Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта - Поспелов Д.А., Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов В.Б.

Автор: Поспелов Д.А. Аверкин А.Н. Батыршин И.З. Блишун А.Ф. Силов В.Б. Тарасов В.Б.
Теги: регулирование и управление машинами, процессами кибернетика теория множеств искусственный интеллект информационные технологии нечеткие множества
Год: 1986
Похожие
Искусственный интеллект
Толковый словарь по искусственному интеллекту
Системы искусственного интеллекта
Текст
                    ПРОБЛЕМЫ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
НЕЧЕТКИЕ
МНОЖЕСТВА
В МОДЕЛЯХ
УПРАВЛЕНИЯ
И ИСКУССТВЕННОГО
ИНТЕЛЛЕКТА
Под редакцией
Д. А. ПОСПЕЛОВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
ББК 32.81
Н59
УДК 62-50
А. Н. АВЕРКИН, И. 3. БАТЫРШИН, А. Ф. БЛИШУН,
В. Б. СИЛОВ, В. Б. ТАРАСОВ
Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллек-
та/Под ред. Д. А. Поспелов а.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.—
312 с.— (Проблемы искусственного интеллекта).
Рассматривается применение аппарата теории нечетких множеств к та-
ким областям математики, как теория матриц и отношений, логика, теория
автоматов и алгоритмов, модели принятия решений и др. Описывается при-
менение полученных формальных методов к кластерному анализу, распоз-
ваванию образов, задачам рационального выбора, экспертным оценкам, эко-
номическим прогнозам, описанию! биологических н социальных процессов,
моделированию поведения человека-оператора, к системам планирования
и представления знаний в системах искусственного интеллекта, алгоритмам
управления роботами и технологическими процессами, допускающим не-
четкие инструкции.
Для специалистов в области кибернетики, управления, робототехники,
биологии, социологии.
Табл. 32. Ил. 40. Библиогр. 616 назв.
Рецензент
доктор технических наук А. Н. Борисов
„ 1504000000—111	„„
Н	053 (02)-86 li9’86
/g-, Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора.......................................... 5
Введение ...................................................... 9
Глава 1. Способы формализации нечеткости.......................13
§ 1.1.	Два основных подхода к формализации нечеткости ...	13
§ 1.2.	Виды областей значений функций принадлежности ...	23
§ 1.3.	Гетерогенные нечеткие множества.......................24
§ 1.4.	Виды областей определения функций принадлежности 25
§ 1.5.	Нечеткие операторы....................................29
Глава 2. Нечеткие отношении и их применение в анализе сложных
систем.....................................................  37
§ 2.1.	Определение нечетких отношений........................37
§ 2.2.	Операции над нечеткими отношениями....................39
§ 2.3.	Свойства нечетких отношений...........................41
§ 2.4.	Декомпозиция нечетких отношений.......................42
§ 2.5.	Транзитивное замыкание нечетких отношений ....	44
§ 2.6.	Классификация нечетких отношений......................45
§ 2.7.	Отношения сходства и различия.........................48
§ 2.8.	Порядки и слабые порядки..............................52
§ 2.9.	Приложения теории нечетких отношений к анализу систем 58
Глава 3. Показатели размытости нечетких множеств ....	65
§ 3.1.	Основные виды показателей размытости..................65
§ 3.2.	Аксиоматический подход к определению показателей раз-
мытости НМ..................................................65
§ 3.3.	Метрический подход к определению показателей размыто-
сти НМ......................................................69
§ 3.4.	Связь показателя размытости с алгебраическими свойствами
решетки НМ..................................................70
§ 3.5.	Другие подходы к определению показателей размытости	74
Глава	4. Нечеткие меры и интегралы..........................77
§ 4.1.	Методические замечания................................77
§ 4.2.	Нечеткие меры...........................	... .	78
§ 4.3.	Особенности аппроксимации	нечетких мер................85
§ 4.4.	Нечеткие интегралы....................................90
§ 4.5.	Применение нечетких мер и интегралов для решения слабо
структурированных задач.....................................94
Глава 5. Нечеткие числа, уравнения и аппроксимация лингвистиче-
ских значений.............................................  102
§ 5.1.	Свойства нечетких чисел...............................102
§ 5.2.	Нечеткие числа (L — R) -типа.........................105
§ 5.3.	Решение уравнений с нечеткими числами................106
§ 5.4.	Некоторые области применения нечеткой арифметики .	.	109
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5.5.	Логико-лингвистическое описание сложных систем и
(L — R) -аппроксимация.......................................109
§ 5.6.	Методы точной интерпретации...........................122
§ 5.7.	Особенности лингвистической аппроксимации.............126
§ 5.8.	Обратная задача для нечетких отношений................126
§ 5.9.	Практическое использование логико-лингвистических моде-
лей .........................................................133
Глава 6. Нечеткая логика и приближенные рассуждения	.	. .	139
§ 6.1.	Специальная нечеткая логика...........................139
§ 6.2.	Многозначные и нечеткозначная логики..................145
§ 6.3.	Теория приближенных рассуждений.......................150
§ 6.4.	Анализ методов приближенных рассуждений...............159
Глава 7. Порождение и распознавание нечетких языков	.	. .	170
§ 7.1.	Нечеткий язык и его свойства......................170
§ 7.2.	Нечеткие грамматики и их свойства.................172
§ 7.3.	Порождение языков нечеткими грамматиками..........181
§ 7.4.	Описание нечетких регулярных языков регулярными выра-
жениями .....................................................183
§ 7.5.	Определение нечеткого автомата....................184
§ 7.6.	Распознавание языков нечеткими автоматами	....	188
§ 7.7.	Нечеткие регулярные грамматики и автоматы	....	189
§ 7.8.	Реализация нечеткими автоматами временных	соотношений	191
Глава 8. Нечеткие алгоритмы.................................198
§ 8.1.	Определение нечеткого алгоритма...................198
§ 8.2.	Способы выполнения нечетких алгоритмов............205
§ 8.3.	Представление нечеткого алгоритма в виде графа .	.	.	206
§ 8.4.	Алгоритмы обучения................................209
§ 8.5.	Описание простейших нечетких алгоритмов...........223
Глава 9. Нечеткие модели оптимизации и принятия решений	.	.	236
§ 9.1.	Модели нечеткого математического программирования	.	.	236
§ 9.2.	Модели нечеткой ожидаемой полезности..............242
§ 9.3.	Нечеткие модели коллективных решений..............244
§ 9.4.	Нечеткие модели многокритериальных задач..........248
§ 9.5.	Динамические модели принятия решения..............252
§ 9.6.	Лингвистические модели принятия решений ....	255
Глава 10. Методы построения функции принадлежности .	.	.	259
§ 10.1.	Основные группы методов..............................259
§ 10.2.	Прямые методы для одного эксперта....................263
§ 10.3.	Косвенные методы для одного эксперта.................265
§ 10.4.	Прямые методы для группы экспертов...................269
§ 10.5.	Косвенные методы для группы экспертов................270
§ 10.6.	Методы построения терм-мпожеств......................273
Основные обозначения............................................277
Список литературы...............................................279
Предметный указатель............................................307
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
В науке XX века нередко возникает ситуация, когда какое-то
исследование подобно одному кристаллу, попавшему в перена-
сыщенный раствор, мгновенно вызывает огромный поток работ.
Этот поток, разливаясь, захватывает большие области. Потом ис-
следования начинают иссякать, из-под разбушевавшегося потока
постепенно освобождаются те области, где новые идеи не нашли
для себя благодатной почвы. И, наконец, поток либо совершенно
иссякает, либо он принимает форму зарегулированного водото-
ка, текущего в тех местах, где его воды приносят неоспори-
мую пользу.
Так было, например, когда появились первые публикации
Н. Хомского по формальным грамматикам. Будучи лингвистом,
Хомский ставил перед собой совершенно определенную цель, свя-
занную с созданием формальных методов порождения синтакси-
чески правильных фраз. Но эта работа сразу вызвала поток ис-
следований, очень быстро выплеснувшихся из лингвистики (где
эти исследования дали начало практически новой ветви лингви-
стики — структурной лингвистике) в другие научные области:
формальные грамматики стали объектом изучения в кибернети-
ке, программировании, теории дискретных устройств управления,
а несколько позже исследования такого типа заинтересовали
психологов и специалистов по искусственному интеллекту. Очень
быстро первоначальная идея Хомского трансформировалась, по-
явились формальные грамматики самых разнообразных типов:
аппликативные, трансформационные, сетевые и многие другие.
В теории формальных грамматик возникли собственные, внут-
ренние для этой теории задачи, связанные с оценкой сложности
формальных грамматик, со сравнением по мощности языков, по-
рождаемых ими, с решением задач алгоритмической разрешимо-
сти для распознающих и порождающих грамматик. Довольно
быстро была установлена связь формальных грамматик с клас-
сическими объектами, изучающимися в теории логической вы-
числимости, что породило новую волну чисто математических
исследований. Потом поток публикаций стал уменьшаться и сей-
час от того контингента специалистов, который вел активные
работы в этой области, вряд ли сохранилось даже пять процен-
тов. Но эти «последние могикане формальных грамматик» ра-
ботают теперь более целенаправленно и продуктивно. Их наука
6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
накопила в период своего бурного развития достаточно фактов
и методов, чтобы стало возможным ее дальнейшее оправданное
существование.
Весьма похожей была и ситуация с бурным развитием тео-
рии автоматов. Примерно так же выглядел первый этап в созда-
нии языков программирования. Американскому ученому Л. Заде
мы обязаны возникновением еще одной аналогичной ситуации.
Роль стимулятора сыграла появившаяся в журнале Informa-
tion and Control в 1965 г. статья Заде, которая называлась
«Fuzzy Sets». Название нового объекта, который рассматривал-
ся в работе Заде, было придумано им. При переводах этого
термина на другие языки возникало немало трудностей из-за
семантической неоднозначности термина «fuzzy» и того почти
неуловимого в других языках смыслового оттенка, который несет
в себе это слово для носителей английского языка. Во всяком
случае, на русский язык его переводили и как «нечеткий», и как
«размытый», и как «расплывчатый», и даже как «неопределен-
ный». Первый из переводов со временем вытеснил остальные и
стал в отечественной литературе узаконенным.
Основная идея Заде состояла в том, что человеческий способ
рассуждений, опирающийся на естественный язык, не может быть
описан в рамках традиционных математических формализмов.
Этим формализмам присуща строгая однозначность интерпрета-
ции, а все, что связано с использованием естественного языка,
имеет многозначную интерпретацию. Программа Заде состояла
в построении новой математической дисциплины, в основе кото-
рой лежала бы не классическая теория множеств, а теория не-
четких множеств. Последовательно проводя идею нечеткости, по
мнению Заде, можно построить нечеткие аналоги всех основных
математических понятий и создать необходимый формальный ап-
парат для моделирования человеческих рассуждений и человече-
ского способа решения задач.
Программа построения нечеткой математики быстро нашла
отклик среди исследователе!! из разных стран мира. Как и в дру-
гих подобных случаях, исследования развивались в двух основ-
ных направлениях. Часть исследований устремилась «вширь»,
вводя в рассмотрение нечеткие расширения таких фундаменталь-
ных понятий математики, как функция, отношение, предикат.
Появились нечеткие уравнения и нечеткие интегралы, нечеткая
логика и нечеткая топология и многие другие подобные области.
Другие исследования устремились «вглубь». Их целью было вы-
явление самой природы нечеткости, возможности ввести нечет-
кие объекты не только на основе нечетких множеств Заде, а ка-
ким-либо иным способом. Так вместо одной нечеткой математики
стали строиться разные нечеткие математики. И оба эти направ-
ления породили огромное количество работ. Стали созываться
многочисленные национальные и международные симпозиумы и
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
7
конференции) посвященные нечетким множествам и их прило-
жениям в науке и технике. Возник международный журнал
Fuzzy Sets and Systems, членами редколлегии которого являются
известные советские ученые академик Н. Н. Моисеев и профес-
сор М. А. Айзерман. В 1984 г. создана международная органи-
зация по этим проблемам. Ее первый конгресс состоялся в 1985 г.
на острове Майорка. В нашей стране также наблюдается боль-
шой интерес к работам этого направления. В течение ряда лет
проводятся общесоюзные семинары и конференции, специально
посвященные отечественным достижениям в этой области.
В Москве, Ленинграде, Новосибирске, Риге, Баку, Тбилиси и
ряде других городов сложились научные коллективы, в которых
ведутся исследования, по уровню не уступающие мировому. Мно-
гие журналы публикуют статьи на эту тему, стали появляться
монографии, в которых обсуждаются те или иные аспекты, свя-
занные с построением моделей рассуждений и принятия реше-
.ний, характерных для людей (см. обширную библиографию в
конце книги).
Надо отметить еще одну особенность исследований в области
нечетких множеств. С самого начала основная прагмати-
ческая цель Заде — создание аппарата, способного моделировать
человеческие рассуждения и объяснять человеческие приемы
принятия решений в ходе решения различных задач, привлекла
в эту область многочисленную армию прикладников. В потоке
чисто математических работ начал возникать поток работ при-
кладных. Идеи Заде и его последователей находят применение
при создании систем, понимающих тексты на естественном язы-
ке, при создании планирующих систем, опирающихся на непол-
ную информацию, при обработке зрительных сигналов, при управ-
лении техническими, социальными и экономическими системами,
в системах искусственного интеллекта и робототехнических си-
стемах. Именно эти практически ориентированные исследования
являются той питательной почвой, на которой продолжает расти
дерево поисков, связанных с понятием нечеткости. Но одновре-
менно они диктуют и свои требования к этому поиску. Расши-
ряется само понятие нечеткости. Как правильно отмечал в своих
работах известный советский специалист в области интеллекту-
альных систем А. С. Нариньяни, нельзя ограничиваться лишь
объектами, характеризуемыми нечеткостью. Недетерминирован-
ность, неполнота, ненормированность, неопределенность и мно-
гие другие «не» порождают свое понимание той математики, ко-
торая должна строиться для них.
Книга, которую предваряет это предисловие, написана кол-
лективом молодых авторов. Каждый из них хорошо известен
специалистам, работающим в данной области. Их основной за-
слугой явилось не только то, что они первые в нашей литерату-
ре изложили общую точку зрения на состояние работ в области
8
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
нечетких множеств и их применений для решения задач управ-
ления и искусственного интеллекта. Наряду с включением в на-
учный оборот малоизвестных советским специалистам зарубеж-
ных работ, они изложили и лично им принадлежащий ориги-
нальный материал в той области, которой посвящена монография.
По моему мнению, книга, как всякий первый опыт в новой
научной области, не лишена некоторых недостатков. Но достоин-
ства позволяют рекомендовать ее всем специалистам, интересу-
ющимся использованием новых методов, дающих возможность
работать с качественно или неполно определенной информацией.
Работа между авторами распределялась так: В. Б. Тарасов —
главы 1, 9; И. 3. Батыршин — главы 2, 3; В. Б. Силов — гла-
вы 4, 5; А. Н. Аверкин — главы 6, 7; А. Ф. Блишун — главы 7
(§ 7.8 написан В. Н. Захаровым), 8 и 10. Окончательная подго-
товка всего материала к печати осуществлена А. Н. Аверкиным,
А. Ф. Блишуном и В. Б. Тарасовым.
Редактор этой книги В. Н. Захаров сделал все возможное,
чтобы книга стала четко структурированной и единой по стилю
и замыслу, что всегда так трудно сделать при большом коллек-
тиве авторов.
Д. А. Поспелов
ВВЕДЕНИЕ
В свое время появление формальной логики было шагом впе-
ред в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представле-
ния человеческих знаний. Логика была призвана исключить не-
строгость, неоднозначность из рассуждений. Теперь же возникла
насущная необходимость создания теории, позволяющей фор-
мально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечиваю-
щей возможность продвинуться в познании процессов рассужде-
ний, содержащих такие понятия. Крупным шагом в этом направ-
лении явился подход, основанный на использовании понятия
нечеткого множества Л. Заде. Этот подход позволяет дать стро-
гое математическое описание в действительности расплывчатых
утверждений, реализуя таким образом попытку преодолеть линг-
вистический барьер между человеком, суждения и оценки кото-
рого являются приближенными и нечеткими, и машинами, кото-
рые могут выполнять только четкие инструкции. Человек спосо-
бен рассуждать, обучаться и принимать решения в нечеткой,
расплывчатой обстановке. Возможности же современных ЭВМ
далеки от возможностей человека, поэтому развитие нечеткого
подхода (теории нечетких множеств)—шаг вперед в развитии
инструмента, позволяющего разработать методы решения ука-
занных проблем.
Теория нечетких множеств появилась в результате обобще-
ния, переосмысления достижений: многозначной логики, позво-
лившей перейти к произвольному множеству значений истин-
ности (трехзначная логика Лукасевича, Zc-значная логика Поста,
бесконечнозначпая логика); теории вероятностей и математической
статистики, где аккумулируются всевозможные способы обработ-
ки экспериментальных данных (гистограммы, функции распре-
деления) и указываются пути формализации неопределенностей;
дискретной математики (теория матриц, теория автоматов, тео-
рия графов, теория грамматик, ...), предложившей инструмент
для формулирования адекватных моделей при решении множе-
ства практических задач. В теории нечетких множеств предла-
гаются следующие способы формализации нечетких понятий.
Первый способ (основан на работах Заде) предполагает от-
каз от основного утверждения классической теории множеств о
том, что некоторый элемент может либо принадлежать, либо пе
10
ВВЕДЕНИЕ
принадлежать множеству. При этом вводится специальная ха-
рактеристическая функция множества — так называемая функ-
ция принадлежности, которая принимает значения из интервала
[0, 1]. Этот способ приводит к континуальной логике.
При втором более общем способе формализации нечеткости
предполагается, что характеристические функции множества при-
нимают значения не из интервала [0, 1], а в конечной или беско-
нечной дистрибутивной решетке. Многие из основных операций
нечеткой логики со значениями истинности из интервала [0, 1]
могут быть распространены на случай значений истинности в
дистрибутивной решетке. Это обобщение называется нечеткими
множествами в смысле Гогена.
Третий способ — ^-нечеткие множества. При этом обобщении
каждый элемент универсального множества (reference space)
связан не с точкой в интервале [0, 1], а с подмножеством, или
частью этого интервала. Алгебра ^-нечетких множеств может
быть сведена к алгебре классов.
Четвертый способ — гетерогенные нечеткие множества. Здесь
в общем случае элементам универсального множества ставятся
в соответствие значения в различных дистрибутивных решетках.
Каждый элемент может быть связан с наиболее подходящей к
нему оценкой. Более того, сами значения оценок могут быть
нечеткими и задаваться в виде функций. Таким путем мы при-
ходим к нечетким множествам типа 2. Обобщая эти рассужде-
ния, получаем нечеткое множество типа п, п = 1, 2, 3, ..., для
которого значениями оценок являются нечеткие множества ти-
па п — 1.
Вышеприведенные способы формализации нечетких понятий
позволяют приближенно описывать поведение систем настолько
сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному
математическому анализу. В ряде случаев такое описание явля-
ется единственно возможным.
В реальных ситуациях принятия решений цели, ограничения,
критерии выбора в большей части субъективны и точно не опре-
делены. Поэтому при построении моделей принятия решений
возникает необходимость использования нечеткой логики, нечет-
ких множеств и отношений. Нечеткие отношения позволяют
моделировать плавное, постепенное изменение свойств, а также
неизвестные функциональные зависимости, выраженные в виде
качественных связей. Нечеткие алгоритмы, допускающие исполь-
зование нечетких инструкций, широко распространенных в раз-
личных сферах человеческой деятельности, позволяют описывать
приближенные рассуждения и, следовательно, являются полез-
ным инструментом для приближенного анализа таких систем и
процессов принятия решений, которые слишком сложны для при-
менения общепринятых количественных методов. Важным поня-
тием, относящимся к теории нечетких множеств, является неве-
ВВЕДЕНИЕ
11
роятностная энтропия, служащая интегральной характеристикой
размытости нечеткого множества. Изменение энтропии является
основным информационным показателем в моделях принятия
решений.
Чего же можно ожидать от теории нечетких множеств в раз-
личных отраслях человеческих знаний?
В философском плане теория нечетких множеств примеча-
тельна тем, что открывает новый подход к решению проблемы
абстракции и образования понятий, обладающих богатством все-
возможных оттенков.
В области анализа больших систем (например, системы уп-
равления экономикой страны, отрасли и т. д.) открывается воз-
можность моделирования неопределенности, выраженной, в част-
ности, в градациях информированности центра о нижележащих
уровнях.
В области психологии — это моделирование свойств целостно-
сти, диффузности психических образов и представлений, гибко-
сти мышления, многозначности элементов языка, присутствую-
щих на всех уровнях отражения, регуляции и коммуникации.
В области лингвистики — это моделирование смысла предло-
жений и текстов с помощью распределения возможностей, опи-
сываемых функциями принадлежности.
В области техники теория нечетких алгоритмов стимулирует
развитие гибких автоматизированных производств и робототех-
нических комплексов, в частности, роботов, способных выполнять
отдельные интеллектуальные действия человека. Это дает толчок
как развитию командного управления (выполнение нечетких ин-
струкций), так и созданию управляемых систем с повышенной
автономностью. Открытость системы, взаимодействие с внешней
средой ставят целый ряд проблем при конструировании соответ-
ствующих моделей. Эти проблемы связаны с неопределенностя-
ми, неизбежными при описании состояния внешнего мира. Ис-
точниками неопределенности такого представления являются: не-
возможность сколь угодно точного измерения реальных величин;
невозможность полного и четкого описания многих физических
объектов и ситуаций; принципиальные ограничения по точности
и большие погрешности выполнения сенсорных или перцептив-
ных действий; неточность исполнительских действий, которые
зачастую не достигают цели; недостаточность размерности моде-
ли, не позволяющая отразить все значимые свойства мира. Все это
позволяет считать отношение моделирования нечетким. В резуль-
тате приходим к использованию в качестве состояний модели и
мира нечетких множеств в исходных пространствах, а в ка-
честве действий (в мире) или операторов (в модели) — нечетких
преобразований над этими пространствами. Тогда с новых пози-
ций рассматриваются такие проблемы, как поиск в простран-
стве состояний, декомпозиция задачи на подзадачи, построение
12
ВВЕДЕНИЕ
планов посредством доказательства теорем в некоторой ло-
гической системе и т. д. Здесь также возможно привлечение
аппарата нечеткой логики, нечетких автоматов, алгебры нечет-
ких отношений и т. д. Эти и ряд других методов применяются
в области искусственного интеллекта — одной из наиболее пер-
спективных научных дисциплин, использующих теорию нечетких
множеств.
Под искусственным интеллектом обычно понимается область
знаний об искусственно созданных системах, которые способны
решать задачи, ранее считавшиеся прерогативой человеческого
разума. Связь между искусственным интеллектом и теорией не-
четких множеств является вполне естественной, если принять
гипотезу Л. Заде о том, что «человек мыслит не числами, а не-
четкими понятиями». Поэтому перспективны системы, способные
рационально действовать в изменяющейся ситуации и выполнять
нечеткие инструкции без изменения программы поведения.
Теория нечетких множеств может быть полезна при создании
диалоговых систем с языком общения, близким к естественному.
В настоящее время имеется ряд работ, в которых делаются по-
пытки создания диалоговых систем, понимающих фразы естест-
венного языка и позволяющих, например, на основе нечетких
инструкций модифицировать графические изображения или рас-
познавать слова с ошибками.
Представляются актуальными также исследования в области
создания нечетких языков программирования. К их числу можно
отнести языки LPL, ФАГОЛ, ПОЯ, Fuzzy, разработанные для
моделирования семантических аспектов естественных языков.
Авторы
ГЛАВА 1
СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
§ 1.1.	Два основных подхода к формализации нечеткости
Теория нечетких множеств, развивающаяся после публикации
в 1965 г. основополагающей работы Л. Заде [64], представляет
собой обобщение и переосмысление важнейших направлений
классической математики. У ее истоков лежат идеи и достиже-
ния многозначной логики (трехзначной логики Лукасевича, /с-
значной логики Поста), которая указала на возможности пере-
хода от двух к произвольному числу значений истинности и
поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся
содержанием; теории вероятностей, которая, породив большое
количество различных способов статистической обработки экспе-
риментальных данных (например, гистограммы, функции распре-
деления), открыла пути определения и интерпретации функции
принадлежности; дискретной математики (теории матриц, тео-
рии графов, теории автоматов и т. д.), предложившей инструмент
для построения моделей многомерных и многоуровневых систем,
удобный при решении практических задач.
Дальнейшие шаги в этом направлении связываются с созда-
нием строгих и гибких математических методов исследования
нечетко определенных объектов. При этом нечеткость образов,
представлений и понятий человека вводится в формальные мо-
дели различными способами.
Можно выделить следующие основные классификационные
признаки способов формализации нечеткости:
1)	по виду представления нечеткой субъективной оценки
какой-либо величины (нечеткого множества);
2)	по виду области значений функции принадлежности;
3)	по виду области определения функции принадлежности;
4)	по виду соответствия между областью определения и об-
ластью значений (однозначное, многозначное);
5)	по признаку однородности или неоднородности области
значений функции принадлежности.
Первый подход к формализации нечеткости состоит в сле-
дующем. Нечеткое множество (НМ) в [64] образуется путем
введения обобщенного понятия принадлежности, т. е. расшире-
ния двухэлементного множества значений характеристической
«функции {0, 1) до континуума [0, 1]. Это означает, что переход
14
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
от полной принадлежности объекта классу к полной его непри-
надлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, при-
чем принадлежность элемента множеству выражается числом из
интервала [0, 1]. Нечеткое множество
А = {(ж, цА(ж))}
(1.1):
определяется математически как совокупность упорядоченных
пар, составленных из элементов х универсального множества*)
X и соответствующих степеней принадлежности Цл(ж) или (по-
скольку функция принадлежности является исчерпывающей ха-
рактеристикой НМ) непосредственно в виде функции pu: X ->
[0, 1]**). Возможные виды функций цА изображены на
рис. 1.1. Пример записи НМ:
Л = {(«1, 0,2), (ж2, 0,6), (х,, 1), (ж4, 0,8)),	(1.2)
или в обозначениях [64, 4, 5]:
А = 0,2lxi + 0,61ж2+ 1|ж2 + 0,81x4
или
А= 0,210,61110,81.
Понятие НМ тесно связано с центральным понятием так на-
зываемой альтернативной теории множеств [3] — понятием полу-
множества. В то же время как множество предполагает наличие
Рис. 1.1. Виды функций принадлежности: с — субнормальная; а — амодаль-
ная; м — многомодальная; у — унимодальная; тп — точки перехода
определенных границ принадлежности и непринадлежности, по-
лумножество является более широким понятием, не имеющим
максимальных или минимальных элементов, а следовательно,
*) Универсальным множеством X нечеткого множества А называется
область определения функции принадлежности Цл.
**) Далее понятие НМ Д будем отождествлять с его функцией принад-
лежности (Гл.
§ 1.1. ДВА ОСНОВНЫХ ПОДХОДА К ФОРМАЛИЗАЦИИ
15
фиксированных значений принадлежности. В альтернативной
теории множеств четко разграничиваются понятия множества и
класса. Множество — это совокупность четко различимых эле-
ментов, которые можно перечислить, представить в виде списка.
Понятие класса является более общим, чем понятие множества.
Свойство объектов ц(ж), рассматриваемое как объект, определя-
ет класс {х, р.(х)}. Полу множеством называется собственный
класс (не множество), являющийся подклассом некоторого мно-
жества X: Ж = {х, р,(ж)}<=Х. Поскольку при определении полу-
множества не используется отношение принадлежности между
элементом и множеством, этот математический объект является
более общим, чем НМ. Но для практических применений полу-
множеств следует ввести функциональные ограничения на при-
надлежность и аппроксимировать полумножества нечеткими
множествами. Способы приближения полумножеств нечеткими
множествами описаны в [49—50].
Основные операции над НМ из класса всех НМ ^~(Х) =
= {ц| ц: X -* [0, 1]} универсального множества X представлены
в табл. 1.1. Ниже приводятся наиболее важные понятия теории
нечетких множеств.
Нормальность НМ. Нечеткое множество А нормально, если
верхняя граница его функции принадлежности равна единице,
т. е. sup р,д (х) = 1. При sup (х) < 1 НМ называется субнор-
мальным. Нечеткое множество пусто, если Цд(ж) = 0 угеА'.
Непустое субнормальное НМ можно привести к нормальному
(нормализовать) по формуле
Рд И = —, •	(1.3)
' sup (г)	'	'
Множество уровня а НМ. Множе-
ством уровня а (а-срезом) НМ А на-
зывается четкое подмножество универ-
сального множества X, определяемое
в виде
4а = {х^Х\ц.А(х)>а}, (1.4)
где ае[0, 1] (см. рис. 1.2). Например, для (1.2) и а = 0,6 мно-
жество уровня а имеет вид АЛ = {х2, xs, х^. С другой стороны,
Аа есть образ интервала [а, 1] при обратном отображении ц-1,
т. е. Аа = р, 1([а, 1]). Множество строгого уровня определяется
в виде
Л„ = {же Х|цА(ж) > а}.	(1.5)
Например, для (1.2) и а = 0,6 множеством строгого уровня
будет = {ж3,ж4}. в частности, носителем НМ А (обозначаемым
JA.
о
Таблица 1Л
Основные операции в алгебре нечетких множеств
№	Название операции	Символическая запись (в классе (X))	Графическое представление		Символическая запись (в классе Ф ([0,1]))	Модификатор или связка
1	Допол- нение	Рз(*) = Р(*) = = 1 — Н(я) у х е X		/	\ //Ф)	M3_(a) = = M(a) = X\UM(l-P) ₽S[0,a] у а <= [0, 1]	НЕ
2	Пересе- чение I (мини- мум: невзаи- модей- ствую- щие пе- ремен- ные)	рз(г) = (щ А Рг) (-0 = = min {р!(х), ц2(х)} \/г = А'	1 a	/ММ	\ AzW —''m inf//, W. Az	\ ,r	Мз(а) =Л/1(а)ПМ2(а) уае [0, 1]	И (И, .... И)
3	Объеди- нение I (макси- мум: невзаи- модеп- ствуго- щие пе- ремен- ные)	p3(z) = (piVPjH*) = = max(p.i(z), p2(z)} yr s X	/ifj:)1'	mux <№-) \ a		/		V ’ 0	'	32		<з(а) = Mi(a)U^2(a) ya s [0, 1]	ИЛИ (ЛИБО, ... ..ЛИБО)
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
Продолжение табл. 1.1
№	Название операции	Символическая запись (в классе д’ (X))	Графическое представление
4
Пересе-
чение II
(огра-
ничен-
ное про-
изведе-
ние)
|i3(z) = (р,] Л р,з) (х) =
= шах {0, pi (^) +
+ p.2(z) —1}
у х е X
Символическая запись (в классе Ф ([0,1]))	Модификатор или связка
Ж,(а) = U (М (р ) Л PpP2sIo. U "Mi))	и
уае [0, 1]
мз (а) = = Ув	Л 1==Ф1 + р2^а Ppp2SlO.lI	или
Уае [0, 1]
Пере-
сече-
ние III
g (алгеб-
раиче-
ское
произ-
ведение)
Цз(*) = (Hi-Иг) (х) ==,
= щ(х)-р2(г)
yzeX
1И3 (а) = = 8 и (здп ₽1 • Р2^а РрР2е[о,1]	И
П^Ш))
уае [0, 1]
§ 1.1. ДВА ОСНОВНЫХ ПОДХОДА К ФОРМАЛИЗАЦИИ
N.	Название операции	Символическая запись (в классе (X))	Графическое представление			
7	Объе- динен ние III (алгеб- раиче- ская сумма)	Цэ(*) = (Hi + Цг) (г) = = HiW + М1) — — (я)-№(х) \/хе:Х	/1/м		/,и. <^1 \	
					7	
8	Раз- ность	|Л3(х)=щ (х) — ц2(х) = = шах {0, gi (г) — ~ M*)} V* s X	рр). !			
						/ /Ч \ /121Х)
						Г)	Z
9	Кон- центри- рование	g3(z)=p,s(z) уеХ	,и(х) 1	>		
00
Продолжение табл. 1.1
	Символическая запись (в классе Ф ([0,1]))	Модификатор или связка
	М3 (а) = U (М1(Р1)Л л^2(Р2)) уа е [0, 1]	или
	М;( (а) = = в_8и	(Mx(Pjn Hl -Р2>а 31» ^2 ^£о» 1] л уа е [0, 1]	
» JC		ОЧЕНЬ
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
s 1.1. ДВА ОСНОВНЫХ ПОДХОДА К ФОРМАЛИЗАЦИИ
ia
зиррЛ) является множество элементов х<^Х, для которых
Ца(я)>0, т. е. зиррЛ = Lr «= XI р,л (#)>()}. Понятие множества
уровня является расширением понятия интервала {х\а^х^Ь}
[19]. Оно представляет собой объединение не более чем счетного
числа интервалов [2]. Соответственно, алгебра интервалов есть,
частный случай алгебры множеств уровня.
Точка перехода НМ А — это такой элемент х е X, для кото-
рого Цл(ж)=0,5.
Четкое множество, ближайшее к НМ, определяется как
На» (ж) =
О,	если рА (ж) <0,5,
1,	если ца (я) >0,5,
0 или 1, если ца(^) = 0,5.
(1.6>
Выпуклость НМ. Нечеткое множество А в пространстве X —
= &п называется выпуклым нечетким множеством тогда и толь-
ко тогда, когда его функция принадлежности выпукла, т. е. для
каждой пары точек х, у из X удовлетворяет неравенству
цА(Хж + (1-Х)г/)>т1п(р.А(ж), Цл(г/))	(1.7)
для всех X: 0 < X < 1.
Пример нечеткой функции — отображение ф= X -> Y, кото-
рое каждому х s X ставит в соответствие у е У со степенью
рц(ж, у). Другие варианты — это функция с нечетким аргумен-
том и функция с нечеткой областью определения. Нечеткая
функция определяет нечеткую поверхность принадлежности в
X X У (X, У — произвольные множества) [18].
Нринцип обобщения [4, 5, 7, 13]. Принцип обобщения как
одна из основных идей теории НМ носит эвристический харак-
тер и позволяет расширить область определения исходного ото-
бражения <р на класс НМ, а также обобщить определения опе-
раций над НМ типа 1, на НМ типа 2 и выше*). Пусть ср: X-»-
-► У—заданное отображение, а А — НМ в X. Тогда образ НМ
А при отображении ср есть НМ в У с функцией принадлежности
Цв(г/)= sup piA(z), y<=Y,	(1.8)
где ф~‘(г/)= {хеХ|ср(ж) = у). В случае нечеткого отображения
ф: X -> У имеем
Цв (У) = sup rain {ца (х), р,ф (х, у)}.
(1.9)
*) Согласно [5] нечетким множеством типа п называется НМ, у кото-
рого значениями функции принадлежности является НМ типа п — 1. На-
пример, НМ типа 1 есть ц: Х-+ [0, 1], а НМ типа 2 можно определить как
И: XX [0, 1] -* [0, 1] и т. д.
20
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
отличие от булевой алгебры, где у Л с А(\А = 0,
АН А — Х,_в ST (X) законы исключенного третьего не выполня-
ются: А Г\ А ¥= 0, A U А X. В [28] показано, что при построении
операций объединения или пересечения в (X) надо отбросить
либо законы исключенного третьего, либо свойста дистрибутив-
ности и идемпотентности. Вышеизложенный подход является
наиболее распространенным при моделировании нечетких по-
нятий.
Всякое НМ можно разложить по множествам уровня соглас-
но теореме декомпозиции [7, 46, 47]:
На = U (а’ИАа),	(1-Ю)
ае[о,1Г 1
где
. . fl, если цА(.т)^>а,
[0, если рА(л:)<а. ’
Данное разложение лежит в основе второго способа формализа-
ции нечеткости, когда нечеткость выражается с помощью набора
иерархически упорядоченных четких множеств.
Следовательно, для конечного числа п градаций рассматри-
ваемого свойства n-нечеткое множество задается через п-ку
обычных множеств F = (Hft, ..Мп), где Mt s X, i = 1, ..., п,
и	[31]. Для бесконечного числа градаций имеем
бесконечное семейство множеств F = (Ма), а = [0, 1], т. е. ото-
бражения вида М: [0, 1]2х, где любому числу (индексу)
ае[0, 1] ставится в соответствие четкое подмножество множе-
ства X [13, 46]. Тогда размытость моделируется отображениями
М из класса
Ф([0, 1])= {М\М: [0, 1] 2х}
со свойствами
а)	М<°) = Х-’ (111)
б)	уа15 а2е [0, 1]: а1^а2=>ТИ(а1)Э М(а2),	'	'
и соответствующими операциями над ними (табл. 1.1) .
Связь между выделенными альтернативными способами фор-
мализации нечеткости устанавливается на основе теоремы пред-
ставления, согласно которой классы ^ТДХ) и Ф([0, 1]) изоморф-
ны относительно операций пересечения и объединения (табл. 1.1).
При этом любой бинарной операции в (X) соответствует
объединение пересечений различных срезов в Ф([0, 1]) [15]:
ух е X: ц3 (х) =	(х) * р,2 (ж) -<=> Ms (а) =
= и (М1(Р1)П М2(р2))уае[0,1].	(1.12)
Задание вероятностной меры на М обусловливает переход к
теории случайных множеств [12]. В особую группу мы выделяем
§ 1.1, ДВА ОСНОВНЫХ ПОДХОДА К ФОРМАЛИЗАЦИИ	21
различные комбинированные подходы, учитывающие как нечет-
кость, так и стохастичность в системах управления и искусствен-
ного интеллекта. В частности, вероятностное нечеткое множество
[36] определяется рандомизированной функцией принадлежности
рА: XX й- [0, 1]. Здесь принимается во внимание случайная
погрешность при экспертном „ 
оценивании функции принад- / J------------
нежности (рис. 1.3). Этот под- ’
ход, как и случайные нечеткие	/ж/	/
множества [8], применим в	Ж/
частности при групповом экс-
пертном оценивании.
Наряду с выражением (1.11) О	х
имеются и другие варианты рис, 13. Нечеткая оценка (1) со слу-
формализации нечеткости дан-	чайным шумом
ных с помощью семейства
обычных множеств, например приближенные множества (rough
sets) [51]. Пусть X — множество, a R<=XXX— отношение экви-
валентности на X. Упорядоченную пару Т = <Х, R> будем на-
зывать пространством приближений, a R — отношением неразли-
чимости в пространстве Ч7. Классы эквивалентности по отноше-
нию R называются элементарными множествами в Ч7, а всякое
объединение элементарных множеств образует составное множе-
ство в Ч7.
Пусть У <= X. Под нижним приближением множества У в
пространстве Ч7 будем понимать наибольшее составное множе-
ство в Ч7, содержащееся в У, а под верхним приближением У
в Ч7 — наименьшее составное множество в Ч7, содержащее У.
Обозначим нижнее и верхнее приближения множества У в про-
странстве Ч7 через Ч7У и Ч7У соответственно. Произвольные два
множества У, Z <= X приближенно (снизу) равны в Ч7 = <Х, /?>,
если 4^y=4fZ, и приближенно (сверху) равны в Ч7 = <Х, R>,
если 4fy = 4fZ. Обозначим приближенное равенство множеств
снизу и сверху в Ч7 в форме У ~ Z и У ~ Z соответственно.
Чг	чг
Два множества У, Z cz X приближенно равны в Ч7 = <Х, /?>,
если они приближенно равны снизу и сверху, т. е. У ~Z, если
чг
У ~ Z и У - Z. Тогда понятие приближенного множества вво-
ЧГ	4Z
дится в виде семейства приближенно равных множеств в прост-
ранстве приближений. Соответственно, множество (Ч7)У =
= {Z ед X | Z ~ У} называется нижним приближенным множе-
Чг
стъом, порожденным множеством У в пространстве Ч7, множество
(Ч7) У = {Z cz. X\Z =^Y} — верхним приближенным множеством,
ЧГ
22
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
a (4f)Y’ = {Zc:X|Z«y} — приближенным множеством. Дан-
ные три типа приближенных множеств представляют собой се-
мейства семейств обычных множеств.
В [52] предложено интересное обобщение пространства V и
отношения неразличимости R. В НМ {(ж, р,(ж))} определяется
нечеткая эквивалентность а. Вводится понятие совершенно не-
четкого множества как тройки А~(Х, ц, а), где ц: X [0, 1]
есть функция принадлежности, а а: X X X [0, 1] — функция
неразличимости.
Близким к идеям альтернативной теории множеств является
недоопределенное множество, описываемое четверкой N =
= <+Л, ~А, Мх, МпУ [11]. Здесь множества +А и ~А суть конеч-
ные подмножества универсального множества X, причем +Л есть
множество элементов х е X, которые точно принадлежат множе-
ству (денотату) А, а ~А есть множество элементов х^Х, кото-
рые точно не принадлежат множеству А. Натуральные числа Мх
и Мп выражают соответственно верхнюю и нижнюю оценку
мощности множества А. Это определение, моделирующее непол-
ные сведения о конкретной совокупности А элементов некоторого
универсума X, неявно задает трехзначную функцию принадлеж-
ности
1
р(л:) = |0
?
для +А,
для ~А,
для Х\(+А J “Л).
Естественным обобщением N является переход к паре АР =
= <Мд, 1рд1>, где Цд есть непрерывная функция принадлежности
элементов множеству (денотату) А, а 1цА1 характеризует
возможность для элементов натурального ряда быть значением
мощности данного множества А.
Итак, краткий обзор ряда способов формализации нечеткости
показывает, что в этом направлении развиваются два основных
подхода. Первый базируется на обобщении понятия принадлеж-
ности элемента множеству, приводящему к размыванию границ
множества, а в предельном случае, к появлению объекта с не-
определенными границами — полумножества. Второй подход
предполагает описание нечеткости с помощью иерархии — се-
мейства упорядоченных четких множеств. Прослеживается вза-
имосвязь этих подходов, что указывает на существование глу-
бокой внутренней связи проблем математической обработки
нечеткой информации и построения моделей сложных, иерархи-
ческих систем. Ниже в рамках первого подхода мы обсудим раз-
личные варианты задания области определения и области зна-
чений фупкции принадлежности НМ, а также соответствия меж-
§ 1.2. ВИДЫ ОБЛАСТЕЙ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ 23
ду ними. Возникающее при этом разнообразие видов НМ откры-
вает широкие перспективы их применения в моделях управления
и искусственного интеллекта.
§ 1.2. Виды областей значений функций принадлежности
Все рассмотренные выше нечеткие объекты можно далее
классифицировать по виду области значений функции принад-
лежности. Помимо интервала [0, 1] функция принадлежности
может принимать свои значения в интервале [—1, +1] (тогда
граничное значение полной непринадлежности равно —1, а 0 бе-
рется как точка перехода нечеткого множества [43]), на число-
вой прямой St, а также в различных множествах, наделенных
некоторой структурой. Например, в [24] область значений функ-
ции принадлежности ц: Х->(—+ро) состоит из трех участ-
ков: а) р.(ж)>0, б) -1^ц(т)<0 и в) ц(х)<—1. При интер-
претации X как множества деталей подмножество {х е XI ц(х)>
> 0} охватывает все годные детали, не выходящие за пределы
требуемых допусков, подмножество {х е XI — 1 С p.(z) <0} — не-
годные детали, которые можно переделать, а {я eX|p,(z)< —1)—
бракованные детали.
Исторически первым обобщением понятия НМ ц: X -> [0, 1]
стали L-нечеткие множества ц: X -> L [32], т. е. функции, при-
нимающие свои значения в конечной или бесконечной дистрибу-
тивной решетке L (решетка — частично упорядоченное множе-
ство с точной нижней и точной верхней границами). Области
принадлежности моделируются также полной решеточно упо-
рядоченной полугруппой [32, 33], полукольцом [21, 59], катего-
рией [54]. Важным для практических приложений в плане вы-
ражения качественных представлений и оценок человека в про-
цессе решения задачи является случай 5-нечетких множеств, за-
даваемых парой (X, ц), где
ц: X-+S	(1.13)
— отображение из X в линейно упорядоченное множество S
[32, 62]. На S естественно наложить требования конечности и
полноты. Пример конечного линейно упорядоченного множе-
ства — набор лингвистических значений лингвистической пере-
менной «КАЧЕСТВО» = {плохое, среднее, хорошее, отличное)*).
Свойство линейной упорядоченности не несет информации о рас-
стоянии между элементами множества S, т. е. если указывается,
что один элемент предпочтительнее другого: s{ > gj, то нельзя вы-
разить количественно, насколько з, лучше з}. Линейный порядок
*) Лингвистическая переменная — это переменная, значениями которой
могут быть не только числа, но и слова и словосочетания естественного или
искусственного языка. Смысл каждого лингвистического значения выража-
ется в виде нечеткого подмножества универсального множества X [5].
24
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
не допускает арифметических операций, поэтому вместо допол-
нения НМ р(ж) = 1 — ц(л:), у^еА’*)в классе S-нечетких мно-
жеств применяется операция отрицания; если р. (х) — s,-, то
p,(x) = sn-t, где sn — максимальный элемент в S. Эта операция
удовлетворяет свойствам инволюции: р(ж)=ц(л:) и инверсии по-
рядка: если
Ц(У), то ц(у),	(1.14)
где х, у еХ, р е (X), Операции возведения в степень НМ (см.
табл. 1.1) соответствует операция сдвига S-нечеткого множества
в X. Пусть А — НМ в X с функцией принадлежности, прини-
мающей значения в S = {s0, ..., s„), а — любое целое число. Опе-
ратор сдвига S°, действуя на S-нечеткое подмножество А, обра-
зует новое S-нечеткое подмножество A+ = SaA, причем если
Р-л(#) = 5., SieS, то
so
Sa Ца {х) =
при
при
при
i — а < О,
п CJ i — а^. О,
i — а> п, i — О,
(1.15)
п.
Определения операций пересечения min и объединения max для
S-нечетких множеств аналогичны определениям для НМ класса
(X) (табл. 1.1).
§ 1.3. Гетерогенные нечеткие множества
В том случае, когда набор НМ Ah 7 = 1, ..., т, в X соответ-
ствует т свойствам рассматриваемого объекта, каждый элемент
х е X характеризуется вектором значений принадлежности
(рДж), ..., pm(.r)), выражающим степень удовлетворения этим
свойствам. Таким образом, строится функция p: X -+• [0, 1]”’, где
[О, 1]”* — полная решетка [26]. В [41] векторпозначное НМ пред-
ставляется отображением
ц: X-*SiX...XSm,	(1.16)
где Si (i = l, ..., т) — ограниченные линейно упорядоченные
множества.
Дальнейшим обобщением понятия НМ является понятие ге-
терогенного нечеткого множества [7, 37, 38]. По признаку одно-
родности/неоднородности области значений функции принадлеж-
ности все описанные выше виды НМ являются гомогенными в
том смысле, что одна и та же структура области значений функ-
ции принадлежности берется при оценке всех элементов базового
множества X. Если же допустить, что на различных (в пределе,
на каждом) элементах универсального множества X функция
*) Нередко дополнение НМ р. обозначается р/.
§ 1.4. ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
25
принадлежности может принимать свои значения из различных
наиболее подходящих математических структур, например, раз-
личных дистрибутивных решеток, то приходим к понятию гете-
рогенного НМ
!iGL;X1!xL;l2)x...xL^,	(1.17)
где Li (i = 1, ..п) — различные решетки, X — знак декартова
произведения.
Пример. Пусть X — {ж±, ..., ж J, Li = L4 = [0, 1], Ьг —
= {s0, se), a Lj = {0, 1, ..., 5). Тогда гетерогенное нечеткое
множество А можно представить в виде
А= 0,91 s3|4|0,6 ,
гетерогенное НМ В — в виде
В= 0,2|s5|5|0,7
и т. д. Гетерогенные НМ и связываемые с ними составные линг-
вистические переменные высокого порядка [17] позволяют моде-
лировать ситуации многокритериального принятия решения, когда
имеются признаки как с количественными, так и с порядковыми
шкалами.
§ 1.4. Виды областей определения функций принадлежности
Еще одним основанием для классификации НМ является вид
области определения функции принадлежности. До сих пор пред-
полагалось, что область определения функции принадлежности
НМ совпадает с базовым множеством X. Однако нередко точ-
ность моделирования реального процесса не ухудшается, если
задавать нечеткие множества на различных подмножествах уни-
версального множества X. Более того, это дает возможность от-
разить динамику изменения базового множества в конкретной
ситуации принятия решения, например, уменьшение полного ко-
личества сравниваемых альтернатив в задаче выбора в условиях
дефицита времени и, таким образом, понизить общую размер-
ность задачи. Формально нечеткие подмножества, определенные
на четких подмножествах базового множества X, записываются
в виде отображения ц: 2х -* [0, 1] или в обозначениях Заде как
множество упорядоченных пар
А (а) = {(яе Аа, (х) =	(«))), ае[0, 1],	(1.18);
где Аа = {х е XI Цл(я) 5s а) и называются нечеткими множества-
ми уровня а [53].
26
ГЛ. t. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
Пример задания НМ уровня а. Пусть в универсальном мно-
жестве X — {ж,, ..ж5} определено НМ
А — {(х1, 0,7), (xz, 0,4), (х3, 0), (xt, 1), (хз, 0,9)}.
Тогда НМ уровня а = 0,6 Ла=о,в = {(•£<, 0,7), (я4, 1), (ж5, 0,9)},
а НМ уровня 0,9 4а=0,9 = {(ж4, 1), (хз, 0,9)}.
Иллюстративный пример [17]. Пусть U — физическое пространство сиг-
налов, а V — сенсорное пространство в задачах восприятия сигналов. Отра-
жение множества сигналов в образах сенсорного пространства представля-
ем с помощью нечеткого соответствия ф* : 2и -3- 9~ (2V), т. е. любой по-
следовательности сигналов физического пространства щ, и2, ... ставится в
соответствие динамический размытый образ сенсорного пространства
Цсе^'(2г); 9~(2v) = {р,с|цс; 2v-> [0, 1]}; тогда проблема определения
порогов в психофизике связывается с определением уровня а для Цс-
В [6] множество нечеткого уровня а понимается как мно-
жество элементов х е X, для которых функция принадлежности
больше, чем «приблизительно а», т. е. принадлежит размытому
интервалу (а, 1]. Если = Ц-1 ((а, 1]), где ц_|: [0, 1] -* X и
р.[а, л — характеристическая функция интервала [а, 1], то
НАа^) = Н[а,1](Мя)) Ч(х)(==Х.	(1.19)
Продолжая обобщать структуру области определения НМ,
приходим к понятию нечетких подмножеств нечетко описанных
универсальных множеств. Нечеткое множество есть НМ типа р
(р = 1, 2, ...), если значениями его функции принадлежности
являются НМ типа (р — 1) [5]. Иначе такие объекты определя-
ются рекурсивно как элементы классов
^Ё(Х)(Р = 0,1, ...),
где
(X) = X, (X) = STL (X)) = {р | И : X -> L};
(X) =	(X)) = {p21 p2: STL (X) -> L} [33, 46].	’
Нечеткие множества типа 2 могут интерпретироваться как не-
четкие высказывания вида «х есть А есть X», где А — некоторая
оценка, принимающая значения из L, а X — степень истинности
или достоверности этой оценки [10]. Все операции над НМ
класса 3F(X) расширяются для НМ типа 2 согласно принципу
обобщения: если А: рл(ж)={(и, f(u))}, В: рв(х) = {\У, g(и))}
VreX, то А* В: pA*pB = {((u*v),f(u)/\g(v))}, где Д —опера-
ция пересечения min [45]. Когда в качестве оператора пе-
ресечения для /(и) и g(y) используется произведение, то имеем
рА(х)* рв(х)= {(и* v, f(ii)  g(v))} [48]. Операция отрицания
для НМ типа 2 с функцией принадлежности рл (я) = {(гг, /(и))}
YrsX принимает вид Рза (х) = {((1 — ^),/(^))}- В отличие
от НМ из класса &~В(Х) = ЬХ НМ типа 2 из класса Ь(Х)) —
— (LL)X не образуют дистрибутивной решетки, а дают лишь ква-
§ 1.4. ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ 27
.зирешетку относительно расширенных операций объединения
(max), пересечения (min) и дополнения. Здесь в общем случае
не выполняются законы поглощения; для того чтобы (LL)Z была
дистрибутивной решеткой, нечеткие множества типа 2 должны
Рис. 1.4. Операции над Ф — нечеткими множествами, изменяющие уровень
принадлежности: а — рдпв = [min {n(x), si(ar)}, min{r2(z), s2(*)}]; 6 —
Faub(*) — [max{n(x), si,(x)}, max{r2(z), s2(x)}]; в —рд, (x) = [1 — r2(x),
1 — ri (*)]
Рис. 1.5. Операции над ^-нечеткими множествами, изменяющие уровень раз-
мытости: а — рлпв(х) = [max {г, (х), s^x)}, min{r2(a:), s2(z))] Vх е %
при условиях s2(x)	П(х); r2(x) ^Si(x); б — рлив(^) =[min{ri(x), Si(x)};
max{r2(x), s2(x)}] ух <= X при условиях s2(x)^r1(x), r2(x)^Si(x);
в —p_(x) = [0, 1[\[гг (х), г2 (х)] ухе X; г— р,д\в(х) = [и(х), г2(*)]\
\[тах{г,(х), s,(x)}, min{r2(x), s2(x)}]; Д—Цлев(^) = рлив^Лцлпв^) =
= [min{ri(x), si(x)}, maxfrafz), «2(а:)}]\[тах{г1(х), s^x)}, min {г2(х},
s2(x)}] ух e X при условиях s2(xj ^^(х), r2(x) ^St(x)
дополнительно удовлетворять свойствам нормальности и выпук-
лости.
Понятие класса объектов бесконечного порядка нечеткости
^~l (X) вводится [33] как прямой предел последовательности
отображений X -4- L (X) ->	(X)	^*2 (X). Класс
Рис. 1.6. Классификация способов формализации нечеткости
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
§ 1.5. НЕЧЕТКИЕ ОПЕРАТОРЫ
29»
представляет собой как бы универсум L-нечетких множеств,
замкнутый относительно процесса построения новых L-нечетких
множеств (дальнейшего увеличения порядка нечеткости), а эле-
менты из &~l (X) являются классами эквивалентности для эле-
ментов в U ^ь(Х)[46]. Соотношение между &~£(Х) и (Т'ДХ)
устанавливается с помощью теоремы изоморфизма [40].
Важный частный случай нечеткого множества типа 2 — так
называемое ^-нечеткое множество [37]*), каждое значение
функции принадлежности которого является не точкой, а фикси-
рованным интервалом в [0, 1]. ^-нечеткое множество задается
отображением
ц: Х-*2[0'”.	(1.21)
Как показано в [15], алгебра ^-нечетких множеств является бу-
левой алгеброй. Основные операции над ^-нечеткими множе-
ствами и отношениями рассмотрены на рис. 1.4, 1.5.
На рис. 1.6 дана общая классификационная схема вариантов
описания нечеткой информации. С ее помощью прослеживаются
возможные пути формального описания нечетких понятий.
§ 1.5. Нечеткие операторы
Важным вопросом использования НМ в моделях управления
и искусственного интеллекта является построение соответствую-
щих операторов агрегирования нечеткой информации и анализ
их семантики. В теории НМ имеется возможность применять
различные операции объединения, пересечения и дополнения
множеств в зависимости от контекста, ситуации управления.
Основные бинарные операции над НМ, которым соответствуют
лингвистические связки «и» и «или» сведены в табл. 1.1. Ряд
исследований посвящен их экспериментальному и аксиоматиче-
скому обоснованию [22, 28, 61, 67]. В [22] показано, что для
любых НМ из ST {X) операторы Z7 = min и G = max являются
единственно возможными операторами пересечения и объедине-
ния при выполнении следующих условий:
Г. Р(цл, р.в) = Р(р.в, Цл); G(pA, Цв) = С(р.в, Цл) (коммута-
тивность) ;
2°. Г(цА, Р(Цв, Цс)) = F(F(р.А, Цв), Цс);
G(pA, G(hb, цс) ) = G(G(p.A, р.в), Цс) (ассоциативность);
3°. Р(цА, р.в)^Р(цс, Цв); G(p.A, у,в)< G(|лс, р,в), если цА
С цс, Цв Цв (монотонность);
4°. Р(цА, р.л)<К(|хв, Цв); G(p,A, Цл)< G(p.B, Цв), если p.A<p.B;
*) Выбор буквы Ф объясняется тем, что, с одной стороны, принадлеж-
ность оценивается подмножеством или частью (part) интервала [0, 1],
а с другой стороны, 3* обозначает класс всех четких подмножеств.
30
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
5°. F(l, 1)=1; G(0, 0) = 0;
6°. F(h,a, цв)^ппп(р,А, Цв); G([Ia, Рв)шах(цд, рв)';
7°. F и G — непрерывные функции;
8°. F(pA, G(p.B, |Xc)) = G(F(p.A, р,в), F(p,A, цс));
G(pA, F(p.B, Pc)) = 7;’(G(pA, р.в), G(p.A, р.с)) (дистрибутив-
ность) .
Позже в [34] было установлено, что для справедливости дан-
ного вывода вполне достаточно аксиом 2°, 3°, 4°, 6° и 8°. Этот
же результат можно получить, оставляя лишь условия 3° и 8°
и добавляя к ним условие ограниченности Р(цА, 1) = F(1, цА) =
= р,А; G(0, рА)=р.А [20].
С другой стороны, ясно, что жесткие, поточечно однозначные
операторы недостаточно полно отражают смысл многозначных
лингвистических преобразований термов лингвистических пере-
менных. Поэтому большой практический интерес представляет
построение обобщенных нечетких операторов, т. е. параметризо-
ванных операторов пересечения, объединения, дополнения и др.,
позволяющих учесть гибкость, изменение степени компенсации
операндов и т. д. Весьма общий и изящный подход к целена-
правленному формированию нечетких операторов пересечения и
объединения заключается в их определении в классе треуголь-
ных норм и конорм [55, 20, 27, 29, 39, 57].
1.5.1. Треугольные нормы. Треугольной нормой (сокращенно
t-нормой) называется двухместная действительная функция
Т: [0, 1] X [0, 1]->[0, 1], удовлетворяющая следующим усло-
виям:
la) Т (0, 0) = 0; Т (р,д, 1) = Т (1, р,д) = рд (ограниченность);
2а) Т (рд, цв) Т (рс, Pd), если р.А С р,с, рв рп (моно-
тонность) ;
За) Т (рд, рв) = Т (рв, Ид) (коммутативность);
4а) Т (рд, Т (рв> Pc)) = Т (Т (рд, рв), Ис) (ассоциативность)'.
Пара ([0, 1], Т) образует коммутативную полугруппу с еди-
ницей.
Треугольная норма Т является архимедовой, если она непре-
рывна и Т (рд, рд) < Рд для всех рАе^’(Х). Она называется
строгой, если функция Т строго возрастает по обоим аргумен-
там, т. е. в условии 2а) нестрогое неравенство обращается в
строгое. Простыми случаями треугольных норм являются опе-
рации
пнп(рд, рв),
Тр(ра> Рв) = РА-Рв,
Тт (РА, Рв) = max (0, рд + рв — 1),
ТW (рд, Рв) =
рд, если рв = 1,
рв, если р,д = 1,
0 в других случаях.
§ 1.5. НЕЧЕТКИЕ ОПЕРАТОРЫ
31
Для этих t норм справедливо неравенство TwCha? Т?п (На,
рв) (Ра, Нв) min (На, Нв)-
Архимедовы /-нормы (а, следовательно, взаимодействующие
операции пересечения НМ) можно представить с помощью ад-
дитивных генераторов — одноместных, непрерывных, монотонно
убывающих функций /: [0, 1] -* 52+. Функция f определяется с
точностью до положительного множителя к. Тогда Т (рА, Ив) =
= f 11 (/ (На) + / (Нв)), где функция /<_1) называется псевдооб-
ратной /:
= (Г1 (г/)’ если У^[0,/(0)],
' ' I 0, если у е [/(0), оо].
Аддитивный генератор любой строгой /-нормы имеет свойства
/(0) = +<» и /(1) = 0. В частности, /-норма Тт(нА, Нв) по-
рождается аддитивным генератором /от(р)=1 —р, а /-норма
• р(На, Рв)— аддитивным генератором /Р(р)= — In у. Полагая
h = e~f, можно перейти к мультипликативному представлению
строгих /-норм: Т (рл, рв) = h"1 (h (pa)-/i(Pb)), где к: [0, 1]->•
[0, 1], причем /Ц0) = 0; /1(1)= 1. Такая функция h называ-
ется мультипликативным генератором.
1.5.2. Треугольные конормы. Функция £: [0, 1] X [0, 1] —
-*• [0, 1] называется треугольной конормой (/-конормой), если:
16) 1 (1 1) = 1; 1 (0, рА) = £(рА, 0) = Ца;
26) 1 (ра, Рв) > ± (Рс, Рв), если рА > Рс и Рг> Рг>;
36) 1 (Pai Рв) == 1 (Рв, Ра);
46) 1 (Ра, 1 (Рв> Рс)) = ± (± (На, Рв), Рс).
Треугольная конорма £ является архимедовой, если она не-
прерывна и £ (Ра, На) > На- Она называется строгой, если функ-
ция £ строго убывает по обоим аргументам, т. е. в условии
26) нестрогое неравенство превращается в строгое.
Треугольные конормы есть класс функций, двойственных тре-
угольным нормам. Любую /-конорму £ можно получить из /-нор-
мы Т путем преобразования £ (на, Нв) =1 — Т (1 —На, 1 — рв).
Простые случаи /-конорм — это операции
max (ра, рв),
£р (Ра, Рв) = Ра + Рв — Ра • Рв,
£т (Ра, Рв) = min (1, На + Нв),
±« (На, Нв) =
На,
Нв,
0
если рв = 0;
если ра = 0;
в других случаях.
Для них справедливо неравенство £s (Ра, Рв)^£™ (Ра, Рв)^£? (Ра»
рв)>шах (ра, Рв).
32
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
Треугольные конормы также можно построить с помощью
аддитивных генераторов — одноместных, непрерывных, монотон-
но возрастающих функций g; [0, 1] -+ Я+. Имеем J. (р-А, Нв) =
= g('1)(g(PA) + g(PB)), где
<-d,	если ye[0,g(i)],
I 1, если у е (g(l), оо].
Генератор любой строгой Z-конормы удовлетворяет свойствам
g (!) = +<» и g(0) = 0. Примерами могут служить gOT(p)=p для
J.m (Ца, P-в), а также gP(p) = —1п(1 — р,) для JLp (Иа-> Нв)- В слу-
чае нестрогих норм и конорм аддитивные генераторы, обладаю-
щие свойствами /(0) = 1 и g(l)=l, называются нормиро-
ванными.
1.5.3. Отрицания в теории нечетких множеств. В теории НМ
оператор дополнения не является единственным. Помимо обще-
известного р,(я:)= 1 — р(а:) Ух^Х существует целый набор
операторов отрицания (дополнений НМ) [14, 20, 35, 42, 57}.
Наиболее общее определение функции отрицания в теории НМ
с: [0, 1] -* [0, 1] предполагает, что выполняются по крайней ме-
ре два следующих свойства: 1) с(0)=1 и с(1) —0; 2) с — невоз-
растающая функция, т. е. если |Хл<цв, то c(p.A)> с(цв). Если
же, кроме того, с есть 2) строго убывающая и 3) непрерывная
функция, то она называется строгим отрицанием. Функция с
называется сильным отрицанием или инволюцией, если наряду с
требованиями 1) и 2) для нее справедливо условие 4) с(с(|г)) =
= ц. При с(с(р))>р отрицание называется слабым, а при
с(с(ц))^ц — обычным. В [57] установлено, что для любого силь-
ного отрицания существует генератор отрицания — монотонно
возрастающая функция t: [0, 1]-> 5?+, Z(0) = 0 такая, что с(ц) =
= i-1(i(l)—i(g)). Отметим, что функция kt (к >0 — постоян-
ный множитель) также порождает отрицание с. Например,
функция Z(p)=p порождает классическое отрицание с(ц)=ц =
— 1 — pi, функция tr (р) = |12 — квадратичное отрицание сг ([х) =
== V1 — ц\ a h (и) — 4- In (1 + Xix) — отрицание Сугено сК (jx) =
А
1 —и
1 -р Х[х 5
— 1 < к < оо.
Иногда практический интерес представ-
ляет дополнение порогового типа
11 при р
ci (и) = 10 при |х > а.
Будем называть любое значение с, для которого с(р) = ц,
равновесной точкой е. Для любого непрерывного отрицания су-
ществует единственная равновесная точка е => t~l (t (1)/2).
С помощью некоторого оператора отрицания можно расши-
ренно определить понятие двойственности для нечетких опера-
§ 1.5. НЕЧЕТКИЕ ОПЕРАТОРЫ
33
торов. Два оператора Т и называются с-двойствеиными, если
для всех ЦД, Цв е (X) рА 1 Рв = с-1 (с (рЛ) Т (с (цв)) и, наоборот,
Ра Т рв = с'1 (с (pa) 1 с (рв)).
мм	М'А>Н’В
Например, операторы Т(рА, Рв)=—~г-— ——— и 1(Ра,Рв) =
На т* и в На ’ нв
Р д Н Рв~—Д * Р И
=-----т-------—~ с-двойственны относительно отрицания Сугено.
1 Ра’Рв
1.5.4. Нечеткие операторы как параметризованные семейства
функций. Изложенные выше понятия аддитивных генераторов
архимедовых функций и с-двопственности треугольных норм и
конорм служат основой для перехода к целенаправленному по-
строению и исследованию обобщенных нечетких операторов.
Перечислим наиболее интересные из них (двойственные опера-
торы обозначаются *).
I.	Семейства строгих (при	архимедо-
вых t-иорм и t-к о но р м Т = Hv, j_ = Н* [34].
Ну (Ра, Рв) =
Пу (Ра, Рв) =
Ра’Рв
Y + (1-Y)(Pa + Pb~Pa’Pb) ’
Ра + рв + (2 —y)’Pa’Pb
1-(1-у).цА.Цв
В частных случаях имеем:
Ра'Ив
Ра’Рв Ра’Рв ’
при у = О
при у~ 1
при у = оо
Но (Ра, Рв) =
Hi (Ра, Рв)  Ра  Рв — Тр (ра, Рв),
Я+Оо (Ра, Рв) = Тю (ца, рв).
Отметим, что Но > Hi > ... >
Для семейства конорм. получаем, в частности, Н* (на, пв) =
М'А + Ив — 2 •	#
=	1 —’ #1(Ра> Рв)=Ра+Рв—РА-Рв=1р. При Y==
= 2 конорма Н* обращается в оператор Лоренца Н* (цд, Рв) =
“ "ГТраУв ' Т°ГДа как (ИА’ = ь (Ил’ Ив)- Здесь Н*
II.	Семейства строгих t-норм и t-конорм Т =
= Рх; ± = D^(l> 0) [27].
Рх(Ра,Рв) = |1 + [(—;
I L\ Ра /	\ Рв J J j
i»I(pa,pb) = Ii +	1
I 1Д Ра )	\ Рв ) J I
34
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
При Xполучаем треугольную норму D+o.(pa, рв) =
= пйи(р,л, рв). Отметим, что lim Ну (рл, пв) = (Ра’Рв)- Для
двойственной DK i-конормы D* имеем lim Hv(pA, цв) = Di (рА,
v->n
рв), а приХ->ооВ*00(ц4,(1В) = тах(рА,Рв). Здесь 2\<:Я><:...
... < Doo, a Dl > Я* > .. .
III.	Семейства операторов Сугеио Т = S^, _|_ =
=	(см. [29]).
(На, Рв) = max [0, цА + цв — 1 — X (1 — рл) (1 — рв)];
У. (Ра, Рв) = min [1, цА + цв + X- рА- Рв]-
При увеличении параметра X оба семейства функций возрастают.
Для X = — 15_j(pA, рв) = Tw(pa, Рв), Для X = О 50 (рА, рв) =
= max (0, Ра + Рв — 1) = Тт (Ра, рв), а в случае А,= оо Sx (рл, Рв) =
= ТР. Соответственно (рА, Рв) = Ра + Рв — Ра-Рв = J_p(ра,
Рв), $о (Ра, рв) = min(l, цл + Рв) = ±m(Ра, рв), * St^A, Рв) =
= J_«(Pa, Рв)- Свойство с-двойственности 5?. и S/. выполняется
для ^(р)=4тмГ-
IV.	Семейства Я норм и Яко норм Т = Уд; £ =
= Уд*(<7>0) [63].
я
Уд(РА, Рв) = 1 —rnin [1,(1 — Ра)9 + (1 — Рв)9]9;
1
Уд (Ра, Рв) = min [1, pl + рвр.
Здесь Уо (ра, Рв)== Тго (ра, Рв), Уi (Ра, Рв) == Тт (Ра, Рв), (рА,
рв)= min(pA, рв), т. е. Уо < У < ... < У„. Уо (рА, Рв\= ±s (ра,
Рв), У* (Ра, рв) = ±т(Ра, Рв), У~ (Ра, Рв) = тах(цА, Рв). Соответ-
ственно Уд У* ^ . . . ^ У* .
V.	Семейства i-норм и i-конорм Т = Ер, £ =
= (ре Я) [55].
_i
Ер (Ра, Рв) = max [О, р!Р + piP — 1]
Dp(pA, рв) = 1 — max [О, (1 — Ра)~р + (1 — Рв)-е> — 1] р.
Имеем
Е_г (ца, Рв) = Тт (ра, Рв), Е+оо (рА, Рв) = min (рАа рв)®
Е—оо (ра, Рв) == Тго (Ра, Рв)«
VI.	Семейства i-норм и i-ко норм Т = Ср, I ==
= С*(р>1) [25].
§ 1.5. НЕЧЕТКИЕ ОПЕРАТОРЫ
35
Ср (ца, рв) = max [о, цдР 1 + Рв 1 — 1]2р \
С*(рд, Ив) = 1 — max [0, (1 — рд)2р-1 + (1 — рв)2р-1 — 1]2р-\
При р = 1 Сх (Ра, Ив) = Тт(цл, рв), а при р = оо С+оо(рд, цв) =
— Tw(pa, Рв)-
VII.	Семейства i-норм и f-конорм Т = Fs, j_ =
= F* (s > 0) [30].
Г (/ай (/в Й1
Fs (ра, Ив) = logs 1 +	;
F* (рл, Рв) = 1 — logs 1 +
(/—**А  t) (/—>*в  t)
•s — 1
Данное семейство операторов является единственным, удовлет-
воряющим условию Т(рд, Рв) + J. (Ра, рв) = Ра + Рв- В частных
случаях Fo (рА, рв) = min (рА, рв), Fr (рА, рв) = рд • рв= Тр (рд, рв),;
F_£-оо (рл> Рв) ~ Тт(Ра, Рв).
VIII.	Семейства операторов Т = DP3, j_ = DPg (0^
<7<1) [29].
DPq (Ра, Рв) =
Ра "Ив
шах(рЛ, дв, д) ’
DPq (ра, Рв) =
Ра + рв —Ра'Рв—min(PA’PB’ 1 —9)
max (1 — цд, 1 — рв, q)
Все эти варианты определения нечетких операторов можно
обобщить, если рассмотреть их не в классе i-норм и i-конорм,
а в классе бинарных операций на множестве действительных
чисел 5?, обладающих аналогичными свойствами.
Помимо нечетких операторов, входящих в класс i-норм и
i-конорм, существуют операторы осреднения Я-. [0, 1] X [0, 1] -*
"* [0, 1], удовлетворяющие основному требованию
Я (цАр . •., Рл„)е [min (цЛ1, - - •, Рап), max (pA1, .. ., цАп) ]-
Например, обобщенный оператор осреднения
W Г п
Я™ (рЛ1, ..., J = 1/ 4 2 На{ [28]
г г=1
36
ГЛ. 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ
дает
при ш =1
(среднее арифметическое),
при IV = - 1	(Ил, ..., и ) = -----------
п • , На-
г=1
(среднее гармоническое),
при W = 0	(нЛ1, ..., рЛп) = у рА1- ... -^
(среднее геометрическое).
В случае w -> —оо
(НЛ1, •••’ Нап) = min (НЛ1> •••’HaJ’
а при w -+ +°°
^#+оо (M-Af • • • ’ Нап) = max (Haj’ • • • ’ ^Ап)'
Таким образом, к настоящему времени теория нечетких мно-
жеств располагает значительным количеством гибких параметри-
зованных операторов, позволяющих агрегировать печеткую ин-
формацию с учетом изменчивости ситуационных данных.
ГЛАВА 2
НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
В АНАЛИЗЕ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
§ 2.1. Определение нечетких отношений
Нечеткие отношения (НО) играют фундаментальную роль в
теории нечетких (размытых) систем. Аппарат теории НО исполь-
зуется при построении теории нечетких автоматов, при модели-
ровании структуры сложных систем, при анализе процессов при-
нятия решений, в задачах управления технологическими про-
цессами и т. д.
Теория НО паходит также приложения в задачах, в которых
традиционно применяется теория обычных (иеразмытых, четких)
отношений. Как правило, аппарат теории четких отношений ис-
пользуется при качественном анализе взаимосвязей между объек-
тами исследуемой системы, когда взаимосвязи носят дихотомиче-
ский характер и могут быть проинтерпретированы в терминах
«связь присутствует», «связь отсутствует», либо когда методы ко-
личественного анализа взаимосвязей по каким-либо причинам не-
применимы, и взаимосвязи искусственно приводятся к дихотоми-
ческому виду. Например, когда величина связи между объектами
принимает значения из ранговой шкалы, выбор порога на силу
связи позволяет преобразовать связь к требуемому виду. Однако
подобный подход, позволяя проводить качественный анализ си-
стем, приводит к потере информации о силе связей между объек-
тами, либо требует проведения вычислений при разных порогах
на силу связей. Этого недостатка, как нам кажется, лишены ме-
тоды анализа данных, основанные на теории НО, которые позво-
ляют проводить качественный анализ систем с учетом различия
в силе связей между объектами системы.
Обычное неразмытое и-арпое отношение R определяется как
подмножество декартового произведения п множеств *)
я = х,хх2х...ххп.
Подобно нечеткому множеству, НО можно задать с помощью его
функции принадлежности
X, X... ХХ„-► L,
где L — это отрезок [0, 1] вещественной прямой [54]. Однако в
*) Отметпм, что это определение совпадает с формальным определени-
ем аострактпой системы [17].
38
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
приложениях теории НО часто оказывается удобным в качестве L
брать какую-либо более общую структуру, чем отрезок [0, 1],
а под нечетким отношением R понимать саму функцию
R: Xl'X....'X.Xn^L,
отображающую декартовое произведение множеств X,, ..Хп
в L [31, 35, 38]. В качестве L может быть взято, например, мно-
жество вещественных чисел, множество лингвистических перемен-
ных, множество m-мерпых векторов, цепь, псевдобулева алгебра,
полная дистрибутивная решетка и т. п. Такой подход к опреде-
лению понятия НО дает возможность, во-первых, строить инте-
ресные обобщения понятия отношения, которые могут использо-
ваться, например, в теории моделей [47]. Во-вторых, он позволяет
в результате интерпретации различных функций со значениями
из L как НО, применять для анализа свойств этих функций хо-
рошо развитый аппарат теории отношений. В-третьих, этот под-
ход дает возможность связать и рассматривать с единой точки
зрения многие понятия и методы, применяющиеся при анализе
эмпирических даппых, в частности в кластерном анализе.
Мы ограничимся рассмотрением лишь бинарных НО.
Нечетким отношением R между множествами X и Y будет
называться функция
R-.XXY^L,	(2.1)'
где в общем случае будет предполагаться, что L — это полная
дистрибутивная решетка. Таким образом, L — это частично упо-
рядоченное множество, в котором любое непустое подмножество
имеет наибольшую нижнюю и наименьшую верхнюю грани,
и операции пересечения А и объединения V в L удовлетворяют
Таблица 2.1
R	Vi	У-2	Уз	1/4	'/5
Xi	0	1	0,4	0,8	0,7
	1	1	1	0	0,9
	0,4	1	0	0,5	0,3
	0,8	0	0,5	0,6	0,6
*5	0,7	0,9	0,3	0,6	0,2
законам дистрибутивности [6]. Все операции над НО определя-
ются с помощью этих операций из L. Например, если в каче-
стве L взять ограниченное множество вещественных чисел, то
операциями взятия наибольшей нижней и наименьшей верхней
грани в L будут, соответственно, операции inf и sup, операция-
ми пересечения А и объединения V будут операции min и шах,
и эти операции будут определять и операции над НО. Введение
§ 2.2. ОПЕРАЦИИ НАД НЕЧЕТКИМИ ОТНОШЕНИЯМИ
39
в L дополнительных операций, например, операций сложения и
умножения, позволяет ввести и соответствующие дополнительные
операции над НО.
В том случае, когда L является отрезком вещественной пря-
мой [0, 1], функция (2.1) будет записываться также в виде
функции принадлежности
цн:ХХУ+[0,1],	(2.2)
и во всех соотношениях, используемых
ниже, наравне с записью R(х, у) бу-
дет применяться запись p.H(z, у).
Если множества X и Y конечны,
нечеткое отношение R между X и У
можно представить с помощью его
матрицы отношения, строкам и столб-
цам которой ставятся в соответствие
элементы множеств X и Y, а па пере-
сечении строки х и столбца у помеща-
ется элемент R(x, у) (см. табл. 2.1).
В случае, когда множества X и У
совпадают, НО R: XXX -> L называет-
ние R на множестве X =
= {®1, ®2, ®3, ^4, гб)
ся нечетким отношением на множестве
X. Такому отношению можно поставить в соответствие взвешен-
ный граф (рис. 2.1), в котором каждая пара вершин (х, у) из X
соединяется стрелкой с весом R(x, у) [35, 37, 38, 48—51, 52].
§ 2.2. Операции над нечеткими отношениями
Объединение R U S и пересечение ЯЛ S НО определяются
следующим образом:
(R\JS)(x,y) = R{x,y) V S(x,y) Vx^X Vy^Y, (2.3)
(Я П 5) (х, у) = R (х, у) Д 5 (х, у) VxeeX Vy^Y. (2.4)
Отношение включения R^ S для НО определяется с по-
мощью отношения частичного порядка в L:
R s S <=> Я (х, y)^.S (х, у) VzeX Vy е У. (2.5)
Множество ST(X X У) всех НО между X и У образует дистри-
бутивную решетку по отношению к операциям объединения и
пересечения (2.3) и (2.4) и удовлетворяет следующим тож-
дествам:
Я [) Я = Я,	Я U Я = Я	(идемпотентность),
ЯЛ|5' = 8'р]Я, Я (J Я = 5 (J	(коммутативность),
ЯП (ЯП У) = (ЯП 5) ПУ
яи(яиУ) = (#ия)иУ
(ассоциативность),
40
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
(дистрибутивность).
R) = R, R[)(S[]R) = R (поглощение),
7?Л(5'иП = («Л5')и(ЙПП
tfu(S'nn = (fius')n(tfuz’)
Выполнение этих тождеств для ^"(ХХУ) следует из выполне-
ния соответствующих тождеств для решетки L. В (X X У)
выполняется также следующее соотношение
из S Т следует R\} S ^R\] Т, R П S R П Т
Из полноты решетки L следует, что она обладает наимень-
шим 0 и наибольшим I элементами, такими, что 0 а, а I
а L. Эти элементы определяют, соответственно, наимень-
ший 0 и наибольший U элементы решетки всех НО (XX У):
0(х, у) = 0 V^eX Vj/еУ,	(2.6)
77(z, у) = 1 VzeX Vj/еУ.	(2.7)
Отношения (2.6) и (2.7) называют соответственно пустым и уни-
версальным отношениями. Эти отношения удовлетворяют в
^(ХХУ) следующим тождествам:
ЯП 0 = 0, SU0 = S,
ЯПГ = Я, RUU=U.
Заметим, что если L является интервалом вещественных чи-
сел [а, Ь], то наименьший 0 и наибольший I элементы будут
равны, соответственно, я и ft. В частном случае, когда L — [0, 1],
получим, соответственно, ноль и единицу интервала [0, 1].
Следующее соотношение определяет композицию R° S нечет-
кого отношения R между X и У и нечеткого отношения S меж-
ду У и Z:
(R°S)(x,z) = V (й {х, у) A S (у, z)) V^sX VzeZ. (2.8)
V~Y
Здесь V означает наименьшую верхнюю грань множества эле-
ментов (R (х, у) Д S(y, z)), где у пробегает все значения
из У. В силу полноты L эта операция всегда определена. Как
нетрудно увидеть из (2.8), отношение R°S будет отношением
между X и Z.
Кроме операции композиции (2.8), которая определяется с
помощью основных операций решетки L, существуют и другие
варианты операции композиции, которые определяются с по-
мощью дополнительных операций, вводимых в L. В зависимости
от того, является ли L множеством векторов, множеством линг-
вистических переменных или множеством чисел, эти дополни-
тельные операции будут иметь и соответствующий вад. Напри-
мер, если L является множеством вещественных чисел, то опера-
ция А в (2.8) может быть заменена на операцию взятия сред-
§ 2.3. СВОЙСТВА НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
41
Е (х, у) =
нею арифметического, что даст другое определение операции
композиции:
(R о S) (х, z) = V (0,5 (# (г, У) + 5 (У> z))) Ух^Х V^eZ. (2.9)
yeY
В случае L = [0, 1] соотношение (2.8) записывается в виде
PboS(z, z) = V (М*’ У') Л z)) Ух<=Х VzzZ. (2.10)
ySY
Замена в (2.10) операции Л на операцию умножения • дает
следующее определение операции композиции:
PkoS(z’z)= V (Мх> У>^У’ z))	VzeZ. (2.11)
yZY '
Мы здесь ограничимся рассмотрением свойств основной опе-
рации композиции (2.8). Свойства других операций композиции
рассматриваются в работах [24—26, 37—38, 52]. В дальнейшем
будет предполагаться также, что X — Y и R является НО на
множестве X.
Нечеткое отношение Е такое, что
I, если х = у,	<2 -2.
0 в противном случае
играет по отношению к операции композиции (2.8) роль едини-
цы: E°R = R°E = R. В теории обычных отношений отношение
Е называется отношением равенства [22]. Для любого нечеткого
отношения R определяется также обратное ему отношение R~l".
R~i (х, у) = R (у, х) Ух, у <^Х.
§ 2.3. Свойства нечетких отношений
Различные типы НО определяются с помощью свойств, ана-
логичных свойствам обычных отношений, причем для НО можно
указать различные способы обобщения этих свойств. В качестве
основных свойств здесь будут рассматриваться свойства, имею-
щие такую же алгебраическую запись, что и для обычных отно-
шений. Справа от алгебраической записи указывается ее пото-
чечная формулировка. Для ряда свойств их алгебраическая за-
пись отсутствует. Другие формулировки свойств НО могут быть
найдены в работах [37—38, 52].
Рефлексивность".
E^R, R(x,x) = I Ух^Х.	(2.13)
Слабая рефлексивность".
R (х, y)^R (х, х) Ух, у^Х.	(2.14)
42
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Условие
7?(z, у)<1 Vz, у<=Х, х^у	(2.15)
совместно с условием (2.13) будет называться сильной рефлек-
сивностью.
Антирефлексивность:
R[\E=0, 7? (z, z) = О VxgeX.	(2.16)
Слабая антирефлексивность:
R(x, x)^R(x, у) Ух.у^Х.	(2.17)
Сильная антирефлексивность — это условие (2.16) совместно
с условием
0<7?(ж, у) Ух,у(=Х, х^у.	(2.18)
Симметричность:
R = R~\ R(x, у) = R(y, х) Ух,у<=Х, (2.19)
Антисимметричность:
R[]R~1sE, R(x, у) Д R(y, х) = 0 Ух,уеХ, т.^у, (2.20)
Асимметричность:
Rf\R~1 = 0, R(x, у) /\ R(y, x)--=Q Ух, у (ее X. (2.21)
Полнота сильная:
7?и7?-1=С7, R (х, у) V R (у, х) = I Ух,у<=Х. (2.22)
Полнота слабая:
R (х, у)\/ R (у, х) > 0 Ух, цеХ.	(2.23)
Последние условия называют также линейностью и связностью
[4, 19, 40, 52].
Транзитивность:
R^R°R, R(x, z)^ R(x, у) Д R(y, z) yx,y,z^X. (2.24)
Возможны и другие определения условия транзитивности НО
[2]. Например, различные определения операции композиции
(2.8) в (2.24) позволяют по-разному определять транзитивность
НО. Другой подход к определению условия транзитивности не-
четких порядков будет рассмотрен ниже.
§ 2.4. Декомпозиция нечетких отношений
Одно из важнейших свойств НО заключается в том, что они
могут быть представлены в вцде совокупности обычных отноше-
ний, причем эти отношения могут быть упорядочены по вклю-
чению, представляя собой иерархическую совокупность отноше-
§ 2.4. ДЕКОМПОЗИЦИЯ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
43
ний. Разложение НО па совокупность обыкновенных отношений
основано на понятии a-уровня нечеткого отношения. Здесь для
простоты будет предполагаться, что L линейно упорядочено.
a-уровнем нечеткого отношения R называется обычное отно-
шение Ra, определяемое для всех а > 0 следующим образом:
Ra = {(x,y)e=XXX\R(x,y)>a}.	(2.25)
Если обычное отношение Ra подобно НО отождествлять с его
характеристической функцией Ra' XX X-* {0, 1), то соотноше-
ние (2.25) можно переписать в виде
11, если R (х, у) а,
Ra(^,y) = ^Q в противном случае.	(2.26)
Нетрудно увидеть, что a-уровни НО удовлетворяют соотно-
шению:
из а 0 следует Ra^R»,	(2.27)
представляя собой совокупность вложенных друг в друга от-
ношений.
Теорема 2.1. Нечеткое отношение R обладает каким-либо
из свойств (2.13), (2.14), (2.16), (2.17), (2.19)-(2.22), (2.24)
тогда и только тогда, когда этим свойством обладают все его
а-уровни, т. е. R рефлексивно тогда и только тогда, когда при
всех 0 < а С I Ra также рефлексивно; R транзитивно тогда и
только тогда, когда транзитивпы все Ra, и т. д.
Эта теорема, основные положения которой впервые сформу-
лированы в [52], играет важную роль в теории НО. Во-первых,
эта теорема показывает, что основные типы обычных отношений
и их свойства могут быть обобщены и на случай НО, и стано-
вится ясным способ такого обобщения. Во-вторых, оказывается,
что основные типы НО могут быть представлены как совокуп-
ность, иерархия обычных отношений того же типа. И если ре-
шением практической задачи является получение на множестве
X некоторого отношения заданного типа, например, эквивалент-
ности или порядка, то построение на X соответствующего НО
позволяет получать сразу ансамбль необходимых обычных отно-
шений, что дает возможность учитывать неоднозначность реше-
ний, присущих практическим ситуациям, и предоставляет лицу,,
принимающему решение, некоторую свободу выбора. В-третьих,
теория НМ, позволяя учитывать эту неоднозначность возможных
решений, ограничений, целей, дает возможность оперировать сра-
зу всей совокупностью таких объектов как единым целым.
В соответствии с теоремой декомпозиции (1.10) нечеткое от-
ношение может быть представлено в следующем виде:
R = U	(2.28)
a s
44
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
где отношения aRa определяются следующим образом:
а, если Ra (ж, у) = 1,
О в противном случае.
(aRa) (х, у) =
Кроме свойств (2.13) — (2.24), выполняющихся для всех а-
уровней, могут быть определены аналогичные свойства, выпол-
няющиеся только для одного или нескольких a-уровней. Приве-
дем примеры таких a-свойств, предполагая, что элемент а фик-
сирован:
а-симметричность
R (х, у)^а=> R (у, х) а ух, у е X;
а-транзитивность
7? (z, у) J>a, R(y,z)'^a=>R(x,z)'^a yx,y,z^X- (2.29)
а-транзитивность можно определить также следующим об-
разом
R (х, у) > a, R (у, z) > а => R (х, z)^z R (х, у) /\ R (у, z)
ух, у, z<=X.
Аналогично могут быть определены и другие a-свойства. Подоб-
ные a-свойства могут рассматриваться в задачах, в которых вво-
дится порог а на силу отношения R, либо ишется такое а, при
котором Ra обладает требуемым свойством. Например, в работе
[49] a-свойства нечетких отношений рассматриваются при моде-
лировании структуры сложных систем.
§ 2.5.	Транзитивное замыкание нечетких отношений
Большое значение в приложениях теории НО играют транзи-
тивные отношения. Такие отношения обладают многими удоб-
ными свойствами и определяют некоторую правильную структу-
ру множества X. Например, если отношение R в X характери-
зует сходство между объектами, то транзитивность такого отно-
шения обеспечивает возможность разбиения множества X на
непересекающиеся классы сходства. Если же отношению в X
придается смысл «предпочтения», «доминирования», «подчинен-
ности», то транзитивность такого отношения обеспечивает воз-
можность естественного упорядочения объектов множества X,
существования «наилучших», «педомйнируемых» объектов и т. п.
Поэтому представляет большой интерес возможность преобразо-
вания исходного нетранзитивного отношения в транзитивное.
Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного за-
мыкания НО, впервые рассмотренная в работах [48, 52].
§ 2.6. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
45
Транзитивным замыканием отношения R называется отноше-
ние R, определяемое следующим образом:
# = 7?‘U/?2U ...U 7?" U ...,	(2.30)
где отношения Rk определяются рекурсивно:
Rl = R, Rk = Rh~l°R, fc = 2, 3, ...
Теорема 2.2. Транзитивное замыкание R любого нечеткого
отношения R транзитивно и является наименьшим транзитивным
отношением, включающим R, т. е. R е R, и для любого транзи-
тивного отношения Т такого, что R^T следует R s Т.
Как следствие из теоремы 2.2 получаем, что R транзитивно
тогда и только тогда, когда R = R.
Если множество X содержит п элементов, то имеем:
R = RUR2U ...URn.	(2.31)
В случае, когда R рефлексивно, имеем также:
R <= R2 <=... <= Rn~l = Rn = Д"+‘ =..(2.32)
откуда следует R = Rn~l.
Весьма полезным фактом является то, что a-уровень транзи-
тивного замыкания нечеткого отношения R совпадает с транзи-
тивным замыканием соответствующего а-уровня:
(R)a — (Ra) Для всех а <= L, ос=/=О.	(2.33)
В (2.33) для простоты предполагается, что L линейно упоря-
дочено, т. е. для любых х, у <^L выполняется либо х у, либо
У^х.
Заметим, что при транзитивном замыкании НО в общем слу-
чае сохраняются лишь некоторые из свойств (2.13) — (2.24). Та-
кими свойствами являются рефлексивность, симметричность, пол-
нота п транзитивность. Подробно свойства операции транзитив-
ного замыкания рассматриваются в работах [37—38, 48, 52].
§ 2.6.	Классификация нечетких отношений
Все типы НО в зависимости от свойств, которыми они обла-
дают, могут быть разделены на три больших класса (см.
рис. 2.2, а). В первый класс входят симметричные отношения,
которые обычно характеризуют сходство или различие между
объектами множества X. Такие отношения представляются с
помощью взвешенного графа с неориентированными дугами.
Второй класс образуют антисимметричные отношения. Эти отно-
шения задают па множестве отношение упорядоченности, доми-
нирования, подчиненности. Таким отношениям соответствуют
Рис. 2.2. Классификация нечетких отношений: а — основные типы НО: R—НО, не обладающие свойствами симмет-
ричности и антисимметричности; ЛДЛг)—симметричные (антисимметричные) НО, не обладающие свойствами рефлек-
сивности и антирефлексивности; R3— НО, не обладающие свойствами симметричности, антисимметричности, рефлек-
сивности и антирефлексивности; 6(e) — упорядочение по включению симметричных (антисимметричных) НО
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
§ 2.6. КЛАССИФИКАЦИЯ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
47
ориентированные взвешенные графы с односторонней ориента-
цией дуг. Третий класс состоит из всех остальных отношений.
Этим отношениям соответствуют взвешенные графы с двусторон-
ней ориентацией дуг, причем веса противоположно направлен-
ных дуг в общем случае могут не совпадать.
Отношения каждого класса, в свою очередь, могут быть раз-
делены на подклассы, в зависимости от выполнения условий
рефлексивности или антирефлексивности.
Рефлексивные и симметричные отношения обычно называют
отношениями сходства, толерантности, безразличия или неразли-
чимости. В дальнейшем эти отношения будут называться отно-
шениями сходства и обозначаться буквой S. Антирефлексивные
симметричные отношения называются отношениями различия и
будут обозначаться буквой D. Отношения сходства и отношения
различия двойственны друг другу, например, So двойственно Do,
8t двойственно Dt. Любое соотношение, записанное для одного
из этих отношений, можно записать двойственным образом и
для другого отношения заменой отношения па на =^,
а операций V, А и других соответственно на двойственные им
операции Л, V и другие.
Антисимметричные отношения, называемые порядками и
обозначаемые буквой Р, в зависимости от выполнения условия
рефлексивности или антирефлексивности делятся на нестрогие и
строгие порядки.
Из отношений третьего класса, обозначаемых буквой R, обыч-
но выделяют лишь рефлексивные отношения, которые будут на-
зываться слабыми порядками. Слабые порядки можно разложить
на симметричную и антисимметричную части, поэтому обычно
считают, что они несут в себе информацию как о сходстве, так
и об упорядоченности объектов множества X. Антирефлексивные
отношения этого класса также могут быть разложены на сим-
метричную и антисимметричную части, которые могут интерпре-
тироваться как отношение различия и отношение строгого поряд-
ка, однако в практике такие отношения обычно не рассматрива-
ются из-за трудности сочетания в одном отношении двух близ-
ких по смыслу понятий «различие» и «порядок».
На следующем уровне классификации из каждого класса от-
ношений могут быть выделены отношения специального вида.
Эти отношения определяются условием транзитивности, которо-
му они удовлетворяют. Условия транзитивности устанавливают
связь между силой отношения для различных пар объектов из X.
Эта связь может быть как очень слабой, так и накладывать до-
статочно сильные ограничения на возможные значения силы от-
ношения между объектами из X. Число отличающихся друг от
друга условий транзитивности зависит от типа отношения, для
которого они формулируются. Для симметричных отношений
число различных условий транзитивности, приводящих к невы-
48
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
рожденному нечеткому отношению, значительно меньше, чем для
антисимметричных отношений.
Условия транзитивности зависят от вида операций, с помощью
которых они определяются. Наиболее общими условиями тран-
зитивности являются условия, определяемые с помощью реше-
точных операций V и А в L. Более частными являются усло-
вия, определяемые с помощью дополнительных операций в L,
зависящих от конкретного вида L. В этих случаях (см.
рис. 2.2, а) указывается вид соответствующего множества L.
Например, L — [О, М] означает интервал вещественных чисел
от нуля до Л/ < °°.
При L — [О, 1] существуют все типы транзитивности, указан-
ные на рис. 2.2, а. В этом случае классы отношений, удовлетво-
ряющие различным типам транзитивности, могут быть упорядо-
чены по включению. Запись Pt -> Р, на рис. 2.2, б, 2.2, в
означает, что класс отношений Pt включает в себя класс
отношений Pj.
Для слабых порядков R различные типы условий транзитив-
ности могут быть выражены через соответствующие условия
составляющих их отношений сходства S и строгого порядка Р,
поэтому на рис. 2.2 эти условия не приводятся.
Предлагаемая здесь классификация не является единственно
возможной, она основана на других известных подходах к ана-
лизу отношений, рассматриваемых в работах [13—16, 18—30,
37-41, 51, 52].
§ 2.7.	Отношения сходства и различия
Симметричное (2.19) и рефлексивное (2.13) НО сходства яв-
ляются аналогом обычного отношения толерантности (сходства)
[22]. НО сходства обычно задаются с помощью матриц сходства,
связи между объектами, либо с помощью неориентированных
взвешенных графов. Матрицы сходства, для которых условия
(2.19) и (2.13) имеют естественную интерпретацию, могут быть
получены как в результате измерения некоторого физического
параметра, отражающего связи между объектами, так и в ре-
зультате опроса экспертов, которые для каждой пары объектов
из X указывают их степень сходства в некоторой. шкале срав-
нений L [48]. Градации этой шкалы могут быть составлены из
фраз русского языка, отражающих силу сходства между объек-
тами и линейно упорядоченных между собой. Например, такая
шкала может состоять из фраз типа: «очень сильное сходство»,
«сильное сходство», «сходство средней силы», «слабое сходство»,
«очень слабое сходство» и т. п.
Условие транзитивности для НО сходства обычно формули-
руют в виде
S^S°S,	(2.34)
$ 2.7. ОТНОШЕНИЯ СХОДСТВА И РАЗЛИЧИЯ
49
которое при определении операции композиции с помощью (2.8)
приводит к условию транзитивности (2.24):
S (х, z) S (х, у) Д S (у, z) yx,y,zeX. (2.35)
Транзитивность (2.35) обозначается па рис. 2.2, а как (А)"
транзитивность. Другие типы транзитивности получаются заме-
ной операции А в (2.35) на операцию умножения • или опе-
рацию А. В первом случае предполагается, что L = [0, 1], и усло-
вие транзитивности
ps(z, z)>ps(z, y)-ps(y, z) ух, у, z<=X (2.36)
обозначается как (•)-транзитивность. Во втором случае в каче-
стве L можно взять интервал вещественных чисел [О, Л7], и опе-
рация Д в L будет определяться следующим образом:
cXd = (с + d - М) V 0 ус, de [О, М].	(2.37)
Тогда (А)-транзитивность определяется как
S (х, z)~^S (х, у) XS (у, z) ух, у, zeX. (2.38)
Свойства (•)-транзитивности обсуждаются в [52, 37, 38],
а (Д)-транзитивность отношений сходства рассматривается в [26]
в задачах кластерного анализа.
Наиболее интересными свойствами обладает (А)-транзитив-
ное отношение сходства S, которое является обобщением обыч-
ного отношения эквивалентности. Это отношение называется
нечетким отношением эквивалентности или отношением подобия.
Из теоремы 2.1 следует, что любой a-уровень НО эквивалент-
ности является обычным отношением эквивалентности и, следо-
вательно, определяет разбиение множества объектов X на непе-
ресекающиеся классы эквивалентности. Из вложенности «-уров-
ней нечеткого отношения следует и вложенность разбиений
множества X, соответствующих различным a-уровням, причем
с уменьшением а происходит укрупнение классов эквивалент-
ности a-уровней. Таким образом, НО эквивалентности задает
иерархическую совокупность разбиений множества X на пепере-
секающиеся классы эквивалентности. Нетрудно установить связь,
существующую между НО эквивалентности и иерархическими
кластер-процедурами [52].
НО эквивалентности, в отличие от произвольного отношения
сходства, определяет совокупность разбиений множества X па
классы эквивалентности, благодаря тому, что условие транзитив-
ности (2.35) накладывает довольно сильные ограничения на
возможные значения степеней принадлежности S (х, у). Напри-
мер, в случае, когда L является множеством вещественных чи-
сел, отношение сходства S транзитивно тогда и только тогдз, ко-
гда для любых х, у, zezX из трех чисел S(x, у), S(y, z), S(z, х)
50
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
по крайней мере, два числа равны друг другу и по величине не
превышают третьего.
Таким образом, отношение эквивалентности обладает многими
полезными свойствами из-за своего довольно специфического ви-
да. В практических задачах из исходного нетранзитивного отно-
шения сходства S можно получить транзитивное отношение,
применяя к S операцию транзитивного замыкания S. Для конеч-
ного X получим S = S"-1, где п — число элементов множества X.
Рис. 2.3. Декомпозиция нечеткого отношения на a-уровни: а — исходное от-
ношение сходства У; б — транзитивное замыкание У; в — классы эквивалент-
ности
На рис. 2.3 приводятся примеры НО сходства, его транзитивного
замыкания и декомпозиция полученного отношения на а-уровни.
Отношением различия D называется симметричное (2.19)
и антирефлексивное (2.16) печеткое отношение. Отношение раз-
личия D двойственно отношению сходства. В случае, когда
L = [0, М], эти отношения могут быть получены друг из друга
§ 2.7. ОТНОШЕНИЯ СХОДСТВА II РАЗЛИЧИЯ
51
с помощью соотношения:
D(x,y) = M — S(x,y).	(2.39)'
В случае, когда L = [0, 1], то (2.39) принимает вид:
Цо (а:, у) = 1 — ц8(а:, у),	(2.40)
что можно переписать в алгебраической форме следующим об-
разом:
D = S.	(2.41)
Таким образом, НО различия может быть получено из НО сход-
ства с помощью операции дополнения.
Ультраметрикой называется отношение различия, удовлетво-
ряющее ультраметрическому неравенству:
D (х, z)< D (х, у) V D (у, z) \fx,y,z^X. (2.42)
Ясно, что условие (2.42) двойственно условию транзитивно-
сти (2.35). На рис. 2.2, а это условие транзитивности обозначе-
но как (V)-транзитивность, а класс отношений различия, удов-
летворяющих условию (2.42) обозначен как Ds. В случае, когда
L является множеством вещественных чисел, ультраметрика и
НО эквивалентности могут быть получены друг из друга с по-
мощью соотношения (2.39). Эта связь между НО эквивалент-
ности и ультраметрикой была установлена в самых первых ра-
ботах по НО [52, 48]. В [37, 32] для условия транзитивности
(2.42) двойственным образом вводятся понятия транзитивного
замыкания и т. п.
Понятие ультраметрики первоначально возникло и изучалось
в кластерном анализе при исследовании свойств мер различия
между объектами, определяющих естественное представление
множества объектов в виде дерева разбиений. Представление
ультраметрики с помощью системы вложенных друг в друга от-
ношений эквивалентности было также известно в кластерном
анализе, однако лишь в рамках теории НО это представление
получает естественное объяснение. Интерпретация ультраметри-
ки как понятия, двойственного понятию НО эквивалентности,
дает возможность применять алгебру НО в задачах кластерного
анализа.
Метрикой называется отношение различия, удовлетворяющее
неравенству треугольника:
D (.г, z)< D (х, у) + D (у, z) yx,y,z<=X, (2.43)
которое обозначено на рис. 2.2, а как (+)-транзитивность D,.
От метрики требуют обычно выполнения также условия сильной
антирефлексивности (2.16), (2.18). Метрика, удовлетворяющая
лишь простому условию антирефлексивности (2.16), называется
обычно псевдометрикой. Двойственным по отношению к метрике
является (А)-транзитивное отношение сходства (2.38).
52
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Двойственное условию (•)-транзитивности (2.36) условие
(©)-транзитивности записывается как
До(ж’	у) + pD(y, z) — цс(ж, у)-ЦТ?(у, г) уж, у, ze X.
Это условие транзитивности может рассматриваться для отноше-
ний различия, определенных при L ~ [0, 1].
Таким образом, отношения сходства и метрики оказываются
в рамках теории НО тесно связанными между собой понятиями.
Это позволяет применять методы, основанные па свойствах НО,
к решению задач, в которых используется понятие метрики и
наоборот.
§ 2.8.	Порядки и слабые порядки
Антисимметричное (2.20) нечеткое отношение Р называется
отношением упорядочения или порядком. Мы здесь для опреде-
ленности будем рассматривать лишь строгие, т. е. антирефлек-
сивные (2.16), порядки. Свойства нестрогих (рефлексивных) по-
рядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков.
Различные порядки отличаются друг от друга требованиями,
предъявляемыми к условию транзитивности. Как правило, эти
требования выражают разумность, рациональность, согласован-
ность отношения упорядочения, заданного в множестве X [2, 5,13,
18]. Слабейшее из этих требований — условие ацикличности от-
ношения строгого порядка Р, и наиболее жесткие требования —
это условие линейной транзитивности и условие квазисе-
рийпости.
Если для отношений сходства условие транзитивности обычно
записывается в виде S э S ° S, и различные способы определения
операции композиции позволяют задавать разные типы транзи-
тивности, причем оказывается, что таких типов существует не
так уж и много, то для отношений порядка условие транзитив-
ности НО удобно записывать в виде, аналогичном условию тран-
зитивности обычных порядков:
Р(х, У}>®, Р(У, z)>0=> Р(х, z)>P(x, у)*Р(у, z), (2.44)
где * — некоторая операция в L. Оказывается, что из множества
всех отношений порядка можно выделить значительное количе-
ство отличающихся друг от друга классов порядков специального
вида, определяемых как способом задания операции * в L, так
и способом записи условия транзитивности, подобного условию
(2.44). Ниже перечисляются некоторые условия транзитивности,
определяющие эти классы нечетких строгих порядков. Учитывая
асимметричность отношения строгого порядка Р, будем писать
73(ж, У)^®> если Р(у, ж) = 0.
§ 2.8. ПОРЯДКИ И СЛАБЫЕ ПОРЯДКИ
53
Ацикличность:
yz0, хг, ..хп<= X: Р (х0, Ху) > О, Р (хх, х2) >0 , ...
• • • » Р —.11 Хп) О =^’ Р С^О’ О*
Слабая транзитивность-.
Р(х, у)>0, Р(у, z)>0=>- Р(х, z)>0.	(2.45)
Отрицательная транзитивность:
Р(х, у)>0, Р(у, z)>0 => Р(х, z)>0.
(•)-транзитивность (L = [О, 1]):
P(x,y)>0, Р(у, z)>O=>P(x, z)>P(x, у)-Р(у, zj. (2.46)
(А)- транзитивность:
Р (х, у) > О, Р (у, Z) > 0 => Р (X, z) ^Р (х, у) Л Р (у, Z). (2.47)
(1/2, +)-транзитивность (L = [0, М]):
Р(х, у)>0, Р(у, z)>O=^P(x, z)>(P(x, у) + Р(у, z))/2.
Сильная транзитивность:
Р(х, у)>0, Р(у, z)>O^P(x, z)>P(x, y)VP(y, z). (2.48)
Сверхсильная транзитивность: условие (2.48) совместно с ус-
ловием:
Р(х, у)>0, Р(у, z)> 0 => Р (х, z)>P(x, y)VP(y, z).
Метрическая транзитивность (L = [О, М]):
Р(х, у)>0, Р(у, z)>0=^P(x, у) + Р(у, z)>P(x, z)>
>Р(х, y)VP(y, Z). (2.49)
Квазисерийностъ:
Р(х, у)>0, Р(у, z)>0=> Р(х, z) = P(x, у) V Р (у, z). (2.50)
Линейная транзитивность (L — [О, М]):
Р(^, У)>0, Р(У, z)^Q=>P(x, z) = P(x, у) + Р(у, z). (2.51)
Ультраметрическая транзитивность:
Р (х, у) > О, Р (у, z) > 0 =>Р (х, у) V Р (У, z)>P (X, z) >
> р (X, У) Д Р (У, z).	(2.52)
В общем случае предполагается, что рассмотренные условия
транзитивности определены для линейно упорядоченного L, хотя
некоторые условия могут быть обобщены и на случай, когда L
является решеткой. Условия, при определении которых участ-
вуют операции сложения и умножения, используются, когда L
является интервалом вещественных чисел.
54
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Ро (*, У) = I
Рассматриваемые условия транзитивности могут использовать-
ся как при построении моделей рациональности нечетких пред-
почтений в нормативной теории выбора [13], так и при форми-
ровании некоторой правильной структуры системы, информация
о которой может быть представлена в виде нечеткого отношения
порядка.
Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицатель-
ной транзитивности равносильны условию ацикличности, тран-
зитивности и отрицательной транзитивности, соответственно,
обыкновенного отношения Ра, определяемого следующим образом:
1, если Р (z, у) > О,
О в противном случае.
Аналогичные свойства могут быть определены как «-свойства
для различных «-уровней Ра (а е L) отношения Р.
В отличие от первых трех свойств остальные свойства более
специфичны для НО и в большей мере учитывают согласован-
ность силы отношения между элементами множества X. Для
этих свойств также могут быть сформулированы a-свойства за-
меной в левых частях этих свойств па a s L.
Условие (2.47) для антисимметричных отношений порядка
совпадает с (2.24). Условие (2.48) представляется наиболее есте-
ственным условием согласованности при интерпретации отноше-
ния порядка как отношения, учитывающего силу предпочтения
в парных сравнениях альтернатив. Частным случаем сильного
порядка (порядка, удовлетворякицего условию сильном транзи-
тивности (2.48)) является метрический порядок (условие (2.49)).
Условие (2.49) эквивалентно для асимметричных отношений не-
равенству треугольника:
Р (х, z)^.P (х, у) + Р(у, z) ух, у, Z<=X.
Условие (2.50) определяет нечеткую квазисерию. Каждый
а-уровепь нечеткой квазисерви является обыкновенной квази-
серией, т. е. удовлетворяет условиям:
хРау, yPaz=>xPaz,
хРау, ^(zPay)=>xPaz; ~](уРах), yPa(z)=>xPaz. (2.53)
Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества
X на упорядоченные классы эквивалентности, печеткая квазисе-
рия определяет разбиение множества X па упорядоченные клас-
сы эквивалентности на каждом уровне а е L. Эти разбиения
вложены друг в друга; таким образом, печеткая квазисерия оп-
ределяет иерархию разбиений множества X на упорядоченные
классы эквивалентности (рис. 2.4). Исходная матрица отношения
Р приведена в табл. 2.2.
§ 2.8. ПОРЯДКИ И СЛАБЫЕ ПОРЯДКИ
55
Частным случаем метрических порядков, помимо квазисерии,
является линейный порядок, определяемый условием (2.51). Ли-
нейный порядок при интерпретации Р(х, у) как силы предпочте-
ния альтернативы х над альтернативой у задает на множестве
/	0,7	2
а
Рис. 2.4. Нечеткая квазисерия Р: а — граф отношения; б — система разбие-
ний на упорядоченные классы по отношению Р
альтернатив X некоторую аддитивную функцию полезности [2],
которая может быть определена на X, например, с помощью
соотношения
/ (ж) = sup Р (х, у).
VeX
Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с
метрической транзитивностью (2.49), однако условие (2.52) не
эквивалентно для антисим-	Таблица 2.2	
раметрическому неравенству: ?	•^1	^2	#3	^4	^-5
* (л,,	У) V \У, ух, y,z<=X. (2.54) Условие (2.54) эквивалент- но для асимметричных от-	.т5 ношений условию квазисе-	хп	0	0,7	0,7	0,7	1	1 0	0	0	0,3	1	1 0	0	0	0,3	1	1 0	0	0	0	1	1 0	0	0	0	0	0,5 0	0	0	0	0	0
	
Между строгими порядками (асимметричными (2.21) отноше-
ниями) и слабыми порядками (рефлексивными (2.13) отноше-
ниями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть полу-
чены друг из друга с помощью ряда преобразований.
56
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
Если на L задана операция дополнения, т. е. такая унарная
операция ', что на L выполняются тождества
{а')' = а, (а \J Ь)' = а' Д Ь', (а Д b)' = a' \j b'f
то на множестве НО может быть задана операция дополнения,
обозначаемая чертой сверху, с помощью соотношения
Л (я, У) = (Я (*, y)Y У^Х,
и на множестве НО ^"(ХХХ) будут выполняться тождества
= R,	(2.55)
R U Т = R (}Т, R(]T = RUT.	(2.56)
Дистрибутивная решетка, на которой задана операция дополне-
ния, удовлетворяющая тождествам (2.55) и (2.56), называется
решеткой Де Моргана.
Например, если L = [0, Jf], то операция дополнения может
быть определена как
а' = М — а ya^L.
При L ~ [0, 1] эта операция дополнения совпадает с операцией
дополнения [52]. Если L является конечной цепью, т. е. элемен-
ты L могут быть линейно упорядочены: 1а R sS ... lm, тогда
операция дополнения ' па L может быть определена как
Ц = lm-i, i = 0, m.
Если па задана операция дополнения, то из отношения
строгого порядка Р могут быть получены
отношение сходства
S = PUP-1;	(2.57)
отношение различия
5 = PUP-‘;	(2.58)
отношение слабого порядка
R = F7.	(2.59)
Отношение (2.59) удовлетворяет условию полноты (2.22):
R(x,y)V Р(у,^) = 1 ух,уе=Х.	(2.60)
Таким образом, если па X задано НО строгого порядка, то с
его помощью могут быть построены па X нечеткие отно!пепия
сходства (различия) и слабого порядка. Транзитивность отноше-
ния Р определяет тот или иной уровень транзитивности отно-
шений S и Я. В частности, если Р является нечеткой квазисе-
рией, то определяемое им S является НО эквивалентности, а от-
g 2.8. ПОРЯДКИ И СЛАБЫЕ ПОРЯДКИ
57
ношение R будет нечетким квазипорядком, т. е. рефлексивным
(2.13) и транзитивным (2.24).
Из (2.55) и (2.56) видно, что соотношение (2.59) может ис-
пользоваться для получения из полного (2.60) отношения сла-
бого порядка
отношения строгого порядка
P = tF‘,	(2.61)
отношения сходства
S = R U Я'1,	(2.62)
отношения различия
д = япя-‘.
Если отношение слабого порядка не является полным, то со-
отношение (2.62) также будет определять некоторое отношение
сходства, однако (2.61) уже не будет определять строгого по-
рядка. Такой порядок может быть получен из R при L = [0, 47]
с помощью соотношения
P = R\R~l,	(2.63)
где операция \ определяется следующим образом [40, 19]:
х	^) —Я2(ж, у), если 7?! {х, у) > R2 (х, y)f
(RtXR^) (х, у) =
х	в ПрОТИВНОМ случае.
В [40] показано, что при транзитивном (2.24) R соотношение
(2.63) определяет транзитивное (2.47) Р.
Кроме рассмотренных типов НО порядка и слабого порядка,
в теории принятия решений применяются следующие отношения
предпочтения. При L = [0, 1] отношение R называется (+)-пол-
ным, если
R (х, у) + R (у, х) = 1 ух, у е X.
Для подобных отношений предпочтения, которые часто интер-
претируются как вероятностные отношения предпочтения, рас-
сматриваются [14] условия стохастической транзитивности:
R {х, у) > 72, R (у, z) > Чг => R (х, z) > Ч2 (2.64)
и сильной стохастической транзитивности:
R(x, у)>Чг, R(y, z)>4t^R(x, z)>R(x, y)V R(y, z).
(2.65)
Отношение строгого предпочтения, связанное с подобным от-
ношением предпочтения, может быть определено следующим
58
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ II АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
образом:
(R (х, и) если R (х, ?/) R(у, х),
Р(х,у) = 1 п	к	(2.66)
(	0 в противном случае.
Нетрудно обнаружить связь между условиями (2.64), (2.65) и
условиями отрицательной и сильной транзитивности строгих по-
рядков.
При L = [О, М] отношение R называется (•)-полным, если
R(x, y)-R(y, x)=i. Для подобных отношений предпочтение
R(x, у) обычно интерпретируется как «во сколько раз х лучше,
чем у», и рассматривается обычно условие сверхтранзитивности
[45] R(x, z) = R(x, у)  R(y, z), которое можно записать в виде:
Я(ж, г/)>0, R(y, z)>0=>R(x, z) = R(x, y)-R(y, z).
Отношение строгого порядка, связанное с ()-полными отноше-
ниями, можно определить также с помощью (2.66).
НО порядка могут быть получены многими способами и до-
пускать различную интерпретацию. Р(х, у) и R(x, у) могут вы-
ражать или значение какого-либо физического параметра, харак-
теризующего интенсивность доминирования х над у или усред-
ненную по множеству критериев или индивидуумов силу
предпочтения между объектами. Они могут быть получены с
помощью шкалы сравнений, в которой эксперты измеряют ин-
тенсивность предпочтений при попарных сравнениях альтерна-
тив, могут выражать уверенность, возможность, вероятность до-
минирования и т. д. Заметим, что возможные интерпретации и
способы получения рассмотренных отношений значительно шире*
тех, которые подразумеваются в названии «нечеткие отношения».
§ 2.9. Приложения теории нечетких отношений
к анализу систем
Рассмотрим некоторые приложения теории НО к кластерному
анализу (автоматической классификации) и задачам принятия
решений.
Применение теории НО в кластерном анализе впервые об-
суждалось в работах [42, 43]. В [48] предложена процедура кла-
стеризации, основанная на транзитивном замыкании исходного
отношения сходства, получаемого в результате опроса экспертов.
Эксперты в некоторой шкале сравнений указывали силу сход-
ства между портретами людей, принадлежащих к нескольким
семьям, и па основе попарного сравнения всех портретов строи-
лась матрица сходства. Транзитивное замыкание этой матрицы
давало НО эквивалентности. Далее выбирался порог (уровень)
а таким образом, чтобы число классов разбиения, получаемое
на а-уровпе, равнялось числу семей. Процедура классификации
относила портреты, попавшие в один класс разбиения, к одпой
семье. В проведенных экспериментах результаты классификации
§ 2.9. ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИЗУ СИСТЕМ
59
дали хорошее согласование с истинным разбиением портретов по
семьям.
Оказывается, рассмотренная выше процедура кластеризации,
основанная на транзитивном замыкании отношения сходства,
совпадает с хорошо известным алгоритмом кластеризации «бли-
жайший сосед» [10, 33]. Многие иерархические алгоритмы кла-
стеризации также могут быть легко и удобно проинтерпретиро-
ваны на языке НО. Нечеткие отношения эквивалентности опре-
деляют па своих a-уровнях вложенную систему разбиений
множества объектов X. Аналогичную систему разбиений строят
и иерархические алгоритмы кластеризации, исходной информа-
циехй для которых служит обычно матрица сходства между объ-
ектами множества X [11]. Таким образом, иерархические алго-
ритмы кластеризации можно рассматривать как некоторые
процедуры преобразования заданного отношения сходства в НО
эквивалентности, а задачу иерархической кластеризации можно
рассматривать как задачу поиска в определенном смысле опти-
мальной процедуры подобного преобразования. В такой поста-
новке задача иерархической кластеризации рассматривалась в
[3], в которой была введена транзитивная окрестность заданного
отношения сходства, содержащая оптимальные аппроксимации
этого отношения транзитивными нечеткими отношениями. К ана-
логичной постановке задачи иерархической кластеризации могут
быть приведены подходы к задаче кластерного анализа, основан-
ные на понятиях «матрицы сходства», «матрицы, имеющей струк-
туру дерева», «ультраметрики», «графов «-сходства» [11, 36].
Исследование этих подходов в рамках теории НО позволит,
видимо, лучше попять их достоинства и недостатки и может
способствовать развитию новых точек зрения на задачу класте-
ризации.
Различные подходы к задаче автоматической классификации,
основанные па понятиях НМ и НО рассматриваются также в ра-
ботах [12, 16, 23, 38, 41—44, 50, 51, 54]. В частности, в [51] рас-
сматриваются методы кластеризации, основанные на НО сход-
ства, которые обобщают многие известные методы, использую-
щие графовый подход. В [26] рассматривается метод кластери-
зации, основаппый па разложении НО сходства пе на а-уровни,
а на взвешенную сумму обычных отношений, в общем случае не
вложенных друг в друга.
Асимметричные НО (отношения порядка) находят приложе-
ния к структурному анализу систем, принятию решений и т. д.
[14—16, 19, 37—38, 40—41, 46, 49, 52]. НО порядка имеют пре-
имущество перед обычными отношениями порядка, используе-
мыми при построении моделей систем, так как позволяют учи-
тывать интенсивность доминирования, предпочтения, подчиненно-
сти и т. п., которая в обыкновенных моделях не учитывается.
Применение при попарном сравнении альтернатив шкал сравне-
60
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
ний, в которых эксперт может измерять интенсивность предпоч-
тения, позволяет вводить в модели предпочтений, основанные
па теории НО, дополнительную информацию, что дает возмож-
ность более адекватно описывать предпочтения эксперта. В из-
вестных подходах к анализу предпочтений, учитывающих интен-
сивность предпочтений при парных сравнениях альтернатив,
шкала сравнений, в которой измеряются эти интенсивности пред-
почтений, предполагается обычно либо шкалой интервалов, либо
шкалой подобия (шкалой отношений) [18], что во многих прак-
тических ситуациях является обычно слишком сильным предпо-
ложением и не соответствует характеру предпочтений эксперта,
производящего попарное сравнение альтернатив. Модели пред-
почтений, в которых попарное сравнение альтернатив произво-
дится в порядковой шкале, до настоящего времени исследовались
лишь в терминах громоздкого аппарата четырехместпых отноше-
ний [13]. Анализ таких моделей возможен в рамках теории НО,
представляющей для этого более удобный язык.
Пусть X — множество альтернатив, Р: XXX -> L нечеткое
асимметричное отношение предпочтения, L — шкала сравнений,
в которой производится попарное сравнение альтернатив. Пусть
L линейно упорядочено, 0 — наименьший, а I — наибольший
элементы L, и Р(х, у) интерпретируется как сила предпочтения
альтернативы х альтернативе у (сила доминирования х над у).
Возможны и другие интерпретации величины Р(х, у) (вероят-
ностная, возможностная, истинностная). Функция
1х (*) = V Р (У, %)
каждой альтернативе х е X ставит в соответствие элемент шкалы
lx (х) s L, характеризующий максимальную силу, с которой
альтернатива х доминируется альтернативами множества X
[4, 5]. При 1х(х) — 0 х — абсолютно педомиппруема, при
lx(x) == I х — абсолютно доминируема, при 0<1х(х)<1 х —
слабо доминируема. Функция доминируемости 1Х линейно упоря-
дочивает альтернативы множества X по силе домипируемости и
может служить основой для выбора паилучших альтернатив
из X. Вместо функции доминируемости удобно рассматривать
двойственную ей функцию недоминируемости
тх (х) = (1Х (х))' = ( V Р О/, *))' = А (Р (У. %))',
Xv^x ) v=x
где ' — операция дополнения в L. Если эта операция не может
быть задана в L, то свойства функции недоминируемости могут
быть получены из соответствующих свойств функции домипиру-
емости двойственным образом. В частности, х абсолютно педоми-
пируема, если тх(х) — I, и т. д. При L = [0, 1] функция недоми-
ппруемости приводит к нечеткому множеству педомппируемых
§ 2.9. ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИЗУ СИСТЕМ
61
альтернатив [19, 40]:
lipD(^)= А [1 — Нр(У> я)1 = 1 — V HpG/»*)-
y<=.v	ysx
При L = {0, 1) отношение предпочтения Р будет обычным отно-
шением, и функция педоминируемости будет определять множе-
ство максимальных элементов из X по этому отношению Р.
Следуя нормативной теории выбора [13], можно рассмотреть
связь между свойствами функции педоминируемости и различ-
ными моделями рациональности НО предпочтения с порядковой
шкалой сравнений. Пусть Q означает универсальное множество
альтернатив, па котором задано нечеткое отношение предпочте-
ния Р, а X, У £ Q — его конечные подмножества. Функция не-
домипируемости НО строгого предпочтения Р обладает следую-
щими свойствами:
при любом НО строгого предпочтения Р
yX,Y<^Q \/x^X{\Y:mx\jy{x) = mx(x)/\my(x), (2.67)
при ацикличности Р
VXcQ "=\xeYX'. тх(х) = 1,	(2.68)
при слабой транзитивности Р
УУсгО УХ£{^еУ|ту(^)<1}Уу = У\Х: ту (у) с
<1=^шУхА. (</)<!, (2.69)
при отрицательной транзитивности Р
УХ, Ус=О Ух, у <^Х 0 У: тх (х) = ту (у) = I =>
=> ту (х) = тх (у) = I, (2.70)
при (Д)-трапзитивпости Р
УУ<=0 ух = {^еУ|шу(^) = 0}УуеУ\Х: my(y) =
= 0=>тУхЛ(у) = 0,	(2.71)
пои сильной транзитивности Р
Ух,у<=Х: тх(х) = 1=>тх(у) = т{х.у}{у),	(2.72)
УУсО УХ = {^еУ|ту(^)<1}УуеУ\Х: шУхх(у) = ту(у),
(2.73)
УХ, У sQ Ух, у^Х П У: шх(х) = тх(у) = 1=>шу (х) = т.у(у),
(2.74)
при сверхсильпой транзитивности Р
УХ, У =0 Ух, у <=Х У: тх (х) > тх (у) =>ту (х) > ту (у),
(2.75)
62
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
при квазисерийности Р
YX, Y S Q Vz, у & X П Y: тл- (х) > 0, mY (у) > 0 =>
=> mY (х) > 0, тх (у) > 0.	(2.76)
Некоторые из перечисленных свойств, а также ряд других
свойств могут быть найдены в работах [3, 4, 5].
Рассмотренные свойства функции педоминируемости имеют
тесную связь с известными аксиомами рациональности функций
выбора, рассматриваемыми в теории принятия решений [1, 13].
Под функцией выбора понимается обычно функция С: 2“ -* 2“
такая, что С(Х) е X, УХ s Q. Эта функция С выбирает из мно-
жества альтернатив X множество наилучших альтернатив С(Х).
В отличие от рассматриваемой в теории принятия решений
функции выбора С обсуждаемая здесь функция педоминируемо-
сти т линейно упорядочивает альтернативы по предпочтитель-
ности, предоставляя большую информацию об альтернативах.
Задача выбора может решаться на основе функции педомипиру-
емости, причем наилучшими альтернативами могут считаться
как абсолютно педомипируемые альтернативы, так и слабо доми-
нируемые альтернативы при отсутствии первых. Рассмотрение
слабо доминируемых альтернатив — неплохих альтернатив — мо-
жет производиться и при необходимости расширения множества
выбираемых альтернатив. Заметим, что слабо доминируемые аль-
тернативы появляются в функции педоминируемости, в отличие
от обыкновенной функции выбора, в результате учета силы пред-
почтений в парных сравнениях. Слабо доминируемые альтерна-
тивы могут появиться как в результате расслоения множества
наилучших альтернатив, задаваемых обыкновенной функцией
выбора, которая определяется как множество максимальных эле-
ментов обычного отношения предпочтения, так и в результате
перевода доминируемых альтернатив в слабо доминируемые.
В любом случае учет силы предпочтений в парных сравнениях
позволяет проводить более тонкий анализ предпочтений эксперта.
Рассмотрим связь между перечисленными свойствами функ-
ции педоминируемости и свойствами обыкновенной функции вы-
бора, лежащими в основе различного вида аксиом рационально-
сти функций выбора '[1].
Условие (2.67) аналогично аксиоме согласия: из X, Y е Q
следует С(X U У) Э С(X) ПС(У). Из (2.67) следует условие
VKcQ VXcyVTGA’:mY.b.pmY(x), (2.77)
которое обобщает аксиому наследования: из X — Y s Q следует
С(Х) ^C(Y) ПХ.
Условия (2.69), (2.71) и (2.73) могут рассматриваться как
аналоги аксиом независимости от отбрасывания отвергнутых
альтернатив: из X У Q, С(У) П X = 0 следует C(Y\X) —
= С(У). Причем условие (2.69) учитывает лишь абсолютно не-
§ 2.9. ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИЗУ СИСТЕМ
63
доминируемые альтернативы, условие (2.71) — слабо доминиру-
емые, а условие (2.73) учитывает полную согласованность зна-
чений недоминируемости. Заметим, что во все эти условия мо-
жет быть включено условие (2.77), которое выполняется для
всех типов транзитивности.
Условия (2.70) и (2.76) можно рассматривать как обобщение
на абсолютно педоминируемые и слабо доминируемые альтерна-
тивы условия: из	С(У) Л X ¥= 0 следует С(Х) —
— C(Y) Л X, известного как аксиома константности остаточного
выбора. В усиленном варианте VK S Q VX s Y Чх, у е X:
ту (у) = I => тх (х) = ту (ж) это условие выполняется для сильно
транзитивных отношений, что следует из (2.72) и (2.77).
Условие (2.75) является аналогом аксиомы Эрроу и Узавы,
интерпретируемой следующим образом: если х строго лучше, чем
у, то у никогда не будет выбрано в присутствии х.
Важным условием является условие (2.72), выполняющееся
для сильных порядков. Оно показывает, что выбор альтернатив
производится в результате сравнения их с эталоном, что дает
простой способ вычисления функции недоминируемости. Условие
(2.74) характеризует равноценность объектов.
Условие (2.68) обеспечивает при ацикличности Р существо-
вание абсолютно недоминируемых альтернатив. Заметим, что
условие ацикличности является обычно основным условием, вы-
полнения которого требуют от рациональных обычных отноше-
ний предпочтения, так как это условие обеспечивает наличие
наилучших альтернатив. Для НО предпочтения выбор альтерна-
тив может осуществляться даже тогда, когда отношение пред-
почтения является в обычном смысле отношением с циклами.
В широком классе НО, содержащих циклы, выбор может осуще-
ствляться за счет слабо доминируемых альтернатив, т. е. таких
альтернатив, для которых 0 < тх (х) < I. Для этого достаточно,
чтобы Р было 1-ацикличпо, т. е. удовлетворяло условию:
V^o, xt,	X: Р (ха, Xj) = I, Р (хх, х2) = I, ...
Р (xn-lt хп) = 1=>Р (хп, х0) < I.
В этом случае функция недоминируемости удовлетворяет ус-
ловию: \fX ^QBxe^X: тх(х)^>0. Таким образом, учет силы
предпочтений в парных сравнениях альтернатив позволяет осу-
ществлять выбор в ситуациях, в которых обычная теория выбора
отказывается от принятия решения.
Заметим, что I-ацикличпость, гарантируя наличие слабо до-
минируемых или абсолютно педомипируемых альтернатив, не
исключает ситуации, когда функция недоминируемости па
всех альтернативах принимает одно и то же значение. Этого
недостатка лишены функции педомиппруемости при слабой
64
ГЛ. 2. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ И АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ
ацикличности Р:
V• • •.» X. Р (*£(р ^i) О, Р (xj, Xi) О, ...
• • • 5 Р (%п—1« ®rt) > О*
Р (хп, ж0) > о => Эк е= {0, 1, ..., п — 1}: Р (хп, х0) =£ Р (xhi xft+1).
К последнему условию может быть также добавлено ослаблен-
ное условие полноты:
\fx, уеХ: х =£ у => Р (х, у) V Р (У, ж)>0.
В заключение отметим, что рассмотренные здесь примеры не
ограничивают круг возможных приложений теории нечетких
(L-нечетких) отношений, которые будут обсуждаться также
в следующих главах. Более того, здесь практически не исследова-
лись свойства лингвистических отношений, принадлежащих к
классу НО типа 2, т. е. таких НО, в которых веса из L являются
лингвистическими переменными (нечеткими множествами). По-
добные отношения играют важную роль при создании семиоти-
ческих систем управления 120]. В этой главе исследовались лишь
наиболее общие свойства этих отношений, определяемые частич-
ной упорядоченностью их весов. Заметим, что НО, кроме прило-
жения к анализу систем, нечетко определенных в том смысле,
как это понимается в теории НМ, находят также приложения
к анализу систем, в которых нечеткость как таковая может и от-
сутствовать. Кроме рассмотренных выше приложений к кластер-
ному анализу и принятию решений, теория НО может найти при-
ложения к структурному анализу систем, к теории сетей и т; д.
ГЛАВА 3
ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
§ 3.1.	Основные виды показателей размытости
Как уже отмечалось, нечеткие множества используются для
описания плохо определенных, неоднозначно понимаемых ситуа-
ций, объектов, понятий. В [15] было предложено ввести в рас-
смотрение показатель этой неопределенности, который можно
было бы использовать для оценки, классификации объектов, опи-
сываемых НМ. Там же были сформулированы основные свойст-
ва, которым должен удовлетворять такой показатель, называемый
показателем размытости (мерой энтропии) нечетких множеств,
и в качестве этого показателя был предложен функционал, ана-
логичный шенноновской энтропии в теории информации. В на-
стоящее время существует большое количество работ, в которых
рассматриваются различные подходы к определению показателя
размытости НМ, обсуждаются их свойства и возможные прило-
жения [1-3, 6-10, 12-15, 17-28, 30-39].
Можно выделить несколько аспектов, связанных с понятием
показателя размытости НМ. Прежде всего это — интерпретация
показателя размытости как показателя внутренней неопределен-
ности, двусмысленности, противоречивости, обусловленных не-
полной, частичной принадлежностью объектов множеству. Второй
аспект связан с интерпретацией показателя размытости как меры
отличия нечеткого множества от обычного множества. И наконец,
существование нетривиального показателя размытости, удовлет-
воряющего определенным свойствам^ оказывается тесно связан-
ным со свойствами самой алгебры НМ и характеризует ее как
алгебраическую структуру. В соответствии с этими тремя аспек-
тами и будут рассмотрены основные результаты, связанные с по-
нятием показателя размытости НМ.
§ 3.2.	Аксиоматический подход к определению
показателей размытости НМ
Основные свойства, выполнения которых разумно потребовать
от показателя размытости нечетких множеств, впервые были
сформулированы в работе [15]. В работах [1—3, 10, 17, 19, 22,
27—28, 30, 33—35, 38] предложены различные модификации и
дополнения этих свойств, положенные в основу аксиоматического
определения показателя размытости НМ.
66
ГЛ. 3. ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Показатель размытости НМ можно определить как меру внут-
ренней неопределенности, двусмысленности объектов множества
X по отношению к некоторому свойству А, характеризующему
эти объекты и определяющему в X НМ объектов А. Если неко-
торый объект х е X обладает свойством А, но лишь в частичной
мере: 0<рА(.г) <1, то внутренняя неопределенность, двусмыс-
ленность объекта х по отношению к свойству А проявляется
в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум
противоположным классам: классу объектов, «обладающих свой-
ством Л», и классу объектов, «не обладающих свойством Л». Эта
двусмысленность объекта х по отношению к свойству Л макси-
мальна, когда степени принадлежности объекта х к обоим клас-
сам «Л» и «не Л» равны, т. е. рА(^) = 0,5 и рнеА(-г) =1 —
— рА (х) = 0,5. И наоборот, двусмысленность объекта минималь-
на, когда объект принадлежит только к одному из этих классов,
Т. е. либо рА(^)=1, Рнел(^)=о, либо Ра(я)=0, РнеА(^)=1. Та-
ким образом, глобальный показатель размытости НМ Л можно
определить в виде функционала d: 2Г (X)	5?+, удовлетворяю-
щего следующим условиям:
Р1. й(Л)=0 тогда и только тогда, когда А-—обычное мно-
жество;
Р2. d(A) принимает максимальное значение тогда и только
тогда, когда рА(^)=0,5 Ух^Х;
РЗ'. d(A) < d(B), если Л является заострением В : рА < 'рв,
т. е. рА (.г) рв(я) при рв(я) <0,5, Ра (ж) >рв(ж) при рв(х) >
> 0,5 и рА (х) — любое при рв(х) = 0,5;
Р4. d(A) = d(A) (симметричность по отношению к 0,5);
Р5. d(A U В) + d(A П В) = d(A)+ d(B), т. е. d является оцен-
кой на решетке (X).
Условия Pl, Р2, РЗ' были сформулированы в [15]'. В [34]
предложено к ним добавить еще два: Р4 и Р5. Условие Р4 пред-
ставляется достаточно естественным, а Р5 приводит к аддитивно-
сти показателя размытости d.
В [1] установлено, что условие Р5 при конечном X выполня-
ется для любой функции d: ST(X) -+• 52+ тогда и только тогда,
когда d допускает представление
d(A) = % Т’ДРаИ),	(ЗЛ)
3=1
где Т,(у)—вещественнозначные функции от у <= [0, 1], и N —
число элементов множества X = {xlt ..., a:w}.
В [1, 2] предлагается усилить условие РЗ' и потребовать на-
ряду с условиями Р1 и Р2 строгого возрастания 4: РЗ. <3(Л) <
<d(B), если Л является заострением В и Л ¥= В. Тогда условие
Р2 оказывается лишним, так как оно следует из РЗ, а из РЗ, Р5
следует, что условие Р1 можно заменить па более простое: Р6.
d(0)=O, где 0 — наименьший элемент решетки 3^"(Х), т. е.
§ 3.2. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
67
0(х)*=О для всех х <= X. Условия Р5 и Р6 эквивалентны усло-
вию Р7. d(A U В) = d(4) + d(B), если А П В = 0.
Итак, показатель размытости можно рассматривать как адди-
тивный (Р7), симметричный (Р4) и строго возрастающий с уве-
личением размытости нечеткого множества (РЗ) функционал,
определенны!! на ff'(X') [1, 2]. Можно показать, что веществен-
ный, определенный на (X) функционал является показателем
размытости на (X) тогда и только тогда, когда он допускает
представление
d(4)= 2ЗДД(^)),	(3.2)
j=i
где для всех /е / = {1, 2, ..., N), Tj(y) — вещественные функции
от у <= [0, 1] такие, что 71Д0)=0, Т’Ду)=7’3(1— у), и Tj(y) стро-
го возрастают на интервале [0, 0,5]. Здесь предполагается, что
X == (^1, • •., хА.
По аналогии с шенноновской энтропией теории информации
в [15] вводится логарифмическая энтропия НМ:
d(A) = k% 5 (Иа (*>)),	(3.3)
3=L
где S — функция Шеннона
S(y)= — У In у — (1 — у) In (1 — у)	(3.4)
и к — положительная константа. В (3.4) полагается, что 5(0) =
= 5(1) = 0. В [13] исследуются также свойства показателя раз-
мытости (3.1), в котором функция Tj(y) имеет следующий вид:
Т(у)=7г(у)+7г(1-у),	(3.5)
где 7г (у)—это непрерывные и строго вогнутые функции в ин-
тервале [0, 1] такие, что Ит7г(у) = lim h(y) = 0. Этот показатель
размытости связан с мощностью НМ
5=1
следующим неравенством:
d(A)^NT(P(A)/N).
В (3.5) функции 7г могут быть записаны в виде h(y) =
= уЛ(1/у), где L — непрерывная вогнутая функция в (1, +°°).
Выбор в качестве L функции L(y) = ln (у) приводит к логариф-
мической энтропии (3.3), выбор L(y)= 1— 1/у приводит к функ-
ционалу, имеющему довольно простой вид:
Л'
d И) = 2 НА (*;) [1 - НА (^)].	(3.6)
68
ГЛ. 3. ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Если определить моменты нечеткого множества в виде '[13]:
.V
Mh(A)= 1-2 (На (ж,)[1 — На(^)1 + [1 — Ha(^)Pu4(^)],
3=1
1ъ — 1, 2, «.., ооf
то показатель размытости (3.6) будет моментом первого порядка,
а логарифмическая энтропия может быть выражена через момен-
ты следующим образом: d(A) = 2 У} \
й=1
Если отказаться от условия аддитивности Р5, то показатель
размытости может быть задан, например, как монотонно возра-
стающая функция от (3.2) [35]:
г я
d(A) = F
2
j=l
Tj (иА (хз))
(3.7)
В работах [27—28] рассматриваются дополнительные аксиомы
строгой выпуклости [28] и обобщенной аддитивности [27].
Выбор конкретного показателя зависит от условий задачи.
В следующем разделе будет показано, что показатель размыто-
сти нечетких множеств может быть задан с помощью метрики,
введенной в (X). В [13, 15, 18] обсуждается связь между по-
казателем размытости НМ и неопределенностью, возникающей
при принятии решения, к какому из двух классов «Л» или
«не Л» отнести объекты множества X. В практике человеку
часто приходится принимать подобные решения, когда необхо-
димо отнести объект к одному из двух классов, характеризую-
щихся противоположными свойствами типа: «белый — черный»,
«пригоден — не пригоден», «нравится — не нравится», «хоро-
ший — плохой» и т. п. Такие решения вызывают у лица, прини-
мающего решения, неопределенность, обусловленную тем, что
объекты часто обладают сразу обоими противоположными свой-
ствами, хотя и в разной мере. Можно предположить, что показа-
тель этой неопределенности зависит от размытости ситуации,
в которой принимается решение. В [15] предполагается, что по-
казатель неопределенности решений может удовлетворять тем же
свойствам, что и показатель размытости нечетких множеств.
Однако систему свойств, которым должен удовлетворять показа-
тель неопределенности, можно и ослабить, заменив в системе
свойств (РЗ, Р4, Р7) условие РЗ на более слабое РЗ'. Это при-
водит к нестрогому возрастанию функций Т,(у) в (3.2), а усло-
вия Р1 и Р2 заменяются такяге па более слабые условия:
Pl'. d(A)= 0, если А — обычное множество,
Р2'. d(A) максимально, если рА(я) =0,5
Такое определение меры неопределенности решения в нечет-
кой ситуации позволяет включать в рассмотрение пороговые
§ 3.3. МЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД
69
функции принятия решений, например, такие:
	 0,	если	0<	У<	С а,
ЗД) =	С,	если	а <	У^	1 - се,
	о,	если	1 -	а <	'У<1>
(3.8)
где а < 0,5 — некоторый параметр, зависящий от условий при-
нятия решений, ас — некоторая константа. Подобные функции
рассматривались, например, в [11].
§ 3.3.	Метрический подход к определению
показателей размытости НМ
Показатель размытости нечетких множеств можно определить
как меру отличия нечеткого множества от ближайшего к нему
обычного неразмытого множества с помощью метрики, введенной
в &~(Х) [33, 35]. Другой способ задания показателя размытости
с помощью метрики — это определение его с помощью расстоя-
ния до максимального размытого множества Л0,5: рл0 5(ж) = 0,5
Vxe X [1] и расстояния между нечетким множеством и его до-
полнением [1, 39]. Оказывается, эти подходы имеют много обще-
го между собой, и определяемый с помощью метрики показатель
размытости обладает многими свойствами, сформулированными
в предыдущем разделе.
В [33] множеством, ближайшим к нечеткому множеству А,
называется неразмытое множество А такое, что рл (х) = 0 при
Рл (х) <0,5 и Ра(#) = 1 при рА(я) >0,5. Показателем размыто-
сти называется функционал
N
й(Л) = |2|На(^)-Ца(^)[,	(3.9)
j=i
который может быть представлен также в виде:
N
to) = у 2 Ндпа (ж?)*
3=1
Если вместо расстояния Хэмминга в (3.9) использовать евк-
лидово расстояние, то получим:
d (Л) =	]/2 (РА to) - Ра to))2.	(3.10)
Показатели (3.9) и (3.10) имеют, соответственно, вид (3.2)
и (3.7) и удовлетворяют соответствующим свойствам показателя
размытости. В случае произвольной метрики функция d(A) =
= р(Л, А) удовлетворяет свойствам Pl, Р2', РЗ'.
70
ГЛ. 3. ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
Показатель размытости можно задать с помощью расстояния
между нечетким множеством и его дополнением [1, 39]:
d(A) = k[p(0, С7)-р(Л, А)],
где U(х) = 1 VreX, а р(А, А) в случае метрики Хэмминга
имеет вид:
N	N
Р (Д ^) = 2 | Ца (^) — Ра fe) I = 2 I 2Ра № — 11-
3=1	3=1
В общем случае такой показатель размытости удовлетворяет
свойствам Pl', Р2, РЗ', Р4.
Показатель размытости можно задать функционалом [1, 2]:
</(Л) = 1р(0, 77) —р(Л, Ло>5),
который удовлетворяет, в общем случае, лишь свойствам Р1 ,
Р2 и РЗ'.
В общем случае различные показатели размытости, а также
мощности НМ можно получить на базе метрики Минковского, за-
данной в классе нечетких множеств ST (X). В [9] введено поня-
тие энтропии произвольной операции в ST (X) как расстояния
между результатом этой операции и максимально размытым НМ
Ца(.г) =0,5 VxeX. Предложен также показатель взаимной ком-
пенсации операндов в виде расстояния между результатом рас-
сматриваемой операции и результатом операции пересечения Д
(показатель рискованности решения).
Как видим, наиболее общими свойствами, которыми облада-
ют показатели размытости при метрическом подходе для метрики
произвольного вида, являются Pl', Р2', РЗ'. Свойства Р1 и Р2
в зависимости от определения показателя размытости не выпол-
няются для метрики
Р (A s) = SUP I Ра (я,) — Рв (^) |.
Свойство Р4 выполняется для большинства известных мет-
рик. А свойство Р5 выполняется для метрик, приводящих к ад-
дитивной мере (3.1). В следующем разделе будет, в частности,
показано, что между показателями размытости, удовлетворяю-
щими условиям РЗ, Р4, Р7, и метриками определенного класса
может быть установлено взаимно однозначное соответствие.
§ 3.4. Связь показателя размытости
с алгебраическими свойствами решетки НМ
Существование показателя размытости НМ оказывается тесно
связанным со свойствами алгебры НМ Заде. Для алгебры обыч-
ных множеств показатель размытости со свойствами РЗ, Р4, Р7
вырождается в тривиальный показатель, всюду равный пулю.
§ 3.4. СВЯЗЬ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ РЕШЕТКИ НМ 7J
Для более общих алгебр такого показателя просто не существует.
Первоначально укажем соотношения, существующие между про-
извольными положительными оценками (и определяемыми ими
метриками) и показателями размытости, а затем установим связь
между свойствами показателя размытости и свойствами алгеб-
ры НМ.
Положительной оценкой па решетке НМ (X) называется
функция v: (X) -* 5?+, удовлетворяющая свойству
v(A UB)+ v(A (] В)= v(A)+v(B)	(3.11)
и условию
из А <= В следует н(Л)<г;(В).	(3.12)
Положительная оценка v определяет иа (X) метрику [4]:
р(Л, В) = v(A U В) —и(А ПВ).	(3.13)
Решетка (X) с положительной оценкой v и метрикой (3.13)
называется метрической решеткой НМ.
Метрика называется симметричной, если она удовлетворяет
условию
р(Л, В)=р(Л, В).	(3.14)
Так как в алгебре нечетких множеств выполняются законы
Де Моргана:
A U В = Л П В, Л П В = Л U В,	(3.15)
то из (3.11), (3.13) и (3.15) получаем, что метрика является
симметричной тогда и только тогда, когда она определяется сим-
метричной оценкой, т. е. такой оценкой, которая удовлетворяет
условию
p(4) + p(J) = p(0)+p(Z7).	(3.16)
Теорема 3.1 [1, 2]. В метрической решетке нечетких мно-
жеств функционалы
d(A) = 2k[v(U)-v(A U Л)]',	(3.17)
d(A) = 2k[v(A ПЛ)-Р(0)],	(3.18)
й(Л) = /с[р(0, U)-p(A, Л)]	(3.19)
удовлетворяют свойствам РЗ, Р4, Р7. Они попарно тождественны
тогда и только тогда, когда положительная оценка v сим-
метрична.
Приведем основные моменты доказательства теоремы. Усло-
вие РЗ следует из (3^12) и из того факта, что_Л является заост-
рением В, если Л Л Л s В П В и В U В s Л U Л. Условие Р4 оче-
видно. Условие Р7 следует из (3.11) и из соотношения
(Л ПЛ) П (Вив) = Л ПЛ,	(3.20)
которое выполняется для всех Л, Ве^"(Х). Справедливость вто-
рой половины теоремы следует из того, что (3.19) является полу-
72
ГЛ. 3. ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
суммой (3.17) и_ (3.18), а (3.11) приводит к v(A U Д) + v(A П
П.А) = н(А) + к (А).
Теорема 3.2 [1, 2]. Если р симметричная метрика, то
функционал
d(A)=k[p(0, Z7)-2p(A, Ao,5)]	(3.21)
удовлетворяет свойствам РЗ, Р4, Р7 и тождествен функционалам
(3.17) — (3.19), причем для любого показателя размытости, вве-
денного на &~(Х) и удовлетворяющего свойствам РЗ, Р4, Р7, су-
ществует единственная, согласованная с ним соотношением
(3.21), симметричная метрика.
Справедливость первой половины теоремы следует из того,
что любая оценка v на (X) представима в виде (3.1)
v (А) = 2 Q, (Р-д (^)),
3=1
что совместно с (3.16) приводит к р(А, А)=2р(А, А0,5). По-
следнее соотношение совместно с (3.19) приводит к (3.21). Спра-
ведливость второй половины теоремы следует из того, что любой
показатель размытости d, удовлетворяющий свойствам РЗ, Р4, Р7,
можно представить в виде (3.2). Тогда оценка
р(А) = 2 <2j(Pa(^)),
j=l
где
( Tj(y) при у ^0,51
<2Ду) = (гГДО^-ГДг/) при г/>0,5] =
= Т, (0,5) 4- sign (у - 0,5) [ГД 0,5) -	(у)],
является положительной, удовлетворяет условию (3.16) и опре-
деляет симметричную метрику, согласованную с показателем
размытости d.
Примером симметричной оценки на решетке НМ может слу-
жить энергия нечеткого множества [13]
N
Е(А) = 2 ^Рд fa),
j=l
которая определяет симметричную метрику
N
р (А, В) = 2 I Ид fa) — Рв fa) 1
3=1
и согласованную с ней меру энтропии'.
__ N
d (А) = Е (A Q А) = 2 2 К min (Ид (^)> 1 — Рд (ж;)} =
7=1
Дг	N
= 2^-22 КJ ид fa) - 0,51.
3=1	3=1
§ 3.4. СВЯЗЬ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ РЕШЕТКИ НМ 73
Поскольку при доказательстве теоремы 3.1 используются
лишь алгебраические свойства решетки нечетких множеств
(^"(Х), U, 9, —), которая является нормальной алгеброй Де
Моргана (алгеброй Клини), так как удовлетворяет тождествам
(3.15) и (3.20), то эта теорема может быть обобщена на произ-
вольные нормальные алгебры Де Моргана (Lm, U, 0, т. е. дис-
трибутивные решетки Lm, в которых выполняются законы
Де Моргана (3.15) и условие нормальности (3.20). Более того,
оказывается, что меры размытости могут быть определены на
произвольной алгебре Де Моргана лишь в том случае, когда она
является нормальной, т. е. когда в ней выполняется усло-
вие (3.20).
Сформулируем условия, аналогичные условиям РЗ, Р4, Р7,
для произвольных алгебр Де Моргана (Lm, U, 0, ~). Условие Р7
удобнее будет записать в виде Р5 и Р6 [3]:
Al.	d(0) = O.
А2.	d(A) = d(A).
АЗ.	d(A)<d(B),	если	А	0 А с В 0 В.
А4.	d(A UB)+d(A 0В) = d(A) +d(B).
Теорема 3.3. На метрической алгебре Де Моргана Lm
с положительной оценкой v может быть задана функция d, удов-
летворяющая условиям А1 — А4, тогда и только тогда, когда Lm
является нормальной алгеброй Де Моргана. Эта функция всюду
на Lm равна нулю тогда и только тогда, когда Lm является буле-
вой алгеброй. Функции (3.17) — (3.19), определенные на Lm,
удовлетворяют условиям А1 — А4. Они попарно тождественны
тогда и только тогда, когда оценка v симметрична. Оценка v сим-
метрична тогда и только тогда, когда определяемая ею метрика
симметрична.
Теорема 3.2 выполняется в метрической алгебре Де Моргана
Lm лишь при некоторых дополнительных условиях на Lm.
В [39] с помощью функционалов, аналогичных (3.17) — (3.19),
вводятся показатели неопределенности на алгебре «стандартной
логики неопределенности». Как следует из теоремы 3.3, алгебру
такой логики можно задать в виде нормальной алгебры
Де Моргана. Заметим, что показатель неопределенности,
определяемый условиями РЗ', Р4 и Р7, в частности, вида (3.8),
можно задать на алгебре нечетких множеств с помощью изо-
тонной оценки, определяемой условием: из А^В следует
v(A) ^v(B).
Для такого показателя неопределенности многие результаты
этого раздела будут выполняться при замене в утверждениях по-
ложительной оценки на изотопную, метрики на псевдометрику
и т. п.
74
ГЛ. 3. ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
§ 3.5. Другие подходы к определению показателей размытости
В [13] предлагается обобщение понятия показателя неопреде-
ленности на случай М ортогональных свойств, т. е. таких
А1 (] = 1, ..М), что 2	(ж) = 1. 'Обычный показатель раз-
3=1
мытости получается при М = 2. Этот обобщенный показатель не-
определенности описывается для каждого х е X с помощью
функций (3.5):
м
II2 h^Aj(x)\
Этот показатель может использоваться при анализе процессов
принятия решений на основе описания объектов с помощью М
ортогональных свойств.
Интересный вариант аксиоматизации показателей размытости
предложен в [30], где рассмотрен класс С дополнений в алгебре
НМ, введено понятие равновесного значения с(х)=х и дана рас-
ширенная интерпретация условия РЗ'
РЗ". 'Цв, если 1цл(ж)— с(ца(ж)) I > 1цв(г) — c(pB(z)) I.
Обобщение показателя размытости на случай L-нечетких мно-
жеств дается в [17]. Например, когда L — векторная решетка,
показатель размытости (3.2) может быть записан в виде вектора
d(A) =
"	(А) ~
d2 (4)
_dhW_
k
или его свертки d(H) = 2 dj(A), где dj(A) — показатель раз-
мытости НМ А}, характеризующего множество X по /-му призна-
ку, критерию, свойству, а А — это совокупность таких А3, описы-
вающих различные стороны объектов из X. Заметим, что обобще-
ние показателя размытости на L-нечеткие множества у.А: X -> L
[16, 17], может быть получено в случае, когда L является нор-
мальной алгеброй Де Моргана, с помощью теоремы 3.3.
Обобщение понятия показателя размытости НМ на случай
произвольного (не обязательно конечного) множества X дается
в работах [10, 19, 34]. Эти подходы основаны, соответственно, на
понятиях сходящегося ряда, интеграла по мере и нечеткого инте-
грала. В последнем случае условие Р5 отбрасывается, и опреде-
ляются неаддитивные показатели размытости вида sup-min или
sup-prod. Другой подход может быть основан на теореме 3.3 прп
существовании положительной оценки на решетке НМ.
§ 3.5. ДРУГИЕ ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ
75
Двойственно понятию показателя размытости может быть вве-
дено понятие показателя неразмытости, меры заостренности НМ.
Подобная мера, двойственная функционалу (3.6), вводится в [26].
В [12] дбволыю специфичный показатель размытости, характери-
зующий степень разделимости нечетких образов, используется
в задачах автоматической классификации. В [14] показатель не-
определенности вводится как число элементов множества X, для
которых Цл (ж) > 0. Здесь X означает множество различных спо-
собов выполнения нечеткой программы А.
В [36] показатель размытости вводится как число плохо опре-
деленных элементов множества X, т. е. таких, для которых
0 < pA(z) < 1, а в общем случае е < Цл(ж)< 1 — е, где е — ши-
рина некоторого интервала, характеризуемого функцией принад-
лежности, е s [0, 0,5]. Подобный показатель используется как
характеристика неопределенности представлений и понятий, ис-
пользуемых на разных уровнях иерархического описания систем.
Показатели размытости НМ могут использоваться при ана-
лизе процессов принятия решений (см. также раздел 3.2). В этом
случае показатель размытости может трактоваться как показа-
тель неопределенности, возникающей при выборе в плохо опреде-
ленной ситуации. Последовательность решений, обучение могут
уменьшать эту неопределенность. Естественно предполагать, что
в процессе обучения лицо, принимающее решения, получает ин-
формацию, количество которой равно количеству имевшейся ра-
нее неопределенности. В [15] предлагается в качестве показателя
информационного различия размытых ситуаций использовать раз-
ность их показателей неопределенности. Однако такой подход не
учитывает сходства и различия нечетких ситуаций. В качестве
показателя информационного различия, учитывающего взаимную
зависимость нечетких ситуаций, можно предложить следующую
функцию:
D(A, B^d^AKA) U (B0B)]-d[(A П J) П (ВПВ)].
В отдельную группу следует выделить показатели неопреде-
ленности в ситуации принятия решения, основанные на понятии
мощности подмножества a-уровня НМ IAJ = |{ж е Х|у,(ж)^ а}|.
Примерами могут служить
атах
Тг(рд)= f
о Pal
и двойственный ему показатель Ап(рл)=1 — Тг(у.А) [40],
а также показатель неопределенности
1
U (рд) = J log2 \ Аа | da
о
76
ГЛ. 3. ПОКАЗАТЕЛИ РАЗМЫТОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ
и связанная с ним мера прироста информации
1
где
g (Haj p-в) = и (рв) — и (рА) = 1 log2 -Г det [31],
•J ла
О
Ва = {ж е Х|рв(ж)^ а), Аа = {ж Х|рА(ж)^ а}.
В [8] показатель размытости (3.3) используется при анали-
зе причинно-следственных связей между различными факторами
в социологических исследованиях. В [6, 7] показатель размыто-
сти НМ используется как параметр в задаче лингвистической
аппроксимации оптимального управления динамической системой.
Приложения показателей размытости в задачах распознава-
ния образов и принятия решений обсуждаются также в [1, 13,
15, 18].
ГЛАВА 4
НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
§ 4.1.	Методические замечания
При решении многих задач анализа сложных систем в усло-
виях неопределенности широко используются методы теории ве-
роятности и математической статистики. Эти методы предполага-
ют вероятностную интерпретацию обрабатываемых данных и по-
лученных статистических выводов. В последнее время возрастает
потребность в новых подходах к математическому описанию ин-
формации, характеризующейся высоким уровнем неопределенно-
сти. Один из возможных подходов здесь может основываться на
обобщении понятия меры и построении нечетких мер, свободных
от ряда ограничений вероятностной меры.
Существуют различные интерпретации понятия вероятности.
Это — классическая частотная интерпретация Лапласа, субъек-
тивная вероятность по Байесу, субъективная вероятность по Де
Фипеттп, Сэвиджу и т. д. [2]. Наиболее содержательной с мате-
матической точки зрения является аксиоматическая трактовка
вероятности А. Н. Колмогорова с позиций теории меры.
Как известно [5], мерой называется функция множества
т: 9>(Х)	91, удовлетворяющая следующим трем аксиомам:
1)
2)	т(0) =0;
3)	если А, В е 9>(Х), то т(А U В) = лг (/!)'+ т(В) — т(А Л В).
Здесь 9* (X) — множество всех подмножеств X, а ^ — множе-
ство действительных чисел. При 91 = [0, 1] эти аксиомы опреде-
ляют вероятностную меру [4].
Под субъективной вероятностью понимается степень уверен-
ности в данном событии, возникающая у человека на основе из-
вестных ему данных [1—3]. Эта степень уверенности всегда зави-
сит от индивидуального опыта и поэтому различна для разных
людей. Неясность суждений, основанных на субъективном ана-
лизе, обусловливает многие трудности, которые возникают при
использовании субъективной вероятности.
Субъективную вероятность можно рассматривать как индиви-
дуальный способ обработки тех аспектов субъективных данных,
которые доступны индивидуальному суждению. Однако чаще все-
го такие суждения неаддитивны. В [3, 9, 39] показано, что реаль-
ное поведение человека, как правило, противоречит предположе-
нию об аддитивности мер, которые он использует при оценке
78
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ II ИНТЕГРАЛЫ
событий. В отличие от субъективной вероятности, нечеткая мера
свободна от весьма ограничительного требования аддитивности,
что делает ее особенно привлекательной для решения ряда задач
при наличии неопределенности типа нечеткости.
В настоящее время существует тенденция вероятностной
трактовки НМ [1]. Следует отметить, что, с точки зрения теории
меры, такой подход является неоправданным, поскольку понятие
вероятностной меры является сужением понятия нечеткой меры.
Для сравнения рассмотрим обе теоретико-мерные трактовки ве-
роятности и нечеткости.
Пусть (X, Р) — вероятностное пространство. Здесь $ е
s.'P(X)—поле борелевских подмножеств множества X (мини-
мальная о-алгебра, содержащая все открытые подмножества мно-
жества X), а Р— вероятностная мера, т. е. функция множества
Р: &	[0, 1], удовлетворяющая условиям 1) —3). С другой сто-
роны, нечеткое множество Л. Заде описывается функцией при-
надлежности ц, принимающей свои значения в интервале [0, 1].
С точки зрения теории отображений Р: -* [0, 1] и pi: X ->
-> [0, 1] — совершенно разные объекты. Вероятность Р опреде-
ляется в о-алгебре & и является функцией множества, а ц (ж)
есть обычная функция, областью определения которой является
множество X. Поэтому понятия вероятности и нечеткого множе-
ства не имеет смысла сравнивать на одном уровне абстра-
гирования.
Когда X — является конечным множеством, очевидно, можно
сравнивать P({z)) с	2 Р ({^}) = 1 и 2
хеХ	хеХ
В этом случае, когда X <= 91, приходится сталкиваться со следу-
ющими трудностями. Если
ь
(а, &] ей, то Р ((а, &]) = J р (x)dx,
а
где р (х) — плотность вероятности. При этом очевидно, что
У?х^&: Р({д?})^:0, когда р(х)=/=0. Нетрудно увидеть,
что понятия плотности вероятности и функции принадлеж-
ности сравнимы. В то время как вероятностная мера является
шкалой для измерения неопределенности типа случайности, не-
четкие меры [27—30, 34, 37, 38] являются субъективными шка-
лами для нечеткости.
§ 4.2.	Нечеткие меры
Рассмотрим основные свойства нечетких мер и интегралов,
введенных в [27, 37], а также их содержательную связь с мера-
ми возможности [41], используемыми в гл. 5, 6 для построения
алгоритмов нечеткого вывода.
§ 4.2. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ
79
Пусть X — произвольное множество, а & — поле борелевских
множеств (о-алгебра) для X.
Определение 4.1. Функция g(-), определяемая в виде
g: $ -> [0, 1], называется нечеткой мерой*), если опа удовлет-
воряет следующим условиям [27, 30]:
l)g(0) = O, 1
.....	, ? (ограниченность);
2)	g(X) = 1, I
3)	если А, В & и АаВ, то g (Л) g (В) (монотон-
ность);
4)	если Fn^ $ и {В,,} является монотонной последо-
вательностью, то lim g(Fn) = g(lim Fn\ (непрерывность).
(4.1)
Тройка (X, g) называется пространством с нечеткой ме-
рой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться
условие аддитивности: g(A U В)=А g(A)+g(B). Таким образом,
нечеткая мера является однопараметрическим расширением ве-
роятностной меры.
Выражение g(4) представляет собой меру, характеризующую
степень нечеткости А, т. е. оценку нечеткости суждения «X s А»
или степень субъективной совместимости X с А. Нетрудно уви-
деть, что монотонность меры g влечет за собой
УЛ, Bs^: g (Л (J B)>max(g0), g(B));
УЛ, Bs$: g^(] B)^min(g0), g(B)).
Для построения нечетких мер используется следующее к-пра-
еило [27, 30]. Пусть Л, В <= А П В = 0. Тогда
gx^ UB)=g^)+g„(B)+Vg^) •gx(B), —1<А,<~. (4.2)
В случае Л U В — X будем называть выражение (4.2) усло-
вием нормировки для gi-мер. Очевидно, что g>.(X)= 1; g)l(0)=O.
Параметр А. е(—1, +°°) называется параметром нормировки
gb-меры. При А, > 0, gK(A U В)> gK(A)+ gK(B) имеем класс су-
пераддитивных мер, а при — 1 < А, < 0, g?.(H U В) < £?.(Л) + g>.(B)
получаем класс субаддитивных мер.
Легко убедиться, что если Л = X \ А, А^$, то из (4.2)
следует
Формула (4.3) определяет класс так называемых А.-дополпепий
Сугено [30].
*) В зарубежной литературе используется термин «нечеткая мера»
(fuzzy measure), хотя по сути дела четкая функция множества g() опре-
деляет неаддитивную меру (квазимеру) на обычном множестве X.
80
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
В общем случае, когда А и В — произвольные непересекаю-
щиеся подмножества множества X, т. е. А, В е 31, А Л В ¥= 0,
выражение (4.2) приобретает вид
«г.	+ ёк <g) -	0 й) + X-gx И • £;.<й) ,4
Ш-^МПЯ)	•
gx(A U В)
Если X = 31, то ё\-меру можно получить с помощью непре-
рывной функции h, удовлетворяющей следующим свойствам:
1) если х «2 у, то h(х)h(у); х, у <= 31\
2) lim h(x)~Q\ lim h(x)=l.
X-->—oo	x—»-|-oo
Функция h аналогична функции распределения вероятности
и называется нечеткой функцией распределения.
Таким образом, нечеткую меру gK на (31, 31) можно построить
в виде
Рис. 4.1. Соотношения между
нечеткими мерами [10]: 1 —
нечеткие меры (исключая ме-
ру Дирака); 2— дч-меры,
—1 < X < оо; 3 — функции
доверия; 4 — меры прав-
доподобия; 5 = 3 п 4 — веро-
ятностная мера (X = 0); 6 —
согласованные функции дове-
рия (мера необходимости);
7 — мера возможности
£*([«,	V[a,
(4.5)
Мера g-,. в (4.5) удовлетворяет
Х-правилу. В частности,
Sk ((— оо,я]) = h(x) YXe(—1,+оо).
(4-6)
Далее предположим, что К —
= {s,, s2, ..Sn}. Мера на (К, 2К)
строится следующим образом (0
1, iel):
i П(1 + V)-1
л Li=l
= 1,
Хе(-1, + оо). (4.7)
Если К' с К, то
(£') = {[ П (1 + Х^)-11- (4.8)
hex'	1
Выражение (4.8) также удовлетворяет Х-правилу и из (4.7)
следует, что
gk({si}) = g‘,
gx({s4, «Д) = ^ + ^ + Х^3,	(4-9)
Рассмотрим несколько примеров нечетких мер (см. рис. 4.1).
Меры Дирака. Примитивный класс мер Дирака определяется
соотношением
УЛ е 31,
1 при х0 е А,
О в противном случае,
(4.10)
§ 4.2. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ
81
где Хо — заданный элемент в X. Меры Дирака — частный случай
вероятностной меры, соответствующий детерминированной ситуа-
ции (меры полной уверенности). Все рассматриваемые далее не-
четкие меры можно разделить на два класса: супераддитивные
меры (Л>0) и субаддитивные меры (—1<Л,<0).
4.2.1. Супераддитивные меры. Функция доверия. Опре-
деление функции доверия (belief function) предложено в [26],
где предполагается, что степень доверия высказыванию
Л(Л^0), которое является истинным, не обязательно равна 1.
Это означает, что сумма степеней доверия высказыванию А и его
отрицанию А также не обязательно равна 1, а может быть либо
равной, либо меньшей 1. Другими словами, когда высказывание
А (А^З) является истинным с определенной степенью sG[0,1],
его мера неопределенности выражается с помощью функции
Ь(В) =
1, если В = X,
s, если В zd А, В =А= X,
О, если В тр А,
(4.11)
которая называется простой функцией носителя, сосредоточен-
ной на А.
Если s = l, то получаем меру, которая называется мерой
определенности, сосредоточенной на А. Если |Л| = 1, то полу-
чаем меру Дирака, сосредоточенную на А.
Если s = 0 или А = X, то тогда Ъ (В) называется пустой
функцией доверия (полное незнание). В результате обобщения
этих рассуждений в [26] была введена функция доверия — мера,
удовлетворяющая следующим свойствам:
1)Ь(0) = О; Ь(Х) = 1; УЛе=^: 0<Ь(Л)<1; j
2)	УЛХ, ..., Ап <= Ъ (Лг J ... J Ап) > 2 b (А})~ ^Л2)
- 2 Ъ(Аг Л Aj) + ... + (- 1)п+1б(Л1 П А2 П .. • fl Ап),
id
В случае, когда 1^1 = 2, получаем:
УЛ, В е= Ъ (Л [J В) > Ъ (Л) + Ъ (В) - Ъ (Л f) В)
(свойство супераддитивности) и
УЛе^: Ъ (Л) + Ъ (Л) «= [0, 1].
Возможно также другое определение этой меры [10, 13].
Пусть тп — мера, удовлетворяющая следующим свойствам:
1)	тп(0) = О;	(413
2)	2 m (Л)=1 (полное доверие).
Ага
82
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ II ИНТЕГРАЛЫ
Тогда
УЛ е= Ъ (Л) = 2 т (В)
LK_A
(4.14)
является функцией доверия. Поэтому функции доверия называ-
ются также нижними вероятностями [12]. Из (4.14) вытекает:
УЛе^: 6(Л) + &(Л) = 1- 2 тп(В)е[0, 1].	(4.15)
вФа
В9-А
Любая gx-нечеткая мера (кроме меры Дирака) является
функцией доверия тогда и только тогда, когда А, > О [10]. Отсю-
да следует, что мера вероятности есть частный случай функции
доверия.
Согласованная функция доверия. Понятие согласованной
функции доверия (consonant belief function) базируется на опре-
делении ядра С = {В Х\т(В) > 0), полностью упорядоченного
по вложенности. Легко показать, что любая простая функция
носителя является согласованной функцией доверия. Если Л ¥= X,
то мера неопределенности
УВс^: Ь(В) =
1 — s,
0,
если В = Л,
если В = X,
если В А, В^Х.
(4.16)
В [26] согласованная функция доверия определяется с по-
мощью следующих аксиом:
1)Ь(0) = О; Ъ(Х) = 1,
2) Ъ (A f| В) = min (b (Л), Ъ (В)); У Л е	(^Л7)
При этом
min (Ь(Л), Ъ (Л)) = 0; У& ДЛ, В: Ъ(А (J В) > тах(& (Л), Ъ(В)).
4.2.2. Субаддитпвные меры. Меры правдоподобия.
Мера правдоподобия множества Л из X определена в [10, 26] как
Р1(Л) = 1-&(Л),	(4.18)
где Ъ — функция уверенности.
Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам
1)	Р1(0) = О; P1(X) = 1,
2)	УЛХ....ЛпЕХ: Р1(Л, f) ... f) Лп)<
п	(4.19)
< 2 и (ло - 2 и (Л| и ^) + ... +
+ (-i)n+1 рцлх и ... и ап).
§ 4.2. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ
83
Существует другой способ определения функции правдоподо-
бия [10, 13]. Пусть т — мера, удовлетворяющая свойствам (4.13),
тогда
УЛе$: Р1(Л) = 2 т(В)
(4.20)
является мерой правдоподобия. Меры правдоподобия называются
также верхними вероятностями [12].	_
Пусть ц и v — две меры такие, что УЛе^: ц(Л) + х(Л) =
= 1. В этом случае ц является функцией доверия тогда и
только тогда, когда v — мера правдоподобия.
Мера возможности. Мерой возможности [41] называется функ-
ция П: & -*• [0, 1], удовлетворяющая следующим аксиомам:
1)	П(0) = О; П(Х) = 1,	1
2) VieN, Л,с1, П(и ЛЛ = впрП(Л4). (4-21>
UeN J ieN	)
Здесь N — множество натуральных чисел.
Мера возможности может быть построена с помощью рас-
пределения возможности л (ж), являющегося функцией л: X
[0, 1], такой, что sup л(х) = 1 (условие нормировки). Не-
х^Х
трудно увидеть, что УЛ е II (Л) = sup л (ж). Очевидно, что для
А.
счетного множества л (х) = П ({ж}).
Любая мера возможности является нечеткой мерой тогда и
только тогда, когда существует функция распределения f такая,
что sup f(x) = 1.
хеХ
Любая мера возможности П является gx-мерой (/.е(—1, °°))
тогда и только тогда, когда II — мера Дирака.	_
Пусть р и v две меры такие, что УЛе^: р(Л) + у(Л) = 1.
Нечеткая мера ц является согласованной функцией доверия
тогда и только тогда, когда v является мерой возможности.
Содержательные аспекты теории возможности рассмотрены
в работах [13, 20—21, 41].
Мера вероятности. Вероятностная мера (А, = 0) является
частным случаем функции доверия или меры правдоподо-
бия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера g==P является вероятност-
ной мерой тогда и только тогда, когда выполняются условия:
1) УЛе=^: Р(Л)е[0, 1]; Р (0) = 0; Р (X) = 1;
2) если Vi е N: Ai е 3?> и Vi /: Л{ |"| Aj = 0, то Р( JJ Ai) =
= 2Р(А).
84
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
gv-мера. Нечеткая мера g = gv называется gv-мерой, если
юна удовлетворяет следующим аксиомам:
1)	gv(X) = l; gv (0) = 0;
2)	если Vi е N:	$ и Vi A Q Aj = 0,
чо
gv( U А) = (1 — v) V gvMi) + v 2 gv(A),
\iSAT ) ,	i=N	iSN
где v^O;
3)	VA	A^B, gv(A)s^gv(B).
(4.22)
Нетрудно увидеть, что gv-Mepa является расширением меры
Цукамото [37], для которой v [0, 1]. Очевидно, что при v = О,
gv-мера является мерой возможности, а при v = 1 — вероятност-
ной мерой. Если v > 1, то gv-мера описывает неопределенность,
отличающуюся по своим свойствам от вероятности или воз-
можности.
Условие нормировки для gv-меры в случае счетного множест-
ва X имеет вид
gv(X) = (i-v) V A + v 2gi=i,
iSN	i=N
(4.23)
где gt = gv(k.)), VieN, x^X.
Если X = &, то нетрудно увидеть, что для нечеткой плотно-
сти /v (я): X -» [0, 1] можно получить
gv(X) = (1 — v) sup fv(x) + v [fv (%) dx.
Утверждение 4.1. Пусть X — произвольное множество,
А <= X, a gv: &	[0, 1] является gv-мерой. Тогда для А = X \ А
мера нечеткости примет вид
(max((l — gv(4))/v, 1 —vgv(A), если v>l;
Sv (А = [min ((1 _ gv(A))/v, 1—vgv(A)), если ve|0, 1].
Доказательство. Поскольку V a, b a\/ b = (a +
b)/2 + (a — b)/2, то условие нормировки для A^X и A=X\A
примет вид:
(l-v)((gvH)-gv(A))/2 + (gvH) + gv(A)/2) +
.+ v(gv(4) + g.v(A)').
Если gv(A) > gv(Л)тогда gv(A) = (1 — gv(A) )/v, а при
gv(A) < gv(A), gv(4) = l — vgv (A). _Для случая v > 1 условие
нормировки имеет силу, если gv(A = max((l — gv(4))/v, 1 —
— vgv(A)), а для ve[0, 1] gv(4) = min( (1 — gv(4) )/v, 1 —
— Vgv(4)).
Утверждение 4.2. Пусть X—произвольное множество,
— борелевская ю-алгебра, gv: -*• [0, 1] — нечеткая gv-мера.
§ 4.3. ОСОБЕННОСТИ АППРОКСИМАЦИИ НЕЧЕТКИХ МЕР
85
Тогда УЛ, A f] В=£0,
gv (A U В) = (1 - v) (gv (В) V gv (С)) + v (gv (5) + gv (С)),
где С = А \ (Л Л В);
gv(Q =
(min ((gv (Л) — gv (Л f| B))/v, gv (Л) — vgv(A f) В)), если v e [0, 1];
= [max ((gv (Л) — gv (A f) B)/v, gv (Л) — vgv (Л f| 5)), если v > 1.
Доказательство. Условие нормировки для Л, В е & от-
носительно gv(A) имеет вид
£,(Л) = (l-v)(gv(4\(4 n#))Vgv(zl Л5)) +
+ V(£ДЛ\(Л Л 5)) + £,(л Л Я))',
если £у(Л\(Л Л.В))^£,(Л Л5), тогда £,(Л \(Л Л5)) = (^»(Л) —
— £,(ЛЛВ))/?, а если gv(A\(Л Л В)) < gv(A Л В), то £»(Л\(ЛЛ
8S)) = gv(4)-vgv(4 (IB).
Нетрудно увидеть, что если v > 1, то
gv(A\(A Л В)) =
= тах(^»(Л) - gvH Л B))/v, gv(A) — vgv(A Л В)),
а при v е [0, 1]
£У(Л\(Л ПВ)) = тт((г,(Л)-?,(Л ЛВ))/у, g,(4)-vgv(A Л В)),
что доказывает утверждение.
Утверждения 4.1 и 4.2 справедливы только для конкретного
разбиения множества на подмножества.
§ 4.3. Особенности аппроксимации нечетких мер
При решении практических задач моделирования нечетких си-
стем с использованием аппарата теории нечетких мер возникает
необходимость оперирования большими объемами нечетких дан-
ных. Поэтому для упрощения вычислительных алгоритмов на
ЭВМ удобно аппроксимировать нечеткие меры. Для этой цели
можно использовать (L — 7?)-функции [13—15].
Определение 4.2. Функция, обозначаемая L (или 7?),
является функцией (L — R)-runa тогда и только тогда, когда
yze 5?+ А [0, + оо): L (— х) = L (х)\ L (0) = 1,
£/(•) монотонно убывает на 5?+.
Пример: L4(a:) = max(0, 1— Ыр); Ь2(х) — ехр(—Ыр);
р> 1.
Особенно удобно использовать (L — 7?)-функции в случав
gx-меры Сугено.
86
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ II ИНТЕГРАЛЫ
При этом функция h{x) может быть представлена как
h (х) = L ((а — ж)/Р V 0); х <= X сд Я,
(4.24)
Рис. 4.2. Функция (L— 7?)-типа, ап-
проксимирующая функцию распределе-
ния нечеткости
где а — параметр, при котором h(x)=l, [J — коэффициент не-
четкости. Пример функции (Л — 2?)-типа, аппроксимирующей
функцию распределения не-
четкости, приведен на рис.
4.2.
Рассмотрим особенности
процедуры приближения экс-
периментальных функций
распределения нечеткости
функциями (А —7?)-типа.
Пусть в результате фор-
мализации некоторой выбор-
ки нечетких данных полу-
чен ряд экспериментальных
значений плотности рас-
пределения нечеткости git g2, gn, которым соответствуют
xt, х2, ..., хп; х^ХаЯ, I е I = {1, п}.
Все множество X можно разбить па подынтервалы таким об-
разом, что X = [J	А{ = [Х} — А/2, ж4+А/2],где
i I
А—длина подынтервала; А = (Ь — а)/(п — 1); а = inf X, Ъ —
= sup X.
Значение плотности распределения нечеткости в i-й точке
интервала [а, &], определенное экспериментально, можно прибли-
женно определять как gx(A<) ~ gx({«j}). Нечеткие меры для под-
иптервалов А, можно вычислять, используя (L — 7?)-аппрокси-.
мацию функции распределения нечеткости. При этом
72 (а — х.) -|- Д\ /2(а —z.) —Д \/	/21а — х.Х — Д\\
( Чр —)-	—) и +Ч -2р—>
Пусть S <= {А,1 Aj <= [а, &]} — множество подынтервалов множе-
ства X, Я (S) — множество всех подмножеств множества подын-
тервалов. Нетрудно увидеть, что V Ле Я (5): А;£.4с5;
^) = 4[П (^х(Аг) + 1)- 11
А LisS	J
где 0 = {i|Xi е A}- Ai = [xt — А/2, xt + A/2J. Нечеткой мере
g-,.(A} будет соответствовать нечеткая мера g%(^4), полученная
из эксперимента при формализации нечеткой плотности:
g;(4) = 4[n(^ + i)-i];
л Lie9	J
§ 4.3. ОСОБЕННОСТИ АППРОКСИМАЦИИ НЕЧЕТКИХ МЕР
87
Параметр А определяется из условия нормировки:
А LiSO	J
Таким образом, задача (L — R) -аппроксимации функции рас-
пределения нечеткости сводится к оценке параметров а и [J
(L — R)-функции по минимуму функционала качества
^ = ( 2 (?х(Л)-^(Л))2у/2->тт.	(4.25)
При большем количестве экспериментальных точек миними-
зация функционала (4.25) становится затруднительной. В этом
случае можно воспользоваться приближенной процедурой, смысл
которой заключается в использовании только части множества
подмножеств подынтервалов ^(5) для оценки а и [J. При этом
(п—1 / /	/ г	\
2 И П(^(д<) + 1)-1 -
2=1 ' ' \fe—1	/
(i	\ \ 2 \ \ 1 /2
П U/i 4-1) — 1)))) -> min. (4.26)
к=1	1111
Задачу можно упростить, если параметр а определять непосред-
ственно по результатам эксперимента. Можно показать, что если
А -*• — 1, то функция множества gx((—х]) = 1 при х = х*,
где х* — arg sup g ({я{}). Таким образом, для определения а,
ieN
при А = — 1, достаточно найти минимальное значение х е [а, 6],
при котором нечеткая плотность равна 1. Если А > —1, тогда
а = sup X. В этом случае параметр может быть легко найден
при помощи любой процедуры численной минимизации.
Решение многих задач нахождения значения gv-меры для
случаев множества действительных чисел может выглядеть срав-
нительно просто, если применять аналитическую аппроксима-
цию нечетких плотностей, с помощью которых задаются gv-ме-
ры. Такая аппроксимация может быть сделана с помощью ана-
лога (Л — R)-функций — функций (S — Л)-типа.
Определение 4.3. Функция, обозначаемая SL(-), явля-
ется функцией (S — L) -типа тогда и только тогда, когда
SL(—x)—SL(x); SL(Q) = S,
причем SL(-) — монотонно убывает на 5?+: S е [0, 1].
Пример: SL(x)= S max(0, 1 — lrc|p); SL(x) = Sexp(— Ыр);
p^l.
88
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Определение 4.4. Нечеткой плотностью 5Л-типа назы-
вается нечеткая плотность g'-. X -* [0, 1] такая, что
g’ (*) =
\ a J
s,
при . xs^a', a^O;
при x > a", a 0;
если x e [a', a"] cz .5?;
где a, a — правый и левый коэффициенты нечеткости, L'(-),
L" () — функции (L — R)-типа.
Очевидно, что если L' = L, то
g' (х) = SL !а-^- V V o') A L {а (х)).
\ _ а 1
Можно показать, что V [а, &] с X сЯ
ь
gv ([а, &]) = sup g' (х) • (1 — v) + V f g' (x) dx =
K(=[a,b]	"
= S ((1 - v)L ( inf V X-^ V o')') + vl£]
\	\xG[a,b] \ 4	a. I) I
b
где La&^L ((a' — x)/a V (x — a")/a V 0)dz. Нетрудно увидеть, что
a
о,
a' — b
a
a — a"
a
если [a', a"] |"| [a, b]=^= 0;
если
если
Ъ scZa';
a a".
Рассмотрим особенности приближения экспериментальных
gv-мер аналитическими выражениями с помощью функций
(5 — А)-типа.
Аналогично вышеизложенному будем предполагать, что име-
ется экспериментальная последовательность значений нечеткой
плотности gi, g2, ..gn- Используя аналогичные обозначения
для подынтервалов, можно предположить, что нечеткая мера на
элементарном подынтервале равна значению нечеткой плотно-
сти в точке, принадлежащей этому подынтервалу, т. е. gv (А О ~
~?£v({^i}), где gv(A,)—нечеткая мера, задаваемая аналитиче-
ски для A,-,f gv ({М) = gi- И случае (S — L) -аппроксимации по-
лучаем
gv (Ai) = S /(1 — v) sup L (a (x)) + v f L {a (x)) dx \
\ KSAi	Af	>
§ 4.3. ОСОБЕННОСТИ АППРОКСИМАЦИИ НЕЧЕТКИХ МЕР
89
Параметр S определяется как
5 = arg supgv^J).
xsx
Параметр нормировки gv-меры v может быть найден из условия
нормировки (4.23) по формуле
v = 1 — v gi / 2 gi — V gi .
\ i=l / / \ i=l i=l /
Оценка параметров (L — R) -функций может быть проведена
аналогично (4.25).
При этом
^=(2 (gvH)-g;(4))2y/2->min,	(4.27)
где
gv (А) = S [(1 - v) V gv (At) + v 2 gv (АЛ
\	iee	iG0 /
gv (Л) = s ((1 — v) v g'i + v 2 g'iL
\	i=6	i=0 J
0 = {i | Xi e A{ e Л}.
Когда минимизация функционала (4.27) затруднительна, можно
воспользоваться приближенной процедурой, аналогичной (4.26).
При этом
Ж = —^“7 I 5 [ £ I (1 — v) SUP (а (#)) + v f L {а (х)) dx | —
V	Df	J
i \2\l/2
— (1 — v) sup_ gfe + V 2 gfe	mini
h=1 J J
где Di = U_ Ah.
fcea.i}
В простейшем случае, оценивание параметров (S — L) -функ-
ций следует производить, используя функционал следующего
вида:
^=(2 (^(«(^))-^(Ы))зу/*-
/
Рассмотренные методы аппроксимации позволяют значитель-
но упростить процедуры вычисления нечетких мер при опреде-
лении значений нечетких интегралов *) в различных алгорит-
*) Здесь и далее под нечеткими интегралами понимаются некоторые
монотонные и, вообще говоря, нелинейные функционалы, определяемые на
базе нечеткпх мер.
90
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
мах. Кроме того, при использовании SL- и (L — R) -аппроксима-
ций можно значительно сократить объем памяти ЭВМ, необхо-
димый для хранения информации о функциях распределения
нечеткости.
§ 4.4. Нечеткие интегралы
Определение 4.5. Нечеткий интеграл от функции h:
X [0, 1] на множестве А X по нечеткой мере g определяется
как
Р h (ж) о g = sup (а Д g (А П Яа)),	(4.28)
ае[о,1]
где НЛ = {x\h(x)^ а} [27—30]. Нечеткий интеграл принято
также называть нечетким ожиданием или FEV (fuzzy expected
value) [17—19].
Пусть ST (X) — множество нечетких подмножеств базового
множества X. Поскольку понятие нечеткого подмножества вклю-
чает в себя понятие обычного подмножества, то {X) является
нечетким расширением (Х)^
Определение 4.6. Функция множества g, определяе-
мая в виде
g(M) = ^uAog	(4.29)
для А — {(х, цА(аО)}, Рл~3~(Х), называется расширением g
на $~(Х).
Определение 4.7. Нечеткий интеграл от функции h: X-+
[0, 1] на нечетком множестве Цл е FF (X} по нечеткой мере g
определяется как
h{x)°g= ^(Ha(^) A h(x))°g.	(4.30)
цА	X
Для описания различных видов неопределенности в теории
нечетких мер используется общее понятие «степень нечеткости».
В общем случае это понятие включает в себя «степень важно-
сти», «степень уверенности» и как отдельный случай «степень
принадлежности» в теории НМ. Нечеткая мера, таким образом,
может интерпретироваться различными способами в зависимости
от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень
принадлежности некоторого элемента х s X множеству Е X.
Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежно-
сти равна 0, а для x<sF (F => Е) равна 1, т. е. степень принадлеж-
ности для х е F будет больше, чем для х s Е, если Е <=F. Если
степень принадлежности х0^Е равна g(x0, Е), а вместо Е
§ 4.4. НЕЧЕТКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
91
задано нечеткое подмножество ЦдеЗг(Х), то
ё (£()’	= На (х) ° ё (*^о’ ’)~На(•£(>)•
х
(4.31)
Это говорит о том, что степень нечеткости суждения <аоеЛ»
равна степени принадлежности х0 нечеткому подмножеству нА.
Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких
мер включает в себя понятие степени принадлежности тео-
рии НМ.
Отметим основные свойства нечетких интегралов (НИ) [27—
30]. Пусть а е [0, 1], (Е, F)zX. Тогда, если h: X-> [0, 1], то:
Кроме того,
(а V h) ° ё = а V J h ° ё',
Е	Е
^(а /\h) о ё = а Д h ° g-,
Е	Е
% (^1 А ^2) ° g < J hr °gf\ % h2 о g-
E	EE
J (^i V h2) °ё>% hi ° ё V % k2 ° ё;
E	EE
\/ ^hog;
E\JF	E	E
% h°g^h°g Д J h°g.
E^F	E	F
тогда и только тогда, когда g(A Л FM) > М > g(A Л FM+0), где
FM = {x\h М} и FM+0 = {x\h > М}.
Можно показать, что понятие НИ сходно с понятием интег-
рала Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества X на
п
иепересекающиеся подмножества Et:X= U Е„ Е{[\ Ej = 0, £=/=/,
г=1
п
t — 1, ..., п. Пусть А(х) = 2	где щ е [0, 1], Ef е
1=1
а /е.— характеристическая функция обычного множества Е,,
т. е. /в4(а:) = 1, если х е Е{, и /еДж)=0, если х Ф Et. Пусть I
есть мера Лебега. Интеграл Лебега от функции h по множе-
ству А определяется как
hdl= 2 аг1{А П Eft,	(4.32)
92
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
где =	2, ..п}- a, «S а2 < ... < ап. Предположим, что
F(-=Ei U Ei+i U.. .U Еп. Тогда, определяя h в виде h(x) =
= max min (аг, /f. (а?)), получаем следующее выражение
г=1,п
для НИ:
(х) о g () = max min (ай g(A f| Ej)).	(4.33)
A	i=i,n
Оба интеграла — лебегов и нечеткий — можно сравнить, исполь-
зуя вероятностную меру. Если (X, Р) — вероятностное про-
странство, a h- X -+ [0, 1] есть ^-измеримая функция, то сог-
ласно [27] имеем, что
|§h(x)dP\^-L.	(4.34)
JT	X
В теории НИ имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1 [27, 30]. Пусть (У, ^r, gY) и (X, <%х, gx) —
пространства с нечеткими мерами gY и gx соответственно;
h: X X У [0, 1], х <= X, у е у. Тогда если g = gx X gY,
то для Z = X X У:
j h (х,у) ° g = % h(x, у)°	° gY.	(4.35)
z	y \ х	/
Данная теорема является аналогом теоремы Фубнни из тео-
рии меры и называется теоремой Сугено — Фубинп.
Пусть {hn} — монотонная последовательность ^-измеримых
функций, тогда
Y lim hn°g= lim\hn°g.
J n->oo	n~>oo V
Если hn — монотонно возрастающая (убывающая) последо-
вательность ^-измеримых функций и {«„} — монотонно убываю-
щая (возрастающая) последовательность вещественных чисел, то
ОО
V (®п А hn)
П=1
g
На рис. 4.3 дан пример графической интерпретации НИ для
X == 5?, где S = f h (х) о g = sup [аД^(Яа[]И)]; На =
J	«£[0,1]
= {x\h(x)^ ос); f(x) — нечеткая плотность.
Пусть <р: X -► У, тогда борелевская о-алгебра $(|р) и нечет-
кая мера gw индуцируются из X в У. То есть F е ^(|р) тогда
и только тогда, когда ф~‘(Е)е.$, g(<t) (F) = £(ф-1 (F)).
§ 4.4. НЕЧЕТКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
93

Пространство с нечеткой мерой (У,	g”’) интерпретиру-
ется следующим образом. Если У связано с X с помощью ото-
бражения <р, тогда нечеткая мера на У, с помощью которой из-
меряется степень нечеткости в У, также связана с мерой не-
четкости в X.
Пусть £е^и	Обозначим через р(£'|ф = г/) семей-
ство всех функций, эквивалентных h(y) по отношению
g{E П T“1(^)) = ^(y)og<‘₽).
г
Здесь р(-1ф = у) называется
условной нечеткой мерой при
условии ф = у [28].
Пусть F=Y, тогда g(E) =
= f р(Е| Ф —у} ° gw (•).
Рис. 4.3. Графическая интерпрета-
ция нечеткого интеграла
Условная нечеткая мера об-
ладает следующими свойст-
вами:
1)
2)
Для фиксированных Е е
еД р(Е,|ф = г/) как функция
от у является ^’’’’-измеримой.
*Для фиксированных
у, р(-1ф = у) является нечет-
кой мерой для (X, в смыс-
ле g(*’.
Если два пространства с нечеткими мерами (X, &х, gx) и
(У, gx) связаны друг с другом, то отображение ф нельзя
определить в общем случае. Далее условную нечеткую меру
р(-1ф = у) будем обозначать как рх(• Iу).
В этом случае будет справедливо gx () = Рх (• | У) ° gy-
Y
Если заданы нечеткие меры gx, pr(-|;r), gx, то существует
нечеткая условная мера р(-|у) [28] такая, что
ру (F | х) ° gx = рх (Е | у) о gY.
Данное уравнение соответствует байесовской формуле опре-
деления апостериорной вероятности в этом смысле рх(-1у), ко-
торая называется апостериорной нечеткой мерой, a gx — апри-
орной нечеткой мерой [28, 30, 34].
В качестве примеров рассмотрим вычисления НИ для счет-
ных множеств в случаях gx- и gv-мер.
Пример. Пусть задано пятиэлементное счетное множеств»
X =	£е{1,5} д/. Каждому элементу xt е X соответ-
ствуют значения нечетких плотностей g> из табл. 4.1.
94
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ II ИНТЕГРАЛЫ
Таблица 4.1
1	1	2	3	4	5
gi	0,170	0,257	0,216	0,212	0,061
h(x.)	0,5	0,7	0,1	0,2	0,3
Согласно условию нормировки для gx-меры получаем X = 0,25.
Значение НИ = sup [а Д ga], где
ga = П (Xgj + 1) — 1У9а = {1|А(^)>а},
принимает величину 5 = 0,4379.
Для gv-меры пз условия нормировки можно получить
/	5	\ // ®	5	\
v= 1- \/ gi ]	V^i =1-127.
\	2—1 / I \ 2 = 1	2=1 /
При этом для gv-меры 5 = 0,448.
§ 4.5.	Применение нечетких мер и интегралов
для решения слабо структурированных задач
4.5.1.	Процесс субъективного оценивания. Рассмотрим задачу
субъективного оценивания некоторым индивидом нечетко опи-
сываемых объектов, например, дом, лицо и т. д. [30—32]. Пред-
положим, что объект характеризуется п показателями.
Пусть К = {s„ .. ., sn} — множество показателей. При оцени-
вании дома такими показателями могут быть: sx = площадь,
s2 = удобства и т. д., а для лица sx= глаза, s2= нос и т. д.
В общем случае множество К необязательно должно быть мно-
жеством физических показателей, оно может быть множеством
мнений, критериев и т. д. Пусть h\ K — [0, 1] — частная оценка
объекта, т. е. h(s) — оценка элемента s. Если речь идет о рас-
познавании образов, то h(s) может рассматриваться как харак-
теристическая функция образа. На практике h(s) может быть
легко определена объективно или субъективно.
Например, когда объект — дом, объективно имеем оценку
h{sl)=h (площадь) = 800 м2, которая может быть нормализо-
вана числом из интервала [0, 1]. Для лица мы можем пользо-
ваться лишь субъективной оценкой индивида; например,
h (глаза) = 0,7.
§ 4.5. РЕШЕНИЕ СЛАБО СТРУКТУРИРОВАННЫХ ЗАДАЧ
95
Предположим, что нечеткая мера для (К, 2К) является субъ-
ективной мерой, выражающей степень важности подмножества
из К. Например, g({sj) выражает степень важности элемента
при оценке объекта, g({si, з2})—аналогично обозначает сте-
пень важности показателей st и з2. Необходимо отметить, что
степень важности всего множества К равна единице.
Вычисляя НИ от h до g получаем:
е = h(s)° g,	(4.36)
к
где е — обобщенная оценка объекта.
Уравнение (4.36) представляет собой свертку п частных оце-
нок. Линейный обобщенный критерий используется обычно в
том случае, когда отдельные показатели взаимно независимы.
Свертка (4.36) может быть очень полезной, когда существует
взаимозависимость показателей, что характерно для большин-
ства задач выбора в нечеткой обстановке.
Процесс субъективного оценивания объектов предполагает
идентификацию самой нечеткой меры.
4.5.2.	Экспериментальное определение нечеткой меры. Рас-
смотрим метод приближенного экспериментального определения
нечеткой меры [32]. Предположим, что существует т объектов.
Пусть h}: К -+ [0, 1] — частная оценка у-го объекта, а е5 — об-
щая оценка, получаемая из (5.17). Предъявляя индивиду объ-
екты и их частные оценки, можно получить его субъективные
оценки dj из интервала [0, 1] для всех объектов.
Обозначим ё = шах{еД; е = min {еД и аналогично d и d.
Производя нормализацию ejVy е {1, т}, мы имеем
d — d de — de
Wj = ---- Cj + ==-=.
e — e e — e
Субъективная нечеткая мера может быть получена при условии
минимума критерия
/т
(4.37)
j=i
Для простоты предполагается, что g в (4.36) удовлетворяет
Х-правнлу [27, 30].
Впервые нечеткие меры применялись для оценки сходства
одномерных образов [32]. В [37] рассматривалось решение зада-
чи оценки домов. При этом дома оценивались по следующим
пяти показателям: площадь, удобства и обстановка, окружающая
среда, стоимость, время, требуемое на дорогу до места работы.
Известны применения нечетких мер для оценки привлекатель-
96
ГЛ. 4, НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
ности экскурсионных районов [30], которые оценивались по та-
ким показателям как красота природы, архитектурные памят-
ники и т. д. Результаты оценок использовались для предсказа-
ния увеличения экскурсий в ближайшие десять лет.
Интересное решение задачи информационного поиска с при-
менением нечетких мер рассмотрено в [30] применительно к
библиотечной информационно-поисковой системе.
4.5.3.	Принятие решения в нечеткой обстановке. Рассмотрим
пример использования условных нечетких мер для решения за-
дачи принятия решения в нечеткой обстановке [29]. Процесс
принятия решения описывается шестеркой
<0, X, A, ge(-), Ox(-I^), Z>,
где 0 — множество показателей, характеризующих оцениваемый
объект х;
X — множество оцениваемых объектов х е X;
ge — нечеткая мера степени важности показателей;
Ох(-|0)—нечеткая мера привлекательности объектов из X
при их оценке с точки зрения показателя Ое0;
Y — множество действий покупателя;
Z — функция принадлежности нечеткого отношения на декар-
товом произведении 0 X У, обозначающая нечеткие потери, ког-
да действие у Y выбирается для Ое0. Задача заключается
в поиске стратегии, которая минимизирует нечеткое ожидание
функции потерь. При этом нечеткое действие А имеет функцию
принадлежности цд: Y [0, 1], а нечеткая стратегия В, явля-
ющаяся нечетким отношением на декартовом произведении
XX А, имеет функцию принадлежности цв: X X Y -* [0, 1]. Не-
четкое действие А, основанное на нечеткой стратегии В, опре-
деляется с помощью функции принадлежности Цв(х>(у) —
= Цв(.г, у). Нечеткие потери для нечеткого действия определя-
ются [29] через функцию принадлежности
Z (О, Л) = 1 — шах (цА (у) Л (1 — IР, у))).
(4.38)
Если ЛПР выбирает нечеткую стратегию В, то нечеткое ожи-
даемое значение потерь примет вид
<Z>b=J Jz(^|5(^))oCTx(. |й) og0.
0 Lx
Решением задачи принятия решения будет
Рво (я, У) = (1 — (*>> У)) ° сто ( I *)>
о
где ав(• |zr) — апостериорная нечеткая мера.
§ 4.5, РЕШЕНИЕ СЛАБО СТРУКТУРИРОВАННЫХ ЗАДАЧ
97
Данный подход может быть использован для широкого клас-
са задач принятия решения в нечеткой обстановке. Следует
отметить, что при небольшом количестве элементов множества 0
нечеткая мера ge может быть идентифицирована точным ме-
тодом [29]. Для идентификации нечеткой меры в этом случае
эксперимент должен дать оценки степени важности всех под-
множеств из 0, т. е. необходимо иметь субъективные оценки d
такие, что d: 2е -+ [0, 1]. Идентификация нечеткой меры заклю-
чается в минимизации функционала
J = |/"[||	- Sw	(4.39)
где | 2° | = card 2е—мощность множества 29, a ge(E) вычисля-
ется так же, как в п. 4.3. Результатом решения задачи (4.39)
является значение параметра X и нечетких плотностей g^, g&2,.  •
...,gQn; п = card 0. Опыт рассмотрения задач принятия реше-
ния [29] показывает, что значение X на практике бывает или
положительным или отрицательным числом, но не близким или
равным нулю.
Еще один из вариантов применения нечетких мер и интег-
ралов в задаче принятия решений предложен в [8]. В этом слу-
чае предпочтения ЛПР описываются с помощью логико-линг-
вистической модели, т. е. схемы нечетких рассуждений вида
С => U, где С = [щ3] — матрица нечетких множеств размером
п X т, соответствующая п значениям т лингвистических пока-
зателей, U = (цир ..рпп)г —вектор нечетких множеств, харак-
теризующих полезность. Выбор группой ЛПР рациональной аль-
тернативы осуществляется по критерию максимума значений НИ
вида D — Щг 0 со, где и — нечеткая мера, характеризующая
идеальную полезность, a uhr — полезность к-й альтернативы
для группы ЛПР. Последняя вычисляется по формуле
щг = М[щ(]. Здесь М — оператор вычисления обобщенной меры
средних [8], a ukt — НМ, характеризующее полезность к-й аль-
тернативы для i-ro ЛПР.
4.5.4.	Процесс обучения в нечеткой обстановке. Одной из за-
мечательных способностей человека является его способность
обучаться в нечеткой обстановке. При обучении он успешно ис-
пользует нечеткую информацию, которая во многих случаях
является единственно доступной. В психологии по традиции ис-
пользуются стохастические модели обучаемости, например, мо-
дель Буша и Мостеллера, хотя ряд авторов экспериментально
показал, что способность обучаться в вероятностной обстановке,
как правило, не свойственна человеку [3, 9]. Исходя из этой
точки зрения, в [30], [33] предложена модель обучения, которая,
98
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
являясь структурным аналогом байесовской модели обучения,
позволяет учитывать нечеткую информацию. Данная модель по-
строена с помощью нечетких мер и использовалась для нахож-
дения экстремумов многоэкстремальных функций.
Пусть X — множество причин и У — множество следствий;
gx и gY — нечеткие меры для X и У соответственно. Пусть gr
выражается НИ от ог(-|ж) по gx как
gY (•) ~ % о у (• | я) ° gx,	(4.40)
где оу(-1ж) — есть условная нечеткая мера от У по отношению
к X. Физический смысл этого уравнения легко установить по
аналогии с теорией вероятности: gr(-) соответствует вероятно-
сти р(у), у е У, для случая, когда заданы вероятностная мера
р(х) и условная вероятность р(-|ж). Следует отметить, что оп-
ределение gr(*) и математические свойства уравнения (4.40)
совершенно отличаются от его вероятностного аналога.
Нечеткая мера gx называется априорной нечеткой мерой, со-
ответствующей степени нечеткости субъективной оценки сужде-
ния «один из элементов Е <= X имеет место». Нечеткая мера
OrfFlz), F <= У является мерой нечеткости суждения «один из
элементов F <= У имеет место при заданном ж».
Рассмотрим метод, позволяющий уточнять gx в процессе по-
лучения новой информации, которая в общем случае выражает-
ся подмножеством F с У. Эта информация может быть трех
типов. Если F состоит лишь из одного элемента, то информация
является детерминированной, а если несколько, то недетермини-
рованной. Если F — нечеткое подмножество, то информация —
нечеткая.
Пусть нечеткое множество А<= Y имеет функцию принадлеж-
ности р,А: У -* [0, 1]. Нечеткая мера для нечеткого подмноже-
ства А определяется как
gy{A)=^ ^p.A(y}°gY.
Y
Здесь gr(X) выражает степень нечеткости информации, со-
держащейся в А. Нетрудно показать, что
gx (Л) = £ рА (у) ° £oy(-^)°gx = joy (Л | ж) = gx,
У Lx	J X
где
Оу (Л|ж) = J рл (У) ° оу (• |ж).
Y
После получения информации А, нечеткая мера gx может быть
уточнена таким образом, чтобы значение £г(Л) увеличилось.
§ 4.5. РЕШЕНИЕ СЛАБО СТРУКТУРИРОВАННЫХ ЗАДАЧ
99
Если gx(-) и Оу(•!#) удовлетворяют Х-правилу и аг(Л|я:4) —
убывающая функция, то
gy(A) =
i=l
где Ft = {xt, хг, ..., Xt). Из [33] следует, что
gy И) = Оу (41 X,) Д gx (Ft),	(4.41)
где I является наибольшим индексом, для которого имеет место
(4.41) и выполняется условие
оу (А | Xl-t) Л gx (Fi-i) < оу (А | хг) Д gx (Fi),
Оу (А | xi+1) Д gx (Ft+1) > оу (А | xi) Д gx (Fi).
Обучение характеризуется возрастанием нечетких плотностей
gx, что приводит к увеличению £Г(Л).
Пусть gt, г = 1, ..., п, являются нечеткими плотностями для
gx. Тогда легко показать [33], что только gt, 1 i s? I влияют на
значения £У(Л), поэтому алгоритм обучения имеет вид
(gx)' = agx + (1 — а)оу (Al xt) Vi = 1, ..I,
(gx)'= agx	Vi = I + 1, ..., n,
где ae(0, 1)—параметр, определяющий скорость сходимости.
Следует отметить, что после каждой итерации должна осуще-
ствляться проверка условия (4.40).
Рассмотренный алгоритм обучения использовался при реше-
нии задачи минимизации многоэкстремальных функций [33]. При
этом отмечалась высокая эффективность данного алгоритма по
сравнению со стохастическими алгоритмами (подробнее см.
п. 8.4.2).
Наиболее интересное применение алгоритма рассмотрено при
решении задачи классификации. Классификация в этом случае
осуществлялась роботом-исследователем. Предварительно осуще-
ствлялось обучение робота, а точнее, алгоритма классификации.
Информация о параметрах предметов, которые классифицировал
робот, снималась в виде сигналов с рецепторов искусственной
руки и представлялась в виде лингвистических переменных.
Полученные значения лингвистических переменных, соответ-
ствующие отдельным классам предметов, использовались для
построения условной меры нечеткости, связывающей параметры
предметов с отдельным классом.
Основными преимуществами алгоритма [25] являются: воз-
можность использования нечеткой информации; высокая ско-
рость сходимости; малое время вычисления и большое число
используемых классов.
100
ГЛ. 4. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЫ
Обширной областью применения нечетких мер и НИ являет-
ся нечеткая статистика [17—19]. В [19] подробно исследованы
методы вычисления нечетких ожиданий (FEV) и их связь с
мерами центрального расположения. Практический пример при-
менения FEV для решения задачи предсказания погоды рас-
сматривается в [17—18].
4.5.5.	Применение нечеткого интеграла для оценки неопре-
деленности НМ. Для решения многих практических задач с
применением теории НМ необходимо оценивать степень неопре-
деленности, размытости нечетких подмножеств, характеризую-
щих различные объекты. Эффективным средством оценки раз-
мытости НМ является нечеткая энтропия (см. гл. 3). В [11]
предложен метод вычисления нечеткой энтропии с помощью НИ.
Пусть Ф: [0, 1]	[0, 1] является TV-функцией [11, 36] такой,
что: а) Ф(0)=0; б) Ф(ж) = Ф(1 — х), а?е[0, 1];
в) функция Ф является неубывающей в интервале [0, 0,5]
и невозрастающей в [0,5, 1]. Пусть тройка (X, g) определяет
пространство с нечеткой мерой g. В этом случае нечеткая
(Ф — g) -энтропия есть функционал
Яф,Дн) = £ф(н)°2.	(4-42)
х
где Ф — ^-измеримая функция.
Если X — конечное множество; и его мощность есть card X —
= п, то энтропия (4.42) примет вид максиминной энтропии [36]
и будет вычисляться по формуле
Еф,г(Л) = V («г А Ф(И(^г)))>
г=1
где
Xi^X, ai — g ({xi, xi+f, ..., xn}) Vi = l, ...,n; a,>0.
Рассмотренная энтропия является очень удобным инструмен-
том анализа неопределенности НМ в задачах распознавания,
принятия решения, диагностики и управления в нечеткой об-
становке.
В настоящее время в теории систем намечается направление,
предполагающее возможность использования нечетких мер и НИ
для аналитического описания систем [31, 35] с нечеткими воз-
мущениями на входах. При этом преддолагается, что система
является детерминированной. В [31] исследуется математический
аппарат для описания переходов таких систем из одного состоя-
ния в другое на основе соотношений, аналогичных уравнениям
Чепмена — Колмогорова.
При исследовании сложных систем нечеткие меры представ-
ляют особый интерес для анализа их устойчивости. В случае
§ 4.5. РЕШЕНИЕ СЛАБО СТРУКТУРИРОВАННЫХ ЗАДАЧ	101
нечетких систем устойчивость понимается как сохранение уров-
ня сходства нечеткого состояния системы с недопустимой об-
ластью меньше некоторого порога е. В качестве меры сходства
можно взять нечеткую меру. Тогда тп-мерная нечеткая система
Ф: (Хт) -> &~(Ут) будет е-устойчивой относительно некоторо-
го семейства нечетких соответствий F(Xm)<= &~(Хт) тогда и толь-
ко тогда, когда для Vp.A(^F(Xm') имеем Ф(рл) = рв и g(pB)sS
< 8, где ^л^^(Хт),
В [7] рассмотрены методы коррекции е-устойчивости динами-
ческих многокритериальных систем нечеткого целевого управ-
ления, в том числе с (L — 7?) -аппроксимацией нечетких мер.
ГЛАВА 5
НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ
И АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 5.1. Свойства нечетких чисел
Существуют возможность построения математических моде-
лей систем с использованием лингвистических переменных и
обычных арифметических операций [27, 39]. Привлекательность
такого подхода связана с возможностью использования тради-
ционных методов теории управления для анализа нечетких си-
стем. Математической основой для построения таких моделей
является алгебра нечетких чисел.
Нечетким числом (НЧ) А называется нечеткое подмножество
числовой оси имеющее функцию принадлежности рА: 91 -*
-* [0, 1], где 91— множество действительных чисел, ST {91} =
= {р|р.: 91 -> [0, 1]} — множество всех нечетких подмножеств
числовой оси.
Нечеткое число называется нормальным, если
max рд (х) = 1,	(5.1)
X
Нечеткое число называется выпуклым, если V х, у, z е 91,
x*Sy <^z,
PaO/)>PaCA Д рА(у),	(5.2)
Если рАе ££"($?), то множество a-уровня нечеткого числа А
определится как
Аа = {х е 91\]1а{х}> а), ае[0,1].	(5.3)
Подмножество SA <= 91 называется носителем (суппортом)
НЧ А, если
5A = supp А = {ж|рА(ж)>0}.	(5.4)
Если А — выпуклое нормальное НЧ, то
Аа = [6А(а), 7л(а)1,	(5.5)
где 6А(а) = р7х(а), уА(а) = р^1 (а); здесь р^1 (а), р^1 (а) явля-
ются обратными функциями для возрастающей и убывающей
частей рА(х) соответственно.
Унимодальное НЧ А называется положительным, если
VzsSa, х > 0, и отрицательным, если VisSa, х < 0.
§ 5,1. СВОЙСТВА НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ
103
Выпуклое НЧ А называется нечетким нулем, если
Ра (0) = sup (рА (х)).
X
(5.6)
Расширенная бинарная арифметическая операция, обозначае-
мая '» [39], для нечетких чисел рл, рв, pcs^”(^?); Ух, y,ZG&l
определяется следующим образом:
С = Лтг2?^рс(г) = V (Ра(*)АрвШ (5.7)
z=x*y
Согласно (5.7) арифметические операции расширенного сло-
жения, вычитания, умножения и деления (®, ®, ®, ©) над А,
В, С, т. е. VpA) рв, Цсе5г(^) можно интерпретировать как
С = А ф В	> pc (2) =	V ра(*)Арв(у); Z=x+y	(5.8)
C=AQB<	> Pc (z) =	V pa(*)Apb(p); z=x—y	(5.9)
C=AQB<	* Pc (z) =	V paMApb(p); z=xy	(5.10)
c=aqb<	=> Pc (z) =	\J Рд (x) А Рв (y). z=x/y	(5.11)
Для расширенных операций шах и min выражение (5.7) при-
мет вид:
С = max (Л, В) о рс (z) = V Р-а (*) А Рв (у); (5.12)
z=max(x,y)
С= тТп(Л, 2?)^pc(z) = V рА (х) А рв (р).	(5.13)
z=mln(x,y)
Отношение порядка для нечетких чисел [39] имеет вид:
A gB -& min (Л,В) = А,	(5.14)
Л ? В	(Л, В) = В.	(5.15)
Отметим следующие свойства операций над нечеткими чис-
лами [16, 29]:
(Л ® В)® С = А ®(В®С),	(5.16)
(Л ® В)® С = А ®(В®С),	(5.17)
А ® В = В ® А,	(5.18)
А®В = В®А,	(5.19)
Л®(-Л)^0,	(5.20)
Л®(1/Л)^1.	(5.21)
Если Л есть положительное или отрицательное НЧ и если В,
С — оба положительные или оба отрицательные НЧ, тогда
Л ®(5®С)=(Л ®5)®(Л ®С).	(5.22)
104
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
Операции max и min являются ассоциативными и коммута-
тивными операциями. Закон Де Моргана для max и min имеет
вид:	______	____
1 © min(4, В) = max(l © А,	1 © В);	(5.23)
1 © max (Л, В) = min(l © Л,	1 © В).	(5.24)
Дистрибутивность:
ппп(Л,	max(Z?, С) ) = max (min (Л, В),	ппп(Л,	С)),	(5.25)
тах(Л,	min(5, С) ) = min (max (Л, В),	тах(Л,	С)).	(5.26)
Поглощение:
max (Л, тт(Л, /?)) = Л,	(5.27)
ппп(Л, тах(Л, 5)) = Л,	(5.28)
тах(Л, В) © пнп(Л, В) = Л © В.	(5.29)
При решении практических задач всегда удобнее пользовать-
ся множествами a-уровня для реализации арифметических опе-
раций над НЧ.
Можно доказать справедливость следующего утверждения.
Утверждение 5.1. Если Voce [0,1] операция ~ — яв-
ляется расширенной бинарной операцией и нормальные унимо-
дальные нечеткие числа Л, В, С:	Цв, Цсе^”(^) имеют но-
сители такие, что Ух^8А,х>0 или Ух е SA, x<Z 0, то бу-
дет справедливо следующее:
С = А~ В = U ос[6с(ос), ус(а)],	(5.30)
а
6С (а) = бс = inf {бА * 6В, у А * 8В, 6А * ув, уА * ув},|
Тс (а) = Yc = sup {6А * 6В, уА « 6В, 6А * ув, уА * ув},)
где (J = U , ?А(а) = ТА; Тв(о0 = Тв, 6А(а) = 6А, 6в(а) = 6в,
а а=[о,1]
Таким образом, выражения (5.8) — (5.13) для положитель-
ных НЧ примут вид:
Л ® В =	J	а (Лх + Ва) =	J ос [бА + 6В, уА +	ув],	(5.32)
Л©В =	и	сс(Ла-Ва) =	и а[6А-Тв, Та-6в],	(5.33)
Л ® 5=	и	а(Ла-5а)= и	а[6Абв, YaYb],	(5.34)
Л © В =	и	а(Ла 4- Ва) =	и а [6А/ув, уА/6в],	(5.35)
max (Л, В) = U а [6А V 6В, уА \/ ув],	(5.36)
min (Л, В) = J а [6А Д 6В, уА Д ув].	(5.37)
а
§ 5.2. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА (L — Л)-ТИПА
105
§ 5.2.	Нечеткие числа (L—7?)-типа
При решении задач математического моделирования нечет-
ких систем можно использовать нечеткие числа (L — R) -типа
(271, которые предполагают более простую интерпретацию рас-
ширенных бинарных операций. НЧ (L — 7?)-типа может быть
задано с помощью функции принадлежности (L — R) -типа, удов-
летворяющей свойствам
a)	L(—x) = L(x), R (—х) = R (х),
б)	L(0) = 7?(0)= 1,
где L и R — невозрастающие функции на множестве неотрица-
тельных действительных чисел.
Примерами (L — R)-функций могут служить L (у)'— е~|у|Р,.
р>0,
4	(1, при «е|— 1., 1],
Цу) =----!—, р>0, £(у)= к
'	1 +1 у |р	I 0 в противном случае.
Нечеткое унимодальное число А является НЧ (L — R) -типа
тогда и только тогда, когда
рА(х) = L ((а — х)/а) Vx^a, а>0,.
Pa(x) = R((x— я)/Р) Уж^я, Р > 0,
где а — среднее значение (мода) нечеткого числа, а а, 0 — ле-
вый и правый коэффициенты нечеткости соответственно.
Таким образом, НЧ можно представить в виде тройки па-
раметров А = («, а, р) (см. табл. 5.3).
Носителем НЧ называется интервал [lim рУ^я), Ит pj1(a)].
Толерантное НЧ (Л —7?)-типа определяется четверкой парамет-
ров A=(at, а2, а, Р), где я, и а2— границы интервала толерант-
ности (табл. 5.3).
Рассмотрим операции с нечеткими числами (Л — 7?)-типа.
Если А = (а, а, Р), R = (bt у, 6), то операции над нечет-
кими числами (Л —7?)-типа [28] как частный случай (5.32) —
(5.37) примут вид
1.	Сложение НЧ:
(а, а, Р)lr ® (Ь, -у, 6)ьл = (я + Ь, а+ 7, р + б)ьл. (5.39)
2.	Вычитание НЧ: если —(а, а, Р)ьв = (—а, Р, а)вв, то
(а, а, р)ьл ©(Ь, у, 6)м, = (я — Ь, а + 6, р + y)LR. (5.40)
3.	Умножение НЧ:
За) УЛ,	R таких,	что рА, рле5г($?+), а > 0, Ъ > 0,
(а, а,	Р)ьв®(Ь,	у, 6)ьв^(аЬ,	ay‘+ba, яб + Ьр)ьл;	(5.41)
36)	УЛ,	R таких,	что рл, рв е= а < 0, Ь > 0,
(я, а,	Р)вь®(Ь,	7, 6)ьЛ^(аЬ,	Ьа — яб, bp — ay)RL;	(5.42)
106 rJL 5- НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
Зв) УЛ, В: ЦА, рв Е ^(й), а < 0, b < 0,
(a, a, P)Lfi® (b, у, 6)ьв» (ab, -Ь$ ~ аЬ, -Ьа-а^№. (5.43)
4.	Обратное НЧ: VЛ: цл <= ^"(5?+), а > 0,
(а, а, р)£^ = (1/а, р/а% a/a2)RL.	(5.44)
5.	Деление НЧ: УЛ, В: цА, цве^(^-), а>0, Ь>0,
(«. ₽)ьн © (b, v, 6)HL~	?2±*₽).	(5.45)
Выражения (5.41) — (5.45) можно применять в случаях ма-
лых значений коэффициентов нечеткости а, р, "у, 6.
Рис. 5.1. Пример операции сложения на нечетких числах
В качестве примера рассмотрим операцию расширенного сло-
жения для нечетких чисел, имеющих функцию принадлежности
вида (рис. 5.1)
Л=(6, 1, 2), 5 = (8, 3, 3), СЬВ = ЛВВ® Вьв=(14, 4, 5).
Для Л — (3, 0,5, 0,2); В = (4, 0,3, 0,2) можно получить, со-
гласно (5.39), CLR = ALR® Blr = (7, 0,8, 0,4). Функция принад-
лежности вычисляемого нечеткого числа (L — В) -типа имеет вид:
Р-с(я) =>
/,(•) = шах (о, 1 —
#(•) = exp (-|^от|)
Уж <7;
Уж >7.
Можно показать, что выражения (5.39) — (5.45) будут иметь
силу для НМ, описываемых функциями принадлежности 5-типа,
введенными в [5, 52].
§ 5.3. Решение уравнений с нечеткими числами
Ряд задач анализа математических моделей нечетких систем
предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими
числами. С практической точки зрения интересно рассмотреть
уравнения с обычными математическими термами и нечеткими
§ 5.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С НЕЧЕТКИМИ ЧИСЛАМИ
107
математическими отношениями и уравнения с нечеткими чис-
лами и обычными математическими отношениями.
В общем случае нечеткими уравнениями называются урав-
нения, в которых коэффициенты и/или переменные являются
нечеткими числами.
5.3.1. Уравнения с нечеткими отношениями и обычными ма-
тематическими термами.
Определение 5.1. Математическим термом называется
конструкция из элементов л и связывающих их операций:
+, X, :.
Определение 5.2. Если pA е £F(i%2),	5?2 -> [0, 1],
то А называется нечетким отношением, а Ца(ж, у) указывает
на то, с какой степенью (ж, у) удовлетворяет А. Примером А
может быть А = «приблизительно равно».
Определение 5.3. Если ft и /2 математические термы и
А нечеткое отношение, т. е. р,А: R2 -► [0, 1], то /цЛ/2 называется
нечетким уравнением с нечетким отношением.
Теорема 5.1. Предположим, что и /2 математические
термы, А является нечетким отношением и имеет место урав-
нение ftAf2. Тогда, если a е 5?1, то
1)	(/, + «) (4+ а)(/2 + а),
2)	(А-а) (4-а) (А а).	1	’
В дальнейшем рА(ж, у) будем обозначать А (х, у).
Если А = {(х, у), рА(ж, р)}е£Г($!2), А (х, у)=а, то
е [0,1], Ъ нечеткое отношение А а) симметрично, если
А(х, у) = А(у, х); б) аддитивно независимо относительно Ь,
4 + Ь = 4; в) мультипликативно независимо относительно Ъ,
Ъ-А=Л.
Теорема 5.2. Нечеткое отношение А является аддитивно
независимым тогда и только тогда, когда
А(х, р) = 4(|х-р|).	(5.47)-
Теорема 5.3. Нечеткое отношение А является мультипли-
кативно независимым тогда и только тогда, когда
А(х, у) = A((x/y)h), Л>1.	(5.48)
Определение 5.4. Нечетким математическим термом на-
зывается конструкция из элементов	(й1), i s N, связан-
ных операциями ©, ®, ©, ®, max, min.
В [49—51] рассматриваются примеры решения уравнений с
нечеткими отношениями и обычными математическими термами
на основании вышеуказанных теорем.
5.3.2. Уравнения с обычными отношениями и нечеткими ма-
тематическими термами. Широкий класс задач математического
программирования в нечетких условиях и анализа нечетких си-
108
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ II АППРОКСИМАЦИЯ
стем предполагает необходимость решения уравнений с нечет-
кими термами и обычными отношениями. Поскольку семейство
выпуклых нормальных нечетких чисел образует только комму-
тативное полукольцо, то решение уравнения с нечеткими тер-
мами возможно только при использовании разложения нечетких
термов по а-уровням. Метод, описанный в [51], неизбежно при-
водит к нечетким нулям и в конечном счете к изменению сте-
пени истинности математических отношений.
Определение 5.5. Скобочной формой уравнения /И/2
называется следующее разложение по а-уровням:
(U аЛа) Л (у = (U а[6/r yZi])4(U а[6/2, Yejj. (5.49)
Пример: пусть цд>0, Цх > 0, цс>0, f i = Цс,/2 “ На О Цх!
тогда
Нс = На О Цх <=> U “ [6С, Yd = U “ [6а6х, Та?х]- (5.50)
а	а
Если все нормальные унимодальные числа, из которых со-
стоят нечеткие термы ft, f21 имеют носители Sf± 2 такие, что
они не содержат одновременно положительных и отрицательных
элементов, то будет справедливо следующее соотношение
[(6ОЛ(бч) Vae[0, 1].
2	Vae[0,l].
Поскольку элементы скобочной формы и А являются обыч-
ными математическими термами и отношениями, то для ско-
бочной формы будут справедливы соответствующие условия ад-
дитивной и мультипликативной независимости, которые справед-
ливы для любых обычных уравнений.
Таким образом, чтобы решить уравнение вида fl{x)Af2(x),
необходимо привести его к виду (5.49) и решить отдельно от-
носительно 6х и ух- Условием адекватности решения является
выпуклость и нормальность НЧ (5.1), (5.2).
В случае L — R нечетких чисел уравнение с НЧ можно ре-
шить, получив соответствующую скобочную форму. При этом
необходимо учитывать приближенный характер операций ® и ©
для нечетких чисел (L — Я)-типа.
Условие адекватности решения в этом случае примет вид
ах > 0, £х>0,	(5.52)
где ах и [Jx — соответствующие коэффициенты нечеткости. Сле-
дует отметить, что разложение по а-уровням выпуклых нечет-
ких подмножеств дает возможность производить дальнейший
анализ задач с НЧ с помощью методов интервального анализа.
§ 5.5. ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
109
§ 5.4.	Некоторые области применения нечеткой арифметики
Методы решения нечетких уравнений часто используются
как вспомогательное средство при решении различных задач
принятия решения в нечеткой обстановке.
Самостоятельной областью применения нечеткой арифметики
является нечеткое линейное программирование — аналог обычно-
го линейного программирования. В [28] приводятся примеры
решения задачи линейного программирования для случая нечет-
ких коэффициентов, а также примеры решения неравенств с
НЧ (Л —7?)-типа.
Хорошо известны два случая применения нечеткой арифме-
тики как самостоятельного аппарата для решения практических
задач.
В первом случае решалась задача составления квартального
расписания занятий в учебном заведении. Необходимость обра-
щения к НЧ в данном случае была обусловлена отсутствием
экспериментальных данных и неопределенным характером кри-
териев оптимизации. Для решения задачи были использованы
нечеткие экспертные оценки, характеризующие длительность
лекционных курсов, лабораторных занятий, наличие экзаменов
и т. д.
Решение задачи оптимизации расписания было получено с
использованием нечеткого аналога известного алгоритма Форда
и Фалкерсона вычисления максимального потока в сети. В резуль-
тате было получено расписание на квартал [42].
Во втором случае решалась задача оптимизации транспорт-
ной сети города. Информация, характеризующая транспортируе-
мость, задавалась с помощью НЧ и лингвистических перемен-
ных. Решение было получено аналогично, как и в первой за-
даче, с применением фортран-программы для транспортной сети
Тулузы [26].
§ 5.5.	Логико-лингвистическое описание
сложных систем и (L—R) -аппроксимация
Применение методов теории нечетких множеств для модели-
рования сложных систем на основе их логико-лингвистического
описания связано с необходимостью решения прямой и обратной
задач для нечетких отношений. Под прямой задачей будем по-
нимать задачу определения неизвестного значения лингвистиче-
ской переменной (ЛП) с использованием известных значений
ЛП, входящих в описание некоторого явления или процесса.
Такое широкое понимание прямой задачи будет включать в се-
бя также вопросы лингвистической аппроксимации и точной ин-
терпретации расплывчатых категорий, которыми приходится
оперировать при лингвистическом моделировании. В узком смыс-
110
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
ле прямая задача для нечетких отношений заключается в оп-
ределении нечеткого отношения по результатам композиции двух
других отношений.
5.5.1.	Пример логико-лингвистического описания. Известные в настоя-
щее время направления в лингвистическом моделировании [1, 2, 4, 9, 15,
29—31, 35, 50, 52] основаны на том, что поведение исследуемой системы
описывается на естественном (или близком к естественному) языке в тер-
минах ЛП [5, 52]. Примером такого описания может быть описание взаимо-
зависимости гемодинамических показателей сердца, что характерно для ря-
да биотехнических систем. Показателями гемодинамики [13] являются ча-
стота пульса, артериальное давление, среднее венозное давление, насыще-
ние крови кислородом, количество О2 в крови (ммоль/моль). Прогнозируе-
мым является уровень pH (отрицательный логарифм концентрации водород-
ных ионов в крови).
Сердечная гемодинамика может быть описана на естественном языке
следующим образом: если частота пульса высокая, артериальное давление
нормальное, среднее венозное давление низкое, насыщение крови кислоро-
дом невысокое, количество О2 в артериальной крови среднее, а в венозной
высокое, то уровень pH не очень низкий, или иначе: если частота пульса
нормальная, систолическое давление не очень низкое, дистолическое давле-
ние нормальное, среднее венозное давление около 88 мм рт. ст., насыщен-
ность крови кислородом средняя, количество О2 в артериальной крови около
18, то уровень pH равен около 7,49 мм рт. ст., иначе, если и т. д. Каждый
параметр в данном качественном описании характеризуется некоторым зна-
чением ЛП [5, 52] из множества ее значений. Например, ЛП «систоличе-
ское давление» характеризуется множеством значений: {нормальное, близ-
кое к нормальному, выше нормального, много выше нормального, ниже
нормального, много ниже нормального}. Рассмотренное выше описание ге-
модинамики является определенной системой причинно-следственных отно-
шений. Следует отметить, что формально причина может быть заменена на
следствие и наоборот. В дальнейшем при описании поведения систем бу-
дем называть причины входными параметрами, а следствия — выходными.
5.5.2.	Логико-лингвистическое описание систем. Пусть име-
ются множества словесно заданных входных параметров X —
= {Xt, ..., Хт} и множества словесно заданных выходных пара-
метров Y = {Yi, ..., У„), т. е. для VXy, / — 1, т определено
множество значений входных ЛП U, и для УУь, к = 1, п оп-
ределено множество значений выходных ЛП Vh. Качественное
описание процесса в терминах значений лингвистических пере-
менных типа
если ан, а12, ..., а1т, то Ь12, ..., Ъ1п иначе,
если а21, а22, ..., а2т, то Ь21, Ъ22, ..., Ь2П иначе,	(5.53)
если аР1, ар2, ..., арт, то ЬР!, Ьр2, ..., Ьрп иначе...
называется схемой нечетких рассуждений. Здесь	Vi =
= 1, ..., p,bike=Vh Vi = l,...,p;
Um = X Up Vn = X Vp	(5.54)
jeJ	h=K
Таким образом, поведение системы характеризуется отображе-
нием Ф: Um -> Vn.
§ 5.5. ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
111
Значениям ЛП a{j е U3 соответствуют нечеткие подмножества
Ац с функциями принадлежности Цау е (^>), а значениям ЛП
bih s Vk — нечеткие подмножества Bik с функциями принадлеж-
ности	£= 9~ (Yй), где &~(Xj) и &"(Yk) —множества нечетких
подмножеств, определенных на базовых множествах X, и Yk.
Отображению Ф можно поставить в соответствие нечеткое ото-
бражение
Ф: 0-(Xn)-^ff~(Yn),	(5.55)
которое может быть получено как нечеткое соответствие для
всех рду <=	(Xj), е= (yft):
Ф = U Ра{ X	(5.56)
i=i 1 г
где
HAj = X ЦАу, НВ; = X HB{ft.
Такое задание нечеткого соответствия является простейшим слу-
чаем задания логической импликации [17, 18]. Рассмотренные .в
[19—21] импликации, не позволяют решать достаточно сложные
задачи и адекватно описывать различные виды неопределенно-
сти. Нечеткое соответствие (5.56) позволяет учитывать неопре-
деленность типа возможности. Поэтому в дальнейшем будем ори-
ентироваться на такой способ задания логической импликации
при построении нечеткого соответствия Ф.
Под нечетким выводом будем понимать процедуру определе-
ния вектора значений ЛП b's V"; Ь' = (ЬХ, ..Ьп)при новом
наборе вектора значений входных ЛП а' = (ах, ..., ат) е Um.
Это можно сделать, используя нечеткие подмножества ц '
А]
Xj -*• [0, 1] и нечеткое соответствие Ф. При этом Ъ' должно соот-
ветствовать выводимому нечеткому соответствию цв< е (К”),
которое определим как
Цв' = Ца' ° Ф-	(5.57)
Вектор значений ЛП В' может быть найден в результате
лингвистической аппроксимации нечеткого соответствия рв'. В ка-
честве вктора значений, ЛП аппроксимирующих Цв', выбирается
такой вектор С е V", для которого значение меры сходства g
функции принадлежности рс, Рсе^’(К"), с рв' является мак-
симальной. Реализация на ЭВМ нечеткого вывода с помощью
композиционного правила (5.57), являющегося аналогом вывода,
предложенного в [17—19], возможна лишь для малоразмерных
моделей. Поэтому возникает задача построения эффективных ал-
горитмов нечеткого вывода, позволяющих решать задачи боль-
шой размерности.
112
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
5.5.3.	Построение многомерных алгоритмов нечеткого вывода
(общий случай). При построении алгоритмов нечеткого вывода
необходимо рассматривать два случая: когда нечеткие подмно-
жества |Ха^ (Xj) и PBift е (Yk), I = {1, ..., m}, К = {1, ...
..., п} определены на множествах действительных чисел, т. е.
Vj е / (Xj d 5?), и когда В, е/(-Xj	т. е. существуют не-
четкие подмножества, соответствующие значениям ЛП высокой
степени иерархии (или структурированным лингвистическим пе-
ременным). В этом случае множества нечетких подмножеств
(Х>) и определены на множествах собственных значе-
ний, т. е. 3/ е I (Х} == £7,) и Эк е= К [Yh Vh) [12].
Рассмотрим случай использования операции тш = Д для вы-
числения функций принадлежности нечетких соответствий.
В терминах функций принадлежности нечеткий вывод (5.57)
примет вид
V yv (( лfe)) Л( V (л л
(5-58)
7 = {1,	К = {1,	Р = {1,...,р}.
Данное выражение можно представить в следующем виде:
рВ'= V ••• V ( V ( Л и.'(*>)) A ( Л Рду(^)] л
Х1ех1 xm<sxm\isP\i^j Aj )	\j<=j J J
(Ii> л w))л
С учетом данного выражения нетрудно увидеть, что
hr = и ( х PbJ х ( П Ра., о М.
ген \кек 1 J \i<=i г} Aj)
ЕслиЗя, являются обычными значениями, т. е. я> = х, е Xj с
czj?, тогда функция принадлежности нечеткого соответствия бу-
дет определяться по формуле
hr = V ( Л Рвл(Уь) Л Л Цау(^)).	(5.59)
i=p \ kSK	jei	>
5.5.4.	Представление композиционного правила вывода с по-
мощью меры возможности. Рассмотрим композиционное правило
вывода (5.57). Нетрудно видеть, что максиминная композиция
Ца. °Р ' дает значение функции принадлежности для je P и
У Aj
j е I. Следуя определению меры возможности [10], можно легко
§ 5.5. ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ	ЦЗ
показать [45], что
Poss (ai} | я-) = V РАу (ж,) А И ' (^)	(5-60)
Xj(=-Xj	j
является мерой возможности того, что «яа есть а;», т. е. Vie
е Р, \/j е I определяется «возможностная» мера сходства. Со-
гласно основным свойствам мер возможности:
Poss (яи, ai2, ..aim\ai, а2, .ат) = Д Poss (яу | яД (5.61)
jei
Здесь выражение в левой части означает меру возможности
того, что составное понятие, описываемое значениями ЛП
я,1, я12, . •., а,т, является составным понятием, характеризуемым
значениями ЛП ях, я2, .. ., ат.
Таким образом, получаем
Цв' =	Д Poss(a-|n'),
где	, ,
я{ = (яи, ai2, ..., ®im); я' = (ян я2, ..., ат).
Нетрудно показать, что
Рв' = U (л),
isP	(5.62)
pBi (л) = рв; А лу
где
л; = Poss (я; | a'); Цвг = A PBik(yk)-
kt=K
Функцию принадлежности отдельных выходов алгоритма нечет-
кого вывода определим как проекцию нечеткого соответствия рв'«
В этом случае будет справедливо следующее утверждение.
Утверждение 5.2. Пусть VieP, VfceX,	<= ST (Y k)
являются нормальными подмножествами, тогда выводимые не-
четкие подмножества по каждой из выходных переменных опре-
деляются из условия
= ,Up PBift (л),	(5.63)
где
рви (л)^л{ APnift(yft).
Справедливость утверждения очевидна.
5.5.5.	Применение структурированных лингвистических пере-
менных для построения алгоритмов нечеткого вывода. Как пока-
зано в п. 4, задача построения композиционного правила выво-
да сводится к нахождению мер возможности Poss(fljfl'). При
114
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
решении практических задач моделирования, как правило, огра-
ничиваются 7 ± 2 значениями ЛП *.) В тех случаях, когда
3/ е I, Xj = Uj, т. е. Ац представляют собой нечеткие подмно-
жества инструкций или алгоритмов, то можно задать нечеткие
соответствия
Р,= ujt), n’sf)ln’sf: Uj X Uj -> [0, 1]},	(5.64)
где
= Poss (Ujs | Ujt)	ujs,Ujt^.Uj, s, t e (1, card Aj,
такие, что VisP, V/ e I- ((fly, a'j), л,;) e Pj.
Нечеткие соответствия P} можно определять не только через
функции принадлежности, но и напрямую — экспертным путем.
Последнее подтверждается рядом экспериментов по определению
функций принадлежности и нечетких соответствий типа (5.64).
При этом функции принадлежности определялись с помощью
процедуры Саати [43].
Для функции принадлежности, получаемой с помощью мето-
да Саати, справедливо У н(я«) = 1, 0? = card А,}. Поэтому
функция нормировалась по формуле:
Ру = Н(М/SUP Н^у)-
/xijeXj
Эксперименты показывают, что нечеткие соответствия, получен-
ные через функции принадлежности, незначительно отличаются
от нечетких соответствий, построенных с помощью процедуры
Саати. При этом разность функции принадлежности
Ар = POSS (Ujs | Ujt) — POSS' (Ujs | Ujt)
для нечеткого соответствия Poss(-), определяемого через функ-
ции принадлежности и нечеткого соответствия Poss'(-), опреде-
ляемого напрямую, составляет 0,02—0,05 для значений ЛП, опи-
сывающих близкие по смыслу понятия. Для мало похожих по
смыслу понятий эти разности составляют 0,1—0,18 (например,
очень большое и очень маленькое пульсовое давление). Пример
нечеткого соответствия, построенного для ЛП «скорость прогу-
лочной лодки» прямым экспертным методом и вычисленным че-
рез функции принадлежности, приведен в табл. 5.1 и 5.2 соот-
ветственно.
В данных таблицах = «очень большая», я2 = «большая»;
«небольшая»; = «средняя»; яБ= «маленькая», ue = «очень
маленькая». Нечеткие соответствия, получаемые с помощью
*) Психологические исследования показывают, что в кратковременной
памяти человека одномоментно удерживаются 7 ± 2 градации какого-либо
свойства.
§ 5.5. ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
115
прямой экспертной процедуры, как правило, несимметричны. Не-
смотря на наличие значительной ошибки Ар для сильно отлича-
ющихся по смыслу понятий, нечеткие соответствия Р,, получае-
мые с помощью прямой экспертной процедуры, могут с успехом
использоваться для построения алгоритмов нечеткого вывода.
Таблица 5.1
Прямой метод определения нечеткого соответствия
	U1	и2	и3	и4	«5	и6
U1	1	0,93	0,7	0,5	0,33	0.1
«2	0,95	1	0,9	0,77	0,54	0,42
и3	0,71	0,89	1	0,93	0,78	0,51
U4	0,51	0,68	0,89	А	0,91	0,73
и5	0,34	0,46	0,71	0,96	1	0,94
«6	0,11	0,26	0,46	0,78	0,96	1
Таблица 5.2
Метод определения нечеткого соответствия через функции
принадлежности
	«1	и 2	из	и4	“з	“в
U1	1	0,92	0,71	0,54	0,41	0,13
и2	0,92	1	0,9	0,72	0,5	0,41
Из	0,71	0,9	1	0,94	0,65	0,52
и4	0,54	0,72	0,94	1	0,85	0,83
и5	0,41	0,5	0,65	0,85	1	0,98
«в	0,18	0,41	0,52	0,83	0,98	1
Это связано с тем, что при нечетком логическом выводе решаю-
щий вклад в результат вывода (нечеткое соответствие цв,) да-
ют те состояния схемы нечетких рассуждений а}-, которые наи-
более близки новому нечеткому состоянию а'. В связи с этим
возникает реальная возможность использования в схеме вывода
структурированных ЛП, т. е. лингвистических переменных, явля-
ющихся комбинацией других. Например, понятие площади пря-
моугольника характеризуется понятиями длины и ширины. Воз-
можны более сложные структурированные ЛП.
В качестве примера рассмотрим представление структуриро-
ванной ЛП < комфортность рабочей среды человека — опера-
тор), употребляемой для описания состояния окружающей сре-
ды в биотехнических системах эргатического типа. Эта лингви-
стическая цеременная принимает значения из множества
U — [их = «комфортная», и2=^= «относительно комфортная», и3 =
116
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
«дискомфортная», = «экстремальная», и5 = «сверхэкстре-
мальная»}.
Пусть £ = {[/[, Uг, U4); тогда нечеткие подмножества Uk за-
даются	U -а-[0, 1]. При этом элементам подмножества L бу-
дут соответствовать нечеткие подмножества
Ut = {1,01 щ + 0,71 иг + 0,31 us + 0,11 w4 + 01 м5};
U2 = {0,61 a, + l,0|u2 + 0,5|us + 0,2|m4 + 0lu5};
= {01 Ui + 0,051 u2 + 0,4|us + 1,01 «4, + 0,4|u5}.
Здесь + обозначает объединение.
Таким образом, для осуществления нечеткого вывода доста-
точно определить VieP, V/eZ значения Poss (ay [а^), ис-
пользуя нечеткие соответствия Pj. Это упрощает процедуру вы-
вода и позволяет работать со структурированными ЛП.
5.5.6.	Применение (L— R ) -аппроксимации для построения
алгоритмов нечеткого вывода. Решение задач математического
моделирования сложных систем предполагает необходимость опе-
рирования большим количеством ЛП, что в свою очередь значи-
тельно усложняет реализацию алгоритмов нечеткого вывода на
ЭВМ. Кроме того, хранение и ввод—вывод нечеткой информации
является довольно сложной процедурой при реализации моделей
на мини-ЭВМ и микропроцессорах. Поэтому существует пробле-
ма аппроксимации функций принадлежности нечетких подмно-
жеств с целью создания эффективных вычислительных процедур.
Нечеткие подмножества, которыми приходится оперировать при
решении большинства практических задач, являются, как прави-
ло, унимодальными и нормальными. Одним из возможных мето-
дов аппроксимации унимодальных нормальных нечетких под-
множеств является аппроксимация с помощью функций (L — R)-
типа. В [25,27] (L — R)-аппроксимация использовалась для
упрощения вычислительных процедур с НЧ. Удобный вид пред-
ставления функций принадлежности нечетких подмножеств де-
лает возможным применение (L — 7?)-аппроксимации в алго-
ритмах нечеткого вывода.
Определение 5.6. Пусть А задается цА(ж): X -> [0, 1],
х^Х^Я\ Я — множество действительных чисел; [iA^&~(X).
Множества А называются нечеткими подмножествами (Z —R)-
типа тогда и только тогда, когда
[Л А (х) =
L ((а' — х}/а ), х^а', а > 0;
R ((ж — а") [а}, х~^-а", а>0;
Д, если же [а', а"] с. Я,
где а, а — левый и правый коэффициенты нечеткости.
Пример функции принадлежности (L — R) -типа дан с ин-
тервалом толерантности [а, а"] на рис. 5.2.
§ 5.5. ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
117
Как видно из табл. 5.3, (L— 7?)-представление охватывает
все основные формы распределений.
Основная идея метода (L— 7?)-аппроксимации заключается в
переходе от выражений в терминах функций принадлежности к
Рис. 5.2. Функция принадлежности нечеткого подмножества (L — Я)-тип а с
интервалом толерантности [а', а"]
выражениям с аргументами (L — 7?)-функций с целью получе-
ния аналитических,решений задач типа (5.62).
5.5.7.	Принцип двойственности в (L— R) -аппроксимации.
Для осуществления (L — 7?)-аппроксимации необходимо сделать
переход к двойственной задаче, а затем, получив решение в тер-
минах аргументов (L — 7?)-функций, произвести обратный пе-
реход.
Возможность такого перехода базируется на следующем ут-
верждении.
Утверждение 5.3. Пусть L(x)—функция (L — 7?)-типа,
х е J?+; L~'(y)—обратная функция у е [О, 1]Д£, 31' =
= {ж| Vy<= Е (7L-1(p) = ж)}, Е’ = {г/| уже 5? (7 (ж)=у)}; тогда ди-
стрибутивная структура Se = (Е’, V, Д> является антиизо-
морфной структуре S & = <J?', Д, \/}.
Доказательство утверждения базируется на свойстве антитон-
ности отображения L.
Следствие 5.1. Для любой формулы S, образованной из
элементов множества Е' и операций V, Д существует двойствен-
ная формула S*, образуемая из элементов множества j?' и опе-
раций Д и V*
Применение (7L — 7?)-аппроксимации позволяет получить зна-
чительный выигрыш в случаях, когда L Д R. Введем следую-
щие обозначения для нечетких подмножеств А с цА е ST(X)
{L — 7?)-типа:
a’ (я) А ~~ а" (х) = ((х — а”)/а),	(5.65)
а (ж) = а' (ж) V «" (%) V	(5.66)
а(а) = я' + aL~1(a)(	=а" — аЪ~х (а).	(5.67)
118
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
Таблица 5.3
Терм ЛП	(L—Я)-представление	Графическое представление		
Средний	М = (т, а, ₽)£л а == р > 0			
				т	R
Малый	М ~ {т, оо, Р)£в а = оо	/Z	1 я°°°	 i ;	
			От	R	
Большой	М ~ (т, a, go'Ilr Р = оо	А 7		f	А°°
				0	т	Я
Разнообразный (зона полной неопределен- ности)	М == (т, ОО, О°)£Д |iM(:r) = const Vx е R	А /		-=J^ — оо
				
				/?
Приблизительно в ди- апазоне (зона частич- ной неопределенности)	М ~ (mlr т2, a, K)LR толерантное (плоское) НЧ	А /	а	= =
				
			1 го,	R	
Определенный	М — (^1, 0, 0) а= Р = 0 обычное число	и4	tx=fi=o '	’	 <	1		 о	R		
Операции с нечеткими подмножествами (L— 7?)-типа на основа-
нии утверждения 5.3 и следствия 5.1 примут следующий вид.
Пересечение: УЛ, В, С с цА, Цв, Цсе^~(^),
С = А П В цс(я)= L(a(x) V Ь(х)),
где
Ъ (х) = ((Ъ' - х)/Ь) V ((х - Ъ ")/Ь) V 0.
§ 5.5. ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
119
Объединение:
С = A J В <=>	(х) = L (а (х) Д Ь (х)).
Декартово произведение: А с цА е^"(Х), D с
G — A XD<^L(a(x)Vd(y)),
где go (х, у)—функция принадлежности нечеткого отношения G,
х^Х, у е= Y, d(y) — ((d'— y)/d)\/((у — d" )/d)V 0.
Основные сложности при реализации алгоритмов нечеткого
вывода возникают при вычислении меры сходства значений
лингвистических переменных. Применение (L — 7?)-аппроксима-
ции дает возможность получения аналитического решения при
нахождении возможностной меры сходства. При этом справедли-
во следующее утверждение.
Утверждение 5.4. Пусть а, Ь U; U — множество значе-
ний ЛП, которому соответствует множество нечетких подмно-
жеств (L — 7?)-типа	L&R; а<^А, Ъ <=> В, цА, ца е
е (X); тогда мера возможности того, что понятие «а есть Ь» оп-
ределяется из условия
Poss (а\ b) = L ( (V (Ъ-^ 'I V ОY
\Д а + й /	\ b-\- a J ]
где а', а", Ъ', Ъ", а, а, Ъ, Ъ — параметры функций принадлежно-
сти (7L — 7?)-типа (5.65) — (5.67) нечетких подмножеств А и В.
Доказательство. Пусть а" < Ь", тогда L(a(x)) =
= L(a" (х)) и L(b(x))= L(b' (х)). Поскольку
Poss (а | b) = V L (а (х)) f\L(b (х)),
то
Эх* е X, Ln (а (х*)) = L' (Ь’ (х*)) = Poss (а \ Ь).
При этом
Ьа" — ab'
а^Ь ’
Poss (а | b) = L
Ъ’ — а"
а Ъ
Если Ь" <а', то L(b" (х*)) = L(a'(x*)) = Poss(alb)i; при этом
ab" + ba?	/ nr_ь"\
х* =	, a Poss (a I b) = L --М.
Ь + а
Поскольку при [а', а"] /\ [Ь', Ь"]	0 имеем
V TZT’ Poss (а 1 &) = 1 ’
a ~t~ о а -р о
ТО
Poss(a|b) = L/7^4^ у V0\
I \ л b j \ a. bl j
120
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
5.5.8.	Особенности приближения экспериментальных функций
принадлежности функциями (L — Я)-типа. Задача приближения
экспериментальных функций принадлежности ц функциями
(L — R)-типа сводится к выбору одной из функций L* (L-R)-
типа из заданного множества S, для которой мера отличия
р(ц, L*) минимальна.
В качестве меры может быть выбрана метрика Минковского.
При этом решается задача математического программирования
(п ,	. ч \ 1/г
1	(	/а“хЛ] I
— )J J ’
где w=(a, а)е SIX Я+-, а, а — параметры (L — R) -функции;
Xt е X <= SL-, п — количество экспериментальных точек.
Применение метрики Минковского позволяет в зависимости
от г выбирать различные меры отличия экспериментальных
функций от теоретических [6].
Учитывая [6], нетрудно увидеть, что при г -> °°
П I	1а — Хг\ I
zp* = argmin\/ н(жЭ—LI —-—),
w i=l I	' “	1 I
а при г -> 0
(тт\ 1а-хЛ\\11п
ш* = argmin Ц р(я:{) —LI—— I I .
w \1=1I	\	/ I /
Следует отметить, что выбор г следует осуществлять в зави-
симости от вида функций принадлежности (L— Я)-типа и осо-
бенностей методов точной интерпретации. Однако на начальном
этапе разработки логико-лингвистических моделей достаточно ис-
пользовать критерии с г -> 0, г = 1, г = 2. В ряде случаев, на-
пример [3], нетрудно получить аналитические решения задачи
выбора (L — Я)-функций, но на практике удобнее пользоваться
одним из численных методов минимизации.
5.5.9.	Алгоритмы нечеткого вывода с применением (L — Я)-
аппроксимации функций принадлежности. Вид алгоритмов не-
четкого вывода в случае (L — Я)-аппроксимации определяется
как видом (L—Я)-функции, так и сочетанием этих функций
для различных г, /, к.
Обозначим функции принадлежности нечетких подмножеств
цА.., цс. (X), рс,Др/, как La = Ly; Lcj = L'j, а для
'J	J	J ~~ Д •	*/
3
^S~(Yh)— как Lfft. Рассмотрим наиболее характерные
случаи.
1)	VieP V/e/(Ly = L;= L), Vie?, V к е= К (Lbik = L),
тогда с учетом утверждения 5.3 и следствия 5.1 получаем
рВ/ = Я/Д /V ( Л О(^) Л СО)\ V V bih(yk)\\, (5.68)
I jei I	j keK j I
§5.5. ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ
121
где с}(х}), aij(Xj), Ьл(ук) — выражения для аргументов функций
принадлежности (L — 7?)-типа нечетких подмножеств А3-, Ai3, Вл
в соответствии с обозначениями (5.65) — (5.67). Используя ут-
верждение 5.4, можно показать, что
Ив' = Ь( А ( V Ра] V V bih(yh)\,	(5.69)
\iS.P \jGI I ht=K	J
где
(Z tf \ ft	f! \
c- — a.- । I a. - — c, \
v V 0,
a .• + с. I	\ c • + a. • /
гэ 1	/	\ э ‘ -гз J
ay, ay, Cj, Cj, ai3, ai3, cj, Cj — параметры функций принадлеж-
ности нечетких подмножеств Ai3, С3 — соответственно.
2)	Пусть функции принадлежности нечетких подмножеств
^ — аппроксимируются (L — 7?)-функциями одного вида, а не-
четкие подмножества bik — (L — R) -функциями другого вида, т. е.
V i е= Р, Vje=I (Ьц = L'j = L'); VieeP, Vk^K (Lbik = Lb).
В этом случае
И в' = V Lb( V bik(yk)\ A z>4	(5-7°)
isP \h=K ) u=r >
3)	Если Vi «= P (Li} = L'} = L), Vke=K (Lbh = 7^), to
ЦВ' = V Lbi( V bik(yk)\ A (А ЬДруН. (5.71)
it=P \k(=K	J \j=I	)
В тех случаях, когда выходные параметры являются обыч-
ными, процедура нечеткого вывода с (L— 7?) -аппроксимацией
значительно упрощается. Аналитическое решение задач, анало-
гичных (5.68) — (5.71) примет вид:
1)	Vi ее Р, V/ ее 7 (Ly = L), Vi ее Р, Vk^K (Lbih = L), aj Д
=x- =
9B' = ^f A (A ««(aQ'j V V bik(yk)\; (5.72)
(iGP (jGI	J h<=K	]
2)	VieA V/е J(Ly = L); Vie/5, Vk e К (Lbik = Lb)
Ив' = V	( V bik{yk)\ A
i=P	\k~K	j
3)	Vi ^P (Lu = L), Vk^K (Lbik = LbA
= V Ьч { V bik(yk)\ A ( A 4 (aij (^))\.	(5.73)
ieP \hsK	} \jei	)
Таким образом, вычисление функций принадлежности Цв'
можно осуществлять, используя аналитические выражения для
аргументов (L — 7?)-функций. Применение (L — 7?)-аппроксима-
122
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
ции позволяет сравнительно просто реализовать алгоритмы не-
четкого вывода на ЭВМ.
Решение реальных задач моделирования и управления сопря-
жено с необходимостью точной интерпретации и/или лингвисти-
ческой аппроксимации выводимых нечетких соответствий.
§ 5.6.	Методы точной интерпретации
Для решения задач формирования точного представления не-
четких соответствий при моделировании стратегий управления
сложными системами и задач прогнозирования при наличии не-
четкой информации необходимо определять точное значение вы-
водимой переменной по виду распределения нечеткости или вы-
водимой функции принадлежности. Это необходимо прежде всего
в задачах построения лингвистических регуляторов [36, 37, 47],
в моделях функционирования биотехнических систем и т. д.
Основными видами точной интерпретации являются: полная
интерпретация, минимаксная, вероятностная, комбинированная и
интерпретация по максимуму функции принадлежности.
5.6.1.	Полная интерпретация. Основная идея полной интер-
претации функций принадлежности, выполняемых с помощью
алгоритмов, описанных ранее, заключается в определении «цент-
ра тяжести» нечеткого соответствия В'.
Пусть К — множество выходов, К. В этом случае точное
значение для </-го выхода yq&Yqctt определяется по формуле
yq = ( J Уч№ {y)dy \ If J	(у) dy\	(5.74)
\гг	// \у1	/
где
У = (Уи •••>	J = f ... J; dy = dylt ..., dyt. (5.75)
Yt yx Yt
Если Vq<=K, Yq являются счетными множествами, тогда
y'q = /1//2,	(5-76)
где
Л=	2	...	2 ... 2	(5.77)
yieYi yq.~Yq yieYi
2	...	2,fMz/1( ...,yi).	(5.78)
yisYi yisYi
Очевидно, что определение yq по формулам (5.74) — (5.78)
можно производить, используя численные методы интегрирова-
ния или метод Монте-Карло для оценки интегралов типа (5.74),
в случае системы с многими выходами. Для I = 1, удобно поль-
зоваться формулами (5.76) —(5.78). В ряде важных для практики
случаев можно получить аналитическое решение задачи (5.74).
§ 5.6. МЕТОДЫ ТОЧНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
123
5.6.2.	Вероятностная интерпретация. Идея вероятностной ин-
терпретации заключается в том, что вместо функции принадлеж-
ности нечеткого соответствия цв», Для определения уч использу-
ется характеристическая функция нечеткого соответствия со-сре-
за о е [0, 1]. При этом
*4 = f.f ад G/) / f J %(У)ЙА (5:79)
\Y;	// \Y;	/
гДе X (у) — характеристическая функция нечеткого соответствия
го-среза В' (со) = {у | у,В/ (у) ^со}. Вычисление yq с помощью
(5.79) в общем виде является весьма громоздкой задачей. Одна-
ко существует возможность построения алгоритма, позволяющего
упростить нечеткий вывод. Данный алгоритм базируется на сле-
дующем утверждении.
Утверждение 5.5. Пусть нечеткий вывод осуществляется
с помощью выражения (5.57); тогда для произвольных нечетких
подмножеств
Х(У) =
__(1, если Эг е Р (yi е= I (ау(со) л a'j (И) ¥= 0)(V/ce£ (yfte &ift(co)));
(О в противном случае,
где а,Дсо), ctj (со), bih(со)— подмножества со-среза для Ца^На^
^SF{X-)- pB.fee^(Y).
Доказательство. Поскольку
В' = и В" = и ( Г) НАу» НаЛ X ( X
isp iGP VST 11	3) \heK
то отношение со-среза для В определяется из условия В'(со) =
= и ( Л «у(со) Л (®)) X ( X bik (со)), т. е. х(у) = 1, если Зс е
ii=p\j(=i	) \кек	)
(аи (со) Л a'j (®) =# 0) (У к е= К (yk е bik (со))).
Утверждение доказано.
5.6.3.	Минимаксная и комбинированная интерпретация. В тех
случаях, когда уд определяется с помощью минимаксной интер-
претации,
со = sup Цв'(у).	(5.80)
ySY1
При минимаксной интерпретации можно получить, что
..	(1, если 3i e9(VJ:e K(yke=bih(<i>)))-,
у (?/) — \	(э.о1)
7	[0 в противном случае,	v 7
где
0 = {г|л{>а};	= Д V Цау (Xj) Д р / (xj).
jGIXjSXj lJ
124
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
При комбинировании интерпретации % (у) определяется с по-
мощью выражения (5.81) при со = у V л^; у е [0, 1]. На прак-
i^p
тике со — 0,5 -5- 0,8 и окончательно отбирается при настройке ал-
горитмов нечеткого вывода.
В частных случаях входные или выходные параметры могут
быть обычными. В этом случае алгоритмы нечеткого вывода,
учитывающие вид интерпретации, могут значительно упрощаться.
Пусть в схеме нечетких рассуждений (5.53) V/ е I:
Vi^P, У/j e/:	=
Aj
тогда при вероятностной интерпретации УУк^К-, ST
/ ч = И, если Bi е= Р ( V/ е= I (ai} е= а} (со))) (Vfc е= K(yk^bih{a>))),
(0 в противном случае;
если Чк^К: Bih^bik^ 31,
, \	(1, если Bi G= Q(ke=K(ykc= 6ih)),
'	10 в противном случае,
где 0 = (г \ V/ е I (aij е a'j (со))}. При этом
2 ••• 2 ••• 2 UqXAu)
' y1SYi Vqt=Yq Vl&?i
Уя~ 2 ••• 2 хи
^lsYl V/eY!
(5.82)
Аналогично определяется % (у), если
VieP, V; е Z:	PQ); V/ е Z: А' <=> а'} е ЗР,
0 = (i | V/ е I (а- е ау (со))}.
Введем обозначения подмножеств (L— 7?)-типа со-среза ана-
логично (5.67). При этом
Vi е Р, Vj(= I: dtj (со) = [df-(со), aR (со)],
aj(co) = [d}L (со), dR (со)];
V/;e£, VieP, bik((i>)~ [bfft(co), ЬД(со)],
где VlijgF (X);
d (CO) = [dL (CO), dR (CO)], dL (CO) = d' + dLq1 (CO),
dR(to) = d" —dR~l(a>),
La iRa 1 —обратные функции для La и Ra.
§ 5.6. МЕТОДЫ ТОЧНОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
125
Следствие 5.2 (из утверждения 5.4). Пусть нечеткий вы-
вод определяется выражением (5.62), тогда в случае (А — В)-
аппроксимации
Х(У) =
1, если 3j е Р (yk<=K(yh(= [&fft(co), ЬД(®)]&
' & (Vy €= Z (ag (со) Л	яц(®) V «'L(®)>0));
.0 в противном случае.
Утверждение 5.6. Пусть Vi е Р, j е I:	(X,),
У/к е К: ps.ft е ST (Yh)— нечеткие подмножества (А — 7?)-типа;
тогда если нечеткий вывод определяется выражением (5.69), то
при минимаксной интерпретации
(1, если 3i е 0 ( V &ife(P.O
% (р) = )	\fesK
[0 в противном случае,
где
bik (pft) = ((*4 — pft)/bift) V ((pft — V
/ Г ff \	ft	Н
I ci - aij \t,( aij - ci
V0.
I +с-
\ и 1 -)
Доказательство. Поскольку ® = sup рв, (p) и Vie
ySY1
eP/sup Д pB..(pft)=l\, то вследствие того, что sup L( \/ p..) =
(уеу/ t=K	j	iep \jSi гз)
= L (inf V p.\^Z 1, из утверждения 5.4 и следствия 5.2 следует,
\iePjel 11J
что V/е/(сДы)Г|ау(ы) = 0). Если V р < Д V р и для
jei 3 и=р j<=i 3
Q ¥= 0 отношение со-среза для В': В' (со) — (J х bih (со), где
iGO feGK
=	VPij)))- (5.83)
Очевидно, что L-i (L(x))= х.
Утверждение доказано.
Следствие 5.3 (из утверждения 5.5). Пусть нечеткий вы-
вод определяется выражением (5.69), тогда при минимаксной
интерпретации результаты вывода не зависят от вида (L — R)-
функции.
5.6.4.	Интерпретация по максимуму функции принадлежно-
сти. При построении алгоритмов нечеткого вывода можно ис-
пользовать интерпретацию по максимуму функций принадлежно-
сти нечеткого соответствия рВ'. Это особенно удобно делать, когда
126 ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
2=1,2, 3. При этом
y' = argsuppB, (у), у=МУ1, yt). .(5.84)
У=У;
Аналитическое решение задачи (5.84) в общем виде затруд-
нительно. Поэтому на практике лучше использовать один из ме-
тодов нелинейного программирования.
Выбор конкретного вида интерпретации зависит от функции
потерь и, в общем случае, является задачей многокритериально-
го принятия решения. В ряде случаев для оценки качества ин-
терпретации можно воспользоваться метрикой Минковского [6].
§ 5.7.	Особенности лингвистической аппроксимации
Под лингвистической аппроксимацией будем понимать опре-
деление таких значений лингвистических переменных vh е Vh,
для которых мера сходства цв, с нечетким соответствием
рвше^(У;), характеризующим вектор значений лингвистиче-
ских переменных v* — (v*, ..., и*, ..., и*), является максималь-
ной. В качестве меры сходства можно использовать метрику
Минковского для нечетких множеств, нечеткую корреляцию,
одну из нечетких мер и т. д.
Рассмотрим особенности применения нечетких мер. Пусть
Чк^К, г’ь-<=>	У&—*-[0, 1]— нечеткие подмножества, соот-
ветствующие значениям ЛП vh. Нечеткие меры & (Yh)->
-> [0, 1] соответствуют таким образом, что uOfe (yh) = gVk({yh})-
Для случая нечетких мер сходства задача лингвистической ап-
проксимации формально будет выражаться как
v* = arg sup У цв, ° gv,	(5.85)
v=Vl y;
где
v = (уг, ...,щ); V! = X Vk. gK = X gVk-
h=K	k~K
Решение задачи (5.85) не представляет с практической точки
зрения какой-либо сложности. Поскольку для реальных систем
1—1, 2, 3, а количество элементов множеств Vh составляет 5—
12, поэтому решения, как правило, получаются простым пере-
бором.
§ 5.8.	Обратная задача для нечетких отношений
В ряде важных для практики случаев моделирования нечет-
ких систем возникает необходимость определения входных ЛП
по заданным выходным при наличии схемы нечетких рассужде-
ний. К таким задачам относятся задачи определения чувстви-
§ 5.8. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
127
тельности нечетких систем к изменению входных ЛП; задачи
оптимального управления нечеткой системой при заданном не-
четком целевом множестве, характеризующем критерий качества
системы, и нечетких ограничениях на параметры системы, а так-
же ряд задач диагностики нечетких систем.
Здесь мы рассмотрим два подхода к решению задач для не-
четких отношений — с применением а- и ^-композиции и с при-
менением со- и (о-композиции. Напомним понятие “-композиции.
Пусть Q е (ХХУ) и R е S~(YXZ) — два нечетких отно-
шения, ^У(-) обозначает множество нечетких отношений для
X X Y и Y X Z соответственно. Мы определим композицию не-
четких отношений Т = R ° Q, Т S~(X XZ) так, что функция
принадлежности для Т примет вид
нг(ж, z)= V г/)АНй(У, z),	(5.86)
где х^Х, y^Y, z^Z, X X У -> [0, 1]; нй: У X Z [0, 1] —
соответствующие функции принадлежности.
Пусть Q^S~(XX У), йе^'(УХ2)—два нечетких отноше-
ния, тогда a-композиция T = QaR, T^S~(XXZ) нечетких отно-
шений Q и R определяется с помощью функции принадлежности
(х, z) = л Но У) “Ид (У> z),	(5.87)
У<=?
где Va, Ь е [0, 1], операция а определяется как
I 1, если а^Ь;
с — aab = { ,	,
(о, если а>о.
(5.88)
Отметим, что если а, 6 е [0, 1], с = aab является наибольшим
элементом в [0, 1] таким, что а/\с-^.Ъ, то справедливо неравен-
ство а/\(ааЪ)^Ъ.
Если а, Ъ, d е [0, 1], то легко проверить, что aa(b [\d)~^aad
и аа(Ь VcZ)> ааб, а также аа(а
Используя данные соотношения, можно доказать следующие
свойства нечетких отношений:
R^Q~la(R°Q),	(5.89)
Q^tRa^R'Q)-1)-1,	(5.90)
(Q-laT)°Q = T,	(5.91 j
(7?° (RaT) -*)-* = T.	(5.92)
В работе [44] показано, что обратное решение задачи для не-
четких отношений базируется на двух теоремах.
Теорема 5.4. Пусть (Зе^’(ХХУ), T^@r(XXZ')—нечет-
кие отношения; тогда, если S" cz S' (У X Z)— множество нечет-
ких отношений R s таких, что R » Q = Т, то ST’ ¥= 0 тогда и
только тогда, когда R = Q~'aT е является наибольшим
элементом SS".
128
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
Теорема 5.5. Пусть Te^(XXZ) и R е ^"(У X Z) — не-
четкие отношения; тогда, если 9r' cz (X X У) — множество не-
четких отношений таких, что R ° Q = Т, то ЯГ' =/= & тогда и толь-
ко тогда, когда Q = (RaT~')~i Q является наибольшим эле-
ментом ЯГ'.
Если композиция нечетких отношений определяется через
минимакс, то рассмотренные теоремы могут быть заменены двой-
ственными.
Пусть Q е ЯГ(XX У), R е ЯГ(У X Z)—нечеткие отношения;
тогда v-композиция, двойственная a-композиции, Т — QvR,
Т е ЯГ (XX Z), нечетких отношений Q и R, определяется с по-
мощью функции принадлежности
|1 (х, z) = V |i (х, у) v|i (у, z),
W=Y W
(5.93)
где Va, Ъ е [0, 1] операция v определяется как
( Ь, если а < Ъ;
с = avb =
(О, если aZ^b.
Обозначим: * — минимаксная композиция, двойственная “-ком-
позиции. Двойственные теоремы для «-композиции можно сфор-
мулировать следующим образом.
Теорема 5.6. Пусть Q и Т — нечеткие отношения; тогда,
если ЯГ' (Y X Z)— множество нечетких отношений R s ЯГ'
таких, что R * Q = Т, то ЯГ’ ¥= 0 тогда и только тогда, когда
R = (RvT~l)~l; И^ЯГ' является наименьшим элементом ЯГ'.
Теорема 5.7. Пусть T^£T(XXZ) и R<^^~(YXZ)— не-
четкие отношения; тогда, если F'cF(XXT)—множество не-
четких отношений таких, что R * Q — Т, то ЯГ’ 0 тогда и
только тогда, когда Q = (RvT~')~i е 3r\ Q является наименьшим
элементом ЯГ'.
Из теорем 5.4, 5.5 видно, что a-композиция позволяет опре-
делить верхнюю границу подмножества решений обратной зада-
чи для нечетких отношений. Нижняя граница решений опреде-
ляется с помощью v-композиции.
Пусть (J е ^(Х X У), й е ^"(У X Z) — нечеткие отношения;
тогда ^-композиция Т = Q$R, Т е ЯГ (X X Z) нечетких отноше-
ний Q и R определяется через функцию принадлежности
|1Г (х, z) = V |1Q (х, у) ₽|1й (у, z),	(5.94)
где Vа, бе [0, 1]; операция £ определяется как
с = а$Ъ =
О,
если
если
а < Ъ;
а~^Ь.
§ 5.8. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
129
Нижняя граница может быть приближенно найдена из
условия
R^R^Q-^T).	(5.95)'
Рассмотрим еще один подход к решению обратных задач для не-
четких отношений [48]._ _________________
Пусть Х = {х,|ге {1, т}}; Y = {y}\j е {1, п}}— счетные мно-
жества; ац, Гц, bi — степени принадлежности элементов НМ А, В
и нечеткого отношения R. Композиционное правило вывода име-
ет вид
А о R = В.	(5.96)
Введем понятие со- и ©-композиций.
Пусть р, q<= [0, 1]; тогда ©-композиция определяется соотно-
шением
payq =
[q, 1],
0,.
если
если
если
p>q;
p^q;
p<q,,
а ©-композиция — из условия
~	[ [0, <?], если p>q',
paq = [ ,л
([0, 1], если
Пусть иц
Гц obi, Vij = Тц(йЪ{, а
.	[ Uy, если
(Оу = 1
1 I Уу, если
Зг е {i | иу =/= 0};
Vi {г | иу = 0}.
Тогда функция принадлежности нечеткого подмножества а будет
Vie{l, п} лежать в интервале а, который определяется из
условия
а = U а\
k~K
где
а = I Л ®ip •••> (1 K = (k\\fi, 0 ©у =7^ 0
j—J j	I* j^J
Нетрудно показать, что Vi е {1, и}, а, е af. Кроме того, верхняя
и нижняя^ границы а совпадают с верхней и нижней
границами а и а, вычисляемых с помощью а- п ^-композиций:
ар (R$B) ^аса= RaB.
Применение ю- и ©-композиции удобно в случаях, когда нечет-
кое отношение R имеет малую размерность. В схеме нечетких
рассуждений удобнее применять а- и р-композпцип, позволяющие
130
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
оперировать не нечеткими матрицами, а векторами значений
функций принадлежности.
Применение а- и p-композиции рассмотрим на следующем
примере. Пусть задана схема нечетких рассуждений, аналогич-
ная (5.53):
если ut, alh aI2, ..., aIm,	то	bt	иначе,
если и2, а21, а22, ..., а2т,	то	Ь2	иначе,
если ип, ani, ап2, ..., апт,	то	Ъп	иначе,
где atj е Aj — значения контролируемых ЛП, щ е W — значения
управляемых ЛП, Ь, — значения выходных ЛП. Пусть также
множество значений управляемых ЛП определено на базовом
множестве Z. Значениям ЛП ав, bi, щ соответствуют нечеткие
подмножества
(Xj), цв.<=ЗГ(Г),	Z~+[0, 1].
Данная схема нечетких рассуждений может соответствовать, на-
пример, нечеткому описанию процесса лечения больного. При
этом Ui — нечеткие подмножества, элементами которых являют-
ся виды терапии. А» — параметры, характеризующие состояние
больного, Bi — нечеткие интегральные оценки состояния больно-
го — критерий качества болезни. В качестве такого критерия мо-
гут использоваться как объективные показатели, так и субъек-
тивные — типа оценок самочувствия. Пусть больного необходимо
перевести в новое состояние В' — желаемое значение нечеткого
критерия. При этом необходимо определить, к какому виду те-
рапии наиболее чувствителен больной. Степень нечувствительно-
сти больного в данном случае будет оцениваться разницей меж-
ду верхней и и нижней и границами множества нечетких под-
множеств £Г'с£Г(£), являющегося решением обратной задачи
в соответствии с нечеткой информацией, содержащейся в схеме
нечетких рассуждений. Следует отметить, что на управляемые
ЛП может быть наложено нечеткое ограничение (pe^"(Z). Ком-
позиционное правило вывода для данного случая примет вид:
в'=нй Сй{С> °(Лу х Bi}) п ((ф п и} °{Ui х Bi)})' (5,97)
где V е (Z), С, е ЗГ (ХД — нечеткие подмножества, соответ-
ствующие новым значениям ЛП и' е W и cs е А3. Используя ос-
новные свойства нечетких множеств можно показать, что
В' = U ° В,	(5.98)
где
R = ,ух(ф П U^B”; Bi = {(у,	|	= Ив.Лл4);
щ = A Poss(ЛуIQ.
j&J
§ 5.8. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЧЕТКИХ ОТНОШЕНИЙ
131
Нечеткие подмножества и и и могут быть определены в дан-
ном случае с помощью со- и со-композицип, однако для этого не-
обходимо определять нечеткое отношение R. Рассмотрим метод
вычисления пипс помощью а- и ^-композиций.
Из теоремы 5.5 имеем
и = RaB' = ( U (ф Ж) XS?) аВ’ = П ((ф П ^0 аЖаВ')), (5.99)
kiSI	J	i=I
и поскольку
R№=( и (фЖ)хвН₽В' = и((фПМ*Ш (5.100)
kisr	J	iSI
то
и ((фП?7;)р(7?"рВ')')сд u'c u. (5.101)
\i=i	1
Если Vis/, S, e У являются детерминированными значе-
ниями или одноэлементными множествами, имеющими функцию
принадлежности, равную 1, то
Vie/, Вп^В' = В&В’ = Bf о В’.
Рассмотренные методы решения обратной задачи с помощью
а- и ^-композиции могут применяться при анализе чувствитель-
ности логико-лингвистических моделей. Решение обратной зада-
чи для нечетких отношений с применением (L — R) -аппроксима-
ции основано на утверждениях об антиизоморфности псевдобуле-
вых структур [10].
Утверждение 5.7. Пусть L(х) — функция (L — R)-типа,
х е 5?+; L~l (у) — обратная функция у е [0, 1] Е;
31' = {х\Уу (= Е (L"1 (у) = х)}-, Е’ = {у\\fx(=3l+(L(x) = у)]-
тогда псевдобулева структура 2?а={Е', \/, Д,а) является анти-
изоморфной структуре S’v = А» \AV>- Операция v является
двойственной а.
Утверждение 5.8. Пусть L(x)—функция (L— В)-типа,
х е й+; L~l (у) — обратная функция у е [0, 1] Е;
31' = [х| Vy «= Е{1Г\у') = ж]; Е = |у I Vxe 52+(Л(х) =- у)!;
тогда псевдобулева структура S’p = (/?', V > А’ антиизоморфна
структуре S’T = <B', А, V> ?>• Операция 0 является двойствен-
ной у. При этом если V“Xup''5i' , тогда Vn,
v=Sl +
[ V, если а > Ь;
с = avb = {	'	,
‘	если а о.
132
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
Доказательство утверждения основывается на антитонности
отображения L и двойственности операций v и а, р и у.
Решение обратной задачи для нечетких отношений с приме-
нением (L— R) -аппроксимации основано на утверждениях о
двойственности псевдобулевых структур.
Пусть w(z)e[u(z), w(z)]— выражение для аргумента нечет-
кого подмножества уи' е (Z); w(z), w(z)—выражения для
его верхней и нижней границ соответственно, <p(z)—выражения
для аргумента (L— 7?)-функции нечеткого подмножества ср. Все
остальные обозначения — такие же, как в (5.65) — (5.67).
В этом случае можно доказать, что
= УДМ2)у^уу(^)^'(5.Ю2)
u(z)« u(z)y A (/i(z)Y[ A (bi (y) yb’ (y))\\,	(5.103)
iei\	\p=Y	))
где
h (2)= ( yjPy)V4’(Z)VWi(2).
X
Функции принадлежности для и и и примут вид
Ни (2) = Ь (и (z)); ц~ (z) = L(u (г)).	(5.104)
Описанные в данной главе модели в настоящее время реали-
зованы в виде пакета подпрограмм FLMS на фортране ЕС ЭВМ.
Пакет содержит подпрограммы ввода—вывода, подпрограммы
всех видов композиций для счетных множеств, подпрограммы
(L — R)-аппроксимации, интерпретации, подпрограммы иденти-
фикации нечетких мер и вычисление НИ, подпрограммы вычис-
ления энтропий и подпрограммы вычисления мер возможности.
Пакет применялся для решения ряда задач математического мо-
делирования биологических и экономических систем. В качестве
примера приведем результаты решения двух задач.
В первой задаче необходимо было осуществить прогноз уров-
ня pH при моделировании сердечной патологии. Для моделирова-
ния были использованы данные из [13], которые подлежали не-
четкому представлению в виде НЧ (£ — 7?)-типа. Результаты
оценивались по величине средней ошибки ретроспективных про-
гнозов. Величина о оказалась наименьшей для модели с комби-
нированной интерпретацией (о = 0,532) для вероятностной ин-
терпретации получено о = 0,651, а для минимаксной о — 0,81.
Следует отметить, что ошибка для метода группового учета ар-
гумента при решении данной задачи составляет о = 0,5.
Решение ряда аналогичных задач показывает, что лингвисти-
ческие модели могут конкурировать с регрессионными моделями
по точности и вычислительной сложности. Они также свободны
§ 5.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 133
от необходимости реализации сложных процедур псевдооб-
ращения.
Вторая задача связана с экспоненциальным прогнозировани-
ем цены на золото на лондонском рынке [55] (рис. 5.3). Приме-
нение логико-лингвистической модели с (L — Д)-нечеткими чис-
лами для прогнозирования с единичным шагом временного ряда,
Рис. 5.3. Пример моделирования временного ряда: а — отрезок эксперимен-
тальной кривой зависимости цены золота на лондонском рынке; б — кривая,
построенная с помощью лингвологической модели с (L — Л)-аппроксимаци-
ей и вероятностной интерпретацией
содержащего 360 точек, позволило получить прогнозы со средне-
квадратичными ошибками 0,506 для модели с комбинированной
интерпретацией, 0,574 — для модели с минимаксной интерпрета-
цией. Результаты моделирования можно сравнить с результатами
моделирования статистическими методами [55]. Для модели Бра-
уна величина о составляет 0,501, для байесовской модели (наи-
лучший вариант) — 0,577, для адаптивной авторегрессии — 0,509,
для полиномиальных моделей — 0,512—0,760. Ряд примеров ре-
шения задач прогнозирования временных рядов показывает, что
лингвистические модели могут с успехом применяться для моде-
лирования временных рядов, особенно в тех случаях, когда су-
ществует нечеткая информация.
§ 5.9.	Практическое использование
логико-лингвистических моделей
Современная теория управления детерминированными и сто-
хастическими системами уже много лет успешно применяется
для построения систем управления летательных и подводных
аппаратов, различных энергетических установок и т. д. Попытки
134
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
распространения традиционных методов на такие области, как
управление биосинтезом, химическими процессами, процессом
обжига цемента, производством бумаги, процессами выплавки
металлов и т. д., пока не дали существенных результатов на
практике, несмотря на катастрофическое усложнение математи-
ческих методов.
На практике же такими процессами достаточно хорошо уп-
равляет человек-оператор. Человек в таких случаях довольно ус-
пешно справляется с неопределенностью и сложностью процесса
управления. В отличие от машины человек использует нечеткие
качественные понятия и довольно успешно ориентируется в
сложной обстановке. Возникает проблема как передать способ-
ности человека машине для управления сложными промышлен-
ными процессами.
Решение данной задачи основано на использовании лингви-
стического описания процесса управления, полученного от чело-
века-оператора для построения управляющего устройства. Логи-
ческое управляющее устройство может быть реализовано в виде
логико-лингвистической модели стратегии управления. Основные
теоретические аспекты аналитического представления таких мо-
делей рассмотрены в и. 5.5—5.7. Приведем краткий обзор прак-
тического применения нечетких логических регуляторов и отме-
тим специфику выбора параметров.
Нечеткие логические управляющие устройства характеризу-
ются [22] множеством входных и выходных переменных, опреде-
ляющих структуру регулятора; множеством лингвистических
правил (схемы нечетких рассуждений); нечетким языком. В ка-
честве входных параметров могут быть значения ошибки, интег-
рал ошибки, значение контролируемых параметров и т. д. В ка-
честве выходной переменной выбирается входное управляющее
воздействие управляемой системы.
Множество лингвистических правил может задаваться опера-
тором, исходя из личного опыта. Количество таких правил огра-
ничивается возможностями реализации, поэтому необходима се-
лекция наиболее репрезентативных или часто встречающихся
правил. На практике строится гистограмма, характеризующая
частоту появления правил, после чего производится исключение
нехарактерных правил [47].
Для решения реальных задач достаточно иметь 8—12 значе-
ний лингвистических переменных, в качестве которых могут
быть: «большой», «маленький», «средний», «около нуля», «отри-
цательный маленький», «отрицательный большой» и т. д. Такие
значения особенно удобны тогда, когда переменные нормируют-
ся в интервале [0, 1]. Как правило, такой интервал имеет 5—30
точек разбиения. Как показывает опыт решения ряда задач про-
гнозирования с использованием ранее описанных методов интер-
претации, погрешность интерпретации при увеличении количест-
Рис. 5.4. Зависимость ошибки ин-
терпретации от количества точек
разбиения интервала интерпретации
ошибки измерения параметров.
§ 5.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 135
ва точек разбиения до 100 уменьшается всего на 2—3%. Ти-
пичный график зависимости среднеквадратичной ошибки интер-
претации от количества точек разбиения интервала интерпретации
приведен на рис. 5.4.
В настоящее время известны следующие области применения
нечетких логических управляющих устройств [32]: управление
паровыми установками; управление химическими реакторами;
управление процессом протяж-
ки синтетических нитей; управ-
ление теплообменниками; регу-
лирование давления и уровня
жидкости в резервуарах; уп-
равление агломерационными
фабриками; управление улич-
ным движением (подробнее
см. § 8.5).
Общей характеристикой
данных процессов является их
существенная нелинейность,
сложная взаимозависимость
параметров, наличие изменяю-
щихся постоянных времени,
Рассмотренные в [32, 36, 37, 47] нечеткие логические управ-
ляющие устройства, предназначены для регулирования разных
по содержанию процессов, но имеют общую структуру. Рассмот-
рим пример построения нечеткого логического регулятора для
решения задачи управления светофором [41].	i
В [41] рассматривается перекресток с односторонним движе-
нием. Задача контроллера заключается в том, чтобы включать
зеленый свет таким образом, чтобы время задержки транспорт-
ного средства на перекрестке было минимально. Весь временной
промежуток управления 57 секунд разбивается на 5 временных
интервалов по 7, 17, 27, 37, 47 секунд соответственно. В каждый
десятисекундный интервал времени изменяется алгоритм управ-
ления. Контролируемыми параметрами являются время от нача-
ла десятисекундного интервала (Т), количество транспортных
средств, прибывших на перекресток справа (Л), длина очереди
(Q). Управляемым параметром является промежуток времени до
отключения зеленого света светофора (Е). ЛП могут принимать
значения Т — {«очень короткое», «короткое», «среднее», «дли-
тельное», «очень длительное»}; Л= {«почти нет», «очень мало»,
«мало», «среднее» (количество), «много», «слишком много»};
Q == {«очень маленькая», «маленькая», «незначительная», «сред-
няя», «длинная», «очень длинная»}; Е = Т.
Операции mt (more than) и It (less than) обозначают боль-
ше и меньшЬ соответственно. При выполнении данных операций
136
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
нечеткие подмножества определяются следующим образом:
( °’
НщА)(;Г) = (1 — р,А (хг),
Hmt(A) (Ж) = I 1 _ р,А (Xi),
если
если
если
если
xi += Х0’
xi ---* XQ4
где ха — значение xt е X в точке максимума функции принад-
лежности pA(Zi) нечеткого множества А.
Нечеткий алгоритм на 17-й секунде описывается следующей
схемой нечетких рассуждений.
т	А	Q	Е
Очень короткое Короткое Среднее Длительное Очень длительное	mt (почти нет) mt (очень мало) mt (мало) mt (среднее) mt (много)	любая it (очень малень- кая) It (очень малень- кая) It (очень малень- кая) It (маленькая)	очень короткое короткое среднее длительное очень длительное
Нечеткие подмножества, соответствующие Т, A, Q, Е, приве-
дены в табл. 5.4—5.6.
Таблица 5.4
Нечеткие подмножества, соответствующие значениям лингвистических пе-
ременных из Т и Е
Время	Нечеткие множества									
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Очень короткое	1	0,5	0	0	0	0	0	0	0	0
Короткое	0	0,5	1	0,5	0	0	0	0	0	0
Среднее	0	0	0	0,5	1	0,5	0	0	0	0
Длительное	0	0	0	0	0	0,5	1	0,5	0	0
Очень длитель-										
ное	0	0	0	0	0	0	0	0,5	1	1
Пусть на 17-п секунде работы алгоритма: Т = 4с, А = 6,
Q — 5. Применяя композиционное правило вывода (5.58) полу-
чаем следующее нечеткое подмножество для задержки вы-
ключения:
е’ =(110 + 210,5 + 310,5 + 410,5 + 510,5 + 610,5 +
+ 710 + 810 + 910 + 1010).
Осуществляя точную интерпретацию по формуле (5.82), получа*
ем время задержки выключения, равное 4 секундам.
§ 5.9. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ 137
В [41] показано, что эффективность нечеткого управления
выше управления с помощью специализированного быстродейст-
вующего устройства, позволяющего анализировать все множест-
во ситуаций на перекрестке, в среднем на 15%.
Таблица 5.5
Нечеткие подмножества, соответствующие значениям лингвистических
переменных из А
Прибытие (кол-во автомобилей)	Нечеткие множ*ства									
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
mt (ночти нет)	0,5	0,8	0,9	1	1	1	1	1	1	1
mt (очень мало)	0	0,5	0,8	0,9	1	1	1	i	1	1
mt (мало)	0	0	0,5	0,8	0,9	1	1	1	1	1
mt (среднее количество)	0	0	0	0,5	0,8	0,9	1	1	1	1
mt (много)	0	0	0	0	0,5	0,8	0,9	1	1	1
mt (очень много)	0	0	0	0	0	0,5	0,8	0,9	1	1
Таблица 5.6
Нечеткие подмножества, соответствующие значениям лингвистических
переменных на Q
Очередь	Нечетное подмножество															
	4	5	6	7		8	1 9	I 10	и	12	13	14	15	16	17	18
It (очень маленькая) It (маленькая) It (незначительная) It (средняя) It (длинная) It (очень длинная)	1 1 1 1 1 1 ’	0,5 1 1 1 1 1	0,3 1 1 1 1 1	0,1 1 1 1 1 1		0 1 1 1 1 1	0 0,-с 1 1 1 1	0 0,3 1 1 1 1	0 0,1 1 1 1 1	0 0 1 1 1 1	0 0 0,5 1 1 1	0 0 0,3 1 1 4	0 0 0,1 1 1 1	0 0 0 1 1 1	0 0 0 0,5 1 1	0 0 0 0,3 1 1
Очередь	Нечеткое подмножество															
	19	20	1 21		22		23	24 | 25 | 26			27	28	29	30	31	I 32
It (очень маленькая) It (маленькая) It (незначительная) It (средняя) It (длинная) It (очень длинная)	0 0 0 ОД 1 1	0 0 0 0 1 1	0 0 0 0 0,5 1		0 0 0 0 0,3 1		0 0 0 0 0,1 1	0 0 0 0 0 1	0 0 0 0 0 3,5	0 0 0 0 0 0,3	0 0 0 0 0 0,1	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0	0 0 0 0 0 0
Известные в практике нечеткие регуляторы, как правило,
реализуются на микропроцессорах или мини-ЭВМ. Следует отме-
тить, что при вероятностной интерпретации логического вывода
нечеткое управляющее устройство может быть легко реализовано
с помощью простого дискретного или дискретно-аналогового ав-
томата на программируемых логических матрицах. При этом та-
кое устройство, будучи гораздо более простым по структуре, мо-
138
ГЛ. 5. НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА, УРАВНЕНИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
жет заменить специализированные устройства, работающие в
системах управления с быстро протекающими процессами.
Рассмотренные области применения нечетких логических уп-
равляющих устройств — далеко не полный перечень их возмож-
ностей. Широким полем деятельности для специалистов по
управлению в нечеткой обстановке являются те области человече-
ской деятельности, где критерии управления являются трудно-
формализуемыми. Пример тому — пищевая промышленность.
Кроме того, не решен ряд сложнейших проблем автоматизирован-
ного управления гидромелиоративными системами. К таким
проблемам относятся управление транспортировкой воды по от-
крытым руслам; регулировка расхода воды на гидроузлах; управ-
ление насосными станциями, работающими на закрытую ороси-
тельную сеть; управление поливом растений по критерию приро-
ста биомассы и т. д. В настоящее время известны работы по
управлению биосинтезом антибиотиков с помощью нечеткого ло-
гического устройства.
В заключение следует отметить ряд перспективных направ-
лений в теории нечетких управляющих устройств. К ним отно-
сятся идентификация нечеткой модели стратегии управления без
использования человека на основе экспериментальных данных;
улучшение нечетких алгоритмов в процессе работы системы; ре-
ализация нечетких алгоритмов на ЭВМ; точная интерпретация
нечетких управляющих воздействий; выбор параметров кванто-
вания и дискретизации входных и выходных переменных. Неко-
торые из перечисленных вопросов рассматриваются в главе 8.
Рассмотренные в данной главе методы построения алгорит-
мов нечеткого вывода и методы их точной интерпретации позво-
ляют решить часть этих вопросов.
ГЛАВА 6
НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
§ 6Л. Специальная нечеткая логика
В настоящем параграфе рассмотрено обобщение на нечеткий
случай хорошо известной двузначной логики, в которой каждо-
му высказыванию или формуле приписывается значение «истин-
но» или «ложно». В рассматриваемой ниже специальной нечет-
кой логике истинностное значение высказывания или формулы
может принимать произвольное значение из отрезка [0, 1]. Ос-
новное внимание будет уделено обобщению хорошо известной
для булевых функций задаче их канонического и минимального
представления в классе дизъюнктивных и конъюнктивных нор-
мальных форм. Подобные задачи находят широкое применение в
теории переключательных схем, которые описываются такими
выражениями.
Пусть (i — 1, ..., п)— переменные со значениями из [0, 1].
Мы будем использовать следующие обозначения: \х = 1 — х
(отрицание), V х2 = max(xh х2) (дизъюнкция), х±/\х2 =
= min^i, х2) (конъюнкция). Нечеткая формула определяет
функцию, задающую отображение из [О, 1]п в [0, 1]. Определим
нечеткую формулу с помощью следующих правил:
а)	числа 0 и 1 — нечеткие формулы,
б)	нечеткая переменная xt — нечеткая формула,
в)	если /— нечеткая формула, то ""У — нечеткая формула.
г)	если f и g— нечеткие формулы, то f/\g и /V g— нечет-
кие формулы,
д)	других формул нет.
Нечеткие формулы являются обобщением структуры булевых
функций, так как удовлетворяют всем аксиомам последних, кро-
ме закона о дополнении, т. е.	и f АП/ =#0. Следова-
тельно, нечеткие формулы образуют дистрибутивную структуру
с псевдодополнением (алгебра Де Моргана). Пусть Т — истин-
ностная функция, — множество нечетких формул.
Определение 6.1. Нечеткая формула называется
общезначимой (противоречивой), если Г(/)>0,5 (Т(/)^0,5)
для всех значений переменных формулы /. Нечеткая формула
/е необщезначима (непротиворечива), если она не является
общезначимой (противоречивой).
140
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
Приведем примеры общезначимых и противоречивых формул:
а) рассмотрим формулу / = я? V к, тогда
Т (/) = max (Т (z), 1 - Т (х)) = ( 4 _ /(ж)
если
если
Т (х) > 0,5;
Т (х) <0,5.
Таким образом, 7’(/)^=0,5 и f— общезначима (см. рис. 6.1, а),
б) рассмотрим формулу g=x/\~| а:, тогда
[ Т (х),
7’(g) = min(7’(z),	= ж)
если Т (х) ^0,5;
если Т (х) >0,5.
Таким образом, T(g) ^0,5 и g противоречива (см. рис. 6.1,6).
Назовем литералом переменную х{ или ее отрицание П х{.
Фразой или конъюнктом назовем конъюнкцию литералов. Дизъ-
юнкцию литералов назо-
вем предложением (дизъ-
юнктом) .
Определение 6.2.
Нечеткая формула / яв-
ляется дизъюнктивной нор-
мальной формой (ДНФ),
если
/ = Ф1УФ2У...УФР,
Рис. 6.1. Графическое изображение нечет-	р 1
KI1X формул / = х V И х (а) и /' — х Д	Г >
Д “1 х (б)
где Ф3 — конъюнкты.
Определение 6.3. Нечеткая формула / называется конъюнк-
тивной нормальной формой (КНФ), если
/ —	• • • АСр>
где Сл — дизъюнкты.
В работе [49] показано, что понятия общезначимости и проти-
воречивости в нечеткой и обычной логике совпадают, точнее,
имеет место следующая теорема.
Теорема 6.1. Формула	нечетко общезначима (не-
четко противоречива) тогда и только тогда, когда /—общезна-
чима (противоречива).
Нечеткие формулы, рассматриваемые как отображения из
[0, 1]п в [0, 1], сохраняют отношение частичного порядка А такое,
что Vai5 ще[0, 1] аАа^ тогда и только тогда, когда либо 0,5^
< < aj, либо 0,5 > at а,. Например, имеет место 0,54а,-
е [0, 1], а величины а, е ]0,5, 1] и а3-е [0,0,5] — несравнимы.
Выражение а,4а3 обозначает, что ai является более неопределен-
ным значением истинности, чем а,.
§ 6.1. СПЕЦИАЛЬНАЯ НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
141
Отношение А может быть расширено на [0, 1]" следующим
образом:
Va = (ax, ап)е [0, l]n, V& = (&u ...,6п)е[0, 1]п
аАЬ тогда и только тогда, когда Vi = l, п а,АЬг. Имеет место
следующая теорема [46].
Теорема 6.2. Пусть /— нечеткая формула, задающая ото-
бражение [О, 1]п -> [0, 1]; если аАЬ, тогда f(a)Af(b).
Теперь обратимся к понятию нечеткой импликации. Хорошо
известно, что в двузначной логике формула / влечет формулу g,
если Т(f) — 1 =*• T(g) = 1. При этом / называется импликантом g,
a g называется импликатом /.
Определение 6.4. Пусть / и g — две нечеткие формулы.
Будем говорить, что / нечетко имплицирует g или g, если
(V)ae=[0, 1], T(j)^a=>T(g)^a.
В этом случае будем говорить, что / н-имплицирует g, или /
является н-импликантом g или, что g — н-импликат f. Поскольку
в дальнейшем мы будем иметь дело в основном только с нечет-
кими формулами, букву «н» будем опускать.
Рассмотрим примеры нечетких импликаций:
х-+- х V У,
у-^х \J у,
х/\у~+х,
х А у-+у,
х Д ^х^у V Пу-
Введем определение нечеткого первичного импликанта.
Определение 6.5. Пусть / — формула в ДНФ и Ф — конъ-
юнкт. Назовем Ф нечетким первичным импликантом / (сокра-
щенно НПИ), если из
Ф -> f и Ф -> Ф', Ф' -> /
следует Ф' = Ф или Ф' = /.
Таким образом, НПИ является максимальным элементом во
множестве всех истинных нечетких импликант в соответствии с
упорядочением, порожденным «->». Аналогично определяется
двойственное понятие нечеткого первичного импликата (НПи).
Определение 6.6. Пусть /— формула в КНФ и С —
дизъюнкт. Назовем С нечетким первичным импликатом *) /, (со-
кращенно НПи), если из f -> С и С С следует, что
С' = / или С' = С.
Заметим, что в двухзначной логике Ф является первичным
импликантом /, если Ф f и из Ф -> Ф', Ф' -> / следует Ф = Ф'
*) Используется также термин «имплицент».
142
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА II ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
или Ф' = / и Ф¥=0 (т. е. Ф — непротиворечив). Аналогично, пер-
вичный импликат считается не равным 1 (противоречивым). На-
пример, для четкой формулы f = х Д \x\J у очевидно х Д
Д \x-*-f, у -> f. Следовательно, первичным имплпкатом являет-
ся только у. В нечеткой логике формула / имеет два НПИ, так
как lA’l2'*/ и y-+f.
Мы можем теперь поставить задачу порождения всех НПИ
нечеткой функции. Эта проблема связана с задачей нахождения
минимальной формы для нечетких функций. Для нахождения
минимальной формы нечетких функций важной является следую-
щая характеристика элементов, неразложимых в объединение.
Теорема 6.3 [40]. В структуре нечетких функций п пере-
менных элементами, неразложимыми в объединение, являются
произведения литералов, не содержащих симметричных пар,
и произведения литералов, содержащих каждую из п переменных
по крайней мере одного знака.
Для нечеткой функции существует и единственно ее пред-
ставление в виде объединения неразложимых элементов. При по-
иске этой формы представления может быть использован следую-
щий алгоритм:
а)	записать функцию / в ДНФ, используя соотношения ал-
гебры Моргана для нечетких функций;
б)	элементы в /, неразложимые в объединение, умножить на
Xi V”1 х>, соответствующее каждой пропущенной литере;
в)	новое выражение опять записать в ДНФ;
г)	применить законы поглощения и выбросить конъюнкты,
из которых следуют другие конъюнкты;
д)	полученное выражение является единственным представ-
лением /.
Задача порождения всех нечетких первичных импликант и
импликат нечеткой функции может быть решена с помощью сле-
дующей теоремы [49].
Теорема 6.4. Следующие утверждения истинны:
а)	нечеткими первичными импликантами (нечеткими первич-
ными импликатами) дизъюнктов (конъюнктов), неразложимых
в пересечение (в объединение), являются все их литералы;
б)	нечеткими первичными импликантами (нечеткими первич-
ными импликатами) дизъюнктов (конъюнктов), неразложимых в
пересечение (в объединение), являются все их литералы и все
конъюнкции Xi А \хг (все дизъюнкции Xi V ^laJi), соответствую-
щие пропущенным литералам.
Обозначим через НПИ(/) и НПи(/) множества всех НПИ и
НПи нечеткой формулы /.
Теорема 6.5 [49]. Пусть / и g — нечеткие функции; тогда
НПИ (НПи) f Д g (f V g) порождаются всеми конъюнкциями
р А 1 (дизъюнкциями pV q), где р^НПИ(/), де|ШИ(#) (ре
е1Ши(/1 и geHnn(g)), и последующим вычеркиванием тех
§ 6.1. СПЕЦИАЛЬНАЯ НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА
143
конъюнкций (дизъюнкций), которые имплицируют (имплициру-
ются) другими.
Алгоритм для нахождения всех НПИ и НПи будет следую-
щим:
а)	заменить каждый конъюнкт на его НПИ, используя тео-
рему 6.4;
б)	вычислить для / НПи, используя теорему 6.5 (дизъюнк-
цию импликат);
в)	заменить каждый НПи на его НПИ, снова используя тео-
рему 6.4;
г)	вычислить для / ее НПИ, снова используя теорему 6.5
(конъюнкцию импликант).
Алгоритм для порождения всех первичных импликант пред-
ложен в [29] и в [53]. Эти методы были подвергнуты критике
в работах [20, 50]. Затем в [21] предложен метод, основанный на
понятии нечеткого следствия, расширенный в [22] на случай
неполностью определенных нечетких выражений. Дальнейшие
модификации метода содержатся в [19, 23, 24, 28, 46].
Для этой же цели в [15] предложен другой метод, основанный
на различии между простыми конъюнктами и противоречивыми
конъюнктами канонической дизъюнктивной формы нечеткого вы-
ражения. Этот подход подробно исследован в [13, 47, 49]. Позд-
нее в [48] предложен быстрый алгоритм, который находит сразу
особые первичные импликанты, т. е. те первичные импликанты,
чьи дизъюнкции образуют минимальную дизъюнктивную форму
для рассматриваемого нечеткого выражения. В настоящем изло-
жении мы опирались, в основном, на [49]. Представляют также
интерес алгоритмы [21, 46], основанные на понятии нечеткого
следствия, приведенные ниже.
Пусть Р и Р' — конъюнкты над множествами переменных
{%i, х2, ..., х„}. Нечетким следствием Р и Р’ называется противо-
речивый конъюнкт Ф, построенный следующим образом: ищется
xt такой, что Р = Xi/\Q, Р'	f\Q', где Q, Q' не содержат
переменной хе, полагается Ф = Q /\ Q' тогда и только тогда,
когда Q /\Q' является противоречивым конъюнктом; полага-
ется Ф = Q /\ Q' A xi А О ^1) тогда и только тогда, когда Q /\Q'
является простым конъюнктом (я, означает либо х<, либо |л:<).
Тогда алгоритм порождения первичных импликантов основан на
следующей теореме [46].
Теорема 6.6. Дизъюнктивная форма нечеткого выражения
/ содержит все своп первичные импликанты тогда и только тогда,
когда
1) не существует конъюнкта, который является пмпликантом
другого конъюнкта /;
2) нечеткие следствия любых двух конъюнктов либо не суще-
ствуют, либо являются следствиями, по крайней мере, одного
конъюнкта /.
144
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
Аналогичная теорема предложена в [49].
Теперь можно построить следующий алгоритм порождения
первичных импликант. Пусть / (xh ..хп) — нечеткая функция
в ДНФ, тогда:
а)	сравнить каждую пару конъюнктов в f и вычеркнуть те,
из которых следуют другие;
б)	нечеткое следствие каждых двух конъюнктов добавить к
списку, если конъюнкты из следствия не имплицируют другие
члены в /;
в)	вычеркнуть все конъюнкты, которые имплицируют другие.
г)	повторять пп. б) и в) до тех пор, пока не выполнится
условие теоремы 6.6.
Полученные конъюнкты будут являться всеми НПИ функ-
ции /.
В работах [30—32] принцип резолюции [8] обобщен на слу-
чай специальной нечеткой логики. Пусть задана формула /. Фор-
мула С является логическим следствием f тогда и только тогда,
когда формула / Д IS противоречива. Если / Д g противоре-
чива, то Т (f Д “П g) < 0,5 для всех интерпретаций. Для задан-
ного множества дизъюнктов следствие С (которое считается
дизъюнктом) называется первичным логическим следствием S,
если не существует других логических следствий С' множеств S
(тоже дизъюнктов) таких, что С также является логическим след-
ствием С'.
Пусть S — множество дизъюнктов. Резолюция S, обозначаемая
R(S),— это множество, состоящее из элементов S вместе с ре-
зольвентами всех пар элементов S. Резолюция п-п степени, обо-
значаемая Rn(S), определяется для всех п^О следующим обра-
зом: R°(S) = S и Rn+i (S) = R (Rn (S)). Тогда теорема 6.7 [21] ут-
верждает, что принцип резолюции является полным в специаль-
ной нечеткой логике.
Теорема 6.7. В нечеткой логике, если некоторый дизъюнкт
С является первичным логическим следствием множества дизъ-
юнктов S, то для некоторого п > 0, Ce7?n(S).
Имеет место следующая интересная теорема, которая утверж-
дает, что если каждый дизъюнкт в S немного больше, чем «полу-
истина», и наиболее ненадежный дизъюнкт имеет значение ис-
тинности а, т. е. гарантируется, что все логические следствия, по-
лученные повторным применением принципа резолюции, имеют
значения истинности по крайней мере а, но никогда не превы-
шают значения истинности наиболее надежного дизъюнкта.
Теорема 6.8. Пусть S — множество дизъюнктов, a Ct, С2, ...
..., См — дизъюнкты из S. Пусть также
тах[Г(С1), Г(С2), ..., Г(См)] = Ь
и
min [Г (С,), Г(С2), ..., Т(См)] = а>0,5,
§ 6.2. МНОГОЗНАЧНЫЕ И НЕЧЕТКОЗНАЧНАЯ ЛОГИКИ
145
а Сп — любой дизъюнкт из множества Rn (S). Тогда для всех
п 0 а^Т(Сп)^Ь.
Полезность этой теоремы мы можем проиллюстрировать сле-
дующим простым рассуждением. Пусть имеется два множества
дизъюнктов S, и S2, представляющих два информационных мас-
сива. Из Sj мы можем вывести логическое следствие, которое
рекомендует добираться до работы на автобусе. Из S2 мы можем
вывести логическое следствие, которое рекомендует добираться
до работы на метро. Пусть, например, 7’(S1) = 0,6 и T’(S2) = 0,9,
где Т (Sj) = min Т (Су), CweSf. В соответствии с теоремой мы
з
можем заключить, что корректность второго предложения, по
крайней мере, 0,9, в то время, как про первое гарантировано
только то, что его корректность не менее 0,6. Тогда риск при
принятии первого решения может быть 0,4, а второго — не вы-
ше 0,1. Чтобы минимизировать максимальный возможный риск,
надо принять второе решение и ехать на метро.
Теорема 6.7 была обобщена в [31], где доказано, что принципы
семантической лок-резолюции, ID 1-резолюции и Ы-резолюции [8]
являются полными в специальной нечеткой логике.
В гл. 1 описаны Z-нечеткие множества, функции принадлеж-
ности которых могут принимать значения в произвольной дистри-
бутивной решетке. Логика, множеством значений истинности
которой является некоторая полная дистрибутивная решетка,
связанная с теорией Z-нечетких множеств, называется общей
нечеткой логикой. Мы не будем останавливаться на логиках этого
типа. Отметим только, что в [32] на случай общей нечеткой ло-
гики были обобщены теоремы 6.1, 6.7, а также результаты [31],
т. е. доказано, что обычный принцип резолюции, а также IDI-
резолюция и LI-резолюция являются полными в общей нечеткой
логике.
§ 6.2. Многозначные и нечеткозначиая логики
6.2.1. Многозначные логики. В зависимости от способов вве-
дения операций объединения и пересечения НМ существует три
основных теории нечетких множеств (см. табл. 6.1). Если
(X)— множество нечетких подмножеств X с обычными макси-
минными операциями объединения (U) и пересечения (П), то
(X), рассматриваемое как множество отображений из X в [0, 1],
является дистрибутивной решеткой с псевдодополнением (^“ (X),
U, П, ~) (следуя, в основном, обозначениям [15]). Можно взять
в качестве объединения и пересечения вероятностные операторы
(алгебраические операции в табл. 6.1). Относительно этих опе-
раторов и обычного псевдодополнения алгебра (X), +, •, —)
образует только педистрибутивную решетку с псевдодополне-
нием. И, наконец, используя операторы ограниченной суммы (U)
146
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
и произведения (П) и обычное псевдодополнение, мы получим
недистрибутивную решетку с дополнением U, Г), _).
Отметим, что УЛ, В е (X): А [~| В A-В А [~| В и ЛIJ
и 5сЛ + В<=А и В.
Каждой из этих теорий соответствует многозначная логика,
связки для которой приведены в табл. 6.1, где Т(Р) = р и
T(Q)=q.
Таблица 6.1
Название связки	Обозначе- ние связки	Нечеткая логика с мак- симинными операциями	Нечеткая логика с ограниченными операциями	Вероятностная нечеткая логика
Тавтолш ия	р	max (р, 1 — р)	1	1 — р(1 — р)
Противоре- чие	р	min (р, 1 — р)	0	р(1 — р)
Отрицание	ПР	1 — р	1 — р	1-р
Дизъюнкция	Р V Q	max (р, q)	min (1, р + g)	р + ч — рч
Конъюнкция	Р А <?	min (р, q)	max (0, р + g — 1)	РЧ
Импликация	P^Q	max (1 — р, q)	min (1, 1 — —Р + Ч)	1 — р + рч
Эквивалент- ность	P++Q	min [max (1 — p, g), max (p, 1 — g)[	1 — |р —g|	(1 — р + рч)х X (1 — ч + рч)
Штрих Шеф- фера	P\Q	max (1 — p, 1 — q)	min (1, 1 — -P +,1 -5)	1 — РЧ
Исключаю- щее «Илп>>	Р ex Q	max [min (1 — p, g), min (p. 1 — g) 1	Ip — g|	1—(1—p+pg) X х (1 — ч + рд)
Стрелка Пирса	P\Q	min (1 — p, 1 — g)	mnx(0, 4 _ p _ q)	(1 — р)(1 — д)
Во всех трех случаях значения отрицания вычисляются по
формуле Т( \Р) = 1 — 7’ (Р), значения импликации — по формуле
7’(Р->()) = 7’ПР V Q), а значения эквивалентности — по форму-
ле T(P^Q) = 7’[(Р->0Л(<?->^-
Связки ex, I и I всегда выражаются как отрицания Л
и V соответственно; тавтология и противоречие определены как
Т(Р) = Т(Р V ~]Р), Т (Р) = Т (Р Л —1 Р)- В более общем виде
т (PQ) = т ((Р V И Р) V (Q V И <?));
т (Р<2) = т ((Р л П Р) V (О Л И <?))•
В соответствии с операциями из теории нечетких множеств
в	U, П, ”) дизъюнкция и конъюнкция определяются как
Т(Р V <2) = max (71 (Р), Т (<?)),
Z(PA<2) = min(7’(P)t Т’О
§ 6.2. МНОГОЗНАЧНЫЕ И НЕЧЕТКОЗНАЧНАЯ ЛОГИКИ
147
и являются коммутативными, ассоциативными, идемпотентными
и дистрибутивными относительно друг друга, но не удовлетворя-
ют закону исключенного третьего в следующем смысле:
Т(Р\/-\Р)^1 и Т(Р/\^Р)^0.
Для логики, связанной с	U, П, —), операции опреде-
ляются как
Т (Р V (?) = min (1, Т (Р) + Т ((?)),
Т(Р А0 = тах(О, Т’(Р) + 7’(<?)-1)
и являются коммутативными и ассоциативными, но не идемпо-
тентными и не дистрибутивными друг относительно друга, хотя и
удовлетворяют закону исключенного третьего.
В логике, связанной с (^” (X), +( •, —), которую часто на-
зывают вероятностной логикой, операции
Т (Р V О) = Т (Р) + Т (0) - Т (Р)  Т ((?),
Т (Р f\Q) = Т (Р)-Т (Q)
являются коммутативными, ассоциативными, но не идемпотент-
ны и не дистрибутивны относительно друг друга.
Альтернативный подход к описанному способу введения не-
четких логик предложен в [33], где понятие нечеткого множе-
ства основано на понятии нечеткой границы между классами.
Связки НЕТ, ИЛИ, а также импликация и отрицание определя-
ются в терминах вероятности неверной классификации при рас-
познавании. Их обычные свойства при этом выполняются. Другие
определения нечетких множеств могут быть сведены к этому
случаю с помощью наложения соответствующих ограничений на
функции распределения границ.
Алгебраические свойства нечетких логик, построенных на ос-
нове многозначных, были исследованы также в [9, 54, 56].
6.2.2. Нечеткозначная логика. В [5] введно понятие лингви-
стической переменной, которая характеризуется набором (X,
Т’(Х), U, G, М), в котором X — название переменной, Т (X)
обозначает терм-множество переменной X, т. е. множество линг-
вистических значений переменной X, причем каждое из таких
значений является нечеткой переменной X со значениями из уни-
версального множества U с базовой переменной и, G — синтакси-
ческое правило (имеющее обычно форму грамматики), порожда-
ющее названия X значений переменной X, а М — семантическое
правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой пере-
менной ее смысл М(Х), т. е. нечеткое подмножество М(X) уни-
версального множества U. Конкретное название X, порожденное
синтаксическим правилом G, называется термом.
Трактовка истинности как лингвистической переменной приво-
дит к нечеткой логике со значениями «истинный», «очень истин-
148
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
ный», «совершенно истинный», «более или менее истинный»,
«не очень истинный», «ложный» и т. д., т. е. к нечеткозначной
логике, на которой основана теория приближенных рассуждений
[56]. На рис. 6.2 [14] приведен пример лингвистических значений
Рис. 6.2. Функции принадлежно-
сти лингвистических значений
истинности: а — «ложно», б —
«сомнительно», в — «истинно»
истинности: «истинно» с функ-
цией принадлежности ци =
= S(a, (a+l)/2, 1), ae[0, 1],
«ложно» = ant («истинно») и «со-
мнительно» с цс = £({}, ({} + 0,5)/
/2, 0,5) на [0, 0,5] и цс =
= ant (£({}, (р + 0,5)/2, 0,5)) на
[0,5, 1], s [0, 0,5]. Определение
5-функции содержится в гл. 4.
Вообще говоря, мы можем
рассмотреть логическую систему
значений истинности, которая об-
разует некоторую решетку L
(в частности, полную решетку,
полную дистрибутивную решетку
и т. д.) [32, 49]. В этом случае
£-значная логика
рассмотрена как
= {Р, L, Т}, где Р — множество высказываний, L — решетка и
может быть
система Z =
Т — отображение
Т-. P-L,
которое присваивает каждому высказыванию ре Р его значение
истинности T{p~)^-L. Истинностное отображение Т должно удов-
летворять следующим свойствам:
а)	Т(р\/ 9) = T(p)V T(qY,
б)	Т(р q) — Т (р) /\T(q),
а также
В)	Т(Пр)=-|Т(р),
если в L определена операция дополнения.
Для лингвистических переменных в качестве множества ис-
тинностных значений использовано L = Z ([0, 1]) = {/: [0, 1]
[0, 1]}. Таким образом, истинностное отображение запишется
в виде Т: Р-*^([0, 1]), и аксиомы а), б), в) будут выполняться.
В [12] в качестве значений истинности для нечеткозначной
логики предложено использовать нечеткие числа на [0,1] (см.
гл. 5), которые тождественны нечетким множествам с выпуклы-
ми, нормализованными и кусочно-непрерывными функциями при-
надлежности.
Нечеткозначная логика описывается теорией нечетких мно-
жеств типа 2, функции принадлежности которых являются не-
четкими числами (см. гл. 1). Семантические правила для вы-
§ 6.2. МНОГОЗНАЧНЫЕ И НЕЧЕТКОЗНАЧНАЯ ЛОГИКИ
149
числения функций истинности для отрицания, конъюнкции и
дизъюнкции запишутся следующим образом:
Т2 (И Р) =де Т2 (Р) =-- ant (Т2 (Р)),
ТАР Д 0 =min^(T2 (Р), Т2 (0),
ТАР V Q) = ™*(ТАР), ЛД0), _________
где Д. (Р) — нечеткое число на [0,1], ©, min и max — расширен-
ные операции отрицания, минимума и максимума соответственно.
Приведем определение операций для max(P, Q) и min(P, Q) че-
рез их функции принадлежности:
&ЙИ= su₽ min(fipCr),
г=тах(х,т/)
HSTn(PQ)(z)= SUP min (HP (^), Hq(p))-
z=min(x,y)
Аналогично, с помощью принципа обобщения, получаются се-
мантические правила для других логических связок (см. табл. 6.1).
Так, для связок логики (£Г(Х), U, П, ~) имеют место следующие
формулы:
а)	для импликации
т2(Р-> 0=^(1 ©Т2(Р), TAQ)),
б)	для эквивалентности
ТАР ** 0 = min[max(l © Т2(Р), T2(Q)),____
max(l©T2(0, Г2(Р))];
в)	для исключающего «или»
Z2(P ех0 = inax(min(l © T2(P), Т2(0), т5йГ(1 © Г2(0, Р2(Р)));
г) для тавтологии
TAh = ™*(JAP), 1©Р2(Р));
д) для противоречия
P2(P) = iST(P2(P), 1©Т2(Р)).
Например, если Р «сомнительно», a Q «истинно», то Т,(Р
-»-0=max (ant («сомнительно»), «истинно»)— «истинно»;
T2(Q -> P) = max (ant «истинно», «сомнительно») «сомнитель-
но», Т2(Р ++ Q)= «сомнительно».
Для связок (^(Х), U, П, ~) получаются следующие семан-
тические правила:
а)	импликация
Т2 (Р - Q) =	(1, 1 © Т2 (Р) ® Т2 (0 );
150
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
б)	эквивалентность
Т2(Р^ 0=1©\Тг{Р)&TZ(Q)\-,
в)	исключающее «или»
Т2(Рех0=|Т2(Р)©Т2(0|;
г)	тавтология
Л(Р)=1;
д)	противоречие
Г2(Р) = 0.
Например, если Р «сомнительно», a Q «истинно», то Т2(Р^>-
-*0 = min(l, ant(«сомнительно») ® «истинно») = min(1, «сомни-
тельно»® «истинно»). Как только а+^^1 для ц, то Т2(Р ->- Q) =
= 1, однако в общем случае Т2(Р -> Q) «истинно», что совпада-
ет с результатом для обычной импликации.
Для расширенных операций max и min выполняются свойства
коммутативности, ассоциативности, идемпотентности, взаимной
дистрибутивности, а также законы поглощения и Де Моргана
[43].
§ 6.3. Теория приближенных рассуждений
Под приближенными рассуждениями [59] понимается процесс,
при котором из нечетких посылок получаются некоторые след-
ствия, возможно, тоже нечеткие. Приближенные рассуждения ле-
жат в основе способности человека понимать естественный язык,
разбирать почерк, играть в игры, требующие умственных усилий,
в общем, принимать решения в сложной и неполностью определен-
ной среде. Эта способность рассуждать в качественных, неточных
терминах отличает интеллект человека от интеллекта вычисли-
тельной машины.
В [5, 57—61] дается общая схема методов приближенных рас-
суждений в нечеткой логике. В [57, 59] вводится понятие распре-
деления возможностей для представления значений высказыва-
ний естественного языка, на основании которого разрабатывается
ПРУФ — язык представления значений для естественных языков.
ПРУФ использует нечеткую логику с лингвистическими значе-
ниями истинности, которые являются нечеткими подмножествами
единичного интервала. Кванторам также разрешается прини-
мать значения типа: «много», «мало», «несколько». Этим кванто-
рам дается конкретная интерпретация, что позволяет транслиро-
вать в ПРУФ выражения типа: «Многие высокие мужчины много
выше, чем большинство мужчин».
Будем говорить, что нечеткое высказывание вида «р=^==Х есть
F», где X — переменная, принимающая значение в универсуме
§ 6.3. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
151
U и F — нечеткое подмножество U, индуцирует распределение
возможности пл равное F, т. е. nx = F. Более явно, если ue U и
U -* [0, 1]— функция принадлежности F, тогда возможность
того, что X = и, задаваемая высказыванием «X есть F», задается
poss{X = u|X есть F) = pF(u), u^U,
где poss {X = и} — сокращение высказывания «возможность того,
что X может принимать значение и». Мера возможности нечет-
кого множества А определяется как
л (Л) =А= poss {X есть Л} sup (цг(п) ДцА(п)).
и
Для проведения приближенных рассуждений с утверждениями
типа «X есть Л», необходимы трансляционные правила, которые
моделируют их как распределение возможностей, необходимы
правила модификации, позволяющие преобразовывать эти рас-
пределения в другие, семантически эквивалентные распределения
возможностей и необходимы правила вывода, позволяющие вы-
водить новые распределения возможностей.
6.3Л. Трансляционные правила. Правила трансляции из есте-
ственного языка в ПРУФ делятся на четыре основных типа: для
выражений, содержащих модификаторы (тип 1); для выражений,
содержащих композицию (тип 2); для выражений с кванторами
(тип 3); для выражений, содержащих оценки (тип 4).
Тип 1. Основным правилом этого типа является правило
модификации. Пусть выражение «р =N есть F» переводится в
выражение присваивания возможности 3t(x1,...,xn} = F. Тогда
трансляция модифицированного выражения «р+=Аг есть mF» за-
дается выражением:
N есть	= F+,
где т — модификатор такой, как «не», «очень», «примерно»,
«совсем» и т. д., F+ — модификация F, индуцированная т.
Например, Лиза «очень молода» -* лВОзраст (Лиза) = («Моло-
дая»)3.
Тип 2. Правила типа 2 задают распределение возможности
для выражений вида р = q * г, где * обозначает операцию компо-
зиции, например, конъюнкцию («И»), дизъюнкцию («ИЛИ»),
импликацию («ЕСЛИ, ..., ТО») и т. д.
При предположении, что правила композиции невзаимодей-
ствующие, правила трансляции типа 2 запишутся следующим
образом:
если
q==M есть	...xm) = Е,
г = N есть G —>- л у у \ = G.
Г 1-	1 п)
152
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
тогда
а)	М есть F и N есть G-+ л,х	у „..„у т\ = F П G=FxG-,
б)	М есть F или N есть G-> х у у \ = F + G;
если «Л/ есть F», то
N есть G—.........xm,Y1...уп) = F' ® G,
или в2) если «М есть Fp>, то
N есть	...хт,х1...yn) = F X G + F' X V,
где F и G — нечеткие подмножества G = U х X ... XUn и V =
= 71Х...ХР„ соответственно; F' и G цилиндрические расши-
рения F' и G, X, +, ® — декартово произведение, объединение
и ограниченная сумма соответственно (см. табл. 1.1).
Тип 3. Правила типа 3 осуществляют трансляцию в распре-
деления возможности высказываний «QN есть F», где Q — нечет-
кий квантор (например «большинство», «много», «несколько»,
«некоторые»). Q обычно является нечетким множеством па [0, 1]
и обозначает некоторую пропорцию.
Более конкретно, предположив для простоты, что N — обыч-
ное множество, распишем подробнее правило «N есть F -> л % =
= F». Если U — континуум, то «QN есть F Лргор(Г) = Q». Что
влечет более явное правило
QN есть F-> л (р) = (J Р (и) Иг (и) du\,
W	/
где p(u)du— пропорция тех Х-ов, величины которых лежат в
интервале [w, с?п], л(р)— возможность р; ре и pF — функции
принадлежности Q и F соответственно,
Prop (F) = J р (и) рг (и) du
и
является аддитивной мерой F, которая может быть рассмотрена
как непрерывный аналог пропорции элементов из V в F.
В качестве простого примера, если «большинство» и «высо-
кий» определим следующим образом:
Рбольшипстио F (и; 0,5, 0,7, 0,9),
Рвь,сокий=15(и; 160, 170, 180),
(201
J Р (ы) s (u> 160,
О
170, 180) du\ 0,5, 0,7, 0,9 , где р(к)du — пропорция мужчин,
§ 6.3. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
153
чей рост (в см) лежит в отрезке [и, u + du]. Таким образом,
предложение «Большинство мужчин высокие» индуцирует рас-
пределение возможностей функции плотности распределения ро-
ста р, которая записана через 5-функцию. Здесь 5-функция яв-
ляется стандартизованной функцией принадлежности с настраи-
ваемыми параметрами (см. также гл. 4):
5 (и; а, Р, у) =
О	для и а,
(\ 2
---- для
у — а/
_ \2
У для ₽ < и < у,
1	для и у.
Тип 4. Правила этого типа в свою очередь подразделяются
на три группы: правила для оценок истинности, правила для
оценок вероятности и правила для оценок возможности. Рассмот-
рим отдельно каждую из групп трансляционных правил типа 4.
Правила для оценок истинности. Пусть р — вы-
сказывание в виде «р= N есть F» и пусть q — оценка истинно-
сти р «q = N есть F есть т», где т — лингвистическое значение
истинности, q семантически эквивалентно высказыванию
N есть т N есть G,
где F, G и т связаны т = pF(G).
Это уравнение утверждает, что т есть образ G при отображе-
нии Следовательно, выражение для функции принадлежности
G в терминах т и F задается формулой:
pG(w) = цт(цР(н)).
Используя этот результат, правило для оценок истинности
запишется:
если N есть F -> л % = F,
то
N есть F есть т -> лх = F+,
где
PF+(w) = MPf(u)).
В частности, если т — единичное значение истинности, т. е.
т = и — истинно,
где
Ци—истинно (0 =	V ё=. [О, 1],
тогда
N есть F есть и — истинно N есть F.
Правило для оценок вероятности. Пусть р — вы-
сказывание и пусть q — версия р с вероятностной оценкой «<? = N
есть F есть X», где К— лингвистическое значение вероятности
154
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
типа «вероятно», «очень вероятно», «не очень вероятно» и т. д.
Предположим, что q семантически эквивалентно высказыванию
«prob {N есть F} есть X», в котором p = N есть F интерпрети-
руется как нечеткое событие. Более конкретно, пусть p(u)du—
вероятность того, что X е [и, и + du\, где X = Х (N). Тогда
prob {TV есть F} = f р {и) pF (и) du
и
и, следовательно,
'r,'(’p(u)HF(u)du
U
Это уравнение дает основание для следующей формулировки
правила для вероятностных оценок.
Если
N есть F -> л % = F,
то
N есть F есть ^p(u)^(u)du = X
и
или, более явно
л (/?(•)) = Ня fj Р(и) [iF(u)du\,
\и
где л(р(-))— возможность плотности распределения вероятности
Р()-
Правила для оценок возможности. Будем рас-
сматривать выражения вида «q = N есть F есть w», где w —
лингвистическое значение возможности типа «очень возможно»,
«почти невозможно» и т. д., где каждая величина представляет
нечеткое подмножество единичного интервала. По аналогии с ин-
терпретацией высказываний с вероятностными оценками это мо-
жет быть интерпретировано, как
N есть F есть w poss {X есть F есть iff),
откуда следует
“tposs {А есть Г} =
Теперь предположим, что мы хотим найти нечеткое множе-
ство G такое, что «N есть F есть w *-* N есть G». Тогда из опреде-
ления меры возможности имеем
poss {N есть F | N есть G} — sup (pF (и) A Hg (и))
и
и, следовательно,
N есть F есть w -> л [lig(-)] = Ц» ^sup (lif (к) Д uG (u)j,
§ 6.3. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
155
где ци — функция принадлежности w. Заметим, что это — аналог
трансляционного правила для высказываний с вероятностными
оценками.
6.3.2.	Правила модификации. Если Р и Q два высказывания
с распределениями возможностей лР и тогда Р и Q называ-
ются семантически эквивалентными, что обозначается Р Q,
тогда и только тогда, когда nP = n:Q. Говорят, что Р семантически
влечет Q, что обозначается Р => Q, тогда и только тогда, когда
Jtp — 3Tq.
Сформулируем общее правило модификации, обобщающее пра-
вило модификации для простых высказываний и применимое к
высказываниям, полученным с помощью правил типа 1—4.
Общее правило модификации: если т — модификатор и Р —
высказывание, то тР семантически эквивалентно высказыванию,
которое получается в результате применения т к распределению
возможностей, индуцированному Р.
Для простых высказываний вида
т(Х есть А)<^-Х есть mA
правило совпадает с трансляционным правилом типа 2. Напри-
мер, для т = «не», pmA = 1 — цА.
Для сложных высказываний правило записывается:
т (X есть А и Y есть В) <=> (X, Y) есть т (А X В).
Например, «очень (X есть А и Y есть В)»<=> «X есть очень
А и Y есть очень В».
Для высказываний с кванторами правило запишется
m(FX есть А)<=> (mF)X есть А.
Например, можно положить 2И = «нс». Эта формула обобщает
стандартное правило отрицания в исчислении предикатов первого
порядка 'П (Vz) Р (х) <=> (Дгг) "И Р (х).
Для высказываний с оценками, например, с оценкой истин-
ности, правило запишется
т(Х есть А есть т) <=> X есть А есть тх.
Например, для т= «не», т = «истина» получим
не (X есть А есть истинно) <=> X есть А не есть истинно.
6.3.3.	Правила вывода. Основными правиламп вывода в не-
четкой логике являются принцип проекции, принцип сужения
(конъюнкции) и принцип следования. Объединение двух первых
принципов ведет к обобщенному modus ponens.
Принцип проекции. Пусть р — нечеткое высказывание,
которое транслируется в распределение возможностей
..хпу
Пусть X(S) — переменная, составленная из составляющих пере-
менной Х = (Х1Г ...,Хп) с помощью подпоследовательности ин-
156
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА II ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
дексов s = (ix, i/;) последовательности (1, ..п), Х(8) =
= (X{i,	Пусть — частичное распределение воз-
можности X(s), т. е. ла(8) = proju(S)F, где U^^U^X ...XUih,
a Uh i = 1, ..п — область рассуждения, связанная с X,-.
Проекция F на C7(S) определяется функцией распределения
возможностей:
Лд'(8)(С/г1, ..Uih) = sup	• • •» Un),
где S' A (jx, jm)— последовательность индексов, дополни-
тельная к S и ц(. — функция принадлежности F.
Пусть q — обратная трансляция уравнения присваивания воз-
можности:
лХ(8) = projU(S)F.
Тогда принцип проекции утверждает, что q может быть вы-
ведено из р.
Для п = 2 мы получаем р -* л(Х, У) = G X Н и из р мы можем
вывести q и г, где
q *- пх = projo F = G, г *- лу = Н.
Например, если «р = Ваня высокий и толстый», тогда из р
можно вывести «д Ваня есть высокий» и «г = Ваня есть
толстый».
Принцип сужения (конъюнкции). Пусть р — не-
четкое высказывание, трансляция которого выражается:
лр^....хп) = F, F c^U! X ... XUn.
Тогда из р мы можем вывести г, где г — обратная трансляция
сужения:	т. е.
г ........xn) [nx(S) = G] = F Л G,
где X(S) — подпеременная X, G — цилиндрическое расширение Gr
G<=U и
..*п) [Лу(8) = G]
обозначает re-мерное распределение возможностей, получающееся
сужением Х(8) на G.
Принцип сужения является частным случаем более общего
принципа конъюнкции.
Предположим, что
Р~*	...Уй.^й-н...*n) =	л(у1..........zm) = G,
где Yt, ..., Yk — переменные, входящие в лр и л’, U,, V, и Wr —
области рассуждения, связанные с Xt, Y-, и Zr. Пусть S — наи-
меньшее декартово произведение Ut, Vj и Wr, содержащее два
§ 6.3. ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
157
декартовых произведения V, X ... X Vh X Uh+1 X .. .X Un и V, X ...
.. X Vk X Wk+i X ... X Wm, и пусть F и G — цилиндрические
расширения F и G в S. Тогда из р и q мы можем вывести г,
или, в схематической форме
р-+- лГу.х) = F
_____Ч JIfy,Z) = G
Г y у Z) ~ П
И
уА(У15 ...,yfc), XA(Xft+i, ..., Xn), Z^(Zft+1, ...,Zm).
Принцип следования. Говоря нестрого, принцип сле-
дования утверждает, что для любого нечеткого высказывания р
мы можем вывести нечеткое высказывание q, если распределение
возможностей, индуцированное р, содержится в распределении
возможностей, индуцированном q. Это можно записать схемати-
чески
JI(X1,...,Xn)
Например, из «р= X очень большой» мы можем вывести
«q = X большой».
6.3.4.	Композиционное правило вывода. Сформулированные
выше принципы могут использоваться в различных комбинациях.
Наиболее эффективной комбинацией является последовательное
применение принципа сужения (конъюнкции) и принципа про-
екции. Это правило называется композиционным правилом вы-
вода [5]. Композиционное правило вывода включает, как частный
случай, обобщение правила modus ponens.
Удобно представлять композиционное правило вывода в сле-
дующей форме
р-> Л(х,у) = F
q-^~ л<у,2) = G
= F о G’
где X, Y и Z принимают значения в U, V и W соответственно,
F — нечеткое подмножество U X V, G — нечеткое подмножество
VX IV и F ° G — композиция F и G, определяемая формулой:
pFoG(u, w) = supu(pF(u, v) Д pG(p, w)),
где и е U, v е V, w JV и pF и рс — функции принадлежности
F и G соответственно.
Важный частный случай композиционного правила вывода по-
лучается, когда р и q имеют вид «р= X есть F», «(? = если X
есть G, то V есть Я». Для этого случая из композиционного пра-
158
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
вила вывода и правила типа 2(bj) получаем композиционный
modus ponens
р-*лх = F
q ->• Л(х.у) = G ф Н
который может рассматриваться как классический modus ponens,
когда У, G и II являются четкими и F = G.
Рассмотрим простой пример использования композиционного
правила вывода [59]. Пусть «р= X маленький», «?= X и У
приблизительно равны», где «маленький» и «приблизительно рав-
ны» определяются функциями принадлежности: «маленький» =
= 111+0,612 + 0,213; «приблизительно равны» — 1|[(1, 1) +
+ (2, 2) + (3, 3) + (4, 4)] + 0,51[(1, 2) + (2, 1) + (2, 3) + (3, 2) +
+ (3, 4) + (4, 3)].
В терминах этих множеств трансляции р и q выражаются
в виде
р -* Лх = маленький,
q -*• Л(х, Y) = приблизительно равны,
и тогда из р и q можно вывести г, где
г л% ° л(х, У) = маленький ° приблизительно равны.
Композиция «маленький» и «приблизительно равны» вычис-
ляется с помощью вычисления maxmin — композиции матриц от-
ношений этих нечетких подмножеств. Получаем
1
[1 0,6 0,2 0]
0,5
0
- 0
0,5
1
0,5
0
0
0,5
1
0,5
0 "
0
0,5
1 -
= [1 0,6 0,5 0,2],
т. е.
лу = Лх ° л(х, У) = 111 + 0,612 + 0,513 + 0,214
и после обратной трансляции получаем лингвистическую аппрок-
симацию г=У «более или менее маленький»-»-лУ = 1И +
+ 0,612 + 0,513 + 0,214.
Вышеприведенный пример иллюстрирует последовательность
вычислений, необходимых при использовании композиционного
правила вывода для конечных X и У. Более подробное обсужде-
ние практического применения композиционного правила вывода
для построения нечетких логических регуляторов можно найти в
[25—27, 34, 35, 37, 55], а также в гл. 8. Критический анализ
приведенного подхода содержится, например, в [18].
6.3.5.	Вывод на универсальной шкале. Один из вариантов
нечеткого вывода с использованием правила типа modus ponens
§ 6.4. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
159
приведен в [4, 7]. Рассматриваются правила вида
нС; <21=*G
dG
где Я — степень уверенности в факте Q, J — степень уверен-
ности в факте G.
Правило вывода используется в сочетании с преобразованием
исходной лингвистической информации на так называемую уни-
версальную шкалу. Преобразование является монотонным ото-
бражением пространства рассуждений U в отрезок [0, 1]:
/: U ->[0,1],
которое индуцирует преобразование соответствующих лингвисти-
ческих понятий, заданных функциями принадлежности рА(и),
и е U. Таким образом, универсальная шкала задает модель вы-
вода, инвариантную для ряда однородных семантических си-
туаций.
Похожая конструкция может быть использована в моделях
рассуждения с нечеткой информацией, использующих отношение
моделирования.
В этих моделях с помощью нечеткого преобразования R: W ->
-> М, где W и М — пространства состояний внешней среды и мо-
дели соответственно, осуществляется отображение в нечеткую
универсальную лингвистическую шкалу. При таком преобразова-
нии можно говорить, что пространство М, которое, как правило,
является терм-множеством какой-либо лингвистической перемен-
ной [5], также будет являться семантически инвариантным про-
странством для ряда однородных ситуаций, а алгебра расширен-
ных операций над функциями принадлежности лингвистических
переменных на W изоморфна алгебре расширенных функций на
М, индуцированной преобразованием R [1], [2]. Обычно такой
алгебры бывает достаточно для задания некоторой псевдофизи-
ческой логики рассуждений [3, 6].
§ 6.4. Анализ методов приближенных рассуждений
6.4.1. Методы рассуждений на основе modus ponens. В работах
[17, 36, 40, 58—60] был предложен метод рассуждений, в котором
посылки являются нечеткими понятиями. Общую схему этого так
называемого условного нечеткого вывода запишем в следующем
виде:
Антецедент: если х есть А, то у есть R
Сукцедент: х есть А'
Следствие: у есть В'
160
ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
где хну — имена объектов, А, А', В, В' — обозначения нечетких
подмножеств областей рассуждения U, U, V и V соответственно.
Пример такого типа вывода следующий:
Антецедент: если слива красная, то слива спелая
Сукцедент: эта слива очень красная
Следствие: эта слива очень спелая
Эта форма вывода может быть рассмотрена как обобщенный
modus ponens, который сводится к modus ponens при А' = А и
В' = В.
Возможна также следующая форма вывода, содержащая не-
четкое условное высказывание
Антецедент: если х есть А, то у есть В
Сукцедент: у есть В'
Следствие: х есть А'
Этот вывод может быть рассмотрен, как обобщенный modus
tollens, который сводится к обычному modus tollens при «В' =
= не В» и «А' = не А». Антецедент в виде «если х есть А, то у
есть В» в выводе может представлять некоторое соответствие
между А и В. С приведенной точки зрения предложены следую-
щие методы для представления этого условного предложения.
Пусть А и В — нечеткие множества в U и V соответственно,
представленные
А = [ рд (и) | и, В = [ цв (р) | v
и	у
и пусть X, U, П, |и ®—декартово произведение, объединение,
пересечение, дополнение и ограниченная сумма для нечетких
множеств соответственно. Перечислим нечеткие отношения на
U X V, которые могут быть получены из нечеткого условного
высказывания: «Если х есть А, то у есть В». Нечеткие отношения
Вт и Вл были предложены в [58], Вс в [36, 38] и В„
Bs, Bag, Bes, Bg и B3S — в [39, 41, 42]. Соответствующие выраже-
ния имеют вид
Вт = (А х В) (J (~] А х У) =
= j* (На («) A .ub(0) V(1 — На («)) I (и, v),
UXV
7?а = (П А х У) ®(Ux В) = J Ha(w) А Нв(у)|(и,р),
UXV
B=AxV=>UxB= f [На(и)->цв(у)]1(и, v),
S	s	UXV	s
§ 6.4. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИИ
161
где
Ра (и) Рв(у) = [0
R X V =^U X В =
g	i
при Ра(мХРв(п),
при Ра(м)>Рв(п),
| [Pa(w)~>PbO>)]|(w, v),
VXV	Я
где
Pa (и) Рв (^) =
s
1 при |Х“ХРв(н),
Рв(0 при Ра(п)>Рв(п).
Rsg = (А х V^U X В) J ( ~]А х V^U X "|Я) =
»	g
=• [ [Pa(m)=>PbWA [1 — Ра(м)->1 — Рв(п)]|(«. п).
v'xv 3	s
Rgg = (A х V^U X В) f] ( ~]А х V=>t/ X ПВ) =
g	g
= [ [Ра(ы)->рв (и)] f] [1 —Ра(м)=>1 —Рв(п)]|(м,п),
v'xv s	8
Rgs = (A х V^U X В) fl ( ~]Л х V^U X "]#) =
g	«
= f [Pa(wXpb(h)I a [1 — Pa(m)->1 —Pb(i>)]|(w, v),
VXV	s	‘
RSt = (A x V^U X B) f) (~]4 X V^U x ~] B) =
s	s
= f [Pa(^)->Pb(0] A [1 — Pa («)->! — PbMJX v).
vxv s	s
В [44] вводится ряд новых отношений для высказывания
«Если х есть А, то у есть В» с помощью использования правил
импликации для многозначных систем
Вь (П А X V) U (U X В) = J (1 — Ра («)) V Рв МI (п,. v),
vxv
R/\ = AxV X В = f [рл(?7,)_> р.в(г>)1 l(w, v),
b	vxv1 д J
где
Pa («) Рв (h) =
i> pA(“)<pB(y);
PA(“)’ ^a (“) >	(y)
Ra = AxV^UxB= f [pA(M)->pB(p)]|(u, p),.
*	vxv *
102 ГЛ. 6- НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
где
HAW-^HBW = [нАСО^-НвМ] А [1-Нв(у)^-1-ИаИ] =
= 1 А Иа(и) А 1-Ив(у) ’ НА(«)>0, 1-Нв>0»
1, цА (и) = 0 или 1 — цв (у) = 0.
R* = AxV=>UxB^ J [ИА(ы)-^-Нв(у)1|(ы> W
*	ихв
где
НА (w) Нв W = 1 — НА (“) + Ил (“) Нв (у)-
R* = Ax V=>UXB= J [Ha(u)-*Hb(v)]Ku’р)»
*	uxv *
где
HAW-^HB(0 =
= (ИА (w)AhbW)V(1 — Ha WAI — HbW)V(Hb(0A1 — Ha (“))=
= (1 — HaWVhbW)V(HaWV1 — Ha W)A(hbWV1 —
Ra = AxV=>UxV= J [|iJbU|ib(p)]|(m),
D	uxv u
где
(1, цА (и) < 1 или цв(р) = 1;
HaW-^HbW = |0, Ив(и)<1, hbW = 1-
В обобщенном modus ponens следствие В' в следствии может
быть выведено из антецедента и сукцедента, используя max min
композицию (°) нечеткого множества А' и нечеткого отношения,
полученного в одном из правил. Например,
В’т = А о Rm = А' о [(Л X В) J ("1 А х V)].
Аналогично
В'а = А' = Ra = [("] А X V) ф (U X В)],
В’е = А’ = Rc = А' = (А X В^
B's = А' о R, = А' = ГЛ X V X В],
Точно так же в обобщенном правиле modus tollens следствие А'
получается в результате max min композиции отношения и не-
четкого множества В':
A’m = Rm°Br = [(Л X В) и (1 Л х t/)I о в;
А'а = Ra о В' = [(П А х V) ф (В X В)! о в\
§ 6.4. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
163
В [39, 41, 42, 44, 45] сравниваются методы нечетких рассуж-
дений, использующие перечисленные типы нечетких отношений
в правилах обобщенного modus ponens и modus tollens. При этом
рассматриваются следствия, получаемые в расширенном modus
ponens в результате применения к нечеткому множеству А не-
четкого отношения:
4' = J НА (“) I
и
А' = очень А = Л2 = J рА (и)21 и,
и
А' = более или менее А = Л0,5 = J pA (u)0,51 иг
и
А' = не Л = ~| Л = J1 — рА (и) | и.
и
Для расширенного modus tollens вычисляются значения след-
ствий Ат, Аг, ... для композиции нечеткого множества В' и от-
ношения для следующих значений В':
В’ = не В = —] В = J 1 —	(р) | р,
v
В' = не очень В = ~| В2 = У 1 — цв(р)21 v,
v
В' — не более или менее В = ~] В0,5 = У 1 — рв (о)0,51 v,
v
В’ = В= У цв(р)| р.
у
Следствия, полученные всеми методами нечеткого рассужде-
ния, сведены в табл. 6.2 (обобщенный modus ponens) и табл. 6.3
(обобщенный modus tollens), где вместо цв(у) и рА(и) пишутся
Рв и цА.
Используя табл. 6.2 и 6.3, мы рассмотрим простой пример
нечеткого рассуждения [44]. Отношения между А' в сукцеденте
и В' в следствии в обобщенном modus ponens, совпадающие с
нашей интуицией, представлены в виде нечеткого условного вы-
вода в табл. 6.4. Аналогично, отношения между В' в сукцеденте
и Л'в следствии в обобщенном modus tollens, которым они долж-
ны удовлетворять, представлены в табл. 6.5.
Отношение I в табл. 6.4 соответствует modus ponens. Отноше-
ние П-2 имеет следствие, несколько отличное от отношения П-1,
но в случае отсутствия сильной причинной связи между «.х есть
Л» и «у есть В» в высказывании «Если х есть А, то у есть В»
выполнение отношения П-2 допускается. В отношении IV-1 со-
держится утверждение, что «Если х не есть Л, то из антецедента
164 ГЛ. 6- НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
нельзя получить никакой информации об г/». Выполнение отно-
шения IV-2 требует, чтобы нечеткое утверждение «Если х есть
А, тогда у есть В» неявно подразумевало высказывание «Если х
есть А, тогда у есть В, иначе у не есть В», и мы легко можем
Таблица 6.2

Ra
Rc
Rg
R,e
Rgg
Rgs
Rss
Rb
R
R
R*

«□
А	очень А			более или менее А	не A
0,5 V Ug	3_	=2^-VPb			1
1 + Рв	3 + 2цв — У 5 + 4цв			К5 + 4Рв~ 1	1
2		2		2	
Ив		Ив		V Рв	1
Ив		Ив		Ив	0,5 л PB
Рв		Рв		VTB	1
Рв		Ив		Zpb	1 Рв
Ив		Ив		У7*в	1-Hb
Ив		Рв		V Ив	1 Pfl
Ив		(4		Zpb	1 Рв
0,5 V Цд	3	^v.s			1
У Ив		4/3		p}/3	1
				4/3A	
1	,.2/3 Ив	Т/5—4ц„—1	2		1
1/ НвЛ2-цв		2 (1 - Нв)		PB 2p.B+5-|-p.B—1	
4		-t+ .		A	2	1
	^Pfi"	2			
2 (Гр				у 5 — 4ид— 1 2 (1 — Рв)	
	+ У (1 — цв)2 + 4 2		2		Рв V
0,5 V Ив	3	Vpb		Рв V Jo Pb)A	]	V (1 — и)
1		1				1		1
представить себе реальную ситуацию, когда это отношение вы-
полняется. Отношение V соответствует modus tollens и отношение
VIII аналогично отношению IV. В табл. 6.6 удовлетворение (0)
Или неудовлетворение (X) каждому критерию в табл. 6.4 и 6.5
для каждого метода проверялось с помощью использования зна-
чений следствия в табл. 6.2 и 6.3.
§ 6.4. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
165
Таблица 6.3
	не В	не очень В	не (более или менее В)	в
		(‘-Ha)V		
Rm	O,5V(1-HA)	v(V2 A Ha)	3-1/5 2	V(1-Ha)	HaV(I-Ha)
		‘-2Ha +		
Ra	1	2	2 + /1 + 4Ha 2	3 - у 1 + 4ца 2	1
		1/5-1	3- 1/5	
не	О,5Диа	2 ''Ha	" 2 АНа	На
н.	‘-Ha	‘-h1	‘-/Йа	1
Rg	0,5V(l- f*A)	1/5 — 1 ,	„ , 2	V(‘~ Ha)	3-1/5 .	А_ч 2 V(1-/ha)	1
R>g	‘“Ha	1-hI	‘-/й7	0,5VHa
Rgg	0,5V(l- Ha)	Ц=^у(1-Й)	3 — 1/5 ,	г		 2 V(‘-/ha)	0,5Vha
Rgs	0,5V(‘ - Ha)			На
яа,	‘-Ha	‘-Ha	‘-/Й1	На
ЯЬ	0,5 V(1 - Ha)	1/5-1	, 2 V (1 Ha)	3 — 1/5 2	V(‘ На)	1
	1	V 1 + 4^a - 1	2 + На — jA На + 4нА	1
fi«	1 + Ha	2H1	2	
	1	. Ha (Ha + 2) ,	2на+1 V 1 + 4н1	
	‘ + Ha	‘ 	-2	+	2На	2На	
fi*		^Н1 + 4ha		
	0,5V(l-Ha)	+	2 (1-Ha)V		
		/'	1/5—1Л VI^HaV 2 J	3-1/5 , 2	V(‘ — На)	HaV(I-Ha)
D	Ha<‘	(1, HA<‘	(1, НА<‘	
Kn	l°- н A = 1	(0, HA=‘	(О, На = ‘	1
166 ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
Таблица 6.4
Тип отношения	х есть А' (Суке.)	у есть В' (След.)
I	х есть А	у есть В
(modus ponens) П-1	х есть очень А	у есть очень В
П-2	х есть очень А	у есть В
III-1	х есть более или менее А	у есть более или менее В
Ш-2	х есть более или менее Л	у есть В
IV-1	х есть не А	у неизвестен
IV-2	х есть не А	у есть не В
Таблица 6.5
Тип отношения	у есть В' (Суке.)	х есть А (След.)
V (modus tollens) VI VII VIII-l VIII-2	у есть не В у есть не (очень В) у есть не (более или менее В) у есть В у есть В	х есть не А х есть не (очень Л) х есть не (более или ме- нее Л) х неизвестен х есть А
На основании табл. 6.6 делается вывод [39], [44], что методы
Rm и 7?а не подходят для нечеткого рассуждения ни в случае
обобщенного modus ponens, ни в случае обобщенного modus tol-
lens, так как они не удовлетворяют критериям, которые выглядят
вполне разумными. Rc является неплохим методом, a Rg, R3 и
и R^ — вполне удовлетворительными. Новые методы Rb, RM  .
R □, основанные на использовании импликаций многозначных
логик, являются не очень хорошими.
6.4.2. Свойства нечеткой импликации. В [10] рассматривается
аксиоматический подход к импликации, которая определяется как
нечеткое бинарное отношение на истинностном пространстве и
является нечетким обобщением таблицы импликации для двух-
значной логики. Вводятся следующие 4 аксиомы, постулирующие
свойства импликации, отвечающие интуитивному представлению
о природе нечеткого вывода.
Импликацией называется бинарное отношение на истинност-
ном пространстве /е^"([0, 1] X [0, 1]), определяющее свойство
импликации Р -»• Q между нечеткими высказываниями Р и Q.
Аксиома 1. 1) Если значение функции истинности Р рав-
но т те (7"[0, 1], тогда истинностное значение вывода modus po-
nens, ое 3^[0, 1], задается о = т »I.
2) Если значение функции истинности Q равно т те^"([0, 1]),
тогда истинностное значение вывода modus tollens задается Q =
= 1 ° т, где ° обозначает max min композицию.
§ 6.4. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
167
Таблица 6.6
Тип отно- шения	Суке.	След.		е ад	и ад	•с ад	Ъс ад	ъс ад	Ъс to ад	«5 СУ ад	«с •о ад	ад	< ад	4 ад	* ад	ад	□ у
г	A	В	X	X	0	0	0	0	0	0	0	х	х	х	X	х	X
modus ponens																	
TI-l	очень A	очень В	X	X	X	0	X	0	X	X	0	X	X	X	X	X	X
11-2	очень A	В	X		0	X	0	X	0	0	X	X	X	X	X	X	X
Ш-1	более или ме-	более или ме-	X	X	X	0	0	0	0	0	0	X	X	X	X	X	X
III-2	нее А более	нее В В	X	X	0	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X	X
IV-1	или ме- нее А не А	неизвест-	0	0	X	0	0	X	X	X	X	0	0	0	0	X	0
IV-2	не А	во не В	X	X	X	X	X	0	0	0	0	X	X	X	X		х
V	не В	не А	X	X	X	0	X	0	X	X	0	X	X	X	X	X	X
modus tollens																	
VI	не очень	не очень	X	X	X	0	X	0	X	0	X	X	х	X	X	у	X
VII	в не более	А не более	X	X	X	0	X	0	X	0	X	X	X	X	X	X	х
VIII-l	или ме- нее В В	или ме- нее А неизвест-	X	0	X	0	0	X	X	X	X	0	0	0	0	X	0
VIII-2	В	но А	X	X	0	X	X	X	X	0	0	X	X	X	X	X	X
Аксиома 2. Истинность вывода должна быть не меньше
истинности исходного утверждения, а именно
1) для вывода modus ponens а = т ° I,
jio(v)>jit(v) Vve[0, 1];
2) для вывода modus tollens Q = I ° т
M-u (v) >	(v) Vve[0, 1].
Назовем истинностной любую функцию истинности, монотон-
но возрастающую до единицы и ложностной — любую функцию,
монотонно убывающей от единичного значения, причем при всех
значениях принадлежности больших нуля монотонность строгая.
Аксиома 3. Если функция принадлежности цДт], X) опре-
деляет отношение импликации I, то:
1) для постоянного ц I должно являться истинностной функ-
цией на л е [0, ц] и
2) для постоянного X I должно являться ложностной функ-
цией на ц е [X, 1].
Аксиома 4. Отношение импликации должно быть симмет-
рично относительно выводов modus ponens и modus tollens,
|(58 ГЛ. 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ
т. е,
Hi (Л, X) ss pi (1 — X, 1 — ц) Vn, X.
Легко можно указать ряд классов импликаций, удовлетворяю-
щих аксиомам 1—4: например, отношения импликации, основан-
ные на правиле импликации Лукасевича, где
HiOb V = 1 А(1 — П + X).
В частности, класс = {Z?J, где
Ннй0ъ Х) = 1Д |ov{i - 4(11- X)}],
к — любое действительное число большее 0 и класс Sr = {&}, где
Hsf (Л» X) = 1 Д(1 — ц + X)’,
где i — любое действительное число, большее 0.
Беря за основу отношение ц/ (ц, X) = 1Д	можно
получить класс S3 = где
и (п = 1 А [X (1 T])~p/J
Нр, (Л» )	ц)] ’
/ — любое конечное неотрицательное действительное число. Эти
или другие возможные классы импликации выбираются, исходя
из характера решаемой задачи.
Довольно большое число операторов импликации, основанных
на многозначных логиках, рассматривается в [И]. С помощью опе-
раторов импликации вводится новый класс композиции отноше-
ний типа
(R VS}ik = ±	—
> i
где -»• — оператор нечеткой импликации.
Меры близости между различными типами импликаций иссле-
довались в [51].
6.4.3. Применение приближенных рассуждений в прикладных
задачах. Одной из основных областей применения теории прибли-
женных рассуждений и композиционных правил вывода являются
нечеткие лингвистические регуляторы (см. гл. 8), [25—27], [34—
38, 55]. В частности, в [38] проведено сравнение четырех типов
импликации, используемых при управлении работой парового
котла с помощью лингвистических правил, а именно
1)	р (и, v) = min (р (и), р (и)) = р (и) Д р (г), и е U, yeV;
2)	p(u, r) = min(pA(zz), pB(p)) Vmin ((! — HA(W))> 1);
3)	p(u, v) = min (1, (1 — pA (u) + pB (г))), и e U, rsK;
4)	p(u, v) = max ((1 — рд(н)), рв(п)), и e U, v^V.
§ 6.4. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННЫХ РАССУЖДЕНИЙ
169
Импликация 1 удобна тем, что сохраняет ширину значений
функций принадлежности правил и позволяет выделить каждое
правило и процесс его изменения даже из информации в таблич-
ной форме. Среди недостатков этого метода вывода можно отме-
тить коммутативность, отсутствие разницы между выражениями
типа (ЛДВ)->С и А-+(В-*С) и невозможность использовать
связку ИЛИ вместо И для интерпретации связки ИНАЧЕ для
получения протокола применения правил:
Правило 1, ИНАЧЕ Правило 2, ИНАЧЕ ...
Другие типы импликаций лишены этого недостатка за счет
того, что каждому правилу нельзя сопоставить его область влия-
ния. Например, арифметические связки в операции 3 приводят к
получению новых значений функций принадлежности и требуют
некоторой аппроксимации.
Импликация 4 лишена всех указанных недостатков и является
наиболее «человеческой» по природе, так как если антецедент А
дает следствие В, то антецедент А', близкий к А, дает следствие
В', близкое к В. Это свойство особенно важно для систем с уча-
стием «человеческого фактора», где все ситуации не могут быть
заданы с помощью набора правил.
Примеры реальных правил с использованием этих импликаций
приведены в гл. 8.
В качестве других приложений следует упомянуть использо-
вание композиционного modus ponens в качестве семантического
правила вывода на всех уровнях архитектуры баз данных: на
экстенсиональном, интенсиональном и на уровне баз знаний [16].
Для случая экспертных консультационных систем особенно важно,
чтобы модель базы знаний обладала возможностью оперировать
при принятии решений с нечетко заданной обстановкой. Особенно
важным для экспертных систем, основанных на теории возмож-
ности [59], является введение распределения возможности в ин-
тенсиональные базы данных, чтобы выводить нечеткие семанти-
ческие категории как внешние представления базы данных, и в
базы знаний, чтобы вычислять функции, связанные с метапра-
вилами.
Для дедуктивных консультационных систем, использующих
приближенные рассуждения и взаимодействующих с реляцион-
ными базами данных, введение распределения возможности яв-
ляется наиболее привлекательным в связи с необходимостью рас-
ширения семантической ограниченности реляционной модели дан-
ных и создания гибкой и универсальной структуры управления,
включающей в себя эвристические стратегии поиска ответа на
вопросы. Одной из многообещающих попыток в этом направлении
является использование распределения возможностей для описа-
ния значений атрибутов в реляционных базах данных [52].
ГЛАВА 7
ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
§ 7.1. Нечеткий язык и его свойства
Формальным языком S обычно называют множество символь-
ных конструкций (например, слов, цепочек символов, включая
нулевую Хо в некотором алфавите Иг). Однако непосредственное
перечисление элементов языка S, который может быть и беско-
нечным, в большем числе случаев невозможно и поэтому язык
определяют при помощи конечных описаний. Выделяют три
основных способа описания [1].
Порождающие правила. В этом случае имеется мно-
жество правил, называемых грамматикой, которые порождают в
точности те последовательности (слова) из множества всех ко-
нечных последовательностей в алфавите VT, которые принадлежат
языку S.
Применение распознающего автомата. Рассмат-
ривается конечный автомат, в котором выделено начальное со-
стояние и множество заключительных состояний. Автомат, начав
работать, из начального состояния попадает в заключительное
только в том случае, когда поступающая на вход конструкция
(цепочка) принадлежит S, т. е. автомат распознает (или до-
пускает) только слова из S.
Алгебраическое описание. Язык строится в резуль-
тате применения к базисным множествам операций из заданного
списка.
Нечеткое подмножество конечных последовательностей в не-
котором алфавите естественно называть нечетким языком (НЯ).
Тогда по аналогии с обычным формальным языком возможны,
по крайней мере, три способа описания НЯ: нечеткие грамматики,
нечеткие автоматы, нечеткие алгебраические выражения.
В этой главе основные определения и результаты теории фор-
мальных языков обобщаются на случай НЯ.
Определение 7.1. Нечетким языком S в конечном алфа-
вите VT называется нечеткое подмножество множества всех ко-
нечных цепочек V* = {х}, полученных с помощью конкатенации
элементов VT:
1],
где является степенью принадлежности х языку S и может
§ 7.1. НЕЧЕТКИЙ ЯЗЫК И ЕГО СВОЙСТВА
171
быть интерпретирована как степень правильности цепочки х или
степень возможности ее использования.
Пусть {3! (Ут)} =	(У*) множество всех НЯ в алфавите
VT; х, и, реУ*. Определим операции в STт,(У*). Операции
объединения (S’,US’2) пересечения (S’, П S’2) и дополнения (S’)
над НЯ определяются аналогично соответствующим операциям
над НМ типа 1, приведенным в первой главе.
Конкатенация (если S’, = S’2, то обозначаем —
= S’?):
HS’1S’2(‘C) = xs«P min (PS’i (u)> Hs>2(0)-
Замыкание Клини:
00 i
S5 = AUS’ и S’? и •  • U S!”1 и • • • = и s •
7=1
где A — пустой язык с функцией принадлежности
{1, если х = X;
О, если л:у=Х,
X — пустое слово длины 0. Для любого х еУ*, х = а,аг.. .ah, at<^
е VT; i = 1, ..., k; k — длина слова, принадлежность замыканию
Клини вычисляется следующим образом:
Jl^(^) = su₽ SUP m*n 9^f(uj)’	7 = 1,
i=i,...,h x=u1u2...ui	.1
Говорят, что S’ замкнут, если S’ = S’. В [19] доказано, что S’
замкнут тогда и только тогда, когда для любых и, ре Ут
Ц2>(Х)=1 и [.ig, (и, v)^ min (и),	(р)}.
Пусть {S’, (Ут)} <= {S’ (7Т)} — некоторый класс языков. Гово-
рят, что {S’,(Ут)} замкнут относительно операции *, если при-
менение операции * не выводит из {5’,(УТ)}.
Нечеткий язык с набором семантических пра-
вил. Большую часть теории формальных языков легко обобщить
на нечеткое множество цепочек. Однако, как показано в [35—37],
полученные теории еще далеки от создания адекватной модели
естественного языка. Это связано с тем, что возникают сущест-
венные трудности в установлении соответствия между множест-
вом объектов или конструкций и их описываемыми цепочками
слов. Чтобы явно рассмотреть эти соответствия, в [36] дается сле-
дующее более широкое определение НЯ.
НЯ — это четверка S’ = <U, Т, Е, А>, в которой U — область
рассуждений (например, множество объектов, действий, отноше-
ний, понятий); Т — терм-множество (нечеткое множество термов:
172
ГЛ. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
T=*{(t,	t^T, Т — множество термов, p,T(i) — степень
правильности i), Е — множество символов (и их комбинаций), из
которых строятся наименования термов; N — отношение соответст-
вия множества термов и значений из области рассуждений (от-
ношение наименования, gw(f, и) —степень, с которой терм t со-
ответствует элементу и е U).
Когда Т и U — множества с небольшим числом элементов,
рЛ- и цт легко явно определить, например с помощью таблицы.
।	1	Однако в общем случае Т и U являются
$	।	।	бесконечными множествами, и при опре-
~	[*	Е*	1	делении Т и U требуется, чтобы они бы-
I	j	ли наделены структурой, позволяющей
j 5. I вычисление цт и ц.я. Следовательно, не-
I	1	обходимо понятие структурного нечеткого
'I	I	языка:
М I	2’ = <С7, ST, Е, SN>,
I	I
'--------J	где ST — множество синтаксических пра-
Рис. 7.1. Нечеткий язык вил Eg, задающих алгоритм вычисления
с наоором семантиче- „ . g—множество семантических правил,
ских правил
задающих алгоритм вычисления U и Е
определены выше. Соотношение U, ST, Е, изображено на
рис. 7.1.
Очевидно, что формальный НЯ (на рис. 7.1 обведен пунктир-
ной линией) является частным случаем НЯ, определенного выше,
в котором рассматриваются только Т и Е:	= VT = E. Да-
лее будем рассматривать НЯ из определения 7.1.
В последующих параграфах рассматриваются различные спо-
собы описания и получаемые на их основе свойства НЯ.
§ 7.2. Нечеткие грамматики и их свойства
Определение 7.2 [16, 19]. Нечеткая грамматика — это
шестерка
G = <7W, VT, Р, S, L, <р>,
где Vn — множество нетерминальных символов; VT — множество
терминальных символов; S—начальный символ S е VN', Р— ко-
нечное множество правил подстановки вида	и,
е(7яиУг)*, L — множество весов (например, дистрибу-
тивная решетка с 0 и 1); <р: Р L, <р(р) —степень принадлеж-
ности выводу правила р е Р.
Далее множество всех терминальных и нетерминальных сим<
волов будем обозначать V — VT U
Пусть задана грамматика G; и, v s V*. Говорят, что и непо-
средственно порождает v со степенью <р,, если найдутся такие
м2, X, у е V*, р е Р; <р (р) = дд,
§ 7.2. НЕЧЕТКИЕ ГРАММАТИКИ И ИХ СВОЙСТВА
173
ф1
что и = uixut, и = Uij/«2, х. у. Это обозначаем как и v или
ф(р)
и—► V.
р
Пусть и, v, z0, ..z,„e V*. Последовательность z0, ..., zm на-
зывается выводом (цепочкой вывода) и из и, a v выводимой из и
в грамматике G, если существует последовательность подстано-
вок из Р:
Ф(Р1)	.	'’’(Pm)
U — Zq > Z± —> . . . —> Zfn—i	%m = V»
Pl	Pm
Выводимость v из и в грамматике G обозначаем и => v, В об-
щем случае может существовать более одной цепочки вывода.
Если и = S, и = х, х е Vt, то говорят, что S порождает терми-
нальную цепочку v посредством подстановок рт.
Наличие степени принадлежности выводу правил из Р требует
введения определенных способов вычисления степени принадлеж-
ности выводу цепочки правил подстановки и степени выводимости
некоторой терминальной цепочки из 5 в грамматике G.
Учитывая это, нечеткие грамматики (НГ) могут быть класси-
фицированы как по способу вычисления степени выводимости,
так и по виду правил подстановки.
Множество правил вывода Р и функция <р определяют нечет-
кое бинарное отношение R-. V* XV* -* L.
Следовательно, определение операции композиции отношений
R ° R дает способ вычисления степени выводимости. Если
Иной (я, Z) = V (ря (х, у) * ря (у, Z))
V
и операции V» * обладают свойством дистрибутивности на L, то
степень выводимости х из S вычисляется по следующей формуле:
Р-G (*) = V (ф (Р1) * ф (р2) * • • • * ф (Pm)),
V*
где у* = {у,, ..., уп} — множество цепочек вывода.
В [16] приведены различные способы определения операций
V > *. Соответствующие операции и типы грамматик приведены
в табл. 7.1.
В [16] определяется также смешанная НГ
pG(x) = арС1Сг) + ₽Hg2(z),
где a + p = l; Gt, Gz— пессимистическая и оптимистическая НГ.
Далее, на протяжении всей главы, если не оговорено особо,
под НГ будут подразумеваться пессимистические НГ.
Наряду с грамматиками, приведенными в табл. 7.1, известны
другие типы грамматик. В [8] исследована дробная НГ, у которой
174
ГЛ. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
степень выводимости вычисляется по формуле:
(х) = sup
&
«А
1
где к — индекс цепочки подстановок, порождающей слово х\ nh —
количество подстановок в цепочке вывода; plh е Р;
h'.P — L; g:P-+L; h(p)>g(p).
Дробные НГ использовались при грамматическом разборе в
процедуре распознавания образов. В [33] изучаются древовидные
Таблица 7.1			
	Операции		
Нечеткая грамматика	V	*	Множество значений функции принадлежности
Пессимистическая Оптимистическая Взвешенная Максимал ьно-взвешен- ная [24, 25] Номеров подстановок Вероятностная Максимально-вероят- ностная	шах min 2 шах и 2 шах	min шах Конка- тенация	I = [0,1] [0, 1] L = Я + — неотрицательные действи- тельные числа L = Я + L = {/ : р-еР} , tf(pj) = у L= [0, 1], v»eF‘\{A}:S<p(p) = l PsPu pu — множество всех подстано- вок из Р, в левой части которых сто- ит и То же
грамматики, в которых дополнительно используется отображение
г: V N, где N — множество натуральных чисел. Отображение г
позволяет упорядочивать (нумеровать) символы из ГЛ- и VT.
В этом случае левые и правые части подстановок и получаемые
в результате вывода слова интерпретируются как деревья.
В табл. 7.2 приводится классификация НГ по виду правил под-
становки [12].
При анализе грамматик существенную роль играют свойства
рекурсивности и эквивалентности.
НГ называется рекурсивной тогда и только тогда, когда су-
ществует алгоритм вычисления ц0(^)- В [12] доказана рекурсив-
ность нечетких пессимистических КЗ-грамматик. В четком случае
аналогичное свойство доказано для грамматик непосредственна
§ 7.2. НЕЧЕТКИЕ ГРАММАТИКИ И ИХ СВОЙСТВА
175
Таблица 7.2
Тип нечеткой грамматики	Разрешенные правила р=Р: <₽(р)>0
0. Нечеткая грамматика	а-*- Р, а, Р е= У*;
1. Контекстно-зависи- мая (КЗ)	аАр-^-ауР, А е VN; а, Р, у е V*, у#=Х, X — пустое слово, S Л- X;
2. Контекстно-свобод- ная (КС)	р А-p, S^^X, A<=Vn, ре У*, р#= X; р	р
3. Регулярная (Р)	А —» аВ. А—+ а, а е Рт; Л, В е Уд-, А —* X р	’	р	2	1У/	р
составляющих, т. е. таких грамматик, у которых правила подста-
новки и -* v обладают свойством: |н|	|к|, и, ре V*. Под рекур-
сивностью здесь, естественно, понимается возможность построения
алгоритма, позволяющего определить: выводима ли рассматривае-
мая цепочка в данной грамматике. Заметим, что нечеткие КС- и
Р-грамматики тоже рекурсивны, так как они являются частными
случаями нечеткой КЗ-грамматики.
Две НГ Gt и G2 называются эквивалентными тогда и только
тогда, коцда для любого х eF* Цсг(^) =
Для нечетких КС-грамматик, как и для четкого случая, воз-
можно построение канонических форм Грейбаха и Хомского.
Каноническая форма Хомского. Нечеткая песси-
мистическая КС-грамматика эквивалентна некоторой НГ Gc с
правилами подстановки вида:
. ф(р) . ф(р)
А—>- ВС, А—>- а, ф(р)>0; А, В, С е a<=VT.
р	р
Каноническую форму грамматики в [12] предлагается конст-
руировать в три этапа. Во-первых, построение грамматики Gt,
<₽(₽)
эквивалентной G, у которой нет правил вида А —>- В; А, В <=
е Vn- Во-вторых, построение грамматики G2, эквивалентной Glt
у которой нет правил подстановки вида:
ч>(р)
А—► ВгВ2 ,.. Вт, щ>0 и некоторые Вг^Ут.
р
В-третьих, построение грамматики G3, эквивалентной G2, у кото-
рой все правила подстановки имеют канонический вид.
Пример 7.1. Рассмотрим нечеткую пессимистическую КС-
грамматику с алфавитами VT = {а, Ъ), Vn = {А, В, S} и правилами
подстановки, приведенными в табл. 7.3. Этапы построения кано-
нической формы Хомского проиллюстрированы в табл. 7.3. При
построении Gc добавлены нетерминальные символы Ci, Сг, D.
176
ГЛ. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
Каноническая форма Грейбаха [12]. Нечеткая
пессимистическая КС-грамматика эквивалентна некоторой НГ Gg
с правилами подстановки вида:
ф(р)	,
А —аа, a^VT,	A^VN.
Конструирование канонической формы осуществляется сле-
дующим образом.
Во-первых, строится каноническая форма Хомского. Все не-
терминальные символы в канонической форме Хомского перену-
меровываются: At, .Am-It Ат.
Таблица 7.3
G	G,	G,	G3 = GC
з°Лаь	У 54 Л/,	S 54 А(\	5^4- Act
S	А АЬ	с\-^ь	C\-^b
S°-^aB	А°-^аВ	>0,7 .	> 0,7
		А —> AC j	A AC-l
. 0,Б А —> а	S^iaB		
		А ^4- С „В	аЛс„в
0,4 ,	. 0,Б	2	
в ь	А —» а		
В°Ла8Ь	вйАь	с2	C2 Д a
	0,3	s ^4 с,в	s 54- c.b
	В aSb	2	
		. 0,Б А —> а	. 0,Б A —> a
		в°Лъ	в°Лъ
		В 54. c2sc1	в °-4 c2d
			D -> SC^
Во-вторых, все правила подстановки приводятся к виду: А( ->
Дуу, у е у*, j > i. Это выполняется следующим образом. Пусть
для к нетерминальных символов (к > i) правила подстановки
имеют вид: А, А^а, j i, тогда правило подстановки ЛЛ+1 А}а,
в котором у < к + 1, используя правило с левой частью Aj, при-
водится к виду Л*+,->-Л(а, Z^Ar + l. Если 1 = к+1, то вводится
новый нетерминальный символ Zk+i и правила подстановки при-
обретают вид:
ЛЛ->Л,а, 1>к, ae(7wU{Z1, ..., Z„})*;
Ак -> аа, a s VT;
Ак^ а.
При преобразовании используется следующая лемма:
5 7.2. НЕЧЕТКИЕ ГРАММАТИКИ И ИХ СВОЙСТВА
177
Если G — нечеткая пессимистическая КС-грамматика и А
-> Ла„ А рч i = l, . •г; / = 1, ..., s — множества правил под-
становки такие, что А е VN-, a,-, е V*, то грамматика, получен-
ная заменой правил А —► Аа. правилами
А РД J = l, ..., s;
Z -> aj; Z a,Z; i = 1, ..r;
для которых
р(Л -> P,Z)= ц(Л	p}),
p(Z a,)= ц(Л	Ла,),
p.(Z -> a,Z) = р(Л	Ла;),
эквивалентна грамматике G.
В-третьих, правила подстановки преобразуются к такому виду>
чтобы их левые части начинались с терминальных символов.
Пример 7.2. Пусть дана нечеткая пессимистическая КС-
грамматика G в канонической форме Хомского с алфавитами
VT — {a, Ъ, с), VN = {S, А, В, С). Этапы построения канонической
формы Грейбаха проиллюстрированы в табл. 7.4.
Часто бывает естественным конструирование грамматик, в ко-
торых степень правильности использования правила подстановки
зависит от ранее использованных в цепочке вывода правил под-
становки. Такой тип грамматик, названный n-кратными, рассмат-
ривается в [17].
Определение 7.3. Нечеткая п-кратная грамматика — это
шестерка
Gn = <VN, VT, Р, S, L, {ф0, ..., ф„}>,
где VN, Vi; Р, S, L обозначают то же, что и в определении 7.2, а
ф;: Px...xP-^А, i = 0, ...,п,
i + 1
Ф1 = Ф (A Pi, • • •, Pi) = Ф (р | Pi, • • •, Pt) — степень использования
правила р при условии, что перед р были использованы правила
Pi,  Pi.
Если имеется цепочка вывода
S —* и,	и„-+и.,-+- ... -+-uh
₽1	₽2	?'3 Pi Pk
и
фо(А)= Hi,
Ф1(Р21Р1)= М-2,
фг (рз I PiPt) ~ М-з,
фл-1 (Рь\р,Р? • • • Pk-i) — М*,
478 ГЛ. 7' ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
Таблица 7.4
№	Gc	G1	G2	сз	G4 = Gg	G, из 4 ♦) G3
1	S -ЛСА	А. Л А А 1	4 2	Ал¥2	А1 ~* ^4^2	1Д0.5 Л1 	” CZA2	1, 7
2					л 1Л°’? л А1 	” СА2	1, 16
3					л 1Л°'-5 л Л1	*СА2	1, 19
4	А°ЛСА	. 0,8 . . 4 —->4 4	А 24- А А	А '^А.4	0,8Д0,5	4, 7
		2	4 2	2	4 2	2	4 2	Л	” САА2	
5					0,8Л0,2 А2 		 >аА3А2	4, 16
					0,8Л0,5	4, 19
					А2	’ С/12	
7	с°Лав	л 0,2 А4 “* А2А3	Л^ЛЛ2Л3	Л. 24. cZ 4	A.°-^cZ 4	
8				2 Vs	Z cZA2A3	8, 4, 7
9					Z aZ3A2A3	8, 4,16
10					Z сА3А3	8, 4,19
11					ч °-2 л Z-+aA3	8,17
12				Z 24- A A.Z 2 0	Z Н с2Л2А3Х	12, 4,7
13					Z 24. а4842л8г	12,4,16
14					Z 24. CA.A Z А 3	12,4,19
15					Z 24. aAZ 0	
16			. О,2До,4 А4 	*аА3	. °’2 л А4	аА3	, °>2 л Л —* аА 4	о	
17	А°Ла	.	0,4 42 ->а	0,4 Л2->а	. 0,4 Л2->а	. 0,4 Л2->а	
18	в°Ль	. 016 к Аз~*Ь	Л 0)6 ь 43 —> Ъ	. °’8 к лз->6	л °’8 к Л8-^6	
19	С°Лс	. 0,5 Л4->е	. 0,5 л4->с	. °’8 „ Л4^с	j 0,5 Л4-> с	
*) Последовательность подстановок в цепочке вывода правила грамматики G<
из правил грамматики бз.
S 7.2. НЕЧЕТКИЕ ГРАММАТИКИ И ИХ СВОЙСТВА
17»
то цепочка вывода примет вид:
о >*1 в2	В3	>*л
5 —> их —> и9 —* ... —> иъ.
Р1 1 р2 2 ₽з	Pfe
Если к> п и к = п + j, тогда степень принадлежности вычис-
ляется по формуле
Цл ~ Цп+J = фп (Pn+j I Pi • • •	1) •
Пример 7.3. Приведем 1-кратную НГ Git предложенную в
[17]. Пусть Vn = (A, В, С, S}, VT = {a, Ъ, с}, ф0 — ф0 (S АВС) =
= 0,9. Правила подстановки грамматики и значения ф1(р<1р,) при-
ведены в табл. 7.5. В пустых клетках таблицы предполагаются
значения из интервала [0, 0,65].
Таблица 7.5
№	Подстановка	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	8-^ АВС		0,7			0,8			0,9		
2 3	А аА В ->ЪВ			0,7	0,7						
											
4	С -^сС		0,7						0,7		
5	А -> аАа						0,8				
6	В -+ЬВЬ							0,8			
7	С -> сС с					0,8			0,8		
8	А а									0,9	
9											0,9>
10	С -+с										
Приведем примеры вывода слова а3Ь3с3:
a)	S °4> АВС аАВС аАЬВС аАЪВсС
сРАЪВсС у- а?АЬ2ВсС а2АЪ3Ъс2С
а3Ь2Вс2С а3Ь3с2С а3Ь3с3;
б)	5 -т* АВС —* аАаВС	аАлЪВЪС
'15	6	7
аАаЪВЪсСсаРЪВЪсСс^ а3Ь3сСс~~* а3Ъ3с3;.
В грамматике Gi возможны и другие выводы этого слова. Сте-
пень принадлежности выводу последовательности подстановок
а) равен 0,7, а последовательности подстановок б) 0,8. Можно»
проверить, что степень вывода (а3Ь3с3) = 0,8.
Из определений 7.2 и 7.3 следует, что 0-кратная НГ является
обычно НГ.
В [17] доказаны следующие свойства n-кратных грамматик:
для любой нечеткой и-кратной КС-грамматики существует экви-
валентная ей нечеткая 0-кратная КЗ-грамматика; для заданной
180
ГЛ. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
нечеткой регулярной n-кратной (п>1) грамматики всегда воз-
можно построить (n + 1)-кратную и (п — 1) -кратную нечеткие
регулярные грамматики, которые эквивалентны исходной НГ,
в частности, 1-кратную нечеткую регулярную грамматику можно
трансформировать в 0-кратную нечеткую регулярную грамматику
и наоборот.
Поясним алгоритм построения для n-кратной нечеткой регу-
лярной грамматики Gn = <VN, VT, Р, S, L, {<р0, ..., фп}>, п>2,
эквивалентной ей (п — 1) -кратной чечеткой регулярной грамма-
тики Gn-t = (VN, VT, P',S'tL, {h0, ...,ЛП_]}> [17]. Множество
нетерминальных символов: Vn = {t | р; e P} J S', где S' — новый
начальный символ.
Множество правил подстановки Р' формируется следующим
образом. Для всех правил р( е Р с начальным символом S в ле-
вой части: S аА или р,. S а, новое правило имеет вид:
poi: S' ai или poi: S' -* а. Для каждой пары правил из
Р: Pi ". Aii~^aAi^ pi\ Л^-> а'А, у которых нетерминальный сим-
вол в правой части одного правила совпадает с нетерминальным
символом в левой части другого правила, новое правило имеет
вид Pii2- ii~>~a'i2; и соответственно для правил из Р: р^: Л—>
—►тцЛ', pi^. А'—>а2, новое правило: Piri2- ii~^-a2.
Функция степени принадлежности выводу определяется сле-
дующим образом:
ho(poi}=<f>o (Pij,
(ftpi+j|Pohftp2 • • • P-'i-Pi) = 4>i (fti+3 I Pi, • • • Рл)>
i = 1, ... , n — 2,
hn-i (Pinin+i | Дфг ’ ’ ‘ Pin+iin') = (P>n+i |P>i • • • Pin)'
Пример 7.4. Для 2-кратной нечеткой регулярной граммати-
ки с правилами подстановки
p,:S->-aA	рс С аА
рс А ЪВ	р5: В -> с
ps: В сС
и функцией степени принадлежности <р:
фо(Р1) = 1	ф2(р41р2Рз)=0,6
Ф1(рг1р1) = о,8 ф2 (Рг I РзР4) = 0,6
фг (р51ptp2) = 0,7 ф2 (р51р4р2) = 0,6
ф2 (Рз I Р1Р2) = 0,6 ф2 (р3 I р4р2) = 0,6.
Эквивалентная ей 1-кратная нечеткая регулярная грамматика
имеет правила подстановки Р':
ро±: S а\. рзС 3 J a^L
pl2: 1 -»• Ъ2 pi2: 4-*- Ь2
р23-. 2 сЗ р2С 2 с
§ 7.3. ПОРОЖДЕНИЕ ЯЗЫКОВ НЕЧЕТКИМИ ГРАММАТИКАМИ
181
и функцию степени принадлежности /г:
МА1) = (₽о(Р1)= 1,
(?12 I Pot) = <Р1 (р21р1) = 0,8,
ht (Р201Р12) = фг (р5lpip2) = 0,7,
hi (P23IP12) = фг (РзIPtPi) = 0,6,
ht (р341Р23) = Фг (рЛр2рз) = 0,6,
МР42 । Рз4) = фг (р2 I РзР*) = 0,6,
ht (рк Iр42) = ф2 (Рз Iр4р2) = 0,6,
МР2з1р42) = ф2(Рз1р4Р2)= 0,6.
§ 7.3.	Порождение языков нечеткими грамматиками
Говорят, что нечеткий язык
2 = {(и,	(и)у. и е V*, р^> (и) > 0],
является языком, порождаемым грамматикой, если существует не-
четкая грамматика G = <KV, VT, Р, S, L, <p> такая, что
2 = 2(G) =	pG(«)): S =>u, pG(u) =
Грамматика G называется грамматикой, порождающей нечет-
кий язык 2. Тип языка определяется типом порождающей грам-
матики. В [23] исследован ряд вопросов соотношения нечетких
языков и максимально-взвешенных грамматик, в частности, усло-
вия представления в канонических формах Хомского и Грейбаха.
Пусть — совокупность всех конечных неотрицательных дей-
ствительных чисел такая, что &L — U {°°}.
Тогда финитарным нечетким языком 2 назовем нечеткое под-
множество VT с функцией принадлежности
VT~>~^+.
Утверждение 7.1. Если 2 — нечеткий КС-язык на VT,
тогда 2(VT) — 2(Gr) для некоторой максимально-взвешенной
КС-грамматики Gr = <Г\-, VT, Р, S, ЗР, <р>, удовлетворяющей сле-
дующим условиям:
а)	начальный символ S не появляется в правой части правил
ч>(р)
подстановки А —► а е Р;
р
б)	для каждых A е VN, a е V*,A -^-а^ Р, Л а е Р пред-
полагается <р, = фг, > 0;
в)	для каждого А е Kv существуют u, veF* и последова-
тельность правил подстановки
со: S => р.Л\>, р, (S => рЛу] > 0;
to	\ to )
182
ГЛ, 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
г)	для каждого A s VN существует аеГ* и последователь-
ность правил подстановки
со: |л (Л => aj > 0.
Грамматика Gr называется приведенной максимально-взвешен-
ной грамматикой.
Приведенная максимально-взвешенная (МВ) КС-грамматика
называется финитарной МВ КС-грамматикой, если для каждого
А е и последовательности правил йодстановки со => Ajsg^ 1.
Каноническая форма Хомского. S является фи-
нитарным нечетким КС-языком тогда и только тогда, когда
— Hg Для некоторой приведенной МВ КС-грамматики G, пра-
вила вывода которой имеют вид:
S

ч>(р)
Л—>а,
ч>(р)
Л—►
₽
ВС,
р
где Л, В, С е 7Л-, а е VT.
Каноническая форма Грейбаха. S является фи-
нитарным нечетким КС-языком тогда и только тогда, когда
= pG для некоторой приведенной максимально-взвешенной
КС-грамматики G, правила вывода которой имеют вид:
S
1 . . «>(₽)
—->Л, Л—► ay,
р
где Л е VN, a^VT, yeV’j длина слова у не более двух сим-
волов.
Из приведенных выше утверждений следует, что любая макси-
мально-взвешенная КС-грамматика может быть приведена к кано-
нической форме, если порожденный ей НЯ является финитарным.
Пороговые языки. Каждому НЯ может быть поставлено
в соответствие целое семейство пороговых языков.
Определение 7.4. Пороговый язык S (S „ X, >) для не-
четкого языка S, на VT и для X е определяется следующим
образом:
S (<2\, %, >) = {и: и е V*,	(и) > %).
Аналогично определяются языки:
S (Sr, К, =), S (S^ X, »; S (Sr, bi, Ь2) =
= (u: u eVt, Zj< p.2,1(u)^X2].
Каждой нечеткой порождающей грамматике аналогично ста-
вятся в соответствие пороговые языки.
§ 7.4. ОПИСАНИЕ РЕГУЛЯРНЫМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ
183
Пример 7.5. Для 1-кратной нечеткой КС-грамматики, при-
веденной в табл. 7.5, пороговыми языками являются:
S{G, 0,95, »= 0;
S{G, 0,85, » =={а, b, с);
^(G, 0,75, » = {a21i-152n_1C2”_’11 п > 0,
S (G, 0,65, »= [aVcn|re>0, neN};
S(G, 0, »= {aW|p, ?,reN\{0}i,
где N — множество натуральных чисел. Отметим, что язык
2? (G, 0,65, >) является КЗ-языком.
Для пессимистических грамматик число пороговых языков
каждого из перечисленных типов конечно и зависит от числа раз-
личных оценок правил подстановки.
Для любой нечеткой пессимистической грамматики G, номер
типа которой i приведен в табл. 7.2, в [15] доказано следующее:
а)	если G типа i (t = 0, 1, 2, 3), то для любых X S (G, X, >)
типа I;
б)	если G типа i (г = 0, 3), то S'(G, X, >) типа i;
в)	если G типа i (i = 3), то S(G, М, Х2) и S(G, X, =)
типа I;
г)	если G типа i (i = 0, 2), то S(G, М, Х2) и S(G, X, =)
могут не быть типа i.
В [23] доказано, что семейство пороговых языков, порожден-
ных максимально-взвешенными КС-грамматиками, содержит в се-
бе семейство КС-языков, но не является множеством всех КЗ-язы-
ков, так как существует КЗ-язык, который не содержится в ука-
занном семействе.
В [24] были исследованы максимально-взвешенные регуляр-
ные грамматики. Установлено, что они являются более общими,
чем пессимистические грамматики в том смысле, что порождают
нерегулярные языки.
§ 7.4. Описание нечетких регулярных языков
регулярными выражениями
Регулярные языки, порождаемые регулярными грамматиками,
могут быть описаны регулярными алгебраическими выражениями.
Для формулировки определения регулярного выражения введем
следующие обозначения [27]: если a е Ку, то цо определяет язык
в алфавите VT:
I ls если у = ах
На (?) IQ, если уу=а;
если 0 пустое множество, то р0 определяет язык в алфавите
Кт: ц0 (а) = 0 для всех а е V*.
184
ГЛ. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
Определение 7.5. Множество регулярных L-выражений
в конечном непустом алфавите VT определяется индуктивно сле-
дующим образом:
1)
2)	Лей,;
3)	а Я. для всех а
4)	аа s для всех а е VT и а е L;
5)	ct/Vct.e для всех а„ а2 е
6)	а1Да2е^?0 для всех а,, а2е^0;
7)	а* е 5?0 для всех а е $?0;
8)	не существует других регулярных выражений кроме тех,
которые определяются в пунктах 1)—7).
В определении 7.5 символы V, Д, * обозначают операции
объединения, конкатенации и замыкания.
Пусть а, а,, а2 е $?0, а е L. Каждое регулярное L-выражение,
ctej?Si определяет L-язык 2 (а) в алфавите VT следующим об-
разом:
1)	если те Д-U {0, Д}, то 2 (а) = {(а, ра(а)));
2)	если а = аа„ то 2 (а) = аД2?1(а1);
3)	если а = а, V а2, то 2(а) — 2, (а,) U 3’2(а2);
4)	если а = а, Д а2, то 2 (а) = 2 (а,) 2 (а2);
5)	если а = а*, то 2 (а) = 2\ («j).
Пример 7.6. Пусть имеется регулярное L-выражение а = 0,7
af\b\/c. Соответствующий нечеткий язык следующий:
2 (0,7а Д b V с) = 2Л (0.7а Д b) U 2г (с) =
= 2Z ^а} 2п (&) IJ 2г (с) = 0,7/\2Ъ (а) 2 (b) J 22 (с) =
= 0,7 {(а, !)}{(&, l)}U{(c, 1)} = {((а, Ь), 0,7)} U {(с, 1)} =
= {(а&, 0,7), (с, 1)}.
§ 7.5. Определение нечеткого автомата
Рассмотрим один из типов нечетких автоматов (НА), играю-
щий важную роль в изучении НЯ. Будем считать, что автомат
допускает слово некоторого НЯ, если при подаче на вход авто-
мата последовательности сигналов, соответствующей анализируе-
мому слову, НА генерирует выходной сигнал, указывающий на
степень принадлежности данного слова нечеткому языку. Таким
образом автомат может распознавать НЯ.
Определение 7.6 [7, 19]. Нечетким конечным автоматом,
называется упорядоченная шестерка
А = <С7, X, Y, s0, 6, о>,
где U ~ {а,, ..., ат} — конечное множество входов, X — {#„ ...
..., хп} — конечное множество состояний, У = {г/„ ..., у„} — ко-
нечное множество выходов, б: XX U XX -* L — функция перехо-
§ 7.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО АВТОМАТА
185
дов, о: X X Y L — функция выходов, s0 — нечеткое начальное
состояние s0 е ^”2 (X)	(s0: X -* L).
В определении 7.6 функция 6 порождает множество нечетких
матриц переходов (Tu)usv = |6x.Xj (и)j, 1 i, j n, функция a
порождает нечеткую матрицу выхода
a==(aw)’
Из определения НА следует ряд классических определений.
Например, если 6: ХХ7/ХХ~*{0, 1} и из некоторых состояний
х0 •= X возможен переход в несколько состояний xt, ..., хт •= X, то
это автомат недетерминированный. Если для любого i s {1, ..., n}
существует единственное j, е {1, ..., п} такое, что
ем“ 1-1‘-
1	(0, если 7 У= ii,,
то это детерминированный автомат.
Пусть U* — множество всевозможных входных последователь-
ностей, тогда функция переходов 6: XX U* X X L вычисляется
следующим образом:
{1, если х' = х;
О, если х ^х,
6ХХ' (0) = 6 (ж, 9, я') =
= V (6(х, Up хг) л 6 (ЯГ1,	жа) Л ... Л 6(^-1,; uh, x'))„
*1...*k-lex
где 0 = Ut, и2... uh е U\ 0 Ф X
Аналогично определяется матрица переходов:
ТА = 1,
Те = Ти^ ° TU2 о... о т^.
Если на вход нечеткого автомата А подается последовательность
0, то выход автомата вычисляется следующим образом:
Цл(0) == So 0 Т9 ° о.
Рассмотрим специальный вид НА, у которого единственный
выход У = {г/0}. В этом случае нечеткий выход определяется век-
тором о1=(р1, ..., цй), где р4 указывает на степень получения в
состоянии X] выхода у0.
Можно ввести еще более специальный тип НА, определяя мно-
жество финальных (заключительных) состояний Х?^Х и функ-
цию выходов
„	,	.	(1, если X; е Хг,
.....»*">• Мо,
186 гл. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
Если еще предположить, что начальное состояние четкое х0 е X,
т. е.
..	. .	.	11, если xt = хп,
°о = (11> •••, l«)> Ч = А	/ '
[О, если a?7 y=x0,
то значения выхода (значение функции отклика) вычисляется
следующим образом:
На(9)= V бх х (0).
Y- U J
Различные типы автоматов могут быть определены в зависи-
мости от множества оценок L и операций, используемых в фор-
муле вычисления функции переходов (см. табл. 7.6).
Таблица 7.6
Тип нечеткого автомата	Используемые операции V | Л		Множество оценок Ь
Нечеткий автомат [32, 20, 18] Я-нечеткий автомат [30, 31] Автомат с распределением воз- можностей [9] Максимально-взвешенный авто- мат [22, 26] Нечетко-нечеткий автомат [13]	шах + Специ пострс опер шах max	min ально )сниые эции min	Полная дистрибутивная решет- ка [0, 1] Упорядоченное полукольцо R 4-значная алгебра Поста Множество неотрицательных действительных чисел п ПО, 1]) — множество нор- мализованных выпуклых не- четких множесв
Если в качестве множества входов U рассматривать множество
терминальных символов VT, то функция отклика нечеткого авто-
мата задает нечеткий язык ^(VT) в алфавите VT- В этом слу-
чае говорят, что автомат А распознает язык S = 2* (А). Следую-
щий пример иллюстрирует возможность построения НА, распо-
знающего язык, порожденный регулярной грамматикой.
Пример 7.7. Рассмотрим регулярную НГ с алфавитами VT =
== {а, Ь), Ум = {8, А, В} и правилами подстановки
Р1: Sl^aB,
р2: В°ЛЬА,
р3: А аВ,
Pi- в-*ъ.
Грамматика G порождает НЯ 2’0ь = {(а6, 0,8), ((ab)n, 0,6), п —
§ 7.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО АВТОМАТА
187
Нечеткий автомат А, распознающий язык 3?аъ, строится сле-
дующим образом:
U=*VT = {a, b),
Y = {у} — любое одноэлементное множество,
Х = {0, 1, 2, 3, 4},
= {0}, о» = (1, 0, 0, 0, 0),
Хг = {4}, о = (0, 0, 0, 0, 1) ;
	-0 1 0 0	0~		-0 0 0	0 0-
	0 0 0 0	0		0 0 0,7 0 0,8
Та =	0 0 0 0,6 0	« Ть —	0 0 0	0 0
	0 0 0 0	0		0 0 0,7 0 0,8
	_0 0 0 0	0_		_0 0 0	0 0
Диаграмма переходов синтезируемого автомата, приведена на
рис. 7.2. Если на вход автомата подать слово ab, то выход вычис-
ляется следующим образом:
Ил(аЬ) — Оо ° Та о Ть о ат = 0,8.
Если на вход автомата подается сло-
во abab, то
}iA(abab) = о0 ° Та° Т\° Тл° Ть° ог =
= 0,6.
Аналогично вход вычисляется для
любого слова (ab)n, п = 3, к, ...
Следовательно, построенный авто-
мат распознает язык З’аь.
Рис. 7.2. Диаграмма переходов
синтезируемого автомата
Покажем, что слово aba, не
принадлежащее языку Sавто-
матом не распознается:
(аба) = пво7'ао7'ьо7'аостг = а0о7'аЬо7'аостг =
	"0	0	1 ДО,7	0	1 до, 81
	0	0	0	0	0
= (1 0 0 0 0)°	0	0	0,6Д0,7	0	0,6Д0,8
	0	0	0	0	0
	_0	0	0	0	0
"О 1 о о
0 0 0 0
о о О 0 0,6
0 0 0 0
_о о о о
188
ГЛ., 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
§ 7.6. Распознавание языков нечеткими автоматами
Приведем некоторые свойства распознавания нечетких языков
нечеткими автоматами [10, 14, 19—21, 27—29].
Замкнутость относительно операции объеди-
нения. Пусть Л,, А2 — нечеткие автоматы, тогда существует
автомат A — A, U Л2 такой, что
^(Л) = 5’(Л1)и5’(Л2).
Автомат А определяется следующим образом:
77 = [71(J[72, X = X1(JX2, У-УхЦУ,,
pi 0 }	А
6	\°	62/	S0== ^01’ S°2)’
Замкнутость относительно операции пересе-
чения. Пусть Ai и Л2— нечеткие автоматы, тогда существует
НА А ~ Ai ® Л2 такой, что
5’(Л) = 5’(Л1)П5’(Л2).
Автомат Л определяется следующим образом:
U = UiXUz, Х = Х,ХХ2, У=У,ХУ2,
6	61 X 62, 5g == $01 X 502,	& ” С1 X СТ2.
Существование автомата А. Для любого НА Л су-
ществует автомат Л такой, что 2 (Л) = 2’ (Л). Автомат А явля-
ется минимаксным автоматом:
1 — ца (6) = «о °	° о = 50“ Те" ст = рА (0),
где“— min max — композиция вместо композиции max min.
Распознавание конкатенации языков. Если At
и Л2 нечеткие автоматы, то существует автомат Л =Л1°Л2, рас-
познающий конкатенацию языков:
2(A) = 2(Ai)2(A2).
Распознавание замыкания Клини. Для любого НА
Л существует автомат Л, распознающий замыкание Клини:
2(А) = 2(А).
В [19] определены достаточные условия для распознавания
нечетким автоматом нечеткого языка, который является своим
собственным замыканием Клини:
а)	если для любого а е U и любого х, е X
o(xi, a, Xi) = 1;
б)	Se »о = 1,
§ 7.7. НЕЧЕТКИЕ РЕГУЛЯРНЫЕ ГРАММАТИКИ И АВТОМАТЫ
189
тогда S’(А) — замкнутый язык, т. е. S(A) = S(A). Из-за крат-
кости доказательства приведем его полностью:
Цл (Л) = So ° ТА ° о = s0 ° о = 1.
Так как ба рефлексивна и Те также рефлексивна для каждого
6 е U*, то Уее' = Тц ° Те' э и, следовательно,
(66') = s0 о Те6' °	° Т6' ° о =нА (6')>min (нА(6), ЦА(6')).
Распознавание пороговых языков. Пусть S(А, а) —
пороговый язык нечеткого языка S (А), распознаваемого нечетким
автоматом А:
S(A, а) = {бе U*, рА(6)>а},
тогда для любого «о е [0, 1) существует НА Ао такой, что
S (A, a) — S (Ао, а0).
§ 7.7. Нечеткие регулярные грамматики и автоматы
Приведем основные результаты о соотношении нечетких регу-
лярных языков, нечетких автоматов и нечетких регулярных грам-
матик.
Рассмотрим нечеткий ограниченный автомат, у которого на-
чальное состояние s0 четкое, F — четкое множество финальных
состояний ио — функция из F в одноэлементное множество вы-
ходов {z/}: o(Xj, у)=1, если x^F и о(х„ г/) = 0 иначе. Покажем
(71, что нечеткий автомат А, определенный в § 7.5, эквивалентен
нечеткому ограниченному автомату А о, т. е. распознаваемые ими
языки совпадают: S (А) = S(A0).
Пусть А — < U, X, Y, So, б, о>; тогда эквивалентный ему огра-
ниченный автомат — следующий:
А' = <[7', X', Y', So, б', ст'>,
где V = U; X' = X (J |s0, z/), s0— новое начальное состояние, б' —
новая функция переходов, определяемая следующим образом:
б'(so, a, s) = max min(ps (s'), б (s', а, s)) Vse.Y,
6' (s, a, s') = 6(s, a, s') Vs,s’<=X, Vai=U,
6' (s, a, So) = 0 VseX',
6' (s, a, y) = max min (6 (s, a, s'), ст (s', y)) Vse X,
s’ex
6' (y, a, s) == 0 Vs e X или s = So#
6' (4, «, y) = max (б (so, a, s), о (s, г/)),
«ex
Y = {y'} — специально определенный выход,
1, если s = у,
О, если seXjUo)-
ст' (», г/') =
190
ГЛ. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
Конечным состоянием автомата Ао определяем у.
Если задана входная последовательность 6 =	.. .ик, Ui & U,
то функция выхода автомата А совпадает с выходом автомата А„
так, как
(6)	=
= max min(p.s (s), 6(s, U1, Sj), ..uk, sk), a(sk, y)) =
= max min (б'(»o, Uj, Si), 6'(slt u2, s2), ..6'?/)) =
s,sp..,sfc
= Fa8 (9).
В преобразованиях учитывалось то, что s0 — четкое состояние и
с'(у, — При к — 1 использовалось выражение для
3(г?о,	у).
Утверждение 7.2 [15]. Для заданной нечеткой регулярной
грамматики G существует НА А такой, что
37(G) —2?(А)
и наоборот.
Приведем доказательство из [7].
а)	Пусть G = <Fr, Fn, 5, Р, L, ф> — нечеткая регулярная грам-
матика, тогда соответствующий нечеткий автомат
А = <U, X, У, stt, б, F>,
тде U = VT, X = J U {5}, 7 — множество номеров правил подста-
новки из Р, Y = {у} — любое одноэлементное множество, s0 — S —
четкое начальное состояние, F=1Z: l^J, I А----------—
I \ ₽! / J
множество конечных состояний.
Для любых Xi, Xj^X, a^U 6(я.-, а, х,) = ф(р,), если либо xt —
номер правила подстановки А ЪВ и х} — номер правила под-
Р i
становки В-^-а или В-^-аС, либо х, = S и xs—номер правила
подстановки sаА; в противном случае 6(.Г{, а, х}) = 0. Можно
проверить, что любая последовательность переходов автомата из
начального состояния в конечное состояние имеет ненулевое зна-
чение функции принадлежности pA(9) = So°7'e°7’ тогда и только
тогда, когда входное слово 6 порождается грамматикой G.
б)	Пусть Ao — <U, X, У, So, б, F>— нечеткий ограниченный
автомат. Эквивалентная нечеткая грамматика определяется сле-
дующим образом: VT = U, VK = X\F, S = s9, P содержит правила
подстановки вида Xi^axj тогда, когда б(х„ а, х}) = 8(> 0, и со-
держит правила подстановки вида х,,-* а тогда, когда 6 (хь a, Xj)=
= 6;>0 и x^F (Xi может совпадать с начальным состоянием $<>).
Так как в работе [27] доказано, что каждый регулярный язык,
построенный на основе регулярных выражений, распознается не-
§ 7.8. РЕАЛИЗАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ
191
которым НА и любой НА распознает только такой НЯ, который
порождается некоторым регулярным выражением, то справедливо
фундаментальное соотношение
{S (GP)} = {Z (А)} = {Z (Йо)},
утверждающее, что множества языков, порождаемых нечеткими
регулярными грамматиками, нечеткими регулярными L-выраже-
ниями и распознаваемых нечеткими автоматами, совпадают.
В [29] получены аналогичные результаты для нечетких регу-
лярных грамматик и нечетких автоматов с операциями «сумма»
и «произведение».
§ 7.8. Реализация нечеткими автоматами
временных соотношений*)
Рассмотрим возможность практического использования модели
нечеткого автомата для описания функционирования дискретных
управляющих устройств, в частности, для анализа реальных вре-
менных процессов, протекающих в таких устройствах. В теории
автоматов и в теории логического синтеза дискретных управля-
ющих устройств используются модели различного типа (класси-
ческая модель абстрактного конечного автомата, микропрограм-
мный автомат, апериодический автомат, секвенциальный автомат
и т. п.). Все эти модели обладают следующей особенностью..
В них явно не описывается временная реализация алгоритма
функционирования. Реальное время заменено в этих моделях на-
бором возможных последовательностей смены внутренних состоя-
ний автомата и правилами выбора в данный такт работы того
или иного перехода на той или иной последовательности. Сами
такты работы не связаны с длительностью их реализации в фи-
зическом времени. Подобные допущения ограничивают возможно-
сти таких моделей. Удобные при структурном синтезе и анализе
функционирования исследуемых устройств, они становятся явно
неудобными при анализе процессов, протекающих в реальных
устройствах во времени, и при синтезе этих устройств с учетом
качества их функционирования во времени.
Для задания функционирования автомата в реальном време-
ни необходимы распределения моментов смены сигналов и их
значений, а также — вероятностные распределения для интерва-
лов смены сигналов и значений сигналов. Однако на практике в
подавляющем большинстве случаев нет априорной информации
о необходимых вероятностных распределениях. Поэтому при ре-
шении задач, возникающих при анализе и синтезе логических
устройств, представляется естественным вместо вероятностных
распределений использовать нечеткие распределения.
*) Этот параграф написан В. Н. Захаровым.
192
ГЛ. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
Рис. 7.3. Укруп-
ненная диа-
грамма пере-
ходов синтези-
руемого авто-
мата
Рассмотрим вначале простой пример, с помощью которого по-
пытаемся объяснить суть предлагаемого подхода.
Пример 7.8. Пусть на каком-либо из этапов синтеза полу-
чена диаграмма переходов синтезируемого автомата, представлен-
ная на рис. 7.3. На ней показаны только те переходы, которые
необходимо реализовать технологически. Если для кодирования
множества внутренних состояний синтезируе-
мого автомата мы будем использовать двухпо-
зиционный код, то, как это следует из диаграм-
мы переходов, нам не удастся избавиться от
состязаний. Однако пусть нам, например, из-
вестно, что из двух триггеров, которые будут
использоваться для записи текущего состояния
автомата в реальной схеме, переходный процесс
в одном из них протекает значительно быстрее,
чем в другом. Слова «значительно быстрее»,
которые мы только что использовали, должны
пониматься качественно. Пока мы не предпола-
гаем никакой количественной оценки этих слов.
Будем для удобства считать, что «значительно
быстрее» перекидывается триггер, используемый для коди-
рования первой позиции в коде состояния. Опишем те-
перь процедуру выбора кодов состояний. Если состояние q3 за-
кодировать кодом 11, то при переходе в состояние с кодом 00
в качестве промежуточного состояния возникнет код состояния 01.
При переходе же от кода 00 к коду 11 — вс
жуточного состояния 10. Учитывая это,
а также особенности исходной диаграммы
переходов, можно предложить следующее ко-
дирование состояний дч— 00,	— 01, дц—
—10 и qs — И. На рис. 7.4 показана резуль-
тирующая диаграмма переходов автомата.
Из этой диаграммы видно, что функция пере-
ходов автомата будет реализовываться всегда
правильно за исключением перехода
11->10-*-00. Однако из-за того, что первый
триггер перекидывается «значительно быст-
рее» второго триггера, то автомат с по-
добным кодированием состояний будет ра-
ботать «почти всегда правильно». Отметим,
что инженер-практик, имеющий априор-
ную информацию о скорости срабатывания триггеров, подоб-
ную вышеприведенной информации, выберет кодирование такого
же типа.
7.8.1. Нечеткая логика времени. Только что рассмотренный
пример показывает, что целесообразно создать логику времени,
в которой можно было бы пользоваться такими нечеткими поня-
код проме-
х,хг	Wz
Рис. 7.4. Закодиро-
ванная диаграмма
переходов
§ 7.8. РЕАЛИЗАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ
193
тиями, как «значительно быстрее», «ранее чем», «вскоре после
этого» и т. и. Опишем элементы логики такого типа.
Через ti будем обозначать некоторый временной интервал,
отсчитываемый в абсолютном или относительном физическом
времени. Если нас будут интересовать границы интервала tt, то
этот же интервал будет записываться как (af, £<). В отличие
от обычного понимания событий, происходящих во времени, мы
будем трактовать их как нечеткие события. Нечеткое событие
на интервале tt будет обозначаться как <а, tt, р.о(£<)>. Здесь а —
наименование события, tt — временной интервал, а pa(i.)—
функция принадлежности события а временному интервалу tt.
Вместо Ца(^) будем использовать специальные нечеткие кван-
торы типа «в подавляющем большинстве случаев», «почти всег-
да», «часто», «примерно в половине случаев», «редко», «почти
никогда», «в исключительных случаях». Эти кванторы (их спи-
сок, конечно, можно продолжить, но мы для краткости не бу-
дем этого делать) будем обозначать как (i = 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7). Таким образом, запись вида	содержательно будет
трактоваться так: событие а происходит в интервале tt почти
всегда. Кроме указанных размытых кванторов в нашей логике
будут использоваться различные операторы типа: «ранее», «до»,
«после того как произошло а» и т. п. Будем рассматривать вре-
менную логику в специальной секвенциальной форме, удобной
для приложений к теории автоматов.
7.8.2. Секвенциальные автоматы. В [3] приводится следующее
определение секвенциального автомата. Секвенциальным автома-
том называется совокупность секвенций следующего вида:
(ВД н sh)h, (ад н r;)d.
Здесь Л = 1, 2, ..., га; d—1, 2, ..., гаг; Х4 — слова из входного
алфавита, Уг — слова из выходного алфавита, Sjt Sk — кодовые
слова для кодирования внутренних состояний автомата. Запись
Ф ф, где <р и ф есть функции алгебры логики, называется сек-
венцией и обладает следующим смыслом: если на некотором на-
боре аргументов <р обращается в единицу, то ф на этом наборе
также обращается в единицу. Секвенциальный автомат реали-
зуется с помощью специальной секвенциальной структуры. Для
примера на рис. 7.5 показана подобная реализация для секвен-
циального автомата, заданного следующим секвенциальным опи-
санием (у реализуемого автомата функция выхода совпадает с
функцией перехода) :	_
^1^2sl Н S1S2>
I— ^2^3»
*^1^2 I $1$2>
194 Гл- 7- ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
7.8.3. Нечеткие секвенциальные автоматы. Обобщим теперь
понятие секвенциального автомата за счет введения в структуру
секвенций нечетких временных кванторов, рассмотренных выше.
Будем говорить, что нам задан секвенциальный автомат с не-
Рис. 7.5. Структурная реали-
зация обычного секвенциаль-
ного автомата
четким входом, если секвенциальное
задание автомата имеет вид [34]:
При этом секвенция вида Н^ф [— ip
будет пониматься нами в следу-
ющем смысле: на интервале со
степенью достоверности, определяе-
мой квантором М функция ф
принимает единичное значение, с
этой же степенью достоверности на
этом интервале if> также принимает
единичное значение. Вид кванторов
>1 может быть различным для
различных строк задания секвенци-
ального описания. Если индекс Ь„ у квантора отсутствует, то
это означает, что принимает единичное значение с достовер-
И'„	- „	V
ностью в любой момепт физического времени.
Аналогично будем говорить, что нам задан секвенциальный
автомат, нечеткий по состояниям, если секвенциальное описание
этого автомата имеет вид:

Если индекс bv у квантора отсутствует, то это означает, что в
любой момент времени автомат с достоверностью	будет
находиться в состоянии Sj.
Наконец, будем говорить, что задан секвенциальный автомат
с нечеткими переходами, если его секвенциальное описание име-
ет следующий вид:
(ад н ж?1 (ад V • • • V ж?г (ад)л;
И Yh)d.
Если указания на временные интервалы у кванторов отсутству-
ют, то это означает, что в любой момент времени автомат пере-
§ 7.8. РЕАЛИЗАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ
195
ходит в одно из указанных в правой части секвенций состояний
с заданной достоверностью.
Возможны и более сложные модели секвенциальных нечетких
автоматов, когда исследуемый автомат может быть, например,
одновременно нечеткий и по входам и по состояниям.
Автомат, нечеткий по входам, удобно использовать в тех слу-
чаях, когда производится анализ процессов, протекающих в
сложных схемах, декомпозированных на определенные блоки.
В этом случае, на основании логики работы схемы и физических
особенностей работы ее элементов, удается оценить некоторую
качественную априорную информацию о возможном появлении
или непоявлении сигналов на входе того или иного блока. Вре-
менные интервалы в этом случае, как правило, отсчитываются
не в абсолютном времени, а в относительном событийном вре-
мени. Работа блоков предполагается детерминированной и функ-
ционирование каждого блока задается автоматной таблицей.
Автомат, нечеткий по состояниям, также является обычным
детерминированным автоматом. Только в отличие от автомата,
нечеткого по входам, в этом автомате отсутствует априорная точ-
ная информация о его начальном состоянии (текущем состоянии
в момент анализа его работы). Наконец, автомат, нечеткий по
переходам, не может быть задан обычной автоматной таблицей и
является, по существу, недетерминированным. Точное априорное
знание о его текущем внутреннем состоянии и входном сигнале
не дает в этом случае возможность однозначно определить повое
состояние автомата. Такой случай возникает не только тогда,
когда работа анализируемого устройства, по существу, недетер-
минирована, но и тогда, когда в детерминированном автомате
возникают различные сбои: состязания с критическим исходом,
гонки и т. п.
Отметим, что при практических расчетах кванторы оце-
ниваются некоторыми числовыми оценками. Вид этих оценок су-
щественно зависит от конкретного вида задачи. Однако как по-
казано в [4], существует довольно устойчивое понимание этих
оценок у человека. Это позволяет, не слишком огрубляя ре-
зультаты, переходить от качественного описания работы нечет-
кого автомата к описанию его функционирования с использова-
нием числовых оценок кванторов. При этом в случае оценок не-
четких кванторов конъюнкции и дизъюнкции событий соответ-
ствуют операции взятия минимума и максимума от этих оценок.
В качестве примера проведем анализ временных процессов в ав-
томате, представленном автоматным графом на рис. 7.6.
Пример 7.9. Рассмотрим автоматный граф на рис. 7.6. Ра-
бота этого автомата синхронизируется тактовыми импульсами,
подаваемыми от внешнего генератора с интервалами t. Состояния
автомата закодированы тремя переменными, каждая из которых
соответствует одному элементу памяти. Значения функций при-
196 гл. 7. ПОРОЖДЕНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЧЕТКИХ ЯЗЫКОВ
время перехода элемента
ратно. Предполагается, ч
Рис. 7.6. Автоматный граф с
нечеткими переходами
случаев» и «выполнимые
надлежности времени срабатывания элементов памяти интерва-
лу t соответственно равны: g1(f) = O,5; p2(i) = 0,9; gs(f)=l. Под
временем срабатывания элемента памяти здесь подразумевается
13 состояния 0 в состояние 1 или об-
э эти времена одинаковы для одного
и того же элемента. Требуется про-
вести анализ условий осуществимо-
сти всех переходов автомата и
дать тем самым оценку его работо-
способности.
Как видно из графа рис. 7.6,
переходы автомата связаны с изме-
нением состояний одного или двух
элементов памяти. Для переходов,
связанных с изменением состояний
двух элементов памяти, необходимо
выбрать минимум оценки функции
принадлежности для этих элемен-
тов. Таким образом, в данном авто-
мате все переходы могут быть раз-
делены на три группы: «выполни-
мые во всех случаях», «выполни-
мые в подавляющем большинстве
примерно в половине случаев». Если
работу автомата описывать на языке секвенций, то секвенции,
описывающие переходы двух последних групп, должны содер-
жать размытые кванторы и >|4 соответственно. На рис. 7.6
эти кванторы приписаны соответствующим дугам. На графе не
указаны переходы, которые должны быть добавлены в связи с
неодновременным переключением элементов памяти.
Пусть теперь дана следующая система секвенций, описыва-
ющая работу автомата, у которого имеются нечеткие переходы:
aSl Н S3l
₽*i V Y*j*3 h *2>
Т*2*з |-si,
Р*2*3 | *1,
Т*!*2*з Н М’*з V мЧ*3;
“*1*2*3 h ХХ*1*2 V >{’*1*3-
Пусть известно также, что наибольшим быстродействием обла-
дает элемент памяти s,, а наименьшим из всех трех — элемент
памяти s4. Требуется оценить правильность работы автомата.
На основании правил перехода от системы секвенций к гра-
фу, изложенных в [3], нетрудно получить граф автомата, пред-
ставленный на рис. 7.7. Для этого необходимо иметь в виду, что
§ 7.8. РЕАЛИЗАЦИЯ ВРЕМЕННЫХ СООТНОШЕНИЙ
197
каждая секвенция может описывать переходы из нескольких со-
стояний. Причем для исходных состояний берутся коды, в со-
ставе которых имеются переменные, находящиеся в левых ча-
стях секвенций, а коды состояний, в которые направлены пере-
ходы, определяются как коды
исходных состояний заменой
кодовых переменных, находя-
щихся в правых частях сек-
венций.
Из графа рис. 7.7 видно,
что переходы, описываемые
секвенциями левой части ис-
ходной системы (без кванто-
ров), связаны с изменением
состояния одного элемента па-
мяти. В связп с чем работа ав-
томата в этой части сомнений
не вызывает. Рассмотрим пятую
Рис. 7.7. Автоматный граф с учетом
времени работы элементов памяти
секвенцию исходной системы, описывающую нечеткие перехо-
ды. Эти переходы показаны на графе рис. 7.7 пунктиром.
Пусть появление входного слова 7 на автомат, находящийся
в состоянии с кодом 010, вызывает изменение состояний двух
элементов памяти s2 и 83. Причем элемент s2 должен изменить
свое состояние с 1 на 0, а элемент s, — с 0 на 1. Поскольку эле-
мент s, является более быстродействующим, в подавляющем
большинстве случаев автомат перейдет в состояние с кодом 011.
Этот переход справедливо взвешен квантором Я1. Переход в
состояние с кодом 001, взвешенный квантором Я7, действитель-
но будет иметь место лишь в редких случаях одновременного
изменения состояний двух элементов памяти (случай переклю-
чения элемента памяти s2 раньше элемента з3 мы исключаем).
Рассмотрим последнюю секвенцию системы. Появление вход-
ного слова а на автомат, находящийся в состоянии с кодом 100,
вызовет изменение состояний всех трех элементов памяти. При-
чем элемент будет стремиться изменить свое состояние с 1
на 0, а элементы s2 и s3 — с 0 на 1. По условиям быстродействия
элементов памяти автомат в большинстве случаев перейдет в
состояние с кодом 101. Отмеченные на графе рис. 7.7 переходы в
состояния с кодами 001 и 010 будут выполняться довольно ред-
ко (предполагается, что на быстродействие элементов памяти
внешние условия и процессы старения влияют различным обра-
зом) и поэтому должны быть взвешены квантором >17 (т. е. так,
как указано на графе рис. 7.7, а не так, как в исходной системе
секвенций).
ГЛАВА 8
НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
§ 8.1. Определение нечеткого алгоритма
Различные понятия, нечеткие., по своей природе, могут быть
формально описаны посредством нечетких множеств. Нечеткая
логика, например, позволяет формализовать простые логические
связи нечетких переменных с помощью нечетких высказываний.
Для описания же сложных соотношений между переменными
удобно использовать нечеткие алгоритмы.
Под алгоритмом понимается точно определенное правило дей-
ствий (программа), для которого задано указание, как и в какой
последовательности это правило необходимо применять к исход-
ным данным задачи, чтобы получить ее решение [10]. Характе-
ристиками алгоритма являются» а) детерминированность (опре-
деленность) — однозначность результата процесса при заданных
исходных данных; б) дискретность определяемого алгоритмом
процесса — расчлененность его на отдельные элементарные акты,
возможность выполнения которых человеком или машиной не
вызывает сомнения; в) массовость — исходные данные для алго-
ритма можно выбрать из некоторого множества данных (потен-
циально бесконечного), т. е. алгоритм должен обеспечивать ре-
шение любой задачи из класса однотипных задач.
Нечеткий же алгоритм, понятие которого впервые введено в
работе [55], грубо говоря, определяется упорядоченным множе-
ством нечетких инструкций (нечетких высказываний), содержа-
щих понятия, формализуемые нечеткими множествами. Под не-
четкой инструкцией понимается инструкция, содержащая нечет-
кие понятия [53], например, «пройти около 100 метров», а под
машинными инструкциями — инструкции, не содержащие ника-
ких нечетких понятий, например, «пройти 100 метров». Здесь и
далее четкие инструкции мы будем называть машинными ин-
струкциями, чтобы подчеркнуть возможность моделирования не-
четких алгоритмов на ЭВМ, воспринимающих только четкие ин-
струкции.
Приведем точное определение нечеткого алгоритма из [42],
обобщающее все известные в настоящее время определения [24,
48, 55]. Для формулировки определения первоначально вводится
ряд определений и обозначений.
Во-первых, в [42] вместо интервала [0, 1], общепринятого мно-
жества значений функции принадлежности, рассматривается не-
§ 8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО АЛГОРИТМА
199
пустое множество W с отношением частичного порядка > и
операциями ®, ®, удовлетворяющими свойствам коммутативно-
сти, ассоциативности и дистрибутивности, а также содержащее
нулевой и единичный элементы: а® 0— а, а ® 1 = а, а® ЪХ а.
Во-вторых, рассматриваются инструкции следующего вида:
start: go to А	(инструкция начала);
L: do F; go to Li	(инструкция операции);
L-. if Р then go to (£и ..., Ln) (инструкция условия);
halt	(инструкция окончания);
где L, Lt, ..., Ln^3? (множество символов меток инструкций);
F^SF (множество символов операторов или функций); Р^-ЗР
(множество символов га-значных предикатов или условий).
Введение понятия инструкции позволяет определить понятие
программы. Под программой понимается конечное множество ин-
струкций л, содержащее точно одну инструкцию начала, и ни-
какие инструкции из л не имеют одинаковых меток.
В-третьих, определяется понятие W-машины. W-машина есть
функция J?, определенная на множество символов {/} U tJ SP U
U {О}, для которых существуют множество входов X, множество
состояний памяти М и множество выходов Y, а также выпол-
нены условия:
1)	Л(1): XX М -> W (функция входов);
2)	V F е SF Л (F): М X М ->-W (функция операций);
3)	VP е & п Z> О Л(Р)-. М X {1, • • •> и}-” W (функция
условий);
4)	Л {О): М X Y -> W (функция выхода).
Символы О и I обозначают выход и вход. И, наконец, в-чет-
вертых, программа л вместе с W-машиной, которая допускает л
(т. е. машина определена на всех операциях F и условиях Р,
содержащихся в инструкциях операций и в инструкциях условия
программы л), называется нечеткой программой. Следовательно,
Последовательность инструкций, составляющих нечеткую програм-
му, определяет нечеткий алгоритм.
В работах [24, 48, 41] формулируются различные определе-
ния нечетких алгоритмов, обобщаемые приведенным выше опре-
делениям: в [41] рассматриваются две эквивалентные формули-
ровки нечетких алгоритмов, аналогичные определениям алгорит-
мов Тьюринга [52] и Маркова [И]; в [24, 48] рассматриваются
нечеткие алгоритмы, которые описываются конечными нечеткими
автоматами, т. е. такие алгоритмы, для которых у соответству-
ющих W-машин из приведенного определения множества X, М, Y
являются конечными.
Пример 8.1. Конкретные типы алгоритмов могут быть по-
лучены посредством выбора множеств {W, Л/, X, У}, функций
(входов, действий, выходов, условий), операций (®, ®), отно-
200
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
шения X Рассмотрим некоторые случаи выбора множеств, функ-
ций, операций, отношений [42]. Пусть W, U, V — непустые мно-
жества, тогда функцию f из U X V в W будем называть Ж-функ-
цией / из U в V; f(v\u) есть степень, с которой значение функ-
ции в точке и есть v. Ж-функция является вероятностной, если
для любого и s U существует / (v | и) и 2 f (и 1м) = 1 •
Ж-функция является детерминированной, если для любого
и s U существует и0 е V: f(p0|w)=l и для любого f(v\u) =
= 0. Если множество W с определенными на нем операциями и
отношениями записать в виде четверки (W, ®, ®, °°), то чет-
верка Wx = {[0, 1], max, min, определяет максиминную ма-
шину, Wn = {3?+, +, •,	— взвешенную машину (5?+ — множе-
ство неотрицательных действительных чисел), Wi — {[0, 1], min,
max, — минимаксную машину, WT = {[0, 1], max, •, :Х) —
максимально взвешенную машину, ИХ-= {{0, 1), max, min, —
недетерминированную машину.
Взвешенная машина является вероятностной, если функции
входа, действий, условий, выхода являются вероятностными. Лю-
бая же машина, в которой перечисленные функции являются де-
терминированными, называется детерминированной.
Рассмотрим программу л, которую допускает TV-машина Л.
Для каждой пары меток L', L" и пары состояний т,, т2е=М
будем писать (L', тх) (L", т2), если в программе л либо
имеется инструкция вида L': doF; gotoL", где w — Лг(т2\т1)
есть степень, с которой осуществляется переход из состояния
mt в состояние т2, либо имеется инструкция вида
L': if Pthen go to (Lt, ..., L„), где mt — m2, L" — Lh для некото-
рого к: i^k^n, и w = ЛР(к\т1) есть степень, с которой осу-
ществляется переход на метку Lk.
Выполнением программы л на Ж-машине Л, допускающей л,
называется конечная последовательность хЪ^тат^ ... Lnmny, в
которой х и у называются началом и окончанием выполнения
программы лив которой х s X, у е У, Li е 3?, т
i = 0, ..., п; Lo, Ln — метки инструкций соответственно начала
и окончания. Выполнение возможно тогда и только тогда, когда
w — wa ®	® ... ® wn+l 0, где w, Wi е= W, i = 0, ..., п + 1;
wQ = Лг{т0\х), wn+l = Ла(у\т„), wt:	для
i = 1, ..., п.
Таким образом, возможное выполнение определяет последо-
вательность инструкций программы л, которая может быть реа-
лизована на hF-машине. Таких последовательностей может быть
несколько.
Приведем другую формулировку нечеткой программы, кото-
рая была введена в [24], а дальнейшее ее обобщение и приложе-
ния были обсуждены в [48]. В [42] показано, что рассматривав-
§ 8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО АЛГОРИТМА
201
мая ниже формулировка является частным случаем выше при-
веденного определения нечеткой программы, так как в [24, 48]
машины рассматриваются с конечным множеством состояний, ко-
торые моделируются конечными автоматами.
Для определения нечеткого алгоритма (нечеткой программы)
первоначально вводится понятие обобщенной машины, на осно-
ве которого определяется понятие обобщенной нечеткой маши-
ны, которое позволяет формализовать понятие нечеткого алго-
ритма.
Обобщенная машина есть шестерка А=(К, S, Ч7, s0, Т, И7),
где К и 5 — конечные непустые множества машинных инструк-
ций и внутренних состояний соответственно, W — непустое мно-
жество с отношением частичного порядка > и операциями ®, ®,
удовлетворяющими свойствам коммутативности, ассоциативности
и дистрибутивности, а также содержащее нулевой и единичный
элементы:
а ® 0 = а, а • 1 = а, а<а®Ъ\
Ч7 JV-функция переходов из состояния в состояние; Ч7: К X 5	5;
So и Т — начальное состояние и множество финальных состояний.
Для цепочки инструкций k* = ktk2... е К* (К* — множе-
ство всевозможных цепочек инструкций) переход из состояния
s0 в s определяется степенью
47(s0, kt,	кг, s2)® ...0¥(м, kn, s).
Если I — пустая цепочка инструкций, то задается расширенная
JV-функция Ч7 для любой
цепочки к* е К* и s, s' е S
следующим образом:
пр / 7	1^, если s s •
V (s, I, s ) =
11, если s = s ,
47(s, k*, s')=®(47(s0, ku
sO® ... ® Ч7 kn, s')),
Si 6= s.
Обобщенная нечеткая ма-
шина определяется парой
(4, 2), рде А — обобщен-
ная машина, S — конечное
множество нечетких инст-
Рис. 8.1. Выполнение нечеткой инструк-
ции о
рукций и каждая нечеткая инструкция о из 2 есть JV-функция
из 5 в К. В [48] рассматриваются случаи, когда у обобщенной
и обобщенной нечеткой машин множества W различны. Воз-
можность такого введения проиллюстрирована на рис. 8.1 выпол-
нением обобщенной нечеткой машиной нечеткой инструкции о,
когда машина находилась в состоянии $. Величина р. указывает
степень выбора для выполнения машиной инструкции kt, при
202
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
этом р.< может быть, например, из [0, 1] X {0, 1). Величина —
степень перехода из состояния s в состояние ss при получении
инструкции kt. Очевидно, что множество весов (степеней), опре-
деляющих переходы из состояния в состояние, не обязательно
должно совпадать с множеством степеней W, определяющих вы-
бор машинных инструкций.
Рассмотрим различные типы нечетких машин, полученные при
различных V и W.
Пр и м е р 8.2. Если в определении обобщенной машины кон-
кретизировать различным образом W, то получим различные ти-
пы обобщенных машин. Если W—V—Wx = {[0, 1], шах,
min, ^}, то это нечеткая машина. Если W = V = WN, то это
недетерминированная машина. Если W = V = Wn — {{0, 1), шах,
min, и существует единственное s': Y (s, к, s')=l для лю-
бых s, к, то это детерминирванная машина. Если W = V = WP —
= {[0, 1], +, •, ^} и 2 4е(s, к,, s') = l, то это вероятност-
ная машина.
Различные типы обобщенных нечетких машин можно полу-
чить в результате выбора различных W-функций (см. табл. 8.1,
где числа указывают номера типов машин).
Таблица 8.1
Обобщенная машина Функция выбора	Нечеткая	Детерминиро- ванная	Недетермини- рованная	Вероятност- ная
Нечеткая	1	2	3	4
Детерминированная	5	6	7	8
Недетерминированная	9	10	11	12
Вероятностная	13	14	15	10
Определение 8.1. Пусть (Л, S)—обобщенная нечеткая
машина, где А=(К, S, Чг, s0, Г, W) —обобщенная машина, S-
конечное множество нечетких инструкций. Любой элемент
а = ощг... о„ S*, о( е S, называется элементарной нечеткой
программой, а любая функция из S* в W называется нечеткой
программой, т. е. нечетким алгоритмом, например, регулярное
выражение на множестве S.
Выполнение последовательности о = OiO2... оп на обобщенной
машине А есть последовательность
. knsn, где Sis S, k{e К, sn e T.
Весом, соответствующим выполнению, является элемент
W G= W: w = Wi О	О w2 О «4  • • wn О w'ni
§ 8.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЧЕТКОГО АЛГОРИТМА
203
где
wt = Oj (ki | s^i), w\ = i|> (sj | Jc{, sj-j).
Выполнение возможно тогда и только тогда, когда w =/= 0. Если
Oj и Т принимают значения из различных множеств W и V,
то вес, соответствующий выполнению, будет определяться парой
(w,	—	Pi®...®P„). В этом случае говорят, что
программа о выполнима с весом (w, v), если (w, к)>(0, 0).
Пример 8.3. Пусть ® на W = [0, 1] означает min, ® на
V = {0, 1} означает min или произведение •, тогда обобщенная
нечеткая машина будет нечетко-детерминированной и соответ-
ствующий вес будет вычисляться следующим образом:
(ш, н) = (шх Д w2 А • • • Л 1) при этом выполнение воз-
можно только тогда, когда Т (s0) К, Si) =... = Y (s„-i, кп, sn) = l.
Пример 8.4. Пусть [24, 42, 48] имеется последовательность
инструкций для водителя автомобиля и карта местности (города).
Водителю предлагается найти место назначения, используя карту
и последовательность нечетких инструкций, описывающих марш-
рут. Для простоты изложения предложим, что все точки на пло-
скости имеют только целочисленные координаты. Типичные ин-
струкции для водителя: «двигаться прямо около L метров», «по-
вернуть налево», «повернуть направо», «двигаться прямо до тех
пор, пока не встретишь...» (станцию,! светофор).
Сконструируем соответствующую РГ-машину М. РГ-машина
имеет множество состояний памяти М в виде триад (а, Ъ, F),
где (а, Ь) — точка на плоскости, соответствующая местонахожде-
нию автомобиля, v — единичный вектор направления движения
автомобиля. Множество входов X = М, множество выходов Y со-
стоит из упорядоченных пар (a, b); Mi — функция входов, соответ-
ствует тождественной функции; Мо — функция выходов, соответ-
ствует функции, отображающей каждую тройку (а, Ь, v) в (а, Ь).
Машина М не имеет ни одной функции условия. Каждой
инструкции, приведенной выше, соответствует функция операции.
При этом г-я инструкция в последовательности инструкций мо-
жет быть преобразована в инструкцию операции вида do 7^;
gotoL(. Совокупность таких инструкций и инструкций start:
go to Lo и Ln: halt, где n — длина последовательности, составляет
программу л. Процесс выполнения программы л на машине М
определяется последовательностью инструкций и картой местно-
сти. Для краткости приведем только функцию операций для ин-
струкций типа «двигаться прямо около L метров»:
•^rL((a2, Ъ2, v2)j(ax, Ь15 v^) =
= /ь ( К(а2 — aj2 + (Ь2 — bi)2) X G((a2, Ъ2, v^/(ar, Ъг, щ}),
где Л. (d) — степень (вес), соответствующая расстоянию d,
G((a2, b2, v2) I (a,, bi, Vi)) —вес, соответствующий утверждению:
204
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
«точка (аг, Ьг) и направление и2 достижимы при движении пря-
мо из точки (аи bt) по направлению гл».
Примеры функций fL и G: fb(d) = [1 + ((L — d)/c)2]-1, где
с — параметр: С((а2, Ь2, Ь2) I (аъ Ь15 гл))=1 тогда и только тогда,
когда гч = г2 вектор из (ait bi) в (а2, Ь2) параллелен г, и каж-
дая точка на отрезке линии, проходящей через (аь 6,) и (а2, Ь2),
имеющая целые координаты, есть точка на карте. Очевидно, что
fL зависит только от L, a G зависит только от карты. Другие
функции операций могут быть построены аналогично. Нечеткий
алгоритм, описывающий движение автомобиля к месту назначе-
ния, определяется конкретной последовательностью инструкций
приведенного вида, которая реализуется на рассмотренной
И7-машине.
Пример 8.5. В [24] рассматривается нечетко-детерминиро-
ванная машина (в табл. 8.1 тип 2). Функция переходов из со-
стояния в состояние считается детерминированной, а степень вы-
бора машинной инструкции kt, когда машина находится в со-
стоянии st и получает нечеткую инструкцию о,-, определяется
функцией Oi(s4, ki) — min(f(Si, о,-, к{), A(sf, Oi, /с()), где f —
функция осуществимости, а А — функция выполнимости. Функ-
ция / дает объективные ограничения на выполнение определен-
ных машинных инструкций. Например, если f(s, о, к)=1, когда
машина в состоянии s получает нечеткую инструкцию о, то ма-
шинная инструкция к может быть выполнена. Аналогично, если
/(s, о, к) —0, то инструкция к не может быть выполнена. С дру-
гой стороны, функция А дает субъективную оценку выполнимо-
сти машинной инструкции в рассматриваемой ситуации. Напри-
мер, если A(s, a, /л) = 0,9; A(s, о, &2) = 0,5, то, когда машина
находится в состоянии s и получена нечеткая инструкция о,
субъективно машинная инструкция kt дает лучшее выполнение,
чем к2. Функции А и / рассматриваются для независимого ана-
лиза субъективных и объективных ограничений.
В [6] рассматриваются области применения нечетких алго-
ритмов. Приводятся следующие примеры:
—	алгоритмы определения сложного нечеткого понятия А
через более простые понятия, которые легко описать нечеткими
множествами; результатом применения таких алгоритмов к неко-
торому элементу и области рассуждений U будет степень при-
надлежности и понятию А (степень, с которой элемент и может
характеризоваться понятием А);
—	алгоритмы порождения, в результате выполнения которых
порождается один из элементов нечеткого множества, которое
описывает интересующее нас понятие (например, алгоритм по-
рождения образцов почерка, рецептов приготовления пищи, сочи-
нения музыки, предложений в естественном языке);
—	алгоритмы описания отношений между нечеткими пере-
менными, например, в виде последовательности нечетких инет-
§ 8.2. ВЫПОЛНЕНИЕ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
205
рукций типа: «если х мало и х увеличить слегка, то у увеличит-
ся слабо»; такие алгоритмы позволяют приближенно описывать
поведение систем, входные и выходные сигналы которых являют-
ся нечеткими подмножествами;
— алгоритмы принятия решения, позволяющие приближенно
описывать стратегию или решающее правило, например, алгоритм
переезда перекрестка, содержащий последовательность действий
(операций), которые необходимо выполнить, при этом описания
этих действий содержат нечеткие понятия типа: нормальная
скорость, несколько секунд, медленно приближаться.
§ 8.2. Способы выполнения нечетких алгоритмов
Для реализации поиска какого-либо выполнения нечеткого ал-
горитма о = 0102 ... о„ необходимо определить правила выбора
машинной инструкции на каждом шаге.
В [24] предложена простая процедура выполнения, согласно
которой выбирается инструкция к{ с наивысшей степенью
Wi =	к{) по отношению к нечеткой инструкции о<.
В [48] обсуждается наиболее общий способ выполнения не-
четких алгоритмов. Определение обобщенной нечеткой машины
позволяет различным образом определить не только выбор машин-
ных инструкций, но и переходы из состояния в состояние. На-
пример, если целевое состояние не достигнуто (водитель не до-
стиг заданного местоположения в примере 8.5), то необходимо
либо выполнить другую машинную инструкцию, либо осуществить
другой переход из состояния в состояние. Если не существует
пригодной машинной инструкции для данной нечеткой инструк-
ции о,-, то реализуется процедура возврата (шаг назад) к нечет-
кой инструкции о,-,.
Правила выбора машинной инструкции и переходов из со-
стояния в состояние зависят от типа обобщенной нечеткой
машины.
Выбор машинных инструкций, а)' Нечеткий выбор:
машина выбирает машинную инструкцию kt^K(i, s(i—1)) с
наивысшей степенью на каждом шаге Оь оДх,-!, к)~^ оДя,-,, к')
для любой инструкции к' е К.
б) Вероятностный выбор: машина на каждом шаге нечеткой
инструкции о,- выбирает инструкцию k^K(i, js(_±) с вероятно-
стью р, пропорциональной нечеткой степени 0,(81-!, к)
P = Gi (sj-i, к)I Ji («i-i, к' <= К (i, Sf-i).
в) Недетерминированный выбор: машинная инструкция
k^K(i, Si-j) выбирается недетерминированным образом.
Определение перехода из состояния в состоя-
ние. а) Нечеткий переход: машина переходит из состояния s<
206
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
в состояние s: T (Sj-i, /с,-, s)>4r(si_1, kt, s') для любого состоя-
ния s' е K(i, st-t, kt).
б) Вероятностный переход: машина переходит из состояния
St-t в состояние s, с вероятностью
Р = Т(.^_П к,, s)/	2	kh s').
в) В случае детерминированного перехода состояние, при-
годное для машины, единственным образом определяется функ-
цией переходов Т.
Процедура возврата: а) вернуться на предыдущую не-
четкую инструкцию;
б) вернуться на нечеткую инструкцию, соответствующую ма-
шинной инструкции с наивысшей функцией принадлежности в
ряде машинных инструкций, выбранных последовательно до дан-
ной нечеткой инструкции;
в) осуществить возврат так же, как описано в пункте б),
но при этом машинная инструкция выбирается со степенью бо-
лее высокой, чем выбрана перед этим.
§ 8.3. Представление нечеткого алгоритма
в виде графа
Во многих случаях нечеткий алгоритм удобно представлять
в виде ориентированного графа [23]. Каждой дуге ставят в соот-
ветствие инструкцию условия и инструкцию операции. Входные,
выходные, внутренние переменные в нечетком алгоритме пред-
ставляются нечеткими множествами. Выполнение алгоритма эк-
вивалентно поиску в графе пути, связывающего помеченные вер-
шины: начальные и конечные. Приведем необходимые для
дальнейшего изложения известные определения графа и пути
в графе.
Определение 8.2. Графом G называется тройка (V, U, ср),
где V = {р} — множество элементов, называемых вершинами гра-
фа U = {и) — множество элементов, называемых ребрами графа,
причем V П U — 0, <р — функция, ставящая в соответствие каж-
дому ребру и е U упорядоченную или неупорядоченную пару
вершин (vt, v2), Vt и v2 называются концами ребра и. Если
множество U U V конечно, то граф называется конечным. Если
ф(н) = (щ, v2)—упорядоченная пара (т. е. щ ¥= р2 (щ, v2) Ф
=^(Р2, v^), то ребро и называется ориентированным ребром или
дугой, исходящей из вершины щ и входящей в вершину р2, Vt,
называется началом, v2 — концом дуги и. Граф, все ребра кото-
рого ориентированные, называется ориентированным графом.
Определение 8.3. Последовательность вершин и ребер
графа <?. viu1viiu2...vin_1unvin называется путем [р,0, vin) из
§ 8.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА В ВИДЕ ГРАФА
207
вершины vi() в вершину vin, если <р(«л) =	для
к — 1, 2, ..п. Вершина	называется началом, a vin концом
пути, число п называется длиной пути.
Определение 8.4. Нечеткая программа есть четверка
(X, У, Z, G), где X — (Xi, ..., xt)—вектор входа, У =
= (yi, ..., уп)—вектор программы (внутренние переменные),
Z = (z4, ..., zm) —вектор выхода, G — ориентированный граф:
1)	х^ у{, zt — нечеткие переменные, определяющие нечеткие
множества на U, V, W;
2)	в графе G существует точно одна вершина, называемая
начальной (стартовой), которая не является конечной вершиной
никакой дуги, и существует точно одна вершина, называемая ко-
нечной (финальной), которая не является начальной вершиной
никакой дуги: любая вершина графа находится на некотором пути
из стартовой S в финальную вершину Я;
3)	в графе G любая дуга а, не ведущая в Я, связана с не-
четким отношением Ва(Х, У) и нечеткой инструкцией У =
= fa(X, У); каждая дуга а, ведущая в Я, связана с нечетким
отношением Ва(Х, У) и инструкцией z — fa(z, х, у), где В —
нечеткое отношение и / — нечеткая операция типа пересечения,
объединения, операция нечеткой арифметики, оператор размы-
вания, оператор типа модификаторов и т. д.
Далее понадобятся следующие свойства нечетких множеств.
Пусть Л и Я нечеткие подмножества соответственно на U
и V, В — нечеткое отношение в ЯХУ, А* — В°В— нечеткое
множество в Я, индуцированное В, В* = В ° А — нечеткое мно-
жество в V, индуцированное А;
ABB: ilarb(u, v) = рл(и) Д (и, и) Д рв(р),
П (Я, Я) — проекция В на Я, тогда справедливы следующие
свойства:
Свойство 8.1. ЩАВВ, Я) = ЛПЛ*, П(ЛЯЯ, У) = ЯПЯ*.
Свойство 8.2. Если А' = ЩАВВ, U), то А'ВВ = АВВ.
Свойство 8.3. АВВ* имеет наивысшую степень истинности
среди всех АВС для любого нечеткого множества С из V.
В графе, описывающем алгоритм, выделяются дуги с усло-
вием и без условия (далее вместо знака равенства, обозначающе-
го пересылку значения, будем использовать стрелку *-):
а)	без условия; У /О(Х, У);
б)	с условием: если Ва(Х, У), то У*-/о(Х, У);
в)	с условием:
Х^П(ЯДХ, У), Я) = ХПХ*;
У^ЩЯДХ, У), У)=УЛУ*;
Y^fa(X, У).
Заметим, что условие б) эквивалентно условию в форме в)
208
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
зом: г представляет сооои ту
Рис. 8.2. Граф нечеткого алгоритма
[start: рг, р2; L: if у2 then (р3, Pt,
go to Л); if г/i then ps; halt]
минимальное число шагов для
(свойство 8.1). Такую замену можно пояснить следующим обра-
величину, которая удовлетворяет
отношению Ra при наличии X,
а пересечение У* П У есть та
часть У, которая удовлетворяет
отношению Ra.
Возможны следующие усло-
вия завершения работы.
1.	Если Z имеет не нулевую
степень принадлежности.
2.	Если существуют элемен-
ты из Z, чьи степени принад-
лежности выше, чем некоторый
заранее заданный порог.
3.	Если осуществлено зара-
нее заданное число шагов или
достижения определенного зара-
нее результата.
4.	Если пользователь, оценивая по своему критерию резуль-
таты очередного цикла, останавливает работу.
Пример 8.6. Рассмотрим алгоритм, изображенный на
рис. 8.2, где несколько = {0,814, 115, 0,816);
(«)={p(z, y)l(z, у): р(у, z)=l- ly-z|, при \у - z| 1);
р,: У^Мад; р2: У2 ч--{11 23};
р3: Y1-^-Y1 +несколько; ур. Y1(^)Y2;
Pi- У2ч—У2 — несколько; у2: У1~](«)У2;
Р-,' z~<r~Y1 + У2.
Проследим последовательность выполнения.
Таб лица '8.2
	Последова- тельп ость вершин	У,	У	Z
1	S						
2	SV	1/10,5	1/23	—
3	SVII	0	0	0
4	S VV	0,8/14,5, 1/15,5 0,8/16,5	0,8/19, 1/18 0,8/17	—
5	SVVH	0,5/16.5	0,5/17	0,5/33,5
На дуге (5V) присваиваются начальные значения (вторая
строка табл. 8.2).
Далее возможны последовательно следующие переходы
SVH: Ух^-У! П У* +-{1110,5} П 0^-0,
У2Ч-У2 n у£«-{1|23} п 0^-0,
5 8.4. АЛГОРИТМЫ ОБУЧЕНИЯ
209
где
Ух = 1|10,5,
Уа = 1123;
(«) = 01(10,5, 23)
УГ = («) = У2= 0,
у* = («) о У1 = 0,
SFF: Z —Ух + У2—0 + 0 — 0.,
Ух —Ух П У? - {0,8 110,5} Q {1110,5} —-{1 \ 10,5},
У2-У2 П У* —{1|23} п {1 [23} —{1123},
где
У; = (П(^))°У24
у: = У2°(П(~)).
Далее вычисляем:
У, — У, + несколько {1110,51 + {0,8|4, 11’5, 0,8161 —
-{0,8114,5, 1115,5, 0,811651,
У2 — У2 + несколько —
- {11231 - {0,814, 115, 0,8161 - {0,8119, 1118, 0,81171,
SVVH: Ух —Ух П У^ —{0,8114,5, 1 115,5, 0,8116,5} П
П {0,5116,5} —{0,5116,5}.
У2 — У2 п у* — {0,8 119, 1118, 0,8117} Q {0,5 117} —
— {0,5 117},
где
14,5 /19	18	17\	, _	_	„ _
V* I \ V 15,5/ 0	0	0 |	14’° 13,5 16’°
yj=(«) = y, = ’I	о	01о(1);8	!	0,8)	= 0,0)16,5;
16,5 \0 О О/
19 18 17
17 /0,8\ /ООО/ 14,5
У* = Ух о («) = 18 1 о 0 0 0	15,5 = {0,5117};
19 \0,8/ \0 0 0,5/ 16,5
Z У. + У2 - {0,5116,51 + {0,51171 - {0,5133,51.
Выполнение продолжается аналогично для SVVV, SVVVII,
SVVVV и т. д., пока будет удовлетворено выбранное условие за-
вершения.
§ 8.4. Алгоритмы обучения
Известно, что обучающиеся системы улучшают свое функцио-
нирование в процессе работы, модифицируя свою структуру или
значения параметров [26]. Предложено большое число способов
описания и построения обучающихся систем. Все они предпола-
гают решение следующих задач: выбор измерений (свойств, ре-
цепторов) [12]; поиск отображения пространства рецепторов в
пространство признаков, которые осуществляют вырожденное
отображение объектов [17]; поиск критерия отбора признаков.
210
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
Причем в разных задачах для получения хороших признаков мо-
гут понадобиться разные критерии отбора [4, 5]. При обучении
необходимо отвлечься от различий внутри класса, сосредоточить
внимание на отличии одного класса от другого и на сходстве
внутри классов [4]. Необходим достаточный уровень начальной
организации обучающейся системы. Для сложной структурной
информации необходима многоуровневая обучающаяся систе-
ма [14].
Следует выделить следующие группы нечетких алгоритмов
обучения: обучающийся нечеткий автомат, обучение на основе
условной нечеткой меры; адаптивный нечеткий логический регу-
лятор; обучение при лингвистическом описании предпочтений.
Рекуррентные соотношения в алгоритмах первых двух групп
позволяют получать функцию принадлежности исследуемого поня-
тия на множестве заранее известных элементов. В третьей груп-
пе алгоритм обучения осуществляет модификацию нечетких ло-
гических правил для удержания управляемого процесса в до-
пустимых границах. В четвертой группе нечеткий алгоритм
обучения осуществляет поиск вырожденного отображения прост-
ранства свойств в пространство полезных признаков и модифика-
цию на их основе описания предпочтения.
8.4.1. Обучающийся нечеткий автомат. В [54] предлагается
нечеткий автомат в качестве модели обучающейся системы. Рас-
сматривается автомат с четким входом i(t) и зависимым от
времени печетким отношением перехода 6(£). Пусть s(t)—не-
четкое состояние автомата в момент времени t на конечном мно-
жестве состояний S = {si, ..., sn} и h — оценка значения i(t).
Состояние автомата в момент времени (i + 1) определяется
max-min композицией:
= supmin(p7(/) ta)’	h, s;)),
J
или аналогично с min-max композицией. Обучение направлено
на изменение нечеткой матрицы переходов:
Цб(/)	Sjj Цб((—1)	I/, £&), 7^^,
hi sh) ~ asP-6(t-i) (sk, it, ss)"^(l — осй)А.й(£),
где 0<ccfe<l, 0<A.ft(t)^l, k = l, n. Константа опре-
деляет скорость обучения. Начало работы автомата возможно без
априорной информации (0) (хй) = 0 или 1, а также с априор-
ной информацией P-7Cn)(sft) = ^s(O). Величина зависит от
оценки функционирования автомата. Доказано, что имеет место
сходимость матрицы переходов, независимо от того, есть ли ап-
риорная информация (т. е. Н7(0) С^) может быть любым значе-
нием из интервала [0, 1]) .
Описанная модель в [27] используется для выделения опти-
мальных стратегий в игре двух автоматов с нулевой суммой,
§ 8.4. АЛГОРИТМЫ ОБУЧЕНИЯ
211
а в [54] — для классификации образцов. На рис. 8.3 изображена
модель классификации образов. Роль входа и выхода можно
кратко объяснить следующим образом. Во время каждого ин-
тервала времени классификатор образов получает новый образец
Обучающаяся cuc/aeaa
Рис. 8.3. Модель классификации образов
х' из неизвестной внешней среды. Далее х’ обрабатывается в
рецепторе, из которого поступает как в блок «обучаемый» (или
«студент»), так и в блок «учитель» для оценки. Критерий оценки
должен быть выбран так, чтобы его минимизация или максими-
зация отражала свойства классификации (классов образов). По-
этому, благодаря естественному распределению образов, критерий
может быть включен в систему, чтобы служить в качестве учи-
теля для классификатора. Модель обучения формируется следу-
ющим образом. Предполагается, что классификатор имеет в рас-
поряжении множество дискриминантных функций нескольких пе-
ременных. Система адаптируется к лучшему решению. Лучшее
решение выделяет множество дискриминантных функций, кото-
рые дают минимум нераспознавания среди множества дискрими-
нантных функций для данного множества образцов.
Близкая модель обучения предложена в [34, 18, 19, 29]. Мо-
делируется поиск глобального экстремума функции:
—	область определения целевой функции делится на некото-
рое число подобластей (форма подобластей постоянно меняется)
и описывается некоторым множеством точек;
—	каждой точке приписывается состояние автомата, причем
функция принадлежности в каждом состоянии указывает степень
близости к оптимуму;
212
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
—	выбирается состояние с максимальным значением функции
принадлежности (эта точка называется кандидатом);
—	формируется новая подобласть из точек, окружающих кан-
дидата (размер подобласти растет, когда значения целевой функ-
ции в точке кандидата меньше чем в других точках подобласти,
и уменьшается в противоположном случае);
—	когда подобласть пересекается с некоторой другой, или
две точки-кандидаты находятся в одной подобласти, то подобла-
сти разделяются, если степень разделения большая, или объеди-
няются, если степень разделения малая;
—	точки-кандидаты выбираются на этапе локального поиска
в подобласти, затем во всей области среди точек-кандидатов
ищется глобальная оптимальная точка;
—	глобальный и локальный поиск осуществляется пооче-
редно.
Алгоритм поиска глобального экстремума приведен на
рис. 8.4.
Пусть S — множество состояний, V — выходной универсум,
о — функция выхода (функция принадлежности, указывающая
Рис. 8.4. Блок-схема алгоритма поиска глобального эстремума
степень оптимума в состоянии s). Z(f)—текущее значение це-
левой функции, 1а — среднее значение 1(1}.
Используется следующий алгоритм изменения функций пере-
хода и выхода в случае глобального поиска:
§ 8.4. АЛГОРИТМЫ ОБУЧЕНИЯ
213
если	то попытка успешна и
Sj) =	«j)+ (! — «),
если Z(f)^Z0, то попытка неудачна и
Н<ш+п (vt, s1) = ano(ty(v(, Sj),
где a = 1 — I (Z(f) —Zo)/Zo|; a < 1 — гарантирует сходимость.
В случае локального поиска:
если Z(f)>Z0, то
Цв((+1)(р<, Sj)= a|ia(i)(Pi, s3) + (l-a),
если Z(£)sSZ0, то
Цб((+1)(г,-, s3) = ap0((s3).
Приложение описанного алгоритма к проблемам ядерной
энергетики описано в [46] к структурной идентификации — в [49].
8.4.2.	Обучение на основе условной нечеткой меры. В [47, 50]
описывается модель обучения, использующая понятия нечеткой
меры и нечеткого интеграла.
Пусть X = {xh ..., хпУ — множество причин (входов) и
У = {г/i, ..., ут} — множество результатов. Если h — функция
из X в интервал [0, 1], h(xl)^ ...^h(xn) и gx — нечеткая мера
на X, то
%h(x)-gx(-) = max по in (h (^), gx(Hi)),
X	i=l.«
где Ну = {xt, ..., xn}.
Задача состоит в оценке (уточнении) причин по нечеткой ин-
формации.
Пусть gr — нечеткая мера на У, gr связана с gx условной
нечеткой мерой ог(-.|х):
gY = % сту (• | x)°gx.
х
Предполагается следующая интерпретация вводимых мер:
gx оценивает степень нечеткости утверждения «один из элемен-
тов X был причиной», стг(Л|я:), А <= У, оценивает степень нечет-
кости утверждения «один из элементов А является результатом
благодаря причине ж»; gr({y)) характеризует степень нечеткости
утверждения: «у— действительный результат».
Пусть Цл (у) описывает точность информации А, тогда по
определению
gy И)= J На (у)°£у>
Y
214
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
откуда следует, что
gY (-4) = J На (У)
X
<Jy(- \x)°gx
= j'CTy (Л |«)ogx(.),
X
где сту (Л | х) = [Ха (у) ° gy (• | ^)-
у
Метод обучения должен быть таким, чтобы при получении
информации Л нечеткая мера gx менялась таким образом, чтобы
^у(Л) возрастала. Предположим, что gx(-) и (Тг(-1я) удовлет-
воряет Х-правилу. Пусть ог(Л|я:<) является убывающей, тогда
gy(4)= V [°у (л I *i) А О»
1=1
где Ft = {%t, ..., х{}. При этих условиях существует I:
gx(A) = сту (Л | xt) Д gx(Fi),
Gy 01 xi) Д gx (F i) сту (Л | xi-J f\ gx(F
Gy (-41 xt) A gx (Ft) > сту (Л | ж;+1) A gx (Fl+1).
Обучение может быть осуществлено увеличением тех значений
g' (i = l, ..п) нечеткой меры gx, которые увеличивают gx(A),
и уменьшением тех значений gi (i= 1, ..п) меры gx, которые
не увеличивают gx(A). Можно показать, что на величину gx(A)
влияют только такие g\ что 1 i I. Следовательно, алгоритм
обучения следующий:
g’ = ag’’ + (l — а)о?(Л к4); i=l, ..., Z;
g’’ = ag‘; i = I + 1, ..., n.
Параметр a e [0, 1] регулирует скорость обучения, т. е. ско-
рость сходимости g’. Чем меньше а, тем сильнее изменяется g'.
В приведенном алгоритме нет необходимости увеличивать g1
(i = l, ..п) больше, чем на Ог(Л|а;,), так как большее уве-
личение g" не влияет на gx(A). Приведем некоторые свойства
модели обучения.
Свойство 8.4. Если повторно поступает одна и та же ин-
формация, то имеет место следующее:
а)	новое gi больше старого g' (i = 1, ..., I) и новое g{ меньше
старого g{ (i = /+l, ..., п), следовательно, новая мера gr(A) не
меньше старой меры gr^) и новая мера:1
gy (Л) = оу (Л | xh) A gx (Fh), k^l-
б)	при предположении	(Л | Ж1) > (Л I ат2), к < I, g* сходится
К (Ту (Л к,) и g’ сходится к 0 для i = 2, ..., п.
Свойство 8.5. Если поступает одна и та же информация
повторно: hA(y)=c для всех у, то сту (Л | х) = с ° оу (• | х) = с,
у
§ 8.4. АЛГОРИТМЫ ОБУЧЕНИЯ
215
Оу(Л) = с Д gx(X). Следовательно, 1 = п и g* сходится к с для
всех i.
Свойство 8.6. Предельное значение g* не зависит от началь-
ного значения тогда, когда на вход повторно поступает одна и
та же информация.
Пример 8.7 [47]. Пусть or({yjk() подчиняется Х-правилу и
имеет вид:
У1
/0,7
x2l °’4
= жз °’16
1 0,08
г \0,17
О
У2	У3 !/,	Уъ
0,23 0,16 0,8	0,39\
0,64	0,32	0,16	0,08	\
0,49	0,57	0,24	0,16	],
0,16	0,04	0,64	0,32	I
0,34	0,25	0,45	0,5 /
Ясно, что у, является результатом в основном причины х,. На
рис. 8.5 показано изменение априорной нечеткой плотности gx при
Рис. 8.5. Изменение оценок априорной нечеткой информации: а — в случае
четкого подтверждения; б — в случае нечеткой информации подтверждения;
в — в случае нечеткого попеременного подтверждения
повторном появлении на входе одной и той же информации. На
рис. 8.5, в на вход поступает переменно два различных множества:
йлх = (0,3, 0,8, 0,6,0,2, 0,1) и = (0,1, 0,2, 0,6, 0,8, 0,3).
В случае рис. 8.5, а на вход поступает hA = (0, 0, 1, 0, 0), а в слу-
чае рис. 8.5, б на входе hA = (0,3, 0,5, 0,8, 0,5, 0,3). На рисунке
числа указывают номер итерации.
Обучающаяся модель достаточно хорошо работает с нечеткой
информацией, но скорость сходимости в этом случае меньше.
Пример 8.8. В [50, 53] описывается обучающаяся модель,
разработанная на основе изложенного подхода и используемая
для глобального поиска экстремума неизвестной функции с не-
сколькими локальными экстремумами. Для поиска глобального
экстремума формируются критерии в виде некоторых функций:
Xt — оценивает число точек, проанализированных на преды-
дущих шагах;
216
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
хг — оценивает среднее значение функции по результатам
предыдущих шагов;
х3 — оценивает число точек, значение функции в которых
принадлежит десятке лучших-в своей области;
Хь— оценивает максимум по прошлым попыткам;
х3 — оценивает градиент функции.
В описываемом случае gx показывает степень важности под-
множеств критериев и Оу ({*/;) I а?,) оценивает предположение о на-
хождении экстремума в блоке в соответствии с критерием хг.
Например, ог({у,} IХг) может зависеть от числа ранее проанали-
зированных точек в блоке у,. Пусть входная информация А опре-
деляется формулой
Pj — m.in pk
Ца (Vi) =--------—-----,
‘	m (Х р — П)1И	7
k	k
где pk максимум анализируемой функции, найденный к рас-
сматриваемому моменту в блоке Очевидно, что А сходится к
максимизирующему множеству функции. На каждой итерации
осуществляется следующее: проверяется заданное число новых
точек, число этих точек выбирается пропорционально £г({у3}), в
каждой точке у< вычисляется и нормализуется мера (•[;£<),
нормализуется gx, по сту и ох вычисляется gx({z/i}), а затем
gy(A), посредством правил подкрепления корректируется gx({#J).
Затем выполняется новая итерация и так до тех пор, пока
не сойдется gy.
В [47] приводится сравнительный анализ предлагаемой моде-
ли и вероятностной модели обучения [17]. Пусть рх — априорная
плотность вероятности на X, ру( —условная плотность веро-
ятности по отношению к xt. Условная плотность вероятности не-
четкого события А вычисляется по формуле:
т
Ру И | ^г) = S Ра (ю) Ру (& I ^)-
>=i
После получения нечеткой информации А обучение осуще-
ствляется по формуле Байеса, которая дает результирующую
плотность вероятности рх на X:
V
Рх (Xi I А) = ph (Xi) pY (А | ^) / S Рх (xh) pY (A] xh).
k=i
Если на вход модели поступает информация постоянной ве-
личины рл(У1)~с, j = 1, ..., т, то px{xi\F) = px{Xi), что факти-
чески означает отсутствие обучения. Нечеткая же модель спо-
собна различать постоянную информацию и отсутствие информа-
ции. Кроме того, в нечеткой модели имеется возможность изме-
нять скорость сходимости посредством параметра а.
§ 8.4. АЛГОРИТМЫ ОБУЧЕНИЯ
217
8.4.3.	Адаптивный нечеткий логический регулятор. Нечеткий
логический регулятор как простейший нечеткий алгоритм под-
робно описан в § 8.5. Здесь опишем только способ уточнения
правил управления, используемых в адаптивном нечетком логи-
ческом регуляторе (АНЛР).
Идея автоматического изме-
нения печетких правил уп-
равления впервые изложена
в [38]. В [40] описан АНЛР
для управляемых технологи-
ческих процессов с одним
входом и одним выходом. Со-
ответствующая схема регу-
лятора приведена на рис. 8.6.
АНЛР состоит из двух ча-
стей: нечеткого логического
регулятора управляемого
процесса (НЛРУП) и нечет-
кого логического регулятора
Рис. 8.6. Адаптивный нечеткий логиче-
ский регулятор
используются следующие обозначения:
управления (НЛРУ). На рис. 8.6
u(f)—управление, генерируемое НЛРУП,
e(t)—ошибка (отклонение от устанавливаемого выходного
значения процесса s),
s — желаемое значение выхода управляемого процесса,
c(f) = e(f)— e(t— 1);
p(t) —модификация управления.
Правила НЛРУП имеют форму: if е = Ej then if с =
= Gthen и = Uf.
Правила НЛРУ имеют форму: if е ~ Е{ then if с =
= Cj then р = Pj.
Здесь Et, Ej, Ct, Ch Ut, Pj — предварительно описанные нечет-
кие множества. Символ p(t) используется для модификации
стратегии управления следующим образом: в нечетком правиле г,
которое ухудшает течение процесса, заменяется значение управ-
ления Ut на Uj = Uj ® pi (t). Правило i в НЛРУП заменяется
на правило if е — Et then if с = С.- then и = U г-.
Рассмотрим далее два алгоритма обучения при лингвистическом
описании предпочтений: алгоритм формирования нечеткого отно-
шения предпочтения на множестве альтернатив, описываемых на-
борами лингвистических значений признаков [2] и алгоритм
уточнения лингвистических критериев [20], которые описы-
ваются одним из способов, приведенных в [3, 15, 16, 25].
8.4.4.	Алгоритм формирования нечеткого отношения предпочте-
ния. Пусть R — множество таких альтернатив, что каждое S R
характеризуется набором оценок по п признакам: S = {h, ..., £п)\
218
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
и пусть В — семейство всех непустых конечных подмножеств
множества R. Для некоторого R' е В известно подмножество вы-
бранных альтернатив 7?" <=/?', т. е. для любых 8" е R" и
8' е R'\R" имеет место доминирование 8" > S'. Предваритель-
но, при анализе исходного множества альтернатив, сформирован
эталонный набор нечетких оценок Л° = (t“, . ..,£«). Значения
функции принадлежности нечеткой оценки 1® указывают на сте-
пень близости значений г-го признака к значениям, определя-
ющим идеальную альтернативу. Используя множество предпоч-
тений
Я = {(8", s'): S" ^R", S'<=R'\R"},
требуется найти обобщенные правила предпочтения на множе-
стве R. Поясним на примере работу алгоритма, в основе которо-
го лежит модель распознавания классов М. М. Бонгарда [4].
Пример 8.2 [2]. Рассмотрим задачу выбора для добывающе-
го судна рационального района промысла с учетом следующих
показателей: ut — время перехода, и2 — прогноз вылова, и3 —
стоимостная характеристика прогнозируемого объекта лова, и4 —
гидрометеоусловия. Показатели, в сущности, играют роль линг-
вистических переменных, лингвистические значения которых, в
том числе эталонные значения, приведены соответственно на
рис. 8.7, а, б, в, г (численные значения базовых переменных дают-
ся условно). Цифрами па рис. 8.7 обозначаются следующие назва-
ния термов: 1 — очень хорошее, 2 — хорошее, 3 — нормальное, 4 —
удовлетворительное, 5 — плохое, 6 — очень плохое, 7 — плохой,
8 — нормальный, 9 — хороший, 10 — плохая, 11 — нормальная,
12 — хорошая, 13 — удовлетворительная, 14 — неудовлетвори-
тельная.
Лицу, принимающему решения, предложены альтернативы
S,— st (см. табл. 8.1). Пусть выбрана альтернатива St. Для
обучения формируются две таблицы:
^ = {(8,, 82), (8Ь 83), (8„ 84), (8„ 85,), (8„ 8,)},
^2 = {(82, 8,), (83, 8,), (84, 8,), (85, 8,), (8в, 8,)).
Для каждой пары наборов (8<, 83) вычисляются оценки сравне-
ния i-ro элемента первого набора с i-м элементом второго пабора:
К,...,	(£«(,;_,;)....
(ц, Ml
где а определяет конкретный оператор, например, нечеткую ме-
ру сходства [1]
La = Т (Z1 -> i2) = U 0V (“г) I («г)).
§ 8.4, АЛГОРИТМЫ ОБУЧЕНИЯ
219
В результате получаются две таблицы наборов нечетких оце-
нок поэлементного сравнения. На основе полученных таблиц, ис-
пользуя логические операторы и логические функции двух пере-
менных, выделяются полезные логические признаки и мини-
мальный базис, объединение значений истинности которого на
Рис. 8.7. Формирование нечеткого отношения предпочтения для задачи вы-
бора рациональных районов промысла: а — терм-множество переменной
«время перехода в сутках»; б — терм-множество переменной «прогноз вы-
лова в тоннах» в — терм-множество переменной «стоимость объекта лова в
тыс. рубл.»; г—терм-множество переменной «гидрометеоусловия в баллах»;
д — значения нечетких логических признаков на интервале значений ис-
тинности; е — нечеткий граф предпочтения альтернатив
строках первой и второй таблиц приведены на рис. 8.7, д. Содержа-
тельное значение утверждения, соответствующего минимальному
базису, следующее:
Ф& (“^i5 Sj)	Ф5 (Sj, -= (zj & (^2 х* & (^4 z* /•
> Zi) & (^2<^а) & (4< 4), я” =
t™ — лингвистическое значение /с-го показателя, Ф5 — логический
признак. Физический смысл приведенного утверждения:
район St предпочтительнее района S,, если утверждение [(вре-
мя перехода до St «меньше», чем до <S3) и (прогноз вылова в St
«больше», чем в S,) и (погодные условия в 5,- «лучше», чем в У,)]
более истинно, чем обратное утверждение [(время перехода до
St «больше», чем до S3) и (прогноз вылова в Si «меньше», чем в
Sj) и (погодные условия в Sf «хуже», чем в S3)].
220
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
Далее предположим, что среди неизвестных ситуаций S7—
(табл. 8.3) необходимо выбрать лучшую альтернативу, исполь-
зуя минимальный базис. В табл. 8.4 изображена матрица пред-
почтений М = (ц’ДЛ4) I р?(/<2)), элементы которой вычислялись
посредством гарантированной оценки
р-; (К±) = ,max	(и),
где
Hi (Slt S2) = п (cj п С} (5n S2)), Cj (5n S2)
— значение /-го логического признака на паре альтернатив
(51, S2), С}— значение /-го признака на парах альтернатив г-го
класса (г = 1, 2). Каждый элемент матрицы содержит два зна-
чения. Верхнее значение указывает степень, с которой St доми-
нирует над Sj. Нижнее значение указывает степень, с которой
Таблица 8.3
	и,	п2	и„	К.		Ut	[J,	и,	tz4
	хор	хор.	хор.	УД-	Sj	плох.	хор.	плох.	УД-
S,.	оч. хор.	плох.	хор.	УД-	Sg	УД-	хор.	хор.	неуд.
	оч. хор.	хор.	хор.	неуд.	Sa	плох.	хор.	хор.	УД-
	УД-	хор.	хор.	УД-	S1O	УД-	хор.	норм.	УД-
А’и	оч. плох.	хор.	хор.	УД-	Sn	УД-	норм.	норм.	УД-
Л’.	хор.	норм.	плох.	УД-					
Таблица 8.4
			Sj		
Si	Sj	Sg	Sg	5’io	S’n
5 7		0,88 0,38	1 0,38	0,88 0,38	0,88 0,38
S8	0,75 4		0,75 1	0,75 1	0,75 1
s»	1 0,38	0,88 0,38		0,88 0,38	0,88 0,38
•Slo	1 0.38	1 0,38	1 0.38		1 0,38
Sh	0,88 0,38	0,88 0,38	0,88 0,38	0,88 0.38	
Sj доминирует над Si. Для построения нечеткого графа предпо-
чтений альтернатив (рис. 8.7, е), используется следующее правило
определения отношения доминирования D:
D(Si, 5Д =
Si>Sj,
Sj > Sj,
если |i1	ц2;
если pj	ц2;
§ 8.4. АЛГОРИТМЫ ОБУЧЕНИЯ
221
где
gi = p.4(A:i) V р.я(^2), Иг = |iiJ(&2)V ЦЙ(М, А = |Ц1 — Ц21.
Согласно рис. 8.7, е Sl!s есть недоминируемая альтернатива,
т. е. не существует альтернативы, которая с ненулевой степенью
доминирует над 510.
8.4.5.	Алгоритм уточнения лингвистических критериев. Гло-
бальные представления ЛПР о выборе альтернатив формулиру-
ются в виде глобального критерия и решение многокритериальной
задачи сводится к построению композиции Mi° М2~ М, где
Me.	C7n = C71X...XC7n, Qm = Qi X ... X Qm>
Q — множества значений признаков, локальных и глобального
критериев. и М2 формируются на основе высказываний типа:
«если значения признаков uit ..и„, характеризующие альтерна-
тиву п‘, оцениваются термами in, ..., inj, то альтернатива удов-
летворяет /-му критерию с оценкой t„+j, t».
Mt и М2 описываются наборами:
Mi = {(in, ..ini, in+i, f) I n + 1 sS / sS n + k, i = 1, mJ,
M2 {(in+i, i, • • •, inij О Л 1» • • •, ^2^•
Степень удовлетворения глобальному критерию для альтер-
нативы и'Un вычисляется следующим образом:
w (и1) — J f (J и1 о te\ » ip.
tpSM2 (ftEMj	/
В процессе обучения уточняются оценки локальных и гло-
бального критериев на основе сравнения выбранных ЛПР аль-
тернатив R" из множества предъявленных R' => R". М заменяет-
ся некоторым Л7, подтверждаю-
щим соответствующий выбор:
w (г?) < w (и’) для и* е R',
u’^R'\R".
Обучение осуществляется в
два этапа: формирование обобщен-
ных описаний предпочтений ЛПР
(нечеткая модель М. М. Бонгарда
[2, 20]); модификация М при не-
Рис. 8.8. Функции принадлежно-
сти терм-множества лингвистиче-
ских критериев
совпадении предпочтений ЛПР с порядком оценок w(u). На вто-
ром этапе выполняется следующее: генерация допустимых набо-
ров оценок показателей; определение отношения предпочтения на
парах сгенерированных альтернатив, выделение из М — М^ М2
наборов, не подтверждающих выявленные предпочтения и, следо-
вательно, подлежащих корректировке; корректировка оценок по
критериям.
222
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
Пример 8.10. Пусть показатели и2 и лингвистические
критерии Qi, Q2, Q оцениваются терм-множеством {1 — «хорошо»,
2—«норма», 3—«плохо»), функции принадлежности которого
*		
3 1	2 1	1 1
3 2	2 2	1 2
3 3	2 3	1 3
Номера оценок локальных крите-
риев
Номера оценок глобального
критерия
1 3	3 3	2 3
1 1	3 1	2 1
1 2	3 2	2 2
«I
Номера оценок локальных крите-
риев после корректировки
Номера оценок глобального
критерия после корректировки
изображены на рис. 8.8. Априорные сведения о критериях сфор-
мулированы в виде наборов оценок (термов), характеризующих
Рис. 8.9. Возможные оценки управляющего воздействия
степень удовлетворения критериям. В табл. 8.5 приведены набо-
ры номеров термов. Анализируемые альтернативы описываются
§ 8.5. ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
223
значениями
(щ, u2): R' = {(1, 0), (0,5, 1), (1, 1), (0, 1), (1, 0,5), (0,5, 0,5)1,
R" ={(0,5, 1)1.
Альтернатива u^R" отмечена в табл. 8.5 звездочкой. В ре-
зультате обучения формируется обобщенное описание предпо-
чтений ЛПР: D{u.1, и>): (t[	t() & П,(^2	^2). На основании
и1) сформировано уточненное М, которое приведено на
рис. 8.9, в, г.
§ 8.5. Описание простейших нечетких алгоритмов
Простейшие нечеткие алгоритмы являются частным видом
алгоритмов, определенных в § 8.1. Для простейших нечетких ал-
горитмов рассматриваются функции входа и выхода и не исполь-
зуются функции переходов и операций. Этот тип алгоритмов по-
лучил широкое распространение при формализации опыта чело-
века-оператора, управляющего технологическим процессом. Такие
алгоритмы называются нечеткими логическими регуляторами.
В [22, 28, 36] разработан подход, направленный на формали-
зацию опыта оператора, управляющего некоторым объектом.
Определенные промышленные установки могут лучше управ-
ляться опытными операторами, чем обычными автоматическими
регуляторами. Стратегия управления, используемая оператором,
часто может быть сформулирована как набор правил, которые
просто выполнить вручную, но трудно формализовать, используя
обычные алгоритмы. Эта трудность возникает из-за того, что
человек чаще использует качественные, а не количественные
оценки при описании условий принятия конкретных решений.
Следовательно, для моделирования управления такими процес-
сами необходимо использовать нечеткую логику [7, 8]. В [30]
описывается язык программирования, удобный для описания та-
кого класса процессов. Приведем основные идеи этого подхода.
Пусть качественная оценка А значения параметра, описывающе-
го состояние процесса, формализована нечетким подмножеством
А множества значений параметра U, а качественные оценки R, С
значений управляющего воздействия формализованы нечеткими
подмножествами R, С множества воздействий V. Тогда алгоритм
управления будет строиться из правил следующего вида:
if Аг then Ri else С,-,
где каждое такое выражение задает отношение Ri =
= (At X Rt) U~1 (Ri X С{) в пространстве UXV, a U, I, X — опера-
ции объединения, отрицания и декартова произведения соответ-
ственно.
224
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
Для заданного значения и каждое правило позволяет опреде-
лить нечеткое множество воздействий = и ° Нечеткое
управляющее воздействие определяется как объединение С =
ft ,
= U Ci' Для определения единственного управляющего воздей-
i=i
ствпя выбирается значение с максимальной оценкой или, если
имеется плато у функции принадлежности, то выбирается зна-
чение в центре плато и т. д.
Результаты применения полученного нечеткого алгоритма
управления показаны на рис. 8.9 [37], где используются следую-
щие обозначения:
—	одно доминирующее правило;
		два противоречивых правила;
—	— отсутствие удовлетворительных правил.
Вид кривых может быть использован для оценки качества
правил управления. Функция принадлежности А указывает, что
для исследуемой области имеется одно доминирующее правило
управления. Функция принадлежности С указывает, что не име-
ется подходящих правил для оценки управления. Функция при-
надлежности В указывает, что имеется, по крайней мере, два
противоречивых правила. В двух последних случаях необходима
модификация правил для того чтобы получить хороший алгоритм
управления.
В настоящее время наиболее широкое применение при реше-
нии практических задач получили нечеткие логические регуля-
торы, позволяющие на основании лингвистической информации,
полученной от опытного оператора, управлять сложными, плохо
формализуемыми процессами.
Структура нечеткого логического регулято-
ра, в котором используются эвристические правила принятия
решений, показана на рис. 8.10. Такие регуляторы используются
Рис. 8.10. Структура нечеткого логического регулятора
аналогично традиционным регуляторам с обратной связью. Опре-
деление управляющих воздействий состоит из четырех основных
этапов:
1)	получение отклонения;
2)	преобразование значения отклонения к нечеткому виду,
такому как «большой», «средний»;
8 8.5, ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
225
3)	оценка входного значения по заранее сформулированным
правилам принятия решения посредством композиционного пра-
вила вывода;
4)	вычисление детерминированного выхода, необходимого
для регулирования процесса.
Описываемый здесь подход значительно расширяет сферу
взаимодействия человек — машина посредством формализации не-
четких алгоритмов. Далее будет рассмотрено несколько примеров
практического применения нечеткого логического регулятора.
8.5.1. Нечеткий логический регулятор процесса теплообмена
[30]. При создании нечеткого логического регулятора нет необ-
ходимости в создании точной математической модели. Достаточно
приблизительного представления о соотношении входных и вы-
ходных переменных, описывающих процесс. Рассматриваемый
далее нечеткий логический регулятор реализован на ЭВМ
IBM/1800.
Описание процесса теплообмена. Горячая вода,
циркулирующая по замкнутому трубопроводу под воздействием
электронасоса, используется для подогрева холодной воды. Ско-
рость потока горячей воды FH является одним из двух входов
нечеткого логического регулятора. Вторым входом является мощ-
ность, затрачиваемая на подогрев горячей воды. Величина по-
требляемой мощности, поставляемой генератором, регулируется
посредством усилителя и шагового мотора.
Скорость потока холодной воды (/’с), текущей из обычного
водопроводного крана и подогреваемой в теплообменнике в ре-
зультате теплообмена с горячей водой, регулируется вручную
клапаном. Скорость потока холодной воды не регулируется ав-
томатически, поэтому она рассматривается как внешнее возму-
щение в управляемом процессе.
Задача регулирования состояла в следующем: на основе зна-
чений скорости потока горячей воды FH и потребляемой мощно-
сти W необходимо регулировать выходную температуру холод-
ной воды Тео и входную температуру горячей воды Тш таким
образом, чтобы они имели значения Тсов и Тшв соответственно.
Задачу усложняет существенная зависимость обеих температур
от мощности, а также существенная нелинейность процесса. Схе-
ма процесса теплообмена приведена на рис. 8.11.
Выведем основные соотношения перечисленных характеристик
процесса.
Связь между переменными Fn, W, ТСо и Тнг имеет следую-
щий вид:
W = cvFH(THI-TH0'j,
W = ckFK(TC0-Tct},
где с„, ск — теплоемкости горячей п холодной воды. В этих
выражениях предполагается, что вся энергия, получаемая от
226
ГЛ. 8, НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
генератора, передается холодной воде. Следовательно,
Тео = Та + ту-»;
Vc
т. е. температура ТСо зависит только от одной входной перемен-
ной W. Для того чтобы найти ТНг как функцию от входных
переменных W и FH, необходимо использовать зависимость от
Рис. 8.11. Схема процесса теплообмена (пунктирные стрелки от 4 и V
означают подачу сигналов тока и напряжения, а от THi и ТСо — сигналов
значений температуры)
температуры передачи тепла от одной жидкости к другой через
некоторую поверхность:
W — AUTm,
где А — коэффициент, зависящий от конфигурации поверхности,
U — коэффициент теплопроводности, Тт — средняя разность тем-
ператур жидкостей. Приближенное выражение для потребляемой
мощности с учетом передачи тепла через поверхность
= AU
Тщ + г'по ~ ?'со
2
$ 8.5. ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
227
и, следовательно, для выходной температуры воды
Тио —	+ Т а + Т со — Т hi
получаем приближенную зависимость:
Т 2W	т J- w
2 но =	сг ~ нт +
которая дает следующее выражении для ТИ1-
Тн! = '1'ci +	W.
Выходная переменная Тсо зависит только от одной входной пе-
ременной W. Температура же горячей воды Ttti существенно за-
висит как от потребляемой мощности W, так и от скорости пото-
ка горячей воды FH. Эти факты указывают на то, что наиболее
простой способ решения поставленной выше задачи следующий:
осуществить регулирование Тсо посредством W, затем попытать-
ся регулировать Тш посредством Ри. Следовательно, стратегия
управления фактически состоит из двух достаточно независимых
этапов.
Описание нечеткого логического регулятора
процесса теплообмена. Для рассмотренного выше процес-
са теплообмена был разработан нечеткий алгоритм принятия
решения, основанный на использовании отклонений Тсо и ТГ11
от установленных значений температур ТСОе и Тнге, а также на
использовании изменения указанных отклонений ГС(>е, ТВ1В, кото-
рые обозначаются далее ТСовс и Лпес.
Алгоритм предназначен для регулирования посредством W и
FH температуры потока холодной воды после теплообменника и
температуры потока горячей воды перед теплообменником, таким
образом, чтобы они находились вблизи установленных значений.
Другими словами, необходимо регулировать мощность W и ско-
рость потока горячей воды на основе переменных Тсое, This,
Т COECi ТHIEC- Значения переменных оыли описаны посредством
нечетких подмножеств, функции принадлежности которых при-
ведены в табл. 8.6.
Нечеткие множества приведены на универсуме [—1, 1], т. е.
значения переменных нормированы. Нечеткие значения выбира-
лись следующим образом. Переменные ТСОе и TatB считаются
«большими положительными», если они больше чем 5°С, «сред-
ними положительными», если имеют место значения около 0,25°С.
Для отрицательных значений характерные точки выбирались
симметричными. Например, измеряемые значения ТСое лежат в
интервале [—5, 5] и, следовательно, разделив граничные значе-
ния на 5, получим функцию принадлежности, приведенную в
228
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
табл. 8.6. После введения нечетких значений формулируются
словесные (лингвистические) правила, описывающие стратегию
управления. Эти правила формулируются в виде условных пред-
ложений, не содержащих количественных значений.
Рассмотрим первоначально схему регулирования температуры
холодной воды Тео. Регулировать температуру Тсо разумно по-
средством изменения главным образом потребляемой мощности
Таблица 8.6
Нечетное подмножество
Формула
Большое положительное х
Среднее положительное х
Малое положительное х
Близкое к нулю положитель-
ное х
Близкое к нулю отрицатель-
ное х
Малое отрицательное х
Среднее отрицательное х
Большое отрицательное х
1 — exp
1 — exp
Г /	0,5	\2.5l
_____0,25	\ 2,5
abs (0,7 — х) j
0,25	\2,5T
abs (0,4 — х) j J
exp [— 5 abs (x — 0,05)]
exp [— 5 abs (x + 0,05)]
Г/ 0,25	\2’51
Г	(	0,25	\2,51
1 - exp	^abs	0)7 _	j j
Г	I	0,5	\2,5]
1-exp^-^	abs(-l-x) ) ]
W. Увеличение W приводит к увеличению температуры Тсо, сле-
довательно, если имеет место положительное изменение мощно-
сти Wen, то имеет место положительное отклонение температуры
Тсое- Аналогично, если имеет место отрицательное изменение
Wen, то и Тсое — отрицательное. Величина положительного или
отрицательного изменения WCh зависит от величины положитель-
ного или отрицательного отклонения Тсое, например, WCu—
большое положительное, если ТСое—большое положительное от-
клонение.
Для улучшения качества регулирования рассматривается из-
менение Тсовс отклонения ТСов между последовательными заме-
рами. В этом случае регулирование осуществляется следующим
образом. Если Тсо близка к установленной величине Тсов и в то
же время достаточно быстро изменяется, так что ТСоес является
большим или средним положительным, то разумно остановить
§ 8.5. ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ЙЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
229
этот быстрый процесс средним отрицательным изменением W.
Эта ситуация возникает в случае, когда ТСо приближается до-
статочно быстро к значению Тсов от значения ТСо, которое мень-
ше Т'сов. В противоположном случае, если ТСоев— большое и
среднее отрицательное и Тсо снова близко к Tcos, то потребляе-
мую мощность W необходимо подвергнуть среднему положитель-
ному изменению.
Используя описанное множество правил, можно увеличивать
или уменьшать мощность W так, что температура Тсо будет до-
статочно быстро приближаться к требуемым значениям.
При регулировании температуры Тсо используется не только
величина потребляемой мощности, но также и скорость потока
горячей воды FH. В устойчивом состоянии значения Тсо не за-
висят от FH, но при изменении состояния выходная температура
холодной воды Тсо увеличивается или уменьшается в зависимости
от увеличения или уменьшения скорости потока горячей воды
FH. Поэтому, чтобы сократить время стабилизации процесса, ско-
рость FH подвергается среднему положительному изменению FHc,
если Тсов является большим или средним положительным. Эта
регулировка скорости FH оказывается разумной только в случае,
если мы потребуем, чтобы отклонение Тип не было большим или
средним положительным. В противоположном случае, когда значе-
ния Тсов являются большими или средними отрицательными и
значения ТНгв не являются большими или средними отрицательны-
ми, скорость потока горячей воды FH подвергается средним от-
рицательным изменениям FHc-
Аналогично формулируется стратегия регулирования темпера-
туры потока горячей воды ТН!.
Алгоритм управления процессом теплообмена был написан на
алгоритмическом языке APL, утверждения алгоритма на котором
имеют следующий вид:
7\ = (большое положительное отклонение ТСОв) или (среднее
положительное Тсов);
Т2 = (большое положительное ГН/в)или (среднее положитель-
ное This) ;
7’нс = если (7\ и не 7'2), то среднее положительное иначе FHa.
Описанный алгоритм был использован для управления уста-
новкой теплообмена и показал результаты, не уступающие по
основным характеристикам (быстродействие по возвращению в
устойчивое состояние после возмущения, стабилизация для раз-
личных заданных значений входных и выходных температур)
известным регуляторам для такого класса устройств.
8.5.2. Управление паровой машиной [35]. Нечеткий алгоритм
используется для управления лабораторной паровой машиной.
Множество правил, выраженных в виде нечетких условных
утверждений, интерпретируется на ЭВМ PDP-8 для того чтобы
осуществлять автоматизированное управление установкой.
230
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
В алгоритме нечеткого логического регулятора используются
следующие четыре переменных, описывающих управляемый
процесс:
РЕ — отклонение давления в паровом котле, определенное как
разность между текущим значением и выбранным заранее зна-
чением, соответствующим норме;
SE — скорость изменения
Сре — изменение отклонения давления, определяемое как раз-
ность между текущим давлением РЕ и значением давления, по-
лученным в предыдущем измерении;
Cse — изменение скорости отклонения СРЕ.
Регулирование осуществляется по двум алгоритмам: по одно-
му корректируется степень подогрева пара, т. е. регулируется
давление (Яс — изменение подогрева), по другому изменяется
положение дросселя (Тс— изменение положения дросселя).
В каждом алгоритме учитываются все приведенные выше пере-
менные. Лингвистические правила, описывающие алгоритм
управления, определяются заранее опытным человеком-опе-
ратором.
Переменная Нс была представлена дискретным набором зна-
чений из 32 точек, а Тс — десятью точками. Переменные СРЕ, РЕ,
CSE и Se представлялись 13 точками, равномерно распределенны-
ми между максимальными положительными и отрицательными
значениями.
Для описания значений переменных человеком-оператором
использовались следующие лингвистические значения (сокращен-
ные названия соответствуют первым буквам слов на английском
языке): РВ —большое положительное, РМ — среднее положи-
тельное, PS — малое положительное, NO — нулевое, NS— малое
отрицательное, NM — среднее отрицательное, NB — большое от-
рицательное.
Для переменных РЕ и SE дополнительно выделены отрицатель-
ные близкие к нулю значения (ниже нормы — NO) и положи-
тельные близкие к нулю значения (выше нормы — РО). Наряду
с указанными подмножествами для оценки значений переменных
использовалось нечеткое значение ANY, описываемое такого
функцией принадлежности, которая равна единице для любого
элемента (значения). Сложные значения на основе указанных
получались посредством операции И, ИЛИ, НЕ, которые интер-
претируются как min, max, вычитание из единицы. Правила
управления формулировались в виде условных предложений, на-
пример, «если Pe — NB, то Нс = Рв». Приведенное условное пред-
ложение задает отношения между двумя нечеткими переменными
Ре, Нс, которое описывается декартовым произведением двух не-
четких модмножеств NB и РВ: NB X РВ. Декартово произведение
удобно представлять матрицей из столбцов и m строк, где п и
пг — число элементов универсумов для подмножеств NB и РВ.
§ 8.5. ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
231
Предположим, что известно отношение R между переменными
РЕ и Нс, тогда для некоторого значения можно определить вы-
ходное значение посредством правила композицип y = x°R. Для
условных выражений «если А, то (если В, то С)» определяется
декартово произведение А X В X С, которое используется для
определения выхода С' при входах А' и В':
С' = (А'ХВ')°(АХВХС).
В описываемом алгоритме два или более правил комбиниро-
вались при помощи связки ИНАЧЕ, которая интерпретировалась
как операция шах.
Например, «если PP = NB и СРЕ = НЕ (NB или NM) и SE =
= ANY, то Нс = РМ, иначе, если PE = NB и СРЕ = NG и =
= ANY и CSE = ANY, то НС = РМ, иначе, если...».
Оба алгоритма, алгоритм управления давлением и алгоритм
управления скоростью (дросселем), приведены в [35] в виде
сложных условных выражений. Приведем их полное описание.
Алгоритм управления давлением:
«если РЕ = NB, то (если СРЕ = НЕ (NB или NM), то ЯС = РВ);
если P® = (NB или NM), то (если CPE = NC, то ЯС = РМ);
если РЕ = NS, то (если СРЕ = PS или NO, то Нс = РМ);
если PE = NO, то (если СРЕ = (РВ или РМ), то Нс = РМ);
если PE = NO, то (если СРЕ = (NB или NM), то Нс ==NM);
если РЕ = (РО или NO), то (если СРЕ = NO, то Нс — NO);
если РЕ — РО,	то	(если	СРЕ = (NB	или	NM),	то	ЯС = РМ);
если РЕ = РО,	то	(если	СРЕ = (РВ	или	РМ),	то	Нс — NM);
если-Ре = PS,	то	(если	СРЕ = (PS	или	NO),	то	77C = NM);
если РЕ = (РВ	или РМ), то (если	СРЕ = NS,	то	7/c = NM);
если РЕ — РВ, то (если СРЕ = НЕ (NB или NM), то ЯС = А’В);
если РЕ = NO, то (если СРЕ = PS, то Нс = PS);
если РЕ = NO, то (если СРЕ = NS, то Нс = NS);
если РЕ = РО, то (если СРЕ = NS, то Нс = PS);
если РЕ = РО, то (если СРЕ = PS, то Нс = NS)».
Алгоритм управления скоростью:
«если = NB, то (если СВЕ = НЕ (NB или NM) , то 7’С = РВ)-,
если SE = NM, то (если СВЕ = (РВ или РМ или PS), то Тс~
“PS);
если 5e = NS, то (если CSE = (РВ или РМ), то 7'c = PS);
если S,e = NO, то (если СВЕ = РВ, то Тс — PS);
если 5е = (РО или NO), то (если СВЕ = (PS или NS или NO),
toPc = NO);	'
если 5е = РО, то (если CSE = РВ, то 7'C = NS);
если 5e = PS, то (если СВЕ = (РВ или РМ), то TC = NS);
если £е = РМ, то (если СВЕ = (РВ или PS или РМ), то
Рс — NS);
если &з = РВ, то (если Све = НЕ (NB или NM), то Z'C = NB)».
232
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
8.5.3, Управление процессом подогрева воды. В работе [31]
описывается нечеткий алгоритм, построенный на основе опыта
человека-оператора, позволяющий управлять установкой подогре-
ва воды, управление которой обычными способами затруднено
из-за нелинейности и изменчивости процесса.
Управляемый процесс подогрева воды. На
рис. 8.12 схематически показана установка подогрева воды. Бак
с теплой водой разделя-
ется на несколько отсе-
ков. Переменный поток
холодной воды F2 про-
ходит последовательно
отсеки и покидает бак
в последнем отсеке. Хо-
лодная вода нагревает-
ся в теплообменнике,
в котором течет по тру-
бам переменный поток
горячей воды Ft с тем-
пературой около 90°С.
Задача состоит в под-
держании постоянной
Рис. 8.12. Схема процесса подогрева воды
температуры воды в одном из отсеков и, по возможности, в сохра-
нении постоянства потока F2, посредством регулирования динами-
ческих значений Ft и F2. Температура воды, покидающей нагре-
вающий отсек, должна регулироваться так, чтобы минимизиро-
вать время задержки потока воды. Для такого процесса обычно
требуется постоянное количество воды, так что поток F2 во время
устойчивого периода должен поддерживаться постоянным. Поток
F2 может быть изменен только во время изменения желаемой тем-
пературы. Следовательно, основной переменной, используемой
при управлении процессом, будет поток горячей воды Ft.
Предыдущие исследования этого процесса показали, что при
создании управляющих (регулирующих) устройств возникают
трудности, связанные с преодолением нелинейности, асимметрич-
ности процессов нагревания и охлаждения, различных помех,
с сокращением времени реагирования устройств. С другой сто-
роны, на протекание процесса влияет окружающая среда.
Нечеткий логический регулятор процесса по-
догрева воды. Для описания функций принадлежности не-
четких множеств, характеризующих нечеткие оценки значений,
была выбрана функция ц(а:) = (1 + (а(а!:— с))ь)-1. Этот вид функ-
ции удобен тем, что, изменяя параметры а, Ь, с, можно получить
хорошее приближение желаемой функции: с позволяет менять
точку, в которой минимум нечеткости (ц=1); а изменяет про-
тяженность функции принадлежности (ее ширину); Ъ позволяет
менять контрастность.
§ 8.5. ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
233
Нечеткие множества, используемые в алгоритме, описывались
функциями принадлежности, приведенными в табл. 8.7. В табл. 8.7
х обозначает отклонения температуры от фиксированного значе-
ния, dx — изменение отклонения, Ft — поток теплой воды, dFt —
изменение Ft, F2 — поток холодной воды.
Таблица 8.7
Названия нечетких оценок значений	Универсум	Функция принадлежности
Не малое	X	1 - (1 + 0,5л)"1
Малое	X	(1 + 0,5 л:)-1 (1 + z4)-1
Очень малое	X	
Незначительно малое	X	(1 + 0,5л)"1 для x^ 1, ина-
Немалое	X	че 0,5 (1 + (3(* - I))2)"1
Среднее малое	X	(1 + Щх - 0,5))2)"»
Чрезвычайно малое	X	(1 + (Зл:)2)"1
Малое	dx	(1 + (ЗЛ:)2)"1
Среднее	dx	(1 + (3(rfr - 0,5))2)-1
Большое	dx	(1 + (dx — 2)2)"1
Очень большое	Pi	(1 + 2(Л - 12)2)'1
Очень маленькое	Fx	(1 + aw1
Близкое к значению в устойчи- вом состоянии	Pi	(1 + (3(ГХ - I))2)-*
Очень близкое к значению в ус-	Fl	(1 + (3(FX - ОЛ))2)"1 '
тойчивом состоянии Малое	dFi	(1 + (2(rffi - 0,2))2)-1
Среднее	dFt	(1 + (2(rff, - I))2)"1
Большое	dFt	(1 + (AFt - З)2)"1
Очень большое	Fz	(1 + 2(Fz - 18))"1
Очень маленькое	Fz	(1 + 2(F, - I)2)"1
Первая стратегия описывается следующим множеством правил;
если х «не малое», то Ft «очень большое»
то Fz «очень маленькое»
если х «малое», то Ft «очень маленькое»
то Fz «в устойчивом состоянии»
если х «очень малое», то Fz «в устойчивом состоянии»
то, если увеличение х «малое»
то уменьшить Ft «мало»
то, если увеличение х «среднее»
то уменьшить Ft «среднее»
то, если увеличение х «большое»
то уменьшение Ft «большое».
Вторая стратегия реализуется следующими правилами:
если х «не малое», то Ft «очень большое»
то Fz «очень маленькое»
234
ГЛ. 8. НЕЧЕТКИЕ АЛГОРИТМЫ
если х «незначительно малое», то «очень маленькое»
то F2 «в устойчивом состоянии»
если х «немалое», то увеличение Fj «большое»
то F2 «в устойчивом состоянии»
если х «средне малое», то увеличение С, «среднее»
то Fz «в устойчивом состоянии»
если х «чрезвычайно малое», то увеличение Ft «малое»
то F2 «в устойчивом состоянии».
Третья стратегия описывается следующим множеством правил:
если х «не малое», то F, «очень большое»
то F2 «очень маленькое»
если х «малое», то Ft «близкое к значению в устойчивом со-
стоянии»
то F2 «в устойчивом состоянии»
если х «очень малое», то F, «очень близко» к значению в
устойчивом состоянии
то F2 «в устойчивом состоянии».
Человек-оператор может использовать несколько стратегий
поддержания температуры около желаемого значения. Обычно
для вычисления величины изменения входа оператор использует
отклонение и скорость изменения отклонения температуры.
Для сравнения были проанализированы три стратегии:
1.	При оценке необходимого изменения величины входного
потока оператор использует отклонение и скорость изменения
отклонения температуры.
2.	При изменении входного потока оператор использует ин-
формацию только об отклонении температуры.
3.	При регулировании потока около нейтрального положения
оператор использует отклонение температуры.
В третьей стратегии предполагается известным абсолютное
значение потока Ft, при котором имеет место устойчивое состоя-
ние установки. Следовательно, предполагается известной темпе-
ратура постоянного потока.
Эти правила описывают стратегию в случае, когда темпера-
тура ниже нормы. Аналогичное множество правил было исполь-
зовано для случая, когда температура выше нормы.
Сравнительный анализ нечетких логических регуляторов, ис-
пользующих описанные множества правил, соответствующих
стратегиям, показал, что первые два регулятора работают с точ-
ностью подобной точности человека-оператора (колебания тем-
пературы были около 1,5°С). Третий регулятор показал лучшие
результаты (колебания температуры около 0,5°С). Это объясняет-
ся тем, что в третьем регуляторе использовалась информация о
величине потока в устойчивом состоянии.
8.5.4. Другие приложения описанного подхода. Нечеткий ло-
гический регулятор для управления процессом обжига цемент-
ного клинкера во вращающихся печах описан в [9]. Разработан-
§ 8.5. ОПИСАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ НЕЧЕТКИХ АЛГОРИТМОВ
235
ная модель позволяет по текущему состоянию процесса предска-
зать качество выходного продукта. В этом смысле она является
прогнозирующей моделью и имеет самостоятельное значение.
Нечеткий логический регулятор для управления установкой
получения шлака, который используется в Британской сталели-
тейной корпорации, рассмотрен в [36]. При этом решалась задача
эффективного смешивания сырья (компонент) при получении
шлака. Эффективность и однородность процесса шлакообразова-
ния регулировались посредством учета стандартного отклонения
проницаемости подготавливаемой смеси. Эксплуатация регулято-
ра позволила уменьшить отклонение от стандарта более чем на
40% по сравнению с ручным управлением.
В [51] описанный метод использован для автоматического
управления процессом выплавки стали посредством кислородного
дутья. Предложенный регулятор также нашел практическое при-
менение в Британской сталелитейной корпорации.
В [32, 33] разработан нечеткий логический регулятор для
управления температурой в химическом процессе.
ГЛАВА 9
НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ
И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Прошло уже более 15 лет со времени опубликования первых
работ, посвященных применению теории нечетких множеств к
проблемам оптимизации п принятия решений [96, 82]. За после-
дующий период вышло значительное число статей в этой обла-
сти, что нашло свое отражение в известной библиографии [113],
а также в книгах [47, 101, 126, 133] и, особенно, в критическом
обзоре [127]. В начале восьмидесятых годов изданы первые мо-
нографии, освещающие вопросы принятия решений в нечеткой
обстановке [27, 40, 45, 53, 64, 124], а также ряд крупных сбор-
ников [73, 111, 112]. Среди конференций и семинаров в этой об-
ласти, проводимых в СССР, выделим наиболее представительную
конференцию «Модели выбора альтернатив в нечеткой среде»
(Рига, 1980 и 1984 г.); ее материалы отражают современное со-
стояние отечественных работ по принятию решения в нечеткой
обстановке. Отметим, что до настоящего времени, в основном,
силы исследователей были направлены на формализацию отдель-
ных процедур и этапов процесса принятия решения и что еди-
ных моделей, включающих все этапы, практически нет.
Подавляющая часть моделей принятия решения в нечетких
условиях носит нормативный характер и представляет собой фор-
мализацию этапа выбора, когда множество альтернатив, критерии
целей и ограничения, отношения предпочтения и пр. считаются
заданными. При этом согласно предложенной в [35] и [127] клас-
сификации, существующие модели выбора в нечетких условиях
можно разбить на достаточно независимые группы: по числу эта-
пов или степени динамики (одноэтапные и могоэтапные), по чис-
лу лиц (ЛПР), принимающих решения (индивидуальные и кол-
лективные), по числу используемых критериев (однокритериаль-
ные и многокритериальные). Наконец, по характеру описания
предпочтений можно выделить модели нечеткого математи-
ческого программирования и нечетких бинарных отношений
альтернатив. Особый класс составляют лингвистические модели
принятия решения, основанные на нечеткой логике с лингвисти-
ческими значениями истинности.
§ 9.1.	Модели нечеткого математического программирования
Обычно под задачей математического программирования по-
нимают задачу отыскания экстремума некоторой целевой функ-
ции на допустимом множестве альтернатив. С помощью целевой
функции формально представляется одно из основных свойств
§ 9.1. НЕЧЕТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
237
альтернатив: ценность, полезность, стоимость, качество и т. п.
Нечеткость в постановке задачи математического программирова-
ли может содержаться как в описании множества альтернатив,
так и в описании целевой функции. Различные формы описания
исходной информации обусловливают существование различных
формулировок задач нечеткого математического программирова-
ния (НМП): а) задача достижения нечетко поставленной цели
при нечетких ограничениях; б) задача НМП при нечетком мно-
жестве допустимых альтернатив; в) нечеткий вариант стандарт-
ной задачи математического программирования со «смягчением»
целевой функции и/или ограничений, где вместо задачи оптими-
зации решается задача удовлетворения цели и соответствующие
неравенства для целевой функции и ограничений могут нару-
шаться; г) задача программирования с нечеткими коэффициента-
ми и др.
По Веллману — Заде [82, 23] задача достижения нечетко по-
ставленной цели при нечетком ограничении решается на основе
принципа слияния. Нечеткая цель G и нечеткое ограничение С
описываются нечеткими подмножествами универсального множе-
ства альтернатив X, т. е. соответственно функциями X -> [0, 1]
и цс: X [0, 1] из ^"(Х) = {ц|ц: X [0, 1]}. При этом нечеткое
решение определяется как нечеткое подмножество D множества
X, получающееся в результате слияния нечетких целей и нечет-
ких ограничений Л ПР, pD =	* Це, где * — некоторая бинарная
операция, вводимая в &~(Х). В общем случае, когда у ЛПР име-
ется п нечетких целей и т нечетких ограничений, нечеткое ре-
шение записывается в виде Цд = Pgx* ... * Цсп*рс1 * • • • * Рст-
Конкретно, нечеткое решение D определяется [82] как результат
операции:
1)	пересечения I (взятия минимума) нечетких множеств це-
лей и ограничений Цо,- = А • • • А РспЛ	Л • • • ЛI‘cm;
2)	пересечения II (перемножения) нечетких множеств целей
и ограничений Рпп = PGj •.. • -РСп-Ре/ • • • -Цст (см. табл. 1.1);
3)	линейной комбинации нечетких множеств целей и ограни-
чений
п	т
Рош = 2 «iPGi + 2 вРСр > О,
г=1	3=1
п	т
2 “i + 2 0; = 1-
i=l	j=l
Отметим, что pen (®) Ppj (^) ^ РпП1 (x) VusX.
В [117] при определении нечеткого решения используется
формула
____________РсРс_________
“ Т + (1 — Т) (Pg + И с — РсРсГ
238
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
откуда пересечение II получается как частный случай, когда па-
раметр у = 1. Для учета различной значимости целей и ограни-
чений нечеткое решение можно сформулировать не только как
их выпуклую комбинацию с весовыми коэффициентами а,-, [3,,
г = 1, ..п; j = 1, ..., т, т. е. как ЦиП1,. но также в виде ро =
“п	Т ТТ
= Pi * »(in ,где * — пересечение типа 1 или II нечетких мно-
жеств, а а,- (7=1, ..п) — коэффициенты важности, отражаю-
щие вес в решении pD [159]. Рациональную шкалу важности
можно получить, применяя основанную на попарных сравнениях
процедуру Саати (см. гл. 10).
Как пример рассмотрим задачу выбора варианта проектного
решения, когда цели и ограничения выражены следующим об-
разом:
G: спроектировать конструкцию, радиус R которой должен
быть «приблизительно 300 -т- 330 мм»,
С: согласно ограничениям по технологичности, должен быть
«не менее 310 мм».
Решение задачи сводится к интеграции этой исходной ин-
формации с помощью некоторой операции над нечеткими под-
множествами G и С множества радиусов {Я} с последующим
выбором такой альтернативы Я*, степень принадлежности кото-
рой нечеткому решению максимальна (рис. 9.1). Принципиально
Рис. 9.1. Определение решения как пересечения нечетких целей и ограни-
чений
возможно построение бесчисленного множества операций, соот-
ветствующих слиянию целей и ограничений.
На практике чаще встречаются ситуации, когда цели и огра-
ничения — нечеткие подмножества в разных пространствах аль-
тернатив и результатов (причин и следствий) — соответственно
X и Y. Пусть нечеткие цели заданы на множестве результатов
Y:	(У),, i=l, .... п, а нечеткие ограничения — на мно-
жестве альтернатив X:	7 = 1, ..., т. Если извест-
но отображение q>: X-*- Y, то используя понятие прообраза ря
§ 9.1. НЕЧЕТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
239
нечеткого множества целей ро при отображении <р: цв(ж) =
= pG(q>(z)) ViteX, легко сводим данную задачу к предыду-
щей, в которой цели и ограничения находятся в одном и том же
пространстве. Решение можно записать в виде
pD(a:) = pG1(q>(x)) * ... * цСп(ф(х))*рС1(а;)* ...» Цст(х) VxceX.
Наиболее общим является случай, когда само отображение
нечеткое, т. е. q>: X-+Y или цф: ХХУ->[0, 1]. Это означает,
что каждая конкретная альтернатива х е X может привести к не-
четкому подмножеству последствий на множестве результатов У.
В [50] решение этой задачи определяется в виде максимального
по отношению вложенности нечеткого множества, удовлетворяю-
щего условиям: а) допустимости решения Др^рср/ = 1, ..., т
и б) достижения поставленных целей <р (рп) 1 = 1, • •. t п.
Модели решения задачи нечеткого математического програм-
мирования при нечетком множестве допустимых альтернатив
предложены в работах [47, 48, 53, 74, 117, 130, 131, 134, 139—
141, 152, 156, 160]. В [74, 133, 152] нечеткая цель рассматривает-
ся как обобщенная форма заданного критерия качества, причем
ее функция принадлежности вводится на основе нормализации
этого (ограниченного) критерия качества с сохранением линей-
ного порядка. Далее применяется принцип слияния, и с помощью
четких множеств уровня Са. = {х е X | рс (х) aj, a« е [0, 1]
для нечетких ограничений цс рассматриваемая задача нечеткой
оптимизации — найти
sup pD (х) = sup [|.iG (ж) Д рс (ж)]
XSX	ХЕХ
— сводится к семейству обычных четких задач оптимизации вида
sup Pg ai е [0, 1]; I = 0, 1, 2 ...
xeca.
Однако, поскольку работать с семействами множеств трудно,
естественно стремиться к аппроксимации нечеткого множества
четким. В [134] для оценки точности такой аппроксимации вво-
дится чебышевская норма || ||:	(X) -> [0,1], || рА |[ = sup | ца(^) |=?
= sup рд (х) и считается, что обычное множество А X аппрок-
симирует нечеткое множество рд е &"(Х) с точностью е > 0, т. е.
Уд^А если 1цл — /л!<е, где /л— характеристическая функ-
ция множества А.
В [139] предлагается другой подход к решению задачи НМП
с нечетким множеством допустимых альтернатив; изложены два
варианта решения этой задачи. Первый вариант опирается на
разложение нечеткого множества ограничений на множества
240
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
уровня и представлении задачи НМП в виде семейства обычных
задач оптимизации целевой функции ср на множествах уровня Са-
Но в отличие от вышеприведенной методики здесь вводится под-
множество таких элементов множества Са, где функция q> (хе)
достигает своего максимума:
N (а) = (х <= X | ср (я) = sup q> (х'), а 0, Са =/= 0\.
[	х'еса	j
Таким образом, целевая функция ср максимизируется на множе-
стве тех альтернатив, которые со степенью не меньшей а счита-
ются допустимыми в исходной задаче НМП. Решение записыва-
ется в виде
Ин (х) = sup а,
а: x<=Na
т. е. его функция принадлежности принимает значения, равные
максимальному уровню а, для которого соответствующая альтер-
натива доставляет экстремум целевой функции ср. Его можно
определить так же, как
(цс(^), если х^ U
!‘Ь (х) =	“>о
( 0 в противном случае.
Этому нечеткому решению, определенному в X, соответствует
нечеткое значение целевой функции д>(хг) в J?, которое есть об-
раз нечеткого множества альтернатив при отображении <р,
|лф (г) = sup цЬ (а?) = sup sup а,
J(r) оь:х^ЛГ(ос)
где <p-i (г) = {х е X | <р (х) = г}.
Таким образом, если ЛПР надлежит выбрать единственную
альтернативу х° е X, то его выбор должен основываться не толь-
ко на величине функции принадлежности (степени принадлеж-
ности альтернативы х° нечеткому множеству допустимых аль-
тернатив С), но и на соответствующем значении целевой функ-
ции. Второй вариант решения непосредственно базируется на
понятии оптимальных по Парето элементов для максимизируе-
мой функции и нечеткого множества ограничений:
(цс(а:), если х^.Р° (множество Парето),
Ио (*) = ) А
г [0 в противном случае.
Здесь явно учитывается необходимость компромисса между же-
ланием получить по возможности большее значение функции <р,
оценивающей результат выбора, и стремлением взять по возмож-
ности более допустимую альтернативу. Показано, что при доста-
точно простых условиях оба решения дают одно и то же значе-
ние целевой функции.
§ 9.1. НЕЧЕТКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
241
Стандартная задача математического программирования — это
отыскание тах<р(ж) при ограничениях ip(rz:)^O, х^Х. Нечет-
кий вариант этой задачи означает, что ограничения смягчаются,
т. е. допускается возможность их нарушения с той или иной сте-
пенью. Более того, вместо задачи максимизации можно поста-
вить задачу достижения некоторого наперед заданного значения
функции <р (гг), соответствующего удовлетворению исходной цели.
Тогда общая задача гибкого математического программирования
формулируется следующим образом: сделать <p(x)gz0 при огра-
ничениях ф (х) § 0, х s X, где ~ означает, что неравенства могут
нарушаться. Согласно подходу, развиваемому в [117, 172], вво-
дятся пороги а и Ъ такие, что неравенства <p(rr)< z0 — а и if>(;r)>
> Ъ означают сильное нарушение исходных неравенств (z) > z0
и	соответственно. Функции принадлежности нечетких
целей и ограничений определяются			в виде:	
	о,	если	<p(z)s	zo
HG (*) =	р (я, а),	если	z0 Я •	< <р (ж) < z0,
	1,	если	<р(х):	^zo>
	0,	если	ф(я)>	ъ,
Рс (ж) =	v(^, Ь)(	если	0<	ip(z) < b,
	1,	если	Ф(^Х	0,
где ц, v: X -* [0, 1] — функции, характеризующие степени выпол-
нения соответствующих неравенств. Далее применяется принцип
слияния целей и ограничений и для случая линейного програм-
мирования: найти <р (я) = cz § z0 при Ах § Ь, х > 0 (где с — век-
тор коэффициентов целевой функции, b — вектор ограничений,
а А — матрица коэффициентов) доказывается, что эта задача
сводится к решению обычной задачи векторной оптимизации.
В [136] этот вывод обобщается для функций принадлежности
произвольного вида.
Нередко на практике точная теория оптимизации применяет-
ся к неточным моделям, где нет никаких оснований задавать ко-
эффициенты в виде точно определенных чисел. Такое искусствен-
ное сужение априорной информации может привести к искаже-
нию конечных результатов, и во избежание этого следует вводить
поля допусков (интервалы толерантности) на коэффициенты
системы. Достаточно общий класс представляют такие задачи
оптимизации, в которых матрица коэффициентов и вектор огра-
ничений предполагаются лежащими в заданных множествах; при
этом допустимая область, которую принято описывать неравен-
п
ствами вида S anxj bt или в матричной форме Ах < Ъ, выра-
j=i
жается с помощью конечной суммы непустых выпуклых мно-
242
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
жеств, вложенных в заданное множество х.А, + х2А2 +...+ хпАп s
= А [148]. Когда Aj (7=1, . •n) — выпуклые нечеткие множе-
ства, А — также нечеткое множество, т. е. ^”‘->[0, 1],
цА: &т -*• [0, 1], а операция + означает сложение нечетких мно-
жеств (см. гл. 1), то, переходя к множествам сильного уровня,
легко решаем задачу их представления с помощью обычных мно-
жеств с ограничениями по включению [47]. Рассмотрим вариант
линейного программирования с нечеткими коэффициентами [131,
132]. Здесь при формулировании ограничений вместо чисел (ко-
эффициентов bi) используются интервалы [Ь,-, S,]. Таким обра-
зом, учитывается, что в реальных задачах планирования требу-
ется выбрать такое число р,- из [Ь,, S,], чтобы неравенства
п
2 aaxj Pi задавали допустимую область, а (например, ана-
5=1
лизируемая стоимость) была по возможности близкой к bt (ми-
нимальная возможная для данного проекта стоимость). Степень
близости р,- к bi удобно представить с помощью нечетких мно-
жеств щ: -* [0, 1] с носителем [£ч, Si] (i = l, ..., т), где
Piaffe,-, Si] означает, что ц(р,)>0. Тогда задача нечеткого ли-
нейного программирования (НЛП) формулируется так: найти
вектор х = (х1г ..., хп)^Яп такой, что для любого i (i = l, ...
п	п
т) 2 aijXj е [biT SJ и разность 2 anxj — мала. Если
j=i	5=1
в,— p.
взять функцию принадлежности вида р (Р;) = g^-—и обозна-
ui
чить min р4(х) через жп+1, то приходим к несложной задаче: най-
ти max xn+i при 2 aUxi +	~ bi) xn+i < S{.
В [102] неточно известные коэффициенты моделируются с по-
мощью нечетких чисел (L — R)-типа; задача робастного*) про-
граммирования принимает вид: определить max(с^ + ... + спхп)
при
Ci(xt, ..., хп) > (i = 1, ..., т); (cs, Xj) е 5?2, х, >0.
Здесь Ci —(С{, С{, Ci), где Ci — вектор средних значений, а С,- и
Ci соответственно левый и правый параметры нечеткости. Из
определения нечеткого ограничения видно, что исходная задача
с т нечеткими коэффициентами преобразуется в классическую
задачу линейного программирования с Зт ограничениями, кото-
рую можно решить обычным симплекс-методом.
§ 9.2. Модели нечеткой ожидаемой полезности
При описании индивидуального принятия решения в рамках
классического подхода, наряду с моделями математического про-
граммирования, широко применяются теория статистических ре-
*) То есть «грубого программирования» (см. [47]).
§ 9.2. МОДЕЛИ НЕЧЕТКОЙ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
243
тений и теория ожидаемой полезности. Последняя предназначена
для анализа решений, когда неопределенность обусловлена отсут-
ствием объективной физической шкалы для оценки предпочти-
тельности альтернатив. В этих случаях используется субъектив-
ная шкала полезности лица, принимающего решения (ЛПР).
В реальных ситуациях исходы, соответствующие принятым реше-
ниям (состояния системы), являются подчас нечеткими [120], что
влечет за собой размытость соответствующих им оценок функции
полезности. Размытый вариант ожидаемой полезности формули-
руется, например, в модели [121], где выделяются и одновремен-
но учитываются как случайные, так и нечеткие составляющие
неопределенности. Выбор происходит на основе максимизации
п
нечеткой ожидаемой полезности (НОП) ER, = 2 Р-F аР Mt
i—i г
где pt — размытая вероятность состояния ${ из множества состояний
мира S, F: S X АХ В Я~(Я), А = {а} — множество альтернатив,
В = {5}— множество критериев, 5? — множество оценок, а З2* (5?) =
= {цл|цл: Я [0, 1]} — класс всех нечетких подмножеств на
множестве оценок Я.
Не так давно появились публикации, в которых описываются
нечеткие лотереи [157], нечеткие деревья предпочтения [72], не-
четкие байесовские оценки [127, 153] и т. п., где неполнота ин-
формации о законе распределения вероятности моделируется с
использованием нечетких чисел и лингвистических вероятностей.
Например, в [157] задача анализа решений формулируется сле-
дующим образом. Пусть имеются две обычные вероятности сме-
си (лотереи): ^1=[рг/А1, (1—р)ид2], где р — вероятность исхо-
да с ожидаемой полезностью иА и (1 — р) — вероятность исхода
с ожидаемой полезностью иА^, а В = [?uBi, (1 — q)uB2], где q—
вероятность исхода с ожидаемой полезностью uBi, (1 — q) — ве-
роятность исхода с ожидаемой полезностью ив^ Из теории ожи-
даемой полезности следует, что АХ В, если риА1 + (1 — р)иА >
>quBi + (i—q)uB2.
Будем считать, что вероятности р и q и ожидаемые полезно-
сти иА^, иА^, иВ1, ив^ точно не известны, т. е. введем Р
[0, 1], ц,: Q -► [0, 1], pu: V -> [0, 1]. Тогда в соответствии с
принципом обобщения степени принадлежности альтернатив а и
Ь множествам ожидаемых полезностей в нечетких лотереях А и
В соответственно будут равны
Р-Л(П)=^	+“a*p)u a[min(Mp(Z’).llA1(WA1),llA2(WA2)]l
ИВ(Ь)=,„В1 + ЫаД)„В2 = Ь I™1*1	^1(М’ М%)Ь
244
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
В случае лотереи с п исходами также для каждого ребра де-
рева решений подсчитывается значение нечеткой ожидаемой по-
лезности.
Особый интерес представляют попытки применения к задачам
принятия решения теории возможности [170, 171, 12, 14, 16, 38,
39, 88, 116, 161]. Нечеткая оценка возможности, понимаемая как
субъективное отражение внутренних ограничений объекта, тре-
бует меньшего уровня априорной информированности, чем рас-
пределение вероятности, и более перспективна при анализе задач
с ярко выраженной неопределенностью ординального характера
(например, для работы с ординальной функцией полезности, ко-
гда нельзя определить расстояние между двумя ее соседними
значениями) [165].
§ 9.3. Нечеткие модели коллективных решений
В зависимости от вида индивидуальных предпочтений и ин-
формационных аспектов, выделяются [127] три класса теорий
принятия решения п лицами: 1) теория групповых решений;
2) теория малых групп и 3) теория игр п лиц. В последней счи-
тается, что все игроки преследуют сугубо личные цели (выиг-
рыш), что не запрещает им вступать в коалиции или обменивать-
ся информацией. В теории же групповых решений предполагает-
ся, что хотя каждый субъект имеет свои личные цели и ценно-
сти, но главная цель состоит в том, чтобы достичь приемлемого
коллективного решения (получить одно групповое упорядочение
по предпочтениям) на основе индивидуальных предпочтений.
Исходной предпосылкой теории малых групп является то, что
каждый член малой группы защищает общие интересы, и цель
группы есть в то же время цель индивида; при этом особое вни-
мание уделяется структуре информации, исходя из которой при-
нимаются решения. Размытый вариант этой теории учитывает
нечеткость знания состояний мира, нечеткость информационных
сигналов, решающих функций и т. д. [137].
В задачах коллективного принятия решения обычно исполь-
зуется выражение предпочтений в виде бинарного отношения Р
на множестве альтернатив — более универсальное по сравнению
с целевой функцией. Принято выделять [138] два основных ас-
пекта группового принятия решения с нечеткими отношениями
предпочтения: а) отыскание, исходя из множества индивидуаль-
ных нечетких предпочтений, допустимого группового решения
(в стиле Эрроу) и б) построение по нечетким отношениям пред-
почтения упорядоченного множества альтернатив; при этом тре-
буется определить множество недомипируемых альтернатив или
других, устойчивых решений.
Впервые задача группового выбора в условиях нечеткости
сформулирована в [84, 85]. Имеется группа из п ЛПР {5О . .., Вп}
§ 9.3. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ КОЛЛЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ
245
и множество альтернатив А = {ait ..ат}, каждое ЛПР имеет
четкое отношение предпочтения Рк: АХ А-+{(), 1}. Задача со-
стоит в построении совместного группового упорядочения посред-
ством отображения, F: PtX Р2Х .. .X Рп -> Ро. Различие мнений
отдельных ЛПР обусловливает нечеткость отношения «общест-
венного» предпочтения на декартовом произведении АХ А с функ-
цией принадлежности Цр0 (a,, aj) е[0,1]. Функция принадлеж-
ности нечеткого отношения Ро может назначаться в форме:
a)	=
б)	Мр0 (ai? «,) =| | N (<ru) - N (оя)|
и т. п., где Оо = {Pk\a<> а,}, А(о,,) —число элементов в оц, т. е.
число лиц, считающих, что я,- предпочтительнее dj. Процедура
получения окончательного четкого решения на основе ранее по-
строенной матрицы «общественного» предпочтения Ва [85] осно-
вана на введении отношения a-уровня нечеткого отношения Цн0
интерпретируемого как «уровень согласия в группе»; необходимо
максимизировать этот уровень согласия из условия полноты со-
ответствующего отношения порядка.
Модели группового выбора на основе бинарных нечетких от-
ношений предпочтения г: XXX [0, 1], т. е. квадратных мат-
риц [г0] — R, II с V„, где Vn — множество всех, действительных
матриц размера пХп, обсуждаются различными авторами [40,
41, 52, 53, 83]. В [83] выделяются основные типы предпочтений и
согласия на множестве матриц нечеткпх отношений, обладающих
свойством обратимости Mn—{R Vn | 0 sC 1 V» Й гп — 0 VG
гц + Гл — 1 \/i ¥= /}• Анализ происходит с использованием
введенных па Мп скалярных мер.
В основе классической теории коллективных решений лежит
теорема Эрроу, согласно которой нельзя построить функцию груп-
пового предпочтения без диктата. Грубо говоря, это значит, что
не существует функции группового предпочтения, полностью учи-
тывающей индивидуальное мнение. Однако для коллектива ЛПР,
сформированного в условиях нечеткого управления, обладающе-
го устойчивостью, существует общественно удовлетворительное
решение [99] (устойчивость управления подразумевает наличие
хотя бы одной четкой инструкции). При нечетких внешних ин-
струкциях в группе возникает иерархия, характеризуемая на-
личием лидера — ЛПР, обладающего наибольшей способ-
ностью генерировать разнообразные альтернативы в ответ на
эти инструкции. Эта иерархия — более гибкая, чем иерархия дик-
таторского типа: функция лидера может состоять в конкретиза-
ции нечетких инструкций и их доведении на более пизкпй уро-
вень, при этом возможно существование решения, которое удов-
летворяет всех.
246
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
Аналогичные выводы установлены X. Скала (см. [138]) в ра-
боте, где исследуются свойства матрицы [гч],
rU
’ т
2 ahij для i
О для i =
где djj = если 7c-ii эксперт строго предпочитает альтернативу
альтернативе г,; ац = 0 в противном случае. Если rtj аптиреф-
лексивна = 0, псевдоасимметричпа гу + гй = 1 и псевдотран-
зитивна r,j + Г;/, — 1 < гй, то условия теоремы невозможности сов-
местны.
Групповое решение, полученное, исходя из индивидуальных
предпочтений, может обеспечивать необходимую входную ин-
формацию для построения множества педоминируемых альтерна-
тив [140, 53, 26]. Последнее можно построить па основе печеткпх
отношений строгого предпочтения R3 = R\R~l и квазиэквива-
лептности Re = R П R 1 с функциями принадлежности соответ-
ственно
« (У1 д.) = [ня (У1— Ня У)» если рй (у, х) > цй (г, у),
1 I 0 в противнокГслучае
и
у) == min {цй (г, у), рй (yt г)}.
Тогда функция принадлежности нечеткого множества недомини-
руемых альтернатив [140] выражается в виде
pND (х) = inf [1 — рй(у, х)] = 1 — supper/, х).
У=Х	bf=X
Эффективным считается выбор величины |iND(;r) достаточно
близкой к sup pND (.г) = 1 — inf sup |[1й (у, х) — рй (,г, у) I. Альтер-
х<=х	х=хугУ
нативу х следует брать из множества четко недоминируе-
мых альтернатив — XUND s Р, Хикп = {ж е XI pN1’(r) = 1), где Р —
множество Парето.
Аксиоматический подход к определению рационального груп-
пового решения на основе нечетких индивидуальных предпочте-
ний предложен в работе [110]. В ней, исходя из аксиом рацио-
нального агрегата нечетких множеств, доказывается, что группо-
вое решение является либо пессимистическим аЪ = min {а, Ъ}, ли-
бо оптимистическим ab = шах {«, Ь), либо смешанным агрегатом
нечетких множеств. Этот результат, наряду с выводами Веллмана
и Гирца [81], позволяет сформулировать строгие принципы нор-
мативного группового выбора. Кроме того, в [110] показано, что
нечеткие множества удобно использовать для унификации раз-
личных аксиоматических подходов к проблеме рационального
§ 9,4. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
247
выбора: теории статистических решений, теории коллективных ре-
шений и теории многокритериального выбора. Функцию принад-
лежности можно трактовать как убывающую функцию риска R,
т. е. если 0 — множество состояний природы, а Х = {х} — мно-
жество альтернатив, то pe(;r)= 1 — 7?(0, х) для всех х^Х при
условии, что R (0, х) е [О, 1]. Эта функция принадлежности не-
четкого множества альтернатив одновременно отражает и степень
приемлемости данного элемента для коллектива ЛПР, и состоя-
ние природы. Предлагается использовать в качестве области зна-
чений функции принадлежности топологическое пространство,
индуцированное линейным порядком, и в некотором смысле более
простое, чем интервал [0, 1]. Интересное развитие этих идей мож-
но найти в [165].
Для моделирования ситуации принятия решения в условиях
противоборства, когда надо принимать во внимание интересы
всех ЛПР, влияющих на ход событий, применяется аппарат теории
игр. Обобщения теоретико-игровых моделей анализа конфликт-
ных ситуаций на случаи нечеткой информации о целях и стратеги-
ях игроков содержатся в работах [50, 51, 53, 63, 76, 77, 93, 145].
Игра двух лиц с нечеткими стратегиями и предпочтениями-
определяется [145] набором G = (S‘, S2, Я1, Я2), где S1’ — множе-
ство стратегий i-ro игрока, |Я'|>2 (i — 1, 2). На декартовом
произведении стратегий игроков определены исходы игры со s Q,
Q = Sl X S:!. Отношение предпочтения i-ro игрока — слабый ча-
стичный порядок (по крайней мере, рефлексивно),
т. е. Я's (S1 X №)2. Нечеткость предпочтения описывается с по-
мощью нечеткого отношения |лдс: QxQ->[0.i 1] или |лДг:
S1 xS’3)2 ->[0t l]t причем (со, со')—степень, с которой
игрок i не предпочитает исход со' исходу со. В свою очередь i-я
нечеткая стратегия определяется отображением а(: S‘ -* [0, 1].
Нечеткие исходы, полученные в результате принятия нечетких
стратегий, представляют собой декартово произведение нечетких
множеств 51xS2 = {((«I, s2), (sj) Д cr2 (s2))}. Далее вводит-
ся понятие равновесного решения размытой игры в виде пересе-
чения четких отношений уровня, заданных на S* X S2.
§ 9.4. Нечеткие модели многокритериальных задач
С проблемой принятия коллективных решений тесно связана
(хотя и несколько отлична от нее) задача многоцелевого (много-
критериального) принятия решения. Многокритериальную опти-
мизацию в нечеткой обстановке можно представить в виде систе-
мы (.X, C'i, ..., Сп, L> [47], где X — универсальное множество
альтернатив, L — решетка, а критерием (i = 1, ..., п) назы-
вается Л-нечеткое множество
llCi е l(X), STL(X) = {рс. | yCj:	L}.
248
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
Если все критерии рассматривать как равнозначные и срав-
нимые, то в соответствии с принципом слияния имеем набор
<Х, D, L>, где D = (\ П ... П Сп, т. е. Hd=Mc1*Pc2 *•••* Рсп, * —
один из вариантов операции пересечения нечетких множеств в
[23, 173]. Однако в реальных условиях принятие решения
происходит при наличии критериев неодинаковой значимостп.
Тогда, если имеется множество нечетких критериев М — {рс\» . • •
•.. , Рсп},	l(X) и множество весов критериев П = {Л, ...
..., Рп}, то нечеткое подмножество Q НМ М; Q<= М
Ре (Рс{(я:)) =
Рп
О,
если Сг <= М,
если Ci М
определяет взвешивание критериев [126]. Отметим, что QczM<=^
(£Fl (А)) —нечеткое множество типа 2 [32].
В [47, 48] процедура взвешивания критериев рассматривается
как отображение v: £?(;¥„)->£, где ^(Л7,,) — множество всех под-
множеств индексов критериев An = {l, ..., n), L — решетка.
Функция D: X L, отображающая решения, определяется с по-
мощью нечеткого интеграла [149]
D=K'og(-) = sup inf(vx(Z)
JVn	isM
В многокритериальном случае целевая функция есть вектор-
ная функция <р(а:) = (<р1(а:), ..., <р»п(а?)), т. е. <р: X <= 31п -> №п,
и строгий порядок на Я'п невозможен. Любые две альтернативы
х и у сравнимы между собой тогда и только тогда, когда либо
<Рх(гс) > либо <рДл-) «5 <рДг/) V;. Таким образом, понятие
оптимальности заменяется в векторной оптимизации понятием
педоминируемости. В то время как в однокритериальной задаче
решение есть точка оптимума, в многокритериальной задаче оно
дает множество эффективных (оптимальных по Парето) аль-
тернатив
Р° = (х° s Х| Vj/<= X, <Р1(г/)><рДж°)=><рг (у) = <рг(ж0); i-=l, ...,«}.
Для дальнейшего сужения этого множества Р‘} необходима
дополнительная информация от ЛПР: используемые при этом
различные процедуры в основном сводятся к явному или неяв-
ному свертыванию частных критериев в единый критерий. При-
мерами таких обобхценных критериев могут служить взвешенная
71
сумма нечетких критериев С — 'S и^Су, произведение вида
i=i
п
С = ]_[Ciwt; минимум отношения С == min (С,//^), где С{ —
i=l	i=l,...,n
нормализованные критерии (нечеткие цели по Веллману и Заде),
a iVi — их веса (i — 1, ..., п).
§ 9.4. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
249
Нечеткая постановка задачи многокритериального выбора
предполагает [26—28, 78, 79, 127], что известны множество срав-
ниваемых альтернатив А = {At, ..., Ат} п множество критериев
(аспектов) сравнения С — {Ci, ..., Сп}, причем нечеткая оценка
альтернативы Aj по критерию Ct характеризуется функцией при-
надлежности uRj.. (гд),	а относительная важность w{ кри-
терия Ci — функцией принадлежности (^1), гг; е 5?+. Имеет-
ся нечеткое множество оптимальных альтернатив.
При построении решения может использоваться [78, 120] не-
п	in
четкая средневзвешенная оценка г}-=2и;*г?{ / S альтерна-
i=1	/ i=l
тивы Aj с функцией принадлежности
НиДа) =_sup_ /\	1Чг3ь(г&)-
г1,...,гпг 1	1
В [120] уровни принадлежности в оптимальном множестве опре-
деляются в виде пересечения нечетких оценок Rj с так называе-
мым максимизирующим множеством М*, функция принадлежно-
сти которого р-м* (г) = [г/гщах]₽ (р — целое число) отражает
степень приближения текущего значения оценки к максимально
— [ т \
возможному rmax = sup[ (J supp |Лд . (rj) |. В качестве нечетко оп-
r V=1	3	/
тимальной альтернативы А* берется супремум этого пересече-
ния по всем средневзвешенным оценкам. Другой вариант срав-
нения альтернатив формулируется [78] с помощью условного не-
четкого множества 017?, характеризуемого функцией
HoihG IГ1.гп) =
1, если r rk V/c = 1, ... , т;
0 в противном случае.
Тогда нечеткое множество оптимальных альтернатив определяет-
ся функцией принадлежности
МО = sup _ (HolfiG Iri, ... ,гп) А РкОч,..., гп)).
Г1”",7П
__ п	_
При p,R(r1, ..., гп) = А (г,), имеем
j=i
но(О = _sup _ A
А..........
Таким образом, в итоге выбирается альтернатива с такой сред-
невзвешенной оценкой А, что А 5s гк для любого к: к s {1, ..., п}.
Эту процедуру можно также описать с помощью п-арного
250
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
отношения Р3: 7? X... X 7?	{0, 1), где
„ (7	если	1Ж п;
J	7	(0 в противном случае.
Для повышения чувствительности данного метода определяет-
ся мера предпочтительности альтернативы по отношению к дру-
гим, в качестве которой выступает расстояние между конкретным
значением оценки этой альтернативы и средним значением оце-
нок по всем другим альтернативам. Однако более интересно про-
анализировать степень предпочтение некоторой альтернативы по
отношению к ее ближайшей сопернице. Поэтому в [79] вместо
n-арного четкого отношения Pj используется бинарное нечеткое
отношение Цр.л 7? X 7?->[0, 1], выражающее предпочтительность
оценки перед г,; i, j = 1, ..., n; i ¥= j, т. е. Цр{}. = / (г{, rj), к при-
меру (г{, г}) = — г,. При этом выбор в оптимальном мно-
жестве описывается функцией принадлежности
Ро (0 = sup (pR. (г{) Д pR; (rj) Д p (r{, rj)).
ri'r3
В работах [26, 27, 52, 53] показывается, что описание много-
критериальных задач удобно проводить с помощью построения
отношений предпочтения между альтернативами с последующим
выделением нечеткого множества недоминируемых альтернатив.
Например, в так называемой обобщенной модели НМП [141] в
отличие от вышеописанных подходов, основанных на сравнении
нечетких множеств в одном пространстве оценок по кри-
териям, анализируются задачи, в которых возможна нечет-
кость всех компонентов системы принятия решения. Рас-
сматриваются: а) множество допустимых альтернатив X (оно мо-
жет быть нечетким рА: X -► [0, 1]), б) универсальное множество
оценок R альтернатив из X. На множестве оценок задано нечет-
кое отношение предпочтения р.Р: 7? X R -* [0, 1]. Выбор оценива-
ется на базе этого отношения, а также нечеткого отображения
цели цф: X X R -+ [0, 1], согласно которому любой альтернативе
х0 е X ставится в соответствие нечеткая оценка у.ф(гЕ0, у), являю-
щаяся нечетким подмножеством множества оценок R. Требуется
установить правило рационального выбора альтернатив из мно-
жества X.
Решение этой задачи определяется путем построения на мно-
жестве альтернатив X нечеткого отношения предпочтения, кото-
рое индуцируется исходным нечетким отношением 7?, расширен-
ным на класс всех нечетких подмножеств (R X R) декартова
произведения R X R с последующим выделением из него нечет-
кого множества недоминируемых альтернатив.
Понятие структур доминирования и недоминируемых реше-
ний в многокритериальных задачах позволяет рассматривать об-
щие случаи, в которых имеется информация о предпочтениях
§ 9.4. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
251
ЛПР. В [151] вводятся понятия нечетких выпуклых конусов и не-
четких полярных конусов, обобщающих структуры, впервые по-
строенные Ю (You). Эти структуры охватывают понятие опти-
мальности в смысле Парето и некоторые другие конструкции.
Частным случаем многокритериального подхода является зада-
ча линейной векторной оптимизации [117, 172]; для ее решения
предложена конкретизация схемы Веллмана и Заде [71]. Приме-
ры выделения одного конкретного решения из множества эффек-
тивных решений векторной максимизации методами нечеткого ли-
нейного программирования содержатся в [47, 53, 172]: предвари-
тельно найденные наилучшее и наихудшее решения служат
границами нечетких диапазонов в соответствующей задаче не-
четкого линейного программирования.
Выбор конкретного решения из множества Парето можно
также осуществлять с помощью метода целевого программиро-
вания, идея которого состоит в отыскании решений, расположен-
ных как можно ближе к вектору одновременно недостижимых
целей (идеальной точке) [23, 47]. Иначе задачу многокритери-
ального выбора можно рассматривать как задачу группирования
(кластеризации) альтернатив на основе введения на множестве X
некоторого отношения различия (например, ультраметрики),
описывающего расстояния между нечеткими подмножествами
множества альтернатив [126]; в частности, могут применяться
различные показатели размытости, в том числе нечеткая энтро-
пия Де Люка и Термини [94, 54] (см. гл. 3).
На ранних стадиях проектирования реальных систем (этапы
анализа технического задания и разработки технического предло-
жения) имеется набор признаков, по которым происходит экс-
пертная оценка вариантов и выбирается в некотором смысле наи-
лучший вариант конструкции. Поэтому в ходе анализа техниче-
ское задание целесообразно представлять в виде составной линг-
вистической переменной, смысл которой выражается с помощью
набора эталонных функций принадлежности. Исходные данные
удобно сгруппировать в матрицу возможных проектных решений
(табл. 9.1): ее строки содержат описание альтернатив ак, ft = 1,...
..., q, а столбцы соответствуют признакам C;, I = 1, ..., г. Клет-
ки матрицы заполняются функциями принадлежности (НМ), по-
строенными на основе вербально-графических оценок экспертов
[59]. В интересах сопоставления оценок по признакам различной
природы следует нормализовать шкалы признаков, например по
формуле хг = (л:г —^min)/(a:imax —^(min), где Xi — текущая оцен-
ка по Z-му признаку, a [xImIn, гсгтах]— диапазон допустимых зна-
чений по Z-му признаку. Правило выбора наилучшего варианта
может записываться в виде
Г
D (и\ а) = 2 wi (Ci)-pi (aht аэт), 2)Эф = min D (w, ak),
i=i
252
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
Таблица 9.1
Признаки
Варианты
С количественной
базовой переменной
С качественной
базовой переменной
С,
С.
Cl
-Iе-
Потери (степени
риска)
В (W, Oft)
ai
а2
Ид1
Олисавие требо- Цщ
ваний техническо-
го задания
Весовые коэффи-
циенты признаков
!112
Р-22
Рд2
Р«2
Ш2
P1Z
Иг/
p-fel
Ндг
Ио!
“’г
Ц1г
Р2Г
Цйг
Mgr
Рог
Wr
а.^	jxfci
где Wi(Ci)—весовые коэффициенты признаков, a p((st, лэт) —
обобщенный показатель различия между текущей и эталонной
оценками по Z-му признаку, имеющий вид р = яр#-(х) +
+ ^Ра(р^-(х) — метрика в &~(Х), рх— метрика в X, а а и Ь —
соответствующие коэффициенты важности).
§ 9.5. Динамические модели принятия решения
Управление многими реальными системами по сути дела пред-
ставляет собой последовательность решений, направленных на
выполнение некоторой цели при наличии ограничений (помех).
Этим объясняется особое внимание исследователей к созданию
динамических моделей принятия решения при нечеткой исходной
информации, когда учитывается ее изменение во времени. Любой
процесс управления динамической системой характеризуется мно-
жеством состояний этой системы X и множеством значений уп-
равления U; состояния и значения управления для момента вре-
мени t е Т будем обозначать через xt и ut соответственно. Функ-
ционирование системы, т. е. ее переходы из состояния в состояние
под воздействием управления описывается уравнением состояния
(движения): xt+i = f(xt, ut). Здесь предполагается, что изменения
состояний происходят в дискретном времени Т = Ш = {0, 1,2,...}.
Если, кроме того, система имеет конечное число состояний и уп-
равлений, то многошаговый процесс принятия решения можно
представить с помощью автоматной модели (X, U, f, х0, Xt)
[37, 133], где X ={xt, ..., хл), U ={щ, ..., um), / — переходное отоб-
ражение, Хо е X — начальное состояние, Xt X множество конеч-
ных состояний. Если предположить, что цели функционирования
§ 9.5. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЯ
253
определены в пространстве состояний, а ограничения наложены на
значения управления, то нечеткость при рассмотрении мпогоша-
гового процесса принятия решения может содержаться в описа-
нии: а) целей в пространстве состояний; б) ограничений в про-
странстве управлений; в) переходной характеристики; г) времени
окончания процесса.
Обычно тип динамической системы принято связывать с ха-
рактером отображения /. К настоящему временц различают [47]
четыре типа моделей: 1) /: XXU -* X или f: X X Z7 X X-* {О, 1}
детерминированная модель; 2) X X U -* 2х — недетерминирован-
ная модель; 3) /: XXV ->Рг(Х) (где Рг(Х) — класс распределе-
ний вероятности на множестве X)—стохастическая модель;
4) /: ХХС7ХХ->[0, 1] или /: ^'(Х)Х^'(?7)-*^'(Х) — нечет-
кая модель динамической системы. Для типа 4) можно указать
случаи: а) четкая переходная функция связывает нечеткие состо-
яния системы; б) степень или вес перехода из одного четкого со-
стояния в другое описывается нечетким переходным отображени-
ем; в) нечетки как состояния и управления, так и отображения
переходов.
В [96, 97] в основу описания многоэтапной задачи принятия
решения положено нечеткое отображение типа ST (X) X UN -*
-*^"(Х), где X = 5?”— пространство состояний, UN— простран-
ство стратегий (последовательностей управления, переводящих
объект из начального состояния в конечное), а (X)—класс
всех нечетких подмножеств X. Любое состояние, в том числе и
начальное, представляется выпуклым нечетким подмножеством
пространства состояний. Считается, что решение принимается в
условиях риска, т. е. характеризуется некоторым классом опти-
мальных стратегий, которым приписываются различные степени
риска. Эти оптимальные стратегии минимизируют функционал
вида /р = (1 — р) Jmax + рЛпш, О С р С 1, р — параметр риска.
При решении многошаговых задач с нечеткими целями и ог-
раничениями [23] применяется метод динамического программи-
рования. Рассматриваются детерминированные и стохастические
системы как с фиксированным, так и с неявно определенны^
временем окончания процесса. Случай нечетко определенного вре-
мени окончания многоэтапного процесса th е supp Т = {llpT(f)>
> 0} описан в работе [122].
Динамическую задачу принятия решения естественно пред-
ставить конечным графом Г = {X, V} [37], где X — множество
вершин, соответствующее (конечному) множеству состояний,
а V с: X X X — множество ориентированных дуг (ж,-, х,), описы-
вающее переходы из состояния в состояние под действием уп-
равления ut. Как известно, любая последовательность управле-
ний, переводящая систему из начального состояния в конечное,
которое отождествляется с общей целью, называется стратегией,
а любая подпоследовательность этой последовательности называ-
254
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
ется частичной стратегией. Частичная стратегия относится к про-
межуточной цели. Ни одна общая стратегия, содержащая в себе
какую-либо частичную стратегию, не может иметь вес, больший,
чем вес этой частичной стратегии. Поэтому функция принадлеж-
ности, характеризующая любую стратегию, является невозраста-
ющей при увеличении числа шагов. Если ищется максимизирую-
щее решение, то при последовательном анализе частичных стра-
тегий на промежуточных стадиях поиска решения имеет смысл
принимать во внимание только те из них, которые обладают наи-
большим весом. Иными словами, задача отыскания оптимальной
стратегии, соответствующей максимизирующему решению, сводит-
ся к нахождению в графе Г пути из начальной вершины ха в ко-
нечную вершину, принадлежащую множеству Xtk, с максималь-
ным весом [43].
При анализе принятия решения в случае нечеткой динамиче-
ской системы с нечеткими целями и ограничениями функциони-
рования применяется [123—124] метод ветвей и границ. Здесь
уравнение состояния принимает вид
~ f (HXft t = О, • • •>
где	Х->-[0, 1]— нечеткие состояния динамической
системы в моменты времени t +1 и t соответственно. Нечеткое
состояние в момент времени t +1 есть условное по xt и ut нечет-
кое множество Х(+1 с функцией принадлежности [Лх,+1 (^h-i I xti ut)»
или в соответствии с определением условного нечеткого множе-
ства
Нх<+1 (^+i) = V (НХ( (»t) Л (®t+i I иь. *()); f = 0Л lt .. .* n.
xt
Для конечных множеств X и U для каждого значения управле-
ния можно построить матрицу состояний	Mij(ut) =
= рх. (xt | Xj, ut) и, следовательно, xt+i = M(ut)xt, где xt+l и
x t — векторы-столбцы, состоящие из элементов pxt+1 (^t+i)*
Рх# (xi) соответственно.
Функционирование данной системы, понимаемое как переход
из одного нечеткого состояния в другое, подчиняется следующей
цели; достичь в момент времени N — tk такого нечеткого состоя-
ния системы XN, которое было бы в некоторой степени близко
к предварительно заданной нечеткой цели (нечеткому состоянию)
GN при наличии нечетких ограничений Ct. В качестве меры этой
близости берется относительное расстояние между двумя нечет-
кими множествами, например хэммингово расстояние (линейное)
п
6 Gn) = — 2 I	(#i) | Я
i=l
§ 9.6. ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
255
либо евклидово расстояние (квадратичное)
е (XN, Gn) = ±	2 (Нхп (xi) — V-gn (®i))%
i=l
О < 6, е < 1. Тогда уровень достижения цели описывается в
ме н 1 (х) = 1 — d (X n, GN)t где в качестве относительного
фор-
рас-
стояния d между и можно взять как б, так и е.
р j = const для всех х е X.
gn
Кроме ограничений Со, Ct, ..CN-i и конечной цели Gw, мож-
но сформулировать промежуточные цели Gb G2, ..., GN_t также
в виде ограничений на состояния системы в моменты времени
t = 1, 2, ..N — 1. Если эти цели нечеткие, то на каждом i-м
этапе следует оценивать уровень их достижения согласно [л i(x) =
Gi
= 1 — d (HGp HXj)- При этом максимизирующее решение
[Ad (мо» ии • • ч un—i)— V	(Нс. (ио) А
uo-ui.“N-i
A Hcj(wi) А • • • А Нед,-!(^-0 А А н„ A ••• A p.iV
1	*	g-2	GN)
Существует тесная взаимосвязь между задачами динамиче-
ского принятия решения в нечеткой обстановке и традиционными
задачами оптимального управления, где критерий оптимальности
выражен некоторым функционалом [114].
§ 9.6. Лингвистические модели принятия решений
В отдельную группу следует классифицировать лингвистиче-
ские модели принятия решения, в которых имеющаяся у ЛПР
информация представляется с помощью лингвистических пере-
менных. При описании как критериев, так и бинарных отноше-
ний применяется нечеткая логика с лингвистическими значения-
ми истинности, например при выражении предпочтений предло-
жениями естественного языка типа «х несколько предпочтитель-
нее р»; «х значительно предпочтительнее у» и т. п.
Формализация качественной информации в задачах принятия
решения осуществляется за счет введения лингвистических отно-
шений предпочтения [169, 13, 89], лингвистических критериев
[13, 45], лингвистических весов [164], лингвистических полезно-
стей [158], лингвистических лотерей [17, 90], лингвистических
кванторов [25] и т. д. Например, в схеме нечеткого вывода [25]
рассматриваются кванторы, являющиеся термами лингвистиче-
ской переменной ЧАСТОТА («редко», «часто», «очень часто»
и пр.).
256
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
Лингвистическим критерием называется критерий, оценки по
шкалам которого суть значения одноименной лингвистической
переменной, т. е. нечеткие подмножества некоторого базового
множества. В зависимости от природы базовой переменной разли-
чаются лингвистические критерии с измеримой базовой перемен-
ной (числовые) и лингвистические критерии с неизмеримой ба-
зовой переменной (ординальные) [13, 45]. Примеры числовых
лингвистических критериев: <ВЕЛИЧИНА>, Т ((ВЕЛИЧИНА)) —
= {«малый», «очень малый», «не малый и не большой», «довольно
большой», «большой», ...}; (ПРИМЕНЕНИЕ), Т ((ПРИМЕНЕ-
НИЕ)) = {«узкое», «относительно узкое», «широкое», «очень широ-
кое», ординальных лингвистических критериев: (ТЕХНО-
ЛОГИЧНОСТЬ) конструкции, Т ((ТЕХНОЛОГИЧНОСТЬ)) =
={«плохая», «не очень плохая», «очень плохая», «не плохая»,
«хорошая», «очень хорошая», ...}, (КОМПЕТЕНТНОСТЬ) экспер-
та, Т ((КОМПЕТЕНТНОСТЬ)) = {«низкая», «не высокая», «до-
вольно высокая», «высокая», ...}. Средством математического опи-
сания лингвистических оценок по физическим, количественным
шкалам могут быть нечеткие числа [2, 101]; при этом сравнение
лингвистических значений осуществляется на основе нестрогого
отношения порядка, введенного на множестве нечетких чисел [3].
Однако далеко не все признаки альтернатив измеримы, существу-
ют и такие свойства (качество, удобство применения), для которых
вообще не существует соответствующих физических шкал. Такие
чисто качественные критерии можно описывать с помощью со-
ставной лингвистической переменной высокого порядка, опреде-
ляемой рекуррентно через лингвистические переменные низших
порядков. Другой возможный подход к принятию решения с ор-
динальными критериями — использование в качестве базовых
линейно упорядоченных конечных нечетких множеств (любая
последовательность лингвистических значений характеризуется от-
ношением порядка на произвольной оси, например, на оси балль-
ных оценок [164, 165]. В целом понятие оценок по лингвистиче-
ским критериям тесно связано с нечеткими множествами и отно-
шениями типа [2, 43, 58, 163].
В том случае, когда в нечетком отношении предпочтения
Р = {(х{, Xj), цР(Х{, aj)} принадлежность пары (х<, х}) задается
не численно, а словесно (высокая степень предпочтения и т. п.),
имеем лингвистическое отношение предпочтения [169, 13]. Как и
всякое отношение, его можно выразить матрицей вида
1
Р1 =
Высокая степень
уверенности
Низкая степень
уверенности
1
В зависимости от характера ситуации принятия решения воз-
можна двоякая трактовка лингвистических отношений предпочте-
ния как: а) степени уверенности ЛПР, когда оно сомневается и
§ 9.6. ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
257
затрудняется выразить свое мнение в рамках двузначной логи-
ки «предпочтительно»—«не предпочтительно» (или «безразлич-
но»); б) интенсивности однозначного четкого предпочтения ЛПР,
например, х{ > Xj
	0	Сильно
р2 =	и	предпочтительнее Слабо	q
	предпочтительнее
В работе [18] утверждается, что для эффективного оперирования
лингвистическими значениями предпочтений достаточно огра-
ничиться терм-множеством Т(Р)= {«строго эквивалентно», «поч-
ти эквивалентно», «несколько предпочтительнее», «значительно
предпочтительнее», «абсолютно предпочтительнее»}.
Для оценки значимости критериев (или предпочтений i-ro
ЛПР в групповом принятии решения) в [164] используется лингви-
стическая переменная (ВАЖНОСТЬ), лингвистические значения
которой — нечеткие подмножества множества неотрицательных
чисел. Все термы получаются на основе двух первичных термов
«важный» и «не важный» с помощью модификаторов и связок.
Показывается сходство между модификатором «очень» и поняти-
ем значимости критерия в многокритериальной задаче принятия
решения. В общем случае любой нечеткий критерий, взвешенный
с использованием лингвистической переменной (ВАЖНОСТЬ)
есть нечеткое подмножество типа 2.
При интерпретации решения многоцелевой задачи как пере-
сечения нечетких множеств подразумевается отсутствие всякой
компенсации между большими и малыми степенями принадлеж-
ности (оценками по различным критериям), а при его интерпре-
тации как объединения нечетких множеств предполагается пол-
ная компенсация. Отыскание различных алгебраических пред-
ставлений взвешенной комбинации некомпенсационного «и» и
полностью компенсационной связки «или» позволяет лучше отра-
зить различные вербальные и невербальные процедуры сверты-
вания информации (эвристики), реально применяемые ЛПР
[173]. Более того, сам класс этих сверток (решающих функции)
представляет нечеткое множество [165]. В общем случае индиви-
дуальные правила агрегирования информации ЛПР не могут
быть описаны в виде произвольной функции отдельных пара-
метров.
Поэтому прп лингвистическом подходе к многокритериальным
задачам принятия решения более оправданным может оказаться
не свертывание оценок по отдельным признакам в некоторую
обобщенную оценку с помощью тех или иных алгебраических
операций, а непосредственное рассмотрение единой оценки, зави-
сящей от многих параметров [104, 9, 65]. Любая альтернатива при
этом описывается нечеткой областью цс в многомерном простран-
258
ГЛ. 9. ОПТИМИЗАЦИЯ И ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ
стве взаимодействующих признаков, т. е. поверхностью принад-
лежности в классе ST (С) = ST (Сi) X .. .X ЯГ(Сп). Согласно обычно-
му определению декартова произведения НМ имеем рс(^(п)) =
= min рс (•£{)• Связь между признаками и результирующей
£=1,... ,п
полезностью выражается с помощью отображения Ф:^"(С1)Х
X ... X ST(Сп)	где &~(U) — класс НМ, характеризующих
смысл термов лингвистической переменной (ПОЛЕЗНОСТЬ). Та-
ким образом, каждой альтернативе соответствует значение по-
лезности, которое задается качественно, лингвистически. Следует
отметить, что в ситуации группового принятия решения данный
подход допускает наличие у различных ЛПР различных терм-
множеств и базовых множеств для лингвистических признаков.
Достаточно иметь лишь общее базовое множество для лингвисти-
ческой полезности. Это позволяет избавиться от кропотливой ра-
боты по формированию согласованных групп экспертов, «говоря-
щих на одном языке». Отображение Ф можно задать при помощи
схемы нечетких рассуждений, которая строится эвристически в
интерактивном режиме взаимодействия аналитик — ЛПР — ЭВМ.
При построении Ф ЛПР отвечает на вопросы, оценивая различ-
ные альтернативы (не обязательно входящие в множество вари-
антов, из которых требуется осуществить выбор). Примеры ис-
пользования интерактивных человекомашинных процедур для
выражения реальных эвристик ЛПР приведены также в
[2, 80, 150].
ГЛАВА 10
МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
§ 10.1. Основные группы методов
В основании теории из любой области естествознания лежит
очень важное, основополагающее для ее построения понятие эле-
ментарного объекта. Например, для механики — это материаль-
ная точка, для электродинамики — это вектор .напряженности
поля, для квантовой теории — понятие состояния. Для теории не-
четких множеств основополагающим понятием является понятие
нечеткого множества, которое характеризуется функцией принад-
лежности. Посредством НМ можно строго описывать присущие
для языка человека расплывчатые элементы, «без формализации
которых нет надежды существенно продвинуться вперед в моде-
лировании интеллектуальных процессов» [3, с. 84]. Но основной
трудностью, мешающей интенсивному применению теории нечет-
ких множеств при решении практических задач, является то, что
функция принадлежности должна быть задана вне самой тео-
рии и, следовательно, ее адекватность не может быть провере-
на непосредственно средствами теории. В каждом в настоящее вре-
мя известном методе построения функции принадлежности форму-
лируются свои требования и обоснования к выбору именно такого
построения.
Л. Заде предложил оценивать степень принадлежности числа-
ми из интервала [0, 1]. Фиксирование конкретных значений при
этом носит субъективный характер. С одной стороны, для экс-
пертных методов важным является характер измерений (первич-
ный или производный) и тип шкалы [7], в которой получают
информацию от эксперта и которая определяет допустимый вид
операций, применяемых к экспертной информации. С другой
стороны, имеется два типа свойств: те, которые можно непосред-
ственно измерить, и те, которые являются качественными и тре-
буют попарного сравнения объектов, обладающих рассматривае-
мым свойством, чтобы определить их относительное место по
отношению к рассматриваемому понятию [29].
Существует ряд методов построения по экспертным оценкам
функции принадлежности нечеткого множества. Можно выделить
две группы методов: прямые и косвенные методы.
Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредствен-
но задает правила определения значений функции принадлежно-
сти Ца, характеризующей понятие А. Эти значения согласуются
ГЛ. 10. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
с его предпочтениями на множестве объектов U следующим об-
разом:
1) для любых Hi, и2 е U |Га(щ) < |Ла(и2) тогда и только тогда,
когда и2 предпочтительнее и2, т. е. в большей степени характери-
зуется понятием А;
2) для любых Ui, и2^ U цА(и1)= Ца(и2) тогда и только тогда,
когда iii и и2 безразличны относительно понятия А.
Примеры прямых методов: непосредственное задание функции
принадлежности таблицей, формулой, примером [27, 34, 35].
,В [11] прямое назначение обосновывается следующим: «По caoeii
природе оценка является приближением. Во многих случаях до-
статочна весьма приближенная характеризация набора данных,
поскольку в большинстве основных задач, решаемых человеком,
не требуется высокая точность. Человеческий мозг использует до-
пустимость такой неточности, кодируя информацию, достаточную
для задачи (или достаточную для решения), элементами нечет-
ких множеств, которые приближенно описывают исходные дан-
ные. Поток информации, поступающей в мозг через органы зре-
ния, слуха, осязания и др., суживается таким образом в тонкую
струйку информации, необходимой для решения поставленной
задачи с минимальной степенью точности».
В косвенных методах значения функции принадлежности вы-
бираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформули-
рованным условиям. Экспертная информация является только
исходной информацией для дальнейшей обработки. Дополнитель-
ные условия могут налагаться как на вид получаемой информа-
ции, так и на процедуру обработки. Примерами дополнительных
условий могут служить следующие: функция принадлежности
должна отражать близость к заранее выделенному эталону, объ-
екты множества U являются точками в параметрическом про-
странстве [32]; результатом процедуры обработки должна быть
функция принадлежности, удовлетворяющая условиям интерваль-
ной шкалы [10]; при попарном сравнении объектов, если один
объект оценивается в а раз сильнее, чем другой, то второй объ-
.ект оценивается только в 1/а раз сильнее, чем первый [30]; и т. д.
Как правило, прямые методы используются для описания по-
нятий, которые характеризуются измеримыми свойствами, таки-
ми, как высота, рост, вес, объем. В этом случае удобно непосред-
ственное задание значений степени принадлежности. К прямым
методам можно отнести методы, основанные на вероятностной
.трактовке функции принадлежности цА(н) = Р(Л I zz), т. е. вероят-
ность того, что объект и е U будет отнесен к множеству, которое
характеризует понятие А.
Если гарантируется, что люди далеки от случайных ошибок
и работают как «надежные и правильные приборы», то можно
спрашивать их непосредственно о значениях принадлежности.
Однако имеются искажения [34], например, субъективная тенден-
§ 10.1. ОСНОВНЫЕ ГРУППЫ МЕТОДОВ
261
ция сдвигать оценки объектов в направлении концов оценочной
шкалы. Следовательно, прямые измерения, основанные на непо-
средственном определении принадлежности, должны использо-
ваться только в том случае, когда такие ошибки незначительны
или маловероятны.
Косвенные методы основаны на более слабых предположениях
о людях как «измерительных приборах». Рассмотрим, например,
понятие «красота», которое, в отличие от понятий «длина», или
«высота»,— сложное понятие. Практически не существует уни-
версальных элементарных измеримых свойств, через которые оп-
ределяется красота. В таких случаях используются только ран-
говые измерения при попарном сравнении объектов. Косвенные
методы более трудоемки, чем прямые, но их преимущество — в
стойкости по отношению к искажениям в ответе. В [34] выдви-
гается для косвенных методов «условие безоговорочного экстре-
мума»: при определении степени принадлежности множество ис-
следуемых объектов должно содержать, по крайней мере, два
объекта, численные представления которых на интервале [0, 1]
О и 1 соответственно.
Итак, нами выделены две основные группы методов построе-
ния функции принадлежности: прямые и косвенные. Однако
функция принадлежности может отражать, как мнение группы
экспертов, так и мнение одного (уникального) эксперта, следова-
тельно, возможны, по крайней мере, четыре группы методов: пря-
мые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для
группы экспертов. Кроме этого, необходимо рассмотреть методы
построения функций принадлежности терм-множеств.
В [22, 27, 34, 35] обсуждаются прямые методы для одного
эксперта, предлагающие непосредственное назначение степени
принадлежности [27, 34, 35] или назначение аналитической функ-
ции, совпадающей с функцией принадлежности. В [34] анализиру-
ется предложенный Осгудом [26] метод семантических дифферен-
циалов для описания понятия посредством нечеткого множества,
характеризующих его свойств. В [4, 28, 29, 34, 32] рассмат-
риваются косвенные методы для одного эксперта. В [4, 28] ин-
тенсивность принадлежности определяется, исходя из парных
'сравнений объектов. В [32] предлагается параметрическое зада-
ние идеального и произвольных объектов, на основе которого
вводится мера сходства между объектом и идеалом. В [29, 30]
используется подход, изложенный в [28] для описания сложных
иерархических свойств. Для получения значений функции при-
надлежности в [28] решается задача на поиск наибольшего соб-
ственного значения матрицы попарных сравнений, в [24] исполь-
зуется метод наибольших квадратов, в [4] осуществляется поиск
наиболее близкого по порядку к оценкам эксперта числового на-
бора в факторном (параметрическом) пространстве минимальной
размерности.
262 гл. 10- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
В [2, 5, 10, 14, 15, 27] производятся прямые методы для груп-
пы экспертов. В [5, 14, 15] степень принадлежности трактуется
как вероятность, в [2, 27] — как субъективная вероятность.
В [10] предлагается метод построения функции принадлеж-
ности, в определенном смысле согласованной с нечетким группо-
вым предпочтением и заданной в интервальной шкале.
В [13, 20, 34] анализируется возможность построения косвен-
ных методов для группы экспертов. В [21, 20] обсуждается про-
цедура, позволяющая сводить исходную «размытую» функцию,
полученную усреднением экспертных оценок, к характеристиче-
ской функции неразмытого, четкого множества. В [13] значения
Рис. 10.1. Классификация методов построения функции принадлежности
функции принадлежности вычисляются по ранговым упорядочени-
ям объектов группой экспертов. В [1, 2, 6, 8, 9, 16, 22] предлага-
ются методы построения терм-множеств лингвистических пере-
менных. В [2, 22] систематизированы правила выбора терм-мно-
жеств. В [8, 9] приведен способ построения частотных оценок на
§ 10.2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОДНОГО ЭКСПЕРТА
263
основании психологического эксперимента. В [16] делается по-
пытка построения методики предварительной обработки экспери-
ментальной таблицы для выравнивания статистических данных
с целью применения способа, изложенного в [8, 9]. В [6] пред-
лагается параметрическое определение функций принадлежности
термов в зависимости от расстояния до эталонов. В [1] функции
принадлежности элементов терм-множеств строятся одновременно
на основе так называемого отношения моделирования, получаемо-
го в видя таблицы, строки и таблицы которой соответствуют тер-
мам и элементам базового множества. Классификация методов
построения функции принадлежности приведена на рис. 10.1.
Рассмотрим подробнее перечисленные методы.
§ 10.2. Прямые методы для одного эксперта
Прямые методы Для одного (уникального) эксперта состоят
в непосредственном назначении степени принадлежности для ис-
следуемых объектов или непосредственном назначении функции
(правила), позволяющей вычислять значения. В [35] при на-
значении степени принадлежности автор руководствуется следу-
ющими рассуждениями: пусть возраст принимает значение из
интервала U = [0,100]. Слово «молодой» можно интерпретиро-
вать как имя нечеткого подмножества U, которое характеризует-
ся функцией совместимости. Таким образом, степень, с которой
численное значение возраста, скажем и = 28, совместимо с поня-
тием «молодой» есть 0,7, в то время как совместимость 30 и 35
с тем же понятием есть 0,5 и 0,2 соответственно. Эквивалентно,
функция [Цмолодой(и)] может рассматриваться как функция при-
надлежности нечеткого множества «молодой» со значением
[^молодой (п) ] в точке и, представляющим степень принадлежно-
сти понятию «молодой».
Аналогичный пример назначения степени принадлежности
приводится в [27]: рассматривается множество рукописных объ-
ектов, которые похожи на цифру пять. Здесь также понятие
«пять» можно рассматривать как нечеткое множество на множе-
стве различных изображений цифры 5. Каждое конкретное изоб-
ражение некоторые читатели могут воспринять как «четыре», в
то время как другие — «пять» (например, рукописное изображе-
ние цифры пять на языке хинди). В этом случае принадлежность
определяется индивидуальным восприятием.
В [27] также анализируется предложенный Осгудом [26] ме-
тод семантических дифференциалов. Практически в любой обла-
сти можно получить множество шкал оценок, используя следую-
щую процедуру: а) определить список свойств, по которым оце-
нивается понятие (объект); б) найти в этом списке полярные
свойства и сформировать полярную шкалу; в) для каждой пары
264 ГЛ. 1о- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
полюсов понятие оценить на то, как сильно оно обладает положи-
тельным свойством (в оригинальной схеме использовались числа
от — 3 до 3 или от 1 до 7, а также интервалы от 0 до 100% или
от 0 до 10).
Совокупность оценок по шкалам была названа профилем по-
нятия. Следовательно, вектор с координатами, изменяющимися от
0 до 1, также называется профилем. Профиль есть нечеткое под-
множество положительного списка свойств или шкал.
Пример 10.1. В задаче распознавания лиц можно выде-
лить следующие шкалы:
Xt высота лба
х2 профиль носа
длина носа
разрез глаз
цвет глаз
форма подбородка
толщина губ
цвет лица
очертание лица
низкий (узкий) —широкий;
горбатый — курносый;
короткий — длинный;
узкие — широкие;
темные — светлые;
остроконечный — квадратный;
тонкие — толстые;
темное (смуглое)—светлое (белое);
овальное — квадратное.
х3
Хз
Х3
Х1
Хз
Хд
Светлое, квадратное лицо, у которого чрезвычайно широкий
лоб, курносый длинный нос, широкие, светлые глаза, остроконеч-
ный подбородок, может быть определено как нечеткое множество
{lire!, ...., llxj или вектор 111111111. Лицо, соответствующее
вектору ООО 000 000, полярно противоположно.
В [27, 31] предлагается следующий способ вычисления частич-
ной принадлежности друг другу строгих множеств, называемой
степенью принадлежности. Пусть покрытием К обычного множе-
ства U является любая совокупность обычных подмножеств
{Ai, ..., Ak} множества U: А^ф; At U ... U Ак = U. В крайнем
случае, когда для любых i, /, i j, At П Aj = Ф, имеет место раз-
биение U. Предположим, что имеется В U, тогда В может рас-
сматриваться как нечеткое подмножество К с функцией принад-
...	|Л. П^В|
лежности цв(Д) =	где |Л1 — число элементов в А.
I г U I
Пример 10.2. Пусть U = {1, ..., 9}, К = {{1, 3, 5}, {3, 6, 9),
{2, 4, 8}, {1, 3, 7), {2, 3, 8)} =	А2, А,, Л4, AJ, В = {2, 3,
5, 9, 8}; тогда, рассматривая В как нечеткое подмножество К,
можно написать В = {1/3|41, 1/3|Л2, 1/3|Л3, 1/7|Л4, 3/5Л5} или
как набор значений частичной принадлежности = {1/3, 1/3,
1/3, 1/7, 3/5}.
В [27] любое решение задачи многоцелевой оптимизации рас-
сматривается как нечеткое подмножество значений целевых
функций следующим образом. Пусть /4, ..., fa — целевые функ-
ции, где Вп В, и пусть требуется решить задачу fa -* max
для всех i. Пусть /* < оо — максимальное значение функции fa
(независимо от других функций) и С = {fa, ..fa} — множество
§ 10.3. КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОДНОГО ЭКСПЕРТА
265
целевых функций, тогда любое значение х в области определения,
можно рассматривать как нечеткое множество на С
с вектором значений принадлежности Цх = (п,1, цг), ц. =
§ 10.3. Косвенные методы для одного эксперта
Т. Л. Саати [28] предлагает следующий способ вычисления
функции принадлежности. В практике часто имеют место случаи,
когда не существует элементарных измеримых свойств, призна-
ков, через которые определяются интересующие нас понятия,
например, красота, интеллектуальность. Трудно в таких случаях
проранжировать степень проявления свойства у рассматриваемых
элементов. Так как степени принадлежности рассматриваются на
данном реальном множестве, а не в абсолютном смысле, то ин-
тенсивность принадлежности можно определить исходя из попар-
ных сравнений рассматриваемых элементов. Если значения сте-
пени принадлежности были бы известны, например, ps(«i) =
=<Bi (i = l, ..., п), то попарные сравнения можно представить,
матрицей отношений А = ((ач)), atj = coj/coj. Если отношения точ-
ны, то получается соотношение Ли = пи, и=(и1, ..., и„), где
п — собственное значение матрицы Л, по которому можно восста-
/	п
новить вектор и ( с учетом условия нормализации 2	= 1
\	i=i
Так как отношения сравнения ai} в реальном случае неточны
из-за того, что они получены эмпирическим способом, то мы долж-
ны вычислить оценки для и. Для улучшения согласованности
оценок предполагается, что = aik, a{j = иУи;, откуда для диа-
гональных элементов atj = 1 и для элементов, симметричных от-
носительно диагонали = 1/ац. Грубо говоря, если элемент оце-
нивается в а раз сильнее, чем другой, то второй только в 1/а раз
сильнее, чем первый. Если имеется полная согласованность в рас-
суждениях эксперта (согласованность по транзитивности), то
ранг матрицы А есть 1, и чтобы решить поставленную задачу,
достаточно знать элементы только по одну сторону диагонали Л.
п
В этом случае У %и,/и^ = п (г = 1, ..., п), где п — наиболь-
i=i
шее собственное значение А, а другие собственные значения А.
нулевые, так как У, — 2 ап = п. В общем случае эмпирическая
шкала &)=(<»!, ..., а>п) должна удовлетворять задаче на поиск
собственного значения Ли=Хта1, где z.mai наибольшее собствен-
ное значение. Из теории матриц известно, что собственные зна-
чения матрицы являются непрерывными функциями коэффици-
ентов. Следовательно, задача сводится к поиску вектора со, кото-
рый удовлетворяет уравнению Ли = z.mai ©• Чем ближе Xmax к чис-
266 ГЛ. 10- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
лу п, тем более верным является результат. Отклонение Хтах от п
используется как мера полезности (правильности) результата.
В процедуре решения задачи формируется матрица сравнений
рассматриваемого множества элементов. Элементы такой матри-
цы — это значения, показывающие во сколько раз один эле-
мент лучше другого. Так как известно, что задача Лео = со
имеет единственное решение, то значения координат собствен-
ного вектора, соответствующего максимальному собственному
значению, деленные на их сумму, будут искомыми степенями при-
надлежности. При формировании оценок попарных сравнений,
Таблица 10.1
Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснения
0	Несравнимость	Нет смысла сравнивать элементы.
1	Одинаковая значимость	Элементы равны по значимости.
3	Слабо значимее	Существуют показания о предпо- чтении одного элемента над дру- гим, но показания не убедитель- ные.
5	Существенно или сильно значимее	Существуют хорошее доказатель- ство и логические критерии, кото- рые могут показать, что элемент более важен.
7	Очевидно значимее	Существует убедительное доказа- тельство большей значимости од- ного элемента над другим.
9	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощу- тимость предпочтения одного эле- мента над другим.
2, 4, 6, 8 Обратные зна- чения ненуле- вых значений Нормирование	Промежуточные оценки, между соседними оцен- ками Если оценка a\j имеет ненулевое значение, при- писанное на основании сравнения элемента i с элементом /, то ац имеет обратное значение Нормирование возника- ет из описанной шкалы	Когда необходим компромисс.
обычно, эксперта просят отразить ощущения или опыт следую-
щим образом: а) установить какой из двух предлагаемых элемен-
тов, по его мнению, более важен; б) оценить восприятие интен-
сивности различия в виде ранга важности по определенной ран-
говой шкале.
В табл. 10.1 приводятся качественные оценки и соответствую-
щие им численные значения, используемые в [28].
§ 10.3, КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОДНОГО ЭКСПЕРТА
267
Предполагается, что элемент с нулевой оценкой не рассмат-
ривается при попарном сравнении. При анализе сложных свойств»
которые представляются как иерархическая система, Саати пред-
лагает в [30] использовать описанный подход при сравнении
составляющих свойств на удовлетворение (соответствие) слож-
ному свойству.
Для иерархического случая доказана следующая теорема [29].
Теорема 10.1 (Саати). Пусть Я — полная иерархия с наи-
большим элементом Ъ (уровень 0) и h уровнями. Пусть Як —
матрица приоритетов к-го уровня к — 1, ..., h. Если со' — вектор
приоритетов р-го уровня по отношению к некоторому элементу
z в (р — 1)-уровне, тогда вектор приоритетов со q-ro уровня
(р < q) по отношению к z есть: со = BqBq-i.. ,Bq+la'. Таким об-
разом, вектор приоритетов низшего уровня по отношению к эле-
менту Ъ есть со = Bi... Ялсо'.
В [24] предлагается метод наименьших квадратов для получе-
ния значений функции принадлежности по матрице бинарных
отношений 4 =((a,j)) = ((co(/coj)), т. е. искомые значения полу-
чаются при решении оптимизационной задачи: / = 22(aijfl)j —
— c0j)2->min,	= 1, со,-> 0. Иллюстрируется близость оценок
относительной степени принадлежности, полученных методами
наименьших квадратов и поиска собственного вектора.
Скала [32] предлагает общий метод варьирования прототипов
для получения численного значения функции принадлежности.
Подход используется в [23] для распознавания образов. Пусть-
имеется прототип (или идеальный объект), описание которого
можно деформировать изменением параметров pt, ..., рп. Если
дан некоторый объект (элемент), то, варьируя параметры, можно
добиться наибольшего соответствия прототипа и объекта. Вводит-
ся мера сходства между объектом и прототипом т (объект»
pi, ..., р„)=11объект — прототип (рь ..., р„)Н.
Для улучшения измерения сходства объекта с разными прото-
типами вводится штрафная функция d. Например, один и тот же
символ может быть близким как к прототипу А так и к прототи-
пу Я:
sim (объект) = min (тп(объект; plf ..., рп) + d (plt ..., рп)).
Рг..-Рп
Так как прототип полностью соответствует самому себе, те
sim (прототип) = 0. Численные значения функции принадлежно-
сти вычисляются по формуле:
, -	,	. sim/объект)
^прототип (объект) - 1 — maxsim (объект) f
где максимум берется по всем возможным объектам.
В [4] предлагается процедура построения функции принадлеж-
ности, в которой используются парные сравнения объектов и до-
268 ГЛ. 10- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
пускается матрица парных сравнений с неполной информацией
(некоторые ее элементы отсутствуют). Рассматривается понятие
«класс S», которое описывается функцией принадлежности на
множестве объектов А = {а0, ..., ап~'}. В А имеется только два
объекта а° и а1, о которых можно сказать, что а1 — идеальный
представитель тех объектов, которые принадлежат S, и что а0 —
идеальный представитель тех объектов, которые не принадлежат
понятию «класс 5», т. е. ps(a‘) = l, ps(a°) = 0. Эксперту предлага-
ется проранжировать степень различия объектов в каждой паре
объектов в смысле принадлежности понятия классу S. В резуль-
тате формируется матрица попарных сравнений, которая задает
порядок пар объектов по степени различия в парах. Далее посред-
ством методов неметрического шкалирования [12] вычисляются в
факторном (метрическом) пространстве Хт координаты п точек
(х1 = {х], ..., хгт}, порядок расстояний d(xf, х’) между которыми
совпадает или максимально близок к порядку элементов матрицы
попарных сравнений. Для полученных расстояний имеют место
следующие утверждения: если объекты а" и а1 неразличимы, то
di, = 0, если степень различия объектов а', а1 больше чем степень
различия объектов а\ ак, то da > dik; если степень различия объ-
ектов а', а? совпадает со степенью различия объектов а', ак, то
Дальнейшие выводы основываются на следующих предполо-
жениях.
Пр едположение 10.1. Понятие S характеризуется не-
сколькими одномерными признаками, которые определяются при
помощи методов неметрического шкалирования.
Согласно предположению объекты формально описываются
точками в пространстве признаков. Наличие нескольких призна-
ков позволяет объяснить, например, нетранзитивность в парных
сравнениях. Из процедуры получения формального описания
объектов следует, что максимальное расстояние на множестве
объектов будет между объектами а° и а1, так как их различие
в смысле принадлежности понятию S будет максимально возмож-
ным. Следовательно, чем дальше объект а1 от объекта а1 в про-
странстве признаков, тем в меньшей степени он характеризуется
принадлежностью к S.
Предположение 10.2. Степеь различия двух объектов а1
и а’ из А по отношению к понятию «класс S» пропорциональна
разности расстояний в пространстве признаков от а' и а1 до объ-
екта а', который с максимально возможной степенью принадле-
жит S.
Из предположения следует, что степень различия двух объек-
тов а‘ и а} по отношению к понятию S будет пропорциональна
разности значений функций принадлежности на этих объектах,
т. е. cldj,-—	= |цб(а;)—ps(aj) |, где с — некоторая константа.
§ 10.4. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ГРУППЫ ЭКСПЕРТОВ
269
Если в качестве объекта а‘ рассматривать а0, затем а1, то будут
иметь место следующие соотношения:
с (cZjo —	= ps (а1), cdl} = 1 - ps (а5),
т. е. da = 0.
Из этих уравнений следует, что
Hs (а,) =
dlo dii = j_______
dij	dio
Таким образом, функция принадлежности на множестве объ-
ектов А, характеризующая понятие S, определяется но расстоя-
ниям в пространстве признаков Хт согласно полученному соотно-
шению.
р (Sj I Uj) =
§ 10.4. Прямые методы для группы экспертов
При интерпретации степени принадлежности как вероятности
в [14] в работе [15] предлагается получать функции принадлеж-
ности для нескольких классов понятий S, расчетным путем, ис-
пользуя равенство ps^ (ui) = Р (Sj | Ui), где условная вероят-
ность определяется по формуле Байеса
Pui (Sj)P(ai\Sj
т	*
?=1
причем
Ргч (Sj) = ^nU~Ui-, j =	(i = 1, ..n)t
yj — число случаев при значении параметра и,, когда верной ока-
залась J-я гипотеза.
В ряде работ, например, в [2, 27] предлагают трактовать сте-
пень принадлежности как субъективную вероятность. В работе
[2] утверждается, что степенью принадлежности ys(u) является
вероятность того, что лицо, принимающее решения, отнесет эле-
мент и U к множеству S в случае, когда S — некоторое понятие
естественного языка, U — экстенсионал понятия S, a |is(w) есть
вероятность того, что ЛПР использует понятие S в качестве име-
ни объекта и е U.
В работе [5] разработана следующая методика оценки функ-
ции принадлежности. Первоначально определяется то максималь-
ное количество классов, которое может быть описано данным на-
бором параметров. Для каждого элемента и значение функции
принадлежности класса S, дополняет до единицы значения функ-
ции принадлежности класса S2 (в случае двух классов). Таким
270 ГЛ. 10- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
образом, система классов должна состоять из классов, представля-
ющих противоположные события. Сумма значений функций при-
надлежности произвольного элемента и к системе таких классов
будет равна единице. Если число классов и их состав четко не оп-
ределены, то необходимо вводить условный класс, включающий
те классы, которые не выявлены. Далее эксперты оценивают в
процентах в данном состоянии и степень проявления каждого
класса из названного перечня.
Однако в некоторых случаях мнение эксперта очень трудно
выразить в процентах, поэтому более приемлемым способом оцен-
ки функции принадлежности будет метод опроса, который состо-
ит в следующем. Оцениваемое состояние предъявляется большо-
му числу экспертов. Каждый эксперт имеет один голос. Он дол-
жен однозначно отдать предпочтение одному из классов заранее
известного перечня. Значение функции принадлежности вычисля-
ется по формуле ps(u)= п3/п, где п — число экспертов, участво-
вавших в эксперименте, пБ — число экспертов, проголосовавших
за класс S. Приведем пример из [27]. Пусть в результате перепи-
си населения в некоторой области численностью р получено мно-
жество значений возраста U от 0 до 100 лет. Пусть у (и) — число
людей, имеющих возраст и и утверждающих, что являются моло-
дыми. Пусть п(и)—действительное число людей, имеющих возраст
100
и, тогда р = J dn (и). Можно считать, что понятие «молодые» опи-
о
сывается нечетким множеством на U с функцией принадлежно-
сти ц(н) = у(и)/п(и). Очевидно, что для малых значений возрас-
та от 0 до 20 лет у (и) — п(и), следовательно, ц(п)= 1. Однако не
все и(35) считают себя молодыми, следовательно, у(35)< п(35).
Для и > 80 число у (и) должно быть очень маленьким.
§ 10.5.	Косвенные методы для группы экспертов
В [20] предлагается способ определения функции принадлеж-
ности на основе интервальных оценок. Пусть интервал [хц, хц] от-
ражает мнение i-ro эксперта, т > 1 (i = 1, ..., т) о значении
/-го (/ = 1, ..., п) признака оцениваемого понятия S. Тогда пол-
ным описанием этого понятия i-м экспертом является гиперпарал-
лелепипед 0, = [zh, xit] X... X pcni, zni]. Приводится процедура,
позволяющая вычислять коэффициенты компетентности экспер-
тов, а также сводить исходную «размытую» функцию (усреднен-
ные экспертные оценки) к характеристической функции нераз-
мытого, четкого множества. Алгоритм следующий.
1.	Рассматривая для каждого признака j все интервалы, пред-
ложенные экспертами, находим связное покрытие их объединения,
состоящее из непересекающихся интервалов, концами которых
§ 10.5. КОСВЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ГРУППЫ ЭКСПЕРТОВ
271
являются только концы исходных интервалов:
(j = 1, ..п- к = 1, ..m, - 1).
2.	Образуем на основе полученных покрытий непересекаю-
щиеся гиперпараллелепипеды:
7\ = [XiAj Xjfe] X • • • X [*Tnft, *7-nft], к = 1, • .	771 .
3.	Вычисляем для х<^ТК
(1, если Th[)Qi^0,:
Фг(х)=(0, если 7\П9г = 0.
4.	Полагаем номер итерации 1=1.
5.	Вводим коэффициенты компетентности
6.	Вычисляем приближение функции принадлежности при нор-
мированных
2?4=1» / (х) = 2 Ф1 (*) x<=Th, k = l,...,m'.
1=1
7.	Вычисляем функционал рассогласования мнения i-ro экс-
перта с мнением экспертного совета на l-й итерации:
6i=	2	[/'(*) —Ф1(*)]\ i = l,_ ...,тга.
xerft
m
8.	Вычисляем А = 2 1/бЬ
1=1
9.	Присваиваем 1 = 1+1.
10.	Вычисляем = А/6--1.
11.	Если величина тах|Х--1 — Х-| близка к нулю, то вычис-
ления прекращаем и приближением функции принадлежности
считаем f(x) =	(х), в противном случае возвращаемся к ша-
гу 6.
Опишем кратко косвенный метод, предложенный в [13]. Пусть
U — универсальное множество, 5 — понятие, общее название эле-
ментов (концепт). Задача определения нечеткого подмножества
U, описывающего понятие S, решается путем опроса экспертов.
Каждый эксперт Э{ (i = 1, ..., тге) выделяет из U множество эле-
ментов Qi по его мнению, соответствующих понятию S. Ранжи-
тп
руя все элементы множества Q = U Qi по предпочтению в смыс-
1=1
ле соответствия понятию S, каждый эксперт упорядочивает Q, ис-
пользуя отношение порядка или или Отношение ~
указывает на одинаковую степень предпочтения между любыми
272 ГЛ. 1о- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
элементами qa, е Q. Предполагается, что эксперты могут по-
ставить коэффициенты степени предпочтения у перед элемента-
ми в упорядоченной последовательности, усиливая или ослабляя
отношенпе предпочтения. Вводится расстояние между эле-
ментами указанной последовательности g«, qp е Q:
р(й, gp) = ДГ 2b Yv+iP (?;> Qj+i)t
i=cc
	1,	если		* ^г+1’
где Р(^+1) =	1/2,	если		S 3Z + 1’
	0,	если		
Здесь а, р — порядковые номера элементов в упорядочении.
Расстояние вычисляется через первый в упорядочении элемент:
Р = Р (?р Ягр) ~ Р (<& <&) = Р’р - Wi-
Эта разность показывает насколько предпочтительнее gla по срав-
нению с д^. При решении задачи взвешивания предпочти-
тельности элементов множества Q предполагается, что разность
между весами <р (д^) — <р (д£) пропорциональна разности — р^;
Ф (?₽+v) — Ф (?₽) = с (Pp+v — Рр)- Когда v = 1, формула превраща-
ется в рекуррентную формулу, и задача сводится к определению
веса первого элемента. При использовании рекуррентных формул
вес последнего элемента должен отличаться от нуля. Например,
в качестве <p (д[) можно выбрать шах pj. + р0. На основании всех
<p(g£) (i = 1,	для qa определяется значение <p(ga) =
m
= —2ф(д«)’ что и есть степень принадлежности эле-
1=1
мепта u^U нечеткому множеству с общим названием S.
В [34] предлагается метод, комбинирующий преимущества
косвенных методов в их простоте и стойкости по отношению к ис-
кажениям ответов экспертов и преимущества прямых методов,
позволяющих получать непосредственно значения степени при-
надлежности. Выборку объектов необходимо брать такой, чтобы
достаточно равномерно представить степень принадлежности от О
до 1 по отношению к рассматриваемому нечеткому множеству.
Эта выборка должна удовлетворять условию безоговорочного
экстремума, т. е. должна содержать, по крайней мере, два объекта,
значения функции принадлежности на которых с определен-
ностью 0 и 1 (все эксперты приписывают эти числа экстрему-
мам). Далее, когда множество подходящих объектов отобрано,
эксперты опрашиваются о степенях принадлежности в процент-
ной шкале. Оценка позиции по шкале каждого объекта определи-
§ 10.6. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕРМ-МНОЖЕЦТВ
273
ется посредством медианы из распределений значений принад-
лежности. В качестве процедуры шкалирования используется
метод, предложенный в [25] и основанный на законе Тёрстона из-
мерения категорий. Процедура, требующая отсортировки п сти-
мулов (объектов) в (й+1) категорий на некотором континууме
свойств N экспертами, дает распределение частоты для каждого
стимула по категориям. Средние значения границ категорий, по-
лученные методом наименьших квадратов, позволяют определить
значения оценок стимулов на шкале.
В {10] предлагается следующий метод отображения множества
объектов U = {Ui, ..., и„} в множество действительных чисел из
[0, 1]. Эксперту предъявляются все возможные пары объектов из
U. В результате эксперимента с v-м экспертом получается матри-
ца ||бу||, где i, / = 1, ..., п; а бу равно 1, если эксперт ответил
Ui > и, и равно 0 — в противном случае. В результате опроса N
экспертов сформировано N матриц. Вводятся новые величины
N
пц = У, бу, указывающие число голосов, поданных за реше-
V— 1
ние и3, против решения tn = Пц —	= 2пц — N. Значения функции
принадлежности определяются следующей формулой:
Н=2Му (; = 1, ..., п), Л,->0, 2^=1-
i=i	i=i
На основании этого представления каждому решению и{ при-
пишется число ц, в интервальной шкале, если выполняются ус-
ловия:
А Ну = Ц. — jij=	А цу = А цу + А ц,1.
Поскольку эксперимент с экспертами протекает произвольно,
то следует ожидать, что будет нарушено условие tn = zy + z}t.
В работе приведен метод сглаживания, позволяющий получить
новые элементы zy, которые определяют Ацу: Ацу = zy.
§ 10.6.	Методы построения терм-множеств
В [22] утверждается, что для практических задач достаточно
наличия нечеткого языка с фиксированным, конечным словарем.
Это ограничение не сишком сильное с точки зрения практическо-
го использования. Лингвистическая переменная L, используемая
при формализации задач принятия решений, на практике, как
правило, имеет базовое терм-множество Т = {Т,}, состоящее из
2—10 термов. Каждый терм описывается нечетким подмножест-
вом множества значений U некоторой базовой переменной и и
рассматривается как лингвистическое значение L. Предполагает-
ся, что объединение всех элементов терм-множества покрывает
полностью U. Это гарантирует то, что любой элемент u^U опи-
274 ГЛ. 10- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
сывается некоторым s Т. На практике для представления не-
четких отношений в матричном виде определяют нечеткое отобра-
жение терм-множества в дискретный (целочисленный) универ-
сум U1. Отображение U -* U1 определяется множителем [19, 22J
Св = (n* - 1)/(июа1 — umln), где
пк — число элементов в U', т. е.
nk= 1*7'1.
Рис. 10.2. Правило выбора функ-
ции принадлежности при нали-
чии шума вероятностного харак-
тера
Для определения нечетких
множеств из Т, описывающих не-
который элемент и из U, вычисля-
ется индекс к = СЕ(имн —	+
+ 1, где иМн — max {итщ,
min {Umax, и}}. В практических за-
дачах значения на входе, напри-
мер, для нечеткого управляющего
устройства часто сильно зашумле-
ны (шум в общем случае характе-
ризуется функцией распределения
вероятности), поэтому функции
принадлежности должны выби-
раться достаточно широкими, чтобы шум не давал ощутимого эф-
фекта (рис. 10.2).
Правила для выбора терм-множества сводятся в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Определяемые величины	Критерий	Типичные значения
|Л	Выбирается в результате компромисса ме- жду сложностью и простотой	2-10
nh для U1 ншах ’ “min	Выбирается так, чтобы хорошо приблизить Ti из Т и использовать по возможности меньше памяти ЭВМ Для измеримых переменных иа основании априорных знаний определяют допустимую область значений базовой переменной	5-го
	Должны быть достаточно широки, чтобы из- бежать чрезмерного влияния шума при пе- реходе от базовой переменной к лингвисти- ческой переменной	wf> 5бп
В [2] перенумеровываются все термы У, е Т = {У;}” на мно-
жестве действительных чисел и Д', так что терм, имеющий ле-
вее расположенный носитель, имеет меньший номер, вводятся
более строгие условия:
1)	HTj (wmin) = 1> pTn (wmax) = 1>
2)	для любых i, i + 1 < п, 0< max рт-пт-., (u)С 1;
§ 10.6. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕРМ-МНОЖЕСТВ
275
3)	для любого i существует и е U\ р-т* (и) = 1;
4)	для любого i и U 2 итДп)> 1-
USU 1
В [8] приведен способ построения частотных оценок 5 = {«ред-
ко», «часто», «иногда», ..который основан на предположении
о том, что слово Si употребляется человеком не для обозначения
зарегистрированной частоты появления факта, а для обозначе-
ния относительного числа событий в прошлой деятельности чело-
века, когда рассматривалась такая же частота. Каждому s< ста-
вится в соответствие нечеткое подмножество интервала [0, 1].
Функции принадлежности pS{ получаются на основании психоло-
гического эксперимента следующим образом [18]: группе испытуе-
мых предъявляется набор стимулов (оценок частоты) и шкала из
к категорий, упорядоченных по степени интенсивности частоты
от наименьшей (1) до наибольшей (fc); испытуемым предлага-
ется разбить стимулы на к классов согласно интенсивности час-
тоты, независимо оценивая каждый стимул и помещая в любую
категорию любое число стимулов. Каждому числу и} из [0, 1],
и, = (/— 1)/(/с — 1), ставятся в соответствие степени употребле-
ния группой испытуемых слова st- для обозначения категорий.
Значения функции принадлежности определяются в результате
нормирования: ps; (u)-‘[0, 1] -*• [0, 1].
Предложенная методика оправдывается следующим: выбор
обозначения категорий не влияет сколь-нибудь значительно на
результаты эксперимента; число категорий (делений шкалы) не
влияет кардинально на результаты эксперимента, в котором про-
изводится шкалирование субъективных ощущений; шкала из к
категорий является шкалой равнокажущихся интервалов, по-
скольку предполагается, что ее деления отстоят на психологиче-
ском континууме на равные интервалы.
Естественным шагом при построении функций принадлежно-
сти элементов терм-множества лингвистической переменной яв-
ляется построение одновременно всех функций принадлежности
этого терм-множества, сгруппированных в так называемое отно-
шение моделирования R [1]. Процесс построения состоит в за-
полнении таблицы, где, например, для лингвистической перемен-
ной «расстояние» столбцы индексированы расстояниями в метрах,
а строки — элементами терм-множества «очень близко», «близ-
ко», ..., «далеко», «очень далеко». На пересечении соответствую-
щей строки и столбца стоит степень сходства для испытуемого
данных понятий между собой в данной семантической ситуации,
например, насколько сходны понятия «близко» и 5 метров в си-
туации перебегания улицы перед быстро идущим транспортом.
Расстояние берется от пешехода до машины и в данном случае
является синонимом опасности. Вообще говоря, каждую клеточку
таблицы можно заполнять отдельно, а потом, переставляя стро-
276 ГЛ. 10- МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ФУНКЦИИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
ки и столбцы, постараться сделать строки и столбцы унимодаль-
ными. Если это удается, то исходное терм-множество может быть
использовано для построения нечеткой шкалы измерений, точка-
ми отсчета которой являются сами элементы терм-множества.
Перевод в эту шкалу будет осуществляться с помощью минимакс-
ного умножения строки, задающей исходную лингвистическую
переменную в шкале метров, на отношение моделирования. Отно-
шение сходства между элементами терм-множества R ° R', полу-
ченное с помощью умножения матрицы R на транспонированную,
задает набор функций принадлежности элементов лингвистиче-
ской шкалы в самой шкале, а отношение R' ° R задает набор
функций принадлежности расстояний в метрах в метрической
шкале.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
— полумножество
Я)	— поле борелевых множеств
Ъ	— функция доверия
с	— функция отрицания
D	— отношение различия
d	— показатель размытости
Е	— единичный интервал; энергия нечеткого множества
(X) —множество нечетких подмножеств X
G	— нечеткая грамматика
g	— нечеткая мера
Ж	— функционал качества
L	— решетка
L-m,	— алгебра Де Моргана
ЕЕ	— формальный язык
М	— четкое отображение
Л	— оператор осреднения
т	— мера
N	— множество	натуральных чисел
Р	— отношение	порядка
Я (.¥)	— множество	обычных подмножеств	множества X
Я	— множество	действительных чисел
5?+	— множество	неотрицательных действительных чисел
R	— транзитивное замыкание	отношения
R	— отношение
Т	— функция истинности
U	— универсальное множество
Аа — множество уровня а нечеткого множества А
рл — функция принадлежности; нечеткое множество
л	— распределение возможности
р	— метрика
<р	— нечеткое отображение
Ч7	— пространство приближений
О	— вероятностное пространство
X	— декартово произведение
с	— строгое включение
=	— включение
П	— пересечение
U	— объединение
\	— разность множеств
А	— дополнение множества А
А'	— дополнение множества А
S3	— пустое множество
о	— композиция отображений; композиция отношений
(J	— ограниченное объединение
П	— ограниченное пересечение
Т	— треугольная норма
278	ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
d. И	— треугольная конорма — нечеткое отображение — отображение; импликация — приближенное равенство
	— равенство, приближенное снизу
	— равенство, приближенное сверху — нечеткий интеграл
> * V л е о е О ® шах min V Л	—	символ предпочтения —	бинарная операция —	операция шах; конъюнкция —	операция min; дизъюнкция —	расширенная сумма —	расширенное умножение —	расширенная разность —	расширенное деление —	расширенная бинарная операция —	расширенный максимум —	расширенный минимум —	расширенная дизъюнкция —	расширенная конъюнкция — алгебраическая сумма — алгебраическое произведение
V Л	— ограниченная сумма — ограниченное произведение
•ех V 3 d	—	исключающая дизъюнкция —	квантор общности —	квантор существования —	нечеткий квантор —	нечеткий квантор — если ..то; семантическое следствие; композиция отноше- ний, определяемая импликацией — тогда и только тогда, когда ..семантическая эквивалент- ность *- эквивалентность
4* 1,	— стрелка Пирса — штрих Шеффера — отрицание
р р А	— секвенция — тавтология — противоречие — тип нечеткого вывода — тип нечеткого вывода
* О V	— тип нечеткого вывода — тип нечеткого вывода — композиция отношений, определяемая импликацией
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 1
1.	Бессарабов Н. В. Нечеткие группы и симметрии.— В кн.: Управле-
ние при наличии расплывчатых категорий: Тезисы докладов IV Всесоюз-
ного научно-технического семинара. Фрунзе: Илим, 1981, с. 15—17.
2.	Бессарабов Н. В. Множества уровня как обобщенные интерваль-
ные числа,— В кн.: Управление при наличии расплывчатых категорий:
Тезисы VI научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС, 1983,
с. 21—25.
3.	Вопенка П. Математика в альтернативной теории множеств.— М.г
Мир, 1983.—152 с.
4.	3 а д е Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и про-
цессов принятия решений.— В кн.: Математика сегодня. М.: Знание, 1974,
с. 5-49.
5.	3 а д е Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений,— М.: Мир, 1976.— 165 с.
6.	3 а д е Л. А. Размытые множества и их применение в распознавании
образов и кластер-анализе.— В кн.: Классификация и кластер. М.: Мир,
1980, с. 208-247.
7.	К о ф м а н А. Введение в теорию нечетких множеств.— М.: Радио и
связь, 1982.— 432 е.
8.	Манджапарашвили Т. В. Случайные нечеткие множества.—
В кн.: Модели выбора альтернатив в нечеткой среде. Рига: РПИ, 1980,
с. 17.
9.	М е л и х о в А. Н., Б е р ш т е й н Л. С. Конечные четкие и расплыв-
чатые множества. Ч. 2,— Таганрог: ТРТИ, 1981.— 35 с.
10.	Модели принятия решений на основе лингвистической переменной/
А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, О. А. Крумберг и др.— Рига: Зинатне,
1982.— 256 с.
11.	Н а р и н ь я н и А. С. Недоопределенные множества — новый тип дан-
ных для представления знаний.— Препринт 232. Проект ВОСТОК,
Вып. 4.— Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980.— 27 с.
12.	О р л о в А. И. Устойчивость в социально-экономических моделях.— М.г
Наука, 1979.— 296 с.
13.	О р л о в с к и й С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исход-
ной информации.— М.: Наука, 1981,— 208 с.
14.	С о л о в ь е в А. Е. Свойства нечеткого отрицания.— В кн.: Управление-
при наличии расплывчатых категорий: Тезисы V научно-технического-
семинара. Ч. 2. Пермь: НИИУМС, 1982, с. 94—100.
15.	Тарасов В. Б. О соотношении различных подходов к описанию не-
четких понятий.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых кате-
горий: Тезисы VI научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС, 1983,
с. 41—45.
16.	Т а р а с о в В. Б. Нечеткие множества типа 2 в описании индивидуаль-
ных предпочтений.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых ка-
тегорий: Тезисы V научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС,
1982, ч. 2, с. 24—27.
280
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
17.	Т а р а с о в В. Б., Чернышев А. П. О применении нечеткой мате-
матики в инженерной психологии.— Психологический журнал, 1981, т. 2,
№ 4, с. 110—122.
18.	Ш а и и р о Д. И. Принятие решений в системах организационного уп-
равления: использование расплывчатых категорий.— М.: Энергоатомиз-
дат, 1983.— 184 с.
19.	Ш о к и н Ю. И. Интервальный анализ.— Новосибирск: Наука, 1981.—
112 с.
20.	Alsina С., Trillas Е., Valverde L. On some logical connectives
for fuzzv sets theory.— Journal of Mathematical Analysis and Applications,
1983, v. 93, p. 15—26.
21.	Arbib M. A. Semiring languages.— Stanford: Stanford University; Elect-
rical Engineering Department.— 197 p.
22.	В e 11 m a n R., G i e г t z M. On the analytic formalism of the theory of
fuzzy sets.— Information Sciences, 1974, v. 5, p. 149—157.
23.	Brown J. G. A note on fuzzy sets.—Information and Control, 1971, v. 18,
p. 32—39.
24.	Cai W e n. Introduction of extension set.— BUSEFAL, 1984, Ete, No. 19,
: p. 49—57.
25.	Chen Yong Yi. An. approach to fuzzy operators — BUSEFAL, 1982,
Hiver, v. 9, p. 59—65.
26.	D e Luca A., Termini S. Entropy of L-fuzzy sets.— Information
and Control, 1974, v. 24, p. 55—73.
27.	D о m b i J. A general class of fuzzy operators, the De Morgan class of
fuzzy operators and fuzziness measures induced by fuzzy operators.— Fuzzy
Sets and Systems, 1982, v.; 8, p. 149—163.
28.	Dubois D., Prade H. New results about properties and semantics of
fuzzy-set-theoretic operators.— In: Fuzzy Sets/Ed. by P. P. Wang and
S. K. Chang, N. Y.: Plenum Press, 1980, p. 59—75.
29.	D u b о i s D., Prade H. A class of fuzzy measures based on triangu-
lar norms.— Int. G. General Systems, 1982, v. 8, p. 43—61.
30.	Frank M. J. On the simultaneous associativity of F(x, y) and
x + у—F(x, y).— Aequationes Mathematicae, 1979, v. 19, p. 194—226.
31.	G e n t i 1 h о m m e Y. Les ensembles flous en linguistique.— Cahiers de
linguistique theorique et appliquee, 1968, v. 5, p. 47—63.
32.	G о g u e n J. A. L-fuzzy sets.— Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 1967, v. 18, p. 145—174.
33.	G о g u e n J. A. Concept representation in natural and artificial language:
axioms, extensions and applications for fuzzy sets — International Journal
of Man-Machine Studies, 1974, v. 6, p. 513—561.
34.	Hamacher H. Uber logische verknupfungen unscharfer aussagen und
deren zugehorige bewertungs — funktionen.— In: Progress in Cybernetics
and Systems Research, v. 2/Ed. by R. Trappl and P. de Hanika.— New
York: Hemisphere Publ. Corp., 1975, p. 276—287.
35.	Higashi M., Kiir G. J. On measures of fuzziness and fuzzy comple-
ments.— Int. J. General Systems, 1982, v. 8, p. 169—180.
36.	H i г о t a K. Concepts of probabilistic sets.— Proceedings of IEEE Confe-
rence on Decision and Control, 1977, p. 1361—1366.
37.	К a u f m a n n A. Introduction a la theorie des sous-ensembles flous.—
Th. d ’ 1 a 5. Paris: Masson, 1972—1981.
38.	Kaufmann A. Progress in modelling of human reasoning by fuzzy
logic.— In: Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta,
G. Saridis, B. Gaines. Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 11—16
39.	К1 e m e n t E. P. Construction of fuzzy o-algebras using triangular
norms.— Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1982, v. 85,
p. 543—565.
40.	Koczy L. Interactive sigma-algebras and fuzzy objects of type n.—
Journal of Cybernetics, 1978, v. 8, p. 273—290.
41.	Koczy L. Vector-valued fuzzy sets.— BUSEFAL. Ete, 1980, p. 41—57.
К ГЛАВЕ 1
281
42.	Lowen R. On fuzzy complements.— Information Sciences, 1978, v. 14,
p. 107—113.
43.	M c Vicar-Whelan P. J. Fuzzy and multivalued logic.—7th Inter-
national Symposium on Multivalued Logic, N. C., 1977, p. 98—102.
44.	Mizumoto M. Fuzzy sets and their operations. IL—Information and
Control, 1981, v. 50, p. 160—174.
45.	Mizumoto M., Tanaka K. Some properties of fuzzy sets of type 2.—
Information and Control, 1976, v. 31, p. 312—340.
46.	N e g о i t а С. V., R a 1 e s c u D. A. Applications of fuzzy sets to systems
analysis.— Basel: Birkhauser Verlag, 1975.— 190 p.
47.	N e g о i t а С. V., R a 1 e s c u D. A. Representation theorems for fuzzy
concepts.— Kybernetes, 1975, v. 4, p. 169—174.
48.	N i e m i n e n J. On the algebraic structure of fuzzy sets of type 2.— Ky.
bernetika, 1977, v. 13, p. 261—273.
49.	Novak V. Fuzzy sets — The approximation of semisets. Part 1,—
BUSEFAL, 1983, Hiver, No. 13, p. 15—28; Part 2 — BUSEFAL, 1983, Prin-
temps, No. 14, p. 19—30.
50.	N о v a k V. A note on foundations of fuzzy sets.— BUSEFAL, 1983, Ete,
No. 15, p. 5—10.
51.	Pawlak Z. Some remarks about rough sets.— ICS PAS Rep. 1982, No. 456.
Warszawa.— 12 p.
52.	P о n a s s e D. Une nouvelle conception des ensembles flous.— BUSEFAL,
1984, Hiver, No. 17, p. 4—9.
53.	R a d e c k i T. Level fuzzy sets.— Journal of Cybernetics, 1977, v. 7,
p. 189—198.
54.	R a 1 e s c u D. A. Fuzzy subobjects in a category and the theory of C-sets.—
Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 193—202.
55.	S c h w e i z ё r B., Sklar A. Probabilistic metric spaces. Series in pos-
sibility and applied mathematics.— Amsterdam: North-Holland, 1983.
56.	S m e t s P. Elementary semantic operators.— In: Fuzzy Set and Possibi-
lity Theory/Ed. by R. R. Yager. New York: Pergamon Press, 1982,
p. 247—256.
57.	T r i 11 a s E., A1 s i n a C. and Valverde L. Do we need max, min
and 1 — j in fuzzy set theory? — In: Fuzzy Set and Possibility Theory/Ed.
by R. R. Yager. New York: Pergamon Press, 1982, p. 275—297.
58.	Watanabe S. A generalized fuzzy set theory.— IEEE Transactions on
Systems, Man and Cybernetics, 1978, v. SMC-8, p. 756—760.
59.	We chler W. Analyse and synthese zeitvariabler R-fuzzy automa-
ten.— ZKJ Information, 1974, v. 1, p. 32—366.
60.	AV u X u e m о u. Pansystems Methodology: a transfield investigation of
generalized system — transformation — symmetry.— In: Fuzzy Information
and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta and E. Sanchez. Amsterdam:
North-Holland, 1982, p. 423—436.
61.	Y a g e r R. R. A measurement-informational discussion of fuzzy union
and intersection.— International Journal of Man-Machine Studies, 1979,
v. 11, p. 189-200.
62.	Y a g e r R. R. Finite linearly ordered fuzzy sets with applications to deci-
sions.— International Journal of Man-Machine Studies, 1980, v. 12,
p. 299—322.
63.	Y a g e r R. R. On a general class of fuzzy connectives.— Fuzzy Sets and
Systems, 1980, v. 4, p. 235—243.
64.	Z a d e h L. A. Fuzzy sets.— Information and Control, 1965, v. 8, p. 338.
65.	Z a d e h L. A. Similarity relations and fuzzy orderings.— Information Sci-
ences, 1971, v. 3, p. 166—200.
66.	Z a d e h L. A. Calculus of fuzzy restrictions.— In: Fuzzy Sets and Their
Applications to Cognitive and Decision Processes/Ed. by L. A. Zadeh et al.
N. Y.: Academic Press, 1975, p. 3—41.
67.	Z i m m e r m a n n H. J., Z у s n о P. Latent connectives in human deci-
sion-making.— Fuzzy Sets and Systems, 1980, v. 4, p. 37—51.
282
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 2
1.	Айзерман М. А., М а л и ш е в с к и й А. В. Некоторые аспекты об-
щей теории выбора лучших вариантов.— Автоматика и телемеханика,
1982, № 2, с. 65-83.
2.	Б а т ы р ш и н II. 3. О транзитивности размытых упорядочений.— В кн.:
Исследование операций и аналитическое проектирование в технике.
Вып. 2. Казань: КАИ, 1979, с. 67—73.
3.	Б а т ы р ш и н И. 3. Кластеризация на основе размытых отношений
сходства.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых категорий:
Тезисы докладов III научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС,
1980, с. 25—27.
4.	Б а тыршин И. 3. Модели размытых предпочтений в задачах выбо-
ра.— В кн.: Модели выбора альтернатив в нечеткой среде: Тезисы док-
ладов Всесоюзного научного семинара. Рига: РПИ, 1980, с. 45—46.
5.	Батыршин И. 3. К анализу предпочтений в системах принятия ре-
шений.— Труды МЭИ, 1981, вып. 533, с. 57—62.
6.	Биркгоф Г. Теория решеток.— М.: Наука, 1984.— 568 с.
7.	Б о р о д к и п Л. И. Агрегирование структуры графов с размытыми бло-
ками.— Автоматика и телемеханика, 1978, № 8, с. 142—153.
8.	Б у х о в е ц А. Г., Кузнецов А. Г., Р а з г о и е р А. А., Соловь-
ев А. С. Алгоритм классификации, использующий понятие нечеткого
множества и его применение.— В кн.: Опыт применения ЭВМ в со-
циальных исследованиях. М.: 1977, с. 91—100.
9.	Д р о б ы ш е в 10. П., Пухов В. В. Аппроксимация нечетких отноше-
ний. В кн.: Эмпирическое предсказание и распознавание образов. (Вы-
числительные системы); вып. 76, 1978, с. 75—82.
10.	Д у д а Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен.— М.: Мир,
1976,—511 с.
11.	Дюран Б., Оделл П. Кластерный анализ.— М.: Статистика, 1977.
12.	Е л и с е е в а И. И., Рукавишников В. О. Группировка, корреля-
ция, распознавание образов.— М.: Статистика, 1977.— 144 с.
13.	Емельянов С. В., Наппельбаум Э. Л. Методы исследования
сложных систем: I. Логика рационального выбора.— В кн.: Техническая
кибернетика. Итоги науки и техники, т. 8, ч. 1, 2. М.: ВИНИТИ, 1977,
с. 5—101.
14.	Жаке-Лагрез Э. Применение размытых отношений при оценке
предпочтительности распределенных величин.— В кн.: Статистические
модели и многокритериальные задачи принятия решений. М.: Статисти-
ка, 1979, с. 168—183.
15.	К о н о н о в Б. П. Числовые отношения в теории сравнений.— Научно-
техническая информация (НТИ), 1977, серия 2, с. И—18.
16.	К у з ь м и н В. Б. Построение групповых решений в пространствах чет-
ких и нечетких бинарных отношений. М.: Наука, 1982,— 168 с.
17.	Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математиче-
ские основы.— М.: Мир, 1978.— 312 с.
18.	М и р к и н Б. Г. Проблемы группового выбора.— М.: Наука, 1974.— 256 с.
19.	О р л о в с к и й С. А. Проблемы принятия решения при нечеткой исход-
ной информации.— М.: Наука, 1981.— 208 с.
20.	П о с п е л о в Д. А. Логико-лингвистические модели в системах управ-
ления.— М.: Энергоиздат, 1981.— 232 с.
21.	Фишберп П. Теория полезности для принятия решений.— М.: Нау-
ка, 1978,— 352 с.
22.	Ш р е й д е р Ю. А. Равенство, сходство, порядок.— М.: Наука, 1971.—
256 с.
23.	Bezdek J. С. Numerical taxonomy -with fuzzy sets.—Journal of Mathe-
matical Biology, 1974, v. 1, p. 57—71.
24	Bezdek J. Pattern recognition with fuzzy objective function algo-
rithms.— N. Y.: Plenum Press, 1981.— 260 p.
К ГЛАВЕ 2
283
25.	Bezdek J. С., Dunn J. С. Optimal fuzzy partitions: a heuristic for
estimating the parameters in a mixture of normal distributions.—IEEE
Transactions on Computers, 1975, v. C-24, p. 835—838.
26.	В e z d e k J. C., Harris J. D. Fuzzy partitions and relations: an axio-
matic basis for clustering.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. Ill—
27.	В о u c h о n B., Cohen G. On fuzzy relations and partitions.— In: Ad-
vances in Fuzzy Sets, Possibility Theory and Applications/Ed. by
P. P. Wang. N. Y.: Plenum Press, 1983, p. 97—107.
28.	Chakrabarty M. К. and Das M. On fuzzy equivalence.— 1. Fuzzy
Sets and Systems, 1983, v. 11, No 2, p. 185—194; — 2. Fuzzy Sets and Sys-
tems, v. 11, No 3, p. 299—308.
29.	C h a 11 e r j i B. N. Character recognition using fuzzy similarity relati-
ons.— In: Approximate Reasoning in Decision Analysis/Ed. by M. M. Gupta
and E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1982, p. 131—138.
30.	D e f a у s D. K-recouvrement et sous-ensembles	flous.— Bull. Soc.
roy. Sci. Liege, v. 45, No. 3—4, p. 81—88.
31.	D e Luca A., Termini S. Algebraic properties of fuzzy sets.— Jour-
nal of Mathematical Analysis and Applications, 1972, v. 40, p. 373—386.
32.	D u b о i s T. A teaching system using fuzzy subsets and multicriteria
analysis.— Int. J. Math. Educ. Sci. Tech. 1977, v. 8, p. 203—217.
33.	D u n n J. C. A graph theoretic analysis of pattern classification via Ta-
mura’s fuzzy relation.— IEEE Transactions on Systems, Man and Cyberne-
tics, 1974, v. SMC-3, p. 310—313.
34.	Git m a n J., Levine M. D. An algorithm for detecting unimodal fuzzy
sets and its application as a clustering technique.— IEEE Transactions on
Computers, 1970, v. C — 19, p. 583—593.
35.	G о g u e n J. A. L-fuzzy sets.— Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 1967, v. 18, p. 145—174.
36.	H a r t i g a n J. A. Representation of similarity matrices by trees.— J. Amer.
Statist. Assoc., v. 62, 1967, p. 1145—1158.
37.	К a u f m a n n A. Introduction to the theory of fuzzy subsets, v. 1 —
N. Y.: Academic Press, 1975.— 643 p.
38.	Negoita С. V., Ralescu D. A. Applications of fuzzy sets to sys-
tems analysis.— Basel: Birkhauser Verlag, 1975.— 190 p.
39.	Olivier J. P., Serrato D. An approach to an axiomatic study of
the fuzzy relations on finite sets.— In: Fuzzy Information and Decision
Processes/Ed. by M. M. Gupta and E. Sanchez. Amsterdam. North-Hol-
land Publ. Comp., 1982, p. 111—116.
40.	О r 1 о v s k у S. A. Decision-making with a fuzzy preference relation.—
Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 155—167.
41.	R о s e n f e 1 d A. Fuzzy graphs.— In: Fuzzy Sets and Their Applications to
Cognitive and Decision Processes/Ed. by L. A. Zadeh et al. N. Y.: Academic
Press, 1975, p. 77—95.
42.	R u s p i n i E. H. A new approach to clustering.— Information and Cont-
rol, 1969, v. 15, p. 22—32.
43.	Ruspini E. H. Numerical methods for fuzzy clustering.— Information
Sciences, 1970, v. 2, p. 319—350.
44.	R u s p i n i E. H. Recent developments in fuzzy clustering.— In: Fuzzy
Set and Possibility Theory/Ed. by R. R. Yager. N. Y.: Pergamon Press,
1982, p. 133—146.
45.	S a a t у T. L. Exploring the interface between hierarchies, multiple
objectives and fuzzy sets.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 57—68.
46.	S ii i m u r a M. Fuzzy sets concepts in rank-ordering objects.— Journal
of Mathematical Analysis and Applications, 1973, v. 43, p. 713—733.
47.	S у r k i n G. Pseudo-boolean-valued relations and operations of finite
types and their applications to model theory.— In: Proc. 6th International
Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science. Hannover, 1979,
August.
:84
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
8. Tamura S., Higuchi S., Tanaka К. Pattern classification based
on fuzzy relations.— IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics,
1971, v. SMC-1, p. 61—66.
9. T a z a k i E., A m a g a s a M. Structural modelling in a class of systems
using fuzzy sets theory — Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, p. 87—103.
0. W a t a d a J., Tanaka H. and A s a i K. A heuristic method of hierar-
chical clustering for fuzzy intransitive relations.— In: Fuzzy Set and Pos-
sibility Theory/Ed. by R. R. Yager. N. Y.: Pergamon Press, 1982, p. 148—166.
1.	Y e h R. T., Bang S. Y. Fuzzy relations, fuzzy graphs and their appli-
cations to clustering analysis.— In: Fuzzy Sets and Their Applications to
Cognitive and Decision Processes/Ed. by L. A. Zadeh et al., N. Y.: Acade-
mic Press, 1975, p. 125—149.
2.	Z a d e h L. A. Similarity relations and fuzzy orderings.— Information Sci-
ences, 1971, v. 3, p. 177—200.
3.	Z a d e h L. A., Fu K. S., Tanaka K., Shimura M. Fuzzy sets and
their applications to cognitive and decision processes. N. Y.: Academic
Press, 1975.— 496 p.
4.	Z a d e h L. A. Fuzzy sets and their application to pattern classification
and cluster analysis.— Memo No. ERL M 607, Electronics Research Labo-
ratory, California University, Berkeley, 1976.— 67 p.
К главе 3
1.	Б а т ы p ш и н И. 3. О мерах энтропии размытых множеств.— В кн.:
Исследование операций и аналитическое проектирование в технике.
Вып. 1. Казань: КАИ, 1978, с. 40—45.
2.	Б а т ы р ш и н И. 3. О некоторых свойствах мер невероятностной энт-
ропии размытых множеств.— В кн.: Прикладной многомерный статисти-
ческий анализ. М.: Науда, 1978, с. 345—348.
3.	Б а т ы р ш и н И. 3., Вагин В. И. Об алгебре размытых множеств и
алгебрах Де Моргана.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых
категорий: Тезисы III научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС,
1980, с. 27—29.
4.	Биркгоф Г. Теория решеток.— М.: Наука, 1984.— 568 с.
5.	3 а д е Л. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процес-
сов принятия решений.— В кн.: Математика сегодня. М.: Знание, 1974,
с. 5-49.
6.	П е т р о в Б. Н., Уланов Г. М., Г о л ь д е н б л а т И. И. и др. Инфор-
мационные аспекты качественной теории динамических систем.— В кн.:
Техническая кибернетика. Итоги науки и техники. Т. 8. Ч. 1, 2. М.:
ВИНИТИ, 1977.
7.	П е т р о в Б. Н., Уланов Г. М., Г о л ь д е н б л а т И. И. и др. Инфор-
мационные и термодинамические аспекты качественной теории эволю-
ционных моделей развивающихся динамических систем управления.—
В кн.: Техническая кибернетика. Итоги науки и техники, т. 10. М.,
ВИНИТИ, 1978.
8.	Т а г а н о в И. Н. Информационные меры причинного влияния (1Н-ана-
лиз).— В кн.: Математика в социологии. Моделирование и обработка
информации. М.: Мир, 1977, с. 124—134.
9.	Тарасов В. Б., Перфильев С. А. О расстояниях между нечеткими
множествами и их использовании в задаче принятия решения.— В кн.:
Управление при наличии расплывчатых категорий: Тезисы V научно-
технического семинара. Пермь: НИИУМС, 1982, с. 150—154.
0. В a tie N., Trillas Е. Entropy and fuzzy integral.— Journal of Ma-
thematical Analysis and Applications, 1979, v. 69, p. 469—474.
1. Bellman R., Kalaba R., Zadeh L. A. Abstraction and pattern
classification.— Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1966,
v. 13, p. 1-7.
К ГЛАВЕ 3
285
12.	Bezdek J. С. Numerical taxonomy with fuzzy sets.—Journal of Mathe-
matical Biology, 1974, v. 1, p. 57—71.
13.	Capocelli R., De Luca A. Fuzzy sets and decision theory.— Infor-
mation and Control, 1973, v. 23, p. 446—473.
14.	C h an g S. K. On the execution of fuzzy programs using finite state machi-
nes.— IEEE Transactions on Computers, 1972, v. C-21, p. 241—253.
15.	D e Luca A., Termini S. A definition of a non-probabilistic entro-
py in the setting of fuzzy sets theory.— Information and Control, 1972,
v. 20, p. 301—312.
16.	D e Luca A., Termini S. Algebraic properties of fuzzy sets.— Journal
of Mathematical Analysis and Applications, 1972, v. 40, p. 373—386.
17.	D e Luca A., Termini S. Entropy of L-fuzzy sets.— Information
and Control, 1974, v. 24, p. 55—73.
18.	D e Luca A., Termini S. Measures of ambiguity in the analysis of
complex systems.— Lectures Notes on Computer Sciences, 1977, v. 53,
p. 382—389.
19.	De Luca A., Termini S. On the convergence of entropy measures
of fuzzy sets.— Kybernetes, 1977, v. 6, p. 219—227.
20.	D e Luca A., Termini S. Entropy and energy measures of a fuzzy
set.— In: Advances in Fuzzy Set Theory and Applications/Ed. by M. M. Gup-
ta, R. K. Ragade, R. R. Yager. Amsterdam: North-Holland, 1979, p. 321.
21.	D e Luca A., Termini S. On some algebraic aspects of the measures
of fuzziness.— In: Fuzzy Information and Decision Processes/Ed. by
M. M. Gupta, E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland, 1982, p. 17—24.
22.	D i N о 1 a A., S e s s a S. On the fuzziness measure and negation in to-
tally ordered lattices.— BUSEFAL, 1981, v. 8, p. 68—77.
23.	Di Nola A., Ventre A. G. Ordering via fuzzy entropy.— In: Fuzzy
Information and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta, E. Sanchez. Ams-
terdam: North-Holland, 1982, p. 25—28.
24.	D i Nola A., Ventre A. G. Pointwise choice criteria determined by
global properties.— BUSEFAL, 1983, v. 12, p. 89—97.
25.	D i Nola A., Ventre A. G. Synthesis with respect to fuzzy entropy.—
Kybernetes, v. 12, 1983, p. 205—208.
26.	Dumitrescu D. A definition of an informational energy in fuzzy sets
theory.— Studia University Babes — Bolyai, 1977, v. 2, p. 57—59.
27.	E b a n k s B. R. On measures of fuzziness and their representation.—
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1983, v. 94, p. 24—37.
28.	E m p t о z H. Nonprobabilistic entropies and indetermination measures
in the setting of fuzzy sets theory.— Fuzzy Sets and Systems, 1981, v. 5,
p. 307—317.
29.	G о g u e n J. A. L-fuzzy sets.— Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 1967, v. 18, p. 145—174.
30.	H i g a s h i M., Kiir G. J. On measures of fuzziness and fuzzy comple-
ments.— International Journal of General Systems, 1982, v. 8, p. 169—180.
31.	Higashi M., Kiir G. J. On the notion of distance representing infor-
mation closeness: possibility and probability distributions.— International
Journal of General Systems, 1983, v. 9, p. 103—115.
32.	I s h i k a w a A., M i e n о H. The fuzzy entropy concept and its applica-
tion.— Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, p. 113—123.
33.	Kaufmann A. Introduction to the theory of fuzzy subsets, v. 1.—
N. Y.: Academic Press, 1975.— 643 p.
34.	К n о p f m a c h e r J. On measures of fuzziness.— Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 1975, v. 49, p. 529—534.
35.	Loo S. G. Measures of fuzziness.— Cybernetics, 1977, v. 3, p. 201—207.
36.	P о 11 a t s c h e k M. A. Hierarchical systems and fuzzy set theory.— Ky-
bernetes, 1977, v. 6, p. 147—151.
37.	R i e r a T., T r i 11 a s E. From measures of fuzziness to booleanity cont-
rol.— In: Fuzzy Information and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta,
E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland, 1982, p. 3—16.
286
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
38.	Т г i 11 a s Е., R i е г а Т. Entropies for finite fuzzy sets. Information Scien-
ces, 1978, v. 15, p. 159—168.
39.	Y a g e r R. R. On the measure of fuzziness and negation.— International
Journal of General Systems, 1979, v. 5, p. 221—229.
40.	Y a g e r R. R. Measuring tranquility and anxeity in decision-making: an
application of fuzzy sets.— International Journal of General Systems, 1982,
v. 8, p. 139—146.
К главе 4
1.	А л e к с e e в А. В. Интерпретация и определение функций принадлеж-
ности нечетких множеств.— В кн.: Методы и системы принятия реше-
ний. Рига: РПИ, 1979, с. 42—50.
2.	Кайберг Г. Вероятность и индуктивная логика.— М.: Прогресс, 1978.—
375 с.
3.	Козелецкий Ю. Психологическая теория решений.— М.: Прогресс,
1979.— 504 с.
4.	Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.— М,— Л.:
ОНТИ, 1936.
5.	Психологические измерения/Пер. с англ.; Под ред. Л. Д. Мешалкина.—
М.: Мир, 1967,— 196 с.
6.	С и л о в В. Б. Применение нечетких мер и интегралов для построения
алгоритмов нечеткого вывода.— В кн.: Управление при наличии рас-
плывчатых категорий: Тезисы V научно-технического семинара. Пермь:
НИИУМС, 1982, с. 84—87.
7.	С и л о в В. Б. Применение нечетких мер для анализа устойчивости не-
четких систем.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых катего-
рий: Тезисы VI научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС, 1983,
с. 35—36.
8.	С и л о в В. Б., Ж у р и д Б. А. Применение лингвистической модели при
выборе альтернатив по нескольким показателям.— В кн.: Управление
при наличии расплывчатых категорий: Тезисы докладов IV Всесоюзного
научно-технического семинара. Фрунзе: Илим, 1981, с. 46—48.
9.	У о л с т е н Т. С. Использование алгебраических моделей для изучения
процессов принятия решений.— В кн.: Нормативные и дескриптивные
модели принятия решений. М.: Наука, 1981, с. 310—319.
10.	В а п о n G. Distinction between several subsets of fuzzy measures.— Fuz-
zy Sets and Systems, 1981, v. 5, p. 291—306.
11.	Batle N., Trillas E. Entropy and fuzzy integral.— Journal of Mathe-
matical Analysis and Applications, 1979, v. 69, p. 469—474.
12.	D e m p s t e r A. P. Upper and lower probabilities induced by multi-va-
lued mapping.— Ann. Math. Statist., 1967, v. 38, p. 325—339.
13.	D u b о i s D., Prade H. Fuzzy sets and systems. Theory and applica-
tions.— New York: Academic Press, 1980.— 393 p.
14.	D u b о i s D., Prade H. Fuzzy real algebra: some results.— Fuzzy Sets
and Systems, 1979, v. 2, p. 327—348.
15.	D u b о i s D., Prade H. Algorithmes de plus courts chemins pour trai-
ler des donnees floues.— RAIRO, 1978, v. 12, p. 213—227.
16.	H о h 1 e U. A mathematical theory of uncertainty.— In: Fuzzy Set and
Possibility theory/Ed. by R. R. Yager. New York: Pergamon Press, 1982,
p. 344—355.
17.	К a n d e 1 A. Fuzzy statistics and forecast evaluation.— IEEE Transaction»
on Systems, Man and Cybernetics, 1978, v. SMC-8, p. 396—401.
18.	К a n d e 1 A. On fuzzy statistics.— In: Advances in Fuzzy Set Theory and
Applications/Ed. by M. M. Gupta, R. K. Ragade, R. R. Yager. Amsterdam:
North-Holland, 1979, p. 181—200.
19.	Kan de 1 A. and В у a 11 W. G. Fuzzy sets, fuzzy algebra and fuzzy sta-
tistics— Proc. IEEE, 1978, v. 68, p. 1619—1639.
К ГЛАВЕ 5
287
20.	N g и у е n Н. Т. On conditional possibility distributions.— Fuzzy Sets and
Systems, 1978, v. 1, p. 299—310.
21.	Nguyen H. Toward a calculus of the mathematical notion of possibili-
ty.— In: Advances in Fuzzy Set Theory and Applications/Ed. by M. M. Gup-
ta, R. К Ragade, R. R. Yager. Amsterdam: North-Holland, 1979, p. 235—246.
22.	P r a d e H. On the link between Dempster’s rule of evidence combination
and fuzzy set intersection.— BUSEFAL, 1981, v. 8, p. 60—64.
23.	R a 1 e s c u D. A., Adams G. The fuzzy intergal.— Journal of Mathema-
tical Analysis and Applications, 1980, v. 75, p. 562—570.
24.	S a n c h e z E. On possibility qualification in natural languages. Informa-
tion Sciences, 1978, v. 15, p. 45—76.
25.	S e i f A., Aguilar -Mar tin J. Multi-group classification using fuzzy
correlation.— Fuzzy Sets and Systems, 1980, v. 3, p. 109—122. '
26.	S h a f e r G. A mathematical theory of evidence.— Princeton, New York:
Princeton University Press, 1976.
27.	S u g e n о M. Fuzzy measure and fuzzy integral.— Trans. SICE, 1972,
v. 8, N 2, p. 95—102.
28.	S u g e n о M. Inverse operations of fuzzy integrals and conditional fuzzy
measures.— Trans. SICE, 1975, v. 11, No 1, p. 32—37.
29.	S u g e n о M. Fuzzy decision-making problems.— Trans. SICE, 1975,
v. 11, No. 6, p. 85—92.
30.	S u g e n о M. Fuzzy measures and fuzzy integrals: a survey.— In: Fuzzy
Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gfiipta, G. Saridis, B. R. Gai-
nes. Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 89—102.
31.	S u g e n о M. Analytic representation of fuzzy systems.— In: Fuzzy Auto-
mata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta, G. Saridis, B. R. Gaines.
Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 177—189.
32.	S u g e n о M., T e r a n о T. An approach to the identification of human
characteristics by applying the fuzzy integral.— In: Proc, of 3-rd IFAC
Symposium on identification and System Parameter Estimation. Hague,
1973, part 2, p. 1064—1065.
33.	S u g e n о M., Terano T. A model of learning based on fuzzy infor-
mation.— Kybernetes, 1977. v. 6, p. 157—166.
34.	T e r a n о T., S u g e n о M. Conditional fuzzy measures and their appli-
cations.— In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision
Processes/Ed. by L. A. Zadeh et al. New York: Academic Press, 1975,
p. 151—170.
35.	T e r a n о T., S u g e n о M. Macroscopic optimization using conditional
fuzzy measures.— In: Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by
M. M. Gupta, G. Saridis, B. R. Gaines. Amsterdam: North-Holland, 1977,
p. 197—208.
36.	T r i 11 a s E., R i e r a T. Entropies in finite fuzzy sets.— Information
Sciences; 1978, v. 15, p. 159—168.
37.	T s u k a m о t о Y. Identification of preference measure by means of fuz-
zy integrals.— Ann. Conf, of JORS, 1972, p. 131—135.
38.	T s u k a m о t о Y., Gupta M. M., N i k i f о r u k P. N. On density of
fuzzy measure.— In: Fuzzy Set and Possibility Theory/Ed. by R. R. Yager.
New York: Pergamon Press, 1982. p. 133—142.
39.	Tversky A., Kahneman D. Judgement under uncertainty: heuris-
tics and biases.— Science, 1974, v. 185, p. 1124—1131.
40.	W a n g Z. The autocontinuity of set function and the fuzzy integral.—
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1984, v. 99, p. 195—218.
41.	Zadeh L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility.— Fuzzy
Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 3—28.
К главе 5
1.	Аверкин A. H. Нечеткие множества в моделях искусственного интел-
лекта.— В кн.: Вопросы кибернетики. Проблемы искусственного интел-
лекта. Вып. 61. М.: АН СССР, 1980, с. 79—86.
288
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2.	Аверкин А. П. Нечеткое отношение моделирования в системах пла-
нирования поведения робота.— In: Artificial Intelligence and Informa-
tion Control Systems. Preprints of papers presented at 2-nd Int. Conferen-
ce. Bratislava, 1982, October, p. 6—10.
3.	Г о ф м а н А. Л. О приближении функций принадлежности по экспери-
ментальным данным.— В кн.: Обработка информации и принятие реше-
ний в условиях неопределенности. Фрунзе: Илим, 1980, с. 33—36.
4.	Ж у р и д Б. А., С и л о в В. Б. Метод построения логико-лингвистиче-
ских моделей интеллектуальных роботов.— Известия АН СССР. Техниче-
ская кибернетика, 1983, № 5, с. 188—193.
5.	3 а д е Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений.— М.: Мир, 1976.—165 с.
6.	И л ю н и н О. К. О критерии адекватности математических моделей.—
В кн.: Автоматизированные системы управления и приборы автоматики.
Вып. 54. Харьков, 1980, с. 28—31.
7.	К а р е л и н В. П., Ковалев С. М. Метод построения модели, ими-
тирующей алгоритм поиска управляющих решений оператором.— Изве-
стия АН СССР. Техническая кибернетика, 1983, № 5, с. 181—187.
8.	Лукашин 10. П. Адаптивные модели краткосрочного прогнозирова-
ния,— М.: Наука, 1979.— 252 с.
9.	С и л о в В. Б. Метод построения многомерных лингвологических моде-
лей нечетких систем.— В сб.: Управление при наличии расплывчатых
категорий: Тезисы III научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС,
1980, с. 33—34.
10.	С и л о в В. Б. Методы решения обратных задач для нечетких отноше-
ний.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых категорий: Тезисы
докладов IV научно-технического семинара. Фрунзе: Илим, 1981,
с. 45—46.
11.	Си лов В. Б., Мар игодов В. К. Применение печеткпх чисел L-R-
типа для построения лингвологических моделей,— В кн.: Управление
при наличии расплывчатых категорий: Тезисы III научно-технического
семинара. Пермь: НИИУМС, 1980, с. 34—36.
12.	Т а р а с о в В. Б. Иерархия лингвистических переменных в моделях
принятия решений.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых ка-
тегорий: Тезисы III научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС,
1980, с. 54—56.
13.	Ц ы г а н и й А. А., М и н ц е р О. П., Ч е п к и й О. П. Статистическое
моделирование основных жизненных функций при митральных пороках
сердца.— Киев: Наукова думка, 1980.— 184 с.
14.	Ш о ш и н П. Б. Размытые числа как средство описания субъективных
величин.— В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок. М.:
Паука, 1977, с. 234—250.
15.	Advances in fuzzy set theory and applications/Ed. by M. M. Gupta,
R. K. Ragade, R. R. Yager. Amsterdam: North-Holland Publishnig Com-
pany, 1979.— 814 p.
16.	As si li an S. Artificial intelligence in the control of real dynamic
systems.— Ph. D. thesis, Queen Marl College, University of London,
1974.
17.	В a 1 d w i n J. F. A new approach to approximate reasoning using a fuzzy
logic.— Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, № 4, p. 309—325.
18.	В a 1 d w i n J. F. An automated fuzzy reasoning algorithm.— In: Fuzzy
Set and Possibility Theory/Ed. by R. R. Yager. N. Y.: Pergamon Press, 1982,
p. 169—195.
19.	В a 1 d w i n J. F., P i 1 s w о r t h B. W. A model of fuzzy reasoning
through multi-valued logic and set theory.— Int. J. Man-Machine Stu-
dies, 1979, v. 11, No 4, p. 351—380.
20.	Baldwin J. F., Pils worth B. W. Fuzzy truth definition of possi-
bility measure for decision classification.— Int. J. Man-Machine Studies,
1979, v. 11, No 4, p. 447—463.
К ГЛАВЕ 5
289
21.	В а 1 d w i n J. F., P i 1 s w о r t h B. W. Axiomatic approach to implica-
tion for approximate reasoning with fuzzy logic.— Fuzzy Sets and Systems,
1980, v. 3, No 2, p. 193—219.
22.	В r a a e M., Rutherford D. A. Selection of parameters for a fuzzy
logic controller.— Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, p. 185—190.
23.	В r a a e M., Rutherford D. A. Theoretical and linguistic aspects of
the fuzzy logic controller.— Automatica, v. 15, p. 553—577.
24.	D e Gias M. Theory of fuzzy systems.— Fuzzy Sets and Systems, 1983,
v. 10, p. 65—77.
25.	D u b о i s D., Prade H. Operations on fuzzy numbers.— Int. J. Syst
Sci. 1978, v. 9, No 6, p. 613—626.
26.	D u b о i s D., Prade H. Algorithmes de puls courts chemins pour trai-
ler des donnees flous.— RAIRO. Recherche Operationelle, 1978, v. 12, No 2,
p. 213—227.
27.	D u b о i s D., Prade H. Fuzzy real algebra: some results.— Fuzzy Sets
and Systems, 1979, v. 2, No 4, p. 327—348.
28.	D u b о i s D., Prade H. Systems of linear fuzzy constraints.— Fuzzy
Sets and Systems, v. 3, No 1, 1980, p. 37—48.
29.	Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta, G. N. Sari-
dis. N. Y„ 1977,— 567 p.
30.	Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes/Ed.
by L. A. Zadeh, K. S. Fu, K. Tanaka, M. Shimura. New York: Academic
Press, 1975.—'496 p.
31.	G a i n e s R. R., К о h о u t L. The fuzzy decade. A bibliography of fuzzy
systems and closely related topics.— Int. J. Man-Machine Studies, 1977, v. 9,
N 1, p. 1—68.
32.	Gupta M. M. A survey of process control application of fuzzy set theo-
ry.— In: Proc. IEEE Conf. Decision and Control and 17-th Sump. Adapt.
Processes. San Diego. Calif., N. Y.: 1978, p. 1454—1461.
33.	J a i n R. Outline of an approach for the analysis of fuzzy systems.— Int.
J. of Control, 1976, v. 23, N 5, p. 627—640.
34.	Kaufmann A. Introduction to the theory of fuzzy subsets. V. 1.— N„ Y.:
Academic Press, 1975.— 643 p.
35.	К i c k e r t W. J. M. Towards an analysis of linguistic modelling.— Fuzzy
Sets and Systems. 1979, v. 2, No 3, p. 293—307.
36.	К i c k e r t M. J. M., Lemke V. N. Applications of fuzzy logic controller
in a warm water plant.— Automatica, 1976, v. 12, p. 301—308.
37.	К i c k e r t M. J. M., M a m d a n i E. H. Analysis of a fuzzy logic control-
ler.— Fuzzy Sets and Systems, v. 1, No 1, 1978, p. 29—45.
38.	Mam dan i E. H., Ostergaard J. J., Lembessis J. Use of fuzzy
logic for implementing rule-based control of industrial processes.— In: Ad-
vances in Fuzzy Sets, Possibility Theory and Applications/Ed. by
P. P. Wang. New York: Plenum Press, 1983, p. 307—324.
39.	M i z u m о t о M., Tanaka K. Algebraic properties of fuzzy numbers.—
In: Proc. IEEE Int. Conf. Cybernetics and Society, 1976, p. 559—563.
40.	N a h m i a s S. Fuzzy variables.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1,
No 2, p. 97—110.
41.	P a p p i s С. P., M a m d a n i E. H. A fuzzy logic controller for trafic
junction.— IEEE Trans. Syst, Man and Cybern., 1977, v. 7, No 10, p. 707—717.
42.	P r a d e H. Using fuzzy set theory in scheduling problem: a case study.—
Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, No. 2, p. 153—165.
43.	Saaty T. L. A scaling method for priorities of sets.— IEEE Trans, on
Systems, Man and Cybernetics, v. SMC-4, No 1, p. 66—73.
44.	S a n c h e z E. Resolution of composite fuzzy relation equations.— Infor-
mation and Control, 1976, v. 30, No 1, p. 38—48.
45.	Sanchez E. Resolution of eigen fuzzy sets equations.— Fuzzy Sets and
Systems, 1978, v. 1, No 1, p. 69—74.
46.	Tong R. M. Control engineering review of fuzzy systems.— Automatica,
1977, v. 13, p. 759—769.
290
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
47.	Т о n g R. М. Synthesis of fuzzy models for industrial processes — some
recent results.— Int. J. General Syst., 1978, v. 4, p. 143—162.
48.	Tsukamoto Y., Tashiro T. Method of solution to fuzzy inverse
problem.— Trans. SICE, 1979, v. 15, p. 21—25.
49.	Y a g e r R. R. Fuzzy equations.— In: Proc, of IEEE Int. Conf. Decision
and Control, 1977, p. 596—600.
50.	Y a g e r R. R. Validation of fuzzy linguistic models.— J. of Cybernetics,
1978, v. 8, p. 17—30.
51.	Y a g e r R. R. On solving fuzzy mathematical relationships.— Information
and Control., 1979, v. 41, No 1, p. 29—55.
52.	Zadeh L. A. Quantitative fuzzy semantics.— Inform. Sci., 1971, v. 3,
p. 159—176.
К главе 6
1.	А в e p к и н A. H. Нечеткое отношение моделирования в системах пла-
нирования поведения робота.— В кн.: Искусственный интеллект и инфор-
мационно-управляющие системы роботов. Братислава, 1982, с. 6—10.
2.	А в е р к и н А. Н. Нечеткое отношение моделирования и его использо-
вание для классификации и аппроксимации в нечетких лингвистических
пространствах.— Изв. АН СССР: Техническая кибернетика, 1982, № 2,
с. 215.
3.	В а р о с я н С. О., Поспелов Д. А. Неметрическая пространствен-
ная логика.— Изв. АН СССР: Техническая кибернетика, 1982, № 5,
с. 86—99.
4.	Е ж к о в а И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при нечетких
основаниях. I. Универсальная шкала.— Изв. АН СССР: Техническая ки-
бернетика, 1977, № 6, с. 3—11.
5.	3 а д е Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение
к принятию приближенных решений.— М.: Мир, 1976.— 165 с.
6.	Литвинцева Л. В. Временно-логический анализ текста.— В кн.:
Теоретические проблемы ситуационного управления.— М.: АН СССР,
1975, с. 15—27.
7.	П о с п е л о в Д. А. Логико-лингвистические модели в системах управ-
ления.— М.: Энергоиздат, 1981.— 232 с.
8.	Ч е н ь Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказа-
тельство теорем,— М.: Наука, 1983.— 360 с.
9.	А 1 b е г t Р. The algebra of fuzzy logic.— Fuzzy Sets and Systems, 1978,
v. 1, p. 203—230.
10.	В a 1 d w i n J. F., Pilsworth B. Axiomatic approach to implication
for approximate reasoning with fuzzy logic.— Fuzzy Sets and Systems, 1980,
v. 3, No 2, p. 193—219.
11.	В a n d 1 e r W., К о h о u t L. J. Semantics of implication operators and
fuzzy relational products.— Report No. FRP-1, Department of Mathematics,
University of Essex, Colchester, 1979, 27 p.
12.	В e 11 m a n R. E., Zadeh L. A. Local and fuzzy logics.— In: Modern
uses of multiple-valued logics/Ed. by J. C. Dunn and G. Epstein. Rei-
del: Dordrecht, 1977, p. 103—165.
13.	D a v i о M., Thayse A. Representation of fuzzy functions.— Philips
Res. Rep., 1973, v. 28, p. 93—106.
14.	D u b о i s D., P r a d e H. Operations in a fuzzy-valued logic Inform
and Control, 1979, v. 43, p. 224—240.
15.	D u b о i s D., P r a d e H. Fuzzy sets and systems. Theory and applica-
tions.— New York: Academic Press, 1980.— 393 p.
16.	E r n s t C. J. An approach to management expert systems using fuzzy lo-
gic. In: Fuzzy Sets and Possibility Theory/Ed. by R. R. Yager. N. Y.: Per-
gamon Press, 1982, p. 204—210.
17.	Fukami S., Mizumoto M., Tanaka K. Some considerations on
fuzzy conditional inferences.— Fuzzy Sets and Systems 1980, v. 4, p. 243—
273.
К ГЛАВЕ 6
291
18.	Н а а с k S. Do we need fuzzy logic? — Int. J. Man-Machine Studies, 1979,
v. 11, p. 437—445.
19.	К a n d e 1 A. Comment on „minimization of fuzzy functions".— IEEE
Trans. Comput., 1972, v. C-22, p. 217.
20.	К a n d e 1 A. Comments on an algorithm that generates fuzzy prime impli-
cants by Lee and Chang.— Inf. Control, 1973, v. 22, p. 279—282.
21.	К a nd el A. On minimization of fuzzy functions.— IEEE Trans. Comput.,
1973, v. C-22, p. 826—832.
22.	К a n d e 1 A. On the minimization of uncompletely specified fuzzy func-
tions.— Inf. Control, 1974, v. 26, p. 141—153.
23.	К a n d e 1 A. Inexact switching logic.— IEEE Trans. Syst., Man Cybern.,
1976, v. 6, p. 215—219.
24.	К a n d e 1 A., Lee S. C. Fuzzy switching and automata: Theory and
applications.— New York: Crane. Russak & Comp., 1979.— 303 p.
25.	К i с к e r t W. J. M. Fuzzy theories on decision-making.— Leiden: Marti-
nus Nijhoff, 1978 — 182 p.
26.	К i с к e r t W. J. M., M a m d a n i E. H. Analysis of a fuzzy logic control-
ler.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 29—44.
27.	К i с к e r t W. J. M., Van N a u t a Lemke H. R. Application of a
fuzzy controller in a warm water plant.— Automatica, 1976, v. 12, p. 301—
308.
28.	Lee E. T. Comments on two theorems by Kandel.— Inf. Control 1977,
v. 35, p. 106—108.
29.	Lee R. С. T. and Chang C. L. Some properties of fuzzy logic.— Inf.
Control, 1971, v. 19, p. 417—431.
30.	Lee R. С. T. Fuzzy logic and the resolution principle.— J. Assoc. Comput.
Machinery, 1972, v. 19, No 1, p. 109—119.
31.	Liu H u - h u a. Lack semantic resolution principle in fuzzy logic. Part I,—
Acta of Jilin Univers., 1978, p. 68—74.
32.	L i u H u - h u a. Lack semantic resolution principle in fuzzy logic.
Part II.— Acta of Jilin Univers., 1979, p. 114—120.
33.	M а с V i c a r-W h e 1 a n P. J. Fuzzy logic: an alternative approach.— In:
Proc, of 9th Int. Symp. on Multiple-Valued Logics; Bath., N. Y., 1979,
p. 152—158.
34.	M a m d a n i E. H. Applications of fuzzy algorithms for control of simple
dynamic plant.— IEEE Proc., 1974, v. 121, No 12, p. 1585—1588.
35.	M a m d a n i E. H. Advances in the linguistic synthesis of fuzzy control-
lers.— Int. J. of Man-Machine Studies, 1976, v. 8, p. 669—678.
36.	M a m d a n i E. H. Application of fuzzy logic to approximate reasoning
using linguistic systems.— IEEE Trans. Comput., 1977, v. 26, p. 1182—
1191.
37.	M a m d a n i E. II. and A s s i 1 i a n S. An experiment in linguistic syn-
thesis with a fuzzy logic controller.— Int. J. Man-Machine Studies, 1975,
v. 7, p. 1—13.
38.	M a m d a n i E. N., S e m b i B. S. On the nature of implication in fuzzy
logic.— In: Proc. 9th Int. Symp. Multiple-Valued Logics Bath. New York,
1979, p. 143—151.
39.	M i z u m о t о M. Fuzzy reasoning with a fuzzy conditional proposition
«IL .. then ... else...».— In: Fuzzy Sets and Possibility Theory/Ed. by
R. R. Yager. New York: Pergamon Press, 1982, p. 211—223.
40.	Mizumoto M., F u к a m i S., Tanaka K. Fuzzy conditional inferen-
ces and fuzzy inferences with fuzzy quantifiers.— In: Proc. Int. Conf, on
Artif. Intell., Tokyo, 1979, p. 20—23.
41.	Mizumoto M., Fukami S., Tanaka K. Several methods for fuzzy
conditional inferences.— In: Proc, of 18 IEEE Conference on Decision and
Control. Fort Lauderdale, Florida, Dec. 12—14, 1979, p. 372—376.
42.	Mizumoto M., Fukami S., Tanaka K. Some methods of fuzzy
reasoning.— In: Advances in Fuzzy Set Theory and Applications/Ed. by
M. M. Gupta et al. Amsterdam: North-Holland, 1979.
292
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
43.	М i z u m о t о М., Tanaka К. Some properties of fuzzy sets of ty-
pe 2.— Inform. Contr., 1976, v. 31, p. 312—340.
44.	Mizumoto M., Zimmermann H. J. Comparison of fuzzy reasoning
methods.— Fuzzy Sets and Systems, 1982, v. 8, p. 253—283.
45.	M о i s i 1 G. C. La logique des concepts nuances.— In: Essais sur les lo-
giques non-chrysipiennes. Bucharest: Academic de la republique socia-
lists de Roumanie, 1972, p. 157—163.
46.	M u k a i d о n о M. On some properties of fuzzy logic.— Syst.— Comput.—
Control., 1975, v. 6, No 2, p. 36—43.
47.	M u k a i d о n о M. An algebraic structure of fuzzy functions and its mi-
nimal and irredundant form.— Syst.— Comput— Control, 1975, v. 6, No 6.
p. 60—68.
48.	N e f f T. P., К a n d e 1 A. Simplification of fuzzy switching functions.—
Int. J. Comput. Inf. Sci., 1977, v. 6, No 1, p. 55—70.
49.	N e g о i t а С. V., R a 1 e s c u D. A. Applications of fuzzy sets to sys-
tems analysis.— Basel: Birkhauser Verlag, 1975.— 190 p.
50.	N e g о i t а С. V., R a 1 e s c u D. A. Comment on a comment on an algo-
rithm that generates fuzzy implicants by Lee and Chang.— Inf. Control.
1976, v. 30, p. 199—201.
51.	О k a m о t о M. B. A measure of closeness of weak implication for strict
implication.— In: Proc. Int. Conf, on Artificial Intell. Tokyo, 1979, p. 96—
106.
52.	P r a d e H., T e s t e m a 1 C. Generalizing database relational algebra for
the treatment of incomplete/uncertain information and vague queries.— In:
Proceedings of the 2nd NAFIP Workshop, N. Y., 1983.
53.	S i у P., Chen C. S. Minimization of fuzzy functions.— IEEE Trans, on
Computers, 1972, v. C-21, p. 100—102.
54.	S k a 1 a H. J. On many-valued logics, fuzzy sets, fuzzy logics and their
applications.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 129—149.
55.	Wen stop F. Deductive verbal models of organization.— Int. J. of Man-
Machine Studies, 1976, v. 8, p. 293—311.
56.	Y a g e r R. R. A note on fuzziness in a standard uncertainty logic.— IEEE
Trans, on Systems, Man and Cybernetics, 1979, v. SMC-9, No 7, p. 388—392.
57.	Z a d e h L. A. Calculus of fuzzy restrictions.— In: Fuzzy Sets and Their
Applications to Cognitive and Decision Processes/Ed. by L. A. Zadeh et al.
New York: Academic Press, 1975, p. 1—39.
58.	Z a d e h L. A. Fuzzy logic and approximate reasoning.— Synthese, 1975,
v. 80, p. 407—428.
59.	Zadeh L. A. A theory of approximate reasoning (AR).— Machine Intel-
ligence, 1979, v. 9, p. 149—194.
60.	Z a d e h L. A. Approximate reasoning in fuzzy logic.— In: Proc. Int. Conf,
on Artif. Intell., Tokyo, 1979.
61.	Z a d e h L. A. Test-score semantics for natural languages and meaning
representation via PRUF.— Al Center, SRI Internationai, California, Tech-
nical Note 247, 1981.
К главе 7
1.	Гинзбург С. Лекции о контекстно-свободных языках.— В кн.: Алгеб-
раическая теория автоматов, языков и полугрупп/Под ред. Н. А. Арбиба.
М.: Статистика, 1975, с. 298—310.
2.	Димитров В. Неформальная теория нечеткого управления с прило-
жениями.— Автореферат диссертации на соискание ученой степени док»
тора физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР, 1979.— 30 с.
3.	3 а х а р о в В. Н. Автоматы с распределенной памятью.— М.: Энергия,
1975,— 136 с.
4.	Фрумкина Р. Н., Василевич А. П. Получение оценок вероятно-
стей слов психометрическими методами.— В кн.: Вероятностное прогно-
зирование в речи. М.: Наука, 1971.
К ГЛАВЕ 7
293
5.	С h a n g S. К. On the execution of fuzzy programs using finite state ma-
chines.— IEEE Trans, on Computers 1972, v. C-21, p. 241—253.
6.	D a 1C i n M. Fuzzy-state automata, their stability and fault tolerance.—
Int. J. Comp. Inf. Sciences, 1974, v. 4, p. 63—80.
7.	D u b о i s D., Prade H. Fuzzy sets and systems. Theory and applicati-
ons.— N. Y.: Academic Press, 1980.— 393 p.
8.	D e P a 1 m e G. F., Yau S. S. Fractionally fuzzy grammars with appli-
cation to pattern recognition.— In: Fuzzy Sets and Their Applications to
Cognitive and Decision Processes/Ed. by L. A. Zadeh. New York: Academic
Press, 1975, p. 329—351.
9.	G a i n e s B. R., К о h о u t L. J. The logic of automata.— Int. J. General
Systems, 1976, v. 2, p. 191—208.
10.	Honda N., Nasa M., Hi rose S. F-recognition of fuzzy languages.—
In: Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta, G. N. Sa-
ridis and B. R. Gaines. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1977,
p. 149—168.
И. К a nd el A. Codes over languages.— IEEE Trans, on Systems, Man and
Cybernetics, 1974, v. SMC-4, p. 135—138.
12.	L e e E. T., Zadeh L. A. Note on fuzzy languages.— Inf. Sci., 1969, v. 1,
p. 421-434.
13.	M i z u m о t о M., Tanaka K. Fuzzy-fuzzy automata.— Kybernetes, 1976,
v. 5, p. 103—112.
14.	M i z u m о t о	M., T о у о d a	J.,	Tanaka	K.	Some considerations on
fuzzy automata.— J. Comput. Syst. Sci., 1969, v. 3, p. 409—422.
15.	Mizumoto	M., Toyoda	J.,	Tanaka	K.	Fuzzy languages.—Syst.
Comput. Controls 1970, v. 1, p. 36—43.
16.	M i z u m о t о M., Toyoda J., Tanaka K. General formulation of
formal grammars.— Inf. Sci., 1972, v. 4, p. 87—100.
17.	M i z u m о t о M., Toyoda J., Tanaka K. N-fold fuzzy grammars.
Inf. Sci., 1973, v. 5, p. 25—43.
18.	N a s u M., Honda N. Fuzzy events realized by finite probabilistic
automata.— Inf. and Contr., 1968, v. 12, p. 284—303.
19.	N e g о i t а С. V., R a 1 e s c u D. A. Applications of fuzzy sets to systems
• analysis.— Basel and Stuttgart: Birkhauser Verlag, 1975.— 190 p.
20.	S a n t о s E. S. Maximin automata.— Inf. and Control, 1968, v. 13, p. 363—
377.
21.	S a n t о s E. S. Maximum sequential-like machines and chain.— Math.
Syst. Theory; 1969, v. 3, p. 300—309.
22.	S a n t о s E. S. Max-product machines.— J. Math. AnaL Appl., 1972,
v. 37, p. 677—686.
23.	S a n t о s E. S. Context-free fuzzy languages.— Inf. and Control, 1974,
v. 26, p. 1—11.
24.	S a n t о s E. S. Max-product grammars and languages.— Inf. Sci. 1975,
v. 9, p. 1—23.
25.	S a n t о s E. S. Realization of fuzzy languages by probalistic, max-pro-
duct and maximum automata.— Inf. Sci., 1975, v. 8, p. 39—53.
26.	S a n t о s E. S. Fuzzy automata and languages.— Inf. Sci., 1976, v. 10,
p. 193-197.
27.	S a n t о s E. S. Regular fuzzy expressions.— In: Fuzzy Automata and De-
cision Processes/Ed. by M. M. Gupta, G. N. Saridis and B. R. Gaines. Ams-
terdam: North-Holland, 1977, p. 169—175.
28.	T h о m a s о n M. G. Finite fuzzy automata, regular fuzzy languages and
pattern recognition.— Pattern Recognition, 1975, v. 5, p. 383—390.
29.	T h о m a s о n M. G., M a r i n о s P. N. Deterministic acceptors of regu-
lar fuzzy languages.— IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics, 1974,
v. 4, p. 228—230.
30.	W e c h 1 e r W. The concept of fuzziness in automata and language theo-
ry.— Berlin: Akademic Verlag, 1978.— 170 p.
294
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
31.	W е с h 1 е г W., Dimitrov V. R-fuzzy automata.— Inf. Process. 74
Proc. IFIP Congr., 1974, p. 657—660.
32.	Wee W. G., F u K. S. A formulation of fuzzy automata and its applica-
tion as a model of learning system.— IEEE Trans, on Systems Science and
Cybernetics, 1969, v. 5, p. 215—223.
33.	Y n a g a k i Y., F u k u m u r a T. On the description of fuzzy meaning of
context-free languages.— In: Fuzzy Sets and Their Application to Cogni-
tive and Decision Processes. N. Y.: Academic Press, 1975, p. 301—328.
34.	Zacharov V. N., Pospelov D. A. Fine unscharte zeitliche Logik
und ihre Anwendung zur Analyse und Synthese von Automaton.— In: Dy-
namische Prozesse in Automaton. Herausgegeben von D. Bochmann und
V. N. Roginskij. Berlin Veb. Verlag Technik, 1977, p. 86—94.
35.	Zadeh L. A. Quantitative fuzzy semantics.— Inf. Sci,, 1971, v. 3, p. 159—
176.
36.	Z a d e h L. A. Fuzzy languages and their relations to human and ma-
chine intelligence.— In: Proc, of Man Comput. Int. Conf. (Bordeaux, 1970).
Basel: S. Karger, 1972, p. 130-165.
37.	Zadeh L. A. Outline of a new approach to the analysis of complex sys-
tems and decision processes.— IEEE Trans, on Systems, Man and Cyber-
netics, 1973, v. 2, p. 28—44.
К главе 8
1.	Б л и ш у н А. Ф. Истинность сходства нечетких множеств.— Проблемы
управления и теории информации, 1980, т. 9, № 5, с. 381—392.
2.	Б л и ш у н А. Ф. Формирование отношения предпочтения по расплыв-
чатым описаниям.— Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1981, № 2,
с. 204—210.
3.	Б л и ш у н А. Ф., Шапиро Д. II. Принятие решений на основе линг-
вистического представления ситуационных данных и критериев.— Пзв.
АН СССР. Техническая кибернетика, 1981, № 5, с. 212—217.
4.	Б о н г а р д М. М. Проблема узнавания.— М.: Наука, 1967.— 320 с.
5.	Г р а н о в с к а я Р. М., Б е р е з н а я Н. Я. Запоминание и узнавание
фигур,— Л., 1974.
6.	3 а д е Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и про-
цессов принятия решений.— В кн.: Математика сегодня/Сост. Шилей-
ко А. В. М.: Знание, 1974, с. 5—49.
7.	3 а д е Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений.— М.: Мир, 1976,— 165 с.
8.	3 а д е Л. А. Тени нечетких множеств.— Проблемы передачи информа-
ции, 1966, т. 2, стр. 37—44.
9.	К а и п о в В. X., С е л ю г и н А. А. Об алгоритме классификации рас-
плывчатых ситуаций.— В кп.: Методы принятия решений в условиях
неопределенности. Рига: РПИ, 1980, с. 36—39.
10.	К р и н и ц к и й Н. А. Алгоритмы.— В кн.: Энциклопедия кибернетики.
Киев: АН СССР, 1975, с. 94—95.
11.	Марков А. А. Теория алгоритмов.— В кн.: Труды математического
института. М.: АН СССР, 1954, т. 42.
12.	Н и л ь с о н Н. Дж. Обучающиеся машины.— М.: Мир, 1967.
13.	Поспелов Д. А. Большие системы (ситуационное управление).— М.:
Знание, 1975.— 64 с.
14.	Ф у К. Структурные методы в распознавании образов.— М.: Мир, 1977.
15.	Ш а п и р о Д. И., Б л и ш у н А. Ф. Нечеткая поверхность принадлеж-
ности как средство формального представления критериев.— В кн.: Уп-
равление при наличии расплывчатых категорий: Тезисы IV научно-тех-
нического семинара. Фрунзе: ИЛИМ, 1981, с. 48—50.
16.	III а п и р о Д. И., Б л и ш у н А. Ф. Нечеткие оценки в процедуре фор-
мализации критериев.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых
К ГЛАВЕ 8
295
категорий: Тезисы V научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС,
1982, с. 35—38.
17.	Ц ы п к и н Я. 3. Основы теории обучающихся систем,— М.: Наука, 1970.
18.	A s a i К., К i t a j i m a S. A method for optimizing control of multimodal
systems using fuzzy automata.— Information Sciences, 1971, v. 3, p. 343—
353.
19.	A s a i К., К i t a j i m a S. Learning control of multimodal systems by
fuzzy automata.— In: Pattern Recognition and Machine Learning/Ed. by
K. S. Fu. New York: Plenum Press, 1971, p. 195—203.
20.	В 1 i s h u n A. F. Fuzzy adaptive model of decision-making process.—
BUSEFAL, 1984, No 19, p. 129—139.
21.	В r a a e M., Rutherford D. A. Selection of parameters for a fuzzy
logic controller.— Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2,.p 185—199.
22.	В r a a e M., Rutherford D. A. Theoretical and linguistic aspects of a
fuzzy logic controller.— Automatica, 1979, v. 15, p. 553—577.
23.	C h a n g C. L. Interpretation and execution of fuzzy programs.— In: Fuzzy
Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes/Ed. by
L. A. Zadeh et al. New York: Academic Press, 1975, p. 191—218.
24.	Chang S. K. On the execution of fuzzy programs using finite state ma-
chines.— IEEE Transactions on Computers, 1972, v. C-21, p. 241—253.
25.	Efstathiou L, Rajkovic V. Multiattribute decision — making using
a fuzzy heuristic approach.— IEEE Trans, on Systems, Man and Cybern.,
1979, v. SMC-9, No 6, p. 326—333.
26.	F u K. S. Learning with stochastic automata and stochastic languages.—
In: Computer Oriented Learning Process/Ed. by I. C. Simon. Leiden: Marti-
nus Nijhoff, 1976, p. 66—107.
27.	F u K. S., Li T. J. Formulation of learning automata and automata ga-
mes.— Inf. Sci. 1969, No 1, p. 237—256.
28.	G u p t a M. M., R a g a d e R. K., Yager R. R. Advances in fuzzy set
theory and applications. Amsterdam: North-Holland, 1979.— 814 p.
29.	J a r v i s R. A. Optimization strategies in adaptive control. A selective
survey.— IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics, 1975, v. SMC-5,
p. 83—94.
30.	К i c k e r t W. J. M. An example of linguistic modelling: the case of Mul-
der’s theory of power.— In: Advances in Fuzzy Set Theory and Applica-
tions/Ed. by M. M. Gupta, R. K. Ragade, R. R. Yager. Amsterdam: North-
Holland, 1979, p. 519—540.
31.	К i c k e r t W. J. M., Van Nauta Lemke H. R. Application of a
fuzzy controller in a warm water plant.— Automatica, 1976, v. 12, p. 301—
308.
32.	К i c k e r t W. J. M., M a m d a n i E. H. Analysis of a fuzzy logic cont-
roller.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 29—44.
33.	К i n g P. J., M a m d a n i E. H. The application of fuzzy control sys-
tems.— In: Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta,
G. Saridis, B. Gaines. Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 321—330.
34.	К i t a j i m a S., A s a i K. A method of learning control varying search
domain by fuzzy automata.— In: Learning Systems and Intelligent Ro-
bots/Ed. by K. S. Fu, J. T. Tou. N. Y.: Plenum Press, 1974, p. 249—262.
35.	M a m d a n i E. H. Applications of fuzzy algorithms for control of simple
dynamic plant.— In: Proc. IEEE 1974, v. CS-121, p. 1585—1588.
36.	M a m d a n i E. H. Applications of fuzzy sets theory to control systems:
a survey.— In: Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta,
G. Saridis, B. Gaines. Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 77—88.
37.	M a m d a n i E. H., A s s i 1 i a n S. An experiment in linguistic synthesis
with a fuzzy logic controller.— International Journal of Man-Machine
Studies, 1975, v. 7, p. 1—13.
38.	M a m d a n i E. H., В a a k 1 i n i N. Prescriptive methods for deriving cont-
rol policy in a fuzzy logic controller.— Electron. Lett. 1975, v. 11, p. 625—
626.
296
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ЗУ- Ostergaard J. J. Fuzzy logic control of a heat exchanger process.— In:
Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta, B. Gaines,
G. Saridis. New York: Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 285—320.
40.	P г о с у k M. T. I. A self-organizing controller for single input-single
output systems.— Res. Rep. No 6, Fuzzy Logic Working Group. Queen Ma-
ry Coll. London, 1977.
41.	S a n t о s E. S. Fuzzy algorithms.— Information and Control, 1970, v. 17,
p. 326—339.
42.	S a n t о s E. S. Fuzzy and probabilistic programs.— In: Fuzzy Automata
and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta, G. Saridis, B. Gaines. Amster-
dam: North-Holland, 1977, p. 133—147.
43.	S a n t о s E. S., Wee W. G. General formulation of sequential machi-
nes.— Inf. and Contr. 1968, v. 12, No 1, p. 5—10.
44.	S a r i d i s G. N., Stephanou H. E. Fuzzy decision-making in pros-
thetic devices.— In: Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by
M. M. Gupta, Saridis G. N. and B. R. Gaines. Amsterdam: North-Holland,
1977, p. 384-402.
45.	S e i f A., A gu i 1 a r-M a r t i n J. Multigroup classification using fuz-
zy correlation.— Fuzzy Sets and Systems, 1980, v. 3, p. 109—122.
46.	S e r i z a w a M. A search technique of control rod pattern for smoothing
core power distributions by fuzzy automaton.— J. Nucl. Sci. Teclmol.,
1973, v. 10, p. 195—201.
47.	S u g e n о M., Terano T. A model of learning based on fuzzy informa-
tion.— Kybernetes, 1977, v. 6, p. 157—166.
48.	T a n a k a K., Mizumoto M. Fuzzy programs and their execution.— In:
Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Processes/Ed.
by L. A. Zadeh et al. N. Y.: Academic Press, 1975, p. 41—76.
49.	T a z a k i E., A m a g a s a M. Heuristic structure synthesis in a class
of systems using a fuzzy automaton.— In: Proc. IEEE Conf. Decision Cont-
rol. New Orlean, 1977, p. 1414—1418.
50.	Terano T., Sugeno M. Macroscopic optimization using conditional
fuzzy measures.— In: Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by
M. M. Gupta, Saridis G,, Gaines B. R. Amsterdam: North-Holland, 1977,
p. 197—208.
51.	Tong R. M. The construction and evaluation of fuzzy models.—In: Ad-
vances in Fuzzy Set Theory and Applications/Ed. by M. M. Gupta, R. K. Ra-
gade, R. R. Yager. Amsterdam: North-Holland, 1979, p. 559—576.
52.	T u r i n g A. M. On computable numbers with an application to the ent-
scheidung’s problem.— Proc. London Math. Soc., 1936, ser. 242, p. 230—263.
53.	U r a g a in i M., Mizumoto M., Tanaka K. Fuzzy robots control.—
Journal of Cybernetics, 1976, v. 6, p. 39—64.
54.	Wee W. G., F u K. S. A formulation of fuzzy automata and its applica-
tion as model of learning systems.— IEEE Transactions on Systems, Man
and Cybernetics, 1969, v. SMC-5, p. 215—223.
55.	Zadeh L. A. Fussy algorithms.— Information and Control, 1968, v. 12,
p. 94-102.
К главе 9
1.	А в e p к и н A. H. Нечеткая модель обобщенного решателя проблем.—
Семиотика и информатика. Вып. 12. М.: ВИНИТИ, 1979, с. 103—108.
2.	А л е к с е е в А. В. Разработка принципов применения теории нечет-
ких множеств в ситуационных моделях управления.— Автореферат дис-
сертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Ри-
га: РПИ, 1979 — 20 с.
3.	А л е к с е е в А. В. Лингвистические модели принятия решений в не-
четких ситуационных системах управления.— В кн.: Методы принятия
решений в условиях неопределенности. Рига: РПИ, 1980, с. 17—23.
К ГЛАВЕ 9
297
4.	Алексеев А. В., Борисов А. Н. Модели нечетких статистических
и динамических отношений в ситуационных моделях управления орга-
низационными системами.— В кн.: Управление сложными системами,
вып. 5, Рига: РПИ, 1978, с. 81—88.
5.	А л е к с е е в А. В., Шапиро Д. И. Практическое применение теории
нечетких множеств для принятия решений в АСУ.— В кн.: Методы и
модели анализа решений. Рига: РПИ, 1981, с. 141—148.
6.	Б л и ш у н А. Ф. Истинность сходства нечетких множеств— Problems
of Control and Information Theory, 1980, v. 9, No 5, p. 381—392.
7.	Б л и ш у н А. Ф. Формирование отношения предпочтения по расплыв-
чатым описаниям.— Известия АН СССР: Техническая кибернетика, 1981,
№ 2, с. 204—210.
8.	Б лишу н А. Ф., Ч ушко в а И. С., Шапиро Д. И. Об одной моде-
ли принятия решения, основанной на расплывчатых представлениях.—
Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1979, № 5.
9.	Б л и ш у н А. Ф., Шапиро Д. И. Принятие решений на основе линг-
вистического представления ситуационных данных и критериев.— Изве-
стия АН СССР: Техническая кибернетика, 1981, № 5, с. 212—217.
10.	Б о р и с о в А. Н. Анализ решений и теория нечетких множеств.— В кн.:
Методы и модели анализа решений. Рига: РПИ, 1981, с. 5—10.
11.	Б о р и с о в А. Н. Оценка альтернатив на основе величин ожидаемой
возможности и определенности.— В кн.: Управление при наличии рас-
плывчатых категорий: Тезисы VI научно-технического семинара. Пермь:
НИИУМС, 1983, с. 14—17.
12.	Б о р и с о в А. И., А п п е н Е. П. Оценка возможностных характери-
стик при анализе альтернатив.— В кн.: Методы принятия решений в
условиях неопределенности. Рига: РПИ, 1980, с. 91—98.
13.	Б о р и с о в А. Н., Корнеева Г. В. Лингвистический подход к по-
строению моделей принятия решений в условиях неопределенности.—
В кн.: Методы принятия решений в условиях неопределенности. Рига:
РПИ, 1980, с. 4—11.
14.	Б о р и с о в А. Н., К р у м б е р г О. А. Применение теории возможно-
сти в оценке альтернатив.— В кн.: Методы и системы принятия реше-
ний. Рига: РПИ, 1979, с. 30—37.
15.	Б о р и с о в А. Н., К р у м б е р г О. А. Выбор технологических реше-
ний при нечетких ограничениях.— В кн.: Обработка информации и при-
нятие решений в условиях неопределенности. Фрунзе: Илим, 1980,
с. 87-95.
16.	Б о р и с о в А. Н., К р у м б е р г О. А. Задачи оценки и выбора аль-
тернатив с учетом возможности событий.— В кн. Методы и модели
анализа решений. Рига: РПИ, 1981, с. 31—43.
17.	Борисов А. И., Меркурьева Г. В. Формирование и свойства линг-
вистических лотерей в моделях анализа решений.— В кп.: Принятие
решений в условиях нестатистической неопределенности. Рига: РПИ,
1982, с. 19—26.
18.	Б о р и с о в А. Н., Попов В. А. Восстановление функции полезности
и лингвистическая оценка истинности предпочтений.— В кп.: Методы
принятия решений в условиях неопределенности. Рига: РПИ, 1980,
с. 30—35.
19.	Б о р и с о в А. И., Попов В. А. Анализ решений на множестве дина-
мических альтернатив с учетом истинности описаний— В кн: Методы и
модели анализа решений. Рига: РПИ, 1981, с. 11—23.
20.	Б о р и с о в А. И., Фомин С. А. Восстановление субъективных зави-
симостей для анализа решений в иерархических системах.— В кн.: Ме-
тоды и модели анализа решений. Рига: РПИ, 1981, с. 58—67.
21.	В а ч и а д з е Р. Г., М а р к о з а ш в и л и И. И. К принятию ре-
шений в размытой среде.— Сообщения АН ГССР, 1974, т. 74, № 1^
с. 157—160.
298
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
22.	В а ч н а д з е Р. Г., М е т р е в е л и Д. Г. Применение концепции нечет-
ких решений в многокритериальных задачах с конусным упорядоче-
нием.— В кн.: Методы принятия решений в условиях неопределенно-
сти. Рига: РПИ, 1980, с. 40—46.
23.	Вопросы анализа и процедуры принятия решений.— М.: Мир, 1976.—
230 с.
24.	Д и ш к а н т Г. П. Формализация мягкой конъюнкции теории приня-
тия приближенных решений.— В кн.: Математические методы оптими-
зации и структурирования систем. Калинин: КГУ, 1979, с. 98—105.
25.	Е ж к о в а И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при нечетких
основаниях.— Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1977, № 6,
с. 3—11; 1978, № 2, с. 5—11.
26.	Ж у к о в и н В. Е. Многокритериальные задачи принятия решений при
неопределенности.— В кн.: Методы принятия решений в условиях не-
определенности. Рига: РПИ, 1980, с. 63—68.
27.	Ж у к о в и н В. Е. Модели и процедуры принятия решений. Тбилиси:
Мецниереба, 1981.— 110 с.
28.	Ж у к о в и н В. Е. Многокритериальные модели принятия решений с
неопределенностью.— Тбилиси: Мецниереба, 1983.— 105 с.
29.	Ж у к о в и н В. Е., К о р е л о в Э. С., Бурштейн Ф. В. Принятие
решений по многим критериям эффективности и нечеткие множества.—
В кн.: Труды Института кибернетики АН ГССР, т. I, Тбилиси, 1977,
с. 317—326.
30.	Ж у к о в и н В. Е. и др. Об одном подходе к задачам принятия реше-
ний с позиции теории нечетких множеств.— В кн.: Методы принятия
решений в условиях неопределенности. Рига: РПИ, 1980, с. 12—16.
31.	3 а д е Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и про-
цессов принятия решений.— В кн.: Математика сегодня. М.: Знание,
1974, с. 5—49.
32.	3 а д е Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение
к принятию приближенных решений.— М.: Мир, 1976.—165 с.
33.	3 у б к о в Ю. С. Стратегия принятия решений при автоматизации про-
ектных процедур.— В кн.: Принятие решений в условиях нестатисти-
ческой неопределенности. Рига: РПИ, 1982, с. 27—34.
34.	К о в а л е р ч у к Б. Я. О корректности применения и обосновании тео-
рии размытой оптимизации.— Известия АН УзССР, серия техн, наук,
1981, № 5, с. 7—12.
35.	Козелецкий Ю. Психологическая теория решений.— М.: Прогресс,
1979.— 504 с.
36.	К о з и н А. Н., Ф а б р и к о в а Е. Р. Формирование одного класса не-
четких альтернатив с использованием диалоговой системы.— В кн.:
Методы и системы принятия решений. Прикладные задачи анализа
решений в организационно-технических системах. Рига: РПИ, 1983,
с. 33—37.
37.	К о м о л о в С. В., Макеев С. П., Серов Г. П., П1 а х н о в И. Ф.
О задаче оптимального управления конечным автоматом с расплывча-
тыми ограничениями и целью.— Кибернетика, 1979, № 6, с. 30—34.
38.	Крумберг О. А. Теория психологической возможности для модели-
рования выбора в условиях неопределенности.— В кн.: Методы при-
нятия решений в условиях неопределенности. Рига: РПИ, 1980,
с. 47—52.
39.	К р у м б е р г О. А., Пономарев Ю. П. Противоборство динамиче-
ских объектов и теория возможности.— В кн.: Принятие решений в
условиях нестатистической неопределенности. Рига: РПИ, 1982, с. 49—56.
40.	К у з ь м и н В. Б. Построение групповых решений в пространствах
четких и нечетких бинарных отношений.— М.: Наука, 1982.—168 с.
41.	Кузьмин В. Б. О выборе на основе нечетких предпочтений.— В кн.:
Принятие решений в условиях нестатистической неопределенности.
Рига: РПИ, 1982, с. 13—18.
К ГЛАВЕ 9
299
42.	Л е в и а то в А. Ю. Принятие решений об оценке качества сложных
объектов при нечетких основаниях.— Известия АН СССР: Техническая
кибернетика, 1980, № 1, с. 190—195.
43.	М а к е е в С. П., Серов Г. П., Ш а х н о в И, Ф. Аппроксимация
бинарных расплывчатых отношений и последовательная оптимизация
на взвешенных графах. Препринт.— М.: Вычислительный Центр АН
СССР, 1980,— 66 с.
44.	Меркурьева Г. В. Диалоговая система построения и анализа линг-
вистических лотерей.— В кн.: Методы и системы принятия решений:
Прикладные задачи анализа решений в организационно-технических
системах. Рига: РПИ, 1983, с. 27—32.
45.	Модели принятия решений на основе лингвистической переменной/
А. Н. Борисов, А. В. Алексеев, О. А. Крумберг и др.— Рига: Зинатне,
1982,— 256 с.
46.	М о р о з о в А. В. Некоторые проблемы теории решений.— Экономика
и математические методы, 1975, № 11, с. 252—262.
47.	Н е г о й ц э К. Применение теории систем к проблемам управления.—
М.: Мир, 1981.— 180 с.
48.	Н е г о й ц э К. В., С у л а р и я М., Ф л о н д о р П. Проблемы оптими-
зации в размытых условиях.— Автоматика и телемеханика, 1978, № 3,
с. 121—130.
49.	О р л о в с к и й С. А. Об одной задаче принятия решений в нечетно
определенной обстановке.— В кн.: Проблемы прикладной математики.
Иркутск: Сибирский энерг. ин-т, 1975, с. 85—91.
50.	Орловский С. А. Добавление.— В кн.: Попятие лингвистической
переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.:
Мир, 1976, с. 150—161.
51.	О р л о в с к и й С. А. Игры в нечетко определенной обстановке.— ЖВМ
и МФ, 1976, № 16, с. 1427—1435.
52.	О р л о в с к и й С. А. Нечеткие отношения предпочтения в задачах
принятия решений.— В кн.: Математические методы оптимизации и
структурирования систем. Калинин: КГУ, 1980.
53.	О р л о в с к и й С. А. Проблемы принятия решения при нечеткой ис-
ходной информации.— М.: Наука, 1981.— 208 с.
54.	П е т р о в Б. Н., Уланов Г. М., Г о л ь д е н б л а т И. И., Улья-
нов С. В. Теория моделей в процессах управления.— М.: Наука, 1978»
с. 132—153.
55.	П о с п е л о в Д. А. Ситуационное управление: Теория и практика.— М.:
Наука, 1986.— (Проблемы искусственного интеллекта).
56.	С в а р о в с к и й С. Г. Некоторый класс нечетких моделей решения
ЛПР.— В кн.: Модели выбора альтернатив в нечеткой среде: Тези-
сы докладов Всесоюзного научного семинара. Рига: РПИ, 1980,
с. 89—91.
57.	Статистические модели и многокритериальные задачи принятия реше-
ний. Сб. статей/Составитель и научный редактор И. Ф. Шахнов.— М.,
1979.— 184 с.
58.	Т а р а с о в В. Б. Нечеткие множества типа 2 в описании индивидуаль-
ных предпочтений.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых
категорий: Тезисы V научно-технического семинара. Пермь: НИИУМС,
1982, с. 24—27.
59.	Т а р а с о в В. Б., Чернышев А. П. Нечеткие переменные в задачах
профотбора.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых категорий:
Тезисы VI научно-технического семинара. Пермь.: НИИ УМС, 1983,
с. 114—117.
60.	Т р у х а е в Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределен-
ности.— М.: Наука, 1981, с. 136—150.
61.	Холодков А. В. Задача векторной оптимизации с печеткоп информа-
цией о равноценности критериев.— Изв. АН УзССР. Серия техн, наук,
1979, № 5, с. 6—11.
300
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
62.	Ill а п и р о Л. И. О решении одного класса многокритериальных за-
дач.— В кн.: Многокритериальные задачи принятия решений. Под ре-
дакцией Д. М. Гвишиани и С. В. Емельянова. М.: Машиностроение,
1978, с. 169—184.
63.	Ш а п и р о Д. И. Расплывчатые интегральные игры.— В кн.: Методы и
системы принятия решений. Рига: РПИ, 1979, с. 57—63.
64.	Ш а п и р о Д. И. Принятие решений в системах организационного уп-
равления: использование расплывчатых категорий.— М.: Энергоатом-
издат, 1983.— 184 с.
65.	Ш а п и р о Д. И., Б л и ш у н А. Ф. Формализация процедуры выбора
в нечетких условиях.— В кн.: Управление при наличии расплывчатых
категорий. Пермь: НИИУМС, 1980, с. 59—62.
66.	Шер А. П. Решение задачи математического программирования с ли-
нейной целевой функцией в размытых ограничениях.— Автоматика и
телемеханика, 1980, № 7, с. 137—143.
67.	Я з е н и н А. В. Человеко-машинные процедуры в задачах принятия
решения с расплывчатыми целями.— В кн.: Математические методы
оптимизации и структурирования систем. Калинин: КГУ, 1979, с. 88—92.
68.	Я з е н и н А. В. Многокритериальная задача принятия решения с не-
четкой исходной информацией.— В кн.: Математические методы опти-
мизации и структурирования систем. Калинин: КГУ, 1980, с. 139—147.
69.	Я з е н и н А. В. Задача векторной оптимизации с нечеткими коэффи-
циентами важности критериев.— В кн.: Математические методы опти-
мизации и управления в сложных системах. Калинин: КГУ, 1981,
с. 38—51.
70.	Я з е н и н А. В. Задача векторной оптимизации с нечеткой информа-
цией о парных сравнениях коэффициентов важности критериев.— В кн.:
Математические методы оптимизации и управления в сложных систе-
мах. Калинин: КГУ, 1982, с. 28—32.
71.	Язенин А. В., Дишкант Г. П. Линейная задача принятия реше-
ния с расплывчатыми целями.— В кн.: Математические методы опти-
мизации и структурирования систем. Калинин: КГУ, 1979, с. 77—87.
72.	A d a m о J. М. Fuzzy decision trees.— Fuzzy Sets and Systems, 1980, v. 4,
p. 207—219.
73.	Approximate Reasoning in Decision Analysis/Ed. by M. M. Gupta and
E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland, 1982.— 453 p.
74.	Asai K., Tanaka H. On the fuzzy mathematical programming.— In:
Proceedings of the 3-rd IFAC Symposium on Identification and System
Parameter Estimation. Part 2. Amsterdam: North-Holland, 1973, p. 1050—
1051.
75.	A s a i K., Tanaka H., О k u d a T. Decision-making and its goal
in a fuzzy environment.— In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cog-
nitive and Decision Processes/Ed. by Г. A. Zadeh. K. S. Fu, K. Tanaka
and M. Shimura. New York: Academic Press, 1975, p. 257—277.
76.	A u b i n J. P. Theorie des jeux: coeur et valour des jeux flous a paiments
lateraux.— Comptes Rendus de 1’Academie des Sciences. Paris, serie A,
t. 279, 1974, p. 891—894.
77.	A u b i n J. P. Theorie des jeux: coeur et equilibres de jeux flous a
paiments latgraux.— Comptes Rendus de 1’Academie des Sciences. Paris,
1974, serie A, t. 279, p. 963—966.
78.	В a a s S. M., К w a k e г n a a k H. Rating and ranking of multiple-as-
pect alternatives using fuzzy sets.— Automatica, 1977, v. 13, p. 47—58.
79.	В a 1 d w i n J. F., Guild N. C. Comparison of fuzzy sets on the same
decision space.— Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, p. 213—231.
80.	В a p t i s t e i 1 a L. F., О 11 e г о A. Fuzzy methodologies for interactive
multicriteria optimization.— IEEE Transactions on Systems, Man and Cy-
bernetics, 1980, v. SMC-10, No. 7, p. 355—365.
81.	В e 11 m a n R., G i e г t z M. On tne analytical formalism of the theory
of fuzzy sets.— Information Sciences, 1973, v. 5, p. 149—156.
К ГЛАВЕ 9
301
82.	В е 11 m а n В., Zadeh L. A. Decision-making in a fuzzy environ-
ment.— Management Science, 1970, v. 17, p. 141—162.
83.	В e z d e k J. C., Spillman B. and Spillman B. A fuzzy relation
space for group decision theory.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1,
p. 255—268; 1979, v. 2, p. 5—14.
84.	Blin J. M. Fuzzy relations in group decision theory.— Journal of Cyber-
netics, 1974, v. 4, p. 17—22.
85.	В 1 i n J. M., Wliins ton A. B. Fuzzy sets and social choice.— Journal
of Cybernetics, 1974, v. 3, p. 28—36.
86.	В 1 i s h u n A. F. Fuzzy adaptive model of decision-making process.—
BUSEFAL, 1948, No 19, Ete p. 129—130.
87.	В о n i s s о n e P. A fuzzy sets based linguistic approach: theory and
applications.— In: Approximate Beasoning in Decision Analysis/Ed. by
M. M. Gupta and E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp.,
1982, p. 329—340.
88.	Borisov A., Krumberg 0. A theory of possibility for decision —
making.— Fuzzy Sets and Systems, 1983, v. 9, p. 13—24.
89.	В о r i s о v A., Merkuryeva G. Linguistic preference relations mo-
deling in the decision-making problem.— In: Progress in Cybernetics
and Systems Besearch/Ed. by B. Trappl et al. Washington: Hemisphere
Publ. Corp., 1982, v. 11, p. 269—274.
90.	В о r i s о v A., Merkuryeva G. Linguistic lotteries-construction and
properties.— BUSEFAL, 1982, Ete, No 11, p. 39—46.
91.	В о r i s о v A., M e r k u г у e v a G. Methods of utility evaluation in de-
cision-making problems under fuzziness and randomness.— In: Fuzzy
Information, Knowledge Bepresentation and Decision Analysis. Preprints
of IFAC Symp./Ed. by E. Sanchez, M. M. Gupta. Marseille: Univ. AIX-Mar-
seille, 11, 1983, p. 318—323.
92.	Buckley J. J. Fuzzy programming and the Pareto optimal set.— Fuzzy
Sets and Systems, 1983, v. 10, p. 57—64.
93.	В u t n a r i u D. Fuzzy games: a description of the concept.— Fuzzy Sets
and Systems, 1978, v. 1, p. 181—192.
94.	Capocelli B., De Luca A. Fuzzy sets and decision theory.— Infor-
mation and Control, 1973, v. 23, p. 446—473.
95.	Cerny M., Gluckaufova D. Vyuzity mlhavych mnozin pri rozho-
dovani podle vice hledisek.— Econ. Mat. Obz., 1978, v. 14, p. 1—25.
96.	Chang S. S. L. Fuzzy dynamic programming and the decisionmaking
process.— In: Proceedings of the 3-rd Princeton Conference on Informa-
tion Science and Systems, 1969, p. 200—203.
97.	C h a n g S. S. L. On rick and decision-making in a fuzzy environment.—
In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Proces-
ses. N. Y.: Academic Press, 1975, p. 219—226.
98.	D e m p e г e К. K. The theory of fuzzy decisions.— In: Approximate Bea-
soning in Decision Analysis/Ed. by M. M. Gupta and E. Sanchez. Amster-
dam: North-Holland Publ. Comp., 1982, p. 365—380.
99.	D i m i t г о v V. Social choice and self-organization under fuzzy mana-
gement.— Kybernetes, 1977, v. 6, p. 365—380.
100.	Dimitrov V. Group choice under fuzzy information.— Fuzzy Sets
and Systems, 1983, v. 9, p. 13—24.
101.	Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems: Theory and appli-
cations.— N. Y.: Academic Press, 1980.— 393 p.
102.	Dubois D., Prade H. Decision-making under fuzziness.— In: Ad-
vances in fuzzy set theory and applications/Ed. by M. M. Gupta, В. K. Ra-
gade, R. R. Yager. Amsterdam: North-Holland, 1979, p. 279—302.
103.	Dubois D., Prade H. The use of fuzzy numbers in decision analy-
sis.— In: Fuzzy Information and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta
and E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1982, p. 309—
322.
302
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
104.	Efstatliiou J., Raikovic V. Multiattribute decision-making
using a fuzzy heuristic approach.—IEEE Tranactions on Systems, Man-
and Cybernetics, 1979, v. SMC-9, p. 326—333.
105.	Efstathiou J., Tong R. Ranking fuzzy sets using linguistic pre-
ference relations.— In: Proceedings of 10-th International Symposium on:
Multiple-Valued logic.— North-western University, Evanston, 1980, Ju-
ne, IL, p. 137—142.
106.	E n t a Y. Fuzzy decision theory.— In: Fuzzy Set and Possibility Theo-
ry./Ed. by R. R. Yager. New York: Pergamon Press, 1982, p. 439—449.
107.	Feng Y. J. A method of using fuzzy mathematics to solve the vector-
maximum problem.— Fuzzy Sets and Systems, 1983, v. 9, p. 129—136.
108.	F r e e 1 i n g A. Fuzzy sets and decision analysis.— IEEE Transactions on
Systems, Man and Cybernetics, 1980, v. SMC-10, No 7, p. 341—354.
109.	Freire E., Oil er о A. A method of multicriteria analysis.— In: Fuz-
zy Information and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta and E. San-
chez. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1982, p. 289—300.
110.	Fung L. W., F u K. S. An axiomatic approach to rational decision-
making in a fuzzy environment.— In: Fuzzy Sets and Their Applications
to Cognitive and Decision processes. N. Y.: Academic Press, 1975, p. 227—
256.
111.	Fuzzy Information and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta and
E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1982, 451 p.
112.	Fuzzy Sets and Decision Analysis/Ed. by Zimmermann H. J., Zadeh L. A.,
Gaines R. R. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1984.— 525 p.
113.	Gaines B. R., Ko bout L. J. Fuzzy decade: a bibliography of fuzzy
systems and closely related topics.— International Journal of Man-Ma-
chine Studies, 1977, v. 9, p. 1—68.
114.	Gluss B. Fuzzy multistage decision-making, fuzzy state and termi-
nal regulators and their relationship to non-fuzzy quadratic state and
terminal regulators.— International Journal on Control, 1973, v. 17,
p. 177—192.
115.	Goguen J. A. L-fuzzy sets.—Journal of Mathematical Analysis and
Applications, 1967, v. 18, p. 145—174.
116.	H a g g C. Possibility and cost in decision analysis.— Fuzzy Sets and
Systems, 1978, v. 1, p. 81—86.
117.	Hamacher IL, Leberling IL, Zimmermann H. J. Sensitivity
Analysis in Fuzzy Linear Programming.— Fuzzy Sets and Systems 1978,
v. 1, p. 269-281.
118.	Hipel K. Fuzzy set methodologies in multicriteria modelling. In: Fuzzy
Information and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta and E. Sanchez.
Amsterdam: North-Holland, 1982, p. 279—288.
119.	Ignizio J. P., Daniels S. C. Fuzzy multicriteria integer program-
ming via fuzzy generalized networks.— Fuzzy Sets and Systems, 1983,
v. 10, p. 261—270.
120.	Jain R. Decision-making in the presence of fuzzy variables.— IEEE
Transactions on Systems, Man and Cybernetics, 1976, v. SMC-6, No 10,
p. 698—703.
121.	Jain R. Decision-making in the presence of fuzziness and uncertain-
ty.— In: Proceedings of IEEE Conference on Decision and Control, 1977,
New Orleans, p. 1318—1323.
122.	Kacprzyc J. Decision-making in a fuzzy environment with fuzzy
termination time.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 169—179.
123.	Kacprzyc J. A branch-and-bound algorithm for the multistage cont-
rol of a fuzzy system in a fuzzy environment.— Kybernetes, 1979, v. 8,
p. 139—147.
124.	Kacprzyk J. Multistage decision-making under fuzziness.— ISR, v. 79.
Koln: Verlag TUV. Rheinland, 1983.—142 p.
125.	Kacprzyk J., Straszak A. Determination of stable regional deve-
lopment trajectories via fuzzy decision-making model.— In: Fuzzy Set
К ГЛАВЕ 9
303
and Possibility Theory/Ed. by R. R. Yager. New York: Pergamon Press,
1982, p. 531—541.
126.	Kaufmann A. Introduction a la theorie des sous-ensembles flous.
T. 3.— Paris: Masson, 1975.— 415 p.
127.	Kickert W. J. M. Fuzzy theories on decision-making.— Leiden: Mar-
tinus Nijhoff, 1978.— 182 p.
128.	Kim J. B. Fuzzy rational choice functions.— Fuzzy Sets and Systems,
1983, v. 10, p. 37—44.
129.	Kuzmin V. B. A reference approach to obtaining fuzzy preference
relations and the problem of choice.— In: Fuzzy Set and Possibility Theo-
ry/Ed. by R. R. Yager. New York: Pergamon Press, 1982, p. 107—118.
130.	L u h a n d j u 1 a M. K. Linear programming under randomness and fuz-
ziness.— Fuzzy Sets and Systems, 1983, v. 10, p. 45—56.
131.	Negoita С. V. Management applications of system theory.— Basel:
Birkhauser Verlag, 1979.
132.	Negoita С. V., M i n о i u S., Stan E. On considering imprecision
in dynamic linear programming.—ECECSR Journal, 1976, v. 3. p. 83—95.
133.	Negoita С. V., R a 1 e s c u D. A. Applications of fuzzy sets to sys-
tems analysis.— Basel: Birkhauser Verlag, 1975.— 191 p.
134.	Negoita С. V., R a 1 e s c u D. A. On fuzzy optimization.— Kybernetes,
1977, v. 6, p. 193—195.
135.	Negoita С. V., Stefanescu A. C. On fuzzy optimization.— In:
Fuzzy Information and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta and E. San-
chez. Amsterdam: North-Holland Publ. Comp., 1982, p. 247—250.
136.	Negoita С. V., S u 1 a r i a M. On fuzzy mathematical programming
and tolerances in planning.— ECECSR Journal, 1976, v. 1, p. 3—14.
137.	N о j i r i H. A model of fuzzy team decision.— Fuzzy Sets and Systems,
1979, v. 2, p. 201—212.
138.	Nurmi H. Approaches to collective decision-making with fuzzy pre-
ference relation.— University of Turku Technical Report, 1979 (also pre-
sented at EURO-4, Cambridge, 1980).— 24 p.
139.	Orlovsky S. A. On programming with fuzzy constraint sets.— Ky-
bernetes, 1977, v. 6, p. 197—201.
140.	Orlovsky E. A. Decision-making with a fuzzy preference relation.—
Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 155—167.
141.	Orlovsky S. A. On formalization of a general fuzzy mathematical
programming problem.— Fuzzy Sets and Systems, 1980, v. 3, p. 311—322.
142.	Paun G. An impossibility theorem for indicators aggregation.— Fuzzy
Sets and Systems, 1983, v. 9, p. 205—210.
143.	P e d г у c z W. Some aspects of fuzzy decision-making.— Kybernetes,
1982, v. 11, p. 297—301.
144.	Pedrycz W. A model of decision-making in a fuzzy environment.—
Kybernetes, 1'984, v. 13, p. 99—102.
145.	Ragade R. K. Fuzzy games in the analysis of options.—Journal of
Cybernetics, 1976, v. 6, p. 213—221.
146.	Ramik J., Rimanek J. Ineguality nelation between fuzzy numbers
and its use in fuzzy optimization.— Fuzzy Sets and Systems, 1985, v. 16,
p. 123—138.
147.	S a k a w a M. Interactive fuzzy decision-making for multiobjective li-
near programming problems and its application.— In: Fuzzy Information,
Knowledge Representation and Decision Analysis. Preprints of IFAC
Symp./Ed. by E. Sanchez, M. M. Gupta. Marseille: Univ. AJX-Marseille, 11,
1983, p. 293—298.
148.	Soyster A. L. Convex programming with set-inclusive constraints.
Applications to inexact linear programming.— Operations Research, 1973,
v. 21, p. 1154—1157.
149.	S u g e n о M. Fuzzy decision-making problems.— Trans. S. I. С. E. 1975,
v. 11, No 6, p. 85-92.
150.	Takeda E. Interactive identification of fuzzy outranking relations in
304
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
a multicriteria decision problem.— In: Fuzzy Information and Decision'
Processes/Ed. by M. M. Gupta and E. Sanchez. Amsterdam: North-Holland'
Publ. Comp., 1982, p. 301—308.
151.	Takeda E., N i s h i d a T. Multiple criteria decision problems with
fuzzy domination structures.— Fuzzy Sets and Syst., 1980, v. 3, p. 123—136.
152.	Tanaka H., О k u d a T., A s a i K. On fuzzy mathematical program-
ming.—Journal of Cybernetics, 1974, v. 3, No 4, p. 37—46.
153.	Tanaka II., О k u d a T., A s a i K. A formulation of fuzzy decision
problem and its applications to an investment problem.— Kybernetes,
1976, v. 5, p. 25—30.
154.	Thole U., Zimmermann H., Zysno P. On the suitability of
minimum and product operators for the intersection of fuzzy sets.— Fuz-
zy Sets and Sysetms, 1979, v. 2, p. 167—180.
155.	Tong R. M., В о n i s s о n e P. P. A linguistic approach to decision-
making with fuzzy sets.— IEEE Transactions on Systems, Man and Cy-
bernetics, 1980, v. SMC-10, No 11, p. 716—723.
156.	V e r d e g a у J. L. Fuzzy mathematical programming.— In: Fuzzy Infor-
mation and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta and E. Sanchez. Ams-
terdam: North-Holland Publ. Comp., 1982, p. 231—238.
157.	Watson S. R., Weiss J. J., Donnell M. Fuzzy decision analy-
sis.— IEEE Transactions, 1979, v.' SMC-91, No 1, p. 1—9.
158.	Yager R. R. Multiple objective decision-making using fuzzy sets.—
International Journal of Man-Machine Studies, 1977, v. 9, p. 375—382.
159.	Yager R. R. Fuzzy decision-making including incqual objectives.—
Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 87—95.
160.	Yager R. R. Mathematical programming with fuzzy constraints and a
preference on the objective.— Kybernetes, 1979, v. 8, p. 285—291.
161.	Yager R. R. Possibilistic decision-making.— IEEE' Transactions on
Systems, Man and Cybernetics, 1979, v. SMC-9, No 7, p. 388—392.
162.	Yager R. R. Fuzzy sets, probabilities and decision.— Journal of Cyber-
netics, 1980, v. 10, p. 1—18.
163.	Yager R. R. Fuzzy subsets of type 2 in decisions.— Journal of Cyber-
netics, 1980, v. 10, p. 137—159.
164.	Yager R. R. A linguistic variable for importance of fuzzy sets.— Jour-
nal of Cybernetics, 1980, v. 10, p. 249—260.
165.	Yager R. R. Finite linearly ordered fuzzy sets with applications to
decisions.— International Journal of Man-Machine Studies, 1980, v. 12,
p. 299-322.
166.	Yager R. R., Basson D. Decision-making with fuzzy sets.—Deci-
sion Sciences, 1975, v. 6, p. 590—600.
167,	Zadeh L. A. Fuzzy sets.— Inform, and Control, 1965, v. 8, p. 338—353.
168.	Zadeh L. A. The linguistic approach and its application to decision
analysis.— In: Directions in Large-Scale Systems/Ed. by Y. C. Ho,
S. K. Mitter, N. Y.: Plenum Press, 1976, p. 335-361.
169.	Zadeh L. A. Linguistic characterization of a preference relation as a
basis of choice in social systems.— Memo No UC13/ERLM 77/24 Berkeley:
University of California, 1977.— 26 p.
170.	Zadeh L. A. Fuzzy sets as a basis for a theory of possibility.— Fuzzy
Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 3—28.
171.	Zadeh L. A. Fuzzy sets and information granularity.— In: Advances in
Fuzzy Set Theory and Applications/Ed. by M. M. Gupta, R. K. Ragade,
R. R. Yager. Amsterdam: NorthrHolland, 1979, p. 4—17.
172.	Zimmermann H. J. Fuzzy programming with several objective func-
tions.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 46—55.
173.	Zimmermann H. J., Zysno P. Latent connectives in human deci-
sion — making.— Fuzzy Sets and Systems, 1980, v. 4, p. 37—51.
174.	Zimmermann H. J., Zysno P. Decisions and evaluations by hie-
rarchical aggregation of information.— Fuzzy Sets and Systems, 1983,
v. 10, p. 243—262.
К ГЛАВЕ 10
305
К главе 10
1. А в е р к и н А. Н. Построение нечетких моделей мира для планирова-
ния в условиях неопределенности.— В кн.: Семиотические модели при
управлении большими системами. М.: АН СССР, 1979, с. 69—73.
,2. Алексеев А. В. Разработка принципов применения теории нечет-
ких множеств в ситуационных моделях управления организационными
системами.— Автореферат диссертации на соискание ученой степени
канд. техн. наук. Рига: РПИ, 1979.— 20 с.
3.	Б е р г А. И., Бирюков Б. В., Геллер Е. С., П о в о р о в Г. Н.
Управление, информация, интеллект. М.: Мысль, 1976.— 383 с.
4.	Б л и ш у н А. Ф. Моделирование процесса принятия решений в нечет-
ких условиях на основе сходства понятий классов.— Автореферат дис-
сертации на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН
СССР, 1982,— 19 с.
5.	Б о р и с о в А. Н., О с и с Я. Я. Методика оценки функций принадлеж-
ности элементов размытого множества.— В кн.: Кибернетика и диагно-
стика, Рига: РПИ, 1970, с. 125—134.
•6. Б о р и с о в А. Н., Фомин С. А. Аксиоматический подход к восста-
новлению функции принадлежности термов лингвистической пере-
менной.— В кн.: Модели выбора альтернатив в нечеткой среде. Рига:
РПИ, 1980, с. 77—79.
7.	Г л о т о в В. А., Павельев В. В. Экспертные методы определения
весовых коэффициентов.— Автоматика и телемеханика, 1976, № 12,
с. 95—108.
8.	Е ж к о в а И. В. Использование размытой логики в диалоговых систе-
мах, базирующихся на естественном языке.— В кн.: Человеко-машин-
ные системы. М.: МДНТП, 1977.
9.	Е ж к о в а И. В., Поспелов Д. А. Принятие решений при нечетких
основаниях.— Изв. АН СССР: Техническая кибернетика, 1977, № 6,
с. 3—11.
ТО. Ж у к о в и н В. Е., Оганесян Н. А., Бурштейн Ф. В., К о р е-
л о в Э. С. Об одном подходе к задачам принятия решений с позиций
теории нечетких множеств.— В кн.: Методы принятия решений в усло-
виях неопределенности. Рига: РПИ, 1980, с. 12—16.
И.	3 а д е Л. А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и про-
цессов принятия решений.— В кн.: Математика сегодня/Сост. А. В. 1Пи-
лейко, М.: Знание, 1974, с. 5—48.
12.	Каменский В. С. Методы и модели неметрического шкалирования
(обзор).— Автоматика и телемеханика, 1977, № 8, с. 118—152.
13.	Киквидзе 3. А., Ткемаладзе Н. Т. Об одном способе взвеши-
вания элементов нечеткого множества.— Сообщения АН ГССР, 1979,
т. 93, № 2, с. 317—320.
14.	Л о г и н о в В. И. О вероятностной трактовке функций принадлежности
Заде и их применение для распознавания образов.— Изв. АН СССР:
Техническая кибернетика, 1966, № 2, с. 72—73.
15.	О с и с Я. Я. Распознавание неисправностей сложных объектов диаг-
ностики с использованием теории размытых множеств,— В кн.: Кибер-
нетика и диагностика. Рига: РПИ, 1968, с. 13—18.
16.	С в а р о в с к и й С. Г. Аппроксимация функций принадлежности зна-
чений лингвистической переменной.— В кн.: Математические вопросы
анализа данных. Новосибирск: НЭТТ1, 1980, с. 127—131.
17.	Смекал В. Теория измерения.— В кн.: Диагностика психическо-
го развития. Под ред. И. Шванцара. Прага: АВПЦЕНУМ, 1978,
с. 42—52.
18.	Ф р у м к и н а Р. М., Василевич А. П. Получение оценок вероят-
ностей слов психометрическими методами.— В кн.: Вероятностное про-
гнозирование речи. М.: Наука, 1971.
306
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
19.	П1 а и и р о Д. И., Б л и ш у н А. Ф. Выбор решений при нечетком
описании состояния системы.— Алгоритмы и программы, 1978, № 1,
с. 75.
20.	Шер А. П. Согласование нечетких экспертных оценок и функция при-
надлежности в методе размытых множеств.— В кн.: Моделирование и
исследование систем автоматического управления. Владивосток: ДВНЦ
АН СССР, 1978, с. 111—118.
21.	Шер А. П. Решение задачи математического программирования. с
линейной целевой функцией в различных ограничениях.— Автоматика
и телемеханика, 1980, № 7, с. 137—143.
22.	В г а а е М., Rutherford D. A. Selection of parameters for a fuzzy
logic controller.— Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, p. 185—199.
23.	Bremermann H. Pattern recognition. In: Systems theory in the so-
cial sciences/Ed. by H. Bossel et al. Stuttgart: Binkhauser Verlag, 1976,
p. 116—159.
24.	Chu A. T. W., Kalaba В. E., Spingarn J. A comparison of two
methods for determining the weights of belonging to fuzzy sets.— Journal
of Optimization Theory and Applications, 1979, v. 27, p. 531—538.
25.	D i e d e r i c h G. W., Messick S. G., Tucker L. R. A general least
squares solution for successive intervals.— Psychometrika, 1957, v. 22,
p. 159-173.
26.	Osgood С. E., Suci G. J., Tannenbaum P. H. The measurement
of meaning. University of Illinois Press, Urbana, 1957, p. 1—342.
27.	R a g a d e R. K., Gupta M. M. Fuzzy sets theory: introduction. In:
Fuzzy Automata and Decision Processes/Ed. by M. M. Gupta, G. Saridis,
B. Gaines. Amsterdam: North-Holland, 1977, p. 105—131.
28.	Saaty T. L. Measuring the fuzziness of sets.— Journal of Cybernetics,
1974, v. 4, p. 53-61.
29.	S a a t у T. L. A scaling method for priorities in hierarchical structures.—
Journal of Mathematical Psychology, 1977, June.
30.	S a a t у T. L. Exploring the interface between hierarchies, multiple objec-
tives and fuzzy sets.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 57—69.
31.	S a n c h e z E. Inverses of fuzzy relations. Application to possibility dist-
ribution and medical diagnosis.— Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2,
p. 75—86.
32.	S k a 1 a H. J. On many-valued logics, fuzzy sets, fuzzy logics and their
applications.— Fuzzy Sets and Systems, 1978, v. 1, p. 129—149.
33.	T a n a k a K., Mizumoto M. Fuzzy programs and their execution.
In: Fuzzy Sets and Their Applications to Cognitive and Decision Proces-
ses/Ed. by L. A. Zadeh et al. New York: Academic Press, 1975, p. 41—76.
34.	T h о 1 e U., Zimmermann H. J., Z у s n о P. On the suitability of
minimum and products operators for the intersection of fuzzy sets.—
Fuzzy Sets and Systems, 1979, v. 2, p. 167—180.
35.	Z a d e h L. A. Calculus of fuzzy restrictions. In: Fuzzy Sets and Their
Applications to Cognitive and Decision Processes/Ed. by L. A. Zadeh et al.
New York: Academic Press, 1975, p. 1—41.
предметный указатель
.Автомат см. также Регулятор
— нечеткий 37, 184, 186 см. также Ал-
горитм нечеткий, Управление нечет-
кое
----детерминированный 185
----максимально-взвешенный 186
----недетерминированный 185
----обучающийся 210
----ограниченный 189
— — с распределением	возможностей
----секвенциальный 193,	194
— нечетко-нечеткий 186
— секвенциальный нечеткий по входам
194, 195
-------по состояниям 194, 195
— — с нечеткими переходами 194, 196
—	К-нечеткий 186
Аксиома Эрроу и Узавы 63
Аксиоматика Колмогорова 77
Аксиомы рациональности функций выбо-
ра 62
Алгебра булева 29, 73
—	Де Моргана 73
---- метрическая 73
----нормальная 73, 74
	11X1 1	W1X/AA А-А'	.	л
—	нечетких множеств 16—18, 70, /1, 73,
74, 102
---- чисел 102
—	псевдобулева 38
— стандартной логики неопределенности
— S-нечетких множеств (булева) 24
— & -нечетких множеств 29
Алгоритм 198
— нечеткий 198, 199. 201, 202
----в виде графа 206
----обучения 99. 210
---- описания 204
---- поиска глобального экстремума
213 215
----порождения первичных импликант
144
----простейший 223
— нечеткого вывода 112
— формирования нечеткого отношения
предпочтения 217
Алгоритмы кластеризации иерархиче-
ские 59
Альтернатива абсолютно недоминируе-
мая 62
—	слабо доминируемая 62
Анализ кластерный 38, 49, 51, 58, 59, 64
Антирефлексивность нечеткого отноше-
ния 42
------- сильная 42
------- слабая 42
Антисимметричность нечеткого отноше-
ния 42
Аппроксимация лингвистическая 126
—	(L — Н)-типа 116—121
Арифметика нечетких чисел 103, 105, 109
Асимметричность нечеткого отношения
Ассоциативность 39
Ацикличность 53
База данных 169
Байеса формула 216
Бонгарда модель 218, 221
Вектор входа 207
—	выхода 207
—	программы 207
Вероятность верхняя 83
—	нижняя 82
— субъективная 77
---- по Байесу 77
----по Де Финетти 77
----по Сэвиджу 77
Вершина графа 206
---- конечная (финальная) 207
---- начальная (стартовая) 207
Вес лингвистический 255
Выбор групповой в условиях нечеткм-
сти 244
----нормативный 246
— машинных инструкций вероятност-
ный 205
-------недетерминированный 205
-------нечеткий 205
—, функция 62—64
Вывод 173
— нечеткий 111
Выводимость 173
Выполнение нечеткой программы 200
Выражение регулярное 184
----, определяющее язык 184
Высказывания семантически эквивалент-
ные 155
Грамматика 170
— нечеткая 172, 175
---- вероятностная 174
----взвешенная 174
---- древовидная 174
-- — дробная 173
----контексно-зависимая 175
----контексно-свободная 175
----максимально-вероятностная 174
----максимально-взвешенная 174
----— контексно-свободная финитар-
ная 182
------- приведенная 182
---------финитарная 182
---- номеров подстановок 174
----оптимистическая 174
----пессимистическая 173, 174
----, порождающая нечеткий язык 184
----приведенная максимально-взвешен-
ная 182
----регулярная 175, 183
----рекурсивная 174
----смешанная 173
— — п-кратная 177
Грамматики нечеткие эквивалентные 175
Граф 206
—	взвешенный 39
—	конечный 206
308
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Граф конечный нечеткого алгоритма 210
— ориентированный 206
Декомпозиция нечетких отношений 42
Деление нечетких чисел 106
Де Моргана алгебра нормальная 73
— законы 71, 73
Дерево предпочтений нечеткое 243
Дизъюнкт 140
Дирака мера 80
Дистрибутивность 40
Длина пути в графе 207
Доминирование 44, 45, 59—64
Дополнение в алгебре нечетких мно-
жеств 16. 69, 70, 74
Дуга (в графе) 206
Задача многокритериальная нечеткая
247
—	обратная 126
—	прямая 126
Законы Де Моргана 71, 73
Замкнутость относительно операций 188
Замыкание Клини 171
—	транзитивное 45, 50, 51, 58, 59
Заострение 66, 71
Значение лингвистическое 147
—	равновесное 74
Игра нечеткая 244, 247
Идемпотентность 39
Иерархия отношений 42, 43
—	разбиений 49, 54, 59
Имликант 141
—	нечеткий (н-импликант) 141
---первичный (НПИ) 141
Импликат 141
— нечеткий (н-импликат) 141
---первичный 141
-------, алгоритм порождения 143
Импликация 111
—	машинная (четкая) 198
—	нечеткая 141, 166
Имплицент 141
Инструкция машинная 198
— нечеткая 199. 207
--- начала 199
--- окончания 199
--- операции 199
--- условия 199
Интеграл Лебега 91
— нечеткий 74, 90—93
Интервал вещественных чисел 40, 48, 49,
53
_ [0, 1] 37—40
Интерпретация вероятностная 123
—	комбинированная 124
—	лингвистическая 126
—	минимаксная 123
— по максимуму функции принадлежно-
сти 125
—	полная 123
Информация экспертная 259
Квазирешетка 26
Квазисерийность 53
Квантор нечеткий 152
Классификация автоматическая 58, 75
—	нечетких отношений 46
—	образов 211
— ситуаций 159 и д.
Классы сходства 44
— эквивалентности 49, 54
Кластеризация 58
Клини замыкание 171
Коммутативность 39
Композиция нечетких отношений 40
Конец пути (в графе) 207
Конкатенация 171
Конорма треугольная (/-конорма) 31
Концентрирование в алгебре нечетких
множеств 18
Конъюнкт 140
Коэффициент компетентности эксперта
270
Критерий лингвистический 221, 256
---- ординальный 256
----числовой 256
Лебега интеграл 91
— мера 91
Линейность нечетких отношений 42
Литерал 140
Логика многозначная 145
— нечеткая 138
---- вероятностная 146
---- времени 192
----общая 145
----с максимальными операциями 146
----с ограниченными операциями 146
---- специальная 139
----ночеткозначная 147
— трехзначная Лукасевича 13
— fe-значная Поста 13
Лотерея нечеткая 243
---- лингвистическая 255
Математическое программирование 236,
241
---- гибкое 241
---- нечеткое 236—242
---- робастное 242
Матрица отношения 39
—	попарных сравнений 268
Машина вероятностная 200
—	взвешенная 200
----вероятностная 200
—	детерминированная 202
—	максимальная 200
—	максимально взвешенная 200
—	максиминная 200
—	минимаксная 200
—	недетерминированная 200, 202
—	нечеткая 201
—	нечетко-детерминированная 204
—	обобщенная нечеткая 201
----нечетко-детерминиройапная 203
—	W-типа 199
Мера 77
—	аддитивная 70
—	близости состояния и цели 254
—	вероятностная 78, 83
—	возможности 83
— заостренности нечеткого множества
75
—	нечеткая 78—80
---- апостериорная 93
----априорная 93, 98
----Дирака 80
-------, сосредоточенная на А 81
---- субалдитивная 79, 81
---- супераддитивная 79, 81
---- условная 93
----, экспериментальное определение 95
— определенности, сосредоточенная на А
81
— правдоподобия 82, 83
— энтропии нечетких множеств 65, 72
Метод ветвей и границ 254
— динамического программирования 252
— построения терм-множеств 273
----функции принадлежности	для
группы экспертов 271
---------косвенный 260
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
309
Метол построения функции принадлеж-
ности косвенный для одного экспер-
та 365
----------прямой 260
------------дЛЯ группы экспертов 269
— ---------- для одного эксперта 263
— Саати 114, 238
—	точной интерпретации 122
—	(L — Л)-аппроксимации 116
Метрика 51, 52, 68—73
—	Минковского 70. 120
—	симметричная 72
Множество 15
—	альтернатив 60
—	вещественных чисел 38, 40
—	недоопределенное 22
— нечеткое 13, 14
---- векторнозначное 24
---- вероятностное 21
----выпуклое 19
----гетерогенное 24
----недоминируемых альтернатив 61
----нормальное 15
----пустое 15
----строгого уровня 15
----субнормальное 15
---- типа п 19
---- типа р 26
----уровня 15, 19, 25, 26
— Парето 240, 246
— приближенное 21
---- верхнее 21
----нижнее 21
— регулярных Б-выражений 184
—	совершенно нечеткое 22
—	составное 21
—	универсальное 14
— четкое, ближайшее к нечеткому мно-
жеству 19
—	элементарное 21
—	Ь-нечеткое 23, 74
—	^-нечеткое 29
— Н-нечеткое 23
— S-нечеткое 23
Моделирование биологических и эконо-
мических задач 132
— логико-лингвистическое 110
Модель детерминированная 252
— лингвистическая 255 см. также Отно-
шение, Переменная лингвистическая
— логико-лингвистическая 97, 133 и д.
—	недетерминированная 252
—	нечеткая 252
—	обучения байесовская 98
		Буша и Мостеллера 97
—	стохастическая 252
Модификация 151
Мощность нечеткого множества 67
— подмножества а-уровня 75
Начало выполнения программы 200
— пути (в графе) 207
Неразличимость 47
Нечеткость бесконечного порядка 27
Норма треугольная (1-норма) 30
----архимедова 30
---- строгая 30
— чебышевская 239
Нормализация непустого субнормального
нечеткого множества 15
Нормальность нечеткого множества 15
Носитель нечеткого множества 15
----числа 102, 105
Нуль нечеткий 103
Обучение 97, 209
— алгоритма классификации 99
— на основе условной нечеткой меры
Объединение в алгебре нечетких мно-
жеств 16—18
S-нечетких множеств 24
— нечетких отношений 39
окончание выполнения программы 200
Оператор нечеткий 29—36
---- осреднения 35, 36
----отрицания 32
Операции над нечеткими множествами
1э—18, 29—36
— над ^-нечеткими множествами 27
Описание логико-лингвистическое 110
Оптимизация многокритериальная не-
четкая 247
— расписания 109
Отношение нечеткое 37—64, 107
— — антирефлексивное 42, 46, 47, 50, 51*
-------сильно 42, 51
------- слабо 42
----антисимметричное 42, 45—48, 52,
54, 55
----асимметричное 42, 52, 54 55 59
60
----ацикличное 46, 52, 53, 54, 61. 63
-------слабо 46, 63—64
----безразличия 47
---- бинарное 38
----включения 39, 42
---- квазипорядка 57
----квазисерийное 46, 52, 53, 54, 55, 56»
62
---- линейное 42
----линейно транзитивное 46, 52, 53
---- метрически транзитивное 46,
55
----моделирования 159, 275
----неразличимости 47
---- обратное 41
---- отрицательно транзитивное 46,
54, 58, 61
----подобия 46, 49
----полноты см. Полнота
---- порядка см. Порядок
---- пустое 40
---- равенства 41
----различия 46—48, 50, 51, 52, 56,
----рефлексивное 41, 43, 45—47, 52,
57
------- сильно 42
------- слабо 42
---- сверхсильно транзитивное 46,
---- сверхтранзитивное 58
---- связное 42
----сильно транзитивное 46, 53, 54,
61
----симметричное 42, 45—48, 50
---- стохастически транзитивное 57
----сходства 46—49, 50, 51, 52, 56,
58, 59
------- рефлексивное 48
-------симметричное 48
----толерантности 47, 48
----транзитивное 42
-------сильно 47, 53, 54, 58, 61
-------слабо 46, 53, 54, 61
____ ультраметрически транзитивное
55'
----универсальное 40
____ упорядочения см. Порядок
---- частичного порядка 39
----четкое 37—64
____эквивалентности 43, 46, 49, 50,
53,
53,
57
55,
53,
58,
57,
53,
51,
56, 59
Отрицание в алгебре нечетких множеств
32
___1___S-нечетких множеств 32
310
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Оценивание субъективное 94
Оценка байесовская нечеткая 243
—	изотопная 73
— неопределенности нечеткого множест-
ва 100
—	положительная 71
—	симметричная 71—73
Оценки экспертные 259
---по шкалам 244
Пакет подпрограмм FLMS 132
Параметр нормировки g^-меры 79
Парето множество 240, 246
Переменная лингвистическая 23, 38, 109,
113, 147, 218, 255
Пересечение в алгебре нечетких мно-
жеств 16, 17
-------S-нечетких множеств 24
— нечетких отношений 39
Плотность нечеткая SL-типа 88
— распределения нечеткости 86
Поглощение 40
Подмножество нечеткое (L — К)-типа
116
Поиск глобального экстремума 212, 215
Показатель взаимной компенсации опе-
рандов 70
—	неразмытости 75
—	размытости 65 и д.
---, аксиоматический подход 65
---, алгебра Заде 70 и д.
---, метрический подход 69
Полезность ожидаемая нечеткая 242
Полнота сильная 42
—	слабая 42
Полумпожество 15, 22
Порог 37, 44, 58
Порождение языков нечеткими грамма-
тиками 181
Порядок 47, 52, 59
—	- антирефлексивный 52
—	для нечетких чисел 103
—	линейный 55
—	метрический 54
—	нестрогий 47, 52
—	рефлексивный 52
—	сильный 54
—	строгий 46, 52
—	частичный 39
Правила вывода 155 и д.
—	модификации 151, 155
—	трансляции из естественного языка в
ПРУФ 151
Правила вывода композиционное 157
—	порождающее 170
— семантическое 171
Предложение 140
Предпочтение 57
Приближение множества верхнее 21
---нижнее 21
Принадлежность 13—14
Принятие решений 57, 58, 75, 205, 236
и д.
--- в нечеткой обстановке	96, 255
•--, динамическая модель	252—258
•--коллективное 244
•--, лингвистическая модель 255
Принцип обобщения 19
— проекции 155
—	резолюции в нечеткой логике 144
—	следования 157
—	сужения (конъюнкции) 156
Программа 199
—	нечеткая 199, 202, 207
•	элементарная 202
Программирование динамическое 252
—	гибкое 241
---линейное нечеткое 109, 242
Программирование математическое не-
четкое 236 и д.
— робастное 242
Произведение множеств декартовое 37,
Пространство с нечеткой мерой 79, 93
— приближений 21
Профиль понятия 264
ПРУФ 150
Псевдометрика 51
Путь из вершины в вершину графа 207
Размытость 65
Разность в алгебре нечетких множеств
18
Распознавание языков 188
---пороговых 189
Расстояние евклидово (квадратичное)'
255
— хеммингово (линейное) 254
Рассуждение нечеткое 150
Ребро графа 206
--- ориентированное 206
Регулятор нечеткий логический (линг-
вистический) 168, 223
------ — адаптивный 217
------- процесса подогрева воды 232
---------теплообмена 225
------- управления паровой машиной
229
Рефлексивность нечеткого отношения 41
------- сильная 42
------ — слабая 41
Решение групповое (коллективное) 244
Решетка 23, 145
— дистрибутивная 25
----Де Моргана 56
--- метрическая 71
---полная 145, 148
Саати метод 114, 238
Связность нечеткого отношения 42
Сдвиг в алгебре S-нечетких множеств 24
Симметричность 42, 66, 67
Система динамическая 252
—	нечеткая 37
—	обучающаяся 209
—	сложная 109
—	экспертная 169
Следствие нечеткое 143
Сложение нечетких чисел 106
-------расширенное 106
Соответствие нечеткое 111
Сравнения попарные 265
Степень выводимости 173
—	нечеткости 90
—	принадлежности 91
Стратегия 252
— частичная 254
Структура системы 37. 44, 54, 59, 64
Сугено Х-дополнение 79
Сугено — Фубини теорема 92
Сходство 57
Теорема декомпозиции 20
—	изоморфизма 29
—	представления 20
—	Сугено — Фубини 92
—	Эрроу 245
Теория коллективных решений 244
—	множеств альтернативная 14
—	моделей 38
—	ожидаемой полезности 243
—	принятия решений см. Принятие ре-
шений
—	случайных множеств 20
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
311
— нечеткий 107, 147, 257
Терм-множество 257, 273
Толерантность 47
Точка перехода нечеткого множества 19
Транзитивность 42
—	линейная 53
—	метрическая 53
—	отрицательная 53
—	сверхсильпая 53
—	сильная 53
—	слабая 53
—	стохастическая 57
--- сильная 57
—	уЛьтраметрическая 53
Трансляция 151
Ультраметрика 51
Уравнение нечеткое 107
---с нечетким отношением 107
—	состояния 252
Управление дискретное 191
—	нечеткое 134—138
Условие безоговорочного экстремума
261
—	нормальности 73
—	нормировки для g^-мер 79
Форма каноническая Грейбаха 182
---пессимистической КС-грамматики
176
---Хомского 175, 182
—	нормальная дизъюнктивная 140
---конъюктивная 140
—	скобочная уравнения 108
Формула Байеса 216
—	нечеткая 139
---необщезначимая 139
— — общезначимая 139
Функции булевы 139
Функция выбора 62
— доверия 81
--- пустая 81
--- согласованная 82
—	доминируемости 60
—	истинностная 167
—	ложностная 167
—	педоминируемости 60
---строгого предпочтения 61
— носителя простая, сосредоточенная на
А 81
— переходов 184, 199
—	полезности ординальная 244
—	принадлежности 10, 14, 37, 38, 259
—	распределения 80
—	характеристическая 43
—	Шеннона 67
—	(L — К)-типа 105, 120
—	S-типа 153
Хомского каноническая форма нечеткой
пессимистической грамматики 175
Цель, нечетко поставленная 237
Цепочка вывода 173
— подстановок 173
— символов выводимая 173
Число нечеткое 102
-----выпуклое 102
----- нормальное 102
----- обратное 106
----- отрицательное 102
-----положительное 102
-----унимодальное 102
-----(L— К)-типа 105, 106
— нечетко-толерантное 105
Шеннона функция 67
Шкала ранговая 37
— сравнений 48, 60
Эквивалентность нечеткая 22
— нечетких грамматик 175
Эксперт 256
—, компетентность 253, 256
— уникальный 263, 265
Экстремум «безоговорочный» 261
— глобальный 212, 215
Элемент решетки наибольший 40
-----наименьший 40
Энергия нечеткого множества 72
Энтропия нечеткого множества 65, 100
•----Де Люка — Термини 66, 67, 251
Эрроу теорема 245
Эрроу — Узавы аксиома 63
Язык формальный 170
----- нечеткий 170
-----пороговый 183
-----, порождаемый грамматикой 181
-----регулярный 183
-----структурный 172
-----финитарный 181
g^-мера 79, 80
gy-мера 84, 85
1-ацикличность 46, 53
К-нечеткое множество 186
W-машина 199
W-функция 200
—	вероятностная 200
—	детерминированная 200
а-свойство 44
а-симметричность 44
а-транзитивность 44
а-уровень 43
Z-дополнение Сугено 79
Алексей Николаевич Аверкин
Ильдар Закирзянович Батыршин
Александр Филиппович Блишун
Валерий Болеславович Силов
Валерий Борисович Тарасов
НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА В МОДЕЛЯХ
УПРАВЛЕНИЯ
И ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА
Серия «Проблемы искусственного интеллекта», М 8
Редактор В. Н. Захаров
Художественный редактор Т. Н. Колъченко
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректор Н. Д. Дорохова
ИБ № 12647
Сдано в набор 26.06.85. Подписано к печати 18.06.86.
Т-11581. Формат бОхЭО'Ае. Бумага тип. № 1. Гарни-
тура обыкновенная. Печать высокая. Уел. печ.
л. 19,5. Усл. кр.-отт. 19,5. Уч.-изд. л. 21,66. Тираж
6900 экз. Заказ К» 812. Цена 2 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск, 77, Станиславского, 25