояния, строго удов-
удовлетворяющие условиям
A3.3.3). Поэтому в
этих состояниях уси-
усилия в стержнях не
достигают предель-
предельных величин. Точкам,
находящимся на сто-
сторонах шестиугольника,
соответствуют такие
состояния, когда в
одном из стержней
появилось предельное
усилие. Например, в
точке F усилие N2 рав-
равно Л^пред- При этом два
оставшихся упругими
б
р о
стержня обеспечива-
обеспечивают кинематическую
неизменяемость системы. И, наконец, точкам в вершинах
области соответствуют состояния, когда усилия уже в двух
стержнях достигают предельных величин. В этих случаях
упругим остается только один стержень, и система становится
кинематически изменяемой.
Сама рассматриваемая область называется областью допу-
допустимых состояний. Рассмотрим, в каком виде процесс нагру-
жения отображается на плоскость РХ. Пусть в ненагруженном
состоянии усилия в стержнях системы равны нулю. Этому со-
состоянию системы соответствует точка О начала координат на
плоскости РХ (см. рис. 13.15). По мере увеличения силы Р
13.3 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 437
сначала деформации всех стержней будут упругими, и поэто-
поэтому усилие X будет расти пропорционально нагрузке Р. Следо-
Следовательно, точка, соответствующая такому состоянию системы,
будет двигаться по прямой, выходящей из начала координат,
пока она не достигнет границы области допустимых состояний
(точка F на рис. 13.15). В этот момент в одном из стержней
системы будет достигнуто предельное усилие NupeA, в данном
случае N2 = Л^пред- В дальнейшем при увеличении Р усилие
в этом стержне остается постоянным и равным Л^Пред и в нем
развиваются пластические деформации. А точка, соответствую-
соответствующая состоянию системы, начинает двигаться уже вдоль границы
области допустимых состояний, пока не достигнет угловой точ-
точки D. В этот момент пластические деформации появятся также
и в другом стержне (N\ = Л^Пред), система станет кинематически
изменяемой и ее несущая способность исчерпается, т.е. будет до-
достигнута предельная нагрузка. Координаты точки D легко най-
найти как координаты точки пересечения двух прямых
И N2 =
С учетом выражений A3.3.1) получаем систему двух уравне-
уравнений
X = Жпред, 0,707Р - 0,258Х = 7Упред.
Решение этой системы и дает предельную нагрузку для си-
системы
*:пред = J-5 • о7уПред.
Отметим два важных момента.
1. Хотя в других угловых точках области допустимых состоя-
состояний пластичность также имеет место в двух стержнях, но в этих
точках возможна такая деформация системы, что нагрузка на
нее увеличивается, а состояние остается допустимым. Например,
при увеличении нагрузки на систему соответствующая ей точка
из точки Е будет двигаться по прямой ED в сторону точки D
(см. рис. 13.15).
2. Состояние самонапряжения может возникнуть в системе и
при отсутствии внешней нагрузки, например, вследствие нагре-
нагрева или при монтаже из-за неточностей изготовления и т.п. Тогда
начальному состоянию (Р = 0) будет соответствовать некоторая
точка на оси X. Пусть это будет точка К (см. рис. 13.15). В этом
случае при увеличении силы Р упругим деформациям соответ-
соответствует путь KL. В точке L в системе появится текучесть в 1-м
стержне. При дальнейшем росте силы Р точка пройдет путь LD
и снова достигнет предельного состояния в точке D. Таким обра-
образом, становится очевидно, что предельная нагрузка на систему
не зависит от предварительного состояния ее самонапряжения.
И как бы система не деформировалась при увеличении нагруз-
438
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
ки, соответствующая ей точка на плоскости РХ достигнет в ито-
итоге точки D, и в этот момент система исчерпает свою несущую
способность. Рассмотренный здесь метод определения предель-
предельной нагрузки называется статическим. Для определения этим
методом предельной нагрузки необходимо знать область допу-
допустимых состояний. Тогда не нужно рассматривать процесс на-
гружения системы.
Среди множества допустимых состояний предельным бу-
будет то, для которого нагрузка максимальна. Это и есть об-
общий принцип статического метода. Он применим и для много-
многократно статически неопределимых систем, для которых область
допустимых состояний будет уже не плоской, а многомерной.
Хотя наглядность метода в таком случае теряется, но, так как
решение сводится к анализу системы неравенств вида A3.3.2),
его легко формализовать и реализовать в виде программы для
ЭВМ.
13.3.2. Другой метод оценки предельной нагрузки, назы-
называемый кинематическим, основан на рассмотрении возможных
пластических механизмов, которые могут образоваться в ре-
результате появления предельных усилий в элементах системы.
Так, для данной на рис. 13.13 фермы возможны три пластиче-
/•cosl5°
пред
пред
15
/•sinl5°
Рис. 13.16
ских механизма, показанные на рис. 13.16. Для определения ве-
величин Рпред потребуем равенства нулю моментов, действующих
на эти системы сил, относительно точек В, С и D соответствен-
соответственно. Получим:
1. ? Мв = 0: NnpeAl + ЛГпред/ sin 15° -
= 0 —> Рпред = 1,78.ЛГПред.
2. ? Me = 0:
= 0 —> Рпред = 2,78-/Упред.
+ iVnpeflZ cos 15° -
cos 45° =
cos 45° =
13.3 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 439
3.
= 0: NnpeAl cos 15°
sin 15° -
sin 30° =
= 0
Очевидно, что реальная предельная нагрузка не может быть
меньше, чем минимальная из полученных.
рC) _
^пред ~
Поэтому
Сопоставим полученный результат с решением статическим
методом, которое дало, что РПред = 157&Л/пРед- Видно, что ниж-
нижняя оценка предельной нагрузки может оказаться даже ниже
той силы Рт, при которой пластические деформации появились
C)
только в одном 2-м стержне. На рис. 13.15 величина Рпред соот-
соответствует точке Е, а Рт соответствует точке F, и поэтому Рт >
> РC)
С
рд
Основной принцип кинематического метода следующий: пре-
предельная нагрузка не может быть меньше нагрузки, минималь-
минимальной для всех возможных пластических механизмов.
13.3.3. Во многих случаях статический и кинематический
методы приводят к одному и тому же решению для РПред- Это
можно увидеть на следующих примерах.
Пример 13.3. Найдем предельную величину силы Р,
приложенной к статически неопределимой балке (рис. 13.17 а).
Сначала применим кинемати-
кинематический метод. Характер эпю-
эпюры изгибающих моментов мож-
можно восстановить по характеру
упругой линии, которая пока-
показана пунктиром. Вблизи задел-
заделки сжатые волокна расположе-
расположены снизу, а на остальной ча-
части — сверху. А эпюра Mz
должна располагаться со сто-
стороны сжатых волокон. Нужно
также учесть, что ввиду отсут-
отсутствия распределенной нагрузки
эпюра будет линейна по участ-
участкам балки, а в точке приложе-
приложения сосредоточенной силы на
ней будет угловая точка. Пла-
Пластический механизм образуется
тогда, когда изгибающие моменты в сечениях А ж В достиг-
достигнут своего предельного значения, и в этих сечениях образуются
пластические шарниры. Этот пластический механизм показан
на рис. 13.17 б. Реакцию Re можно найти из условия, что для
Рис. 13.17
440
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
участка ВС должна быть равна нулю сумма моментов действу-
действующих на него усилий относительно точки В. Поэтому Re =
м
_ —пред доставив моментное условие равновесия относительно
точки А для всей балки, получим РПред ^ 6Мпред//. Величи-
Величина МПред определяется фор-
формой и размерами поперечно-
поперечного сечения балки и пределом
текучести ат ее материала по
формуле A3.2.4).
Рассмотрим теперь реше-
решение этой задачи статическим
методом. В качестве лишней
примем связь, запрещающую
поворот сечения в заделке, и
заменим ее моментом X. На
рис. 13.18 показана эквива-
эквивалентная система и изгибаю-
изгибающие моменты в грузовом со-
Рис. 13.18 стоянии и состоянии самона-
самонапряжения. Состояние балки
будет допустимым, если максимальные изгибающие моменты,
действующие в сечениях А и Б, не превысят предельных мо-
моментов, т.е. если выполнятся неравенства
X
Х/2
-М
пред
MzA = X
MzB = \Р1 -\
М
A3.3.4)
пред.
Область допустимых моментов (рис. 13.19) ограничена на плос-
плоскости -Р/, X линиями i, 2, 5,
4
4, и предельное состояние соот-
соответствует точке А, в которой
1 3
-Мпред
у
7
- lc\
X
в/4
I
Мпред j
I A/5 ,
/
Id
1
2"Мпред
Мпред
-Мпред
Отсюда Рпред = 6Мпред//.
Ситуация, когда пластиче-
пластический шарнир возникает в опоре,
типична для статически неопре-
неопределимых балок. Поэтому в рас-
Рис 13 19 смотренном примере первое из
неравенств A3.3.4) можно сразу
заменить на равенство X = MnpeA. Тогда второе неравенство в
предельном состоянии обращается в равенство:
13.3 НАГРУЗКИ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ 441
Характер наложения в предельном состоянии эпюр грузово-
грузового состояния и состояния самонапряжения показан на рис. 13.20.
Этот вариант статического мето-
метода называется методом вырав-
выравнивания моментов.
Пример 13.4. Най-
Най1 """
г /4
пред •
я пред
^Рпред • / - Мпред
Рис. 13.20
ример
дем предельную нагрузку q для
балки длиной /, показанной на
рис. 13.21 а. Сначала сделаем это
кинематическим методом. Пла-
Пластические шарниры возникают в
сечениях А и В, но положение
сечения В неизвестно. Обозначим его координату через х. Со-
Соответствующий пластический механизм показан на рис. 13.21 б.
Из условий равновесия получен-
полученного механизма найдем дПред- В
этой задаче удобно воспользо-
воспользоваться принципом возможных пе-
перемещений, который устанавли-
устанавливает, что в положении равновесия
работа действующих на систему
сил на возможных перемещениях
равна нулю. В качестве возмож-
возможного перемещения зададим пере-
перемещение 8 сечения В. Тогда ра-
работа предельной нагрузки будет
равна
2
-х)--6= -9пред^-
Кроме нагрузки, работу соверша-
совершают моменты Мдред, два из ко-
которых повернутся на угол /3 =
— 8/A — х) и один — на угол а — 8/х. Поэтому
Rm = -
-мпред- = -м1
— х
: - x ~" x
Знак « —» здесь учитывает, что поворот происходит против на-
направления моментов. Так как Rq + Rm = 0, то легко получить,
что
2Мпр
^-^-^пред
I
A3.3.5)
Каждому положению пластического шарнира, т.е. каждой ве-
величине ж, соответствует пластический механизм, поэтому мы
442
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
имеем в этой задаче бесконечное множество пластических меха-
механизмов. По принципу кинематического метода нижнюю оценку
дает тот механизм, которому соответствует минимальная пре-
предельная нагрузка. Таким образом, реальная предельная нагруз-
нагрузка для балки
<7пред > ()
Из условия dqUpeA(x)/dx = 0 получаем уравнение
- J- = 0.
х2
A-х)*
После приведения его к общему знаменателю приходим к
квадратному уравнению х2 + 21х — /2 = 0, корни которого х\^ =
= /(±д/2 — 1). Ясно, что поскольку пластический шарнир должен
быть расположен внутри пролета, то 0 < х < /. Поэтому имеет
смысл только один из корней, а именно х = 1{у2 — 1). Этот ко-
корень и определяет реальное положение пластического шарнира.
Подставив его значение в выражение A3.3.1), получаем
9пред ^ (V2-l)B-V2) Г" = П'7-|Р-
Особенность применения кинематического метода здесь в том,
что рассматривается бесконечное множество пластических ме-
механизмов, определенное одним параметром — координатой х по-
положения пластического
шарнира.
Для анализа этой бал-
балки статическим методом
используем метод вырав-
выравнивания моментов. На
рис. 13.22 показано нало-
наложение эпюр грузового со-
состояния
q
М.
гпред
-м
пред /
Рис. 13.22
и состояния самонагру-
жения (при X = )
м1 = -мпред|.
Здесь ? — расстояние от
правой опоры до сечения. Тогда в предельном состоянии макси-
максимальный изгибающий момент внутри пролета должен оказаться
равным Мпред. Поэтому
|] =М,
пред-
3.13 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 443
Из этого равенства легко получаем тот же результат дПред =
= 11,7Мпред//2, который только что получен кинематическим
методом.
В.13. Контрольные вопросы
В. 13.1. Как схематизируются диаграммы а(е) для упруго-
пластичного материала с упрочнением и без упрочнения (иде-
(идеального), для жесткопластичного материала с упрочнением и
без упрочнения?
В. 13.2. Почему при упругопластических деформациях не
действует принцип суперпозиции?
В. 13.3. Из какого условия определяется предельная нагруз-
нагрузка для статически определимой фермы? Какое дополнительное
условие определения предельной нагрузки необходимо учесть
для сжатых стержней фермы?
В. 13.4. Как качественно изменится состояние фермы, если
нагрузка достигнет предельного значения?
В. 13.5. При каком характере распределения напряжений
в поперечном сечении консольной балки прямоугольного сече-
сечения приложенный на ее конце момент достигает значений Мт и
Л^пред? Как вычислить эти значения?
В. 13.6. Как нейтральная линия делит поперечное сечение
балки в предельном состоянии? Как вычисляется предельный
момент Мдред для балки произвольного по форме сечения?
В. 13.7. Что такое пластический шарнир? Почему при обра-
образовании пластического шарнира в балке она становится кинема-
кинематически изменяемой?
В. 13.8. Какие условия определяют область допустимых со-
состояний для статически неопределимой фермы?
В. 13.9. Как по области допустимых состояний определяет-
определяется предельное состояние системы и, соответственно, предельная
нагрузка? Сформулируйте принцип, лежащий в основе опреде-
определения предельной нагрузки статическим методом.
В. 13.10. Как формулируется основной принцип кинемати-
кинематического метода определения предельной нагрузки в статически
неопределимой системе?
3.13. Задачи
3.13.1. Предполагая материал балки (см. рис. 13.23) упру-
гопластичным без упрочнения, определить предельное значение
интенсивности нагрузки дПред5 если /, а и <тт заданы.
444
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
ГЛ. 13
3.13.2. Для показанной на рис. 13.24 стержневой системы
определить статическим и кинематическим методами величину
предельной нагрузки РПред5 полагая предел текучести материа-
материала стержней <тт и площадь поперечного сечения F заданными.
Материал стержней — идеально у пру гоп ластичный.
21
Сечение балки
\ql
1
T 1
XF
a
Г 1
/F
a
J О С
t
/F
2a
,
T
)
А В С
Рис. 13.24
/ , , /
Рис. 13.23
Рис. 13.25
3.13.3. Применяя статический метод, найти предельное зна-
значение нагрузки РПред Для балки (см. рис. 13.25) прямоугольного
поперечного сечения В х Н, если Б, Н и ат заданы. Матери-
Материал балки считать идеально упругопластичным. Решить эту же
задачу кинематическим методом.
ГЛАВА 14
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
В первой главе (п. 1.1.3) в качестве критерия, разделяющего
нагрузки на статические и динамические, названа существен-
существенность инерционных сил деформационного движения тела. Ес-
Если тело закреплено так, что у него нет степеней свободы, то
его точки способны совершать движение только вследствие его
деформаций. В практике часты случаи, когда деформационное
движение является лишь частью общего движения тела (само-
(самолет, автомобиль, детали кривошипно-шатунного и других меха-
механизмов и т.п.). Поэтому прежде всего возникает необходимость
разделения общего движения на движение как жесткого тела
и деформационное движение. Примеры такого разделения даны
в 14.1. А в 14.2-14.5 как пример динамического нагружения рас-
рассмотрено поведение упругих систем при ударном нагружении.
14.1. Квазистатическое нагружение
14.1.1. Рассмотрим стержень длины / и постоянного по-
поперечного сечения F', движущийся вертикально под действием
осевой силы Р (рис. 14.1 а). Это — простейшая модель ракеты.
Кроме силы Р, на стержень действует его вес G = gpFl = gM
(р — массовая плотность; g — ускорение свободного падения).
Вес непрерывно распределен по стержню и его можно предста-
представить в виде равномерной погонной вертикальной нагрузки с ин-
интенсивностью qB = G/l = gpF.
В неподвижной системе координат стержень движется с вер-
вертикальным ускорением, которое по закону Ньютона равно а =
= (Р — G)/pFl = (Р — G)/M. Для определения возникающих в
стержне внутренних сил перейдем в систему координат, связан-
связанную с ним (ось х на рис. 14.1 а). Так как эта система неинерци-
альна, то по принципу Даламбера переход к ней должен быть
компенсирован приложением к стержню сил инерции. Как и
вес, силы инерции также равномерно распределены по объ-
446
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
ГЛ. 14
ему стержня (ускорения всех его точек одинаковы) и их также
можно представить как равномерную погонную нагрузку с ин-
интенсивностью ди = аМ /I =
/ Т~» S~4\ /7 Т 1"
1 Р1
2 EF
N
\
Рис. 14.1
= (Р — G)/l. И вес, и инерци-
инерционная сила направлены вниз,
поэтому общая их интенсив-
интенсивность q = qB + ди = P/l. Та-
Таким образом, переход к свя-
связанной со стержнем систе-
системе координат привел нас к
расчетной схеме, данной на
рис. 14.1 5, где также пока-
показана продольная сила 7V, на-
напряжения ах и перемещения
6 сечений стержня относи-
относительно его нижнего сечения.
Рассмотрим теперь стер-
стержень, вращающийся в плос-
плоскости жу, с постоянной угло-
угловой скоростью ио (рис. 14.2).
Если перейти в систему коор-
координат, связанную со стерж-
стержнем, и начало координат выбрать на оси вращения, то, по прин-
принципу Даламбера, необходимо в этой системе координат учесть
силы инерции, которые в дан-
данном случае являются центро-
центробежными. Центробежная сила,
действующая на элемент dr с
массой dm = pFdr, равна
dmuo2r. Ее можно представить
как погонную радиальную на-
F
Рис. 14.2
Рис. 14.3
грузку с интенсивностью q(r) = dm-uP'r/dr = pFuP'r. Тогда рас-
расчетная схема для стержня примет вид, показанный на рис. 14.3,
14.1
КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
447
где go = pFuo2l. Там же даны эпюры продольной силы N(r) и
радиальных перемещений д(г) сечений стержня. Собственный
вес стержня не учитывается.
При расчете вращающейся рамы (рис. 14.4 а) собственный
вес также учитывать не будем. Если угловая скорость враще-
/
/
I
1-
-4-
/
\
Рис. 14.4
ния рамы постоянна, то при переходе к системе координат, свя-
связанной с плоскостью рамы, нужно учесть только центробежные
силы. В результате приходим к расчетной схеме, показанной на
рис. 14.4 б. Раскрыв статическую
неопределимость этой рамы с учетом
двух осей симметрии, приходим к эпю-
эпюре изгибающих моментов Mz, действу-
действующих в плоскости рамы и показанных
на рис. 14.4 в.
Если рама плавно разгоняется
или затормаживается приложенным к
верхней оси моментом М, то ее движе-
движение равноускорено или равнозамедле-
но и имеет ускорение е = M/Jq, где
Jo — момент инерции рамы относи-
относительно ее оси вращения. В этом слу-
случае при переходе в связанную с ра-
рамой координатную систему необходи-
необходимо учесть силы инерции, которые действуют перпендикулярно
плоскости рамы. Они показаны на рис. 14.5. Величину qn мож-
можно определить из условия равновесия рамы в связанной с ней
системе координат:
Рис. 14.5
УМ9=0: М - 2 ¦ 2qnll - 4 • -qnl-l = 0.
448 ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ ГЛ. 14
Здесь второе слагаемое является моментом нагрузки, приложен-
приложенной к вертикальным участкам, а третье — к горизонтальным. Из
3 М
этого уравнения видно, что qn = -.
Во всех рассмотренных выше примерах после перехода к свя-
связанной с телом системе координат задача сводилась к расчетной
схеме, в которой нагрузка не зависела от времени. Такого рода
нагрузка называется квазистатической.
14.1.2. Более сложным является случай, когда при перехо-
переходе к связанной с телом координатной системе нагрузка остается
зависимой от времени. Так,
например, будет при расче-
расчете шатуна АВ кривошипно-
кривошипного механизма (рис. 14.6 а).
При вращении кривошипа
О А шатун совершает слож-
сложное движение в плоскости.
При переходе к связанной
с шатуном системе коорди-
координат ?, г/ нужно, по принципу
Даламбера, учесть действую-
действующие на шатун инерционные
силы, появляющиеся вслед-
вследствие ускорений его точек.
Рис. 14.6 Сам шатун при этом рассма-
рассматривается как жесткое тело.
А движение точек шатуна в системе ?, г/ уже будет деформа-
деформационным движением. Инерционные нагрузки, действующие на
шатун, должны быть уравновешены реакциями его взаимодей-
взаимодействия с кривошипом О А и поршнем В. Инерционные нагрузки
здесь периодические, поэтому деформационное движение шату-
шатуна также периодическое, иными словами, шатун в системе ко-
координат ?, г\ совершает упругие колебания. Возникает вопрос,
как велики эти колебания, надо ли их учитывать. На этот счет
есть общая рекомендация: если частота изменения периодиче-
периодической нагрузки существенно меньше частоты собственных коле-
колебаний шатуна как балки в осях ?, т\ (рис. 14.6 б\ то действующие
на шатун инерционные нагрузки можно рассматривать как ста-
статические и не учитывать его колебаний. При этом расчетным
окажется тот момент времени, в который в шатуне возникают
максимальные напряжения. Если же частоты нагрузки и соб-
собственных колебаний шатуна близки, то колебания существенны.
Они нарастают при сближении частот, т.е. при приближении к
резонансу.
Непериодические нагрузки можно разделить на статические
и динамические аналогично. Если время нарастания нагрузки
14.2 УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ 449
велико по сравнению с периодом собственных колебаний систе-
системы — такие нагрузки можно рассматривать как статические.
Если же это время близко или меньше периода собственных ко-
колебаний системы, то динамический эффект существенен и рас-
расчет системы на действие таких нагрузок требует рассмотрения
процесса ее деформационного движения.
14.2. Ударное нагружение. Техническая теория удара
14.2.1. Ударное нагружение происходит при соударении
тел. Будем рассматривать удар движущегося тела по неподвиж-
неподвижной упругой системе. Размеры площадки, по которой происхо-
происходит контактное взаимодействие тела с системой, будем считать
малыми в сравнении с характерным размером системы, чтобы
возникающие силы ударного взаимодействия можно было счи-
считать сосредоточенными в точке удара.
Деформации системы при ударном взаимодействии можно
разделить на локальные и общие. Локальные деформации со-
сосредоточены вблизи точки удара. Они зависят от механических
свойств материала как ударяющего тела, так и системы, от фор-
формы соударяющихся поверхностей в районе их контакта и т.д.
Здесь возможен широкий диапазон моделей — от абсолютно
упругого до абсолютно неупругого удара.
Абсолютно упругий удар — это очень кратковременный про-
процесс взаимодействия ударяющего тела и системы, в результа-
результате которого тело отскакивает, а система приобретает некоторый
импульс движения в направлении удара. При этом кинетическая
энергия, которую имело тело в момент непосредственно перед
ударом, полностью переходит в кинетическую энергию тела и
системы после удара.
При абсолютно неупругом ударе ударяющее тело как бы
«прилипает» к системе и далее движется вместе с ней.
14.2.2. Чтобы разобраться в том, какой из этих случаев
приведет к большим общим деформациям системы, рассмотрим
их на примере соударения двух шаров.
Абсолютно неупругий удар. Пусть шар с
массой Mi движется со
скоростью Vo и, столкнув-
столкнувшись с неподвижным ша-
шаром массы М2, продол- Мх
жает двигаться вместе с
ним со скоростью V. На а
рис. 14.7 а шары показа-
ны до столкновения, а на ис'
рис. 14.7 б — после него. По закону сохранения импульса Mi Vo =
= (Mi + M<2)V. Отсюда легко получить скорость шаров после
15 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
450 ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ ГЛ. 14
удара
V= Д/ГМ* Vo. A4.2.1)
Mi + М2 v J
Кинетические энергии шаров до и после столкновения равны
соответственно
1 A4.2.2)
т —
J-неупр —
Различие кинетических энергий в моменты до и после уда-
удара объясняется тем, что при абсолютно неупругом ударе часть
энергии рассеивается на необратимую де-
деформацию ударяющихся тел.
Абсолютно упругий удар.
Пусть столкновение тех же шаров М\ и
М2 абсолютно упруго, т.е. энергия сохра-
Рис 14 8 няется. Если V\ и V2 — скорости шаров
М\ и М2 после удара (рис. 14.8), то, по
закону сохранения импульса,
MiVb = MiVi + M2V2l A4.2.3)
а по закону сохранения энергии,
A4.2.4)
Решая совместно эти два уравнения, получим
т/ 2Mi т/ т/ Mi - М2
(ЛА 9 гч
В результате столкновения второй шар приобретает кинетиче-
кинетическую энергию:
14.2.3. Для исследования удара по упругой системе рас-
рассмотрим ее простейшую модель, когда масса М2 подкреплена в
направлении удара упругой пружи-
пружиной (рис. 14.9). В этой модели общей
деформацией является деформация
пружины. В результате удара мае-
са М2 начинает двигаться, сжимать
пружину и в конце концов достигает рис ^.9
крайнего правого положения, в кото-
котором пружина будет максимально сжата. С точки зрения проч-
прочности, этот момент самый опасный, так как именно тогда в пру-
пружине будут достигнуты максимальные деформации и, следова-
следовательно, максимальные напряжения. Далее под действием упру-
14.2 УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ 451
гих сил масса М2 начнет двигаться влево, а пружина — рас-
распрямляться (возможные повторные столкновения при упругом
ударе не учитываются).
Время, прошедшее от начала соприкосновения масс до мо-
момента максимальной общей деформации, обозначим через t\.
Другим характерным временем будет время соприкосновения
масс при упругом ударе или время от начала соприкосновения
масс до момента, когда их скорости сравняются при неупругом
ударе. Это — время локальных деформаций, обозначим его че-
через *2-
Время максимальных деформаций t\ определяется в основ-
основном массами и жесткостью пружины. Нетрудно понять, что для
абсолютно неупругого удара оно близко к одной четверти пери-
периода to собственных колебаний массы М\ + М2 на пружине. Дей-
Действительно, движение системы близко к колебательному движе-
движению масс М\ + М2 на пружине, которое возникает после полу-
получения этими массами толчка в начальном (т.е. при недеформи-
рованной пружине) положении.
Время локальных деформаций ?2 зависит в основном от де-
деформационных характеристик материала, его плотности, фор-
формы соударяющихся масс. Как правило, оно мало по сравнению
с *i, т.е. *2 ^ *1-
В технической теории удара в качестве первой гипотезы при-
принимается, что время локальных деформаций ?2 мало в сравне-
сравнении со временем t\ достижения максимальных общих деформа-
деформаций (гипотеза I).
Г и п о т е з а I: ?2<*ь A4.2.7)
В таком случае деформация пружины и возникающее вслед-
вследствие этого упругое усилие будут за время ?2 малы и можно
пренебречь их влиянием на процесс соударения масс М\ и М2,
т.е. считать, что передача импульса от массы М\ к М2 происхо-
происходит мгновенно и результат ее определяется формулами A4.2.1),
A4.2.2) — для абсолютно неупругого и A4.2.5), A4.2.6) — для
абсолютно упругого удара. В этих формулах Тнеупр и Тупр пред-
представляют собой те кинетические энергии, которые в момент наи-
наибольшей деформации пружины полностью перейдут в потенци-
потенциальную энергию деформации. Сравнивая Тупр и Тнеупр, видим,
что
т _ 4М2 гр
упр " М! + м2 неупр-
Поэтому Тупр > Тнеупр при М\ < ЗМ2, и в этом случае модели
абсолютно упругого удара соответствуют большие деформации
пружины, потому ее и следует принять в качестве расчетной.
А если Mi > ЗМ2, то расчетной окажется модель абсолютно
неупругого удара.
15*
452
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
ГЛ. 14
Заметим, что выше рассмотрен простейший случай упругого
удара, когда обе массы после удара двигаются в том же направ-
направлении, в каком двигалась ударяющаяся масса. Это так называе-
называемый лобовой удар. При соударении шаров этот случай реализу-
реализуется только когда траектория ударяющего шара проходит через
центр ударяемого.
В остальных случаях (это можно наблюдать на примере
биллиардных шаров) после удара шаров их скорости меняют
направление. Анализ этой ситуации показывает, что наиболее
опасным является как раз случай лобового удара.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением абсолютно
неупругого удара. Решение тех же задач для случая абсолютно
упругого удара не вносит принципиальных трудностей, и чита-
читатель вполне может провести его самостоятельно.
14.2.4. Пока обсуждался вопрос о модели локальных де-
деформаций при ударе, общую деформацию можно было пред-
представить в рамках простейшей модели упругой системы — мас-
массы М2 на упругой пружине, собственная масса которой не учи-
учитывалась. Рассмотрим более сложную упругую систему — бал-
балку с массой М2 (рис. 14.10 а). Процесс деформации балки при
А
а
Рис. 14.10
ударе, вообще говоря, очень сложен. От точки удара по балке
распространяются возмущения (рис. 14.10 б). Скорости их рас-
распространения различны. Так, продольные возмущения распро-
распространяются со скоростью звука в материале балки, изгибные —
со скоростью распространения изгибных волн и т.д. Эти скоро-
скорости, как правило, велики и время распространения возмущений
вдоль балки от точки удара до опор обычно существенно мень-
14.2 УДАРНОЕ НАГРУЖЕНИЕ 453
ше того времени, которое проходит от начала удара до момента,
когда точка удара достигнет своего нижнего положения, а бал-
балка максимально сдеформируется. Поэтому естественно прене-
пренебречь волновыми процессами и предположить, что возмущения
вдоль балки распространяются мгновенно. А такое предположе-
предположение равносильно пренебрежению влиянием инерционных сил на
деформирование балки. Другими словами, при ударе деформа-
деформация балки в каждый момент подобна статической. Математиче-
Математически это предположение означает, что поперечные прогибы балки
v, которые, вообще говоря, зависят от времени и координаты,
могут быть представлены в форме
v(x,t) = <p(t)f(x), A4.2.8)
где функция f(x) и определяет деформированную форму балки.
Если 6а — прогиб в точке удара А, то представление A4.2.8)
можно записать в виде
v(x,t)=6A(t)f(x), A4.2.9)
и так как v(xA,t) = 8а{1)-> т0 1(ха) = 1-
Важно понять, что в таком представлении функция f(x) не
зависит от вида функции 5(t), т.е. от того, является S(t) быстро
или медленно изменяющейся во времени функцией. Иными сло-
словами, вид функции /(ж), которая определяет форму деформиро-
деформирования балки, не зависит от того, какой процесс деформирования
балки — статический или динамический. Это предположение
и составляет содержание второй гипотезы технической теории
удара, которую удобно сформулировать в следующем виде:
Гипотеза II: в каждый момент времени динамиче-
динамическая деформированная форма системы подобна статической,
принимаемой системой при статическом нагружении ее со-
сосредоточенной силой в точке удара и в направлении удара.
Гипотеза II позволяет вычислять потенциальную энергию
динамической деформации балки в каждый момент времени так
же, как при статическом деформировании.
При изгибе балки в пределах закона Гука ее потенциальная
энергия деформации выражается формулой (8.7.6):
Но в то же время Mz = ±EJzv" no (8.6.4). Поэтому
П = - Г EJz(v"Jdx. A4.2.11)
2 J
454 ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ ГЛ. 14
Если подставить сюда представление A4.2.9), то
Il = ±62AfEJz{f"Jdx. A4.2.12)
I
Это выражение в рамках гипотезы II можно использовать как
для статического, так и для динамического деформирования.
Если 6СТ — статический прогиб
\р балки при нагружении ее силой Р
А] в точке удара А (рис. 14.11), то при
L^^^-"-"*^ линейно упругой деформации сила
Sct Р совершает работу -Р5СТ. В то же
Рис 14 11 время 5СТ = Р5\, где 5\ — прогиб
в точке А от единичной силы. По-
1 S2
этому работа силы Р может быть записана как --р-. Эта работа
накопится в балке в виде потенциальной энергии деформации.
Следовательно, при статическом нагружении
П = 1|к A4.2.13)
Сравнивая выражения A4.2.12), A4.2.13), видим, что
[EJz(f"Jdx = ±.
J 01
I
Кроме того, замечаем, что и при динамической деформации по-
потенциальную энергию деформации также можно подсчитать по
формуле вида A4.2.13)
П = i|i. A4.2.14)
Это является следствием гипотезы П. Отметим, что выражения
A4.2.13), A4.2.14) не зависят от конкретного вида упругой си-
системы, будь то пружина, балка и т.п. Важно только, чтобы ее
деформация была линейно упруга.
В качестве примеров применения технической теории удара
рассмотрим удар по системе горизонтально движущейся массой,
а также вертикально падающей массой.
14.3. Удар горизонтально движущейся массой
14.3.1. Сначала рассмотрим удар горизонтально движу-
движущейся со скоростью Vq массой М по балке (упругой системе),
14.3
УДАР ГОРИЗОНТАЛЬНО ДВИЖУЩЕЙСЯ МАССОЙ
455
массой которой можно пренебречь (рис. 14.12). Кинетическая
энергия ударяющей массы Т\ = -MVq по мере торможения мас-
массы силами упругой деформации балки будет преобразовываться
в потенциальную энергию деформации. В момент максимальной
деформации балки, когда ее прогиб в точке А равен ?дин, кине-
кинетическая энергия массы полностью перейдет
в потенциальную энергию деформации П =
1 Л2
_ __^_^ Таким образом, Т\ = П или
2 Oi
I&
м
Отсюда
1
А
Силу Ртах, действующую в момент макси-
максимальной деформации со стороны массы на
балку, можно найти, учитывая, что #дин =
= Pmax^l- ПОЭТОМУ
р _ ?дин _ \М\Т РИС. 14.12
^тах — ~Т— — \/ Л~
14.3.2. Пусть в месте удара на балке закреплена буферная
масса Ms (рис. 14.13 а). При абсолютно неупругом ударе по за-
закону сохранения импульса сразу же
после удара обе массы движутся со
скоростью V\ = ——гр^о- Поэтому
эта задача может быть рассмотрена
как предыдущая (рис. 14.13 б). Тогда
м мь
MS)S1 Vi =
М
Vo =
1 +
м
A4.3.1)
м+мъ
Е
¦L-ШЯ.У
Si
Рис. 14.13
14.3.3. Гипотеза II (см. A4.2.9)) позволяет в энергети-
энергетическом балансе учесть кинетическую энергию распределенной
массы. Рассмотрим балку, погонная масса которой равна га, а в
456
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
ГЛ. 14
точке удара расположена буферная масса М§ (рис. 14.14). Со-
Согласно A4.2.9) скорость точки удара с координатой ха будет
Скорость точки с координатой х равна
V(x) = §-t(v(x,t)) = ^f(x) = V(xA)f(x).
В момент непосредственно после удара V(xa) = V\. В этот мо-
момент кинетическая энергия системы равна
м
dx
м
V(x)
А
f \mdx\Vrfix)]2
(xA)=Vx A4.3.2)
В этом выражении под интегралом
> стоит кинетическая энергия элемен-
элемента балки dx, а сам интеграл предста-
представляет собой кинетическую энергию
распределенной массы балки. Мож-
Можно найти такую массу, которую назы-
Рис. 14.14 вают приведенной массой Мир и ко-
которая, будучи расположена в точке
удара, имела бы такую же кинетическую энергию, что и рас-
распределенная масса балки. Условие для определения Мпр имеет
поэтому вид
Отсюда, после сокращения на -^V\ •> получаем, что
Мпр = Г га/2(ж) dx.
l
Введение приведенной массы позволяет записать кинетическую
энергию A4.3.2) в виде
Но такая кинетическая энергия будет у безынерционной балки,
которая в точке удара массой М имеет сосредоточенную массу
14.3
УДАР ГОРИЗОНТАЛЬНО ДВИЖУЩЕЙСЯ МАССОЙ
457
М§ + Мпр. Поэтому задачу удара по балке с распределенной
массой (рис. 14.14) можно заменить задачей с сосредоточенной в
точке удара массой М$ + Мир (рис. 14.15),
рассмотренной только что в п. 14.3.2. Рас-
Расчетные формулы A4.3.1) в этом случае
примут вид
М
р _
мпах —
^
м
М
Мпр
Приведенную массу удобно предста-
влять в форме
Мпр = кпрМс, A4.3.3)
где Мс = J mdx — суммарная масса балки, /спр — коэффициент
- 14.15
mf2(x)dx
l
приведения массы.
Из A4.3.3) следует
Для балки постоянного сечения т = const, поэтому
кир = \1 f(x)dx. A4.3.5)
I
Для вычисления кир необходимо знать f(x). Найти эту функ-
функцию, определяющую деформированную форму балки, позволяет
выражение гипотезы II A4.2.9), которое справедливо, в частно-
частности, и для статического деформирования балки под действием
сосредоточенной силы в точке удара. В этом случае оно имеет
вид
vCT(x) = 5CTf(x).
Если сосредоточенную силу принять единичной, то
f(x) =
A4.3.6)
Пример 14.1. Найдем приведенную массу консоль-
консольной балки постоянного сечения при ударе по ее свободному
концу (рис. 14.16). Изгибающий момент в этой балке при дей-
действии единичной силы на конце (в точке удара) равен Mz\ =
458
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
ГЛ. 14
= 1 • (/ — х). Тогда, интегрируя дифференциальное уравнение
упругой линии
v" = Mz/EJz,
получаем
м
С2.
/vCT(x)
Рис. 14.16
Постоянные интегрирования определяют-
определяются из условий защемления балки в точке
х = 0: v@) = 0, v'@) = 0. Они равны ну-
нулю. Поэтому, имея в виду, что 5\ = г>стG),
получаем
П ' б! 2[\l) 3U
После подстановки этого выражения в
формулу A4.3.5) получаем
h — 33 —
^пр " 140 "
Тогда Мпр = 0,235Мс.
\м
14.4. Удар вертикально движущейся массой
14.4.1. Для того чтобы разобраться в особенностях энерге-
энергетического баланса при ударе вертикально движущейся массой,
рассмотрим балку с пренебрежимо малой собственной массой,
по которой ударяет падающая с высоты h масса М (рис. 14.17).
При таком ударе нет столкнове-
~ ния двух масс, поэтому скоро-
скорости массы М в моменты непо-
непосредственно до и после уда-
—^^ ра будут одинаковы и равны
Vb = \/2gh, где g — ускоре-
ускорение свободного падения. В этот
момент кинетическая энергия
массы равна Т = -MVq. После
соприкосновения с балкой мас-
масса движется вместе с ней и достигает нижнего положения, в
котором скорость массы равна нулю. При этом из-за опускания
на величину EДИН уменьшится также и потенциальная энергия
положения массы. Это уменьшение будет равно работе силы тя-
Рис. 14.17
у у р р
жести массы на пути #дин, т.е. АП^ = Mg8mii. Вся эта энергия
14.4 УДАР ВЕРТИКАЛЬНО ДВИЖУЩЕЙСЯ МАССОЙ 459
аккумулируется в балке в виде потенциальной энергии изгиба
АПдеф = -^дИн/^1- Поэтому энергетический баланс имеет вид
-MVn + М#5ДИН = -Sl^/Si. A4.4.1)
о U О Д*1^ о ДИН / -1- V /
Так как Mg5\ = 5СТ является прогибом балки при статиче-
статическом нагружении ее силой, равной весу балки Mg, то уравнение
A4.4.1) легко свести к квадратному уравнению
Корнями этого уравнения будут выражения
/2
?Дин = ?ст ± \ 8%т + ^5СТ = 5СТ ± V^cx + 2/^ст. A4.4.2)
V ё
Положительному значению радикала соответствует прогиб в са-
самом нижнем положении балки, а отрицательному — прогиб в
самом верхнем положении, которого балка с массой достигает
при возвратном движении из нижнего положения. Наибольшие
напряжения возникают, конечно, в нижнем положении, так как
в нем деформация больше.
Выражение A4.4.2) удобно представлять в форме
А;дин = l + Jl + ^- = l + Jl + ^L. A4.4.3)
Здесь /сдин — коэффициент динамичности, который показыва-
показывает, во сколько раз динамический прогиб больше статического.
Видно, что если даже масса падает на балку с нулевой высо-
высоты, то /сдин = 2. Значит, если мы поднесем массу к балке, слег-
слегка коснувшись ее, и отпустим массу, то прогибы балки будут
вдвое больше, чем при медленном и плавном опускании массы
на балку.
14.4.2. Рассмотрим теперь удар падающей с высоты h мас-
массы М по балке с буферной массой М$ в точке удара (рис. 14.18).
Скорость падающей массы М в мо-
момент непосредственно перед ударом
о массу М$ равна Vq = y/2gh. Сра-
Сразу же после удара при абсолютно
неупругом ударе по закону сохране-
сохранения импульса скорость обеих масс
равна
* = ЛТщ^
а их кинетическая энергия в этот момент будет
Эдин
МП
460
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
ГЛ. 14
Кроме этой энергии, в нижнем положении в потенциальную
энергию деформации балки перейдет также изменение энергии
положения масс М и М§:
Здесь EДИН — динамический прогиб точки А за счет удара.
Как видно из рис. 14.18, #дин = 8К — 8U1 где 8Н = M§g8\ —
начальный прогиб, вызванный весом буферной массы, а 8К —
конечный прогиб, т.е. прогиб балки в момент наибольшей де-
деформации.
Для того чтобы подсчитать изменение потенциальной энер-
энергии деформаций балки при переходе из начального положения
в конечное, обратимся к диа-
диаграмме статического деформи-
деформирования балки под действи-
действием приложенной в точке уда-
удара силы взаимодействия Р меж-
между массой М + М§ и балкой
(рис. 14.19). Эта диаграмма в си-
силу гипотезы II не отличается от
диаграммы статического дефор-
деформирования балки силой Р. Ра-
Работа, которую совершает сила Р
Рис. 14.19 при переходе балки из начально-
начального положения в конечное, равна
площади заштрихованной области. Она-то и пойдет на измене-
изменение потенциальной энергии деформаций балки. Поэтому
АПдеф = -I
"ДИН
_ J- "дин
Из энергетического баланса Т +
1 м
= АПдеф легко получаем
Отсюда, если обозначить через 8СТ = gM8\ статический прогиб
балки, вызванный силой веса Mg массы М, приходим к ква-
квадратному уравнению
Д = 0.
Из этого уравнения следует:
&ДИН = 1 + W1
м
V,2
О _
М + М6
= 1 + 1/1
М 2h
A4.4.4)
М + М6 дст
Заметим, что EДИН — это дополнительный прогиб, который по-
получит балка в результате удара. Полный прогиб 8К = 6Н + #ДИн-
3.14 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 461
14.4.3. Распределенную массу балки можно, как и при го-
горизонтальном ударе, привести к точке удара. Тогда задача све-
сведется к только что рассмотренной (см. рис. 14.18), но только мас-
масса в точке удара будет равна Ms + Мпр, где Мпр = кир f mdx =
= кирМс. 1
Таким образом, коэффициент динамичности в этом случае
будет равен
/+ Л A445)
При проведении расчета на прочность при динамическом на-
гружении нужно учитывать, что внутренние силы, а следова-
следовательно, и напряжения возрастут по сравнению со статическими
в том же отношении, что и деформации, т.е.
^дин = ктнаст, A4.4.6)
где <тст — напряжения, возникающие в балке при статическом
нагружении ее силой, равной весу падающей массы.
В. 14. Контрольные вопросы
В. 14.1. Какими силами необходимо компенсировать пере-
переход из инерционной системы координат в неинерционную?
В.14.2. Какая нагрузка называется квазистатической?
В. 14.3. В каких случаях переменные во времени нагрузки
можно рассматривать как статические?
В. 14.4. Что такое абсолютно упругий и абсолютно неупру-
неупругий удар?
В. 14.5. Почему при неупругом ударе кинетические энергии
в моменты до и сразу после соударения не равны?
В.14.6. Какая гипотеза принимается в технической теории
удара о соотношении времени локальных и общих деформаций
системы?
В. 14.7. При каких соотношениях масс соударяемых тел при-
принимаются расчетные модели абсолютно упругого и абсолютно
неупругого удара и почему?
В. 14.8. Сформулируйте вторую гипотезу технической тео-
теории удара. Как на основании этой гипотезы можно вычислить
потенциальную энергию динамической деформации балки?
В.14.9. Что такое приведенная масса? Как она вычисляет-
вычисляется?
В. 14.10. Чем различаются энергетические балансы для бал-
балки при горизонтальном и вертикальном ударах?
В.14.11. Что такое коэффициент динамичности? Как он
определяется? Чему он равен при падении массы с нулевой вы-
высоты?
462
ДИНАМИЧЕСКОЕ НАГРУЖЕНИЕ
ГЛ. 14
В.14.12. Как выражаются напряжения при динамическом
нагружении через статические напряжения?
3.14. Задачи
3.14.1. Для рамы круглого поперечного сечения
(рис. 14.20), вращающейся с постоянной угловой скоростью о;,
построить эпюру изгибающих
моментов и найти допускаемое
число оборотов, если [а] =
= 120 МПа; плотность матери-
материала р = 7,8 • 103 кг/м3; / = 0,3 м;
d = 4 см.
3.14.2. Построить эпюру
изгибающих моментов в тонко-
тонкостенном кольце, равномерно вращающемся вокруг горизонталь-
горизонтальной оси (рис. 14.21).
I \м
Рис. 14.20
Рис. 14.21
Рис. 14.22
\М
3.14.3. Пренебрегая массой рамы постоянной жестко-
жесткости EJZ1 определить максимальное динамическое напряжение
сгдин (тах) и динамический прогиб
EДИН в точке удара, вызываемые
падением массы М с высоты h
(рис. 14.22). Удар считать абсо-
абсолютно неупругим.
3.14.4. Полагая удар абсо-
абсолютно неупругим, найти приве-
приведенную массу балки постоянного
сечения (рис. 14.23).
1/2
112
Рис. 14.23
ГЛАВА 15
ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИ
ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ВО ВРЕМЕНИ
НАПРЯЖЕНИЯХ
В предыдущих главах при формулировке условий прочно-
прочности не учитывалось, что многие детали машин работают при
переменных во времени нагрузках и, следовательно, возникаю-
возникающие в них напряжения также переменны во времени. Практи-
Практика машиностроения уже в середине XIX века показала, что это
обстоятельство необходимо учитывать. Особенно наглядно вли-
влияние переменности напряжений на прочность выявили желез-
железнодорожные катастрофы, вызванные поломками осей вагонов.
Эти оси, рассчитанные по статическим механическим характе-
характеристикам ат или аВ1 разрушались, проработав некоторое время
в условиях переменных напряжений, вызванных вращением оси
относительно вагона и ударными нагрузками из-за неправиль-
неправильностей рельсового пути. Законы изменения нагрузок во времени
могут быть самыми разнообразными. Например, крыло самоле-
самолета за один полет нагружается различными нагрузками при взле-
взлете и посадке, на режимах набора высоты, крейсерского полета и
снижения. Причем полет происходит в условиях неспокойной ат-
атмосферы, что также является причиной переменности нагрузок.
Здесь подобные сложные режимы нагружения рассматриваться
не будут (методы расчета на прочность, позволяющие их учесть,
сейчас интенсивно разрабатываются). Будут рассмотрены толь-
только простейшие режимы, которые вызывают в деталях цикличе-
циклически изменяющиеся во времени напряжения. К таким режимам
сводится или может быть сведено нагружение большинства де-
деталей машин и элементов конструкций.
15.1. Усталость материала
15.1.1. Анализ разрушения деталей и конструкций, работа-
работающих при циклически изменяющихся нагрузках, а также специ-
464
ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ГЛ. 15
4 Ось
V//////////////////////////////
ально поставленные эксперименты показывают, что уровень на-
нагрузок, вызывающих разрушение после многократного их при-
приложения, значительно ниже, чем при однократном статическом
нагружении до разрушения. Другими словами, многократное
приложение нагрузки приводит к понижению прочности. Та-
Такое явление называется усталостью. Например, для того чтобы
сломать проволоку, мы перегибаем ее несколько раз то в одну,
то в другую сторону. При этом в продольных волокнах прово-
проволоки создаются попеременно то растягивающие, то сжимающие
напряжения. Если проволоку пе-
перегибать сильно, то она слома-
2Р | ется после 5-10 циклов. Нетруд-
Нетрудно убедиться, что если умень-
уменьшить степень перегиба, то чис-
число циклов до разрушения уве-
увеличится. Перегибая проволоку,
мы стремимся создать в ней
пластическую деформацию. Ес-
Если этого не делать, то макси-
максимальные нормальные напряже-
напряжения окажутся меньше предела
текучести аТ и проволока может
выдержать миллионы циклов, а
при еще меньших напряжениях
она способна работать неограни-
неограниченно долго.
ра Рассмотрим характер уста-
усталостного разрушения на приме-
Рис. 15.1 ре оси железнодорожного ваго-
вагона. На рис. 15.1 дана схема на-
гружения оси и соответствующая эпюра изгибающих моментов,
возникающих в оси в результате действия приложенной к ней
нагрузки 2Р. Так как ось при движении вагона вращается, то
каждое продольное волокно рас-
растягивается, когда оно оказывает-
оказывается вверху, и сжимается, оказавшись
внизу. Таким образом, нормальное
напряжение в каждой точке попе-
поперечного сечения циклически меня-
меняется во времени, становясь то растя-
растягивающим, то сжимающим. В сече-
сечении оси, по которому она разруша-
Рис 15 2 ется, имеются две ярко выраженные
зоны (рис. 15.2). Одна из них (зо-
(зона А) имеет такую же крупнозернистую структуру, какая воз-
возникает на изломе у образцов из чугуна, разрушенных при одно-
р
]
Mz
a i
Р
Р
» а
15.1 УСТАЛОСТЬ МАТЕРИАЛА 465
осном статическом растяжении. Поверхность же зоны Б блестя-
блестящая, как бы отполированная, без видимых следов зерен металла.
Иногда часть ее покрыта ржавчиной.
Такой характер поверхности излома оси позволяет заклю-
заключить, что разрушение оси не является быстрым, одномомент-
одномоментным актом. Это длительный процесс, в котором сначала об-
образуется небольшая поверхность зоны Б. При повторяющихся
нагружениях она постепенно растет, а ее зернистая структура
сглаживается при повторяющихся нажатиях сторон поверхно-
поверхности излома друг на друга и от их взаимного трения и накле-
наклепа. Этот процесс настолько долог, что часть поверхности даже
успевает заржаветь. По мере роста зоны Б сечение ослабляется
и напряжения в оставшейся неразрушенной части сечения (со-
(соответствующей зоне А) возрастают. Наконец наступает момент,
когда сечение ослабевает настолько, что происходит внезапное
разрушение детали с образованием поверхности (зоны А), ха-
характерной для хрупкого разрушения.
15.1.2. Первые исследователи этого явления считали, что
при переменных напряжениях происходит перерождение струк-
структуры металла, он как бы устает. Отсюда и пришли названия —
усталость металла, усталостное разрушение. Но дальнейшие ис-
исследования показали, что структура металла не меняется. По
современным представлениям природа усталостного разруше-
разрушения связана с неоднородностью строения материала. Локаль-
Локальные неоднородности структуры металла (их называют дислока-
дислокациями) являются местами, около которых сосредоточиваются
пластические деформации, происходящие еще при напряжени-
напряжениях, меньших предела текучести. Дислокации могут при каждом
цикле нагружения при достижении некоторого уровня напряже-
напряжений слегка перемещаться. Когда они встречаются — происходит
их слияние. В результате в конце концов образуется микротре-
микротрещина, которая постепенно растет, поглощает все новые и новые
дислокации и превращается в макротрещину (зона Б). Дальней-
Дальнейший рост трещины все более и более ослабляет сечение, и деталь
наконец разрушается.
В вершине трещины, как было отмечено в разд. 11.5, у пла-
пластического материла появляется область пластических дефор-
деформаций. При циклическом нагружении периодическая догрузка
и разгрузка материала приводит к его упрочнению в этой обла-
области C.2). Он теряет пластические свойства, охрупчивается. А
это, в свою очередь, способствует подрастанию трещины, так
как хрупкий материал более чувствителен к трещинам.
Пока не удалось построить соответствующую таким пред-
представлениям математическую модель процесса усталостного раз-
разрушения, которая позволила бы по некоторым количествен-
количественным характеристикам свойств материала и неоднородности его
466
ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ГЛ. 15
структуры спрогнозировать процесс усталостного разрушения с
удовлетворительной точностью. Поэтому математическое опи-
описание явления усталости строится сейчас на основе феномено-
феноменологического подхода, т.е. целиком на базе экспериментальных
данных. (Сейчас в научных исследованиях преобладает модель-
модельный подход. Он основан на проникновении в существо явления и
создания таким путем математической модели явления. В этом
случае эксперимент используется для установления степени аде-
адекватности модели и явления и для определения численного зна-
значения констант, входящих в математическую модель).
15.2. Цикл напряжений. Методика экспериментального
определения предела выносливости
15.2.1. Общий вид периодически или циклически изме-
изменяющегося во времени t напряжения а показан на рис. 15.3. Но
Рис. 15.3
практически все эксперименты на усталость проводились для
более простых законов, данных на рис. 15.4; для них характер-
а i
Рис. 15.4
но монотонное изменение а между максимальными <ттах и ми-
минимальными <Jmin значениями.
15.2
ЦИКЛ НАПРЯЖЕНИЙ
467
Совокупность значений напряжений за один период их из-
изменения Т называют циклом напряжений. Циклы напряжений,
подобные показанным на рис. 15.4, назовем монотонными. Для
немонотонных циклов (см. рис. 15.3) имеется очень мало экспе-
экспериментальных результатов, поэтому пока трудно судить о воз-
возможности обобщать на них данные, полученные для монотон-
монотонных циклов.
Для монотонного цикла основными характеристиками явля-
являются максимальное напряжение атах, минимальное напряжение
яЫш период Т или частота v = 1/Т.
Через crmin и атах можно выразить среднее напряжение цик-
цикла ат и его амплитуду аа
1 / ' ч 1 / - ст • ) И 5 2 1)
и наоборот,
Cmax = (Jm + СГа, O"min = °т ~ &а- A5.2.2)
Важ:ной характеристикой цикла напряжений является коэффи-
коэффициент асимметрии цикла
R= ^^-. A5.2.3)
Стах
Для статического нагружения ат\п = (уш^ поэтому для него
R = +1 (рис. 15.5 а). Цикл, у которого атах = — crmin, т.е.
Статическое
нагружение
1ЛЛЛЛ
СиММетрИЧНЫЙ
ЦИКЛ
R=-oo
|VVVV
Пульсационные циклы
Рис. 15.5
R = — 1, называется симметричным (рис. 15.5 б). Он наиболее
распространен и реализуется, например, во вращающихся валах
и осях.
468 ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЛ. 15
Если crmin = 0 или атах = О, то цикл называют пулъсаци-
онным (рис. 15.5 в, г). Такой цикл характерен для зубьев, зуб-
зубчатых колес или звеньев цепных передач. Для него R = 0 или
R = — оо. Циклы с одинаковым коэффициентом асимметрии R
называют подобными.
Величины amax, crmin, am, aa, r называются параметрами
цикла. Задав любые два из них, легко вычислить все остальные.
15.2.2. Первым из ученых, кто обратился к явлению уста-
усталости и ввел сам термин «усталость», был, по-видимому, фран-
французский ученый Ж. Понселе (J. Poncelet, 1839). Немецкий уче-
ученый А. Велер (A. Wohler) впервые провел систематические экс-
экспериментальные исследования. Разработанная им методика ис-
испытаний усталости осталась в главном фактически неизменной
до настоящего времени.
Чтобы исключить влияние самых различных конструктив-
конструктивных факторов и выявить усталостные характеристики самого
материала, испытания проводят на образцах, имеющих одина-
одинаковые размеры, форму и чистоту обработки поверхности. Стан-
Стандартная форма образца по-
I казана на рис. 15.6. Обра-
-\ Г^ ^Ч зец не имеет резких изме-
Т01О нений формы, его поверх-
поверхность полированная. Испы-
Рис. 15.6 тывается партия не менее
чем из десяти образцов. Ис-
Испытания проводятся на испытательной машине, которая позво-
позволяет в сечении образца создавать циклические изменяющиеся
напряжения с заданным коэффициентом асимметрии R. Вся
партия образцов испытывается при одном и том же R. От об-
образца к образцу изменяется величина атах. Испытания первого
образца проводят при amax ~ 0,7сгвр. Он обычно разрушается,
выдержав немного циклов нагружения (примерно 103-i-104). Для
следующего образца слегка снижают атах. Количество циклов,
которые он выдерживает до разрушения, возрастет. При сни-
снижении атах от образца к образцу наблюдается, что чем меньше
атах, тем больше циклов нагружения N выдерживает образец
до разрушения.
По результатам испытаний строят график зависимости меж-
ду <ттах и N. Так как с уменьшением <ттах число циклов до раз-
разрушения N растет очень быстро, то по оси N удобно пользовать-
пользоваться логарифмической шкалой. График такой зависимости пока-
показан на рис. 15.7. Его называют кривой усталости (выносливо-
(выносливости), или кривой Велера. В экспериментах на усталость обычно
наблюдается значительный разброс результатов. Поэтому при
построении кривой усталости используются методы статистиче-
статистической обработки экспериментов.
15.2
ЦИКЛ НАПРЯЖЕНИЙ
469
Эксперименты со стальными образцами показали, что если
образец выдерживает 107 циклов нагружения, то он не разру-
а,МПа
600
500
400
300
N
1
2
\з
t
5
9
9C
]V
Па
-¦-8
104
105
106
107 N
Рис. 15.7
шится и при любом большем числе циклов. Это значит, что
имеется некоторый уровень <ттах (горизонтальная асимптота на
плоскости Л/"<ттах), к которому кривая усталости стремится при
понижении уровня напряжений. Это напряжение и называют
пределом выносливости. Кривая усталости имеет вид кривой 1
на рис. 15.8. Для предела выносливости принято обозначение
gr, где R — коэффициент асимметрии цикла, при котором про-
проведены испытания.
Для цветных металлов и некоторых закаленных легирован-
легированных сталей не удается установить асимптоту на кривой уста-
усталости. Это кривая 2 на рис. 15.8. Поэтому в качестве предела
1 (сталь)
2 (цветные металлы)
107
N
Рис. 15.8
выносливости (jr принимают наибольшее по величине макси-
максимальное напряжение цикла, при котором образец выдерживает
не менее 108 циклов.
Принятое здесь число 108 циклов называют базовым. Для
сталей базовое число циклов равно 107 циклов. Введение базо-
базового числа циклов позволяет принять следующее определение.
470 ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЛ. 15
Предел выносливости or — это наибольшее по величине
значение максимального напряжения цикла, при котором об-
образец выдерживает без разрушения базовое число циклов.
Подчеркнем, что у материала не один предел выносливости,
а совокупность or — в зависимости от коэффициента асиммет-
асимметрии цикла R.
Наиболее часто испытания проводят при симметричном цик-
цикле. При этом в испытательной машине обычно образец вращает-
вращается, и для него реализуется та же схема нагружения чистым из-
изгибом, что и показанная на рис. 15.1 для оси железнодорожного
вагона. При симметричном цикле R = — 1. Поэтому соответ-
соответствующий предел выносливости обозначается через О-\. Следу-
Следует заметить, что при чистом изгибе максимальные напряжения
возникают только на периферийных волокнах. Если же симмет-
симметричный цикл реализуется в образце в условиях центрального
растяжения-сжатия, т.е. если напряжения в опасном сечении
образца распределены равномерно, то получаемая в таких испы-
испытаниях величина предела выносливости O-\v составляет только
0,7 -т- 0,9 от предела выносливости <r_i, полученного при чистом
изгибе образцов.
По испытаниям стальных образцов на симметричный цикл
при чистом изгибе имеется большое количество данных. На их
основе можно заключить, что для сталей cr_i составляет около
половины сгвр предела прочности:
сг_1^@,4^0,5)сгвр.
Для высокопрочных сталей можно оценивать предел выносли-
выносливости по формуле
сг_1 « 400 + ^сгвр [МПа].
Для цветных металлов предел выносливости изменяется в
более широких пределах: о-\ = @,25 -=- 0,5)сгвр.
Предел выносливости при пульсационном цикле (R = 0) обо-
обозначается через сто- Испытательные машины для создания пуль-
сационных и других асимметричных циклов значительно слож-
сложнее машин для испытаний на симметричный цикл в условиях
чистого изгиба. Поэтому данных по таким испытаниям суще-
существенно меньше.
Проводятся также аналогичные испытания на усталость при
действии касательных напряжений. Обычно они реализуются в
условиях кручения образцов. Получаемые при этом пределы вы-
выносливости обозначаются через tr. По результатам этих испы-
испытаний следует, что для сталей т—\ ~ 0,6<r_i.
В пределах срока службы (ресурса), установленного для ма-
машины или конструкции, отдельные ее элементы могут испыты-
испытывать число циклов нагружения, значительно меньше базового.
15.3
ДИАГРАММА ПРЕДЕЛЬНЫХ АМПЛИТУД
471
Поэтому в них можно допустить возникновение напряжений,
больших по величине предела выносливости. Но эти напряже-
напряжения не должны превосходить предел ограниченной выносливо-
выносливости, который определяется по кривой усталости как напряже-
напряжение, соответствующее установленному для этого элемента числу
циклов нагружения за весь срок его службы.
Все данные выше определения относятся к циклам, у кото-
которых атах ^ |crmin|. Для таких циклов среднее напряжение ат ^
^ 0. В случае цикла с ат < 0 при определении предела выно-
выносливости используется не атах, а абсолютная величина |amin|,
или, что равноценно, тах|сг|.
15.2.3. В большинстве испытательных машин создается та-
такой закон нагружения образца во времени, что его переменная
составляющая изменяется во времени по закону синусоиды. На-
Нагружения по другим законам показали, что предел выносливо-
выносливости практически не зависит от формы цикла, а определяется
только величинами <ттах и <rmin. Так что для всех циклов, пока-
показанных на рис. 15.9, предел выносливости одинаков.
л л
л л
1 V \/
Рис. 15.9
Экспериментально установлено также, что при частотах до
5000 циклов в минуту никакого сколько-нибудь заметного вли-
влияния частоты на предел выносливости не наблюдается. Но при
очень высоких частотах (свыше 106 циклов в минуту) отмечено
повышение пределов более чем на 30 процентов.
15.3. Диаграмма предельных амплитуд и ее
схематизация
15.3.1. Всякий цикл можно рассмотреть как сумму посто-
постоянной составляющей ат и переменного напряжения с амплиту-
амплитудой аа. Для асимметричных циклов (ат ^ 0) интерес предста-
представляет взаимовлияние ат и <та, их доля в предельном цикле, т.е.
в цикле, у которого <rmax = <jr. Эту зависимость удобно предста-
представить в виде кривой DAFBC на плоскости атаа (рис. 15.10). По-
Получается эта кривая по результатам испытаний на определение
предела выносливости для циклов с различными коэффициента-
472
ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ГЛ. 15
ми асимметрии. Симметричному циклу соответствует точка А,
пульсационному — точка В. Эта кривая называется диаграм-
ат
2а0
Е
XI
-стт
О 1
Рис. 15.10
мой предельных амплитуд. Она делит всю плоскость атаа на
две области. Если циклу нагружения образца соответствует точ-
точка, лежащая между кривой DAFBC и началом координат или
на самой кривой, то образец при испытаниях выдержит базовое
число циклов. Если же циклу соответствует точка, лежащая вы-
выше кривой — он разрушится при числе циклов меньше базового.
Для пластичного материала диаграмма предельных ампли-
амплитуд должна лежать ниже прямых СЕ и DE, ниже которых
область таких циклов, при которых не происходит пластичных
деформаций образца. Действительно, аналитическое выражение
прямой СЕ следующее:
Но поскольку <Jm-\-aa = <ттах, то точкам на прямой соответству-
соответствуют как раз такие циклы, у которых атах = ат. Точно так же
точкам прямой DE соответствуют циклы с ат[п = от — аа =
= — <тт, т.е. цикл с пластическими деформациями при сжатии.
Аналогичные ограничительные прямые существуют и для
хрупких материалов. Только они связаны с ограничениями на-
напряжений по пределу прочности и определяются выражениями
Если сгвр ф авс, то точка пересечения этих прямых не будет уже
лежать на оси а. Но такое усложнение не принципиально.
15.3.2. По аналогии с запасом прочности вводится запас
выносливости, или запас циклической прочности как множи-
множитель, на который нужно умножить напряжения данного цикла,
чтобы получить предельный цикл.
Ясно, что для цикла, которому соответствует точка F' на
плоскости стаа (см. рис. 15.10), запас выносливости равен от-
отношению отрезков OF и OF'\
nk = §§;¦ A5.3.1)
15.3
ДИАГРАММА ПРЕДЕЛЬНЫХ АМПЛИТУД
473
Нетрудно установить коэффициент асимметрии i?, соответству-
соответствующий лежащим на прямой OF циклам. Действительно,
R =
Cmin
— ста
СГгп + СГа
?2_
ат _ 1 — tga
— 1+ tg a
(ат ф 0). A5.3.2)
При ат = 0 цикл симметричный и R = — 1.
15.3.3. Диаграмма предельных амплитуд касательных на-
напряжений строится на осно-
основании испытаний образцов на
усталость при кручении. Она
должна быть симметрична
относительно оси та, так как
прочностные характеристи-
характеристики материала при чистом
сдвиге не зависят от знака
касательных напряжений, а
определяются только его вели- рис 15 11
чиной. Поэтому диаграмма та
(тш) имеет вид, показанный на рис. 15.11. В дальнейшем будем
рассматривать только одну из ее симметричных половин.
15.3.4. Усталостные испытания требуют значительных за-
затрат времени. Чтобы нагрузить стальной образец базовым чис-
числом циклов — 107 даже при высокой скорости C000 циклов в
минуту) придется затратить более 55 часов. А для построения
диаграммы предельных амплитуд по 5-ти экспериментальным
точкам необходимо испытать 50 образцов. Поэтому такую диа-
диаграмму обычно строят приближенно, как показано на рис. 15.12.
2и0
Рис. 15.12
Она состоит из трех отрезков. Два из них АВ и CD соответству-
соответствуют требованию об отсутствии в образцах пластических дефор-
474 ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЛ. 15
маций —aT<a(t)<aTl или, что равносильно:
АВ : crmin = от — оа> —ат,
CD : o"max = am + аа < ат.
Отрезок ВС является отрезком прямой, которая проводит-
проводится через точку Е, соответствующую результатам испытаний на
симметричный цикл, и точку F, найденную по испытаниям на
пульсационный цикл.
При отсутствии результатов испытаний на пульсационный
цикл удовлетворительная точность обеспечивается, если пря-
прямую ВС провести так, чтобы напряжения oq, соответствующие
пересечению этой прямой с осью ат, оказались равными aBJi —
истинным напряжениям разрушения образца при растяжении.
Напомним (см. п. 3.2.1), что эти на-
напряжения примерно равны: aBJi «
~Pmax/Fmm, гДе ^max ~ максимальное
усилие, которое выдерживает образец
при растяжении; Fm[n — площадь то-
того сечения образца, по которому он
разрушился (с учетом образовавшей-
образовавшейся шейки).
q ' т^ т^ Менее точно, но с ошибкой в за-
запас по выносливости, можно провести
Рис. 15.13 прямую ВС так, чтобы gq = <?в.
Вид приближенно построенной
диаграммы предельных амплитуд касательных напряжений
показан на рис. 15.13. Отрезок АВ выбирают обычно так, чтобы
он был параллелен оси тт.
15.4. Влияние конструктивных факторов
на сопротивление усталости
15.4.1. Детали машин, работающие при циклически изме-
изменяющихся нагрузках, отличаются от стандартных образцов, по
испытаниям которых определяется предел выносливости. Опыт
показывает, что наибольшее влияние на сопротивление выносли-
выносливости имеют различия в форме, размерах и обработке поверх-
поверхности.
Остановимся сначала на влиянии формы. Эксперименты и
теоретические исследования показывают, что даже, казалось бы,
небольшие, локальные изменения формы детали могут приве-
привести к существенному изменению ее напряженного состояния.
Наглядно это видно при сравнении равномерно растянутых по-
полос без отверстия (рис. 15.14 а) и с небольшим отверстием
(рис. 15.14 б). Как видим, напряжения вблизи отверстия резко
возрастают. Если отверстие мало, то crmax^3<jH0M (при линейно-
15.4
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФАКТОРОВ
475
ном
ном . .
ном 1 1
'ft
Vf Vf \
ШШ
б
упругих деформациях). Номинальные напряжения аиом возни-
возникают в полосе без отверстия.
Аналогичное явление наблюдается около выточки на круг-
круглом вале (рис. 15.15), около сечения, вблизи которого меняет-
меняется диаметр ступенчато-
ступенчатого валика (рис. 15.16)
и т.п. На этих ри-
рисунках распределения
напряжений, которые
имеются в вале без вы-
выточки или при постоян-
постоянном диаметре, показа-
показаны пунктиром. Вели-
Величина сгНом может быть
подсчитана здесь по
элементарным фор-
формулам сопротивления
материалов сгНОм =
= P/F - для рис. 15.15
и аном = Mz/Wz - для Рис. 15.14
рис. 15.16. Отношение сгтах/сгНОм тем больше, чем меньше
радиус i?, т.е. чем резче меняется форма.
Явление резкого локального увеличения напряжений, возни-
возникающего вблизи мест резких изменений формы детали, называ-
называется концентрацией напряжений.
Как видно из приведенных примеров, концентрация напря-
напряжений вызвана именно резким изменением формы и имеет место
при любых нагрузках.
При статических нагрузках для деталей из пластических ма-
материалов концентрация напряжений практически не снижает
несущей способности детали.
Это объясняется тем, что рост
напряжений ограничен преде-
пределом текучести. Несущая спо-
способность, например, полосы
(см. рис. 15.14 б) из-за появле-
появления малого отверстия практи-
практически не изменится, так как в
предельном состоянии напря-
напряжения в сечении с отверсти-
отверстием будут распределены равно-
равномерно и равны <тт. В то же вре-
время наличие концентрации на- Рис. 15.15
пряжений существенно ухуд-
ухудшает сопротивление усталости, т.е. существенно снижает проч-
прочность при циклически изменяющихся напряжениях.
476
ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ГЛ. 15
Для деталей из хрупких материалов концентрация напряже-
напряжений обычно существенно уменьшает прочность и при статиче-
статических нагрузках. Этим
пользуются, например,
стекольщики, когда
наносят алмазом на
лист стекла царапину,
которая как раз и яв-
является концентратором
напряжений. Но из
этого правила имеются
исключения. Так, экс-
Рис. 15.16 перименты показывают,
что наличие кольцевой
выточки мало сказывается на прочности образца из чугуна.
Это объясняется тем, что чугун является неоднородным ма-
материалом. Он представляет собой смесь кристаллов железа и
зерен графита. Каждое зерно графита — своеобразный кон-
концентратор напряжений, поэтому такой внешний концентратор,
как выточка, практически не меняет характера распреде-
распределения напряжений, который уже определен внутренними
концентраторами.
15.4.2. Степень концентрации напряжений при деформа-
деформациях в пределах закона Гука определяется теоретическим ко-
коэффициентом концентрации а. Для нормальных и касательных
напряжений он равен соответственно
ат =
A5.4.1)
где <ттах и ттах — наибольшие местные напряжения, а <тном и
Тном — напряжения, определяемые расчетом по формулам со-
сопротивления материалов (или методами теории упругости) без
учета концентрации напряжений.
Как видим, влияние концентрации при статических и цикли-
циклически меняющихся нагрузках различно, оно также зависит от
материала и от характера концентратора. Поэтому вводится эф-
эффективный коэффициент концентрации Кц, равный отношению
пределов выносливости образцов без концентратора и с концен-
концентратором. Таким образом,
Tf <JR Tf TR /-, г л г>\
¦Kro- = ~г-> J^Rt = —г- A5.4.2)
aR TR
Здесь g'r ит^ — пределы выносливости образцов, имеющих кон-
концентратор напряжений данного вида.
Ясно, что экспериментальное определение эффективных ко-
коэффициентов концентрации для различных концентраторов
требует больших затрат времени и средств. Поэтому на прак-
15.4
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФАКТОРОВ
477
тике обычно определяют только для статического нагружения
if+io- и К+\т и для симметричного цикла К_\а и К_\т\
К_1а = Ка = ^, К_1т = КТ = Т-^. A5.4.3)
На рис. 15.17 а, 5 приведены значения эффективных коэф-
коэффициентов концентрации напряжений Ка и Кт для очень рас-
2,5
2,0
1,5
1,0
Рис. 15.17
/
г
^3 = 500
\
-d
ч -
"V
0 0,1 0,2 0,3 rid
б
пространенного в деталях машин концентратора — перехода от
одного диаметра вала D к другому d с галтелью радиуса г при
Ко
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
\
\
±ivffl
DI%2
d=30+
±N
50мм
---
- -^.
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 rid
Рис. 15.18
испытании вала на изгиб и кручение. На рис. 15.18 приведены
данные по Ка для этого же концентратора, но при испытании
на растяжение. Кривые 1, 2, 3 даны для сталей с пределами
прочности сгвр = 400 МПа, 800 МПа, 1200 МПа.
Другим очень распространенным источником концентрации
является шпоночная канавка. График зависимости Ка от ав ста-
стали при изгибе для вала со стандартной шпоночной канавкой
приведен на рис. 15.19. При расчетах с помощью этого графика
478
ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ГЛ. 15
момент сопротивления изгибу сечения вала должен находиться
по формуле
= 7Г^ _ Bt(d-tJ
~ 32 2d
A5.4.4)
График для определения эффективных коэффициентов концен-
концентрации болтов с резьбой (d = 12 мм) при растяжении-сжатии
дан на рис. 15.20. Кривая 1 соответствует метрической резьбе,
а кривая 2 — дюймовой.
Ка
1,8
1,6
1,4
1,2
/
/
/
1 i
рр
10 МПа
4
3
2
/
10 а* 10 МПа
. 15.19
Рис. 15.20
Если экспериментальных значений эффективного коэффи-
коэффициента концентрации для данного концентратора нет, то его
ч
0,8
0,6
0,4
0,2
0
4 6 8 10 12 ав,10~ МПа
Рис. 15.21
можно оценить по эмпирической формуле
K^T = l + q(aa,T-l). A5.4.5)
У/
У,
А
1,8;1,9;2
1,7\
У/
у
^ 1,6
^ 1,5
44 1,4
^1,3
а=1,2
15.4
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФАКТОРОВ
479
Коэффициент чувствительности материала к концентрации на-
напряжений q в зависимости от ав и а определяется по графику,
данному на рис. 15.21.
Снижение вредного влияния концентрации напряжений —
один из главных вопросов, который необходимо решать на ста-
стадии проектирования. Особенно, как показывает рис. 15.21, это
важно для деталей из высокопрочных сталей. Уменьшение кон-
концентрации напряжения в деталях достигается прежде всего со-
созданием плавности изменений их формы (увеличением радиусов
галтелей, устранением острых входящих углов, введением раз-
разгрузочных канавок (рис. 15.22 а, б, в)).
Рис. 15.22
15.4.3. Усталостные испытания, проведенные на образцах
разных размеров, показали, что с увеличением размера образ-
образцов предел выносливости уменьшается. Это явление получило
название масштабного эффекта. Для его количественной оцен-
оценки приняты коэффициенты масштабного эффекта К^а или К^Т.
Они определяются экспериментально как отношения
// //
J^dcr — •> J^dr — •> ЦО.4.0;
СГ-1 Г-1
где <т_1 и т_1 — пределы выносливости для стандартного образ-
образца с диаметром d = 10 мм, а а/_/_1 и тп_1 — пределы выносливости
для образцов с диаметром D > d.
1,0
0,8
0,6
0,4
¦—
^—
4
—.
*¦—
¦«««¦
3
^2 ^
20
30
Рис.
40
15.
23
60
100 200
D, мм
На рис. 15.23 приведены данные по К^а- для углеводороди-
стой стали без концентратора (кривая 1); для легированной ста-
480
ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ГЛ. 15
ли при отсутствии концентратора и для углеродистой стали при
наличии концентратора (кривая 2); для легированной стали с
концентратором (кривая 5); для любой стали при большой кон-
концентрации напряжений (кривая 4)-
Экспериментальных данных по определению К^т сейчас
недостаточно. Можно приближенно принимать К^т = К^а-
15.4.4. Чистота обработки поверхности также сказывается
на сопротивлении усталости. Чем чище обработана поверхность,
тем выше у детали сопротивление усталости. Количественно это
влияние характеризует коэф-
v Шероховатость, мкм фициент качества поверхно-
поверхности Кр, который определяет-
l q I ¦ ¦ —|—| | | | 1 1 ^х ся экспериментально следую-
следующим образом:
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
— —
¦—
\
ч
N
\
s
¦—««.
ч
ч
\
\
\
ч
\
ч
\
s
s
\
*ч,
ч
s
s
ч
\\
— —
ч
\
\
\
<1
1,6
3,2
6,3
12,5
25
50
100
200
= ^zi. A5.4.7)
СГ-1
Здесь сг_1 — предел выносли-
выносливости образцов с тщатель-
тщательно полированной поверхно-
поверхностью; а/Ц1 — предел выносли-
выносливости, определенный по ис-
испытаниям образцов с более
шероховатой, чем полирован-
полированная, поверхностью. Шерохо-
Шероховатость поверхности измеря-
измеряется в микрометрах ГОСТ
2789-73. Тонкой обработке
образца резцом на токарном
станке соответствует шерохо-
шероховатость 12 мкм. На рис. 15.24
даны кривые, характеризую-
характеризующие изменение Кр в зависи-
300 400 500700 1000 1500 2000
ав, МПа
Рис. 15.24
мости от предела прочности и шероховатости поверхности.
Существенно понижает сопротивление усталости коррозия.
Для повышения сопротивления усталости используют ме-
механическое упрочнение поверхности — обкатку роликами, дро-
дробеструйную обработку и т.п. При такой обработке упрочнение
поверхности достигается за счет пластической деформации по-
поверхностных слоев детали (наклеп).
Повышения сопротивления усталости добиваются также с
помощью термической или термохимической обработки поверх-
поверхности детали (закалка, обработка токами высокой частоты, азо-
азотирование, цементация и т.п.).
15.4.5. При расчете запаса выносливости детали действу-
действующие в ней циклические напряжения разделяют на постоян-
15.4
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФАКТОРОВ
481
ную а^ и переменную а^ составляющие. Считается, что на а^
влияют те факторы, которые сказываются при статическом на-
гружении (R = +1), т.е. учитывают эффективный коэффици-
коэффициент концентрации K+ia. На а^ влияют все те факторы, кото-
которые уменьшают предел выносливости при симметричном цикле
нагружения, т.е. K-ia, К^а и Kf- Причем считается, что для
совместного учета концентрации напряжений, масштабного эф-
эффекта и состояния поверхности их общее влияние характеризует
коэффициент
К* = -?=%-. A5.4.8)
Это позволяет найти среднюю а^ и переменную а® составляю-
составляющие циклических напряжений образца, имеющего такой же за-
запас выносливости, что и деталь, следующим образом:
а°т = а^К+1а, а°а = а*К*. A5.4.9)
Запас выносливости образца определяется по диаграмме пре-
предельных амплитуд, как было дано в п. 15.3.2. С использовани-
использованием приближенной диаграммы предельных амплитуд его можно
подсчитать, как следует из рис. 15.25, по формуле
ОМ'
п =
ОМ '
Уравнение прямой ВС имеет вид
аа = a_i
A5.4.10)
-а
Рис. 15.25
Точке М' на этой прямой соответствуют
аа = а°ап, ат = а°тп. A5.4.11)
Подставив эти значения в выражение A5.4.10), получим
уравнение для определения запаса выносливости п:
о о
^ + ^ = 1. A5.4.12)
С-1 OG
16 А.Г. Горшков, В.Н. Трошин, В.И. Шалашилин
482 ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЛ. 15
Отсюда
п = 0 * 0 . A5.4.13)
&-1 CTG
Учитывая выражения A5.4.9), A5.4.8), получаем окончатель-
окончательную формулу для определения запаса выносливости детали:
п = _^ д-^. A5.4.14)
CFG
В качестве gq можно взять истинный предел прочности <тв и =
— -Fmax/^min- Если же известен предел выносливости образца
при пульсационном цикле ао, то можно найти gq как точку пе-
пересечения прямой ВС (см. рис. 15.12) с осью ат. Предоставляем
читателю самому проделать эти несложные выкладки.
Если прямая ОМ пересекает диаграмму предельных ампли-
амплитуд на участке ВС, то запас выносливости равен запасу по те-
текучести, т.е.
™ = 4^ = ^^- A5.4.15)
Cmax Cm + (Та
В практических расчетах вычисляют запасы выносливости
детали по формулам A5.4.14) и A5.4.15) и выбирают из них
минимальный.
Аналогично можно найти и запас выносливости при дей-
действии касательных напряжений.
При совместном действии нормальных и касательных цикли-
циклических напряжений для определения запаса выносливости наи-
наиболее часто пользуются эмпирической формулой Гафа и Пол-
ларда
-2 = 4 + 4' A5.4.16)
п2 п% п%
где па и пт — запасы выносливости по нормальным и по ка-
касательным напряжениям. Напомним, что запас выносливости
называют также запасом циклической прочности. Он вводится
(п. 15.3.2) аналогично запасу прочности при статическом нагру-
жении.
Пример 15.1. Ступенчатый стержень круглого сечения
диаметрами D = 80 мм и d = 40 мм (рис. 15.26) изготовлен из
стали, для которой ав = 1000 МПа, О-\ и = 350 МПа. Стержень
имеет галтель радиуса р = 8 мм. Поверхность стержня чисто об-
обработана резцом. Определить значение переменной осевой силы
Р, изменяющейся по симметричному циклу, при которой будет
обеспечен коэффициент запаса выносливости п = 1,5.
Для стали с сгв = 1000 МПа из графика рис. 15.18 путем ли-
линейной интерполяции находим эффективный коэффициент кон-
15.4
ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ ФАКТОРОВ
483
центрации Ка = 1,7. При чистой обработке резцом шерохова-
шероховатость имеет порядок 12 мкм. По графику рис. 15.24 получаем
Кр = 0,83. Предел выносливости cr_i и для
данной стали дается по испытаниям на изгиб.
При растяжении он должен быть уменьшен на
10 -г- 30%. Примем cr_i = 0,8cr_i и = 0,8 • 350 =
= 280 МПа. Запас выносливости для детали при
симметричном цикле равен
cr-iKdKF
п =
Здесь принимаем К^ = 1, так как для образ-
образцов, по результатам испытаний которых постро-
построен график рис. 15.18, d = 30 -=- 50 мм. Отсюда
280 • 1 • 0,83 _ п
D
д _ cr-iKdKF
0а
I
Кап 1,7 • 1,5
Поэтому максимальное значение Р равно
Ртах = <^ = 91-106-0,25-3,14-@,04J = 113-
Рис. 15.26
Н = 113 кН.
Пример 15.2. Деталь, изображенная на рис. 15.27, изго-
изготовлена из углеродистой стали Ст. 6, для которой: ав = 600 МПа,
Рис. 15.27
ат = 320 МПа, тт = 220 МПа, a_i = 250 МПа, r_i = 150 МПа.
Размеры детали: D = 80 мм, d = 40 мм, г = 2 мм, / = 400 мм,
а = 100 мм. Сила Pq = 1500 Н постоянна, сила Р меняется по
симметричному циклу так, что Ртах= ±500 Н. Деталь грубо
min
обточена резцом. Определить запас выносливости детали.
Найдем сначала запас выносливости по нормальным напря-
напряжениям па по формуле A5.4.14). Коэффициент Ка найдем по
16*
484 ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЛ. 15
графикам на рис. 15.17 а. Для r/d = 2/40 = 0,05 и ав = 600 МПа
линейной интерполяцией получаем
к _о , B,3-2)F00-500) _оп,
Ка ~ Z + 1200 - 500 " AU4-
Из графиков рис. 15.23 нам подходит кривая 2 для деталей из
углеродистой стали при наличии концентратора. По ней для d =
= 40 мм получаем К^ = 0,8.
Грубой обработке резцом соответствуют шероховатости по-
поверхности в пределах 25 -=- 50 мкм. Поэтому согласно рис. 15.24
коэффициент Кр, учитывающий состояние поверхности, ра-
равен - 0,82.
Для малоуглеродистой стали можно принять К+\ « 1. При-
Примем также в запас по выносливости gq = <?в = 600 МПа.
Найдем характеристики цикла для нормальных напряжений.
Последние возникают вследствие изгиба детали. Тогда
(о ) A500 ±500H,4 125
min Wmr 0,ld* 0,1@,04K 62,5
Среднее и амплитудное напряжения поэтому равны
от = 93,7 МПа, оа = 31,25 МПа.
Тогда по формулам A5.4.14) подсчитываем
П(У = 31,25-2,04" 93,7-1 = 1?85'
250-0,8-0,82 + 600
Запас прочности по текучести A5.4.15) равен
СГТ 320 с\ г п
пт = = — = 2,56.
СГтах 1^0
Он больше па1 поэтому в дальнейших расчетах не учитыва-
учитывается.
По касательным напряжениям деталь испытывает симмет-
симметричный цикл вследствие кручения силой Р. Тогда
_ Ртаха _ 500-0,1 _
Эффективный коэффициент концентрации Кт определяем
по рис. 15.17 б:
к _ . ,A,7-1,5)F00-500) _ , -„
Кт ~ 1M 1200 - 500 ~ 1>52'
Масштабный и поверхностный коэффициенты примем таки-
такими же, как и для нормальных напряжений К^ = 0,8, Кр = 0,82.
В этом случае напряжениям детали та по формулам вида A5.4.9)
будут соответствовать напряжения образца т^:
Т T ~40,8-0,82 -у^МИа-
В.15 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 485
Тогда запас выносливости по касательным напряжениям бу-
будет
т_1 150 лал
П— If = 9j = 16'L
Общий запас выносливости по формуле Гафа и Полларда
равен
tf = < + ^ = Т^" + 16Д2 = °'296'
Тогда
п= v/l/0,296 = 1,83.
В. 15. Контрольные вопросы
В. 15.1. Какие условия нагружения могут привести к уста-
усталостному разрушению?
В. 15.2. Как протекает процесс усталостного разрушения?
В. 15.3. Назовите основные характеристики монотонного
цикла и его параметры.
В. 15.4. Что такое коэффициент асимметрии цикла? Чему
он равен для статического нагружения? Для симметричного и
пульсационных циклов?
В. 15.5. Что такое кривая усталости? Как она строится?
В. 15.6. Что такое базовое число циклов? Что называется
пределом выносливости? Что такое предел ограниченной выно-
выносливости?
В. 15.7. Влияет ли форма цикла на величину предела выно-
выносливости?
В. 15.8. Как зависит предел выносливости от частоты изме-
изменения напряжений?
В. 15.9. В каких координатах и как строится диаграмма пре-
предельных амплитуд? Что она определяет?
В. 15.10. Что такое запас выносливости (запас циклической
прочности)? Как он определяется по диаграмме предельных ам-
амплитуд?
В.15.11. Как строится приближенная диаграмма предель-
предельных амплитуд?
В. 15.12. Что такое концентрация напряжений? Как она
влияет на прочность при циклически изменяющихся напряже-
напряжениях?
В. 15.13. Чему равен теоретический коэффициент концен-
концентрации?
В. 15.14. Что такое эффективный коэффициент концентра-
концентрации? Как он связан с теоретическим коэффициентом концен-
концентрации?
486 ЦИКЛИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИЕСЯ НАПРЯЖЕНИЯ ГЛ. 15
В. 15.15. Как влияют размеры деталей на предел выносли-
выносливости? Что такое коэффициент масштабного эффекта?
В. 15.16. Каково влияние чистоты обработки деталей на со-
сопротивление усталости? Как определяется коэффициент каче-
качества поверхности?
В. 15.17. Какие процессы обработки деталей используют
для повышения сопротивления усталости?
В. 15.18. Каким коэффициентом оценивается совместное
влияние концентрации напряжений, масштабного фактора и со-
состояния поверхности?
В. 15.19. Как находятся параметры цикла образца, запас
выносливости которого такой же, как у детали?
В.15.20. Как определить запасы выносливости детали по
заданной диаграмме предельных амплитуд?
В. 15.21. Как определяется запас выносливости при сов-
совместном действии нормальных и касательных напряжений?
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Глава 1
8.1.1. См. п. 1.1.2.
8.1.2. См. п. 1.1.2.
8.1.3. Брус, оболочка, массив. См. п. 1.1.4.
8.1.4. См. п. 1.1.4.
8.1.5. См. п. 1.1.4.
8.1.6. См. п. 1.2.1.
8.1.7. См. п. 1.2.1.
8.1.8. См. п. 1.2.3.
8.1.9. См. п. 1.2.4.
8.1.10. См. п. 1.2.4.
8.1.11. См. п. 1.2.4.
8.1.12. См. п. 1.2.5.
8.1.13. См. п. 1.2.6.
8.1.14. См. п. 1.3.1.
8.1.15. См. п. 1.3.2.
8.1.16. См. п. 1.3.3.
Глава 2
8.2.1. См. п. 2.1.1, 2.1.2.
8.2.2. В недеформированном — не возникают, в ненагруженном — мо-
могут иметь место. См. п. 2.2.1.
8.2.3. Там, где внутренние силы превысят предел. См. п. 2.1.1.
8.2.4. См. п. 2.1.2.
8.2.5. Потому что внутренние силы — силы взаимодействия отсечен-
отсеченных частей. См. п. 2.1.2.
8.2.6. См. п. 2.1.3.
8.2.7. Из условий равновесия правой отсеченной части (для сечения 1)
и нижней (для сечения 2) главные векторы и главные моменты внутренних
сил в этих сечениях равны нулю. См. пп. 2.1.2, 2.1.3.
8.2.8. Шесть уравнений в координатной форме. См. п. 2.1.3.
8.2.9. От характера действия на отсеченную часть. Здесь N — отрица-
отрицательна. См. п. 2.1.4.
8.2.10. Внутренние силовые факторы и соответствующие интенсивно-
интенсивности внешних нагрузок. См. п. 2.1.4.
488 ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
8.2.11. Там, где приложены соответствующие сосредоточенные внеш-
внешние нагрузки. См. п. 2.1.5.
8.2.12. Нет. Необходимо знать закон распределения внутренних сил по
поперечному сечению. См. пп. 2.1.1, 2.2.1.
8.2.13. См. п. 2.2.1.
8.2.14. См. рис. к вопросу. сгх > 0, тху > 0, rxz < 0. См. п. 2.2.2.
8.2.15. См. п. 2.2.2.
8.2.16. См. п. 2.2.3.
8.2.17. См. рис. к вопросу. По закону парности следует добавить в
видимых гранях кубика напряжения тух и rzy. См. пп. 2.2.2, 2.2.3.
8.2.18. Надо воспользоваться выражениями внутренних силовых фак-
факторов через напряжения в поперечном сечении. См. пп. 2.3.1, 2.3.2.
8.2.19. См. пп. 2.4.1, 2.4.2.
Глава 3
8.3.1. См. п. 3.1.2.
8.3.2. См. п. 3.1.2.
8.3.3. См. п. 3.1.1.
8.3.4. Это график Р(А/), построенный по результатам испытания об-
образца на растяжение. См. п. 3.2.1.
8.3.5. См. п. 3.2.1.
8.3.6. См. п. 3.2.1.
8.3.7. См. п. 3.2.1.
8.3.8. См. п. 3.2.2.
8.3.9. См. п. 3.2.2.
8.3.10. Отпуском. См. п. 3.2.2.
8.3.11. См. п. 3.2.3.
8.3.12. См. п. 3.2.4.
8.3.13. См. п. 3.2.5.
8.3.14. См. п. 3.2.5.
8.3.15. См. п. 3.3.1.
8.3.16. См. пп. 3.4.1, 3.4.2.
8.3.17. См. п. 3.4.3.
8.3.18. См. п. 3.4.4.
8.3.19. См. п. 3.4.5.
8.3.20. См. п. 3.5.1.
Глава 4
8.4.1. См. преамбулу к гл. 4, п. 4.1.1.
8.4.2. Нет, не связан. См. п. 4.1.2.
8.4.3. См. пп. 4.1.2, 4.1.3, 4.1.4.
8.4.4. См. п. 4.2.1.
8.4.5. См. п. 4.2.2.
N
8.4.6. Равномерно. ах = —. См. п. 4.3.2.
г
8.4.7. е=—,А1= —. См. пп. 4.3.2, 4.4.1, 4.4.2.
Е EF
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 4
489
8.4.8. Записать уравнения равновесия для отсеченных частей.
См. п. 4.4.1.
8.4.9. Деформацию системы. См. пп. 4.5.1, 4.5.2.
8.4.10. Для ненагретого бруса ех = —, для нагретого — ех = —+аД?.
См. п. 4.6.1.
8.4.11. Нет, не сказывается. См. п. 4.6.2.
8.4.12. П = А. А = -NAL См. п. 4.7.1.
8.4.13. См. п. 4.7.2.
8.4.14. См. п. 4.7.3.
8.4.15. Максимальные нормальные действуют в поперечных сечениях
бруса, максимальные касательные — в сечениях, расположенных под углом
45° к оси бруса. См. п. 4.8.1.
8.4.16. -[<т]с ^ сгх ^ [сг]р, илисгршах ^ [сг]р, |crc|max ^ [сг]с. См. пп. 4.9.1,
4.9.2.
8.4.17. См. п. 4.9.1.
8.4.18. См. п. 4.9.1.
8.4.19. См. п. 4.9.1.
8.4.20. Коэффициент запаса определяется (задается) нормативными
документами, фактический же запас прочности вычисляется при провероч-
проверочном расчете конструкции. См. пп. 4.9.1, 4.9.2.
Е
перемещение увеличится на
3.4.1. Рдоп ^ 2[a]pF; 6\ерт = 2,44^
OJbaAtl.
Допускаемую величину груза находим из условия прочности конструк-
конструкции (см. п. 4.9.2), для чего сначала определим продольные силы, а затем
и нормальные напряжения во всех пяти стержнях фермы (см. п. 4.4.2 и
пример 4.2). Для определения перемещений воспользуемся методом Мора
(см. п. 4.7.2 и пример 4.9, а также п. 4.7.3).
3.4.2. Эпюры показаны на рисунке: п = 2—'——; г^з = 0.
ql
е(х)
и(х)
Рис. 3.4.2
Расчет напряженно-деформированного состояния бруса проводим по
методике, изложенной в п. 4.4.1 и примере 4.1. Для определения запаса
прочности проводим поверочный расчет на прочность (см. п. 4.9.2).
490
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
3.4.3. Эпюры показаны на рисунке; продольная сила в наклонном
стержне Ncd = ql, в горизонтальном — показаны на эпюре; нетрудно ви-
видеть, что продольное перемеще-
30° ние правого конца горизонталь-
горизонтального бруса будет равно гори-
горизонтальной составляющей пол-
полного перемещения узла С, но
ведь есть еще и вертикальная
составляющая этого перемеще-
перемещения, обусловленная деформаци-
деформацией наклонного стержня.
Продольные силы находим
из условий равновесия отсечен-
отсеченных частей, показанных на ри-
рисунке (см. пп. 4.4.1, 4.4.2).
3.4.4.
/2 Р
5С =
At =
Для решения задачи вос-
воспользуемся методом Мора. Пол-
Полное перемещение узла С бу-
будем искать как геометрическую
гис. 6Л.6 сумму его горизонтальной и
вертикальной составляющих (см. п. 4.7.2). Для ответа на второй вопрос,
поставленный в задаче, воспользуемся формулой для вычисления темпе-
температурных перемещений в стати-
ql L NBY
А
В
чески определимых фермах, по-
полученной в п. 4.7.3.
3.4.5. F =
Sc =
= 0,474^; gad = - 0,263аА№,
hi
aCD = -0,292aAtE.
Рассматриваемая ферма яв-
является статически неопредели-
неопределимой. Для ее решения рассмотрим
равновесие отсеченной части, по-
показанной на рисунке, и рассмо-
рассмотрим деформацию фермы, пока-
показанную там же. Таким образом,
мы найдем продольные силы в
стержнях, а значит, и напряже-
напряжения (см. п. 4.5.1, пример 4.3 и п. 4.4.2). Параметр F найдем из условия
прочности конструкции (см. п. 4.9.2 — проектировочный расчет). Темпе-
Рис. 3.4.5
ратурные напряжения определяем по методике,
примере 4.8.
изложенной в п. 4.6.1 и
А/ = -
3.4.6. Nc =
1
ECFC
ECFC
P;
ECFC
P;
-PL
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 5
491
Нагрузка, воспринимаемая каждым из элементов, равна соответствую-
соответствующей продольной силе, действующей в его поперечном сечении, и эта нагруз-
нагрузка пропорциональна их жесткостям. К такому выводу приходим в результа-
результате решения уравнения равновесия отсеченной части и уравнения совмест-
совместности деформаций обоих элементов (см. 4.5).
3.4.7. г =
Е
Итак, из самого условия задачи ясно, что г будем искать из условия
прочности собранной конструкции (см. п. 4.9.2), для чего надо знать на-
напряжения, а значит, — продольные
силы в стержнях конструкции. По-
Последние определим, составив урав-
уравнения равновесия для узлов А и
С собранной конструкции и уравне-
уравнение совместности деформаций, ко-
которое получим, связав деформа-
деформацию стержня АС с деформациями
стержней АВ и С В (см. рисунок).
Для этого используем материал, из-
изложенный в примере 4.3, но заме-
заметим, что геометрическая связь меж-
между деформациями стержней здесь
будет сложнее, а именно:
А1Ас = г -
А1Св
cos 60е
cos 60°
''max —
3.4.8. At = 50 °C;
= 36,4 МПа.
Отметим важную особенность Рис. 3.4.7
монтажных напряжений (это отно-
относится и к температурным напряжениям): они не зависят от величины за-
заданной площади поперечного сечения стержня, т.е., если, например, про-
пропорционально увеличить или уменьшить площади всех стержней, то это не
изменит величин монтажных напряжений в них, ибо одновременно в той
же пропорции изменяются и продольные силы в стержнях.
Глава 5
8.5.1. См. п. 5.2.1.
8.5.2. См. п. 5.2.2, выражение E.2.3).
8.5.3. См. п. 5.3.1, соотношения E.3.2), E.3.3).
8.5.4. Определяются только площадью. См. п. 5.3.3.
8.5.5. См. п. 5.3.4, соотношение E.3.10).
1
3
) = ~с; см.п. 5.1.1 (формула
1
3.5.1. ап = ап (а=45°) = ^-сг; Tnt = rnt (а=45
5.1.4), анализируя вторую из них, приходим к выводу, что максимальные
касательные напряжения действуют именно в площадках с а = ±45°.
3.5.2. При значениях ах и ау, равных ±а; во всех сечениях при этом
сгп также равны d=cr; см. п. 5.1.1, формулы E.1.4).
492 ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
3.5.3. В диагональных сечениях касательные напряжения равны нулю;
в сечении АС а = —т, в сечении BD а = т; такое состояние может быть
реализовано только тогда, когда в диагональных сечениях элемента дей-
действуют только нормальные растягивающие (в сечении BD) и сжимающие
(в сечении АС) напряжения; см. п. 5.2.1 (см. рис. 5.5).
3.5.4. sac = —ег~т\ ?bd = =г-т; см- п- 5.3.1.
hi hi
3.5.5. Из решения задачи 5.4 sac = —^г~т- Согласно закону Гука,
hi
7 = ^, но G = -f.Et ч (см. п. 5.3.3). Тогда j/eAc = 2.
Ст ^A + fJ>)
Глава 6
8.6.1. См. преамбулу к гл. 6.
8.6.2. См. п. 6.1.1, соотношение F.1.1).
8.6.3. См. п. 6.1.1, соотношение F.1.2).
8.6.4. См. п. 6.2.1, соотношение F.2.1).
8.6.5. См. п. 6.3.1.
8.6.6. См. п. 6.3.2, соотношение F.3.3); п. 6.3.3, соотношение F.3.8).
8.6.7. См. п. 6.3.3, соотношение F.3.6).
8.6.8. См. п. 6.3.4, соотношения F.3.8), F.3.9).
8.6.9. См. п. 6.3.6.
8.6.10. См. п. 6.4.1.
8.6.11. См. п. 6.4.3.
8.6.12. См. п. 6.4.4, соотношение F.4.6).
8.6.13. См. п. 6.4.5.
8.6.14. См. пп. 6.5.1, 6.6.1.
8.6.15. На участке, где толщина стенки максимальна. См. п. 6.5.3, со-
соотношения F.5.9), F.5.10).
8.6.16. См. п. 6.5.4.
8.6.17. См. п. 6.6.1, соотношение F.6.3).
8.6.18. См. п. 6.6.2, соотношения F.6.6), F.6.7).
3.6.1. [М] = 0,4[r]63, [^max] = 1,5^. [М] уменьшится в 20 раз, [^тах]
Go
— в 6,7 раза.
3.6.2. п = 2,1 (см. рис. 3.6.2).
М^н/ Мнар/
3.6.3. Из уравнения совместности деформаций — = на получа-
GJkH GJk
МВН /^1 ТВН
ем = п нар • Приравнивая максимальный угол закручивания <^тах
—imp = п нар
мк GJk
допускаемому [<?>], определяем длину /
Q а Л трубы _ п пк (foGDcp кв. стержня _ п р^О^
O.O.^t. Tmax — U,UO - , Tmax — U,О -
Из уравнения равновесия реактивные моменты в левой и правой опорах
будут одинаковы, а значит, равны будут и крутящие моменты в сечениях
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 7
493
трубы и квадратного стержня, которые определяются из уравнения сов-
совместности деформаций <pw + (f2i = <ро.
М
3.6.5. rmax = 0,4 — .
од z
0,43 ml ml
О О
Ф0,5/Ф
щ
0,43ч
5,06n
0
7,4L
1,43
9,53
19,06
3,71
0,57 m/
о
2/
1,43/
2/
,.0,57
{ml}
.3,8
¦7,6
ы
17,34
15,2
Рис. 3.6.2
Глава 7
8.7.1. См. преамбулу к гл. 7.
8.7.2. См. п. 7.1.1, соотношение G.1.2) и п. 7.1.2.
8.7.3. См. п. 7.1.2, соотношения G.1.2), G.1.3) и п. 7.1.4. Статические
моменты расположенных по обеим сторонам от оси симметрии частей сече-
сечения различаются только знаками. Следовательно, их суммарный статиче-
статический момент, т.е. статический момент всего сечения относительно этой оси,
будет равен нулю. А такая ось по определению является центральной.
8.7.4. См. п. 7.1.3, соотношение G.1.7), примеры 7.1, 7.2, 7.3.
8.7.5. См. п. 7.2.2, соотношение G.2.5).
8.7.6. См. п. 7.2.1, соотношение G.2.2), п. 7.2.2, соотношение G.2.4).
Центробежные моменты инерции расположенных по обеим сторонам от оси
симметрии частей сечения различаются только знаками, а значит, их сум-
суммарный центробежный момент, т.е. центробежный момент инерции всего
494
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
сечения относительно этой оси, будет равен нулю. Но, по определению, та-
такая ось является главной.
8.7.7. См. п. 7.3.1, соотношение G.3.2) и п. 7.3.2, соотношение G.3.3).
8.7.8. См. п. 7.2.2, соотношение G.2.5) и п. 7.3.3, пример 7.7.
7} 4 Г / j \ Л
8.7.9. Jz=Jy = —
8.7.10. Относительно главных осей инерции:
¦J-t
_
<J max —
Jz-Jv
2 у V 2
См. п. 7.4.1, соотношение G.4.4); п. 7.4.2, соотношения G.4.6) и G.4.7).
la2
3.7.1. ут = - к }\ „.г -
3 а + Ъ 3 а -\-Ъ
3.7.2. Для прямоугольника
ABCD (см. рисунок) оси z л у явля-
являются главными (z — ось симметрии)
и, следовательно, центробежный
момент его относительно этих осей
равен нулю. Нетрудно показать,
что центробежный момент исходной
^ трапеции относительно тех же осей
z также равен нулю, ибо его можно
получить, прибавив к центробеж-
центробежному моменту прямоугольника
В С центробежный момент нижнего
заштрихованного треугольника и
Рис. 3.7.2 вычтя из него такой же по величине
и знаку центробежный момент
верхнего заштрихованного треугольника. Но в таком случае оси z и у будут
главными и для данной трапеции.
3.7.3. агл = -16°05' + 90°; Jmax = Jy = 1Д3764; Jmin = Jz = 0,104b4
(см. рисунок).
У
0,4 b
16°05'
Рис. 3.7.3
Рис. 3.7.5
3.7.4. zT = 0,6r, Jz = 0,071r4, Jy = 0,32r4, JVc = 0,038r4.
3.7.5. Jmax = Jz = 62,9Ь4] Jmin = Jy = 16,0^4 (см.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 8
495
3.7.6. a) Jmax = Jz = 4,9463?; Jmin = Jy
OJ Jmax = Jmin = 7T^ 0, Jp = Z7T7* d;
0,21 b
^J
0,28 b
Ц.Т.
2b
Рис. 3.7.6
BJ Jmax — Jz — 0,0<0 u; Jmin — Jy —
r) Jmax = Jz = 48,063?; Jmin = Jy = 36,7fr3? (CM.
рисунок).
3.7.7. Jmax = J* = 492,0 см4; Jmin = Jy =
= 77,7 см4 (см. рисунок).
Глава 8
8.8.1. См. преамбулу к гл. 8.
8.8.2. См. преамбулу к гл. 8.
8.8.3. См. п. 8.1.1, соотношения (8.1.1), (8.1.2).
8.8.4. См. п. 8.1.2, соотношение (8.1.3).
8.8.5. См. п. 8.1.3, соотношение (8.1.5). Рис. 3.7.7
8.8.6. См. п. 8.1.5, пример 8.1.
8.8.7. См. п. 8.1.5, примеры 8.1, 8.2, 8.3.
8.8.8. См. п. 8.1.5, пример 8.1, соотношения (8.1.10), (8.1.11).
8.8.9. См. п. 8.1.5, примеры 8.1, 8.2.
8.8.10. См. п. 8.1.4, соотношения (8.1.7), (8.1.8), (8.1.9); п. 8.1.5, при-
примеры 8.2, 8.3.
8.8.11. См. пп. 8.2.1, 8.2.2, соотношение (8.2.1).
8.8.12. См. п. 8.2.2.
8.8.13. См. п. 8.2.2, соотношения (8.2.3), (8.2.7), (8.2.12).
8.8.14. См. п. 8.2.2, соотношения (8.2.6), (8.2.12).
8.8.15. См. п. 8.3.3, соотношение (8.3.6).
8.8.16. Продольным сечением, нормальным к оси у; см. п. 8.3.3, при-
примеры 8.4, 8.5.
8.8.17. См. п. 8.3.3, примеры 8.4, 8.5.
8.8.18. См. п. 8.4.1, пример 8.6.
8.8.19. См. п. 8.3.3, соотношение (8.3.6) и п. 8.4.1, соотношение (8.4.1).
Сходство — в структуре формул (8.3.6) и (8.4.1). Главное различие в том,
что по (8.4.1) определяется полное касательное напряжение в точке, в то
время как по (8.3.6) только его составляющая вдоль оси у. Различие так-
также — в выделении отсеченной части сечения для подсчета ее статического
момента.
496
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
8.8.20. См. п. 8.4.2, примеры 8.7, 8.8.
8.8.21. См. п. 8.5.1, соотношения (8.5.2).
8.8.22. См. п. 8.5.2, соотношение (8.5.5).
8.8.23. См. п. 8.5.2, пример 8.9.
8.8.24. а) и б) По сечению, где Mz = |Мг|тах; см. п. 8.5.2, соотношение
(8.5.5) и п. 8.5.3, соотношение (8.5.9), пример 8.9.
в) По сечениям, где Mz = Мгтах и Mz = MZVD\n\ см. п. 8.5.3, при-
пример 8.10.
8.8.25. См. п. 8.6.1, соотношение (8.6.4).
8.8.26. См. п. 8.6.1, соотношения (8.6.5), (8.6.6), (8.6.7); пример 8.11,
соотношения (8.6.10), (8.6.11); пример 8.12, соотношения (8.6.13), (8.6.14).
8.8.27. Представляя в (8.6.15) слагаемое М как М(х — хм)° и интегри-
интегрируя его без раскрытия скобок, приходим к выражению М(х — хм)-
8.8.28. См. п. 8.7.1, соотношения (8.7.1), (8.7.2), (8.7.3); п. 8.7.2, соот-
соотношение (8.7.6).
8.8.29. См. п. 8.8.1. При таком нагружении на втором этапе единичная
сила совершает работу на искомом перемещении vb(P), равную 1 • vb(P),
которая может быть вычислена из баланса энергий в балке. А это дает
возможность, разделив 1 • vb(P) на единичную силу, получить прогиб vb-
8.8.30. См. п. 8.8.2, соотношение (8.8.8); п. 8.8.3, соотношение (8.8.11).
8.8.31. См. п. 8.8.5, соотношение (8.8.15).
8.8.32. См. п. 8.8.5, пример 8.17; п. 8.8.6, пример 8.18.
3.8.1. Эпюры представлены на рисунках.
3.8.2. dKpyra = 45,3 мм; ^кольца = 32,5 мм; ^квадрата = 48,2 мм. Наимень-
Наименьшая масса будет у балки кольцевого сечения. Эта балка в 2,25 раза легче
балки квадратного сечения и в 1,55 раза легче балки круглого сечения (см.
рисунок).
3.8.3. [q] = 2,46 кН/м. В данном случае помимо сечения с Mz = -qa2
33
необходимо провести расчет и по сечению с Mz = —qa (см. пример 8.10).
а
\
Qy
Mz
а
~2
ш
а
W
щ
2qaL
"*" \qa
HI
"*~ а а
ll^1
Рис. 3.8.1 а
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 8
497
Mz
169
128 ¦
- 25
256
м
М
2т
2т т
Qy
2/
За
т f
За
ш
Qv
Mz
а
¦-Ч1.
^ 1
3
а
3
ttttttr
а
А
1 .
2 ^^
I
Т8
и
М
Рис. 3.8.1 б, е, г
498
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
j
I
7 у
Qy
Mz
q
(wwwwwiiiiiiwwww)
2a
49
72 \
ТПТГГ
a 3
1
2^
1
a
Mill
- 2
Illlllllllll 1
H
qa
2a
\qa
H
И
Mz
Рис. 3.8.1 д, е
Ъа
13
32,
LULJ
1
2
M
И
Рис. 3.8.2
3.8.4. n = 2,l.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 9
499
3.8.5. Эпюры и положение центра изгиба показаны на рисунках.
2
Л
2 г
Рис. 3.8.5
3.8.6. v@) = -3,53qa4/(EJz); aCa) = 0,51ga3/(EJZ).
MZ(P),
«са-ГГП
1
11 ^^
у
2а
пТГГ 2
2"
з ^4
Y ^1
а а ~*
1
1
ГГТТГгггггп^^
2a
И
Mz(l)
Рис. 3.8.8
3.8.7. v = I,9qa4/(EJZ) (вниз).
3.8.8. a = 0,b8qa3/(EJz) (см. рисунок).
A}
500
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Глава 9
8.9.1. См. п. 9.1.1, соотношения (9.1.1), (9.1.2), (9.1.3).
8.9.2. См. п. 9.1.2, соотношение (9.1.4).
8.9.3. См. п. 9.1.4, соотношение (9.1.10).
8.9.4. См. п. 9.1.4, пример 9.1.
8.9.5. См. п. 9.1.5, пример 9.2.
8.9.6. См. п. 9.2.1, соотношения (9.2.1), (9.2.2).
8.9.7. См. п. 9.3.1, соотношения (9.3.1), (9.3.4) и (9.3.5).
8.9.8. См. п. 9.3.1, соотношения (9.3.11), (9.3.12).
8.9.9. См. п. 9.4.2.
8.9.10. См. п. 9.4.3, соотношения (9.4.6), (9.4.7).
8.9.11. См. п. 9.4.4, пример 9.5.
8.9.12. См. п. 9.5.1, соотношения (9.5.1).
8.9.13. См. п. 9.6.1, соотношения (9.6.2).
8.9.14. См. п. 9.6.1.
8.9.15. См. п. 9.7.1, выражения (9.7.3), (9.7.4).
8.9.16. См. п. 9.7.2, выражение (9.7.7); пример 9.7.
3.9.1. [Р] = 1,93 кН; S = 5,37 мм. Так как сила Р приложена в центре
изгиба, то крутящий момент будет равен нулю. Эпюры изгибающих момен-
моментов, построенные в главных центральных плоскостях, внутренние силовые
факторы в расчетном сечении и положение нейтральной линии и расчетной
точки показаны на рисунках.
Рис. 3.9.1
3.9.2. Ъ = 111,6 мм (см. рисунок).
3.9.3. п = 2,02; уголок № 2 (d = 3 мм); этот уголок легче уголка № 7,5
в 6,5 раза (см. рисунок).
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 9
501
Расчетная
точка
61° 50'
Нейтральная
линия
АГ=12,5кн
Расчетная
точка
Нейтральная
линия
Рис. 3.9.2 Рис. 3.9.3
3.9.4. а) 5А = I,12qa4/(EJZ) (вниз) (см. рис. 3.9.4 а);
дв = 1,
(влево) (см. рис. 3.9.4 б);
N[qa]
Mz [qa2]
НИ
rr-ГГЛ
A
2
—
1
2
i±r
Рис. 3.9.4 а,
502
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
в) ola = 0,167-^-, dcp = 40,0 мм, 8 = 2,0 мм (см. рис. 3.9.4 е).
EJZ
Mz(\), Мк(\) [1]
Рис. 3.9.5 а
3.9.5. a) ol = —0,47 (в направлении, противоположном единичному
EJp
Ра3
моменту); б) 8а = 81,12 (в направлении единичной нагрузки на рисун-
рисунке). Эпюры крутящих моментов заштрихованы спиральной линией.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 10
503
Рис. 3.9.5 б
Глава 10
8.10.1. См.п. 10.1.1.
8.10.2. См. п. 10.1.1.
8.10.3. См. п. 10.1.1.
8.10.4. См. п. 10.1.1.
8.10.5. См. п. 10.1.1.
8.10.6. См. п. 10.1.2.
8.10.7. См. п. 10.1.3.
8.10.8. См. п. 10.1.3.
8.10.9. См. п. 10.1.4.
8.10.10. См. п. 10.1.4, рис. 10.8 б.
8.10.11. См. п. 10.1.4, примеры 10.1, 10.2.
8.10.12. См. п. 10.2.1.
8.10.13. См. п. 10.2.1.
8.10.14. См. п. 10.2.1.
8.10.15. См. п. 10.2.1.
8.10.16. См. п. 10.2.1.
8.10.17. См. п. 10.2.2.
8.10.18. См. п. 10.2.3.
8.10.19. См. п. 10.2.4.
8.10.20. См. п. 10.2.6.
8.10.21. См. п. 10.3.1.
8.10.22. См. пп. 10.3.1, 10.3.2.
8.10.23. См. пп. 10.3.1, 10.3.2.
8.10.24. См. п. 10.3.3, пример 10.7.
8.10.25. См. п. 10.3.4, примеры 10.8, 10.9.
8.10.26. См. п. 10.4.1.
8.10.27. См. п. 10.4.2, пример 10.12.
8.10.28. См. пп. 10.5.1, 10.5.2, пример 10.13.
8.10.29. См. п. 10.5.2.
504
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
3.10.1. Рама дважды статически неопределима, эквивалентная система
выбрана путем отбрасывания двух лишних связей в правой нижней опоре и
замене их действия силами Xi, X2 (см. рисунок). Обращаем внимание, что
Эквивалентная
система
М
21
м
I К
J2/
мо[м]
6 М
Ь М А
7 / 7
I1
12
6 /
\±LL
/
щ
\ 1-
»- —
II1
14
Рис. 3.10.1
было бы ошибкой при выборе эквивалентной системы отбросить две связи
в левой опоре, т.е. в этом случае оставшиеся три связи пересекались бы в
одной точке, что, как известно, является признаком мгновенно изменяемой
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 10 505
системы (мгновенного механизма). В выбранной эквивалентной системе:
1 / ш , Ш, 1,\ 7 Ml2
s {Mllll)
2 г3
"зЖ7:'
, , 1 /3
'X3'J = 2^
Решая систему канонических уравнений
\м - |lXi + ilXa = 0,
v 5 М v 6 М
получаем Xi = — —, Х2 = -- —.
Для проверки выбираем новую эквивалентную систему и определяем в
ней перемещение катка в направлении горизонтальной отброшенной связи в
левой опоре. В результате получаем (пунктиром показано расслоение эпюры
Ms на вертикальном участке)
5 ,т, 17 3 1Т, л 16, л.1
Нетрудно видеть, что, так как учитываются только изгибные деформа-
деформации рамы, горизонтальное перемещение точки приложения М равно нулю.
Вертикальное, а значит, и полное перемещение этой точки
Диаметр сечения d определяется из условия прочности
Ai? max ^ г и 7 ^ л _ л
—— ^ [<т\, откуда d ^ 17,1 мм.
U,1а
3.10.2. Балка дважды статически неопределима. Уравнения трех мо-
моментов для левого и среднего и для среднего и правого пролетов запишутся
так (см. рисунок):
^ i
l(-ql2) + 2 • 3/Xi + 2/Х2 = 6 | ал ^- + cj2 ^т
2/Xi + 2 • 3/Х2 +/-0 = 6cj2- + 0.
506
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Здесь ал = ~2
Решая систему, получаем Х\ = Х2 = т^2- Для построения эпюры Qy
надо предварительно определить реакции опор, что легко сделать, если за-
Эквивалентная система
Рис. 3.10.2
писать условия равновесия для соответствующих пролетов балки. Напри-
Например, для левого пролета балки это условие запишется так: —Rl + qi2 + —ql2 =
= 0; здесь R — реакция в левой опоре. Откуда R = —ql.
3.10.3. Рама 6 раз статически неопределима (I замкнутый контур и I
заделка), но она имеет две оси обратной симметрии, а поэтому эквивалент-
эквивалентная система для нее выбрана путем удаления лишних связей одновременно
в двух симметричных сечениях (см. рисунок). Из трех реакций связи в каж-
каждом сечении неизвестной остается только перерезывающая сила (N = Mz =
10 Pls Is
= 0). В выбранной эквивалентной системе 6ю = —— , 5ц = 12
о bjz &Jz
(здесь перемножаются эпюры только для половины рамы). Решая канони-
каноническое уравнение, находим Х\ = —Р- Сравнивая эпюры Ms и Мю, видим,
18
что одна из них обратносимметричная, а другая прямосимметричная, т.е.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 10
507
их перемножение по способу Верещагина даст нулевой результат, а значит,
Оав = 0.
Эквивалентная система
\р
Мх[1]
Ч2
Рис. 3.10.3
Эквивалентная система
Рис. 3.10.4
3.10.4. Рама, как и в задаче 10.3, шесть раз статически неопредели-
неопределима (два замкнутых контура), но она имеет вертикальную ось прямой сим-
508
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
метрии и горизонтальную ось обратной симметрии. Эквивалентная систе-
система здесь выбрана путем удаления трех лишних связей в верхнем и ниж-
нижнем сечениях, расположенных на вертикальной оси симметрии (разумеет-
(разумеется, нельзя разрезать раму целиком по этой оси, так как в этом случае мы
удалим и необходимые связи, обеспечивающие ее кинематическую неиз-
неизменяемость). Единственной неизвестной здесь остается только продольная
сила (Q равняется нулю, потому что сечение расположено на оси прямой
симметрии, Mz = 0 из-за наличия шарнира). Вычислив коэффициенты ка-
канонического уравнения 6ю = —4 F т , 6ц = F т , получим Х\ = 0,42д/,
EJZ'
EJZ
8лв=
Эквивалентная система
Рис. 3.10.5
3.10.5. Задача дважды статически неопределима, но, учитывая
обратную симметрию рамы, приходим к эквивалентной системе, пока-
показанной на рисунке. Вычислив коэффициенты канонического уравнения
2Pls (\ AEJ\ r 4/3 /1 2EJ\ EJ
{+ *)* [ + ) и' учитывая' что
{ )' *п = Ё1 [з
EJ 5
7—Т\—Б—т = ~л (Для кольцевого сечения Jk = JP = 2J), получаем Х\ =
B/5) • E2J 4
16 п р/2
3.10.6. Плоскопространственная рама имеет две плоскости прямой
симметрии. С учетом этого и выбрана эквивалентная система, показанная
на рис. 3.10.6. Вычислив коэффициенты канонического уравнения 6ю =
^qls _ 56 I __ 3 i2
= -7—, 6ц = — — , находим Хх = -ql .
-C/J О -C/J О
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 10
509
Эквивалентная система
Рис. 3.10.6
0,3
Рис. 3.10.7
510
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
3.10.7. Так как в наклонном ферменном элементе могут возникнуть
только продольные силы, то эквивалентная система здесь выбрана путем
удаления именно этой связи (см. рисунок). Вычисляем коэффициенты ка-
канонического уравнения:
1 Г1 л/2 2 2 л/2 л/2
бц =
здесь учтено, что
М
Rr =
Рис. 3.10.8
Р
-. Тогда Xi = ~y~ = 0,3g/.
3.10.8. В силу обратной симметрии систе-
системы реакции в ее опорах должны быть обрат-
носимметричными. Но при наличии горизон-
горизонтальных реакций система будет неуравнове-
неуравновешенной, следовательно, они равны нулю. Вер-
Вертикальные реакции определяются из следую-
следующего уравнения равновесия: Rb21 — М = О,
М
Rb = —. В ферменном элементе может воз-
возникнуть только постоянная по его длине про-
продольная сила, но в сечении по оси обратной
симметрии она равна нулю, а значит, равна ну-
нулю и во всех остальных его сечениях.
Глава 11
В.11
В.11
В.11
В.11
В.11
11.2.1.
В.11
В.11
В.11
В.11
В.11
11.3.3.
В.11
В.11
В.11
В.11
В.11
В.11
.1. См. п. 11.1.1.
.2. См. п. 11.1.2.
.3. См. п. 11.1.3.
.4. См. п. 11.1.3.
.5. Площадки параллельны
(т\ и as соответственно. См.
6. Произвольно ориентированным площадкам. См. п. 11.2.1.
7. См. п. 11.2.1, формулу A1.2.4).
8. См. формулы A1.2.5) в п. 11.2.3.
9. См. формулы A1.3.1), A1.3.2), A1.3.3), A1.3.4) в п. 11.3.1.
.10. См. соотношения A1.3.6), A1.3.7), A1.3.11) и A1.3.12)
.11. См. п. 11.4.1.
.12. См. п. 11.4.1.
.13. См. п. 11.4.2.
.14. См. п. 11.4.2.
.15. См. п. 11.4.2.
.16. См. п. 11.4.2.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 11
511
8.11.17. См. п. 11.4.3.
8.11.18. См. п. 11.4.4.
8.11.19. См. п. 11.4.5.
8.11.20. См. п. 11.4.6.
8.11.21. См. п. 11.4.7.
8.11.22. См. п. 11.5.1.
8.11.23. См. п. 11.5.2.
8.11.24. См. п. 11.5.2, соотношения A1.5.9), A1.5.10).
8.11.25. См. пп. 11.5.2, 11.5.3, соотношения A1.5.17), A1.5.18), A1.5.20)
и A1.5.21).
3.11.1. Запас прочности п =
Так как материал имеет различ-
ные характеристики на растяжение и сжатие, то расчет ведем по теории
предельных состояний (V теория). Эквивалентное напряжение по этой тео-
теории а^къ = <J\ —каз = а\ —аз (см. A1.4.16)). Вычислим а\ и аз. Согласно
атс
принятой системе координат (см. рисунок к условию задачи), имеем: ах = О,
ay = 100 МПа, az = 0, тху = 50 МПа, ryz = -40 МПа, rzx = 0.
Тогда инварианты напряженного состояния, определяемые выражени-
выражениями A1.1.15), будут равны: Л = 100 МПа, J2 = -4100 МПа2, J3 = 0.
Кубическое уравнение относительно главных напряжений (см. выражение
A1.1.14)) запишется в виде а3 - 100а2 - 4100а = 0, откуда а1 = 0, сг11' ш =
= 50 ± л/502 +4100, т.е. а11 = 131,2 МПа, аш = -31,2 МПа. Согласно
принятому соотношению между главными напряжениями, получаем а\ =
= 131,2 МПа, а2 = 0, а3 = -31,2 МПа. Тогда сг^кв = 131,2 - —(-31,2) =
oorj
= 171 МПа и запас прочности п = = 1,64.
3.11.2. Вычислим допускаемое напряжение [а] = —- = = 140 МПа.
Условие прочности будет вы-
выполняться, если сгЭкв ^ [сг]. Так
как материал имеет одинако-
одинаковые характеристики на растя-
растяжение и сжатие, то расчет ве-
ведем по двум теориям прочности
— максимальных касательных
напряжений (III теория) и энер-
энергетической теории (IV теория).
Эквивалентные напряжения со-
согласно этим теориям опреде-
определяются выражениями A1.4.7)
и A1.4.10). Вычислим главные
напряжения для заданного на-
напряженного состояния (см. ри-
рисунок к условию задачи). В на-
нашем случае это легко сделать,
если воспользоваться выраже-
т,МПа
=30
Рис. 3.11.2
ниями A1.2.6), так как в заданном напряженном состоянии одна глав-
главная площадка известна (площадка, нормальная к оси z). Обозначая сгх =
512
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
= 80 МПа, cry = 70 МПа, az = -50 МПа, тху = -30 МПа, получаем
80 + 70
80-704 2
откуда
(-зоJ,
Gi = 105,4 МПа, а2 = 44,6 МПа, а сг3 = crz = -50 МПа,
cr^B = 105,4 - (-50) = 155,4 МПа,
<7™в = -1=^/A05,4 - 44,6J + D4,6 + 50J + (-50 - 105,4J = 136 МПа.
у/2
Сравнивая эквивалентные напряжения с допускаемым, приходим к выводу,
что условие прочности удовлетворяется только во втором случае.
Главные напряжения могут быть также найдены, если для заданно-
заданного напряженного состояния построить круговую диаграмму Мора (см.
п. 11.2.4, рис. 11.15). Обозначим грани кубика, нормальные к осям ж, у, z,
соответственно /, //, ///. Вычислим радиус и абсциссу центра окружности,
точки которой определяют напряжения во всех площадках, нормальных к
верхней (III) грани кубика:
R =
¦?уХ
~Г тху —
80-70
+ (-30J = 30,4 МПа.
Абсцисса центра равна —(ах + сгу) = -(80 + 70) = 75 МПа. В результате по-
получаем следующую диаграмму (ввиду симметрии диаграммы относительно
оси аи, изображаем только ее верхнюю часть).
3.11.3. Расчетным сечением бруса бу-
будет сечение в заделке, где действуют
(см. рисунок) изгибающие моменты Mz =
= 20Р6, My = 20Pb (сжатые волокна со-
соответственно снизу и справа) и крутящий
момент Мкр = 20РЬ.
В принятой системе координат нор-
нормальное напряжение в любой точке сече-
сечения (см. п. 9.1.4)
Нейтраль-
Нейтральная линия
MZ
My
20Pb
20РЪ
ЗОР.
Уравнение нейтральной линии у = 4z.
Изображаем эпюры нормальных и каса-
касательных напряжений (см. п. 9.1.4). Из ана-
анализа этих эпюр, учитывая, что [а]р =
= [с]еж, следует, что расчетными точками
могут быть точки А или В (точка С исключается, так как в ней и нормаль-
нормальные, и касательные напряжения меньше, чем в точке В) или симметричные
им относительно начала координат точки. Вычислим напряжения в этих
Рис. 3.11.3
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 11
513
„„_»*(„.-4»,-»?[,- 4 (-!)]-»?, «-0.
Mk 20Pb _ Р
аЪ22Ъ 0,246 •:
Тогда
Таким образом, расчетной точкой будет точка В. Из условия прочности
/ Г 1 101Р / Г 1 ,чоос
(ТэквВ ^ [crj, —г^— ^ [crj, получаем о ^ 22,5 мм.
3.11.4. Анализируя эпюру Ms (см. ответ к задаче 10.5), приходим к
выводу, что расчетным сечением будет крайнее правое участка АВ (или
1 1 Сл
левое крайнее участка ВС) с Mz = т^г^, Мк = т^^- Но для коль-
кольцевого сечения (см. пример 11.3) эквивалентное напряжение по IV тео-
MIV
рии прочности определяется формулой а™в = экв , где в нашем случае
\м1 = 0,94Р/,
4 к
0,0785dcp d%p'
Тогда запас прочности п =
= 2.
_ 240 • 106B0 • 10~3K
^эУв 12 • 320 • 0,25
3.11.5. Расчетное сечение
бруса — сечение в заделке с
действующими в нем (см. ри-
рисунок) изгибающим моментом
Mz = 20Pb и крутящим моментом
—РЬ, возникающим вследствие
Центр
изгиба
Рис. 3.11.5
того, что линия действия силы Р не пересекается с осью жесткости бруса
(см. п. 8.4.2). Положение центра изгиба в этом сечении определено в
п. 8.4.2.
Вычисляем нормальные и касательные напряжения в сечении. Анализи-
Анализируя эпюры напряжений, видим, что расчетными точками, т.е. точками, для
которых эквивалентные напряжения максимальны, будут точки на верхней
514 ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
и Mz Мкр
или нижней полке сечения. Напряжения в этих точках а = , т = -.
W Wk
W
о
Из примера 9.3 Jz = —bs6. Тогда
о
ттл Jz (8/3N О 8 2
VF == = 6
8 2 г- ттл 1 г 2 г / /- г 1 \
= -6 о, VFfc = -5 L (см. п. 6.5.1),
3 3
2/max 0 6 6
L = 4b,
Тогда
20P6 _ P
" (8/3)^62 " '"б2' ' " D/3)?26 " ^ б2 '
тахсгэкв = лДг2 + 4г2 = 93,7 — .
При перенесении силы Р в центр изгиба исчезнет деформация круче-
р
ния бруса, и тахсгэкв будет равно 75 — . Но так как запас прочности п =
о2
Спред
max сгЭкв
тт т * П1
, то отношение запасов прочности во II и I случаях будет — =
93 7
= —— = 1,25, т.е. запас прочности бруса без деформации кручения будет
75
на 25 % больше запаса прочности бруса, испытывающего наряду с изгибом
и кручение.
Глава 12
8.12.1. См. п. 12.1.1.
8.12.2. См. пп. 12.1.2, 12.1.3.
8.12.3. См. пп. 12.1.2, 12.1.3.
8.12.4. См. п. 12.2.1.
8.12.5. См. п. 12.2.2.
8.12.6. См. п. 12.2.3.
8.12.7. См. п. 12.2.4.
8.12.8. См. п. 12.2.6.
8.12.9. См. п. 12.3.1.
8.12.10. См. п. 12.3.1, условия A2.3.3), A2.3.4).
8.12.11. См. п. 12.3.3.
8.12.12. См. п. 12.3.3.
8.12.13. См. п. 12.3.3.
8.12.14. См. п. 12.3.4.
8.12.15. См. п. 12.4.1.
8.12.16. См. п. 12.4.1.
8.12.17. См. п. 12.4.1.
8.12.18. См. п. 12.4.2.
8.12.19. См. п. 12.4.3.
8.12.20. См. п. 12.4.4.
8.12.21. См. соотношение A2.4.12) в п. 12.4.6.
8.12.22. См. 12.6.
8.12.23. См. п. 12.7.1.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 12
515
8.12.24. См. п. 12.7.1, пример 12.7.
8.12.25. См. п. 12.7.1, пример 12.7.
8.12.26. См. п. 12.7.3.
8.12.27. См. формулу A2.7.16) в п. 12.7.5.
8.12.28. См. формулы A2.7.17) и A2.7.18) в п. 12.7.5.
8.12.29. См. формулы A2.7.19) и A2.7.20) в п. 12.7.6.
8.12.30. См. п. 12.7.6.
8.12.31. См. п. 12.7.6.
3.12.1. Стойки должны терять устойчивость в такой последователь-
последовательности: стойка прямоугольного сечения, круглого сечения, квадратного се-
сечения, кольцевого сечения. См. пп. 12.4.1, 12.4.2. Приравнивая площади
сечений, выразим их характерные размеры через какой-нибудь один, на-
например, через диаметр круга, и, воспользовавшись формулой A2.4.1), вы-
вычислим гибкости всех четырех стоек:
Ац1 /il /il jwl
Округа — ~Г~ 1 ^кольца — ' ~Г' ^квадр — ' ~Г' ^пр-ка. — ' ~Г
d
(В последнем случае в формулу для А подставляется мини-
минимальный момент инерции.)
Анализируя результаты, приходим к вышеуказанному
выводу.
3.12.2. Стержень потеряет устойчивость, когда реак-
реакции в его опорах достигнут критического значения RKp.
Так как деформации стержня подчиняются закону Гука,
то Якр определяется по формуле Эйлера RKp = z .
Здесь /i равно 1. Найдем реакции R опор (см. рисунок), воз-
возникающие при нагреве стержня на AT градусов. Задача,
как видим, статически неопределимая. Запишем уравнение
совместности деформаций: суммарное удлинение стержня
R1
Alj: = aATl — —— = 0, откуда R = aATEF. Приравниваем
d
EF
R его критическому значению: aATKpEF =
* Jz
tt2EJz
здесь
АТкр = Ткр - То, откуда Ткр = То +
aFl2'
3.12.3. Дифференциальное уравнение упругой линии:
на первом участке (см. рисунок)
v"
на втором участке
v'u
= 0, kl = PKP/EJ;
= 0, ки = PKp/4EJ.
Общими решениями этих уравнений будут:
vi = С\ sin 2кцх + Сг cos 2кцх;
vu = Сз sin k\\x + С4 cos кцх.
Запишем граничные условия (см. рисунок):
= о, «ii(j) = о,
*ljj=-
R
AT
R
Рис. 3.12.2
516
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Подставляя функции vi, г>ц, г>{, г>п в эти условия, получаем систему трех
уравнений относительно Ci, Сз, ft (С2 = 0)
D
AJ
Сз cos &ц/ — С4 sin &ц/ = 0,
Ci sin /сп/ - Сз sin ^ - С4 cos ^ = 0,
Ci2 cos feiJ - Сз cos M + С4 sin ^ = 0.
Поскольку Ci, Сз и С4 одновременно не мо-
могут быть равны нулю (так как прогибы отличны
от нуля), система относительно Ci, Сз, С4 долж-
должна иметь ненулевое решение, для чего необходимо,
чтобы определитель этой системы был равен нулю
Рис. 3.12.3
0
— sin kul
. , , . knl kul
sm kul — sm —cos
o , , knl . knl
2 cos knl — cos —- sm -—
= 0.
Раскладывая определитель по элементам первого столбца и применяя затем
формулы для синуса и косинуса разности двух аргументов, имеем
sin kul • sin — 2 cos kul • cos -— = 0.
После несложных преобразований получаем следующее уравнение:
u..i л u..i A,22J
1Ы = —. UTKVilcl =U.U1. Аътт =
0. ..,..., . ..,..., .,
2 2 "¦¦ 2 ' ' П =
тр т
, откуда Ркр = 5,96 — .
7 2
/еп — , итл^да j кр — ^,^w ,2
3.12.4. Граничные условия (см. рисунок)
г;@) = г;'@) = v{l) = v (I) = 0.
Этим граничным условиям удовлетворяет много-
многочлен v(x) = Ах2(х — IJ и его производная v'(x) =
= 2Ах(х — 1)Bх — I). Вторая производная: v" (х) =
= 2АFж2 — 61х-\-12). Согласно энергетическому методу
fEJz(v"
о
' dx
Рис. 3.12.4
f(v'Jdx
Подставляя v\x) и v"\x) в формулу для Ркр A2.3.8), получаем Ркр =
EJZ
= 42——. Сравнивая это выражение с формулой Эйлера A2.2.29), находим
ц = тгл/— и 0,485. Как известно, точное решение дает /i = 0,5, а значит,
ошибка чуть более 3 %.
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 12
517
3.12.5. Граничные условия для стойки (см. рисунок):
„@) = v"@) = « @ = «"@ = 0.
Функцию прогибов задаем полиномом 4-й степени: v = ао -\-а\х-\-п2Х2
4
откуда
v = а\ + 2а2Ж
г/' = 2а2 +
+ 12а4Ж2.
Подставляя v и г>" в граничные условия, получаем ао = п2 = 8ai +
+2аз/2 + а4/3 = 0, аз + 2а4/ = 0. Выражая а\ и аз через а±, имеем
Тогда функции v и v" примут вид
г/ = а4 Г-/3-6/ж2+4ж3
г;" = 12а4(ж2 -/ж).
Подставляя v и v/r в формулу A2.3.8), получаем
EJ
Р 548^
Сравнивая последнее выражение с формулой Эй-
Эйлера A2.2.29), находим
кр
М4- Рис. 3.12.5
3.12.6. Записывая уравнение моментов относительно точки А для от-
отсеченной части балки (см. рисунок), имеем
Mz = -Px-Sv(x).
При принятых на рисунке положитель-
положительных направлениях Mz и v уравнение
упругой линии балки A2.7.2) будет
иметь вид EJzv"(x) = Mz, или после
подстановки Mz:
EJzv"(x) = -Px-Sv(x).
Обозначив к2 = S/EJZ, получаем
v ух) + /с г;(ж) = — х.
EJZ
Общее решение этого уравнения
имеет вид
Р
S Jf
v(x) = С\ sin А;ж + С2 cos kx —
k2EJz
Рис. 3.12.6
518
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Из граничных условий г>@) = г/ (/) = 0 находим
Р 1
С2 = 0,
№EJZ cosjfef
Тогда г;(ж) = — - кх .
k3EJz V cos А;/ У
Найдем максимальный прогиб г>тах = vU) = —=-
S \ Ы
Л
1 1, здесь учте-
)
но, что к2 =
EJZ
Максимальный изгибающий момент будет в заделке, т.е.
tgkl
mz max = Mz(i) = -pi - Sv(i) = -pi-
kl '
3.12.7. Приближенное значение прогиба определяем по формуле
A2.7.16)
1 -
Вычисляем
Е
*Ькр
bh3
12 _
ЫJ A • О2
= 44,4 кН.
Очевидно, максимальный изгибающий момент, а значит, и максимальное
напряжение будут в середине балки (см. рисунок), где прогиб v и изгиба-
1/4
РИА
4 1
111
Ш
1/4
РИА
M7.
A 2
Рис. 3.12.7
ющий момент от поперечной нагрузки Mz non максимальны. Для определе-
определения г>тах вычислим vn max, для чего построим эпюру Мz\. Перемножая по
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 13 519
способу Верещагина эпюры Mz non и Mzi, получаем
11 Р13
"птах =384^ = 3,18 мм.
Тогда
max о оо
g- = 3,33 ММ.
Максимальными напряжениями будут напряжения сжатия (см. формулу
A2.7.20))
PI n
С —Г + ^тах
СГтах = — + — ,
F Wz
77 2
где F = bh, Wz = —-.
6
Вычисляя, получаем сгта,х = 94,5 МПа.
Для определения запаса прочности воспользуемся выражением
ПР1 , ПУп щах
nS 4 1-п5/5Кр
О"т — -=Г Н 77Т
откуда, решая квадратное уравнение относительно п, получаем
п = 2,37.
Глава 13
8.13.1. См. п. 13.1.1, рис. 13.1, 13.3.
8.13.2. См. п. 13.1.3.
8.11.3. См. п. 13.2.1, соотношения A3.2.1), A3.2.2), пример 13.1.
В. 13.4. Ферма становится кинематически изменяемой (механизмом).
См. п. 13.2.1, пример 13.1.
8.13.5. См. п. 13.2.3.
8.13.6. На две равные по площадям части. См. п. 13.2.3, формулу
A3.2.4).
8.13.7. См. п. 13.2.4.
8.13.8. См. п. 13.3.1, пример 13.3. См. соотношения A3.3.2), A3.3.3) и
рис. 13.15 в п. 13.3.1.
8.13.9. См. п. 13.3.1 и пример 13.3.
8.13.10. См. п. 13.3.2, примеры 13.3, 13.4.
3.13.1. Предельное значение интенсивности распределенной нагрузки
(/пред будет достигнуто, когда максимальный изгибающий момент в балке
станет равным Мцред (в этом сечении балки образуется пластический шар-
25
нир). Из эпюры изгибающих моментов (см. рисунок) имеем: —(/пред^ =
32Мпред ,, г
= Мпред, откуда (/пред = —гтт^—• ^пред для балки заданного сечения
определим по формуле A3.2.4)
МПред = <7т(|5р| + |5с|).
520
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Статические моменты \SP\ и \SC\ вычисляем относительно оси znjI, которая
делит сечение на две равные по площадям части:
Тогда Мпред = 14сгта3, a
_
(/пред —
32 • 14сгта
25/2
3 ата3
17,9 — .
Рис. 3.13.1
3.13.2. Статический метод. Построим эквивалентную си-
систему, заменив лишнюю связь, например, стержень 2, действующим в нем
усилием X (рис. 3.13.2 а). Тогда напряженное состояние основной систе-
системы можно разбить на два: грузовое состояние, вызванное основной нагруз-
нагрузкой (рис. 3.13.2 б), и состояние самонапряжения под действием усилия X
(рис. 3.13.2 е). Усилия в стержнях в грузовом состоянии равны: ЛГ? = — Р,
N® = 0, N® = 2Р, а в состоянии самонапряжения JVi = X, N% = X,
7V3 = X. Тогда усилия в стержнях исходной системы будут JVi = N® +
L
+ N\ = -Р- -X, N2 = N§ + TVa1 = X, N3 = N$ + TVs1 = 2P - -X.
Так как стержни выполнены из идеально упругопластичного материала,
усилия в них по абсолютной величине не могут превышать предельного
усилия ТУпред = crTF, т.е. должны выполняться следующие неравенства:
а) - ЛГПред ^
б) - Л^Пред ^ N2 = X
= -Р - -X <: 7УПред,
A3.3.2)
N3 = 2Р - ^Х
7Упр
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 13
521
Построим область допустимых состояний (рис. 3.13.2 г). На плоскости
РХ каждое из этих неравенств выделяет полосу, границами которой явля-
являются линии, определяемые соответствующими неравенствами. Например,
неравенству а соответствует полоса, ограниченная линиями
_ /V — _ р
-^пред — г ~ *<
И
-Р-Х-Х =
На рис. 3.13.2 г это линии а\ иа2. Неравенству б) соответствуют линии Si
и (Ь, а неравенству в) — линии Ъ\ и 62.
у—С
пред
Рис. 3.13.2 а-г
Проследим теперь на плоскости РХ путь, соответствующий нагруже-
нию системы. Сначала деформации системы упругие и поэтому усилия в ее
стержнях, в том числе и усилие X, растут пропорционально нагрузке. Это
соответствует продвижению по линии О К (рис. 3.13.2 г). В точке К в од-
одном из стержней наступает пластическая деформация (в нашем случае это
третий стержень, так как точка лежит на линии 62). С этого момента при
росте силы Р усилия в этом стержне остаются постоянными и равными пре-
предельному, а в остальных стержнях они возрастают уже не пропорциональ-
пропорционально нагрузке. Происходит движение по линии KD, пока не будет достигнута
точка D. Дальнейшее повышение нагрузки Р становится невозможным, т.е.
достигается ее предельное значение. Легко убедиться, что точке D соответ-
2
ствует предельная нагрузка РпреД = -А^пред-
о
б)Кинематическийметод. Рассматриваемая система
станет механизмом, если текучесть наступит в двух ее стержнях. Поэто-
Поэтому для нее возможны три различных пластических механизма, показанные
522
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
на рис. 3.13.2 д, е, ж. Эти механизмы отличаются друг от друга парами
стержней, в которых наступила текучесть. Величину предельной нагрузки
Рпред (i = 1,2,3) в каждом из
трех механизмов легко определить
из условия равенства нулю моментов
относительно точек С, В и А соответ-
соответственно. Например, для первого ме-
механизма
Упред
I I
2а
А
ЛГпред
В
с
А^пред
Мс =0:
- РA) 2,
— П
— u
pB)
2a
ТОЧНО Так Же ПОЛуЧИМ, ЧТО Рпред =
pUJ _ _дг
- пред с\ 1 УпР
B)
9
= Х^пред И
- ОчвВИД-
Ж
пред npe
t t
PC)
пред
но, что реальная предельная нагруз-
2 2
Ка Рпред ^ д-^пред = 3^^'
3.13.3. а) Статический
метод. Вариант эквивалентной
системы, грузовое состояние и состо-
состояние самонапряжения с соответству-
соответствующими им эпюрами изгибающих мо-
моментов показаны на рис. 3.13.3 а, б и
е. Как видно из эпюр, наибольшие по
абсолютной величине суммарные из-
изгибающие моменты действуют в се-
2
чениях приложения сил Р и X. Эти моменты, равные соответственно —Р1 —
о
112
— —XI и —Р1— —XI, не должны превышать предельного момента Мпред, а
о о о
значит, должны выполняться следующие неравенства:
2 1
-МПред ^ -Р1 ~ -XI ^ МПред,
А В С
Рис. 3.13.2(?, е, ж
-Мпр
МПр
Построенная по этим соотношениям в координатах Р/, XI область до-
допустимых состояний ABCD показана на рис. 3.13.3 г. Из рисунка ясно, что
предельная нагрузка определяется абсциссой точки С, равной ЗМпред, т.е.
= ЗМпред, откуда предельная нагрузка
I
или, учи-
ст вн2
тывая, что для балки сечением В х Н Миред = —— , получаем Риред =
_ 3 атВН2
~ 4 I '
б) Кинематический метод (см. рис. 3.13.3 д). Балка
станет кинематически изменяемой, когда в ее сечениях В л С образуются
пластические шарниры (то, что это произойдет именно в сечениях БиС,
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 14
523
вытекает из анализа эпюры изгибающих моментов при упругом деформи-
деформировании балки, показанной на рисунке пунктиром). Из рисунка имеем
(справа
) =0, RI —
ед = о, R =
Мпр
I
(справа) — 0, R21 — Рпред/ + Миред — 0.
Рис. 3.13.3
Отсюда Рпред = 2Я +
м
—11Е
5 или, подставляя R из первого уравне-
уравнения, получаем, что реальная предельная нагрузка должна быть не меньше
ЗМпред
ЗМп
ред _
3 (ТТВН
4 I ¦
Глава 14
8.14.1. См. п. 14.1.1.
8.14.2. См. п. 14.1.1.
8.14.3. См. п. 14.1.1.
8.14.4. См. п. 14.1.1.
8.14.5. См. п. 14.2.2, соотношение A4.2.2).
8.14.6. См. п. 14.2.3, соотношение A4.2.7).
8.14.7. См. п. 14.2.3.
8.14.8. См. п. 14.2.4, соотношения A4.2.12), A4.2.14).
8.14.9. См. п. 14.3.3, соотношения A4.3.2), A4.3.3), A4.3.4), A4.3.5),
пример 14.1.
8.14.10. См. п. 14.4.1, соотношения A4.4.1).
524
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
8.14.11. См. пп. 14.4.1, 14.4.2, соотношения A4.4.3), A4.4.4), A4.4.5).
Кдин = 2.
8.14.12. сгдин = ^динСГст- См. п. 14.4.3, соотношение A4.4.6).
3.14.1. Расчетная схема показана на рис. 3.14.1 а, где q = pFu2l, эпюра
Mz — на рис. 3.14.1 б.
q i
a \
V
i:< .
.tt
1
III*
2/
ЛИ
1
1
4
7
2/ j
1,8 g/
1,3/
2,64 qi
\,2ql
Рис. 3.14.1
Максимальное напряжение
= 26,4^
лт гп ^d2 2 /7ГП\2
Учитывая, что .г = , а и =1 — I , где п — число оооротов рамы в
минуту, имеем
СГтах = 7,33 • 10"
Допускаемыми оборотами для рамы будут обороты, при которых мак-
максимальное напряжение достигнет допускаемого значения [а], т.е. 7,33 х
х 10~3—-—п^ои = [сг], откуда пдоп = 317 об/мин.
3.14.2. Действующая на элемент с массой dm = pFRdcp центробежная
сила равна (рис. 3.14.2 а):
dPj = dmuj Я sin if = pFuo R sin if dip.
Приходящаяся на единицу длины элемента погонная нагрузка
ф F
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 14
525
q(<p) = qsuKp,
где q = pFuo2R — максимальная погонная нагрузка.
Тогда расчетная схема для кольца примет следующий вид (рис. 3.14.2 б).
Как видим, эта рама три раза статически неопределима, но выбирая соот-
Рис. 3.14.2
ветствующим образом эквивалентную систему (см. пример 10.8), приходим
к следующему ее виду (рис. 3.14.2 е). Х\ найдем из канонического уравне-
уравнения $ю + 8цХ\ = 0. При вычислении 6ю и 6ц воспользуемся интегралом
Мора, для чего запишем функции Мо(а) и Mi (а):
а
Мо (а) = Г dPj (R cos if — R cos a) — qR(R — R cos a) =
= qR2 ( cos2 a — - cos 2a — -
Mi = 1.
Тогда
7Г 3 7Г
= ——- / MoMiRda = ——- / ( cos2 a — - cos 2a — - ) da = —
bJzJ bjz J \ 4 4/
0 0
irqR3
S10 qR2
Sn 4
526
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Суммарный изгибающий момент
Ms (а) = Мо(а) + Х\ = дЯ2 ( cos2 а — - cos 2а — - ) ,
На рис. 3.14.2 г показана суммарная эпюра изгибающих моментов.
( ())
3.14.3. СГ
ДИН (тах) = КдинСГст (max)
())
(СМ. формулу A4.4.6)), ^ДИн = ^дин
(см. формулу A4.4.4)). Построим эпюру изгибающих моментов при стати-
2Р1
Мо
1.
Рис. 3.14.3
ческом нагружении рамы силой Р = Мд. Рама один раз статически неопре-
неопределима. Эквивалентная система показана на рис. 3.14.3 а. Х\ определим из
канонического уравнения
Эпюры Мо и Mi для вычисления 6ю и 6 ц показаны на рис. 3.14.3 б и
в. Применяя способ Верещагина, получим
3 Pls 4 /3
О Т71 Т ' орт'
Z И/ Jz О rjJz
Тогда Xi = \р.
о
Суммарная эпюра Ms у показана на рис. 3.14.3 г, откуда
Максимальное статическое напряжение
Mz max 9PI
^ст (max)
Wz 8WZ'
Для вычисления SCT построим в той же эквивалентной системе эпюру
Mis (рис. 3.14.3 л), приложив единичную силу в точке удара и в направ-
направлении удара. Перемножая Ms иМ^, находим
47 Pls
d
ОТВЕТЫ К ГЛАВЕ 14 527
Для вычисления KAiiii воспользуемся формулой A4.4.3)
Подставляя 6СТ, имеем
47Р/3 '
Тогда
°"дин (max)
9 / / 96hEJz\ Mgl
8{1 + \11+47Щ?I?Г'
47 / /, , 96hEJ2\ Mgl3
5дин = 48 ^ + V 1+ 47Mi]3 J -EJT-
3.14.4. Кинетическая энергия системы в момент сразу после удара с
учетом симметрии ее деформации будет равна (см. выражение A4.3.2)):
Т = ±MV? + 2 |
о о
Условие для определения приведенной к точке удара массы будет иметь
вид
1 2
2 2
J ^ш^1/2(Ж) = )^MV? + J
откуда
к
Mnp = 2fmf(x)dx.
о
Представим Мпр в форме Мпр = КпрМс, откуда, учитывая, что Мс =
i
= J mdx и т = const, получаем
о
^Пр=у//2(Ж)^,
^ст(ж)
где f(x) = —^Л
Для нахождения функции статического прогиба vCT(x) от единичной
силы, приложенной в точке удара, запишем дифференциальное уравнение
упругой линии для половины балки (см. рисунок):
EJzv"T = MZ, Mz = |ж, EJzv"T = |ж.
Интегрируя это уравнение, получаем
—
528
ОТВЕТЫ НА ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
Из граничных условий г>ст@) = 0, v'CT I - I = 0 имеем
С -- —
2-0, 1 - - —
Тогда, имея в виду, что Si = vCT ( — ) , получаем
Рис. 3.14.4
Подставляя /(ж) в выражение для Кпр, получаем
Кпр = 1| « 0,486,
Мпр = 0,486Мс.
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
В.15
.1. См. п.
.2. См. пп
.3. См. п.
.4. См. п.
.5. См. п.
.6. См. п.
.7. См. п.
.8. См. п.
.9. См. п.
.10. См. п
.11. См. п
.12. См. п
.13. См. п
.14. См. п
.15. См. п
.16. См. п
.17. См. п
.18. См. п
.19. См. п
.20. См. п
.21. См. п
15.1.1.
15.1.1,
15.2.1.
15.2.1.
15.2.2.
15.2.2.
15.2.3.
15.2.3.
15.3.1.
15.3.2.
15.3.3.
15.4.1.
15.4.2.
15.4.2.
15.4.3.
15.4.4.
15.4.4.
15.4.5.
15.4.5.
15.4.5.
15.4.5.
Глава 15
15.1.2.
ТАБЛИЦЫ
529
И"
S
I
о
X
о
Рч
X
I
Рч
о
со
Н
U
3
§
Он
Рч
s
1=3 s
§ &
g &
5 к
о
ые величи
о
а
о
я
О
а;
И
ч:
1
о
Ч
U!
-о
а
о
К
1
1
о^
S
С»
0)
и
S
VD
со
со
о
со8
О
8
СО
8
О
(М
со"
а>
|>
23,0
со
о
39,
198
со
Gi
О
<м
ю
о
ю
ю
о
о
о
оо
со
оо"
га
27,
33,7
00
00
58,
350
ю
1—i
1—i
о
со
ю
ь"
со
00
со
о
1—i
»п
ю
о
ю
1—1
46,8
со
ю
81,
572
со
1—1
1>
о
со
о
00
ю
О)
со
о
1—i
о
о
ю
со
58,
62,3
ю
со
о
109
873
ю
О
ю
со
ю
00
00
о
ю
00
о
со
со
on
00
о
00
со
82,
81,4
о
143
1290
00
со
ю
со
о
1_|
00
1—1
ю
о
са
о
00
00
о
о
со
о
115
104,0
00
00
о
184
1840
о
00
со
о
ю
Gi
00
OQ
ю
100
о
о
о
о
со
00
о
157
131,0
со
Gi
О
232
2550
о
СО
о
о
о
о
00
ю
110
о
СО
о
со
о
198
163,0
Gi
Gi
О
289
3460
со
г-
00
о
ю
о
ю
Gi
СО
Ю
115
о
2,5
о
о
260
210,0
,20
о
371
5010
ю
со
О
ю
о
00
Gi
О
СО
125
о
СО
о
Gi
Gi
О
337
268,0
,30
О
7080
ю
со
со
ю
со
о
ю
о
о
ю
со
135
о
о
со
о
о
Gi
Gi
Ю
О
419
339,0
,50
со
о
Gi
Ю
9840
00
со
о
ю
о
со
о
|>
140
о
со
со
со
00
о
1—i
о
516
423,0
,70
о
743
13380
со
00
Gi
О
со
о
СО
!н
ю
|>
145
о
со
со
со
со
о
о
со
00
о
667
545,0
,20
со
о
953
19062
о
ю
со
<м
о
со
о
ю
со
00
155
о
о
о
530
ПРИЛОЖЕНИЯ
ol
И"
U
О
?\^
и
О
On
§:
3
1ЧИ
5
a;
3
Я
о
оЗ
a
О
Вес
|
о
О)
Ном
о
о
5*
535
1
5
а»
-if
шве
35
СО
35
со
и
8
со
о
8
СО
8
О
8
О
к
аЗ
а
а;
со
ю
о"
ю
<М
СО
ю
ю
ю"
CN
1—1
00
48,4
со
1—1
со"
ю
ОС
о
со
о
со
о
ю
ю
о
00
о-
00
со
со
о
00
2
оГ
ю
о
ю
со
оо"
59,0
ю
ОС
о
со
см
со
со
ю
со
со"
со
о
О)
П"
ю
,80
о
со
со
со
со
Си"
00
70,5
00
00
ю
ОС
ю
со
о
о
00
00
-и'
о
со
со
о
о
(М
о
о
Oi
со
00
со
о
174
85,9
о
Си
о
о
со
о
со
со
100
о
ю
о
со
ю
00
о
со
о
со
00
со
о
ю
о
304
104
о
со
со
о
со
ю
00
00
ОС
ю
120
-
о
о
ь"~
,00
^~|
о
ю
о
00
о
о
со
ю
о
о
491
123
о
со
ю
о
со
о
00
,_,
00
О)
00
ю
140
3
00^
о
00^
о
со
,50
ю
о
1—1
ю
со
со
ю
00
о
545
133
о
о
1>
о
со
о
00
00
О)
ОС
со
140
14а
о
00^
о
00^
,80
,30
со
СО
о
1-й
ю
со
со
о
747
142
о
00
ю
со
ю
00
00
о
ю
со
160
со
ТАБЛИЦЫ
531
о
О
Ч!
3
ИЧР
вел
О)
3
К
о
и
а
с
О
о
И
о
1=3
С
-о
а
О)
Ном
о
1
5*>
О
1=3
шве
О
35
8
О
8
СО
О
8
О
8
о
w"
S
К
1
аЗ
а
1=3
о
о
см
о
о
см
о
со
1—i
00
t^
о
59,
со
о
со
о
о
со"
см
00
со
ю
,-4
о
ю
Oi
,-4
ю
со
»п
00
о
о
ю
00
со
о
со
16а
Си
о
о
о
о
t^
1—1
о
00
о
оо
69,
о
,-4
О
1090
со
со
,-4
о
о
ю
со
Г")
00
1—i
ю
о
о
00
00
со
т—i
ос
о
<Х>
о
о
о
СМ
О
о
ю
о
о
76,
со
о
СМ
СО
о
1190
о
СМ
СМ
Ю
СО
Г")
со
ю
о
00
18а
о
ОС
о
^
О
о
О
о
со
о
оо
87,
о
00
о
Ю
О
1520
00
о
со
OQ
О
ю
о
О)
см
ю
со
о
о
о
00
ос
о
ю
со
^
о
О
О
Oi
со
о
95,
ю
1—1
00
о
со
о
1670
00
о
ю
OQ
О
О)
<м
ю
о
00
о
о
20а
ОС
о
со
о
1—1
ю
OQ
о
о
^1
ю
о
о
110
00
00
о
о
2110
о
о
со
о
о
о
ю
О)
ю
00
о
со
ОС
о
ю
ю
^
о
о
о
со
о
о
t^
00
о
о
121
00
о
о
2330
со
о
00
00
OQ
о
о
о
о
ю
00
о
22а
ОС
о
С 5
со
^
о
со
,_|
со
о
о
00
о
о
о
139
со
О)
о
о
2900
о
О
со
о
со
о
ю
о
о
о
СО
ю
о
о
см
со
см
о
см
о
см
t^
со
о
о
ю
о
о
151
00
О)
о
ю
со
о
3180
00
ю
CN
О
см
со
о
ю
о
о
СО
ю
ю
о
см
24а
см
о
со
см
о
со
t^
со
о
о
см
со
о
о
00
,90
о
о
00
о
о
4160
г-
см
о
ю
со
ю
о
ю
о
о
со
ю
о
см
ю
см
о
00
см
о
со
со
о
о
t^
см
о
о
224
о
о
см
о
^
00
о
5810
00
со
о
ю
о
о
ю
о
°1
о
ю
со
100
о
о
со
о
со
ю
см
о
Oi
см
о
00
,_i
ю
о
о
о
о
о
281
о
со
о
00
о
7980
ю
со
со
о
ю
со
о
ю
о
со
о
105
о
со
со
со
со
00
со
см
о
С 5
со
о
,_|
со
о
о
со
1—1
о
о
350
,20
о
,_|
о
сэ
10820
о
со
ю
о
со
о
^1
со
ю
110
о
со
со
со
со
ю
см
о
см
со
о
со
1>
о
о
см
о
о
444
,70
ю
о
со
сэ
15220
со
00
о
ю
1—i
со
о
со
о
ю
ю
со
о
00
115
о
о
о
532
ПРИЛОЖЕНИЯ
со
И"
о
X
Н
U
О
i
эк
о
о
для
3
к
S
S
1=3
3
К
о
и
с
л
ч:
1
о
1=3
С
ч
тз
-о
о
я
о
|
|
о
о
1
о
Н
1
О
s
к
О)
сеч
о
ь
о
о
iin?
С
о
X
й
Ь
о
8
о
ах?
ь
о
8
6
а
с
¦5!
О
о
со
о
¦5!
О
о
¦5!
О
О
1=3
Oi
о
со
о
00
о
со
о
(М
1—1
о
1—1
о
ю
1>
о
ю
о
со
со
о
Си
ю
00
о
о
о
со
,_i
ю
со
со
о
ю
со
о
о
00
со
о
со
1—1
о
о
со
1>
о
ю
о
00
о
00
ю
со
о
о
ю
о
со
,_|
ю
со
со
о
00
ю
о
О)
1—1
о
со
о
ю
о
со
о
1—1
ю
со
о
^
00
о
со
,_|
ю
со
со
со
со
о
см
00
о
ю
о
о
со
Oi
о
со
о
со
1—1
ю
о
со
о
1—1
со
00
,_|
ю
со
ю
ю
ОС
о
00
о
см
ю
ю
о
^
о
00
о
(^
о
Oi
о
00
ю
00
00
ю
о
со
1—1
^
со
,_|
со
о
со
00
00
ОС
со
00
о
со
со
со
со
о
гч
со
о
о
со
о
00
о
^
со
00
,_|
ю
ю
^
со
со
<м
со
Oi
о
со
со
о
ГЧ
о
а>
о
00
ю
^
00
ю
со
со
со
ОС
со
ю
ю
ю
со
(Ъ
Oi
о
со
1—1
t>
о
1—1
о
со
о
,—1
Oi
со
со
ю
^
со
о
^
о
1—1
00
о
со
ю
ОС
о
ю
ю
со
со
со
СО
со
со
о
со
о
о
со
ю
о
со
со
,—1
00
со
со
о
ю
Си
1,0
00
1—1
Си
со
ю
ю
ю
ю
00
ст.
о
^
ю
со
со
t>
о
^
ю
о
,—1
ю
ю
со
'-'
со
со
ю
со
(М
^
ю
ю
со
ю
со
^
о
ю
со
со
со
ю
00
00
о
со
со
о
о
,—1
со
ю
со
со
°1
о
со
^
00
ю
^
00
о
со
^
о
ю
о
00
Си
1—1
,73
о
00
о
00
о
о
со
OQ
ю
о
со
ю
t>
00
ю
^
со
ю
ю
со
о
ю
ю
ТАБЛИЦЫ
533
ffl
>сей
к
1ИЧ
и
3
ж
воч
пра
и
1
3"
о
С
43
-о
Но-
о
|
о
о
о
1
и
мер
Щ
о
,_|
8
а
о
•я
о
й
О
8
О
Р
О
8
CJ
S
К
про-
о
о
со
и
и
со
о
со
филя
00
о
OQ
сгГ
0,8
»п
со
о
<м
,_;¦
ю
00
of
со
1—1
оо"
Си
со
со
ю
со
ю"
ю
со
1—1
о
ю
со
со
со
СЧ
со
1—1
<м
0,8
00
о
со"
<М
ю
о
00
со
о
со
СП
со"
00
со
1—1
о
ю
ю
ю
со
со
о
со
ю
ю
00
0,8
о
'-'
со
со
со
СЧ
00
со"
со
ю
ОС
со
о
оо"
1—1
о
ю
ю
см
со
со
со
00
со
о
00
о
ю
СЧ
ю
о
со
ю
ю
Oi
со
<м
00
ю
ю
со
ю
о
со
00
со
1—1
со
со
О)
0,9
»п
о
'-'
о
00
со
а>
о
со
со
ю
ю
ОС
Си"
00
со
00
1—1
ю
ю
со
00
о
00
0,9
со
со
^'
со
со
ю
со
со
о
о
00
00
ю
ю
ю
о
ю
ю
со
(М
ю
00
со
со
со
ю
00
2,1
о
ю"
о
со
со
о
со
00
со
о
(М
о
со
со
ю
со
ю"
ю
ю
ю
о
1—1
со
со
'-'
ю
со
со
со"
со
со
ю
со
со
Си
ю
1—1
1—1
ю
о
о
со
ю
о
со
Си
со
со
о
со
со
ю
°1
о
00
t^
ю
со"
о
ю
ст.
о
^
со
00
00
со
со
о
00
о
ю
5!
ю
1,2
о
ю
oi'
о
оо"
о
со
со
»п
о
ю
о
со
со
со
со
о
ю
со
со
со
со"
см
ю
00
о
о
ю
,18
со
2,4
со
оо
ю
со
о
00
|>
со
о
со
00
00
00
ю
о
ю
О)
со
»п
со
,04
OQ
2,7
Си
оо"
со
о
со
со
со
ю
о
о
со
о
00
ю
00
со
ю
о
ю
со
ю
со
ю
,22
со
CNJ
со
о
со
со
Oi
со
со
00
со
о
00
ю
О5
со
со
со
00
со
00
со
о
со
,52
ю
^н
2,7
о
00
со
ю
со
00
ю
со
ю
00
о
00
со
о
а>
со
Си
Си
о
о
00
со
ю
со
,77
Oi
со
о
со
со
00
ю
00
00
Си
о
00
со
00
(М
о
о
S
со
о
,97
Си
00
со
ю
со
ю
1—1
ю
со
со
1—1
оо
со
О5
со
00
о
о
00
00
о
ю
о
со
со
О)
со
^н
со
ю
со
со
2,3
со
ю
со
со
|>
о
со
о
О5
ю
О5
00
со
со
о
Oi
со
00
00
»п
ю
со
,28
Oi
о
2,9
Oi
ю
со
00
со
о
со
ю
00
ю
со
00
00
о
со
о
Oi
со
ю
ю
со
о
OQ
00
о
,07
Oi
00
00
со
ю
со
00
Oi
ст.
00
Oi
со
со
ю
ю
о
о
со
о
Oi
см
о
ю
со
со
,80
00
|>
1—1
00
Си
00
d^
00
' 1,
1—1
00
ю
о
о
со
о
Oi
00
о
00
со
со
1—1
ю
,48
со
00
о
|>
,72
о
со
о
со
со
со
о
со
о
Oi
о»
534
ПРИЛОЖЕНИЯ
ffl
sS
осе
[ ДЛЯ
л
к
ЛИЧ]
О)
3
о
оЗ
а
с
О
лощадь
43
-о
Но-
|
н
о
1
о
535
о
о
в
о>
и
мер
к
о
in,
fa
о
й
р
о
й
ь
о
•<s>
Ё
ия,
к
про-
о
,>•
О
о
п
1
| филя
оо
67,
1—i
<м
со
со
Oi
ю
^
о
00
1—1
(.4
,_,
1—1
со
со
1—1
ю
00
t-
со
00
со
52,
со
со
оо"
о
со
о
ю
ю"
со
со"
1>
о>
1—1
<М
00
1—1
о
"
on
ю
,05
ю
со
(.4
,_!
1—1
со
»п
ю
ю
1—1
ь-
,80
ь-
56,
00
со
Си"
о
со
о
со
85,
со
<М
<М
Oi
1—1
on
ю
,67
Oi
со
Си
о
со
СО
1—1
со
со
со
о
1—1
ю
<м
L,32
со
65,
ю
00
о
о
со
о
<?
о
00
00
96,
СО
со
ю
,29
со
о
со
00
о
со
со
о
со
со
2,80
со
со
со
о
со
<м
о
со
о
со
83,
со
Си
со
со
о
ю
со
(М
00
О)
<м
о
со
00
<м
2,49
о
82,
со
о
со
со
о
о
96,
О)
со
on
,97
Си
00
со
Си
со
го
(М
со
Oi
<м
1,45
о
со
94,
00
<м
со
со
о
о
со
109
ю
(М
,75
о
00
со
00
со
Oi
ю
(М
00
со
со
со
со
со
о
со
со
со
со
о
о
о
о
122
ю
ю
ОС
о
Oi
(.4
,53
о
со
00
со
со
00
00
о
о
со
00
ю
В,29
о
о
118
о
со
ю
со
со
о
о
со
100
00
со
ОС
1—1
Си
,94
со
о
ю
Oi
00
со
со
со
со
1—1
о
со
со
о
1—1
122
00
о
о
ю
107
,_,
t>
ОС
со
1—1
со
(.4
on
,43
со
1—1
ю
00
00
со
on
со
00
о
о
00
о
со
о
ю
130
ю
со
о
о
ю
122
ю
t>
ОС
см
ю
со
(.4
on
,40
(М
Си
о
со
00
со
Г")
со
со
со
со
о
со
о
со
147
о
со
ю
о
о
о
151
со
00
ОС
со
со
со
со
0,34
00
о
00
со
со
О)
со
со
00
со
00
ю
о
со
4,97
ю
178
о
о
о
100
о
о
179
Oi
ОС
со
О
2,25
00
со
00
,_,
00
со
Г")
со
»п
о
со
со
со
о
со
3,47
о
208
о
00
о
о
со
206
Oi
ос
о
Си
(М
со
Oi
Oi
00
t>
со
со
ю
on
со
о
о
со
3,83
ю
237
00
со
о
о
о
233
со
о
со
ю
Си
6,09
со
on
Gi
Ю
О
со
00
OQ
В,04
00
263
00
со
о
о
118
со
Oi
ОС
О)
ь-
о
со
,03
00
со
Си
^
СО
со
со
ю
00
1^
о
со
L,83
со
175
ю
ю
о
о
°1
110 1
о
135
о
о
со
Oi
OQ
Ю
СО
00
0,23
со
00
1—1
00
00
со
О)
со
ю
1—1
со
со
со
4,77
1—1
198
о
о
о
00
ТАБЛИЦЫ
535
PQ
a;
о
о
t;
ИЧИНЫ
e
e ве
3
к
о
и
аЗ
а
с
О
лошадь
чз
Но-
1
о
о
о
1
о
1
О)
о
мер
о
Й
о
35
*-*
й
о
о
X
о
8
8
СЧ
О
5
к
про-
и
и
и
со
и
и
со
о
филя
со
ю
со
со
со
^
со
ю
Gi
сч
со
со
со
,_!
СЧ
00
со
51,
со
466,
00
со
о
со
со
со
294
Gi
со
Gi
СО
^
о
00
о
со
о
со
о
00
ю
00
00
00
00
со
»п
со
со
00
57,
о
520,
со
00
со
о
о
со
со
00
327
о
сч
СО
о
Gi
о
,_|
Gi
ю
со
со
00
со
со
Си
ю
оо
00
63,
о
571,
»п
00
со
Gi
со
00
359
со
со
сч
СО
о
о
ю
12,5
00
со
СЧ
со
ю
со
on
со
сч
Gi
со
(М
00
^
00
СО
74,
о
670,
ГМ
00
со
со
о
со
422
Gi
00
00
СО
о
о
со
,_,
со
со
00
ю
Gi
ю
ю
¦^f
CQ
CQ
со
<ъ
Gi
00
|>
Tf
Gi
on
85,
о
Gi
763,
о
00
со
t-
ю
со
481
со
со
со
СО
о
ю
со
Gi
00
со
со
ю
о
ю
(.4
Gi
CN
ю
CO
96,
00
852,
on
CO
Gi
о
CO
CO
Ю
538
CO
CO
о
CO
,_,
Gi
00
CO
CM
00
00
Gi
00
t>
00
CO
о
OQ
Gi
Ю
CO
72,
о
739,
CO
^
Ю
Ю
Ю
s
Ю
CO
24
CO
о
Ю
CN
(M
00
CO
Gi
о
Gi
00
t>
о
(.4
CO
Gi
о
CN
CO
Ю
79,
CO
813,
CO
CO
CO
о
Ю
Gi
Ю
CO
CO
l>
CO
о
о
о
о
ю
ю
CN
о
Gi
со
Gi
о
со
со
ю
(.4
1_|
о
on
CN
со
ю
ь-
94,
00
Gi
956,
со
со
со
Gi
ю
Gi
о
со
Си
со
СО
о
со
сч
о
со
^
со
ю
со
Gi
со
о
со
t^
(.М
00
со
<ъ
со
ю
со
08
ю
о
^н
,10
1229
со
Си
Gi
со
со
S
774
со
1—1
со
со
ю
о
о
см
о
сч
ю
со
Gi
00
со
00
Gi
сч
со
сч
со
04
ю
со
со
1340
»п
Gi
844
со
со
ю
о
ю
со
Gi
сч
Си
со
^
со
со
со
со
со
сч
сч
со
00
»п
со
со
сч
со
00
00
сч
,00
1450
Gi
со
00
Gi
00
912
Gi
со
со
со
ю
о
Gi
со
со
^
Gi
со
со
со
со
1_|
00
о
со
^
о
сч
со
со
со
1662
ГМ
Gi
о
Gi
1046
ю
со
со
ю
о
о
со
со
сч
ю
00
со
ю
ю
Gi
со
со
со
сч
^
сч
со
00
г-
1—1
со
95
162
,73
1865
<ъ
00
,64
о
,19
SZTT
07
Gi
со
ю
о
со
,_|
о
со
^
со
со
со
со
со
сч
^
со
со
ю
со
1—1
со
23
181
,03
2061
00
,24
,24
Gi
Gi
ю
со
ю
о
00
о
со
ю
,ч
сч
со
00
1—1
сч
ю
со
<ъ
00
ю
о
1—1
со
02
Gi
Gi
,26
2248
»n
00
,60
,85
1418
со
со
ю
о
о
о
со
ю
00
00
Gi
со
Gi
Gi
ь-
со
00
<ъ
Gi
^
со
о
95
со
,10
1933
о
со
ю
Gi
1216
00
со
со
ю
о
сч
1—1
со
со
Gi
00
ю
со
,ч
00
со
сч
сч
1—1
ю
о
ю
о
о
со
Gi
ю
^н
,78
2092
Gi
ю
ю
1—1
о
,62
1316
Gi
1—1
со
ю
о
о
00
00
1—1
536
ПРИЛОЖЕНИЯ
PQ
о
W
ИЧИНЫ ДЛ
и
a;
3
К
о
оЗ
а
с
О
лощадь
С
ч
43
-о
6
1
о
1
о
535
1
1
о>
О)
о
a
о
ь
о
35
о
.s
о
ах?
ь
о
8
О
ах?
Ё
о
8
8
оГ
К
9
с
со
о
о
со
о
и
Oi
со
со
со
ю
182
Oi
Oi
со
со
<м
51,
749,
00
Oi
Oi
Oi
1—1
со
со
Oi
00
CN
<м
CO
1—1
CO
CN
00
t>
<M
<N
00
о
47,
о
CO
о
00
<м
Oi
Oi
со
??
ю
452
00
Oi
со
OQ
<м
55,
со
805,
со
00
со
со
со
1—1
00
116
со
1—1
СО
со
о
со
Oi
ю
00
50,
о
СО
о
00
со
о
00
ю
722
Oi
СО
00
1—1
59,
о
861,
1—i
00
со
1—1
Oi
OQ
5333
о
СО
о
t^
Hi
о
со
ю
о
СО
о
00
ю
со
00
54
ю
264
со
Oi
со
со
о
67,
969,
00
|>
Oi
со
Oi
ю
Oi
со
755
со
1—1
со
|>
со
со
ю
(М
со
со
00
Oi
со
о
СО
о
00
со
о
<м
о
00
о
о
со
g
ю
355
со
Oi
со
со
со
82,
Oi
1181
(М
|>
со
00
00
со
<м
560
^
со
со
о
о
^
^_|
00
ю
76,
о
СО
о
00
о
о
00
ю
733
Oi
со
,91
о
00
со
1438
со
со
со
Oi
00
со
о
494
ю
со
о
со
Oi
»п
СО
со
^
Oi
(М
94,
о
СО
о
00
ю
со
ю
00
о
со
130
Oi
00
со
,19
<м
со
1—1
1688
ю
ю
Oi
ю
ю
^
ю
о
351
со
о
о
со
|>
on
00
о
со
Oi
о
,54
111
о
СО
о
00
о
о
91
ю
941
00
со
OQ
1>
со
ю
1158
о
со
00
ю
00
ю
470
со
00
со
00
ю
|>
со
со
00
00
со
60,
о
»>
о
о
(М
(М
со
00
со
ю
о
со
661
со
со
^
о
t^
81,
гм
ю
1305
00
ю
00
со
ю
со
со
045
ю
о
00
со
on
Oi
ю
00
ю
00
со
о
»>
о
со
ю
ю
1—1
со
{2
со
286
00
Oi
,40
со
о
Oi
о
1942
00
t^
Oi
со
¦^f
о
1—1
о
492
t^
со
со
on
ю
о
1—1
t^
|>
о
78,
о
00
о
со
со
00
00
со
83
со
342
со
Oi
,77
00
00
2157
ю
|>
Oi
г-
00
00
ю
^
Oi
со
336
00
со
on
00
87,
о
00
о
00
CO
91
CO
о
Oi
,05
CO
,_,
о
2370
(M
i>
Oi
00
¦^f
CO
о
Ю
CO
159
Oi
,_,
CO
on
00
CO
l>
co
Oi
CO
Oi
о
00
о
о
г*
со
00
со
00
1>
L463
со
Oi
,24
со
о
2579
Oi
со
Oi
00
OQ
СО
ю
ю
о
со
961
Oi
Oi
со
со
on
со
о
,12
106
о
00
о
^
о
»п
(М
ю
Oi
со
Oi
1>
3064
Oi
,42
со
со
2887
со
Oi
о
(М
со
,52
L125
ю
со
Oi
Oi
со
со
о
о
TZ'
119
о
00
о
ю
ю
1674
о
Oi
,50
Oi
i>
Oi
00
3189
Oi
ю
Oi
Oi
Oi
00
00
со
,84
>243
CO
Ю
CO
CO
00
CO
,12
133
о
00
о
00
1—1
CO
5753
Oi
00
,53
Oi
00
Oi
00
00
CO
CO
Ю
Oi
Oi
CO
CO
<M
t^
,66
>964
Oi
Ю
CO
(M
00
CO
l>
00
,96
141
о
00
о
о
ТАБЛИЦЫ
537
И"
о
X
U
О
о
и
d
Он
И
Еч
О)
ч:
3
ни
S
0)
й
02
3
U1
я
а
с
О
м-
о
С
-чз
-о
СО
Номер
аЗ
К
О
аЗ
К
1
^н
1
5Л
|
5Л
Н
1
а>
и
про-
и
о
in?
Р
in?
S
о
о
5Л
35
35
8
8
К
филя
со
О
О
о
о
о
СО
О
f
ч
о
о
со
о
ч
о
СгГ
о?
со
о
^
со
о
со
о
со
о
¦^f
о
со
о
со
00
со
ю
о
а>
1—1
о
СМ
СМ
о
00
о
со
о
о
о
со
1—1
ю
со
со
со
ю
<м
2,5/1,6
1—i
,-4
00
со
о
со
о
ю
о
00
о
а>
о
00
о
00
о
со
со
»п
ю
о
о
со
о
со
о
о
ГЧ
о
(М
ю
^
Си
ю
со
со
о
<м
со
3,2/2
см
ю
^
со
о
со
о
со
со
о
ю
со
о
со
ю
о
00
со
ю
о
(Ъ
со
о
^
ю
о
о
о
со
о
со
Oi
О)
1,2
ю
со
00
^
ю
00
со
о
^
ю
о
,__,
о
со
ю
о
ю
о
00
ю
^
со
со
со
о
о
а>
о
со
а>
о
^
со
о
со
Си
00
со
о
со
ю
о
4/2,5
Oi
00
со
о
^
ю
о
(М
ю
о
о
со
со
о
ю
со
со
ю
00
гт,
со
о
со
со
о
00
1—1
со
°1
сг,
^
со
со
^
(М
со
о
00
со
00
со
о
^
со
о
(М
ю
о
сг,
о
—
со
о
о
Си
гт,
t^
о
со
о
(М
со
со
ю
1—1
о
ю
со
00
ю
4,5/2,8
о
см
со
о
о
со
о
^
со
о
ГЧ
о
00
со
о
00
см
,_,
ю
,09
гЧ
on
О
о
00
о
а.
со
см
о
00
со
ю
о
00
см
о
ю
о
со
о
о
о
о
00
со
о
on
t>
о
со
со
о
со
со
о
,_,
00
о
О)
О)
^
о
со
ГЧ
00
^
00
1—1
со
см
см
00
ю
ю
со
см
со
о
5/3,2
О)
о
о
о>
со
о
00
00
о
ГЧ
1,5
со
о
ю
со
со
Г")
о
»п
о
со
ю
см
ел
ю
00
со
см
00
1—1
со
00
ю
ю
00
со
о
о
00
о
со
сг,
2,1
00
о
ю
со
см
00
,24
со
ГЧ
о
со
^
о
со
00
о
со
t^
00
ю
со
2,0
о
со
со
со
со
ю
5,6/3,6
со
со
о
о
00
t>
о
со
ю
2,6
00
00
о
Oi
00
со
см
о
ю
со
^
00
о
со
см
2,0
о
со
ю
538
ПРИЛОЖЕНИЯ
ffl
гол
осей
ч
ч:
3
к
s
О)
и
к
о
рав
с
О
Площадь
ч
43
-о
ч
Номер
кло-
я
1
«35
1
1
1
1
сече-
про-
Е
оси,
ей
к
и min,
о
^А
о
•«*
35
8
•«¦*
НИЯ, СМ
филя
в
bJO
о
со
о
о
о
о
со
со
397
о
00
о
3,07
3,91
ю
оо"
со
о
<м
33,00
со
со
^
со
о
<м
3,83
со
со
со
4,04
со
<м
о
о
со
со
6,3/4,0
СО
396
о
0,86
3,73
3,95
00
о
08
<м
41,42
<м
ю
о
,26
о
о
<м
4,72
1—i
19,
4,98
со
o'z
ю
со
со
393
о
0,86
<м
о
<М
4,36
3,99
09 (
со
<м
1—1
<М
49,87
<М
,29
Gi
О
5,58
1—i
со
23,
5,90
со
o'z
СО
со
о
со
386
о
0,85
о
СО
<м
5,58
L,07
92
о
<м
66,87
09
со
,15
со
7,22
о
СО
29,
7,68
со
o'z
00
Gi
СО
406
о
0,98
о
<м
<м
5,34
L,05
S
ю
00
<м
(М
56,74
со
<м
,05
со
<м
88'S
со
27,
5,59
ю
ю
ю
ю
о
7/4,5
Gi
436
о
1,09
?2
7,24
i>
00
о
(М
со
(М
69,70
со
ю
со
>,47
Gi
СО
<м
6,81
00
34,
6,11
8,0
ю
о
ю
ю
s/s'z
Gi
СО
ю
435
о
1,08
со
8,48
L,21
о
ю
83,91
85
со
о
со
00
со
<м
8,08
с»
40,
7,25
8,0
со
со
430
о
1,07
3
10,87
L,29
со
<м
ю
(М
112,48
о
Gi
Gi
5,52
ю
со
(М
10,52
00
со
52,
9,47
<м
8,0
00
Gi
Gi
387
о
1,09
t2
7,57
L,13
83
о
(М
о
со
<м
84,60
28
со
>,68
со
ю
(М
7,71
со
6,36
8,0
ю
о
ю
о
00
8/5
см
Gi
Ю
386
о
1,08
CQ
СО
8,88
со
ю
ю
со
(М
101,81
о
88
со
1,85
ю
ю
(М
9,15
00
48,
ss'z
8,0
со
со
384
о
1,22
00
со
11,77
L,26
со
Gi
132,49
00
со
ю
),67
00
00
(М
10,74
00
65,
7,86
о
со
о
ю
ю"
со
ю
о
Gi
9/5,5
о
СО
384
о
1,22
12,70
L,28
ю
ю
со
ю
Gi
(М
144,73
00
Gi
,22
00
00
11,66
00
ю
'0Z
8,54
о
со
о
со
00
380
о
1,21
со
ю
16,29
со
со
00
04
со
193,85
со
со
со
',08
85
<м
15,24
00
90,
11,18
о
со
о
00
со
ю
393
о
1,38
ю
18,20
L,42
93
со
со
198,25
Gi
27
со
),58
о
со
14,52
Gi
00
9,59
со
со
L0,0
со
со
со
100
10/6,3
о
00
392
о
1,37
о
СО
20,83
L,46
00
со
00
ю
00
со
231,85
00
со
1,99
со
со
16,78
со
00
112
11,09
со
со
L0,0
00
391
о
1,36
00
со
23,38
L,50
56
со
со
со
265,52
00
),21
со
00
со
19,01
,96
126
12,57
со
со
L0,0
00
121
387
о
1,35
со
00
28,34
L,58
ю
ю
00
о
со
333,11
ю
Gi
Gi
Gi
СО
^
Ю
СО
23,32
,83
133
15,47
со
со
L0,0
о
00
Gi
00
402
о
1,53
о
26,94
L,58
со
ю
ю
со
286,34
о
о
??
00
со
со
ю
со
19,11
,42
142
11,45
со
со
L0,0
ю
со"
о
110
1 ПА
м
109
400
о
1,52
о
ю
00
32,31
L,64
со
Gi
СО
СО
353,42
00
Gi
,20
о
1,64
ю
со
23,22
,54
171
13,93
со
со
L0,0
00
1=2
vo
н
о
к
к
аЗ
К
О
о
Вес
гол
о
о
к
величинь
а)
3
К
о
а
О
-OI
-о
ч
Номер
я
КЛО-
аЗ
К
1
«35
1
1
«35
1
5*>
1
Л
я
про-
Е
оси,
а
К
•S
й
о
о
8
•«*
a
8
•«*
8
а)
а)
о
филя
со
и
и
и
и
со
о
со
и
о
о
ния
1
10,4
407
о
со
со
Gi
пГ
43,40
1,80
<м
119
о
452,27
29
<м
89
со
(^
73,
о
со
26,
226,53
со
о
^н
со
о
1—1
t-
о
00
125
1 12,5/8
25,3
406
о
ю
ю
(М
48,82
1,84
i>
136
05
^
517,81
28
со
ю
82,
о
о
^
со
(М
30,
255,62
со
Gi
Ю
t^
СО
о
1—1
00
54,7
404
о
со
59,33
1,92
ю
о
173
649,23
26
52
со
100
00
Gi
СО
ь-
37,
311,61
о
Gi
Ь-
со
о
1—1
о
83,4
400
о
СО
69,47
2,00
00
Gi
60S
781,15
46
Gi
00
116
ю
Gi
СО
ь-
о
44,
364,79
со
со
со
t^
со
о
ТАБЛИЦЫ
41,3
411
о
00
Gi
СО
•*$
70,27
со
о
00
194
Gi
728,84
00
ю
CQ
Gi
ь-
Gi
119
Gi
•*$
Ю
38,
363,68
о
о
00
о
о
о
Gi
140
14/9
74,6
409
о
со
00
ю
|>
85,51
2,12
Gi
О
245
00
ю
911,17
со
ю
ю
145
Gi
47,
444,45
CQ
OQ
О
^
О
о
79,6
391
о
о
о
о
110,40
2,24
Gi
300
Gi
ю
1221,48
85
<м
96
со
со
о
186
ю
ю
о
56,
605,97
00
22
со
о
со
100
160
16/10
98,5
390
о
Gi
О
121,16
2,28
со
о
335
со
ю
1358,89
84
??
со
Gi
О
204
со
ю
Gi
СО
666,97
00
ю
со
о
со
о
>72,6
385
о
со
ю
Gi
162,49
2,43
?н
477
о
ю
1910,29
80
89
ю
со
о
со
271
00
о
ю
ю
со
84,
897,19
S
со
со
о
со
>22,4
375
о
(М
со
Gi
СО
165,44
2,44
444
00
00
ю
1932,87
?н
со
СО
со
276
о
00
ю
Gi
Ю
00
952,28
со
со
00
о
о
110
180
1 18/11
!64,4
374
о
о
со
00
194,28
2,52
00
со
537
Gi
Ю
2324,20
о
со
20
00
со
Gi
О
324
ю
со
со
93,
1122,56
Gi
СО
СО
СО
о
>73,7
392
о
ю
00
263,84
2,79
о
618
о
ю
со
2920,49
00
ю
со
98
ю
со
со
446
ю
со
,31
107
1449,02
00
со
о
125
200
20/12,5
>97,4
392
о
ю
285,04
2,83
со
785
ю
со
3188,68
ю
со
85
Gi
СО
Gi
481
со
со
,51
116
1568,19
Gi
00
СО
^
О
14
544,3
390
о
со
ю
|>
326,54
2,91
со
922
со
со
3725,91
ю
со
со
ю
550
со
,64
134
1800,83
00
со
о
14
Gi
Ь-
383
о
Gi
604,13
3,53
,44
1634
Gi
Ь-
6212,53
62
97
00
,28
1032
о
00
,78
184
3147,46
со
о
со
о
00
160
250
1 25/16
00
ю
383
о
Gi
00
Gi
865,82
3,77
,49
2486
со
Gi
9358,07
55
со
со
о
о
1475
о
о
00
,98
270
4545,07
о
СО
о
00
00
539
540
ПРИЛОЖЕНИЯ
Некоторые геометрические и механические
и их единицы (СИ)
Таблица 5
величины
Величина
Обозначение
/,а
F
Jz, Jy, Jk,
<Jp i <-* zy i J\ i Ji
bz-, by
Wz, Wy, Wk
tz i ty
p
M
Q
m
P
A
П
P
G, T
E, G
a
t
Наименование
Длина
Площадь
Моменты инерции плоской
области
Статические моменты
плоской области
Моменты сопротивления
деформации
Радиусы инерции плоской
области
Сила
Момент силы
Погонная сила
Погонный момент
Плотность
Работа
Потенциальная энергия
Давление
Напряжения
Модули упругости
Коэффициент Пуассона
Коэффициент
температурного расширения
Температура
Угловая скорость
Обозначение
единицы
м
м2
м4
м3
м3
м
н
Н • м
Н/м
Н
кг/м 3
Дж = Н • м
Дж = Н • м
Па = Н/м 2,
МПа
Па = Н/м2,
МПа
Па = Н/м2,
МПа
б/р
1/°С
°с
рад/с
ТАБЛИЦЫ
541
Таблица
Приставки и множители для образования десятичных
кратных и дольных единиц и их наименований
Приставка
экза
пета
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
деци
санти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
Обозначение приставки
международное
Е
Р
Т
G
М
к
h
da
d
с
m
n
P
F
a
русское
Э
П
T
г
M
к
г
да
Д
с
м
мк
н
п
ф
а
Множитель
ю18
ю16
ю12
ю9
10е
103
ю2
ю1
ю-1
ю-2
10
10"в
ю-9
иг12
ю-15
10-18
Список учебной литературы, рекомендованной НМС по
сопротивлению материалов, строительной механике, теории
упругости и пластичности, для изучения дисциплины
«Сопротивление материалов»
Основная литература
1. Феодосъев В. И. Сопротивление материалов. — М.: Изд. МГТУ,
1999. - 591 с.
2. Вольмир А.С. и др. Сборник задач по сопротивлению матералов. —
М.: Наука, 1984. - 407 с.
Дополнительная литература
1. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление ма-
материалов. — М.: Высшая школа, 2000. — 560 с.
2. Биргер И.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. — М.: Изд.
МАИ, 1994. - 511 с.
3. Варданян Г. С. и др. Сопротивление материалов с основами теории
упругости и пластичности. — М.: Изд. Ассоц. Строит. Вузов, 1995. — 572 с.
4. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. — М.: Высшая
школа, 1989. — 622 с.
5. Долинский Ф.В., Михайлов М.Н. Краткий курс сопротивления мате-
материалов. — М.: Высшая школа, 1988. — 437 с.
6. Заславский Б.В. Краткий курс сопротивления материалов. — М.: Ма-
Машиностроение, 1986. — 328 с.
7. Работное Ю.Н. Механика деформирумого твердого тела. — М.: Физ-
матлит Наука, 1979. — 744 с.
8. Степин П.А. Сопротивление материалов. — М.: ИНТЕГРАЛ-
ПРЕСС, 1997. - 320 с.
9. Терегулов И.Г. Сопротивление материалов и основы упругости и пла-
пластичности. — М.: Высшая школа, 1984. — 472 с.
10. Тимошенко СП., Гере Дэю. Механика материалов. — М.: Мир,
1976. - 669 с.
11. Шалишилин В.П., Горшков А.Г., Трошин В.П. Сопротивление ма-
материалов. — М.: Изд. МАИ, 2000. — 616 с.
ЛИТЕРАТУРА 543
Задачники и пособия по решению задач
1. Антуфьев Б.А., Горшков А.Г., Егорова О. В. и др. Сборник задач по
сопротивлению материалов.— М.: Изд. МАИ, 2000. — 380 с.
2. Ицкович Г.М., Минин Л.С, Винокуров А.И. Руководство к решению
задач по сопротивлению материалов. — М.: Высшая школа, 1999. — 592 с.
3. Лихарев К.К., Сухова Н.А. Сборник задач по курсу «Сопротивление
материалов». — М.: Машиностроение, 1980. — 224 с.
4. Миролюбов И.Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению
материалов. — М.: Высшая школа, 1985. — 399 с.
Учебное издание
ГОРШКОВ Анатолий Герасимович
ТРОШИН Виктор Никитович
ШАЛЛШИЛИН Владимир Иванович
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Редактор Д. А. Миртова
Оригинал-макет: О. Б. Широкова
Компьютерная графика: Н.В. Заварицкий
Оформление переплета: А. Ю. Алёхина
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 14.12.04. Формат 60x90/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 34. Уч.-изд. л. 38,5. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru; http://www.fml.ru
Отпечатано с диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
-9221-0181-1
785922 101813