О.В.Погорєлов
О.В.Погорєлов
ИЙИ
ПЛАНІМЕТРІЯ
підручник
ДЛЯ 7-9 КЛАСІВ
ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ
НАВЧАЛЬНИХ ЗАКЛАДІВ
Затверджено Міністерством
освіти і науки України
київ
“ШКОЛЯР'
2004
ББК 22.151 я72
П43
Затверджена Міністерством освіти і науки України
(Лист Міністерства освіти і науки України № 1/11-3801 від 17.09.2001)
Продажа примірників цього видання
без голограми на обкладинці е незаконною.
Навчальне видання
ПОГОРЄЛОВ Олексій Васильович
ГЕОМЕТРІЯ
Планіметрія
Підручник для 7-9 класів
загальноосвітніх навчальних закладів
Затверджено Міністерством освіти і науки України
Відповідальний за випуск Ю О- Корбуїп
Художнє оформлення А. А. Зінченка.
Підписано до друку 10 09 04 Формат 60x90/16 Папір офс. Гарнітура шкільна.
Друк офс. Ум. друк. арк. 15. Ум. фарбовідб. 15,5. Обл.-вид. арк. 15,48.
Тираж 10 000 пр. Зам. №4 492.
УВЦ .Школяр.,
02094, Київ, вул. Сергієнка, 18.
Свідоцтво ДК № 300 від 14.03.2001 р.
Видруковано на ВАТ .Білоцерківська книжкова фабрика»,
09117. м. Біла Церква, вул. Леся Курбаса, 4.
Права авторів та видавництва захищені Законом України «Про авторське траво
і суміжні права» від 23.12.1993 р
Друковане копіювання книги або її частини, будь-які інші контрасрактні видання
тягнуть за собою відповідальність зіідно зі сг. 44. п. 1.3 цього Закону
Погорєлов О.В.
П43 Геометрія. Планіметрія: Підруч. для 7-9 кл. загально-
освіт. навч. закл.- 7-мє вид.- К.: Школяр, 2004. - 240 с.
І8ВК 966-7117-65-0
18ВХ 966-7117-65-0
ББК 22.151я72
© О. В. Погорєлов, 1994
© О. В. Погорєлов, 2003,
зі змінами
© Видавництво «Школяр»,
художнє оформлення, 2004
7 клас
§ 1. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ
найпростіших геометричних фігур
1. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ
Геометрія — це наука про властивості геометричних фігур.
Слово «геометрія» — грецьке, у перекладі на українську мову
означає «землемірство». Така назва зумовлена застосуванням
геометрії до вимірювань на місцевості.
Приклади геометричних фігур: трикутник, квадрат, коло
(мал. 1).
Геометричні фігури бувають досить різноманітні. Частина
будь-якої геометричної фігури є геометричною фігурою. Об’єд-
нання кількох геометричних фігур є знову геометричною фігу-
рою. На малюнку 2 фігура зліва складається з трикутника і
трьох квадратів, а фігура справа — з кола і частини кола. Кожну
геометричну фігуру можна уявити складеною з точок.
Мал. 1
Мал. 2
7 клас
4
Евклід — давньо-
грецький учений
(III от до н. е.)
Геометрія широко застосовується на
практиці. її треба знати і робітнику, і
інженеру, і архітектору, і художнику.
Одним словом, геометрію слід знати всім.
Геометрія, що вивчається у школі,
називається евклідовою. за ім’ям давньо-
грецького вченого Евкліда, який створив
посібник з математики під назвою
«Начала». Тривалий час геометрію ви-
вчали за цією книжкою.
Ми починаємо вивчення геометрії з
планіметрії. Планіметрія — це розділ
геометрії, в якому вивчаються фігури на
площині.
2. ТОЧКА І ПРЯМА
Основними геометричними фігурами на площині є точка і
пряма Точки прийнято позначати великими латинськими
буквами А, В, С, И, .... Прямі позначаються малими латин-
ськими буквами а. Ь, с, сі.
На малюнку 3 ви бачите точку А і пряму а.
Пряма нескінченна. На малюнку зображуємо лише частину
прямої, але уявляємо її необмежено продовженою в обидва
боки.
Подивіться на малюнок 4. Ви бачите прямі а, Ь і точки А,
В, С. Точки А і С лежать на прямій а. Можна сказати також,
що точки А і С належать прямій а, або пряма а проходить
через точки А і С.
Мал. З
Мал. 4
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
5
Точка В лежить на прямій Ь. Вона не лежить на прямій а.
Точка С лежить і на прямій а, і на прямій Ь. Прямі а і Ь перети-
наються в точці С. Точка С є точкою перетину прямих а і Ь.
На малюнку 5 ви бачите, як за допомогою лінійки можна
побудувати пряму, що проходить через дві точки А і В.
Основними властивостями належності точок і
прямих на площині назвемо такі властивості:
І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій, і точки, що не належать їй.
Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки
одну.
Пряму можна позначати двома точками, що лежать на ній.
Наприклад, пряму а на малюнку 4 можна позначити АС, а пря-
му Ь — ВС.
А. Задача (3) '. Чи можуть дві прямі перетинатися
С") У двох точках? Відповідь поясніть.
•— Розв’язання. Якби дві прямі мали дві точки пере-
тину, то через ці точки проходили б дві прямі. А це немож-
ливо, оскільки через дві точки можна провести тільки одну
пряму. Отже, дві прямі не можуть мати двох точок пере-
тину.
3.	ВІДРІЗОК
Подивіться на малюнок 6. Ви бачите пряму а і три точки
А, В, С на цій прямій. Точка В лежить між точками А і С, вона
розділяє точки А і С. Можна також сказати, що точки А і С ле-
1	Число в дужках означає номер задачі в списку задач,
наведених у кінці параграфа.
7 клас
Є
жать по різні боки від точки В. Точки В і С лежать по один бік
від точки А, вони не розділяються точкою А. Точки А і В лежать
по один бік від точки С.
Відрізком називається частина прямої, яка складається з
усіх точок цієї прямої, шо лежать між двома даними її точками.
Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають,
записуючи його кінці. Коли говорять або пишуть «відрізок АВ»,
то мають на увазі відрізок з кінцями в точках А і В
На малюнку 7 бачимо відрізок АВ. Він є частиною прямої
АВ. Цю частину прямої виділено жирною лінією. Точка X пря-
мої лежить між точками А і В, тому вона належить відрізку
АВ. Точка У не лежить між точками А і В. тому вона не належить
відрізку АВ.
Основною властивістю розміщення точок на пря-
мій назвемо таку властивість:
II	. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між
двома іншими.
4.	ВИМІРЮВАННЯ ВІДРІЗКІВ
Для вимірювання відрізків користуються різними вимірю-
вальними інструментами. Найпростішим таким інструментом
є лінійка з поділками на ній. На малюнку 8 відрізок АВ дорів-
нює 10 см, відрізок АС дорівнює 6 см, а відрізок ВС дорівнює
4 см. Довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин відрізків
АС і ВС.
Основними властивостями вимірювання відріз-
ків назвемо такі властивості:
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
7
4 С в
Мал. 8
НІ. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.
Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він роз-
бивається будь-якою його точкою.
Це означає, що коли на відрізку АВ взяти будь-яку точку С,
то довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин відрізків АС
і ВС. Довжину відрізка А В називають також відстанню між
точками А і В.
Л. Задача (9). Три точки А, В, С лежать на одній пря-
СОмій. Відомо, що АВ = 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см.
Чи може точка А лежати між точками В і С? Чи може точ-
ка С лежати між точками А і В? Яка з трьох точок А, В, С
лежить між двома іншими?
Розв’язання. Якщо точка А лежить між точками
В і С, то за властивістю вимірювання відрізків має бути
АВ І- АС = ВС. Але 4,3 + 7,5	3,2. Отже, точка А не
лежить між точками В і С.
Якщо точка С лежить між точками А і В, то мас бути
АС -і- ВС = АВ. Але 7,5 + 3,2	4,3. Отже, точка С не
лежить між точками А і В.
З трьох точок на прямій А, В, С одна лежить між двома
іншими. Отже., цією точкою с точка В.
5.	ШВПЛОЩИНИ
Подивіться на малюнок 9. Пряма а розбиває площину на дві
півплошини. Це розбиття мас таку властивість. Якщо кінці
якого-небудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок
не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним
півплощинам, то відрізок перетинає пряму.
На малюнку 9 точки А і В лежать в одній з півплощин, на які
пряма а розбиває площину. Тому відрізок АВ не перетинає пря-
му а. Точки СіВ лежать у різних півплощинах. Тому відрізок
СВ перетинає пряму а.
7 клас
8
Основною властивістю розміщення точок відносно
прямої на площині назвемо таку властивість:
IV. Пряма розбиває площину на дві півплощини.
ЛІ Задача (17). Дано пряму і три точки А, В, С, що не
О ) лежать на ній. Відомо, що відрізок АВ перетинає пряму, а
*—• відрізок АС не перетинає її. Чи перетинає пряму відрізок
ВС? Відповідь поясніть.
Розв’язання. Пряма розбиває площину на дві пів-
площини (мал. 10). Точка А належить одній з них. Відрізок
АС не перетинає пряму. Отже, точка С лежить у тій самій
півплощині, що й точка А.
Відрізок А В перетинає пряму. Значить, точка В лежить
в іншій півплощині. Таким чином, точки В і С лежать
у різних півплощинах. А це означає, що відрізок ВС пере-
тинає дану пряму.
6.	П1ВПРЯМА
Ф Задача (20). Дано пряму а і точки А, X, У, 2 на ній
(мал. 11).Відомо, що точки X і У лежать по один бік від
точки А, точки X і 2 теж лежать по один бік від точки А.
Мал. 10
Мал. 11
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
9
Як розміщені точки У і Я відносно точки А: по один бік,
чи по різні боки? Поясніть відповідь.
Розв’язання. Проведемо через точку А довільну
пряму Ь, відмінну від а. Вона розіб’є площину на дві пів-
площини. Одній з них належить точка X. У тій самій пів-
площині лежать точки У і 2, бо відрізки XX і Х2 не пере-
тинають пряму Ь. Оскільки точки X і 2 лежать в одній
півплощині, то відрізок Х2 не перетинає пряму Ь, а отже,
не містить точку А. Тобто точки У і 2 лежать но один бік
від точки А.
Півпрямою або променем називають частину прямої, яка
складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від
даної на ній точки. Ця точка називається початковою точкою
півпрямої. Різні півпрямі однієї й тієї самої прямої із спільною
початковою точкою називаються доповняльними.
Півпрямі так само, як і прямі, позначаються малими латин-
ськими буквами. Можна позначати півпряму двома точками:
початковою і ще якою-небудь точкою, яка належить півпрямій.
Початкову точку ставлять на першому місці. Наприклад,
півпряму, наведену жирною лінією на малюнку 12, можна
позначити А В
а а	в
-------а	а
Мал. 12
її Задача (22). На відрізку АВ взято точку С. Серед
півпрямих А В, АС, СА і СВ назвіть пару півпрямих,
V-/ що збігаються, і пару доповняльних півпрямих. Відповідь
поясніть.
Розв’язання (мал. 13). Дані півпрямі мають по-
чатковою точкою або точку А, або точку С.
Розглянемо спочатку півпрямі з початковою точкою
А (півпрямі АВ і АС). Точка С лежить між точками А і В,
оскільки за умовою задачі вена належить відрізку АВ.
Отже, точка А не лежить між точками В і С. тобто точки
В і С лежать по один бік від точки А. Тому півпрямі АВ
і АС збігаються.
7 клас
10
Розглянемо тепер півпрямі з початковою точкою С (пів-
прямі СА і СВ). Точка С розділяє точки А і В, Тому точки А
і В не можуть належати одній півпрямій, отже, півпрямі
СА і СВ доповняльні.
7.	КУТ
Кутом називається фігура, яка складається з точки — вер-
шини кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,—
сторін кута.
На малюнку 14 ви бачите кут з вершиною О і сторонами
а, Ь- Кут позначають або його вершиною, або його сторонами,
або записують три точки: вершину і дві точки, шо лежать на
сторонах кута. Слово «кут» іноді заміняють знаком А Кут на
малюнку 14 можна позначити трьома способами; А О, А (аЬ),
/_ АОВ. У третьому способі позначення кута буква, що позначає
вершину кута, ставиться всередині.
Якщо сторони кута є доповняльними дівпрямими однієї пря-
мої, то кут називають розгорнутим. На малюнку 15 ви бачите
розгорнутий кут з вершиною О і сторонами ОА і ОВ.
Мал. 14
Мал. 15
Мал. 16
5 І. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
11
Будемо говорити, що промінь проходить між сторонами
даного кута, якщо він виходить з його вершини і перетинає
який-небудь відрізок з кінцями на його сторонах. На малюн-
ку 16 промінь с проходить між сторонами куга (аЬ), оскільки
він виходить з вершини кута (а Ь) і перетинає відрізок А В з кін-
цями на його сторонах.
Для розгорнутого кута вважаємо, що будь-який промінь,
який виходить з його вершини і відмінний від його сторін, про-
ходить між сторонами кута.
Кути вимірюються градусами за допомогою транспортира.
На малюнку 17 кут (ад) дорівнює 120°. Півпряма с проходить
між сторонами кута (аЬ). Кут (ас) дорівнює 90°, а кут (Ьс)
дорівнює 30°. Кут (ад) дорівнює сумі кутів (ас) і (Ьс).
Основними властивостями вимірювання кутів
назвемо такі властивості:
V. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля.
Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює
сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким
променем, що проходить між його сторонами.
Це означає, що коли промінь с проходить між сторонами
кута (аЬ), то кут (аЬ) дорівнює сумі кутів (ас) і (Ьс).
А. Задача 25. Чи може промінь е проходити між сторо-
। ® ? нами кута (аЬ), якщо А (ас) = 30°, 2. (сЬ) = 80°, 2. (аЬ)=
'“ґ = 50°?
Розв’язання. Якщо промінь с проходить між сто-
ронами кута (аЬ), то за властивістю вимірювання кутів
має бути /_ (ас) + А (сЬ) = Л (аЬ). Але 30° -+ 80° /= 50°.
Отже, промінь с не може проходити між сторонами
кута (а Ь).
Мал. 17
7 клас
12
8.	ВІДКЛАДАННЯ ВІДРІЗКІВ І КУТІВ
На малюнку 18 показано, як за допомогою лінійки на пів-
прямій а з початковою точкою А можна відкласти відрізок
даної довжини (3 см).
Мал. 18
Подивіться на малюнок 19. Півпряма а, продовжена за по-
чаткову точку А, розбиває площину на дві півплощини. На
малюнку показано, як за допомогою транспортира відкласти
від півпрямої а у верхню півплощину кут з даною градусною
мірою (60°).
Основними властивостями відкладання відріз-
ків і кутів назвемо такі властивості:
VI.	На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна
відкласти відрізок даної довжини і тільки один.
VII.	Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна від-
класти кут з даною градусною мірою, меншою за 180°, і
тільки один.
Задача (ЗО). На промені АВ відкладено відрізок АС,
\ ) менший за відрізок АВ. Яка з трьох точок А, В і С лежить
між двома іншими? Поясніть відповідь.
Мал. 19
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
13
Розв’язання (мал. 20).
Оскільки точки В і С лежать на одній
півпрямій з початковою точкою А,
то вони не розділяються точкою А,
тобто точка А не лежить між точка-
ми В і С.
Чи може точка В лежати між
точками А і С? Якби вона лежала
між точками А і С, то було б АВ -|-
4 ВС = АС. Але це неможливо.
Мал. 20
оскільки за умовою відрізок АС менший за відрізок А В.
Отже, точка В не лежить між точками А і С.
З трьох точок А, В, С одна лежить між двома іншими.
Тому точка С лежить між точками А і В.
9.	ТРИКУТНИК
Трикутником називається фігура, яка складається з трьох
точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які
попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами
трикутника, а відрізки — його сторонами.
На малюнку 21 ви бачите трикутник з вершинами А, В, С і
сторонами АВ, ВС, АС. Трикутник позначається його вершина-
ми. Замість слова «трикутник» іноді вживають знак Д. На-
приклад, трикутник на малюнку 21 позначається так: Л АВС.
Кутом трикутника АВС при вершині А називається кут,
утворений півпрямими АВ і АС. Так само означаються кути
трикутника при вершинах В і С.
Два відрізки називаються рівними, якщо вони мають однако-
Мал. 21
Мал 22
7 клас
14
ву довжину. Два кути називаються рівними, якщо вони мають
однакову кутову міру в градусах.
Трикутники називаються рівними, якщо в них відповідні
сторони рівні і відповідні кути рівні. При цьому відповідні
кути мають лежати проти відповідних сторін.
На малюнку 22 ви бачите два рівних трикутники АВС і
ЛіВіС). У них
АВ — А\В\, АС — АіСі, ВС = ВіС\,
А А = / А,, АВ = АВЬ АС = А С|.
Рівні відрізки на малюнку, як правило, позначають однією,
двома або трьома рисками, а рівні кути — однією, двома або
трьома дужками.
Для позначення рівності трикутників користуються звичай-
ним знаком рівності =. Запис А АВС = ДАїВіСі читається
так: «Трикутник АВС дорівнює трикутнику А \В\С ।». При цьом у
має значення порядок запису вершин трикутника. Рівність
А АВС = Д АіВ£\ означає, що / А = А Аі, А В —
= А Ві, ... . А рівність А АВС = А ВіАїС, означає вже зовсім
інше: А А = А Ві, А В — А Аі ... .
лі Задача (38). Трикутники АВС і Р^В рівні. Відо-
ґ ' мо, що сторона АВ дорівнює 10 м, а кут С дорівнює 90°.
*— Чому дорівнюють сторона Р(} і кут В? Відповідь по-
ясніть.
Розв’язання. Оскільки трикутники АВС і Р^В.
рівні, то АВ = Р(}, А С = А Я. Отже, Рф = 10 м, АВ =
= 90°.
10.	ІСНУВАННЯ ТРИКУТНИКА, ЩО ДОРІВНЮЄ ДАНОМУ
Нехай маємо трикутник АВС і промінь а (мал. 23, а). Пере-
містимо трикутник АВС так, щоб його вершина А збіглася з
початком променя а. вершина В була на промені а, а вершина С
опинилася у даній півплощині відносно променя а та його про-
довження. Вершини нашого трикутника у цьому новому поло-
женні позначимо Аі, Ві, Сі (мал. 23, б).
Трикутник А.ВіСі дорівнює трикутнику АВС.
Існування трикутника А іВіСі, що дорівнює трикутнику АВС
і розміщений зазначеним способом відносно даного променя а,
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
15
Мал. 23
вважається однією з основних властивостей най-
простіших фігур. Цю властивість сформулюємо так:
VIII. Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорів-
нює йому у заданому розміщенні відносно даної півпрямоі.
11.	ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ
Дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перети-
наються.
На малюнку 21 показано, як за допомогою кутника і лінійки
провести через дану точку В пряму Ь, паралельну даній пря-
мій а.
Паралельність прямих позначають знаком ||, Запис а || Ь чи-
тається: «Пряма а паралельна прямій Ь*.
Мал. 24
Мал. 25
7 клас
1Є
Основ н’а властивість паралельних прямих:
IX. Через точку, що не лежить на даній прямій, можна
провести на площині не більше як одну пряму, паралельну
даній.
Л. Задача (41). Чи може пряма, що перетинає одну з
( ° ) двох паралельних прямих, не перетинати другу? Поясніть
відповідь.
Розв’язання. Нехай а і Ь — паралельні прямі і
нехай пряма с перетинає пряму а в точці А (мал. 25).
Коли б пряма с не перетинала пряму Ь, то через точку А
проходили б дві прямі, що не перетинають пряму Ь.
пряма а і пряма с. Але за властивістю паралельних прямих
це неможливо. Отже, пряма с, яка перетинає пряму а,
повинна перетинати і пряму Ь, паралельну їй.
12.	ТЕОРЕМИ 1 ДОВЕДЕННЯ
Правильність твердження про властивість тієї чи іншої
геометричної фігури встановлюється міркуванням. Це мірку-
вання називається доведенням. А саме твердження, яке дово-
дять, називається теоремою. Наведемо приклад.
Теорема 1.1. Якщо пряма, яка не проходить через жодну
з вершин трикутника, перетинає одну з його сторін, то вона
перетинає тільки одну з двох інших сторін.
Доведення. Нехай пряма а не проходить через. жодну
з вершин трикутника АВС і перетинає його сторону А В (мал. 26).
Пряма а розбиває площину на дві півплощини. Точки А і В
лежать в різних півплошинах, оскільки відрізок АВ перетинає
пряму а. Точка С лежить в одній з цих півплощин.
Якщо точка С лежить в одній півплощині з точкою А, то
відрізок АС не перетинає пряму о, а відрізок ВС перетинає
цю пряму (мал. 26, а).
Якщо точка С лежить в одній півплощині з точкою В, то
відрізок АС перетинає пряму а, а відрізок ВС не перетинає її
(мал. 26, б).
В обох випадках пряма а перетинає тільки один з відрізків
АС або ВС. Оце і усе доведення.
Формулювання теореми звичайно складається з двох частин.
В одній частині говориться про те, що дано. Ця частина нази-
§ 1 Основні властивості найпростіших геометричних фігур
17
а)	0)
Мал. 26
вяється умовою теореми. В другій частині говориться про те,
що мав бути доведене. Ця частина називається висновком
теореми.
Умова теореми 1.1 полягає в тому, що пряма ке проходить
через жодну з вершин трикутника і перетинає одну з його
сторін. Висновок теореми полягає в тому, що ця пряма перети-
нає тільки одну з двох інших сторін трикутника.
13.	АКСІОМИ
Твердження, які містять формулювання основних властивос-
тей найпростіших фігур, не доводяться і називаються аксіома-
ми. Слово аксіома походить від грецького слова аксіос і означає
твердження, що не викликає сумнівів.
Під час доведення теорем дозволяється користуватися
основними властивостями найпростіших фігур, тобто аксіома-
ми, а також уже доведеними властивостями, тобто теоремами.
Ніякими іншими властивостями фігур, навіть якщо вони нам
здаються очевидними, користуватись не можна.
При доведенні теорем можна користуватися малюнком, як
геометричним записом того, що виражається словами. Не
дозволяється використовувати під час міркувань властивості
фігур, які видно з малюнка, якщо не можна обгрунтувати їх,
спираючись на аксіоми і теореми, доведені раніше.
У геометрії поряд з такими словами, як аксіома і теорема,
вживається також слово «означення». Дати означення чого-
небудь означає пояснити, що це таке.
Наприклад, говорять: «Дайте означення трикутника». Від-
повідають: «Трикутником називається фігура, яка складається
7 клас
18
з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків,
які попарно сполучають ці точки».
Другий приклад- «Дайте означення паралельних прямих».
Відповідають: «Прямі називаються паралельними, якщо вони
не перетинаються». Ви вже знаєте означення рівності відрізків,
рівності кутів і трикутників.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1.	Наведіть приклади геометричних фігур.
2.	Назвіть основні геометричні фігури на площині.
3.	Як позначаються точки і прямі?
4.	Сформулюйте основні властивості належності точок і
прямих.
5.	Поясніть, що таке відрізок з кінцями у даних точках.
6.	Сформулюйте основну властивість розміщення точок на
прямій.
7.	Сформулюйте основні властивості вимірювання відрізків.
8.	Що називається відстанню між двома даними точками?
9.	Які властивості має розбиття площини на дві півплощпни?
10.	Сформулюйте основну властивість розміщення точок, від-
носно прямої на площині.
11.	Що таке півпряма або промінь? Які півпрямі називаються
доповняльними?
12.	Як позначаються півпрямі?
13.	Яка фігура називається кутом?
14.	Як позначається кут?
15.	Який кут називається розгорнутим?
16.	Поясніть, що означає вираз: «Півпряма проходить між сто-
ронами кута».
17.	В яких одиницях вимірюють кути і за допомогою якого
інструмента? Поясніть, як виконують вимірювання.
18.	Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.
19.	Сформулюйте основні властивості відкладання відрізків і
кутів.
20.	Що таке трикутник?
21.	Що таке кут трикутника при даній вершині?
22.	Які відрізки називаються рівними?
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
19
23.	Які кути називаються рівними?
24.	Які трикутники називаються рівними?
25.	Як позначають на малюнку відповідні сторони і кути рівних
трикутників?
26.	Поясніть за малюнком 23 існування трикутника, що дорів-
нює даному
27.	Які прямі називаються паралельними? Яким знаком позна-
чають паралельність прямих?
28.	Сформулюйте основну властивість паралельних прямих.
29.	Наведіть приклад теореми.
ЗАДАЧІ* 1
1.	1) Проведіть пряму. Позначте яку-небудь точку А, що ле-
жить на прямій, і точку В, що не лежить на прямій.
2)	Проведіть дві прямі а і Ь, що перетинаються. Позначте
точку С перетину прямих; точку А на прямій а, що не
лежить на прямій Ь; точку £*, що не лежить на жодній
з прямих а і Ь.
2.	Позначте на аркуші паперу дві точки. Проведіть через них
пряму від руки. За допомогою лінійки перевірте правиль-
ність побудови.
3.	Чи можуть дві прямі мати дві точки перетину? Поясніть
відповідь.
4.	Для перевірки правильності лінійки використовують такий
спосіб. Через дві точки за допомогою лінійки проводять
лінію (мал. 27). Потім лінійку перевертають і через ті самі
точки знову проводять лінію. Якщо лінії не збіглися, то лі-
нійка неправильна. На якій властивості прямих грунтується
такий спосіб перевірки правила
ності лінійки?	_____________________
5.	Проведіть пряму а. Позначте на р	<4^ о |
прямій дві довільні точки А і В.
Позначте тепер точку С так, щоб
точка А лежала між точками В і С.	Мал. 27
1 Багато задач цього підручника взято із шкільних підручників
і задачників минулих років, зокрема з «Геометрії» А- П. Кисельсва
і «Збірника задач з геометрії» М. О Рибкіна,
7 клас
20
6.	Проведіть прямі’ а. Позначте на ній дві довільні точки А і
Б Позначте тепер яку-небудь точку С відрізка АВ.
7.	Точка М лежить на прямій СБ між точками С і Б. Знайдіть
довжину відрізка СБ, якщо: 1) СМ — 2,5 см, МБ =3,5 см;
2) СМ = 3,1 дм, МБ = 4,6 дм; 3) СМ = 12,3 м, МБ =
= 5,8 м.
8,	Позначте на прямій дві точки та на око середину відрізка,
що сполучає ці точки. Перевірте правильність побудови ви-
мірювання за допомогою лінійки.
9.	Три точки А, В, С лежать на одній прямій. Відомо, що АВ =
= 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Чи може точка А
лежати між точками В і С? Чи може точка С лежати між
точками А і В? Яка з трьох точок А, В, С лежить між двома
іншими?
10,	Точки А, В, С лежать на одній прямій. Чи належить точка В
відрізку АС, якщо: АС = 5 см. ВС = 7 см? Поясніть від-
повідь.
11.	Точки А, В, С лежать на одній прямій. Чи може точка В роз-
діляти точки А і С, якщо: АС = 7 см, ВС — 7,6 см? Відпо-
відь поясніть.
12.	Чи можуть точки А, В, С лежати на одній прямій, якщо
АВ = 1,8 м, АС = 1,3 м, ВС = 3 м? Поясніть відповідь.
13.	Чи можуть три точки А, В, С лежати на одній прямій, якщо
довжина більшого відрізка АВ менша за суму довжин від-
різків АС і ВС? Поясніть відповідь.
14.	Точки А, В, С лежать на одній прямій. Знайдіть довжину
відрізка ВС, якщо АВ = 2,7 м, АС = 3,2 м. Скільки роз-
в’язків має задача?
15.	На відрізку АВ довжиною 15 м взято точку С. Знайдіть дов-
жини відрізків АСІ ВС, якщо: 1) відрізок АС на 3 м довший
за відрізок ВС; 2) відрізок АС у два рази довший за відрізок
ВС; 3) точка С — середина відрізка АВ; 4) довжини відріз-
ків АС і ВС відносяться, як 2 : 3.
16.	Проведіть пряму і позначте яку-небудь точку А, що не
лежить на пій прямій. Позначте тепер дві точки В і С так,
щоб відрізок А В перетинав пряму, а відрізок ВС не пере-
тинав її.
17.	Дано пряму і три точки А, В, С, що не лежать на цій прямій.
Відомо, ще відрізок АВ перетинає пряму, а відрізок АС не
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
21
перетинає її. Чи перетинає пряму відрізок ВСІ Відповідь
поясніть.
18.	Дано пряму і чотири точки А, В, С і О, що не лежать на цій
прямій. Чи перетинає відрізок А В пряму, якщо; 1) відрізки
АВ, ВС і С£> перетинають пряму; 2) відрізки АС і ВС пере-
тинають пряму, а відрізок ВР не перетинає; 3) відрізки А В
і С’Р перетинають пряму, а відрізок ВС не перетинає; 4) від-
різки А В і СР не перетинають пряму, а відрізок ВС перети-
нає; 5) відрізки А В, ВС, СВ не перетинають пряму;
6)	відрізки АС, ВС і ВР перетинають пряму? Поясніть
відповідь.
19.	Дано п'ять точок і пряма, що не проходить через жодну з
цих точок. Відомо, що три точки лежать в одній нівплощині
відносно цієї прямої, а дві точки — в іншій півплощині.
Кожну пару точок сполучено відрізком. Скільки відрізків
перетинає пряму? Відповідь поясніть.
20.	Дано пряму а і точки А, X, У, 2? на цій прямій (мал. 11).
Відомо, що точки X і У лежать по один бік від точки А,
точки X і 2, також лежать по один бік від точки А. Як розмі-
щені точки У і Я відносно точки А: по один бік чи по різні
боки? Поясніть відповідь.
21.	Позначте дві точки А і В. Проведіть півпряму АВ.
22.	На відрізку АВ взято точку С. Серед півпрямих АВ, АС, СА,
СВ назвіть пару півпрямих, які збігаються, і пару допов-
няльних півпрямих. Поясніть відповідь.
23.	Проведіть з однієї точки три довільні промені. Визначте не.
око кути, утворені цими променями- Перевірте ваші відпо-
віді, вимірюючи кути транспортиром. Виконайте вправу
повторно.
24.	Промінь а проходить між сторонами кута (ссі). Знайдіть
кут (сгі), якщо: 1) 2.{ас} — 35°, А {асі) = 75°; 2) А (ас) =
- 57°, А (асі) = 62е; 3) А (ас) = 94°, А {асі) = 85°.
25.	Чи може промінь с проходити між сторонами кута (а 6),
якщо: 1) А. (ас) = 30°, А (сЬ) = 80е, А (аЬ) = 50°;
2) А (ас) = 100', А (сЬ) = 90°; 3) кут (ас) більший за
кут (аЬ)?
26.	Між сторонами кута (аЬ), що дорівнює 60°, проходить
промінь с. Знайдіть кути (ас) і (&с), якщо: 1) кут (ас) на 30°
більший за кут (6с); 2) кут (ас) в два рази більший за кут
7 клас
22
(&с); 3; промінь с ділить кут (аЬ) пополам; 4) градусні міри
кутів (ас) і (Ьс) відносяться, як 2 : 3.
27.	Проведіть пряму. Позначте на цій прямій яку-небудь точку
А. Потім візьміть на око точку В цієї прямої так, щоб АВ =
= 5 см. Перевірте точність побудови точки В лінійкою.
Виконайте вправу повторно, якщо: 1) АВ = 3 см; 2) АВ =
= 7 см; 3) АВ = 10 см.
28.	Побудуйте на око кути 30°, 45°, 60°, 90°. Перевірте точність
побудови транспортиром. Виконайте вправу повторно.
29.	Чи існує на півпрямій АВ така точка X, відмінна від В, що
АХ — А В? Поясніть відповідь.
ЗО.	На промені АВ відкладено відрізок АС, менший за відрізок
АВ. Яка з трьох точок А, В, С лежить між двома іншими?
Відповідь поясніть.
31.	На промені АВ позначено точку С. Знайдіть довжину
відрізка ВС, якщо: 1) АВ = 1,5 м, АС — 0,3 м; 2) АВ =
= 2 см, АС =• 4,4 см.
32.	Побудуйте на око трикутник з рівними сторонами (рівно-
сторонній трикутник). Перевірте точність побудови вимірю-
ванням сторін.
33.	На стороні АВ трикутника АВС взято точку Д. Чому до-
рівнює сторона АВ трикутника, якщо АО = 5 см, а ВО =
= 6 см?
34.	На стороні АВ трикутника АВС взято точку Д Чому дорів-
нює кут С трикутника, якщо /- АС В = 30е, а А ВСО = 70й?
35.	Накресліть довільний трикутник. Побудуйте від руки, на
око, трикутник, що дорівнює йому. Перевірте правильність
побудови, вимірюючи відповідні кути і сторони. Виконайте
вправу повторно.
36.	Трикутники АВС і РУР рівні. Відомо, що АВ 5 см, ВС —
— 6 см, АС = 7 см. Знайдіть сторони трикутника
Поясніть відповідь.
37.	Трикутники АВС і Р()К рівні. Кути другого трикутника
відомі: А Р = 40л, А 0} — 60г, А В = 80'. Знайдіть кути
трикутника АВС,
38.	Трикутники АВС і Р(}Я рівні. Відомо, що сторона АВ дорів-
нює 10 м, а кут С — 90° Чому дорівнює сторона Р(? і кут Р?
Поясніть відповідь.
39.	Трикутники АВС, Р(?Н і ХУХ рівні. Відомо, що АВ = 5 см,
§ 1. Основні властивості найпростіших геометричних фігур
23
(£В = 6 см, 2Х = 7 см. Знайдіть решту сторін кожного три-
кутника.
40.	Дано трикутник АВС. Чи існує інший трикутник АВВ, що
дорівнює даному?
41.	Чи може пряма, що перетинає одну з двох паралельних
прямих, не перетинати другу? Поясніть відповідь.
42.	Дано дві прямі, що перетинаються. Чи можна провести тре
тю пряму, паралельну кожній з двох даних?
43.	Чи може пряма, що не проходить через жодну з вершин три-
кутника, перетинати кожну його сторону? Чому?
44?' Дано чотири точки: А, В, С і В. Відомо, що точки А, В, С
лежать на одній прямій і тсчки В, С, О також лежать на
одній прямій. Доведіть, що всі чотири точки лежать на
одній прямій.
45? Дано чотири прямі а, Ь, с і <і. Відомо, що прямі а, Ь, с пере-
тинаються в одній точці й прямі Ь, с, (і також перетина-
ються в одній точці. Доведіть, що всі чотири прямі про-
ходять через одну точку.
46? Точки А, В, С, О ке лежать на одній прямій. Відомо, що
пряма АВ перетинає відрізок СВ, а пряма СВ перетинає
відрізок АВ. Доведіть, що відрізки АВ і СВ перетинаю-
ться.
47? Дано трикутник АВС На стороні АС взято точку В\, а на
стороні ВС— точку А\. Доведіть, то відрізки ААі і ВВ\
перетинаються (мал. 28).
48? Відрізки АВ і СВ не лежать на одній прямій і перетинаю-
че
Мал. 28	Мал. 29	Мал. ЗО
Зірочкою (*) позначено задачі підвищеної складності.
7 клас
24
ться в точці Е. Доведіть, що відрізок АС не перетинає
пряму ВС (мал. 29).
49? Доведіть, що коли промінь, який виходить з вершини
кута, перетинає відрізок АВ з кінцями на сторонах кута,
то він перетинає: 1) відрізок АС з кінцями на сторонах
кута; 2) довільний відрізок СБ з кінцями на сторонах
кута (мал. ЗО),
50. Доведіть, то дві прямі або паралельні, або перетинаються
в одній точці.
51? Точки А і С належать прямій а. На півпрямій СА відкла
дено відрізок СВ, більший за відрізок СА. 1) Яка з трьох
точок А, В, С лежить між двома іншими? Поясніть відпо-
відь. 2) Доведіть, що точка А розбиває пряму а на дві
півпрямі: А В і АС.
§ 2.	СУМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ
14.	СУМІЖНІ КУТИ
Означення. Два кути називаються суміжними, якщо
в них одна сторона спільна, а інші сторони цих кутів є допов-
няльними півпрямими.
На малюнку 31 кути (від) і (ачЬ) суміжні. У них сторона Ь
спільна, а сторони а і і ач є доповняльними півпрямими.
Нехай С — точка на прямій АВ, що лежить між точками А і
В, а І) — точка, що ке лежить на прямій АВ (мал. 32). Тоді кути
ВСІ) і АСй суміжні. У ких сторона СО спільна. Сторони СА і
СВ — доповняльні півпрямі прямої АВ, оскільки точки А і В
цих півпрямих розділені початковою точкою С.
Мап 81
Мал. 32
§ 2. Суміжні і вертикальні куги
25
Теорема 2.1. Сума суміжних кутів дорівнює 180п.
Доведення. Нехай А. (аіЬ) і	— дані суміжні
кути (мал. 31). Промінь Ь проходить між сторонами а і і а? роз-
горнутого кута. Тому сума кутів (а, Ь) і (аіб) дорівнює розгорну-
тому куту, тобто 180°. Теорему доведено.
Із теореми 2.1 випливає, що коли два кути рівні, то суміжні
з ними кути також рівні.
Із теореми 2.1 також випливає, що коли кут не розгорнутий,
то його градусна міра менша від 180°.
Задача (8). Знайдіть суміжні кути, якщо один з них
у два рази більший за другий.
Розв’язання. Позначимо градусну міру меншого
кута через х. Тоді градусна міра більшого кута буде 2х.
Сума кутів дорівнює 180е. Отже, х -(- 2х = 180°, Зх =
— 180°. Звідси х’= 60°. Виходить, наші суміжні кути до-
рівнюють 60° і 120°.
Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом.
З теореми про суму суміжних кутів випливав, що кут, суміж-
ний з прямим кутом, е прямий кут.
Кут, менший за 90', називається гострим кутом Кут, біль-
ший за 90° і менший від 180°, називається тупим.
прямий к.ут
гостріш кут
Мал. 33
Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то кут, суміж
ний з гострим кутом, тупий, а кут, суміжний з тупим,— гост-
рий. На малюнку 33 зображено гри види кутів.
15.	ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ
Означення. Два кути називаються вертикальними,
якщо сторони одного кута є доповняльними піппрямими сторін
другого
7 клас
26
Мал. 34
Мал. 35
На малюнку 34 кути (а>Ь\) і (а-гЬі) вертикальні. Сторони а2
і Ьі другого кута — доповняльні півпрямі сторін а> і ЬІ пертого
кута.
Теорема 2.2. Вертикальні кути рівні.
Доведення. Нехай (а, Ьі) і (агЬ?) — дані вертикальні кути
(мал. 34). Кут (аіЬ2) суміжний з кутом (а। Ьі) і кутом (а2&2). Звідси
за теоремою про суму суміжних кутів робимо висновок, що кож-
ний з кутів (аіЬі) і (сігйг) доповнює кут (а>ЬА до 180°, тобто кути
(аіЬі) і (аабг) рівні. Теорему доведено.
лі Задача (9). Сума двох кутів, утворених у результаті
(^перетину двох прямих, дорівнює 50°. Знайдіть ці кути.
' —ґ	Розв’язання. Два кути, які утворилися в результа-
ті перетину двох прямих, або суміжні, або вертикальні
(мал. 35). Дані кути не можуть бути суміжними, оскільки
їх сума дорівнює 50е, а сума суміжних кутів становить
180°. Отже, вони вертикальні. Оскільки вертикальні кути
рівні й за умовою їх сума 50е, то кожний з них дорівнює
25°.
16.	ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ
Нехай а і Ь — дві прямі, що перетинаються у точці А
(мал. 36). Кожна з цих прямих ділиться точкою А на дві пів-
прямі. Півпрямі однієї прямої утво-
рюють з півпрямими другої прямої
чотири кути. Нехай а — один з цих
кутів. Будь-який з решти трьох кутів
буде або суміжним з кутом а, або
вертикальним з кутом а. Звідси ви-
пливає, що коли один з кутів прямий,
то решта кутів теж прямі. У цьому
випадку говорять, що прямі перетина-
ються під прямим кутом.
Мал. 36
§ 2. Суміжні і вертикальні кути
27
Означення. Дві прямі називаються перпендикулярни-
ми, якщо вони перетинаються під прямим кутом (мал. 37).
Перпендикулярність прямих позначають знаком X. Запис
а 1 Ь читається так: «Пряма а перпендикулярна до прямої Ь*.
Теорема 2.3. Через кожну точку прямої можна провести
перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну.
Доведення. Нехай а — дана пряма і А — точка на ній.
Позначимо через а і одну з півпрямих прямої а з початком
у точці А (мал. 38). Відкладемо від півпрямої аі кут (а ійі), що
дорівнює 90°. Тоді пряма, яка містить промінь Ь\, буде перпен-
дикулярна до прямої а.
Припустимо, що існує інша пряма, яка теж проходить через
точку А і перпендикулярна до прямої а. Позначимо через Сі пів-
пряму цієї прямої, що лежить в одній півплощині з променем Ь\.
Кути (а іЬі) і (піСі), кожний з яких дорівнює 90°, відкладено
в одну півплощину від півпрямої а і. Але від півпрямої а і у дану
Мал. 40
Мал. 39
7 клас
28
півплощину можна відкласти тільки один кут, що дорівнює 90°.
Тому не може бути іншої прямої, яка проходить через точку А
і перпендикулярна до прямої а. Теорему доведено.
Означення. Перпендикуляром до даної прямої називає-
ться відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який
має одним із своїх кінців точку їх перетину. Цей кінець відрізка
називається основою перпендикуляра.
На малюнку 39 перпендикуляр АВ проведено з точки А до
прямої а. Точка В — основа перпендикуляра. Для побудови
перпендикуляра користуються косинцем (мал. 40).
17.	ДОВЕДЕННЯ ВІД СУПРОТИВНОГО
Спосіб доведення, який ми застосували до теореми 2.3, на-
зивається доведенням від супротивного. Цей спосіб доведення
полягає в тому, що спочатку робимо припущення, протилежне
тому, яке стверджується теоремою. Потім міркуваннями,
спираючись на аксіоми і вже доведені теореми, приходимо до
висновку, що суперечить або умові теореми, або одній з аксіом,
або доведеній раніше теоремі. На цій основі робимо висновок,
що наше припущення неправильне, а тому правильне тверджен-
ня теореми.
Пояснимо це на прикладі доведення теореми 2.3. У теоремі
стверджується, що через кожну точку прямої можна провести
тільки одну перпендикулярну до неї пряму. Припустивши, що
таких прямих можна провести дві, ми дійшли висновку, що від
даної півпрямої у дану півплощину можна відкласти два
кути з однією і тією самою градусною мірою (90°). А це супере-
чить аксіомі відкладання кутів, за якою від даної півпрямої
у дану півплощину можна відкласти лише один кут з даною
градусною мірою.
18.	БІСЕКТРИСА КУТА
Означення'. Бісектрисою кута називається промінь,
який виходить з вершини кута, проходить між його сторонами
і ділить кут пополам.
1 Далі слово «означення» записувати не будемо, а означуване
поняття виділятимемо курсивом.
§ 2. Суміжні і вертикальні кути
29
На малюнку 41 ви бачите кут (аЬ).
Промінь с виходить з вершини кута,
проходить між його сторонами і ділить
кут пополам.
/_ (ас) — (Ьс) =
Л Іа&і
~2
Задача 17. Доведіть, що бі-
ґ *' р сектриса кута утворює з його сторо-
нами кути не більші за 90°.
Розв’язання. Як ми знає-
мо, градусна міра будь-якого кута не більша за 180е. Тому
половина його не більша за 90°.
19.	ЩО ПОТРІБНО РОБИТИ,
ЩОБ ДОБРЕ ВСТИГАТИ З ГЕОМЕТРІЇ
Під час вивчення геометрії незнання чого-небудь з пройдено-
го матеріалу може стати причиною нерозуміння нового матері-
алу. Наведемо приклад.
Припустимо, на уроці вчитель доводить теорему про рівність
вертикальних кутів. Як ви знаєте, для доведення цієї теореми
використовують означення суміжних кутів і теорему про суму
суміжних кутів. Якщо ви не знаєте, які кути називаються су-
міжними, не знаєте теореми про суму суміжних кутів, то ви не
зрозумієте цього доведення. В результаті цей урок буде для вас
даремно витраченим часом. І до вашого незнання про суміжні
кути додається незнання теореми про рівність вертикальних
кутів.
Тому, щоб добре встигати з геометри, треба знати основні
результати вивченого матеріалу. А для цього слід повторювати
вивчений матеріал за контрольними запитаннями.
Повторювати пройдений матеріал за контрольними запитан-
нями можна так. Прочитайте запитання. Усвідомте його зміст.
Якщо треба дати означення якої-небудь фігури, дайте таке
означення про себе.
Корисно зробити від руки малюнок фігури, означення
якої маєте дати. Якщо у запитанні йдеться про теорему, сфор-
мулюйте її, з’ясуйте, в чому полягав умова і висновок тео-
реми.
7 клас
ЗО
Зробіть від руки малюнок, який ілюструє зміст теореми. Дове-
дення теореми при кожному повторенні робити не обов’язково.
Повторюйте пройдений матеріал щоразу, коли у процесі
вивчення нового матеріалу ви виявили незнання чого-небудь.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1.	Які кути називаються суміжними?
2.	Доведіть, що сума суміжних кутів дорівнює 180°.
3.	Доведіть, що коли два кути рівні, то суміжні з ними кути
теж рівні.
4.	Який кут називається прямим (гострим, тупим)?
5.	Доведіть, що кут, суміжний з прямим, прямий.
6.	Які кути називаються вертикальними?
7.	Доведіть, що вертикальні кути рівні.
8.	Доведіть, що коли при перетині двох прямих один з кутів
прямий, то решта кутів теж прямі.
9.	Які прямі називаються перпендикулярними? Який знак
використовується для позначення перпендикулярності
прямих?
10.	Доведіть, що через будь-яку точку прямої можна провести
перпендикулярну до неї пряму і тільки одну.
11.	Що таке перпендикуляр до прямої?
12.	Поясніть, у чому полягає доведення від супротивного.
13.	Що називається бісектрисою кута?
ф	ЗАДАЧІ
1.	Знайдіть кути, суміжні з кутами 30°; 45°; 60°; 90°.
2.	Чи можуть два суміжні кути бути обидва: 1) гострими:
2)	тупими; 3) прямими? Обґрунтуйте відповідь.
3.	Знайдіть суміжні кути, якщо один з них у два рази більший
від другого.
4.	Знайдіть суміжні кути, якщо: 1) один з них на 30° більший
від другого; 2) їх різниця дорівнює 40°; 3) один з них у три
рази менший від другого; 4) вони рівні.
5.	Який кут утворюють годинна і хвилинна стрілки годинни-
ка, коли вони показують: 1) 6 год; 2) 3 год; 3) 4 год?
§ 2. Суміжні і вертикальні кути
31
6.	Знайдіть суміжні кути, якщо їх градусні міри відносяться,
як: 1) 2 : 3; 2) 3 : 7; 3) 11 : 25; 4) 22 : 23.
7.	Один з кутів, утворених в результаті перетину двох прямих,
дорівнює 30°. Чому дорівнює решта кутів?
8.	Чому дорівнює кут, якщо два суміжні з ним кути станов-
лять в сумі 100е?
9.	Сума двох кутів, утворених в результаті перетину двох пря-
мих, дорівнює 50°. Знайдіть ці кути.
10.	Один з кутів, утворених в результаті перетину двох прямих,
у 4 рази більший від другого. Знайдіть ці кути.
11.	Один з кутів, утворених в результаті перетину двох прямих,
на 50° менший від другого. Знайдіть ці кути.
12.	Знайдіть кути, які утворюються в результаті перетину двох
прямих, якщо сума трьох з них дорівнює 270е.
13.	Доведіть, що коли три з чотирьох кутів, утворених б резуль-
таті перетину двох прямих, рівні, то прямі перпендикулярні.
14.	Як лінійкою перевірити, чи прямий кут у косинця (мал. 42)?
15	Чому дорівнює кут між бісектрисою 1 стороною даного кута,
який дорівнює; 1) 30°; 2) 52°; 3) 172°?
16.	Знайдіть кут, якщо його бісектриса утворює із стороною
кут, який дорівнює: 1) 60°; 2) 73°; 3) 89°.
17.	Доведіть, що бісектриса кута утворює з його сторонами кути
не більші за 90°.
18? Доведіть, що коли промінь виходить з вершини кута і утво-
рює з його сторонами рівні гострі кути, то він є бісектрисою
кута.
19.	Знайдіть кут між бісектрисами суміжних кутів.
20.	Доведіть, що бісектриси вертикальних кутів лежать на
одній прямій.
Мал. 42
Маг. 43
7 клас
32
21.	Знайдіть кут між бісектрисою і продовженням однієї іа
сторін даного кута, який дорівнює: 1) 50а; 21 90а; 3) 150°.
22? З вершини О суміжних кутів АОВ і СОВ проведено промінь
Ой у півплощипу, де проходить спільна сторона кутів ОВ
(мал. 43). Доведіть, що промінь Ой перетинає або відрізок
АВ, або відрізок ВС. Який з відрізків перетинає промінь Ой,
якщо кут АОй менший (більший) від кута АОВ? Поясніть
відповідь.
23.	З вершини розгорнутого кута (ааі) в одну півплощину
проведено прямі біс. Чому дорівнює кут (Ьс), якщо:
1) А (аЬ) = 50°, А (ас) = 70°; 2) А \ахЬ) = 50°, А (ас) =
= 70е; 3) А(аЬ) = 60°, А (а.с) = 30°?
24.	З вершини розгорнутого кута (ааі), в одну півплощину про-
ведено промені біс. Відомо, що А (аЬ) — 60е, А (ас) = 30 .
Знайдіть кути (а\Ь), (аіс), і (Ьс).
25.	Від півпрямої АВ у різних півплощинах відкладено кути
ВАС і ВАй. Знайдіть кут САй, якщо: 1) А ВАС = 80°,
АВАй = 170°; 2) А ВАС = ЬГ,АВАй= 98°; 3) А ВАС =
= 140% А ВАй — 30°; 4) А ВАС = 60°, А ВАй = 70е.
26.	* Дано три промені а. Ь і с із спільним початком. Відомо, що
А (аЬ) = А (ас) — А (Ьс) = 120°. 1) Чи проходить один
з цих променів між сторонами кута, утвореного двома
іншими променями? 2) Чи маже цряма перетинати усі три
промені? Поясніть відповідь.
§ 3. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
20.	ПЕРША ОЗНАКА РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Теорема 3.1 (ознака рівності трикутників за двома
сторонами і кутом між ними). Якщо дві сторони і кут між ними
одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту
між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
Доведення. Нехай у трикутників АВС і АіВСі АВ —
= А|В|, АС — АіСі, А А = А А,. Доведемо, що трикутники
рівні (мал. 44).
Нехай А1В2С2 — трикутник, що дорівнює трикутнику АВС,
і його вершина В<> лежить на промені А|В|, а вершина Сг — у тій
самій півплощині відносно прямої А|23|, де лежить вершина Сі
і 3. Ознаки рівності трикутників
33
(мал. 45, а). Оскільки А|В, = АіВ?, то вершина Вг збігається
з вершиною Ві (мал. 45, б). Через те що /. В1АіСі — /_ ВіА\Сі,
промінь АіСг збігається з променем АіСі (мал. 45, в). Оскільки
АіСі = А1С2, то вершина Сг збігається з вершиною Сі (мал.
45, г). Отже, трикутник А |В|С| збігається з трикутником А1В2С2,
тобто дорівнює трикутнику АВС. Теорему доведено.
ЛІ Задача (1). Відрізки АВ і СВ перетинаються в точ-
С " 2 ЦІ О’ яка е серединою кожного з них. Чому дорівнює відрі-
' зок ВВ, якщо відрізок АС = 10 м?
Розв’язання. Трикутники АОС і ВОВ рівні за пер-
шою ознакою рівності трикутників (мал. 46). У них кути
2 Геометрія, 7-9 кл.
Мал. 45
7 клас
34
Мал. 46
АОС і ВОВ рівні як вертикальні,
а ОА = ОВ і ОС = ОИ, тому що точка
О — середина відрізків АВ і СИ. З рів-
ності трикутників АОС і ВОП ви-
пливає рівність сторін АС і ВІ).
Оскільки за умовою задачі АС = 10 м,
то і ВО = 10 м.
21.	ВИКОРИСТАННЯ АКСІОМ ПРИ ДОВЕДЕННІ ТЕОРЕМ
Як ми знаємо, під час доведення теорем дозволяється корис-
туватися аксіомами і раніше доведеними теоремами. Як прави-
ло, у процесі доведення посилаються не на номер аксіоми за
списком, а на її зміст. Саме так було зроблено, коли доводили
першу ознаку рівності трикутників (теорема 3.1). Розглянемо
ще раз це доведення, називаючи аксіоми, які було використано.
Доведення починається словами: «Нехай Л.1В2С2 — трикут-
ник, що дорівнює трикутнику АВС, з вершиною Вг на промені
А|В| і вершиною Сч у тій самій півплощині відносно прямої
А»Ві, де лежить вершина Сі». Такий трикутник, як ми знаємо,
існує за аксіомою VIII.
Далі стверджується, що вершини В\ і Вг збігаються на тій
підставі, що А іВі = А1В2. Тут використано аксіому відкладання
відрізків (аксіома VI).
Потім стверджується, що промені А іС2 і А іСі теж збігаються,
тому що А ВіА(Сі = А ВіА\Сі. Тут використано аксіому від-
кладання кутів (аксіома VII).
Нарешті стверджуємо, що й вершини С\ і Сі збігаються,
оскільки АіСі = А2С2. Тут знову використано аксіому VI.
Бачимо, що доведення теореми 3.1 ґрунтується лише на
аксіомах.
22.	ДРУГА ОЗНАКА РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Теорема 3.2 (ознака рівності трикутників за стороною
і прилеглими до неї кутами). Якщо сторона і прилеглі до неї
кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й при-
§ 3. О-чнаки рівності трикутників
35
Мал 47
леглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники
рівні.
Доведення. Нехай АВС і А \В\С\—два трикутники,
у яких АВ — А іВі, А — А, і А В = А В> (мал. 47).
Доведемо, що трикутники рівні.
Нехай А1В9С2 — трикутник, що дорівнює трикутнику АВС, і
його вершина В; лежить на промені АіВі, а вершина С? — у тій
самій півплощині відносно прямої АіВі, де лежить вершина
Сі.
Оскільки А1В2 = А-Ві, то вершина Вг збігається з вершиною
Ві. Через те що В А ]С‘2 = /- В|А;Сі і А АіВ^Сі = /- А-.ВіС),
промінь А1С2 збігається з променем АіСі, а промінь В1С2 — з
променем В|С|. Звідси випливає, що вершина С2 збігається з
вершиною Сі.
Отже, трикутник АіВіС, збігається з трикутником А1В2С2,
тобто дорівнює трикутнику АВС. Теорему доведено.
23.	Р1ВНОБЕДРЄНИИ ТРИКУТНИК
Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сто-
рони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами, а
третя сторона називається основою трикутника.
На малюнку 48 зображено рівнобедреним трикутник АВС.
У нього бічні сторони АС і ВС, а основа АВ.
Теорема 3.3 (властивість кутів рівнобедреного трикутни-
ка). У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Доведення. Нехай АВС — рівнобедрений трикутник
з основою АВ (мал. 48). Доведемо, що в нього А. А = А В.
7 клас
36
Мал. 48
Мал. 49
Трикутник САВ дорівнює трикутнику СВА за першою озна-
кою рівності трикутників. Справді, СА = СВ, СВ = СА, А С =
= А С. З рівності трикутників випливає, що А А = А В.
Теорему доведено.
Трикутник, у якого всі сторони рівні, називається рівносто-
роннім.
я. Задача (12). Доведіть, що у рівносторонньому три-
I, кутнику всі кути рівні.
ь—<	Розв’язання. Нехай АВС — даний трикутник
з рівними сторонами: АВ — ВС = СА (мал. 49). Оскільки
АВ = ВС, то цей трикутник рівнобедрений з основою
АС. За теоремою 3.3 А С = А А. Через те що ВС — СА,
трикутник АВС рівнобедрений з основою АВ. За теоремою
3.3 А А = А В. Таким чином, АС— А А = А В, тобто
всі кути трикутника рівні.
24.	ОБЕРНЕНА ТЕОРЕМА
Теорема 3.4 (ознака рівнобедреного трикутника). Якщо
в трикутнику два кути рівні, то він рівнобедрений.
Доведення. Нехай АВС — трикутник, у якого А А =
— А В (мал. 50). Доведемо, що він рівнобедрений з основою АВ.
Трикутник АВС дорівнює трикутнику ВАС за другою озна-
кою рівності трикутників. Справді, АВ = ВА, А В = А А,
А А = А В. З рівності трикутників випливає, що АС = ВС.
Отже, за означенням трикутник АВС — рівнобедрений. Теорему
доведено.
Теорема 3.4 називається оберненою до теореми 3.3. Висновок
теореми 3.3 є умовою теореми 3.4, а умова теореми 3.3 є виснов-
§ 3. Ознаки рівності трикутників
37
ком теореми 3.4. Не кожна теорема має
обернену, тобто якщо дала теорема пра-	/\
вильна, то обернена теорема може бути не	/ \
правильною. Пояснимо це на прикладі /	\
теореми про вертикальні кути. Цю теорему /	\
можна сформулювати так: якщо два кути /	\
вертикальні, то вони рівні. Обернена до неї /	\
теорема мала б бути такою: якщо два кути у	\
рівні, то вони вертикальні. А це, звичайно. А	В
неправильно. Два рівні кути зовсім не Мал. 50
обов'язково повинні бути вертикальними.
А. Задача (16). Сформулюйте і доведіть теорему, обер-
( нену до твердження задачі 12.
' Розв’язання. Умова задачі 12 полягає в тому, що
трикутник рівносторонпій, а висновок — всі кути трикут-
ника рівні. Тому обернена теорема повинна формулювати-
ся так: якщо у трикутника всі кути рівні, то він рівносто-
рснній.
Доведемо цю теорему. Нехай АВС — трикутник з рівни-
ми кутами: А Л = В = АС. Оскільки А А = А Ті, то
за теоремою 3.4 АС = СВ. Оскільки А В = А С, то за
теоремою 3.4 АС = АВ. Таким чином, АВ — АС = СВ,
тобто усі сторони трикутника рівні.
Отже, за означенням трикутник АВС — рівносторонній.
25.	ВИСОТА, БІСЕКТРИСА І МЕДІАНА ТРИКУТНИКА
Висотою трикутника, опущеною з даної вершини, називає-
ться перпендикуляр, проведений з цієї вершини до прямої, що
містить протилежну сторону трикутника.
На малюнку 51 ви бачите два трикутники, у яких проведено
висоти з вершин В і Ві. На малюнку 51, а основа висоти лежить
на стороні трикутника, на малюнку 51, б — на продовженні
сторони трикутника.
Бісектрисою трикутника, проведеною з даної вершини,
називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає
цю вершину з точкою на протилежній стороні (мал. 52, а).
7 клас
38
Медіаною трикутника, проведеною з даної вершини, називає-
ться відрізок, що сполучає цю вершину із серединою протилеж-
ної сторони трикутника (мал. 52, б).
26.	ВЛАСТИВІСТЬ МЕДІАНИ РІВНОБЕДРЕНОГО
ТРИКУТНИКА
Теорема 3.5 (властивість медіани рівнобедреного три-
кутника). У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до
основи, е бісектрисою і висотою.
Доведення. Нехай АВС — даний рівнобедрений три-
кутник з основою АВ, а СО — медіана, проведена до основи
(мал. 53).
Трикутники САБ і СВБ рівні за першою ознакою рівності
трикутників. (У них сторони АСі ВС рівні, бо трикутник АВС
рівнобедрений. Кути САБ і СВБ рівні як кути при основі рівно-
бедреного трикутника. Сторони АБ і ВБ рівні, оскільки Б —
середина відрізка АВ.)
§ 3, Ознаки рівності трикутників
39
Мал. 53
Мал. 54
З рівності трикутників випливає рівність кутів. А АСВ —
= А ВСВ, А АВС = / ВВС. Оскільки кути АС В і ВСВ рівні,
то СВ — бісектриса. Через те що кути АВС і ВВС суміжні
і рівні, то еони прямі, тому СВ — висота трикутника. Теорему
доведено.
ФЗ а д а ч а (28). Доведіть, що бісектриса рівнобедреного
трикутника, проведена з вершини, протилежної основі,
є медіаною і висотою.
Розв’язання. Нехай АВС—рівнобедрений три-
кутник з основою АВ і СВ — його бісектриса (мал. 54).
Трикутники АСВ і ВСВ рівні за першою ознакою: у них
сторона СВ спільна, сторони АС і ВС рівні як бічні сторони
рівнобедреного трикутника, а кути при вершині С рівні
тому, що СВ — бісектриса. З рівності трикутників випли-
ває рівність їх сторін А В і ВИ. Отже, СВ — медіана трикут-
ника АВС. А за властивістю медіани рівнобедреного
трикутника вона є і висотою.
27.	ТРЕТЯ ОЗНАКА РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
Теорема З.б (ознака рівності трикутників за трьома сто-
ронами). Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють від-
повідно трьом сторонам другого трикутника, то такі трикут-
ники рівні.
Доведення. Нехай АВС і А|В|Сі — два трикутники,
у яких АВ= АіВі, АС = А(СЬ ВС = ВіСі (мал. 55). Треба
довести, що трикутники рівні.
Припустимо, що трикутники не рівні. Тоді у них А А =^=
А А\, А В А Ві, А С =А А Сі. Інакше вони були б рівні за
першою ознакою.
7 клас
40
Нехай АВ.С;: — трикутник, ще дорівнює трикутнику АВС,
а вершина його С2 лежить в одній півплощині з вершиною С,
відносно прямої А В। (мал. 55).
Нехай В — середина відрізка СіС2. Трикутники А\С,С, і
В-СіСг — рівнобедрені із спільною основою С|С2. Тому їх
медіани А\О іВхй є висотами. Тоді прямі А ЇВХ> перпендику-
лярні до прямої ССі. Прямі Ай і не збігаються, оскільки
точки А і, В і, О не лежать на одній прямій. Але через точку В
прямої СіС2 можна провести лише одну перпендикулярну до неї
пряму. Ми дійшли до суперечності. Теорему доведено.
* Задача (29). У трикутників АВС і АіВіСі: АВ =
— АВі, АС = АіСі, А С = А С. = 90°. Доведіть, що
А АВС = А А.ВіСі.
Розв’язання. Нехай АВС і АіВ.Сі — дані трикут-
ники (мал. 56). Побудуємо трикутник СВБ, що дорівнює
трикутнику СВА, і трикутник С.ВіВ,, що дорівнює три-
кутнику С|А1В|.
Мал. 56
§ 3. Ознаки рівності трикутників
41
Трикутники АВВ і АіВіРі рівні за третьою ознакою.
У них АВ — АіВі, за умовою задачі; АВ = А\В\, оскільки
АС — АіСі; ВВ — ВіВі, через те що ВВ — АВ, В\В\ =
— АіВ|. З рівності трикутників АВВ і АіВіВі випливає
рівність кутів: А А = А Аі. Оскільки за умовою АВ =
= АіВі, АС = АіСі, а АА=АА\ за доведеним, то
трикутники АВС і АіВіСі рівні за першою ознакою.
28.	ЯК САМОСТІЙНО ГОТУВАТИСЬ ЗА ПІДРУЧНИКОМ
Може трапитись, що з деяких причин, наприклад через
хворобу, ви не були на уроці геометри. Тоді матеріал цього уро-
ку вам доведеться вивчити самостійно за підручником. Текст
підручника слід читати не поспішаючи, окремими реченнями,
не переходити до наступного речення, не зрозумівши зміст
попереднього. Розглянемо конкретний приклад — доведення
третьої ознаки рівності трикутників. Отже, читаємо текст під-
ручника:
«Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють відповід-
но трьом сторонам другого трикутника...»
Щоб зрозуміти зміст цього речення, треба знати, що таке три-
кутник, його сторони і рівність сторін. Ви все це знаєте, тому
зміст прочитаного речення вам зрозумілий. Читаємо далі:
«то такі трикутники рівні».
Щоб зрозуміти зміст цього речення, потрібно знати, які
трикутники називаються рівними. Але ви і це знаєте. Таким
чином, зміст теореми вам зрозумілий. Читаємо доведення.
Доведення. «Нехай АВС і АіВіСі—два трикутники,
у яких АВ = АіВі, АС = АіСі, ВС = В\С] (мал. 55). Потрібно
довести, що трикутники рівні».
Тут все зрозуміло. Позначаються трикутники, які задоволь-
няють умову теореми і рівність яких потрібно довести.
«Припустимо, що трикутники не рівні».
Ви бачите, що робимо припущення, протилежне твердженню
теореми. Отже, в процесі подальших міркувань ми маємо при-
йти до суперечності (доведення від супротивного).
♦Тоді у них А А А Аі, А В Ф А В\, А С АС\.
Інакше вони були б рівні за першою ознакою».
7 клас
42
Пригадайте першу ознаку рівності трикутників. Переконай-
тесь у тому, що коли виконується хоча б одна з рівностей
/. А = А. Аі, АВ = / В,, /_С = /1 Сі, то трикутники АВС і
А|В(Сі рівні, а це суперечить зробленому припущенню.
«Нехай А|В]С2 — трикутник, ще дорівнює трикутнику АВС,
і його вершина С2 лежить в одній півплощині з вершиною Сі
відносно прямої А іВі (мал. 55)».
Тут все зрозуміло. Цією фразою починалось доведення пер-
шої і другої ознак.
«Нехай О — середина відрізка С,С2».
Ви знаєте. ш.о таке середина відрізка.
«Трикутники АіСіСа і ВіСіС? — рівнобедрені із спільною
основою СіС2».
Щоб зрозуміти зміст цього твердження, потрібно знати, який
трикутник називається рівнобедреним і яка його сторона нази-
вається основою.
«Тому їх медіани А,Б і В]О є висотами».
Зміст цього речення вам зрозумілий. Ви знаєте, що таке
медіана, висота, і знаєте властивість медіани рівнобедреного
трикутника.
«Отже, прямі А\И і ВіС перпендикулярні до прямої С С2».
Ясно.
«Прямі А\И і В|й не збігаються, оскільки точки А і, В,, 8 не
лежать на одній прямій».
Зрозуміло. Якби точка 8 лежала на прямій АВ,, то точки
Сі і С2 лежали б у різних півплощинах відносно прямої А,Ві.
«Але через точку 8 прямої С,С2 можна провести лише одну
перпендикулярну до неї пряму».
Ясно. Ви знаєте таку теорему.
«Ми прийшли до суперечності».
Зрозуміло.
♦ Теорему доведено».
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
•
1. Доведіть першу ознаку рівності трикутників. Які аксіоми
використовуються при доведенні теореми 3.1?
2. Сформулюйте і доведіть другу ознаку рівності трикутників.
3. Який трикутник називається рівнобедреним? Які сторони
§ 3. Ознаки рівності трикутників
43
рівнобедреного трикутника називаються бічними сторо-
нами? Яка сторона називається основою?
4.	Доведіть, що у рівнобедреному трикутнику кути при основі
рівні.
5.	Який трикутник називається рівностороннім?
6.	Доведіть, що коли у трикутнику два кути рівні, то він
рівкобедрений.
7.	Поясніть, що таке обернена теорема. Наведіть приклад. Чи
для кожної теореми правильна обернена?
8.	Ще таке висота трикутника?
9.	Що таке бісектриса трикутника?
10.	Що таке медіана трикутника?
11.	Доведіть, що у рівнобедреному трикутнику медіана, прове-
дена до основи, в висотою і бісектрисою.
12.	Доведіть третю ознаку рівності трикутників.
ЗАДАЧІ
1.	Відрізки АВ і СВ перетинаються в точці О, яка є серединою
кожного з них. Чому дорівнює відрізок ВО, якщо АС —
= 10 м?
2.	Через середину О відрізка АВ проведено пряму, перпендику-
лярну до прямої АВ (мал. 57). Доведіть, що кожна точка цієї
прямої однаково віддалена від точок А і В.
3.	На стороні А В трикутника АВС взято точку П, а на стороні
А ,Ві трикутника АВІСІ — точку О\. Відомо, що трикутники
АВС і АіОіСі рівні й відрізки ПВ і £>іВі рівні. Доведіть рів-
ність трикутників АВС і АіВіСі.
Мал- 57
Мал. 58
7 клас
44
4.	Щоб виміряти на місцевості відстань між двома точками
А і В, між якими не можна пройти по прямій (мал. 58), виби
рають таку точку С, з якої можна пройти до точки А і до
точки Віз якої видно обидві ці точки. Провішують 1 відста
ні АС і ВС, продовжують їх за точку С і відкладають СО =
— АС і ЕС = СВ. Тоді відрізок ЕВ дорівнює шуканій від-
стані. Поясніть чому.
5.	Відрізки АВ і СВ перетинаються в точці О (мал. 59). Дове-
діть рівність трикутників АСО і ВВО. коли відомо, що кут
АСО дорівнює куту ВВО і ВО = СО,
6.	Відрізки АСі В В перетинаються в точці О (мал. 60). Дове-
діть рівність трикутників ВАО і ВСО, коли відомо, що кут
ВАО дорівнює куту ВСО і АО = СО.
7? Доведіть рівність трикутників за медіаною і кутами, на які
вона розбиває кут трикутника.
8.	Щоб виміряти на місцевості відстань між двома точками А і
В, а яких одна (точка А) неприступна, провішують напрям
відрізка АВ (мал. 61) та на його продовженні відкладають
довільний відрізок ВЕ. Вибирають на місцевості точку В.
з якої видно точку А і можна пройти де точок В і Е. Про-
вішують прямі ВВО і ЕВР і вимірюють РВ — ВЕ і ВО =
= ВВ. Далі йдуть уздовж прямої ГО, дивлячись на точку
А, поки не знайдуть таку точку Н, яка лежить на прямій АВ.
Тоді НО дорівнює шуканій відстані. Доведіть це.
9.	Периметр (сума довжин сторін) рівнобедреного трикутника
дорівнює 1 м, а основа 0,4 м. Знайдіть довжину бічної
сторони.
Мал. 59	Мал. 60
1 Напрям визначають жердинами-віхами.
§ 3 Ознаки рівності трикутників
45
Мал. 62
10.	Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 7,5 м, а біч-
на сторона дорівнює 2 м. Знайдіть основу.
11.	Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 15,6 м.
Знайдіть його сторони, якщо: 1) основа менша за бічну
сторону на 3 м; 2) основа більша від бічної сторони на 3 м.
12.	Доведіть, що у рівностороннього трикутника всі кути рівні.
13.	Від вершини С рівнобедреного трикутника АВС з основою
АВ відкладено рівні відрізки: САі — на стороні СА і СВ' —
на стороні СВ. Доведіть рівність трикутників: 1) САВ, і
СВАг, 2} АВВ, і ВАЛ,.
14.	На основі А В рівнобедреного трикутника АВС дано точки
Аі і Ві. Відомо, що АВ. = ВА\. Доведіть, що трикутники
АВіС і ВА\С рівні.
15.	Трикутники АССі і ВССі рівні. їх вершини А і В лежать
по різні боки від прямої ССі. Доведіть, що трикутники
АВС і АВСі рівнобедрені (мал. 62).
16.	Сформулюйте і доведіть теорему, обернену до твердження
задачі 12.
17.	На сторонах АС і ВС трикутника АВС взято точки Сі і С2.
Доведіть, що трикутник АВС рівнобедрений. якщо трикут-
ники АВСі і ВАСз рівні (мал. 63).
18.	1) Доведіть, що середини сторін рівнобедреного трикутника
є також вершинами рівнобедреного трикутника.
2)	Доведіть, ще середини сторін рівностороннього трикут-
ника е також вершинами рівностороннього трикутника.
19.	1) Накресліть трикутник з гострими кутами. За допомогою
косинця і лінійки проведіть у ньому висоти. Виконайте
вправу повторно для трикутника, у якого один кут тупий.
7 клас
46
2	) Накресліть трикутник. За допомогою транспортира і лі-
нійки проведіть у ньому бісектриси.
31	Накресліть трикутник. За допомогою лінійки а поділка-
ми проведіть у ньому медіани.
20.	Доведіть, що у рівнобедреному трикутнику: 1) бісектриси,
проведені з вершин при основі, рівні; 2) медіани, проведені
з тих самих вершин, також рівні.
21.	Доведіть, що у рівних трикутниках АВС і АіВіСі: 1) медіа-
ни, проведені з верщлн А і Аі, рівні; 2) бісектриси, проведе-
ні з вершин А і А і, рівні.
22.	Точки А, В, С, І) лежать на одній прямій, причому відрізки
АВ і СВ мають спільну середину. Доведіть, що коли трикут-
ник АВЕ рівнобедрений з основою АВ, то трикутник СИЕ
з основою СВ також рівнобедрений. (мал. 64).
23.	Доведіть рівність трикутників за кутом, бісектрисою цього
кута і стороною, прилеглою до нього.
24.	У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведено
медіану ВМ. На ній узято точку О. Доведіть рівність трикут-
ників: 1) АВБ і СВБ-, 2) АМВ і СМІ).
25.	Доведіть, що трикутник АВС рівнобедрений, якщо у нього:
1)	медіана ВИ є висотою; 2) висота ВВ є бісектрисою;
3) бісектриса ВВ є медіаною.
26.	Дано два рівнобедреник трикутники із спільною основою.
Доведіть, що їх медіапи. проведені до основи, лежать на од-
ній прямій.
27.	У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведено
медіану ВИ. Знайдіть її довжину, якщо периметр трикутни-
ка АВС дорівнює 50 м, а трикутника АВВ — 40 м.
§ 3. Ознаки рівності трикутників
47
28.	Доведіть, що бісектриса рівнобедреного трикутника, прове-
дена з вершини, протилежної основі, є медіаною і висотою.
29.	У трикутниках АВС і АіВіСі: АВ = А-.В^ АС = АіСі,
Х_С = А Сі = 90°. Доведіть, що А АВС = Д АВ\С\.
ЗО.	Доведіть, що у рівнобедреному трикутнику висота, опущена
на основу, є медіаною і бісектрисою.
31.	Трикутники АВС і АВС> із спільною основою АВ рівно-
бедрені. Доведіть рівність трикутників АСС} і ВССі.
32? Точки А, В, С, В лежать на одній прямій. Доведіть, що коли
трикутники АВЕі і АВЕ? рівні, то трикутники СЛЕ, і СЛЕч
також рівні (мал. 65).
33.	Два відрізки АВ і СЛ перетинаються у точці О, яка є середи-
ною кожного з них. Доведіть рівність трикутників АСЛ і
ВЛС.
34.	Доведіть рівність трикутників за двома сторонами і медіа-
ною, проведеною до однієї з них.
35.	Відрізки АВ і СЛ перетинаються. Доведіть, що коли відрізки
АС, СВ, ВЛ і АЛ рівні, то промінь АВ є бісектрисою кута
САЛ і промінь СЛ — бісектрисою кута АСВ (мал. 66).
36? Доведіть, що в задачі 35 прямі АВ і СЛ перпендикулярні.
37.	Трикутники АВС і ВАЛ рівні, причому точки С і Л лежать
по різні боки від прямої АВ (мал. 67). Доведіть, що: 1) три-
кутники СВЛ і ЛАС рівні; 2) пряма СЛ ділить відрізок
АВ пополам.
38.	Відрізки АВ і СЛ однакової довжини перетинаються в точ-
ці О так, що АО — ОЛ. Доведіть рівність трикутників АВС
і ЛСВ.
7 клас
48
Мал. 68
39.	Доведіть рівність трикутників за двома сторонами і медіа-
ною, що виходять з однієї вершини (мал. 68).
40.	Доведіть рівність трикутників за стороною, медіаною, про-
веденою до неї, і кутами, які утворює медіана із стороною.
§ 4. СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА
29.	ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ
Теорема 4.1. Дві прямі, паралельні третій, паралельні
одна одній.
Доведення. Нехай прямі а і Ь паралельні прямій с. При-
пустимо, що прямі а і & не паралельні (мал. 69). Тоді вони пере-
тнуться в деякій точці С. Отже, через точку С проходять дві
прямі, паралельні прямій с. Але це неможливо, бо через точку,
що не лежить на даній прямій, можна провести не більш як одну
пряму, паралельну даній. Теорему доведено.
ЛІ Задача (4). Прямі АВ і СВ паралельні. Доведіть, що
( ^ ) коли відрізок ВС перетинає пряму АВ, то точка перетину
І—» належить відрізку АВ (мал. 70).
с
Мал. 69
§ 4. Сума кутів трикутника
49
Розв’язання, Нехай X — течка перетину відрізка
ВС з прямою АВ. Проведемо через неї пряму х, паралельну
прямій АВ. Вона буде паралельна і прямій СВ. Пряма х
розбиває площину на дві півплощини. Точки В і С лежать
у різних півплощинах, бо відрізок ВС перетинає пряму х
(в точці X). Точка А лежить у тій самій півплощині, що і В.
а точка В — у тій самій півплощині, що і С. Тому відрі
зок АВ перетинає пряму х. А точкою перетину є точка
X відрізка ВС.
ЗО.	КУТИ, УТВОРЕНІ В РЕЗУЛЬТАТІ ПЕРЕТИНУ
ДВОХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ
Нехай АВ і СВ — дві прямі і АС — третя пряма, що перети-
нає прямі АВ і СВ (мал. 71). Пряма АС відносно прямих АВ і
СВ називається січною.
Пари кутів, які утворюються в результаті перетину прямих
АВ і СВ січною АС, мають спеціальні назви,
Якщо точки В Ю лежать в одній півплощині відносно прямої
АС, то кути ВАС і ВСА називаються внутрішніми односторон-
німи (мал. 71, а).
Якщо точки ВіВ лежать у різних півплощинах відносно
прямої АС, то кути ВАС і ВСА називаються внутрішніми різно-
сторонніми (мал. 71, б).
Січна АС утворює з прямими АВ і СВ дві пари внутрішніх
односторонніх і дві пари внутрішніх різносторонніх кутів. Внут-
Мал 71
7 клас
50
,	рішні різносторонні кути однієї пари,
_________ /	наприклад /. 1 і А 2, є суміжними з
	внутрішніми різносторонніми кутами
/	іншої пари Л 3 і /4 (мал. 72).	Тому,
/	якщо внутрішні різносторонні	кути
_____4___________ однієї пари рівні, то внутрішні різно-
/________________сторонні кути іншої пари також	рівні.
/	Пара внутрішніх різносторонніх ку-
тів, наприклад А. 1 і /. 2, і пара внутріш-
Мал. 72	ніх односторонніх кутів, наприклад
£2 і Л 3, мають один кут спіль-
ний — А 2, а два інші куги суміжні, / 1 і З,
Тому, якщо внутрішні різносторонні кути рівні, то сума
внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180і. І навпаки, якщо
сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180і, тс внутріш
ні різносторонні кути рівні.
31.	ОЗНАКА ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ
Теорема 4.2 (ознака паралельності прямих). Якщо
внутрішні різносторонні кути рівні або сума внутрішніх одно-
сторонніх кутів дорівнює 180а, то прямі паралельні.
Доведення. Нехай прямі а і Ь утворюють із січною
АВ рівні внутрішні різносторонні кути (мал. 73, а). Припустимо,
прямі а1 Ь не паралельні, а отже, перетинаються в деякій точ-
ці С (мал. 73, Ь).
Січна А В розбиває площину на дві півплощипи. В одній з
них лежить точка С. Побудуємо трикутник ВАС\, що дорівнює
§ 4. Сума кутів трикутника
51
трикутнику АВС, з вершиною С\ в другій півплошині. За
умовою внутрішні різносторонні кути при паралельних а, Ьі січ-
ній А В рівні. Оскільки відповідні кути трикутників АВС і ВАС
з вершинами А і В рівні, то вони збігаються з внутрішніми
різносторонніми кутами. Отже, пряма АС і збігається з
прямою а, а пряма ВС збігається з прямою Ь. Дістанемо, що
через точки С і С і проходять дві різні прямі а і Ь. А це немож-
ливо. Отже, прямі а і Ь — паралельні.
Якщо при перетині прямих о і Ь січною АВ сума внутрішніх
односторонніх кутів дорівнює 180°, то, як ми знаємо, внутрішні
різносторонні кути рівні. Отже, як було доведено вище, прямі
а і Ь — паралельні. Теорему доведено.
З теореми 4.2 випливає, що дві прямі, перпендикулярні до
третьої, паралельні.
Якщо у парі внутрішніх різносторонніх кутів один з кутів
замінити вертикальним йому, то дістанемо пару кутів, які нази-
ваються відповідними кутами, утвореними в результаті перети-
ну двох прямих січною.
Кути 1 і 2 на малюнку 74 — внутрішні різносторонні, а кути
1 і 3 — відповідні.
З рівності внутрішніх різносторонніх кутів випливає рівність
відповідних кутів і навпаки. Звідси дістанемо ознаку паралель-
ності прямих за відповідними кутами. А саме: прямі паралель-
ні, якщо відповідні кути рівні.
ФЗ а д а ч а (8). Дано пряму АВ і точку С, що не лежить
на цій прямій. Доведіть, що через точку С можна провести
пряму, паралельну прямій АВ.
Розв’язання. Пряма АС розбиває площину па дві
півплощини (мал. 75). Точка В лежить в одній з них Від-
Мал. 74
Мал. 7 5
7 клас
52
кладемо від півпрямої СА у другу півплощину кут АС В,
що дорівнюй куту САВ. Тоді прямі АВ і СО паралельні.
Справді, для цих прямих і січної АС кути ВАС і ВСА
внутрішні різносторонні. Оскільки вони рівні, то прямі
АВ і СО паралельні.
Зіставляючи твердження задачі 8 й аксіоми IX (основної
властивості паралельних прямих), приходимо до важливого
висновку: через точку, що не лежить на даній прямій, можна
провести паралельну їй пряму і тільки одну
32.	ВЛАСТИВІСТЬ КУТІВ,
УТВОРЕНИХ ПРИ ПЕРЕТИНІ
ПАРАЛЕЛЬНИХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ
Теорема 4.3 (обернена до теореми 4.2). Якщо дві пара-
лельні прямі перетнуті третьою прямою, то внутрішні різносто-
ронні кути рівні, а сума внутрішніх односторонніх кутів
дорівнює 180°.
Доведення. Нехай а і Ь — паралельні прямі і с — пря-
ма, яка перетинав їх у точках А і В. Проведемо через точку А
пряму <іі так, щоб внутрішні різносторонні кути, утворені
січною с і прямими а । і Ь, були рівні (мал. 76).
За ознакою паралельності прямих прямі з, і Ь паралельні.
Оскільки через точку А проходить тільки одна пряма, паралель-
на прямій Ь, то пряма а збігається з прямою а>. Отже, внутрішні
різносторонні кути, утворені січною й паралельними прямими
а і Ь, рівні. Теорему доведено.
З властивості кутів, утворених при перетині паралельних
прямих січною, випливає, що коли
пряма перпендикулярна до однієї
з паралельних прямих, то вона пер-
пендикулярна і до другої.
З а д а ч а (13). Прямі А С
і ВВ паралельні, причому
точки А і О лежать по різні
боки від січної ВС (мал. 77).
Доведіть, що: 1) кути ВВС
і АСВ внутрішні різносторони
відносно січної ВС; 2) промінь
Мал. 76
§ 4. Сума кутів трикутника
53
ВС проходить між сторонами кута
АВО; 3) кути САВ і ОВА внутрішні
односторонні відносно січної АВ.
Розв’язання. 1) Кути ОВС
і АСВ внутрішні різносторонні тому,
що точки А Ю лежать по різні боки
від січної ВС.
2)	Промінь ВС проходить між
сторонами кута АВО тому, що він
перетинає відрізок АО з кінцями на
сторонах кута (задача 4).
3)	Кути САВ і ОВА внутрішні односторонні тому,
що точки Сій лежать по один бік від січної АВ, тобто
у півплощині, де лежить точка X перетину відрізків
ВС і АО.
Мал. 77
33.	СУМА КУТІВ ТРИКУТНИКА
Теорема 4.4. Сума кутів трикутника дорівнює 180°.
Доведення. Нехай АВС — даний трикутник. Проведемо
через вершину В пряму, паралельну прямій АС. Візьмемо на ній
точку О так, щоб точки А і О лежали по різні боки від пря-
мої ВС (мал. 78).
Кути ОВС і АСВ рівні як внутрішні різносторонні при пере-
тині паралельних прямих АС і ВО січною ВС. Тому сума кутів
трикутника при вершинах В і С дорівнює куту АВО.
А сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів АВО
і ВАС. Оскільки ці кути внутрішні односторонні для паралель-
них АС і ВО і січної АВ, то їх сума дорівнює 180°. Теорему
доведено.
З теореми 4.4 випливає, що у будь- В	0
якому трикутнику принаймні два кути
гострі.
Справді, припустимо, що у трикут-
нику тільки один гострий кут або вза-
галі немає гострих кутів. Тоді у цьому
трикутнику є два кути, кожний з —	‘ >—
яких не менший за 90°. Сума цих двох
кутів уже не менша за 180°.	Мал. 78
7 клас
54
Але це неможливо, бо сума всіх кутів трикутника дорівнює
180е. Що й треба було довести.
.А За дача ЗО. Чому дорівнюють кути рівностороннього
С0 ) трикутника?
Розв’язання. У рівносторонньому трикутнику, як
відомо, всі кути рівні. Оскільки вони в сумі становлять
180й, то кожний з них дорівнює 60°.
34.	ЗОВНІШНІ КУТИ ТРИКУТНИКА
Зовнішнім кутом трикутника при даній вершині називає-
ться кут, суміжний з кутом трикутника при цій вершині
(мал. 79).
Щоб не плутати кут трикутника при даній чершині із зовніш-
нім кутом при цій самій вершині, його іноді називають внут-
рішнім кутом.
Теорема 4.5. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі
двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
Доведення. Нехай АВС — даний трикутник (мал. 80).
За теоремою 4.4 /_ А А В + /. С = 180°. Звідси випливає,
піо /. А + 21 В — 180е — /_ С. У правій частині цієї рівності
стоїть градусна міра зовнішнього кута трикутника при верши-
ні С. Теорему доведено
З теореми 4.5 випливає, що зовнішній кут трикутника біль-
ший від будь-якого внутрішнього кута, не суміжного з ним.
Задача 35. У трикутнику АВС проведено висоту
Сй Яка з трьох точок А, В, О лежить між двома іншими,
якщо кути А і В трикутника гострі?
Р о з в’ я-з а н н я. Точка В не може лежати між точка-
Мал. 79
§ 4. Сума кутів трикутника
55
Мал. 80
Мал. 81
ми А і В. Якби вона була між точками А і В (мал. 81), то
гострий кут АВС як зовнішній кут трикутника СВБ був би
більшим від прямого кута СОВ. Так само доводимо, що й
точка А не може лежати між точками В і О. Отже, точка В
лежить між точками А і В.
35.	ПРЯМОКУТНИМ трикутник
Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий
кут.
Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то в прямо-
кутному трикутнику тільки один прямий кут. Два інших кути
прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокут-
ного трикутника дорівнює 180° — 90° = 90°.
Сторона прямокутного трикутника, що лежить проти прямо-
го кута, називається гіпотенузою, дві інші сторони називаються
катетами (мал. 82).
Мал. 82
Мал. 83
7 клас
56
Відзначимо таку ознаку рівності
прямокутних трикутників за гіпотену-
зою і катетом:
Якщо гіпотенуза і катет одного
прямокутного трикутника відповідно
дорівнюють гіпотенузі і катету другого
трикутника, то такі трикутники рівні
(мал. 83).
Доведення цієї ознаки дано у ви-
гляді розв'язання задачі 29 з § 3.
Задача (43). Доведіть, що
\ / в прямокутному трикутнику з
кутом 30° катет, протилежний цьому куту, дорівнює
половині гіпотенузи.
Розв’язання. Нехай АВС — прямокутний трикут-
ник з прямим кутом С і кутом В, що дорівнює 30° (мал. 84).
Побудуємо трикутник ВВС, що дорівнює трикутнику АВС,
як показано на малюнку 84. У трикутнику АВО всі кути
рівні і дорівнюють по 60°, тому він рівносторонній. Оскіль-
ки АС — АО, а АО — АВ, то АС — -^-АВ, що й треба
було довести.
36.	ІСНУВАННЯ І ЄДИНІСТЬ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРА ДО ПРЯМОЇ
Теорема 4.6. З будь-якої точки, що не лежить на даній
прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр і тільки
один.
Доведення. Нехай а — дана пряма й А — точка, що
не лежить на ній (мал. 85). Проведемо через довільну точку
прямої а перпендикулярну пряму. Проведемо тепер через точку
А паралельну їй пряму Ь. Вона буде перпендикулярною до пря-
мої а, оскільки пряма а, будучи перпендикулярною до однієї з
паралельних прямих, перпендикулярна і до другої. Відрізок АВ
прямої Ь і є перпендикуляр, проведений з точки А до прямої а.
Доведемо єдиність перпендикуляра АВ. Припустимо існу-
вання іншого перпендикуляра АС. Тоді трикутник АВС матиме
два прямих кути. А це, як відомо, неможливо. Теорему доведено.
§ 4. Сума кутів трикутника
57
В
Мал. 86
Мал. 85
Довжина перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму,
називається відстанню від точки до прямої.
лі Задача (50). Доведіть, що відстані від будь-яких
( “ ) двох точок прямої до паралельної прямої рівні.
>—'	Розв’язання. Нехай а і Ь — паралельні прямі і А,
А । — довільні точки на прямій а (мал. 86). Опустимо з точ-
ки А । перпендикуляр А,В| на пряму Ь. Відкладемо від
точки В\ на прямій Ь відрізок ВіВ, що дорівнює відрізку
АА і так, щоб точки А । і В були по різні боки від прямої
АВ]. Тоді трикутники АВіАі і В)АВ рівні за першою оз-
накою. У них сторона АВ\ спільна, АА\ = ВВ\ за побудо-
вою, а кути ВіААі і АВ\В рівні як внутрішні різносторон-
ні при перетині паралельних а та б з січною АВ\. З рівності
трикутників випливає, що АВ — перпендикуляр до прямої
Ь і АВ = А\В], що й треба було довести.
Як бачимо, відстані від усіх точок прямої до паралельної
прямої рівні. Тому кажуть, що паралельні прямі рівновіддалені.
Відстанню між паралельними прямими називається від-
стань від якої-небудь точки однієї прямої до другої прямої.
37.	З ІСТОРІЇ ВИНИКНЕННЯ ГЕОМЕТРІЇ
Перші відомості про властивості геометричних фігур люди
дістали в результаті практичної діяльності і спостережень над
навколишнім світом. З часом учені помітили, що деякі власти-
вості геометричних фігур можна вивести з інших властивостей
міркуваннями. Так виникли теореми і доведення.
З’явилося природне бажання по можливості зменшити кіль-
кість тих властивостей геометричних фігур, які випливають
безпосередньо з досвіду. Твердження, що залишилися без
7 клас
58
М. І. Лобачевський —
російський математик
(1792 — 1856)
доведення властивостей, стали аксіома-
ми. Таким чином, аксіоми мають досвід-
не походження.
Геометрія на ранній стадії свого роз-
витку досягла особливо високого рівня
в Єгипті. У першому тисячолітті до нашої
ери геометричні відомості від єгиптян
перейшли до греків. За період з VII по
III століття до нашої ери грецькі гео-
метри не лише збагатили геометрію
численними новими теоремами, але
зробили також серйозні кроки до строгого
її обгрунтування. Багатовікова робота
грецьких геометрів за цей період була
узагальнена Евклідом (330—275 рр. до
н. е.) в його знаменитій праці «Начала».
Виклад геометрії в «Началах» Евкліда побудовано на систе-
мі аксіом. Ця система відрізняється від системи аксіом, прийня-
тої у даному підручнику. Але в ній теж є аксіома паралельних.
Аксіома паралельних, на відміну від інших аксіом, не має
наочного підтвердження. Можливо через це з часів Евкліда мате-
матики багатьох країн намагалися довести її як теорему. Але це
нікому не вдавалося. Нарешті, в XIX столітті було доведено,
що це зробити неможливо. Першим, хто висловив це тверджен-
ня, був великий російський математик Микола Іванович Лоба-
чевський.
9
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1.	Доведіть, що дві прямі, паралельні третій, паралельні одна
одній.
2.	Поясніть, які кути називаються внутрішніми односторонні-
ми. Які кути називаються внутрішніми різносторонніми?
3.	Доведіть, що коли внутрішні різносторонні кути однієї пари
рівні, то внутрішні різносторонні кути другої пари також
рівні, а сума внутрішніх односторонніх кутів кожної пари
дорівнює 180°.
4.	Доведіть ознаку паралельності прямих.
5.	Поясніть, які кути називаються відповідними. Доведіть, що
§ 4. Сума кутів трикутника
59
коли внутрішні різносторонні кути рівні, то відповідні кути
також рівні і навпаки.
6.	Доведіть, що через точку, яка не лежить на даній прямій,
можна провести паралельну їй пряму. Скільки прямих,-
паралельних даній, можна провести через точку, що не ле-
жить на цій прямій?
7.	Доведіть, що коли дві паралельні прямі перетинаються тре-
тьою прямою, то внутрішні різносторонні кути рівні, а сума
внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
8.	Доведіть, що дві прямі, перпендикулярні до третьої, пара-
лельні. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з двох пара-
лельних прямих, то вона перпендикулярна й до другої.
9.	Доведіть, що сума кутів трикутника дорівнює 180°.
10.	Доведіть, що в будь-якому трикутнику принаймні два кути
гострі.
11.	Що таке зовнішній кут трикутника?
12.	Доведіть, що зовнішній куф трикутника дорівнює сумі двох
внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
13.	Доведіть, що зовнішній кут трикутника більший за будь-
який внутрішній кут, не суміжний з ним.
14.	Який трикутник називається прямокутним?
15.	Чому дорівнює сума гострих кутів прямокутного трикут-
ника?
16.	Яка із сторін прямокутного трикутника називається гіпоте-
нузою? Які сторони називаються катетами?
17.	Сформулюйте ознаку рівності прямокутних трикутників за
гіпотенузою і катетом.
18.	Доведіть, що з будь-якої точки, яка не лежить на даній
прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр і тіль-
ки один.
19.	Що називається відстанню точки від прямої?
20.	Поясніть, що таке відстань між паралельними прямими.
ф	ЗАДАЧІ
1.	Доведіть, що коли деяка пряма перетинає одну з двох пара-
лельних прямих, то вона перетинає й другу.
2.	Доведіть, що коли дві прямі перетинаються, то будь-яка
третя пряма перетинає принаймні одну з цих прямих.
7 клас
60
3.	Дано а II 6 II с II Л. Доведіть, що а || й.
4.	Прямі АВ і СВ паралельні. Доведіть, що коли відрізок ВС
перетинає пряму АВ, то точка перетину належить відрізку
АО (мал. 70).
5.	Дано трикутник АВС. На стороні АВ позначено точку Ві,
а на стороні АС — точку С\ (мал. 87). Назвіть внутрішні
односторонні і внутрішні різносторонні кути при прямих
АВ, АС і січній ВіСі.
6.	Назвіть внутрішні різносторонні і внутрішні односторонні
кути на малюнку 72.
7.	Відрізки АО і ВС перетинаються. Для прямих АС і ВО і січ-
ної ВС назвіть пару внутрішніх різносторонніх кутів. Для
цих же прямих і січної АВ назвіть пару внутрішніх одно-
сторонніх кутів. Поясніть відповідь.
8.	Дано пряму АВ і точку С, яка не лежить на цій прямій.
Доведіть, що через точку С можна провести пряму, пара-
лельну прямій АВ.
9.	Доведіть, що бісектриси внутрішніх різносторонніх кутів,
утворених паралельними і січною, паралельні, тобто лежать
на паралельних прямих.
10.	Відрізки АВ і СО перетинаються в точці Е і діляться цією
точкою пополам. Доведіть, що прямі АС і ВВ паралельні.
11.	Трикутники АВС і ВАВ рівні. Точки С і В лежать по різні
боки від прямої АВ. Доведіть, що прямі АС і ВВ паралельні.
12.	Кут АВС дорівнює 80°, а кут ВСВ — 120°. Чи можуть прямі
АВ і СВ бути паралельними? Обґрунтуйте відповідь.
13.	Прямі АС і ВВ паралельні, причому точки А і В лежать по
різні боки від січної ВС (мал. 77). Доведіть, що: 1) кути
ВВС і АСВ внутрішні різносторонні відносно січної ВС;
2) промінь ВС проходить між сторонами кута АВВ; 3) кути
САВ і ВВА внутрішні односторонні відносно січної АВ.
14.	1) Різниця двох внутрішніх односторонніх кутів при двох
паралельних прямих і січній дорівнює 30°. Знайдіть ці кути.
2) Сума двох внутрішніх різносторонніх кутів при двох
паралельних прямих і січній дорівнює 150°. Чому дорів-
нюють ці кути?
15.	Один з кутів, які утворюються при перетині двох паралель-
них прямих січною, дорівнює 72°. Знайдіть інші сім кутів.
16.	Один з кутів, які утворюються при перетині двох паралель-
§ 4. Сума кутів трикутника
61
них прямих січною, дорівнює 30°. Чи може один з решти
семи кутів дорівнювати 70°? Поясніть відповідь.
17.	Доведіть, що дві прямі, паралельні перпендикулярним пря-
мим, перпендикулярні між собою.
18.	Знайдіть невідомий кут трикутника, якщо в ньому два кути
дорівнюють: 1) 50° і 30°; 2) 40° і 75°; 3) 65° і 80°; 4) 25° і
120°.
19.	Знайдіть кути трикутника, якщо вони пропорційні до чи-
сел: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6: 5) 5, 6, 7.
20.	Чи може у трикутнику бути: 1) два тупих кути; 2) тупий і
прямий кути; 3) два прямих кути?
21.	Чи може бути тупим кут при основі рівнобедреного трикут-
ника?
22.	Знайдіть кут між бічними сторонами рівнобедреного три-
кутника, якщо кут при його основі дорівнює: 1) 40°; 2) 55°;
3) 72°.
23.	Знайдіть кут при основі рівнобедреного трикутника, якщо
кут між бічними сторонами дорівнює: 1) 80°; 2) 120°;
3) 30°.
24.	Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 100°.
Знайдіть решту кутів трикутника.
25.	Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 70°.
Знайдіть решту кутів трикутника. Скільки розв’язків має
задача?
26.	Доведіть, що коли один з кутів рівнобедреного трикутника
дорівнює 60°, то трикутник — рівносторонній.
27.	У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС проведено
Мал. 87
Мал. 88
7 клас
62
бісектрису СО. Знайдіть кути трикутника АВС, якщо кут
АОС дорівнює: 1) 60°; 2) 75°; 3) а.
28.	У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС і кутом
при вершині В, що дорівнює 36°, проведено бісектрису АЛ.
Доведіть, що трикутники СОА і АОВ рівнобедрені (мал. 88).
29.	У трикутнику АВС проведено бісектриси з вершин А і В.
Точку їх перетину позначено О. Знайдіть кут АОВ, якщо:
1)/1А=50о, В = 100°; 2)/.А=а, В = 0;
3) /С = 130°; 4) АС= у.
ЗО.	Чому дорівнюють кути рівностороннього трикутника?
31.	Під яким кутом перетинаються бісектриси двох внутрішніх
односторонніх кутів при паралельних прямих?
32.	Один із зовнішніх кутів рівнобедреного трикутника дорів-
нює 70°. Знайдіть кути трикутника.
33.	Знайдіть кути трикутника, знаючи, що зовнішні кути при
двох його вершинах дорівнюють 120° і 150°.
34.	Два зовнішніх кути трикутника дорівнюють 100° і 150°.
Знайдіть третій зовнішній кут.
35.	У трикутнику АВС проведено висоту СО. Яка з трьох точок
А, В, О лежить між двома іншими, якщо кути А і В трикут-
ника гострі?
36.	У трикутнику АВС проведено висоту СО. Яка з трьох точок
А, В, О лежить між двома іншими, якщо кут А тупий?
Обґрунтуйте відповідь.
37.	Доведіть, що бісектриса зовнішнього кута при вершині
рівнобедреного трикутника паралельна основі.
38.	Сума зовнішніх кутів трикутника АВС при вершинах А і В,
взятих по одному для кожної вершини, дорівнює 240°.
Чому дорівнює кут С трикутника?
Мал. 89
§ 5. Геометричні побудови
63
39.	Дано трикутник АВС. На продовженні сторони АС відкла-
дено відрізки АО = АВ і СЕ = СВ (мал. 89). Як знайти
кути трикутника ВВЕ, знаючи кути трикутника АВС?
40.	У трикутнику один з внутрішніх кутів дорівнює 30°, а один
із зовнішніх 40°. Знайдіть решту внутрішніх кутів трикут-
ника.
41.	З вершини прямого кута трикутника АВС проведено висоту
ВВ. Знайдіть кут СВВ, знаючи, що: 1) ЛА = 20°; 2) Х_А=
= 65°; 3) А А = а.
42.	З вершини тупого кута В трикутника АВС проведено висоту
ВВ. Знайдіть кути трикутників АВВ і СВВ, знаючи, що
X А - а, X В = р.
43.	Доведіть, що в прямокутному трикутнику з кутом 30°, катет,
протилежний цьому куту, дорівнює половині гіпотенузи.
44.	Знайдіть кути прямокутного рівнобедреного трикутника.
45.	У рівносторонньому трикутнику АВС проведено медіану
АВ. Знайдіть кути трикутника АВВ.
46.	Висоти трикутника АВС, проведені з вершин А і С, пере-
тинаються в точці М. Знайдіть X АМС, якщо А А = 70°,
X С = 80°.
47?	У трикутнику АВС медіана ВВ дорівнює половині сторони
АС. Знайдіть кут В трикутника.
48.	Пряма а перетинає відрізок ВС в його середині. Доведіть, що
точки В і С знаходяться на однаковій відстані від прямої а.
49.	Відрізок ВС перетинає пряму а в точці О. Відстані від точок
В і С до прямої а рівні. Доведіть, що точка О є серединою
відрізка ВС.
50.	Доведіть, що відстані від будь-яких двох точок прямої до
паралельної прямої рівні.
51.	Доведіть, що відстані від вершин рівностороннього трикут-
ника до прямих, які містять протилежні їм сторони, рівні.
§ 5.	ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ
38.	КОЛО
Колом називається фігура, яка складається з усіх точок
площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називає-
ться центром кола.
7 клас
64
Мал. 90
Мал. 91
Відстань від точок кола до його центра називається радіусом
кола. Радіусом називаються також будь-який відрізок, шо спо-
лучає точку кола з його центром (мал. 90).
Відрізок, що сполучає дві точки кола, називається хордою.
Хорда, що проходить через центр, називається діаметром.
На малюнку 91 ВС — хорда, АВ — діаметр.
Задача (3). Доведіть, що діаметр кола, який
проходить через середину хорди, перпендикулярний
до неї.
Розв’язання. Нехай АВ — хорда
кола і С — її середина (мал. 92). Три-
кутник АОВ рівнобедрений з основою
АВ. У ньому сторони О А і ОВ рівні
як радіуси кола. За властивістю меді-
ани рівнобедреного трикутника, про
веденої до основи, відрізок ОС є
висотою. Тому діаметр кола, проведений
через середину хорди, перпендикуляр-
ний до хорди.
39.	КОЛО, ОПИСАНЕ НАВКОЛО ТРИКУТНИКА
Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно
проходить через усі його вершини.
Теорема 5.1. Центр кола, описаного навколо трикутни-
ка, є точкою перетину перпендикулярів до сторін трикутника,
проведених через середини цих сторін.
§ 5, "Геометричні побудови
65
Доведення. Нехай АВС — даний трикутник і О —
центр описаного навколо нього кола (мал. 93). Трикутник
АОС — рівнобедрений; у ньому сторони О А і ОС рівні як радіу-
си. Медіана ОИ цього трикутника одночасно є його висотою.
Тому центр кола лежить па прямій, яка перпендикулярна до
сторони АС і проходить через її середину. Так само доводимо,
що центр кола лежить на перпендикулярах до двох інших сто
рін трикутника. Теорему доведено.
Зауваження. Пряму, що проходить через середину
відрізка перпендикулярно до нього, часто називають середин-
ним перпендикуляром. У зв'язку з цим інколи говорять, що
центр кола, описаного навколо трикутника, лежить на перетині
серединних перпендикулярів до сторін трикутника.
Мал. 93
Задача (6). Доведіть, що серединні перпендикуляри
до двох сторін трикутника перетинаються.
Р о з в' я з а н я я. Нехай АВС трикутник і а, Ь — сере-
динні перпендикуляри до його сторін АС і ВС (мал. 94).
Припустимо, прямі а і Ь не перетинаються, а отже, пара
лельні. Пряма АС перпендикулярна до прямої а. Пряма
ВС перпендикулярна до прямої Ь, а тому і до прямої а,
оскільки прямі а і Ь паралельні. Таким чином, обидві прямі
АС і ВС перпендикулярні до прямої а, а тему паралельні.
Але це неправильно. Прямі АС, ВС перетинаються в
точці С. Ми дійшли до суперечності. Твердження до-
ведено.
З Геометрія, 7-9 кл.
7 клас
66
40.	ДОТИЧНА ДО КОЛА
Пряма, що проходить через точку кола перпендикулярно до
радіуса, проведеного в цю точку, називається дотичною. При
цьому дана точка кола називається точкою дотику.
На малюнку 95 пряму а проведено через точку кола А пер-
пендикулярно до радіуса ОА Пряма а є дотичною до кола. Точ-
ка А є точкою дотику. Можна сказати також, що коло дотикає-
ться до прямої а в точці А.
Задача (8). Доведіть, що дотична до кола не має
з ним інших спільних точок, крім точки дотику.
Розв’язання. Нехай а — дотична до кола в точці А
(мал. 96). Припустимо, дотична і коло мають, крім точки А,
§ 5. Геометричні побудови
67
спільну точку В, відмінну від А. Трикутник АОВ рівно-
бедрений з основою АВ. У ньому бічні сторони АО, ОВ —
радіуси кола. Оскільки у рівнобедреному трикутнику кути
при основі рівні, то трикутник маь два прямих кути. А це
неможливо. Ми дійшли до суперечності. Твердження
доведено
Говорять, що два кола, які мають спільну точку, дотикаються
в цій точці, якщо вони мають в ній спільну дотичну (мал. 97).
Дотик кіл називається внутрішнім, якщо центри кіл лежать по
один бік від їх спільної дотичної (мал 97, а). Дотик кіл нази-
вається зовнішнім, якшо центри кіл лежать по різні боки від
їх спільної дотичної (мал. 97, б).
41.	КОЛО, ВПИСАНЕ В ТРИКУТНИК
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотика-
ється до всіх його сторін.
Теорема 5.2. Центр кола,
вписаного в трикутник, є точкою
перетину його бісектрис.
Доведення. Нехай АВС —
даний трикутник, О — центр вписа-
ного в нього кола, О, Е і Р — точки
дотику кола із сторонами (мал. 98).
Прямокутні трикутники АОО і АОЕ
рівні за гіпотенузою і катетом. У них
гіпотенуза АО спільна, а катети ОТ)
і ОЕ рівні як радіуси. З рівності три-
кутників випливає рівність кутів ОАО і ОАЕ. А це означає, що
точка О лежить на бісектрисі трикутника, проведеній з вершини
А. Так само доводимо, що точка О лежить на двох інших бісек-
трисах трикутника. Теорему доведено.
42.	ЩО ТАКЕ ЗАДАЧІ НА ПОБУДОВУ
У задачах на побудову йдеться про побудову геометричної
фігури за допомогою даних креслярських інструментів. Такими
інструментами найчастіше є лінійка і циркуль. Розв’язування
7 клас
68
задачі полягає не стільки в побудові фігури, скільки у знахо-
дженні способу, як це зробити, і відповідному доведенні. Задача
вважається розв’язаною, якщо знайдено спосіб побудови фігур
і доведено, що в результаті виконання зазначених побудов
справді виходить фігура з потрібними властивостями.
За допомогою лінійки як інструмента геометричних побудов
можна провести довільну пряму; пряму, що проходить через
дану точку; пряму, що проходить через дві дані точки. Ніяких
інших операцій виконувати лінійкою не можна. Зокрема, ліній-
кою не можна відкладати відрізки, навіть якщо вона має по-
ділки.
Циркуль як інструмент геометричних побудов дає змогу опи-
сати з центром у даній точці коло даного радіуса. Зокрема, цир-
кулем можна відкласти даний відрізок на даній прямій від
даної точки.
Розглянемо найпростіші задачі на побудову.
43.	ПОБУДОВА ТРИКУТНИКА З ДАНИМИ СТОРОНАМИ
яі Задача 5.1. Побудувати трикутник з даними сторо-
( 0 ) мал*“ а> с (мал. 99, а).
’—*	Р о з в’ я з а н н я. За допомогою лінійки проводимо до-
вільну пряму і позначаємо на ній довільну точку В (мал.
99, б). Розхилом циркуля, що дорівнює а, описуємо коло з
центром В і радіусом а. Нехай С — точка перетину цього
кола з прямою. Тепер розхилом циркуля, що дорівнює с,
описуємо коло з центром у точці В, а розхилом циркуля, що
Мал. 99
§ 5. Геометричні побудови
69
дорівнює Ь, описуємо коло з центром у точці С. Нехай А —
точка перетину цих кіл. Проведемо відрізки АВ і АС. Три-
кутник АВС має сторони, які дорівнюють а, Ь, с
44.	ПОБУДОВА КУТА, ЩО ДОРІВНЮЄ ДАНОМУ
Задача 5.2. Відкласти від даної півпрямої в дану півпло-
щину кут, що дорівнює даному куту.
Розв’язе нн я. Проведемо довільне коло з центром у
вершині А даного кута (мал. 100, а). Нехай В і С — точки пере-
ткну кола із сторонами кута. Проведемо коло радіусом АВ
з центром у точці О — початковій точці даної півпрямої
(мал. 100, б). Точку перетину цього кола з даною півпрямою
позначимо В . Опишемо коло з центром В, і радіусом ВС. Точка
С1 перетину побудованих кіл у даній півплощині лежить на
стороні шуканого кута.
Мал. 100
Для доведення досить показати, що трикутники АВС і ОВіСі
рівні як трикутники з відповідно рівними сторонами. Кути
А і О є відповідними кутами цих трикутників.
45.	ПОБУДОВА БІСЕКТРИСИ КУТА
Задача 5.3. Побудувати бісектрису даного кута.
Розв’язання. З вершини А даного кута як з центра,
описуємо коло довільного радіуса (мал. 101). Нехай В і С —
точки перетину цього кола із сторонами кута. З точок В і С тим
7 клас
70
Мал. 101
самим радіусом описуємо кола. Нехай
В — точка їх перетину, відмінна від
А. Проведемо півпряму АВ.
Промінь АВ є бісектрисою, бо
ділить кут ВАС пополам. Це випливає
з рівності трикутників АВВ і АСВ,
у яких кути ВАВ і ВАС є відповід-
ними.
46.	ДІЛЕННЯ ВІДРІЗКА ПОПОЛАМ
Задача 5.4. Поділити відрізок по-
полам.
Розв'язання. Нехай А В — даний
відрізок (мал. 102). З точок А і В радіу-
сом А В описуємо кола. Нехай С і Сі —
точки перетину цих кіл. Вони лежать
у різних півплощинах відносно прямої
АВ. Відрізок ССі перетинає пряму А В
у деякій точці О. Ця точка і є середина
відрізка А В.
Справді, трикутники САСі і СВС\
рівні за третьою ознакою рівності три-
кутників. Звідси випливає рівність кутів
АСО і ВСО. Трикутники АСО і ВСО рівні
за першою ознакою рівності трикутників. Сторони АО і ВО цих
трикутників є відповідними, а тому вони рівні. Таким чином,
О — середина відрізка АВ.
47.	ПОБУДОВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЇ ПРЯМОЇ
Задача 5.5. Через дану точку О провести пряму, перпен-
дикулярну до даної прямої а.
Р о з в’ я з а н н я. Можливі два випадки:
1)	точка О лежить на прямій а;
2)	точка О не лежить на прямій а.
Розглянемо перший випадок (мал. 103).
§ 5. Геометричні побудови
71
З точки О довільним радіусом проводимо коло. Воно перетне
пряму а у двох точках: А і В 3 точок А і В проводимо кола
радіусом АВ. Нехай С — точка їх перетину. Шукана пряма
проходить через точки О і С.
Перпендикулярність прямих ОС і АВ випливає з рівності
кутів при вершині О трикутників АСО і ВСО Ці трикутники
рівні за третьою ознакою рівності трикутників.
Розглянемо другий випадок (мал. 104).
З точки О проводимо коло, що перетинає пряму а. Нехай А
і В — точки перетину його з прямою а. З точок А і В тим самим
радіусом проводимо кола. Нехай Оі — точка їх перетину, що
лежить у півплощині, відмінній від тієї, у якій лежить точка О.
Шукана пряма проходить через точки О і Оі.
Доведемо це. Позначимо через С точку перетину прямих
АВ і ОО|. Трикутники АОВ і АО\В рівні за третьою ознакою
рівності трикутників. Тому кут ОАС дорівнює куту О<АС. Тоді
трикутники ОАС і ОАС рівні за першою ознакою рівності
трикутників. Отже, їх кути АСО і АСО, рівні. Оскільки ці кути
суміжні, то вони прямі. Таким чином, ОС — перпендикуляр,
опущений з точки О на пряму а.
48.	ГЕОМЕТРИЧНЕ МІСЦЕ ТОЧОК
Одним з методів розв’язування задач на побудову є метод
геометричних місць.
Геометричним місцем точок називається фігура, шо склада-
ється з усіх точок площини, які мають певну властивість.
7 клас
72
Наприклад, коло можна означити як
геометричне місце точок, рівновіддале-
них від даної точки.
Важливе геометричне місце точок дає
така теорема.
Теорема 5.3. Геометричне місце
точок, рівновіддалеких від двох даних
точок, е пряма, яка перпендикулярна до
відрізка, що сполучає ці точки і про-
ходить через його середину.
Доведення. Нехай А і В — дані
точки, а — пряма, що проходить через
середину О відрізка АВ перпендикулярно до нього (мал. 105).
Ми повинні довести, що:
1)	кожна точка прямої а рівновіддалена від точок А і В;
2)	кожна точка О площини, рівновіддалена від точок А і В,
лежить на прямій а.
Те, що кожна точка С прямої а знаходиться на однаковій
відстані від точок А і В, випливає з рівності трикутників АОС
і ВОС. У цих трикутників кути при вершині О прямі, сторона ОС
спільна, а АО = ОВ, бо О — середина відрізка АВ.
Покажемо тепер, що кожна точка О площини, рівновіддале-
на від точок А і В, лежить на прямій а. Розглянемо трикутник
АОВ. Він рівнобедрений, бо АО = ВО. У ньому ОО — медіана.
За властивістю рівнобедреного трикутника медіана, проведена
до основи, є висотою. Отже, точка О лежить на прямій а. Теоре-
му доведено.
49.	МЕТОД ГЕОМЕТРИЧНИХ МІСЦЬ
Розглянемо суть методу геометричних місць, який викори-
стовується у процесі розв’язування задач на побудову. Нехай,
щоб розв’язати задачу на побудову, нам потрібно знайти якусь
точку X, що задовольняє дві умови. Геометричне місце точок,
що задовольняють першу умову, є деяка фігура Р}, а геометрич-
не місце точок, що задовольняють другу умову, є деяка фігура
Р2. Шукана точка X належить Р\ і Р2, тобто є їх точкою перети-
ну. Якщо ці геометричні місця прості (скажімо, складаються
з прямих і кіл), то можна їх побудувати і знайти точку X, яка
нас цікавить. Наведемо приклад.
§ 5. Геометричні побудови
73
Мал. 106
Ф Задача (43). Дано три точки А, В. С. Побудуйте
точку X, яка однаково віддалена від точок ЛІВІ знахо-
диться на даній відстані від точки С.
Р о з в’ я з а н н я. Шукана точка X задовольняє дві
умови. 1) однаково віддалена від точок А і В; 2) лежить
на даній відстані від точки С. Геометричне місце точок, що
задовольняють першу умову, є пряма, яка перпендикуляр-
на до відрізка АВ і проходить через його середину (мал.
106). Геометричне місце точок, шо задовольняють другу
умову, є коло даного радіуса з центром у точці С. Шукана
точка X лежить на перетині цих геометричних місць.
/	КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
•
1.	Що таке коло, центр кола, радіус?
2,	Що таке хорда кола? Яка хорда називається діаметром?
3.	Яке коло називається описаним навколо трикутника?
4.	Доведіть, що центр кола, описаного навколо трикутника,
лежить на перетині серединних перпендикулярів до сторін
трикутника.
5.	Яка пряма називається дотичною до кола?
6.	Що означає: кола дотикаються в даній точці?
7.	Який дотик кіл називається зовнішнім, який — внутріш-
нім?
8.	Яке коло називається вписаним у трикутник?
9.	Доведіть, що центр кола, вписаного у трикутник, лежить
на перетині його бісектрис,
7 клас
74
10.	Поясніть, як побудувати трикутник за трьома сторонами.
11.	Поясніть, як відкласти від даної півпрямої у дану півпло-
щину кут, що дорівнює даному куту.
12.	Поясніть, як поділити даний кут пополам.
13.	Поясніть, як поділити даний відрізок пополам.
14.	Поясніть, як через дану точку провести пряму, перпендику-
лярну до даної прямої.
15.	Що являє собою геометричне місце точок, рівновіддалених
від двох даних точок?
♦
ЗАДАЧІ
1.	Доведіть, що будь-який промінь, який виходить з центра
кола, перетинає коло в одній точці.
2.	Доведіть, що пряма, яка проходить через центр кола, пере-
тинає коло у двох точках.
3.	Доведіть, що діаметр кола, який проходить через середину
хорди, перпендикулярний до неї.
4.	Сформулюйте і доведіть теорему, обернену до твердження
задачі 3.
5.	1) 3 точки даного кола проведено діаметр і хорду, що дорів-
нює радіусу. Знайдіть кут між ними (мал. 107).
2)	3 точки даного кола проведено дві хорди, що дорівнюють
радіусу. Знайдіть кут між ними.
6.	Доведіть, що серединні перпендикуляри до двох сторін три-
кутника перетинаються.
7.	Чи може коло дотикатися до прямої у двох точках? Пояс-
ніть відповідь.
8.	Доведіть, що дотична до кола не
має з ним інших спільних точок,
крім точки дотику.
9.	Які кути утворює хорда АВ, що
дорівнює радіусу кола, з дотичною
в точці А?
10.	Знайдіть кути, під якими перети-
наються прямі, що дотикаються
до кола в кінцях хорди, яка дорів-
нює радіусу.
§ 5. Геометричні побудови
75
11.	Кола з радіусами ЗО см і 40 см дотикаються. Знайдіть від-
стань між центрами кіл у випадках зовнішнього і внутріш-
нього дотиків.
12.	Чи можуть дотикатися два кола, якщо їх радіуси дорівню-
ють 25 см і 50 см, а відстань між центрами 60 см?
ІЗ? 1) Точки А, В, С лежать на прямій, а точка О — поза пря-
мою. Чи можуть два трикутники АОВ і ВОС бути рівнобед-
реними з основами А В і ВС? Поясніть відповідь.
2) Чи можуть коло і пряма перетинатися більше, ніж у двох
точках?
14? 1) Кола з центрами О і Оі перетинаються в точках А і В.
Доведіть, що пряма А В перпендикулярна до прямої ООі
2) Доведіть, що два кола не можуть перетинатися більше,
ніж у двох точках.
15? 1) Через точку А кола з центром О проведено пряму, що не
дотикається до кола ОВ — перпендикуляр, опущений на
пряму. На продовженні відрізка А В відкладено відрізок
ВС — АВ. Доведіть, що точка С лежить на колі.
2) Доведіть, що коли пряма має з колом тільки одну спільну
точку, то вона є дотичною до кола в цій точці.
3) Доведіть, що коли два кола мають тільки одну спільну
точку, то вони дотикаються в цій точці.
16? 1) 3 однієї точки до кола проведено дві дотичні (мал. 108).
Доведіть, що відрізки ДОТИЧНИХ МР ЇМО рівні.
2)	Доведіть, що через одну точку не може проходити більше
двох дотичних до кола.
17.	Одне коло описане навколо рівностороннього трикутника,
а друге — вписано в нього. Доведіть, що центри цих кіл збі-
гаються.
7 клас
76
18.	Коло, вписане у трикутник АВС, дотикається до його
сторін у точках Аі, Ві, С< (мал. 109). Доведіть, що АСі =
_ АВ + АС - ВС
—	2
19.	Побудуйте трикутник за трьома сторонами а, Ь і с, якщо:
1) а = 2 см, Ь — 3 см, с = 4 см; 2) а — 3 см, Ь = 4 см, с —
— 5 см; 3) а — 4 см, Ь = 5 см, с — 6 см.
20.	Дано трикутник АВС. Побудуйте інший трикутник АВО, що
дорівнює йому.
21.	Побудуйте коло даного радіуса, що проходить через дві дані
точки.
22.	Побудуйте трикутник за двома сторонами і радіусом описа-
ного кола.
23.	Побудуйте трикутник АВС за такими даними:
1)	за двома сторонами і кутом між ними:
а)	АВ = 5 см,	АС = 6 см,	А А =	40°;
б)	АВ = 3 см,	ВС — 5 см,	А В =	70°;
2)	за стороною і прилеглими до неї кутами:
а)	АВ = 6 см,	А А = 30°,	АВ=	50°;
б)	АВ = 4 см,	А А = 45°,	А В —	60°.
24.	Побудуйте трикутник за двома сторонами і кутом, проти-
лежним більшій з них:
а)	а = 6 см,	Ь = 4 см,	а = 70°;
б)	а = 4 см,	Ь — 6 см,	р = 100°.
25.	Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною і
кутом при основі.
26.	Побудуйте коло, вписане в даний трикутник.
27.	Поділіть кут на чотири рівні частини.
28.	Побудуйте кути 60° і 30°.
29.	Дано трикутник. Побудуйте його медіани.
ЗО.	Побудуйте трикутник за двома сторонами і медіаною, про-
веденою до однієї з них.
31.	Побудуйте трикутник за стороною, медіаною, проведеною
до цієї сторони, і радіусом описаного кола.
32.	Побудуйте трикутник за двома сторонами і медіаною, прове-
деною до третьої сторони (мал. 110).
33.	Дано трикутник. Побудуйте його висоти.
34.	Побудуйте коло, описане навколо даного трикутника.
§ 5. Геометричні побудови
77
35.	Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і ка
тетом.
36.	Побудуйте рівнобедрений трикутник за бічною стороною і
висотою, опущеною на основу.
37.	Побудуйте трикутник за двома сторонами і висотою, спуще-
ною на третю сторону.
38.	Побудуйте трикутник за двома сторонами і висотою, опуще-
ною на одну з них.
39.	Побудуйте трикутник за стороною і проведеними до неї
медіаною та висотою.
40.	Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою і радіусом
описаного кола.
41.	Доведіть, що геометричне місце точок, віддалених від даної
прямої на відстань Л, складається з двох прямих, паралель-
них даній і віддалених від неї на Л.
42.	На даній прямій знайдіть точку, яка знаходиться на даній
відстані від другої даної прямої.
43.	Дано три точки: А, В, С. Побудуйте точку X, яка однаково
віддалена від точок А і В і знаходиться на даній відстані
від точки С.
44.	На даній прямій знайдіть течку, рівне віддалену від двох
даних точок.
45.	Дано чотири точки: А, В, С, О. Знайдіть точку X, яка одна-
ково віддалена від точок А і В і однаково віддалена від
точок С і О.
46? Побудуйте трикутник, якщо дане сторону, прилеглий до неї
кут і суму двох інших сторін (мал. 111).
7 клас
78
47? Побудуйте трикутник, якщо дано сторону, прилеглий до неї
кут і різницю двох інших сторін.
48? Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і сумою дру-
гого катета й гіпотенузи.
49? 1) 3 точки А до кола з центром О і радіусом В проведено
дотичну (мал. 112). Доведіть, що точка С дотику лежить на
основі рівнобедреного трикутника ОАВ, у якого О А = АВ,
ОВ = 2Л.
2) Проведіть дотичну до ксла, яка проходить через дану
точку поза колом.
50? Проведіть спільну дотичну до двох даних кіл (мал. 113).
Мал. 112
Мал. 113
8 клас
§ 6. ЧОТИРИКУТНИКИ
50.	ОЗНАЧЕННЯ ЧОТИРИКУТНИКА
Чотирикутником називається фігура, яка складається з
чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполуча-
ють. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на
одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні пере-
тинатись- Дані точки називаються вершинами чотирикутника,
а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника.
Л Задача (1). На малюнках 114—116 зображено три
(о » фігури, кожна з яких складається з чотирьох точок і чоти-
___І рьох відрізків, які послідовно їх сполучають, Яка з цих
фігур є чотирикутником?
Розв’язання. Чотирикутником є лише фігура на
малюнку 116, бо у фігури на малюнку 114 точки А, В, С
лежать на одній прямій, а у фігури на малюнку 115 відріз-
ки ВС і перетинаються.
Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони
є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються
протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини
чотирикутника, називаються діагоналями.
~У чотирикутнику на малюнку 117 діагоналями є відрізки
АС і ВВ.
Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, на
зиваються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільно-
го кінця, називаються протилежними сторонами.
У чотирикутнику на малюнку 117 протилежними є сторони
АВ і СІ), ВС і АВ.
Мал. 114
Мал. 115
8 клас
80
Чотирикутник позначають, записуючи його вершини. На-
приклад, чотирикутник на малюнку 117 позначають так: АВСВ.
У позначенні чотирикутника вершини, що стоять поряд, повин-
ні бути сусідніми. Чотирикутник АВСВ на малюнку 117 можна
також позначити ВСВА або ВСВА. Але не можна позначити
АВВС (В і В — не сусідні вершини).
Сума довжин усіх сторін чотирикутника називається пери-
метром.
51.	ПАРАЛЕЛОГРАМ
Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сто-
рони паралельні, тобто лежать на паралельних прямих (мал.
118).
Теорема 6.1. Якщо діагоналі чотирикутника перетина-
ються і в точці перетину діляться пополам, то цей чотирикут-
ник — паралелограм.
Доведення. Нехай АВСВ — даний чотирикутник і О —
точка перетину його діагоналей (мал. 119).
Трикутники АОВ і СОВ рівні. У них кути при вершині О
рівні як вертикальні, а ОВ = ОВ і О А = ОС за умовою теореми.
Отже, кути ОВС і ОВА рівні. А вони є внутрішніми різно-
§ 6. Чотирикутники
81
сторонніми при прямих АО і ВС і січній ВИ. За ознакою пара-
лельності прямих прямі АО і ВС паралельні. Так само доводимо
паралельність прямих АВ і СО за допомогою рівності трикутни-
ків АОВ і СОО.
Оскільки протилежні сторони чотирикутника паралельні, то
за означенням цей чотирикутник — паралелограм. Теорему
доведено.
52.	ВЛАСТИВІСТЬ ДІАГОНАЛЕЙ ПАРАЛЕЛОГРАМА
Теорема 6.2 (обернена до теореми 6.1). Діагоналі парале-
лограма перетинаються і в точці перетину діляться пополам.
Доведення. Нехай АВСО— даний паралелограм
(мал. 120). Проведемо його діагональ ВО. Позначимо її сере-
дину О і на продовженні відрізка АО відкладемо відрізок ОС і,
що дорівнює АО.
За теоремою 6.1 чотирикутник АВСуО є паралелограм. Отже,
пряма ВСі паралельна АО. Але через точку В можна провести
тільки одну пряму, паралельну АО. А це означає, що пряма
ВСі збігається з прямою ВС.
Аналогічно доводимо, що пряма ОС, збігається з прямою
ОС. Отже, точка Сі збігається з точкою С. Паралелограм АВСО
збігається з АВСД). Тому його діагоналі перетинаються і в точці
перетину діляться пополам. Теорему доведено.
ж Задача (6). Через точку перетину діагоналей пара-
Ґ6) лелограма проведено пряму. Доведіть, що відрізок її,
який міститься між паралельними сторонами, ділиться
в цій точці пополам.
Розв’язання. Нехай АВСО — даний паралело-
грам і ЕР — пряма, що перетинає паралельні сторони
АВ і СО (мал. 121). Трикутники ОАЕ і ОСЕ рівні за другою
ознакою. У них сторони О А і ОС рівні, бо О — середина
діагоналі АС. Кути при вершині О рівні як вертикальні,
Мал. 120
Мал. 121
8 клас
82
а кути ЕАО і РСО рівні як внутрішні різносторонні при
паралельних АВ, СВ і січній АС.
З рівності трикутників випливає рівність сторін:
ОЕ — ОР, що й треба було довести.
53.	ВЛАСТИВІСТЬ ПРОТИЛЕЖНИХ СТОРІН
І КУТІВ ПАРАЛЕЛОГРАМА
Теорема 6.3. У паралелограма протилежні сторони рів-
ні, протилежні кути рівні.
Доведення. Нехай АВСВ — даний паралелограм
(мал. 122). Проведемо діагоналі паралелограма. Нехай О —
точка їх перетину.
Рівність протилежних сторін АВ і СО випливає з рівності
трикутників АОВ і СОВ. У них кути при вершині О рівні як
вертикальні, а О А = ОС і ОВ = ОВ за властивістю діагоналей
паралелограма. Так само з рівності трикутників АОВ і СОВ
випливає рівність другої пари протилежних сторін — АВ і ВС.
Рівність протилежних кутів АВС і СВА випливає з рівності
трикутників АВС і СВА (за трьома сторонами). У них АВ = СВ
і ВС — ВА за доведеним, а сторона АС спільна. Так само рів-
ність протилежних кутів ВСВ і ВАВ випливає з рівності трикут-
ників ВСВ і ВАВ. Теорему доведено.
ФЗа дача (18). Доведіть, що коли в чотирикутнику дві
сторони паралельні й рівні, то він — паралелограм.
Розв’язання. Нехай АВСВ — даний чотирикут-
ник, у якого сторони АВ і СВ паралельні і рівні (мал. 123).
Проведемо через вершину В пряму Ь, паралельну стороні
АВ. Ця пряма перетинає промінь ВС у деякій точці Сі.
Чотирикутник АВСіВ є паралелограм. Оскільки у парале-
лограма протилежні сторони рівні, то С|О = АВ. А за
умовою АВ = СВ. Отже, ВС = ВС\ Звідси випливає, що
точки С і Сі збігаються. Таким чином, чотирикутник
АВСВ збігається з паралелограмом АВС\В, а це означає,
що він теж є паралелограм.
§ 6. Чотирикутники
83
54.	ПРЯМОКУТНИК
Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі
(мал. 124).
Теорема 6.4. Діагоналі прямокутника рівні.
Доведення. Нехай АВСО — даний прямокутник (мал.
125).
Твердження теореми випливав з рівності прямокутних три-
кутників ВАО і СОА. У них кути ВАО і СОА прямі, катет АО
спільний, а катети АВ і СО рівні як протилежні сторони пара-
лелограма. З рівності трикутників випливав, що їх гіпотенузи
рівні. А гіпотенузи в діагоналями прямокутника. Теорему дове-
дено.
Мал. 124
Задача (24). Доведіть, що
коли у паралелограма всі кути
рівні, то він є прямокутником.
Розв’язання. Кути пара-
лелограма, прилеглі до однієї
сторони, в внутрішніми односто-
ронніми (мал. 126), тому їх сума
дорівнює 180°. Оскільки за умо-
вою задачі ці кути рівні, то
Мал. 126
кожний з них прямий. А паралелограм, у якого всі кути
прямі, в прямокутником.
55.	РОМБ
Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні (мал.
127).
Теорема 6.5. Діагоналі ромба перетинаються під прямим
кутом. Діагоналі ромба е бісектрисами його кутів.
Доведення. Нехай АВСО — даний ромб (мал. 127), О —
точка перетину його діагоналей. За властивістю паралелограма
АО = ОС. Отже, у трикутнику АВС відрізок ВО є медіаною.
8 клас
84
Оскільки АВСО — ромб, то АВ — ВС і трикутник АВС — рів-
нобедрений. За властивістю рівнобедреного трикутника медіа-
на, проведена до його основи, е бісектрисою і висотою. А це
означає, що діагональ ВВ е бісектрисою кута В і перпендикуляр-
на до діагоналі АС. Теорему доведено.
в. Задача (33). Доведіть, що коли у паралелограма
ЛАЛ діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом.
5 і Розв’язання. Нехай АВСВ — паралелограм, діа-
гоналі якого перпендикулярні, і О — точка перетину діаго-
налей (мал. 128). Трикутники АОВ і АОВ рівні за першою
ознакою рівності трикутників. У них кути при вершині О
за умовою прямі, сторона АО спільна, а ОВ — ОВ за
властивістю діагоналей паралелограма. З рівності трикут-
ників випливав рівність сторін АВ — АВ. А за властивістю
протилежних сторін паралелограма АВ = ВС, АВ — СВ.
Отже, всі сторони паралелограма рівні, тобто він є ромбом.
56.	КВАДРАТ
Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні (мал.
129). Оскільки сторони квадрата рівні, то він є ромбом. Тому
квадрат має властивості прямокутника і ромба:
§ 6. Чотирикутники
85
Мал. 129
1.	У квадрата всі кути прямі.
2.	Діагоналі квадрата рівні.
3.	Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом і є
бісектрисами його кутів.
ФЗ а д а ч а (40). Доведіть, що коли діагоналі прямокут-
ника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом.
Розв’язання. Оскільки прямокутник є паралело-
грам, а паралелограм з перпендикулярними діагоналями
є ромб (задача 33), то у розглядуваного прямокутника
всі сторони рівні (мал. 130). За означенням такий прямо-
кутник — квадрат.
57.	ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
Теорема 6.6 (теорема Фалеса). Якщо паралельні прямі,
які перетинають сторони кута, відгинають на одній його сторо-
ні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій
його стороні (мал. 131).
Доведення. Нехай А і, Ач, А3 — точки перетину пара-
Мал. 131
8 клас
86
Фалес Мілетський —
давньогрецький учений
(VI ст. до н. е.)
лельних прямих з однією із сторін кута
і А2 лежить між Аі і Аз (мал. 131). Нехай
В і, В2, В з — відповідні точки перетину
цих прямих з другою стороною кута.
Доведемо, що коли А і А 2 = А 2-А з, то
В\В2 — В2Вз.
Проведемо через точку В2 пряму ЕЕ,
паралельну прямій А і Аз. За властивістю
паралелограма А\А2=ЕВ2, АгАз =
= В2Е. Оскільки АіАг = А2А3, то
ЕВ2 = В2Е.
Трикутники В2В\Е і В2ВзЕ рівні за
другою ознакою. У них В2Е = В2Е за
доведеним. Кути при вершині В? рівні
як вертикальні, а кути В2ГВ\ і В2ЕВ3 рів-
ні як внутрішні різносторонні при
паралельних прямих А3В3 і А\В\ і січ-
ній ЕЕ. З рівності трикутників випли-
ває рівність сторін: В1В2 = В2Вз. Тео-
рему доведено.
Зауваження. В умові теореми Фалеса замість сторін
кута можна взяти довільні дві прямі, при цьому висновок
теореми буде таким самим:
паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі і відтина-
ють на одній прямій рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і
на другій прямій.
Інколи теорема Фалеса використовуватиметься і в такій
формі.
.Ж Задача (48). Поділіть даний відрізок АВ на п. рівних
(А) частин.
Мал. 132
§ 6. Чотирикутники
87
Розв’язання. Проведемо з точки А півпряму а,
що не лежить на прямій АВ (мал. 132). Відкладемо на
півпрямій а рівні відрізки: АА;, А |А2, А2Аз, ..., Ап-іАп.
Сполучимо точки А„ і В. Проведемо через точки А], Аз, ....
А„_і прямі, паралельні прямій А-В- Вони перетнуть відрі-
зок АВ у точках Вь В2, ..., Вл_|, що ділять відрізок АВ на
п рівних відрізків (за теоремою Фалеса).
58.	СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА
Середньою лінією трикутника називається відрізок, який
сполучає середини двох його сторін.
Теорема 6.7. Середня лінія трикутника, яка сполучає
середини двох даних сторін, паралельна третій стороні і дорів-
нює її половині.
Доведення. Нехай ВЕ — середня лінія трикутника
АВС (мал. 133). Проведемо через точку В пряму, паралельну
стороні АВ. За теоремою Фалеса вона перетне відрізок АС в його
середині, тобто містить середню лінію ВЕ. Отже, середня лінія
ВЕ паралельна стороні АВ.
Проведемо тепер середні© лінію ВР. Вона паралельна стороні
АС. Чотирикутник АЕВР— паралелограм. За властивістю
паралелограма ЕВ — АР, а через те, що за теоремою Фалеса
АР — РВ, то ЕВ = -~АЯ. Теорему доведено.
ЛІ Задача (55). Доведіть, що середини сторін чотири-
і ' \ чутника є вершинами паралелограма.
Розв’язання. Нехай АВСВ — даний чотирикут-
ник і Е, Р, О, Н — середини його сторін (мал. 134). Відрі-
зок ЕР — середня лінія трикутника АВС. Тому ЕР || АС.
Відрізок СН — середня лінія трикутника АВС. Тому СН ||
АС. Отже, ЕР |І СН, тобто протилежні сторони ЕР і СН
8 клас
88
чотирикутника ЕЕСН паралельні. Так само доводимо
паралельність другої пари протилежних сторін. Отже,
чотирикутник ЕЕСН — паралелограм.
5». ТРАПЕЦІЯ
Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві
протилежні сторони паралельні. Ці паралельні сторони нази-
ваються основами трапеції. Дві інші сторони називаються
бічними сторонами.
На малюнку 135 бачимо трапецію АВСВ з основами АВ і
СВ і бічними сторонами ВС і АВ.
Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною.
Відрізок, який сполучає середини бічних сторін, називається
середньою лінією трапеції.
С 0	в	С
Мал. 135	Мал. 136
Теорема 6.8. Середня лінія трапеції паралельна основам
і дорівнює їх півсумі.
Доведення. Нехай АВСВ — дана трапеція (мал. 136).
Проведемо через вершину В і середину Р бічної сторони СВ пря-
му. Вона перетинає пряму АВ у деякій точці Е.
Трикутники РВС і РЕВ рівні за другою ознакою рівності
трикутників. У них СР = ВР за побудовою, кути при вершині Р
рівні як вертикальні, а кути РСВ і РВЕ рівні як внутрішні різно-
сторонні при паралельних прямих ВС і АВ і січній СВ. З рівно-
сті трикутників випливав рівність сторін РВ = РЕ, ВС = ЕВ.
Отже, середня лінія РС} трапеції є середньою лінією трикут-
ника АВЕ. За властивістю середньої лінії трикутника РІ} || АЕ
і відрізок Р(} — -^-АЕ = ±-{АВ + ВС). Теорему доведено.
А. Задача (60). Доведіть, що у рівнобічній трапеції
ґ 4 ) кути при основі рівні.
Розв’язання. Нехай АВСВ — рівнобічна трапеція
(мал. 137). Доведемо, що кути трапеції при основі СВ
рівні.
Проведемо через вершину В пряму, паралельну стороні
§ 6. Чотирикутники
89
АО. Вона перетне промінь ОС
у деякій точці Е. Чотирикутник
АВЕО — паралелограм. За влас-
тивістю паралелограма ВЕ =
= АО. За умовою АО — ВС
(трапеція рівнобічна), отже, три-
кутник ВСЕ рівнобедрений з
основою ЕС. Кути трикутника
Мал. 137
і трапеції при вершині С збігаються, а кути при вершинах
Е і О рівні як відповідні кути при перетині паралельних
прямих січною. Тому /- АОС — А. ВСО. Твердження
доведено.
60. ТЕОРЕМА ПРО ПРОПОРЦІЙНІ ВІДРІЗКИ
Теорема 6.9. Паралельні прямі, які перетинають сторони
кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.
Доведення. Нехай сторони кута А перетинають пара-
лельні прямі — у точках В, С і Ві, С, відповідно (мал. 138).
Теорема стверджує, що
АСі  АВі	/ .
АС ~ АВ'	1 '
Доведемо спочатку рівність (♦) для випадку, коли існує від-
різок такої довжини 6, який можна відкласти ціле число разів
і на відрізку АС і на відрізку АСі. Нехай АС — пб, АСі = /пб
і п > т. Розіб’ємо відрізок АС на п рівних частин (довжиною б).
При цьому точка Сі буде однією з точок поділу. Проведемо через
точки поділу прямі, паралельні прямій ВС. За теоремою Фалеса
ці прямі розбивають відрізок АВ на рівні відрізки деякої довжи-
ни бі. Маємо:
АВ = пбі і АВі — тпбі.
Бачимо, що
Мал. 138
Мал. 139
8 клас
90
Отже,
АС, _ АВ,
АС ~ АВ ’
що й треба було довести.
Доведемо теорему для загального випадку (не для запам’я-
АС
Відкладемо на промені АС відрізок АС2 —	• АВі (мал.
139). При цьому АС2 < АСі. Розіб’ємо відрізок АС на велику
кількість п рівних частин і проведемо через точки поділу прямі,
паралельні ВС.
При досить великому п на відрізку С]Сг будуть точки поділу.
Позначимо одну з них через У, а відповідну точку на відрізку
АВ\ через X. Як було доведено,
АГ АХ
АС ~ АВ'
Замінимо у цій рівності величину АУ на меншу величину
АС?, а величину АХ — на більшу АВі. Дістанемо:
АСг АВ]
АбГ^ АВ’
Звідси АС2 <	• АВі- Але АС2 =	• АВ,.
АВ	АВ
Ми прийшли до суперечності. Теорему доведено.
61. ПОБУДОВА ЧЕТВЕРТОГО
пропорційного відрізка
Задача 6.1. Дано відрізки а, Ь, с. Побудувати відрізок
Ьс
х = —.
а
Розв’язання. Будуємо довільний нерозгорнутий кут
з вершиною О (мал. 140). Відкладаємо на одній стороні кута
відрізки О А = а і ОВ — Ь, на другій стороні — відрізок ОС —
— с. Сполучаємо точки А і С прямою і через точку В проводимо
паралельну їй пряму ВВ. Відрізок ОИ — х.
Мал. 140
§ 6. Чотирикутники
91
Справді, за теоремою про пропорційні відрізки
Ол _ ОС
ОВ ОО'
Звідси
ОО — — • ОС — —
ОА а ‘
Таким чином, відрізок Ой є шуканим відрізком х.
Зауваження. Побудований відрізок х називається
четвертим пропорційним Ця назва зумовлена тим, що він є
четвертим членом пропорції а : Ь = с : х.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
Ф
1.	Яка фігура називається чотирикутником?
2.	Які вершини чотирикутника називаються сусідніми? Які
називаються протилежними’
3.	Що таке діагоналі чотирикутника?
4.	Які сторони чотирикутника називаються сусідніми? Які
називаються протилежними?
5.	Як позначається чотирикутник?
6.	Що таке паралелограм?
7.	Доведіть, що коли діагоналі чотирикутника перетинаються
і в точці перетину діляться пополам, то зін є паралело-
грамом.
8.	Доведіть, що діагоналі паралелограма перетикаються і в
точці перетину діляться пополам.
9.	Доведіть, що у паралелограмі протилежні сторони рівні,
протилежні кути рівні.
10.	Що таке прямокутник?
11.	Доведіть, що діагоналі прямокутника рівні.
12.	Що таке ромб?
13.	Доведіть, що діагоналі ромба перетинаються під прямим
кутом; діагоналі ромба є бісектрисами його кутів.
14.	Що таке квадрат? Перелічіть властивості квадрата.
15.	Доведіть теорему Фалеса.
16.	Доведіть, що середня лінія трикутника дорівнює половині
відповідної сторони.
17.	Який чотирикутник називається трапецією?
18.	Яка трапеція називається рівнобічною?
19.	Доведіть, шо середня лінія трапеції дорівнює півсумі основ.
20.	Доведіть теорему про пропорційні відрізки.
ф	ЗАДАЧІ
1.	На малюнках 114—116 подано три фігури, кожна з яких
складається з чотирьох точск і чотирьох відрізків, що по-
слідовно сполучають ці точки. Яка з цих фігур є чотири-
кутником?
8 клас
92
2.	Побудуйте довільний чотирикутник	Покажіть його
протилежні сторони та вершини.
3.	Скільки можна побудувати паралелограмів з вершинами у
трьох даних точках, які не лежать на одній прямій? По-
будуйте їх.
4.	Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 5 м.
З точки, взятої на основі цього трикутника, проведено дві
прямі, паралельні бічним сторонам. Знайдіть периметр ут-
вореного паралелограма.
5.	Відстань від точки перетину діагоналей паралелограма до
двох його вершин дорівнює 3 см і 4 см. Чому дорівнює
відстань від неї до двох інших вершин? Поясніть від-
повідь.
6.	Через точку перетину діагоналей паралелограма проведено
пряму. Доведіть, що відрізок цієї прямої, який знаходиться
між паралельними сторонами, ділиться в цій точці по-
полам.
7.	У паралелограмі АВСО через точку перетину діагоналей
проведено пряму, яка відтинає на сторонах ВС і АВ відрізки
ВЕ = 2 м і АЕ — 2,8 м. Знайдіть сторони ВС і АО.
8.	У паралелограмі АВСО АВ = 10 см, ВС — 15 см. Чому
дорівнюють сторони АО і СО? Поясніть відповідь.
9.	У паралелограмі АВСО А А = 30°. Чому дорівнюють кути
В, С, О? Поясніть відповідь.
10.	Периметр паралелограма АВСО дорівнює 10 см. Знайдіть
довжину діагоналі ВО, знаючи, що периметр трикутника
АВО дорівнює 8 см.
11.	Один з кутів паралелограма дорівнює 40°. Знайдіть інші
кути.
12.	Знайдіть кути паралелограма, знаючи, що один з них біль-
ший від другого на 50°.
13.	Чи може один з кутів паралелограма дорівнювати 40°, а
другий — 50° ?
14.	Діагональ паралелограма утворює з двома його сторонами
кути 25° і 35°. Знайдіть кути паралелограма.
15.	Знайдіть усі кути паралелограма, якщо сума двох із них
дорівнює: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.
16.	Знайдіть усі кути паралелограма, якщо різниця двох із них
дорівнює: 1) 70°; 2) 110°; 3) 140°.
17.	У паралелограмі АВСО точка Е — середина сторони ВС,
а Е — середина сторони АО. Доведіть, що чотирикутник
ВЕОЕ — паралелограм.
18.	Доведіть, що коли у чотирикутнику дві сторони паралельні
і рівні, то він є паралелограмом.
19.	У паралелограмі АВСО проведено бісектрису кута А, яка
перетинає сторону ВС у точці Е. Чому дорівнюють відрізки
ВЕ і ЕС, якщо АВ = 9 см, АО =15 см?
§ 6. Чотирикутники
93
20.	Дві сторони паралелограма відносяться, як 3 : 4, а периметр
його дорівнює 2,8 м. Знайдіть сторони.
21.	У паралелограмі АВСО перпендикуляр, опущений з верши
ви В на сторону АО, ділить її пополам. Знайдіть діагональ
ВО і сторони паралелограма, коли відомо, що периметр
паралелограма дорівнює 3,8 м, а периметр трикутника АВО
дорівнює 3 м.
22.	Побудуйте паралелограм; 1) за двома сторонами і діаго-
наллю; 2) за стороною і двома діагоналями.
23.	Побудуйте паралелограм; 1) за двома сторонами і кутом;
2) за діагоналями і кутом між ними.
24.	Доведіть, що коли у паралелограмі всі кути рівні, то він є
прямокутником.
25.	Доведіть, що коли у паралелограмі хоча б одик кут прямий,
то він є прямокутником.
26.	Доведіть, що коли у паралелограмі діагоналі рівні, то він є
прямокутником.
27.	Бетонна плита з прямолінійними сторонами повинна мати
форму прямокутника. Як за допомогою мотузки перевірити
правильність форми плити?
28.	Бісектриса одного з кутів прямо» утника ділить його сторону
пополам. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його
менша сторона дорівнює 10 см.
29.	У прямокутнику точка перетину діагоналей знаходиться
від меншої сторони на 4 см далі, ніж від більшої сторони.
Периметр прямокутника дорівнює 56 см. Знайдіть сторони
прямокутника.
ЗО.	З однієї точки кола проведено дві взаємно перпендикулярні
хорди, віддалені від центра на 6 см і 10 см. Знайдіть їх
довжини.
31.	У прямокутний трикутник, кожний катет якого дорівнює
6 см, вписано прямокутник, який має з трикутником спіль-
ний кут (мал. 141). Знайдіть периметр прямокутника.
32.	У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямо
кутник так, що дві його вершини лежать на гіпотенузі,
а дві інші — на катетах (мал. 142). Чому дорівнюють сто-
Мал. 141
Мал 142
8 клас
94
рони прямокутника, коли відомо, що вони відносяться, як
5 : 2, а гіпотенуза трикутника дорівнює 45 см?
33.	Доведіть, що коли у паралелограмі діагоналі перпендику-
лярні, то він є ромбом.
34.	Доведіть, що коли діагональ паралелограма є бісектрисою
його кутів, то він є ромбом.
35.	Кути, утворені діагоналями ромба з однією з його сторін,
відносяться, як 4 : 5. Знайдіть кути ромба.
36.	Доведіть, що чотирикутник, у якого всі сторони рівні, є
ромбом.
37.	У ромбі одна з діагоналей дорівнює стороні. Знайдіть кути
ромба.
38.	Побудуйте ромб: 1) за кутом і діагоналлю, яка виходить з
вершини цього кута; 2) за діагоналлю і протилежним
кутом.
39.	Побудуйте ромб: 1) за стороною і діагоналлю; 2) за двома
діагоналями.
40.	Доведіть, що коли діагоналі прямокутника перетинаються
під прямим кутом, то він є квадратом.
41.	У рівнобедрений прямокутний трикутник, кожен катет яко-
го 2 м, вписано квадрат, що має з ним спільний кут. Знай-
діть периметр квадрата.
42.	Дано квадрат АВСО. На кожній з його сторін відкладено
рівні відрізки: ААі — ВВ\ — ССі = ОБ\. Доведіть, що чо-
тирикутник А|ВіСі£>і — квадрат (мал. 143).
43.	Діагональ квадрата дорівнює 4 м. Сторона його дорівнює
діагоналі другого квадрата. Знайдіть сторону другого квад-
рата.
44.	Дано квадрат, сторона якого 1 м, діагональ його дорівнює
стороні другого квадрата. Знайдіть діагональ другого
квадрата.
45.	У квадрат вписано прямокутник так, що на кожній стороні
квадрата знаходиться одна вершина прямокутника і сторо-
Мал. 143
Мал. 144
§ 6. Чотирикутники
95
ни прямокутника паралельні діагоналям квадрата (мал.
144). Знайдіть сторони прямокутника, знаючи, що одна з
них удвічі більша від другої, а діагональ квадрата дорів-
нює 12 м.
46.	У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат
так, що дві його вершини знаходяться на гіпотенузі, а дві
інші — на катетах. Знайдіть сторону квадрата, коли відомо,
що гіпотенуза дорівнює 3 м.
47.	З даної точки проведено до кола радіусом 10 см дві взаємно
перпендикулярні дотичні. Знайдіть довжини дотичних
(відстань від даної точки до точки дотику).
48.	Поділіть даний відрізок АВ па п рівних частин.
49.	Поділіть даний відрізок на таку кількість рівних частин:
1) 3; 2) 5; 3) 6.
50.	Сторони трикутника дорівнюють 8 см, 10 см, 12 см. Знай-
діть сторони трикутника, вершинами якого є середини
сторін даного трикутника.
51.	Периметр трикутника дорівнює 12 м, середини сторін спо-
лучено відрізками. Знайдіть периметр утвореного трикут-
ника.
52.	Середня лінія рівнобедреного трикутника, паралельна осно-
ві, дорівнює 3 см. Знайдіть сторони трикутника, якщо його
периметр становить 16 см.
53.	Як побудувати трикутник, якщо дано середини його сто-
рін?
54.	Доведіть, що вершини трикутника рівновіддалені від пря-
мої, яка проходить через середини двох його сторін.
55.	Доведіть, що середини сторін чотирикутника є вершинами
паралелограма.
56.	Знайдіть сторони паралелограма з попередньої задачі,
якщо діагоналі чотирикутника дорівнюють 10 м і 12 м.
57.	У чотирикутнику діагоналі дорівнюють а і Ь. Знайдіть пери-
метр чотирикутника, вершинами якого є середини сторін
даного чотирикутника.
58.	Доведіть, що середини сторін прямокутника с вершинами
ромба. І навпаки, середини сторін ромба є вершинами
прямокутника.
59.	Бічну сторону трапеції поділено на три рівні частини і
через точки поділу проведено до другої сторони відрізки,
паралельні основам. Знайдіть довжини цих відрізків, якщо
основи трапеції дорівнюють 2 м і 5 м.
60.	Доведіть, що в рівнобічній трапеції кути при основі рівні.
61.	Чому дорівнюють кути рівнобічної трапеції, якщо різниця
протилежних її кутів дорівнює 40°?
62.	У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 2,7 м, бічна
сторона 1 м, а кут між ними 60е. Знайдіть меншу основу.
63.	У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого
8 клас
96
Мал. 146
кута, ділить більшу основу на відрізки 6 см і ЗО см. Знай-
діть основи трапеції.
64* Менша основа рівнобічної трапеції дорівнює бічній стороні,
а діагональ перпендикулярна до бічної сторони (мал. 145).
Знайдіть кути трапеції.
65.	З одного боку від прямої а дано дві точки А і £ на відстані
10 м і 20 м від неї. Знайдіть відстань від середини відрізка
АВ до прямої а.
66.	З різних боків від прямої а дано дві точки А і В на відстанях
10 см і 4 см від неї. Знайдіть відстань від середини відрізка
АВ до прямої а.
67.	Основи трапеції відносяться, як 2 : 3, а середня лінія дорів-
нює 5 м. Знайдіть основи.
68.	Кінці діаметра віддалені від дотичної до кола на 1,6 м і
0,6 м. Знайдіть довжину діаметра.
69.	Середня лінія трапеції дорівнює 7 см, а одна з її основ
більша від другої на 4 см. Знайдіть основи трапеції.
70.	Висота, проведена з вершини тупого кута рівнобічної трапе-
ції, ділить більшу основу на частини, що мають довжини а
і Ь (а > Ь). Знайдіть середню лінію трапеції.
71? Побудуйте трапецію за основами і бічними сторонами.
72? Побудуйте трапецію за основами і діагоналями.
73? Дано відрізки а, Ь, с, (і, е. Побудуйте відрізок х —
74? 1) У трикутнику АВС проведено медіани АА; є ВВі, які
перетинаються в точці М (мал. 146). У трикутнику АМВ
проведено середню лінію РЦ. Доведіть, що чотирикутник
А\В\Рф — паралелограм.
2) Доведіть, що дві довільні медіани трикутника точкою
перетину діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вер-
шини.
3) Доведіть, що всі три медіани трикутника перетинаються
в одній точці.
§ 7. Теорема Піфагора
97
§ 7.	ТЕОРЕМА ПІФАГОРА
62.	КОСИНУС КУТА
Косинусом гострого кута прямокутного трикутника назива-
ється відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Косинус кута а позначається так: соз а. На малюнку 147
зображено прямокутний трикутник АВС з кутом А, який дорів-
нює а. Косинус кута а дорівнює відношенню катета АС, при-
леглого до цього кута, до гіпотенузи АВ, тобто
АС
Теорема 7.1. Косинус кута залежить тільки від градус-
ної міри кута і не залежить від розміщення і розмірів трикут-
ника.
Це означає, що у двох прямокутних трикутників з одним
і тим самим гострим кутом косинуси цього кута рівні.
Доведення. Нехай АВС і А'В'С'— два прямокутні
трикутники з одним і тим самим кутом при вершинах А і А',
який дорівнює а (мал. 148). Треба довести, що
А'С' _ АС
А'В' — АВ'
Побудуємо трикутник АВ\С\, який дорівнює трикутнику
А'В'С' так, як показано на малюнку 148. Оскільки прямі ВС
і В\С\ перпендикулярні до прямої АС, то вони паралельні. За
теоремою про пропорційні відрізки маємо:
АС, _ АС
АВ, — АВ'
А через те що за побудовою АС і = А'С', АВі = А'В',
то
А’С _ АС
А'В' ~ АВ'
Теорему доведено.
4 Геометрія, 7-9 кл.
в клас
98
63.	ТЕОРЕМА ПІФАГОРА
Теорема 7.2 (теорема Піфагора). У прямокутному три-
кутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.
Доведення. Нехай АВС — даний прямокутний трикут-
ник з прямим кутом С. Проведемо висоту СО з вершини прямого
кута С (мал. 149).
.	Л'
За означенням косинуса кута соз А = -777 = -т-р.
Звідси АВ • АО — АС2. Аналогічно соз В =	Звідси
АВ • В О = ВС2. Додавши рівності почленно і врахувавши, що
АО + ОВ = АВ, дістанемо:
АС‘ 4 ВС2 = АВ(АО + ОВ} = АВ2.
Теорему доведено.
З теореми Піфагора випливав, що в прямокутному трикут
нику будь-який з катетів менший за гіпотенузу. Звідси, в свою
чергу, випливав, що сов а < 1 для будь-якого гострого кута а.
л Задача (11). Знайдіть медіану рівнобедреного три-
9 кутника з основою а і бічною стороною Ь, проведену до
> І основи.
Розв’язання. Нехай АВС —
рівнобедрений трикутник з основою
АВ і СО — його медіана, проведена до
основи (мал. 150). Як відомо, медіана
рівнобедреного трикутника, проведена
до основи, є висотою. Тому трикутник
АСО прямокутний з прямим кутом О.
За теоремою Піфагора АО2 4 СО1 =
= АС2, (4 ) 4- со2 = Ь2. Звідси СО=
— Ил І а V
Мал. 150
§ 7. Теорема ІІіфагора
99
64.	ЄГИПЕТСЬКИЙ ТРИКУТНИК
Л. Задача (17). Доведіть, що коли у
(о) трикутнику сторони а, Ь, с і а -}- Ь2 = с2,
\_І то кут трикутника, протилежний стороні
с, прямий.
Р о з в’ я з а н н я. Нехай АВС — да-
ний трикутник, у якого АВ = с, АС = а,
ВС = Ь (мал. 151). Побудуймо прямокут
ний трикутник А іВіСі з катетами А )Сі =
= а і ВІСІ = Ь. За теоремою Піфагора
його гіпотенуза А,В> = \аг+ Ь‘ = с.
Таким чином, трикутники АВС і А іВіСі
рівні за третьою ознакою. З рівності
Піфагор — давньо-
грецький учений
трикутників випливає, що кут трикут- (VI СТ. до н. е.)
ника АВС при вершині С прямий.
Землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута
користувались таким способом. Мотузок ділили вузлами на 12
рівних частин і кінці зв’язували. Потім мотузок розтягували на
землі так, щоб утворився трикутник із сторонами 3, 4 і 5 поді-
лок. Кут трикутника, протилежний до сторони, яко має 5 поді-
лок, був прямий (3‘ + 4: = б2). У зв’язку з таким способом
побудови прямого кута трикутник із сторонами 3, 4, 5 од. інколи
називають єгипетським.
65.	ПЕРПЕНДИКУЛЯР 1 ПОХИЛА
Н>-хай В А — перпендикуляр, опущений з точки В на пряму
а, і С — будь-яка точка прямої а, відмінна від А. Відрізок ВС
називається похилою, проведеною з точки В до прямої а (мал.
152). Точка С називається основою похилої Відрізок АС назива-
ється проекцією похилої.
З теореми Піфагора випливає, що коли з даної точки до пря-
мої проведено перпендикуляр і похилі, то будь-яка похила
8 клас
100
більша від перпендикуляра, рівні похилі мають рівні проекції,
з двох похилих більша та, у якої проекція більша.
Справді, за теоремою Піфагора А В2 + АС2 = ВС'2 (мал. 152).
Звідси бачимо, що ВС > АВ. При даному АВ чим більша АС,
тим більша ВС.
УК Задача (19). На стороні АВ трикутника АВС взято
точку X. Доведіть, що відрізок СХ менший принаймні від
однієї із сторін АС чи ВС
Р о з в язання. Проведемо висоту СВ трикутника.
У будь-якому випадку відрізок ЛХ менший або від АЛ
(мал. 153, а), або від ВО (мал. 153, б). За властивістю похи
лих, проведених з однієї точки, випливає, що відрізок СХ
менший принаймні від одного з відрізків АС або ВС. Що
й треба було довести.
Мал. 152
66.	НЕРІВНІСТЬ ТРИКУТНИКА
Якщо точки А і В різні, то відстанню між ними називається
довжина відрізка АВ. Якщо точки А і В збігаються, то вважа-
ють, що відстань між ними дорівнює нулю.
Теорема 7.3 (нерівність трикутника). Які б не були
три точки, відстань між будь-якими двома з цих точок не більша
від суми відстаней від них до третьої точки.
Це означає, що кожна з цих відстаней менша або дорівнює
сумі двох інших.
Доведення. Нехай А, В, С — три дані точки. Якщо дві
точки з трьох або всі три збігаються, то твердження теореми
очевидне.
Якщо ж усі точки різні й лежать на одній прямій, то одна з
них лежить між двома іншими, наприклад, В. У цьому випадку
АВ 4- ВС — АС. Звідси бачимо, що кожна з трьох відстаней не
більша від суми двох інших.
§ 7. Теорема Піфагора
101
А
Припустимо тепер, що точки не лежать на одній прямій (мал.
154). Доведемо, що А В < АС ВС. Опустимо перпендикуляр
СВ на пряму АВ, За доведеним АВ АВ -- ВВ. Через те що
АВ < АС і ВВ < ВС, то АВ < АС т ВС. Теорему доведено
Зауважимо, що у випадку, коли точки не лежать на одній
прямій, нерівність трикутника — строга нерівність. Звідси ви-
пливає, що в будь-якому трикутнику кожна сторона менша за
суму двох інших сторін.
Задача (23), Доведіть, що будь-яка хорда кола не
більша за діаметр і дорівнює діаметру тільки тоді, коли
сама є діаметром.
Розв'язання (мал. 155). За нерівністю трикутника
АВ =57 ОА + ОВ = 2В, причому, коли центр О не лежить
на відрізку АВ, то нерівність строга. Рівність буде тільки
тоді, коли хорда проходить через центр, тобто є діаметром.
67, СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ СТОРОНАМИ
І КУТАМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА
Нехай АВС — прямокутний трикутник з прямим кутом С і
гострим кутом при вершині А, що дорівнює а (мал. 156). За
означенням соз а дорівнює відношенню катета, прилеглого до
кута а, до гіпотенузи.
Синусом кута а (позначають зіп а) називається відношення
протилежного катета ВС до гіпотенузи АВ, тобто
ВС
ЗІПа = АВ'
Тангенсом кута а (позначають а) називається відношення
протилежного катета ВС до прилеглого катета АС, тобто
вс
^а^АС-
Синус і тангенс кута, так само як і косинус, залежать тільки
від величини кута.
8 клас
102
Справді, за теоремою Піфагора
ВС = -^АВ" - АС?.
За означенням
ВС
8іп а = —.
Підставимо значення ВС:
^АВ^-?А(?	/’ (АС V
81Па=—АВ------ =	=
= д/1 — соє <г.
Оскільки соя а залежить тільки від величини кута, то й зіп а
теж залежить тільки від величини кута-
За означенням
ВС
^а=АС'
Поділимо чисельник і знаменник на А В:
,	_ВС . АС  віп а
 АВ ' АВ	сов а ‘
Звідси бачимо, що і а залежить тільки від величини кута.
З означень зіп а, соя я, Т£ а дістанемо такі правила:
Катет, протилежний куту а., дорівнює добутку гіпотенузи
на зіп а.
Катет, прилеглий до кута а, дорівнює добутку гіпотенузи
на сов а.
Катет, протилежний куту а, дорівнює добутку другого
катета на а.
Ці правила дають можливість за однією із сторін прямокут-
ного трикутника і гострим кутом знаходити дві інші сторони; а
за двома сторонами знаходити гострі кути (мал. 157).
ФЗа дача (47). У прямокутному трикутнику дано гіпо-
тенузу с і гострий кут а. Знайдіть катети, їх проекції на
гіпотенузу і висоту, опущену на гіпотенузу.
Розв’язання (мал. 158). АС = АВ сов а — с сов а,
ВС — АВ зіп а = с зіп а; ВВ — ВС зіп а с зіп? а;
АО = АС сов а = с сов2 а; СО = АС віп а = с віп а соя а.
Мал. 167
Мал. 158
§ 7. Теорема Піфагора
103
Для зіп а, сов а, а складено спеціальні таблиці, які дають
можливість для даного кута а знайти зіп а, сов а і а або за
значенням зіп а, соз а, а знайти відповідний кут. Зараз
для цього звичайно використовують мікрокалькулятори.
68. ОСНОВНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ТОТОЖНОСТІ
Одну тотожність ви вже знаєте:
.	зіп а
а = ----.
соя а
Доведемо ще такі тотожності:
зіп2 а + соз2 а = 1,	1 + і£2а =
1 + -1- =-^.
сов2 а	ІЗ2 а зіп2 а
Візьмемо довільний прямокут-
ний трикутник АВС з кутом при
вершині А, що дорівнює а
(мал. 159). За теоремою Піфагора:
ВС2 + АС2 = АВ2.
Поділимо обидві частини рівності на АВ2. Дістанемо:
А ВС	.АС	_
Але -т-^=	зіп а, -Г77	= соз а.	Таким	чином,
Аіз	Аі5
зіп2 а + соз2 а = 1.
Ця рівність є тотожністю. Вона правильна для будь-якого
гострого кута а.
Щоб довести другу тотожність, поділимо обидві частини
виведеної тотожності на соз2 а. Дістанемо:
і2 а .	,	1 ^чіх2	і
т--Ь 1 = —5—» або 1 + а = —5—.
і а	соз а	1	° сов а.
Якщо обидві частини тотожності зіп2 а + соз2 а = 1 поділи-
ти на зіп а, то дістанемо третю тотожність:
1+ * =-Л-.
18 а зіп а
Значення цих тотожностей полягає в тому, що вони дають
можливість за однією з величин зіп а, соз а чи а знайти дві
інші.
1К Задача 63. Обчисліть значення зіп а і а, якщо
\_?со8а = А-
8 клас
104
Розв’язання. Оскільки зіп' а + сов а — 1, то
/—— г /ї / 5 V 12	, віп а
зша= VI -соз-а=	= уу, а а =-—=
12
~' 5 ‘
69. ЗНАЧЕННЯ СИНУСА, КОСИНУСА
І ТАНГЕНСА ДЕЯКИХ КУТІВ
Теорема 7.4. Для будь-якого гострого кута а зіп (90° —
— а) = соз а, соз (90° — а) = зіп а.
Доведення. Нехай АВС — прямокутний трикутник з
гострим кутом а при вершині А (мал. 160). Тоді гострий кут
при вершині В дорівнює 90° — а. Яа означенням
ВС	АС
зіп а = -гхч соз а = — ,
АВ	АВ ’
зіп (90° — а) = со8 (90° — а) =
4	1 АВ х	7 АВ
З другої і третьої рівності маємо: зіп (90° — а) = соз а.
З першої і четвертої рівностей дістаємо: соз (90е — а) = зіп а.
Теорему доведено.
Знайдемо синус, косинус і тангенс кута 45°. Для цього по-
будуємо прямокутний трикутник з гострим кутом 45° (мал.
161). Другий його гострий кут теж дорівнює 45°, тому трикут-
ник рівнобедрений. Нехай катети трикутника дорівнюють а.
За теоремою Піфагора гіпотенуза дорівнює а\2. Знаходимо:
соз 45°
зіп 45° =
а <2
а   1  
а~уІ%	д/2
= 1 = <2 .
“ у2 “ 2 •
4; іе 45° =
§ 7. Теорема Піфагора
105
Знайдемо синус, косинус і тангенс
кута 30°. Візьмемо рівносторонній
трикутник АВС (мал. 162). Проведемо
в ньому медіану АО. Вона буде бісект-
рисою і висотою. Тому трикутник
АВВ — прямокутний з гострим кутом
при вершині А, який дорівнює 30°.
Нехай а — сторона рівностороннього
трикутника. Тоді ВО = 4- За теоре-
мою Піфагора
Ай = \АЬ‘ - ВІЇ2 =
Мал. 162
Отже,
зіп 30° = 4 : а = 4-; СО8 30° =	4!
30°___ 1 .1/3 ___ 1 ___
їй — со8 3()Г, — 2 . 2 —	— 3 .
Оскільки зіп а = соз (90° — а), то
зіп 60° = соз 30° = ^, соз 60° = зіп 30° = 4;
60°
зіп 60°
соз 60°
д/3.
70. ЗМІНА СИНУСА, КОСИНУСА І ТАНГЕНСА
ПРИ ЗРОСТАННІ КУТА
АВ
Теорема 7.5. При зростанні гострого кута зіп а і а
зростають, а соя а спадає.
Доведення. Нехай а і р — гострі кути, причому а
Відкладемо кути а і Р від півпрямої
(мал. 163). Проведемо через точку В
пряму, перпендикулярну до АВ. Вона
перетне сторони даних кутів у точках
С і ії.
Оскільки а < р, то точка С лежить
між точками В і О. Тому ВС <С ВО.
А за властивістю похилих, проведених
з однієї точки до прямої, маємо
АС < Аії.
..	.	АВ „ АВ
Оскільки соз а = соз р -
то соз а > соз р, тобто при зростанні
кута косинус спадає.
Р-
в одну півплощину
8 клас
106
Оскільки зіп а = уі —соз2 а, а соз а спадає при зростанні
кута, то зіп а зростає.
„	.	,	зіп а .
Оскільки а — і зіп а зростає, а соз а спадає при
зростанні а, то а зростає при зростанні а. Теорему доведено.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1.	Дайте означення косинуса гострого кута прямокутного три-
кутника.
2.	Доведіть, що косинус кута залежить тільки від градусної
міри кута і не залежить від розміщення і розмірів трикут-
ника.
3.	Доведіть теорему Піфагора.
4.	Доведіть, що в прямокутному трикутнику гіпотенуза більша
за будь-який катет.
5.	Доведіть, що соз а < 1 для гострого кута а.
6.	Доведіть, що коли з однієї точки до прямої проведено пер-
пендикуляр і похилі, то будь-яка похила більша від перпен-
дикуляра. Рівні похилі мають рівні проекції; з двох похилих
більша та, у якої проекція більша.
7.	Доведіть нерівність трикутника.
8.	Доведіть, що в трикутнику кожна сторона менша за суму
двох інших сторін.
9.	Дайте означення синуса і тангенса гострого кута. Доведіть,
що вони залежать тільки від градусної міри кута.
10.	Як виражається катет прямокутного трикутника через
гіпотенузу і гострий кут, через гострий кут і другий катет?
11.	Доведіть тотожності: зіп2 а + соз2 а = 1; 1-І---=
і-8 а
1 і , х 2	1
— ~—2—; 1 Н-	ОС — —*—•
8іп а	сов а
12.	Доведіть, що для будь-якого гострого кута а: зіп (90° —
— а) = соз а; соз (90° — а) — зіп а.
13.	Чому дорівнюють значення синуса, косинуса і тангенса ку-
тів 30°, 45°, 60°?
14.	Доведіть, що зіп а і а зростають при зростанні гострого
кута а, а соз а спадає.
ф	ЗАДАЧІ
1.	Побудуйте кут, косинус якого дорівнює: 1) -|-; 2)
3)	0,5; 4) 0,8.
2.	У прямокутному трикутнику дано катети а і Ь. Знайдіть
гіпотенузу, якщо: 1) а = 3; Ь = 4; 2) а = 1, Ь — 1;
3)	а = 5, Ь = 6.
§ 7. Теорема Піфагора
107
3.	У прямокутному трикутнику дано гіпотенузу с і катет а.
Знайдіть другий катет, якщо: 1) с = 5, а — 3; 2) с = 13,
а = 5; 3) с — 6, а = 5.
4.	Дві сторони прямокутного трикутника дорівнюють 3 м і 4 м.
Знайдіть третю сторону. (Два випадки.)
5.	Чи можуть сторони прямокутного трикутника бути пропор-
ційними до чисел 5, 6, 7?
6.	Знайдіть сторону ромба, якщо його діагоналі дорівнюють:
1) 6 см і 8 см; 2) 16 дм і ЗО дм; 3) б м і 12 м.
7.	Сторони прямокутника дорівнюють 60 см і 91 см. Чому
дорівнює діагональ?
8.	Діагональ квадрата а. Чому дорівнює сторона квадрата?
9.	Чи можна з круглого листа заліза діаметром 1,4 м вирізати
квадрат із стороною 1 м?
10.	Знайдіть висоту рівнобічної трапеції, основи якої дорівню-
ють 5 м і 11 м, а бічна сторона 4 м.
11.	Знайдіть медіану рівнобедреного трикутника з основою а і
бічною стороною Ь, проведену до основи.
12.	Чи можуть побачити один одного космонавти, які летять
над поверхнею Землі на висоті 230 км, якщо відстань між
ними по прямій дорівнює 2200 км? Радіус Землі 6370 км.
13.	У рівносторонньому трикутнику із стороною а знайдіть
висоту.
14.	Дано відрізки а і Ь. Як побудувати відрізок: 1)	+ Ь2;
2) -\/а2 — Ь2, а > Ь?
15? Дано відрізки а і Ь. Як побудувати відрізок х = ^[аЬ?
16.	Між двома фабричними будівлями побудовано похилий
жолоб для транспортування матеріалів. Відстань між будів-
лями дорівнює 10 м, а кінці жолоба розташовані на висоті
8 м і 4 м над землею. Знайдіть довжину жолоба.
17.	Доведіть, що коли трикутник має сторони а, Ь, с і а2 + Ь2 =
— с2, то кут трикутника, протилежний стороні с, прямий.
18.	Чому дорівнює у трикутнику із сторонами 5,12, 13 кут, про-
тилежний стороні 13?
19.	На стороні АВ трикутника АВС взято точку X. Доведіть,
що відрізок СХ менший принаймні за одну із сторін АС
чи ВС.
20.	Доведіть, що відстань між будь-якими двома точками, взя-
тими на сторонах трикутника, не більша від найбільшої з
його сторін.
21.	Дано пряму і точку С на відстані Л від цієї прямої. Доведіть,
що з точки С можна провести дві і тільки дві похилі довжи-
ною І, якщо / > Л (мал. 164).
22? Доведіть, що пряма, яка знаходиться від центра кола на
відстані, меншій за радіус, перетинає коло у двох точках.
23.	Доведіть, що довільна хорда кола не більша від діаметра
і дорівнює діаметру тільки тоді, коли сама є діаметром.
8 клас
108
24.	Доведіть, що точки А, В, С лежать на одній прямій, якщо:
1) АВ = 5 м, ВС = 7 м, АС = 12 м; 2) АВ = 10,7, ВС =
= 17,1, АС= 6,4.
25.	Доведіть, що будь-яка сторона трикутника більша від різни-
ці двох інших його сторін.
26.	Чи може у паралелограмі із сторонами 4 см і 7 см одна з діа-
гоналей дорівнювати 2 см?
27.	У трикутнику одна сторона дорівнює 1,9 м, а друга 0,7 м.
Знайдіть третю сторону, знаючи, що її довжина дорівнює
цілому числу метрів.
28? Доведіть, що медіана трикутника АВС, проведена з верши-
ни А, менша за півсуму сторін АВ і АС.
29? Відомо, що діагоналі чотирикутника перетинаються. До-
ведіть, що сума їх довжин менша за периметр, але більша
від півпериметра чотирикутника.
ЗО. Відрізки АВ і СО перетинаються в точці О. Доведіть, що
сума відстаней від будь-якої точки площини до точок А, В, С
і О не менша, ніж ОА -|- ОВ 4- ОС + ОО.
31? На прямолінійному шосе треба знайти місце для автобусної
зупинки так, щоб сума відстаней від неї до населених пунк-
Мал. 165
§ 7. Теорема Піфагора
109
тів А іВ була найменшою. Розгляньте два випадки: 1) насе-
лені пункти розміщені з різних боків від шосе (мал. 165, а);
2) населені пункти розміщені з одного боку від шосе
(мал. 165, б).
32.	Чи можуть сторони трикутника бути пропорційними до чи-
сел 1, 2, З?
33.	Доведіть, що в трикутнику кожна сторона менша за полови-
ну периметра.
34.	Всередині кола радіуса В. взято точку на відстані <і від
центра. Знайдіть найбільшу і найменшу відстань від цієї
точки до точок кола.
35.	Поза колом радіуса В взяте точку на відстані сі від центра.
Знайдіть найбільшу і найменшу відстані від цієї точки до
точок кола.
36.	Чи можуть перетинатися кола, центри яких знаходяться на
відстані 20 см, а радіуси 8 см і 11 см? Поясніть відповідь.
37.	Чи можуть перетинатися кола, центри яких знаходяться на
відстані 5 см, а радіуси 6 см і 12 см? Поясніть відповідь.
38.	* Доведіть, що в задачі 36 кола знаходяться одне поза другим,
а в задачі 37 кола радіуса 6 см знаходиться всередині
кола радіуса 12 см.
39.	Чи можуть перетинатись кола з радіусами Яі і Я? і відстан-
ню між центрами /і, якщо Ні + 7? 2 < а?
40? Дано три додатних числа а, Ь, с, які задовольняють умови:
а^Ь^с<а-|- Ь. Доведіть послідовно твердження;
п ^.с2 + а2 — ь2 .	.
1)	а> 2) 1снує прямокутний трикутник
ВСО, гіпотенуза якого ВС = а, а катет ВВ -= с +	~ й
(мал. 166); 3) трикутник АВС, у якого ВС = а, АВ — с,
аг.  с2 + а2 — в2	~
а відстань ВВ дорівнює —---------, має сторону АС = Ь
(мал. 166).
41. Дано три додатних числа а, Ь, с. Доведіть, що коли кожне з
цих чисел менше за суму двох інших, то існує трикутник із
сторонами а, Ь, с.
Мал. 166
Мал. 167
8 клас
110
42. Чи можна побудувати трикутник із сторонами:
1) а = 1см, Ь = 2 см, с = 3 см; 2) а — 2 см, Ь = 3 см,
с = 4 см; 3) а = 3 см, Ь = 7 см, с = 11 см; 4) а — 4 см,
Ь — 5 см, с = 9 см?
43* Дано два кола з радіусами ВцЯг і відстанню між центрами
Л. Доведіть, що коли кожне з чисел В\, Ні і <1 менше за
суму двох інших, то кола перетинаються в двох точках
(мал. 167).
44.	У прямокутному трикутнику один катет дорівнює 8 см, а
синус протилежного йому кута дорівнює 0,8. Знайдіть гіпо-
тенузу і другий катет.
45.	У прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює а,
а один з гострих кутів а. Знайдіть другий гострий кут
і катети.
46.	У прямокутному трикутнику катет дорівнює а, а протилеж-
ний йому кут а. Знайдіть другий гострий кут, протилежний
йому катет і гіпотенузу.
47.	У прямокутному трикутнику дано гіпотенузу с і гострий кут
а. Знайдіть катети, їх проекції на гіпотенузу і висоту, опу-
щену на гіпотенузу.
48.	1) Знайдіть зіп 22°, зіп 22° 36'; зіп 22° 38'; зіп 22° 41';
соз 68°; соз 68° 18'; соз 68° 23'.
2)	Знайдіть кут х, якщо зіп х = 0,2850; зіп х = 0,2844,
соз х — 0,2710.
49.	Знайдіть значення синуса і косинуса кутів: 1) 16°;
2) 24° 36'; 3) 70° 32'; 4) 88° 49'.
50.	Знайдіть величину гострого кута х, якщо: 1) зіп х =
= 0,0175; 2) зіп х — 0,5015; 3) соз х = 0,6814; 4) соз х =
= 0,0670.
51.	Знайдіть значення тангенса кута:
1)	10°; 2) 40° 40'; 3) 50° ЗО'; 4) 70° 15'.
52.	Знайдіть гострий кут х, якщо: 1) х = 0,3227; 2) х =
= 0,7846; 3) х = 6,152; 4) х = 9,254.
53.	Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 12,4 м, а осно-
ва 40,6 м. Знайдіть кути трикутника і бічну сторону.
54.	Відношення катетів прямокутного трикутника дорівнює
19 : 28. Знайдіть його кути.
55.	Сторони прямокутника дорівнюють 12,4 і 26. Знайдіть кут
між діагоналями.
56.	Діагоналі ромба дорівнюють 4,73 і 2,94. Знайдіть його кути.
57.	Сторона ромба 241 м, висота 120 м. Знайдіть його кути.
58.	Радіус кола дорівнює 5 м. З точки, що знаходиться на
відстані 13 м від центра, проведено дотичну до кола. Знай-
діть довжини дотичних і кут між ними.
59.	Тінь від вертикальної жердини, висота якої дорівнює 7 м,
становить 4 м. Виразіть у градусах висоту сонця над гори-
зонтом (мал. 168).
§ 7. Теорема Піфагора
111
60.	Основа рівнобедреного прямокутного трикутника дорівнює
а. Знайдіть бічну сторону.
61.	Знайдіть невідомі сторони й гострі кути прямокутного три-
кутника за такими даними*.
1)	за двома катетами: а) а — З, Ь = 4; б) а = 9, Ь = 411;
в) а = 20, Ь = 21; г) а = 11, Ь = 60;
2)	за гіпотенузою і катетом: а) с = 13, а = 5; б) с = 25,
а = 7; в) с = 17, а = 8; г) с — 85, а = 84;
3)	за гіпотенузою і гострим кутом: а) с = 2, а = 20°;
6) с = 4, а = 50°20'; в) с = 8, а = 70° 36'; г) с = 16,
а = 76 21';
4)	за катетом і протилежним кутом: а) а = 3, а = 30° 27';
б) а = 5, а = 40° 48'; в) а = 7, а = 60г 35'; г) а = 9.
а = 68°.
62.	Спростіть вирази:
1)	1 — віл а; 2) (1 — соз	а) (1 4- соз а);
3)	1 + зіп2 а | соя* а; 4)	зіп а — зіп а соз2 а;
5)	зіп4 а + соз1 а + 2 зіп2 а соз2 а;
6)	І£2 а — зіп* а і§2 а; 7)	соз2 а + і£2 а	соз2	а;
8)	І£2 а (2 соз2 а 4* зіп2 а	— 1); 9) —-
63.	Обчисліть значення зіп я і а, якщо:
5	15
1)	соз а = -х-; 2) соз сі = —; 3) соз а = 0,6.
1о	17
64.	Знайдіть соз а і якщо:
1)	зіп а = ' ; 2) зіп а =	3) зіп а = 0,8.
65.	Побудуйте кут а, якщо: 1) соз а =	2) зіп а = -у-;
3)	зіп а = 0,5; 4) а = -4-; 5) а = 0,7.
О
66.	У прямокутному трикутнику з гіпотенузою а і кутом 60й
знайдіть катет, протилежний цьому куту.
67.	Знайдіть радіус г кола, вписаного в рівносторонній трикут-
ник, і радіус Н кола, описаного навколо цього трикутника,
якщо сторона трикутника дорівнює а.
Мал. 168
Мал. 169
8 клас
112
68.	У трикутнику один з кутів при основі дорівнює 45°, а висота
ділить основу на частини 20 см і 21 см. Знайдіть більшу
бічну сторону 1 * * (мал. 169).
69.	У трикутнику одна із сторін дорівнює 1 м, а прилеглі до
неї кути 30° і 45°. Знайдіть дві інші сторони трикутника.
70.	Діагональ прямокутника у два рази більша від однієї з його
сторін. Знайдіть кути між діагоналями.
71.	Діагоналі ромба дорівнюють а і а \/3. Знайдіть кути цього
ромба.
72. Який з кутів більший — а	чи 0,	, якщо:
1) аіп а = йп р = 4-; о	'	4	2)	зіп а =	, віп 6 = 4-; 3	'	4
3	2 3) соз а = —, соя р = —; <	О	4)	соз а = 0.75, соз р = 0,74;
5) і# а = 2,1, р = 2,5;	Я)	а = -у . Р = -у7
73. У прямокутному трикутнику АВС кут А більший від кута В.
Який з катетів більший: АС чи ВС?
74. У прямокутному трикутнику АВС катет ВС більший від ка-
тета АС. Який кут більший: А чи В?
§ 8.	ДЕКАРТОВІ КООРДИНАТИ НА ПЛОЩИНІ
71.	ОЗНАЧЕННЯ ДЕКАРТОВИХ КООРДИНАТ
Проведемо на площині через точку О дві взаємно перпенди-
кулярні прямі х і у — осі координат (мал. 170). Вісь х (вона,
як правило, горизонтальна) називається віссю абсцис, а вісь
у — віссю ординат. Точка їх перетину О — початок коорди-
нат — розбиває кожну з осей на дві півосі. Домовимось одну з
них називати додатною, позначаючи її стрілкою, а другу —
від’ємною.
Кожній точці А площини поставимо у відповідність пару
чисел — координати точки — абсцису (х) і ординату (у) за
таким правилом.
Через точку А проведемо пряму, паралельну осі ординат
(мал. 171). Вона перетне вісь абсцис х у деякій точці Ах. Абсци-
сою точки А називатимемо число х, абсолютна величина якого
дорівнює відстані від точки О до Ах. Це число додатне, якщо
А, належить додатній півосі, і від'ємне, якщо Ах належить
від’ємній півосі. Коли точка А лежить на осі ординат у, то
вважаємо, що х дорівнює нулю.
1 Інколи у довільному трикутнику, не обов’язково рівво-
бедреному, сторону, проведену горизонтально, називають основою,
а дві інші — бічними сторонами, як у даній задачі.
§ 8. Декартові координати на площині
113
Ординату (у) точки А визначаємо
аналогічно. Через точку -4 проведемо
пряму, паралельну осі абсцис х (мал.
171). Вона перетне вісь ординат у в де-
якій точці Ау. Ординатою точки А нази-
ватимемо числи у, абсолютна величина
якого дорівнює відстані від точки О до
Ау. Це число додатне, якщо Ау належить
додатній півосі, і від’ємне, якщо Ау
належить від’ємній півосі. Коли точка А
лежить на осі абсцис х, то вважаємо, що
у дорівнює нулю.
Координати точки записуватимемо
в дужках поряд з буквеним позначенням
точки, наприклад А (х; у) (на першому
місці — абсциса, на другому — ордината).
Р. Дскарт — фран-
цузький учений
Осі координат розбивають площину (1596—1650)
на чотири частини — чверті: І, II, III, IV
(мал. 172). В межах однієї чверті знаки обох координат зберіга-
ються і мають значення, показані на малюнку.
Точки осі х (осі абсцис) мають ординати, що дорівнюють
нулю, (у = 0), а точки осі у (осі ординат) мають абсциси, що
дорівнюють нулю, (х = 0). У початку координат абсциса і орди-
ната дорівнюють нулю.
У
У
Мал. 171
Мал. 170
Площину, на якій введено таким способом координати х
і у. називатимемо площиною ху. Довільну точку цієї площини з
координатами х і у інколи позначатимемо (х; у). Введені на
площині координати хід називаються декартовими за ім’ям
французького вченого Р. Декарта, який вперше застосував їх у
своїх дослідженнях.
ЛІ Задача (9). Дано точки А (—3; 2) і В (4; 1). Доведіть,
що відрізок АВ перетинає вісь у, але не перетинає вісь х.
( ? Розв’язання. Вісь у розбиває площину ху на дві
8 клас
114
ПІ ВП ЛОЩИНИ. В одній півплощині
абсциси точок додатні, а в другій —
від'ємні. Оскільки абсциси точок А і В
протилежних знаків, то точки А і В
лежать у різних півплощинах. А це
означав, що відрізок АВ перетинає
вісь у.
Вісь х теж розбиває площину ху на
дві півплощини. В одній півплощині
ординати точок додатні, а в другій —
від’ємні. Точки А і В мають ординати
одного знака (додатні). Отже, точки
А ЇВ лежать п одній півплощині. А це
означає, що відрізок АВ не перетинає
вісь х.
72.	КООРДИНАТИ СЕРЕДИНИ ВІДРІЗКА
Нехай А («і; у і) і В (х2; у а) — дві довільні точки і С (х; у)
середина відрізка АВ. Знайдемо координати х, у точки С.
Розглянемо спочатку випадок, коли відрізок АВ не пара-
лельний ОСІ у, тобто Х1 =/= Х2. Проведемо через точки А, В, С пря-
мі, паралельні осі у (мал. 173). Бони перетнуть вісь х в точках
А\ (хі; 0), Ві (х2; 0), Сі (х; 0). За теоремою Фалеса точка Сі буде
серединою відрізка АіВ>.
Оскільки точка С(—середина відрізка А|В|, то АіСі =
= ВіСі, а значить, |х — ХіІ = |х — х2|. Звідси випливає, що або
х — хі = х — Х2, або х — х, = —(х — х2). Перша рівність не-
можлива, бо Хї х2. Тому справджується друга рівність. З неї
дістаємо формулу:
Х\ + Хї
2	‘
Якщо Хї — х2, тобто відрізок А В
паралельний осі у, то всі три точки
Аі, В», Сі мають одну й ту ж абсцису.
Отже, формула лишається правиль-
ною і в цьому випадку.
Ординату точки С знаходимо ана-
логічно. Через точки А, В, С проводимо
прямі, паралельні осі х. Дістаємо
формулу:
и і + У-
2
Мал. 173
§ 8. Декартові координати на площині
115
А Задача (15). Дано три вершини паралелограма
р АВСО: .4(1; 0), В (2; 3), С(3; 2), Знайдіть координати
(_? четвертої вершини Ь і точки перетині' діагоналей.
Розв’язання. Точка перетину діагоналей є середи-
ною кожної з них. Тому вона є серединою відрізка АС,
а тому мас координати
і —	— 2 и — ° + 2 — і
X — —2----а, У —	2----1-
Тепер, знаючи координати точки перетину діагоналей,
знаходимо координати х, у четвертої вершини О. Користу-
ючись тим, що точка перетину діагоналей є серединою
відрізка ВО, маємо: 2	= 2, —5-^ — 1. Звідси х = 2,
у= -1.
73.	ВІДСТАНЬ МІЖ ТОЧКАМИ
Нехай на площині ху дано дві точки. Аі з координатами
Хі, у і і Аі з координатами Хг, у 2. Виразимо відстань між точками
А і і А2 через координати цих точок.
Розглянемо спочатку випадок, коли Хі =/= Хг і у\ =/= у?. Про-
ведемо через точки А і і Аг прямі паралельні осі координат,
і позначимо через А точку їх перетину (мал. 174). Відстань між
точками А й А, дорівнює |уі — угі, а відстань між точками А
й А2 дорівнює Іхі — ХгІ. За теоремою Піфагора у прямокутному
трикутнику ААіАг маємо:
(і2 = (Х1 — Хг)2 + (уі — У2)2,
де а — відстань між точками А। і Аг.
(*)
Хоча формула (♦) для відстані між точками виведена у при-
пущенні хі Хг, у і ф у г, вона залишається правильною і для
інших випадків. Справді, якщо Хі = Хг, у\ ф у2, то <і дорівнює
|у, — Такий самий результат дістаємо і за формулою (*).
Аналогічно розглядаємо випадок, коли Хі =£ Хг, у\ = у2- Якщо
Хі = Хг, уі = у2, то точки А: і Аг
збігаються і за формулою (*) діста-
немо д, = 0.
Ж Задача (19). Знайдіть
С і) на осі х точку, рівновіддалену
\ / від точок (1; 2) і (2; 3).
Розв'язання. Нехай
(х; 0) — шукана точка. При-
рівнявши відстані від неї до
даних точок, дістанемо:
(* _ 1)2 . (0 — 2)2 =
= (х - 2)2 + (0 - З)2.
Звідси знаходимо х = 4. Отже,
шукана точка є (4; 0;.
Мал. 174
8 клас
116
74.	РІВНЯННЯ КОЛА
Рівнянням фігури на площині в декартових координатах
називається рівняння з двома змінними х і у, яке задовольня-
ють координати будь-якої точки фігури. І навпаки: будь-які
два числа, що задовольняють це рівняння, є координатами
деякої точки фігури.
Складемо рівняння кола з центром у точці Аи (а; Ь) і радіусом
Я (мал. 175). Візьмемо довільну точку А(х; у) на колі. Відстань
від неї до центра А о дорівнює К. Квадрат відстані від точки А
У	до Ао дорівнює (х — а)2 + (у — Ь)2.
Таким чином, координати х, у кожної
точки А кола задовольняють рівняння
(х-а)2 + (у-Ь)2=Я2.	(*)
Навпаки: будь-яка точка А, коор-
динати якої задовольняють рівняння
(♦), належить колу, оскільки відстань
від неї до точки А о дорівнює Н. Звідси
—<►-------------- випливає, що рівняння (*) справді є
0	х рівнянням кола з центром Ао і радіу-
Мал. 175	СОМ Н.
Зауважимо, що коли центром кола
є початок координат, то рівняння кола має вигляд:
х2 + у2= Я2.
Л. Задача (ЗО). Яку геометричну фігуру задано рів-
{ нянням х1 + у2 + ах + Ьу 4- с = 0,	--с > 0?
Розв’язання. Перетворимо дане рівняння так:
2 і і °2 і 2 । і. і Ь2 а2 . Ь1
х ах + — + у + Ьу + — = — + — — с,
(^т)г+(.+4)’-(Т?Н^)’
Бачимо, що шукана фігура — коло з центром (—
-------------------------- \	2
Ь \ .	. о	/ а2 , 54
—у і радіусом Я = -д/— + — — с.
75.	РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ
Доведемо, що будь-яка пряма у декартових координатах
х, у має рівняння виду:
ах 4- Ьу 4- с = 0, (*),
де а, Ь, с — деякі числа.
Нехай й — довільна пряма на площині ху. Проведемо яку-
небудь пряму, перпендикулярну до прямої й, і відкладемо на
§ 8. Декаутові координати яа площині
117
ній від точки перетину С з прямою й
рівні відрізки САі і СА2 (мал. 176).	____
Нехай а>, Ьі — координати точки 'V--------------
А, і а-2, Ьі — координати точки А2. Як \
відомо, будь-яка точка А(х; у') прямої \	/
її рівновіддалена від точок Аі і А2.	/
Тому координати її задовольняють	\	/
рівняння	\ /
(х - а,)2 + (у - Ь|)2 =	дУ
= (х - а2)2 + (у - Ь2)2.	(**)
Навпаки: якщо координати х, у	Мяп ]76
якої небудь точки задовольняють рів-
няння (**), то ця точка рівновіддалена
від точок А і і А2, тобто належить прямій Ь. Таким чином,
рівняння (♦*) є рівнянням прямої й. Якщо в цьому рівнянні
розкрити дужки і перенести всі члени рівняння в ліву частину,
то воно набере вигляду:
2 (а2 — аі)х + 2 (й2 — Ьі)у -т- (а2 + й? — а2 — б2) — 0.
Позначивши 2 (а2 — а\) = а, 2 (62 — ді) = 5, а2 + й2 — а2 —
— ЬІ = с, дістанемо рівняння (♦). Твердження доведено.
Задача 35. Складіть рівняння прямої, яка прохо-
ді дить через точки А(—1; 1), В(1; 0).
(о) Розв’язання. Як відомо, рівняння прямої має вид
{ у ах + Ьу + с = 0. Точки А і В лежать на прямій, тому їх
координати задовольняють це рівняння.
Підставивши координати точок А і В у рівняння пря-
мої, дістанемо:
—а + &+ е=0, а-|-с=0.
З цих рівнянь можна виразити два коефіцієнти, наприк-
лад а і Ь, через третій: а = —с, Ь = — 2с. Підставляючи
ці значення а і Ь у рівняння прямої, дістанемо:
—сх — 2су + с = 0.
На с можна скоротити. Тоді матимемо:
—х — 2у + 1 = 0.
Це і є рівняння шуканої прямої.
76.	КООРДИНАТИ ТОЧКИ ПЕРЕТИНУ ПРЯМИХ
Нехай дано рівняння двох прямих
ах + Ьу + с = 0,
піх + Ьу + с> = 0.
Знайдемо координати їх точки перетику.
Оскільки точка перетину (х; у) належить кожній з прямих,
то її координати задовольняють і перше і друге рівняння.
Тому координати точки перетину є розв’язком системи рівнянь,
які задають прямі. Розглянемо приклад.
8 клас
118
Нехай дано рівняння прямих:
Зх — у | 2—0,
5х — 2у' + 1 = 0.
Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо X = —3, у =
= —7. Точка перетину прямих (—3; —7).
ЛІ Задача (43). Доведіть, що прямі, задані рівняннями
А)	у = кх + /і,
у = кх + 12,
коли Ц =/= 12, паралельні.
Розв’язання. Припустимо, прямі не паралельні
і перетинаються в деякій точці (хі; у і). Оскільки точка пере-
тину належить кожній з прямих, то для неї маємо:
ух = кх\ + /і,
У\ = кх\ + 12.
Віднімаючи ці рівняння почленно, дістанемо 0 = /і — І2-
А це суперечить умові (І । ф І2), тобто прийшли до супереч-
ності. Твердження доведено.
77.	РОЗМІЩЕННЯ ПРЯМОЇ ВІДНОСНО
СИСТЕМИ КООРДИНАТ
З’ясуємо, як розміщена пряма відносно осі координат, якщо
її рівняння ах + Ьу + с = 0 має той чи інший окремий вигляд.
1.	а = 0, Ь 0. У цьому випадку рівняння прямої можна
записати так:
с
У=
Таким чином, усі точки прямої мають одну і ту саму ординату
(—У Отже, пряма паралельна осі х (мал. 177, а). Зокрема,
якщо с = 0, то пряма збігається з віссю х.
2.	Ь = 0, а 0. Цей випадок розглядаємо аналогічно.
Пряма паралельна осі у (мал. 177, б) і збігається з нею, якщо і
с = 0.
Мал. 177
§ 8. Декартові координати па площині
119
3.	с = 0. Пряма, проходить через початок, координат, оскіль-
ки його координати (0; 0) задовольняють рівняння прямої
(мал. 177, в).
ж Задача (45). Складіть рівняння прямої, яка пара-
( А) лельна осі х і проходить через точку (2; —3).
\ / Розв’язання. Оскільки пряма паралельна осі х, то
вона має рівняння виду: у + с — 0.
Через те що точка (2; —3) лежить на прямій, то її коорди
нати задовольняють це рівняння: —3 -|- с = 0. Звідси с =
= 3. Отже, рівняння прямої у 4- 3=0.
78.	КУТОВИИ КОЕФІЦІЄНТ У РІВНЯННІ ПРЯМОЇ
Якщо в загальному рівнянні прямої ах + Ьу с = 0
коефіцієнт при у не дорівнює нулю, то це рівняння можна
розв'язати відносно у, Дістанемо:
Або, позначивши —= %, —|- = І, матимемо:
О	о
у = кх + І.
З’ясуємо геометричний зміст коефіцієнта к у цьому рівнянні.
Візьмемо дві точки на прямій А(х.; у і), В\х2‘, у2) (хі < хг). їх
координати задовольняють рівняння прямої:
у 1 = Лхі + І, у2 = кх2 4- І.
Віднявши почленно ці рівняння, дістанемо: у? — у\ = к(х2 —
— Х1). Звідси
£ = Уі ~ у'
Хг — Хі‘
Для випадку на малюнку 178, а:	н, а на малюнку
178, б	а.
Хг — X,
Мал. 178
8 клас
120
Таким чином, коефіцієнт к у рівнянні прямої з точністю
до знака дорівнює тангенсу гострого кута, утвореного прямою з
віссю х.
Коефіцієнт к у рівнянні прямої називається путовим коефі-
цієнтом прямої.
79.	графік лінійної функції
У процесі побудови графіків функцій на уроках алгебри ви,
очевидно, помітили, що графіком лінійної функції є пряма.
Тепер доведемо це.
Нехай у — ах + Ь — дана лінійна функція. Доведемо, що
графіком її є пряма.
Для даної функції, якщо х = 0, то у = Ь, якщо х = 1, то
у = а 4- Ь. Тому трафіку функції належать точки (0; Ь) і (1;
а + Ь). Складемо рівняння прямої, яка проходить через ці точ-
ки. Як відомо, воно має вид:
у = кх + І.
Оскільки названі точки графіка лежать на прямій, то їх коор-
динати задовольняють рівняння прямої:
Ь = к • 0 + І,
а+Ь=й-1-|-2.
Звідси знаходимо І = Ь, к = а. Отже, наша пряма має рів-
няння
у — ах -ф Ь.
Виходить, рівняння прямої задовольняють усі тачки графіка.
Тобто графіком лінійної функції є пряма.
80.	ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ З КОЛОМ
Розглянемо питання про перетик прямої з колом.
Нехай Я — радіус кола і <1 — відстань від центра кола до
прямої. Візьмемо центр кола за початок координат, а пряму,
перпендикулярну до даної,— за вісь х (мал. 179). Тоді рівнян-
ням кола буде Xі + У2 = -В2» а рівнянням прямої х = д.
Пряма і коло перетинаються, якщо система двох рівнянь
х! -|- у2 — Я2, х =
має розв’язок. 1 навпаки, усякий розв’язок цієї системи дає
координати х, у точки перетину прямої з колом. Розв’язавши
нашу систему, дістанемо:
х = д, у — Я ’ — сҐ.
З виразу для у бачимо, що система має два розв'язки, тобто
коло і пряма перетинаються у двох точках, якщо (мал.
179, а).
Система має один розв’язок, якщо Н = д (мал. 179, б). У цьо-
му випадку пряма і коло дотикаються.
§ 8. Декартові координати на площині
121
Мал. 179
Система не має розв’язків, тобто пряма і коло не перетина-
ються, якщо В <Л (мал. 179, в).
ЛІ Задача (50). Знайдіть точки перетину кола х2 +
( ) + У2 — 1 3 прямою у — 2х + 1.
і_) Розв’язання. Оскільки точки перетину лежать на
колі і на прямій, то їх координати задовольняють систему
рівнянь х2 + у2 = 1. У = 2х -(- 1.
Розв’яжемо цю систему. Підставимо у з другого рівняння
в перше. Дістанемо рівняння для х:
5х2 + 4х = 0.
4
Рівняння має два корені хі = 0 і хг = —=-. Це абсциси
О
точок перетину. Ординати цих точок дістанемо з рівняння
прямої, підставивши в нього Хі і Хг. Матимемо у\ = 1,
з
у2 — —Отже, точки перетину прямої і кола (0; 1),
(4 -4)
81.	ОЗНАЧЕННЯ СИНУСА, КОСИНУСА І ТАНГЕНСА
ДЛЯ БУДЬ-ЯКОГО КУТА ВІД 0° ДО 180°
Досі значення синуса, косинуса і тангенса були означені
тільки для гострих кутів. Тепер дамо означення їх для будь-
якого кута від 0° до 180°.
Візьмемо коло на площині ху з центром у початку коорди-
нат і радіусом В (мал. 180). Відкладемо від додатної півосі х
у верхню півплощину (півплощина, де у > 0) кут а. Нехай х
і у — координати точки А. Значення зіп а, сов а і а для
гострого кута виражаються через координати точки А, а саме:
•	У	х .	у
зіп а = соз а = а = —.
В	В	х
Визначимо тепер значення зіп а, соз а і І.& а за цими форму-
лами для будь-якого кута а. (Для а кут а = 90° вилуча-
ється.)
8 клас
122
При такому означенні зіп 90° = 1, соз 90° = 0, зіп 180° — 0,
соз 180° = —1,	180° = 0.
Якщо вважати, що кут між променями, які збігаються,
дорівнює 0°, матимемо: зіп 0° = 0, соз 0° = 1,	0° = 0.
Доведемо, що для. будь-якого кута а, 0° < а < 180°,
зіп (180е — а) = зіп а, соз (180° — а) = —соз а. Для кута
а 90° (£ (180° - а) = —а.
Справді, трикутники ОАВ і ОАВ\ рівні за гіпотенузою і
гострим кутом (мал. 181). З рівності трикутників випливає, що
АВ = АіВі, тобто у = уг, ОВ = ОВ], а отже, х — — хі. Тому
зіп (180° — а) —	= зіп а,
на
соз (180° — а) —	= —£ = —соз а.
Поділивши почленно рівності зіп (180° — а) — зіп а і соз (180° —
— а) = —соз а, дістанемо:
ІЄ (180° — а) = — а.
Що й треба було довести.
ф	КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
•
1.	Поясніть, як означаються координати точки.
2.	Які знаки мають координати точки, якщо вона належить
першій (другій, третій, четвертій) чверті?
3.	Чому дорівнюють абсциси точок, що лежать на осі ординат?
Чому дорівнюють ординати точок, що лежать на осі абсцис?
Чому дорівнюють координати початку координат?
4.	Виведіть формули для координат середини відрізка.
5.	Виведіть формулу відстані між точками.
6.	Що таке рівняння фігури в декартових координатах?
7.	Виведіть рівняння кола.
§ 8. Декартові координати на площині
123
8.	Доведіть, що пряма в декартових координатах має рівняння
виду ах + Ьу + с — 0.
9.	Як знайти координати точки перетину двох прямих, зада-
них рівнянням?
10.	Як розміщена пряма, якщо в її рівнянні коефіцієнт а — 0
(Ь = 0; с = 0)?
11.	Що таке кутовий коефіцієнт прямої і який його геометрич-
ний зміст?
12.	Доведіть, що графіком лінійної функції є пряма.
13.	При якій умові пряма і коло не перетинаються, перетина-
ються в двох точках, дотикаються?
14.	Дайте означення синуса, косинуса, тангенса для довільного
кута від 0° до 180°.
15.	Доведіть, що для будь-якого кута а, 0° < а < 180°,
зіп (180° — а) = зіп а, соз (180° — а) = —соз а,
і£ (180° — а) = — а.
ф	ЗАДАЧІ
1.	Проведіть осі координат, виберіть одиницю довжини на
осях, побудуйте точки з координатами: (1; 2), (—2; 1), (—1;
-3), (2; -1).
2.	Візьміть навмання чотири точки на площині ху. Знайдіть
координати цих точок.
3.	На прямій, паралельній осі х, узято дві точки. Одна з них
має ординату у = 2. Чому дорівнює ордината другої точки?
4.	На прямій, перпендикулярній до осі х, узято дві точки.
Одна з них має абсцису х = 3. Чому дорівнює абсциса
другої точки?
5.	З точки А (2; 3) опущено перпендикуляр на вісь х. Знайдіть
координати основи перпендикуляра.
6.	Через точку А(2; 3) проведено пряму, паралельну осі х.
Знайдіть координати точки перетину її з віссю у.
7.	Знайдіть геометричне місце точок площини ху, для яких
абсциса х = 3.
8.	Знайдіть геометричне місце точок площини ху, для яких
|х| = 3.
9.	Дано точки А(—3; 2) і В(4; 1). Доведіть, що відрізок АВ
перетинає вісь у, але не перетинає вісь. х.
10.	Яку з півосей осі у (додатну чи від’ємну) перетинає відрізок
АВ з попередньої задачі?
11.	Знайдіть відстань від точки (—3; 4) до: 1) осі х; 2) осі у.
12.	Знайдіть координати середини відрізка АВ, якщо:
1)	А(1; —2),В(5; 6); 2) А(-3; 4),В(1; 2); 3) А(5; 7),В(-3; -5).
13.	Точка С — середина відрізка АВ. Знайдіть координати дру-
гого кінця відрізка АВ, якщо: 1) А(0; 1), С(—1; 2); 2) А(—1;
3); 0(1; -1); 3) А(0; 0), С(-2; 2).
8 клас
124
14.	Доведіть, що чотирикутник АВСО з вершинами в точках
А(—1; —2), В(2; —5), С(1; —2), £)(—2; 1) е паралелограмом.
Знайдіть точку перетину його діагоналей.
15.	Дано три вершини паралелограма АВСО: А(1; 0), В(2; 3),
С(3; 2). Знайдіть координати четвертої вершини В і точки
перетину діагоналей.
16.	Знайдіть середини сторін трикутника з вершинами в точ-
ках: 0(0; 0), А(0; 2), В(-4; 0).
17.	Дано три точки А(4; —2), В(1; 2), С(—2; 6). Знайдіть відстані
між цими точками, взятими попарно.
18.	Доведіть, що точки А, В, С в задачі 17 лежать на одній
прямій. Яка з них лежить між двома іншими?
19.	Знайдіть на осі х точку, рівновіддалену від точок (1; 2)
і (2; 3).
20.	Знайдіть точку, рівновіддалену від осей координат і від
точки (3; 6).
21? Доведіть, що чотирикутник АВСО з вершинами в точках
А(4; 1), В(0; 4), С(—3; 0), В(1; —3) е квадратом.
22.	Доведіть, що чотири точки (1; 0), (—1; 0), (0; 1), (0; —1)
є вершинами квадрата.
23.	Які з точок (1; 2), (3; 4), (—4; 3), (0; 5), (5; —1) лежать на колі,
рівняння якого х2 + у2 = 25?
24.	Знайдіть на колі, рівняння якого х2 + у2 = 169, точки:
1) з абсцисою 5; 2) з ординатою —12.
25.	Дано точки А(2; 0) і В(—2; 6). Складіть рівняння кола,
діаметром якого е відрізок АВ.
26.	Дано точки А(—1; —1) і С(—4; 3). Складіть рівняння кола
з центром у точці С, яке проходить через точку А.
27.	Знайдіть на осі х центр кола, яке проходить через точку
(1; 4) і має радіус 5.
28.	* Складіть рівняння кола з центром у точці (1; 2), яке дотика-
ється до осі х.
29.	Складіть рівняння кола з центром (—3; 4), яке проходить
через початок координат.
ЗО* Яку геометричну фігуру задано рівнянням:
X2 4- у2 + ах + Ьу + с = 0,	— с > 0?
31.	Знайдіть координати точок перетину двох кіл:
х2 + у2 = 1, Xі 4- у2 - 2х 4- у - 2 = 0.
32.	Знайдіть координати точок перетину кола х2 4* у2 — 8х —
— 8у 4- 7 = 0 з віссю х.
33.	Доведіть, що коло х2 4~ У2 + 2ах 4- 1 = 0,|а| > 1, не пере-
тинається з віссю у.
34.	Доведіть, що коло х2 4~ У2 4~ 2ах = 0 дотикається до осі у,
а 0.
35.	Складіть рівняння прямої, яка проходить через точки
А(—1; 1), В(1; 0).
§ 8. Декартові координати на площині
125
36.	Складіть рівняння прямої АВ, якщо 1) А(2; 3), В(3; 2);
2) А(4; -1), В( — 6; 2); 3) А^5; -3), В(-1; -2).
37.	Складіть рівняння прямих, що містять сторони трикутника
ОАВ із задачі 16.
38.	Чому дорівнюють координати а і Ь у рівнянні пря-
мої ах + Ьу — 1, якщо вона проходить через точки (1; 2)
і (2; 1)?
39.	Знайдіть точки перетину з осями координат прямої, заданої
рівнянням: 1) х + 2у + 3 = 0; 2) Зх + 4у = 12; 3) Зх —
- 2у + 6 = 0; 4) 4х - 2у - 10 = 0.
40.	Знайдіть точку перетину прямих, заданих рівняннями:
1)	х + 2у + 3 — 0, 4х 5у + 6 = 0;
2)	Зх — у — 2 = 0, 2х + у — 8 = 0,
3)	4х + 8= 0, 4х - 2у - 6 = 0.
41* Доведіть, що три прямі х + 2у = 3, 2х — у = 1 і Зх + у —
— 4 перетинаються в одній точці.
42? Знайдіть координати точки перетину медіан трикутника з
вершинами (1; 0), (2; 3), (3; 2).
43.	Доведіть, що прямі, задані рівняннями у — Ах + її,
у = кх + І2, якщо /і =/= І2, паралельні.
44.	Серед прямих, заданих рівняннями, назвіть пари паралель-
них прямих;
1)	х + У = 1;	2) у — х — 1;	3) х — у = 2;
4) у = 4;	5) у = 3;	6) 2х + 2у + 3 = 0.
45.	Складіть рівняння прямої, яка паралельна осі у і проходить
через точку (2; — 3).
46.	Складіть рівняння прямої, яка паралельна осі х і проходить
через точку (2; 3).
47.	Складіть рівняння прямої, яка проходить через початок
координат і точку (2; 3).
48.	Знайдіть кутові коефіцієнти прямих із задачі 39.
49.	Знайдіть гострі кути, утворені даними прямими з віссю х:
1) 2у = 2х 4- 3; ‘ 2)	— у = 2; 3) х + лг3у +1=0.
50.	Знайдіть точки перетину кола х~ + у2 = 1 з прямою:
1) у = 2х 4 1; 2) у = х + 1; 3) у = Зх + 1; 4) у =
= Ах + 1.
51? При яких значеннях с пряма х 4 У + С = 0 і кола х2 +
+ у'2 = 1: 1) перетинаються; 2) не перетинаються; 3) до
тикаються?
52.	Знайдіть синус, косинус, тангенс кутів: 1) 120°; 2) 135°;
3) 150°.
53.	Знайдіть: 1) яіпІбО’; 2) соз 140°; 3) г# 130°.
54.	Знайдіть синус, косинус і тангенс кутів: 1) 40°; 2) 14° 36';
3)	70'20'; 4) 30° 16'; 5) 130°; 6) 150° ЗО'; 7) 150° 33';
8) 170° 28'.
55.	Знайдіть кути, для яких: 1) зіп а = 0,2; 2) соз а = —0,7;
3) а = —0,4.
8 клас
126
56.	Знайдіть зіп а і і£ а, якщо: 1) соз а =	2)	соз а = —0,5;
3)	соз а -	4) соз а = —-у.
57.	Знайдіть соз а і а, якщо: 1) зіп а = 0,6, 0° < а < 90°;
2)	зіп а = 4-, 90° <«<180°; 3) зіп а =	0°<а<180°.
*	-у 2
5
58.	Відомо, що а = —То - Знайдіть зіп а і соз а.
1 А
—	З
59.	Побудуйте кут а, якщо зіп а =
О
З
60.	Побудуйте кут а, якщо соз а = —=-.
О
61? Доведіть, що коли соз а = соз 0, то а = 0.
62.* Доведіть, що коли зіп а = зіп 0, то або а = 0, або а —
= 180° — 0.
§ 9. РУХ
82.	ПЕРЕТВОРЕННЯ ФІГУР
Якщо кожну точку даної фігури змістити яким-небудь
чином, то ми дістанемо нову фігуру. Говорять, що ця фігура
утворилася перетворенням даної (мал. 182).
Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом,
якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить
будь-які дві точки X і ¥ першої фігури у точки X', У' другої
фігури так, що ХУ = Х'У' (мал. 183).
Зауваження. Поняття руху в геометрії пов’язане із
звичайним уявленням про переміщення. Але якщо, говорячи
про переміщення, ми уявляємо неперервний процес, то в геомет-
рії для нас матиме значення тільки початкове і кінцеве поло-
ження фігури.
Мал. 182
Мал. 183
§ 9. Рух
127
Нехай фігура Р переводиться рухом у фігуру Р', а фігура
Р' переводиться рухом у фігуру Р" (мал. 184). Нехай під час
першого руху точка X фігури Р переходить у точку X' фігури
Р', а під час другого руху точка X' фігури Р' переходить у
точку X” фігури Р". Тоді перетворення фігури Р у фігуру Р",
при якому довільна точка X фігури Р переходить у точку X"
фігури Р", зберігав відстань між точками, а тому є також рухом.
Цю властивість руху виражають словами: два рухи, викона-
ні послідовно, дають знову рух.
Нехай перетворення фігури Р у фігуру Р' переводить різні
точки фігури Р у різні точки фігури Р' (мал. 182). Нехай довіль-
на точка X фігури Р при цьому перетворенні переходить у точку
X' фігури Р'. Перетворення фігури Р' у фігуру Р, при якому
точка X' переходить у точку X, називається перетворенням,
оберненим до даного. Рух зберігає відстані між точками, тому
переводить різні точки в різні.
Очевидно, перетворення, обернене до руху, теж є рух.
83.	ВЛАСТИВОСТІ РУХУ
Теорема 9.1. Точки, що лежать на прямій, під час руху
переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається
порядок їх взаємного розміщення.
Це означає, що коли точки А, В, С, які лежать на прямій,
переходять у точки А і, Ві, Сі, то ці точки також лежать на
прямій; якщо точка В лежить між точками А і С, то точка В і
лежить між точками Аі і Сі.
Доведення. Нехай точка В прямої АС лежить між точ-
ками А і С. Доведемо, що точки А і, Ві, Сі лежать на одній прямій.
Якщо точки А і, Ві, Сі не лежать на прямій, то вони є верши-
нами трикутника. Тому АіС, < АіВі ВіСь За означенням ру-
ху звідси випливав, що АС < АВ 4- ВС. Проте за властивістю
вимірювання відрізків АС — АВ + ВС.
Ми прийшли до суперечності. Отже, точка В| лежить на
прямій АіСі. Перше твердження теореми доведено.
Покажемо тепер, що точка В і лежить між точками А, і Сі.
8 клас
128
Припустимо, що точка А і лежить між точками В, і Сі. Тоді
АіВі -|- АіСі = В|С|, і тому АВ АС = ВС. Але це суперечить
рівності АВ + ВС = АС. Таким чином, точка А, не може
лежати між точками В, і С|.
Аналогічно доводимо, що точка Сі не може лежати між
точками Аі і В[.
Оскільки з трьох точок Аі, Ві, Сі одна лежить між двома
іншими, то цією точкою може бути ТІЛЬКИ В|. Теорему доведено.
З теореми 9.1 випливає, що під час руху прямі переходять
у прямі, півпрямі — у півпрямі, відрізки — у відрізки (мал. 185).
Мал. 186
Доведемо, що під час руху зберігаються кути між півпря-
мими.
Нехай АВ і АС — дві півпрямі, що виходять з точки А і
не лежать на одній прямій (мал. 186). Під час руху ці півпрямі
перейдуть у деякі півпрямі АіВі і АіСі. Оскільки рух зберігає
відстані, то трикутники АВС і АіВіСі рівні за третьою ознакою
рівності трикутників. З рівності трикутників випливає рівність
кутів ВАС і ВіАіСі, що й треба було довести.
84.	СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ТОЧКИ
Нехай О — фіксована точка і X — довільна точка площини
(мал. 187). Відкладемо на продовженні відрізка ОХ за точку О
відрізок ОХ’, що дорівнює ОХ. Точка X' називається симетрич-
§ 9. Рух
129
ною точці X відносно точки О. Точка, симетрична точці О, є сама
точка О. Очевидно, точка симетрична точці X', є точка X.
Перетворення фігури Р у фігуру Р', при якому кожна її
точка X переходить у точку X', симетричну відносно даної
точки О, називається перетворенням симетрії відносно точки О.
При цьому фігури Р і Р' називаються симетричними відносно
точки О (мал. 188).
Якщо перетворення симетрії відносно точки О переводить
фігуру Р у себе, то вона називається центрально-симетричною,
а точка О називається центром симетрії.
Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною фігу-
рою. Центром симетрії його є точка перетину діагоналей
(мал. 189).
Теорема 9.2. Перетворення Симетрії відносно точки є
рухом.
Доведення. Нехай X і У — дві довільні точки фігури Р
(мал. 190). Перетворення симетрії відносно точки О переводить
їх у точки X' і У'. Розглянемо трикутники ХОУ і Х'ОУ. Ці три-
кутники рівні за першою ознакою рівності трикутників. У них
кути при вершині О рівні як вертикальні, а ОХ — ОХ', ОУ =
= ОУ за означенням симетрії відносно точки О. З рівності
трикутників випливав рівність сторін ХУ — Х'У. А це означає,
що симетрія відносно точки О є рух. Теорему доведено.
5 Геометрія, 7-9 кл.
8 клас
130
85.	СИМЕТРІЯ ВІДНОСНО ПРЯМОЇ
Нехай & — фіксована пряма (мал. 191). Візьмемо довільну
точку X і опустимо перпендикуляр АХ па пряму На про^
довженні перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок АХ',
що дорівнює відрізку АХ. Точка X' називається симетричною
точці X відносно прямої Якщо точка X лежить на прямій §,
то симетрична їй точка є сама точка X. Очевидно, що точка,
симетрична точці X', є точка X.
Перетворення фігури Р у фігуру Р', при якому кожна її
точка X переходить у точку X', симетричну відносно даної пря-
мої р, називається перетворенням симетрії відносно прямої в.
При ньому фігури Р і Р' називаються симетричними відносно
прямої 8 (мал. 192).
Якщо перетворення симетрії відносно прямої £ переводить
фігуру Р у себе, то ця фігура називається симетричною відносно
прямої $, а пряма § називається віссю симетрії фігури.
Наприклад, прямі, що проходять через точку перетину діаго-
налей прямокутника паралельно його сторонам, є осями симет-
рії прямокутника (мал, 193). Прямі, на яких лежать діагоналі
ромба, є його осями симетрії (мал. 194).
§ 9. Рух
131
Теорема 9.3. Перетворення си-
метрії відносно прямої є рух.
Доведення. Приймемо дану
пряму за вісь у декартової системи
координат (мал. 195). Нехай довільна
точка А (х; у) фігури Р переходить
у точку А'(х'; у') фігури Р'. З означен-
ня симетрії відносно прямої випливає,
що точки А і А' мають рівні ординати,
а абсциси відрізняються тільки зна-
ком: х' = —х.
Візьмемо дві довільні точки А(хі;	Мал. 195
у і) і В(х2; у і)- Вони перейдуть у точки
А'(—хі; уі) і В'(—х2; у2).
Маємо:
АВ2 = (х2 — хі)2 4- (у2 — у і)2,
А'В'2 = (—х2 + хі)2 + (у2 — і/і)2.
Звідси бачимо, що АВ = А 'В'. Це означає, що перетворення
симетрії відносно прямої є рух. Теорему доведено.
86.	ПОВОРОТ
Поворотом площини навколо даної точки називається такий
рух, при якому кожний промінь, що виходить з даної точки,
повертається на один і той самий кут в одному і тому самому
напрямі (мал. 196). Це означає, що коли при повороті навколо
точки О точка X переходить у точку X’, то промені ОХ і ОХ'
утворюють один і той самий кут, якою б не була точка X. Цей
кут називається кутом повороту. Перетворення фігур при пово-
роті площини також називається поворотом.
Л. Задача (25). 1) Побудуйте точку А і, в яку пере-
( о ) ходить точка А при повороті навколо точки О на кут 60° за
5__( годинниковою стрілкою.
2) Побудуйте фігуру, в яку	—і
переходить відрізок АВ при по-	X <• І
вороті навколо точки О на кут 60°	І—,
за годинниковою стрілкою.	І
Р о з в’ я з а н н я. 1) Прове-
демо промінь ОА і побудуємо
промінь ОМ так, що А. АОМ —	/
= 60° (мал. 197, а). Відкладемо
на промені ОМ відрізок ОАІг що	п
дорівнює відрізку ОА. Точка А\
шукана.	Мал. 196
8 клас
132
2) Побудуємо точки А| і Ві, в які переходять при дано
му повороті точки А і В, які є кінцями відрізка АВ (мал.
197, б). Відрізок АіВ‘ є шуканим, оскільки при повороті
відрізок переходить у відрізок.
87.	ПАРАЛЕЛЬНЕ ПЕРЕНЕСЕННЯ І НОГО ВЛАСТИВОСТІ
Наочно паралельне перенесення означають як перетворення,
при якому точки зміщуються в одному і тому самому напрямі
на одну й ту саму відстань (мал. 198). Таке означення має той
недолік, що в ньому вживається вислів «в одному і тому самому
напрямі», який сам потребує точного означення. У зв’язку
з цим паралельному перенесенню ми дамо інше означення,
яке відповідає тому самому наочному уявленню, але вже строге.
Введемо на площині декартові координати х, у. Перетворен-
ня фігури Р, при якому довільна її точка (х; у) переходить
у точку (х а; у Ь), де а і Ь одні й ті самі для всіх точок
§ 9. Рух
133
(х; у), називається паралельним перенесенням (мал. 199).
Паралельне перенесення задається формулами:
х' = х 4- а, у' = у -г Ь.
Ці формули виражають координати х', у' точки, у яку перехо-
дить точка (х; у) при паралельному перенесенні.
Паралельне перенесення е рух.
Справді, ДВІ ДОВІЛЬНІ ТОЧКИ А(хґ, У;), В(Х2‘, у і) переходять
при паралельному перенесенні у точки А'(х\ + а, у\ 4* &),
В'(х2 -|- а, у-2 4- Ь).
Тому
АВ‘ = (х2 - х.)2 4- (у2 - уі)\
АВ' = (х2 — Х|)2 4- (у2 — у і)
•Звідси ЛВ = А'В'. Таким чином, паралельне перенесення
зберігає відстані, тобто є рухом, що й треба було довести.
Назва «паралельне перенесення» зумовлена тим, що при
паралельному перенесенні танки зміщуються вздовж паралель-
них прямих (або прямих, які збігаються) на одну й ту саму
відстань.
Справді, нехай точки А(хг, уі) і В(х?; у2) переходять у точки
А'(хі 4- а; У і 4- Ь) і В'<Х2 + а; у2 + Ь) (мал. 200). Середина від-
різка АВ' має координати
_ X, + Х2 + а _ ; і -і- У2 + о
2	’ У	2
Ті самі координати має і середина відрізка А'В. Звідси випли-
ває, що діагоналі чотирикутника АА’В'В перетинаються і точ-
кою перетину діляться пополам. Отже, цей чотирикутник — па-
ралелограм. А в паралелограма протилежні сторони АА' і ВВ'
паралельні і рівні.
Зазначимо, що в паралелограма АА'В’В паралельні і дві
інші протилежні сторони А В і А'В'. Звідси випливав, що при
паралельному перенесенні пряма переходить у паралельну
пряму (або в себе).
Зауваження. У попередньому доведенні припускалось,
що точка В не лежить на прямій АА'. У випадку, коли точка
Мал. 200
Мал. 201
8 клас
134
В лежить на прямій А А', точка В' теж лежить на цій прямій,
бо середина відрізка АВ' збігається із серединою відрізка В А’
(мал. 201). Отже, всі точки А, В, А', В' лежать на одній прямій.
Далі
АА' = ->/(хі 4-а — хї)2 + (1/і + & — У')2 = л/а2 4* ЬТ,
ВВ' = д/(х2 4-а — х2)2 + (уг 4- Ь — Уг)2 = д/а2 4- Ьт.
Таким чином, у цьому випадку точки А і В зміщуються
вздовж прямої АВ на одну й ту саму відстань -\/а2 + а пряма
А В переходить у себе.
88.	ІСНУВАННЯ І ЄДИНІСТЬ
ПАРАЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНЕСЕННЯ
Теорема 9.4. Які б не були дві точки А і А', існує одне і до
того єдине паралельне перенесення, при якому точка А пере-
ходить у точку А'.
Доведення. Спочатку доведемо існування паралельного
перенесення, яке переводить точку А у А'. Введемо декартові
координати на площині. Нехай а і і а2 — координати точки А
і а{, а2 — координати точки А'. Паралельне перенесення, задане
формулами
х' = х 4- а'і — ай у' у 4- а2 — а2,
переводить точку А у точку А'. Справді, якщо х = а і і у = а2,
дістанемо х' = а{, у’ = а2.
Доведемо єдиність паралельного
перенесення, яке переводить точку А
у точку А'. Нехай X — довільна
точка фігури і X' — точка, в яку вона
переходить при паралельному пере-
несенні (мал. 202). Як відомо, відріз-
ки ХА' і АХ' мають спільну сере-
дину О. Задання точки X однозначно
визначає точку О — середину відрізка
А'Х. А точки А і О однозначно ви-
значають точку X', оскільки точка О
є серединою відрізка АХ'. Одно-
значність у визначенні точки X'
і означав єдиність паралельного перенесення.
Теорему доведено повністю.
Л. Задача (ЗО). При паралельному перенесенні точка
. 6 \ (1; 1) переходить у точку (—1; 0). В яку точку переходить
(_і початок координат?
Розв’язання. Будь-яке паралельне перенесення
задається формулами: х' = х 4- а, у' = у 4- Ь.
Оскільки точка (1; 1) переходить у точку (—1; 0), то
— 1 = 14-а, 0=14-6. Звідси а = —2, Ь — —1. Таким
§ 9. Рух
135
чином, наше паралельне перенесення, яке переводить точ-
ку (1; 1) у (—1; 0), задається формулами х' = х — 2, у' =
= у — 1. Підставляючи в ці формули координати початку
(х = 0, у = 0), дістанемо х' = —2, у' = —1. Отже, початок
координат переходить у точку (—2; —1).
89.	СПІВНАПРЯМЛЕШСТЬ ПІВІ1РЯМИХ
Дві півпрямі називаються однаково напрямленими або
спів напрямленими, якщо вони суміщаються паралельним пере-
несенням. Тобто існує паралельне перенесення, яке переводить
одну півпряму в іншу.
Якщо півпрямі а і Ь однаково напрямлені й півпрямі Ь і с
однаково напрямлені, то півпрямі а і с також однаково напрям-
лені (мал. 203).
Справді, нехай паралельне перенесення, яке задано форму-
лами
х' = х + тп, у' = у + п,	(*)
переводить півпряму а у півпряму Ь, а паралельне перенесен-
ня, задане формулами
х" = х' + Ші, у" = у' + Пі,	(**)
переводить півпряму Ь у півпряму с.
Розглянемо паралельне перенесення, задане формулами
х" = х т 4- т\, у" = у 4- п 4- Пі. (***)
Стверджуємо, що це паралельне перенесення переводить півпря-
му а у півпряму с. Доведемо це.
Нехай (х; у) — довільна точка півпрямої а. Відповідно до
формул (♦) точка (х 4- т; у + п) належить півпрямій Ь. Оскіль-
ки точка (х 4- т; у 4- п) належить півпрямій Ь, то за формула-
ми (*♦) точка (х 4- тп 4- кі\; у 4- п 4~ належить півпрямій с.
Таким чином, паралельне перенесення, задане формулами
8 клас
136
(***), переводить півпряму а у півпряму с. А це означає, що пів
прямі а і с однаково напрямлені, що й треба було довести.
Дві півпрямі називаються протилежно напрямленими, якщо
кожна з них однаково напрямлена з піьпрямою, доповняльною
до другої (мал. 204).
Ж Задача (32). Прямі АВ і СІ> — паралельні. Точки
ґоу А і П лежать з одного боку від січної ВС. Доведіть, що
промені В А і СЛ однаково напрямлені.
Розв’язання. Застосуємо до променя СЛ паралель-
не перенесення, при якому точка С переходить у точку В
(мал. 205). При цьому пряма СЛ суміститься з прямою
ЗА. Точка Л, зміщаючись вздовж прямої, паралельної
СВ, залишається у тій самій півплощині відносно прямої
ВС. Тому промінь СЛ суміститься з променем ВА, а отже,
ці промені однаково напрямлені.
90.	РІВНІСТЬ ФІГУР
Дві фігури називаються рівними, якщо вони переводяться
рухом одна в одну.
Для позначення рівності фігур користуються звичайним
знаком рівності. Запис Р — В' означає, що фігура Р дорівнює
фігурі Р'. У записі рівності трикутників’ а АВС = А АіВіСі
передбачається, що вершини, які суміщаються під час руху,
стоять на відповідних місцях. За такої умови рівність трикут-
ників, що визначається через суміщення їх рухом, і рівність,
як ми її розуміли досі, виражають одне і те саме.
Це означає, що коли у двох трикутниках відповідні сторони
рівні і відповідні кути рівні, то ці трикутники суміщаються
рухом. І навпаки, якщо два трикутники суміщаються рухом, то
у них відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні. Доведемо
обидва ці твердження.
Нехай трикутник АВС суміщається рухом з трикутником
АіВіСі, причому вершина А переходитьу вершину Аі.В — у Ві,
С — у Сі. Оскільки під час руху зберігаються відстані і кути, то
§ 9. Рух
137
Мал. 206
для наших трикутників АВ = А\Ві, ВС = В|Сі, АС = АіСі,
А А = А Лі, В — А В\, А С = А С\.
Нехай тепер у трикутників АВС і АіВіСі маємо АВ = АіВі,
ВС=ВіСь АС — А\С\, А А =А А„ А В = А В,, АС =
= А С\. Доведемо, що вони суміщаються рухом, причом}’ вер-
шина А переходить у вершину А і, В — у В>, С — у Сі. Засто-
суємо до трикутника АВС перетворення симетрії відносно
прямої а, яка перпендикулярна до відрізка ААі і проходить
через його середину (мал. 206). Дістанемо трикутник А1В2С2.
Якщо точки Ві і Во різні, то застосуємо до нього симетрію від-
носно прямої Ь, яка проходить через точку А । і перпендикулярна
до прямої В1В2. Дістанемо трикутник А1В1С3.
Якщо точки Сі і Сз лежать з одного боку від прямої А1Ві, то
вони збігаються. Справді, оскільки кути ВіАїС, і В1А1С4 рівні,
то промені А!<?। і АіСз збігаються, а через те, що відрізки А іСі і
А1С3 рівні, то збігаються точки Сі і Сз. Таким чином, трикутник
АВС рухом переведено у трикутник АіВіСі.
Якщо точки Сі і Сз лежать з різних боків від прямої АВ>,
то для доведення треба ще застосувати симетрію відносно
прямої АіВі.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
•
1.	Яке перетворення фігури називається рухом?
2.	Доведіть, що під час руху точки, які лежать на прямій, пере-
ходять у точки, які теж лежать на прямій, і зберігається
порядок їх взаємного розміщення.
3.	У що переходять прямі, півпрямі, відрізки під час руху?
4.	Доведіть, що під час руху зберігаються кути.
5.	Поясніть, які точки називаються симетричними відносно
даної точки.
8 клас
138
6.	Яке перетворення називається симетрією відносно даної
точки?
7.	Яка фігура називається центрально-симетричною?
8.	Що таке центр симетрії фігури? Наведіть приклад централь-
но-симетричної фігури.
9.	Доведіть, що симетрія відносно тсчки є рух.
10.	Які точки називаються симетричними відносно даної
прямої?
11.	Яке перетворення називається симетрією відносно даної
прямої?
12.	Яка фігура називається симетричною відносно даної пря-
мої?
13.	Що таке вісь симетрії фігури? Наведіть приклад.
14.	Доведіть, що симетрія відносно прямої є рух.
15.	Який рух називається поворотом?
16.	Що таке паралельне перенесення?
17.	Які ви знаєте властивості паралельного перенесення?
18.	Доведіть існування і єдиність паралельного перенесення,
яке переводить дану точку в іншу дану точку.
19.	Які півпрямі називаються співнапрямленими?
20.	Доведіть, що коли півпрямі а і Ь однаково напрямлені і пів-
прямі Ліс однаково напрямлені,, то півпрямі а і с теж одна-
ково напрямлені.
21.	Які півпрямі називаються протилежно напрямленими?
22.	Які фігури називаються рівними?
ф	ЗАДАЧІ
1.	Доведіть, що під час руху паралелограм переходить у пара-
лелограм.
2.	У яку фігуру переходить під час руху квадрат? Поясніть
відповідь.
3.	Дано точки А і В. Побудуйте точку В', симетричну точці В
відносно точки А.
4.	Розв'яжіть попередню задачу, користуючись тільки цир-
кулем.
5.	Доведіть, що центр кола є його центром симетрії.
6.	При симетрії відносно деякої точки точка А переходить у
точку X'. Побудуйте точку, в яку при цій симетрії перехо-
дить точка У.
7.	Чи може у трикутника бути центр симетрії?
8.	Доведіть, що у паралелограма точка перетину діагоналей
є центром симетрії.
9.	Доведіть, що чотирикутник, в якого є центр симетрії, є пара-
лелограмом.
10? Дано прямі, які перетинаються, і точка, що не лежить на
§ 9- Рух
139
цих прямих. Побудуйте відрізск з кінцями па даних прямих
і серединою в даній точці (мал. 207).
11.	Якою є фігура, симетрична відносно даної точнії: 1) відріз-
ку; 2) куту; 3) трикутнику?
12.	Дано точки А, В, С. Побудуйте точку С', симетричну точці С
відносно прямої АВ.
13.	Розв’яжіть задачу 12, користуючись тільки циркулем.
14.	Знайдіть координати точки, симетричної точці (—3; 4) від-
носно: 1) осі х; 2) осі у, 3] початку координат,
15.	При симетрії відносно деякої прямої точка X переходить у
точку X'. Побудуйте точку, в яку перейде при цій симетрії
точка У.
16.	Доведіть, що пряма, яка містить бісектрису кута, є його
віссю симетрії.
17.	Доведіть, що пряма, яка містить медіану рівнобедреного
трикутника, проведену до основи, є віссю симетрії трикут-
ника.
18.	Доведіть, що коли у трикутнику є вісь симетрії, то 1) вона
проходить через одну з його вершин; 2) трикутник рівпо-
бедрений.
19.	Скільки осей симетрії у рівн ©сторонньому трикутнику?
20.	Доведіть, що прямі, які проходять через точку перетину
діагоналей прямокутника паралельно його сторонам, є його
осями симетрії (мал. 208).
21.	Доведіть, що діагоналі ромба е його осями симетрії.
22.	Доведіть, що діагоналі квадрата і прямі, які проходять
через точку їх перетину паралельно його сторонам, є осями
симетрії квадрата (мал. 209).
23.	Доведіть, що пряма, яка проходить через центр кола, є його
віссю симетрії.
24* Дачо три прямі а, Ь, с, які попарно перетинаються. Як
побудувати відрізок, перпендикулярний до прямої Ь, сере
дина якого лежить на прямій Ь, а кінці на прямих а і с
(мал. 210)? Чи завжди задача мас розв’язок?
25.	1) Побудуйте точку А і, в яку переходить точка А при пово-
роті навколо точки 0 на кут 60° за годин никовою стрілкою.
8 клас
140
2)	Побудуйте фігуру, в яку переходить відрізок АВ при по-
вороті навколо точки О на кут 60° за годинниковою стріл-
кою.
26.	Побудуйте фігуру, в яку переходить трикутник АВС при по-
вороті його навколо вершини С на кут 60°.
27.	Дано точки А, В, С. Побудуйте точку С', в яку переходить
точка С при паралельному перенесенні, що переводить точку
А у В.
28.	Паралельне перенесення задається формулами х' = х + 1,
у' — у — 1. В які точки при цьому паралельному перене-
сенні переходять точки (0; 0), (1; 0), (0; 2)?
29.	Знайдіть величини а і Ь у формулах паралельного перене-
сення х' = х + а, у' = у + Ь, якщо: 1) точка (1; 2) пере-
ходить у точку (3; 4); 2) точка (2; —3) — у точку (—1; 5);
3) точка (—1; —3) — у точку (0; —2).
ЗО.	При паралельному перенесенні точка (1; 1) переходить у
точку (—1; 0). В яку точку переходить початок координат?
31.	Чи існує паралельне перенесення, при якому: 1) точка (1; 2)
переходить у точку (3; 4), а точка (0; 1) — у точку (—1; 0);
2) точка (2; — 1) переходить у точку (1; 0), а точка (—1; 3) —
у точку (0; 4)?
32.	Прямі АВ і СО — паралельні. Точки А і О лежать з одного
боку від січної ВС. Доведіть, що промені ВА і СО однаково
напрямлені.
33.	Доведіть, що в задачі 32 промені ВА і СО протилежно на-
прямлені, якщо точки А і О лежать по різні боки від січної
ВС.
34.	Чотирикутник АВСВ — паралелограм. Серед променів АВ,
ВА, ВС, СВ, СВ, ВС, АВ, В А назвіть пари однаково напрям-
лених і протилежно напрямлених променів.
35.	Доведіть, що відрізки однакової довжини і кути з однаковою
градусною мірою суміщаються рухом.
§ 9- Рух
141
36? У паралелограмів АВСВ і А{В\С\В\: АВ = А\В\, АВ =
= А|Рі і А А = А А Доведіть, що паралелограми рівні,
тобто суміщаються рухом.
37? Доведіть, що ромби рівні, якщо вони мають рівні діагоналі.
38. Доведіть, що два кола однакового радіуса рівні, тобто
суміщаються рухом.
§ 10. ВЕКТОРИ
91.	АБСОЛЮТНА ВЕЛИЧИНА І НАПРЯМ ВЕКТОРА
Вектором називатимемо напрямлений відрізок (мал. 211).
Напрям вектора визначається його початком і кінцем. На ма-
люнку напрям вектора позначають стрілкою. Для позначення
векторів використовуватимемо малі букви латинського алфаві-
ту а, Ь, с, ... . Можна також позначити вектор, вказавши його
початок і кінець. При такому способі позначення вектора на
перше місце ставлять його початок. Іноді замість слова «вектор»
над буквеним позначенням вектора ставлять стрілку або риску.
Вектор на малюнку 211 можна позначити так: а, а або АВ.
Вектори АВ і СВ називаються однаково напрямленими, якщо
однаково напрямлені й півпрямі АВ і СВ. Вектори АВ і СВ нази-
ваються протилежно напрямленими, якщо протилежно напрям-
лені й півпрямі АВ і СВ. На малюнку 212 вектори аїЬ однаково
напрямлені, а вектори а і с протилежно напрямлені.
Абсолютною величиною (або модулем) вектора називається
довжина відрізка, що зображає вектор. Абсолютна величина
вектора а позначається |а|.
Початок вектора може збігатися з його кінцем. Такий вектор
називатимемо нульовим вектором. Нульовий вектор познача-
ється нулем з рискою (0). Про напрям нульового вектора не гово-
рять. Вважається, що абсолютна величина нульового вектора
дорівнює нулю.
Мал. 211
Мал. 212
8 клас
142
92.	РІВНІСТЬ ВЕКТОРІВ
Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються
паралельним перенесенням. Це означає, що існує паралельне
перенесення, яке переводить початок і кінець одного вектора
відповідно у початок і кінець другого вектора.
З означення рівності векторів випливає, що рівні вектори
однаково напрямлені й рівні за абсолютною величиною.
І навпаки, якщо вектори однаково напрямлені й рівні за
абсолютною величиною, то_вони рівні.
Справді, нехай АВ і СВ — однаково напрямлені вектори,
рівні за абсолютною величиною (мал. 213). Паралельне пере-
несення, яке переводить точку С у точку А, суміщає півпряму СВ
з півпрямою АВ, оскільки вони однаково напрямлені. А через те
що відрізок АВ дорівнює відрізку СВ, то точка В збігається з
точкою В, тобто паралельне перенесення переводить вектор
СВ у вектор АВ. Отже, вектори АВ і СВ рівні, що й треба було
довести.
Лк Задача (2). Чотирикутник АВСВ — паралелограм.
( 2 Доведіть рівність векторів АВ і ВС. ______
і_< Розв’язання. Застосуємо до вектора АВ паралель-
не перенесення, при якому точка А переходить у точку В
(мал. 214). В результаті цього перенесення точка А перемі-
щується вздовж прямої АВ, а отже, точка В переміщується
вздовж паралельної прямої ВС. Пряма АВ переходить
у паралельну пряму, тобто у пряму ВС. Отже, точка В
перейде у точку С. Таким чином, наше паралельне пере-
несення переводить вектор АВ у вектор ВС, а це означає,
що ці вектори рівні.
Нехай а — вектор і А — довільна точка. Тоді від точки А
можна відкласти один і тільки один вектор а', що дорівнює век-
тору а.
Справді, існує_ єдине паралельне перенесення, при якому
початок вектора а переходить у точку А. Вектор, в який пере-
ходить при цьому вектор а, і є вектор а'.
§ 10. Вектори	143
Для практичного відкладання від даної точки (О) вектора,
що дорівнює даному (АВ), можна скористатися твердженням
задачі 2.
93.	КООРДИНАТИ ВЕКТОРА
Нехай вектор а має початком точку Аі(хі; у і), а кінцем
точку Аі(Х2', Уі). Координатами вектора а називатимемо числа
а і = х2 — Хі, а? = у2 — у>. Координати вектора ставитимемо
поряд з буквеним позначенням вектора, у даному випадку
а(аг, а2) або просто (аг, а2). Координати нульового вектора дорів-
нюють нулю.
З формули, яка виражає відстань між двома точками через
їх координати, випливає, що абсолютна величина вектора з
координатами а і, аг дорівнює у/аї + аг.
Рівні вектори мають рівні відповідні координати. І навпаки,
якщо у векторів відповідні координати рівні, то вектори рівні.
Справді, нехай Аі(хі; у\) і А2(х2; г/г)— початок і кінець
вектора а. Оскільки вектор а', що дорівнює йому, дістають з век-
тора а паралельним перенесенням, то його початком і кінцем
будуть відповідно: А((хі +_ С\_У\ + «0» А2(х2 + с; г/2 + гі). Звідси
видно, що обидва вектори а і а' мають одні і ті самі координати:
Хг — Х1, У2 — у\.
Доведемо тепер обернене твердження. Нехай відповідні
координати векторів А|А2 і А{А2 рівні. Доведемо, що вектори
рівні.
Нехай х( і уї — координати точки А і, а х2, уї — координати
точки А2. За умовою теореми х2 — Хі = х2 — х(, у2 — у\ = уї —-
— у і. Звідси х2 = Хг + Хі — Хі, уї = у 2 + уї — у і. Паралельне
перенесення, що задається формулами
х' = х -(- ХЇ — Хі, у’ = у + у\ — уь
переводить точку А। у точку Аі, а точку Аг у точку А2, тобто
вектори А ।Аг і А'А2 рівні, що й треба було довести.
лі Задача (7). Дано три точки: А(1; 1), В(— 1; 0), С(0; 1).
(0 ) Знайдіть таку точку О(х; у), щоб вектори АВ і СО були
{ / рівні.	___
Розв’язання. Координати вектора АВ: —2; —1.
Координати вектора СО: х — 0, у — 1. Оскільки АВ = СО,
то х — 0 = —2, у — 1 = —1. Звідси знаходимо коорди-
нати точки О: х = —2, у = 0.
94.	ДОДАВАННЯ ВЕКТОРІВ
Сумою векторів аіЬ з координатами аі, а2 і Ьі, Ь2 називається
вектор с з координатами аі +	«2 + &г, тобто
а(аі; а2) + Ь(Ьі; йг) = фі + Ь\; а2 + Ь2).
8 клас
144
Для будь-яких векторів а(аі; а2), Ь(Ьі; Ь2), с(сг, с2)
а + Ь = Ь а, в-(-(Ь-4-с)=(о_|- Ь) с.
Для доведення досить порівняти відповідні координати
векторів, що стоять у правій і лівій частинах рівностей. Ми бачи-
мо, що вони рівні. А вектори з відповідно рівними координа-
тами рівні.
Теорема 10.1. Які б не були точки А, В, С, справджується
векторна рівність:
АВ + ВС=АС.
Доведення. Нехай А(хі; у і), В(Хіі__у2), С(х3; у з) — дані
точки (мал. 215). Координати вектора АВ: х2 — Хі, у2 — уі,
а координати вектора ВС: х3 — х2, уз — у2. Отже, координатами
вектора АВ + ВС в х3 — Хі, у з — у і. А це і є координати вектора
АС. Отже, вектор АВ + ВС дорівнює вектору АС. Теорему до-
ведено.
З теореми 10.1 маємо такий спосіб побудови суми довільних
векторів а і К. Треба від кінця вектора а відкласти вектор Ь', що
дорівнює вектору Ь. Тоді вектор, початок якого_ збігається з
початком_вектора а, а кінець — з кінцем вектора Ь’, буде сумою
векторів а і Ь (мал. 216). Такий спосіб знаходження суми двох
§ 10. Вектори
145
векторів називається «правилом три-
кутника* додавання векторів.
Для векторів із спільним початком
їх сума зображається діагоналлю
паралелограма, побудованого на них
векторах («правило паралелограма»)
(мал. 217). Справді, АВ + ВС = АС,
а ВС — АІ). Отже, АВ + АВ =
= АС.
Різницею векторів а(аі; аг),_Ь(Ь\', Ь2)
називається такий вектор с(<\; с2),
який у сумі з вектором Ь дає
вектор а:_ Ь с = а. Звідси знаходимо
координати вектора
с = а — Ь:
Сі = а і — Ьє? = а? — Ьі.
Л. Задача (11). Дано вектори із спільним початком:
і ' ) АВ і АС (мал. 218). Довести, що АС — АВ — ВС.
і_( Р о з в’ я з а н н я. Маємо: АВ + ВС = АС. А це озна-
чає, що АС — АВ = ВС.
Звідси дістаємо таке правило для побудови різниці двох
векторів. Щоб побудувати вектор, який дорівнює різниці
векторів а і Ь, треба від однієї точки відкласти вектори а' і Ь',
що дорівнюють їм. Тоді вектор, початок якого збігається
з кінцем вектора Ь, а кінець — з кінцем вектора а', буде різни-
цею векторів а і Ь (мал. 219).
95.	ДОДАВАННЯ СИЛ
Силу, прикладену до тіла, зручно зображати вектором,
напрям якого збігається з напрямом дії сили, а абсолютна
величина пропорційна до величини сили. Як свідчить досвід,
при такому способі зображення сил рівнодійна двох або декіль-
кох сил, прикладених до тіла в одній точці, зображається
сумою відповідних їм векторів. На малюнку 220, а л° тіла
в точці А прикладені дві сили, зображені векторами аіЬ. Рівно-
дійна цих сил зображається вектором
с = а 4- Ь.
Зображення сили у вигляді суми сил, які діють у двох зада-
них напрямах, називається розкладанням сили за цими на-
прямами. Так, на малюнку 220, а силу с розкладено на суму сил
а і Ь — складові сили с.
Розкладання вектора зручно робити за двома перпендику-
лярними осями. У цьому випадку складові вектора називаються
проекціями вектора на осі (мал. 220, б).
8 клас
146
лі Задача (16). З якою силою Р треба утримувати
ґі) вантаж вагою Р на похилій площині, щоб він не скочував-
1 ся вниз (мал. 221)?
Розв'язання. Нехай О — центр маси вантажу, до
якого прикладено силу Р. Розкладемо вектор Р за двома
взаємно перпендикулярнитли напрямами, як показано
на малюнку 221. Сила ОА перпендикулярна до похилої
площини і не викликає переміщення вантажу. Сила Р, яка
утримує вантаж, має дорівнювати за величиною і бути
протилежною за напрямом силі ОВ. Тому Р = Рвіпос.
96.	МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
_ Лобутком вектора^ (а,; а^_ на число X називається вектор
(Хаі; ка2), тобто (а,; аг)Х = (Хаі; Хаг).
За означенням _
(аі; аг)а = Х(аг, аг).
З означення операції множення вектора на число випливає,
що для будь-якого вектора а_і чисел X, р
(X ц) а = Ка 4т. і10-
Для будь-яких двох векторів а і Ь і числа X
7.( а 4“ б) = Ха 4~ Х6.
§ 10. Вектори
147
Теорема 10.2. Абсолютна величина вектора Ха дорівнює
|Х| • |а|. Напрям вектора ка, якщо а 0, збігається з напрямом
вектора а, якщо X > 0, і протилежний напряму вектора а,
якщо X < 0.
Доведення. Побудуємо вектори О А і ОВ, які відповідно
дорівнюють а і Ха (О — початок координат). Нехай а і і ач —
координати вектора а. Тоді координатами точки А будуть
числа Яі і ач, а координатами точки В — Ха,, Ха? (мал. 222).
Рівняння прямої О А мав вигляд:
ах + Ру = 0.
Оскільки це рівняння задовольняють координати точки
А(аг, ач), то його задовольняють і координати точки В(Хаі; Ха2).
Звідси випливає, що точка В лежить на прямій ОА. Координати
Сі і с2 будь якої точки С, яка лежить на півпрямій ОА, мають ті
самі знаки, що й координати аі і а2 точки А, а координати
будь-якої точки, що лежить на півпрямій, доповняльній до ОА,
мають протилежні знаки.
Якщо X > 0, то точка В лежить на півпрямій ОА, а отже,
вектори а і Ха однаково напрямлені. Якщо X <. 0, то точка В
лежить на доповняльній півпрямій, і вектори а та Ха протилеж-
но напрямлені.
Абсолютна величина вектора Ха дорівнює:
|Ха| = лДХаї)2 + (Хаар = |Х| \аі ач = |Х| |а|.
Теорему доведено.
ФЗ а д а ч а (17). Дано точки А(хи у\) і В(х2; у2). Дове-
діть, що вектори АВ і В А протилежно напрямлені.
Розв’язання. Координати вектора АВ: х2— Хї і
уч — уКоординати вектора ВА: хї — х2 і — у2. Ми ба-
чимо, що АВ = (— 1В А. А це означає, що вектори АВ
і ВА протилежно напрямлені.
8 клас
148
97.	РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА ЗА ДВОМА
НЕКОЛІНЕАРНИМИ ВЕКТОРАМИ
Два ненульові вектори називаються колінеарними, якщо
вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих
(мал. 223). Колінеарні вектори або однаково напрямлені, або
протилежно напрямлені.
Нехай, аіЬ — відмінні від нуля колінеарні вектори. Доведе-
мо, що існує число X таке, що
Ь = ка.
Припустимо, вектори а і Ь однаково напрямлені. Вектори
г . |Ь|	-
о і • а однаково напрямлені і мають одну і ту ж абсолютну
величину |Ь|. Отже, вони рівні:
Для випадку протилежно напрямлених векторів а і Ь анало-
гічно робимо висновок, що
що й треба було довести.
Нехай а і Ь — відмінні від нуля неколінеарні вектори.
Доведемо, що будь-який вектор с можна записати у вигляді
с = і.а + |і&.
Нехай А і В — початок і кінець вектора с (мал. 224). Через
точки А і В проведемо прямі, паралельні векторам а і Ь. Вони
перетнуться у деякій точці С. Маємо:
АВ = АС + СВ.
Оскільки вектори а і АС колінеарні, то АС = \а. Оскільки
вектори СВ і Ь колінеарні, то СВ = цЬ.
Таким чином, с = Ха 4- цЬ, що й треба було довести.
§ 10. Вектори
149
98.	СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
Скалярним добутком векторів а(а,; аг) і Ь(Ь\-, Ьц) називається
число а\Ьі + аг&2.
Скалярний добуток векторів записують так само, як добуток
чисел. Скалярний добуток а • а позначають а2 і називають
скалярним квадратом. Очевидно, а = |а|2.
З означення скалярного добутку векторів випливає, що для
будь яких векторів а(а\; аг), Ь(Ь\; Ьг), с(с\; ег)
(а + Ь)с = ас 4 Ьс.
Справді, лівою частиною рінност: є (йі + &і) Сі + (“2 + &г) сг,
а правою а\С( агСг 4 Ьісі 4" ЬгСг. Очевидно, вони рівні.
Кутом між ненульовими векторами АВ і АС називається кут
ВАС. Кутом між будь-якими двома ненульовими векторами
а і Ь називається кут між векторами, що дорівнюють даним
і мають спільний початок. Вважають, що кут між однаково
напрямленими векторами дорівнює нулю.
Теорема 10.3. Скалярний добуток векторів дорівнює
добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними.
Доведення. Нехай а і Ь — дані вектори і <р — кут між
ними. Маємо:
(а + Ь)2 = (а + Ь) {а -4- Ь) = (а + Ь)а + (а + Ь)Ь =
= аа 4- Ьа 4- аЬ + ЬЬ = а2 + 2аЬ + Ь2,
або	_	_	_
\а 4- &|2 — |а|" + |&!2 4- %аЬ.
Звідси видно, що скалярний добуток аЬ виражається через
довжини векторів а, Ь і а + Ь, а тому не залежить від вибору
системи координат, тобто скалярний добуток не зміниться, якщо
систему координат вибрати спеціально. Візьмемо систему коор-
Мал. 225
8 клас
150
динат ху так, як показано на малюнку 225. За таким вибором
системи координат координатами вектора а будуть |а| і 0,
а координатами вектора Ь будуть |Ь| сов і |Ь| віп <р. Скалярний
добуток
аЬ = |а| |Ь| сов<р + 0 |Ь| зіп (р — |а| |Ь| сов <р.
Теорему доведено.
З теореми 10.3 випливає, що коли вектори перпендикулярні,
то їх скалярний добуток дорівнює нулю. І навпаки, якщо ска-
лярний добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то
вектори перпендикулярні.
л. Задача (38). Доведіть, що сума квадратів діагона-
(0) лей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін,
і__і Розв’язання. Нехай чотирикутник АВСВ — пара-
лелограм (мал. 226). Маємо векторні рівності:
АВ + АО = АС,
АВ — АО = ОВ.
Піднесемо обидві частини утворених рівностей до квадра-
та. Дістанемо:
АВ2 + 2АВ  АО + АО2 = АС2,
АВ2 — 2АВ • АО + АВ' = ОВ2.
Додамо почленно ці рівності. Дістанемо:
2АВ2 + 2АО2 = АС2 + ОВ2.
Оскільки у паралелограмі протилежні сторони рівні, то
ця рівність означає, що сума квадратів діагоналей парале-
лограма дорівнює сумі квадратів його сторін, що й треба
було довести.
99. РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА
ЗА КООРДИНАТНИМИ ОСЯМИ
Вектор називається одиничним, якщо його абсолютна вели-
чина дорівнює одиниці. Одиничні вектори, які мають напрями
додатних координатних півосей, називаються координатними
векторами або ортами. Позначатимемо їх е,(1; 0) на осі х і ег(О; 1)
на осі у (мал. 227).
§10. Вектори
151
Оскільки координатні вектори від-
мінні від нуля і неколінеарні, то будь-
який вектор а(и,; а2) можна записати
у вигляді: _
а = Х<?і 4	(*)
Знайдемо коефіцієнти X і ц цього
розкладу. Помножимо рівність (*) на
вектор ЄІ. Оскільки
яіоі; 02)61 = Лі, еі • еі = 1, е। • е2 —
= 0, то а, = X.
Аналогічно, помноживши обидві час-
тини рівності (*) на вектор е2, діста-
ег
0
Мал. 227
немо: а 2 = р.
Таким чином, для будь-якого вектора а(а,; а2} маємо:
а — йіЄі “Г" а2е2.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1.	Що таке вектор? Як позначаються вектори?
2.	Які вектори називаються однаково напрямленими (проти-
лежно напрямленими)?
3.	Що таке абсолютна величина вектора?
4.	Що таке нульовий вектор?
5.	Які вектори називаються рівними?
6.	Доведіть, що рівні вектори однаково напрямлені й рівні за
абсолютною величиною. І навпаки, вектори, однаково на-
прямлені й рівні за абсолютною величиною, рівні між собою.
7.	Доведіть, що від будь-якої точки можна відкласти вектор,
який дорівнює, даному вектору, і тільки один.
8.	Що таке координати вектора? Чому дорівнює абсолютна
величина вектора з координатами а-,, а2І
9.	Доведіть, що рівні вектори мають відповідно рівні коорди-
нати, а вектори з відповідно рівними координатами рівні.
10.	Дайте означення додавання векторів. _	_
11.	Доведіть, що для будь-яких векторів а та Ь: а Ь = 6 + а.
12.	Доведіть^ що_для будь-яких трьох векторів а, Ь,е:а + (Ь +
+с) = (а + Ь) -|- с.	_	__ _____
13.	Доведіть векторну рівність А В 4 ВС — АС.
14.	Доведіть, що для знаходження суми векторів а та Ь треба
від кіпця вектора а відкласти вектор Ь', який дорівнює Ь.
Тоді вектор, початок якого збігається з початком вектора а.
а кінець — з кінцем вектора Ь', дорівнюватиме а 4 Ь.
15.	Сформулюйте ♦правило паралелограма* додавання век-
торів.
16.	Дайте означення різниці векторів.
17.	Дайте означення множення вектора на число.
8 клас
152
18.	Доведіть, що абсолютна величина вектора '/.а дорівнює
|Л| |а|, напрям вектора ка, коли а=/=0, збігається з напрямом
вектора а, якщо X > 0, і протилежний напряму вектора
а, якщо X < 0.
19.	Які вектори називаються колінеарними?
20.	Доведіть, що коли вектори а та Ь відмінні від нульового
вектора і не колінеарні, то довільний вектор с можна подати
у вигляді с = ка + цб.
21.	Дайте означення скалярного добутку векторів.
22.	Доведіть, що для будь-яких трьох векторів а, Ь, с; (а +
+ Ь) с = ас + Ьс.
23.	Як означається кут між векторами?
24.	Чому дорівнює кут між однаково напрямленими векто-
рами?
25.	Доведіть, що скалярний добуток векторів дорівнює добутку
їх абсолютних величин на косинус кута між ними.
26.	Доведіть, що коли вектори перпендикулярні, то їх скаляр-
ний добуток дорівнює нулю. І навпаки, якщо скалярний
добуток відмінних від нуля векторів дорівнює нулю, то
вектори перпендикулярні.
Г	ЗАДАЧІ
1.	На прямій дано три точки: А, В, С, причому точка В лежить
між точками А і С. Серед векторів АВ, АС, ВА та ВС назвіть
однаково напрямлені та протилежно напрямлені.
2.	Чотирикутник АВСР — паралелограм. Доведіть рівність
векторів АВ і РС.
3.	Дано вектор АВ і точку С. Відкладіть від точки С вектор,
що дорівнює вектору А В, якщо: 1) точка С лежить на пря-
мій А В; 2) точка С не лежить на прямій А В.
4.	Вектори а(2; 4), —1; 2) і с(сі; сг) відкладено від початку
координат. Чому дорівнюють координати їх кінців?
5.	Абсолютна величина вектора а(5; т) дорівнює 13, а вектора
Ь(п; 24) дорівнює 25. Знайдіть т та п.
6.	Дано точки_А(0;_1), В(1; 0), С(1; 2), 0(2; 1). Доведіть рівність
векторів АВ та СР.
7.	Дано три точки А(1; 1), В(—1; 0), С(0; 1). Знайдіть таку точку
Р<х; у), щоб вектор АВ дорівнював СР.
8.	Знайдіть вектор с, що дорівнює сумі векторів а і Ь та абсо-
лютну величину вектора с, якщо: 1) а(1; —4), Ь(—4; 8);
2) а(2; 5), 5(4; 3).	___
9.	Дано трикутник АВС. Знайдіть суму векторів: 1) АС та
СВ; 2) АВ і СВ; 3) АС і АВ; 4) СА і СВ.
§10. Вектори
153
10.	Знайдіть вектор с =_а — Ь га його абсолютну величину,
якщо: 1) а((1; -4), 6(-4; 8); 2) а(-2^_7)1_6(4; -1).
11.	Дано вектори із спільним початком: АВ і АС. Доведіть, що
АС - АВ = ВС .
12-	У паралелограмі АВСВ діагоналі перетинаються в точці М.
Виразіть вектори АВ і СР через вектори а — АМ і Ь =
= ВМ (мал. 228).
13.	Накресліть три будь-які вектори а, Ь, с так, як на малюнку
229. Побудуйте вектори, що дорівнюють: 1) а 4 Ь 4- е;
2) а — Ь + с; 3) —а + Ь + с.
14.	1) Доведіть, що для векторів АВ, ВС і АС справджується
нерівність |АС| |АВІ |ВС|.
2)	Доведіть, що для будь-яких векторів а і Ь справджується
нерівність \а + Ь\ |а| 4- |Ь|.
15.	До горизонтальної балки на двох однакових нитках під-
вішено вантаж масою Р. Визначте силу натягу ниток
(мал. 230).
16.	З якою силою Р треба утримувати вантаж масою Р на похи-
лій площині, щоб він не скочувався вниз?	___
17.	Дано точки А(аі; уС) і В(х2; у?). Доведіть, що вектори АВ і
ВА протилежно напрямлені.
18.	Доведіть, що вектори а(1; 2) і 6^0,5; 1) однаково напрямлені,
а вектори с(—1; 2) і сі('0,5; —1) протилежно напрямлені.
19.	Дано вектори а(3: 2) і 6(0; —1). Знайдіть вектор с = —2а +
4-46 та його абсолютну величину,
20.	Абсолютна величина вектора ка дорівнює 5. Знайдіть А,
якщо: 1) а(-6; 8); 2) а(3; - 4); 3' а(5, 12).
21.	У трикутнику АВС проведене медіану АМ. Доведіть, що
алі = *-(ав’4-д7>
22.	Точки М і N є серединами відрізків відповідно АВ і СР.
Доведіть векторну рівність МУ = -і-(АС 4- ВВ) (мал. 231).
23.	Дано паралелограм АВСР, АС = а, РВ =- 6 (мал. 232).
Виразіть вектори А В, СВ, СР і АР через а і Ь.
8 клас
154
24? Доведіть, що відповідні координати колінеарних векторів
пропорційні. І навпаки, якщо відповідні координати двох
векторів пропорційні, то ці вектори колінеарні.
25.	Дано вектори а(2; —4), 6(1; 1), с(1; —2), гі(—2; —4).
Вкажіть пари колінеарних векторів. Які з даних векторів
однаково напрямлені^ а які протилежно напрямлені?
26.	Відомо, що вектори а(1; —1) та 6(—2; т) колінеарні. Зна-
йдіть, чому дорівнює т.	_
27.	Дано вектори а(1; 0), 6(1; 1) та с(—1; 0). Знайдіть такі
числа X і ц, щоб справджувалася рівність с = Ха + и&.
28.	Доведіть, що для будь-яких векторів а і 6: (аЬ)2	а2Ь2.
29.	Знайдіть кут між векторами а(1; 2) і б(1; —
ЗО.	* Дано вектори а і Ь. Знайдіть абсолютну величину вектора
а + 6, якщо абсолютні величини векторів а і 6 дорівнюють
1, а кут між ними 60°.
31.	Знайдіть кут між векторами а і а 4- Ь попередньої задачі.
32.	Дано вершини трикутника А(1; 1), В(4; 1); С(4; 5). Знайдіть
косинуси кутів трикутника.
33.	Знайдіть кути трикутника з вершинами А(0; д/3), В(2; \/3),
с(4= ^)-
34.	Доведіть, що вектори а(т; п) і 6(—п; т) перпендикулярні
або дорівнюють нулю.
35.	Дано вектори а(3; 4) і 6(т; 2). При якому значенні т ці векто-
ри перпендикулярні?
36.	Дано вектори а(1; 0) і 6(1; 1). Знайдіть таке число X, щоб
вектор а + Х6 був перпендикулярним до вектора а.
37.	Доведіть, що коли а і Ь — одиничні неколінеарні вектори,
то вектори а + Ь і а — Ь відмінні від нуля і перпендику-
лярні.
38? Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма
дорівнює сумі квадратів його сторін.
39? Дано сторони трикутника а, Ь, с. Знайдіть його медіани
§ 10. Вектори
155
40.	Доведіть, що геометричне місце точок, сума квадратів від-
станей від яких до двох даних точок стала, є колом з цент-
ром у середині- відрізка^ який сполучає дані точки.
41.	Вектори а + Ь і а — Ь перпендикулярні. Доведіть, що
ІаІ = |Ь|.
42.	Доведіть за допомогою векторів, що діагоналі ромба перпен-
дикулярні.
43.	Дано чотири точки: А(1; 1), В(2; 3), С(0; 4), £>(—1; 2). Дове-
діть, що чотирикутник АВСО — прямокутник.
44.	Дано чотири точки А(0; 0), В(1; 1), С(0; 2), Р(—1; 1). Доведіть,
що чотирикутник АВСО — квадрат.
45.	Серед векторів а (—у; -у ), Ь -у), с (0; —1), <ї (у; —у)
знайдіть одиничні і зазначте^ які з них колінеарні.
46.	Знайдіть одиничний вектор е, колінеарний вектору а(6; 8)
і однаково з ним напрямлений.
47.	Дано координатні вектори ві(1; 0) і е2(0; 1). Чому дорівнюють
координати вектора 2еі — Зе2?
48? 1) Дано три точки О, А, В. Точка X ділить відрізок АВ
у відношенні А : ц, починаючи від точки А. Виразіть вектор
ОХ через вектори ОА = а і ОВ — Ь.
2) Доведіть, що медіани трикутника перетинаються в одній
точці, яка ділить їх у відношенні 2 :1, починаючи від відпо-
відних вершин.
49. Доведіть, що проекція а вектора с на вісь абсцис з коорди-
натним вектором С|(1; 0) задається формулою а = ке\, де
к = се і.
50. Доведіть, що проекція суми векторів на вісь дорівнює сумі
проекцій доданків на ту саму вісь.
9 клас
§ 11. ПОДІБНІСТЬ ФІГУР
100.	ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДІБНОСТІ
Перетворення фігури Р у фігуру Р' називається перетворен-
ням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між
точками змінюються в одну й ту саму кількість разів (мал. 233).
Це означає, що коли довільні точки X і У фігури Р при перетво-
ренні подібності переходять у точки X', У' фігури Р', то Х'У' =
= к  ХУ, причому число к — одне і те саме для всіх точок
X і У. Число к називається коефіцієнтом подібності. Якщо к =
= 1, перетворення подібності, очевидно, є рухом.
Нехай Р — дана фігура і О — фіксована точка (мал. 234).
Через довільну точку X фігури Р проведемо промінь ОХ і від-
кладемо на ньому відрізок ОХ', що дорівнює к  ОХ, де к —
додатне число. Перетворення фігури Р, при якому кожна її
точка X переходить у точку X', побудовану таким способом,
називається гомотетією відносно центра О. Число к називається
коефіцієнтом гомотетії, фігури Р і Р' називаються гомоте-
Теорема 11.1. Гомотетія є перетворенням подібності.
Доведення. Нехай О — центр гомотетії, к — коефіцієнт
гомотетії, ХіУ — дві довільні точки фігури (мал. 235). У резуль-
таті гомотетії точки ХіУ переходять у точки X’ і У' відповідно
§ 11. Подібність фігур
157
на променях ОХ і ОУ, причому ОХ' — к  ОХ, ОУ — к  ОУ.
Звідси маємо векторні рівності:
ОХ’ = кОХ, ОУ = кОУ.
Віднявши ці рівності почленно, дістанемо:
ОУ' -ОХ' = к(ОУ - ОХ).
Оскільки ОУ — ОХ' = Х'У', ОУ — ОХ — ХУ, то Х'У' = кХ
X ХУ. Отже, \Х'У'| = тобто Х'У = кХУ. Таким чином,
гомотетія є перетворенням подібності. Теорему доведено.
Перетворення подібності широко використовується на
практиці при виконанні креслень деталей машин, споруд,
планів місцевості тощо. Такі зображення — подібні перетворен-
ня уявних зображень в натуральну величину. Коефіцієнт подіб-
ності при цьому називається масштабом. Наприклад, якщо
ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, то це озна-
чає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місце-
вості.
лі Задача (4). На малюнку 236 зображено план садиби
(А ) у масштабі 1:1000. Визначте розміри садиби (довжину
( ? і ширину).
Розв’язання. Довжина і ширина садиби на плані
4 см і 2,7 см. Оскільки план виконано у масштабі 1:1000,
то розміри садиби дорівнюють відповідно 4 • 1000 см =
= 40 (м), 2,7 • 1000 см = 27 (м).
101.	ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДІБНОСТІ
Так само як і для руху, доводимо, що при перетворенні
подібності три точки А, В, С, які лежать на одній прямій, пере-
ходять У три точки А і, В], Сі, які теж лежать на одній прямій.
Причому, якщо точка В лежить між точками А і С, то В і лежить
між точками А і і С|. Звідси випливає, що перетворення подіб-
ності переводить прямі у прямі, півпрямі — у півпрямі, відріз-
ки — у відрізки.
9 клас
158
Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між пів-
прямими.
Справді, нехай кут АВС перетворенням подібності з коефіці-
єнтом к переводиться в кут АіВіСі (мал. 237). Застосуємо до
кута АВС перетворення гомотетії відносно його вершини В з кое-
фіцієнтом гомотетії к. При цьому точки А і С перейдуть у точки
А2 і С2. Трикутник Л>ВС2 дорівнює трикутнику А|В|Сі за
третьою ознакою. З рівності трикутників випливає рівність
кутів А2ВС2 і А\В\С\. Отже, кут АВС дорівнює куту А}ВіСі, що
й треба було довести.
102.	ПОДІБНІСТЬ ФІГУР
Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться
одна в одну перетворенням подібності. Подібність фігур позна-
чають спеціальним знаком: со. Запис Р со У'читається: «фігура
Р подібна фігурі Р'*.
Доведемо, що коли фігура Рі подібна фігурі Р2, а фігура Р2
подібна фігурі Р3, то фігури Р\ і Р3 подібні.
Нехай Хї і У। — дві довільні точки фігури Р}. Перетворення
подібностей, яке переводить фігуру Рі в Р2, переводить ці точки
у точки Х2, У2, для яких Х2У2 — к\Х\У\.
Перетворення подібності, яке переводить фігуру Р2 в Уз, пере-
водить точки Х2, У2 у точки Х3, У3, для яких Х3У3 — к2  Х2У2.
З рівностей
Х2У2 = ЙіХіУ), Х3У3 = к2Х2У2
випливає, що Х3У3 = кі • А2ХіУ|. А це означає, що перетворен-
ня фігури Р । в Р3, яке дістаємо при послідовному виконанні двох
перетворень подібності, є подібність. Отже, фігури Р\ І Р:і подіб-
ні, що й треба було довести.
У запису подібності трикутників: Л АВСсо Д А\ВіСі перед-
бачається, що вершини, які суміщаються перетворенням подіб-
ності, стоять на відповідних місцях, тобто А переходить в А і,
В — в В\, С — в Сі.
§ 11. Подібність фігур
159
З властивостей перетворення подібності випливає, що у по-
дібних фігур відповідні кути рівні, а відповідні відрізки про-
порційні. Зокрема, у подібних трикутниках АВС і А\В\С\
А. А= А А,, Д В =	В\, АС = АС,;
АВ _ ВС _ АС
АіВ] ВСі А\С і
103.	ОЗНАКА ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
ЗА ДВОМА КУТАМИ
Теорема 11.2. Якщо два кути одного трикутника від-
повідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі
трикутники подібні.
Доведення. Нехай у трикутників АВС і А|В,С| маємо
А. А = /_ Лі, В = А В,. Доведемо, що Л АВС оо Л АіВіСі.
АВ
Нехай к =	. Застосуємо до трикутника А|В|Сі перетво-
рення подібності з коефіцієнтом подібності к, наприклад гомоте-
тію (мал. 238). При цьому дістанемо деякий трикутник А2В2С2,
що дорівнює трикутнику АВС. Справді, оскільки перетворення
подібності зберігає кути, то / А2= А А1( АВ2 = А В,. Отже,
у трикутників АВС і А2В2С2: А А = АА2, АВ= АВ2. Далі
А2В2 = кА\В\ — АВ. Отже, трикутник АВС дорівнює трикутни-
ку А2В2С2 за другою ознакою (за стороною і прилеглими до
С
Оскільки трикутники А|В|С| І А2В2С2 гомотетичні, і отже,
подібні, а трикутники А2В2С2 і АВС рівні і тому теж подібні, то
трикутники АіВіСі і АВС подібні. Теорему доведено.
Л. Задача (15). Пряма, паралельна стороні АВ три-
(Ь) кутника АВС, перетинає його сторону АС у точці А|, а сто-
(__/ рону ВС у точці Ві. Доведіть, що Д АВС ео ДА1В1С1.
9 клас
160
Розв’язання (мал. 239). У трикутників АВС і
АіВіСі кут при вершині С спільний, а кут СА\В\ дорівнює
куту САВ, як відповідні кути при паралельних АВ і АіВі
і січній АС. Отже, Л АВС сю л АіВіС за двома кутами.
104.	ОЗНАКА ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
ЗА ДВОМА СТОРОНАМИ І КУТОМ МІЖ НИМИ
Теорема 11.3. Якщо дві сторони одного трикутника про-
порційні двом сторонам другого трикутника і кути, утворені
цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Доведення (аналогічне до доведення теореми 11.2).
Нехай у трикутників АВС і АіВіСі: А С = А С\ і АС — кАїСі,
ВС = кВ\С\. Доведемо, що А АВС сю Д А|В|С|.
Застосуємо до трикутника А\В\С\ перетворення подібності
з коефіцієнтом подібності /?, наприклад гомотетію (мал. 240).
При цьому дістанемо деякий трикутник А2В2С2, що дорівнює
трикутнику АВС. Справді, оскільки перетворення подібності
зберігає кути, то А Сі = АСі. Отже, у трикутників АВС і
АіВіСі АС = А Сі. Далі, А2С2 = /гА,С, = АС, В2С2 = кВіСі =
Мал. 240
§ 11. Подібність фігур
і 61
= ВС. Звідси випливав, що трикутники АВС і А2В2С2 рівні за
першою ознакою (за двома сторонами і кутом між ними).
Оскільки трикутники АіВіСі і А2В2С2 гомотетичні і, отже,
подібні, а трикутники А2В2С2 і АВС рівні і тому теж подібні,
то трикутники А1В1С1 і АВС подібні. Теорему доведено.
Л Задача (31). У трикутнику АВС з гострим кутом С
, проведені висоти АЕ і ВО (мал. 241). Доведіть, що А АВСоо
>_? сю £.ЕОС.
Розв'язання. У трикутників АВС і ЕЛС кут при
вершині С спільний. Доведемо пропорційність сторін три-
кутників, які прилягають до цього кута. Маємо ЕС —
= АС сов у, ОС = ВС сов у. Тобто сторони, що прилягають
до кута С, у трикутників пропорційні. Отже, А АВС сю
сю А ЕОС за двома сторонами і кутом між ними.
105.	ОЗНАКА ПОДІБНОСТІ ТРИКУТНИКІВ
ЗА ТРЬОМА СТОРОНАМИ
Теорема 11.4. Якщо сторони одного трикутника пропор-
ційні сторонам другого, то такі трикутники подібні.
Доведецня (аналогічне до доведення теореми 11.2).
Нехай у трикутників АВС і АіВіСг. АВ = кА>Ві, АС = кА\С\,
ВС = кВіСі. Доведемо, що Д АВС сю Д АіВіСі.
Застосуємо перетворення подібності з коефіцієнтом подіб-
ності к до Д АіВіСі, наприклад гомотетію (мал. 242). При
цьому дістанемо деякий трикутник А2В2С2, що дорівнює три-
кутнику АВС. Справді, у трикутників відповідні сторони рівні:
А2В2 ~ кА |В| = АВ, А 2С2 = кА\Сі - АС, В2С2 — кВ\С\ = ВС.
Звідси випливає, що трикутники рівні за третьою ознакою
(за трьома сторонами).
Оскільки трикутники А 1.3(61 і А2В2С2 гомотетичні, і отже,
подібні, а трикутники А2В2С2 і АВС рівні і тому теж подібні, то
трикутники А(ВіСі і АВС подібні. Теорему доведено.
6 Геометрія, 7-9 кл.
9 клас
162
.* Задача (36). Доведіть, що у подібних трикутників
ґоЛ периметри відносяться, як відповідні сторони.
Розв'язання. Нехай АВС і АіВ.Сі — подібні три-
кутники. Тоді сторони трикутника АіВіСі пропорційні
сторонам трикутника АВС, тобто АіВі = кАВ, ВіС\ —
= кВС, А|Сі = кАС. Додавши ці рівності почленно,
дістанемо:
А,£і + ВіСі + А<С,- к (АВ + ВС + АС).
Звідси
А1ВІ - ВіСі АіСі	А іВ.   А _Сі   В.С,
АВ -і ВС і- АС	~АВ	~АС~ ~ ВС ’
тобто периметри трикутників відносяться, як відповідні
сторони.
106.	ПОДІБНІСТЬ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУ ТНИКІВ
У прямокутного трикутника один кут прямий. Тому, за
теоремою 11.2, для подібності двох прямокутних трикутників
досить, щоб у них було по рівному гострому куту.
За допомогою цієї ознаки подібності прямокутних трикутни-
ків доведемо деякі співвідношення у трикутниках.
Нехай АВС — прямокутний трикутник з прямим кутом С.
Проведемо висоту Сі) з вершини прямого кута (мал. 243).
Трикутники АВС і СВЛ мають спільний кут при вершині В.
Отже, вони подібні: А АВС <х> А СВВ, 3 подібності трикутників
випливає пропорційність відповідних сторін:
ії~№‘6аВС= ЛК ВО.
Це співвідношення формулюється так; катет прямокутного три-
кутника е середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією
цього катета на гіпотенузу.
Прямокутні трикутники АСИ і СВО теж подібні: у них
§ 11. Подібність фігур
163
рівні гострі кути при вершинах А і С. З подібності цих трикут-
ників випливає пропорційність їх сторін:
або СО = ^АЇГВВ.
Це співвідношення формулюють так: висота прямокутного
трикутника, проведена з вершини прямого кута, е середнім
пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.
Доведемо таку властивість бісектриси трикутника: бісектри-
са трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропор-
ційні двом іншим сторонам.
Нехай СО — бісектриса трикутника АВС (мал. 244). Якщо
трикутник АВС рівнобедрений з основою АВ, то сформульована
властивість бісектриси очевидна, оскільки у цьому випадку
бісектриса СО є і медіаною.
Розглянемо загальний випадок, коли АС =# ВС. Опустимо
з вершин А і В перпендикуляри АР і ВЕ на пряму СО.
Прямокутні трикутники АСР і ВСЕ подібні, оскільки у них
рівні гострі кути при вершині С. З подібності трикутників
випливає пропорційність сторін:
АС _ АР
ВС ~ ВЕ’
Прямокутні трикутники АВР і ВВЕ також подібні: у них
кути при вершині О рівні як вертикальні. З подібності трикутни-
ків випливає пропорційність сторін:
АР _ АВ
ВЕ ~ ВІ) "
Порівнявши цю рівність з попередньою, дістанемо:
АС _ АО АС _ ВС
ВС ~ ВВ а0° АВ ~ ВВ'
тобто відрізки АВ і ВВ пропорційні сторонам АС і ВС, що
й треба було довести.
9 клас
164
107.	КУТИ. ВПИСАНІ В КОЛО
Кут розбиває площину на дві частини. Кожна з цих частин
називаються плоским кутом. На малюнку 245 заштриховано
один з плоских кутів із сторонами а і Ь. Плоскі кути із спільними
сторонами називаються доповняльними.
Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градус-
ною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими
самими сторонами. Вважають, що коли плоский кут містить
півплощину, то його градусна міра дорівнює 360° — а, де
а — градусна міра доповняльного плоского кута (мал. 246).
Мал. 247
Центральним кутом у колі називається плоский кут з верши-
ною у його центрі. Частина кола, розміщена всередині плоского
кута, називається дугою кола, що відповідає цьому централь-
ному куту (мал. 247), Градусною мірою дуги кола називається
градусна міра відповідного центрального кута.
Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетина-
ють це коло, називається вписаним у коло (мал. 248). Кут
§ 11. Подібність фігур
165
ВАС на малюнку 248 вписано в коло. Його вершина А лежить
на колі, а сторони перетинають коло в точках В і С. Кажуть
також, що кут А спирається на хорду ВС. Пряма ВС розбиває
коло на дві дуги. Центральний кут, що відповідає тій з цих дуг,
яка не містить точку А, називається центральним кутом, який
відповідає даному вписаному куту.
Теорема 11.5. Кут, вписаний у коло, дорівнює половині
відповідного центрального кута.
Доведення. Розглянемо спочатку окремий випадок,
коли одна із сторін кута проходить через центр кола (мал.
249, а). Трикутник АОВ рівнобедрений, бо в нього сторони О А
і ОВ рівні як радіуси. А тому кути А і В трикутника рівні. А
через те що їх сума дорівнює зовнішньому куту трикутника
при вершині О, то кут В трикутника дорівнює половині кута
АОС, що й треба було довести.
Мал. 249
Загальний випадок зводиться до розглянутого окремого,
якщо провести допоміжний діаметр ВЙ (мал. 249, б, в).
Для випадку, поданого на малюнку 249, б, маємо:
£. АВС = £. СВО 4- Л АВО =
= 4- а соо + 4- АОБ =
<и	Л
= -і- /_ АОС.
Для випадку, поданого на малюнку
249, в, маємо:
Л АВС = /. СВО — АВО =
= 4 соі) _ 4“А АОІ)=
= 4 /-АОС.
Теорему доведено повністю.
9 клас
166
З теореми 11.5 випливає, що вписані кути, сторони яких про-
ходять через точки А і В кола, а вершини лежать з одного боку
від прямої АВ, рівні (мал. 250).
Зокрема, кути, що спираються на діаметр, прямі.
108.	пропорційність відрізків хорд
І СІЧНИХ КОЛА
Якщо хорди АВ і СВ кола перетинаються в точці 8, то
А8  В8 = С8 • В8.
Спочатку доведемо, що трикутники А8В і С8В подібні
(мал. 251). Вписані кути ОСВ і ВАВ рівні за наслідком із
теореми 11.5. Кути А8В і В8С рівні як вертикальні. З рівності
названих кутів випливає, що трикутники А 80 і С8В подібні.
З подібності трикутників випливає пропорція
В8 — С8 '
Звідси
А8 • В8 = С8 • 08,
що й треба було довести.
Якщо з точки Р до кола проведено дві січні, що перетина-
ють коло відповідно в точках А, В і С, О, то
АР ВР = СР  ВР.
Нехай точки А і С найближчі до точки Р точки перетину
січних з колом (мал. 252). Трикутники РАО і РСВ подібні.
У них кут при вершині Р спільний, а кути при вершинах В і
О рівні за властивостями кутів, вписаних у коло. З подібності
трикутників випливає пропорція:
РА _ РО
РС ~ РВ'
Звідси РА • РВ = РС • РВ, що й треба було довести.
§11. Подібність фігур
167
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
ї
1.	Що таке перетворення подібності?
2.	Що таке гомотетія (центр гомотетії, коефіцієнт гомо-
тетії)?
3.	Доведіть, що гомотетія є перетворенням подібності.
4.	Які властивості перетворення подібності ви знаєте? Дове-
діть, що перетворення подібності зберігає кути між пів-
прямими.
5.	Які фігури називаються подібними?
6.	Яким .знаком позначається подібність фігур? Як записує
ться подібність трикутників?
7.	Сформулюйте і доведіть ознаку подібності трикутників за
двома кутами.
8.	Сформулюйте і доведіть ознаку подібності трикутників за
двома сторонами і кутом між ними.
9.	Сформулюйте і доведіть ознаку подібності трикутників за
трьома сторонами.
10.	Доведіть, що катет прямокутного трикутника є середнє
пропорційне між гіпотенузою і проекцією нього катета на
гіпотенузу.
11.	Доведіть, що висота прямокутного трикутника, проведена
з вершини прямого кута, є середнє пропорційне між проек-
ціями катетів на гіпотенузу.
12.	Доведіть, що бісектриса трикутника ділить протилежну
сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.
13.	Що таке плоский кут?
14.	Що таке центральний кут?
15.	Який кут називається вписаним у коло?
16.	Доведіть, що вписаний у коло кут дорівнює половині
відповідного центрального кута.
17.	Доведіть властивість відрізків хорд, що перетинаються, і
властивості січних відрізків.
ф	ЗАДАЧІ
1.	У результаті гомотетії точка X переходить у точку X', а
точка У — у точку У'. Як знайти центр гомотетії, якщо
точки X, X', У, У' не лежать на одній прямій?
2.	У результаті гомотетії точка X переходить у точку Xі. По-
будуйте центр гомотетії, якщо коефіцієнт гомотетії дорів-
нює 2.
3.	Накресліть трикутник. Побудуйте гомотетичний йому три-
кутник, прийнявши за центр гомотетії одну з його вершин,
а коефіцієнт гомотетії дорівнює 2.
4.	На малюнку 236 зображено план садиби у масштабі 1:1000.
Визначте розміри садиби (довжину і ширину).
9 клас
168
5.	Що являє собою фігура, подібна трикутнику?
6.	У подібних трикутників АВС і А\В\С\: А А = 30°, АВ =
= 1 м, ВС = 2 м, ВіСі = 3 м. Чому дорівнюють кут А і і сто-
рона АВі?
7.	Доведіть, що фігура, подібна колу, є коло.
8? Дано кут і всередині нього точку А. Побудуйте коло, що до-
тикається до сторін кута і проходить через точку А.
9.	* Впишіть у даний трикутник квадрат, дві вершини якого
лежать на одній стороні, а дві інші вершини — на двох
інших сторонах.
10.	Доведіть подібність рівнобедреник трикутників, які мають
рівні кути при вершинах, протилежних основам.
11.	У двох рівнобедрених трикутників кути між бічними
сторонами рівні. Бічна сторона і основа одного трикутника
відповідно дорівнюють 17 см і 10 см; основа другого дорів-
нює 8 см. Знайдіть його бічну сторону.
12.	У трикутників АВС і А\В\Сг. А А = А Аі, А В = А В\,
АВ = 5 м, ВС = 7 м, А *Ві = 10 м, А ,Сі = 8 м. Знайдіть
решту сторін трикутників.
13.	Розв’яжіть задачу 12 за умови, що АВ = 16 см, ВС =
= 20 см, А\В\ = 12 см, АС — АіСі = 6 см.
14.	Доведіть, що висота прямокутного трикутника, опущена
з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники,
подібні даному.
15.	Пряма, паралельна стороні АВ трикутника АВС, перетинає
його сторону АС у точці А\, а сторону ВС у точці В]. Дове-
діть, що Л АВС <х> А АіВіС.
16.	У трикутник з основою а і висотою Л вписано квадрат так,
що дві його вершини лежать на основі трикутника, а інші
дві — на бічних сторонах (мал. 253). Обчисліть сторону
квадрата.
17.	Пряма, паралельна стороні АВ трикутника АВС, ділить
його сторону АС у відношенні т : п, починаючи від вершини
С. В якому відношенні вона ділить сторону ВС?
18.	У трикутнику АВС проведено відрізок ОВ, паралельний
стороні АС (кінець О відрізка лежить на стороні АВ, а
Мал. 253
Мал. 254
§ 11. Подібність фігур
169
Е — на стороні ВС). Знайдіть АО, якщо АВ — 16 см, АС —
= 20 см і ВЕ — 15 см.
19.	У задачі 18 знайдіть відношення АВ : ВВ, якщо АС : ВЕ —
= 55 : 28.
20.	Знайдіть довжину відрізка ВЕ у задачі 18, якщо: 1) АС =
= 20 см, АВ = 17 см і ВИ — 11,9 см; 2) АС — 18 дм, АВ =
= 15 дм і. АВ = 10 дм.
21.	Діагоналі трапеції АВСВ перетинаються в точці Е (мал.
254). Доведіть подібність трикутників ВСЕ і ВАЕ.
22.	Знайдіть відношення відрізків діагоналі трапеції, на які
вона розбивається другою діагоналлю, якщо основи трапе-
ції відносяться як т : п.
23.	Пряма, шо проходить через точку перетину діагоналей тра
пеції, ділить одну основу у відношенні т : п. В якому відно-
шенні вона ділить другу основу?
24.	У трапеції АВСВ з діагоналлю АС кути АВС і АСО рівні.
Знайдіть діагональ АС, якщо основи ВС і АВ відповідно
дорівнюють 12 м і 27 м.
25.	Лінія, паралельна основам трапеції, ділить одну бічну сто-
рону у відношенні т : ті. В якому відношенні ділить вона
другу бічну сторону?
26.	Продовження бічних сторін А В і СВ трапеції АВСВ перети-
наються в точці Е. Знайдіть сторони трикутника АЕВ, якщо
АВ — 5 см, ВС = 10 см, СО = 6 см, АО = 15 см.
27.	Знайдіть висоту трикутника АЕВ із задачі 26, опущену на
сторону АВ, якщо ВС = 7 см, АО — 21 см і висота трапеції
дорівнює 3 см.
28? Діагоналі трапеції перетинаються в точці Е, а продовжен-
ня бічних сторін — у точці Е. Доведіть, що пряма ЕЕ ділить
основи трапеції пополам (мал. 255).
29? У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС і проти-
лежним кутом 36° проведено бісектрису АВ.
1)	Доведіть подібність трикутників А ВС і САО.
2)	Знайдіть основу трикутника АВС, якщо його бічна сто
рона дорівнює а.
ЗО. Кути В і Ві трикутників АВС і А.ВіС, рівні. Сторони
трикутника АВС, що прилягають до кута В, у 2,5 раза
більші від сторін трикутника ЛіВіСі, що прилягають
до кута В[. Знайдіть АС і АіСі, якщо їх сума дорівнює
4,2 м.
31. У трикутнику АВС з гострим кутом С проведено висоти АЕ
і ВВ. Доведіть, що Л АВС со Л ЕОС.
32? У гострокутному трикутнику АВС проведено висоти АВ, ВЕ,
СЕ. Знайдіть кути трикутника ВЕЕ. знаючи кути трикутни-
ка АВС (мал. 256).
33? Доведіть, що бісектриси трикутника ВЕЕ у задачі 32 лежать
на висотах трикутника АВС.
9 клас
170
34.	Чи подібні два рівносторонні трикутники?
35.	Чи подібні трикутники АВС і А\В\Сі, якщо:
1)	АВ = 1 м, АС — 1,5 м, ВС — 2 м; А^Ві = 10 см, А(Сі =
= 15 см, ВіСі = 20 см;
2)	АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,5 м; А.В1 = 8 дм, АіСі =
= 16дм, В|С| = 12 дм;
3)	АВ = їм, АС = 2м,ВС = 1,25 м; А,В! = 10см,А,Сі=
— 20 см, В і С і = 13 см?
36.	Доведіть, що у подібних трикутників периметри віднося-
ться, як відповідні сторони.
37.	Сторони трикутника дорівнюють 0,8 м, 1.6 м і 2 м. Знайдіть
сторони подібного йому трикутника, периметр якого дорів-
нює 5,5 м.
38.	Периметр одного трикутника становить 44 периметра
1 о
подібного йому трикутника. Різниця двох відповідних сто-
рін дорівнює 1 м. Знайдіть ці сторони.
39.	Чи подібні два прямокутні трикутники, якщо один з них
має кут 40°, а другий — кут, що дорівнює: 1) 50°; 2) 60°?
40.	Основа висоти прямокутного трикутника, опущеної на гіпо-
тенузу, ділить її на відрізки 9 см і 16 см. Знайдіть сторони
трикутника.
41.	Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 25 см, а
один з катетів дорівнює 10 см. Знайдіть проекцію другого
катета на гіпотенузу.
42.	Доведіть, що відповідні висоти подібних трикутників від-
носяться, як відповідні сторони.
43.	Катети прямокутного трикутника відносяться як т : п. Як
відносяться проекції катетів на гіпотенузу?
44.	Довжина тіні фабричної труби дорівнює 35,8 м. У той самий
час вертикально поставлена жердина завдовжки 1,9 м дає
тінь довжиною 1,62 м (мал. 257). Знайдіть висоту труби.
§ 11. Подібність фігур
171
45.	У трикутник АВС вписано ромб АОЕР так, що кут А у них
спільний, а вершина Е лежить на стороні ВС (мал. 258).
Знайдіть сторону ромба, якщо АВ = с, АС = Ь.
46?Бісектриса зовнішнього кута трикутника АВС при вершині
С перетинає пряму АВ в точці В (мал. 259). Доведіть, що
АО : ВО = АС : ВС.
47?Доведіть, що геометричним місцем точок, відношення від-
станей від яких до двох даних точок стале (не дорівнює
одиниці), є коло.
48.	Знайдіть доповняльні плоскі кути, якщо: 1) один з них у
5 раз більший за другий; 2) один з них на 100° більший
за другий; 3) різниця їх дорівнює 20°.
49.	Точки А, В, С лежать на колі. Чому дорівнює хорда АС,
якщо кут АВС дорівнює 30°, а діаметр кола 10 см?
50.	Точки А, В, С лежать на колі. Чому дорівнює кут АВС, якщо
хорда АС дорівнює радіусу кола? (Два випадки.)
51.	Доведіть, що центром кола, описаного навколо прямокутно-
го трикутника, є середина гіпотенузи.
52.	Доведіть, що медіана прямокутного трикутника, проведена
до гіпотенузи, розбиває його на два рівнобедреник трикут
ники.
53.	Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і висо
тою, опутценою з вершини прямого кута на гіпотенузу.
54.	На колі позначено чотири точки: А, В, С, О. Чому дорівнює
кут АОС, якщо кут АВС дорівнює а? (Два випадки.)
55.	Хорди кола АО і ВС перетинаються. Кут АВС дорівнює 50°,
а кут АСО дорівнює 80;. Знайдіть кут САО
56* Доведіть, що у чотирикутнику, вписаному у коло, сума про-
тилежних кутів дорівнює 180°.
57.	Доведіть, що геометричним місцем вершин прямих кутів,
сторони яких проходять через дві дані точки, є коло.
9 клас
172
58.	Доведіть, що геометричним місцем вершин кутів з даною
градусною мірою, сторони яких проходять через дві дані
точки, а вершини лежать з одного боку від прямої, що сполу-
чає ці точки, є дуга кола з кінцями в цих точках (мал. 260).
59.	Доведіть, що гострий кут між хордою кола і дотичною до
кола в кінці хорди дорівнює половині кута між радіусами,
проведеними до кінців хорди (мал. 261).
60.	Побудуйте трикутник за стороною, протилежним їй кутом
і висотою, проведеною з вершини цього кута.
61.	З точки С кола проведено перпендикуляр СВ до діаметра
АВ. Доведіть, що СВг — АВ • ВВ.
62.	Доведіть, що добуток відрізків січної кола дорівнює квадра
ту відрізка дотичної, проведеної з тієї самої точки: АС X
X ВС = СВ2 (мал. 262).
63.	Як далеко видно з літака, який летить на висоті 4 км над
Землею, якщо радіус Землі 6370 км?
64.	Обчисліть радіус горизонту, що видно з вершини телебашти
в Києві, висота якої 373 м.
§12. Рогв’язува-іня трикутників
173
§ 12. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ
109.	ТЕОРЕМА КОСИНУСІВ
Теорема 12.1 (теорема косинусів). Квадрат будь-якої
сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін
без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними.
Доведення. Нехай АВС — даний трикутник (мал. 263).
Доведемо, шо ВС2 = АВ 4 АС — 2АВ • АС • сов А.
Маємо векторну рівність ВС = АС — АВ. Підносимо цю рів-
ність скалярно до квадрата, дістанемо:
ВС2 = АВ2 4- АС2 — 2 АВ • АС,
або
ВС2 = АВ7 4- АС2 — 2 АВ АС • сов А.
Теорему доведено.
9 клас
174
Зауважимо, що АС • соз А дорівнює за абсолютною величи-
ною проекції А О сторони АС на сторону АВ (мал. 263, а) або її
продовження (мал. 263. б). Знак АС  соз А залежить від кута А:
якщо кут А гострий, то береться ♦ + », якщо тупий, то «—».
Звідси маємо наслідок: квадрат сторони трикутника дорівнює
сумі квадратів двох інших сторін «±» подвоєний добуток
однієї з них на проекцію другої. Знак *+ » слід брати тоді, коли
протилежний, кут тупий, а знак «—»,— коли гострий.
Задача (7). Дано сторони трикутника а, Ь, с. Знай-
ї 4 4 діть висоту трикутника, опущену на сторону с.
5_? Розв’язання. Маємо а2 = Ь + с2 ± 2с АВ
(мал. 264). Звідси АО = ±  ---———. За теоремою
Піфагора	______________
СО = ЛА~С~-~АО' = -д/б2 -
110.	ТЕОРЕМА СИНУСІВ
Теорема 12.2 (теорема синусів). Сторони трикутника
пропорційні до синусів протилежних кутів.
Доведення. Нехай АВС — трикутник із сторонами а,
Ь, с і протилежними кутами а, р, у (мал. 265). Доведемо, що
п ____	6	_ С
зіп а зіп р	зіп V ’
Опустимо з вершини С висоту СО. З прямокутного трикутни-
ка АСО, якщо кут а гострий, дістаємо:
СО = Ь зіп а
(мал. 265, а). Якщо кут а тупий, то
СО — Ь зіп (180° — а) — Ь зіп а
(мал. 265, б). Аналогічно з трикутника ВСО дістаємо:
Мьл. 265
§ 12. Розв’язування трикутників
175
Отже, а віп р = Ь віп а. Звідси
Ь __ а
ЗІП З ЗІП о-
Аналогічно доведемо рівність
Ь	С
ЗІП З зіп у ‘
Для доведення треба провести висоту трикутника з вершини
А. Теорему доведено.
Мал. 256

Задача (13), Доведіть, що в теоремі синусів кожне з
•	а д с .	- _
трьох відношень	. - — дорівнює 2Я, де В. — ра-
діус кола, описаного навколо трикутника.
Розв'язання. Проведемо діаметр ВО (мал. 266).
За властивістю кутів, вписаних у коло, кут при вершині
О прямокутного трикутника ВСВ дорівнює або а, якщо
точки А і В лежать з одного боку від прямої ВС (мал.
266, а), або180° — а, якщо- вони лежать з різних боків від
прямої ВС (мал 266, б). У першому випадку ВС =
«= ВВ зіп а, у другому ВС = ВВ зіп (180° — а).
Оскільки зіп (180’’ — а^^зіп <%, то для будь-якого ви-
падку а = 2В зіп а. Тобто
— = 2ІЇ,
зіп а
що й треба'було довести.
111.	СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ КУТАМИ трикутника
І ПРОТИЛЕЖНИМИ СТОРОНАМИ
У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона,
проти більшої сторони лежить більший кут.
Нехай а і Ь — дві сторони трикутника і а, |3 — протилежні
9 клас
176
їм кути. Доведемо, що коли а > р, то а > Ь. І навпаки, якщо
а > Ь, то а > р.
Якщо кути а і р гострі (мал. 267, а), то коли а > р, буде
віп а > віп р. А оскільки
зіп а зіп р
а Ь ’
то а > Ь. Якщо кут а тупий (обидва кути не можуть бути тупи-
ми), то кут 180° — а гострий (мал. 267, б). Причому кут 180° —
— а більший від кута р як зовнішній кут трикутника, не суміж-
ний з кутом р. Звідси зіп а = зіп (180° — а) > віп р. І ми знову
маємо, що а > Ь.
Доведемо обернене твердження. Нехай а > Ь. Треба довести,
що а > р. Припустимо, що а р. Якщо а — р, то трикутник
рівнобедрений і а = Ь. Якщо а < р, то за доведеним а < Ь.
В двох випадках дістали суперечність, оскільки за припущен-
ням а > Ь, отже а > р, що й треба було довести.
ЛІ Задача (17). Доведіть, що коли у трикутнику є ту-
(^ оЛ пий кут, то протилежна йому сторона найбільша.
< Г Розв’язання. У трикутнику може бути тільки один
тупий кут. Отже, він більший від будь-якого з двох інших
кутів. А це означає, що протилежна йому сторона більша
від будь-якої з двох інших сторін трикутника.
112.	РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ
Розв’язування трикутників полягає у знаходженні невідо-
мих сторін і кутів трикутника за відомими його кутами і сторо-
нами. Позначатимемо сторони трикутника через а, Ь, с, а проти-
лежні їм кути — через а, р, у (мал. 268).
Лк Задача (26). 1) У трикутнику дано сторону а = 5 і
ґ®) два кути: р = 30°, у = 45°. Знайдіть третій кут і інші дві
і_І сторони.
§ 12. Розв'язування трикутників
177
Мал. 268
Розв’язання. Оскільки сума кутів трикутника
дорівнює 180°, то третій кут а дорівнює: а = 180а — 0 —
— ї =
Знаючи
знаходимо
Ь =
180' - 30° — 45° = 105°.
сторону і всі три кути,
дві інші сторони:
„ віп £ к зіп 30' с
віп а зіп 105'
віп у 0,707
віп а "	0,966
Задача (27). 1) У трикутнику дано дві сторони:
а = 12, Ь — 8 і кут між ними у = 60°. Знайдіть інші два
кути і третю сторону.
Розвязання. Іретю сторону знаходимо за теоре-
мою косинусів:______
с = ,а2 4	— 2а Ь соз у
за теоремою синусів
с = а •
0.500 _ 2 г,п
0,966 ~	9’
> 3,66.
64 —2-12-8 0,500 =
6.
Тепер, маючи три сторони, за теоремою косинусів зна-
ходимо косинуси двох невідомих кутів і самі кути:
соз а =	« 0,189.
2Ьс
Звідки а = 79°, 0 = 180° — а. — у х 41°.
Задача (28). 5) У трикутнику дано дві сторони:
а = 6, Ь — 8 і протилежний стороні а кут а = 30“. Знай-
діть інші два кути і третю сторону.
Розв’язання. За теоремою синусів знаходимо зна-
чення зіп 0:
зіп 0 = — • зіп а = — • зіп 30° « 0,667.
а	о
Цьому значенню синуса відповідають два кути: 0і х 42° і
02 х 138°.
Розглянемо спочатку кут 0. х 42°. За ним знаходимо
третій кут у। = 180° — а — 0і = 108° і за теоремою сину
сів третю сторону
„	а зіп у, с зіп 108”   а 0.951	.. .
С| = Г = 6 • з“п 3(Г ~ 6 ’ олоо ~ п’4-
Аналогічно, за кутом 02 = 138% знаходимо у2 = 12° і
с2 х 2,49.
7 Геометрія, 7-9 кл.
9 клас
178
Зауваження. Ми бачимо, що ця задача на відміну від
попередніх має два розв’язки (мал. 269). При інших числових
значеннях, наприклад, коли а 90е, задача може мати лише
один розв’язок або зовсім не мати розв’язків.
Ф Задача (29). 1) Дано три сторони трикутника:
а = 2, Ь = 3, с = 4. Знайдіть його кути.
Розв’язання. Кути знаходимо за теоремою коси-
нусів:
соз а — — ’-.г—- = ~ = 0,875, звідки а « 29°.
2ос	о
Аналогічно знаходимо соз |і = 0,688. Звідки р « 47° і
у = 180° — 47° - 29е	104е.
?	КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
•
1.	Доведіть теорему косинусів.
2.	Доведіть, що квадрат сторони трикутника дорівнює сумі
квадратів двох інших сторін « ± » подвоєний добуток однієї
з цих сторін на проекцію другої. Від чого залежить знак
«-]- » або « — ♦ ?
3.	Доведіть теорему синусів.
4,	Доведіть, що в довільному трикутнику проти більшої
сторони лежить більший кут і проти більшого кута лежить
. зільша сторона.
У	ЗАДАЧІ
1.	Сторони трикутника 5 м, 6 м. 7 м. Знайдіть косинуси кутів
трикутника.
2.	У трикутнику дві сторони дорівнюють 5 м і 6 м, а синус кута
між ними дорівнює 0,6. Знайдіть третю сторону.
3.	Сторони трикутника дорівнюють а, Ь, с. Доведіть, що коли
(Iі Ь'2 > с~, то кут, протилежний стороні с, гострий. Коли
а2 Ь2 < с2, то кут, протилежний стороні с, тупий.
4.	Дано діагоналі паралелограма с і <7 і кут між ними а. Знай-
діть сторони паралелограма.
5.	Дано сторони паралелограма а і Ь і один з кутів а Знай
діть діагоналі паралелограма.
6.	Сторони трикутника 4 м, 5 м і 6 м. Знайдіть проекції сторін
4 м і 5 м на пряму, на якій лежить сторона 6 м.
7.	Дано сторони трикутника а, Ь, с. Знайдіть висоту трикутни-
ка, спущену на сторону с.
8.	Знайдіть висоти трикутника в задачі 1.
9.	Знайдіть медіани трикутника в задачі 1.
10? Знайдіть бісектриси трикутника в задачі 1.
її? Як змінюється сторона А В трикутника АВС, якщо кут С
зростає, а довжини сторін АСі ВС залишаються без змін
(мал. 270)?
§12. Розв’язування трикутників
179
12.	У трикутнику АВС: АВ = 15 см, АС — 10 см. Чи може
ЗІП |3 = ~ ?
13.	Доведіть, що в теоремі синусів кожне з трьох відношень
-—,	г, — - дорівнює 2Я, де В — радіус кола, описаного
він а зіп р зіп -у
навколо трикутника.
14.	Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника,
знаючи його сторони? Знайдіть радіус кола, описаного нав-
коло трикутника із сторонами 5 м, 6 м, 7 м.
15.	Поясніть, як знайти відстань від точки А до недоступної
точки В (мал. 271), знаючи відстань АС і кути а, (3.
16.	Поясніть, як знайти висоту х будівлі (мал. 272) за кутами
а і р і відстанню а.
17.	Доведіть, що коли в трикутнику є тупий кут, то протилежна
йому сторона найбільша.
18.	У трикутнику АВС: А А — 40°; А В — 60°; АС = 80°.
Яка із сторін трикутника найбільша, яка — найменша?
19-	У трикутнику АВС сторони АВ = 5,1 м; ВС = 6,2 м;
АС = 7,3 м. Який з кутів трикутника найбільший, який
найменший?
20.	Що більше: основа чи бічна сторона рівнобедреного трикут-
ника, якщо прилеглий до основи кут більший від 60 °?
21.	У трикутнику АВС кут С тупий. Доведіть, що коли точка X
лежить на стороні АС, то ВХ < АВ.
22.	У трикутнику АВС кут С тупий. Доведіть, що коли точка X
лежить на стороні АС, а точка У — на стороні ВС, то ХУ <
< АВ.
23.	На стороні АВ трикутника АВС позначено точку О. Дове-
діть, що відрізок СО менший хоча б за одну із сторін: АС
або ВС.
24* Дано трикутник АВС. СВ — медіана, проведена до сторони
АВ. Доведіть, що коли АС > ВС, то кут АСО менший від
кута ВСВ.
Мал. 270
Мал. 271
9 клас
180
с = 10,
с = 23,
с = 18,
4)	Ь = 14,
5)	а = 32,
6)	а - 24,
25? Доведіть, що бісектриса три-
кутника не менша за висоту і не
більша від медіани, проведених
з тієї самої вершини.
26.	Дано сторону і два кути трикут-
ника. Знайдіть третій кут та
інші дві сторони, якщо:
1)	а = 5, р = 30°, у = 45°;
2)	а = 20, а = 75°, р = 60;
3)	а = 35, р = 40°,	120°;
4)	Ь = 12, а = 36°, р = 25°;
5)	с = 14, а = 64°, р = 48°.
27.	Дано дві сторони трикутника і
кут між ними. Знайдіть інші
два кути і третю сторону, якщо:
1) а = 12, Ь = 8, у = 60°;
2) а =7,	5=23, 7=130°;
3) Ь = 9, с= 17, а = 95°;
а = 145°;
р = 152°;
Р = 15°.
28. У трикутнику дано дві сторони і кут, протилежний до однієї
із сторін. Знайдіть інші два кути і третю сторону трикутни-
ка, якщо:		
1) а = 12,	5=5,	а = 120°;
2) а = 27,	5=9,	а = 138°;
3) а = 34,	5 = 12,	а = 164°;
4) а — 2,	5=4,	а = 60°;
5) а — 6,	5 = 8,	а = 30°.
29. Дано три сторони трикутника. Знайдіть його кути, якщо:
1) а = 2,	5=3,	с = 4;
2) а = 7,	5=2,	с = 8;
3) а = 4,	5=5,	с = 7;
4' а = 15,	5 = 24,	с = 18;
5' а = 23,	5 = 17,	с = 39;
6) а = 55,	5 = 21,	с = 38.
§13. МНОГОКУТНИКИ
113.	ЛАМАНА
Ламаною А1А2А3.—Ап називається фігура, яка складається з
точок А ।, А2,..., Ап і відрізків А ।АгА-гАз, ..., Ап-іАп, що їх сполу-
чають. Точки А і, Аг, .... А„ називаються вершинами ламаної,
а відрізки А1А2, А2А3, ..., Ап-]Ап ланками ламаної. Ламана
§ 13. Многокутники
181
називається простою, якщо вона не має
самоперетинів. На малюнку 273, а показано
просту ламану, а на малюнку 273. б —
ламану з самоперетином (у точці В). Дов-	/
жиною ламаної називається сума довжин
її ланок.	Аг
Теорема 13.1. Довжина ламаної не	/	7
менша за довжину відрізка, що сполучає І / І
її кінці.	,	І
Доведення. Нехай АіА2А2Аз...Ал.—	’	г
дана ламана (мал. 274).	/
Замінимо ланки А,А2 і А2Аз однією
ланкою А,Аз- Дістанемо ламану А|АзА4_.А„.
Оскільки за нерівністю трикутника А ,А3 <
С АіА2 + А2Аз, то ламана А|АЛА4. .АП Мал. 274
має довжину не більшу, ніж початкова
ламана.
Замінюючи таким способом ланки А,А3 і А)А4 ланкою
А।А 4, переходимо до ламаної АіА»А5...А,., яка також мас
довжину не більшу, ніж початкова ламана І так далі. Нарешті
ми дійдемо до відрізка А|А„, що сполучає кіпці ламаної. Звідси
випливає, що дана ламана має довжину, не меншу за довжину
відрізка АіА„. Теорему доведено.
ж Задача (1). Дано два кола з радіусами В і, В2 і від-
ґо\ станню між центрами д. > В, + Яг. Чому дорівнюють най-
більша і найменша відстані між точками X і У цих кіл?
Розв'язання. Для ламаної ОХУО2 за теоремою
13.1. О,О2 < О|Х + ХУ + УО2 (мал. 275). Отже, д, < Я, +
ХУ + Яг. Звідси ХУ > <1 — Я( — Яг. Оскільки АС =
= д — Яі — Яг, то найменша відстань між точками кіл
дорівнює д — В\ — Яг.
9 клас
182
Мал. 275
Для ламаної ХО1О2У за тією самою теоремою ХУ
Н\ 4- <і + /?2. Оскільки ВБ — сі + Ні + Яг. то найбіль-
ша відстань між точками кіл дорівнює с? + Яі + Яг.
114.	ОПУКЛІ МНОГОКУТНИКИ
Ламана називається замкненою, якщо її кінці збігаються.
Проста замкнена ламана називається многокутником, якщо її
сусідні ланки не лежать на одній прямій (мал. 276). Вершини
ламаної називаються вершинами многокутника, а ланки лама-
ної — сторонами многокутника. Відрізки, що сполучають
несусідні вершини многокутника, називаються діагоналями.
Многокутник з п вершинами, а отже, і з п сторонами назива-
ється п-кутником.
Плоским многокутником, або многокутною областю нази-
вається скінченна частина площини, обмежена многокут-
ником (мал. 277).
Многокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній
півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.
При цьому сама пряма вважається такою, що належить пів-
площині. На малюнку 278, а зображено опуклий многокутник,
на мал. 278, б — неопуклий.
§ 13. Многокутники
183
Мал. 278
Кутом опуклого многокутника при даній вершині нази-
вається кут, утворений його сторонами, шо сходяться в цій
вершині.
Теорема 13.2 Сума кутів опуклого п-куткика дорівнює
180° (п — 2).
Доведення. Для випадку л=3 теорема правильна.
Нехай АіА2...Ая — даний опуклий многокутник і п>3 (мал.
279). Проведемо п — 3 діагоналі: АіА3, АіА4, ... , Л.;АП_|.
Оскільки многокутник опуклий, то ці діагоналі розбивають
його на л —2 трикутники: А А1А2А3, Д АіА3А4, ...,
А АіАп-іАп. Сума кутів многокутника АіАз—Ап дорівнює
сумі кутів усіх цих трикутників.. Сума кутів кожного трикут-
ника становить 180°, а кількість таких трикутників дорівнює
л — 2. Тому сума кутів опуклого л-кутника дорівнює 180° X
X (п — 2). Теорему доведено.
Зовнішнім кутом опуклого многокутника при даній вершині
називається кут, суміжний з внутрішнім кутом многокутника
при цій вершині.
д Задача (9). Чому дорівнює сума зовнішніх кутів
ҐО') опуклого л-кутника, узятих по одному при кожній вер-
___у шині?
Розв’язання. Сума внутрішнього кута многокут-
ника і суміжного з ним зовнішнього дорівнює 180°. Тому
сума всіх внутрішніх і зовнішніх кутів дорівнює 180° • л.
Але сума всіх внутрішніх кутів дорівнює 180° • (л — 2).
Отже, сума зовнішніх кутів, узятих по одному при кожній
вершині, становить 180° - л — 180° • (л — 2) = 360°.
115.	ПРАВИЛЬНІ МНОГОКУТНИКИ
Опуклий многокутник називається правильним, якщо в ньо-
го всі сторони рівні і всі кути рівні.
Многокутник називається вписаним у коло, якщо всі його
9 клас
184
вершини лежать на деякому колі.
д \	Многокутник називається описаним
________\ навколо кола, якщо всі його сторони
~Т	дотикаються до деякого кола.
.	/	\<У/	Теорема 13.3. Правильний
\ /у А? / опуклий многокутник е вписаним у
\А~2 2	коло і описаним навколо кола.
V і ‘ •	Доведення. Нехай А і В —
"	н	дві сусідні вершини многокутника
Мал. 280	(мал. 280). З вершин А і В проведемо
бісектриси кутів многокутника. Нехай
О — точка їх перетину. Трикутник
АОВ рівнобедрений з основою АВ і кутами при основі, що
дорівнюють -у , де а — кут многокутника.
Сполучимо точку О із сусідньою з В вершиною С. Трикутни-
ки АБО і СВО рівні за першою ознакою рівності трикутників.
У них сторона ОВ спільна, сторони АВ і ВС рівні як сторони
многокутника, а кути при вершині В дорівнюють —. З рівності
трикутників випливає, що трикутник ОВС рівнобедрений з ку-
том при вершині С, що дорівнює -|-, тобто СО — бісектриса
кута С. Тепер сполучаємо точку О із сусідньою з С вершиною Б
і доводимо, що трикутник СОБ рівнобедрений і БО — бісектри-
са кута Б многокутника. І так далі.
У результаті дістанемо, що кожний трикутник, у якого
однією стороною є сторона многокутника, а протилежною вер-
шиною — точка О, рівнобедрений. Усі ці трикутники мають
рівні бічні сторони і рівні висоти, опущені на їх основи. Звідси
випливає, що всі вершини многокутника лежать на колі з цент-
ром О і радіусом, що дорівнює бічним сторонам трикутників, а
всі сторони многокутника дотикаються до кола з центром О і
радіусом, що дорівнює висотам трикутників, опущеним з вер-
шини О. Теорему доведено.
Вписане і описане кола правильного многокутника мають
один і той самий центр, який називають центром многокутника.
Кут, під яким видно сторону правильного многокутника з його
центра, називається центральним кутом многокутника.
116.	ФОРМУЛИ ДЛЯ РАДІУСІВ ВПИСАНИХ
І ОПИСАНИХ КІЛ ПРАВИЛЬНИХ МНОГОКУТНИКІВ
Знайдемо радіус В описаного кола і радіус г вписаного
кола для правильного многокутника із стороною а і кількістю
сторін п (мал. 281).
§ 13. Многокутники
185
180°
п.
В = О В =
81П 0
г = ОС = — =
Р
а ,
о . 180° ’
2 81П----
п
а
180°*
2 -------
п
(рівносторон-
Ч Р. 180°
3’ р= — =
а
Для правильного
нього) трикутника п =
= 60°,
а
7? =	"
2 зіп 60° 7з 5 Г 2ї860°	21/3*
Для правильного чотирикутника (квадрата) п = 4,
0 =	= 45°,
___ а _______& ,	___ а _____ а
~ 2 зіп 45° — “о ’	— 2	45" ~ ~2 '
Для правильного шестикутника п = 6, 0 =	= 30°,
п> _ ___а ____ ... „___ __о ____п УЗ
— 2 зіп 30° —	— 2 18 30° — ~2~'
ЛК Задача (16). Знайдіть вираз для сторони ап правиль-
( ° ) ного п-кутника через радіус В описаного навколо нього
і__ґ кола і радіус г вписаного кола. Обчисліть ап, коли п =
= 3, 4, 6.
Розв’язання. Оскільки В =--------, то звідси
. 180
2 зіп--
п
маємо:
ап = 2/?8іп—.
п
Зокрема,
аз = В\3,	— Ву2, а6 = В.
Оскільки г =---, то звідси випливає
_ Іоо
Зокрема,
а3 = 2г\ 3, а4 — 2г, а6 — —.
9 клас	186
117.	ПОБУДОВА ДЕЯКИХ ПРАВИЛЬНИХ
МНОГОКУТНИКІВ
Для побудови правильного многокутника, вписаного в коло,
досить побудувати його центральний кут. У правильному
360°
шестикутнику такий кут дорівнює — = 60°, тому для побудо-
ви правильного шестикутника одну вершину (А і) на колі беремо
довільно. З неї як із центра радіусом, що дорівнює радіусу
кола, робимо засічку і дістаємо вершину Аг (мал. 282). Анало-
гічно будуємо інші вершини Аз, А4, А5, А6 і сполучаємо їх
відрізками.
Для побудови правильного вписаного трикутника досить
сполучити через одну вершини правильного вписаного шести-
кутника (мал. 283).
Для побудови правильного вписаного чотирикутника
(квадрата) досить провести через центр кола перпендикулярні
прямі. Вони перетнуть коло у вершинах квадрата (мал. 284).
§ 13. Многокутники
187
Для побудови правильного опи-
саного многокутника досить про-
вести дотичні до кола у вершинах
правильного вписаного многокут-
ника. Дотичні, що проходять через
вершини правильного вписаного
многокутника, перетинаються у
вершинах правильного описаного
многокутника (мал. 285).
Якщо в коло вписано правиль-
ний п-кутник, то легко побудувати
правильний вписаний 2п-кутник.
На малюнку 286 показано побудову
правильного восьмикутника.
Мал. 286
118.	ПОДІБНІСТЬ ПРАВИЛЬНИХ ОПУКЛИХ
МНОГОКУТНИКІВ
Теорема 13.4. Правильні опуклі п-кутники подібні.
Зокрема, якщо у них сторони однакові, то вони рівні.
Доведення. Доведемо спочатку друге твердження теоре-
ми. Отже, нехай Р\: АіА2...А.п, Р2: ВіВ2...В„ — правильні опуклі
п-кутники з однаковими сторонами (мал. 287). Доведемо, що
вони рівні, тобто суміщаються рухом.
Трикутники А|А2Аз і В|В2В3 рівні за першою ознакою.
У них А|А2 = В|В2, А2Аз = В2Вз, /_ АіА2Аз = ВіВ2Вз.
Застосуємо до многокутника Рі рух, при якому його верши-
ни А і, А2, Аз переходять відповідно у вершини Ві, В2, В3. Як ми
знаємо, такий рух існує.
При цьому вершина А 4 перейде в деяку точку С. Точки
Мал. 287
9 клас
188
В4 і С лежать з точкою В з одного боку відносно прямої В2В3.
Оскільки рух зберігає кути і відстані, то А В2ВзС = /_ В-гВ^Вц і
В3С = В3В4. Отже, точка С збігається з точкою В4. Таким
чином, під час нашого руху вершина А4 переходить у вершину
В4. Далі таким самим способом робимо висновок, що вершина
А 5 переходить у вершину В6 і т. д. Тобто многокутник Р\ пере-
водиться рухом у многокутник Р2, а тому вони рівні.
Щоб довести перше твердження теореми, спочатку застосу-
ємо до многокутника В) перетворення подібності, наприклад
немо правильний л-кутник Р' з такими самими сторонами, як
і в Р2.
За доведеним многокутник Р' переводиться рухом у много-
кутник Р2. Отже, многокутник Р\ переводиться у многокутник
Р2 перетворенням подібності і рухом. А це знову є перетворення
подібності. Теорему доведено.
Коефіцієнт подібності подібних фігур дорівнює відношенню
відповідних лінійних розмірів. У правильних л-кутників таки-
ми лінійними розмірами є довжини сторін, радіуси вписаних
і описаних кіл. Звідси випливає, що у правильних л-кутників
відношення сторін, радіусів вписаних і радіусів описаних кіл
рівні. А оскільки периметри л-кутників теж відносяться, як
сторони, то у правильних п-кутників відношення периметрів,
радіусів вписаних і радіусів описаних кіл рівні.
119.	ДОВЖИНА КОЛА
Наочне уявлення про довжину кола дістанемо таким чином.
Уявімо собі нитку у формі кола. Розріжемо її і розтянемо за
кінці. Довжина утвореного відрізка і є довжиною кола. Як
знайти довжину кола, знаючи його радіус? Зрозуміло, що при
необмеженому збільшенні кількості
сторін вписаного в коло правильного
многокутника його периметр необме
жено наближається до довжини кола
(мал. 288). Виходячи з цього, доведе-
мо деякі властивості довжини кола.
Мал. 288
Теорема 13.5. Відношення дов-
жини кола до його діаметра не
залежить від кола, тобто одне й те
саме для будь-яких двох кіл.
Доведення. Візьмемо два
довільних кола. Нехай Я і і В2 — їх
радіуси, а 1\ і 12 — довжини кіл. При-
пустимо, що твердження теореми
§ 13 Многокутники
189
 Л / її
неправильне і =/= —. наприклад
2112
2Яі 2Я2	к 7
Впишемо у наші кола правильні
опуклі многокутники з великою кіль-
кістю сторін и. Якщо л дуже велике,
то довжини наших кіл дуже мало від-
різнятимуться від периметрів вписа-
них многокутників Р\ і р?. Тому нерів-
ність (*) не порушиться, якщо в ній
замінити /і па р\, а І2 на р?, тобто:
Архімрд — давньо-
грецький учений
(ПІ ст. до н. е.)
Рі Рі
2Я,	2/ї
(**)
Як відомо, периметри правильних
опуклих л-кутників відносяться, як
радіуси описаних кіл:
,Рі _ Ді
Я?
Звідси	, а це суперечить нерівності (**). Теорему
Ні ҐІ2
доведено.
Відношення довжини кола до діаметра прийнято познача-
ти грецькою буквою л (читається «пі»):
і
2Я ~ Л‘
Число л — ірраціональне. Наближене значення л « 3,1416.
Наближене значення числа л булс відоме вже древнім гре-
кам. Архімед знайшов дуже просте наближене значення
22
л : —. Воно відрізняється від точного значення л менш ніж
на 0,002.
Оскільки = л, то довжина кола обчислюється за форму-
2 її
лою:
І = 2 л Н.
120.	радіднна міра кута
Знайдемо довжину дуги кола, яка відповідає центральному
куту п° (мал. 289). Розгорнутому куту відповідає довжина
півкола лЯ, Отже, куту 1° відповідає дуга довжиною
ІоО
а куту п° — дуга довжиною І =	 п.
9 клас
190
Радіанною мірою кута називається відношення довжини від-
повідної дуги до радіуса кола. З формулою для довжини дуги
кола випливає, що
І л
--= ----  П.
В 180
тобто радіанну міру кута дістають з градусної множенням на
Зокрема, радіанна міра кута 180° дорівнює л, радіанна
1 ои
міра прямого кута становить .
Одиницею радіанної міри кутів є радіан. Кут один радіан —
це кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу (мал. 290). Градус-
180°	_„о
на міра кута в один радіан дорівнює----« 57 .
л
ЛІ Задача (50). Знайдіть радіанну міру кутів трикут-
<5о ) ника, якщо /2 А = 60°, /_ В = 45°.
(__? Розв’язання. Радіанна міра кута А дорівнює
60° •	. Радіанна міра кута В дорівнює 45° X
ІоО о
X	. За теоремою про суму кутів трикутника
Іоі) 4
л л 5 л
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1.	Що таке ламана, довжина ламаної?
2.	Доведіть, що довжина ламаної не менша від довжини відріз-
ка, що сполучає її кінці.
3.	Що таке многокутник, опуклий многокутник?
4.	Що таке плоский многокутник?
5.	Що таке кут опуклого многокутника при даній вершині?
6.	Виведіть формулу для суми кутів опуклого многокутника.
§ 13. Многокутники
191
7.	Що таке зовнішній кут опуклого многокутника?
8.	Доведіть, що правильний многокутник е вписаним у коло
і описаним навколо кола.
9.	Що називається центром многокутника? Центральним ку-
том многокутника?
10.	Виведіть формули для радіусів вписаного і описаного кіл
правильного п-кутника.
11.	Знайдіть радіуси вписаного і описаного кіл для правильного
трикутника, чотирикутника (квадрата), шестикутника.
12.	Як побудувати правильний опуклий шестикутник, трикут-
ник, чотирикутник, восьмикутник?
13.	Доведіть, що правильні опуклі « кутники подібні. Зокрема,
якщо в них сторони однакові, то вони рівні,
14.	Доведіть, що відношення довжини кола до його діаметра
не залежать від кола, тобто одне й те саме для всіх кіл.
15.	За якою формулою обчисляється довжина кола?
16.	За якою формулою обчисляється довжина дуги кола?
17.	Що таке радіанна міра кута?
18.	Чому дорівнюють радіанні міри кутів 180° і 90°?
ф	ЗАДАЧІ
1.	Дано два кола з радіусами Ні і Я2 і відстанню між центрами
<і >	+ Я2. Чому дорівнюють найбільша і найменша від-
стані між точками X і У цих кіл?
2.	Розв’яжіть задачу 1 за умови, що гі < Яі — Яг (мал. 291).
3.	Доведіть, що коли вершини ламаної не лежать на одній
прямій, то довжина ламаної більша від довжини відрізка,
що сполучає її кінці.
4.	Доведіть, що в замкненої ламаної відстань між будь якими
двома вершинами не більша від половини довжини ламаної.
5.	Доведіть, що в замкненої ламаної довжина кожної ланки не
більша від суми довжин решти ланок.
6.	Чи може замкнена ламана мати ланки довжиною 1 м, 2 м,
З м, 4 м, 11м? Поясніть відповідь.
7.	Доведіть, що коли кінці ламаної лежать по різні боки від да-
ної прямої, то вона перетинає цю пряму (мал. 292).
8.	Скільки діагоналей у п-кутника?
9.	Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого п-кутника,
взятих по одному при кожній вершині?
10,	Кути опуклого чотирикутника пропорційні до чисел 1, 2, З,
4. Знайдіть їх.
11.	Доведіть, що у чотирикутника, описаного навколо кола,
суми довжин протилежних сторін рівні
12.	Скільки сторін має правильний многокутник, кожний з
внутрішніх кутів якого дорівнює: 1) 135°; 2) 150°?
9 клас
192
13.	Скільки сторін має правильний многокутник, якщо кожний
із зовнішніх його кутів дорівнює: 1) 36°; 2) 24°?
14.	Доведіть, що взяті через одну вершини правильного 2п-кут-
ника є вершинами правильного ге-кутника.
15.	Доведіть, що середини сторін правильного л-кутника є вер-
шинами іншого правильного л-кутника.
16.	Виразіть сторону ап правильного л-кутника через радіус В
описаного навколо нього кола і радіус г вписаного кола.
Обчисліть ап, коли п = 3, 4, 6.
17.	Хорда, яка перпендикулярна до радіуса і проходить через
його середину, дорівнює стороні правильного вписаного
трикутника. Доведіть.
18.	У правильного трикутника радіус вписаного кола вдвічі
менший за радіус описаного кола. Доведіть.
19.	Сторона правильного вписаного в коло трикутника дорів-
нює а. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.
20.	У коло, радіус якого 4 дм, вписано правильний трикутник,
на стороні якого побудовано квадрат. Знайдіть радіус кола,
описаного навколо квадрата.
21.	Кінець валика діаметром 4 см обпиляно у вигляді квадрата.
Визначте, який найбільший розмір може мати сторона
квадрата.
22.	Кінець гвинта газової засувки має правильну тригранну
форму. Який найбільший розмір може мати кожна грань,
якщо діаметр циліндричної частини гвинта дорівнює 2 см?
23.	Доведіть, що сторона правильного 8-кутника обчислюється
за формулою а8 = В \'2~ де Я — радіус описаного
кола.
24.	Доведіть, що сторона правильного 12-кутника обчислюєть-
ся за формулою аі2 = Я^2 — -^3, дей — радіус описаного
кола.
25? Знайдіть сторони правильного п’ятикутника і правильного
10-кутника, вписаних у коло радіуса В.
§ 13. Многокутники
193
26.	Сторона правильного многокутника дорівнює а, а радіус
описаного кола Н. Знайдіть радіус вписаного кола.
27.	Сторона правильного многокутника а, а радіус вписаного
кола г. Знайдіть радіус описаного кола.
28.	Виразіть сторону Ь правильного описаного многокутника
через радіус Н кола і сторону а правильного вписаного
многокутника з тією самою кількістю сторін.
29.	Виразіть сторону а правильного вписаного многокутника
через радіус Н кола і сторону і> правильного описаного
многокутника з тією самою кількістю сторін.
ЗО.	Впишіть у коло правильний 12-кутник.
31.	Опишіть навколо кола правильний трикутник, квадрат,
правильний восьмикутник.
32.	Радіуси вписаного і описаного кіл одного правильного
п-кутника дорівнюють Гі і Н\, а радіус вписаного кола
другого правильного п-кутника дорівнює г2. Чому дорівнює
радіус описаного кола другого п-кутника?
33.	Периметри двох правильних п-кутників відносяться, як
а : Ь. Як відносяться радіуси їх вписаних і описаних
кіл?
34.	Обчисліть довжину кола, якщо радіус дорівнює' 1) 10 м;
2) 15 м.
35.	На скільки зміниться довжина кола, якщо радіус зміниться
на 1 мм?
36.	Знайдіть відношення периметра правильного 8-кутника до
діаметра і порівняйте його з наближеним значенням я.
37.	Розв’яжіть задачу 36 для правильного 12-кутника.
38.	Знайдіть радіус земної кулі, виходячи з того, що 1 м стано-
вить одну 40-мільйонну частку довжини екватора.
39.	На скільки б подовшав земнийеекватор, якби радіус земної
кулі збільшився на 1 см?
40.	п рівних кіл, що лежать усередині кола радіуса дотика-
ються між собою і до даного кола. Знайдіть радіуси цих
кіл, якщо їх кількість дорівнює: 1) 3; 2) 4; 3) 6 (мал. 293).
41.	Розв’яжіть попередню задачу, якщо кола лежать поза
даним колом.
42.	Піків мас у діаметрі 1,4 м і робить 80 обертів за хвилину.
Знайдіть швидкість точки на ободі шківа.
43.	Знайдіть довжину дуги кола радіуса 1 см, яка відповідає
центральному куту: 1) 30°; 2) 45°; 3) 120°; 4) 270°.
44.	- Скільки градусів містить центральний кут, якщо відповідна
йому дуга становить: 1) -5-; 2)	3) 4 ; 4)	; 5)	; 6)-|-
О	4	о	о	о ч
кола?
45.	Який кут утворюють радіуси Землі, проведені до двох точок
на її поверхні, відстань між якими дорівнює 1 км? Радіус
Землі дорівнює 6370 км.
9 клас
194
Мал. 293
46.	За даним радіусом Я = 1 м знайдіть довжину дуги, що від-
повідає центральному куту: 1) 45°; 2) 30°; 3) 120";
4) 45° 45'; 5) 60° ЗО'; 6) 150° 36'.
47.	За даною хордою а знайдіть довжину її дуги, якщо градусна
міра дуги дорівнює: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
48.	За даною довжиною дуги І знайдіть її хорду, якщо дуга
містить: 1) 60°; 2) 90°; 3) 120°.
49.	Знайдіть радіанну міру кутів: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
50.	Знайдіть радіанну міру кутів трикутника АВС, якщо
А А = 60", / В = 45°.
51.	Знайдіть градусну міру кута, якщо його радіанна міра
дорівнює: 1)	2) —; 3) -; 4) -; 5) - ; 6) -.
§ 14. ПЛОЩІ ФІГУР
121.	ПОНЯТТЯ ПЛОЩІ
Геометричну фігуру називатимемо простою, якщо її можна
розбити на скінченну кількість плоских трикутників. Нагада
ємо, що плоским трикутником називають скінченну частину
площини, обмежену трикутником (мал. 294).
Прикладом простої фігури є опуклий плоский многокутник.
Він розбивається на плоскі трикутники діагоналями, проведени-
ми з будь-якої його вершини (мал. 295).
У цьому параграфі розглядатимемо тільки плоскі многокут-
ники, тому повторювати кожний раз «плоский» не будемо.
Дамо означення площі для простих фігур.
Для простих фігур площа — це додатна величина, числове
значення якої має такі властивості;
1)	Рівні фігури мають рівні площі.
2)	Якщо фігура розбивається на частини, що є простими
фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин.
§ 14. Площі фігур
195
Мал. 294
Мал. 295
3)	Площа квадрата із стороною, що дорівнює одиниці
вимірювання, дорівнює одиниці.
Якщо квадрат, про який ідеться в означенні, має сторону
1 м, то площа буде в квадратних метрах (м2). Якщо сторона
квадрата 100 м, то площа буде в гектарах. Якщо сторона квад-
рата 1 км, то площа буде в квадратних кілометрах і т. д.
122.	ПЛОЩА ПРЯМОКУТНИКА
Визначимо площу прямокутника із сторонами а, Ь. Для цього
спочатку доведемо, Що площі двох прямокутників з рівними
основами відносяться так, як їх висоти.
Нехай АВСВ і АВ\С\В — два прямокутники із спільною
основою АВ (мал. 296, а). Нехай 5 і — їх площі. Доведемо,
5 АВ
що — =	. Розіб’ємо сторону АВ прямокутника на велику
5|	. АВ тт
кількість п рівних частин, кожна з яких дорівнює —. Нехай
тп — число точок поділу, які лежать на стороні АВ\. Тоді
\ п /	\ п /
Звідси, поділивши на АВ, дістанемо:
т	АВі^- т .
V	~АВ ~п "т
Проведемо через точки поділу прямі, паралельні основі АВ.
Вони розіб’ють прямокутник АВСВ на п рівних прямокутни-
$
ків, кожний з яких має площу —. Прямокутник АВ\С\В містить
п
перші т прямокутників, починаючи знизу, й міститься в т + 1
прямокутниках. Тому
(а 1).
(*)
Звідси
т з1 < т і і
п '' 8	" л п
(**)
9 клас
196
а)
Мал. 296
З нерівностей (*) і (**) бачимо, що обидва числа 4^- і
АП о
.	. т . т .	1	_	.	.
МІСТЯТЬСЯ МІЖ — 1 — -)——. Тому вони відрізняються одне ВІД
одного не більше ніж на —. Оскільки п можна взяти як завгодно
великим, то це може бути тільки тоді, коли = 4^, що й
о АВ
треба було довести.
Візьмемо тепер квадрат, який є одиницею площі, прямо-
кутник із сторонами 1, а і прямокутник із сторонами а, Ь
(мал. 296, б). Порівнюючи їх площі, за доведеним матимемо:
8' _ а . 8 _ Ь
1 — 1 1 Я7 ~ Т-
Перемноживши ці рівності, дістанемо:
5 = аЬ.
Отже, площа прямокутника із сторонами а, Ь обчислюється
за формулою 8 = аЬ.
123. ПЛОЩА ПАРАЛЕЛОГРАМА
Нехай АВСО — даний паралелограм. Якщо він не є прямо-
кутником, то один з його кутів А або В — гострий. Нехай,
наприклад, кут А — гострий, як зображено на малюнку 297.
Опустимо з вершини А на пряму СО перпендикуляр АЕ.
Площа трапеції АВСЕ дорівнює сумі площ паралелограма
АВСО і трикутника АОЕ.
§ 14. Площі фігур
197
Опустимо також перпендикуляр
ВЕ з вершини В на пряму СО. Тоді
площа трапеції А ВСЕ дорівнює сумі
площ прямокутника АВРЕ і трикут-
ника ВСЕ.
Прямокутні трикутники АОЕ і
ВСЕ рівні і тому мають рівні площі.
Звідси випливає, що площа паралело-
грама АВСВ дорівнює площі прямо-
кутника АВЕЕ, тобто дорівнює
АВ  ВР.
Мал. 297
Відрізок ВР називається висотою паралелограма, яка від
повідає сторонам А В і СО.
Отже, площа паралелограма дорівнює добутку його сторони
на висоту, проведену до цієї сторони.
Мал. 298
124. ПЛОЩА ТРИКУТНИКА
Нехай АВС — даний трикутник
(мал. 298). Доповнимо цей трикутник
до палалелограма АВСВ, як показано
на малюнку. Площа паралелограма
дорівнює сумі площ трикутників АВС
і СОА. Оскільки ці трикутники рівні,
то площа паралелограма дорівнює
подвоєній площі трикутника АВС.
Висота паралелограма, яка відповідає
стороні АВ, дорівнює висоті три-
кутника АВС, проведеній до сторони АВ. Звідси випливає, що
площа трикутника дорівнює половині добутку його сторони
на висоту, проведену до цієї сторони:
8 = 4? ак.
Доведемо тепер, що площа трикутника дорівнює половині
добутку двох будь-яких його сторін на синус кута між ними.
Нехай АВС —- даний трикутник (мал. 299). Доведемо, що
8 = ^~АВ • АС • зіп А.
Проведемо у трикутнику АВС висоту ВВ.
Маємо:
8 = -±-АС  ВВ.
З прямокутного трикутника АВВ: ВИ = АВ • зіп а, якщо
кут а — гострий (мал. 299, а), і ВВ = АВ  зіп (180° — а), якщо
9 клас
198
Мал. 299
кут а — тупий (мал. 299, б). Оскільки зіп (180° — а) = зіп а, то
для будь-якого випадку ВО = АВ • віп а. Отже, площа три-
кутника 8 = -^-АВ - АС • зіп А, що й треба було довести.
125. ФОРМУЛА ГЕРОІІА ДЛЯ ПЛОЩІ ТРИКУТНИКА
Задача (29). Виведіть формулу Герона 1 для площі
трикутника:
8 = \Ір (р — а) (р — Ь) (р — с),
,	.	а -|- Ь + с
де а, о, с — довжини сторін трикутника, а р = -%----
півпериметр.
Розв’язання. Маємо
о 1 і.
8 = ~2аЬ 81П у,
де у — кут трикутника, протилежний стороні с. За теоре-
мою косинусів
Звідси
с1 = а2 4- Ь2 — 2аЬ соз у.
а2 + Ь2 — с2
СО8Ї= ----ЬЬ---
А тому
зіп2 у =
1 — сов2 у = (1 — сову) (1 + сов у) —
_ 2аЬ — а2 — Ь2 + с2
2аЬ
= с2 — (а — Ь)2 . (а + Ь)2 - с2 
2аЬ	2аЬ
=	~ а ' Ь)(с + а — Ь)(а + Ь — с){а+ Ь + с).
1 Герон Александрійський — давньогрецький учений, який жив
у І ст. н. е.
2аЬ + а2 + Ь2 — с2
2аЬ
§ 14. Площі фігур
199
Взявши до уваги, що а + Ь + с = 2р, а -г Ь — с = 2р —
— 2с, а с — Ь = 2р — 2&, с — а Ь — 2р — 2а,
дістанемо:
8іп у = Р'Р — а>,(р — Ь) (р — с).
Таким чином
5 = ±-аЬ зіп у = V» — а) (р — Ь) {р — с).
126. ПЛОЩА ТРАПЕЦІЇ
Нехай АВСО — дана трапеція (мал. 300). Діагональ трапеції
АС розбиває її на два трикутники: АВС і СОА. Отже, площа
трапеції дорівнює сумі площ цих трикутників. Площа трикут-
ника АВС дорівнює ~^~АВ • СЕ, а площа трикутника АСО —
-^-ОС • АР. Висоти СЕ й АР цих трикутників дорівнюють від-
стані між паралельними прямими АВ і СО. Ця відстань нази-
вається висотою трапеції,
Отже, площа трапеції дорівнює добутку півсуми її основ
на висоту:
8 = ііА. А.
Мал- 300
Лі Задача (40). Доведіть, що коли діагоналі чотири-
(кутника перетинаються, то площа чотирикутника дорів-
5__І нює половині добутку діагоналей на синус кута між
ними.
9 клас
200
Розв’язання. Площа 5 чотирикутника дорівнює
сумі площ трикутників АВС і АБС (мал. ЗОЇ):
8 = ±-АС  ВЕ + ±-АС  БР =
= -4-АС • ВО - віп а + 4г АС • БО • зіп а —
"	А
= ~гАС • віп а (ВО -|- БО) = 4г АС • ВБ • віп а,
що й треба було довести.
127. ФОРМУЛИ ДЛЯ РАДІУСІВ ВПИСАНОГО
І ОПИСАНОГО КІЛ ТРИКУТНИКА
Задача (42). Виведіть такі формули для радіусів
описаного (Я) і вписаного (г) кіл трикутника:
д __ аЬс _	28
48 ’ а+ Ь + с ’
де а, Ь, с — сторони трикутника, 8 — його площа.
Розв’язання. Почнемо з формули для В. Як ми
знаємо, В = т—.—, де а — кут, протилежний стороні а
Л 81Н ОС
трикутника.
Помноживши чисельник і знаменник правої частини
на Ьс і взявши до уваги, що -і-&сзіпа = 8, дістанемо:
р _ аЬс
™	48 '
Виведемо формулу для г (мал. 302). Площа трикутника
АВС дорівнює сумі площ трикутників ОАВ, ОВС і ОСА-.
8 = -тсг + -таг + -тЬг-
Звідси
г =	.
а + Ь + с
Мал. 302
§ 14. Площі фігур
201
128. ПЛОЩІ ПОДІБНИХ ФІГУР
Нехай Р' і Р" — дві подібні фігури. З’ясуємо, як відносяться
площі цих фігур. Оскільки фігури подібні, то існує перетворен-
ня подібності, при якому фігура Р' переходить у фігуру Р".
Розіб’ємо фігуру Р' на трикутники А і, Дг, Аз, ... (мал. 303).
Перетворення подібності, яке переводить фігуру Р' у фігуру Р",
переводить ці трикутники у трикутники Д", Аг, Аз ... розбиття
фігури Р". Площа фігури Р’ дорівнює сумі площ трикутників
А і, Аг, Аз,..., а площа фігури Р" дорівнює сумі площ трикутни-
ків ДГ, Дг, Аз.....
Якщо коефіцієнт подібності дорівнює к, то розміри
трикутника д;' у к разів більші за відповідні розміри трикут-
ника Дп. Зокрема, сторони і висоти трикутника Д„' у к разів
більші за відповідні сторони і висоти трикутника Д„. Звідси
випливає, що
5(д;') = к2 • 5(д;).
Додавши ці рівності почленно, дістанемо:
8(Р") = к28(Р').
Коефіцієнт подібності к дорівнює відношенню відповід-
них лінійних розмірів фігур Р' і Р". Отже, площі подіб-
них фігур відносяться як квадрати їх відповідних лінійних
розмірів.
129. ПЛОЩА КРУГА
Якщо фігура проста, тобто може бути розбита на скінченну
кількість трикутників, то її площа дорівнює сумі площ цих
трикутників. Для довільної фігури площа означається таким
чином.
Дана фігура має площу 8, якщо існують прості фігури, які
містять її, і прості фігури, які містяться в ній, з площами, що як
9 клас
202
Мал. 304
Мал. 305
завгодно мало відрізняються від 5. Застосуємо це означення для
знаходження площі круга.
Кругом називається фігура, яка складається з усіх точок
площини, відстань від яких до даної точки не більша за дану.
Ця точка називається центром круга, а дана відстань — радіу-
сом круга. Межею круга є коло з тим самим центром і радіусом
(мал. 304).
Площа круга дорівнює половині добутку довжини кола, що
його обмежує, на радіус.
Доведемо це. Побудуємо два правильні п-кутники: Рі —
вписаний у круг і Р, — описаний навколо круга (мал. 305).
Многокутники Рі і Рі є простими фігурами. Многокутник
Р\ міститься в крузі, а многокутник Рі містить круг.
Радіуси, проведені у вершини многокутника Рі, розбивають
його на п трикутників, кожний з яких дорівнює трикутнику
АОО.
Тому
= П^АОО-
Оскільки
8АОо — АС • ОС = АС АО соє а,
то
8Рі = (п АС'; АО • сов а = соз а,
де Р — периметр многокутника Рі, Н — радіус круга. Аналогіч-
но знаходимо площу многокутника Ра:
>Ь'р2 = п8ВОР,
8ВОР = АВ • АО = — • АО,
СОЗ (X
е (пАС)АО рЯ
&р2 — -------— —-----,
соз а 2 сов а
Отже, многокутник Р|, який міститься в крузі, має площу
о рЯ
8Рі = — сов а,
§ 14. Площі фігур
203
а многокутник Р>, який містить круг, має площу
Ч = рР'
‘ (’2	2 соз а"
Оскільки при досить великому п периметр р як завгодно мало
відрізняється від довжини І кола, а сов а як завгодно мало
відрізняється від одиниці, то площі многокутників Р| і Рг як
завгодно мало відрізняються від -у. Відповідно до означення,
&
це означає, що площа круга
8 = ^-= лР2,
£
що й треб» було довести.
Круговим сектором називається частина круга, яка лежить
усередині відповідного центрального кута (мал. 306).
Площа кругового сектора обчислюється за формулою:
380 ’ Х’
де К — радіус круга, а а — градусна міра відповідного
центрального кута.
Круговим сегментом називається спільна частина круга і
пів площини (мал. 307).
Площа сегмента, що не дорівнює півкругу, обчислюється за
формулою
& = 360 * а —
де а — градусна міра центрального кута, який містить дугу
кругового сегмента, а 8ь — площа трикутника з вершинами
в центрі круга і на кінцях радіусів, які обмежують даний сектор.
Знак « 4- * треба брати, коли а > 180°, а знак « — ♦ — тоді, коли
а < 180°.
КОНТРОЛЬІП ЗАПИТАННЯ
•
1.	Сформулюйте властивості площі для простих фігур.
2.	Доведіть, що площа прямокутника дорівнює добутку його
сторін.
9 клас
204
3.	Доведіть, що площа паралелограма дорівнює добутку його
сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
4.	Доведіть, що площа трикутника дорівнює половині добутку
його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
5.	Доведіть, що площа трикутника дорівнює половині добутку
двох довільних його сторін на синус кута між ними.
6.	Доведіть, що площа трапеції дорівнює добутку півсуми
основ на висоту.
7.	Як відносяться площі подібних фігур?
8.	Виведіть формулу площі круга.
9.	За якими формулами обчислюються площі кругового
сектора і кругового сегмента?
Ш	ЗАДАЧІ
1.	Доведіть, що сума площ квадратів, побудованих на катетах
прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побу-
дованого на гіпотенузі (мал. 308).
2.	Сторони двох земельних ділянок квадратної форми дорів-
нюють 100 м та 150 м. Знайдіть сторону рівновеликої їм
квадратної ділянки.
3.	Знайдіть площу квадрата 3 за його діагоналлю а.
4.	У скільки разів площа квадрата, описаного навколо кола,
більша від площі квадрата, вписаного в те саме коло?
5.	Як зміниться площа квадрата, якщо кожну його сторону
збільшити у 3 рази?
6.	У скільки разів треба зменшити сторони квадрата, щоб його
площа зменшилась у 25 раз?
7.	Чому дорівнюють сторони прямокутника, якщо вони від-
носяться, як 4 : 9, а його площа 144 м2?
8.	Чому дорівнюють сторони прямокутника, якщо його пери-
метр 74 дм, а площа 3 м2?
9.	Паралелограм і прямокутник мають однакові сторони.
Знайдіть гострий кут паралелограма, якщо площа його
дорівнює половині площі прямокутника.
10.	Квадрат і ромб мають однакові периметри. Яка з фігур має
а.	більшу площу? Поясніть відповідь.
/	11. Знайдіть площу ромба, якщо його
/	\	висота 10 см, а гострий кут 30°.
_____/	У 12. Знайдіть площу ромба, якщо його
"X	/	висота 12 см, а менша діагональ
/	13 см.
-----	13. Доведіть, що площа ромба дорівнює
половині добутку діагоналей.
14. Знайдіть сторони ромба, знаючи, що
-------	його діагоналі відносяться, як 1 : 2,
Мал. 308	а площа ромба дорівнює 12 см2.
§ 14. Площі фігур
205
15. Поділіть даний трикутник ка три рівновеликих частини
прямими, що проходять через одну вершину.
16? Розв’яжіть попередню задачу, взявши замість трикутни-
ка паралелограм
17.	Чому дорівнює площа рівнобедреного трикутника, якщо
його основа 120 м, а бічна сторона 100 м?
18.	Знайдіть площу рівнобедреного прямокутного трикутника
з гіпотенузою а.
19.	У трикутнику із сторонами 8 см і 4 см проведено висоти до
цих сторін. Висота, проведена до сторони 8 см, дорівнює
З см. Чому дорівнює висота, проведена до сторони 4 см?
20.	Доведіть, що сторони трикутника обернено пропорційні
до його висот, тобто
а '	' С ка ' кь ’ кс"
21.	Знайдіть площу рівностороннього трикутника із стороною а.
22.	Знайдіть площу правильного трикутника, вписаного в коло
радіуса Я.
23.	Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його
висота ділить гіпотенузу на відрізки 32 см і 18 см.
24.	Чому дорівнюють катети прямокутного трикутника, якщо
його гіпотенуза дорівнює 73 см, а площа 1320 см2?
25.	У трикутнику АВС: АС = а, ВС = Ь. При якому куті С
площа трикутника буде найбільшою?
26.	Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, у якого бічні
сторони дорівнюють їм, а кут між ними становить 70°.
27.	Знайдіть площу паралелограма, якщо йога сторони 2 м і
З м, а один з кутів дорівнює 70°.
28? Знайдіть площу трикутника за стороною а і прилеглими
до неї кутами а і р.
29.	Виведіть формулу Герона для площі трикутника:
8 = \Р(р — а)(р — Ь)(р — с), де а, Ь, с — довжини сторін
трикутника, р — півпериметр.
ЗО.	Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами: 1) 13,14,
15; 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80;	4) —,	—,	6;
О о
5)	13, 37Я 47^; 6) 2-1 3^, 1,83.
1у	1 о	1^5 /о
31.	Сторони трикутника а, Ь, с. Знайдіть висоту трикутника,
опущену на сторону с.
32.	Вічні сторони трикутника ЗО см та 25 см. Знайдіть висоту
трикутника, опущену на основу, що дорівнює: 1) 25 см;
2) 11см.
33.	Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 64 см, а його
бічна сторона на 11 см більша від основи. Знайдіть висоту
трикутника, опущену на бічну ста рану.
9 клас
206
34.	Знайдіть висоту трикутника, у якого сторони дорівнюють
13, 14, 15 см.
35.	Знайдіть висоту трикутника із сторонами: 2-^, 3^, 1,83,
12'	75
проведену ДО ОСНОВИ 2—.
36.	Знайдіть найменшу висоту трикутника із сторонами: 1) 5,
5, 6; 2) 17, 65, 80 і найбільшу висоту трикутника із сторона-
ми; 3)^,6; 4) 13,37^, 47А.
37.	Знайдіть площу трапеції, у якої паралельні сторони 60 см
і 20 см, а непаралельні — 13 см і 37 см.
38.	У рівнобічній трапеції основи дорівнюють 10 см і 24 см,
бічна сторона 25 см, знайдіть площу трапеції.
39.	У рівнобічній трапеції більша основа дорівнює 44 м, бічна
сторона 17 м, а діагональ 39 м. Знайдіть площу трапеції.
40.	Доведіть, що коли діагоналі чотирикутника перетинаються,
то площа чотирикутника дорівнює половині добутку його
діагоналей на синус кута між ними.
41? Доведіть, що серед усіх паралелограмів з даними діагона-
лями найбільшу площу має ромб.
42.	Виведіть такі формули для радіусів описаного (Я) і вписа-
ного (г) кіл трикутника:
„ аЬс	25
К ~ 48 ’ Г ~ а 4- Н с’
де а, Ь, с — сторони трикутника, а 5 — його площа.
43.	Знайдіть радіуси описаного (Я) і вписаного (г) кола для три-
кутника із сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29,
8; 4) 4, 5, 7.
44.	Бічна сторона рівнобедреного трикутника 6 см, а висота,
проведена до основи, 4 см. Знайдіть радіус описаного кола.
45.	Знайдіть радіуси кіл, описаного навколо рівнобедреного три-
кутника з основою а і бічною стороною Ь і вписаного в нього.
46.	Знайдіть радіус г вписаного і радіус Я описаного кіл для
рівнобедреного трикутника з основою 10 см і бічною сторо-
ною 13 см.
47.	Доведіть, що в прямокутному трикутнику радіус вписаного
кола дорівнює половині різниці між сумою катетів і гіпоте-
нузою.
48.	Катети прямокутного трикутника дорівнюють 40 см і 42 см.
Знайдіть радіуси описаного і вписаного кіл.
49.	Доведіть, що площа многокутника, описаного навколо кола,
дорівнює половині добутку периметра многокутника на
радіус кола.
50.	Через середину висоти трикутника проведено перпендику-
лярно до неї пряму. В якому відношенні вона ділить площу
трикутника?
§14. Площі фігур
207
51.
52.
53.
54.
55.
Пряма, перпендикулярна до висо-
ти трикутника, ділить його площу
пополам. Знайдіть відстань від
цієї прямої до вершини трикут-
ника, з якої проведено висоту,
якщо вона дорівнює Л.
Периметри правильних п-кутни-
ків відносяться, як а : Ь. Як від-
носяться їх площі?
Знайдіть площу круга, якщо
довжина кола І.
Знайдіть площу кругового кільця
(мал. 309), обмеженого двома
колами з одним і тим самим
центром і радіусами: 1) 4 см і 6
3) а і Ь, а > Ь.
У скільки разів збільшиться площа
метр збільшити: 1) у 2 рази; 2) у
Мал. 309
см; 2) 5,5 м і 6,5 м;
круга, якщо його діа-
5 раз; 3) в т разів?
56. Знайдіть відношення площі круга і площі вписаного в ньо-
го: 1) квадрата; 2) правильного трикутника;3) правильно-
го шестикутника.
57.	Знайдіть відношення площі круга, вписаного в правильний
трикутник, до площі круга, описаного навколо нього.
58.	Знайдіть відношення площі круга, описаного навколо квад-
рата, до площі круга, вписаного в нього.
59.	Знайдіть площу сектора круга радіуса Н, якщо відповід-
ний цьому сектору центральний кут дорівнює: 1) 40°;
2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
60.	Дано коло радіуса Я. Знайдіть площу сектора, що відпові-
дає дузі довжиною: 1) Я; 2) І.
61? Знайдіть площу кругового сегмента з основою ал/3 і висо-
а
ТОЮ —.
л
62.	Знайдіть площу тієї частини круга, яка розміщена
поза вписаним у нього: 1) квадратом; 2) правильним три-
кутником; 3) правильним многокутником. Радіус круга Я
(мал. 310).
Мал. 310
9 клас
208
§ 15.	ЕЛЕМЕНТИ СТЕРЕОМЕТРІЇ
130.	АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ
Стереометрія — це розділ геометрії, в якому вивчаються
фігури у просторі. У стереометри, як і в планіметрії, властивості
геометричних фігур встановлюються доведенням відповідних тео-
рем. Основними фігурами у просторі е точки, прямі і площини.
Система аксіом стереометрії складається з аксіом планіметрії
І—IX і трьох просторових аксіом.
Аксіоми
Сь Яка б не була площина, існують точки, що належать
цій площині, і точки, які не належать їй.
С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони
перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.
С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через
них можна провести площину, і до того ж тільки одну.
Наведемо як приклад доведення двох теорем із стереометрії з
використанням аксіом Сі, С2, С3.
Теорема 15.1. Через три точки, які не лежать на одній
прямій, можна провести площину
Доведення. Нехай А, В, С — три дані точки (мал. 311).
Проведемо прямі АВ і АС (аксіома І). Прямі АВ і АС різні, бо
точки А, В, С не лежать на одній прямій. Проведемо через пря-
мі АВ і АС площину (аксіома С3). Ця площина проходить через
точки А, В, С, бо містить прямі АВ і АС. Теорему доведено.
Теорема 15.2. Якщо дві точки прямої належать площи-
ні, то вся пряма належить цій площині.
Доведення. Нехай а — дана площина і А, В — точки пря-
мої, які належать площині а (мал. 312). Позначимо точку С,
яка не лежить у площині а (аксіома Сі). Проведемо через точки
А, В, С площину 0 Площини а і 3 перетинаються по прямій,
яка містить точки А і В, а ця пряма єдина (аксіома 1). Отже,
пряма АВ належить площині а. Теорему доведено.
§ 15. Елементи стереометри
209
Щоб можна було розв’язувати найпростіші задачі стереомет-
рії, дамо означення основних понять стереометрії і наведемо
основні теореми (без доведення).
131.	ПАРАЛЕЛЬНІСТЬ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН
У ПРОСТОРІ
Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони
лежать в одній площині і не перетинаються (мал. 313). Прямі,
які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються
мимобіжними.
Через тонку, яка не лежить на даній прямій, можна про-
вести пряму, паралельну цій прямій, і тільки одну.
Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою.
Задача (5). Через кінці відрізка АВ і його середину М
проведено паралельні прямі, що перетинають деяку пло-
5 ) щину в точках АІ5 В! і Мі. Знайдіть довжину відрізка
ММі, якщо відрізок АВ не перетинає площину і коли ААХ =
= 7 м, ВВ] = 5 м.
Розв’язання. Нехай а — площина, якій належать точ-
ки Аі, Ві, Мі (мал. 314). Проведемо площину р, якій
належать прямі ААі і ВВі. Чотирикутник АВВіАі — тра-
пеція з основами ААі і ВВі. Оскільки пряма АВ належить
площині р, то і точка М належить площині р. Оскільки
ММі Ц ААі і точка М належить площині Р, то й точка Мі
також належить площині р. Оскільки точка Мі належить
і площині а і площині Р, то вона належить прямій АіВь по
якій площини а і Р перетинаються. Оскільки АМ = МВ,
то за теоремою Фалеса АіМі = ВіМі, тобто ММі— серед-
ня лінія трапеції. За властивістю середньої лінії трапеції
ММі = {(ААі + ВВі) = } (7 + 5) = 6 (м).
Пряма і площина у просторі називаються паралельни-
ми, якщо вони не перетинаються.
8 Геометрія, 7-9 кл.
9 клас
210
Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-
небудь прямій, що лежить у цій площині (мал. 315).
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не пе-
ретинаються.
Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою
площиною, то прямі перетину площин паралельні (мал. 316).
Через точку поза даною площиною можна провести пло-
щину, паралельну даній, і до того ж тільки одну.
Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома
паралельними площинами, рівні (мал. 317).
Мал. 315
Л. Задача (8). Доведіть, що коли чотири прямі, які про-
ґ 1") ходять через точку А, перетинають площину а у вершинах
і__І паралелограма, то вони перетинають будь-яку площину, па-
ралельну а, яка не проходить через точку А, також у вер-
шинах паралелограма.
§15. Елементи стереометрії
211
Розв'язання. Нехай В, С, И, Е — точки перетину
прямих з площиною а, а Ві, Сі, Еі — відповідні точки
перетину прямих з площиною 0, яка паралельна площині а
(мал. 318). Проведемо площину уі через прямі АВ і АС.
Ця площина перетинає площини а і 0 по паралельних пря-
мих ВС і ВіСі. Проведемо площину у2 через прямі АЕ і АО.
Площина у2 перетинає площини а і 0 по паралельних пря-
мих ЕИ і ЕіОі. Оскільки чотирикутник ВСИЕ — пара-
лелограм, то його протилежні сторони ВС і ЕР паралельні,
ВС|| ЕР. Отже, маємо ЕіРіН ЕР, ЕР|| ВС, ВС|| ВіСр Звідси за
властивістю паралельних прямих випливає, що ЕіРі||ВіСі.
А це означає, що у чотирикутнику ВіСфіЕі протилежні
сторони ЕіРі і ВхСі паралельні.
Аналогічно доводять, що у цього чотирикутника пара-
лельні сторони ВіЕі і СіРі. Отже, чотирикутник ВіСДЕ! —
паралелограм, що й треба було довести.
132.	ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІСТЬ ПРЯМИХ
І ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ
Прямі у просторі називаються перпендикулярними, якщо
вони перетинаються під прямим кутом.
Якщо прямі а іЬ перпендикулярні і а1г Ь± — прямі, які пе-
ретинаються, паралельні прямим а і Ь, то еони теж перпен-
дикулярні.
Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикуляр-
ною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої
прямої, що лежить у цій площині й проходить через точку їх
перетину (мал. 319).
Пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до пло-
щини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих у площи-
ні, які проходять через точку їх перетину (мал. 320).
Мал. 319
Мал. 320
9 клас
212
Через кожну точку площини можна провести перпенди-
кулярну до неї пряму, і тільки одну. Всі прямі, перпендику-
лярні до даної площини, паралельні (мал. 321).
Перпендикуляром, опущеним з даної точки не дану площи-
ну, називається відрізок, ще сполучає дану точку з точкою
площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини.
Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається
основою перпендикуляра.
Відстанню від точки до площини називається довжина пер
пендикуляра, опущеного з цієї точки на площину (див. мал. 320).
Лі Задача (16). Відстані від точки А до вершин квадрата
дорівнюють а. Знайдіть відстань від точки А до площини
(__І квадрата, якщо сторона квадрата дорівнює Ь.
Розв’язання. Нехай а — площина, в якій лежить
квадрат (мал. 322). Опустимо з точки А перпендикуляр на
площину а; точка К — основа перпендикуляра. Нехай В —
будь-яка вершина квадрата. Проведемо площину р через
точки А, В, К Трикутник АВК у площині (і прямокутний,
бо пряма АК перпендикулярна до будь-якої прямої у
площині а, яка проходить через точку К. Звідси випливає,
що КВ2 = АВ - АКг. Оскільки В — будь-яка вершина
квадрата, то всі вершини квадрата рівновіддалені від
точки К. Отже, точка К є центром кола, описаного навколо
квадрата. Сторона квадрата дорівнює Ь, тому радіус кола
В = - Відстань точки А від площини квадрата
У/*
АК = у/АВ" - КВ2 = у}а2
§15. Елементи стереометри
213
Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, назива-
ється будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою пло-
щини і не є перпендикуляром до площини. Кінець відрізка, що ле-
жить у площині, називається основою похилої. Відрізок, який спо-
лучає основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї
самої точки, називається проекцією похилої (мал. 323). На. малюн-
ку АВ — перпендикуляр, АС — похила, ВС — проекція похилої.
Теорема (про три перпендикуляри) 15.3. Якщо пряма, про-
ведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до
її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої. І навпаки:
якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то во-
на перпендикулярна і до проекції похилої (мал. 324).
Мал. 323
Дві площини, що перетинаються, називаються перпендику-
лярними, якщо площина, перпендикулярна до прямої перетину
цих площин, перетинає дані площини по перпендикулярних
прямих (мал. 325).
Мал. 325
Мал. 326
9 клас
214
Якщо пряма а перпендикулярна до площини а, а площина
Р проходить через пряму а, то площини аїр перпенди-
кулярні (мал. 326).
133.	МНОГОГРАННИКИ
Двогранним кутом називається геометрична фігура, утворе-
на двома півплощинами із спільною прямою, що їх обмежує, —
ребром кута. За міру двогранного кута приймається міра плос-
кого кута, утвореного в перетині двогранного кута площиною,
перпендикулярною ди ребра (мал. 327).
Многогранним кутом називається фігура, яка складається з
послідовне сполучених плоских кутів із спільною вершиною.
Сторони плоских кутів многогрангіого кута називаються його
ребрами.
У стереометрії вивчаються геометричні тіла, обмежені скін-
ченним числом плоских многокутників,— многогранники. Най-
простішими з них є призми і піраміди. Дамо означення цих
много гранників.
Призма.
Нехай а і ах—дві паралельні площини і Р— плоский много-
кутник у площині а. Проведемо через довільну точку X много-
кутника Р пряму, перпендикулярну до площини а. Вона буде
перпендикулярна І ДО ПЛОЩИНИ Ц; і перетне її у деякій точ-
ці Хї. Геометричне тіло, утворене всіма відрізками ХХГ, назива-
ється прямою призмою (мат. 328). Поверхня прямої призми
складається з многокутника Р у площині а, многокутника Рг
у площині «!, який дорівнює многокутнику Р,— основ призми,
і прямокутників, площини яких перпендикулярні до площин
основ а і призми, а сторони, що сполучають вершини многокут
ник і в Р і Рх, рівні, Вони називаються бічними ребрами призми.
Висотою призми називається відстань між площинами її основ.
Мат. 327
Мат. 328
§15. Елементи стереометрії
215
Пряма призма називається правильною, якщо її основи —
правильні многокутники.
Перерізи прямої призми площинами, паралельними основам
призми, є многокутниками, які дорівнюють основам призми.
Перерізи прямої призми площинами, перпендикулярними до
основ призми, є прямокутники. Зокрема, прямокутниками є
діагональні перерізи.
Л. Задача (19). У правильній чотирикутній призмі площа
ґ^2исН0ВИ 144 см2, а висота 14 см. Знайдіть діагональ призми.
Розв’язання. Діагональ призми — це відрізок, який
сполучає дві вершини призми, що не належать одній грані,
наприклад відрізок АВ] (мал. 329). Оскільки бічні ребра
ААі і ВВг паралельні, то через них можна провести пло-
щину (а). Чотирикутник АВВ]А] у площині а — прямо-
кутник, бо бічні ребра перпендикулярні до основ призми.
Звідси випливає, що діагональ призми АВ] = ^А/ц" + А1В,.
АА] = 14 см, а А]В] — діагональ квадрата з площею 144 см2,
тому А]В] = 12/2. Отже, діагональ призми АВі =
= ^142 + (12 Л)3 = ^196 + 288 = <484 = 22 (см).
Пряма призма називається паралелепіпедом, якщо її основи —
паралелограми (мал 330). Якщо основи призми — прямокут-
ники. то вона називається прямокутним паралелепіпедом.
У прямокутного паралелепіпеда всі грані — прямокутники.
Довжини ребер прямокутного паралелепіпеда, які сходяться в
одній вершині, називаються лінійними вимірами паралелепіпеда.
Мал. 329
Мал. 330
9 клас
216
Прямокутний паралелепіпед, у якого всі лінійні виміри рівні,
називається кубом. Отже, у куба всі ребра рівні, а грані — квад-
рати.
Піраміда.
Дамо означення піраміди. Нехай Р — плоский многокутник
у площині аі5 — точка, яка не лежить у площині а. Сполу
чимо будь-яку точку X многокутника Р з точкою 8.
Геометричне тіло, яке складається з точок усіх відрізків Х8,
називається пірамідою (мал. 331). Поверхня цього тіла склада-
ється з многокутника Р — основи піраміди — і бічних граней,
що являють собою трикутники зі спільною вершиною 5> —
вершиною піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піряміди
з вершинами основи, називаються бічними ребрами. Висотою
піраміди називається перпендикуляр, опущений з вершини пі-
раміди на площину основи, а такс-ж і довжина цього перпенди-
куляра. Піраміда називається правильною, якщо її основою є
правильний многокутник, а основою висоти піраміди є центр
цього многокутника. Трикутну піраміду називають тетраедром
(мал. 332). Але часто тетраедром називають трикутну піраміду,
в якої всі ребра рівні (правильний тетраедр).
Перерізами піраміди площинами, паралельними основі, є
многокутники, подібні до основи піраміди. Перерізами піраміди
площинами, які проходять через Гї вершини, є трикутники.
Площина, яка паралельна основі піраміди, розбиває піраміду
на дві частини (мал. 333). Та з них, яка містить вершину піра-
міди, є пірамідою, подібною даній. Друга частина називається
зрізаною пірамідою. Поверхня зрізаної піраміди складається з
§15. Елементи стереометрії
217
основ — подібних многокутників у паралельних площинах — і
бічної поверхні, складеної з трапецій. Зрізана піраміда, яка утво-
рюється з правильної, також називається правильною- Висотою
зрізаної піраміди називається відстань м:ж площинами основ.
Л. Задача (29). У чотирикутній зрізаній піраміді сторони
О) однієї основи дорівнюють 6 см, 7 см, 8 см і 9 см, а менша
сторона другої основи дорівнює 5 см. Знайдіть решту сторін
цієї основи.
Розв’язання. Основи даної зрізаної піраміди —
подібні чотирикутники (мал. 334). Менші сторони цих
чотирикутників є відповідними сторонами. Тому в даному
випадку коефіцієнт подібності к = Отже, решта сторін дру-
гої основи дорівнює:
^ = 5|(см), ^ = бІ<см>’ ¥ = 7!^-
У стереометрії вводиться поняття об’єму для геометричних
тіл- Спочатку розглядаються прості тіла, тіла, які можна розби-
ти на скінченну кількість трикутних пірамід. Об’єми цих тіл
визначаються такими умовами: 1) рівні тіла мають рівні
об’єми; 2) якщо тіло є об’єднанням двох простих тіл, то об’єм
всього тіла дорівнює сумі об’ємів його частин; 3) об’єм куба з
лінійними вимірами, що дорівнюють одиниці, дорівнює одини-
ці. З цих властивостей об’єму простих тіл маємо:
9 клас
218
1.	Об’єм прямокутного паралелепіпеда, з лінійними
вимірами а, Ь, с обчислюється за формулою V = аЬс.
2.	Об’єм будь-якої призми дорівнює добутку площі її осно-
ви на висоту.
3.	Об’єм піраміди дорівнює одній третині добутку площі
її основи на висоту.
4.	Об’єм зрізаної піраміди дорівнює різниці об’ємів повної
піраміди і подібної піраміди, яка відтинається від неї.
5.	Об’єми подібних тіл відносяться як куби їх відповідних
лінійних вимірів,
134. ТІЛА ОБЕРТАННЯ
Тіло обертання — це геометрична фігура, утворена в резуль-
таті обертання плоскої фігури навколо осі. яка лежить у пло-
щині фігури. Найпростішими тілами обертання є циліндр, ко-
нус і куля (мал. 335). Циліндр утворюється в результаті обер-
тання прямокутника навколо однієї з його сторін як осі, конус —
в результаті обертання прямокутного трикутника навколо одно-
го з катетів, а куля — в результаті обертання півкруга навколо
діаметра як осі.
Мал. 335
Поверхня циліндра складається з рівних кругів у паралель-
них площинах — основ циліндра — і бічної поверхні. Прямолі-
нійні відрізки на бічній поверхні циліндра паралельні осі ци-
ліндра і називаються твірними циліндра. Всі вони паралельні і
мають довжину, що дорівнює висоті циліндра. Перерізи пи
ліндра площинами, паралельними основам, є кругами, які до-
рівнюють кругам основ. Перерізи циліндра площинами, пара-
лельними осі,— прямокутники.
ІК Задача (46). Висота циліндра 6 см, радіус основи 5 см.
(Ьу Знайдіть площу перерізу, проведеного паралельно осі ци-
5__{ ліндра на відстані 4 см від неї.
§ 15. Елементи стереометрії
219
Розв’язання. Переріз циліндра — прямокутник» у
якого бічні сторони — твірні циліндра, а основа — хорда
кола АВ, яка знаходиться від центра О на відстані 4 см
(мал. 336). Оскільки радіус кола дорівнює 5 см, а хорда зна-
ходиться на відстані 4 см від центра, то довжина хорди
АВ =	- А2 = 6 (см).
Отже, площа перерізу 5 = 6 • 6 = 36 (см2).
Призма називається вписаною в циліндр, якщо її. основи впи-
сано в кола основ циліндра. Призма називається описаною нав-
коло циліндра, якщо її основи описано навколо основ циліндра.
Радіусом циліндра називається радіус круга в основі циліндра-
Об’єм циліндра знаходять, порівнюючи його з об’ємами впи-
саної і описаної призм. При цьому дістають формулу для обчис-
лення об’єму циліндра
V = яК2Н,
де хй2 — площа основи циліндра, а Н — висота.
Бічна поверхня циліндра обчислюється за формулою
З = 2лЯН,
де 2тсй — довжина кола основи циліндра, а Н — висота.
Поверхня конуса складається з круга в основі конуса і бічної
поверхні. Прямолінійні відрізки на бічній поверхні конуса, що
сполучають вершину конуса з точками кола основи, називають-
ся твірними конуса. Перерізом конуса площиною, паралельною
основі, є круг. Перерізом конуса площиною, що проходить че-
рез вершину, є трикутник. Висотою конуса називається перпен-
дикуляр, опущений з вершини конуса на основу.
Площина, паралельна основі конуса, розбиває його на дві ча-
стини. Одна з них, яка містить вершину, є конус, подібний да-
ному. Друга частина називається зрізаним конусом (мал. 337).
Мал. 336
Мал. 337
9 клас
220
Об’єм конуса обчислюється за формулою
У=|теЯ2Н,
о
де тій2 — площа основи конуса, а Н — висота конуса* Площа
бічної поверхні конуса
5 = пКІ,
де Іі — радіус кола основи конуса, а І— довжина твірної конуса.
Об’єм зрізаного конуса обчислюється як різниця об’ємів пов-
ного конуса і частини, що відтинається. Аналогічно площа біч-
ної поверхні зрізаного конуса обчислюється як різниця бічних
поверхонь повного конуса і частини, що відтинається.
З означення кулі як тіла обертання, утвореного в результаті
обертання півкругв навколо діаметра як осі, випливає, що всі
точки кулі знаходяться від центра на відстані, не більшій за
радіус. А точки поверхні кулі — сфери — знаходяться від
центра на відстані, яка дорівнює радіусу.
Перерізом кулі будь-якою площиною є круг. Його центром є
основа перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну пло-
щину.
•і Задача (53). Кулю радіуса Н вписано у зрізаний ко-
( А )нус. Кут нахилу твірної де площини нижньої основи кону-
і| ; са дорівнює а. Знайдіть радіуси основ і твірну зрізаного
конуса.
Розв’язання. Проведемо переріз зрізаного конуса
площиною [і, яка проходить через вісь конуса (мал. 338).
Мал. 338
Мал. 339
§ 15. Елементи стереометрії
221
У перерізі дістанемо рівнобічну трапецію, описану навколо
кола радіуса В, у якої бічні сторони — твірні конуса, а гос-
трий кут при нижній основі дорівнює а. Радіус ВВі ниж-
ньої основи конуса знаходимо з прямокутного трикутника
ОВіВ, у якого кут В дорівнює у. ВВі =
Аналогічно зна-
ходимо радіус верхньої основи АА1 = В Твірну АВ ко-
нуса знаходимо з прямокутного трикутника АСВ: АВ —
При обертанні півкруга навколо діаметра АВ як осі, півкруг
описує кулю радіуса В, який дорівнює радіусу півкруга (мал. 339).
При цьому плоский кут а описує кульовий сектор, а півсегмент
АВС круга описує кульовий сегмент, висота якого АО. Дуга АС
півкруга описує сферичний сегмент.
Для визначення площ і об’ємів використовують такі фор-
мули.
Площа сфери радіуса В: 8 = 4лЛ2.
Площа сферичного сегмента радіуса В і висоти Н: 8 = 2пВН.
Об’єм кулі: V = ^яВ3.
Об’єм кульового сектора: V = ^лВ2Н, де Н — висота від-
повідного сферичного сегмента.
9
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ
1.	Що таке стереометрія?
2.	Сформулюйте аксіоми групи С.
3.	Доведіть, що через три точки, які не лежать на одній пря-
мій, можна провести площину.
4.	Доведіть, що коли дві точки прямої належать площині, то
вся пряма належить цій площині.
5.	Які прямі в просторі називаються паралельними?
6.	Які прямі називаються мимобіжними?
7.	Що означає: пряма і площина паралельні?
8.	Які площини називаються паралельними?
9.	Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?
10.	Дайте означення перпендикулярності прямої і площини.
11.	Що називається відстанню від точки до площини?
12.	Що таке проекція похилої?
13.	Які площини називаються перпендикулярними?
14.	Що таке двогранний кут?
9 клас
222
15.	Що таке призма; висота призми?
16.	Яка призма називається правильною?
17.	Що таке паралелепіпед?
18.	Що таке піраміда?
19.	Яка піраміда називається правильною?
20.	Поясніть, що таке зрізана піраміда.
21.	Назвіть найпростіші тіла обертання.
V	ЗАДАЧІ
1.	Точки А, В, С і В не лежать в одній площині. Доведіть, що
прямі АВ і СР не перетинаються.
2.	Чи можна через точку перетину двох даних прямих провес-
ти третю пряму, яка не лежить з ними в одній площині?
Поясніть відповідь.
3.	Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть які-
небудь три з них лежати на одній прямій? Поясніть відпо-
відь.
4.	Доведіть, що коли прямі АВ і СО мимобіжні, то прямі АС.
і ВО також мимобіжні.
5.	Через кінці відрізка АВ і його середину М проведено пара-
лельні прямі, що перетинають деяку площину в точках Ах,
Вх і Мх. Знайдіть довжину відрізка ММ1г якщо відрізок АВ
не перетинає площину і коли: 1) ААХ = 7 м, ВВі = 5 м;
2) ААі = 3,6 дм, ВВі = 4,8 дм; 3) ААХ = 8,3 см, ВВГ = 4,1 см;
4) ААі = а, ВВг = Ь.
6.	Прямі а та Ь не лежать в одній площині. Чи можна провес-
ти пряму с, паралельну прямим а та 6?
7.	Дано трикутник АВС. Площина, паралельна прямій АВ,
перетинає сторону АС цього трикутника в точці Аі, а сто-
рону ВС — в точці В]. Знайдіть довжину відрізка АхВі,
якщо: 1) АВ = 15 см, ААХ : АС = 2 : 3; 2) АВ = 8 см,
ААХ : АХС = 5 : 3; 3) ВХС = 10 см, АВ : ВС = 4 : 5; 4) ААі = а,
АВ = Ь, АіС = с.
8.	Доведіть, що коли чотири прямі, які проходять через точ-
ку А, перетинають площину а у вершинах паралелограма,
то вони перетинають будь-яку площину, паралельну а, яка не
проходить через точку А, також у вершинах паралелограма.
9.	Дано три паралельні площини ах, а2, а3. Нехай Хх, Х2, Х3 —
точки перетину цих площин з довільною прямою. Доведіть,
що відношення довжин відрізків ХхХ2 : Х2Х3 не залежить
від прямої, тобто однакове для будь-яких двох прямих.
10.	Прямі АВ, АС і АО попарно перпендикулярні. Знайдіть
відрізок СО, якщо: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, АО = 1,5 см;
2)	ВВ = 9 см, ВС = 16 см, АО = 5 см; 3) АВ = Ь, ВС = а,
АО = а; 4) ВО = с, ВС = а, АВ = <1.
§ 15 Елрмен ги стереометрії
223
11.	Через центр описаного навколо трикутника кола проведено
пряму, перпендикулярну до площини трикутника. Дове-
діть, що кожна точка цієї прямої рівновіддалена від вер-
шин трикутника.
12.	Через вершину А прямокутника АВСЛ проведено пряму
АК, перпендикулярну до його площини. Відстані від точ-
ки К до решти вершин прямокутника дорівнюють 6 м, 7 м
і 9 м Знайдіть відрізок АК.
13.	Через точки А і В проведено прямі, перпендикулярні до
площини а, які перетинають її відповідно в точках С і Р.
Знайдіть відстань між точками А і В, якщо АС = 3 м, ВР =
= 2 м, СР = 2,4 мі відрізок АВ не перетинає площину а.
14.	Верхні кінці двох вертикальних стовпів, які знаходяться
на відстані 3,4 м один від одного, з'єднано поперечкою. Ви-
сота одного стовпа 5,8 м, а другого — 3,9 м. Знайдіть дов-
жину поперечки.
15.	Точка А знаходиться на відстані а від вершин рівностороп-
нього трикутника зі стороною а. Знайдіть відстань від точ-
ки .4 до площини трикутника.
їй. Відстані від точки А до вершин квадрата дорівнюють а.
Знайдіть відстань від точки А до площини квадрата, якщо
сторона квадрата дорівнює Ь.
17.	З точок А і В, які лежать на гранях двогранного кута,
опущено перпендикуляри ААі і ВВ, на ребро кута. Знай-
діть: 1) довжину відрізка АВ, якщо АА, = а, ВВі = Ь, А,В\ = с
і двогранний кут дорівнює а: 2) двогранний кут а, якщо
АА, = З, ВВ, = 4, АіВі = 6, АВ = 7.
18.	У прямій трикутній призмі сторони основи дорівнюють
10 см, 17 см і 21 см, а висота призми 18 см. Знайдіть пло-
щу перерізу, проведеного через бічне ребро і меншу висоту
основи.
19.	У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см2, а
висота 14 см, Знайдіть діагональ призми.
20.	У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Бічна поверхня
дорівнює 12м2. Знайдіть висоту.
21.	За стороною основи а і бічним ребром Ь знайдіть повну по-
верхню правильної призми: 1) трикутної; 2) чотирикутної;
3) шестикутної
22.	У паралелепіпеді три грані мають площі 1 м2, 2 м і 3 м .
Чому дорівнює повна поверхня паралелепіпеда?
23.	У прямому паралелепіпеді сторони основи 3 см і 5 см, а
одна з діагоналей основи 4 см. Знайдіть більшу діагональ
паралелепіпеда, знаючи, що менша діагональ утворює з
площиною основи кут 60°.
24.	Знайдіть діагоналі прямого паралелепіпеда, кожне ребро
якого дорівнює а, а один з кутів основи дорівнює 60°
9 клас
224
25.	Знайдіть поверхню прямокутного паралелепіпеда за трьома
його вимірами: 10 см, 22 см і 16 см.
26.	Діагоналі трьох граней прямокутного паралелепіпеда, які
сходяться в одній вершині, дорівнюють а, Ь, с. Зайдіть лі-
нійні виміри паралелепіпеда.
27.	Основа піраміди — прямокутник зі сторонами 6 см і 8 см.
Кожне бічне ребро піраміди дорівнює 13 см. Обчисліть ви-
соту піраміди.
28.	Основа піраміди — паралелограм, сторони якого 3 см і 7 см,
а одна з діагоналей 6 см; висота піраміди проходить через
точку перетину діагоналей і дорівнює 4 см. Знайдіть бічне
ребро піраміди.
29.	У чотирикутній зрізаній піраміді сторони однієї основи
дорівнюють 6 см, 7 см, 8 см і 9 см, а менша сторона дру-
гої основи дорівнює 5 см. Знайдіть решту сторін цієї
основи.
ЗО.	Висота піраміди дорівнює 16 м. Площа основи дорівнює
512 м2. На якій відстані від основи знаходиться переріз,
паралельний їй, якщо площа перерізу 50 м2?
31.	За даною стороною основи а і бічним ребром Ь знайдіть
висоту правильної піраміди: 1) трикутної; 2) чотирикутної;
3) шестикутної.
32.	Висота правильної чотирикутної зрізаної піраміди дорівнює
4 см. Сторони основ дорівнюють 2 см і 8 см. Знайдіть пло-
щі діагональних перерізів.
33.	Три латунних куби з ребрами 3 см, 4 см і 5 см переплавле-
но в один куб. Яке ребро цього куба?
34.	Якщо кожне ребро куба збільшити на 1 м, то його об’єм
збільшиться у 125 раз. Знайдіть ребро.
35.	Виміри прямокутного бруска 3 см, 4 см і 5 см. Якщо
збільшити кожне ребро на х сантиметрів, то поверхня
бруска збільшиться на 54 см2. Як збільшиться його об’єм?
36.	У прямому паралелепіпеді сторони основи 2^2 см і 5 см
утворюють кут 45°. Менша діагональ паралелепіпеда дорів-
нює 7 см. Знайдіть його об’єм.
37.	Основа прямого паралелепіпеда — ромб, площа якого 1 м2.
Площі діагональних перерізів 3 м2 і 6 м2. Знайдіть об’єм
паралелепіпеда.
38.	За стороною основи а і бічним ребром Ь знайдіть об’єм пра-
вильної призми: 1) трикутної; 2) чотирикутної; 3) шестикут-
ної.
39.	Діагональ правильної чотирикутної призми дорівнює 3,5 см,
а діагональ бічної грані 2,5 см. Знайдіть об’єм призми.
40.	Переріз залізничного насипу має форму трапеції, нижня
основа якої 14 м, а верхня 8 м і висота 3,2 м. Знайдіть,
скільки кубічних метрів землі припадає на 1 км насипу.
§ 15. Елементи стереометрії
225
41.	За стороною основи а і бічним ребром Ь знайдіть об’єм пра-
вильної піраміди: 1) трикутної; 2) чотирикутної; 3) шести-
кутної.
42.	Бічні ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні і
кожне дорівнює Ь. Знайдіть об’єм піраміди.
43.	Знайдіть об’єм зрізаної піраміди з площами основ і
((?! > (?2) і висотою Л.
44.	Через середину висоти піраміди проведено площину, пара-
лельну основі. В якому відношенні вона ділить об’єм піра-
міди?
45.	Радіус основи циліндра 2 м, висота 3 м. Знайдіть діагональ
осьового перерізу.
46.	Висота циліндра 6 см, радіус основи 5 см. Знайдіть площу
перерізу, проведеного паралельно осі циліндра на відстані
4 см від неї.
47.	Радіус основи конуса 3 м, висота 4 м. Знайдіть твірну.
48.	Радіус основи конуса В. Осьовим перерізом є прямокутний
трикутник. Знайдіть його площу.
49.	Конус перетнуто площиною, паралельною основі, на відста-
ні сі від вершини. Знайдіть площу перерізу, якщо радіус
основи конуса В, а висота Н.
50.	Висота конуса Н. На якій відстані від вершини треба про-
вести площину, паралельну основі, щоб площа перерізу до-
рівнювала половині площі основи?
51.	Радіуси основ зрізаного конуса 3 м і 6 м, висота 4 м. Знай-
діть твірну.
52.	Радіуси основ зрізаного конуса 3 дм і 7 дм, твірна 5 дм.
Знайдіть площу осьового перерізу.
53.	Кулю радіуса В вписано у зрізаний конус. Кут нахилу твір-
ної до площини нижньої основи конуса дорівнює а. Знай-
діть радіуси основ і твірну зрізаного конуса.
ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ЗАДАЧ
§ 1.
4. Через дві точки можна провести тільки одну пряму. 7. 1) 6 см;
2) 7,7 дм; 3) 18,1 м. 10. Не належить. 11. Не може. 12. Не можуть.
13. Не можуть. 14. 0,5 м або 5,9 м. 15. 1) АС = 9 м, ВС = 6 м;
2) АС =10 м, ВС = 5 м; 3) АС = ВС = 7,5 м; 4) АС = 6 м, ВС = 9 м.
18. 1), 4), 6) Перетинає; 2), 3), 5) не перетинає. 19. 6 відрізків.
24. 1) 110°; 2) 119"; 3) 179°. 25. 2), 3) Не може. 26. 1) А (ас) = 45°.
X (Ьс) = 15°; 2) X (ас) = 40°, А (Ьс) = 20°; 3) X (ас) = /. (Ьс) = 30°;
4) С. (ас) = 24°, X (Ьс) = 36°. 29. Не існує. 31. 1) 1,2 м; 2) 2,4 см.
33. 11 см. 34. 100°. 36.	= 5 см, = 6 см, РВ. = 7 см. 37. ХА =
= 40е, / В = 60°. X С = 80°. 39. У Д АВС: АВ = 5 см, ВС = 6 см,
АС = 7 см. 40. Існує. 42. Не можна. 43. Не може. 49. 2) Вказівка.
Сполучіть відрізком точки А і С та скористайтесь твердженням
задачі 49, 1). 51. 1) Див. розв’язання задачі ЗО у тексті; 2) Про-
ведіть через 'точку А пряму, відмінну від а.
§2.
1. 150°, 135°, 120°, 90°. 2. 1), 2) Не можуть; 3) можуть. 4. 1) 105°
і 75°; 2) 110° і 70°; 3) 45° і 135°; 4) 90° і 90° 5. 180°; 90°; 120°
6. 1) 72° і 108°; 2) 54° і 126°; 3) 55° і 125°; 4) 88° і 92°. 7. 150°,
150°, 30°. 8 130° 10. 144° і 36°. 11. 65° і 115°. 12. Всі кути прямі.
15. 1) 15°, 2) 26°; 3) 86°. 16. 1) 120°; 2) 150°; 3) 178е. 18. Вказівка.
Сторони кута лежать у різних півплощинах відносно прямої, час-
тиною якої є даний промінь. 19. 90°. 20. Вказівка. Скористайтесь
результатом задачі 19 і теоремою 2.3. 21. 1) 155°; 2) 135°; 3) 105°.
22. Вказівка- Скористайтесь теоремою 1.1. 23. 1) 20°; 2) 60°;
3) 90°. 24. X (сиЬ) = 120°, X (агс) = 150°, X (Ьс) = 30°. 25. 1) 110°;
2) 175°; 3) 170°; 4) 130° 26. 1) Не проходить; 2) не може.
§3.
7. Вказівка. Продовжіть медіани на їх довжину. 9.0.3 м.
10. 3,5 м. 11. 1) 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м; 2) 7,2 м, 4,2 м, 4,2 м. 22. Вка-
зівка. Скористайтесь властивістю медіани у рівнобедреному три-
кутнику, 25. 3) Вказівка. Продовжіть бісектрису ВВ на її довжину.
27. І5м. ЗО. Вказівка. Скористайтесь твердженням задачі 29.
39. Вказівка. Продовжіть медіани на їх довжину.
§4.
5. Кути АВіСі і АС,Ві і кути ВВ,Сі і СС^ внутрішні односто-
ронні, а кути АВ]Сі і ССіВі та кути ВВ^Сг і АС^і внутрішні різно-
сторонні 7- Кути ВСА і ОВС внутрішні різносторонні; кути САВ і
ОВА внутрішні односторонні. 14. 1) 105° і 75°; 2) 75° 15. Три кути
по 72° кожний і чотири кути по 108° кожний. 16. Не може.
18. 1) 100°; 2) 65°; 3) 35°; 4) 35°. 19. 1) 30°, 60°, 90е; 2) 40°, 60е, 80°;
Відповіді та вказівки до задач
227
3)	45°, 60°, 75°; 4) 48°, 60°, 72°; 5) 50°, 60°, 70°. 20. Не може. 21. Не
може. 22. 1) 100°; 2) 70°; 3) 36°. 23. 1) 50°; 2) 30°; 3) 75°. 24. 40°,
40°. 25. 70° і 40° або 55° і 55°. 27. 1) 80°, 80°, 20°; 2) 70°, 70°, 40°;
3) два кути дорівнюють 120°- і один ^-а-60°. 29. 1) 105°;
О	о
2)	180°-1 (а+ 0); 3) 155°; 4) 90° + |у. 31. 90°. 32. 110°, 35°, 35°.
33. 60°, 30° і 90°. 34. 110°. 36. Точка А. 38. 60°. 39. /. Б - | 2 А,
2 Е = | А С, 2 ОВЕ = 2 В + | (2 А + 2 С). 40. 140°, 10°. 41. 1) 20°;
2)	65°; 3) а. 42. Кути Д АВВ: 2 А = а, 2 5 = 90°, 2 В = 90° - а;
кути Д СВБ: 2 В = 90°, 2 В = а + 0 - 90°, 2 С = 180° - а - 0.
44. 90°, 45°, 45°. 45. 25 = 90°, 2В = 60°, 2А = 30°. 46. 150°. 47. 90°.
§	5.
1.	Вказівка. Відкладіть на промені відрізок, що дорівнює радіу-
. су. 2. Див. задачу 1. 5. 1) 60°; 2) 120°. 7. Не може. 9. 30°. 10. 60° і
120°. 11. 70 см, 10 см. 12. Не можуть. 13. 1) Не можуть; 2) не мо-
жуть. 14. 2) Вказівка. Скористайтесь доведенням від супротив-
ного. 15. 2) Вказівка. Скористайтесь доведенням від супротивного;
3) Вказівка. Доведіть спочатку, що спільна точка даних кіл ле-
жить на прямій, яка проходить через їх центри. 16. 2) Вказівка.
Скористайтесь доведенням від супротивного. 18. Вказівка. Ско-
ристайтесь твердженням задачі 16, 1). 28. Вказівка. Почніть з
побудови рівностороннього трикутника. 32. Вказівка. У шука-
ному трикутнику продовжіть медіану на її довжину. 36. В к а з і в -
к а. Див. задачу 35. 37. Вказівка. Див. задачу 35. 38. В к а з і в -
ка. Див. задачу 35. 39. Вказівка. Почніть з побудови висоти.
41. Див. задачу 50 § 4. 42. Див. задачу 41. 46. Вказівка. По-
будуйте спочатку трикутник, у якого одна сторона дорівнює даній
стороні шуканого трикутника, друга сторона — сумі двох інших
його сторін і кут між ними дорівнює даному куту. 47. Вказівка.
Скористайтесь вказівкою до попередньої задачі з тією різницею, що
замість суми двох сторін шуканого трикутника треба взяти їх різ
ницю. 48. Див. вказівку до задачі 46. 50. Вказівка. Зведіть
розв’язування задачі до попередньої, побудувавши допоміжне коло,
концентричне одному з даних, яке має радіус, що дорівнює сумі
або різниці радіусів даних кіл.
§6	.
3.	Три. 4. 10 м. 5. З см і 4 см. 7. ВС = АО = 4,8 м. 8. АО = 15 см,
СО = 10 см. 9. 2 В = 2 О = 150°, 2 С = 30°. 10. З см. 11. 40°, 140°,
140°. 12. 115° і 65°. 13. Не можуть. 14. 60°, 60°, 120°, 120°. 15. 1) 40°,
40°, 140°, 140°; 2) 50°, 50°, 130°, 130°; 3) 80°, 80°, 100°, 100°. 16.1) 55°,
55°, 125°, 125°; 2) 35°, 35°, 145°, 145°; 3) 20°, 20°, 160°, 160°.
19. ВЕ = 9 см, СЕ = 6 см. Вказівка. Доведіть, що Д АВЕ рівно-
бедрений з основою АЕ. 20. 0,6 м і 0,8 м. 21. АВ = ВВ = 1,1м,
Відповіді та вказівки до задач
228
АВ = 0,8 м. 28. 60 см. 29. 10 см і 18 см. ЗО. 12 см, 20 см 31. 12 см
32 10см і 25см або 7,5см і 18,75см. 35. 80° і 100°. 37. 60° і 120°.
41. 4м. 43. 2м. 44. 2м. 45. 4 м, 8м. 46. 1 м 47. 10см. 50. 4см, 5см,
6см. 51. 6см. 52. 6см, 5см, 5см. 56. 5 м, 6м. 57. а + Ь. 59. Зм, 4м.
61. 70° і 110°. 62. 1,7 м. 63. 24 см, 36 см. 64. 60’ і 120°. 65. 15 м.
66. Зсм. 67. 4м, 6м. 68. 2,2м. 69. 9см і 5см. 70. а. 71. Вказівка.
Побудуйте спочатку трикутник, дві сторони якого дорівнюють біч-
ним сторонам трапеції, а третя — різниці основ. 72. Вказівка.
Побудуйте спочатку трикутник, дві сторони якого дорівнюють
діагоналям трапеції, а третя — сумі її основ. 73. Побудуйте спочатку
відрізок х - скориставшись розв’язком задачі 6.1.
§7	.
2.	1) 5; 2) ї/2 = 1,4; 3) Убї = 7,8. 3. 1) 4; 2) 12; 3) у'Й « 3,3.
4. 5 м або м = 2,6 м. 5. Не можуть, 6. 1) 5 см; 2) 17 дм; 3) 6,5 м.
7. 109 см. 8. -у=г. 9, Не можна. 10. V? м ~ 2,6 м. 12. Так. 13.	.
У2	2
15.’Вказівка. Побудуйте спочатку відрізки с = і сі —	2 .
Тоді шуканий відрізок х = -і/с2 - гі2. 16. 7116 м = 10,8 м. 18. 90°.
20. Вказівка. Сполучіть одну з точок з вершиною трикутника
відрізком і скористайтесь результатом задачі 19. 22. Скористайтесь
результатом задачі 21. 26. Не може. 27. 2 м. 28. Вказівка. Про-
довжіть медіану на її довжину. 31. 2) Вказівка. Зведіть розв’я-
зування цієї задачі до попередньої відповідно до малюнка 165, б.
32. Не можуть. 34. І? - й, В. + Л. Вказівка. Скористайтесь нерів-
ністю трикутника. 35. <і + В, <і - В. Вказівка Скористайтесь не-
рівністю трикутника. 36. Не можуть. 37. Не можуть. 38. Вказів-
ка Порівняйте відстані між центрами кіл з їх радіусами. 39. Не
можуть. 41. Вказівка. Дані числа задовольняють умову задачі
40. 42. 1), 3), 4) Не можна: 2) можна. 43. Скористайтесь результа-
том задачі 41. 44. 10 см, 6 см. 45. 90° - а, а соз а, а зіп а. 46. 90° - а,
-Л- 49. 1) зіп 16° = 0,2756, соз 16° = 0,9613; 2) зіп 24°36' =
і£ а зіп а
= 0,4163, соз 24П36' = 0,9092; 3) зіп 70°32' = 0,9428, соз 7О°32' =
= 0,3333; 4) зіп 88°49' = 0,9998, соз 88 ’49' = 0,0206. 50. 1) х = 1°;
2) х = 30'6'; 3) х = 47°3'; 4) х = 86с9'. 51. 1) Ір 10° = 0,1763;
2)	= 40’40’ = 0,8591; 3)	50°30' = 1,213; 4)	70°15' = 2,785.
52. 1) х = 17°53'; 2) х = 38с7'; 3) х = Є0°46'; 4) х = 83°50'. 53. 31°25';
31°25'; 117*10'; 23,8 м. 54. 34°10' і 55°50'. 55. 51°. 56. 116°16' і
63°44'. 57. 29°52' і 150"8’. 58. 12 м, 45°14'. 59. 60°16'. 60.
У2
61.	1) а) 5; 36°52'; 53°8'; б) 41; 12°41'; 77°19'; в) 29: 43°36'; 46°24';
г) 61; 10°23'; 79°37'; 2) а) 12; 22°37'; 67°23'; б) 24; 16°1б'; 73°44'; в) 15;
28°4'; 61°56'; г) 13; 81°12'; 8°48'; 3) а) 70°; 0,68; 1,88; б) 39°40';
Відповіді та вказівки до задач
229
3,08;	2,55; в)	19°24';	7,55;	2,66;	г) 13°39'; 15,55; 3,78; 4) а) 59°33';
5,92;	5,10; 6)	49°12';	7,65;	5,79;	в) 29°25'; 8,04; 3,95; г) 22°; 9,71;
3,64.	62. 1) соз2а; 2)	віп2а;	3) 2;	4) віп3а; 7) 1; 8) віп2а; 9) 1 + іева.
63. 1) зіп а =	її-, їй	а =	; 2)	зіп а = — , їй а = 4; 3) зіп а =
ІО	О	і •	ю
= 0,8, а = 4. 64. 1) соз а = 4 > « = 4 ї 2) сов а =	, Їй « =
З	3	4	41
3) соз а = 0,6,	66. <	67.,-^. В--£.
68. 29 см або д/882см - 29,7 см. 69. (7з - 1) м = 0,732 м, =
72
= 0,517 м. 70. 60° і 120°. 71. 60°, 60°, 120°, 120°. 72. 1), 6) а; 2), 3),
4), 5) р. 73. ВС. 74. А А.
§8.
3. 2. 4. 3. 5. (2; 0). 6. (0; 3). 7. Пряма, паралельна осі у. 8. Дві
прямі х = 3 і х = -3. 10. Додатну. 11. 4; 3. 12. 1) (3; 2); 2) (-1; 3);
3) (1; 1). 13. 1) (-2; 3); 2) (3; -5); 3) (-4; 4). 16. (0; 1), (-2; 0), (-2; 1).
17. АВ = 5, АС = 10, ВС = 5. 18. Точка В. 20. (3; 3) і (15; 15).
23. (3; 4), (-4; 3), (0; 5). 24. (5; 12) і (5; -12); (5; -12) і (-5; -12).
25. х2 + (у - З)2 = 13. 26. (х + 4)2 + (у - З)2 = 25. 27. (-2; 0) або
(4; 0). 28. (х-1)2 + (у-2)2 = 4. 29. (х + 3)2 + (р-4)2 = 25. 31. (0; 1) і
32. (7; 0) і (1; 0). 36. 1) х + у - 5 = 0; 2) Зх + Юр - 2 = 0;
3) х + 6у + 13 = 0. 37. х = 0, у = 0, х + 2у - 4 = 0. 38. а = Ь = |.
О
39. 1) (-3; 0) і (0; -|) ; 2) (4; 0) і (0; 3); 3) (-2; 0) і (0; 3); 4) (2,5; 0) і
(0; -5). 40. 1) (1; -2); 2) (2; 4); 3) (0,5; -2). 41. Вказівка. Знай-
діть точку перетину двох прямих і перевірте, чи лежить вона на тре-
тій прямій. 42. (2; |). 43. 1) і 6), 2) і 3), 4) і 5). 45. х = 2. 46. у = 3.
47. Зх - 2у = 0. 48. 1) й = -|; 2) к -	; 3) к = |; 4) к = 2.
49. 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°. 50. 2) (0; 1) і (-1; 0); 3) (0; 1) і -|);
2к .І-*2
к2 + 1 ’ к2 + 1
= ±л/2 , перетинає його, коли |с І < \2 і не перетинає при с >л/2 .
Вказівка. Пряма, яка дотикається до кола і має з ним єдину
спільну точку, тобто корені відповідного квадратного рівняння ма-
ють збігатися. 52. віп 120° = —; сов 120° = -1; їй 120° = - >/з ;
зіп 135° =4-; сов135°=-4=; їй 135° = -1; віп 150° =|;
72	72	2
І 51. Пряма дотикається до кола, коли с =
4) (0; 1) і
Відповіді та вказівки до задач
230
соз 150° = -V;	150° = -4=. 53. зіп 160° = 0,3420; соз 140° =
2	УЗ
= -0,7660; іе 130° = -1,192. 54. 1) зіп 40° = 0,6428; соз 40°= 0,7660;
40° = 0,8391; 2) зіп 14°36' = 0,2521; соз 14°36' = 0,9677;	14°36' =
= 0,2605; 3) зіп 70°20' = 0,9417; соз 70°20' = 0,3365;	70°20' =
= 2,798; 4) зіп 30°16' = 0,5040; соз 30°16' = 0,8637; і® 30°16' =
= 0,5836; 5) зіп 130° = 0,7660; соз 130° = -0,6428;	130° = -1,192;
6) зіп 150°30' = 0,4924; соз 150°30' = -0,8704;	150°30' = -0,5658.
55. а, • 1Г32' або 168°28'; а2 = 134°26'; а3 - 158°12'. 56. 1) зіп а =
=	; І£ а = 2\Ї2 ; 2) зіп а = а = - л/з ; 3) зіп а = -к; іе а =
о	2	у/2
=
= 1; 4) зіп а = |; ід а = - -к. 57. 1) соз а = 0,8; і£ а = 4; 2) соз а =
2	уз	4
=	' ^а= гТ?’ 3)соза = --^=; іда =-1 або соза =	,
ід а = 1. 58. зіп а =	; соз а =	• 61. Вказівка. Розгляньте
спочатку випадок, коли обидва кути а та 0 — гострі. 62. Див. вка-
зівку до задачі 61.
§9.
2. У квадрат. 4. Вказівка. Побудуйте послідовно вершини С,
В і Е рівносторонніх трикутників АВС, АСВ, АВЕ. Точка Е шука-
на. 7. Не може. 9. Вказівка. Вершини даного чотирикутника пе-
реходять при симетрії відносно його центра у вершини. 10. Вка-
зівка. Скористайтесь симетрією відносно даної точки. 11. 1) Від-
різок; 2) кут; 3) трикутник. 14. 1) (-3; -4); 2) (3; 4); (3; -4).
19. Три. 24. Вказівка. Скористайтесь симетрією відносно прямої Ь.
28. (1; -1), (2; -1), (1; 1). 29. 1) а = Ь = 2; 2) а = -З, Ь = 8; 3) а =
= 5=1. 31. 1) Не існує; 2) не існує. 34. Однаково напрямлені про-
мені: АВ і ВС, АО і ВС, СВ і ВА, ВА і СВ. Протилежно напрямлені
промені: АВ і СВ, ВС і ОА, ВС і ВА, АВ і СВ.
§ 10.
1. АВ, АС, ВС — однаково напрямлені, ВА і кожний з векторів
АВ, АС і ВС — протилежно напрямлені. 4. (2; 4), (-1; 2) і (си с2).
5. т = ±12, п = ±7._8. 1) с(-3; 4), І с І = 5; 2)с(6; 8), | а І = 10.
10._1)_с(5; -_12)^|с| = 13; 2) с(-6; 8), |с| = 10. 12. АВ =
= а - Ь, СВ = Ь - а. 14. 2) Вказівка. Побудуйте Д АВС, у якого
АВ = а, ВС = Ь. Тоді ІАС| = а + Ь. 15. -£=. 19. с (-6; -8), | с | =10.
УЗ
20. 1)±|; 2) ±1; 3) ±А, 23. АВ = ±(а + Ь), СВ=-±(а + Ь),
СВ = 1 (ь - а), АВ = -і (а - б). 25. а і с, Ь і <1. Вектори а і с одна-
ково напрямлені, а Ь і сі — протилежно напрямлені. 26. т = 2.
Відповіді та вказівки до задач
231
27. X = -1, ц= 0. 28. Вказівка. Скористайтесь теоремою 10.3.
29. 90°. ЗО. 7з. Вказівка. І а + Ь І2 = (а + б)2. 31. 30°. 32. соз А =
= 0,6, соз В = 0, соз С = 0,8. 33. А А = 30°, / В - 60°, А С = 90°.
(ь2 + с2
= | ^2 (а2 + с2) - Ь2, тс = 1^2 |а2 + б2) - с2. Вказівка. Скори-
стайтесь задачею 38. 45. Одиничні вектори а, с і сі, вектори а і сі
колінеарні. 46. е(0,6; 0,8). 47. (2; -3). 48. 1) ОХ =	.
ц + л.
35. т =	36. X =-1. 39. та =	/2
о	& у
Л 2	__
~ а 9 тїі^ —
§ 11.
5. Трикутник. 6. А А = 30°, АіВ] = 1,5 м. 8. Вказівка. Побу-
дуйте спочатку яке-небудь коло, що дотикається до сторін кута, і
скористайтесь гомотетією відносно вершини кута. 9. Вказівка.
Скористайтесь гомотетією відносно однієї з вершин трикутника.
11. 13,6 см. 12. АС = 4 м, В,С[ = 14 м. 13. АС = 24 см, ЛС, = 18 см,
ВїСї = 15 см. 16.	17. & . 18. 4 см. 19.	20. 1) 14 см;
а + п	п
2) 6 дм. 22. т : п. 23. п : т. 24. АС — 18 м. Вказівка. Трикут-
ники АСВ і СВА подібні. 25. т : п. 26. 15 см, 18 см. 27. 4,5 см.
а (45- 1)
29. —— ЗО. АіСі = 1,2 м; АС = 3 м. 32. А В = 180° - 2А А,
А Е = 180° - 2А В, АР = 180° - 2А С. 34. Подібні. 35.1) Так;
2) так; 3) ні. 37. 1 м, 2 м, 2,5 м. 38. 6,5 м, 5,5 м. 39. 1) Подібні; 2) не
подібні. 40. 15 см, 20 см, 25 см. 41. 21 см. 43. т2:п2. 44. = 42 м.
45. , Ьс . 46. Вказівка. Проведіть через точку В пряму, паралель-
О + с
ну прямій ВС. 47. Вказівка. Скористайтесь попередньою зада-
чею. 48. 1) 300° і 60°; 2) 230° і 130°; 3) 190° і 170°. 49. 5 см. 50. 30°
або 150°. 52. Див. задачу 51. 54. а або 180° - а. 55. 50°. 56. Вка-
зівка. Доведіть спочатку, що протилежні вершини вписаного чо-
тирикутника лежать по різні боки від прямої, яка проходить через
дві інші протилежні вершини. 60. Вказівка. Скористайтесь дво-
ма попередніми задачами. 63. » 225,8 км (див. задачу 62). 64. ~
= 68,9 км.
§ 12.
1.	— , т-. 2. л/ЇЗмабо -7109 м. 4. -^уіс2 + сі2 + 2 с<і сов а.
7	35	5	2 ’
5.	у]а2 + Ь2 + 2аЬ соз а. 6.2,25 м, 3,75 м. 8. 12?^ м, 2>/б м, 12 — м.
’	5	7
а 7145 „	о /7 «	>/73 „	12ТЇ2	7105	„	12715
9. —— м>	М,	М.	1О. ———	М, —-—	М,	———	М.
Відповіді та вказівки до задач
232
11. Сторона АВ збільшується. 12. Не може. 14. м. 15. АВ =
2>/б
АС біпВ	а зіп а зіп В ~
= ——-----5~г. 16. х = —;Сторона АВ найбільша, сторона
зіп (а + 0)	зіп (а - 0)
ВС найменша. 19. Кут В найбільший, кут С найменший. 20. Бічна
сторона більша. 24. Вказівка. Продовжіть медіану СВ за точку В
на її довжину. 25. Вказівка. Скористайтесь властивістю перпен-
дикуляра і похилих, проведених до прямої з однієї точки, і твер-
дженням попередньої задачі.
26. 1) а	= 105°,	Ь - 2,59,	с = 3,66;
2) У	= 45°,	Ь « 17,9,	с = 14,6;
3) а	= 20°,	Ь - 65,8,	с = 88,6;
4) у	= 119°,	а = 16,7,	с ~ 24,8;
5) у	= 68°,	а = 13,6,	Ь = 11,2.
27. 1) а	= 79°,	0 « 41°,	с = 10,6;
2) а	= 11°,	0 == 39°,	с = 28;
3)0	= 27°,	У » 58°,	а = 19,9;
4)0	= 21°,	у= 15°,	а = 22,9;
5) а	= 16°,	у = 12°,	Ь - 53,4;
6) а	= 130°,	у» 35°,	Ь = 8,09.
28. 1) с	= 8,69,	0 = 21°,	у = 39°;
2)с	» 19,6,	0 = із°,	у - 29°;
3) с	« 22,3,	0 = 6°,	у = Ю°;
4) розв’язку не		має;	
5) с	= 11,4,	а = 42°,	у= 108°;
або с 	= 2,49,	0 = 138°,	у = 12°.
29. 1) а	- 29°,	0 = 47°,	у « 104°;
2) а	= 54°,	0 » 13°,	у= 113°;
3) а	= 34°,	0 = 44°,	у- 102°;
4) а	= 39°,	0 = 93°,	у = 48°;
5) а	- 15°,	0 » И°,	у» 154°;
6) а	= 136°,	0 = 15°,	у» 29°.
§ 13.
2. Яі + «2 + <1, В1- п2- а. 6. Не може. 8. |л (л - 1). 10. 36°, 72°,
108°, 144°. 12. 1) 8; 2) 12. 13. 1) 10 сторін; 2) 15 сторін. 14. Вка-
зівка. У цього л-кутника всі сторони рівні, всі кути рівні.
15. Вказівка. У цього л-кутника всі сторони рівні, всі кути рівні.
18. Вказівка. Виразіть обидва радіуси через сторону трикутника.
19. Вказівка. Знайдіть спочатку радіус кола. 20. 2^6 дм.
21. 2>/2 см. 22. у/з см. 24. Вказівка. Скористайтесь теоремою ко-
синусів. 25. Вказівка. Спочатку за допомогою задачі 29 § 11
знайдіть сторону 10-кутника, а потім за теоремою косинусів — сто-
Відповіді та вказівки до задач
233
Л К/О - і	5 _ ./Ч	І ,	_2
рону 5-кутника. а19 =——--------, а5 = йЛ—5—. 26. ЛН2 - —.
27. , г2 + —. 28. Ь = , 2а^	29. а = . 2^—. ЗО. Вказівка.
’	4	74^2 - а2	'47Ї2 + Ь2
7? г
Впишіть спочатку правильний шестикутник. 32.	33. а : Ь.
34. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м. 35. 6,28 ми. 36. = 3,06. Вказівка. Ско-
ристайтесь результатом задачі 23. 37. = 3,11. Вказівка. Ско-
ристайтесь результатом задачі 24. 38. = 6366,2 км. 39. = 6,3 см.
40. 1) Я^,= ; 2) —3) •§-. Вказівка. Центри кругів є верши-
2 +73	1 + 72 З
нами правильного п-кутника. 41. 1) В (3 + 2у/з); 2) В (1 + 72);
3) В. Вказівка. Центри кругів є вершинами правильного п-кут-
ника. 42. = 351,9 м/хв. 43. 1) см; 2) см; 3) см; 4) см.
44. 1) 120°; 2) 90°; 3) 72°; 4) 60°; 5) 240°; 6) 270°. 45. = 31".
46. 1) = 0,79 м; 2) = 0,52 м; 3) = 2,09 м; 4) = 0,80 м; 5) = 1,06 м;
6) = 2,63 м. 47.1) ^; 2)^-; 3) Вказівка. За хордою і
З 3	3 73
відповідним центральним кутом знайдіть радіус кола. 48. 1)
2 УІ2Ї 3 л/зї
2)	3) 2д . Вказівка. Знайдіть спочатку радіус кола.
49. 1) |; 2) £; 3)	51. 1) 90°; 2) 45°; 3) 22,5°; 4) 150°; 5) 70°;
6) 240°.
§ 14.
1. Вказівка. Застосуйте теорему Піфагора. 2. = 180 м. 3. 8 =
=	4. У два рази. 5. Площа збільшиться у 9 разів. 6. У 5 разів.
7. 8 м, 18 м. 8. 12 дм, 25 дм. 9. 30°. 10. Квадрат. 11. 200 см2.
12. 202,8 см2. 14. 715 см. 17. 4800 м2. 18.	19. 6 см. 21. ДД.
4	4
22. ЗД2Д. 23. 600 см2. 24. 55 см, 48 см. 25. 2 С = 90°. 26. = 0,47 м2.
4
27. 5,64 м2. 28. 4-	ЗО. 1) 84; 2) 12; 3) 288; 4) 10;
2 зіп (а + р)
5)	6) 1,4. 31. 2 7р (р - а)(р - Ь) (р - с). 32. 1) 24 см; 2) 24 см.
33. 13,44 см. 34. 12 см, 11,2 см, см. 35. 1,344. 36. 1) 4; 2) 7,2;
їм
3) 4,8; 4)	37. 480 см2. 38. 408 см2. 39. 540 м2. 43. 1) В =
Відповіді та вказівки до задач
234
г = 4; 2) П = г = 1,5; 3) В = И5, г = |; 4) Я = г = ^ =
о	о	о	4л/6	2
- 1,2. 44. 4,5 см. 45. Я = , &
уІ4Ь2 - а2
І2Ь ~ а
2 у 2Ь + а '
46. Я = см ,
/І4
г -	см. 47. Вказівка. Скористайтесь властивістю дотичних,
О
проведених з однієї точки до кола. 48. Я = 29 см, г = 12 см. 50. 1 : 3.
51.	52. а2 : Ь2. 53.	54. 1) 20л см2; 2) 12л м2; 3) л (а2 - Ь2).
55.	1) У 4 рази; 2) у 25 разів; 3) в т2 разів. 56. 1)	2) -^5=;
2	373
59. 1)	2)	3)	4)
У	4	1	о
3)	57. 1. 58. 2.
ЗуіЗ	4
5)	6)	бо. і) 2)^., 61. а2	62. 1) (л -
О	Л	<&	І о 4 І
- 2) Я2; 2) ґл --^Мя2; 3) {я	Я2.
|	4 і	I	4& І
§ 15.
2. Можна. 5. 2) 4,2 дм; 3) 6,2 см; 4) а * Ь. 6. Не можна. 7. 1) 5 см;
2) 3 см; 3) 8 см; 4) д^"е. 9. В к а з і в к а. Порівняйте відношення
відрізків двох довільних прямих: ХіХ2Х3 і УіУ2Уз. 10. 1) 6,5 см;
2) 15 см; 3) у/а2 - Ьг + Л2 ; 4) л]а2 - с2 + 2д.2 . 12. 2 м. 13. 2,6 м.
14. ~ 3,9 м. 15. а . 17. 1) ^а2 + Ь2 -2аЬ сова + с2; 2) 60°.
18. 144 см2. 20. 2 м. 21. 1) ЗаЬ +	2) 4аЬ + 2а2; 3) 6аЬ +
+ 3а2у/з.	22. 12 м2. 23. 10 см. 24. 2а, а>І2. 25. 1464 см2.
_2 ,	2 і2
а + с — о
2
26.
'а2 + Ь2 - с2
2
6 см. ЗО. 11м. 31.
, уі - - 2	 27. 12 см. 28.5 см,
; 2) д/Ь23) уІЬ2-а2. 32. 20^2.
V

33. 6 см. 34. 25 см. 35. Вдвічі. 36. 60 см3. 37. З м3. 38. 1) а2Ь;
4
2) а2Ь-, 3) а2Ь. 39. З см3. 40. 35 200 м3. 41. 1) ^ЗЬ2 - а2 ;
2) 4-	- 2а2;
о ’
52. 30 дм2.
3) ^-^з(&2-а2).
42. 1Ь3. 45.5 м. 48. Я2.
О
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Абсциса 112
Аксіома 17
—	існування трикутника, що
дорівнює даному 14
—	(основна властивість) пара-
лельних прямих 16
—	розміщення точок відносно
прямої 8
		на прямій 6
Аксіоми (основні властивості)
— вимірювання відрізків 7
— вимірювання кутів 11
— відкладання відрізків і ку-
тів 12
—	належності точок і прямих 6
Бісектриса кута 28
—	трикутника 37
Бічна сторона трикутника 35
Бічні сторони трапеції 88
Вектор 141
—	координатний 150
—	нульовий 141
—	одиничний 150
Вектора абсолютна величина і на-
прям 141
— координати 143
— множення на число 146
Вектори колінеарні 148
—	однаково напрямлені 141
—	протилежно напрямлені 141
Вершина кута 10
—	ламаної 180
—	многокутника 182
—	трикутника 13
—	чотирикутника 79
Висота паралелограма 197
—	трапеції 199
—	трикутника 37
Відрізок 5
Відрізка кінці 6
Відстань від прямої до паралель-
ної прямої 57
—	між паралельними прями-
ми 57
---точками 100, 115
Вісь абсцис 112
—	ординат 112
—	симетрії 130
Властивість вертикальних кутів 26
—	діагоналей паралелограма 81
		прямокутника 83
		ромба 83
—	довжини ламаної 181
—	колінеарних векторів 148
—	кутів, утворених паралель-
ними із січною 52
—	медіани в рівнобедреному
трикутнику 38
—	серединного перпендикуля-
ра 72
—	середньої лінії трапеції 88
		трикутника 87
Властивості зовнішнього кута три-
кутника 54
—	кутів, вписаних у коло 165
—	паралельного перенесення
133
—	перетворення подібності 157,
158
Геометричне місце точок 71
Геометрія З
Гіпотенуза 55
Гомотетія 156
Градусна міра дуги кола 164
		кута 11
Графік лінійної функції 120
Декортові координати на площині
113
Діагональ многокутника 182
—	чотирикутника 79
Діаметр кола 64
Доведення 16
—	від супротивного 28
Довжина кола 188
—	ламаної 181
Дотик двох кіл 67
Дотична 66
—	пряма до кола 66
Дуга кола 189
Катет 55
Квадрат 84
Коефіцієнт гомотетії 156
—	подібності 156
Коло 63
—	, вписане в трикутник 67
Предметний покажчик
236
—	, описане навколо трикут-
ника 64
Координати середини відрізка 114
—	точки 112
Косинус кута 97
Круг 202
Круговий сегмент 203
—	сектор 203
Кут 10
—	, вписаний у коло 164
—	гострий 25
—	між векторами 149
—	опуклого многокутника 183
-----зовнішній 183
—	повороту 131
—	плоский 164
—	прямий 25
—	розгорнутий 10
—	трикутника 13
		внутрішній 54
		зовнішній 54
—	тупий 25
—	центральний 164
----многокутника 184
Кути вертикальні 25
—	відповідні 51
—	внутрішні односторонні 49
—	різносторонні 49
—	доповняльні плоскі 164
—	суміжні 24
Кутовий коефіцієнт прямої 120
Ламана 180
—	замкнена 182
—	проста 181
Ланка ламаної 180
Масштаб 157
Медіана трикутника 38
Метод ізометричних місць 72
Многокутник 182
—	, вписаний у коло 183
—	, описаний навколо кола 184
—	опуклий 182
—	плоский 182
—	правильний 183
Нерівність трикутника 100
Область многокутника 182
Ознака паралельності прямих 50
Ознаки подібності трикутників
159, 160, 161, 162
— рівності прямокутних три
кутників 56
---трикутників 32, 34, 39
Означення 17
Ордината 112
Орт 150
Осі координат 112
Основа перпендикуляра 28
—	похилої 99
—	трикутника 35
Основи трапеції 88
Паралелограм 80
Паралельне перенесення 133
Перетворення обернене 127
—	подібності 156
—	симетрії 129
—	фігур 126
Перетин прямої з колом 120
Периметр 80
Перпендикуляр до прямоі 28
—	серединний 65
Перпендикуляра існування і єди-
ність 27
Перпендикулярні прямі 27
Півплсщина 7
Півпряма 8
Півпрямі доповняльні 9
—	однаково напрямлені 135
—	протилежно напрямлені 136
—	ешвнапрямлені 135
Планіметрія З
Площа 194
—	круга 202
—	кругового сегмента 203
--- сектора 203
—	паралелограма 197
—	прямокутника 196
—	трапеції 199
—	трикутника 197
—	фігури 194
Площі подібних фігур 201
Побудова бісектриси кута 69
—	кута, шо дорівнює даному 69
—	перпендикулярної прямої 70
—	правильного многокутника
186
—	трикутника з даними сто-
ронами 68
—	четвертого пропорційного
відрізка 90
Предметний покажчик
237
Поворот 131
Подібність фігур 158
Поділ відрізка пополам 70
Похила 99
Початкова точка півпрямої 9
Початок координат 112
Правило паралелограма 145
—	трикутника 145
Проекція вектора 145
—	похилої 99
Промінь (півпряма) 9
—	проходить між сторонами
кута 11
Пряма 4
—	проходить через точки 4
—	розбиває площину 7
Прямокутник 83
Радіан 190
Радіанна міра кута 190
Радіус кола 64
—	круга 202
Рівність векторів 142
—	відрізків 13
—	кутів 14
—	фігур 136
Рівняння кола 116
—	прямої 116
— — з кутовим коефіцієнтом
119
— фігури 116
Різниця векторів 145
Ромб 83
Рух 126
Середня лінія трапеції 88
---трикутника 87
Симетрія відносно прямої 130
--- точки 129
Синус кута 101
Січна 49
Скалярний добуток векторів 149
Сторони кута 10
—	многокутника 182
—	трикутника 13
— чотирикутника 79
---протилежні 79
---сусідні 79
Сума векторів 143
— кутів трикутника 53
Тангенс кута 101
Теорема 16
—	косинусів 173
—	обернена 36
—	Піфагора 98
—	синусів 174
— Фалеса 85
Теореми умова і висновок 17
Точка 4
—	дотику 66
—	лежить між точками 5
		на прямій 4
—	розділяє точки 5
Точки лежать по різні боки 6
—	перетину прямих 5
—	, симетричні відносно точки
129
------прямої 130
Трапеція 88
—	рівнобічна 88
Трикутник 13
—	єгипетський 99
—	прямокутний 55
—	рівнобедрений 35
—	рівносторонній 36
Умова перпендикулярності векто-
рів 150
Фігури геометричні З
—	подібні 158
—	прості 194
—	рівні 136
Формула Герона 198
Формули для радіусів вписаного і
описаного кіл трикутника 200
Хорда кола 64
Центр гомотетії 156
— кола 63
---, вписаного у трикутник
67
------, описаного навколо три-
кутника 64
—	круга 202
—	многокутника 184
—	симетрії 129
—	паралелограма 129
Центрально-симетрична фігура 129
Четвертий пропорційний відрізок
91
Чотирикутник	79
ЗМІСТ
7 КЛАС
§ 1. Основні властивості найпрос-
тіших геометричних фігур
1.	Геометричні фігури... З
2.	Точка і пряма........ 4
3.	Відрізок............. 5
4.	Вимірювання відрізків ...	6
5.	Півплощини........... 7
6.	Півпряма ................. 8
7.	Кут ......................10
8.	Відкладання відрізків і ку-
тів ........................12
9.	Трикутник ................13
10.	Існування трикутника, що
дорівнює даному ............14
11.	Паралельні прямі ..........15
12.	Теореми і доведення...16
13.	Аксіоми ...................17
Контрольні запитання	...	18
Задачі.................19
§ 2. Суміжні і вертикальні кути
14.	Суміжні кути ..............24
15.	Вертикальні кути ..........25
16.	Перпендикулярні прямі	.	.	26
17.	Доведення від супротивного	28
18.	Бісектриса кута.......28
19.	Що потрібно робити, щоб
добре встигати з геометрії . 29
Контрольні запитання ... ЗО
Задачі......................ЗО
§ 3.	Ознаки рівності
трикутників
20.	Перша ознака рівності три-
кутників ...................32
21.	Використання аксіом при
доведенні теорем............34
22.	Друга ознака рівності три-
кутників ...................34
23.	Рівнобедрений трикутник 35
24.	Обернена теорема........36
25.	Висота, бісектриса і медіа-
на трикутника...............37
26.	Властивість медіани рівно-
бедреного трикутника ... 38
27.	Третя ознака рівності три-
кутників ...................39
28.	Як самостійно готуватись
за підручником..............41
Контрольні запитання ... 42
Задачі ................. 43
§ 4.	Сума кутів трикутника
29.	Паралельність прямих ... 48
ЗО.	Кути, утворені в результаті
перетину двох прямих січ-
ною ....................... 49
31.	Ознака паралельності пря-
мих ....................... 50
32.	Властивість кутів, утворе-
них при перетині парале-
льних прямих січною ... 52
33.	Сума кутів трикутника . . 53
34.	Зовнішні кути трикутни-
ка ........................ 54
35.	Прямокутний трикутник . 55
36.	Існування і єдиність пер-
пендикуляра до прямої . . 56
37.	З історії виникнення гео-
метрії .................... 57
Контрольні запитання ... 58
Задачі ................. 59
§ 5.	Геометричні побудови
38.	Коло ...................63
39.	Коло, описане навколо три-
кутника	................64
40.	Дотична	до кола.......66
41.	Коло, вписане в трикут-
ник ........................67
42.	Що таке задачі на побу-
дову ...................... 67
43.	Побудова трикутника з да-
ними сторонами .............68
44.	Побудова кута, що дорів-
нює даному..................69
Зміст
239
45	Побудова бісектриси кута . 69
46.	Ділення відрізка пополам . 70
47.	Побудова перпендикуляр-
ної прямої..................70
48.	Геометричне місце точок . 71
49.	Метод геометричних місць . 72
Контрольні запитання ... 73
Задачі......................74
8 КЛАС
§ 6.	Чотирикутники
50.	Означення чотирикутника . 79
51.	Паралелограм ..............80
52.	Властивість діагоналей па-
ралелограма ............... 81
53.	Властивість протилежних
сторін і кутів паралело-
грама ......................82
54.	Прямокутник ...............83
55.	Ромб..................83
56.	Квадрат ...................84
57.	Теорема Фалеса........ .85
58.	Середня лінія трикутника	. 87
59.	Трапеція..............8В
60.	Теорема про пропорційні
відрізки ................  .	89
61.	Побудова четвертого про-
порційного відрізка .... 90
Контрольні запитання ... 91
Задачі .....................91
§ 7	Теорема Піфагора
62.	Косинус кута . ............97
63.	Теорема Піфагора ...... 98
64	Єгипетський трикутник . 99
65	Перпендикуляр і похила . 99
66	Нерівність трикутника . 100
67.	Співвідношення між сто-
ронами і кутами прямо
кутного трикутника .... 101
68.	Основні тригонометричні
тотожності ................103
69.	Значення синуса, коси-
нуса і тангенса деяких
кутів......................104
70.	Зміна синуса, косинуса і
тангенса при зростанні
кута.......................105
Контрольні запитання . . 106
Задачі.....................106
§ 8.	Декартові координати
на площині
71.	Означення декартових ко-
ординат .................. 112
72.	Координати середини від-
різка .................... 114
73.	Відстань між точками . . 115
74.	Рівняння кола .....	116
75.	Рівняння прямої....... 116
76.	Координати точки пере
тину прямих . . .......... 117
77.	Розміщення прямої від-
носно системи координат 118
78.	Кутовий коефіцієнт у рів-
нянні прямої . ...... 119
79.	Графік лінійної функції 120
80.	Перетин прямої з колом 120
81.	Означення синуса, коси-
нуса і тангенса для будь-
якого кута від 0е до 180° 121
Контрольні ггпитання . . 122
Задачі ................... 123
§ 9. Рух
82.	Перетворення фігур .... 126
83.	Властивості руху...... 127
84.	Симетрія відносно точки 128
85.	Симетрія відносно прямої 130
86.	Поворот....... ....... 131
87.	Паралельне перенесення
і його властивості ...	132
88	Існування і єдиність пара-
лельного перенесення ... 134
89.	Співнапрямленість пів-
прямих.....................135
90.	Рівність фігур . ..... 136
Контрольні запитання .. 137
Задачі ................ 138
§ 10.	Вектори
91.	Абсолютна величина і
напрям вектора............ 141
92.	Рівність векторів ..... 142
93.	Координати вектора ... 143
94.	Додавання векторів .... 143
95.	Додавання сил ........ 145
96.	Множення вектора на
число..................... 146
Зміст
240
97.	Розкладання вектора за
двома не колінеарними
векторами ...	148
98.	Скалярний добуток век-
торів ............ ...	. . 149
99.	Розкладання вектора за
координатними осями .150
Контрольні запитання , 151
Задачі............ ........152
9 КЛАС
§ 11.	Подібність фігур
100 Перетворення подібності 156
101.	Властивості перетворен-
ня подібності..............157
102.	Подібність фігур .....158
103.	Ознака подібності три-
кутників за двома ку-
тами ..................... 159
104.	Ознака подібності три-
кутників за двома сторо-
нами і кутом між ними 160
105-	Ознака подібності три-
кутників за трьома сто-
ронами ....................161
106.	Подібність прямокут-
них трикутників .... 162
107.	Кути, вписані в коло . . 164
108	Пропорційність відріз-
ків хсрд і січних кола . 166
Контрольні запитання . 167
Задачі ...	167
§ 12. Розв'язі-вання трикі-гникіь
109. Теорема косинусів .... 173
110 Теорема синусів........174
111.	Співвідношення між ку-
тами трикутника і про-
тилежними сторонами 175
112.	Розв’язування трикут-
ників . ...................176
Контрольні запитання . 178
Задачі ...	...	.178
§ 13.	Многокутники
113.	Ламана . .	......180
114.	Опуклі многокутники . . 182
115.	Правильні многокутники 183
116. Формули для радіусів
вписаних і описаних кіл
правильних многокут-
ників .  ...............  184
117	. Побудова деяких прави-
льних многокутників	186
118	Подібність правильних
опуклих многокутників 187
119	. Довжина кола ...... 188
120	Радіанна міра кута . 189
Контрольні запитання . 190
Задачі..............  191
§ 14.	Площі фігур
121.	Поняття площі........194
122.	Плоша прямокутника . 195
123.	Плоша паралелограма . 196
124.	Площа трикутника . . . 197
125	Формула Герона для
площі трикутника .... 198
126.	Площа трапеції.......199
127	Формули для радіусів
вписаного і описаного
кіл трикутника .	2С0
128.	Площі подібних фігур . 201
129.	Площа круга ........ 201
Контрольні запитання . 203
Задачі.............   204
§ 15.	Елементи стереометрії
130	. Аксіоми стереометрії . 208
131.	Паралельність прямих і
площин у просторі .... 209
132.	Перпендикулярність
прямих і площин у про
сторі .................... 211
133.	Многогранники........ 214
134.	Тіла обертання	......	218
Контрольні запитання	221
Задачі................. 222
Відповіді та вказівки до
задач . . . ........ .	226
Предметний покажчик , 235