Ф. А. БАРТЕНЕВ
НЕСТАНДАРТНЫЕ
ЗАДАЧИ
ПО АЛГЕБРЕ
Пособие для учителей
• МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1976

512
Б26
Бартенев Ф. А.
Б26 Нестандартные задачи по алгебре. Пособие для
учителей. М., «Просвещение», 1976.
95 с. с ил.
„ 60501-593
Б 127—76 512
103(03)—76
(g) Издательство «Просвещение», 1976 г, '

ОТ АВТОРА
Летом 1969 года в поселке Фрунзенском у Медведь-горы на
очередных лагерных сборах Малой академии наук Крыма «Искатель»
присутствовала большая группа учителей математики, в основном
из районов и городов области. Преподаватели заинтересовались
нашим подбором задач для учащихся, у которых только
пробуждается интерес к математике. В беседах и спорах родилась мысль о
создании этого пособия, было высказано немало предложений о его
содержании и форме изложения материала. В последующие годы
материалы пособия использовались в некоторых школах Крыма
и вне его, на сессиях и олимпиадах Малой академии наук, в клубе
сообразительных и смекалистых, а также в Юношеской
математической школе (вечерней) г. Евпатории и т. д. Содержание сборника
обсуждалось на различных предметных учительских совещаниях.
За помощь и товарищескую поддержку во всей этой работе автор
признателен Т. Л. Лысенко (областной институт .повышения
квалификаций учителей), А. П. Тинякову, С. Г. Пипко, В. А. Славнину
и многим другим крымским педагогам, а также кафедре
элементарной математики Симферопольского государственного университета.
Над прилагаемыми материалами автор работал много лет. И
в процессе этой работы пользовался помощью и советами многих
ученых и методистов не только Крыма. В связи с этим хотелось бы
поблагодарить доцента П. В.Стратилатова, бывшего преподавателя
Московского педагогического института имени К. Либкнехта, в
котором учился автор, кандидатов физико-математических наук
Г. В. Дорофеева и А. П. Савина (члена редакции журнала
«Квант»), А. И. Орлова («Пионер»). Неоценимую помощь автору
оказал своими советами проф. |И. К. Андронов).
Автор благодарен также рецензентам — кандидату
педагогических наук В. А. Гусеву, доценту А. Я. Маргулису и Б. М. Ивлие-
ву за многие ценные предложения и замечания.
Как учитель-практик, много лет проработавший в школе,
хотел бы обратиться, в частности, к читателям-коллегам по труду,
опытным и начинающим, с просьбой написать свои замечания,
предложения по содержанию и форме изложения материала
пособия.
17 сентября 1974 года.
Евпатория.
1*
Ф. Бартенев.
з

ВВЕДЕНИЕ
(о содержании, структуре и использовании пособия).
Формализация математики не избавляет нас от
необходимости рассуждать содержательно с целью
получения истины в самом обычном общечеловеческом
смысле этого слова. В таких рассуждениях мы
применяем обычную содержательную логику.
Ответственность преподавателей математики здесь особенно
велика, так как отдельного предмета «Логика» в школе нет
и знакомство с началами логики практически в
значительной степени происходит на уроках математики.
Акад. Л. Н. Колмогоров
Основная часть пособия —' специально подобранная система
задач. В подборе задач в какой-то мере реализованы два, казалось
бы, взаимно исключающих требования: нестандартность отдельно
взятых упражнений и целенаправленный подбор всей системы
заданий как единого целого. Во многих случаях классификация
выполнена не по «типам задач», а прежде всего по типам рассуждений.
Актуальность такой постановки вопроса несомненна. При этом мы
имеем в виду и то, что в последние годы на уроках смежных
дисциплин л при выполнении в школе практических работ все в большей
степени используются различные диаграммы, таблицы, схемы,
расчеты, формулы и пр. Усилились трудности логического
характера, требующие от учащихся решения разных вопросов «с
позиции здравого смысла». От уровня математической подготовки
школьников все в большей и большей степени зависит успешное усвоение
смежных учебных дисциплин.
Упражнения сборника нестандартны. Вначале эта
нестандартность ярко не проявляется. Сложность многих- первых задач
состоит в непривычном для школьников сочетании трудностей.
Поэтому такие упражнения являются естественным дополнением системы
упражнений стабильного учебника. Самые же трудные задачи
соответствуют уровню требований математических олимпиад,
заочных математических шкоЛ и т. д. Часть упражнений может быть
использована в старших классах при повторении учебного
материала предыдущих лет.
Но пособие — не только сборник задач повышенной трудности.
В нем отражена определенная система обучения детей,
интересующихся математикой, которая вырабатывалась в течение долгих лет
работы в школе, в различного рода городских факультативах.
Укажем на некоторые особенности этой системы.
1. Всемерное содействие накоплению школьниками того
реально-практического опыта, который им необходим не только для ре-
4

шения нестандартных задач, но и, главное, для последующих
обобщений при изучении математики и других предметов в старших
классах.
2. Обучение учащихся умению на основании сопоставления
ряда фактов высказывать свои «догадки», предположения. Иными
словами, на основании неполной индукции выставлять свои
гипотезы.
3. Умение в простейших случаях либо доказывать
справедливость тех или иных гипотез перебором всех возможных случаев,
либо опровергать их контрпримером.
4. Постоянная, тщательно спланированная работа по
формированию у школьников важнейших математических
понятий.
Этим, конечно, не исчерпываются основные идеи пособия, но
перечисленные требования в какой-то мере могут дать
представление об особенностях работы прежде всего с учащимися IV — V
классов. Поясним нашу мысль на примере решения следующей
задачи.
Задача. На множестве каких'чисел имеет место каждое из
следующих соотношений:
1) \а+Ь\= \а\+ \Ь\\
2) \а + Ь\ < \а\+ \Ь\?
От старшеклассников, студентов, учителей, тысячи раз
сталкивавшихся со сложением положительных и отрицательных чисел,
мы вправе ожидать, например, следующее решение первой части
задачи.
Решение. Из определения сложения следует, что
абсолютная величина суммы двух чисел равна сумме абсолютных величин
только тогда, когда слагаемые имеют одинаковые знаки или когда
одно из них (или оба) равно нулю.
Но ученик пятого или шестого класса зачастую еще не имеет
достаточно прочных навыков в технике вычислений, не обладает
соответствующим опытом. И наша задача' состоит в том, чтобы,
с одной стороны, укреплять вычислительные навыки школьников, а
с другой, — способствовать накоплению опыта в сопоставлении
наблюдений. В данном случае можно предложить школьникам
прежде всего заполнить достаточное число строк, например,
следующей таблицы:
а
-3
— 7 |
0
. . .
Ь
2
— 1
— 4
. . .
\а + Ь\
1
8
4
. . .
м+и
5
1 8
4
5

Сопоставляя факты, учащиеся подметят некоторые закономер- 1
*ности. Этим и будет достигнута первая цель — на основании не- ]
полной индукции школьники формулируют «догадку», гипотезу. |
Только после этого ставится вопрос о необходимости доказатель- 3
ства выдвинутого предложения. «Я думаю, — пишет Д. Пойя, — !
что, обучая в школе, мы в первую очередь должны развивать ин- I
туицию, а потом — способность к дедуктивному рассуждению». I
Такой подход к обучению четко может быть реализован при реше- ]
нии многих упражнений, помещенных в параграфах «Перебор», I
«Немного комбинаторики», «Числовые последовательности», «Опро- |
вергающий пример» и др. J
Упражнения мы подбирали так, чтобы накопление реально- 1
практического опыта было теснейшим образом связано с формиро- ]
ванием у учащихся важнейших математических понятий о числе, ]
о переменной, о неравенстве и др. ]
Понятие о разности и приращении встречается в следующих уп- J
ражнениях: § 2, № 2, 9, 11, 15, 18; § 3, № 8; § 4, № 3; § 5, № 10; 1
§ 6, № 2, 3, 7, 8, 10, 14; § 7, № 11; § 9, № 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 15, 1
16, 18; § И, № 7, 9, 16; § 12, № 1—4, 6; § 13, № 2; §114, № 3, 9; I
§ 15, № 4, 6; § 17, № 22, 29. Набор из этих упражнений образу.ет 1
своеобразную целесообразно подобранную систему задач, в значи- I
тельной мере обеспечивающую систематическую работу по форми- ]
рованию у ребят важного математического понятия. j
С неравенствами читатель будет иметь дело при решении еле- ]
дующих задач: § 5, № 2, 4; § 6, № 9; § 8, № 7, 16; §9, № 2; I
§ 10, № 1—3, 5, 8, 9, 11; § 11, № 12, 17; § 12, № 1, 16, 19; j
§ 13, № 2; § 14, № 3, 8, 11; § 15, № 5, 6; § 16, № 1, 9; § 17, № 13, I
15, 16, 21—23, 29; § 18, № 8, 10, 21, 22, 24. И в этом случае име- 1
ется достаточно тренировочного материала для проведения темати- J
ческих занятии. Параграфа «Неравенства» в пособии нет. 1
Вопросы делимости чисел затрагиваются в задачах: § 1, № 4, 8, 1
13, 14; § 2, № 11, 15; § 3, № 1, 2, 4, 6, 15; § 4, № 1-3; § 5,
№ 1, 10; § 6, № 6; § 7, № 8, 13, 15, 17, 19; § 8, № 3, 16-18;
§ 9, № 8, 12, 15; § 11, № 9—11, 18, 19; § 12, № 8, 15, 20; § 13, I
№ 10, 14, 16; § 14, № 6, 7, 12; § 15, № 7; § 17, № 9, 11, 17,
18; §,18, № 11.
Точно так же можно выделить большие группы упражнений по j
темам «Абсолютная величина числа», «Максимум и минимуй» и др. 1
Особое внимание уделено методам рассуждений. Упражнения I
систематизированы так, чтобы облегчить планирование длительной
работы по усвоению школьниками некоторых начальных понятий 1
и сведений из элементарной логики вообще и математической логи- I
ки в частности. В связи с этим специально выделены параграфы
«Перебор» (§ 1), «Немного комбинаторики» (§ 4), «Опровергающий
пример» (§ 5), «Числовые последовательности» (§ 6), «Различные I
способы решения задач» (§ 15). В § 10 «Графики» рассматриваются j
вопросы использования логических связок и и или. В § 1 «Перебор» ]
указаны упражнения из всех параграфов пособия, в которых речь 1
6 j
j

идет о переборе (полной индукции) примерно так, как это сделано
выше. Такие же указания имеются почти во всех перечисленных Еыше
параграфах.
Многие задачи начинаются не стандартными словами
«Доказать...», «Найти...», а словами «Существуют ли...», «Доказать или
опровергнуть...» и пр.
В пособии большое внимание уделяется упражнениям для
отработки технических навыков учащихся в
тождественных преобразованиях алгебраических выражений, решении
уравнений и ир. Но, «отрабатывая» навыки технического характера,
учащиеся,, как правило, попутно знакомятся с некоторыми идеями
и фактами. Тождественные преобразования нередко связаны с
доказательством неравенств, тождеств и пр. Действия над
положительными и отрицательными числами связаны с перебором,
вычислением приращений, со «способом медиан», взятого из арсенала
элементов теории вероятностей, и пр.
Во всех параграфах пособия имеется 90—100 упражнений, при
решении которых желательно использовать те или иные
подстановки. Читатель без труда найдет эти задачи, тем более
что значительная часть их дается с решениями.
Графикам посвящены параграфы 10 и 16. Однако и в других
параграфах имеется более 20 соответствующих упражнений.
Предлагаемый учебный материал мы стремились препарировать
так, чтобы помочь учителю приучить своих воспитанников
ежедневно или почти ежедневно работать над трудной, но посильной для
них задачей. «Само собой разумеется, — писал акад. А. Н.
Колмогоров, — никакие способности не помогут без систематической
повседневной работы». С этой точки зрения проведение занятий
только математических кружков (нередко один раз в две недели)
нас удовлетворить уже не может. По нашему мнению, речь должна
идти о создании органической связи между школьным учебным
процессом и всей системой внеклассной работы по математике. В
частности, представляется целесообразным сочетать работу
математического кружка с решением достаточно подготовленными
школьниками одной-двух задач повышенной трудности при выполнении
домашних заданий вместо несложных или стандартных упражнений
учебника. Таким ребятам мы говорим словами М. И. Калинина:
«...диапазон практического применения математики огромен.
Какую бы науку вы ни изучали, в какой бы вуз ни поступили, в
какой бы области ни работали, если, вы хотите оставить там какой-
нибудь след, то для этого везде необходимо знание математики».
(Калинин М. И. О коммунистическом воспитании. М. 1958\ с. 276.)
Естественно, что со временем среди учащихся выделится часть
ребят, увлекающихся математикой и физикой. Пособие
предназначено, в частности, для того, чтобы подготовить таких школьников
к поступлению в школы физико-математического профиля.
Больше половины задач сборника являются оригинальными. Но
при работе над пособием было проанализировано несколько тысяч
7

упражнений, разбросанных в десятках пособий, в журналах «Мате- 1
матика в школе», «Квант», «Пионер» и т. д. !
Все наиболее ценное было отобрано и по возможности
переработано и систематизировано. При этом автор стремился сохранить 1
идейную ценность задач, но облегчить задания настолько, чтобы они j
стали доступными школьникам средних способностей, интересую- j
щимся математикой. В некоторых случаях интересная идея исполь- ]
зовалась для составления новых упражнений. I
Материалы пособия изложены так, чтобы облегчить подготов- I
ку учителя к занятиям. Предполагается также, что наиболее под- 1
готовленные старшеклассники, используя пособие и консультации ]
педагогов, смогут проводить занятия с учащимися младших клас- j
сов по некоторым темам. . . ]
В связи с этим параграфы сборника, как правило, соответствуют I
некоторым темам школьного курса математики IV—VII классов. 1
В начале некоторых параграфов указаны номера ряда задач из ]
стабильных учебников. Умение решать эти задачи является необ- |
ходимой предпосылкой того, чтобы школьники справились с пред- \
ложенными в пособии упражнениями. Задачи ряда параграфов j
сгруппированы так, чтобы занятия можно было бы провести непо- j
средственно по пособию. В сборнике приведено много примеров *
решения задач с письменным пояснением, приведены различные 1
способы решения некоторых задач. Во многих случаях имеются j
рекомендации практического характера с учетом опыта работы в 1
школе. На некоторые из них хотелось бы обратить- внимание чита- ]
теля. I
Мы стремились показать на примерах,, как следует проводить 1
занятия, чтобы они были увлекательными. Речь идет не только о 1
занимательности фабул задач, интересной постановке вопросов, 1
исторических экскурсах, ознакомлении школьников с образными I
высказываниями ученых и т. д. Решение многих задач может стать 1
поводом для кратких сообщений о дальнейшем развитии идей и их 1
практической и теоретической значимости. * I
Учащимся далеко не безразлично, где предлагалась задача. 1
Они получают большое удовлетворение, если им удается решить 1
задачу, предложенную, например, в журнале «Квант», на олимпи- |
адах, на приемных экзаменах в вузы и т. д. Именно поэтому в не- j
которых случаях мы указываем, откуда заимствована задача. 1
Занятия очень украшают образные сравнения, удачные схемы I
записей, пояснительные примеры, помогающие школьникам «схва- I
тить» суть дела. Особое внимание желательно обратить на исполь- 1
зование алгоритмических приемов при решении задач. В удачном I
расположении записей решения задач, доказательстве теорем, 1
математических выкладок и пр. опытный педагог видит прежде I
всего начала культуры математической мысли школьника. Умелое 1
использование различного рода таблиц и схем не только дисцип- 1
линирует ум, но и облегчает решение задачи. Оно часто приводит 1
к заметной экономии учебного времени, к уменьшению письменных 1
8 I

пояснений, создает благоприятные условия для предупреждения
появления ошибок и выявления этих ошибок, если они уже были
допущены. В пособии сделаны первые шаги по~ созданию
долговременной систематической и четко спланированной учебной работы
по формированию у школьников особого стиля мыслительной
деятельности, при котором эта деятельность перестает быть чем-то
хаотичным, аморфным, неопределенным, а приобретает четкие
формы и становится управляемой. Ставится вопрос о том, чтобы
учащиеся сами «открывали» по возможности те или иные алгоритмы,
которые освобождали бы их интеллектуальные силы для решения
в дальнейшем более сложных задач не только в рамках
деятельности школы, но и вне ее.
Обучение школьников младших классов оформлению письменных
работ мы рассматриваем как одну из форм упражнений
творческого характера. Скажем прямо, что такая работа трудоемка, но она
очень необходима.
Предположим, что в классе устно или с записью на доске
проанализировано решение какой-либо задачи. Составляется план ее
объяснения. При этом выделяются главные моменты
пояснения. В частности, должна быть четко изложена идея решения.
Все второстепенное, в частности пояснения к несложным
выкладкам, должно быть опущено. Затем учащимся предлагается написать
на черновике пояснения по первому пункту плана. Содержание
пояснений отдельных учащихся подвергается критике прежде
всего со стороны школьникдв, а в заключение и со стороны
учителя. Особое внимание обращается на четкость и полноту
аргументации в плане известной статьи А. Я. Хинчина о воспитательном
значении математики. При этом тщательно редактируется каждая
фраза текста как по содержанию, так и по форме изложения.
Отредактированный текст учащиеся записывают в тетрадь. Подобным
же образом анализируются пояснения по второму пункту плана
и т. д. Так разбираются записи решений задач на нескольких
занятиях. Только после достаточной тренировки под руководством
учителя учащимся предлагается написать более или менее сложные
пояснения к задаче самостоятельно.
В пособии имеется немало устных упражнений. Они ценны, в
частности, тем, что условия их легко запоминаются, а при решении
задачи та или иная математическаячидея выступает наиболее ярко,
рельефно. Кроме того, во многих случаях при помощи серии устных
упражнений можно подвести школьников к выполнению более
сложных заданий. Приведем пример.
Имеет ли корни уравнение:
(х2 + I)4 + (х2 + 2)2 = -1?
Может быть, имеет корни уравнение:
(х2 + I)4 + (х2 + 2)2 = О?
Решите уравнение:
(х2 + I)4 + (х2 + 2)2 = 3.
9

Имеет ли корни уравнение:
(х2 + I)4 + (х2 + 2)2 = 5?
Но дело не только в этом. Изучая в школе очередную тему,
ученик, как правило, пользуется узким кругом теорем,
определений, формул и т. д. Многократное же переключение его внимания,
связанное с использованием самых различных материалов
предыдущих лет обучения, обычно вызывает у него серьезные
затруднения даже при решении несложных упражнений — он к такой
работе не приучен. Нестандартные же задачи характерны часто
именно необычным сочетанием трудностей различных тем курса алгебры.
Поэтому очень полезно периодически проводить 10—15-минутные
несложные работы по решению нестандартных задач, подобные
приведенным ниже.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Упростить:
Решить
уравнение:
Найти
Вычислить:
Выполнить -
действие:
Сравнить
Найти
Вынести
общий
множитель за
скобки:
Вариант I.
(4а — а)3;
^ = -3;
X
20% от -;
• З2 + 22 • 10;
(-а-1)2;
1 1
и ;
3 7
НОК (24 • 3;
а {аха + а2);
*
18);
Вариант II
(—т + mf.
-io = К
X
40% от 2,5.
23 + З2 • 10.
(—т + 2)2.
_± и —0,2.
10
НОД (24 • 3; 18)
т (хт2 + тт.).
Обычно в таких случаях мы предлагаем учащимся записывать
номер задачи, те вычисления, которые они не могут выполнить в
уме, и ответ. Целесообразно также каждое из таких упражнений
написать крупным шрифтом н# листе обычной тетради по
рисованию, а вд оборотной стороне этого листа записать ответ.
Использование таких листов-плакатов очень оживляет работу в.классе
и позволяет непрерывно следить за работой отдельных учащихся
класса. Конечно, в подобных случаях может быть использован
кодоскоп.
Работа по предлагаемому пособию предполагает резкое
усиление роли преподавателя математики как координатора усилий
педагогов класса по всем вопросам использования математики на
уроках смежных дисциплин. Так, в V—VI классах на уроках
географии систематически используются различные диаграммы^
10

графики, таблицы и пр. Но соответствующего тренировочного
материала в учебнике «Математика, 5» явно недостаточно. Поэтому
данное пособие можно частично использовать не только для
внеклассной работы, но и на уроках математики. Но мы хотим обратить
внимание читателя на одну очень важную сторону дела. Все
основные математические понятия, которыми учащиеся пользуются
в школе, выкристаллизовались из практики. И чем больше
учащиеся, изучая математику, пользуются наблюдением и экспериментом,
чем богаче и прочнее соответствующий реально-практический опыт,
тем глубже и прочнее их математические знания. Но наблюдения,
например, различных процессов осуществляются в школе в
основном на уроках смежных дисциплин. Поэтому очень важно, чтобы
ребята наблюдали эти процессы через «математические очки»,
чтобы они фиксировали результаты наблюдений и измерений в
такой форме, которая облегчила бы в дальнейшем соответствующие
обобщения на уроках математики в связи с введением новых
понятий. Поясним нашу "мысль на примере.
В стабильном учебнике «Ботаника, 5—6» почти не используются
диаграммы, таблицы и пр. Можно рекомендовать, чтобы школьники
записывали результаты некоторых' наблюдений в виде таблицы
так, как это делается, например, в одном из опытных хозяйств
юга Украины.
Восковая спелость одного из сортов озимой пшеницы
определялась по ходу налива зерна, для чего периодически взвешивались
1000 зерен в воздушно-сухом состоянии в июне — июле.
Дата
Вес 1000 зерен
в граммах
Прирост веса
в граммах
,18
8
20
12
К
22
14
2
24
18
4
26
22
4
28
25
3
30
30
5
2
34
4
4
37
3
6
39
2 '
8
40
1
10
40
0
Дата наступления восковой спелости — 7—8 июля.
Фиксирование внимания учащихся на приращениях переменных
помогает им подмечать те или иные закономерности, особенности
роста растений. Вместе с тем школьники видят, как из практики
выкристаллизовывается математическое понятие о приращении
переменной. Им становится понятным, что предложенные в
пособии задачи, связанные с нахождением приращений переменных,
являются не хитроумными выдумками преподавателей математики,
а подсказаны практикой.
В заключение укажем некоторые обозначения, которые
используются в пособии. Буква N обозначает множество натуральных
it

чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных
чисел, Q0 — множество рациональных неотрицательных чисел.
В некоторых случаях используются ^условные обозначения
методического характера. Так, знак (!), поставленный после номера,
указывает, что на решение данной задачи надо обратить внимание
учащихся. Обычно это облегчит решение ряда последующих
упражнений или понимание нового теоретического материала. Задачи
повышенной трудности обозначены по традиции звездочкой (*).
Некоторые из них предлагались на математических олимпиадах.
Знак (У) означает, что задача должна быть решена устно или
полуписьменно.
Запись «МвШ, 1971, № 4, с. 83» обозначает, что текст условий
и подробное решение задачи опубликованы в журнале «Математика
в школе» за 1971 год в № 4 на странице 83. Иногда в конце текста
условия задачи в скобках указано, что задача опубликована в
журнале «Квант» или в печатных материалах Всесоюзной заочной
математической школы при МГУ (ЕГЗМШ).

§ 1. ПЕРЕБОР
По существу все связи между математикой и е&
реальными приложениями умещаются в области
конечного.
Акад. Л.* Я. Колмогоров
Уже в.третьем классе учащиеся сталкиваются с разбором всех
возможных случаев при решении более 50 упражнений из учебника
«Математика, 3». Используя перебор при решении задач, ученик
как -бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на
основании частных выводов делает те или иные общие заключения.
В процессе этих наблюдений обогащается его
реально-практический опыт. Именно в этом прежде всего состоит познавательная
ценность задач на перебор. При этом слово «перебор»
используется в смысле разбора всех случаев, т. е. как заменитель термина
«полная индукция», с которым учащиеся познакомятся только в IX
классе в связи с изучением темы «Метод математической
индукции».
При решении задач методом перебора .нужно рассмотреть все
возможные случаи, выделить те, которые удовлетворяют условиям
задачи, показав, что других решений быть не может. В связи с
этим при решении упражнений обычно должна быть выбрана
определенная система перебора, которая давала бы полную уверенность
в том, что рассмотрены все случаи. В этом состоят особенности и
трудности предлагаемых задцч для учащихся.
Метод перебора не случайно завоевал «права гражданства» в
школьных учебниках, в пособиях Всесоюзной заочной
математической школы при МГУ, на приемных экзаменах во многих вузах, -на
математических олимпиадах и т. д. Методом перебора доказываются
некоторые теоремы элементов математической логики. Нередко
электронно-вычислительные машины выполняют расчеты для всех
возможных случаев и выбирают те результаты, которые
соответствуют заданным условиям. Учитель имеет большие возможности
раскрыть перед учащимися на многих примерах теоретическую в
практическую значимость метода перебора.
Предлагаемые задачи образуют своеобразное продолжение
системы упражнений стабильных учебников, при решении которых
13

A F используется перебор. Ниже приведены
• • • номера таких упражнений из учебника
«Математика, 3».
а) Нахождение численного значения
алгебраического выражения: № 10
(с. 145), 17 (с. 163), 24 (с. 190), 910.
# # # б) Неравенства: № 15, 17 (с. 45),
Рис. 1 674, 767, 1077, 1086.
в) Задачи с геометрическим
содержанием: № 653, 715, 930.
1. Имеются 9 палочек разной длины от 1 см до 9 см. Квадраты
с какими сторонами и сколькими способами можно составить из
этих палочек? Способы составления квадрата считаются
различными, если использованы разные палочки и не обязательно все.
Можно ли составить квадраты, длины сторон которых равны
1 см? 2 см?... А 6 см? Почему? Можно ли составить квадрат, длина
стороны которого 7 см? Как это сделать? Сколькими различными
способами его можно составить? Рассмотрите дальше все возможные
случаи.» Можно ли составить квадрат, длина стороны которого
равна 12 см и более? Почему?
2. В числе^ 3 728 954 106 зачеркнуть три цифры так, чтобы
оставшиеся цифры в том же порядке составили бы наименьшее
семизначное число.
3. На плоскости даны 6 точек, расположенные в виде
прямоугольника так, как указано на рисунке 1. Сколько существует
треугольников, у которых одна вершина находится в точке А, а
две другие — в каких-либо остальных точках? Сколько существует
таких треугольников, у которых одна вершина находится в точке/7?
4. Дело было в 1968 году. Выпускник школы вернулся с
письменного экзамена в вуз и рассказал дома, что он не смог решить
следующую задачу:
Купили несколько одинаковых книг и одинаковых альбомов.
За книги заплатили 10 руб. 56 коп., а за альбомы — 56 коп. Книг
купили на 6 больше, чем альбомов. Сколько купили книг, если цена
книги больше, чем на рубль, превосходит цену альбома?
Взрослые углубились в вычисления. А братишка-пятиклассник
вдруг выпалил:
— А тут и решать нечего. 8 книг!
Как он решал задачу?-
Если решение этой задачи вызвало у вас затруднение, то еще
и еще раз вдумайтесь, вникните в условия так, чтобы они четко
запечатлелись в вашей памяти. Ищите и ищите новые подходы к
решению задачи. Попробуйте «угадать» ответ, подобрать его,
сделав грубую прикидку. Сколько решений имеет задача? Запишите
решение и проверьте ваш отрет.
5. Пишут одну за другой 4 последовательные цифры, затем
первые две меняют местами. Полученное таким образом четырех-
14

\
зшчное число является квадратом натурального числа. Найдите
эго число.
6. В двух автоколоннах было всего по 28 автомобилей в каждой.
В обеих автоколоннах было всего 11 «Жигулей», а остальные —
«Москвичи». Сколько «Москвичей» было в каждой автоколонне,
если известно, что в первой автоколонне на каждую машину
«Жигули» приходилось в два раза меньше «Москвичей», чем во
второй?
7. Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет
по 2 хлеба, женщина — по половине хлеба, а ребенок — по
четверти хлеба, причем в переносе участвуют все 12 человек. Сколько
было мужчин, сколько женщин и. сколько детей?
8*. Вместо звездочек поставить цифры так, чтобы семизначное
число 30 * 0 * 03 делилось на 13. Найти все решения.
9. Найти сумму площадей всех различных прямоугольников,
которые можно составить из 9 квадратов (не обязательно всех),
если сторона каждого квадрата равна 1 см.
10*. Студент за 5 лет учебы сдал 31 экзамен. В каждом
следующем году он сдавал больше, чем в предыдущем. На пятом курсе
экзаменов было втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов
было на четвертом курсе?
Мог ли студент иметь на первом курсе только один экзамен?
Проверьте и сделайте вывод. Мог ли он вначале иметь два
экзамена? Сделайте проверку. А три экзамена? Выполните расчеты и
сделайте вывод. Мог ли студент иметь на первом курсе 4,5 и более
экзаменов? Почему?
И. В составлении 40 задач приняло участие 30 студентов со
всех пяти курсов. Любые два студента-однокурсника придумали ■
одинаковое число задач. Любые два студента разных курсов приду- •
мали разное число задач. Сколько человек придумало одну задачу?
(ВЗМШ)
12*. На сколько частей можно разбить плоскость четырьмя
прямыми? Рассмотрите все возможные случаи и для каждого,
случая сделайте чертеж.
f В 1834 году учителя Костромской гимназии проверили математические
способности 11-летнего талантливого крепостного мальчика Ивана Петрова,
не умевшего ни читать, ни писать. Он в уме решил задачи № 13 и № 14.
13. Сколькими способами можно уплатить 78 рублей, имея
билеты трехрублевого и пятирублевого достоинства?
14. За 500 рублей куплено несколько пудов сахару. Если бы
на те же деньги куплено было пятью пудами больше, то каждый
пуд обошелся бы пятью рублями дешевле. Сколько куплено пудов
' сахару?
15. Верно ли следующее утверждение: если число р простое и
р больше 100, но меньше 200, то число 210 — р тоже является
простым числом. *
15

16(!). Ученик Следующим образом записал нахождение
наименьшего общего кратного чисел 54, 81, 135 и 189:
54
27
9
3
1
81
27
9
3
1
135
45
15
5
—
1
189
_
63
21
7
—
1
2
3
3
3
3 1
5 1
' 7
НОК (54, 81, 135, 189) = 2-3-3-3-3-5-7 = 5670.
Какон рассуждал? Найдите этим же способом наименьшее
общее кратное чисел 36, 135, 60, 27.
Перебор встретится при решении, например, следующих
упражнений: § 2, № 3, 4, 11, 12, 16; § 3, № 7, 9, И, 12—18; § 4,
№ 1—9; § 6, № 9, 11; § 7, № 1-4, 6, 7, 18; § 8, № 11, 14; § 9,
№ 8, 18; § 11, № 11; § 16, № 10; § 17, № 10, И, 14, 17, 18.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. Решение. Одним способом можно составить квадраты,
у которых длины сторон равны 7 см, 8 см, 10 см, 11 см. Пятью
способами можно составить квадраты, длина стороны каждого из
которых равна 9 см. Таким образом имеется 9 способов составления
квадратов.
Указание. Длина стороны квадрата должна быть больше 6 см
(Почему?). Так как сумма длин всех палоиек равна 45 см, то
периметр квадрата не может быть более 44 см, а длина квадрата —
больше 11 см. (МвтЛ)
2. 2 854 106. Указание. Можно предварительно рассмотреть
случаи, когда зачеркивается одна или две цифры. (МвШ)
3. Девять способов. Указание. Обозначив буквами все
остальные точки (рис. 2), нетрудно указать все треугольники: ABC, ABD,
ABF, ABE, ACD, ACF, ACE, ADF, AED.
A - Во втором случае также имеется 9 способов.
•L- JJL ^ 4. Р"е ш е н и е. Так как книга доро-
(^^ч. У]\ ^s'/x же Рубля, то куплено не более 10 книг.
I ^\c^\r^r Кроме того, очевидно, куплено не менее
Av^psVN, I 7 книг. Проверкой убеждаемся, что число
|^>'х'\1 y^vXJ 1056 делится на 8 и не делится на 7, 9, 10.
jp- ^ i-^» Ответ: 8 книг.
а ° м 5. Решен и^е. Первым двум услови-
Рис 2 ям удовлетворяют числа 2134, 3245, 4356,
16

Рис. 3
5467, 6578, 7689. Из этих чисел только число 4356 =\662
удовлетворяет третьему условию задачи.
6. Решение. В первой колонне было больше «Жигулей»,
чем во второй. Следовательно, в ней было не меньше шести
«Жигулей». Проверкой убеждаемся, что в первой колонне могло быть
только 7 «Жигулей», а поэтому е"Ще была 21 машина «Москвич».
Во второй колонне было 24 «Москвича». (МГУ)
7. 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей. Покажите, что мужчин не
может быть, во-первых, меньше пяти, а во-вторых, больше пяти.
8. 3 000803, 3 020 303, 3 030 703, 3 050 203, 3 060 603,3 080 103,
3 090 503.
9. Решение. Пусть а и Ь — длины сторон прямоугольника.
Если а = 1, то Ь = {1; 2; ...; 9}. Если а = 2, то Ь = {2; 3; 4}.
Если а = 3, то Ь = 3.* Сумма площадей всех прямоугольников рав-
яа (1 +2+ ... + 9) + 2 - (2 + 3 + 4) + 3 • 3 = 72 (кв. см).
(МвШ)
10. Решение. Студент не мог иметь на первом курсе даже
два экзамена, так как в этом случае общее число экзаменов за'пять
нет было бы меньше 31. 4 экзамена и более он тоже не мог иметь
вначале. В самом деле, тогда Ън должен бы иметь не менее 4 +
f 5 + 6 + 7+ 12 = 34 экзаменов, т. е. больше, чем 31. На
первом курсе студент мог иметь только три экзамена, на последнем — 9.
Проверкой убеждаемся, что в этом случае он мог иметь на
четвертом курсе только 8 экзаменов. (ВЗМШ)
12. 5, 8, 9, 10 и 11 (см. рис. 3). (ВЗМШ)
17

13. Шесть способов: 3-26; 3-21 + 5-3; 3-16 + 5-6
3-11+5-9; 3-6 + 5-12; 3-1 + 5-15.
14. 20 пудов. Указание. Из делителей числа 500: 1, 2, 4, 5, 10,
20, 25, 50, 100, 125, 250 и 500 — испытанию подлежат только пары
чисел: 5, 10 или 20, 25.
15. Утверждение верно. Указание. Перебрать все 19 возможных
случаев.
§ 2. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Ничто так не содействует усвоению предмета, как
действие с ним в разных ситуациях.
Акадш АН УССР Б. В. Гнеденко
Первые упражнения этого параграфа просты. Основная,
трудность состоит в том, что учащиеся сами должны определить,
какие действия и в какой последовательности надо выполнять над
числами. Они сами должны записать эти действия, применить в
случае необходимости тот или иной закон сложения или
умножения. Эффективность учебной работы мы оцениваем не только по
трудности решаемых школьниками упражнений, но и^по тому,
насколько удалось научить их анализировать условия задач в
простейших случаях, ориентироваться в непривычной для них
ситуации и пр. Поэтому в процессе работы нежелательны подсказки
учащимся по существу решения задачи. Ниже на примере показано,
как в случае необходимости можно иногда помочь школьникам
«дисциплинировать свой ум» при поиске решения задачи.
Задача. В каждой из девяти клеток, составляющих квадрат,
написано по одному числу. Когда находили суммы чисел каждой
из трех строчек, то получили соответственно следующие суммы:
—6,1; 2~,5 и —3,4. При подсчете сумм чисел каждого из трех
столбцов получили соответственно 2,3; —5,8 и —3,7. Доказать, что в
вычислениях допущена ошибка.
Если решение этой задачи вызывает затруднения, то нужно еще
раз тщательно изучить условие задачи, вникнуть в ее содержание
так, чтобы это условие прочно запечатлелось в сознании. Этому
часто помогает схематическая запись данных условия, составление
таблиц и пр. Как поступить в данном случае?
Какими способами проверяется сложение чисел, какие законы
используются при этом? Нужно искать идею, которая указала бы
путь к цели. Если одно из выбранных направлений поисков не
дает положительных результатов, то нужно искать новые пути,
новые подходы к решению задачи. Может быть, полезно еще раз
просмотреть по учебнику все то, что относится к сложению и вначи-
танию положительных и отрицательных чисел?
Если же задача все же не поддается решению, то, возможно,
следует пока прекратить поиск, но вернуться к задаче через не-
18

который промежуток времени. Если задача все-таки не решена, то
следует познакомить учащихся с идеей решения, а все вычисления
предложить им выполнить самостоятельно.
Решение, Сумма девяти чисел, записанных в таблице,
равна —6,1 + 2,5 — 3,4 = —7. С другой стороны, эта же сумма
должна быть равной 2,3 — 5,8 — 3,7 = —7,2. Полученное
противоречие показывает, что в вычислениях допущена ошибка.
Первые трудности не должны обескуражить школьников -т-
видимо, сказывается недостаток опыта в решении нестандартных
задач. Поэтомуч вначале почти неизбежно решение
задач-дубликатов. В данном случае можно предложить учащимся исправить
ошибку, о которой идет речь в задаче, указав, что эта ошибка была
допущена при нахождении суммы чисел, например, верхней
строчки. В этом случае результат сложения должен быть равен не —6,1,
а -6,3 = —7,2—(2,5 —3,4).
1 (У). Вычислить: 1) (-1) + (+2) + (-3) + (+1)+(-2)+3;
2) (1-2,46-3,54). (0,2-1);
3) _1 ! ! !_•
10 100 ГООО , 10000'.
4) (—0,027) + 5,7 — 0,073;
5) - (- (- (-1))).
2. Записано несколько чисел. Каждое из этих чисел,* начиная
с третьего, равно сумме двух, предшествующих ему. Известно, что
девятое число и десятое число равны 1: Найти первое и второе
числа.
3(!). Дано множество чисел: {—9; —7; —5; —1; 1; 2; 3}. Найти
все различные подмножества, составленные из этих чисел, и такие,
что сумма элементов каждого из них была бы равна —6.
Подмножества считаются различными, если они отличаются хотя бы
одним элементом.
4. Найти наименьшее и наибольшее отрицательные числа из
тех, которые можно было'бы записать при помощи трех единиц.
5. Найти сумму: —100 — 99—98 — 97 — ... + 100+ 101 + 102.
6. Дано: 20 = 20 + 18 + 16 + ... + х. Сколько слагаемых
имеется в правой части равенства?
7. Полуденная температура в различных местах Крыма была
равна (в градусах Цельсия): —1,5; —2,3; 0,8; 0,0; —1,4; 1,6; —0,7;
—0,1; 3,8. Записать результаты в порядке возрастания или
убывания их. Выписать средний из них. Так иногда находится
приближенное значение среднего арифметического нескольких чисел
«способом .медиан». Привести пример, когда «способ медиан» дает
значительную ошибку»
8. Множество значений-переменной х есть {—21; —20; —19; ...
19

...; 17; 18}, а множество значений
переменной' у есть {—3; —4; ...; —13; —14}..
Сколько различных значений может
принимать переменная х + у? Чему равна
сумма наибольшего и наименьшего
значений х +х у?
9. Заполнить таблицу (рис. 4) так,
чтобы в каждой клетке вместо буквы стояло
число, причем суммы чисел каждой строки,
каждого столбца и каждой большой
диагонали были бы равны между собой.
10. На числовой прямой отмечены чен
тыре точки. Точке Л соответствует число
—3, точке В — число —5, точке С — число 6. Найти четвертое чис?
ло, соответствующее точке К по следующему условию: если
изменить направление числовой оси на противоположное, то сумма
новых чисел, соответствующих «старым» точкам Л, В> С и /С, не
изменится.
11. Существуют ли такие целые числа х и у, для которых
одновременно имеют место равенства:
ху = 4747 и х — у = —54?
12. Найти множество целых значений буквы а, при* которые
произведение (5 + а) • (3 — а) положительно.
13. На числовой прямой отмечено несколько точек. Сумм*
чисел, соответствующих этим точкам, равна —1,5. Каждую иг
указанных точек переместили по-числовой прямой на две единиць
влево, а поэтому сумма .чисел стала равной —15,5. Сколько былс
точек?
14*. Квадрат размером 5x5 заполнен числами так, что
произведение чисел, стоящих в каждой строке, отрицательно.
Доказать, что в некотором столбце произведение также отрицательно
15*. Володя написал на доске: 1 * 2 * 3 * ... * 9 = 21,
поставив вместо каждой звездочки либо плюс, либо минус. Саша изме
нил некоторые знаки- на противоположные, а в результате вместе
числа 21 написал число 20. Докажите, что один из мальчиков до
пустил ошибку.
16*. Из чисел а, 6 и с одно положительное, одно отрицательно<
и одно равно нулю. Кроме foro, известно, что \а\ = Ь2 ф — с)
Какое из чисел положительное, какое отрицательное и какое рав
но нулю?
17*. В таблице 4x4 расставить 16 чисел так, чтобы сумм*
чисел по любой вертикали, горизонтали и диагонали равняЛаа
нулю. (Квадрат^имеет 14 диагоналей, включая малые, состоящи<
из трех, двух и одной клеток.)
18*. Каждая из переменных а, 6, с, d, ey f определена на множе
стве чисел {1; —1}. На каком* множестве определена переменная х
если $ — а — b + с — d + е — /?
а
\2
X
к
1 k
-3
с
X
X
-4
,-/
е
Г-Fl
5
0
f
20

УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 1) 0; 2) 0; 3) — 0,1111; 4) 5,6; 5) 1.
3. Можно составить всего семь наборов:
1) -9—1 +1 +3; 4) —7-5+1 +2 +3; 7) -5 —1.
2) -9 +3; 5) —7 —1 +2;
3) -9 +1 +2; 6) -7 +1;
Замечание. Основная трудность в решении этой задачи
заключается в нахождении определенной системы составления наборов
этих чисел, которая дала бы уверенность в том, что выбраны все
наборы и других наборов нет.
5. Р е ш е н и е. Так как —100+100= — 99 + 99 = ...
... =1 + 1=0, то рассматриваемая сумма равна 102+ 101 = 203.
6. 20 слагаемых. 7. —0,1.
Решение задачи может послужить поводом для небольшого сообщения
ребятам. Дело в том, что «способ медиан» нередко используется при
статистическом способе контроля за работой станков-автоматов. При
автоматизации производственных процессов промер всех изготовляемых деталей
нередко требует большой затраты времени. В связи с этим часто периодически
определяют однотипные размеры небольшой партии деталей, находят их
среднее значение «способом медиан» и на основании полученного результата
проводят наладку станка.
8. 51 значение. Наименьшее значение х + у равно —35, а
наибольшее равно 15. Сумма этих чисел равна —20.
9. Решение. Определив, что сумма чисел второй сверху
строчки равна нулю, находим последовательно:
/ = — з, а = 7, е = 12, х = — 7, k = —2, 6 =«= 2, с = 8.
10. Решение. При изменении направления числовой оси
знак каждого числа (кроме, конечно, нуля) изменяется на
противоположный. Так как при этом сумма не изменилась, то она может
быть равной только нулю. Следовательно, искомое четвертое число
равно 0 — (—5 — 3 + 6) = 2.
11. Решение. Произведение ху целых чисел х и у может
быть равным 4747 только в четырех случаях: 1 • 4747, 47 • 101,
(— 1) • (—4747) и (—47) • (—101). Из второго условия следуех,
что х меньше, чем у. Проверкой убеждаемся, что оба условия
выполняются только в тех случаях, когда х = 47 и у = 101 или х =
= —101 и у = —47.
12. {-4; -3; ...; 1; 2}. . •
13. Решение. При перенесении точки по числовой оси на
две единицы влево число, соответствующее этой точке, уменьшается
на 2 единицы. Сумма всех чисел уменьшилась на —1,5 — (—15,5) =
^ 14, значит, было всего 14 : 2 = 7 точек.
14. Решение. Так как произведение чисел, стоящих в
каждой из пяти строк, отрицательно, то произведение всех чисел
21

таблицы отрицательно. Поэтому
произведение чисел в каждом столбце не может
быть положительным. (МвШ)
15. Решение. Наибольшее
значение суммы равно 45. При изменении
знака у любого слагаемого а сумма
изменяется на 2 а и, следовательно, остается
нечетной. Очевидно, сумма всех чисел при
любом сочетании знаков плюс и минус
может принимать только нечетные значения
положительные или отрицательные.
Поэтому, написав в ответе 20, Саща допустил
ошибку. Допустил ли ошибку Володя, неизвестно.
16. Решение. Если Ъ — 0, то и а = 0, что противоречит
условию. Если а = 0, то либо Ь = а = 0, либо b = с, что в том и
другом случае противоречит условию. Остается единственный
случай: с = 0. Тогда заданное равенство принимает вид: \а\ = б3
Поскольку \а\ > 0, то 6 должно быть положительным числом. Итак
а < 0, Ь > 0, с = 0. Возможны и другие пути решения задачи
17. Таблица приведена на рисунке 5, т — любое число.
18. Решение. Наибольшее значение суммы равно 6, а
наименьшее равно —6. При изменении знака у любого числа сумма
изменяется на 2. Следовательно, сумма может принимать только
одно из следующих значений: {—6; —4; —2; 0; 2; 4; 6}. Нетрудно
привести примеры, подтверждающие, что сумма может принимать
каждое из этих значений.
§ 3. НАТУРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ
Надо «... добиться того, чтобы ученик самостоя
тельно нашел решение задачи нового, хотя бы и очень
простого типа».
Л. #. Хитин.(1894—1959)
Для решения большей части задач этого параграфа
достаточны те сведения о степенях, которые изложены в учебнике
«Математика, 5». Предполагается, 4tq учащихся не затруднит решение,
например, упражнений № 316, 326, 327, 509, 516, 521, 675 и других]
из этого учебника.
1. Представить в виде произведения степеней простых чисел
1 • 2 • 3- 4 • 5- ... • 14 • 15.
2. Найдется ли такое натуральное число я, что число 2п + 19
будет составным?
3. В сберкассу положили в начале года а рублей. Через год эта
сумма увеличилась на 2%.. Вновь полученная сумма еще через год
опять увеличилась на 2% и т. д. Сколько рублей будет получено
через п лет? (п € N)
[~о~\
т
-/77
Го
-/77'
0
0
/77
/77
0
0
-/77
о\
-/77
/77
0
22

4. На какую наибольшую степень числа 7 делится
произведение 1 . 2* 3.4- ... • 999 • 1000? *
5 (У). Решить уравнения:
1). (jc2 + 2) • \2х - 5| = 0; 3) |** + 1| = # + х.
2) (х — З)3 х = 0;
6 (!). Найти наименьшее общее кратное и наибольший общий
делитель для следующих чисел: *
1) 52 • 74 и 490- 175; 2). 25 -3-7, З4 - 54 . 72 и 10 000.
7. Пятизначное число, являющееся точным квадратом,
записывается при помощи цифр 0, 1,2, 2, 2. Найти это число.
8. Имеется лист бумаги. Его разрезали на две части. Затем
каждый полученный лист вновь разрезалц на две части и т. д.
Сколько листов получили после тридцати подобных операций?
На сколько при этом увеличивалось каждый раз число листов?
&(!). Число 29 можно записать в'виде суммы различных
степеней числа два: 24 + 23 + 22 + 1. Запишите в виде суммы
различных степеней числа два число 507. (Напомним, что 2° =-1.)
10*. Какие трехзначные числа, записанные в виде суммы
различных степеней двух (см. предыдущую задачу), будут иметь
наибольшее число слагаемых?
11(!}. Доказать, что десятичная запись пятой степени любого
натурального числа оканчивается той же цифрой, что и первая
степень этого же числа.
12. Какими цифрами оканчиваются десятичные записи
следующих чисел:
1) 135* + 31у + 5&*+J\ если х € N, у € N\
2) 142 + 1422 + 1423 + ... + 14220;
3) 34* + 34-*"1 + 342*, если х € N.
13. Известно, что число п\ + я3 + n2 + n не делится на 10.
Какими цифрами может оканчиваться десятичная запись числа п?
14*. Доказать, что не найдутся такие натуральные числа a, b
и с, что десятичная запись суммы а100 + б100 + с100 оканчивалась
бы цифрой 9.
15. Найдутся ли такие натуральные тип, при которых
следующие числа не делятся на 10:
1) т9 — т\ 3) m1970— т1870;
2) тл+4 — т\ 4) 4343 — 1717?
16*. Сколькими нулями могут оканчиваться числа вида 9* +
+ 1, если п £ N?
17. Найти все четырехзначные числа, которые, будучи
приписаны к числу 400 "справа, дадут семизначное число, являющееся
квадратом натурального числа.
23

18*. Доказать, что десятичные записи чисел вида I2 + 22 +
+ З2 + ... + п? не могут оканчиваться цифрами 2, 3, 7 и 9.
19. Вычислить:
1) (-1) • (—I)2 • (—I)3 • (-1)4 . ... • (—I)"*0 • (—1)моь
2) '(... ((((-I)5 + 1)в - I)7 + I)8 - ... + I)1000;
3) (100 — I2) • (100 — 22) • ч.. • (100 — 252).
20. Найти х9 у и z, для которых справедливо равенство:
(2х - yf + (у - 2)2 + |* + у + г\ = 0.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 211 • З5 • 5* • 72 • И • 13.
2. При п = 7 получим: 27 + 15^= 143 = 11 • 13 — составное
число.
3. Решение. Через год будет получено 102% = 1,02
вложенной суммы, т. е. 1,02а рублей. Эта сумма еще через год
возрастет на два процента и вклад составит 1,02; 1,02а = 1,022а
«рублей. Через п лет будет получено. 1,02ла рублей."
4. Ре ш е н и е. Чисел, делящихся на 7, в первой тысяче
натуральных чисел будет 142, делящихся на 49 = 72 будет 20, а
делящихся на 343 = 73 будет 2. Если показатель степени семёрки
больше Tpgx, то соответствующая степень больше 1000. Поэтому ни
один из сомножителей произведения не может делиться на семь в
степени, большей трех. Нетрудно показать, что заданное
произведение содержит семерку в степени 142 + 20 + 2 = 164.
5. 1) 2,5; 2) 0 или 3; 3) 1.
6. 1) 53 • 74 • 2, 52 • 73; 2) 25 • З4 • 54 • 72, 1.
7. Решение. Квадрат натурального числа не может
оканчиваться цифрой 2 или одним нулем. Следовательно,.пятизначное
число может оканчиваться только цифрой 1. Испытанию подлежат
числа: 22201, 22021, 20221. Из них только одно удовлетворяет
условиям задачи — 22201 = 1492.
10; Решение. Десять слагаемых и больше сумма иметь не
может, так как сумма десяти наименьших различных степеней
числа 2 превышает тысячу: 2Э + 28 + 27 + ... + 2 + 1 = 1023.
Девять слагаемых можно получить, удаляя из левой части
предыдущего равенства поочередно по одному слагаемому,
превышающему 23, т. е. вначале 2Э, затем только 28 и т. д. до 25 = 32
включительно. Получим следующую последовательность чисел: 511, 767,
895, 959, 991. Так как 210 = 1024 — четырехзначное число, то
показатель степени не может быть равен 10 и, конечно, больше 10.
Следовательно, других наборов нет.
11. Указание. При решении этой и ряда других задач полезно
составлять таблицы, подобные, например, следующей:
24

k
k2
£3
&
1
1
1
1
2
4
8
6
3
9
7
1
i *
4
6
4
6
5
5
5
5
6
6
6
6
7
9-
3
1 '
8
4
. 2
6"
9 0
1
9
1
0
- °-
0
В первой строчке этой таблицы написаны цифры, которыми
оканчиваются десятичные записи натуральных чисел (k). Во
второй строчке — цифры, которыми оканчиваются соответствующие
им квадраты (&2), в третьей — кубы (&3) и т. д.
Заполнить пятую строку и сравнить в таблице полученные
результаты с соответствующими цифрами первой строки.
12. 3) Решение. Если число оканчивается четверкой, то
четная степень его оканчивается цифрой 6, а нечетная — цифрой 4.
Следовательно, одно из первых двух слагаемых оканчивается
четверкой, а другое — шестеркой. Третье слагаемое оканчивается
шестеркой, а поэтому десятичная запись суммы оканчивается
шестеркой.
13. 1 или 6.^
14. Решение. Десятичные записи чисел а100, Ь100, с100 могут
оканчиваться теми цифрами, что и четвертые степени этих же чисел,
т. е. цифрами 0, 1,5, 6. Никакая комбинация трех из них не может
дать в сумме число 9 или число 19.
15. Не найдутся. Указание. Показать, что во всех случаях
десятичные записи уменьшаемого и вычитаемого оканчиваются одной
и той же цифрой, а поэтому заданные разности делятся на десять.
16. Решение. Десятичные записи чисел вида 9п могут окан- .
чиваться только следующими двумя цифрами: 09, 81, 29, 61, 49,*
41, 69, 21, 89, 01. Проверкой убеждаемся, что десятичные записи
чисел вида 9" + 1 оканчиваются только одним нулем при любом
нечетном п.
17. 40Q1 и 8004.
18. Указание. Найти, какими последними цифрами могут
оканчиваться десятичные записи сумм указанного вида.
19. 1) —1. Указание. Показать, что количество нечетных
степеней числа—1 нечетно. 2)0; 3)0.
20. у = 2, х = 1, г = —3.

§ 4. НЕМНОГО КОМБИНАТОРИКИ
Учитель, который хочет принести пользу всем
своим учащимся и тем,4 которые будут, и тем, которые
не будут после школы пользоваться математикой,
должен обучать решению задач так, чтобы это
обучение на одну треть было математикой, а на две трети
здравым смыслом.
Д. Пойя
Задачи этого параграфа можно разбить на две основные группы.
Первые упражнения несколько сложнее комбинаторных задач
из учебников «Математика, 3» (№ 48 (с. 9), 481 (2)) и «Математика, 5»
(№ 317, 332, 339, 477, 932). Они дополняют набор задач № 1313—
1321 учебника «MafeMaraKa, 5», данных в § 91 «Задачи повышенной
трудности». Как правило, они решаются перебором всех
возможных случаев.
При решении задач второй группы на первый план выступают
основные теоремы комбинаторики — правило суммы и правило
произведения. Но формулировки этих теорем не приводятся, а
только рассматриваются случаи их практического применения «по
смыслу» при решении несложных, ню разнообразных задач.
1. Напишите множество всех различных делителей числа 660.
Напишите множество всех делителей числа 72. Составьте
множество пар чисел, удовлетворяющих следующим условиям: берется
одно число из первого множества и одно число из второго множества
и такие, что разность между первым и вторым числами равна
четырем.
2. Покупатель купил несколько одинаковых тетрадей и
одинаковых книг,, причем книг было на 4 больше, чем тетрадей. За все
тетради он заплатил 72 копейку а за все книги 6 рублей 60 копеек.
Если бы тетрадь стоила столько, сколько книга, а книга — столько,
сколько стоит тетрадь, то покупатель истратил бы на покупку
меньше 4 руб. 44 коп. Сколько куплено тетрадей?
3. Щестиклассник Саша наиисал на доске: (—2) — (+2) + 5 =
= 1. Какие другие числовые равенства он мог бы написать,
используя каждый раз все четыре числа: —2, 2, 1 и 5? (Записи, например,
5 + (—2) — (+2) = 1 и 1 = (—2) + 5 — (+2) будем считать
одинаковыми с первой записью.)
"4.\Какие различные натуральные числа можно записать,
используя каждый раз три цифры: 1, 3 и 6> (Приведите примеры.)
Эта задача имеет многие десятки решений. Можно предложить каждому
кружковцу придумать свои примеры, а в завершение работы выписать на
доске пересечение множеств чисел, придуманных отдельными учащимися.
Эта форма работы обычно вызывает особый интерес у школьников, и она
может быть использована в некоторых других случаях.
5(!). Простая шашка находится на крайнем нижнем левом поле
шахматной доски. Сколькими различными способами она может
26

A
Рис. 6
пройти в дамки? Способы считаются раз-
дичными, если они отличаются друг от
друга хотя бы одним ходом.
6. Шашка может перемещаться в одном
направлении по разделенной на клетки
полосе, передвигаясь за одни ход либо на со- #
седнюю клетку, либо через одну. Скольки- V
ми способами она может переместиться на
10 клеток? На И клеток?
7. Девять точек расположены так, как
указано на рисунке 6. Сколько можно цо- •
строить треугольников, одной из вершин
которых является точка А, а двумя
другими — две из остальных точек?
8. На перекрестке А автомобилист
разбил стекло левой фары и теперь ему надо
кратчайшим путем попасть в ремонтную
базу В, минуя при этом пункт М (рис. 7).
Сколькими различными способами он
может выбрать маршрут?
9(!). В наряд надо послать двух человек:
одного из трех сержантов и одного из 6
солдат. Сколькими различными способами
можно составить наряд?
10. В наряд нужно послать трех
человек: одного из пяти офицеров, одного из " рис. 7
20 солдат и одного жз 7 сержантов.
Сколькими способами можно составить наряд?
11. На железнодорожной станции имеется k светофоров,
каждый из которых может передать три сигнала: красный, желтый и
зеленый. Сколько различных сигналов можно передать при помощи
всех светофоров?
12*. Имеется 10 лампочек, каждая из которых может быть
либо включена, либо выключена. Сколько различных сигналов можно
передать при помощи этих лампочек?
13. Сколько имеется пятизначных чисел^ дЛй записи которых
используются только цифры: 1). 1, 2, 3, 4? 2) 0, 1, 2, 3? (Каждая
цифра может быть использована несколько .раз.)
Элементы комбинаторики встречаются в задачах § 1, № 2, 3, 8,
9, 12; § 2, № 3, 8; § 3, № 7; § 7, № 9, 10, 14—16, 18; § 8, № 17,
18; § 9, № 18.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. Делители числа 660: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 15, 20, 22,
30, 33, 44, 55, 60, 66, ПО, ... .
Делители числа 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
т
'£
м
1
27

Искомые пары чисел: 6 и 2, 10 и 6, 12 и 8, 22 и 18.
2. 2 тетради. Указание. При решении этой задачи
используйте результаты вычислений предыдущего задания.
3. Можно привести более 15 примеров. Вот некоторые из них:
2 - (-2) + 1 = 5,
2 + 1 — 5 = —2,
5 + 2 • (-2) = 1,
5-(-2)*= 1,
(1 - 5) : (-2) = 2,
52+(-2) = 1 И Т. д.
б. Указание. Предложить ребятам подсчитать, сколькими
способами шашка может переместиться на вторую горизонталь? На
третью? На четвертую? ...
На вторую горизонталь шашка может переместиться одним спо-г
собом, на третьк5 — двумя, на четвертую — тремя, на пятую—'
шестью, на шестую — десятью, на седьмую — двадцатью, а пройти
в дамки она может 35 различными способами.
6. Решение. Шашка может переместиться на одну клетку
одним способом, на две — двумя. способами, на три 1+2 = 3
способами, на четыре 2 + 3 = 5 способами и т. д. На десятую клетку
она может переместиться 89 различными способами, а на 11-ю — 144
различными способами. (ВЗМШ)
7. 25. (МвШ, 1972, № 2, с. 77.)
8. 15 различных способов. Указание. Нужно предварительно
подсчитать число различных способов выбора маршрута из пункта А
в пункт К и из пункта А в пункт F*(pnc. 8).
9. Решение. Пусть буквам А, В и С соответствуют
сержанты, а буквам а, Ь9 с, d,e/f — солдаты. Запишем все возможные
комбинации нарядов, в каждый из которых входит 1) сержант А и
один из солдат; 2) сержант В и один из солдат; 3) сержант С и один
из солдат. Очевидно, каждый из трех способов выбора сержанта
можно скомбинировать с каждым из шести способов выбора
солдата. Это приводит к 3 • 6 = 18 способам выбора наряда.
10. Решение. Если бы в каждый наряд входил 1 сержант
и 1 солдат, то можно было бы составить 7 • 20 нарядов (сч. решение
предыдущей задачи). Каждый из таких
нарядов можно скомбинировать с одним,
из пяти офицеров. Следовательно,
можно составить 20 • 7 • 5 = 700
различных; нарядов.
11. Решение. При помощи двух
семафоров можно передать 3 • 3 = За
сигналов, при помощи трех — З2 • 3=
= З3 различных сигналов, при помощи
четырех — З3 • 3 = З4 сигналов и т. д^
При помощи k семафоров можно
передать 3* различных сигналов.
12. 210 = 1024 различных сигналов/
Рис. 8 13. 45; 3 • 4*.
•
1
i
-
к
И
>
г-J
i
28

§ 5. ОПРОВЕРГАЮЩИЙ ПРИМЕР
Не такой требуется математик, который в трудных
выкладках искусен,, но (такой), который в
изобретениях и доказательствах, привыкнув к математической
строгости, в натуре сокровенную правду точным и не-
поползновенным порядком вывесть умеет.
М.В. Ломоносов (1711—1765)
Долгое время считали, что все лебеди белые. Это утверждение
было опровергнуто, когда в Австралии обнаружили черного
лебедя.
Чтобы доказать, что весь список объектов обладает некоторым
свойством А, нужно показать, что каждый объект обладает этим
свойством. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно
указать, что по крайней мере один из рассматриваемых объектов не
обладает этим свойством.
Поиск опровергающего примера ценен часто не только тем, что
он требует' от учащихся не формального, а вдумчивого подхода к
делу, но и тем, что заставляет учащихся провбдить своеобразный
эксперимент, стимулирует накопление реально-практического
опыта школьников.
1. Пусть А — множество чисел вида 6л -г- 1, а Р — множество
простых чисел. Верно или ложно высказывание: А с: Р, если
п £Ю
2(У). Указать, какие из приведенных' ниже суждений мбжно
опровергнуть, приведя контрпример:
1) у ребят нашего класса нет учебников с помарками и
пометками; *
2) если число делится на 5, то оно оканчивается пятеркой;
3) множество чисел вида п (п + 1) четно при п £ N\
4) 'х2 > х при любом х\
5) в треугольнике длина высоты всегда меньше длины любой
из его сторон;
6) если а > Ь9 то а2 > б2.
3. Пусть п — натуральное число. Всегда ли числа вида п2 +
+ Зп + 1 являются простыми?
4. При любом целом п имеет место неравенства: An2 + 40л +
+ 99 > 0. Опровергните это утверждение.
5. Если число является квадратом натурального числа, то
сумма его различных делителей нечетна. Сформулируйте обратную
теорему. Верна ли она?
6. Является ли равенство (а4 — I)6 = (а6 — I)4 тождеством,
если: 1) а — любое число; 2) а = {—1; 0; 1}?
Бывают случаи, когда весьма затруднено нахождение примера,
опровергающего общее суждение. Чаще легче доказать, что соответствующий пример
сУществует, чем указать его. Так, если известно, что 100 школьников по-
лУчили 101 тетрадь, причем каждый школьник получил хотя бы одну
29

тетрадь, то очевидно, кто-то получил две тетради. Важен сам факт, что такой,
ученик есть, нас даже не интересует, кто именно получил две тетради. Поэ.
тому утверждение «каждый ученик получил только одну тетрадь» ложно.
Вот этот прием рассуждений нередко используется при решении задач. В
шуточной форме в журнале «Квант» он сформулирован так: «Нельзя поса^
дить семерых зайцев в три клетки так, чтобы в каждой клетке находилось
не больше двух зайцев».
7. Берется какое-нибудь двузначное число и возводится в квад-;
рат. У результата оставляются только цифры десятков и •единиц*;
Полученное новое двузначное число вновь возводится в квадрате
и т. д. Доказать, что, начиная с некоторого числа, результаты вын
числений начнут повторяться. •
8. Доказать, что при делении 41 на 61 получающаяся бесконеч-,
ная десятичная дробь будет периодической.
9. Предположим, что в лесу имеется 710 000 елочек. На каждой
елочке не более 100 000 игл. Докажите, что в лесу есть по крайней
мере 7 елочек с одинаковым числом игл.
10(!). Докажите, что из 101 числа можно выбрать два, разность
которых делится на 100,
С приведением к противоречию, нахождением опровергающих
примеров читатель встретится также при решении следующих yn-i
ражнений: § 2, № 1, 14 — 16; § 4, Введение; § 7, № 3, 5; § 8, № 2,'
4;§ 11,№ 2;§ 12, № 20; § 13, № .2, 14, 15; § 15, №6; § 18, № 11,
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1, Решение. Составив таблицу
п
6л — 1
1
5
2
11
3
17
4
23
5
29
6 17
1
35 = 5-7 . . .
8
\" '
видим, что уже при п = 6 мы получили составное число.
Следовательно, нельзя утверждать, что все числа вида 6п — 1 являются
простыми. i
2. Опровергнуть можно все утверждения, кроме третьего.
3. Составим таблицу:
п
п2+Зя+1
1
5
2'
11
3
19
4
29
1 5
41
6
55» 1Ь5
7
8
" " 1
Не ъсе числа заданного вида являются простыми.
4, Очевидно, неравенство может быть неверным только при
отрицательном целом п. Составим таблицу;
30

n
4л2 +40/г + 99
—1
63
—2
35
—3
15
—4
3
—5
—1
—6
—7
—8
• • •]
He при любом целом п заданное неравенство имеет место. Оно
неверно при п .= —5.
5. Решение. Обратная теорема: «Если сумма делителей-на-
турального числа нечетна, то это число является точным
квадратом». Это утверждение опровергается следующим примером. Сумма
делителей числа 2 равна 1 + 2 = 3, т. е. нечетному числу. Число
же 2 не является точным квадратом.
6. Равенство не имеет места, например, при а = 2, а поэтому не
является тождеством. Во втором случае на заданном множестве
равенство является тождеством.
При решении задач 7—10 используется так называемый «принцип
Дирихле», названный шо имени немецкого ученого Петера Дирихле (1805—1859).
7. Решение. Квадрат любого числа может оканчиваться не
более чем 100 «комбинациями» последних двух цифр: 00, 01, 02, ...
..., 99. Поэтому не позднее, чем на сотом шаге, полученный
результат должен совпасть с одним из предыдущих. Естественно, что все
последующие вычисления совпадут с некоторыми из предыдущих.
8. Решение. При делении 41 на 61 могут получиться только
остатки: 1, 2, ..., 60.. Следовательно, по крайней мере 61-й остаток
будет равен одному из предыдущих. Естественно, что последующие
остатки будут повторяться.
10. Р^ ш е н и е. При делении на 100 может получиться в
остатке только одно из следующих чисел: 0, 1, 2, 3, ..., 99. Поэтому
среди 101 числа найдутся два, которые при делении на 100 дают
равные остатки. Следовательно, разность их делится на 100.
§ 6. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Радость математического «открытия» я познал
рано, подметив в возрасте пяти-шести лет
закономерность:
1 == I2,
1 + 3 = 22,
1+3+5=3?,
1 + 3+5+7= 42 и так далее.
Акад. А. Н. Колмогоров
Особый интерес проявляют учащиеся к задачам на
последовательности, к комбинаторным задачам — ко всему тому, где им
посильны индуктивные4 обобщения. При этом обычно проявляется
31

удивительная подвижность мышления школьников. Об этом гово^
рится .во многих высказываниях учителей, опубликованных на
страницах журнала, «Математика в школе».
Числовые последовательности используются в десятках случаев
при решении различных упражнений из учебника «Математика, 3»,
а именно:
1) изучение зависимостей между компонентами арифметических
действий: № 361, 388, 430, 529, 558, 965 и др.;
2) нахождение числового значения алгебраического выражения:-
№.318, .929, дополнительные упражнения 22, 23, 26, 28 (стр. 190),;
1053 и др.;
3) построение диаграмм и графиков: № 781, 799, 824, 960, 1040,
1044 и др.
Предлагаемые задачи являются как бы продолжением системы
упражнений стабильных учебников и прежде всего из учебника;
«Математика, 5» (№ 437—444). Привлекательность таких
упражнений состоит, в частности, в том, что, вычислив несколько членов
последовательности, учащиеся невольно сопоставляют полученные
результаты, подмечают те или иные закономерности. Имеются
большие возможности обогащения реально-практического опыта
школьников. '
Акад. А. Н. Колмогоров пишет: «Я думаю, что уже в 5 классе'
вызовет интерес возможность последовательно выписывать все
числа х £ Qo в порядке возрастания суммы числителя и знамена-^
теля их несократимой записи:
1
5.
1
2
1
1
3
1
2
*
2
. 1
5
1
3
6
з !
1
| 7
1
4
8
2
3' ,
9
3
2
1
Связанные с этой возможностью парадоксы (неотрицательных
рациональных чисел «столько же», как и натуральных чисел)
могут остаться темой кружковых занятий с желающими, но
продолжение начатой нами таблицы до довольно далеких пределов
является хорошим классным упражнением на сокращение дробей
и понятие несократимой дроби. Хорошо, если учащиеся сами йай-
дут и другие способы расположения всех элементов множества Q0
в последовательности (без повторения)».
1. Члены последовательностей определяются формулами:
1) *= |д —3|; 4) * = 2^-Ч + ь
2) У = (-1)»; _ 5) v = (-1)" • л;
3) z = (— 1)" — \п — 5|; 6) w = |2* *- п2\.
Имеется ли среди этих членов каждой из последовательностей
наибольший член? Наименьший член?
32

2(!). Пусть формула л-го члена последовательности имеет вид
х = л2. Записать в строчку первые 10 членов этой
последовательности. Записать последовательность разностей между вторым и
первым членами, третьим и вторым и т. д. Записать еще третью
последовательность разностей между вторым и первым, третьим
и вторым и т. д. членами второй последовательности. Записать
несколько членов соответствующей четвертой последовательности.
Чему равны члены пятой, шестой, ... последовательностей?
3. Выполнить все серии вычислений, указанные в предыдущей
задаче, для последовательностей, определяемых формулами:
1) х = п2 + п; 3) z = л3;
2) у = 2п2; 4) t = 2Л.
4. Пусть п — натуральное число. Указать на числовой оси
наименьшие отрезки, на которых расположены 100 точек,
соответствующих первым ста членам последовательностей:
1)* = Ь1£; 3) г = [л — 50|;
п
2) у = 1 _ -L; 4) t - (-0,5)».
п
5. Можно ли утверждать, что пересечение множества чисел
вида 2п — ли множества квадратов натуральных чисел есть пустое
множество? (п > 1, п € N)
6. Немецкий математик М. Штифель (1487—1567) утверждал,
что числа вида 22л+1 — 1, п С N являются простыми. Прав ли он?
7(!). Конечная числовая последовательность задана диаграммой,
данной на рисунке 9. От второго числа отнимем первое, получим
первую разность. От третьего числа отнимем второе, получим
вторую разность и т. д. Найти последовательность разностей и
сумму этих разностей.
-
Vi
t
1
0
I- '
1
-
•
"Л
X
Рис. 9
33

8(!). Изменится ли сумма, о которой идет речь в предыдущей
задаче, если мы изменим одну из «некрайних» диаграмм? А если
мы изменим одну из «крайних» диаграмм? Можно ли найти сумму
всех разностей одним действием, не ^подсчитывая каждую из этих
разностей в отдельности?
9. При каких натуральных значениях п имею! место
неравенства:
1) 0,5* > 0,01; 2)-2* > 1000?
10. При каком наименьшем натуральном т делятся на 7 числа
вида:
1) т3 + 3"; 2) т2 + 3"?
. 11*(!). Дана сумма: 28 + 27 + 2е + 25 + 24 f+ 23 + 22 + 2+1.
Можно ли,узачеркивая те или иные слагаемые, получить любое
натуральное число от 1 до 511 включительно? Найти прием
(алгоритм), при помощи которого это можно сделать, если, конечно,
он существует.
12. Упростить выражение:
-(-м-.. -(-I)-)»,
в котором содержится 200 пар скобок.
Если решение задачи вызвало затруднение, то рассмотрите
предварительно числа:
-(-1) = ....
-(-(-1)) = ...,
подметьте закономерность и сделайте вывод.
Уместно сообщить школьникам, что такой подход к решению задач
использовали нередко многие математики, и в частности один из крупнейших
математиков мира — Леонард Эйлер (1707—1783). Он пишет: «... свойства
чисел, известных сегодня, по большей части были открыты путем
наблюдений и открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена
строгими доказательствами. Имеется даже много свойств чисел, с которыми мы
хорошо знакомы, но которые мы еще не в состоянии доказать, только
наблюдения привели нас к их познанию».
13. Записано несколько первых членов последовательности.
Составить какую-нибудь формулу для нахождения ее любого члена
и записать несколько недостающих членов. Найти
последовательность разностей, о которых шла речь в задаче 7 этого параграфа.
1) 3, 7, 11, 15, ..., 31;
2) 1,-1,1,-1,1,^-1,...;
3.) 2, 5, 10, 17, ..., 50;
4) 1,3, 7, 15, 31, 255.
14. Известно, что первый член последовательности равен нулю,
а последовательность разностей (см. задачу 7 этого параграфа)
34

такова: 2, 4, —1, 0, —5, —3, 3. Построить диаграмму. Как узнать
последний член соответствующей числовой последовательности,
не вычисляя «некрайние»?
15*. Установить, какими цифрами не могут оканчиваться числа
вида:
1) 1, 2) 1,
1+2-..., 1 + 3 = ...,
1 + 2 + 3 = ..., 1 + 3 + 5 = ...,
1 + 2 + 3 + 4 = ..., 1 + 3 + 5 + 7 = ...,
16*, Числовая последовательность состоит только из единиц
и нулей. Если вычеркнуть все члены, стоящие на нечетных местах,
то оставшиеся числа образуют точно такую же числовую
последовательность.
Привести примеры таких последовательностей. Привести
примеры последовательностей, обладающих тем же свойством, но
если удаляются члены, стоящие на четных местах.
Числовые последовательности встретятся читателю при
решении, в частности, следующих задач: § 1, № 5, 16; § 2, № 2, 5—8,
17; § 3, № 3, 4, 11, 12-18; § 4, № 1, 2, 5, 6; § 5, № 1, 3,
7, 8; § 7, № 17; § 8, № 13—15; § 9, № 5, 10, 16—18; § 11, № 2,
3, 7; § 12, №,13, 17; § 18, № 11.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 1) Наименьший член —третий. Он равен нулю.
2) Наименьшие члены имеют нечетные номера, они равны —1.
Наибольшие члены имеют четные номера, каждый из них равен 1.
3) Наибольшие члены — четвертый и шестой, каждый из
них равен нулю. Наименьшего члена нет.
4) Наименьший член — второй, наибольшего члена нет.
5) Последовательность не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего члена.
6) Наименьшие члены — второй и четвертый, они равны
нулю. '
2. Результаты вычислений можно записать в виде следующей
таблицы:
1 4 9 16 26 36 49 64 81 100 ...
3 5 7 9 11 13 15 17 19 ...
22222 2 2 2...
0 0 0 0 0 0 0 ...
3. В первом и втором случаях нули появляются в четвертой
строчке, в третьем примере нули появляются в пятой строчке.
В четвертом примере все последовательности разностей будут одни
и те же: 1, 2, 22, 23, г4, ....
2«
35

Желательно рассказать школьникам, что, решая задачи 2 и 3, они
познакомились с простейшими примерами исчисления конечных разностей. В
развитие этой математической теории вложили свой труд И. Ньютон, Л. Эйлер
и многие'другие выдающиеся математики. Здесь же уместно рассказать и о
примерах использования элементов этой теории в практике, хотя бы
подобных приведенному во введении (с. 11).
4. Указание. Нужно предварительно найти наибольший и
наименьший члены последовательностей, если они существуют.
5. Решение. При п = 7 получим: 27 — 7 == 121 = И2.
Следовательно, имеется по крайней мере одно значение п, при
котором число указанного вида является квадратом натурального
числа.
6. Нет. При п = 4 получим: 29 — 1 = 511 = 7 • 73.
7. Сумма разностей равна нулю.
8. В первом случае не изменится, а во втором случае изменится.
Сумма разностей равна разности между последним и первым
членами заданной конечной последовательности чисел.
9.1) п <7; 2) п >9.
10. Решение. Пусть гг — остаток от деления /п3 на 7, а
г2 — остаток от деления Зт на 7. Очевидно, число /п3 + Ът будет
делиться на 7 тогда, когда сумма гг + г2 остатков будет равна 7.
Составим следующую таблицу:
т
1 *
'г
'г
'1 + г2 !
1
1
3
4
2
1
2
3
3
6
6
'12
4
1
4
5
5
6
5
4
6
6
1
7
7
8
-
- .
9
. . .
Из таблицы йидно, что rt + r2 = 7 при т = 6.
П. Можно. Решение. В данном случае ограничимся
несколькими примерами, на которых покажем, как это сделать.
405 = 28 + 149,
149 = 27 + 21,
21= 2*+ 5,
5 = 2а + 1.
405 = 2s + 27 + 2* + 2а + 1.
Аналогично": 57 = 2е. + 2* + 2s + 1. Все вычисления
облегчаются, если пользоваться таблицей степеней числа 2.
12. —1. 13. 1) х = 4« — 1; 2) у = (—1)л+1; 3) г = /г2 + 1;'-,
4) * = 2" — 1.
36

14. 0. Указание. Показать, что последний член последователь- ?
ности равен: 0 + (2 + 4 — 1 + 0 — 5 — 3 + 3).
15. 1) 2, 4, 7, 9; 2), 2, 3, 7, 8.
16. .1) 1, 1,0,1,1,0,1,1,0,...,
1, 1, 1, 1,0, 1,1,1,1,0,...;
2) 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, ...,
1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1
§ 7. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
Я вижу, что ты умеешь размышлять, что в
математике главное.
Акад. М. В. Остроградский (1801—1861)
Преподаватели высшей, школы отмечают, что лишь активное
использование всего арсенала средств элементарной математики
создает предпосылки для возникновения той или иной
оригинальной идеи. Внимательный читатель видимо заметил, что мы
стремились почти в каждом параграфе пособия использовать по
возможности максимальный объем сведений из курса математики, ра*
нее изученного школьниками. Опыт доказал, что эту работу надо
проводить по определенному . плану", систематически, используя
различные формы учебной работы и не ограничиваться только
занятиями математического кружка, проведением математических
.олимпиад. Бессистемное решение нестандартных задач дает
заметно меньший результат* при значительно большей затрате учебного
времени. Вот почему мы обычно даем нестандартные задачи в
наборе «олимпиадного» вида только после сравнительно длительной
предварительной подготовки, о которой читатель может судить
хотя бы по содержанию предшествующих параграфов пособия.
Упражнения этого параграфа взяты в основном из отдела задач
журнала «Математика в школе». В конце параграфа даны только
ответы и указания. После указаний в скобках дан год выпуска
журнала, его номер и страница, на которой изложено подробное
решение задачи.
1. Из 22 спичек составить прямоугольник наибольшей площади.
2. В некотором месяце три субботы пришлись начетные числа.
Какой день недели был 25 числа месяца?
3. Имеются 4 палочки длиной по 1 см, 4 палочки длиной по 2 см,
7 палочек длиной по 3 еж и 5 палочек длиной по 4 см. Можно ли
из всех палочек набора сложить прямоугольник?
4. Сложить наибольший квадрат, используя палочки, о
которых шла речь в предыдущей задаче.
5. Даны 173 числа, каждое из которых равно 1 или —1. Можно
ли разбить их на две группы такг~чтобы суммы чисел, входящих
в каждую группу, были бы равны?
37

6. Три дроби с числителями 1 и различными знаменателями
(натуральными) дают в сумме 1. Найти эти дроби.
7*. Имеется прямоугольная пластинка массой 10 г. Какими
способами можно разрезать ее на три части с целым числом граммов
каждая так, чтобы с их помощью можйо было бы, используя весы, /
определить массу любого предмета в 1 г, 2 г, ..., 10 г?
8*. Среди чисел от 1 до 1000 сколько таких, которые делятся
на 4, но не имеют цифры 4 в своей записи?
9. Сколько существует шестизначных чисел, у которых на
каждом четном месте стоит цифра на единицу большая, чем слева от
нее (разряды нумеруются слева направо)? ?
10. В ящике лежат красные, синие, зеленые^ и желтые шарики.
Известно, что красных шариков в два раза б'ольше, *чем синих, ;
синих в два раза больше, чем зеленых, и число желтых шариков |
больше семи. Сколько желтых .шариков лежит в ящике, если их ;
всего 27?
11(!). Последовательность разностей (см. задачу 7 из § 6)
состоит из одних и тех же чисел. Постройте диаграммы и укажите .
особенности во взаимном расположении «верхних» концов столби- *
ков. Рассмотрите случаи, когда члены последовательности: а)
положительны; б) отрицательны; в) равны нулю. '
12. Сколькими способами из отрезков длиной 7 см и 12 см можно
составить отрезок длиной 1 м?
13*. Какие цифры обозначены буквами х, у и г, если
произведение числа ху на число х равно zzz?
14*. Кассир аэрофлота- должен доставить билеты пяти группам
туристов^ Три из этих групп живут в гостиницах «Дружба»,
«Россия» и «Минск»: Адрес четвертой группы кассиру скажут туристы >
из «России», адрес пятой группы скажут туристы из «Минска». ,*
Сколькими способами кассир может выбрать порядок объезда
гостиниц, чтобы вручить билеты? " ^
15*. Имеются два набора чисел от 1 до 20. Из "этих наборов h
составляются всевозможные суммы по два числа (слагаемые одной
суммы берутся из разных наборов). Сколько среди этих сумм будет
таких, которые делятся на 3? '
16*. Среди первых десяти тысяч чисел сколько таких, которые %
оканчиваются на 1 и могут быть представлены в следующем виде:
8т + 5Л? {т £N, n £N) -
17*. При каких значениях натурального числа п сумма п2 + ,
+ (п + I)2 + (п + 2)2 + (п + З)2 кратна десяти?
18*. Найти всевозможные прямоугольники с целочисленными
сторонами, периметр которых численно равен их площади.
19. Найти наименьшее число, записываемое только при помощи ^
единиц и нулей, которое делилось бы на 225.
20. Можно ли записать миллиард (1 000 000 000) в виде >
произведения двух чисел, в записи которых не было ^ы ни од- *
ного нуля?
38

УКАЗАНИЯ. ОТВЕТЫ
1. Размеры прямоугольника: б • 6. Указание. Перебрать все
возможнее случаи. (МвШ, 1971, № 4, с. 83.)
2. Понедельник. Указание. Показать, что суббота может быть
только 2, 9, 16, 23 и 30 числа месяца. (МвШ, 1972, № 6, с. 82.)
3. Решение. Предположим, что такой прямоугольник
существует. Тогда его полупериметр, равный сумме длин двух
смежных сторон, должен быть равен нецелому числу.
Противоречие. (МвШ, 1971, № 5, с. 82.)
4. Сторона квадрата равна 13 см. Одну сторону квадрата
можно составить из палочек, длины которых в см равны 4, 4, 2 и 3.
Вторую сторону можно составить из палочек, длины которых в см
равны 4, 4, 3, 1, 1. Набор для третьей стороны: 4, 3, 3, 2, Г, а для
четвертой: 3, 3, 3, 2, 2. (МвШ, 1971, № 5, с. 82.)
5. Решение. Предположим, что такие две группы
существуют. Тогда в одной группе будет нечетное число слагаемых, а
в другой — четное. Сумма чисел в одной группе будет нечетной,
а в другой — четной. Противоречие. (МвШ, 1971, № 2, с. 75.)
6* —, —, —. Указание. Показать, что наибольшая искомая
2 3 6
дробь равна-. (МвЩ, 1972, № 2, с. 72.)
7. 1 г, 2 г, 7 г или 1 г, 3 г, 6 г. Указание. Рассмотреть прежде
всего все случаи определения массы предмета в 9 г. (МвШ, 1972,
№ 1, с. 74.)
8. 162 числа. Указание. Подсчитать, сколько чисел делится на
4 и имеет в своей записи цифру 4. Результат вычесть из 250 —
количества чисел от 0 до 999 (от 1 до 1000), делящихся на 4. (МвШ, 1972,
№ 4, с. 82.)
9. 8 • 9 • 9 =5 648. Указание. Шестизначные числа, о которых
идет речь-в задаче, определяются выбором первой, третьей и пятой
цифр. (МвШ, 1972, № 5, с. 81; МГУ, 1971 г.)
10. Указание. Показать, что зеленых шариков не может быть
больше двух. (МвШ, 1971, № 4, с. 83.)
11. Концы столбиков лежат на одной прямой.
12. Одним способом. Указание. Решение задачи можно свести
к решению в целых числах уравнения: 7х + 12у = 100. (МвШ,
1972, № 2, с. 77.) _
13. х = 3, у = 7, z =ч 1. Указание. Показать, что число ху
кратно 37.
14. 30. Указание. Если на порядок объезда не наложено
никаких ограничений, то существует' 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120
различных способов объездов гостиниц. Показать, что каждое
ограничение сокращает число способов в дэа раза. (МвШ, 1970, № 6, с. 72.)
15. 134. (МвШ, 1971, № 4, с. 83.)
16. Пять чисел. Указание. Показать, что т =- 4. (МвШ, 1972,
№ 5, с. 81.)
39

17. n = 5k + 1, k = .{0; 1; 2; ...}. Указание. Показать, что по-1
следней цифрой десятичной записи числа п могут быть* только 1 ;
или 6.
18. 3 и 6 или 4 и 4. Указание. Показать, что если прямоугольник
разбить на квадраты со стороной, длина которой равна 1, то
должно быть ровно 4 квадрата, не имеющих общих точек со сторонами
прямоугольника. {
19. 11 111 111 100. Указание. Искомое число должно делиться ;
на 9 и 25.
20. Можно: 59 • 29.
§ 8. ОДНОЧЛЕНЫ |
"rif
Дело состоит в том, что наш ум должен сперва от ^
• предметов, прямо действующих на наши чувства, пе- '':■»
рейти к числам, а, наконец, сами числа представить под ^
общим обозначением букв. Щ
Н. И. Лобачевский (1792—1856) 1
1. В пределах СССР площадь распространения многолетней мер- h
злоты равна приблизительно 10 млн. кв. км, что составляет почти 1
половину территории нашей страны («Физическая география», 5 .,
класс). Сколько квадратных метров составляет (приблизительно) Ь
территория нашей страны? t
2. Верны ли равенства: 1) 96 • 98 • 189 = 81 • 343 • 2е; 2) 1218 = J
= 27е • 169; 3) 2528 • 0,00819 = 0,25.
3. Среди делителей дасла 1 • 2 • 3 • ... • 16 • 17 найти наиболь- г'
ший, который, является: 1) кубом натурального числа; 2) квадратом J
натурального числа. , &
4. Доказать или опровергнуть, что если а = х?у, Ь = х2у2, i
с = ху3, то при любых а: и у имеют место соотношения: <
1) ас + б2— 2*У = 0; 3) аЬс + Ъ* > 0. ;*;
2) ау2 + сх2 = 2хуЬ; \
5. Являются ли следующие равенства тождествами: л*
1) [-03 (_а)8]2 + L_Q2 (_a)2]S = 0; . ^
2)* (—1)" ая+* •= (—а)" • а*? £
6. Вычислить при х = 7: ;|
(х_4)(-ь,(-«)<^«»(лг+5) |
7. Доказать, что: t
1) 100 002* > 99975;
27* 3111 < 17м;
3)* 768 > 1018.
8. Пусть п € JVV Вычислить: (—1)" • (—1)ая+1 • (—1)«+».
40

9. Каждое из чисел а, Ъ и с не равно нулю. Известно, что числа
(—2)8а363сЛ"1 и (—3)9а2Ьъсп+1 имеют одинаковые знаки. Определить
знак числа а.
10. Подобрать такие натуральные значения х, при которых
имеют место следующие равенства:
1) 2*~5 = 2; 3) я5 = 243;
2) 2х = 512; 4) jc4 - 625.
11. Найти х, если известно, что
- ' (л: — 2И+3 = (х — 2)х+6.
12(!). Найти численное значение одночлена 0,007а7ЬР, если
а = —5, 6 = 2.
13*. Даны четыре числа а, &, с, d, каждое из которых не равно
нулю. Каждое из первых трех чисел умножается на следующее за
ним, а четвертое умножается на первое. С новым набором проделы-
вается то же самое. Доказать, что всегда в конце концов получится
набор из положительных чисел.
., 14. Дан одночлен (—1)пап~2ЬР~~п'. Записать в строчку множество
всех возможных видов этого одночлена при различных допустимых
натуральных значениях показателей степеней.
15. Каждое из чисел, начиная со второго, равно предыдущему,
умноженному на квадрат первого числа. Доказать, что
произведение первого, третьего, пятого и седьмого членов полученной
последовательности равно четвертой степени четвертого числа.
16*. Найти двузначное число, обладающее тем свойством, что
куб суммы его цифр равен квадрату самого числа.
17(0- Сколько различных делителей имеют следующие числа:
1) 27; 3) 27 • 54; 5) 3600;
2) 54;- 4) 2т • Ъп • 3*; 6) 425?
18*. Какое трехзначное число имеет наибольшее число
делителей?
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
2. 1) Р е ш е н и е. "Так как 96 = 3 • 25; 98 = 2 • 72; 189 =
= З3 • 7, то 96 • 98 • 189 = 3 • 25 • 2 • 72 • З3 • 7 = 2е • 73х
Х34 = 81 • 343 • 2е.
2) Равенство верно.
3) Р е ш е н и е. 2528 • 0,00819 = (52)28 • ((0,2)3)19 = 556 х
X 0,25в • 0,2 = (5 • 0,2)5в • 0,2 = 0,,2, следовательно, равенство не
имеет места.
3. Решение. Заданное число содержит следующую степень
числа 2: 2 • 22 • 2 • 23 • 2 • 2й • 2 • 24 = 215, а также степени чисел
3, 5, 7 соответственно 3 • 3 • З2 • 3 • 3 = 3е, 5 • 5 • 5 = 53, 7х
X7 =5 72. Остальные простые* множители содержатся в первой сте-

пени, ^едовательно, наибольший делитель, являющийся точным'
кубом, равен:
21* . 3е • 53 = (25325)3 = 14403.
* Наибольший делитель, являющийся точным квадратом, равен:
214 • 3е • 52 • 72.
4. 1) Р е ш е н и е. Так как ас + Ь2 — 2л^у4 = л?у • ху3 + ,
+ лг*у4 — 2л^у4 = 0, то первое равенство является тождеством.
2) Решение, ау2 + сх2 — 2xyb ^л^уу2 + ху3х2 — 2хуя2у2=5 -:
= 0.
Равенство является тождеством.
3) Р е iii е н и е. abc + б3 = х?у • х2у2 • xf + xeye = г^у6.
При х = у = 0 этот одночлен равен нулю, а поэтому его числен- "
ное значение не является положительным числом. Указанное со- Ч
отношение не имеет места при всех значениях х и у.
5. Оба равенства являются тождествами. Решения.
\ 1) (а3 • а3)2 + (—а2 • а2)3 = а12 — а12 = 0; ' ;•
2) (— 1)ЛаЛ+* = (—1)Л • ап • а* = (—1 • а)Л • а* = (—а) "• аК
6. При л; = 7 заданное выражение равно З2* = 9. I
7. 1) Р е ш е н и е. 100 0024 > 100 0004 = 1020 = (104)5 =
= 10 0005 > 9997б.
2) Решение. 3111 меньше, чем 3211 = (25)11 = 2s5. Кроме
того, 1714 больше, чем 1614 =*= (24)14 = 25в, больше, чем 2s5, а по- J
этому больше, чем 3I11. I
8. Решение. (— 1)4л+2 = [(—1)2]2Л+1 =1.
9. Решение. Числа (—2)8 и (—З)9 имеют разные знаки, чжУ J
ла &3 и Ьь имеют одинаковвю знаки, числа сп~х и сл+1 тоже имеют I
одинаковые знаки, так как разность показателей степеней равна 1
двум, а поэтому оба показателя степени одновременно либо четные, I
либо нечетные. Следовательно, чтобы одночлены имели одинаковыбН
знаки, надо, чтобы а3 и а2 *шели бы разные знаки. Это возможно 1
только тогда, когда число а отрицательно. .1
10. 1) х = 6; 3) х = 3;
■г 2) х = 9; 4) х -= 5.
11. 1, или 2, или 3.
12. Решение. Так как второй множитель отрицателен, аЧ
третий положителен, то численное значение одночлена отрицатель-,
но. Имеем:
—0,007 • 57 • 29 = —0,007 • 4 • (2 • 5)7 = —280 000.
13. Указание. Показать, что пятый набор состоит из квадратов
некоторых чисел.
14. Указание. Очевидно, что п >2 и п < 9, т. е. п = {3; 4;
5; 6; 7; 8}. При этих значениях п получится шесть различных одно-
членов.
15. Указание. Решение задачи сводится к доказательству
тождества: а • а5 • а9 • а13 =» а28 — (а7)4.
42

16. Решение. Пусть х — сумма цифр двузначного числа у.
По условию д? = у2. Это равенство в натуральных числах
возможно, очевидно, только тогда, когда х = z2 и у = г3, причем z ^ N.
Так как сумма цифр двузначного числа не больше 18, то z2 < 18,
а поэтому z ^ 4. Перебором убеждаемся, что имеется единственное
число, удовлетворяющее условиям задачи: 27.
17. 5) (4 + 1) (2 + 1) (2 + 1) = 45 делителей.
6) 216 делителей.
18. 840. Это число имеет 32 делителя,
§ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ И РАЗНОСТИ
МНОГОЧЛЕНОВ
Ж^лаю вам успеха, ребята! Больше занимайтесь
математикой! Помните, что, решая маленькие задачи,
вы готовите себя к решению больших и трудных задач.
Акад. С. Л. Соболев
Для предложенных ниже задач характерно то, что при решении
их учащиеся сами должны определить, какие действия над
многочленами и в какой последовательности должны быть выполнены.
Школьники сами должны записать действия над многочленами и,
как правило, выполнив те или иные преобразования,
проанализировать полученный ответ.
1(У). Даны многочлены: 2л:2 —- у — 2, Зг5 + у + 1 и 1 — 5л:2.
Найти: 1) сумму всех трех многочленов; 2) разность между вторым
и третьим многочленами; 3) сумму первого многочлена и у — 2х2 +
+ я.
2. Доказать, что не существует таких значений тип, при
которых многочлены Зт2 + Атп — 2п2 и —т2 — 4/пп + Зп2
одновременно принимали бы отрицательные значения.
3. На рисунке 10 величина первого угла равна 50° + х — у,
а величина второго угла меньше величины первого на 10° + 2х —
— 2у. Доказать, что прямая DB перпендикулярна прямой В/С.
4. Сумма нескольких слагаемых
равна 2Ь — 1. К одному
слагаемому прибавили ЪЬ — 8, а из второго
вычли —Ь — 7. Сколько надо
вычесть из третьего слагаемого, чтобы
сумма стала равной нулю?
5. Найти х, если
(*-(*-(*-... —(*—1) ...))) = 1.
(В записи содержится 200 пар ско- А В
бок.) Рис. 10
43

6. В трехзначном числе цифра сотен на 2 больше цифры еди- }щ
ниц. Найти разность между этим числом и числом, записанным
теми же цифрами, но в обратном порядке.
7. Найти kf если известно, что при любом х:
ах2 + Ьх + с
+ Ьх2 + ах — 7
kx2 + сх + 3
х2 —2х— 5.
8. Даны три различные отличные от нуля цифры. Из них
составляются всевозможные трехзначные числа. Доказать, что их сум- 7
ма делится на 37. •?;
9. Кубок страны по футболу был разыгран по олимпийски сие- i
теме: проигравшая команда выбывала из соревнований, в случае J
ничьей назначалась переигровка. Всего было сыграно т игр, из ч
которых было п переигровок Сколько команд участвовало в розыг- ;
рыше кубка? J j
10(1). Первое число равно а, второе равно Ь, третье равно
разности между вторым и первым, четвертое равно разности между * \
третьим и вторым и т. д. Какое число стоит на 124-м месте? л
11. Найти сумму значений многочлена хь— 1,7 • я3 + 2,5 при II
* = 19,1 И Х = —19,1. : 1
12. Доказать, что если числа тип являются натуральными, ] I
то числа вида (5т + п + 1) (Зт — п + 4) всегда кратны двум. I
13(!}. Упростить выражение: |2о* + За2 + 1| — |—2а4 — а2 — ; I
-п. А
14. Дано: х + У — z = а — Ь, Л
x — y + z=b — с, \
—х + y + z = c — a. r\
Доказать, что х + у + z = 0. I
15*. Показать, что если один из членов дроби \
к2 — Ък + 8 Ц
к2 + 6k + 19 J j
делится йа 11, то дробь можно сократить на 11. (k £ N.) \\
16(1). В строчку записано несколько чисел. Первое из них рав- JI
но а, а последнее равно Ь. Во второй строчке записаны разности jjj
между вторым и первым, третьим и вторым, ..., последним и пред- у
последним членами конечной последовательности. Найти сумму tj
всех этих разностей. - * "II
17*. Володя записал на доске два числа. Третье написал рав- f j
ным сумме первых двух, четвертое—сумме третьего и вторЪго '*■
и т. д. Затем Володя сообщил Саше сумму шести последовательных \ I
чисел, начиная с-некоторого из написанных. Саша, узнав сумму, \
сразу же определил одно из написанных чисел. Какое? ;'■
18*. Есть ли среди многочленов: \\
44
М

-2a -1, 2a - 1, -a + 1, a+1,
—2a -2, 2a -2, —a + 2, a + 2,
—2a-3, 2a-3, -a + 3, a + 3,
—2a — 4, 2a — -4, —a + 4, a + 4
— такие два многочлена, сумма которых равна а —3? Сколько
йайдётся таких пар многочленов? Сколько имеется пар многочле-
нов,^разность которых равна a + 4?
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
2. Решение. Сумма заданных многочленов равна
Зт2 + Атп — 2л2 — т2 — 4тп + Зп2 » 2т2+ п2 >0,
т. е. не может быть отрицательным числом. Это возможно только
тогда, когда по крайней мере значение одного из многочленов
неотрицательно при заданных значениях тип.
3. Решение. Величина второго угла равна
(50° + х — у) — (10° + 2х — 2у) = 40° — х + у.
Тогда сумма величин первого и второго углов равна 90°.
Следовательно, величина угла KBD равна 180° — 90° = 9СР(см. рис. 10).
4. Решение. Если х — искомое число, то
2Ь — 1 + (36 — 8) — (—6 — 7) — х = 0; х'= 66 — 2.
5. х — любое число.
6. Решение. Пусть х — цифра десятков, а у — цифра сотен
трехзначного числа. Тогда цифра единиц будет у — 2, а потому
искомое число равно
100у + 10jc + у — 2 — 100 (у — 2) — 1(к — 2 = ... = 198.
7. Решение. с =—5 — (—7 + 3) = —1,
a+fe = _2_(_l) = _l,
k=l — (a + b) = 1 — <— 1) = 2.
8. Решение. Пусть а, Ь и с — "три различные цифры.
Тогда сумма всех указанных тр.ехзначных _ чисел равна:
(100а + 106 + с) + (100а + 10с + 6) + (1006+10а + с) + (1006+
+ 10с + а) + (100с + 10а+ 6) + (100с + 106 + а) = 222(а+6 +
+ с) = 6 • 37 (а + 6 + с),
а поэтому делится на 37.
9. Решение. Всего было т — п встреч, в каждой из
которых был выявлен победитель. Следовательно, всего было т — п
команд, выбывших из соревнований. И только одна
команда-победительница не имела поражений. Поэтому в соревновании приняло
участие т — п + 1 команд (т > п).
45

Kh Решение. Третье число равно 6 — а, четвертое Ъ -—
— a — b = —а, пятое —а — (Ъ — а) = —6, шестое —Ь — (—а) =
= а — 6, седьмое а — 6 — (—6) = а, т. е. равно первому числу,
восьмое а — (а — 6) = 6, т. е. равно второму числу, и т. д. На
124-м месте стоит число, равное четвертому, т. е. —а.
11. Решение. Если у х изменить знак на противоположный,
то заданный многочлен примет вид: —хъ + 1,7г* + 2,5. Сумма
заданного многочлена и полученного равна 5.
12. Решение. Так как разность
(5т + п + 1) — (Зт — п + 4) = ... = 2т + 2л — 3
является нечетным числом, то одно из чисел 5т + п + 1 или Зт —
— п + 4 четно, а другое нечетно. Следовательно, их произведение
>есть четное число.
13. Решение. Так как при любом а одночлены 2а4 и За2
неотрицательны, то 2а4 + За2 + 1 > 0. Нетрудно показать, что
абсолютная величина второго числа равна 2а4 + а2 + 1.
Следовательно, заданная разность равна
(2а4 + За2 + 1) — (2а4 + а2 + 1) = ... = 2а2.
14. Указание. Надо почленно сложить все заданные равенства.
15. Решение. Пусть при некотором натуральном k один из
. членов дроби кратен 11. Так как, кроме того, разность
(k2 + 6k+ 19) — (k2 — 5k + 8) = ... = Uk + 11
кратна!11, то и второй член дроби тоже кратен 11. Следовательно,
дробь можно сократить на 11.
16. 6 — а. Указание. Предварительно полезно разобрать
несколько частных случаев.
17. Решение. Пусть первое из шести слагаемых равно а,
второе равно Ь. Тогда третье, четвертое, пятое и шестое влагаемые
будут соответственно равны а + Ь, а + 26, 2а + 3&, За + ЬЬ.
Сумма всех шести чисел равна
\а + Ь + (а + Ь) + (а + 2Ь) + (2а + 3&) + (За + 56) «
= ...= 4(2а + 36),
т. е. равна учетверенному пятому слагаемому. Следовательно, если
известна-сумма шести чисел, то, разделив ее на 4, получим пятое
число. ' ***-
18. Решение. При решении задачи недостаточно указать
, искомую пару многочленов. Надо еще показать, что других таких
пар не существует. Очевидно, что сумма одночленов, содержащих а
и находящихся в одной и той же колонке многочленов, не может
быть равной а. Поэтому искомые Многочлены должны находиться
в разных колонках. Из четырех одночленов —2а, 2а, —а, а только
46,

f
l: сумма средних равна а. Поэтому искомые многочлены могут нахо-
[| диться только во второй и третьей колонках. Первый из них имеет
б отрицательный свободный член, а второй — положительный, при-
I чем абсолютная величина первого должна быть больше трех. Им
[ может быть только многочлен 2а — 4. Тогда вторым многочленом
I является —а + 1. Имеются три пары многочленов, разность ко-
[ торых равна заданному многочлену: —а + 1 и —2а — 3 или —а + 2
и —2а — 2 или —а + 3 и —2а ^ 1.
§ 10. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Но когда эти науки (алгебра и геометрия)
объединились, они энергично поддержали друг друга и быстро
зашагали к совершенству.
Ж. Л. Лагранж (1736—1813)
Во многих предлагаемых задачах этого параграфа используются
сведения о различных графиках, известных учащимся. Поэтому
^желательно предварительно повторить по учебнику «Алгебра, 6»
следующий теоретический материал:
числовые промежутки (п. 6);
графический способ задания функции (п. 19);
графики некоторых функций (п. 21, 22, 24,- 25);
задачи № 450, 451, 487, 489, 490, 493.
Работая над материалами этого параграфа, учащиеся
познакомятся с употреблением логических связок или и -и. Эти связки
вводятся без соответствующих определений на примерах
объединения и пересечения множеств точек координатной плоскости
и некоторых числовых множеств. Рассмотрим следующий пример.
Пусть на одном и том же
чертеже (рис. 11) построены
графики двух функций: у =
=хп у = х2. Обозначим
буквой А множество точек
первого графика, а буквой В —
второго.
Множество С = А (] В
состоит из двух точек О и К
пересечения графиков
рассматриваемых функций. В связи
с этим иногда пишут: С есть
Л и В. Логическая связка и в
этом случае заменила знак
пересечения множеств.
Множество D = Л U В
состоит из точек, принадлежа- Рис. 11
47
\
V
\
\
V
{
\
\
\
"Щ
Т
L I1!
\\
-Uu
XT
\мк
| [У
"г

щих обоим графикам. В этом случае можно сказать: D есть А или
В. Логическая связка или заменила знак объединения множеств.
В подобных случаях логические связки или и и употребляются в
строго определенном смысле. Это следует иметь в виду яри чтении
всех параграфов пособия.
1. Используя один и тот же чертеж, найти на координатной
плоскости точки, координаты которых хиу удовлетворяли бы
условию: 1) х = 3; 2) х < 3; 3) х > 3; 4) у = 2; 5) у > 2.
2(!). На координатной плоскости найти множества точек,
координаты которых х и у удовлетворяли бы условиям:
1) х > —2, или, что то же, х > —2 или х = —2;
1 2) —2 < х и х < 2, или, что то же, —2 < х < 2;
3) |*| < 2; 4) |л:| > 2.
3(!). Построить графики функций по следующим условиям:
1) у = 0,5* и * > 0; 3) у = ** и |*|< 1,5;
2) у = —х2 и * € ]—1; 2]; 4) у = х2 и |*| > 1.
4(!). На координатной плоскости найти множества точек,
координаты которых * и у удовлетворяли бы условиям:
1) (У + *)(у-*2>=0; 3)у=|*|;
U) х (у - 2) = 0; 4) (* - 3) (х2 + у2) = 0.
5. На одном и том же чертеже построить графики трех функций:
1) У = 1*1, 2) у = -|*|,
У = 1*1 + 2, у = -|*| +-2,
У = 1*1 - 3; у = -|*| - 3.
6. Графиком некоторой функции является отрезок,
соединяющий точки А (—1; —2) и В (2; 4). Построить этот график и
записать при помощи формул зависимости между координатами * и у
точек этого графика.
7. Построить окружность радиуса 1 с центром в начале
координат. Через произвольную точку оси абсцисс (*; 0) провести прямую,
параллельную оси ординат, и обозначить через у число общих точек
этой прямой с окружностью. Построить график зависимости между
* и у и выразить эту зависимость при помощи формул.
8. В пустое ведро начинает поступать вода через кран по 4
килограмма в минуту. Ведро вмещает 10 килограммов воды.
Построить график зависимости массы воды т (лег), находящейся в ведре,
от времени t в минутах, если наблюдение продолжалось 5 минут.
Написать при помощи формул зависимость между т и U
9. Дан график функции (рис. 12), состоящий из двух ^лучей а
и & и точки А. Написать гфи помощи формул зависимость между
координатами * и у этого графика.
10. Построить график функции, если зависимость между
переменными * и у определяется следующим образом. При одном и том
48

же значении х находятся
значения функций у = х2 иу = 4 и
из этих значений выбирается:
а) наименьшее; б) наибольшее.
11. Секундная стрелка
электрических часов телепрограммы
«Время» делает мгновенный
скачок через каждую секунду.
Построить график зависимости
между величиной угла а в
градусах поворота секундной
стрелки и временем t в секундах;
если - наблюдение продолжалось
5 секунд.
12(!). Построить график
функции, если у есть наибольшее
целое число, не превосходящее х.
Составить таблицу некоторых
значений .у, придавая х
различные значения — положительные
и отрицательные, целые и
дробные. Если построить график не
удается, то составьте более
подробную таблицу. Для данной функции введено специальное
обозначение: у = О]. "Читается: у есть целая часть х или s
у есть характеристика числа х.
В дальнейшем логические связки и и или используются при
решении многих задач, в частности следующих: § 11, № 5, 11; § 13,
№ 12а; § 14, № 2,4; § 16, № 3, 4, 7—13; § 17, № 2, 16, 17, 20; § 18,
№ 1, 4, 7, 16, 21.
О числовой оси, диаграммах и графиках речь идет также в
упражнениях: § 2, № 10, 13; § 6, № 4, 7, 8; § 7,-№ 11; § И, № 5; § 12,
№ 11; § 13, № 17, 18; § 14, №4; § 16, № 1—3, 5, 7, 9, 14; § 17,
№ 2, 15; § 18, № 6, 19—24.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
L
-d
-
а
'
щ
f
1
0
iA
1
Ь
«
]^l
Рис. 12
1. 1) Точки прямой а (рис. 13); 2) все точки плоскости, лежащие
левее прямой а; 3) все точки'плоскости, лежащие правее прямой а;
4) точки прямой Ь\ 5) точки, лежащие выше прямой 6.
2. 1) Точки прямой а и точки координатной плоскости,
лежащие правее прямой а (рис. 14);
2) точки плоскости, лежащие между прямыми а и Ь\
3) точки плоскости, лежащие между прямыми а и 6;
4) все остальные точки плоскости, кроме указанных в п. 3).
3. Графики соответствующих функций представлены на
рисунках 15, 16, 17, 18.
49

,
a
-н
\1
0
к—
/
a
b~
X
щ
4
/
?c
1
о
J
n
2
ч
4
4
я
I
Рис. 13
Рис. 14
П | ш | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 \ | | | | | | т
———гт———1 |~Г " т
————1 — 1 1 1 п Л
111 1 1 1 1 1 1 1 Г/1,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [ 1 1 1 1 л
1 йп ггттйт
>НТ Г
1/111111111_Шм г
г >Нм 1
Щ4ЖГ11111111 111 i 1111 111
с/! 7 Г X L_
—i—п—i—i—i—i—г*"ч
и и 1
J х
\
N
\
\
N
1 1 t 1 1 1 1 1 1
Рис. 15
Рис. 16
гтттттттжптттттп \ ч /
Mi Т Г \ 1 /
Г Г И 1 Н ' \ /
л v И/
Н / - \ У
и f \ /
/ М\ /
\\У\ I \ У
М/ГЧП И И* \ /
Л \ /
X Ъ \1\ У
/ жим
М/ > -Г 1
1 и \Ц\ И И*
f
Ш 1.Ш
Рис. 17
Рис. 18
50

гТ""
[j\
S
i
ч
т
/1
Т
1
у
У
ч
тч
[
у
/
/
/
/1
у
t
'
1
\
У.
ш\
\
Ч
Я
3
/
0
\
t
-
И
Рис. 19
Рис. 20
-
я
i
/
ч>
,
т
X
W
т
J 1
их
I 1
и
J
У
"~4'
HI
i
щ
Рис. 21
Рис. 22
^
►-
3
г
о
1
[Г
■^
ЗГ
'.
~щ
"" 1
4
Г
1 It
Г
Т~
?
I
4
»
1
Рис. 23
Рис. 24
61

л—
"ТТ
1
И
и
\
\
\
\
\
\
1 №
II
1
Г
1 J
\ \1
\\
w
Тг
I IU
I ш
у
/
/
к
/
--П
N
ТГ
/
1\
/
VI 1
/II
"*
ч
И
.,
"^Г
'""]
2
Г
7
'&'
I
—Л—
7
_
'
>-
■аЛ
ц
и
"l
уЧ
*1
л
я
**i
; 1
u
Рис. 25 Рис. 26
4. 1) Точки графиков функций у = —х или у-= я2 (рис. 19);
2) точки прямых л: = 0 или у = 2 (рис. 20); <*
3)у = л;ил;>0 или у = — х и л: < 0 (рис. 21);
4) точки прямой х = 3 или точка (0; 0) (рис. 22).
7. См. рисунок 23.
8.т = 4/иО<К 2,5, или m = 10 и 2,5 < * < 5 (рис. 24)/
9. у = —х + 2 и х < 0, или у = 5 и х = 1, или у = —х + 2
И02.
10. График первой функции изображен на рисунке 25 сплошной
линией, к нему относятся и точки М и N.
График второй функции изображен на том же рисунке
штриховой линией. Точки М и N тоже относятся к этому графику.
12. График функции дан на рисунке 26.
§ И. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОДНОЧЛЕНА И МНОГОЧЛЕНА.
ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ
Кто приобрел навык обращаться легко и свободна
со всевозможными алгебраическими и геометрически-^
ми выкладками и кто, кроме того, приобрел умение
выражать мысли ясным и точным языком, тот смело
может взяться за любую отрасль самостоятельных
знэний
Д. Я. Писарев' (1840—1868)
При доказательстве тождеств и неравенств нужно иметь в виду
следующее. Многочлены, Записанные в стандартном виде, тожде-.
ственно равны, если равны у них коэффициенты при подобных членах.
Если А я В — многочлены и значение А — В есть положительное
число при любом допустимом значении переменной, то А > В.
Если значение А — В есть отрицательное число, то Л < В\ если
А — В = 0, то многочлены тождественно равны.
52

1. Можно ли утверждать, что при любых значениях переменной
1) 4fe2 (63 — 1) — 3 (1 — 2Ь2) > 4 (ft5 — 1);
2) а — а\—а2 — 1| < 1 — а2 (а — 1)?
2. Доказать, что:
1) о3 + а2с — аЬс + ЪЧ + Ь3 = 0, если а + Ь + с = 0;
2) ах + 2х + ау + 2у + 4 = a*f если а — 2 = х + у;
3)* М* — М = х50 — I если М = 1 + х + х2 + ... + я49.
3. Пусть Т0 = 1, 7\ = *, ГЛ+1 = 2л: 7\ — Tk_l9 причем Л е N.
Записать в стандартном виде Тъ и Т0 + Тг + Т2 + Т3.
Многочлены, 6 которых идет речь выше, носят название «многочленов
(полиномов) П. Л. Чебышева» (1821—1894). Поводом к открытию этих
многочленов и ряда их замечательных свойств послужило великому русскому
ученому-математику изучение шарнирного механизма под названием
«параллелограмм Уатта» (см., например, в журнале «Квант» за 1971 год, № 5, статью
Н. Н. Колесникова «Пафнутий Львович Чебышев»).
4. Каждое из k чисел равно 2р'+ 3, а каждое из р чисел равно
5 — 2k. Среднее арифметиче£кое всех к + р чисел равно 4.
Доказать, что k = р.
5. Найти множество точек координатной плоскости, координаты
х и у которых удовлетворяют условию;
1) у2 — ух2 = 0; 2) х5 + я4 = 0.
6. Дано пятизначное число. Если приписать семерку впереди
числа, то полученное шестизначное число будет в 5 раз больше ше-ж
стизначного числа, у которого семерка приписана в конце. Найти
это пятизначное число...
7. Дано: ах + аг + а3 + ... + а99+ аш = 0. Найти:
1 • (а± — а2) + 2 (а2 — аъ) + 3 (а3 — а4') + ... + 99 (а^—
— Яюо) + 100я100.
8(У). Вынести общий множитель за скобки и, если возможно,
упростить выражения:
1) а (аь — о4) а; 3) а4 — |— а2\\ 5) б7 — З7;
2) 217 — 21в; ' 4) (2а — 2)5; 6) ат+п — а*.
9. Разность между трехзначным числом и суммой его цифр
всегда делится на 9, Доказать или опровергнуть.
10. Доказать, что число
1) abba делится на 11;
2) aaabbb делится на 37;
3). а Ъ a b a b делится на 7;
4) a b ab — b a b а делится на 9 и 101.
11. Двузначное число в сумме с числом, записанным теми же
цифрами, но в обратном порядке, дает квадрат натурального числа.
Найти все двузначные числа> обладающие этим свойством.
53

12. Доказать, что при любых а и Ь:
(6а — 36 — 3) (а2 + а2Ь — 2а?) < 0.
13*. Вычислить:
1) х4 — 2*3 + Зх2 — 2х + 2 при *2 —* = 3;
_ 2) 2* + 3*Y + y44-y1 при^ + у2=1.
14. Найти значение многочлена х (1 + у) — у (jcy — 1) — х2у
при д: + у = —р и дсу = <7-
15. Вычислить наиболее рациональным способом:
— • (3—. 5— +4-?-. 3,8). ,
19 v 5 3 3 '
16*. Вычислить:
1) 217 — 216 — 215 — ... — 22 — 2 — 1;
2) х17 — 12jc16 + 12х15 — 12х14 + ... — 12х2' + 12х — 1 — при'
х = 11.
17*. Доказать, что 6/г2 — 7п + 2 больше нуля при любом
целом /г.
18*. Люда доказала, что число 717 + 17 • 3 — 1 делится на 9.
Можно ли, воспользовавшись этим выводом, доказать, что число
718 + 18 • 3 — 1 тоже делится на 9?
19. Доказать, что не существует натурального числа, которое
при делении на 18 дает в остатке 13, а при делении на 21 дает в остат-^
- -ке 2. '
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 1) Можно. Указание. Нужно рассмотреть разность между
левой и правой частями неравенства.
2) Можно.
2. 1) Указание. Использовать подстановку: с = —а — Ь.
2) Решение. Так как у = а — 2 — *х, то заданное
выражение равно
ах + 2х + а (а — х — 2) + 2 (а — х — 2) + 4 = ... = а2. '
3) Р е ш е н и е.
Afjc = х + х2 + х* + X* + ... + X*9 + х50, ~
. — М = — 1 — х — х2 — х3 — х4 — ... — х49,
Мх — М = — 1 + $ъо.
Следует обратить особое внимание на то, что надо приучать детей запи:ы- я
вать сложные для них тождественные преобразования многочленов (напри- i
мер, в записи которых используются многоточия) в виде схемы, как это еде-.
лано выше. Алгоритмизация выкладок в значительной степени облегчает
преобразования, делая их легко обозримыми, наглядными.
3. Р е ш е н и е. Г2 = 2х7\ — Т0 = 2х • х — 1 = 2х2 — 1,
Т3 = 4х* — Зх, Г4 = вх4 — 8х2 + 1, Тъ = 16х* — 20х* + 5х,
54

Г0 + 7\ + Т2 + Т3 = 1 + х + 2х2 - 1 + 4г> -
_ 3jc = 4г> + 2а:2 — 2х.
4. Решение. Так как из условий задачи следует, что
k (2/? + 3) + р (5 — 2k) = 4 (/? + Л), то
2fy? + 3fe + 5/7 — 2pk = 4/7 + 4Л, £ = /7.
5. Множества искомых точек определяются условиями:
1) у = 0 й5ш у = jc2 (парабола или ось абсцисс);
2) х — 0 или а: = —1 (пара параллельных прямых).
6. Решение. Пусть х — пятизначное число. Если приписать
семерку впереди негр, то получим число 7 • 105 + х. Если
приписать семерку в конце его, то получим число Юл; + 7. По условию
7 . Ю5 + х = 5 (Юл + 7).
Решив это уравнение, получим х = 14 285.
7. Р е ш е н и е. 1 • (ах — а2) = аг — щ,
2 • (а2 -г- а3) = 2а2 — 2а3,
99 • (а99 — а100) — 99^99 — 99а100,
lOOaioo = 100 Дню
х = ах + а2 + а3 + ... + а99 + а100 = 0.
9. Решение. Пусть с — цифра единиц, 6 <— цифра десятков,
а — цифра сотен. Тогда разность между трехзначным числом и
суммой его цифр будет равна:
100а.+ 106 + с — (а + Ь + с) = ... = 9 (Па + 6).
Следовательно, эта разность делится на 9.
10. 1) Р е ш е н и е. abba = 1000a + 1006 + 106 + a = ...
.., = 11 (91a + 106).
Следовательно, данное число делится на 11.
2) Решение, aaa'bbb = 1000a aa+ b b b =*
= 1000 • Ilia + 1116 = 37 • 3 • (1000a + 6).
Заданное число /делится на 37.
4)Реше-ние. abab —baba = (1000 + 10 — 100 —1) а+
+ (100 + 1 — 1000 — 10) b = 9 • 101 (a — b). Делится на 9 и lpi.
11. Решение. Пусть a — цифра десятков, 6 — цифра
единиц. Тогда при k £ N по условию
10a + b + 106 + а = k2 или 11 (а + 6) = k2.
Очевидно, а + 6 должно быть кратным 11 и a + 6 < 18.
Поэтому а + 6= 11. Следовательно, условиям задачи удовлетворяют
восемь чисел: 29, 38, 47, ..., 83 и 92.
12. Указание. Вынести общие множители за скобки.
13. 1) Р е ш е н и е. х2 (я2 — х) — х (х2— х)+2 (х"—х) + 2 =
= Ъх2 — Ъх + 2 • 3 + 2 =* 3 (х2 — х) + 8 = 3 • 3 + 8 = 17;
2) Р е ш е н и е. 2л4 + 2х2у2 + х>у2 + у4 + у2 = 2х2 (х2 +
+ У2) + У2 (х2 + У2) + У2 = 2*2 • 1 + f • 1 + У2 « 2 (х2 + у2) =2.
65

Если учащиеся уже знакомы с формулами сокращенного умножё-
ния, то упражнение можно решить подстановкой х2 = 1 —у2.
14. Решение. Раскрыв скобки, получим:
х + ху — ху2 + у — х2у = (х + у) + ху (—х — у + 1) = }
= q (р + ,1) — р =* pq + q — p.
15. 10.. Указание. Вынести за скобки общий множитель 3,8f
1& 2) Р е ш е н и е. - v )
П17 — 12 • 111в = И16 (11— 12)-— 111в;
—111в+12.111б= 1115(— П + 12)=1115, '
'ii—Y='ib! "? l"'\
17. Решение. Запишем многочлен в виде: п (6п — 7) + 2^
Если п < 0, то п (6п — 7) > 0, следовательно, 6п2 — 7п + 2 > 0,г
если п = 0, то значение трехчлена равно 2,
если п = 1, то значение трехчлена равно 1,
если п ^ 2, то 6п — 7 > 0, следовательно, п (6л — 7) > 0J
п (6п — 7) + 2 > 0. Итак, при любом целом п трехчлен принимает
только положительные значения.
18. Решение. Пусть 717 + 17 • 3 — 1 = 9k, причем k £ N'%
Воспользуемся подстановкой: 717 = 9k — 17 • 3 + 1. Получим*
718 + 18 • 3 — 1 = 7 • 717 + 53 = 7 (9k — 50) + 53 = 63k -4
— 297 = 9 (7k — 33). ,
Следовательно, рассматриваемое число делится на 9.
После решения этой задачи естественно предложить ребятам сформули-,
ровать условия новой, в которой использовать полученный выше результат.'
Наконец, может быть, даже с некоторой помощью учителя подвести их к фор-"
мулировке условий задачи в общем виде. ;
Предположим, что число 7п + 3/г — 1 делится на 9. Доказать, что тогда
число 7п+1 + 3 (п -f- 1) — 1 тоже лелится на 9.
- Упражнения подобного вида облегчат в дальнейшем ознакомление
школьников с методом математической индукции. Их нетрудно составлять,
используя материалы этой темы.
§ 12. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. ГРУППИРОВКА
Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим тонким^
инструментом человеческого гения! В формулах уве-^
ковечены ценнейшие достижения людского рода, в^
них заключено величие и могущество разума, его тор-"
жество над покоренной природой.
Из книги «Машина» под редакцией'
акад. И. И. Артоболевского
1. Доказать, что при любых значениях переменных:
1) (36 — 1) (46 + 1) > (26 + 1) (56 — 3); \
2) (у - 1) (У + 2) - 4 + (у - 2) (у + 3).
56

2(!). Доказать, что если а (6 + 1) + b (a + 1) = (a + 1) (b+ 1),
то ab = 1. Сформулировать и доказать обратное утверждение,
3. Доказать, что: - "
1) если 2 (а + 1) ф + 1) = (а + Ь) (а + Ь + 2), то а2 + 62=2;
2) если а2 + с2 = 262, то имеет место равенство: (а + Ь) (а +
+ с) + (с + а)(с + Ь) = 2(Ь + а)(Ь + с).
4. Периметр прямоугольника равен 2р. На сколько увеличится
площадь прямоугольника, если длину каждой его стороны
увеличить на а (а > 0)?
5. Дана пропорция: = —!— • Найти х.
*—1 * + 7
в. Доказать равенство:
р? 55554 • 55559 • 55552 — 55556 • 55551 • 55558 =*
= 66665 • 66670 • 66663 — 66667 • 66662 • 66669.
7. Вычислить наиболее рациональным способом:
3-L.4-L-iH*.5^-l-.
117 119 117 119 119
8. Найти натуральные k и п> если известно, что
kn2 — kn — п2 + п = 94.
9. Решить уравнение: л? + х2 + х + 1 = 0.
10. Если а + Ь + с = 2р, то имеет место равенство:
(2ap + be) (2bp + ас) (2ср + ab) = (a + &)2 (а + с)2 (Ь+с)2.
Доказать.
11(!). На координатной плоскости указать множества точек,
координаты д: и у которых удовлетворяют следующему условию;
1) х2у + у3 = 2**+ 2у2; 2) ху + 1 = х + у.
Прежде чем предложить ребятам указанные ниже упражнения на
разложение многочленов на множители, целесообразно познакомить их с
расположением записи тождественных преобразований «лесенкой»:
аъ + Ъа — 6 = с? — а2 +
+ а2— а+~
+ 6а— 6 =
= а2 (а — 1) + а (а — 1) + 6 (а — 1) = (а — 1) (а2 + а+6).
12. Разложить на множители:
1) m4 —5m + 4; 3) х5 — 1.
2) х* + 2х2 + Ах + 3;
13. Разложить на множители:
1) х3 + х2 + х — 3;
2)x5 + x4 + jc3 + jc2 + x — 5;
3)* х1в0 +у + х98 + ... + х2 + х — 100.
57

14*. Разложить на множители:
1) х4 — Зх2+ 1;
2) (fi + а4 — 2а + 1;
3) ть — 2т3— т — 1.
15*. Найти все значения натурального я, при которых числа
вида: 1) п* — п2 + п—и 2) п? — 6п + 4, 3) пъ — 2пъ — п~~
— 1 — были бы простыми.
16*. Доказать, что многочлен х12 — х1 — л? + 1 не может при,
нимать отрицательные значения ни при каком х.
17. Преобразовать в произведение:
1 + аЦа + I)9 + (а + I)8 + . . . + (а + I)2 + а + 2].
18*. Разложить на множители:
1) х8 + jc6 + х4 + х2 + 1;
2) а5 — а4 — а3 — а2 — а — 2.
19*. Доказать, что если \х\ < 1 и |у| < 1, то
I* —У1<|1—*У1-
20*. Доказать, что не существует такого натурального числа k%
при котором имело (ил место следующее равенство:
k9 + & + k2 = 10*+1 + 9,
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ \
1. 1) Р е ш е н и е. Так как
(36 — 1) Щ + 1) - (2Ь + 1) (56— 3) = ... = 2Ь2 + 2 > О,
то неравенство справедливо при любом 6,
2. Решение. Так как а (Ь + 1) + 6 (а + 1) — (а + 1) X
X (&+ 1) =0, ab+ a+ ab + Ь — ab — а — Ь —А =0, то аЬ = К
При решении второй части задачи требуется доказать, что если
ab = 1, то справедливо первое равенство. Для доказательства
этого достаточно показать, что из последнего равенства следует
предыдущее, из предпоследнего — ему предшествующее и т. д.;
3. 2) Решение. Надо доказать, что
(a + b)(a + c) + (c + a)(c + b) — 2(b + с) (6 + а) = 0,
а2 + ас + ab + be + с2 + cb + са + ab — 262 — 2а6 —
—2ас — 2Ьс = 0,
а2 + с2 — 262 = 0, а2 + с2 = 262.
Так как из четвертого равенства следует третье, из третьего —
второе, из второго — первое, то заданное равенство верно при
любых а, 6 и с, удовлетворяющих условию задачи.
» М. Решен'ие. Пусть х — длина одной из сторон
прямоугольника. Тогда длина второй стороны, равна р — хг а площадь
58

f (p— x) кв. ед. Во втором случае длины сторон равны соответственно
/0 линейных единицах) х + аи р — х + а, а площадь — (х + а) х
^(р — х + а) кв. ед. Разность между этими площадями равна:
(х + а) (р — х + а) — х (р — х) = . *; . = а (р — а).
5. х = 5.
6. Решение. Пусть а = 55555, 6 = 66666. Решение задачи
сводится к доказательству тождества
(а — 1) (а + 4) (а — 3) — (а + 1) (а — 4) (а + 3) =
= (ft - 1) (6 + 4) (6 - 3) - (Ь + 1) (6 - 4) (6 + 3).
Каждая часть этого равенства не зависит от переменной и
равна 24.
7. Решение. Пусть а = — и Ь = — . Тогда 3— = 3 + а,
J 117 119 117
4-L=4 + &, iH5 = 2-af 5^ = 6-6,
119 * 117 ' 119
а поэтому заданное выражение можно записать в виде:
(3 + а) (4 -р 6) — (2 — а) (6 — 6) — 56.
После несложных преобразований получим, что это
алгебраическое выражение тождественно равно 10а =— ..
8. Решение. Разложив левую и правую части равенства на
множители, получим:
(п — 1) п (k — 1) = 1 . 2 • 47.
Это равенство в области натуральных чисел возможно, очевидно,
только при п = 2 и k = 48.
9. Решение. Разложив левую часть уравнения на
множители, получим:
(х + 1) (jc2 + 1) - 0.
Так как х2 + 1 > 0, то jc + 1 = 0, х = — 1.
10. Указание. Показать, что 2ар + be = (а + Ь) (а + с)у 2pb +
+ ас = (6 + а) (Ь + с), 2ф + а& = (с + а) (с + Ь).
11. 1) Множество состоит из объединения точек прямой у = 2
и точки (0; 0).
2) Решение. Так как (х — 1) (у — 1) = 0, то х — 1=0
или у— 1 = 0. Соответствующее множество состоит из
объединения точек двух прямых: х = 1 и у = 1.
12. 2) (х + 1) (х2 + х + 3); 3) (х — 1) (х* + х3 + х2 + х + 1).
13. 1) (х — 1) (х2 + 2х + 3); 2) Р е ш е н и е. ,
x5 + JC4 + x3 + x2 + x — 5 = x5 — х* +
+ 2Х4 — 2Х3 +
+ Зх3 — Зх2 +
+ 4х2 — 4х +
+ 5х—5 =
х*(х — 1) + 2х3(х — 1) + Зх2(х — 1) + 4х(х — 1) + 5(х — 1) =
-= (х — 1) (х4 + 2Х3 + Зх2 + 4х + 5).
3) (х — 1) (х99 + 2Х98 + Зх97 + . . . + 98х2 + 99х + 100).
59
V

14. 1) (x2 + x— 1) (x2 — x— 1);
2) (a2 + a — 1) (я3 + a — 1);
3) (m3 + m2 + 1) (m2 — m — 1).
15. 1) P e ш е н и е. Разложив многочлен на множители,
получим:
л3 — п2 + п — 1 = (л — 1) (л2 + 1).
Если я = 1, то произведение равно нулю,
если п = 2, то произведение есть простое число 5,
если я > 2, то каждый сомножитель больше 1, а поэтому
произведение будет составным числом. Искомое число 2; 2) п = 3f
3) л = 2.
16. Решение. Преобразуем многочлен к виду: (г5 — 1) {х1 —1).
Если х < 0, то каждый множитель отрицателен, а произведи
ние положительно; если О <С х < 1, то jc5 и х7 подавно меньше ^
каждый сомножитель отрицателен, а произведение тоже положи*
тельно; если х = 1, то произведение равно нулю; если л: > 1, та
хъ и jc7 тоже больше 1, каждый сомножитель положителен, а поэто*
му произведение положительно.
Утверждение доказано для всех возможных значений переменной,
17. Решение. Запишем данный многочлен в виде:
а (а + I)9 + а (а + I)8 + ... + а (а + I)2 + (а2 + 2а +1). Тог*'
да а (а + I)2 + (а2 + 2а + 1) = (а + I)2 (а + 1) = (а + I)3,
а(а+ I)3 + (а + I)3 = (а + l)3 (a + 1) = (а + I)4,
' а (а + 1)» + (а + 1)» = (а + I)9' (а +' 1) '= '(а + I)10'.'
18. 1) (х4 + х3 + х2 + х + 1) (х* — г* + х2 — х + 1).
2) Решение, а5 — а4 — а3 — а2 — а — 2 =*
= а5 — 2а4 +
+ а4 —2а3+
+ а3 — 2а2 +
+ а2 —2а +
+ а —2 =
= а4 (а — 2) + а3 (а — 2) + а2 (а — 2) + а (а — 2) + (а— 2)==
= (а — 2) (а4 + а3 + а2 + а + 1).
19. Решение. Так как \ху\ < 1, то 1 — ху > 0.
Если л: — у ^ 0, то х — у — 1 + ху = ... = (х — 1) (у + 1) < 0^
так как 1 + у > 0 и х — 1 < 0; *
если х — у < 0, то у — jc — 1 + ху = ... = (у — 1) (jc + 1) < 0»
так как 1+д:>0иу — 1<0.
20. Решение. Пусть такое натуральное k существует.
Тогда, очевидно, k должно быть нечетным числом. Кроме того, из
заданного равенства следует, что (&4 + 1) (k2 + 1) = 10ft+1 + 10;
Левая часть этого равенства кратна четырем, а правая на 4 не де*
лится. Противоречие»
60

§ 13. ТОЖДЕСТВА СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
В математике требуется громадная
систематичность: если выпадает хотя бы одно звено, то делается
непонятным все остальное.
Н. /С. Крупская (Педагогические сочинения, 1959, т. 3, с. 602.)
Последние упражнения этого параграфа обычно трудны для
школьников, так как при решении их используется метод
приведения к противоречию. Возможно, следовало бы еще раз напомнить
решения соответствующих упражнений предыдущих параграфов.
1 (У). Записать многочлены в стандартном виде:
1) (а + mf + (т — а)2; 6) |1 — п\ (я — 1);
2) \х-у\\ 7) (|я-4|-4)2;
3) (п + т)(т + п)2\ 8) (—а — 1) (а — 1);
4) (—а — Ь)*\ 9) (—m — п) {—п — т)\
5) (|a|_|_fl|)i; Ю) (а-1)2(а + I)2.
2. Доказать или опровергнуть, что при любых значениях
переменных верны следующие соотношения:
1) (a - Ъ)2 + (ab + l)2 = (а2 + 1) (b2 + 1);
2) (х — 2)(х — 3) (х + 3) (х + 2) + х2 = (х2 — б)2;
3) (т — I)2 (т + 2) > т (т2 — 4);
4) 2 (За — I)2 + 3 (2а + I)2 > (5а + 1) (5а — 1).
3. Если а + с = 26, то всегда а2 + 8Ьс = (26 + с)2. Доказать
или опровергнуть.
4. Если х = a + 5b, у = 5a — by z = 3a — 2b и t = 2a + 3bt
то равенство x2 + y2 = 2 (г2 + tf2) является тождеством. Доказать
или опровергнуть.
5. Найти: 1) хв + Ъх2у2 + у\ если , х2 + у2 = 1; 2) л4 +
+ *У + У4, если х2 + у2 = а и ху = Ь.
6*. Если a + b = ab, то имеет место тождество:
(а3 + Ь3 — а3&3)3 + 27авав = 0. Доказать.
7. Если а + Ь + с = 2х9 то х2 + (* — а)2 + (х — Ь)2 + (х —
— с)2 = а2 + б2 + с2. Доказать.
8. Привести к стандартному виду следующие многочлены:
1) (а — Ъ) (а + 6) (а2 + а& + &2) (а2 — а& + &2);
2) (jc - l)3 (jc + I)2 (х2 + 1) (jc2 + х + 1); „
3) (х4 — х2 + 1) (х2 — х + 1) (х2 + х + 1).
9. Найти ху если л: = у2 — 16jc2, у = z2 — 4jc3, z = t2 — x?f
t = x— 1.
- 10. Доказать, что при любом натуральном я число (2я — I)3 —
— (2м)2 + 2п+ 1 кратно 16.
61

11. Решить уравнения: 1) (х — 7)а— (х — I)3 = 50 — 13*»
2) (х-2)*= |/+6|2-44. *>
12(!). Показать, что число а — b при любых значениях а и ь
является корнем уравнения; я3 + ЗаЬх + Ъг — с? = 0.
12а (!). Существуют ли такие значения а, при которых число а-—|
является корнем уравнения: х* — ах2 + \j= 0?
13(!). Известно, что а = х + у и b = ху и с = х2 + у2. Найтц
зависимость между a, b и с.
14*. Доказать, что если р — простое число и р > 2, то число
р2 — 5 не делится на 8. v
15*. Если п — натуральное число, большее 1, то число 2п — f
не может быть квадратом натурального числа. Доказать. -•
16*. Доказать, что не существует целых чисел х и у, удовлетво*1
ряющих равенству: х2 + 1974 = у2. ^
17(!). Сделать из плотной бумаги трафареты для построения
графиков функций у = х2 и y=jr. Используя трафареты, построить
на двух отдельных чертежах графики этих функций.
Построить по точкам на первом чертеже график функций
у = (х — 2)2. Как, используя трафарет, построить на этом же
чертеже график функции у = (х — З)2?
. Построить по точкам на втором чертеже график функции у я*
.«* (х — 2)3, Как, используя соответствующий трафарет,
построить график функции у = (х — З)3?
18. Используя трафареты (задача 17), построить графики еле»'
дующих функций:
1) у = (х + 2)2, 2) у = (х + 2)3,
у = хъ + Ъх + 9, у = х3 + Ъх2 + Зх + 1,
у = —х2 + 4х — 4; у = — (х — I)3.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ - Г
2. Указание. Рассмотреть разности между левыми и правыми
частями соотношений. Для третьего примера эта разность равна
m + 2 и может быть отрицательной, например, при m = —5. Сл#
довательно, неравенство верно не при всех значениях переменной /я.
3. Решение. Воспользуемся подстановкой а = 2Ь — с. Псь
лучим: (2Ь — с)2 + ЪЬс — (26 + с)2 = . . . = 0. >
Следоэательно, утверждение верно.
4. Заданное равенство является тождеством. f
5. 1) Р е ш е н и е. Первый способ. Заданный многочлен раве4
(х2 + у2) (х* — х2у2 + у4) + 3*У = ... = (х2 + у2)2 - 1. \
Второй способ. *Так как у2 = 1 — х2, то, выполнив
подстановку, получим, что заданный многочлен тождественно равен 1. .";'•
6. Решение. Так как aW = (а + b)zt то *
а3 + #> — а3&3 = а3 + &3 — (а + б)3 = ... = — ЪаЬ (а + Ь)=*
= —За2Ь\
Поэтому левая часть равенства будет.равна (—За262)3 + 27ав<Ьв^0<.
62 ,

7. Р е ш е н и е. х2 + (х — а)2 + (х — б)2 + (х — с)2 = 4Х2 —
^ 2х (а + Ъ + с) + а2 + Ь2 + с2 = 4х2 — 4х2 + а2 + Ь2 + <? =
= а2 + Ь2 + с2,
так как а + Ъ + с = 2х.
8. 1) а6 — 6е; 2) (х2 — 1> (х3 — 1) (х4 — 1) = ... = х9 — х7 —
^ Xе — х6 + х4 + х3 + х2 — 1; 3) х8 + х4 + 1.
9. Р е ш е н и е. г = (х — I)2 — х2 = 1 — 2х, у = (1 — 2х)2 —
_ 4jc2 = 1 — 4х, х = (1 — 4х)2 — 16х* = 1—8х, х=1 — 8х, х = Л.
10. Заданный многочлен равен 8я (я — I)2. Так как число
п (п — 1) четно, то многочлен 8п (п — I)2 делится не только на 8,
но и на 16.
11. 1) 0 или 2.
2) Решение. Перенеся все члены в левую часть уравнения,
получим после несложных преобразований: х2 (х — 7) = 0.
Следовательно, х может быть равным нулю или 7.
12. Решение. Пусть х = а — Ь. Тогда левая часть
заданного уравнения будет равна
(а — bf + 3ab (а — Ь) + Ьа — & = ... = 0.
Следовательно, при х == а — Ь заданное уравнение обращается
в тождество. Значит, а — b является корнем уравнения при любых /
а и Ь* ~
12а. Решение. Если число а — 1 является корнем
уравнения, указанного выше, то должно иметь'место равенство:
(а — I)3 — а (а — I)2 + 1 = 0.
Решив полученное уравнение, найдем: а = 0 или а = 2.
Следовательно, если а = 0 или а = 2, то число а — 1 является корнем
данного уравнения.
13. Решение. Так как а2 = (х + у)2 = (х2 + у2) + 2 (ху),
то а2 = с + 2Ь.
14. Решение. Предположим, что р2 — 5 = 8k, причем
k g N, Так как р не может быть равным 2, то р — нечетное число.
Пусть р = 2т + I, т £ N. Тогда должно иметь место равенство
(2т + I)2 — 5 = 8k и, следовательно, т (т + 1) = 2k + 1.
В левой части полученного равенства стоит четное число, а
в правой — нечетное. Мы получили противоречие. Наше
предположение неверно, число р2 — 5 не может быть кратным 8.
15. Р е ш е н и е. Предположим, что число 2п — 1 является
квадратом некоторого натурального числа. Тогда это число
должно быть, очевидно, нечетным. Поэтому при т £ N должны иметь
место следующие равенства:
2п — 1 = (2т + I)2,
2* = 4т2 + 4т + 2,
2»-1 = 2/п2 + 2т + 1.
63
i

Левая часть последнего равенства кратна 2, а правая на 2 ц$
делится. Мы получили противоречие. Следовательно, число 2п —ц
не может быть квадратом натурального числа.
16. Решение. Очевидно, числа х и у или оба четные, ил»
оба нечетные. Так как 1974 = (х + у ) (х — у), то левая часть
этого равенства не делится на 4, а правая часть делится на 4 в том
и другом случаях. Мы получили противоречие.
§ 14, РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛЕ
Искусство последовательного, правильно расчле»
ненного логического рассуждения является также суще-1
ственной стороной математических способностей.
Акад. Л. Я. Колмогоров
Упражнения этого параграфа по одной из наиболее трудны*
для. учащихся тем можно условно разбить на несколько групп.
В первой группе даны несложные, но вместе с тем нестандарту
ные задачи, как правило, для устного или полуписьменного реше-;
ния. Вторая группа упражнений характерна тем, что при решений
их разложение многочленов на множители является не целью, а-
только средством, облегчающим последующий анализ. В третье!]
группе задач на первый план выступают те или иные подстановки*
1(У). Разложить на множители:
1) а3 + 1 + За (а + 1);
2) (а3 + 2а2 + а) (а2 + а);
3) \т — п\2 — 1;
4) (—2л:2 + 4х — 2)3;
2. Решить уравнения:
1) 4**.— 12* + 9 = 0;
2) х2 — л2 = 0;
3) а3 — а = 0;
3. Доказать или опровергнуть, что следующие соотношения
верны при любых значениях переменных:
1) а2 + Ь2 > 2аЬ\
2) —т2 — 2т — 1 < 0;
3) (—п2 — 2п— I)3 = — (п + 1)в;
4) (а— I)2 = а3 — 2а + 1;
5) (3&- l)2 >2(2b— 1)2— 1;
6) (а — I)3 > (а — З)3 + 2;
7)* х2 + У2 + z2 > 2х + 4у — 6г — 24.
4)
5)
6)
5) \Ь2-
6) 11-
7) |1-
х2+ 1 +
X2 — Л2 -
х2 + у2 -
- 4Ь + 4| + Sb;
Зя + Зя2 — я3
л3| + 2.
я = 2х;
-2п+ 1;
- 4х + 4 = 0.
64

4. Найти геометрическое место точек координатной плоскости,
координаты которых х и у удовлетворяли бы одному из условий;
1) у2 — х2 = 0; 3) х2 + у2 = 4 (у — 1);
2) х2 — 2х + 1 = 0; 4) я2 — 2ху + у2 = —1.
5. В прямоугольном треугольнике а и Ь — катеты; S —
площадь треугольника. Найти углы треугольника, если известно, что
(а + bf = 8S.
6. Если десятичные записи двух натуральных чисел
оканчиваются тремя соответственно одинаковыми цифрами, то и кубы этих
чисел тоже оканчиваются соответственно одинаковыми цифрами.
Доказать.
7. Доказать, что если сумма или разность двух натуральных
щсеп кратна 50, то у квадратов этих чисел соответственно
одинаковые цифры десятков и цифры единиц.
8. Если q > р2, то многочлен х2 + 2рх + q не может принимать
отрицательные значения. Доказать.
9(!). Разложить на множители:
1) х4 —8х2 + 4; 3) Ьъ + b+ 1;
2) 4а4— 12а2 + 1; 4) аЪ (а — 6) — ас (a + c) + cb(2a +с— 6).
Многие из последующих примеров решаются с использованием тех пла
иных подстановок. Приведем пример.
Используя подстановку х = а2 *— 2, нетрудно преобразовать в
произведение следующий многочлен:
(а2 + а — 2) (а2 — За — 2) + 4а2 = (*+ а) (х — За) + 4а2 = х* —
—2а* + а2 = (х — а)2 == (а2 =- а — 2)2.
10. Разложить на множители:
1) (х2 — 1 + jc) (jc2 — 1 + Ъх) + х2;
2)* (* — а)4 + 4а4;
3) (а + I)4 + 2 (а + I)3 + а (а + 2);
4) (р + 2)4 + 2 (р2 - 4)2 + (р - 2)\
11. Доказать неравенства:
1) (х + 1) (х - 2у + 1) + у2 > 0;
2) (х — 2) (jc — 3) (х — 4) (х - 5) + 1 > 0;
3) (а2 —а— 1) (За2 + а + 1) — 4а4 < 0.
12*. Является ли простым число 1 + 2 ?
13(!). Пусть х + у = —р и ху = q. Доказать, что:
1) х2 + у2 = р2 — 2?;
2) х3 + у3 = —р3 + 3W;
3) х4 + у4 = р4 — 4/?2<7 + 2?2.
14*. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи,
доказать следующее тождество:
х4 + у4 + (х + у)4 « 2*(х2 + ху + у2)2.
3 Заказ 1343 65

УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 1) {а + I)3; 3) (т — п + 1) (т — п — 1);
2) а2 (а + I)3;. 4) —8 (х — 1)в.
5) Р е ш е н и е. Так как Ъ2 — 4& + 4 = (Ь — 2)2 > 0, то
|&2 _ 4Ь + 4| + 8Ь = (Ь — 2)2 + ЪЬ = ... = (6 + 2)2.
2. 1) 1,5; 2) я или —я; 3) 0 или 1 или —1.
4) Решение. Так как (х2 + 1 — 2х) + л = (х — I)2 +
+ я > 0, то уравнение корней не имеет.
5) Поскольку х2 = (я — I)2, то корни уравнения хх = я — 1
или х2 = 1 — я;
6) х = 2 и у = 0.
3. 4) Решение. Разность между левой и правой частями
равенства есть а2 — а3. Это выражение не равно нулю, например,
при а = 2. Поэтому заданное равенство не является тождеством.
6) Р е ш е н и е. Так как (а — I)3 — (а — З)3 — 2 = ... = 6 (а—
— 2)2 ^ 0, то заданное соотношение неверно при а = 2.
Следовательно, нельзя утверждать, что оно верно при всех значениях а.
4. 1) Р е ш е н и е. Так как (у — х) (у + х) = 0, то у = х
или у = —х. Следовательно, искомым множеством точек будет
объединение множеств точек графиков этих функций.
2) Точки прямой х = 1.3) Точка А (0; 2).
4) Пустое множество.
5. Решение. Заметив, что 8S = 8 • 0,5ab = 4ab, и
используя условие задачи, можно написать: (а + Ь)2 — iab = 0,
(а — Ь)2 = 0, а поэтому а = Ь. Значит, прямоугольный
треугольник равнобедренный, а углы его соответственно равны 45°, 45°
и 90°.
6. Решение. Пусть а и Ъ — натуральные числа, причем
а _ & = Ю00 /пи т£ N. Тогда^ разность кубов этих чисел равна:
аз _ &з = (а _ 6) (а2 + а& + Ь2) = 1000т (а2 + ab + Ь2).
Так как разность кубов чисел а и b кратна 1000, то последние
три цифры их десятичных записей соответственно равны.
7. Указание. Нужно показать, что разность квадратов чисел
а и Ъ кратна 100. Для этого достаточно разложить на множители
эту разность квадратов и показать, что один из сомножителей
кратен 50, а второй делится на 2.
8. Решение. Используя неравенство q > р2, получим:
х2 + 2рх + q > х2 + 2рх + р2 = (х + р)2 > 0.
Следовательно, при любом х значения трехчлена
неотрицательны.
9. Указание. Предварительно записать рассматриваемые
многочлены в указанном ниже виде:
1) (jc4 — 4х2 + 4) — 4а;2;
2) (4а4 + 4а2 + 1) — 16а2;'
3) фъ-Ь2) + ф2 + Ь+ 1):
66

10. 1) Указание. Воспользоваться подстановкой у = х^ + х— I.
2) Решение. Пусть у = х — а. Тогда
(х — af + 4а* = у4 + 4а4 = (у2 + 2а2)2 — 4а2у2 = ...
... = (х2 + а2) (*• — 4ах + 5а2).
3) Указание. Воспользоваться подстановкой z = а + 1.
11. 1) Решение. Используем следующую подстановку:
z = х + 1. Получим: z (z — 2у) + у2 = (z — у)2 > 0.
2) Решение. Перемножив соответственно первый и четвер
тый, второй и третий двучлены, получим:
(х2 — 7х+ 10) (х2 — 7* + 12) + 1 = г (z + 2) + 1 =;
= (z + I)2 > 0, где г = х2 — 7х + 10.
3) Указание. Использовать подстановку: т = а + 1.
12. Решение. Число З1974 кратно трем, поэтому можно
воспользоваться подстановкой З1974 = Ът (т £ N). Тогда данное
число можно записать в виде:
2*т + 1 = (2тУ + 1 = (2т + 1) (22/я — 2™ + 1).
Следовательно, данное число является составным.
13. 1) Р е ш е н и е. х2 + у2 = (х + у)2 — 2л;у = р2 — 2q.
14. Решение. Выполнив подстановки, получим:
р4 _ 4p2q + 2ф + р4 = 2 (р2 _ ^2 = _
... = 2 (jc2 — ху + у2)2.
Решение упражнений 13 и 14 может послужить поводом для небольшого
рассказа о симметрических многочленах.
Если в многочлене, о котором идет речь в задаче 14, букву х везде
заменить буквой у, а букву у — буквой х, то получим новый многочлен,
тождественно равный первому. Многочлены с двумя переменными, обладающие
таким свойством, называются симметрическими. При
оперировании с ними часто используются подстановки, указанные в задаче 13.
§ 15. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее
решить одну и ту же задачу тремя различными
способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая
одну задачу различными способами, можно путем
сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее.
Так вырабатывается опыт.
У. У. Сойер
Многие задачи допускают несколько способов решений. Часто
первый избранный способ бывает далеко не самым удачным.
Образно говоря, решающий задачу находится в положении человека,
блуждающего по незнакомой местности. Дойдя до цели, он видит,
что дорогу можно было выбрать более удачную. Нахождение
3*
«7

'ч,
«наиболее простых», оригинальных способов решений нередко
является результатом длительной и кропотливой раббты. Умение же
решать задачу несколькими способами является одним из признаков
хорошей подготовки школьников по математике.
Обучение поискам нескольких способов решения задачи мы
рассматриваем как одну из форм учебной работы по развитию
математического мышления школьников, их общего развития.
Типичная жизненная ситуация — ищется несколько решений проблемы
и из них выбирается оптимальное. Решение задачи несколькими
способами к тому же помогает установить связи между, казалось
бы, совершенно разнородными темами школьного курса математики.
Естественно, что каждую оригинальную мысль, 'доказательство
желательно рассматривать как особое достоинство труда
школьника. Вместе с тем обычно возникает необходимость рассмотреть
в классе или на занятиях кружка примеры решения одной и той
же задачи различными способами.
Задача. Пусть а € N и b £ N. Доказать, что если а — b делится
на три, то и а8 — б3 делится на 9.'
Решение. Первый способ. Преобразуем разность кубов
следующим образом:
с? — Ь* = (а—Ь)(а2 + аЬ + Ь2) = (а — Ь) [(а — б)2 + ЗаЬ].
Так как а — Ь делится на 3, то на 3 делится также (а — Ь)2
и, очевидно, (а — Ь)2 + ЗаЬ, а потому о3 — б8 делится на 9.
Второй способ. Пусть а — b = 3ft, причем k £ N. Тогда а —
в= 3ft + Ъ и поэтому
дз _ Ьг = (3ft + ЬУ — б3 = ... = 9ft (3k2 + 3kb + b2).
Следовательно, заданная разность кубов делится на 9.
Третий способ. Так как с? — б3 = (а — б)3 — ЗаЬ (а — 6),
причем, очевидно, (а — б)3 делится на 9, ЗаЬ (а — Ъ) тоже делится
на 9, то и заданное число делится на 9.
Четвертый способ. Так как а — 6 кратно трем, то каждое из
чисел а и 6 при делении на три дает один и тот же остаток г. Пусть
а = Зс + г, 6 = 3d + г. Выполнив соответствующую подстановку,
нетрудно показать, что а8 — ЬР делится на 9.
Пятый способ. Пусть a — b = 3k и k £ N. Тогда (а — б)3 =
= 27ft3, о3 — б3 = 27ft3 — ЗаЬ (а — 6), а8 — Ь* = 27ft3 — 9a6ft,
следовательно, с? — б8 делится на 9.
Обычно много решений допускают задачи, в которых требуется
разложить многочлен на множители. Рассмотрим один из
характерных примеров.
Задача (!). Разложить на множители многочлен я5 + jc4 + 1.
Решение. Первый способ. Приведем одно из громоздких
решений:
& + X* + 1 = (X5 — X2) + (** — х) + (X2 + X + 1) = X2 (X —
— 1) (X2 + X + 1) + X (X — 1)'(Х2 + Х+1)+# + Х+1=*
= (X2 + X + 1) (X8 - X + 1).
68

Применение «лесенки» несколько упрощает преобразования:
*» + ** + 1 «х^х' + х3 —
— X3 — X2 — X +
+ X2 + X + 1 =*
-X3 (X2 + X + 1) — * (X2 + X + 1) + (X2 + * + 1) =* 1
«(*■ + * + 1)(*»_* + 1).
Второй способ. Естественно, возникает вопрос:- а нельзя ли
упростить и это решение? Анализ приведенной выше записи
наводит на мысль о пути сокращения преобразований:
*» + *• + 1 =^ + х4 + х8 —
^3 JL I —
=х3 (х2 + х + 1) — (х — 1) (х2 + х + 1) = (х2 + х + 1) X
X (х3 — х + 1).
Третий оюооб. х5 + х4 + 1 = (х5 — х2) + (х4 + х2 + 1) =*
« (X3 — X2) (X2 + X + 1) + (X2 + X + 1) (X2 — X + 1) «
= (X2 + X + 1) (х3 — X + 1).
. Четвертый способ. х5 + х4+ 1 = (х5 — х? + х2) + (х4 — х2 +
+ X) + '(X3 - X + 1) = ... = (X3 - X + 1) (X2 + X + 1).
Но все эти способы трудньГтем, что ученик должен догадаться,
что за скобки надо вынести либо многочлен х2 + х + 1, либо
многочлен х3 — х + 1. Но как догадаться? Несложные рассуждения,
приведенные ниже, проливают свет на пути поисков ответа на этот
вопрос.
Пятый, способ. Если многочлен пятой степени,
рассматриваемый нами, можно разложить на множители, то этими двумя
множителями могут быть либо многочлены первой и четвертой степени,
либо многочлены второй и третьей степени. При этом старший
член произведения должен быть .равен произведению старших
членов сомножителей, а свободный член произведения —
произведению свободных членов сомножителей. Значит, в первом случае
возможны, видимо, двучлены х + 1 или х— 1. Во втором случае
возможны четыре варианта трехчленов для проб: х2 + х + 1,
х2 + х — 1, х2 — х + 1, х2 — х — 1. Теперь остается выполнить не
брлее шести испытаний, применив, например, «лесенку» или, если
учащимся известно, правило деления многочлена на многочлен.
Из всех рассмотренных способов решения задачи мы выбрали
- бы пятый — он богаче остальных содержанием.
Приведенные ниже задачи требуется решить несколькими
способами.
1. Разложить многочлены на множители:
' 1) а* + 2а8 + 1; 3) Ы — а2 — 1..
2) т8 + 2т — 3;
69

2*. Разложить многочлены на множители:
. 1) а7+ 0*4-1; 3)а7-1;
2) а5 + аб4 + Ь5; 4> 2а3 — ах2 — х3.
3(!). Сумма двух положительных чисел равна 2а. Найти
наибольшее .произведение этих чисел.
4(!). Площадь прямоугольника равна а2. Найти наименьшую
длину, которую может иметь этот прямоугольник.
5. Если а + Ь = 2, то о? + б3 > 2. Доказать.
6. Если m + я — 2, то тя ^ 1. Доказать.
7. Доказать, что из всех натуральных чисел вида 2/7+1, где
р — простое число, только одно является точным кубом. Найти
это число. х
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 1) Р е ш е н и е. Первый способ, а4 + 2а3 + 1 = (а4 + с?) +
+ (а3 + 1) - а3 (а + 1) + (а + 1) (а2 - а + 1) = (а + 1) х
X (а3 + а2 — а + 1).
Второй способ, а4 + 2а3 + 1 = а4 + а3 +
, + а3 + а2 —
— а2 — # +
+ а+ 1=*
^ л3 (а + 1) + а2 (а + 1) — а (а + 1) + (а + 1) =
** (а + 1) (а3 + а2 — а + 1).
7>шнй способ, я4 + 2а3. + 1 = (а4 + 2а3 + а2) — а2 + 1 =
*= а2 {а + I)2 — (а + 1) (а — I) = (а + 1) (а3 + а2 — а-+ 1).
Возможны и другие способы решения задачи, но они, как
правило, либо громоздки, либо требуют дополнительных знаний. Так,
например, можно попытаться разделить заданный многочлен на
а + L
2) (т - 1) (т2 + т + 3);
3) (а- 1)(а + 1Х202— 1).
2. 1) (а2 + а + 1) (а5 - л4 + а3 — а + 1);
2) (л2 + ab + Ь2) (а3 — а2Ь + б3);
3) {а — 1) (а6 + а5 + „. + а + 1);
4) (а — 4 (2^ + 2^ + *2). "
4. Решение. Очевидно, для решения задачи достаточно
показать* что наименьшее значение длины полуперимётра р равно 2а.
Первый способ. Пусть длины сторон прямоугольника
соответственно равны х и у. Так как ху = а2 и (х + у)2 = (х — у)2 + 4гу,
то (x + yf^Jx — y)2 + 4a2. ;-
, Наименьшее значение (л: + у)2 будет Тогда, когда х^-у =*= О,
т. е. когда х = у. В этом случае я -f- утгринимаёт Наименьшее
значение, равное 2а.
70

Второй способ. Пусть л: т-длина стороны прямоугольника.
Тогда длина смежной стороны будет равна р — х, а площадь
прямоугольника х (р — х). Имеем: х (р — х) = а2, и поэтому
х2 + а2 — рх — 0, (х — а)2 + х (2а — р) = 0.
Последнее равенство возможно только при 2а — р ^ 0, т. е.
при р ^ 2а. Очевидно, наименьшее значение р равно 2а.
Третий способ. Пусть д; — длина стороны прямоугольника.
Тогда длина второй стороны равна—, а длина полупериметра рав-
на — + х. Чтобы показать, что р ^ 2а, достаточно показать, что
х + - 2а > 0, что не вызывает затруднений.
~ t Четвертый способ. Полупериметр квадрата со стороной а
равен 2а, а площадь квадрата равна а2. Если одну из сторон уменьшить
на т (а > т > 0), то, чтобы площадь прямоугольника осталась
прежней, нужно вторую сторону увеличить на п (п ^ 0). Тогда
(а — т) (а + я) — а2, а поэтому а (я — т) = тл > 0.
Следовательно, л — т ^ 0. Тогда полупериметр прямоугольника будет
равен 2а + (п — т) > 2а и т. д. Что я ^ /и, можно показать н на
основании геометрических соображений.
6. Решение. Первый способ. Так как т = 2 — я, то 1 —
— /?щ = 1 — п (2 — я) =» ... = (1 — п)2 ^ 0, а поэтому 1 ^ тя.
Второй способ. Пусть m = 1 + #, тогда п = 2 — (1 + *) =»
= 1 — х и, следовательно,
1 — тя = 1 — (1 + х) (1 — х) =» ... — х3 > 0; 1 > ят.
Третий способ. Так как 4тя = (яг + я)2 — (яг — я)2, то 4 —
— (т — п)2 ^ 4, а поэтому тп ^ 1.
Четвертый способ, тп — 1 = /пя — 2 + 1 =тя — т—п +
+ 1 = ... = (т — 1) (я — 1) < 0, так как (яг — 1) + (я — 1) «
= (яг + я) — 2 = 0 и, следовательно^числа m — 1 и я — 1
являются противоположными. Так как тп — 1 ^ 0, то тп ^ 1.
Пятый способ. Предположим, что тп > 1; Тогда
тп + т2 > 1 + яг2,
яг (я + яг) > 1 + т2,
2т > 1 + т\ 0 >(1 — яг)8.
Полученное противоречие показывает, что сделанное
предположение неверно. Следовательно, тп- ^ 1.
7. Решение. Первый способ. Пусть 2р + 1 ■— я8, х € N.
Тогда 2/) «- (х — 1) (** + ж + 1). Так как я* + х + 1 является
нечетным числом, то оно не делится на 2. Следовательно, заданное
равенство возможно только тогда, когда * — 1 = 2. В этом случае
х = 3, р « 13, а искомое число равно 27.
Второй способ. Пусть (2у + I)8 — 2р + 1, причем у € #. Тогда
должно иметь место равенство: у (4у2 + 6у + 3) » р.
При простом р оно верно только тогда, когда у « 1 и,
следовательно, р =5 13*
71

§ 16. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Мне думается, что главнейшим в творческой деятель^
ности является способность непрерывно работать,
умение месяцы, годы, десятилетия добиваться
намеченной цели, неустанно искать пути решения проблемы;
Акад. М. А. Лаврентьев;
Упражнения этого параграфа являются естественным продол-,
жением задач, предложенных в § 10, и соответствующих задач в
последующих параграфах. Следует заметить, что особое внимание
нужно обратить на сопоставление понятий графика функции и_
графика уравнения («Алгебра, 6», пп. 17—19 и 53-—56).
1(!). Периметр треугольника равен 12 см, а длина одной из его
сторон равна 5 см. Найти зависимость между длинами двух других
сторон и построить график этой зависимости.
2. Дан график функции у = х + — и точка (1; 0). Сколько
прямых можно провести через эту точку, таких, чтобы они не
пересекали заданный график?
3. Построить графики уравнений:
1) у2 — 2ху + х2 — 1 = 0;
2) f — ху — х2у + х3 = 0;
3) (У— -)(х2 — 6х + 9) = 0.
X
4. Решить системы уравнений:
1) (Х + у = 10^0, 3)
\х — у= 1019;
2) /2а3 + ЪЬЬ = 19, 4)
{За3 — 4&5 « 20;
\х + у = (а + I)2,
|* — у = (а — I)2;
а2 — 2аЬ + Ъг = 0,
2а — Ь = 3.
5. Определить вид четырехугольника, вершинами которого
являются точки пересечения прямых:
у = х + 3, у = х — 3, у = —х + 3, у = —а: — 3.
6. Решить системы уравнений:
1) Г2*+у = jc + 7, 3) (bb—b*k + Ь — k = 0,
1* + у = 3; \2Ь + 3k = 5;
2) Г(го - 2) (m2 + 2) = 0, 4)* (у = 5 — [*],
{2m + л = 9; \1 = х — [у].
7. Написать уравнение прямой, проходящей через точки:
1) А (3; 0) и В (3; 5); 3) Е (0; 4) и /С (2; 0);
2) С (2; 2) и D (-1; -1); 4) М (3; 2) и Я (6; 3).
8(!). Корни уравнения 2лг* + ах2 — 13л: + Ъ = 0 равны 2 и
—3. Найти а и Ь.
72

г.
го
1
/
/
/
Г
/
-
/
7
/
~1
J
L
■^
■'[/
ц
Рис. 27
Рис. 28
9(1). На рисунке 27 дан график температуры Г в градусах
нагреваемой воды в зависимости от времени / в минутах. Используя
данные графика, записать при помощи математических символов
функциональную зависимость, заданную графическим способом.
10. Решить уравнение: \х — 2|+ \у — 1| = 1, зная, что x£Z
и у € Z (Z — множество целых чисел).
11. На рисунке 28 изображена система автодорог, на которой
стрелками указаны направления разрешенного движения. По Л5
прошла колонна из 36 автомашин. Известно, что из этих автомашин
по ВС прошло на 10 более, чем по DE, а по CD прошли 2
автомашины. Сколько автомашин из колонны прошло по ВС, BD, DE и СЕ
в отдельности?
12. Решить следующую систему уравнений:
/ (* - У + I)3 + У = Ю, • -
\(х-у + 1)3 + *=^ И.
13. Решить системы уравнений:
\ 1)/МвЗ, 3) (ху — 2х — у+ 2 = 0, .
[х.+ 6у = 3; [Зх + у = 8.
2) Гу(х-1) = 0,
\2х + 5у = 7;
14. Найти расстояние между точками пересечения трех прямых:
у а, з*, у =* Зх — 6 и у = 1975.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. Решение. Пусть длина второй стороны равна * сл«, а
третьей — у см. Длина каждой стороны есть положительное число,
которое меньше половины периметра треугольника. Поэтому
73

Рис. 29 Рис. 30
0<х < 6, 0 < у < 6. Кроме того, из условий задачи следует, что
х + у = 7, а поэтому у = 7 — х. График зависимости представлен
на рисунке 29. Зависимость между х и у можно записать так: у =
= 7-хи 1 < х < 6.
2. Решение. Так как х не может быть равным нулю, то
графиком заданной функции будет прямая у = х + 1, из которой
удалена точка (0; 1). Следовательно, через точку (1; 0) можно
провести две прямые, удовлетворяющие условиям задачи: одна
параллельна прямой у = х + 1, а вторая проходит через точки
(1;0)и (0; 1) (рис. 30).
3. 1) Решение. Так как (у — х)2 — 1 = 0, то (у — х —
- 1) (У - х + 1) = 0.
Следовательно, или у — х — 1=0, или у — х + 1 = 0.
Графиком заданного уравнения будет объединение точек
соответствующих параллельных прямых.
4. 1) х = 55 • 1018 и у = 45 • 10м; 2) а = 2 и 6 = 1; 3) х -
= а2 + 1 и у = 2а; 4) а = Ь « 3.
5. Квадрат с вершинами в точках Л (0; 3), В (0; —3), С (3; 0),
D (-3; 0).
6. 1) х = 1 и у = 2. Указание. Так как х + у = 3, то,
выполнив соответствующую подстановку, записать первое уравнение в
виде: 23 = х + 7 и т. д. 2) m = 2 и л = 5.
3) Р е ш е н и е. Так как ft4 (b — Л) + (ft — k) = 0, (6 —
— k) (64+1)=0 и 64+1 >0, то левая часть первого уравнения равна
нулю только тогда, когда b — k = 0, т. е. при b = k.
Следовательно, надо решить следующую систему уравнений:
[Ь = К
\26 + 3k — 5. Получим: Ь — 1 и k = 1.
4) х =* 3 и у = 2. Указание. Так как 5 — [х] есть целое число,
то у тоже является целым числом, а поэтому у = [у], и второе урав-
74

нение можно записать в виде х — у = 1. Нетрудно показать, что
М •= х и т. д.
7. 1) Уравнение прямой: х = 3. 2) у = jt. 3) Решение.
Уравнение прямой: у = kx + Ь. Надо найти А и 6. При х = 0 и
у = 4 получим: 4 = 0 • х + 6, следовательно, 6 = 4. При х = 2
и у = 0 имеем: 0 = £ • 2 + 4, следовательно, Л = —2, Уравнение
прямой: у = —2х + 4.
4) Решение. Пусть уравнение искомой прямой имеет вид:
у = kx + 6. Надо найти А и 6. Так как прямая проходит через
точку М (3; 2), то 2 = k • 3 + 6, а так как, кроме.того, эта прямая
проходит через точку Р (6; 3), то 3 = fe • 6 + Ъ. Следовательно,
решив систему уравнений
(Ък + Ь = 2,
\6fe + А = 3,
найдем к = — и 6 = 1. Уравнение прямой: у =—х + 1.
«3 3
8. Решение. При х=2 заданное уравнение принимает
вид: 4а + 6 = 10, а при х = —3 получим: 9а + 6 = 15.
.Следовательно, решив систему двух уравнений с неизвестными а и 6
/4а + b = 10,
\9а + 6 = 15,
найдем эти неизвестные: а = 1, 6 = 6.
9. Т = 20/ + 40 при 0 < t < 3 или Т=100 при 3 <t < 7.
' 10. Зи 1; 1 и 1;2и2;2и0.
11. 24, 12, 14, 22. Указание. Пусть по участку ВС прошло х
машин, а по участку BQ прошло у машин. Показать, что решение
задачи можно свести к решению следующей системы уравнений:
(Х + у = 36,
\х — у — 2 = 10.
12. Решение. Почленно вычитая из второго уравнения
первое, найдем, что х — у = 1. Следовательно, после
соответствующей подстановки система уравнений примет вид:
{(1 + I)8 + у = 10,
Ц1 + 1)» + х = И. Получим: х = 3 и у = 2.
13. 1) 3 и 0 или —3 и 1. Указание. Показать, что решение
заданной системы сводится к решению совокупности систем
уравнений:
(х = -3,
3, или \х + 6у = 3.
2) Указание. Решить совокупность систем уравнений:
ix = 3,
W + 6y' =
fy = 0, (x-^l =0,
\2х + 5у-= 7, или : \2х^ 5у = 7*
175

3) 1 и 5 или 2 и 2. Указание. Решить совокупность систем
уравнений:
\ Зх + у = 8, \3* + у — 8.
14. 2. Указание. Показать, что искомое расстояние равно
расстоянию между точками А (0; 0) и В (2; 0).
§ 17. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ
Для начинающих было бы полезно самим находить
решения, отличные от помещенных в руководстве... .
Не менее полезно для учащихся доводить до конца
решения, нами только указываемые.
Акад. М. В. Остроградский
Упражнения по.данной теме весьма разнообразны по
содержанию, форме и трудности. Решение задач приобретает характер
повторения и обобщения всей проделанной работы, поскольку требует
четкого знания основных фактов из почти всех ранее изученных
разделов программы. Естественно, что действия над*
алгебраическими дробями связаны прежде всего с действиями над
многочленами и, в особенности, с разложением многочленов на множители.
Решение упражнений по теме потребует свободного применения
почти всех методов и приемов, о которых шла речь в предыдущих
параграфах. Кроме того, многие из предложенных ниже
упражнений могут быть решены различными способами.
В этом параграфе значительно больше упражнений, чем в
каждом из предыдущих. - •
Все сказанное выше заставляет обратить особое внимание на
рационализацию труда школьников. Предполагается, что во
многих случаях достаточно ограничиться устным анализом или
полуписьменным решением отдельных задач.
Мы считаем, что уже наступает время, когда ученик должен
постепенно отходить от слепого правила «записывать все подряд».^
Записывать в тетрадь теперь следует решение только тех заданий,
которые вызвали у школьников определенные затруднения.
Таким образом, работа над материалами этого параграфа
предполагает постепенный переход на более высокую ступень организации
школьниками своей самостоятельной работы, столь необходимую
во всей последующей их деятельности, а в особенности, например,
в заочных школах физико-математического профиля.
1. Вычислить наиболее рациональным способом:
т^в— 1
2 402 000(494+1) '
76*

2. Построить график функции:
л^ —л;2 —лг+ t
3. Если b—целое число, не равное 1; то будет ли целым число:
65 — 56 + 4?
б2 —26 + 1
4. Упростить выражение:
5*. Показать, что если я3 + я — 1=0, то имеет место равен»
ство: ^.
л4_2*3 + л*--3* + 5 ^
*» —** —* + 2 ""
6. Известно, что ab = ck =£ 0. Упростить дробь:
a+b+c+k
7*. Если имеет место равенство: ab (а + Ь) =* 1, где а > 0,
6>0, та.
а8 + а+1 68- + 6+1
Доказать. -
8(!). Упростить дробь
х* + ху+у*
~ 1+ху + х2у2
при условии, что 1) х + у — ху = 1, 2) л: + у + ху = — 1.
9. Кассир выдал 109 рублей денежными знаками двух досто*
инств: в и руб. и в 3 руб., всего 20 купюр. Сколько было выдано
денежных знаков достоинством в а руб.?
10. Если на каждую скамейку посадить по а учеников, то 5
учеников останутся без места, если посадить по 8 учеников, то 4 места
останутся незанятыми. Узнать, сколько было скамеек и сколько
было учеников.
11. В каком двузначном числе удвоенная сумма-цифр равна их
произведению?
12*. Ученик «незаконно» сократил показатели степени, но полу*
чил правильный ответ:
43»+17» 43+17 20
43» + 263 "~ 43 + 26 в 23*
Объясните причину этой «случайности».
13. Доказать, что уравнение
х2 ху у2
не имеет решений, если х € N и у € N.
П

14. (Задача была предложена акад. А* Н. Колмогоровым на од-
ной из олимпиад летних лагерных сборов Малой академии наук
Крыма «Искатель».) Найти все целые а, при которых дробь
а—1
принимала бы целые значения.
15. Доказать, что точки числовой оси, соответствующие
числам вида
п* + да + 2
- л4 + ла +1
(я 6 N) расположены на отрезке, длина которого не превышает —.
з
16(1). Решить в целых числах уравнение х + у=*ху.
17. Найти двузначное число, равное утроенному произведению
его цифр.
18. Найти двузначное число, равное утроенному квадрату
цифры его единиц.
19. Известно, что2Ь=*1+аЬиа=£1иЬ=£1. Доказать, что
при этих условиях имеет место следующее равенство:
а-1 &-1
20. Доказать:
1\ a+b + с а — Ь + с
1) если 7 и = а »
а + 6 — с а — Ь—с
то Ь = 0 или с =* 0; .
а ib с а—b а—с
Укажите те ограничения, которые надо наложить на переменные.
21(!). Пусть а, Ь и с — стороны треугольника. Доказать, что
а+Ь 1
.22. Пусть а >—1. Доказать, что с увеличением а дробь ——
а+ 1-
тоже увеличивается.
23*. Одинаковое ли потребуется время для проезда на катере
туда и обратно по реке и по озеру (в стоячей воде)?
24. Вычислить при хуг '«* 1 следующую сумму:
1 + ^Л—+. 1
l+x + xy l + y + yz * l-fs + г*
25. Если 6а — п2 = о* — &* = с* — mV то имеет место
равенство:
6wt — ctt . eft —• сип , an — bk Л
т? —г—— -1 = v.
a —ft 6 —л с—m
Доказать.
7»

26. Известно, что в прямоугольном треугольнике с2 = а2 + Ь2,
где а и 6-г длины катетов; с — длина гипотенузы. Найти острые
углы треугольника, если (-^—) = 0,5.
\а + Ь)
27*. Если ^ + ^ + с
Ь + с
а+ с
а + Ь
Ь + а
, Ь+с , с + а
Ь+с с + а а + Ь
= 1, то имеет место равенство:
4.
28*. Переменные х и у положительны, х + у = 6. Найти
наименьшее значение суммы —| .
29*. ' Что больше: %™±± L ™™+-1?
2319'4 ц_ 1 23ш» + 1
30*. Пусть |у| Ф 1 и у Ф 0. Известно также, что
хл =
у-1
х2
-x-LTl
у+У "' \+Г
Чему равен у, если х1т = 3?
31*. Если имеют мерто равенства
__ а~~ь _ *~" с
*~ а + Ь' У ~ Ь+с'
то (!+*)(!+у) (1+*) = (!-*)(!
__ *а--1
.2 =
с+а
у) (1 — г). Доказать.
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ. ОТВЕТЫ
1. 2,4. Указание. Разложить числитель на множители и
сократить дробь.
2. Решение. После сокращения дроби получим у = х — 1
при условии, что х ф 1 и х =£—1. Поэтому график функции
будет иметь вид, указанный на
рисунке 31.
3. Да. Указание. Разложить
числитель дроби на множители
и сократить дробь на Ъ2—2Ь+1.
4. Указание. Использовать
подстановку у = 2х.
5. 3. Указание. Числитель
дроби равен:
(х*+ х2— х) — (2г>+ 2х — 2) +
+ 3 = 3.^
Знаменатель дроби равен:
(jc5 + л3 - я1) - (*■ + * - 1)+
+ 1 = 1. Рис. 31
IIIIIIIIK
till'
г
1 1 1 1 1 1 Г 1 1
1 1 1 1 1 1 I I 1
г
Milium
г 1 1
1 [ 1 III \f\ I ' 1
Lm п
п

6. Решение. Умножив числитель и знаменатель дроби на
с Ф 0, выполнив подстановку и воспользовавшись равенством
ab = ck9 получим:
ac — bc — c2 + ab __ __ а—с
ас + be + с8 + ab * * * а + с*
Можно поступить и так: из заданного равенства выразить, нап-
ример, k9 выполнить подстановку и упростить полученное
выражение.
7. Решение. Первый способ. Так как 1 = a2b + ab2, где
а > О, Ь > 0, то
а а 1
а» + а+1 "" а* + а+а*Ь + аЬ2 ~~~ а*+1+аЬ + Ь2 в
==——А—— = 1
~~~ а26+* & + а&а + #>_~~ 6» + Ь+1
Второй способ. Если а = 6, то тождество ечевидно. Пусть аФЬ.
Используя основное свойство пропорции, получим:
а (б8 + Ь + 1) = Ь (а3 + а + 1), ab (а2 — Ь2) = а — Ь,
ab (а + 6) = 1.
Выполнив теперь все преобразования в обратном порядке,
получим то равенство, которое^требовалось доказать.
8. Решение. Первый способ. Так как х + у =* I + ху,
то, возведя обе части равенства в квадрат, получим:
х2 + 2*у + у2 « 1 + 2*у + *У.
Из этого равенства следует, что числитель заданной дроби
тождественно равен знаменателю этой дроби, а поэтому дробь равна 1.
Второй способ. Простота полученного ответа наводит на мысль
о том, что можно рассмотреть разность между заданной дробью
и единицей и показать, что эта разность равна нулю.
Третий способ. Так .как ху — х — у ,+ 1 = 0, то, разложив
на множители левую часть равенства, получим: (х — 1) (у —1) = 0.
Следовательно, либо х = 1 и у — любое число, либо у= 1 и х —
любое число. Легко видеть, что в том и в другом случае заданная
дробь равна 1.
Четвертый способ. Нетрудно заметить, что в числителе и
знаменателе заданной дроби — симметрические многочлены (см. § 14,
задачи 13 и 14). Следовательно, можно воспользоваться
подстановками х + у = —р и ху = q, а также одним из результатов
задачи 13: г5 + У2 = Р2 — 2q.
£. Решение. Если х — число купюр достоинством а руб.
(х € N), 'то ах + 3 (20 — х) = 109 при условии, что а = {1; 3;
5; 10; 25; 100}. Так как х = 49 : (а — 3), то а может быть равным
только 10. Следовательно, выдано 7 купюр достоинством 10 руб.
10. 9 скамеек и 68 учащихся или 3 скамейки и 20 учащихся.
11. Решение. Пусть а — цифра десятков, а & — цифра еди-
60

ниц двузначного числа. Очевидно а = {1; 2; ...; 9}, b = {0;. 1;
2; •..; 9}. По условию задачи 2 (а + b) = ab9 следовательно,
&= -^- и аф2.
а—2
Перебором значений а находим, что 6 может быть равно 3, 4 и 6.
Значит, искомые числа: 63, 44, 36.
12. Указание. Если & = еиа4-с¥в0, то равенство
а»+ 63 = а + 6 •
а3 + с8 а + 0
имеет место; если Ь Ф с и а + с Ф 0, то из указанного выше
равенства следует, что а = Ъ + с.
13. Решение. При х = 1 или у = 1 значение выражения,
стоящего в левой части равенства, больше 1, а если х > 1 и у > 1,
то значение выражения, стоящего в левой части равенства, меньше
единицы.
14. —1, 0, 2, 3. Указание. Выделить целую часть из дроби.
15. Указание. Выделить целую часть из дроби и показать, что
числа заданного вида больше 1 и меньше 1—.
о
16. Решение. Первый способ. Заметив, что у Ф 1, получим:
у— 1 у_1 у—1
Но дробь может принимать целые значения только тогда,
когда у — 1 = J или у — 1 — —1. В первом случае у == 2, х = 2.
Во втором случае # = у = 0.
Второй способ. Простота ответов может навести на идею
другого решения. Можно, например, попытаться проверкой убедиться
в верности двух указанных выше решений и показать, что других
решений быть не может.
Предположим, что исключены случаи: ху = 0, х = у = 2.
Разделив заданное уравнение почленно на ху, получим:
J. + 1-u
х у
При целых хи у, неравных 1, —< 0,5 и — < 0,5, а поэтому
х у
сумма этих дробей меньше 1. Очевидно также, что х ф I, у ф I.
Значит, других решений быть не может.
Третий способ. Из заданного уравнения следует, что ху — х —
—. у + 1 = 1 или после группировки в левой части уравнения
<*-.1)(у-1)-1.
Произведение целых чисел х — 1 и у — 1 может быть равным 1,
если каждое из этих чисел равно 1 или —1. Этот вывод позволяет
найти значения неизвестных.
81

f
! 17. 24 или 15. Указание. Решить в целых числах уравнение
10х + у = Зху, если 1<х<9и0<у<9.
18. 12 или 75. Указание. Решить в целых числах уравнение
Юл: + у = Зу2, если 1<*<9ир<у<9.
19. Решение. Первый способ.
(а + 1) (Ь - 1) - ф + 1) (а - 1) - 2 (а - 1) (6 - 1),
аЬ + 6 — а — 1 — ab — а + Ь + 1 = 2ab — 2а — 26 + 2,
26 = 1 + аб.
Так как из последнего равенства следует справедливость всех
предшествующих, то верно и данное равенство при заданных
условиях.
Второй способ. Убедившись, что в заданном равенстве а не может
быть равным двум, получим: Ь = .
Используя эту подстановку, можно убедиться, что левая часть
проверяемого равенства тождественно равна двум.
21. Указание. Показать, что разность между левой и правой
частями заданного неравенства больше нуля. При этом учесть, что
сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей
стороны.
22. Решение. Первый способ.
а = (а+1)-1 _^ 1__ *
а+\ а+\ а+\
При увеличении переменной вычитаемое уменьшается, а
разность увеличивается.
Второй способ. Пусть h > 0.-Доказать, что разность
a-\-h a
a+h+l a+\
положительна.
23. Решение. Пусть скорость катера равна а км в час,
скорость течения реки Ь км в час, а > Ъ > 0, S — путь в километрах,
проходимый катером в одном направлении. В первом случае вре-
• мя в часах, затраченное на поездку, равно:
S S _J 2aS
a — b a + b ~~ a2 —62 '
т^' 2$ 2aS тт
Во втором случае время поездки равяо = —-. Числители
а сг
двух полученных дробей равны, а знаменатель второй дроби
больше, чем знаменатель первой. Поэтому первая дробь больше второй.
На проезд по реке времени потребуется больше, чем на проезд по
озеру.
-24. 1. Указание. Воспользоваться подстановкой г = —.
ху
25. Указание. Числитель и знаменатель первой дроби умножить
на а + k9 второй.—на 6 + п, третьей — на с + т.
Щ

26. Р е ш е н и е. Из заданного равенства следует, что 2с2 =
*= (а + b)*r следовательно,
2 (а2 + &2) « а2 + 2аЬ + Ь2; (а — Ь? = 0, а =* fr,
а поэтому заданный прямоугольный треугольник является
равнобедренным, каждый его острый угол равен 45°.
27. Указание. К каждой дроби левой части первого равенства
прибавить по единице, а к правой прибавить 3.
28. Решение. Первый способ. Так как у =* 6 — х, то
заданная сумма равна:
х+у 6 6 6 d'"
*у ~~ *(6 — х) ~~ 9 — 9 + 6* — *а ~~ 9 —(3 —*)*
Сумма будет наименьшей при (3 — х)2.= 0, т.е. при х =* 3, сле-
2
довательно, наименьшее значение суммы равно —.
Второй способ. Пусть я = 3 + о, тогда у = 6 — 3 — а =* 3 — а.
Выполнив соответствующую подстановку, получим:
1 , 1 б
3 + а 3 —а . 9—а»
Очевидно, сумма будет наименьшей при а = 0 и т. д.
Третий способ. Можно воспользоваться тождеством:
(* + у)а-(*-:у>а = 4*у.
29. Первая дробь больше. Указание. Можно воспользоваться
подстановкой т = 231978 и найти разность между дробями.
30. Решение Легко доказать, что х* = » х* = у+ ,
У 1 —у
*4 = У-
Следовательно, х5 = хъ хь = х2, *7 — хз> ••• •
Так как 1974 = 4 • 493 + 2, то #,т = х* =* ,
1 у
Ответ:——.
О
§ 18. КВАДРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
* Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь
в том случае» если бы смог передать ученику гибкость
ума, которая дала бы ему в дальнейшем возможность
самостоятельно решать задачи»
У. У. Сойер
1(У). Решить уравнения:
t) i М - 4г 4) * — Зх + х~г ■» jt1;
2) (x-3)a-l-ji; 5) C^*-2f « W—«
Э)Ы—*1-в! 6) х(х—Ь) ****-$ W. *
83

2. Дан многочлен лс8 — 5д? + 8х. Известно, что если
значение х увеличить на единицу, то значение многочлена не изменится.
Найти это значение х.
3. Выпуск продукции завода за четыре года увеличился в
4 раза. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск
продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?
4 (!). Решить системы уравнений:
1) J*2 — 2х - 0, 2) (у2 — 4у + 3 « О,
№ + У - 6; \2х + у - 9.
5. Решить уравнения:
1) 4Е^г =* 0; 4) [х2] + х = 6;
|/7^з
2) я2 — 6 |*| + 9 = 0; 5) я2 + х = 0 или *2— 1 = 0;
3) (д: — 1>4 = 4; 6) х2 — 2х — 3 =* 0 и |х| < %.
6. Известно,' что график функции у = я2 + р* + q проходит
через точки Л (1; 1) и В (3; 1). Проходит ли этот график через
точку С (4; 5)?
7(1). Решить уравнения:
1) (х — 3)(х — 4) (х — 7) (х — 8) - 12; 4) х*—х»+х—1 - 0;
,2) У*8 — * + }/:я2 + х — 2 = 0; 5) *2+ 1*1+*—8=0.
8(1). Имеет ли у наибольшее или наименьшее значение, если:
1)**_6* + 2у=0; 3)у = г^;
2)3^+12^-2у-4 = 0; 4) у ■ _£=!_, _
9. Показать, что одно из уравнений
сх2 + тх — а = 0 или а*2 + пх + с = 0
обязательно имеет хотя бы один корень.
/ 10. Требуется оградить прямоугольную площадку,
примыкающую к стене. Забор должен иметь длину 60 м. Какой должна быть
длина и ширина этой площадки, чтобы площадь €е была_бы
наибольшей?
11. Доказать, что произведение двух последовательных
натуральных чисел не может быть равным 2Ък + 1 при k = {0; 1; ...}.
12. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы.
Если бриллиант разбить на две части, то в каком случае общая
цена двух частей будет наименьшей?
13. Испытывая судно, получили следующую таблицу
зависимости между скоростью v {узлов) и мощностью Н (лошадиных сил):
84

и
300
I о 1 5
780
7
1420
9
1
Предполагая, что зависимость между Н и v есть квадратная
функция, найти мощность судна при скорости 6 узлов.
14. Решить уравнения наиболее рациональным способом:
1) 1969*2 — 1974* +. 5 =* 0;
2) (а + Ь — 2с)х* + (Ь + с — 2а) х + (с + а — 2Ь) « 0. .
15. Если два прямоугольника имеют равные периметры и
равные площади, то длины их сторон соответственно равны. Доказать.
16(1). Определить р так, чтобы сумма абсолютных величин
-корней уравнения z2 + рг — 6 = 0_ была бы равна 5.
17. Разложить на множители:
1) а2 + 2Ь2 — 2с? + Ш + ас;
2) а2 — 2&2 — 2£^— аЬ + 5Ьс — ас.
18*. Сократить дроби:
1} (*-х-Б)(**-*-2) + 2
' (Х2 _ x _ 5) (Ж2 _ ^ _ !) + 4*
19(!). Сделайте из плотной бумаги трафареты для построения
графиков функций: у = #2, у = я3 и у = \х\. Используя трафареты,
постройте на трех листах графики трех этих функций.
1) Постройте на первом листе также график функции у = х2 -т- 2,
на втором — график функции у = я3 — 2, а на третьем — график
функции у = |x| — 2. Как это проще сделать, используя трафареты?
2) Постройте на первом листе третий график — график
функции у = —х2, на втором у == —я3, на третьем у = —\х\. Как
в таких случаях использовать трафарет?
3) Пользуясь трафаретами, постройте на новых трех листах
соответственно по три графика функций:
а) у = 1 — х2, б) у = 1 — я3, в) у = 1 — |*|,
У=|1-х2|; -у«ц-д»|; у-|1-Ml.
20. Построить графики функций:
1) у = (jc + 2)2, 2) у = (* +~2)8, 3) у = И-21,
У = -(х - \)\ у = -(* - I)8, у=-|*-11,
у - (х + 2)* - 1; у - (л: + 2)8 - 1; у=? И-2|-1.
85

21. Построить графики функций:
1) у = 4 - х2 и |*|< 2; 3) у = ^=-*;
2) у = 0,5 (*2 + х |х| + 4); 4) у =. (* - 2) |х|.
22. Сумма длин сторон прямоугольника равна 12 &ю. Построить
график зависимости площади треугольника от длины одной из его
сторон. Найти графическим способом стороны прямоугольника, у
которого площадь наибольшая.
23*. Построить графики уравнений:
1) * = У2; 3) л: = —у2 + 1; ■
2) х = (у — 2)2; 4) х = (у + I)2 — 2.
24. Построить графики уравнений:
Л), у ="> _ 2|х| + 1; 3)* W-+ |у| - 2, .
2)* |у| = 1 + х\
УКАЗАНИЯ. РЕШЕНИЯ? ОТВЕТЫ
J. 1) 2; 2) решений нет; 3) 2 или —2; 4) 3; 5) 4. Указание. Так как
ТЛс имеет смысл только при х ^ 0, то |#| = х, а поэтому |x| — х =
= 0; 6) х > 0.
# 1
2. 1 или 1т—. Указание. Нужно решить уравнение: я8 — 5л2 +
+ 8* = (х + I)3 — 5 (х + I)2 + 8 (х + 1).
3. Около 41%. Указание. Если л: — искомое число процентов,
то (см. задачу 3 из § 3): (1 + -^-) = 4 и т. д.
"4. 1) 0 и 6 или 2 и —2; Указание. Решить совокупность систем
уравнений:
$+°у = 6, или & +2; = 6.
2) 4 и 1 или 3 и 3. Указание. Решить совокупность систем
уравнений:
ft**,1' Q ИЛИ (У = 3, Q
\2х + у = 9, \2х + у = 9.
5. 1) Решений нет; 2) 3 или —3. Указание. Уравнение можно
записать в виде: (И — З)2 = 0; - •
3) 1 + V% или 1 — "[/2; 4) —3 или 2. Указание. Показать, что
[*} = *; 5) 0, -1, 1; 6) —1.
6. Решение. Так как график проходит через точку A <h 1),
то 1 ~ l2 -f р ♦ 1 + q. Так как график проходит через точку
86

В (3; 1), то 1 = З2 + р • 3 + q. Найдем р и q, решив систему
уравнений:
fp + f-0/
\3р +'? = —8, р = —4 и q = 4.
Уравнение параболы: у = х2 — 4х + 4. При х = 4 у = 4 =*
-=г 42 — 4 • 4 + 4, а не 5. Следовательно, график не проходит
через точку С.
7. 1) Р е ш е н и е. Приведем уравнение к виду
. (х2 — Их + 24) (х2 — Их + 28) = 12
и воспользуемся подстановкой: у = х2 — 11х + 24. Получим:
у (у+ 4) =12,
у = —6 или у = 2. Следовательно, решение заданного уравнения
сводится к решению совокупности двух уравнений: х2—Пх_+
+ 24= —6 или х2 — 11х + 24=2. Корни уравнения: 5, 6, 11±/33 .
2) 1. Указание. Слагаемые неотрицательны, а поэтому сумма
их равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю. Следовательно,
нужно решить систему уравнений:
<£ — х = о,
\х2 + х — 2 = 0.
' х2
3) 2, —1. Указание. Воспользоваться подстановкой у =- . ,
х + 2
4) —1 или 1. Указание. Разложить левую часть уравнения на
множители. __
5) 2 или —21^2. Указание. Решение уравнения сводится к
решению совокупности следующих систем:
\J-+2x-8 = 0 ИЛИ {х2-8 = 0.
8. 1) Р е hi e н и е. Дискриминант квадратного относительно х
уравнения должен быть неотрицательным, следовательно, 9 —
— 2у ^ 0, у ^ 4,5. Наибольшее значение у равно 4,5, а
наименьшего значения нет.
2) Наибольшее значение не существует, а наименьшее значение
у равно —8.
3) —1 <У < 1.
9. Решение. Дискриминант первого уравнения равен т2 +
+ 4ос, а второго пг — 4ас. Так как сумма этих дискриминантов
равна т2 + я2 > 0, то по крайней мере один из них
неотрицателен, а поэтому соответствующее ему уравнение ищет по крайней
мере рдин корень. ,.
37

10. Решение. Первый способ. Пусть ширина площадки со- If
ставляет х м, тогда длина ее будет равна (60 — 2х) м9 а площадь "Щ
составит у = х (60 — 2х) квадратных метров. Рассматривая полу- }
ченное равенство как квадратное уравнение относительно х9
получим: 2х2 — 60я + у = 0. Дискриминант этого уравнения
неотрицателен, следовательно, 900 — 2у ^ 0, у ^ 450. Наибольшее
значение площади равно 450 квадратным метрам; ширина
площадки 15 м, а длина 30 м.
Второй способ. Можно воспользоваться способом выделения
полного квадрата:
у = 2 (30* — х?) = 2 [225 — (225 — 30* + я2)] - 2 [225 —
-(15-х)2}.
При х = 15 получим наибольшее значение у, равное 450.
Возможны и другие способы решения. В частности, задачу
можно решить на основании геометрических соображений.
П. Решение. Первый способ. Пусть первое число равно я,
тогда второе число равно п + 1 (л € N). Предположим, что имеет
место равенство п (п + 1) = 25ft + 1. Тогда дискриминант
квадратного относительно п уравнения
п2 + п — (25ft + 1) = 0
равен 1 + 4 - (25ft + 1) = ... = 5 • (20ft + 1).
Число 5 (20ft + 1) кратно пяти, но не делится на 25 и поэтому
не может быть точным квадратом, а рассматриваемое уравнение
не может иметь рациональных корней. Полученное противоречие
показывает, что допущенное равенство не имеет места при
натуральных п и ft, а также при ft = 0.
Второй способ. Из равенства п (п + 1) =» 25ft + 1 ... (А)
следует, что
Л2 + п _ 6 e 25ft + 1 — 6,
(п + 3) (п — 2) = 5 (5ft' — 1).
Так как (п + 3) -^ (п — 2) = 5, то если одно из чисел п + .3
или п — 2 делится на 5, то и другое должно делиться на 5. Поэтому
произведение этих чисел,либо делится на 25, либо не делится не
только на 25, но и на 5. Правая же часть равенства кратна пяти,
но не может быть кратной 25. Противоречие.
Третий способ. Из равенства (А) следует, что
An2 + An = 100ft + 4,
4л2 + An + 1 = 100ft + 5,
(2n + l)2 « 100ft + 5.
Числа вида 100ft + 5 оканчиваются цифрами 05, а квадраты
нечетных чисел не могут оканчиваться этими двумя цифрами.
Противоречие.
88

Четвертый способ. Из равенства (А) следует, что п2 + п — 1
должно делиться на 25. Проверкой убеждаемся, что если п имеет
один из возможных видов: 5т, Ът + 1, Ът + 2, Ът + 3, Ът + 4,
то во всех случаях п2 + п — 1 не делится на 25. Противоречие.
12. Решение. Пусть цена у бриллианта вычисляется по
формуле у = am*, где т — его масса. Пусть, кроме того, масса
т
первого куска равца — + х. Тогда масса второго куска равна
т — — — х = — — х. Общая стоимость двух кусков будет
2, л
равна:
- .£+,;+.£_,]■-.£+,).
' Очевидно, эта сумма будет наименьшей, если х = 0, т. е. если
оба куска будут иметь одинаковую массу.
13. Решение.. Пусть квадратная функция имеет вид:
Н = оо2 + bv + с. Надо найти а, Ь и с. Тогда при v = {5; 7; 9}
и соответственно Н = {300; 780;. 1420} можно записать
следующую систему трех уравнений с тремя неизвестными:
[ 300 =* 25а + 5Ь + с,
780 = 49а + 7Ь + с,
11420 = 81а + 96 + с -
(см., например, решение задачи б этого параграфа). Исключая из
полученной системы уравнений, например, с% получим:
/480 - 24а + &,
\640 = 32а + Ь.
Исключив 6, получим: 160 = 8а, а =* 20. Тогда Ъ = 0, с = —200,
следовательно, Н = 20У2 — 200. При v = 6 имеем: Я = 20 • б2 —
— 200 = 520. Искомая мощность судна составляет 520 лошадиных
сил.
14. 1) Р е ш е н и е. Нетрудно заметить, что число 1 является
корнем заданного уравнения. Так как произведение корней этого
уравнения равно , а один из корней равен I, то второй корень
равен——. Очевидно, других корней быть не может.
2) Решение. Нужно обратить внимание на то, что в условии
не сказано, что надо решить квадратное уравнение. Поэтому
надо разобрать случай, когда а + Ь — 2с = 0.
Если а + b — 2с = 0и6 + с — 2Ь # 0, то уравнение
является линейным и имеет единственное решение:
v_ с + а — 2Ь
Ь + с — 2а
89

&}Щ
Если а + b — 2с = 0иЬ +
+ с — 2а = 0,то и с + а — 26=0
(покажите!), а поэтому х —
любое число. • -<r i
Если а + Ь — 2с Ф О, то
уравнение является квадратным,
причем сумма его
коэффициентов равна нулю. Очевидно, хх =
= 1. Второй корень равен
свободному члену, деленному на
первый коэффициент:
Рис. 32
4 + Ь — 2с
15. Указание. Используя теорему Виета, показать, что в обоих
случаях длины сторон являются корнями одного и того же
квадратного уравнения.
16. Решение. Пусть хиу —корни заданного уравнения.
Так как произведение корней равно —6, то они имеют разные
знаки. Пусть х>0 и у <0. Тогда, используя условия задачи и
теорему Виета, можно составить следующую систему двух уравнений
с двумя неизвестными:
У - -6,
х + (-у) = 5.
Получим два решения: 3 и —2 или 2 и —3. Число р найдем,
используя условие р = —(х + у), О т в е т: 1 или —1.
17. 1) (а + Ъ — с) (а + 2Ь + 2с);
2) (а — 2Ь + с) (а + Ь — 2с\.
[Указание. Каждое выражение можно рассматривать как
квадратный трехчлен, например, относительно а и найти его корни.
18. 1) х~Х~ъ • Указание. Использовать следующую
подстановку: у
эса—а?—3
= Хг —4С— 5.
У* — 1
Указание. Воспользоваться подстановкой:
Ух-\='у.
19. 1) Параллельный перенос графика каждой функции «а 2
единицы в отрицательном направлении оси ординат.
2) Симметричное отражение графика исходной функции
относительна оси абсцисс
21. 2) х > 0 я у « я2 + 2 иди х < 0 и у « 2; 3) х > Q л у —
= я2 — 1или*<0иу = —х*+1 (рис. 32); 4) х > 0 и у « л? —
— 2х - (х — I)2 — 1 или * < в и у — —я2 + 2* « — (х — I)2 +
+ 1 (рис. 33).
©о

L
1 -
\
x
\
\
~~^
\
\
У
i
l
/
i
yi
t
1
\
\
°/
7
f
i
t
\
/
t
v
4.
^'
;
\
\
V
\
3
1
i
V
7i
|
fr
Рис. 35
41 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1ТП
T 1 I Г ———1
I 1 I 1 I I I 1 /гПрк f
111 /1 f\ ill
Mill! \л 1 1 1 \ 1 1 1 1 1 1 1
1 I, 1 | 1 1 |/| I 1 1 l\l 1 1 1 1 1 1
1 | 1 | 1 1 / 1 1 1 1 1 \ 1 1 I I 1 1
1 1 1 1 1/1 1 1 1 1 1 l\ 1 1 1 1 1 1
III / \l III
1 1 1 1 /1 f 1 1 1 1 1\ 1 1 1 1 1
1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 1 1 \ 1 1 1 1 1
1 1 1 1/1 1 1 1 1 1 1 1 l\ 1 1 I 1 1
1 1 1 1/1 1 1 1 1 1 1 1 III 1 1 1 1
1 1 1 i Г1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1
III / III \ 1 1 г 1
III / Mr ft
1 1 1 /1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 l\ 1 1 1 1
\\l\ 111
IIxJIMiMMIlLIXI
°T ' l rfc
111 11-1 M 11II1! IIII
Рис. 36
Рис. 33
ll
V
\
\
\
\
\
v
л
щ
fa
1
ч,
0
\
L?
J
V
I
I
\l
_L
-iL
1
/
1
f1
,_^i
$
9k
*ч
1
0
r-
*/
f
*
i?
1
ч
^
Рис
2
»
34
'
^
ц
-
yi
i
0
1
1
f/
)
,
*
,
.
\Щ
■*i
Ь
1
n
Г"
-
г
Z
Щ
Рис. 37
Рис. 38

22. Решение. Пусть длина одной стороны прямоугольника
равна х см. Тогда длина второй стороны равна 6 — х см, а площадь
у в квадратных сантиметрах равна: у = х (6 — х) — —я2 + 6л: —
— 9 + 9 = 9— (х — З)2 и 0 < л; <6.
График функции представлен на рисунке 34. Площадь
прямоугольника будет наибольшей при, х ~ 3, т. е. когда длины
сторон его равны.
23. 1) Решение. Если считать переменную у независимой,
а переменную х зависимой, то искомым графиком будет парабола,
изображенная на рисунке 35. Поменяв местами оси Ох и Оу,
получим искомый график уравнения в привычной для нас системе
координат (рис. 36).
2) Указание. Произвести параллельный перенос графика
уравнения х = у2 (см. задачу 23 (1)) на 2 единицы в положительном на-4
правлении оси ординат.
24. 1) х > 0 и у =- (х — I)2 или х < О и у = (х + I)2; 2) у >
>0иу=1+*илиу<0иу = — 1— х (рис. 37); 3) искомое
геЪметрическое место точек изображено на рисунке 38.

ЛИТЕРАТУРА
1. Васильев Н.-Б., Егоров А. А. Сборник подготовительных
задач к Всероссийской олимпиаде юных математиков. М., Учпедгиз, 1963*
2. Виленкин Н. Я. Комби наторитса. М., «Наука», 1970.
3. В1 и л е н к и н Н. Я. О некоторых аспектах преподавания
математики в младших классах. «Математика в школе», 1965, № 1.
4. Германович П. Ю. Сборник задач по математике на
сообразительность. М., Учпедгиз, 1960, разделы 2, 6, 8.
5. Г н е д е н к о Б. В., Бирюков Б. В. Об алгоритмическом
подходе к обучению. Предисловие к книге Л. Н. Л а н д а «Алгоритмизация в
обучении». М., «Просвещение», 1966.
6. Гнеденко Б. В. О перспективах математического образования.
«Математика в школе», 1965, № 6.
7. Градштейн И. С. Прямая и обратная теоремы-. М., «Наука»,
1965.
8. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических
олимпиад (5—8 классы). М., «Просвещение», 1971.
9. Колмогоров А. Н. Научные основы школьного курса
математики. Вторая лекция. Натуральные числа. «Математика в школе», 1969,
№ 5.
10. К о л м о г о р о в А. Н. Что такое график функции. «Квант»,
1970, № 2.
П.Колмогоров А. Н. Функции, графики, непрерывные
функции. «Математика в школе», 1965, № 6.
12. К р ы г о в с к а я А. С. Развитие математической деятельности
учащихся и роль задач в этом развитии. «Математика в школе», 1966, № 6.
13. Л я п и н С. Е., Баранова И. В., Б а р ч у р о в а 3. Г.
Сборник задач по элементарной алгебре. М., «Просвещение», 1970, с. 60.
14. М и н к о в с к и й В. Л. Упражнения на отрицание в
преподавании математики.-«Математика в школе», 1967, № 5.
15. Мельников И. Г. Леонард Эйлер и элементарная математика.
«Математика в школе», 1957, № 4.
93

i6. M у р а в и н К. С, Крейдлин Е. Г. Сборник задач по
алгебре для 6—8 классов. М., «Просвещение», 1968.
17. Орлов А. И. Принцип Дирихле. «Квант», 1971, № 7.
18. П о й я Д. Математическое открытие. М., «Наука», 1970.
" 19. П ы ш к а л о А. М., СемушинА. Д., ТерентьевА. Д.
Изучать познавательные возможности у учащихся восьмилетней школы.
«Математика в школе», 1965, № 2.
20. С т р а т и л а т о в П. В. Упражнения Ъо алгебре на материале>тео-
ретической арифметики. Сборник «Из опыта преподавания математики в 5—7
классах средней школы». М., Учпедгиз, 1954.
21. Хинчин А. Я* О воспитательном эффекте уроков математики.
«Математика в школе», 1963, № 3.
22. Ш а х о в а Л. П. Комбинаторные задачи в 4—6 классах.
«Математика в школе», 1973, №5,

ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 3
Введение 4
§ 1. Перебор - ... 13
§ 2. Положительные и отрицательные числа .... 18
§ 3. Натуральный показатель степени 22
§ 4. Немного комбинаторики „ .... 26
§ 5. Опровергающий пример 29
§ 6. Числовые последовательности . г 31
§ 7. Разные задачи 37
§ 8. Одночлены - ... 40
$ 9. Преобразования суммы и разности многочленов. 43
§ 10. Графики функций ^ . 47
§ 11. Преобразование одночлена и многочлена. Вынесение
общего множителя за скобки ..,.»..«» 52
§ 12. Произведение многочленов. Группировка ...» 56
§ 13. Тождества сокращенного умножения 61
§ 14. Разложение многочленов на множители .... 64
§ 15. Различные способы решения задачи 67
§ 16. Системы уравнений 72
§ 17. Алгебраические дроби 76
§ 18. Квадратная функция ^. . 83
Литература * . . « 93

Федор Александрович Бартенев
НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ ПО АЛГЕБРЕ
Редактор С. В. Па&ельский
Обложка художника Б. Л. Николаева
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор М. М. Широкова.
Корректоры Т. А. Кузнецова и Р. Б. Штутман
Сдано в набор 19/1 1976 г. Подписано к печати 29/VI 1976 г. -
60X90Vi6. Бумага типограф. № 3. -Печ. л. 6. Уч.-изд. л. 5,48.
Тираж 200 тыс. экз.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение»
Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.
Отпечатано с матриц Саратовского ордена Трудового Красного
Знамени полиграфического комбината на Книжной фабрике № 1
Росглавполиграфпрома Государственного комитета Совета
Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли, г. Электросталь Московской области, ул. им. Тево-
сяна, 25.
Заказ № 1343,
Цена 15 коп«