Автор: Шур М.
Теги: неорганическая химия электротехнические материалы и изделия электроника полупроводниковые приборы физика твердого тела
ISBN: 5-03-002514-6
Год: 1992
Текст
М, Шур
Физика
полупроводниковых
приборов
Издательство «Мир»
Physics
of Semiconductor
Devices
Michael Shur
Prentice-Hall International, Inc.
М. Шур
Физика
полупроводниковых
приборов
В 2-х книгах
Книга 1
Перевод с английского
под редакцией
канд. физ.-мат. наук Ю. Д. Биленко
и канд. физ.-мат. наук В. Л. Видро
Москва «Мир» 1992
ББК 31.233
Ш96
УДК 546.28
Переводчики-, д-р физ.-мат. наук А. А. Кальфа, канд. физ.-маг. наук
А. Г. Лазерсон, канд. техн, наук Б. Л. Эйдельман
Шур М.
Ш96 Физика полупроводниковых приборов: В 2-х книгах,
кн. 1. Пер. с англ. —М.: Мир, 1992. — 479 с., ил.
ISBN 5-03-002514-6
Современное фундаментальное учебное пособие, написанное извест-
ным американским специалистом, в котором с единых позиций рас-
сматриваются физические принципы работы, конструктивные особенно-
сти и технология изготовления практически всех полупроводниковых
приборов и монолитных интегральных схем на их основе. В кн. 1 со-
держатся сведения о физике полупроводников, барьерных и омических
контактах, биполярных транзисторах, а также полевых транзисторах
на основе кристаллического и аморфного кремния, GaAs и гетерострук-
тур.
Для специалистов в области физики твердого тела, электроники,
полупроводниковой техники, а также преподавателей, аспирантов и
студентов соответствующих специальностей.
Редакция литературы по новой технике
ISBN 5-03-002514-6 (русск.)
ISBN 5-03-002561-8
ISBN 0-13-666496-2 (англ.)
© 1990 by Prentice-Hall, Inc.
© перевод на русский язык, Кальфа А. А.,
Лазерсон А. Г., Эйдельман Б. Л., 1992
Предисловие редакторов перевода
Новая книга М. Шура — одного из ведущих специалистов в об-
ласти физики полупроводников и полупроводниковых приборов,
является прекрасным дополнением и логическим развитием его
монографий, известных советскому читателю 1>. Книга вышла
в свет в виде трех отдельных томов * 2): том 1 посвящен основам
физики полупроводников и полупроводниковых приборов, том 2
содержит решения задач, помещенных в конце каждой главы
тома 1, а том 3 включает описание программ для расчета ха-
рактеристик и моделирования работы современных полупровод-
никовых приборов. Вниманию советского читателя предлагается
переводное издание первых двух томов, в которых последова-
тельно и наглядно изложены современные представления о фи-
зических процессах, протекающих в современных полупроводни-
ковых приборах, с учетом конструктивных и технологических
особенностей последних, а также содержатся решения задач.
Со времени выхода в свет аналогичного издания на русском
языке 3) появились и стали важной частью практической элек-
троники принципиально новые приборы на арсениде галлия
и кремнии. В дополнение к уже ставшим традиционным прибо-
рам в данной книге впервые столь подробно описаны устрой-
ства на основе эффектов в аморфных полупроводниках, гетеро-
структурах, сверхрешетках. Особую ценность представляет бо-
гатый справочный материал, содержащийся в приложениях,
и задачи по моделированию полупроводниковых приборов.
Студенты и аспиранты, специализирующиеся в области фи-
Левинштейн М. Е., Пожела Ю. К., Шур М С.— Эффект Ганна.— М.:
Сов. радио, 1975; Shur М., GaAs Devices and Circuits, New York, Plenum
Press, 1987; имеется перевод: Шур M. Современные приборы на основе арсе-
нида галлия. — М.: Мир, 1991.
2) Shur М., Physics of Semiconductor Devices, Englewood Cliffs, Prentice-
Hall, 1990; Shur M., Physics of Semiconductor Devices. Solutions Manual,
Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1990; Shur M. Physics of Semiconductor
Devices. Software and Manual, Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1990.
3) Sze S. M., Physics of Semiconductor Devices, New York, Wiley, 1981;
имеется перевод: Зи С. Физика полупроводниковых приборов.— М.: Мир,
1985.
6 Предисловие редакторов перевода
зики полупроводников, ознакомившись с книгой М. Шура, по-
лучат полное представление о всем многообразии процессов^
происходящих в приборах, в зависимости от их структуры
и внешних воздействий. Книга окажется полезной и специали-
стам, занимающимся разработкой новых полупроводниковых
приборов, поскольку дает представление о методах моделирова-
ния и путях развития этой области науки и техники.
Перевод книги выполнили: д-р физ.-мат. наук А. А. Кальфа,
(гл. 4, 6 и 7), канд. физ.-мат. наук А. Г. Лазерсон (гл. 1 и 2
и приложения) и канд. техн, наук Б. Л. Эйдельман (гл. 3 и 5).
Мы надеемся, что изучение книги доставит удовольствие
всем, кто ценит красоту и изящество технической мысли.
Ю. Д. Биленко
В. Л. Видро
Предисловие к русскому изданию
Между США и Россией имеется много различий: стиль жизни,
история, культура, язык, отношения между людьми, система
образования. Однако существуют непреложные научные истины,
так, электрон — это везде электрон, транзистор — транзистор
и интеграл — интеграл. Поэтому, по крайней мере на первый
взгляд, нам, лицам технических профессий, легче понять друг
друга, и перевести техническую книгу, пожалуй, легче, чем ро-
ман, пьесу или повесть.
Как человек, давно переселившийся в Америку из России,
я всегда внимательно следил за развитием отношений между
нашими странами, но до последнего времени и мечтать не мог
о переводе своей книги на русский язык. Но, как сказал Гам-
лет: «Есть многое на свете, друг Горацио, что и не снилось на-
шим мудрецам...», и вот я пишу предисловие для русского из-
дания моей книги. Выход книги на русском языке является для
меня большой честью, за что я очень благодарен редакторам
перевода.
На русском языке выпущено много хороших изданий по фи-
зике полупроводниковых приборов как советских, так и зару-
бежных авторов. Тем не менее мне представляется, что предла-
гаемая книга окажется нужной советским инженерам, ученым,
аспирантам и студентам старших курсов, специализирующимся
в области полупроводниковых приборов. Книга снабжена боль-
шим количеством задач. В нее также включены обширный спра-
вочный материал и практические модели, которые могут быть
использованы конструкторами полупроводниковых приборов и
интегральных схем. Наконец, в значительной степени книга
ориентирована на перспективные полупроводниковые приборы,
например транзисторы из аморфного кремния и приборы на
основе соединений AHIBV.
Надеюсь, что книга окажется полезной и нужной советскому
читателю. Если бы мои ожидания оправдались, это было бы
для меня самой высокой наградой.
М. Шур
Университет шт. Виргиния Шарлотсвилл, Виргиния
январь, 1991
Студентам, намеревающимся специали-
зироваться в области электроники, которые-
входят в эту область со священным трепе-
том и энтузиазмом, бросая вызов своим
профессорам и наставникам, и являются
нашей надеждой на лучшее будущее.
Предисловие
Быстрое развитие полупроводниковых приборов и интегральных
схем сопровождается невиданным увеличением объема инфор-
мации в области физики и электроники полупроводников. Но-
вые идеи, теории, модели, приборы и схемы не только значи-
тельно расширили области практического применения, но и соз-
дали предпосылки для дальнейших, возможно, еще более впе-
чатляющих исследований. Работа в этой быстро развивающейся
сфере знаний — отличное испытание своих возможностей, вооду-
шевляющее многих исследователей и студентов.
Книга создавалась как основа рассчитанного на два семе-
стра (или три полусеместра) курса полупроводниковых мате-
риалов и приборов. Желательно, чтобы, приступая к изучению
этого курса, студенты имели некоторую подготовку в области
физики твердого тела и квантовой механики. Кроме материала,
обычного для книг по полупроводниковым приборам, здесь опи-
саны новые важные разработки, такие, как приборы на основе
аморфного кремния, технология сложных полупроводниковых
соединений, а также новые гетероструктурные транзисторы.
Теоретические модели и расчеты, представленные в книге, во-
площены в программы для персональных ЭВМ, которые могут
использоваться для моделирования и расчета характеристик
реальных полупроводниковых приборов 1J. Эти модели, а также
приведенные параметры материалов позволяют студентам ре-
шать практические задачи, связанные с анализом, конструиро-
ванием и определением параметров различных полупроводни-
ковых приборов. Книга включает примерно 150 таких задач
(начиная с самых простых) с подробными указаниями по их
решению, которые могут использоваться преподавателями. При-
ведены многочисленные ссылки на литературные источники,
необходимые для дальнейшего изучения проблемы. Эти особен-
ности делают книгу полезной как для инженеров и научных
l) Shur М., Physics of Semiconductor Devices. Software and Manual,
Englewood Cliffs, Prentice-Hall, 1990.
Предисловие
9
работников в области физики полупроводниковых приборов,
так и для студентов, приступивших к изучению этого курса.
Гл. 1 начинается с короткого введения в физику полупро-
водников, включающего уравнение Шрёдингера, атомные со-
стояния, химические связи, кристаллическую структуру, энерге-
тические зоны, кинетические свойства и основные уравнения
физики полупроводников. Кроме того, в ней содержится допол-
нительный материал, например, кинетическое уравнение Больц-
мана, моделирование методом Монте-Карло и перенос электро-
нов в сильных электрических полях. Эти разделы (помеченные
звездочкой) могут быть опущены при чтении традиционного
курса физики полупроводников и полупроводниковых приборов.
Они полезны для дальнейшего, более углубленного изучения
предмета.
Переходы и контакты, рассмотренные в гл. 2, присутствуют
в любом полупроводниковом приборе. В эту же главу входит
раздел, описывающий гетеропереходы, образованные у поверх-
ности раздела различных полупроводниковых материалов. По-
скольку приборы на гетеропереходах приобрели исключительно
важное значение в самых различных областях — от источников
света до сверхбыстродействующих переключающих и СВЧ-при-
боров,— этот раздел будет особенно полезен читателям, инте-
ресующимся новыми приборами, разрабатываемыми в исследо-
вательских лабораториях. Разд. 2.8.2 (отмеченный звездочкой)
включает более подробный анализ лавинного пробоя по сравне-
нию с традиционным курсом полупроводниковых приборов.
В гл. 3 рассматриваются биполярные транзисторы. Кроме
обычного материала глава включает описание модели Гум-
меля—Пуна и биполярные транзисторы на гетеропереходах.
К модели Гуммеля—Пуна обращаются, когда необходимо рас-
считать реальные параметры транзистора. Она широко исполь-
зуется в таких известных моделях расчета схем, как разрабо-
танная в Беркли модель SPICE. Биполярные транзисторы на
гетеропереходах, возможно, могут стать одним из самых бы-
стродействующих типов полупроводниковых приборов как в ана-
логовой, так и в цифровой электронике.
Гл. 4 посвящена полевым транзисторам. Рассмотренный
в этой главе кремниевый полевой транзистор — наиболее ши-
роко используемый прибор современной электроники. В этой
главе обсуждены также приборы па основе сложных полупро-
водниковых соединений, такие, как полевой транзистор на ар-
сениде галлия. Кроме того, описаны транзисторы на пленках
аморфного кремния, которые в настоящее время представ-
ляются весьма перспективными для управления дисплеями
с плоским экраном и применения в копировальных аппаратах
и принтерах.
10
Предисловие
В гл. 5 речь идет об оптоэлектронных и фотонных приборах:
солнечных батареях, светодиодах, полупроводниковых лазерах
и интегральных оптоэлектронных схемах. В частности, рассмат-
ривается технология солнечных элементов на основе аморфного
кремния, которая приобретает все более важное практическое
значение при изготовлении солнечных батарей, поскольку
в этом случае удается достичь сочетания высокого к. п. д. пре-
образования солнечной энергии с малой стоимостью материала
и изготовления батарей.
Гл. 6 охватывает материал об СВЧ-диодах — наиболее мощ-
ных твердотельных источниках СВЧ-энергии. В некоторых из
этих диодов используются свойства объемного полупроводни-
кового материала, такие, как отрицательное дифференциальное
сопротивление GaAs в сильных электрических полях. Меха-
низмы возникновения такого сопротивления также описаны
в упомянутой главе.
Наконец, в гл. 7 изучены физические механизмы, лежащие
в основе работы новых приборов, и конструкции последних:
баллистический (бесстолкновительный) перенос носителей за-
ряда в коротких полупроводниковых структурах, так называе-
мая зонная инженерия, транзисторы на горячих электронах,
приборы на сверхрешетках, резонансные туннельные диоды
и транзисторы и др.
Как заметил Джордж Бернард Шоу, все специалисты ста-
раются скрыть секреты своей деятельности от непрофессиона-
лов. Памятуя об этом, я поместил в книге подробный список
обозначений используемых параметров.
В приложениях А1 —А25 содержатся характеристики наи-
более важных полупроводниковых материалов, основные фор-
мулы, типичные параметры приборов, описание наиболее рас-
пространенных программ для моделирования приборов и схем.
Если данная книга используется как учебный курс, рассчи-
танный на три полусеместра, то ее материал можно разделить
следующим образом. Первая часть должна включать физику
полупроводников, свойства материалов и р—/г-переходы, вторая
часть — барьеры Шоттки, омические контакты, гетеропереходы,
биполярные транзисторы и третья — полевые транзисторы, фо-
тонные приборы и принципы построения новых приборов. Если
же курс рассчитан на два полных семестра, то его первая часть
может содержать физику полупроводников, свойства материа-
лов, р—/г-переходы, барьеры Шоттки, омические контакты, ге-
теропереходы, принцип работы биполярных транзисторов,
а вторая часть — весь остальной материал.
При работе над книгой я был вдохновлен искренним инте-
ресом к предмету и энтузиазмом студентов, изучающих мой
курс по полупроводниковым приборам в университете шт. Мин-
Предисловие 11
несота. Мои студенты и аспиранты Янг Бьюн, Юн-хо Баек,
Бьюнг Мун, М. Нормал, Т. Бианчи, Б. Брокер, Дж. Лейтон,
Транг Данг и др. помогли мне в чтении корректуры. Я особенно
благодарен проф. М. Меллочу из университета Пёрдью и
проф. К. Мажиар из университета шт. Техас в Остине, которые
прочли рукопись и сделали много полезных замечаний и пред-
ложений, а также проф. Я. Тсивидису из Колумбийского уни-
верситета за ценные предложения, относящиеся к модели
МОП-транзистора. Я также признателен редактору книги г-же
Э. Кастер за терпение и помощь. Кроме того, мне хотелось бы
поблагодарить мою жену д-ра Полину Шур за постоянную под-
держку и помощь в создании программного обеспечения.
М. Шур
I
Основы физики полупроводников
1.1. Введение
Развитие полупроводниковой электроники связано с появле-
нием все более быстродействующих приборов, работающих со
все меньшим уровнем мощности. Это приводит к уменьшению
минимальных размеров приборов. Так, благодаря развитию
технологии размеры уменьшились с 20 мкм в начале 60-х годов
до субмикронных значений в конце 80-х. В таких приборах
уменьшается время пролета электронов, чем и обеспечиваются
высокая скорость обработки сигналов и более высокие рабочие
частоты. Кроме того, меньший рабочий объем позволяет опе-
рировать меньшим уровнем мощности.
Большинство современных приборов изготавливается на
основе кремния. Серьезную конкуренцию им в области, связан-
ной с применением СВЧ- и цифровых микросхем высокого бы-
стродействия, составили приборы на основе полупроводниковых
соединений типа арсенида галлия. По мере уменьшения разме-
ров устройств применяются все более экзотические материалы,
а протекающие в них физические процессы оказываются все
более сложными и удивительными. Размеры новых приборов
так малы, что в них становятся важными и даже основными
квантовые эффекты. В то же время число носителей заряда
в полупроводниковых приборах очень велико, и даже элемен-
тарные приборы представляют собой довольно сложную си-
стему. Моделирование или даже качественное описание таких
систем — трудная задача. В этом смысле физика полупровод-
никовых приборов отличается от содержания классических кур-
сов, таких, как электродинамика или теория цепей. Представ-
ленный здесь материал находится в процессе совершенствова-
ния. Конечно, законы Кирхгофа всегда неизменны, но даже
основные уравнения теории полупроводников, применяющиеся
в течение десятков лет, должны быть пересмотрены при описа-
нии устройств с очень малыми размерами.
Глава начинается с краткого изложения квантовой меха-
ники и уравнения Шрёдингера, далее следует описание атом-
ных состояний, химических связей, кристаллической структуры,
энергетических зон, рассматриваются статистика в полупровод-
Основы физики полупроводников
15
никах, явления переноса и основные уравнения для полупро-
водника. Кроме того, в главу включены довольно сложные
вопросы, такие, как уравнения Больцмана, метод Монте-Карло
и уравнения движения носителей в сильных электрических по-
лях, которые обычно исключаются из стандартных курсов. Со-
ответствующие разделы (1.13—1.15) могут быть использованы
при дальнейшем изучении, однако этот материал полезен для
более глубокого понимания процессов, происходящих в совре-
менных приборах (см. гл. 7).
Материал этой главы подготовит студентов к анализу по-
лупроводниковых приборов, приведенному в последующих гла-
вах. В то же время сюда включен справочный материал (кон-
станты материалов и другие сведения), который может ока-
заться полезным для исследователей или разработчиков полу-
проводниковых приборов. Для изучения главы не требуется
предварительного знакомства с квантовой механикой или фи-
зикой твердого тела, хотя при отсутствии соответствующих
знаний читателю придется принимать некоторые положения
данной главы на веру. Такому читателю было бы полезно ре-
шить задачи, прилагаемые к этой главе. Большое количество
ссылок на литературу поможет тем, кто захочет более глубоко
разобраться в том или ином вопросе.
1.2. Квантовомеханический подход
и атомные состояния
Понимание эффектов, имеющих место в полупроводниковых
материалах и устройствах, основано на квантовомеханическом
подходе. Квантовая теория возникла из пионерской работы
Макса Планка, который объяснил энергетическое распределе-
ние в спектре излучения абсолютно черного тела, т. е. идеали-
зированного объекта, поглощающего все падающее на него
излучение во всем диапазоне частот. Как было впервые найдено
Кирхгофом (1824—1887), спектр излучения абсолютно черного
тела не зависит от материала. Достаточно хорошее представ-
ление об абсолютно черном теле дает небольшое отверстие
в замкнутой полости, поглощающее все попадающее в него
излучение (рис. 1.2.1). В 1900 г. Планк показал, что распре-
деление по энергиям в излучении абсолютно черного тела
можно объяснить, если предположить, что излучение испуска-
ется и поглощается дискретными порциями-квантами, или фо-
тонами. Энергия фотона & пропорциональна частоте света со
# = (1.2.1)
где h h = 6,62- IO-34 Дж-с — постоянная Планка.
14
Глава 1
Альберт Эйнштейн впервые показал, что каждый фотон
имеет импульс
р=&1с, (1.2.2)
где с — скорость света. Направление импульса совпадает
с направлением распространения света.
Рис. 1.2.1. Модель абсолютно черного тела в виде полости с малым отвер-
стием, поглощающим падающее излучение. Стрелками показаны направления
падающего и отраженных световых волн.
Таким образом, свет обладает не только волновыми, но и
корпускулярными свойствами. Важнейший принцип квантовой
механики утверждает, что вся материя, включая электроны,
ведет себя и как частицы, и как волна. Например, электроны
могут описываться так называемой волновой функцией
ф(х, у, z), которой присуще то свойство, что вероятность Р на-
хождения их в малом объеме dxdydz равна |ф(х, у,
z)\2 dxdydz. Поэтому функция ф(х, yt z) называется ампли-
тудой плотности вероятности того, что частица находится
в данной точке пространства. Для свободной частицы волно-
вая функция — это плоская волна, т. е. ф(х, у, z) пропорцио-
нальна exp [i(kxx + kyy + kz?)], где kx, ky, kz — компоненты
волнового вектора к, соответствующего длине волны X —
= 2л/|к|. В 1924 г. Л. де Бройль предсказал, что длина
волны, соответствующая свободной частице (длина волны
де Бройля), задается выражением
K = hlp. (1.2.3)
Здесь р — импульс частицы (р = mv, где т — масса, v —
скорость частицы). Корпускулярно-волновой дуализм отражен
в принципе неопределенности, сформулированном Вернером
Гейзенбергом в 1927 г. Гейзенберг, получивший за эту работу
Нобелевскую премию 1932 г., отметил, что произведение неоп-
Основы физики полупроводников
15
ределенностей в определении импульса Др частицы и ее коор-
динаты Дх всегда больше, чем Й/2
Др Дх > ft/2.
Этот принцип можно понять на примере попытки опреде-
ления положения малой частицы, например электрона, путем
облучения ее светом. Чтобы можно было «увидеть» такую ча-
стицу, она должна отразить хотя бы один фотон. Даже после
этого положение частицы может быть определено с точностью
до величины порядка длины волны фотона X. Однако в резуль-
тате отражения фотона импульс частицы также изменится, и
это изменение будет порядка импульса фотона hk = 2лй/%.
Поэтому произведение неопределенностей в определении коор-
динаты и импульса будет порядка Х(2л/г/Л) ~ Й, что соответ-
ствует принципу неопределенности. Многие великие ученые,
включая Эйнштейна, пытались придумать другие мысленные
эксперименты, противоречащие принципу неопределенности,
однако это не удалось никому.
Трудно понять до конца корпускулярно-волновой дуализм
природы: частицы, обладающие волновыми свойствами, или
волны с признаками частицы. Этот дуализм бросает вызов при-
вычному мышлению. Но хотя мы не можем наблюдать непо-
средственно, многочисленные эксперименты доказывают, что
корпускулярно-волновой дуализм существует. На ум приходят
строки стихотворения Эмили Дикенсон
Я не жила в краю болот,
По морю не плыла,
Но знаю, вереск как цветет
И как бежит волна.
Мне с Богом говорить
Не выпадала честь,
Но твердо верю я
В то, что Всевышний есть.
Точно так же мы уверены в том, что квантовомеханический
дуализм существует и может привлекаться для интерпретации
физических явлений.
В полупроводнике при комнатной температуре типичное
значение скорости хаотического движения электронов vT состав-
ляет ~ 105 м/с. Масса свободного электрона равна те —
= 9,11-10~31 кг, так что импульс р = 9-10-26 кгм/с,
k = p/tb ~ 8,6-108 М”1, а длина волны X = 2n/k ж 7,3-10~9 м —
= 7,3 нм. Поэтому длина волны может быть сравнима с раз-
мерами самых малых полупроводниковых устройств (которые
в настоящее время достигают 80 нм у лучших промышленных
образцов и 20 нм у лабораторных). В принципе даже макро-
скопические объекты обладают де бройлевской длиной волны,
однако она настолько мала (например, автомобиль массой 2 т,
16
Глава 1
двигающийся со скоростью 90 км/ч, имеет 10-38 м), что
не имеет существенного практического значения.
Волновая функция электрона удовлетворяет уравнению
Шрёдингера:
(L2-4>
где г —вектор с координатами (х, у, z) a U (г) — потенци-
альная энергия. Решение этого уравнения можно искать
в форме
Ф(г, 0 = 4>(r)f(0. (1-2.5)
Подставив выражение (1.2.5) в (1.2.4) и поделив на ф(г)^((),
получим
—V^r- + ^(r) = ^-Sr. (1-2.6)
2тет|) 1 ' ’ fdt ' '
Левая часть уравнения зависит только от г, а правая —
только от t. Поэтому обе части уравнения не должны зави-
сеть ни от г, ни от t. Обозначая эту постоянную величину че-
рез получим
—Ч^ + ^(Г)^ = <^Ф (1.2.7)
И
(1.2.8)
Решение уравнения (1.2.8) имеет вид
f z=ew(-i£t/h). (1.2.9)
Уравнение (1.2.7) называется стационарным уравнением
Шрёдингера. Мы рассмотрим решение этого уравнения в трех
важных случаях: в свободном пространстве, в бесконечно глу-
бокой одномерной потенциальной яме и для простейшей атом-
ной системы — атома водорода. Последний случай особенно
важен, поскольку на этом простейшем примере можно проил-
люстрировать свойства многих атомных систем.
В свободном пространстве потенциал (7 = 0 и уравнение
Шрёдингера имеет вид
(1.2.10)
Пусть электрон движется только вдоль направления х, так
Основы физики полупроводников
17
Решение этого линейного дифференциального уравнения вто-
рого порядка задается функцией
ф = Д ехр (ikx) + В ехр (—ikx)t (1.2.11)
где волновой вектор к выражается как
k = (2meS’/h2)'h. (1.2.12)
Длина волны X = 2n/k и импульс электрона связаны со-
отношением де Бройля (1.2.3), используя которое получим
p = hk. (1.2.13)
Отсюда и из (1.2.12) найдем соотношение
S = p2/2zne = mev2!2. (1.2.14)
Итак, константа разделения переменных <8 оказывается
значением энергии электрона. Подставляя (1.2.9) и (1.2.11)
в (1.2.5), получим выражение
Ф = A exp [Z (kx — со/)] + В ехр [—i (kx — со/)], (1.2.15)
где использовано соотношение (1.2.1) для связи энергии с ча-
стотой
<&=&lh. (1.2.16)
Таким образом, как отмечалось выше, движение свободного
электрона описывается плоской волной. Частота этой волны
пропорциональна энергии электрона.
Рассмотрим теперь бесконечно глубокую одномерную потен-
циальную яму. В этом случае
U = оо при X < с 0,
(7 = 0 при 0< ' х < ' а, (1.2.17)
{7 == оо при х; > а.
Здесь а имеет смысл ширины ямы.
Внутри потенциальной ямы решение для ф задается урав-
нением (1.2.11). В областях, где U — оо, ф = 0. Поэтому гра-
ничные условия в потенциальной яме имеют вид
ф = 0 х = 0, а. (1.2.18)
Мы ищем решение в такой форме, чтобы оно совпадало
с действительной частью волновой функции (1.2.11), которую
можно переписать в виде
ф = Д! sin(£x + d), (1.2.19)
2 Заказ № 304
18
Глава 1
где k= (2те^)1/2/Й. Из условия гр = 0 при х = 0 получим
6 = 0, а при х = а имеем соотношение ka — лп, т. е.
2 7-2
^=^=^Vn2’ (h2-20>
где п— целое число. Поскольку гр — амплитуда вероятности,
плотность вероятности, нормировочная константа
А1 может быть определена из
условия
е.
|гН2-
100-1
80 -
£= 94мэВ
[2
1,
а
о
£ = 6О,1 мэ0
(1.2.21)
60
которое означает, что вероят-
ность нахождения частицы в
потенциальной яме равна еди-
нице. Используя уравнение
(1.2.21), получим А1 = (2/а)1/2.
Наиболее интересным здесь
является то, что энергия ча-
стицы в потенциальной яме
может иметь только дискрет-
ные («квантованные» значе-
ния. На рис. 1.2.2 показаны эти
значения для ямы шириной
10 нм. Аналогичный анализ
может быть проведен для
двух- и трехмерных потенци-
альных ям (см. задачу 1.2.1).
Рассмотрим теперь атом водорода, имеющий только один
электрон и положительно заряженное ядро.
Уровни энергии и волновые функции электрона в атоме во-
дорода находят из решения стационарного уравнения Шрёдин-
гера (1.2.7) с кулоновским потенциалом
40-
20-
#3= 33,8 мэВ
<?г= 15,03 МЭВ
3,76 мэВ
5 Ю
Расстояние > нм
Рис. 1.2.2. Уровни энергии в беско-
нечно глубокой потенциальной яме,
рассчитанные по формуле (1.2.20)
при а=10 нм и /пе=9,11 • 10~31 кг.
.0
(1.2.22)
Здесь q — заряд электрона, е0 — диэлектрическая проницае-
мость вакуума.
Решения уравнения (1.2.7), которые обращаются в нуль
при г —> оо, существуют тогда и только тогда, когда энергия
электрона & принимает значения
^ = 4^’ (1.2.23)
Основы физики полупроводников
19
где п—1, 2, 3, ... — главное квантовое число, (1.2.24)
^-^57 о-2-25)
называется боровской энергией (&в = 13,6 эВ, или 2,18 X
X Ю-18 Дж), а
— воровским радиусом (ав = 0,052917 нм). Кулоновский по-
тенциал и несколько ниж-
них энергетических уровней
атома водорода показаны на
рис. 1.2.3.
Помимо главного кван-
тового числа существуют
еще три квантовых числа,
характеризующих состояние
электрона в атоме водоро-
да,— орбитальное квантовое
число /, магнитное кванто-
вое число т и спин S. Угло-
вая зависимость ф опреде-
ляется орбитальным кванто-
вым числом I и магнит-
ным квантовым числом т.
Анализ уравнения Шрёдин-
гера показывает, что в ато-
ме водорода эти числа мо-
Расстояние, единица воровского
радиуса
Рис. 1.2.3. Зависимость кулоновского по-
тенциала и нижних уровней энергии
атома водорода от расстояния.
гут принимать следующие значения:
Z = 0, 1,2.п—1,
(1.2.27)
т=-/, -/+1, Z-l, Z, (1.2.28)
S = ±l/2.
(1.2.29)
Каждое электронное состояние в атоме водорода характе-
ризуется набором четырех квантовых чисел; от всех четырех
квантовых чисел зависит и волновая функция. При этом, од-
нако, энергия электрона определяется только п [см. уравне-
ние (1.2.23)].
Простейший приближенный подход к решению задачи о мно-
гоэлектронных атомах основан на предположении, что их вол-
новые функции такие же, как и у атома водорода, с той лишь
разницей, что заряд ядра не q, a zq, где z— число протонов
в ядре. В соответствии с принципом Паули никакие два элек-
2*
20
Глава 1
трона не могут занимать одно и то же состояние, т. е. иметь
одинаковый набор четырех квантовых чисел (включая спин).
Поскольку возможны два значения спина (5 = ±!/2), два
электрона могут иметь одинаковые квантовые числа и, I и т.
Электронную структуру сложных атомов можно описать как
последовательное заполнение все более высоких энергетических
уровней с учетом того, что химические свойства определяются
в основном внешними (валентными) электронами.
Среднее расстояние от электрона до ядра зависит от п. Вну-
тренняя часть электронов (оболочка) состоит из электронов
в состояниях с п = 1, следующая оболочка соответствует
п = 2 и т. д. Эти оболочки иногда обозначают заглавными
буквами, начиная с К. Так, п = 1, 2, 3, 4... соответствует К-,
L-, М-, N-оболочкам.
Энергетические уровни в многоэлектронных атомах зависят
не только от п (как в случае атома водорода), но и от / вслед-
ствие экранирования потенциала ядра электронами. Поэтому
в них электронные состояния делятся еще и на «подоболочки»
в соответствии с величиной /. Эти подоболочки обозначаются
строчными буквами: I = 0, 1, 2, 3, 4, 5... соответствует под-
оболочкам s, р, d, f, g, h. Для данного I имеется 2/ + 1 значе-
ний т, каждое из которых выражает отдельное состояние, при-
чем в каждом состоянии существуют два значения спинового
квантового числа. Состояния, соответствующие различным под-
оболочкам, показаны в табл. 1.2.1.
Таблица 1,2.1. Оболочки и подоболочки
Оболочка п 1 т Спектроскопиче- ское обозначение Количество уровней
К 1 0 0 1s 2
L 2 0 0 2s 2
2 1 0, ±1 2р 6
М 3 0 0 3s 2
3 1 0, ±1 3/> 6
3 2 0, ±1, ±2 3d 10
N 4 0 0 4s 2
4 1 0, +1 4/> 6
4 2 о, ±1, ±2 4d 10
4 3 о» ±1, ±3 +2, 4/ 14
У наиболее важных в полупроводниковой электронике эле-
ментов— кремния (Si), германия (Ge), галлия (Ga) и мышь-
Основы физики полупроводников 21
яка (As) — конфигурация валентных электронов выглядит сле-
дующим образом:
Si (14) — атомный остов + 3s23p2,
Ge (32) —* атомный остов + 4s24p2,
Ga (31) —атомный остов + 4s24p',
As (33) —атомный остов + 4s24р3.
Термин «атомный остов» означает внутренние оболочки, пер-
вая цифра — это главное квантовое число внешней (валентной)
оболочки, цифры вверху — количество электронов в подобо-
лочках.
Поскольку валентные конфигурации у Si и Ge очень по-
хожи, можно ожидать, что их физические и химические свой-
ства также должны быть похожими. Действительно, оба они
являются полупроводниками. Если соединить Ga и As, то усо-
ставной системы каждый атом в среднем будет иметь два
s- и два р-электрона. Поэтому GaAs также является важным
полупроводниковым материалом. Таким же образом мы можем
комбинировать другие элементы III группы периодической си-
стемы (с 3 валентными электронами) и элементы V группы (с 5
валентными электронами). Вот некоторые примеры таких сое-
динений: GaAs, InAs, InP, AlAs, GaP, A1P, InSb, BN, AIN,
GaSb и GaN. Элементы II и VI групп (имеющие 2 и 6 валент-
ных электронов соответственно) также можно объединять для
получения полупроводниковых соединений типа AnBVI. Приме-
рами таких полупроводников являются CdS, ZnS, CdTe и CdSe.
Более того, многие составные полупроводники типа AmBv и
AITBVI могут образовывать твердые растворы, например
ALGa:~xAs, где х — молярное содержание алюминия; такие
вещества называют тройными соединениями. Изменяя х от О
до 1, можно изменять свойства такого соединения от свойств
GaAs до AlAs. Это очень важно, поскольку постоянные ре-
шетки GaAs (5,6533 А) и AlAs (5,6605 А) очень близки. Вот
почему AlGaAs можно легко выращивать на GaAs, получая
таким образом гетероструктуру, т. е. структуру из двух раз-
личных полупроводников, находящихся в тесном контакте. Ге-
тероструктуры находят многочисленные приложения в новых
полупроводниковых приборах и устройствах, описываемых
в гл. 3—5 и 7. Другие важные примеры тройных соединений:
In/jai-xAs, Ga IibPi-*, AlxIni_xAs и т.п. Более того, можно по-
лучить также четверные соединения, например InxGai_xAsyPi-y.
Такая инженерия материалов позволяет создать полупровод-
никовые материалы с требуемыми свойствами. Многие из этих
материалов тем не менее требуют дальнейшего изучения и
улучшения, прежде чем найдут применение в новых высокока-
чественных приборах.
22
Глава 1
1.3. Химические связи
Наиболее стабильные электронные конфигурации соответст-
вуют полностью заполненным s- и р-подоболочкам внешней
(валентной) оболочки. И в периодической системе элементы
с полностью заполненными s- и р-уровнями валентной обо-
лочки— это инертные газы, например,
Ne — ls22s22p6,
Ar - ls22s22p63s23p6,
Кг — атомный остов + 4$24р°,
Хе — атомный остов + 5s25p6,
Rn — атомный остов + 6$26р6.
Связи в кристалле формируются следующим образом. Со-
седние атомы совместно «владеют» своими валентными элек-
тронами, так что правила валентности, т. е. полное заполнение
5- и р-подоболочек валентной оболочки, удовлетворяются
в среднем. Например, в атомах Si или Ge имеются четыре ва-
лентных электрона:
Si — атомный остов + 3s23p2,
Ge — атомный остов 4- 4s2 + 4р2.
В этих кристаллах каждый атом образует четыре связи
с четырьмя ближайшими соседями и делит с каждым из них
по два валентных электрона. Таким образом, он обладает во-
семью валентными электронами. Другими словами, в кристал-
лах кремния или германия атомы должны составлять тетраэд-
рическую структуру (рис. 1.3.1), так чтобы на каждую связь
приходилось по два электрона с заполненными s- и р-подобо-
лочками. Эти связи могут быть описаны как линейные комби-
нации атомных волновых функций (орбиталей) s- и р-типа:
одной s- и трех р-орбиталей с двумя состояниями спина элек-
трона каждая. S-орбитали обладают сферической симметрией.
Угловые зависимости трех р-орбиталей можно представить
в виде трех взаимно перпендикулярных лепестков, изображен-
ных на рис. 1.3.2. Четыре связи могут быть образованы как
линейные комбинации атомных орбиталей каждого атома:
ф! - 72 (I *> + | Рх) + | Ру} + I Рг», (1.3.1)
Ф, = 72(1«> + |Рх)-\Ру)~\рг)), (1-3.2)
'Фз= 72(|«> —Ы + \Ру>- 1рг». (1-3.3)
ф.= 72(|s>-|Рх>-1 ру> + \Рг», (1.3.4)
где |s>, \рх), \ру), \pz> обозначают атомные орбитали.
Основы физики полупроводников
23
Рис. 1.3.1. Тетраэдрическая атомная
структура кремния (а — угол между
связями).
Рис. 1.3.2. Схематическое изображение s- и р-орбиталей.
24
Глава 1
Эти волновые функции называются гибридными орбита-
лями. Их максимальные значения лежат вдоль направлений,
показанных на рис. 1.3.3. Сравнение рис. 1.3.2 и 1.3.3 свидетель-
ала в области перекрытия ку- потенциала
лоновских потенциалов ядер. в
ствует о важной роли гибридных орбиталей в образовании
связей.
В отличие от атомных орбиталей гибридные орбитали не
соответствуют основному состоянию атома, их энергия на 5—
10 эВ выше. Эта энергия запасается в кристалле в результате
взаимодействия атомов. Таким образом, энергия связи атомов
в кристалле меньше, чем энергия основного состояния атома
на величину порядка 1 эВ на каждый валентный электрон. Из-
быток энергии, получающийся при образовании кристалла, на-
зывается энергией сродства.
Гибридные, или ориентированные, орбитали в твердых те-
лах группируются в притягивающие, отталкивающие и ней-
тральные орбитали, ответственные за ковалентные связи. При-
тягивающая орбиталь состоит из двух ориентированных
орбиталей соседних атомов, комбинирующихся в фазе. Поэтому
в области между атомами фь имеет большое значение
Основы физики полупроводников
25
(рис. 1.3.4, а). Отталкивающая орбиталь ф0 образуется комби-
нацией соответствующих атомных орбиталей в противофазе,
поэтому в области между атомами ф0 = 0 (рис. 1.3.4, б).
Нейтральная орбиталь симметрична относительно одного из
атомов и не ориентирована.
Притягивающие орбитали обладают меньшей энергией, чем
отталкивающие, поскольку модуль волновой функции в области
перекрытия кулоновских потенциалов ионных остовов (т. е.
в области с меньшим потенциалом) больше, чем у отталкива-
ющих орбиталей (рис. 1.3.4, в). Обычно притягивающие и не-
связывающие состояния заняты, а отталкивающие свободны.
Если атомы кристалла идентичны (как в случае кремния и
германия), притягивающие орбитали между соседними атомами
1 и 2 имеют вид
Фь ~ Ф1 + Фг. (1.3.5)
где ф! и ф2 — гибридные орбитали.
Вследствие симметрии электроны, образующие связь,
должны проводить в среднем одинаковое время вблизи каждого
атома. Это соответствует симметричному распределению элек-
тронной плотности и чисто гомополярной (ковалентной) связи.
В составном полупроводнике, таком, как GaAs, притягиваю-
щие орбитали описываются весовым множителем X
Фб=Ф1 + М|2. (1.3.6)
который можно интерпретировать в терминах относительного
времени fi и /2, проводимого электроном у первого и второго
атомов соответственно:
!•—пЬг " гт^- <L3-7>
В состояниях, соответствующих притягивающим орбиталям,
электроны проводят большую часть времени вблизи анионов
(отрицательных ионов). Эта ситуация соответствует частично
гетерополярной связи.
В ковалентных кристаллах разница энергий притягивающих
и отталкивающих состояний зависит от длины связи. В ионных
кристаллах дополнительный вклад вносит также разность
атомных потенциалов. В соответствии с работой [49] этот вклад
можно учесть, представляя потенциальную энергию кристалла
в виде суммы симметричного (как в случае ковалентного кри-
сталла) и антисимметричного (как у чисто ионного кристалла)
потенциалов:
^а==^ + С2. (1.3.8)
Здесь Sba — разница энергий притягивающего и отталкива-
ющего состояний, &h — та же разница, образуемая за счет
ковалентной (симметричной) части потенциала, а С—вклад
26
Глава 1
антисимметричной (ионной) части потенциала. Степень ион-
ности, или ковалентности, связи определяется как
^ = С7^в, (1.3.9)
fc = ^/^a. (1.3.10)
Значения С, ё>ъа и fi для бинарных тетраэдрических кри-
сталлов приведены в табл. 1.3.1.
Таблица 1.3.1. Энергии (Sл, &ьа, С и степень ионности fi бинарных
тетраэдрических кристаллов [49]
Кристалл гй, эв С, эВ эВ fi
С 13,5 0 13,5 0
Si 4,77 0 4,77 0
Ge 4,31 0 4,31 0
Sn 3,06 0 3,06 0
BAs 6,55 0,38 6,56 0,002
BP 7,44 0,68 7,47 0,006
BeTe 4,54 2,05 4,98 0,169
SiC 8,27 3,85 9,12 0,177
AlSb 3,53 2,07 4,14 0,250
BN 13,1 7,71 15,2 0,256
GaSb 3,55 2,10 4,12 0,261
BeSe 5,65 3,36 6,57 0,261
AlAs 4,38 2,67 5,14 0,274
BeS 6,31 3,99 7,47 0,286
A1P 4,72 3,14 5,67 0,307
GaAs 4,32 2,90 5,20 0,310
InSb 3,08 2,10 3,73 0,321
GaP 4,73 3,30 5,75 0,327
InAs 3,67 2,74 4,58 0,357
InP 3,93 3,34 5,16 0,421
AIN 8,17 7,30 11,0 0,449
GaN 7,64 7,64 10,8 0,5
MgTe 3,20 3,58 4,80 0,554
InN 5,93 6,78 8,99 0,578
BeO 11,5 13,9 18,0 0,602
ZnTe 3,59 4,48 5,74 0,609
ZnO 7,33 9,30 11,8 0,616
ZnS 4,82 6,20 7,85 0,623
ZnSe 4,29 5,60 7,05 0,630
HgTe 2,92 4,0 5,0 0,65
HgSe 3,43 5,0 6,1 0,68
CdS 3,97 5,90 7,11 0,685
Cui 3,66 5,50 6,61 0,692
CdSe 3,61 5,50 6,58 0,699
CdTe 3,08 4,90 5,79 0,717
CuBr 4,14 6,90 8,05 0,735
CuCl 4,83 8,30 9,60 0,746
CuF 8,73 15,8 18,1 0,766
Agl 3,09 5,70 6,48 0,770
MgS 3,71 7,10 8,01 0,786
MgSe 3,31 6,41 7,22 0,790
HgS 3,76 7,3 8,3 0,79
Основы физики полупроводников 27
Степень ионности связей определяет многие свойства полу-
проводников, такие, как кристаллическая структура, энергия
сродства, упругие константы, колебательные спектры и др.
1.4. Структура твердых тел
Существуют три различных типа твердых тел — кристаллы
(монокристаллы), поликристаллы и аморфные тела (рис. 1.4.1).
В кристалле атомы образуют регулярную периодическую
структуру на протяжении всего образца. Атомы кристалла об-
ладают так называемым дальним порядком. Тонкие круглые
пластины кристаллического кремния диаметром ^150 мм ис-
пользуются для изготовления интегральных схем. Поликри-
сталлы состоят из множества мелких кристаллов, или зерен,
произвольных размеров. Легированный поликристаллический
кремний широко используется в качестве материала затвора
в кремниевых транзисторах. В аморфных твердых телах меж-
атомные расстояния примерно такие же, как и в кристаллах
того же вещества. Направления связей также не отличаются
от кристаллических, однако дальний порядок отсутствует.
Аморфные среды обладают ближним порядком. Аморфный
кремний (более точно, соединение аморфного кремния с водо-
родом и другими аморфными веществами) можно легко нано-
сить в виде тонкой пленки на значительную площадь (^0,6Х
X 1,2 м2). Поэтому этот материал нашел применение в фото-
приемных устройствах и больших интегральных схемах (БИС)
для плоских дисплеев, принтеров, копировальных устройств,
сканнеров и др.
Представление о кристаллической структуре можно полу-
чить, если ввести в рассмотрение понятие кристаллической ре-
шетки как трехмерной последовательности периодически рас-
положенных в пространстве точек. Эта последовательность мо-
жет быть определена путем задания базисных векторов а, Ь, с,
которые являются независимыми векторами, соединяющими
ближайшие узлы решетки. Другими словами, координаты лю-
бой точки кристаллической решетки задаются векторами
Rfe.Vm = £а + Zb + me, (1.4.1}
где k, Z, т — целые числа.
Базисные векторы образуют параллелепипед, называемый
элементарной ячейкой. На рис. 1.4.2 показаны три кубические
решетки — простая, объемно- и гранецентрированная — вместе
с соответствующими базисными векторами. Как следует из ри-
сунка, удобнее представлять эти кубические решетки единич-
ными ячейками с большими размерами, чем размеры элемен-
тарных ячеек. Галлий (Ga) кристаллизуется в простую куби-
28
Глава 1
Рис. 1.4.1. Схематическое изображе-
ние атомной структуры монокристал-
ла (а), поликристалла (б) и аморф-
ного вещества (а).
е
Рис. 1.4.2. Кубические кристаллические решетки и базисные векторы: а —
простая кубическая решетка с единичной ячейкой из атомов, расположенных
в вершинах куба; б — гранецентрированная кубическая решетка с единичной
ячейкой из атомов, расположенных в вершинах куба и в центрах граней;
в — объемноцентрированная кубическая решетка с единичной ячейкой из ато-
мов в вершинах куба и в его центре.
Основы физики полупроводников
29
ческую структуру, образующуюся путем помещения атомов
галлия в каждую вершину простой кубической решетки. Нат-
рий (Na) и вольфрам (W) — представители объемноцентриро-
ванных кубических решеток. Алюминий (А1) и золото (Au)
обладают гранецентрированными решетками.
Другой способ построения кристаллической решетки связан
с введением ячейки Вигнера—Зейтца, которая образуется путем
Рис. 1.4.3. Элементарные ячейки Вигнера—Зейтца для простой (а), гране-
центрированной (б) и объемноцентрированной (в) кубических решеток.
пересечения всех векторов решетки, исходящих из одной вер-
шины, перпендикулярными к ним плоскостями. Полученное
тело минимального объема, ограниченное этими плоскостями,
называется ячейкой Вигнера — Зейтца. Примеры ячеек Виг-
нера— Зейтца для простой, объемно- и гранецентрированной
кубических решеток показаны на рис. 1.4.3.
Одним из важнейших полупроводников является кремний
(Si). Как упоминалось в разд. 1.3, каждый атом кремния свя-
зан с четырьмя своими ближайшими соседями, что дает тет-
раэдрическую конфигурацию, где каждый атом кремния распо-
ложен в центре тетраэдра, образованного четырьмя другими
атомами (рис. 1.3.1). Эта тетраэдрическая конфигурация повто-
ряется и образует кристаллическую структуру также и в кри-
сталлах алмаза (рис. 1.4.4). Структуру типа алмаза можно
представить как образованную двумя взаимно проникающими
гранецентрированными кубическими подрешетками, сдвинутыми
одна относительно другой на одну четвертую часть главной
30
Глава 1
Рис. 1.4.4. Кристаллическая
структура алмаза с постоянной
решетки а=0,356 нм (С);
0,543 нм (Si); 0,566 нм (Ge)
[68].
диагонали куба. Возможно, такую структуру следовало бы на-
зывать структурой типа кремния, поскольку можно доказать,,
что кремний имеет более важное
значение для развития общества,
чем алмаз. Другой важнейший
полупроводник — германий (Ge) г
имеет точно такую же структуру
кристаллической решетки.
Германий и кремний — элемен-
тарные полупроводники. Полупро-
водниковые соединения, содержа-
щие более одного элемента (GaAs,
InP, ZnSe), также нашли много-
численные применения. Как уже
обсуждалось в разд. 1.2, они по-
добны кремнию по числу валент-
ных электронов на один атом. По-
этому они могут иметь химическую структуру типа AIHBv(GaAs,
InP, GaSb, GaP, InSb и AlAs) или AHBVI(ZnSe, ZnTe,
Рис. 1.4.5. Тетраэдрические атомные конфигурации арсенида галлия и арсе-
нида алюминия (ср. с рис. 1.3.1).
ZnS) — общее число валентных электронов везде равно
восьми.
В составных полупроводниках химические связи между
ближайшими атомами-соседями частично гетерополярны. Тем
не менее во многих таких веществах эти связи в той или
иной степени ковалентны, что приводит в итоге к тетраэдри-
ческой конфигурации, аналогичной кремниевым кристаллам
(рис. 1.4.5).
Основы физики полупроводников
31
В результате большинство соединений типа AniBv имеет
кристаллическую структуру цинковой обманки (рис. 1.4.6),
схожую со структурой алмаза. Элементарная ячейка такой
структуры содержит два атома А и В, каждый из которых яв-
ляется элементом гранецентрированной кубической решетки.
Взаимопроникающие гранецентрированные решетки атомов А
и В (например, атомов Ga и As в случае GaAs) сдвинуты
друг относительно друга на чет-
верть длины главной диагонали
единичного куба. Если атомы А и В
идентичны, эта кристаллическая
структура переходит в структуру
типа алмаза.
Как известно, структура алма-
за обладает центром инверсии.
Это означает, что если поменять
знаки координат атомов решетки,
отсчитываемые от некоторой точки,
называемой центром инверсии, на
противоположные, решетка не из-
менится. Центр инверсии струк-
Рис. 1.4.6. Кристаллическая
структура цинковой обман-
ки [68].
туры типа алмаза лежит на поло-
вине расстояния между двумя бли-
жайшими атомами. У цинковой обманки такая симметрия
отсутствует.
Кристаллографические направления и плоскости кристалла
обозначаются с помощью тройки целых чисел, называемых
индексами Миллера. Так, кристаллическое направление можно
определить тремя целыми числами и, у, w путем задания век-
тора uai + уа2 + wa3, лежащего в данном направлении. Здесь
аь а2, а3 — единичные векторы (образующие единичную
ячейку). Ясно, что векторы uai + va2 + wa3 и &(uai + aa2 +
+ wa3, где k — произвольное целое число, определяют одно и
то же направление. Однако набор u, v и w задает направление
не единственным образом, поэтому удобно выбирать эти числа
так, чтобы они не имели общих делителей. Общепринятый
способ определять кристаллографические направления путем
указания тройки чисел и, у, w, заключенных в скобки, напри-
мер [100], [111], [ИО]. Отрицательное значение числа обо-
значается чертой над ним (например, [001], см. рис. 1.4.7,а).
Вследствие симметрии кристаллов многие кристаллографиче-
ские направления эквивалентны. Свойства кристаллов вдоль
этих направлений совершенно одинаковы. Примерами могут
являться направления [100], [010] и [001] в кубическом кри-
сталле, таком, как кремний. Эквивалентные направления обо-
значаются символом <uvw). Например, символ <1Ю> заменяет
32
Глава 1
Рис. 1.4.7. а —важнейшие кристаллографические направления и б —плоско-
сти кубических кристаллов.
Основы физики полупроводников
33
все 12 эквивалентных направлений вдоль диагоналей боковых
граней куба в кубическом кристалле.
Кристаллографические плоскости определяют с помощью от-
резков, отсекаемых на осях ai, а.2 и аз, которые выражаются
как векторы nia, «газ, п3аз. Затем находят целые, не имеющие
общих множителей, числа и, v,
1/Пь 1/пг, 1/»з- Эти числа
и обозначают кристаллогра-
фические плоскости символом
(uvw). Использование этих
символов связано с тем, что
в случае кубических кристал-
лов, таких, как кремний или
арсенид галлия, плоскость
(uvw) перпендикулярна на-
правлению [utw], Набор экви-
валентных плоскостей обозна-
w, которые пропорциональны
чается как {иои>}. Символы Рис. 1-4.8. Плоскости скола и напра-
[uvw] и {uvw) называются сим- вления Роста GaAs.
волами Миллера. Некоторые
важные кристаллографические направления и плоскости куби-
ческих кристаллов показаны на рис. 1.4.7, б.
Как можно видеть из рис. 1.4.4 и 1.4.6, связи между бли-
жайшими атомами в кремнии и ближайшими атомами Ga и
As в арсениде галлия лежат в направлениях <1И>. Ближай-
шие эквивалентные атомы (галлия или мышьяка) в арсениде
галлия лежат в направлениях <110>. Обычно пленки арсенида
галлия выращивают в направлении [100], а пластины арсенида
галлия разрезают вдоль плоскостей (ОН) или (011) (см.
рис. 1.4.8). Кристаллы германия и кремния легко разрезаются
(раскалываются) вдоль плоскостей {111}. Эта разница обу-
словлена различием чисто ковалентных связей в простых полу-
проводниках и частичной гетерополярностью связей в арсениде
галлия.
Из-за отсутствия центра симметрии в GaAs направления
[111] и [Т11] не эквивалентны. Обычно символ [111] обозна-
чает направление от атома Ga к ближайшему атому As,
а [111]—противоположное направление. Поверхности кри-
сталла арсенида галлия, разрезанного вдоль плоскости (111),
содержат либо только атомы галлия, связанные тремя связями
с остальными атомами кристалла, либо только атомы мышьяка,
связанные с кристаллом лишь одной связью. То же самое
справедливо и для плоскости (111). Плоскость (111) называ-
ется плоскостью галлия, а 111 — плоскостью мышьяка. На
з Заказ № 304
34
Глава 1
рис. 1.4.9 показаны три главные кристаллографические плос-
кости GaAs. На плоскости (100) каждый атом мышьяка свя-
зан двумя связями с атомами галлия нижнего слоя. Две дру-
гие связи свободны. Плоскость (ПО) содержит одинаковое
количество атомов Ga и As. Каждый атом связан одной связью
ф Ga
О А* (в одной плоскости)
©As (в нижней плоскости)
<ио»
Рис. 1.4,9. Кристаллографические плоскости арсенида галлия (кристалличе-
ские связи — сплошные линии, линии пересечения плоскостей с единичной
ячейкой — прерывистые линии).
с атомами нижнего слоя. На плоскости (111) атомы Ga свя-
заны тремя связями с атомами As нижнего слоя, четвертая
связь свободна. Эти свободные связи могут создавать поверх-
ностные электронные состояния, которые сильно влияют на
поведение полупроводниковых приборов на GaAs.
Расстояние между ближайшими соседями в кремнии, гер-
мании и соединениях типа AniBv может быть найдено как
сумма атомных расстояний. Эти расстояния, а также постоян-
ные решеток некоторых важных полупроводников со структу-
рами типа алмаза и цинковой обманки даны в табл. 1.4.1 и
1.4.2 (в кубических решетках постоянная решетки равна сто-
роне единичной кубической ячейки). Заметим еще раз, что по-
стоянные решеток GaAs и AlAs очень близки. Другой важный
пример полупроводниковых соединений с «согласованными»
размерами решеток — это пара CdTe—HgTe, которая может
Основы физики полупроводников
35
Таблица 1,4.1. Ковалентные тетраэдрические радиусы
Тетраэдрический Элемент радиус, нм _ Тетраэдрический Элемент радиус, нм
А1 0,126 In 0,144
As 0,118 Mn 0,127
В 0,088 N 0,070
Bi 0,146 P 0,110
С 0,077 Sb 0,136
Ga 0,126 Si 0,117
Cd 0,148 Sn 0,140
Ge 0,122 Те 0,147
Hg 0,148 Zn 0,131
быть использована для получения тройного соединения
HgxCdi-ZTe (где молярное содержание ртути х может меняться
от 0 до 1) или для выращивания гетероструктуры CdTe—
HgTe. Другая возможность «согласовать» постоянные реше-
ток — использование гетероструктур, включающих тройное и
Таблица L4.2, Постоянные решеток
Материал Постоянная решетки a при 25 °C, нм Расстояние между ближайшими сосе- дями а У 3/4, нм Сумма ковалентных радиусов, нм
Si 0,5434 0,2353 0,234
Ge 0,5657 0,2450 0,244
AIITBV
AlAs 0,5612 0,2430 0,244
AlP 0,5451 0,2360 0,2360
AlSb 0,5136 0,2224 0,2620
BAs 0,4776 0,2068 0,2060
BN 0,3615 0,1565 0,1580
BP 0,4538 0,1965 0,1980
BSb 0,5170 0,2239 0,2240
GaAs 0,5653 0,2448 0,2440
GaP 0,5451 0,2360 0,2360
GaSb 0,6095 0,2639 0,2620
In As 0,6058 0,2623 0,2620
InP 0,5867 0,2540 0,2540
InSb 0,6479 0,2805 0,2800
AnBVI
CdTe 0,6482 0,2807 0,2950
HgS 0,5841
HgSe 0,6084
HgTe 0,6462 0,2798 0,2950
ZnS 0,5415
ZnSe 0,5653
ZnTe 0,6101 0,2642 0,2780
3*
36
Глава 1
бинарное соединения. Постоянная решетки ater тройного со-
единения АхС1-хВ примерно линейно зависит от величины х:
ater аг + а$п (1 — х), (1.4.2)
где a^in — постоянная решетки бинарного соединения АВ,
dbin — постоянная решетки бинарного соединения СВ. Так,
для тройного соединения Ino.47Gao.53As найдем из уравнения
(1.4.2) и табл. 1.4.2 ater ~ 0,584 нм, что хорошо согласуется
с постоянной решетки InP (а = 0,586 нм). В результате такого
согласования Ino.47Gao.53As можно выращивать на подложках
из фосфида индия.
1.5. Зонная структура
Как было показано в разд. 1.1 [см. уравнение (1.2.11) и
задачу 1.2.1], волновая функция свободного электрона имеет
вид плоской волны
фк=Сегкг, (1.5.1)
где к = Р/й — волновой вектор, Р — импульс, г — радиус-век-
тор, а С — нормировочная постоянная.
Энергия электрона определяется выражением
В кристалле волновая функция электрона может быть запи-
сана в виде волны Блоха, т. е. плоской волны с периоди-
чески меняющейся амплитудой
фк (г) = e,k‘r«k (г), (1.5.3)
где функция «к (г) (блоховская амплитуда) периодична с пе-
риодом, равным периоду кристаллической решетки. Уравнение
(1.5.3) является прямым следствием симметрии кристалла.
Действительно, требование симметрии заключается в том, что
кристаллический потенциал С/(г) и плотность вероятности
|ф(г) |2 не должны меняться при смещении на любой вектор а
вдоль кристаллической решетки. Это означает, что ф(г) и
ф(г + а) могут отличаться только на константу А, причем
|А|2 = 1;
Аф (г) = ф (га). (1.5.4)
Константу А можно записать в виде
А = ехр (/к -а), (1.5.5)
Основы физики полупроводииков
37
где к — волновой вектор. Тогда имеем
ф (г) = expj(—ik • а) ф (г + а), (1.5.6)
или
ф(г) =exp(ik • г) ехр [—ik • (г + а)] ф (г + а). (1.5.7)
Сравнивая этот результат с уравнением (1.5.3), найдем
функцию Блоха
«к (г) = exp [—ik- (г + а)]ф(г4-а), (1.5.8)
периодичность которой равна периоду решетки, что легко дока-:
зать, пользуясь уравнением (1.5.6). Действительно, Uk(r + b) =
= ехр[—ik- (г + b + а)]ф(г + b -j- а) = exp[—ik- (r + b +
+ а)]ехр(/к-Ь)ф(г + а) = «к(г), где b — произвольный вектор
решетки.
* Итак, выражение (1.5.7) теперь можно записать в виде
фи (г) = eik,r«k (г), (1.5.9)
где индекс к добавлен к волновой функции, чтобы подчерк-
нуть, что различные электронные состояния в кристалле отли-
чаются значениями волнового вектора к.
Волновые функции фк находят из решения уравнения Шрё-
дингера
- ~£г ?2Фк + U (г) фк = #фк. (1-5.10)
где <$ — энергия электрона.
Чтобы определить возможные значения волнового вектора
к, мы должны ввести понятие обратной решетки. Обратная ре-
шетка определяется как набор точек в k-пространстве, соответ-
ствующих концам вектора К в соответствии с уравнением
exp(iK-a)=l, (1.5.11)
где а = njai + п2а2 + «заз — векторы кристаллической ре-
шетки, ai, а2, а2 — базисные векторы решетки, a щ, п2, п3 —
целые числа. В простейшем случае одномерной решетки с по-
стоянной решетки ai уравнение (1.5.11) имеет вид
exp (r/Crt jd,) = 1 (1.5.12)
или
a,/k==m, (1.5.13)
где X = 2л/7< — длина волны, m — целое. Таким образом, К —
это волновой вектор, такой, что расстояние между двумя кри-
38
Глава 1
сталлографическими плоскостями (а) равно целому числу длин
волн, соответствующих волновому вектору К, т. е. 2лт/К. Это
условие и уравнение (1.5.11) важны для определения значений
к, соответствующих «конструктивной» интерференции электрон-
ных волн, отраженных от кристаллографических плоскостей.
Чтобы уравнение (1.5.11) выполнялось, базисные векторы
прямой а/ и обратной К< решеток должны удовлетворять соот-
ношению
К*а/ = 2лб*/. (1.5.14)
Исходя из равенства (1.5.14), можно показать, что
K' = 2"77^V' <L515>
°2- <1516>
*-=2" .,•££.> •
Уравнения (1.5.15—1.5.17) позволяют найти базисные векторы
обратной решетки.
Аналогично тому, как прямая кристаллическая решетка
получается последовательной трансляцией одной элементарной
ячейки, элементарная ячейка в обращенном пространстве
(пространстве волновых векторов) содержит полную информа-
цию об обратной решетке. Все точки обратной решетки могут
быть получены из ее элементарной ячейки путем добавления
векторов обратной решетки. Обычно такая элементарная ячейка
обратной решетки находится тем же способом, что и ячейка
Вигнера—Зейтца, и называется первой зоной Бриллюэна.
Как следует из определения ячейки Вигнера—Зейтца, дан-
ного в разделе 1.4, эта ячейка образуется путем отсечения
векторов прямой решетки, выходящих из одного узла, перпен-
дикулярными к ним плоскостями и выбора ячейки наименьшего
объема, получаемой при таком построении. Точно так же мы
можем получить первую зону Бриллюэна, рассекая векторы
обратной решетки параллельными к ним плоскостями. Все зна-
чения к в первой зоне Бриллюэна таковы, что, вычитая любой
вектор обратной решетки из вектора к этой зоны, мы никогда
не будем иметь вектор, лежащий в этой зоне. Как будет пока-
зано ниже, физически значимое и единственное решение урав-
нения Шрёдингера для электрона в кристалле может быть по-
лучено, если приписать волновым векторам к значения из пер-
вой зоны Бриллюэна.
Основы физики полупроводников
39
Действительно, рассмотрим волновые функции фь(г) и
•фк + к (г), где К — вектор обратной решетки:
%(r) = exp(ik • r)uk(r),
фк + к (r) = ехр [i (k + К) • r]uk + K(r) =
= exp'(ik • г) uk + K (г) ехр (z’K • г).
Функции Uk(r), uk + K(r) и ехр (iK-r)—периодические
функции г с периодом решетки. Поэтому имеем
фк + к (г) = ехр (гк • г) Mk\r), С1 -5.18)
где Uk(r) — Uk + к (r)exp(iK-r) также периодическая функция
г с периодом решетки. Чтобы найти эту функцию, мы должны
подставить (1.5.18) в уравнение Шрёдингера (1.5.10). При
данной энергии <£ мы получим тогда одно и то же решение и
для Uk(r), и для «к(г). Поэтому
Uk (г) = «к (г),
Фк + К^^к (Г)-
Это доказывает, что физически значимые решения могут быть
помечены с использованием волновых векторов только из пер-
вой зоны Бриллюэна, поскольку в ней содержатся только такие
векторы к, которые не могут быть получены вычитанием из
двух других векторов обратной решетки, лежащих в этой зоне.
Границы первой, второй, третьей и высших номеров зон
Бриллюэна могут быть определены как плоскости Брэгга в про-
странстве обратных волновых векторов. Брэгговские плоскости
задают условия отражения электронных волн, описываемых
волновыми функциями, от кристаллографических плоскостей.
Чтобы получить уравнение, описывающее брэгговские плос-
кости, необходимо рассмотреть отражение волны Блоха с вол-
новым вектором кь от кристаллографических плоскостей, раз-
деленных расстоянием а (рис. 1.5.1, а). Такое отражение
происходит, если волны, отраженные от каждой плоскости, скла-
дываются в фазе (это и есть «конструктивная» интерферен-
ция). Чтобы это произошло, необходимо, чтобы разность
фаз между волнами, отраженными от соседних плоскостей
2а cos ф, была равна целому числу длин волн пХ, где Х =
= 2л/|кь|. Таким образом, получим условие
2а cos ф = пХ. (1.5.19)
Принимая во внимание, что cos ф =
(kbK)
(1.5.19) в виде
2kb-K—№,
перепишем
(1.5.20)
40
Глава I
от семейства параллельных
Рис. 1.5.1. а —отражение элек-
тронной волны от кристаллографи-
ческих плоскостей и б — плоскость
Брэгга в обратной решетке.
где К—-вектор обратной решетки (К = 2лп/а). Для заданного
вектора обратной решетки К все волны с волновыми векто-
рами, удовлетворяющими уравнению (1.5.20), будут отражаться
плоскостей, равноотстоящих на
расстоянии а, как показано на
рис. 1.5.1, а. Это отражение на-
зывается брэгговским отражени-
ем, а плоскость в к-пространстве,
образованная концами векто-
ров кь, удовлетворяющих урав-
нению (1.5.20), — плоскостью
Брэгга (рис. 1.5.1, б). Если вол-
новой вектор кь падающей элек-
тронной волны удовлетворяет
уравнению (1.5.20), то величина
компоненты к в направлении
вектора К равна (1/2) К. Ком-
понента волнового вектора от-
раженной волны равна —(1/2) /С
Компонента волнового вектора,
параллельная плоскости Брэгга,
не меняется. Поэтому изменение
волнового вектора равно К*
Как было показано выше, ин-
терференция волновых функ-
ций падающей электронной
волны и волн, отраженных от
плоскостей, отстоящих на век-
тор а, удовлетворяет уравне-
нию (1.5.11). Плоскости Брэгга
определяют, какие электронные
волновые функции или состоя-
ния в наибольшей степени под-
вержены влиянию отражений от
кристаллографических плоскостей. Именно на состояния с вол-
новыми векторами кь, удовлетворяющими уравнению (1.5.20),
оказывает наиболее сильное влияние кристаллический потен-
циал в отличие от состояний с другими значениями к. Плос-
кости Брэгга являются границами зон Бриллюэна (см. задачу
1.5.10).
Следует отметить, что формы второй, третьей и более высо-
ких зон Бриллюэна довольно сложны. Поэтому энергетические
состояния в кристалле помечаются только значениями волно-
вого вектора в первой зоне Бриллюэна. Формы первых зон
Бриллюэна для гранецентрированных кубических структур,
а также для структур типа алмаза и цинковой обманки совпа-
Основы физики полупроводников
41
дают (рис. 1.5.2). Это неудивительно, поскольку все три струк-
туры могут быть получены из одной и той же гранецентриро-
ванной кубической решетки, в узлы которой помещены различ-
ные атомы. Энергия электрона является функцией от kXi kyt kZi
которые изменяются в пределах первой зоны Бриллюэна. Для
иллюстрации этой зависи-
мости требуется четырех-
мерная картина, что превы-
шает возможности нашего
воображения. Ближе всего к
желаемому результату мож-
но подойти, если изобра-
жать трехмерные поверхно-
сти равной энергии в к-про-
странстве. Другой возмож-
ностью является исследова-
ние различных трехмерных
проекций исходной четырех-
мерной картины, фиксируя,
например, kyj kz и изменяя
только kx. Следует заметить,
что зоны Бриллюэна боль-
Рис. 1.5.2. Первая зона Бриллюэна гра-
нецентрированной кубической решетки и
гранецентрированных решеток алмаза и
цинковой обманки.
шинства важнейших полу-
проводников обладают опре-
деленной симметрией (см.
рис. 1.5.2 и табл. 1.5.1). Авторы работ [23] и [48] детально ис-
Таблица 1.5Л. Элементы симметрии зоны Бриллюэна цинковой обманки
(рис. 1.5.2)
Число эквивалентных /С-векторов Элемент Операции симметрии Группа симметрии
1 Г (ООО) Е, 8С3, ЗС2, 6S4> 6CS Td
3 X (100) Е, ЗС2, 2S4, 2а
4 L ^L(-/2,/2>/2) Е, 2С3, За
6 (1 о‘/2) Е, 254, С2
6 Д (О0) Е, 2а, С2
4 л (ККК) Е, 2С3, За <~'bv
12 S (КОК) Е, а cs
12 СО |rf СО |тГ Е, С2 t'S
42
Глава I
следовали симметрию электронных состояний в структурах типа
цинковой обманки. Наиболее важными областями первой зоны
Бриллюэна для германия, кремния, алмаза и соединений AinBv
и AnBVI являются точки Г (центр зоны Бриллюэна), X и L и ли-
ния А. Зависимость энергии электронов от волнового вектора
в первой зоне Бриллюэна обычно рассчитывается вдоль линий
симметрии, определяемых этими точками.
Расчет энергетических уровней основан на решении урав-
нения Шрёдингера (1.5.10) и является сложной задачей, ре-
шаемой с привлечением ЭВМ. Расчеты могут быть выполнены
более быстро, если в качестве исходного взять известное ре-
шение для более простой системы, а отличия от нее заданного
кристалла учесть, используя теорию возмущений. В частности,
можно отметить два взаимно дополняемых подхода. В первом
случае волновая функция электрона в кристалле представля-
ется в виде линейной комбинации атомных орбиталей, кристал-
лический потенциал рассматривается как возмущение, а для
расчета энергетического спектра применяется теория возмуще-
ний. Такой метод называется методом ЛКАО (линейная ком-
бинация атомных орбиталей; см., например, [30]). Этот подход
иллюстрирует рис. 1.5.3, где показано, как энергетические
уровни изолированных атомов сливаются в энергетические зоны
при объединении атомов в кристалл. В соответствии с принци-
пом Паули только два электрона с различными спинами могут
занимать один энергетический уровень с данным набором
квантовых чисел n, I и т (см. разд. 1.1). Соответственно 2А
электронов могут занимать энергетическую зону. Так же как
и в атоме, где низшие уровни энергии заполнены, а верхние
свободны, в кристалле заполнены низшие энергетические зоны,
а верхние свободны. Зоны с разрешенными уровнями энергии
разделены запрещенными уровнями энергии. Свободные зоны
называются зонами проводимости, а зоны, заполненные ва-
лентными электронами,— валентными зонами. Наиболее важ-
ную роль в определении электронных свойств полупроводника
играют наивысшая заполненная валентная зона и наинизшая
пустая зона проводимости. Эти зоны разделены энергетической
щелью (Однако имеется одно исключение, обсуждаемое
ниже.)
Другой подход к расчету энергетической зонной структуры
основан на модели почти свободного электрона. В этой модели
невозмущенные волновые функции электронов имеют вид плос-
ких волн [как и в свободном пространстве, см. формулу
(1.5.1)]. Периодический кристаллический потенциал рассматри-
вается в качестве малого возмущения. Для этой модели полу-
чены почти параболическая зависимость энергии от волнового
числа и энергетические щели на границах зон Бриллюэна, где
Основы физики полупроводников
43
отражения от брэгговских плоскостей сильно влияют на элек-
тронные состояния (рис. 1.5.4). Полученная кривая ^(к) мо-
жет быть приведена к первой зоне Бриллюэна. Эта простая
картинка дает хорошее качественное описание зонной струк-
Л/ изолированных
атомов
N атомов, объединенных
в кристалл.
Атомные энергетические
уровни
Энергетические зоны
в кристалле
Незанятые уровни
* * Hr Ъ
Занятые уровни
----------;--------- Низшая
•---------зона
проводимости
Пустая
Запрещенная зона
зона .
9 2. ±4 Высшая
П »I валентная -
-----Н-т; зона
-----
Заполненная зона
Н н- 4i Н
Занятые уровни
2 электрона с противоположными
спинами занимают один уровень
Заполненная зона
2N электронов в каждой
зоне
Рис. 1.5.3. Расщепление энергетических уровней изолированных атомов и сли-
яние их в зонную структуру в кристалле. Стрелками обозначены электроны
с противоположными проекциями спина (S = V2)-
туры. При количественном анализе здесь, однако, возникают
проблемы, связанные с очень большими значениями и быстрым
изменением кулоновского потенциала вблизи ионных центров.
Это делает необходимым представление волновых функций
в виде суммы плоских волн, и для правильного решения тре-
буется учет очень большого числа плоских волн. Некоторое
усовершенствование этого метода связано с выбором плоских
волн, обладающих определенными свойствами симметрии.
Более точные расчеты зонной структуры базируются на ме-
тоде псевдопотенциала (см., например, работы [32, 19]). Идея
44
Глава 1
метода заключается в использовании модельного потенциала,
который дает такие же энергетические уровни, что и реальный
потенциал, однако приводит к другим волновым функциям.
Псевдопотенциал имеет такой вид, что ряды по плоским вол-
нам обладают улучшенной сходимостью. Во многих случаях
волновой вектор
а
Рис. 1.5.4. Энергетическая зонная диаграмма одномерной решетки в модели
почти свободных электронов: а — расширенные зоны; б — зоны, приведенные
к первой зоне Бриллюэна. (К = 2л/а, где а — постоянная решетки.)
-Д' 11 Ъ-К/1
Волковой вектор
6
удобно выбирать псевдопотенциал в виде константы внутри
ионных остовов (рис. 1.5.5). Параметры псевдопотенциала мо-
гут быть найдены из экспериментальных данных спектроско-
пии отдельных атомов.
Таким образом, метод псевдопотенциала позволяет пред-
сказывать энергетические спектры кристаллов по эксперимен-
тальным данным, полученным для отдельных атомов.
Рассчитанные с использованием указанного метода энерге-
тические спектры для германия, кремния и арсенида галлия
показаны на рис. 1.5.6 [19].
Наиболее важные особенности зонной структуры показаны
на рис. 1.5.6 для дна самой нижней зоны проводимости и вер-
шины наивысшей валентной зоны, так как состояния с энер-
гиями электронов, значительно превышающими минимальную
энергию зоны проводимости, пусты, а состояния с энергиями,
существенно меньшими максимальной энергии валентной зоны,
заполнены.
Основы физики полупроводников
45
Рис. 1.5.5. Атомный потенциал и псевдопо-
тенциал [32].
На рис. 1.5.7 приведены результаты расчета зонной струк-
туры кубических полупроводников [36]. Во всех важнейших
кубических полупровод-
никах вершина наивыс-
шей заполненной (валент-
ной) зоны соответствует
точке Г первой зоны Брил-
люэна (рис. 1.5.2), т. е.
точке с координатами
(О, 0, 0) в ^-пространстве.
Зонные структуры, пока-
занные на рис. 1.5.7, а,
типичны для таких полу-
проводников, как крем-
ний, германий, соединения
AInBv и большинство со-
единений AnBVI, где вер-
Рис. 1.5.6. Энергетические зоны, рассчитанные для
сенида галлия [19, 68].
•L [1111 Г [1001 X
кремния, германия и ар-
Шина валентной зоны и дно зоны проводимости разделены
энергетической щелью. Вершины валентных зон находятся
46
Глава 1
в точке Г; две такие зоны (тяжелых и легких дырок) в этой
точке имеют одну и ту же энергию (т. е. они вырождены),
а третья — нет, т. е. имеет место расщепление (эта зона назы-
вается отщепленной зоной). Минимумы низшей зоны проводи-
мости в различных полупроводниках лежат в разных точках
первой зоны Бриллюэна. Например, в германии наинизшим
Зона
проводимости.
Валентная
зона
Отщепленная
зона
Рис. 1.5.7. Энергетические минимумы зоны проводимости и максимумы ва-
лентной зоны в кубических полупроводниках (значения энергий <^т и
#к даны в табл. 1.5.2) [36].
является L-минимум (соответствующий точке L (1, 1, 1)).
В кремнии дно зоны проводимости располагается вдоль оси А
(в направлении (k 0, 0) первой зоны Бриллюэна) вблизи
точки X (1, 0, 0). В арсениде галлия дно зоны проводимости
находится в той же точке Г (0, 0, 0), что и вершина валентной
зоны. Такие полупроводники называются прямозонными.
Кремний и германий относят к непрямозонным полупроводни-
кам.
Зонная структура, изображенная на рис. 1.5.7, б, харак-
терна для бесщелевых полупроводников, таких, как теллурид
ртути и серое олово. У них нет энергетической щели. И это
обусловливает очень интересные и необычные свойства этих
материалов. Например, используя сплавы CdHgTe, можно
создавать материалы с узкими энергетическими щелями, чтобы
регистрировать межзонные переходы, вызванные инфракрас-
ными фотонами, и, таким образом, создавать чувствительные
инфракрасные детекторы.
Основы физики полупроводников
47
Вблизи дна зоны проводимости зависимость энергии от вол-
нового вектора (см. рис. 1.5.6) может быть аппроксимирована
одной из следующих функций
<S (k) = h2k2/2tn* (сферическая), (1.5.21)
л 2 ( fa2 ^2 ^2 \
S (k) ==-— + (эллипсоидальная). (1.5.22)
Волновой вектор к и энергия в уравнениях (1.5.21) и
(1.5.22) отсчитываются относительно точки, в которой достига-
ется минимум энергии зоны. Уравнение (1.5.21) дает параболи-
ческую зависимость энергии от волнового вектора так же, как
и для свободного электрона, ё = h2k2/(2те). Однако величина
/п* (которая называется эффективной массой) может сильно
отличаться от массы те свободного электрона. Так, в арсениде
галлия т* « 0,067 те. Это отличие вызвано взаимодействием
с периодическим кристаллическим потенциалом. Уравнение
(1.5.21) соответствует зоне с единственным значением эффек-
тивной массы и сферическими поверхностями равной энергии.
Оно хорошо описывает дно зоны проводимости вблизи точки Г.
Похожее уравнение
^(fe) = ^’1 — (сферическое) (1.5.23)
2тр
может быть использовано для описания отщепленной валентной
зоны. Уравнение (1.5.21) является простейшей моделью зонной
структуры, поэтому оно часто используется для грубых оценок
при анализе явлений переноса. Аналогия с движением свобод-
ного электрона очень полезна для более глубокого проникно-
вения в особенности физики движения электрона. В случаях
когда применимо уравнение (1.5.21), можно записать уравне-
ние Шрёдингера для полупроводникового кристалла в том же
самом виде (1.2.7), просто заменив те на т*, если потенциал
V медленно меняется на расстояниях порядка постоянной ре-
шетки. Например, можно найти энергетические уровни для по-
ложительного заряда в полупроводнике, решая уравнение Шрё-
дингера с кулоновским потенциалом (1.2.22) (при этом необ-
ходимо заменить 80 на х80, где % — диэлектрическая постоян-
ная полупроводника, и те на т*). Другой пример — эта за-
дача нахождения электронных уровней в тонком слое арсенида
галлия, погруженном в кристалл AlGaAs. Используя понятие
эффективной массы, можно свести эту задачу к решению урав-
нения Шрёдингера в одномерной потенциальной яме. Важность
понятия эффективной массы связана с тем фактом, что во мно-
гих случаях электроны и дырки занимают энергетические со-
стояния вблизи минимумов и максимумов энергии, показанных
на рис. 1.5.7. В то же время из рис. 1.5.6 следует, что исполь-
48
Глава 1
зовать это понятие следует осторожно, особенно при наличии
больших электрических полей, когда энергии электронов и ды-
рок могут быть достаточно велики.
Уравнение (1.5.22) описывает зону с эллипсоидальными
изоэнергетическими поверхностями. Им можно пользоваться
при описании окрестностей L- и Х-минимумов зоны проводи-
Рис. 1.5.8. Изоэнергетические поверхности в k-пространстве: а — сферическая,
б — эллипсоидальная, в — деформированная [36].
мости. В этом случае аппроксимация посредством введения
одного значения эффективной массы т* не дает результата,
поскольку, как следует из формулы, это значение зависит от
направления волнового вектора к. Действительно, необходимо
ввести тензор эффективной массы mJ7, компоненты которого
связаны с кривизной поверхности
m17 = h^id^ldki dkf). (1.5.24)
Здесь f, / = х, у, z. Это определение легко понять, если разло-
жить &(k) в ряд Тейлора вблизи дна зоны проводимости^ =
= #о, k = Ao, d$/dk = 0.
s = s. + у2 £ wfer{ki ~ kio} {ki ~ *'o)- ° -5-25)
Переписав это уравнение, получим
S = $* + 4 - А‘-о) (*/ - (1-5.26)
ь /
где компоненты тензора ml7 определяются из (1.5.24).
Вследствие симметрии эллипсоидов вращения, соответству-
ющих изоэнергетическим поверхностям вблизи L- и Х-миниму-
мов (рис. 1.5.8 и 1.5.9), уравнение (1.5.22) можно записать
в более простом виде
/2
mt
(1.5.27)
й2
Основы физики полупроводников
49
где l/mi и l/mt — продольная и попе-
речная компоненты тензора обратной
эффективной массы, a kt и kt — соот-
ветствующие компоненты волнового
вектора.
Зависимость энергии от волнового
вектора вблизи вершины валентной
зоны впервые была вычислена в ра-
боте [24]:
S {k)=Sv — h2k2g (k)/2m*,
(1.5.28)
где
g = Ае ± [В2е + С2 (k2k2y/k4 + +
+ fe>zA4)]1/2- (1-5.29)
Здесь Ag, Bg и Cg — константы;
знаки «+» и «—» соответствуют тяже-
лым и легким дыркам. Эти зоны на-
зываются деформированными из-за
искривления их изоэнергетических по-
верхностей (см. рис. 1.5.8,в).
Более точные модели должны учи-
тывать отклонения зависимости <S (k)
от параболичности. В простейшем
случае это может быть сделано путем
подстановки в уравнение (1.5.21) вы-
ражения
Y (#) = #(! +а#). (1.5.30)
Тогда, например, для дна зоны
проводимости прямощелевого полу-
проводника, такого, как GaAs, имеем
^(1+а^) = 4^-- О-5-31)
Это уравнение учитывает увеличе-
ние эффективной массы, которое свя-
зано с уменьшением кривизны кривой
<¥> (к) при увеличении & (см. рис. 1.5.6).
Уравнения, описывающие соотноше-
ния между энергией и импульсом
Рис. 1.5.9. Изоэнергетиче-
ские поверхности в первой
зоне Бриллюэна: а — в Г-до-
лине арсенида галлия, б —
в Х-долине кремния; в —
в L-долине германия [47].
(С разрешения Prentice-
Hall, Inc. Englewood Cliffs,
NJ.)
вблизи точек симметрии,
предложенным Кейном
могут быть получены методом,
[39]. Согласно этому методу,
4 Заказ Xs 304
Таблица 1.5.2. Ширина запрещенной зоны и эффективная масса некоторых кубических полупроводников
(данные из работы [36])
Материал Sr, эВ эВ «д, эВ % so* эВ Относительные эффективные массы
электронов дырок
т1 т mt mhh
Si 4,08 1,87 1,13 0,04 0,98 — 0,19 0,53 0,16
Ge 0,89 0,76 0,96 0,29 1,64 — 0,082 0,35 0,043
А1Р 3,3 3,0 2,1 0,05 — — — 0,63 0,2
AlAs 2,95 2,67 2,16 0,28 2,0 — — 0,76 0,15
AlSb 2,5 2,39 1,6 0,75 1,64 — 0,23 0,94 0,14
GaP 2,24 2,75 2,38 0,08 1,12 — 0,22 0,79 0,14
GaAs 1,42 1,71 1,90 0,34 — 0,067 — 0,62 0,074
GaSb 0,67 1,07 1,30 0,77 — 0,045 — 0,49 0,046
InP 1,26 2,0 2,3 0,13 — 0,080 — 0,85 0,089
InAs 0,35 1,45 2,14 0,38 — 0,023 — 0,6 0,027
InSb 0,17 1,5 2,0 0,81 — 0,014 — 0,47 0,015
ZnS 3,8 5,3 5,2 0,07 — 0,28 — — —
ZnSe 2,9 4,5 4,5 0,43 — 0,14 — — —
ZnTe 2,56 3,64 4,26 0,92 — 0,18 — —
CdTe 1,80 3,40 4,32 0,91 — 0,096 — —, —
Основы физики полупроводников
51
уравнение (1.5.3) подставляют в уравнение Шрёдингера. По-
лучаемое в результате уравнение для определения блоховской
амплитуды at (г) вблизи точек симметрии зоны Бриллюэна
содержит член k-р, где р — оператор импульса. Этот член
рассматривается как возмущение (поэтому метод часто назы-
вается k — p-методом). Даль-
нейшее решение уравнения для
Елоховской амплитуды основы-
вается на том, что Uk (г) можно
представить в виде линейной
комбинации волновых функ-
ций, соответствующих высшей
валентной зоне и низшей зоне
проводимости. При этом, в ча-
стности, для константы непара-
боличности получается следую-
щее выражение:
а = ' А_
&g \ те /
Рис. 1.5.10. Температурные зависимо-
сти энергии запрещенной зоны для
кремния, германия и арсенида гал-
лия.
(1.5.32)
Здесь — ширина запрещен-
ной зоны, тп — эффективная
масса электрона, те — масса
свободного электрона (см., на-
пример, [7]). Значения энергий запрещенных зон и эффектив-
ных масс некоторых кубических полупроводников из работы
[36] представлены в табл. 1.5.2.
Все параметры, характеризующие зонную структуру, зави-
сят от температуры. В соответствии с работой [7] температур-
ная зависимость величины запрещенной зоны выражается сле-
дующим феноменологическим уравнением:
^(П=^о-а^2/(Т + ₽0.
(1.5.33)
Значения при 7 = 0, а также коэффициенты аг и 0? для
Si, Ge и GaAs приведены в табл. 1.5.3 (см. также рис. 1.5.10).
Для арсенида галлия полезно также знать зависимости разности
Таблица 1,5.3, Зависимость ширины запрещенной зоны от температуры [7]
Материал эВ ар эВ/№ К
Si 1,17 Ge 0,7437 GaAs 1,519 4,73-Ю-* 636 4,77-Ю'4 235 5,405 • 10“4 204
4*
52
Глава 1
энергий между вершиной валентной зоны и X- и L-минимумами
от температуры. Эти зависимости также описываются феноме-
нологическими уравнениями [7]:
gL(T) = 1,815 — 6,05 • 10~4T7(T + 204) эВ, (1.5.34)
Sx (Г) = 1,981 - 4,6 • 10~4Г/(Т + 204) эВ; (1.5.35)
при этом температура Т измеряется в градусах Кельвина.
1.6. Статистика электронов
и дырок в полупроводниках
Рассмотрим кристаллический кубик с размерами L по осям
х, у* z, причем будем считать, что электронные волновые функ-
ции
фк (г) = e‘kr«k (г) (1.6.1)
обращаются в нуль на его гранях. Вследствие этого будут вы-
полняться соотношения
£xL = 2nn1, (1.6.2)
kyL = 2nn2, (1.6.3)
62L=2nn3, (1.6.4)
где ni, П2, п3— целые числа. Разница между двумя ближай-
шими разрешенными значениями kx (равно, как и kv, kz) со-
ставит 2n/L, а каждый разрешенный волновой вектор к будет
занимать объем (2л/£)3 в ^-пространстве. В соответствии
с принципом Паули, примененным ко всему кристаллу, одно
значение к могут одновременно иметь два электрона с про-
тивоположными спинами. Если рассматривать энергетический
спектр во всем пространстве волновых векторов (рис. 1.5.4, а)
и заполнять энергетические уровни в валентной зоне (по два
валентных электрона на каждое состояние с данной величи-
ной к), начиная снизу, то в результате мы заполним опреде-
ленный объем в к-пространстве (это будет сфера радиуса кр„,
который называется радиусом Ферми валентных электронов).
Объем этой сферы Vfv = 4лк?-0/3, а полное число состояний
внутри нее Ns равно
Ns = Vf/(2tc/L)3 = к^0Л3/(6л2). (1.6.5)
Число валентных электронов в кристалле Nv = 2NS (по-
скольку каждое состояние занято двумя электронами с про-
тивоположными спинами), поэтому можно написать
2kp0L3/(6n) = N0 (1.6.6)
И
кг„ = (3л2по),/’, (1.6.7)
Основы физики полупроводников
53
где nv—Nv/Lz — объемная концентрация валентных электро-
нов (по четыре на каждый атом кремния, германия, арсенида
галлия и родственных соединений).
При расчетах мы предположили, что все состояния с вол-
новыми числами, меньшими кр, заполнены, а с большими —
Рис. 1.6.1. Функция распределения Ферми—Дирака при разных температурах.
пусты. Это справедливо только в случае нулевой температуры.
В реальных условиях, при температуре Т =/= 0, вероятность за-
полнения состояния задается функцией распределения Ферми—
Дирака
fn = -Т—i----ttst • (1.6.8)
1 1 + exp[(#rt v 7
Здесь ^n(k)—энергия электрона, a <8?— энергетический
уровень Ферми (детальное обсуждение свойств распределения
Ферми—Дирака дано, например, в работе [8]). Позже мы под-
робнее рассмотрим факторы, влияющие на положение уровня
Ферми относительно зонной структуры кристалла. Сейчас, од-
нако, просто отметим, что в полупроводниках уровень Ферми
лежит либо в запрещенной зоне между зоной проводимости и
валентной зоной, либо в зоне проводимости вблизи ее дна
(в типичных случаях на 0,1—0,2 эВ выше), либо вблизи вер-
шины в валентной зоне. На рис. 1.6.1 приведены графики функ-
ции распределения fn при различных значениях температуры.
Как можно видеть, все состояния ниже энергии, приблизи-
тельно равной <8F— 3kT, практически заполнены (/л « 1),
54
Глава 1
а выше энергии <B\f + 3£7’ пусты (fn С 1), и = 1/2.
Если &>п— ^F^kT, то распределение Ферми — Дирака можно
аппроксимировать функцией
fn « exp (—^7-^) • (1.6.8а)
Принимая во внимание конечную вероятность занятия эле-
ктроном энергетического состояния, можно записать выраже-
ние для концентрации электронов при тепловом равновесии
« = -ет-(М^(к)]йк. (1.6.9)
Если рассматривать энергетический спектр кристалла, при-
веденный к первой зоне Бриллюэна (см. рис. 1.5.4,б), то ин-
тегрирование в уравнении (1.6.9) ведется только в пределах
этой зоны. Для нахождения полной концентрации электронов
следует рассматривать ^Trt(k) как неоднозначную функцию к
и брать все ее ветви (см. рис. 1.5.4, б). Если же требуется
найти концентрацию электронов только в зоне проводимости,
следует взять только ветвь <§Гл(к), соответствующую зоне про-
водимости.
Рассмотрим концентрацию электронов в зоне проводимости.
Если уровень Ферми лежит в зоне проводимости, а температура
невысока, то fn ~ 1 для всех состояний с волновыми векто-
рами, меньшими, чем
= [2mn(^-^c)]'/7^>
и fn ~ 0 для больших значений волновых векторов. Волновой
вектор kF называется волновым числом Ферми для электронов
проводимости. Полупроводник, у которого уровень Ферми удов-
летворяет условию <SF — > 3&7\ также носит название вы-
рожденного (вырожденным также является полупроводник
p-типа, у которого —&F>3kT). При низких температурах
в вырожденных полупроводниках n-типа с изотропной эффек-
тивной массой электроны занимают состояния в первой зоне
Бриллюэна, лежащие внутри сферы, называемой сферой Ферми
(рис. 1.6.2).
Для вырожденного полупроводника с уровнем Ферми в зоне
проводимости интеграл в уравнении (1.6.9) —это просто объем
сферы Ферми радиуса kF, т. е. 4л^/3, так что получаем вы-
ражение для радиуса Ферми
^ = (3n2n)'/s, (1.6.10)
где п — концентрация электронов в зоне проводимости
[сравните с уравнением (1.6.7)].
Основы физики полупроводников
55
Электронная концентрация в зоне проводимости является
более важной характеристикой, чем концентрация валентных
электронов. Действительно, в зоне проводимости имеется мно-
жество незаполненных уровней, поэтому электроны проводи-
мости могут изменять энергию (а значит, и скорость) под дей-
к.
к,
к,
Рис. 1.6.2. Сфера Ферми.
ствием внешнего электри-
ческого поля,создавая та-
ким образом ток. Боль-
шинство электронных
состояний вне зоны про-
водимости (и не очень
близко к вершине валент-
ной зоны) остаются за-
нятыми, когда к полупро-
воднику приложено элек-
трическое поле. Поэтому
они не участвуют в про-
цессах протекания тока.
Чтобы описать вклад
почти заполненных со-
стояний в валентной зоне
в электронную проводи-
мость, вводится понятие
дырки. Это понятие иллю-
стрирует рис. 1.6.3 на при-
мере танцующих балерин.
На левом краю сцены имеется свободное место, и балерины
одна за другой, двигаясь влево, поочередно занимают
образующееся пустое пространство. Можно сказать, что
свободное место как бы передвигается с левого края сцены
направо. Точно таким же образом движется незанятое состоя-
ние в валентной зоне. Его можно представить как движение
не занятого электронами места в связи между узлами кри-
сталлической решетки, которое поочередно занимают электроны
соседних связей (рис. 1.6.4).
Дырку можно представить как положительно заряженную
«частицу» (соответствующую отсутствию отрицательно заря-
женного электрона), а ее функция распределения может быть
вычислена следующим образом:
/Р(гг) = 1-г„(^),
(1.6.Н)
поэтому
f — 1________________________1_____
'Р~ ( &F-&
1 + ехр ( kT ) 1 +ехр
(1.6.12)
56
Глава 1
Рис. 1.6.3. Представление о дырке.
• Змктром о Дырна
Рис. 1.6.4. Перемещение дырки в кри-
сталлической решетке.
Основы физики полупроводников
57
Концентрация дырок в валентной зоне может быть найдена
точно так же, как концентрация электронов в зоне проводи-
мости,
'рР[^Р(к)]^к. (1.6.13)
Интегрирование в уравнениях (1.6.9) и (1.6.13) выполня-
ется в пределах первой зоны Бриллюэна в простейших случаях
параболических зон
^n(k) = ^ + _gi, (1.6.14)
(L6J5>
где &с и — соответственно дно зоны проводимости и вер-
шина валентной зоны. Подстановка уравнения (6.1.14) в (1.6.9)
дает выражение
п = Л^С7? /,(%), (1.6.16)
где
= (1-6.17)
есть эффективная плотность состояний в зоне проводимости,
Tin = (^-^W (1.6.18)
и
00 'h
F'h (n) = (2/V^) ! "Ml-* -7%-" ГГ (1.6.19)
/2V,/ x v ZOJ [1+ exp (x + t))] v
— интеграл Ферми.
Как показано в Приложении 21, при т) -С —1 имеем
Л/2 (р) » ехр (п),
а при т]» 1
F1/2(n)«
4т]’/2
3 Vя
Для (—10 < т] < 10) интеграл Ферми (л) можно интер-
полировать следующим выражением (см. рис. П.21.1):
Г./з(л) =ехр (-0,32881 + 0,74041 л - 0,045417л2 -
— 8,797 • 10“V+ 1,5117 • 10"V).
58
Глава 1
Аналогичным образом для дырок имеем
(1-6.20)
где
— эффективная плотность состояний в валентной зоне, а
В кремнии, германии, арсениде галлия и других полупро-
водниках зависимости ^„(к) и <^Р(к) более сложны, чем
(1.6.14) и (1.6.15). В частности, в германии и кремнии эффек-
тивная масса электронов анизотропна, поэтому необходимо
вводить тензор эффективной массы. Кроме того, там имеется
несколько эквивалентных минимумов энергии в зоне проводи-
мости (см. разд. 1.5). В таких ситуациях эффективная масса
в уравнении (1.6.17) должна быть заменена на матрицу плот-
ности состояний эффективной массы
mdn = Z2,>(mxmytnzyl3, (1.6.23)
где Z — число эквивалентных минимумов энергии (см.
табл. 1.5.1).
Почти во всех кубических полупроводниках есть «легкие»
и «тяжелые» дырки (см. разд. 1.5), поэтому там также следует
вводить матрицу плотности состояний эффективной массы
дырок
= (tnfy + (1.6.24)
и подставлять ее на место эффективной массы в формулу
(1.6.12).
Если уровень Ферми попадает в область энергетической
щели и отделен от границ зон величиной порядка нескольких
kT(t]n<—3, пр <—3), такой полупроводник называют не-
вырожденным. В этом интересном случае получим
F,/2(t]) «ехр(п), (1.6.25)
( Sp-S.
n=Nc ехр I----
(1.6.26)
( - Sp
p=Nvexp
(1.6.27)
Основы физики полупроводников
59
В противоположном предельном случае, когда уровень
Ферми находится в валентной зоне или в зоне проводимости,
полупроводник называют вырожденным. Тогда имеем
F./l(n) = -^-n/\ 3 V л „ » _ h2kp (1.6.28) (1.6.29)
®c~ 2mdn ’
(1.6.30)
n ~ 3л2 L ' w J •
Уравнение (1.6.30) следует из (1.6.10). Аналогично для дырок можно записать
„ ~ 1 Г 1 Р ~ Зл2 L J • (1.6.31)
Для промежуточных значений и т)р следует использовать
уравнения (1.6.16) и (1.6.20). Зависимость Fya(q) приведена
в Приложениях на рис. П.21.1.
Для невырожденного полупроводника из (1.6.26) и (1.6.27)
следует
np = NvNcexp(-&g/kT), (1.6.32)
где &g = &c— &v — ширина запрещенной зоны.
Это уравнение можно переписать в виде
пр — п2, (1.6.33)
где
щ =(NvNcyt2exp [-8g/(2kT)\ (1.6.34)
называется собственной концентрацией носителей.
Согласно выражениям (1,6.32) и (1.6.33), в невырожден-
ном полупроводнике произведение пр не зависит от положения
уровня Ферми и определяется плотностями состояний в ва-
лентной зоне и зоне проводимости, шириной запрещенной зоны
и температурой.
Уравнения (1.6.9) и (1.6.13) можно переписать в виде
Stn Stn
п= j (dnldg)dg= [ fn(S)gn(g)d%, (1.6.35)
о b
р = j (dpldg)dg = J fp($)gp(g)dg, (1.6.36)
^p
60
Глава 1
где St», и ёър — энергии, соответствующие наивысшему заня-
тому уровню в зоне проводимости и наинизшему уровню в ва-
лентной зоне, a gn(<^) и gp(&)—плотности состояний в этих
зонах (отличаются от эффективных плотностей состояний Nc
и No нормировкой на единичный интервал энергии). Так, со-
поставляя (1.6.35) с (1.6.15) и (1.6.19), найдем, что
gn (#) = (2/л'/!) Nc - S^KkT)^ (1.6.37)
ИЛИ
gn (8) = (2’у’л2) (т^Т2 (гг - (1.6.38)
Аналогично для дырок имеем
gP (<g>) = (2,/2л2)(/пр/й2)’/2 (#„ - &У/г. (1.6.39)
Соотношение (1.6.38) может быть также получено путем
подсчета числа состояний с волновыми векторами в промежутке
(k, k + dk). Соответствующий объем в к-пространстве равен
4nA2d£. Плотность разрешенных состояний равна числу разре-
шенных точек этого объема, умноженному на два (с учетом
двух возможных ориентаций спина). Число допустимых точек
в объеме V кристалла равно У/(2л)3, поэтому число состояний
в промежутке (к, к + dk) равно
dN==bnVk2dkl(2n)\ (1.6.40)
Принимая во внимание, что
k2—2mn(8 -8c)/h2, (1.6.41)
2kdk = 2mnd&/h2, (1.6.42)
получим
dW = 8nV [2тп - &c)/h2] (2тп d8/h2)/{2 [2тп (<Г -
-^Ж]‘/2(2л)3} =gn(&)d&. (1.6.43)
Для кристалла единичного объема это приводит к соотноше-
нию (1.6.38). На рис. 1.6.5 даны качественные зависимости
плотности состояний gn(&), функции распределения fn(8) и
плотности электронов dn/dtS от энергии для невырожденных
и вырожденных полупроводников.
О важных применениях структур с квантовыми барьерами,
когда тонкий слой узкозонного полупроводника расположен
между слоями широкозонного полупроводника, речь пойдет
в гл. 7 (рис. 1.6.6). Если слой узкозонного полупроводника до-
Основы физики полупроводников
61
статочно тонкий, то движение электронов перпендикулярно
плоскостям, образующим гетеропереходы, квантовано. Мини-
dn
<L£
Энергия
а
Рис. 1.6.5. Плотность состояний gn(#), функция распределения /п(#) и плот-
ность электронов на единичный энергетический интервал dri/d# в зависимости
от энергии для невырожденных (а) и вырожденных (б) полупроводников.
GaAs ALGaAs
Рис. 1.6.7. Энергетические подзоны в
гетероструктуре.
Рис. 1.6.6. Гетероструктура с кванто-
вой ямой, состоящая из узкозонного
полупроводника GaAs, помещенного
Между слоями широкозонного
(AlGaAs).
бальный уровень энергии можно оценить с помощью уравнения
(1.2.20):
с-6-44»
62
Глава 1
если <Sn лежит значительно ниже дна зоны проводимости ши-
рокозонного полупроводника. Здесь п — квантовое число, со-
ответствующее уровню энергии, а — ширина ямы. Из-за кван-
тования разность уровней энергии должна быть значительно
больше тепловой энергии kl\ т. е.
-> kT. (1.6.45)
2тла2 '
Используя это условие, найдем, что, например, в арсениде
галлия, где тп1те = 0,067, уровни квантованы при комнатной
температуре (Т = 300 К), если а <С 14,7 нм.
В направлениях, параллельных поверхностям раздела (ге-
тероповерхностям), волновую функцию электрона можно пред-
ставить в виде двумерной волны Блоха с соотношением между
энергией и волновым вектором (дисперсионным соотношением),
соответствующим зоне проводимости,
= + (1-6.46)
[Обратите внимание на отсутствие /^-компоненты; движение
в направлении квантовано, поэтому зависимость волновой функ-
ции в этом направлении существенно отличается от плоской
волны, пропорциональной exp(iT^z)]. Другими словами, каж-
дый уровень, определяемый уравнением (1.6.44), соответствует
целой энергетической подзоне (рис. 1.6.7).
Плотность состояний в каждой подзоне можно найти, ис-
пользуя подход, ранее примененный к анализу трехмерных со-
стояний, т. е. путем подсчета числа состояний с волновыми
векторами, лежащими в интервале (к, к + dk). Соответствую-
щая площадь в к-пространстве равна 2nkdk. Плотность разре-
шенных состояний (с учетом множителя 2, связанного со спи-
ном) в образце единичных размеров равна 1/(2л)2. Поэтому
для искомого числа состояний можно записать следующее вы-
ражение:
dN = 4nkdk/(2n)2. (1.6.47)
Принимая во внимание, что
k2 = 2тп (S — &n)lh2 (1.6.48)
и
2kdk = 2mnd&/h2, (1.6.49)
получим
dN = 4л [2тп (2тп d^/h2)/{2 [2тп {8 -
— ^п)А2Г/!(2л)2} = О^, (1.6.50)
где плотность состояния одной подзоны D дается соотношением
D == т„/(л/г2). (1.6.51)
Основы физики полупроводников
63
Согласно рис. 1.6.7, состояния первой (нижней) подзоны пе-
рекрываются состояниями второй подзоны для энергий, боль-
ших, чем энергия второго (считая снизу) энергетического
уровня, и т. д. В результате полная плотность состояний имеет
ступенчатый вид (рис. 1.6.8).
/7= 1
О а
Расстояние
Плотность состояний
Рис. 1.6.8. Плотность состояний в гете-
роструктуре с квантовой ямой.
1.7. Собственные, примесные
и компенсированные полупроводники
Чтобы найти концентрации электронов п и дырок р из урав-
нений (1.6.16) и (1.6.20), необходимо знать положение уровня
Ферми Sf. Обычно оно определяется из условия электрической
нейтральности полупроводника, которое в свою очередь явля-
ется следствием общего физического принципа, называемого
законом сохранения электрического заряда. Электрические за-
ряды не могут появляться и исчезать по отдельности, а могут
только разделяться и сливаться. В равновесии образец полу-
проводника электрически нейтрален. Для чистого (собственного)
полупроводника это означает, что концентрация отрицательно
заряженных носителей — электронов должна быть равна кон-
центрации положительно заряженных носителей — дырок:
= (1.7.1)
Пользуясь уравнением (1.6.34) для собственной концентрации
rii невырожденного полупроводника
П = р =rt,=(ArcJV0)'/2exp(—-^jr-) (1-7.2)
и подставляя (1.6.17), (1.6.21), (1.6.26) и (1.6.27) в (1.7.2),
найдем уровень Ферми чистого (нелегированного) полупровод-
64
Глава 1
ника. Такой полупроводник называется собственным, а его уро-
вень Ферми — собственным уровнем Ферми
g,- = -~с + - j- feT In . (1.7.3)
2'4 mdn v
Собственная концентрация носителей в германии, кремнии
и арсениде галлия как функция температуры приведена на
рис. 1.7.1.
Концентрацию электронов и дырок, условие электроней-
тральности и положение уровня Ферми можно изменить, леги-
Рис. 1.7.1. Собственная концентрация
носителей в кремнии, германии и арсе-
ниде галлия. При расчетах использова-
на температурная зависимость ширины
запрещенной зоны.
руя полупроводник, т. е. вво-
дя в него примеси. Легиро-
ванные полупроводники на-
зываются примесными. Что-
бы получить избыток но-
сителей п-типа, т. е. доба-
вить электроны в зону про-
водимости, следует ввести
атомы примеси с боль-
шим количеством валентных
электронов, чем могут свя-
зать атомы основного ве-
щества. Например, атомы
примеси из пятой груп-
пы периодической таблицы
(имеющие пять валентных
электронов) будут добав-
лять носители n-типа в крем-
ний, принадлежащий к чет-
вертой группе (с четырьмя
валентными электронами).
Сурьма (Sb), фосфор (Р)
и мышьяк (As) являются источником дополнительных но-
сителей n-типа (их называют также донорами). Сами по себе
они электрически нейтральны и приобретают положительный
заряд лишь тогда, когда отдают свои «избыточные» валентные
электроны в зону проводимости.
Атомы элементов третьей группы периодической таблицы
ведут себя в кремнии как источники носителей p-типа (акцеп-
торы). Примерами здесь могут являться бор (В), алюминий
(А1), галлий (Ga) и индий (In). Акцепторные примеси отри-
цательно «заряжаются», когда принимают избыточные элек-
троны из валентной зоны. Если в полупроводнике присутствуют
и доноры, и акцепторы, его называют компенсированным. Дру-
гими словами, доноры и акцепторы обмениваются электронами
не с валентной зоной или зоной проводимости, а друг с другом
Основы физики полупроводников
65
И таким образом компенсируют влияние на концентрацию сво-
бодных носителей.
На энергетической диаграмме зонной структуры доноры ха-
рактеризуются дискретными уровнями. Мелкие донорные
уровни расположены ниже дна зоны проводимости и вблизи
• Электрон
О Дырка
Кремний Фосфор Бор
Зона провоЗимости
Зона проводимости
Донорный уровень
Акцепторный уровень
Валентная зона
Рис. 1.7.2. Замещение атома кремния
Валентная зона
в решетке атомами фосфора и бора.
него. Мелкие акцепторные уровни — выше вершины валентной
зоны и также вблизи нее. Это означает, что для того, чтобы
ионизовать мелкую примесь и «выбить» электрон в зону про-
водимости с мелкого донорного уровня или дырку в валентную
зону с мелкого акцепторного уровня, требуется очень незначи-
тельная энергия (во многих случаях меньше, чем тепловая
энергия kT). На рис. 1.7.2 показана схема легирования крем-
ния донором (атомом фосфора) и акцептором (атомом бора),
а также приведены соответствующие энергетические диаграммы
зонной структуры. На рис. 1.7.3 представлены энергии иониза-
ции различных примесей в германии, кремнии и арсениде гал-
лия [68]. Как можно видеть, лишь некоторые примеси дают
мелкие донорные или акцепторные уровни при комнатной тем-
пературе (kT/q = 0,02584 эВ). Ряд примесей, называемых глу-
5 Заказ № 304
66
Глава 1
бокими донорами или акцепторами, создает «глубокие» уровни,
отстоящие от краев зоны проводимости и валентной зоны на не-
сколько kT/q даже при комнатной температуре. Некоторые
атомы примеси (например, кремний в арсениде галлия) ведут
sb Р AS
Т ; 0093 0096 012 013
Ge I । ь —
с । Центр запрещенной зоны
эВ
.1. L Д-t
В А1 Т1 Ga Т"
и sb р as В' те Ti с мд $е С'
! 0 33 ОЙ 045 054 069-13
— 25 25 25
А л 4:
Центр запрещен за зоны
to cs во s мг дд cd pt S'
045 257
В AJ GO Ir Т1 РО NO Be
G0A5
S>
0058
I
Центр запрещенной зоны
026 028 Q£8 QJl 035 035 -25^“ ~
—с вё мд zn S' cd lj g₽” Au
Рис. 1.7.3. Измеренные энергии различных примесей в германии, кремнии и
арсениде галлия. Энергетические уровни выше центра щели отсчитываются
от дна зоны проводимости и являются донорными (акцепторы помечены
буквой А). Уровни ниже центра щели отсчитываются от вершины валентной
зоны и являются акцепторами (доноры помечены буквой D) [68].
себя то как доноры, то как акцепторы в зависимости от того,
место какого атома (галлия или мышьяка) они занимают. Не-
которые примеси (например, золото или медь) порождают мно-
жественные уровни (см. рис. 1.7.3). Такие примеси называют
амфотерными, и их поведение довольно сложное.
Отношение концентраций заполненных (Л^) и свободных
(Nd+) доноров задается соотношением
АГ Оо
= ^ехр
/ &F — &d \
I kT )'
(1-7.4)
где Sd — энергетический уровень донора, <gF— энергия Ферми,
a gd — фактор вырождения. В простейшем случае gd — 2 (так
как возможны два одинаковых значения энергии с разными
значениями спина электрона), а можно вычислить из урав-
Основы физики полупроводников
67
нения для определенного основного состояния водородоподоб-
ного атома примеси. Это означает, что разность энергий между
дном зоны проводимости и энергетическим уровнем примеси
может быть вычислена как энергия Бора [см. уравнение
(1.2.25)], где масса свободного элек-
трона заменена на эффективную
массу тп, а диэлектрическая про-
ницаемость вакуума со—на диэлек-
трическую проницаемость полупро-
водника Впи
ер У ( тп \ д'те
. е„п ) \ те ) 32n2£o/i2
(1.7.5)
или
sB-
(1.7.5а)
Рис. 1.7.4. Радиус Бора мел-
кого донора в GaAs (каж-
дая клеточка — элементарная
ячейка).
мелком донорном уровне
В действительности эксперимен-
тальные значения величин и
gd могут сильно отличаться от этих
простых оценок.
Радиус Бора для электрона на
задается соотношением
^Bd =
4jtE0fi2
"М2
(1.7.6)
(Сравните с выражением (1.2.26) для воровского радиуса
ав = 4ле0й2/(meg2) = 0,052917 нм). Кулоновские силы в полу-
проводнике в (епп/ео) раз меньше, чем в вакууме, и во многих
полупроводниках эффективная масса меньше массы свободного
электрона. Поэтому разность — <Sd в типичных случаях зна-
чительно меньше &в, a aBd больше, чем ав. Например, в арсе-
ниде галлия епп/ео = 13,1, те/тп — 14,9, отсюда aBd « 10,3 нм
(при постоянной решетки а = 0,56533 нм при Т — 300 К). Это
означает, что примесный уровень энергии распространяется на
расстояние, равное большому числу периодов решетки
(рис. 1.7.4).
Аналогично, для акцепторного уровня имеем
Ха-
1
Sa
exp
(1-7.7)
k kT
5*
68
Глава 1
где <8а— энергия акцепторного уровня. В простейшем случае
мелкого водородоподобного акцептора можно записать соотно-
шение
и ga = 4 (множитель 2 получается за счет вырождения по
спину, а второй множитель 2 за счет двукратного вырождения
валентной зоны в кубических полупроводниках). Более надеж-
ные значения и ga определяют, используя эксперименталь-
ные данные (см. рис. 1.7,3). Положение уровня Ферми можно
найти из условия электронейтральности
p + £z;W;—п=0, (1.7.9)
/
где Zj — заряд (в единицах заряда электрона) примеси типа /,
a Nj — ее концентрация. Если полупроводник легирован мел-
кими донорами с концентрацией Nd, из уравнения (1.7.9) по-
лучим
n=p + ND+. (1.7.10)
Это уравнение необходимо решать вместе с уравнением
(1.6.32), которое можно записать в виде
пр=п], (1.7.11)
откуда для концентрации электронов в полупроводнике п-типа
имеем
д/d+)2 + + ND+
Пп = _У----------------. (1.7.12)
Для мелких доноров Wd+ ж Nd и уравнение (1.7.12) упроща-
ется
д/ Np + 4п? + Nd
Пп = ------2--------• (1.7.12а)
В общем случае имеет место выражение
ND
Nd+ ~ 1+^ехр[(^-^)/ЛГ] (1 -7-13)
(это уравнение получено из (1.7.4) с учетом того, что Nd =
= Nd++Nd>). Подставляя (1.6.26) и (1.7.13) в (1.7.9) и по-
лагая п >> р, можно записать
nd
Nc ехр (ц) = 1+gdexp(4)exp[(#c-#d)/W-] ’ (1 -7-В * * * * * 14)
Основы физики полупроводников
69
где т] = (#>— &c)/(kT). Уравнение (1.7.14) —это квадратное
уравнение относительно переменной Х = ехр(т]). Решая его,
найдем
gp _g, + kT In д/1+4^ ^-[expp^L)- ,]}.
(1.7.15)
При Т —> О Nc Nd exp( Sc ~^d ) и уравнение (1.7.15) сво-
дится к виду
=----2---+~2~1П grfyc'(T) • (h7,16)
Концентрация электронов может быть определена из (1.6.26)
( &F - \
n — Nc exp( )•
Концентрацию дырок в полупроводнике n-типа найдем из
уравнения (1.6.32):
Во многих практически интересных случаях температура
достаточно высока и в полупроводниках n-типа Nd ~ Afo+
щ, в результате чего уравнения для концентрации и уровня
Ферми приводятся к следующему виду:
nn^NDl (1.7.17)
(1.7.18)
JV D
&Pwffc-kT\n-$Z-. (1.7.19)
"D
Если Т-> 0, то
Nc^NDexp^c~/dY (1.7.20)
и из (1.7.15) найдем
=----2---+ —ln -^Fc- ’ <L7-21>
70
Глава I
а электронная концентрация равна
п
gd
&d-#c \
2kT Г
(1.7.22)
При очень высоких температурах п жр ж ni^> Л^. Ход
температурной зависимости выглядит следующим образом:
при малых температурах, начиная с энергии активации
(&с— <Sd) /2, концентрация электронов растет экспоненциально,
затем практически не зависит от температуры (при этом
п Wd), далее опять возрастает, начиная с энергии
активации <^g/2 при очень высоких температурах (когда
Следует, однако, отметить, что приведенные
выше рассуждения справедливы только для невырожденных
полупроводников.
В действительности в области низких температур наблю-
даемая энергия активации равна <£с— <8 а (т. е. в 2 раза выше
той, что получается На основании вышеприведенных рассужде-
ний) и становится равной (<?ГС — ^d)/2 при более высоких
температурах. Это объясняется наличием остаточной акцептор-
ной компенсирующей примеси, которая всегда присутствует
в полупроводнике n-типа. Даже если > NA, при очень низ-
ких температурах Na п р и условие нейтральности
(1.7.9) превращается в равенство
Nd+=Na-, ' (1.7.23)
что соответствует случаю, когда все акцепторы скомпенсиро-
ваны электронами доноров. Используя (1.7.13), перепишем ра-
венство (1.7.23) в виде
--------7^7=^7Т’ (1-7'24)
. . J+^expl----------I
что дает
п
&р—&с Nc
kT gd
vD-vA
&c — &d \
kT )
(1.7.25)
Пороговая энергия в этом случае равна <£с— <£d, что соответ-
ствует данным эксперимента.
Этот результат можно также объяснить по-другому. Если
полупроводник частично скомпенсирован акцепторами с кон-
центрацией NAy то при низких температурах концентрация до-
фсновы физики полупроводников
71
норных электронов равна Nd — NA. При низких температурах
функция распределения Ферми—Дирака
f = 1/(1 Ч-ехр [(^ — ^)/^Т])
близка к ступенчатой функции (см. рис. 1.6.1) и f(SF)= 1/2.
Уровень Ферми должен совпадать с уровнем доноров, поэтому
при очень низких температу-
рах энергия активации равна
Sc— Sd* Однако уравнение
(1.7.24) верно, только когда
n <С Na* По мере роста темпе-
ратуры это условие наруша-
ется и энергия активации ста-
новится равной (Sc — Sd}/2.
Аналогичные рассуждения
справедливы и для полупро-
водника p-типа. На рис. 1.7.5
показана зависимость про-
водимости скомпенсированного
р-кремния от температуры [60].
Согласно рисунку, энергия
активации при Т ->0 равна
0,046 эВ. При немного большей
температуре энергия активации
.становится равной 0,023 эВ,
что согласуется со значением
Sa—Sv = 0,046 эВ.
В полупроводнике р-типа
условие электронейтральности
в общем случае имеет вид
Рис. 1.7.5. Концентрация дырок
в р-кремнии в зависимости от обрат-
ной температуры (наклон кривой 1
соответствует 0,02 эВ, кривой 2 —
0,046 эВ) [60].
п + NA_.-=p.
(1.7.26)
Выполняя преобразования, аналогичные приведенным выше
для полупроводника n-типа, найдем, что
д/л^+^+Д^
Р = —----2------« (1 -7-27)
Для мелких акцепторов NA-~ NA, а вообще
1 +£йехр [(<?а- ZF)/kT] •
(1.7.28)
72
Глава 1
При относительно высоких температурах NA•• ~ NA
а также
Na,
Пр~ ЫА ’
(1.7.29)
(1.7.30)
(1.7.31)
Рис. 1.7.6. Температурная зависи-
мость уровня Ферми в кремнии, леги-
рованном мелкими донорами (фос-
фор) и мелкими акцепторами (бор).
Энергия ионизации 4,5 мэВ при
g-факторе 2, энергия ионизации ак-
цепторов 4,5 мэВ при g-факторе 4.
Рис. 1.7.7. Приближенный расчет
электронной концентрации в п-крем-
нии при разном уровне легирования.
Энергия активации доноров 4,5 мэВ„
g-фактор 2.
Положение уровня Ферми для разной концентрации мелких
примесей в кремнии и соответствующие температурные зависи-
мости концентрации носителей приведены на рис. 1.7.6 и
1.7.7.
Предыдущий анализ справедлив только для невырожден-
ных полупроводников, где
Л/2(Т])«^ (1.7.32)
(см. уравнение (1.6.25) и Приложение 21). В общем случае
уравнение (1.7.14), например, следует заменить на следующее:
N
NJFI /2 (Т1) = —:—:-г , «-------» ’ (1.7.33)
I/ 1 -f-gdexp (ц) ехр [(&с — &d)/kT] ' '
В случае мелких ионизованных доноров
n = ND (1.7.34>
Основы физнкн полупроводников 73
и положение уровня Ферми находят из соотношения
F41W = Nd/Nc. (1.7.35)
Электрон в зоне
Дырка в валентной зоне
• v = Л/ -Д'
„АЭфф * А 7 77
Л/ _ м _ д/-
ЛЭфф 7? Л
б
(J) Ионизованный мелкий донор
Ионизованный мелкий акцептор
Рис. 1.7.8. Схематическое изображение зонной структуры компенсированного
полупроводника при Na>Nd (а) и Na<Nd (б).
При ц » 1 имеем
3 л/л
(1.7.36)
Тогда из уравнений (1.7.36) и (1.6.16) получим
ЛТПп
(1.7.37)
К этому результату также можно прийти путем простого
подсчета числа разрешенных состояний на сфере Ферми (см.
разд. 1.5).
Практически все полупроводники, даже особо чистые, со-
держат различные примеси, в том числе и доноры, и акцепторы.
Поэтому тип проводимости (п- или р-) определяется типом
примеси, имеющей наибольшую концентрацию. Это иллюстри-
рует рис. 1.7.8, а для случая Na > Nd- Тогда имеем
NA3b^NA-ND. (1.7.38)
а
'ч(п)
74
Глава 1
В противоположном случае (Nd > NA) получим соотношение
ND3w^Nd-Na (1.7.39)
(рис. 1.7.8, б).
Как отмечалось выше, полупроводник, легированный и до-
норами, и акцепторами, называют компенсированным, потому
что влияние одних примесей компенсируется влиянием других.
Одно из следствий компенсации — изменение энергии акти-
вации при низких температурах в два раза — отмечалось выше
(рис. 1.7.5 проясняет эту ситуацию). Величина
Г NA/ND при NA<ND,
/С—) »г v (1.7.40)
(, ND/NA при Nd < Na
называется степенью компенсации. Все полупроводники до не-
которой степени компенсированы, однако термин «компенсиро-
ванный» употребляется в случае, когда К достаточно велико,
т. е. К 0,05.
Как следует из (1.7.38) и (1.7.39), компенсацию ‘можно
применять для уменьшения эффективного уровня легирования
и, следовательно, проводимости материала. Рассмотрим, на-
пример, ситуацию, когда имеется некоторая концентрация до-
норной примеси, которую мы не можем снизить по технологи-
ческим причинам. Мы можем попытаться уменьшить проводи-
мость материала, добавляя строго нормируемое количество глу-
боких акцепторов. Однако более полезный прием — добавление
такого количества глубоких акцепторов, которое превышает
число неконтролируемых мелких доноров. При интересующих
нас температурах глубокие акцепторы не будут ионизованы, по-
этому все доноры отдадут электроны глубоким акцепторам и
полная проводимость материала сильно понизится. Такой прием
применяется при получении высокоомных арсенидгаллиевых
подложек, легированных хромом. Удельное сопротивление та-
ких подложек может достигать 108 Ом-см.
Очень интересная ситуация может возникнуть в полупровод-
никовом материале, когда концентрации доноров ND и акцеп-
торов Na велики, по примерно одинаковы (отношение К близко
к 1). На первый взгляд такой материал будет вести себя как
собственный полупроводник. В действительности, однако, вне-
дрение примесей в материал есть процесс статистический, по-
этому плотности доноров и акцепторов будут случайным обра-
зом меняться в объеме кристалла. Если NA и ND велики, та-
кие флуктуации локальной плотности приведут к большим из-
менениям пространственного распределения потенциала. Зон-
ная структура может выглядеть как случайная последователь-
ность пиков и провалов (рис. 1.7.9). Такой сильно компенси-
Основы физики полупроводников
75
рованный полупроводник может обладать интересными и не-
обычными свойствами [61]. Например, как следует из
рис. 1.7.9, в одних областях уровень Ферми может лежать
в зоне проводимости, в других областях — в валентной зоне.
Это означает, что электронно-дырочный газ образует скопле-
ния частиц, или «капли», благодаря чему материал будет
вести себя при низких температурах как изолятор с малыми
Электронная капля
Уровень
протека-
ния
Уровень
Ферми
Рис. 1.7.9. Пространственные флуктуации зонной структуры в сильно компен-
сированных полупроводниках, обусловленные флуктуациями концентраций
доноров и акцепторов.
высокопроводящими вкраплениями. В таком сильно компенси-
рованном полупроводнике низкоэнергетичные электроны про-
водимости не могут двигаться по кристаллу, так как им «ме-
шают» энергетические пики зоны проводимости. Высокоэнер-
гетичные электроны проводимости могут пролетать мимо или
сквозь эти пики. Пороговая энергия, разделяющая эти элек-
троны, называется уровнем протекания, положение которого
по отношению к уровню Ферми определяет проводимость ма-
териала.
1.8. Колебания решетки
До сих пор мы рассматривали электроны и дырки в иде-
альном, совершенном кристалле, атомы которого фиксированы
в узлах решетки. В действительности, однако, дефекты ре-
шетки, примеси, дислокации и наличие границ могут сильно
повлиять на движение электронов. Кроме того, что очень
важно, атомы решетки постоянно совершают колебания около
ее узлов.
Это случайное движение атомов (тепловые колебания ре-
шетки) можно описать суперпозицией множества плоских волн,
соответствующих перемещению атомов, а именно:
= E Un
(1.8.1)
76
Глава 1
где U — смещение атома от положения равновесия, а выра-
жение
q, « 2n-/A, = Зтг/(2а)
qa « 2тг/Ла = ir/(2a)
Рис. 1.8.1. Атомная цепочка и два гармонических колебания с волновыми век-
торами qx = Зя/(2а) и = я/(2а).
Рис. 1.8.2. Линейная атомная цепочка, соединенная пружинами.
представляет плоские волны, называемые нормальными модами
атомных колебаний. Частоты этих волн зависят от относи-
тельных смещений атомов, т. е. от длины волны, и от направле-
ния распространения, т. е. от направления волнового вектора
q. Вследствие симметрии кристалла мы опять будем рассмат-
ривать значения вектора q только в первой зоне Бриллюэна
(см. рис. 1.6.2). На рис. 1.8.1 показана цепочка атомов, совер-
шающая два синусоидальных колебания с волновыми векто-
рами 71 = Зл/2а и 72=л/2а соответственно, где а — постоян-
ная решетки. Как следует из рисунка, в местах расположения
атомов амплитуды обоих колебаний одинаковы. Разность
71 — 72 = л/а равна вектору обратной решетки.
Зависимость частоты со от q можно понять, если рассмот-
реть колебания простой атомной цепочки (рис. 1.8.2), состоя-
щей из двух типов атомов с массой МА и Мв и удерживаемых
упругими силами (изображенными в виде пружинок с постоян-
ной упругости Fs). Предположим, что атомы могут смещаться
Основы физики полупроводников
77
только вдоль направления связей. Если смещение атома А
в ячейке с номером п равно Ua, п, а смещение ближайшего
к нему атома В равно UB, п, то сила, получающаяся в резуль-
тате деформации пружинок, соединяющих эти атомы, и дейст-
вующая на атом А, равна —Fs(UA,n— Ув,п). Знак минус озна-
чает, что направление действия силы противоположно смеще-
нию (Ua, п— Ub, л) п. Уравнения движения для каждого из
атомов имеют вид
МАиА,п------Fs(2UA,n - ив;п - ив, я + 1). (1.8.3)
MBUB, п = -Fs (2UB, n-UA,n-UA,n_,). (1.8.4)
Подставляя в эти уравнения эскпоненциальные решения
UAtn = UA^(iqna) (1.8.5)
и
UB,n— UBexp(iqna), (1.8.6)
получим
MAUA------Fs [2Ua -Ub(\ + ez’a)], (1.8.7)
MBUB------Fs [2UB - С/л О + (1.8.8)
Записывая решения в виде гармонических зависимостей
С/л = С/Аоехр(-г<оО. (1-8.9)
Uв = UBa exp (lat) (1.8.10)
и подставляя их в (1.8.7) и (1.8.8), получим следующее диспер- сионное уравнение, определяющее частоту о:
2Fs-MA<s? -Fs(\ + eiqa) -Fs{\-\-e~i4a} 2Fs-MB<i? = 0. (1.8.11)
Это уравнение имеет два решения
2 _ Fs Г, (, 4Л4sin д (?а/2) а~ м L V мл + мв (1.8.12)
2_ Fs Г, , (, 4Msin2 (?a/2) ' 0 М L +V МА + МВ n (1.8.13)
где М = (\/МА + l/Affl)-1 — нормированная масса.
Первая ветвь дисперсионного уравнения (со0) соответствует
акустическим, колебаниям, которые в предельном случае длин-
В действительности это не смещение, а относительное смещение, или
деформация.— Прим, перев.
78
Глава 1
ных волн (qa С 1) называются звуковыми волнами или зву-
ком. Дисперсионное уравнение звуковых волн имеет вид
« qa ^Fs/2 (МА + Мв). (1.8.14)
Длинные звуковые волны таковы, что соседние атомы колеб-
лются почти в фазе (рис. 1.8.3, а).
Ячейка п-1 Ячейка я А Ячейки п Ячейкап + \ Ячейка /7+2
А " В А ВАВА В АВ
Акустическая ветвь
а
Ячейка п-1 Ячейка /7-1 Ячейка п Ячейка Ячейка п*1
АВ АВ. АВ АВ АВ
Оптическая ветвь
О
Рис. 1.8.3. Смещения атомов в линейной цепочке: а — акустическая мода,
б — оптическая мода.
Вторая ветвь (соо) соответствует оптическим колебаниям
решетки. В длинноволновом пределе (qa <С 1) имеем
coo«V2F7M, (1.8.15)
т. е. частота не зависит от волнового вектора. При оптических
колебаниях с qa <С 1 атомы колеблются в противофазе
(рис. 1.8.3, б).
Следует отметить, что наличие оптической ветви связано
с различием свойств атомов, образующих элементарную ячейку.
Так, если в атомной цепочке МА = Мв (рис. 1.8.2), то оптиче-
ская ветвь будет эквивалентна акустической, приведенной
к первой зоне Бриллюэна, которая в два раза меньше зоны
Бриллюэна двухатомной цепочки. Действительно, при МА =
— Мв постоянная решетки становится равной а/2, благодаря
чему и происходит изменение величины первой зоны Бриллю-
эна в 2 раза (рис. 1.8.4).
Колебательный спектр трехмерной кристаллической решетки
более сложный. В этом случае имеется не 2S, а 35-ветви дис-
персионной кривой (S — число разных атомов элементарной
ячейки). Из них три ветви относятся к акустическим колеба-
ниям. В некоторых кристаллографических направлениях в ку-
бических кристаллах две акустические ветви имеют одну и ту
Основы физики полупроводников
79
же зависимость co(q) (т. е.
являются вырожденными).
При малых q эти ветви соот-
ветствуют поперечным звуко-
вым волнам
cstq, (1.8.16)
где cst — скорость поперечной
звуковой волны. Третья акусти-
ческая ветвь соответствует (при
qa 1) продольным звуковым
волнам
w/a « Csiq, (1.8.17)
где csi — скорость продольной
звуковой волны. Каждый тип
колебаний решетки связан
с различными типами фоно-
нов — квантов колебаний ре-
шетки.
Во многих кубических кри-
сталлах, например в кремнии
Рис. 1.8.4. Собственные частоты ко-
лебаний одномерной цепочки при
разном отношении Мв/Ма<
и германии, имеются одна продольная и две вырожденные по-
перечные оптические ветви колебаний решетки (на рис. 1.8.5
приведены соответствующие дисперсионные зависимости для
q/qm..
Рис. 1.8.5. Расчетные дисперсионные кривые для GaAs [38].
GaAs; LA и ТА — продольные и поперечные акустические ко-
лебания соответственно, LO и ТО — продольные и поперечные
оптические колебания соответственно).
В кристаллах с ковалентной связью, таких, как кремний
или германий, частота поперечных оптических фононов со/о стре-
мится к частоте продольных оптических фононов <oz0 при
В частично гетерополярных кристаллах, например в арсениде
Глава 1
SO
галлия, продольные колебания решетки сопровождаются перио-
дическими колебаниями дипольного момента, связанного с на-
личием двух подрешеток с противоположным зарядом. Это при-
водит к увеличению эффективной упругой постоянной, поэтому
частота продольной моды выше частоты поперечной моды, не
меняющей дипольный момент. Изменение дипольного момента
заряженных атомных подрешеток дает вклад в диэлектриче-
скую проницаемость ео полупроводника на частотах, меньших
частоты оптических колебаний, поскольку на этих частотах
атомные подрешетки реагируют на изменение внешнего элек-
трического поля. Типичные значения частот оптических коле-
баний лежат в инфракрасной области. На больших частотах
на подрешетках отражаются изменения внешнего электриче-
ского поля. Диэлектрическая проницаемость е«> на этих ча-
стотах определяется только движением электронов и является
величиной, меньшей чем ео. Как впервые было показано
Лиддардом, Саксом и Теллером, значения статической ео и вы-
сокочастотной е«> диэлектрических проницаемостей связаны
с частотами оптических колебаний следующим образом:
^"^(т2-)72- (1.8.18)
Это уравнение называют уравнением Лиддарда—Сакса—Тел-
лера.
В табл. 1.8.1 приведены значения частот оптических колеба-
ний для разных полупроводников [29].
Таблица 1.8.1. Частоты оптических колебаний в различных
полупроводниках [29]
Полупроводник Поперечная оптическая частота см~1 Продольная оптическая частота см“’
AlSb 318 345
GaAs 373,9 297,3
GaSb 230,5 240,3
InP 307 351
In As 218,9 243,3
InSb 184,7 197,0
Сильно упрощенное описание колебаний решетки можно
получить, основываясь на предположении, что все атомы ко-
леблются с одной частотой <о, так что их смещения имеют вид
(/ = [/osincof. (1.8.19)
Такая упрощенная модель называется моделью Эйнштейна.
Согласно рис. 1.8.4, модель Эйнштейна описывает оптические
Основы физики полупроводников
81
ветви колебаний решетки, состоящей из атомов с сильно раз-
личающимися массами.
Средняя энергия таких колебаний оценивается как
~ МТ
2 ~ 2 ’
(1.8.20)
где М — нормированная масса ячейки, См — эффективная ско-
рость атомов, а Т — температура решетки. Скорость атома, ко-
леблющегося с частотой со, задается выражением
Cm = (*Um, (1.8.21)
где
q = V2O? (1.8.22)
— характеристическая частота колебаний решетки, Fs — упру-
гая постоянная, Um — амплитуда колебания. Отсюда следует,
что
Конечно, в кристалле Um гораздо меньше, чем постоянная
решетки а. Когда температура растет так, что Um становится
значительной частью а (~15—20%), происходит плавление
кристалла.
Другая простая модель колебаний решетки — модель Де-
бая. В этом случае предполагается, что частота колебаний про-
порциональна волновому вектору, т. е.
со = csqt (1.8.24)
где cs — скорость звука. Эта модель адекватно описывает аку-
стические ветви и часто используются для оценки рассеяния
электронов на колебаниях решетки. Волновой вектор q в урав-
нении (1.8.24) изменяется от нуля до максимального значения
<7д, называемого волновым числом Дебая. Число Дебая выби-
рается так, чтобы полное число мод колебаний решетки в кри-
сталле заданных размеров равнялось числу разрешенных зна-
чений вектора q внутри сферы радиуса <?д. Можно показать
(см. задачу 1.8.2), что
^ = (6n2M),/s, (1.8.25)
где Vc — объем элементарной ячейки. Частота
®д = с^д (1.8.26)
называется частотой Дебая, а температура
©д = Tudpjk (1.8.27)
б Заказ № 304
82
Глава 1
— температурой Дебая. Температура Дебая — важный пара-
метр материала, используемый при расчете явлений переноса
в полупроводниках.
1.9. Подвижности и дрейфовые скорости
электронов и дырок
Скорость носителя заряда v в малом электрическом поле
пропорциональна напряженности этого поля
у = цЕ. (1.9.1)
Коэффициент пропорциональности ц называется подвижностью
в малых полях.
Уравнение (1.9.1) можно получить из уравнения движения
электрона в электрическом поле
тп = qE — Шпу/т, (1.9.2)
где тп — эффективная масса электрона. Первый член в правой
части уравнения (1.9.2) описывает ускорение электрона под
действием электрического поля, второй член описывает столк-
новения, вызванные колебаниями решетки, а также ее неодно-
родностями, примесями и дефектами. Этот член ограничивает
скорость электрона и его импульс. Поэтому временная кон-
станта т называется временем релаксации импульса. Обычно
т — величина порядка 10-12—10-14 с. На низких частотах левая
часть уравнения (1.9.2) мала по сравнению с каждым из чле-
нов в правой части, поэтому имеем
</Е»/и„у/т, (1.9.3)
откуда
у = 7тЕ/тп. (1.9.4)
В малых электрических полях параметры т и тп не зависят
от поля, так что v — цЕ, где
^ = qxlmn (1.9.5)
— подвижность в слабых полях. Следует подчеркнуть, что ли-
нейная зависимость дрейфовой скорости электрона от поля от-
сутствует в сильных полях, когда электрон может приобрести
за счет поля значительную энергию. Этот процесс можно опи-
сать следующим уравнением:
pftldt =<?Ev - (<Г - #о)/тг (1.9.6)
Здесь — энергия электрона, — 3kTI2q — энергия тепло-
вого равновесия, а тх — эффективное время релаксации энер-
Основы физики полупроводников
83
гии. Обычно значения находятся в диапазоне 10~н—10“13 с.
В состоянии покоя, когда d&/dt — 0, имеем
# = #0 + <7Еутг
(1.9.6а)
В малых электрических полях Е энергия равна В боль-
ших полях, однако, энергия сильно превышает в этом слу-
чае электроны называют го-
рячими. У горячих электро-
нов параметры т, и тп зави-
сят от поля, а дрейфовая ско-
рость уже не пропорциональ-
на напряженности поля.
Поведение скорости элек-
тронов в зависимости от
напряженности электричес-
кого поля в некоторых полу-
проводниках показано на
рис. 1.9.1. Как следует из
рисунка, в таких полупровод-
никах, как GaAs, InP или
в составном полупроводнике
InGaAs, скорость электро-
нов в определенном диапа-
зоне значений электричес-
кого поля падает с ростом
поля (этот важный эффект
подробно рассматривается в
гл. 6). Из рисунка, кроме
Напряженность электрического
поля, кВ/см
Рис. 1.9.1. Дрейфовая скорость электро-
нов в кремнии и составных полупровод-
никах при комнатной температуре
(в In^Gai-xAs х = 0,53).
того, следует, что составные
полупроводники по срав-
нению с кремниевыми обладают большим диапазоном измене-
ния скорости и более широкими возможностями для создания
быстродействующих устройств, поскольку электроны в них дви-
жутся быстрее. Более детально этот вопрос будет обсужден
в гл. 4 и 7.
Строгий вывод уравнения (1.9.5) основан на уравнении
Больцмана (см. разд. 1.13), использование которого вместе
с методом Монте-Карло (см. разд. 1.14) позволяет вычислять
зависимость дрейфовой скорости от напряженности поля для
любых полупроводниковых материалов.
Предыдущий анализ предполагает, что скорость электронов
зависит только от поля, что, например, значения дрейфовой
скорости в коротком и длинном образцах не отличаются, по-
скольку электрическое поле в них одно и то же. Это, однако,
справедливо только в достаточно длинных образцах, когда
6*
84
Глава 1
времена пролета t = L/v и 1т = Ь/ит.) где L — длина образца,
Ут — средняя тепловая скорость, определяемая соотношением
vT={3kTlmny'\ (1.9.7)
значительно больше времен релаксации импульса и энергии.
В случае очень малых длин, характерных для новейших при-
боров, время пролета становится столь малым, что в процессе
движения электроны не успевают испытать столкновения во-
обще. Такой тип явлений переноса называется баллистическим
переносом (см., например, [63]). Основные уравнения, описы-
вающие перенос электронов в сверхкоротких устройствах, рас-
сматриваются в разд. 1.15.
Подвижность в слабых полях ц определяется столкновениями
электронов с фононами и примесями. Эти процессы называ-
ются механизмами рассеяния. Время релаксации импульса т
приближенно можно выразить в виде
Т Ти пр Тн пр L Так Тноф ТПоф ТПп
где члены в правой части дают времена релаксации, обуслов-
ленные различными механизмами рассеяния, такими, как рас-
сеяние на ионизованной примеси (ти пр), нейтральной примеси
(тн пр), акустическое рассеяние (так), рассеяние на неполярных
оптических фононах (тНоф)> рассеяние на полярных оптических
фононах (тпоф) и рассеяние на пьезоэлектрическом потенциале
(тпп). Последние два типа рассеяния присутствуют только в ча-
стично гетерополярных кристаллах, например в GaAs. Обычно
при заданных температуре и концентрации примесей домини-
руют в основном два механизма рассеяния. В неполярных полу-
проводниках, таких, как кремний и германий, доминирует рас-
сеяние на акустических фононах и ионизованных примесях. Рас-
сеяние на неполярных оптических фононах в этих материалах
становится существенным в больших полях, обусловливая на-
сыщение скорости электронов и дырок. В арсениде галлия в сла-
бых полях доминирует рассеяние на полярных оптических фо-
нонах и ионизованных примесях. Рассеяние на акустических
фононах, называемое также рассеянием на деформационном
потенциале, и рассеяние на пьезоэлектрическом потенциале
преобладают в чистом GaAs при низких температурах. Относи-
тельный вклад трех основных механизмов рассеяния в арсениде
галлия показан на рис. 1.9.2 (по данным работ [7,67]). В боль-
ших полях в GaAs основной вклад вносят рассеяние на поляр-
ных оптических фононах и междолинное рассеяние, что при-
водит к отрицательной дифференциальной проводимости (см.
рис. 1.9.1, разд. 1.14 и гл. 6).
Основы физики полупроводников
85
Рис. 1.9.2. Температурная зависимость электронной холловской подвижности
для трех образцов GaAs п-типа при В = 5 кГс, Уо = 5-1013 см~3 (А),
1016 см“3 (5), 5*1015 см'3 (В) и сравнение ее с теоретическими результатами
(штриховые линии), учитывающими три основных механизма рассечения [7].
Рис. 1.9.3. Расчетная и измеренная
подвижности электронов в кремнии
при разном уровне легирования [36].
(Воспроизводится с разрешения.)
86
Глава 1
Времена релаксации, характерные для различных процессов
рассеяния, приведены, например, в работе [60]. В Приложе-
нии 23 собраны формулы, позволяющие рассчитать время ре-
лаксации импульса для различных механизмов рассеяния,
а также подвижности электронов и дырок в слабых полях. На
рис. 1.9.3—1.9.5 приведены значения подвижности электронов
Рис. 1.9.4. Расчетная и измеренная
подвижности электронов в крем-
нии от уровня легирования при
комнатной температуре [71]. (Вос-
производится с разрешения.)
Рис. 1.9.5. Измеренная подвижность ды-
рок в кремнии от уровня легирования
при комнатной температуре [6]. (Воспро-
изводится с разрешения.)
и дырок для разного уровня легирования и различных темпе-
ратур.
Скорость электронов и дырок в сильных полях зависит от
температуры и концентрации заряженных примесей NT =
= Na + В соответствии с результатами работ [18, 1, 68, 75]
скорость электронов в кремнии vn(E) можно аппроксимировать
выражением
Цп(Кт, Л —1 + (N°T/Ncn) V ’ (1.9.10)
Цт„ = 88(773ОО)-0'57 см2/(В • с), (1.9.11)
цоп = 7,4 • 108Т-2’33 см2/(В • с), (1.9.12)
v = 0,88(7’/300)"°’146, (1.9.13)
Ncn= 1,26 • 1017(Г/ЗОО)2,4 см"3. (1.9.14)
Основы физики полупроводников
87
Скорость насыщения vs для электронов и дырок, согласно
[68] и [75], имеет вид
t>, = 2,4. 107[1 + 0,8ехр(Г/600)] м/с. (1.9.15)
Скорость дырок в кремнии определяется соотношениями
цтр = 54 (Г/ЗОО)-0,57 см2/(В - с), (1.9.18)
Нор = 1,36 • 1087~2’33 см2/(В • с), (1.9.19)
Ncp = 2,35 • 1017(Г/300)2л см-3, (1.9.20)
v = 0,88(7’/300)_°’U6. (1.9.21)
Как можно видеть, величина v одна и та же для электронов
и дырок. Скорости насыщения электронов и дырок также при-
мерно одинаковы. Приведенные выражения получены для
основных носителей в кремнии. Подвижность неосновных носи-
телей может сильно отличаться от подвижности основных носи-
телей из-за электронно-дырочного рассеяния. Тем не менее
приведенные выражения часто используют и для неосновных
носителей из-за недостаточно полных экспериментальных дан-
ных (см., например, работу [75]).
1.10. Эффект Холла и магнитосопротивление
Обычные методы измерения подвижности включают иссле-
дования явлений переноса в магнитном поле. Рассмотрим полу-
проводник p-типа, помещенный в магнитное поле, как показано
на рис. 1.10.1. Если напряжение приложено к контактам 1 и 2,
то дырки будут перемещаться от контакта 1 к контакту 2 со
скоростью
vp = [ipE = [ipV/Lt (1.10.1)
где Е— напряженность электрического поля, L — длина об-
разца, Цр — подвижность дырок.
В магнитном поле В появляется сила Лоренца fL =
~ dv₽X В], отклоняющая дырки в сторону контакта 3. В ре-
зультате эта сторона образца заряжается положительно по
отношению к стороне 4, которая обедняется дырками. Величина
88
Глава 1
этих зарядов такова, что создаваемое ими поле уравновешивает
силу Лоренца
EH = VpB = fdq. (1.10.2)
(Мы предполагаем, что < 1.) Итак, между контактами 3
и 4 возникает разность потенциалов
VH — vpBd. (1.10.3)
Рис. 1.10.1. Эффект Холла в полу-
проводнике p-типа в магнитном
поле.
Этот эффект носит название эффекта Холла, контакты 3 и
4 называются холловскими контактами, а электрическое поле
Ен и разность потенциалов Ун — холловским полем и холлов-
ской разностью потенциала. Плотность электрического тока
равна
j = qpppE, (1.10.4)
так что
EH = BH(qp). (1.10.5)
Холловская разность потенциалов может быть записана в виде
VH = RBIIw, (1.10.6)
Основы физики полупроводников 89
где I = jwd — электрический ток, a w — толщина образца. Ве-
личина
Я=1/(<7/>) (1.Ю.7)
называется холловской константой. Отсюда находим подвиж-
ность
Нр = ор/?, (1.10.8)
где
= ЦЕ = qp\ip (1.10.9)
есть проводимость материала.
Проведенное нами рассмотрение позволяет понять физику
эффекта Холла, однако оно не вполне корректно. Мы предполо-
жили, что все дырки движутся с одной и той же скоростью vp.
В действительности эта скорость — лишь некоторая средняя
скорость, наложенная на неупорядоченное тепловое движение.
Некоторые дырки движутся быстрее, другие — медленнее.
Электрическое холловское поле одно и то же для всех дырок,
поэтому оно уравновешивает силу Лоренца, действующую на
каждую дырку, лишь в среднем. Более строгий анализ показы-
вает, что соотношения (1.7.10) и (1.10.8) следует записать
в виде
Я = гя/(<7Р). (1.10.7а)
Php = gpR, (1.10.8а)
где Гн — называется фактором Холла, а цнр — холловской по-
движностью дырок, причем
Ияр = гяНр. (1.10.9а)
Величина гн зависит от температуры, уровня легирования,
магнитного поля и других факторов. В приближении времени
релаксации в соответствии с работой [60] имеем
гн=<т2>/<т>2, (1.10.10)
где для невырожденного распределения носителей
<т> = 4/(3 Vn) J т (£) tf'1 exp (—^d&l(kT)>/2-, (1.10.11)
здесь т(^) — время релаксации импульса, зависящее от энер-
гии <?, а
оо
<т2> = 4/(3 л/л) J т2#’/2ехр (-^г-) с&ЩгТ)'1г. (1.10.12)
90
Глава 1
В частном случае, когда время релаксации можно записать
в виде
т==т»(^Г5’ (1.10.13)
где то и S— константы, интегралы в (1.10.11) и (1.10.12)
можно выразить через гамма-функцию Г
<т> =4/(3 7л) т0Г (5/2-3), (1.10.14)
(т2> = 4/(3 д/л)тоГ (5/2-2S) (1.10.15)
(значения гамма-функции приведены в табл. 1.10.1). На
рис. 1.10.2 представлены зависимости холловского фактора для
дырок в кремнии от температуры [69].
Аналогичные выражения можно получить и для электронов
^=_rHlqny (1.10.16)
= (1.10.17)
где цпя — холловская подвижность электронов, а
= (1.10.18)
Зависимость фактора Холла для электронов от температуры
в GaAs показана на рис. 1.10.3 [55].
Таблица 1,10.1. Гамма-функция Г (Shur, 1987)
Определение функции:
Г (х) = 5о° ехР (*”0 dt
х
Г(х)
1 1,00
1,25 1,5 1,75 2 0,906 0,886 0,919 1,00
Для целых положительных значений х:
Г(х) = (х—1)1
Величины Г(х) для х<1 и х>2 можно определить, используя следующие
формулы:
Г(х)==Г(х+1)/х,
Г(х) = (х—1)Г(х—1).
Пример: Г (2,5) = 1,5Г( 1,5) = 1,33
Основы физики полупроводников
91
Интересно рассмотреть эффект Холла в собственном полу-
проводнике. Как можно показать (см. задачу 1.10.1), в этом
случае постоянная Холла задается выражением
(1.10.19)
1 Цп/Цр — 1
Я/ Цл/мр + 1 ’
где щ — концентрация собственных носителей.
Рис. 1.10.2. Температурная зависи-
мость фактора Холла для дырок
в кремнии [69]. (© 1983 IEEE.)
Рис. 1.10.3. Температурная зависи-
мость фактора Холла для электронов
в GaAs в слабом магнитном поле [55].
Эффект Холла широко применяется в датчиках Холла (это
устройства, вырабатывающие электрический сигнал в соответ-
ствии с изменением величины магнитного поля). Холловские
датчики используются в панелях управления компьютерами,
где путем нажатия кнопки перемещают постоянный магнит
вблизи датчика, который представляет собой полупроводник
n-типа с четырьмя контактами (см. рис. 1.10.1). В современных
устройствах все контакты выполняются на поверхности крем-
ниевой пластины, и процесс изготовления таких датчиков со-
вместим с интегральной технологией. Движение магнита создает
магнитное поле порядка нескольких сотен гаусс. Типичное зна-
чение чувствительности холловского датчика, определяемое как
отношение холловского напряжения к магнитному полю, имеет
порядок нескольких десятков микровольт на гаусс. Поэтому,
нажимая кнопку на панели управления компьютером, мы по-
лучим напряжение порядка нескольких десятков милливольт,
которое затем усиливается до требуемого значения.
Холловское поле возникает как результат движения потока
носителей в направлении, перпендикулярном направлению
основного тока. Это движение вызывается магнитным полем.
Сначала носители движутся под углом
0 = arctg = arctg = arctg (цВ), (1.10.20}
92
Глава 1
называемым углом Холла. Здесь vx и vy — компоненты скоро-
сти в соответствующих направлениях (рис. 1.10.4). Затем носи-
Рис. 1.10.4. Линии электрического тока в полупроводниковых образцах
с d<^L (а) и d^>L (б).
тели собираются у одной из боковых граней образца, обедняя
при этом противоположную грань и создавая холловское элек-
трическое поле, которое компенсирует силу Лоренца, после чего
движение носителей в перпендикулярном направлении прекра-
щается.
Такой механизм, однако, указывает на то, что размеры
образца должны удовлетворять условию L dt в противном
случае холловское поле не образуется. Действительно, в про-
Основы физики полупроводников
93
тивоположном предельном случае L С d большинство носите-
лей, двигаясь под углом Холла, появляется на основном, а не
на боковом контакте (см. рис. 1.10.4,6), т. е. холловское поле
«закорачивается» этим контактом. В результате носители про-
ходят большее расстояние
L„ = L(\ +tg20)'/2, (1.10.21)
а компонента их продольной скорости уменьшается. Действи-
тельно, полагая холловское поле равным нулю, найдем
v = p(E4-vXB), (1.10.22)
где р — подвижность в слабом поле. Отсюда имеем
vx = ii(Ex + vyB), (1.10.23)
Vy = — \ivxB. (1.10.24)
(поскольку Ev = 0). Подставляя (1.10.24) в (1.10.23), получим
= С-10-25)
что означает, что эффективная подвижность в слабых полях цв
в образце с размерами Lid 1 в магнитном поле уменьшается
до величины
Ил = -4~2В2-. (1.10.26)
С этим связано увеличение сопротивления Ар в магнитном
поле (эффект геометрического магнитосопротивления) на ве-
личину
^- = (М)2, (1.10.27)
где р0 — сопротивление в слабом электрическом поле, равное
Р.-^, (1-10.28)
а п — концентрация носителей.
Измеряя геометрическое магнитосопротивление, можно найти
подвижность в слабых полях ц (см., например, [37]). Выраже-
ние (1.10.27) для магнитосопротивления справедливо, если хол-
ловское поле полностью закорочено, что выполняется лишь,
когда отношение L/d-^Q. Однако эти условия могут быть экс-
периментально воспроизведены в диске Корбино (рис. 1.10.5).
На рис. 1.10.6 показано изменение магнитосопротивления в за-
висимости от формы образца. Выражения, позволяющие рассчи-
тать геометрическое магнитосопротивление для произвольных
значений L/d, приведены, например, в работе [46].
94
Глава 1
Помимо рассмотренного выше геометрического магнитосо-
противления полупроводники обладают физическим магнитосо-
противлением, даже когда L!d-+<x>. Одной из причин этого
эффекта является разница скоростей носителей, связанная
с хаотическим тепловым движением. Поле Холла компенсирует
Рис. 1.10.5. Линии электрического тока в диске Корбино.
Рис. 1.10.6. Измеренное геометрическое магнитосопротивление в образцах
InSb разной формы [74, 46].
силу Лоренца лишь в среднем для множества носителей. Более
быстрые носители замедляются магнитным полем, более мед-
ленные— ускоряются. Однако быстрые носители замедляются
в среднем больше, чем ускоряются медленные. Результатом
является увеличение сопротивления образца. Величина этого
магнитосопротивления зависит от основных механизмов рассея-
ния. В частности, в случаях, когда зависимость времени релак-
сации от энергии может быть аппроксимирована функцией
/ & \~S
T=T»hH
физическое магнитосопротивление задается формулой [66]
Ар /г Г2 (5/2) Г (5/2 — 3S) ~1Г У-пп + РрР А
Ро IL Г3 (5/2 — S) ]\ ЦпП + ИрР J
’ ,Т (>.10.29)
L 1 (.O/Z—•J) J x №nn i ЦрР z )
При п > р имеем Ар/р ~ (цлВ)2, а при р > п Ар/р ~ (ррВ)2.
Однако при L/d <С 1 физическое магнитосопротивление значи-
тельно меньше, чем геометрическое.
Основы физики полупроводников 95
1.11. Уравнения переноса в полупроводниках
< учетом диффузии и зависимости скорости от поля
В слабых электрических полях плотность тока электронов
и дырок можно записать следующим образом:
j„ = q (пипЕ + Dn\ri), (1.11.1)
jp = <7(pp,pE Dp^p). (1.11.2)
Члены, стоящие в скобках, представляют собой дрейфовый
и диффузионный токи соответственно. Как было показано
в разд. 1.9, подвижности носителей в слабых полях соотносятся
с временами релаксации импульса и эффективными массами
следующим образом:
P-n = qrn/tnn, (1.11.3)
Up = qiplnip. (1.11.4)
Здесь тл, гр, тп, тр — времена релаксации импульса и эф-
фективные массы электронов и дырок соответственно.
В слабых электрических полях коэффициенты диффузии
связаны с подвижностями соотношением Эйнштейна
0п = МТ/<7, (1.11.5)
Dp^ppkT/q. (1.11.6)
Выражения (1.11.5) и (1.11.6) можно получить следующим
образом. Рассмотрим для простоты одномерный случай. Пред-
положим также, что имеются носители только n-типа с неодно-
родной концентрацией носителей (например, из-за неоднород-
ностей легирования) и что ток отсутствует (/ = 0). Тогда из
(1.11.1) найдем
0 = n\inE + Dn дп/дх. (1.11.7)
и г dV „
Напряженность электрического поля Е = —где V —
электрический потенциал, откуда имеем
= (1ЛЕ8)
здесь &с = —qV — дно зоны проводимости. Концентрация но-
сителей определяется выражением
n = Ncexp[(^F-^c)/kT], (1.11.9)
где Nc — эффективная плотность состояний в зоне проводимо-
сти, a — уровень Ферми. Тогда
-±- = —Nc ехр [(&f - &c)lkT} (kT)~l д&с/дх (1.11.10)
96
Глава 1
или
дп/дх ——n(kT)~‘д^с/дх. (1.11.11>
Подставляя уравнения (1.11.8) и (1.11.11) в (1.11.7), получим
выражение (1.11.5).
Как следует из этого вывода, уравнения (1.11.5) и (1.11.6)
справедливы для невырожденных полупроводников, поскольку
только в этом случае действительно равенство (1.11.9). При
более высоких концентрациях выражения (1.11.5) и (1.11.6)
следует изменить. Так, согласно работе [66], для электронного
коэффициента диффузии имеем
где Fi/2 и F-i/2—интегралы Ферми (см. Приложение 21). При
п < Nc это уравнение можно упростить [42], тогда получим
Dn = [1 + 0,35355 (-£-) - 9,9 • 10"3 (-jf-)’ +
+ 4,45 10-‘(-^-)8+ •••]. (1.11.56)
В сильных электрических полях носители разогреваются так,
что их энергия превышает среднюю тепловую энергию 3kT/2;
при этом изменяются условия рассеяния. Например, рассеяние на
ионизованных примесях становится менее значимым, поскольку
при движении с более высокими скоростями носители проводят
меньше времени вблизи рассеивающих центров. В то же время
увеличивается доля фононного рассеяния, поскольку вероят-
ность испускания фонона растет с возрастанием энергии. В ре-
зультате скорости электронов и дырок не пропорциональны
электрическому полю при больших полях (см. рис. 1.9.1). Ко-
эффициент диффузии также зависит от электрического поля
(см. разд. 1.14).
При моделировании явлений переноса электронов и дырок
как в слабых, так и в сильных полях, часто используются сле-
дующие феноменологические уравнения:
j„ = ^[-nvn(E) + Dn(E)vn], (1.11.12)
jp = <7 [Рур(Е) — £)р(Е) Vp]. (1.11.13)
Здесь vn(E), Vp(E), £>n(E) и £>P(E) считаются такими же функ-
циями электрического поля, как и для однородного образца
в стационарных условиях. В слабых электрических полях
v„ = —|т„Е, Ур = ЦрЕ
и уравнения (1.11.12) и (1.11.13) преобразуются в (1.11.1) и
(1.11.2). Анализ возможностей применения уравнений (1.11.12)
Основы физики полупроводников
97
Рис. 1.11.1. Дифференциальная по-
движность электронов в GaAs на раз-
ных частотах [52]. (Воспроизводится
с разрешения.)
и (1.11.13) в больших полях был дан в работе [10]. Эти урав-
нения не выводятся из первых принципов и могут привести
к значительным ошибкам в описании поведения горячих элек-
тронов.
На высоких частотах, сравнимых с обратным временем ре-
лаксации энергии (которое составляет ~2 пс для электронов
в центральном минимуме зоны
проводимости GaAs), не про-
исходит мгновенного измене-
ния скорости и диффузии при
изменении электрического по-
ля. Поэтому эффективная диф-
ференциальная подвижность,
например, становится частотно-
зависимой (рис. 1.11.1), а урав-
нения (1.11.12) и (1.11.13) не
выполняются.
Преимущество в исполь-
зовании уравнений (1.11.12)
и (1.1.13) или других аналогич-
ных уравнений с постоянными
коэффициентами диффузии за-
ключается в простоте их ана-
лиза, на основании которого можно сделать выводы о физике
устройств. В разд. 1.15 мы рассмотрим явления переноса элек-
тронов и дырок в коротких полупроводниковых устройствах,
для анализа которых были получены приближенные уравнения
вместо уравнений (1.11.12) и (1.11.13).
Уравнения (1.11.12), (1.11.13) [или уравнения (1.11.1),
(1.11.2) в слабых полях] следует решать совместно с уравне-
нием Пуассона
VE-p/e (1.11.14)
и уравнениями непрерывности
4Н yVl + G-Я, (1.11.15)
-7^-= —-|-vjp + O —/?. (1.U.16)
Здесь е — диэлектрическая проницаемость,
р = ^ (^ — — я р) + Рг (1.11.17)
— плотность пространственного заряда, ND — концентрация
ионизованных доноров, NA — концентрация ионизованных ак-
цепторов, рт — плотность заряда центров рекомбинации и ло-
7 Заказ № 304
98
Глава 1
вушек, G — скорость генерации электронно-дырочных пар
(из-за светового или ионизирующего облучения) и R— скорость
рекомбинации. Различные механизмы рекомбинации, а также
теория, позволяющая рассчитать рт и R, обсуждены в разд. 1.12.
Рассмотрим теперь применение основных уравнений полу-
проводника к почти нейтральной области, содержащей как элек-
троны, так и дырки с концентрациями пп и рп, большими чем
равновесные ппо и рп0. Примером здесь может служить область
полупроводника n-типа, облучаемая светом. Для простоты об-
ратимся к одномерной стационарной задаче, когда dn/dt = О
и dp/dt — 0, а уравнения непрерывности (1.11.15) и (1.11.16)
имеют вид
Оп-^ + цпЕ^ + цпга„-^+О-7? = °( (1.11.18)
Мы предположили, что полупроводник почти нейтральный,
т. е. суммарная плотность пространственного заряда почти
равна нулю, так что
/Zn /2до Рп Рпо- (1.11.20)
Исключим теперь член с дЕ1дх из уравнений непрерывности
(1.11.18) и (1.11.19). Умножая (1.11.18) на а (1.11.19) на
и складывая, получим
VpPnDn ~ h ^2 h ~~дх
— Цп^рПпЕ + (G — R)nnnn + (G — R)n.pPn = 0. (1.11.21)
Из условия квазинейтральности следует
дпп ~ дрп
дх ~ дх
и
д2пп ~ д2рп
дх2 ~ дх2
(1.11.22)
(1.11.23)
Используя (1.11.22) и (1.11.23), найдем из (1.11.21)
Da-^-iiaE^+G-R = 0, (1.11.24)
где
£>а =
+ fippn
(1.11.25)
Основы физики полупроводников
99
— коэффициент амбиполярной диффузии, а
Иа = ~ у (1.11.26)
№ппп ЦрРп
— коэффициент амбиполярной подвижности. Если пп >* рп, то
Da ~ Dp,
Цл Цр»
а уравнение (1.11.24) сводится к виду
dp-^—цРЕ-^ + а-/?=0 (1.11.27)
и является уравнением непрерывности неосновных носителей
(дырок) в образце «-типа. Это уравнение оказывается исклю-
чительно полезным для анализа различных полупроводниковых
устройств, таких, как р — «-переходы (гл. 2), биполярные
транзисторы (гл. 3) и элементы солнечных батарей (гл. 5).
Другое полезное уравнение для полупроводников может
быть выведено из вышеприведенных соотношений, если прене-
бречь зарядом ловушек рт в (1.11.17). Действительно, вычитая
(1.11.15) из (1.11.16), получим
p-^-(p-«) + v(jn + jp) = O. (1.11.28)
Пренебрегая членом рг в уравнении (1.11.17), найдем уравнение
р^-(р-«) = -^-. (1.11.29)
Подставляя выражение для-^-(р—п) в уравнение (1.11.29)
и используя уравнение Пуассона, получим соотношение
е-^- VE + V (j„ + jp) = 0, (1.11.30)
интегрирование которого по пространству дает
J(0 = Jn + jP + e^-. (1.11.31)
где j(Z) — плотность полного тока (включая ток смещения).
Вводя полный ток I в соответствии с
/ = $ jds, (1.11.32)
где s — поперечное сечение образца, для одномерного случая
получим равенство
/ = I/S.
(1.11.33)
7*
100
Глава 1
В слабых электрических полях, когда выполняются соотно-
шения Эйнштейна, плотность электрического тока можно выра-
зить через квазиуровень Ферми (понятие квазиуровня Ферми
для электронов &Fn и дырок &Fp рассматривается в разд. 1.12).
В невырожденных полупроводниках электронные и дырочные
квазиуровни Ферми определяются следующими уравнениями:
п = Nc exp ( ^Fn~ Sc ),
В отсутствие электрического поля <oFn и SFp совпадают
с уровнем Ферми. С использованием этих определений, найдем,
что
in = QP-ntlE + qDn = qp.nti -у -(
(1.11.34)
Аналогичным образом получим
• _ d#Fp
1р — ^рР~^—‘
(1.11.35)
Современные полупроводниковые приборы могут иметь
очень малые размеры (^0,1 мкм), а типичные рабочие напря-
жения составят несколько вольт, так что внутренние электри-
ческие поля очень большие (^104—105 В/см). Такие устрой-
ства могут работать на очень высоких частотах (>100 ГГц).
Как отмечалось, уравнения (1.11.12) и (1.11.13) при таких
условиях неверны. Они до некоторой степени могут оказаться
полезными для понимания явлений и принципов работы прибо-
ров, однако более точный анализ состоит в численном решении
уравнения переноса Больцмана (см. разд. 1.13) совместно
с уравнением Пуассона, а при очень малых размерах — и
с уравнением Шрёдингера. Однако трудности реализации такого
подхода связаны не только с огромными ресурсами, необходи-
мыми для вычислений, но и с отсутствием детальной информа-
ции о многочисленных параметрах материала, которые следует
задать для полного описания явлений переноса в сильном поле.
Поэтому были предложены более простые (но менее точные)
подходы к описанию этих явлений (некоторые из них обсужда-
ются в разд. 1.15).
•Основы физики полупроводников
101
1.12. Квазиуровни Ферми.
Генерация и рекомбинация носителей
В разд. 1.6 мы рассматривали концентрацию электронов и
дырок в условиях теплового равновесия, когда вероятность рас-
пределения электронов по состояниям задается функцией
Ферми—Дирака. Однако, если к полупроводнику приложить
сильное электрическое поле, функция
распределения совершенно изменится
(см. разд. 1.14, где описываются функции
распределения в сильных полях, вычис-
ляемые по методу Монте-Карло). В таких
неравновесных условиях концентрации
электронов и дырок не удовлетворяют
соотношению
2
(1.12.1)
да и само понятие уровня Ферми теряет
смысл. Неравновесные состояния в полу-
электронно-дырочной па-
ры фотоном.
проводнике возникают также в случаях,
когда происходит рождение электронно-дырочных пар, напри-
мер, под действием света. Фотоны с энергией, превышающей
величину запрещенной зоны, перебрасывают электроны из ва-
лентной зоны в зону проводимости, создавая, таким образом,
электронно-дырочную пару (рис. 1.12.1). Такие неравновесные
состояния удобно описывать функциями распределения электро-
нов и дырок, определяемыми в соответствии с равенствами
f„=l/{l +ехр [^-^Fn)/kT]}t
(1.12.2)
fP = 1/(1+ exp [(#FP~&)/kT]}
(1.12.3)
[сравните с выражениями (1.6.8) и (1.6.12)]. Соотношения
(1.12.2) и (1.12.3) могут рассматриваться как определения ве-
личин &Fp и Fn, называемых квазиуровнями Ферми для элек-
тронов и дырок (иногда их также называют Имреф-уровнями,
т. е. обратным названием слова «Ферми»). В состоянии равно-
весия <5Fp = ™ &f, однако в отсутствие равновесия
&Fp^&Etl и, кроме того, обе эти величины могут зависеть от
координат. Разность & Fn— $ fp может служить мерой отклоне-
ния от равновесия. В невырожденном случае имеем
f«~exp( kT )•
(1.12.4)
(1.12.5)
102
Глава I
Подставляя эти выражения в (1.6.9) и (1.6.13) и интегрируя,
получим
n — Nc ехр [(^п - Sc)lkT], (1.12.6)
p = Nv ехр [(&v - &Fp)/kT]. (1.12.7)
Другими словами, в этом случае квазиуровни Ферми про-
порциональны логарифму электронной или дырочной концен-
трации.
Попытаемся распространить эти понятия на случай, когда
приложенное электрическое поле приводит к сильному увели-
чению средней энергии случайного движения электронов и ды-
рок, вводя для этого эффективные величины электронной и ды-
рочной температуры.
Эффективная электронная температура 7\ = 2<§Г/3£, где
<S— энергия электронов (см. разд. 1.9). Тогда уравнения
(1.12.2) и (1.12.3) приводятся к виду
fn = 1/{ 1 + ехр [(# - &Fn)/kTe]}, (1.12.8)
fP =1/(1+ ехр [(&Fp - &)/kTp] |. (1.12.9)
Следует отметить, что введенные таким образом понятия элек-
тронной и дырочной температур могут быть не вполне кор-
ректны (см. разд. 1.14).
Понятие квазиуровней Ферми очень полезно практически,
поскольку в реальных полупроводниках концентрации могут
меняться в зависимости от координаты и приложенного поля
на несколько порядков, в то время как квазиуровни Ферми из-
меняются лишь в пределах запрещенной зоны, вблизи дна зоны
проводимости либо вблизи вершины валентной зоны, и за таким
изменением легче наблюдать.
Рассмотрим следующий пример. Пусть на полупроводнико-
вый образец, например GaAs n-типа с концентрацией доноров
Nd, падает свет. Свет полностью поглощается и порождает элек-
тронно-дырочные пары с плотностью Р. Таким образом, кон-
центрация электронов в образце равна
n^P + ND, (1.12.10)
а концентрация дырок
p^P + nl/ND. (1.12.11)
Электронный и дырочный квазиуровни Ферми, рассчитан-
ные по формулам (1.12.6), (1.12.7), (1.12.10) и (1.12.11), пока-
заны на рис. 1.12.2. Как можно видеть, при изменении Р от 108
до 1017 см~3 &Рп меняется от 1,25 до 1,35 эВ, а &fp— от 0,7 до
0,15 эВ.
Основы физики полупроводников
юз
Электронно-дырочные пары, возникающие в полупровод-
нике, рекомбинируют. Процесс рекомбинации идет более интен-
сивно по мере возрастания концентрации таких пар. Стацио-
нарное состояние достигается, когда скорость генерации G
уравновешивается скоростью рекомбинации /?, т. е.
G = R, (1.12.12)
Рис. 1.12.2. Квазиуровни Ферми электронов и дырок в п — GaAs при Т =*
-=300 К, 2Vd=1015cm-3, 7Vc = 4,7- 1017 см~3, Nv = 7- 1018 см~3, щ= 1,79-108 см"3.
Процессы рекомбинации включают прямую излучательную
рекомбинацию зона—зона, излучательную рекомбинацию зона—
примесь, безызлучательную рекомбинацию через ловушки и
поверхностную рекомбинацию.
Скорость излучательной рекомбинации зона—зона пропор-
циональна произведению пр. Для невырожденного полупровод-
ника имеем
R = Gynpln2t, (1.12.13)
где Gt — скорость тепловой генерации, так что в равновесии
пр = n2t, как и следует ожидать. Впервые выражение для
Gt было получено в работе [56], где показано, что
GT = 32л2(^7'//г)4 J (v)n*rx3rfx/[exp(x) — 1], (1.12.14)
где v — частота, пг — показатель преломления, x = hv/(kT),
$(х) = hca(x) / (4nkTnrx), с — скорость света, а — коэффициент
поглощения (его значения для различных материалов приве-
104
Глава I
дены в разд. 5.3). Числовой множитель перед интегралом
в (1.12.14) равен 1,785-1022 [Т(К)/300]4, см-3/с. Уравнение
(1.12.13) можно записать в виде
VR = CTnp. (1.12.15)
В стационарном состоянии
G = Сгпр = Cr (/Zq -|- Д/г) (р0 -|- Др),
(J-12.16)
/ где Дл = Др — концентрация избыточных
& электронов и дырок, а /г0, Ро — их равно-
весная концентрация (ПоРо = п2). Если
, у генерация пар обусловлена облучением
\ / светом, G пропорционально интенсивно-
\О/ сти этого облучения I.
Рассмотрим, например, полупровод-
примесньш у ш. ник /г-типа, в котором при равновесии
no = ND, где AG? — концентрация мелких
доноров, ро = n2JNd. При малых интен-
нои/ сивностях света, когда Ди <С NDt но Др
Ж/ . Д/i ft2/ NDt из (1.12.16) найдем, что
Рис. 1.12.3. Механизмы Д/г = Gxr, (1.12.17)
излучательной рекомби- жг ч
нации: а — зона—зона; где Хг=1/(Сг№о)—время жизни излу-
б — зона—примесь. нательной рекомбинации зона—зона. При
малой интенсивности света Д/г пропор-
ционально G, а значит, и I. При больших интенсивностях, когда
Д/г » /го, Ро, Д/г Др и G ж CjAn&p — Cr\n2, откуда Д/г про-
порционально л/G а значит, и л/1*
В полупроводниковых устройствах, работающих с испуска-
нием света, описанных, например, в разд. 5.3, часто излучатель-
ная рекомбинация зона—примесь (рис. 1.12.3,6) играет более
важную роль, чем излучательная рекомбинация зона—зона
(рис. 1.12.3, а). Время жизни такой рекомбинации равно
тг=1/В^л,
(1.12.18)
где Вг — коэффициент излучательной рекомбинации, a Na —
концентрация примесей, участвующих в этом процессе [28].
Во многих случаях доминирующим рекомбинационным ме-
ханизмом является рекомбинация на ловушках. Теория этого
явления была развита в работах Шокли—Рида и др. [59]. На
рис. 1.12.4 показаны четыре электронных и дырочных перехода,
связанные с этим механизмом. Когда электрон захватывается
свободной ловушкой, а затем этой же ловушкой захватывается
дырка, электронно-дырочная пара рекомбинирует. Обратный
Основы физики полупроводников
105
процесс — испускание электрона с занятой ловушки в зону про-
водимости и дырки из пустой ловушки в валентную зону.
Скорость захвата электронов ловушками Rnc, пропорцио-
нальная количеству электронов и количеству незанятых лову-
шек (1 — ft) Nt, равна
Rnc = Cnti(l-ft)Nt. (1.12.19)
Рис. 1.12.4. Электронные и дырочные переходы с рекомбинацией на ловуш-
ках: а — рекомбинируют захваченный на пустую ловушку электрон и захва-
тываемая затем на этот уровень дырка; б — обратный процесс: электрон ис-
пускается с заполненной ловушки в зону проводимости, затем дырка пере-
ходит из пустой ловушки в валентную зону.
Здесь ft — степень занятости уровней ловушек. Коэффициент
Сп можно представить в виде
С„ = а„«тп, (1.12.20)
где — сечение захвата электронов,
v-In = (3kT/mn)l/2 (1.12.21)
— тепловая скорость электронов, а тп — их эффективная
масса.
Скорость испускания электронов ловушками Rne, пропорцио-
нальная числу занятых ловушек ftNt, равна
Rne = enftNt. (1.12.22)
В равновесном состоянии
Rnc = Rne, (1.12.23)
106
Глава Г
поэтому
^o = ^o/(!“U (Ы2.24>
где
n0 =NC exp [(<ГГ - &c)/kT] (1.12.25}
— равновесная концентрация электронов, a ft — равновесная
степень занятости ловушек. Отношение fto/(1—fto) можно найти
с использованием функции распределения Ферми—Дирака
Ло/(1 ~ М = exp [- - &P)lkT], (1.12.26)
где &t — энергетический уровень ловушки. Отсюда и из
(1.12.24) получим
= (1.12.27)
где
nt = Nc exp [(<Г, - &c)/kT]. (1.12.28)
Разница между скоростями захвата и испускания электронов
задается соотношением
Rn = Rnc - Rne = CnNt [(1 - ft) n- ftnt}. (1.12.29)
Аналогично, для захвата и испускания дырок получим
RP = Rpc - Rpe = CpNt [ftp - (1 - ft) Ptl (1.12.30)
где
Cp = opuTp, (1.12.31)
op •— сечение захвата дырки,
Vrp = (3kT/mp)112 (1.12.32)
— тепловая скорость дырок, а тр— эффективная масса дырок.
В условиях равновесия никакого накопления заряда не происхо-
дит, так что электроны и дырки должны рекомбинировать па-
рами. Поэтому
7?р = (1.12.33)
где R — скорость рекомбинации. Степень занятости ft можно
найти из условия Rp = Rn> откуда
t ________nCn PfCp_______ zj 12 34У-
'* Cn(n+nt) + Cp(p + Pt)' (• >
Подставляя это выражение в (1.12.29), получим
pn — rfi
R = —, , \ , ,—г, (1.12.35>
tp/(« + «/) + Tn/(P + Pt) ’ k
Основы физики полупроводников
107
где tii — собственная кон-
центрация, хП1 и хР1 — вре-
мена жизни электронов и
дырок, равные
T«Z= 1/(УТпП/г^)-
(1.12.36)
xpi = l/(vTpOpNt)-
(1.12.37)
В частности, если элек-
троны — неосновные носи-
тели (т. е. п << р ж Nа, где
Na — концентрация мелких
ионизованных акцепторов,
р Pt, р nt), выражение
(1.12.35) приводится к виду
п п — По
Тп/ ’
(1.12.38)
где По = п1/Nd- Если же
дырки — неосновные носи-
тели (р С п ж Nd, где Nd —
концентрация мелких иони-
зованных доноров, п nt,
п^ pt), то из (1.12.35) по-
лучим
р Р Ро .
(1.12.39)
здесь pQ = n2i/NA- Времена
жизни электрона xni в крем-
нии p-типа и дырки хР1
а
Концентрация электронов,си
К
Рис. 1.12.5. Время жизни электронов (а)
и дырок (б) в кремнии n-типа в зави-
симости от концентрации примеси [72,
27]. (Воспроизводится с разрешения.)
в кремнии л-типа в зависи-
мости от концентрации ос-
новных носителей, которая
определяется уровнем леги-
рования, приведены на
рис. 1.12.5. Уменьшение времени жизни с ростом концентрации
при малых уровнях легирования можно объяснить увеличением
числа ловушек в легированных образцах. Если концентрация ло-
вушек пропорциональна уровню легирования, следует ожидать
зависимости т ~ 1/Nd-
108
Глава J
Однако, согласно рис. 1.12.6, б, при довольно высоких уровнях
легирования xPi падает с ростом концентрации быстрее, чем
1/Nd- Причиной этого является совершенно другой механизм
До рекомбинации
После рекомбинации
Рис. 1.12.6. Оже-рекомбинация в
образцах n-типа (а) и p-типа (б).
рекомбинации, называемый оже-рекомбинацией, проявляю-
щийся при очень высоких уровнях легирования. При оже-ре-
комбинации электрон и дырка рекомбинируют непосредственно,
не попадая в ловушку, а высвобождаемая при этом энергия
(порядка ширины запрещенной зоны) передается другому но-
сителю (дырке в материале p-типа и электрону в материале
и-типа). Эта рекомбинация (рис. 1.12.6) является обратным
процессом для процесса ударной ионизации, когда наиболее
энергичные носители порождают электронно-дырочные пары.
Поскольку при оже-рекомбинации взаимодействуют два элек-
трона или две дырки, время жизни, связанное с этим процессом,
обратно пропорционально квадрату концентрации основных но-
сителей. Так, для материалов p-типа имеем
T„z = 1/(Ср№л), (1.12.40)
а для и-типа
тр/=1/(0Л1>). (1.12.41)
В кремнии Ор = 9,9.10-32 см6/с, a Gn = 2,28-10-31 см6/с [25].
Основы физики полупроводников
109.
Во многих полупроводниковых приборах скорость рекомби-
нации очень высока вблизи поверхности за счет дополнитель-
ных дефектов и ловушек. Поэтому поток диффундирующих не-
основных носителей вблизи поверхности обусловлен поверх-
ностной рекомбинацией. Если, например, неосновные носители—
дырки, поверхностная рекомбинация на поверхностях х = 0
описывается уравнением
Dpdpfdx |х_0 = — Sp [рп (х = 0) — р„0], (1.12.42)
где Dp — коэффициент диффузии дырок, рп — их концентрация,
рпо = nt!Nd — равновесная концентрация дырок,
5р = ОрЦТрЛ^ (1.12.43)
скорость поверхностной рекомбинации, Nst — плотность поверх-
ностных ловушек. Уравнение (1.12.42) следует использовать
в качестве одного из двух граничных условий при решении
уравнения непрерывности (1.11.27) (см. задачу (1.12.2),
* 1.13. Уравнение переноса Больцмана
и скорости рассеяния
В кристалле с известной зонной структурой электроны можно
рассматривать как совокупность частиц с заданным соотноше-
нием между энергией <$ и волновым вектором к (см. разд. 1.5).
Движение такой частицы можно описать как движение точки
в шестимерном фазовом пространстве (г, к). Уравнение движе-
ния имеет вид
^k = ^(E + [vXB]). (1.13.1)
где v — скорость, Е — напряженность электрического поля, q —
заряд электрона, В — магнитная индукция, точка соответствует
дифференцированию по времени. Это уравнение можно срав-
нить с движением в свободном пространстве, где импульс элек-
трона равен
р =mnN = Лк, (1.13.2)
а скорость v = r [см. (1.1.13)]. В кристалле величина Лк на-
зывается квазиимпульсом, поскольку имеется множество экви-
валентных волновых векторов, отличающихся на вектор обрат-
ной решетки. Правая часть уравнения (1.13.1) описывает силу,
действующую на электрон со стороны внешнего электрического
и магнитного поля. Таким образом, уравнение (1.13.1)—это
запись второго закона Ньютона. В свободном пространстве ки-
нетическая энергия выражается соотношением = mv2/2 (или
по
Глава 1
<8 = tik2/2mn). В кристалле зависимость ^Г(к) может быть зна-
чительно более сложной (см. разд. 1.5), а
v = yVk<8’(k)- (1-13.3)
Уравнение (1.13.1) описывает свободное (или баллистиче-
ское) движение электрона в кристалле. Однако это баллистиче-
ское движение прерывается столкновениями, рассеянием на ко-
лебаниях решетки, дефектах и т. п. В большинстве случаев
столкновения происходят непрерывно, меняя скорость элек-
трона. Такие непрерывные столкновения можно описать как
мгновенное исчезновение частицы в одной точке и ее появление
в другой точке фазового пространства.
Среднее время заполнения частицей точки в фазовом про-
странстве называется функцией распределения f(k, г,/). В ре-
зультате рассеяния функция распределения может меняться, и ее
изменения определяются скоростью потока электронов v
в реальном пространстве, а также их скоростью в к-простран-
стве, которая выражается производной по времени к.
Уравнение, описывающее изменение функции распределения
во времени и в пространстве, называется уравнением переноса
Больцмана
g-+v-vrf + k-Vkf = (^)CT. (1-13.4)
Уравнение Больцмана можно интерпретировать как уравне-
ние непрерывности для функции распределения. Оно просто
устанавливает тот факт, что изменение функции распределения
во времени [первый член в левой части уравнения (1.13.4)]
определяется потоком электронов в реальном пространстве
(второй член в левой части), потоком в k-пространстве (третий
член), а также столкновениями, описываемыми правой частью
уравнения (1.13.4). Как отмечалось выше, уравнение Больцмана
основано на предположении, что столкновения происходят мгно-
венно. Это уравнение верно также в том случае, если внешние
поля не очень сильные, так что можно пренебречь переходами
зона—зона.
Член в правой части уравнения (1.13.4) называется инте-
гралом столкновений, поскольку он вычисляется путем интегри-
рования вероятностей перехода
me -wv
(1.13.5)
Интегрирование в (1.13.5) ведется по правой зоне Брил-
люэна, а член №(к, к')dVk< dt — условная вероятность перехода
Основы физики полупроводников
111
из состояния с волновым вектором к в состояние с к' в объеме
dVk' (в к-пространстве) за время dt при условии, что в началь-
ный момент электрон находится в состоянии к, а состояние к'
не занято. Первый член в подынтегральном выражении фор-
мулы (1.13.5) дает скорость увеличения /к(лО за счет пере-
ходов в это состояние из всех других состояний, а второй
член — скорость уменьшения fk(r, t) за счет переходов во все
другие состояния.
Согласно принципу детального равновесия, вероятности пе-
реходов с сохранением энергии должны быть симметричны по
символам начального и конечного состояний, т. е.
F(k, k') = W (к', к). (1.13.6)
Для таких процессов интеграл столкновений имеет более про-
стой вид
k')(fk,-fk)dV (1.13.7)
Для состояния равновесия во всем объеме уравнение Больц-
мана сводится к виду
©„-0. (1.13.8)
Можно показать, что решение этого уравнения есть
= exp [(<Tk - &f)/kT] + 1 ’ (1.13.9)
т. е. распределение Ферми—Дирака.
Если вероятности перехода не зависят от г и /, то уравнение
(1.13.8) верно также и для равновесного случая в неоднород-
ной системе. Примером такой системы является р — м-переход
или неоднородно-легированный полупроводник в отсутствие
тока (когда не приложено напряжение).
Общее неоднородно-равновесное решение уравнения Больц-
мана имеет вид
= exp + 9К)/*Г] + 1 ’ (1.13.10)
где V — электрический потенциал. Чтобы найти функцию рас-
пределения электронов в полупроводнике в присутствии внеш-
него электрического поля, необходимо решить уравнение Больц-
мана. Вероятности IF(k, kz) при этом находят с помощью так
называемого золотого правила квантовой механики
W (к, к')=-^-|Я|2д(<Г-<Г), (1.13.11)
112
Глава 1
где S и <£'— энергии начального и конечного состояний,
а | Н |2— квадрат модуля матричного элемента, зависящий от
механизма рассеяния. Если при рассеянии волновой вектор к
меняется не более чем на вектор обратной решетки, то
|Я|2 = А(7(к, к'), (1.13.12)
где Л — константа, определяемая типом рассеяния, а О(к, к') —
коэффициент перекрытия блоховских волновых функций на-
чального «к (г) и конечного uv (г) состояний, равный
(7 (к, к') = 1 $ ик (г) «к' (г) dr
| ячейка
(1.13.13)
Выражения для констант А для различных механизмов рассея-
ния приведены в работе [36]. Как отмечалось выше, наиболее
важные процессы рассеяния в полупроводниках — это рассея-
ние на фононах (или колебаниях решетки) и ионизованных
примесях. Длинноволновые акустические и оптические фононы
участвуют в однодолинном рассеянии (т. е. в переходах внутри
одной долины зоны проводимости), а фононы с волновыми
числами, близкими к границе первой зоны Бриллюэна, — в меж-
долинном рассеянии (в переходах между разными долинами;
см., например, рис. 1.5.7).
Рассеяние на полярных оптических фононах в частично ге-
терополярных кристаллах (например, в GaAs) обусловлено элек-
трическим полем, связанным с колебаниями противоположно
заряженных атомных подрешеток. Рассеяние на акустических
и неполярных фононах (в гомополярных кристаллах, подобных
кремнию) вызвано искажением энергетических зон колебаниями
решетки (это рассеяние часто называют рассеянием на дефор-
мационном потенциале).
Чтобы охарактеризовать относительную силу различных
механизмов рассеяния, часто бывает удобно ввести скорость
рассеяния
X(k) = Juz(k, k')dVk', (1.13.14)
которая равна вероятности рассеяния электрона с волновым
вектором к в единицу времени. Интегрирование здесь ведется
по первой зоне Бриллюэна.
Выражения для скоростей рассеяния, полученные из урав-
нений (1.13.1) и (1.13.11 — 1.13.14) в работе [57] приведены
в Приложении 22.
Рассеяние на полярных оптических фононах, так же как и
другие механизмы рассеяния на фононах, является в сущности
суперпозицией двух процессов — поглощения и испускания фо-
тона. На рис. 1.13.1 и 1.13.2 приведены скорости поглощения и
Основы физики полупроводников
113
испускания полярного оптического фонона при температурах
300 и 77 К. Рассеяние с испусканием полярного оптического
фонона становится эффективным, когда энергия электрона пре-
вышает энергию полярного оптического фонона. Как можно
О 0,1 0,2 0,3 0Л 0,5
Энергия, эВ
О 0,1 0,2 0,3 ОД 0,5
Энергия., эЗ
Рис. 1.13.1. Зависимость скорости
рассеяния электронов на полярных
оптических фононах от энергии
в (ООО)-долине GaAs при Г—300 К
[Shur М., GaAs Devices and Circuits,
New York, Plenum Publishing, 1987].
При расчетах использовались те же
параметры, что и в работе [26].
Рис. 1.13.2. Зависимость скорости
рассеяния электронов на полярных
оптических фононах от энергии в
(ООО)-долине при Т~71 К для
случаев поглощения (а) и испу-
скания (б) [Shur М., GaAs Devices
and Circuits, New York, Plenum
Publishing, 1987]. При расчетах
использовались те же параметры,
что и в работе {26].
В
видеть, скорости рассеяния с поглощением оптического фонона
очень малы при низких температурах, когда фононов очень
мало. В то же время процессы рассеяния с испусканием опти-
ческого фонона практически не зависят от температуры. То же
самое относится и к рассеянию на неполярных оптических фоно-
нах. Этот факт содержит объяснение температурных зависимо-
стей скорости электронов в слабых и сильных электрических
полях. В частности, можно ожидать, что скорость электронов
в сильных полях гораздо меньше зависит от температуры, чем
подвижность в слабых полях.
8 Заказ № 304
114
Глава I
ния на малый угол и (между
Рис. 1.13.3. Угловое распределение
вероятности рассеяния электронов
на полярных оптических фононах
в (ООО)-долине GaAs при 300 К
и энергии электронов 0,4 эВ [26].
делить среднюю дрейфовую
Помимо скоростей рассеяния необходимо знать распределе-
ние вероятностей волновых векторов в конечном состоянии, т. е.
возможные состояния после рассеяния, и зависимость этих ве-
роятностей от волнового вектора начального состояния. Для
рассеяния на полярном оптическом фононе вероятность рассся-
волновыми векторами начального
и конечного состояний) значи-
тельно выше, чем вероятность
рассеяния на большой угол. Это
иллюстрирует рис. 1.13.3 (расчет
вероятности рассеяния приведен
в Приложении 22). Другими сло-
вами, рассеяние на полярных оп-
тических фононах — это рассея-
ние вперед, т. е. рассеянные
электроны движутся преимуще-
ственно в том же направлении,,
что и до рассеяния.
После того как выяснены ме-
ханизмы и рассчитаны соответ-
ствующие скорости рассеяния, не-
обходимо решить уравнение Боль-
цмана, чтобы найти функцию рас-
пределения. Тогда можно опре-
скорость среднюю энергию
электронов & и др. путем интегрирования по правой зоне Брил-
люэна, например
(1.13.15)
В следующем разделе мы рассмотрим широко используемый
метод (метод Монте-Карло), моделирующий движение электро-
нов в полупроводниках в сильных полях без непосредственного
решения уравнения Больцмана.
В слабых электрических полях уравнение Больцмана может
быть решено аналитически, поскольку функция распределения
не слишком сильно отличается от равновесного распределения
Ферми—Дирака. Для упругого рассеяния (например, акустиче-
ского, пьезоэлектрического, рассеяния на примесях) можно ис-
пользовать приближение времени релаксации, в соответствии
с которым функция распределения имеет вид
f = fo + A, (1.13.16)
где fo — равновесная функция распределения Ферми — Дирака,
a fi — малая поправка, обусловленная внешним электрическим
полем. Интеграл столкновений (1.13.7) представляют в виде
Основы физики полупроводников
115
—fi/т, где т — время релаксации импульса, которое зависит от
волнового вектора к или — в изотропной среде — от энергии
Для длинных однородных образцов в стационарном состоя-
нии первые два члена в левой части уравнения Больцмана
(1.13.4) обращаются в нуль. Если магнитное поле отсутствует,
то временная производная волнового вектора равна где
Е—напряженность постоянного электрического поля, прило-
женного к полупроводнику. Градиент функции распределения
в k-пространстве можно записать как
Vkf = -^V^=-gr(lA)vk, (1.13.17)
где скорость Vk связана с волновым вектором к соотношением
vk = hk/mni
а тп — эффективная масса [см. уравнение (1.13.2)]. Итак,
уравнение Больцмана (1.13.4) принимает вид
9|kVkE=-4. (1.13.18)
откуда имеем
Л = -<7^-(укЕ)т. (1.13.19)
После нахождения fi можно вычислить дрейфовую скорость
согласно соотношению
vk[f0 + Mk)Pk
= ------------------
J f (к) dk
(1.13.20)
Здесь dk — бесконечно малый объем в к-пространстве, а ин-
тегрирование ведется по первой зоне Бриллюэна. Из (1.6.9)
получим
J f (к) dk = 4л3/г, (1.13.21)
где п — концентрация электронов в зоне проводимости. Далее
заметим, что интеграл $ Vk fodk пропорционален средней скоро-
сти в нулевом внешнем поле и, следовательно, равен нулю, от-
сюда
а*
4л3п
(1.13.22)
116
Глава Г
В простейшем случае отсутствия вырождения и параболиче-
ских зон имеем
f0 = exp(-^7t) (1.13.23>
[см. выражение (1.6.8а)].
Уровень Ферми можно выразить через электронную концентра-
цию. Так как в отсутствие вырождения справедливо
п = Усехр(- ), (1.13.24)
где Ус — плотность состояний в зоне проводимости, a —
энергия, соответствующая дну зоны [см. уравнение (1.6.26)],
то из (1.13.23) имеем
Л. ехр (-*=*-), (1.13.25}
тогда
"ЗУ = ~ ТЦкТ ехр ( (1.13.26)
Для простых параболических зон & = h2k2/(2mn) и
= (2^/т„)1/2. (1.13.27)
Скалярное произведение vkE вычисляется как
vkE = (2£7mn)I/2Ecos0, (1.13.28)
где 0 —угол между направлениями к и Е. Подставляя (1.13.26)
в (1.13.28), найдем
Л = АЙ? ехр (~ (^/mn)112 Ex cos 0. (1.13.29)
Как и ожидалось, скорость v<j пропорциональна напряженности
электрического поля (в случае слабого поля).
Вычислим теперь интеграл (1.13.22) в сферической системе
координат с осью z, направленной вдоль электрического поля
(рис. 1.13.4). Элемент объема в k-пространстве можно записать
в виде
dk = k2dkdq sin0d0, (1.13.30)
причем угол ф изменяется от —л до л, а угол 0 — от 0 до л.
Подставляя k2 = 2тп<£ №2 и dk = (tnnl2h2&yi в (1.13.30),
найдем
dk = m3W2 d& d(f sin 0 d0/(21/2a3).
(1.13.31)
Основы физики полупроводников
117
Обращаясь теперь к
интегралу (1.13.22), за-
метим, что из-за симмет-
рии задачи vd должно со-
впадать по направлению с
Е, поэтому, обозначая
соответствующую компо-
ненту vd через Е, имеем
$ vk cos Of (k) dk
(1.13.32)
Подынтегральное выра-
жение в (1.13.32) не за-
висит от ф, а
л
dtp = 2л.
(1.13.33)
Подставляя (1.13.27),
(1.13.29) и (1.13.31) в
(1.13.32) и интегрируя по
0, имеем
Л
$ cos2 0 sin 0 dQ =
о
i
= $ cos2 Bd (cos 0) = 2/3.
—I
Рис. 1.13.4, а — сферическая система коор-
динат и б — элементарный объем в сфери-
ческой системе координат.
(1.13.34)
Используя теперь
(1.13.33), (1.13.34) и вы-
ражение (1.6.17) для эф-
фективной плотности состояний Nc получим выражение, совпада-
ющее с формулой (1.9.1)
v = [iE,
где
а
д<Х>
тп ’
р =
(1.13.35)
(1.13.36)
оо
<т> = 4/(3 /л) $ т (#) #3/2 ехр (-&/kT) d&/(kT)5'2. (1.13.37)-
О
118
Глава 1
Это уравнение справедливо для невырожденного электрон-
ного состояния газа. Однако предыдущий вывод можно повто-
рить для произвольной статистики, что дает (см. работу [60])
выражение
kT^ г (S’) S'^dfo/dS’dS’
<*> = ~ 4 —=--------------------- (1 • 13.38)
$ S’1fads’
о
Во многих случаях время релаксации импульса т можно пред-
ставить в виде
т = т0^-\ (1.13.39)
где то и S — константы. Тогда интегралы (1.13.37) и (1.13.38)
можно выразить через гамма-функцию Г
<т> = 4/(3 Кя) ТоГ (5/2 - S), (1.13.37а)
<т> = 4/(3 /л) ГоГ (5/2 - S) Fi/2_s (rh)/FI/2 0i„), (1.13.38а)
где
оо
Г(х) = J tx^e~*dt.
б
(1.13.40)
Значения гамма-функции приведены в табл. 1.10.1. Выраже-
ния для времени релаксации импульса и подвижности в слабых
полях с учетом различных механизмов рассеяния в (1.13.36) и
(1.13.37) даны в Приложении 23.
* 1.14. Моделирование методом Монте-Карло
Метод Монте-Карло является стандартным методом моде-
лирования процессов переноса электронов и дырок в полупро-
водниках. Он основан на подходе, предложенном Куросавой
в 1966 г. [43]. Идея метода состоит в моделировании движения
электрона в k-пространстве с использованием случайных чисел,
описывающих случайный характер этого движения. Мы рас-
сматриваем свободное движение электрона, прерываемое про-
цессами рассеяния и продолжающееся вновь и вновь, но каж-
дый раз с новой начальной точки в k-пространстве. Если сле-
дить за одним электроном достаточно долго, то распределение
по длительности интервалов времени, проводимого электроном
вблизи той или иной точки в k-пространстве, будет соответство-
вать функции распределения f(k). Как было показано, эта про-
цедура эквивалентна решению уравнения Больцмана. Однако
Основы физики полупроводников
119»
метод Монте-Карло — это метод решения уравнения Больц-
мана, позволяющий обойтись даже без записи этого уравнения.
Во время свободного движения в промежутке между актами
рассеяния волновой вектор электрона меняется со скоростью^
определяемой внешним электрическим полем Е
k(O = ko + -^-f, (1.14.1)
где к0 — волновой вектор в начальный момент времени t = 0.
Уравнение (1.14.1) получено из (1.13.1) в отсутствие магнитного
поля В = 0 просто интегрированием по времени. При исполь-
зовании метода Монте-Карло моменты времени, в которые
происходят акты рассеяния, определяются с помощью случай-
ной числовой выборки, генерируемой ЭВМ.
Частота актов рассеяния зависит от суммарной скорости
рассеяния
Цк) = f МЮ. (1.14.2)
Г=1
где Х/(к) —скорости рассеяния для различных механизмов (см.
Приложение 22). Скорость рассеяния Х(к)—очень сложная
функция от к(/), что представляет определенные трудности для
моделирования актов рассеяния с заданным распределением
вероятностей. Эти трудности можно обойти, введя дополни-
тельно фиктивные акты рассеяния, не изменяющие волнового
вектора. Вероятность рассеяния в таком акте, называемом ак-
том саморассеяния, определяется выражением
Г0(к, k,) = Z0(k)d(k-k,)5 (1.14.3)
а функция Хо(к) выбирается так, что выполняется равенство
Z0(k) + Mk) = I\ (1.14.4)
где полная скорость рассеяния Г — константа, а 7.0 (к) — положи-
тельная величина. Теперь следует найти вероятность рассея-
ния, происходящего с постоянной скоростью Г. Чтобы найти
вероятность рассеяния электрона в промежуток времени между
t и t + dt, разделим временной интервал t на ряд очень малых
интервалов А/. Вероятность того, что электрон испытает рассея-
ние за время А/, равна
AP = TAt (1.14.5)
Следовательно, вероятность отсутствия рассеяния равна
1 - АР= 1 - Г At (1.14.6)
120
Глава 1
Вероятность того, что в течение времени t электрон будет
двигаться без рассеяния, равна
где N = t/At. Взяв логарифм от обеих частей равенства
(1.14.7), получим
1пР„ = 1п(1 -ГД0 + 1п(1 -ГД0 + ...4-ln (1 - ГАО- (1.14.8)
Если интервал Д/ выбран достаточно малым, то, разложив
(1.14.8) в ряд Тейлора, имеем
1пР„ = —Г3Д/— Г Д£ — ... — Г Д/, (1.14.9)
или
1пР„ = -П. (1.14.10)
Полная вероятность того, что электрон не рассеется за
время t, равна
Р„==е-Г<, (1.14.11)
а вероятность рассеяния электрона за это же время составит
Р = 1-Р„ = 1-е-г/, (1.14.12)
поэтому вероятность рассеяния за бесконечно малый интервал
времени между t и t + dt равна (dP/dt)dt или, дифференцируя
(1.14.12), можно записать
Р (t)dt = Ve~Tt dt. (1.14.13)
Здесь t — время, протекшее с момента предыдущего акта
рассеяния. Если /->оо, то вероятность стремится к 1, т. е.
\p(t)dt = \. (1.14.14)
о
Если t <С Г-1, то
P(t)dt&Vdt. (1.14.15)
Время свободного пробега ts можно теперь связать со слу-
чайным числом г, распределенным с равной вероятностью в ин-
тервале (0,1), r = J P(t)dt 0 (1.14.16)
или Г = 1 — в-™, (1.14.17)
откуда ^ = 2-In(l-r). (1.14.18)
Основы физики полупроводников
121'
При таком выборе ts распределение вероятностей Р согла-
суется с выражением (1.14.13).
После нахождения времени свободного пробега необходимо
определить тот процесс рассеяния, которым прервется свободное
Рис. 1.14.1. Процесс моделирования
методом Монте-Карло на примере
бросания кости. Длина стола Г, а
координата s места попадания ко-
сти — случайное число, равномерно
распределенное в промежутке (О, Г).
События 1—4 выбираются в соответ-
ствии с попаданием кости на участки
1—4 стола, размеры которых пропор-
циональны скоростям рассеяния Xj
(i=l, 2, 3, 4).
Рис. 1.14.2. Выбор конечного со-
стояния. Число конечных состоя-
ний с одной энергией (k'=const)
и одним углом 0 между к' и Е
пропорционально длине окружно-
сти 2n;k'sin 0.
движение. Поскольку вероятность того или иного процесса рас-
сеяния пропорциональна его скорости АДк) и Е?., = Г, про-
цесс можно выбрать, генерируя случайное число s, равномерно
распределенное между 0 и Г и удовлетворяющее неравенствам
т
S<£Ki(k) (1.14.19)
1=0
для т = 0, 1, 2...... п, где т — полное число учитываемых
механизмов рассеяния.
Если неравенство выполняется для т = 0, то выбирается
процесс саморассеяния, если для т = 1, то механизм рассея-
ния 1 и т. д. Процесс выбора иллюстрирует рис. 1.14.1 на при-
мере игрока, бросающего кость на игровой стол. Длина стола
равна Г. Игрок выбрасывает кость случайным образом. Коор-
122
Глава 1
дината кости s, отсчитываемая от края стола, — случайное
число, равномерно распределенное между нулем и Г. События
1, 2, 3 и 4 выбираются в зависимости от того, на какое поле
стола попадает кость. Размер f-го поля в направлении у про-
порционален скорости z-го процесса рассеяния 1/. Поэтому при
достаточно большом числе бросаний механизмы рассеяния вы-
бираются с частотой, пропорциональной их скорости рассеяния.
Следующий шаг — определение конечного состояния. Как
отмечалось в разд. 1.13, мы полагаем, что соударения мгно-
венны. В результате электрон, исчезая в точке к фазового про-
странства (начальное состояние), в тот же момент появляется
в точке к' (конечное состояние). Это новое состояние является
исходным положением для следующего свободного пролета,
т. е. стоит на месте к0 в формуле (1.14.1).
В случае саморассеяния конечное состояние известно, по-
скольку волновой вектор к [см. (1.14.3)] не изменяется.
Удобно выбирать Х0(к) и, следовательно, Г как можно мень-
шими, конечно, при условии Х0(к) > 0, чтобы свести к мини-
муму частоту выпадения саморассеяния.
При моделировании всех реальных процессов рассеяния не-
обходимо генерировать дополнительные случайные числа для
описания распределения конечных состояний. Для таких про-
цессов, как акустическое рассеяние в параболической долине
или междолинное рассеяние, все конечные состояния равнове-
роятны (см. Приложение 22). Поэтому вероятность того, что
угол между к' и направлением электрического поля 9 лежит
в интервале (9, 9 + dO) и пропорционален числу состояний
в круге радиуса | kf | sin 9, равна
Р (0) d8 = -Г sin 0 dQ (1.14.20)
(рис. 1.14.2).
Здесь 9 меняется от 0 до л, а У2 — нормировочный множи-
тель. Случайное число Si, равномерно распределенное между 0
и 1, выбирается в соответствии с формулой
в
S^PitydQ (1.14.21)
6
и дает распределение вероятностей для jP(9), описываемое
формулой (1.14.20). Подставляя (1.14.20) в (1.14.21), получим
распределение вероятностей конечного состояния
S( = y (1 -COS0). (1.14.22)
Для акустического рассеяния в непараболической долине (на-
пример, в Г-долине GaAs), а также для полярного оптического
Основы физики полупроводников 12&
рассеяния распределение вероятностей конечного состояния рас-
считывается по более сложным формулам [26].
В частном случае арсенида галлия, например, следует при-
нимать во внимание три типа долин (Г-, L- и Х-долины на
рис. 1.5.7), Функции распределения в этих долинах отыскива-
ются на основе гистограмм в пространстве (Лц, A_l), где kn
и k±_—составляющие волнового вектора, соответственно парал-
лельные и перпендикулярные полю. Количество событий в каж-
дой ячейке гистограммы пропорционально времени, проводи-
мому электроном в соответствующей области к-пространства.
Функция распределения fk может быть представлена в виде
fk = k(^) + fkE(0)»
где (<§Г) —ее симметричная часть, а /кн(0) —часть, завися-
щая от угла 0.
Симметричная часть функции распределения в Г- и L-доли-
нах арсенида галлия приведена на рис. 1.14.3 [51] и соответ-
ствует невырожденному случаю, т. е. случаю, когда в отсут-
ствие поля функция распределения имеет вид
fk = ехр [(£> - S)/kT] = (n/Ncyw (—&/kT)
согласно уравнениям (1.6.8а) и (1.6.26). Отсюда следует, что
зависимость логарифма fk от энергии может быть представлена
прямой линией с наклоном 1/(&Т) [или q!(kT), если энергия
выражена в эВ]. Интересно отметить, что зависимость лога-
рифма симметричной части функции распределения от энергии
fksi в L-долинах при Т = 300 К хорошо аппроксимируется
прямыми линиями с меньшими углами наклона (см.
рис. 1.14.3, а). Это значит, что соответствующая функция рас-
пределения может быть записана в виде
A^~exp(-W), (1.14.23)
где Те — электронная температура. Из кривых на рис. 1.14.3, а
находим, что при Е — 5 кВ/см Т^~420 К, при Е = 10 кВ/см
Те 657 К и при Е — 20 кВ/см Те ~ 1550 К. Однако, согласно
рис. 1.14.3,6, симметричная часть функции распределения в L-до-
линах существенно отлична от вида (1.14.23) при температуре
77 К.
Функция распределения в Г-долине также сильно отличается
от распределения Максвелла—Больцмана с эффективной элек-
тронной температурой Те. Более того, в сильных полях
(>10 кВ/см) функция распределения сильно растет с ростом
энергии, что противоречит формуле (1.14.23). Максимум функ-
ции распределения достигается при энергиях, близких к разно-
сти минимальных уровней X- и Г-долин.
124
Глава 1
Зная начальное и конечное состояния свободного пробега,
можно прямо рассчитать некоторые усредненные характера
Рис. 1.14.3. Зависимость от энергии сим-
метричной части функции распределения
электронов в Г-(сплошная) и L-(преры-
вистая линия) долинах при 300 и 77 К
[51]. (#гх =<Гг—&TL = <Гг
<£ьх=&х—&l ) Величины напряжен-
ности электрического поля отмечены на
рисунке.
стики, например дрейфовую
скорость. Так, согласно [26],
дрейфовая скорость в /-й
долине равна
(1.14.24)
где Sfn и Si — энергии ко-
нечного и начального со-
стояний свободного пробега,
a kj — полная долина элек-
тронной траектории в к-про-
странстве /*-й долины, рав-
ная
ь —qEt’
kl'~ tl •
(1.14.25)
Здесь tj — полное время пре-
бывания электрона в долине.
Суммирование в формуле
(1.14.24) производится по
всем состояниям свободного
пробега. Алгоритм, соответ-
ствующий методу Монте-
Карло, представлен в табл.
1.14.1.
Метод Монте-Карло по-
зволяет также рассчитывать
тензор коэффициентов диф-
фузии Dik, определяющий
диффузионный ток
/дифф = q Е Dikdnjdxt.
(1.14.26)
Здесь п — концентрация электронов, a i, 6=1, 2, 3 (%i —
= х, л'2 = у, х3 = г). В одномерном случае тензор Dtk стано-
вится скаляром D = \xkT/q (см. разд. 1.11).
Процесс диффузии связан с беспорядочным тепловым дви-
жением, которое можно проиллюстрировать на простом при-
мере, если предположить, что носители могут двигаться слу-
чайным образом и с равной вероятностью только вправо или
влево (одномерная модель). Рассмотрим две прилегающие об-
Основы физики полупроводников
125
Таблица 1.14.1. Алгоритм Монте-Карло
Генерирование случайного числа г и определение времени пролета.
Подсчет времени, проводимого электроном в каждой ячейке к-пространства,
дрейфовой скорости, средней энергии и т. п.
Генерирование случайных чисел, определяющих процесс рассеяния.
Повторение до набора необходимого числа актов рассеяния.
Вычисление функции распределения, средней энергии и т. п.
ласти, содержащие разное число электронов,
например слева электронов больше, чем спра-
ва (рис. 1.14.4). В среднем примерно поло-
вина электронов в каждой области будет
двигаться влево, а половина — вправо. Это
означает, что большее количество электронов
будет влетать в область, расположенную
справа, чем вылетать из нее влево, т. е. будет
происходить некоторое в среднем упорядочен-
ное движение электронов слева направо (диф-
фузионный ток). Величина диффузионного
тока пропорциональна градиенту концентра-
ции электронов п.
Компоненты тензора диффузии могут быть рис. 1.14.4. Про-
вычислены из анализа траекторий движения цесс ДиФФузии-
электронов, моделируемых по методу Монте-
Карло. Если х и у — расстояния, которые пролетает электрон
за время t по направлениям х и у, то тензор диффузии опреде-
ляется следующим образом:
Dxv==Tlii ('(х ~ ~ =
(1.14.27)
где < > означает усреднение по времени [51].
Типичные траектории электронов в k-пространстве и обыч-
ном двумерном пространстве, полученные методом Монте-Карло
для двумерного случая [53], показаны на рис. 1.14.5. Электри-
ческое поле приложено в направлении х. На рис. 1.14.5, а по-
казано изменение волнового вектора в процессах рассеяния
(прямые линии на этом рисунке — участки свободного пробега).
В реальном пространстве (рис. 1.14.6) траектория составлена
из параболических сегментов, а ее изломы соответствуют точ-
кам, в которых происходит рассеяние.
Чтобы воспроизвести картину переноса электронов в полу-
проводнике, необходимо смоделировать огромное число про-
цессов рассеяния. Как следует из рис. 1.14.6, для моделирова-
ния такого процесса и вычисления средней скорости дрейфа
126
Глава I
с достаточной точностью необходимо следить за электроном
в течение нескольких наносекунд. Поскольку среднее время
между двумя столкновениями составляет 10~13 с, при таком
моделировании требуется учесть десятки тысяч столкновений.
Рис. 1.14.5. Траектории движения
электрона в двумерном к-про-
странстве (а) и в реальном прост-
ранстве (б), полученные модели-
рованием по методу Монте-Карло
для восьми случайных событий
(• — начальная, * — конечная точ-
ки) [53].
Рис. 1.14.6. Зависимость дрейфо-
вой скорости в GaAs от времени
моделирования при Т=300 К [50]
(Е = 1,5 кВ/см, момент включе-
ния t = 0).
J___L
5
На рис. 1.14.7 и 1.14.8 представлены расчетные и измерен-
ные значения дрейфовой скорости и коэффициента диффузии
в кремнии при Т = 77 К [53] и 300 К [15]. Аналогичные за-
висимости для арсенида галлия [51] приведены на рис. 1.14.9.
Как можно видеть, во всех этих случаях согласие между экс-
периментальными данными и результатами расчета по методу
Монте-Карло очень хорошее. Следует, однако, иметь в виду,
что параметры механизма рассеяния, используемые при расче-
тах, известны недостаточно хорошо, и их следует «подгонять»,
чтобы достичь хорошего соответствия с экспериментом.
Методом Монте-Карло можно также воспользоваться для
описания явлений переноса в очень коротких образцах. В этих
задачах метод Монте-Карло следует применять не к одному,
а к тысячам электронов, распределенных в начальном равно-
весном состоянии вблизи волнового вектора ко. Сначала по
заданной геометрии прибора находят примерное распределение
электрического поля. Затем рассчитывают электронные траек-
Основы физики полупроводников
127
а
Рис. 1.14.7. Измеренные и расчетные кри-
вые зависимости дрейфовой скорости (а)
и коэффициента продольной диффузии (б)
при разной ориентации кристалла кремния
и Т=77 К [53].
Электроны в кремнии,
ТлЗООК
1,0
ToF А
----Параболическая
----Непараболичес-
кая
50 100 150
Электрическое поле, кВ/см
Рис. 1.14.8. Измеренные [15] и расчетные [53] кривые зависимости дрейфовой
скорости от электрического поля, направленного по оси <111> в кремнии
при Т = 300 К.
тории в этом поле, определяют общий заряд носителей и ре-
шают уравнение Пуассона для получения уточненного распре-
деления электрического поля. Процесс повторяется много раз,
поэтому, хотя количество соударений каждого электрона отно-
128
Глава 1
сительно невелико, число рассматриваемых частиц может быть
очень большим.
Рис. 1.14.9. Измеренные и расчетные кривые зависимости дрейфовой скоро-
сти (а) и коэффициента продольной диффузии (б) от напряженности поля
в GaAs при 300 К [51]. (Воспроизводится с разрешения.)
Например, авторы работы [33] моделировали поведение
5000 электронов в полевом транзисторе на арсениде галлия.
Это хотя и большое число, однако ничтожно малое в сравнении
с реальным числом электронов в приборе. До некоторой сте-
пени указанное противоречие может быть сглажено путем при-
писывания каждому модельному электрону заряда (и массы)
большого числа реальных электронов таким образом, чтобы
каждый такой суперэлектрон являлся их представителем. При
Основы физики полупроводников
129
данном подходе требуется значительное машинное время, од-
нако, по-видимому, только таким образом можно продвинуться
в понимании сложной физики этих приборов.
* 1.15. Феноменологические уравнения переноса
Как было отмечено в разд. 1.11, традиционные уравнения
полупроводников, базирующиеся на полевой зависимости ско-
рости и диффузии, неприменимы к моделированию сверхкорот-
ких приборов. Особенности физики таких приборов (см.
разд. 1.14) позволяет выяснить метод численного моделирова-
ния Монте-Карло. Однако в некоторых случаях было бы по-
лезно применение приближенных аналитических уравнений. Это
связано не только с огромными затратами машинного времени,
необходимыми при использовании метода Монте-Карло, но и
с отсутствием большого количества надежных данных о па-
раметрах механизмов рассеяния и зонной структуре. Такие
уравнения для горячих электронов были получены в приближе-
нии электронной температуры. Действительно, как указывалось
в разд. 1.14, симметричная часть функции распределения
в A-долинах зоны проводимости GaAs при 300 К может быть
аппроксимирована выражением
f = Cexp[-^/(feTe)]. (1.15.1)
Как мы уже видели, это довольно грубая аппроксимация,
не описывающая, в частности, электроны в Г-долинах GaAs
(см. рис. 1.14.3). Выражение (1.15.1) справедливо, когда элек-
троны обмениваются энергией посредством электрон-электрон-
ных соударений быстрее, чем теряют энергию за счет электрон-
фононного рассеяния. При более высоких электронных концен-
трациях электрон-электронные соударения перераспределяют
энергию и импульс в соответствии со смещенной функцией рас-
пределения Максвелла
НР)— "|5-2>
где р — импульс, р0 — импульс дрейфа, Те — электронная тем-
пература.
Чтобы уравнение (1.15.2) выполнялось, необходимо, чтобы
время между электрон-электронными столкновениями было
значительно меньше времени релаксации импульса. В случае,
когда число электронов в зоне проводимости определяется
числом ионизованных доноров, это условие не удовлетворяется,
поэтому смещенное распределение Максвелла (1.15.2) может
служить только грубой аппроксимацией.
9 Заказ № 304
130
Глава 1
Если, однако, принять эту функцию распределения, то из
уравнения Больцмана могут быть получены феноменологиче-
ские уравнения переноса [9]. Эти уравнения достаточно сложны
и могут давать неверные результаты, если истинное распреде-
ление сильно отличается от максвелловского (как, например,
в Г-долине GaAs в сильных полях). Здесь мы рассмотрим две
простые модели, базирующиеся на результатах расчета мето-
дом Монте-Карло в стационарном случае, а также обсудим
применение этих результатов к анализу коротких приборов
в неравновесном состоянии. Эти модели эмпирические и могут
быть обоснованы только путем сравнения результатов расчетов
с более строгими расчетами, либо с экспериментом — такова
цена их простоты и удобства.
Первая модель, предложенная автором работы [62] и раз-
витая в работах [16, 17], может быть названа моделью времени
релаксации, зависящего от энергии. Она описывает движение
электронов в коротких образцах или в быстро меняющихся по-
лях исходя из результатов моделирования Монте-Карло для
длинных образцов и стационарных состояний. Если пренебречь
диффузией, то уравнения этой модели имеют вид
dm (&) v с mv ,, < -
__ jE
dt п Tj (#) *
(1.15.4)
j = —qnv.
(1.15.5)
Здесь ЙГ — средняя энергия электрона, тр(^) —эффективное
время релаксации импульса, xg(^)—время релаксации энер-
гии, ^Q = ^kTot Tq — температура решетки, т(&)—эффек-
тивная масса электрона. Зависимости /п(^), тР(^) и (^)
определяются из расчета по методу Монте-Карло в стационар-
ном случае
Tp(g)_{"iE<X>ew'} • <115в>
к I qc (0) ]стац
8 —
<7{£(^)0 1£(^)]}стац ’
(1.15.7)
где нижний индекс указывает, что соответствующие зависимо-
сти берут из кривых, рассчитанных по методу Монте-Карло
в стационарном режиме. Как показали сравнения [62, 16, 17],
эти эмпирические формулы дают неплохое соответствие с рас-
четами по методу Монте-Карло в неравновесных случаях
(рис. 1.15.1), причем не только для GaAs, но и для InP и
Gao,471по,5з As [47].
Основы физики полупроводников
131
Зависимости стационарных значений, энергии и эффективной
массы от поля, рассчитанные согласно методу Монте-Карло,
Рис. 1.15.1. Зависимость скорости электронов от времени при подаче импульса
напряженности поля [16]. (Сплошные линии — решения феноменологических
уравнений в приближении времени релаксации, точки — моделирование по
методу Монте-Карло.)
приведены на рис. 1.15.2,
1.15.3 и 1.15.4. Эти зависи-
мости использовались для
определения параметров по-
левых транзисторов на
GaAs [17].
В коротких приборах,
где влияние диффузии
может быть существенно,
учесть его можно путем за-
писи выражения для плот-
ности тока
j = —qnv + qD (&) \п\
(1.15.8)
здесь D(&) — коэффициент
диффузии, также определя-
емый из результатов моде-
лирования
Другая
жение для
Рис. 1.15.2. Стационарная зависимость
дрейфовой скорости от напряженности
электрического поля [16]. (Nd —
= 1017 см-3 — сплошная линия, Nd =
= 3-1017 см”3 — прерывистая линия.)
методом Монте-Карло в стационарном случае.
модель была предложена в работе [70], где выра-
плотности тока имеет вид
j = qn(X, o[h(E)E + U7(B)^-+B(F)^] +
+ qD(E)^ + qA(E)^. (1.15.9)
9*
132
Глава 1
Здесь ц(£), !!/(£), В(Е), D(E) и А (Е) — подвижность, ко-
эффициенты градиента, скорости, диффузии и релаксации со-
ответственно. Два новых коэффициента были рассчитаны авто-
рами работы [41] с использованием метода Монте-Карло.
Предстоит еще большая работа по оценке этих моделей,
а возможно, и по выводу новых аналитических соотношений,
Электрическое лоле^Ъ/см
Рис. 1.15.3. Зависимость сред-
ней энергии электронов от на-
пряженности электрического
поля [16]. (Wd=1017 см-3 —
сплошная линия, Мл=ЗХ
Х’1017 см-3 — прерывистая ли-
ния.)
Рис. 1.15.4. Зависимость относительной
эффективной массы электрона от напря-
женности электрического поля [16].
(TVd = 1017 см-3 — сплошная линия,
Nd = 3 1017 см-3 — прерывистая линия.)
более адекватно описывающих сложные физические процессы,
происходящие в сверхкоротких приборах. В настоящее время
в этой области экспериментальные и технологические исследо-
вания опережают теорию.
Задачи
1.2.1. а) Найдите энергетические уровни и волновую функцию в беско-
нечно глубокой двумерной потенциальной яме:
U — 0 при 0<х<д 0<Zy<.b,
L' —оо вне этой области;
б) То же для бесконечно глубокой трехмерной ямы:
(7^0 при 0<х<а, 0<z<c,
Z7 —оо вне этой области.
1.2.2. Напишите и сравните электронные конфигурации для С, Si, Ge,
Ga, Al, P, As, N, No.
Пример. C—(ls22s22p2). Is2 означает, что при и— 1 имеются два s-элск-
трона (/—1); 2s2 — при п — 2 имеются два s-электрона (/=1); 2р2— при п=2
два р-электрона (/ = 2).
Указание. Используйте таблицу Менделеева.
Основы физики полупроводников
133
1.2.3. Движение частицы, на которую действует упругая сила, описыва-
ется уравнением
т + kx = 0,
и
ч
сз
С d
Расстояние т
Рис. 31.2.4.
Рис. 31.3.1. Зависимость пьезомодуля е
от ионности для некоторых составных
полупроводников [zXdachi, Л Appt. Phys.,
58, 3 (aug. 1985)].
где m— масса, k— упругая константа. Это
Степень ионности
уравнение можно записать в виде
где w-=\k[m— частота колебаний (это гармонический осциллятор). Средняя
энергия {$) гармонического осциллятора задается соотношением
<<^> = <p2>/(2m) + moj2<x2>/2, где <р2> и <х2>— средние значения р2 и х2.
Пользуясь принципом неопределенности, найдите нижнюю границу
Указание, (р2) > (Др)2, а (х2) > (Дх)2.
1.2.4. Найдите уровни энергии для частицы массы m в одномерной яме
(рис. 31.2.4.), описываемой уравнениями U = при х^О; (7 = 0 при 0<х<
<С U = U2 при х d. Рассмотрите также симметричную яму (U\ = U2)
и докажите, что в ней имеется по крайней мерс один энергетический уровень.
1.3.1. Пьезоэффектом называется явление возникновения электрического
поля в кристалле под воздействием механического напряжения. На рис.
31.3.1 приведена зависимость величины пьсзоконстанты (характеризующей
силу пьезоэффекта) от ионности различных кристаллов. Почему существует
сильная корреляция между ионностью и силой пьезоэффекта?
1.4.1. Пусть постоянная решетки а = 0,5 нм. Найдите объем элементарной
ячейки для простой кубической, гранецентрированной и объемноцентрирован-
ной решеток.
1.4.2. а) Каково число ближайших соседних атомов в простой кубиче-
ской, гранецентрированной (ГЦР), объемноцентрированной (ОЦР) решетках
и в решетке типа алмаза?
134
Глава 1
б) Чему равно число следующих после ближайших соседних атомов для
этих решеток?
1.4.3. Изобразите элементарные векторы решетки и найдите базисные
атомы для решетки типа алмаза.
Рис. 31.4.5.
1.4.4, Найдите плоскость (211) и направление [211] в кубической кри-
сталлической решетке.
1.4.5. а) Чему равны индексы Миллера для плоскостей, показанных на
рис. 31.4.5, а и б?
б) Чему равны индексы Миллера линий, образованных пересечением пло-
скости, показанной на рис. 1.4.5, б, с плоскостями [001], [010] и [100]?
1.4.6. Найдите угол а между двумя ближайшими связями в решетке
алмаза (рис. 31.4.6).
1.4.7. Ковалентные радиусы In и Sb равны соответственно 0,144 и
0,136 нм. Найдите постоянную решетки InSb и объем ее элементарной
ячейки.
Указание. Постоянная решетки равна длине стороны куба единичной ячейки.
1.5.1. Найдите базисные векторы обратных решеток для простой куби-
ческой решетки, ГЦР и ОЦР.
1.5.2. Вычислите вектор Ферми валентных электронов в Si, Ge и GaAs,
плотности которых равны соответственно 2,33, 5.33 и 5.32 г/см3, а постоян-
ные решеток 0,543, 0,564 и 0,565 нм.
1.5.3. Постройте зависимость энергии В (эВ) от волнового вектора к
в направлении [001] обратной решетки в первой зоне Бриллюэна. Сопоставьте
результаты с параболической зависимостью при той же эффективной массе.
Постоянная решетки для GaAs равна 0,565 нм. Эффективная масса электрона
Основы физики полупроводников
135
в центральной долине зоны проводимости m = 0,067m£?, где те=9Д 1 • 10~31 кг,
ширина запрещенной зоны <^# = 1,42 эВ.
1.5- 4. Разница энергий между низшей (Г-долины) и высшими долинами
в GaAs равна ~0,3 эВ. Предполагая, что электроны, достигающие этой энер-
гии, переходят в высшие долины, где плотность состояний выше, вычислите
максимальные скорость , импульс Рт и волновой вектор кп
1тах ' Хтах Хтах
электронов в Г-долине. Найдите также иг /ит кг а/2л и кг X, где
Хтах/ ° Хтах Хтах
х?т— тепловая скорость при 300 К, а — постоянная решетки, X — длина волны
де Бройля.
1.5.5. Рассмотрите замкнутую в кольцо цепочку из шести атомов.
Уравнение Шрёдингера для этой цепочки в матричной форме имеет вид
(^z-^)ipz- X -М* = 0, (1)
i
где — диагональные матричные элементы, J'k — обменные интегралы,
а ф/— волновые функции электронов у i-ro атома.
Предполагая, что равны J только обменные интегралы между ближай-
шими соседями, а остальные обменные интегралы равны нулю и диагональ-
ные элементы вычислите энергетический спектр цепочки.
Указание. Ищите решение уравнения Шредингера в виде ф^ = ае1®1 и исполь-
зуйте условие периодичности ф;+б—ф;.
1.5.6. Найдите и изобразите первую зону Бриллюэна для простой куби-
ческой, гране- и объемноцентрированной кубических решеток.
Указание. Найдите векторы решетки, вычислите Ki, Кг> Кз, а затем изобра-
зите их в К-пространстве.
1.5.7. Рассмотрите одномерную кристаллическую решетку с расстоянием
между атомами а^0,2 нм. Положите эффективную массу электрона равной
10"30 кг. При какой минимальной кинетической энергии электроны будут
испытывать брэгговское отражение?
Указание. Брэгговский волновой вектор кБ должен удовлетворять соотно-
шению 2кБК = №, где К — вектор обратной решетки, а А— его величина.
1.5.8. Зависимость энергии от волнового вектора к в Г-долине зоны
проводимости арсенида галлия может быть аппроксимирована выражением
(1 +а^)=-/,^2/2^,
где тп—эффективная масса при <S = 0, a-const. Вычислите зависимость
эффективной массы тп * от энергии.
1.5.9. Элементарная ячейка Вигнера—Зейтца образуется путем пересече-
ния плоскостями всех векторов решетки, исходящих из одного узла, и вы-
бора минимального объема, ограниченного пересекающимися плоскостями.
В двумерной решетке ячейка Вигнера—Зейтца образуется путем пересечения
векторов решетки перпендикулярными линиями и выбора фигуры минималь-
ной площади.
а) Постройте ячейку Вигнера—Зейтца для прямой центрированной ре-
шетки (рис. 31.5.9).
б) Найдите первую зону Бриллюэна для этой решетки (расстояние между
ближайшими соседями в решетке равно с).
1.5.10. Докажите (на примере двумерной решетки), что плоскости Брэгга
образуют границы зон Бриллюэна.
1.5.11. Найдите площадь первой зоны Бриллюэна для двумерной центри-
рованной квадратной решетки (см. рис. 31.5.9) при с = 0,3 нм.
1.6.1. Пользуясь уравнениями (1.6.16) и (1.6.28), найдите, при каком
►отношении n/Afc удовлетворяется условие вырожденности (<£> — <£с > 3kT).
136
Глава I
1.6.2. Произведение равновесных концентраций разных носителей в невы-
рожденном полупроводнике равно
пр == NCNv ex р (—<$g!kT) .
Рис. 31.5.9. Двумерная квад-
ратноцентрированная решетка.
Пусть плотность ионизованных доноров равна Nd. Выведите выражение для
пр в вырожденном полупроводнике /7-типа.
1.6.3. Предположите, что максимальная концентрация доноров может
быть достигнута, когда атомы доноров касаются друг друга [представьте их
сферами радиуса aBd = ав(епп/го) (melm!t},
где ав = 0,53 нм]. Оцените максимально
возможную концентрацию доноров для
GaAs (епп/ро ~ 12,9; melnin = 0,067).
Указание. Считайте, что атомы донора упа-
кованы с максимально возможной плот-
ностью.
1.6.4. Рассмотрите двумерную зонную
структуру с дисперсионным уравнением
зоны проводимости
h2
(это довольно реальная модель гетеро-
структуры в виде двумерной квантовой ямы).
Выведите выражение, связывающее плотность электронов п с уровнем
Ферми <$F и температурой Г:
а) в невырожденном случае;
б) в случае вырождения;
в) при произвольном расположении уровня Ферми относительно дна
зоны проводимости
1.6.5. Эффективная плотность состояний в зоне проводимости кремния
при комнатной температуре составляет 2,8-1019 см-3. Эффективная масса
электрона в кремнии равна 1,182 те при Г = 300 К и 1.077 т€ при Т = 77 К.
Предположим, что кремний легирован мелкими донорами до уровня 1016 см-
Выведите выражение для числа электронов, приходящихся на единичный
интервал энергий дп/д^ в зоне проводимости и постройте зависимость этой
величины от энергии при Т =77 и 300 К.
1.6.6. Рассмотрите одномерную «нить», вдоль которой электрон движется
свободно, в то время как его движение в двух других направлениях кванто-
вано. Найдите плотность состояний в подзоне, если дисперсионное
соотношение в подзоне имеет вид
&
2тп
Указание. dN = где dN— число состояний в интервале между
и & -\-d<S.
1.7.1. Проводимость кремния при тепловом равновесии задается выраже-
нием
0 = 7 (П11п + РЦр) ,
где = 0,1 м2/(В-с), = 0,03 м2/(В-с).
Собственная концентрация носителей при 300 К равна 1,5-1010 см 3. Обра-
зец кремния легируют донорами до уровня донорной концентрации Nd--~
—1016 см-3, а затем компенсируют акцепторами. При какой концентрации
акцепторов будет достигнута проводимость 1 (Ом-см)-1?
1.7.2. Постройте зависимость концентрации электронов и дырок от уровня
акцепторной примеси в диапазоне 1013—1017 см~3 для кремния при Г = 300 К
Основы физики полупроводников 137
при концентрации мелких доноров: а) 1015 см-3; б) 1016 см~3; собственная
концентрация кремния при этой температуре составляет 1,5-1010 см-3.
1.7.3. Выведите соотношение между энергией Ферми и концентрацией
электронов п для вырожденного двумерного электронного газа.
1.7.4. Выведите соотношение между энергией Ферми и концентра-
цией электронов п для вырожденного одномерного газа. Эффективная масса
электрона равна тп.
1.8.1. Рассмотрите линейную цепочку из 11 атомов массой М каждый.
Предположите, что концы цепочки фиксированы, а сила, действующая между
атомами с номерами I и /г, равна Тць = —x(xf--ь Рассчитайте час-
тоты атомных колебаний.
1.8.2. Упрощенная модель колебаний решетки называется моделью Дебая.
Предполагается, что частота колебаний решетки пропорциональна волновому
вектору q:
(о c5q,
где c.s — скорость звука. Волновой вектор q в этой формуле изменяется от
нуля до максимального значения *7д, где называется волновым вектором
Дебая. Волновой вектор Дебая выбирается таким образом, что полное число
мод колебаний кристалла заданного размера равно числу разрешенных зна-
чений q в сфере радиуса qПокажите (используя в качестве примера
простую кубическую решетку), что
где Ис — объем единичной ячейки.
1.9.1. Подвижность электронов в полупроводнике с заряженными приме-
сями можно увеличить, если добавить в пего дополнительно электроны, экра-
нирующие заряженные примеси.
а) Почему не уменьшается подвижность из-за электроп-электронного
рассеяния?
б) Рассчитайте электронную подвижность, ограниченную рассеянием на
заряженных примесях в кремнии, как функцию концентрации электронов
в диапазоне 1016—1018 см~3 при концентрации заряженных примесей 1016
и 1018 см-3 и Т = 300 К.
Указание. Воспользуйтесь уравнением, приведенным в Приложении 23.
1.10.1. Эффект Холла можно использовать для определения типа носите-
лей заряда в полупроводниковом материале. Покажите, что постоянная Хол-
ла R для собственного полупроводника определяется формулой
Я=—I------~ , (1.11.19)
qnt \LnlV4> +1
где гц— собственная концентрация носителей, а р.п и piP — подвижности
электронов и дырок соответственно.
Указание. Средние значения скорости электронов и дырок в направлении у
(vyp и vyn), перпендикулярном как магнитному полю Вг (направленному
по оси г), так и электрическому полю Ех (направленному по оси х), при-
мерно равны
vyn ~ > vyp ” V-pEy z^x•
Выведите выражения для (/-составляющей плотности тока /у, представьте
ее через гц р и эти скорости, затем используйте условие jy = Q.
1.12.1. Рассчитайте зависимость электронных и дырочных квазиуровней
Ферми в кремнии, легированном до 1016 см~3 при 300 К, от плотности Р
138
Глава Г
\ Свет
электронно-дырочных пар, порождаемых
светом, при следующих значениях пара-
метров:
Поверхностная рекомвинация
Скорость 3
X
Рис. 31.12.2.
Р(о}
109<Р< 1017см'\
при следующих параметрах:
Ор = 30 см2/(В • с),
Л<с = 2,8 - 1019см’3,
= 1,04 - Ю19 см’3,
п/= 1,45 . 1010 см’3’
1.12.2. Рассмотрите полупроводник
/2-типа (рис. 31.12.2). Ультрафиолетовое
излучение поглощается в очень тонком
слое вблизи поверхности, создавая кон-
центрацию ДЫрОК р(0) = б'ь/эфф.
На контакте с другой стороны об-
разца скорость поверхностной рекомби-
нации равна Sp = 1000, 105, 107 см/с.
Вычислите и изобразите распределение
дырок (стационарное) в пренебрежешь!
собственной дырочной провод пгетыо
tp~10“7c, L~ 10 мкм,
'эфф=10‘8с, 6Д=Ю24 1/(см3-с).
1.14.1. Смоделируйте траекторию электрона в k-прострапстве для квад-
ратной решетки. В начальном состоянии Лх = /гу = 0. Напряженность электри-
ческого поля ЕХ = ЕУ~ 107 В/м. Среднее время свободного пробега 1/Г~ 10"с.
Предположите, что столкновения настолько редки, что времена свободного
пробега определяются случайными числами в соответствии с выражением
(1.14.18). Направление волнового вектора к после столкновения — случайная
величина. Проследите за траекторией после 5, 10 и 100 соударений.
Литература
I. Arora N. D., Hauser J. R., Rulson D. J., IEEE Trans. Electron Devices,
ED-29, 292 (1982).
2. Ashcroft N. W., Mermin N. D., Solid State Physics, Holt, Rinehart, and
Winston, Philadelphia, 1976.
3. Ashida K-, Inoue M., Shirafuji J., Inuisi Y., J. Phys. Soc. Japan, 37, 408
(1974).
4. Awano Y., Tomizawa K-, Hashizume N., Kawashima M., Monte Carlo
Simulation of a Submicron Sized GaAs n+—i(n)—n+ Diode, Electronics
Letters, 18, 3, 133—134, Feb. (1982).
5. Baccarani G., Jacoboni C., Mazzone A., Solid State Electron., 20, 5 (1977).
6. Bennett H. S., Solid State Electron., 26, 1157 (1983).
7. Blakemore S., Semiconductor and Other Major Properties of GaAs, J. Appl.
Phys., 53, 10, R123—R181, Oct (1982).
8. Blokhintsev D. I., Principles of Quantum Mechanics, Allyn and Bacon,
Boston, 1964.
9. Blotekjaer K., Transport Equation for Two-Valley Semiconductors, IEEE
Trans. Electron. Devices, ED-17, 1, 38—47, Jan. (1970).
Основы физики полупроводников
139
10. Blotekjaer К., Lunde Е. В., Collision Integrals for Displaced Maxwellian
Distributions, Physica Status Solidi, 35, 581 (1969).
11 Bosch R., Thim H. W., IEEE Transactions on Electron. Devices, ED-21,
* 1, 16—25, Jan. (1974).
12. Braslau N., Hauge P. S., IEEE Trans. Electron. Dev., ED-17, 616 (1970).
13. Brooks H., Advances in Electronics and Electron Physics, vol. 7, ed. L. Mar-
ton, Academic Press, New York, 1955, p. 85.
14. Butcher P. N., Fawcett W., Hilsum C., A Simple Analysis of Stable Do-
main Propagation in the Gunn Effect, Brit. J. Appl. Phys., 17, 7, 841—850
(1966).
15. Canali C., Nava F., Reggiani L., Hot Electron Transport in Semiconductors,
in: Topics in Physics, vol. 58, ed. L. Reggiani, Springer-Verlag, Berlin,
1985.
16. Сарру A., Carnez B., Fauquembergues R., Salmer G., Constant E., Compa-
rative Potential Performance of Si, GaAs, GalnAs, InAs Submicrometer-
Gate FET’s, IEEE Trans, on Electron. Devices, ED-27, 11, 2158 (Nov.
1980).
17. Carnez В., Сарру A., Kaszinski A., Constant E., Salmer G., Modeling of
Submicron Gate Field-Effect Transistor Including Effects of Non-Statio-
nary Electron Dynamics, J. Appl. Phys., 51, 1 (1980).
18. Caugley D. M., Thomas R. E., Proc. IEEE, 55, 2192—2193 (1967).
19. Chelikowsky J. R., Cohen M. L., Nonlocal Pseudopotential Calculations for
the Electronic Structure of Eleven Diamond and Zine-Blende Semiconduc-
tors, Phys. Rev., B14, 556 (1976).
20. Conwell E., Weisskopf V. F., Phys. Rev., 77, 388, 1950.
21. Curtice W. R., Yun Y.-H., A Temperature Model for the GaAs MESFET,
IEEE Trans. Electron. Devices, ED-28, 8, 954—962 (Aug. 1981).
22. Dalal V. L., Appl. Phys. Lett., 16, 12, 489—491 (1970).
23. Dresselhaus G., Phys. Rev., 100, 580 (1955).
24. Dresselhaus G., Kip A. F., Kittel C., Phys. Rev., 98, 368 (1955).
25. Dziewior J., Schmid W., Appl. Phys. Lett., 31, 346 (1982).
26. Fawcett W., Boardman D. A., Swain S., Monte Carlo Determination of
Electron Transport Properties in Gallium Arsenide, I. Phys. Chem. Solids,
31, 1963—1970 (1970).
27. Fossum J. G., Mertens R. P., Lee D. S., Nijs J. F., Solid State Electron.,
26, 569 (1983).
28. Goodfellow R. C., Debnney В. T., Rees G. J., Buns J., IEEE Trans. Electron.
Devices, ED-32, 12, 2562 (Dec. 1985).
29. Haas M. et al., J. Phys. Chem. Solids, 8, 282 (1959).
30. Harrison W. A., Electronic Structure and Properties of Solids, W. H. Free-
man, San Francisco, 1980.
31. Harrison J. W., Kauser J. R., J. Appl. Phys., 47, 292 (1976).
32. Heine V., Pseudopotential Concept, Solid State Physics, Advances in Re-
search and Applications, vol. 24, Academic Press, New York, London, 1970.
33. Hesto P., Pone J. F., Castagne R., Pelouard J. L., The Physics of Sub-
micron Structures, ed. H. L. Grubin, K. Hess, G. J. lafrate, D. K. Ferry,
Plenum Press, New York, 1984, p. 101.
34. Houston A., Evans A. G. R.., Solid State Electron., 20, 197 (1977).
35. Jacoboni C., Canali C., Ottaviani G., Quaranta A., Solid State Electron.,
20, 77 (1977).
36. Jacoboni C., Reggiani L., Bulk Hot-Electron Properties of Cubic Semi-
conductors, Advances in Physics, 28, 4, 493—553 (1979).
37. Jervis T. R., Johnson E. F., Geometric Magnetoresistance and Hall Mobi-
lity in Gunn Effect Devices, Solid State Electron., 13, 181—189 (1970).
38. Johnston F. A., Cochran W., Proc. Int. Conf. Phys. Semicond. (Exeter
1962), London, 498 (1962).
39. Kane E. O., J. Phys. Chem., Solids, 1, 249 (1957).
140
Глава I
40. Kittel C., Introduction to Solid State Physics, John Wiley & Sons, 1976.
41. Kizialyalli I. C., Hess K., IEEE Trans. Electron. Devices, ED-34, 11, 2353--
2354 (Nov. 1987).
42. Kroemer H., The Einstein Relation for Degenerate Carrier Concentration,
IEEE Trans. Electron, Dev., ED-25, 850 (1978).
43. Kurosawa T., J. Phys. Soc. Jap. Suppl., 21, 424 (1966).
44. Lee С. P., Zucca R., Welch В. M., Orientation Effect on Planar GaAs
Schottky Barrier Field Effect Transistors, Appl. Phys. Lett., 37, 3, 311 —
314 (Aug. 1980).
45. Lee K., Shur M. S., Drummond T. J., Morko$ H., J. Appl. Phys., 54, 2093
(1983).
46. Madelung O., Physics of III—IV Compounds, John Wiley & Sons, New
York, 1964.
47. Nussbaum A., Semiconductor Device Physics, Prentice-Hall, Englewood
Cliffs, N. J., 1962.
48. Parmenter R. H., Phys. Rev., 100, 573 (1955).
49. Phillips J. C., Bonds and Bands in Semiconductors, Academic Press, New
York, 1973.
50. Пожела Ю. К. Плазма и токовые неустойчивости в полупроводниках.—
М.: Наука, 1977.
51. Pozhela Yu. К<, Reklaitis A., Electron Transport Properties in GaAs at High
Electric Fields, Solid-State Electronics, 23, 927—933 (1980).
52. Rees H. D., Hot Electron Effects at Microwave Frequencies in GaAs, Solid
Stale Comm., 7, 2, 267—269 (1969).
53. Reggiani L., Hot Electron Transport in Semiconductors, in: Topics in
Physics, vol. 58, ed. L. Reggiani, Springer-Verlag, Berlin, 1985, p. 7.
54. Rode D. L., Phys. Rev., B2, 4, 1012—1024 (Aug. 1970).
55. Rode D. L., Semiconductors and Semimetals, ed. R. K- Willardson and
A. C. Beer, Academic Press, New York, vol. 10, 1975, p. 1.
56. van Roosbroeck W., Shockley W., Phys. Rev., 94, 1558 (1954).
57. Ruch J. G., Fawcett W., Temperature Dependence of the Transport Pro-
perties of Gallium Arsenide Determined by a Monte Carlo Method, J. Appl.
Phys., 41, 9, 3843—3849 (Aug. 1970).
58. Ruch G, Kino G. S., Phys. Rev., 174, 921 (1968).
59. Sah С. T., Noyce R. N., Shockley W., Carrier Generation and Recombi-
nation in p-n Junction and p-n Junction Characteristics, Proc. IRE, 45,
1228 (1957).
60. Seeger K., Semiconductor Physics, An Introduction, Series in Solid-State
Sciences, vol. 40, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,
1985.
61. Shklovkii В. I., Efros A. L., Electronic Properties of Doped Semiconductors,
Springer Series in Solid State Sciences, vol. 45, Springer-Verlag, 1984.
62. Shur M. S., Influence of Non-Uniform Field Distribution on Frequency
Limits of GaAs Field-Effect Transistors, Electron Letters, 12, 23, 615—616
(Nov. 1976).
63. Shur M. S., Eastman L. F., Ballistic Transport in Semiconductors at Low-
Temperatures for Low Power High Speed Logic, IEEE Trans. Electron.
Devices, ED-26, 11, 1677—1683 (Nov. 1979).
64. Shur M. S., Hyun C., Hack M., New High Field-Effect Mobility Regimes
of Amorphous Silicon Alloy Thin-Film Transistor Operation, J. of Applied
Phys., 59, 7, 2488 (1986).
65. Smith P. M., Inoue M., Frey J., Appl. Phys. Lett., 39, 797 (1980).
66. Smith R. A., Semiconductors, 2nd ed., Cambridge University Press, Cam-
bridge, London, New York, Melbourne, Sydney, 1978.
67. Stillman G. E., Wolfe С. M., Dimmock J. O., J. Phys. Chem. Solids, 31»
1199 (1970).
Основы физики полупроводников
141
68. Sze S. М., Physics of Semiconductor Devices, John Wiley & Sons, New
York, 1981.
69. Szmilovicz F., Madarasz F. L., Phys. Rev., B27, 2605 (1983).
70. Thornber К. K., IEEE Electron. Device Letters, EDL-3, 3, 69—71 (1982).
71. Tosic T. I., Tjapkin D. A., Jevtic M. M., Solid State Electron., 24, 577
(1981).
72. Tyagi M. S., van Overstraaten R., Solid State Electron., 26, 577 (1983).
73. Vareikis V., Galdikas A., Milisyte R., Viktoravicius V., Program and Papers
of 5th I nt. Conf, on Noise in Physical Systems, 212, 13—16 March, Bad
Nauheim, W. Germany (1978).
74. Weiss H., Welker H., Zs. Phys., 138, 322 (1963).
75. Yu Z., Dutton R. W., Sedan HI: A General Electronic Material Device
Analysis Program, program manual, Stanford University (July 1985).
76. Ziman J. M., Electrons and Phonons, Oxford University Press, London,
1960.
2
р—п- переходы, барьеры Шоттки,
гетеропереходы и омические контакты
2.1. Введение
Базовыми конструктивными элементами любого полупровод-
никового прибора являются контактные области между двумя
материалами. Это плавные или резкие переходы между двумя
областями полупроводника с различной концентрацией и со-
ставом легирующей примеси, между двумя полупроводниками
различного состава (гетеропереходы), контакты между полу-
проводником и металлом, полупроводником и диэлектриком.
В этой главе будут рассмотрены основные теории контактов.
Наиболее полно развита теория р—«-переходов и резких кон-
тактов металл—полупроводник. Знания о гетеропереходах и
омических контактах менее точны. Омические контакты необ-
ходимы для соединения внешних источников напряжения или
тока с полупроводниковым прибором и элементов схемы между
собой. В идеальном случае они должны как можно меньше
воздействовать на работу прибора, но на практике влияние
омических контактов часто весьма значительно. Кроме того, и
в настоящее время изготовление омических контактов является
скорее искусством, чем научным процессом. В начале этой
главы будут рассмотрены р — «-переходы и контакты металл—
полупроводник. Затем мы попытаемся применить введенные
основные понятия для описания омических контактов и гетеро-
переходов.
2.2. р—n-переход при нулевом смещении
Для понимания физики полупроводникового прибора тра-
диционным является метод изображения и анализа его зонной
энергетической диаграммы, на которой дно зоны проводимости,
потолок валентной зоны и уровень Ферми есть функции рас-
стояния. Энергетические диаграммы полупроводника п- и р-типа
показаны на рис. 2.2.1, а и б. Уровень Ферми в материале «-типа
ближе к дну зоны проводимости, а в материале р-типа— к по-
толку валентной зоны. Рассмотрим теперь, что произойдет, если
осуществить контакт р- и «-областей. В условиях равновесия,
когда внешнее напряжение отсутствует, уровень Ферми должен
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
143
быть одинаковым во всем образце полупроводника. До тех пор
пока равновесие не установится и уровень Ферми не станет по-
стоянным для всех областей, в соответствии с формулами
(1.11.34) и (1.11.35) будет протекать электрический ток:
+ (2-2.1)
' Зона проводимости
Зона проводимости
Уровень Ферми
Валентная зона
п -тип
а
Уровень Ферми
Валентная зона
р-тип
б
Зона проводимости
Уровень Ферми
Валентная зона
в
Рис. 2.2.1. Зонные энергетические диаграммы: а — полупроводник п-типа;
б — полупроводник p-типа, в — р—п-переход.
Условие постоянства уровня Ферми определяет вид зонной
энергетической диаграммы, изображенной на рис. 2.2.1,в. Кон-
центрация носителей определяется положением уровня Ферми
на зонной энергетической диаграмме. В случае невырожден-
ного полупроводника имеем соотношение [см. выражения
(1.6.26) и (1.6.27)]:
n = 7Vcexp—
(2.2.2)
(2.2.3)
^“^F
р = Afvexp
kT
144
Глава 2
Как можно видеть, в области р — n-перехода энергетические
зоны наклонены и концентрация электронов гораздо меньше,
чем в л-области, где п « ND и энергетические зоны плоские.
Как и следовало ожидать, концентрация электронов в области
р— л-перехода изменяется от п = ппа = ND в полупроводнике
л-типа до п — Про — iu/Na в полупроводнике p-типа, где ппо и
Рис. 2.2.2. Распределение концентрации электронов и дырок в кремниевом
р—n-переходе. Кривые получены с помощью программы PLOTF. BAS с под-
программами PPNJN. BAS. При расчете использованы следующие параметры:
ширина запрещенной зоны <^=1,12 эВ, Мс — 3,22 *1019 см"3, 1,83Х
Х1019 см-3, е= 1,054-10”10 Ф/м.
лр0 — равновесная концентрация электронов в л- и р-областях
соответственно (рис. 2.2.2). Из формул (2.2.2) и (2.2.3) следует,
что концентрация электронов и дырок изменяется в е раз при
изменении потенциала на Кт = kT/q (25,8 мВ при комнатной
температуре). Разность потенциалов на всем р — л-переходе
обычно составляет несколько десятых вольта, т. е. сильно пре-
вышает kT/q и зависит от уровня легирования, ширины запре-
щенной зоны, эффективной плотности состояний в валентной
зоне и зоне проводимости. Таким образом, практически во всей
переходной области
n<&ND, P^Na (2.2.4)
и вследствие этого полная плотность заряда в n-области пере-
хода равна
pn « qND,
(2.2.5)
р— «-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы 145
а в p-области составляет
— qNA. (2.2.6)
где Nd и Na — концентрация мелких (полностью ионизованных)
доноров и акцепторов. Мы предполагаем, что в п- и р-областях
образца п = ND и р — NA-
Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) соответствуют приближению
полного обеднения р — n-перехода. Переходная область часто
называется обедненной областью или областью пространствен-
ного заряда.
Следует обратить внимание на то, что полное обеднение
отнюдь не означает отсутствие в обедненной области носителей
заряда. Согласно рис. 2.2.2, в обедненной области не только
имеются электроны и дырки, но их концентрация такова, что
п » Пр0, (2.2.7а)
Р»Рпо. (2.2.76)
Полное обеднение просто означает, что концентрация элек-
тронов п и дырок р в области пространственного заряда го-
раздо меньше, чем ND и Мд, и поэтому при оценке плотности
заряда ими можно пренебречь [см. уравнения (2.2.5) и (2.2.6) ].
Однако значения пир весьма существенны при оценке тока
через р — и-переход.
Приближение обеднения не справедливо для пограничных
слоев, расположенных между нейтральными частями образца
и обедненными областями. Эти слои, однако, относительно узки
по сравнению с полной шириной области наклона энергетических
зон, соответствующей изменению положения дна зоны прово-
димости в р — пи n-областях на величину, значительно превы-
шающую тепловой потенциал.
Потенциальная энергия электронов и дырок связана с по-
ложением дна зоны проводимости и потолка валентной зоны и
определяется выражениями
<SC = — qq + const, (2.2.8)
&v = —q<p — <S% + const, (2.2.9)
где q — заряд электрона, = <SC— — ширина запрещен-
ной зоны, ф — электрический потенциал. Считая, что = 0 и
<р = 0 для n-области на удалении от перехода, найдем соотно-
шения
п—Nd ехр [<7<р (х)/&Г] = Nd ехр [—<$ с (х)/£Т], (2.2.10)
p = NA ехр {—q [Vbt + <p (x)]/kT} = NAexp{—q [76i — (x)/q]/kT},
(2.2.11)
1 о Заказ № 304
146
Глава ?
где х—координата, a Уы, называемый встроенным потенциа-
лом, равен
У6(. = Ут1п—АА. (2.2.12)
[Уы = —ф(°°)> где <р(оо)—потенциал в p-области на удале-
нии от перехода.] Уравнения (2.2.10) и (2.2.12) получены из
условия, что на удалении от перехода носители имеют равно-
весное значение концентрации [см. выражения (1.7.17), (1.7.18),
(1.7.29) и (1.7.30)]:
nM^ND, (2.2.13)
(2-2-14)
PP^NA, (2.2.15)
(2.2.16)
Выражение (2.2.12) можно также вывести из необходимого
условия постоянства уровня Ферми по всей длине р — «-пере-
хода. В п- и p-областях уровень Ферми определяется выраже-
ниями
SP — gm = kT In дА, (2.2.17)
N A
- gcp = _gg _ kT In -дА, (2.2.18)
где Sen и Scp— энергии, соответствующие дну зоны проводи-
мости на удалении от перехода в п- и p-областях. В выбран-
ной нами системе отсчета энергии Scn = 0, a SCp ~ Vbdq. По-
этому имеем
qVbi = SCp -$cn=8g + kT\n . (2.2.19)
что совпадает с (2.2.12), поскольку в соответствии с (1.6.34)
"? = ^XexP (2.2.20)
Как следует из уравнения (2.2.19), встроенный потенциал
прежде всего определяется шириной запрещенной зоны (обра-
тите также внимание на рис. 2.2.3).
Итак, мы установили, что даже когда внешнее смещение
равно нулю, существует изменение потенциала по длине р —п-
перехода. Такой скачок потенциала возникает из-за изменения
уровня легирования по длине образца. Однако невозможно
использовать р — «-переход в качестве источника электриче-
ской энергии, если отсутствует постоянное разделение электри-
ческих зарядов, генерированных внешним воздействием, напри-
р—/z-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
147
Кон центра ~ торов. см
б
Рис. 2.2.3. Встроенный потенциал как
функция концентрации акцепторов
в п+—р-переходе. Для сравнения пока-
заны уровни энергии запрещенной зоны
(горизонтальные линии): а — 7=300 К;
б— Т = 77 К. Графики получены с по-
мощью программы PLOTF. BAS и под-
программы PVBI. BAS.
кольцо р—п-переход и дно
зоны проводимости этого
перехода. Суммарное изме-
нение &с и электрического
потенциала по всей петле
равно нулю.
мер облучением светом. Действительно, попытка замкнуть
контур с помощью длинной изогнутой в кольцо «-области, кон-
тактирующей со стороной p-области (рис. 2.2.4), приведет
к тому, что падение напряжения на двух переходах в сумме
по всей петле дает нуль. Можно утверждать, что этот вывод
останется справедливым в том случае, если частью петли яв-
10*
148
Глава 2
ляются другие полупроводники или металлы. Но если мы осве-
тим р — n-переход излучением, способным создавать электрон-
но-дырочные пары, встроенное электрическое поле перехода
будет разделять их и потечет электрический ток. Такой эффект
используется в различных фотонных приборах, прежде всего
в солнечных батареях и фотоприемниках (см. гл. 5).
Расстояние, мкм
Рис. 2.2.5. Распределение плотности заряда в кремниевом р—п-переходе.
Скачкообразный профиль соответствует приближению обеднения [см. уравне-
ния (2.2.5) и (2.2.6)].
Распределение электрического потенциала в области пере-
хода определяется уравнением Пуассона
d2(p р
dx2 е ’
(2.2.21)
где 8 — диэлектрическая проницаемость, х — пространственная
координата, а
р = q (р - п + Nd - Na) (2.2.22)
есть плотность пространственного заряда. В соответствии с при-
ближением обеднения плотность пространственного заряда
в области пространственного заряда (ОПЗ) определяется вы-
ражениями (2.2.5) и (2.2.6).
Используя приближение обеднения, можно записать уравне-
ние Пуассона в виде
б?2<р
Их2
__ <№р
е
4NA
е
—Хп < х < О,
О < х < хр,
(2.2.23)
приняв х = 0 на границе между р- и n-областями. На рис. 2.2.5
показано распределение зарядов, описываемое правой частью
уравнения (2.2.23).
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
149
Напряженность электрического поля
Е = —dqldx = (d$cldx)lq (2.2.24)
найдем как первый интеграл уравнения (2.2.23), тогда имеем
Е = р„„(1+хШ (2 2 28)
I -^max ( 1 %/Хр) О % Хр
Рис. 2.2.6. Распределение электрического поля в кремниевом р—«-переходе
при нулевом смещении. Профиль распределения рассчитан с помощью
PLOTF. BAS с подпрограммой PPNJN. BAS. Моделирование проведено на
основе приближения обеднения. На границе р- и «-областей х=0.
Рис. 2.2.7. Распределение потенциала в кремниевом р—«-переходе при нуле-
вом смещении. Нулевое значение потенциала выбрано в «-области на значи-
тельном удалении от перехода. Профиль потенциала рассчитан с помощью
программы PLOTF. BAS с подпрограммой PPNJN. BAS. Моделирование про-
ведено на основе приближения обеднения. На границе р- и «-областей х=0.
(рис. 2.2.6). Максимальное значение электрического поля в пе-
реходе достигается на границе раздела р- и n-областей, т. е.
при х = 0, оно равно
qNDxn qNAx
Етах = —-— -- —-—
О С
(2.2.26)
Интегрируя (2.2.25), найдем распределение потенциала
(2.2.27)
при граничном условии
<₽(—хп) = 0.
(2.2.28)
150
Глава 2
Распределение потенциала при нулевом внешнем смещении
для кремниевого р — n-перехода показано на рис. 2.2.7. Для
приближенного расчета распределений концентраций электро-
нов и дырок в области пространственного заряда можно вос-
пользоваться формулами (2.2.27), (2.2.10) и (2.2.11). Затем
можно рассчитать распределение потенциала с большей точ-
ностью, интегрируя уравнение Пуассона уже с учетом простран-
ственного заряда носителей электронов и дырок:
q(Np + p-n)
d2<p __. 6
dP"- _ 4(КА + р — п)
ч Е
—хп < х < 0,
0 < х < хр.
(2.2.29)
Далее можно определить более точно распределения для
п- и p-областей, если подставить найденные значения ф в урав-
нения (2.2.10) и (2.2.11). Можно продолжать выполнение этих
операций, пока не достигнем необходимой точности.
Из формулы (2.2.26) найдем
у Д7
(2.2.30)
хр zv D
а из (2.2.7) получим
т+т’1'"' <2.2.31)
Тогда имеем
V — 2tVbi Т/2 (9 9 421
ЛП
Г 2tVbi I"72
(2.2.33)
(рис. 2.2.8). Из этих выражений для хп и хр следует, что для
несимметричного р — n-перехода, в котором ND » Мд, спра-
ведливо хр >> хп, поэтому распределение электрического поля
напоминает прямоугольный треугольник.
Как отмечалось выше, приближение обеднения неприменимо
в тонких пограничных слоях между обедненной и нейтральной
областями, в которых концентрация носителей сравнима с кон-
центрацией легирующей примеси. В пограничном слое в п-об-
ласти уравнение Пуассона можно записать в виде
d2<p _ qND qND (
------------- + Т~ Р \ Ит
(2.2.34)
р—/z-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
151
где тепловой потенциал Ут = kT/q. Уравнение (2.2.34) полу-
чено из уравнений (2.2.10), (2.2.21) и (2.2.22). Если п « ND
Рис. 2.2.8. Ширина обедненной обла-
сти п+—р-перехода в GaAs, Si и Ge
в зависимости от концентрации ак-
цепторов при нулевом внешнем сме-
щении. Концентрация доноров в п+-
области составляет 5-1017 см~3,
7=300 К. Кривые получены с помо-
щью программы PLOTF. BAS с под-
программой PVBI. BAS.
Рис. 2.2.9. Зависимость дебаевского ра-
диуса от уровня легирования в GaAs,
Si и Ge: а — Т = 300 К, б — Т = 77 К,
Кривые получены с помощью программы
PLOTF. BAS с подпрограммой PVBI.
BAS. Нижняя кривая построена для Si,
средняя — для GaAs, верхняя — для Ge.
(<р VT, то второе слагаемое в правой части (2.2.34) можно
представить в виде ряда Тейлора ехр (ф/7т) « 1 + ф/Vt и
получить соотношение
d2q ф
dx eV т Ltjji
(2.2.35)
где характерный масштаб изменения потенциала определен как
_ / eVT V/2
(2.2.36)
152
Глава 2
при этом АдЛ называется дебаевским радиусом (длиной). Ши-
рина пограничного слоя имеет порядок нескольких дебаевских
радиусов, что подтверждается численными расчетами распреде-
ления потенциала.
Аналогично в р-области ширина пограничного слоя опреде-
ляется дебаевским радиусом
/ W2
<2.2.37)
На рис. 2.2.9 показаны дебаевские радиусы для Si, GaAs и Ge
при 77 К и 300 К в зависимости от концентрации примеси. В не-
симметричном «+— р-переходе хр хп и
/2еКы\1/2
(2.2.38)
[см. уравнение (2.2.31)]. Выражение (2.2.38) можно также
переписать с учетом (2.2.37):
/2ИЬ,- W2
хр = £Др(-^) • (2.2.39)
Так как Уы 0,5 В в Ge, 0,9 В в Si, 1,3 В в GaAs (см.
рис. 2.2.3, а), Xp/Ljip & 6 в Ge, 8 в Si, 10 в GaAs при 300 К. При
77 К это отношение увеличивается примерно в два раза. Такие
же соотношения справедливы для хп1Ь&п в р+ — «-переходе.
2.3. Вольт-амперные характеристики
идеального р—п-перехода
Область пространственного заряда дает наибольший вклад
в электрическое сопротивление р — «-перехода. Если на p-об-
ласть перехода подан отрицательный по отношению к «-области
потенциал (обратное смещение), то электроны и дырки выно-
сятся из перехода, а ширина ОПЗ, а, следовательно, и сопро-
тивление прибора возрастают. Напряжение противоположной
полярности (прямое смещение — подача положительного по-
тенциала на p-область) вызывает движение электронов и ды-
рок по направлению к области перехода (рис. 2.3.1), что при-
водит к сужению обедненной области и уменьшению сопротив-
ления прибора.
При обратном и небольшом прямом смещении сопротивле-
ние ОПЗ значительно превышает сопротивление электрически
нейтральных областей прибора. Поэтому почти все падение при-
ложенного напряжения приходится на обедненную область,
в которой высоко значение электрического поля. При нулевом
смещении выполняется точное равенство между дрейфовым то-
р—/г-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
15
ком, пропорциональным напряженности электрического поля, и
уравновешивающим диффузионным током. Полный ток равен
нулю, а уровень Ферми постоянен во всем приборе. Баланс
между дрейфовым и диффузионным токами нарушается, когда
Область пространственного
заряда
Область пространственного
заряда
Область пространственного
Заряда
Рис. 2.3.1. Обедненная об-
ласть р—n-перехода при ну-
левом (а), прямом (б) и
обратном (в) смещении.
приложено внешнее напряжение.
Тем не менее в области малых то-
ков полный ток существенно мень-
ше, чем его дрейфовая и диффузи-
онная компоненты. В такой ситуа-
ции распределение носителей заря-
дов продолжает оставаться близ-
ким к равновесному, и, следователь-
но, электронный и дырочный ква-
зиуровпи Ферми практически по-
стоянны вдоль всей обедненной
Рис. 2.3.2. Квазиуровни Ферми в р—/2-пере-
ходе при прямом смещении.
области (рис. 2.3.2). Результаты численного моделирования
подтверждают, что при обратном и небольшом прямом смеще-
нии концентрация электронов и дырок в обедненной области
может быть приближенно представлена как
п = Nc. exp - 8dkT), (2.3.1 >
р = • exp (^ - %FplkT^ (2.3.2)
где энергия электронного и дырочного квазиуровней Ферми
сохраняет практически те же значения, которые имели в равно-
весном состоянии квазиуровни Ферми соответственно в п- и
p-областях. Под действием прямого смещения происходит
уменьшение величины потенциального барьера между р- и «-об-
ластями от Vbi до Уы—V (в предположении, что все прило-
женное напряжение падает на области пространственного за-
154
Глава 2
ряда). Следовательно, &Fn и $fp в обедненной области отлича-
ются на величину qV (см. рис. 2.3.2)
= (2.3.3)
Из выражений (2.3.1) — (2.3.3) следует, что для обедненной
области действительны следующие выражения:
рп = п2 ехр j (2.3.4)
или
рп = п2 ехр (qVIkT). (2.3.4а)
Теперь рассмотрим границу между обедненной и нейтраль-
ной областями на n-стороне перехода. На этой границе п ~ND.
Поэтому в соответствии с (2.3.4а) получим
р ж ехр (qV/kT) = prt0 ехр (qV/kT). (2.3.5)
/v£>
Точно так же на границе между обедненной и нейтральной
-областями с р-стороны перехода имеем
п = ехр (qV/kT) = пр0 ехр (qV/kT). (2.3.6)
yv А
В этих выражениях пр0 и рпо — концентрация неосновных
носителей заряда в нейтральных областях при нулевом смеще-
нии. Выражения (2.3.5) и (2.3.6) означают, что концентрация
неосновных носителей в обедненной области с увеличением пря-
мого смещения экспоненциально возрастает и экспоненциально
уменьшается с увеличением обратного смещения.
Перейдем теперь к рассмотрению нейтральных областей.
Как было показано в разд. 1.11, концентрацию носителей
в нейтральной части n-области можно найти из уравнения не-
прерывности [см. уравнение (11.27)]:
Dp^-pPE^ + G-R = 0. (2.3.7)
В рассматриваемом случае скорость генерации G равна
нулю и выражение для суммарной скорости генерационно-ре-
комбинационных процессов имеет вид
= О - R = - (рп - рп0)/хр, (2.3.8)
где тр — амбиполярное время жизни, которое при низком уровне
инжекции, когда рп < пп, совпадает со временем жизни дырок.
Второй член в уравнении (2.3.7) мал, поскольку в нейтральной
•области электрическое поле мало.
р—//-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
155
Следовательно, получим выражение
Dp^--Pn~Pn-0- = 0. (2.3.9)
р дх2 хр v 7
Для протяженной нейтральной области (хп < х < оо) урав-
нение (2.3.9) следует решать при двух граничных условиях:
Рп (хп) = рп0 ехр (qV/kT) (2.3.10)
[в соответствии с уравнением (2.3.5)] и
Рп (х-+ оо) = pnQ. (2.3.11)
Здесь хп — граница между обедненной областью и ней-
тральной частью «-области.
Общее решение уравнения (2.3.9) имеет вид
Рп = Рпв = А ехр [(х — xn)/Lp] + В ехр [— (х — xn)/Lp]; (2.3.12)
постоянные А и В могут быть найдены из граничных условий.
Используя уравнения (2.3.10) и (2.3.11), из (2.3.12) найдем
соотношение
рп — Рпо = Pno [ехр (qV/kT) — 1 ] ехр [ — (х — xn)/Lp], (2.3.12а)
где
Lp — (Dpxp)}12 (2.3.13)
— диффузионная длина дырок. Плотность диффузионного тока
в нейтральной части «-области — это прежде всего плотность
диффузионного тока дырок
ip ж jPD = —qDp = qDf n0 [ехр (qV/kT) — 1 ] ехр [— (х — xn)/Lp],
(2.3.14)
Плотность тока ]р зависит от координаты. Диффузионный
ток электронов определяется формулой
/ —пП дЦи ~ лГ> дРп -
InD — qDn дх ~ qDn дх —
-^7^[ехр(^)~ 1]ехр[-(х-х„)/Лр]. (2.3.15)
Уравнение (2.3.15) следует из условия квазинейтральности
— ппо ж рп—р по- Из уравнений (2.3.14) и (2.3.15) получим
выражение
inD = -^iPD, (2.3.16)
156
Глава 2
так что полный диффузионный ток равен
/о = iPD + inD = -^(Dp- Dn) [exp (^-) - 1 ] exp (-
(2.3.17)
Рассмотрим теперь границу между нейтральной и обеднен-
ной областями при прямом смещении. По мере приближения
к границе концентрация основных носителей возрастает, по-
скольку необходимо скомпенсировать заряд неосновных носи-
телей. Однако в ОПЗ концентрация основных носителей падает,
тогда как концентрация неосновных носителей продолжает на-
растать (сравните с профилем, показанным на рис. 2.2.2). Оче-
видно, что условие квазинейтральности не выполняется в обед-
ненной области. Точки, в которых
4г = ° (2.3.18)
И
^ = 0, (2.3.19)
находятся недалеко от границ обедненной области. Уравнение
(2.3.17) справедливо в нейтральной «-области лишь до этих
границ, а за пределами указанных координат концентрация
основных и неосновных носителей очень резко изменяется.
Плотность электронного и дырочного диффузионного токов
и, следовательно, полная плотность электронного и дырочного
токов изменяются с расстоянием вследствие рекомбинации. Ха-
рактерным масштабом таких изменений являются диффузион-
ная длина дырок Lp=(Dpxpy/2 в «-области и диффузионная
длина электронов Ln = (£>„т„),/2 в р-области.
Обычно имеют место соотношения
Ln » хп 4- хр (2.3.20)
И
Lp->xn-\-xp. (2.3.21)
В этом случае рекомбинация в обедненной области относи-
тельно слаба, и именно поэтому отношение плотностей элек-
тронного и дырочного токов по всей обедненной области оста-
ется практически постоянным. Следовательно, плотность тока
через р — «-переход записывается как
+ (2А22)
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
157
Из уравнения (2.3.14) и аналогичного уравнения для элек-
тронов в нейтральной области p-типа найдем
j = h [ехр (qV/kT) — 1],
Рис. 2.3.3. Вольт-амперные характеристики (ВАХ) кремниевого и германие-
вого диодов с р—«-переходом: а—ВАХ кремниевого диода (линейный мас-
штаб); б — ВАХ германиевого диода (линейный масштаб); в — ВАХ герма-
ниевого диода (полулогарифмический масштаб); г—ВАХ кремниевого диода
(полулогарифмический масштаб). Характеристики получены на измерителе
параметров полупроводниковых приборов HP 4541.
0,000 * 1,000
0,1 Деление
(2.3.23)
где js — плотность тока насыщения в диоде, равная
js = qDppn^Lp 4- 6/DntipJLn, (2.3.24)
Уравнение (2.3.23) называют уравнением Шокли. Оно хо-
рошо согласуется с экспериментальными данными, полученными
для германиевых диодов при низкой плотности тока, но не яв-
ляется адекватным описанием ВАХ кремниевых и арсенидгал-
лиевых диодов при малом прямом смещении (рис. 2.3.3,в и г).
В большинстве используемых на практике диодных структур
значения длины областей п- и p-типа Хп и Хр сравнимы с диф-
158
Глава 2
фузионной длиной неосновных носителей или меньше нее.
В этих случаях следует решать уравнение непрерывности (2.3.9)
с граничными условиями
Pn(xn) = pnl)exp(qV/kT), (2.3.25)
Рп (х = Хп) = Рпо- (2.3.26}
Используя (2.3.25) и (2.3.26), из уравнения (2.3.12) найдем
Рп — Рм = Рм [exp (qV/kT) — 1 ] (а, ехр [(к — xn)/Lp] +
+ 61exp[-(x-x„)/Lp]), (2.3.27)
где
а, = -exp [- (Хп - xn)/Lp]/[2 sinh [(Х„ - x„)/Lp]},
b, = exp [(X„ - x„)/Lp]/{2 sinh [(X„ - x„)/Lp]}.
Тогда выражение для плотности тока примет вид
jp = —qDpdpIdx \х=Хп =
= (qDppnaILp) [exp(qVlkT) - l]cth[(X„- xn)]Lp]. (2.3.28)
Аналогичное выражение можно вывести для плотности элек-
тронного тока в p-области на границе между нейтральной и
обедненной областями.
Представляет интерес рассмотрение короткого р+ — п-диода,
в котором длина n-области Хп значительно меньше, чем диффу-
зионная длина дырок Lp. Решение уравнения (2.3.27) можно
найти, используя разложение в ряд Тейлора
Рп (х) = рпй [exp (qV/kT) - 1 ] + р„0, (2.3.27а)
л п — Хп
что соответствует линейному распределению неосновных носи-
телей в n-области (рис. 2.3.4). Тогда выражение для плотности
тока имеет вид
i = —qDpdpldc\x=Xn = qDppnt>[^{qVlkT)— 1]/(Х„ — хп). (2.3.29)
Оно похоже на формулу (2.3.23) для длинного р+— п-пере-
хода, при этом вместо Lp в формулу входит Хп — хп. Задача
о коротком р4-—/г-переходе имеет большое значение при
расчете распределения носителей в биполярном транзисторе
(см. гл. 3).
Чтобы достичь согласия с экспериментальными данными, тео-
рия р - n-перехода должна учитывать существенные эффекты,
нарушающие идеальную модель. Это рекомбинация и генерация
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
159
носителей в обедненной области, падение напряжения в ней-
тральных областях, которое может стать значительным при
большой плотности тока, и влияние
паразитных последовательных со-
противлений. Кроме того, при низ-
кой плотности тока существенным
становится вклад поверхностной
проводимости, при высоком обрат-
ном напряжении проявляются эф-
фекты лавинного пробоя р — п-пере-
хода, а при высоком уровне легиро-
вания туннелирование носителей ка-
чественно изменяет ВАХ диода. Тем
не менее описанная выше упрощен-
ная модель дает некоторое предста-
вление о физике р — n-перехода. Ее
важные следствия показаны на
рис. 2.3.5—2.3.8, где представлены
распределения концентрации носи-
телей заряда, напряженности элек-
Рис. 2.3.4. Зависимость концен-
трации дырок в n-области ко-
роткого р—«-перехода от рас-
стояния Хп.
трического поля, электрического потенциала и тока в крем-
ниевом р — n-переходе при разном смещении. Диффузионная
длина неосновных носителей в данном случае составляла
LP = 20 мкм и Ln = 40 мкм, что значительно превышает значе-
ния длины областей п- и р-типа (Хп = 2 мкм и Хр = 2 мкм),
Рис. 2.3.5. Зависимость концентрации электронов и дырок от расстояния
в кремниевом р—«-переходе. Обратному смещению соответствуют отрицатель-
ные числа. Уровень легирования p-области составляет 2-1015 см-3, в «-обла-
сти— 1015 см-3. Кривые получены с помощью PLOTF. BAS с подпрограммой
PPNJN. BAS.
160
Глава 2
Расстояние
Рис. 2.3.6. Зависимость напряженности электрического поля от расстояния
в кремниевом р—n-переходе. Обратному смещению соответствуют отрицатель-
ные числа. Уровень легирования в p-области 2-1015 см~3, в п-области - -
1015 см-3. Кривые получены с помощью программы PLOTF. BAS. с подпро-
граммой PPNJN. BAS.
Расстояние t мим
Рис. 2.3.7. Зависимость электрического потенциала от расстояния в кремние-
вом р—n-переходе. Уровень легирования в p-области 2-Ю15 см уровень
легирования в п-области — 1015 см~3. Кривые получены с помощью программы
PLOTF. BAS с подпрограммой PPNJN. BAS.
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
161
Рис. 2.3.8. Зависимость электронных и дырочных составляющих дрейфового
и диффузионного тока от расстояния в кремниевом р—n-переходе. Уровень
легирования в p-области 2-Ю15 см-3, уровень легирования в п-области —
1015 см*"3. Кривые получены с помощью программы PLOTF. BAS с подпро-
граммой PPNJN. BAS. а — напряжение смещения равно О В; б — напряжение
смешения равно +0,57 В.
*Р<*
Jpf
11 Заказ № 304
162
Глава 2
поэтому распределение неосновных носителей при прямом сме-
щении (V = 0,57B) практически линейно (см. рис. 2.1.5).
В первом приближении рост концентрации основных носителей
при прямом смещении повторяет профиль распределения неос-
новных носителей, так что за пределами обедненной области
квазинейтральность практически сохраняется. На рис. 2.3.5 по-
казана ширина обедненной области при нулевом смещении. Как
можно видеть, область обеднения расширяется при обратном
смещении и сужается при прямом смещении. Согласно
рис. 2.3.6, при обратном смещении напряженность электриче-
ского поля в области пространственного заряда увеличивается,
а при прямом уменьшается. Соответствующим образом изме-
няется и зонная картина (рис. 2.3.7).
Распределения диффузионных и дрейфовых составляющих
электронного и дырочного токов при нулевом и прямом смеще-
нии (К = 0,57В) представлены на рис. 2.3.8. При нуле диффу-
зионные и дрейфовые компоненты тока в обедненной области
взаимно уничтожаются, т. е. они равны по величине и противо-
положны по знаку. Отметим, что наибольшие абсолютные зна-
чения плотности дрейфового тока соответствуют величинам
электрического поля, меньшим максимального. Причина заклю-
чается в том, что вблизи границ р- и «-областей концентрация
носителей быстро уменьшается. При прямом смещении обеднен-
ная область сужается и дрейфовые компоненты плотности тока
становятся меньше, чем диффузионные компоненты. Тем не
менее, как отмечалось в начале этого раздела, полный ток все
еще гораздо меньше, чем взятые по отдельности абсолютные
значения дрейфового и диффузионного токов. Распределения
токов в нейтральной области не вполне точно воспроизведены
на рис. 2.3.8,б из-за особенностей масштаба. Сумма всех четы-
рех компонентов тока (дрейфовые и диффузионные компоненты
и для электронов, и для дырок) тем не менее постоянна вдоль
всего прибора и равна плотности полного тока.
2.4. Токи генерации и рекомбинации
Токи генерации и рекомбинации зависят от концентрации,
распределения и энергии уровней примесных центров в обеднен-
ной области. В любом полупроводниковом материале присут-
ствуют центры генерации и рекомбинации или ловушки, связан-
ные с различными примесями. Простейшая модель генерации
и рекомбинации основана на предположении, что имеется только
один тип ловушек, который определяет генерационные и реком-
бинационные процессы, причем эти ловушки распределены рав-
номерно по образцу. В действительности возможны и неодно-
родные распределения ловушек в образце, и одновременное су-
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы 163
ществование нескольких типов ловушек, участвующих в процес-
сах генерации —рекомбинации.
В случае однородного распределения центров одного типа
результирующая скорость рекомбинации Я — GT (где Gt — ско-
рость тепловой генерации) в соответствии с выводами разд. 1.12
составляет
2
R~Gy= TpZ(n + n/) + T„z(p + p<) • (2-4-1 >
Здесь «,•— собственная концентрация, а тл/ и xpi— времена
жизни электронов и дырок
тп{= l/(vrnanNt), (2.4.2)
тр/=1/(отАЖ (2.4.3)
где
иТл = (3677«г„)1/2 (2.4.4)
И
v-r p — (3kT/mp)l/2 (2.4.5)
есть тепловая скорость электронов и дырок, ол и ор — сечения
захвата, Nt — концентрация центров рекомбинации, при этом
nt — n^ exp I——I, (2.4.6)
Pt = nt • exp —j, (2.4.7)
St— уровень рекомбинации, a St— уровень Ферми в собствен-
ном полупроводнике. Анализ выражения (2.4.1) показывает, что
самые эффективные центры рекомбинации располагаются
вблизи середины запрещенной зоны и, следовательно, близко
к Si. Скорость рекомбинации 7?, как следует из (2.4.1), пропор-
циональна произведению рп. Второй член в правой части урав-
нения (2.4.1) пропорционален «2 и описывает тепловую генера-
цию электронно-дырочных пар.
Для нейтральной части «-области р—«-перехода справед-
ливо соотношение
xptn thxpiNd. (2.4.8)
Эта величина значительно превышает все остальные члены
в знаменателе (2.4.1), поэтому полная скорость рекомбинации
в нейтральной части «-области выражается как
к - °т = (Р - nyND)/rpl = (р„ - яп0)/тр1. (2.4.9)
п*
164
Глава 2
Уравнение (2.4.9) совпадает с выражением для скорости ре-
комбинации (R— G), входящим в уравнение непрерывности для
дырок в нейтральной части /i-области [см. уравнение (2.3.8)].
В соответствии с этим уравнением в состоянии равновесия
Рп = рпо, (2.4.10)
как и предполагалось.
Аналогично можно показать, что в нейтральной р-области
/? — GT = (га — п*/ЫА)/хя1 = (пр - np^xnl. (2.4.11)
В обедненной области, однако, соотношения между величи-
нами в знаменателе (2.4.1) совершенно другие, причем они
определяются величиной смещения, так как р и п экспонен-
циально зависят от приложенного напряжения. При обратном
смещении в обедненной p-области п щ, поэтому
—п2
^-°т=Тр[(„ + „<) + ‘Тд|(р+р|). (2.4.12)
Уравнение (2.4.12) можно записать как
л-ат = »?/’„,. '2-4'3>
где
Тген = Tpzехр [(#, — ^i)!kT] + TrtZ ехр [(ez — &t)/kT]. (2.4.14)
Чтобы получить выражение (2.4.14), мы пренебрегли пир
по сравнению с nt и pt в знаменателе выражения (2.4.12).
Уравнение (2.4.13) определяет суммарную тепловую генерацию
носителей с центров рекомбинации. При обратном смещении
в обедненной области рекомбинация практически отсутствует
из-за очень малого количества носителей заряда. Генерационные
процессы, в соответствии с (2.4.13), направлены на восстанов-
ление равновесного значения произведения рп (которое равно
/zz), но генерированные носители выносятся за пределы обеднен-
ной области, что обусловливает появление тока генерации плот-
ностью /ген:
xd
/ген = q $ IR — От I dx = qn{xd/xTm. (2.4.15)
о
В резком переходе ширина области обеднения xd и, следо-
вательно, плотность тока /ген пропорциональна (Уь>—где
Уы — встроенный потенциал, а V — напряжение смещения (счи-
таем, что положительное значение соответствует прямому сме-
щению) .
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
165
Выражение для плотности полного обратного тока имеет вид
Jr — Js + /ген» (2.4.16)
где диффузионная компонента js определяется из уравнения
(2.3.24), которое может быть записано как
is = [<^P/CW + ^Dnl(NALn)] п\. (2.4.17)
Поскольку компоненты js и /геп пропорциональны соответ-
ственно Пь при достаточно малых гц доминирует ток генерации.
Это характерно для GaAs и Si при комнатной температуре
и ниже.
При прямом смещении имеем
рп = п2 ехр (qV/kT) (2.4.18)
и
г [ехр (qV/kT) - I]
Т “ tpz (л + Л/) + (Р + Pt) ’
(2.4.19)
где V—напряжение прямого смещения. Если предположить, что
времена жизни xpi и одинаковы
Tpz = TnZ==TpeK= 1/(оит • А^)
в соответствии с уравнениями (2.4.2) и (2.4.3), и считать, что
рекомбинационный уровень ловушек St совпадает с уровнем
Ферми в собственном полупроводнике <Si, то уравнение (2.4.19)
можно упростить
п п _ п? ехр (qV/kT)
Т“ Ъек^ + Р + Ч)’
(2.4.20)
Здесь также предполагалось, что прямое смещение доста-
точно велико, так что ехр (qV/kT) 1. На рис. 2.4.1 показано,
как изменяются с расстоянием электрическое поле, потенциал
и концентрация электронов и дырок в области симметричного
перехода (АВ = АЛ). В правой части рисунка изображены те
же профили в увеличенном масштабе вблизи точки р = и. В со-
ответствии с рис. 2.4.1 п быстро спадает, а р резко нарастает
с увеличением х. Следовательно, вблизи границы между обед-
ненной и n-областью, где п велико, функция Ur = R— Gt имеет
малую величину. Функция UR мала также вблизи границы
между обедненной областью и нейтральной частью области
р-типа, где р велико. Эта функция достигает максимума в точке
р — п, расположенной в обедненной области. Уравнение (2.4.20)
можно переписать следующим образом:
у ____ п^ехр (qVIkT)
R ~ Трек {^D еХР (~^c/kT) + (п?/ЛГр) ехр Ц#с + qV)/kT] + 2nJ ’
(2.4.21)
166
Глава 2
Рис. 2.4.1. Электрическое поле, потенциал, концентрация электронов и дырок
в обедненной области симметричного перехода (Nd — Na) в зависимости от
расстояния. Графики справа показывают профили распределения в увеличен-
ном масштабе вблизи точки р=п.
где «B’cW—энергия дна зоны проводимости в обедненной об-
ласти; в n-области вдали от перехода = 0. UR достигает
максимума в точке, где dUR/d&c = $- Отсюда находим, что, как
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
167
и ожидали, UR имеет максимальное значение в точке x — xq,
в которой п = р.
Произведение пр в обедненной области равно
пр = exp [qV!(kT)] (2.4.22)
в соответствии с уравнением (2.3.4а). Поэтому при х = х0 имеем
п = р = ni exp [qV/(2kT)]. (2.4.23)
Подставляя значения п и р из уравнения (2.4.23) в уравне-
ние (2.4.20) и пренебрегая величиной 2т в знаменателе правой
части этого уравнения, получим
Ur max ехр[?7/(2АТ)]/(2трек). (2.4.24)
Плотность тока рекомбинации определяется выражением
xd
/рек = <7 Ugdx. (2.4.25)
о
Наибольший вклад в интеграл дает область вблизи точки хо,
где п = р. Поэтому можно оценить значение интеграла, разло-
жив UR в ряд Тейлора в окрестности точки хо, предположив, что
UR = UЛтах И" °-5C7«o(X ~ Хо)l) 2 ПРИ + Дх>
(2.4.26)
Ur « 0 при Хо — Дх > X И X > Хо + Д*»
где Uro—это вторая производная скорости рекомбинации Ur
в точке x = xq(Uro <0), а Дх =(2СгДтах/|[/до|)1/2. Подставляя
уравнение (2.4.26) в уравнение (2.4.25) и производя оценку
интеграла, получим (см. [98], с. 84)
/рек « q [2л (URmax)7| UR, |]1/2. (2.4.27)
Мы предполагаем, что Nd<ZNa- Если Nd<.Na, точка х0, в ко-
торой р = п, расположена в n-области диода О, Используя
уравнение (2.4.22) и выражение, связывающее п и <FC [см. урав-
нение (2.2.10)], найдем, что величина <^со = <^с(*о) равна [77]
<ГСО = —qVj2 + (kT/q) In (2.4.28)
l) Если точка Хо, в которой n=pt расположена в p-области. Тем
не менее результаты, полученные в ходе наших рассуждений, останутся
практически теми же (ем. задачу 2.4.4).
168
Глава 2
Эту формулу можно записать следующим образом:
^c0 = <7(Vw„-7/2),
(2.4.29)
где
Уы п = (kT/q) In (Nd/щ) (2.4.30)
— встроенный потенциал в обедненной области с п-стороны
диода. Зависимость <FC от х имеет вид
&c = (fNDX*/(2e), (2.4.31)
где отсчет х ведется от границы между нейтральной и обеднен-
ной областями в n-части диода [см. уравнения (2.2.27) и
(2.2.18) ], следовательно,
х0 = [2^m/(q2ND)] 1/2 (2.4.32)
или
ха = [2е (Vbl п - V/2)/(qND)]'12. (2.4.33)
Тогда можно записать выражение для UR в окрестности
точки х = xq как
R max
(2.4.34)
ехр (—и) + ехр (и) ’
где и = («?с— S'coj/kT. Выражение для второй производной Ur&
выглядит следующим образом:
... _
UR0~ (kT)*
(2.4.35)
где, в соответствии с (2.2.8) и (2.2.27)
(d&Jdx) |х= Хо = q2NDx0/z.
(2.4.36)
Подставив уравнение (2.4.33) в уравнение (2.4.36), найдем
(d&Jdx) |, = = [2?Ч) (Vbi п - У/2)/е] 'Л, (2.4.37)
а из (2.4.27), (2.4.24) и (2.4.35), (2.4.37) получим
/рек = /река ехр [qV/(2kT)}, (2.4.38)
где
/река = q (л/2)'/2 (kT/q) т/(х^к Ерп), (2.4.39)
а Ерп — напряженность электрического поля при х = хо, равная
Ерп = [<?/VD (2Vbi п - Ю/е]'Л• (2.4.40)
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
169
Уравнение (2.4.40) для р — n-переходов, в которых Nd>Na,
можно записать в виде
Ерп = [qNA (2Vbl р - Г)/е]*/г, (2.4.41)
где
Vbip = (kT/q)\n(NA/ni). (2.4.42)
В случае симметричного р — «-перехода (Nd = NA) имеем
2Vbin = Vbi и уравнение (2.4.39) можно упростить
/рек®= <7 (л/2) (kTfq)tti/(xpeKEma^). (2.4.39а)
Эта формула совпадает с точностью до множителя
(л/2)'/г« 1,25 с приблизительным выражением, выведенным Ван
дер Зилом [97] в 1976 г. для рекомбинационного тока в сим-
метричном р — «-переходе. Тем не менее соотношение (2.4.39)
отличается от использованных во многих учебниках выражений
(см., например, [32]), при выводе которых предполагалось, что
ток рекомбинации можно оценить как произведение t/ятах на
полную ширину обедненной области Хц. При таком подходе ве-
личина /рек s оказывается завышенной на довольно большой
множитель, равный 2~'^(Уы—V)/Vt для симметричного пере-
хода (Nd = Na).
В предшествующих рассуждениях мы полагали, что St =
— Si и Xni = xPi = Трек. Эти предположения на практике часто
не выполняются, поэтому экспоненциальная зависимость реком-
бинационного тока от напряжения смещения может отличаться
от описываемой уравнением (2.4.38). Вместо этого уравнения
используют следующую эмпирическую формулу
/рек = /рек® • ехр [qV/(mrkT)], (2.4.38а)
в которой множитель тг может быть отличен от 2. Тогда выра-
жение для полного тока при прямом смещении имеет вид
If = js ехр (qVlkT) + /peKS ехр (qV!mrkT). (2.4.42)
Однако часто более удобной оказывается эмпирическая
формула
If = Jseff ехр (qV/n^kT), (2.4.43)
где пид называется фактором идеальности. В качестве меры
рекомбинационного тока можно рассматривать величину откло-
нения пид от 1.
Поскольку js пропорционально а /рек пропорционально
при достаточно малых значениях гц преобладает рекомбинацион-
ный ток. Это всегда реализуется при относительно небольших
напряжениях для GaAs и Si в условиях комнатной и более низ-
170
Глава 2
них температур. При больших смещениях начинает преобладать
диффузионная компонента, поскольку она пропорциональна
exp (qV/kT), в то время как плотность рекомбинационного тока
увеличивается при прямом смещении лишь как exp [qV (mrkT)},
причем тг « 2 (см. рис. 2.3.3).
2.5. Емкость обедненной области
При обратном, нулевом и небольшом прямом смещении ем-
кость р — /г-перехода определяется прежде всего емкостью обед-
ненного слоя
Cd = ES/xd, (2.5.1)
где е — диэлектрическая проницаемость, S — площадь прибора, а
xd = Хп + хр (2.5.2)
— толщина обедненного слоя. При нулевом смещении вели-
чины хп и хр определяются выражениями (2.2.32) и (2.2.33).
При приложении внешнего смещения эти выражения принимают
вид
__ Г 2e(Vbi-V) 17,
n-L ^D(1 + vd/na} ]
Г 2г(Уы-У) 17,
P~L^(4-vD)J •
(2.5.3)
(2.5.4)
Здесь Nd и Na — концентрация доноров и акцепторов, а Уы—
встроенный потенциал [см. уравнение (2.2.12)]. Подставив вы-
ражения (2.5.3) и (2.5.4) в (2.5.2), а результат — в (2.5.1),
получим
Cd — eS/xd — S [—(-р-э*Ф1/) ]
(2.5.5)
где
№ФФ = {[ЛГо (1 + ND/NA)]'h + [ЛГл (1 + Na/Nd)]'/2}2. (2.5.6)
Для рассмотренного выше случая резкого р — п-перехода
емкость обедненного слоя Cd, как следует из уравнений
(2.5.1) — (2.5.5), обратно пропорциональна (Vbi—У)*\ В случае
произвольного профиля легирования емкость обедненного слоя
можно найти следующим образом:
Cd = dQd/dV, (2.5.7)
где Qd — заряд обедненного слоя в п-области прибора. В част-
ности, для случая линейного распределения примеси, показан-
ного на рис. 2.5.1, получим соотношение
cd = &S/xd = S [ 12(/fc7-l/) Г (2-5-8>
Р «-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
171
(см. задачу 2.5.2). Встроен-
ный потенциал Для пере-
хода с линейным распреде-
лением примеси найдем пу-
тем подстановки значений
концентрации примеси при
х = ± Xd/2 в уравнение
(2.2.12):
Уы = QkTlq) In (aXd/2/ii).
(2.5.9)
На рис. 2.5.2 представ-
лены значения емкости обед-
ненного слоя на единицу
площади для резкого р+ —
«-перехода в кремнии.
Вольт-фарадные харак-
теристики используются для
определения профиля рас-
пределения примеси. В каче-
стве примера рассмотрим
р+ — «-диод с произвольным
профилем в «-области. Элек-
трическое поле в «-области
описывается уравнением
Пуассона
dEldx — qND (х)/&.
(2.5.10)
Умножая уравнение
(2.5.10) на х и интегрируя
правую и левую части,
получим
xd
Vbi — V = (q/e) \ND(x)xdx.
о
(2.5.11)
В то же время выражение
для электрического заряда
в обедненной части «-обла-
сти имеет вид
xd
Qd = q j Nd (x)dx.
о
(2.5.12)
Рис. 2.6.1. Распределения концентрации
легирующей примеси и электрического
поля в линейном переходе.
Рис. 2.5.2. Зависимость емкости обеднен-
ного слоя от уровня легирования в крем-
ниевом р+—n-диоде. Числа вблизи ли-
ний означают смещение (в вольтах); от-
рицательные значения соответствуют об-
ратному смещению. Уровень легирования
в р+-области составляет 2-101® см-3.
Кривые получены с помощью программы
PLOTF с подпрограммами PPNCD. BAS.
172
Глава 2
Дифференцируя уравнения (2.5.11) и (2.5.12) по xd, получим
выражения
dV/dxd = — (q/e)ND(xd)xd, (2.5.13)
dQdfdxd = qN D(xd), (2.5.14)
следовательно,
Cd = S (dQdldxd)l{d | V \/dxd = eS/xd. (2.5.15)
Эта формула совпадает с выражением для резкого р — п-пе-
рехода. Как показало предшествующее рассмотрение, она мо-
жет быть применена для произвольного профиля распределения
примеси. Дифференцируя выражение (2.5.15) по V и используя
уравнение (2.5.13), имеем
Nd (xd) = Cd/[qsS2 (dCd/dV)], (2.5.16)
ИЛИ
ND(xd) = 2/[qeS2d (l/C2d)/dV]. (2.5.17)
Уравнение (2.5.17) используют при определении профиля
легирования из вольт-фарадных характеристик при обратном
и небольшом прямом смещении.
2.6. Диффузионная емкость и эквивалентная
схема р—п-диода
При прямом смещении помимо рассмотренной в разд. 2.5
емкости обедненного слоя важную и даже главную роль начи-
нает играть емкость, обусловленная зарядом неосновных носи-
телей,— диффузионная емкость. Чтобы найти эту емкость, вы-
числим импеданс диода, используя выведенные в разд. 2.3 урав-
нения непрерывности для неосновных носителей. Эти уравнения
необходимо модифицировать, чтобы в них вошли величины
dp/dt и dn/dt. Тогда уравнение (2.3.9) примет вид
Мы полагаем, что внешнее напряжение и плотность тока
изменяются по закону:
У(/) = К0 + У1ехр(М, (2.6.2)
/ (О = /о + /1 ехр (zW), (2.6.3)
причем Vi < Ко и /1 < /о. Решение (2.6.1) найдем в виде
Рп(х, t) = pns(x) + pn,(x)exp(l(ot), (2.6.4)
где pns(x)—решение стационарного уравнения непрерывности
(2.3.17), а второе слагаемое является составляющей, зависящей
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
173
от времени. Подставляя (2.6.4) в уравнение (2.6.1) и учитывая
(2.3.9), получим соотношение
(2-6-5>
Для уравнения (2.6.5) запишем следующие граничные
условия:
p„,(x-> оо) = 0, (2.6.6)
р„, (х = 0) = (pMqV JkT) ехр (qVJkT), (2.6.7)
где х = 0 соответствует границе обедненной области. Уравне-
ние (2.6.7) получим при подстановке уравнения (2.6.2)
в (2.3.10), что дает
Рп (х = 0) = рпй ехр [q (Уо + VJ kT}. (2.6.8)
Затем выполнено разложение экспоненты в правой части урав-
нения (2.6.8) в ряд Тейлора.
Если провести замену времени жизни тр на тр/(1 + 1<втр), то
уравнение (2.6.5) совпадает с уравнением непрерывности (2.3.9)
для рп — Рпй- Следовательно, можно найти малосигнальную со-
ставляющую дырочного тока /1Р, используя соотношение между
рп и дырочной компонентой тока насыщения диода:
/1Р = [<Д)ррпо(1 + Un>x^hlLp} ехр [(Vo + Vi)/VT] »
« (V,/VT) [qDpPnt (1 + Zcotp),/j/Lp] exp (V0/VT). (2.6.9)
Аналогичное выражение можно получить для электронной
составляющей jin, поэтому имеем
/1 = Jin + /1₽ = (Гi/Vт) q \PppnQ(1 + £<отр) !'/Lp +
+ Dnnp0 (1 + i^n^/Ln] exp (Vo/VT). (2.6.10)
Малосигнальную комплексную проводимость У, которая по
определению равна
r = /l5/V1, (2.6.11)
можно найти из уравнения (2.6.10). На относительно низких
частотах (сотР <С 1 и сотп-С 1) из (2.6.10) и (2.6.11) получим
у = Ой + /(оСдИф, (2.6.12)
где
Q=l//?a = /oS/VT (2.6.13)
и
СДИф = (-^-4--^^-) s ехр (V,/VT)/VT. (2.6.14)
174
Глава 2
В р+— n-диоде поэтому уравнение (2.6.14) можно
упростить:
С'диф — / o^pS/(2Vy) — GdxPl2.
(2.6.15)
Можно видеть, что характерная постоянная времени прямого
тока Сдифф/?^ имеет порядок времени рекомбинации, как и сле-
довало ожидать.
Эквивалентная схема р — /г перехода показана на рис. 2.6.1.
Помимо емкости обедненного слоя Cd, диффузионной емкости
£Диф и дифференциального сопротивления р — «-перехода Rd она
включает последовательное сопротивление 7?Посл (в которое вхо-
дят сопротивление нейтральных областей полупроводника и со-
противление контактов), а также паразитную индуктивность
Дюсл и геометрическую ем-
кость образца
^геом == eS/L,
(2.6.16)
где L — длина образца. Рас-
четные зависимости диффе-
ренциального сопротивления
и емкости кремниевого р —
n-перехода представлены на
рис. 2.6.2.
Расчет зависимостей на
рис. 2.6.2 проводился при
условии
Рис. 2.6.1. Эквивалентная схема
р—и-перехода.
Рис. 2.6.2. Зависимость дифферен-
циальной проводимости (а) и ем-
кости (б) от напряжения в крем-
ниевом р—/г-переходе при нуле-
вой частоте. Кривые получены с
использованием PLOTF. BAS и
подпрограммы PPEQJN. BAS.
р—//-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
175
о)->0. На практике измерение емкости перехода при малом
сигнале выполняют на частотах, отличных от нуля (обычно
^2 МГц). Полученные в результате измерений эксперимен-
тальные данные из-за влияния паразитной индуктивности £Посл
могут существенно отличаться от кривых на рис. 2.6.2. При
большом прямом смещении диффузионная емкость Сдиф значи-
тельно превышает емкость обедненного слоя Cd и геометриче-
скую емкость Сгеом- По-
этому в первом прибли-
жении выражение для из-
меряемого импеданса вы-
глядит как
^изм ^посл + W +
+ /соСдиф^) 4“ Йо£посл.
(2.6.17)
Когда при прямом
большом смещении диф-
ференциальное сопротив-
ление Rd существенно
уменьшается, второе сла-
гаемое в правой части де-
Рис. 2.6,3. Типичный вид зависимости мало-
сигнальной емкости от напряжения, изме-
ренной на фиксированной частоте (обычно
2 МГц).
лается малым и реактив-
ная часть импеданса становится по существу индуктивностью.
Типичный вид измеренных малосигнальных вольт-фарадных за-
висимостей представлен на рис. 2.6.3. Отрицательные значения
емкости на рисунке соответствуют индуктивному отклику. Есте-
ственно, что из-за этого возникают дополнительные затруднения,
особенно когда необходимо оценить эквивалентную емкость р—п-
перехода при прямом смещении и большом сигнале. В такой си-
туации часто используется чисто эмпирическое соотношение
Сэкв « 4Q(0).
(2.6.18)
Вероятно, можно руководствоваться уравнением (2.6.18), не
забывая, однако, что это лишь грубая оценка по порядку
величины.
2.7. Туннелирование и туннельные диоды
В разд. 2.3 было показано, что при прямом смещении ток
через р — n-переход должен экспоненциально возрастать. Од-
нако, если и и-, и p-области так сильно легированы, что стано-
вятся вырожденными, вольт-амперная характеристика совер-
шенно изменяется: на ней появляется участок с отрицательным
176
Глава 2
дифференциальным сопротивлением (см. рис. 2.7.1). Такой диод
с вырожденными р- и n-областями называется туннельным, а
причиной его особенностей является квантово-механическое яв-
ление туннелирования.
Чтобы понять это явление, поставим мысленный эксперимент,
поместив электрон с заданной кинетической энергией и импуль-
а
О Напряжение
5
Рис. 2.7.1. Вольт-амперные характеристики обычного диода с р — п-перехо-
дом (а) и туннельного диода (б). Точки 0, 1 и 2 соответствуют различным
условиям туннелирования.
сом в потенциальную яму, как показано на рис. 2.7.2, а. Дру-
гими словами, мы предполагаем, что неопределенность величины
импульса Др равна нулю. Предположим также, что кинети-
ческая энергия электрона меньше, чем высота энергетического
барьера.
По законам классической физики и в соответствии со здра-
вым смыслом электрон должен оставаться в яме. Однако это
означало бы, что неопределенность координаты электрона Дх
равна линейному размеру ямы d, т. е. Др-Дх = 0, что вступает
в противоречие с принципом неопределенности
Др • Дх > h/2 (2.7.1)
(см. разд. 1.2). Следовательно, должна быть конечная, не рав-
ная нулю вероятность нахождения электрона за пределами по-
тенциальной ямы. Другими словами, электрон может туннелиро-
вать сквозь потенциальные барьеры, окружающие яму. Эти
рассуждения иллюстрирует рис. 2.7.2, б для случая рыбы в аква-
риуме. Изображенная картинка тем не менее маловероятна, по-
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
177
скольку туннелирование есть явление квантовомеханическое.
Для его проявления необходимо, чтобы длина волны де Бройля
а
Рис. 2.7.2. Понятие туннелирования: а —
электрон в потенциальной яме, образо-
ванной двумя барьерами; б — рыба, ко-
торая пытается «туннелировать> сквозь
стенки аквариума.
объекта была сравнима с шириной потенциального барьера
(см. обсуждение длины волны де Бройля в разд. 1.2).
Количественный анализ туннелирования основывается на
решении уравнения Шрёдингера (1.2.7):
---+ = (2-7.2)
Вначале решим уравнение Шрёдингера для простейшего по-
тенциального барьера, изображенного на рис. 2.7.2, а затем
полученные результаты используем для описания туннелирова-
ния сквозь барьеры произвольной формы. Для простейшего по-
12 Заказ № 304
178
Глава 2
тенциального барьера, изображенного на рис. 2.7.2, уравнение (2.7.3)
(2.7.2) можно записать следующим образом 0,
d2ty/dx2 + &2ф — 0 при х <
dtydx2 + kfy = 0 при 0 х db; 5
d2^!dx2 -f- &2ф = 0 при х >
здесь k2 = 2те& /Й2, k2b^n2bk\ kl = (& - и6)/<g\ Решение уравнения Шрёдингера (2.7.3^ 1 в каждой (2.7.4) (2.7.5) (2.7.6) из об-
ластеи имеет вид [см. разд. 1.2, уравнение (1.2.11)] ф = Tit ехр(гйх) + Bj ехр(—ikx) при х < 0, ф = A>exp(tfex) +jBjexp(ifex) при 0^х^ db, (2.7.7) (2.7.8)
Дл: ф== Лгехр(г£х) + Brexp(—ikx) при я определения шести констант (Ль х; Вь > db. Ль, Вь, (2.7.9) Аг, Вг)
необходимо использовать четыре условия непрерывности волно-
вой функции и ее первой производной на границах:
ТР(—О) = 1Р(+О),
d^/dx(—0) d-ty/dx (+0),
1|>(</<г-0) = ч|>(^ + 0), ( '
dty/dx (dd — 0) = dty/dx (dd + 0)
и еще два условия, которые мы кратко рассмотрим ниже.
Пусть электрон перемещается слева направо. Тогда величина
Ai exp (ikx) в уравнении (2.7.7) характеризует падающую волну,
величина Bi exp (ikx)—отраженную волну, а величина
Агехр (ikx) — прошедшую волну. Поскольку мы наложили огра-
ничение на движение электрона, приняв направление его рас-
пространения слева направо, следует установить, что
Вг = 0. (2.7.11)
Шестое граничное условие, дополняющее (2.7.10) и (2.7.11),
можно получить из требования
J | ip21 dx = 1, (2.7.12)
о
что означает, что полная вероятность найти электрон в каком-
либо месте равна единице (условие нормировки). Обычно инте-
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
179
рес представляет величина коэффициента проницаемости
барьера, который определяется как
d = |AI7IAI2- (2.7.13)
В случае потока электронов D есть отношение числа элек-
тронов, прошедших через барьер, к общему числу падающих
электронов. Для определения D вполне достаточно пяти условий
(2.7.10) и (2.7.11), а уравнением (2.7.12) можно не пользо-
ваться.
Мы можем определить и коэффициент отражения
/? = |B,|S/IA|2. (2.7.14)
Поскольку общее число электронов должно быть неизменным,
имеем
D + /?=!. (2.7.15)
Удобно выбрать Ai = 1. Тогда после трудоемких, но прямых
преобразований получим
Л =________________4пьехр (-ikdb)____________
(1 + nb)2 ехр (—iknbdb) - (1 — n|) ехр (iknbdb) ’
В [ехР (~^»Л) ~ (iknbdb)] (1 - п|) (2.7.17)
(1 + nbf ехр (—iknbdb) - (1 — п2) ехр (iknbdb)
(см. [11] и задачу 2.7.1). Когда <$ < t/б, пь—отрицательная
величина, а пь— мнимая [см. уравнение (2.7.6)]. В случае
k- ]«ь| -db <С 1 из уравнения (2.7.16) найдем, что
D = Db ехр {-2 [2те (U6 - &)]I/2} dbfh, (2.7.18)
где
Db= 16|«ь|/(1 + |n6|2)2. (2.7.19)
Теперь согласно работе [11] можно получить аппроксима-
цию для D в случае барьера произвольной формы при рассмот-
рении его как суммы тонких прямоугольных барьеров
(рис. 2.7.3,б). Тогда для каждого тонкого барьера можно ис-
пользовать уравнение (2.7.18), а коэффициент проницаемости
всего барьера будет определяться как произведение коэффи-
циентов проницаемости всех прямоугольных барьеров:
D = DblDbi ... Dbn. (2.7.20)
Тогда получим
d
D^D0 ехр $ {-2 [2те (U6 — #)]I/2/M dx.
о
(2.7.21)
12*
180
Глава 2
Используя (2.7.18) и принимая Do равным примерно еди-
нице, можно убедительно доказать, что у рыбы на рис. 2.7.2 нет
шансов туннелировать сквозь аквариум (см. задачу 2.7.2).
Падающая
волновая
функция
Отраженная
волновая
функция
Прошедшая
—волновая
и$ функция
о db
Расстояние
а
Рис. 2.7.3. Туннелирование электрона сквозь потенциальные барьеры: а — про-
стой прямоугольный барьер (стрелки показывают падающую, отраженную
и прошедшую волновую функции, направление движения электронов — слева
направо); б — барьер сложной формы представлен как суперпозиция тонких
прямоугольных барьеров.
Однако, если рассмотреть электрон в арсениде галлия (тп&
ж 0,067 те = 6,1 * 10~32 кг) и барьер высотой Uq—&=\ эВ
и шириной 20 нм, будет ясно, что вероятность туннелирования
в этом случае весьма высока (см. задачу 2.7.3).
Представляет интерес также ситуация, когда S > Все
классические частицы в этих условиях преодолевают барьер без
отражения. Однако законы квантовой механики, как следует из
(2.7.17), предсказывают, что даже в этом случае D< 1 и /?>0.
Теперь мы готовы к обсуждению явления туннелирования
в туннельном диоде (рис. 2.7.4). Рассмотрим энергетическую
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
181
зонную диаграмму диода с вырожденными р- и п-областями.
Согласно рисунку, в валентной зоне имеются доступные для
электронов свободные состояния. Чтобы электрон туннелировал
из зоны проводимости n-области в валентную зону р-области,
необходимо наличие в зоне проводимости n-области заполнен-
в
Рис. 2.7.4. Механизм туннелирования в р—л-переходе. а — внешнее напряже-
ние равно нулю. Состояния, доступные для туннелирования, отсутствуют;
б — небольшое прямое смещение. Имеется зона состояний, доступных для
туннелирования; в — большое прямое напряжение. Состояния, доступные для
туннелирования, отсутствуют.
ных состояний с энергией, равной энергии незаполненных со-
стояний в валентной зоне. Дырки также могут туннелировать,
но, поскольку, как правило, они гораздо тяжелее, вероятность
туннелирования для них значительно меньше. При Т->0 в зоне
проводимости становится очень мало электронов, способных
туннелировать в валентную зону, так как все заполненные
состояния в зоне проводимости находятся ниже уровня Ферми,
а все свободные состояния в валентной зоне — выше уровня
Ферми (см. рис. 2.7.4,а). Следовательно, туннельный ток ра-
вен нулю.
Эта ситуация соответствует точке 0 на рис. 2.7.1, б. Но если
приложить относительно небольшое смещение, квазиуровни
Ферми расходятся на величину, равную qV. В результате воз-
никает зона свободных состояний, доступная для элек-
182
Глава 2
тронов, туннелирующих из зоны проводимости в «-области
(см. рис. 2.7.4, б); при этом протекает туннельный ток,величина
которого может значительно превышать нормальный диодный
прямой ток. Рассмотренная ситуация соответствует точке 1 на
рис. 2.7.1, б. При дальнейшем увеличении прямого смещения
зонная диаграмма принимает вид, представленный на рис. 2.7.4, в.
В этих условиях отсутствуют состояния, доступные для прямого
туннелирования, и туннельный ток уменьшается. При дальней-
шем увеличении напряжения ток через р — «-переход возрастает
в соответствии с обычным механизмом токопереноса. Такая си-
туация соответствует точке 2 на рис. 2.7.1, б. В результате
проведенных рассуждений мы полагаем, что в туннельном диоде
ток / определяется выражением
/ = /тун “1" /диод
где /диод — компонента обычного диодного тока и/тун— туннель-
ный ток. Величина туннельного тока определяется интегрирова-
нием по всем электронным состояниям коэффициента проницае-
мости барьера с учетом выражения (2.7.21) и функции рас-
пределения электронов. Однако реально существует еще и
дополнительный туннельный ток, который при большом прямом
напряжении становится значительным, тогда имеем
/ = /тун 4“ /диод 4" /доп
(2.7.22)
(2.7.23)
Дополнительный ток связан с непрямым туннелированием
через имеющиеся в запрещенной зоне состояния. Обычно такие
процессы проходят с испусканием фононов. Расчеты значений
/туи и /доп приводят к следующим выражениям для вольт-ампер-
ной характеристики туннельного диода [82]
/TyH«/P(V/7p)exp(l-V/Vp),
/AOn«/Pexp[A(yo-70)],
/диод /о {ехр [рУ/(Пид/г7')] И>
(2.7.24)
(2.7.25)
(2.7.26)
где 1Р, VP, /о и Vv — максимальные (peak) и минимальные
(valley) значения токов и напряжений, /0 —диодный ток насы-
щения, «Ид — фактор идеальности диода, Ае — постоянная. При
300 К значения максимального и минимального напряже-
ний Vp и Vv примерно равны 600 и 200 мВ для туннельных
диодов на основе GaAs и 300 и 100 мВ для туннельных диодов
из германия.
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
183
2.8. Лавинный пробой перехода
2.8.1. Механизмы лавинного пробоя
Если приложенное к р — n-переходу обратное напряжение
превышает некоторое критическое значение, при дальнейшем
♦
Напряжение, единицы £д/д
а
Напряжение, единицы £д/д
д
4—►
2
7-6 -5 -4/ 3 -2 - 1 0 1 2
/ Напряжение, единицы £д/д
* в
Рис. 2.8.1. Вольт-амперные характеристики р—n-диодов: а —невысокий уро-
вень легирования п-области — пробой происходит из-за лавинного умноже-
ния; б — средний уровень легирования п-области —• возможно участие тун-
нельного и лавинного механизмов; в — высокий уровень легирования вырож-
денной п-области — пробой вызван туннелированием.
увеличении обратного смещения происходит резкий рост обрат-
ного тока (рис. 2.8.1). Такое быстрое увеличение тока может
иметь место вследствие действия двух основных механизмов —
лавинного или туннельного пробоя. Причиной лавинного про-
боя является процесс ударной ионизации. Электрон или дырка
при этом процессе под действием электрического поля приобре-
тают так много энергии, что могут инициировать переход дру-
гого электрона из валентной зоны в зону проводимости. Вновь
созданные носители в свою очередь ускоряются электрическим
184
Глава 2
полем и тоже создают в процессе ударной ионизации новые
электронно-дырочные пары. При достаточно большом значении
приложенного напряжения это приводит к неконтролируемому
росту тока (пока не произойдет или ограничения тока нагрузкой
во внешней цепи, или разрушения образца). Можно провести
грубую оценку значения критического напряжения Vnp, вызы-
вающего лавинный пробой, если предположить, что лавинный
пробой происходит, когда электрическое поле в обратносмещен-
ном р — «-переходе достигает определенной критической вели-
чины, необходимой для процесса ударной ионизации. В случае
— «-перехода такая модель приводит к следующему выра-
жению:
- __ ° пр
пр~ 2^V^*
(2.8.1)
Поле пробоя £пр при 300 К составляет 100 кВ/см в Ge,
300 кВ/см в Si, 400 кВ/см в GaAs и 2300 кВ/см в SiC. Следо-
вательно, значение УПр может быть достаточно велико в диодах
с низколегированной «-областью. В некоторых приборах УПр
может превышать 2000 В.
Туннельный пробой обычно происходит в сильнолегирован-
ных полупроводниках, когда напряженность максимального
электрического поля в обедненной области достигает значений
порядка 106 В/см. В таких условиях ширина обедненной области
так мала, что электроны могут туннелировать с заполненных
состояний валентной зоны в p-области на пустые состояния
зоны проводимости в «-области. Этот процесс показан на
рис. 2.8.2. Выражение для туннельного тока можно вывести, ис-
пользуя формулу для коэффициента проницаемости барьера,
полученную в разд. 2.7 [см. уравнение (2.7.21)]. Таким образом,
можно записать следующее выражение для туннельного тока
[51]:
/туН~ hWf PL 3A£cp J’ ( ?
где
£cp — ^max/2
?(^-фЛГ/2
2e(^ + ^) J
Здесь ECp есть среднее значение электрического поля в пере-
ходе, Етах — максимальное значение электрического поля в пе-
реходе, <^(эВ)—ширина запрещенной зоны, Уы— встроенный
потенциал (можно предположить, что для сильнолегированных
переходов Vbi~&g), V—приложенное напряжение, Na и Nd —
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы 185
концентрация доноров и акцепторов, трп— приведенная эффек-
тивная масса
трп = 2(1/т„ + (2.8.3)
при этом тп — эффективная масса в зоне проводимости, a miP —
эффективная масса в зоне легких дырок.
Рис. 2.8.2. Зонная диаграмма туннельного диода.
Значения эффективных масс составляют пцр = 0,044 теу
0,16 те и 0,082 те для Ge, Si и GaAs соответственно. Эффектив-
ная масса mn GaAs равна 0,067 те. В Si и Ge значение тп
можно рассчитать как
mn = (mni!3 + 2mnt/3), (2.8.4}
где w«( = 0,98 те, mnt = 0,19 те для Si, a mni = 1,64 те, mnt =
= 0,082 те для Ge. Кроме того, правильное значение эффектив-
ной массы может зависеть от направления туннелирования.
Экспоненциальное увеличение туннельного тока в сильноле-
гированных р — «-переходах при обратном смещении приводит
к туннельному пробою. Критическое значение напряжения для
туннельного пробоя можно оценить, предположив, что
/тун(ИпрТ)« 10/sS. (2.8.5>
Здесь js — плотность диффузионного тока насыщения. В со-
ответствии с работой [82] критическое напряжение при тун-
нельном пробое обычно меньше 4 <£g/q. Если напряжение при
пробое превышает 6Ss/q, то пробой обычно обусловлен лавин-
186
Глава 2
ным механизмом. И тот и другой механизм могут вносить свой
вклад при напряжениях пробоя между и QSg/q
(см. рис. 2.8.1).
В р — n-диодах при большой мощности рассеяния тепловой
пробой может привести к неудержимому возрастанию обратного
тока и появлению отрицательного дифференциального сопротив-
ления при S-образной характеристике. Особенно важен этот
механизм в приборах, изготовленных из материалов с относи-
тельно узкой запрещенной зоной (например, Ge), поскольку
в них возможно значительное увеличение температуры при отно-
сительно низкой плотности тока.
*2.8.2. Ударная ионизация и лавинный пробой
Если носитель заряда обладает энергией, достаточной для
того, чтобы вызвать переход электрона из валентной зоны в зону
проводимости, возможен процесс ударной ионизации. Мини-
мальное значение необходимой для этого энергии, удовлетво-
ряющее требованиям законов сохранения, называют пороговой
энергией. Пороговое состояние наступает, когда
Vk#, (k,) = Vk#2 (к2) = vk#3 (к3), (2.8.6)
Si (к<) = Si (к,) + S2 (к2) - S. (к3), (2.8.7)
к^^ + кз-к,. (2.8.8)
Здесь Si и к,- — энергия и волновой вектор горячего элек-
трона, вызывающего ударную ионизацию в его начальном со-
стоянии, S\ и ki — энергия и волновой вектор этого горячего
носителя заряда в конечном состоянии, S^ и к3 — энергия и вол-
новой вектор электрона в валентной зоне, Si и кг — энергия
и волновой вектор электрона в состоянии, которое он занял
в результате ударной ионизации (см. [65], а также рис. 2.8.3).
Уравнения (2.8.7) и (2.8.8) —это законы сохранения им-
пульса и энергии. Уравнение (2.8.6) устанавливает необходи-
мость равенства групповых скоростей всех трех упомянутых
выше частиц. Данное условие соответствует резкому увеличению
вероятности переходов, связанных с ударной ионизацией. Если
оно не выполняется, ударная ионизация все равно возможна, но
имеет гораздо меньшую вероятность. Описанные три условия
накладывают достаточно серьезные ограничения на значения к,
с которыми носители могут участвовать в актах ударной иони-
зации. Отсюда следует, что пороговая энергия ударной иониза-
ции «Упор в ряде материалов можно значительно превышать
ширину запрещенной зоны Sg и зависеть от ориентации кри-
сталла. Например, в GaAs #Пор = 2,05 эВ при ударной иониза-
р-п-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
187
ции электронами, распространяющимися в направлении <100>„
<^пор = 2,01 эВ для электронов в направлении <1Ю>,
^пор= 1,81 эВ для дырок в направлении <100>,
<Fnop = 1,58 эВ для дырок в направлениях <110> и <111>.
Волновой вектор
Рис. 2.8.3. Электронно-дырочные переходы при ударной ионизации.
Электроны, движущиеся в GaAs в направлении <111>, не
могут вызывать ударную ионизацию. (Приведенные данные
заимствованы из работы [65].) В кремнии критическая энергия
ударной ионизации ближе к энергии запрещенной зоны.
Ударная ионизация характеризуется коэффициентами удар-
ной ионизации электронов и дырок а, и р,, которые определя-
ются как вероятность акта ударной ионизации на единице
длины.
Коэффициент ударной ионизации примерно пропорционален
числу электронов с энергией, превышающей критическую энер-
гию <Гкр. Лишь малая их часть обладает такой большой энер-
гией, поскольку средняя энергия электронов гораздо меньше
и ограничена рассеянием на оптических фононах. Чтобы достичь
энергии #кр, электрону (или дырке) необходимо пройти рас-
стояние
&
dE—^- (2.8.9)
без столкновений. Вероятность такого события равна
Pd==exp(-d£/X), (2.8.10)
где X — средняя длина свободного пробега.
188
Глава 2
Когда энергия носителя достигает критической энергии ^кр>
он может или вызвать ударную ионизацию, или потерять энер-
гию в результате рассеяния. Обозначим вероятность того, что
носитель с вызывает ударную ионизацию, как г”1. Ве-
роятность создания электроном в результате столкновения
электронно-дырочной пары можно записать следующим об-
разом:
1Гг = 4ехР[-^кР/^М- (2.8.11)
Рассеяние с образованием фононов снижает темп ударной
ионизации. Вероятность того, что высокоэнергетический элек-
трон генерирует фонон, а не создает электронно-дырочную пару,
можно записать как
Гф=1-^. (2.8.12)
Следовательно, количество генерированных на одну элек-
тронно-дырочную пару фононов ((V = №Ф/Ц74) равно
у = {/Wi - 1 « \IWi-, (2.8.13)
при этом величина энергии, которую носитель приобретает под
действием электрического поля перед актом ударной ионизации,
составит
Cp=^k„ + -^. (2.8.14)
где й<оо — энергия оптического фонона.
Прежде чем произвести ионизацию, электрон проходит рас-
стояние
6, = -^, (2.8.15)
следовательно, коэффициент ионизации электронами определя-
ется как
«( = -г-=-^-ехр[--^-1. (2.8.16)
б; rfcco0 н L qEk J v '
При выводе мы учли, что обычно <§Гкр «^кр « hao/Wi-
Более приближенный к реальным условиям численный
расчет коэффициента ионизации был проведен Бараффом [5].
Его качественные выводы согласуются с уравнением (2.8.16).
Однако наиболее точное совпадение с экспериментальными ре-
зультатами дают следующие эмпирические формулы для элек-
тронов
a^aoexpf-^/Ep"] (2.8.17)
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
189
(2.8.18)
и для дырок
в = роехр[-(Еор/£ГЧ
Рис. 2.8.4. Экспериментальные зависимости ctf и pi от l/fmax для трех ориен-
таций электрического поля в GaAs [44].
На рис. 2.8.4 представлены экспериментальные зависимости а:-
и рг- от 1/fmax в GaAs для трех ориентаций кристалла относи-
тельно направления электрического поля. Значения ао, Ро и ту
при которых экспериментальные результаты описываются фор-
мулами (2.8.17) и (2.8.18), представлены в табл. 2.8.1 [44]-
Средняя ошибка, полученная при такой подгонке коэффициен-
тов, не превышает 0,5 %.
190
Глава 2
Возникшие в результате ударной ионизации электроны и
дырки движутся в противоположных направлениях; при этом
изменяется распределение электронного и дырочного токов. Рас-
смотрим электронный и дырочный потоки, проходящие через
бесконечную область однородного полупроводникового образца
(рис. 2.8.5).
dx
б
Рис. 2.8.5. Дискретное увеличение плотности тока электронов и дырок jn и
/р, обусловленное ударной ионизацией электронами (а) и дырками (б).
Электронный поток
= (2.8.19)
Таблица 2.8.1. Скорость ионизации в GaAs при Т=300 К [44]
ар Ориентация <юо> <юо> <П1>
az ао, см-1 В/см mbn 9,12 • 104 4,77 • 103 3,48 2,19 . 10е 2,95 . 10е 1 7,76 . 104 4,45 . 10s 6,91
pi Ро, см'1 Еор> В/см ПЦр 3,47 • 10е 2,18 • 10е 1 2,47 • 10е 2,27 • 10е 1 6,31 • 10s 2,31 • 10е 1
Диапазон напря- женности электри- В/см 3,13 • 10s— 4,76 • 10s 3,13 • 10s — 4,76 • 10s 3,33 • 10s— 5,56 • 10s
ческого поля
. р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
191
равен числу электронов, проходящих через сечение единичной
площади за одну секунду (/„ — плотность электронного тока).
Выражение для дырочного потока <рр имеет вид
Фп = у> (2.8.20)
где jp — плотность дырочного тока. На пути длиной dx каждый
электрон образует в среднем aidx электронно-дырочных пар,
а каждая дырка — frdx электронно-дырочных пар. Следова-
тельно, можно записать следующие уравнения для /„ и /р:
= + (2.8.21)
И
= Pi/p arfn (2.8.22)
(см. рис. 2.8.5). Из соотношений (2.8.21) и (2.8.22) найдем, что
di р djn
dx dx
и плотность полного тока
i = in + iP (2.8.23)
постоянна. Качественная картина распределения токов при
ударной ионизации показана на рис. 2.8.6. Если ударная иони-
зация вызвана электронами, можно определить коэффициент
умножения для электронов, инжектированных с катода, как
= (2.8.24)
где L — длина образца. Если ударную ионизацию вызывают
инжектированные с анода дырки, то коэффициент умножения
для дырок можно определить следующим образом:
= (2-8.25)
Напряжение пробоя — это напряжение, при котором коэффи-
циент умножения (Мп или Мр) становится бесконечным. Следо-
вательно, для вычисления напряжения пробоя необходимо вы-
разить Мп и Мр через а; и р>, используя (2.8.21) и (2.8.22).
192
Глава 2
С помощью (2.8.23) можно переписать выражение (2.8.21)
как
Расстояние
а
(2.8.26)
б .
Рис. 2.8.6. Плотность тока как функция расстояния при ударной ионизации,
связанной с инжекцией электронов (а) и дырок (б).
Умножая (2.8.26) на интегрирующий множитель
до L, найдем
и интегрируя полученное выражение от О
L
fn)dx' I dx~
(2.8.27)
193
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
Таким же образом из (2.8.22) и (2.8.23) получим
L г х *1
1 —'i ₽< exp I — (а( — Pt)dx' I dx. (2.8.28)
Мр о L о J
Условие лавинного пробоя следует из уравнения (2.8.27):
exp
X
— (т — dx'
О
dx —
1.
(2.8.29)
Такое же уравнение (2.8.29) можно вывести из (2.8.28),
предположив, что Afp->oo. Таким образом, условие пробоя не
зависит от типа носителей, вызывающих лавинное умножение.
Теперь рассмотрим несколько простых случаев. Если удар-
ную ионизацию вызывает один из типов носителей (например,
0/<С«/), тогда из уравнения (2.8.27) следует
(2.8.30)
Рассмотрим подробнее, как получена формула (2.8.30). Вы-
ражение (2.8.29) при а/ 0, можно переписать в виде
L
1 -7L=J(df/dx)exp(-f)dx', (2.8.31)
где
X
f = QLidx'.
о
Интеграл в правой части (2.8.31) можно оценить следующим
образом:
$ (dfldx) exp (—f) dx' = $ exp (—f) df = — exp (—f) + const,
что и приводит к формуле (2.8.30).
Смысл формулы (2.8.30) заключается в том, что, если
0—*-0, Мп всегда конечное число и, строго говоря, лавинного
пробоя не происходит. Если мы предположим, что Мп мало (слу-
чай низкого напряжения), из (2.8.30) найдем:
L
М„«1+$а^х. (2.8.32)
6
13 Заказ № 304
194
Глава 2
Рассмотрим теперь другой предельный случай, когда
а, = Р;. При этом условии из уравнения (2.8.27) получим
Мп =------. (2.8.33)
1 — az dx
о
Следовательно, для а/ = 0Z напряжение пробоя можно найти из
условия
L
J azdx= 1, (2.8.34)
о
что соответствует Мп-^оо.
Ранее мы рассматривали ситуации, когда причиной ударной
ионизации являлся либо инжектируемый с отрицательного
электрода (катода) электронный поток, либо инжектируемый
с положительного электрода (анода) поток дырок. В случае,
когда ток имеет обе составляющие — электронную и дыроч-
ную, т. е.
/. = Vns + (l -^)/pst (2.8.35)
коэффициент умножения равен [42]
Л1 = М1р + (1 -^)М„. (2.8.36)
При известных коэффициентах ударной ионизации можно
найти напряжение пробоя из (2.8.27), считая Л4п->оо. На
рис. 2.8.7 проведено сравнение такого расчета для GaAs
с р+->п-переходом [44] с экспериментальными данными [83].
Кроме того, на рисунке показано напряжение пробоя, рассчи-
танное по простейшей модели, в которой принимается, что про-
бой происходит по достижении электрическим полем критиче-
ского значения £пр. В рамках этой модели формула для напря-
жения пробоя имеет вид
еЕ2
__ £Спр
пр — 2q/VD *
(2.8.37)
При расчете считалось, что £Пр = 393 кВ/см. Согласно рисунку
простая модель при низком уровне легирования (JVn< 1016см-3)
справедлива, но при большой концентрации примеси погреш-
ность растет. В этой модели выражение для напряжения пробоя
в плавном р— /i-переходе с линейным распределением примеси
имеет вид
4£np (2е Y/2
пр 3 \ adq )
(2.8.38)
где аа — градиент концентрации.
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
195
Рис. 2.8.7. Зависимость напряжения пробоя от уровня легирования для
GaAs [44].
Рис. 2.8.8. Зависимость напряжения пробоя от уровня легирования для одно-
сторонних резких р—n-переходов в GaP, GaAs, Si и Ge. Туннельный меха-
низм начинает преобладать при уровнях легирования, превышающих значения,
ограниченные штриховой линией в правом нижнем углу рисунка.
13*
196
Глава 2
На рис. 2.8.8 показано напряжение пробоя для резких несим-
метричных р— «-переходов в GaP, GaAs, Si и Ge как функция
концентрации примеси [85].
2.9. Барьеры Шоттки
Первым полупроводниковым прибором был выпрямитель, из-
готовленный при помощи металлической проволочки, соединен-
Злектроны с энергией,
превышающей уровень вакуума
Уровень вакуума
Зона проводимости £с
Рис. 2.9.1. Распределение потенциала на поверхности полупроводника (#с —
дно зоны проводимости, — потолок валентной зоны, ?— уровень
Ферми, Xs — работа выхода, Xso — электронное сродство).
ной с кусочком полупроводникового материала. Причиной вы-
прямляющих свойств такого контакта служит электростатиче-
ский потенциальный барьер (барьер Шоттки), возникающий на
границе металла с полупроводником. Чтобы понять, почему
такой барьер существует, рассмотрим границу полупроводника
«-типа с вакуумом (рис. 2.9.1). Электроны, находящиеся в глу-
бине кристалла, обладают меньшей потенциальной энергией,
поскольку они притягиваются положительно заряженными
ионами решетки. Разница энергий Я$о между дном зоны прово-
димости и энергетическим уровнем электронов в вакууме назы-
вается электронным сродством. За счет теплового движения
у некоторых электронов энергия выше, чем #c + Xso, и они мо-
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы 197
гут покинуть кристалл. Подсчитаем поток этих электронов,
предположив, что в кристалле электроны распределены согласно
функции Максвелла—Больцмана:
f (#п) = ехр [(#F - &п)/(кТ)]> (2.9.1)
где Sf — уровень Ферми, <Sn— энергия электрона [см. уравне-
ние (1.6.8а)]. С помощью уравнения (2.9.1) мы в состоянии
•определить функцию распределения по скоростям так что
произведение fvdvxdvydvz есть вероятность того, что электрон
имеет скорость v с компонентами, находящимися в пределах
между vXt vy, vz и vx + dvx, vy + dvy, vz + dvz соответственно.
Выбирая за начало координат дно зоны проводимости [d?c = 0,
^ = гпп(у\ +у^ + ^)/2], из уравнения (2.9.1) получим
fv = Av ехр [-mn (и* + + vty(2kT)}. (2.9.2)
Постоянная нормировки Av определяется из условия
оо оо оо
fv dvx dvy du? — 1. (2.9.3)
—oo •—oo —oo
Используя следующее выражение:
exp(—ax2)dx = (л/а)|/2, (2.9.4)
—oo
получим из уравнения (2.9.3) соотношение
fv = [mn/(2^kT)]3/2 exp [-m (v2 + + ^(2kT)]. (2.9.5)
. Данное выражение можно записать в виде
fv = fMvz, (2.9.6)
где Дх, Ду и Д2 — функции распределения для компонент ско-
рости
Дх = [m„/(2nfeT)]1/2ехр [~mv2x/(2kT)], (2.9.7)
Ду = [mn/(2nkT)]i,z ехр [~mv2/(2kT)], (2.9.8)
Дг = [mn/(2nkT)]1/2 ехр [-mv2/(2kT)]. (2.9.9)
Теперь можно определить среднюю скорость <их> электро-
нов, двигающихся в направлении х перпендикулярно поверхно-
сти (рис. 2.9.1):
(Vx':> = \vxfvxdvx= [mn/(2nkT)]'12^ t>xexp[—mvx/(2kT)] dvx.
о 0
(2.9.10)
198
Глава 2
Уравнение (2.9.10) можно записать как
{vx) — [2bT/(nmn)]l/2^ uexp(—u2)du. (2.9.11)
о
Интеграл в правой части этого уравнения равен 1/2, следова-
тельно,
<«х> = [^/(2лт„)]1/2. (2.9.12)
Теперь вычислим среднюю скорость электрона
оо оо
<v> = j vfvd3v ~ [mn/(2nkT)fi2 v exp [—nw2/(2kT)] 4jw2 dv =
о о
= 2[8£77(лтп)]1/2 j wexp(—u2)du.
о
Тогда имеем
<u> = [8£Г/(лт„)]1/2 J t exp (—t) dt. (2.9.13)
0
При выводе было учтено d3v = 4tw2dv. Интеграл в правой
части уравнения (2.9.13) может быть взят из таблицы интегра-
лов; кроме того, он легко берется интегрированием по частям,
и его значение равно единице.
Итак, средняя тепловая скорость электрона определяется
формулой
(v) = [8^T/(jtmn)],/2. (2.9.14)
Плотность электронного тока /$, соответствующего потоку
электронов из кристалла в положительном направлении оси х,
может быть рассчитана следующим образом:
/s = q J vx(dnldS)d^, (2.9.15)
^вак
где
dn/dg = [4л (2/п„)3/2Л3] (<Г - <ГС),/2 exp [(gF - &)/kT] (2.9.16)
(см. уравнения (1.6.35) и (1.6.37); при этом
& - sc = mn (и2 + v2y + v2)/2 = mnv2/2,
d<£ — mnvdv,
4jw2 dv = dvx dvy dvz
jP—я-псреходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы 199
л ^вак — уровень энергии вакуума. Теперь эти формулы
следует подставить в уравнение (2.9.15), провести интегрирова-
ние ПО Vy ОТ —ОО до ОО, по vz от —оо до ОО и ПО Vx ОТ Vmin
до оо, причем Vmin = (2XSQ/mn)'/2 — минимальное значение vx,
при котором электрон может покинуть кристалл.
Используя определение работы выхода
= (2.9.17)
в конечном счете получим выражение для плотности тока элек-
тронов, покидающих образец (см. задачу 2.9.2):
/5 = л*г ехр (2.9.18)
где
4* = « 120(m„/me) А/(см2 К2) (2.9.19)
называют постоянной Ричардсона. С учетом уравнений
(2.9.12) и (2.9.14) выражение (2.9.18) можно записать в виде
is = qnxs <vx> = qnxs (v;/!, (2.9.18а)
где nxs — концентрация электронов, имеющих энергию, превос-
ходящую Xs.
Это явление, при котором электроны покидают кристалл, но-
сит название термоэлектронной эмиссии. Когда электроны ухо-
дят из кристалла, в его объеме остается некомпенсированный
положительный заряд. Возникающее при этом электрическое
поле вызывает вблизи поверхности искривление энергетических
зон. Положительный заряд втягивает электроны в глубь кри-
сталла, обеспечивая таким образом термодинамическое равно-
весие. В элементарном рассмотрении распределения потенциала
(рис. 2.9.1) изгиб зон не учитывался, поэтому оно неточно.
Когда металл и полупроводник контактируют, образуя так
называемый диод Шоттки, сначала имеют место два конкури-
рующих электронных потока: из полупроводника в металл
(см. уравнение (2.9.18)) и из металла в полупроводник
ехр (- , (2.9.20)
где Хт — работа выхода из металла. Если Xm > Xs, то jm<js,
и металл должен зарядиться отрицательно, а полупроводник —
положительно с конечной разностью потенциалов между ними
Vbi = Xm-Xs. (2.9.21)
Эта разность потенциалов, называемая встроенным потен-
циалом, соответствует высоте потенциального барьера
<p6 = Xm-Xs0. (2.9.22)
200
Глава 2
Отрицательный заряд в металле сосредоточен практически
в поверхностном атомарном слое, потому что концентрация сво-
бодных электронов очень высока. Плотность положительного
Рис. 2.9.2. Упрощенная зонная энергетическая диаграмма барьера металл—
полупроводник.
заряда в полупроводнике ограничена концентрацией ионизован-
ных доноров, и область пространственного заряда распространя-
ется в глубь полупроводника. Упрощенная энергетическая диа-
грамма контакта металл—полупроводник, соответствующая дан-
ной модели, представлена на рис. 2.9.2.
Значения высоты барьера Шоттки, измеряемые на практике,
сильно отличаются от величин, получаемых из уравнения
(2.9.22) и показанных на рис. 2.9.2. Высота барьера Шоттки
слабо зависит от Хт (возрастает от 0,1 до 0,3 эВ при увеличе-
нии Хт от 1 до 2 эВ). В 1947 г. Бардин разработал модель,
объясняющую такое несоответствие влиянием поверхностных
состояний на границе раздела между полупроводником и тонким
слоем окисла, который практически всегда существует на по-
верхности. Этот окисел имеет такую малую толщину, что через
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
201
него легко туннелируют электроны. Изменяющие высоту барьера
поверхностные состояния распределены непрерывно по энергии
в пределах запрещенной зоны. Они характеризуются «нейтраль-
ным» уровнем фо» таким, что состояния ниже <р0 становятся
нейтральными, когда заполняются электронами, а состояния
" V <*
Промежуточный слои
Рис. 2.9.3. Поверхностные состояния на границе металл — полупроводник.
А кцептороподовные
поверхностные
состояния
Пустые поверхностные
состояния
донороподооные поверхностные
состояния
Заполненные поверхностные
состояния
выше фо нейтральны, когда они пусты (рис. 2.9.3). Можно по-
казать, что в этом случае высота барьера определяется выраже-
нием [68]
^Рб У$ (-^m A'so) -f" ( 1 у$) g фо) —“ у$ (епп/Е/) £\пахбокс> (2.9.23 )
где
£/ + qN S$OKC
(2.9.24)
— ширина запрещенной зоны, е/— диэлектрическая прони-
цаемость промежуточного слоя, бокс — толщина промежуточного
слоя, Ns — плотность поверхностных состояний, а также [68]
. (WDVbi V/2
max — (с /
\ ОПП /
(2.9.25)
ы = фб — р.
(2.9.26)
202
Глава 2
Последнее слагаемое в правой части уравнения (2.9.23) про-
порционально падению напряжения на промежуточном слое,
которое, как правило, мало. Поэтому при нулевой плотности
поверхностных состояний уравнение (2.9.23) переходит
в (2.9.22). В другом предельном случае, когда Ns-+<x> и ys-^0,
имеем
q)6 = ffg — ф0. (2.9.27)
Действительно, энергия уровня Ферми в этом случае должна
совпадать с нейтральным значением, так как любое отклонение
от этого положения приведет к бесконечно большому заряду
на границе раздела.
Модель Бардина лучше согласуется с экспериментальными
данными, чем упрощенная модель, в которой высота барьера
определяется выражением (2.9.22). Тем не менее и она не мо-
жет объяснить многие свойства диодов с барьером Шоттки,
а также механизм образования поверхностных состояний.
В работе [79] формирование поверхностных состояний связыва-
лось с дефектами, образующимися при осаждении металла (мо-
дель объединенных дефектов). В работе [86] выдвинуто предпо-
ложение, что высота барьера Шоттки, как и величина разрыва
зон в гетеропереходах (см. разд. 2.12), определяется туннелиро-
ванием электронов из одного материала в другой с образова-
нием диполя в промежуточном слое. Хотя до сих пор детальная
и точная теория формирования барьера Шоттки остается про-
блемой, требующей разрешения, многие свойства барьеров
Шоттки могут быть поняты без знания точных механизмов, оп-
ределяющих их высоту. Другими словами, эффективная высота
барьера определяется просто из данных эксперимента.
Высоту барьера фо можно экспериментально определить из
вольт-амперных характеристик диодов Шоттки (см. разд. 2.10),
из данных измерений внутренней фотоэмиссии и из емкостных
измерений. Метод фотоэмиссионной спектроскопии является,
по-видимому, наиболее прямым способом измерения высоты
барьера Шоттки. Падающий на полупроводник с барьером
Шоттки свет генерирует электроны и вызывает электрический
ток, называемый фототоком. В зависимости от частоты излуче-
ния изменяется измеряемая величина, представляющая собой
отношение фототока к числу поглощенных фотонов и называе-
мая «выходом». Выход У связан с высотой барьера Шоттки фг>
и частотой поглощенного излучения v следующим образом:
У = const (hv — фб)2 (2.9.28)
при Ь>>фб + ЗЛТ и фб + ^к» hv, где ^ — уровень Ферми
в металле, отсчитываемый от дна зоны проводимости металла
(более подробно об этом см., например, работу [25]). На
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
203
рис. 2.9.4 мы представили результаты фотоэмиссионных экспе-
риментов по определению высоты барьера Шоттки в AlxGai_xAs
при разных значениях х [25]. В общем случае имеется корреля-
ция между высотой барьера Шоттки и шириной запрещенной
зоны (высота барьера Шоттки приближается примерно к 2/3
Рис. 2.9.4. Результаты экспериментов по
внутренней фотоэмиссии для определе-
ния высоты барьера AlxGai-xAs при
разных х [25].
Рис. 2.9.5. Высота барьера Шоттки, опре-
деленная из данных рис. 2.9.4, в зависи-
мости от ширины запрещенной зоны
AlxGai—xAs.
ширины запрещенной зоны для барьеров на полупроводниках
п-типа).
На рис. 2.9.5 эта корреляция проиллюстрирована зависи-
мостью высоты барьера Шоттки, определенной исходя из дан-
ных рис. 2.9.4, от ширины запрещенной зоны в ALGai-xAs.
Если известна высота барьера Шоттки, то с помощью при-
ближения обеднения можно найти изменения пространственного
заряда,- электрического поля и потенциала в области простран-
ственного заряда полупроводника:
р = ^о, (2.9.29)
Е = - f (2.9.30)
£пп
пМ / х
Ф = V-Ио - xy = -Vbl 1 - V (2.9.31)
(рис. 2.9.6). Здесь
Ао = '2епп (2.9.32)
— ширина области пространственного заряда, епп— диэлектриче-
ская проницаемость полупроводника, а значение встроенного
потенциала Уы определяется формулой (2.9.26). Распределения
204
Глава 2
^ПП
Л 0 Расстояние
Рис. 2.9.6. Пространственный заряд, электрическое поле, потенциал и край
зоны проводимости в обедненной области диода Шоттки.
поля в обедненной области при нулевом обратном и небольшом
прямом смещении могут быть получены при замене Vu на
Уы—К где V — приложенное напряжение (рис. 2.9.7); поло-
жительное значение V соответствует прямому смещению.
.р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
205
Рис. 2.9.7. Энергетическая зонная диаграмма барьера Шоттки при нулевом,
прямом и обратном смещении.
206
Глава 2
2.10. Вольт-амперные характеристики диодов Шоттки
2.10.1. Модель термоэлектронной эмиссии
Рассмотренная в разд. 2.9 модель термоэлектронной эмиссии
переноса носителей в барьерах Шоттки справедлива, если
барьер является основным препятствием для потока электронов.
Аналогичная ситуация имеет место в р — n-переходе (см.
разд. 2.3). При обратном или малом прямом смещении квази-
уровень Ферми электронов вблизи поверхности раздела оста-
ется практически постоянным при изменении координаты. Как
и в р — n-переходе, в этих условиях и дрейфовая, и диффузион-
ная компоненты тока в обедненной области значительно больше
суммарного полного тока. Такое поведение электронного квази-
уровня Ферми подтверждается также численным моделирова-
нием и показано на рис. 2.9.7.
Зонные диаграммы на рис. 2.9.7 изображены в предположе-
нии, что основная часть внешнего напряжения падает на гра-
нице металл—полупроводник. В полупроводниках с низкой по-
движностью и относительно низким уровнем легирования ток
через барьер Шоттки может быть ограничен в большей степени
процессами диффузии и дрейфа в области пространственного
заряда, чем барьером на поверхности раздела металл—полупро-
водник. В этом случае квазиуровень Ферми электронов будет
изменяться в пределах обедненной области, так что модель
термоэлектронной эмиссии использовать нельзя. Количественный
критерий справедливости термоэлектронной модели может быть
получен из сравнения средней длины свободного пробега элек-
тронов с расстоянием
d = kT/(qEmax), (2.10.1)
на котором потенциал в обедненной области вблизи поверхности
раздела уменьшается на kT/q [68]. Здесь £тах — максимальное
электрическое поле на границе металл—полупроводник, равное
Значение длины свободного пробега определяется как
1 = -^ V3kTtnn, (2.10.3)
где Ц/г—низкополевая подвижность электронов и тп — эффек-
тивная масса. Уравнение (2.10.3) получено подстановкой значе-
ния тепловой скорости от = {3kT/mnYl2 и времени релаксации
импульса т = pntnn/q в формулу для средней длины свободного
пробега Л = Vtt. Термоэлектронная модель справедлива, если
X>d. (2.10.4)
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
207
При этом условии находящиеся вблизи границы металл—по-
лупроводник и обладающие достаточной энергией электроны
смогут преодолеть барьер до рассеяния. Время релаксации им-
пульса этих высокоэнергетических электронов будет сильно от-
личаться от времени релаксации импульса в слабом электриче-
ском поле, которое связано с низкополевой подвижностью.
Вследствие этого уравнение (2.10.4) является довольно грубым
критерием. Тем не менее оно дает некоторое представление о
границах применимости термоэлектронной модели.
Подставляя уравнения (2.10.1) и (2.10.3) в уравнение
(2.10.4), найдем
^X>(^)enn/(6V6im„) (2.10.5)
ИЛИ
^(см-з)и2 (См7(В . с)) > 4,19 . 1О18(Г/ЗОО)(Епп/ео)(т
(2.10.6)
В Si и GaAs при комнатной температуре неравенство
(2.10.6) выполняется для Nd, больших чем ~1012 см~3.
Если к <^d, то положение квазиуровня Ферми в обедненной
области будет зависеть от координаты и термоэлектронной мо-
делью воспользоваться нельзя. Этот случай описывается диффу-
зионной моделью [68]. Такая ситуация имеет место, например,
в барьерах Шоттки на аморфном кремнии, в котором подвиж-
ность электронов очень мала, р, < 10 см2/(В-с).
Если справедлива термоэлектронная модель, вольт-амперные
характеристики диода Шоттки могут быть получены из расчета
потоков электронов, направленных в полупроводник и из полу-
проводника, на границе раздела с металлом. Электронный поток
из полупроводника JSm = js/q можно найти из уравнения
(2.9.18), заменяя работу выхода Xs на эффективную высоту
барьера фб—V (рис. 2.9.7). Поток в противоположном направ-
лении Jms из металла в полупроводник не зависит от приложен-
ного напряжения (предполагается, что высота барьера со сто-
роны металла не зависит от приложенного напряжения; со-
гласно рис. 2.9.7 барьер для электронов в металле равен фб при
нулевом, прямом и обратном смещении).
При V = 0 полный поток J должен быть равен нулю. Следо-
вательно,
Х = Х(^ = 0) (2.10.7)
и для плотности электрического тока получим следующее вы-
ражение:
! = iss[^p(qV/kT)-l], (2.10.8)
где
hs = A*T2exp[-q(f6/kT]. (2.10.9)
208
Глава 2
В выражение для постоянной Ричардсона
= ~ 120а(т„М) (А/(см2 К2)) (2.10.10)
теперь входит эмпирический множитель а, с помощью которого
учтены отклонения от простой модели, изложенной в разд. 2.9.
Значение а в соответствии с работой [21] примерно равно 0,5.
Уравнение (2.10.8) справедливо для сферических изоэнергетиче-
ских поверхностей и параболических зон (что имеет место в зоне
проводимости GaAs, где тп = 0,067 те). В полупроводниках
с эллипсоидальными поверхностями постоянной энергии (напри-
мер, в зоне проводимости кремния) А* зависит от направления
тока. Согласно [19] в уравнении (2.10.10) тп следует заме-
нить на
/и* ~^тутг + + п^тхту)^ (2.10.11)
где тх. гпу и mz—компоненты тензора эффективной массы в на-
правлениях, совпадающих с главными осями эллипсоида по-
верхностей равной энергии, а /е, /пе и Пе — косинусы углов, об-
разованных нормалью к поверхности раздела металл—полупро-
водник и тремя главными осями этого эллипсоида. Такой расчет
необходимо выполнить для каждой долины (т. е. каждого мини-
мума зоны проводимости) и вычислить результирующую посто-
янную Ричардсона как сумму полученных величин.
В кремнии имеется шесть эквивалентных долин, так что в ре-
зультате получим [68]:
/и* = 2т/ + — 2,05те в направлении <100>,
(2.10.12)
m* = 6(m2/3 + 2mzmz/3)1/2 = 2,15me в направлении <111>.
(2.10.13)
Для германия справедливы следующие соотношения:
m* = 4(m2/3 + 2mzmz/3)I/2= 1,19те в направлении <100>,
(2.10.14)
zn* = mf + (m2 + 8mz/nz/3)I/2—1,07т^ в направлении <111?.
(2.10.15)
Здесь mt и mi — трансверсальная и продольная эффективные
массы соответственно. Для плоскости (111) в Si и GaAs посто-
янная А* равна 96 и 4,4 А/(см2-К2) соответственно.
р—я-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
209
В реальных приборах вольт-амперная характеристика более
точно описывается следующим выражением
j = jss exp^-^-j — 1). (2.10.16)
Коэффициент nil в уравнении (2.10.16) называется коэффи-
циентом идеальности. Обзор различных эффектов, приводящих
к такой зависимости, включая влияние напряжения смещения
на высоту барьера, сделан Родериком [68].
Полезным является сравнение величины плотности тока на-
сыщения в барьере Шоттки /ss с плотностью тока насыщения
р-*~— n-перехода /$:
ехр (2.10.17)
Is v Nc \ Tp / mp r L kT J v f
Здесь Tpi — время жизни дырок в n-области, тр— время ре-
лаксации импульса для дырок, — энергия запрещенной зоны
в р — n-переходе, фб— высота барьера Шоттки, ND— концентра-
ция доноров и Nc — эффективная плотность состояний в зоне
проводимости (см. задачу 2.10.1). Типичное значение фб со-
ставляет ~0,6 &g. Отношение тр;/тр может иметь порядок 104
в GaAs и более высокий в Si. Поэтому ток насыщения в барьере
Шоттки превышает ток насыщения в р+ — n-переходе на много
порядков величины и напряжение включения меньше на не-
сколько десятых вольта.
2.10.2. Вольт-амперые характеристики для термополевой
и полевой эмиссии
Обедненная область в барьерах Шоттки к сильнолегирован-
ным полупроводниками становится настолько узкой, что элек-
троны могут туннелировать сквозь барьер вблизи его вершины,
где он имеет малую толщину (рис. 2.10.1). Этот процесс назы-
вается термополевой эмиссией. Число электронов с данной
энергией S уменьшается при увеличении S как ехр [—$
В то же время проницаемость барьера экспоненциально увели-
чивается при уменьшении толщины барьера (разд. 2.7). Поэтому
туннельный механизм начинает преобладать в области малых
энергий при увеличении концентрации легирующей примеси и
уменьшении ширины барьера. В вырожденных полупроводниках,
если мала эффективная масса электрона, как это имеет место
в GaAs, электрон может туннелировать сквозь барьер при энер-
гиях, близких к уровню Ферми, при этом туннельный ток стано-
вится доминирующим. Такой механизм называется полевой
эмиссией. Вольт-амперные характеристики диода Шоттки в слу-
чае термополевой или полевой эмиссии можно рассчитать, оце-
14 Заказ № 304
210
Глава 2
Туннелирующие электроны
\
Очень высокий
уровень легирования
Вырожденный
полупроводник
(полевая эмиссия)
Рис. 2.10.1. Термополевая и полевая эмиссия при прямом смещении (</тун —
характерная длина туннелирования). При низком уровне легирования элек-
троны туннелируют через барьер ближе к вершине барьера. С увеличением
легирования характерная энергия туннелирования <Sтун уменьшается. В силь-
нолегированных вырожденных полупроводниках электроны с энергией, близ-
кой к уровню Ферми, туннелируют через очень тонкую обедненную область.
р—/г-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
211
нив произведение туннельного коэффициента передачи и числа
электронов как функцию энергии и проинтегрировав по всем
состояниям в зоне проводимости. В результате таких расчетов
получим [63]
J = Jstfexp(qV/g0), (2.10.18)
где
^0 = ^oocth(^00/^r) (2.10.19)
и
= 1,85 10~п [,~4° ) 1. (2.10.20)
4л \ т*еПп) L (mn/me) (епп/ео) J ' '
Множитель перед экспонентой был рассчитан в работе [20]:
Jstf~ k cosh (SwlkT) eXp[ kT ^0(фб
(2.10.21)
Здесь g = (^c — (см. рис. 2.10.1), так что в вырожден-
ном полупроводнике £ меньше нуля. В GaAs термополевая эмис-
сия возникает при 1017 см“3 для температуры 300К и при
Nd> Ю16 см“3 для температуры 77К; в кремнии соответствую-
щие значения больше в несколько раз.
При очень высокохМ уровне легирования ширина обедненной
области становится настолько малой, что может происходить
прямое туннелирование из полупроводника в металл и имеет
место полевая эмиссия, как показано на рис. 2.10.1. Так проис-
ходит, если Й’оо становится гораздо больше, чем kT. Вольт-ам-
перные характеристики в этом случае описываются выражением
J«J,fexp[-|£], (2.10.22)
где
J, -хрГ—^1 (2.10.23)
kCism(jikTCi) L #оо J
и
с. = (2^ооГ In [-4 (фб - /)/&]. (2.10,24)
Эффективное сопротивление барьера Шоттки в режиме по-
левой эмиссии достаточно мало. Поэтому барьеры Шоттки со
структурой металл — используются в качестве омических
контактов (см. разд. 2.11).
14*
212
Глава 2
2.10.3. Малосигнальная модель диода Шоттки
На рис. 2.10.2 показана малосигнальная эквивалентная
схема барьера Шоттки. Она содержит включенные параллельно
Рис. 2.10.2. Эквивалентная схема диода Шоттки.
дифференциальное сопротивление
барьера Шоттки*
Rd==dV!dI (2.10.25)
и дифференциальную емкость
области пространственного за-
ряда, которую можно оценить ис-
ходя из приближения обедне-
ния, как было сделано в случае
р+ — n-перехода в разд. 2.5:
Cd = S
Г ^РЕПП 11/2
L2(i/bi-nJ
Рис. 2.10.3. Зависимость 1/С2 от (2.10.26)
напряжения для диода с барьером
Шоттки In—Sn-Оксид—GaAs [64]. Здесь S — площадь прибора. На
рис. 2.10.3 [64] показано, что
емкость реального барьера Шоттки действительно пропорцио-
нальна {V ы—V)~1/2.
Описанные элементы схемы последовательно соединены с со-
противлением, состоящим из последовательно включенных со-
противления контактов и сопротивления нейтральной области
полупроводника между омическим контактом и обедненной об-
ластью, а также с паразитной индуктивностью. Геометрическая
емкость всего диода Сгеом, параллельная его выводам, равна
Сгеом
— епп*$/£,
(2.10.27)
где L — длина прибора.
р- -n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы 215
Главным отличием эквивалентной схемы на рис. 2.10.2 от
эквивалентной схемы р — n-перехода является отсутствие диф-
фузионной емкости в схеме диода Шоттки. За счет этого го-
раздо выше быстродействие в условиях прямого смещения, что
позволяет применять диоды Шоттки в качестве смесителей и
детекторов СВЧ (см., например, [46]).
Как правило, 7?Посл и С, так что характерная по-
стоянная времени, ограничивающая частотный диапазон диода
Шоттки, есть
(2.10.2S>
Полный обзор ранних работ по контактам с барьерохм Шот-
тки сделан Родериком [68]. Более поздняя библиография пред-
ставлена в работе [73]. Основательное рассмотрение контактов
металл — полупроводник на соединениях AIHBV было опублико-
вано Робинсоном в 1983 г. [71].
2.11. Омические контакты
На рис. 2.11.1, а для сравнения изображены вольт-амперные
характеристики диода с барьером Шоттки и омического кон-
такта. У идеального омического контакта линейная вольт-ам-
перная характеристика и очень небольшое сопротивление, кото-
рым можно пренебречь по сравнению с сопротивлением актив-
ной области полупроводникового прибора. Омический контакт
к полупроводнику n-типа будет идеальным, если работа выхода
металла меньше, чем полупроводника. К сожалению, это усло-
вие удовлетворяется для очень небольшого числа реальных со-
четаний материалов, и на границе раздела металл — полупро-
водник обычно формируется барьер Шоттки. Поэтому на прак-
тике омический контакт с низким сопротивлением получают,
увеличивая концентрацию примеси вблизи границы металл —
полупроводник до очень большой величины, чтобы обедненный
слой барьера Шоттки стал тонким. При этом токоперенос че-
рез барьер нарастает за счет туннелирования (режим полевой
эмиссии, см. разд. 2.10). На рис. 2.11.1,6 сравниваются зонные
диаграммы омического контакта металл — — п и барьера
Шоттки. Из этого сравнения ясно видно, какую роль играет
п+'слой. В разд. 2.10 обсуждалось, что если основным процес-
сом является туннелирование, выражения для плотности тока j
записываются как (2.10.18) — (2.10.22). Из указанных формул
найдем, что удельное контактное сопротивление гКонт, которое
по определению есть
гконт — dV/dj
(2.11J>
214
Глава 2
пропорционально
гконт ~ ехр [4л (епптп)1/27фб/(^)1/2].
(2.1 1.2)
Рис. 2.11.1. а — вольт-амперные характеристики диода с барьером Шоттки и
омического контакта; б — зонные диаграммы омического контакта металл —
п+—п и барьера Шоттки.
При более низком уровне легирования, когда основную роль
играют полевая и термоэлектронная эмиссия, сопротивление
контактов должно гораздо меньше зависеть от концентрации
примеси. Этот вывод хорошо совпадает с экспериментальными
данными (см. рис 2.11.2 из работы [82], где сравниваются экс-
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
21&
периментальные значения и теоретические расчеты для Pt Si и
алюминиевых омических контактов к Si).
Стандартный способ уменьшения удельного контактного со-
противления заключается в образовании областей с очень вы-
Рис. 2.11.2. Экспериментальные и теоретические значения контактного сопро-
тивления для омических контактов из PtSi и Al к Si [82].
сокой концентрацией примеси вблизи поверхности с помощью
сплавных омических контактов. Для создания высоколегирован-
ных областей вблизи поверхности применяются также процессы
ионной имплантации или диффузии. Уровень легирования огра-
ничен растворимостью примеси и может достигать 5-1019 см-3
для GaAs n-типа и 1020 см-3 для GaAs р-типа [16]. При ис-
пользовании ионной имплантации возможно достижение уров-
ней легирования вблизи поверхности, превышающих предел
растворимости [71]. Лучшие омические контакты к GaAs п-типа
обладают низким контактным сопротивлением (>10“6 Ом*см2)
и имеют высокую надежность.
Для создания омических контактов к GaAs р-типа применя-
ются сплавы Ап— Zn [28], Au — Zn — Au [72] и Ag — Zn [48].
Как отмечал Браслау [13], многочисленные эксперименталь-
ные данные говорят о том, что удельное контактное сопротив-
ление сплавных омических контактов к GaAs примерно пропор-
216
Глава 2
ционально 1 /Nd, где ND — концентрация примеси в полупроводни-
ковом слое. На основании предыдущего обсуждения можно было
ожидать, что гКонт пропорционально ехр [4л (епп^п) 1/2ЧФб/ (ND±)1/2],
где Nd± — эффективная концентрация примеси в сплавной об-
ласти [см. уравнение (2.11.2)]. Объяснение этой зависимости
дал Браслау [13], предложив модель, в которой считается, что
контакт сплавной области с полупроводником не однороден,
а имеет место лишь в определенных точках. Поэтому ток «рас-
Рис. 2.11.3. Модель сплавных контактов Au—Ge—Ni к GaAs [13]. Стрелками
показаны направления тока. Проводимость связана с областями с высоким
содержанием Ge, имеющими пренебрежимо малое сопротивление. Затем ток
распространяется по активному слою. Сопротивление растекания пропорцио-
нально удельному сопротивлению активного слоя.
текается», как показано на рис. 2.11.3, и удельное контактное
сопротивление определяется сопротивлением растекания в ак-
тивной области, которое пропорционально объемному удельному
сопротивлению
г =- l/(WrtATD).
Подробно эта модель обсуждается в работе [71].
Омические контакты к InP и GaP рассмотрены Робинсоном
[71]. Работа [69] посвящена омическим контактам к соедине-
ниям AIUBV. Омические контакты к соединениям InGaAs р-типа
исследованы японскими специалистами [55].
Довольно часто высокое контактное сопротивление ограни-
чивает характеристики быстродействующих полупроводниковых
приборов. Чтобы научиться делать надежные воспроизводимые
контакты с низким сопротивлением, необходимы более скрупу-
лезные экспериментальные и теоретические исследования.
Сопротивление идеальных плоских контактов, показанных па
рис. 2.11.4, а и в, можно найти, используя модель передающей
линии (МПЛ), впервые предложенную для омических контак-
тов к диффузионным слоям в кремнии [75, 54, 8, 9, 10].
Распределение тока под таким контактом (рис. 2.11.5) опи-
сывается следующим уравнением:
(2.11.3)
4L = -J(x)BZ,
Л Y \ »
р—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
217
где / — ток, х — координата (в направлении потока частиц в ак-
тивном слое), / — плотность тока, равная
J (x) = V (х)/г КОНТ" (2.1 1 . 4)
Активный
! слой. ~
Металл контакта область
а
Рис. 2.11.4. Схематическая диаграмма сплавного омического контакта: а —
сплавная область проходит через весь активный слой; б — сплавная область
не проходит через весь активный слой; в — несплавившийся контакт [76].
/?пп — сопротивление слоя в активной области вне контакта, 7?Ппс — со-
противление несплавленной части активного слоя под контактом, 7?ПОв — по-
верхностное сопротивление в сплавной области под контактом, когда она
проникает через всю активную область.
Здесь Гконт — удельное контактное сопротивление, У(х)—по-
тенциал в канале по отношению к потенциалу контактного ме-
талла
^ = -IRnOB/W,
(2.11.5)
^?пов — удельное поверхностное сопротивление пленки полупро-
водника под контактом (в омах на квадрат), a W— толщина
218
Глава 2
контакта. Для контакта на рис. 2.11.4, в /?пов = /?пп, где
/?пп — сопротивление полупроводникового слоя. Уравнения
(2.11.3) — (2.11.5) можно привести к виду, аналогичному урав-
нению передающей линии
d2iz _ V
dx2 (Lr)2 ’
(2.11.6)
где
^ = (гКонт/Лпов)1/2; (2.11.7)
Линии тока Омический контакт
Активный слой
Рис. 2.11.5. Распределение тока под плоским контактом.
здесь LT — длина передачи. Уравнение (2.11.6) справедливо,
если толщина активного слоя гораздо меньше Lt-
Граничные условия для уравнения (2.11.6) выглядят как
rfT | _ ^?ПОВ J
dx |(х-о)— П7 '°
dx |(x-d)
(2.11,8)
(2.11.9)
Здесь d — длина контакта, /о — полный ток в канале.
Решение уравнения с граничными условиями (2.11.8) и
(2.11.9) имеет вид
У = Аехр(хДт)+ Bexp(-x/Lr), (2.11.10)
где
Л^пов^г exP(rf/Z.r)
W [ехр (d]LT) — ехр (—d]LT)] '
l^n0BLT^9(-dILT)
W [ехр (dlLT) — ехр (—djLTy\ ’
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
Из уравнения (2.11.10) найдем
V (0) == /о^?КОНТ»
где
^?конт = ^?пов (d/IF) £мпл
219
(2.11.13)
(2.11.14)
Рис. 2.11.6. Зависимость £МПл от djLr [76]. Штриховые и пунктирные кривые
соответствуют асимптотическим аппроксимациям для больших и малых зна*
чений d/LT соответственно.
является контактным сопротивлением. Здесь
Ямпл = (LT/d) cth (d/LT). (2.11.15)
Если d/L-pc^l, то Емпл (Ьт/d)2, При d/Ьт 1 имеем
Емпл ~ Ьт/d (рис. 2.11.6).
Значение потенциала в канале на краю контакта V(d)
можно найти также из уравнений (2.11.10) — (2.11.12):
V(d) = --/o.-"OB-^ -. . (2.11.16)
v ' W/ sinh (d/LT) v '
Следовательно, краевое сопротивление, определяемое как
RKP = V (d)/I0, (2.11.17)
находят из выражения
/?кр = /гповАт/tsinh (d/Lr) W}. (2.11.18)
Из уравнений (2.11.14), (2.11.15) и (2.11.18) получим
/?KoHT//?Kp = <-osh(d/Z.r). (2.11.19)
Уравнения (2.11.17) — (2.11.19) используются при определе-
нии свойств контактов в методе, базирующемся на измерении
с помощью передающей линии (рис. 2.11.7).
220
Глава 2
Метод передающей линии имеет более удобную модифика-
цию, основанную на предположении, что гкопт определяется гра-
ницей металл — полупроводник и удельное объемное сопротив-
Рассюяние
Рис. 2.11.7. Определение контактного и поверхностного сопротивлений с ис-
пользованием измерений по модели передающей линии: а —МПЛ, б — зави-
симость сопротивления от расстояния между контактами.
ление полупроводника под контактом однородно, хотя может
отличаться от удельного объемного сопротивления полупровод-
ника вне зоны контакта [37, 15, 67]. В этом.случае контактные
сопротивления /?Конт и /?Кр определяются соответственно уравне-
ниями (2.11.14) и (2.11.17).
Схема МПЛ, которая применяется для измерения контакт-
ного сопротивления, показана на рис. 2.11.7, а. Сопротивление
между двумя соседними площадками толщиной W, находящи-
мися друг от друга на расстоянии L, есть
R = RnnL/W + 2RKOm + Rp, (2.11.20)
где Rnn — сопротивление активного слоя между контактами
(т. е. сопротивление пленки в омах на квадрат), R конт — контакт-
р—//-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
221
нос сопротивление, a Rp — сопротивление внешних проводов (ве-
личину Rp можно узнать, присоединив два провода к одной кон-
тактной площадке). Значение /?КОнт определяется как точка пе-
ресечения графической зависимости R(L) с осью ординат. Со-
противление канала области контакта /?пп можно найти из на-
клона этой линии (см. рис. 2.11.7,6).
Если сопротивление активного слоя под контактом /?Пов от-
личается ОТ /?пп, то ДЛЯ получения /?пов и Гконт необходимы
дополнительные измерения краевого сопротивления. Краевое со-
противление /?КР определяется как
/?Кр-^з/<12, (2.11.21)
где /1,2 — ток через контакты 1 и 2, a V2> з — разность потенциа-
лов между контактом 2 и плавающим контактом 3 (рис. 2.11.7, а).
Несколько отличающаяся, но эквивалентная методика опреде-
ления /?КР была предложена Ривсом и Харрисоном [67].
Как было упомянуто выше, в простейшем случае удельное
контактное сопротивление определяется либо поверхностью раз-
дела металл — полупроводник, либо границей раздела между
сплавной и несплавной частями активного слоя. В этом случае
удельное контактное сопротивление гКОнт и сопротивление в ка-
нале под контактом /?Пов могут быть найдены из /?Конт и /?кр
при использовании уравнений модели передающей линии:
/?КОНТ == /?ПОВ (Lr/W)cth(d/Lr)t (2.11.22а)
/?кр = Япов (Lt/W) sinh (d/Lr). (2.11.226)
Из этих уравнений найдем
Lt == d/cosh 1 (/?Конт/Ккр)*
Затем, решая уравнение (2.11.7)
Lt “ (гkoht/Rfiob) I
совместно с уравнениями (2.11.22а) или (2.11.226), определим
/?пов и Гконт. Ривс и Харрисон [67] проводили измерения /?пп и
Кпов методом передающей линии (на базе уравнений (2.11.14)
и (2.11.18) в контактах к п — GaAs и и — Si. Кремниевые кон-
такты, по их данным, имели /?Пп = 2100 Ом/П и /?Пов =
= 430 Ом/П. Для контактов к п — GaAs они получили значе-
ния /?пп = 430 Ом/П и /?пов = 22 Ом/П. Ясно, что сопротивле-
ние канала под вплавленным контактом значительно меньше,
чем сопротивление активного слоя. Отсюда следует, что LT су-
щественно превышает значение, которое получается, когда /?Пов
приравнивают /?пп.
Если в контактное сопротивление вносят вклад как граница
раздела между металлом и полупроводником, так и граница
222
Глава 2
между сплавленной и несплавленной частями активного слоя»
необходима более сложная модель, позволяющая вывести зна-
чение удельного контактного сопротивления из измерений мето-
дом передающей линии.
Рис. 2.11.8. Метод Кокса—Стрэка.
Кроме метода передающей линии существуют и другие спо-
собы измерения контактного сопротивления. Метод Кокса —
Стрэка [18] применяется для экспериментального определения
контактного сопротивления для толстых (объемных) образцов,
когда можно сделать контакты к обеим сторонам пластины.
В показанной на рис. 2.11.8 конфигурации полное сопротивле-
ние между верхним и нижним контактами есть
Я == /?конт + /?об, (2.11.23)
где
^?конт — Г конт/(лй2) (2.11.24)
— контактное сопротивление, а
Ro6 = pFcs{a/t)/a (2.11.25)
— объемное сопротивление измеряемого слоя [18]. Здесь t —
толщина пленки, а — радиус верхнего контакта, р — удельное
сопротивление активного слоя, а функция F использована для
учета растекания линий тока в активном слое. В соответствии
с [18] функцию FCs можно аппроксимировать как
Fcs (a/t) ж arctg (2.11.26)
Более точная численная аппроксимация Fcs имеется в ра-
боте [14].
jp—/г-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
223
На практике измеряют значения для верхних контактов
с различной площадью и строят график /?— /?Об в зависимости
от 1/а, чтобы определить гконт и найти поправку, связанную
с соединительными проводниками [71]. Обзор других методов из-
мерения контактного сопротивления представлен в работе [71].
2.12. Гетеропереходы
Первый прибор с гетеропереходом — прибор, в котором ис-
пользовался контакт между двумя различными полупроводни-
ковыми материалами,— предложил Шокли в 1951 г. [74]. В том
же году Губанов [33] разработал первую теорию гетероперехо-
дов. Пионерская работа, посвященная биполярному транзистору
на гетеропереходе, опубликована Крёмером [39]. В 1960 г. Ан-
дерсон [1] представил результаты экспериментальных исследо-
ваний гетеропереходов Ge — GaAs и предложил простую мо-
дель, которая послужила отправной точкой для дальнейшего
развития теории гетеропереходов. Он также обратил внимание
на то, что на гетерогранице может образовываться слой на-
копления, т. е. слой с высокой концентрацией носителей
(рис. 2.12.1). Поскольку этот слой очень тонок, движение носи-
телей в направлении, перпендикулярном гетерогранице, должно
быть квантованным так же, как это происходит при движении
электронов в потенциальной яме, рассмотренном в разд. 1.6
(см. рис. 1.6.7). Поэтому слой накопления часто называют дву-
мерным (2D) электронным газом. Здесь подчеркивается, что
электроны могут свободно двигаться только в направлении, па-
раллельном гетерогранице.
Есаки и Тсу [26] показали, что подвижность носителей в дву-
мерном газе на гетерогранице может превышать подвижность
в объемном материале. Действительно, обычно поставщиками
электронов в объеме являются мелкие ионизованные доноры,
поэтому в объеме велико рассеяние на ионизованных примесях.
В слое накопления (см. рис. 2.12.1) большая концентрация элек-
тронов создается в нелегированном материале. Следовательно,
уменьшается примесное рассеяние и низкополевая подвижность
может значительно возрасти, особенно при низких температурах,
когда обычно примесное рассеяние преобладает. Предпосылкой
для такого увеличения низкополевой подвижности является
квантование движения электронов в перпендикулярном гетеро-
границе направлении. Это означает, что соответствующие этому
движению электрона энергетические уровни должны быть раз-
делены на величину, превышающую тепловую энергию kT.
В противном случае движение электронов является в основном
трехмерным и фактически подвижность электронов в слое на-
копления может быть меньше, так как электроны могут испы-
224
Глава 2
тывать дополнительное рассеяние на потенциальных стенках,
ограничивающих слой накопления. Такая ситуация обычно имеет
место в кремнии, где значение эффективной массы электрона
Вторая подзона (£с от /г|})
Рис. 2.12.1. Дно зоны проводимости вблизи гетероповерхности со слоем на-
копления в узкозонпом полупроводнике (вправо от разрыва зоны проводи-
мости). Показаны такие две энергетические подзоны (сравните с рис. 1.6.7),
которые соответствуют двум квантованным уровням вследствие ограничений
на движение электрона в направлении, перпендикулярном гетерогранице.
велико и уровни близки друг к другу. [Из уравнения (1.2.20)
следует, что разница в энергиях между уровнями обратно про-
порциональна эффективной массе.] В арсениде галлия эффек-
тивная масса электрона очень мала (0,067 пге), поэтому в нем
можно наблюдать увеличение подвижности.
Первым наблюдал увеличение подвижности в двумерном
электронном газе арсенида галлия Дингл с сотрудниками
в 1978 г. [22]. Мимура и его коллеги [50] разработали первый
транзистор с гетеропереходом AlGaAs — GaAs, в котором ис-
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
225
пользовалась большая подвижность двумерного электронного
газа. Они назвали этот прибор транзистором с высокой подвиж-
ностью электронов (High Electron Mobility Transistor —
HEMT). Для этого прибора используются и другие термины,
например, полевой транзистор с переменным легированием
(MODFET), транзистор на гетеропереходе с селективным леги-
рованием (SDHT), полевой транзистор на двумерном электрон-
ном газе (TEGFET), полевой транзистор с гетеропереходом
(HFET). Даже исходя из многообразия названий можно сде-
лать вывод, насколько перспективным представляется этот при-
бор и какой интерес он вызвал. С 1980 г. был достигнут значи-
тельный прогресс в разработке различных типов полевых тран-
зисторов на гетеропереходах (см. гл. 4). К другим важным
приборам на гетеропереходах относятся биполярные транзи-
сторы на гетеропереходах (см. гл. 3), солнечные батареи на
гетеропереходах, фотоприемники на гетеропереходах, свето-
диоды, лазеры на гетеропереходах (см. гл. 5) и новые при-
боры на гетеропереходах (см. гл. 7).
При контакте двух различных полупроводников атомы на
гетерогранице должны образовывать химические связи. Если
постоянные решетки этих двух материалов отличаются, атомы
на гетерогранице «притираются», при этом возникают напряже-
ния. Если такие напряжения превышают критическое значение,
появляются кристаллические дислокации, которые представляют
собой нарушения совершенства кристалла, распространяющиеся
на много слоев решетки. Эти дислокации являются центрами
рассеяния, снижающими подвижность электронов и дырок,
а также центрами рекомбинации, которые уменьшают времена
жизни электронов и дырок. В результате могут резко ухуд-
шиться характеристики приборов. Одним из возможных путей
решения такой проблемы является использование материалов
с примерно равными постоянными решетки, например GaAs и
AlAs (или тройное соединение AlxGai-xAs). Другой подход со-
стоит в поочередном нанесении тонких слоев двух полупровод-
никовых материалов. Он используется при изготовлении про-
странственной структуры, называемой сверхрешеткой (см.
разд. 7.5). Таким образом уменьшается деформация и снижа-
ется число дислокаций.
Еще один метод заключается в том, что кристаллическую
плоскость подложки выбирают, слегка сместив ее относительно
главной кристаллической плоскости таким образом, что меж-
атомные расстояния на поверхности подложки приближаются
к расстоянию между атомами в осаждаемой пленке другого
полупроводникового материала. Кроме того, таким способом
можно изменить и направление распространения дислокаций,
чтобы они находились главным образом вблизи гетерограницы.
15 Заказ № 304
226
Глава 2
Данная методика используется для выращивания пленок GaAs
на кремниевых подложках (см., например, [52]).
Недавно Лурьи и Сухир [45] предложили захватывающую
идею выращивания пленок с гстероструктурой на пористом
кремнии. Поверхность пористого кремния состоит из мельчай-
ших (10—30 нм) хаотически расположенных островков, разде-
ленных канавками с характерным размером 3—5 нм. Эти ка-
навки могут уменьшить деформационные напряжения и предот-
вратить образование дислокаций. Однако эта идея все еще тре-
бует экспериментального подтверждения.
Рассогласование решеток в гетероструктурах имеет и другое
следствие — появление поверхностных состояний, аналогичных
поверхностным состояниям на границе раздела металл — полу-
проводник (см. разд. 2.9). Эти поверхностные состояния явля-
ются центрами рассеяния, вызывающими уменьшение подвиж-
ности электронов и дырок, и центрами рекомбинации, приводя-
щими к уменьшению времени жизни носителей заряда. Короче
говоря, поверхности гетеропереходов могут быть далеки от
идеала, особенно при значительном рассогласовании решеток.
Тем не менее модель идеального гетероперехода, предложенная
Андерсоном, позволяет получить весьма полезные представле-
ния о процессах в реальных приборах.
В соответствии с этой моделью энергетические зоны в обоих
материалах, образующих гетеропереход, остаются без измене-
ния. При этом задача сводится к правильному сопряжению гра-
ниц зон на гетеропереходе. Андерсон предположил, что уровень
энергии электрона в вакууме постоянный, и следовательно, раз-
рыв зоны проводимости определяется разницей в значениях
электронного сродства (рис. 2.12.2)
№с = Хх-Х2. (2.12.1)
Тогда величина разрыва валентных зон равна
д#и==д<Г^- Д<?с (2.12.2)
или
Д^„ = Д^ - + Х2, (2.12.3)
где AtB’g — разница в величине энергии запрещенных зон. Од-
нако эта модель не согласуется с данными экспериментов (см.,
например, [7]), поэтому выдвигались и альтернативные модели
[40, 86].
В работе [86] было предположено, что величина разрыва зон
в гетеропереходах обусловлена тем же механизмом, что и вы-
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
227
сота барьера диода с барьером Шоттки. Этот механизм — про-
исходящее на гетерогранице туннелирование электрона из од-
Рис. 2.12.2. а — зонные диаграммы двух различных полупроводниковых мате-
риалов (Alo,35Gao,65As n-типа и GaAs (р-типа), б — зонная диаграмма р—п-
гетероперехода при нулевом смещении в соответствии с моделью Андерсона.
ного материала в запрещенную зону другого материала, приво-
дящее к образованию пограничного дипольного слоя. В соответ-
ствии с указанной моделью, разрыв зоны проводимости можно
15*
228
Глава 2
связать с разницей в высоте барьеров Шоттки для двух мате-
риалов, которые формируют гетеропереход:
А(Гс — Фб 1 — Фб2- (2.12.4)
Экспериментальная проверка этой модели выполнена авто-
рами работы [25]; при этом измерялись величины высоты
барьеров Шоттки и разрывов зон для AlxGai-xAs (при разных
х) и GaAs. Описанный в разд. 2.8 метод внутренней фотоэмис-
Рис. 2.12.3. Высота барьеров Шоттки и
разрывы зоны проводимости для гетеро-
переходов AlxGai-xAs—GaAs в зависи-
мости от состава х [25].
сии дал хорошую корреля-
цию (рис. 2.12.3).
Большинство моделей от-
личается от андерсеновской
различным выбором Д^с/
В принципе этот пара-
метр можно определить из
эксперимента, однако раз-
ные эксперименты дают
разные результаты для ши-
роко исследованных си-
стем, например, таких, как
гетероструктура GaAs —
AlxGa 1 — xAs.
Уровень Ферми должен
оставаться постоянным по
всей структуре, когда два
полупроводника образуют
гетеропереход. Как и в обыч-
ном р — n-переходе, это тре-
бование ведет к изгибу зон (см. рис. 2.12.2,6). При известном
А^с можно найти встроенный потенциал с помощью рис. 2.12.2, 6:
gV ы — g\ — п — р + А^ с.
(2.12.5)
Здесь ^Tgi — ширина запрещенной зоны узкозонного мате-
риала, тип проводимости которого мы предполагаем дырочным
(см. рис. 2.12.2,6), Д<ГП— разница между дном зоны проводи-
мости в широкозонном материале n-типа и уровнем Ферми
вдали от гетероперехода и А^р — разница между уровнем Ферми
и потолком валентной зоны в узкозонном материале р-типа.
Используя приближение обеднения, найдем как распреде-
ляются Vbi между р- и м-областями:
^~^7Vbi' (2J2-6)
I/ _ Е1/¥Л V
6,2 “ + Vbi-
(2.12.7)
р—л-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
229
Ширина области обеднения в р- и n-областях xdn и xdp равна
Г 2Е|Е2^Л^&( 1Л ,01п8,
%dn — v z V з Л7 , (2.12.8) L ^d(e2A^d + ei^) J Г 2e ,&<)№ nV hf т'/г
%dP == * 2 | f2 12 9) [ qNA(^D + ^A) ] ’
я выражение для емкости обедненного слоя имеет вид
______£1£2^ Л/)______I1 / 2
2 (^ "I" еЛл) Vbi J
(2.12.10)
Если к прибору с гетеропереходом приложено обратное или
небольшое прямое смещение, следует заменить Уы на Уы—У
в приведенных здесь формулах для Xdn, xdp и Cd-
Простейшая теория вольт-амперных характеристик гетеропе-
реходов основана на предположении, что на гетерогранице дей-
ствует механизм термоэлектронной эмиссии (аналогично рас-
смотренным в разд. 2.10 диодам Шоттки). Эта модель приводит
к следующему выражению для ВАХ:
j = (A*TqVbi/k)exp(—qVbi/kT) [ехр (qV/kT) - 1]. (2.12.11)
Здесь j — плотность тока, А* — эффективная постоянная Ри-
чардсона (см. задачу 2.12.1). Более точная модель, в которой
учитываются диффузионно-дрейфовые процессы в обедненных
областях и термоэлектронная эмиссия через гетерограницу,
была разработана Перлманом и Фойхтом [66].
Задачи
2.2.1. Дайте качественную картину распределения электрического поля,
электрического потенциала и концентрации носителей в р—I—л-структуре
при тепловом равновесии.
2.2.2. Дайте качественное изображение зонной энергетической диаграммы
в условиях теплового равновесия для п—i—р—i—л-структуры, в которой
средний p-слой очень тонкий (см. рис. 32.2.2), а концентрация акцепторов
в этом слое на единицу площади NA относительно мала. Диэлектрическая
проницаемость полупроводника г. Какова величина электрического поля в Г-
областях для размеров, указанных на рис. 32.2.2?
Указание. Если концентрация акцепторов в слое р-типа на единицу площади
относительно мала, слой р-типа обеднен полностью. Считайте, что уровень
легирования в областях л-типа очень высок (т. е. ширина обедненных обла-
стей в л-облаегях очень мала).
2.3.1. Найдите полный заряд электронов, инжектированных в р-область
кремниевого л+—р-диода, как функцию напряжения смещения V. Концент-
рация акцепторов в p-области NА, собственная концентрация носителей л;-,
температура диода Т. Длина p-области равна L, диффузионная длина элек-
тронов в p-области Ln. Рассмотрите три случая: а) произвольное соотноше-
ние между L и Д; б) L > Д и в) L <С Ln.
230
Глава 2
Предполагается, что в области контакта л = лр0, где пр0 — равновесная
концентрация дырок.
2.3.2. Рассчитайте величину тока оже-рекомбинации Ложе в п-области
п+—р-диода как функцию напряжения смещения V. Время оже-рекомбинации
определяется выражением
_ 1
ТОже г АГ2 »
GnND
где Gn = 10-31 см6/с. Концентрация доноров ЛЛ> = 1019 см~3, время рекомби-
нации т=10”8 с, площадь прибора S=10~4 м2, подвижность электронов цп —
. А
п ь d / / 1 d п
Рис. 32.2.2. Структура типа л—I—р—i—л.
= 0,1 м2/(В-с), подвижность дырок Цр — 0,04 м2/(В-с). Считайте, что ток
оже-рекомбинаций определяется выражением
Iг Оже = *^Фр/тОже»
где Qp — полный заряд дырок, инжектированных в п+-область, отнесенный
к единице площади. Ширина л+-области L— 1 мкм.
Указание. Сначала покажите, что диффузионная длина дырок в л+-области
гораздо больше, чем L, считая, что оже-рекомбинация является доминирую-
щим рекомбинационным процессом. Шириной обедненной области в ^-обла-
сти можно пренебречь по сравнению с L.
2.3.3. Найдите значение максимального электрического поля в р+-п— п+-
структуре как функцию приложенного напряжения V в диапазоне —ЗВ<
<V<0,6 В. Считайте, что падением напряжения в р+- и л+-областях можно'
пренебречь. Предположите, кроме того, что приложенное напряжение падает
только в обедненной области между р+- и n-областями. Концентрация доно-
ров и акцепторов в л+- и /г-областях ND+~Na+ = 1017 см-3, концентрация
доноров в л-области ЛЛ=1015 см~3. Температура прибора 300 К, длина п-об-
ласти 2 мкм, ширина запрещенной зоны &g = 1,12 эВ. Эффективная плотность
состояний в валентной зоне Л% = 1,83-1019 см~3, в зоне проводимости Nc —
= 3,22-1019 см-3, е=1,0510-10 Ф/м.
2.3.4. Рассмотрим диод с р—л-переходом. Концентрация дырок в л-обла-
сти описывается уравнением непрерывности (2.3.9):
п 32рп Рп — рпо______п
°-
Концентрация мелких ионизованных доноров в л-области равна 1015 см~3,
собственная концентрация носителей 1010 см-3, величина приложенного
к диоду прямого напряжения составляет 0,5 В. Считая, что длина п-области
L гораздо меньше диффузионной длины £Р, рассчитайте и изобразите рас-
пределение дырок в л-области прибора. Насколько короткой должна быть
n-область, чтобы удовлетворялось соотношение L<^LP (в качестве критерия
возьмите L — Lp/10), если DP = 12 см2/с и время xPi =1 мкс?
^—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
231
2.3.5. Кремниевый р—«-переход образован однородно-легированной «-об-
ластью с удельным сопротивлением 2 Ом-см и однородно-легированной р-об-
ластью с удельным сопротивлением 0,1 Om-qm. Полагая = 1500 см2/(В-с),
цр=450 см2/(В-с) и «х=1,45-1010 см“3 при комнатной температуре,
а) вычислите встроенный потенциал данного перехода;
б) определите ток насыщения диода при комнатной температуре, если
времена жизни неосновных носителей в р- и «-областях 15 и 50 мкс соот-
ветственно, а поперечное сечение образца 0,05 см2;
в) найдите и постройте график температурной зависимости тока насы-
щения, пренебрегая для простоты температурной зависимостью подвижности
(#g = l,12 эВ).
2.4.1. Рассчитайте прямые вольт-амперные характеристики кремниевого
р4—n-диода, учитывая влияние рекомбинационного тока в обедненной обла-
сти. Концентрации доноров и акцепторов равны Ур = 1015 см~3 и Na =
= 1017 см-3, время рекомбинации т=10~8 с, площадь прибора 5=10“4 м2,
подвижность электронов цп = 0,1 м2/(В-с), подвижность дырок цр—0,04 м2/
/(В-с). Считайте, что L^>LP. Ширина запрещенной зоны #£=1,12 эВ, эффек-
тивная плотность состояний в зоне проводимости Уг = 3,22-1019 см-3, эффек-
тивная плотность состояний в валентной зоне Nv = 1,83-1019 см~3, температура
300 К, диэлектрическая проницаемость е=1,05-10~10 Ф/м.
2.4.2. Найдите температурную зависимость тока через кремниевый р+—п~
диод при прямом смещении 0,5 В в диапазоне температур 280—450 К, учи-
тывая влияние рекомбинационного тока в обедненной области. Концентрации
акцепторов и доноров равны Л^д = 1017 см~3 и /Vp = 1015 см-3, время реком-
бинации т=10~8 с, площадь прибора S = 10~4 м2, подвижность электронов
,цп = 0,1 м2/(В-с), подвижность дырок цр = 0,04 м2/(В-с), ширина запрещен-
ной зоны #£=1,12 эВ. Эффективная плотность состояний в зоне проводи-
мости = 3,22-1019 (Т/300)3/2 см~3, в валентной зоне Nv = 1,83-1019
(Т/300)3/2 см“3, диэлектрическая проницаемость е=1,05-10“10 Ф/м.
2.4.3. Рассчитайте температурную зависимость тока через кремниевый
p-t-—«-диод при обратном напряжении К=3 В в диапазоне температур
280—450 К, учитывая генерационный ток в области обеднения. Концентрации
доноров и акцепторов равны /VD = 1015 см-3 и Л^Л = Ю17 см-3.
Эффективное время генерации тген == Ю-8 с, площадь прибора S —
= 10~4 м2, подвижность электронов цп —0,1 м2/(В-с), подвижность дырок
цР=0,04 м2/(В-с). Ширина запрещенной зоны #£ = 1,12 эВ. Эффективная
плотность состояний в зоне проводимости Ус = 3,22-10*9 (Т/300)3/2 см~3,
в валентной зоне Л/о —1,83• 1019 (Т/300)3/2 см“3, диэлектрическая проницае-
мость р=1,05-10~10 Ф/м. Считайте, что L^>LP.
2.4.4. Повторите вывод уравнения (2.4.39) для случая
ND>^A-
2.5.1. Разработайте варактор (прибор с емкостью, зависящей от напряже-
ния, который применяется в качестве элемента настройки в СВЧ-схемах),
используя р+—«-диод с однородным легированием. Считайте, что максималь-
ное электрическое поле Emax в переходе не должно превышать 300 кВ/см.
Требуемый диапазон изменения емкости от 1 до 2,5 пФ. Максимальное на-
пряжение, приложенное к диоду, не должно превышать 5 В, встроенный
потенциал равен 0,8 В, диэлектрическая проницаемость е=1,0510-10 Ф/м.
Результатами разработки должны быть значение уровня легирования
в «-области и площадь прибора.
Указание. Используйте зависимость емкости р+—«-перехода от напряжения
при обратном смещении.
2.6.1. Рассмотрим р+—«-диод (рис. 32.6.1). Пусть ширина «-области W
существенно меньше диффузионной длины Lp. Время жизни дырок в «-обла-
сти равно Тр, коэффициент диффузии дырок Dp. Найдите малосигпальную
проводимость диода как функцию прямого смещения V и частоты со, если
232
Глава 2
температура прибора равна Т. Пренебрегите последовательным сопротивле-
нием и последовательной индуктивностью. Примите (отР<С1.
2.6.2. Измеренная зависимость емкости резкого —n-перехода от обрат-
ного напряжения смещения показана на рис. 32.6.2 (см. также табл. 32.6.2).
Определите профиль легирования в п-области как функцию xd при 100 мкм<
Xd<500 мкм. Площадь, сечения прибора 5=10“2 см~2, диэлектрическая про-
ницаемость е—1-10“10 Ф/м.
О
Рис. 32.6.1.
Напряжение обратного смещения, 8
Рис. 32.6.2.
V
I
2.6.3. Форма тока через р+—n-переход показана на рис. 32.6.3. Эффек-
тивное время жизни дырок хР в п-области равно 1 нс, температура Т =
===300 К, ток насыщения диода /8 = 0,1 нА, /1=1 мА, /2=2 мА, коэффициент
диффузии Dp= 12 см2/с. Длина п-области существенно больше диффузионной
длины дырок.
а) Найдите падение напряжения на диоде и заряд неосновных носителей
в п-области перед поступлением импульса тока и по истечении значительного
времени его поступления.
б) Изобразите качественно временную зависимость падения напряжения
на диоде.
в) Изобразите качественно распределение неосновных носителей в п-обла-
сти для / = 0 и
Таблица 32.6.2
Обратное смещение, В Емкость, Ф Обратное смещение, В Емкость, Ф
0 1,0 • 10-'2 —2,3 5,505 • IO"'3
“1,0 7,071 • IO'13 —3,3 3,740 • IO’13
—2,0 5,774 • 10"13 —4,3 2,380 • Ю'13
-3,0 5,0 • 10'13 —0,7 7,700 • IO'13
—4,0 2,626 • IO'13 —1,7 6,086 • Ю'13
—5,0 2,000 • IO'13 —2,7 5,199 • Ю’1»
—0,3 8,771 • IO’13 —3,7 2,968 • IO"13
— 1 ,з 6,594 • 10-'3 —4,7 2,139 • IO’13
jp—«-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
23 3
2.7.1. Дайте вывод уравнений (2.7.16) и (2.7.17):
А =_____________ 4»ь ехр (~'W_____________________
(1 + nb)2 ехр (—ikn.bdb) — (1 - п2) ехр (iknbdb) ’
R _ [ехР (—iknbdb) - ехр (ikn.bdb)} (1 - n2)
(! + n6)2 exp (—iknbdb) — (1 — n2) exp (iknbdb) '
(2.7.16)
(2.7.17)
2.7.2. Каков коэффициент пропускания для рыбы в аквариуме на рис.
2.7.2? Пусть масса рыбы 1 г, высота барьера 10 см (от места нахождения
рыбы до края аквариума), толщина стенки
аквариума 3 мм. Считайте, что Z>o « 1.
2.7.3. Какой коэффициент пропускания
для электрона при потенциальном барьере в -----—
GaAs?
Считайте, что тп — 0,067те — 6,1 -10~32 кг
и Do ~ 1. Высота барьера £7 б— & — 1 эВ и
ширина барьера — 2 нм.
2.8.1. Используя значения полей пробоя,
приведенные в приложениях для Si, Ge и GaAs
(значения диэлектрических постоянных: Si —
= 11,7; Ge =16,2, GaAs =12,9, е0 = 8.854 X
ХЮ"12 Ф/м), вычислите и представьте на гра-
фике в двойном логарифмическом масштабе
напряжения пробоя Si, Ge и GaAs р+—«-диодов
в зависимости от концентрации доноров Nd в п-
области для значений Nd от 1014 до 1017 см-3.
Рис. 32.6.3.
2.8.2. Ситуация, когда обедненная область в р+—n-переходе простирается
от металлургического перехода через всю «-область и доходит до омиче-
ского контакта, носит название прокол. Будем считать, что в обедненной
области при достижении максимального электрического поля Епр происходит
ударная ионизация. Концентрация мелких доноров в «-области равна ND-
Длина «-области равна Ln. Диэлектрическая проницаемость полупроводни-
кового материала е=1-10_ 10 Ф/м, встроенный потенциал перехода Им =
= 0,65 В, заряд электрона q. Найдите отношение значения критического
напряжения ударной ионизации Vi к значению напряжения прокола Ипрок-
Подсчитайте значение этого отношения для Ln = 1 мкм, Nd = 1016 см-3,
^пр = 500 кВ/см.
2.9.1. Рассчитайте значение поверхностного потенциала на чистой поверх-
ности GaAs как функцию уровня легирования в GaAs (как для «- так и для
р-легирующей примеси в диапазоне концентраций 1014—1017 см~3). Примите
плотность поверхностных состояний равной 2-1012 см~2-эВ"“1, а также счи-
тайте, что нейтральный уровень ф0 располагается на 0,65 эВ ниже дна зоны
проводимости &с, (Нейтральный уровень — это такой уровень, при котором
поверхность заряжена отрицательно, когда поверхностные состояния запол-
нены до уровня выше нейтрального уровня, и поверхность заряжена поло-
жительно, когда поверхностные состояния заполнены до уровня, который
располагается ниже нейтрального уровня.) Эффективная плотность состояний
в зоне проводимости Ас = 4,21 • 1017 см-3, ширина запрошенной зоны =
= 1,42 эВ и диэлектрическая проницаемость е = 1,15-10“10 Ф/м.
2.10.1. Сравните величину тока насыщения в барьере Шоттки /ss с током
насыщения js р+—«-перехода. Покажите, что
р(^-фб)
L йт .
nd (vY/2 тп
Nc \ Тр / nip
Тд. « (2л)-1/2
1s
где Tpi — время жизни дырок в «-области, тР — время релаксации импульса
дырок, &g— ширина запрещенной зоны в р—«-переходе, <рс — высота барьера
234
Глава 2
Шоттки, Nd — концентрация доноров и Ne — эффективная плотность состоя-
ний в зоне проводимости.
2.10.2. Рассчитайте и постройте график зависимости действительной н
мнимой частей импеданса детектора на барьере Шоттки от логарифма
частоты (от 1 МГц до 100 ГГц) при значениях концентрации доноров
Лгв = 1016 и 1017 см-3 и температуре 300 К. Детектор смещен прямым током
величиной /dc = l мА. Постоянная Ричардсона А* = 4 А/(см2-К2), высота
барьера <рб==0,8 В, последовательное паразитное сопротивление 25 Ом, сече-
Рис. 32.10.4.
р-п-диод Диод Шопки
ние прибора S = 10~4 см2. Диэлектрическая проницаемость е= 1,14- 1О~10 Ф/м,
эффективная плотность состояний в зоне проводимости 4,7-1017 см~3 (GaAs),
Пренебрегите геометрической емкостью и последовательной индуктив-
ностью (Сгеом 0; Т-посл 0, см. разд. 2.10.2).
Указание.
2.10.3. Измеренная емкость обратносмещенного кремниевого диода с ба-
рьером Шоттки описывается выражением
-^2=-^-^,
с2 Cq
где Со = 1 пФ и k = 2 пФ-з-В***1. Диод однородно легирован. Диэлектриче-
ская проницаемость епп = 1,05-10“10 Ф/м, площадь прибора 10~4 см2, эффек-
тивная плотность состояний в зоне проводимости = 2,8-1019 см~3. Найдите
высоту барьера Шоттки.
2.10.4. Диод Шоттки и р+—n-диод соединены так, как показано на рис.
32.10.4, а и б. Параметры имеют следующие значения:
Температура
Постоянная Ричардсона
Высота барьера Шоттки
Фактор идеальности для обоих
диодов
Площадь сечения для обоих
диодов
Коэффициент диффузии дырок
Длина л-области
Уровень легирования в п-области
Собственная концентрация носите-
лей
Время жизни дырок в п-области
Т= 300 К (тепловой потенциал
равен 26 мэВ)
А = 5 А/(см2-К2)
фб = 0,8 эВ
1
5= 10“2 см2
Dp =9 см2/с
Хп = 3 мкм
Аа = Ю15 см-3
ni = 1010 см-3
т==10-6 с.
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
235
Справедливы уравнения для идеального диода. Приложенное напряжение
равно 0,8 В. Найдите электрический ток и падение напряжения на каждом
диоде.
2.11.1. Планарная конструкция диода с барьером Шоттки приведена на
рис. 32.11.1. Все размеры даны в микрометрах. Концентрация примеси в ак-
тивном слое 1 • 1023 м~3, концентрация в области под омическими контактами
К-4 - 1------->|<-^0 = 1.5 —---------40- з---------------->|
Барьер
Шоттки Омический контакт
Активный канал Область сплава Толщина слоя
4 = 0,2 мкм
Рис. 32.11.1.
5-Ю23 м“3, ширина прибора 5 мкм. Удельное контактное сопротивление
Гконт = 5-10“6 Ом* см2, подвижность электронов 3000 см2/(В-с), 8=1,05х
Х10-!0 Ф/м, Г=300К. Высота барьера Шоттки 0,8 В. Постоянная Ричард-
сона А* = 4,4-104 А/(м2-К2). Через диод течет ток 1 мА.
а) Каково контактное сопротивление омических контактов?
б) Каково последовательное сопротивление диода Шоттки?
Считайте, что величина встроенного потенциала в канале 0,5 В. Пред-
положите также, что канал между барьером Шоттки и омическим контак-
том однороден в сечении.
Указание. Проведите оценку сопротивления необедненной области активной
части канала под барьером Шоттки по формуле:
^необед ^/(2^1^р.Л^дАнеобед),
где ц — подвижность при низком электрическом поле, W— ширина, Анеобед —
толщина необеднеиной области.
в) Каково падение напряжения на диоде?
2.11.2. Измеренная зависимость сопротивления от расстояния между
двумя омическими контактами для модели передающей линии, примененной
к структуре на рис. 32.11.2а, показана на рис. 32.11.26. Толщина легиро-
236
Глава 2'
ванного слоя n-типа ОД мкм, ширина прибора 5 мкм, подвижность электро-
нов 1000 см2/(В-с). Найдите концентрацию электронов в канале и контакт-
ное сопротивление, считая легирование однородным по всему каналу. Счи-
тайте также, что длина контактов достаточно велика. Измеренное значение
краевого сопротивления для прибора самой короткой длины 200 Ом.
2.12.1. Имеется р—«-переход на основании AlGaAs—GaAs. Рассчитайте
вольт-амперную характеристику, используя предложенную модель [16], кото-
рая приводит к следующему выражению:
j = (A*TqVbi/k) ew(-qVbi/kT) [exp (qV/kT) - 1].
Здесь / — плотность тока, А* = 4 А/(см2-К2)—эффективная постоянная Ри-
чардсона, встроенный потенциал
Vbi = ^gl-^n-^p + ^c;
#g=l,42 эВ — ширина запрещенной зоны GaAs (который легирован мел-
кими акцепторами с концентрацией NA = 1016 см-3), — разница между
дном зоны проводимости в AlGaAs (который легирован мелкими донорами
с концентрацией ND — Ю16 см-3) и уровнем Ферми вдали от гетерограницы,
Д#р— разница между уровнем Ферми и потолком валентной зоны в узко-
зонном материале p-типа, а Д#с = 0,3 эВ — скачок зоны проводимости.
Считайте, что температура комнатная, Т — 300 К, эффективная масса
плотности состояния дырок в GaAs «и = 0,4/пе; эффективная масса плотности
состояний электронов в AlGaAs mn = 0,07 me.
Литература
1. Anderson R. A., IBM I. Res. Dev., 4, 283 (1960).
2. Anderson C. L., Crowell C. R., Phys. Rev., B8, 2267 (1972).
3. Anderson W. T., Jr., Christou A., Giuliani J. F., IEEE Electron Device Let-
ters, EDL-2, 115 (1981).
4. Asai S. et al., Proc. 5th Conf, on Solid State Devices (Tokyo), 442 (1973).
5. Baraff G. A., Phys., 133, A26 (1964).
6. Bardeen J., Phys. Rev., 71, 717 (1947).
7. Bauer R. S., Margaritonto G., Physics Today, 3 (Jan. 1987).
8. Berger H. H., Contact Resistance on Diffused Resistors, IEEE ISSCC Di-
gest of Tech. Papers, 160—161 (1969).
9. Berger H. H., Contact Resistance and Contact Resistivity, I. Electrochem.
Soc., 119, 509 (1972a).
10. Berger H. H., Models for Contacts to Planar Devices, Solid State Electro-
nics, 15, 145 (1972b).
11. Blokhintsev D. I., Principles of Quantum Mechanics, Allyn and Bacon,
Boston, 1964.
12. Bradertscher G., Salathe R. P„ Luthy W., Elec. Lett., 16, 113 (1980).
13. Braslau N., Alloyed Ohmic Contacts to GaAs, I. Vac. Sci. Tech., 19, 3,
803 (Sep/Oct. 1981).
14. Brooks R. D., Mathes H. G., Spreading Resistance between Constant Poten-
tial Surfaces, Bell System Tech. J., 50, 775—784 (1971).
15. Chang G. F., Contact Resistance in Diffused Resistors, J. Electrochem.
Soc., 117, 368 (1970).
16. Chang L. L., Pearson G. L., The Solubilities and Distribution Coefficients
of Zn in GaAs and GaP, Physics and Chem. Solids, 25, 23—30 (1964)
17. Christou A., Sol. State Electr., 22, 141 (1979).
18. Cox R. H.. Strack H., Sol. State Electr., 10, 1213 (1967).
19. Crowell C. R., Sol. State Electr., 8, 395 (1965).
20. Crowell C. R., Rideout V. L. Sol. State Electr., 12, 89 (1969).
21. Crowell C. R„ Sze S. M, Sol. State Electr., 9, 695 (1966).
р—н-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы 237
22. Dingle R., Stormer Н. L., Gossard А. С., Wiegmann W., Appl. Phys. Lett.,
37, 805 (1978).
23. Eckhardt G., Laser and Electron Beam Processing of Materials, Academic
Press, ed. C. W. White and P. S. Peercy, 467 (1980).
24. Edwards W. D., Hartman W. A., Torrens A. B., Sol. State Electr., 15, 387
(1972).
25. Eizenberg M., Heiblum M., Nathan M. I., Braslau N., Mooney P. M., Bar-
rier-Heights and Electrical Properties of Intimate Metal — AlGaAs Jun-
ctions, J. Appl. Phys., 61, 1516—1522 (1987).
26. Esaki L., Tsu R., Superlattice and Negative Conductivity in Semiconductors,
IBM Res. Note, RC-2418, March (1969).
27. Fang Y. K., Chang C. Y., Su Y. K., Contact Resistance in Metal — Semi-
conductor Systems, Sol. State Electr., 22, 933—938 (1979).
28. Gohen H. J., Yu A. Y. C., Ohmic Contacts to Epitaxial р-GaAs, Sol. State
Electr., 14, 515-517 (1971).
29. Gold R. B., Powell R. A., Gibbons J. F., Laser —Solid Intersections and
Laser Processes, AIP Conf. Proc., 50, 635, (1978).
30. Голдберг Я., Царенкев Б. Физика полупроводников, 1970, вып. 3.
31. Grinolds Н. R„ Robinson G. Y., Sol. State Electr., 23, 873 (1980).
32. Grove A. S., Physics and Technology of Semiconductor Devices, Wiley,
London, 1967.
33. Губанов А И. ЖТФ, 1951, вып. 21; ЖЭТФ, 1951, вып. 21.
34. Gupta R. P., Freyer J., Int. J. Elec., 47, 459 (1979).
35. Heime K., Konig LJ., Kohn E,, Wortmann A„ Sol. State Electr., 17, 835
(1974).
36. Inada T., Kato S., Hara T., Toyada N., J. Appl. Phys., 50, 4466 (1979).
37. Kellner W., Planar Ohmic Contacts to n-type GaAs: Determination of Con-
tact Parameters Using the Transmission Line Model, Siemens Forsch.-u.
Entwickl-Ber., 4, 1975, p. 137.
38. Klohn K., Wandinger Z., J. Electrochem. Soc., 116, 709 (1969).
39. Kroemer H., Proc. IRE, 45, 1535 (1957).
40. Kroemer H., IEEE Electron Dev. Lett., EDL-4, 2, 25—27 (1983).
41. Kuphal E., Low Resistance Ohmic Contacts to n- and р-InP, Sol. State
Electr., 24, 69—78 (1981).
42. Lee C. A., Logan R. A., Batdorf R. L., Kleinack J. J., Wiegman W., Ioniza-
tion Rates of Holes and Electrons in Silicon, Phys. Rev., 134, A761 (1964).
43. Lee С. P., Welch В. M., Fleming W. P., Reliability of AuGe/Pt and AuGe/Ni
Ohmic Contacts on GaAs, Electronics Letters, 12, 406—407 (1981).
44. Lee M. H., Sze S. M., Orientation Dependence of Breakdown and Voltage
in GaAs, Solid State Electronics, 23, 1007 (1980).
45. Lurye S., Suhir E., Appl. Phys. Lett., 49, 3, 140—142 (1986).
46. Maas S. A., Microwave Mixers, Artech House, Dedham, Mass., 1986.
47. Margalit S., Febete D., Pepper D. M., Leed G. P., Yariv A., Appl. Phys.
Lett., 33, 346 (1978).
48. Matino H., Tokunaga M.. Contact Resistance of Several Metals and Alloys
to GaAs, J. Electrochem. Soc., 116, 709- 711 (1979).
49. Miller D. C., J. Electrochem. Soc , 127, 467 (1980).
50. Mimura T., Hiyamizu S., Fujii T., Nambu K., A New Field Effect Tran-
sistor with Selectively Doped GaAs/n-A4Gai-x as Heterostriictures, Jpn.
I. Appl. Phys., 19, L225--227 (1980).
51. Moll J. L., Physics of Semiconductors, McGraw-Hill, New York, 1964.
52. Morkoc; H., Peng С. K., Henderson T., Kopp W., Fisher R., Erickson L. P.,
Longerbone M„ Youngman R. C., IEEE Elec. Dev. Lett., EDL-6, 381—383
(1985).
53. Mozzi R. L., Fabian W., Piekarski I. J., Appl. Phys. Lett., 35, 337 (1979).
54. Murrmann H., Widman D., Current Crowding on Metal Contacts to Planar
Devices, IEEE Trans. Elec. Dev., ED-16, 1022—1024 (1969).
238
Глава 2
55. Nakano Y., Takahashi S., Toyoshima Y., Contact Resistance Dependence
on InGaAsP Layers Lattice Matched to InP, Jap. J. Appl. Phys., 19, L495—
L497 (1980).
56. Nissim Y. I., Gibbons J. F., Gold R. B., IEEE Trans. Elec. Dev., ED-28,
607 (1981).
57. Northrop D. C., Rhoderick E. H., The Physics of Schottky Barriers in Va-
riable Impedance Devices, ed. M. J. Howes and D. V. Morgan, John Wiley
& Sons, 1978.
58. Ogawa M., J. Appl. Phys., 51, 406 (1980).
59. Ogawa M., Ohata K., Furutsuka T., Kawamura N., IEEE Trans, on Mier.
Theory and Tech., MTT-24, 300 (1976).
60. Ohata K-, Nozaki T., Kawamura N., IEEE Trans. Elec. Dev., ED-24, 1129
(1978).
61. Ohata K., Ogawa M., Proc. 12th Annual Reliability Physics Symposium,
IEEE, New York, 278 (1974).
62. Oraby A. H., Murakami K., Yuba Y., Gamo K-, Namba S., Masuda Y., Appl.
Phys. Lett., 38, 562 (1981).
63. Padovani A., Stratton R., Sol. State Electr., 9, 695 (1966).
64. Parker D. G., GEC J. of Research, 5, 3, 116—123 (1987).
65. Pearsall T. P., Capasso F., Nahory R. E., Pollack M. A., Chelikowsky J. R„
The Band Structure Dependence of Impact Ionization by Hot Carriers in
Semiconductors: GaAs, Sol. State Electr., 21, 297—302 (1978).
66. Perlman S. S., Feucht D. L., Sol. State Electr., 7, 911—923 (1964).
67. Reeves G. K., Harrison H. B., Obtaining the Specific Contact Resistance
from Transmission Line Model Measurements, IEEE Elec. Dev. Lett.,
EDL-3, 5, 111—113 (May 1982).
68. Rhoderick E. H., Metal — Semiconductor Contacts, Clarendon Press, Oxford,
1978.
69. Rideout V. L., A. Review of the Theory and Technology for Ohmic Con-
tacts to Group III—V Compound Semiconductors, Sol. State Electr., 18,
541—550 (1975).
70. Robinson G. Y., Solid State Electr., 18, 331 (1975).
71. Robinson G. Y., Schottky Diodes and Ohmic Contacts for the III—V Semi-
conductors, in: Physics and Chemistry of III—V Semiconductor Interfaces,
ed. C. W. Wilmsen, Plenum, New York, 1983.
72. Sanada T., Wada O., Ohmic Contacts to р-GaAs with Au/Zn/Au Structure,
Jap. J. Appl. Phys., 19, L491—L494 (1980).
73. Sharma B. L., Gupta S. C., Metal — Semiconductor Barrier Junctions, Sol.
State Tech., 23, 90—95 (1980).
74. Shockley W., U. S. Patent 2, 569, 347 (1951).
75. Shockley W., Research and Investigation of Inverse Epitaxial UHF Power
Transistors, Report No. Al-TOR-64-207, Air Force Atomic Laboratory,
Wright-Patterson Air Force Base, Ohio (Sept. 1964).
76. Shur M. S., GaAs Devices and Circuits, Plenum, New York, 1987; имеется
перевод: Шур M. Современные приборы на арсениде галлия,—М.: Мир,
1991.
77. Shur М. S., IEEE Trans. Electron Dev., ED-35, Aug. (1988).
78. Smith B. L., Rhoderick E. H., Sol. State Electr., 14, 71 (1971).
79. Spicer W. E., Chye P. W., Skeath P. R., Su C. Y., Lindau L, J. Vac. Sci.
Tech., 16, 1422 (1979).
80. Stall R., Wood С. E. C., Board K-, Dandekar N., Eastman L. F., Devlin J.,
A Study of Ge/GaAs Interface Grown by Molecular Beam Epitaxy, J. Appl.
Phys., 52, 4062—4069 (1981).
81. Strutt M. J. Semiconductor Devices, Vol. 1, Semiconductor and Semicon-
ductor Diodes, Academic, New York, Chap. 2, 1966.
р—n-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы
82. Sze S. М., Physics of Semiconductor Devices, John Wiley & Sons, New
York, 1981; имеется перевод: Зи С.- Физика полупроводниковых прибо-
ров,— М.: Мир, 1985.
83. Sze S. М., Gibbons G., Appl. Phys. Leet., 8, 111 (1966).
84. Temkin H., McCoy R. J., Keramidas V. G., Bonner W. A., Appl. Phys.
Letts., 36, 444 (1980).
85. Terry L. E., Wilson R. W., Metallization Systems for Si Integrated Cir-
cuits, Proc. IEEE, 57, 1580—1586 (1969).
86. Tersoff J., Phys. Rev., B30, 4879 (1984).
87. Tseng W., Christou A., Day H., Davey J., Wilkins B., J. Vac. Sci. Tech.,
19, 623 (1981).
88. Unlu H., Nussbaum A., IEEE Trans. Elec. Dev., ED-33, 616—619 (1986).
89. Vidimari F., Elec. Lett., 15, 675 (1979).
90. Weinman L. S., Jamison S. A., Helix M. J., Sputtered TiW/Au Schottky
Barriers on GaAs, J. Vac. Sci. Tech., 18, No. 3, 838—840 (1981).
91. Wemple S. H., Niehaus W. C., 7ns/. Phys. Conf. Ser., 33b, 262 (1977).
92. Woodall J. M., Freeouf J. L., Pettit G. D., Jackson T., Kirshner P., Ohmic
Contacts to n-type GaAs Using Graded Band Gap Layers of GaxIni-xAs
Grown by Molecular Beam Epitaxy, J. Vac. Sci. Techno?., 19, 626—627
(1981).
93. Werthen J. G., Scifres D. R., J. Appl. Phys., 52, 1127 (1981).
94. Woods M. H., Johnson W. C., Lampert M. A., Sol. State Electr., 16, 387
(1973).
95. Yoder M., Sol. State Electr., 23, 117 (1980).
96. Yokoyama N., Ohkawa S., Ishikawa H., Jap. J. Appl. Phys., 14, 1071 (1975).
97. Van Der Ziel A., Solid State Physical Electronics, Prentice-Hall, Engle-
wood Cliffs, New Jersey, 1976.
98. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики.— М.:
Наука, 1967.
3
Биполярные транзисторы
3.1. Принцип действия
В 1948 г. Дж. Бардин и У. Брэттейн опубликовали первую
статью о биполярном транзисторе (БТ). У. Шокли в 1949 г.
разработал первую теоретическую модель для биполярных тран-
зисторов, которая является основой для понимания этих при-
боров.
Открытие биполярного транзистора положило начало рево-
люционному развитию полупроводниковой электроники. На се-
годняшний день биполярный транзистор остается одним из наи-
более важных дискретных приборов, так же как и существен-
ным компонентом интегральных схем.
Биполярный транзистор — это трехвыводный прибор, который
может быть использован как усилитель или логический элемент.
Схематическое изображение структуры р—п—р- и п—р—п-
транзисторов и их схемное обозначение показаны на рис. 3.1.1.
Согласно рисунку биполярный транзистор состоит из двух р—Аг-
переходов, включенных навстречу друг другу. Эмиттерная и базо-
вая области составляют первый р—«-переход. Второй переход
образуется между базовой и коллекторной областями. Если ба-
зовая область длиннее, чем диффузионная длина неосновных но-
сителей заряда в базе (дырки для р—п—р-транзистора и элек-
троны для п—р—/г-транзистора), то эквивалентная схема при-
бора должна включать два диода, соединенных, как показано
на рис. 3.1,2, а и б. Действительно, базовая область создается
таким образом, чтобы она была значительно короче диффузион-
ной длины неосновных носителей заряда. Поэтому эмиттерпо-
базовый и коллекторно-базовый переходы воздействуют друг на
друга. На эквивалентной схеме это может быть отражено вве-
дением управляемых источников тока (рис. 3.1.2,в и г). Такое
взаимодействие эмиттерно-базового и коллекторно-базового пе-
реходов оказывает решающее влияние на работу БТ.
Как показано на рис. 3.1.1, эмиттерная область имеет самый
высокий уровень легирования, а коллекторная — самый низкий.
Уровень легирования базовой области ниже, чем эмиттерной,
но выше, чем коллекторной. На рис. 3.1.3, а показан типичный
профиль легирования биполярного п—р—«-транзистора. Рас-
Биполярные транзисторы
241
смотрим кратко причины,
вызывающие подобный вы-
бор уровней легирования и
неоднородности профиля ле-
гирования в эмиттере и базе,
но вначале остановимся на
транзисторе с однородным
и резким изменением рас-
пределения примеси (рис.
3.1.3, б).
Качественный вид зонной
диаграммы п—р—«-бипо-
лярного транзистора в со-
стоянии равновесия пред-
ставлен на рис. 3.1.4, а. При
обычном режиме работы
эмиттерно-базовый переход
смещен в прямом направ-
лении, а коллекторно-ба-
зовый— в обратном (рис.
3.1.4,б).
Следовательно, концен-
трация электронов в базе на
эмиттерно-базовом переходе
значительно выше, чем рав-
новесная концентрация не-
основных носителей за-
т. е. /гео = я? б/Л^дб, где
ряда (электронов) в базе,
«гб — собственная концен-
трация носителей в базовой
области. Как было показано
в гл. 2, концентрация неос-
новных носителей на краю
Зчипер База Коллектор
Зии 2 тер
База
Коллектор
5
Рис. 3.1.1. Схематическое изображение
структуры биполярных транзисторов и
принятые обозначения таких транзисто-
ров р+—п—р~- (а) и п+—р—п~ (б)-
типа. Индексы «+» и «—» обозначают
высокий и низкий уровни легирования
соответственно.
зоны обеднения связана с падением напряжения на переходе и
равновесной концентрацией неосновных носителей:
«б _ э = «б (хэ) = «б0 ехр (Уб _Э/Ут) » «б0,
(3.1.1)
где V-\ = kT/q — тепловое напряжение, «б — концентрация элек-
тронов в базе и Кэ-б — напряжение эмиттер-база (Уэ-б^ Кт).
Концентрация электронов в базе вблизи перехода коллектор—
база существенно меньше, чем концентрация неосновных носи-
телей заряда электронов в базе в условиях равновесия
«к_б s /гб (хэ + 1К) = «бо ехр (Кк-б/Кт) < «бо, &(3.1 -2)
16 Заказ № 304
242
Глава 3
где VK-6 — напряжение коллектор — база (Ук-б<0), х3— ши-
рина эмиттерной области и W — ширина базы (см. рис. 3.1.3,6).
—*—г И »
Змитгер Коллектор
< > 5а за
р-пр
а
•—И f и >
Эмиттер коллектор
< > База
Пр-fl
5
р-п-р . л-р-п
в г
Рис. 3.1.2. Упрощенные эквивалентные схемы р—п—р-транзистора с очень
длинной базой (а), п—р—n-транзистора с очень длинной базой (о) и более
близкие к реальному случаю эквивалентные схемы р—п—р (в) и п—р—п (г)-
транзисторов, у которых длина базы меньше диффузионной длины неоснов-
ных носителей заряда.
При записи этого выражения предполагается, что ширина об-
ластей обеднения на границах эмиттер — база и коллектор —
база мала и по сравнению с шириной базы ими можно прене-
бречь.
Точно так же, как и в идеальном п+ — р-переходе (см. гл. 2),
в p-области преобладающей является диффузионная компонента
электронного тока. Если базовая область узкая (W Lnt>, где
Ln6 — диффузионная длина электронов в базе), то рекомбина-
ция носителей в базе невелика и в первом приближении кон-
центрация электронов в базе изменяется линейно с изменением
расстояния
n6^n3_.6(W -x + x3)/W. (3.1.3)
Этот результат является решением уравнения непрерывности
для электронов в базе и получен тем же путем, что и решение
Биполярные транзисторы
243
б
Рис. 3.1.3. Типичный профиль легирования кремниевого биполярного тран-
зистора [42] (а) и идеализированный однородный профиль с резко изменяю-
щимся уровнем легирования (б).
16*
244
Глава 3
уравнения непрерывности для неосновных носителей заряда
в коротком р—п-дук)д& (см. разд. 2.3), т. е. путем разложения
ехр(х/ЛЛб) и ехр(—х/ЬПб) в ряды Тейлора. Профиль концентра-
ции электронов в базе показан на рис. 3.1.5.
3ниггер База Коллектор
а
Рис. 3.1.4. Зонная диаграмма биполярного транзистора в условиях равно-
весия, т. е. в отсутствие внешнего напряжения, (а) и в обычных условиях
работы (б), когда переход эмиттер—база смещен в прямом направлении,
а переход коллектор—база в обратном. (#с — дно зоны проводимости,
— потолок валентной зоны, & ?—уровень Ферми на рис. 3.1.4, а и квази-
уровень Ферми на рис. 3.1.4,6.)
Диффузионный ток электронов в базе
дпб
дх
S
/„ = qDn
(3.1.4)
остается практически постоянным и равным как эмиттерному,
так и коллекторному токам. (В выражении (3.1.4) Dn— коэф-
фициент диффузии электронов, a S — поперечное сечение при-
бора.) Причина этого заключается в том, что практически все
электроны, инжектируемые в базовую область из эмиттера,
диффундируют к коллекторной области и достигают большого
отрицательного наклона на дне зоны проводимости (см. рис.
3.1.4, б). С этой точки они вытягиваются на коллекторный кон-
такт сильным электрическим полем обратно смещенного р—п-
перехода коллектор — база (вниз по отрицательному наклону
Биполярные транзисторы
245»
дна зоны проводимости). Конечно, часть электронов рекомбини-
рует с дырками в базовой области, однако число таких элек-
тронов невелико, поскольку ширина базовой области меньше
диффузионной длины электронов. Если базовая область была бы
значительно шире Ln6, то практически все электроны должны
Рис. 3.1.5. Распределения электронов, инжектированных в область базы крем-
ниевого биполярного п—р—n-транзистора при различной диффузионной длине
электронов в базе: прямая линия соответствует Ln6 = 20 мкм, а вогнутая
кривая ДПэ==1 мкм. Кривые рассчитаны с помощью подпрограммы
PBJTM. BAS.
При расчете использованы следующие параметры: Гэ_б - 0,85 В, Гк_б = —4 В, уро-
вень легирования эмиттера A/Da e 1 • 1019 см-3, уровень легирования базы Л/=*= 2Х
ХЮ17 см-3, температура Т - 300 К.
были бы рекомбинировать и мы имели бы очень плохой тран-
зистор.
Подставляя выражение (3.1.1) в уравнение (3.1.3), а затем
результирующее выражение в уравнение (3.1.4), получим:
7, « /к » | /„ | да ?Дпбоехру8-бМО,5 . (3.1.5)
Следовательно, изменение напряжения эмиттер — база при-
водит к экспоненциальному изменению как эмиттерного, так и
коллекторного токов. Рассмотрим, как биполярный транзистор
может работать в режиме усилителя. Входной сигнал может
быть представлен источником переменного напряжения, который
мы подсоединим через переход эмиттер — база. Нагрузочное со-
противление можно поставить между коллекторной клеммой и
246
Глава 3
клеммой источника питания — это соответствует конфигурации
схемы с общей базой (рис. 3.1.6,а). Небольшие изменения на-
пряжения эмиттер — база
вызванные сигналом, приводят
к почти равным изменениям
эмиттерного и коллекторного то-
ков (A/к ж АЛ). Однако коллек-
торный ток протекает в цепи, со-
держащей источник питания (на-
пряжение смещения Як^^э-б),
Рис. 3.1.6. Схемы подключения би-
полярного транзистора: а — с об-
щей базой, б — с общим эмитте-
ром, в — с общим коллектором.
и изменения падения напряжения
ДУК = Д/К/?К через внешнюю на-
грузку RK может быть значитель-
но больше, чем AVVn- (При
соответствующей величине RK
максимальная величина AVK
ограничена напряжением источ-
ника питания на коллекторе Fk-)
Тогда можно получить усиле-
ние по напряжению AV/AVa-6.
Мощность источника входно-
го сигнала пропорциональна
Д/эАУэ-б, а мощность переменно-
го сигнала в выходной цепи
пропорциональна А/к AVK »
»A/3AVM. Следовательно, та-
кая схема также обеспечивает
усиление по мощности. Эффект
усиления обусловлен тем, что
электроны инжектируются из
эмиттерной области через базу
в коллекторную область, где па-
дение напряжения больше по
сравнению с малым прямым
напряжением эмиттер — база.
Две другие возможные конфи-
гурации схем подключения бипо-
лярного транзистора (с общим
эмиттером и общим коллектором) представлены на рис. 3.1.6, б
и в соответственно.
Принцип работы транзистора при включении по схеме с об-
щим эмиттером (см. рис. 3.1.6, б) можно понять при рассмотре-
нии эффектов, происходящих при увеличении тока базы с рос-
том напряжения эмиттер — база. Ток базы /б — в основном ды-
рочный ток /рэ, который течет из базовой области в эмиттерную.
Дырочный ток в эмиттере, легированном примесью п-типа, пред-
Биполярные транзисторы
247
ставляет собой диффузионный ток, точно так же как и элек-
тронный ток (неосновные носители) в базе, легированной при-
месью p-типа. Значит, аналогично уравнению (3.1.5), можно'
записать
/ ~ лп <; I ____________ ^ОрРэовхр (<jV3_6/kT) s ,п 1
/рэ ~ диръ |х=-----------------------------------, (d. 1 .ь)
ха
где рэ0 = n2l3/ND3 и предполагается, что хэ < LP3, где LP3 — диф-
фузионная длина дырок в эмиттерной области (это всегда спра-
ведливо для реальных БТ). Сравним уравнения (3.1.5) и
(3.1.6). Обычно хэ имеет тот же порядок величины, что и W.
Однако эмиттерная область имеет более высокий уровень леги-
рования, чем базовая, и, следовательно, рэо «во- Это означает
что ток базы значительно меньше тока эмиттера, и транзистор,
подключенный по схеме с общим эмиттером, работает как уси-
литель тока. Из уравнений (3.1.5) и (3.1.6) можно оценить ко-
эффициент усиления тока при подключении транзистора по
схеме с общим эмиттером (р = /к//б « Л//б):
а ~ DnN Daxs .
р~ dpnA6w
(3.1.7)
р значительно больше 1, поскольку (см. рис. 3.1.3).
Учитывая, что Dn/Dp = рп/рР и составляет ~ 2,5 для кремния,
становится ясно, что кремниевый БТ п—р—n-типа в общем
случае должен обладать более высокими значениями р по срав-
нению с кремниевым БТ р—п—р-типа.
В современных биполярных транзисторах 1рз — преобладаю-
щая составляющая базового тока. Кроме того, в базовый ток
вносят свой вклад и другие составляющие: рекомбинационный
ток в обедненной области перехода эмиттер — база, генерацион-
ный ток в обедненной области перехода коллектор — база и
рекомбинационный ток в нейтральной области базы. Однако
для грубой оценки коэффициента усиления транзистора по току
всеми составляющими тока базы, за исключением 1рэ, можно
пренебречь (более полное обсуждение см. в разд. 3.3).
Как было показано выше, работа биполярного транзистора
основана на экспоненциальном изменении плотности инжекти-
рованных носителей при управлении высотой потенциального
барьера между эмиттером и базой путем изменения напряже-
ния эмиттер — база. Это приводит к экспоненциальной зависи-
мости токов эмиттера и коллектора от напряжения эмиттер —
<—база [см. уравнение (3.1.5)] и очень большой крутизне вольт-
амперной характеристики
gm^dItJdV9-i (3.1.8)
‘248
Глава 3
по сравнению с аналогичным параметром полевого транзистора,
в котором используется емкостная модуляция заряда в прово-
дящем канале (см. гл. 4). Именно высокие крутизна вольт-ам-
перной характерстики и размах токовой амплитуды предопре-
деляют выбор в пользу биполярного транзистора при создании
многих быстродействующих и мощных дискретных приборов и
интегральных схем.
С другой стороны, экспоненциальная зависимость эмиттер-
ного и коллекторного токов от температуры [см. уравнение
(3.1.5)] может привести к тепловой нестабильности работы
транзистора. Например, если один из многих БТ, входящих
в состав интегральной схемы, работает с большим током эмит-
тера, его температура будет выше за счет выделяемого тепла.
Это в свою очередь вызовет дальнейшее увеличение токов эмит-
тера и коллектора и повышение температуры прибора, что при-
ведет к возникновению «слабого места» в схеме, где наиболее
вероятен отказ от нормального функционирования. Такая не-
стабильность может в значительной мере осложнить технологи-
ческие вопросы изготовления интегральных схем на БТ. Однако
эту проблему можно исключить, если выбрать подходящую
конфигурацию схемы.
3.2. Профили концентрации неосновных носителей
в биполярном транзисторе
Как было показано в разд. 3.1, профиль концентрации не-
основных носителей заряда в узкой базовой области (W^Lne)
примерно линейный. В условиях равновесия (dn^/dt — 0) этот
профиль описывается решением уравнения непрерывности для
неосновных носителей в базе
Dn =0; (3.2.1)
сравните с уравнением (2.3.9). Здесь «б— концентрация элек-
тронов в базе, Тиб — время жизни электронов в базовой области
и «во — n2i/NA6. Уравнение (3.2.1) необходимо решать для
граничных условий Мб(хэ) = Пбоехр(Уэ-б/Ут) и Пб(Хэ+№') =
= «боехр(Ук_б/Ут) (этот вопрос обсуждался в разд. 3.1).
Предполагается, что область объемного заряда (область обед-
нения) в базе на границах с эмиттером и коллектором суще-
ственно меньше, чем ширина базы W. Это предположение не
может быть справедливым для приборов с узкой базой или при
наличии большого обратного напряжения на переходе коллек-
тор — база. Некоторые следствия возможного отклонения от
этого предположения будут рассмотрены в разд. 3.6.
Биполярные транзисторы
24&
Решение уравнения (3.2.1) с указанными граничными усло-
виями имеет следующий вид:
п6 (х) = Обо + л1б ехр ( — Аб ехр ( - х , (3.2.2)
где
Л ___ Л«б (Хэ + 1Г) — Дп6 (хэ) ехр (—W/Ln6)
16 ~ 2 sinh (W/Ln6)
. ___ -bn6 (Хэ 4- W) + Ляд (хэ) ехр (F/Лпб)
26 ~ 2 sinh (W/Ln6)
(3.2.3)
(3.2.4)
Здесь An6(x3 + F) = пб(хэ + W) — п6о и Дпб(хэ) = лб(хэ) — пб0.
Когда переход эмиттер — база смещен в прямом направле-
нии, а переход коллектор — база в обратном, то имеем
Пб (Хэ) = Пбо ехр ( ,
(3.2.5)
пб(хэ4-Г)«0. (3.2.6)
Для типичного случая, когда W/Ьпб 1, уравнение (3.2.2)
упрощается до вида
Пб (х) = пб (хэ) -У+^-5- . (3.2.7)
На рис. 3.1.5 показаны профили распределения неосновных
носителей заряда, рассчитанные для различных величин W/Lns-
Как видно из этого рисунка, в том случае, если W!Ln& 1,
концентрация электронов в базе изменяется линейно, как это и
следовало из уравнения (3.2.9). Кроме того, поучительно срав-
нить это распределение с распределением дырок в области п-
типа короткого —n-диода (см. рис. 2.3.4 и его обсуждение
в разд. 2.3).
Концентрации дырок и рк в областях эмиттера и коллек-
тора рассчитывают из уравнений непрерывности для дырок
в этих областях:
Dp ---------Рз~ Р~ = 0 0.2.8)
р дх2 тРэ '
и
n _ P^P*L = о, (3.2.9)
р дх2 трк '
где Тр0 и Трк — времена жизни дырок в областях эмиттера и кол-
лектора, a pso = n2i/ND3 и рко = n'i/Nov. — равновесные концен-
трации дырок в эмиттере и коллекторе соответственно. Гранич-
ные условия для уравнения (3.2.8) записываются как рэ(0) =
= Рэо И рэ(ха) =ро0 ехр(Гэ-б/Гт), а для уравнения (3.2.9) как
Рк(хэ + W) = ркОехр(]/к_б/Гт) и pK(W -j- хэ 4- хк) =рко- (Мы
250
Глава 3
снова пренебрегаем шириной областей обеднения, даже не-
смотря на то, что области обеднения в базе могут сильно воз-
действовать на характеристики прибора — см. разд. 3.6.)
Решая уравнения (3.2.8) и (3.2.9), найдем концентрацию ды-
рок в эмиттерной и коллекторной областях п—р—п-БТ:
Рз (х) = Рэо + Рэо[ехр (-^'Ч — sinh (x/Lp3)/sinh (x3/Lp3),
(3.2.10)
Рк (х) = рко 4- Рко [ехр ( qV^6 ) — 1 ] sinh [(хк + хэ +
+ V - x)/LpK]/sinh (xK/LpK). (3.2.11)
Концентрация дырок в нейтральной области базы /?б имеет
вид
Рб « ^Аб + ^б- (3.2.12)
Это уравнение следует из условия нейтральности, которое
означает, что основные носители (дырки) входят в базовую об-
ласть, чтобы компенсировать заряд неосновных носителей (элек-
тронов), инжектированных в базу. В режиме слабой инжекции
Пб < Naq и рв ж Naq- Однако, когда прикладываемое прямое
напряжение эмиттер — база относительно велико, Пб и рб могут
стать сравнимыми или даже превысить NAt.
На рис. 3.2.1 представлены профили распределения неоснов-
ных носителей заряда в БТ п — р — n-типа, соответствующие
четырем возможным режимам работы транзистора: прямому
активному, насыщения, отсечки и обратному активному. Усло-
вия смещения для различных режимов работы представлены
в табл. 3.2.1.
В прямом активном режиме (см. рис. 3.2.1, а) переход эмит-
тер — база смещен в прямом направлении, а коллектор —
база — в обратном. Сопоставление профилей концентрации ды-
рок в эмиттерной области и электронов (рис. 3.2.1, а) ясно
демонстрирует, как более высокое легирование эмиттерной об-
Таблица 3.2.1. Условия смещения для различных режимов работы
биполярного транзистора
Режим
Смещение эмиттер —база Смещение коллектор — база
Прямой активный режим прямое
Режим насыщения „
Режим отсечки обратное
Обратный активный
режим
обратное
прямое
обратное
прямое
Биполярные транзисторы
251
Расстояние, мкм Расстояние, мкм
Рис. 3.2.1. Распределения неосновных носителей заряда в кремниевом биполярном
п—р—n-транзисторе в четырех различных режимах работы: а — прямой активный
режим: напряжение эмиттер—база ^-6 = 0,85 В (верхняя кривая) и 0,65 В (ниж-
няя кривая), напряжение коллектор—база Ук-б =—4 В; б — режим насыщения:
Уэ_б = 0,85 В, Кк-б — 0,75 В; в — режим отсечки: Уэ_б — —3 В, VK-6 = ~4 В.
(Обратите внимание, что в этом режиме неосновные носители заряда в транзисторе
практически отсутствуют); г — обратный активный режим: Кэ-б = —ЗВ, Ук-б =
== 0,75 В. Кривые были рассчитаны с помощью подпрограммы PBJTM. BAS.
При расчете использованы следующие параметры: уровень легирования эмиттера ЫО19 см-3,
уровень легирования базы NАб « 2-Ю17 см-3, уровень легирования коллектора JVDk = 1-Ю18 см-3,
диффузионная длина дырок в области эмиттера Lpo = 10 мкм, диффузионная длина электронов
в области базы = 40 мкм, диффузионная длина дырок в области коллектора L рк =20 мкм,
Ширина области эмиттера х3 = 1 мкм, ширина области базы W = 0,5 мкм, ширина области
коллектора х =3 мкм, температура Т * 300 К.
‘252
Глава 3
Эмиттер База. Коллектор
Рис. 3.2.2. Качественное распределение
электронов, инжектированных в базу
в режиме насыщения из эмиттера (а),
коллектора (б) и результирующее рас-
пределение электронов в базе в линей-
ном масштабе (в).
ласти приводит к увеличенной
инжекции в базу и, следователь-
но, к более высокой эффективно-
сти эмиттера:
у — „д1пз..
г д!з ’ (3.2.13)
О w
Расстояние
5
Эмиттер База Коллектор
где /по — электронная составляю-
щая тока эмиттера /э.
В режиме насыщения оба пе-
рехода эмиттер — база и коллек-
тор — база смещены в прямом
направлении (см. рис. 3.2.1, б).
В этом режиме инжекция элек-
тронов из коллекторной области
происходит в направлении, про-
тивоположном направлению ин-
жекции электронов из эмиттер-
ной области. Следовательно, ток,
который пропорционален накло-
ну профиля электронов в базо-
вой области, меньше, чем при
активном прямом режиме рабо-
ты. Этот факт иллюстрирует
рис. 3.2.2, где представлено ка-
чественное распределение элек-
тронов, инжектированных в базу
из эмиттерной и коллекторной областей соответственно, а также
результирующее распределение электронов в базе (в линейном
масштабе).
В режиме отсечки (см. рис. 3.2.1, в) в базе находится очень
мало неосновных носителей заряда и, следовательно, токи тран-
зистора очень малы.
В обратном активном режиме (см. рис. 3.2.1, а) инжекция
дырок в коллекторную область превышает инжекцию электро-
нов в базу из-за более высокого уровня легирования базовой
области. В результате при таком режиме работы транзистор
Биполярные транзисторы
253
обладает очень низким усилением. Поэтому такой режим прак-
тически не используется, за исключением тех случаев, когда
необходимо определить параметры транзистора (его характе-
ристики).
3.3. Составляющие тока
и коэффициент усиления по току
В прямом активном режиме токи эмиттера, коллектора и
базы (/э, /к, /б) в биполярном п—р—га-транзисторе можно вы-
базовый
контакт
Эмигтерный
контакт
Область пространственного
заряда перехода коллектор-база
коллекторная
область
Область пространственного
заряда перехода эмиттер-база. ,
Эмиттерная \ вазовая
область \ область
Рис. 3.3.1. Различные составляющие тока в биполярном транзисторе.
Коллекторный
контакт
разить следующим образом:
/э = /пэ /дЭ 4” /рек э,
7К = /пк 4" /ген к,
/б ==: /рэ 4- ^рек э Лен к 4“ Лек
(3.3.1)
(3.3.2)
(3.3.3)
где /дЭ и Лк — электронные составляющие эмиттерного и кол-
лекторного токов, /рэ —дырочная составляющая эмиттерного
тока, /рекэ—рекомбинационный ток в области обеднения пере-
хода эмиттер — база, /рекб — рекомбинационный ток в нейтраль-
ной базовой области и Лен к — генерационный ток в области
обеднения перехода коллектор — база. Различные составляющие
тока в биполярном транзисторе схематически показаны на
рис. 3.3.1.
Самыми большими по вкладу составляющими тока в прямом
активном режиме являются /лэ и /дК. Они определяются диф-
254
Глава 3
фузионным током электронов в базу через эмиттерно-базовый
и коллекторно-базовый переходы соответственно:
/лэ = qDnS (дпс/дх) |х==Дэ, (3.3.4}
InK = qDnS (дпб/дх) |х Хз + w (3.3.5}
(см. уравнение 3.1.4). Распределение электронов в базе описы-
вается выражением (3.2.2). Используя уравнения (3.3.5), (3.2.2)
и принимая во внимание, что в условиях прямого активного-
режима работы справедливо уравнение
пб(хэ + №3 = 0, (3.3.6}
[поскольку 17к~б «С Ут < 0, см. уравнение (3.2.6)], можно напи-
сать соотношения
1пз = -qDnS \пб (хэ) cth (W/Ln6)/Ln6, (3.3.7}
1пк = —qDnS Дпб (X9)'csch (WILn6)ILn6. (3.3.8}
(Определения и производные гиперболических функций приве-
дены в Приложении 7.)
Ток рекомбинации в базе /реКб определяется как
/рекб=:/пэ /пк. (3.3.9}
[Используя это уравнение и уравнения (3.3.1) — (3.3.3), можно
проверить, что /э = /к + /б.] Уравнение (3.3.9) может быть пе-
реписано следующим образом:
/рек 6 = — dDnS \n6 (хэ) [cosh (W/Ln6) — 1 ]/[sinh (W3/Ln6) Ln6].
(3.3.10}
Дырочная составляющая эмиттерного тока 1РЭ = qDpS (др3/дх)
может быть найдена из уравнения (3.2.10):
7рэ ~— Я&р ^Рэ (-^э) cosh (хэ/Адэ) S/[sinh (хэ//*рэ) /*рэ] • (3.3.11}
Как обсуждалось в разд. 3.1, в современных БТ Iрз больше,
чем Iрек б-
Ток рекомбинации в области обеднения перехода эмиттер —
база /рек э грубо можно оценить с помощью уравнений, приве-
денных в разд. 2.4 [см. уравнение (2.4.38а)]:
/рек э === /рек э нас СХр [^^/(^рек^Т)], (3.3.12)
где
/рек э нас = (л/2) (feT/Епр) /ZiS/TpeK. (3.3.13}
Здесь Епр — электрическое поле в точке области объемного
заряда перехода эмиттер — база, где п — р, /ирек — эмпириче-
ская константа, определяющая зависимость напряжения от ре-
Биполярные транзисторы
255
комбинационного тока [в простейшем случае znPeK = 2: см. урав-
нение (2.4.38)], и Трек — эффективное время рекомбинации в об-
ласти обеднения перехода эмиттер — база. Для биполярного
п—р—n-транзистора электрическое поле Епр записывается
в виде
Епр = [qNA6 (2Vblp - Гэ_б)/е]'/!, (3.3.14)
где
= (3.3.15)
см. уравнения (2.4.41) и (2.4.42). Напомним, что в прямом ак-
тивном режиме работы Vo-6 > 0.
Ток генерации коллектора /ген к можно оценить с помощью
уравнения (2.4.15)
/ген к == ^^/-^обед к —б^/^ген» (3.3.16)
где тГен — эффективное время генерации и
Хобед к-б = [2е (ybi к_б - Ук-бУИок)]7, (3.3.17)
— ширина области обеднения перехода коллектор — база. (На-
помним, что в прямом активном режиме работы VK-6 < 0)
Здесь
Имк_б = 7т1п(^кУлб/л?) (3.3.18)
— встроенное напряжение перехода коллектор — база.
Коэффициент усиления по току а биполярного транзистора,
включенного по схеме с общей базой, определяется как
(3.3.19)
Его можно представить в виде произведения двух коэффици-
ентов
а = ату, (3.3.20)
где
— коэффициент эффективности инжекции эмиттера и
= (3-3.22)
— коэффициент переноса носителей через базу (здесь мы пред-
полагаем, что /к ~ Лк). Определенный ток коллектора, однако,
может протекать даже тогда, когда эмиттерный контакт не под-
256
Глава 3
ключей, поэтому соотношение между эмиттерным и коллектор-
ным токами можно записать следующим образом:
/к == ^коб Ч-о/э, (3.3.23)
где /коб — ток насыщения коллектора в схеме с общей базой.
При записи этого выражения предполагается, что /к « /як и а
не зависит от /э. Когда же зависимость а от /0 становится су-
щественной, уравнение (3.3.23) также можно использовать, но
в этом случае необходимо иначе определить коэффициент уси-
ления по току в схеме с общей базой
а = (/к — /коб)//э. (3.3.23а)
Величина а, определяемая уравнением (3.3.23а), называется
коэффициентом усиления по постоянному току в схеме с общей
базой (или коэффициентом трансформации по току). Обычно
один и тот же символ а используется для обозначения несколько
различающихся величии а, определяемых выражениями (3.3.19)
и (3.3.23а).
Уравнение (3.3.23) справедливо в том случае, когда обрат-
ное смещение перехода коллектор — база не слишком велико,
т. е. когда не наблюдается лавинного пробоя перехода коллек-
тор— база (см. разд. 2.8). В противном случае в это уравнение
необходимо включить коэффициент умножения М для коллек-
торного тока
/к = М (/коб ~Ь а/э), (3.3.236)
где М — коэффициент лавинного умножения коллектора. Эф-
фект лавинного пробоя в переходе коллектор — база рассмат-
ривается в разд. 3.9.
Используя уравнение (3.1.7), в котором пренебрежем реком-
бинацией в базе, и принимая во внимание соотношение /э =
= /к + /б, можно оценить коэффициент эффективности инжек-
ции эмиттера
_ (OnND3x3/DpNA6W)
У~ 1+(ОяУ^э/^4б^) ’
(3.3.24)
Коэффициент переноса носителей через базу аг можно найти
из уравнений (3.3.22), (3.3.7) и (3.3.8):
ctj' === . i i j—,—• (3.3.25)
1 cosh(U7/£пб) ' >
В реальных транзисторах U7/L„6 1 и
аг«1--^-. (3-3.26)
Биполярные транзисторы
257
Как коэффициент ат, так и коэффициент лавинного умноже-
ния очень близки к 1, следовательно, для большинства совре-
менных биполярных транзисторов
аху. (3.3.27)
Коэффициент усиления по току в схеме с общим эмиттером
определяется по формуле
f—(3-3-28)
Подставляя
/б = /э — /к (3.3.29)
в уравнение (3.3.28), получим
П _____________________ Cl ZQ Q Q Л \
д (/э- /к) ~ \-д!к/д13 “ 1—а • (a.d.dU)
Как было показано в разд. 3.1,
(3-3-31)
см. уравнение (3.1.7). Следовательно, коэффициент усиления (3
обратно пропорционален общему числу акцепторов в базовой
области (NagW), которое называется числом Гуммеля Qr- Для
более общего случая неоднородного легирования в базе число
Гуммеля определяется как
Qr = j NA(x)dx. (3.3.32)
хэ
Оценки значений а, определяемые выражениями (3.3.24) и
(3.3.27), а также (3, задаваемое выражением (3.3.31), справед-
ливы при умеренном уровне инжекции, т. е. в тех случаях, когда
прямое смещение на переходе эмиттер — база Гэ-б не слишком
мало и не слишком велико. При малом уровне инжекции (ма-
лые Кэ-б) ток рекомбинации в области обеднения перехода
эмиттер — база /рекэ становится доминирующим и коэффициент
усиления уменьшается. Это происходит потому, что предэкспо-
ненциальный множитель в уравнении (3.3.12) для рекомбина-
ционного тока обычно значительно больше, чем диффузионный
ток насыщения /лэнас = qDnSriilLnb. Однако диффузионная со-
ставляющая тока возрастает пропорционально ехр( Уэ-б/Кт)
с ростом Кэ-б и быстрее, чем рекомбинационный ток (который
пропорционален ехр[1/э-б/(^рекГт)], где /прек>1). Следова-
тельно, диффузионная составляющая тока преобладает при боль-
ших значениях смещения в прямом направлении. Это легко можно
17 Заказ № 304
258
Глава 3
определить из уравнения (2.3.3), которое демонстрирует вольт-
амперные характеристики (ВАХ) р—n-диодов на основе Si и
Ge. Используя уравнение (3.3.12), можно получить следующую
оценку для р при низком уровне инжекции (т. е. относительно
.малых напряжениях эмиттер — база):
О 1пэ ~ НЛЕпрггботрек ехР Пэ-б (1 ^/^рекУ^т] /о о
/рекэ ~ Wm * (33*33)
Следует заметить, что эта оценка основана на определении
коэффициента усиления тока короткого замыкания в схеме с об-
щим эмиттером по постоянному току. Обычно один и тот же
символ р используется для обозначения несколько отличаю-
щихся величин, определяемых уравнением (3.3.28). Коллектор-
ный ток
/к In3 ъ qDnn60 ехр (Уэ-б/Ут) S/W (3.3.34)
пропорционален ехр(Уэ-б/Ут). Следовательно, в условиях сла-
бой инжекции имеем
О Ип£'прПб0Трек l(4Dnn6oS)] ( рек^ Л[ - ^рек) /о о on
Р~----------------------------------'к • (о.о.осм
Из уравнения (3.3.35) следует, что в условиях слабой ин-
жекции р возрастает с ростом /к. С увеличением напряжения
эмиттер — база и, следовательно, с увеличением тока коллек-
тора дырочная составляющая эмиттерного тока 1рэ возрастает
пропорционально ехр (Уэ-б/Ут). В то же время ток рекомбина-
ции /рекэ возрастает с меньшей скоростью пропорционально
ехр (Уэ-б/ЩрекУт), где трек > 1. Таким образом, как только
Уэ-б и /к становятся достаточно большими, /рэ превышает /рекэ
и р достигает величины, определяемой из уравнения (3.3.31).
При такой величине /к коэффициент эффективности инжекции
эмиттера становится наиболее важным фактором, ограничиваю-
щим коэффициент усиления по току в схеме с общим эмиттером.
При высоких значениях тока эмиттера и коллектора эффек-
ты, связанные с высоким уровнем инжекции, становятся более
значимыми. В этом случае число электронов, инжектированных
в базу, в действительности может стать больше числа Гуммеля.
Как упоминалось выше [см. уравнение (3.2.12)], число допол-
нительных дырок в базе должно быть примерно равно числу
электронов, инжектированных в базу, чтобы поддержать квази-
нейтральность базы. Следовательно, при условии высокого
уровня инжекции, когда пб NAq (Nag — концентрация акцеп-
торов в базовой области), имеем
Рб^ n6^>NA6- (3.3.36)
Биполярные транзисторы
259
Произведение
рб (*э) пб (хэ) = nt ехр (-^Я.-6 ) (3.3.37)
возрастает пропорционально ехр (Уэ-б/Ут). При низком уровне
инжекции рб (хэ) « ACts и
^2
Диб (хэ) Пб (Л'э) — лг ехр р — Hgo ехр (Vэ—б/Ут)* (3.3.38)
Лб v т
Для высокого уровня инжекции, когда Д/гб(хэ) 3> Nag, имеем
Днб(хэ) « р6(х3) « т ехр ( ). (3.3.39)
Поэтому токи эмиттера и коллектора приблизительно равны
/ ~ QniDrtS / 1Гэ- б \ /Л Л дп\
1к ~ ~ Г ехр 2VT
В то же время концентрация дырок, инжектированных из
базы в область эмиттера, мала по сравнению с уровнем легиро-
вания эмиттера AfD3. Следовательно, имеем
_ qPpn2.S
(3.3.41)
X3NDs
И
__ д!к ^п^ОэХэ
Р— d/б ~ DPmW
или
ОзХэ^
р ~ DPW2IK
(3.3.42)
(3.3.43)
Общая зависимость коэффициента усиления в схеме с общим
эмиттером от коллекторного тока /к может быть получена пу-
тем сложения выражений для инверсного коэффициента усиле-
ния по току в схеме с общим эмиттером 1/0 с использованием
уравнений (3.3.31), (3.3.35) и (3.3.43) и выражения для инверс-
ного коэффициента усиления по току в схеме с общим эмитте-
ром 1/Рт, ограниченного коэффициентом переноса носителей
в базе ат,
Рт = ~т— ^2(Lra6/F)2; (3.3.44)
1 *“ а
см. уравнение (3.3.26). Это приводит к следующему уравнению:
р_, . РП dpna6w
Р qD2NDax3S +
+---------------—--------(i-iim-s + -Ч-- (3.3.45)
Hn^nprt6oTpeK [^^кК^РпРбо^)] ₽еК) 2^яб
17*
260
Глава 3
Зависимость [3 от /к, рассчитанная по формуле (3.3.45), по-
казана на рис. 3.3.2. Как можно видеть, при малом уровне ин-
Рис. 3.3.2. Зависимость максимального
коэффициента усиления по току в схеме
с общим эмиттером [3 от тока коллек-
тора в кремниевом биполярном п—р—п-
транзисторе. Кривая рассчитана с по-
мощью подпрограммы PBJTGI. BAS.
При расчете использованы следующие значе-
ния параметров; ширина области эмиттера
х3 ” 1 мкм, ширина области базы W —
— 0,5 мкм, площадь прибора $ - 1 • 1(Н см2,
уровень легирования эмиттера Лгх>эв5 • 1018 см-3,
уровень легирования базы Na6 — 2 • 1017 см-3,
ширина запрещенной зоны $ s - 1,12 эВ,
эффективная плотность состояний в зоне про-
водимости Nc ~ 3,22 • 10” см-3, эффективная
плотность состояний в валентной зоне Nv в
«= 1,83 • 10” см-з, температура Т — 300 К, под-
вижность электронов в базе 1500 см2/(В * с), по-
движность дырок в эмиттере 450 сма/(В-с),
диэлектрическая проницаемость е 1,05 х
X 10-” Ф/м, эффективное время рекомбинации
в области обеднения эмиттер—база Трек =
= 1 * 10-7 с и диффузионная длина электронов
в базе Апб = 40 мкм.
жекции 0 возрастает с уве-
личением /к, достигает мак-
симума при умеренном уров-
не инжекции и уменьшается
при дальнейшем увеличении
/к, что связано с эффектами
высокой инжекции.
Помимо упомянутых вы-
ше эффектов, обусловлен-
ных высоким уровнем ин-
жекции, при большом уров-
не тока коэффициент усиле-
ния по току в схеме с общим
эмиттером может умень-
шаться. Это объясняется ин-
жекцией носителей в кол-
лекторную область и свя-
занным с этим перемещени-
ем области высокой напря-
женности электрического
поля из перехода эмиттер —
база в коллектор. Этот эф-
фект, названный эффектом
Кирка, наблюдается, когда
плотность тока коллектора
превышает плотность тока
насыщения:
> /к нас ==
(3.3.46)
Плотность тока насыще-
ния /к нас — это максималь-
ная плотность тока, которую
относительно слаболегиро-
ванная область коллектора
может поддерживать без ин-
жекции дополнительных но-
сителей. Как следует из формулы (3.3.46), это особенно важно
в транзисторах с низким уровнем легирования в коллекторной
области. Обычно такие транзисторы изготовляют с использова-
нием эпитаксиальных пленок кремния, поэтому их называют
эпитаксиальными транзисторами. В соответствии с работой
Кирка [16] распределение носителей и электрическое поле, об-
Биполярные транзисторы
261
разующиеся после инжекции носителей в область коллектора,
могут быть представлены как результат эффективного увеличе-
ния ширины базы. Более точный анализ этого эффекта сделан
Уорнером и Грангом [40].
Еще один фактор, ограничивающий коэффициент усиления
по току в схеме с общим эмиттером при высоком уровне тока,
связан с сопротивлением базы между центральной частью тран-
зистора и контактом к базе, т. е. распределенным сопротивле-
нием базы, и результирующим неоднородным распределением
тока эмиттера, называемым сжатием эмиттерного тока. Этот
эффект рассматривается в следующем разделе.
Максимальную величину р при умеренном уровне инжекции
можно оценить из уравнения (3.3.31). Казалось бы, из этого
уравнения следует, что коэффициент усиления по току в схеме
с общим эмиттером можно увеличить путем повышения уровня
легирования эмиттера. К сожалению, в реальных приборах очень
высокий уровень легирования приводит к изменению свойств
материала, в частности к уменьшению ширины запрещенной
зоны. Согласно результатам работы [20] сужение ширины за-
прещенной зоны g в кремнии определяется выражением
е 16.тсепп I tnnkT J ~ V IO18 J \ т J
(3.3.47)
где Nd выражено в обратных кубических сантиметрах. Такое
уменьшение ширины запрещенной зоны приводит к экспонен-
циальному увеличению плотности собственных носителей за-
ряда n/э в эмиттерной области
/ X
ni3 = Пьо ехр \-2kT~), (3.3.48)
где п,эо соответствует величине пгэ для Ni9 = 0. Концентрация
дырок, инжектированных в эмиттерную область, пропорцио-
нальна и, следовательно, сужение ширины запрещенной
зоны приводит к экспоненциальному уменьшению максималь-
ного коэффициента усиления по току транзистора в схеме с об-
щим эмиттером
(3.3.49)
Рассчитанная из уравнений (3.3.47) и (3.3.49) зависимость
₽ от для разных значений Т приведена на рис. 3.3.3. Как
можно видеть, сужение ширины запрещенной зоны приводит
к резкому падению р.
262
Глава 3
Дополнительное уменьшение р может быть связано с пря-
мой рекомбинацией электронов и дырок в сильнолегированной
области эмиттера. Важным рекомбинационным процессом явля-
Рис. 3.3.4. Измеренная и рас-
четная зависимости максималь-
ного коэффициента усиления
по току в схеме с общим эмит-
тером р от тока коллектора
в кремниевом биполярном и—
р—и-транзисторе [22]. Сплош-
ные линии на рисунке — ре-
зультат расчета, линия с точ-
ками — экспериментальная за-
висимость; верхняя кривая рас-
считана без учета сужения ши-
рины запрещенной зоны и оже-
рекомбинации, а средняя — без
учета оже-рекомбинацни.
Рис. 3.3.3. Зависимость максималь-
ного коэффициента усиления по току
в схеме в общим эмиттером р от
уровня легирования эмиттера в крем-
ниевом биполярном п—р—п-транзи-
сторе. Кривые были рассчитаны с по-
мощью подпрограммы PBJTG. BAS.
При расчете использованы следующие па-
раметры: ширина области эмиттера хэ —
— 1 мкм, ширина области базы W —
« 0,5 мкм, уровень легирования базы
N А$ “ 2 * 10'7 см-3* температура Т — 300
и 280 К, подвижность электронов в базо-
вой области 1000 см2/(В-с), подвижность
дырок в области эмиттера 400 см2/(В-с) и
диэлектрическая проницаемость 8 — 1,05х
X 10-10 Ф/м.
ется оже-рекомбинация, которая представляет собой процесс,,
обратный лавинному умножению (см. разд. 2.8). Время оже-
рекомбинации можно оценить из выражения
"^Оже 1/О„А/Оз
(3.3.50)
(см. разд. 1.12) для п+-эмиттеров в п—р—n-транзисторах и
Тоже«1/Ср№л, (3.3.51)
для р+-эмиттеров в р — п — р-транзисторах. Для кремния при
комнатной температуре = 9,9-10-32 см6/с, a Grt = 2,28X
X 10“31 см6/с (см. разд. 1.12). Влияние оже-рекомбинации на
коэффициент усиления по току в схеме с общим эмиттером про-
Биполярные транзисторы
263
.демонстрировано на рис. 3.3.4, где проведено сравнение экспе-
риментальных и расчетных зависимостей (3 от тока коллектора.
3.4. Распределенное сопротивление базы
и сжатие эмиттерного тока
в биполярных транзисторах
Согласно рис. 3.4.1, на котором дано схематическое изобра-
жение структуры биполярного транзистора, ток базы протекает
Рис. 3.4.1. Схематическое изображение структуры биполярного транзистора
с линиями тока в базе.
параллельно переходу эмиттер — база. Такой характер протека-
ния тока приводит к возникновению падения напряжения Уб-б '
между центральной частью перехода эмиттер —база и его гра-
ницами. Это падение напряжения Уб-б' пропорционально току
базы
Уб б' = гб (ЗА1)
о — о о—б о \ z
Сопротивление Гб-с/ называется распределенным сопротивле-
нием базы. Оценку величины распределенного сопротивления
базы можно сделать, рассчитав омическое сопротивление ба-
зовой области между переходом эмиттер — база и контактом
к базе. Результаты такого расчета приведены на рис. 3.4.2 [39].
Более точные расчеты должны учитывать неоднородность рас-
пределения эмиттерного тока вдоль перехода эмиттер — база.
Такая неоднородность непосредственно связана с падением на-
264
Глава 3
пряжения вдоль базы, вызванным базовым током. Действи-
тельно, если падение напряжения на центральной части пере-
хода эмиттер — база есть Уэ-б, то падение напряжения на пе-
Рис. 3.4.2. Распределенное сопротив-
ление базы при разной геометрии
транзистора [40].
риферии этого перехода соста-
вит Vo-6 + 7бГб~б'. Поскольку
плотность эмиттерного тока
экспоненциально зависит от
напряжения на переходе эмит-
тер—база, плотность эмиттер-
ного тока на периферии этого
перехода может быть значи-
тельно больше, чем в центре.
Как было отмечено выше, этот
эффект называется сжатием
эмиттерного тока.
Сжатие эмиттерного тока
схематически отражено на
рис. 3.4.1 в виде направляю-
щих линий базового тока.
В экстремальном случае, когда
падение напряжений IW
становится больше теплового
напряжения kT/q, большая
часть эмиттерного тока концен-
трируется вблизи края перехо-
да эмиттер — база. Размер
краевой области Д^э, где про-
текает большая часть эмиттер-
ного тока, можно грубо оце-
нить следующим образом:
Ad5^VT/F6a3a, (3.4.2)
где
Рбаза ЛбНр^э^) ==
= ШУЛбц^э^₽). (3.4.3)
В этом выражении t3 — ширина эмиттера (см. рис. 3.4.1),
а цр — подвижность дырок (здесь рассматривается п—р—п~
транзистор). Полагая /к = 2 мА, р — 50, W = 0,5 мкм, =
= 5 мкм, = 400 см2/(В-с), ЛДб=1017 см~3 и Т = 300 К
(Ут = 0,0258 В), получим Дйэ ~ 1 мкм. Следовательно, в дан-
ном случае ток эмиттера в основном протекает вблизи двух
краев эмиттерной полоски в областях шириной 1 мкм. Для
того, чтобы получить более однородное распределение эмиттер-
ного тока при высоком уровне инжекции, эмиттерные области
необходимо делать узкими, т. е. их ширина не должна превы-
шать 2Дб/э. Это требование приводит к созданию конструкции
Биполярные транзисторы
265
транзистора со встречно-штыревым расположением эмиттерной
и базовой гребенок (рис. 3.4.3). Такая конструкция существенно
улучшает однородность распределения эмиттерного тока.
Рис. 3.4.3. Конструкция транзистора со встречно-штыревым расположением
эмиттерной и базовой гребенок.
3.5. Влияние неоднородного легирования
в базовой области: дрейфовые транзисторы
Согласно рис. 3.1.3, а, базовая область типичного бипо-
лярного транзистора легирована неоднородно. Концентрация
акцепторов в базе снижается в направлении от эмиттера к кол-
лектору. Транзистор с таким профилем легирования называется
дрейфовым транзистором. В таком транзисторе концентрация
свободных дырок в базе вблизи перехода эмиттер — база
больше, чем вблизи перехода коллектор — база. Следовательно,
дырки диффундируют по направлению к коллектору, создавая
встроенное электрическое поле, направленное от перехода кол-
лектор— база к переходу эмиттер — база. Это встроенное поле
266
Глава S'
приводит к дрейфу дырок навстречу их диффузионному потоку.
В условиях равновесия дрейфовый и диффузионный потоки ком-
пенсируют друг друга. Когда неосновные носители (электроны)
инжектируются в базу из эмиттерной области, встроенное поле
проталкивает электроны к коллектору, создавая дрейфовый по-
ток электронов в сторону коллектора в дополнение к диффу-
зионному потоку электронов. Это увеличивает электронную со-
Рис. 3.5.1. Зонная диаграмма не-
однородно-легированного образца
кремния с экспоненциально изме-
няющейся плотностью акцепторов
#л==#оехр(—х/Лб) при комнат-
ной температуре. Зонная диаграм-
ма рассчитана с помощью под-
программы PBNLL BAS.
При расчете использованы следующие
параметры: No « 2 • 1017 см-3, Хб -
= 0,3 мкм, ширина запрещенной зоны
&g - 1.12 эВ, эффективная плотность
состояний в зоне проводимости Nc -
- 3,22 • 1019 см-3, эффективная плот-
ность состояний в валентной зоне
Nv - 1,83 • 10,е см-3 и температура —
Т = 300 К.
ставляющую тока эмиттера и, следовательно, коэффициент уси-
ления тока короткого замыкания в схеме с общим эмиттером.
В условиях равновесия уровень Ферми в базовой области
одинаков и меняющийся уровень легирования приводит к на-
клону валентной зоны и зоны проводимости, как это следует из
уравнения (1.7.31)
= -kT\n(Nv/NA6). (3.5.1)
В соответствии с этим уравнением встроенное электрическое
поле в базе Ев связано с неоднородным легированием
qEi = d&0/dx = d&Jdx = kT(dN Mldx)fN A6. (3.5.2)
Это поле направлено от перехода коллектор — база к пере-
ходу эмиттер — база (рис. 3.5.1) и, следовательно, оно помогает
переносить неосновные носители (электроны) через базу. Под-
ставив уравнение (3.5.2) в выражение для электронного тока
в базовой области
In = qS (цпПбЕ6 + Dn. dn6fdx), (3.5.3>
получим следующее дифференциальное уравнение для п:
dn^dx + (ne/lVxe) (dNM!dx) = In/(qSDn), (3.5.4>
Биполярные транзисторы
267
где In — основная составляющая эмиттерного и коллекторного
-токов (в первом приближении IПЭ IПК « —/л).Умножая урав-
нение (3.5.4) на Naq, получим
d (NA6n6)/dx = InNA6/(qSDn). (3.5.6)
Интегрирование уравнения (3.5.6) приводит к выражению
Пб (х) = —
' Xa + W 1/
In j NA6(x')dx' /(<7$ОЛлб)-
X J
(3.5.7)
(При интегрировании учитывалось, что tie (хэ + W) = 0, где
W— ширина базы.) Подставляя х = хэ в уравнение (3.5.7) и
принимая во внимание, что Пе(хэ)»(п?/Л^дб)ехр(Уэ-б/Ут),
In = -qSDn£ ехр (F, _в/Ит)/<Эг, (3.5.8)
где
Qr = j NA6(x)dx (3.5.9)
хэ
— число Гуммеля. Этот параметр (суммарное легирование в базе
на единицу площади) играет очень важную роль в определении
характеристик биполярного транзистора.
Теперь можно оценить коэффициент усиления по току рг
в схеме с общим эмиттером, ограниченный рекомбинацией не-
основных носителей заряда в базе:
₽т = Л//реКб. (3.5.10)
Рекомбинационный ток в нейтральной базовой области /рекб
можно записать следующим образом:
х9 + МГ
/рек б= (.qS/Хбп) j Пб(х')(1х', (3.5.11)
где Тбп = £пб/Dn — время жизни электронов в базовой области.
Подставив уравнение (3.5.7) в уравнение (3.5.11), а результи-
рующее выражение — в уравнение (3.5.10), окончательно по-
лучим
х3 + w гх9 + w
$т=1Лб1 j Nm(x) ! NM(x")dx
*э *э
dx.
(3.5.12)
При однородном профиле легирования уравнение (3.5.12)
упрощается до вида рт = ZLne/W2.
268
Глава 8
Теперь рассмотрим экспоненциальное снижение профиля ле-
гирования базы в сторону перехода коллектор — база (Nag(x) ~
~ ехр [—(х — хэ)Дб]. В этом случае выражение (3.5.12) при-
водится к виду
₽т = L2n6/{X6W - 11 [1 - ехр(-117/1б)]}. (3.5.13)
При 1о » W, что соответствует очень малому изменению'
Nag(x) в пределах базовой области, выражение (3.5.13) упро-
щается и принимает вид 0г = 2(£Пб/№)2, чего и следовало ожи-
дать. Однако при 1б С W выражение (3.5.13) преобразуется
в следующее:
₽т = L26/(k6W)» 2 (Ln6/W)2, (3.5.14)
наглядно отражая увеличение коэффициента переноса базы. На-
пример, при ширине базы W = 0,2 мкм и 1б = 0,05 мкм коэффи-
циент усиления по току в схеме с общим эмиттером, ограничен-
ный рекомбинацией, возрастает в два раза.
3.6. Выходные характеристики
биполярного транзистора и эффект Эрли
Соотношение между токами коллектора, эмиттера и базы
биполярного транзистора, работающего в прямом активном ре-
жиме (когда Рэ-б < 0 и Йк-б > 0 в п—р—п-транзисторе), вы-
глядит следующим образом:
/э»/к, (3.6.1)
/б = /э - /к « /э (3.6.2)
(см. разд. 3.1). Это наглядно демонстрирует рис. 3.6.1, где по-
казаны вольт-амперные характеристики (ВАХ) п—р—«-бипо-
лярного транзистора в схемах с общей базой и общим эмит-
тером.
Когда эмиттер не подключен (/э = 0), некоторый ток кол-
лектора (равный, конечно, току базы в данном случае) все-таки
протекает через переход коллектор — база. Эта составляющая
коллекторного тока представляет собой ток насыщения коллек-
тора в схеме с общей базой /КОб. Следовательно, в прямом
активном режиме ток коллектора связан с током эмиттера сле-
дующим соотношением:
/к = /коб + а/,. (3.6.3)
Ток коллектора, который протекает в цепи коллектор—эмит-
тер при не подключенной базе, называется током насыщения
коллектора в схеме с общим эмиттером /коэ:
/к==4оэ + ₽/б (3.6.4>
Биполярные транзисторы
269
(/Коэ и /коб иногда называют токами утечки коллектор — эмит-
тер и коллектор — база). Подставив значение тока базы /б из
выражения (3.6.2), получим
= + ‘ (3.6.5)
Рис. 3.6.1. Вольт-амперные характеристики кремниевого биполярного транзи-
стора типа п—р—п в схемах с общей базой (а) и общим эмиттером (б).
Следовательно, сравнивая выражения (3.6.3) и (3.6.5), прихо-
дим к соотношениям
/ко. = (1 +Р)/коб, (3.6.6)
или
/КОЭ --- /кОб/( 1 tt).
(3.6.7)
Таким образом, ток утечки коллектор — эмиттер намного
больше, чем ток утечки коллектор — база. Этот результат можно
объяснить следующим образом. Ток утечки коллектор — база
270
Глава 3
протекает во входной цепи биполярного транзистора. Ток утечки
коллектор — эмиттер протекает в выходной цепи биполярного
транзистора (см. рис. 3.1.6,6). Отношение тока в выходной цепи
к току во входной цепи для подключения по схеме с общим
эмиттером равно отношению эмиттерного тока к базовому току;
следовательно, оно должно быть одного порядка с коэффициен-
том усиления тока короткого замыкания в схеме с общим эмит-
тером (3 в соответствии с формулой (3.6.6).
Как следует из рис. 3.6.1, а, /к ~ /э независимо от напряже-
ния коллектор — эмиттер при Ук-б > 0 (для п—р—п-транзис-
тора). Коэффициент усиления по току а в схеме с общей базой
остается очень близким к 1 до тех пор, пока не будет достиг-
нуто напряжение пробоя ВУкоб. При напряжении выше ВУКОб
коэффициент усиления по току в схеме с общей базой стано-
вится равным Л! а, где М — коэффициент лавинного умножения
[см. формулу (3.3.236)]. и действительно может превысить 1.
Пробой может наступать либо вследствие лавинного умножения
в переходе коллектор — база [именно этот процесс описывается
формулой (3.3.23 6)], либо в результате прокола, когда ширина
области обеднения перехода коллектор — база возрастает на-
столько сильно, что смыкается с областью обеднения эмиттер —
база.
На рис. 3.6.1, а отчетливо видно, что с увеличением напря-
жения коллектор — база в прямом активном режиме изменение
а очень мало (практически не заметно на графике). Однако
даже небольшие изменения а приводят к значительному измене-
нию коэффициента усиления по току в схеме с общим эмиттером
р = (3-6.8)
[см. уравнение (3.3.30)]. Например, изменение а с 0,98 до 0,99
приводит к увеличению р от 49 до 99. Следовательно, можно
ожидать значительно больших изменений тока коллектора с рос-
том напряжения коллектор — эмиттер в схеме с общим эмитте-
ром при неизменном токе базы. Действительно, нетрудно заме-
тить увеличение коллекторного тока при изменении напряжения
коллектор — эмиттер в схеме с общим эмиттером для того же
транзистора (рис. 3.6.1,6). При увеличении напряжения коллек-
тор— эмиттер практически все падение напряжения приходится
на обратносмещениый переход коллектор — база (для прямого
активного режима). Основной причиной увеличения коллектор-
ного тока с ростом напряжения коллектор — база (при постоян-
ном токе базы), т. е. увеличения р, является зависимость эф-
фективной ширины базы W от напряжения коллектор — база
эфф === ^обеД э — б ^обеД к — б> (3.6.9)
Биполярные транзисторы
27 Г
где размеры областей обеднения переходов эмиттер — база
Хобедэ-б и коллектор — база Хобедк-б определяются следующими
формулами:
г __Г 2е(1/й1э-б Уб-э) "I1/2
обед э~б ~ L J
__ Г 2е (’4'к-б +
л обед к —б — I ГТо !
L <^Аб J
(3.6.10)
(3.6.11)
Формулы (3.6.10) и (3.6.11) получены из элементарной тео-
рии р—n-перехода и базируются на приближенном описании
области обеднения (см. разд. 2.2 и 2.3).
В прямом активном режиме токи эмиттера и коллектора
экспоненциально зависят от напряжения эмиттер — база Кэ-б-
Следовательно, величина этого напряжения и ширина области
обеднения р—n-перехода эмиттер — база хОбедэ-б меняются
очень мало в широком диапазоне значений токов эмиттера и
коллектора. Основное изменение обусловлено изменением
Хобедк-б [СМ. формулу (3.6.11)].
Коэффициент усиления в схеме с общим эмиттером р при-
ближенно можно оценить по следующей формуле:
₽ = DnND3x 3I(DpNA6W3^) (3.6.12)
(сравните с формулой (3.1.7). Как следует из выражений (3.6.9)
и (3.6.11), Гэфф уменьшается с ростом |/к—б- Это приводит к уве-
личению коэффициента усиления и, следовательно, к конечным
значениям выходной проводимости, определяемым по ВАХ тран-
зистора в схеме с общим эмиттером (см. рис. 3.6.1, б). Этот
эффект называют эффектом Эрли (после публикации работы
Эрли в 1952 г. [10]).
Приведенные выше формулы предполагают однородное ле-
гирование базовой области. В действительности же, как мы рас-
сматривали в разд. 3.4, в базе преднамеренно создается гра-
диент легирующей примеси, что позволяет улучшить коэффи-
циент переноса базы ат. Поэтому зависимость 1Уэфф от Ук-б или
Ук-э может резко отличаться от описываемой выражениями
(3.6.9) — (3.6.11). Опытным путем было установлено, что линей-
ная интерполяция зависимости коллекторного тока от напря-
жения эмиттер — коллектор в схеме с общим эмиттером в боль-
шинстве случаев адекватна выражению
/к = (/к-об + Р^б) (1 +Ук-э/Кэ), (3.6.13)
где Уэ —напряжение Эрли. Положительный знак Ук-э в выра-
жении (3.6.13) соответствует обратному смещению п—р—п-тран-
зистора, т. е. случаю, который мы и рассматриваем здесь.
272
Глава 3
Эмпирическое соотношение
V3=kA^f- (3.6.14)
показывает, что напряжение Эрли пропорционально числу Гум-
меля Q и ширине базы W. В соотношении (3.6.14) кд— посто-
янное число порядка единицы, q — заряд электрона, е — диэлек-
трическая проницаемость. Зависимость напряжения Эрли от
Рис. 3.6.2. Связь между напряже-
нием Эрли и числом Гуммеля при
различной ширине базы. Кривые рас-
считаны для кремниевых транзисто-
ров с помощью программы PLOTF
с подпрограммой PEBV. BAS.
числа Гуммеля для различной ширины базы приведена на
рис. 3.6.2.
3.7. Модель Эберса—Молла
Простейшая эквивалентная схема идеального биполярного
транзистора для больших уровней сигнала состоит из двух дио-
дов и двух источников тока с управлением по току, описываю-
щих взаимодействие между переходами эмиттер — база и кол-
лектор— база. Для представления реального БТ необходимо
включать в схему источники тока, описывающие рекомбинацион-
ный и генерационный токи (рис. 3.7.1). Эта простая модель
транзистора, названная моделью Эберса — Молла [И], описы-
вается следующими уравнениями:
4 = ап [ехр (<77э_б/йТ) — 1] + fli2 [ехр (^Гк-б/^Т') — 1], (3.7.1)
/; = а21[ехр(9Уэ_б/ЙТ)- 1] + а22 [ехр (?VK_6/fer) - !1]. (3.7.2)
Коэффициенты Яц, ai2, агь «22 могут быть описаны через
параметры материала, размеры элементов транзистора и уровни
Биполярные транзисторы
273
легирования с использованием уравнений, приведенных
в разд. 3.3. Для п—р—n-транзистора и заданных на рис. 3.7.1
направлений токов l'9 и /к можно записать
= qS [Drtzi60 cth (В7Эфф/ЬПб)/^пб Н- ОрРэоМэ]
« - qS [ДппЖб^эфф) + £>рп?/(Л/Оэхэ)], (3.7.3)
ai2 = qS {Dnn6o/[Ln6Sinh (П^эфф/^пб)]} » qStiiDnl(Nлб^эфф) = Я21.
(3.7.4)
#22 = --[Оп^бО (И7эфф/ЛПб)/-^пб + ^пРкоМк]
« - qSn] [Оп/(Ул6^,фф) + . (3.7.5)
Рис. 3.7.1. Простая эквивалентная схема биполярного транзистора при боль-
шом уровне сигнала. В схему включены источники тока, учитывающие токи
рекомбинации эмиттер—база и генерации коллектор-—база. Для создания бо-
лее реальных условий работы в схему следовало бы добавить элементы,
предназначенные для учета эффекта Эрли и паразитных сопротивлений и
емкостей.
Эффективную ширину базы 1УЭфф можно получить из выраже-
ния (3.6.9).
Напряжение эмиттер — база может быть выражено через ток
эмиттера транзистора 13 с помощью уравнения (3.7.1):
ехр(дУэ-б//гГ) — 1 — 13/ац — ai2 [ехр(Vk-6/Vt) — 1]/ац. (3.7.6)
Подставив выражение (3.7.6) в уравнение (3.7.2), получим
/к ~ (#12/#н)/э + (#22 — #i2#2i/#n) [ехр (Ук-б/^т) — 1]- (3.7.7)
Это уравнение может быть переписано в виде
/к = - aNI3 - /ко [ехр (Ук-б/Ут) - 1]. (3.7.8)
где
(3.7.9)
18 Заказ № 304
274
Глава 3
— прямой (нормальный) коэффициент усиления пр току в схеме
с общим эмиттером, а
Лео — ^22 "Ь ^12^21/^11 (3.7.10)
— обратный ток насыщения коллектора в схеме с общей базой.
При активном прямом режиме Ук_б отрицательно, | Ук-б |
значительно больше Ут и уравнение (3.7.8) упрощается до вида
(3.3.23), если пренебречь током рекомбинации /реКэ и полагать,,
что /э ж /э (см. рис. 3.7.1), соу л; а и /ко ~ /кос:
/к = /коб “F сь/э. (3.3.23)
Однако уравнение (3.3.23) может учитывать наличие тока
рекомбинации /реКэ (через зависимость а от тока коллектора)
и, следовательно, коэффициенты усиления по току и а,
а также токи насыщения 1ко и /КОб не имеют полной идентич-
ности.
Аналогичным путем из формул (3.7.1) и (3.7.2) можно вы-
вести уравнение, связывающее ток эмиттера в транзисторе с то-
ком коллектора
/э = (^21/^22) /к + (ли — ^21^12/^22) [ехр (Уэ-б/Ут) — 1]* (3-7.11)
Это уравнение может быть переписано следующим образом:
Л = -а//' -/эо [ехр (Уэ-в/^т) — 1], (3.7.12)
где — инверсный коэффициент усиления по току, а /эо — об-
ратный ток насыщения эмиттера. Уравнения (3.7.11) и (3.7.12)
описывают инверсный режим работы транзистора, когда пере-
ход коллектор — база смещен в прямом направлении, а переход
эмиттер — база — в обратном.
Модель Эберса—Молла для транзистора имеет четыре пара-
метра: «ц, ai2, ^21 и а22, или aN, а/, /э0 и /к0- По условию взаим-
ности для идеального прибора с двумя входами должно выпол-
няться равенство
#12 == ^21 (3.7.13)
и, следовательно, требуется знание только трех параметров (на-
пример aN, 1э0 и /ко) для этой модели транзистора. В действи-
тельности же реальные транзисторы не точно удовлетворяют
условию взаимности.
На рис. 3.7.2 показано семейство ВАХ кремниевого биполяр-
ного п—р—n-транзистора, подключенного по схеме с общим
эмиттером, рассчитанных в рамках модели Эберса—Молла.
Эта простая версия модели Эберса—Молла не учитывает за-
висимости коэффициента усиления по току в схеме с общим
эмиттером от уровня инжекции (см. рис. 3.3.2). Следовательно*
Биполярные транзисторы
275
возможность се применения ограничивается только умеренными
значениями токов эмиттера и коллектора.
Усовершенствовать модель можно путем добавления источ-
ников тока, учитывающих токи рекомбинации и генерации в об-
ластях эмиттер — база и кол-
лектор— база (см. рис. 3.7.1).
Выражения, описывающие эти
токи, приведены в разд. 3.3
[см. уравнения (3.3.12) —
(3.3.18)]. Однако даже эта
усовершенствованная модель
не применима в тех случаях,
когда проявляются эффекты
высокого уровня инжекции и
эффекты, связанные с сужени-
ем ширины запрещенной зоны,
оже-рекомбинацией и сжатием
тока эмиттера. Упомянутые
эффекты играют важную роль
в реальных условиях работы
транзистора, и упрощенная мо-
дель Эберса—Молла предска-
зывает слишком высокие зна-
чения коэффициента усиления
по току в схеме с общим эмит-
Напряжение коллектор -5аза$
Рис. 3.7.2. Вольт-амперные характе-
ристики кремниевого биполярного
п—р—n-транзистора в схеме с общим
эмиттером. Кривые рассчитаны для
уровней тока эмиттера 1, 2, 3 и 4 мА
в рамках модели Эберса—Молла
с помощью программы PLOTF с под-
программой PEBML. BAS.
тером. Более точная и реали-
стичная модель, предложенная Гуммелем и Пуном в 1970 г.
[13], описана в следующем разделе.
3.8. Модель Гуммеля—Пуна
Модель Эберса — Молла базируется на предположении о том,
что токи БТ могут быть найдены простой суперпозицией токов
эмиттера и коллектора для прямого и обратного активных ре-
жимов работы. Однако это предположение не справедливо в ус-
ловиях высокой инжекции, когда заряд неосновных носителей
в базе становится сравнимым с уровнем легирования базы. Дру-
гой причиной, почему простой подход в условиях слабой инжек-
ции не является адекватным,— зависимость эффективной ши-
рины базы от уровня инжекции (сужение базы из-за эффекта
Эрли или расширение базы в режиме высокой инжекции — эф-
фект Кирка).
Гуммель и Пун [13] разработали усовершенствованную мо-
дель, которая применима и для режима высокой инжекции. Они
начали с перезаписи уравнений Эберса—Молла в эквивалент-
ном, но более симметричном виде. Следуя их подходу и исполь-
18*
276
Глава 5
зуя уравнения модели Эберса—Молла, приведенные в разд. 3.7Г
можно записать коэффициенты ап, ai2 — a2i и а22 через обрат-
ный ток насыщения эмиттера /эо, нормальный коэффициент уси-
ления по току в схеме с общей базой ay и инверсный коэффи-
циент усиления по току в схеме с общей базой
см. уравнения
носительно ап,
(3.8.1)
a22 = —a12/az, (3.8.2)
—an + «12/^22 = /эо; (3.8.3)
(3.7.9) — (3.7.12). Решая эти три уравнения от-
«12 И «22» ПОЛУЧИМ
ад/эо 12 1 ~aNaI ’ (3.8.4)
a _ (3.8.5)
aN^30 “ (1~“л/а/)а/ (3.8.6)
Теперь введем параметр, называемый током пересечения I,:
aN^30
(*-«№/)
(3.8.7)
Логарифм Ц можно определить по точке пересечения зави-
симости логарифма тока эмиттера от напряжения коллектор—
база при короткозамкнутых базе и эмиттере. Используя вве-
денные обозначения и соотношения между коэффициентами
усиления по току в схемах с общим эмиттером и общей базой
₽^=-Л-’ <3-8-8*
1 a/v
₽/ = -i-V. (3-8.9)
можно переписать уравнения Эберса — Молла (3.7.1) и (3.7.2)
в виде
4 = (1 + !/₽„)/< [exp(qVs-6lkf)- 1] +h [exp(?VK-6/^)- 1],
(3.8.10)
l'K = h [exp(qV3-6/kT) — 1] + (1 + 1/₽;)Л [exp(qVK-6/kT>) — 1].
(3.8.11)
Биполярные транзисторы
277
Согласно Гуммелю и Пуну, теперь можно представить токи
эмиттера и коллектора транзистора следующим образом:
1э = 1сс + 13-б, (3.8.12)
/к = —+ б» (3.8.13)
где
Icc^h[exp(qV9-6/kT)^exp(qVK-6/kT)] (3.8.14)
есть основная составляющая эмиттерного и коллекторного то-
ков,
l3-6 = -ii-[exp(qV3-6/kT)-i] (3.8.15)
Pyv
и
IK-6 = -^-[exp(qVK-6/kT)- 1]. (3.8.16)
Поскольку fjjv существенно больше 1, составляющая тока
/к-б в прямом активном режиме мала по сравнению с /э. Глав-
ная идея, положенная в основу модели Гуммеля—Пуна, — упро-
стить математическую часть задачи, принимая во внимание
эффекты высокого уровня инжекции только для наиболее зна-
чимой составляющей тока /сс. Согласно этой модели, уравнение
(3.8.14) можно заменить следующим:
-^Г“(ехР [<7уэ-б/*П - ехр [qVK-б/ЙГ])|, (3.8.17)
где Qq — общий заряд основных носителей заряда в базе на
единицу площади, a Qr—число Гуммеля [см. формулу
(3.3.32)]. Это уравнение может быть выведено в предположе-
нии постоянства квазиуровня Ферми для электронов в базе и
пренебрежении рекомбинацией в базе (см., например, работу
[33]). Когда уровень инжекции невелик и можно пренебречь
эффектом Эрли, можно записать равенство
Qe = qQr (3.8.18)
и уравнение (3.8.17) становится идентичным уравнению (3.8.14).
В общем случае, однако, заряд дырок в базе Qe зависит от
областей объемного заряда эмиттер—база и коллектор—база,
а также от заряда дырок, инжектированных в базовую область:
Об = qQr + Оэ-б + Ок-б + Одиффэ + Одиффк, (3.8.19)
где Одиффэ и Одифф к — заряды дырок на единицу площади, ин-
жектированных в базу и связанных с диффузионными емко-
стями переходов эмиттер—база и коллектор—база,
Ок — б = 7-^обед к —б^Лб =
= - [2qzNA6NDK(VbiK_6 + Ук-бЖб + Nd*)]'1’ (3.8.20)
•278
Глава 3
— заряд обедненной области в базе на переходе коллектор—
база и
Qb — б ^7^ обед э — б^ Аб —
= - [2qsNA6UD3(ybl3_6 + + ЛТлэ)Г/г (3.8.21)
— заряд обедненной области в базе на переходе эмиттер—база.
В этих выражениях распространение областей обеднения от
переходов коллектор—база и эмиттер—база внутрь базовой
области хОбед к-б и хОбед э-б рассчитывают с использованием
аппроксимации области обеднения:
___ Г 2е(^ы к-б+ ^к-б) "11/2 ~ Г 2еЛ^Ок(1/&1К-б+ ^К-б) Т/г
б-[ <7УЛб(1 + УЛб/^к) J Л J ’
(3.8.22)
_Г 2е(И6гэ_б+1/э-б) 1'Л_Г 2е(1/йгэ-б+И9-б) 1*А
Хобедэ-б-[^б(1+^б/удэ) J J •
(3.8.23)
Здесь Vbi к-б и Уы э-б — встроенные напряжения переходов
коллектор — база и эмиттер — база соответственно. При этом
предполагается, что
Ndk < Млб (3.8.24)
и
Л^э»Л^лб. (3.8.25)
Обычно для прямого активного режима QK-6 <2э-б, так
как напряжение Йк_б отрицательно и |Тк-б| 3> |Тэ-б|. Выра-
жения (3.8.20) — (3.8.23) справедливы при однородном профиле
легирования. Для реальных транзисторов с неоднородным леги-
рованием базы используется эмпирическое линеаризованное вы-
ражение для QK-6 и Q3_q:
Оэ-б + Qk-6 = *7<ЭгИК-э/| Уэ |, (3.8.26)
где Vd—напряжение Эрли. (Для п— р — n-транзистора в пря-
мом активном режиме Тк-э положительно.) Как упоминалось
в разд. 3.6, напряжение Эрли в первом приближении пропорци-
онально числу Гуммеля и ширине базы
\V3\ = kAqQrW/^ (3.8.27)
где kA— численная константа порядка единицы [см. уравнение
(3.6.14) и рис. 3.6.2]. Используя формулы (3.8.26) и (3.8.27), из
уравнения (3.8.17) можно найти:
_ IiqQr[^p(qV3_6/kT)-exp(qVK_6/kT)]
“ <7<2г (* + ^к-э/1 ^эО + ^диффэ + Сдиффк ‘ '
Биполярные транзисторы 279
Эффекты, связанные с высокими уровнями инжекции и обус-
ловленные инжекцией в базу основных носителей заряда (ды-
рок), учитываются зарядами <?дифф э и Фдифф к в выражении
(3.8.19). Изменения значений Фдифф э и <2дифф к описывают за-
висимость параметров транзистора от уровня инжекции. Эти
изменения можно представить в виде
Фдиффэ = BxfIf/S, (3.8.29)
Рлифф к == t-rIr/'S, (3.8.30)
где В — эмпирический коэффициент, равный 1 при относительно
низком уровне инжекции, но значительно превышающий 1 при
высоком уровне инжекции (см., например, [33]). Параметр В
описывает изменения в <?Дифф э, обусловленные эффектом
Кирка, тг и тд — эффективные времена жизни неосновных но-
сителей заряда для прямого и обратного токов соответственно, а
/F = /<<7Qr[exp(^s_6/feT)- 1]/Q6( (3.8.31)
lR = hqQr [exp(qVK-6/kT) - 1 ]/Q6. (3.8.32)
Подставив формулы (3.8.31) и (3.8.32) в уравнение (3.8.19),
получим квадратное уравнение для Qe, которое приводит к сле-
дующему выражению для Qa'-
п ^Ог + Сэ-б + Рк-б । / (^г + Фэ-б + ^к-б)2 ,
<Эб =---------2--------+1-----------4----------+
+ qliQrBxp [ехр(qV3-6/kT) — 1 ]/S +
+ qIiQr4[w?(qVK-6/kT)- l]/s}'/!. (3.8.33)
Теперь базовый ток можно представить в виде
/б = S + ir + lF/^ + [R/^, (3.8.34)
где
/г ==/рекб /рекэ Ч"/рекк> (3.8.35)
при ЭТОМ
/рек б = Л [ехр (qV3-6/kT) - 1 ] (3.8.36)
— рекомбинационный ток в области базы (вне области объем-
ного заряда) [см. уравнение (3.3.10)],
/рекэ = /г [ехр (^Кэ-бМрекэ kT) — 1 ] (3.8.37)
— рекомбинационный ток в области объемного заряда перехода
эмиттер—база [см. уравнение (3.3.12)], а
/Рекк = /з [ехр^Кк-б/трекк/гГ) — 1] (3.8.38)
280
Глава 3
— рекомбинационный ток в области объемного заряда перехода
коллектор — база. Коэффициенты идеальности ВАХ /прек э и
/Ирек к обычно лежат в диапазоне 1—2.
Токи эмиттера и коллектора определяются следующими вы-
ражениями:
dip dy,
Л = Icc + ^рекэ + ---1“ Собедэ -------1- Л-б, (3.8.39)
dip . dVv.
/к = [сс /рекк [- С обед К Нк-б, (3.8.40)
где
^*обед э === £^/Хобед э — б (3.8.41)
И
С*обед к “ eS/Хобед к — б (3.8.42)
— емкости обедненных областей переходов эмиттер—база и
коллектор—база соответственно.
Уравнения (3.8.28) и (3.8.31) — (3.8.42) составляют набор
уравнений для модели Гуммеля—Пуна. Некоторые важные
эффекты, такие, как эффект Эрли, или эффекты высокого
уровня инжекции, эффект Кирка, непосредственно включены
в эту модель. Другие эффекты, например оже-рекомбинация и
сужение ширины запрещенной зоны (см. разд. 3.3), могут быть
учтены в неявном виде при соответствующем выборе таких
параметров модели, как Л, трек э, трек к, Л, Л и /3. Кроме того,
для более реального моделирования биполярных транзисторов
необходимо было бы включить в модель паразитные последо-
вательные сопротивления эмиттера и коллектора, а также рас-
пределенное сопротивление базы (см. разд. 3.4). Чтобы учесть
последовательные сопротивления эмиттера гэ поел и коллектора
и гк поел, заменим «внешние» напряжения эмиттер—база и кол-
лектор—база Гэ-б и 14-6 на «внутренние» Уэ-б и 14-6 для
подстановки в модель Гуммеля—Пуна
14 —б —Гэ —б — ] 4 | Гэпоел, (3.8.43)
I Гк - б I :== I Гк — б | | /к I Г к поел*
Распределенное сопротивление базы учесть более сложно,
поскольку это приводит к неоднородному распределению плот-
ности эмиттерного и коллекторного токов и к эффекту сжатия
эмиттерного тока (см. разд. 3.4). Однако в рамках модели
Гуммеля—Пуна падение коэффициента усиления по току
в схеме с общим эмиттером 0, обусловленное сжатием эмиттер-
ного тока при высоких значениях тока эмиттера, может быть
Биполярные транзисторы
281
воспроизведено в определенных пределах путем выбора соответ-
ствующего эффективного значения х?.
Некоторые другие параметры модели Гуммеля — Пуна можно
оценить следующим образом. Величина тока пересечения может
быть получена из уравнений (3.8.7) и (3.7.4). Ток насыщения
Рис. 3.8.1. Зависимость коэффи-
циента усиления по току в схеме
с общим эмиттером 0 от тока
коллектора для кремниевого би-
полярного п—р—п-транзистора,
рассчитанная по модели Гумме-
ля—Пуна. Транзистор работает
в активном режиме (VK_3~4 В,
Уэ~б>0). Спад кривой при более
высоких значениях тока коллек-
тора происходит при т> = 10~8 с,
при меньших значениях тока кол-
лектора— при Тк—Ю”7 с. Кри-
вые рассчитаны с помощью про-
граммы PLOTF и подпрограммы
PGPOON. BAS.
/1 имеет тот же порядок, что и Ток насыщения /2 можно
оценить, используя уравнение (3.3.13):
h = (л/2)'/г (kTjEnp) n.iS/rpeK,
(3.8.44).
где Епр — напряженность электрического поля в той точке об-
ласти объемного заряда перехода эмиттер—база, где п = р,
а Трек — эффективное время рекомбинации в области обеднения
перехода эмиттер—база. Можно сделать предварительную
оценку напряженности электрического поля Епр'
Enp={qNA6(2Vbip-V3^l^!\
(3.8.45)
где
Vbip^kTIq^NMlni)
(3.8.46)
— встроенное напряжение перехода эмиттер—база, а хОбед э-б —
ширина обедненной области перехода эмиттер — база внутри
базовой области (см. разд. 3.3).
На рис. 3.8.1 показаны зависимости коэффициента усиления
по току в схеме с общим эмиттером 0 от тока коллектора би-
полярного п — р — n-транзистора, рассчитанные с помощью мо-
дели Гуммеля—Пуна. Модель предсказывает увеличение коэф-
282
Глава 3
фициента усиления по току в схеме с общим эмиттером при
малых токах коллектора и резкое снижение р при высоких зна-
чениях токов (сравните с рис. 3.3.2). На практике модель Гум-
меля—Пуна может воспроизвести измеренные характеристики
приборов с достаточно высокой точностью, но платой за такую
точность является включение в модель и подбор большого
количества элементов эквивалентной схемы и параметров. Один
из вариантов этой модели был введен в известную программу
моделирования схем SPICE, разработанную в Калифорнийском
университете в г. Беркли.
3.9. Пробой в биполярных транзисторах
Существуют два наиболее важных механизма пробоя в би-
полярных транзисторах: лавинный (зенеровский) пробой пере-
хода коллектор—база и прокол базы. Прокол базы происходит
тогда, когда обратное напряжение на переходе коллектор—база
становится настолько большим, что область обеднения этого
перехода достигает края области обеднения перехода эмиттер—
база. Механизм лавинного пробоя в биполярных транзисторах
аналогичен механизму пробоя в р — n-диодах (см. разд. 2.8).
Однако критическое напряжение лавинного пробоя в биполяр-
ных транзисторах зависит от конфигурации схемы включения
транзистора ( т. е. от того, работает ли транзистор в схеме с об-
щим эмиттером или в схеме с общей базой) и от внешних цепей
(например, от внешних сопротивлений, подсоединенных к вы-
водам транзистора).
Когда напряжение на переходе коллектор—база достигнет
некоторой критической величины, происходит лавинный пробой
на этом переходе, приводящий к увеличению тока коллектора.
Можно произвести предварительную оценку напряжения про-
боя, ВУк-б, если предположить, что лавинный пробой наступает
в тот момент, когда максимальная напряженность электриче-
ского поля на границе между коллектором и базой превысит
значение напряженности поля пробоя ЕПр (3-107 В/м для крем-
ниевого и ~4-107 В/м для арсенидгаллиевого транзисторов)
BVK_6«^L(l/^6+ -2^г- (3-9.1)
Возрастание тока при напряжениях, превышающих Кк-б
(рис. 3.9.1), учитывается коэффициентом лавинного умножения
М в выражении для тока (3.3.236). Этот коэффициент равен 1
при нормальных условиях работы и превышает единицу при
наступлении лавинного пробоя. Когда эмиттер не подключен,
коэффициент лавинного умножения для лавинного пробоя пере-
Биполярные транзисторы
28$
хода коллектор—база Л4к_б можно аппроксимировать следую-
щим эмпирическим выражением:
где 7к-б — напряжение коллектор—база. Константа т6 зави-
сит от профиля легирования коллекторной области и темпера-
Рис. 3.9.1. Зависимость коэффициен-
тов лавинного умножения AfK-a и
Л1к-б в схемах в общим эмиттером
и общей базой от обратного напря-
жения. Кривые рассчитаны с помо-
щью программы PLOTF. BAS.
туры. Обычно те для кремниевых транзисторов лежит в диа-
пазоне 2—5.
Напряжение пробоя коллектор—эмиттер при подключении
транзистора в конфигурации с отключенной базой Ук-э
(рис. 3.9.1) можно связать с напряжением пробоя коллектор —
база ВУк-б- Рассмотрим эту связь.
Когда база не подключена, имеем
/э = /к. (3.9.3)
В условиях лавинного умножения ток коллектора равен
/к = Мк_б(/коб + а/э) (3.9.4)
[см. уравнение (3.3.236) ], где
а — уаТ (3.9.5)
— коэффициент усиления по току в схеме с общей базой [см.
уравнение (3.3.20)]. Подставляя /э = /к в выражение (3.9.4),
найдем, что
. '»=т^яй-=м-л- <м-6>
где
Мк_э = (3.9.6а}
к э 1 — аМк_б v
•284
Глава 3
— коэффициент лавинного умножения для конфигурации с об-
щим эмиттером. Из выражения (3.9.6) следует условие пробоя
в конфигурации с общим эмиттером:
аМк_б=1. (3.9.7)
Обычно при достижении пробоя обратное напряжение кол-
лектор—база значительно больше прямого смещения через пе-
реход эмиттер — база. Следовательно, при пробое Ук-э ~ Ук-б.
Заменив Ук-б в выражении (3.9.2) на В Ук_э и подставив резуль-
тирующее выражение в (3.9.7), получим
/ ВУк-э ¥”6
\ ВИк-б )
следовательно,
ВУк_э = В7к_б(1 -а)'7'"6.
(3.9.8)
(3.9.9)
Поскольку а очень близко к единице и (1—а) 1, Ж-э
существенно меньше ВУк-б. Меньшее значение ВУК-Э обуслов-
лено усилением лавинного тока базы в схеме подключения
с общим эмиттером.
При нормальных условиях работы (когда Ук-э < ВУК-Э)
имеем
/к = /Коб + Ж. (3.9.10)
Когда ток базы равен нулю, то
/э==/коэ (3.9.11)
[см. формулу (3.6.4)] и Заменив /э — /коэ И /к —
= /коэ в выражении (3.9.10), получим
/коэ = /Коб/(1-а); (3.9.12)
сравните с выражением (3.6.7). Следовательно, при включении
транзистора по схеме с общим эмиттером и не подключенной
базе ток существенно больше, чем при включении по схеме
с общей базой и не подключенном эмиттере. Это также обус-
ловлено большим коэффициентом усиления по току в схеме
с общим эмиттером. На рис. 3.9.2 проведено сравнение зависи-
мостей тока коллектора от обратного смещения на коллекторе
для случаев подключения транзистора по схеме с общим эмит-
тером и общей базой.
Обсудим теперь влияние тока базы Ц на ВАХ транзистора
в схеме с общим эмиттером. В этом случае имеем
/э = /к+/б. (3.9.13)
Биполярные транзисторы
285
Подставив выражение (3.9.13) в уравнение (3.9.4), получим
Мк-б (/коб ~Н ст/б) (3 9 14)
1 — аМк-б ' \ /
/к =
Рис. 3.9.2. Зависимости тока коллек-
тора от напряжения обратного сме-
щения на коллекторе. Кривая 1 соот-
ветствует случаю не подключенной
базы (напряжение приложено между
коллектором и эмиттером), а кри-
вая 2 —случаю не подключенного
эмиттера (напряжение приложено
между коллектором и базой). Ток
насыщения коллектора для кривой 1
(/ коэ в 1/(1 —а) раз выше (т. е.
приблизительно на два порядка ве-
личины), чем ток насыщения коллек-
тора для кривой 2 (Лоб). Кривые
рассчитаны с помощью программы
PBJTBR. BAS.
Рис. 3.9.3. Зависимости тока коллек-
тора от напряжения обратного сме-
щения на коллекторе при разных по-
ложительных токах базы. Кривые
рассчитаны с помощью программы
PLOTF. BAS с подпрограммой
PBJTBR. BAS, числа около кривых
выражают значение тока базы.
На рис. 3.9.3 отражены зависимости тока коллектора от
обратного смещения на коллекторе при разных положительных
значениях тока базы. Как следует из этих зависимостей, на-
пряжение пробоя при подключении транзистора по схеме с об-
щим эмиттером практически не зависит от тока базы. Более
интересная ситуация наблюдается при отрицательных токах
базы, когда ток эмиттера меньше тока коллектора. Такая си-
туация имеет место, например, в тех случаях, когда эмиттер-
ный и базовый выводы транзистора соединены через внешнее
сопротивление 7?б (рис. 3.9.4). В предельном случае это сво-
дится к схеме с общим эмиттером при отсоединенной базе
286
Глава 3
(/?б->оо). В такой ситуации напряжение пробоя равно напря-
жению пробоя для схемы с общим эмиттером ВУК_Э. Однако,
когда равно нулю, ситуация аналогична подключению тран-
зистора по схеме с общей базой при отключенном эмиттере. При.
Рис. 3.9.4. а — зависимости тока коллектора от напряжения обратного сме-
щения коллектор—база (контакты к эмиттеру и базе шунтированы внешним
резистором /?с). При очень низких токах эмиттера и коллектора напряжение
пробоя может достигать напряжения пробоя для транзистора в схеме с об-
щей базой В7к-б. При больших токах коллектора и эмиттера напряжение
пробоя достигает напряжения пробоя для транзистора в схеме с общим кол-
лектором BVk-э, что проявляется в виде отрицательного дифференциального
сопротивления; б — конфигурация схемы с резистором Re в цепи эмиттер—
база.
конечных значениях напряжение пробоя зависит от тока
коллектора. Когда токи коллектора и эмиттера намного превы-
шают ток базы, ситуация становится аналогичной случаю с от-
ключенной базой, поскольку ток базы не оказывает существен-
ного влияния. При очень малых токах эмиттера и коллектора
напряжение пробоя может достигать величины, характерной
для пробоя в схеме с общей базой ВКк-б. В результате на ВАХ
можно наблюдать явление отрицательного дифференциального
сопротивления, как это схематически показано на рис. 3.9.4.
Теперь рассмотрим явление прокола. Этот вид пробоя наб-
людается в тех случаях, когда обратное напряжение коллек-
тор—база настолько велико, что область обеднения коллектор—
база смыкается с областью обеднения эмиттер — база и эффек-
тивная ширина базы И7Эфф, определяемая по уравнению (3.6.9),
становится равной нулю. Полагая, что большая часть падения
напряжения при проколе приходится на переход коллектор—
база, и используя аппроксимацию области обеднения при одно-
Биполярные транзисторы
287
родном профиле легирования базовой и коллекторной областей,
получим следующее выражение для напряжения прокола:
Vпрок (1 + Nao/Ndk) qNA6W2/(2e) qN2A6W2/(2eNDk). (3.9.15)
Зависимости напряжения прокола от уровня легирования
базы при двух различных уровнях легирования коллектора
представлены на рис. 3.9.5. От-
ношение напряжения лавин-
ного пробоя ВУк-б [см. уравне-
ние (3.9.1)] к напряжению про-
кола VnpoK можно записать
следующим образом:
f2E2
ВУк_б/Упрок^-^ ,
Q Qr
(3.9.16)
где Qr= NaqW — число Гум-
меля. Для кремния Едр^ЗХ
X Ю7 В/м, е л; 1,05-10-10 Ф/м и
уравнение (3.9.16) примет
вид
[9 . 1П12 П2
Qv (см-2) ] '
(3.9.17)
Если предполагать, что
уровень легирования базы
Nag == Ю17 см“3, при толщине
базы > 0,2 мкм Упрок больше
£Гк-б и, следовательно, в тран-
зисторе будет доминировать
Рис. 3.9.5. Зависимость напряжения
прокола от концентрации легирующей
примеси в области базы при разной
концентрации примеси в коллекторе.
Кривые рассчитаны с помощью про-
граммы PLOTF. BAS с подпрограм-
мой PBJTBR. BAS. Числа над кри-
выми обозначают концентрацию при-
меси в коллекторной области.
лавинный пробой. При более
тонкой базе прокол будет происходить при напряжениях ниже
ВУк-б.
В соответствии с полученными выше результатами напря-
жения лавинного пробоя и прокола возрастают при снижении
уровня легирования коллекторной области. Однако в реальных
мощных транзисторах существует другой важный эффект, на-
зываемый вторичным пробоем. Этот эффект (рис. 3.9.6) впервые
был описан Тортоном и Симмонсом [35]. Указанный эффект
наблюдается при относительно больших токах коллектора, а его
причиной является тепловая нестабильность. Действительно,
собственная концентрация носителей в кремнии экспоненци-
ально увеличивается с ростом температуры. Если коллекторный
ток остается неизменным, увеличение температуры приводит
288
Глава 3
к снижению напряжения эмиттер—база в типичных кремние-
вых транзисторах с отрицательным температурным коэффици-
Рис. 3.9.6. Зависимости тока коллектора от обратного напряжения на пере-
ходе коллектор—база, иллюстрирующие вторичный пробой. Вторичный про-
бой проявляется в меньших напряжениях коллектор—база при больших то-
ках коллектора.
I,
Ограничение макси-
мального тока
0$Р
Область
Тангенс угла
наклона-!
Предел максимальной
мощности, обусловлен-
ный тепловым рас-
лЧ сеянием
Ограничение
напряжением
пробоя
насыщения
Рис. 3.9.7. Область безопасной работы (ОБР) в плоскости с координатами
log СМ—log(VK_э). Область безопасной работы ограничена линиями, соот-
ветствующими различным видам отказа.
ентом ~2 мВ/°С. Если же поддерживать неизменным напряже-
ние эмиттер — база, то коллекторный ток будет возрастать с тем-
пературой, так как он пропорционален nt-. Локальное увеличе-
ние плотности коллекторного тока приводит к увеличению
Биполярные транзисторы
289
температуры за счет джоулева тепла. Это в свою очередь еще
больше повышает плотность коллекторного тока до тех пор,
пока быстрое увеличение тока не вызывает разрушение при-
бора. Чаще всего короткое замыкание эмиттера и коллектора
вызывается локальным расплавлением системы А1—Si вблизи
контакта при температуре ~577 °C [38]. Чтобы обеспечить
безопасный режим работы транзистора, ток коллектора и на-
пряжение коллектор—эмиттер должны оставаться в пределах
области безопасной работы (ОБР) на плоскости /к—Ук_э. Эта
область ограничена линиями, соответствующими различным
видам отказа (рис. 3.9.7). Область безопасной работы — важ-
ная характеристика мощного биполярного транзистора.
ЗЛО. Рабочая точка в эквивалентных схемах
при малом уровне сигнала
Как обсуждалось в разд. 3.1, биполярный транзистор мо-
жет работать при трех различных способах подключения: с об-
щим эмиттером, общей ба-
зой и общим коллектором
(см. рис. 3.1.6). Входные и
выходные характеристики
транзистора для каждого
способа подключения не-
одинаковы. Например, на
рис. 3.6.1, а и б показаны
выходные ВАХ кремниевого
и — р — п БТ в схемах с об-
щей базой и общим эмитте-
ром. Такие характеристики
представляют собой графи-
ки зависимости выходного
Рис. 3.10.1. Транзистор, соединенный
с источником питания через резистор.
Напряжение смещения £к делится на
падение напряжения на транзисторе
Ук__э и падение напряжения на резисто-
ре Ik-Rk-
тока от напряжения при
различных значениях вход-
ного тока. Обычно эти ха-
рактеристики изготовители
транзисторов указывают в
спецификации. Входные ха-
рактеристики для схемы под-
ключения с общим эмиттером, например, представляют собой
зависимости тока эмиттера от напряжения эмиттер—база при
различных значениях напряжений коллектор—база. В обычной
схеме транзистор соединяется с источником питания через ре-
зистор, как показано на рис. 3.10.1, и напряжение смещения
£к распределяется на падение напряжения на самом транзи-
J9 Заказ № 304
290
Глава 3
сторе Vk-э для схемы с общим эмиттером и на падение напря-
жения на резисторе
EK = VK_3 + JKRK. (3.10.1)
Графически это соотношение может быть представлено с по-
мощью линии нагрузки (рис. 3.10.2). Пересечение линии на-
Напряжение ко л ле к тор - эм и ттер
Л-l/ = LR„
Рис. 3.10.2. Линия нагрузки и выходные ВАХ транзистора, подключенного
по схеме с общим эмиттером. Пересечение линии нагрузки с кривой выход-
ной ВАХ для определенного тока базы (/б = /бз на рисунке) определяет
рабочую точку.
грузки с выходной вольт-амперной кривой при определенном
токе базы определяет рабочую точку, называемую также ста-
тической рабочей точкой, при которой токи транзистора и ре-
зистора равны. В этой точке координата напряжения на
рис. 3.10.2 равна Ук_э, а координата тока /к. Разность между
£к и Ук-Э равна /к/?к.
Одним из наиболее важных режимов работы транзистора
является режим с малым уровнем сигнала (или линейный ре-
жим), когда переменный входной сигнал относительно невелик,
так что входной и выходной токи, а также выходное напряже-
ние изменяются вблизи рабочей точки (рис. 3.10.3). В этом
случае отклик транзистора на переменный сигнал можно смо-
делировать с помощью линейной четырехполюсной схемы, по-
добной тем, что приведены на рис. 3.10.4. Транзистор может
быть представлен несколькими эквивалентными схемами в за-
висимости от выбора зависимых и независимых переменных
тока и напряжения. Обозначим входные переменные тока и
напряжения й и см, выходные переменные тока и напряжения
i2 и и2, входные общие ток и напряжение Ц и Vi, а выходные
общие ток и напряжение /2 и У2. Четыре наиболее часто ис-
Биполярные транзисторы
291
пользуемых набора зависимых и независимых переменных
приведены в табл. 3.10.1. Все эти наборы в некотором смысле
Изменение тока
напряжения во времени
Рис. 3.10.3. Режим работы транзистора при малом уровне сигнала — линей-
ный режим. (Масштабы токов базы и коллектора сильно отличаются.)
эквивалентны и элементы матриц размером два на два, состоя-
щих из z-, Л- и ^-параметров и введенных в этой таблице»
могут быть выражены друг через друга. Наиболее часто для
описания характеристик транзисторов используются Л-пара-
метры. Система уравнений для описания взаимосвязи между
Таблица 3.10.1. Четыре наиболее часто используемых набора независимых
и зависимых переменных и соответствующие параметры модели
для малого уровня сигнала в линейной четырехполюсной схеме
Независимые переменные Зависимые переменные Параметры модели для малого уровня сигнала Примечания
Л* th, ^2 2-параметры см. рис. 3.10.4, а
th, v2 А, *2 у-параметры см. рис. 3.10.4, б
Л, V2 th, *2 Л-параметры см. рис. 3.10.4, в
th, h 6, t>2 ^-параметры см. рис. 3.10.4, г
19*
292
Глава 3
а
&
в
г
Биполярные транзисторы
293
зависимыми и независимыми переменными для Л-параметров
выглядит следующим образом:
vx = hxxlx + hx2v2, (3.10.2)
^2 ^21^1 *4“ ^22^2* (3. 10.3)
Аналогичные уравнения можно записать для г-, у- и g-na-
раметров, заменяя ui и i2 в уравнениях (3.10.2) и (3.10.3) на
соответствующие зависимые переменные из табл. 3.10.1, a ii
и v2 в тех же уравнениях — на независимые переменные из той
же таблицы.
Все эти параметры для малого уровня сигнала можно опре-
делить путем проведения различных измерений с короткозамк-
нутыми или разомкнутыми входными или выходными клем-
мами, например,
у i/Ч к2=о,
/112=^1^2 1^ = 0,
Л21 — 12/1х |и2=о,
h22 = i2/v2 |ц=о*
(3.10.4)
(3.10.5)
(3.10.6)
(3.10.7)
Эквивалентную схему с Л-параметрами чаще всего исполь-
зуют для биполярных транзисторов на относительно низких
частотах (^100 МГц). Параметр Ли называют входным пол-
ным сопротивлением в режиме короткого замыкания (Л/), hi2—
коэффициентом обратной связи по напряжению в режиме хо-
лостого хода на входе (Лг), ft2i— коэффициентом прямой пере-
дачи тока в режиме короткого замыкания на выходе (Л/) и
h22 — выходной полной проводимостью в режиме холостого
хода па входе (Ло). Второй индекс используется для обозначе-
ния способа подключения транзистора. Так, Л-параметры для
схемы подключения с общим эмиттером обозначаются как
Л/э, Лгэ, ЛОэ и hf3. Эквивалентная схема для Л-параметров при
подключении транзистора по схеме с общим эмиттером пока-
зана на рис. 3.10.5. Из двенадцати Л-параметров для всех трех
схем подключения транзистора предприятия—изготовители
транзисторов на спецификациях обычно указывают только че-
тыре параметра: Л,э, Лгэ, ЛОэ и hf3. Примерные соотношения,
Рис. 3.10.4. Схематическое представление линейного четырехполюсника раз-
личными эквивалентными схемами. Выбор эквивалентной схемы определяется
выбором зависимых и независимых переменных токов и напряжений. Вход-
ной переменный ток и входное переменное напряжение обозначены соответ-
ственно г’1 и ui, а выходной переменный ток и выходное переменное напря-
жение как i2 и v2. а — z-параметры, б — ^-параметры, в — Л-параметры,
г — ^-параметры.
294
Глава 3
приведенные в табл. 3.10.2, позволяют выразить все остальные
й-параметры через й/э, йгэ, йоэ и й^э. й-параметры и другие ха-
рактеристики для кремниевого п — р — n-транзистора общего
назначения (2N2219A фирмы Motorola приведены в Приложе-
нии 25).
Параметры эквивалентных схем для малого уровня сигнала
изменяются с температурой, частотой и положением рабочей
Рис. 3.10.5. Эквивалентная схема для
зистора по схеме с общим эмиттером.
>.
й-параметров при подключении тран-
точки. На рис. 3.10.6 отражено изменение й-параметров в за-
висимости от тока коллектора кремниевого п — р — п-транзи-
стора общего назначения 2N2219A [30а]. Как следует из ри-
сунка, й-параметры могут сильно изменяться для разных тран-
зисторов одного и того же типа (сравните кривые 1 и 2 на
рис. 3.10.6).
Некоторые й-параметры могут быть непосредственно свя-
заны с параметрами прибора. Например, на низких частотах
й/э = р, а й/б = —а. Для других й-параметров такой прямой
взаимосвязи не существует. Для схемы подключения с общим
эмиттером часто используется гибридная эквивалентная л-
схема (рис. 3.10.7). Параметры этой схемы гораздо легче могут
быть соотнесены с параметрами прибора.
Таблица 3.10.2. Примерные соотношения, выражающие различные
й-параметры через hi^ hr^ hQ3 и hj3
й-параметры в схеме
с общим эмиттером
й-параметры в схеме
с общей базой
й-параметры в схеме
с общим коллектором
h-гз
hf3 = — hfts! (hfe + О
йоэ
Л(б — ЙгЭ/ (hf3 + 1)
Й/-6 — Й/эЙоэ/ (Й/э + 1) — Й/-Э
Й/б = —Й/э/(Й/э + 1)
Йоб = Йоэ/ (Й/э "F 1 )
Й('к — Й(‘э
Й/-к ~ 1
Й/к ~ — Й/э ~ 1
Йок = Йоэ
Биполярные транзисторы
295
Проводимость gm, отмеченная на рис. 3.10.7, может быть
увязана с динамическим (дифференциальным) сопротивлением
гэ прямосмещенпого перехода эмиттер — база:
gm = dIJdV, ~ 6z = ад!3/дУ3_ б, « a/r3 & IK/VT9 (3.10.8)
Рис. 3.10.6. Зависимость A-параметров от тока коллектора для кремниевого
п—р—n-транзистора 2N2219A общего назначения фирмы Motorola: а-—пол-
ное входное сопротивление АгЭ; б — коэффициент обратной связи по напря-
жению hrs} в — коэффициент усиления по току А/э; г — полная выходная
проводимость Аоэ. Кривые, обозначенные символом 1, характеризуют тран-
зисторы с высоким коэффициентом усиления, а обозначенные символом 2,—
транзисторы того же типа, но с малым коэффициентом усиления [30а]. [Ик-Э =
= 10 В (по постоянному току), /=1 кГц, температура окружающей среды
Гд=25 °C.]
где Уч —kT/q — тепловое напряжение, а
гэ«7т//э. (3.10.9)
Сопротивление гэ-б', отмеченное на рис. 3.10.7, а, также
может быть увязано с гэ. Действительно, полагая, что сопро-
тивление гэ-к на рис. 3.10.7 очень велико, получим
iK&gmV3_<y. (3.10.10)
При низких частотах, когда влиянием емкости Ск_б', показан-
ной на рис. 3.10.7, а, можно пренебречь, имеем
Уэ_6, =/бгэ_б,. (3.10.11)
296
Глава 3
Подставив (3.10.11) в уравнение (3.10.10), найдем, что
^*э —б' (^кЛб)Л?/п ~ hfslgm*
(3.10.12)
Емкость эмиттера
сумме диффузионной
Сэ (рис. 3.10.8) можно считать равной
емкости перехода эмиттер—база СДИфф э
а
к
Э
6
Рис. 3.10.7. Гибридные эквивалентные л-схемы: а — полная гибридная экви-
валентная л-схема, б — упрощенная эквивалентная схема.
и емкости обедненной области Собедэ:
Сэ = Сдифф э-|-Собедэ, (3.10.13)
где
Сдифф Э = ^Фб/^^Э-б'- (3.10.14)
Инжектированный в базу заряд неосновных носителей Qo
(для п—р—n-транзистора это электроны) определяется фор-
мулой
Q6 « I3W2/(2Dn). (3.10.15)
Следовательно, из уравнений (3.10.14) и (3.10.8) можно полу-
чить выражение
Сдиффэ«1Г7(2Л„Гэ), (3.10.16)
что приводит к постоянной времени заряда базы
Тб = Сдиффэгэ = 1Г7(2£>„). (3.10.17)
Биполярные транзисторы
297
Рис. 3.10.8. Эквивалентные Т-схемы: а — полная эквивалентная схема при
подключении транзистора по схеме с общей базой; б —упрощенная экви-
валентная схема при подключении транзистора по схеме с общей базой;
в — низкочастотная Т-эквивалентная схема при подключении транзистора по
схеме с общим эмиттером.
298
Глава 3
Здесь Тб — характерное время диффузии неосновных носи-
телей заряда через толщину базы, т. е. эффективное время
пролета. В дрейфовых транзисторах с неоднородным профилем
легирования, снижающимся от перехода эмиттер—база к пере-
ходу коллектор—база, эта постоянная времени пролета может
существенно уменьшиться за счет дрейфа под воздействием
встроенного электрического поля. Существование этого поля
обусловлено неоднородностью профиля легирования (см.
разд. 3.5). В этом случае имеем
тб = Сдиффэгэ = W2/(fDn), (3.10.18)
где f = 2 при однородном профиле и может значительно пре-
вышать 2, если встроенное электрическое поле достаточно ве-
лико. Однако Тб не может быть меньше минимального времени
переноса носителей заряда через базу
Тб min = W/vsn, (3.10.19)
где vsn — эффективная скорость насыщения электронов в обла-
сти базы. При очень короткой базе эта скорость может значи-
тельно превышать скорость насыщения для электронов в при-
борах с широкой базой из-за баллистического эффекта или
эффектов, связанных с всплеском напряжения.
Емкость области обеднения перехода эмиттер—база можно
оценить по формуле
Собедэ « S [ 2 (1/ь/э-б — V3-6) ] (3.10.20)
(см. разд. 2.5), где NA6 — эффективная концентрация легирую-
щей примеси в базе, а Уы э-б — встроенное напряжение пере-
хода эмиттер—база.
Сопротивление гк-б' и емкость Си-б', показанные на
рис. 3.10.7, представляют собой динамическое (дифференциаль-
ное) сопротивление и емкость обратносмещенного перехода кол-
лектор—база. (Емкость перехода коллектор—база Ск_б' в спе-
цификациях предприятий производителей транзисторов обычно
обозначается как С0о; см. Приложение 25.) Сопротивление
гэ-к учитывает эффект Эрли, рассмотренный в разд. 3.6. Со-
противление Гб-б' представляет собой распределенное сопротив-
ление базы (см. разд. 3.4).
Еще одним вариантом эквивалентной схемы, используемой
для анализа транзисторов, является эквивалентная Т-схема.
Эквивалентные Т-схемы для случаев подключения транзистора
с общей базой и общим эмиттером представлены на рис. 3.10.8.
Уравнения, связывающие параметры эквивалентных Т- и л-схем
с /i-параметрами, приведены в Приложении 24.
Биполярные транзисторы
3.11. Биполярный транзистор как усилитель
слабого сигнала. Частота отсечки
В обычной схеме выбор рабочей точки транзистора осуще-
ствляется с помощью резисторов смещения (резисторы и
Рис. 3.11.1. а — типичная схема транзисторного усилителя с включением тран-
зистора по схеме с общим эмиттером. Рабочая точка выбрана с помощью
делителя напряжения на резисторах и R^ Сопротивление R;> стабили-
зирует рабочую точку. Переходные емкости Ci и Сг обеспечивают изоляцию
остальной части схемы, представленной в виде эквивалентной схемы Теве-
нина, от постоянного смещения. Развязывающая емкость С3 шунтирует рези-
стор по переменному току; б — эквивалентная схема для малого уровня
сигнала в среднем диапазоне частот.
/?б2 на рис. 3.11.1). Переходные и развязывающие емкости
(Ci, С2 и С3 на рис. 3.11.1) используются для соединения тран-
зисторного каскада с остальной схемой и разделения постоян-
ного смещения и переменного сигнала. Остальная часть схемы,
подключенной ко входу, может быть представлена на перемен-
ном сигнале эквивалентной схемой Тевенина (последовательное
соединение эквивалентного сопротивления источника Rs и экви-
валентного напряжения источника напряжения как пока-
зано на рис. 3.11.1) или эквивалентной схемой Нортона (па-
300
Глава 3
раллельным соединением эквивалентного источника тока is =
= Vs/Rs и эквивалентной проводимости источника Gs = 1/Rs).
На низких частотах падение напряжения на переходных
емкостях становится значительным и развязывающая емкость
не полностью шунтирует сопротивление R3. На высоких часто-
тах большее значение приобретают внутренние емкости тран-
зистора, что, как будет показано ниже, приводит к искажению
его характеристик. Однако на средних частотах переходные и
развязывающие емкости не имеют существенного значения,
а внутренние емкости не оказывают заметного влияния на ра-
боту транзистора. В этом диапазоне средних частот работу
транзистора на малом сигнале можно проанализировать с по-
мощью одной из эквивалентных схем, обсужденных в разд. 3.10,
с эквивалентным источником напряжения и эквивалентным по-
следовательным сопротивлением, подсоединенным ко входу,
а также эквивалентным сопротивлением нагрузки, подсоединен-
ным к выходу. Теперь мы можем определить коэффициенты
усиления по напряжению, току и мощности, а также полные
входное и выходное сопротивления для различных схем под-
ключения транзистора и выразить эти параметры через А-па-
раметры для вариантов подключения, используя стандартную
теорию схем (табл. 3.11.1). В табл. 3.11.2 приведены Л-пара-
метры транзистора общего назначения 2N2219A фирмы Mo-
torola и значения А/, Z,, Av, Уо, Avs и Ats для схем подключе-
ния с общей базой, общим эмиттером и общим коллектором.
Эта таблица может использоваться для количественного срав-
нения различных схем подключения транзистора.
Как упоминалось выше, при работе транзистора на высоких
частотах необходимо учитывать его внутренние емкости. Исполь-
зуя эквивалентную Т-схему для включения транзистора ПО'
схеме с общей базой, показанную на рис. 3.10.8, а, можно рас-
считать коэффициент усиления по току в схеме с общей базой
eta на частоте о. Переменный ток эмиттера гэ определяется
по формуле
/Э = УЭ_-|- ](дС3Г3)/Гэ = /эо ( 1 + /(дСэГэ), (3.11.1}
где ьо— переменный ток через сопротивление гэ, следова-
тельно, имеем
аш = iK/is = *х/[ *эо (1 + /соСэгэ)] = а/( 1 + jaC3r3); (3.11.2)
здесь а — коэффициент усиления по току в схеме с общей базой
на нулевой частоте. Выражение (3.11.1) может быть переписано
в виде
аш = а/( 1 + /со/©а), (3.11.3)
где
Иа = 2л/а= 1/(С9гэ) (3.11.4)
Биполярные транзисторы
301
Таблица 3.11.1. Коэффициенты усиления по напряжению, току и мощности
и входные и выходные полные сопротивления для разных способов включения
транзистора (vs — переменное напряжение источника, i3 == v8/Rs)
Параметр Обозначение Соотношение с Л-параметра- ми, полным нагрузочным сопротивлением Z^ и по- следовательным сопротивле- нием источника Rs
Полное входное сопро- тивление Z^h.-hjh^h^Y^
Полная выходная про- водимость У о = Y0 = ha-hfhr/(hi + Rs)
Коэффициент усиления по напряжению Av==v2/Vi lJZi
Коэффициент усиления по напряжению A ps v2/vs Aps = ApZi/ (Zi + Rs)
Коэффициент усиления по току Ai — = Z2/Z,
Коэффициент усиления по току Коэффициент усиления по мощности Коэффициент усиления по мощности Ais = — iz/is Ap — Av/Ai Aps = AyS/ Ais Ais “ AiRs/(Zi + Rs)
Таблица 3.11.2, Значения /t-параметров транзистора общего назначения
2N2219A фирмы Motorola и значения А<, Zi, Av, Yo, ABS и A13 для схем
подключения с общей базой (ОБ), общим эмиттером (ОЭ) и общим
коллектором (ОК) [30а].
(Эквивалентное сопротивление источника /?s = 2 кОм, эквивалентное сопро-
тивление нагрузки Rl~2 кОм, 7к =10 мА, Ук-э^=10 В, кГц.)
Параметр ОЭ ОБ OK
Ai, Ом 1250 16,4 1250
hr 4 . IO"4 1,1 • IO’5 1
hf 75 —0,987 —76
ho, мкСм 25 0,329 25
Zi, кОм 1,19 0,0164 146,01
Уо, мкСм 15,77 0,334 24 350
A, - 71,43 0,986 73,28
Aia —44,72 0,977 0,978
Av —119,76 120,13 0,991
Avs —44,72 0,977 0,978
—
302
Глава 3
называется предельной частотой коэффициента передачи тока
в схеме с общей базой. (Иногда f обозначают как /аб.) При
f = fa коэффициент усиления по току в схеме с общей базой
падает до 0,707 (1/V2) его значения на нулевой частоте.
Теперь рассмотрим коэффициент усиления по току в схеме
с общим эмиттером. Упрощенная эквивалентная гибридная
Рис. 3.11.2. Упрощенная гибридная эквивалентная л-схема, используемая
в расчетах коэффициента усиления по току при короткозамкнутом эмиттере
рю. (Сопротивление гк-б' —не учитывается.)
л-схема, используемая в расчете коэффициента усиления по току
при короткозамкнутом эмиттере представлена на рис. 3.11.2
(сравните с рис. 3.10.7,а). Падение напряжения Уэ-б< опре-
деляется по формуле
V, - б' = -----, (3.11.5)
£э — б' + У05 (^э — б' + Ск - б'
следовательно,
Используя уравнение (3.10.12), выражение (3.11.6) можно
переписать в виде
₽.-P/(l+/<o/(Do), (3.11.7)
где
= 2л/з = £э — б7(Сэ — б' 4“ Ск — б') (3.11.8)
называется предельной частотой коэффициента усиления по
току в схеме с общим эмиттером^При f = этот коэффициент
усиления падает до 0,707 (1/V2) его величины на нулевой
•частоте. Выражение (3.11.7) может быть переписано в виде
f 3 = gm/U^hfo (Сэ — б' + Ск-б')] ~ 1 /[2(Сэ — б' + Ск — б') Гэ]’
(3.11.9)
Биполярные транзисторы
303
В большинстве случаев Сэ-б'^> Ск-б' и, следовательно,
(3.11.10)
Введем также понятие частоты отсечки fTi которая опреде-
ляется как частота, при которой коэффициент усиления коротко-
замкнутого тока в схеме с общим эмиттером падает до единицы:
fт « f ;ЛЭ gm/[2n (Сэ _б, + Ск _ б,)]. (3.11.11)
Рис. 3.11.3. Зависимость fT от тока
коллектора высокочастотного кремни-
евого п—р—n-транзистора 2N6603
фирмы Motorola [30а].
Во многих случаях эта частота оценивается из измерений
коэффициента усиления по току на частотах, существенно пре-
вышающих fp, но значительно более низких, чем fT. На таких
частотах
(3.11.12)
и, следовательно,
= (3.11.13)
Здесь hf3 — низкочастотное значение коэффициента усиления
в схеме с общим эмиттером при коротком замыкании 0.
На рис. 3.11.3 проиллюстрирована зависимость (г от тока
коллектора для высокочастотного п—р—м-транзистора [30а].
Более точное выражение для fT можно получить, включив
в выражение (3.11.11) дополнительные временные задержки,
связанные с временем пролета через слой обеднения коллектора
Ткт, временем зарядки коллектора тк и паразитной емкостью Сп.
Время пролета через коллектор можно оценить как
ТКГ = Хобед к/(^$/г)» (3.11.14)
где Хобед к — ширина области обеднения коллектор—база, а
vsn — скорость насыщения электронов (мы рассматриваем
здесь п—р—л-транзисторы).
304
Глава 3
Время зарядки коллектора определяется выражением
Тк = ГПосл кСк — б'» (3.11.15)
где гпоел к последовательное сопротивление коллектора,
а Ск-б' — емкость коллектора.
Выражение для частоты отсечки fT теперь может быть пере-
писано в виде
fT « 1/(2лтэфф), (3.11.16)
где эффективное время задержки равно
тЭфф = тэ + тк + ткГ (3.11.17)
и
тэ = (Сэ-б' + Ск-б' + Cp)!gm ж (kT/ql3)(C3-^6' 4- Ск —б' + Ср).
(3.11.18)
В большинстве реальных транзисторов тэ дает наибольший
вклад в общее время задержки. Как следует из формулы
(3.11.18), это время можно уменьшить, увеличивая ток коллек-
тора. Однако при очень больших токах коллектора перемеще-
ние эффективной границы база — коллектор внутрь коллектор-
ной области, вызванное эффектом Кирка (см. разд. 3.3), при-
водит к увеличению эффективной ширины базы и возрастанию
диффузионной емкости эмиттера СДИфф э [см. формулы (3.10.16)
и (3.10.17)]. Этим можно объяснить снижение fT при больших
токах коллектора (рис. 3.11.3).
Анализ выражений (3.11.14)—(3.11.18) приводит к заклю-
чению о том, что для повышения предельной частоты необхо-
димы узкие полоски эмиттера (малая площадь), большие эмит-
терные токи, очень тонкие базовые области, высокий уровень
легирования базы и низкие паразитные емкости. При исполь-
зовании очень узких (субмикронных) полосок эмиттера и базы
толщиной менее 0,1 мкм были получены транзисторы с гранич-
ной частотой порядка 15 ГГц [15]. Намного более высокие
граничные частоты достигнуты в гетеропереходных биполярных
транзисторах (до 165 ГГц [7]), где высокий уровень легиро-
вания базы сочетается с высокой эффективностью инжекции
эмиттера (см. разд. 3.14).
3.12. Биполярный транзистор
в качестве переключателя
Биполярный транзистор может функционировать как пере-
ключатель из высоковольтного состояния с низким уровнем
тока в низковольтное состояние с высоким уровнем тока. Этот
Биполярные транзисторы
305
режим работы показан на рис. 3.12.1. При возрастании тока
базы рабочая точка сдвигается от высоковольтного состояния
Рис. 3.12.1. Переключение биполярного транзистора из высоковольтного со-
стояния с низким уровнем тока (Ивыкл) в низковольтное состояние с высо-
ким уровнем тока (УВкл) при увеличении тока базы. Состояние отключения
соответствует режиму отсечки транзистора, а состояние включения — режиму
насыщения.
с низким уровнем тока (УВыкл,
/выкл) в низковольтное состояние
с высоким уровнем тока (УВкл,
/вкл). Выключенное состояние
соответствует режиму отсечки
транзистора, а включенное — ре-
жиму насыщения. На рис. 3.12.2
качественно отражено распре-
деление неосновных носителей
в базе в режимах отсечки, на-
сыщения и активном режиме.
Графики на рисунке представ-
лены не в масштабе, так как
плотность неосновных носите-
лей заряда в режиме отсечки на
много порядков ниже плотно-
сти неосновных носителей в ак-
тивном режиме и режиме насы-
щения.
Типичная схема для измере-
Рис. 3.12.2. Качественное распре-
деление неосновных носителей за-
ряда в базе в режиме отсечки,
активном режиме и режиме на-
сыщения.
ния характеристик переключения
транзистора показана на рис. 3.12.3 [30а]. На этом же рисунке
приведена форма импульса входного напряжения, импульса
тока базы и импульса выходного тока. Здесь же обозначены
характеристические временные постоянные: время задержки
20 Заказ № 304
306
Глава 3-
Td, время нарастания тг, время включения тВКл = + тг, время'
запаздывания т5, время спада т/ и время выключения тВЫкл =
Рис. 3.12.3. Типичная схема для измерения характеристик переключения тран-
зистора [30а] и форма импульса входного напряжения, импульса тока базы
и импульса выходного тока. На рисунке отмечены характеристические по-
стоянные времени (время задержки td, время нарастания тг, время включе-
ния Твкл=Та+Тг, время запаздывания т8, время спада т/ и время выключе-
ния Твыкл = TS + Tf). Для тестовой схемы, представленной на рисунке, V] =
= 1,9 В, Г2==—0,5 В.
= г., + т/. Когда прикладывается импульс входного напряже-
ния Vi, ток базы /б1 определяется как
/«.«(У.-Уэ-бнас)/^, (3.12.1}
где Уэ-б нас — напряжение насыщения эмиттер—база, a Rs —
входное сопротивление источника (рис. 3.12.3). В момент вре-
Биполярные транзисторы
307
мени, когда входной импульс заканчивается и входное напря-
жение падает до отрицательной величины V2, ток базы стано-
вится равным
/б2«(^2“-^э_бнас)/^. (3.12.2)
Он остается таким на протяжении времени запаздывания,
т. с. до тех пор, пока распределение неосновных носителей в об-
ласти базы соответствует режиму насыщения (см. рис. 3.12.2 и
3.12.4). Когда избыточные носители в базе рекомбинируют, рас-
пределение носителей в базе изменится и будет соответствовать
активному режиму работы транзистора (см. область, где т >
> на рис. 3.12.3). Ток коллектора пропорционален наклону
линии распределения неосновных носителей в области базы.
Следовательно, поскольку транзистор переведен в активный ре-
жим работы и наклон линии распределения неосновных носи-
телей в базе начинает снижаться, начинается и падение тока
коллектора. Одновременно снижается напряжение эмиттер—
база, что приводит к увеличению тока базы от отрицательной
величины /б2 до нуля после окончания процесса переключения.
Ток базы определяется выражением
/б = (У2-Уэ_бЖ; (3.12.3)
в конце процесса переключения /б = 0 при У2 = Уэ-б.
Время запаздывания — одна из наиболее важных харак-
теристических временных постоянных, ограничивающих ско-
рость переключения транзистора. Прежде чем оценить это
время, заметим, что транзистор переводится в режим насыще-
ния, когда ток коллектора описывается выражением
/к « (Ек - Уэ-к нас)/Л!£ « EkIRl, (3.12.4)
где Rl — сопротивление нагрузки (см. рис. 3.12.3). Следова-
тельно, транзистор вводится в режим насыщения, когда ток
«базы равен
/6>/б0«ММД (3-12.5)
Поскольку транзистор находится в состоянии насыщения,
ток коллектора определяется выражением (3.12.4) независимо
от того, насколько ток базы превышает свою критическую ве-
личину /ба. На протяжении времени запаздывания ток коллек-
тора остается практически постоянным (и приблизительно рав-
ным Ek/Rl) до тех пор, пока транзистор не подойдет к актив-
ному режиму. Как объяснялось выше, время запаздывания xs
представляет собой время, необходимое для того, чтобы заряд
в базе, характерный для режима насыщения, Qss снизился до
величины Q^a, соответствующей активному нормальному ре-
жиму. Как показано на рис. 3.12.4, наклон линии распределе-
20*
308
Глава $
ния концентрации неосновных носителей в базе в течение этого
времени остается примерно постоянным. Поскольку транзистор
находится в активном режиме, ток коллектора с течением вре-
мени снижается. Разность A/6s между током базы в режиме
насыщения /б$ и током базы в активном режиме /ба, равная
АГбв== ?6s ^ба:==== ^6s Ек/(^э/?а), (3.12.6)
Область базы
Расстояние
Время
Рис. 3.12.4. Изменение во времени профилей неосновных носителей заряда
в базовой области при переключении транзистора в закрытое состояние.
включает в себя избыточный ток рекомбинации, вызванный ре-
комбинацией избыточного заряда AQ6s = Qe$ — Qea (см.
рис. 3.12.4), и ток смещения,
Д/б5 = AQ6s/Tsr + d kQesIdt-, (3.12.7)
здесь т5г — характеристическое время рекомбинации, связанное
со временем жизни неосновных носителей заряда в базе, а
Q6a — (3.12.8)
— заряд в базе, соответствующий включению режима насыще^
ния. Уравнение (3.12.7) называется уравнением управления за-
рядом. Для импульса тока базы, показанного на рис. 3.12.3, при
t — 0 имеем
А/б$ = /б2 - I6s. (3.12.9)
Начальные условия для AQ6s определяются как
Д0бД0) = (/б1-7ба)ьг. (3.12.10)
Биполярные транзисторы
309^
Решение уравнения (3.12.7) с учетом значения Д7бз, опре-
деляемого выражением (3.12.9), и начальных условий, запи-
санных в выражении (3.12.10), дает
AQe$ === (7б1 7бг) T-sr ехр ( t/xsr) “р (/б2 ^ба) ^sr* (3* 12.11}
При t — т5 имеем AQ6s = 0. Из этого условия можно найти, что
= Tsr In [(/б1 — /б2)/(/ба — /б2>]. (3.12.12},
Когда t > т$, уравнение управления зарядом примет вид
/б = Сб/Тп/ + ^бМ7, (3.12.13)
где Qg — заряд неосновных носителей в базе в активном ре-
жиме и тп/ — время жизни неосновных носителей в базовой об-
ласти. (xni может отличаться от т5г, поскольку время жизни
может зависеть от уровня инжекции.) Уравнение (3.12.13)
могло быть решено совместно с уравнением (3.12.3) и уравне-
нием, связывающим Q& с Уэ-б:
Q6 = qSnpoW ехр (qV3_6/kT)/2. (3.12.14}
Такое решение описывает нестационарное поведение транзи-
стора на протяжении времени спада т/. Однако следует под-
черкнуть, что уравнение (3.12.13) не учитывает дырочного тока
эмиттера /рэ, который может играть важную роль и даже быть
основной составляющей тока базы (см. разд. 3.3). Более точ-
ный и реалистичный анализ процесса переключения может быть
сделан численно с помощью модели Гуммеля—Пуна (см.
разд. 3.8). Эта модель встроена в широко распространенную
программу моделирования схем SPICE. Характеристические
времена та, тг, т$ и т^ обычно приводятся изготовителями тран-
зисторов в спецификациях (см., например, Приложение 25).
3.13. Биполярные транзисторы
в интегральных схемах
Биполярные транзисторы обычно используются как эле-
менты интегральных схем разного уровня интеграции: малого
уровня интеграции (МИС), среднего (СИС), большого (БИС)
и сверхбольшого (СБИС). Принцип работы и физика интегри-
рованного биполярного транзистора аналогичны существующим
для дискретного прибора. Однако в интегрированном приборе
все контакты расположены на поверхности полупроводниковой
подложки. Кроме того, возникает необходимость создания изо-
ляции между различными приборами. Для получения несколь-
ких логических входов в интегральных схемах используются
многотранзисторные структуры.
310
Глава 3
Простейшая транзисторная структура в интегральном испол-
нении показана на рис. 3.13.1, а и б. Транзисторы изолированы
областью обеднения между коллектором n-типа и подложкой
.р-типа. Чтобы обеспечить такую изоляцию, подложка должна
•быть подключена к наиболее отрицательному потенциалу
Коллектор знит тер Ьаза,-
Эмиттер
Рис. 3.13.1. Структура простого интегрированного транзистора в отсутствие
(а) и при наличии (Ь) скрытого п+-слоя.
•схемы. Область коллектора полностью окружает базу. Это при-
водит к получению довольно большого значения коэффициента
усиления по току в схеме с общей базой, поскольку обеспечи-
вает сбор большинства электронов, инжектируемых из эмит-
тера.
Одним из недостатков структуры, показанной на
рис. 3.13.1, а, является большое последовательное сопротивле-
ние коллектора, обусловленное сравнительно низким уровнем
легирования коллекторной области. Это сопротивление можно
значительно снизить, используя скрытый коллекторный п+-слой,
как показано на рис. 3.13.1,6. Другое улучшение структур тран-
зисторов достигается диэлектрической изоляцией между раз-
личными приборами. Это приводит к значительному уменьше-
нию паразитных емкостей, связанных с изоляцией транзисторов
обедненными областями р — n-переходов между коллектором и
подложкой, как это происходит в структуре, изображенной на
рис. 3.13.1. Транзисторы п—р—n-типа со скрытым слоем и
Биполярные транзисторы
31Г
диэлектрической изоляцией могут обладать коэффициентами
усиления по току в схеме с общим эмиттером до нескольких
сотен, напряжениями пробоя коллектора до нескольких десят-
ков вольт и предельными частотами до 15 ГГц и выше.
Рис. 3.13.2. а — горизонтальный р—п—р-транзистор; б — биполярный р—п—
—р-транзистор, сформированный непосредственно в подложке.
Технологический процесс производства биполярных п—р—п-
транзисторов в интегральном исполнении позволяет одновре-
менно создавать на той же подложке и р—п—р-транзисторы.
Такой р—п—р-транзистор (называемый горизонтальным
р—п—р-транзистором) показан на рис. 3.13.2, а. В схемах с об-
щим коллектором, когда коллекторный контакт заземлен, вме-
сто горизонтального р—п—р-транзистора иногда используют
биполярный р—п—р-транзистор, сформированный непосред-
ственно в подложке (см. рис. 3.13.2,6). Вследствие малой по-
движности дырок и относительно длинной эффективной базовой
области горизонтальные транзисторы обладают небольшим.
312
Глава 3
коэффициентом усиления по току в схеме с общим эмиттером
(обычно ^50 при низких токах коллектора и существенно
меньшим при токах коллектора несколько миллиампер) и низ-
кой граничной частотой ( — 100 МГц). Однако поскольку суще-
ствует потребность в схемах
с комбинацией п—р—п- и р—
п—р-транзисторов, горизонталь-
ный р—п—р-транзистор до-
статочно широко использу-
ется.
Сравнительно недавно была
разработана новая структура
горизонтального р—п—р-транзи-
стора, в которой используются
боковые контакты [26] (рис.
3.13.3). В ней применяются поли-
кремниевые контакты, располо-
женные на диоксиде кремния,
что существенно уменьшает пара-
зитные емкости. Области кол-
лектора и эмиттера создавались
диффузией бора из поликрем-
ниевых контактов. Ширина диф-
фузионных областей составляла
0,5 мкм, что обеспечивало эф-
Рис. 3.13.3. Структура горизон-
тального р—п—р-транзистора с бо-
ковым расположением контактов
[26].
фективную толщину базы лишь
0,5 мкм при номинальной шири-
не базы на шаблоне 1,5 мкм.
Такой транзистор обладает ко-
эффициентом усиления по току
в схеме с общим эмиттером более 100 и имеет предельную ча-
стоту — 3 ГГц.
Чтобы обеспечить высокое быстродействие биполярного тран-
зистора при переключении, крайне желательно свести к мини-
муму время запаздывания (см. разд. 3.12). Этого можно до-
стичь, подсоединив между базой и коллектором диод с отно-
сительно небольшим напряжением включения. Используемый
.для этих целей в кремниевых биполярных транзисторах диод
Шоттки (рис. 3.13.4) начинает пропускать ток в тот момент,
когда прямое напряжение через диод составляет —0,4 В, тем
самым предотвращая переход транзистора в состояние на-
сыщения. Диод Шоттки может быть изготовлен на основе алю-
миниевого контакта к кремнию n-типа (одновременно А1 об-
разует омический контакт с п+- или р-кремнием). Следова-
тельно, достаточно легко можно изготовить транзистор
с Шоттки-«фиксатором» уровня, как показано на рис. 3.13.4. Та-
Биполярные транзисторы
313:
кой транзистор иногда называют транзистором Шоттки. Для
создания фиксатора в биполярных транзисторах Шоттки до-
Рис. 3.13.4. а — «фиксирующий» диод Шоттки, включенный между коллек-
тором и базой биполярного транзистора; б — символическое изображение
интегрального транзистора с диодом Шоттки — транзистора Шоттки; в — схе-
матическое изображение структуры интегрального биполярного транзистора
с фиксатором Шоттки — транзистора Шоттки.
статочно часто используется платина, которая после вплавле-
ния образует силицид платины.
Технология интегральных схем позволяет создавать транзи-
сторную структуру с несколькими коллекторами или эмиттерами
(см. рис. 3.13.5). Такие структуры используются в логических
вентилях с большим количеством входов или выходов. На
рис. 3.13.5 приведены схематические изображения вентиля тран-
зисторно-транзисторной логики (ТТЛ) и вентиля интегрально-
314
Глава 3
Множество
эмиттеров
(входы)
а'
6
Рис. 3.13.5. Многотранзисторная структура с несколькими коллекторами и
эмиттерами: а — вентиль транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ), исполь-
зующий многоэмиттерный интегральный транзистор, и б — вентиль интеграль-
но-инжекционной логики (И2Л).
Биполярные транзисторы
315
инжекционной логики (И2Л). В транзисторно-транзисторной
логике применяются многоэмиттерные интегральные транзи-
сторы. В схемах интегрально-инжекционной логики использу-
ется многоколлекторный п—р—n-транзистор, интегрированный
с горизонтальным р—п—^-транзистором. Такой р—п—р-тран-
Рис. 3.13.6. Схема основного ЭСЛ-вентиля.
зистор действует как источник тока, подменяя в ТТЛ-вентиле-
сопротивление.
Одним из наиболее быстродействующих вариантов техно-
логий кремниевых биполярных интегральных схем является
эмиттерно-связанная логика (ЭСЛ) (рис. 3.13.6). Применив
поликремниевую самосовмещенную технологию и используя
субмикронный эпитаксиальный слой и импульсный отжиг, Та-
кемура и др. [34] получили в кремниевой ЭСЛ-схеме очень
короткое время переключения, составившее лишь 52 пс при
токе коллектора 2 мА.
Интегральная биполярная технология обладает очень высо-
ким быстродействием, но за такое быстродействие приходится
расплачиваться большим энергопотреблением. Для получения
предельно высокого быстродействия суперкомпьютер Сгау-П
собран на кремниевых биполярных интегральных схемах ма-
лого уровня интеграции (несколько сотен логических вентилей
на кристалл). Однако в отношении быстродействия кремние-
вая биполярная технология сталкивается с жесткой конкурен-
цией со стороны новых технологий, таких, как технология гете-
ропереходных биполярных транзисторов (рассматривается.
316
Глава 3
в следующем разделе) и полевых транзисторов на основе полу-
проводниковых соединений (см. гл. 4). Последняя технология
будет использована в новом суперкомпьютере Сгау-Ш для до-
стижения ранее невозможной скорости вычислений.
3.14. Гетеропереходные биполярные транзисторы
Гетеропереходный биполярный транзистор был предложен
Шокли в 1951 г. [30] и позднее развит Крёмером [17—19]. Прин-
цип действия такого транзистора можно понять, проанализи-
ровав различные составляющие токов, протекающих в приборе
и показанных на рис. 3.3.1. В прямом активном режиме токи
эмиттера /э, коллектора /к и базы /б в биполярном п—р—п-
транзисторе могут быть выражены следующим образом [см.
уравнения (3.3.1—3.3.3)]:
/э == 7ПЭ “1“/рэ “1“ 7рек э> (3.14.1)
/к == 7Як /ген к> (3.14.2)
/б 7рек э "4” 7рэ /ген к “4“ 7рек б» (3.14.3)
где 7пэ и 7ик — электронные составляющие токов эмиттера и
коллектора, 7рэ — дырочная составляющая тока эмиттера,
7рек э — рекомбинационный ток в области обеднения перехода
эмиттер — база, 7рек б — рекомбинационный ток в нейтральной об-
ласти базы и /ген к — генерационный ток в области обеднения
перехода коллектор—база.
В прямом активном режиме /яэ и /як являются максималь-
ными по величине составляющими тока. Они определяются
диффузионным током электронов в базе вблизи перехода эмит-
тер—база и перехода коллектор—база соответственно. Коэффи-
циент усиления по току в схеме с общим эмиттером 0 задается
выражением
Р = ^-< Ртах = -^^-ехр (-Д^/feT); (3.14.4)
см. уравнение (3.3.49). Максимальный коэффициент усиления
ограничивается дырочной составляющей тока эмиттера, связан-
ной с инжекцией дырок из базы в область эмиттера. Экспонен-
циальный коэффициент ехр(—Д#g/kT), снижающий коэффи-
циент усиления, обусловлен сужением ширины запрещенной
зоны в сильнолегированной области эмиттера (см. разд. 3.3).
Как показал Крёмер [22], более реальную оценку 0Шах можно
получить с помощью другого выражения:
Ртах == ехр (-Д^Т), (3.14.5)
Аб
.Биполярные транзисторы
3i 7
где urt6 и vP3 — эффективные скорости электронов в базе и
дырок в эмиттере, которые учитывают вклад диффузии и
дрейфа носителей.
В гетеропереходном биполярном транзисторе область эмит-
тера имеет большую ширину запрещенной зоны, чем база.
Многие гетеропереходные биполярные транзисторы созданы на
основе структуры AlGaAs—GaAs, поскольку постоянные ре-
шетки этих двух материалов очень близки, что обеспечивает
превосходное качество границы гетероперехода с малым числом
дислокаций и низкой плотностью поверхностных состояний.
Если в качестве чисто иллюстративного примера предположить,
что разрыв запрещенной зоны полностью связан с разрывом
валентной зоны Д<£Гг, то зонная диаграмма гетеропереходного
биполярного транзистора будет выглядеть так, как показано
на рис. 3.14,1, а. В этом случае выражение для Ртах при широ-
козонном эмиттере можно записать следующим образом:
Ртах = ехр (Д^Г). (3.14.6)
A6W
Следовательно, можно достичь очень высоких значений ртах
даже в тех случаях, когда Ndb меньше Адо.
В действительности зонная диаграмма гетероперехода вы-
глядит аналогично показанной на рис. 3.14.1,6, и, как след-
ствие, выражение (3.14.6) должно быть переписано в следую-
щем виде:
Ртах = ехр (дадг), (3.14.7)
где Ad??, = —Д«?с. Это приводит к менее значительному
повышению Ртах, но основной принцип остается неизменным.
Более того, снижение максимального коэффициента усиления,
связанное с уменьшением потенциального барьера для дырок,
может быть частично скомпенсировано возрастанием скорости
электронов в базе вследствие существования острого выступа
в зоне проводимости. Как отметил Крёмер [18], электроны
в такой острозубой структуре входят в базу с очень большими
энергиями (близкими к Д^с) и, как следствие, могут обладать
очень высокими скоростями (порядка нескольких сотен тысяч
метров в секунду). Из-за анизотропной природы доминирую-
щего полярного оптического рассеяния в арсениде галлия (см.
разд. 1.9), обычно выбираемого в качестве узкозонного полу-
проводника в гетероструктуре, электроны могут пересекать
область базы, сохраняя очень высокую скорость даже в тех
случаях, когда они испытывают рассеяние. Крёмер назвал
острый выступ зоны проводимости «стартовой площадкой» для
318
Глава 3
баллистических электронов. Следует отметить, что величина
выступа может быть уменьшена путем постепенного изменения
Ба за
а
Рис. 3.14.1. а — упрощенная зонная диаграмма гетеропереходного биполяр-
ного транзистора. Для простоты разница в ширине запрещенной зоны при-
писывается валентной зоне, штриховая линия соответствует гомопереходному
транзистору и показана для сравнения [18]; б — более реальная зонная диа-
грамма гетероперехода эмиттер—база. Пунктирной линией показано дно зоны
проводимости в гетеропереходах с постепенным изменением состава х
в AUGai-xAs для гетероструктуры AlxGai-xAs—GaAs вблизи границы ге-
тероперехода.
состава широкозонного эмиттера вблизи границы гетеропере-
хода [18], как показано пунктирной линией на рис. 3.14.1,6.
Подобное постепенное изменение состава может играть важную
роль при оптимизации инжекционной эффективности эмиттера
гетеропереходного БТ (см., например, [12]).
Проведенное обсуждение ясно показывает, что инжекцион-
ная эффективность эмиттера гетеропереходного БТ может быть
достаточно высокой. В этом случае коэффициент усиления
Биполярные транзисторы
319
транзистора органичивается в первую очередь током рекомби-
нации
₽
______/ пз______
/рек э + /рек б
(3.14.8)
и мог бы достичь нескольких тысяч и выше, если бы граница
гетероперехода была относительно бездефектна, чтобы /рек э не
становился слишком большим.
Ток рекомбинации /рек б, обусловленный рекомбинацией
в базе, можно оценить по следующей формуле:
IPeK6^qcSnp(0)W/x, (3.14.9)
где с — численная постоянная, близкая по порядку к единице,
пр(0)— концентрация неосновных носителей заряда (электро-
нов) в базе вблизи эмиттера, а т — время жизни. Электронную
составляющую тока эмиттера можно оценить по формуле
In3^qnp(0)vn6S. (3.14.10)
Следовательно, если пренебречь током /рек э (что может быть
допустимо при относительно высоких значениях прямого сме-
щения, см. разд. 2.4 и 3.3), получим
(3.14.11)
z рек б
где /прол — время пролета электронов через базу. При доста-
точно короткой базе (например, W ~ 0,1 мкм) можно полу-
чить р > 1000 даже в том случае, когда время жизни состав-
ляет всего лишь несколько наносекунд. В гетеропереходных
биполярных транзисторах на основе структур AlGaAs—GaAs
были достигнуты коэффициенты усиления в схеме с общим
эмиттером, превышающие 1600. Для сравнения в обычных го-
мопереходных кремниевых транзисторах зависимость ширины
запрещенной зоны от уровня легирования приводит к сужению
запрещенной зоны в области эмиттера. Одним из возможных
механизмов такого сужения является формирование примесной
зоны, где волновые функции донорных электронов перекрыва-
ются (аналогично формированию зоны индивидуальными атом-
ными уровнями, см. рис. 1.5.3). Такая примесная зона эффек-
тивно снижает ширину запрещенной зоны. В соответствии с ра-
ботами Лэньона и Тафта [20] сужение ширины запрещенной
зоны A&g в кремнии составляет
3«!
~ 16ле„п \ епгЛГ / ~ \ 10“} \ Т )
мэВ,
(3.14.12)
где ND3 выражено в обратных сантиметрах. Это сужение ши-
рины запрещенной зоны приводит к экспоненциальному увели-
320
Глава 3
чению концентрации собственных носителей п/э в области
эмиттера:
ni3 = ni3(ND3 = 0)exp J (3.14.13)
(см. разд. 3.3). Концентрация дырок, инжектированных в об-
ласть эмиттера, пропорциональна и, следовательно, су-
жение ширины запрещенной зоны приводит к экспоненциаль-
ному снижению максимального коэффициента усиления по току
в схеме с общим эмиттером [см. выражение (3.14,5)] вплоть
до 20 при ND3 — 1019 см“3. Подобное сужение ширины запре-
щенной зоны является одним из основных ограничений харак-
теристик обычных кремниевых БТ (см., например, [33]).
Помимо высокой инжекционной эффективности и как след-
ствие высоких значений коэффициента усиления по току
в схеме с общим эмиттером гетеропереходные биполярные тран-
зисторы обладают рядом других преимуществ перед обычными
биполярными транзисторами. Поскольку в таких транзисторах
база легирована сильнее, снижается распределенное сопротив-
ление базы, а из-за относительно низкого легирования области
эмиттера емкость перехода эмиттер—база может быть доведена
до очень малых значений. Все перечисленные факторы приво-
дят к существенному повышению быстродействия.
Приведенные выше уравнения лишь иллюстрируют принцип
работы гетеропереходного биполярного транзистора. Более по-
дробный и точный анализ работы гетеропереходного транзистора
должен базироваться на более детальных моделях (см., на-
пример, [36]). Такой анализ показывает, что коэффициент
усиления короткозамкнутого тока в схеме с общим эмиттером
ограничен как объемной рекомбинацией в областях обеднения,
так и поверхностной рекомбинацией, в частности на периферии
перехода эмиттер—база. В результате коэффициент усиления
тока короткого замыкания в схеме с общим эмиттером в гете-
ропереходном биполярном транзисторе, оптимизированном для
высокого быстродействия, может составлять всего лишь 10 или
20. Задержка прохождения сигнала в логическом вентиле на
гетеропсреходном биполярном транзисторе ограничена в пер-
вую очередь постоянной времени, равной произведению емко-
сти коллектора на сопротивление нагрузки. Анализ задержки
прохождения сигнала можно провести с помощью уравнения,
предложенного в работе [9] для типичного логического вентиля
на гетеропереходном биполярном транзисторе
= 2,57?бСк_б + R6x6/RL + (ЗСк_б + CL) RL, (3.14.14)
где Тб — время пролета базы, R& — сопротивление базы, Rl и
Cl — сопротивление и емкость нагрузки, а Ск-б — емкость пере-
хода коллектор—база.
Биполярные транзисторы
321
На рис. 3.14.2 схематично показана структура быстродей-
ствующего гетеропереходного биполярного транзистора на
основе AlGaAs—GaAs [6]. Такая структура содержит имплан-
тированную протонами область, которая снижает емкость пере-
Изолирующие
и v план гироданные
области
р- GaAs n~- GaAs GaAs
Рис. 3.14.2. Схематическое изображение структуры быстродействующего ге-
теропереходного биполярного транзистора на основе AlGaAs—GaAs [6].
хода коллектор—база вплоть до 60%, обеспечивая увеличение
граничной частоты /г и максимальной частоты колебаний fmax
по сравнению с неимплантированными приборами.
Сотрудники NTT [23, 25] сделали сообщение об уменьше-
нии задержки распространения сигнала в гетеропереходных
биполярных транзисторах на основе AlGaAs—GaAs с невплав-
ляемыми омическими контактами к эмиттеру из InGaAs—GaAs
с постепенным изменением состава до 5,5 пс/вентиль. Введение
таких омических контактов позволило снизить удельное кон-
тактное сопротивление эмиттера до 1,4-10“7 Ом-см2. Размеры
эмиттера и коллектора составляли соответственно 2X5 и
4X7 мкм2. Для уменьшения емкости перехода коллектор—база
в этой структуре также использована имплантация протонов,
что привело к увеличению граничной частоты fT и максималь-
ной частоты колебаний fmax по сравнению с неимплактирован-
21 Заказ № 304
322
Глава 3
ными приборами до значений fmax= 60 ГГц и fT = 80 ГГц при
токе коллектора 12 мА [23].
Другим вариантом системы, пригодной для создания гете-
ропереходных БТ, является система InGaAs—InP [27, 28]. Схе-
матически структура гетеропереходного биполярного транзи-
стора на основе двойного гетероперехода InGaAs—InP пред-
ставлена на рис. 3.14.3. Потенциальные преимущества такого
прибора связаны со значительно меньшим встроенным потен-
циалом эмиттерного перехода, более высокой подвижностью
носителей заряда в InGaAs, более высокой дрейфовой ско-
ростью электронов в InP и низкой скоростью поверхностной
рекомбинации [27]. В работе [28] сообщалось, что в таком
биполярном транзисторе с двойным гетеропереходом InGaAs—
InP достигается высокий коэффициент усиления по току
(свыше 500) в широком диапазоне токов коллектора (более
восьми порядков изменения). А сравнительно недавно в таких
транзисторах получили предельную частоту 165 ГГц [7].
Тройное соединение InGaAs обладает более высокой по-
движностью электронов при низкой напряженности электриче-
ского поля по сравнению с GaAs. Используя InGaAs в каче-
стве материала базы в гетеропер входных биполярных транзи-
сторах, можно улучшить их характеристики по сравнению
с транзисторами на основе гетеропереходов AlGaAs—GaAs.
Схематически зонная структура и послойный состав такого при-
бора показаны на рис. 3.14.4 [2]. В подобном транзисторе уда-
лось получить предельную частоту 40 ГГц [2] и задержку рас-
пространения сигнала 19,7 пс (в 19-каскадном кольцевом гене-
раторе с токовой связью) [2, 32].
Хотя даже в гетеропереходном биполярном транзисторе ши-
рина базы определяет время пролета носителей через базу,
а следовательно, и быстродействие в этой вертикальной струк-
туре, в реальных транзисторах очень важную роль играют
геометрические размеры эмиттерных областей. Эти размеры
определяют значения паразитных емкостей, сопротивлений и
рассеиваемую мощность, что наглядно продемонстрировано в ра-
боте [6], где при ширине эмиттера 1,2 мкм задержка распро-
странения сигнала в гетеропереходном биполярном транзи-
сторе составила 14,5 пс/вентиль. Предельная частота в таком
транзисторе равна fT — 67 ГГц, а максимальная частота коле-
баний fmax = 105 ГГц. Еще одной важной особенностью этих
приборов являлась очень высокая степень легирования базо-
вой области (до 1020 см-3), что приводило к небольшому зна-
чению распределенного сопротивления базы.
Авторы работы [14] сообщили о создании гетеропереход-
ного биполярного транзистора с новой структурой. Они заме-
нили коллекторный слой п — GaAs на двойной слой, включаю-
Биполярные транзисторы
323
щий относительно толстый слой i—GaAs (200 нм в данном слу-
чае) и тонкий слой р+—GaAs (толщиной 20 нм при уровне
n+- InG a As- контакт
п-\г\Р-эмиттер
p+-InGaAs-^z3zz
Слои
InGaAsP
с постепенно
изменяющимся
составом
п-InP- коллектор
1пР- подложка
Толщина, мкм Уровень легирования,см”э
Контакт 0,2 >1019
Эмиттер 0,3 2 -1017
Слои с изменяющимся составом 0,02 2-Ю17
~ База 0,12 2 • Ю1’
Коллектор 0,3 2 • 1017
Рис. 3.14.3. Схематическое изображение структуры гетеропереходного бипо-
лярного транзистора на основе двойного гетероперехода InGaAs—InP [27].
легирования 2-1018 см-3). Последний полностью обедняется и
создает падение потенциала и электрическое поле в /-слое, при-
водя к почти баллистическому собиранию электронов в опреде-
ленном диапазоне напряжений. В результате достигается очень
высокая предельная частота = 105 ГГц.
В большинстве структур гетеропереходных биполярных тран-
зисторов эмиттер располагается на поверхности (см. рис. 3.14.2).
Однако, как было показано в работах Крёмера [18, 19], ем-
кость коллектора может быть существенно снижена при рас-
положении коллектора на поверхности структуры. Недавно при
21*
324
Глава 3
моделировании схемы гетеропереходного биполярного транзи-
стора в работе [1] это было подтверждено и предсказано
более высокое быстродействие в структурах с поверхностным
/7+-GaAs, 150нм,2-1018См’3
Л- AlGaAs,35нм,Ю10см“3
р- GaAs, 70 нм(5-1019см 3 -
Л-GaAs,700нм,4-101БСм'3
Л+-СаАз, 600 НМ,4-10ШСм’3
Защитный поверх-
ностный слой
Эмиттер
база
Коллектор
Скрытый п *-слой
Полуизолирую-
щая подложка
б
Рис. 3.14.4. а — схематическое изображение зонной структуры гетеропереход-
ного биполярного транзистора на основе гетеропереходов AlGaAs—InGaAs—
GaAs; б — схематическое изображение послойной структуры гетеропереход-
ного биполярного транзистора на основе гетеропереходов AlGaAs—InGaAs—
GaAs [2].
расположением коллектора при сравнении несамосовмещенных
структур.
Был предложен [41], а затем и изготовлен [24] новый тип
гетеропереходного биполярного транзистора — биполярный
транзистор с туннельным эмиттером (рис. 3.14.5). В этом
приборе широкозонный эмиттер из GaAlAs заменяется обыч-
ным — GaAs-эмиттером, но между эмиттером и базой встав-
лен тонкий слой AlGaAs с изменяющимся по толщине со-
ставом. Этот слой обладает сильно различающимися скоро-
стями туннелирования для электронов и дырок, позволяя элек-
тронам легко проникать из эмиттера в базу и задерживая
Биполярные транзисторы
325
AlGaAs
База
. GaAs
GaAs
GaAs
. Эмиттер .
База
Коллектор
/ Р
п .
Туннельный Барьер AlGaAs
на переходе эмиттер-База
Рис. 3.14.5. Схематическое изображение биполярного транзистора с туннель^
ным эмиттером [41].
120
-2-100
L_
g 80
60
Rockwell
NEC
NTT
о
1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988
Год
и 60--
50-
Rockwell
NTT
40
1982
Год
1986 1987 1988
РИС. 3.14.6. Предельные частоты и задержки распространения сигнала гете-
ропереходных биполярных транзисторов [31].
326
Глава 3
обратный поток дырок в эмиттер. Это напоминает идею «филь-
трации массы», предложенную в работе [4] для приборов на
сверхрешетках. По сравнению с обычными гетеропереходными
биполярными транзисторами биполярные транзисторы с тун-
нельным эмиттером должны обладать меньшим контактным
сопротивлением эмиттера, более высоким усилением, меньшим
количеством ловушек и более высоким быстродействием.
Прогресс, достигнутый в разработке гетеропереходных би-
полярных транзисторов, проиллюстрирован на рис. 3.14.6 [31],
где отражено изменение достигнутых значений предельной ча-
стоты и задержки распространения сигнала по годам. Из ри-
сунка следует, что гетеропереходные биполярные транзисторы
являются серьезной альтернативой полевым транзисторам с за-
твором Шоттки на основе GaAs, полевым транзисторам на
основе гетероструктур AlGaAs—GaAs и другим быстродей-
ствующим приборам (см. гл. 4).
Задачи
При решении задач используйте приведенные ниже значения параметров
(кроме специально оговоренных в тексте самой задачи):
коэффициент оже-рекомбинации GP — Gn = 2‘ Ю“31 смб/с,
ширина области эмиттера хэ=1 мкм,
ширина области базы U7 —0,5 мкм,
площадь прибора S— 110~8 м2,
уровень легирования эмиттера Nd3 = 5-1018 см~3,
уровень легирования базы Л/лб = 2-1017 см-3,
уровень легирования коллектора 2Vdk = 5-1O15 см-3,
ширина запрещенной зоны <51,12 эВ,
эффективная плотность состояний в зоне проводимости jVc = 3,22X
Х1015 см—3,
эффективная плотность состояний в валентной зоне Nv = 1,83-1019 см-3,
температура Т ==300 К,
диэлектрическая проницаемость е=1,05-10-10 Ф/м,
эффективное время рекомбинации в области обеднения перехода эмит-
тер — база Трек = 1 • 10-7 с,
диффузионная длина электронов в базе Дпб—40 мкм,
диффузионная длина дырок в эмиттере Дра = 25 мкм,
подвижность электронов в области базы Цп —0,1 м2/(В-с),
подвижность дырок в области эмиттера цР=0,04 м2/(В-с),
ширина прибора l3~t~ 10 мкм.
3.1.1. Рассчитайте общий заряд электронов, инжектированных в базу
кремниевого биполярного п—р—л-транзистора, в зависимости от напряжения
эмиттер—база при Гк-б — 0,6 В (прямое напряжение коллектор(база) и
Ук_б = —3 В (обратное напряжение коллектор—база). Ширина базы W =•
= 0,5 мкм, температура транзистора 7=300 К.
3.1.2. Выразите полную проводимость биполярного переходного транзи-
стора через ток коллектора. Сравните это выражение с выражением диффе-
ренциального сопротивления диода.
3.1.3. Рассмотрите биполярный п—р—и-трапзистор с длинной базовой
областью, где ток рекомбинации в нейтральной области базы /рек б больше,
чем ток дырок эмиттера /рэ, ток рекомбинации в области обеднения пере-
хода эмиттер—база /рек э и ток генерации в области обеднения перехода
Биполярные транзисторы
327
коллектор—база /ген к. Выведите выражение для коэффициента усиления по
току в схеме с общим эмиттером р для такого транзистора.
3.1.4. Рассмотрите биполярный транзистор, подключенный, как показано
на рис. 33.1.4. Предполагая, что ВАХ переходов эмиттер—база и коллек-
тор—база можно приблизительно описать формулами
^э—б ^э—б НЗС [ехР (^э—б/^т) Ч*
^к—б ^к—б нас [ехР (^к-б/^т) * ]»
где Ут —— тепловое напряжение, и что У»Ут, рассчитайте напряже-
ние на переходе эмиттер—база. Сделайте рисунок, на котором качественно
Рис. 33.1.4.
Рис. 33.1.5.
отобразите зависимость тока / от напряжения V при У>0, показав асимпто-
тическое поведение тока при высоких напряжениях и наклон на начальном
участке.
3.1.5. Рассмотрите кремниевый биполярный транзистор, подключенный
как показано на рис. 33.1.5. Напряжение У= 10 В. Отобразите качественно
зонную диаграмму (приблизительно покажите масштаб напряжений). Отметьте
положение квазиуровня Ферми для дырок в эмиттерной и коллекторной
областях, а также для электронов в базовой области. Покажите напряжения
эмиттер—база Уэ-б и коллектор—база Ук-б.
3.2.1. Между эмиттером и базой биполярного транзистора помимо посто-
янного смещения УЭОб приложено небольшое синусоидально изменяющееся
напряжение с амплитудой Уэ_б и частотой (о:
^э-б=^об+1/э-б^(^).
Переход коллектор—база п~р-типа смещен в обратном направлении. Опре-
делите амплитуду наведенного синусоидального заряда электронов в базе
биполярного п—р—n-транзистора, предполагая, что из-за малости частоты
производной по времени в уравнении непрерывности для электронов в базе
(3.2.1) можно пренебречь.
Используйте уравнение непрерывности, для того чтобы оценить, насколько
малой должна быть частота, чтобы производной по времени в уравнении
непрерывности (3.2,1) можно было бы пренебречь.
При решении считайте, что равновесная величина концентрации электро-
нов в базе Лео, время жизни электронов в базе тПб, ширина базы W и тем-
пература транзистора Т.
3.3.1. Рассчитайте зависимость коэффициента усиления в схеме с общим
эмиттером р, ограниченного оже-рекомбинацией, от тока коллектора. Счи-
тайте, что р = /к//о, где ток оже-рекомбинации равен
хэ
/0 = <7S^ Ьр3 (x)dx/x0.
.0
Постоянная времени оже-рекомбинации то описывается выражением (3.3.50).
328
Глава 3
3.4.1. В пренебрежении токами рекомбинации рассчитайте зависимость
плотности тока коллектора /к в центре кремниевого биполярного транзистора
от распределенного сопротивления базы Гб-в\
Указание. Предположите, что /к = in ехр [(Уэ-б — /бГб-б,)/Ут], где /б—-
ток базы, jn — qDntibdW. Кроме того, считайте, что хэ < Лрэ. Напряжение
эмиттер—база Уэ_б = 0,65 В.
3.4.2. Эффект сужения эмиттерного тока, обсужденный в разд. 3.4, можно
проанализировать следующим образом. Плотность тока эмиттера /э при пря-
мом смещении эмиттер—база описывается выражением
/э = (^п«бо/^) ехР {^э-б (г/)/(^)}. (33.4.2.1)
где Va(y)—потенциал вдоль базы (см. рис. 3.4.1). Ток базы i&(y) описы-
вается выражением
'б = WPNA6Wt3 dV3_6 (y)/dy. (ЗЗА.22)
Он также связан с плотностью тока эмиттера
dz6/dz/ = /73/(l+₽0), (33.4.2.3)
где коэффициент усиления по току в схеме с общим эмиттером может счи-
таться практически постоянным в условиях умеренной инжекции (см. рис.
3.3.2).
а) Используя уравнения (33.4.2.1) — (33.4.2.3), выведите дифференциаль-
ное уравнение для 1/э-б при геометрии транзистора, показанной на рис. 3.4.1.
б) Решите это уравнение при следующих граничных условиях:
dV3-6ldy 1^0 = 0. ^-6(^/2)=V3_6,
где Гэ-б — напряжение эмиттер—база.
в) Постройте график зависимости /э от у для Гэ-б=0,5 и 0,75 В.
г) Для указанных выше параметров транзистора рассчитайте отношен не
коэффициента усиления по току в схеме с общим эмиттером при наличии
эффекта сужения тока эмиттера к идеальному коэффициенту усиления по
току р0, используя соотношение для тока эмиттера /э. Считайте, что р0 не
зависит от уровня ипжекции.
3.4.3. Определите величину тока эмиттера Л, при котором сужение эмит-
тера начинает играть существенную роль в транзисторе, показанном на рис.
33.4.3.а. ~ 0,1 мкм, № = 0,1 мкм, d3 — 2 мкм, d — 4 мкм, t — 50 мкм,
подвижность дырок = 300 см2/(В-с), уровень легирования базы Л<4б =
= 5-Ю16 см”3, р = 50. При решении задачи не учитывайте ширину областей
обеднения, а контактное сопротивление для базовых контактов считайте рав-
ным Яконт = 1 Ом-мм2 (включая сопротивление материала под контактом).
Указание. Используйте для решения следующий результат (см. рис. 33.4.36),
где R представляет собой вклад в распределенное сопротивление базы в се-
чении транзистора под эмиттерным контактом, а стрелками показано напра-
вление тока.
3.5.1. Рассчитайте коэффициент переноса базы при линейном распределе-
нии носителей в базе. При решении считайте, что ЛДб(хэ) = 4jVa6(хэ + №)»
где U7—ширина базы, а хэ — координата, соответствующая положению пере-
хода эмиттер—база. Диффузионная длина электронов в базе равна
3.5.2. В предположении экспоненциального распределения легирующей
примеси в базе NAe (х) “Л/Дб (хэ)ехр [—(х— х3)/Хб], где W— ширина базы,
а Хэ—координата, соответствующая положению перехода эмиттер—база, и
в предположении, что коэффициент усиления транзистора по току р в схеме
с общим эмиттером ограничен коэффициентом переноса базы, рассчитайте
зависимость коэффициента усиления по току в схеме с общим эмиттером
от отношения ширины базы W к характеристической длине экспоненциаль-
Биполярные транзисторы
329
кого изменения концентрации легирующей примеси Хб. Диффузионная длина
электронов в базе Lne = 10 мкм, ширина базы W — 1 мкм.
3.6.1. а) Выведите выражение для выходной проводимости д/к/дУк-б
в прямом активном режиме работы транзистора, используя основные пара-
Эмиттер
Рис. 33.4.3а.
метры материала и транзистора: уровни легирования, размеры, подвижности
носителей и др.
б) Предполагая, что выходная проводимость не превышает 10 % зна-
чения полной проводимости д/к/дУэ-б при токе коллектора /«=1 мА, пока-
жите зависимость минимальной величины легирования базы М«б, удовлетво-
ряющей этому требованию, от ширины базы W при значениях W от 0,1
до 1 мкм.
3.7.1. Используя модель Эберса—Молла, выразите ток насыщения кол-
лектора при подключении транзистора по схеме с общей базой /КОб и ток
насыщения в случае подключения транзистора по схеме с общим эмиттером
Лоэ через основные параметры транзистора и материала, включая подвиж-
ности носителей, ширину базы, температуру прибора, уровни легирования
и т. д.
Указание. Эти токи описываются выражениями (3.6.3) и (3.6.4)
Лео б "Ь аЛр (3.6.3)
/к = /коэ + Р/б- (3-6.4)
330
Глава 3
Ток рекомбинации считайте пренебрежимо малым.
3.7.2. На рис. 3.7.1 показана нелинейная эквивалентная схема БТ на
постоянном токе, соответствующая модели Эберса—Молла. Какие еще эле-
менты нелинейной схемы необходимо добавить к указанной схеме, чтобы
получить эквивалентную схему на переменном токе: а) пренебрегая паразит-
ными элементами и б) включая паразитные элементы?
3.7.3. Используя модель Эберса—Молла, рассчитайте выходные характе-
ристики кремниевого биполярного п—р—n-транзистора (зависимость /к от
Ик-э)« Дайте графическое изображение этих выходных характеристик с /7
в качестве параметра при /б = 10, 30 и 100 мкА.
При решении задайтесь следующими параметрами транзистора:
ширина области эмиттера хэ=1 мкм,
ширина области базы UZ=0,5 мкм,
горизонтальный размер области эмиттера </3 = 5 мкм,
ширина области коллектора х-л = 5 мкм,
уровень легирования эмиттера Лф:) = 5-1018 см-3,
уровень легирования базы Л/лб —2-Ю’7 см-3,
уровень легирования коллектора A'dk = 5-1015 см-3,
ширина запрещенной зоны #g=l,12 эВ,
эффективная плотность состояний в зоне проводимости Ас = 3,22-1019 см-3,
эффективная плотность состояний в валентной зоне Nv = 1,83• 1019 см~3,
температура 7=300 К,
диэлектрическая проницаемость е=1,05-10“10 Ф/м,
эффективное время рекомбинации в области обеднения перехода -•мит-
тер—база трск = МО'8 с,
диффузионная длина электронов в базе Lna = 40 мкм,
диффузионная длина дырок в эмиттере £р;) = 2э мкм,
подвижность электронов в области базы 0,1 м2/(В-с),
подвижность дырок в области эмиттера цР = 0,04 м2/(В-с),
ширина прибора /=--10 мкм.
Оже-рекомбинацию не учитывайте. Кроме того, для первой задачи' не уч »ты-
вайте распределенного сопротивления базы и ее сужения (считайте №,.<0 =
= №).
3.9.1. Схематически изобразите качественный вид зонной диаграммы бипо-
лярного транзистора при достижении обратным смещением перехода кол-
лектор—база критического напряжения прокола.
3.10.1. Рассчитайте (изобразите графически) зависимость Л-параметров
кремниевого биполярного транзистора, подключенного по схеме с обшим
эмиттером, от тока эмиттера Ц в диапазоне 0,1 мЛ<7э<2 мА. При решении
этой задачи можно считать, что транзистор работает в среднем диапазоне
частот (т. е. вы можете при расчете ^-параметров не учитывать емкости).
Конструкция транзистора показана на рис. 33.10.1.
Используйте те же параметры транзистора, что и в задаче 3.7.3. Рас-
стояние между контактами к базе </=10 мкм (эмиттер расположен посере-
дине этого промежутка). Считайте, что сопротивление каждого контакта
к базе составляет /?конт = 10 Ом (контактное сопротивление включает в себя
сопротивление границы раздела металл—полупроводник и сопротивление
материала непосредственно под контактом). Для расчета доли распределен-
ного сопротивления б, используйте формулу, приведенную на рис. 33.4.36-
Напряжение Эрли равно 100 В (гконт = Гэ/Л).
Указание. Коэффициент р может быть найден с помощью уравнения (3.3.45)
(/ирек 3 = 2, в этом уравнении используйте /к«/э).
3.11.1. Рассчитайте (постройте график) зависимость граничной частоты /г
от тока эмиттера Л в диапазоне 0,1 мА</э<2 мА для кремниевого тран-
зистора, описанного в задаче 3.10.1. Не учитывайте паразитной межкон-
тактной емкости. Емкость перехода коллектор—база можно положить рав-
ной емкости области обеднения. Областью обеднения между базой и эмит-
Биполярные транзисторы
331
тером можно пренебречь. Напряжение смещения коллектор—база считайте
равным 9,4 В. Последовательное сопротивление коллектора, включающее все
компоненты, равно 5 Ом. Скорость насыщения электронов изп составляет
105 м/с.
Рис. 33.10.1.
Рис. 33.12.1.
3.12.1. На рис. 33.12.1 показаны типичная схема для измерения харак-
теристик переключения транзистора и форма сигнала входного напряжения.
Коэффициент усиления в схеме с общим эмиттером при коротком замыка-
нии (3 — 100. Характеристическое время рекомбинации в базе т8Г = 50 нс.
Напряжение насыщения эмиттер—база 14-6 нас = 0,7 В. Рассчитайте время
запаздывания т8 для ^=5 и 10 В.
3.14.1. В гетеропереходном биполярном транзисторе эмиттер сделан из
полупроводника с большей шириной запрещенной зоны. Это увеличивает
коэффициент усиления по току в схеме с общим эмиттером в exp(A^’v/^T)
раз, где — скачок валентной зоны, k — постоянная Больцмана, а Т —
температура. В то же время ток рекомбинации в области базы может воз-
332
Глава 3
расти из-за уменьшения эффективного времени жизни тЭфф, которое грубо
можно оценить по формуле
1-Эфф t
где тэфф — эффективное время жизни, т — время жизни, Ут—тепловая ско-
рость, Rt — эффективный радиус поверхностного состояния, ит — л/ 3kT/mn—
тепловая скорость электрона, тп—эффективная масса электрона, Nst —
плотность поверхностных состояний. Рассчитайте коэффициент усиления
транзистора по току (3 в схеме с общим эмиттером как функцию Afst для
биполярного п—р—гг-транзистора на основе AlGaAs—GaAs, полагая, что [3
ограничен током рекомбинации в базе и током инжекции дырок. Обозначьте
коэффициенты диффузии дырок и электронов Dp и Dn, уровни легирования
эмиттера и базы Nd3 и War, толщину областей эмиттера и базы хэ и WL
Литература
1. Akagi J., Yoshida J., Kurata M., A Model-Based Comparison of Switching
Characteristics Between Collector-Top and Emitter-Top HBT’s IEEE Trans.
Elec. Dev., ED-34, 1413—1418 (1987).
2. Asbeck P. M., Chang M. F., Wang К. C., Sullivan G. J., xMiller D. L„
GaAlAs/GalnAs/GaAs Heterojunction Bipolar Technology for sub-35 ps Cur
rent-Mode Logic Circuits, Proceedings of the 1986 Bipolar Circuits and
Technology Meeting, IEEE, Minneapolis, Minn., 25—26 (1986).
3. Bardeen J., Brattain W. II., The Transistor: A Semiconductor Triode, Phys.
Rev., 74, 230 (1948).
4. Capasso F., Mohammed K., Cho A. Y., Hull R., Hutchinson A. L., Effective
Mass Filtering: Giant Quantum Amplification of the Photocurrent in a Se-
miconductor Superlattice, Appl. Phys. Lett., 47, 4, 420—422 (1985).
5. Casasent D., Electronic Circuits, Quantum, New York (1973).
6. Chang M. F., Asbeck P. M., Wang К. C., Sullivan G. J., Sheng N. H.,
Higgins J. A., Miller D. L., AlGaAs/GaAs Heterojunction Bipolar Transis-
tors Fabricated Using a Self-Aligned Dual-Lift-Off Process, IEEE Elec.
Dev. Lett., EDL-8, 303—305 (1987).
7. Chen Y. K„ Nottenburg R. N., Panish M. B., Hamm R. A., Humphrey D. A.,
Subpicosecond InP/InGaAs Heterostructure Bipolar Transistors, IEEE EDL,
10, 6, 267—269 (June 1989).
8. Daw A. N., Mitra R. N., Choudhury N. K. D., Cutoff Frequency of a Drift
Transistor, Sol. State Elec., 10, 359 (1967).
9. Dumke W. P., Woodall J. M., Rideout V. L., GaAs—AlGaAs Heterojunction
Transistor for High Frequency Operation, Sol. State Elec., 15, 1339 -
1343 (1972).
10. Early J. M., Effects of Space-Charge Layer Widening in Junction Tran-
sistors, Proc. IRE, 40, 1401 (1952).
11. Ebers J. J., Moll J. L., Large-Signal Behaviour of Junction Transistors,
Proc. IRE, 42, 1761 (1954).
12. Grinberg A. A., Shur M., Fisher R. J., Morko^ H., Investigation of the Ef-
fect of. Graded Layers and Tunneling on the Performance of AlGaAs/GaAs
Heterojunction Bipolar Transistors, IEEE Trans. Elec. Dev., ED-31, 12,
1758—1765 (1984).
13. Gummel H. K., Poon H. C., An Integral Charge Control Model of Bipolar
Transistors, Bell Syst. Tech. J., 49, 827 (1970).
14. Ishibashi T., Yamauchi Y., A Novel AlGaAs/GaAs HBT Structure for Near
Ballistic Collection, in: Program of 45th Annual Device Research Confe-
rence, June 22—24, Santa Barbara, IV-A6 (1987).
Биполярные транзисторы
333
15. Kikushi К., Kameyama S., Kajiyama M., Nishio M., Komeda T., A High
Speed Bipolar LSI Process Using Self-Aligned Double Diffusion Polysilicon
Technology, IEDM. Tech. Digest, 420, Los Angeles, published by IEEE,
Dec. (1986).
16. Kirk С. T., A Theory of Transistor Cutoff Frequency (fT) Fall-Off at High
Current Density, IEEE Trans. Elec. Dev., ED-9, 164 (1962).
17. Kroemer H., Theory of a Wide-Gap Emitter for Transistors, Proc. IRE, 45,
1535—1537 (1957).
18. Kroemer H., Heterostructure Bipolar Transistors and Integrated Circuits,
Proc. IEEE, 70, 13—25 (1982).
19. Kroemer H., Heterostructure Bipolar Transistors: What Should We Build,
J. Vac./Sci. Technol., Bl, 2, 112—130 (1983).
20. Lanyon H. P. D., Tuft R. A, Bandgap Narrowing in Heavily Doped Silicon,
in: Technical Digest of Internation Electron Device Meeting, IEEE, 316
(1978).
21. Madihian M., Honjo K-, Toyoshima H., Kumashito S., Fabrication and Mo-
deling of a Novel Self-Aligned AlGaAs/GaAs Heterojunction Bipolar Tran-
sistor with a Cutoff Frequency of 45 GHz, IEEE Tech. Digest, 270, Los
Angeles, published by IEEE, Dec. (1986).
22. McGrath E. J., Navon D. H,, Factors Limiting Current Gain in Power
Transistors, IEEE Trans. Elec. Dev., ED-24, 1255 (1977).
23. Nagata K., Nakajima O., Yamauchi Y., Ito H., Nittono T., Ishibashi T.,
High Speed Performance of AlGaAs/GaAs Heterojunction Bipolar Tran-
sistor with Non-Alloyed Emitter Contacts, in: Program of 45th Annual
Device Research Conference, June 22—24, Santa Barbara, IV-A2 (1987).
24. Najar F. E., Radulescu D. C., Chen Y. K., Wicks G. W., Tasker P. J., East-
man L. F., DC Characterization of the AlGaAs/GaAs Tunneling Emitter
Bipolar Transistor, Appl. Phys. Lett., 50, 26, 1915 (1987).
25. Nakajima O., Nagata K., Yamauchi Y., Ito H., Ishibashi T., High Speed
AlGaAs/GaAs HBTs with Proton-Implanted Buried Layers, IEEE Tech.
Digest, 416, Los Angeles, published by IEEE, Dec. (1986).
26. Nakazato K., Nakamura T., Kato M., A 3 GHz Lateral pnp Transistor,
IEEE Tech. Digest, 266, Los Angeles, published by IEEE, Dec. (1986).
27. Nottenburg R. N., Bischoff J. C., Abeles J. H., Panish M. B., Temkin H.,
Base Doping Effects in InGaAs/InP Double Heterostructure Bipolar Tran-
sistors, IEEE Tech. Digest, 278, Los Angeles, published by IEEE, Dec.
(1986).
28. Nottenburg R. N., Temkin H., Panish M. B., Bhat R., Bischoff J. C.,
InGaAs/InP Double Heterostructure Bipolar Transistors with Near Ideal p
versus Ic, IEEE Elec. Dev. Lett., EDL-8, 282 (1987).
29. Shockley W., The Theory of p-n Junctions in Semiconductors and p-n
Junction Transistors, Bell Syst. Tech. I., 28, 435 (1949).
30. Shockley W., U. S. Patent No. 2, 569, 347, issued 1951.
30a. Small-Signal Transistor Data, published by Motorola Semiconductor Pro-
ducts. Inc. Phoenix, Ariz (1983).
31. Shur M., Submicron AlGaAs, AlGaAs/GaAs, and AlGaAs/InGaAs Tran-
sistors, in: Integrated Circuits with 0,05 to 0,5 gm Feature Size, ed.
K. Watts, John Wiley & Sons, New York (1988).
32. Sullivan G. J., Asbeck P. M., Chang M. F., Miller D. L., Wang К. C., High
Frequency Performance of AlGaAs/InGaAs/GaAs Strained Layer Hetero-
junction Bipolar Transistors, IEEE Trans. Elec. Dev., ED-33, 11, 1845
(Nov. 1986).
33. Sze S. M., Physics of Semiconductor Devices, 2nd ed., John Wiley & Sons,
New York (1981); имеется перевод: Зи С. Физика полупроводниковых
приборов.— М.: Мир, 1985.
34. Takemura Н., Kamiya Т., Ohi S., Sugiyama М., Tashiro Т., Nakamae М.,
Submicron Epitaxial Layer and RTA Technology for Extremely High Speed
334
Глава 3
Bipolar Transistors, IEEE Tech. Digest, 424, Los Angeles, published by
IEEE (Dec. 1986).
35. Thorton C. G., Simmons C. D., A New High Current Mode of Transistor
Operation, IRE Trans. Elec. Dev., ED-5, 6—10 (1958).
36. Tiwari S., GaAlAs/GaAs Heterostructure Bipolar Transistors: Experiment
and Theory, IEEE Tech. Digest, 262, Los Angeles, published by IEEE,
Dec. (1986).
37. Urke B. D., Lutze R. S. L., A Comparison of CML and ECL for VLSI
Applications, Proceedings of the 1986 Bipolar Circuits and Technology
Meeting, IEEE, Minneapolis, Minn., 49—50 (1986).
38. Villa F. F., Improved Second Breakdown of Integrated Bipolar Power
Transistors, IEEE Trans. Elec. Dev., ED-33, 1971—1976 (Dec. 1986).
39. Warner R M., Fordemwalt J. N., Integrated Circuits, McGraw-Hill, New
York, 1965.
40. Warner R. M., Grung B. L., Transistors: Fundamentals for the Integrated-
Circuit Engineer, John Wiley & Sons, New York, 1983.
41. Xu J., Shur M., Tunneling Emitter Bipolar Junction Transistor, IEEE Elec.
Dev. Lett., EDL-7, 416—418 (1986).
42. Yu Z., Dutton R. W., Sedan III: A General Electronic Material Device Ana-
lysis Program, program manual, Stanford University, July (1985).
Полевые транзисторы
4.1. Введение
Полевые транзисторы (ПТ) впервые предложены Лилиенфель-
дом в 1930 г. [63]. Принцип действия этих приборов иллю-
стрирует рис. 4.1.1. Их аналогом может служить конденсатор,
одна обкладка которого образуется проводящим каналом между
За г вор
Рис. 4.1.1. Схематическое изображение полевого транзистора. Транзистор ра-
ботает как конденсатор, одна из обкладок которого образуется проводящим
каналом между истоком и стоком. Роль другой обкладки выполняет затвор,
управляющий зарядом, наведенным в канале.
двумя омическими контактами — истоком и стоком, а вто-
рая— затвором, управляющим зарядом, наведенным в канале.
Носители заряда поступают в канал через исток и уходят из
него в сток.
Этот основной принцип воплощен в таких различных прибо-
рах, как ПТ на основе структур металл—оксид—полупровод-
ник—МОП ПТ (или металл—диэлектрик—полупроводник —
МДП ПТ), ПТ с барьером Шоттки — ПТШ, ПТ с р—«-перехо-
дом и др. Эти приборы различаются материалом затвора, рас-
положением затвора относительно канала, способом изоляции
затвора от канала и типом носителей заряда, индуцируемых
потенциалом затвора в канале (электронов в приборах с п-ка-
Налом, дырок в приборах с каналом p-типа, а также электронов
336
Глава 4
птш
Исток Затвор Сток
Обедненная
область
Подложка
р-п-ПТ
исток Затвор Сток
Рис. 4.1.2. Схематическое изображение
ПТ различного типа: а— ПТ на струк-
туре металл — оксид — полупроводник
(МОП ПТ) или металл—диэлектрик—
полупроводник (МДП ПТ); б —ПТ
с затвором на барьере Шоттки; в — ПТ
с затвором на р—n-переходе (р-п-ПТ).
и дырок одновременно в так
называемых ПТ с двойной
инжекцией).
В кремниевых МОП ПТ
(рис. 4.1.2, а) затворный
контакт отделен от канала
слоем диоксида кремния.
Высокое качество границы
раздела между кремнием и
диоксидом кремния, кото-
рая должна содержать очень
малую плотность поверх-
ностных состояний, позволи-
ло кремниевым МОП ПТ
стать основным прибором
современной электроники.
Канал в таком транзисторе
создается электронным (в
приборах с каналом /г-типа)
или дырочным (в приборах
с каналом р-типа) газом,
наведенным потенциалом
затвора у границы между
кремнием и диэлектриком.
В ПТШ (рис. 4.1.2, б) сум-
марный потенциал внешнего
напряжения на затворе и
встроенного потенциала ба-
рьера Шоттки полностью
или частично обедняют ка-
нал. Затвор изолируется от
канала (роль последнего
выполняет легированный
полупроводниковый мате-
риал) обедненным слоем ба-
рьера Шоттки, толщиной
которого можно управлять,
меняя потенциал затвора.
Потенциал затвора опреде-
ляет толщину обедненного
слоя и соответственно по-
перечное сечение проводя-
щего канала, модулируя
электрический ток в канале.
В ПТ с р-п-переходом по-
следний выполняет ту же
Полевые транзисторы
337
роль, что и барьер Шоттки в ПТШ (рис. 4.1.2, в). Обычно ПТШ
и р-п-ПТ реализуются на основе таких материалов, как арсе-
нид галлия, которые имеют ряд преимуществ перед кремнием,
но не обладают столь стабильными, как кремний, оксидами.
Большая часть данной главы посвящена кремниевым МОП
ПТ, являющимся главной элементной базой современной элек-
тронной промышленности. Кремниевые МОП ПТ используются
как в качестве дискретных
приборов, так и в составе
монолитных интегральных
схем (ИС). Минимальный
размер элемента прибора
в серийных ИС достигает
0,7 мкм (рис. 4.1.3), что по-
зволяет обеспечить высокие
быстродействие и уровень
интеграции (до нескольких
миллионов транзисторов на
кристалле ИС памяти).
Стоимость 1 бит памяти
ЭВМ упала до 6 • 10-3 цент
[109]. Объем продаж циф-
ровых ИС на МОП ПТ
только в США в течение 80-х
Годы
Рис. 4.1.3. Тенденция уменьшения мини-
мального размера транзистора в про-
мышленно выпускаемых интегральных
схемах на кремниевых МОП ПТ.
годов достиг нескольких миллиардов долларов в год, предпола-
гается его дальнейший рост. (Полный объем продаж ИС в США
составил 11 млрд. долл, за 1986 г., 3,5 млрд, из которых состав-
ляли цифровые ИС на биполярных транзисторах.) Ожидается,
что к 2000 г. на одном кристалле ИС будет содержаться до 100 млн.
приборов, а стоимость 1 бит памяти упадет до 10~4 цент.
Технология комплементарных МОП ПТ, в которых сочета-
ются приборы с каналами п- и p-типов, позволяет создать при-
боры с очень малой потребляемой мощностью и высоким бы-
стродействием. Новая технология нанесения кремния на
диэлектрик, возможно, позволит создать трехмерные ИС, фор-
мируя несколько слоев приборов и позволяя резко увеличить
степень интеграции. Дальнейший прогресс может быть связан
с усовершенствованием структуры приборов и совмещением
технологий биполярных и полевых транзисторов.
Важная роль МОП ПТ в современной электронике обусло-
вила появление большого числа книг по данной тематике [70,
73, 78, 88, 116]. Эти книги можно рекомендовать читателю
для дальнейшего изучения предмета.
В дополнение к кремнию появились новые материалы. Для
ряда применений они обладают преимуществами. В частности
мы рассмотрим ПТ на основе полупроводниковых соединений,
22 Заказ № 304
338
Глава 4
таких, как GaAs, или на основе гетероструктур GaAs—AlGaAs.
Эти приборы имеют наивысшую скорость переключения и могут
интегрироваться с кремниевыми транзисторами или оптоэлек-
тронными приборами на полупроводниковых соединениях. Мы
также обсудим полевые транзисторы на основе тонких пленок
аморфного кремния, которые могут найти применение в каче-
стве драйверов дешевых плоских дисплеев большой площади,
высококачественных принтеров, устройств воспроизведения изо-
бражения и копирования, а также ПТ на основе широкозонных
полупроводников (карбида кремния, алмаза), которые исполь-
зуются в качестве приборов с большой мощностью, работаю-
щих при повышенных температурах. Однако не следует наде-
яться на то, что эти новые материалы заменят кремний. Скорее
всего они лишь обогатят технологию ПТ.
4.2. Поверхностный заряд в МОП-конденсаторе
Кремниевый МОП ПТ является, по-видимому, наиболее важ-
ным видом твердотельных приборов современной электроники.
Чтобы понять принцип его работы, рассмотрим вначале конден-
сатор). Его схематическое изображение и соответствующая зон-
сатор). Его схематическое изображение и соответствующая зон-
ная диаграмма при нулевом напряжении смещения представ-
лены на рис. 4.2.1. Рассмотрим идеальную МДП-структуру,
пренебрегая зарядом, который может существовать в слое
диэлектрика, и поверхностными состояниями на границе раз-
дела полупроводник—диэлектрик. Предположим далее, что слой
диэлектрика имеет бесконечно большое сопротивление, так что
под воздействием напряжения смещения ток через него не
течет.
Согласно рис. 4.2.1 при напряжении смещения, равном нулю,
изгиб зон в полупроводнике определяется разностью работ
выхода металла и полупроводника. Этот изгиб зон можно ском-
пенсировать внешним напряжением, равным этой разности:
(4.2.1)
где Хт— работа выхода металла, Xs — электронное сродство
полупроводника, &с — энергия зоны проводимости, &F— энер-
гия Ферми. Напряжение Йпз называется напряжением плоской
зоны (рис. 4.2.2). Формула (4.2.1) применима для идеальной
МДП-структуры. Поверхностные состояния на границе раздела
и (или) фиксированный заряд в слое диэлектрика влияют на
величину напряжения, обеспечивающего условие плоской зоны.
Ситуация, изображенная на рис. 4.2.1, соответствует такому
изгибу зон, что уровень Ферми в полупроводнике p-типа на
Полевые транзисторы
339
а
Рис. 4.2.1. а — схематическое изображение структуры МДП-конденсатора и
б — соответствующая зонная диаграмма при нулевом смещении. При выбран-
ном напряжении плоских зон нулевое напряжение на затворе соответствует
обогащенному дырками слою на границе раздела полупроводник—диэлектрик:
Упз — напряжение плоских зон; Xmt Xs и Хд — работа выхода электронов из
металла и значения электронного сродства в полупроводнике и диэлектрике
соответственно, — ширина запрещенной зоны в полупроводнике.
21*
340
Глава 4
рис.
зоны становятся плоскими (см.
Зона
проводимости
£s
квазиуровень
Ферми
Валентная
зона
границе раздела диэлектрик—полупроводник ближе к потолку
валентной зоны. Поэтому концентрация дырок у границы раз-
дела выше, чем в объеме вдали от границы. Эта ситуация соот-
ветствует режиму обогащения. Когда на металл (затвор) подается
напряжение смещения, равное напряжению плоской зоны Упз>
4.2.2) и концентрация ды-
рок у границы ди-
электрик—полупроводник
оказывается равной рав-
новесной концентрации
дырок в полупроводнике
p-типа. Если продолжать
увеличивать напряжение
на затворе, то область
вблизи границы диэлек-
трик—полупроводник на-
чинает обедняться дыр-
ками (режим обеднения,
рис. 4.2.3,а). При еще
большем положительном
напряжении на затворе
изгиб зон становится
столь значительным, что
уровень Ферми у гра-
ницы диэлектрик—полу-
проводник оказывается
расположенным ближе к
дну зоны проводимости,
чем к потолку валентной
зоны (рис. 4.2.3, б). В этом случае тип носителей заряда у гра-
ницы такой же, как в полупроводнике n-типа. Это явление назы-
вается инверсией.
Концентрация электронов в полупроводнике вблизи границы
диэлектрик—полупроводник возрастает с ростом напряжения
на затворе, причем увеличение изгиба зон приводит к экспо-
ненциальному росту концентрации электронов. Так, возраста-
ние изгиба зон на величину теплового напряжения kT/q «
25,8 мэВ при комнатной температуре приводит к возраста-
нию объемной концентрации электронов на ехр(1) « 2,718. Та-
ким образом, даже сильное возрастание концентрации электро-
нов, т. е. заряда, наведенного у границы раздела, связано при
инверсии с относительно малым изменением поверхностного
потенциала Vn- Наведенный заряд пропорционален напряже-
нию на затворе. В режиме инверсии производная от поверх-
ностного потенциала по напряжению на затворе dVn/dV3 мала
по сравнению с ее значением в режиме обеднения. Во многих
Рис. 4.2.2. Зонная диаграмма МДП-конден-
сатора при напряжении, равном напряже-
нию плоских зон; У3 — напряжение на за-
творе.
Полевые транзисторы
341
4V3
Квазиуровень
Ферми
Валентная
зона
Зона
проводимости
4V3
Зона
проводимости
Квазиуровень
Ферми
Валентная
зона
Рис. 4.2.3. Зонная диаграмма структуры МДП-конденсатора в режимах обед-
нения (а) и инверсии (б).
342
Глава 4
статьях и книгах инверсия называется сильной, когда разность
между уровнем Ферми и его значением у границы раздела фп
становится равной и противоположной по знаку этой же раз-
ности, но в объеме полупроводника фоб (рис. 4.2.4):
фп= — фоб- (4.2.2)
Здесь
Рис. 4.2.4. Зонная диаграмма структуры МДП-конденсатора в начале ре-
жима сильной инверсии. (Инверсия считается сильной, когда разность энер-
гий уровня Ферми на границе раздела и собственного полупроводника ста-
новится равной и противоположной по знаку этой же разности в объеме
полупроводника вдали от границы раздела.)
где Na — концентрация мелких акцепторов в полупроводнике,
nt — собственная концентрация носителей заряда, a q — заряд
электрона. Значения фп, удовлетворяющие неравенству —фОб<
< фп < Фоб, соответствуют слабой инверсии и режиму обедне-
ния, фп — фоб — условию плоских зон, а фп > Фоб — режиму
обогащения. (Поверхностный потенциал Vn, рассчитанный из
значений потенциала полупроводника вдали от границы раз-
дела, равен фоб — фп.)
Тсивидис [116] дал более строгое определение разным ре-
жимам инверсии. В соответствии с этим определением в режиме
слабой инверсии производная \й^п/йУз\ — \йУп/йУз\ остается
относительно большой, в режиме сильной инверсии — относи-
тельно малой, а уравнение (4.2.2) соответствует началу режима
средней инверсии. Сильная инверсия имеет место, когда изгиб
зон начинает превышать 2фОб на несколько kT/q. Это определе-
ние согласуется с нашими качественными рассуждениями о ха-
рактере зависимости dVJdVz, приведенными выше. Напряже-
ния, соответствующие средней инверсии, могут достигать 0,5 В.
Полевые транзисторы 343
Таким образом, этот режим очень важен для современных
транзисторов, работающих при достаточно низкой потребляе-
мой мощности. Тем не менее для простоты далее мы не будем
различать режимы средней и сильной инверсии (более подробно
этот вопрос обсуждается в работе [113]).
Поверхностная концентрация электронов и дырок описыва-
ется выражениями
«п = «Роехр [— qV„l(kT)], (4.2.3)
Рп = Рро ехр [qVn/(kT)], (4.2.4)
где рРо = Na, Na — концентрация мелких акцепторов в полу-
проводнике p-типа, a tip^-tu/NA — равновесная концентрация
неосновных носителей заряда (электронов) в объеме при гра-
ничном для сильной инверсии значении напряжения Vn =
= —2фоб., Из выражений (4.2.3) и (4.2.4) получим равенство
nnPn = nr (4.2.5)
Это соотношение следует из условия отсутствия в полупро-
воднике тока в направлении, перпендикулярном границе раз-
дела диэлектрик—полупроводник, и соответствует неоднород-
ному равновесному и плоскому (постоянному по координате)
уровню Ферми в полупроводнике. В данном случае распределе-
ние электронов по энергии описывается функцией Ферми—Ди-
рака с температурой Г, равной температуре транзистора.
Пространственное распределение потенциала в полупровод-
нике можно представить с помощью уравнения Пуассона
d2Vjdx2 = — р (х)/епп, (4.2.6)
где плотность пространственного заряда р(х) определяется вы-
ражением
р(х) = <?(р — п — Na). (4.2.7)
Концентрацию электронов и дырок пир можно представить
в виде
п = Про ехр (qVIkT), (4.2.8)
р = рроехр(—qVfkT), (4.2.9)
где потенциал V считается равным нулю в объеме полупровод-
ника вдали от границы раздела.
Условие электронейтральности в объеме полупроводника
(вдали от границы раздела диэлектрик—полупроводник) отра-
жается соотношением
N А — Рро При*
(4.2.10>
344
Глава 4
Подстановка выражений (4.2.7) — (4.2.10) в (4.2.6) приводит
к уравнению
d2V /dx2 = (<?/епп) {гар0 [ехр (qV/kT) — 1] — рр0 [ехр (—qV/kT) — 1 ]}.
(4.2.11)
Используя определение напряженности электрического поля
E = —dV/dx, (4.2.12)
левую часть уравнения (4.2.11) можно представить как
(—dE/dx). Разделив это уравнение на (4.2.12), имеем
Е (dE/dV) = (д/епп) {Про ехр (qV/kT) — 1] — рр0 [ехр (—qV/kT) — 1 ]}.
(4.2.13)
Интегрируя полученное выражение по У, запишем
£2 = (2<7/епп)$ [np0[exp(qV'/kT)-l]-pp0[exp(~qV'/kT)-\]}dV'.
(4.2.14)
Здесь нулевое значение потенциала соответствует его зна-
чению в объеме полупроводника вдали от границы раздела.
Выражение (4.2.14) приводится к виду
Е2 = (2йГ/епп) {рро [ехр (-qV/kT) + qV/kT - 1] +
+ пр0 [ехр (qV/kT)-qV/kT- 1]}. (4.2.15)
Введя радиус Дебая
Лд = (еппА>7’/^л)1/2, (4-2.16)
выражение (4.2.15) можно переписать в виде
Е = ]/2 kT/(qLp)f, (4.2.17)
где
f = ± {[ехр(—qV/kT) + qV/kT -1J +
+ (пр0/рр0)[ехр (qV/kT) —qV/kT — 1])1/2. (4.2.18)
Здесь знак плюс соответствует положительному потенциалу,
а минус — отрицательному. В частности на границе раздела
диэлектрик—полупроводник напряженность электрического
поля равна
Ea = V2kT/(qLa)f(qVn/kT), (4.2.19)
где Уц— значение напряжения на границе. Используя теорему
Гаусса, можно связать полную поверхностную плотность заряда
в полупроводнике Qnn с электрическим полем на границе
I Qnn | — епп | I- (4.2.20)
Полевые транзисторы
345
Рассчитанная таким образом зависимость поверхностной
плотности заряда от потенциала на поверхности Si дана
на рис. 4.2.5. Она наглядно демонстрирует переход от режима
обогащения через условие плоских зон к режиму обеднения,
затем к режимам слабой, средней и, наконец, сильной инверсии.
Рис. 4.2.5. Расчетная зависимость
поверхностной плотности заряда
в кремнии от потенциала на по-
верхности. Кривые рассчитаны
с помощью программы PLOTF
с подпрограммой POS. BAS. Кон-
центрация легирующей примеси
р-типа (#а) составляет: 1—
1013 см-3, 2—1016 см”3. При рас-
чете использованы следующие па-
раметры: температура Т==300 К,
напряжение плоских зон УПз = 0,
ширина запрещенной зоны 1,12 эВ,
диэлектрическая проницаемость
полупроводника епп=1,054 Х
Ю”10 Ф/м, эффективная плотность
состояний в зоне проводимости
и в валентной зоне при темпера-
туре 300 К 3,22-1019 и 1,83Х
Х1019 см"3 соответственно.
Потенциал на поверхности,Ъ
При отрицательном потенциале на по-
верхности поверхностная плотность заряда положительна — режим обогащения. Изме-
нению потенциала на поверхности от 0 до 2<рб соответствуют режимы обеднения и
слабой инверсии, Уп= 2д]фоб]“ (2feT/g)In(W— началу сильной инверсии, при
больших значениях абсолютная величина поверхностной плотности заряда растет про-
порционально qVnl2kT.
[Из анализа выражений (4.2.19), (4.2.20) следует, что как
в режиме обогащения, так и в режиме сильной инверсии по-
верхностный заряд пропорционален ехр[?| Уп |/(2£Т) ]; (см.
задачу 4.2.9).] Качественные зависимости распределения за-
ряда и электрического поля в МДП-структуре для режимов
обогащения, обеднения, инверсии и условия плоских зон пред-
ставлены на рис. 4.2.6.
Напряжение на затворе можно связать с поверхностным по-
тенциалом Vn следующим образом. Электрическое поле на по-
верхности полупроводника определяется выражением (4.2.19).
Используя условие непрерывности электрической индукции
Епп^п = ед£д (4.2.21)
(здесь 8д — диэлектрическая проницаемость слоя диэлектрика,
а Ед— напряженность электрического поля в нем), найдем ве-
личину падения напряжения Epd^ где — толщина слоя ди-
электрика, и окончательно получим напряжение на затворе
У3 = Упз4-Уп + еппЕп/Сд. (4.2.22)
-346
Глава 4
Режим
. обогащения
Режим
обеднения
£ S
Металл
Q.
Полупроводник
Расстояние
Полупроводник
Металл
Расстояние
'пп
Полупроводник
] Расстояние
металл
Рис. 4.2.6. Качественный вид распре-
деления заряда и электрического по-
ля в МДП-структуре в режимах обо-
гащения (а), обеднения (б) и инвер-
сии (в). Заряд на границе раздела
металл—диэлектрик практически со-
средоточен в плоскости.
Полевые транзисторы 347
Здесь
сд = Сд/с?д (4.2.23)
— емкость слоя диэлектрика единичной площади.
В качестве примера рассчитаем пороговое напряжение Упор,
соответствующее началу режима сильной инверсии. Как видно
из формулы (4.2.2), при нулевом потенциале на подложке этот
режим начинается, когда потенциал на поверхности полупро-
водника Уп, измеренный относительно объема полупроводнико-
вой подложки вдали от границы раздела, становится равным
2фОб. (Как упоминалось выше, в данном случае мы пренебре-
гаем переходным режимом средней инверсии, более строгий
подход можно найти в работе [116].) При этом значении по-
тенциала на поверхности полупроводника заряд свободных но-
сителей, наведенный у границы раздела диэлектрик—полупро-
водник, все еще мал по сравнению с зарядом в обедненном
слое, который описывается выражением
(?обед = (2епп^лУп),/2 = (4епп<7ЛГл<Роб),/2. (4.2.24)
Этот заряд вызывает появление на границе диэлектрик — полу-
проводник электрического поля
Еп = (4^лф0б/епп)'/2. (4.2.25)
Используя формулу (4.2.22), найдем
КПор = 1Л1з + 2<рОб + (4<7Л^ЛфОбЕгп1) i /сд, (4.2.26)
где
<Роб = (^Г/9)1п(Ул/л1) (4.2.26а)
[см. выражение (4.2.2а)]. Как упоминалось выше, это значение
порогового напряжения соответствует началу средней инверсии.
Пороговое напряжение Упор — один из важнейших парамет-
ров МДП-приборов. Результаты расчета типичных зависимостей
Упор от температуры, концентрации примеси в полупроводнике
и толщины диэлектрика представлены на рис. 4.2.7.
Обсудим теперь влияние напряжения смещения подложки
на пороговое напряжение. Для МДП-структур, изображенных
на рис. 4.2.1, а, учет потенциала подложки УПОдл сводится к за-
мене напряжения У3 на У3— Уподл. Таким образом, пороговое
значение напряжения, соответствующее режиму сильной инвер-
сии, равно
Уз Vподл =: l^nop»
где Упор определяется выражением (4.2.26). Ситуация, однако,
становится иной при условии, что проводящий слой подвижных
электронов, наведенных у границы диэлектрик — полупровод-
ник, при сильной инверсии находится под воздействием по-
348
Глава 4
Рис. 4.2.7. Зависимости порогового
напряжения УЦОр от температуры (а),
концентрации примеси (б) и толщины
диэлектрика (в). Зависимости рассчи-
таны при помощи программы PLOTF
с подпрограммой PVT.BAS. При
расчете использованы следующие па-
раметры материала: напряжение пло-
ских зон Vn3==0 В, ширина запре-
щенной зоны 1,12 эВ, диэлектриче-
ская проницаемость полупроводника
и диэлектрика 1,054-10"10 и 3,454Х
X10—11 Ф/м соответственно, эффек-
тивная плотность состояний в зоне
проводимости и валентной зоне при
температуре 300 К 3,22-1019 и 1,83х
ХЮ19 см-3 соответственно.
стоянного потенциала. Именно такая ситуация возникает
в МОП ПТ, рассматриваемых в разд. 4.4. Предположим, что
инверсионный слой заземлен. Тогда напряжение подложки сме-
щает переход «канал м-типа — подложка p-типа», изменяя ве-
личину отрицательного заряда в обедненном слое. В этих усло-
виях имеем
Упор пз + 2фОб + [2(//Vд (2фОб — V подл) &ПП ]1/2/сд. (4.2.266)
Это выражение неприменимо к двухэлектродным приборам
на МДП-структурах. Оно, однако, окажется полезным при ана-
лизе МОП пт.
Полевые транзисторы 349
Пороговое напряжение могут также изменить быстрые по-
верхностные состояния на границе диэлектрик—полупроводник
(см. задачу 4.2.2 и разд. 4.3) и связанный заряд в слое диэлек-
трика. Обозначим объемную плотность этих зарядов Nt(x). По
теореме Гаусса возрастание заряда на единичной площади
qNt(x)dx создает на расстоянии х от границы металл — диэлек-
трик дополнительное поле qNt(x)dx/z^ которое в свою очередь
обусловливает дополнительное падение напряжения на вели-
чину qNt(x)xdx/bz. Интегрируя последнее по всему слою ди-
электрика, найдем смещение порогового напряжения AVIIOP,
вызванное связанным зарядом,
AVnOp = (<?/ед) J Nt (х) х dx (4.2.27)
о
(см. задачу 4.2.3). В первых приборах на МОП-структурах ионы
натрия в слое диоксида кремния создавали большое положи-
тельное смещение порогового напряжения, что привело к воз-
никновению различных проблем.
4.3. Вольт-фарадные характеристики МДП-структур
Емкость слоя полупроводника Спп идеальной МДП-струк-
туры можно рассчитать по формуле
Cnn = S-g^, (4.3.1)
где Qnn — полная поверхностная плотность заряда в полупро-
воднике, а Уп — потенциал на его поверхности. Используя
(4.2.19), (4.2.20) и выполняя дифференцирование, получим
Здесь
СПпо = епп5/£д (4.3.3)
— емкость полупроводника при выполнении условия плоских
зон (т. е. при Уп = 0), а £д = [(еПп&77<72Д^)]1/2— радиус Де-
бая в полупроводнике.
Полная емкость МДП-структуры Смдп равна суммарной ем-
кости последовательно соединенных емкостей полупроводника
Спп и диэлектрика Сд (рис. 4.3.1):
Смдп - СС^Т~, (4-3-4)
Сд -f- Спп
350
Глава 4
где
cA = s-^.
ад
(4.3.5)
В равновесных условиях напряжение на затворе описывается
выражением
У3 = Уд + 1/п + Vn3, (4.3.6)
Рис. 4.3.1. Упрощенная экви-
валентная схема МДП-струк-
туры. (Схема справедлива
только на низких частотах, так
как не учитывает последова-
тельное сопротивление.)
где Упз — напряжение, соответствующее плоским зонам, а
у = е d
ИД —^пид „ •
ед
Здесь Еп — электрическое поле на границе полупроводника,
ед и Епп — диэлектрические проницаемости диэлектрика под
затвором и полупроводника соответственно, а Уп — потенциал
на границе раздела полупроводник—диэлектрик. Расчетная за-
висимость Смдп от напряжения на затворе представлена на
рис. 4.3.2 при разной концентрации примеси в полупроводнике.
В режимах обеднения, слабой и сильной инверсии емкость
полупроводника Спп включает две составляющие: емкость обед-
ненного слоя
Собед = 5^- (4.3.7)
и обед
и емкость
^'п нав === ^пп ^обед, (4.3.8)
связанную со свободными зарядами, наведенными напряже-
нием затвора в полупроводнике. Здесь толщина обедненного
слоя равна
</Обед = [2еП1Уп/(^л)]1/2 (4.3.9)
при напряжении на затворе, меньшем порогового Упор, и
йобед « 2 [епп<р05/(<7^)]’/2 (4.3.10)
при напряжении, большем порогового.
Полевые транзисторы
351
Емкость Сп. нав становится важной в режиме инверсии, осо-
бенно при сильной инверсии. В последнем случае значительная
часть заряда наводится у границы полупроводник—диэлектрик,
где изгиб зон наибольший (рис. 4.2.6,в). Эти неосновные носи-
сч
X
-7,5 -5 -2,5 0 2,5 $ 5
Напряжение на затворе, В
Рис. 4.3.2. Вольт-фарадные характеристики МДП-структуры при разной кон-
центрации примеси в полупроводнике. Зависимости рассчитаны при помощи
программы PLOTF с подпрограммой PCMIS. BAS. При расчете использо-
ваны следующие значения параметров: dA = 30 нм, еПп = 1,05-10~12 Ф/м,
ед==3,45-10~12 Ф/м, 7=300 К, nt = 1010 см~3, УПз = 0.
тели заряда возникают вследствие генерации электронов и ды-
рок, главным образом, с генерационно-рекомбинационных
центров в полупроводнике. В принципе тепловая генерация
электронно-дырочных пар через запрещенную зону также может
вносить вклад в формирование заряда неосновных носителей
заряда инверсионного слоя. После генерации электронно-ды-
рочной пары основной носитель заряда (например, дырка в ма-
териале p-типа) удаляется из области пространственного за-
ряда встроенным полем, которое выносит его из обедненного
слоя в подложку. Неосновной носитель заряда (электрон в ма-
териале p-типа) выталкивается электрическим полем простран-
ственного заряда к границе раздела полупроводник — диэлект-
рик. Этот процесс схематически изображен на рис. 4.3.3. Обра-
зование встроенного заряда неосновных носителей у границы
раздела полупроводник — диэлектрик в режиме инверсии огра-
ничено процессом генерации электронно-дырочных пар, что от-
ражает эквивалентная схема МДП-структуры, представленная
352
Глава 4
на рис. 4.3.4. Эта схема содержит последовательное с полу-
проводниковым слоем сопротивление /?Посл. Для полупровод-
ника p-типа имеем
= (4.3. И)
Рис. 4.3.3. Схематическое
изображение процесса
разделения электронов и
дырок электрическим по-
лем у границы раздела
полупроводник—диэлек-
трик.
5
Рис. 4.3.4. Эквивалентные схемы МДП-
структуры: а—подробная эквивалент-
ная схема, б — RC — схема (Япосл—
последовательное сопротивление слоя
полупроводника).
где Ир — подвижность дырок, a L — толщина слоя полупровод-
ника. Дифференциальное сопротивление /?ген можно определить
следующим образом:
Яге.. = 4г^. (4.3.12)
«'ген
Ток генерации /ген примерно пропорционален объему обеднен-
ной области
(4.3.13)
Тген
ГДе Тген эффективное время генерации. Используя выраже-
ния (4.3.9) и (4.3.13), найдем следующее соотношение (для
напряжений, меньших порогового):
/?ген —
2А/ЛИП \ен
епп4 niS '
(4.3.14)
Полевые транзисторы
353?
Малосигнальный импеданс эквивалентной схемы, приведенной
на рис. 4.3.4, можно представить как комбинацию зависимых
от частоты эквивалентных конденсатора Сэкв и резистора 7?ЭКВг
где
► __ Сд^эфф
экв“ Сд + Сэфф
г _ (Si нав + Собед)2 + w ^обед^п нав^ген
эфф „ I I
нав * обед । ш ^обед^п нав1'ген
Г2 Р
п _____ n । п нав7'ген
Лэкв — Япосл “Г — ~ 7Т612г2 ^2
нав । ъобед) г ш ьобеп нав7'ген
(4.3.15)
(4.3.16)
(4.3.17)
Как следует из приведенных выражений, в предельном случае
(и 0 имеем
^эфф == Снав 4“ ^обед* (4.3.18)
В другом предельном случае со О
Сэфф = Собед» (4.3.19)
что и следовало ожидать, исходя из эквивалентной схемы, пред-
ставленной на рис. 4.3.4.
Расчетная зависимость СЭфф от напряжения на затворе V3
изображена на рис. 4.3.5, а. Для сравнения на рис. 4.3.5, б при-
ведены и экспериментальные кривые [29], которые позволяют
определить основные параметры МДП-структуры, такие, как
встроенный потенциал, толщина диэлектрика под затвором и
концентрация легирующей примеси в подложке. Максимальная
измеренная емкость Стах определяет толщину диэлектрика
йд = ед5/Стах. (4.3.20)
Минимальная емкость, измеренная на высоких частотах,
позволяет рассчитать концентрацию легирующей примеси в по-
лупроводниковой подложке. Вначале определяют емкость обед-
ненной области в режиме сильной инверсии
1/Собед= 1/Cmin 1/Cmax. (4.3.21)
Затем находят толщину обедненной области
^обед = ^пп’^/С*обед* (4.3.22)
Далее, используя выражения (4.3.10) и (4.2.26а), определяют
концентрацию легирующей примеси:
« 2 [е1Ш<₽об/(<7ЛС1)]1/2, (4.3.23)
фоб = (^7’/<7)1п(А^л/п1). (4.3.24)
23 Заказ № 304
354
Глава 4
2,00-10-“
£
О
1,50 * Ю’*
5,00 • 10 -5 -------1---------1--------1---------1--------
-7,5 -5 2,5 О 2,5 5
Напряжение на затворе, В
а
Рис. 4.3.5. а — расчетные вольт-фарадные характеристики МДП-структуры
на разных частотах. Зависимости получены при помощи программы PLOTF
с подпрограммой PMISF.BAS. При расчете использованы следующие значе-
ния параметров: сГд = 30 нм, еПп= 1,05-10"12 Ф/м, ед = 3,45-10-12 Ф/м,
Т=300 К. Hi =1010 см“3, Тген=10*"8 с, Упз=0; б — экспериментальные вольт-
фарадные характеристики затвора [29].
Два последних уравнения можно решить методом итера-
ций. Например, в качестве первого приближения можно поло-
жить фоб = 0,2 эВ, определить из (4.3.23) величину Na, исполь-
зуя выбранное значение фоб, затем по формуле (4.3.24) найти
Полевые транзисторы
355
более точное значение фоб, определить из (4.3.23) величину NA,
используя полученное новое значение фОб и т. д. до тех пор,
пока не будет достигнута требуемая точность. Далее по фор-
1Л
\2
Е
Определить толщину диэлектрика
по величине максимальной емкости
£
I
£
*
Определить налряж\ \
0,8 ние плоских зон по
емкости плоских зон
Высокочастотные
измерения
0,6
0,4
0,2 -
Щз
k Определить поверхност-
\ ную плотность примеси
к по величине минимаяы
L \ной емкости
0________1_____1_____।_____I—
-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5
шаг
с.
mm
Напряжение на затворе, В
Обогащение
--------------Сильная инверсия
Рис. 4.3.6. Определение параметров МДП-структуры из вольт-фарадных ха-
рактеристик. Прерывистой линией представлен сдвиг характеристики вслед-
ствие высокотемпературного воздействия.
мулам (4.3.3) и (4.3.4) найдем емкость прибора Спз, соответ-
ствующую условию плоских зон:
Сд^ПП о ___ ______£д______
+ ^пп О (£ПП^Д + ед^д)
(4.3.25)
Поскольку значения dA и NA определены, формула (4.3.25)
позволяет вычислить Спз/Стах = СПз/Сд. Напряжение на за-
творе, соответствующее данной величине Спз/Со, равно напря-
жению плоских зон. Принципы определения характеристик при-
бора иллюстрирует рис. 4.3.6.
Следует отметить, что данный метод получения характе-
ристик прибора, вообще говоря, применим только к идеальным
МДП-структурам. Вольт-фарадные характеристики этих струк-
тур могут сильно зависеть от подвижных ионов в слое диэлек-
трика под затвором и поверхностных состояний на границе раз-
дела диэлектрик — полупроводник. Природа этих состояний
окончательно не выяснена даже для наиболее изученных гра-
ниц раздела кремний — диоксид кремния (см. работу [108]).
23*
356
Глава 4
Плотность поверхностных состояний очень сильно зависит от
процесса роста оксида и может меняться от столь значительной
величины, как 1015 см~2 (которая примерно соответствует пол-
ной поверхностной плотности атомов) до очень малых значений
(1010 см”2). Поверхностные состояния на границе диэлектрик —
полупроводник, как и на границе металл — полупроводник (см.
разд. 2.9) могут быть акцепторного или донорного типа в зави-
Рис. 4.3.7. Влияние поверхностных состояний на вольт-фарадные характе-
ристики МДП-структур [29].
симости от их зарядового состояния, т. е. от того, заняты они
электроном или нет. При изменении поверхностного потенциала
одновременно изменяется заряд поверхностных состояний, что
приводит к смещению порогового напряжения в области силь-
ной инверсии (задача 4.2.2) и меняет вид вольт-фарадных ха-
рактеристик (рис. 4.3.7). На эквивалентной схеме МДП-струк-
туры поверхностные состояния могут быть представлены после-
довательно соединенными эквивалентными конденсатором Спс
и резистором /?пс (рис. 4.3.8). Постоянная времени Сг]С/?Пс ха-
рактеризует временной отклик поверхностных состояний. На
основе данной эквивалентной схемы можно интерпретировать
измерения частотных зависимостей емкости и сопротивления
МДП-структур. Измерения такого типа позволяют получить
информацию о плотности поверхностных состояний (рис. 4.3.9).
Как видно из приведенного рисунка, зависимость плотности по-
верхностных состояний от энергии на границе раздела крем-
ний— диоксид кремния в существенной степени определяется
кристаллографической ориентацией границы. Меньшая плот-
ность поверхностных состояний при ориентации <100> корре-
лирует с меньшей плотностью возможных связей на поверх-
ности кремния. Именно поэтому кремниевые МОП ПТ изготав-
Полевые транзисторы
357
ливаются на <100>-под-
ложках [9]. Рис. 4.3.9
демонстрирует также
примерно экспоненциаль-
ное возрастание плотно-
сти поверхностных со-
стояний при энергиях,
близких к краям зон. Бо-
лес подробное обсужде-
ние поверхностных со-
стояний на границе крем-
ний— диоксид кремния и
связанных зарядов в слое
диоксида кремния приве-
дено в работе [73].
Роль подвижных ионов
в слое диэлектрика под
затвором определяется
с помощью теста, осно-
ванного на воздействии
сильного напряжения и
температуры. В процессе
такого исследования к за-
твору прикладывается
напряжение, которое соз-
дает поле на затворе по-
рядка 106 В/см, а темпе-
ратура устанавливается
от 175 до 300 °C. Вольт-
фарадные характеристи-
ки измеряют до и после
тестирования (воздейст-
вие сильного напряжения
и повышение температуры
продолжаются ~3 мин).
Наблюдаемый парал-
лельный сдвиг вольт-фа-
радных характеристик со-
ответствует изменению
напряжения плоских зон
АУпз (рис. 4.3.6). Для ок-
сида хорошего качества
это изменение не должно
превышать несколько
милливольт.
Рис. 4.3.8. Эквивалентная схема МДП-
структуры, учитывающая поверхностные со-
стояния.
Рис. 4.3.9. Экспериментальная плотность по-
верхностных состояний на границе раздела
кремний-диоксид кремния {120].
Глава 4
4.4. Полевые транзисторы на МОП-структурах.
Приближение плавного канала и модель
управления зарядом
4.4.1. Принцип работы
Схематическое изображение МОП ПТ представлено на
рис. 4.4.1. В подложке р-типа диффузией или ионной импланта-
Рис. 4.4.1. Схематическое изображение МОП ПТ. Две п+-области форми-
руются диффузией или ионной имплантацией в кремниевой подложке р-типа
для создания контактов истока и стока. Обедненные области между ^-об-
ластями и каналом n-типа, с одной стороны, и подложкой р-типа — с дру-
гой, обеспечивают изоляцию проводящих областей от подложки.
цией формируются две п+-области, на которых создаются два
омических контакта, называемых истоком и стоком. Слой ди-
оксида кремния разделяет третий контакт — затвор и проводя-
щий канал, наведенный в кремнии у границы раздела под
затвором.
Когда к затвору прикладывается положительное напряже-
ние, в канале наводится отрицательный заряд, образующий
проводящий канал между стоком и истоком. Таким образом
транзистор включается. Обедненные области между подложкой
р-типа, с одной стороны, и и+областями, n-каналом —с другой,
обеспечивают изоляцию между транзисторами, сформирован-
ными на одной подложке. При изменении напряжения на за-
творе меняется концентрация электронов в канале, проводи-
мость последнего и соответственно ток, протекающий через
Полевые транзисторы
359
транзистор. Под воздействием напряжения носители заряда
перемещаются по каналу от истока к стоку. Проводимость
канала и соответственно ток сток—исток — /с модулируется на-
пряжением на затворе.
При замыкании контактов истока и стока прибор оказы-
вается аналогом МДП-конденсатора с одним важным отли-
чием: он содержит сильнолегированные контактные области,
представляющие собой резервуар, из которого электроны могут
поставляться в канал и куда они могут уходить из канала.
Поэтому вольт-фарадные характеристики такого прибора
(с замкнутым истоком, стоком и подложкой) вплоть до доста-
точно высоких частот (порядка обратного времени пролета но-
сителей заряда через капал) при напряжениях, превышающих
пороговое, выглядят так же, как вольт-фарадные характе-
ристики МДП-структур на очень низких частотах (см. рис. 4.3.5).
4.4.2. Приближение плавного канала и модель
с постоянной подвижностью
Для расчета вольт-амперных характеристик МОП ПТ вос-
пользуемся приближением плавного канала, предложенным
Шокли. Оно основано на допущении о том, что плотность элек-
трического заряда, связанного с изменением электрического
поля в канале в направлении, параллельном границе раздела
полупроводник — диэлектрик, существенно меньше плотности
заряда, обусловленной изменением электрического поля в на-
правлении, перпендикулярном той же границе, т. е. | дЕх/дх| <
\дЕу/ду\, Таким образом, потенциал канала оказывается
«плавной» функцией координаты (рис. 4.4.2), мало изменяю-
щейся на расстоянии порядка толщины диэлектрика. При этом
необходимо выполнение условия где L — длина за-
твора. В приближении плавного канала справедливо допуще-
ние, в соответствии с которым заряд, наведенный в данной
точке канала, может быть определен с помощью формул, полу-
ченных для МДП-структур, если в выражении для полной по-
верхностной плотности заряда Qnn, наведенного в слое полупро-
водника, постоянную величину потенциала поверхности 1/п за-
менить на Укан(л'). При этом предполагается, что прибор
работает в запороговом режиме, т. е. напряжение на затворе
достаточно велико для того, чтобы вдоль всего канала выпол-
нялось условие сильной инверсии. Тогда поверхностная плот-
ность наведенного заряда определяется выражением
Qnn — -сд[7з-2Фоб-УПз-Ккан(х)], (4.4.1)
где сд — емкость единичной площадки слоя диэлектрика, а раз-
ность напряжений в скобках — падение напряжения на этом
360
Глава 4
слое. (Мы рассматриваем здесь транзистор с каналом п-типа.
Однако все полученные результаты справедливы и для при-
Рис. 4.4.2. Приближение плавного канала: а — качественное сравнение парал-
лельной и перпендикулярной границе раздела составляющих электрического
поля в канале; б — качественный вид распределения потенциала в канале.
Приближение основано на допущениях о пренебрежимой малости параллель-
ной границе раздела полупроводник—диэлектрик составляющей электриче-
ского поля Еп по сравнению с перпендикулярной составляющей Е± и плав-
ном пространственном изменении потенциала в канале. Последнее означает,,
что потенциал мало изменяется на расстоянии порядка толщины диэлек-
трика t/д.
боров с каналом р-типа при соответствующей замене знака.)
Предположим, что исток заземлен [ VKalI (0) = 0], а потен-
циал стока равен Vc(Укан(Л) = 14). Будем также пока считать,
что полупроводниковая подложка соединена с истоком, т. е.
14одл === 0.
Поверхностную плотность наведенных свободных электро-
нов riss в каждой точке канала можно найти, выделив поверх-
ностный заряд акцепторов в обедненном слое фобед из полного
наведенного заряда
nss = Ci [У3 - 2<роб - Упз - Укап (x)]/q -^£д1. (4.4.2>
Полевые транзисторы
361
У истоковой части затвора,
где Укан = 0, поверхностная
плотность заряда обедненной
области определяется выра-
жением
^обед (Я 0) = ^‘Мд^обед ==:
= — (4еПп<7^дфоб)1/2.
(4.4.3)
см. формулу (4.3.10). Но во
всем канале полный изгиб зон
между объемом полупровод-
никовой подложки и ее по-
верхностью равен 2фоб + Vкан»
поскольку переход наведен-
ный канал п-типа — подложка
р-типа обратно смещен на-
пряжением Укан(х). Зонные
диаграммы структуры у исто-
кового и стокового краев ка-
нала в направлении, перпен-
дикулярном границе полупро-
водник — диэлектрик, сопо-
ставляются на рис. 4.4.3. На
рис. 4.4.4 представлено каче-
ственное двумерное изображе-
ние дна зоны проводимости по-
лупроводника. Этот рисунок
Рис. 4.4.3. Зонная диаграмма струк-
туры МОП ПТ у истокового (а) и
стокового (б) краев канала в напра-
влении, перпендикулярном границе
раздела полупроводник—диэлектрик.
наглядно иллюстрирует возрастание изгиба зон в канале от
истока к стоку. Соответственно возрастают толщина обеднен-
ного слоя и плотность заряда в нем
<2обед(*) = — qNAdo6e!S_ = — (2епп^д[7кан(х) + 2фоб]}1/2, (4.4.4)
поскольку потенциал канала создает дополнительное обратное
смещение перехода наведенный канал п-типа — подложка
р-типа.
Ток стока /с определяется выражением
= (4.4.5)
352
Глава 4
где Ji* — подвижность электронов в слабом поле, a W— ширина
затвора. Мы полагаем, что скорость электронов vn пропорцио-
нальна компоненте электрического поля £, параллельной гра-
нице раздела полупроводник — диэлектрик
о„ = Цл|5|. (4.4.6)
Координата
Рис. 4.4.4. Качественное двумерное изображение дна зоны проводимости
в МОП ПТ с каналом п-типа.
В действительности, и это будет учтено в разд. 4.5, важную
роль играет насыщение скорости электронов в сильном электри-
ческом поле.
Выражение (4.4.5) можно переписать в виде
dx = (VKaH) dyKaH> (4.4.7)
* с
Интегрируя (4.4.7) от нуля по всей длине канала L (что
соответствует изменению VKaH от нуля у истокового края за-
твора до Vc — у стокового края), получим следующее выра-
жение для вольт-амперной характеристики:
/с = Цп (W/L) СД {(У8 - Упз - 2фоб - -у-) Ус -
-1 [(2епп^л)1/2/Сд1 [(Ус + 2ф0б)3/2 - (2ф0б)3/2]}. (4.4.8)
Данное выражение справедливо для значений Ус, при которых
инверсионный слой существует хотя бы у стокового края за-
твора, т. е.
nss(yc)>0. (4.4.9)
Условие nss = 0 называют условием отсечки (перекрытия
канала). Как следует из выражений (4.4.2) и (4.4.3), отсечка
у стокового края затвора происходит, когда
V. - = V. - Ч» - I'n. + ('..«) X
Х{1 - [1 +2(v;-vnJ?>.A)],s}- <4-4-10>
Полевые транзисторы
363
Если Уз ~* Упор, то Ус нас Уз— Упор, ГДв Упор — ПОрОГОВОС
напряжение, соответствующее началу сильной инверсии и равное
У пор — Упз + 2<роб +
2 К^п^дФрб
сд
(4.4.11)
см. формулу (4.2.26). (Более подробный анализ требует учета
различий между сильной и средней инверсией, см. разд. 4.2
в данной книге, а также
работу [116].)
Большинство МОП ПТ
имеет четвертый контакт-
ный электрод, соединен-
ный с подложкой (см.
рис. 4.4.1). С учетом на-
пряжения смещения на
подложке выражение
(4.4.11) можно перепи-
сать в виде
V пор==^ пз+Зфоб+^Епп^ А X
X (2фоб Vподл)] /сд*
(4.4.12)
Здесь Уподл — раз-
ность потенциалов ме-
жду инверсионным слоем
у границы полупровод-
ник— диэлектрик и кон-
тактом к подложке. По-
следнее справедливо толь-
Рис. 4.4.5. Зонная диаграмма МОП ПТ
с каналом n-типа в направлении, перпенди-
кулярном границе раздела полупроводник—
диэлектрик при отрицательном напряжении
на подложке.
ко для отрицательного
или небольшого положительного напряжения смещения на под-
ложке, т. е.
^подл < 2фоб,
когда переход наведенный инверсионный слой — подложка
p-типа смещен либо в обратном, либо слабо — в прямом на-
правлении. Большее положительное напряжение на подложке
смещает переход наведенный инверсионный слой — подложка
p-типа, как и переход п+-контакт — подложка p-типа в прямом
направлении, что приводит к большой утечке тока.
Зонная диаграмма МОП ПТ у истокового края канала
в направлении, перпендикулярном границе раздела полупро-
водник— диэлектрик, для случая, когда к подложке прило-
жено напряжение, представлена на рис. 4.4.5. Расчетная зави-
364
Глава 4
симость порогового напряжения от потенциала подложки при-
ведена на рис. 4.4.6.
То, что происходит, когда напряжение сток — исток прибли-
жается к Ус нас, можно понять, анализируя распределение элек-
трического поля под затвором. Интегрируя выражение (4.4.7)
от 0 до х, получим
^кан W
x = nnW< $ nss(V')dV'II^ (4.4.13)
о
Рис. 4.4.6. Расчетные зависимости по-
рогового напряжения от потенциала
подложки при разной концентрации
акцепторов. Отрицательный потен-
циал на подложке выталкивает элек-
троны в канал, повышая пороговое
напряжение. Кривые рассчитаны при
помощи программы PLOTF с подпро-
граммой PVTMIS. BAS. При расчете
использованы следующие значения
параметров: температура Т=300
ширина запрещенной зоны =
= 1,12 эВ, эффективная плотность,
состояний в зоне проводимости и
в валентной зоне при Г=300 К
3,22-1019 и 1,83-10’9 см-3 соответ-
ственно, диэлектрическая проницае-
мость кремния и диэлектрика 1,05Х
X Ю“10 и 3,45-10~и Ф/м соответ-
ственно, напряжение плоских зон
14з = 0, толщина диэлектрика под
затвором dz = 0,2 мкм.
Используя (4.4.2), (4.4.4) и выполнив интегрирование, най-
дем соотношение
х = {[у, - Vn, - 2>(„ - j 1/„. (х) -
-4 |/2‘д',"л к^.. w+V1 - 2«i}/ <= <4-4-14>
Электрическое поле Е в канале в направлении, параллель-
ном границе раздела полупроводник — диэлектрик,
Е = — dVKaB/dx (4.4.15)
можно вычислить из формулы (4.4.5):
i£i- <4-4-i6>
Совместное решение выражений (4.4.14) и (4.4.16) поз-
воляет определить пространственное распределение поля
(рис. 4.4.7).
Полевые транзисторы
365
В соответствии с рисунком и условием непрерывности тока,
протекающего через прибор, электрическое поле у стокового
края затвора возрастает, стремясь к бесконечности, когда
Рис. 4.4.7. Пространственное распре-
деление электрического поля в ка-
нале МОП ПТ при напряжении на
стоке, примерно равном напряжению
насыщения, и У3 = 5 В (кривая 1) и
7 В (кривая 2). Кривые рассчитаны
при помощи программы PLOTF с под-
программой PEMIS. BAS. Использо-
Рис. 4.4.8. Вольт-амперные характе-
ристики МОП ПТ, рассчитанные на
основе модели Шокли (сплошные
кривые) и зависимость тока стока от
напряжения в состоянии насыщения.
Кривые рассчитаны при помощи про-
граммы PLOTF с подпрограммой
PMOSSH. BAS. При расчете исполь-
ваны следующие значения парамет-
ров: концентрация акцепторов в под-
ложке Wa = 1016 см-3, длина затвора
4 мкм, напряжение на подложке
Уподл = 0. Остальные параметры те
же, что и на рис. 4.4.6.
зованы следующие значения парамет-
ров: концентрация акцепторов в под-
ложке #а = Ю14 см-3, длина затвора
L = 4 мкм, его ширина 100 мкм,
напряжение на подложке Уподл = 0,
подвижность электронов в слабом
поле Цп = 0,08 м2/(В-с), параметр
выходной проводимости К=0. Ос-
тальные значения параметров те же,
что и на рис. 4.4.6.
К^Уснас и nss(A)->0. Дифференциальная проводимость ка-
нала
„ — dIc I
sc—и — jt/
av с 1у_=const
(4.4.17)
стремится к нулю при Ус->Уснас, а вольт-амперные характе-
ристики могут быть экстраполированы в область напряжений
Ус > Ус нас в предположении постоянного (независимого от на-
пряжения сток — исток) тока стока в этой области напряжений
сток — исток:
/с == /с нас.
(4.4.18)
366
Глава 4
Ток насыщения сток — исток вычисляют подстановкой Ус =
= Ус нас из (4.4.10) в (4.4.8). Это приводит к достаточно слож-
ному выражению, которое упрощается при напряжениях на
ЗаТВОре, блИЗКИХ К ПОРОГОВОМУ, КОГДа Ус нас ~ Уз— Упор*.
4 нас — Цп (Я^/4)сд |(У3/2 Упз 2фоб — Упор/2) (Уз — Упор) —
2 /2. _ + _ (2фоб)„г]) (4.4. ,9)
° СА J
Рис. 4.4.9. Расчетная зависимость
тока сток—исток при насыщении от
напряжения на затворе при различ-
ных значениях концентрации акцеп-
торов. Кривые рассчитаны при по-
мощи программы PLOTF с подпро-
граммой PMOSSH. BAS. Использо-
ваны те же значения параметров, что
и на рис. 4.4.8.
Такой подход допустим
лишь тогда, когда можно учи-
тывать эффекты, связанные
с насыщением скорости элек-
тронов в сильном поле. Как
будет показано в разд. 4.5,
в действительности эти эффек-
ты очень важны для современ-
ных МОП ПТ из-за малой длины затвора и сильного электри-
ческого поля в канале (большего, чем характерные поля насы-
щения скорости электронов).
Вольт-амперные характеристики МОП ПТ, рассчитанные
с использованием данной модели, представлены на рис. 4.4.8,
а зависимости тока насыщения сток — исток от напряжения на
затворе — на рис. 4.4.9.
Для очень малых напряжений сток —исток выражение
в скобках формулы (4.4.8) можно разложить в ряд Тейлора,
что приводит к следующему виду вольт-амперных характе-
ристик в линейной области:
U7
4 — (Уз У пор) Ус*
(4.4.20)
Это выражение интерпретируется следующим образом. При
очень малых напряжениях на стоке заряд, наведенный в ка-
нале, нс зависит от потенциала в канале
Qtlss Сд (У з У пор)*
(4.4.21)
Полевые транзисторы
367
В этом случае электрическое поле в канале примерно постоянно
и равно
|Е|«Ус/£. (4.4.22)
Умножив поверхностную плотность заряда в канале gnss на
скорость электронов в канале vn= pin II и на ширину затвора
W, получим выражение (4.4.20).
4.4.3. Модель управления зарядом
Аналогичный подход к упрощенному описанию вольт-ам-
перных характеристик МОП ПТ основан на модели управления
зарядом. Эта модель построена на допущении, что концентра-
ция свободных носителей заряда, наведенных в канале, опре-
деляется как
= Сд (У3 Упор Укан)/?, (4.4.23)
где Упор — эффективное пороговое напряжение [ср. с выраже-
нием (4.4.2)]. Иными словами, при таком подходе пренебре-
гают зависимостью заряда в обедненном слое фобед от поверх-
ностного потенциала в канале [см. (4.4.4)]. Ток стока в этом
случае можно представить в виде
/С = СлИд-^-(Уз-Упор-Укан)1У (4.4.24)
[ср. с выражением (4.4.5)].
Уравнение (4.4.24) можно записать как
dx = [СдМ? (Уз - Упор - Укан) ЙУкан]//с. (4.4.25)
Интегрируя (4.4.25) от нуля по всей длине канала L (что
соответствует изменению Ука„ от нуля у истокового края за-
твора до Ус у его стокового края), получим следующее выра-
жение для вольт-амперных характеристик:
/с = И„ (W/L) са [(Уз - Улор)Ус - Ус/2]
при Ус < Ус нас == Уз-Упор, (4.4.26)
/с = (1/2)Ип(1У/£)Сд(Уз-У„Ор)2
при Ус > Ус нас = Уз — Упор- (4.4.27)
На рис. 4.4.10 приведено сравнение вольт-амперных харак-
теристик, рассчитанных с помощью модели управления заря-
дом, т. с. по формулам (4.4.26), (4.4.27) и полной модели
Шокли.
368
Глава 4
Рис. 4.4.10. Вольт-амперные харак-
теристики, рассчитанные в прибли-
жении модели управления заря-
дом (сплошные кривые) и с по-
мощью строгой модели (штрихо-
вые кривые). Кривые рассчитаны
при помощи программы PLOTF
с подпрограммой PMOSSH. BAS
в случае использования модели
Шокли и с подпрограммой
PMOSCC. BAS в случае модели
управления зарядом. Использова-
лись те же значения параметров,
что и на рис. 4.4.8. В модели
управления зарядом скорость на-
сыщения электронов полагалась
очень высокой (107 м/с), поэтому
эффекты насыщения скорости важ-
ной роли не играли и оказалось
возможным сравнение с моделью
Шокли.
Одна из важных
определяется как
характеристик транзистора — крутизна —
I
Л17
ov з I/ ^const
(4.4.28)
Из (4.4.26) и (4.4.27) найдем
£т = рУс при Ус < 7с нас = Уз — Упор. (4.4.29)
gm = ₽ (Уз — Упор) при Ус > Ус нас = Уз — Упор. (4.4.30)
где параметр крутизны равен
₽ = И„(й7/£)Сд. (4.4.31)
Как следует из (4.4.29) — (4.4.31), чем выше подвижность
электронов в слабом поле, тоньше слой диэлектрика под затво
ром (т. е. больше его емкость сд = ед/б/д) и больше отношение
W/L, тем выше крутизна. Однако в транзисторах с коротким
каналом зависимость крутизны от подвижности в слабом поле
определяется эффектом насыщения скорости (см. разд. 4.5).
4,4.4. Влияние последовательных сопротивлений истока
и стока на характеристики МОП ПТ
До сих пор мы рассматривали идеальный прибор, в котором
все напряжение между истоком и стоком распределялось вдоль
канала. В действительности же последовательные с каналом
паразитные сопротивления как истока /?и> так и стока /?с могут
оказывать сильное влияние на свойства транзисторов. Эти со-
Полевые транзисторы
369
противления учитываются в расчетах с помощью выражений,
связывающих значения напряжений на затворе V3 и стоке Vc
с «внешними» (измеренными) напряжениями затвор — исток
Уз-и и сток — исток Ус-и, включающими падение напряжения
на последовательных с каналом сопротивлениях
^3 = Уз-и-/с/?и. (4.4.32)
^c = Vc_„-Zc(/?„ + /?c). (4.4.33)
Рис. 4.4.11. Зависимости тока сток—
исток при насыщении от напряжения
на затворе при разных значениях по-
следовательного сопротивления исто-
ка. Кривые рассчитаны при помощи
программы PLOTF с подпрограммой
PMOSCC. BAS. Скорость насыщения
электронов полагалась равной ve==
= 1(Р м/с; остальные параметры те
же, что и на рис. 4.4.8.
Результаты расчета тока насыщения сток — исток от напря-
жения на затворе при разных значениях последовательного
сопротивления стока представлены на рис. 4.4.11.
Измеренная крутизна
<4Л34)
з—и
полевого транзистора связана с «внутренней» (собственной)
крутизной
(4-4.35)
такого же транзистора, но без паразитных сопротивлений сле-
дующим соотношением:
___________Sjno________ /д д
1 + ёто^и + geo (*и + /?с) *
где gco = dIc/dVc — собственная проводимость стока (см. за-
дачу 4.4.1).
Измеренная проводимость стока
л—г-
ми с_н
24 Заказ № 304
370
Глава 4
полевого транзистора связана с собственной проводимостью
стока gCQ того же транзистора, но без последовательных сопро-
тивлений истока и стока следующим образом:
Рис. 4.4.12. Расчетные вольт-амперные характеристики при значениях после-
довательных сопротивлений истока и стока, равных нулю (штриховые линии)
и 300 Ом (сплошные линии). Последовательное сопротивление истока умень-
шает ток стока, а последовательное сопротивление стока увеличивает на-
пряжение стока, соответствующее насыщению. Оба этих сопротивления умень-
шают проводимость сток—исток при малых напряжениях сток—исток. Кри-
вые рассчитаны при помощи программы PLOTF с подпрограммой PMOSCC.
BAS. Использованы те же значения параметров, что и на рис. 4.4.11.
(4.4.38>
(см. задачу 4.4.3).
Результаты расчета тока насыщения сток — исток от напря-
жения сток — исток при разном значении сопротивлений ис-
тока и стока представлены на рис. 4.4.12 (см. задачу 4.4.2).
4,5. Эффекты насыщения скорости в МОП ПТ
В современных МОП ПТ с коротким каналом электрические
поля могут быть столь значительны, что эффекты, связанные
с насыщением скорости, начинают играть определяющую роль.
Результаты измерения скорости электронов и дырок от напря-
женности электрического поля обсуждались в разд. 1.9 [см. вы-
Полевые транзисторы
371
ражения (1.9.9) — (1.9.21) и рис. 1.9.2]. Скорости электронов
и дырок в инверсионных слоях могут сильно отличаться от
объемных значений. Одна из важных характеристик, не учтен-
ных в выражениях (1.9.9) — (1.9.21), — это зависимость подвиж-
на тбор
Канал
Траектория
электрона
в канале
Рис. 4.5.1. Схематическое изображение процесса поверхностного рассеяния
в узких каналах МОП ПТ. В слабых продольных полях электроны движутся
по каналу хаотически со средней скоростью, равной тепловой, и малой дрей-
фовой компонентой в направлении приложенного электрического поля. Хао-
тический характер движения приводит к поверхностному рассеянию, которое
в узких каналах более интенсивно. Это объясняет уменьшение подвижности
электронов с увеличением поперечной составляющей поля Еу, поскольку эф-
фективная ширина канала £/Кан обратно пропорциональна Еу> т. е.
~kT!(qEy).
ности электронов и дырок от поперечного поля в канале, кото-
рое определяет эффективную толщину слоя электронного или
дырочного газа, наведенного у границы раздела полупровод-
ник— диэлектрик. Как показано на рис. 4.5.1, носители заряда
испытывают рассеяние на границе диэлектрик — полупровод-
ник, которое проявляется тем сильнее, чем уже канал, т. е. чем
больше электрическое поле, перпендикулярное границе раздела.
Теория этого важного эффекта была развита, например, в ра-
боте [66]. Экспериментальные зависимости подвижности элек-
тронов и дырок в МОП ПТ от напряженности поля у затвора
при комнатной температуре, полученные авторами работ [37,
87], можно аппроксимировать следующими выражениями:
Цп (Я3) — Що/( 1 “Н ацп^з) > . - 1.
1/9 (4.5.1)
Цр (^*з) == Цро/( 1 4“ ацр^з) »
где Цло и Цро — подвижность электронов и дырок при Е3 — О,
аип = 1,54-10~5 см/В, а — 5,35-10~5 см/В (рис. 4.5.2).
Близкие к приведенным здесь экспериментальные результаты
получены в работе [86].
Интересно, однако, отметить, что в очень узких каналах
или при достаточно низкой температуре, когда движение элек-
24*
372
Глава 4
тронов в направлении, перпендикулярном границе раздела полу-
проводник— диэлектрик, квантовано, поверхностное рассеяние
перестает играть важную роль, а подвижность электронов и
дырок может даже возрасти из-за экранирования примесных
рассеивающих центров электронами в канале, плотность кото-
Напряженность электрического поля, В/см
Рис. 4.5.2. Зависимость подвижности электронов и дырок в инверсионных
каналах п- и р-типа МОП ПТ от напряженности электрического поля под
затвором. Экспериментальные зависимости для транзисторов с п- и р-кана-
лами взяты из работ [122] и [87] соответственно.
рых в этом случае велика. Возрастание подвижности вслед-
ствие данного эффекта, предсказанное Есаки и Тсу [35] и экс-
периментально наблюдавшееся Динглом с сотрудниками
в GaAs [30], используется в гетероструктурных полевых тран-
зисторах с высокой подвижностью электронов (см. разд. 4.11).
Зависимости ип(Е) и vp(E) для кремния, рассчитанные по
формулам (1.9.9) — (1.9.14), представлены на рис. 4.5.3 и 4.5.4
соответственно. На рис. 4.5.3 изображена также простейшая
двухкусочная линейная аппроксимация скорости электронов
vn = \inE при Е < Es (4.5.2)
и
u„ = pnEs = vs при E>ES. (4.5.3)
В дальнейшем мы используем эту простую линейную аппрок-
симацию, описываемую формулами (4.5.2) и (4.5.3), для полу-
чения аналитических выражений, описывающих эффект насы-
щения скорости в канале.
Полевые транзисторы
373
Скорость электронов, 10 м/с Скорость электронов, 10 м/с
Напряженность электрического поля,
кВ/см
Напряженность электрического поля, к В /с и
Рис. 4.5.3. Зависимость скорости элек-
тронов от напряженности электриче-
ского поля в кремнии при темпера-
туре 300 К (а) и 77 К (б) и разной
концентрации примеси. Представлена
также двухкусочная линейная аппро-
ксимация этой зависимости при 300 К
(штриховая линия на рис. 4.5.3,а).
Кривые рассчитаны при помощи про-
граммы PLOTF с подпрограммой
PVNSI. BAS.
Рис. 4.5.4. Зависимость скорости ды-
рок от напряженности электрического
поля в кремнии прн температуре
300 К (а) и 77 К (о) и разной кон-
центрации примеси. Кривые рассчи-
таны при помощи программы PLOTF
с подпрограммой PVPSI. BAS.
374
Глава 4
Поверхностную плотность электронов в канале можно рас-
считать, если использовать модель управления зарядом
(разд. 4.4):
nss (X) = [V3 - Vnop - Укай (х)], (4.5.4)
Чад.
где х — пространственная координата вдоль канала, а Укан(х) —
соответствующий потенциал канала. Уравнение (4.5.4) ре-
шается совместно с уравнением
/с = qnssvn (Е) V, (4.5.5)
которое связывает ток сток — исток /с со скоростью электронов
в канале vn(E), зависящей в свою очередь от поля Е в канале.
В соответствии с приближением плавного канала предположим,
что электрическое поле в канале параллельно границе раздела
полупроводник — диэлектрик. Пренебрежем также диффузион-
ным током. Подставив (4.5.4) в (4.5.5), заменив в полученном
выражении Е на —dV fdx и интегрируя по х от 0 до L, где
L — длина затвора, получим обычное для модели управления
зарядом уравнение, описывающее вольт-амперные характерис-
тики МОП ПТ при малом напряжении на стоке Vc:
/c = p(V3iVc-Vc/2), (4.5.6)
где
V3, = V3-Vno?, (4.5.7)
а
р = Ил(^/£)Сд (4.5.8)
— параметр крутизны.
Ток насыщения сток — исток Iciiac находят в предположе-
нии, что насыщение наступает, когда электрическое поле в ка-
нале у стокового края затвора превышает поле, соответствую-
щее насыщению скорости, Es = vs/^n- Это предположение бо-
лее реалистично, чем условие отсечки на стоке
nss(L) = 0, (4.5.9)
использованное ранее для определения напряжения на стоке,
при котором наступает насыщение тока (см. в разд. 4.4); вы-
ражение (4.5.9) эквивалентно требованию E(L)-+ оо. Мы будем
по-прежнему использовать модель управления зарядом в пред-
положении постоянной подвижности электронов [см. уравнение
(4.5.2)] для описания продольного распределения поля в ка-
нале при напряжениях, меньших порогового значения.
Абсолютная величина поля в канале
E = \E\^=dV/dx (4.5.10)
Полевые транзисторы
37&
при напряжениях на стоке, меньших напряжения насыщения,
можно определить из (4.4.25):
E=Ic/tfL(V3t-V)]. (4.5.11)-
Интегрируя (4.5.11) от 0 до х, получим уравнение, описы-
вающее потенциал канала V как функцию координаты х при
напряжениях, меньших напряжения насыщения,
x = VL(V3tV-V3/2)/Ic. (4.5.12)
Решение этого уравнения имеет вид
V = V3t- [Vl, -2/cx/(₽L)]1/2. (4.5.13)
Подставляя его в (4.5.11), найдем пространственное рас-
пределение электрического поля
E = ZC/{₽L [V2t - 2/cx/(pL)]1/2} (4.5.14)
и его значение у стокового края затвора (где оно макси-
мально): E(L) = /c/[₽L(V2z-2/c/p)1/2]. (4.5.15)
Из условия E(L) = ES (4.5.16)
получим ток стока в режиме насыщения
Zc нас = [ 1 + (V3t/Vslf]'12 - ₽v2s; (4.5.17)
и соответствующее ему напряжение на стоке (задача 4.5.9)
Vc нас = v3< + Vsl - (y23t + Vs/)1/2, (4.5.18)
где
Vsl = EsL. (4.5.19)
При очень больших значениях
Vsl = vsL/pn> V3t (4.5.20}
выражение в скобках в правой части (4.5.17) можно разложить
в ряд Тейлора и записать для транзисторов с длинным кана-
лом выражение
/снас = ₽^/2, (4.5.21)
которое совпадает с выражением (4.4.27), не учитывающим
эффект насыщения скорости. Для приборов с длинным кана-
лом имеем Vsz» У3< и 14 нас-> Уз/, согласно модели с постоян-
ной подвижностью. Таким образом, эффект насыщения скорости
не очень важен для полевых транзисторов с более длинным
376
Глава 4
каналом. Положив V3t ж 3 В, = 0,08 м2/(В-с) и vs = 105 м/с,
можно видеть, что при
L >2,4 мкм
(4.5.22)
влиянием насыщения скорости на насыщенный ток стока
можно пренебречь. Типичная длина современных МОП ПТ не
превышает 1 мкм (рис. 4.1.3),
и поэтому насыщение скоро-
сти для них очень важно.
В предельном случае для
приборов с коротким кана-
лом, когда
Длина зспвора, мкм
Рис. 4.5.5. Зависимость тока стока
при насыщении от длины затвора при
разном напряжении на затворе. Кри-
вые рассчитаны при помощи про-
граммы PLOTF с подпрограммой
PMOSCC. BAS. Использованы те же
значения параметров, что и на
рис. 4.4.11. Штриховой кривой пред-
ставлена та же зависимость, рассчи-
танная в приближении постоянной
подвижности при помощи программы
PLOTF с подпрограммой PMOSCC.
BAS при тех же значениях парамет-
ров.
V si — VsL/ixn V3t,
(4.5.23)
из (4.5.17) и (4.5.18) получим
/с нас = pVstVsi
(4.5.24)
И Уснас"”*' Vsf Vaf— Vs/. ЭТО
означает, что ток насыще-
ния стока в 2Vsi/V3t раз мень-
ше, чем величина, предска-
занная моделью с постоян-
ной подвижностью.
Зависимость тока стока
при насыщении от длины
затвора представлена на
рис. 4.5.5, где для сравне-
ния показан и ток, рассчи-
танный в предположении по-
стоянной подвижности. Как
следует из рисунка, эффект
насыщения скорости несу-
ществен для транзисторов с длинным (2^3 мкм) затвором,
чего и следовало ожидать согласно (4.5.22). Однако у прибо-
ров с коротким каналом ток стока при насыщении значи-
тельно меньше, чем рассчитанный в приближении постоянной
подвижности.
В разд. 4.4 отмечалось, что паразитные последовательные
сопротивления истока /?и и стока Rc могут играть важную
роль, ограничивая возможности прибора. Эти сопротивления
можно учесть, используя следующие выражения, связывающие
внешние (измеренные) напряжения на затворе и стоке и зна-
Полевые транзисторы
377
чения Уз_и и Vc-и, учитывающие падение напряжения на по-
следовательных сопротивлениях:
Из = Уз-и-/с/?и. (4.5.25}
Ус = Vc _и - 1С (/?„ + Rc). (4.5.26)-
Подставляя /с = /снас в (4.5.25) и (4.5.26), а полученные
выражения — в (4.5.17) и (4.5.18), можно записать
/с нас — si й2п2Т/2 » (4.5.27>
1 ““ Р si
где Уз st == Уз—и — Уь а
(Vc- и)нас = V3t + Уз, - (Уз, + V*,)7’ + /с нас (/?„ + Rc)- (4.5.28)
Здесь /снас и (Ус—и)нас — ток сток — исток при насыщении
и напряжение сток — исток, соответствующее началу насыще-
ния с учетом последовательных сопротивлений истока и стока.
Результаты расчета зависимости тока стока в режиме насыще-
ния от напряжения на затворе при разных значениях последо-
вательного сопротивления стока представлены на рис. 4.4.11.
В линейной области вольт-амперной характеристики (т. е.
при малых напряжениях сток — исток) измеряемая проводи-
мость стока полевого транзистора, равная
«•“W77- (4.5.29,
связана с собственной проводимостью стока
£ео = ₽(Уз-Упор) (4.5.30)
U V с
того же прибора без учета последовательных сопротивлений
истока и стока следующим соотношением:
gc = (Я Iе» ,1, р' (4-5.31 >
(см. разд. 4.4 и задачу 4.4.3). При очень малых напряжениях
на затворе последним слагаемым в знаменателе можно пре-
небречь.
Формулы (4.5.30) и (4.5.4) можно заменить удобной интер-
поляцией вольт-амперных характеристик МОП ПТ:
/с - и = /с нас th [£СУС - н//с нас]. (4.5.32>
В двух предельных ситуациях (Ус<^Уснас и Ус» Ус нас) эта
формула дает точный результат.
В реальных приборах вольт-амперные характеристики не
насыщаются даже при больших напряжениях сток — исток. Это
378
Глава 4
связано с эффектом короткого канала (см. разд. 4.6) и дру-
гими эффектами, обусловливающими их отличие от идеальных.
Конечное значение выходной проводимости обычно учиты-
вается эмпирически путем умножения расчетного значения
тока стока на 1 + ХУс-и, где X — подгоночный параметр. В ре-
зультате формула, описывающая вольт-амперные характерис-
тики МОП ПТ, приобретает вид
.. О 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10
Напряжение затвор-исток, 8
а
Рис. 4.5.6. Зависимость тока сток—исток
затворе (а) и вольт-амперные характеристики МОП ПТ MFE9200 фирмы
Motorola (б). (Воспроизводится с разрешения фирмы Motorola.)
О 2,0 4,0 6,0 8,0 10 12 14 16 18 20
Напряжение сток - исток, В
при насыщении от напряжения на
На основе этой модели построена подпрограмма PMOSCC BAS.
На рис. 4.5.6 приведены зависимость тока сток — исток
в режиме насыщения от напряжения на затворе (я) и вольт-
амперные характеристики (б) для МОП ПТ типа MFE9200
фирмы Motorola, опубликованные в промышленном каталоге
«Малосигнальные характеристики транзисторов» фирмы Moto-
rola Semiconductor Products за 1983 г. Как следует из рис. 4.5.7,
на котором квадратиками отложена зависимость тока сток —
исток при насыщении от разности напряжения на затворе и по-
рогового напряжения, переходные характеристики этого тран-
зистора хорошо описываются квадратичной зависимостью
/с нас = (Р/2) ( Уз-и — Упор)2. Из формулы (4.5.21) видно, что
этого и следует ожидать для приборов с длинным каналом.
Однако для приборов с коротким каналом, на работу которых
сильное влияние оказывает эффект насыщения скорости, откло-
нение от этой простой формулы становится достаточно замет-
ным. Это иллюстрируется рис. 4.5.8, на котором представлены
вольт-амперные характеристики МОП ПТ с каналом /г-типа
субмикрониой длины [53]. Зависимость квадратного корня
тока сток — исток при насыщении от напряжения на затворе
для транзистора с длиной затвора 0,5 мкм представлена на
Полевые транзисторы
379
рис. 4.5.9. Как следует из рисунка, отклонение от корневой
зависимости достаточно велико, особенно при больших напря-
жениях на затворе.
Напряжение сток-истоку
Рис. 4.5.7. Зависимость квадратного
корня из тока стока при насыщении
от разности напряжения на затворе
и порогового напряжения для МОП
ПТ MFE 9200 фирмы Motorola.
Рис. 4.5.9. Зависимость квадратного
корня из тока насыщения сток—ис-
ток от напряжения на затворе для
транзистора с длиной затвора
0,5 мкм, характеристики которого
представлены на рис. 4.5.8.
Рис. 4.5.8. Вольт-амперные харак-
теристики МОП ПТ с субмикрон-
ным каналом n-типа. Напряжение
на затворе V3=l, 2, 3, 4 и 5 В,
ширина затвора W «20 мкм,.
длина затвора £,=0,5 мкм (штри-
ховые кривые) и 0,75 мкм (сплош-
ные кривые), толщина диэлектрика
под затвором 17,5 нм, концентра-
ция примеси 5-1016 см-3 [53].
4.6. Особенности приборов с коротким каналом
и нелинейный эффект в МОП ПТ
В разд. 4.5 было показано, что вольт-амперные характе-
ристики МОП ПТ с длинным каналом хорошо описываются
в приближении постоянной подвижности. Однако на работу
приборов с коротким каналом сильно влияют эффекты, спя-
380
Глава 4
занные с насыщением скорости носителей заряда (см.
рис. 4.5.5). Имеются и другие эффекты, играющие важную роль
в транзисторах с малой (не более микрометра) длиной за-
твора. Например, при анализе вольт-амперных характеристик
в разд. 4.4 и 4.5 предполагалось, что ток сток — исток насы-
щается, т. е. полностью перестает зависеть от напряжения
Эффективная длина канала
ЭФФ'
Рис. 4.6.1. Зависимость порогового на-
пряжения от эффективной длины кана-
ла [32].
сток—исток при напряже-
нии выше некоторого напря-
жения насыщения Ус нас.
Как следует из рис. 4.5.6,
это условие должно выпол-
няться для приборов с длин-
ным каналом. Однако, если
длина канала мала, то в об-
ласти насыщения ток сток —
исток заметно возрастает
(см., например, штриховые
вольт-амперные характе-
ристики МОП ПТ с дли-
ной затвора 0,5 мкм на
рис. 4.5.8). Кроме того,
модели, рассмотренные
в разд. 4.4 и 4.5, предполагают независимость порогового на-
пряжения Упор от длины канала. В действительности у транзи-
сторов с коротким каналом пороговое напряжение зависит от
длины канала очень сильно (рис. 4.6.1).
Качественно эти эффекты можно объяснить, если сравнить
распределение заряда в обедненном слое у транзисторов
с длинным и коротким каналами (рис. 4.6.2). У транзисторов
с любой длиной затвора обедненные области вблизи истока
и стока заметно смещены относительно центральной части ка-
нала (рис. 4.6.2,а). Однако, если длина канала мала, то ши-
рина соответствующих обедненных областей с1ИК и б/Ск ста-
новится сравнимой с длиной затвора L, и заряд этих областей
начинает сильно влиять на распределение свободных электро-
нов в канале (рис. 4.6.2,б). Поскольку напряжение на стоке
создает дополнительное обратное смещение, ширина обеднен-
ной области dCK возрастает с ростом напряжения на стоке,
что делает эту область особенно важной. Строгий анализ
эффектов короткого канала требует двумерного моделиро-
вания. Однако в первом приближении можно считать, что
он проявляется как уменьшение эффективной длины канала
в режиме насыщения при увеличении ширины обедненного
СЛОЯ б/ск
-^эфф — L' Ai**
(4.6.1)
Полевые транзисторы
381
Здесь £Эфф — эффективная длина канала, выбранная таким
образом, чтобы падение напряжения на соответствующем уча-
Рис. 4.6.2. Распределение заряда в обедненном слое МОП ПТ с длинным
каналом (а) и коротким каналом (б).
стке канала равнялось УСнас, а А£— длина обедненной части
канала, связанная с обеднением на стоке. Эта доля приводит
к возникновению остаточного напряжения сток — исток Vc—
— Vc нас- С увеличением Ус-и длина обедненной части А£ воз-
растает, что уменьшает эффективную длину канала £эфф (так
называемый эффект модуляции длины канала), увеличивает
ток стока и ограничивает выходную проводимость при «на-
сыщении».
382
Глава 4
Грубую оценку величины АЛ можно дать, решив одномер-
ное уравнение Пуассона
— —*7^я/епп (4.6.2)
с граничным условием
Е — —Es при х — Лэфф. (4.6.3}
Решение имеет вид
Е (х) = qNд(х Лэфф)/епп — ESt (4.6.4}
а из условия
L
7С — Vc нас = $ Е (х) dx (4.6.5}
^эфф
найдем соотношение
(qNAfann) (AL)2 + Es AL = Vc - Vc „ас (4.6.6}
Более строгое и реалистичное выражение для AL полу-
чается при учете плотности подвижных зарядов, инжектиро-
ванных в обедненную область у стока. Следуя работе [50],
предположим, что эти заряды инжектируются из инверсион-
ного слоя и равномерно распределяются в пристоковой обед-
ненной области, создавая ток плотностью
7 = /с_и/(т (4.6.7}
где
Y = (Dc — dHHB) (х — Лэфф)/АЛ + йинв. (4.6.8}
Здесь Dq — глубина п+-области у стока, а </ИНв — толщина
инверсионного слоя (5—10 нм). Предположим также, что ско-
рость электронов в этой области насыщается, так что их объ-
емная плотность равна
п ~J/(qvs). (4.6.9}
В этом случае одномерное уравнение Пуассона следует пере-
писать в виде
4г = -Я - WS)]/«W (4.6.10)
Решив это уравнение, получим следующее выражение для AL
[49]:
(^7^л/2епп) AL2 {1 + 2/с _ ИОС [In (Dc/dHHB) - 1 V(qNAWvsDc)} +
+ EsAL = Vc-VCHac. (4.6.11)
Полевые транзисторы
383
Для длин затвора ^,1 мкм и напряжений сток—исток
Ю В это выражение можно упростить, приведя к виду
+ 2Л (1 + В1С нас) (1/с - Vc
Л (1 + 81 с нас)
(4.6.12)
где Vsz = ESL,
A = qNAL2/2&nn, (4.6.13)
а
В = [ln(Dc/dHHB) - l]/(qNAWvsDc).
(4.6.14)
Другой важный эффект, который следует учитывать в тран-
зисторах с коротким каналом, связан с зависимостью заряда
в обедненном слое под каналом от потенциала канала. Этот
эффект описывается вторым слагаемым в скобках правой части
формулы (4.4.8), которое допускалось нами в упрощенном ва-
рианте модели управления зарядом [ср. с выражением
(4.4.26)]. Его можно учесть, вводя дополнительный параметр а
в соответствующие формулы модели управления зарядом (см.,
например, [50]), которые в результате принимают вид
ЛинейНЫй режим (Vc< Venae)*.
7с = р(/3<Ус-а1/?/2),
(4.6.15)
где
V3/ = V3 —Vnop,
а
₽ = М«7£)сд
(4.6.16)
(4.6.17)
— параметр крутизны. (Для еще более строгого моделирова-
ния характеристик прибора в этих выражениях следовало бы
учесть зависимость подвижности электронов от продольной
и поперечной составляющих электрического поля — см.
разд. 4.5.)
Режим насыщения (Vc > Vс нас)
le = Ра (УзУе нас - aV* нас/2). (4.6.18)
Здесь
Vc нас = v3t/a + KS1 - {{V3tlaf + И,)] ‘л, (4.6.19)
а
Ps -- Р'П (lV/Аэфф) Сд
(4.6.20)
384
Глава 4
— параметр крутизны в режиме насыщения. Для кремния па-
раметр а, учитывающий влияние обедненного слоя в объеме
подложки, можно аппроксимировать выражением [50]:
а = 1 +______°-5* Г1____________1__________1
(2фоб - Уподл)’'2 L 131+0,43(2^-^) ]•
(4.6.21)
где
К = dVnop/d (2фоб — Уподл) (4.6.22)
(см. задачу 4.6.1). Пороговое напряжение Упор и параметр К
могут быть определены для данного прибора из эксперимен-
тальных измерений.
Как следует из рис. 4.6.3, эта модель дает результаты, хо-
рошо соответствующие экспериментальным.
Такие параметры, как Упор и К, зависят не только от длины
затвора, но (для узких затворов) и от его ширины вслед-
ствие краевых полей, повышающих пороговое напряжение
(рис. 4.6.4).
Напряжение на затвора В
Рис. 4.6.3. Теоретические (сплошные
линии) и экспериментальные (точки)
вольт-амперные характеристики крем-
ниевого МОП ПТ с длиной затвора
3,16 мкм и шириной 27 мкм [50].
Рис. 4.6.4. Зависимость порогового
напряжения от ширины канала [26].
Еще один эффект, связанный с неидеальностью прибора,
который может играть важную роль, обусловлен инжекцией
электронов в диэлектрический слой диоксида кремния под за-
твором, где электроны захватываются на ловушки (см., напри-
мер, [40, 74]). Этот эффект иллюстрируется рис. 4.6.5, взя-
тым из работы [40]. На рис. 4.6.5, а представлены вольт-ампер-
ные характеристики кремниевых МОП ПТ при температуре
77 К. На рис. 4.6.5, б приведены те же характеристики того же
прибора, но после того, как он был подвергнут воздействию
сильного напряжения, т. е. после непродолжительного возрас-
Полевые транзисторы
385
танин стокового напряжения до значения, при котором начи-
нается лавинное умножение горячих электронов, вызывающее
их инжекцию в слой диоксида кремния вблизи стока. Заметим,
что горячие электроны могут инжектироваться в слой окисла
Рис. 4.6.5. Вольт-амперные характеристики кремниевого МОП ПТ при 77 К
а — при обычных условиях, б — после воздействия сильным напряжением
(после возрастания напряжения на стоке в течение некоторого времени до
величины, при которой начинается лавинное умножение, приводящее к ин-
жекции горячих электронов в слой диоксида кремния вблизи стока), в —
после восстановления (подачи отрицательного напряжения на затвор и по-
ложительного на сток), г — после повторения воздействия сильным напря-
жением [40].
и в отсутствие лавинного пробоя у стока [108]. Отрицатель-
ный заряд этих электронов обедняет канал у стока, что приво-
дит к деформации вольт-амперных характеристик. Эти харак-
теристики восстанавливаются отрицательным напряжением на
затворе и положительным на стоке (рис. 4.6.5,в), так как при
данных условиях происходит повторная эмиссия электронов
с ловушек. Повторение условий воздействия сильного напря-
жения опять деформирует вольт-амперные характеристики
(рис. 4.6.5,г). Этот эффект использован в программируемых
ПЗУ на основе МОП-транзисторов с плавающим затвором [36]
для изменения их порогового напряжения. Эффекты, обуслов-
ленные ловушками, можно значительно уменьшить, тщательно
контролируя процесс нанесения окисла и формируя таким об-
25 Заказ № 304
386
Глава 4
Рис. 4.6.6. Влияние лавинного
пробоя на вольт-амперные харак-
теристики [118].
разом приборы, у которых
при ускоренных испыта-
ниях сдвиг порогового на-
пряжения не превышает
100 мВ за 10 лет.
Лавинный пробой вблизи
стока может оказывать
сильное влияние на вольт-
амперные характеристики
и распределение носителей
заряда в приборе. Влияние
лавинного пробоя на вольт-
амперные характеристики
иллюстрирует рис. 4.6.6
[118], согласно которому
происходит резкое возраста-
ние тока стока при напря-
жении на стоке, большем
6,5 В. Влияние лавинного
пробоя на плотность носи-
телей заряда можно понять,
если сравнить двумерные
Рис. 4.6.7. Двумерные профили
распределения плотности электро-
нов в кремниевом МОП ПТ: а —
без учета лавинного пробоя, б —
с учетом лавинного пробоя [89].
профили концентрации электронов (рис. 4.6.7 [89]). Как сле-
дует из рисунка, лавинный пробой резко увеличивает плотность
электронов.
Важным эффектом, ограничивающим максимальное напря-
жение на стоке, является эффект прокола, т. е. слияния
Полевые транзисторы
387
обедненных областей у истока и стока, что приводит к токам,
ограниченным пространственным зарядом. В линейной области
(когда скорость электронов пропорциональна напряженности
электрического поля, т. е. Vc/£koht vs, где Аконт — расстоя-
ние между контактами, т. е<
Lkoht ~ L) этот ток 7опз пропор-
ционален Vc«
/ОПЗ контУс/(8L конт)»
(4.6.23)
Здесь dКОНТ глубина контакт-
ной п+-области.
Эта формула называется за-
коном Мотта — Герни по имени
ее авторов. В области насыще-
ния, когда vn ~ Vs, имеем
7опз = 2ennus1UZdKoHTV's/L .
(4.6.24)
Хорошая аппроксимация то-
ка, ограниченного ижекцией
Рис. 4.6.8. Влияние прокола на
вольт-амперные характеристики
МОП ПТ [118].
пространственного заряда, достигается при использовании ин-
терполяционной формулы, пригодной для произвольного напря-
жения на стоке
j опз = (2/3) и2 — (2/27) и? при (4.6.25)
и
/опз = 2(и—1) при и > 3, (4.6.26}
где и = НиУс/(у$Лконт) и /опз==7ОпзР'я7./(cnn^sМ^б/конт) (см. ра-
боты [19, 99]).
Влияние эффекта прокола на вольт-амперные характе-
ристики МОП ПТ иллюстрирует рис. 4.6.8 [118], из которого
следует, что ток стока возрастает сильнее, чем по линейному
закону, с увеличением напряжения на стоке даже при напря-
жениях на затворе, меньших ожидаемого порогового на-
пряжения.
4.7. Допороговый ток в МОП ПТ
В идеальном случае ток стока МОП ПТ протекает только
тогда, когда напряжение на затворе превышает вполне опре-
деленное пороговое значение 7пор- Поведение транзисторов
с длинным каналом зачастую действительно близко к этой
идеальной ситуации (см., например, рис. 4.5.6,а). Однако
даже у них при напряжениях, меньших порогового, существует
25*
388
Глава 4
малый ток стока. У транзисторов с коротким каналом этот до-
пороговый ток играет важную роль.
Допороговый ток возникает прежде всего в том случае,
когда транзистор находится в состоянии слабой инверсии, т. е.
когда изгиб зон лежит в пределах между значением фоб (соот-
ветствующим границе режимов обеднения и слабой инверсии)
и 2фоб (соответствующим границе режимов слабой инверсии
и начала средней инверсии, что имеет место при У3-и = Упор,
см. разд. 4.2). (Для простоты мы по-прежнему пренебрегаем
различием между режимами средней и сильной инверсии, ко-
торое, однако, в современных приборах может быть достаточно
существенным; см. разд, 4.2 и работу [116], где эти вопросы об-
суждаются более подробно.)
Механизмы, ответственные за допороговый ток, существенно
различны у транзисторов с длинным и коротким каналами.
Транзисторы с длинным каналом в этом смысле аналогичны
биполярным транзисторам, причем исток играет роль эмиттера,
сток—коллектора, а область подложки p-типа между ними —
базы. Напряжение сток — исток почти полностью падает на
участке сток — обедненная область подложки (рис. 4.7.1). По-
этому компонента электрического поля, параллельного границе
раздела полупроводник — диэлектрик, мала и преобладает диф-
фузионная составляющая допорогового тока, как это имеет
место и для коллекторного тока в биполярных транзисторах.
Допороговый ток можно представить в виде
7доп= (4.7.1)
где 5Эфф — эффективное поперечное сечение области протека-
ния допорогового тока, Dn — коэффициент диффузии электро-
нов (Dn = \inkT/q), а п— концентрация электронов. Если диф-
фузионная длина электронов Lnd существенно больше длины
канала Л, концентрация электронов п линейно зависит от коор-
динаты х, уменьшаясь от истока к стоку (что аналогично ли-
нейному распределению неосновных носителей заряда в базе
биполярного транзистора; см. рис. 3.1.5). Тогда
tl (х) (/^ик ^ск) ^/7*1, (4.7.2)
где объемные концентрации электронов у истокового пик и сто-
кового Пск краев канала определяются выражениями:
Пик = «ро ехр [qV [y)/kT], (4.7.3)
пск — npQexp[q [V (у) - Vc]/kT}. (4.7.4)
(Эта ситуация аналогична той, которая имеет место в базе
биполярного транзистора.) Здесь V(y) — электрический потен-
циал, определяемый как
V(y)^Vn-E(y)y, (4.7.5)
Полевые транзисторы
389
Уп — поверхностный потенциал, у — координата в направлении,
перпендикулярном границе раздела полупроводник — диэлек-
трик, а
Еу = | (Зобед |/еПп = (2qVnNA/£nnyh. (4.7.6)
Так как пск то
п (х) ж пик — n^x/Li. (4.7.2а)
В выражении (4.7.2) L\ — длина необедненной части ка-
нала. Для транзисторов с длинным каналом можно считать,
что ширина обедненных областей у истокового и стокового
Рис. 4.7.1. Обедненные области в МОП ПТ в допороговом режиме: а —
длинный канал, б — короткий канал.
390
Глава 4
краев затвора мала по сравнению с длиной канала L, и таким
образом L\Л.
Эффективное поперечное сечение равно
5эфф « FrfKaH, (4.7.7)
где dKaH— ширина областей, в которых локализована большая
часть электронов. Концентрация электронов п у поверхности
пропорциональна exp(qVn/kT)— см. выражения (4.7.3) и
(4.7.4). Она убывает с увеличением у пропорционально
ехр(—qEyy/kT) и, таким образом, эффективное расстояние
б!Кан, в пределах которого локализуются электроны, можно за-
писать в виде
4/кан^ W^(0)b (4-7.8)
причем на границе раздела диэлектрик — полупроводник пред-
полагается, что у = 0. Подставляя (4.7.3), (4.7.4) в (4.7.2)
и используя (4.7.7) и (4.7.8), получим
/доп = EnnPk (W/L) V^/Na)2 (7т/Уп)'л х
X ехр (7п/Ит) [ 1 - ехр (- Vc/Vy)]/(2'hLд), (4.7.9)
где Ад — длина Дебая, Vi = kT/q — тепловое напряжение. По-
верхностный потенциал Уп на истоке выражают через напря-
жение на затворе У3 с помощью (4.3.6):
К3 = ^д + Уп + Упз, (4.7.10)
где
Уд = ЕД0)йд£пп/еЛ. (4.7.11)
Используя (4.7.7), из (4.7.10) и (4.7.11) найдем
vn = V3 - Упз + а\ - as [4 + 2(Уз - УПз)]‘/г. (4.7.12)
Здесь
аз = (^леПп)'/2^д/ед (4.7.13)
(см. задачу 4.7.2). Как следует из (4.7.9), допороговый ток
практически не зависит от напряжения на стоке, если напря-
жение на стоке в несколько раз превышает тепловое напряже-
ние kT/q. Этого и следовало ожидать, поскольку у транзисто-
ров с длинным каналом практически все напряжение падает
на участке обедненной области сток — подложка (рис. 4.7.1),
а допороговый ток имеет преимущественно диффузионную при-
роду. Более того, как видно из (4.7.3), (4.7.4), при больших
Ус имеем пск /2ИК и, следовательно, градиент п вызван не Ус
[см; уравнение (4.7.2)]. Сходная ситуация имеет место в би-
Полевые транзисторы
391
полярных транзисторах, где ток коллектора практически не за-
висит от напряжения коллектор — эмиттер в прямом активном
режиме (см. гл. 3).
Экспериментальные зависимости допорогового тока от на-
пряжения на затворе в транзисторах с длинным каналом при
разных напряжениях на стоке и подложке представлены на
Рис. 4.7.2. Экспериментальная зависимость допорогового тока от напряжения
на затворе в транзисторе с длинным каналом при различных напряжениях
на стоке и подложке [115].
рис. 4.7.2 [115]. Согласно рисунку, допороговый ток практиче-
ски не зависит от напряжения на стоке. Напряжение на под-
ложке смещает пороговое напряжение [см. формулу (4.4.12)],
меняет поверхностный потенциал и, таким образом, допорого-
вый ток.
Более подробный анализ результатов, представленных на
рис. 4.7.2, показывает, что они хорошо согласуются с теорией
допорогового тока в транзисторах с длинным каналом, кото-
рая рассматривалась ранее (см. также работу [108]).
В транзисторах с коротким каналом суммарная ширина
обедненных областей переходов у истока и стока сравнима
с длиной канала (см. рис. 4.7.1, б), и их допороговый ток опи-
сывается формулой (4.7.9), в которой L заменена на
7*эфф== Ту -^ск -^ик» (4.7.14)
где
хик = [2епп (ybi - Va)/(qNA)]4\ (4.7.15)
Хек = [2епп (Vbi - Vn + Ус)/Ид)Г/г (4.7.16)
— эффективная ширина обедненных областей у истока и стока
соответственно, Уы — встроенный потенциал перехода п+-кон-
392
Глава 4
такт — р-подложка, а поверхностный потенциал найден из
решения следующего уравнения [108]:
Vn = - Vn3 - [qemNA (Vn - 7ПОДл)/2]’/г [ 1 +
+ (L- WKK - WCK)/(L - хик - хск)]/сд, (4.7.17)
Так стока, A
Рис. 4.7.3. Допороговые зависимости тока стока от напряжения на затворе
в МОП ПТ с коротким каналом при различных напряжениях на стоке и
подложке [39],
где Уподл — потенциал подложки,
№ик = [2епп (Vbi - УПодл)/(<7ЛГл)]'/г, (4.7.18)
^ск = [2егт(Уб1- -К,ОДл +О(<7ВД/2 (4.7.19)
(см. задачу 4.7.1). Результаты сравнения расчетов на основе
данной модели с экспериментальными результатами и числен-
ными расчетами представлены на рис. 4.7.3 [39]. Как видно
из рисунка, аналитическая модель дает результаты, хороню
совпадающие как с экспериментом, так и со строгими числен-
ными расчетами.
Температурная зависимость допорогового тока представлена
на рис. 4.7.4 [79, 39]. Как следует из рисунка, тангенс угла
наклона зависимости логарифма допорогового тока от напря-
Полевые транзисторы
393
жения на затворе действительно пропорционален 1/Т, как это
и предсказывает теория. Отметим также, что зависимость по-
рогового напряжения на стоке типична для транзисторов с ко-
ротким каналом.
Напряжение .на за твсре, 9
Рис. 4.7.4. Допороговые зависимости тока стока от напряжения на затворе
в МОП ПТ с каналом n-типа при Т=300 и 77 К [79].
4.8. Емкость и эквивалентная схема МОП ПТ
Заряд в инверсионном и обедненном слоях МОП ПТ зави-
сит от потенциалов на затворе, истоке, стоке и подложке. Про-
изводные от этого заряда по напряжению на каждом из кон-
тактных электродов можно рассматривать как определение
соответствующих емкостей МОП ПТ. Эквивалентная схема,
включающая эти емкости, представлена на рис. 4.8.1 (см., на-
пример, [64]). В этой схеме диоды, подключенные между
подложкой, с одной стороны, и истоком и стоком — с другой,
введены для учета токов утечки в переходе наведенный ка-
нал — подложка. Эта схема используется для моделирования
временных зависимостей схем с МОП ПТ в широко известной
программе SPICE-II [72].
Емкости соответствующих конденсаторов на эквивалентной
схеме в программе SPICE-II рассчитаны по модели Мейера
[69]. Согласно этой модели полный заряд Q3 в линейном ре-
жиме (т. е. при Vc < Vc нас) рассчитывается по формуле
L L
Q3= j Q(x)dx = W j CjVn{x)dx, (4.8.1)
о 0
394
Глава 4
где Q(x)—заряд единичной длины канала, W — ширина за-
твора, — емкость диэлектрика под затвором единичной пло-
щади, а Уд(х)— падение напряжения вдоль этого диэлектрика.
Заряд обедненного слоя между каналом и подложкой при дан-
ном подходе обусловлен емкостями затвор — подложка, за-
твор— исток и затвор — сток. Используя формулы модели
Рис. 4.8.1. Эквивалентная схема МОП ПТ [72].
управления зарядом, получим следующее выражение для за-
ряда под затвором:
ХЛ 2 (V3_c Упор)3 (Уз —и Упор)3
3 (V3_c-Vnop)2-(y3_H-rnop)2 ’
(4.8.2)
где Сд = CpWL (см. задачу 4.8.1). Емкости затвор — исток, за-
твор — сток, подложка — исток и подложка — сток опреде-
ляются как
С3-и — — dQ3 | dVK К ^ПОДЛ’ VC = C°"St’ (4.8.3)
Сз-С = — 0Q3 1 0V С Гз’ ^ПОДЛ* ^c = conSt’ (4.8.3а)
с — — подл — и дфподл I <?Ии Кз- уподл’ rc=const’ (4.8.4)
С — — под л —с дфподл I dVe К Уподл- Vc=const. (4.8.4а)
где У3, Уподл, Ус, Уи — потенциалы затвора, подложки, стока
и истока, а <2ПОдл — заряд на подложке [116].
Полевые транзисторы
395
Используя (4.8.2), получим
р 2 р Г < (Уз-с—Упор)2
Сз-и— з (У3_с-Упор+Уз-И-Упор)2 .
р _____ 2 р Г1 (Уз-и— Упор)2 1
Ьз-с— 3 <-д|_1 (Уз_с _ упор + уз_и _ J/nop)2 J
(4.8.5)
(4.8.6)
(см. работу [69]). Данный подход можно распространить на
описание режимов насыщения, допорогового, обогащения и вклю-
чить в описания концевую емкость С3_и к, емкость перекрытия
Сг~ск, а также емкость обедненных слоев между подложкой
и ИСТОКОМ Сподл-И, ПОДЛОЖКОЙ И ЗЭТВОрОМ Сподл-3, подложкой
и стоком Сподл-с. Соответствующие выражения обобщены в ра-
боте [64] и имеют следующий вид:
Режим обогащения (У3-и VПЗ “1“ Уподл) ’
С3 —и— Ь3 —ик> С-з—с — С3_с к, (4.6./)
СПодл — з = CpWL, (4.8.8)
_________Cis__________ р________________________= ______________________Cjd
то * подл с то *
(1 —Уподл-и/ф;,;) (1 — Уподл-с/ф^)
(4.8.9)
Здесь С3-и к и С3-с к — суммарные концевые емкости и емко-
сти перекрытия соответственно затвор — исток и затвор — сток,
С is и Cjd — емкости подложка — исток и подложка — сток при
нулевом смещении, УПодл-и и УПОдл-с — напряжения подложка —
исток, подложка — сток, а срр; — встроенный потенциал между
подложкой, с одной стороны, и истоком и стоком — с другой.
Показатель степени тв зависит от профиля легирования (для
однородного легирования тв = 1/2).
Режим обогащения — обеднения (Упз + Уподл^ Уз-и^ Упор—
— 0,5В):
д
подл — 3
(4.8.11)
. _ Cls р _ __________________Cld________
подл-И — подл -с тв ’
(1 — Уподл-и/ф^/) (1 Уподл-с/ф^)
(4.8.12)
Здесь Ki—(2<?еПп) ^А^подл/Сд*
396
Глава 4
Режим обеднения — инверсии (Упор — 0,5 В У3-и
Сз-И = С3-и к + 4 c^L [ 1 - 4 (У3-и - Упор)2],
'-'З —С '-'З-’С к»
Г . ГГ7. l+4(V,-.-Vnlp-0,SB)>
-V1+------------К>
(4.8.13)
(4.8.14)
(4.8.15)
СпОДЛ — и
_________Cfs_______ ( 1 I_2 Сподл - 3
(1-Уподл-И/фь/)тВ ‘ 3 C'S
— 4(У3_И— У пор)2]},
с — Cid
подл-с---------------------тп~'
О — Уподл-с/ф^)
WL [1 -
(4.8.16)
(4.8.17)
Формулы (4.8.13), (4.8.16) — интерполяционные. Именно по-
этому некоторые коэффициенты в них представлены числен-
ными значениями. Следует отметить, что эти результаты полу-
чены без учета режима средней инверсии. Более строгий ана-
лиз емкостей транзистора выполнен Тсивидисом [116].
Режим насыщения (У3-и > Упор и Ус-и Ус нас) :
Сз — и — С3—и к -| д-СД1УL',
Сз — С Сз — С к! Сподл—3 : 0,
(4.8.18)
Сподл-и =----------[1+4 rd , (4.8.19)
(1-Уподл-и/фй1.) В L 3 C’S J
Триодный режим (Уз-и > Упор и 0 < Ус-и < Ус нас):
Сз - и = Сз - и к + 4 C*WL Vc72yc3ICcH-Vc-H)Ca'H) ’ (4,8-21 }
_____✓•* I 2 «уг ( Ко нас Кс - и ) (3 Кс нас — Кс - и)
з — с— из-ск “1 СдИ< L,
Сподл —
( 2 V с нас — Vc - и ) 2
СПОДЛ — 3 === О,
Cis________________v
( 1 — Уподл - n!ybi)
^подл - з гигу Кенае (ЗИснас 2КС_И) 1
CjS (2ИСнас-Кс-и)2 b
Q —____________________________V
^подл — с — тв /X
(1 — У подл -с/<Рб()
Сподл - з пу т (Ус нас — Ус-и) (ЗУс нас —' У с - и
cls Wb (2Ус нас-Ус-и)2
(4.8.22)
(4.8.23)
(4.8.24)
(4.8.25)
Полевые транзисторы 397
Типичные зависимости емкостей МОП ПТ от напряжения
затвор — исток, рассчитанные на основе приведенных выше
выражений, представлены на рис. 4.8.2.
Модель Мейера проста и наглядна. Однако она содержит
существенные ограничения, особенно при описании транзисто-
Рис. 4.8.2. Зависимость емкостей МОП ПТ от напряжения затвор—исток [64].
ров с коротким каналом. При моделировании схем с помощью
программы SPICE заряды соответствующих конденсаторов
определяются путем численного интегрирования. При непра-
вильном выборе шага и ошибке интегрирования может иметь
место несохранение заряда (см., например, Ward, Dutton,
1978). Этого можно избежать, если полный заряд в канале
разделить на заряды, связанные с затвором, истоком, стоком,
подложкой и использовать эти заряды в качестве независимых
переменных интегрирования при анализе схемы. Модель, осно-
ванная на этом принципе, описана Янгом в 1986 г. Последний
показал, что она имеет лучшую сходимость и точность, чем
модель Мейера.
Упрощенная эквивалентная схема МОП ПТ представлена
на рис. 4.8.3, а. С ее помощью можно проанализировать работу
МОП ПТ как усилителя в схеме с общим истоком в малосиг-
нальном приближении (рис. 4.8.3, б). Стандартные методы
расчета схем позволяют получить следующее выражение для
усиления по напряжению
Av = = —gm,+ ^C3~c . (4.8.26)
vi Яс + /©Сз-с
398
Глава 4
^подл-с
НН
^подл-с ПодлОЖКГ
НН-
^подл-ц
с j-подл
6 Исток
^мдл-и^
а
Рис. 4.8.3. Эквивалентная схема МОП ПТ: а — малосигнальная, б —упрощен-
ная, в — упрощенная для расчета токового усиления в режиме короткого
замыкания [64].
Полевые транзисторы
399
Эквивалентная схема, представленная на рис. 4.8.3, в, поз-
воляет вычислить усиление по току в режиме короткого за-
мыкания
Л______ —gm
11 (Сз-и Н“ Сз-с)
(4.8.27)
Используя последнее выражение, можно определить пре-
дельную частоту /г, на которой усиление по току в режиме ко-
роткого замыкания равно единице:
fr—ife-. (4.8.28)
где С3 = С3-и + С3-с. Здесь предполагается, что С3 ~ Сд и
ёт — дРзфф/L, (4.8.29)
где уЭФФ — эффективная скорость электронов в канале. Фор-
мула (4.8.30) выводится следующим образом. Ток стока /с =
= qnsV3$$W, где ns — концентрация электронов в канале еди-
ничной площади. Таким образом, /с ~ (фз/1ГА)уЭфф!Г и gm =
—— 01 с/0V 3 (<?Qs/^ ^з) Уэфф/£ Сдрэфф/^- При Vс нас
имеем
МФ ^nVc/L (4.8.30)
(см. разд. 4.4). При Vc Vc нас Уэфф меньше v$ и ее величина
рассчитывается на основе теории, развитой в разд. 4.5. Фор-
мула (4.8.30) позволяет получить выражение для /V:
^ = -^7—’ (4-8.31)
^ЛТпрОЛ
где Тпрол = L/уэфф — время пролета электронов через канал.
Полагая уэфф~5-104 м/с, получим характерное время пере-
ключения МОП ПТ ts — Тпрол(пс)— 2Q/L (мкм), a fr-S/L (мкм).
В действительности экспериментально измеряемые времена пе-
реключения по крайней мере в несколько раз больше, так как
при расчете к емкости затвора следует добавить паразитную
и концевую емкости Ср, это приводит к следующему выра-
жению:
= 2л (cf + Св) = 2лтПрол (1 + Ср/Сз) ’ (4.8.32)
которое можно использовать для определения связи быстродей-
ствия транзистора с его характерными размерами (см.
разд. 4.11).
400
Глава 4
4.9. Режимы обогащения и обеднения МОП ПТ.
Комплементарные МОП ПТ (КМОП ПТ)
и кремний на сапфире
Пороговое напряжение МОП ПТ зависит от концентрации
примесей в полупроводниковой подложке [см. формулу
(4.4.12)]. Это позволяет управлять пороговым напряжением,
меняя с помощью ионного легирования концентрацию примесей
вблизи границы раздела полупроводник — диэлектрик. Допол-
нительное легирование акцепторами смещает пороговое напря-
жение в сторону больших положительных значений, что при-
водит к работе транзистора в режиме обогащения (ср.
рис. 4.9.1,а и б). Легирование донорами создает проводящий
канал между областями истока и стока, который для включе-
Концентрация
примеси
Неи мола. пирова нный
транзистор
а
цен грация
примеси
Транзистор, работай-ищи
3 режиме обе гс уцени я
б
Концентрация
примеси
Транзистор, работающий
в режиме обеднения
в
Транзистор с двойной
имплантацией
Рис. 4.9.1. Качественный вид профилей легирования каналов транзисторов:
а — неимплантированного, б — работающего в режиме обогащения, в —ра-
ботающего в режиме обеднения, г — с двойной имплантацией [104].
Полевые транзисторы
401
Режим обогащения,
канал п~типа
канал п-типа
Напряжение на затворе
Режим
обогащения,
канал
. р - типа .
рсЖ'Гч обеднения,
ка л р-типа
Рис. 4.9.2. Качественный вид переходных характеристик МОП ПТ, работаю-
щих в режиме обогащения и обеднения с каналами п- и р-типа.
Рис.
примеси, б — пространственного заряда, в — электрического поля, г — потен-
циала МОП ПТ с каналом n-типа, работающего в режиме обогащения, при
напряжении, равном пороговому [104].
26 Заказ № 304
402
Глава 4
ния транзистора должен быть полностью обеднен напряжением
на затворе. С помощью такого типа легирования создается
прибор, работающий в режиме обеднения (рис. 4.9.1,в).
Качественный вид переходных характеристик транзисторов
с п- и p-каналами в режимах обогащения и обеднения пред-
Пространственный
заряд
Рис. 4.9.4. Качественный вид профилей распределения: а — концентрации
примеси, б — пространственного заряда, в — электрического поля, г — потен-
циала МОП ПТ с каналом ц-типа, работающего в режиме обеднения [104].
ставлен на рис. 4.9.2. На рис. 4.9.3 и 4.9.4 показан качествен-
ный вид распределений пространственного заряда, электриче-
ского поля и потенциала у транзисторов с каналом n-типа в ре-
жимах обогащения и обеднения при напряжении на затворе,,
равном пороговому [104]. Как показывают приведенные рас-
пределения, главная цель ионного легирования — создание до-
полнительного заряда ионизованных примесей, определенным
образом смещающего пороговое напряжение. На последнее
оказывает влияние и изменение встроенного потенциала
между каналом и подложкой. Таким образом, для транзисто-
ров, работающих в режиме обогащения, возрастание порого-
Полевые транзисторы
403
вого напряжения AVnoP, вызванное имплантацией акцепторов,
описывается выражением
ДУпор = \Уы + q &ПА/СЛ, (4.9.1)
где
\Vbi = kT/q(NAimax/NA) (4.9.2)
— смещение встроенного потенциала, а
xdE xd
\пА = f ]NAi (х) + Na (x)] dx - \NAdx (4.9.3)
0 0
— поверхностная плотность имплантированных акцепторов
в обедненном слое, создающая дополнительный заряд. Здесь
Nal(x) — концентрация акцепторов в ионно-легированном тран-
зисторе, Nai max — ее максимальное значение, Na— концентра-
ция акцепторов без дополнительного легирования, XdE— гра-
ница обедненного слоя при напряжении на затворе в ионно-
легированном транзисторе, равном пороговому, а ха — граница
обедненного слоя в аналогичном приборе, но без имплантации
[104]. Подобным образом сдвиг порогового напряжения AVn0p,
обусловленный имплантацией доноров, МОП ПТ, работающего
в режиме обеднения, описывается как
А Упор = ЛУь/ — Фх — q &nDlca, (4.9.4)
где
\Vbi = kTlq\xi(ni/NA) (4.9.5)
— сдвиг встроенного напряжения, а
xdD xd
q\nD = q [Ndi(x) —N A(x)\dxq N Adx (4.9.6)
о 0
— дополнительный поверхностный заряд, обусловленный им-
плантированными примесями в обедненном слое. Здесь NDi (х) —
концентрация доноров в ионно-легированном транзисторе, nt—
концентрация электронов в плоскости с координатой х = х<
в легированном транзисторе (рис. 4.9.4,г), XdD— граница обед-
ненной области в том же транзисторе при напряжении на за-
творе, равном пороговому, Xd — то же, но без имплантации,
а Фх — разница потенциалов между точкой х,, где потенциал
максимальный, и поверхностью (см. рис. 4.9.4):
xi
Фх = (<7/епп) j х [NDi (x) — Na (х)] dx. (4.9.7)
о
26*
404
Глава 4
Зависимости порогового напряжения от температуры МОП
ПТ, полученного без имплантации, работающего в режимах
обогащения и обеднения, а также с двойной имплантацией*
10В
~ -0,927
5 В Транзистор, работающий * -0,97|
в режиме обогащения
° 8 ~~ "•-----1,896
10 В
58 Неикплантиро$анн$й <000 J
—--------- ft транзистор
0 В -1,330
10В
-------~ -1,067
5 В Транзистор с обой-* 3 •" ~ _
,— _ нои имллантпиирц
0В -------ф. -1(702
10В
у . i
гладл-и >
5 8 Транзистор,работающий *~
в режиме обеднения
о в ------»-1Л29
мВ/’С
-4
-50 0 50 100 150
Температура,"t
Рис. 4.9.5. Температурная зависимость порогового напряжения неимпланти-
рованного, с двойной имплантацией, работающего в режимах обогащения и
обеднения МОП ПТ [104].
представлены на рис. 4.9.5. Согласно рисунку, ионная имплан-
тация позволяет управлять пороговым напряжением в широ-
ком диапазоне температур (см. задачи 4.9.1—4.9.4).
Технологии ионного легирования и диффузии можно ис-
пользовать для создания транзисторов как с и-, так и с p-ка-
налом на одной подложке (технология комплементарных
МОП ПТ — КМОП ПТ). Типичная КМОП-структура представ-
лена на рис. 4.9.6. Транзистор с p-каналом изготавливают пу-
тем формирования в кремниевой подложке n-типа с помощью
ионной имплантации двух контактных областей истока и стока
р+-типа. Две контактные области п+-типа создаются внутри
Полевые транзисторы
405-
предварительно образованной в подложке области p-типа; для
взаимной изоляции транзисторов с каналами п- и p-типа фор-
Алмминиедыи затвор
Защитное кольцо
р*-типа
Подложка гГ-типа,
Яма р-типа
Р
Защитное кольцо
пятила
Рис. 4.9.6. Типичная структура КМОП ПТ [28].
мируются защитные кольца п+- и р+-типа, называемые также
Канал р-типа
о Выход
Канал п-типа
Рис. 4.9.7. Логический элемент на
КМОП ПТ.
ограничителями каналов.
Обычно КМОП-транзисторы с п- и p-каналами соединяются
так, как показано на рис. 4.9.7, формируя логический КМОП-
элемент. Оба транзистора имеют
общий вход, но их пороговые
напряжения таковы, что при за-
данном напряжении на затворе
либо переключается один тран-
зистор, либо не включается ни
один из них (рис. 4.9.8). По-
добные КМОП-элементы имеют
очень малую потребляемую мощ-
ность в любом из двух стабиль-
ных состояний и большую ам-
плитуду напряжений. Их до-
стоинство определяется также
широким диапазоном управляю-
щих напряжений (от 15 до 3 В
и менее) в сочетании со значи-
тельной амплитудой выходного
инвертора, представленного на рис. 4.9.7, — от нуля до вели-
чины управляющего напряжения). КМОП-приборы можно ин-
тегрировать с биполярными транзисторами (БКМОП). Подоб-
ные схемы позволяют управлять выходным сигналом мощных
биполярных транзисторов с помощью логических элементов,
потребляющих малую мощность. Это свойство широко исполь-
зуется в высоковольтных интегральных схемах [11].
напряжения (например, для
406
Глава 4
К недостаткам КМОП-элементов можно отнести более
сложную технологию изготовления (по сравнению с МОП ПТ
с n-каналом) и возможность «отпирания» — потребления мощ-
Транзистор с ка-
налом р - типа
включен
Транзис тор с на ~
налом п~типа
выключен
Ова транзит
тара
выключены
Транзистор с каналом л-тила
включен
Транзистор с каналом р-типа
выключен
-I-------
Напряжение
затвор-исток
Режим овога -
щен и я тран-
зистора с ка-
налом р-типа
Рис. 4.9.8. Иллюстрация принципа работы КМОП ПТ.
ности КМОП-элементом в режиме, близком к короткому замы-
канию. Этот эффект можно объяснить, если проанализировать
КМОП-структуру и выделить в ней два паразитных биполяр-
ных транзистора (вертикальный со структурой п—р—и-типа
и горизонтальный со структурой р—п—р-типа — рис. 4.9.9, а).
Паразитный вертикальный п—р—n-транзистор формируется
и+-контактной областью (эмиттер), областью («ямой») р-типа
(база) и самой подложкой или эпитаксиальным слоем п-типа
(коллектор). Паразитный горизонтальный р—п—р-транзистор
образуют контактная область р+-типа (эмиттер), подложка
или эпитаксиальный слой n-типа (база) и область р-типа (кол-
лектор). Паразитный вертикальный транзистор в схеме с об-
щим эмиттером и в режиме короткого замыкания может иметь
очень высокий коэффициент усиления по току (более 100).
В тех же условиях у горизонтального р—п—р-транзистора мо-
Полевые транзисторы
407
Рис. 4.9.9. а — КМОП ПТ с двумя паразитными биполярными транзисторами
(вертикальным п—р—n-типа и горизонтальным р—п—р-типа) и его экви-
” ”” г слоем р+-типа для уменьшения
валентная схема; б —КМОП ПТ со скрытым
проблем фиксации состояния [76].
жет быть коэффициент усиления по току значительно меньше
единицы. Если произведение обоих коэффициентов усиления
больше единицы, то положительная обратная связь в контуре^
изображенном на рис. 4.9.9, а, ведет к отпиранию.
Этого эффекта можно избежать с помощью защитных ко-
лец, как это показано на рис. 4.9.6. Другая возможность за-
408
Глава 4
ключается в использовании топологии с большим расстоянием
между областью р-типа и р+-контактной областью в транзи-
сторе р-типа. Для увеличения концентрации примеси в базе
вертикального п—р—n-транзистора и уменьшения его коэффи-
циента усиления можно также использовать сильнолегирован-
ный скрытый слой (рис. 4.9.9,б).
Многообещающей, но пока довольно экзотической и дорогой
технологией остается использование диэлектрических подло-
Затвор из поликристаллического
’Рис. 4.9.10. Транзистор, изготовленный по технологии «кремний на сап-
фире» [26].
жек —кремний на диэлектрике (КНД). Она позволяет исклю-
чить какие-либо токи через подложку и уменьшает паразитные
емкости, связанные с обедненной областью в полупроводнико-
вой подложке. Схематическое изображение логического КМОП-
элемента на сапфировой подложке (технология «кремний на
сапфире»КНС) представлена на рис. 4.9.10. Для создания
транзисторов с п- и p-каналами используются кремниевые
островки, выращенные на сапфире методом эпитаксии. При
данной технологии требуется значительно меньшее число опе-
раций и, поскольку отпадает необходимость в защитных коль-
цах, можно сформировать более компактную топологию. Однако
высокая стоимость сапфировых подложек и сложность эпитак-
сиального выращивания кремния на сапфире затрудняют ее ши-
рокое внедрение. Тем не менее эта технология достаточно хо-
рошо развита, и ряд фирм изготавливает кристаллы кремния
на сапфире в заметном количестве. Еще один вариант техно-
логии «кремний на диэлектрике» состоит в ионном легирова-
нии кремния кислородом с использованием в качестве подложки
рекристаллизованного поликристалл ического кремния, полу-
ченного методом зонной плавки [77], или оксидированного по-
ристого кремния [126].
Полевые транзисторы
409
Дальнейшее совершенствование технологии КНД открывает
возможность вертикальной интеграции, которая в свою очередь
ведет к созданию трехмерных интегральных схем (рис. 4.9.11);
см. работу [1], где рассмотрены основные принципы и техно-
логии трехмерных интегральных схем. Для увеличения плот-
ности упаковки и упрощения решения проблем изоляции прибо-
Рис. 4.9.12. Структура многослойного КМОП ПТ [18].
Полукристаллических $\ р-типа
Металл
Поликристалли-
МОП птр-типа _ ческии Si п-типа
Общий
затвор
SiO,
Si 0г
Ограничитель
канала
МОП пт п-типа
p-Si
Рис. 4.9.11. Схематическое изображение трехмерной интегральной схемы [1].
ров предложен «многослойный» КМОП [41], у которого транзи-
сторы с р- и n-каналами имеют общий затвор, причем транзи-
стор с p-каналом находится сверху, а с «-каналом — снизу от
затвора (см. рис. 4.9.12 и работу [18] ).
4.10. Полевые транзисторы с барьером Шоттки
В полевых транзисторах с барьером Шоттки (ПТШ) послед-
ний используется для модуляции проводимости канала
(рис. 4.1.2, б). При этом удается избежать таких проблем, свя-
занных с ловушками в слое диэлектрика под затвором МОП-
транзистора, как захват горячих электронов (разд. 4.6), сдвиг
порогового напряжения вследствие захвата заряда в затворном
диэлектрике и т. д. Естественный окисел кремния очень стаби-
лен и обладает малой плотностью ловушек, поэтому проблемы,
связанные с затворной изоляцией у кремниевых МОП-транзи-
сторов, минимальны. Однако полупроводниковые соединения,
такие, как GaAs, не имеют столь стабильных окислов, вслед-
ствие чего большинство приборов на этих соединениях исполь-
зуют затворы с барьером Шоттки. Этот недостаток технологии
ПТШ ограничивает амплитуду напряжения на затворе вслед-
ствие малого напряжения включения затвора Шоттки. Однако
указанное ограничение не является существенным для работы
схем, работающих в условиях низкой потребляемой мощности
и соответственно малого выходного напряжения.
410
Глава 4
Полевые транзисторы на полупроводниковых соединениях —•
важное направление развития электронной промышленности.
Широко используются усилители, генераторы, смесители, пере-
ключатели, аттенюаторы, модуляторы на арсенидгаллиевых
ПТШ, и на их основе разработаны интегральные схемы с высо-
ким быстродействием. Основное преимущество приборов на
GaAs определяется более высокими значениями подвижности и
дрейфовой скорости электронов, что приводит к уменьшению
пролетного времени и более быстрому отклику на внешнее воз-
мущение, а полуизолирующие подложки из GaAs уменьшают
величину паразитных емкостей и упрощают технологический
процесс. Другие сочетания материалов на основе полупро-
водниковых соединений, такие, как AlGaAs—InGaAs или
InGaAs—InP, также обладают преимуществами при использо-
вании в сверхскоростных ИС.
Низкое качество окисла GaAs и соответственно высокая
плотность поверхностных состояний на границе раздела
GaAs — диэлектрик затрудняют создание МОП ПТ или МДП
ПТ на основе GaAs. Только недавно разработан новый метод
окисления слоев кремния, выращенных методом молекулярной
эпитаксии на поверхности GaAs, который позволяет надеяться
на создание жизнеспособной технологии МОП ПТ на GaAs
[114]. Чаще всего в качестве арсенидгаллиевых приборов ис-
пользуются ПТШ, ПТ с р—n-переходом и транзисторы на
основе AlGaAs—GaAs-гетероструктур. Во многих случаях арсе-
нидгаллиевые ПТШ и р — n-ПТ изготавливаются прямой
имплантацией примесей в полуизолирующую арсенидгаллиевую
подложку.
Арсенидгаллиевые приборы существенно превосходят крем-
ниевые по таким параметрам, как быстродействие, мощность
рассеяния и радиационная стойкость. Однако технология полу-
проводниковых соединений разработана значительно слабее.
Качество приборов из элементарных полупроводников, напри-
мер кремния, определяется в основном чистотой исходного ма-
терила. Для полупроводниковых соединений, таких, как GaAs,
принципиальную важность имеет состав материала. Например,
дефекты, ухудшающие параметры приборов, могут быть свя-
заны с недостатком атомов мышьяка. Другая серьезная про-
блема, связанная с арсснидгаллиевыми ПТШ, ПТ с р—п-пе-
реходом и гетероструктурными полевыми транзисторами
(ГПТ), — это ток утечки через затвор. Этот ток ограничивает
амплитуду напряжения на затворе, что ухудшает шумовые
свойства схем. И, наконец, технология приборов на полупро-
водниковых соединениях не так хорошо развита и исследована,
как приборов на кремнии.
Технология полупроводниковых соединений имеет неоспори-
Полевые транзисторы
411
мые преимущества при создании сверхскоростных ИС, потреб-
ляющих малую мощность, главным образом из-за более высо-
кой скорости электронов в GaAs. А более высокая скорость
электронов в свою очередь связана с их меньшей эффективной
массой. Это преимущество проявляется особенно сильно в при-
Область
п-типа.
Обед-
।ненная
область
Рис. 4.10.1. Обедненные области ПТШ с нормально закрытым (а) и нор-
мально открытым (б) каналами при нулевых напряжениях исток—сток и
исток—затвор.
борах с коротким каналом, на работу которых сильно влияют
баллистический эффект и эффект «всплеска» скорости (см.
гл. 2). Сообщалось о достижении граничной частоты 106 ГГц
с помощью ПТШ, имеющего длину затвора 0,25 мкм [125]. На
транзисторе с длиной затвора 0,2 мкм создан статический де-
литель частоты на два, работающий на частотах до 17,9 ГГц
[58]. Эти примеры наглядно иллюстрируют потенциальное бы-
стродействие ПТШ на GaAs.
У ПТШ с каналом n-типа последний соединяет п+-области
истока и стока. Напряжение, приложенное к затвору, вызывает
частичное обеднение этого канала. У нормально закрытого
ПТШ, работающего в режиме обогащения, встроенный потен-
циал затвора вызывает полное обеднение даже при нулевом
напряжении на затворе. Пороговое напряжение у ПТШ, рабо-
тающего в режиме обогащения, положительно. У нормально
открытого ПТШ в режиме обеднения проводящая часть канала
при отсутствии напряжения на затворе имеет конечное сечение
(рис. 4.10.1).
412
Глава 4
Схематическое изображение обедненной области под затво-
ром ПТШ при напряжении сток—исток, отличном от нуля,
представлено на рис. 4.10.2. Обедненная область расширяется
к своему стоковому краю, так как положительное напряжение
на стоке создает дополнительное обратное смещение через пе-
реход канал — затвор. На рис. 4.10.2 также изображен переход-
контактами
Рис. 4,10.2. Схематическое изображение
обедненной области ПТШ под затвором при
конечном напряжении hctoi—сток.
ный слой между обеднен-
ной областью и необед-
ненным проводящим ка-
налом. Толщина этого
слоя составляет несколько
длин Дебая и сравнима
с толщиной проводящего
канала. Тем не менее при
качественном анализе, ко-
торый будет приведен
ниже, будем полагать гра-
ницу между обедненной
областью и необедненным
каналом резкой. Форма
обедненной области и
вольт-амперные характе-
ристики транзистора мо-
гут быть найдены в при-
ближении плавного ка-
нала, которое использовалось в разд. 4.4 для МОП ПТ.
Для простоты примем, что канал n-типа имеет однородный
профиль легирования. Положим далее, что вначале напряжение
сток—исток столь мало, что во всем канале продольное элек-
трическое поле меньше поля £s, соответствующего насыщению
скорости, т. е. скорость электронов пропорциональна продоль-
ному электрическому полю £:
vn — *
(4.10.1)
Предположим также, что проводящий канал нейтрален,
а область пространственного заряда между затвором и кана-
лом полностью обеднена. Граница между нейтральным прово-
дящим каналом и обедненной областью полагается резкой.
В соответствии с приближением плавного канала (см. разд. 4,4)
потенциал вдоль канала изменяется медленно с координатой
х\ т. е. так, что в каждой точке ширина обедненной области
может быть найдена из решения уравнения Пуассона, справед-
ливого для одномерного перехода. При сделанных предположе-
ниях нарастание потенциала в канале описывается выражением
AV = Ic-„dR = ----(хГГ ’ (4Л0>2)
Dw лобед
Полевые транзисторы
413
где /с-и — ток через канал; dR— увеличение сопротивления
канала, х — координата вдоль канала, А — толщина активного
слоя, ЛОбед(х) — толщина обедненной области (рис. 4.10.2),
a W — ширина затвора.
Толщина обедненной области на расстоянии х определяется
как
+ Г И-'О-З)
1 У'* D )
Подставив (4.10.3) в (4.10.2) и интегрируя по х от х = 0
(истоковый край затвора) до х = L (стоковый край), получим
выражение, называемое основной формулой полевого транзи-
стора:
4-.-g.R- +(V,.-V./'-J 1 (4.10.4)
I ЗКрО J
где
go = ^DWA/L (4.10.5)
— проводимость необедненного легированного канала, L —
длина затвора,
Ур0 = ^42/2е (4.10.6)
— напряжение отсечки (перекрытия канала), a Vc — падение
напряжения сток—исток в канале под затвором.
Формула (4.10.4) справедлива только при напряжениях на
затворе V3 и стоке Vc, при которых нейтральный канал еще
существует даже в самой узкой области у стокового края за-
твора
Лобед (L) = ( 2^с + у»-т1Л < А. (4.10.7)
( Ч™ D )
Если пренебречь эффектами, связанными с насыщением ско-
рости электронов в канале, то можно допустить, что условие
перекрытия
Лобед(Ь)==Л (4.10.8)
достигается тогда, когда насыщается ток сток—исток. Поэтому
и напряжение насыщения Vc нас в приближении постоянной по-
движности (так называемая модель Шокли) определяется как
Иснас^ро-^+Уз. (4.10.9)
Подстановка (4.10.9) и (4.10.4) приводит к следующему вы-
ражению для тока сток — исток при насыщении:
(/c-HU = go |Чо/3+ 2^V^-V?)‘L-vbt + V.l. (4.10.10)
L J
414
Глава 4
Из (4.10.4) следует, что в линейной области собственная
(внутренняя) крутизна (т. е. рассчитанная без учета паразит-
ных сопротивлений истока и стока), равная
gm — d!c-K/dVa |i/c—const > (4.10.11)
определяется как
„ _ „ (Ус + Уы-Уз^-Мм-Уз)'1' gm—ga Vpo./2 (4.10.12)
Для малых напряжений сток—исток
(4.10.13)
выражения (4.10.4) и (4.10.12) могут быть упрощены:
Zc-H = g,[l (4.10.14)
grn = goVc/{2 [V'ti (ybl - Уз)'Л]}• (4.10.15)
Из (4.10.10) определяется крутизна в области насыщения
(gmU^gop (4.10.16)
В соответствии с моделью Шокли насыщение тока происхо-
дит тогда, когда проводящий канал перекрывается у стокового
края затвора. В этой точке поперечное сечение проводящего
канала, предсказываемое теорией Шокли, становится равным
нулю, и, таким образом, скорость электронов должна стать бес-
конечно большой, чтобы сохранить конечную величину тока
сток—исток. В реальной же ситуации скорость электронов на-
сыщается, что приводит и к насыщению тока. В разд. 4.5 мы
обсуждали важность полевой зависимости подвижности для
понимания эффекта насыщения тока в кремниевых МОП ПТ.
Этот же подход может быть использован применительно к ПТШ
на GaAs.
В соответствии с моделью Шокли скорость электронов на-
сыщается вначале у стокового края затвора, где электрическое
поле наиболее сильное. Это происходит, когда
E(L) = ES, (4.10.17)
где E(L) —напряженность электрического поля в проводящем
канале у стокового края затвора. Используя безразмерные пе-
ременные u = V(x)/Vp0, (4.10.18) и3 = (Уы-Уз)1Урй, (4.10.19)
и Ui = VclVp, (4.10.20) z = x!L, (4.10.21)
Полевые транзисторы 415
формулу (4.10,17) можно переписать в виде
\duldz\z = x = v., (4.10.22)
где
а = Е5А//р0. (4.10.23)
При напряжениях сток—исток, меньших напряжения насы-
щения, напряженность электрического поля в канале можно
найти из уравнений модели Шокли, приведенных в разд. 2.1
,, । М-(2/3)(«+«3)3/г+(2/3)И^
\du/dz\ =-----------------------------(4.10.24)
1 — (« + аз) /г
Безразмерное напряжение насыщения
й5 = Иснас/^о, (4.10.25)
тогда определяется из формулы (4.10.22), которую можно пе-
реписать в виде
а_ + (2/3).у.
1-(«.+ «.)'
Для больших значений а 1 уравнение (4.10.26) стремится
к виду
us + u3= 1, (4.10.27)
что аналогично соответствующему уравнению модели Шокли
[формула (4.10.9)]. Противоположный предельный случай а
< 1 соответствует модели полного насыщения скорости
us = a. (4.10.28)
Для того чтобы данное решение было справедливым, необ-
ходимо выполнение условия
а <2(1 -«?)«з/2. (4.10.29)
Численное решение уравнения (4.10.26) можно интерполи-
ровать с помощью простой формулы [92]:
us^-^7U — - (4.10.30)
а + 1 Из
Ток насыщения определяется выражением
(Ie~^e = qNDvsW [А- лобед(£)], (4.10.31)
где ширина обедненной области ДОбед(£) у стокового края за-
твора равна
^обед (£) — А (Цз “I- U-s)
(4.10.32)
416
Глава 4
В безразмерных единицах формула (4.10.31) примет вид
Ашс = а[1 —(us — z/3)’/a], (4.10.33)
где
£*нас = (^с — и)нас/(ЯоУ ро)* (4.10.34)
В предельном случае а—>-оо, который соответствует тран-
зистору с длинным затвором и малым напряжением перекры-
тия, выражение (4.10.33) переходит в соответствующее выра-
жение модели Шокли [см. формулу (4.10.10)]. В противопо-
ложном случае а<1 [короткий затвор и (или) большое на-
пряжение перекрытия] имеем
1‘нас = а(1 -м?). (4.10.35)
Эта формула соответствует простой аналитической модели
арсенидгаллиевого ПТШ, предполагающей полное насыщение
скорости в канале [91].
Простая интерполяционная формула, пригодная для всех
значений а, аппроксимирует результат численного расчета [92]:
Jнас — “^3- (1 «з)2.
(4.10.36)
Ее можно переписать в виде
(/с-и)нас==Р(Уз - Упор)2, (4.10.37)
где
-П (4.10.38)
(ttnV DO + $VSL )
1^пор ~ V Ы Vро*
(4.10.39)
В практически интересных ситуациях квадратичная зависи-
мость [т. е. формула (4.10.37)], достаточно строго описывает
вольт-амперные характеристики ПТШ с малым напряжением
перекрытия [VPo^(l,5—2)В]. Для транзисторов с большим
напряжением перекрытия эмпирическая формула
([ ) —. LIE3 ~Vriop.^___ (4 10 40)
(/с-н)нас j (Из_ Кпор) /
обеспечивает отличное совпадение с экспериментом.
Как следует из выражения (4.10.38), величина р (и, следо-
вательно, крутизна при заданной амплитуде напряжения) воз-
растает с уменьшением толщины активного слоя. Если напря-
жение перекрытия транзистора требуется оставить постоянным,
то уменьшение А необходимо компенсировать возрастанием
Полевые транзисторы
417
концентрации примесей пропорционально А2 [см. формулу
(4.10.6)]. Увеличение 0 сопровождается соответствующим уве-
личением емкости затвора
С3 = еЛГ/А (4.10.41)
Однако паразитные емкости не возрастают при увеличении
легирования или уменьшении толщины активного слоя, поэтому
использование тонких сильнолегированных активных слоев по-
вышает быстродействие ПТШ.
Еще одно достоинство сильнолегированных транзисторов за-
ключается в возможности уменьшения толщины активного слоя
при заданной величине напряжения перекрытия. Это уменьшает
эффекты короткого канала, которые становятся достаточно
малыми при L/A < 3 [Dambkes et al., 1983].
На вольт-амперные характеристики GaAs ПТШ могут
сильно влиять последовательные сопротивления истока и стока.
Они могут быть учтены следующим образом. Напряжение за-
твор—исток равно
Уз-и = ^з + /с-и/?и. (4.10.42)
Подставляя У3 — ]/3_и—(7с_и)нас7?и в уравнение (4.10.37)
и решая последнее относительно (/с-и)нас, получим
,, \ 1 +2р/?и (У3 и — Упор) - [1 +4р/?и (Уз-и — Упор) ]'^
(4.10.43)
При численном моделировании транзисторов приходится
рассчитывать их вольт-амперные характеристики во всем диа-
пазоне напряжений сток—исток, а не только в режиме насы-
щения. Было предложено [Curtice, 1980] использовать для ин-
терполяции вольт-амперных характеристик ПТШ функцию ги-
перболического тангенса
/с_и = (/с-и)НаС(1 + XI/c-n)th [^канУС-и/(/с-и)нас]» (4.10.44)
где (/с-и)нас определяется формулой (4.10.43),
£кан == £каш7[1 + £канг (£и + #с)] (4.10.45)
— проводимость канала при малом напряжении сток—исток, а
§кан1 = ^о{1 — 1(Иь/ — V3_H)/VP0],/2} (4.10.46)
— собственная проводимость канала при малом напряжении
сток—исток в модели Шокли.
Константа Z, в уравнении (4.10.44) — эмпирическая вели-
чина, связанная с выходной проводимостью. Последняя, в свою
очередь, определяется эффектами короткого канала [Рисе!
27 Заказ № 304
418
Глава 4
et al., 1975] и паразитными токами в подложке, например
током, ограниченным пространственным зарядом. Поэтому вы-
ходную проводимость можно значительно уменьшить, исполь-
зуя буфер с гетеропроходом, предотвращающий инжекцию но-
сителей заряда в подложку (см., например, [Eastman, Shur,
1979]).
Напряжение сток—исток определяется выражением
Ус-и = Vc + /с_и (7?и + /?с). (4.10.47)
Как упоминалось в‘ъ1ше, сильное влияние на работу схем
с арсенидгаллиевыми ПТШ оказывает ток через затвор. Он
имеет особое значение, когда к барьеру Шоттки затвора прикла-
дывается положительное напряжение. Строгая аналитическая
модель, учитывающая ток затвора, до сих пор не разработана.
На практике для получения результатов, соответствующих
эксперименту, и для учета тока затвора при моделировании
работы ПТШ в схеме между затворным контактом и кон-
тактами истока и стока включаются соответственно два экви-
валентных диода. Такой подход позволяет получить следующее
выражение для тока затвора
/з = /з-и + /з-с, (4.10.48)
где
/з-и = /зоехр [q [У3-и - I3R3 - (/с-и + /з-и)/?и]/(^П}, (4.10.49)
23-с = /зоехр{г[7з-с-/з/?з-(/с-и + /з-с)/?с]/(^Г)}. (4.10.50)
Формулы (4.10.43) — (4.10.50) образуют полную систему
уравнений аналитической модели ПТШ в программе UM-SPICE,
предназначенной для моделирования арсенидгаллиевых ИС
[Hyun, 1985]. Параметры модели определяются геометрией
транзистора, его легированием, такими параметрами использо-
ванного материала, как скорость насыщения и подвижность
электронов в слабом поле.
На рис. 4.10.3 вольт-амперные характеристики ПТШ, рас-
считанные на основе развитой модели, сопоставлены с экспери-
ментальными данными. Параметры транзисторов, использован-
ных в расчетах, определены из вольт-амперных характеристик
следующим образом. Вначале при заданной величине У3-и из
зависимости /с-и(Ус-и) определяется X. Затем ток насыщения
экстраполируется к значению Ус-и = 0 для всех значений У3-и
при постоянной X. Для определения сопротивления истока /?п
строится зависимость (7с-и),/2 от (У3-и—Л-иЯи) при различ-
ных значениях /?и, пока не будет достигнуто наименьшее сред-
неквадратичное отклонение от эксперимента. Наклон и точка
пересечения зависимости с осью абсцисс определяют значения
Р и Упор соответственно. Величину встроенного напряжения Vbi
Полевые транзисторы
419
находят из вольт-амперной характеристики затвора. Толщину
канала и его легирование вычисляют по формуле (4.10.6) и
величине имплантированной дозы примесных атомов, т. е. про-
изведения NdA- Полагая /?и==/?с, из наклона характеристики
/с-и(^с-и) на линейном участке при больших значениях У3-и
получим собственное сопротивление канала
/?кан;==/?с-и-^с-^и. (4.10.51)
Рис. 4.10.3. Вольт-амперные характе-
ристики арсенидгаллиевого ПТШ [56].
При расчете использованы следую-
щие значения параметров: ширина
затвора 1Г=20 мкм, длина затвора
L=1 мкм, пороговое напряжение
Vnop=0,21 В, Х=0,15 В"1, подвиж-
ность электронов в~0,25 м2/(В-с),
скорость насыщения = 1,3-105 м/с,
последовательные сопротивления ис-
тока и стока 50 Ом, концентрация
примеси в канале Wd = 7,24-1016 см~3,
плотность тока насыщения затвора
Л = 0,255 А/м2, коэффициент идеаль-
ности диода Шоттки 1,44.
Напряжение сток-исток, В
Величина /?кан i связана с напряжением на затворе соотноше-
нием
Оно используется для определения По известной вели-
чине ри рассчитывают скорость насыщения с помощью формулы
(4.10.38). Для более точного определения параметров транзи-
стора можно использовать более тонкую методику, например
измерение краевого сопротивления [99].
В ПТШ на GaAs с коротким каналом особую важность при-
обретают эффекты, связанные со «всплеском» скорости элек-
тронов. Эти эффекты обусловлены соизмеримостью времени
пролета электронов под затвором с временем релаксации энер-
гии. Их важность демонстрирует рис. 4.10.4 [15], на котором
представлены распределения скорости электронов вдоль канала
ПТШ, изготовленных из различных материалов при малой
длине канала, а также максимальная скорость электронов
в транзисторах с длинным каналом при стационарных усло-
виях. Как следует из рисунка, в ПТШ с коротким каналом сле-
дует ожидать значительно более высоких значений скорости
электронов. Однако в простой модели, описанной выше, этот
27*
420
Глава 4
эффект в некоторой степени можно учесть, используя большее
эффективное значение скорости насыщения электронов.
Представленные выше аналитические модели пригодны для
численного моделирования арсендгаллиевых ПТШ и схем на
их основе. Однако эти модели не позволяют строго учесть такие
важные и сложные эффекты, как отклонение от приближения
плавного канала, которое может оказаться особенно важным
Расстоянием™
Материал -
(легирован-
ный)
Si
GaAs
InP
GalnAs
InAs
Максимальная
скорость t
105 м/с
1 ........
1,8 ------
2Л ——
2,1-------
3,5 ......
Рис. 4.10.4. Зависимость скорости электронов от расстояния в канале ПТШ,
изготовленного из различных полупроводниковых материалов [15].
у стокового края затвора [Pucel, 1975], возможное формирова-
ние области сильного поля (так называемого дипольного до-
мена) у стокового края канала [34, 38; Shur, Eastman, 1978],
диффузию и неполное обеднение слоя между обедненной
областью и проводящим каналом [123], баллистический эф-
фект и эффект «всплеска» скорости [15, 65, 82, 91, 119], эф-
фекты диффузии доноров из контактных областей п+-типа в ка-
нал [21], пассивацию нитридом кремния [Asbeck et al., 1984;
21], ловушки [20]. Эти эффекты могут быть учтены косвенным
образом путем подбора таких параметров модели, как р, vs и
Nd- Последовательно их можно учесть только в численных мо-
делях. Такие модели обеспечивают более глубокое понимание
физических основ работы транзистора. Однако для практиче-
ских схемных расчетов, используемых при разработке устройств
на ПТШ, применяются в основном аналитические или очень
простые численные модели. Кроме экономии счетного времени
при моделировании схем, включающих сотни транзисторов,
простые модели позволяют упростить описание ПТШ, поскольку
используют сравнительно малое число его параметров. Эти
параметры могут быть легко измерены и сопоставлены для
различных полупроводниковых структур, технологий и т. д.
Полевые транзисторы
421
Сильное влияние на быстродействие арсенидгаллиевых
ПТШ и схем на их основе оказывает собственная емкость тран-
зистора. Простейший способ ее учета — включение в эквива-
лентную схему двух диодов с барьером Шоттки между затво-
ром, с одной стороны, и истоком и стоком — с другой, обладаю-
щих соответствующими емкостями затвор—исток С3_и и за-
твор-сток С3_с:
Здесь
________Сзо
,-и_ (l-Vз-и/vbl),,^ ’
_________<^0_____
,-с О-^-с/М'* ’
eWL WL ( \'lt
~ 240 “ 2 I 2Vbi )
(4.10.53)
(4.10.54)
/ 2qtVbi
I ) •
Данная модель учета емкости применялась, в частности,
в программе SPICE для представления р—n-ПТ. Однако она
непригодна для описания транзисторов при напряжении на
затворе, меньшем порогового. Действительно, в последнем слу-
чае канал под затвором полностью обеднен, и изменение заряда
под затвором связано только с краевой емкостью (рис. 10.4.5).
Более совершенная модель была предложена Такадой и др.
[110]. Она основана на допущении, согласно которому при
напряжении на затворе выше порогового (т. е. У3 > Vtz >
> Упор) емкость транзистора равна сумме емкостей затвора
Шоттки и краевых емкостей:
с—= rv^’-+:'‘VI2’ <4J0'55>
(1 — Уз-н/Vbi) 12
С3_с=- С*> + ле«7/2. (4.10.56)
(1 - V3-JVbt)
Краевые емкости описываются вторыми слагаемыми в правой
части формул (4.10.55), (4.10.56). При напряжениях ниже по-
рогового (У3<Vn<Упор) собственные емкости равны краевым
С3_и = ле!У/2, (4.10.57)
С3-с = леИ72. (4.10.58)
При напряжении на затворе Ун < У3 < У(2 емкости нахо-
дят по интерполяционным формулам. На рис. 4.10.6 сопостав-
422
Глава 4
лены результаты расчета на основе данной модели с экспери-
ментом [56] и расчетом по упрощенной модели SPICE, описы-
ваемой формулами (4.10.53) и (4.10.54).
ц-4 4-4-1 Обедненная область
Е±±±1 при
. EZZ3 Заряд 6 обедненной области,
возникший при увеличении
напряжения на затворе на
малую величину
Рис. 4.10.5. Изменение формы обеднен-
ной области при малом изменении на-
пряжения на затворе: а — напряжение
на затворе выше порогового, б — ниже
порогового.
Напряжение затвор-исток, 0
Рис. 4.10.6. Зависимость емкости
затвор—исток от напряжения за-
твор-исток при нулевом напря-
жении сток—исток для арсенид-
галлиевого ПТШ с длинным кана-
лом [56]. Кривая UM SPICE рас-
считана с помощью модели, опи-
санной в работе [ПО].
4.11. Гетероструктурные полевые транзисторы
Рассмотренные в разд. 4.10 арсенидгаллиевые ПТШ рабо-
тают при ограниченной амплитуде напряжений на затворе, по-
скольку встроенный потенциал затвора Шоттки равен ~0,8 В.
Это критично для транзисторов, работающих в режиме нор-
мально закрытого канала, т. е. таких транзисторов, у которых
пороговое напряжение положительно. Увеличение амплитуды
напряжений на затворе, быстродействия и ряд других преиму-
ществ могут быть достигнуты при использовании технологии
гетероструктур — новой и быстро развивающейся области элек-
троники полупроводниковых соединений.
Идея использования гетероструктур, т. е. структур, состоя-
щих из чередующихся слоев различных полупроводниковых
материалов, принадлежит У. Шокли, который также предложил
Полевые транзисторы
423
первый прибор на гетероструктуре, а именно, гетероструктур-
ный биполярный транзистор (см. разд. 3.14). Гетероструктур-
ные полевые транзисторы (ГПТ) на основе AlGaAs—GaAs и
Рис. 4.11.1. а — схематическое изображение гетероструктуры с селективным
легированием и каналом n-типа; б — ее зонная диаграмма; в — поперечное
сечение ГПТ. Здесь dd — толщина легированного слоя AlGaAs, di — толщина
нелегироваиного слоя AlGaAs, и — энергии двух низших размерных
подзон, &f — квазиуровень Ферми электронов, У3 — напряжение на затворе.
AlGaAs—InGaAs—GaAs, называемые также полевыми транзи-
сторами с модулированным легированием (MODFET), транзи-
сторами с высокой подвижностью электронов (НЕМ.Т), гетеро-
структурными транзисторами с селективным легированием
(SDHT), полевыми транзисторами с двумерным электронным
газом (TEGFET), продемонстрировали высокое быстродей-
ствие. В частности, в кольцевых генераторах на ГПТ достиг-
нуты времена переключения до 5,8 пс при 77К [90] и 6 пс при
300 К [71].
Большинство ГПТ имеют канал n-типа. Схематическое изо-
бражение поперечного сечения ГПТ с каналом n-типа и зонная
диаграмма структуры представлены на рис. 4.11.1. Из рисунка
424
Глава 4
9 о AlGaAs
Затвор
Исток
Сток
Нелегированный
GaAs х
2D-электронный,
газ
следует, что в нелегированном буферном слое GaAs у границы
гетероперехода формируется двумерный электронный газ. Не-
давно были разработаны комплементарные ГПТ с затвором на
изоляторе (ИЗГПТ) и с каналами п- и р-типа, которые пер-
спективны как быстродействующие приборы с малой мощно-
стью рассеяния [24, 27, 28, 59,
83]. Кремниевые ИС, потребляю-
щие наименьшую мощность,
используют комплементарные
МОП ПТ (КМОП ПТ), в кото-
рых транзисторы с п- и p-кана-
лами соединены последовательно
(см. рис. 4.9.8). Ток в обоих
стабильных состояниях у инвер-
торов на КМОП ПТ очень мал,,
поэтому мощность потребляется
преимущественно в процессе
переключения. Аналогичны им
и ИЗГПТ. Как следует из
рис. 4.11.2, каналы и- и р-типа
формируются ионной импланта-
цией в п+- и р^-области по само-
совмещенной технологии в одни
и те же нелегированные слои
AlGaAs — GaAs. Это позволяет
избежать нежелательных эффек-
тов, связанных с ловушками
в AlGaAs, создаваемыми в про-
цессе легирования, которые
в свою очередь вызывают в ГПТ
такие отрицательные явления,
как сильный сдвиг порогового
напряжения при изменении температуры и долговременную ре-
лаксацию фотопроводимости (см., например, [99]).
В некоторых типах ГПТ используется планарное легирова-
ние слоя AlGaAs. Зонная диаграмма и схематическое изобра-
жение поперечного сечения такого транзистора (впервые, на-
сколько нам известно, предложенного Истменом [33]) пред-
ставлены на рис. 4.11.3. Такие транзисторы обладают двумя
главными преимуществами. Во-первых, в приборах с планар-
ным легированием (называемым также дельта-легированием
или импульсным легированием) значительно меньшую роль
играют ловушки. Кроме того, и мы это обсудим, транзисторы
с планарным легированием могут работать при больших ампли-
тудах напряжения на затворе. К тому же результату, а именно,
к уменьшению роли ловушек в слое AlGaAs, приводит исполь-
Исток
Нелегированный
* AlGaAs
Затвор
Сток
Нелегированный .
GaAs \
2D-дырочный
газ
Рис. 4.11.2. Комплементарные
ИЗГПТ с каналами п- и р-типа.
Полевые транзисторы
425
зование в ГПТ сверхрешеток [4, 90, 100]. В этих транзисторах
примеси локализованы в нескольких тонких потенциальных
ямах GaAs, образующих в слое AlGaAs структуру сверхре-
шетки.
Рис. 4.11.3. ГПТ с планарным легированием: а — гетероструктура и ее зон-
ная диаграмма, б — поперечное сечение транзистора.
Однако все перечисленные типы ГПТ работают на одном
принципе. Когда к затвору подается положительное напряже-
ние, в узком канале у границы гетероперехода со стороны GaAs,
как в конденсаторе, наводятся электроны. Состав и профиль
легирования слоя AlGaAs (его называют также слоем управ-
ления зарядом) определяют пороговое напряжение транзистора
и амплитуду напряжения на затворе. Электронный газ, кото-
рый наводится у границы гетероперехода (называемый двумер-
ным электронным газом), по своим свойствам аналогичен элек-
тронному газу в инверсионных слоях кремниевых МОП ПТ.
Как и в МОП ПТ, поверхностная плотность электронов и, сле-
довательно, ток, протекающий в транзисторе, управляются на-
пряжением на затворе. Однако из-за малой эффективной массы
426
Глава 4
электронов в GaAs (/п* = 0,067 те, где те — масса свободного
электрона) квантовые эффекты в последнем случае выражены
более явно.
Это можно пояснить на примере глубокой и узкой квантовой
ямы (см. разд. 1.2). Расстояние между энергетическими уров-
нями в такой яме обратно пропорционально эффективной массе
электронов, см. выражение (1.2.20). Согласно рис. 4.11.1 рас-
щепление между подзонами двумерных электронов в этом слу-
чае значительно превышает тепловую энергию Гт — 25,84 мэВ
при 300 К. Есаки и Тсу [35] предсказали эффект подавления
примесного рассеяния двумерного электронного газа и возрас-
тания подвижности электронов вследствие как их высокой
концентрации, так и пространственного разделения относи-
тельно доноров. Этот эффект возрастания подвижности впервые
наблюдался Динглом и др. [30]; Мимура и др. [68] изготовили
первый ГПТ, в котором улучшение характеристик достигалось
за счет увеличения подвижности электронного газа. Авторы
назвали этот новый прибор транзистором с высокой подвиж-
ностью электронов (High Electron Mobility Transistor—HEMT).
Гетероструктурные ПТ полностью сохраняют или даже
усиливают преимущества обычных арсенидгаллиевых ПТШ, та-
кие, как более высокие, чем в кремнии, подвижность и дрейфо-
вая скорость электронов, эффекты «всплеска» скорости и бал-
листического дрейфа электронов в коротком канале, а также
низкая паразитная емкость, обусловленная хорошими изолиру-
ющими свойствами полуизолирующей арсенидгаллиевой под-
ложки. Но в дополнение к значительно более высокой подвиж-
ности электронов, чем в ПТШ на GaAs, они обладают еще
двумя важными преимуществами: очень малым (и хорошо кон-
тролируемым) расстоянием между затвором и каналом и боль-
шим напряжением управления током затвора.
Важность меньшего расстояния между затвором и каналом
можно проиллюстрировать, введя предельную частоту усиле-
ния по току транзистора fT, которую можно выбрать в качестве
основного критерия, характеризующего быстродействие при-
бора
Здесь gm — крутизна транзистора, С3 — емкость затвора,
Сн — эффективная емкость нагрузки, включающая краевые и
паразитные емкости. Крутизна пропорциональна емкости за-
твора, скорости электронов в канале v и обратно пропорцио-
нальна длине затвора L, т. е.
(4.П.2>
Полевые транзисторы
427
Формулу (4.11.2) получают сле-
дующим образом. Наведенная по-
верхностная плотность электронов
в канале равна
ns^C3(V3^Vnop)/(qLW)t
(4.11.3)
где W — ширина затвора. Ток стока
равен
Ic_„^qnsvW, (4.11.4)
г крутизна gm = д1с-ъ/дУз, что и
приводит к формуле (4.11.2). Исполь-
зуя (4.11.2), можно записать (4.11.1)
в виде
Рис. 4.11.4. Затворные
вольт-амперные характери-
стики ПТШ и ГПТ.
2птПрОл 1 4- (Сн/Сз) *
(4.11.5)
где Тпрол = L/v — пролетное время электронов под затвором.
В типичных ИС значительная часть емкости нагрузки Сн опре-
деляется емкостью затвора следующего каскада (Сн = С3 +
+ Сл, где Сп — емкость межсоединения и паразитная емкость).
Тогда (4.11.5) приводится к виду
<4Л1'6>
Выражение (4.11.6) отражает тот факт, что крутизна тран-
зистора пропорциональна скорости электронов и емкости за-
твора. Оно показывает, что увеличение емкости затвора (иодно-
временно крутизны) приводит к повышению быстродействия
ПТШ, поскольку увеличивается отношение С3/Сн. Второе досто-
инство ГПТ, а именно, значительно большее напряжение управ-
ления током затвора, иллюстрирует рис. 4.11.4, на котором
сопоставлены затворные вольт-амперные характеристики ПТШ
на GaAs и ГПТ на AlGaAs—GaAs. Оба эти преимущества по-
зволяют ГПТ занять важное место среди других быстродейству-
ющих приборов (рис. 4.11.5). Основная область применения
ГПТ в будущем — использование в сверхбыстродействующих,
маломощных, радиационно-стойких ИС для процессоров и
памяти.
Теперь опишем модель управления зарядом ГПТ, которая
дает результаты, хорошо совпадающие с численными расчетами
по двумерным моделям, а также с экспериментом [14, 43]. По-
роговое напряжение транзистора УПор найдем путем интегриро-
вания уравнения Пуассона по слою управления зарядом с гра-
428
Глава 4
ничным условием, соответствующим равенству нулю электри-
ческого поля на границе гетероперехода. Это приводит к вы-
ражению (задача 4.11.1):
d
УПОр = фб —Д#с —fa/ej j ND(x)xdx, (4.11.7)
о
где ei — диэлектрическая проницаемость слоя AlGaAs, фб —
высота барьера Шоттки на границе с металлом, No — концен-
10нс
• GaAs птш
и р-п-т
о ГПТ
п Биполярные
- гетеро струк-
турные
транзисторы
(STT)
Переход х
Джозеф- \
'сока
100-нВт 1мкВт IOmkBt 100 мкВт 1мВт 10мВт
Мощность рассеянця
Рис. 4.11.5. Мощность рассеяния и время задержки переключения различных
быстродействующих приборов [51].
трация примеси в слое AlGaAs, q — заряд электрона, d — рас-
стояние от затвора до гетероперехода, Ad — эффективная тол-
щина слоя двумерного электронного газа, а х — пространствен-
ная координата (х = О соответствует границе затвора и слоя
AlGaAs). Для однородно-легированного AlGaAs (Nd(x) =
— const) пороговое напряжение, вычисленное по формуле
(4.11.7), определяется выражением
V пор== фб — А^Г с qN д dCK/(28]), (4.11.8)
где dCK — толщина легированной части слоя AlGaAs. Для пла-
нарно-легированной структуры вычисление интеграла в (4.11.7)
приводит к формуле
^пор== фб А^Гс q N& dd/^i, (4.11.9)
где dd — расстояние между металлом затвора и плоскостью
легирования. Расчетные зависимости Упор от dd для однородно-
и планарно-легированных транзисторов представлены на
рис. 4.11.6.
Зависимость поверхностной плотности двумерного газа от
напряжения на затворе можно аппроксимировать прямой ли-
Полевые транзисторы
429
нией [как это следует из (4.11.3)] только в ограниченном диа-
пазоне напряжений. Отклонение от линейной зависимости осо-
Расстояние от затвора да плоскости легиро-
вания , нм
Рис. 4.11.6. Пороговое напряжение ГПТ: а — обычного, б — планарно-легиро-
ванного [17].
бенно существенны при больших напряжениях на затворе. Это
нетрудно понять, если проанализировать зонную диаграмму
селективно-легированной гетероструктуры. Построим упрощен-
ную зонную диаграмму планарно-легированного ГПТ при раз-
430
Глава 4
ном напряжении на затворе V3 (рис. 4.11.7 [17]). Как следует
из рисунка, при больших амплитудах напряжения на затворе
квазиуровень Ферми электронов в слое AlGaAs достигает дна
зоны проводимости и таким образом электроны наводятся
в минимуме зоны проводимости AlGaAs. Попадая в ловушки
в AlGaAs, эти электроны (с поверхностной плотностью nt)
Рис. 4.11.7. Зонная диаграмма ГПТ с планарным легированием при разном
напряжении на затворе. При малом напряжении на затворе разность энер-
гий квазиуровня Ферми электронов и минимума дна зоны проводимости
в слое управления зарядом AlGaAs велика, а концентрация электронов пре-
небрежимо мала. При большом напряжении на затворе квазиуровень Ферми
электронов практически касается минимума дна зоны проводимости в AlGaAs
и перенос электронов в этот слой становится определяющим, резко умень-
шая крутизну [17].
перестают давать вклад в ток транзистора. На рис. 4.11.8 пред-
ставлены результаты численного расчета зависимостей ns и nt
от напряжения на затворе. Расчет основан на самосогласован-
ном решении уравнений Шрёдингера и Пуассона. Из рис. 4.11.8
следует, что при высоком напряжении на затворе концентрация
электронов в слое AlGaAs резко возрастает, а наклон зависи-
мости ns(V3) уменьшается. При этом зависимость ns(V3)
сильно отличается от линейной.
Чтобы получить выражение для вольт-амперных характери-
стик, рассмотрим формулу, описывающую ток стока при малых
напряжениях сток—исток, когда электрическое поле в канале
мало и ему пропорциональна скорость электронов:
Ic^q\mxsE. (4.11.10)
Здесь nxs(x) —поверхностная плотность электронов в сече-
нии канала с координатой х, а
E=dVjdx (4.11.11)
Полевые транзисторы
431
— абсолютная величина напряженности электрического поля.
В приближении плавного канала
Hxs H'S (х)/(^эфф), (4.11.12)
где 81 — диэлектрическая проницаемость слоя AlGaAs, с!Эфф =
= d + Ad0 расстояние между затвором и каналом, параметр
Рис. 4.11.8. Зависимость поверхностной плотности электронов в двумерном
электронном газе (ns) и в слое AlGaAs (nt) от напряжения на затворе. При
напряжении на затворе, близком к нулю, важную роль приобретает про-
странственный перенос электронов в слой AlGaAs, уменьшающий концентра-
цию электронов, наведенных в квантовой яме, и ограничивающий амплитуду
напряжения на затворе [17].
Ado определяется из сравнения результатов аналитического
расчета и численного моделирования [14], a ns = ns(V3) —по-
верхностная плотность электронов у стока, которая не зависит
от V. Подставляя (4.11.11) и (4.11.12) в (4.11.10), получим сле-
дующее выражение для вольт-амперных характеристик при
напряжениях на стоке, меньших напряжения насыщения:
/с « q\i (W/L) [nsVc - е1У2с/(2^эфф)]. (4.11.13)
Если теперь воспользоваться аппроксимацией зависимости
ns(V3) в работе [31]:
ns^C0(V3-Vnop)/q, (4.11.14)
где
Со « e.J(d + М), (4.11.15)
432
Глава 4
a нм — эффективная ширина слоя двумерного электрон-
ного газа, то нетрудно получить
1С « ц61 (1F/L) [(Уз - Упор) vc/(d + М) - У?/(2<Лфф)]. (4.11.16)
Будем полагать (как это уже делалось в разд. 4.10 при рас-
чете ПТШ на GaAs), что у транзисторов с коротким каналом
вольт-амперные характеристики насыщаются, когда электриче-
ское поле Е у стокового края канала сравнивается с электри-
ческим полем насыщения электронов. Поле у стока Е опреде-
ляется следующим образом:
E=/c/(?gU7nd) (4.11.17)
или с учетом (4.11.12) —как
Е = Ic/[q\iW [tls - (. (4.11.18)
Подставляя Е = Es в (4.11.18) и используя (4.11.13), найдем
напряжение на стоке Ус, соответствующее напряжению насы-
щения
Ус нас = (qdfis/ъ) [ 1 + а - (1 + а2)7’], (4.11.19)
где
а = EiEsL/(qnsd3^), (4.11.20)
a ns — функция от У3 (см. разд. 4.2). Из (4.11.13) и (4.11.19)
находят ток стока, соответствующий насыщению [43]:
7с нас = qnsiiEsW [(1 + а2)1'- - а]. (4.11.21)
В этой модели используется кусочно-линейная аппроксима-
ция скорости электронов:
где ц— подвижность в слабом поле, Е— напряженность элек-
трического поля, vs — эффективная скорость насыщения, a Es =
= Vs/yc. Как следует из расчетов процесса установления скоро-
сти методом Монте-Карло (см., например, [15]) и исходя из
гидродинамических моделей [91], в транзисторах с коротким
каналом vs сильно отличается от значений, характерных для
длинных объемных полупроводниковых образцов: она значи-
тельно выше и зависит от эффективной длины затвора ЛЭфф-
Моделирование в одномерном приближении структур и—Z—п-
типа приводит к следующей интерполяционной формуле [95]:
^«(0,22+ 1,39£эфф) • 107/£Эфф см/с, (4.11.23)
Полевые транзисторы
433
где эффективная длина затвора £эфф задается в микрометрах.
Кроме того, численные расчеты со всей очевидностью показы-
вают, что в коротких структурах скорость электронов не насы-
щается вообще. В действительности скорость зависит как от
электрического поля, так и от потенциала. Таким образом, дан-
ная упрощенная модель, основанная на введении эффективной
скорости электронов, дает лишь общую характеристику поведе-
ния скорости электронов в канале транзистора, но не позволяет
рассчитать ее точный профиль вдоль канала. Для транзисторов
с заглубленным затвором эффективная длина затвора рассчи-
тывается по формуле
Ь,ФФ«£+₽£(4/ + Д4), (4.11.24)
где М, — эффективная ширина слоя двумерного электронного
газа, a — константа. Длина РД^ + Дс!) в предыдущем вы-
ражении представляет собой полную ширину выступающих за
края затвора частей обедненной области и в свою очередь за-
висит от ширины заглубления под затвором в ГПТ. Чао и др.
[17] установили, что Pl « 2.
Сильное влияние на вольт-амперные характеристики ГПТ
могут оказать последовательные сопротивления истока Ra и
стока Rc. Их можно учесть следующим образом. Внешнее (т. е.
приложенное к контактам) напряжение затвор — исток опреде-
ляется как
V3_H = V3 + (/c-„ + /3)/?H, (4.11.25)
где /3 — ток затвора. В ГПТ, работающих в режиме обеднения,
ток затвора обычно не играет существенной роли, так как пе-
ренос электронов в AlGaAs (см. рис. 4.11.7) несколько умень-
шает крутизну при напряжениях, меньших порогового напряже-
ния для возникновения тока утечки через затвор. В то же время
у транзисторов, работающих в режиме обогащения, ток, проте-
кающий через затвор, играет доминирующую роль и, как от-
мечалось выше, может влиять даже на собственный ток стока
7С_И. Чтобы найти зависимость тока стока при насыщении от
напряжения на затворе, следует решить уравнение (4.11.25)
совместно с (4.11.19) и (4.11.21). На рис. 4.11.9 из работы [17]
представлено сравнение расчета крутизны и тока насыщения
транзистора по данной модели с экспериментом. А на
рис. 4.11.10 [17] дано сравнение по крутизне обычного ГПТ и
ГПТ с планарным легированием, имеющих одинаковое напря-
жение перекрытия. Согласно рисунку, у обычных ГПТ элек-
троны индуцируются в слое AlGaAs при меньших напряжениях
на затворе. Это приводит к уменьшению как максимальной кру-
тизны, так и амплитуды напряжений на затворе.
28 Заказ № 304
434
Глава 4-
Влияние длины затвора на крутизну транзистора преиму-
щественно определяется возрастанием скорости вследствие
эффекта «всплеска» и баллистического дрейфа в коротких ка-
-1,00 -0,75 -0,50 -0,25 0,00 0,25 0,50
Напряжение на затворе, В
Рис. 4.11.9. Расчетные и эксперименталь-
ные зависимости: крутизны (а) и тока
стока (б) при насыщении ГПТ с планар-
ным легированием на основе AlGaAs—
InGaAs—GaAs [17].
налах. На рис. 4.11.11 пред-
ставлены зависимости кру-
тизны транзисторов от на-
пряжения на затворе, рас-
считанные в предположе-
нии, что эффективная ско-
рость насыщения электро-
нов определяется формулой
(4.11.23). Как следует из
рисунка, при уменьшении
длины затвора с 1 мкм
до 8 нм крутизна почти
удваивается.
Вольт-амперные харак-
теристики ГПТ рассчиты-
ваются на основе того же
подхода, что и для ПТШ:
/с —и == нас (1 — и)Х
Xth[gканГс — и//с нас]>
(4.11.26>
ГДе /с нас определяется фор-
мулой (4.10.21),
ёкан ~ £канх/[ 1 Ч”
+ £канх (Rh "4“ ^?с)]
(4.1 1.27)
— проводимость канала при
малом напряжении сток —
исток, а
gxaHi = / L
(4.11.28)
— собственная проводи-
мость канала при малом на-
пряжении сток — исток. В (4.11.26) к— эмпирическая кон-
станта, связанная с выходной проводимостью. Последняя
в свою очередь может определяться как эффектами короткого
канала, так и инжекцией пространственного заряда в буферный
слой (см., например, [49]).
Данная модель включена в программу UM-SPICE, предна-
значенную для моделирования ИС [55]. Эквивалентная схема
Полевые транзисторы
435
ГПТ, использованная в этой программе, представлена на
рис. 4.11.12. На рис. 4.11.12, а изображена эквивалентная
схема обыкновенного ПТШ. Она использовалась в старой вер-
сии программы UM-SPICE [55]. В этой схеме ток затвора мо-
-1,00 -0,75 -0,50 -0Д5 0,00 0,25 0,50
Напряжение на затворе, В <'
Рис. 4.11.10. Сравнение крутизны
транзистора на основе планарно-леги-
рованной и обычной структур с селек-
тивным легированием, У первых на-
блюдается более широкая область
высокой крутизны [17].
Рис. 4.11.11. Влияние длины затвора
на крутизну транзистора. Крутизна
увеличивается с уменьшением длины
затвора из-за увеличения скорости
электронов вследствие баллистическо-
го дрейфа и эффекта всплеска [17].
делируется эквивалентными диодами Шоттки, подключенными
между затвором, с одной стороны, и истоком и стоком — с дру-
гой. Используя известную формулу, применяемую для этих дио-
дов, получим полный ток затвора
' = Л»//, [ехр 0^=-) + ехр (-^) - 2]. (4.. 1.29)
где V 7—тепловое напряжение, п— коэффициент идеальности
диода, Js — плотность обратного тока насыщения. Более стро-
гая модель, описывающая ток затвора в ГПТ, развита в рабо-
тах [9, 22, 80, 83]. Эта модель учитывает, что, как показано
на рис. 4.11.13, механизм, определяющий ток затвора, меняется
при Г3 — ерб — Д^с/7, где фб — высота барьера Шоттки на гра-
нице раздела металл—полупроводник, а — разрыв зоны
проводимости. При меньших напряжениях на затворе затвор-
ный ток определяется преимущественно барьером Шоттки на
границе металл—полупроводник, при больших напряжениях —
разрывом зоны проводимости или, точнее, эффективной высо-
той барьера, равной разности энергий дна зоны проводимости
в слое AlGaAs на границе гетероперехода и квазиуровня Ферми
двумерного электронного газа. Высота этого барьера зависит
28*
436
Глава 4
от напряжения на затворе (только через зависимость положе-
ния квазиуровня Ферми от концентрации электронов в двумер-
Рис. 4.11.12. Эквивалентная схема ГПТ: а — аналогичная использованным для
обычных ПТ, б — учитывающая влияние тока затвора на ток канала [83].
ном газе и, следовательно, от напряжения на затворе). По-
этому интерполяция экспериментальной зависимости тока за-
твора от напряжения на затворе формулой, следующей из
диодной теории, в этом режиме приводит к очень большому ко-
эффициенту идеальности (обычно от 5 до 20). Как видно из
рис. 4.11.14, эта модель дает результаты, хорошо согласующиеся
с экспериментальными данными для транзисторов с каналом
как п-, так и р-типа.
На измеренных вольт-амперных характеристиках наблюда-
ется интересный эффект, а именно, отрицательное дифферен-
циальное сопротивление (кривая, соответствующая Уз-и =
= 1,9 В на рис. 4.11.14, а). Этот эффект, который может быть
выражен и значительно сильнее [98], связан с пространствен-
Полевые транзисторы
437
ным переносом электронов, впервые предсказанным Хессом
и др. [52] т. е. переходом горячих электронов через барьер,
Рис. 4.11.13. Зонная диаграмма ГПТ при
различных напряжениях смещения: а —
У3<.Фб—Д#с; б—Гз^фб—Л^с; в—Уэ>
>Фб—Д#с. Механизм протекания тока че-
рез затвор изменяется при И3=фб—Д#с.
Здесь фб2 — эффективная высота барьера
при больших напряжениях на затворе,
и У2 — падения напряжений на барьере
Шоттки и разрыв зоны проводимости соот-
ветственно [22].
образованный разрывом зоны проводимости. Аналогичный эф-
фект наблюдался в ГПТ Ченом и др. [23].
Эквивалентная схема, представленная на рис. 4.11.12,6, учи-
тывает влияние тока затвора на ток канала. Действительно,.
Пространственный перенос электронов впервые предсказан 3. С. Гриб-
никовым (ФТП, том 6, вып. 1972, с. 1380—1382), а затем независимо —
К. Хессом.— Прим, перев.
438
Глава 4
'ток затвора распределен таким образом, что большая часть его
плотности приходится на истоковую область канала. Это при-
Фис. 4.11.14. Вольт-амперные характеристики ГПТ с изолированным затво-
ром и каналом n-типа (а) и р-типа (б) [9].
водит также к перераспределению поля: у истокового края оно
возрастает, а у стокового падает. Численное решение системы
связанных дифференциальных уравнений, описывающих пере-
распределение токов канала и затвора, выполнено в работе [5].
Этот расчет позволяет сформировать новую эквивалентную
схему, представленную на рис. 4.11.12, б. Как следует из
Полевые транзисторы
439*
CL
Рис. 4.11.15. Теоретические и экспериментальные зависимости тока стока (а)4
и крутизны (6) самосовмещенного ГПТ на AlGaAs—GaAs от напряжения на
затворе. В расчетах использованы следующие значения параметров: порого-
вое напряжение Упор = 0,582 В, толщина легированного слоя AlGaAs =
= 28,1 нм, толщина нелегированного слоя AlGaAs (спейсера) ^-=7,5 нм, моль-
ная доля А1 в AlxGai-xAs х=0,3, скорость насыщения электронов =
= 1,6-105 м/с, подвижность электронов ц=0,35 м2/(В-с), ток насыщения за-
твора /з~и= 1,14-10~7 А, эффективный коэффициент идеальности 5,61, после-
довательные сопротивления истока и стока 49 Ом, последовательное сопро-
тивление затвора 45 Ом, длина затвора 1 мкм, ширина затвора 10 мкм,.
параметр выходной проводимости 2^=0,07, а3=0,26, Ус-и=3 В [83].
440
Глава 4
рис. 4.11.15, эта схема обеспечивает значительно лучшее совпа-
дение с экспериментом, чем схема на рис. 4.11.12, а.
Нелинейные емкости С3-и(Уз-и, Кс-и) и C3-c(V3-c, Кс_и),
см. рис. 4.11.12, характеризуют эффекты сохранения заряда.
Рис. 4.11.16. Зависимость емкости за-
твора ГПТ от напряжения на за-
творе [56].
Их можно рассчитать, используя усовершенствованную модель
Мейера [69] и разд. 4.8:
С3_„ = -(2С3/3)|1----уснгс-1/с-и)2 1 (4.Ц.30)
L с- и нас У с-и^ J
И
Сз-с = -(2С3/3) 1
V2
г с — и нас
( 2 И с - и нас — V с - и ) 2
(4.11.31)
в линейной области. Здесь Vc нас — напряжение на стоке, соот-
ветствующее насыщению. В области насыщения С3_и = 2СЭ/3,
а С3-с = 0. Емкость С3 — полная емкость канал-затвор при
Vc-и =/= 0. Приближенное аналитическое выражение для
(1+У2)2^о
[— (2 + V2) ^со + V3st + Д,/пор]2
(4.11.32)
используется для подгонки зависимости С3(К3_И) под числен-
ный расчет, учитывающий зависимость положения уровня
Ферми от ns (рис. 4.11.16, [55]). Здесь АКпоР = 0,03 В,
a Vco = ЗУт- Как следует из рис. 4.11.16, расчеты по формуле
(4.11.32) и численным моделям хорошо согласуются между
собой. Константы С3-и Р, С3_с Р, Сс-И Р — межэлектродные ем-
кости.
Полевые транзисторы
441
4.12. Транзисторы на тонких пленках
аморфного кремния
Типичные электронные приборы изготавливаются из кри-
сталлических образцов кремния, отрезанных от слитка, кото-
рый получен из расплава. Эти структуры хрупки, относительно
дороги и ограничены по размеру 15 см в диаметре. Однако во
многих применениях с монокристаллическим кремнием могут
успешно конкурировать и даже предоставлять дополнительные
возможности аморфные материалы, напыляемые с помощью не-
дорогого технологического процесса на различные подложки
большой площади. Важнейший для электроники аморфный ма-
териал— это аморфный кремний. В 1972 г. было показано
[105], что пленки аморфного кремния, полученные с помощью
разложения газообразного силана (SiH-i) тлеющим разрядом,
обладают относительно малой плотностью дефектных состоя-
ний в запрещенной зоне. Получаемый в этом процессе материал
по существу представляет собой аморфный кремниево-водород-
ный сплав, содержащий достаточно большую концентрацию во-
дорода. Атомы водорода связывают оборванные связи, в зна-
чительном количестве присутствующие в аморфном кремнии,
чем уменьшают плотность локализованных состояний в запре-
щенной зоне. Эти локализованные состояния решающим обра-
зом влияют на явления переноса аморфного сплава Si: Н.
Пленки аморфного кремния (а — Si: Н) большой площади
и высокого качества могут быть получены без больших затрат
в непрерывном процессе, что делает этот материал чрезвычайно
привлекательным для использования в таких областях электро-
ники, как дисплеи, системы ксерокопирования и изображения,
а также фотоприемники большой площади. Были созданы
аморфные (Ge : Н, С : Н, SiC : Н, Si : F) и другие материалы,
что открыло возможность конструирования приборов на аморф-
ных гетероструктурах.
Свойства a-Si : Н значительно отличаются от свойств кри-
сталлического материала. Он представляет собой прямозонный
полупроводник с шириной запрещенной зоны 1,7 эВ и по-
движностью электронов и дырок порядка 10 см2/(В-с). Аморф-
ный кремний обладает значительно большим коэффициентом
поглощения излучения, чем кристаллический кремний, что осо-
бенно важно для применений в фотоприемниках и в оптоэлек-
тронике. Важнейшее различие между я-Si и кристаллическим
полупроводником определяется присутствием в запрещенной
зоне первого большого числа локализованных состояний. При-
мерное распределение локализованных состояний в собственном
нелегированном a-Si представлено на рис. 4.12.1. (В легирован-
ных пленках аморфного кремния возникает дополнительный
'442
Глава 4
пик акцептороподобных локализованных состояний, соответ-
ствующий энергии 0,4 эВ ниже дна зоны проводимости.) Лока-
лизованные состояния в верхней части запрещенной зоны
(ближе к дну зоны проводимости) проявляют себя как акцеп-
тороподобные, а состояния в нижней половине запрещенной
зоны — как донороподобные. Донороподобныс состояния заря-
жены положительно, когда они не заполнены, и нейтральны,
если заполнены захваченным носителем заряда; акцепторопо-
Рис. 4.12.1. Качественный вид рас-
пределения локализованных со-
стояний в собственном нелегиро-
ванном аморфном кремнии. Харак-
терные энергии четырех экспонен-
циальных распределений: i —
энергия акцептороподобных со-
стояний на «хвосте» функции рас-
пределения, — энергия глубо-
ких локализованных акцепторопо-
добных состояний, #3— энергия
донороподобных состояний на
«хвосте» функции распределения,
<84 — энергия глубоких локализо-
ванных донорных состояний.
добные состояния нейтральны, если они не заполнены и заря-
жены отрицательно в другом случае. Согласно рисунку, локали-
зованные состояния можно разделить на акцептороподобные,
находящиеся на «хвосте» распределения, глубокие акцепторо-
подобные, глубокие донороподобные и донороподобные, нахо-
дящиеся на «хвосте» распределения.
Распределение локализованных состояний несимметрично,
донороподобных состояний больше, чем акцептороподобных.
Поэтому уровень Ферми в нелегированных однородных образ-
цах a-Si в темноте, определенный из условия нейтральности,
сдвинут к дпу зоны проводимости Й’с (обычно в нелегированных
материалах — Sf ~ 0,6 эВ). Положение уровня Ферми,
определяемое глубокими локализованными состояниями, можно
найти из условия нейтральности
<2р + <2л = 0, (4.12.1)
где Qd, Qa — заряды глубоких донорных и акцепторных со-
стояний соответственно. Эти заряды можно выразить аналити-
Полевые транзисторы
44&
чески в приближении нулевой температуры, т. е. предполагая,
что все состояния ниже уровня Ферми заполнены, а выше —
пустые. Как упоминалось выше, донороподобные состояния
заряжены положительно, будучи незаполненными, и ней-
тральны, когда заполнены, а акцептороподобные — нейтральны,
когда не заполнены и заряжены отрицательно, когда запол-
нены. Поэтому, используя самую простую модель плотности
состояний, представляющую плотности глубоких доноро- и
акцептороподобных состояний экспоненциальными функциями
энергии (рис. 4.12.1), получим
о
Qd = ? j z&qgvD j exp[(#c— <£)/&o]d& =
If
= qgvD^Dexp[^v-^F)/^D], (4.12.2>
Qx = — q j gA^dg KtqgcA j exp [(«S’ — g‘c)/^A]d^ =
-oo
= qgcA#Aexp[(&F-&c)/&A]. (4.12.3)
Здесь gn(&) и gA(&)—плотности глубоких доноро- и
акцептороподобных состояний соответственно, gVD — плотность
глубоких донороподобных состояний, экстраполированная к по-
толку валентной зоны 3"v, a gCA — плотность глубоких акцепто-
роподобных состояний, экстраполированная к дну зоны прово-
димости &с. Подставляя (4.12.2), (4.12.3) в условие нейтраль-
ности (4.12.1), можно найти положение равновесного уровня
Ферми &Fq для собственного материала:
= -----*A±D 1п-^°- (4.12.4).
ё #a + #d &a + #d ScA^A
Для собственного аморфного кремния SA ж 86 мэВ, —
= 129 мэВ, ^c/i 8/1024 м-з-эВ-1, gvD ж 2-1025 м-з-эВ-1
(рис. 4.12.1), а <Гс — ~ 620 мэВ. Примеси (обычно фосфор
в полупроводнике n-типа и бор — в полупроводнике р-типа)
смещают положение уровня Ферми, что позволяет создавать на
основе аморфного кремния р—п-переходы (см. задачу 4.12.1).
Впервые это было продемонстрировано экспериментально в ра-
боте [106].
Положение уровня Ферми относительно дна зоны проводи-
мости около границы раздела аморфный кремний—диэлектрик
можно менять, индуцируя носители заряда с помощью эффекта
поля, подобно тому как это происходит на границе раздела
кристаллический кремний—диэлектрик. Этот эффект использу-
ется в тонкопленочных транзисторах (ТПТ) на основе аморф-
444
Глава 4
ного кремния (рис. 4.12.2). Упомянутые транзисторы на основе
сплавов аморфного кремния могут стать вполне жизнеспособ-
ной и важной основой при создании дешевых ИС большой пло-
щади. Эти схемы используются в настоящее время для управ-
ления жидкокристаллическими дисплеями большой площади.
Были также предложены базовые ИС и адресуемые матричные
системы формирования изображения [54, 57, 60, 67, 117].
Металлические контакты
X
* у
Рис. 4.12.2. Схематическое изображение тонкопленочного транзистора на
аморфном кремнии [101].
Долгое время широкому практическому применению ТПТ
на основе a-Si препятствовала малая низкополевая подвиж-
ность носителей заряда — обычно (0,5—1) см2/(В«с). Однако
теоретические и экспериментальные исследования показали, что
если в канале наводится заряд электронов, достаточно боль-
шой для того, чтобы заполнить локализованные состояния, то
вполне достижима полевая подвижность электронов, близкая
к зонной подвижности, т. с. порядка 10 см2/(В-с) и выше [62,
93]. Принципы работы ТПТ на основе a-Si и МОП ПТ из кри-
сталлических полупроводников значительно различаются.
Кроме допорогового и запорогового режимов первые обладают
еще двумя режимами работы [98]. Эти режимы имеют место
при высокой плотности наведенного заряда в канале й-Si ТПТ.
а именно: кристаллоподобный режим, соответствующий концен-
трации свободных электронов, превышающей концентрацию
заряда на границе a-Si — диэлектрик, и переходный режим, за-
нимающий промежуточное положение между кристаллоподоб
ным и запороговым, соответствующий меньшей концентрации
наведенного заряда, когда почти все локализованные состояния
в запрещенной зоне аморфного кремния вблизи границы раз-
дела заполнены.
В допороговом режиме почти все наведенные заряды попа-
дают на глубокие локализованные акцептороподобные состоя-
ния в запрещенной зоне rz-Si, а также на поверхностные состоя-
Полевые транзисторы
445
:ния у границы раздела a-Si— диэлектрик. С увеличением на-
пряжения на затворе заполняется все больше состояний и
уровень Ферми на границе раздела аморфный кремний — диэлек-
трик сдвигается в сторону зоны проводимости. Это приводит
к возрастанию концентрации подвижных носителей заряда
в зоне проводимости, которая с увеличением напряжения на
затворе растет по сверхлинейному закону. При дальнейшем
увеличении напряжения на затворе уровень Ферми попадает
в область состояний, лежащих на «хвосте» распределения (см.
рис. 4.12.1). Характерная энергия экспоненциального измене-
ния плотности этих состояний при комнатной температуре равна
или больше kT. Соответственно, когда уровень Ферми попадает
в область на «хвосте» распределения, большинство носителей
заряда переходит в состояние над уровнем Ферми. Поэтому
при изменении напряжения на затворе уровень Ферми смеща-
ется значительно медленнее, чем в допороговом режиме. Этот
режим называется запороговым [96]. Между этим режимом
в a-Si ТПТ и кристаллическом МОП ПТ имеются два существен-
ных различия. Во-первых, в a-Si ТПТ большая часть наведен-
ных зарядов все-таки остается на связанных состояниях
«хвоста» распределения и только их малая доля (порядка не-
скольких процентов) переходит в зону проводимости. Во-вто-
рых, с увеличением напряжения на затворе уровень Ферми сме-
щается ближе к дну зоны проводимости, что приводит к увели-
чению подвижности.
При дальнейшем увеличении концентрации наведенного
заряда возникает ситуация, когда практически все связанные
состояния у границы раздела a-Si — диэлектрик оказываются
заполненными и уровень Ферми касается дна зоны проводимо-
сти. Еще большее увеличение концентрации наведенного заряда
приводит к его разбиению на две части, одна из которых начи-
нает заполнять зону проводимости, а другая — состояния на
«хвосте» распределения все дальше от границы раздела a-Si —
диэлектрик. Доля подвижных зарядов вначале мала, но она
возрастает с ростом напряжения на затворе. Будем называть
этот режим переходным, поскольку он соответствует переходу
от запорогового режима к кристаллоподобному, в котором уро-
вень Ферми на границе раздела a-Si — диэлектрик сдвигается
столь высоко в зоне проводимости, что в конечном счете боль-
шая часть наведенного заряда находится в зоне проводимости.
В этом последнем режиме полевая подвижность электронов
оказывается близкой к зонной подвижности, а механизм работы
a-Si ТПТ полностью аналогичен механизму работы ПТ на кри-
сталлическом полупроводнике. Отметим, однако, что для до-
стижения кристаллоподобного режима в a-Si ТПТ с толщиной
диэлектрика 100 нм и относительной диэлектрической прони-
446
Глава 4
цаемостью 3,9 необходимо напряжение от 50 до 100 В. Эта
очень большое напряжение; по мере совершенствования свойств
полупроводника и диэлектрика оно может быть снижено.
В дальнейшем изложении будем следовать теории a-Si ТШ\
развитой в работе [102]. Начнем с уравнения, связывающего
ток сток—исток /с с электрическим полем в канале Ех и концен-
трацией свободных электронов зоны проводимости в единич-
ном сечении канала и:
/с = — qiinnaBExW, (4.12.5}
где q— заряд электрона, ц— зонная подвижность, IF —ши-
рина затвора, а
<4.12.6>
Здесь V — потенциал канала. В приближении плавного канала
где ед — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, d — его<
толщина, Пнав — поверхностная плотность электронов в единич-
ном сечении канала, а пнав $ — значение и у истокового края
канала. Концентрацию свободных носителей заряда зоны про-
водимости в единичном сечении канала ns можно связать
с концентрацией наведенного заряда, введя полевую подвиж-
ность Цпт
п5 = (Нпт/и)Лнав. (4.12.8}
Здесь полевая подвижность цпт— функция концентрации
наведенного заряда и, следовательно, напряжения на затворе.
Подставляя (4.12.6), (4.12.7) и (4.12.8) в (4.12.5) и интегрируя
по у от 0 до L (см. рис. 4.12.1) и по V от 0 до Ус, получим вы-
ражение
Vc
IF С
Ic = q j М-ПТ (^нав) ^нав <^У\ (4.12.9}
которое можно переписать в виде
1
/c = Q2-^-[raHaBS(V3)]2(d/e;1) j Нпт (nHaBSz') z' dz', (4.12.10)
z
где
E V
z = l-----——,
<7 driaaes
(4.12.12)
Полевые транзисторы 447
В обычном кристаллическом МОП ПТ имеем
/гнав, ~-^-(V3-Vn0p), (4.12.13)
Ипт —И- (4.12.14)
Здесь Упор — пороговое поле сильной инверсии в МДП-струк-
туре. Подстановка (4.12.13) и (4.12.14) в (4.12.10) приводит
к обычному выражению для кристаллического МОП ПТ с длин-
ным каналом в линейном режиме. Однако в a-Si ТПТ иНавз не
является линейной функцией напряжения на затворе. В дей-
ствительности, как было показано, эта зависимость имеет не-
сколько характерных областей, соответствующих допороговому,
запоро-говому и кристаллоподобному режимам работы.
Поверхностная плотность индуцированного заряда у стока
равна
^нав с ^нав s едУс/(?^)« (4.12.15)
В приближении плавного канала напряжение на стоке, соот-
ветствующее насыщению Vc нас, достигается тогда, когда про-
изведение nd равно нулю (условие перекрытия канала у стока).
Таким образом,
Ус нас = <7^нав s ^/ед • (4.12.16)
(В действительности, как будет показано ниже, ток в режиме
перекрытия приводит к положительной проводимости в режиме
насыщения.) Для кристаллического транзистора (4.12.16) при-
нимает вид стандартного выражения
Vc нас = Уз -- ^пор. (4.12.17)
Подставляя (4.12.16) в (4.12.10), получим выражение для
тока стока a-Si ПТ в режиме насыщения
I
= J НПТ («нав SZ) Z rfz . (4.12.18)
о
При малых напряжениях на стоке 1 — z «С 1 выражение
(4.12.10) принимает вид
Л = ^ЦПТ (^нав з) (1УIL) Лнав s О^з) с- (4.12.19)
Таким образом, собственная проводимость канала gKan « =
= dIc/dVc при малых Ус определяется как
Йкан^МпТ (^нав s) (1У/Т*)^нав5 О^з)* (4.12.20)
448
Глава 4
Для кристаллического транзистора выражения (4.12.18) и
(4.12.20) преобразуются в стандартные формулы (см. разд. 4.4)
/с нас = 0,5 (W/L) н (ед/d) (7з - vnop)2, (4.12.21)
£канх = p(W/L) (^/d) (V3 - Vnop). (4.12.22)
В ТПТ из аморфного кремния полевая подвижность суще-
ственно меньше зонной ц и зависит от наведенного заряда. Эту
зависимость можно получить из решения уравнения Пуассона
в направлении, перпендикулярном затвору и каналу при
]/с_и = о. Распределение электрического поля Еу в направле-
нии, перпендикулярном каналу ТПТ, при напряжении сток—
исток, равном нулю, определяется как
= —, (4.12.23)
dy £ ’ 47
где у — пространственная координата в направлении, перпенди-
кулярном затвору, е — диэлектрическая проницаемость аморф-
ного кремния, а р — плотность пространственного заряда:
Р = -?(^чок + п). (4.12.24)
Здесь q — заряд электрона, Na0K — концентрация локализо-
ванного заряда, а п—концентрация электронов в зоне прово-
димости, определяемая выражением
п = ВД/2(У, (4.12.25)
где Fi/2—интеграл Ферми—Дирака (см. Приложение 21).
Здесь также £ = [—(A^Tfo— qV)/kT], Nc — плотность распре-
деленных состояний в зоне проводимости, а
д^0 = ^с (в объеме)—^7; (4.12.26)
при этом — равновесное положение уровня Ферми, а V—
электрический потенциал. Положим, что значение V = 0 соот-
ветствует дну зоны проводимости вдали от затвора, где a-Si
находится в равновесном состоянии.
Плотность локализованного заряда в транзисторах с кана-
лом /г-типа, у которых квазиуровень Ферми электронов лежит
в верхней части запрещенной зоны, можно найти по формуле
^лок= j §д(^)^/{1+ехр[(^-^)М]}, (4.12.27)
?F0
где — плотность локализованных состояний, которая аппрок-
симируется суммой двух экспоненциальных функций, описыва-
Полевые транзисторы
449
ющих глубокие состояния и состояния на «хвосте» соответ-
ственно (рис. 4.12.1):
gA (#) = gF0 ехр [(<Г - ^о)/^2] + get ехр [(ёс - (4.12.28)
Здесь и ^ — энергии уровня Ферми аморфного кремния
в равновесии и дна зоны проводимости, gpo—плотность глубо-
ких локализованных акцепторрподобных состояний при ё =
= ^2 — %>d = kT2— характерная энергия экспоненциаль-
ного изменения глубоких локализованных состояний, <Fi —
= kT\ — то же, но для состояний на «хвосте» распределения,
a gct — плотность последних при ё = ё^
Используя соотношение между напряженностью электриче-
ского поля и потенциалом
Ey=-dV]dy, (4.12.29)
из уравнения Пуассона найдем (задача 4.12.2)
v
E2y^-m\P(v')dv'.
о
(4.12.30)
Полный наведенный заряд QHaB, локализованный заряд Q.40K
и полный поверхностный заряд электронов qns определяются
выражениями
Фнав
Ко п'Л
= еЕД0) (28) J]p(V')|dV' ,
6
N„,K(V')dV'
Ey(V')
f n(V')dl/'
Ey(V')
Распределение потенциала находят из соотношения
v
У=- \dV'/E(V'),
Ко
(4.12.31)
(4.12.32)
(4.12.33)
(4.12.34)
где Vo — полный изгиб зоны, равный поверхностному потен-
циалу на границе раздела a-Si — диэлектрик.
И, наконец, напряжение на затворе 73 связано с полным
наведенным зарядом QHau соотношением
V3 Л? QhBb/^0 “I"
(4.12.35)
29 Заказ № 304
450
Глава 4
Здесь
С0 = едЛд (4.12.36)
— емкость диэлектрика единичной площади, ед, /д — его диэлек-
трическая проницаемость и толщина, УПз — напряжение плос-
кой зоны.
Рис. 4.12.3. Результаты численного расчета концентрации свободного и свя-
занного зарядов в аморфном кремнии [101].
Зависимость концентрации свободного и связанного зарядов
в tz-Si от уровня Ферми, рассчитанная численно, представлена
па рис. 4.12.3. Зависимость поверхностной плотности свободных
электронов ns на границе раздела a-Si — диэлектрик от напряже-
ния на затворе приведена на рис. 4.12.4. Данные зависимости
позволяют вычислить цпт = fls/Лнав как функцию концентрации
электронов, наведенных в канале ТПТ. Это в свою очередь де-
лает возможным расчет вольт-амперных характеристик на
основе выражений (4.12.10), (4.12.18). Модель можно усовер-
шенствовать, включив в рассмотрение последовательные сопро-
тивления истока и стока, а также эффекты инжекции простран-
ственного заряда, которые важны в режиме насыщения [102].
Типичные экспериментальные и расчетные вольт-амперные ха-
рактеристики ТПТ на аморфном кремнии представлены на
рис. 4.12.5. Предложенная модель использовалась также для
расчета малосигнальной емкости аморфного кремния ТПТ. Пол-
Полевые транзисторы
451
ная модель была включена в программу расчета ИС на основе
a-Si [99].
Рис. 4.12.4. Поверхностная плотность
свободных электронов у границы раз-
дела аморфный Si — диэлектрик как
функция напряжения на затворе [101].
Поверхностная плотность свободных электронов^
Рис. 4.12.5. Вольт-амперные характе-
ристики ТПТ на аморфном кремнии
[101].
4.13. Высоковольтные ТПТ на основе
аморфного кремния
В обычных ТПТ на аморфном кремнии электрическое поле
у стокового края затвора быстро растет с ростом напряжения
сток—исток Vc-и, приближаясь к напряжению насыщения
сток—исток Vc нас или даже превышая его. В результате тран-
зистор может оказаться пробитым даже при относительно ма-
лых значениях Ус-и-
В новом транзисторе на основе аморфного кремния [117]
изолированный затворный электрод размещается под истоко-
вым контактом, но перекрывает лишь часть области между
истоком и стоком (рис. 4.13.1). Таким образом, активная об-
ласть между истоком и стоком разбивается на две части, одна
из которых находится над затвором и представляет собой обыч-
ный низковольтный ТПТ на аморфном кремнии, работающий
в режиме обогащения канала, и вторая расположена между
краем затвора и контактом стока. Эта часть канала называется
пассивной. На ней падает большая часть высокого напряжения,
приложенного к стоку, а протекающий в ней ток в большинстве
29*
452
Глава 4
случаев ограничен пространственным зарядом. Поэтому дан-
ный транзистор, называемый высоковольтным тонкопленочным
транзистором (ВВТПТ) на аморфном кремнии, обладает более
высоким пробивным напряжением исток—сток.
Во включенном состоянии, когда на затворный электрод по-
дано положительное напряжение, в тонком слое канала на
Рис. 4.13.1. Высоковольтный ТПТ (толщина диэлектрика 0,3 мкм) [117].
границе раздела полупроводник — диэлектрик над затворным
контактом формируется обогащенный электронами слой дли-
ной Ль Эта часть структуры в сущности представляет собой
обычный низковольтный ТПТ, который соединен со стоковым
контактом пассивной областью аморфного кремния длиной £2.
В выключенном состоянии над затворным электродом обо-
гащенный слой не образуется и соответственно ток через тран-
зистор не течет.
Согласно работе [48], для описания области под затвором
во включенном состоянии используем приближения плавного
канала и постоянной полевой подвижности. Для упрощения
пренебрежем также зависимостью последней от напряжения на
затворе (см. разд. 4.12). Тогда ток насыщения /нас определя-
ется выражением
/Нас = ЦптСд1И^/(2Ь1), (4-13.1)
где цПт — полевая подвижность, — емкость единичной пло-
щади затвора, IF — ширина затвора, а У3/ — напряжение на
затворе за вычетом порогового напряжения (см. разд. 4.4).
Поле Ес в канале, параллельное границе раздела полупро-
водник—диэлектрик, на границе области 1, т. е. на стоковом
крае этой области, определяется выражением
Ес = IV3tl[2L^ (1 - 7//нас)'/г] (4.13.2)
(разд. 4.4). Из (4.13.2) следует, что Ес стремится к бесконеч-
ности при стремлении / к /нас. Таким образом, как будет по-
Полевые транзисторы
453
казано ниже, полный ток транзистора не может превышать
/нас. Действительно, при стремлении / к /нас, Ес становится
очень большим, что препятствует инжекции заряда из области 1
в область 2. Поскольку ток в области 1 практически насыщен,
на пассивную область 2 будет падать избыточное напряжение,
подаваемое на сток.
Падение напряжения на обогащенной части канала Vb со-
ответствующее току /, определяется выражением
Vi = V3t - [vt -^/сдГцптУГ’. (4.13.3)
Для определения вольт-амперных характеристик пассивной
области 2, когда ток в ней ограничен пространственным заря-
дом, необходимо проинтегрировать уравнение Пуассона вдоль
этой области от края затвора до стокового контакта. Учитывая
относительно высокую плотность состояний в запрещенной зоне
аморфного кремния, пространственный заряд определяется пре-
имущественно локализованным зарядом nt, а проводимость
области — числом свободных электронов п.
Распределение плотности глубоких локализованных состоя-
ний экспоненциально зависит от энергии с характерной темпе-
ратурой То (см. разд. 4.12):
g (^) = ^ехр [(# - Sc}jkT.], (4.13.4)
где gc — плотность глубоких состояний, экстраполированная
к дну зоны проводимости. Предполагая, что плотность инжек-
тированного заряда значительно больше плотности равновес-
ного заряда, можно связать п и nt соотношением
n = Nc[qntlgckT.Y (4.13.5)
(задача 4.13.1), где Nc — эффективная плотность состояний,
а а ~ Ть/Т. Уравнение Пуассона вдоль-пассивной области 2
имеет вид
-g. = qnt/em = (feTo/eJ gc (n/Nc)lla. (4.13.6)
Интегрируя (4.13.6) с граничным условием Е — Eti при
х — 0 и замечая, что плотность тока / = nq^iE, где ц— зонная
подвижность электронов, имеем
£(^,)/я = х[(а+ l)/a](feT0/enn)gc [//W-Vc]1/a + Е$ + 1)/я. (4.13.7)
Чтобы получить падение напряжения У2 вдоль области 2
при токе / = jWt, где t — толщина активного слоя, следует
интегрировать (4.13.7) по х. Тогда можно записать
[to + Я)₽г - Я₽2], (4.13.8)
454
Глава 4
где
Я = (а + 1) £<Ж/{аеПп [l/qvMcWt]',a},
Н = Е(в + а',а,
р2 = (1 +2а)/(1 4-а).
Если длина пассивной области L достаточно велика для
того, чтобы ток был ограничен пространственным зарядом (т. е.
Исток
Затворный
злектрод
h-----------5 м к и------------*1
Рис. 4.13.2. Эквипотенциальные поверхности вблизи истокового и затворного
электродов транзистора, представленного на рис. 4.13.1, при ^=^3 = 0 [48].
его омическое сопротивление меньше сопротивления, определяе-
мого проводимостью пространственного заряда при заданном
напряжении), то V2 определяется просто соотношением V2 =
= //?2, где R2 — сопротивление области 2. Чтобы применить
данную одномерную модель к анализу реальных двумерных
приборов, следует учесть большие краевые емкости между
истоком и стоком, определяемые линиями электрического по-
тока. Это достигается введением поправочного коэффициента
L/t в (4.13.6), на который умножается диэлектрическая прони-
цаемость КреМНИЯ Епп-
Вольт-амперные характеристики транзистора рассчитыва-
ются следующим образом. Во-первых, задается величина
тока I (/<7Нас). Таким образом, и выходной ток становится
фактически независимым от напряжения на стоке, а дальней-
шее увеличение напряжения на стоке компенсируется его паде-
нием в пассивной области.
В выключенном состоянии (У3 = 0В) затвор эффективно
экранирует исток от стока. Это иллюстрирует рис. 4.13.2, на
котором представлены двумерные эквипотенциальные поверх-
ности негерметизированного транзистора длиной 20 мкм, изго-
товленного на основе материала с относительной диэлектриче-
ской проницаемостью 6 и длиной затвора L\ = 5 мкм. Из ри-
сунка следует, что в то время, как составляющая электриче-
ского поля в кремнии между затвором и стоком, параллельная
границе раздела кремний—диэлектрик, велика, эта же состав-
ляющая между истоком и краем затвора практически отсут-
ствует, поскольку потенциалы затвора и истока постоянны.
Именно этот эффект экранирования обеспечивает очень малые
Полевые транзисторы
455
токи в выключенном состоянии даже тогда, когда на стоке па-
дение напряжения составляет 400 В. В результате затвор изо-
£= 40 мкм
61---1----1----1--1----1---1---1---1----1--
* Расчет ^=6 8
5 ‘ ..........х -
- „'Эксперимент / х *
4 - /х *
/х
3 X
, / *В
. ~ А -*" ’
I / -X
xZ 26
0 ' 40 80 120 160 200
а
6
5
4
Ъ 3
х
j2
1
L = 20мкм
----!----(---!----,----,-----------!----1---г
- х Расчет * ^„х^ж-.л..*-*-*-**"»”***’*
••• Экс пер и-у*’' '6 В
мент /
х.‘
..х--х*"Х***"*“**“Х—*-***»е“*>е-*М“Х*-Х"*х -
• Z
/ гв
Х у*”-х'-х "
Й‘КГ I--------1-----L----1—_—|---1_ 1 1-1
0 <t0 во 120 160 200
^«-В
5
Рис. 4,13.3. Экспериментальные и теоретические вольт-амперные характери-
стики высоковольтных транзисторов на аморфном кремнии с длиной затвора
40 мкм (а) и 20 мкм (5) [48]. В расчете использованы следующие значения па-
раметров: ц = 10 см2/(В-с); перекрытие затвора L] =4 мкм, цпт=0,5 см'7(В-с).
' #г=1,3-1018 см-з-эВ-1, То=15ОО К, сд= 1,34Д0-8 Ф/см2, Nc=1019 см-3,
; Wz~240 мкм, / = 0,1 мкм.
лирует исток от потенциала на стоке и таким образом ток, огра-
£ ниченный пространственным зарядом, который должен был бы
J протекать при больших значениях Ус-и. подавляется в транзи-
| сторе с длиной затвора 20 мкм даже при Ус-и = 400 В. В дей-
456
Глава 4
ствительности же при 14 = 0 ток был на четыре порядка
меньше, чем при V3 = 10 В [117].
На рис. 4.13.3 представлены измеренные и расчетные вольт-
амперные характеристики транзисторов с длиной затвора 20
и 40 мкм. Согласие между теорией и экспериментом очень хо-
рошее. Как следует из рисунка, транзисторы способны выдер-
жать напряжение на стоке порядка сотен вольт без пробоя. Это
делает подобные транзисторы на основе аморфного кремния
перспективными для использования в качестве высоковольтных
слаботочных приборов.
4.14. Полевые транзисторы с двойной инжекцией
на основе аморфного кремния
Полевые транзисторы, описанные в данной главе, обычно
представляют собой униполярные приборы с одним типом но-
сителей заряда — электронами или дырками. Имеются, однако,
транзисторы, сочетающие принцип управления полевого транзи-
стора, т. е. емкостную модуляцию заряда, с принципом работы
биполярного транзистора, когда используются как электроны,
так и дырки. Это, например, транзисторы с затвором на р—п-
переходе [81], тиристор с изолированным затвором [108], го-
ризонтальный однонаправленный биполярный транзистор с изо-
лированным затвором [75], ПТ с управляемой проводимостью
[10, 42], биполярный полевой транзистор с инверсионным ка-
налом [111, 112], а также ПТ с двойной инжекцией (ПТДИ)
на основе аморфного кремния [47, 46, 121]. В данном разделе
мы рассмотрим ПТДИ на основе аморфного кремния.
Принцип работы этого транзистора основан на емкостной
модуляции квазинейтральной электронно-дырочной плазмы, со-
зданной в полупроводнике двойной инжекцией или внешним
источником излучения. В ПТДИ (рис. 4.14.1) ток двойной ин-
жекции в прямосмещенном р+—i—п+-диоде модулируется элек-
трическим полем, наведенным затворным электродом, пол-
ностью перекрывающим в длину токовый канал. В этом тран-
зисторе емкостно-наведенный заряд увеличивает плотность
электронно-дырочной плазмы, оставляя последнюю в целом
нейтральной. Таким образом, в отличие от обычных полевых
транзисторов плотность свободных электронов и дырок оказы-
вается значительно выше, чем полная плотность наведенного
заряда. Это значительно увеличивает крутизну и амплитуду
тока. В ПТДИ на основе аморфных кремниевых сплавов до-
стигаются токи, в 20 раз превышающие ток современных ПТШ
на основе аморфного кремния, работающих при тех же усло-
виях.
Полевые транзисторы
457
Этот принцип работы в некоторой мере аналогичен принципу
работы биполярного гетероструктурного транзистора, в котором
инжекция носителей заряда из эмиттера в базу вызывает ин-
жекцию носителей заряда противоположного знака из базового
контакта, чем обеспечивается квазинейтральность базы.
На данном принципе могут работать приборы как на кри-
сталлических, так и на аморфных материалах, но в последних
Рис. 4.14.1. Полевой транзистор с двойной инжекцией [46].
•он дает важные дополнительные преимущества. В этих мате-
риалах полевая подвижность ограничена локализованными
состояниями в запрещенной зоне, она может возрастать при
заполнении этих состояний вследствие возрастания концентра-
ции носителей заряда в ПТДИ.
В ПТДИ наведенный в проводящем канале емкостным об-
разом заряд увеличивает плотность плазмы так, чтобы она
оставалась квазинейтральной. В отличие от обычных ПТШ
плотность заряда как электронов, так и дырок, наведенных
в канале, может значительно превышать полный избыточ-
ный наведенный заряд. Это приводит к резкому возрастанию
крутизны.
Электронно-дырочная плазма в ПТДИ никогда не бывает
нейтральной. Концентрация как электронов, так и дырок зави-
сит от поля затвора. Однако их распределения изменяются та-
ким образом, чтобы сохранить квазинейтральность и чтобы
изменение избыточной концентрации пространственного заряда
было равно концентрации заряда, наведенного затвором. Это
позволяет создать транзистор, у которого ток двойной инжек-
ции в р+—i—и+-диодной части либо резко возрастает, либо
резко убывает при изменении поля на затворе. Для увеличения
тока, т. е. работы в режиме обогащения, при котором ПТДИ
используется в качестве сильноточного быстродействующего
прибора, затвор должен управлять током вдоль всего канала,
чтобы концентрация обоих типов носителей возрастала контро-
лируемым образом на несколько порядков, увеличивая прово-
димость всей области полупроводника между анодом и като-
дом. При работе в режиме обеднения достаточно уменьшить
458
Глава 4
концентрацию зарядов обоих типов лишь в части области
между истоком и стоком, и поэтому затвор не обязательно
должен перекрывать весь канал. То же самое имеет место и
в ПТ с управляемой проводимостью [10, 42], в которых затвор
управляет током только на отдельном участке, контролируя его
величину, втекающую в базу БТ. Однако ПТДИ может рабо-
Рис. 4.14.2. Результаты одномерного численного моделирования концентра-
ции свободных носителей заряда вдоль канала ПТДИ при неподключенном
затворе и напряжении на затворе + 10 В [46].
тать в линейном режиме обогащения, где концентрация основ-
ных носителей заряда выше чем в МОП ПТ при заданном поле
затвора.
Механизм увеличения тока двойной инжекции напряжением,
приложенным к затвору, иллюстрирует рис. 4.14.2, на котором
представлены результаты одномерного численного моделирова-
ния распределения концентрации носителей заряда в сплаве
аморфного кремния —i—п+-диода толщиной 5 мкм при пря-
мом напряжении смещения 8 В и напряжении на затворе 0 и
+ 10 В. Расчет основан на самосогласованном решении полной
системы уравнений переноса, включающей уравнение кинетики
рекомбинации Шокли—Рида—Холла при непрерывном распре-
делении локализованных состояний в запрещенной зоне сплава.
Для моделирования затвора уравнение Пуассона вдоль канала
транзистора записывалось в таком виде, чтобы учесть слагае-
мое, описывающее емкостную модуляцию [46]:
Р' W = q \р (х) + pt (х) — nt (х) — п(х) + (1 — а)с3 [7з — V (х)]/(<? Z)),
(4.14.1)
Полевые транзисторы
459
где р'(х)—та часть концентрации пространственного заряда,
которая создает электрическое поле вдоль канала, pt(x) и
nt(x)—концентрация локализованного заряда дырок и элек-
тронов соответственно, р(х) и и(х) —то же, но для свободного
заряда, с3 — эффективная емкость затвора, У3— напряжение
на затворе, У(х)—распределение потенциала вдоль канала,
a Z — эффективная глубина канала для двух типов носителей
заряда [47]. Большая часть заряда под затвором (1—a)c3V3
поддерживает в канале сильное электрическое поле в направ-
лении, перпендикулярном каналу, а меньшая — в первом при-
ближении ac3V3 — увеличивает концентрацию заряда, формиру-
ющего поле вдоль канала (т. е. а — константа, меньшая еди-
ницы) .
Как следует из рис. 4.14.2, напряжение на затворе увеличи-
вает концентрацию как электронов, так и дырок вдоль всего
канала, за исключением узких обогащенных слоев, прилегаю-
щих к и п+-контактам. Вследствие этого в системах с двой-
ной инжекцией плотность плазмы может значительно превы-
шать плотность инжектированного или наведенного заряда [61].
Более основательный подход к данной проблеме реализуется
при учете плотности заряда ловушек в канале. В первом при-
ближении коэффициент усиления двойной инжекции равен
ip/tp, где хр — время жизни дырок, a tp — их пролетное время.
Для образца длиной L можно записать
qn ж (xp/tp) (ac3V3/Z + CV/L) + (1 - a) c3V3/Zt (4.14.2)
qpt &qnt — C3K3/Z, (4.14.3)
где С — эффективная емкость сток—исток, приходящаяся на
единичную площадь канала.
Полевые транзисторы с двойной инжекцией и коротким ка-
налом обладают триодными характеристиками при qpt >
> C3V3/Z, и коэффициент усиления возрастает с ростом напря-
жения анод — катод Уак. Именно этот новый режим работы
обеспечивает сильный выходной ток ПТДИ. Та часть заряда,
которая наводится затвором в канале, усиливается двойной ин-
жекцией, что приводит к значительно более высоким концен-
трациям носителей заряда, чем те, которые достижимы в МОП
ПТ. У транзисторов с длинным каналом, для которых слагае-
мое c3V3/Z в формуле (4.14.2) оказывается основным, и при
Уак < Уз—Упор? где Упор — пороговое напряжение, ток не на-
сыщается, как в обычных ПТШ. Однако у ПТДИ ток не насы-
щается и при Уак > Уз— Упор- Это ПРОИСХОДИТ ПОТОМу, ЧТО
область транзисторов у анода, где потенциал затвора меньше
разности потенциала капала и порогового напряжения, пред-
ставляет собой область с двойной инжекцией, длина которой
заметно возрастает с ростом Уак. Таким образом, при увеличе-
460
Глава 4
нии Уак длина обогащенной области в канале под затвором
заметно уменьшается, что увеличивает ток на выходе.
Важная особенность эффекта модуляции при сохранении
в канале обоих типов носителей заряда состоит в том, что
в этом случае поле затвора воздействует на пространственный
Рис. 4.14.3. Экспериментальные вольт-амперные характеристики ПТДИ и со-
временного ТПТ на основе аморфного кремния с той же топологией [46].
заряд, образуемый разностью положительных и отрицательных
зарядов в активном слое, в то время как проводимость этой
области зависит от суммы проводимостей подвижных зарядов.
Поэтому при любом заданном напряжении на затворе в си-
стеме, состоящей из двух типов носителей заряда, достигается
значительно более высокая проводимость канала, чем в обыч-
ном ПТШ. Это преимущество может быть наглядно продемон-
стрировано при сравнении вольт-амперных характеристик
—i—п+-диодов с двойной инжекцией и обычных инжекцион-
ных диодов п*—i—п+-типа [45].
На рис. 4.14.3 представлена экспериментальная вольт-ампер-
ная характеристика, построенная по напряжению анод-катод
в качестве абсциссы, ПТДИ на аморфном кремнии с длиной
затвора 20 мкм, шириной 1000 мкм и толщиной диэлектрика
200 нм. Полевой транзистор с двойной инжекцией не включа-
ется до тех пор, пока напряжение анод—катод не превысит
встроенный потенциал (~1,5 В) —i—п+-диода. При больших
значениях Уак его вольт-амперные характеристики триодные, и
с увеличением Уак усиление в канале (т. е. тр//р) возрастает.
На рис. 4.14.3 представлены также характеристики современ-
Полевые транзисторы
461
ного ПТШ на основе аморфного кремния с аналогичной топо-
логией, полевой подвижностью 0,5 см2/(В-с) и пороговым на-
пряжением 2 В при Уз — 20 В. При Ус-и = 25 В измеренный
ток ПТДИ примерно в 14 раз больше, чем у обычного ПТШ.
Именно возможность достижения сильного тока позволяет
стак-исмк
Рис. 4.14.4. Вольт-амперные характеристики транзистора, изображенного на
вставке, которые демонстрируют преимущества ПТДИ перед обычным МОП
ПТ [47].
транзисторам, работающим на данном новом физическом явле-
нии, реализовать высокую скорость переключения.
На рис. 4.14.4 представлены вольт-амперные характеристики
ПТДИ, изображенного на вставке. При заземленном аноде и
положительном напряжении на катоде транзистор ведет себя
как обычный ПТШ, а при заземленном катоде он работает
в режиме ПТДИ. Эти результаты наглядно демонстрируют
увеличение тока, которое достигается при использовании управ-
ляемой затвором двойной инжекции.
Задачи
4.2.1. Рассчитайте температурную зависимость поверхностной плотности
заряда Qnn в образце кремния р-типа, легированном до концентрации
1015 см“3 при поверхностном потенциале Уц — Уоб и 2VoG в температурном
диапазоне 150—450 К. Здесь Vo6== (kTfq) In (Na Ini)—' объемный потенциал.
Afc==3,22-1019 (Т/ЗОО)3'2 см-3 и 1,83-1019 (Т/ЗОО)3/^ см'3 — эффективная
плотность состояний в зоне проводимости и в валентной зоне соответственно,
<^£=1,12 В — ширина запрещенной зоны. 8ПП= 1,05-10~10 Ф/м — диэлектри-
ческая проницаемость полупроводника.
462
Глава 4
4.2.2. Найдите заряд быстрых поверхностных состояний приходя-
щийся на единичную площадь МОП-структуры, как функцию поверхностного
потенциала Кп при равномерном распределении поверхностных состояний по
энергии в пределах запрещенной зоны с плотностью 10й см“2-эВ"!
на границе раздела окисел—полупроводник. Предположите, что поверхност-
ные состояния с энергией, большей энергии нейтрального уровня ф0, акцеп-
торные (т. е. отрицательны, будучи заполненными электронами и нейтральны
в противоположном случае), а с энергией, меньшей ср0,—донорные (т. с. нейт-
ральны, будучи заполненными электронами и положительно заряжены в про-
тивоположном случае). Считайте также все поверхностные состояния, рас-
положенные ниже уровня Ферми, заполненными, а выше него — пустыми,
т. е. используйте для поверхностных состояний приближение нулевой темпе-
ратуры. Используйте значения ширины запрещенной зоны #g=l,12 эВ,
уровня нейтральности 0,3 В над вершиной валентной зоны, эффективной
плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне 3,22-1019 и 1,83х
Х1019 см-3-эВ'1 соответственно, концентрации акцепторов —10’5 см-3,
температуры Т = 300 К.
4.2.3. Выразите емкость единичной площадки МОП-структуры в присут-
ствии однородно-распределенных быстрых состояний, описанных в задаче
4.2.2, через емкость единичной площадки окисла Соке. Емкость полупровод-
ника Спп = — dQnn/dVa, где Qnn — заряд в полупроводнике, а Ип— потен-
циал поверхности. Емкость поверхностных состояний Cnc — —dQst/dVn, где
Qst—заряд быстрых поверхностных состояний в структуре единичной пло-
щади.
4.2.4. Заряд плотностью 2,4-10“7 Кл/см2 равномерно распределен в окисло
МОП-структуры. Толщина окисла d^= 150 нм.
а) Рассчитайте вклад этого заряда в пороговое напряжение.
б) Рассчитайте упомянутый вклад заряда в случае, когда весь заряд
сосредоточен на границе раздела кремний — диоксид кремния.
в) Рассчитайте вклад заряда в случае линейного распределения заряда
в окисле (нулевая плотность заряда па границе Si—SiO2, максимальная —
на границе металл — SiO2).
4.2.5. Постройте зависимость поверхностного заряда Qnn единичной
площади в кремнии /7-типа при 300 К от концентрации примеси при
1014 cm~3</Va< 1017 см“3 и значениях поверхностного потенциала Кп =
= V06 и 2ГОб. Здесь Коб = (kT/q)\n(NA/rii), эффективная плотность состоя-
ний в зоне проводимости и валентной зоне равна соответственно 7Vr =
— 3,22-1019 см"3 и Vr = 1,83-1019 см-3, ширина запрещенной зоны —
= 1,12 В. диэлектрическая проницаемость полупроводника епп = 1,05х
ХЮ"10 Ф/м.
4.2.6. Изобразите графически распределения поля и напряжения в МОП-
структуре при пороговом напряжении на затворе. Толщина окисла d;i =
= 0,1 мкм, концентрация примеси 7Va = 1015 см~3. Диэлектрическая прони-
цаемость полупроводника еПп — 1,05-10—10 Ф/м, а диэлектрика — ед = 3,45Х
Х10“и Ф/м, напряжение на подложке ГПодл = 0 В, эффективная плотность
состояний в зоне проводимости и в валентной зоне М—3,22-1019 см“3 и
Nr>—1,83-1019 см"3 соответственно, ширина запрещенной зоны ^ = 1,12 В,
температура Т = 300К. Напряжение плоских зон положите равным нулю.
4.2.7. Рассмотрите два практически одинаковых МОП ПТ, единствен-
ное различие между которыми заключается в том, что у одного из них
слой окисла чистый, а у другого загрязнен ионами иатрия, создающими
положительный заряд. Концентрация ионов натрия равна 1016 см~3, толщина
диэлектрика 0,1 мкм, диэлектрическая проницаемость диоксида кремния
3,45-10“и Ф/м.
а) Какова разница пороговых напряжений, включая изменение знака
этих транзисторов, если канал у них п-типа?
Полевые транзисторы
463
б) Какова разница пороговых напряжений, включая изменение знака,
этих транзисторов, если канал у них р-типа?
L I
j . | -3 .г-2 -1 ‘ со м - см О
Рис. 34.2.7.
напряжение чистого транзистора с каналом
приборов, т. е. чистых и гряз-
Зонная диаграмма
Нелегированный
кремний
777777/
Металл'*
'.0,1мкм ОДмкм
;___________________0,1 мкм____________________________________
SiO2
в) Положите пороговое напряжение чистого транзистора с каналом
n-типа, равным 1 В, а того же транзистора с р-каналом —1 В.
Изобразите качественные зависимости тока сток—исток при насыщении
от напряжения на затворе для всех четырех i
них с каналами п- и р-типа. От-
ложите пороговое напряжение и
его сдвиг по оси К3-
4.2.8. Рассмотрите зонную
диаграмму структуры металл —
диэлектрик — металл, представ-
ленную на рис. 34.2.8. Здесь &g —
= 1,12 В и можно считать, что
зоны симметричны, т. е. Nc ~ Nv.
а) Каково в данном случае
напряжение плоских зон?
б) Изобразите зонную диа-
грамму для случая, когда к ме-
таллу слева приложено напряже-
ние 2 В, а металл справа зазем-
лен. Предположив епп/ел = 3, оп-
ределите напряженность электри-
ческого поля в кремнии. Где рас-
полагается квазиуровень Ферми
в кремнии? Наведенным зарядом
в кремнии при построении зонной
диаграммы можно пренебречь.
4.2.9. Используя нижеприведенные формулы
S(O2
Рис. 34.2.8.
E^2^kT (qLa)f (qVJkT),
(4.2.19)
I Qnn I — Enn I £n I, (4.2.20)
покажите, что как в режиме обогащения, так и в режиме сильной инверсии,
плотность поверхностного заряда пропорциональна схр[^| Уп|/(2АТ)].
4.3.1. Определите максимальную ширину обедненной области идеального
МОП-конденсатора на основе кремния р-типа с концентрацией акцепторов
ДГл = 1015 см-3 как функцию напряжения на подложке для —2В< Уподл <
<0,1 В. Используйте следующие значения параметров: диэлектрическая про-
ницаемость полупроводника и диэлектрика 1,05-Ю"10 и 3,45 10~n Ф/м соот-
ветственно, собственная концентрация носителей заряда /и== 1,5• 1010 см-3,
температура 7 = 300 К.
464
Глава 4
4.3.2. Для транзистора, описанного в задаче 4.3.1, рассчитайте пороговое
напряжение Упор, емкость структуры на низких и высоких частотах при
Г^Гпор. Толщина окисла 0,2 мкм, а его диэлектрическая проницаемость
3,45-10-11 Ф/м.
4.3.3. На рис. 34.3.3 изображено распределение поля в МОП-структуре.
а) Изобразите графически распределение потенциала, полагая напряже-
ние плоских зон равным нулю.
Рис. 34.3.3.
б) Каков поверхностный потенциал Уп?
в) Каково пороговое напряжение Упор?
4.3.4. Постройте температурную зависимость максимальной ширины обед-
ненной области идеального МОП-конденсатора на основе кремния р-типа
с концентрацией акцепторов #а = 1015 см“3 в диапазоне температур 100 К<
<Т<350К. Используйте следующие значения параметров: диэлектрическая
проницаемость полупроводника 8ПП= 1,05-10-10 Ф/м, эффективная плотность
состояний в зоне проводимости и валентной зоне при Г=300К составляет
#со = 3,22-1019 см-3 и Л\>о = 1,83-1019 см~3 соответственно, ширина запре-
щенной зоны #’$=1,12 В, напряжение на подложке Уподл~0 В.
4.4.1. Покажите, что измеренная внешняя крутизна
полевого транзистора связана с собственной проводимостью стока и крутиз-
ной того же транзистора, определенной без учета последовательного сопро-
тивления истока,
__ д!с _
ёс0 ~ (ЗИс ’ gmQ 0V3
следующим соотношением:
а =_________________________________________________
т 1 + + geo (Rh + Яс)
где напряжение затвор—исток определяется как
у == у 4- / р .
г з—и г 3 ~ хс—
Здесь напряжение на затворе У3 есть разность потенциалов на затворе
и в канале у его истоковой части.
Полевые транзисторы 465
4.4.2. Рассчитайте зависимость тока сток—исток от напряжения сток-
исток при напряжении на затворе Уз—5 В кремниевого МОП ПТ при сле-
дующих значениях последовательных сопротивлений истока и стока: #и=0
и 100 Ом, = о и 100 Ом. Используйте значения параметров: длина за-
твора Д = 4 мкм, ширина затвора 1У=Ю0 мкм, подвижность электронов
в канале р.я==Ю00 см2/(В-с), диэлектрическая проницаемость диэлектрика
под затвором и кремния 3,45* 10~11 и 1,05-10"10 Ф/м соответственно, напря-
жение плоских зон Упз—0, напряжение на подложке УСодл=0, темпера-
тура Г=300 К, концентрация акцепторов в подложке Лга = Ю15 см-~3. Пре-
небрегите эффектом насыщения скорости.
4.4.3. Покажите, что измеренная внешняя проводимость стока транзи-
стора
д/с
ду
г с—и
связана с собственной проводимостью стока и собственной крутизной без
учета последовательного сопротивления истока
д/с __ д/с
gc0~ <ЭУС’ 8™~
следующим соотношением:
т 1 + gmoRu. + geo (Ян + Re)
Здесь напряжение на стоке Ус есть разность потенциалов канала у сто-
кового и истокового краев, а Ус-и— напряжение сток—исток, включающее
падение напряжения на последовательных сопротивлениях стока и истока:
4.4.4. Выведите выражение для тока стока 1С нас при насыщении ноле-
вого транзистора с каналом /г-тмпа в приближении плавного канала и без
учета насыщения скорости, т. е. полагая, что подвижность элетронов по-
стоянна, с учетом последовательного сопротивления истока /?и. Используйте
следующие параметры МОП ПТ: толщина окисла под затвором f/a = 17,5 нм,
ширина затвора W—100 мкм, длина затвора L—4 мкм, пороговое напряже-
ние Упор — — 1 В, диэлектрическая проницаемость диэлектрика под затвором
ед — 3.45-10-и Ф/м, напряжение на подложке Уподл —0, подвижность элек-
тронов Un =800 см2/(В'с), напряжение на затворе У3 = 5 В. Постройте
зависимость /Снас (/?и) при 2 Ом</?и^ЗО Ом.
4.4.5. Выражения для вольт-амперных характеристик МОП ПТ с длин-
ным каналом имеют вид
w Г у?]
/с = !1>г -jj- c:i |_( Уз Упор) Ус-— J при Vc Ус наг — Уз— Упор, (1.4.26)
1 1У
/с — "п" Рп “J ( Уз Упор)2 При Ус > Ус нас —Уз — У пор» (1-4.27)
где — подвижность электронов в слабом поле, W— ширина затвора,
L — длина затвора, Уз— напряжение на затворе с учетом сопротивления
истока, 7с—ток стока, Ус — напряжение на стоке с учетом сопротивления
истока, Ус нас — напряжение на стоке, соответствующее состоянию насы-
щения, сд — емкость единичной площади диэлектрика, Упор — пороговое на-
пряжение. При закороченных затворе и стоке рассмотрите следующие две
ситуации: а) Упор>0; б) Упор<0. Выразите /с через Ус в каждом случае.
30 Заказ № 304
466
Глава 4
4.4.6. Покажите, что вольт-амперные характеристики МОП ПТ с длинным
каналом в ненасыщенном режиме могут быть представлены в виде
г _
с~ 2£сд
(«И ~ «с).
(34.4.6.1)
где — подвижность электронов в слабом поле, W—ширина затвора,
L — его длина, q — заряд электрона, /с — ток стока, сд — емкость единичной
площади диэлектрика, ли и пс — концентрация электронов на единичной
Рис. 34.5.2. Вольт-амперные ха-
рактеристики полевого транзисто-
ра с каналом р-типа при И3-и =
= —I, —2, —3, —4, —5 В, Г=
— 20 мкм и 7 = 0,75 мкм (сплош-
ные линии) и 0,5 мкм (штрихо-
вые линии).
площадке в канале у истокового и сто-
кового краев.
4.5.1. Рассчитайте вольт-амперные
характеристики МОП ПТ, используя
следующие значения параметров: тол-
щина диэлектрика под затвором =
= 17,5 нм, ширина затвора 1^ = 20 мкм,
концентрация акцепторов = 5 X
X 1016 см“3, температура Т = 300 К,
пороговое напряжение Упор = —1 В,
диэлектрическая проницаемость диэлек-
трика под затвором ед=3,45-10“и Ф/м,
напряжение на подложке ИИОдл = 0,
а также формулы в разд. 1.9 для по-
движности и дрейфовой скорости элек-
тронов при напряжении на затворе
У3-и = 1, 2, 3, 4 и 5В, длине затвора
L — 0,5 и 0,75 мкм и канале л-типа.
Сравните результаты расчета с вольт-
амперными характеристиками, измерен-
ными в работе [53] и представленными
на рис. 4.5.7. Объясните возможные
причины различия расчетных и изме-
ренных зависимостей.
Указание. Используйте кусочно-линей-
ную аппроксимацию зависимости дрейфовой скорости электронов от напря-
женности электрического поля vn(E).
4.5.2. Рассчитайте вольт-амперные характеристики транзистора с кана-
лом р-типа, используя следующие значения параметров: толщина окисла
под затвором d^ — 17,5 нм, ширина затвора ^=20 мкм, концентрация доно-
ров Д7д = 5-1016 см"3; температура 7=300 К, пороговое напряжение ИПор =
= 1 В, диэлектрическая проницаемость диэлектрика под затвором ед = 3,45х
ХЮ"11 Ф/м, напряжение на подложке Гподл=0, а также формулы разд. 1.9
для подвижности и дрейфовой скорости дырок при напряжении на затворе
У3-и =—1, —2, —3, —4 и —5 В, длине затвора £==0,5 и 0,75 мкм. Сра-
вните результаты расчета с вольт-амперными характеристиками, измеренными
в работе [52] и представленными на рис. 34.5.2.
Указание. Используйте кусочно-линейную аппроксимацию зависимости дрей-
фовой скорости дырок от напряженности электрического поля vP(E).
4.5.3. Используя формулу (4.5.27), покажите, что
а) при малых значениях ^( = У3-п — Vnop<Vsz
Iс нас
2(1-₽2/?2Х)
(34.5.3.1)
или прн малых значениях последовательного сопротивления истока, когда
РЯи Vsl < 1,
/с нас Р^з//2;
(34.5.3.2)
Полевые транзисторы 467
б) при больших значениях V3_„=V3. }1 — VIIO, > И5/
/снас 1 + ₽/?Hl/sZ U4-5.3.3)
или при малых значениях последовательного сопротивления истока, когда
₽ЯиК;С1,
'с иас = РИ3<И5,; (34.5.3.4)
Рис. 34.5.5.
в) полагая малым последовательное сопротивление истока, используйте
приведенное выше асимптотическое выражение для тока сток—исток при
насыщении, определите Р и из экспериментальных данных, представлен-
ных на рис. 4.5.6 и 4.5.7. Сравните полученные результаты с ожидаемыми
значениями этих параметров.
4.5.4. Выведите формулу для крутизны МОП ПТ в режиме насыщения,
учитывая эффект насыщения скорости и полагая равным нулю последова-
тельное напряжение истока.
Указание: используйте формулу (4.5.27).
Постройте полученную зависимость как функцию длины затвора, исполь-
зуя следующие параметры: температура 7 = 300 К, концентрация акцепторов
в подложке Ма = 1014 см-3, ширина запрещенной зоны & — 1,12 эВ, эффек-
тивная плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне при
300 К соответственно 3,22-1019 и 1,83-1019 см-3, диэлектрическая проницае-
мость кремния 8Пп = 1,05-10"10 Ф/м, напряжение плоских зон К13 = 0, тол-
щина диэлектрика под затвором ед = 0,2 мкм, диэлектрическая проницае-
мость диэлектрика под затвором ед = 3,45-10-11 Ф/м, ширина затвора 117=
= 100 мкм, напряжение на подложке 17ПОдл=0, подвижность электронов
в слабом поле цп = 0,08 м2/(В-с), их скорость насыщения us=105 м/с,
параметр выходной проводимости л = 0.
Сравните полученные результаты с крутизной в режиме насыщения,
расчитанной в приближении постоянной подвижности.
4.5.5. Рассмотрите МОП ПТ, структура которого представлена на рис.
34.5.5.
Предположите, что объемная концентрация электронов лик, инжектиро-
ванных в область кремния между стоковой частью канала под затвором и
стоком (пассивная область), может быть оценена по формуле
"ик ^с—и/(?Р,АЖфф).
30*
468
Глава 4
где эффективная глубина канала в пассивной области /Эфф, примерно равна
глубине стокового контакта, а продольное элетрическое поле Ест в этой
области равно
Ест £с + qn^x/z пп,
где Ест — электрическое поле у стокового края канала под затвором, а х
отсчитывается от затворного края стока, как показано на рис. 34.5.5. Рас-
считайте вольт-амперные характеристики такого транзистора для случая,
когда падение напряжения в канале вдоль затвора меньше напряжения,
соответствующего насыщению скорости, т. е. Ус<УСнас, где К нас опреде-
ляется формулой (4.5.18).
Используйте следующие значения параметров: толщина окисла под затво-
ром б/д —50 нм, ширина затвора U7=20 мкм, длина затвора Е — 5 мкм,
длина Дебая Ед —20 мкм, концентрация примеси NA= 0, температура
7—300 К, пороговое напряжение Vnop —1 В, /эфф==0,7 мкм.
Используйте формулы для подвижности и скорости насыщения электро-
нов (см. разд. 1.9). Рассчитайте вольт-амперные характеристики при напря-
жении на затворе У3_и=1, 2, 3, 4 и 5 В.
Указание, В области транзистора под затвором используйте приближение
постоянной подвижности.
4.5.6. Среднее поперечное электрическое поле в канале можно оценить
по формуле
Еу Ж [ | Фобед I 4” I Скан 1/2] Епгь
где заряд единичной площадки области обеднения определяется как
<?обед = -^обед = - {2е^л[7с-^подл + 2(рб]}'/2 (34.5.6.1)
В линейной области (Ус < Ус нас) и
<?обед “ ^^Л^обед = г.{2£<7^Л [^с нас ^подл + ^Фб] } (34.5.6.2)
в области насыщения (Ус ^Ус нас, см. [109]). Заряд канала описывается
выражением
I фкан I — сл (Уз — 2фб — Упз Ус) f Фобед I (34.5.6.3)
В ЛИНеЙИОЙ ОблаСТИ ( Ус < Ус нас) и
фкан ~ £д (Уз — 2фб — Упз — Ус н?.с) I фобед I (34.5.6.4)
в области насыщения (Ус Ус нас). Продольное электрическое поле в канале
имеет ьид
Е=УС/Е (34.5.6.5)
в линейной области (Ус < Ус нас) и
Усн.с/Е (34.5.6.6)
в области насыщения (Ус Ус лас).
а) Используя формулы, приведенные выше и в разд.1.9, рассчитайте
зависимость эффективной подвижности в МОП ПТ с каналом /?-типа от на-
пряжения на затворе в области УПор<Уз<Ю В при следующих значениях
параметров: пороговое напряжение УПор=1 В, длина затвора 1 = 2 мкм,
концентрация акцепторов в подложке 7Va = 1016 см-3, толщина окисла б/д =
— 50 нм, его диэлектрическая проницаемость 3,45-10“и Ф/м, диэлектрическая
проницаемость кремния 1,05-10~10 Ф/м, температура 7 = 300 К и при на-
пряжении на стоке Ус —0,01, 2 и 5 В.
б) Выполните те же вычисления при Т — 77 К.
,4-5.7. Используя следующие параметры МОП ПТ: толщина окисла под
затвором d:x — 50 нм, ширина затвора 1У— 100 мкм, длина затвора Е = 5 мкм,
Полевые транзисторы
469
подвижность электронов цп = 0,8 м2/(В-с), пороговое напряжение УПОр=1 В,
диэлектрическая проницаемость диэлектрика под затвором ед —3,45-10~н Ф/м.
а) Рассчитайте ток сток-исток в режиме насыщения при напряжении
на затворе У3-и —5 В и последовательном сопротивлении истока /?и — 0, 5
и 10 Ом, полагая параметр выходной крутизны X—0 и последовательное
сопротивление стока —5 Ом.
б) Рассчитайте ток сток—исток в режиме насыщения при напряжении
на затворе У3 = 5 В и напряжении на стоке Ус-и=10 В, полагая после-
Ус=308
----Э С
Рис. 34.5.10.
довательные сопротивления стока и истока /?с = Яи = 5 Ом, а параметр вы-
ходной крутизны л—0,1.
Указание. Используйте формулы для транзистора с длинным каналом.
4.5.8. Постройте зависимость тока сток—исток в режиме насыщения от
толщины диэлектрика при 10 нм^</д^100 нм и следующих параметрах
МОП ПТ: ширина затвора 117=100 мкм, длина затвора £—1 мкм (короткий
канал), подвижность электронов цп = 0,8 м2/(В-с), их скорость насыщения
= 105 м/с, пороговое напряжение Упор—1 В, диэлектрическая проницае-
мость диэлектрика под затвором ед —3,45-10-11 Ф/м, последовательное со-
противление истока 7?и = 5 Ом, напряжение на затворе У3_и = 5 В. Объяс-
ните результаты.
4.5.9. Выведите формулу для напряжения сток—исток, соответствующего
насыщению, Vc нас МОП ПТ, используя модель, учитывающую насыщение
скорости (см. разд. 4.5). Последовательное сопротивление истока положите
равным нулю 7?и = 0.
4.5.10. Зависимость тока сток—исток при насыщении полевого транзи-
стора от напряжения на затворе описывается выражением
нас = (^з-и' ^пор) »
где У3_и, — собственное напряжение на затворе, т. е. разность потенциалов
между затвором и истоковым концом канала, a УПОр — пороговое напряже-
ние. Положив &=10“3 AJB2 и Упор —0, рассчитайте собственную крутизну
d/c-и/^Уз-и для двух схем, представленных на рис. 34.5.10.
4.6.1. Рассчитайте зависимость параметров К и а, введенных в разд. 4.6,
от концентрации акцепторов в канале при 1014 cm~3^jVa Ю17 см"3. Исполь-
зуйте следующие параметры транзистора: пороговое напряжение Упор—1 В,
длина затвора £ = 2 мкм. толщина окисла под затвором </д = 50 нм, ширина
запрещенной зоны #g=l,12 эВ, эффективная плотность состояний в зоне
проводимости и валентной зоне 3,22-1019 и 1,83-1019 см~3 соответственно,
диэлектрическая проницаемость окисла и кремния 3,45- 10“п и 1,05-10-10 Ф/м
соответственно, температура 300К, напряжение на стоке Ус—0.
4.6.2. Постройте зависимость эффективной длины канала от подвижности
электронов для кремниевых МОП ПТ при 600 см2/(В-с) 1200 см2(В-с).
470
Глава 4
Используйте следующие параметры транзистора: пороговое напряжение
1/пор= 1 В, напряжение на затворе И3 -и = 3 В, температура 7=300 К, длина
затвора Д = 2 мкм, ширина затвора Й7=20 мкм, толщина окисла под затво-
ром б/д = 50 нм, ширина запрещенной зоны &g~l,12 эВ, эффективная плот-
ность состояний в зоне проводимости и валентной зоне 3,22-1019 (7/300)3/2
и 1,83-1019 (7/300)3/2 см-'3 соответственно, диэлектрическая проницаемость
окисла и кремния 3,45-10-11 и 1,05-10“10 Ф/м соответственно, напряжение
сток—исток 1/с—и= 10 В, напряжение на подложке УПОдл = 0, глубина заглу-
бления стока Ь\ = 0,3 мкм, толщина инверсионного слоя е/инв = Ю нм, ско-
рость насыщения электронов ц$=105 м/с, концентрация акцепторов у стока
и в подложке Na — Ю15, 1016 и 1017 см~3.
Указание. Используйте формулу (4.6.12).
4.6.3. Рассмотрите МОП ПТ с каналом n-типа на подложке р-типа.
а) Рассчитайте токи истока и стока при напряжении на подложке
Уподл =+0,7 В и заземленных истоке и стоке. Контакты стока и истока
имеют одинаковые размеры. Концентрация акцепторов в подложке р-типа
Л/д = 1016 см*3. Ширина запрещенной зоны & g —1,12 эВ, собственная плот-
ность электронов 1010 см~3, температура 7 = 300 К, диффузионная длина
электронов в подложке р-типа 20 мкм, подвижность электронов =
= 1000 см2/(В-с).
б) Найдите токи истока и стока при Уподл = +2 В. Последовательные
сопротивления истока и стока положите равными 20 Ом каждое.
4.7.1. Рассчитайте и постройте зависимость допорогового тока в кремние-
вом МОП ПТ с коротким каналом от напряжения на затворе в области
напряжений на затворе от Упор — 0,5 В до Упор при напряжении на стоке
Ус = 0,1 и 10 В. Используйте следующие параметры: пороговое напряжение
1 В, концентрация акцепторов NA — Ю15 см“3, подвижность электронов ци =
= 800 см2/(В-с), длина затвора Л=1 мкм, толщина диэлектрика под затво-
ром t/д —50 нм, ширина запрещенной зоны &g — 1,12 эВ, эффективная плот-
ность состояний в зоне проводимости и валентной зоне 3,22-1019 и 1,83 X
Х1019 см“3 соответственно, диэлектрическая проницаемость окисла и кремния
3,45-10“и и 1,05-Ю-10 соответственно, температура Т = 300 К.
4.7.2. Проверьте вывод формул (4.7.9) и (4.7.12) и представьте резуль-
таты вашей работы. Рассчитайте и постройте зависимость допорогового тока
в кремниевом МОП ПТ с длинным каналом от напряжения на затворе
в области напряжений на затворе от УПОр — 0,999 В до Упор при напряжении
на стоке Ус = 0,01, 0,1 и 10 В. Используйте следующие значения параметров:
пороговое напряжение УПор = 1 В, концентрация акцепторов 2VA = 1015 см-3,
подвижность электронов 800 см2/(В-с), ширина затвора 1Г=1 мм,
длина затвора L = 20 мкм, толщина окисла под затвором г/д = 50 нм, ширина
запрещенной зоны <^g=l,12 эВ, эффективная плотность состояний в зоне
проводимости и валентной зоне 3,22-1019 (7/300)3/2 см-3 и 1,83-1019 (7/
/ЗОО)3/2 см~3 соответственно, диэлектрическая проницаемость диэлектрика и
кремния 3,45-10 11 и 1,05-10-10 Ф/м соответственно, температура 7 = 300 К,
напряжение плоских зон УП1 —0.
4.8.1. Выведите формулу (4.8.2).
4.8.2. Выведите формулы (4.8.5) и (4.8.6).
4.9.1. Рассмотрите идеализированный профиль распределения примеси,
сформированный методом имплантации в кремниевом МОП ПТ вблизи гра-
ницы раздела полупроводник—диэлектрик, который представлен на рис. 34.9.1;
1 = 0 соответствует границе раздела полупроводник—диэлектрик. Рассчитайте
сдвиг порогового напряжения как функцию концентрации имплантированных
акцепторов N Ai при 1014 см-3С^а< Ю17 см-3 и dimp = 0,08 мкм. Исполь-
зуйте следующие значения параметров: NA — Ю15 см“3, толщина диэлектрика
под затвором = 50 нм, ширина запрещенной зоны #£=1,12 эВ, эффек-
тивная плотность состояний в зоне проводимости и валентной зоне 3,22 1019
и 1,83-1019 см-3 соответственно, диэлектрическая проницаемость окисла и
Полевые транзисторы
471
кремния 3,45-10~11 и 1,05-10“10 Ф/м, температура Т = 300 К. Предположите,
что акцепторы мелкие и полностью ионизованы. Определите пороговое на-
пряжение как напряжение, при котором концентрация электронов на границе
раздела гг(О) равна Na^Nai.
Рис. 34.9.1.
4.9.2, Рассмотрите идеализированный профиль распределения примеси,
сформированный методом ионной имплантации в кремниевом МОП ПТ вблизи
границы раздела полупроводник—диэлектрик, который представлен на
рис. 34.9.2; х—0 соответствует границе раздела полупроводник—диэлектрик.
Рассчитайте сдвиг порогового напряжения как функцию концентрации им-
Расстояние х
imp
Рис. 34.9.2.
плантированных доноров Ndi при 1014 CM“3^/VjDi^ 1017 см~3 и при dimv~
--0,1 мкм. Используйте следующие параметры: пороговое напряжение
1/пор=1 В, Л’д = 1015 см-3, толщина окисла под затвором г/д = 50 нм,
ширина запрещенной зоны ^^=1,12 эВ, эффективная плотность состояний
в зоне проводимости и валентной зоне 3,22-1019 и 1,83-Ю19 см~3 соответст-
венно, диэлектрическая проницаемость окисла и кремния 3,45-10”11 и 1,05Х
ХЮ"10 Ф/м, температура Г = 300К. Предположите, что как акцепторы, так
и доноры мелкие и полностью ионизованы.
4.9.3. Рассмотрите идеализированный профиль распределения примесеи,
сформированный методом ионной имплантации в кремниевом МОП ПТ
вблизи границы раздела полупроводник—диэлектрик, который представлен
на рис. 34.9.3; х—0 соответствует границе раздела полупроводник—диэлек-
трик. Используйте следующие значения параметров: NAi — 1017 см"3,
= 0,1 мкм, /Уд = 1015 см-3, толщина диэлектрика под затвором = 50 нм>
472
Глава 4
ширина запрещенной зоны &s — 1,12 эВ, эффективная плотность состояний
в зоне проводимости и валентной зоне 3,22-1019 и 1,83-1019 см~3 соответ-
ственно, диэлектрическая проницаемость окисла и кремния 3,45’10’11 и
1,05 -1О“10 Ф/м, температура Т = 300 К, напряжение плоских зон Гпз = 0.
Рассчитайте и постройте координатные зависимости концентрации заряда,
электрического поля и потенциала в полупроводнике, отсчитанные от гра-
ницы раздела полупроводник—диэлектрик, при напряжении на затворе, рав-
ном пороговому.
Рис. 34.9.3.
4.9.4. Рассмотрите идеализированный профиль распределения примеси,
сформированный методом ионной имплантации в кремниевом МОП ПТ
вблизи границы раздела полупроводник—диэлектрик, который представлен
на рис. 34.9.3; х=0 соответствует границе раздела полупроводник—диэлек-
трик. Используйте следующие значения параметров: ^f=1017 см~3, dimp =
= 0,1 мкм, Лд = 1015 см~3, толщина диэлектрика под затвором 50 нм,
ширина запрещенной зоны 4§Г^=1,12 эВ, эффективная плотность состояний
в зоне проводимости и валентной зоне 3,22-1019 и 1,83-1019 см-3 соответст-
венно, диэлектрическая проницаемость окисла и кремния 3,45-10-11 и 1,05Х
Х10“10 Ф/м, температура 7=300 К, напряжение плоских зон 7пз=0, напря-
жение на затворе равно пороговому.
а) Рассчитайте ширину обедненной области в полупроводнике и изо-
бразите профиль концентрации заряда, отсчитанный от границы раздела
полупроводник—диэлектрик; здесь и в нижеприведенных пунктах предпола-
гается, что она соответствует координате х=0;
б) Без учета заряда вне окисла рассчитайте напряженность электриче-
ского поля и постройте ее координатную зависимость от точки х=—1 мкм,
отметив на рисунке численное значение поля на границе раздела;
в) Постройте распределение потенциала в той же области, оцените его
численное значение на границе раздела.
4.11.1. Выведите формулу (4.11.7):
d
17пор = <рб - Д^ - <7/£i J Nd (х) х dx. (4.11.7)
о
4.12.1. Рассмотрите аморфный коемний со следующими параметрами:
^4 ===86 мэВ, <Гд=129 мэВ, £7 = 8-1024 м^-эВ-1, ^ = 2-1025 м^-эВ”1 (см.
рис, 4.12.1), а &с— 8го = 620 мэВ. Рассчитайте и постройте зависимость по-
ложения уровня Ферми электронов в однородном образце аморфного кремния
в темноте от концентрации мелких доноров при 1015 cm-3<?/d< I017 см-8.
Указание, Считайте, что все электроны, порожденные донорами, заполняют
глубокие акцептороподобные состояния.
Полевые транзисторы
473
4.12.2. Выведите формулу (4.12.30).
4.13.1. Выведите формулу (4.13.5):
n = ^[?nt/^7’o]“ (4.13.5)
Литература
1. Akasaki Y., Nishimura Т., IEDM Technical Digest, IEEE Publication Los
Angeles, 488 (1986).
2. Arch D. K., Shur M., Abrokwah J. K., Daniels R. R., J. Appl. Phys 61
1503—1509 (1987). * ’
3. Arora N. D., Hauser J. R., Rulson D. J., IEEE Trans. Electron Devices
ED-29, 292 (1982).
4. Baba T., Muzutani T., Ogawa M., Ohata K., Jpn. J. Appl. Phys., 23, L654
(1983).
5. Baek J. H., Shur M., Mechanism of Negative Transconductance in Hetero-
structure Field Effect Transistors, не опубликовано.
6. Baek J. H., Shur M., Lee K., Vu T., IEEE Trans. Electron Devices, ED-32,
2426—2430 (1985).
7. Baek J. H., Shur M., Daniels R. R., Arch D. K., Abrokwah J. K., Lee K.,
Vu T., IEEE Trans. Electron Devices, ED-32, 2426—2430 (1985).
8. Baek J. H., Shur M., Daniels R. R., Arch D. K., Abrokwah J. K-, IEEE
Electron Device Lett., EDL-7, 519—521 (1986).
9. Baek J. H., Shur M., Daniels R. R., Arch D. K-, Abrokwah J. K-, Tufte O. N.,
IEEE Trans. Electron Devices, ED-34 (August 1987).
10. Baliga B. J., Adler M. S., Gray P. V., Love R. P., Zommer N., IEDM Tech-
nical Digest, 264, IEEE Publication, Washington, D. C. (1982).
11. Baliga B. J., Power Integrated Circuits — a Brief Overview, IEEE Trans.
Electron Devices, ED-33, 12, 1936—1939 (1986).
12. Birittella M. S., Seelbach W. C., Goronkin H., IEEE Trans. Electron De-
vices, ED-29, 1135—1142 (1982).
13. Blackmore J. S., Solid State Elec., 25, 11, 1067—1076 (1982).
14. Byun Y., Moon B., Lee K., Shur M., IEEE Electron Device Letters, гото-
вится к печати.
15. Сарру A., Carnes В., Fauquembergues R., Salmer G., Constant E., Compa-
rative Potential Performance of Si, GaAs, GalnAs, InAs Submicrometer —
gate FETs, IEEE Trans. Electron Devices, ED-27, 2158—2168 (1980).
16. Caugley D. M., Thomas R. E., Proc. IEEE, 55, 2192—2193 (1967).
17. Chao P. C., Shur M., Tiberio R. O., Duh К. H. G., Smith P. M., Ballin-
gall J. M., Ho P., Jabra A. A., DC and Microwave Characteristics of
0.1 pm Gate-Length Planar-Doped Pseudomorphic HEMTS, IEEE Trans.
Electron Devices, 36, 3, 461—473 (1989).
18. Chen С. E., Lam H. W., Malhi S. D. S., Pnizzotto A. R., IEEE Electron
Device Lett., EDL-4, 8, 272—274 (1983).
19. Chen T. H., High Speed GaAs Device and Integrated Circuit Modeling
and Simulation, Ph. D. thesis, University of Minnesota (1984).
20. Chen С. H., Shur M., Peczalski A., Trap Enhanced Temperature Depen-
dence of the Threshold Voltage of GaAs MESFET’s, IEEE Trans. Electron
Devices, ED-3, 792—798 (1986).
21. Chen С. H., Peczalski A., Shur M„ Chung H. K., Orientation and Ion-
implanted Transverse Effects in Self-Aligned GaAs MESFET’s, IEEE
Trans. Electron Devices. ED-34, No. 7, 1470—1481 (July 1987).
22. Chen С. H., Baier S., Arch D., Shur M., A New and Simple Model for
GaAs Heterojunction FET Characteristics, IEEE Trans. Electron Devices,
ED-35, No. 5, pp. 570—577 (May 1988).
23. Chen Y. K., Radulescu D. C., Wang G. W., Lepore A. N., Tasker P.
Eastman L. F., Strid E., Bias-Dependent Microwave Characteristics of an
474
Глава 4
Atomic Planar-Doped AlGaAs/InGaAs/GaAs Double Heterojunction MOD-
FET, in: Proceedings of IEEE MTT Symposium, Las Vegas (June 1987).
24. Cirillo N. C., Jr., Shur M., Void P. J., Abrokwah J. K., Daniels R. R.,
Tufte O. N., Realization of n-channel and p-channel High Mobility (Al,
Ga)As-GaAs Heterostructure Insulated Gate FETs on a Planar Wafer
Surface, IEEE Electron Device Lett., EDL-6, 645—647 (1985).
25. Cirillo N. C., Jr., Shur M., Abrokwah J. K., Inverted GaAs/AlGaS Modu-
lation Doped Transistors with Extremely High Transconductances, IEEE
Electron Device Lett., EDL-7, 71—74 (1986).
26. Compton J., Limitations of and Improvements to MOS Processes, in:
MOS Devices: Design and Manufacture, ed. A. D. Milne, Halsted Press,
New York, 1983.
27. Daniels R. R., Ruden P., Shur M., Grider D., Nohava T., IEDM Technical
Digest, Los Angeles (December 1987).
28. Daniels R. R., Ruden P. P., Shur M., Grider D. E., Nohava T., Arch D.,
Quantum Well p-channel AlGaAs/InGaAs/GaAs Heterostructure Insulated
Gate Field Effect Transistors with Very High Transconductance, IEEE
Electron Device Lett., EDL-9 (July 1988).
29. Deal В. E., Sclar M., Grove A. S., Snow E. H., J. Electrochem Society,
114, March (1967).
30. Dingle R., Stormer H. L., Gossard A. C., Wiegmann W., Appl. Phys. Lett.,
37, 805 (1978).
31. Drummond T. J., Morko^ H., Lee K., Shur M., IEEE Electron Device
Lett., EDL-3, 338—341 (1982).
32. Duvvury C., A Guide to Short Channel Effects in MOSFETs. TI Engi-
neering Journal, 1, No. 1, 52—56 (July—August 1984); см. также IEEE
Circuit and Device Magazine, 2, No. 6, 6 (November 1986).
33. Eastman L. F., 1983, частное сообщение.
34. Engelman R. W. H., Liehti C. A., IEEE Trans. Electron Devices, ED-24,
1288—1296 (1977).
35. Esaki L., Tsu R., Internal Report RC 2418, IBM Research, March 26, 1969.
36. Frohman-Bentchkowsky, IEEE J. Solid State Circuits, SC6 (1971).
37. Fang F. F., Fowler A. B., Phys. Rev., 169, 619—631 (1968).
38. Fjeldly T. A., Analytical Modeling of the Stationary Domain in GaAs
MESFET’s, IEEE Trans. Electron Devices, ED-33, 874—880 (1986).
39. Fichner W., Potzl H. W., International J. Electronics, 46, 33 (1979).
40. Forbes L., Sun E., Alders R., Moll J., IEEE Trans. Electron Devices,
ED-26, 1816 (1979).
41. Gibbons J. F., Lee K. F., IEEE Trans. Electron Device Lett., EDL-1, 117
(1980).
42. Goodman A. M., Russel J. P., Goodman L. A., Nuese C. J., Neilson J. M.,
IEDM Technical Digest, IEEE Publications, Washington, D. C., 79 (1983).
43. Grinberg A. A., Shur M., New Analytical Model for Heterostructure Field
Effect Transistors, J. Appl. Phys., 65, 5, 2116 (March 1989).
44. Hack M., Guha S., Shur M., Phys. Rev., B30, 12, 6991—6999 (1984).
45. Hack M., W. den Boer, J. Appl. Phys., 58, 1554 (1985).
46. Hack M., Shur M., Czubatyj W., Mat. Res. Soc. Proc., ed. D. Adler,
Y. Hamakawa, and A. Madan, 70, 643 (1986a).
47. Hack M., Shur M., Czubatyj Q., Appl. Phys. Lett., 48, 20, 1386 (1986b).
48. Hack M., Tuan H. C., Shaw J., Shur M., Yap P., Mat. Res. Soc. Symp.
Proc. (1987).
49. Han C. J., Ruden P. P., Grider D., Fraasch A., Newstrom K., Joslyn P.,
Shur M., Short Channel Effects in Submicron Self-Aligned Gate Hetero-
structure FETs, IEDM Technical Digest, IEEE Publications, San Francisco
(December 1988).
.50. Hanafi H. L, Current Modeling for MOSFET, in: Circuit Analysis, Simu-
lation, and Design, 71<—105, ed. A. E. Ruehli, North Holland, 1986.
Полевые транзисторы
475
51. Hasegawa Н., Abe М., Asbeck Р. М., Higashizaka A., Kato Y., Ohmori М.,
GaAs LSI/VLSI: Advantages and Applications, in: Extended Abstracts
of the 16th International Conference on Solid State Devices and Materials
Kobe, Japan, 413—414 (1984).
52. Hess K., Morkot; H., Shichijo H., Streetman B. G., Negative Differential
Resistance through Real Space Transfer, Appl. Phys. Lett., 35, 459 (1979J.
53. Hillenius S. J., Liu R., Georgou G. E., Field R. L., Williams D. S., Korn-
blit A., Boulin D. M., Jensen R. J., Salmon L. G., Deakin D. S., Dela-
ney M. J., Ultrahigh-Speed GaAs Static Frequency Dividers, in: IEDM
Technical Digest, 476—479, IEEE Publications, Los Angeles (1986).
54. Hiranaka K., Yamaguchi T., Yanagisawa S., IEEE Electron Device Lett.,
EDL-5, 224 (1984).
55. Hyun С. H., Shur M., Cirillo N. C., Jr. Simulation and Design Analyst's
of AlGaAs/GaAs MODFET Integrated Circuits, IEEE Trans. CAD ICA'S,
CAD-5, 284—292 (1986a).
56. Hvun С. H., Shur M., Peczalski A., IEEE Trans. Electron Devices, ED-33,
1421- -1426 (1986b).
57. Ito H., Nishihara Y., Nobue M., Fuse M., Nakamura T., Ozawa T., To-
miyama S., Weisfield R., Tuan H. C., Thompson M J., IEDM Technical
Digest, 436, IEEE Publication, Washington, D. C. (December 1985).
58. Johnston L., Lynch W. T., IEDM Technical Digest, 252, IEEE Publica-
tion, Los Angeles (1986).
59. Kiehl R. A., Frank D A., Wright S. L., Magerlein J. H., Device Physics
of Quantum-Well Heterostructure MFSFET’s, IEDM Technical Digest,
70—73, IEEE Publication, Washington, D. C. (1987).
60. Kodama T., Takagi N., Kawai S., Nasu Y., Yanagisawa S., Asama K.,
IEEE Electron Dev. Lett., EDL-3, 187 (1982).
61. Lampert M. A., Mark P., Current Injection in Solids, Academic Press,
New York, 1970.
62. Leroux T., Chenevas-Paule A., Anderson Transition in Accumulation Layers
of a Si : H Thin Film Transistors, in: Proceedings of the 11th Interna-
tional Conference on Amorphous and Liquid Semiconductors, Rome, Italy,
ed. F. Evangelisti and J. Stuke, North Holland, Amsterdam, 443—446
(1985).
63. Lilienfeld J. E„ U. S. Patent, 1, 745. 175 (1930).
64. Liu S., Nagel L. W., IEEE J. Solid State Circuits, SC-17, 6, 983—998
(1982).
65. Maloney T. J., Frey J., IEEE Trans. Electron Devices, ED-22, 357—358
(1975).
66. Many A., Goldstein Y., Grover N. B., Semiconductor Surfaces, North Hol-
land, Amsterdam, 1965.
67. Matsumura M., Hayama H., Nara Y., Ishibashi K., lap. I. Appl. Phys.,
20, suppl. 20—1, 311 (1981).
68. Mimura T., Hiyamizu S., Fuji! T., Nambu K-, A New Field Transistor
with Selectivity Doped GaAs/n-AlxGai-xAs Heterostructures, Jpn. I. Appl.
Phys., 19, L225—227 (1980).
69. Meyer J. E., MOS Models and Circuit Simulation, RCA Review, 32, 42—
63 (March 1971).
70. Milnes A. D., editor, MOS Devices, Design and Manufacture, Edinburgh
University Press, Edinburgh, 1983.
71. Mishra U. K., Jensen J. F., Brown A. S., Thompson M. A., Jelloian L. M.,
Beaubien R. S., Ultra-High-Speed Digital Circuit Performance in 0.2 pm
Gate-Lcnght AlInAs/GalnAs HEMT Technology, IEEE Electron Device
Lett., 9, 9, 482—484 (1988).
72. Nagel L. W., SPICE2: A Computer Program to Simulate Semiconductor
Circuits. Memorandum No. ERL-M520, Electronics Research Laboratory,
College of Engineering, University of California, Berkeley, May 9 (1975).
476
Глава 4
73. Nicolian Е. Н., Brews J. R., MOS Physics and Technology, John Wiley &
Sons, New York, 1982.
74. Ning T. H., Osburn С. M., Yu H. M., Л Electr. Materials. 6, 65—76
(1977).
75. Omura Y. Y., Proceedings of the 14th Conference (1982 International)
on Solid State Devices, Tokyo, 263—266 (1982).
76. Ong D. G., Modern MOS Technology, Processes, Devices, and Design,
McGraw-Hill, New York, 1984.
77. Partridge S., IEDM Technical Digest, IEEE Publications, Los Angeles,
428 (1986).
78. Pierret R. F., Field Effect Devices, Addison-Wesley Modular Series on
Solid State Devices, vol. 4, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1983.
79. Plummer J. D., IEDM Technical Digest, IEEE Publications, Los Angeles,
378 (1986).
80. Ponse F., Masselink W. T., MorkoQ H., IEEE Trans. Electron Devices,
ED-32, 1017 (1985).
81. Richman P., U. S. Patent 3, 544, 864, December 1 (1970).
82. Ruch J. G., IEEE Trans. Electron Devices, ED-19, 652—654 (1972).
83. Ruden P. P., Han C. J., Shur M., Gate Current Modulation of Modula-
tion-Doped Field-Effect Transistors, I. Appl. Phys., 64, 3, 1541—1546,
August (1988).
84. Ruden P. P., Shur M., Arch D. K-, Daniels R. R., Grider D. E., Nohava T.,
Quantum Well p-Channel AlGaAs/InGaAs/GaAs Heterostructure Insulated
Gate Field Effect Transistors (1989a).
85. Ruden P. P., Shur M., Akinwande A. I., Jenkins P., Distributive Nature
of Gate Current and Negative Transconductance in Heterostructure Field
Effect Transistors, IEEE Trans, on Electron Devices, ED-36, 2, 453—456,
February (1989b).
86. Sabnis A. G., Clemens J. T., IEDM Technical Digest, IEEE Publications,
18 (1979).
87. Sato T., Takeishi Y., Hara H., Jpn. J. Appl. Phys., 8, 5, 588—598 (1969).
88. Schroder D. K-, Advanced MOS Devices, Addison—Wesley Modular Series
on Solid State Devices, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1987.
89. Selberherr S., Analysis and Simulation of Semiconductor Devices, Springer-
Verlag, Wien, New York, 1984.
90. Shan N. J., Pei S. S., Tu C. W., IEEE Trans. Electron Devices, ED-33,
543 (1986).
91. Shur M., Electronics Lett., 12, 23, 615—616 (1976).
92. Shur M„ Electronics Lett., 18, 21, 909—911 (1982).
93. Shur M., Hyun C., Hack M., Yaniv Z., Yang M., Cannella V., Localized
States Distribution and Characteristics of Amorphous Silicon Alloy FETs,
in: Proceedings of the 11th International Conference on Amorphous and
Liquid Semiconductors, Rome, Italy, ed. F. Evangelisti and J. Stuke, North
Holland, Amsterdam, 1401 —1404 (1985).
94. Shur M., Hyun С. H., Hack M., I. Appl. Phys., 59, 7, 2488—2497, April
(1986).
95. Shur M., Long D., Performance Prediction for Submicron GaAs SDFL
Logic, IEEE Electron Device Lett., EDL-3, 124 (1982).
96. Shur M., Hack М.» Physics of Amorphous Silicon Based Alloy Field Effect
Transistors, I. Appl. Phys., 55, 10, 3831—3842, May (1984).
97. Shur M., Hack M., Hyun C., Flat—Band Voltage and Surface States in
Amorphous Silicon Alloy Field Effect Transistors, J. Appl. Phys., 56, 382
(1984).
98. Shur M., Arch D. K., Daniels R. R., Abrokwah J. K., New Negative—Re-
sistance Regime of Heterostructure Insulated Gate Transistor (HIGFET)
Operation, IEEE Electron Device Lett., EDL-7, No. 2, 78—80, February
(1986).
Полевые транзисторы
477
99. Shur М., GaAs Devices and Circuits. Plenum, New York, 1987; имеется
перевод: Шур M. Современные приборы на арсениде галлия,— М.: Мир
1991.
100. Shur М., Abrokwah J. К-, Daniels R. R., Arch D. K., Mobility Enhance-
ment in Highly Doped GaAs Quantum Wells, /. Appl. Phys., 61, No. 4,
1643—1645, i ebruary 15 (1987).
101. Shur M., Hack M., Shaw J. G., New Analytic Model for Amorphous Silicon
Thin Film Transistors, J. Appl. Phys., Vol. 66, No, 7, 3371—3380 (1989).
102. Shur M., Hack M., Shaw J. G., Capacitance-Voltage Characteristics of
Amorphous Silicon Thin Film Transistors, /. Appl. Phys., 66, No 7,
3381 (1989).
103. Small Signal Transistor Data, Motorola Semiconductor Products, Inc.,
Phoenix, Ariz. (1983).
104. Song B. S., Gray P. R., IEEE J. Solid State Circuits, SC-17, 2, 291—298
(1982).
105. Spear W. E., LeComber P. G., J. N on-Cry st al. Solids, 8—10, 727 (1972).
106. Spear W. E., LeComber P. G., Kinmond S., Brodsky M. H., Appl. Phys.
Lett., 28, 105 (1976).
107. Stern F., CRC Crit. Rev. Solid State Sci., 499 (1974).
108. Sze S. M., Physics of Semiconductor Devices, John Wiley & Sons, New
York, 1981.
109. Sze S. M., editor, VLSI Technology, 2nd ed., McGraw-Hill, New York,
1988.
110. Takada T., Yokoyama K., Ida M., Sudo T., IEEE Trans. Microwave Theory
and Technique, MTT-30, 719—723 (1982).
111. Taylor G. W., Simmons J. G., IEEE Trans. Electron Devices, ED-32, 11,
2345—2367, November (1985a).
112. Taylor G. W., Simmons J. G., IEEE Trans. Electron Devices, ED-32, 11,
2368—2377, November (1985b).
113. Thompson M. J., Tuan H. C., IEDM Tech. Digest, IEEE Publications, Los
Angeles, December, 192 (1986).
114. Tiwari S., Wright S. L., Batey J., Unpinned GaAs MOS Capacitors and
Transistors, IEEE Electron Device Lett., 9, 9, 488—489 (1988).
115. Troutman R. R., IEEE J. Solid State Circuits, SC-9, 55 (1974).
116. Tsividis Y. P., Operation and Modeling of the MOS Transistor, McGraw-
Hill, New York, 1987.
117. Tuan H. C., Mat. Res. Soc. Symp. Proc., 70, 651 (1986).
118. Valdya S., Fuls E. N., Johnson R. L., IEEE Trans. Electron Devices.
ED-33, 1321 (1986).
119. Warriner R. A., Solid State Electron Devices, 1, 105 (1977).
120. White M. H., Cricchi J. R., IEEE Trans. Electron Devices, 19, 1280 (1972).
121. Xu J., Shur M., Hack M., Appl. Phys. Lett. (1987).
122. Yamaguchi K., IEEE Trans. Electron Devices, ED-26, 1068 (1979).
123. Yamaguchi K-, Kodera H., IEEE Trans. Electron Devices, ED-23, 545—
553 (1976).
124. Yu Z., Dutton R. W., Sedan III: A General Electronic Material Device
Analysis Program, program manual, Stanford University, July (1985).
125. Van B. J., Zeghbroeck B. J., Patrick W., Meier H., Vettiger P., Wolf P.,
High Performance GaAs MESFET’s. IEDM Technical Digest, IEEE Pub-
lication, Los Angeles, 832—834 (December 1986).
126. Zorinsky E., Spratt D., Virkus R., IEDM Technical Digest, IEEE Publi-
cation, Los Angeles, 488 (1984).
Оглавление
Предисловие редакторов перевода .................................. 5
Предисловие к русскому изданию.................................... 7
Предисловие......................................................... 8
Глава 1. Основы физики полупроводников............................. 12
1.1. Введение ................................................. 12
1.2. Квантовомеханический подход и атомные состояния .... 13
1.3. Химические связи.......................................... 22
1.4. Структура твердых тел..................................... 27
1.5. Зонная структура.......................................... 36
1.6. Статистика электронов и дырок в полупроводниках....... 52
1.7. Собственные, примесные и компенсированные полупровод-
ники ......................................................... 63
1.8. Колебания решетки......................................... 75
1.9. Подвижности и дрейфовые скорости электронов и дырок . . 82
1.10. Эффект Холла и магнитосопротивление...................... 87
1.11. Уравнения переноса в полупроводниках с учетом диффузии
и зависимости скорости от поля................................ 95
1.12. Квазиуровни Ферми. Генерация и рекомбинация носителей 101
* 1.13. Уравнение переноса Больцмана и скорости рассеяния . . . 109
1.14. Моделирование методом Монте-Карло.................. 118
* 1.15. Феноменологические уравнения переноса............. 129
Задачи ................................................... 132
Литература ............................................... 138
Глава 2. р—//-переходы, барьеры Шоттки, гетеропереходы и омиче-
ские контакты..................................................... 142
2.1. Введение ................................................ 142
2.2. р—-//-переход при нулевом смещении....................... 142
2.3. Вольт-амперные характеристики идеального р—и-перехода 152
2.4. Токи генерации и рекомбинации............................ 162
2.5. Емкость обедненной области............................... 170
2.6. Диффузионная емкость и эквивалентная схема р—п-диода 172
2.7. Туннелирование и туннельные диоды........................ 175
2.8. Лавинный пробой перехода . . ............................ 183
2.8.1. Механизмы лавинного пробоя......................... 183
* 2.8.2. Ударная ионизация и лавинный пробой................ 186
2.9. Барьеры Шоттки .......................................... 196
2.10. Вольт-амперные характеристики диодов Шоттки....... 206
2.10.1. Модель термоэлектронной эмиссии................... 206
2.10.2. Вольт-амперные характеристики для термополевой и
полевой эмиссии .......................................... 209
2.10.3. Малосигнальная модель диода Шоттки................ 212
Оглавление
479
2-11. Омические контакты..................................... 213
-.12. Гетеропереходы ........................................ 223
Задачи .................................................. 229
Литература .............................................. 236
Глава 3. Биполярные транзисторы.................................. 240
3.1. Принцип действия........................................ 240
3.2. Профили концентрации неосновных носителей в биполярном
транзисторе.................................................. 248
3.3. Составляющие тока и коэффициент по току................ 253
3.4. Распределенное сопротивление базы и сжатие эмиттерного
тока в биполярных транзисторах........................ 263
3.5. Влияние неоднородного легирования в базовой области:
дрейфовые транзисторы........................................ 265
3.6. Выходные характеристики биполярного транзистора и эф-
фект Эрли ................................................... 268
3.7. Модель Эберса—Молла.................................... 272
3.8. Модель Гуммеля—Пуна..................................... 275
3.9. Пробой в биполярных транзисторах........................ 282
3.10. Рабочая точка и эквивалентные схемы при малом уровне
сигнала ...................................................... 289
3.11. Биполярный транзистор как усилитель слабого сигнала. Ча-
стота отсечки................................................. 299
3.12. Биполярный транзистор в качестве переключателя .... 304
3.13. Биполярные транзисторы в интегральных схемах......... 313
3.14. Гетеропереходиые биполярные транзисторы................ 316
Задачи .................................................. 326
Литература .............................................. 332
Глава 4. Полевые транзисторы..................................... 335
4.1. Введение ............................................... 335
4.2. Поверхностный заряд в МОП-конденсаторе.................. 338
4.3. Вольт-фарадные характеристики МОП-структур.............. 349
4.4. Полевые транзисторы на МОП-структурах. Приближение
плавного канала и модель управления зарядом ................. 358
4.4.1. Принцип работы.................................... 358
4.4.2. Приближение плавного канала и модель с постоянной
подвижностью............................................. 359
4.4.3. Модель управления зарядом......................... 367
4.4.4. Влияние последовательных сопротивлений истока и
стока на характеристики МОП ПТ........................... 368
4.5. Эффекты насыщения скорости в МОП ПТ.................... 370
4.6. Особенности приборов с коротким каналом и нелинейный
эффект в МОП ПТ.............................................. 379
4.7. Допороговый ток в МОП ПТ............................... 387
4.8. Емкость и эквивалентная схема МОП ПТ.................... 393
4.9. Режимы обогащения и обеднения МОП ПТ. Комплементар-
ные МОП ПТ (КМОП ПТ) и кремний на сапфире .... 400
4.10. Полевые транзисторы с барьером Шоттки............. 409
4.11. Гетероструктурные полевые транзисторы............. 422
4.12. Транзисторы на тонких пленках аморфного кремния .... 451
4.13. Высоковольтные ТПТ на основе аморфного кремния ... 451
4.14. Полевые транзисторы с двойной инжекцией па основе
аморфного кремния....................................... 456
Задачи .................................................. 461
Литература .............................................. 473
Научное издание
Михаил Шур
ФИЗИКА ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ
ПРИБОРОВ
В 2-х книгах
Книга 1
Заведующий редакцией В. И. Пропой
Ведущий редактор Л. А. Паршина
Редактор И. А. Гревцова
Художник В. Потапов
Художественный редактор Н. М. Иванов
Технические редакторы 3. И. Резник
и Г. М. Носкова
И Б № 7921
Сдано в набор 24.12.91. Подписано к печати
31.08.92. Формат 60 X ЭО’/ль Бумага кн.-журч.
Печать высокая. Гарнитура латинская. Объем
15,00 бум. л. Усл. печ. л. 30,00 в т. ч. Уел.
кр.-отт. 30,00. Уч.-изд. л. 27,90. Изд. № 7/8251.
Тираж 1000 экз. Зак. 304. С 061
Издательство «Мир» Министерства печати и
информации Российской Федерации. 129820,
ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Ордена Трудового Красного Знамени ГП «Тех-
ническая книга» типография № 8 Мининформ-
печати РФ. 190000, г. Санкт-Петербург, Пра-
чечный пер., д. 6.