Н.Н. ВОРОБЬЕВ
ТЕОРИЯ
ИГР
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ-КИБЕРНЕТИКОВ
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985

ББК 22.18 Рекомендовано Министерством высшего и
- В 25 среднего специального образования СССР для
УДК 519 6 использования в учебном процессе студентами
вузов, обучающимися по специальности
"Экономическая кибернетика"
Воробьев Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. —
М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,
1985.-272 с.
В книге излагаются на элементарном математическом уровне основные
факты теории игр в соответствии с программами по курсу теории игр для
специальности "Экономическая кибернетика" университетов и высших
экономических учебных заведений. Ее можно использовать как учебное пособие для
слушателей курса лекций, а также при самостоятельном изучении предмета.
Книга может представлять интерес для работников различных специальностей,
занимающихся применением математики к вопросам принятия оптимальных
решений.
Ил. 100. Библиогр. 49 назв.
Рецензенты:
кафедра прикладной математики и вычислительной техники
Ленинградского института текстильной и легкой промышленности им. СМ. Кирова;
кандидат физико-математических наук В.В. Розен
© Издательство "Наука",
1702070000 -162 Главная редакция
В — 77-85 физико-математической
05 3 (02) -85 литературы, 1985

ПРЕДИСЛОВИЕ
Главная цель данной книги состоит в том, чтобы предоставить в
распоряжение студентов экономических специальностей достаточно простое и
доступное руководство, содержащее элементарное изложение основ
математического аппарата теории игр. Уровень математических требований,
предъявляемых читателю, примерно соответствует уровню математической
подготовки экономистов по специальности "Экономическая кибернетика"
к концу второго курса. Именно в этом смысле и следует понимать
адресование этой книги экономистам-кибернетикам. Вместе с тем ее могут
использовать студенты и научные работники других экономических и инженерных
специальностей, а также студенты-математики, для которых она может
послужить пособием при начальном, предварительном изучении теории игр.
Основу первого варианта книги, вышедшего под названием "Теория игр.
Лекции для экономистов-кибернетиков" (Изд. ЛГУ, 1974), составил курс
лекций, многократно читавшийся автором студентам третьего курса
специальности "Экономическая кибернетика" экономического факультета
Ленинградского государственного университета им. А.А. Жданова.
Предлагаемый читателю новый вариант курса составлен по тому же общему плану,
что и предьщущий, но отличается от него большей систематичностью и
завершенностью изложения. Всюду, где это возможно, автор стремился
придать теоретико-игровым рассуждениям надлежащую математическую
строгость и разумную общность.
Формальные требования, предъявляемые к конкретным математическим
знаниям читателя данного руководства, весьма скромные. Они не выходят
за пределы элементарных вопросов линейной алгебры и математического
анализа и начальных сведений по теории вероятностей. Исключения
составляют лишь теоремы о неподвижной точке и рассуждения, связанные с
интегралом Стилтьеса. Впрочем, при всей своей глубине они достаточно
наглядны и "правдоподобны". Один раз употребляется теорема Хелли о
пересечениях выпуклых множеств. Автор полагает, что включающий ее
комбинаторный вариант рассуждений в конечном счете оказывается более
естественным, чем линейно-алгебраический. Безусловно необходимым
предполагается владение читателем "математической азбукой", т.е. умение
читать математические выражения и понимать взаимосвязь их отдельных
частей.
Приводимые в книге математические рассуждения являются не только
элементарными, но, за немногими исключениями, и сравнительно просты-
1*
3

ми. Однако тривиальными их назвать никак нельзя, а при формировании
теории игр они складываются в довольно сложную логическую структуру.
Отчетливое представление о ней в целом может потребовать от читателя
известных усилий. Вместе с тем понимание каждого отдельного места
книги, по-видимому, не составит труда: в доказательствах теорем упомянут
практически каждый логический шаг, а решение каждой задачи доведено
до завершающей формулы или хотя бы до расчетной методики.
Теория игр относится к математическому обеспечению
социально-экономической проблематики. Поэтому применительно к ней можно говорить
о различных аспектах математического обеспечения. В данной книге
внимание обращается на концептуальный, методологический, методический и
алгоритмический аспекты; бегло затрагиваются аспекты проблемный и
модельный; напротив, информационный, программный, технический и
организационный аспекты не рассматриваются вовсе.
В процессе изучения теории игр учащемуся приходится осваивать
довольно большое число новых для него и во многом непривычных понятий.
Кроме того, практика преподавания теории игр экономистам и, тем более,
самостоятельное ее изучение допускают различные по объему и по
содержанию варианты программ. По этим двум причинам автор в построении
данного курса допустил некоторые черты "концентризма", воспроизведя
отдельные идеи и даже логические конструкции первой главы в более
общем виде в последующих главах книги. По тем же мотивам основному
тексту книги предпослано "Введение", излагающее в несколько тезисной
форме содержание и назначение курса теории игр.
Начальный характер курса и его ориентация- на читателя-экономиста
предопределили и отбор включенного в нее материала. Так (даже если
говорить только об элементарных вопросах теории игр), за его рамками
осталась теория динамических (позиционных) игр, как менее важная для
экономистов, а также вопросы устойчивости конфигураций в
кооперативной теории и теория игр без побочных платежей (в том числе — теория
арбитражных схем), которые следует рассматривать при дальнейшем, более
глубоком изучении теории игр. ■
Весь содержащийся в книге материал по своему объему существенно
превосходит то, что удается прочесть за один семестр при одной лекции
в неделю. Однако для преподавателя не составит труда выделить те
вопросы, которые можно перенести на практические занятия или исключить из
курса вовсе. Чтобы облегчить ему решение этой задачи, параграфы и
пункты книги, содержащие более сложный (ив соответствии с этим — менее
обязательный) материал, отмечены знаком *. Места, носящие
вспомогательный, не относящийся к теории игр, или же иллюстративный характер,
набраны петитом.
Соображения, положенные в основу списка рекомендованной
литературы, видны из его структуры.
Автор весьма благодарен А.И. Соболеву, внимательно прочитавшему
рукопись и сделавшему немало критических замечаний. Автор надеется на
дальнейшую критику со стороны читателей.
Вырица, 1984 г.
Н.Н. Воробьев

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Основной рассматриваемый в данной
книге объект — игра — представляет
собой теоретико-игровую конструкцию, в
образовании которой участвуют
множества с элементами различной природы.
Для элементов большинства
вводимых далее множеств мы будем
использовать следующие обозначения:
i, j, к - игроки в бескоалиционной
игре;
Xf, x'j, У(,... — чистые стратегии
игрока i в бескоалиционной игре;
Xf, Xf, Yf,... - смешанные стратегии
игрока / в бескоалиционной игре;
х,х1,х',... - чистые стратегии
игрока 1 в антагонистической игре;
у,ух,у\.. . — чистые стратегии
игрока 2 в антагонистической игре;
X, Y — смешанные стратегии
игроков 1 и 2 в антагонистической игре;
х, х', у,.. . - ситуации (в чистых
стратегиях) в бескоалиционной игре;
X, X', Y,. .. - ситуации в смешанных
стратегиях в бескоалиционной игре.
Таким образом, чистые стратегии и
составленные из них ситуации
обозначаются строчными светлыми буквами, а
соответствующие им смешанные
стратегии — светлыми прописными буквами.
Множество, по словам Г. Кантора,
есть "многое, понимаемое как единое".
Для некоторых конкретных множеств
вводятся специальные обозначения:
ф - пустое множество;
{ а, Ъ, с,. .. } — множество, состоящее
из элементов а,Ь,с\
{ а } - множество, состоящее из
единственного элемента а; обычно оно будет
для простоты обозначаться как а;
[а: <р(а)} - множество всех
элементов вида в, обладающих свойством <^>;
R - множество всех вещественных
чисел,
В? - множество всех вещественных
л-мерных векторов;
R+ - множество всех
неотрицательных «мерных векторов.
Основные соотношения между
множествами и действия над ними
описываются следующим образом:
сб/1 - принадлежность элемента а
множеству А;
IA I - число элементов в конечном
множестве А;
А С В — множество А является
подмножеством (частью) множества/?;
А и В - объединение (сумма)
множеств А и В;
п
U>4/ — объединение множеств Ах,
i=l
А А •
А п В - пересечение (общая часть)
множеств А и В;
п
П А( — пересечение множеств Ах,
/=1
А2, - ■ • у Ап\
А\В - разность множеств А и В;
А ХВ - Декартово произведение
множеств А и В, т.е. множество всех пар
вида (д, Ь), где а еЛ и Ъ^В\
п
П Af — декартово произведение
1 = 1
множествЛ1,Л2,...,Лп, т.е. множество
всех упорядоченных систем вида (ах,
а2,... ,ап), где ах еЛр я2еЛ2,...
ап^лп ;
/: А -+В — функция, заданная на
множестве А со значениями в множестве В;
В - множество всех функций вида
/: А -Я;
/ = {1, 2,... ,л} - множество всех
игроков в бескоалиционной игре;
/ = { 1, 2,, .. , ffij}— множество всех
чистых стратегий игрока' i в
бескоалиционной игре;
X/ — множество всех смешанных
стратегий игрока i в бескоалиционной
игре; 5

х, у - множества всех чистых
стратегий игроков 1 и 2 в антагонистической
игре;
X, Y - множества всех смешанных
стратегий игроков 1 и 2 в
антагонистической игре;
х - множество всех ситуаций в
бескоалиционной игре;
X множество всех ситуаций в
смешанных стратегиях в бескоалиционной
игре.
Таким образом, стратегии и ситуации
обозначаются светлыми буквами, а
множества всех стратегий и ситуаций —
полужирными.
Множества всех ситуаций, стратегий
или иных те о рети ко -игровых объектов,
описывающих в том или ином смысле
оптимальные решения игр, получают
специальные обозначения рукописными
буквами:
^7(Г) - множество всех ситуаций
в игре Г, приемлемых для игрока/;
^(Г) - множество всех ситуаций
равновесия в игре Г;
Р
<ё (Г) - множество всех ситуаций,
оптимальных-по Парето в игре Г;
сЬЧП - множество всех
оптимальных стратегий игрока 1 в
антагонистической игре Г;
$ (Г) - множество всех
оптимальных стратегий игрока 2 в
антагонистической игре Г;
up, и (Г) — значение
антагонистической игры Г;
ир( • ) — характеристическая функция
бескоалиционной игры Г;
Tv — кооперативная игра с
характеристической функцией и;
и (Г) — характеристическая функция,
соответствующая кооперативной игре;
VR ~ простейшая характеристическая
функция с минимальной вьшгрывающей
коалицией R;
х — дележ в кооперативной игре;
х(К) — обозначение для суммы Е *,-,
тк
где х - дележ, а. К — коалиция;
ev{K, х) - эксцесс дележа х для
коалиции К в условиях характеристической
функции и;
*&{v) - с-ядро кооперативной
игры и;
<R(u) - Н-М-решение
кооперативной игры и;
Ф(и) — вектор Шепли кооперативной
игры v.

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ
1.1. Большинство наук, отражая явления объективной действительности,
создают содержательные представления о них. Математика же на основе
этих содержательных представлений формирует свои, формальные
(математические, знаковые) модели. Переход от содержательных
представлений к формальным моделям, называемый также математизацией
этих представлений, является процессом абстрагирования. Как и всякое
абстрагирование, этот переход сопровождается отвлечением от некоторых
черт рассматриваемого явления, как бы "стиранием" этих черт. Вместе
с тем, чтобы формальная, математическая модель какого-либо явления
оставалась все-таки его моделью, необходимо, чтобы она отражала,
воспроизводила все существенные его черты.
Далее мы будем говорить об общественных, социально-экономических
явлениях. Не следует называть таковыми просто любые явления,
происходящие в человеческом обществе, в его условиях. Так, функционирование
какого-либо технического устройства, сам по себе некоторый
технологический процесс не могут квалифицироваться как общественные явления,
хотя они осуществляются в конкретных общественных условиях и связаны
со многими в полном смысле этого слова общественными явлениями.
В основе технологических процессов лежат лишь те или иные физические,
химические или биологические закономерности, а протекают они вне
прямой зависимости от общественных отношений. Точно так же нельзя
считать общественным явлением, скажем, организацию телефонной связи,
хотя она есть показатель определенного уровня развития общества и
удовлетворяет определенные общественные потребности.
Подробно этому и многие задачи, традиционно считающиеся
экономическими, поскольку в их формулировках фигурируют экономические
понятия (обычно — деньги), в действительности являются
технико-экономическими. В качестве примера приведем известную транспортную задачу,
которую можно, никак не затрагивая ее содержательного существа,
переформулировать как задачу о минимизации работы (энергии),
затрачиваемой на суммарное перемещение однотипных масс из определенного их
исходного расположения в заданные места.
1.2. Одна из характерных черт всякого общественного,
социально-экономического явления, оказывающегося таковым по существу (а не просто
потому, что оно осуществляется в условиях человеческого общества),
состоит в множественности, в многосторонности интересов, затрагиваемых
исходами этого явления, в наличии сторон, наделенных различными интере-
7

сами, или хотя бы в наличии нескольких различных активных точек зрения
на явление и его исход.
Так, приходится считаться с различием личных, коллективных и
общественных интересов, ибо уже сам тезис о подчинении личных интересов
общественным предполагает различие тех и других. В классовом обществе
имеются различные классовые интересы. В условиях плановой системы
хозяйства необходимо сочетать отраслевые и региональные интересы, а
также подчас противоречащие друг другу интересы отдельных ведомств..
Планирование работы предприятия по нескольким показателям и
отчетность по каждому из них отражает оценки различных сторон
деятельности предприятия. Основные трудности внедрения и
распространения нововведений предопределяются противоречием между
сегодняшней выгодой и будущим эффектом. В этом смысле можно сказать, что
любое социально-экономическое явление наделено чертами конфликта.
Обратим внимание на то, что всякая заинтересованная сторона должна -
обладать различными возможностями действовать, удовлетворять свои
интересы. В противном случае, если у нее имеется только одна такая
возможность, она перестает играть роль стороны в рассматриваемом
процессе и превращается в обстоятельство, влияющее вполне
определенным, однозначным образом на протекание этого процесса.
Следовательно, всякая претендующая на адекватность математическая
модель социально-экономического явления должна отражать присущие
ему черты конфликта: различие интересов участвующих в нем сторон,
а также разнообразие тех действий, которые эти стороны могут
осуществлять во имя достижения своих целей. Это значит, что
социально-экономическое явление при его математическом моделировании должно наряду с
возможными другими представлениями допускать еще и представление в виде
конфликта, т.е. такое, в котором отражены следующие его
компоненты:
а)г заинтересованные стороны;
б) возможные действия каждой из сторон;
в) интересы сторон.
В условиях наиболее общего (и тем самым — наиболее простого)
математического описания конфликта перечисленные его компоненты
должны описываться при помощи наиболее общих и простых
математических объектов. Такими математическими объектами являются множест-
в а.
1.3. Дадим формальное описание указанных компонент конфликта,
вводя при этом принятую терминологию и обозначения.
Заинтересованные стороны будут далее называться игроками или
лицами, а множество всех игроков будет обозначаться через /. Далее в
этой книге мы ограничимся рассмотрением случая, когда множество /
конечно. Не нарушая общности, можно принимать, что /={1,2,..., п).
Любое возможное для игрока ? €/ действие называется его стратегией;
множество всех стратегий игрока / обозначим через xz-. В условиях
конфликта каждый игрок /G/ выбирает некоторую свою стратегию Jt/ €х{-, в
результате чего складывается набор стратегий х = (хг,..., хп), называемый
ситуацией. Множество всех ситуаций является, очевидно, декартовым
произведением П X/ и обозначается через х.
8

Заинтересованность игроков в ситуациях проявляется в том, что
каждому игроку iG/в каждой ситуации хЕ х приписывается число,
выражающее степень удовлетворения его интересов в этой ситуации. Это число
называется выигрышем игрока i в ситуации х и обозначается через Н( (х).
Соответствие Я/: x-*R называется функцией выигрыша игрока /.В этих
условиях протекание конфликта состоит в выборе каждым игроком
i £ / его стратегии xf Gx,- и в получении им в сложившейся ситуации х =
= (х1з... ,хп) из некоторого источника выигрыша Я/ (х). Вообще говоря,
оценка игроком i ситуации х путем указания выигрыша Я/ (х) не всегда
возможна практически и даже не всегда имеет смысл (если, например,
она выражается в эмоциональных, эстетических или этических категориях).
В таких случаях иногда удается вместо прямых численных оценок
ситуаций указывать на их сравнительную предпочтительность для
отдельных игроков. На этом пути создается теория игр с предпочтениями,
более широкая, чем излагаемая далее теория игр с выигрышами. Однако
математическая теория игр с предпочтениями, с одной стороны, сложна, а
с другой — пока еще недостаточно разработана. Здесь мы рассмотрим
только игры с выигрышами.
Таким образом, всякий конфликт будет нами представляться в виде
системы
</,{х,},е/, {#,},е/ >. (1.1)
Такая система называется бескоалиционной игрой или просто игрой.
Обычно бескоалиционная игра обозначается греческой буквой Г (быть может,
с некоторым индексом или пометкой), соответственно начальной букве
английского слова game (игра).
1.4. В принципе можно говорить и о бескоалиционной игре Г с одним
игроком (п= 1). В этом случае каждая стратегиях! единственного
участника игры уже составляет ситуацию х, так что хх = х, и игра Г из (1.1)
фактически оказывается просто функцией: Н-Н\: x = xi ->R. Из этого
обстоятельства вовсе не следует, что теория функций как раздел
математики должна или может входить составной частью в теорию игр. В
действительности эти области математики подходят к своим предметам с достаточно
различных точек зрения.
1.5. Среди всех бескоалиционных игр естественным образом выделяется
класс антагонистических ;игр, в которых число игроков равно двум, а
значения их функций выигрыша в каждой ситуации равны по величине и
противоположны по знаку:
HiQc\,x2)-—H2(X\, x2).
Очевидно, запись игры в виде (1.1) применительно к
антагонистической игре приобретает вид ({1, 2}, (х1} х2},{Яь ~НХ}\ или, исключая
информацию, содержащуюся в самом факте антагонистичности игры, —
ВИД(Х!,Х2,Я1> .
Чтобы сократить употребление индексов, множества стратегий игроков
1 и 2 антагонистической игре будут обычно обозначаться через х и у,
функция выигрыша Я! — через Я, а сама игра записывается в виде < х, у, НУ.
1.6. Бескоалиционная игра, в которой множества стратегий каждого
игрока конечны, называется конечной бескоалиционной игрой (конечной
9

игрой). Если для конечной бескоалиционной игры двух лиц ставить в
соответствие стратегиям игрока 1 строки некоторой таблицы, стратегиям
игрока 2 — ее столбцы, а клетки таблицы заполнять значениями функции
выигрыша игрока 1, то* полученная таблица называется матрицей
выигрышей игрока 1. Если клетки этой же таблицы заполнить значениями
функции выигрыша игрока 2, то получится матрица выигрышей игрока 2. Эта
пара матриц полностью описывает конечную бескоалиционную игру двух
лиц. Поэтому такие игры называются биматричными.
Если биматричная игра является антагонистической, то матрица
выигрышей игрока 2 полностью определяется матрицей выигрышей игрока 1
(соответствующие элементы этих двух матриц отличаются только знаками).
Поэтому биматричная антагонистическая игра полностью описывается
единственной матрицей (матрицей выигрышей игрока 1) и в соответствии с
этим называется матричной.
§ 2. ПРИМЕРЫ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР
2.1. Рассмотрим несколько примеров бескоалиционных игр. Целью
этого рассмотрения является конкретная иллюстрация не только самого
понятия бескоалиционной игры, но и вариантов тех трудностей, с
которыми приходится сталкиваться при анализе таких игр.
2.2. Зачет. Пусть игрок 1 — Студент — готовится к зачету, а игрок 2 —
Преподаватель — принимает его *). Будем считать, что у Студента две
стратегии: хорошо подготовиться (X) или плохо (/7), а у Преподавателя —
тоже две стратегии: поставить зачет (+) и не поставить его (—). В основу
оценки значений функций выигрыша игроков можно положить, например,
следующие соображения, отраженные в матрицах выигрышей.
Выигрыши Студента
Выигрыши Преподавателя
П
+
2
(оценили по
заслугам)
1
(удалось
словчить)
_
-1
(обидно)
0
(получил по
заслугам) J
1 X
П
+
Г °
[все нормально)
' -3
(дал себя об-
_ мануть)
-2 1
(проявил

справедливость)
-1
(Студент
придет еще раз) J
Этой модели более всего соответствует случай остающегося после
беседы сомнения преподавателя в добросовестности студента и отсутствие
реальной возможности проводить дальнейшее доскональное выяснение
его знаний.
Эта игра — биматричная. В ней / = {1, 2 } , хг ={Х, 77} их2 ={+, — /.
Значения функций выигрыша игроков приведены в матрицах.
2.3. Орлянка. Игрок 1 выкладывает монету на стол, а игрок 2, не
видя монеты, угадывает, какой стороной (т.е. "орлом" (О) или "решкой"
*) По принятой в теории игр традиции нарицательные названия игроков считаются
как бы их собственными именами и потому пишутся с прописной буквы. Употреби-
ечьны также имена: Природа, Случай и т.п.

(Р)) вверх она положена. В случае угадывания он получает от игрока 1
одну единицу выигрыша, а в противном случае уплачивает ему единицу.
Эта игра — антагонистическая. В ней хг - х2 ={0, Р) , а Я (О, О) =Н(Р,
Р) = —1 и Я (О, Р) =Н (Р,0) - 1, или в матричной форме:
о р
;[-. -:]
2.4. Пример игры на открытом квадрате. Пусть каждый
из игроков 1 и 2 выбирает число из открытого интервала (0, 1), после чего
игрок 1 получает от игрока 2 сумму выбранных чисел.
В этой антагонистической игре, очевидно, х = у = (0, 1), так что
множество ситуаций хХ х = (0, 1) X (0,1) является множеством пар чисел (х9у),
где 0<х, у < 1,т.е. открытым единичным квадратом. Очевидно, для этой
игры Я (х, у) =х + у.
2.5. Д в а бандита. Игроками L и 2 являются преступники
("бандиты"), находящиеся в предварительном заключении по подозрению в
тяжком преступлении. Прямых улик, однако, против них нет, и возможность
их обвинения в значительной мере зависит от того, сознаются ли
преступники сами.
Если оба они сознаются, то будут, несомненно, осуждены на
длительный срок тюремного заключения, однако при этом признание учитывается
как смягчающее обстоятельство (потери каждого из игроков в этом случае
оценим в —8). Если они оба не сознаются, то за отсутствием улик
обвинение в тяжком преступлении будет снято, но следователь сможет доказать
их виновность в совершении менее значительного преступления, в
результате чего оба получат некоторое наказание (потери составляют — L для
каждого). Если, наконец, сознается лишь один из преступников, то по
законам той "модельной" страны, в которой происходят
описываемые события, он будет выпущен на свободу (потери равны 0), а его
упорствующий партнер получит полную меру возмездия (потери
равны-10).
Эта игра — биматричная. В ней каждый игрок имеет по две стратегии:
признаваться (77) или нет (Я). Матрицами выигрышей игроков
являются:
для игрока 1 для игрока 2
ПН ПН
П -8 0 Я Г-8 -10 1
Я L -10 -1 J Я L 0 -1 J
2.6. Семейный спор. Два экономических партнера (игроки 1 и 2)
договариваются о совместном проведении одного из двух действий, Dx или
D2, каждое из которых требует совместного.участия обоих партнеров.
В случае совместного осуществления действия Д игрок 1 получает
одну единицу полезности, а игрок 2 — две единицы. Наоборот, в случае
совместного осуществления D2 игрок 1 получает две единицы, а игрок 2 —
лишь одну. Наконец, если игроки выполнят различные действия, то
выигрыш каждого из них равен нулю. Таким образом, мы имеем биматричную
11

игру с матрицами выигрышей
Di 1 0 А Г 2 О
Д2 | О 1 J А I О 1 J
Во многих популярных сочинениях по теории игр эту игру
интерпретируют как одновременный выбор супругами совместного вечернего
развлечения: посещения соревнований по боксу или же балета, причем в
посещении бокса муж заинтересован в большей степени, чем жена, при посещении
балета наблюдается обратная картина, а в случае непреодоленного
разногласия вечер вообще оказьгоается испорченным. Ввиду такой интерпретации
описанная игра часто называется "семейным спором".
2.7. Морра «лиц. Игрой "морра" называется игра любого числа
лиц, в которой все участники одновременно показывают ("выбрасывают")
по некоторому числу пальцев, делая это молча ("немая морра") или же
называя по некоторому числу каждый ("громкая морра"). Ситуацией,
очевидно, является здесь система чисел показанных пальцев, а в случае-
"громкой морры", кроме того, система названных чисел. Каждой
ситуации приписываются выигрыши, которые игроки в условиях этой
ситуации получают (из "банка"). Далее рассматривается следующий конкретный
вариант "немой морры".
Пусть в игре участвует п игроков, каждый из которых показывает один
или два пальца. Каждый игрок выигрывает показанное им число, если все
остальные игроки показали другое число; он выигрывает нуль во всех
остальных случаях.
Очевидно, в этой игре 2п ситуаций. Каждый игрок получает
положительные выигрыши в двух из них.
§ 3. ОПТИМАЛЬНОСТЬ
3.1. Изучение конфликтов, а в соответствии с этим — игр в только что
определенном смысле слова, можно проводить с различных точек зрения:
дескриптивной, состоящей в выяснении того, какие ситуации
фактически складываются (или могут складываться) в тех или иных конфликтах;
нормативной, устанавливающей, какое поведение игроков следует
считать оптимальным (разумным, целесообразным);
конструктивной, указывающей, как осуществлять нужные (например, оптимальные)
стратегии или ситуации, и прогностической, занимающейся
предсказанием фактического исхода конфликта.
Теория игр как математическая дисциплина в ее современном состоянии
занимается нормативным изучением игр.
Основными задачами теории игр можно считать поэтому следующие три:
выработку принципов оптимальности, установление их реализуемости (т.е.
установление существования оптимальных в этом смысле ситуаций) и
нахождение их реализаций.
3.2. Различные теоретико-игровые концепции оптимальности формально
отражают те или иные содержательные представления об оптимальности,
являясь их математическими моделями. Поэтому понятия оптимальности
в теории игр и оптимального решения игры не являются однозначными, ап-
12

риорными, абсолютными. Вместе с тем эти понятия являются
объективными, т.е. каждый вариант оптимальности поддается тощюму описанию при
помощи недвусмысленных математических формулировок.
3.3. Основными содержательными чертами оптимальности в применении
к исходу или к множеству исходов конфликта можно считать
интуитивные представления овы годности, устойчивости и
справедливости.
В простейшем случае, когда в игре имеется лишь один игрок,
выгодность можно понимать, пожалуй, единственным образом, а именно как
максимизацию значения функции выигрыша по всему множеству
стратегий-ситуаций . При этом под максимумом функции Я: х -> R понимается
такое значение переменной xGx, что при любом у Е х будет Я(у) <^Н(х).
Если такой максимум функции отсутствует (т.е. максимальное значение
не достигается), то, как известно, для любой ограниченной функции
существует ее супремум, к которому можно подойти сколь угодно близко
(ближе, чем на произвольное е > 0).
3.4. Очевидно, описанные выше точки максимума обладают и свойством
устойчивости: отклонение игрока от своей наиболее выгодной,
максимизирующей стратегии может разве лишь уменьшить его выигрыш.
Формально это выглядит как объявление максимумами функции Я: x->R
таких значений переменного хЕх, что ни для какого другого jGxHe будет
Н(х)<Н(у).
В случае, когда приходится говорить не о максимуме, а лишь о
супремуме функции, соответствующие стратегии-ситуации оказываются €-устой-
чивыми (в том смысле, что отклонение игрока от такой ситуации хотя и
может увеличивать выигрыш игрока, но не более чем на е > 0).
3.5. Иногда представляется целесообразным говорить не об отдельных
значениях переменного, максимизирующих данную функцию Я: x->R, a
о мно же с тв е всех таких значений в целом. Это множество будем
обозначать через (ЙХ(Я).
Понимая оптимальность как устойчивость, можно дать определение
множеству (&Х(Н) всех максимумов функции Я как такому множеству
значений переменного х, которое обладает следующими двумя свойствами.
Внутренняя устойчивость: прих',х"е $х(#) не может быть ни Я (х) <
<Я(х"),ниЯ(х';)<Я(х')»
Внешняя устойчивость: по любому у f* % х (Я ) найдется такое х G с$х (Я),
чтоЯ0О<Я(х),
Нетрудно проверить, что несмотря на некоторую вычурность такая
формулировка определяет максимумы функции эквивалентно определениям
из пп. 3.3 и 3.4.
3.6. Обратим внимание на следующие тривиальные свойства операции
максимизации % :
1°. Независимость от посторонних альтернатив*):
еслиуСх,тоуП (ёх(Н)С <йу(Я).
*) Независимость от посторонних альтернатив является важным свойством
разного рода оптимумов и выступает в довольно различных: формах. Здесь и далее
мы имеем дело лишь с одним из вариантов этого свойства.
13

2°. Конфинальность: если у Сх и по каждому xGx найдется та-
KoejeY,4TO#(x)^#0),TO ^У(#)С ^х(#)-
Далее мы увидим, что эти чрезвычайно простые соображения остаются
в силе для многих теоретико-игровых принципов оптимальности и
оказываются важными источниками приемов нахождения их реализаций.
3.7. Заметим, наконец, что говорить в случае одного игрока о
справедливости просто не имеет смысла: формально для единственного участника
игры справеделивой будет любая ситуация.
3.8. До сих пор мы говорили о тех детерминированных случаях, когда
выигрыш игрока однозначно зависит от выбранной им стратегии-ситуации.
Вместе с тем распространено и представляет интерес явление, когда
выигрыш Н (х) зависит не только от стратегии-ситуации х, но и от разного
рода случайных обстоятельств, являясь тем самым случайной
величиной.
Вопрос о численной оценке случайного выигрыша представляется
достаточно нетривиальным и допускает различные ответы. Мы не будем
глубоко вдаваться в его анализ и примем в качестве такой оценки
математическое ожидание случайного выигрыша. Такой подход
представляется естественным с точки зрения ^нкона больших чисел:
математическое ожидание выигрыша при повторных реализациях
ситуации можно понимать как средний ожидаемый выигрыш на одну
реализацию.
3.9. Пусть теперь игра нетривиальна, т.е. в ней участвует более одного
игрока. Тогда содержательные представления о выгодности и устойчивости,
не говоря уже о справедливости, могут быть формализованы весьма
различным образом.
Можно, например, оптимальной ситуацией считать такую, на которой
одновременно достигают своих максимумов функции выигрыша
каждого из игроков.
Условие оптимальности в этом смысле для ситуации х* в игре Г из (1.1)
формально можно записать как
Hi(x)<Hi(x*) для любых i G / их £х. (3.1)
Выгодность такой ситуации ясна. Ее устойчивость также очевидна:
любое отклонение от нее игроком или группой игроков может привести разве
лишь к уменьшению выигрышей всех участников игры (и в том числе —
отклонившихся).
Справедливость этой ситуации вытекает из симметричности вхождения
всех игроков в условие (3.1), Разумеется, такая справедливость неполна,
так как в ситуации х * игроки могут иметь различные выигрыши. Говоря
точнее, мера справедливости ситуации в этом и в подобных случаях
отражает меру справедливости самой игры: если правила игры таковы, что они
предоставляют одному игроку большие выигрыши, чем другому, то
никакая справедливость внутри игры не скомпенсирует ущемленного
положения второго игрока. Его стремление к справедливости должно поэтому
заключаться не в каком-либо оптимальном поведении в рамках правил
игры, а в изменении самих этих правил. Как известно, это обстоятельство
имеет большое идеологическое значение, но его детальное рассмотрение
выходит за пределы нашего предмета.
14

Нетрудно видеть, однако, что существование в бескоалиционной игре
ситуаций, оптимальных в только что описанном смысле, является
сравнительно редким исключением (как и любое совпадение максимумов
нескольких функций). В сущности как формально, так и содержательно
реализуемость этого принципа оптимальности соответствует слабости
конфликтных черт моделируемого явления, близости целей его участников и,
в конечном счете, возможности анализировать этот конфликт, минуя
теорию игр.
Из приведенных в § 2 примеров бескоалиционных игр только в первом
имеется ситуация, оптимальная в указанном смысле (Студент хорошо
подготовился, а Преподователь поставил ему зачет). В остальных
примерах, соответствующих житейски достаточно реальным случаям, оптимальных
в описанном смысле ситуаций нет. Естественно поэтому искать другие
представления об оптимальности, быть может, не столь бесспорные, но зато
более часто реализуемые.
§ 4. РАВНОВЕСИЕ
4.1. Одной из плодотворных форм реализаций представлений об
оптимальности можно считать понятие равновесия, состоящее в
следующем. Ситуация назвается равновесной, если ни один из игроков не
заинтересован в том, чтобы ее нарушить, отклониться от нее. Формально это
можно записать следующим образом. Пусть
Г = </, {х;} ,е/, {Я,} /е/> (4.1)
— бескоалиционная игра, а х= (х1,.. . ,хп) — некоторая ситуация в ней.
Если xt — произвольная стратегия игрока г, то положим
xi ~ Vх 1 ■> • • • 5 xi— 15 xh xi+1» • • • •> хп )-
Таким образом, х II х\ есть результат замены в ситуации х стратегии xt
игрока i на его стратегию xf Ситуация х* называется равновесной (или
ситуацией равновесия), если
Hf(x* \\Xf)^Hf(x*) при любых/ G/ и xt Gx,- . (4.2)
4.2. Если игра Г из (4.1) является антагонистической, то ситуация х*
имеет вид (х*,у*) и соотношение (4.2) может быть переписано в виде
Н(х, у* )S.H(x*, у)^, Н(х*, у) при любых х G хи jGy
(подробно об этом будет рассказываться в п. 4.2 гл. 1). В случае
антагонистической игры ситуация равновесия называется ее седловой точкой.
Функция выигрыша игры во всех ее седловых точках принимает одно и
то же значение,которое называется значением игры и обозначается через vr.
Значение антагонистической игры Г (см.п.4.5 гл. 1) есть тот наибольший
выигрыш, который игрок 1 может в ней уверенно получить. Тем
самым оно равно той справедливой плате, которую игроку 1 естественно
уплатить за возможность принять участие в игре Г.
4.3. Именно ситуации равновесия могут быть предметом устойчивых
договоров между игроками. Всякая попытка зафиксировать в доюворе
неравновесную ситуацию будет означать, что хотя бы у одной из
договаривающихся сторон найдется такая стратегия, что выбор ее вместо пре-
15

дусмотренной договором увеличит выигрыш этого игрока. Тем самым
возникают мотивы к нарушению договора.
Далее, ситуации равновесия являются для каждого игрока выгодными:
соотношение (4.1) можно записать как
Я/(х:*)= max Ht{x* \\xt)\ для любого/ Е/,
т.е. каждый игрок / в ситуации х* получает свой наибольший выигрыш
(в той мере, в какой это от него самого зависит).
Наконец, равновесная ситуация может пониматься в том же смысле и с
теми же оговорками, что и оптимальная ситуация из п. 3.9, и как
справедливая: в систему (4.2) определяющих ее соотношений все игроки входят
симметрично.
4.4. Принцип оптимальности в бескоалиционной игре, состоящий в
осуществлении игроками ее ситуаций равновесия, является более слабым и
чаще реализуемым, чем принцип, описанный в п.3.9. Из примеров,
приведенных в § 2, только в примерах из пп. 2.3 и 2.4 игра не имеет ситуаций
равновесия. Однако каждый из примеров пп. 2.3 — 2.6 порождает
проблематику, занимающую заметное место в теории игр.
4.5. Если в бескоалиционной игре ситуаций равновесия нет, как это,
например, имеет место в игре из п. 2.4, то мы встречаемся с неразрешимой
задачей, т.е. с задачей, решение которой отсутствует в классе уже
имеющихся объектов. Вместе с тем история математики полна примерами того,
как встреча с неразрешимой задачей приводила к такому расширению
класса имеющихся объектов, в котором нужное решение задачи
содержалось. Пожалуй, первым примером задачи такого рода оказалось деление
целых чисел, в классе имевшихся к тому времени целых чисел не всегда
выполнимое. Для того чтобы задача деления одного числа на другое была
всегда разрешимой, пришлось расширить понятие числа и ввести в
рассмотрение наряду с целыми еще и дробные числа.
Сходным образом, при отсутствии в игре ситуаций равновесия,
составленных из имеющихся у игроков стратегий, естественно поставить вопрос
о таком расширении понятия стратегии, чтобы среди ситуаций,
составленных из новых, обобщенных стратегий заведомо нашлись бы
равновесные.
4.6. Отсутствие ситуации равновесия в игре из п. 2.4 напоминает
достаточно знакомую картину возможного отсутствия максимума функции на
открытом множестве, например, функции Н (х) =х на интервале (0,1).
Однако если присоединить к этому интервалу предельную точку х= 1,
то максимум рассматриваемой функции достигаться будет, и именно на
этой предельной точке. Оставаясь же в пределах исходного интервала,
мы можем, как это было отмечено в п. 3.3, неограниченно к этому
максимуму приближаться. Ввиду непрерывности данной функции Н тем самым
мы для любого €>0 указываем "е-максимум" этой функции, т.е. такие
значения аргумента хе, что выбор вместо хе другого ее значения может
увеличить значение функции Я не более чем на е. Очевидно, в
рассматриваемом случае можно взять произвольно х€ G (1 — е, 1).
Точно так же и в условиях игры из примера п. 2.4 присоединение к
интервалам (0, 1) изменения переменных х и у их предельных точек х=1 и
у = 0 превращает пространство ситуаций игры в "полузамкнутый" квадрат
16

(0,1] X [0,1), на котором седловая точка функции Н(х,у) = х + у уже
будет достигаться, а именно в точке (х*,у*) с х*= 1 и у*=0. При этом
"по непрерывности" будет Я(1, 0) = 1. В исходном же открытом
квадрате при любом б > 0 найдется такая е-седловая точка (х€,у€), что любое
изменение стратегии хе игрока 1 не сможет увеличить его выигрыш по
сравнению с выигрышем в этой е-седловой точке более чем на е, а любое
изменение стратегии у€ игрока 2 не сможет уменьшить более чем на е его
потери. Для этого, очевидно, достаточно взять х€ Е (1 — е, 1) и уе Е (0, е).
Таким образом, отсутствие ситуаций равновесия в игре из примера
п. 2.4 в известной мере преодолевается введением е-седловых точек,
существующих при любом 6 > 0.
4.7. Отсутствие седловых точек в игре из п. 2.3 также приводит к
неразрешимой задаче, но и е-седловых точек здесь при некоторых
положительных б ввести не удается, и неразрешимость задачи требует несколько
нетрадиционных обобщенных стратегий.
Такими обобщенными стратегиями оказываются выпуклые комбинации
исходных стратегий, которые называются смешанными стратегиями.
Исходные же стратегии назьюаются при этом чистыми. При этом значения
функций выигрыша на ситуациях, составленных из смешанных стратегий,
определяются путем продолжения их первоначальных значений "по
полилинейности". Так сконструированная игра обычно называется смешанным
расширением исходной игры.
Одной из удобных интерпретаций смешанной стратегии является ее
представление как случайного выбора игроками их чистых стратегий,
причем случайные выборы различных игроков независимы в совокупности,
а выигрыш каждого из них в ситуации в смешанных стратегиях
определяется как математическое ожидание случайного выигрыша.
Нетрудно проверить, что в игре в "орлянку" из п. 2.3 ситуация
равновесия (в данном случае ее можно называть седловой точкой) в смешанных
стратегиях существует. Она составлена из смешанных стратегий игроков,
состоящих в выборе каждым из них обоих своих чистых стратегий с
половинными вероятностями. Как легко подсчитать, значение получившегося
смешанного расширения игры равно нулю (см., например, § 18 гл. 1).
4.8. Игра "два бандита" из п. 2.5 ситуацию равновесия имеет: эта
ситуация состоит из первых стратегий игроков. Каждый из них несет в этой
ситуации потери, равные 8. Однако в неравновесной ситуации, состоящей
из вторых стратегий игроков, потери каждого из них будут равны
единице. Таким образом, равновесная, устойчивая ситуация оказьюается
невыгодной, а выгодная — неравновесной. Нахождение в этой игре ситуации,
которая одновременно являлась бы устойчивой и выгодной, оказьюается
тем самым неразрешимой задачей, которая, как мы уже можем себе
представить, требует некоторого расширения понятия стратегии.
Однако ситуация равновесия в чистых стратегиях здесь уже имеется,
так что введение смешанных стратегий в данном случае делу не поможет,
и приходится искать новое обобщение понятия стратегии. Таким
обобщением может служить понятие условной стратегии, называемой также
метастратегией, состоящей в том, что игрок выбирает свою исходную
стратегию не априори, а в зависимости от того, какую стратегию выбирают
другие участники игры.
2.Н.Н. Воробьев 17

В получившейся игре ("метаигре") можно снова говорить о метастра-
тегиях, которые по отношению к исходной игре будут уже "вторыми
метастратегиями",ит.д. Оказывается (см. п. 19.3 гл. 3), что в
бескоалиционных играх двух лиц в должным образом выбранной третьей метаигре
существуют выгодные ситуации равновесия. В частности, в надлежащем
втором метарасширении игры "два бандита" существует ситуация
равновесия, в которой каждый из игроков несет единичные потери (см. п. 16.4
гл. 3).
4.9. Игра "семейный спор" из п. 2.5 имеет две ситуации равновесия:
состоящую из первых стратегий игроков и из их вторых стратегий. Тем
самым возникает проблема выбора одной из них.
Однако ни одна из этих двух ситуаций равновесия в чистых стратегиях
не является справедливой: в одной из них больший выигрыш получает
игрок 1, а в другой — игрок 2. Вместе с тем оба игрока входят в данную
игру симметрично (если переменить имена игроков и названия их
стратегий, то игра перейдет сама в себя) . Значит, рассматриваемая игра в смысле
своих правил является справедливой, и естественно потребовать, чтобы
оптимальный ее исход также был справедливым, т.е. чтобы оба игрока
получали в нем одинаковые выигрыши. Правда, в смешанных стратегиях
здесь удается найти еще и третью, справедливую ситуацию равновесия
(см. п. 13.1 гл. 3), но она оказывается менее выгодной, чем каждая из
указанных чистых стратегий. Тем самым возникает противоречие между
выгодностью и устойчивостью, с одной стороны, и справедливостью —
с другой. Это противоречие может быть разрешено путем выбора одной
из выгодных (и желательно — равновесных), хотя и несправедливых
ситуаций с последующей компенсацией, которую оказьшшийся
привилегированным в этой ситуации игрок выплачивает своему ущемленному партнеру.
Развитие этой стороны вопроса приводит к построению так называемой
кооперативной теории бескоалиционных игр.
§ 5. КООПЕРАТИВНАЯ ТЕОРИЯ
5.1. Каждая бескоалиционная игра
Г = </, {х,}/е/, {Я,.}/е/> (5J)
описывает некоторый, вообще говоря, достаточно сложный конфликт,
не всегда поддающийся не только детальному изучению, но и даже точному
описанию. Поэтому представляется естественным выбирать в этом
конфликте отдельные его аспекты и подвергать их специальному анализу.
Быть может, самым простым будет при этом выделение некоторого
множества игроков К С /, называемого коалицией (бескоалиционность
рассматриваемых игр в том и состоит, что никакие коалиции первоначально
в правилах игры, т.е. в ее задании в виде (5.1), не предусмотрены), и
рассмотрение антагонистической игры Г(К) коалиции К как единого
игрока против ее "окружения" 1\К в целом. При этом комбинации
стратегий игроков из К (и из / \А") составляют стратегии К
(соответственно стратегии /\if), а сумма выигрышей игроков
из А — в ы и г р ы ш к о а л и ц и и К. Значение v(K) (см. п. 4.2) этой игры
естественно понимать как силу коалиции -К в общей игре Г.

5.2. Соответствие K*-*v(K) для каждой коалиции КС1в условиях
бескоалиционной игры Г из (5.1) называется ее характеристической
функцией и обозначается через иг.
Характеристическая функция vr дает представление о возможностях
коалиций и отдельных игроков в условиях игры Г даже без указания
множества стратегий и функций выигрыша в ней.
Это напоминает написание уравнения химической реакции, которое уже
дает важную информацию о происходящем процессе, оставляя "за кадром"
его интимную сущность, представления о молекулах как пространственных
конфигурациях атомов, судьбы передаваемых электронов, игру
электромагнитных сил и т.д. Поэтому говорят даже о задании игр "в форме
характеристической функции", противопоставляя его заданию игр "в нормальной
форме", т.е. в виде (5.1), и в других формах, о которых в данной книге
говориться не будет. Изучение характеристических функций игр и
составляет содержание кооперативной теории игр.
5.3. В рамках такой кооперативной теории исходами игры будут
некоторые распределения суммарного выигрыша, называемые дележами.
Характеристическую функцию, рассматриваемую совместно с некоторым
множеством дележей, принято называть кооперативной игрой. Для
кооперативных игр конструируются соответствующие принципы оптимальности
и рассматривается связанная с ними проблематика.
В некоторых из этих принципов оптимальности воплощаются
представления об устойчивости, которые получаются перенесением на соотношения
между дележами приведенных в пп. 3.4 и 3.5 вариантов описания
максимума функции. Однако применительно к дележам эти варианты определения
перестают быть эквивалентными и порождают различные принципы
оптимальности.
5.4. Вводимые принципы оптимальности имеют некоторые недостатки
(если вообще можно говорить о недостатках достаточно естественно
возникающих объектов): они не всегда реализуемы, а в тех случаях, когда
реализуемы, могут допускать целые множества реализаций, причем каждая
реализация может состоять из .многих дележей. К тому же реализации этих
принципов могут не удовлетворять условиям справедливости в том смысле,
как она определялась выше.
Все сказанное заставляет искать новые принципы оптимальности. При
этом плодотворным оказывается следующий путь: не переносить на случай
дележей те или иные формулировки для максимумов на числовых
множествах, выясняя, какими свойствами полученные принципы
оптимальности будут обладать, а наоборот, фиксировать те свойства (в том числе —
некоторые черты справедливости), которые желательно видеть у
интересующих нас принципов оптимальности, и конструировать принцип, который
этими свойствами заведомо будет обладать. Такой подход к вопросу по
существу является аксиоматическим.
§ 6*. ПОСТАНОВКА ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ИГР
6.1. Принципиальная возможность применять теоретико-игровые методы
к решению реальных задач возникает всякий раз, когда мы наблюдаем
явление с множественными интересами его участников. Как отмечалось
2* 19

в п. 1.2, таким оказывается практически любое общественное, социально-
экономическое явление.
Однако констатация такого простого и едва ли не бесспорного факта
еще не означает фактической возможности использовать
теоретико-игровые методы для решения практических задач. На самом деле
указание на возможность описания некоторых явлений в виде
бескоалиционных игр означает всего лишь соотнесение обширному классу явлений
объективной действительности некоторого (также весьма обширного)
класса математических моделей. Переход к уточнению этого
соотнесения, к установлению соответствия между более конкретными
содержательными явлениями, с одной стороны, и их конкретными математическими
моделями — с другой, оказывается достаточно сложным.
На недооценке трудностей этого процесса и было основано
распространившееся вскоре после создания основ математического аппарата теории игр
представление об уже сложившейся возможности сформулировать в
математическом виде, на теорети ко-игровом языке любую (или почти любую)
социально-экономическую задачу. Дело, как казалось, оставалось за
немногим: усовершенствовать математическую или хотя бы вычислительную
технику.
6.2. Фактически речь здесь должна идти о нескольких различных
аспектах математического обеспечения экономических и
социально-экономических задач.
Саму идею использования теоретико-игровой конструкции для описания
той или иной группы социально-экономических явлений следует отнести
к концептуальному аспекту математического обеспечения, которое состоит
в формировании исходной системы базовых понятий и установлении в нем
такой иерархической упорядоченности и логической структуры, которая
поддавалась бы представлению в математическом виде.
В случае теории игр такими базовыми понятиями являются, во-первых,
понятия игрока (стороны в конфликте), стратегии (способа его действий)
и выигрыша (оценки складывающейся ситуации), объединяемые в единое
понятие игры, как это описьюается, например, в п. 1.3, а, во-вторых,
понятия оптимальности, как формального представления некоторого синтеза
содержательных понятий выгодности, устойчивости и справедливости.
Различные варианты понятий игры и оптимальности порождают различные
разделы теории игр и различные подходы к их изучению. Формально они
выделяются из общей теории игр "структурными" признаками, которые
формулируются в абстрактных математических терминах. К таким
признакам относятся те или иные "структурные" свойства множеств стратегий
игроков. Например, представляет интерес говорить о топологических
(в том числе — компактных), линейных (и в том числе евклидовых данной
размерности) или измеримых пространствах стратегий. К структурным
свойствам игры можно отнести также конечность множеств стратегий
игроков. Структурным же свойством игры можно считать такое свойство
функций выигрыша, как их непрерывность (или полунепрерывность).
6.3. Первым шагом в направлении учета соответствия прнятия игры
болеет конкретным классам явлений может служить построение теоретико-
игровых моделей. Под ними понимаются такие классы игр, которые,как
и их компоненты, допускают некоторые единообразные содержательные
20

интерпретации. Фактически именно теоретико-игровые модели и
составляют большинство конкретных классов игр, изучение которых является
предметом конкретных разделов общей теории игр.
Разработка и анализ таких классов игр, являющихся
теоретико-игровыми моделями, назьюают модельным аспектом математического
обеспечения прикладных задач.
Теоретико-игровые модели выделяются наложением на компоненты
игры, помимо структурных условий, еще и дополнительных условий, более
конкретных, чем структурные, но имеющих тем не менее качественный
характер. Целая коллекция таких условий касается функций вьшгрыша
игроков. К их числу относятся такие свойства функций вьшгрыша, как их
выпуклость или другие особенности формы аналогичного характера,
типичные расположения множеств точек разрыва в остальном непрерывных
функций вьшгрыша и т.д. Часто теоретико-игровая модель представляет
собой конечно-параметрический класс бескоалиционных игр. Некоторые
классы кооперативных игр также имеют характер моделей.
На протяжении данного курса нам придется неоднократно встречаться
с теоретико-игровыми моделями.
6.4. Последующие шаги в конкретизации игр, подлежащих рассмотрению
в связи с той или иной теоретико-игровой задачей, заключаются в
последовательной, а в идеале — в полной индивидуализации игры. Фактически
это обычно проявляется в установлении значений параметров при
рассмотрении конечно-параметрических классов игр.
Совокупность приемов и методов такой (полной или частичной)
идентификации задачи называется ее информационным обеспечением.
Информационное обеспечение имеет тесные, хотя подчас и довольно
сложные связи с модельным аспектом обеспечения.
Информационное обеспечение опирается, с одной стороны, на прямые
измерения значений параметров задачи и на статистические выводы,
сделанные на основании таких измерений, а с другой — на модельные
рассмотрения, согласно которым значение параметра получается как решение
некоторой задачи. В качестве одного из простейших примеров укажем на
вычисление конкретных значений некоторой функции
(информационное обеспечение) на основании ее задания дифференциальным
уравнением с соответствующими начальными условиями (модельное
обеспечение). Переход от постановки прикладных задач к их решению требует
привлечения дальнейших аспектов математического обеспечения.
§ 7*. ПРОБЛЕМАТИКА ТЕОРИИ ИГР
7.1. Имея экономическое и социально-экономическое происхождения,
теория игр тем не менее является математической дисциплиной, одним из
разделов математики. Поэтому она ставит перед собой математические
задачи и решает их математическими средствами.
Исходным материалом таких задач являются конкретные игры или
классы игр (например, игры, определяемые с точностью до некоторых
параметров, принимающих значения из заданных областей). Это могут
быть бескоалиционные игры, кооперативные игры или же игры в иных
формах, которые мы не вводим в рассмотрение.
21

7.2. Первый вопрос, который возникает по поводу любой игры или
любого класса игр, заключается в выборе для этой игры (класса игр)
принципа оптимальности. Говоря математически, речь идет здесь о том,
по какому закону следует играм из некоторого класса ставить в
соответствие те или иные их исходы, их ситуации, которые и будут
квалифицироваться как оптимальные. Выше мы видели, что говорить о едином принципе
оптимальности не приходится, и это является не недостатком имеющегося
представления об оптимальности, а свидетельствует о содержательной
противоречивости и поэтому о множественности вариантов этой концепции.
Подчеркнем, что здесь речь идет не только о свободном (или лучше сказать,
обдуманном) выборе предмета исследования, но чаще о решении
определенной математической задачи: нахождении отображения (класса игр в
класс их исходов), обладающего определенными свойствами
естественности, убедительности.
Самой постановкой такого вопроса теория игр существенно отличается
в настоящее время от других разделов математики, где категория
целесообразного если и встречается, то носит пока еще неформальный, интуитивный
характер.
7.3. После выбора для рассматриваемого класса игр принципа
оптимальности проблематика теории игр в принипе перестает отличаться от
проблематики других математических дисциплин. Она состоит в установлении
зависимости между свойствами самих игр, с одной стороны, и свойствами
их оптимальных исходов, реализаций выбираемых принципов
оптимальности—с другой.
Наиболее слабой формой такой зависимости является констатация
реализуемости принципа оптимальности (т.е. существование оптимальных,
исходов) для заданных классов игр. Наиболее сильной формой
оказывается исчерпывающее описание всех реализаций принципа оптимальности
(оптимальных исходов) для всех игр данного класса.
Можно сказать, что этот круг задач составляет методический аспект
теоретико-игрового обеспечения прикладных задач.
7.4. Наконец, вопрос об эффективном, алгорифмическом нахождении
реализаций принципов оптимальности составляет алгорифмический аспект
теоретико-игрового обеспечения задач. Относящиеся к этому аспекту
вопросы исследуются преимущественно стандартными математическими
методами, хотя, разумеется, теория игр, подобно любой другой математической
дисциплине, постоянно вырабатывает свои собственные приемы решения
задач.

Глава 1
МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
§ 1. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
1.1.Определение. Тройка
Г = <х,у,#>, (1.1)
где хи у — непустые множества и Я: х X у -> R, назьюается
антагонистической игрой.
При этом элементы множеств х и у называются соответственно
стратегиями игроков 1 и 2 в игре Г, элементы произведения х X у (т.е. пары
стратегий вида (х, у), где х Е х и у G у) — ситуациями в ней, а функция
Я — функцией выигрыша игрока 1, а также функцией выигрыша самой
игры Г. □
В данной главе будут рассматриваться только антагонистические игры.
Поэтому указание на их антагонистичность мы иногда будем опускать.
Содержательно игру Г из (1.1) можно понимать как процесс, состоящий
в выборе игроками 1 и 2 своих стратегий хЕхи j> E у и в получении
игроком 1 от игрока 2 суммы (полезности) Н (х, у). Так как всякое
действие, выполняемое одним лицом, отличается от действия, выполняемого
другим лицом, мы можем считать, что множества х и у не пересекаются.
1.2. Между различными игроками могут иметь место те или иные
соотношения/Простейшее из них, отражающее диалектическую связь
тождественного и иного, состоит в том, что одна и та же игра может рассматриваться
с различных точек зрения.
Определение. Антагонистическая игра
Г' = <х',у\#'> (1.2)
называется аффинно эквивалентной антагонистической игре Г из (1.1),
если х' = х, у' = у и существуют такие вещественное а и
положительное к, что
Н' = кН + а. (1.3)
Аффинная эквивалентность игры Г' игре Г обозначается через Г' ~-Г. □
Содержательно аффинно эквивалентные игры отличаются друг от друга
лишь точками начала отсчета полезностей, приобретаемых (или теряемых)
игроками в результате игры, а также масштабами измерения этих
полезностей. .Поэтому аффинно эквивалентные игры мы можем рассматривать
как различные формальные описания одной и той же игры.
1.3. Теорема. Отношение аффинной эквивалентности между играми
является отношением эквивалентности, т.е. обладает свойствами:

Г ~ Г (рефлексивность);
из Г' ~Г следуег Г ~ Г' (симметрия) ;
изГ'~ГиГ"~Г' следует Г " ~~ Г (транзитивность).
Доказательство. Для доказательства рефлексивности достаточно
в (1.3) положить к * 1 и я = 0.
Для доказательства симметрии заметим, что из (1.3) следует
1 , а
Н= —Н'~ —,
к к
причем, очевидно, 1/к>0.
Наконец, для доказательства транзитивности выразим Г" ~ Г' в виде
Н" = к'Н' + а, где к'> 0. Вместе с (1.3) это дает нам
Н" = кк'Н + ка' + а,
причем кк'>0. Тем самым Г" ~ Г. □
Из доказанного следует, что множество всех игр с данными
множествами стратегий всех игроков разбивается на попарно непересекающиеся
классы аффинно эквивалентных игр.
1.4. Другой вид эквивалентности затрагивает игроков и их стратегии.
О пр е д ел ени е. Игры Г = (х,у,#>и Г'=(х' у',#'> называются
изоморфными, если существуют такие однозначные отображения тт1: х -* х' и
тг2: У -* У', что Н'(-пхх, тг2у) = Н(х, у) .
Пара отображений тг= (7Г15 7г2) называется при этом изоморфизмом Г
на Г'.
Игры Г и Г' называются зеркально изоморфными, если существуют
такие однооднозначные отображения тг х: х-*у'и тт2: у ->х'что Н'(ттг,У,
тг1х) = -Н(х,у).
Пара отображений я = (я-!, тг2) называется зеркальным изоморфизмом Г
на Г'.
Если я- — изоморфизм или зеркальный изоморфизм Г на Г', то принято
писать Г' = 7гГ. □
Изоморфизм игр означает по существу просто некоторое
переименование каждым из игроков своих стратегий. Зеркальный изоморфизм означает
еще и перемену ролей игроков.
1.5. Отношение изоморфности игр, подобно отношению аффинной
эквивалентности, является отношением эквивалентности.
Теорема. Изоморфность игр обладает свойствами рефлексивности,
симметрии и транзитивности.
Доказательство. Рефлексивность изоморфности вытекает из
того, что в качестве изоморфизма тт= (ni9 тт2) можно в этом случае взять
пару тождественных отображений. Симметрия следует из того, что одно-
однозначные отображения имеют однооднозначные обращения, а
транзитивность - из того, что композиция однооднозначных отображений также
является однооднозначной.
Определение. Изоморфизм антагонистической игры на себя
называется автоморфизмом. □
1.6. Нетрудно проверить, что если одна игра зеркально изоморфна
другой, то вторая игра зеркально изоморфна первой. Точно так же, если две
игры зеркально изоморфны третьей, то они изоморфны между собой. Оба
24

эти простые утверждения не представляют особого интереса. Однако
нетривиальная возможность зеркальной изоморфности игры самой себе
представляется важной и приводит к следующему определению.
Определение. Антагонистическая игра, зеркально изоморфная
самой себе, называется симметричной.
Зеркальный изоморфизм симметричной игры на себя называется
зеркальным автоморфизмом (или симметрией). □
В симметричной игре игроки имеют равные возможности, и одинаковое
их использование приводит к одинаковым результатам.
1.7. Следующее соотношение между играми отражает диалектическую
связь целого и части: одна игра может являться как бы частью другой.
Определение. Игра Г'из (1.2) называется подыгрой игры Г
из (1.1), если х' С х, у' С у, а функция Н1: х' X у' -> R является
сужением функции Я.
Поскольку подыгра Г* игры Г вполне определяется подмножествами
х'иу множеств стратегий игроков в игре Г, ее можно называть х' X у'-
подыгрой игры Г. хХу"-подыгру игры Г иногда называют у-подыгрой, а
х X у-подыгру — х'-подыгрой. П
1.8. В данной главе мы будем иметь дело лишь с такими
антагонистическими играми Г из (1.1), в которых множества стратегий игроков х и у
конечны.
Определение. Антагонистические игры, в которых каждый игрок
имеет конечное множество стратегий, называются матричными играми.
Это название объясняется следующей возможностью описания игр
такого рода. Составим прямоугольную таблицу, в которой строки
соответствуют стратегиям первого игрока, столбцы — стратегиям второго, а
клетки таблицы, стоящие на пересечении строк и столбцов, соответствуют
ситуациям игры. Если поставить в каждую клетку выигрыш первого
игрока в соответствующей ситуации, то получим описание игры в виде
некоторой матрицы. Эта матрица называется матрицей игры или матрицей
выигрышей. □
Процесс "игры в матричную игру" удобно представить себе следующим
образом: задается матрица Л; игрок 1 выбирает некоторую строку этой
матрицы, а игрок 2 — некоторый ее столбец. Эти выборы осуществляются
игроками независимо друг от друга. После того как выборы произведены,
игрок 1 получает от игрока 2 выигрыш, равный числу, стоящему на
пересечении выбранных строки и столбца. Разумеется, если это число
отрицательное, то речь идет о фактическом проигрыше игрока 1.
Матричная игра полностью определяется своей матрицей выигрышей.
Поэтому игру с матрицей выигрышей А мы будем обычно обозначать
через ГЛ или Г (Л). Если А является гаХи-матрицей (т.е. имеет m строк
и п столбцов), то будем говорить, что ГА есть m X «-игра.
Ясно, что матрицы выигрышей в изоморфных друг другу матричных
играх отличаются друг от друга разве лишь порядками строк и столбцов,
а в зеркально-изоморфных друг другу играх — еще и транспонированием
с переменой знаков всех элементов.
1.9. В определении антагонистической игры в п. 1.1 множества
стратегий х и у не были наделены какой-либо структурой; в частности, на них
не вводилось отношение порядка. Сама же запись матрицы предполагает
25

p
некоторый порядок ее строк и столбцов. Поэтому одна и та же конечная
антагонистическая игра может быть описана различными матрицами,
отличающимися друг от друга лишь порядком строк и столбцов.
Так как на протяжении данной книги нам не придется заниматься ни
формальным введением на множествах стратегий структуры порядка
(самое большее, мы ограничимся теми структурами порядка, которые
присущи этим множествам содержательно), ни преобразованиями игр,
сохраняющими эти структуры, мы в данном вопросе ограничимся
сделанным замечанием.
1.10. Как это обычно бывает, имеются свойства игр, не зависящие от
мощности множества стратегий. Некоторые из этих свойств, описанию
которых посвящены параграфы 2—6 данной главы, будут нами
установлены для произвольных антагонистических игр.
§ 2. ОПТИМАЛЬНОСТЬ В АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГРАХ
2.1. Целью теории антагонистических игр, как и теории любого класса
игр, является выработка для таких игр достаточно естественных
представлений об оптимальности ситуаций и стратегий игроков и установление
зависимости между свойствами игр, с одной стороны, и свойствами
оптимальных в сформулированном смысле ситуаций — с другой. Наиболее
слабой формой такой зависимости можно считать признаки существования
оптимальных ситуаций, т.е. реализуемости соответствующих понятий
оптимальности, а наиболее сильной — пути (алгорифмы) их нахождения
и перечисления.
2.2. В основу выработки понятия оптимальности для антагонистической
игры можно положить следующие соображения.
Если игрок 2 имеет в игре Г = (х, у, Н) только одну стратегию у0 (т.е.
У ={Уо))> то оптимальной стратегией игрока 1 будет та его стратегия, для
которой функция Н(- ,у0): х ->R достигает на х своего максимума.
Такое положение дел усложняется лишь незначительно, если игрок 2
имеет более одной стратегии (|у| > 1), но можно говорить о случайном
выборе им своей стратегии, т.е. об известном игроку 1 априорном
вероятностном распределении Y на у.
Будем для наглядности считать, что множество всех стратегий игрока 2
конечно: у = {yi9 . .., уп}. В этом случае вероятностное распределение Y
состоит в приписывании каждому^- некоторой вероятности Y(y-), причем
Y(y\) + ... + У(уп) = 1- Тогда за выигрыш игрока 1 при выборе им своей
стратегии х естественно принять ожидаемый выигрыш —
математическое ожидание выигрыша
Z Y(y)H(x,y)
у<=у
— и выбирать стратегию х так, чтобы максимизировать этот ожидаемый
выигрыш.
Заметим, что случайный выбор стратегии игроком также можно
понимать как некоторую его стратегию. Систематическое рассмотрение таких
стратегий занимает важное место в теории игр. К этом вопросу мы
вернемся в § 8.
26

2.3. Если игрок 2 имеет в игре Г более одной стратегии и априорные
вероятности их использования игроку 1 неизвестны или даже вовсе не
имеет смысла говорить об этих вероятностях, то все только что сказанное
неприменимо.
Однако на основе сказанного естественно считать, что оптимальность для
игрока 1 состоит, во всяком случае, в некоторой максимизации, и
остается только открытым вопрос, что именно следует
максимизировать.
Говоря формально, это означает, что оптимальной стратегией игрока 1
в случае произвольной игры Г из (1.1) будет та его стратегия, на которой
достигается максимум от некоторого функционала /, определенного на
семействе всех функций вида #(•, у), где j Е у.
Очевидно, функционал / должен сочетать в себе черты экзогенной
характеристики задачи, связанной с априорным подходом к ней и
универсальной для всего рассматриваемого класса теоретико-игровых задач, и
черты ее эндогенной характеристики, вытекающей из ее конкретных
условий. Мы рассмотрим два варианта функционала/.
Если, как в п. 2.2, множество у конечно: у = {ji, ... ,Уп}> т0
функционал / превращается в функцию fn от п переменных: fn (Я(х, у i), ...
,..,Н(х,уп)).
2.4. На первый взгляд представляется достаточно правдоподобным,
чтобы функция /„ была некоторым взвешенным средним своих
аргументов, т.е. некоторой выпуклой комбинацией:
fn(H(x,yi),...,H(x,yny)= 2ауЯ(х,У/),
/ = 1
2ol. = 1, (2.1)
где коэффициенты аь . . . , ап 2>0 — одни и те же для всего класса игр
с |у| =п. Очевидно, такая функция/ оказывается "жестко" экзогенной.
Покажем, что такой подход приводит к противоречию.
Ввиду равноправия стратегий игрока 2 функция fn должна быть
симметричной функцией своих,., аргументов. Это значит, что о^ = .. . = ап = 1/л,
так что
fn{H(x,yx)^..4H(xfyn))=— ЪН(х,У;). (2.2)
п j = 1
Такой выбор функции fn отражает высказанные еще Лапласом
представления о целесообразности, состоящие в том, что если мы не знаем,
в каких условиях приходится принимать решение (т.е. выбирать стратегию
игрока 1 в игре, не зная, какую стратегию выберет игрок 2), то будет
разумным ориентироваться на ожидаемый выигрыш в предположении
равновероятной реализации каждой из стратегий игрока 2.
Рассмотрим далее вместо игры Г из (1.1) игру Г, = <х,у',Я/),
получаемую из игры Г присоединением к множеству у ={ Ji,. .. ,уп } нового
элемента у0, причем Н(х, jo) =Я(л:, ух) для всеххЕ х. Фактически стратегию
у о можно считать как бы "вторым экземпляром" стратегии ух.
27

Применяя к новой игре все проведенные выше рассуждения, мы
получим
/и+1 (#(*, у0), Н(х, у г),... ,Н(х, уп)) =
= S а} Щх, у.) = ^— Н(х, ^ ) + Г ^ Н(х> У/)' <2-3>
/ = О ' Л + 1 И + 1 / = 2
Но задача выбора игроком 1 оптимальной стратегии в условиях игры Г'
по существу ничем не отличается от аналогичной задачи в игре Г (можно
сказать, что в игре Г' по сравнению с игрой Г одна из стратегий просто
дважды упоминается). Поэтому естественно, что оптимальные стратегии
игрока 1 в играх Г и Г' должны совпадать, и поэтому должно быть
Гп(Н(х,у1),...,Н(х,упУ) =
=/и+1 (H(x,yo),ff(x,yt),. .. ,Н(х,уп)).
Это, однако, противоречит соотношениям (2.3) и (2.2).
2.5. Вместе с тем, участвуя в антагонистической игре Г = <х, у, Н),
игрок 1 может рассуждать следующим образом: "Предположим, что я
выберу стратегию х; тогда в худшем для меня случае я получу minH(x,y).
у
Поэтому естественно, чтобы я выбрал такую стратегию х Е х, при которой
этот минимум будет максимальным: max min#(x, у). Этот "максимин"
х у
я получу уверенно, даже в том наименее благоприятном для меня случае,
когда я ничего не знаю о намерениях противника, а он о моих, напротив, —
все .
Такая схема рассуждения соответствует выбору в качестве функции fn
оператора минимизации :
fn(H(x,yi),. ..,H(x,yn))= min H(x,yf). (2.4)
Подобно линейной функции из (2.1), оператор минимизации однороден
(степени 1). Кроме того, он симметричен, и эта симметрия, как легко
убедиться, уже не приводит к противоречию того типа, который был
описан в п. 2.3.
Такой выбор функции fn отражает сформулированное А. Вальдом
представление о том, что принятие решения в условиях неопределенности
разумно ориентировать на реализацию наименее благоприятной,
минимизирующей альтернативы. Такой принцип оптимальности, основанный
на максимизации минимального выигрыша, носит название принципа
максимина, а выбираемая игроком 1 на его основе стратегия — максимин-
ной стратегией. В соответствии с принципом максимина игрок 1 в игре Г
может обеспечить себе максиминный выигрыш
max min H{x, у).
х ех>> Gy
ш Если отказаться от предположения о конечности множества у и о
достижимости участвующих в последнем выражении экстремумов и
соответствующим образом видоизменить проведенные рассуждения, то мы получим,
что игрок 1 может в игре Г уверенно получить выигрыш, сколь угодно
28

близкий к максимину
sup inf Н(х, у). (2.5)
Этот максимин называется нижним значением игры Г и обозначается
через vr.
2.6. Сходным образом в той же игре Г может рассуждать и игрок 2:
"Предположим, что я выберу стратегию^; тогда в худшем случае я
потеряю тахН(х, у). Поэтому мне естественно выбрать такую стратегию у>
X
при которой этот максимум будет минимальным: min max//(x, у). Я не
у х
дам своему противнику выиграть больше, чем этот "минимакс", даже в
том наименее благоприятном для меня случае, когда я ничего не знаю
о его намерениях, а он о моих — все".
Таким образом, разумной стратегией игрока 2 можно считать ту, при
которой наибольшие его потери окажутся минимальными. Такой принцип
оптимальности, основанный на минимизации максимальных потерь,
называется принципом минимакса, а выбираемая в соответствии с этим
принципом стратегия игрока 2 — его минимаксной стратегией. Заметим, что
принимаемый игроком 2 принцип минимакса является таковым с точки
зрения игрока 1; с собственной же точки зрения игрока 2, оценивающего
свой выигрыш — Я, его следовало бы называть также принципом макси-
мина. Поэтому часто говорят об использовании принципа максимина
обоими игроками в антагонистической игре. После сделанной оговорки
употребление этого оборота не должно будет приводить нас к недоразумениям.
Минимаксные потери игрока 2 в игре Г будут равны
min max Н{х, у).
Если, как и выше, снять предположение о достижимости экстремумов,
то игрок 2 может сделать так, чтобы его потери не превосходили
минимакса
inf sup Н(х, у). (2.6)
уЕух£х
Этот минимакс называется верхним значением игры Г и обозначается
через *7Г.
Минимакс (2.6) можно понимать также как такой выигрыш игрока 1,
что получению им большей суммы может воспрепятствовать игрок 2.
Естественно считать, что максимин (2.5) не должен превосходить
минимакса (2.6). В следующем параграфе это предположение будет доказано.
2.7. Смешанные экстремумы (2.5) и (2.6) (т.е. верхнее и нижнее
значения игры) обладают непосредственно проверяемыми свойствами
инвариантности.
Теорема. Если Г =<х, у, Н) и Г' = <х', у',#'>, причем Г ~ Г' и
соблюдается (1.3),го
vT,=kvT+a, (2.7)
vT, =kvr+a. (2.8)
29

Если Г * = 7гГ, где тт — изоморфизм, то
Если Г = 7гГ, а 7г — зеркальный изоморфизм, то
иГ, = -иг, «V =-£г. (2-10)
Доказательство. Для доказательства (2.7) достаточно написать
у_г>= sup inf#'(x, у) v sup inf (kH(x, y)+a) =
х у х у
= к sup inf Н(х, у) + а = fcy + д.
Соотношение (2.8) доказывается аналогично.
Если 7г — изоморфизм Г на Г', то
и , = sup inf Н'(ттх, тгу) = sup inf//(*, j>) = у ,
7TX 7ТУ X у
и мы получили (2.9), а если 7г — зеркальный изоморфизм, то
v , = supinf #'(7tjc, тгу) = sup inf (—Н(х, j)) = -inf sup#(x, >>) = —vr
ттх ix у 'ух ух
дает (2.10). П
§ 3. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭКСТРЕМУМОВ
3.1. Из сказанного в предыдущем параграфе видно, что для антагонистической
игры Г = < х, у, #> существенный интерес представляют минимаксные характеристики
ее функции выигрыша:
sup inf H(x,y)9 inf sup H{x,y). (3.1)
*еХ У^У уЕ:у XGX
Разумеется, здесь и дальше во всех случаях, когда будет установлена достижимость
тех или иных экстремумов из (3.1), мы получим основание назьшать супремумы -
максимумами, а инфимумы - минимумами.
3.2. Далее нам понадобится следующая лемма о монотонности экстремумов.
Лемма. Если f,g: z-+Ru при любом zGz имеет место
f(z)Sg(z), (3.2)
sup/(z)^ sup g(z), (3.3)
ZGZ 2 GZ
inf f(z)£ inf g(z). (3.4)
zGz z ez
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0 и найдем такое zeGz, что
sup f(z)£ f(ze) + e.
zGz
Тогда в силу (3.2) должно быть
sup /(z) < f(z€) + е ^ g (z6) + e ^ sup g (z) + e,
z Gz zGz
и ссылка на произвольность е > 0 доказывает неравенство (3.3).
Неравенство (3.4) доказывается аналогично. □
30

3.3. Следствие. Пусть /, g: z -► R ы д ЕЕ R Тогда, если при любом zgz имеет
место f(z) <ia, то
sup /(z) ^ a,
ZGZ
а если при любом zez имеет место а ^ # (z ), го
я< inf #00-
zGz
Для доказательства первой части утверждения достаточно положить в предыдущей
лемме g(z) = д, а для доказательства второй части - положить/(z) = д. □
3.4. Теорема (неравенство минимаксов). Если Н: хХ у -*R, го
sup inf #(x. jy)^ inf sup H(x,y). (3.5)
XGEX у Gy у Gyx Gx
Доказательство. Пусть x - произвольный фиксированный элемент
множествах. Тогда для любого у GE у должно быть
Н(х,у)^ sup Н(х,у).
xGEx
Ввиду фиксированности xGx слева здесь стоит функция от у, и мы оказываемся
в условиях второй части леммы п. 3.1, согласно которой
inf Н(х, у) <^ inf sup Н(х, у).
>>еу у Gy х ex
Справа здесь находится константа, а значение х было выбрано произвольно. Значит,
мы находимся в условиях первой части следствия п. 3.2, применение которой дает
нам (3.5). □
3.5. В конце п. 2.6 было отмечено, что неравенство (3.5) представляется
естественным с теоретико-игровой точки зрения. Продолжим его анализ.
Если в соотношении (3.5) имеет место равенство, то игрок 1 получает ровно
столько, какой предел его устремлениям кладет игрок 2. В этом случае использование
игроками соответственно принципов максимина и минимакса (а, как отмечалось
в п. 2.6, в таких случаях принято говорить об использовании принципа максимина
обоими игроками) приводит к полному определению значений выигрышей игроков
в антагонистической игре. Такую игру принято назьшать вполне определенной, а
принцип максимина применительно к ней - реализуемым.
Если же неравенство (3.5) является строгим, то игрок 1 может обеспечить себе
получение меньшей суммы (максимин), чем предел, граница его выигрыша,
устанавливаемая игроком 2 (минимакс). Разность между минимаксом и максимином
оказывается тем количеством, разумное (" оптимальное") разделение которого между
игроками остается открытым. В этом случае использование игроками принципа
максимина не приводит к определению значений выигрышей игроков и остается
нереализуемым.
3.6. В дальнейшем нам понадобится еще одно следствие леммы п. 3.2.
Лемма. Если f,g: z-*R и при любом zGz
1/00 -*(z)l£e, (3.6)
го
| sup/(z) - sup£(z)| ^ e (3.7)
Z Z
(справедливо и аналогичное неравенство, относящееся к инфимумам, но оно нам
не понадобится).
Доказательство. Неравенство (3.6) можно записать в виде двойного
неравенства g(z) - ejg/(z) S.g(z) + е, или, пользуясь леммой п. 3.2,
supg(z) - е ^ sup /(z) ^ supg(z) + е,
2 Z Z
что и означает (3.7). D
31

3.7. Приведем в заключение следующее очевидное утверждение.
Лемма. Если /: x-*R и у с х, то
inf f(z)£ inf /(z),
z6x zGy
sup /(z)^ sup /(z).
zGy zGx
(3.8)
(3.9)
§ 4. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ (СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ)
4.1. Подойдем к вопросу об оптимальности поведения игроков в
антагонистической игре с несколько иной стороны. Впрочем, как это выяснится
в следующем параграфе, этот новый подход окажется равносильным тому
максиминному (минимаксному) подходу, который был изложен в § 2.
Естественно считать в антагонистической игре оптимальной такую
ситуацию, от которой ни для одного из игроков невыгодно отклониться. Такие
ситуации вводятся посредством следующего определения.
Определение. В антагонистической игре
Г = <х,у,Я> (4.1)
ситуация (х*, у*) назьюается приемлемой для игрока 1, если
Н(х, у*)<#(**, у*) при любом xGx. (4.2)
Аналогично ситуация (х*,у*) называется приемлемой для
игрока 2, если
Н(х*,у*) < Н(х*,у) при любом у^у. (4.3)
Множество всех ситуаций в игре Г, приемлемых для игрока 1,
обозначается через (£\ (Г), а приемлемых для игрока 2 — через (ё2 (Г).
Эпитет "приемлемый" представляется в данном случае вполне
естественным: если ситуация не является приемлемой для игрока, то он может,
изменив свою стратегию, увеличить свой выигрыш, т.е. с выгодой для себя
отказаться от этой ситуации.
4.2. Определение. В антагонистической игре Г = < х, у, Я > ситуа- ,
ция (х*, у *) называется равновесной или ситуацией равновесия, или седло-
вой точкой игры, если она приемлема для каждого из игроков, т.е. если
имеет место двойное неравенство, являющееся объединением неравенств
У/
Рис. 1.1
Рис. 1.2
32

(4.2) и (4.3):
Я(х, у*) 1> Н(х\ у*) < Н(х\ у) при любых х G х и у G у. (4.4)
Множество всех ситуаций равновесия игры Г обозначается через ^(Г).
Очевидно,^(Г) = »Х(Г) П #2(Г).
Применительно к матричным играм говорят о седловых точках матрицы
выигрышей. □
4.3. Неравенство (4.4) выражает следующее свойство функции Н в точке
(х*,у*): при любом изменении значения переменной х значение
функции Н может только уменьшиться, а при изменении значения
переменной у — только увеличиться. Если представить себе поверхность,
описываемую функцией Н в координатах х и у, то ситуациям равновесия будут
соответствовать седлообразные точки поверхности (рис. 1.1).
Следует иметь в виду, что понятие седловой точки в теории игр
отличается от аналогичного понятия в геометрии двумя чертами. Во-первых, в
геометрии седлообразность точки не зависит от направлений, в которых функ-
.ция двух переменных возрастает или убывает. В теории игр, напротив, для
того чтобы точка была седловой, необходимо, чтобы на ней достигался
максимум именно по первой координате и минимум по второй.
Во-вторых, в геометрии седлообразность точки носит аналитический
характер и связана с обращением в нуль соответствующих производных.
В теории игр аналитичность экстремумов не обязательна. Кроме того,
нередко седловая точка оказывается на границе области задания функции.
Например,, для функции Н(х, у) = х + у, заданной на квадрате 0^х,у< 1,
точка [1,0] является седловой (рис. 1.2). В связи с этим поучительно
вспомнить пример из п. 2.4. введения.
4.4. Множество С6(Т) всех седловых точек антагонистической игры Г
обладает двумя важными свойствами, которые существенно упрощают
анализ антагонистических игр по сравнению с неантагонистическими.
Теорема. Если в антагонистической игре Г = (х, у, Н > взять
(х\у*1 (х°,у°)еЩГ1 (4.5)
то, во-первых,
Н(х*,у*)=Н(х°,у0), (4.6)
а, во-вторых,
(х*,у°)еЩГ) и (х°,г*)е#(Г). (4.7)
Доказательство. Из определения седловой точки в (4.4) следует,
что при любых ^Ехи^бу имею! место неравенства
Н(х, у*)< Н{х\ у*) <#(**, у\ (4.8)
Н(х,у°)<Щх0,у0)<Н(х°,уУ (4.9)
Положим в (4.8) слева х = х°, справа у = у0, а в (4.9) слева х — х* и
справа у = у *. Тогда будет
Н(х°,у*)<Н(х*,у*)<
< Н{х\ у0) < Н(х°,у°) <Н(х°, у*), (4.10)
откуда следует (4.6).
3.Н.Н.Воробьев 33

Далее, из (4.8) и (4.10) следует, что при любом xG x выполняется
Щх, у*) < Н(х*, у*)= Н(х°, у*\
а из (4.10) и (4.9) - что при любом у G у выполняется
Н(х°,у*)=Н(х°,у0) <Н(х°,у).
Оба эти неравенства дают
Н(х, у*) < Н(х°, у*) < Н(х°, у),
т.е. (х°, у»)еЩГ).
Соотношение (х*,у°) Е ^(Г) получается симметричными
рассуждениями. П
4.5. Первое из установленных в этой теореме свойств множества всех
ситуаций равновесия антагонистической игры, выражаемое равенством
(4.6), иногда называется равноценностью ситуаций равновесия. Общее
значение функции выигрыша на множестве $(Г) всех ситуаций равновесия
(седловых точек) игры Г есть как бы обусловленный объективно
правилами игры Г выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) в ней. Поэтому оно
называется значением игры и обозначается через v г или v (Г).
Значение v г игры Г можно интерпретировать как разумную,
"справедливую" плату, которую естественно взимать с игрока 1 в пользу игрока 2
за участие игрока 1 в игре Г против игрока 2.
Подчеркнем, что свойство равноценности ситуаций равновесия не
поддается обращению: из (х*,у*) Е С£(Г) и Н(х,у) = Н(х*,у*) вовсе не
следует, что и (х, у) Е ^(Г). Например, в 2Х2-игре с матрицей
выигрышей
Lo 1J
левый верхний угол является, седловой точкой, а правый нижний — нет.
4.6. Второе же установленное в теореме п. 4.4. свойство седловых точек
дает основание для следующих рассуждений.
Очевидно, ЙЧГ) СхХу. Обозначим соответственно через §(Г) и
^уТ(Г) проекции ^(Г) на х и на у, т.е. положим
§(Г) = {х: х Е х и при некотором у Е у будет (л:, у) Е ^(Г)},
£Г(Г)={у: jEy ипринекотором хЕх будет (х, у)£г&(Г)}.
Определение. Стратегия игрока 1 из §(Г) и стратегии игрока 2
из <^(Г) называются оптимальными стратегиями соответствующих
игроков в игре Г. □
Ясно, чтосв(Т) С §(Г) Х^Г(Г). Предположим,что (х*,у°) Е $(Г) X
X £Г(Г). Тогда по определению найдутся такие у* Е у и х° £ х, что
(х*,у*) Е ^(Г) и (х°,у°) Е Г^(Г). Но тогда по теореме п. 4.4 будет
(**,у0) Е С3(Г), и мы получаем #(Г) D 8(Г) Х£~(г). Следовательно,
S{T) = §(Г) X <^Г(Г). Такая возможность представления множества
Г6(Г) называется его прямоугольностью.
Заметим, что всякое прямоугольное подмножество декартова
произведения разлагается в декартово произведение подмножеств сомножителей
34

единственным способом. Поэтому если в двух играх Г и Г' множества
седловых точек совпадают, то совпадают и множества оптимальных
стратегий каждого из игроков: §(Г) = <§(Г') и^Г(Г) = <£Г(Г').
Прямоугольность множества всех ситуаций равновесия
антагонистической игры означает, что ситуацию равновесия в игре составляет любая пара
оптимальных стратегий игроков в ней. Другими словами, прямоугольность
множества <$(Г) означает взаимозаменяемость оптимальных стратегий:
в ситуации равновесия игроки могут заменять составляющие ее
оптимальные стратегии на любые другие свои оптимальные стратегии; при этом не
изменяется ни факт равновесности ситуации, ни выигрыши игроков
в ситуации.
В качестве примера приведем 3 X 3-игру Г с матрице i выигрышей
Г1 2 [1
о юо о|.
Li з и
Седдовыми точками являются здесь все четыре угловых ситуации. То, что
прямоугольное множество $(Г) выглядит здесь несвязным, не имеет
значения; порядок строк и столбцов матрицы может быть произвольно
изменен (см. п. 1.9).
§ 5. ИНВАРИАНТНОСТЬ СЕДЛОВЫХ ТОЧЕК
5.1. Оптимальность поведения игроков в антагонистической игре,
выражающаяся в выборе ими оптимальных в смысле п. 4.6 стратегий,
оказывается инвариантной относительно основных указанных в § 1 отношений
между играми: аффинной эквивалентности, изоморфизма и отношения
быть подыгрой.
Точная формулировка этой эквивалентности заключается в следующих
теоремах.
5.2. Теорема. Если
Г = <х,у,#> и Г' = <х,у,Я'> (5.1)
- две аффинно эквивалентных игры, причем
Н'=Ш + а, (5.2)
k>0,
то $(Г')= §(Г),ЛГ') = с5г(П и vT,=kvT +a.
Доказательство. Приемлемость ситуации (х*, у * ) для игрока 1
в игре Г означает, что она удовлетворяет соотношению (4.3). Но тогда
должно быть и кН(х,у*) + а <^кН(х*,у*) + а для любого хЕх, т.е.
в силу (5.2) Н'(х,у*) <Н'(х*,у*) для любого х G х. Таким образом,
(х\ у*) G %х (Г ')> так что <gt (Г) С <&х (Г ').Из симметрии аффинной
эквивалентности следует, что должно выполняться и противоположное
включение; следовательно,$i (Г) = <ё1 ("Г').
Аналогично получается, что ^2 (Г) = ^ 2 (Г f). Следовательно,
<К(Г) = <ё1(Г)П^2(Г) = ^1(Г')П^2(Г,) = ^(Г'). (5.3)

(5.4)
Таким образом, аффинно эквивалентные игры имеют одни и те же сед-
ловые точки. Согласно п. 4.5 отсюда следует, что v (Г ') = kv (Г) + а, а
согласно п. 4.6 - что $(Г) = §(Г') и^(Г) = #"(Г'). □
5.3. Теорема. 1) Если л - изоморфизм игры Г = < х, у,Я > на игру
Г' = <х',у',Я'>,го
^•(Г') = тг^(Г). 1 = 1,2,
#(Г')=1г#(Г),
и(Г') =.;(Г).
2) Если я - зеркальный изоморфизм Г на Г ', то
»1(Г') =7Г^2(Г), ^2(Г') = 7Г^(Г),
<£(Г') =1Г#(Г),
и(Г') =~и(Г). (5.5)
Доказательство. 1) Пусть я = (7гг, 7г2) — изоморфизм Г на
Г ' . Соотношение (**, у * ) £ r*g t (Г) означает, что Я (х, j * ) fC Я (**, j * )
при любом xGx. При переходе к ситуациям игры Г ' на основании
определения изоморфизма получаем H'(iiix, тг2у*) 4UH9(nlx*, эт2>>*) при
любом х £ х, или, ввиду однозначности отображения 7rl5 при любом
-пхх'G х\ Это значит, что (it\X*, тт2у*) £ ^ (Г'). Таким образом,
я^! (Г) С ^i(r'). Но по симметрии изоморфизма должно быть и
<вх (Г ') С я»! (Г), так что (ё1 (Г ') = тг^, (Г).
Аналогично устанавливается, что $2 (Г ') = тг^2 (Г), после чего можно
применить (5.3).
Наконец,если (х*,у*) £ Г€{Г),то,во-первых,
H(x*,y*) = v(T), (5.6)
а, во-вторых, по доказанному
7Г(X^J*) = (7Г1X^7Г2J*)E^2(Г,),
и поэтому
H(n1x*,7<2y*) = v(r'). (5.7)
На основании определения изоморфизма левые части (5.6) и (5.7)
равны; отсюда следует, что и(Г') = и (Г).
2) Устанавливается почти такими же рассуждениями. Единственное
отличие состоит в том, что вместо приравнивания левых частей равенств
(5.6) и (5.7) следует воспользоваться равенством Н(х*,у*) =
5.4. Первая часть доказанной теоремы означает, что с точки зрения
приемлемости и равновесности ситуаций или оптимальности стратегий
игроков изоморфные игры не отличаются друг от друга. Вместо класса всех
изоморфных друг другу игр достаточно рассматривать какую-нибудь одну
игру из этого класса: все ее оптимизационные свойства будут присущи и
всем изоморфным ей играм.
36

Вторая часть доказанной теоремы приводит к более глубоким (хотя,
в сущности, столь же простым) следствиям. Из нее вытекает принцип
двойственности для антагонистических игр, который может быть
сформулирован следующим образом.
Пусть некоторый класс игр СК является "зеркально-замкнутым", т.е.
вместе с каждой своей игрой содержит зеркально изоморфную ей (так как
все игры, зеркально изоморфные данной, изоморфны друг другу, мы, в
соответствии с только что сказанным, можем говорить об одной зеркально
изоморфной игре). Таким классом является, например, класс всех
антагонистических игр или класс всех матричных игр.
Пусть, далее, Т — теорема, справедливая для всех игр из класса Ж.
Произведем в формулировке Т следующие переименования:
Игрок 1 -> Игрок 2
Игрок 2 -► Игрок 1
Функция Н -► Функция —Д
и обозначим полученную теорему через Т *. Тогда теорема Т * также
справедлива для всех антагонистических игр из класса Ж . Теорема Т* будет
называться двойственной к теореме Т. Очевидно, и наоборот, теорема Т
двойственная к теореме Т*.
Ввиду такой возможности мы далее будем все общие теоремы о
свойствах оптимальных стратегий игроков и их связях со значением игры
формулировать и доказывать лишь для стратегий игрока 1.
Описанную связь между утверждениями, относящимися к стратегиям
игрока 1, и утверждениями, относящимися к стратегиям игрока 2, мы
далее будем называть принципом двойственности для антагонистических
игр.
5.5 Следствие. Если антагонистическая игра Г симметрична (т.е.
имеет зеркальный автоморфизм) , то § (Г) = SF (Г) uv (Г) = 0.
Это вытекает непосредственно из (5.4) и (5.5).
5.6. Инвариантность седловых точек относительно соотношения между
игрой и ее подыгрой выражается в виде следующей простой, но
принципиальной теоремы, которая называется теоремой о
независимости от посторонних альтернатив.
Теорема. Если в (5.1) Г' является подыгрой Г, то
*/(Г)П(х'Ху')С«,(Г'), /=1,2, (5.8)
£(Г)П(х'Ху')С#(Г'). (5.9)
Доказательство. Если ^(Г) П (х',у') = ф, то (5.8) выпол-
Аяется тривиальным образом. Возьмем теперь (х*,у*) G $/(Г) П
П (х* X у'). Поскольку (х*,у*) есть приемлемая ситуация для игрока 1
в игре Г, должно быть Н(х,у*)< Н(х*,у*) при любом х£х, Тем
более это соотношение должно выполняться при любом xGx'.Ho^*Gy',
так что функцию Н можно понимать в этом неравенстве как #'. В
результате мы получаем (х*,у*) Е $i (Г' ).
Случай i = 2 рассматривается аналогично, а (5.9) получается
пересечением частей включений из (5.8). □
37

1
1
0
.1
1.
2
2 1
0
1 J
5.7. Как показывает следующий пример, включение (5.8), при всей тривиальности
его доказательства, обращению не поддается. Пусть Г=Г^иГ' =" Г^*, где
А =
а А' - обведенная подматрица матрицы А. Здесь, очевидно, пересечение ^{Ха) п
п (х* Х"у#) состоит из единственной ситуации, соответствующей элементу матрицы
из ее левого верхнего угла, а ^(Г#) состоит из всех (четырех) ситуаций матрицы А',
5.8. Переносить свойство независимости от посторонних альтернатив с седловых
точек на оптимальные стратегии игроков, вообще говоря, нельзя: соотношение <§ЧГ) п
п х# С (^(Г*) выполняться не обязано. В качестве примера достаточно рассмотреть
игры Г^ и ГА9 ,где
А =
с си
а А9 — обведенная подматрица. Здесь $(А) п х# состоит из обеих стратегий
игрока 1, a S (А#) — только из одной (именно, второй) его стратегии.
5.9. Вместе с тем для некоторых видов подыгр перенесение свойства независимости
от посторонних альтернатив на оптимальные стратегии возможно.
Теорема. Пусть Г - игра, а V9 - ее подыгра из (5.1). Тогда
изу' = у следует <§Чг) Пх' С^(г'). (5.10)
До казательство. Отвлекаясь от тривиального случая $ (Г) Пх' ='ф,
возьмем хе^(Г) п х# и'произвольное у G <£Г(Г). Тогда (х,у). е & (Г) П &{Т) =
= ^(Г), и по теореме п. 5.2 (*,>>) G <£(Г),т.е. *е #(г'). П
§6. СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ И МИНИМАКСЫ
6.1. Оказывается, что максиминный (минимаксный) подход к
оптимальности в антагонистических играх равносилен стремлению игроков к седло-
вым точкам в них. Эта равносильность выражается следующей теоремой.
Теорема. Для того чтобы функция Н(х,у) на произведении хХу
имела седловые точки, необходимо и достаточно, чтобы существовали {т.е.
достигались) минимаксы
maxinf#(;x:, у), min sup H(x, у) (6.1)
х у ух
и выполнялось равенство
max inf #(x, у) = min sup H(x, у). (6.2)
х у ух
Доказательство. Необходимость. Пусть функция Н
имеет седловые точки и (х*,у*) — одна из них. Это значит, что
H(xty*)<H(x*,y*)<H(x*,y\ xGx, yGy. (6.3)
Здесь Н(х*, у *) является константой. Поэтому, применяя к левой стороне
этого неравенства утверждение п. 3.3, мы получаем
sup Н(х, у*) < Н(х*, у*) (6.4)
38

и далее
infsupH(x,y)^supH(x,y*)^H(x*,y*). (6.5)
ух хг
Применяя такие же рассуждения к правой стороне неравенства (6.3), мы
получим в итоге
Щх*,у*)<МЩх*,у)< sup inf^jcj), (6.6)
У х у
т. е.
inf sup Щх, у) < sup inf Щх, у).
ух х у
Но согласно теореме п. 3.4 противоположное неравенство также
справедливо. Поэтому
inf sup Н(х, у) = sup inf Щх, у). (6.7)
ух х у
Значит, в неравенствах (6.5) и (6.6) крайние части равны. Следовательно,
равны друг пруту все части этих неравенств. В частности,
inf sup H(x, у) = sup Щх, у*).
ух х
Таким образом, в выражении inf supH(x, у) инфимум достигается
у х
(именно, при у = у*), и оно может быть записано как mi n sup Я (х, у).
у х
Точно так же из (6.6) вытекает, что
inf Щх*, у) = sup inf Щх, у), (6.8)
У х у
и поэтому вместо sup inf H(x, у) мы можем записать max inf H(x,y).
х У х у
Ввиду сказанного равенство (6.7) может быть переписано как
min sup Щх, у) = max inf Щх, у),
ух х у
а это и требовалось.
Достаточность. Пусть теперь минимаксы (6.1) существуют и
равны. Обозначим через х* и у* значения переменных, на которых в них
достигаются внешние экстремумы. Тогда будет
max inf Щх, у) = inf H(x*, у).
х У У
Но, кроме того,
inf Щх*,у)<Щх*,у*1
У
так что
max inf Щх, у) = inf Щх*, у) < Щх*, у*), (6.9)
х У У
и аналогично
Н(х*, у*) <; sup Щх, у*) = min sup Щх, у). (6.10)
х У х 39

Ввиду предположенного равенства минимаксов (6.1) все сравниваемые
в (6.9) и (6.10) выражения равны друг другу. В частности, supH(x,y*) =
х
= Н (х*, у *). Это значит, что при любом я* должно быть
Н(х,у*)<,Н(х\у*). (6.11)
Точно так же из (6.9) имеем inf Я(х*, у) =#(**, у*), откуда
Н{х\у*)<Н(х*,у). У (6.12)
Неравенства (6.11) и (6.12) означают, что (х* у*) есть седловая точка
функции//. П.
6.2. Следствие 1.2? качестве компонент седловой точки могут быть
независимо друг от друга взяты .^юбые х* и у*, на которых достигаются
внешние экстремумы в минимаксах (6.1).
Это было получено в ходе доказательства достаточности в предыдущей
теореме.
В теоретико-игровой терминологии это выглядит так: если игра с
функцией выигрыша Н имеет седловую точку, то внешний максимум в макси-
мине maxinf#(x, у) достигается на оптимальных стратегиях игрока 1,
х у
а внешний минимум в минимаксе minsup#(x, у) — на оптимальных
У х
стратегиях игрока 2.
6.3. Следствие 2. Если (х*, у*) и (х°, у0) - седловые точки
функции Н, то ситуации (х* у0) и (х°, у*) также будут седловыми точками
этой функции (см. рис. 1.3) .
У
У*
у"
(х°,у*) (х*у*)
о— о
• 1 1
1 1
Х° X* X
Рис. 1.3
Это немедленно следует из предыдущего.
Описанное свойство множества седловых точек называется его
прямоугольно стью.
6.4. Следствие 3. Значения функции во всех ее седловых точках
равны друг другу.
Действительно, из (6.10), (6,11) и (6.12) вытекает, что значения
функции в ее седловых точках равны общему значению ее минимаксов, которые
в случае существования седловых точек достигаются.
Таким образом, общее значение минимаксов функции выигрыша игры
(если эти значения равны) равно значению игры. Поэтому исход игры,
имеющей седловую точку, является предопределенным: он не зависит от
искусства или глубины психологического анализа игроков, а зависит
единственно от условий игры, которые исчерпываются заданием функции
выигрыша К Это дает основание называть игры, имеющие седловые точки
40

(или для которых выполняется хотя бы равенство (6.2)), вполне
определенными.
6.5. В результате в ходе доказательства теоремы п. 6.1 были
воспроизведены другим способом все утверждения теоремы п. 4.4.
6.6. Некоторое обобщение следствия из п. 6.4 содержится в следующем
утверждении.
Теорема. Если минимаксы (6.1) для функции Н существуют, т.е.
если
maxinf H(x,y) = 'mfH(xmax,y), (6.13)
х у у
min sup Н(х, у) = sup Н(х, ут{п), (6.14)
ух у
ТО
maxinfH(x,y)^H(xmax,ymin)<>mmsupH(x,y). (6.15)
х у ух
Доказательство. По (6.13) мы имеем
max inf Н(х, у) = inf H(xmax, у) £Н(хтлх,ут{п),
х у у
т.е. левую сторону (6.15). Правая сторона получается аналогично
из (6.14). П.
Мы видим, что выбор игроком 1 оптимальной стратегии дает ему
выигрыш не меньший, чем значение игры, что бы ни делал при этом игрок 2.
Равным образом выбор игроком 2 его оптимальной стратегии всегда
причиняет ему ущерб не больший, чем значение игры. Следовательно, выбор
каждым из игроков своей оптимальной стратегии не имеет смысла скрывать
от противника.
6.7. Содержательные рассуждения участников антагонистической игры
Г = (х, у, Н), приводившиеся «в пп. 2.4 и 2.5, в связи с теоремой п. 6.1
могут быть в случае игры с седловыми точками видоизменены следующим
образом.
Игрок 1 может сказать: "Пусть я выберу стратегию х; тогда в худшем
сЛучае я получу min H(x, у). Поэтому осторожность требует выбора с моей
у
стороны стратегии, на которой достигается
max min Н(х, у). (6.16)
х у
Этот максимин я получу обязательно, как бы ни складывались
обстоятельства".
Аналогичные рассуждения приведут игрока 2 к тому, что больше мини-
макса
min max H(x, у) (6.17)
у х
он игроку 1 не даст.
Так как, однако, в нашем случае минимаксы равны, при разумной игре
каждого из участников итогом игры будет уплата игроком 2 игроку 1
41

вполне определенного числа (значения игры). Поэтому антагонистические
игры с седловыми точками иногда называются вполне
определенными.
§ 7. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
7.1. Обратимся теперь непосредственно к рассмотрению матричных игр.
Матричную игру с матрицей выигрышей А будем, как указывалось,
обозначать через Г^. Если не оговорено противное, матричная игра будет
считаться т X «-игрой. Стратегии игрока ] обозначаются номерами
соответствующих строк, а стратегии игрока 2 — номерами столбцов, /-я строка
матрицы А обозначается через Л/, /-й ее столбец — через Ajj, а элемент,
стоящий на их пересечении, — через ац.
Очевидно, ситуацией в матричной игре можно считать пару чисел (/,/),
где / — номер строки матрицы выигрышей, / — номер ее столбца.
Ввиду конечности множеств стратегий в матричной игре все
относящиеся к ее стратегиям экстремумы достигаются, так что минимаксы (2.5) и
(2.6) могут быть записаны как
max mm a^,
i i
nun max a,
j
v
(7.1)
7.2. Ситуация (/*, / *) в матричной т X «-игре является равновесной
(седловой точкой), если для любого / = 1,..., т и любого / = 1,...
7.3. В соответствии с теоремой п. 6.1 для существования в матричной
игре седловых точек необходимо и достаточно, чтобы были равны
минимаксы (7.1) : max min atj = min max atj ; общее значение этих минимаксов
/ / / /
равно элементу матрицы, соответствующему ее седловой точке.
Если же эти минимаксы различны и внешние экстремумы в них
достигаются на некоторых / * и / *, то (ср. п. 6.6)
maxminflj-y ^tfz-*7*, ^ min max я/;-.
7.4. Проверка существования седловых точек матрицы и их нахождение
могут быть проведены по следующей схеме:
Г «и
«2 1
ат\
max afi
i
а12
а22 . , .
ат2
max с/2 .
i
• а\п
• а2п \
атп
. . maxc/w
/
—>
—>■
minc^
mine 2/
min anj
i
max min a
« /
mm max ah
42

Если полученные минимаксы различны, то в игре Г^ ситуаций
равновесия нет. Если они равны, то все ситуации равновесия получаются как пары
стратегий игроков, на которых в минимаксах достигаются внешние
экстремумы.
§ 8. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ
8.1. Если минимаксы элементов матрицы А, т.е. max min я;, и
' /
min max д,-;-, отличны друг от друга, то на основании теоремы п. 6.1 игра с
/ i
этой матрицей выигрышей ситуаций равновесия не имеет.
В этом случае игрок 1 может обеспечить себе выигрыш max min a^ , а
i i
игрок 2 может не дать ему больше, чем min max a^ . Вопрос же о разделе
/ i
между игроками разности min max ац — max min atj (а в рассматриваемом
/ i i j
случае она положительна) остается, таким образом, открытым. Поэтому
естественно, чтобы игроки в таких случаях искали дополнительные
стратегические возможности для уверенного получения в свою пользу возможно
большей доли этой разности. Оказьюается, что для этого им целесообразно
выбирать свои стратегии случайно.
8.2. Определение. Случайная величина, значениями которой
являются стратегии игрока, называется его смешанной стратегией. □.
Таким образом, задание смешанной стратегии игрока состоит в
указании тех вероятностей, с которыми выбираются его первоначальные
стратегии.
Выбор игроком одной из своих стратегий с вероятностью 1, а каждой
из остальных - с вероятностью 0, очевидно, означает выбор им этой
выделенной стратегии. Поэтому каждая из первоначальных стратегий игрока
также является его смешанной стратегией, их иногда называют чистыми
стратегиями.
Так как смешанная стратегия игрока описывается вероятностной
схемой выбора им своих чистых стратегий, ее можно представить в виде
вектора, компонентами которого являются вероятности, т.е. вещественные
неотрицательные числа, сумма которых равна единице.
В m X и-игре произвольную смешанную стратегию игрока 1 мы будем
обычно обозначать буквой X, полагая X(i) = £,-. Таким образом,
* = «!,. -.,Sm), (8Л)
где
?!^0,...,?w>0, (8.2)
m
2 fc = l. (8.3)
i = l
Смешанные стратегии игрока 2 будут обозначаться через Y и для них
будет приниматься Y(j) = r?;-. Таким образом,
Г = 0?1,...,т?т), (8.4)
43

где
t?i ^0,...,т?„^0,
П
(8.5)
(8.6)
8.3. Условие (8.3) можно записать в более компактном виде. Будем
далее обозначать через/р р-мерный вектор, каждая компонента которого
равна единице: Jp = (1,..., 1).
Тогда равенство (8.3) можно при помощи матричного произведения
переписать как XJTm = 1, где т означает транспонирование вектора (т.е.
в данном случае превращение вектор-строки в вектор-столбец), а
равенство (8.6) -так: JnYT=l.
8.4. Совокупность всех векторов вида (8.1) образует, как известно,
га-мерное евклидово пространство. Множество тех векторов, которые
подчинены условиям (8.2) и (8.3), составляет (т — 1)-мерный симплекс,
натянутый на орты
Е™ =(1,0 0),
£<2> =(0,1 0),
Е^ =(о,о, ..,1).
Такой симплекс мы иногда будем называть фундаментальным.
В случае m = 2 фундаментальный симплекс является отрезком (рис. 1.4),
в случае m = 3 — треугольником (рте. 1.5), в случае m = 4 — тетраэдром.
(D в4
Рис. 1.4
Рис. 1.5
Иногда бьюает удобно рассматривать фундаментальный симплекс сам
по себе, вне его связи с объемлющим его евклидовым пространством. В этом
случае координаты £i,..., £m его точек можно понимать как те
неотрицательные массы, которые следует поместить в вершины симплекса для того,
чтобы центр тяжести этих масс попал в данную точку. Поэтому координаты
£i > • • •, %щ точек симплекса обычно называются барицентрическими
координатами. В наших условиях в роли таких масс выступают вероятности.
Чистым стратегиям игрока соответствуют такие точки, в которых одна
из барицентрических координат равна единице, а остальные — нули.
Очевидно, эти точки являются вершинами фундаментального симплекса.
44

Фундаментальные симплексы смешанных стратегий игроков 1 и 2 в
матричной игре Г = <х,у,Н) обозначаются соответственно через X и Y.
Заметим, что X и Y являются компактами.
8.5. Далее для нас окажется важным следующее понятие.
Определение. Множество тех номеров / (чистых стратегий
игрока 1), для которых в смешанной страгетии X = (Х\, ..., %т) компоненты
%i положительны, назьюается спектром смешанной стратегии X и
обозначается через supp X.
Аналогично спектром стратегии Y = (t?j , . . . , г}п) игрока 2
называется множество supp Y тех его чистых стратегий/, для которых r\j > 0. □
Очевидно, множество всех смешанных стратегий игрока 1 из X, спектры
которых содержатся в данном множестве х' С х, составляет некоторую
грань симплекса X, а именно ту его грань, на которой обращаются в нуль
все барицентрические координаты, соответствующие стратегиям из
разности х\х'. Эту грань мы будем обозначать через Хх#; вместе с тем эту же
грань можно понимать и как множество всех смешанных стратегий X
игрока 1 в х'-подыгре исходной игры. При этом оба описанных
представления этой стратегии в виде вектора X = (i-i, ..., %п) будут отличаться друг
от друга лишь наличием (при ее понимании как стратегии в исходной
игре) или отсутствием (при ее понимании как стратегии в подыгре)
некоторого числа нулевых компонент вектора. Во всех случаях, когда это не
сможет привести нас к недоразумению, мы не будем различать смешанные
стратегии со спектром, содержащимся в данном множестве х' стратегий в
некоторой игре и соответствующие им стратегии х'-подыгры.
Все сказанное можно с соответствующими изменениями повторить и
применительно к составляющим фундаментальный симплекс Y смешанным
стратегиям игрока 2 и граням Yy> этого симплекса.
§ 9. СМЕШАННОЕ РАСШИРЕНИЕ МАТРИЧНОЙ ИГРЫ
9.1. По любой матричной игре можно построить игру, стратегиями
которой являются смешанные стратегии исходной матричной игры.
Определение. Пара (X, Y) смешанных стратегий игроков в
матричной игре, где X и Y как случайные величины являются независимыми,
назьюается ситуацией в смешанных стратегиях в этой игре. G
Если конкретно мы имеем дело с m X «-игрой Г^ и стратегиями X =
= (£ь • • • , %т)> Y = (г?!, ..., Vn) игроков в ней, то в условиях ситуации
в смешанных стратегиях каждая обычная ситуация (в чистых стратегиях)
(/, /) по определению оказьюается случайным событием и, ввиду
независимости X и Y, реализуется с вероятностью ^г?;.. Поскольку в этой ситуации
игрок 1 получает выигрыш ац , математическое ожидание его вьшгрыша
в условиях ситуации в смешанных стратегиях (X, У) равно
т п
2 £ М,77?/. (9Л)
1 = 1 / = 1 '
Это число принимается за выигрыш игрока 1 в ситуации в смешанных
стратегиях (X, Y) и обозначается через Н(Х, Y).
9.2. Таким образом, мы приходим к новой игре, которую можно описать
следующим образом.
45

Определение. Смешанным расширением матричной игры Г =
= <х, у, Н) называется антагонистическая игра Г = (X, Y, Н), в которой
множествами стратегий игроков являются множества их смешанных
стратегий в исходной игре, а функция выигрыша игрока 1 определяется (9.1).
В обозначениях матричных произведений выражение (9.1) можно
переписать как
m n m
2 % 2 aijV/= 2 ЬА,.ГТ = ХАГТ.
1=1 /=1 /=1
9.3. Вспоминая определение приемлемых ситуаций в антагонистической
игре, получаем, что ситуация (X*, Y*) в смешанном расширении матричной
игры является приемлемой для игрока 1 тогда и только тогда* когда при
любом iGx выполняется неравенство
XAY*T<X*AY*T. (9.2)
Эта ситуация приемлема для игрока 2 тогда и только тогда, когда
X*AY*T^X*AYT при любом YGY. (9.3)
Наконец, она является седловой точкой (ситуация равновесия) тогда и
только тогда, когда выполняется двойное неравенство
XAY*T^X*AY*TSX*AYT прилюбых XGX и FGY. (9.4)
Произведение X*AY*T является значением смешанного расширения
матричной игры.
9.4. Лемма (о переходе к смешанным стратегиям).
Если Y — произвольная стратегия игрока 2, а - некоторое число и
AtJTSa, /=1,..., aw, (9.5)
то для любой смешанной стратегии X = (£х, ... , £w ) G X игрока 1
XAYT^a.
Доказательство. Умножим каждое из неравенств (9.5)
почленно на £,-: %iAi% YT <[ a%t (ввиду того, что £/ ^ 0, знак неравенства не
изменяется) и сложим все полученные неравенства. Получим
m m
2 ^AimYT = XAYT^a 2 %. =а,
i=l i=1
а это и требовалось. □
3 амечание. Совершенно так же осуществляются переходы к
смешанным стратегиям в неравенствах вида
AiuYT>a, i = 1,... 9m,
XAtj <,a, ' /=l,...,w, XA . ^a, / = l,...,w.
9.5. Лемма о переходе к смешанных стратегиям позволяет сводить
условия приемлемости и равновесности ситуаций, заданные в смешанных
стратегиях, к аналогичным условиям, заданным в чистых стратегиях.
Теорема. Дая того чтобы ситуация (X*, Y*) была в игре ТА
приемлемой для игрока 1, необходимо и достаточно, чтобы при всех i =

= 1,..., т выполнялись неравенства
AiY*T<X*AY*T. (9.6)
Для ее приемлемости для игрока 2 необходимо и достаточно, чтобы при
всех j = 1, ... , п выполнялись неравенства
X*AY*t<lX*A^, (9.7)
а для ее равновесности необходимо и достаточно, чтобы при всех i = 1,...
..., га и j = 1,.. . , и выполнялись двойные неравенства
AiY*T^LX*AT*T<LX*A.r (9.8)
До казательство. Необходимость очевидна, так как неравенство
(9.6) является частным случаем неравенства (9.2). Для доказательства
достаточности применим к неравенству (9.6) лемму о переходе к
смешанным стратегиям. Это даст нам неравенство (9.2). Аналогично
сопоставлениям (9.3) с (9.7) и (9.4) с (9.8) доказьюаются остальные утверждения
теоремы. □
9.6. Матричная игра, очевидно, является подыгрой своего смешанного
расширения. Для седловых точек этих игр справедливо обращение
свойства независимости от посторонних альтернатив (п. 5.4). Кроме того, это
свойство распространяется и на оптимальные стратегии игроков (см. п. 5.6).
Теорема. Если Г = <Х, Y, Н) ~ смешанное расширение матричной
игры ТА = Г, то
^(Г) =(хХу)П<ё1(Г), (9.9)
#2(И -(хХу)П <&2(Г), (9.10)
С£(Г) = (хХу)Пг£(Г), (9.11)
«(Г) = хП 8(f), (9.12)
<£Г(Г)=уП <£Г(Г), (9.13)
и(Г) = и(Г). (9.14)
Доказательство. Далее, как обычно, i* и /* будут считаться
чистыми стратегиями игроков 1 и 2.
Включение (/*,/*) G $х (Г) означает, что а..* <^а.*.*, / = 1, . . . , га.
Тем самым i* и /* в ролях X* и Y* удовлетворяют неравенству (9.6),
равносильному приемлемости ситуации для игрока 1 в игре Г. Значит,
(/*,/*) G #, (Г) , и мы получаем (9.9) .
Аналогично с помощью (9.7) получаем равносильность (/*,/*) G ^(Г)
и(/*,/*) € ГЙ2(Г),т.е. (9.10).
Такое же использование (9.8) , превращающегося теперь в
V = д/*/* =Ч*/ дая /=1' т: /=!...-.« (9.15)
(илипросто пересекание (9.9) и (9.10)), дает (9.11).
Представление
ЩГ) = (хХу) П «'(f) =
= (х X у) П ( § (Г) X <^(П) = (х П « (Г)) X (у П ^Г(Г))
дает нам (9.12) и (9.13).
47

Наконец, (9.15) означает, что число я.* .*, являющееся значением игры
Г, оказьюается при этом значением функции выигрыша в одной из седло-
вых точек Г, т.е. значением игры Г. □
Таким образом, из наличия у матричной игры значения следует его
наличие и в ее смешанном расширении, а также равенство этих двух
значений. Это дает нам основание говорить просто о значении
матричной игры ТА, обозначая его просто через vA и прибавляя, когда это нужно,
слова "в чистых стратегиях" или "в смешанных стратегиях".
Подчеркнем, что в ходе доказательства этой теоремы мы опирались лишь
на теорему о независимости от посторонних альтернатив (п.5.3) и на лемму
о переходе к смешанным стратегиям. Поэтому справедливость каждого
из утверждений доказанной теоремы не связана с конечностью
антагонистической игры Г, а справедливость первых трех ее утверждений — даже с
антагонистичностью Г.
9.7. На смешанные расширения распространяется отношение аффинной
эквив ал ентности.
Теорема. Если две матричные игры ГА и Гв аффинно эквиваленты,
то их смешанные расширения также аффинно эквивалентны.
Доказательство. Предположим, что Г^ ~Г#. Это значит, что
У Г,4 и Гв совпадают множества чистых стратегий первого игрока, а также
множества чистых стратегий второго игрока. Поэтому у них должны
совпадать также и множества смешанных стратегий игроков.
Далее, пусть для каждой ситуации (/,/) будет а^-кЬц + а, где к > 0.
Тогда, умножая это равенство на ^-ту-и суммируя по всем i =1, . . . , m
и / = 1,..., п, мы получаем
m n m n m n
i = 1 / = 1 / = 1/ = 1 / = i j = i
или XAYT = kXBYT+a при любой ситуации (X, Y) в смешанном
расширении игры ГА .
Это и означает аффинную эквивалентность смешанных расширений
игр. □
9.8. На смешанные расширения естественным образом распространяются
отношения изоморфизма и зеркального изоморфизма игр.
Теорема. Если п - изоморфизм матричной игры Г = < х, у, Н > на
матричную игру Г' = < х', у', #'), ГиГ' - смешанные расширения этих
игр и для любыхХЕХ,л:Ех, YGYи yGy положено
(nX)(irx)=X(x)9 (9.16)
•(*Y)(iry)=Y(y), (9.17)
то так продолженное отображение 7г оказывается изоморфизмом Г на Г'.
Аналогичное утверждение имеет место для зеркального изоморфизма
и г к
Дока i ательство. Запишем
Н{Х.У)- 1 X X(x)H(xfy)Y(y). (9.18)
у ^_. Х у е у
Но л пробегает х (ау пробегает у) тогда и только тогда, когда пх пробегает
48

x' (arry пробегает у'); по предположенной изоморфности игр Г и Г'
должно быть Н(х,у) =H'(nxf ny). Поэтому с учетом (9.16) и (9.17) мы
можем переписать (9.18) как
Я(Х У) = 2 S (тгХ)(пх)Н'(<лх, пу)(п У)(тгу) = Н'(пХ, тгУ).
-их Gx ' ny G у '
Случай зеркального изоморфизма игр рассматривается аналогично. □
9.9. Далее мы докажем, что ситуация равновесия в смешанном
расширении существуют для любой матричной игры.
Ввиду сказанного в п. 6.1 для доказательства этого достаточно
установить существование и равенство минимаксов
max inf XAYT и min supX47r. (9.19)
X Y Y X
Фактически нами будет далее доказано существование и равенство
минимаксов
max min XAYT и min max XAYT. (9.20)
x y y x
§ 10. СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНИМАКСОВ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ
10.1. Нашей ближайшей задачей является доказательство существования
в матричных играх ситуаций равновесия в смешанных стратегиях. Согласно
теореме п. 6.1 для этого необходимо и достаточно установить
существование и равенство минимаксов
max m£XAYT и min sup XAY1\
x y y x
В этом параграфе будет доказано существование (достигаемость) внешних
экстремумов в написанных минимаксах,. а в § 13 — их равенство.
10.2. Лемма. При любом Y0 Е Y имеет место
sup Х4УоГ= max At. Y0T, (10.1)
х i
а при любом Х0£Х —
inf X0 AYT = min X0 A..-. (10.2)
Y f
Доказательство. Очевидно (см.,например,п.3.6),
тахЛ,.У0т^ sup Х4Г0Г.
i X
Если предположить, что это неравенство — строгое, то найдется такое
€ > 0, что
At.Y£< sup XAYf -e
X
при любом i = 1,... ,тп. Но тогда по лемме о переходе к смешанным
стратегиям (п. 9.4) будет
XAY<[< supX4r<T-e
х
при любом А'ЕХ. Возможный согласно следствию из п. 3.3 переход к
4.Н.Н. Воробьев 49

супремуму по X Е X дает нам
sup XAYl< sup XAY^-e,
X X
чего не может быть.
Равенство (10.2) доказьюается аналогично. □
10.3.Следствие 1. Существуют (достигаются) экстремумы
max XA vq при любом Y0 £ Y,
х
min X0AYT при любом Х0 Е X.
у
Это вытекает непосредственно из равенств (10.1) и (10.2). □
10.4. Следствие 2.~Для существования в смешанном расширении
матричной игры ситуаций равновесия необходимо и достаточно доказать
существование и равенство минимаксов
max nunXA.j и min maxAt. YT. (10.3)
x j y i
Это следует из п. 9.6 и равенств (10.1) и (10.2). G
10.5. Лемма. Значение
maxXAYT (10.4)
х
является непрерывной функцией Y, а значение min XAYT - непрерывной
Y
функцией X.
До казательство. Ограничимся доказательством первого
утверждения леммы. Согласно лемме из п. 10.2 нам достаточно доказать
непрерывность по Y переменной
тахЛ/.Гг, (10.5)
являющейся функцией от У.
Очевидно, что при любом / скалярное произведение At. YT в силу его
линейности всюду непрерывно по Y. Так как / принимает конечное число
значений, все скалярные произведения At. YT всюду равностепенно
непрерывны по Y.
Это значит, что по любому е > 0 найдется такое 5, что при | Y' - Y" \ < 6
будет \At. Y'T -A(. Y"T \< е при любом /= 1,. .. ,m.
Но тогда по лемме п. 3.6 должно быть и
|maxi4,. Гг-тах Ai.Y,'T\<e9
i i
a. это и требовалось. D
10.6. Теорема. Минимаксы max minXAYT u min max XAYT
существуют, x y y x
Доказательство. По предыдущему maxX4 YT есть непрерывная
x
функция У. Будучи задана на компакте Y, она принимает наименьшее
значение, т.е. достигается минимакс min maxX4 YT.
y x
В силу аналогичных причин достигается и максимин max minXAYT. □
50 Х Y

§ 11. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА
11.1. Приведем некоторые вспомогательные сведения о выпуклых множествах *).
Определение. Выпуклым множеством в векторном (линейном)
пространстве называется такое множество 5, что для любых U, Ге5и произвольного \е [0, 1 ]
выполняется KU+ (1-Х) FG5 (см. рис. 1.6), т.е. вместе с любыми двумя своими
точками U и V множество S содержит весь соединяющий их прямолинейный
отрезок. □
Примерами выпуклых множеств могут служить замкнутые полупространства R",
т.е. множества всех векторов Ze Кпу для которых UZT <± с при заданных С/ЕЕ R" и
C6R.
Выпуклые множества имеют большое значение в теории игр. Далее нам
понадобятся следующие свойства выпуклых множеств.
Рис. 1.6
11.2. Если множество S — выпуклое, Х19 .. . , Х% eS, иа,,.'..,^- неотрицатель-
k к
ные числа, для которых 2 а(= 1, то вектор £ с^ Х{, называемый выпуклой комбина-
i=l i=l
цией векторов Xlf ..., Х^, также принадлежит S. Совокупность всех выпуклых
комбинаций данных векторов называется их выпуклой оболочкой.
Выпуклые оболочки конечных множеств назьюаются выпуклыми
многогранниками.
11.3. Пересечение любого семейства выпуклых множеств само является
выпуклым. В частности, выпуклыми являются пересечения замкнутых полупространств.
Оказывается, что все такие ограниченные пересечения и только они суть выпуклые
многогранники **).
11.4. Имеет место следующая теорема об отделимости выпуклых множеств. Если
S и Т - два непересекающихся выпуклых множества, то существует разделяющая
их гиперплоскость, т.е. такая гиперплоскость UZT = с, что
UZT>c при ZG5,
UZT <c при Z<£T.
11.5. Определение. Точка U называется крайней точкой выпуклого
множества S, если f/G 5 и не найдется таких двух различных точек U\U" ее S, что U =
= (£/' +С/")/2. □
Справедлива следующая теорема Каратеодори ***).Если S — выпуклое замкнутое
ограниченное подмножество Кп, то каждая его точка представима в виде выпуклой
комбинации не более чем п + 1 его крайних точек.
*) Более обстоятельную информацию о выпуклых множествах можно почерпнуть
из книги Р. Рокафеллара "Вьшуклый анализ" (М., "Мир", 1973), а также из любого
достаточно подробного учебника по линейному программированию.
**) Соответствующее доказательство читатель может найти в книге: Ашма-
н о в С.А. Линейное программирование. - М.: Наука, 1982.
***) См., например: Рокафеллар Р. Вьшуклый анализ. - М.: Мир, 1973, с. 169.

11.6. Частным случаем выпуклого множества является выпуклый конус.
Определение. Выпуклым конусом в векторном пространстве называется
такое множество С, что каковы бы ни были U'', U" е С и неотрицательные Л.' и \",
имеет место У U' + \"U" е С П
Очевидно, нулевой вектор 0 принадлежит всякому выпуклому конусу.
Определение. Если заданы векторы Ut, ..., Uki то являющаяся выпуклым
к
конусом совокупность всех векторов вида 2 Л.^ Uif где Х->. О при / = 1,.. ., к,
называется выпуклым конусом, натянутым на векторы Ux,.'.., Щ. П
§ 12. ЛЕММА О ДВУХ АЛЬТЕРНАТИВАХ
Лемма (о двух альтернативах). Какова бы ни была тХп-
матрица А, имеет место одна из двух возможностей ("альтернатив") :
1) существует такой вектор I6X что ХАш1- ^ 0 для всех j = 1,... , п;
2) существует такой вектор FGY, что Aim Y7^0для всех г = 1,... , т.
Доказательство. Составим выпуклую оболочку
фундаментального симплекса X (т.е. всех векторов /Г*1),. .., Е(т)) и всех векторов A.j
и обозначим ее через М. Нам могут при этом представиться две
возможности:
Рис. 1.7 Рис. 1.8
а) 0^ «Ж (рис. 1.7). В этом случае точка 0 (согласно п. 11.4) отделима
от множества Л некоторой гиперплоскостью. Мы можем считать, что эта
гиперплоскость проходит через точку 0, а все множество М лежит по одну
сторону от нее. Пусть UZT = 0 — уравнение этой гиперплоскости, и для
любогоZE Л
UZT>0. (12.1)
В частности, должно быть UEW г>0 для кавдого / = 1, ..., т.
Рассмотрим числа UE^ Т - щ (/= 1, ... , тп). Так как все эти числа
положительны, их сумма также положительна:
m
и= 2«,.>0.
/ = 1
Составим теперь вектор
/ их ит \
\ и и I
Очевидно, что X € X.
52

Поскольку и> О, из (12.1) следует, что
XZT = — UZT>0
и
для любой точки Z G Л. В частности, это будет и для всех точек А 7-: Х4у- >
> 0, и мы нашли требуемый вектор X.
б) О Е J (рис. 1.8). В этом случае (согласно п. 11.2) точка 0 может
быть представлена в виде выпуклой комбинации вершин многогранника
Л , т.е. в виде выпуклой комбинации А. х,..., А.п, Ei1),..., Е(т). Пусть
п т
2 а,.А..-+ £ е,£(/) = 0. • (12.2)
Здесь ai,..., ап, е,,'..., ет ^ 0 и
п т
2 а,-+ 2 е, = 1. (12.3)
/=1 /=1
Равенство (12.2) является векторным. Расписывая его покоординатно,
получаем
Z оу^+е^О. (12.4)
/ = 1
Ввиду того, что е,- ^ 0, должно быть
2 V-X0. (12.5)
/ = 1
Далее мы имеем
а= 2 а..>0. (12.6)
/ = 1
Если бы было а = 0, то ввиду неотрицательности каждого из чисел а-
все они должны были бы быть равны нулю: а- = 0 (/ = 1,..., п). Но тогда
из (12.4) следовало бы, что и все числа б;- равны нулю, а это противоречит
равенству (12.3). Следовательно, в действительности в (12.6) имеет место
знак строгого неравенства.
Положим .теперь OiJa-r]j и составим вектор У= (771, ..., 7}„). Как
легко проверить, Y G.Y.
Ввиду того, что а> 0, мы можем левую часть (12.5) разделить на а, не
нарушив знака неравенства. В результате мы получим
п
2 ц.- аи ~At. YT <± 0 для всех
/ = i
/=1,...,/и.
Следовательно, вектор Y является искомым. □

§ 13. ТЕОРЕМА О МИНИМАКСАХ
Теорема. Какова бы ни была матрица А,
max min XA YT = min maxX4 YT.
x y y x
Доказательство. Применим к матрице А лемму о двух
альтернативах.
Предположим, что осуществляется первая альтернатива, т.е. существует
такой вектор Х0, что
XqA.jZQ, /=1,...,/?. (13.1)
Переходя на основании леммы п. 9.4 к смешанным стратегиям, мы
получим Х0А Yt « О (FG Y). Так как это неравенство справедливо для
любого вектора Y E Y, в силу следствия п. 3.3 должно быть
minX0AYTZO (13.2)
Y
и тем более
max min XA YT > 0.
x y
Пусть теперь осуществляется вторая альтернатива, т.е. существует такой
вектор Y0, что
Aj.Y^O, /=1,...,aw. (13.3)
Переход к смешанным стратегиям дает нам XA F<f ^ 0 для всех JGX.
Поэтому должно быть и max XA Yq ^ 0, и тем более
х
min maxXAYT£ 0. (13.4)
Y X
Мы видим, что в зависимости от осуществления той или иной
альтернативы выполняется неравенство (13.2) или неравенство (13.4).
Следовательно, хотя бы одно из этих неравенств должно соблюдаться. Поэтому не
может быть так, чтобы оба эти неравенства не выполнялись. Иными
словами, не может выполняться двойное неравенство
max min XAYT<0< min max XA YT. (13.5)
X Y Y X
Возьмем теперь произвольное вещественное число t и рассмотрим
матрицу
"flj 1 - f *i2 - t a\n - t
A(t) =
*2i - г 022 - t ... a2n- t
a m i - t am2 - t ... amn -
Напишем для матрицы A (t) неравенство (13.5) :
max min XA(t)YT < 0 < min max XA(t)YT. (13.6)
X Y Y X
54

Но в нашем случае
т п
XA(t)YT = 2 2 &(*//-0*?у =
/ = i /f = i
т п т п
= 22 S/eyt?,--! 2 2 bn, = XAYT-t. (13.7)
/ = 1 / = i i = 1 / = 1
»
Поэтому (13.6) равносильно
max min (X4 Уг - г) < 0 < min max(X4 Уг- г),
х y y х
или, что то же самое,
max mm XAYT <t< min -тзхХА YT.
X Y Y X
По-прежнему обе стороны написанного неравенства не могут быть верными
одновременно, каково бы ни было число t. Но это значит, что между мини-
максами max minX4 YТ и min maxX4 YT нельзя вставить ни одного чис-
х y Y х
ла, которое было бы строго больше первого из них и строго меньше
второго. Такое может оказаться только тогда, когда второй минимакс не
превосходит первого:
min max XA YT < max min XA YT. (13.8)
Y X X Y
Вместе с тем на основании неравенства минимаксов (теорема п. 3.4)
должно быть
тахттХ4Уг^ maxminX47r (13.9)
х y х y
Неравенства (13.8) и (13.9) вместе дают нам
max min X4 У7* = min maxXAYT,
x y y x
что и требовалось. □
О смысле выражения "полная определенность игры" см.
приложение 1.
§ 14. ЗАДАЧА РЕШЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ИГР
14.1. Доказанная в предыдущем параграфе теорема о минимаксах
утверждает, что во всякой матричное игре игроки имеют смешанные
оптимальные стратегии. Однако никаких явных путей для вычисления таких
стратегий эта теорема не указывает. В этом смысле она оказывается
типичной "теоремой существования". Проанализируем складывающееся в связи
с этим положение дел.
14.2. Установление существования в матричных играх оптимальных
стратегий игроков означает, прежде всего, реализуемость принципа максимина.
По существу это выражает тот "метаматематический" факт, что принцип
максимина не противоречит конструкции матричной игры и ее смешанного
расширения. Этот факт может стать побудительным мотивом к поискам опти-
55

мальных стратегий игроков в той или иной матричной игре и даже алгорифма
описания множеств всех оптимальных стратегий в любой матричной игре.
Если точное нахождение оптимальной стратегии игры не удается, то
уверенность в их объективном существовании увеличивает ценность и их
приближенного определения.
14.3. Вместе с тем неэффективная теорема существования сама по себе
представляет лишь весьма ограниченную практическую ценность и
нуждается в более эффективном "восполнении" (каковым может служить,
например, фактическое определение объекта, существование которого
доказано). Более того, с некоторой, достаточно последовательной
"конструктивистской точки зрения, такое неэффективное доказательство может
даже оспариваться.
Впрочем, для матричных игр все эти проблемы получают достаточно
удовлетворительное и притом сравнительно простое решение.
§ 15. СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ
И ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИГРОКОВ
15.1.Теорема. Для матричной игры ТА имеет место соотношение
vA = maxminXA.j = minmax^4/. YT, (15.1)
X j Y i
причем внешние экстремумы достигаются на оптимальных стратегиях
игроков.
Для доказательства достаточно заметить, что по определению значения
игры (см. пп. 4.5 и 6.4)
vA =maxminX4Fr = mmmaxXAYT, (15.2)
X Y Y X
а внутренние экстремумы можно по лемме п. 10.2 заменить на экстремумы,
распространенные по множествам чистых стратегий.
После этого остается вспомнить (см. п. 6.2), что внешние экстремумы
в (15.2) достигаются именно на оптимальных стратегиях игроков. О
Из этой теоремы получается много полезных свойств значения игры и
оптимальных стратегий игроков.
15.2. Т е о р е м а. Для любой матрицы Л
maxminfl/7-< vA -< minmaxtf/y. (15.3)
i / / i
Доказательство. Из (15.1) и леммы п. 3.7 следует, что
vA = max min X4/yj> max min д^-.
x j i j
Правая половина соотношения (15.3) доказывается аналогично. □
15.3. Теорема. Если игрок 1 имеет чистую оптимальную
стратегию /0, то
vA = max min atj = min aio j. (15.4)
i /
Если игрок 2 имеет чистую оптимальную стратегию /0, то
vA =minmaxtf/7 =тахя,у . (15.5)
56

Для доказательства (15.4) достаточно вспомнить, что согласно теореме
п. 15.1 в рассматриваемом случае максимум достигается на чистой
стратегии: X = /. Это и означает (15.4). Аналогично доказьшается (15.5). □
Теоретико^гровой смысл доказанной теоремы весьма прозрачен.
Первый игрок получает максимин выигрыша, если противник знает
применяемую им чистую стратегию. Но если некоторая его чистая стратегия
оптимальна, то это значит, что он может ее применением и ограничиться, а его
противник может действовать с учетом этого обстоятельства. Выражаясь
несколько вольно, можно утверждать, что наличие у игрока чистой
оптимальной стратегии отражает некоторые неблагоприятные для него условия
игры, не позволяющие ему "запутывать" противника.
15.4. Вернемся к формулировке теоремы из п. 15.1. Из нее следует, что
для любых X G X и Г Е Y должно быть
mmXAtJ.^vA £maixAimYT. (15.6)
Кроме того, для оптимальности стратегии X необходимо и достаточно,
чтобы левая сторона этого соотношения обращалась в точное равенство:
minX4.y = ^, (15.7)
а для оптимальности стратегии Y необходимо и достаточно, чтобы точным
равенством оказалась правая сторона соотношения (15.6):
vA = maxAimYT. (15.8)
i
15.5. Иногда бывает удобно проверять оптимальность стратегий X и Y,
записывая равенства (15.7) и (15.8) в виде неравенств, которые в
действительности оказьюаются равносильными равенствам:
minXAtJ->vA9 (15.9)
vA ^ max Л,. У7*. (15.10)
В самом деле, в (15.9), равно как ив (15.10), строгого неравенства
быть не может, так как это противоречило бы определению значения игры
(именно, противоречило бы соотношению (15.6)).
15.6. Неравенства (15.9) и (15.10) можно записать соответственно в виде
ХА^\)А для всех / = 1,...,л, (15.11)
vA ^AimYr длявсех / = l,...,m, (15.12)
так что эти неравенства также оказываются необходимыми и достаточными
признаками оптимальности стратегий игроков.
15.7. Следующие критерии оптимальности стратегий игроков в
матричной игре не предполагают знания значения этой игры.
Теорема. Если X и Y - соответственно стратегии игроков 1 и 2, а
v - некоторое число, причем
maxAjYTgLv^minXA,, (15.13)
i
то X и Y — оптимальные стратегии игроков, a v = vA.
57

Доказательство. Из (15.6) и (15.13) следует, что
max Л, Y т - v = v A = min XA ■,
i " А / *;
и, в частности, выполняются равенства (15.7) и (15.8). □
15.8. Условие (15.13) можно заменить на эквивалентное ему.
Следствие. Если X и Y - стратегии игроков 1 и 2, a v —
число, причем
A(YT^v<XA4 (15.14)
для любых i = 1,... , m и j = 1,..., п,
то Хи Y - оптимальные стратегии игроков, a v = vA.
Для доказательства достаточно заметить, что соотношения (15.14) и
(15.13) равносильны. □
15.9. В формулировках утверждений пп. 15.7 и 15.8 упоминание о
"некотором числе и" можно опустить.
Теорема. Если X и Y — стратегии игроков 1 и 2, то для их
оптимальности достаточно соблюдения неравенства:
msL\AiYT=minXA,. (15.15)
г /
Для доказательства достаточно в качестве "числа и" взять любой из
стоящих в (15.14) экстремумов. □
15.10. Как и в теореме п. 15.7, от неравенства между экстремумами
можно перейти к неравенствам между конкретными значениями
выигрышей.
Следствие. Если стратегии Хи Y игроков I и 2 таковы, что
AtYT<XAtj (15.16)
для любых i=l,... ,т и / = 1,. . . , и,
то эти стратегии оптимальны.
Это следует из того, что утверждения (15.16) и (15.15) равносильны. □
15.11. Отметим в заключение одну простую связь между значениями
игры и ее подыгр.
Теорема. Если ТА есть х-подыгра игры ТА, а ТА + - ее у'-подыгра, то
vA-<ivA^vA+. (15.17)
Доказательство. Согласно (15.1) должно быть
vA - = max min X'A -^ max min XA j=vA,
x' j "' x j
где максимум по X9 берется по множеству X' всех смешанных стратегий
игрока 1 в игре Г^ -, а максимум по X — по множеству всех его смешанных
стратегий X в игре ГА. Ссылка на п. 3.6 доказьгоает левое неравенство
в (15.17).
Правое неравенство в (15.17) устанавливается аналогично. □
58

§ 16. МНОЖЕСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИГРОКОВ
В МАТРИЧНЫХ ИГРАХ
16.1. Теорема. В матричной игре ТА множества оптимальных
стратегий игроков 8 (А) и £Г (А) являются выпуклыми непустыми
многогранниками.
Доказательство. Согласно п. 15.6 множество 8 (А) является
множеством всех решений системы неравенств (15.10), т.е. пересечением
конечного числа замкнутых полупространств. Кроме того, оно является
ограниченным. Тем самым согласно п. 11.3 это множество является
выпуклым многогранником.
То, что выпуклым многогранником является множество 3~ (А),
устанавливается аналогично ссылкой на систему неравенств (15.11). □
Заметим, что многогранность и выпуклость множеств оптимальных
стратегий игроков в матричной игре являются элементарными и как бы
непосредственно наблюдаемыми фактами (мы здесь оставляем в стороне
возможные рассуждения по поводу нетривиальности утверждений о том,
что ограниченное пересечение конечного числа замкнутых полупространств
конечномерного евклидова пространства есть выпуклый многогранник,
т.е. выпуклая оболочка конечного числа точек — вершин; это наглядно и
как бы очевидно). Напротив, доказательство непустоты этого
многогранника потребовало, как мы видели, известных усилий. Эта теорема
исторически не сразу поддалась доказательству, и даже высказьюались сомнения
в ее справедливости.
16.2. Из доказанной в п. 16.1 теоремы вытекает, что если значение vA
игры Г^4 заранее известно (например, если оно может быть найдено на
основании каких-либо общих свойств матрицы выигрышей А), то
многогранники 8 (А) и 3~ (А) для этой игры можно считать заданными, хотя, быть
может, и "в недостаточно явном виде" (т.е. своими гранями, а не
вершинами).
§ 17. СПЕКТРЫ СТРАТЕГИЙ И ДОПОЛНЯЮЩАЯ НЕЖЕСТКОСТЬ
17.1. Нахождение оптимальных стратегий игроков в матричных играх
(т.е. описание множеств 8 (А) и § (А) для тех или иных матриц А или
целых классов матриц) является, вообще говоря, достаточно трудоемким
делом.
Попытки систематического описания множеств оптимальных стратегий
игроков приводят к их определению не посредством универсальных
формул, а лишь посредством альтернативных формул: перебирается достаточно
обширный список формул, по каждой из них находится некоторый
"кандидат в оптимальные стратегии", который и проверяется на оптимальность
(например, по критериям, приведенным в § 16).
Численное же нахождение оптимальных стратегий в матричных играх
требует значительного объема вычислений, который быстро растет с
увеличением размеров матрицы выигрышей игры.
Из сказанного вытекают две задачи: во-первых, систематизировать и тем
самым сократить поиски аналитических выражений для оптимальных
стратегий игроков и, во-вторых, уменьшить число чистых стратегий игроков
59

в игре, попытавшись с самого начала отбрость те из них, которые заведомо
не будут участвовать в формировании каких-либо оптимальных статегий.
17.2. Т е о р е м а. Пусть (X*, У*) - приемлемая для игрока 1 ситуация
в матричной игре ГА, причем X* = (£i, .. ., £m). Тогда
1) из
AUY*T <X*AY*T (17.1)
следует £,- = 0, т.е. что чистая стратегия i не принадлежит спектру
смешанной стратегии X *;
2) если
AiY*T=X*AY*T для i = ilf...,ik,
то X°AY*T = X*AY*T для любой смешанной стратегии Х° игрока 1 со
спектром { ix,...., г*;} (т.е. в этом случае ситуация (Х°, Y*) также
оказывается приемлемой для игрока 1).
Дая ситуаций, приемлемых для игрока 2, имеет место двойственное
утверждение.
Доказательство. 1) Из определения приемлемости ситуации
(X*, У*) для игрока 1 (см. п. 4.2) следует, что At Y*T <X*AY*T для
любого / = 1, ..., т. Умножив каждое из этих неравенств на (-,-, мы
получим
iiAiY*T^HiXmAY*T9 (17.2)
а просуммировав по всем / = 1,.. . , т -
т т
2 SiAimYmT'=X*AY*7'<( 2 Hi)X*AY*T=X*AY*T.
i=i /=i
В действительности здесь, очевидно, имеет место равенство. Так как оно
было получено суммированием нестрогих неравенств одного смысла,
каждое из этих неравенств (17.2) должно быть точным равенством: ifAj.У *Т =
= ^fX*AY*T. В случае £/>0 отсюда следовало бы AimY*T -X*AУ*т, что
противоречило бы (16.1).
2) Получается непосредственным использованием леммы о переходе к
смешанным стратегиям. □
17.3. Следующее свойство оптимальных стратегий игроков в матричной
игре называется "дополняющей нежесткостью" по аналогии со сходным
свойством решений пар двойственных задач линейного программирования
(ср. далее в § 26). По своей формулировке и своему доказательству оно
сходно с частью 1) теоремы предыдущего пункта и двойственным ей
утверждением.
Теорема. Если У - оптимальная стратегия игрока 2 в игре ТА и для
стратегии i0 игрока 1 имеет место
Aio.YT<vA, (17.3)
то чистая стратегия i0 не может принадлежать спектру какой-либо
оптимальной стратегии X = (£i,. .. , £„) игрока 1,т.е. должно быть
*/0=0. (17.4)
60

Доказательство подобно доказательству теоремы из п. 17.2. Согласно
п. 15,6 для всех / = 1,.. ., т должно быть
AuYT^vA. (17.5)
Почленное умножение каждого из таких неравенств на £,• дает нам
StA,.YT£!UvA, (17.6)
а после суммирования по / = 1,. . ., т —
2 ^AiJT=XAYTM Z Hi)vA=v,
i = i i = i
Из оптимальности стратегий X и Y следует, что в этом соотношении
имеет место точное равенство. Но это может быть лишь в том случае,
если равенствами являются все суммируемые неравенства (17.6), и в том
числе $i0AiomYT = $iovA.
Если теперь ^ > 0, то обе части этого равенства можно разделить на £/ ,
получив Aj ,YT = vA, что противоречит (17.3). Значит, должно
выполняться (17.4). °П
17.4. Теоремы о дополняющей нежесткости часто применяют в
следующей эквивалентной, так сказать, "контрапозитарной" форме: если чистая
стратегия /0 игрока 1 входит в спектр некоторой оптимальной его
стратегии, то для любой оптимальной стратегии игрока 2 должно быть Ai YT =
= vA. Аналогичный вьюод делается из вхождения в спектр какой-либо
оптимальной 'стратегии игрока 2 некоторой его чистой стратегии.
17.5. Существенно более деликатным является доказательство
утверждения, обратного теореме п. 17.3.
Предварительно мы докажем следующую лемму, которая известна под названием
леммы Фаркаша.
к
Лемма. Пусть Z1,.. ., Z и Z — такие г -векторы, что для произвольного г-век-
iT T
тора W из условий WZ ^0 при i = l,... ,k следует WZ ^0.
Тогда Z принадлежит выпуклому конусу С, натянутому на векторы Z1, . . . , Z .
Доказательство. Предположим, что Z ф С. Это значит, что найдутся такие
вектор W и число с, что
WUT>c длявсех UZEC (17.6)
и WZT = c.
Очевидно, ОеС Поэтому из (17.6) следует, что с < 0.
т
Если бы теперь нашлось такое S е С, что WS < 0, то, умножая вектор S на
достаточно большой положительный скаляр t (произведение tS по-прежнему будет принад-
лежать конусу С), мы получили бы, что W(tS) может стать меньше любого наперед
заданного отрицательного числа и, в частности, стать меньше, чем с:
W(tS)T<c, (17.7)
а это противоречит (17.6).
Значит, для всех S G С должно быть WS 20ив том числе WZ ;> 0 для всех
т
i = 1, ...,&. Но тогда по условию должно быть и WZ > 0, а это противоречит тому,
что WZT = с <0. □
17.6. Обратимся непосредственно к доказательству интересующего нас
утверждения.
6\

Теорема. Пусть vA - значение игры ТА. Если для любой
оптимальной стратегии Y* = (т^,..., г?„) игрока 2 будет r\j = 0, то найдется такая
оптимальная стратегия х* = (^ , .. . , £w) игрока 1, что
x*A%>vA. (17.8)
Доказательство сильно напоминает доказательство леммы о двух
альтернативах (см. п. 13.1). Не нарушая общности, мы можем считать
что vA =0.
Рассмотрим конус С, натянутый на п + m — 1 векторов: на орты Еи) и
на столбцы матрицы А • при /^/о-
Предположим сначала, что — Л.;- G С. Тогда вектор ~Л,- можно
представить в виде линейной комбинации векторов, порождающих конус:
-А., = 2 etEw+ 2 a.-Л.,, (17.9)
где в/^0 (/ = 1, .. ., га), а; ^ 0 (j Ф]'0).В покоординатной записи
равенство (17.9) приобретает вид
-д,у =е,- + 2 CLjdij для i=l,...,m,
j * /о
откуда
2 а;- ац + ац - — et ^ 0 для z = 1,. . . , га.
j * /'о
Деля почленно это неравенство на 1 + 2 ay > 0 и полагая
/ =* /о
/ * /о / * /о
мы получим Л,-.У г ^ 0 = 1?л для всех г = 1, . .., га, так что стратегия У
игрока 2 оптимальна, причем г\- > 0.
Значит, должно быть — А . ^ С Тогда по лемме предыдущего пункта
найдется вектор Z = (f i,. . ., f„)> Для которого
ZE(i)T^0, z=l,...,ra, (17.10)
Z^e/ ^0, / = !,...,«, /^/o, (17.11)
но
-Z4./o <0. (17.12)
Неравенство (17.10) означает f/ ^ 0, а из (17.12) следует, что Z Ф 0.
Значит, сумма компонент вектора Z положительна, и мы можем разделить
на нее почленно неравенства (17.11) и (17.12) и, полагая
m _!
?, = ?,( 2 ?,) . ^ = (?!,...,?т),
/ = i
получить Х4.у 2^0 = и^4у XA.j >0=vA.
Таким образом, стратегия X является оптимальной стратегией игрока 1
и притом удовлетворяет требуемому условию (17.8). □
62

§ 18. 2 X 2-ИГРЫ
18.1. Анализ матричных игр, как, впрочем, и любых
многопараметрических игр, оказывается нетривиальным даже в простейших случаях.
Рассмотрим матричную игру, в которой каждый из игроков имеет по две
чистые стратегии. Матрица выигрышей этой игры имеет вид
Г «11 «12
L «2 1 «22
Пусть X — произвольная смешанная стратегия игрока 1 (в частности, эта
стратегия может быть и чистой). Если £ — вероятность выбора игроком 1
Рис. 1.9 Рис. 1.10
своей первой чистой стратегии в условиях X, то вероятность выбора им
второй стратегии есть 1 — £. Поэтому стратегию X можно представить в виде
(£, 1 — £). Аналогично, если Y — произвольная смешанная стратегия
игрока 2, то она имеет вид (т?, 1 — т?). Таким образом, стратегия X однозначно
определяется числом £, а стратегия Y — числом г\. Чистым стратегиям
соответствуют, очевидно, значения параметров 0 и 1. Мы будем в соответствии
со сказанным обозначать ситуацию (X, У) парой чисел (£, т?).
Геометрически всякую ситуацию (£0> ^о) в смешанных стратегиях
такой игры Г^ можно понимать как точку на единичном квадрате (рис. 1.9).
Ситуациям в чистых стратегиях соответствуют вершины этого квадрата.
18.2. Ситуация (X, Y) является седловой точкой в игре Г^, если она
приемлема для каждого из игроков. Поэтому для описания всех седловых
точек в игре мы опишем множества ситуаций, приемлемых для отдельных
игроков, и изобразим их на единичном квадрате всех ситуаций.
Пересечение двух этих множеств и будет составлять множество всех седловых точек
игры.
18.3. Займемся описанием ситуаций, приемлемых для игрока 1 в
2 X 2-игре Г^.
Приемлемость ситуации (X, Y) для игрока 1 в 2 X 2-игре Г^ означает
(например, в силу леммы о переходе к смешанным стратегиям), что
AUYT ^XAYT, (18.2)
A2YT^XAYT. (18.3)
Положим X - (£, 1 — £) и рассмотрим отдельно три случая,
а) £ = 1. Зде%сь £ > 0 (18.2) обращается в тождественное равенство, так
что необходимым и достаточным условием приемлемости ситуации (X, Y)
63
(18.1)

для игрока 1 оказьгоается неравенство (18.3). Это можно записать как
AlJT^A2JT. (18.4)
б) £ = 0. Здесь 1 — £ > 0, так что в тождественное равенство
обращается (18.3), и условием приемлемости ситуации (X, Y) оказьгоается (18.2)
или, что то же самое,
AUYTSA2.YT. (18.5)
в) 0 < % < 1. В этом случае как £ > 0, так и 1 - ? > 0. Поэтому по
теореме п. 17.3 о дополняющей нежесткости оба неравенства (18.2) и (18.3)
обращаются в равенства, и условием приемлемости становится
A1.YT = A2.YT. (18.6)
18.3. Опишем варианты приемлемости ситуаций в более явном виде.
Заметим для этого, что в любой ситуации (X, У) = (£, т?) в смешанных
стратегиях 2 X 2-игры ТА мы имеем
гп Г «1 1 «1 2 1 т
Х4ГГ = 0;,1-Ы 07,1-т?)г =
L «2 1 «22 J
= &?Л11 +*(1 -Т?)Л12 +(1-*)W2 1 +0 -*)0-1?)«2 2 =
= $Т?(«11 ~«12 ~«21 +«22) + ?(«12 -«22) + ??(«21 ~ «2 2 ) + «2 2 • (18.7)
Поэтому соотношения (18.4), (18.5) и (18.6) можно соответственно
записать как
r}C >alt (18.8)
r\C ^ai , (18.9)
т?С =ах, (18.10)
где
С = Яц -#12 -«21 +«22 И <*! =Я22 -«12- (18.11)
Таким образом, приемлемые для игрока 1 ситуации в игре могут быть
одного из трех типов:
(1,г?), где т?С :><*!,
(0,т?), где т?С ^.«i,
(£,т?), где т?С =а15 а £<Е(0,1).
18.4. Если С - 0, но ах Ф 0, то (18.10) не имеет места, так что
выполняется либо (18.8), либо (18.9), и притом со знаком строгого неравенства.
Поэтому множество всех т? дает приемлемые ситуации либо с £ = 1, либо
с % - 0, смотря по тому, какое из чисел окажется больше, -а2г или ai2.
Если же С = 0 и «х = 0, то все соотношения (18.8) - (18.10)
выполняются тождественно, и приемлемыми для игрока 1 будут вообще все
ситуации.
Перечисленные случаи изображены на рис. 1.10.
18.5. Обратимся к случаю, когда С Ф 0. Тогда из (18.10) следует т? =
= осх/С. Это значение т? мы далее будем обозначать через т?*. С учетом(18.11)
64

должно быть
rf = " . (18.12)
ац -a12 - a2\ + a22
Тогда перечисленные в п. 17.3 типы приемлемых для игрока 1 ситуаций
приобретают следующий вид:
(1,1?),
(0,77),
«,*?•),
где
где
где
*7^Т7*, если
VSV*, если
?€[0,1]. '
С>0, т?^г?\
С>0,Т7^Т7%
если
если
С<0;
С<0;
(18.13)
Если отвлечься от того, что число т? является вероятностью и поэтому
должно принадлежать сегменту [0, I ], то во всех вариантах случая С Ф 0
множества (18.13) составляют трехзвенные зигзаги, а множества
приемлемых для игрока 1 ситуаций суть пересечения этих зигзагов с
единичным квадратом ситуаций. Возможные случаи изображены на рис. 1.11.
Далее назовем трехзвенный зигзаг левым, если при подходе к его
среднему звену оно будет расположено слева по направлению движения
(рис. 1.11 а - д), и правым — в противном случае (рис. 1.11 е - к).
18.6. Описание ситуаций в игре Г^, приемлемых для игрока 2,
делается симметрично проведенному в пп. 18.3—18.5 описанию приемлемых
ситуаций для игрока 1.
Приемлемость ситуации (Xt У) в игре ТА для игрока 2 означает, что
ХАш1^ХАУт, XA.2^XAYT. (18.14)
Положив Y - (??, 1 — ??), мы приходим к рассмотрению трех случаев:
а) т? = 1. В этом случае приемлемость ситуации (X, Y) равносильна
неравенству
ХАЛ^ХА.2. (18.15)
б) т? = 0. Приемлемость ситуации (X, Y) для игрока 2 означает, что
ХАЛ^ХАш2. (18.16)
в) 0 < т?< 1. Приемлемость ситуации (X, У) для игрока 2 означает, что
ХАЛ=ХА.2. (18.17)
Согласно (18.7) соотношения (18.15), (18.16) и (18.17) могут быть
соответственно переписаны в виде
?С^а2, $С^а2, $С = а2,
где число С определяется, как ив (18.11), а а2 -а22 - а21.
Случай С = 0 разбирается так же, как и при рассмотрении ситуаций,
приемлемых для игрока 1. В случае С Ф 0 положим £ * = а2/С, т.е. в наших
обозначениях
г = алл±п . (18Л8)
а\ 1 — а\г - а2\ +#22
Приемлемые для игрока 2 ситуации составляют пересечение единичного
5.Н.Н.Воробьев 65

квадрата с зигзагом, состоящим из трех звеньев:
(?,1), где $<?, если О О, £^Г, если С<0;
(5,0), где ? ^Г, если С>0, ?^Г, если С<0;
(Г,г?), где т?е[0,1]
(рис. 1.12).
Обратим внимание на то, что в каждой игре зигзаги, на которых
расположены приемлемые стратегии игроков, оказьюаются одной и той же
ориентации, т.е. являются либо оба правыми, либо оба левыми.
Нам остается воспроизвести рассуждения п. 18.2.
18.7. Заметим, что при СФ 0 и £*, г\* Е(0,1) пересечением зигзагов
является единственная точка с координатами (£*, i?*), которая и будет
единственной седловой точкой в игре.
2 1
Например, для игры Г^ с А
0 3
мы имеем С = 4^0, ах =3, rf =
:3/4, а2=2 и £* =1/2. Поэтому зигзаги приемлемых ситуаций имеют
I
а
т]*<0
I
%*<0 •
• I 1 '
1 I I
1 I I
lJ „ _j
q*=0
1
ж
1
1
Z*=o
0<J]*<1
3
0<% <1
г
I
I
и
г
66
С<0
Рис. 1.11
1 , /с ,
С>0
£*
>/
I
I
1__
С<0
С>0
Рис. 1.12

о
г
Рис. 1.13
Рис. 1.14
Рис. 1.15
вид, изображенный на рис. 1.13; соответствующая ситуация равновесия —
точка их пересечения — единственная.
18.8. В качестве второго примера рассмотрим случай игры ГА с А =
2 0 1
. Здесь С = 2Ф0, oli =1, т?* =1/2, а2 =0, £* =0 Поэтому
множество всех ситуаций равновесия в этом случае имеет вид отрезка,
состоящего из ситуаций (0, г?), где г\= [0, 1/2] (рис. 1.14).
18.9. Рассмотрим, наконец; игру ТА с А -
1 2
0 1
Здесь С - 0,
приемлемыми для игрока 1 являются все ситуации вида (1,г?), а приемлемыми
для игрока 2 — все ситуации вида (1,5)- В игре имеется единственная
ситуация равновесия в чистых стратегиях: (1, 1) (рис. 1.15).
18.10. Проведенный анализ дает основания к несколько иному, упрощенному
алгорифму перечисления ситуаций равновесия в 2 X 2-игре, основанному на иной
классификации случаев.
Из сказанного выше следует, что таких основных и без труда распознаваемых
случаев — два.
1) В игре Г^ нет седловых точек в чистых стратегиях. В этом случае игра имеет
единственную седловую точку в смешанных стратегиях (X* Y*) - (£*, т?*), где, как
и выше, £ * = а2 /С и tj* = at /С. Заметим, что этот факт отражает примечательное
свойство 2 X 2-игр: если в такой игре один из игроков имеет чистую оптимальную стратегию,
то другой игрок тоже имеет чистую оптимальную стратегию.
Чтобы не запоминать выражений для С, а, и а2, удобно выводить соответствующие
формулы каждый раз заново, пользуясь формулами (18.16) и (18.6), которые
являются одной из форм выражения дополняющей нежесткости и в специальном
запоминании не нуждаются.
2) В игре ГА есть седловые точки в чистых стратегиях. Пусть для определенности
одна из них состоит из первых чистых стратегий игроков. Тогда vA =tfn, и по
определению седловой точки должно быть а2Х < а1г ^ д12/Смотря по тому, реализуются
в этом соотношении строгие неравенства или точные равенства, нам могут
представиться четыре варианта рассуждений.
а) а21 < аи К д12.'Здесь для первой чистой стратегии игрока 2, которая по
условию оптимальна, мы имеем а21 =А2.УТ < аХ1 -vA. Значит, по теореме п. 17.3 о
дополняющей нежесткости вторая чистая стратегия игрока 1 не может входить в
спектр какой-либо его оптимальной стратегии. Следовательно, первая его чистая
стратегия является его единственной оптимальной стратегией.
По аналогичным соображениям единственной оптимальной стратегией игрока 2
является первая его чистая стратегия.
б) а21 -аи К а12. По тем же причинам, что и в случае а), здесь у игрока 1 имеется
единственная оптимальная стратегия (именно, его первая чистая стратегия). Чтобы
5*
67

смешанная стратегия Y = (tj, 1 — т?) игрока 2 была оптимальной, необходимо и
достаточно соблюдение неравенства
^г.уТ=а1л^а22 (1 -ri) й. vA = лп,"
откуда и находятся соответствующие значения г?.
в) а2г < а1х -ахг- Симметрично предыдущему здесь единственная оптимальная
(первая чистая) стратегия имеется у игрока 2, а условием оптимальности смешанной
стратегии Х- (£, 1 - £) игрока 1 будет
ХЛ.2 = Ца12 + (1 - О а22 ^vA =au. '
г) д21 = яп - д12. Этот случай распадается в свою очередь на три подслучая.
ri) агг < vr- При этом, очевидно, С Ф О, у игрока 1 единственная оптимальная
стратегия, а оптимальными стратегиями игрока 2 будут все его стратегии.
г2) я22 > vy- Здесь также С Ф 0; единственная оптимальная стратегия здесь будет у
игрока 2, а оптимальными стратегиями игрока 1 будут все его стратегии.
г3) а22 =ир. Здесь С = ах -а2 - 0. Все ситуации оказываются равновесными, а все
стратегии игроков — оптимальными.
18.11. Приведем пример, иллюстрирующий нахождение оптимальных стратегий
игроков в случае 1) из предыдущего пункта.
3 1
2 5
. Максимин элементов
Рассмотрим игру Г^ с матрицей выигрышей А=\
этой матрицы равен 2, а минимакс равен 3. Поэтому седловых точек в чистых
стратегиях в этой игре нет, и мы дейстъительно имеем дело со случаем 1). Обозначим
искомую оптимальную стратегию игрока 1 через (|* 1 -(■*). Тогда выражающее
дополняющую нежесткость равенство (18.6) принимает вид £*• 3 + (1 — £*) "2 =
= £*■ 1 + (1 - £*) -5, откуда £ * = 3/5 и1 -%*= 2/5. Значение vA этой игры равно 13/5.
Аналогично соответствующее равенство для оптимальной стратегии (т;* 1 — г}*)
игрока 2 имеет вид
Зч*+1 • (1 -ц*) =2т?*+5 ■ (1 -т?*), (18.19)
откуда г}* = 4/5 и 1 - г)*= 1/5.
Заметим, впрочем, что, зная значение vA игры, равенства (18.19) можно и не
выписывать. В данном случае должно быть Аj. Y* Ф vA, как, впрочем, и А2- Y*= vA.
Первое из этих равенств имеет вид Зт?*+ 1 ■ (1 - г}*) = 13/5, откуда и следует
требуемое.
§ 19. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ 2ХЯ-ИГР
19.1 Рассуждения предыдущего параграфа показывают, что полный,
перечисляющий всевозможные случаи анализ даже для такого простого
класса игр, как 2 X 2-игры, оказывается достаточно нетривиальным.
Переход к играм большего формата существенно увеличил бы его
громоздкость. Естественно поэтому, что большинство алгорифмов решения игр
должно иметь достаточно сокращенный вид и опираться на те или иные
соображения, основанные на наглядности.
Кроме того, оказывается, что для перечисления всех ситуаций
равновесия игры основную трудность составляет нахождение спектров
оптимальных стратегий игроков, после чего остается сравнительно несложная и
традиционная работа.
Для некоторых классов матричных игр представляет практический
интерес графоанал итический метод решения, названный так
потому, что в нем графически определяются качественные особенности решения
(спектры оптимальных стратегий игроков, форма множеств оптимальных
стратегий и т.д.), после чего, пользуясь знанием этих особенностей, полную
характеристику решения игры можно найти уже чисто аналитически.
68

19.2. В основе описываемых далее графоаналитических методов лежит
следующее соображение, основанное на том, что согласно теореме п. 15.1
в матричной игре Г^ должно быть
v = maxminX4.;- minmax^,-. YT, (19.1)
А х f y i
причем внешние экстремумы достигаются на оптимальных стратегиях
игроков.
Н
Рис. 1.16
Рис. 1.17
Опишем способ нахождения оптимальных стратегий игрока 1 в га X п-
игре. Рассмотрим для этого га-мерную призму, основанием которой
является (га— 1)-мерный симплекс Xстратегий игрока 1 в ГА, а вдоль
образующей откладываются значения функции выигрыша Я (рис. 1.16). Графиком
каждой из функции XA.j является гиперплоскость, а графиком функции
mm XA.j — "минимальная" огибающая всех таких гиперплоскостей. Эта
/
огибающая ограничивает сверху некоторое "обелискообразное" тело
(см. рис. 1.17). Наибольшая Я-координата точек этого тела есть согласно
(19.1) vA, а проекции этих точек на основание призмы — оптимальные
стратегии игрока 1.
Разумеется, при больших значениях га такой способ неприменим, но
при га = 2 он представляется достаточно практичным. Воспроизведем в
деталях рассуждения в этом случае.
19.3. Рассмотрим игру, в которой игрок 1 имеет две чистые стратегии,
а игрок 2 — произвольное число п чистых стратегий. Матрица выигрышей
этой игры имеет вид
(19.2)
Фундаментальный симплекс смешанных стратегий игрока I представляет
собой в рассматриваемом случае сегмент [0, 1 ], в котором координата
точки, описывающей смешанную стратегию игрока 1, есть вероятность
использования им первой чистой стратегии.
Пусть игрок 2 выбирает свою чистую стратегию/. Тогда выигрыш
игрока 1 будет зависеть от выбранной им смешанной стратегии X, т.е.
фактически от вероятности £ выбора им первой чистой стратегии: XA.j
+ (!-$) «2/.
%а
1/
69

Графически зависимость этого выигрыша от £ изображается прямой
линией. Каждой чистой стратегии / игрока 2 соответствует своя прямая
(рис. 1.18). Ясно, что если матрица (19.1) имеет одинаковые столбцы,
то прямые, соответствующие таким стратегиям игрока 2, будут совпадать.
Ради простоты будем все совпадающие столбцы считать одной стратегией.
Графиком функции
minX4.y = min (S-fli/ + (1 - k)aij)
i f
будет нижняя огибающая всех прямых, соответствующих стратегиям
игрока 2 (на рис. 1.18 она выделена жирной линией). Очевидно, этот
график представляет собой ломаную, обращенную выпуклостью вверх.
Наивысшая точка этой ломаной будет соответствовать тому значению, на
котором достигается
max min XA.t - maxmin(|fl 1;- + (1 — £) a2i).
x i i i
Абсцисса этой точки является, таким образом, оптимальной смешанной
стратегией игрока 1, а ее ордината — значением игры. Если же таких
высших точек будет более одной, то, очевидно, огибающая ломаная будет
иметь горизонтальный участок (рис. 1.19). Множество оптимальных
стратегий игрока 1 будет состоять из всех абсцисс этих точек.
19.4. Описанное построение позволяет находить также оптимальные
стратегии игрока 2. Здесь может представиться несколько различных
случаев.
Пусть сначала огибающая ломаная имеет верхний горизонтальный
участок, соответствующий чистой стртегии /0 игрока 2. Очевидно, это может
быть лишь при я1/о =«2/0- В этом случае игрок 2 имеет единственную
оптимальную стратегию, которая является чистой.
Предположим теперь, что огибающая ломаная завершается "пиком".
Если абсциссой "пиковой" точки является 0 или 1 (рис. 1.20), то
оптимальная стратегия первого игрока — чистая (в случае, изображенном на
рис. 1.20, это точка 0), а оптимальными стратегиями игрока 2 будут те
его чистые стратегии, которые соответствуют прямым, подходящим к
Рис. 1.18 Рис. 1.19
70

Рис. 1.20
Рис. 1.21
пиковой точке с положительным наклоном. Разумеется, все их смеси
также будут оптимальными стратегиями игрока 2.
Аналогичная картина наблюдается в том случае, когда "пик" имеет
абсциссу 1.
Пусть, наконец, абсцисса пика отлична как от нуля, так и от единицы.
Это значит, что в верхней „ее точке пересекается не менее двух прямых,
из которых одна имеет положительный наклон, а другая — отрицательный
(рис. 1.21). Пусть
# = я2/1 +£(01/, -^2/j),
# = я2/-2 +£(я1/2 *2/3)
— эти прямые. Если игрок 2 откажется от использования всех своих
остальных стратегий, то в получившейся 2 X 2-игре как значение, так и
единственная оптимальная стратегия игрока 1 будут теми же, что и в
первоначальной игре. Это значит, что, пользуясь только двумя стратегиями j\ и /2,
игрок 2 может воспрепятствовать игроку 1 получить больше, чем vA.
Следовательно, оптимальная стратегия игрока 2 в исходной игре может
быть получена путем смешивания только двух его чистых стратегий j\
и /2. Таким образом, оптимальная стратегия игрока 2 в новой 2 X 2-игре
является оптимальной его стратегией и в исходной 2 X «-игре. Для ее
вычисления можно воспользоваться формулой (18.12), которая в данном случае
приобретает вид
*2/a-*i/a
'i/i
alJ2 -a2fi +a2k
§ 20. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ т X 2-ИГР
20.1 Пусть теперь в матричной игре две чистые стратегии имеет игрок 2,
а игрок 1 - произвольное их число т. Это значит, что матрица выигрышей
такой игры имеет вид
«21
L атх
Я12
а22
71

Анализ игры такого вида сходен с
проведенным в предыдущем параграфе анализом 2Х и-игр.
Произвольная смешанная стратегия игрока 2
имеет здесь вид Y = (т?, 1 - 7?), и их множество
можно описать сегментом [0, 1].
Если игрок 1 выбирает свою i-ю чистую
стратегию, а игрок 2 — смешанную стратегию Y, то
выигрыш игрока 1 будет, очевидно, равен
Af. YT = ац7]+ ai2 (1 - т?). Зависимость этого
выигрыша от т? графически описывается прямой
линией.
Графиком
max Af. YT = max (an r\ + ai2 (1 - т?))
будет верхняя огибающая всех прямых, соответствующих чистым
стратегиям игрока 1 (рис. 1.22). Абсциссой нижней точки этой ломаной будет
значение 7?*, соответствующее оптимальной стратегии игрока 2, а
ординатой - значение игры vA .
20.2. Графоаналитический способ, подобный описанному, можно
применить к решению игр, в которых один из игроков имеет три чистые стратегии.
Однако получающиеся при этом построения оказываются весьма
громоздкими. Для их проведения необходимо пользоваться методами
начертательной геометрии.
Если каждый из игроков имеет более трех чистых стратегий, то
графоаналитическое решение игры практически невозможно.
§ 21. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ 3 X 3-ИГР
21.1. 3 X 3-игры встречаются во многих вопросах. Поэтому умение их решать,
притом без обращения к общим методикам (например, к симплекс-методу линейного
программирования, о возможности использования которого см. в § 26) и, тем более,
к вычислительной технике, представляется важным. Разумеется, такой подробный
анализ, которому были в § 18 подвергуты 2 X 2-игры, здесь оказывается практически
неосуществимым ввиду обилия и разнообразия могущих встретиться случаев.
Поэтому мы ограничимся описанием способа решения такой игры, не доводя его до
расчетных формул, к которым он приводит в каждой из своих реализаций.
Итак, пусть нам дана игра с 3 X 3-матрицей выигрышей А. В основу ее решения
мы положим следующие соображения.
21.2. Прежде всего, как это уже неоднократно отмечалось, для значения vA всякой
матричной игры Г^ должно быть
vA = max min XA.j, (21.1)
A X j
причем внешний максимум достигается на оптимальных стратегиях игрока 1 и только
на них.
В нашем случае Xявляется вектором вида (£t, £2, £ 3), где
$1.*а.*з £0, (21.2)
*i +*2 +£з =1- (21.3)
Обозначим множество всех таких векторов через X (см. п. 8.2). Тогда равенство
72

IGX
(21.1) можно переписать в виде
(ХАл
ХА.2
ХА.Ъ
Рассмотрим теперь равенства
X4.j =Х4.2,
Х4.2 = Х4.3,
Х4.3=Х4.1.
[Ми +'Мм +'Мз,1
= max minUjfl,', Щ2а22 + И3а32
Sitfis ^%2а2ъ + £з*зз J
(21.4)
(21.5)
(21.6)
(21.7)
Каждое из них в условиях (21.3) является либо тождеством, либо уравнением
прямой, разбивающей плоскость (21.3) на две полуплоскости, в каждой из которых
одна из сравниваемых линейных форм принимает большие значения, чем другая.
Осуществив все такие разбиения плоскости (21.3) и произведя сравнения значений
форм на соответствующих полуплоскостях, мы можем описать области плоскости,
на которых меньшее значение оказывается у данной формы (т.е. у первой, второй
или третьей) или одновременно у нескольких данных форм. Обозначим область, в
которой минимальные значения будут у формы xA.f, через Ж j.
Это значит, что мы полагаем
{ХАЛ для Хе Ж19
Х4.2 для Х<еЖ2,
1X4.3 для 1е Ж3.
min XA.j =
/= 1, 2, 3
Вообще говоря, среди множеств Ж1У Ж2, Жъ могут быть совпадающие, а также
пустые.
Если система уравнений (21.3), (21.5), (21.6) (уравнение (21.7), очевидно,
является следствием двух предыдущих) имеет единственное решение, то области Жг,Ж2
и Жъ имеют вид углов (рис. 1.23). Если же эта система имеет бесконечное множество
решений, то области принимают вид полос и полуплоскостей (рис. 1.24).
Применяя введенные обозначения, мы можем переписать (21.1), или, что то же
самое, (21.4), в виде
ХА.Х
Л IGX /=1,2,3
= max{ max X4.ls
х^Жх пх
Х^Ж2 п*
ХА.2,
х^Жъ пх
ХА.3).
(21.8)
21.3. Нам остается найти в (21.8) внутренние максимумы и сравнить их между
собой. Заметим, что каждое из множеств Ж( П X есть пересечение треугольника с
углом, полосой или полуплоскостью. Поэтому оно либо пусто, либо состоит из
единственной точки, либо является отрезком, либо треугольником, либо, наконец,
выпуклым четырехугольником.
ХА.ГХА-3
Рис. 1.23
Рис. 1.24
73

Но максимум линейной формы на любом выпуклом многограннике, и в том числе
на отрезке, треугольнике или выпуклом четырехугольнике, должен достигаться
на его вершине (это утверждение известно из линейного программирования и широко
применяется там; фактически оно равносильно опирающейся на лемму о переходе
к смешанным стратегиям из п. 9.4 лемме из п. 10.2). Поэтому для нахождения
максимума в (21.8) достаточно найти вершины многоугольников Ж] п X, вычислить в
них значения соответствующей формы XA.j- и сравнить эти значения между собой.
Вершины же каждого многоугольника Ж/ п X суть либо вершины X,
принадлежащие Ж}, либо вершина Ж} (если она есть), принадлежащая X, либо же точки
пересечения сторонку со сторонами X. Все эти точки могут быть без труда перечислены.
Вершинами треугольника X являются точки 1 = (1, 0, 0), 2 - (0, 1, 0), 3 = (0,0,1).
Принадлежность той или иной точки X из их числа данному множеству Ж j
проверяется без труда путем установления того, что XA.j — наименьшее число среди ХА,\9
ХА.2 и ХА.2 (и во всяком случае, не большее, чем остальные).
Далее, если одно из множеств Ж j имеет вершину, то мы имеем дело со случаем,
изображенным на рис. 1.23. При этом все множества Ж; должны иметь общую и
притом единственную вершину. Принадлежность ее множеству X устанавливается
проверкой соблюдения для ее координат уравнений (21.2) и (21.3).
Наконец, уравнение стороны Ж j имеет вид
XA.j ='XA.j2, (21.9)
а уравнение стороны X
^• = 0. (21.10)
Комбинируя все уравнения вида (21.9) с уравнениями (21.10) и учитывая условия
(21.2) и (21.3), мы можем найти все точки и этого типа.
Как видно из рис. 1.23 и 1.24, наибольшее число точек, в которых придется
фактически вычислять и сравнивать значения линейных форм, равно семи. Общее число
комбинаторно различных вариантов оказывается здесь весьма большим. Мы не будем
их перечислять.
21.4. После того как значение игры найдено, нахождение оптимальных стратегий
игрока 2 не представляет большого труда. Именно, для этого нужно найти те значения
вектора Y - (г}1,-п2, г}3), которые удовлетворяют обычным соотношениям:
TJi.Tia.Tjj^ 0, (21.11)
*?1 +'*1а+т1э =1 (21.12)
(множество всех таких векторов составляет треугольник, который мы обозначим
через Y) и для которых
max At. YT = v.. (21.13)
/=1,2,3 Л
С этой целью достаточно найти области <£19 <£2 жХъ плоскости (21.12), на
которых из трех форм Aj.YT наибольшее значение принимает соответственно форма
А|. Y , А2> YT или A^'Y', и определить пересечение каждой из этих областей с
треугольником.
Точки этого пересечения и составляют множество оптимальных стратегий игрока 2.
21.5. Разумеется, при фактическом нахождении значения игры и оптимальных
стратегий игроков в ней по описанному выше способу может возникать большое
число возможностей сократить и упростить рассуждения и вычисления. Перечислять
здесь эти возможности едва ли целесообразно.
21.6. Пример. Пусть
1 1 2
А = I 0 2 0
2 0 0
Уравнение (21.5) в данном случае имеет вид
ХА.Ъ=*г +'2*з =£i +'2^ = XA.#
или ^2 =£3-
74

Рис. 1.25 Рис. 1.26
Аналогично уравнение (21.6) записывается как
ХА.2=К1 +'2*а -2^ =sXA.lt
т.е. 2%2 = £х-
Наконец, из уравнения (21.7), которое оказывается следствием двух предыдущих,
следует, что £ г =' 2 £ 3 ■
Значит, области Ж^Ж2 иЖ3 будут выглядеть так, как это изображено на рис. 1.25
(здесь точка 0 имеет координаты (1/2, 1/4, 1/4))- Вычисление значений формы ХА.Х
в точках 1, 2 и 0 дает нам
(1,0,0)(1,0,2)г=1,
(О, 1,0) (1,0, 2) т = 0,
(1/2, 1/4, 1/4) (1,0, 2) г-1,
а вычисление значения формы Х4.2 в точке 3-
(0,0, 1)(1,2, 0)г=1.
Значит, именно векторы (1, 0, 0) и (1/2, 1/4, 1/4) являются оптимальными
стратегиями игрока 1. Следовательно, на основании сказанного в предыдущем параграфе
множество всех оптимальных стратегий игрока 1 есть отрезок, соединяющий
соответствующие точки 1 и 0. Значение игры равно 1.
Обратимся к нахождению оптимальных стратегий игрока 2. Приравнивание
соответствующих линейных форм дает нам сначала
Аг. YT = Vl +т?2 +2щ =2ть = A2.YT,
откуда I + 1?3 = 2т}2; далее
A2.YT = 2rl2 =27?, =A3.YT%
так что г\г -г\2; наконец, из А ]. Y Г -А 3. YT следует 1 + щ = 2т?,.
Значит, области £,, £2 и £3 имеют вид, изображенный на рис. 1.26. Здесь
/7= (2/3,0,1/3), Г= (0,2/3,1/3), W= (1/3,1/2,0).
Вычисление в точках U, V и W значений формьЫ !* F7^ дает нам
(1, 1, 2) (2/3, 0, 1/3)т = 4/3, (1, 1, 2) (О*, 2/3, 1/3)^ = 4/3,
(1, 1, 2) (1/2, 1/2, 0) т = 1, (I, 1, 2) (0, 0, 1) г = 2,
а вычисляя в точках 2 и I соответственно значения форм A2.YT hA3.Yt, получаем
(0, 2, 0) (0, 1, 0) т = 2, (2, 0, 0) (1, 0, 0) т = 2.
Таким образом, единственной оптимальной стратегией игрока 2 оказывается
точка W= (1/2, 1/2,0).
75

§ 22. ДОМИНИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ
22.1. Из сказанного выше видно, что с ростом формата матричной
игры весьма резко возрастает сложность анализа игры и трудоемкость
ее решения. Поэтому любые приемы, позволяющие сводить решение игры
к решению другой игры, меньшего формата, представляются весьма
полезными. Если выражаться более точно, то здесь, говоря о "сведении", мы
имеем в виду две задачи. Во-первых, более легкую: построить по игре 1^
такую ее подыгру ГА s что % (А') С cg (A), а, во-вторых, — более трудную:
построить по игре ГА такую ее подыгру Г^», что ($ (А') = % (А). При этом
в обоих случаях, в соответствии со сказанным в п. 8.5, мы отождествляем
смешанные стратегии игроков в подыгре ГА > со смешанными стратегиями
этих игроков в игре 1^, получаемыми из стратегий в игре Г^ > путем
надлежащего их пополнения нулевыми компонентами.
Одна из возможностей такой редукции игр основана на двух вариантах
понятия доминирования стратегий.
Определение. Говорят, что в матричной игре 1^ стратегия X1
игрока 1 доминирует его стратегию X" (а стратегия X" до минируется
стратегией X'), если для любой чистой стратегии/ игрока 2 X'A.j^X "A.j.
Аналогично, стратегия У'игрока 2 доминирует его стратегию Y'\ если
для любой чистой стратегии / игрока 1 Aim Yf < Aj. Y" .
В частности, чистая стратегия i игрока 1 доминирует его чистую
стратегию/", если для любого/ я,-', i£ я/"/» а чистая стратегия /'и игрока 2
доминирует его чистую стратегию/ ", если для любого / ау < ац". □
Обратим внимание на то, что отношение доминирования касается
стратегий одного и того же игрока, а доминирования стратегий игрока 1 и
игрока 2 находятся в отношении двойственности для антагонистических
игр (ср. п. 5.4). Далее мы будем для определенности говорить, как
правило, о доминировании стратегий игрока 1.
22.2. Игроки могут не употреблять в играх своих доминируемых
стратегий. Точный смысл этого высказывания содержится в следующих
утверждениях.
Теорема. Если в игре стратегия одного из игроков X' доминирует
его стратегию X", и стратегия X" оптимальна, то стратегия X1 также
оптимальна.
Доказательство В соответствии с соображениями
двойственности пусть речь идет об игроке 1. В силу доминирования, указанного в
условии, мы имеем
X"A4S- X'A.f при любом / = 1, .... и, (22.1)
откуда
min X"A.j< mm X'A.j. (22.2)
/ /
Но в силу оптимальности X" должно быть (теорема п. 15.1) minX"A.j=vA.
/
Значит, по (22.2) и mmХг A.j, т.е. стратегия Х'является оптимальной. □
/
22.3. В применении к чистым стратегиям неупотребление доминируемых
стратегий может означать следующее.
76

Теорема. Если чистая стратегия i0 игрока доминируется его (чистой
или смешанной) стратегией X {отличной от /0), то существует
оптимальная стратегия Х° этого игрока, в которую i0 входит с нулевой
вероятностью.
Доказательство. Как и выше, ограничимся рассмотрением
стратегий игрока 1. Пусть Х- (£ г,..., £т). Составим вектор X* - (%\,.. ., £w) >
Ь—— при г Фг0,
Ь ° (22.3)
I 0 при i = i0.
Очевидно, £j ^ О для всех /, и
так что вектор ЛГ' является смешанной стратегией игрока 1. При этом i0f£
^ suppX'.
Предусмотренное условиями теоремы доминирование означает XA.j ^
^>д,- у при любом/, что можно переписать как
m w
i=i i=i
Отбрасывая теперь справа и слева общее слагаемое £/ at у и деля обе
части получаемого неравенства на (положительное!) число 1 — £f , имеем
m
2 £)• а*/= 2 fj Qij^afj при любом,/, (22.4)
1=^1 о ° i=l
т.е. д,- / ^X'A.j при любом/. Это и означает, что ЛГ' доминирует стратегию
/0. Далее, согласно лемме о переходе к смешанным стратегиям отсюда
получается
Aio.YT<X!AYT при любом у G у. (22.5)
На основании доказанного мы можем предполагать, что доминируемая
стратегия не содержится в спектре доминирующей стратегии, т.е. что
последняя по существу является стратегией игрока 1 в (х\г0)-подыгре Г =
Л Л
= Г а игры Гл. Возьмем (X*, У) е © (А). Это значит, что
А,-. Y т ^ X * A TY т й X 'А.,при всех i Ф i0 и у е у. (22.6)
Л Л
Обозначим через Xстратегию игрока 1 в игре Г, получаемую изХотбрасы-
ванием ее нулевой 10-й компонеты. Из (22.6) следует, что
XAYT£X *AYTSX *i.y при всех/ G у. (22.7)
Л
Так как векторы X и X отличаются только лишней нулевой
компонентой у X, соотношение (22.6) можно переписать как
Ai.YT^ ' ДГМУт^;ГМ.у привсех (Ф10 и /Еу. (22.8)
77

Аналогично, учитывая (22.5), мы можем (22.7) переписать как
Aio. YT^XAYT = XAYTSX*AYT^X*A.j при j G у. (22.9)
Наконец, объединение (22.8) и (22.9) дает нам (X*, Y) <ЕС& (Г).
Оптимальная стратегия Xявляется искомой. □
22.4. Следствие. Пусть чистая стратегия i0 игрока 1 вл игре Гл
доминируете некоторой его стратегией X, отличной от io,A - матрица,
получаемая из А отбрасыванием ее строки i0, и XG fS (А). Тогда
стратегия X, получаемая из X вставлением нуля на место г0-й компоненты,
принадлежит *&: (А). Кроме того, vА = vА .
Аналогичное утверждение справделиво для доминируемых стратегий
игрека 2.
Доказательство. Из теоремы п. 22.3 следует, что в игре Гл у
игрока 1 существует отптимальная стратегия Х°, спектр которой не
содержит стратегии i0. Для нее
min X°A.j = vA. (22.10)
Эту стратегию можно рассматривать также как смешанную стратегию
игрока 1 в игре ГА (ср. п. 22.1), и для нее, как и для любой его стратегии,
должно быть
mmX^A.j^v^ . (22.11)
/'
Вместе с (22.10) это дает нам vA SvA. Но согласно п. 16.11 должно
бытьии^ ^^, так что в действительности vA=vA, и в соотношении
(22.11) оказывается равенство. Значит,
А
min XA.f = min XAmJ- = vA = vA,
I i
откуда xES (А).П
§ 23. СТРОГОЕ ДОМИНИРОВАНИЕ СТРАТЕГИЙ
23.1. Перейдем к рассмотрению второй из сформулированных в п. 22.1
задач.
Определение. В матричной игре с матрицей выигрышей А
стратегия X' игрока 1 строго доминирует его стратегию Х"~ (а стратегия
X"строго доминируется стратегией Х')9 если для любого /Еу X'A.j >X"A.f.
Стратегия Yr игрока 2 строго доминирует его стратегию Y", если для
любого/ exAi.Y'KAf.Y".
Сходным образом переносятся на случай строгого доминирования
формулировки о доминировании чистых стратегий игроков. □
Анализ строгого доминирования стратегий игроков оказывается проще
проведенного в предыдущем параграфе анализа их (нестрогого)
доминирования.
23.2. Игроки не должны употреблять в играх своих строго
доминируемых стратегий (ср. эту формулировку с первой фразой п. 22.2). Точный
смысл этого высказывания содержится в следующих утверждениях.
78

Теорема. Если в игре ТА стратегия X" одного из игроков строго до-
минируется его стратегией Х\ то стратегия X" не может быть оптимальной.
Доказательство. Будем снова говорить о стратегиях игрока 1.
Предусмотренное условиями теоремы строгое доминирование стратегий
означает, что Хн A.j <X'A.j при любом/ € у, откуда (ср. п. 3.2)
min X " A.j- < min X'Aj <va ,
и стратегия Хп не может быть оптимальной. П
23.3. Теорема. Если чистая стратегия /0 игрока строго доминирует-
ся в игре ГА (чистой или смешанной) стратегией X, то для любой
оптимальной стратегии ^*=(£i,...,£w) этого игрока должно быть £,- = 0.
Доказательство. Пусть X и /0 — стратегии игрока 1. Из условия
доминирования при любом / должно быть df j < ХА v. Возьмем какую-
нибудь оптимальную стратегию Y * игрока 2 и перейдем в написанном
неравенстве к смешанным стратегиям:
Aio.Y*T<XAY*T. (23.1)
Из оптимальности F* следует, что ХА Y*T ^vA , что вместе с (23.1) дает
A1q.Yt < vA, и нам остается сослаться на теорему п. 17.2 о дополняющей
нежесткости. □
23.4. Следствие. Пусть чистая стратегия i игрока 1 в игре ГА строго
доминируется некоторой его стратегией, а А -^матрица, получаемая из А
отбрасыванием ее строки Ар. Тогда §(Л) = § (А ).
Доказательство. По последней теореме каждая стратегия из
§ (А) не содержит в своем спектре стратегии i. Поэтому ее можно
рассматривать как стратегию в игре ГА. По теореме о независимости от
посторонних альтернатив (п. 5.5) она должна принадлежать 8 (А). Значит,
§ (А) С $ (А). Обратное же включение было доказано в п. 22.4 даже
при более слабом предположении нестрогого доминирования. □
§ 24. ВПОЛНЕ СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ
24.1. Как отмечалось, знание спектра оптимальной стратегии
существенно облегчает ее нахождение. Далее мы рассмотрим один класс игр, в
которых это соображение проявляется наиболее наглядно.
Определение. Стратегия игрока называетя вполне смешанной, если
ее спектр состоит из множества всех стратегий игрока.
Ситуация равновесия (седловая точка) в игре называется вполне
смешанной, если она состоит из вполне смешанных стратегий игроков.
Игра называется вполне смешанной, если каждая ситуация равновесия
(седловая точка) в ней является вполне смешанной. □
Хотя в данной главе изучаются лишь антагонистические игры, но данное
определение умышленно сформулировано так, чтобы быть применимым
к любым бескоалиционным играм.
24.2. Теория вполне смешанных матричных игр в значительной мере
исчерпывается следующей теоремой.
Теорема. Пусть в пХп-матричной игре ГА матрица выигрышей А
является невырожденной.
79

Тогда, если игрок 2 имеет в ГЛ вполне смешанную оптимальную
стратегию; то игрок 1 имеет в ней единственную оптимальную стратегию X, для
которой *)
Х =
JnA-
J A~lJT
при этом
"А
J„A~lJ{
(24.1)
(24.2)
Если же в ТА вполне смешанную оптимальную стратегию имеет игрок 1,
то игрок 2 обладает в ней единственной оптимальной стратегией Y, для
которой
A"lJT
г-ТТч^- ' (24J)
причем также выполняется (24.2).
Доказательство. В условиях первой части теоремы для
оптимальной стратегии X игрока 1 ввиду существования вполне смешанной
оптимальной стратегии игрока 2 согласно теореме о дополняющей нежесткости
должно быть XA.j = vA для всех / = 1,.. . 9п. Запишем эту систему
равенств в виде ХА = vA Jn, откуда ввиду невырожденности матрицы А
X = vAJnA~l. (24.4)
Почленное умножение этого равенства слева на/^ дает нам
XJTn=vAJnA-4Tn.
Так как X — стратегия, левая часть здесь равна единице. Поскольку тем
самым левая часть отлична от нуля, должно быть JnA~l /J Ф 0, и из (24.5)
мы получаем (24.2).
Подстановка найденного выражения для vA в (24.4) дает нам (24.1).
Вторая часть теоремы доказывается симметрично. П
24.3. В качестве примера рассмотрим игру Г^ с диагональной матрицей выигрышей
а, 0 ... О
(24.5)
Л =
О
О
,. • • , ап > О,
называемую диагональной игрой.
Диагональную игру можно интерпретировать как следующую игру поиска. Игрок 2
прячет в одном из п мест предмет, причем в /-м месте прячется предмет ценности Qj.
Игрок 1 производит поиск этого предмета также в одном из мест. Найдя предмет,
игрок 1 тем самым выигрывает его ценность, а не найдя - не получает ничего.
24.4. Матрица выигрышей А диагональной игры Г^, очевидно, является
невырожденной. Для нее
а:1 0 ... О
А-1 =
О
О
(24.6)
*) Здесь, как и всюду (см. п. 8.3), Jn есть я-мерный вектор, каждая компонента
которого равна единице.
80

Покажем, что игрок 1 имеет в игре Г^ вполне смешанную оптимальную стратегию.
Возьмем сначала для этого смешанную стратегию Х° = (1/«,..., 1/п). Тогда
va 2l min X°A.j = min > 0.
/ / п
Если теперь предположить, что для оптимальной стратегии Х*= (£19. .. , £„) при
некотором / будет %i = 0, то, как легко подсчитать, окажется X*A.j= 0, а это
противоречит тому, что по доказанному
0 < vA = min X*A.j < Х*А.{ .
/
Значит, в игре Г^ все оптимальные стратегии игрока L являются вполне
смешанными (мы доказали даже несколько более того, что нам требовалось), и мы
оказываемся в условиях второй части теоремы п. 24.3. Поэтому согласно (24.6), (24.2) и
/ п l Y1
(24.3) мы получаем v л = 1 £ — Iй
W=l Of '
y-(=" J.)-(±....,±).
(24.7)
Но теперь оказываетя, что и игрок 2 имеет в игре Г^ вполне смешанную
оптимальную стратегию, и мы можем воспользоваться первой частью теоремы п. 24.3, согласно
которой
Х = ( S -М (— ,..., — ). (24.8)
24.5. Описываемый формулой (24.8) результат на первый взгляд может показа-
заться парадоксальным, так как согласно ему игрок 1 должен с большими
вероятностями искать менее ценные предметы. Однако этот парадокс разрешается, если
принять во внимание оптимальную стратегию игрока 2, описываемую формулой (24.7).
Из этой формулы видно, что при своих оптимальных действиях игрок 2 чаще всего
прячет как раз наименее ценные предметы. Поэтому естественно, что игрок 1
должен стремиться найти именно их.
Заметим, что векторы оптимальных стратегий игроков 1 и 2 в диагональной игре
равны друг другу. Говорить о том, что оптимальные стратегии игроков в данном
случае совпадают, едва ли уместно, так как они выражают совершенно различные
действия того и другого. Совпадают здесь только вероятности обращения игроков к
одному и тому же месту.
24.6. Класс всех диагональных игр при всей их простоте и элементарности может
в некотором смысле считаться универсаль ным. Именно, любая вполне
смешанная стратегия является оптимальной в некоторой диагональной игре.
Действительно, вполне смешанная стратегия Z =U1,. .. , £п) является
оптимальной стратегией каждого из игроков в диагональной игре Г^, где
5Г1 0 ... 0
А =
0 а;1 ... 0
0 0 ... Гп1
24.7. Иногда оказывается, что проверка невырожденности матрицы
выигрышей игры затруднительна. Имея в виду такие случаи, желательно
исключить проверку невырожденности матрицы из решения игры. В связи
с этим представляется полезной следующая лемма.
Лемма. Если в матричной пХ п-игре ТА оба игрока имеют вполне
смешанные оптимальные стратегии, а для одного из них вполне
смешанными являются все оптимальные стратегии, то матрица А оказывается
невырожденной.
6.Н.Н. Воробьев
81

Доказательство. Пусть в п X л-игре ГА вполне смешанными
являются все оптимальные стратегии игрока 1. Ввиду существования вполне
смешанной оптимальной стратегии игрока 2, как и раньше, все
оптимальные стратегии игрока 1 суть решения уравнения ХА = vAJn. Это уравнение
заведомо разрешимо (ибо оптимальные стратегии у игрока 1 существуют!).
Поэтому если бы матрица А была вырожденной, то решения уравнения
составляли бы целое подпространство положительной размерности. При этом
некоторые решения находились бы на пересечении этого подпространства
с границей фундаментального симплекса смешанных стратегий X. Но точки
этой границы соответствуют смешанным стратегиям, имеющим нулевые
компоненты, т.е. не являющимся вполне смешанными, а это противоречит
предположенному. □
Эта лемма представляет собой любопытный пример утверждения,
позволяющего судить об алгебраических свойствах некоторой матрицы А по
теоретико-игровым свойствам игры Гл.
24.8. Доказанная лемма позволяет модифицировать теорему п. 24.2
следующим образом.
Теорема. Если в п X п-матричной игре ГА оба игрока имеют вполне
смешанные оптимальные стратегии, причем для одного из них все
оптимальные стратегии являются вполне смешанными, то матрица А выигрышей
невырожденная, оптимальные стратегии X и Y в игре ТА являются
единственными и могут быть определены по формулам (24,1) и (24.3).
Значение vA игры ГА определяется по формуле (24.2).
24.9. Следующее понятие приводит к удобному признаку полной
смешанности игры.
Определение. Будем говорить, что в иХи-игре ТА имеется
доминирующая диагональ, если для некоторого вещественного q > 0 будет
au>q, atj<q при / Ф /, (24.9)
и имеется сильно доминирующая диагональ, если, кроме того, найдется
такая смешанная стратегия Х° игрока 1, что
X°A>qJn.U (24.10)
Использование "в п. 24.4 при рассмотрении диагональной игры вектора
Х° = (1/я,. . . , 1/и) показывает, что диагональ в этой игре оказывается
сильно доминирующей. В сущности, доказательство следующей теоремы
является обобщением анализа диагональной игры.
Теорема. Игра с сильно доминирующей диагональю является вполне
смешанной.
Доказательство. Пусть в игре Г^ имеется сильно доминирующая
диагональ. Тогда согласно (24.10) будет
vA =max min XA.j>m'm X°A.j>q. (24.11)
* / /
Предположим теперь, что в Г^ игрок 1 имеет оптимальную стратегию,
не являющуюся вполне смешанной. Пусть, например, Х*= (£1?. . ., £„) —
такая стратегия, и £/о = 0. Тогда в силу (24.9) мы получаем
vA = min IM.^IM,o = 2 ЬаПо <q ,
а это противоречит (24.11). Значит, все оптимальные стратегии игрока 1
являются вполне смешанными.
82

Но уже из существования одной вполне смешанной оптимальной
стратегии у игрока 1 согласно теореме о дополняющей нежесткости (см.
п. 17.3) следует, что для любой оптимальной стратегии Y*= (771?. .. ,г]п)
игрока 2 должно быть
Ai.Y*T=vA при любом i = 1, ...,л. (24.12)
Но если 7?/о = 0,то ввиду (24.11) будет
/±Jo
что противоречит (24.12). □
§ 25. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
25.1. Решение матричной игры можно свести к решению стандартной
задачи линейного программирования.
Рассмотрим игру с т X ^-матрицей выигрышей А. Не нарушая общности,
можно считать, что все элементы этой матрицы положительны (если это не
так, то мы можем,, прибавив ко всем элементам некоторое достаточно
большое число, рассматривать получившуюся игру, которая аффинно
эквивалентна первоначальной).
Пусть X— произвольная стратегия игрока 1 в этой игре.
Положим vx = min XA.j и заметим, что из положительности элементов А
следует положительность vx для любой стратегии X. Таким образом, мы
имеем
0<vx<xA.f4 /=1,...,я. (25.1)
Кроме того, согласно теореме п. 15.1 оптимальность стратегии
Xравносильна тому, что
i;A-=max vX'=v4. (25.2)
х '
Рассмотрим теперь вектор Х= (l/vx)X. Неравенства (25.1) даюг нам
XA.f^l, / = 1,...,л (25.3)
То, что X — стратегия, означает
XJTm =l/vx, (25 А)
а также
Х>0. (24.5)
Из (25.2) и (25.4) следует, что стратегия X будет оптимальной тогда и
только тогда, когда
XJfn^mm. (25.6)
В результате (25.3), (25.5) и (25,6) определяют некоторую
стандартную задачу линейного программирования. Ее значение есть число,
обратное значению первоначальной игры, а всякое ее решение после
соответствующей нормировки (т.е. после деления на значение задачи) является
оптимальной стратегией игрока 1.
6* 83

т
25.2. Аналогично, вводя для каждой стратегии Yигрока 2 i>y = max^,-.F
i
(l/i>y)F, мы приходим к задаче линейного программи-
/ = 1, . . . ,га,
и полагая У -
рования
AhYT<l,
Y^O,
Jn Fr->max:
которая двойственна к предыдущей. Следовательно, решения двойственной
к (25.3), (25.5) и (25.6) задачи линейного программирования и только
они суть оптимальные стратегии игрока 2 в игре с матрицей А.
25.3. В предыдущих пунктах мы убедились, что решение матричной
игры может быть сведено к решению пары двойственных друг другу задач
линейного программирования. Покажем, что и наоборот, если пара
двойственных задач имеет решения, то их множество полностью описывается
множеством решений некоторой матричной игры. Тем самым будет
установлено, что теория матричных игр в некотором смысле эквивалентна
теории стандартных задач линейного программирования.
Пусть нам дана пара двойственных задач линейного программирования
ХА<,В, (25.7)
X >0, (25.8)
(25.9)
(25.10)
где X и С — га-мерные векторы, Y и В — ^-мерные векторы, а А — тХп-
матрица.
25.4. Умножая неравенство (25.7) справа почленно на неотрицательный
вектор Y г, мы получаем
XAYT^BYT, (25.11)
а умножая неравенство (25.8) слева почленно на X, —
XAYT>XCT. (25.12)
Из (25.11) и (25.12) следует, что
XCT^BYT (25.13)
при любых Хи Г, удовлетворяющих неравенствам(26.7)
—(25.10).Следовательно, если в (25.13) имеет место равенство, ХСТ = В YT, то ХСТ
принимает наибольшее значение, допускаемое неравенствами (25.7) и (25.8),
a BYT — наименьшее значение, допускаемое неравенствами (25.9) и
(25.10) , Иными словами, Хи Y оказываются в этом случае оптимальными
решениями для рассматриваемых задач линейного программирования.
255. В связи с парой задач (25.7) - (25.8) и (25.9) - (25.10) линейного
программирования мы будем рассматривать (га + и + 1) X (га + и + 1)-мат-
и
ХСт->1Шх
AYT>CT,
Г^О,
BYT-»mm:
84

рицу М, записывая ее в следующей блочной (клеточной) форме:
М-
0
Ат
С
-А
0
В
-В1
о
Эта матрица косо симметричная; поэтому матричная игра с такой
матрицей выигрышей будет симметричной. Следовательно (см. п. 5.5), ее
значение должно быть равно нулю, а оба игрока имеют в ней одинаковые
оптимальные стратегии. Далее мы будем их называть просто
оптимальными стратегиям и, не указывая ни игрока, ни самой игры.
Пусть Z = (U, V, т) — оптимальная стратегия, причем U является га-век-
тором, V — w-вектором, a t — скаляром. То обстоятельство, что Z —
стратегия, означает, что
Z>0, ZJl+n+l = h (25.14)
а ее оптимальность — что
ZM^vM = 0. (25.15)
25.6. Подробное описание связи между разрешимостью пар
двойственных задач линейного программирования и нахождением их решений, с
одной стороны, и решениями матричных игр — с другой, содержится в
следующей теореме.
Теорема. Пусть даны пара двойственных задач линейного
программирования
ХЛ^В,
ХСТ -*■ max,. . . ("прямая задача")
AYT>iCT
BYT -> min;. .. ("двойственная задача")
и описанная выше соответствующая им матрица М.
Тогда
1) если Z- (U, V,t) ~ оптимальная стратегия, в которой t > О, то
1
t
1
Y= — V
t
(25.16)
являются соответственно оптимальными решениями прямой и
двойственной задач;
2) если для каждой оптимальной стратегии Z = (U, V,t) оказывается
t = 0, то обе задачи линейного программирования оптимальных решений
не имеют;
3) если X и Y - решения прямой и двойственной задач линейного
программирования и
1
f= —г Т~ , (25.17)
85

то (га + п — 1) - вектор
Z = (fX, tY,f) (25.18)
есть оптимальная стратегия в игре Гд^.
Доказательство. 1) Запишем соотношения (25.14) и (25.15)
в блочной форме:
(U, V,t)>09
(U,V.t)JTm+n + l = \,
(U, V, t)
0 -A CT
AT 0 -BT
- -С В 0
^0
или, выполняя действия над блоками,
u>o, v^o, t^o,
UJTm +VJl + * = 1,
AVT -tCT>09
-UA +tB^O,
UCT -BVT^0.
(25.19)
(25.20)
(25.21)
(25.22)
(25.23)
По условию t >0. Следовательно, на t можно делить числа, а также -
почленно — соотношения. Деля на t векторы 1/и V, мы получаем (25.16),
а деля (25.22), (25.21) и (25.19) — формулировки прямой и
двойственной задач из условий теоремы.
Поэтому, согласно сказанному в п. 25.4, должно выполняться (25.13).
Но из (25.23) следует, что ХСТ> BYT, так что в (25.13) в
действительности имеет место равенство. Следовательно, X и Y составляют пару
оптимальных решений пары двойственных задач.
2) Пусть теперь для каждой оптимальной стратегии Z = (U9V,t) имеет
место t = 0. На основании теоремы, следующей из леммы Фаркаша (см.
п. 17.5), получаем, что для некоторой оптимальной стратегии Z = (С/, V91)
в (25.23) должно возникнуть строгое неравенство: UCT — В VT > 0.
Таким образом, система (25.21) — (25.23) может быть переписана в
виде
AVT^0, (25.24)
UA^O, (25.25)
UCT>BVT. (25.26)
Относительно знака стоящих в (25.26) чисел нам могут представиться
две возможности. Предположим сначала, что
UCT>0. (25.27)
Возьмем произвольное а > 0 и являющийся допустимым решением прямой
задачи вектор X. Рассмотрим вектор X + ocU. На основании (25.25) и нера-
86

венства, описьюающего ограничения прямой задачи, должно быть
(X + aU)A = ХА + ccUASB,
а на основании (25.19) и неотрицательности вектора X
X + ccU^O.
Следовательно, X + aUявляется одним из допустимых решений
сформулированной прямой задачи. Но при неограниченном возрастании а
произведение
(X + aU)CT = XCT+aUCT
также неограниченно возрастает. Таким образом, в этом случае прямая
задача не имеет оптимального решения.
Ввиду того, что левая часть (25.13) может стать больше любого наперед
заданного числа, не найдется и такого Y, для которого это неравенство
выполнялось бы при всехХ. Следовательно, и двойственная задача не имеет
даже допустимого (и тем более оптимального) решения.
Если предположить, что BVT < 0, то аналогичные рассуждения покажут
отсутствие оптимального решения у двойственной задачи и отсутствие
допустимого решения у прямой.
3) Пусть теперь X и Y — оптимальные решения нашей пары
двойственных задач. Возьмем t и Z в соответствии с (26.17) и (26.18). Очевидно,
Z> OnZJт+п + 1 = \9 так что Z есть стратегия в игре Гм. Кроме того,
ZM=(tX,tY,i)
~ 0
А
-С
-А
0
В
сТЛ
-вт
0 J
= t(YAT-C,-XA +Д XCT-YBT).
На основании (25.9), (25.7) и (25.13) все компоненты вектораZM
неотрицательны, т.е. не меньше значения игры. Поэтому Z есть оптимальная
стратегия рассматриваемой игры, и требуемое установлено.
Теорема доказана. □
Из нее следует, что любой метод решения задач линейного
программирования может быть без труда приспособлен для решения матричных игр.
§ 26. СИММЕТРИЯ В ИГРАХ
26.1. При анализе и решении игр, в том числе матричных, существенную
пользу может принести учет тех или иных комбинаторных свойств игр.
Одним из них является симметрия игры, т.е. наличие у нее зеркального
автоморфизма (см. п. 1.6).
Дня симметричных игр отпадает надобность в специальном нахождении
значения игры: оно согласно п. 5.5 равно нулю. Также согласно п. 5.5 для
таких игр достаточно находить оптимальные стратегии лишь для одного
из игроков.
Вместе с тем класс симметричных игр можно считать универсальным
в том смысле, что по всякой игре Г можно построить такую симметричную
игру Гс, что решение игры Гс равносильно решению игры Г. Именно,
каждое решение игры Г получается элементарным образом из некоторого
87

решения симметричной игры Гс, а применение этого процесса переработки
к любому из решений игры Гс дает некоторое решение игры Г.
Процесс переработки игр в симметричные им называется
симметризацией. Мы опишем здесь один прием симметризации. Другой, принципиально
иной вариант симметризации будет приведен в п. 26.7. Оба эти варианта
симметризации в действительности применимы к произвольным
антагонистическим играм, но будут сформулированы и доказаны только для
матричных игр.
26.2. Рассуждения предыдущего параграфа фактически уже содержат
некоторый прием симметризации игры. В самом деле, согласно сказанному
в пп. 25.1 — 25.2 решение всякой матричной игры может быть сведено к
решению пары двойственных друг другу задач линейного
программирования. А на основе сказанного в пп. 25.3 — 25.6 решение такой пары задач
сводится к решению некоторой симметричной игры. Опишем в явном виде
последовательное проведение этих двух приемов.
Нам сейчас понадобится конструкция, которая по существу является
проецированием меры, заданной на декартовом произведении на
составляющие его декартовы сомножители.
Именно, пусть Z — мера на произведении х X у, где х ={ хх, . . . , хт } и
У ={У\, • • • ,Уп ) • Ее можно описать системой неотрицательных чисел
£ij=Z(xhyj), X/Gx, J/Gy, составляющих в сумме единицу. Проекцией
меры Z на сомножитель х назьюается мера X на х, для которой
*(*/) = *,-= £ Г,/,
/ = 1
а ее проекцией на у — мера Уна у, для которой
m
26.3. Опишем следующий прием симметризации матричных игр. Пусть
Г -(х,у,Н)=ГА — матричная m X «-игра. Положим
Г=(хХу,уХх,Яс>=Г^с,
где
Нс((х, у'), (у, х')) = Н(х, у) - Н(х 9,у'),
т.е. Ас есть тп X яга-матрица-В = Wb^^ II (/, /'= 1,.. . 9щ\],]'=■ 1,. .. ,л),
причем &//';/' = Я// - л,-'/'- Симметричность игры Гс очевидна.
Симметризацию игры Гс' игры Г можно интерпретировать следующим
образом. Пусть два лица, А и В, разыгрьшают одновременно две партии
игры Г, причем в одной партии А выступает в роли игрока 1, а в другой
партии — в роли игрока 2, тогда как Б выступает в противоположных ролях.
Тем самым множество всех стратегий А в этой паре игр есть множество
всех пар вида (х, у), где х G х иу G у, т.е. декартово произведение х X у.
Множеством всех стратегий Б будет по тем же причинам произведение у X х.
Общим выигрышем А в обеих партиях является, очевидно, алгебраическая
сумма его выигрышей в этих партиях. Так описанные множества стратегий
и функция выигрыша А, очевидно, и задают игру Гс.
88

26.4. Во введенных обозначениях имеет место следующая теорема
Теорема. Пусть Z - смешанная стратегия игрока 1 в игре Гс, а X
и Y - ее проекции на хи у. Тогда ZG § 04 е) = £Г(ЛС) равносильно тому,
чтобы было х Е § (А) и Z G £Г (А) .
Доказательство. Включение Z Е § (,4е) равносильно тому, что
при любой чистой стратегии (у, х) - (/, /') игрока 2 в Тс имеет место
соотношение Н(Z, (у, х')) = ZByj') ;> 0. Это в свою очередь означает, что
при любых /' Е х и / Е у будет
ij
I / /■ I
23ГЛ/ - 2т?гл,г =Х4.;- - Л'.ГГ^ 0.
Все это можно переписать какХЛ.у^Л^. F при любых /' Е х, у Е у.
Но согласно теореме п. 15.10 последнее означает, что X Е § (А) и
ГЕ <£Г(Л).
Требуемая равносильность доказана. □
26.5. Можно указать еще на один способ симметризации матричных игр,
основанный на иной идее.
Пусть Г = < х, у, Н) = 1^4 - матричная га X «-игра. Возьмем какой-нибудь
объект в , не являющийся стратегией какого-либо из игроков в Г^, и
ПОЛОЖИМ'
I^=<xUyU0, xUyU0, Н*) = Г(А*)9
где значения функции Нс описываются следующей таблицей:
(26.1)
X
У
в
X
0
Н[у, х)
-1
У
-Н{х,у)
0
1
в
1
-1
0
т.е. матрица Ас есть (га + п + 1) X (га + п + 1)-матрица:
Г 0
-АТ
I-- Jm
А
0
-Jn
-JT
J m
JT
J n
0
(26.2)
Игра Y(Ac ), очевидно, является симметричной. В терминах исходной
игры Г^ игра Г(АС ) поддается простой интерпретации. Пусть два лица, А и
Б, договариваются о разыгрывании партии игры Г^ следующим образом.
Сначала они независимо друг от друга выбирают либо свои роли, игрока 1
или игрока 2 в игре Г^, либо же нейтральную "стратегию неучастия" в.
При этом если А и В выбирают различные роли, то они после этого
фактически разыгрывают игру Гд в соотвегствии с выбранными ролями. Если А
выбирают роль игрока 1, а Б — стратегию в , то А выигрывает у Б единицу;
если А выбирает роль игрока 2, а Б — стратегию в , то А проигрывает
единицу; если стратегию в выбирает А, то получается симметричная карти-
89

на, как это видно из таблицы (26.1) и матрицы (26.2); наконец, если А и
Б выбирают одну и ту же роль или же одновременно стратегию в , то
выигрыш каждого из них равен нулю.
26.6. Переход от произвольной матричной игры ГА к симметричной
матричной игре Г(ЛС ) является операцией симметризации в смысле,
сформулированном в п. 26.1. В этом можно убедиться на основании следующих
рассуждений. Не ограничивая общности рассмотрений (см. п. 5.2), с самого
начала можно предполагать, что vA > 0.
Пусть
z2=(U2,v2,t2)e ПА<),
где, как и выше, U\, U2 суть га-векторы, Vx, V2 - и-векторы, a tlt t2 -
вещественные числа.
Предположим сначала, что для всех Zx E §>'(АС) будет tx = 0. Тогда,
как это следует из части 2) теоремы п. 25.6, двойственные друг другу
задачи линейного программирования
тТ
XA^Jn
х^ о,
xjL
mm,
AY1 SJJi
Г>0,
J„YT*
max
не имели бы оптимальных решений (а одна из них — даже и допустимых!).
Однако, согласно сказанному в пп.25.1 и 25.2, эти решения — оптимальные
стратегии соответствующих игроков в игре Г^ , а эти стратегии, как
известно, существуют. Значит, найдется такоеZx € § (Лс) , для которого t\ > 0.
Далее, оптимальность стратегии Z2 означает, что
т
m
гТ ' (U2, V2,t)T ^0,
т.е.
Г °
-Ат
L J m
AtV2T -
-U2A.
А -
0
-Jn
t2£0,
-J
J
0
i + t2S0,
1=1,
/ = 1,
U2J'-JnVJ2<,0.
(26.3)
(26.4)
(26.5)
Из f i > 0 по свойству дополняющей нежесткости следует, что в (26.5)
имеет место точное равенство:
гт =
m
u2J1m =J„vL
(26.6)
С другой стороны, t2 Ф 1, так как последняя чистая стратегия игрока 2
в игре Г(АС) оптимальной не является. Поэтому части равенства (26.6)
положительны, и на них можно почленно делить неравенства (26.3) и (26.4):
At-
VI
1
J„vT ~
^о, -•
и*
U2Jd
-A.f + t2
1
U2J\
-^0,
90

откуда, учитывая (26.6),
Vl t2 t2 U2
Aj. Tjr < 7- = 7f < 7- A..- (26.7)
JnV\ -JnV\ U2JTm ~U2JTm '
для всех/ = 1,. .. ,ra и /= 1, .. . ,n. Векторы U2/(U2j£) и V2/(JnV2)
являются стратегиями игроков в игре Гл. Поэтому соотношение (26.7)
приводит нас в условия утверждения п. 15.8, согласно которому
и2
„ G 8(A), ^г G 3~{А), — = тр- =vA.
U2JTm Jn Vl U2JTm Jn VT2
Так как по предположению vA > 0, то должно быть и t2 > 0, и притом
для всех оптимальных стратегий Z2.
По соображениям симметрии должно быть и t \ > 0 для любой
оптимальной стратегии Zx игрока 1 в игре Г(АС) .
Таким образом, мы в нашем случае неизменно оказываемся в условиях
части 1) теоремы п. 25.6, и оптимальная стратегия каждого из игроков
в игре Г(АС ) порождает седдовую точку в игре Г^ .
Пусть, с другой стороны, ХЕ 8 (А) и YG £/ (А), кроме того, vA > 0.
Тогда согласно п. 25.1 и 25.2 векторы X=X/vA и Y=Y/vA являются
решениями пары двойственных задач линейного программирования, и по
ним в соответствии с формулами (25.17) и (25.18) мы получаем
некоторую .оптимальную стратегию любого из игроков в симметричной игре
Г(Лг).

Глава 2
БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
§ 1. БЕСКОНЕЧНЫЕ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
1.1. В этой главе будут рассматриваться общие антагонистические игры,
т.е. системы вида
Г = <х,у,#>, (1.1)
где х и у — произвольные множества, элементы которых называются
соответственно стратегиями игроков 1 и 2, а Н: х X у -> R — функция,
называемая функцией выигрыша игрока 1 (см. п. 1.3 введения). Она назьюается
также функцией выигрыша самой игры Г. В этой книге рассматриваются
только игры с ограниченными функциями выигрыша.
Таким образом, исходные термины и обозначения теории общих
антагонистических игр совпадают с соответствующими терминами и
обозначениями теории матричных игр.
Содержательно число Н(х,у), где хбх, а у €у, обозначает выигрыш
игрока 1 (проигрыш игрока 2) в ситуации (х, у).
1.2. Необходимость рассмотрения бесконечных (в том числе -
антагонистических) игр требует некоторых методологических обоснований.
Во многих естественных (а в последнее время — и в общественных)
науках широкое распространение получил прием, заменяющий
рассмотрение конечных множеств с очень большим числом элементов рассмотрением
бесконечных множеств. Этот прием позволяет применять к широкому
классу задач мощный аппарат математического анализа.
Поэтому, если мы встречаемся с большим числом стратегий у игрока,
то независимо от того, будем ли мы считать, что он в действительности
располагает в игре конечным или бесконечным множеством стратегий,
методологически естественно, а практически полезно считать множество
его стратегий бесконечным.
Под бесконечной антагонистической игрой мы будем понимать такую
антагонистическую игру, в которой хотя бы один игрок имеет
бесконечное множество стратегий.
С теоретико-игровой точки зрения именно свойство антагонистичности
игры оказьюается решающим предположением, определяющим основные
направления и результаты ее анализа (см. теорему п. 4.4 гл. 1). Различие
между конечными и бесконечными антагонистическими играми
представляется в этом смысле второстепенным и скорее техническим: для
исследования бесконечных игр приходится применять более сложный
математический аппарат, заменять линейно-алгебраические соображения
функционально-аналитическими (в том числе анализ систем линейных алгебраических
92

уравнений анализом интегральных уравнений, которые в благоприятных
случаях поддаются сведению к системам дифференциальных уравнений).
1.3. Определение. Если х и у — топологические пространства, то
игра Г = <х,у,Я)называется топологической. Если при этом функция
выигрыша Н непрерьюна на пространстве ситуаций х X у (в смысле
топологии произведения, т.е. по двум переменным сразу), то топологическая
игра Г называется непрерывной. □
Упомянем специально класс антагонистических игр, в которых х = у =
= [0,1]. В этих играх ситуации суть пары чисел (х, у), где х, у G [О, 1].
У\
1\ 1
О 1 х
Рис. 2.1
Такие пары естественно понимать как точки единичного квадрата.
Поэтому описываемые игры назьюаются играми на единичном квадрате
(рис. 2.1).
1.4. Как и во всякой вообще антагонистической игре, принципом
оптимального поведения игрока можно считать его следование "максиминному"
образу действий. Как было установлено в § 6 гл. 1, этот принцип
реализуется в игре Г = (х, у,Я> тогда и только тогда, когда существуют и равны
смешанные экстремумы
max inf Н(х,у) и min supH(x,y). (1.2)
Для конечных антагонистических (матричных) игр существование этих
экстремумов было нами доказано в §10 гл. 1, и все дело заключалось в
установлении их равенства или хотя бы в нахождении путей преодоления их
неравенства.
§ 2. СИТУАЦИИ 6-РАВНОВЕСИЯ,
6-СЕДЛОВЫЕ ТОЧКИ И 6-ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ
2.1. Для бесконечных антагонистических игр даже существование
смешанных экстремумов (1.2), вообще говоря, не обязательно имеет место.
Рассмотрим в качестве примера игру Г = <х,у,#>, в которой х = у =
= (0, 1), а Я(х, у) = х + у (см. пример из п. 2 введения,
проиллюстрированный рис. 1.2 в п. 4.3 гл. 1) .
Здесь, очевидно, седдовой точкой "была бы" ситуация (1, 0), если бы
1 и 0 входили в число стратегий игроков. Именно на этих стратегиях
игроков и могут достигаться внешние экстремумы в выражениях из (1.2).
Значением игры в этом случае было бы число 1. Поскольку, однако, в
93

действительности внешние экстремумы в (1.2) здесь не достигаются, все
эти возможности непосредственно не реализуются. Ясно вместе с тем, что
игрок, выбирая в качестве свс&й стратегии число, достаточно близкое
к единице, уверенно получит вьшгрыш, достаточно близкий к значению
игры. Точно так же игрок 2, выбирая число, достаточно близкое к нулю,
сделает свои потери сколь угодно близкими к значению игры. Поэтому
в описываемой игре можно говорить об оптимальности стратегий игроков
"с точностью до произвольного е > 0". Соответствующие понятия
поддаются точной формализации.
2.2. Определение. Ситуация (хе,у€) в антагонистической игре
Г = (х,у, Я > называется ситуацией е-равновесия, если для любых
стратегий х и у соответственно игроков 1 и 2 имеет место неравенство
H(x,ye)-e^H(xe,ye)SH(x€iy) + e. (2.1)
Точку (х€,уе), дця которой выполняется соотношение (2.1), называют
также е-седловой точкой функции Я. □
2.3. Определение. Стратегии х€ и y€i составляющие ситуацию
е-равновесия в антагонистической игре, называются е-оптимальными
стратегиями. □
Этот термин отражает тот факт, что такие стратегии являются
оптимальными "с точностью до е ". Именно, если отклонение от оптимальной
стратегии никакой пользы игроку принести не может, то его отклонение
отеюптимальной стратегии может увеличить его выигрыш, но не
более чем на е.
2.4.Пусть игры Г = <х,у,Я) и Г' = (х,у,Я'> аффинно эквивалентны,
т.е. имеет место Я' = кН + а, где к> 0. Тогда из (2.1) следует, что всякая
ситуация е-равновесия в игре Г является ситуацией &е-равновесия в
игре Г'.
2.5. Из (2.1) и определения изоморфизма антагонистических игр
(см. п. 1.4 гл. 1) следует, что изоморфные игры имеют одни и те же
ситуации е-равновесия.
Точно так же из (2.1) и определения зеркального изоморфизма следует,
что если (х€ , у€) является ситуацией е-равновесия в некоторой игре, то
(У€>хе) будет ситуацией е-равновесия в зеркально изоморфной к ней игре.
§ 3. е-ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ И МИНИМАКСЫ
3.1. Связь е-седловых точек общих антагонистических игр с минимакса-
ми есть обобщение описанной в п. 6.1 гл. 1 связи с ними седловых точек
матричных игр.
Критерий существования у функции выигрыша е-седловых точек при
любом е > 0 напоминает критерий существования седловых точек.
Теорема. 1) Если (хе, у€) — е-седловая точка функции Я: хХ у ->
-+К,то
ЫН(хе,у)+2е ;> sup inf#(jc,j0, (ЗЛ)
У х у
supH(x,y€)-2e<LinfsupH(x,y). (3.2)
х у х
94

2) Если при всяком е > О функция Н имеет е-седловые точки, то
sup inf Н(х, у) = inf sup Н(х, у). (3.3)
х у У х
3) Если выполняются соотношения (3.1), (3.2) и (3.3), го (х€,у€)
является Ае-седловой точкой функции Н.
4) Если имеет место равенство (3.3), то при любом е > О функция Н
имеет е-седловую точку.
Обратим внимание на следующую особенность доказываемых фактов.
Согласно части 1) теоремы, на компонентах е-седловых точек внешние
экстремумы минимаксов достигаются не с точностью до 6, а лишь с
точностью до 26. В свою очередь, согласно части 3) теоремы, погрешность в
достижении внешних экстремумов минимаксов при оценке седловои точки
также должна увеличиваться вдвое.
Доказательство. Пусть (х€, у€ ) — е-седловая точка функции Я.
Это означает, что
Щх,уе)-ейН(хе,у€)<,Н(х€,у) + е. (3.4)
Кроме того, при любом х, очевидно,
inf #(х,у)-ейЩх,Уе)-е. (3.5)
У
Из (3.4) и (3.5) следует, что
inf Я(х, у) - е <*Н(х, у€) - б <:#(х€, у) + е.
у
Переход в этом неравенстве к супремуму по х и к инфимуму по у дает нам
sup infH(x, у) -ей
х у
^8ирЯ(х,^6) —е <inf^xej) + 6. (3.6)
х у
Сравнение крайних частей последнего неравенства дает нам сразу (3.1).
Сходным образом получается и (3.2), и первая часть теоремы доказана.
Перейдем теперь в правой части неравенства (3.6) от значений функций
на х€ и у€ к экстремумам:
inf sup Н(х, У)-ей SUP inf//(*, у) + е.
ух х у
Ввиду произвольности б > 0 отсюда следует
inf sup Н(х, у) й SUP inf #(х, у).
ух х у
Но обратное неравенство имеет место всегда (см. п. 4 § 6 гл. 1), так что
справедливо (3.3) и тем самым — вторая часть теоремы.
Далее, из (3.1), (3.2) и (3.3) следует, что
sup Н(х, Уе)-2ей mfH(x€,y) + 2е,
х у
т.е. при всех х и у
Н(х, уе) 2ей Н(х€,у) + 2е. (3.7)
95

В частности, полагая х = х€, мы получаем
Н(хе>Уе)1^Н(х€, у) + 4 е- при любом у. (3.8)
Аналогично, полагая у = у€, мы имеем
#(*> Л?) - 4 6 ^ Я(хе, ;>е) при любом х. (3.9)
Неравенства (3.8) и (3.9) дают нам
Н(х, уе) ~ 4е <,Н(хе, ye)<LH(xe, v) + 4e,
а это и требуется.
Наконец, каково бы ни было € > 0, значения хе и у€, для которых
выполняются неравенства (3.1) и (3.2), можно найти всегда (на основании
определения экстремумов). Следовательно, если справедливо равенство
(3.3), то мы оказываемся в условиях предыдущего рассуждения, согласно
которому у функции должна быть 4е-седловая точка. Нам остается
заметить, что е > 0 было взято произвольно. □
3.2. Напомним (ср. пп. 2.5 и 2.6 гл. 1), что смешанные экстремумы
sup inf Н(х, у) и inf sup H{x,y)
х у у х
называются соответственно нижним и верхним значениями
антагонистической игры Г = <х,у,# > и обозначаются через vT и Ъг. В этой системе
терминов ч. 1) теоремы п. 3.1 можно переформулировать следующим
образом:
Если (х6, уе) — е-седловая точка функции Я, то
Н(х€,у)^ Иг ~ 2е при любом у Gу, (ЗЛО)
Н{х,уе) <£ Vy + 2е при любом xGx. (3.11)
Согласно ч. 3) теоремы п. 3.1 условия (3.10) и (3.11) являются
достаточными для 4е-оптимальности стратегий х€ и у€.
§4. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ
4.1. Уже рассмотрение матричных игр показывает, что существуют
антагонистические игры без ситуаций равновесия (и даже без ситуаций е-равно-
весия при достаточно малых е > 0) в первоначально заданных стратегиях
игроков.
Но каждую конечную (матричную) игру можно дополнить до
бесконечной игры, например, путем предоставления в распоряжение каждого игрока
любого числа доминируемых стратегий (см. § 22 гл. 1). Очевидно, такое
расширение множества стратегий игрока в действительности не будет
означать расширения его возможностей, и фактическое его поведение в
расширенной игре не должно будет отличаться от его поведения в первоначальной
игре Тем самым мы получили сразу достаточное количество примеров
бесконечных антагонистических игр, не имеющих седловых точек. Имеются и
другие источники примеров такого рода.
Таким образом, для реализации в бесконечной антагонистической игре
принципа максимина необходимо, как и в случае конечной (матричной)
игры, некоторое расширение стратегических возможностей игроков. Для
96

класса матричных игр введение смешанных стратегий игроков, т.е.
вероятностных мер на множествах их чистых стратегий, оказалось как
необходимым (п. 22.6), так и достаточным (п. 14.2). Для бесконечных
антагонистических игр введение аналогичных смешанных стратегий также окажется
достаточно плодотворным, хотя, как можно показать, существуют
бесконечные антагонистические игры, не имеющие ситуаций равновесия (и даже
ситуаций е-равновесия при достаточно малом е > 0) даже в смешанных
стратегиях. Пример такой игры будет приведен в п. 28.7.
4.2. Пусть Г = (х, у, Я > — произвольная (вообще говоря, бесконечная)
антагонистическая игра. Как и в случае конечных игр, смешанными
стратегиями игроков в Г являются вероятностные распределения на множествах
их чистых стратегий х и у, а ситуациями в смешанных стратегиях в Г —
пары таких вероятностных распределений, которые являются
стохастически независимыми.
4.3. Введение вероятностного распределения на конечном множестве
оказывается весьма простым делом. Для его задания достаточно приписать
каждому элементу множества некоторую неотрицательную вероятность
так, чтобы сумма всех этих вероятностей была равна единице. Такого рода
распределения и соответствующие им смешанные стратегии игроков далее
будут называться конечными.
В остальных случаях следует действовать более аккуратно: необходимо
задать некоторое достаточно широкое семейство подмножеств множества
стратегий игрока и приписать каждому подмножеству из этого семейства
некоторую вероятность выбора чистой стратегии именно из него. Такое
приписывание вероятностей должно подчиняться некоторым условиям,
связанным с так называемой "измеримостью" функции выигрыша. Связанные
с этим рассуждения в полном своем объеме оказываются достаточно
сложными. Однако мы на них сейчас останавливаться не будем и ограничимся
следующим предположением, которое в рамках рассматриваемых в данном
курсе вопросов полностью соблюдается.
Пусть X и Y — смешанные стратегии игроков 1 и 2 в игре Г. Выигрыши
Н(Х, у), Н(х, У) и Н{Х, У) являются по определению математическими
ожиданиями
H(X,y) = JH(x,y)dX{x\ Н(х, Y) = fH(x,y)dY(y),
х у
Н(Х, Y) = f H(x, Y)dX(x) = /Н(Х, y)dY(y) =
х у
= ffH(x,y)dX{x)dY(y).
ху
Мы будем считать, что все написанные здесь интегралы существуют,
каковы бы ни были вероятностные распределения ХиУ. Все эти интегралы
являются интегралами Стилтьеса. Читатель, не знакомый
с этим понятием, может каждый раз под дифференциалом dX(x) понимать
либо вероятность появления точки х в условиях распределения X, либо
выражение fx(x)dx9 где fx(x) — плотность распределения Xв точке х. Ясно,
что если при всех х£ х дифференциал dX(x) употребляется в первом
смысле, то интеграл Стилтьеса превращается в сумму конечного или счетного
числа слагаемых, а если во втором г.^мсле, то в обычный интеграл (Римана).
7.Н.Н. Воробьев 97

Более точные рассуждения проводятся в § 9, где они нам и понадобятся.
4.4. Определение. Пусть Г = < х, у, Я > - антагонистическая игра,
а (X*, У *) — некоторая ситуация в смешанных стратегиях в ней. Она
называется ситуацией равновесия в смешанных стратегиях (или, синонимично,
седловой точкой в смешанных стратегиях), если для любых смешанных
стратегий X и Y соответственно игроков 1 и 2 выполняется неравенство
Н(Х, Y*)UH(X\Y*) UH(X*$ Y).
4.5. В связи со смешанными стратегиями в бесконечных
антагонистических играх можно сформулировать и доказать утверждения, аналогичные
тем, которые в связи со смешанными стратегиями в матричных играх были
приведены в § 9 гл. 1. Аналогом леммы п. 9.3 гл. 1 является следующая
лемма.
Лемма (о переходе к смешанным стратегиям).
Если
Н(х, Y)<La при всех хЕх, (5--а)
то Н(Х, Y.) <; а для всех смешанных стратегий X игрока 1.
Доказательство осуществляется интегрированием неравенства (4.1) по х
с интегрирующей функцией Х(х): JH(x, Y.)dX{x) <LafdX(x), что и дает
X X
требуемое. □
Точно так же можно переходить к смешанным стратегиям в
неравенствах вида
Н(х, Y)>:a при всех xGx,
Н(Х, у) <ьа при всех у G у,
Н(Х, j>) > а ПРИ всех У ^ У-
4.6. Как и в случае матричной игры (см. п. 9.5 гл. 1), равновесность
ситуации может выражаться через отклонения игроков "на чистые
стратегии".
Теорема. Для того чтобы ситуация (Х*9 Y*) была ситуацией
равновесия в смешанных стратегиях в антагонистической игре Г = <х,у,#>,
необходимо и достаточно, чтобы при всех х G х и у G у имело место
неравенство
Н(х, Y*)UH(X\ Y*)UH(X*,y).
Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства
достаточности следует перейти к смешанным стратегиям на основании
предыдущей леммы. □
4.7. Сформулируем и докажем аналог леммы п. 10.2 гл. 1.
Лемма. Пусть Г = < х, у,Я > - антагонистическая игра. Какова бы ни
была смешанная стратегия Y игрока 2, должно быть
sup Я(х, Y) = sup H(X, Y), (4.2)
х X
где супремум слева распространяется на все чистые стратегии игрока 1, а
справа - на все его смешанные стратегии.
98

Аналогично, какова бы ни была смешанная стратегия X игрока 1,
должно быть
ЫН(Х,у) = ЫН(Х, Г),
у у
где инфимум слева распространяется на все чистые стратегии игрока 2, а
справа - на все его смешанные стратегии.
Доказательство проводим только для первой части леммы.
Поскольку область смешанных стратегий шире области чистых, должно
быть (см. п. 3.6 гл. 1)
sup#(jt, Г)<| sup#(X, Г). (4.3)
х X
Предположим, что здесь имеет место строгое неравенство
sup#(x, Y) < supH(X, Y).
х X
Это значит, что при некотором малом е > 0 будет и
sup#(jc, Y) < sup#(X, Г)-е,
х X
т.е. при всех хЕ х
Н(х, Y) < sup#(X, Г)-е.
х
Но тогда, переходя к смешанным стратегиям, мы получаем
supH(X, Y) < sup#(X, Г)-е,
X X
а этого не может быть. Следовательно, в (4.3) имеет место равенство. □
4.8. Утверждение о том, что если среднее значение совпадает с
максимальным, то и все усредняемые значения также совпадают с ним,
представляется достаточно естественным; однако оно несколько нетривиально и
требует специального доказательства.
Лемма. Пусть Г = <х,у,# > - антагонистическая игра, Y ~
произвольная смешанная стратегия игрока 2, а супремум supH(X, Y.) дости-
х
гается на (вообще говоря, смешанной) стратегии Х°. Тогда множество со
тех xG х, для которых
Н(х, Y) < Я(Х°? Y), (4.4)
в условиях распределения Х° реализуется с вероятностью 0, т. е. Х°(со) = 0.
Аналогично, для произвольной стратегии Xигрока 1 и достигаемости ин-
фимума inf H(X, Y) на стратегии Y0 множество тех у €= у, для которых
Y
Н(Х, Y0) < ЩХ,у1
в условиях Y° реализуется с вероятностью 0.
Доказательство. Возьмем исчезающую (т.е. убывающую и
сходящуюся к нулю) последовательность ег >е2>...>е„>..,>0и обозначим
7* 99

через со„ множество тех х, для которых выполняется неравенство
Н{х, Y) < Н(х°, Y)-e„. (4.5)
оо
Очевидно, о^ С со2 С ... С со„ С ... и U соп = со. В силу непрерьюности
п = 1
вероятностного распределения Х° отсюда следует, что lim Х°(соп) =
= ДГ°(ы).
Если теперь предположить, что Х°(<х>) > 0, то должно найтись такое п,
что и Х° (со„) > 0. Далее мы имеем:
Н(Х°, Y)=fH(x, Y)dX°(y) =
X
= / Н(х, Y)dX°(x) + f H{x,Y)dX°(x).
COn , X \ LOn
В пределах множества con выполняется (4.5), а на остальной части х —
неравенство (4.4). Следовательно,
Н(Х°, Y)£ / (Я(Х°, y)-e„)JX0(x)+ / Н(Х°, Y)dX°(x) =
U>n X \ и>п
= -еп f dX°(x)+H(X°, Y)( f dX°(x)+ f dX°(x)) =
OJn OJ„ X \ GJ„
= -en f dX°(x)+H(X°,Y),
или
H(X0' Y) + eX°(cjn)UH(X0, Y),
чего не может быть, поскольку 6 >0и!°(о;п)>0.
Вторая часть леммы доказывается аналогично. □
4.9. Лемма. В антагонистической игре Г = < х, у,# > при любой
смешанной стратегии Y игрока 2 максимумы
max#(x, Y) и тах#(Х, Y) (4.6)
х х
существуют или не существуют одновременно, и если существуют, то
равны.
Точно так же при любой смешанной стратегии X игрока 1 минимумы
minH(X,у) и mir\H(X, Y.) существуют или не существуют одновремен-
у у
но, и если существуют, то равны.
Доказательство. Рассмотрим равенство (4.2). Если в нем
достигается левый супремум, то тем самым достигается и правый, ибо всякая
чистая стратегия является и смешанной.
Предположим, что в (4.2) достигается правый супремум. Тогда мы
находимся в условиях леммы п. 4.8, согласно которой множество тех х9 для
которых выполняется равенство Н(х9 Y.) = maxH(X, У.), имеет полную
х
меру и потому непусто. Следовательно, достигается и левый супремум.
100

Значит, максимумы (4.6) действительно существуют или не существуют
одновременно. Если же они существуют, то они равны соответствующим
супремумам, которые согласно лемме п. 4.7 равны друг другу.
Вторая часть леммы доказьюается аналогично. □
§5. СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЯ ИГРЫ
И ОПТИМАЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ ИГРОКОВ
5.1. Приводимые в этом параграфе утверждения по существу повторяют
аналогичные высказывания, сделанные ⧧15и18гл.1по поводу
матричных игр.
Определение. Если имеет место равенство
supinf#(X, Y) = infsupH(X, Y),
X Y Y X
то общее значение этих смешанных экстремумов называется значением
игры с функцией выигрыша Я. □
Из теоремы § 3 следует, что для существования у игры значения
необходимо и достаточно, чтобы при любом е > 0 в ней была бы е-седловая точка
(в смешанных стратегиях).
5.2. Теорема. Для любой антагонистической игры Г = <х,у,# > ,
имеющей значение vT ,
sup inf Н(х, у)5^ vr ^ inf sup H(x, y). (5.1)
x у ух
Доказательство. Согласно лемме п. 4.7 для любой стратегии X
игрока 1 inf Н(Х, у) = inf H(X, Y.). Поэтому
у у
sup inf Н(х, у) ^ sup inf Н(Х, у) = sup inf H(X, Y ) = vr,
х у ' X у X Y
и левая сторона (5.1) доказана. Правая сторона этого неравенства
доказывается аналогично. □
5.3. Теорема. Если в антагонистической игре Г = < х, у,Я > игрок 1
имеет чистую оптимальную стратегию л**, а игрок 2 - произвольную (т.е.,
вообще говоря, смешанную) оптимальную стратегию, то
vr =maxinf#(x,>y) = minH(x*,y). (5.2)
х у у
Аналогично, если игрок 2 имеет чистую оптимальную стратегию у*, а
игрок 1 - произвольную оптимальную стратегию, то
иг = min sup Н(х, у) = max H(x,y* ).
ух х
Доказательство мы проведем для первой части теоремы.
Пусть Y* — оптимальная стратегия игрока 2. По определению
оптимальных стратегий
vr=H(x*, Y*) = minH(x*, Y).
Y
101

Тем самым, учитывая лемму п. 4.9 и предыдущую теорему, мы имеем
vT = min#(x\ у)й sup inf Н(х, у)<^ vT , (5.3)
У х у
так что
vT = inf Н(х*, у) = sup inf Н{х, у).
У х у
Следовательно, стоящий справа внешний экстремум достигается (именно,
при х = х*),и
1>г = max inf H(x, у). (5.4)
х у
Теперь (5.3) и (5.4) дают нам (5.2). □
5.4. Теорема. Пусть vr - значение игры Г = < х, у,# >, a v -
произвольное число. Если Х0 - некоторая стратегия игрока 1, го из
v ^ Н(Х0, у) для любого у £У (5.5)
следует
v^Vy- (5.6)
Если Y0 - стратегия игрока 2, то из Н(х, Y0) ^ v для любого xGx
следует vT <[ и.
Доказательство проводится для первой части теоремы. Применяя к (5.5)
переход к смешанным стратегиям, мы получаем для любой смешанной
стратегии У игрока 2и^ Н(Х0, У). Следовательно, v 5* inf H(X0, У), и
У
тем самым
v£wpinfH(X, У). (5.7)
X У
Но по теореме 5.2..
sup inf Я(*, Y)<LvT. (5.8)
X У
Из (5.7) и (5.8) следует (5.6). □
5.5. Теорема. Пусть vT - значение игры Г = <х,у,# >. Для того
чтобы стратегия X* игрока 1 была оптимальной, необходимо и достаточно,
чтобы было
Н(Х*, у)^ vr при всех у Gy. (5.9)
Аналогично формулируется критерий оптимальности стратегии игрока 2.
Доказательство. Необходимость. Из оптимальности X*
следует, что
infН(Х\ У) = sup infH(X, У) = иг.
У X Y
и поэтому выполняется (5.9).
Достаточность. Переходя к (5.9) к смешанным стратегиям,
получаем для любой смешанной стратегии У игрока 2 Н(Х*, У) ^иг , и,
следовательно,
infЯ(ЯГ*. У) ;>иг =sup ЫН(Х, У).
У X У
102

т.е. на X* достигается максимум функции inf H(X, Y.), что ввиду теоремы
Y
п. 6.1. гл. 1 и означает оптимальность стратегии X*. □
5.6. Как и в случае матричных игр (см. § 17 гл. 1), для общих
антагонистических игр важную роль играет понятие спектра смешанной стратегии,
которому здесь, однако, приходится дать более общее определение.
Определение. Пусть Г — антагонистическая игра. Чистая
стратегия z о игрока в ней называется точкой концентрации его смешанной
стратегии Z , если Z (г 0) > 0.
Очевидно, точки спектра любой смешанной стратегии в матричной игре
(см. п. 8.5 гл. 1) суть ее точки концентрации.
Пусть теперь множество стратегий игрока в игре Г является
топологическим пространством. Тогда чистая стратегия z0 называется точкой
спектра смешанной стратегии Z, если для любой измеримой окрестности со
точки z о имеет место соотношение Z (со) = / dZ (z ) > 0. □
со
Очевидно, в топологических играх точки концентрации смешанных
стратегий являются точками их спектров. Обратное, вообще говоря, неверно.
Точки (чистые стратегии), в которых смешанная стратегия имеет
положительную плотность, являются ее точками спектра, но не являются ее
точками концентрации.-
Множество всех точек спектра смешанной стратегии Z будет, как и в
случае матричной игры, обозначаться через supp Z.
5.7. Для случая точек концентрации смешанных стратегий теорема
п. 17.3 гл. 1 (свойство дополняющей нежесткости) переносится на общие
антагонистические игры дословно.
Теорема. Пусть Г - антагонистическая игра, имеющая значение иг.
Тогда если х0 G x, Yе^Г(Г) и
H(x0,Y)<vr. (5.10)
то х0 не может быть точкой концентрации какой-либо оптимальной
стратегии игрока 1.
Очевидно, справедливо и двойственное утверждение о точках
концентрации оптимальных стратегий игрока 2.
Доказательство. В силу оптимальности стратегии Y Е Y для
всех х Е х должно быть
H(x,Y)uvT. (5.11)
Почленное интегрирование этого неравенства по мере X на множестве
х\х0 дает нам
/ Н(х, Y)dX{x)£vT f dX(x). (5.12)
х Фх0 х Ф х0
Кроме того, (5.10) дает
Н(х0, Y)X(x0) < vrX(x0) (5 13)
(здесь Х(х0) Ф 0, так как в противном случае точка х0 заведомо не могла
бы быть точкой концентрации). Складывая (5.12) и (5.13), мы получаем
JH(x, Y)dX(x)=H(X,Y) = vr < vrfdX(x) = vT,
X X
чего не может быть. Значит, Х(х0) = 0. □
103

5.8. Для произвольных точек спектра оптимальной стратегии свойство
дополняющей нежесткости имеет место лишь в том случае, когда функция
выигрыша обладает свойством непрерывности, хотя бы ограниченным.
Лемма. Пусть Г - антагонистическая игра <х,у,Я> со
значением иг.
Если Y* — некоторая оптимальная стратегия игрока 2, а чистая
стратегия х0 игрока 1 такова, что
H(x0,Y*)<vr, (5.14)
и функция #(•, у*) непрерывна в точке х0, то х0 не может быть точкой
спектра какой-либо оптимальной стратегии игрока 1 в Г.
Доказательство. Пусть X* — некоторая оптимальная стратегия
игрока 2. Тогда
Н(Х*, Г*) = иг =тах#(Х, Г*).
1 х
Следовательно, по лемме п. 4.8 для множества со всех х, для которых
H(x,Y*)<vr, (5.15)
должно быть
Х*(со) = 0. (5.16)
Далее, по условию функция Н(х, Y*) в точке х0 непрерывна. Поэтому
из (5.14) следует, что найдется такая окрестность со0 точки х0> что для
всех* Е со0 выполняется (5.15). Так как со0 Ссо, из (5.16) следует, что и
Х*(со0) = О. (5.17)
Но если бы х0 была точкой спектра стратегии X*, то было бы X*(u>q) >0,
и противоречие с (5.17) доказьюает лемму. □
5.9. Как следствие этой леммы мы получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть Г * - антагонистическая игра с непрерывной
функцией выигрыша Ни значением иг.
1) Если Y* — некоторая оптимальная стратегия игрока 2, а чистая
стратегия х0 игрока 1 такова, что Н(х0, Y*) < и г» то х0 не может быть точ*
кой спектра какой-либо оптимальной стратегии игрока 1 в Г.
2) Если X* - некоторая оптимальная стратегия игрока 1, а чистая
стратегия у0 игрока 2 такова, что H(X*f y0) > vr, то у0 не может быть
точкой спектра какой-либо оптимшгьной стратегии игрока 1 в Г.
Доказательство. Из непрерывности функции Н следует
непрерывность функций #(., Y *) и Н(Х *, •), и нам остается сослаться на лемму
п. 5.8. □
§ 6. ЕСТЕСТВЕННАЯ МЕТРИКА НА МНОЖЕСТВАХ СТРАТЕГИЙ
6.1. Истинное отличие в игре одной стратегии игрока от другой его
стратегии состоит не во внешних содержательных чертах этих стратегий,
а в различии между последствиями, к которым эти стратегии приводят,
т.е. в различии между выигрышами, которые получит игрок, употребляя
ту или иную стратегию. Это дает основание ввести на множестве пар
стратегий игрока 1 в антагонистической игре Г = (х, у, Я) следующую функ-
104

цию Pi: х X х -> R :
px(xx,x2) = sup \H(xx,y)-H(x29y)\. (6.1)
>> G Y
Эта функция, как легко убедиться, является симметричной:
Pi(xi9x2)= sup \Н(хх,у)-Н(х2,у)\ =
= sup |#(Ar2,jO-#(*i>jOI = Pi(*2,*i)-
Кроме того, она удовлетворяет неравенству треугольника.
Действительно, каковы бы ни были стратегии хх, х2 их3.
рх(хХ9х2) + рх(х2,х3) =
= sup \H(xl9y)-H(x29y)\+sup\H(x29y)--H(x3,y)\^
У У
^suV(\H(xl9y)-H(x29y) | + \Н(х2,у)-Н(х3,у) | )^
У
^ sup (Itffo,j0 -Я(х2,у) +Н(х29у) -Н(х3,у) I ) =
= sup |Н(хх,у) -Н(х3,у) | = рх(хх,х3).
У
Наконец, функция рх очевидным образом удовлетворяет условию
неотрицательности: рх (хх,х2) ]> 0.
Правда, из обращения рх(хх, х2) в нуль не следует, что стратегии хх
и х2 совпадают. Однако рх(хх, х2) = 0 означает, чтоЯ(хь >0 =Н(х2,у)
при любом ^ G у, т.е. что последствия выбора игроком 1 стратегии хх и
стратегии х2 во всех ситуациях будут одними и теми же. Таким образом,
фактически никакой разницы между стратегиями хх и х2 нет, и их можно
считать не различными стратегиями игрока, а двумя экземплярами
одной и той же его стратегии. Если принять, что стратегии хх и х2,
для которых рх(хх, х2) = 0, с самого начала отождествлены, то из
Pi(xx, х2) = 0 будет следовать хх = х2. Таким образом, в условиях
указанного предварительного отождествления функция рх удовлетворяет
веем условиям расстояния, и ее можно считать метрикой на
пространстве стратегий игрока 1.
6.2. Определение. Метрика на пространстве стратегий игрока
1, определяемая по формуле (6.1), при условии отождествления
стратегий хх и x2i для которых р(хх, х2) = 0, называется естественной
метрикой в пространстве стратегий игрока 1 (ее называют также внутренней
метрикой или метрикой Хелли). □
Аналогично можно ввести естественную метрику (метрику Хелли)
на множестве всех стратегий игрока 2. Для этого достаточно положить
р2(У1,Уг)= sup |Я(х, ух)-Н(х,у2)\
х е х
и отождествить те стратегии ух и у2 игрока 2, для которых р2(уХ9у2) = 0.
Топология, порожденная естественной метрикой в пространстве
стратегий каждого из игроков, назьюается естественной топологией, а
также внутренней топологией.
105

6.3. Естественная метрика может иметь весьма запутанный характер и довольно
сильно нарушать наглядное, "внешнее" расположение стратегий. Приведем несколько
примеров.
Пример 1. В диагональной игре с матрицей выигрыша
а. О ... О
О а9 ... О
О
д/> 0, /= 1, . . . ,и,
мы имеем рх (/, /) = р2 (i, /) = max { д/,. д/}.
В частности, если ах = . .. = ап = 1, то естественные расстояния между любыми
двумя стратегиями каждого игрока в этой игре равны единице. Отсюда, между
прочим, следует, что стратегии игроков в этой игре невозможно представить, если
требовать сохранения расстояний между ними, точками на прямой (а можно — лишь
точками в (п - 1)-мерном пространстве, где они будут являться вершинами (п -
^-мерного симплекса).
Пример 2.В игре на единичном квадрате с функцией выигрыша Н(х, у) - (х - у)2
должно быть
рх (zx ,z2) = p2(zltz2) = max \(t-zx)2 - {t - z2)21 =
0 ut^ l
= max | — 2t{zx — z2)+ z\ — z\\= max \zx — z2\\zx + z2 —2t\ =
0^t<i 0 ^t<L 1
= I zx - z2\ max {| zx +z2 I, \zx +zx - 2 |},
а так как 0 ^ zx + z2 ^2, внутренние знаки модулей можно снять:
px(zx,z2) = \zx -z2\ max{(Zj + z2),(2 - (zx + z2))} =
{\zx - z2 \ (zx + z2), если Zj+z2^l,
! Zj - z2 | (2 - (Zj +z2)), если zx+z2^l.
Пример З. В игре.на единичном квадрате с функцией выигрыша
2х — у, если х > у,
H{xfy)~ \ О, если х=у, (6.2)
[ х - 2у, если х < у,
как легко убедиться, также должно быть рх (zx, z2) = р2 (zx, z2 ).
Вычислим рх(хх, х2):
Рх(хх,х2) = max \H(xx,y) -H(x2,y)\.
О йу ^ 1
Будем для определенности предполагать, что х2 > хх. Тогда, разбивая промежуток
максимизации [0, 1] на 3 части: [0, хх ], [хх, х2] и [х2, 1] и подставляя для каждой
из них свое выражение для функции выигрыша Я согласно (6.2), получаем
Р1(х1,х2) = тах { max \(2хх -у) -(2х2 -у)\,
0<у^.хх
max { |(хг - 2у) - (2х2 -у)\, max |(jc, - 2у) - (х2 - 2у)\} =
xi ^У ~хг х2^у ^ 1
= max { max | 2хх - 2х2 I, max | хх - 2х2 -у |,
O^y^Xj xx<y<x2
max | хх - х2 I} .
Из х2 > х\ и у > 0 следует, что выражения, стоящие под знаками модуля,
отрицательны, и эти знаки модуля можно снять (с переменой знака на противоположный);
кроме того, под первым и третьим внутренними максимумами здесь стоят выражения,
106

не зависящие от у, а второй максимум достигается при у = х2. Следовательно,
Pi (*i, х2) = max {2х2 - 2х1, Ъх2 - хх, х2 - хх },
откуда
Pl(xl,x2) = 3x2 -хх. (6.3)
При хх < х2 симметрия метрики дает нам рх {хх ,х2) = Ъхх - х2.
При хх = х2, разумеется, будет рх (хх, х2) = 0.
Как отмечалось, pl{zli z2) = p2(zx, z2), и специальных вычислений расстояний в
метрике р2 не требуется.
По поводу сказанного заметим прежде всего, что функция рх (хх, х2) при хх -х2 Ф
Ф 0 не является непрерывной (сходное можно сказать и о функции р2 (у х, у2)).
Кроме того, из (6.3) следует, что при хх, х2 > 1/2 имеет место р1(х1, х2) > 1,так
что естественное расстояние между любыми двумя различными стратегиями каждого
из игроков из промежутка (1/2,1] превосходит единицу (сколь бы близкими
"физически" эти стратегии ни были).
6.4. По естественным метрикам рх ир2 на пространствах стратегий
игроков в антагонистической игре Г = < х, у,#> можно определить естественную
метрику р на пространстве ситуаций, положив, например, для х%, х2 £хи
УиУг еУ
р((х1,у1),(х2,у2)) = тах{р1(х1,х2)9р2(у1,у2)}.
Естественная метрика р на пространстве ситуаций антагонистической игры
порождает на этом пространстве внутреннюю (естественную) топологию.
Проверка того, что функция р: (х X у) X (х X у) ->Я действительно
обладает всеми свойствами метрики, не составляет труда и предоставляется
читателю.
Теорема. В любой антагонистической игре Г = < х, у, Н) функция
выигрыша является непрерывной (и даже равномерно непрерывной)
функцией ситуации во внутренней топологии на пространстве ситуаций.
Доказательство. Достаточно заметить, что для любой пары
ситуаций (хь х2) и 0>ь у2) в игре Г имеет место неравенство
\Н(х1,у1)-Н(х2,у2)\^
^\H(xlfy1)-H(x2ty2)\ + \H(x2ty1)-H(x2fy2)\^
^Pi(xl,x2) + p2(yl,y2)S2p((xl,yl)9(x2,y2)). □
Таким образом, отмеченная в примере 3 п. 6.3 разрывность естественной
метрики по исходной топологии в пространстве стратегий как бы "съедает"
первоначальную разрывность функции выигрыша по этой исходной
топологии.
§ 7. ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫЕ ИГРЫ
7.1.Определение. Метрическое пространство z с метрикой р
называется вполне ограниченным, если при любом е > 0 в z найдется
конечная е-сеть, т.е. такое конечное множество ге,что для каждого z E z
существует такое zeEze, что p(z, z€) < е.
Вполне ограниченные пространства часто называются также условно
компактными. Если они являются подмножествами некоторых
метрических пространств и имеют в них компактные замыкания, то они
называются предкомпактными. □
107

Вполне ограниченные пространства являются весьма распространенными.
Например, как нетрудно проверить, любое ограниченное подмножество
конечномерного евклидова пространства является в евклидовой метрике
вполне ограниченным. Как подмножество объемлющего евклидова
пространства, оно, очевидно, является предкомпактным.
7.2 . Поучителен следующий критерий полной ограниченности пространства. Для
его рассмотрения напомним полезное определение.
Оп ределение. Последовательность элементов zl9z2,... метрического
пространства z называется сходящейся в себе, если по любому е > О найдется такое N, что
при т, п> N имеет место р (z^, zn) < е.
Теорема. Для того чтобы метрическое пространство г было вполне
ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы из любой последовательности его элементов
можно было выбрать сходящуюся в себе подпоследовательность.
Доказательство. Необходимость. Возьмем последовательность
zl, z2, .. . элементов z и произвольное е > 0 и построим в z конечную е/2-сеть Ввиду
ее конечности в ней найдется такая точка z€, что вблизи нее (а именно, на расстоянии,
не превосходящем е/2) окажется бесконечно много элементов последовательности
z.,z,,... Пусть это будут элементы z^ .z^ ,.. . Тогда для любых m,n> N будет
2 KN KN+1
p(zk , ze)<e/2, p(zk ,ze)<e/2,
и по неравенству треугольника мы получаем
p{zk ,zk )<e. (7.1)
Таким образом, по любому е > О можно из заданной последовательности выделить
соответствующую этому е подпоследовательность, для которой имеет место (7.1).
Чтобы получить подпоследовательность, которая подходила бы к любому е > О,
воспользуемся приемом, известным под названием диагонального процесса.
Пусть е1 > е2 > ... > еп > .. . - сходящаяся к нулю последовательность положи-
(0) (О)
тельных чисел, aztv ', z2v ',. .. - заданная последовательность элементов
пространства z. Согласно предыдущему в ней можно выделить такую подпоследовательность
21 » z2 » • • • у что» начиная с некоторого места, будет p(z^ , z^ ') < et. Но,
применяя то же рассуждение к последовательности z{ ', z3' ', ... и числу е2, мы можем
выделить в" ней такую подпоследовательность z\ ', zj'9 ... , что, начиная с
некоторого места, будет p(z^', z™) < e2.
Продолжая этот процесс, мы получаем построение бесконечной серии
последовательностей элементов z:
z^ Z&
z <2) z <2>
(7.2)
z <*> z (A:)
в которой каждая является подпоследовательностью предыдущей и для каждого
к = 1, 2, ... , начиная с некоторого места, будет
p(z^k\zP)<ek. (7.3)
Составим теперь по (7.2) ("диагональную") последовательность z f ', z} ',...
..., z , ... Эта подпоследовательность исходной последовательности является
искомой.
Действительно, по любому е > 0 найдется такое к, что ек < е, а по этому к - такое
7V, что при тп, п > N выполняется (7.3). Но, начиная со своего к~то члена, эта диаго-
108

нальная последовательность оказывается подпоследовательностью £4*
последовательности из (7.2). Значит, найдется такое N, что при т,п> N будет
Достаточность. Пусть пространство z не является вполне ограниченным,
т.е. при некотором е > 0 в нем не найдется конечной е-сети. Будем индуктивно строить
последовательность элементов z следующим образом. Возьмем Zj Gz произвольно.
Пусть элементы zt, ..., zk уже построены. Обозначим через ък объединение их е-ок-
рестностей; ък Ф z (ибо иначе точки zl, . .., zk составили бы конечную е-сеть в z), и
мы можем взять zfc+1 е z\ zk. В построенной последовательности z х, z 2,... каждый
член отстоит от любого из остальных более чем на е, так что никакой сходящейся в
себе подпоследовательности из нее выделить не удастся. D
Доказанная теорема выявляет однотипность понятия полной ограниченности
пространства и его компактности: в компактном пространстве из любой
последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, а во вполне ограниченном
пространстве - лишь сходящуюся в себе подпоследовательность. Очевидно, всякое
компактное пространство является вполне ограниченным.
7.3* Из теоремы предыдущего пункта немедленно вытекает удобный признак
того, что метрическое пространство z не является вполне ограниченным. Именно, это
будет так, если найдется такое е > 0 и такая бесконечная последовательность
элементов z j, z2,... пространства z с метрикой р, что р {zit zk) > e при любых различных
/ и к.
В частности, не являются вполне ограниченными пространства стратегий игроков в
игре из примера 3 в п. 6.3.
7.4. Определение. Антагонистическая игра Г = (х, у, Н)
называется вполне ограниченной, если пространства стратегий обоих игроков
в естественной метрике вполне ограничены. □
♦Оказывается, что для полной ограниченности антагонистической игры
достаточно потребовать полной ограниченности в естественной метрике
пространства стратегий хотя бы одного из игроков.
Теорема. Если в игре Г = <х,у,#> пространство стратегий одного
из игроков вполне ограничено в естественной метрике, то пространство
стратегий другого игрока также вполне ограничено в своей естественной
метрике.
Доказательство. Пусть х в естественной метрике Pi вполне
ограничено. Возьмем произвольное е>0 и найдем конечную б/З-сеть*!,..., хт
в х. Поставим теперь в тоответствие каждому у Е у m-мерный вектор
</>(у) = (#(*!,У\ • • • ,#(xw,jO).
Ввиду ограниченности функции выигрыша множество всех таких векторов
образует ограниченное подмножество m-мерного евклидова пространства,
и поэтому вполне ограничено в евклидовой метрике рЕ. Следовательно,
в этом множестве существует конечная б/3-сеть в метрике рЕ. Пусть
У1,-..,Уп (7-4)
— те стратегии игрока 2, которым соответствуют векторы, составляющие
эту сеть. Покажем, что они составляют е-сеть у в естественной метрике р2.
Возьмем для этого произвольную стратегию у игрока 2. По условию
найдется такое >>;. из списка (7.4), что
Р*(*00> </><>/)) <е/3.
109

Но
р^ОО, <р(у/)) =
= ( 2 (H(xi,y)-H(xhyf))2)lI2^sup\H(xi,y)-H(xi,yf)\
i = l i
Значит, и
si*|tf(*^jO-#(W/)l<e/3.
i
Поставим в соответствие каждому х Е х то л:/ из б/3-сети, для которого
Pj(jc, Xi) < е/3, и обозначим его через х€. Мы будем иметь
РаО, ^/) = sup | Н(х, у) - H(xf yj) | = sup | Н(х, у) - Н(х€, у) + Н(х€, у) -
X X
- Н(хе,у,) + Н(х£,у,) -Н(х,yj)| ^ sup | Н{х,у)-Щхе,у)\ +
X
+ sup | Щх€, у) - Н(х€, yj) | + sup | Н(х€, у Л - Н(х, yf) \
X X
<б/3+6/3+6/3 =6.
Таким образом, по любому е > 0 в пространстве у построена конечная
6-сеть. Следовательно, это пространство является вполне ограниченным. □
§ 8. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВПОЛНЕ ОГРАНИЧЕННЫХ ИГРАХ
8.1. Вполне ограниченные антагонистические игры оказываются с точки
зрения принципа максимина в некотором смысле близкими к разрешимым.
Теорема. Если антагонистическая игра Г = < х, у, Н > является вполне
ограниченной, то при любом е > 0 в ней существуют е-оптимальные
смешанные стратегии с конечным спектром.
Доказательство. Возьмем произвольное е>О и составим е-сети
хе= {xl9...,xm}, ye ={yi,...,y„) (8.1)
в соответствующих естественных метриках в пространствах х и у.
Рассмотрим хеХу€-подыгруГе, которая является конечной, т.е. матричной, и
поэтому имеет ситуации равновесия в смешанных стратегиях. Пусть
(Х€, Y€} — одна из них.
Здесь Х€= (£1?. ..,?m), a V€ = (r?i,. .. ,г?„), причем £, есть
вероятность выбора стратегии x(Gx€, a rjy —вероятность выбора стратегии
Равновесность ситуации (Х€, Y€) в игре Ге означает, что
H(xh Y€)<H(X€, Ye)<H(X€>у^ для всехх% Gх6 и>у Gуе. (8.2)
При любом х G х для соответствующей близкой ей стратегии x€Gx€
должно быть pi (х, х€ ) < е, т.е.
sup \H(x,y)-H(xe,y)\<e,
У
и в том числе для всех/ = 1,... , п
\H(x,yi)-H(xe,yj)\<e,
110

откуда
H{xt yf)- e<±H{xbyj\ i = 1, . ..,m\ j = 1,...,n.
Поэтому
H{xt, Ye) = Z H(x{, у,)т > £ (H(x, у,) - е)щ =
= £ tf<x,jv)ty-e = tf(x, Ге)-е.
/=1
Точно также устанавливается, что при близкой kj стратегииуе =у, S
eye
Я(ДГе,^)^Я(ДГе,^) + е.
Таким образом, подставляя в (8.1), мы получаем, что
Н(х, Y€)-e^H(X€t Ye).^H(Xe9y) + e
при всех xGx и j £ у, а это и требовалось. □
8.2. Следствие. Всякая антагонистическая вполне ограниченная игра
имеет значение.
Для доказательства достаточно к установленному в последней теореме
результату присоединить утверждение части 2) теоремы п. 3.1.
8.3. Обратим внимание на то, что нахождение е-оптимальных стратегий
во вполне ограниченной игре Г распадается на два этапа:
1) построение в множествах стратегий игроков в игре Г е-сетей из (8.1)
и составление соответствующей матричной игры Ге;
2) решение матричной игры Г€ .
Осуществление первого этапа непосредственно не связано с теоретико-
игровыми рассуждениями и в сущности относится к теории функций.
Теоретико-игровой здесь, пожалуй, следует считать разве лишь саму
возможность построения таких €-сетей, а по ним — матричной игры Ге.
Проведение второго этапа может сопровождаться разве лишь
техническими трудностями, связанными с размерами получающихся матричных
игр.
Таким образом, приближенное (и притом сколь угодно точное) решение
вполне ограниченных игр может быть сведено к (точному) решению той
или иной матричной игры.
§ 9*. КОМПАКТНЫЕ ИГРЫ
9.1. Определение. Антагонистическая игра Г = < х,у,Я>
называется компактной, если пространства стратегий обоих игроков в естественной
метрике компактны. □
Очевидно, в компактной антагонистической игре множество всех
ситуаций в описанной в п. 6.4 естественной метрике (топологии) также
является компактным.
Так как всякое компактное пространство является вполне
ограниченным, каждая компактная игра является вполне ограниченной игрой.
Поэтому к компактным играм применимы результаты § 8: в каждой такой
111

игре игроки имеют при любом е > О е-оптимальные стратегии, являющиеся
смесями конечного числа чистых.
Известно, что всякая заданная на компакте непрерывная функция
принимает свои экстремальные значения. Естественно предполагать, что в
случае компактной игры в формулировке теоремы п. 8.1 можно "перейти к
пределу" и установить существование в таких играх оптимальных
стратегий игроков. Это предположение подтверждается, хотя и не вполне
тривиальным образом.
Продолжим рассуждения, начатые в п. 4.3.
9.2. Проведем необходимые вспомогательные построения.
Пусть z компактное пространство, a«$(z) далгебра всех борелевских иод-
множеств, т.е. такое семейство подмножеств г, которое
а) содержит нес открытые подмножества z;
б) вместе с любыми подмножествами z , и z 2 содержит их разность ъх \ъг;
в) вместе с любой счетной последовательностью подмножеств zlfz„...
содержит их объединение и z„.
п
Каждое подмножество из «5r? (z) будет далее называться измеримым.
Мы будем рассматривать вероятностные меры на пространстве z, понимаемые
как функции ц : & (z) --R, обладающие следующими свойствами:
а) счетная аддитивность, для любых, попарно непересекающихся подмножеств
z,,z2,. . из /ft (г) имеет место
М( U zw)= Г ц(гп).
/i = l /i=l
б) неотрицательность: для любого z0 e & (z) должно быть ц (z0) ^0;
в) нормированиесты ц (z) = 1.
9.3. Пусть /: z -> R - непрерывная функция, а ц - вероятностная мера на z.
Тогда все множества вида (z: /(z) >а) являются открытыми, а все множества
вида{г: a </(z) % /?}, во всяком случае, измеримыми, и на них поэтому
определены значения меры д.
Рассмотрим всевозможные разбиения сегмента [inf/(z): sup/(z)]:
z z
inf f(z) = c0 < cl < . . . < cn = sup f(z\
и соответствующие им суммы
п
sn= Е ск yu({z: ck x<f(z)<ck}),
* = 1
Sn= S ck({z: ck ! <f(z)£ck}).
*=i
Если /*-*<*>, а г/( гд i -*0 при всех к - 1,...,//, то суммы .*„ и 5,7 имеют, и
притом один и тот же, предел, который называется интегралом {Лебега - Стилтьеса)
от функции / номере ц на множестве z. -Этот интеграл обозначается через ff(z)dn(z).
z
В наших рассуждениях этот интеграл будет называться математическим ожиданием
функции /от случайной величины z, распределенной в соответствии с мерой ц.
9.4. Возвращаясь к теоретико-игровой терминологии, мы будем
вероятностные меры на множествах стратегий игроков называть их смешанными
стратегиями, а интегралы (математические ожидания) f.H(x, y)dX(x) и
f Н(х, y)dY()>) понимать соответственно как выигрыши Н(Х, у) иН(х, Y).
У
112

Множество всех смешанных стратегий игроков 1 и 2 в
антагонистической игре Г = < х, у, //> будем, как и в гл. 1, обозначать через X и Y.
9.5. Справедливо следующее утверждение.
Лемма. Если функция II: xXy-*R непрерывна по х на х и по у на у,
го интегралы Н(Х, у) и II(x, Y) являются соответственно непрерывными
функциями от у и отх.
Доказательство. Функция II (х, • ), непрерывная на компакте х,
должна быть, как известно, и равномерно непрерывна на нем.
Возьмем произвольное е > О и найдем в соотвествии с равномерной
непрерывностью функции // такое 5 > 0, что
\11(х,У1)~11(х,у2)\<е
при любых х, у\ и у 2, если только | ух. - у 2 I < 5.
Тогда
\Н(Х,уг) ЩХ,у2)\ - I fH(x,yl)dX(x)-fH(x.y2)dX{x)\ =
X X
X
< f\H(x,yi) II(xfy2)\dX(x)< e fdX(x) = e.
~X X
Следовательно, функция II(X, у) непрерывна по у.
Аналогично доказьюается непрерывность функции II(xf У) по х □
Из сказанного следует, что к функциям Я(х, У) и Н(Х, у) применимы
рассуждения п. 9.2, так что можно говорить об интегралах и от них:
fH(x, Y)dX{x) =ffII(x,y)dYtv)dX(x), (9.1)
х х у
fH(X,y)dY(y) =JfII(xfy)dX(y)dY(x). (9.2)
У ух
Появление этих двух повторных интегралов дает повод говорить о
двойном интеграле
/ fH(x,y)d(XXY)(x.y), (9.3)
х X у
где X X Y — мера на произведении х X у, проекции которой ХиКнахиу
независимы. Последний оборот, однако, страдает некоторой неточностью:
мы уже видели, что мера задается не на бесструктурном множестве, а на
измеримом пространстве, т.е. значения меры определены на составляющих
некоторую а-алгебру измеримых множествах. В данном случае в качестве
такой а-алгебры на х X у следует взять наименьшую борелевскую
а-алгебру 33 (х X у), содержащую все произведения вида х' X у', где х' G 53 (х) и
у' е SS (у). Но тогда, чтобы реально говорить о двойном интеграле (9.3),
необходимо, чтобы функция от двух переменных #(-,•): х X у ~> R
была измеримой в смысле 53 (х X у), т.е. чтобы при любом X G R было
{(*, у): Н(х, у) > X} е 53(х X у).
Это требование не является тривиальным, т.е. не обязано выполняться само
собой, а соблюдается при тех или иных специальных предположениях.
8.Н.Н. Воробьев 113

Сделанные предположения о компактности *) пространств х и у во
внутренней естественной топологии эту измеримость гарантируют. Мы не будем
останавливаться на доказательстве этого факта, которое является
довольно сложным.
Все сказанное дает нам право говорить о двойном интеграле (9.3). Оба
повторных интеграла (9.1) и (9.2) оказываются равными этому двойному
интегралу (это составляет содержание известной теоремы Фубини). Общее
значение всех этих трех интегралов естественно обозначать через Н(Х, У).
9.6. Определение. Если Г = (х, у, Н) - антагонистическая игра,
то ее смешанным расширением называется антагонистическая игра Г =
= < X, Y, Н), где X и Y — множества смешанных стратегий игроков в
игре Г, а значения Н(Х, Y) определяются как общее значение интегралов
(9.1), (9.2) и (9.3). □
9.7. На множествах X и Y стратегий игроков в смешанном расширении
Г = < X, Y, Н) антагонистической игры Г = < х, у, Н) можно согласно
сказанному в п. 6.1 ввести естественную метрику, положив для Xit Х2 £ X
Pl(XlfX2) = sup \H(XuY)-H(X2tY)\
y<EY
и для Ylt Y2 GY
P2(YX,Y2)= sup \H(X, YX)-H(X, Y2)\.
X<EX
Оказывается **', что если исходная играТ = < х, у, Н) компактна, то ее
смешанное расширение Г = < X, Y, Н> также компактно.
Поэтому в компактной игре из каждой последовательности смешанных
стратегий моркно выделить подпоследовательность, сходящуюся к
некоторому пределу, также являющемуся смешанной стратегией.
Кроме того, оказывается***), что если функция #( •, у) непрерывна,
а последовательность Xif Х2, ..., Хп, ... смешанных стратегий игрока 1
сходится к некоторой предельной стратегии Х0, то при любому G Y
lim H(Xn,y)=H(X0,y). (9.4)
Аналогичный предельный переход имеет место для сходящихся
смешанных стратегий игрока 2.
9.8. Заметим, наконец, что множество всех смешанных стратегий
игрока 1 в произвольной антагонистической игре является, как и в матричной
*) В действительности достаточно существенно более слабого предположения о
сепарабельности пространств х и у. (Напомним, что топологическое пространство
называется сепарабельным, если оно содержит счетное всюду плотное подмножество.
То, что всякое вполне ограниченное, а тем более компактное пространство сепарабель-
но, вытекает непосредственно из определений.)
**) Доказательство см. в монографии А. Вальда "Статистические решающие
функции" (русск. пер. в кн. "Позиционные игры" М., "Мир", 1967, с. 367). В основе этого
доказательства лежат рассуждения, известные для случая х = у = R как первая теорема
Хелли (см., например, учебник Б.В. Гнеденко "Курс теории вероятностей", М,, Гос-
техиздат 1961, с. 234).
***) В основе этого доказательства лежат рассуждения, известные для случаях = у =
= R как вторая теорема Хелли (см. тот же учебник Б.В. Гнеденко, с. 236).
114

игре, вьшуклым, т.е. любым двум смешанным стратегиям X' и X" игрока 1
и числу \ G [0, 1] можно поставить в соответствие его смешанную
стратегию Х\ = XX' + (1 — Х)Х", для которой при любом борелевском
множестве х С х чистых стратегий игрока 1 имеет место
^(х) = ХЛГ'(х) + (1-Х)^"(х).
Из определения интеграла Лебега — Стилтьеса (см. п. 9.3) немедленно
следует, что при любой чистой стратегии у игрока 2 выполняется
Н(ХХ, у) = ХН(Х', у) + (1- Х)ЩХ ", у).
Аналогичны двойственные рассуждения о выпуклости множества
смешанных стратегий игрока 2.
§ 10. ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКОВ В КОМПАКТНЫХ ИГРАХ
10.1. Теперь мы можем доказать теорему, анонсированную в конце п.9.1.
Теорема ("о сновная теорема" теории компактных
игр). В компактной игре игроки имеют смешанные оптимальные
стратегии.
Доказательство. Пусть Г = < х, у, Н > — компактная игра. Она
является вполне ограниченной, и потому, на основании сказанного в п. 8.1,
при любом б > 0 в ней имеются ситуации е-равновесия в смешанных
стратегиях. В частности, отсюда следует, что игра Г имеет значение vr.
Возьмем сходящуюся к нулю убывающую последовательность ех>€2>
>... >е„>... >0и найдем по каждому п = 1, 2, ... е„-седловую точ-
ку(Хп>¥„).
Согласно части 1 теоремы из § 3 (формула (3.1))
MH(Xn,Y) + 2en^vr,
Y
так что при любой чистой стратегии у игрока 2
H(Xn,y) + 2en^vr. (10.1)
Ввиду указанной в п. 9.7 компактности множества X смешанных
стратегий, из последовательности
ХиХг,... (10.2)
можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к некоторой
стратегии (функции распределения) Х0. Не нарушая общности, можно считать,
что (10.2) уже является выбранной подпоследовательностью.
Перейдем теперь в (10.1) к пределу:
lim Н(Хп,у)+ lim 2e„>i>r.
п -*■ °° п -► О
Согласно формуле (9.3) первый из этих пределов естьЯ(ЛГ0, у), а
второй, очевидно, равен нулю. Таким образом, при любому Е Y оказьшается
Н(Х0, у) ^ vr. Следовательно, по теореме п. 5.5 Х0 есть оптимальная
стратегия игрока 1 в рассматриваемой игре.
Симметричные рассуждения приводят к доказательству существования
оптимальной стратегии у игрока 2. □
8* ч 115

10.2. Сделаем к сказанному комментарий, аналогичный сделанному
в п. 8.3.
Нахождение оптимальной стратегии в компактной игре Г распадается
на 3 этапа:
1) построение в множествах стратегий игроков в игре Г е-сетейиз (8.1)
для "исчезающей" последовательности значений еп i 0 и составление
соответствующих матричных игр Ге из (8.2);
2) решение матричных игр Ге, состоящее в нахождении седловых
точек (Хе, Ye) в них;
3) выделение сходящихся подпоследовательностей из
последовательностей Хе(е I 0) и Y€(e I 0) и нахождение их пределов.
Принципиальная простота осуществленного в доказательстве теоремы
из п. 10.1 третьего из этих этапов не должна вводить нас в заблуждение.
Соответствующее доказательство является весьма неконструктивным
("неэффективным") , и взятое само по себе никаких методов нахождения
оптимальных стратегий игроков, как пределов последовательностей их е-опти-
мальных стратегий, не дает.
10.3. Заметим в связи со сказанным, что множество всех (смешанных)
оптимальных стратегий каждого из игроков в компактной
антагонистической игре является выпуклым (см. п. 16.1 гл. 1) и замкнутым в смысле
естественной топологии.
Действительно, если X* и Х2* — две оптимальные стратегии в игре Г =
= < х, у, Н >, то для них имеют место неравенства вида (5.9) :
H(X1\y)^vr, (10.3)
H(X2*,y)^vr (10.4)
при любой стратегии у Е Y. Возьмем произвольно X G [0, 1 ] и положим
ХХ = ХХ* +(1 - Х)Х2*. Тогда из (10.3) и (10.4) будет следовать
Н(Хх,у) = Ш(Х;,у) + (1 -X)H(X;,y)^vr
при любому £ Y, а это и означает оптимальность стратегии Х\.
Замкнутость множества всех оптимальных стратегий вытекает из
непрерывности функции Н в естественной топологии (см. формулу (9.4). □
§ И. ВНЕШНЯЯ ТОПОЛОГИЯ. НЕПРЕРЫВНЫЕ КОМПАКТНЫЕ ИГРЫ
11.1. Помимо описанной в § 6 внутренней (естественной) топологии,
порождаемой на пространствах стратегий игроков функцией вьшгрыша,
на этих множествах может быть (через метрику или как-либо иначе)
априори определена еще и некоторая исходная, внешняя по отношению к
игре топология. Множество ситуаций оказьюается в этом случае
декартовым произведением топологических пространств и тем самым — тоже
топологическим пространством. Наличие у функции вьшгрыша тех или иных
топологических свойств (например, непрерывности) может предопределять
некоторые полезные особенности внутренней топологии. Это
обстоятельство представляется важным потому, что свойства внешней топологии
обнаруживаются более непосредственным образом, чем свойства топологии
внутренней (ср. примеры из п. 6.3).
116

Определение. Антагонистическая игра
Г = <х,у,#> (И 1)
назьюается непрерывной компактной игрой, если множества стратегий х
и у являются компактными пространствами в некоторой ("внешней")
топологии, а функция выигрыша Н непрерывна на х X у в смысле
порожденной топологии декартова произведения.
11.2. Лемма. Непрерывная компактная антагонистическая игра Г =
= < х, у, Н) является компактной и во внутренней топологии.
До каза тельство. Пусть хх, х2,... — последовательность
стратегий игрока 1, сходящаяся к его стратегии х0 во внешней топологии. Тогда
в силу предположения о непрерывности функции Н при любому £ у
должно быть
Ит Н(х„,у)=Н(х0,у). (11.2)
В силу компактности х X у эта сходимость оказывается равностепенно
непрерывной по у £ у, так что
lim sup \H(xn,y)-H(x0,y)\=0,
п -> оо у
т.е. рi (хп, xG) -> 0. Это значит, что последовательность стратегий лгь х2,...
сходится к х0 и во внутренней метрике (топологии). □
11.3. Применение теорем п. 8.1 и 10.1 дает нам следующее утверждение.
Теорема. Непрерывная компактная антагонистическая игра имеет
при любом е > 0 е-оптимальные стратегии игроков, являющиеся смесями
конечного числа чистых, а также смешанные оптимальные стратегии.
11.4. Практически теорему п. 11.3 приходится применять в
следующем частном виде.
Теорема. Если в игре Г = < х, у, Н > множества стратегий игроков х и
у являются выпуклыми многогранниками в конечномерных евклидовых
пространствах, а функция выигрыша Н непрерывна на х X у, то в этой игре
игроки имеют оптимальные смешанные стратегии, а также - при любом
е > 0 — оптимальные стратегии, являющиеся смесями конечного числа
чистых.
Частным случаем этой теоремы является тот, когда х и у — единичные
кубы конечномерных евклидовых пространств.
Наконец, "самым частным" случаем, к которому приложимо сделанное
заключение, составляют здесь игры на единичном квадрате (см. п. 1.2).
§ 12. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
12.1. Никаких общих методов для точного нахождения решений
бесконечных антагонистических игр, и в том числе непрерывных игр на
единичном квадрате, пока не найдено. Известны только отдельные
индивидуальные приемы, годные лишь для тех или иных сравнительно узких классов
игр. Один из таких классов составляют антагонистические игры с
выпуклыми функциями выигрыша. Они представляют также известный при- >
кладной интерес. Далее мы рассмотрим несколько примеров таких
выпуклых игр.
117

Сначала мы построим достаточно простую теорию выпуклых игр на
единичном квадрате, а затем рассмотрим некоторые вопросы,
относящиеся к случаю более общих выпуклых игр.
Определение. Вещественная функция <^>, определенная на числовом
промежутке z, называется выпуклой, если для любых z\ z"Gz и любого Л. е [0, 1 ]
V?(\z' +(1 - X)z")<\ip(z') + (l - \)<p(z").
(12.1)
Если при z' Ф z" и при \^=0и \ ^ 1в (12.1) имеет место строгое неравенство, то
функция <р называется строго выпуклой.
Геометрически выпуклость функции соответствует ее выпуклости вниз. Всякая
дуга графика выпуклой функции не поднимается выше стягивающей ее хорды
(рис. 2.2).
Рис. 2.3
Аналитически выпуклость дважды дифференцируемой функции соответствует
неотрицательности (а в случае строгой выпуклости - положительности) ее второй
производной.
Симметричным, а с точки зрения антагонистических игр - двойственным (см.
п. 5.4 гл. 1) понятию выпуклой функции является понятие вогнутой функции.
Определение. Вещественная функция у% определенная на числовом
промежутке z, называется вогнутой на нем, если при любых z', z" Gz и любом \ е [0, 1]
V?(Xz' + (1 - \)z") ^ Xip(z') + (1 - \)<^(z")
(т.е. если выполняется неравенство, противоположное (12.1)).
Свойства вогнутых функций симметричны свойствам выпуклых функций.
Поэтому мы ограничимся рассуждениями по поводу выпуклых функций. Соответствующие
формулировки и доказательства, относящиеся к вогнутым функциям, мы
предоставляем читателю.
12.2. Лемма. Если <р - выпуклая функция на сегменте [а, Ъ ], z г,. .., zп е [а, Ъ ],
и A.J,. .. , \л — вещественные числа, для которых
п
\19...,\п>0, £ \- = 1,
/ = 1
i=i i=l
Это утверждение получается в результате непосредственного применения
индуктивных рассуждений к определению выпуклой функции.
12.3. Лемма. Выпуклая функция \р при увеличении аргумента не может
переходить от возрастания к убыванию.
Доказательство. Предположим, что zx <z2 <z3, но
V>(zl)<ip(z2),
v?(z3)<v?(z2).
(12.2)
118

Найдем такое \б [0, 1], 4Toz2 = \z l + {1 — X)z3. Тогда на основании выпуклости
функции <р будет
v?(z2) = v?(Xz1 +(1 -\)z3)<,
^\<p(Zj) + (l -X)v7(z3)^max{v7(z1),v7(z3)},
что противоречит (12.2). D
12.4. Следствия. I) Выпуклая функция состоит не более чем из двух
монотонных частей; если их две, то убывание предшествует возрастанию.
2) Множество точек, на которых выпуклая функция принимает минимальные
значения, замкнуто и связно (т.е. является сегментом, быть может, пустым).
Действительно, если между двумя точками минимума выпуклой функции
окажется точка, не являющаяся ее минимумом, то функция где-то слева от этой точки будет
возрастать, а где-то справа - убывать. Это, однако, противоречит предыдущему.
3) Строго выпуклая функция достигает своего минимального значения не более
чем в одной точке.
12.5. Рассматриваемые в данной книге выпуклые функции являются функциями
вьшгрыша в тех или иных играх и потому ограничены (единственное исключение, с
которым мы встретимся в § 2, будет проанализировано особо). Ограниченность
выпуклых функций помогает достаточно элементарно доказать их непрерывность в
следующем смысле.
Лемма. Если выпуклая функция у: [a,b] -+Rограничена, то она непрерывна в
любой точке z0 е(я;£).
До казательство. Разрывность ограниченной функции у в точке z0 означает,
что найдется такая сходящаяся к z0 последовательность zl, z2, . . ., что
Urn ip(zn) = t Фу(20).
П-+ ©о
Будем для определенности считать, что <p(z0) - t - 2б > 0, и рассматривать
последовательность z j, z 2,. . . , начиная с того места, когда <p(zn) < t + б (рис. 2.3).
Пусть некоторое число h меньше, чем расстояние от z0 до а или Ь. Возьмем
произвольно большое К > О, найдем такой номер пк, что I zn - zQ\ < h/K, и возьмем точку
znK=20 +(z0 -znK)(K~l)<E(a,b).
Очевидно,
z° к 2пк к 2пк'
так что из выпуклости функции у? следует
К-1 1 *
*(z0)< v(ZnK)+ ~J£ *(znK)>
откуда
t + 28< —£-(Г + 6)+ ~ *(z*^),
y?(z* ) >K(t + 26) -(K - l)(t + b)=Kb +t + 6,
К
т.е. с ростом К значения функции *p(z* ) неограниченно возрастают. Это, однако,
К
противоречит предположению об ограниченности функции \р. D
Заметим, что, как это видно из рис. 2.4, на концах сегмента своего задания
выпуклая функция не обязана быть непрерывной. Вместе с тем, очевидно, на концах а и Ъ
сегмента своего задания выпуклая функция у должна быть полунепрерывной
сверху, т.е.
Ит yp(z) < *р(а) (12.2)
z-*a
и аналогично при z -*b.
119

12.6. Выпуклые функции имеют достаточно простые аналитические свойства.
Лемма Если выпуклая функция является дифференцируемой, то ее
производная не убывает.
Доказательство. Мы установим даже несколько более точные факт: если в
некоторой точке z выпуклая функция \р имеет левую и правую производные, то
значение левой производной не превосходит значения правой.
р(Ь)
<р(Ь-0)
Рис. 2.4
Действительно, пусть значение левой производной у в точке z больше значения
правой производной. Это значит, что найдется столь малое А > 0, что
y?(z) - y?(z - A) y?(z + А) - y(z)
откуда
~<p(z-A)+ - *(z + A)>*(z) = ^ (z-A)+- (z + A)J,
что противоречит выпуклости \р. П
12.7. Следствие. Если производная выпуклой функции обращается в
некоторой точке в нуль, то функция в этой точке достигает своего аналитического
минимума, являющегося при этом наименьшим ее значением.
Если выпуклая функция является дважды дифференцируемой, то ее вторая
производная неотрицательна.
12.8. Лемма. Если функция у выпукла на сегменте [a,b], aZ - произвольная
вероятностная мера на [а, Ь ], то
Ь Ъ
v(fzdZ(z))uf*(z)dZ(z).
а а
Доказательство следует из леммы п. 12.2 и непрерывности выпуклой функции
путем предельного перехода. □
12.9. Лемма. Если функция <р(х, у) выпукла по у при любом значении х е
е [а; Ь], а X — произвольная вероятностная мера на \а\ Ь], то интеграл
Ь
ф (у) = *{Х, у)= f f(x, y)dX(x)
а
также является выпуклой функцией.
Доказательство. Возьмем произвольное \е [0, 1]. На основании
выпуклости функции $ мы имеем для любых у%, у2
Ь
ф(Ху% + (1 -\)у2) = f<p(x.\yl +a-Vy2)dX(x)iL
а
Ь
й / (**(*, Ух) + (1 - *)*(*,y2))dX{x) =
а
Ъ Ъ
= */ <Р(х, Уг )dX{x) + (1 - \) / sp{x, y2)dX(x) = \ф (у, ) + (1 - X) ф (у2) , (12.3)
а это и требовалось. □
120

12.10. Лемма. Если функция у(х, у) строго выпукла по у при любом значении
х&[а,Ь], а X - произвольная вероятностная мера на [а,Ь], то интеграл Ф(у) =
Ь
- f v(x> y)dX(x) также является строго выпуклой функцией,
а
Доказательство этой леммы аналогично доказательству предыдущей. Выполнение
в формуле (12.3) строгого неравенства обеспечивается тем, что
*{х,\ух +(1 -\)у2)<\*(х,у1) + {\ -\)ч>{х,у2)
для всех значений х, а множество всех х имеет в смысле X положительную меру. □
12.11. Лемма. Если функция у(х, у) выпукла по у при любом значении х, то
верхняя огибающая функций у( •, у) sup <р(х, у) также является выпуклой.
х
Доказательство. Для любых x,ylty2 и \е[0, 1] мы имеем
*{x,\yl +'d -*)yi)u,b'P{x,yl) + (l -\)v(x,y2)9
или, переходя к супремумам,
sup у{х, \ух + (1 - Х)у2) £. sup (\<p(x, ух) + (1 - К)ф(х, У2)й
X X
^\sup(p(x,^1) + (l - \)sup<p(x, j2),
X X
а это и требовалось. □
§ 13. ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ.
ЧИСТЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА 2
13.1. Определение. Непрерывная антагонистическая игра на
единичном квадрате с функцией выигрыша Я называется выпуклой, если
функция Н(х, ■ ): у -* R выпукла при любом значении xGx. □
Как и во всякой непрерывной игре на единичном квадрате (см.
последнее следствие в п. 11.4), в выпуклой игре игроки имеют смешанные
оптимальные стратегии. В этом и в следующих параграфах будут описаны
строение и способы нахождения оптимальных стратегий игроков в
выпуклых играх на единичном квадрате.
Ясно, что все теоретико-игровые утверждения, относящиеся к играм на
единичном квадрате, могут быть перенесены на игры, в которых
пространствами чистых стратегий игроков являются произвольные сегменты.
13.2. Согласно принципу двойственности для антагонистических игр
(см. п. 5.4 гл. 1) выпуклым играм соответствуют вогнутые в смысле
следующего определения.
Определение. Непрерывная игра на единичном квадрате с
функцией вьшгрыша Н назьшается вогнутой, если функция #( •, у): X ->R
вогнута при любом значении у G у. □
Далее нами будет строиться теория выпуклых игр. Очевидно, теория
вогнутых игр будет двойственной к ней, и ее положения получаются
естественным образом из соответствующих положений теории выпуклых игр.
13.3. Теорема. В выпуклой игре на единичном квадрате игрок 2
имеет чистые оптимальные стратегии. Множество всех таких стратегий
составляет сегмент.
Доказательство. Рассмотрим выпуклую игру Г с функцией
выигрыша К Пусть иг — значение Г, X * — одна из оптимальных стратегий игро-
121

ка1,а Y* — игрока 2. Тогда
Н(х, Y*)^H(X*, Y*) = vr длялюбого х G [0,1]. (13.1)
В условиях смешанной статегии Y* игрока 2 чистая его стратегия.)/
оказывается случайной величиной, принимающей к тому же числовые значения.
Поэтому можно говорить о математическом ожидании этой случайной
величины:
y*=fydY*(x). (13.2)
О
На основании леммы п. 12.8 мы имеем при любом х £ [0,1]
H(x,y*)=H(xJydY*(y))<
1 (13.3)
ufH(x,y)dY*(y)=H(x, Г).
о
Вместе с (13.1) это дает нам#(х, у*) ^vr для всех х G [0, 1].
Следовательно, по теореме п. 5.5 у* является оптимальной стратегией игрока 2.
Если теперь у' и у" — чистые оптимальные стратегии игрока 2, то по
теореме п. 5.5 должно быть
Н(х, у') ikvr, Н(х, у") < vr
при любых х G [0, 1 ]. Отсюда ввиду выпуклости функции Н(х, •) при
любом Х£[0,1]
Я(х, X/ + (1 - Х)у") < Х#(х,у') + (1 - Х)#(х,у") ^vr
для всех х Последнее означает оптимальность чистой стратегии \у'+
+ (1-Х)У.
Наконец, в силу непрерывности функции Н(х, •) множество тех
значений у, для которых Н(х, у) ^1>г, должно быть замкнутым.
Остается заметить, - что выпуклое замкнутое подмножество сегмента
само должно быть сегментом. □
13.4. Следствие. В выпуклой игре
vr =minmax#(x, у) = тгхН(х, y*)9 (13.4)
ух х
где у* - оптимальная чистая стратегия игрока 2.
Это вытекает из теоремы п. 5.2, причем достижимость внутреннего
максимума обеспечивается непрерывностью функции Н по х □
13.5. Следствие. Чистые оптимальные стратегии у * игрока 2 в
выпуклой игре суть решения уравнения
vr=nmxH(x,y*). (13.5)
X
Действительно, для того чтобы стратегия^* игрока 2 была решением
уравнения (13.5), необходимо и достаточно, чтобы было Н(х, у*) ^vr
для всех х Но ввиду теоремы п. 5.4 это равносильно оптимальности
стратегии игрока 2. □
122

§ 14. ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ.
ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА 1
14.1. Займемся описанием оптимальных стратегий игрока 1.
Далее через Н'у(х, у) обозначаются значения частной производной
функции выигрыша Н по у. При у = 0 это выражение понимается как правая
производная, а при у = 1 — как левая. Мы будем предполагать, что эта
производная существует для всех значений х иу.
Пусть снова у* — одна из оптимальных стратегий игрока 2.
Согласно теореме п. 5.8 в спектры оптимальных стратегий игрока 1
могут входить только такие чистые стратегии х, для которых
H(x,y*) = vr. (14.1)
Чистые стратегии 1, удовлетворяющие этому равенству, иногда
называют существенными. Множество всех существенных стратегий игрока 1,
очевидно, является компактным.
14.2. Лемма. Если у* — оптимальная стратегия игрока 2 в выпуклой
игре с функцией выигрыша Н, дифференцируемой по у, и у * > О, то
существует такая существенная стратегия х' игрока 1, что
ЪН{х',у)\ , ,
а =H'y(x',y*)<LO. (14.2)
Ъу \у=у*
Доказательство. Предположим, что для каждой существенной
стратегии х0 игрока 1 Ну(х0, у*) > 0. Это значит, что для всякой
существенной стратегии х0 функция Ну(х0, • ) в точке у* строго возрастает.
Следовательно при значениях у, меньших чем у* и близких к у*,
будет H{xQiy)<H(x0yy*).
Говоря точнее, по каждой существенной стратегии х0 найдутся такие
е(х0)>0 и 5(х0)>0* что
Н(х,у)<Н(х,у*)-е(х0)
при всех х, для которых | х - х0 | < 6 (х0). Ввиду компактности
множества всех существенных стратегий оно покрьюается конечным числом таких
б (х0) -окрестностей. Пусть е — наименьшее из всех соответствующих чисел
е(х0). Тогда будет
Н(х,у)<Н(х,у*)-е. (14.3)
Пусть теперь X* — оптимальная стратегия игрока 1. Так как (14.3) по
предположенному справедливо для всех существенных стратегий игрока 1,
и в том числе для всех точек спектра X*, мы имеем, интегрируя,
Н(Х*, у) <7/(Х*, у* ) - б = vT - e,
а это противоречит оптимальности стратегии X *. □
14.3. Аналогично доказывается следующее симметричное утверждение.
Лемма. Если в условиях предыдущей леммы у* < I, то существует
такая существенная стратегия х" игрока 1, что Ну(х",у*)^0.
14.4. Объединяя эти леммы, мы получаем следствие.
123

Следствие. Если в условиях предыдущих лемм 0 < у * < 1, то
найдутся такие существенные стратегии х'и х" игрока!, что
Н;(х',у*) ^0, (14.4)
Н'у(х",у*)^0. (14.5)
14.5. Теорема. Пусть Г — выпуклая игра с функцией выигрыша Ну
дифференцируемой по у при любом х, у * — чистая оптимальная стратегия
игрока 2в ней, avr —еезначение. Тогда:
1) если у * = 1, то среди оптимальных стратегий игрока 1 имеется чистая
стратегия х', для которой Ну{х , 1) <, 0;
2) если у* = О, то среди оптимальных стратегий игрока 1 имеется чистая
стратегия х"t для которой Ну (х", 0)^0;
3) если 0 iLy* < 1, то среди оптимальных стратегий игрока 1 найдется
такая, которая является смесью двух существенных стратегий х' и х".
Для этих стратегий
H;(x',y*)<L0, Н;(х",у*)^0.
При этом стратегии х' и х" употребляются с вероятностями а и 1 — а,
где а находится из уравнения
аН;(х',у*) + (1 -а)Н;(х",у*) = 0. (14.6)
Доказательство. Пусть сначала^* = 1. Тогда по лемме п. 14.2
найдется существенная стратегия х игрока 1, для которой выполняется
(14.2). Следовательно, вблизи у* = 1 функция Н(х\ у) убывает. Но
выпуклая функция не может переходить от возрастания к убыванию.
Поэтому Н(х, у) убьюает на всем сегменте [0, 1], достигая при у = 1 своего
минимума. Это значит, что
Н(х\у*)<Н(х',у) при всех у^[0,1]. (14.7)
С другой стороны, из существенности л:' следует неравенство
Н(х,х*)^Н(х\у*) при всех *е[0,1]. (14.8)
Неравенства (14.7) и (14.8) означают, что (х\ у*) есть седловая точка,
и случай 1) разобран.
Случай 2) разбирается при помощи симметричных рассуждений.
Перейдем к случаю 3). Здесь мы на основании следствия п. 14.4
располагаем существенными стратегиями х и х", которые
удовлетворяют соответственно неравенствам (14.4) и (14.5).
Рассмотрим функцию
№ = $Н;(х',у*) + (1 -$)Н'у{х\у*).
Неравенства (14.4) и (14.5) означают, что /(0) ^.0, /(1) ^ 0. Так как
функция / непрерьшна (в данном случае она просто линейна), найдутся
такие а* € [0, 1 ], что Да*) = 0.
Возьмем теперь смешанную стратегию игрока 1, состоящую в выборе
стратегии х с вероятностью а* и стратегии х" с вероятностью 1 —а*,и
обозначим ее через X *.
124

По лемме п. 12.9
ЩХ\у)= а*Н(х',у) + (1-а*)Щх",у)
является выпуклой по у функцией. Ее производная по >> в точке у - у *
равна
Н;(Х*,у) = а*Н;(х;У) + (1-ес*)Н;(х",у) = 0.
Следовательно, в точке у* функцияН(Х*, у) имеет экстремум; ввиду
выпуклости функции этот экстремум должен быть минимумом.
Таким образом,
Н(Х*,у*)^ЩХ*,у) привсех j>£[0,1]. (14.9)
С другой стороны, в силу существенности стратегии х'
H(X\y*)=H(x',y*) = vr=miixH(x,y*)^H(xfy*) привсех х£[0,1].
(14.10)
Соотношения (14.9) и (14.10) означают, что ситуация (X*, у*) является
равновесной, а стратегия X * — оптимальной. □
§ 15. СТРОГО ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ
15.1. Определение. Непрерывная антагонистическая игра Г на
единичном квадрате назьюается строго выпуклой, если ее функция
выигрыша Н(х, у) строго выпукла по у при любом значении х.
15.2. Теорема. В строго выпуклой игре Г игрок 2 имеет
единственную оптимальную стратегию, которая является чистой.
Доказательство. Пусть X * — оптимальная стратегия игрока 1
и ф(у)=Н(Х*,у).
Чтобы чистая стратегия^* была точкой спектра какой-либо оптимальной
стратегии игрока 2, согласно теореме п. 5.9 необходимо выполнение
равенства
ф(у* ) = min ф(у) = иГ.
у
Но на основании леммы п. 12.10 функция ф(у) является строго
выпуклой, а по следствию 3) из п. 12.4 ее минимум единствен (обозначим его
через у*). Поэтому спектр всякой оптимальной стратегии игрока 2
исчерпывается точкой .у*. Это значит, что кроме у* игрок 2 никаких
оптимальных стратегий не имеет. □
§ 16. ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ВЫПУКЛЫХ ИГР
НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ. ПРИМЕРЫ
16.1. На основе сказанного в^ § § 13 и 14 решения выпуклых игр
естественно находить по схеме, состоящей из следующих пунктов.
1°. Проверка функции Н(х, •) на выпуклость.
Если эта функция задана аналитически и дважды дифференцируема, то
естественно попытаться проверить неравенство Ъ2Н(х, у)/ду2 ^0.
В некоторых случаях представляется целесообразным изобразить
графики функций Н(х, •) при различных значениях параметра х и проверить
выпуклость каждой такой функции геометрически.
125

2 . Из соотношения
vr = min max H(x, у) (16.1)
у х
нахождение у* как значения переменного, на котором достигается справа
минимум, и нахождение vr как значения этого минимума.
3°. Нахождение решений уравнения
vr=H(x,y*) (16.2)
(к этому моменту стратегия у* и значение игры vr уже будут найдены)
и составление пары*' и*" его решений, для которых
ЪН(х, у)
ду
^0,
дЩх'.у)
\у=у- ЬУ \у=у*
4°. Для каждой найденной пары х и х" составление уравнения
ЪН(х, у)
~~~Ъу
+ (1 -О)
дЩх", у)
У=У*
ду
■о
(16.3)
у=у*
и нахождений его решений а *. Решение этого уравнения либо единственно,
либо — любая точка сегмента [0,1].
16.2. Пример. Игра на единичном квадрате с функцией выигрыша
Н(х,у) = {х-у)2. (16.4)
Iе. Здесь д2Н(х, у)/ду2 = 2 > 0, так что игра с функцией выигрыша (16.4)
является строго выпуклой.
2°. Значение этой игры находится по формуле (16.1):
v = min max(jc ~ у)2.
У х
Пусть у0 — фиксированная стратегия игрока 2. Выражение (х — у0)2 достигает
своего максимума при х = 1, если у0 S 1/2, и при х = 0, если у0 ^ 1/2. Иными словами,
(1 -у2), если у^, 1/2,
тах(х -у)2 =\
х
[У
Значит,
• и = min { min
у &1/2.
У2}
(1 -у)7, min
0<у£1/2 ' 1/2<^^1
Здесь первый из внутренних минимумов достигается при у = 1/2, а второй - также
при у - 1/2. Каждый из этих минимумов принимает значение 1/4. Поэтому v„ =
= min{l/4, 1/4} = 1/4, и значение игры найдено. При этом единственной чистой
оптимальной стратегией игрока 2 оказывается у * = 1/2.
3°. Переходим к определению оптимальных стратегий игрока 1. Поскольку здесь
0 < >•*= 1/2 < 1, по классификации случаев из теоремы п. 14.5 мы имеем дело со
случаем 3). Будем искать существенные чистые стратегии игрока 1. Для них выпишем
уравнение (12.1), которое в данном случае выглядит так: (х- 1/2)2 =1/4. Решая
это уравнение, мы находим две существенные стратегии игрока 1: лг2 - 0, х7 = 1.
Следовательно, оптимальная стратегия игрока 1 должна быть вероятностной'
смесью его чистых стратегий 0 и 1.
Дифференцируя функцию выигрыша по у, мы имеем
э(*г->02
ду
1 >0,
\У = 1р
Ъ(х2 -у)2
ду
-КО
у = 1/2
126

(как и следовало ожидать из теоретических соображений, установленных в § L4,
значения этих частных производных оказываются разных знаков).
4°. Составляем уравнение (16.3). В данном случае оно имеет вид а • 1 + (1 -
- а) (—1) = 0, т.е. 2а — 1 =0, откуда а* = 1/2. Таким образом, оптимальная стратегия
игрока 1 состоит в выборе им своих чистых стратегий 0 и 1 с вероятностью 1/2 каждая.
16.3. Пример. Игра Г на единичном квадрате имеет функцию выигрыша
Н(х,у)=у3 -Зху+х3.
1°. Здесь Э2Н(х, у)/ду2 =ву > 0, так что игра с функцией выигрыша (14.2)
строго выпукла, за исключением точки у - 0.
2°. Согласно (16.1) и -min max О3 - Зху+х3). Далее, при любом jG [0, 1 |
У х
ЪН(х,у)/Ъх = Зх2 -Зу.
Таким образом, при х ^ у/у функция выигрыша по д: убьюает, а при д: > \[у
возрастает. Следовательно, каково бы ни было у> максимальное значение функции
выигрыша достигается либо при х = 0, либо при jc = 1. Поэтому
max (у3 - Зху +х3) =тах{у3,у3 - 3>> + 1}.
х
Очевидно, при у .< 1/3 этот максимум достигается при д: = 1, а для у > 1/3 —при
х = 0. Итак,
!у3-Зу + 1, если У^ЦЗ,
>;3, если у ^ 1/3.
Значит,
и = min { min (у3-3>> + 1), min у3};
oSy£l/3 1/3<У<Д
вычисляя внутренние максимумы, мы находим, что каждый из них достигается при
у = 1/3 и равен 1/27. При этом у * = 1/3.
3°. Для определения существенных чистых стратегий игрока 1 составим уравнение
иг = Н(х, у *), т.е. 1/27 =1/27 - х + х3, откуда хг = 0, х2 =1 (третий корень, равный -1,
очевидно, не может быть стратегией в рассматриваемой игре). Наконец,
ду3
ъу
Ъ{у3 -3>> + L)
= 1/3 > 0,
, = 1/3 ЪУ
= 1/3-3 = -8/3 <0.
Д>=1/3
4°. Параметр а находится из уравнения а • 1/3 + (1 - а)(-8/3)=0, откуда а* = 8/9.
Значит, оптимальная стратегия игрока 1 состоит в выборе х - 0 с вероятностью 8/9
и х - 1 с вероятностью 1/9.
§ 17. БОРЬБА ЗА РЫНКИ
17.1. Рассмотрим игру Г на единичном квадрате со следующей функцией
выигрыша:
(ку(х-у), если х >у,
Н(х9у)=\ (17.1)
I &2 (У — х) 9 если х ^ у у
где кх > 0, к2 > 0.
Эту игру можно интерпретировать как борьбу двух фирм за рынки
сбыта в условиях капиталистической экономики.
Пусть одна из фирм (игрок 1) пытается вытеснить другую фирму
(игрок 2), имеющую два рьшка сбыта, с одного из этих рынков. Общая сумма
средств, выделяемых игроком 1 на эту цель, принимается фавной единице.
127

Стратегии игрока 1 состоят в распределении этих средств между двумя
рынками. Если на первый рынок направляется сумма х, то на второй
направляется оставшаяся сумма 1 — х. Пусть игрок 2 для удержания
рынков также располагает единичной суммой средств, и его стратегия будет
состоять в выделении суммы у на первый рынок и 1 — у на второй.
Будем считать, что игрок 1, добившись превосходства в средствах на
одном из рынков (очевидно, на обоих рынках сразу он такого
превосходства одновременно добиться не может), вытесняет своего противника
Кг(1-х0)
Рис. 2.6
с этого рынка и получает выигрыш, равный избытку своих средств,
который берется с коэффициентом, характеризующим важность рынка (мы
принимаем, что этот коэффициент равен кх для первого рынка и к2 для
второго).
Очевидно, в формальной записи функция выигрыша данной игры и
задае тся соо тно шение м (17.1).
17.2. Покажем, что рассматриваемая игра является выпуклой.
Фиксируем для этого некоторое х-х0. График зависимости Н(х0,у) от у
представляет собой пару прямолинейных отрезков, как это изображено на
рис. 2.5 (в случае, если х = х0 или х0 = 1, один из этих отрезков стягивается
в точку). Очевидно, что при любомх0 Н(х0, •) является выпуклой
функцией от у, так что игра с функцией выигрыша Н выпукла.
17.3. Мы имеем
max Я(х, у) - max { max кх (x - у), max k2 (у - х)} =
х х >.у х^у
= max{k1(i -y),k2y].
Поэтому
vr = min max H(x, у) =
у х
= minmax{k1(i -y),k2(y)}.
у
График функции тах^ (1-j>), k2y} выделен на рис. 2.6 жирной
ломаной. Первый член под знаком максимума с ростом у убывает, а
второй возрастает. Поэтому при малых значениях у максимум достигается
на первом члене, а при больших у — на втором. Следовательно,
минимальное значение этот максимум принимает при таком у*9 для которого
128

ki О - У *) = k2y *, т.е. при
^ =
Л| т М
(17.2)
Таким образом, найденное^*является единственной (чистой)
оптимальной стратегией игрока 2. Мы видим, что оптимальная стратегия игрока 2
состоит в распределении имеющихся средств между рьшками и притом
пропорционально важности рынков.
17.4, Значение игры Г вычисляется без труда:
К\ К2
= тах#(х, у*) =
К\ • К2
17.5. Для нахождения оптимальной стратегии игрока 1 определим его
существенные стратегии, пользуясь уравнением (16.2). Случаи х }£у*
и х < у* будем рассматривать порознь.
Для х ^у* уравнение (16.2) принимает вид
I к2
Т2>
кЛх : )= -
\ кх+к2 ) кг +i
откуда х = 1.
Если же х^>>*, то уравнение (12.1) превращается в соотношение
\ кг + к2 Х)
к л к'
1*2
к\ "^ ко
откуда х = 0.
Таким образом, существенными стратегиями игрока 1 оказываются
в данном случае хх = 0 и х2 - 1, так что игрок 1 имеет в данной игре
единственную оптимальную стратегию, являющуюся смесью двух чистых.
Находим теперь нужные значения частных производных:
ЪН(09у)
Ъу
ЪН{\,у)
Ъу
У = У*
У = Ущ
Ъ
Ъу
Ъ__
Ъу
к2у
= к2>09
у = у*
кi(l -У)
= -кг < 0.
У = У*
Уравнение (16.3) для данной игры приобретает вид ак2 + (1 — а) (—кг)
= 0, откуда
а = :— .
кг ■ к2
Таким образом, оптимальная стратегия игрока 1 состоит в
концентрации всех его средств на одном из рынков, причем вероятность выбора
рынка обратно пропорциональна его важности. Этот результат не должен
удивлять: чем важнее рынок, тем больше средств вложит противник в
его сохранение и тем меньше свобвдных средств останется на нем после
вытеснения противника, т.е. тем менее значимой будет победа над ним.
9.Н.Н. Воробьев
129

§ 18. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ МОЩНОСТЕЙ
В УСЛОВИЯХ ЧАСТИЧНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
18.1. Пусть суммарная производственная мощность двух однотипных
предприятий, намеченных к строительству в двух различных пунктах,
фиксирована (положим ее для определенности равной единице) и равна
суммарной потребности в производимой предприятиями продукции в
этих двух пунктах. Точная потребность в каждом пункте неизвестна (она
может выясниться лишь после пуска проектируемых предприятий). Если
производственная мощность в некотором пункте равна у, а потребность
в этом пункте равна х, то напряженность работы предприятия можно
измерять отношением х/у. Цель распределения производственных мощностей
естественно видеть в минимизации наибольшей напряженности работы
обоих предприятий, т.е. в минимизации максимума
{ X 1 -X )
max —, . (18.1)
\У 1-У I
Этой же задаче можно дать иную содержательную интерпретацию,
понимая отношение х/у как время работы предприятия производственной
мощности у до удовлетворения потребности х. Цель распределения
производственных мощностей будет тогда состоять в минимизации времени
полного (т.е. в обоих пунктах) удовлетворения потребностей.
Таким образом, поставленную задачу можно описать игрой, в которой
игрок 1 ("природа", "обстоятельства") выбирает значение х, игрок 2
(проектировщик) — значение у, а значение функции выигрыша Н(х, у)
(в данном случае она описывает потери проектировщика) равно (18.1).
Если проектировщик решает эту задачу, точно зная истинное
распределение суммарной потребности (т.е. зная значение х), то он, очевидно,
примет х = у, и каждое из предприятий будет, с одной стороны, загружено
полностью, а с другой — работать без перегрузки. Естественно
предположить, что если проектировщик располагает частичной информацией о
распределении потребностей, то при оптимальных действиях он может
добиться перегрузки тем меньшей, чем уже та область, в которой заведомо
находятся возможные распределения.
Пусть проектировщику известно, что потребности в первом пункте
заключены в сегменте [а, Ь], где 0 < а^ Ь < 1. Мы имеем дело с игрой,
в которой множество стратегий игрока 1 есть сегмент [а, Ь]. Из
соображений здравого смысла ясно, что проектируемая мощность предприятия,
создаваемого в первом пункте, не должна быть меньше, чем а (иначе оно
всегда будет запаздывать с окончанием своей доли работы), и (по
симметричным причинам) не должна превосходить Ь. Следовательно, мы можем
считать, что множество стратегий игрока 2 в этой игре есть также сегмент
[а, Ь], и мы имеем дело с игрой на квадрате [а, Ь] X [а, Ь]. В соответствии
со сказанным в п. 13.1 эту игру можно решать по той же схеме, что и игры
на единичном квадрате.
Можно считать, что разность b - а составляет потери я
эффективности функционирования рассматриваемой системы,
происходящие от неполноты знания условий ее работы. Отсюда следует практи-
130

ческий вывод: неполнота информации об
условиях работы системы влечет экономические
потери, которые в принципе поддаются расчету,
хотя и не всегда так просто, как в
рассматриваемом случае. Если затраты на получение
надлежащей информации меньше, чем потери от
ее отсутствия, то информацию следует
приобретать. В противном случае этой информацией лучше
пренебречь .
Согласно (18.1) функция выигрыша в этой игре
имеет вид
[X 1-JC]
Н(х,у) = max - , . (18.2)
[У 1-У)
18.2. Данная игра является выпуклой. В самом деле, фиксируем
некоторое значение х = х0. Тогда
С Xq 1 — Хо
Н{хо,У) = niax — , —
У 1 -У
Рис. 2.7
График этой функции представляет собой пару дуг гипербол (рис. 2.7).
При приближении х0 к а или Ь одна из этих дуг гипербол стягивается в
точку. Таким образом, Н(х0, У) является выпуклой функцией, и сама
рассматриваемая игра — выпуклая (и притом — строго выпуклая).
18.3. Для нахождения оптимальной стратегии игрока 2, которая, как
известно (см. § 14), является в данном случае единственной, рассмотрим
минимум выражения
[ х 1 — х
max Н(х, у) = max I — ,
a^x<Lb a<x<^b [у I—У
или, пользуясь тем, что две одноименные операции экстремизации (в
отличие от разноименных — максимизации и минимизации) можно
выполнять в любом порядке,
max Н(х, у) =
( х
= max J max —
[а ^х <Ь у
, max
a^x^b
1 -х
1 ~У \
1 \Ь
\ = max { —
\-а
\-У
Единственной оптимальной стратегией игрока 2 будет та его чистая
стратегия, на которой достигается минимум
[Ъ 1-я
min max H(x, y)= min max|—,
а^_У^Ь а^х^Ь а^ у ^ Ъ [у 1~У
Очевидно, этот минимум достигается на/*, являющемся корнем уравнения
Ъ I -а
1-у
9*
131

т.е. при
(18.3)
у* =
18.4
vr =
\+Ъ-
. В этом
1 +(Ь-
-а
случае
а),
(18.4)
т.е. ожидаемая дополнительная перегрузка равна Ъ — а.
18.5. Для выяснения того, какие стратегии игрока 1 будут
существенными, заметим, что, как легко проверить, согласно (18.3) должно быть
а < у*£ь by причем равенство возможно лишь в случае а = Ь. Так как это
соответствует случаю полной определенности, который не представляет
специального теоретико-игрового интереса, будем считать, что а <у* < Ь.
Очевидно, существенными стратегиями игрока 1 оказываются х = а и
х = Ь. Для определения их вероятностей в единственной оптимальной
смешанной стратегии вычислим производные
ЪН(а,у)
Ьу
ЪН(Ь,у)
у = у*
1
(1-
ъ
72
— а
y*f
= _
=
■о_
(1 +Ь
~ь
-а)2
— >0
-а
— < 0.
ЬУ ,уту.
Искомые вероятности находятся из уравнения
(1+Ь-а)2 (1+Ь-а)2
а -0-а) =0,
1 -а Ъ
откуда
1 -а
QL-
1+Ь-а
(18.5)
18.6. Заметим, что как оптимальное поведение проектировщика в этой
игре, так и уровень перегрузки в седловой точке (т.е. значение игры)
совпадают с теми, которые возникли бы, если бы нагрузки на каждое
предприятие оказались максимально возможными — b на первое и 1-й
на второе — хотя в действительности одновременно такой загрузки
предприятий условия задачи не предусматривают.
18.7. Например, если проектировщику известно, что потребность в
первом пункте может колебаться oi 30 до 60% от суммарной, т.е. что
а = 0,3, а о = 0,6, то он должен согласно (18.3) поместить там 0,6(1 + 0,6 -
-0,3)-1 =0,46,т.е.46%отпрсжзводственной мощности. Коэффициент
перегрузки, определяемый значением игры, будет равен, ввиду (18.4), 1 + 0,6 -
— 0,3 = 1,3, а наименее благоприятное стечение обстоятельств будет, в
соответствии с (18.5), состоять в появлении полной суммарной
потребности в первом пункте с вероятностью (1 — 0,3) (1+0,6— 0,3)_1 =0,54.
132

§ 19. ИГРА НА ЕДИНИЧНОМ КВАДРАТЕ
С ВЫПУКЛОЙ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ФУНКЦИЕЙ ВЫИГРЫША
19.1. Говоря даже чисто формально, в игре из предыдущего параграфа
случай, когда'я = 0 или Ъ = 1, рассматривать нельзя ввиду обращения в нуль
знаменателей в дробях из (18.1) и (18.2). Однако, как мы сейчас увидим,
отличие выпуклой игры на единичном квадрате с неограниченной функцией
выигрыша от ранее рассмотренных выпуклых игр чисто формальным
и остается, потому что стратегии игрока 2, на которых его потери
становятся уже очень большими, оказываются доминируемыми и могут быть
исключены из рассмотрения.
Итак, будем рассматривать игру
Г = <х,у,Я>, (19.1)
в которой х = [0, 1 ], у = (0,1), все функции Н(х,) выпуклы,
равностепенно непрерывны по х и для каждой из них (равностепенно по х)
выполняются предельные соотношения
lim Н(х,у) =+«>, (19.2)
\\тН(хуу) =+оо (19.3)
у-^г
или хотя бы одно из них. Для определенности мы будем считать, что
выполнены оба соотношения (19.2) и (19.3).
Покажем, что анализ игр такого рода сводится к анализу уже
рассмотренных выше выпуклых игр.
19.2. Введем в рассмотрение вспомогательную игру Ге = (х, уе, #е>,
где х, как и выше, есть сегмент [0, 1 ], уе = [е, 1 — е], а Не есть сужение
на х X уе функции выигрыша Я игры Г из (19.1).
Теорема. Найдется такое достаточно: малое е > 0, что $(Г) = $(Ге).
Доказательство. Фиксируем некоторое значение е>О и
построим игру Ге. Игра Ге является выпуклой и непрерывной. Пусть (А^*,
Уе) — некоторая ее седловая точка, a v€ — ее значение. Найдем далее такое
е Е (О, е), что при .у > 1 — е', а также при .у < е
H{x,y)>v€ (19.4)
при любом xG [0, 1]. В силу соотношений (19.2) и (19.3) такое е найти
можно. Заметим, что ввиду утверждения из п. 15.11, справедливого,
очевидно, и для бесконечных игр, с убыванием е и е' < е неравенство (19.4)
остается в силе.
Мы имеем
Н{х, у*е) £ Н{Х*е, у$ = ve< H{Xt, у) (19.5)
при xG [0, 1] nyG [б, 1 —б]. Очевидно (см. п. 15.11 гл.1), v€ есть
неубывающая функция е. Следовательно, при достаточно малом е двойное
неравенство (19.5) остается в силе и при у G (0, е) U (1 - е, 1), т.е. (Х*,у*) G
€«(Г).
Пусть, наоборот, (X* у*) £ $(Г). Тогда по теореме о независимости
от посторонних альтернатив (см. п. 5.5 гл. 1) будет и (X*, у*) G $(Ге)
для всех е?£ у*ие^ 1 —у*. □
133

19.3. Из доказанной теоремы следует, что если в условиях игры из § 18
взять а = 0 или Ь = 1, то эти же значения можно придать параметрам игры
и в ее описываемом формулами (18.1) —(18.3) решении: при я = 0 будет
Ь 1
7*= , vr =1 +6, ос = .
1+Z>' г " " 1+6
при Ъ =1
1 1-е
J-— , „г=2-в, ««_,
а при а = 0нЬ= 1
1 1
,-т, vr=2, а*-.
Таким образом, в последней, наименее благоприятной для
проектировщика игре наименее благоприятное для него положение наступает в том
случае, когда вся потребность сосредоточена в одном из пунктов, причем
равновероятно в каждом пункте. При этом одно из предприятий будет
вынуждено простаивать, а другое — работать с двойной перегрузкой.
§ 20*. ВЫПУКЛАЯ РАЗРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ ВЫИГРЫША
20.1. Пусть в выпуклой игре Г на единичном квадрате функции Н (х, •) :
y->R не обязательно непрерывны. Тогда, как это было установлено в
п. 12.5, точками разрыва каждой из этих функций могут быть разве лишь
точки 0 или 1 (в которых эти функции должны быть полунепрерывны сверху).
Рассмотрим вспомогательную игру Г = < х, у, Н), где
| Н(х,у) если уе(0,1),
И(х9у) = lim Н(х,у„), если у = 0 или у = 1.
[ Уп^У
20.2. Игра Г, очевидно, является выпуклой и непрерывной. Согласно
сказанному в п. 13.2 игрок 2 имеет в ней чистые оптимальные стратегии,
составляющие некоторый сегмент [У*,у~*]. Для всех точек у* этого
сегмента должно быть
maxH(x,y*) = min max# (х,>0 =v .
х ух Г"
Далее для простоты анализа мы будем предполагать, что сегмент [у*, у~*]
состоит из единственной точки у*.
Рассмотрим возможности, которые нам при этом могут представиться:
a) y*G (0, 1). В этом случае в игре Г игрок 1 имеет оптимальную
стратегию X* (являющуюся смесью не более чем двух чистых). По
определению седловой точки игры Г должно быть
Н(х,у*)^Н(Х*,у*)^Н(Х*,у) для всех xG [0,1] uyG [0,1].
Переходя от функции Н к функции Н согласно формуле (20.1), мы
получаем
Н{х,у*) ^ Н(Х\у*) ^ Н(Х*,у) для всех х<Е [0,1] и у<Е (0, 1).
134

С другой стороны, из полунепрерывности сверху функции Н(Х*, •) в
точках у = 0 и у = 1 следует, что последнее неравенство остается в силе
и при у = 0 и у = 1. Это означает, что ситуация (Х*,у*) является седловой
точкой в исходной игре Г.
б) у*= 0. В этом случае игрок 1 также имеет чистую оптимальную
стратегию. Обозначая ее через х*9 мы имеем
#(*,0)^#(х*,0) <Н{х\у) длявсех x,j>£ [0,1].
Осуществим переход к функции выигрыша Я.Заметим для этого, что
ввиду равностепенной непрерывности функций Н (х, •) по всякому е > 0
найдется такое 5, что при 0 < уе < 6 будет
Н(х,у€) ~е^Н{х\у€)^Н{х\у) +€ для всех х9уе [0,1],
откуда, согласно (20.1),
Н(х, у€) - е^ Н{х\уе) ^ Н{х%у) + е для всех xG [0, 1], у G (0, 1).
Как и в случае а), полунепрерывность сверху дает здесь возможность
распространить написанное неравенство на значения >> = 0 и у = 1.
Таким образом, в этом случае игра Г имеет при любом е > 0 ситуацию
€-равновесия (2е-седловую точку) в чистых стратегиях.
в) К тому же выводу, что и в случае б), мы приходим при у* = 1. □
§ 21* ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
21.1. Нашей ближайшей целью является распространение методики решения
выпуклых игр на единичном квадрате на аналогичные игры, в которых множествами
стратегий игроков являются подмножества конечномерных евклидовых пространств.
В основе такого обобщения будет лежать тот факт, что можно говорить о выпуклых
функциях нескольких переменных (или, что то же самое, - о выпуклых функциях
от векторного переменного), причем как определение, так и основные свойства этих
функций те же, что *и для выпуклых функций одного переменного.
Определение. Вещественная функция кр, определенная на выпуклом
подмножестве z конечномерного евклидова пространства, называется выпуклой, если
При Любых Zx , Z2 G Z И \ G [ 0, 1 ]
sp (\zx +" (l-\)z2)l \v (z, ) + (1 - X) у (z2) . D
Ясно, что сужение любой выпуклой функции на отрезок прямой является
выпуклой функцией на этом отрезке.
Естественным образом определяются на любом выпуклом множестве z и
вогнутые функции.
21.2. На случай произвольного выпуклого подмножества конечномерного
евклидова пространства дословно переносятся формулировки и доказательства лемм
пп. 12.2 и 12.3 и - с несущественными изменениями - доказательство леммы п. 12.5.
Остается в силе и аналог следствия п. 12.7 о том, что из обращения в нуль всех
первых частных производных выпуклой функции в некоторой точке следует, что в
этой точке достигается аналитический минимум, являющийся притом наименьшим
значением функции.
Из непрерывности выпуклой функции и аналогов леммы п. 12.2 следует аналог
леммы п. 12.6.
Лемма. Если функция у выпукла на г <z Rn, a Z — произвольная вероятностная
мера на z, то
^(/zc?Z(z))^/^(z) dZ(z). (21.1)
z z
Аналоги утверждений п.п 12.7-12.11 также остаются в силе.
135

Из следствия п. 12.7 следует, что всякий локальный минимум выпуклой
функции ^ является ее наименьшим значением.
21.3. Лемма. Если zc R", в ^: z -*R - выпуклая функция, то множество
кр = {z: ip(z) <L а} является выпуклым.
Доказательство. Пусть zl, z2Enpa и Ле [0, 1 ]. Тогда по выпуклости
функции у должно быть
^(Xz, + (1 -X) z2)< \^p(zt) + (1 -X) v{z2)gt M+ (1 -Х)д=д,
т.е. \zt +(1 - X)z2 &<pa. d
§ 22* ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ С ВЕКТОРНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ.
ЧИСТЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА 2
22.1.Определение. Непрерывная игра
Г = <х,у,#>, (22.1)
в которой х и у являются компактными подмножествами конечномерных
евклидовых пространств, а множество у выпукло, называется выпуклой
игрой, если функции Н (х, •) выпуклы при любом значении х G х.
Анализ таких игр во многом напоминает анализ выпуклых игр на
единичном квадрате, проведенный в предшествующих параграфах.
22.2. Теорема. В выпуклой игре Г = < х, у, Я) игрок 2 имеет чистую
оптимальную стратегию.
Доказательство. Так как рассматриваемая выпуклая игра
компактна, согласно теореме п. 10.1 она имеет значение иг, а игроки 1
и 2 — оптимальные (вообще говоря, смешанные) стратегии X* и У*. Тогда
Н(х, Y*)S H(X\ Y*) = vr для любого xG x. (22.2)
Составим, как и при доказательстве теоремы п. 13.2, чистую стратегию
y*=fydY*(y). (22.3)
У
Применяя к выпуклой функции Н(х, •) и мере Y* неравенство (21.1), мы
получаем при любом х Е х
H(x,y*)=H(x,fydY*(y))<
У
< fH(x,y)dY*(y)=H(x, Г*), (22.4)
у
что вместе с (22.2) дает #(*,>>*) ^> иг при любом xGx.
Согласно теореме п. 5.5 это означает оптимальность стратегии j>*
игрока 2. □
Буквально так же, как и в теореме п. 13.2, устанавливается, что
множество всех чистых оптимальных стратегий оказывается в
рассматриваемом случае выпуклым и замкнутым.
22.3. Как ив § 13, из доказанной теоремы получаем следствие.
Следствие. В выпуклой игре Г из (22.1) имеет место равенство
vT = min max Н(х, у) = max H(x, у*), (22.5)
ух х
где у* — оптимальная стратегия игрока 2 в Г.
136

Все чистые оптимальные стратегии игрока 2 в Г суть решения уравнения
v = тахЯ(х,.у). □ (22.6)
X
22.4. Для простоты дальнейших рассмотрений мы ограничимся случаем,
когда оптимальная стратегия у* игрока 2 в выпуклой игре Г является
единственной. Это будет, например, в том случае, когда функция
выигрыша Я строго выпукла (ср. § 15).
Охарактеризуем положение оптимальной стратегии у* игрока 2 в
n-мерном множестве всех его стратегий у.
Точка у* является либо внутренней в множестве у, либо принадлежит
границе у и тогда содержится в пересечении у с некоторой опорной к у
гиперплоскостью. В случае, когда имеется несколько таких пересечений,
будет выбирать то из них, которое имеет наименьшую размерность. Ясно,
что если эта размерность равна нулю, то у* будет крайней точкой у,
а если она положительна, то у* будет внутренней точкой
соответствующего пересечения. Обозначим это пересечение через у*, допуская
при этом и крайние случаи: у*-у* и у* = у. Для наглядности заметим, что
если у есть выпуклый многогранник, то у* есть наименьшая по
размерности (или, что то же самое, по включению) грань у, содержащая^*.
Пусть размерность у* равна г. Тогда по теореме Каратеодори (см. п. 11.5)
найдутся такие г+ 1 крайних точек у0, У\, ..., уг множества у, что у*
является их выпуклой комбинацией:
^•=S\V„ XJ>0 (i = l,.. .,r), 2XJ=l. (22.7)
£=0 I_1
Для дальнейшего нам будет полезно дополнить этот набор стратегий
еще п — г точками >v+1> • • • > Уп> которые вместе с имеющимися
составляют вершины некоторого «-мерного симплекса (т.е. являются точками
общего положения). Поэтому вблизи .у* каждая точка у Е у может быть
представлена в виде
Г-П17ь Х^О (i = 1,...,/i), 2Х, = 1, (22.8)
т.е. в виде функции^ =j(Xo, Х1? ..., Хи) от барицентрических координат
Х0, Xi, ..., ХЛ, причем при у = у* последние п — г координат должны
обращаться в нуль.
§ 23* ВЫПУКЛЫЕ ИГРЫ С ВЕКТОРНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ.
ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ИГРОКА I
23.1. Усложнение, которое наблюдается в описании и нахождении
оптимальных стратегий игрока 1 при переходе от выпуклых игр на единичном
квадрате к векторным выпуклым играм, выходит за пределы обычных
усложнений, возникающих при переходе от оптимизационных задач одной
переменной к оптимизационным задачам нескольких переменных: не
поддается распространению на векторный случай теорема п. 14.5. Ее роль
будет играть следующее утверждение.
137

23.2. Теорема. В выпуклой игре Г = < х, у, Н) <, где у G Rn, игрок 1
имеет оптимальную стратегию, являющуюся смесью не более чем п+ 1
чистых.
Доказательство этой теоремы несколько напоминает по своей схеме
доказательство теоремы из п. 10.1.
Выпуклая игра Г является непрерывной, а потому (см. п. 11.2) вполне
ограниченной. Следовательно, согласно теореме п. 8.1 она имеет
значение vr, а при любом е > 0 игрок 1 имеет в ней еюптимальную стратегию
с конечным спектром.
Пусть Х€ — такая стратегия, а ^ = {х0, xlf ..., Xf } — ее спектр.
Очевидно, для любого у GY должно быть
иГ-ейН(Хе,У)=2 X€(xdH(xhy)u max H(xhy). (23.1)
1 i = 0 OS/Sf
Положим для каждого Xf Е хе
Уе(Ъ)={У: H(xify)< Vr-€}.
В силу выпуклости функцииН(х, •) каждое из множеств у€(?ч) является
t
выпуклым (п. 21.3). Кроме того, из (23.1) следует, что П уе(л^) = ф.
/ = о
Но пересечение конечного семейства выпуклых подмножеств может быть
пустым лишь в том случае, когда пусто пересечение некоторого его
подсемейства из п + 1 подмножеств *). Пусть для определенности х € = {д:0,
xl9 .. ., хп} — набор стратегий Xf игрока 1, для которых множества уе fa)
составляют это подсемейство. Для него должно быть
vT-eS max H(xi9y) при любом у Е у,
и тем боле
vr - е S max Н(Х, у) для любого jGy, (23.2)
1 лг <ЕХе
где Хе — совокупность всех смесей стратегий из х€.
Рассмотрим вспомогательную игру Ге = (Х^, у, Я€>, где при любых Х€ G
G Хе и у G Y
Н€ (Х€,у)=Ъ Х€(рсдЩъ, у). (23.3)
i = 0
На основании (23.3) игра Ге является вогнутой (см. п. 13.5).
Следовательно, по п. 13.2 она должна иметь некоторое значение и(Ге),
для которого согласно (23.2) будет
vT-e^v(Te) = mfH(Xly),
у
где Х£ — оптимальная стратегия игрока 1 в Ге.
*) Это утверждение составляет содержание известной теоремы Хелли о
выпуклых множествах. См., например, Рокафеллар Р. "Выпуклый анализ", М., "Мир",
1973, с. 203, или Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. 'Теорема Хелли", М., "Мир", 1968.
138

Таким образом,
vr — е ^ Н(Х*, у) при любом .уЕу,
т.е. согласно п. 3.1 стратегия Х£9 понимаемая как смешанная стратегия
игрока 1 в исходной игре Г, является в ней его 2е-оптимальной стратегией
(с (п + 1) -элементным спектром).
Возьмем теперь убывающую последовательность ег > е2 > ... >
>еп > . .. ->0 и построим для каждого «=1,2,... е„-оптимальную
стратегию Хп игрока 1 со спектром, состоящим из п + 1 стратегий. Для каждой
такой стратегии мы имеем
vT-en<LH(Xn,y) для всех у^у. ' (23.2)
Но множество всех таких смешанных стратегий составляет компакт
(он является подмножеством компакта Х"+1). Поэтому из
последовательности Хх, Х2, . .. можно выделить сходящуюся подпоследовательность
с пределом Х0.
Замечая, что функция Н(Хт у)9 будучи суммой и+ 1 непрерывных
слагаемых, непрерывна по!„, и переходя в (23.2) к пределу по п, мы
получаем vT ^ Н{Х0, у) для всех у G у, т.е. Х0 является искомой оптимальной
стратегией игрока 1. □
23.3. Напомним еще раз (см. п. 14.1), что точками спектра оптимальной
стратегии игрока 1 в игре Г могут быть только его существенные
стратегии, т.е. решения уравнения
H(x,y*)=vr (23.3)
(где у*, как и раньше — оптимальная стратегия игрока 2). Поэтому общая
схема нахождения смешанной оптимальной стратегии игрока 1 должна
состоять в перечислении корней уравнения (23.3) и нахождении таких их
смесей X, которые были бы оптимальными стратегиями игрока 1 (в
соответствии с доказанным достаточно рассматривать смеси не более чем п + 1
чистых стратегий).
23.4. Для нахождения "весов", с которыми корни уравнения (23.3)
должны входить в оптимальную стратегию X, воспользуемся тем, что
необходимым условием оптимальности X, очевидно, является условие
приемлемости ситуации (Х*,у •) для игрока 2, т.е. неравенство
Н(Х,у*)^Н(Х,у) при всех у G у. (23.4)
Это значит, что на у* достигается наименьшее значение функции Н(Х, •).
Как было отмечено в пп. 12.9, 21.2, функция Н(X, •) является выпуклой.
Следовательно, если эта функция дифференцируема (в том смысле, что
она имеет первые частные производные по всем компонентам стратегии у
игрока 2), то, согласно сказанному в п. 21.2, наименьшее ее значение
должно быть аналитическим минимумом в той опорной гиперплоскости, в
которой лежит стратегия^* (см. п. 22.4).
Формально это означает, что условиями для определения вероятностей
чистых стратегий, составляющих смесь X, должна быть система из
уравнений
ЪН{Х,у) ,
-Х = 0 для / = 0, 1,...,г (23.5)
У = У* 139
ъ\

и неравенств
-Х>0 для / = г + 1,...,л (23.6)
У~У*
(здесь X — лагранжев множитель, соответствующий связи Х0 + ^i + ...
... + Х„ = 1 между переменными).
Если выбрана такая комбинация п+ 1 корней уравнения (23.3), что
система соотношений (23.5) —(23.6) разрешима, то соответствующая
смешанная стратегия X является оптимальной для игрока 1. В противном
случае взятая комбинация корней уравнения (23.3) оптимальной
смешанной стратегии игрока 1 составить не может, и следует перейти к другой
такой комбинации. При этом теорема п. 23.2 гарантирует, что нужная
комбинация из п + 1 корней уравнения (23.3) существует.
В следующих двух параграфах действие этого приема будет
продемонстрировано на примере задачи, являющейся обобщением рассмотренной
в § §18и 19.
§ 24*. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСОВ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
24.1. Пусть к некоторой системе может быть предъявлено п видов
требований, составляющих наборы чисел вида х- (xi9 ..., хп), которые могут
быть произвольными элементами компактного множества х С Rn. Для
удовлетворения таких наборов требований в системе имеются однородные
ресурсы, общее количество которых примем равным единице. Долю
ресурсов, предназначенных для удовлетворения требования *,-, обозначим
через уг Таким образом,
У={у:у=(Уг,..-,Уп), У^О, .§^„ = 1). (24.1)
Заметим, что фактическая размерность множества у равна п — 1.
Мы будем рассматривать теоретико-игровой вариант задачи, при
котором распределение ресурсов у приходится осуществлять, не зная, какой
именно набор требований х£х будет фактически к системе предъявлен.
Последствия от распределения ресурсов у при наборе требований х
можно оценивать разными способами. Мы ограничимся следующей
постановкой задачи.
Выполнение требования xt при выделенных для этого ресурсах у%
достигается при некоторой "напряженности", возрастающей по xt и
убывающей по у{. Мы обозначим ее через /$(x/,.j>/). Эту функцию мы будем
считать неотрицательной, строго возрастающей по xt при любом
допустимом значении yt и строго убывающей и строго выпуклой по yt при любом
допустимом xt.
Напряженность функционирования системы в целом при предъявлении
к ней набора требований х и распределении ресурсов у естественно оценить
как наибольшую напряженность при предъявлении к ней каждого
из требований, т.е. считать
#(х,7)= max iv(W/)- (24.2)
140
дН{Х,у)
ЭХ*

Функция Н(х, •) является максимальной огибающей семейства
выпуклых функций и поэтому (см. п. 12.11 и 21.2) также выпуклой. Таким
образом, антагонистическая игра
Г = <х,у,#> (24.3)
является выпуклой игрой.
24.2. В выпуклой игре Г из (24.3) игрок 2 обладает чистой оптимальной
стратегией^*, и мы имеем
и = min sup Н (х, у) = sup Н (рс, у * ) = sup max Ff. (хр yf).
ух х х l£ i£n
Вспомним, что одноименные экстремумы можно переставлять. Поэтому
иг= max sup Fi(xi9у*),
1 ^.i<n x
а так как каждая из функций Fz-( • ,yt) возрастает, то
vT = min max Ft (supxuyt) = max F,(sup xuу*). (24.4)
у I^/ILh x l^'Sn x
Отсюда видно, что значение vT игры Г и оптимальная стратегия у*
игрока 2 в ней зависят не от множества х стратегий игрока 1 в целом, а
разве лишь от набора супремумов
(sup хх,. .., sup хп),
хGX хGX
который далее будем для краткости обозначать через х° = (х?, .
(рис. 2.8).
,*Л)
Рис. 2.8
В частности, vT и у* будут здесь теми же, что и в тривиальной
вспомогательной "игре" Г° = <{х0} , у,#>, в которой игрок 1 имеет единственную
стратегию х°.
Формула (24.4) приобретает здесь вид
ur = min max F,-(*?,>>/) = max Ff (*?,#).
у l^i^n l<i<n
(24.5)
24.3. Сделаем замечание, аналогичное замечанию из п. 18.6. Эффект,
оказываемый неопределенностью с областью х, при выборе распределения у
с целью минимизации функции Я из (24.4), оказьюается равносильным
тому, что каждое из требований /начинает предъявляться к системе
в своей максимальной интенсивности х°(. Иными словами, при "минимакс-
141

ном" распределении ресурсов следует предполагать, будто каждая доля
ресурсов воспримет "свои" максимальные требования, а "оглядываться"
на фактические резервы по восприятию других требований не следует.
24.4. Естественно предположить, что при полном отсутствии ресурсов
по обеспечению какого-либо из требований напряженность работы системы
становится большей, чем при оптимальном распределении ресурсов. Это
значит, что для оптимального распределения >> * все компоненты у* должны
быть положительными.
В условиях сделанного предположения справедлива следующая лемма.
Лемма. Для каждого i = 1,..., п должно быть
vr=Fi(x°hyf). (24.6)
Доказательство. Предположим, что для некоторого к
Fkixl,yl)<vT. (24.7)
Согласно сделанному выше допущению ук > 0. Возьмем теперь столь
малое е > 0, что и/^(х£, У*к — е)<иГу и составим новую стратегию у0
игрока 2, положив
у*~е для 1 =к,
(24.8)
У1=
у] + — для гФк.
п — 1
Тогда по строгой монотонности каждой из функций Fi(x°k, • ) для i Ф к
будет
Ft(xl-y*)<Ft(*4>yt), (24-9)
так что
max Fi(xf,y°)< max Ft(xf,jfl^r-
i Ф к i Ф к
Последнее неравенство вместе с (24.7) дает
max Ff(x/°,^/0)<ur,
1 <Li<;k
а это противоречит (24.5). П
24.5. Теперь мы можем найти оптимальную стратегию у* игрока 2 в игре
Г (она та же, что и в "игре" Г°).
Каждая из функций F^x0^ • ) строго монотонна и непрерывна. Поэтому
она имеет обратную, также строго монотонную и непрерывную функцию,
которую мы обозначим через ^.. Из (24.6) следует, что
У*=фг), /=1,...,л. (24.10)
Эта формула имеет достаточно естественный содержательный смысл.
Функция кр( ставит в соответствие достигнутому по линии требования i
результату vT затраченные на удовлетворение этого требования ресурсы у*.
Она характеризует как бы "ресурсоемкость" требования i. При этом
оптимальное распределение ресурсов по требованиям должно быть таким,
чтобы все требования обеспечивали в соответствии с их ресурсоемкостями
один и тот же результат: значение игры иг.
142

Далее, суммируя (24.10) по i, получаем
1= 2 <#(иг) = <^г). (24-Ш
i = 1
Но сумма ^ функции крг также является строго монотонной и непрерывной
и, в свою очередь, имеет обратную ф~*. Из (24.11) следует, что vr = if1 (l),
и подстановка (24.10) дает нам
24.6. Вернемся к исходной игре Г. Ввиду компактности пространства х
и тривиальной непрерывности компоненты Х/по х все супремумы sup xt
х ex
достигаются. Пусть sup xt достигается на х^, так чтох°( = х$®.
х ех
Вообще говоря, sup xt может достигаться на различных стратегиях
хбх m
игрока 1, так что выбор стратегии хК) неоднозначен. Однако все эти
стратегии имеют равные 1-е компоненты, а только они и участвуют в
выражении для функции выигрыша. Поэтому мы можем все такие
стратегии отождествить или, что то же самое, ограничиться рассмотрением
произвольно выбранного представителя множества всех таких стратегий. Далее
мы будем считать, что стратегии х^ при /= 1,..., п зафиксированы
однозначно.
24.7. Перейдем к нахождению оптимальной стратегии X* игрока 1
в игре Г. В ее спектр могут входить лишь стратегии вида х^г\ ПустьX* =
= (€i > • • • > €л) > где £,- - вероятность соответствующей стратегии х^1' .
Лемма. Для оптимальной стратегии X* = (£i,..., £„) должно быть
&>0(/=1,...,л).
Доказательство. Предположим, что ^ = 0(ав наших условиях
У к > 0). Возьмем некоторое 0 < е <ук и построим стратегию у0 игрока 2
в соответствии с (24.8). Для этой стратегии ввиду £fc= 0 и (24.9) будет
Н(Х\у°) = 2 ЬП*{0,У°) = z f, max Ff(x}0,yf)<
< S *, max F;(^>, j*)= 2 1/Я(х»^*) = Я(ДГ*^*),
i # fc 1</<п ' ' / = 1
что противоречит оптимальности стратегии у*. □
24.8. Нам остается фактически найти компоненты оптимальной
стратегии X* игрока 1. Составим для этого все уравнения вида (23.5) (ввиду
установленной положительности всех компонент неравенства вида (23.6)
здесь отсутствуют), которые в данном случае приобретают вид
bFk(x£*\yk)
tyk
Полагая для краткости
bFk{xjk\yk)
дук
-Х = 0, fc=l,...,w. (24.13)
\у = у
= Dk,
143

мы перепишем систему равенств (24.13) в виде £& At — А= О, к = I, . . . ,п9
" 1
откуда £, = А/А:, к = 1,... , п. Суммируя, получим 1 = Л 2 — , так что
/ = 1 Dj
и окончательно
1 / п 1 V1
At\i=i А/
§ 25*. ПРИМЕРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕСУРСОВ
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
25.1. Опишем некоторые из тех интерпретаций, которые может иметь игра,
проанализированная в предыдущем параграфе.
Как и в примере из § 18, можно рассматривать распределение капиталовложений
по созданию (или наращиванию) производственных мощностей предприятий при
неопределенности набора производственных заданий, где целью является скорейшее
выполнение заданий всеми предприятиями, или минимизация наиболее интенсивных
перегрузок в работе предприятий при выполнении ими работ в заданный срок. При
этом, разумеется, зависимость производственной мощности предприятия <^г- от
капиталовложений У( должна быть такой, чтобы функция (^(у))'1 являлась строго
выпуклой.
25.2. Можно дать игре из § 24 интерпретацию в терминах строительной механики.
Пусть мы имеем дело с конструкцией, в которой "опасными" могут считаться
ее элементы 1, 2, . . . , п (остальные элементы таковыми не считаются, например,
потому, что их размеры, назначаемые не по соображениям безопасности, а по иным,
конструктивным, технологическим или эксплуатационным соображениям, не связаны
с нагрузками на эти элементы и обеспечивают безопасность их работы, далеко
превосходящую необходимый уровень), и в случае нагрузки xgXb них возникают
соответственно усилия хх,. .. , хп.
Пусть на элемент/выделена доля материала^/ (т.е., как обычно,^/ > 0 nyt + . . .
...+^ = 1).
Будем далее для простоты считать, что предельная допустимая нагрузка на
элемент / конструкции известна и зависит от характеристики У( его поперечных
размеров. В качестве такой характеристики мы будем принимать площадь поперечного
сечения элемента, считая, что с изменением у( это сечение остается геометрически
подобным самому себе.
Обозначим через F,- (*/,>>/) долю от предельной нагрузки на элемент / конструкции,
которая возникает в нем при усилии */ и площади его поперечного сечения у;.
Функция Fi(Xj,") часто оказывается выпуклой.
Например, если х,- есть сжимающее или растягивающее усилие, а призматический
стержень/ работает на прочность, то Fiix^yj) = А раст *//>>/, где А с тем или иным
индексом - здесь и далее коэффициент, характеризующий механические качества
материала, а также, если это существенно, продольные размеры элемента.
Если Х[ - сжимающее усилие, а элемент / работает на продольную устойчивость,
то Ff (Xf, yi) = A Xj/y?. Наконец, если xi -изгибающее усилие в балке /, то
^i (xi> У0 ~ ^H3rxi/yf • Нетрудно в задачах такого рода интерпретировать принцип
максимина как известный принцип равнопрочности.
25.3. Рассмотрим, наконец, интерпретацию той же игры в терминах следующей
статистической задачи.
Пусть дана система из п независимых в совокупности случайных величин Хх, . . .
... ,Хп, система дисперсий (DXt,.. . , DXn) которых составляет вектор х из
некоторого компакта х. Поставим вопрос о равномерно наиболее точном (в смысле миними-
144

зации дисперсий оценок) определении средних МАГ/ (/ = 1,.. ., л) на основании
достаточно большого числа наблюдений, каждое из которых может быть произведено на
любой из случайных величин х,- при условии, что набор дисперсий этих случайных
величин является в пределах х неопределенным.
Очевидно, рассматриваемая задача состоит в нахождении оптимальной стратегии >>*
игрока 2 в игре Г = < х, у, Н >, для которой х - компакт в Rw,
У = {У'У = (Уи
i = 1
(число N объявляется достаточно большим, чтобы не рассматривать эффекта от его
ограниченной дроби мости), а для х G. х и у е у имеет место равенство
DXt
Н(х, у) = max * .
1</5" у)
Значение этой игры будет требуемой минимальной дисперсией.
§ 26. ИГРЫ С РАЗРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ВЫИГРЫША
26.1. Отмеченная в п. 8.3 принципиальная возможность сколь угодно точного
решения вполне ограниченных игр, и в том числе - согласно п. 11.4 - непрерывных игр
на единичном квадрате, распространению на игры на единичном квадрате с
разрывными функциями вьшгрыша, вообще говоря, не поддается. В § 20 нами были
рассмотрены выпуклые игры с разрывными функциями вьшгрыша при конкретных значениях
стратегий игрока 2. Модифицируя эти рассуждения, можно без труда показать, что
игры на единичном квадрате, в которых функция вьшгрыша Я терпит разрьшы лишь
вдоль конечного числа отрезков вида х = const или у = const, являются вполне
ограниченными, и их решение напоминает решение непрерывных игр.
26.2. Существенно иначе обстоит дело, если функция вьшгрыша игры на единичном
квадрате разрывна вдоль каких-либо отрезков (прямолинейных или криволинейных),
не параллельных ни одной из сторон квадрата ситуаций.
Следующая теорема обобщает конкретный факт, отмеченный в связи с примером 3
из п. 6.3.
Теорема. Пусть Г — игра на единичном квадрате, функция выигрыша Н
которой имеет скачки положительной величины вдоль дуги кривой у = f(x), где f —
непрерывная строго возрастающая функция, для которой
lim H(x-t,f(x))- Urn H(x + t,f{x))>e>0 (26.1)
t->0 t-+0
в некоторой окрестности (а; /3) точки х е х. Вне кривой у ^f(x) в этой окрестности
функция Н предполагается непрерывной.
Тогда игра Г не является вполне ограниченной.
Доказательство. Предположим для определенности, что
Н(х - 0, f(x)) > Н(х + О, /(*)),
10. Н.Н.Воробьев
Х-е х
Рис. 2.9
ж+г
145

и найдем по непрерывности / и на основании (26.1) столь малое 6 > 0, что, во-первых,
а < х — 6 <х + Ь </3, и, во-вторых, для х'е(х-6,х + 6) имеет место неравенство
Щх'.у') Н{х",у")>с1Ъ (26.2)
для всех таких пар (х', у') , что*' G. (х - е,х + е), у' G. (f(x - e)\f(x + е)) и у' > fix'),
и всех таких пар (х",у") , что х" е (х - е, х + е), >>" ^ (/(* - е), /(* + е)) и j" < /Ос")
(рис. 2.9).
Если теперь х' < х ", то по монотонности функции / должно быть и /(х') < fix "),
и можно выбрать некоторое у е (fix'), fix")) . Согласно условию (26.2) Н (х', у) -
- Hix", у) > е/3, так что и
Pl(x\x") = sup \Hix\y) -Н(х",у) I > е/3.
Таким образом, расстояние между любыми двумя стратегиями х\ х" е (х — е?,
х + е) превосходит е/3, и уже этот интервал стратегий игрока 1 не является вполне
ограниченным во внутренней топологии. Тем более не является таковым пространство
всех стратегий игрока 1. □
26.3. Из сказанного следует, что игры с разрывными функциями выигрыша не
описываются матричными играми даже приближенно, и для их решения следует
разрабатывать принципиально новые методы. Далее будет приведено два примера таких игр.
§ 27. ПРОСТЫЕ ИГРЫ
27.1. Определение. Антагонистическая игра
Г-<х,у,Я> (27.1)
назьшается простой, если ее функция выигрыша Н принимает ровно два
значения. □
Очевидно, всякая простая игра аффинно эквивалентна игре, в которой
функция выигрыша принимает значения 0 или 1. Далее мы ограничимся
рассмотрением только таких игр.
Простые игры соответствуют таким явлениям порогового типа, когда
игрок 1 в той или иной ситуации получает либо "все" (его выигрыш равен
единице) , либо "ничего" (выигрыш равен нулю) .
Ясно, что всякая простая игра Г полностью характеризуется множеством
zr единиц своей функции выигрыша, т.е. множеством
zr = {(x,y): H(x,y)=\).
Поэтому такую игру можно обозначить через < х, у, z >.
Игрок 1, выбирая свою конкретную стратегию х0, выигрывает единицу,
если стратегия у игрока 2 попадает в "х0-сечение" zr \x0 множества zr,
т.е. если
y€zr\x0={y: {x0,y)ezr}
(см. рис. 2.10). Поэтому разумное, максиминное поведение игрока 1 в
простой игре должно состоять в наиболее полном ("густом") покрытии
всего множества у х-сечениями.
В свою очередь игрок 2, выбирая свою конкретную стратегиюу0, теряет
единицу, если стратегия 2 игрока 1 попадает в "^о-сечение" zr \y0
множества zr, т.е. если
xGzr\y0=(x: (x,y0)Ezr} .
146

Поэтому разумное, минимаксное поведение игрока 2 в простой игре
должно состоять в наиболее редких укладках v-сечений в множестве \
стратегий игрока 1.
27.2. Сказанное дает нам основание ввести следующие определения.
Определение. Пусть к — целое положительное число. Семейство
подмножеств У множества у называется покрытием кратности к
множества у, если каждая стратегия у G у входит не менее чем в к множеств
из числа У' . Семейство № подмножеств хназьюаетсяукладкой кратности к
в множестве х, если каждая стратегия х G х входит не более чем в к
множеств из £С .
\
Уо
У
Ясно, что всякое покрытие является вместе с тем покрытием любой
меньшей кратности, а всякая укладка — укладкой любой большей
кратности. Поэтому мы далее под кратностью покрытия будем понимать его
наибольшую кратность, а под кратностью укладки — ее наименьшую
кратность.
Покрытия кратности 1 называются просто покрытиями, а укладки
кратности 1 — просто укладками.
Если х * С х и семейство х-сечений zr, соответствующих стратегиям из х*
составляет покрытие у кратности к, то будем говорить, что х* порождает
покрытие у кратности к. Аналогично, если у* Суй семейство у-сечений,
соответствующих стратегиям j£y*, составляет укладку в х кратности к,
то будем говорить, что у* порождает укладку в х кратности к. □
§ 28. ОЦЕНКИ ЗНАЧЕНИЙ ПРОСТОЙ ИГРЫ
28.1. Через множества стратегий, порождающих кратные покрытия в у
и кратные укладки в х, можно оценивать верхнее и нижнее значения
простой игры Г = < х, у, z >. Эти множества связаны также со спектрами
оптимальных стратегий игроков.
28.2. Теорема. Если для простой игры Г = < х, у, z > ex существует
r-элементное множество, порождающее покрытие у кратности к, то
vT ;> к/г.
До казательство. Пусть множество {*i, • • . , хг} порождает
покрытие у кратности к. Возьмем стратегию X* £Х, для которой л (х,-) =
= 1/г при каждом i = 1,. . . , г. Для любого у G у мы тогда имеем
1 г
Н(Х*,у) = — 2 H(xi9y). (28.1)
г / = 1
10* 147
Рис. 2.10

Ввиду того, что мы имеем дело с покрытием у кратности к, стратегия у
принадлежит не менее чем к множествам из числа у|х,-. Поэтому
хотя бы для к из соответствующих значений i должно быть Н(хи у) = 1,
а остальные слагаемые в сумме из (28.1) неотрицательны. Значит,
Н(Х*,у)^к/г. (28 2)
Отсюда сразу получается, что
v г = sup inf Н(Х, у) ^ к/г.
х у
28.3. Двойственным к доказанной теореме можно считать следующее
утверждение.
Теорема. Если в у существует ^-элементное подмножество,
порождающее у кладку в х кратности k, to~vy S.k/s.
До к аз ате л ьств о. Пусть множество {у i, . . , ys } порождает
укладку в х кратности к. Возьмем стратегию Y*, для которой Y*(yj) - 1/s
при любом / = 1,... , s. Тогда для любого xGx мы имеем
Н(х, Г*)=— Z H{x,yj). (28.3)
5 / = 1
Здесь мы имеем дело с укладкой кратности к. Поэтому любая стратегиях
может принадлежать не более чем к из множеств х | jy;-, так что в сумме
из (28.3) отличными от нуля могут быть не более к слагаемых. Поэтому
Н(х, У*)<ЛД. (28.4)
Отсюда следует, что
Ur = inf sup H(x, Y) ^ k/s. □
Y х
28.4. Объединение утверждений двух последних теорем дает нам
следующее следствие.
Следствие. Если для игры Г одновременно в х существует
поэлементное подмножество х*, порождающее покрытие у кратности к, а в у -
поэлементное подмножество у*, порождающее в х укладку кратности к,
то игра Г имеет значение, равное к/п, а смешанные стратегии X* и Y*, для
которых соответственно элементы из х* и у * выбираются с равными
вероятностями \\п, являются оптимальными.
Доказательство. То, что \)Г = vr =TJr = k/n, непосредственно
следует из теорем пп. 28.2 и 28.3. Далее, полагая в (28.2) г = и, мы
получаем Н(Х*,у)>к/п при любому ^ У, а полагая в (27.5) s = n,H(x, Y*) %,к/п
при любом л: Е х, откуда требуемое вытекает немедленно.
28.5. Анализ обширного класса примеров простых игр сводится к
использованию следующей теоремы.
Теорема. Пусть для простой игры Г = < х, у, Н > = < х, у, z > в у
существует счетное подмножество, порождающее у кладку в х. Тогда vT = 0, и
всяксиистратегия игрока 1 является оптимальной.
Если, кроме того, в х существует счетное подмножество, порождающее
покрытие у, то игрок 2 не имеет оптимальных стратегий (хотя и имеет
е-оптимальные стратегии при любом е > 0).
148

Доказательство. Пусть счетное множество {yi,y2, • -}
порождает укладку в х. Возьмем произвольно YG Yc supp Y = {yif y2, ...} . Ясно,
что для любого xGx должно быть
(ГО*), если х<Ех\ук,
Н(х, Г)= (28-5>
[ 0 в противном случае.
Выберем такое А:*, что max Y{yk) = Y(yk*)y и возьмем хк£ х | ук*.
Тогда из (28.5) следует, что для любого xGx
H(x,Y) <,Y(yk*) = H(xkiY),
и поэтому
sup#(x, Y)=H(xk9Y).
х
При данной укладке мы можем найти смешанную стратегию У, для
которой max Y(yk) будет сколь угодно малым положительным числом.
Следовательно, по (28.5) должно быть
vr = inf s\x\)H(x, Y) = 0.
у х
Из неотрицательности значений функции выигрыша игры Г мы
получаем, что vr = иг = 0 .
Далее, из
vv = sup inf Н(Х, у) = 0
х у
следует, что inf#(X, у) = 0 при любой стратегии X, которая тем самым
оказьшается оптимальной.
Пусть теперь счетное множество {лгь х2, . . .} порождает покрытие у.
Возьмем произвольную смешанную стратегию У игрока 2. Очевидно,
найдется такое хп, что
Y(y\xn) = H(xn,Y)>0.
Значит, sup H(x, У)>0 = иг, т.е. стратегия Y не является оптимальной.
х
Существование же еюптимальных стратегий у игрока 2 согласно теореме
п. 3.1 вытекает из существования у игры Г значения.
§ 29. ПРИМЕРЫ ПРОСТЫХ ИГР
29.1. Далее мы будем рассматривать простые игры на единичном квадрате или
хотя бы изображать их в таком виде. Это позволит нам широко пользоваться
геометрическими представлениями.
29.2. Пусть множество zrтаково, что для некоторого х0ех будет у|х0 = у
(рис. 2.11). Тогда уже взятая в единственном числе стратегия х0 порождает
покрытие у, и по теореме п. 28.2 должно быть up ^ 1. Отсюда следует, что up = 1» а
стратегия х0 игрока 1 оказьшается его чистой оптимальной стратегией. Игроку 2 при этом
ничего не остается делать, как выбирать произвольную стратегию и потерять единицу.
Таким образом, произвольная его стратегия является оптимальной.
29.3. Следующий пример как бы двойствен предыдущему. Пусть множество zr
таково что некоторое у0 G у не принадлежит ни одному >>-сечению zp (рис. 2.12). Это
149

!
Рис. 2.11
1/5 Vl V5 x
Рис. 2.13
У
1
У5
Уч
Уъ
Уг
У1
ш-
3:
з-
33
Си j Хп ОС -г 00/, СО к 7 OS
Рис. 2.14
значит, что никакое подмножество х не порождает покрытия у. Тем самым иг <; 0, так
что иг = 0, и стратегия у0 игрока 2 оказывается его оптимальной стратегией. Игрок 1
бессилен что-либо выиграть, и любая его стратегия оказывается оптимальной.
29.4. Пусть в простой игре Г на единичном квадрате множество zp является
полосой, расположенной вдоль диагонали квадрата ситуаций, как это изображено на
рис. 2.13.
Ясно, что здесь множество чистых стратегий хх - 1/5, х2 = 1/2, х3 =4/5
порождает покрытие у, а множество стратегий у1 = 0, у2 = 1/2 и у3 = 1 - укладку в х.
Поэтому согласно сказанному в п. 28.4 здесь up =1/3, а пара смешанных стратегий
X* и К*, в которых стратегии из троек { хг, х2, х3) и{у1% у2, у3} выбираются с
вероятностью 1/3 каждая, составляет седловую точку.
Очевидно, чистые стратегии, составляющие спектры оптимальных стратегий Х*и Y*,
можно в этой игре несколько "пошевелить", не нарушая порождения этими чистыми
стратегиями соответствующих покрытий и укладок, и тем самым - оптимальности
X* и Y*. Развитию конструкции, лежащей в основе такого "шевеления", будет
посвящен следующий параграф.
29.5. Пусть в простой игре Г на единичном квадрате множество zr имеет вид,
изображенный на рис. 2.14. Здесь помеченное на рисунке множество из пяти чистых
стратегий игрока 1 порождает покрытие множества у кратности 3, а такое же
множество чистых стратегий игрока 2 - укладку в множестве х, также кратности 3.
Поэтому в данном случае по следствию п. 28.4 должно быть up = 3/5, а одна из
ситуаций равновесия получается в результате взятия каждой из перечисленных стратегий
игроков с вероятностью 1/5.
29.6. Пусть для простой игры Г множество zr имеет вид, изображенный на
рис. 2.15. Очевидно, здесь проекции сплошных вертикальных отрезков составляют
покрытие у, а проекции сплошных горизонтальных отрезков - укладку в х.
Счетное число тех и других дает основание применить теорему п. 28.5, согласно которой
здесь up = 0, оптимальной стратегией игрока 1 является любая его стратегия, а
е-оптимальная стратегия игрока 2 получится, если взять в качестве ее спектра любое доста-
150

точно большое подмножество { у1, у2, , }приписав каждой стратегии из спектра
вероятность, не превосходящую е.
29.7. Рассмотрим, наконец, простую игру Г на единичном квадрате, для которой
множество zp имеет вид, изображенный на рис. 2.16. Здесь никакой конечный набор
сечений не порождает покрытия у. Значит, у нас нет в этом случае оснований
оценивать v_y снизу положительным числом. С другой стороны, стратегии ух = с < 1 и
у2 = 1 игрока 2 порождают укладку в х, так что up^ 1/2. Так как вместе с тем
никакой укладки в х из трех множеств здесь сконструировать нельзя, должно быть
и up «^ 1/2. Значит, up = 1/2.
§ 30*. ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
ОДНОГО КЛАССА ПРОСТЫХ ИГР
30.1. В этом параграфе мы будем рассматривать простые игры Г на
единичном квадрате, для которых множество zr имеет вид, вообще говоря,
криволинейной полосы (рис. 2.17), ограниченной графиками непрерывных
неубывающих функций / и g, удовлетворяющих условиям
f(x) = 0 на [0, а] и строго возрастает на [а, 1];
g(x) строго возрастает на [0, Ь] и g(x) = 1 на [Ь, 1];
f(x)<g(x) на [0,1].
Таким образом,
zr=4(x, У): f(x)<y^g(x)}.
30.2. Ясно, что на сегменте [0, /(1)] существует функция, обратная к /.
Из рис. 2.17 видно, что составляющая множество zr полоса имеет
ширину по вертикали не меньшую, чем некоторое положительное 5верт, и
ширину по горизонтали не меньшую, чем некоторое положительное бгор.
Ук+г
Уъ+1
0\ а Ъ 1 х
Рис. 2.17
Рис. 2.18
30.3. Опишем процесс построения для рассматриваемой игры Г такого
конечного множества { х}, х2,. . . } С х, которое порождает покрытие у,
а также равномощного ему множества { у1, у2,. . . } С у, порождающего
укладку в х.
Положим индуктивно
У* =0,
X] = а,
Ук + \ =g(xk),
*к + 1 =/_1Ол), *= 1,2
151

Геометрически этот процесс соответствует построению зигзага, как это
изображено на рис. 2.18.
Длина каждого вертикального звена зигзага не менее чем 6верт, а
каждого горизонтального — не менее чем 6гор- Суммарная же длина всех
горизонтальных (равно как и всех вертикальных) звеньев зигзага не
превосходит единицы. Поэтому число всех звеньев зигзага должно быть
конечным: оно не должно превосходить 2(тах{бверт, б гор})-1- Следовательно,
через некоторое конечное число шагов зигзаг "уткнется" либо в правую
сторону квадрата ситуаций на некотором уп >/(1), либо в верхнюю его
сторону на некотором хп ^ Ь.
^Z
Уп~1
Рис. 2.19
Рис. 2.20
В первом из этих случаев (рис. 2.19) мы примем хп = 1 и закончим на
этом процесс построения зигзага. Во втором случае (рис. 2.20) положим
уп + 1 = 1 и также закончим процесс.
30.4. Нетрудно видеть, что множество стратегий {Xj,. . . , хп }
порождает покрытие у. При / = 1,. . . , п - 2 каждое пересечение у \xt П у \xi+l
состоит ровно из одной точки, множество же
у1*и-1 пУ\*п = \Уп-\, Уп]
также обязательно непусто, но может составлять сегмент положительной
длины.
Множество стратегий {у\,. . . ,У„) укладки в х не порождает:
сечения х\ух = [*/_!, Xj] и x\yi+1 = [xit xi+l] пересекаются (хотя и по
единственной точке). Однако если зигзаг утыкается в правую сторону
квадрата, то суммарная длина его вертикальных звеньев без последнего
будет меньше единицы, так что некоторое согласованное смещение
стратегий ух,. . . , уп вверх уже будет порождать укладку в х. Если же зигзаг
утыкается в верхнюю сторону квадрата, то сумма длин горизонтальных
звеньев зигзага (также без последнего) будет меньше единицы, и снова
возникает возможность "растягивания" элементов покрытия за счет
смещения стратегий хх,. . . ,х„ вправо.
Применение следствия п. 28.4 дает, что vr -\\ny а приписывание
каждой из порождающих покрытие и укладку чистых стратегий вероятности
\\п дает оптимальные стратегии игроков. Разумеется, ими не исчерпывается
множество всех оптимальных стратегий, полное описание которого
возможно, но требует более обстоятельных рассмотрений.
152

§ 31. БОРЬБА ЗА ВСТРЕЧУ СЛУЧАЙНО ПОЯВЛЯЮЩЕГОСЯ ОБЪЕКТА
31.1. Один из источников возникновения разрывов функции
выигрыша антагонистической игры заключается в следующем.
Пусть каждый из двух игроков намерен выполнить некоторое действие
(произвести выстрел, выбросить на рынок партию товара, внести на
совещании предложение и т.д.). При этом обстоятельства часто складьюаются
так, что, во-первых, целесообразно выполнить это действие как можно
позже, а, во-вторых, желательно своим действием упредить сходное
действие противника. Такой конфликт в условиях противоположных
интересов его участников естественно моделировать антагонистической игрой
на единичном квадрате, в которой функция выигрыша Н имеет вид
К(х, у) при х<у,
Цх, у)
при
при х = у,
при х>у,
(31-1)
где каждая из функций К и L
а) непрерывна по обеим переменным;
б) монотонно возрастает по х при любом значении у;
в) монотонно убывает по у при любом значении х;
г) удовлетворяет условию
L(x, х) ^ sfix) ^ К(х, х)
(рис. 2.21).
Определение. Игра Г с функцией выигрыша Н вида (31.1),
удовлетворяющая перечисленным условиям, называется игрой с выбором
момента времени, а также игрой типа дуэли.
Игры с выбором момента времени имеют достаточно сложную и
разработанную теорию. Мы ограничимся рассмотрением лишь одного примера,
который будем интерпретировать как борьбу за встречу случайно
появляющегося объекта.
31.2. Пусть игроки I и II выбирают соответственно числа л: и у из
сегмента [0,1 ]. Эти числа будут пониматься как моменты времени прихода
игроков в заданный пункт. Пусть t - время появления в этом пункте
некоторого объекта, который достается игроку, приходящему пе рв ым
после г. Игрок, обладающий объектом, получает выигрыш, равный!,
Н
<Р(Ус>
*(*9Уо) L(*9y0)
1х 0х у0 ос
Рис. 2.21
153

а его противник эту единицу теряет. Если ни один из игроков не получит
объекта, то выигрыш каждого из игроков принимается равным нулю.
Предполагается, что время появления объекта в пункте встречи
является случайной величиной, распределенной равномерно на
сегменте [0, 1 ].
31.3. Запишем условия данной игры более формально.
Рассмотрим ситуацию (х, у), в которой х<у. В этом случае игрок 1
выигрывает единицу, если
t<x, (31.2)
проигрывает единицу, если
x<t<y, (31.3)
и не получает ничего, если
y<t. (31.4)
Вероятности событий (31.2), (31.3) и (31.4) равны соответственно х,
у - х и 1 — у. Таким образом, при х < у мы имеем
Н(х,у) = \-х+(-1){у-х) = 2х-у. (31-5)
Аналогичным образом мы находим, что при х > у
Щх,у)=\ (х -у)+(-1).у=х- 2у. (31.6)
Наконец, естественно полагать, что при х -у должно быть Н(х, у) - 0.
Схематическое описание функции Н(х, у) приведено на рис. 2.22.
Тем самым антагонистическая игра Г задана. Она уже фигурировала в
примере 3 в п. 6.3.
31.4. Заметим, что игра Г является симметричной. Действительно,
рассмотрим выражение Н (у, х). При х < у второй аргумент принимает
большее значение, чем первый, так что значение функции выигрыша следует
вычислять по формуле (31.6):
Н(у, х)=у - 2х = -Н(х, у).
Аналогично при х > 0, применяя формулу (31.5), мы имеем:
Н{у,х) = 2у-х = -Н(х.у).
Наконец, при х = у
Н(у,х) =0 = -Н(х,у).
Отсюда и из сказанного в § 5 следует, что vr =0. Кроме того,
оптимальные стратегии игрока 1, как вероятностные распределения, должны
совпадать с оптимальными стратегиями игрока 2. Поэтому для решения нашей
игры достаточно найти оптимальные стратегии игрока 1.
31.5. Существование в этой игре седловых точек в смешанных стратегиях
может быть доказано, однако доказательство соответствующей теоремы
довольно сложно. Поэтому мы просто предположим, что в игре Г игроки
имеют смешанные оптимальные стратегии. Предположим, кроме того,
что одна из оптимальных стратегий каждого из игроков является
распределением, имеющим дифференцируемую плотность /. Эти предположе-
154

ния накладывают на нас обязательство после нахождения интересующих
нас стратегий проверить, что они действительно являются оптимальными
и обладают предположенными свойствами. Мы далее будем называть
искомую стратегию стратегией /. Если игрок 2 употребляет эту
стратегию, то
H(x,f) = f H(x,y)f(y)dy.
о
Перепишем последний интеграл с учетом формул (31.5) и (31.6):
//(*./) = / (* - 2y)f(y)dy+f (2x~y)f(y)dy. (31.7)
О х
Те точки, в которых плотность / положительна, являются по
определению точками спектра оптимальной стратегии, определяющей /. Ввиду
симметричности игры значения х, для которых f(x) > 0, также должны
быть точками спектра некоторой оптимальной стратегии игрока 1.
Поэтому и в силу непрерывности функции Н вне диагонали квадрата ситуаций
согласно лемме п. 5.8 для таких значений х должно быть Н(х, /) =vr = 0.
Следовательно, Н(х,, / ), как функция х, остается на всем спектре /
постоянной и равной нулю. Кроме того, ввиду предположенной непрерывности/,
каждую точку х, в которой f(x) > 0, окружает окрестность точек х с
этим же свойством, так что и для всех этих точек будет H(x\f) =0.
Так как в этих окрестностях функция #( • ,/) постоянна, все ее
производные по х также должны в них обращаться в нуль. Дифференцируя
тождество (31.7) по х, мы имеем
ЪН(х,/) х 1
— = (х - 2x)f(x) + / f{y)dy - (2х - x)f(x) + 2 / f(y)dy =
OX 0 x
= -2xf(x) + / f(y)dy + / f(y)dy = -2xf(x) + 1 + / f{y)dy. (31.8)
Ox x
Второе дифференцирование дает нам
Ь2Н(х,П
Эх2
т.е.
= -2f(x)~Zxf'(x)-f(x) = 0,
f(x) 2 х '
Интегрируя это дифференциальное уравнение, мы получаем In f(x) =
3
= In x + С ,откуда
f(x) = Cx-3/2. (319)
Мы видим, что там, где плотность / дифференцируема и положительна,
1
она должна представляться в виде (31.9). Однако интеграл / x~'3^2dx
о
расходится (не существует). Следовательно, плотность / не может быть
дифференцируемой и положительной на всем сегменте [0,1].
155

31.6. Выясним, где плотность / может обращаться в нуль. Предположим,
что некоторый участок ненулевой плотности кончается в точке Xi, а далее
вплоть до точки х2 (х2 > Xi) идет участок нулевой плотности. Поскольку
Xi является точкой спектра стратегии/, мы, согласно теореме п. 5.8,имеем:
H(xl9f) = vr ^H(x2,f). (31.10)
Но, с другой стороны,
Я(*ь/) = S H{xl,y)f{y)dy.
о
Разбивая этот интеграл на три части — от 0 до хх, от хх до х2 и от х2 до 1 —
и учитывая, что между хх и х2 плотность /по предположенному
обращается в нуль, получаем
Щхх.П = /{H{xlty)f{y)dy^ f H(xuy)f{y)dy
О х2
и аналогично
xi i
H(x2,f) = f H(x2,y)f{y)dy + fH(x2,y)f(y)dy.
0 x2
Поэтому, принимая во внимание выражения для функции Я, имеем
H(x2,f)-H(x1,f) = (x2-x1)ff(y)dy + 2(x2 -Xl)f f(y)dy ^
О х2
1
^ (х2 -xl)ff(y)dy = х2 -хг >0,
о
а это противоречит (31.10).
Из сказанного следует, что за участком положительной плотности /
участок нулевой плотности следовать не может. Это в свою очередь
означает, что плотность / может обращаться в нуль лишь между нулем и
некоторым а > 0. Таким образом, мы имеем:
{0 при х<а,
Сх~3/2 при х^а.
31.7. Параметры С и а пока остаются неизвестными. Для их
определения воспользуемся содержательными соображениями. Во-первых, /
является плотностью вероятностного распределения. Поэтому должно быть
1 1
ff(x)dx= ff(x)dx = 1. (31.11)
О а
Во-вторых, как было показано, 1 является точкой спектра некоторой
оптимальной стратегии (именно, стратегии с плотностью/) для игрока 2.
Следовательно, на основании теоремы п. 5.8 должно быть
Я(/ 1) = vT = 0. (31.12)
156

Равенства (31.11) и (31.12) являются условиями для определения
значений я и С. Перепишем их с этой целью в явном виде. Соотношение (31.11)
1
запишется как С/ x~3f2dx = 1, т.е.
С(-2)х-Ч2\1а = 2с/-рг- А = 1.
Далее, на основании симметричности игры
//(/, 1) = -Я(1,П = -С/ (1 -2y)y-3'2dy = 0.
(31.13)
Поскольку СФО, эта дает нам
1
/(^-3/2 _ 2^-1/2)^ = (_2у 1 /2 _ 4//2)|» = 0.
а
Выполняя двойную постановку, получаем l/y/a + 2\fa —3=0, откуда
0\ 1/^ 1 х
Рис. 2.23
2а — 3 \/я + 1=0. Это квадратное уравнение имеет два корня: 1 и 1/4.
Корень а = 1 противоречит равенству (31.13), а подстановка в (31.13)
а = 1/4 дает нам С = 1/2.
Таким образом, искомая оптимальная стратегия игрока 1
определяется плотностью
(0 при х< 1/4,
fix) =\ 1 (31Л4>
/W jl^-3/2 при х;>1/4
График функции / изображен на рис. 2.23.
31.8. Дифференцируемость плотности /" очевидна. Нам остается
проверить, что найденные стратегии игроков действительно являются
оптимальными. В соответствии с п. 5.5 для этого достаточно убедиться в том,
что при любом х Я(х,/) <1>г =0.
В самом деле, при х < 1/4 правая часть формулы (31.7) приобретает вид
I1 ?y 1
1 1 1
— f(2x-y)y~3/2dy = — Ц-2)2ху~112 -2yl/2)
поскольку в рассматриваемом случае х < 1/2.
1/4
LX
Т
•<о,
157

Вместе с тем параметры а = 1/4 и С = 1/2 именно так и были найдены,
чтобы определяемая посредством (31.14) плотность / удовлетворяла
условию (31.12).
Формула же (31.8) при 1/4 ^л: £П дает нам
-2х — лГ3/2 + — f y~3/2dy + 1 =
дх 2
-x-'l2 + - {-2)у~1'2
2
+ I - -jc"1/2 +x~1/2 -1 + 1 = 0.
Тем самым оптимальность стратегии с плотностью / установлена.
31.9. Подчеркнем, что в ходе анализа рассматриваемой игры мы
воспользовались существенным предположением о существовании
оптимальных стратегий у игроков и о виде некоторой оптимальной стратегии
каждого из игроков. Именно, мы предположили, что она имеет
дифференцируемую плотность. Это предположение, в данном случае чисто интуитивное,
привело нас к цели. К сожалению, теория игр еще не накопила
необходимого опыта в решении конкретных задач, чтобы такого рода
интуитивные соображения возникали достаточно часто.

Глава 3
БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ИГРЫ
§1. ПОНЯТИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕСКОАЛИЦИОННОЙ ИГРЫ
1.1. Антагонистические игры, которыми мы занимались в двух первых
главах книги, описывают конфликты весьма частного вида. Более
того, для большинства имеющих место в реальной жизни конфликтов
антагонистические игры либо вовсе не могут считаться приемлемыми,
адекватными описаниями, либо, в лучшем случае, могут рассматриваться
как первые, грубые приближения.
Во-первых, антагонистические игры никак не затрагивают своими
описаниями конфликты с числом сторон, большим чем два. Вместе с тем,
такие многосторонние конфликты не только встречаются в
действительности, но являются принципиально более сложными, чем конфликты с
двумя участниками, и даже, как выяснится дальше, не поддаются
сведению к последним.
Во-вторых, даже в конфликтах с двумя участниками интересы сторон
вовсе не обязаны быть противоположными; во многих конфиликтах
такого рода случается так, что одна из ситуаций оказывается
предпочтительнее другой для обоих участников.
В-третьих, даже если любые две ситуации сравниваются игроками по
их предпочтительности противоположным образом, различие разностей
в оценках этой предпочтительности оставляет место для соглашений,
компромиссов и коопераций.
Наконец, в-четвертых, содержательная острота конфликта не
обязательно соответствует его формальной антагонистичности. Например, при
встрече двух боевых единиц воюющих сторон (скажем, танков) обоюдное
их стремление уничтожить друг друга не выражает антагонистичности
конфликта: в антагонистическом конфликте цели сторон оказываются
строго противоположными, и стремлению одной стороны
уничтожить другую противоположным будет стремление избе-
жать уничтожения.
На основании сказанного теория игр не может ограничиться
изучением антагонистических игр, а должна иметь своим предметом также игры
более общей природы.
1.2. Определение. Бескоалиционной игрой называется система
Г = </, {Xfbe/, {#;}/e;/>, (1.1)
в которой / и х,-, i Е /, являются множествами, a Ht — функциями на
множестве х = П х,-, принимающими вещественные значения.
159

При этом элементы множества / называются игроками, элементы
каждого из множеств X/ - стратегиями игрока i, элементы декартова
произведения х - ситуациями, каждая функция Щ - функцией выигрыша
игрока f, а ее значение Щ (х) в ситуации х - выигрышем игрока i в
ситуации х. Подмножества множества всех игроков мы будем называть
коалициями. □
Бескоалиционность игры (1.1) следует понимать в том смысле, что
группам игроков ("коалициям") не приписывается ни каких-либо
стратегических возможностей, ни каких-либо интересов, за исключением тех,
которые вытекают из стратегических возможностей и интересов
отдельных игроков. Впрочем, далее будет видно (см. гл. 4), что объединение
игроков даже в такие сравнительно примитивные образования может
давать "кооперативный" эффект.
В данном курсе рассматриваются только бескоалиционные игры, т.е.
такие игры, в которых целью каждого участника является получение
по возможности большего индивидуального выигрыша. Игры,
в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей
коллективов (коалиций) без последующего их разделения между
игроками, называются коалиционными. Теория коалиционных игр весьма
сложна и в настоящий курс не входит.
Далее мы будем считать множество игроков / конечным, хотя в
современной теории игр рассматриваются игры и с бесконечными множествами
игроков, представляющие не только теоретический, математический, но
и прикладной экономический интерес. Обычно принято различать игроков
по их номерам, т.е. считать, что / = {1, 2,..., п }.
В изложении основных понятий и фактов теории бескоалиционных
игр мы будем придерживаться — в той мере, в какой это возможно и
целесообразно — параллелизма с изложением теории матричных игр в гл. 1.
1.3. Содержательно процесс игры Г состоит в выборе каждым из
игроков одной своей стратегии Xf G xt, и, таким образом, в результате
каждой партии игры складывается система стратегий (хь . .., хп) = х, т.е.
ситуация. Естественно считать, что каждый игрок имеет не менее двух
различных стратегий, так как иначе, если он располагает только одной
стратегией, его действия оказываются заранее определенными, и он
фактически в игре участия не принимает.
1.4. Выделим несколько частных классов бескоалиционных игр.
Прежде всего заметим, что среди явлений, описываемых посредством
бескоалиционных игр, довольно много таких, которые сводятся к
распределению между игроками некоторого постоянного количества. В теории
игр им соответствуют игры с постоянной суммой.
Определение. Бескоалиционная игра Г из (1.1) называется игрой
с постоянной суммой, если существует такое постоянное с, что 2 Я,- (x) =
= с для всех ситуаций х G х.
Если для игры Г с постоянной суммой константа с равна нулю, то Г
называется игрой с нулевой суммой. П
Нетрудно проверить (ср. также п. 1.5 введения и п. 1.1 гл.1), что
класс антагонистических игр совпадает с классом игр двух лиц с нулевой
суммой.
160

1.5. Кроме того, представляют интерес игры с конечными множествами
стратегий игроков.
Определение. Если в бескоалиционной игре Г из (1.1) множество
стратегий xt каждого из игроков / G / конечно, то игра Г называется
конечной.
Конечная игра двух лиц называется биматричной ввиду естественной
возможности расположения значений функций выигрыша двух игроков в
виде пары матриц (ср. п. 1.6 введения, п. 1.2 гл. 1, а также далее п. 12.1). D
§ 2. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ БЕСКОАЛИЦИОННЫМИ ИГРАМИ
2.1. Понятия аффинной эквивалентности, изоморфности и подыгры для
произвольных бескоалиционных игр обобщают достаточно
непосредственным образом соответствующие понятия, введенные для антагонистических
игр в § 1 гл. 1. Естественно, что эти отношения обладают свойствами,
аналогичными свойствам анатагонистических игр, а сами игры — аналогичными
свойствами инвариантности в смысле этих отношений.
Далее мы будем говорить о тех или иных отношениях между
бескоалиционными играми
Г = </,{х/}|.еу, (Я/Ье/ >, (2Л)
Г' = </\ {х;>/е/, {#;>«=/>• (2.2)
Определение. Игра Г' из (2.2) называется аффинно эквивалентной
игре Г из (2.1), если /'=/, \\ ~ х,- , / €■ / (отсюда уже следует, что игры
Г и Г' имеют одно и то же множество ситуаций), и
H'i(x) = kiHi(x)+ah /G/, (2.3)
где/с,-> О, /G/.
Аффинную эквивалентность игр Г' и Г будем обозначать через Г'<^ Г. □
Различие между двумя аффинно эквивалентными играми по существу
состоит в различии начальных капиталов игроков а-г и в соотношениях
единиц измерения выигрышей, определяемых коэффициентами kt. Эти
различия и коэффициенты у разных игроков могут быть, вообще говоря,
различными.
2.2. Особо отметим частный случай аффинной эквивалентности
бескоалиционных игр.
Определение. Бескоалиционные игры Г и Г 'из (2.1) и (2.2)
называются однородно аффинно эквивалентными, если соотношение (2.3)
выполняется для них с к( = к, i E /.□
Очевидно, для антагонистических игр понятия аффинной
эквивалентности и однородной аффинной эквивалентности совпадают.
Как и в случае антагонистических игр, устанавливается (ср. теоремы
п. 1.3), что отношение аффинной эквивалентности является
рефлексивным, симметричным и транзитивным и потому действительно
эквивалентным отношением, разбивающим ("факторизующим") класс всех
бескоалиционных игр с одним и тем же множеством ситуаций на
попарно непересекающиеся подклассы аффинно эквивалентных друг
другу игр. То же можно сказать и по поводу однородной аффинной
эквивалентности.
П.Н.Н.Воробьев 161

2.3. Теорема. Всякая бескоалиционная игра с постоянной суммой
аффинно эквивалентна {и даже однородно аффинно эквивалентна)
некоторой игре с нулевой суммой.
Доказательство. Пусть Г из (2.1) является игрой с постоянной
суммой, в каждой ситуации которой сумма выигрышей всех игроков
равна с. Возьмем произвольные c(J G /, для которых 2 c,f =c. Полагая
/е/
в (2.3) к; =1,0/ = —с,-, мы приходим к игре с нулевой суммой. □
2.4. Определение. Игры Г из (2.1) и Г' из (2.2) называются
изоморфными, если существует такая система отображений
7Г = <7Г/,{7Г/}|-(.у>, (2.4)
что :
7Г/: / ->/ 'есть однооднозначное соответствие, при котором игроку / в
игре Г ставится в соответствие игрок nri - ni в игре Г';
7rf-:x/ ->х^/ есть однооднозначное отображение х на xni (что вполне
естественно: если игроку / ставится в соответствие в игре Г'игрок 7г/,
то стратегиям / должны ставиться в соответствие стратегии игрока ni).
При этом для любой ситуации х - (х}, . . . , хп) мы полагаем
ЯХ = (7Г,Х, ТГ,,*,,).
Наконец, Н'^^пх) -Н{(х) для любой ситуации л:Ех и любого игрока
/ G/.
Очевидно, в случае, когда игры Г и Г' являются антагонистическими,
сформулированное определение совпадает с определением из п. 1.5 гл. 1
изоморфизма антагонистических игр (при отображении лт игрок 1 в игре
Г переводится в игрока 1 в игре Г', а игрок 2 - в игрока 2) или их
зеркального изоморфизма (игрок 1 в игре Г переводится в игрока 2 в игре Г',
а игрок 2 — в игрока 1).
Если игры Г и Г'совпадают, то изоморфизм игр Г и Г' называется
автоморфизмом игры Г. □
Заметим для дальнейшего, что в условиях автоморфизма тг игры Г
игроки / и 7г/ имеют одно и то же число стратегий (или, говоря более общо,
множества стратегий одинаковой мощности).
2.5. Теорема. Изоморфность игр обладает свойствами
рефлексивности, симметрии и транзитивности,
Для доказательства достаточно повторить сказанное по поводу теоремы
п. 1.6 из гл. 1.
2.6. Определение. Бескоалиционная игра Г из (1.2) называется
подыгрой бескоалиционной игры Г из (1.1), если x'f Сх,- для всех / G/,
а каждая из функций Н\ является сужением соответствующей функции
Hj на х'= П X/ Сх. П
ie/
Очевидно, это определение охватывает определение подыгры для
антагонистических игр. из п. 1.5 гл. 1.
162

§ 3. ОПТИМАЛЬНОСТЬ В БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГРАХ
Как и в случае антагонистических игр (см. п. 2.1 гл. 1), целью теории
бескоалиционных игр является выработка принципов оптимальности
(условий, которым должны удовлетворять стратегии или ситуации для того,
чтобы считаться разумными, оптимальными, т.е. теми, которые мы уже
привыкли считать присущими решениям игр), а также установление
соответствий между свойствами игр и свойствами их решений.
Под оптимальностью мы будем понимать различные варианты
формализованных описаний содержательных представлений о выгодности,
устойчивости и справедливости. Для класса антагонистических игр наиболее
естественным принципом оптимальности оказался принцип максимина:
он приводит к седловым точкам в игре, которые для каждого игрока
являются приемлемыми, т.е. выгодными и устойчивыми ситуациями.
Заметим, что в антагонистических играх, которые являются играми с
постоянной (а именно — с нулевой) суммой, даже не может возникать
вопроса об одновременном увеличении выигрышей всех игроков или хотя
бы об увеличении их суммарного выигрыша.
Напротив, в общих бескоалиционных играх такие возможности могут
появляться, и ситуации, приемлемые (т.е. выгодные и потому устойчивые)
для каждого из игроков, могут априори оказываться в том или ином
смысле невыгодными (и потому неустойчивыми) для групп игроков и тем более
для всех игроков сразу. В данной главе мы будем заниматься всем этим
кругом вопросов.
Особые возможности открываются при последовательном применении
принципа максимина не только отдельными игроками, но и любыми их
коалициями. Исследование этих возможностей составляет предмет
кооперативной теории бескоалиционных игр, о которой будет идти речь в гл. 4.
§ 4. ПРИЕМЛЕМЫЕ СИТУАЦИИ И СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ
4.1. Как и в антагонистических играх, ситуацию х в игре (1.1)
естественно считать приемлемой для игрока i, если этот игрок, изменяя в
ситуации хсвою стратегию на какую-либо другую, не может увеличить своего
выигрыша.
Для описания сказанного в более формальном виде введем одно
полезное обозначение.
Пусть х = (Xi,. .. , х,-_ 1? Xf,xi+ l9 . . . ,х„) — произвольная ситуация в
игре Г, a x'f — некоторая стратегия игрока /. Составим новую ситуацию,
которая будет отличаться от ситуации х только тем, что стратегия х{
игрока / заменяется на его стратегию х\. Получившуюся в результате ^гакой
замены ситуацию (xl9. .. ,xt_ г,х\,xi+ {,.. .,хп) принято обозначать через
х(\\х'(, а если это не сможет привести к недоразумениям, то через х Их-.
Очевидно, в том случае, когда стратегии xt их\ совпадают, х II х\ - х.
Теперь мы можем сформулировать определение приемлемой ситуации
следующим образом.
Определение. Ситуация х в игре (1.1) называется приемлемой
для игрока i, если для любой его стратегии х\
HAxWx'^Hiix). (4 1)
И*
163

Множество всех ситуаций, приемлемых в игре .Г для игрока г, будем
обозначать через с& / (Г). П
4.2. От приемлемых ситуаций мы можем, как и в антагонистическом
случае перейти к ситуациям равновесия.
Определение. Ситуация в игре Г, приемлемая в ней для всех
игроков, называется ситуацией равновесия (илиравновесной ситуацией).
Иными словами, ситуация х называется ситуацией равновесия, если для
любого игрока /Е/ и любой его стратегии х{ Е х,- выполняется
неравенство (4.1).
Множество всех ситуаций равновесия в игре Г будем обозначать через
ЩГ). D
Очевидно,
% (Г) = П %t{Y).
Из определения видно, что в ситуациях равновесия и только в них ни
один игрок не заинтересован в отклонении от своей стратегии. В частности,
если ситуация равновесия оказывается предметом договора между
игроками, то ни один из игроков не будет заинтересован в нарушении своих
обязательств. Наоборот, если в договоре зафиксирована неравновесная
ситуация, то по определению найдется хотя бы один игрок, который будет
заинтересован в отклонении от нее и тем самым — в нарушении этого
договора.
Определение. Равновесной стратегией игрока в бескоалиционной
игре называется такая его стратегия, которая входит хотя бы в одну из
ситуаций равновесия игры. □
В случае антагонистической игры равновесные стратегии игроков
совпадают с их оптимальными стратегиями. Для неантагонистических игр,
напротив, понятие оптимальной стратегии игрока нередко вообще не имеет
смысла: в таких играх оптимальными оказываются не стратегии отдельных
игроков, а их сочетания, (т.е. ситуации) и притом для множества всех
игроков сразу.
Поэтому в общих бескоалиционных играх как оптимальные следует
квалифицировать не действия того или иного игрока, а совокупность
действий всех игроков, исход игры, ситуацию в ней. Именно в таком смысле
следует понимать оптимальность приемлемых ситуаций в бескоалиционной
игре и ситуаций равновесия в ней.
Значительная часть теории бескоалиционных игр состоит в исследовании
свойств их ситуаций равновесия и равновесных стратегий игроков, а также
в разработка способов их нахождения.
Процесс нахождения ситуаций равновесия в бескоалиционной игре часто
называется решением игры,
§ 5. ИНВАРИАНТНОСТЬ ПРИЕМЛЕМЫХ И РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ
5.1. Свойства приемлемости ситуаций, как и в случае
антагонистических игр, оказываются инвариантными относительно аффиных эквивалент-
ностей и изоморфизмов.
164

Теорема. Пусть снова Г из '(1.1) и Г'из (1.2) — две бескоалиционные
игры. Тогда
если Г' <« Г, то
«,(Г>« ,(Г). *е/,
«(Г)=«(Г);
если Г '= 7Г Г, где тг - изоморфизм из (2.4), то
«я/(Г') = 1Г «КП, /G/. (5.1)
«(Г') = тг «(Г). (5.2)
Доказательство получается незначительной модификацией
доказательства теоремы п. 5.3 гл. 1. П
5.2. Обратим внимание на смысл равенства (5.1). Оно означает, что при
изоморфизме тг образцы приемлемых для игрока / в игре Г ситуаций
должны быть приемлемыми в игре я Г для игрока ni. To же справедливо и для
ситуаций равновесия.
5.3. В случае, если Г = Г', вторая часть теоремы п. 5.1 приобретает вид
если 7г - автоморфизм игры Г, то тг %г (Г) = % ni (Г) и тт f (Г) =
= ?(Г).
Содержательно, это утверждение означает, что если игроки входят
симметрично в условия игры, то они входят симметрично и в совокупность
оптимальных решений игры. Говоря точнее, в условиях автоморфизма я игры
Г положение игрока / в ситуации х, в том или ином смысле оптимальной
точно такое же, что и положение игрока т\1 в ситуации пх, которая оптимальна
равно в такой же мере, что и ситуация х. В этом проявляется
справедливость рассматриваемого принципа оптимальности; в этом же проявляется и
ограниченность этой справедливости, ибо допускаются различные
положения игроков в одной и той же оптимальной (и тем самым неулучшаемой)
ситуации.
5.4. Как и для антагонистических игр, в общем случае бескоалиционных
игр имеет место теорема о независимости от посторонних альтернатив.
Теорема. Если игра Г' из (1.2) является х-подыгрой игры Г из (1.1),
то
х'П «/(Г)С С£{(Г') для i G / , (5.3)
х'пК(Г)С «(Г'). (5.4)
Доказательство проводится по той же схеме, что и для теоремы 5.1 гл. 1.
Если х'П#,(Г)=0, то (5.3) тривиально. Пусть >>*е х' П % t (Г).
Это значит, что
Hi (у * II Xj) < Ht (у*) для любого х( Е х,-. (5.5)
Тем более это верно для любого х{ Е x'f. Но в этом случае y*\\xf Ey, и в
(5.5) можно Ht заменить на Н\\ H'i(y*\\xi) <Я/(у*) для любого xt Е
ExJ, а это и означает^* E^f(r).
Переход от (5.3) к (5.4) очевиден. □
165

§ 6. СИТУАЦИИ, ОПТИМАЛЬНЫЕ ПО ПАРЕТО
6.1. Как уже отмечалось, формальное понятие оптимальности призвано
отражать различные варианты содержательных представлений об
устойчивости, выгодности и справедливости. Можно считать, что устойчивость
ситуации проявляется в ее равновесности.
Другой вариант устойчивости ситуации, в большей степени, чем
равновесность, отражающий черты ее выгодности, состоит в ее
оптимальности по Парето.
Далее нам придется сравнить между собой ситуации по выигрышам,
которые получают в них различные игроки. Для этого введем обозначение
и будем, как обычно, полагать
HI{x)<HI(\^)J если//,-(х) <#,■(*) при всех i G/;
HI(x)<HI(y), если Hi{x)<,Hi(x) при всех /£/,
тН1{х)ФН1(у)-
Hj(x)<Hj(y), если #/(x) <#,-(*) при всех/ Е /.
Определение. Ситуация х° в бескоалиционной игре
Г = </, {х^/еЕу, {#/Ье/ > (6.1)
называется оптимальной по Парето, если не существует ситуации хЕх,
для которой имеет место векторное неравенство Нг(х°) < Я7 (х) .
Множество всех ситуаций в игре Г, оптимальных по Парето, обозначается
через £р (Г). □
Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут
совместными усилиями увеличить выигрыш кого-либо из них, не уменьшив
при этом выигрыш кого-либо другого.
Подчеркнем формальное различие ситуации равновесия |от ситуации,
оптимальной по Парето: в первой ни один игрок, действуя в
одиночку, не может увеличить своего собственного выигрыша;
во второй — все игроки, действуя совместно, не могут (даже
нестрого) увеличить выигрыш каждого.
6.2. Вопросы об оптимальных по Парето ситуациях решаются в принципе
проще, чем аналогичные вопросы о ситуациях равновесия. Это
объясняется тем, что оптимальность по Парето ситуации
х определяется лишь положением векторного
значения Hj(x) в множестве всех допустимых
векторов выигрышей
33(Г) = {Hj(x): xGxl,
U?fl
а для выяснения вопроса о равновесности
ситуации требуется учитывать еще и зависимость
каждой из компонент Ht(x) этого вектора от
соответствующей переменной х(.
"1 Практически любое достаточно обозримое опи-
РиС> зл сание множества векторов выигрышей 3? при-
166

водит к описанию векторов выигрышей в оптимальных по Парето
ситуациях.
Так, в изображенном на рис. 3.1 примере оптимальным по Парето
ситуациям будут соответствовать все точки 53 (Г) , принадлежащие
выделенными жирными линиями участкам "северо-восточной" границы 23 (Г) .
В частности, для существования в игре* Г оптимальной по Парето
ситуации достаточно компактности множества 23 (Г). Для этого же, в свою
очередь, достаточно, чтобы множество всех ситуаций х было компактным
в некоторой топологии, а все функции выигрыша Ht в этой топологии
были непрерывными.
Разумеется, фактическое нахождение оптимальных по Йарето ситуаций
может представлять существенные технические и в том числе
вычислительные трудности, но мы здесь не будем останавливаться на этих вопросах,
6.3. Нетрудно проверить, что оптимальность по Парето обладает
описанными в пп. 3.3 и 3.4 свойствами инвариантности, которые присущи и
равновесию.
Теорема. Аффинно эквивалентные игры имеют одни и те же
оптимальные по Парето ситуации.
Теорема. Если п - изоморфизм игры Г на игру Г', то
(£р(Г>7гг£р(Г).
Теорема. Для оптимальности по Парето справедливо свойство
независимости от посторонних альтернатив: если Г' есть х-подыгра игры Г, то
х'п Г6Р(Г)С(6Р(Г').
Доказательство этих утверждений мы предоставляем читателю. □
6.4. Докажем в заключение, что совокупность всех ситуаций,
оптимальных по Парето, обладает естественными свойствами внутренней и
внешней устойчивости.
Теорема. Каковы бы ни были оптимальные по Парето ситуации х и у,
не может быть Я7(х) <Я/ (у) (внутренняя устойчивость).
Если множество 33 (Г) компактно, а функции выигрыша Я,-
непрерывны, то какова бы ни была ситуация хф fSp (Г), найдется ситуация JG
£ % р (Г), для которой Н[(х) <,Hj(y) (внешняя устойчивость) .
Доказательство. Свойство внутренней устойчивости вытекает
непосредственно из определения оптимальности по Парето.
Для доказательства внешней устойчивости зафиксируем в игре Г
ситуацию х и рассмотрим множество
®*(Г) = (Я7(х) + К!1)П 23 (Г)
(на рис. 3.1 заштриховано). Вместе с 23 (Г) это множество должно быть
компактом. Поэтому среди его точек найдутся такие, для которых сумма
2 Н,(х) (6.2)
/е/
принимает свое максимальное значение на 23 ^(Г). Каждая такая точка
соответствует оптимальной по Парето ситуации в игре Г.
Заметим, что в ходе доказательства этой теоремы вместо суммы (6.2)
можно было бы взять любую линейную форму выигрышей Я,- (х) с
положительными коэффициентами.

§ 7. СМЕШАННЫЕ РАСШИРЕНИЯ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР
7.1 Начиная с этого места мы будем рассматривать только конечные
бескоалиционные игры, т.е. игры, в которых каждый игрок имеет
конечное множество стратегий. Переход от теории конечных бескоалиционных
игр к теории бесконечных бескоалиционных игр напоминает переход от
теории матричных игр (гл. 1) к теории бесконечных антагонистических
игр (гл. 2), но является более громоздким. На этом пути довольно
естественно получаются доказательства теорем существования ситуаций
равновесия для бесконечных бескоалиционных игр, но нахождение ситуаций
равновесия в таких играх удается ввиду технических трудностей лишь в
отдельных, узких и пока еще немного численных случаях.
7.2. Уже рассмотрение антагонистических игр показывает, что большое
число таких игр, и в том числе конечных, матричных игр имеет ситуации
равновесия не в исходных, чистых стратегиях, а лишь в обобщенных,
смешанных стратегиях. Поэтому и для общих, неантагонистических
бескоалиционных игр естественно искать ситуации равновесия именно в
смешанных стратегиях.
Введем с этой целью понятие смешанного расширения
бескоалиционной игры. Пусть
Г= </,{х,-Ье/, {Я,},е/> (7.1)
— произвольная конечная бескоалиционная игра. Для определенности
примем, что игрок / в игре из (7.1) имеет га/ стратегий. Набор чисел
(гах,. .., тп) иногда называется размерами или форматом игры.
Пусть Xf — произвольная смешанная стратегия игрока /, т.е. некоторое
вероятностное распределение на множестве чистых стратегий х,-.
Вероятность, которую распределение Х( приписывает конкретной чистой
стратегии xi9 будем обозначать через X; (xf). Множество чистых стратегий игрока
/, для которых Х{ (xf) > О, называется спектром смешанной стратегии Xf
(ср. п. 8.5 гл. 1) и обозначается через supp Xt.
Множество всех смешанных стратегий игрока / Е/ будем обозначать
через X/.
Как и в случае антагонистической игры, смешанные стратегии игрока
/ можно понимать как задаваемые своими барицентрическими
координатами точки (га^ — 1)-мерного симплекса. Заметим, что этот симплекс
является компактом.
7.3. Пусть каждый из игроков / G/ применяет свою* смешанную
стратегию Х;9 т.е. выбирает свои чистые стратегии xf с вероятностями Х/(ху).
Пусть, кроме того, смешанные стратегии всех игроков 1,. . ., п как
вероятностные распределения независимы в совокупности, т.е.
вероятность появления каждой из; ситуаций х- {хх, . . . , хп) есть произведение
вероятностей выборов составляющих ее стратегий Х\ (хх),..., Хп(хп).
Таким образом, мы приходим к вероятностному распределению X на
множестве всех ситуаций х, задаваемому соотношениями
Х(х) = Х(х1,. .9х„)=Х1(х1)Х...Х„Хп(хп)
для всех ситуаций в игре Г. Такого рода вероятностные распределениях
168

называются ситуациями игры Г в смешанных стратегиях. Множество всех
ситуаций Г в смешанных стратегиях обозначается через X.
7.4. Ситуация игры Г в смешанных стратегиях реализует различные
ситуации с некоторыми вероятностями. Поэтому значение функции
выигрыша каждого из игроков оказывается случайной величиной. В качестве
значения функции выигрыша на ситуации в смешанных стратегиях в
теории игр принимается математическое ожидание этой случайной величины:
ЯДХ)= Z Н,(х)Х(х) =
*ех
= 2
Заметим
H;(Xj\\x
= 2
2
х п^хп
попутно, что
/°)"
2
х1'~ 1ех/-
я
1
K*i,...
2
X/41GXJ
,x„)*i(*i)X ... X *„(*). (7.2)
... Б Я,.(хЬ;0) П **(xfc).
(73)
Пусть X? — произвольная смешанная стратегия игрока/ в игре Г.
Умножив неравенство (7.3) на X°(x?) и просуммировав по всем х? Ех?, мы
получаем ввиду (7.2)
2 Ht(X II jc9) *?(*,•) = Щ{Х II ДГу°). (7.4)
7.5. Определение. Игра
? = </,{Х/} ,-е/, {ЯЛ/е/ >, (7.5)
в которой множество игроков есть /, множество стратегий каждого
игрока i есть X,-, а функция выигрыша определяется равенством (7.2),
называется смешанным расширением игры Г из (7.4). □
7.6. В бескоалиционных играх возможен такой же переход к смешанным
стратегиям, как и отмеченный в п. 9.3 гл. 1 и в п. 4.5 гл. 2 для
антагонистических игр. Именно, если для любой чистой стратегии х{ игрока / имеет
место Я;- {Xf II х^ <м, то и для любой его смешанной стратегии Х\
выполняется Я/ (Xt WX'i) <^а. Особенно ясно это видно, если обратить внимание
на формулу (7.4).
Справедливость этого вытекает из равенств (7.2) и (7.3) с помощью
стандартного перехода к смешанным стратегиям.
7.7. Далее нам понадобится следующее утверждение.
Лемма. Какова бы ни была ситуация в смешанных стратегиях X-
- (Хл,. .. ,Хп), любой игрок i имеет такую чистую стратегию х*-, что
одновременно выполняются два неравенства:
*,(*?)> О, Н{(Х\\х<!)<Н{(Х). (7.6)
Доказательство. Предположим, что для всех чистых стратегий
х( игрока I, для которых выполняется (7.6), имеет место неравенство
Hf (Х\\ Xf) >Hf (X). Тогда для всех таких стратегий
Hf(X IIх{)Х((х{)>Hf(X)Xf(Xf). (7.7)
169

Полученное неравенство имеет место для всех тех хь для которых Х( (х;) >
> 0. Для всех остальных xh очевидно, будет
Ht{X IIxuXiixj) = Hi(X)Xi(xi) = 0. (7.8)
Складывая все неравенства (7.7) и все неравенства (7.8), мы осуществим
суммирование по всем чистым стратегиям л:,- игрока i и получим
2 Hi(X\\xi)Xi(xi)> 2 H,(X)X,(xi),
или, используя (7.2) и (7.3), Н( (X) >Н( (X), чего не может быть.
Полученное противоречие указывает на существование нужной нам
чистой стратегии игрока i. □
7.8. На смешанные расширения распространяются отношения аффинной
эквивалентности и изоморфности бескоалиционных игр.
Теорема. Если бескоалиционалъные игры аффинно эквивалентны,
то их смешанные расширения также аффинно эквивалентны.
Распространение на случай бескоалиционных игр доказательства теоремы
п. 9.7 гл. 1 предоставляется читателю. □
7.9. Продолжение изоморфизма Г»->7гГна смешанное расширение Г
игры Г состоит в следующем.
Пусть/ -■ игрок в игре Г, а Х( —его смешанная стратегия. Тогда 7г-обра-
зом Xj будем считать смешанную стратегию ttXj игрока 7ii, для которой
(nXi)(TTXi) = Х((Х{) для любой стратегии xt E х,-. (7.9)
Справедлива следующая теорема.
Теорема. Если 7г - изоморфизм игр Г и Г', то его продолжение
на смешанное расширение Г игры Г является изоморфизмом игры Г на
смешанное расширение игры Г'.
До каз ательство о чевидно. □
§ 8. СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ В СМЕШАННЫХ СТРАТЕГИЯХ
8.1. Примем следующее терминологическое соглашение.
Определ ение. Приемлемые ситуации и ситуации равновесия в
смешанном расширении Г из (7.4) бескоалиционной игры Г из (7.1)
назьюаются приемлемыми ситуациями и соответственно ситуациями
равновесия исходной игры Г в смешанных стратегиях. □
Таким образом, ситуация X* является ситуацией равновесия в
смешанных стратегиях в игре Г, если для любого игрока / и любой его смешанной
стратегии Xf имеет место неравенство
Hi(Xm WXi)<Hi(X*). (8.1)
Как и в случае антагонистических игр, вместо смешанных стратегий
игроков часто говорят просто об их стратегиях, оговаривая, напротив,
чистоту появляющихся стратегий во всех тех случаях, когда это
необходимо. Это соглашение распространяется также на ситуации в смешанных
стратегиях и, в частности, на ситуации равновесия в смешанных стратегиях.
8.2. Весьма полезной является следующая теорема.
Теорема. Для того чтобы ситуация X* в игре Г была ситуацией
равновесия этой игры (в смешанных стратегиях), необходимо и достаточно,
170

чтобы для любого игрока i и любой его чистой стратегии *; выполнялось
неравенство
Щ{Х* llx;)^#/(**). (8.2)
Доказательство. Необходимость очевидна, так как чистая
стратегия является частным случаем смешанной и, таким образом, каждое из
неравенств (8.2) есть частный случай соответствующего неравенства (8.1).
Ддя доказательства достаточности следует воспользоваться переходом
к смешанным стратегиям, как это было описано в п. 7.6. □
8.3. Ввиду того, что бескоалиционная игра является подыгрой своего
смешанного расширения, к этой паре игр применима теорема о
независимости от посторонних альтернатив.
• Теорема. Если
Г=<Д{Х/}1.е/,{Я/}/е/>
— смешанное расширение бескоалиционный игры
Г = </.{х,}|е/,{^/}|е/>,
ТО
£,(Г)=хП^.(Г), (8.3)
'if(Г) =хП #(Г). (8.4)
Доказательство аналогично доказательству теоремы п. 9.6 гл. L и
вытекает непосредственно из теоремы п. 5.4 о независимости от посторонних
альтернатив. □
§ 9. ТЕОРЕМА НЭША
9.1. Дж. Нэшем было доказано существование ситуации равновесия в
смешанных стратегиях для любой конечной бескоалиционной игры.
Теорема. В каждой бескоалиционной игре
r = <I.{x,)ier{Ht)ieI>
существует хотя бы одна ситуация равновесия (в смешанных стратегиях).
Доказательство. Если игрок / имеет в игре Г т( чистых
стратегий, то множество Xt всех его смешанных стратегий, как уже неоднократно
отмечалось, можно представлять как (rnt — 1)-мерный симплекс. Поэтому
всякую ситуацию
Х = (Хх,...,Хп) (9.1)
в смешанных стратегиях можно рассматривать как точку в декартовом
произведении X = Хг X . . . X Х„ симплексов смешанных стратегий. Это
декартово произведение, очевидно, является выпуклым и компактным
подмножеством евклидова пространства размерности тх + ... + тп - п.
Положим теперь для произвольной ситуации X и любой чистой стратегии
xi £ х,- игрока /
^\х) = ^(Х) = тгх{0,Н{(Х\\х^)-Н1(Х)} . (9.2)
Очевидно, все вводимые таким образом функции <pJ. принимают только
неотрицательные значения.
171

Функция <pJ. показьюает увеличение выигрыша игрока i в ситуации X,
происходящее за счет замены его стратегии Х(, входящей в эту ситуацию,
некоторой чистой стратегией х/ . Уменьшения же выигрыша функция
ifJ. не показывает, ибо в этом случае ее значение будет равно нулю.
Составим теперь для всевозможных / = 1, ..., п и / = 1, .
вида
1 + 2 <р{{Х)
/ = i
Все эти дроби, очевидно, неотрицательны, а каждая сумма вида
"Ч к./4-O'h
I
/ = i
(9.3)
X((x^) + J(X)
1 + ^ ч>'(Х)
равна единице.
Следовательно, при фиксированных X и i дроби (9.3) можно понимать
как вероятности соответствующих чистых стратегий xi игрока /. Тем
самым каждый набор таких дробей для всех чистых стратегий xi €. х,-
можно понимать как смешанную стратегию игрока I
Так как дроби (9.3) составляются для каждого игрока / Е /, их
совокупность определяет систему смешанных стратегий всех игроков, т.е.
некоторую ситуацию в игре Г. Эта ситуация зависит от исходной ситуации X,
являясь ее функцией. Будем обозначать ее поэтому через ф(Х). Очевидно,
что функция ф осуществляет преобразование замкнутого вьшуклого и
ограниченного множества всех ситуаций X в себя.
Кроме того, эта функция является непрерывной функцией ситуации.
Действительно, каждая компонента ситуации, являющейся значением
функции ф, есть дробь вида (9.3). В числителе этой
дроби первое слагаемое есть сама компонента
исходной ситуации и поэтому зависит от нее
непрерывно. Второе слагаемое, как видно из (9.2),
есть комбинация из линейных функций Щ (X)
и Щ(Х II х/7^), постоянной 0 и операции
взятия максимума (то, что функция шах { 0, х }
является непрерывной, легко усмотреть из ее
графика на рис. 3.2; ср. также лемму п. 10.5
гл. 1). Следовательно, <р!(X) также является непрерывной функцией X.
Значит, числитель дроби (9.3) есть непрерывная функция X. Наконец,
знаменатель этой дроби непрерывен и притом не может приближаться к
нулю (его значения не меньше единицы). Таким образом, функция ф
является непрерывной.
На основании сказанного мы находимся в условиях известной теоремы
Брауэра о неподвижной точке*), согласно которой непрерывное
преобразование ф выпуклого компактного подмножества конечномерного прост-
гтшх
Рис. 3.2
172

ранства в себя должно иметь хотя бы одну неподвижную точку, т.е. такую
точку Х°, для которой ф(Х°) = Х°. Пусть Х° — одна из таких
неподвижных точек. Это значит, что для всех / и /
XUx^) = ' l Л ' . (9.4)
га,-
1 + I <p!(X°)
/ = i '
Вспомним теперь, что на основании леммы п. 7.7 для любого игрока
/должна найтись такая его чистая стратегия х(, что Х^х®) > О
и ^°(^° ) = 0. Для этой стратегии равенство (9.4) записывается как
/и/
/ = 1 '1
откуда
/ = i
Отбрасывая равные слагаемые справа и слева и вспоминая, что второе
слагаемое справа по самому выбору стратегии х° обращается в нуль,
получаем
Х?(хЧ) 2 */(*°) = 0.
Но первый сомножитель слева, опять-таки по выбору стратегии х°, от-
га,-
личен от нуля. Следовательно, 2 <р{(Х°) = 0. А так как все числа
/ = 1 1
*р!(Х°) неотрицательны, каждое из них должно обращаться в нуль:
$К (.V0) = 0. Следовательно, в нашем случае в равенстве (9.2) под знаком
максимума положительных чисел нет, г.е.
/М*°11х/)^#/(*°).
Так как это неравенство справедливо для любого игрока / и любой его
чистой стратегии х/ , теорема 8.2 дает нам, что ситуация Х° является
ситуацией равновесия. □
Другое доказательство теорема Нэша см. в приложении 2.
9.2. Заметим, что принципиальнш важность теоремы Нэша
ограничивается вопросом существования лггуации равновесия. Непосредственно
применять ее для нахождения i.:ui»x ситуаций не удается, так как сама
*> См., например. Люстсрник Л.А., (оболов В.И. "Элементы функционального
жализа", М., Наука, 1965, с. 502 - 507.
'73

по себе она не является конструктивной: теорема Брауэра не содержит
никаких указаний на способ фактического нахождения неподвижной
точки; гсм самым и теорема Нзша, которая опирается на теорему Брауэра
самым существенным образом, не дает путей к нахождению ситуаций
равновесия. Вместе с гем, все методы приближенного нахождения
неподвижных точек в непрерывных отображениях компактов (особенно
выпуклых) в себя могут быть использованы для приближенного решения
конечных бескоалиционных игр.
£ 10. ДОПОЛНЯЮЩАЯ НЕЖЕСТКОСТЬ
10 1. Ряд свойств приемлемых ситуаций и седловых точек в
антагонистических играх переносится на приемлемые ситуации и на ситуации
равновесия в произвольных бескоалиционных играх. К их числу относится
следующий аналог теоремы о "дополняющей нежесткости "(см. пп. 17.2,17.3 гл, 1).
Теорема. Если смешанная стратегия А,- игрока i входит в
приемлемую для него ситуацию X и для некоторой его чистой стратегии x°f имеет
место строгое неравенство Н;(X \\ х® ) < Я/(X), то А,-(х? ) = 0.
Доказательство этой теоремы по существу не отличается от
доказательства аналогичной теоремы п. 17.2 гл. 1.
Именно, предположим, что А'Длг? ) > 0. Тогда
HiiX\\x°)Xixi})<H{X)X(x(}). (10.1)
Вместе с тем для всех чистых стратегий игрока /, отличных от х°(, должно
быть по определению ситуации равновесияН,(Х \\ х()^Н^(Х) и тем самым
///(А* II л-,- )X(Xi)<L //,-( V )X(xtК (10.2)
Суммируя по всем xf E А',- и прибавляя (10.1), мы, как и при
рассуждениях, встретившихся нам в ходе доказательства леммы п. 7.7, получаем
Н, (X) < И,- (X ), чего не может быть. II
10.2. Доказанную теорему можно сформулировать и в несколько
измененной ("контрапозитарной") форме: если равновесная стратегия Az
игрока / входит в ситуацию равновесия X и чистая стратегия х®
принадлежит спектру смешанной стратегии А,-, то
//,.(* II *?) = #,-(*>. (10.3)
§ 11. СИММЕТРИЧНЫЕ СИТУАЦИИ РАВНОВЕСИЯ
11.1. В теореме п. 5.2. была зафиксирована инвариантность множеств
приемлемых ситуаций, а также множеств ситуаций равновесия при
автоморфизмах игры.
Оказываетсяг что при переходе к смешанным стратегиям это
утверждение можно существенно усилить.
Определение. Ситуация Y в смешанных стратегиях в
бескоалиционной игре Г называется симметричной, если для любого
автоморфизма я игры Г имеет место тг А = А. □
Содержательно симметричные ситуации равновесия являются
оптимальными не только в смысле общей для всех ситуаций равновесия
устойчивости, но и в смысле справедливости; в таких ситуациях игроки, равноправно
174

входящие в игру согласно ее условиям, фактически оказываются в
одинаковом положении (и, в частности, при одинаковых выигрышах). Сейчас мы
докажем существование симметричных ситуаций равновесия в конечных
бескоалиционных играх.
11.2. Л е м м а. Множество всех симметричных ситуаций (в смешанных
стратегиях) в конечной бескоалиционной игре Г из (1.1) является
непустым, выпуклым и замкнутым.
Доказательство. Непустота множества всех симметричных
ситуаций в игре Г -следует из того, что ему принадлежит ситуация X —
- (Xi, ..., Хп), для которой
Xi{xi)=\lmi при /G/ и x^Xi.
Действительно, в этом случае при любом автоморфизме л -nX^-nxi) —
— ^Im-nt, а, как было замечено в конце п. 2.4, mni = т(.
Далее, при симметричных ситуациях Х\. X" и X Е [0, 1] мы имеем
тг(ХА7+(1 ~\)Х"){<лх() =
= Х(тг^/(тг^-)) + (1 -Х)(7г*;'К7гх/) =
= \Х}(х() + (1 -Х)Х;;(^) = (ХХ/+(1 -Х)Х," )(*,),
т.е. множество всех симметричных ситуаций оказывается выпуклым.
Замкнутость этого множества устанавливается аналогично, так как
автоморфизм, очевидно (или, если угодно, в силу формулы (7.9)), является
непрерывным отображением множества ситуаций на себя. П
11.3. Т е о р е м а. Конечная бескоалиционная игра имеет симметричные
ситуации равновесия.
Доказательство. Возьмем отображение ф из доказательства
теоремы Нэша (см. п. 9.1) и покажем, что оно преобразует множество всех
симметричных ситуаций в себя.
Пусть X — симметричная ситуация, ая- произвольный автоморфизм
игры. Из (9.2) следует, что
^(пХ) = тш{0.Н7т{(ггХ\\тгх;)-Нп1(7гХ)} =
= max{0,Hi(X\\x()-Hi(X)}=<pxii(X).
i
Поэтому
(77(^; ))(*•) =
= ДГ7Г1.(тгдс,/) + ^'(^)(1 + .2 ^'(тгх)Г1 =
175

т.е. если ситуация X симметричная, то такой же оказывается и
ситуация фХ.
Таким образом, мы имеем дело с непрерывным отображением компакта
симметричных ситуаций в себя. По теореме Брауэра это отображение имеет
неподвижную точку, которая, как это было выяснено в ходе теоремы
Нэша, является ситуацией равновесия. О
Заметим, кстати, что эта теорема также была доказана Дж.Нэшем.
§ 12.БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
12.1. Задача нахождения ситуаций равновесия бескоалиционной игры
Г формата {тх,.-.., тп) фактически состоит в решении системы т^ + . ..
... + тп неравенств вида (8.2) с тх . .. тп ограничениями
неотрицательности и п ограничениями нормирования. Математически это сложно и
громоздко. Лишь для отдельных сравнительно простых классов
бескоалиционных игр ход решения этой задачи поддается элементарному описанию.
Одним из таких классов являются конечные бескоалиционные игры
двух лиц. Пусть в такой игре игрок 1 имеет т чистых стратегий, а
игрок 2 — п стратегий, и в каждой ситуации (/,/) игрок 1 получает
выигрыш aff , а игрок 2 — выигрыш by . Тогда значения обеих функций
выигрыша игроков естественно расположить в виде пары матриц
а\п
ат\
В =
ьХ1
°mi
Чп
Поэтому такие игры называются биматричными. Биматричная игра с
матрицами выигрышей А и В обозначается через Г (А, В) или через ГА в.
12.2. Смешанные стратегии в биматричных играх, как и в матричных
играх, естественно понимать как векторы, составляющие фундаментальный
симплекс. Если X nY — соответственно векторы, описывающие смешанные
стратегии игроков 1 и 2, то, как легко видеть,
Н,{Х, Y)=XAYT, Н2(Х, Y)=XBYT.
Определение ситуации равновесия для случая биматричной игры
приобретает следующую формулировку. Ситуация (X, Y) в биматричной игре
с матрицами выигрышей А и В является равновесной, если
А{. YT £ XAYT, /=l,...,m,
ХВ., £ XBYT, /= l,...,/i.
02.1)
.,- ^ —х , ,-*,...,,«. (12.2)
Очевидно, при В — — А биматричная игра превращается в матричную,
а соотношения (12.1) и (12.2) - соответственно в
/ - 1, ..., гп,
(12.3)
А(. Y1 <: XAY'. /=1,
-ХАЧ <: XAY1, /=1,
Последнее неравенство равносильно XAY1 fk XA9/- , что вместе с (12.3)
дает нам известное определение седловой точки в матричной игре
176

§ 13. РЕШЕНИЕ БИМАТРИЧНЫХ ИГР
13.1. Анализ 2 X 2-матричных игр в §17 гл. 1 проводился путем
составления точного описания множеств ситуаций, приемлемых для
каждого из игроков (это описание проводилось на геометрическом языке, но,
очевидно, могло бы быть представлено и в чисто алгебраическом виде), и
нахождения пересечения этих двух множеств. В принципе этот способ
описания ситуаций равновесия мог бы быть применен и к
матричным играм произвольного формата. Однако он пока еще не нашел
достаточно наглядных средств выражения, которые сделали бы его
конкурентоспособным среди других методов анализа матричных игр.
Вместе с тем, как мы сейчас увидим, применение описанного способа
к анализу биматричных игр и даже к нахождению их решений, правда,
весьма неэффективному, представляется вполне целесообразным.
13.2. Пусть Г ~Г (А, В) —тХ я-биматричная игра с матрицами
выигрышей игроков
А =
а\п
ат\
В =
*11
Dml
Чп
(13.1)
Множество ^i (Г) всех ситуаций, приемлемых для игрока 1 в этой игре,
состоит из всех ситуаций (X, F), для которых выполняется система
неравенств
AhYT< XAYr, /=1,...,/и. (13.2)
Взяв в качестве образчика рассуждения из § 17 гл. 1, будем
рассматривать случаи, соответствующие тому или иному спектру стратегии X.
13.3. Пусть supp Х= $х с х. Тогда в (13.2) для / G s^ по свойству
дополняющей нежесткости (см. п. 10.1) должно выполняться точное
равенство. Отсюда следует, что для любых двух смешанных стратегий X9 и Х"\
обладающих одним и тем же спектром и дающих в паре с одной и той же
стратегией Y приемлемые ситуации (Х\ Y.) и (Х'\ У), должно быть
X'AYT = X"AYT.
Таким образом, на множестве X(sx) всех стратегий игрока 1 со
спектром sx величина ХА YT не зависит от X.
Этот факт является для дальнейшего решающим.
Во-первых, из него следует, что вместе с любой приемлемой для игрока 1
ситуацией (X,Y) таковой же является любая ситуация (X,Y), где
sx' ^ s*5 те' ситУаДии входят (или не входят) в с3 i(F) целыми
"блоками" вида (X(s), Y).
Во-вторых, отсюда же следует, что на X(s^) выражение ХА Y Т
представляет собой единую линейную форму от У, и на X(s^) система (13.2)
оказывается системой именно линейных (а не билинейных!) неравенств, и
множество ее решений составляет выпуклый многогранник, который
зависит опять-таки не от конкретной стратегии X, и лишь от ее спектра sA = s.
Обозначим этот многогранник через %х (s).
12.Н.Н. Воробьев
177

Попутно обратим внимание на то, что каждый из таких многогранников
^i (s) зависит только от матрицы А (и не зависит от матрицы В ).
Значит, ситуации входят (или не входят) в ^i(T) целыми
произведениями X(s) X %х (s). Иными словами,
ЩГ) = U X(s)X ^(s).
S С X
Очевидно, число произведений в этом объединении не может превосходить
2т — 1 (s может быть любым непустым подмножеством х), а множество
r& i ( Г ) зависит только от матрицы А.
В силу тех же причин
(82(Т)= U Y(t)X#2(t),
tC у
где Y(t) — множество стратегий игрока 2, имеющих данный спектр t, a
^2 (О — множество решений X системы неравенств
XB,juXBYT, /=1,...,л, (13.3)
где supp Y = t (как и выше, решение зависит здесь не от самой стратегии j,
а лишь от ее спектра). Здесь в объединение входит не более 2п — 1
произведений. Множество ^2 (Г) определяется только матрицей В.
Окончательно мы получаем
?(Г) = ^(Г)П«2(Г) =
= U X(s)X.^x(s)n U r£2(t)XY(t) =
s с х t С у
= U (X(s)Xr(f1(s))n^2(t))X(Y(t) =
S С X
tcy
= U (X(s)n^(t))X (Y(t)nrl,(s)). (13.4)
S С X
tc у
13.4. При любом s С х нахождение многогранника % i(s) состоит в
решении системы линейных неравенств, т.е. в выполнении конечного числа
рациональных (арифметических) операций над элементами матрицы А.
Точно так же выполнением конечного числа рациональных операций над
элементами матрицы В может быть найдено множество $2*(t ) при любом
tCy.
Следовательно, таким же конечно-рациональным путем находится
каждое из пересечений X(s)Pi^ 2 (t) и Y(t)n 'ei(s), и потому, в силу
отмеченной конечности множества вариантов для спектров s и t и согласно
формуле (13.4), - и все множество ^(Г).
13.5. Хотя при сколько-нибудь больших значениях чисел m и п описанная
процедура нахождения приемлемых (а по ним — и равновесных) ситуаций
в биматричнои игре является весьма громоздкой, при т-п-2 для спектров
стратегий каждого игрока оказывается не более трех вариантов, и
приведенный способ представляется реально выполнимым геометрически. Мы
займемся им в следующем параграфе.
178

§ 14. 2 X 2-БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ
14.1. Описываемая далее схема анализа 2 X 2-биматричных игр
формально является частным случаем рассуждений предыдущего параграфа, и
множество всех ситуаций равновесия в такой игре можно описать на
основании формулы (12.4). Однако, как это нередко бьюает, в частном случае
2 X 2-биматричиых игр представляется целесообразным не пользоваться
окончательной формулой,- выведенной для общего случая, а проводить
каждый раз все приведшие к ней рассуждения применительно к конкретной
рассматриваемой игре.
Фактически анализ 2 X 2-биматричных игр будет проводиться по той же
схеме, что и описанный в § 17 гл. 1 анализ 2 X 2-матричных игр. Как мы
увидим, несмотря на существенно большее разнообразие вариантов (вместо
четырех параметров в матричном случае здесь их оказывается восемь!),
анализ не станет от этого практически ни более сложным, ни даже более
громоздким.
14.2. Мы будем рассматривать 2 X 2-биматричную игру с матрицами
выигрышей
[■011 а\1 '
L а2 1 #2 2 .
, Д =
~Ъц Ь12 1
-Ъ2\ Ь22 J
соответственно игроков i и 2. Как и в случае 2 X 2-матричных игр,
смешанные стратегии X и Y игроков полностью описываются вероятностями £
и 77 выбора ими своих первых чистых стратегий (вторые чистые стратегии
выбираются, очевидно, с вероятностями 1 — £ и 1 - тт). Поэтому ввиду
О ^S £, *7^ 1 каждая ситуация в смешанных стратегиях в 2Х 2-биматричной
игре геометрически представляется как точка на единичном квадрате
(ситуации в чистых стратегиях суть вершины этого квадрата) .
Как и в случае матричных игр, мы опишем порознь множества
приемлемых ситуаций для каждого из игроков, изобразим эти множества
геометрически на единичном квадрате ситуаций, а затем найдем их пересечение.
14.3. Начнем с описания ситуаций, приемлемых в игре Г (Л, В) для
игрока 1.
Приемлемость ситуации (Xf Y) для игрока 1 в игре Г (Л. В) означает, что
Ах .YT^XAYT9 (14.2)
A2.YT^XAYT. (14.3)
Подчеркнем, что эти условия приемлемости никак не связаны с матрицей В
выигрышей игрока 2. Поэтому они будут одинаковыми для всех биматрич-
ных игр с одной и той же матрицей выигрышей игрока 1; в частности, они
совпадают с аналогичными условиями для случая матричной игры ГА.
Поэтому и множество ситуаций, приемлемых для игрока 1 в игре Г (А, В),
будет совпадать с множеством приемлемых для него ситуаций в игре ГА.
Как было установлено в пп. 18.3 — 18.5 гл. 1, множество $i(0 всех
приемлемых для игрока 1 ситуаций в игре ГА (а тем самым и в игре
Г (А, В)) есть либо трехзвенный (возможно, вырожденньш) зигзаг, либо
же квадрат всех ситуаций.
12*
179

Именно, полагая, как и при анализе матричных игр, С = аХ1 - аХ2 - а2Х +
+ я22> ol- а22 ~ #2i, мы получим, что при С Ф О множество ^(Г) всех
приемлемых для игрока 1 ситуаций состоит из точек трех типов:
(1,т?), где т?С^а,
(0,т?), где г\С^а,
а,г7), где т?С=а и £€[0,1].
При С = О и а^О это множество будет иметь вид
(1,7?), если а22 >ai2.
(0,77), еСЛИ ЙГ22 <Я12.
Наконец, при С = 0 и а = 0 будет ^(Г) = XX Y, т.е. приемлемыми для
игрока 1 будут все ситуации.
14.4. Перейдем к описанию множества %г(А> Щ всех ситуаций,
приемлемых в биматричной игре Г (А, В) для игрока 2.
Во-первых, это можно ^сделать, продолжив проведенную в предыдущем
пункте аналогию с матричными играми (см. п. 18.6 гл. 1), причем в
неравенствах (18.14) вместо матрицы А следует рассматривать матрицу —Д
Во-вторых, это можно сделать, перейдя в рамках игры Г (А, В) от
игрока 1 к игроку 2 и заменив в связи с этим матрицу А в рассуждениях п. 14.3
и соответственно в неравенствах (14.2) и (14.3) на матрицу В .
В обоих случаях мы получаем систему неравенств
Д.,<ШГ, (14.4)
XBm2<>XBYr. (14.5)
В результате оказывается, что ^2 (А, В) = (ё2 (- В) является, подобно
%Х{А,В)- $, (Л), трехзвенным (возможно, вырожденным) зигзагом
или же множеством всех вообще ситуаций.
Именно, положим/) -Ъхх- Ъх2 — Ъ2Х +b22, $ - Ъ22 - Ь2 х. Тогда при
ОФОмножество **£2(Г) будет состоять из точек трех типов:
(£, 1), где ££>>£,
(£,0), где ££>^&
(£,77), где ££> = £ и 77 €[0,1].
При D = 0 и РФ 0 это множество будет иметь вид
(£, 1), если Z>22 >b2i,
(£,0), если b22<b2l,
а при £)=0и/3 = 0 — совпадать с множеством всех ситуаций X X Y.
14.5. Естественно, что в случае биматричной игры Г для взаимного
расположения множеств (6\(Т) и $2(0 может представиться
существенно больше комбинаций, чем в случае матричной игры.
В частности, в отличие от случая матричной игры, зигзаги $i(r) и
(ё2(Г) могут быть не только одинаковой (ср. конец п. 18.6), но и
противоположной ориентации (рис. 3.3, а и б) .В первом случае ^(Г) = ^(Г) П
П $2(Г) состоит из единственной точки, а во втором — из трех точек.
180

Ордината т?* горизонтального звена зигзага в ^(Г), как и случае
матричной игры ГА (см. п. 18.5 из гл. 1) , описывается формулой
а22 - #12
П = _ .
йц - аХ2 ~ #2 1 +Я2 2
Выражение же для абсциссы £* вертикального звена зигзага в <&2 {А, Б)
получается из формулы (18.12) гл. 1 путем замены в ней каждого ац
а 6
Рис. 3.3
на соответствующее — Ъц (фактически знаки в дроби останутся без
изменений) . Таким образом,
Z?22 — Ъ2 1
£* =
^11 ~^12 ~~ ^2 1 * ^2 2
Сравнение этих выражений с формулами (18.12) и (18.18) из гл. 1
показывает, что в рассматриваемой биматричной игре в условиях ситуации
равновесия во вполне смешанных стратегиях поведение игрока 2 совпадает
с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей выигрышей А, а
поведение игрока 1 — с поведением игрока 2 в матричной игре с матрицей
выигрышей В.
Таким образом, описанное равновесное поведение игроков оказывается
ориентированным не столько на максимизацию собственного выигрыша,
сколько на минимизацию выигрыша противника. Так "антагонизм
поведения" может возникать и при отсутствии "антагонизма интересов".
14.6. Обратим, наконец, внимание на следующее примечательное
обстоятельство.
Пусть зигзаги приемлемых ситуаций для 2 X 2-биматричиой игры Г (Л, В)
имеют вид, представленный на рис. 3.3 а или б (или же зеркальный по
отношению к одной из этих картинок). Если теперь "слегка" изменить
матрицы А и В, то и зигзаги "пошевелятся чуть-чуть", не изменив ни своей
общей формы, ни взаимного расположения. В частности, их пересечение
будет по-прежнему состоять из одной точки или из трех.
В этом месте мы встречаемся с весьма общей и глубокой
теоретико-игровой закономерностью: если конечная бескоалиционная игра Г носит
"общий" характер, т.е. форма и расположение множеств приемлемых
ситуаций ^/(Г) для каждого из игроков не изменяется при достаточно малом
изменении значений функций выигрыша игроков, то множество ^(Г)
ситуаций равновесия в этой игре (являющееся пересечением множеств
$/(Г)) конечно и насчитывает нечетное число точек.
181

§ 15. ПОЧТИ АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
15.1. Отдельные классы биматричных игр (и в том числе 2 X 2-игр)
поддаются более простому и содержательному анализу, чем те общие
рассмотрения, которые были изложены в предыдущем параграфе.
Одним из таких классов являются антагонистические игры,
рассмотренные в гл. 1. Более общий класс составляют почти антагонистические игры.
Определение. Будем называть почты антагонистической игрой
биматричную игру с матрицами выигрыша Л и В, идя которых из ai}- < akt
или ац - akl следует соответственно Ъц > bkl или btj = bkl. □
В почти антагонистическую игру превращается всякая матричная игра,
если в ней начать оценивать выигрыш игроков но различным (но
монотонным!) шкалам полезности. В положении игрока 1 в почти
антагонистической игре оказывается, например, сторона, стремящаяся нанести ущерб
противнику и правильно сравнивающая его ущерб в различных ситуациях,
но дающая размеру этого ущерба, вообще говоря, неверную
количественную оценку.
15.2*.Проведем анализ почти антагонистической 2 X 2-игры.
Не нарушая общности (т.е. переходя, если нужно, к аффинно
эквивалентным играм и отвлекаясь от некоторых случаев вырождения), мы
можем считать, что матрицы выигрышей в рассматриваемой игре суть
1 О
L а21 #2 2 J
в-
0
ni игг\
Если а2 2 < йг i, то по условию почти антагонистичности должно быть
Ь22 > b21, и вторая чистая стратегия игрока 2 доминирует его первую
чистую стратегию. Значит, все приемлемые для него ситуации имеют вид (£, 0).
Отсюда следует, что ситуациями равновесия в игре будут либо (1, 0) ,либо
(0, 0) , либо все ситуации вида (£, 0), смотря по тому, будет ли а22 > 0,
а2 2 < 0 или, наконец, а2 г = 0.
Пусть теперь а2г ^#2i, так что по почти антагонистичности b22 1^b21.
Тогда для характеристик игры £ * и 7? * мы имеем
. * ^22 ~ Ъ2\ #22
— 1 —b2i + Ь22 1 —#2 1 + #2 2
15.3. В качестве примера почти антагонистической игры приведем
следующий вариант борьбы за рынки.
Небольшая фирма (игрок 1) намерена сбыть крупную партию товара
на одном из рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой
(игрок 2). Для этого она может предпринять на одном из рынков
соответствующие действия (например, развернуть рекламную кампанию) .
Господствующий на рынках игрок 2 может попыться воспрепятствовать этому,
приняв на одном из рынков предупредительные меры. Игрок 1, не
встретивший на рынке препятствий, захватывает его; встретившись же с
сопротивлением — терпит поражение. Выборы фирмами рынков являются их
стратегиями.
Предположим, что проникновение игрока 1 на первый рынок более
выгодно для него, чем проникновение на второй, но борьба за первый
182

рынок требует больших средств. Например, победа игрока 1 на первом
рынке принесет ему вдвое больший выигрыш, чем на втором, но зато
поражение на первом рынке полностью его разоряет (проигрыш равен 10),
а игрока 2 избавляет от конкурента (выигрыш равен 5) .
Описанная биматричная игра может быть задана матрицами выигрышей
Г —10 21 Г 5 -21
А=\ , В=\
[ 1 -ij L-1 lj
Для этой игры, как легко видеть, С - — 14, а = - 3, 7?* =3/14. Значит,
ситуациями, приемлемыми для игрока 1, будут все ситуации вида
(0,г?), где 3/14^ г] <1,
(5,3/14), где 0^$^1,
(1,77), где 0^77^3/14.
Множество всех приемлемых для игрока 1 ситуаций изображено на рис. 3.4.
9*-Щ
Далее мы имеем: Z) = 9,j3 = 2,£* = 2/9, так что приемлемыми для игрока 2
будут все ситуации вида
(1,0), где 0<£<2/9,
(2/9,1?), где 7? произвольно,
(|,1), где 2/9^5^1.
Их множество изображено на рис. 3.4 пунктиром.
Зигзаги приемлемых ситуаций пересекаются в единственной точке
(2/9, 3/14), которая и оказывается единственной ситуацией равновесия.
§ 16. "СЕМЕЙНЫЙ СПОР"
16.1. В п. 2.6 введения рассматривалась игра под названием "семейный
спор". В этой 2 X 2-биматричной игре матрицами выигрышей игроков
являются
А =
1 Ч Ц2 °1.
0 2J L0 1J
Решение данной биматричной игры в соответствии со сказанным в § 13 дает
нам С = 3, а = 2,77* = 2/3. Поэтому ситуации, приемлемые для игрока 1, сос-
183

тавляют зигзаг, охватывающий следующие точки:
(0,т?), где 0<т?<2/3,
(£, 2/3), где % произвольно,
(1,7?), где 2/3^77^1.
Аналогично, Z) = 3, /J = 1, £ * = 1/3. Поэтому приемлемыми для игрока 2
будут ситуации
«,0), где 0^^1/3,
(1/3,7?), где 77 произвольно,
(5,1), где 1/3^^1.
Как видно из рис. 3.5, данная игра имеет три ситуации равновесия: (0,0),
(1,1), (1/3,2/3).
Ч*=Уъ
Рис. 3.5
16.2. Здесь ситуации (0,0) и (1,1) соответствуют одновременному
выбору игроками своих вторых или, соответственно, первых чистых
стратегий, т.е. договоренности о достоверных совместных действиях. Обычно так
и понимаются всякого рода договоры.
Однако в нашем случае имеется еще третья ситуация равновесия,
состоящая в выборе игроками некоторых вполне определенных смешанных
стратегий. Формально ее можно считать основой возможного договора в не
меньшей степени, чем первые две. Она даже "более справедлива", чем они,
поскольку в ней оба игрока получают одинаковые выигрыши:
(1/3,2/3) А (2/3,1/3)г = (1/3-, 2/3)В (-2/3, 1/3)г = 2/3.
Вместе с тем выигрыши каждого из игроков в этой ситуации равновесия
меньше, чем в двух других ситуациях равновесия, где они соответственно
равны 1 и 2 в первой ситуации и 2 и 1 — во второй.
Так сочетание устойчивости со справедливостью вступает в
противоречие с сочетанием устойчивости и выгодности.
Ясно, что если игроки договорились бы играть оба, скажем, первую
чистую стратегию, причем игрок 2 за получение большего выигрыша, чем
игрок 1, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полутора единиц можно
было бы считать и выгодным, и справедливым. Однако в рамках теории
бескоалиционных игр такого рода дележи не рассматриваются. Они
изучаются в кооперативной теории игр, о которой будет говориться в гл. 4
184

16.3. Очевидно, проведенный анализ биматричной игры "семейный спор"
с матрицами выигрыша А и В из (16.1) приложим и к более общим бимат-
ричным играм, и в том числе к играм Г (Л, В) с матрицами выигрышей
А.\' °1. B-V °\
L0 Ь\ LO d\
При этом, очевидно, в каждой такой игре будут три ситуации равновесия:
две в чистых стратегиях, соответственно с выигрышами игроков а и с или
Ъ и d, и одна - в смешанных (£*,7?*), где £* = d/(c + <2),т?* = bfca + b).
16.4. Отметим, однако, специально тот частный случай, когда А = В,
т.е.а = с иЬ = J. Тогда в игре Г(А, В) интересы игроков полностью
совпадают. Тем не менее теоретико-игровая природа этого явления сохраняется;
в такой игре по-прежнему имеются три ситуации равновесия: две в чистых
стратегиях и одна —в смешанных.
Ясно, что при а > Ъ оптимальная по Парето ситуация равновесия будет
состоять из первых чистых стратегий игроков, а при а < b — из их
вторых чистых стратегий. Тем самым для игр такого рода
представляется естественным выбор игроками стратегий, уверенно дающих им
наибольшие выигрыши. Соответствующую ситуацию равновесия здесь можно
уже рассматривать не только как устойчивый вариант договора между
игроками, но даже как результат их независимых самостоятельных
действий.
Менее тривиальным оказьюается положение дел, когда а = Ь. В этом
случае игрок 1 при выборе им своей первой чистой стратегии не может быть
уверен в выборе игроком 2 также первой чистой стратегии: тот может
с такими же основаниями выбрать и вторую стратегию. Таким образом,
здесь из всех мотивов действия остается лишь упоминавшийся в п. 14.5
"антагонизм поведения", и разумным для игрока 1 оказывается выбор
им смешанной стратегии (для которой здесь £ = 1/2).
§ 17. "ДВА БАНДИТА"
17.1. В п. 2.5 введения была описана игра "два бандита", — 2 X 2-бимат-
ричная игра с матрицами выигрышей игроков
Г -8 01 Г -8 -101
А=\ , В=\
[ -10 -lj L 0 -1 J
В этой игре С=1,а = —1,7?*=—1; поэтому ситуациями, приемлемыми для
игрока 1, будут ситуации вида (1, rj) при произвольном т?Е [0,1].
Аналогично мы получаем, что %* = — 1, так что для игрока 2
приемлемыми ситуациями будут ситуации вида (£,1) при произвольном 5.
Для наглядности на рис. 3.6 изображены зигзаги, описьюающие решения
неравенств (14.2) — (14.5) и за пределами сегментов [0, 1] - изменения
вероятностей £ и т?.
Единственной ситуацией равновесия в рассматриваемой игре
оказывается поэтому ситуация (1, 1), в которой каждый из игроков должен
сознаться. В этой ситуации каждый из участников игры теряет 8.
185

Вместе с тем очевидно, что в ситуации (0, 0) каждый игрок теряет лишь
по единице. Однако ясно, что ситуация (0, 0) ,в которой каждый выбирает
свою вторую чистую стратегию и потери обоих игроков минимальны,
является весьма неустойчивой: каждый игрок, изменяя в ней произвольным
образом свою стратегию, увеличивает свой выигрыш.
17.2. Множество 93 (Г) всех реализуемых векторов выигрышей для
рассматриваемой игры имеет вид, изображенный на рис. 3.7. Очевидно,
здесь ситуации с выигрышами (- 1, - 1), (- 10,0) и (0, - 10) являются
оптимальными по Парето. При этом первая из них, в которой получаются
-/ О
-1
Рис. 3.6
Рис. 3.7
наибольшие выигрыши (— I, — I), для каждого из игроков лучше, чем
равновесная.
Противоречие между осуществимостью ситуации, выражаемой в виде
равновесности и ее выгодностью, которой соответствуют оптимальность
по Парето, имеет по существу ту же природу, что и противоречие между
максиминным и минимаксным выигрышами. Поэтому оно должно
разрешаться при помощи аналогичных приемов, состоящих в расширении
множеств уже имеющихся стратегий. Следующие два параграфа мы посвятим
этому вопросу.
§ 18. МЕТАСТРАТЕГИИ И МЕТАРАСШИРЕНИЯ
18.1. Смешанные стратегии определяются как случайные величины
(см. § / гл. 1 и § 4 гл. 2), реализующиеся в виде чистых стратегий. Если
говорить более аккуратно (т.е. именно так, как это принято в современной
теории вероятностей), смешанная стратегия X игрока, имеющего
множество чистых стратегий х,понимаемая как случайная величина, есть функция
X. 12 -* х. Здесь 12 есть множество "элементарных событий", под которым,
как правило, понимают» сегмент [0,1] с обычной мерой Лебега на нем. При
этом предполагается, что функция X обладает в достаточной степени
свойством измеримости: для большинства всех.практически важных подмножеств
(не будем уточнять, для каких именно) х' множества х их Х-прообразы,
т.е. подмножества 12, состоящие из всех тех со, для которых Х(со) Е х',
измеримы (по Лебегу). Между прочим, именно такое понятие смешанной
стратегии является достаточно корректным и имеет широкое (хотя,
разумеется^ не безграничное) применение.
186

В этом описании наше внимание сейчас привлекает единственный пункт:
функциональная природа смешанной стратегии. Чистыми
стратегиями оказываются при этом те смешанные стратегии, которые,
понимаемые как функции, являются постоянными.
18.2. Идея "функциональности" расширения понятия стратегии, при
котором новые, обобщенные стратегии рассматриваются как функции,
а исходные стратегии принимаются константами, оказывается весьма
плодотворной в теории игр и не ограничивается введением смешанных
(в вероятностном смысле) стратегий.
В качестве аргументов,от которых целесообразно рассматривать
функции-стратегии, можно, как оказывается, брать стратегии других игроков.
Далее мы ограничимся случаем, когда каждый раз рассматриваются
функции от стратегии только одного игрока.
18.3. Определение. В бескоалиционной игре
Г = </,{х|}/ь/,{Я|-}/е/> (18.1)
всякая функция вида.Fki: хк -» х,- называется метастратегией игрока i
(в ответ на стратегию игрока к) . □
Содержательно всякую метастратегию Fk>i можно понимать как способ
выбора игроком / некоторой своей стратегии в зависимости от
получаемой им информации о стратегии, выбираемой игроком к. Если
рассматривать ситуацию в бескоалиционной игре как некоторое соглашение,
некоторый договор между игроками, а обычную стратегию — как принимаемое
на себя в этом договоре обязательство, то метастратегию можно понимать
как своего рода условное обязательство: "в случае, если игрок к поступит
так-то, я, игрок / , выбираю такую-то свою стратегию, а если этак-то, то
такую-то".
Очевидно, множество всех метастратегий / в ответ на стратегию к
можно изобразить в виде степени множеств х*Л.
18.4. Определение. Бескоалиционная игра
Д = </,{У/}/е/,{^/}/е/>
с тем же множеством игроков / , что и игра Г из (17.1) , называется метаиг-
рой над игрой Г, или мегарасишрением игры Г, если при некоторых /, к Е /
/ х,- для i~4= j,
у; =
I х** для /= /,
и для любой метастратегий у,:Е у,- л любого игрока /Е/
Gi(x \\yj)=Hi(x \\у,-(хк))
(здесь, как обычно, хк есть стратегия игрока /:, входящая в ситуацию л). □
18.5. Очевидно, процесс образования метаигр (метарасширений игр)
поддается неограниченному итерированию: от метаигры можно переходить
к ее метаигре (назьюаемой второй метаигрой), от нее к следующей
(к третьей метаигре) и т.д. В этом отношении метарасши рения игр
отличаются большим разнообразием, чем смешанные расширения, которые,
очевидно, исчерпываются своим первым шагом.
187

В метаиграх могут реализоваться более сильные принципы
оптимальности, чем в исходных бескоалиционных играх, и, как оказьшается, даже более
сильные, чем в смешанных расширениях.
§ 19. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПОВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В МЕТАСТРАТЕГИЯХ
19.1. В качестве первого примера применения метастратегий рассмотрим
существование ситуаций равновесия в конечных бескоалиционных играх.
Для простоты формулировок и доказательств мы ограничимся случаем
конечных игр двух лиц. Мы не будем называть сейчас эти игры биматричными,
потому что матричная форма записи значений функций выигрыша в этих
вопросах не играет роли.
19.2. Т е о р е м а. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц
имеет в своем {первом) метастратегическом расширении ситуации равно-
весия.
Доказательство. Рассмотрим игру двух лиц Г = < х, у, Hlt Н2 > и
построим ее метарасширение Д = < х, ух, G\, G2 >, где при любом /Е ух
(/в этом случае есть функция из х в у)
G,(x,/) = //,(*,/(*)), /-1,2. (19.1)
Поставим каждому iGxb соответствие такую стратегию ух, что
Н2(х,ух) = тахН2(х,у).
у
Соответствие х^ух есть, очевидно, одна из функций /*Е ух. Таким
образом, при любых х Е х и у Е у должно быть
H2(x,f\x))>H2(x,y). (19.2)
Найдем, далее,такое х* Е х, что
Gl(x\f*)=Hl(x\r(x*)) = max Нг(хУГ(х)), (19.3)
Л"
и покажем, что (х*, f*) есть ситуация равновесия в игре А.
Действительно, на основании (19.3) при любом хЕ х должно быть
G^J^^H^xJ^x^^G^f*)- (19.4)
Кроме того, из (19.2) следует, что
G2(x*,f)=H2(x*,f(x*))^
^Н2(х\Г{х*)) = С2(х\Г).
Вместе с (19.4) это и означает равновесность ситуации (х* ,/*). □
Разумеется, доказанная теорема не противоречит той возможности, что
ситуацией равновесия может обладать уже сама исходная игра Г.
19.3 .Более принципиальной оказывается возможность осуществить в
метарасширении игры ситуацию, которая была бы одновременно как
равновесной, так и оптимальной по Парето.
Теорема. Каждая конечная бескоалиционная игра двух лиц имеет
в своем третьем метарасширении ситуацию, которая является
одновременно ситуацией равновесия и оптимальной по Парето.
188

Доказательство. Из предыдущего следует, что любая конечная
бескоалиционная игра двух лиц имеет ситуации равновесия хотя бы в своем
первом метарасширении. Поэтому мы начнем с рассмотрения игры,
имеющей ситуацию равновесия, и найдем нужную нам ситуацию в ее втором
метарасширении.
Рассмотрим игру Г = < х, y,#i ,Н2 >, у'которой есть ситуация
равновесия (х* ,у*) ,и два ее последовательные метарасширения:
Д = <х, ух, GX,G2 > ,
где при xGx и /£ух выполняется (16.1),и
Е = <х(уХ),ух, Fi,F2 >,
гдеири#ех(у ] и /Еух положено
fi(g, п = Gt(g, n,n=щшп* rmm /=1,2.
(Разумеется, то обстоятельство, что здесь первую метастратегию выбирает
игрок 2, а вторую метастратегию — игрок 1, является совершенно
несущественным; можно было бы здесь рассмотреть конструкцию, в которой
первую метастратегию выбирает игрок 1, а вторую —игрок 2; все дальнейшие
рассуждения отличались бы при этом лишь незначительными деталями).
Найдем в соответствии с теоремой п. 6.4 оптимальную по Парето
ситуацию (х°,у°) в игре Г, для которой
Н1(х\у*)<Н1{х\ус)) (19.5)
Н2(х\у*)£Н2(х0,у0), (19.6)
и покажем, что искомой ситуацией в Е, одновременно равновесной и
оптимальной по Парето, является ситуация (g°,f°) , для которой
( у° ,еслих = х°,
/°(*) = . ^ 0 (19.7)
I у , если х Ф х ,
( х°, если/ = /°,
АО= , , ' (19.8)
I х*, если/Ф/ .
Действительно,
ftfeV°) = G^
для/ =1,2. (19.9)
Это значит, что выигрыши игроков в "метаситуации" 0г°,/°) те же, что и в
ситуации (x°,v°). Поэтому одновременное увеличение выигрышей
игроков (в смысле знака <) в метаситуации {g°,f°J невозможно, и эта мета-
ситуация оказывается оптимальной по Парето в Е.
Докажем равновесность ситуации (g°,f°) вЕ.
При произвольном /Ф/° мы имеем
F2(g°J) = G2(g°n f)-G2(x\f)=H2(x*,f{x*)). (19.10)
Но ввиду равновесности ситуации (**,>'*) в Г и по (19.6) и (19.9)
H2(x*J(x*))^H2(x*,y*)^H2(xo,y°) = F2is0,f°).
189

Вместе с (19.10) это дает нам
F2(g\f)^F2(g0J0). (19.11)
Возьмем теперьg Ф gc'. Здесь мы будем различать два случая:
а) g(f°) -х°. В этом случае
f,jg,f°) =с1аг(/°),/°)=с1(дсо,/о)=
= Я1(х0,/>0)) = Д1(х0,Л = /Г1(?°./0)- (19.J2)
б) g(fc) Ф х°, В этом случае
F,fe./°) = G1C<rC/,0)./0) =
= Я1^0гО),/о(?(ГО))) = Я1С?(Г°)^*). (19.13)
Но опять-таки ввиду равновесности ситуации (х*,у*) в Г и по (19.5) и
(19.9) должно быть
Вместе с (19.13) это дает нам при ^(Т0)^*0
F&J^F^J0) (19.14;
Соотношение (19.12) позволяет снять условие g(f0)Фx0. Неравенство
(19.14) оказывается теперь справедливым для любых g (щт g ~ g° оно
превращается в точное равенство).
В итоге неравенства (19.11) и (19.14) дают нам требуемую
равновесность. D
19.4*. Применим доказанную теорему к игре "два бандита" (см. § 17).
В этой игре уже имеется ситуация равновесия (**, V*), состоящая в
выборе каждым из игроков своей первой стратегии. Оптимальная по Парето
ситуация (х°,у°) удовлетворяющая по отношению к ситуации равновесия
(х*>)'*) условиям (19.5) и (19.6), состоит в выборе каждым из игроков
своей второй стратегии.
Первая метастратегия игрока 2, определяемая согласно (19.7),состоит
в^выборе им своей второй стратегии в ответ на вторую стратегию игрока 1
и первой стратегии в ответ на первую. у
Вторая метастратегия игрока 1, определяемая соотношениями (19.8),
состоит в выборе им второй своей стратегии, если игрок 2 выберет ту же
стратегию, что и 1, и в выборе им своей первой стратегии во всех
остальных случаях. у
Содержательно это можно представить себе так, что игрок 2 исходит из
тезиса "око за око", а игрок 1 — из более изощренных соображений,
которые можно расценить как эгоцентризм (" поддерживаю тех, кто действует
так же, как я") и ксенофобию ("выступаю против всех тех, кто действует
иначе, чем я").
190

§ 20. ДИАДИЧЕСКИЕ ИГРЫ
20.1. Упрощением, получающимся в случае, когда каждый игрок имеет
лишь две чистые стратегии, можно воспользоваться не только в случае
биматричных игр, но и при рассмотрении игр с любым конечным числом
игроков.
Определение. Б ескоалиционная игра
Г = </,{Х/>|Ч£/, {#;Ье/> (20.1)
называется дыадыческой, если каждый игрок в ней имеет две чистых
стратегии: X/ = (1/, 0/} для i E /. □
Далее в тех случаях, когда это не сможет привести к недоразумениям,
мы будем стратегии 1,- и 0f игрока i обозначать просто через 1 и 0.
В диадической игре каждая смешанная стратегия Х{ игрока i полностью
описывается вероятностью £,- выбора им своей первой чистой стратегии.
Таким образом, множество Xt всех смешанных стратегий игрока можно
представить как сегмент [0,1], а множество всех ситуаций в смешанных
стратегиях — как единичный «-мерный куб. Ситуации в чистых стратегиях
будут, очевидно, соответствовать вершинам куба.
20.2. Всякая вершина куба ситуаций в диадической игре может быть
задана как «-членная последовательность единиц и нулей. Очевидно, для
того, чтобы ее идентифицировать среди всех вершин, достаточно указать
множество всех игроков, выбирающих в этой ситуации свою первую стратегию.
Пусть X — произвольная ситуация в смешанных стратегиях в
диадической игре Г из (20.1), а х — ситуация в чистых стратегиях в ней, причем
множество игроков, выбирающих в х свою первую чистую стратегию,
есть К(х) . Тогда, очевидно,
ВД= П £7- П (1-$/). (20.2)
j(EK(x) j$K(x)
20.3. Опишем множество ^/(Т) всех ситуаций, приемлемых в игре Г
для данного игрока i.
Возьмем для этого произвольно KlCI\in будем под (%hKl)
понимать ситуацию, в которой игрок / выбирает такую смешанную стратегию
Х(, что Xt (1) = £,-, игроки из К1 — свои первые чистые стратегии (£/ =
= 1) , а остальные игроки — вторые чистые стратегии (£7- = 0). Положим
Х(К*) = Х(\.К^ + Х{ЬК1)= П. £.- П.(1-£,-).
Тогда, учитывая (20.2). мы получаем
Щ(Х} = Ь ТиНА\9К1)Х{К*} + {\-Ы ЪН№К*)Х(К*\ (20.3)
к *'
Условия приемлемости ситуации X для игрока / состоят в выполнении
неравенств Нi(X\\ %° ) <Ht(X) для £° =0и?° = 1, или, учитывая (20.3),
2.н((£,к!)Х(к')<
к1
й h £ Я/0 , К1)Х(К() + (1 - fc.) Z //,-(0, К 0W). (20.4)
к1 к1
191

При £°- = I это неравенство переписывается как
к1
<>%;2 Я,(1, К') + Х(К{) + (1 - *,) 2 Я,(О, К')Х(К<), (20.5)
к' к'
или, после очевидных упрощений, — как
(1-&)2 Щ{\.К*)Х(К^
к1
< (1 - $,.) 2 Я,(0. К*)Х(К{). (20.6)
а:'
Аналогично, полагая в (20.4) £f- = 0, мы получим
£2 Н{(0,К*)Х(К1)^ЬЪ. Hiil.K^XiK*). (20.7)
/с' л:'
При £,- = 1 неравенство (20.6) выполняется автоматически, а (20.7)
записывается как
2 ЯД0,^)Х(А^ 2 НА1,К'')Х(К*). (20.8)
к( к1
При £/ = 0 наблюдается симметричная картина:
2 #,-(1, /С1")*^1')^ £ ЯД0. К*)Х(К*). (20.9)
20.4. Обозначим через X' множество таких комбинаций стратегий
игроков из/\/, что для ситуаций вида (\, X1), тц,е X1 £ X}, неравенство (20.8)
выполняется со знаком строгого неравенства, через X' - — множество таких
комбинаций, что щгя соответствующих ситуаций (20.8) выполняется со
знаком равенства, и через Xq - все остальные комбинации стратегий (для
соответствующих ситуаций неравенство (20.8) будет неверным).
Из сказанного выше следует, что приемлемыми для игрока i в игре Г
будут все ситуации вида
(О,*'), где Xle\L (20.10)
(1,Х<), где Х*ех[, (20.11)
Й/, X'"), при любых XfGXL и &G [0, 1]. (20.12)
Множества ситуаций вида (20.10) и (20.11) представляют собой (не
обязательно связные) куски («—1)-мерных гиперплоскостей, а
множество вида (20.12) — декартово произведение их общей (как правило,
(п — 2)-мерной) границы на сегмент [0, 1], т.е. кусок некоторого (п — 1)-
мерного цилиндра.
20.5. Для множества ситуаций равновесия <£(Г) в игре Г из (20.1)
мы имеем:
^(Г)- П Г£,(Г). (20.13)
Точки этого пересечения в принципе можно последовательно
перечислить, рассматривая каждое из 3" пересечений множеств вида (20.10) —
192

(20.12), взятых по одному для каждого / = 1,. . . , п. Разумеется,
значительное число этих перечислений окажется пустыми.
В случае "общего вида" цилиндров, на которых расположены части
(20.12) множеств ^(Г), и их "общего расположения" относительно
гиперплоскостей £,- =0 и £j. = 1 число точек перечисления (20.13), очевидно,
будет конечным.
§ 21.ДИАДИЧЕСКИЕ ИГРЫ ТРЕХ ЛИЦ
21.1. Каждая из диадических игр трех лиц описывается 3 • 23 = 24
параметрами. Как легко подсчитать, переход к классам аффинной
эквивалентности уменьшит число параметров лишь на 6, так что полная
классификация таких игр, подобная той, которая была выполнена для 2X2-
биматричных игр, практически неосуществима. Однако исчерпывающий
алгоритм решения любой такой игры может быть составлен.
21.2. Опишем множества Г^/(Г) для диадической игры трех лиц. Для
определенности мы рассмотрим случай i = 3, обозначив для краткости
значения функции выигрыша Н((х19х2,х3) этого игрока через Нх х х
.Неравенство (20.10) , характеризующее в этом случае множество X?,
запишется так:
Яооо(1~Ь)(1-Ь)+Я01о(1~Ь)Ь+Я10оЬ(1-Ь)+Я11оЬЬ^
^Яоо1(1-Ь)(1-^) + Яо11(1-Ь)Ь+Я101Ь(1-Ь) +
После естественных преобразований, без труда выполняемых в каждом
конкретном случае, это неравенство приводится к виду
Л51&+Д*! +СЬ +£>^0о (21.1)
Граница описываемого этим неравенством множества в случае А Ф 0 есть
гипербола (быть может, вырождающаяся в пару пересекающихся прямых).
Построение этой гиперболы на единичном квадрате плоскости (&\Лг)
приводит к описанию множества г^з(Г) согласно (20.8)— (20.10) и к его
геометрическому изображению.
Аналогично строится каждое из множеств f^i (Г) и сё2 (Г) •
Нахождение пересечения (£г (Г) П С62(Г) П Г£3(Г) осуществляется
вполне элементарными геометрическими (точнее говоря, —
графоаналитическими) рассуждениями, но требует большой тщательности и
осмотрительности ввиду разнообразия могущих встретиться случаев.
§ 22. ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ
22.1. Каждое из трех предприятий (игроки 1, 2 и 3), пользующихся для
технических целей водой из некоторого природного водоема, располагает
двумя чистыми стратегиями: использовать очистные сооружения для
отработанной воды (стратегия 0) или же сбрасывать ее в водоем без очистки
(стратегия 1). Предполагается, что особенности водоема и технологических
процессов на предприятиях таковы,что если неочищенную воду сбрасывает не
более одного предприятия, вода в водоеме остается пригодной для использо-
13.Н.Н.Воробьев
193

-v^-ф
вания, и предприятия убытка не несут.
Если же неочищенную воду
сбрасывают не менее двух предприятий, то
каждый пользователь воды несет убытки
в размере трех единиц. Стоимость
использования очистных сооружений
обходится каждому предприятию в одну
единицу.
22.2. Изобразим куб ситуаций для
описанной игры и укажем при его
вершинах значения выигрышей игроков
(рис. 3.8).
Соотношение (20.4) для игрока i = 3 принимает в данном случае вид
- Ыг - Ь(1 ~ Ы- П - ЫЬ - 4(1 - $0(1 - Ы£
Рис. 3.8
3(1-£00-Ы,
(22.1)
£- 3£i(l-fe)- 3(1 -$0*2
или, после очевидных упрощений,
(1-3$0а-3$0^3$,$2. (22.2)
МножестваXо,Xi иХ1 изображены на рис. 3.9 (здесь множествоХ~
состоит из двух дуг, принадлежащих двум ветвям гиперболы).
22.3. В соответствии с (20.5) множество й'з(Г) приемлемых для
игрока 3 ситуаций имеет вид, изображенный на рис. ЗЛО. Оно состоит из
криволинейного шестиугольника, лежащего в плоскости £3 = 0 (мы обозначим
его через Ш3), двух секторов в плоскости £3 = 1 (тот из них, который
ближе к вершине куба (1, 1, 1), будет обозначен через С3, а другой -
через С з) и двух кусков гиперболического цилиндра с образующими,
направленными вдоль оси £3 (тот кусок цилиндра, который ближе к оси
$ з, обозначим через Ц3, а другой кусок — через Ц '3 ).
Множества % i (Г) и %'2 (Г) имеют в соответствии с очевидными
автоморфизмами игры Г такой же вид, отличаясь ориентацией образующих
цилиндров соответственно вдоль осей $! и £2 • Части этих множеств мы
будем обозначать соответственно через Шх, Ci, C'l5 Ui, Ц\, и Ш2, С2, С2,
ц2,ц2.
Рис. ЗЛО
194

22.4. Опишем множество %{Т) = %х (Г) П $2 (Г) П г£3 (Г).
Сначала рассмотрим те точки множества Г^(Г), которые являются вершинами
куба ситуаций.
Одной из них будет точка (1, 1, 1), т.е. пересечение секторов Ci ПС2 П
ПС3- Эта ситуация равновесия, в которой каждый из участников несет
потери в 3 единицы, описывает своего рода "равновесие безнадежности",
когда переход любого предприятия на чистую технологию не спасает
общего положения и лишь ухудшает его собственные экономические показатели.
Дальнейшие три ситуации равновесия получаются как пересечение UIi П
ПШ2 ПС'з (вершина (0, 0, 1)) и симметричные ему пересечения Ш] П
П с2 П Ш з (вершина (0, 1, 0)) и С i П Ш2 П Ш3 (вершина (1, 0, 0)) .
Каждая из этих ситуаций характерна наличием "нахала", единолично
исчерпывающего все "ресурсы загрязнения" и вынуждающего своих партнеров
по природопользованию придерживаться чистой технологии под страхом
их собственных потерь. В этих ситуациях равновесия "нахал" не несет
потерь вовсе, а потери остальных (называть их "совестливыми" здесь не
вполне уместно, так как выбор каждым из них чистой технологии
оказывается все-таки вынужденным) равны единице.
Проверка остальных вершин куба ситуаций показывает, что больше
ситуаций равновесия среди них нет.
В частности, не является равновесной природоохраняющая ситуация, в
которой каждый из участников игры применяет свою чистую технологию:
каждому из игроков выгодно от нее отклониться.
225. Рассмотрение ребер куба ситуаций показывает, что среди
внутренних точек этих ребер нет ситуаций равновесия.
Обратимся к внутренним точкам граней. Здесь возможны три ситуации
равновесия: определяемая пересечением Цх П Ц2 П Ш3 (точка куба с
координатами (1/3, 0, 1/3)) и симметричные ей Цх ПШ2 ПЦ3 (имеющая
координаты (1/3,0, 1/3)) и Шх ПЦ2 ПЦ3 с координатами (0, 1/3, 1/3)).
Эти ситуации в отличие от трех предыдущих характерны наличием
"сознательного" природопользователя, применяющего чистую технологию. Такое
его поведение дает возможность остальным допускать умеренное
загрязнение среды. Впрочем, после того, как эти два игрока такие свои стратегии
выбрали, "сознательность" первого превращается из добродетели в
необходимость: отклонение от ситуации равновесия невыгодно ни для
кого!
Потери игроков в первой из таких ситуаций равновесия равны
соответственно 13/9, 13/9 и 21/9, а в остальных двух получаются из указанных
циклической перестановкой. Отсюда видно, что в этих условиях
сознательность требует известных затрат.
22.6. Ситуации равновесия, лежащие внутри куба ситуаций, могут быть
получены лишь как пересечения Цх ПЦ2 П Ц3 или Ц х ПЦ'2 ПЦ'3.
Так как, в частности, каждая из этих ситуаций лежит на цилинде Ц 3 U
иЦз, для них соотношение (22.1) должно выполняться со знаком
равенства:
(1-3?х)(1-ЗЬ)-ЗЬЬ- (22.3)
Ввиду того, что эти ситуации лежат и на двух других цилиндрах, мы можем
для их компонент написать два аналогичных равенства и решать получив-
13*
195

о'
--/•<
■J-
Рис. 3.11
шуюся систему, которая, в силу
симметричности рассматриваемой игры, будет
симметричной относительно неизвестных
%\Лг и£3-
Впрочем, симметричностью игры можно
воспользоваться и более непосредственно.
Ввиду одинакового расположения
пересекающихся цилиндров относительно
соответствующих осей координат, ситуации
равновесия, являющиеся точками
пересечения этих цилиндров, должны сами быть
симметричными: для них должно быть
%\ = Ь = Ь = t • (22.4)
Существование таких симметричных ситуаций равновесия можно было
бы предсказать на основании теоремы п. 11.3. На этих ситуациях
осуществляется не только устойчивость, но и справедливость.
Из (22.3) и (22.4) мы получаем (1 - 3£)2 = З?2, откуда 1 - 3£ = ± £у/1
и окончательно —
1 з+х/з1 1 v^
?=wr=-7" T*~ (22-5)
т.е. £i = 0,211 и %2 - 0,789. Иными словами, внутри куба ситуаций
оказываются две ситуации равновесия:
(0,211,0,211,0,211) и (0,789,0,789,0,789). (22.6)
Для подсчета выигрышей игроков в этих ситуациях подставим в одну
из частей соотношения (22.1) %х = £2 = £ и возьмем £ из (22.5). После
простых вычислений мы получим
#/(££,0) = 3£2-3 = -2 + ,
2
т.е. числа —1,134 и —2,866.
Обе ситуации (22.6) являются устойчивыми (равновесными) и
симметричными (справедливыми). При этом первая из них еще и достаточно
выгодная, а вторая — нет: как по поведению игроков в ней, так и по своим
последствиям (выигрышам игроков) она близка к "равновесию
безнадежности" (1,1, 1).
Таким образом, окончательно оказывается, что рассматриваемая игра
имеет 9 ситуаций равновесия. Все они изображены на рис. 3.11.
Как обычно, устойчивость вступает здесь в противоречие с выгодностью
и справедливостью. В порядке преодоления этого противоречия игроки
могут выбрать ситуацию равновесия с "нахалом", обязав "нахала"
выплачивать каждому из остальных игроков компенсацию в размере 1/3
(ср. п. 16.2).
22.7. Поучительно заметить, что даже среди справедливых (симметричных)
ситуаций в данной игре, т.е. таких ситуаций, для которых соблюдается (22.4), равновесные
ситуациии не совпадают с выгодными. Это напоминает известные из области механики
факты, когда симметричное состояние, стабильное по отношению к симметричным
формам потери устойчивости, утрачивает свою стабильность по отношению к
несимметричным формам потери устойчивости.
196

Действительно, справедливые ситуации суть тройки вида (£,£,£)• Для
вычисления наиболее выгодной ситуации из числа справедливых заметим, что выигрыш
каждого игрока в такой ситуации равен, как нетрудно подсчитать, б£3 - 12 £2 + £ — 1.
Производной этой функции будет
18 £2 -24£ + 1. (22.7)
При £ = 0 значение производной оказьюается положительным, так что ситуация (О, О,
0) не является такой уж выгодной даже в классе всех симметричных (справедливых)
ситуаций в смешанных стратегиях. Небольшое увеличиение £ от нуля (т.е. "легкое
нарушение экологической дисциплины") будет в условиях данной игры приводить
к некоторому росту выигрышей каждого из игроков (а говоря точнее, к уменьшению
их потерь).
Очевидно, корнями производной (22.7) будут
12 ±V 126' 4 ±>/Т41
из которых теоретико-игровой смысл имеет только тот, который соответствует знаку
минус: £ = 0,043. Соответствующие этому значению £ потери игроков составляют 0,96,
что меньше, чем оказывающиеся в равновесной симметричной ситуации 1,134.
Таким образом, плата за равновесность в условиях справедливости для данной
задачи составляет 0,17 единиц.
22.8*. Обратим, наконец, внимание на то, что вероятности в (22.5)
являются иррациональными числами.
Как было отмечено в п. 13.4, описание множества ситуаций равновесия
биматричной игры (т.е. конечной игры двух лиц) есть рациональная
операция. Иррациональность же числа £ в (22.4) означает, что решение данной
игры трех лиц принципиально несводимо к решению какого-либо конечного
числа игр двух лиц. Конфликты с тремя участниками оказываются, таким
образом, принципиально более сложными, чем конфликты с двумя
участниками.
Между прочим, с точки зрения нахождения ситуаций равновесия
дальнейшее увеличение числа игроков в игре к дальнейшим сложностям
решения этих игр не приводит. Именно, какова бы ни была конечная игра п
лиц, существует конечная же игра трех лиц, из ситуаций равновесия
которой ситуации равновесия исходной игры получаются рациональным (и
притом достаточно простым) образом.
§ 23. "ДЕЗОРИЕНТИРУЮЩАЯ РЕКЛАМА"
23.1. Рассмотрим следующую игру, которую можно интерпретировать
как конфликт в области рекламы.
Для некоторой категории покупателей, желающих приобрести к
предстоящему празднику непременно "лучший подарок" и черпающих свою
информацию о товарах из передач по телевидению, три фирмы (игроки 1,
2 и 3) выпустили три вида подарков, и каждая из них рекламирует свое
изделие как лучшее. Каждая фирма имеет две стратегии осуществления
рекламы: 1) в вечерней телевизионной передаче; 2) в дневной
телепередаче. Если одновременно свой товар как лучший будет рекламировать
более чем одна фирма, то каждый покупатель из рассматриваемой нами
категории усмотрит в этом противоречие и вовсе откажется от покупки.
Фирма, выступающая одна с рекламным объявлением днем, завербует
столько покупателей, что реализует свой товар с получением 1 единицы
197

полезности. Если она выступит также одна, но вечером, то завербует вдвое
больше покупателей и получит 2 единицы полезности.
В качестве другой интерпретации этого же конфликта можно привести
игру "морра трех лиц", в которой каждый из трех игроков показывает
("выбрасывает") один или два пальца. Его выигрыш равен числу
показанных им пальцев, если каждый из его партнеров по игре показывает другое
число пальцев, и равен нулю в остальных случаях.
23.2. Куб ситуаций для этой игры с приписанными его вершинам
выигрышами игроков, определенными в соответствии с указанными правилами
игры, изображен на рис. 3.12.
Неравенство (20.4) приобретает для игрока 1 в случае этой игры вид
Ь*з^2(1-*2)(1-Ь). (23.1)
Соответствующие области XI, X I и X } изображены на рис. 3.13. Очевидно,
множество Xi является дугой гиперболы.
Таким образом, множество с€>х (Г) всех ситуаций, приемлемых в нашей
игре для игрока 1, состоит из всех ситуаций вида
(0,Ь,Ь),где(Ь? b)GXj,
(&\ЛгЛъ\ где(Ь,Ь)^Х1 , a £i произвольно из [0,1],
о.ь.ы, где (ь; ыех}.
Расположение множества всех приемлемых для игрока 1 ситуаций в
кубе всех ситуаций изображено на рис. 3.14. Заметим, что это множество
симметрично относительно £2 и £3-
23.3. Множества %1 (Г) и (63(Г) всех ситуаций, приемлемых
соответственно для игроков 2 и 3, получаются из в\ (Г) перестановкой
координат, а множество % всех ситуаций равновесия в рассматриваемой
игре является по определению пересечением (d i (Г) П $2 (О П г£ъ (Г).
Опишем это пересечение.
Заметим прежде всего, что в каждое из множеств приемлемых ситуаций
f^i(r), rS2,(X) и #3(Г) входят одни и те же шесть ребер куба
(вместе с лежащими на них вершинами). Поэтому эти ребра должны входить
и в множество (&(Г) ситуаций равновесия игры. Отметим среди них особо
ситуации (1, 0, 0), (0, 1,0) и (0, 0, 1). В каждой из них выигрыш одного
Рис. 3.12 Рис. 3.13
198

Рис. 3.14 Рис. 3.15
из игроков равен двум, а выигрыш каждого из остальных — нулю. Эти
ситуации равновесны и выгодны, но несправедливы.
Далее, точки %х (Г), ^2(П и %ъ (Г) лежащие внутри граней куба,
находятся соответственно на различных парах противоположных его
граней, но внутренности различных граней куба попарно не пересекаются.
Поэтому в рассматриваемой игре ситуаций равновесия, соответствующих
внутренним точкам граней куба, нет.
Найдем, наконец, внутренние точки куба, принадлежащие Г^(Г).
Очевидно, они являются и внутренними точками куба, принадлежащими
каждому из множеств Чох (Г), $2 (Г) и гё3(Г), т.е. каждой из
цилиндрических поверхностей. Эти поверхности пересекаются в единственной точке,
все координаты которой равны друг другу. Поэтому и из (23.1) следует,
что каждая координата £ такой ситуации равновесия должна удовлетворять
уравнению £2 = 2(1 — £)2, откуда £ =Vz(l — £) (стоящие в частях этого
равенства числа неотрицательны, поэтому мы ограничиваемся
арифметическим значением корня), так что £ =2 — %/?= 0,586. Выигрыш каждого из
игроков в этой ситуации равновесия в соответствии с (23.1) равен
0,242.
Окончательный вид множества (Г) изображен на рис. 3.15.
23.4. Ситуация равновесия игры, лежащая внутри куба ситуаций,
соответствует некоторому устойчивому и притом справедливому
соглашению между участниками игры. Однако, давая всем трем
игрокам суммарный выигрыш 0,726, она представляется уж очень
невыгодной.
В ситуациях же равновесия, расположенных на ребрах куба ситуаций,
наблюдается примечательное явление: игрок, координата которого
изменяется вдоль соответствующего ребра, на ситуациях этого ребра не получает
ничего; зато именно он определяет величину выигрыша каждого из
остальных игроков.
Поэтому представляется разумным дать одному из игроков (скажем,
первому) возможность выступить в одиночку вечером (ситуация (1, 0, 0))
и получить выигрыш в две единицы, обязав его за это поделиться своим
выигрышем. Такого рода кооперативные соглашения будут
рассматриваться в следующей главе.
199

§ 24. ПОЛИАНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
24.1. Как отмечалось в п. 16.4, даже явление, в котором участвуют лица
с полностью совпадающими интересами, может описываться нетривиальной
теоретико-игровой конструкцией.
Тем более естественно предполагать, что можно найти явления с
диаметрально противоположными интересами участников, которые
описывались бы неантагонистическими играми, и даже решение их не сводилось бы
к решению антагонистических игр.
Рис. 3.16
24.2. Определение. Бескоалиционная игра
Г=</,{Х|Ье/>{Я,}/€/>
называется полиантагонистической, если имеется такое разбиение / =
= К U L(K П L = ф) , что для любой ситуации х Нк (х) = —Я/ (х) для всех
кек и / g L.
24.3. Полиантагонистические игры составляют существенно более
широкий класс игр, чем антагонистические. В этом нас убеждает следующий
пример.
Пусть в диадической игре трех лиц Г значения выигрышей игроков в
двух ситуациях указаны на рис. 3.16, а их выигрыши во всех остальных
ситуациях в чистых стратегиях равны нулю. Полиантагонистичность этой
игры очевидна.
На поверхности куба ситуаций этой игры, как нетрудно убедиться,
имеются две ситуации равновесия и притом в чистых стратегиях: £i = £2 = О,
Ь = 1 и *i=*2=l, Ь=0.
Будем искать вполне смешанные ситуации равновесия. В силу
дополняющей нежесткости для таких ситуаций X должно быть #/(^11 0) =
= Hf(x\\l). Полагая, как обычно, Xt(i) = £,- (/=1,2,3), мы при
/=3 получаем
-(0-50(0-52)= -«1*2,
при i=2 —
(1-50 0-Ы = 2*1*з,
200

а при / = 1 —
Изменение знака частей первого из этих равенств превращает эту
систему равенств в условие равновесности вполне смешанной ситуации в игре
из предыдущего параграфа. Поэтому в единственной вполне смешанной
ситуации равновесия каждый из игроков выбирает свою первую чистую
стратегию с вероятностью £=2 — у/Т, являющейся иррациональным числом.
24.4. Как было показано в п. 13.4, в любых биматричных играх (и в том
числе — конечных антагонистических играх) с рациональными значениями
функций выигрыша ситуации равновесия описьюаются рациональным
образом. Поэтому приведенный пример показывает, что конечные
полиантагонистические игры могут не поддаваться сведению к
последовательному решению конечного числа конечных антагонистических (и даже
биматричных) игр.

Глава 4
КЛАССИЧЕСКИЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ
§ 1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕСКОАЛИЦИОННЫХ ИГР
1.1. Пусть нам дана бескоалиционная игра
Г = </,{х/}/е/, Ш,),е/>. (1.1)
Предположим, что игроки, составляющие некоторую коалицию К С 19
объединяются в условиях этой игры для борьбы в общих для них
интересах. Поставим вопрос о том наибольшем вьшгрыше, который игроки из К
могут с уверенностью совместно получить.
1.2. Проанализируем поставленный вопрос с теоретико-игровой точки
зрения. Объединение игроков из К означает превращение их в единого
игрока. Назовем его игроком 1. То, что игроки из К начинают действовать
совместно, означает, что стратегиями этого объединенного игрока 1
являются всевозможные комбинации стратегий составляющих его игроков
из К, т.е. элементы декартова произведения х# = П х/. Общность инте-
ресов игроков из К означает, что выигрыш объединенного игрока 1 есть
сумма выигрышей составляющих его игроков из К:
Нк(х)= Z Щ{х). % (1.2)
Нас интересует тот наибольший выигрыш, который игроки из К могут
уверенно получить. Но что вообще может помешать им получать
достаточно большие выигрыши, допускаемые значениями функций #,? Очевидно,
деятельность игроков, не вошедших в К, т.е. игроков из i \ К. В худшем для
игрока 1 случае игроки из 1\К могут также объединиться в некоторого
коллективного игрока 2 с множеством стратегий
х/\* = П х;
i<El\K
и с интересами, диаметрально противоположными интересам игрока 1.
Таким образом, мы по бескоалиционной игре Г из (1.1) и коалиции # в
ней конструируем антагонистическую игру
rK=<xK,xf\K,HK). (1.3)
Обратим внимание на то, что множество ситуаций х^ Хх7^в этой
бескоалиционной игре формально совпадает с множеством ситуаций х = Xj в
исходной бескоалиционной игре (1.1).
Заметим также, что антагонистическая игра (1.3) представляет собой
картину, рассматриваемую с точки зрения коалиции К. В частности, здесь
никак не отражается фактическая (собственная) точка зрения коалиции
202

ДК и входящих в ее состав игроков. Коалиция К отвлекается от мыслей
о том, каковы у коалиции 1\К интересы (функции выигрыша #/ игроков
/ G 1\К даже не участвуют в описании антагонистической игры (1.3)!) и
как она их может осуществлять. Коалиция К в рамках игры (1.3)
заботится единственно о том, в какой мере коалиция 1\К сможет ей навредить,
если того пожелает.
1.3. В результате проведенных рассуждений вопрос о наибольшем
гарантированном выигрыше коалиции К в игре Г из (1.1) превратился в вопрос
о наибольшем гарантированном выигрыше игрока 1 в антагонистической
игре Тк из (1.3). Но этот выигрыш есть, в соответствии с принятым
принципом максимина, значение игры Тк (разумеется, в предположении, что
игра (1.3) имеет значение). Очевидно, значение игры Г^ зависит в
конечном счете только от коалиции К (и еще, разумеется, от самой исходной
бескоалиционной игры Г, которая, однако, в наших рассуждениях остается
одной и той же), являясь ее функцией. Эта функция называется
характеристической функцией бескоалиционной игры Г. Мы будем ее
обозначать через vT. Подчеркнем, что характеристическая функция всякой
бескоалиционной игры задана на семействе всех подмножеств множества
игроков и принимает вещественные значения: vT: 21 -> R.
1.4. В сущности, переход от бескоалиционной игры Г из (1.1) к ее
характеристической функции vT можно рассматривать как итог
последовательно проводимого принципа максимина. Тем самым характеристическую
функцию vr можно считать как бы решением игры Г.
Замена игры Г ее характеристической функцией vT означает
существенную редукцию оптимизационного анализа игры Г. Имеются весьма сильно
отличающиеся друг от друга бескоалиционные игры с одной и той же
характеристической функцией. Например, функция v, для которой и(ф) = 0Э
и(1) =v0, v(2) -—v0, u(l,2) = 0, является характеристической функцией
любой антагонистической игры, имеющей значением число v0.
В результате замена игры Г ее характеристической функцией vr, снимая
вопрос о нормативном поведении игроков, не приписывает им, однако,
каких-либо обоснованных индивидуальных выигрышей. Последнее может
быть достигнуто лишь введением дополнительных оптимизационных
соображений. В связи с этим изучение характеристических функций
бескоалиционных игр составляет целую теорию, которая называется кооперативной
теорией бескоалиционных игр.
1.5. Установим два свойства, которыми обладает характеристическая
функция любой бескоалиционной игры.
Персональность. Для каждой бескоалиционной игры Г иг (0) = 0.
Действительно, по определению (см. п. 1.2)
Нф(х)= 2 Ht(x),
/е0
а последняя сумма не содержит слагаемых и поэтому равна тождественно
нулю на множестве всех ситуаций. Таким образом, в игре Тф функция
выигрыша игрока 1 тождественно равна нулю, а потому и значение в этой игре
должно быть равно нулю.
Содержательно персональность характеристической функции
бескоалиционной игры означает, что выигрыши в ней приписываются только тем или
иным игрокам ("лицам").
203

1.6. Супераддитивность. Для каждой бескоалиционной игры
vr(KUL)^vr(K) + vr(L), если K,LCI и КП1=ф. (1.4)
Для доказательства этого утверждения заметим, что
vr(KUL)= sup inf 2 Н;(Хкиь,¥т\(киь)),
XKUL YI\(KVL) i^KUL
где через XKL)L обозначаются смешанные стратегии коалиции К UL, т.е.
произвольные вероятностные меры на xKUL, а через Yj\(KUL) —
вероятностные меры на Yj\(kul ) • Если ограничиться только такими
вероятностными мерами на XKUL, которые являются произведениями независимых
распределений Хк и XL на декартовом произведении х# X xL, то область
изменения переменной, по которой производится максимизация, сузится,
и написанный супремум может разве лишь уменьшиться. Таким образом,
мы имеем
vr(K UZ)^sup sup inf 2 Hi(XK,XL, YI4KUL)).
XK XL YI\(KUL) i<EKUL N
В написанном неравенстве левая часть не меньше, чем наибольшее
значение стоящей справа под знаком максимумов функции.
Следовательно,и каждое значение этой функции не превосходит левой части
неравенства:
vr(KUT)^> inf 2 H((XK,XL, YIVKUL)),
YI\(KUL) i<EKUL
ИЛИ
vr(KUL)> inf ( 2 Ц(Хк,Хь,У1Чкиь)) +
YI\(KUL) 1<EK
+ 2 ^i(XKfXLfYI\^KUL))).
Заменим теперь стоящий справа инфимум суммы на сумму инфимумов
(при этом, очевидно, правая часть может только уменьшиться, так что
неравенство не нарушится) :
vr(KUL)^ inf 2 Ht{XK,XL, rA(*UL)) +
YI\(KUL) l^K
+ inf 2 Н((ХК,ХЬ, YI4KUL)).
Yl\(KUL) 1&L
Минимизация первого слагаемого справа по XL, а второго — по Хк (для
единообразия мы переименуем их соответственно в YL иУ^) может
привести лишь к дальнейшему уменьшению правой части
vT{KVL)^mf inf 2 Hi(XK, YL, YT\(KUL)) +
YL YI\(KUL) i(EK
+ inf inf ZHi(XL,YK,YJ4KUL)).
YK YT\(KUL)
В первом слагаемом справа минимизация осуществляется по паре
независимых мер на произведении xL X хд (К UL) = xj\K. Переход
к минимизации по произвольной мере на произведении х/\#
расширяет область минимизации и тем самым может лишь уменьшить ин-
204

фимум.По тем же причинам переход во втором слагаемом к минимизации
по произвольной мере на произведении Xj\^ может также лишь уменьшить
его. В итоге мы имеем
vr(KUL)^ inf 2 Hi(XK,YI\K)+ inf 2 ЯЛ,У^).
Yl\K ^K YJ\L l^L
Написанное неравенство справедливо при любых значениях мер Хк в
первом слагаемом и XL во втором. Следовательно, мы можем по этим
мерам перейти к супремумам:
vr(К U L) ^ sup inf 2 Щ(ХК, YTXK) +
хк yi\jc ^K N
+ sup inf 2 ЯЛГ/и),
xl Yi^ '«
откуда, по определению характеристической функции,
vr(KUL)>vr(K) + vr(L)9 (1.5)
и требуемое доказано. D
Содержательно свойство супераддитивности характеристической
функции может быть интерпретировано следующим образом.
Пусть К9 L С/ и К DL =ф. Число v^(K) есть гарантированный выигрыш
коалиции К в игре Г в условиях противодействия ей всех игроков из 1\К
(которые в нашей интерпретации являются непримиримыми врагами
игроков из К), и в том числе — всех игроков из L. Значит, если игроки из L
из врагов К превратятся в союзников, то игроки из К получат, во
всяком случае, не меньше чем v? (К). По тем же причинам игроки из Lt если
игроки из К превратятся из их врагов в союзников, получат не менее
чемиг(£).
Следовательно, если игроки из К объединятся с игроками из L в одну
коалицию К U L, то игроки из К получат не менее чем vr(K), а игроки из
L - не менее чем vT(L). Но по определению они вместе теперь получат
уверенно 1>г (К U L), что и означает (1.5).
1.7. Следующее свойство присуще характеристическим функциям не
всех бескоалиционных игр, а лишь игр с постоянной суммой ( см. п. 1.4
гл.2).
Дополнительность. Для любой бескоалиционной игры Г с
постоянной суммой
vr(K) + vT(I\£) = vr(I). (1.6)
Заметим, прежде всего, что для бескоалиционной игры с постоянной
суммой
иг(/)= 2 Щ(х) = с.
Напишем теперь
ur(K)=sup inf 2 Н,(ХК, YIXK) =
XK*Yl\fi ^К
= sup inf (с- 2 Hi(XKfYI\K)) =
хк yi\k i^*\K
= c-inf sup 2 Ht(XK, Yj\K) = c-vr(I\K\
хк yi\k <"еЛ*
откуда и следует требуемое. □
205

Содержательно дополнительность характеристической функции
является весьма ослабленной формой постоянства, суммы соответствующей
бескоалиционной игры. Разумеется, постоянство суммы бескоалиционной
игры не является необходимым условием дополнительности ее
характеристической функции. Читатель без труда может подобрать
соответствующие примеры.
1.8. Обратим внимание на то, что нахождение характеристической
функции бескоалиционной игры сводится к нахождению значений некоторого
числа антагонистических игр, и потому по существу относится к теории
антагонистических игр.
Например, для биматричной игры Г = Т(А, В) будет
иг(0),= О, vr(l) = vA, vf(2) = vbT,
иг(1,2)= max (aif+bjj).
hi
1.9. Свойства однородной аффинной эквивалентности, изоморфности и
автоморфизмов бескоалиционных игр сохраняются при переходе к их
характеристическим функциям в смысле, описываемом следующими
теоремами.
Теорема. Если бескоалиционные игры
r = </,{x,}/e/,{^}.e/> и r'=U,{xt}ieI,W;}.eI) (1.7)
однородно аффинно эквивалентны, причем для всех хЕх
H;(x) = kHt(x) + ah (1.8)
то для любой коалиции К CJ
vr>(K) = kvr(K)+ 2 at. (1.9)
Доказательство. Из(1.8) следует, что для любой коалиции К CI
2 Н!(х) = к 2 Htix)+ 2 аи
i<=K i^K i<EK
так что аффинно эквивалентными оказываются и антагонистические игры
Г (А") и Т(К'). Но тогда по теореме п. 5.3 гл. 1
vr'(K) ~^vr(K) + .^ ^*>
l GE К
а это и означает (1.9). П
1.10. Теорема. Если тх - изоморфизм игры Г на игру Г* из (1.7), то
vf,(ttK) = vf(K). (1.10)
Доказательство подобно предыдущему. Изоморфность Г и Г' означает,
что при любой коалиции К С/ и ситуации (хк,yt\к) имеет место
равенство
К^хк^У1\к)=нАхк>У1\к)-
Суммируя по iGK (или, что то же самое, по я/ Е ттК), получаем
J Н^(ттхк,1туЛк)- ^ Ht{xKtylXK\
206

т.е. антагонистические игры Г(К) и Г'(К) оказываются изоморфными,
так что по теореме п. 5.3 гл. 1 они имеют одно и то же значение.
Последнее и означает (1.10). □
1.11. Следствие. Если тт есть автоморфизм игры Г, то
vr(7rK) = vr(K) {KCI). (1.11)
Это получается, если в (1.10) положить Г' = Г. □
§ 2. АБСТРАКТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2.1. Говоря абстрактно, характеристическая функция бескоалиционной
игры состоит в постановке в соответствие каждому подмножеству
некоторого множества (игроков) вещественного числа. Поэтому о ней можно
говорить и вне какой-либо связи с бескоалиционными играми. На этом пути
возникает весьма плодотворное понятие кооперативной игры, о которой
речь будет идти ниже.
Определение. Характеристической функцией над множеством /
называется отображение
v: 27->R. (2.1)
Далее мы будем множество / предполагать конечным, а его элементы
называть игроками.
Если не оговорено противное, мы будем полагать /= {1, ... , п}.
Как обычно, любое подмножество множества всех игроков /
называется коалицией. □
Содержательно характеристическая функция (2.1) описывает следующее
положение дел. Пусть игроки из / находятся в таких условиях,.что, вступая,
если нужно, в отношения производства и обмена, они могут получать те
или иные сравнимые между собой выигрыши (полезности).
Характеристическая функция v ставит при этом в соответствие каждой коалиции К С/
наибольший уверенно получаемый ею выигрыш v(K).
Теория кооперативных игр, элементы которой нам предстоит изложить
в данной главе, заключается в том, чтобы для процесса, приводящего к
данной характеристической функции, указывать в том или ином смысле
оптимальные распределения получаемой полезности между игроками.
2.2. Характеристические функции могут иметь самое разнообразное
содержательное происхождение. Приведем несколько примеров.
Пример 1. Пусть группа /неквалифицированных работников
выполняет однородную работу, причем каждый из работников / может
выполнить некоторый объем работы и заработать (в соответствующем масштабе
цен) сумму я|.
В этом случае суммарный заработок коалиции К С/, очевидно, будет
равен 2 Я/, что и является значением v(K).
i(EK
П р и м е р 2. Пусть в условиях предыдущего примера каждый из
работников / Е / имеет некоторый индивидуальный навык, которым владеет
только он один из всего множества / и который позволяет увеличивать на
некоторую сумму bi} заработок каждого работника /, который с ним
работает в одном коллективе (коалиции).
207

Здесь заработок каждого участника коалиции К будет равен
а( + 2 b;j
(каждый член К пользуется навыками всех остальных членов К), и в
соответствии с этим заработок всей коалиции К будет равен
Z (а( + 2 Ъц )= Z д,-+ Z 6/у-.
/е/с i^K\i i<=K /,/ел:
Последнюю сумму мы будем обозначать через £(Ю.
Пример 3. Пусть мы имеем дело с рынком, на котором имеются
продавец (Пр) некоторой штуки неделимого товара, оцениваемого им в а,
и два покупателя (Щ и П2), ценящих этот товар соответственно в Ъ и с.
Очевидно, если а 2L Ь, то продавец не имеет материальных стимулов
вступать в сделку с покупателем П1, а если а > с, то с П2. Поэтому мы будем
предполагать, что а<Ь^.с.
В начальные момент распределения полезностей среди участников рынка
таково: а, О, 0. После акта обмена продавца с TL\ по цене х распределение
будет таким: х, Ь - х, 0, а после обмена с П2 по цене х - х, 0, с - х.
Поэтому в результате обмена продавца с первым покупателем
суммарная полезность возрастет на Ъ - а, а в результате его обмена со вторым —
на с - а.
Таким образом, легко убедиться в том, что здесь
v(<t>) =0, у(П1)-и(Па) = у(П1,П2) = 0,
У(Пр) =0, v(Up,Ill)=b-a9
и(Пр,П2) =и(Пр,П1,П2) = г-д.
2.3. Хотя, говоря формально, характеристическая функция из (2.1)
может быть вполне произвольной, но по многим соображениям
естественно ограничиться рассмотрением характеристических функций, обладающих
некоторыми свойствами, о которых мы уже говорили в § I при
рассмотрении характеристических функций бескоалиционных игр.
Персональность:
и(0) = О. (2.2)
Это свойство характеристической функции отражает то обстоятельство,
что в теории игр выигрыши (или проигрыши) приписываются лишь игро-"
кам и их объединениям.
Супераддитивность: для любых К, L С/, для которых имеет
место К ПЬ=ф,
v(K) + и(Ь)<,и(К UL). (2 3)
Это свойство отражает "кооперативный эффект"
социально-экономических явлений, состоящий в том, что при объединении усилий двух групп
участников явления итоговый результат оказывается не меньшим (а, как
правило, и большим), чем алгебраическая сумма результатов от
деятельности каждой из групп.
208

Далее мы будем ограничиваться, не оговаривая этого каждый раз особо,
рассмотрением лишь характеристических функций, обладающих
свойствами персональности и супераддитивности.
Отметим еще одно свойство характеристической функции.
До полнительность: для любой коалиции К С/ имеет место
v(K) + v(I\K) = v(I). (2.4)
Свойство дополнительности проявляется в тех случаях, когда
соответствующий характеристической функции v социально-экономический
процесс связан не с производством и потреблением каких-либо полезностей,
а лишь с их перераспределением (каковыми являются, например,
процессы обмена).
В отличие от свойств персональности и супераддитивности свойство
дополнительности характеристической функции не будет предполагаться
автоматически выполненным, а в тех случаях, когда оно имеет место, будет
каждый раз специально оговариваться.
2.4. Из свойства супераддитивности (2.3) тривиальной индукцией
получается ее распространение на объединение любого числа коалиций: для
любых попарно непересекающихся коалиций Ki}.. . , Кк
к к
2 v(Kt)<v( U Ki). (2.5)
i=i i=i
В частности, если каждая коалиция Kt состоит из единственного игрока,
то формула (2.6) может быть записана в виде
Z v(i)£v(K). (2.6)
i<EK
§ 3. РЕАЛИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
3.1. Конструкция характеристической функции бескоалиционной игры
является для общей теории характеристических функций в некотором
смысле универсальной.
Теорема. Какова бы ни была функция
v: 27->R (3.1)
с конечным множеством игроков I, обладающая свойствами
персональности и супераддитивности, существует конечная бескоалиционная игра
Г = </,{х,),еГ {#,->.е/> (3.2)
с тем же множеством игроков I, характеристическая функция vv которой
совпадает с v.
До казательство. Будем по характеристической функции v из
(3.1) строить бескоалиционную игру Г из (3.2) следующим образом.
Прежде всего, положим
X/ = 2JV. (3.3)
Таким образом, стратегию xt игрока / можно понимать как предложение,
адресуемое игроком / некоторой группе игроков, составить вместе с
ним коалицию.
14.Н.Н. Воробьев
209

Пусть в результате выбора игроками / £ / их стратегий х,- сложилась
ситуация х = (хь . . ., хп). Коалицию К будем называть замкнутой в
ситуации х, если для любого игрока i ^ К будет i Ux,- = К (т.е. если
каждый игрок из К обращается о вступлении в коалицию ко всем
остальным игрокам из К и только к ним; заметим, что стратегии-предложения
игроков, не принадлежащих К, при этом не принимаются во внимание, даже
если они хотят объединиться с коалицией К).
Очевидно, любые две замкнутые коалиции в одной и той же ситуации
либо не пересекаются, либо совпадают. Игроков, которые в эти замкнутые
коалиции не входят, будем называть изолированными в х.
Обозначим через Kj(x) замкнутую в х коалицию, содержащую игрока /',
или же самого игрока /, если он является в х изолированным, и положим
Htix) = l (3.4)
\Kt(x)\
Соотношения (3.3) и (3.4) определяют некоторую бескоалиционную
игру Г вида (3.2). Покажем, что эта игра является искомой. Обозначив через
vr ее характеристическую функцию, возьмем произвольную коалицию
К С / и покажем, что vr (К) = v(K).
Если К = 0, то, очевидно, vr (К) = О = v(K).
Предположим поэтому, что К Ф 0. Пусть каждый игрок i £ К выбирает
свою стратегию xf = K\i. Составим из индивидуальных стратегий х * (i G К)
коалиционную стратегию коалиции К, которую обозначим через х^.
Возьмем также произвольную стратегию хт\к коалиции 1\К. В ситуаций
(хк, х1\к) коалиция К, очевидно, является замкнутой. Общий ее
выигрыш согласно (3.4) будет равен
К*)
2 Hi(xK,xI\K) = 2 ——=v(K). (3.5)
i<=K /GX | К |
С другой стороны, стоящая здесь слева сумма является выигрышем
игрока 1 в ситуации (хк,хлк) в антагонистической игре Тк, т.е.
Нк(хк> х1\к)- Кроме того, этот выигрыш не зависит от стратегии Xj\K.
Значит,
v(K)=HK(x*K,x*j\K)= min Нк(х*к,хЛк)^
Х1\К
< max min Нк (х*к , xf \к ) = vr (К). (3.6)
хк х1\к
Обратимся теперь к дополнительной коалиции 1\К. Рассмотрим, как и
выше, коалиционную стратегию Xj\K, состоящую из индивидуальных
стратегий х* = (I\K)\i для каждого игрока / G 1\К, и произвольную
коалиционную стратегию хк коалиции К. Пусть Кр(х), р = 1, . .., г, — все
замкнутые коалиции (за исключением 1\К) и все изолированные игроки в
ситуации х. Тогда, как и при выводе формулы (3.5), мы имеем
S Н,(хк,х*Лк)= 2 v(Kp(x))£v(K).
ieк р -\
210

Вместе с тем. как и при выводе формулы (3.6), мы получаем
v(K) = Нк (хк , x*j\K ) = max Нк (хк, х*\к ) ^
хк
> min max HK(xK,xI\K):=vr(K). (3.7)
~~ Л7ус *к
Неравенства (3.6) и (3.7) дают нам v(K) = vr(K). □
3.2. Доказанная теорема имеет принципиальное значение.
Во-первых, из нее следует, что теорию абстрактных характеристических
функций можно интерпретировать как теорию характеристических
функций бескоалиционных игр.
Во-вторых, эта теорема вместе с утверждениями п. 1.5 и 1.6 означает
своего рода "структурную замкнутость" системы из двух свойств
характеристической функции — персональное™ и супераддитивности.
Определяемая этими двумя свойствами теория реализуется единственным образом
как результат систематического использования принципа максимина в
бескоалиционных играх.
3.3. В одном важном частном случае теорему п. 3.1 о реализуемости
можно уточнить.
Теорема. Если характеристическая функция v вида (3.1) обладает
помимо свойств персональност и супераддитивности еще и свойством
дополнительности, то существует бескоалиционная игра Г вида (3.3) с
постоянной суммой, для которой 1>р = v.
Доказательство этого утверждения является модификацией
доказательства теоремы п. 3.1. Как и раньше, множества стратегий игроков
X/ определяются соотношением (3.3). Это дает нам основание ввести для
каждой ситуации конструируемой игры Г понятия замкнутой в этой
ситуации коалиции и изолированного игрока. Если Ki(x) — замкнутая в х
коалиция, содержащая игрока i (или сам этот игрок, если он является
изолированным) , то положим для любого z G/
v(Kt(x)) 1 / п v(Kj{x)) \
. 1*/(*)1 п \ / = i I *,.(*)! /
Здесь, как видно из непосредственного подсчета, Z Я/(х) - v(I), так что
построенная бескоалиционная игра Г является игрой с постоянной суммой.
Ясно также, что 2 Ht(x) = vг(7). Из последних двух равенств следует, что
vrV) = v(I). (3.8)
Для доказательства того, что vr = и, поступим так же, как и в
доказательстве теоремы п. 3.1. Взяв коалицию К Ci, положив х^ =K\i для
любого i Е К и приняв Xf для / Е 1\К произвольным, мы получаем аналоги
равенств (3.5) и (3.6), из чего следует, что
v(K)^vr(K). (3.9)
Применяя те же рассуждения к коалиции 1\К, мы получаем
v(I\K)^ur(I\K). (3.10)
14*
211

Сложение неравенств (3.9) и (ЗЛО) дает нам
v(K) + v(I\K)SvT(K) + vr(I\K). (3.11)
Но слева здесь стоит по условию дополнительности v(I)9 а справа — в
силу постоянства суммы игры Г — число иг(7). Поэтому и ввиду (3.8) в
соотношении (3.11) имеет место точное равенство. Но тогда (3.9) и (3.10)
также должны быть равенствами, и v(K) = vr(K). □
§ 4. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА
ВСЕХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
4.1. В линейном пространстве всех вещественных функций на
множестве 21 множествос#%0 всех характеристических функций над/ (т.е.
функций, обладающих свойствами супераддитивности и персонально сти) имеет
определенное строение.
Теорема. В пространстве всех вещественных функций на I (где
\1 \ = п) множество V(I) является выпуклым конусом, размерность
которого не превосходит 2п — 1.
Доказательство того, что 2^(7) является выпуклым конусом, следует
из того, что умножение супераддитивной функции на положительное
вещественное число и сложение двух таких функций не выводит за пределы
класса супераддитивных функций. Замкнутость же класса всех
персональных функций относительно этих двух операций тривиальна.
Для оценки размерности 2^(1) достаточно заметить, что все вообще
вещественные функции над / образуют линейное пространство
размерности 2п. При этом все характеристические функции удовлетворяют условию
персональности и(ф) = 0, которое является нетривиальным линейным
соотношением. П
Из теоремы п. 4.3 будет следовать, что размерность множества ffl(I)
равна 2п — 1.
4.2. Для указания базиса в множестве W(J) введем следующие понятия,
которые представляют и самостоятельный теоретико-игровой интерес.
Определение. Характеристическая функция v называется простой,
если она принимает лишь два значения: 0 и 1. Если характеристическая
функция v простая, то коалиции К9 для которых v(K) = 1, называются
выигрывающими, а коалиции К, для которых v(K) = 0, — проигрывающими.
Если в простой характеристической функции v выигрывающими
являются те и только те коалиции, которые содержат фиксированную непустую
коалицию R, то характеристическая функция и, обозначаемая в этом случае
через vr , называется простейшей. □
Содержательно простые характеристические функции возникают,
например, в условиях голосования, когда коалиция является выигрывающей,
если она собирает более половины голосов (простое большинство) или не
менее двух третей голосов (квалифицированное большинство).
Более сложным является пример оценки результатов голосования в
Совете безопасности ООН, где выигрывающими коалициями являются все
коалиции, состоящие из всех пяти постоянных членов Совета плюс еще хотя бы
один непостоянный член, и только они.
212

Простейшая характеристическая функция появляется, когда в
голосующем коллективе имеется некоторое "ядро", голосующее с соблюдением
правила "вето", а голоса остальных участников оказьюаются
несущественными.
Очевидно, определение простейшей характеристической функции vR
можно записать в виде
( 1, если KDR,
vR(K)= (4.1)
I 0, в противном случае.
4.3. Число различных простейших характеристических функций над
/ равно числу непустых подмножеств в /, т.е. 2п ~ 1.
Теорема. Все 2п — 1 простейших характеристических функций над
I линейно независимы в совокупности.
Доказательство. Выясним, какими могут быть коэффициенты
в тождестве
Z \R vR (К) = 0 при любом К С /. (4.2)
R С I
R Ф ф
Будем проводить следующее индуктивное рассуждение. Возьмем
некоторую непустую коалицию К С/ и предположим, что для любой коалиции
L СК, отличной от К, должно быть XL = 0.
Согласно (4.1) в равенстве (4.2) можно оставить лишь те слагаемые,
для которых R СК. При этом лляЯ ФК по предположенному должно быть
\R = 0. Но тогда (4.2) превратится в равенство XKvK{K) = 0. Поэтому из
Vk (К) ~ 1 следует \к =0, и индуктивный переход обоснован.
Таким образом, в тождестве (4.2) все коэффициенты \R должны
обращаться в нуль. .□
4.4. Из установленной в предыдущем пункте линейной независимости
всех простейших характеристических функций в линейном пространстве,
натянутом на множество W(T), и из совпадения их числа с размерностью
этого пространства (см. п. 2.1) следует, во-первых, что размерность конуса
W(I) всех характеристических функций над / равна 2п — 1, а, во-вторых,
что каждую характеристическую функцию над / можно представить, и
притом единственным образом, в виде линейной комбинации простейших
характеристических функций над /.
4.5*. Теорема. Имеет место представление
v= Z \r(v)vr, (43)
R С /
где
XR(v)= Z (~\yR]-]Klv(K). (4.4)
К CR
Доказательство. Подставим в (4.3) вместо Л# (v) правую часть
равенства (4.4). Для любого ТС I мы получим
v(T)= Z ( Z (-l)]Rl-]K]v(K))vR(T).
RCI K CR
Очевидно, здесь отличны от нуля только те слагаемые, для которых./? С Г;
213

но для этих слагаемых vR (Т) = 1. Поэтому
v(T)= 2 I {-l)lRl~lKlv(K),
R С Т КС R
или, изменяя порядок суммирования,
v(T)= Z ( Z (-l)|/2|"|iC|)u(A:)
/СС Я KCRC Т
X X
(крестиками помечены переменные множества, по которым производится
суммирование). Объединяя во внутренней сумме все слагаемые с
одинаковым числом игроков в коалиции R, мы получаем
1Л
v(T)= Z ( Z E (-\y-]Kl)v(K),
KCR r = \K\ \R\=r
KCRC T
а так как r-элементное множество R, содержащее данное | А" |-элемент-
ное множество К, можно из данного | Т | -элементного множества Т выбрать
ровно С | г, | к | способами,
КСТ r=\K\ ,7i lK '
Выделяя слагаемое, соответствующее К = Т, мы, пользуясь формулой
бинома, получаем
v(T) = v(T)+ Z (1 -1)т-|/пи(/0 = и(Г),
/С С Г
КФТ
и справедливость представления (4.3) доказана. □
4.6. В характеристической функции с п игроками наложение условий
дополнительности равносильно наложению 2п~1 — 1 линейно независимых
условий вида (1.5). Переход от характеристических функций к их
выпуклым комбинациям, а также их уможение на положительные числа этих
условий не нарушают. Поэтому множество характеристических функций с п
игроками, удовлетворяющих условию дополнительности, является
2п ~1 -мерным выпуклым конусом.
§ 5. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
5.1. Между характеристическими функциями, как и между другими
теоретико-игровыми объектами, имеют место естественные соотношения
аффинной эквивалентности и изоморфности.
Определение. Две характеристические функции
у и у' (5.1)
над одним и тем же множеством игроков / назьюаются (однородно) аф-
финно эквивалентными, если существует такое к > 0 и такие вещественные
а( (/ G /), что для любой коалиции КС!
v'(K)=kv(K)+ Z а{. (5.2)
iC^K
214

Переход от одной характеристической функции к другой, аффинно
эквивалентной ей, иногда называется ее аффинным преобразованием*)
Содержательно различие между двумя аффинно эквивалентными
характеристическими функциями состоит в различии между начальными
капиталами каждого из игроков при их вступлении в ту или иную игру, а также
в различии между теми единицами, в которых измеряются выигрыши
коалиций (получаемые ими полезности) в условиях этих характеристических
функций.
Аффинная эквивалентность характеристических функций v и v далее
нами будет обозначаться как v'^v'.
Теорема п. 1.9 по существу утверждает, что аффинно эквивалентные
бескоалиционные игры имеют аффинно эквивалентные характеристические
функции.
5.2. Нетрудно убедиться в справедливости следующих трех свойств
аффинной эквивалентности характеристических функций.
1. Рефлексивность. Каждая характеристическая функция
аффинно эквивалентна самой себе: v ^>v'.
Действительно, достаточно в (5.2) положить к = 1, а все щ —
равными нулю.
2. Симметрия.
Если v о= v', то v '•*> v.
В самом деле, пусть имеет место (5.2). Решив это уравнение
относительно v'(K), мы получим
* i^K к
и остается заметить, что \/к>0.
3. Транзитивность?
Если v '■*> v и v" =*> i/, то v" s>v.
Для доказательства запишем вместе с условием аффинной
эквивалентности v ylv условия аффинной эквивалентности v" и v:
v"(K) = k'v'(K)+ 2 ai
Подставляя сюда выражение для v из (5.2), получаем
v"(K) = kk'v(K)+ 2 (a'i + k'ai),
где, очевидно, кк! > 0.
Мы видим, что аффинная эквивалентность как отношение между
характеристическими функциями обладает свойствами рефлексивности,
симметрии и транзитивности. Отсюда, как известно, следует, что множество
всех характеристических функций единственным образом распадается
*) Иногда аффинная эквивалентность характеристических функций назьюается
их стратегической эквивалентностью. Последний термин
представляется неудачным, так как уже сам переход к характеристическим функциям
сопровождается полным исключением из рассмотрения стратегического аспекта.
215

на попарно непересекающиеся классы, которые мы далее будем называть
классами аффинной эквивалентности.
5.3. Непосредственно из соотношения (5.2) следует, что
характеристическая функция, аффинно эквивалентная характеристической функции,
обладающей условием дополнительности, сама обладает этим свойством.
5.4. Далее нами будут рассматриваться только такие принципы
оптимальности в кооперативных играх, которые ковариантны относительно •
преобразований аффинной эквивалентности, в том смысле, что
реализуемость принципов оптимальности не изменяется в результате этих
преобразований характеристических функций, а сами их реализации
подвергаются аналогичным аффинным преобразованиям.
5.5. Поучительным является пример аффинного преобразования
характеристической функции v*+v'9 при котором k = l, a я/^>—у(/). В этом
случае для любого К С У будет
v'(K) = v(K)+ 2 a^v(K) 2 v(i)^0,
т.е. функция v'{K) оказывается неотрицательной.
Таким образом, всякая характеристическая функция аффинно
эквивалентна неотрицательной.
Из неравенства (4.3J непосредственно следует, что всякая
супераддитивная неотрицательная функция является монотонной.
5.6. О п ределение. Характеристическая функция v над множеством
игроков / называется изоморфной характеристической функции v над /',
если существует такое однооднозначное отображение тт: /-*/', что при
любой коалиции КС/
v'(nK) = v(K). □ (5 3)
Теорема п. 1.10 означает, что изоморфные бескоалиционные игры имеют
изоморфные характеристические функции.
Непосредственно проверяется, что отношение изоморфизма
характеристических функций является рефлексивным, симметричным и
транзитивным.
5.7. Определение. Изоморфизм характеристической функции
на себя называется ее автоморфизмом. □
Если 7г есть автоморфизм характеристической функции и, то (5.3)
переписывается как
v(ttK) =v(K).
Утверждение п. 1.11 означает, что автоморфизм бескоалиционной игры
порождает автоморфизм ее характеристической функции.
Очевидно, тождественная ("единичная") перестановка п° элементов
множества / является автоморфизмом любой характеристической
функции v над I; если перестановка п есть автоморфизм v над /, то обратная
ей перестановка тС1 гакже является автоморфизмом и; наконец, если
7г' и 7г" — два автоморфзима i\ то их произведение тт'тт" ("композиция")
также является автоморфизмом i». Сказанное означает, что множество
всех автоморфизмов характеристической функции составляет группу.
216

§ 6. АДДИТИВНОСТЬ В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ
6.1. Крайним ("вырожденным") случаем супераддитивности
характеристической функции является ее аддитивность.
Определение. Характеристическая функция v называется
аддитивной, если для любых К, L С IcK П L = 0 имеет место
v(K) +u(L) =v(KUL). (6.1)
Характеристическая функция, не являющаяся аддитивной, называется
строго супераддитивной. □
Тривиальной индукцией по числу объединяемых коалиций
устанавливается, что для аддитивной характеристической функции v при любых
попарно пересекающихся коалицияхКх, . . . 9Кк будет
к к
2 v(Kl) = v( U Кг)\ (6.2)
в частности, если каждая из этих коалиций состоит из единственного
игрока, то
S v(i) = v(K). (6.3)
В качестве аддитивной можно упомянуть характеристическую функцию
из примера 2 п. 2.2.
6.2. Удобный признак аддитивности (супераддитивной)
характеристической функции v дается следующей теоремой.
Теорема. Для того чтобы характеристическая функция v была
аддитивной, необходимо и достаточно выполнение равенства
2 v(i) = v(I). (6.4)
Доказательство. Необходимость написанного равенства
из аддитивности функции вытекает автоматически.
Для доказательства дастаточности возьмем произвольные не
пересекающиеся коалиции К к L и напишем систему неравенств, вытекащ-
щих из супераддитивности функции v (они являются частными случаями
формул (1.4) и (1.7)):
v(K) + v(L) ^ v(KUL),
2 v(i) ^ v(K),
2 v(i) ^ v(L),
2 v(i)<v(I\(KUL)),
i<El\(K U L)
v(KuL) + v(I\(KUL))g,v(I),
v(I)£ 2 v(i)
(в действительности, на основании условия теоремы в последнем
соотношении имеет место знак точного равенства, но нас это в данный момент
217

не интересует). Обратим внимание на то, что в совокупности этих
неравенств слева и справа стоят одни и те же величины. Поэтому, сложив
все эти неравенства почленно, мы получим тождественное равенство.
Следовательно, и каждое из складываемых соотношений является равенством,
и в частности, первое из них: v(К) + v(L) = v(K UL) . □
6.3. Даже строго супераддитивная характеристическая функпия может
обладать некоторыми чертами аддитивности: для некоторых конкретных
коалиций К и L может выполняться равенство (6.1). В связи с этим для нас
будут представлять интерес понятия, вводимые следующим определением.
Определение. Игрок / в характеристической функции v над /
называется существенным, если существует такая коалиция К, что
v(K) + v(i)<v(KUi). (6.5)
В противном случае, т.е. если для любой коалиции К СI будет
v(K)+v(i) = v(KUi), (6.6)
игрок/ называется несущественным, или "болваном" *) .
Коалиция в условиях характеристической функции, содержащая всех
существенных в ней игроков, называется носителем в этой
характеристической функции.
Если все игроки в характеристической функции являются
несущественными, то и характеристическая функция в целом также назьюается
несущественной. В противном случае, т.е. если в ней имеется хотя бы один
существенный игрок, она называется существенной. П
Заметим, что простая характеристическая функция является
несущественной тогда и только тогда, когда она нулевая, или же хотя бы один
игрок i является выигрывающим, т.е. для него v(i) = 1.
Если L — некоторое множество несущественных игроков, содержащееся
в коалиции К, то итерирование равенства (6.6) дает нам
v(K) = v(K\L)+ S v(i) (6.1)
i G L
В частности, если коалиция К состоит только из несущественных игроков, то
v(K)= I v(i). (6.8)
i GX
6.4. Применим к существенной игре рассуждения п. 5.5.
Определение. Характеристическая функция, тождественно равная
нулю, называется нулевой. □
Теорема. Для того чтобы характеристическая функция была аффин-
но эквивалентна нулевой, необходимо и достаточно, чтобы она была
несущественной.
Доказательство. Необходимость. Пусть
характеристическая функция v аффинно эквивалентна нулевой. Это значит, что найдутся
такие к > 0 и at(i G /), что для любого К СI будет
kv(K)+ 2 ^- = 0. (6.9)
/ е к
*У Термин "болван" происходит от английского слова dummy (что означает
фиктивного игрока в карты, открытыми картами которого могут распоряжаться реальные
играющие; немецкий термин Strohmann имеет тот же смысл).
218

В частности, для любого игрока / GI должно быть v(i) = ~ ajK. Но тогда
согласно (6.9) должно быть v(K) = 2 v(i), т.е. характеристическая
/ е к
функция v — несущественная.
Достаточность. Если характеристическая функция v —
несущественная, то достаточно подвергнуть ее преобразованию аффинной
эквивалентности, положив k = 1 и v(i) = — я,-. □
Таким образом, несущественная характеристическая функция
лишена какого-либо кооперативного содержания. Это не мешает ей иметь
стратегическое содержание. Например, именно такой является
характеристическая функция антагонистической игры.
Кроме того, из доказанной теоремы следует, что все несущественные
характеристические функции с одним и тем же множеством игроков аф-
финно эквивалентны друг другу.
6.5. Свойство аддитивности для отдельных коалиций К и L остается
инвариантным при аффинно эквивалентных преобразованиях.
Т ео р ема. Если v'<s v, то равенство (6.1) равносильно равенству
vXK) + v'(L) = v'(KUL). (6.9)
Доказательство. Найдем k> 1 и вещественные аи указанные
в определении аффинной эквивалентности. Тогда
v'(K) = kv(K)+ 2 ah
i G К
v'(L) = kv(L)+ 2 au
i G L
v'(KUL) = kv(KUL)= 2 au
i<EK U L
и равносильность равенств (6.1) и (6.9) оказывается очевидной.
6.6. Формальная характеризация носителя игры дается следующей
теоремой.
Теорема. Для того чтобы коалиция NCIбыла носителем в
характеристический функции v над I, необходимо и достаточно, чтобы для любой
коалиции КС I было
v(K) = v(KnN)+ 2 u(i). (6.10)
iGK\N
Доказательство. В силу п. 5 5 доказательство достаточно
провести лишь для случая неотрицательной характеристической функции.
Необходимость. Пусть N — носитель в v . Тогда разность K\N
состоит только из несущественных игроков, и согласно формулам (6.7)
и (6.8) мы имеем (6Л0).
Достаточность. Пусть коалиция N такова, что равенство (6.10)
выполняется для любой коалиции К, ai — существенный игрок в v .
Возьмем ту коалицию K$i9 для которой выполняется неравенство (6.5).
Применение к коалиции К U / равенства (6.10) дает нам
v(KUi) = v((KUi)nN)+ 2 и(/). (6.11)
/ е (К и i)\N
219

Вычитая почленно (6.10) из (6.11) , мы получаем
v(K Ui) - v(K) = v((K U i)HN) - v(KDN) +
/<E(KUi)\N /<EK\N (6.12)
Если теперь / ^N, то (AT U z) \NФK\N, и (6.12) переписьюается как
и(К U /) - v(K) = v(i),
что неверно ввиду (6.5) .Следовательно, /E7V. П
6.7. Определенная в п. 6.3 несущественность игрока носит как бы универсальный
характер: она проявляется во всех его взаимодействиях со всеми коалициями. Вместе
с тем представляет интерес и некоторая локальная несущественность игроков.
Определение. Коалиция К в характеристической функции называется
линейной, если сужение и на 2 является аддитивной функцией (т.е. несущественной
характеристической функцией над К).
Содержательно линейную коалицию можно представлять себе в виде группы
участников экономического процесса, располагающих однотипными и одинаково
скомплектованными ресурсами. Ясно, что для таких участников нет смысла вступать
в отношения обмена, а их объединение для совместного производства (в условиях
линейной производственной функции) не приведет к повышению эффективности
этого производства.
Ясно, что присоединение к линейной коалиции любого множества несущественных
игроков линейности коалиции не изменит.
§ 7. 0 - 1-РЕДУЦИРОВАННАЯ ФОРМА
7.1. По многим соображениям, и в том числе для возможностей
сравнения значений различных характеристических функций на одной и той же
коалиции, представляется удобным произвести своего рода нормировку
характеристических функций.
Определение. Характеристическая функция v над / назьюается
0 - \-редуцированной (имеет 0 — 1-редуцированную форму) , если
v(i) = 0 для любого /е/, (7.1)
у(/)=1. (7.2)
Из определения следует, что всякая 0—1-редуцированная
характеристическая функция является неотрицательной и потому неубывающей: из
К С L следует
v(K)^ v(K) + v(L\K) < v(L) .
7.2. T eo ре м а. Всякая существенная характеристическая функция
аффинно эквивалентна некоторой 0 — l-редуцированной
характеристической функции, и притом ровно одной.
До казательство. Пусть v — существенная характеристическая
функция. Будем строить нужное преобразование аффинной
эквивалентности, находя соответствующие к и at из п. 5.1.
220

Напишем для этого систему из п + 1 уравнений с п + 1 неизвестными:
v'(i) = kv(i) + at- О для /£/, (7.3)
u'(/) = b(/)+S tf; = 0. (7.4)
Матрица этой системы
(7.5)
1 0 .
0 1 ..
0 0 .
1 1 .
. . 0 и(1)
. 0 1,(2)
1 v(n)
. . 1 v(l)
имеет определитель, равный
!>(/)- 2 „(f),
i = 1
который в силу существенности характеристической функции является
положительным. Тем самым доказываемая теорема становится
элементарным алгебраическим фактом. О
7.3. Фактическое решение системы (7.3) — (7.4) не составляет труда.
Вычитание всех уравнений (7.3) из (7.4) дает нам
k(v(I)- 2 у(/))=1,
i е/
откуда немедленно находится как искомое к>0, так и все
Д/= !>(/) (!>(/)■
2 у(0)"
7.4. Например, в случае игры из примера 2 п. 2.2 0 —1-редуцированной
формой будет характеристическая функция v, для которой v(K) =
= В(К)/В(1).
7.5. Заметим попутно, что множество всех 0 - 1-редуцированных
характеристических функций над данным множеством игроков является
выпуклым.
7.6. В соответствии со сказанным в п. 3.4 мы можем вместо отдельной
характеристической функции рассматривать целый класс аффинно
эквивалентных функций. Вместо же такого класса мы можем в свою очередь
рассматривать одного из представителей этого класса.
В качестве представителя класса несущественных характеристических
функций с данным множеством игроков мы будем рассматривать нулевую
характеристическую функцию над этим множеством, а в качестве
представителя каждого из классов существенных характеристических функций —
соответствующую 0 — 1-редуцированную характеристическую функцию.
7.7. Подобно 0 — 1-редуцированным формам характеристических
функций можно рассматривать при произвольных а и Ь (па Ф Ъ) также
и "я —&-редуцированные" их формы, понимая подними такие
характеристические функции v', для которых v'(/) = a, /G/, v '(I) - Ь.
Нетрудно показать, что всякая существенная характеристическая
функция имеет ровно одну а - ^-редуцированную форму, каковы бы ни были
а и Ь (если паФ Ъ) .
221

Кроме уже упомянутых 0 - 1-редуцированных форм, в теории игр чаете
рассматриваются еще и — 1-0- редуцированные формы.
§ 8. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
С МАЛЫМ ЧИСЛОМ ИГРОКОВ
8.1. В соответствии со сказанным в п. 7.4 мы будем для любого числа и
игроков фиксировать наличие нулевой характеристической функции как
представителя класса несущественных характеристических функций, а
также перечислять все 0 - 1-редуцированные характеристические функции
как представителей классов существенных характеристических функций.
Из сказанного в п. 4.1 следует, что каждая характеристическая функция
с числом игроков п описывается 2п — 1 параметрами. При 0 — 1-редукции
на характеристическую функцию накладывается п + 1 линейно независимых
связей, так что каждая 0 — 1-редуцированная характеристическая функция
описывается 2п - п — 2 параметрами.
Из сказанного в п. 4.5 следует, что каждая характеристическая функция
над п игроками, обладающая свойством дополнительности, описывается
2п ~ х параметрами. Следовательно, каждая 0 — 1-редуцированная
характеристическая функция над п игроками описывается 2п"1 - п — 1
параметрами.
8.2. При п = 2 число параметров 2п - п - 2 равно нулю. Выпуклое же
(см. п. 5.4) нульмерное множество должно состоять из единственной точки.
Значит, имеется единственная 0 — 1-редуцированная характеристическая
функция над двумя игроками. Именно, для / ={1, 2} должно быть v(<j>) =
= v(l) = v(2) - 0, v(I)= 1 (что, впрочем, непосредственно вытекает из
определения 0 — 1-редуцированной характеристической функции).
Подсчет числа параметров 2п~1 - п — 1, определяющих 0 — 1-редуци-
рованные характеристические функции с условиями дополнительности,
имеет смысл лишь в случае и > 2, а 0 — 1-редуцированных
характеристических функций двух лиц с условием дополнительности просто нет.
8.3. При п = 3 каждая 0 - 1-редуцированная характеристическая
функция определяется 23 —3 — 2=3 параметрами. Очевидно, в качестве таких
Рис. 4.1 Рис. 4.2
222

параметров естественно взять
у(1,2) = с3, и(1,3) = с2, u(2,3) = ci. (8Л)
Заметим, что к такому вьшоду приводит и непосредственное выписью ание
условий персональности и 0 — 1-редуцированности.
В силу сказанного в конце п. 5.5,
0 = и(1)^и(1,2) = с3^и(1,2,3)=1,
т.е. О <,с3 <1. Аналогично мы получаем, что 0 < сх < 1 и 0 < с2 ^ 1.
Таким образом, каждая 0 — 1-характеристическая функция трех лиц
описьюается тройкой чисел (сх ,с2,с3),гдес/Е [0, 1], / = 1, 2, 3, которую
можно интерпретировать как точку трехмерного единичного куба (рис. 4.1).
Описание множества всех 0 — 1-редуцированных характеристических
функций трех лиц в виде куба не имеет какого-либо принципиального
значения, но наглядно и удобно.
Согласно п. 8.1 семейство всех 0 — 1-редуцированных
характеристических функций трех лиц с условием дополнительности имеет размерность
22 — 3 — 1 =0, т.е. состоит из единственной характеристической функции.
Для нее должно быть сх = с2 = с3 = 1 (см. жирную точку на рис. 4.1)*).
Для 0 — 1-редуцированной формы игры из примера 3 п. 2.2 мы,очевидно,
имеем:
с3=и(П1,П2) =0, c2=v(Ui,Up) = -,
с - а
ci =и(П2,Пр) =1,
и ей примерно соответствует точка, помеченная на рис. 4.1 крестиком (мы
считаем продавца игроком 3) .
8.4. Характеристическая функция v трех лиц, описьюаемая
соотношениями (8.1) , имеет нетривиальный автоморфизм
с2 з)
\2 1 3/
В такие характеристические функции игроки 1 и 2 входят равноправно,
если сх = с2. Соответствующие точки куба составляют диагональную
плоскость (рис. 4.2).
Аналогично описьюается характеристическая функция с автоморфизмом
С 2V« С23).
' VI 3 2/ \3 2 1 /
Им соответствуют точки, лежащие на других диагональных плоскостях.
Наконец, симметричные характеристические функции, для которых
сх =с2 = с3, имеют автоморфизмами все шесть перестановок игроков.
Им соответствуют точки, лежащие на диагонали куба (рис. 4.3) .
*) Заметим, что точка куба на рис. 4.1, лежащая в начале координат, не
соответствует классу несущественных игр, которым вообще нет места в этом
представлении.
223

Рис. 4.3
и, кроме того,
жить
v(l,4) =с,,
u(2,3)=l-cls
8.5. Переходим к случаю п = 4.
Размерность пространства всех 0 —
1-редуцированных характеристических функций
равна 24 —4 — 2=10, и это пространство
едва ли поддается наглядной геометрической
интерпретации.
Размерность пространства всех 0 —
1-редуцированных характеристических
функций с условием дополнительности равна
23 _4—1=3. Для таких
характеристических функций мы автоматически имеем
и(0) = и(1) = у(2) = у(3) = О,
и(/) = и(2,3,4) = у(1,3,4) =
= и(1,2,4) = и(1,2,3)=1,
можно в соответствии с условием дополнительности поло-
у(2,4) = с2,
у(1,3)=1-с2,
v(3,4) = c3,
и(1,2)=1-
Съ-
Значит, каждую из таких характеристических функций можно изобразить
точкой того же куба на рис. 4.1.
8.6. Разнообразие классов аффинной эквивалентности (или, что то же
самое, 0 - 1-редуцированных характеристических функций) растет с
увеличением числа игроков весьма быстро. Например, размерность множества
классов игр пяти лиц равна 25 (в случае условия дополнительности эта
размерность равна 10). Дчя шести игроков соответствующие числа равны
56 и 25 и т.д.
Я'лю, что при п > 4 приходится ограничиваться рассмотрением
отдельных слассов таких игр, а для построения их полной систематической теории
необходимо привлечение какие-либо новых комбинаторных идей.
§ 9. ДЕЛЕЖИ И КЛАССИЧЕСКИЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ
9.1. Как уже отмечалось, характеристическая функция бескоалиционной
игры является весьма неполной реализацией принципа оптимальности
максйминного типа, как таковая нуждается в уточнении и действительно
может быть уточнена. Это уточнение мы будем осуществлять в виде
расчлененного на этапы нормативного (оптимизационного) описания
распределений полезностей между игроками в условиях каждой конкретной
характеристической функции.
9.2. Предположим, что при * распределении полезности, имеющейся в
распоряжении множества игроков /, каждый игрок / Е/ получит сумму xt .
В результате распределение полезностей может быть описано вектором
выигрышей х = (хг, .. . , хп) .
Очевидно, каждый раз в конкретных условиях распределения
полезности возможно осуществление не произвольного вектора выигрышей, а лишь
такого, который удовлетворяет некоторым ограничениям, вытекающим
из условий распределения полезности.
224

Определение. Вектор д:: I-*R (т.е. вектор, компоненты
которого соответствуют игрокам данной характеристической функции и
над / ) назьюается дележом в условиях и , если он удовлетворяет
некоторым условиям, выраженным через значения v и соответствующим
содержательно возможностям реализации х. П
В условиях дележа х каждая коалиция KCIполучает сумму 2 *,-.
i e к
Мы будем часто обозначать эту сумму через х(К). Такое обозначение как
бы напоминает о том, что дележ с неотрицательными компонентами можно
понимать как меру.
Ясно, что условия реализуемости, накладываемые априори на вектор х
из сформулированного определения, могут быть весьма разнообразными.
Множество всех допустимых в условиях характеристической функции и
дележей будем обозначать через Av .
Определение. Тройка
Г = </,и, Ль\ (9.1)
состоящая из множества игроков /, характеристической функции v над /
и множества дележей ^CR', называется классической кооперативной
игрой. □
В данной книге мы ограничимся только одним из вариантов таких
условий, которым должны удовлетворять дележи, составляющие
множество Av.
9.3. Рассмотрим некоторую характеристическую функцию и над
множеством игроков / .
Сформулируем условия, при которых вектор выигрышей х может
считаться допустимым в бескоалиционной игре с данной
характеристической функцией и (равно как и в любых иных конфликтных отношениях
с этой характеристической функцией) и может с реальными основаниями
рассматриваться как разумный договор между участниками игры в
условиях ' неограниченного последующего распределения между игроками,
получаемых коалициями вьшгрышей. Реальность этих оснований мы будем
далее понимать как их необходимость, как своего рода частичную систему
аксиом, определяющих оптимальность дележа.
Во-первых, естественно потребовать, чтобы для каждого i G / было
*,£и(/). <9'2)
Действительно, в противном случае игроку i при распределении благ х
будет предложено меньше, чем он может получить форсированно, действуя
совершенно самостоятельно и не заботясь о согласии каких-либо других
игроков. Если же игроку / будет в распределении х предложена доля,
меньшая чем u(i), то он откажется участвовать в таком распределении,
и это распределение тем самым не будет реализовано.
Во-вторых, необходимо, чтобы было
х(/) = и(/). (9.3)
В самом деле, в случае х(1) <и(7) вся совокупность игроков / получает
меньше, чем она могла бы получить в условиях характеристической
функции , v . Вместо этого / может добиться получения и(7) и распределить это
15.Н.Н. Воробьев
225

количество так, чтобы каждый игрок /€/получил больше, чем его доля
л,-. Следовательно, такое распределение х можно считать невыгодным и
потому недопустимым.
С другой стороны, если бы было x(I)>v(I), то это означало бы, что
игроки из / делят между собой сумму, превосходящую ту, которая
находится в их распоряжении. Значит, в этом случае вектор выигрышей х
просто неосуществим.
Условие (9.2) называется условием индивидуальной рациональности
вектора х, а условие (9.3) — условием его коллективной рациональности
(или групповой рациональности).
Далее мы под дележом в условиях характеристической функции v над I
будем понимать вектор х: I-+R, удовлетворяющий условиям
индивидуальной рациональности (9.2) и коллективной рациональности (9.3).
9.4. Опишем в явном виде множество Jtv всех дележей в классической
кооперативной игре.
Теорема. Для того чтобы вектор х = (хх,... ,х„) был дележом в
классической кооперативной игре </, и, o4v >, необходимо и достаточно,
чтбы было Xf = v(i) + a,-, i €/, причем
а,^0, iG/, 2 а, = и(/)- 2 v(i). (9.4)
i e / / е /
Доказательство. Достаточность устанавливается простой
проверкой условий индивидуальной и коллективной рациональности вектора х.
Для доказательства необходимости положим
Xi-v{i) = щ. (9.5)
Из (9.2) следует, что а^О. Суммируя почленно все равенства вида (9.5)
и учитывая (9.3), мы получаем (9.4) . □
9.5. В частности, если в кооперативной игре Г = </, и, *AV >
характеристическая функция v является несущественной, то правая часть неравенства
в (9.4) должна обращаться в нуль, откуда следует, что должно быть щ = О
при всех i € /. Это значит, что в несущественной кооперативной игре
имеется лишь один дележ: (и(1),... ,v(n)).
С другой стороны, если в кооперативной игре Г
характеристическая функция v имеет 0 — 1-редуцированную форму, то множество всех
дележей Av оказьюается симплексом
а компоненты каждого дележа (т.е. доля каждого игрока в нем)
естественно понимать как его барицентрические координаты в Av .
Мы видим, что смешанные стратегии в бескоалиционных играх и дележи
в кооперативных играх описываются одними и теми же математическими
образами: точками (векторами) в симплексе, задаваемыми своими
барицентрическими координатами. Это приводит и к одинаковым
геометрическим изображениям тех и других. Однако, видя такое наглядное сходство
и проводя формальные аналогии, не следует забьюать о глубоком
содержательном различии между ними: компонентами смешанной стратегии игрока
являются вероятности тех или иных его действий (чистых стратегий),
а компонентами дележа — доли полезности различных игроков. При этом
226

то, что доли полезности также могут выступать в физическом облике
вероятностей, очевидно, дела не меняет.
9.6. Между дележами в аффинно эквивалентных характеристических
функциях имеется естественное соответствие.
Определение. Пусть
v'(K) = kv(K)+ 2 at (9.6)
i е. к
и х Е A v. Дележом х 'Е Л vf9 соответствующим дележу х в условиях
описываемой в (9.6) аффинной эквивалентности, называется дележ х\ для i -й
компоненты которого будет
х\=кх1 + аг. П (9.7)
9.7. Если х = (xl9.. . ,х„)Е <AV и я — автоморфизм v, то положим
ял: = (хя1,... ,хяи) .
9.8. В настоящее время в теории игр рассматриваются также
кооперативные игры более общего типа, чем определенные только классические
кооперативные игры. Мы, однако, в дальнейшем ограничимся рассмотрением
лишь классических кооперативных игр, которые будем назьшать просто
кооперативными играми. Поскольку основной и определяющей составной
частью кооперативной игры является характеристическая функция,
кооперативные игры нередко называют также играми в форме
характеристической функции.
9.9. По подходу к изучаемым явлениям и по их математической
трактовке теория кооперативных игр близка к рассматривавшейся в предыдущих
главах теории бескоалиционных игр.
Подобно ситуации в общей теории бескоалиционных игр (ср. гл. 3. п. 4.2),
дележ в теории кооперативных игр можно содержательно понимать как
договор между игроками о распределении получаемой ими всеми суммы
Однако следует иметь в виду важные черты различия между этими
двумя теориями.
Прежде всего бескоалиционные игры являются стратегическими
в том смысле, что в них исход (ситуация) формируется в результате,
действия тех самых игроков, которые в этой ситуации получат те или иные
выигрыши. Напротив, исходом кооперативной игры является дележ,
который возникает не как следствие тех или иных действий игроков,
а как результат их соглашений.
В соответствии с этим в кооперативных играх сравниваются по
предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх,
а дележи, и сравнение это не ограничивается рассмотрением
индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.
Различие в характере предпочтений обусловливает и различия в
представлениях об оптимальном для этих классов игр. Принципы оптимальности
в кооперативных играх оказываются весьма разнообразными и часто
довольно сложными. Рассмотрению некоторых из них посвящена вся
оставшаяся часть этой главы.
Определение. Кооперативные игры Г = (7, v' Av )«Г'=(/, v', Л v>)
с одними тем же множеством игроков называются аффинно эквивалентны-
15*
227

ми, если аффинно эквивалентны характеристические функции и и и',
а каждому дележу х G Л v поставлен соответствие определяемый в (9.7)
соответствующий ему дележ х Е^ v>. □
Поскольку в принятых нами соглашениях характеристическая
функция v однозначно определяет множество дележей A\>, она однозначно
определяет и всю кооперативную игру </, и, Jlv >. На этом основании мы можем
понятия характеристической функции и кооперативной игры
отождествлять, пользуясь терминами "характеристическая функция" и
"кооперативная игра" как синонимичными.
В частности, мы будем на кооперативные игры переносить
формулировки всех свойств характеристических функций, и в том числе такие, как
дополнительность, существенность или несущественность (аддитивность),
О — 1-редуцированность и т.д.
§ 10. ДЕЛЕЖИ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
10.1. Присоединение к заданию характеристической функции множества
допустимых дележей, т.е. ее превращение в кооперативную игру, можно
рассматривать как своего рода оптимальное решение задачи, которая
описывается характеристической функцией. Это значит, что
характеристическая функция бескоалиционной игры находит в соответствующей ей
кооперативной игре некоторое свое оптимизационное уточнение. Однако
множество всех дележей, очевидно, оказывается при этом все еще
недостаточно точным решением, и возникает естественная задача указать в качестве
такого оптимального решения некоторое меньшее множество дележей,
а в идеале — единственный дележ.
Один путь построения таких оптимальных решений состоит во введении
на множестве всех дележей некоторого достаточно естественного
отношения предпочтения и в объявлении "решением" того дележа или того
множества дележей, которые удовлетворяют в смысле этого отношения тем
или иным условиям максимальности. На этом пути мы получим
оптимальные решения, которые называются с-я дро м (см. § 13) и решением
по Нейману - Моргенштерну (см. § 16).
Другой путь основан на введении формальных описаний тех требований,
которые естественно предъявлять к оптимальным дележам, придании этим
требованиям смысла аксиом и нахождении описания оптимальных решений
дедуктивным путем. На этом пути мы в § 20 придем к понятию
"справедливого дележа" (который назьшается вектором Шепли). Заметим, что
получаемые на таком аксиоматическом пути оптимальные решения можно также
получить и как оптимальное решение некоторой оптимизационной задачи
над множеством дележей, понимаемым как подмножество (симплексов) в
евклидовом пространстве.
10.2. Хотя понятие дележа логически и связано с понятием
характеристической функции, но в принципе является внешним по отношению к нему.
Поэтому уточнение формальной связи между этими понятиями
оказывается достаточно плодотворным. Основой этой связи может служить
соотношение между выигрышами (полезностями), получаемыми коалицией на
основании характеристической функции, с одной стороны, и на основании
того или иного конкретного дележа - с другой. Некоторые из таких соот-
228

ношений были рассмотрены в п. 9.3 как условия индивидуальной и
коллективной рациональности. Они касались значений характеристической
функции для отдельных игроков и для "большой" коалиции. Включим
в рассмотрение свойства "рациональности" дележей для другий коалиций.
Определение. Эксцессом дележа х для коалиции К в условиях
характеристической функции v называется разность ev (х, К) = v(K) —
-х(К). □
Содержательно эксцесс есть разность между тем количеством v(K)9
на которое коалиция К может уверенно рассчитывать в условиях
характеристической функции v, и тем количеством, которое на основе дележа х
получат в сумме все участвующие в ней игроки. Таким образом,
положительный эксцесс можно понимать, с одной стороны, как "запас" в
реализуемости компонент дележа для игроков из К в условиях х, а с другой —
как степень неудовлетворенности коалиции К дележом х в условиях v.
Ясно, что в результате автоморфизма я характеристической функции
эксцесс дележа не изменяется: e^v (ттх, ттК) = ev (х, К).
10.3. Дележи с неотрицательными эксцессами можно считать
осуществимыми.
Определение. Дележ х называется эффективным для коалиции К
в условиях характеристической функции и, если ev(x, K)=v(K) —
-х(К)^0. □
Наглядно можно интерпретировать и неэффективность дележа х для К
в условиях v. Она состоит в вынужденной приемлемости х для К, т.е. в том,
что коалиция К, оказавшись в условиях неэффективного для нее дележа,
не будет иметь возможностей изменить его для себя в лучшую сторону
и не будет тем самым стремиться к его изменению.
Следовательно, если дележ не ябляется эффективным ни для какой
коалиции, то он оказывается весьма устойчивым и может в этом своем
качестве квалифицироваться как оптимальный.
Определение. Дележ называется абсолютно неэффективным
в условиях характеристической функции и, если он не эффективен ни
для какой коалиции в условиях v. □
Множеством всех абсолютно неэффективных дележей мы займемся
в § 13 и следующих за ним.
§ П. ДОМИНИРОВАНИЕ ДЕЛЕЖЕЙ
11.1. На множестве дележей в любой кооперативной игре можно указать
некоторое достаточно естественное отношение предпочтения.
Пусть х = (xi,.. ., хп) иу= (>>i,..., уп) — два дележа в кооперативной
игре v9 а К С /—некоторая коалиция.
Определение. Говорят, что дележ х доминирует дележ у по
коалиции К, если выполняются следующие два условия:
1) эффективность доминирующего дележа:
x(K)^v(K); (11.1)
2) предпочтительность:
Xi>yt для всех iGK. (11.2)
229

Доминирование дележа у дележом х по коалиции К обозначается через
х > у (или иногда через xRKy), а множество всех дележей, доминируемых
к
дележом х по коалиции К, — через dom^ x. □
Из соотношения (11.2) следует, что множество dom^x есть открытое
выпуклое подмножество множества всех дележей.
Ясно также, что из х> у следует, что х> Хх + (1 — X) у при любом
XG [0,1]. к к
11.2. Соотношение доминирования по коалиции К, т.е. х> у, выражает
к
некоторое предпочтение, отдаваемое коалицией К дележу х по сравнению
с дележом у. Оно призвано отражать то обстоятельство, что при выборе
из двух дележей х и у коалиция К выберет х. Это можно понимать и так,
что при предъявлении коалиции К дележа у как договора, коалиция К
имеет основания выступать против у, предлагая в качестве альтернативы
дележ х.
Фигурирующее в определении доминирования условие эффективности
уже комментировалось нами в п. 10.2. Оно означает, что сравниваемый
коалицией дележ х должен быть, прежде всего, реализуемым этой
коалицией: сумма выигрышей каждого из членов коалиции не должна
превосходить уверенно получаемое ею количество. В противном случае коалиция,
встретившись с дележом, дающим ей столько, сколько она самостоятельно
не в состоянии добиться, должна согласиться на него и не заниматься его
сравнением с какими-либо другими дележами.
Условие предпочтительности отражает необходимость "единодушия" в
предпочтении со стороны коалиции: если хотя бы одно из неравенств
(11.2) будет нарушено, т.е. если хотя бы для одного из членов коалиции К
выигрыш в условиях дележа у будет не меньшим, чем в условиях
дележа х, то можно будет говорить о предпочтении дележа х дележу у не всей
коалицией К, а лишь теми ее членами, для которых соответствующее
неравенство (11.2) соблюдается.
11.3. Определение. Говорят, что дележ х доминирует дележ у,
если существует такая коалиция К, по которой дележ х доминирует дележу
(т.е. имеет место х > у).
к
Доминирование дележа у дележом х обозначается через х > у (или
иногда как xRy), а множество всех дележей, доминируемых дележом х,
через dom x. □
Очевидно, domx= U dom^x. Поэтому множество domx также
к с/
является открытым.
Из х > у следует, что х > Хх + (1 - X) у при любом X G [0, 1).
Доминирование дележом х дележа у означает, что в "обществе" (т.е.
в множестве всех участвующих в игре игроков /) найдутся такие "силы"
(т.е. такая коалиция К), которые 6} дут выступать в пользу дележа х
при его сравнении с дележом v.
Отношение доминирования, вообще говоря, не обладает теми
свойствами отношений, которые обычно упрощают их анализ. Так, ввиду
строгости неравенств (11.2) отношение доминирования не может быть
рефлексивным. Симметричность его возможна (гак как дележ х может домини-
230

ровать дележ у по одной коалиции, в то время как дележ у доминирует
дележ х по другой), но не обязательна. То же можно сказать и о
транзитивности доминирования. Из того, что х доминирует у (т.е. имеется
коалиция, предпочитающая х по сравнению с у), а у доминирует z (т.е. имеется
коалиция, предпочитающая у по сравнению с z), еще никак не следует
доминирования дележа z дележом х (т.е. существования коалиции,
которая предпочитала бы х по сравнению с z).
11.4. Доминирование возможно не по всякой коалиции. Так, ни в какой
кооперативной игре невозможно доминирование по коалиции, состоящей
из единственного игрока, а также по множеству всех игроков /.
Действительно, из х> у следовало бы yf< xf< v(i), а это
противоречит индивидуальной рациональности дележа .у.
Из х> у следовало бы х->у. для всех i G /, и потому х(1) >у(1) =
X
= v(I), что противоречит коллективной рациональности дележа х.
11.5. Нетрудно показать, что для одновременного выполнения доминирований
х> у к у > х ъ кооперативной игре необходимо, чтобы число игроков п в ней было
не меньше пяти.
В самом деле, пусть п=4,х>уку>х.В силу строгости неравенств (11.2) долж-
К L
но быть К n L =ф. Поэтому каждая из коалиций К и L должна состоять ровно из
двух игроков. Не нарушая общности, можно считать, что К = {19 2} vi L = {3, 4). Мы
имеем в силу х >у х, + х2 S v(l, 2), а в силу у >х - хъ+ х4 < уъ +У* ^ и(3, 4).
К L ""*
Сложение этих неравенств дает нам
хх +х2 +х3 +х4 < и(1, 2) +и(3,4) S v(I),
что противоречит коллективной рациональности дележа х.
11.6. Отношения доминирования по какой-либо коалиции (а тем самым
и отношение доминирования) инвариантны относительно аффинной
эквивалентности.
Теорема. Если v и v — две аффинно эквивалентные
характеристические функции, причем дележам х и у соответствуют дележи х' и у\ то из
х > у следует х > у .
к к
Доказательство. Пусть
v'(K) = kv(K)+ Z at (к>0,КСГ).
Доминирование х > у означает
x(K)£v(K), K xt>yt (геК).
Но тогда
х\К)= 2 (Ьс.+я.) =
i<EK
= k 2 jt,+ 2 at<,kv(K)+ 2 at = v'(K),
i<EK i<EK i<EK
y'i = kyt + at < kxt + at = x/,
т.е. x > у'. П
к
231

11.7. .Из сказанного следует, что все явления, описываемые в терминах
доминирования дележей, относятся не к самим кооперативным играм,
а к их классам аффинной эквивалентности. Следовательно, эти явления
достаточно изучать для несущественных игр по нулевым играм, а для
существенных игр — по их 0 — 1-редуцированным формам.
11.8. Отношение доминирования сохраняется и при автоморфизмах
характеристической функции.
Теорема. Если п — автоморфизм характеристической функции и,
а К —коалиция, то из х >у следует их > тту.
К ттК
Доказательство очевидно. □
Отсюда немедленно получается: из х> у следует -пх> тту.
11.9. Доминирование в условиях простой (и в том числе — простейшей)
характеристической функции возможно лишь по выигрывающим
коалициям (отличным от множества / всех игроков).
Действительно, если v(K) = 0, то из х > у следовало бы
к
у(К)< х(К)<ьи(К)=0,
чего не может быть ввиду неотрицательности компонент дележей.
С другой стороны, если характеристическая функция v — простейшая:
v = vR, а К D R, то для х >у необходимо, чтобы было
К
у(К)< x(K)S 1. (П.З)
§ 12. ПРИМЕРЫ ДОМИНИРОВАНИЯ ДЕЛЕЖЕЙ
12.1. В любой несущественной игре согласно п. 9.5 имеется только
один дележ, и потому никаких доминирований в ней нет.
12.2. В играх двух лиц всякая коалиция либо состоит из единственного
игрока, либо совпадает с множеством всех игроков. Поэтому согласно
п. 11.4 в играх двух лиц доминирование дележей невозможно.
12.3. Опишем доминирование дележей в существенной игре трех лиц
(мы можем считать, что она имеет 0 — 1-редуцированную форму).
Начнем с того случая, когда рассматриваемая кооперативная игра
обладает свойством дополнительности: сх =с2 =с3 = 1 (см. п. 8.3).
Пусть х- (х1э х2, х3) и у - (ух^Уг* Уз) — два дележа. Как указывалось
в п. 11.4, доминирование невозможно ни по одной из одноэлементных
коалиций 1, 2 или 3, ни по трехэлементной коалиции {1, 2, 3}.
Следовательно, доминирование возможно лишь по одной из двухэлементных
коалиций {1,2}, {1,3} или {2,3}.
Будем представлять дележи в рассматриваемой кооперативной игре как
тройки барицентричных координат точек в треугольнике 123.
Доминирование х > у означает, во-первых, что хх +х2 S v(l9 2) = 1 и,
1,2
во-вторых, что У\ < Xi, у2 < *2- Первое из этих условий выполняется
автоматически: хх +х2 = 1 — хъ ^ 1, и поэтому мы на нем останавливаться
не будем. Во втором же условии .у t < xx означает, что прямая,
параллельная стороне треугольника 23 (рис. 4.4) и проведенная через точку х,' л ежит
232

ближе к вершине 1 треугольника, чем параллельная ей прямая, проведенная
через точку у. Точно так же у2 < У\ означает, что точка х лежит к
вершине 2 ближе (в том же самом смысле), чем точка у.
Таким образом, множество всех дележей, доминируемых данным
дележом х по коалиции {1,2}, составляет в треугольнике всех дележей
открытый параллелограмм. Он открыт в треугольнике, но не по всей плоскости,
в том смысле, что его стороны, лежащие на сторонах треугольника
дележей, принадлежат ему, а стороны, лежащие внутри этого треугольника, -
нет, ибо неравенства (11.2) — нестрогие (рис. 4.5)
Рис. 4.4 Рис. 4.5 Рис. 4.6
Аналогично (в сущности, это вытекает из симметричности
рассматриваемой игры (см. п. 8.4) и сохранения доминирования при автоморфизмах
(см. п. 11.8)) множество дележей, доминируемых дележом jc по
коалициям {1,3}и{2,3}, образует два дальнейших открытых параллелограмма,
направленных в сторону вершин 2 и 1. Таким образом, множество всех
дележей, доминируемых дележом х, описывается на рис. 4.6
заштрихованной областью.
12.4. Непосредственно из описания множества всех дележей,
доминируемых данным дележом, видно, что для того, чтобы из двух данных дележей
ни один не доминировал другого, необходимо и достаточно, чтобы прямая,
проведенная через соответствующие им точки, была параллельна одной
из сторон треугольника дележей.
12.5. Рассмотрим теперь доминирование дележей в общей игре трех
лиц. Напишем снова условия доминирования дележом х= (дгь х2, х3)
дележа^ = (УиУ2,у3) по коалиции {1,2}:
*i + x2g* u(l,2) = с3,
У\ < *ь У г < х2.
Так как теперь, вообще говоря, может быть с3< 1, первое из этих
условий может оказаться существенным, и его нельзя отбросить, как это
мы сделали в случае игр со свойством дополнительности. Это условие
означает, что соответствующая дележу х точка должна быть расположена
не ниже прямой с уравнением £1 +£2 =<?з> или, что то же самое
(напомним, что мы имеем дело с барицентрическими координатами, в которых
равенство ?1+^2+?з = 1 выполняется тождественно!), с уравнением
\3 = \~с3 (рис. 4.7).
Таким образом, если дележ х таков, что
xl^l"Cl9 x2>l-c2, х3^1-с3, (12.1)
233

f*^?3
h-i-o
Рис. 4.7
Рис. 4.8
$Г'-*з
$.-/-С
Рис. 4.9
Рис. 4.10
то имеются три параллелограмма доминируемых им дележей (рис. 4.8);
если одно из неравенств в (12.1) не имеет места (пусть это будет для
определенности третье неравенство), то имеются два параллелограмма
(рис. 4.9); наконец, если не имеют места два неравенства из (12.1)
(скажем, последние два), то — лишь один параллелограмм (рис. 4.10).
Возможностей для недоминирования одним дележом другого здесь
больше, чем в случае игры со свойством дополнительности. Эти
возможности можно усмотреть и перечислить, анализируя рис. 4.8—4.10 и
аналогичные им. Разнообразие возникающих здесь случаев достаточно наглядно
демонстрирует комбинаторные трудности, которые возникают при
изучении вопросов, связанных с доминированием дележей в кооперативных
играх, и которые возрастают при увеличении числа игроков.
12.6*. Комбинаторное разнообразие вариантов доминирования дележей
в игре возрастает с увеличением числа игроков весьма быстро.
Ограничимся кратким описанием положения дел в случае игр четырех лиц.
Пусть и — характеристическая функция над /= {1, 2, 3, 4}. Согласно
сказанному в п. 11.4, доминирование возможно здесь лишь по
двухэлементным и трехэлементным коалициям, т.е. всего здесь может быть до С? + С? =
= 10 типов доминирования.
234

Будем считать, что v задана в 0 — 1-редуцированной форме, и для любых
попарно различных *, /, к, I из /
v(Uj\k) = с„ (12.2)
v(ij) = dkl. (12.3)
Заметим попутно, что согласно монотонности характеристической
функции v (см., например, п. 7.1) здесь должно быть dkX <ck и dM gc/
(всего наберется, очевидно, 12 таких неравенств).
12.7*. Возможность х > у наступает тогда, когда дележ х для коалиции
123
{1, 2, 3 } эффективен, т.е. когда хг + х2 +х3 <. с4. Геометрически это
означает, что в симплексе дележей соответствующая дележу х точка должна
находиться в тетраэдре, отсекаемом от всего симплекса плоскостью £i +
+ ?2 + £з = Q> где £,• — барицентрические координаты в этом симплексе.
В этом случае х > у будет иметь место, если хг >У\,х2>у2 и хъ >у3,
123
т.е. если дележ у находится в параллелепипеде с вершинами х и 4,
изображенном на рис. 4.11. Подобно параллелограмму с рис. 4.5 этот
параллелепипед открыт в симплексе всех дележей: он содержит только те свои
грани, которые лежат на гранях симплекса.
Аналогично описываются возможности доминирования по остальным
трехэлементным коалициям.
12.8*. Доминирование по двухэлементным коалициям опишем на
примере коалиции {1, 2}. В этом случае доминирование х > у предполагает
12
эффективность дележа х для {1, 2}, т.е. неравенство хх + х2 ^ d^.
Геометрически это означает, что соответствующая дележу х точка лежит по ту
Рис. 4.11 Рис. 4.12
же сторону от плоскости £i + £2 = ^34, что и ребро 34. Доминирование
х > у будет при этом иметь место, если хг >У\ и х2 >у2, т.е. если дележу
12
лежит внутри двугранного угла, изображенного на рис. 4.12.
12.9*. Из сказанного видно, что априорное перечисление всех возможных
вариантов доминирования представляется уже в случае игр четырех лиц
достаточно затруднительным. Вместе с тем выяснение каждого
конкретного вопроса о возможном доминировании каких-либо двух заданных
дележей не составляет труда.
235

§ 13. с-ЯДРО
13.1. Как указывалось, доминирование дележом х дележа у можно
понимать как предпочтение дележа х дележу у со стороны одной из
коалиций. Это можно понимать так, что всякая попытка предложить
"обществу" дележ у может встретить со стороны этой коалиции контрпредложение
дележа х. Значит, дележ, который не доминируется никаким другим
дележом, можно считать в известном смысле "вполне устойчивым".
Определение. Множество дележей в кооперативной игре Г
(характеристической функции v), каждый из которых не доминируется какими-
либо другими дележами, назьюается с-ядром этой игры и обозначается
через C(v) илиС(Г). □
13.2. Удобная характеризация принадлежащих с-ядру дележей дается
следующей теоремой.
Теорема. Для того чтобы дележ х принадлежал с-ядру
кооперативной игры с характеристической функцией v, необходимо и достаточно,
чтобы он был абсолютно неэффективным, т.е. чтобы для любой коалиции К
выполнялось неравенство
v(K)^x(K). (13.1)
Необходимость. Пусть для дележа л: при некоторой коалиции
К v(K) > х(К) . Заметим, что коалиция К должна здесть состоять более
чем из одного игрока, иначе это неравенство противоречило бы свойству
индивидуальной рациональности дележа х. Равным образом, коалиция К
должна быть отлична и от /. Мы имеем
х(1\ К) =v(I) -x(K) ^v(K) -x(K) >0.
Возьмем теперь е, для которого
0< е< —- («(*)-*(*)),
|А I
и составим вектор у = (yi,.. . ,уп), положив
i xt + е, если * е ^>
(х(К) -\К\ е), если i f. К.
1 |/ \К\
Непосредственная проверка показывает, что вектор у есть дележ, причем
у > х. Поэтому х не принадлежит с-ядру v.
к
Достаточность. Предположив, что дележх доминируется
дележом у, мы получаем для некоторой коалиции К х(К) < у (К) < v(K),
что противоречит (13.1). □
13.3. Из условий предыдущей теоремы следует, что для принадлежности
дележа с-ядру данной кооперативной игры необходимо и достаточно,
чтобы его компоненты удовлетворяли некоторой конечной системе
линейных неравенств. Это значит, что с-ядро в любой кооперативной игре
является выпуклым многогранником.
236

Характеристическая функция задает свое с-ядро в виде выпуклого
многогранника, определяемого как пересечение полупространств, т.е.
"не вполне явным образом" (ср. замечание из п. 11.3 гл. 1 по поводу
аналогичного задания множества оптимальных стратегий игроков в
матричной игре). Поэтому вся теория с-ядра в кооперативных играх сводится
в принципе к тому, чтобы переходить от такого задания этого
многогранника к более явному его заданию путем указания его вершин (считаясь,
разумеется, с тем, что этот многогранник может оказаться пустым).
13.4. с-ядро является симметричным множеством дележей в следующем
смысле.
Теорема. Если 7г — изоморфизм v и х G C(v) ,то пх Е С (ли).
Если C(v) Фф, то существует такой дележ x*EC(v), что пх* = х*для
любого автоморфизма л характеристической функции v.
Доказательство. Первая часть теоремы вытекает непосредственно
из того, что неравенство (13.1) сохраняется при изоморфизмах игр (см.
п. 5.6).
Для доказательства второй части возьмем произвольный дележлгЕ С (и),
перечислим все автоморфизмы v: пх,..., nt и составим дележ
1 t
х* = — 2 nkx. (13.2)
t k = \
Для этого дележа и любого автоморфизма щ должно быть
1 '
ЩХ*=— 2 7Ti7TkX. (13.3)
t k = \
Но ввиду того, что автоморфизмы составляют группу (см. п. 5.7), 717714,...
. .. , 7Г/71> есть снова перечисление всех автоморфизмов v, так что правые
части (13.2) и (13.3) совпадают, откуда и следует требуемое. □
13.5. Очевидно, чем больше возможностей не доминирования в игре
одних дележей другими, тем выше шансы на наличие у такой игры
непустого с-ядра и тем большим может быть само это с-ядро. "Наиболее
благоприятным" в этом отношении представляется случай несущественной игры,
в которой с-ядро существует и состоит из единственного дележа этой игры,
а также случай игры двух лиц, в которой какое-либо доминирование
отсутствует, и с-ядро состоит из множества всех вообще дележей.
13.6. Другим крайним случаем по количеству доминирований являются
существенные игры с постоянной суммой.
Теорема. Во всякой существенной игре со свойством
дополнительности с-ядро пусто.
Доказательство. Предположим, что дележ х принадлежит с-яд-
ру v. По теореме из п. 13.2 для любого игрока i должно быть
u(i) S xi9 v(I\ 0 ^х(/\ /). (13.4)
Складывая эти неравенства почленно, мы на основании свойства
дополнительности и коллективной рациональности дележей получаем
и(/) =*(/). (13.5)
Значит, и в соотношениях (13.4) должно быть точное равенство:
v(i)=xit (13.6)
237

и это справедливо для любого игрока. Из (13.5) и (13.6) следует
аддитивность характеристической функции и тем самым несущественность игры.
13.7. Следствие. Для простейшей характеристической функции vR
с-ядро C(vR) состоит из всех дележей х, для которых x(R) - 1.
Действительно, это условие вытекает из неравенства (13.1) и из
коллективной рациональности дележей и потому необходимо. С другой стороны,
из него и из индивидуальной рациональности следует
х(К) ^ О при К ф R,
х(К)^\ при KDR,
и потому оно достаточно ввиду п. 13.2. □
§ 14. с-ЯДРО В ОБЩИХ ИГРАХ ТРЕХ ЛИЦ
14.1. Рассмотрим общую игру трех лиц в 0 — 1-редуцированной форме.
Для ее характеристической функции мы имеем (см. п. 8.3)
и(0) = и(1) = и(2) = и(3) = О, и(1,2,3)=1,
u(l,2) = c3, u(l,3)=c2, u(2,3) = d,
где, конечно,
0<с.^1, /=1,2,3. (14.1)
На основании теоремы п. 13.2 для того, чтобы дележ х принадлежал
С (и), необходимо и достаточно выполнение следующих соотношений:
X1+X2^_C3i Х1+Х3^С2, X2+X3^Ci,
или, что то же самое,
x3<l~c3i х2^1-с2, xt^l-c,. (14.2)
Это значит, что точка х должна лежать к i-й вершине основного
треугольника ближе, чем прямая
**=!-*,. (143)
Почленное сложение всех неравенств (14.2) дает нам
х\ + х2 + х3 ^ 3 — (сх + с2 + с3),
или, поскольку сумма всех барицентричных координат тождественно равна
единице,
с\ +с2 + с3^ 2. (14.4)
Написанное неравенство является, таким образом, необходимым
условием существования в рассматриваемой игре непустого с-ядра.
Например, если сх = с2 = с3 = 1, т.е. если игра обладает свойством
дополнительности, то неравенство (14.4) не выполняется. Это соответствует
утверждению теоремы 13.4.
С другой стороны, если (14.4) выполняется, то можно взять такие
неотрицательные €i, е2, е3, чтобы было
з
2 (с, + €,) =2, ef=; I -cf, /=1,2,3,
i=l
238

и положить xi = 1 - cf — ei9 i = 1, 2, 3. Такие числа х удовлетворяют
неравенствам (14.2), так что дележ х= (xl9x2, x3) будет принадлежать с-ядру
игры.
Неравенство (14.4) дает возможность наглядно представить себе вид
множества всех игр трех лиц в непустым с-ядром как подмножество куба
всех игр трех лиц на рис. 4.1.
14.2. Геометрически непустое с-ядро кооперативной игры трех лиц является
треугольником, ограниченным прямыми (14.3), если, конечно, все точки пересечения
этих прямых лежат в пределах основного симплекса дележей (рис. 4.13). Последнее
будет иметь место, если решение любой пары уравнений (14.3) вместе с уравнением
*i +*2+£з =1 (14.5)
состоит из неотрицательных чисел.
Рассмотрим, например, систему, состоящую из уравнений £i =1 —с19 £2 = 1 - с2
и уравнения (14.5). Неотрицательность £2 и £2 обеспечивается (14.1). Из этой системы
получаем £3 =1-с1 - с2, и неотрицательность £3 равносильна соблюдению
неравенства
с,+с2^1. (14.6)
Если это условие не выполняется, то нижняя вершина заштрихованного
треугольника выходит за пределы симплекса дележей (рис. 4.14) и с-ядро приобретает вид
четырехугольника.
Сходную роль играет выполнение или невыполнение неравенств
Рис. 4.13 Рис. 4.14
Рис. 4.15 Рис. 4.16
239

В зависимости от различных случаев (а всего их может быть восемь) оядро будет
приобретать тот или иной вид. Например, если не выполняется ни одно из трех
неравенств (14.6) и (14.7), то оядро оказывается шестиугольником (рис. 4.15).
14.3. Для 0 - 1-редуцированной формы игры из примера 3 п. 2.2 уравнения (14.3)
приобретают вид
С~Ь п
так что С (и) есть сегмент, изображенный на рис. 4.16.
§ 15*. с-ЯДРО В ИГРАХ ЧЕТЫРЕХ ЛИЦ
15.1. Ввиду разнообразия возможностей доминирования дележей в
играх четырех лиц (см. пп. 12.5-12.7) перечисление всех вариантов формы
расположения оядра представляется для таких игр достаточно громоздким.
Однако наглядное геометрическое представление о с-ядре, построение
его для каждой конкретной игры и, тем более, суждение о принадлежности
оядру того или иного дележа выглядят достаточно просто. Как обычно,
мы далее будем считать, что v есть игра в 0 — 1-редуцированной форме.
15.2. Согласно теореме п. 13.2 принадлежность дележах с-ядру игры
с характеристической функцией v состоит в выполнении системы
неравенств (13.1). В обозначениях (12.2) и (12.3) для игр четырех лиц эта
система может быть записана в виде следующих десяти неравенств:
Xf + Лу +Хк ^С/5 (15.1)
Ъ + Ъ ^dkl (15.2)
при любых различных i, /, к и / из числа 1,2, 3 и 4. К этим неравенствам
следует присоединить еще четыре неравенства индивидуальной
рациональности
*i^0, (15.3)
а также помнить о равенстве коллективной рациональности
15.3. Неравенства (15.3) вместе с равенством (15.4) определяют
симплекс всех дележей. Каждое из четырех неравенств (15.1) определяет в
симплексе всех дележей, как описывалось в п. 12.7*, усеченную пирамиду,
а вся система (15.1) — пересечение четырех таких усеченных пирамид.
Это пересечение, если оно непусто, является тетраэдром, грани которого
240

параллельны граням основного симплекса дележей и который расположен
по отношению к симплексу дележей "антиподобно" (см. рис. 4.17).
15.4. Неравенства (15.2) можно сгруппировать попарно:
Xi+Xf^du, xk+xt>dir
Ввиду (15.4) мы можем второе из этих неравенства заменить на
*,.+*,.< l-dif, (15.5)
так что пересечение полупространств, описываемых (15.2) и (15.5), если
непусто (т.е. если йц +dkl^ 1), то составляет некоторый плоский слой.
Если все эти три слоя непусты, то их пересечение образует параллелепипед
(см. рис. 4.18).
15.5. Таким образом, оядро игры с характеристической функцией v есть
пересечение трех тел: тетраэдра всех дележей, тетраэдра, определяемого
пересечением полупространств (15.1), и параллелепипеда, определяемого
пересечением полупространств (15.2). Для любой игры четырех лиц можно
естественным графоаналитическим методом определить, является ли ее
оядро пустым, и если оно непусто, то описать его путем задания всех его
вершин.
§ 16. РЕШЕНИЯ ПО НЕЙМАНУ - МОРГЕНШТЕРНУ
16.1. Рассмотренное в предыдущих параграфах с-ядро состоит из
дележей, каждый из которых устойчив, но в несколько негативном, пассивном
смысле: обстоятельства дела не дают коалициям оснований отклоняться от
дележа, входящего в ядро. Однако свойства этих дележей сами по себе еще
не дают никаких оснований предлагать эти дележи или противопоставлять
их другим, уже предложенным.
Более того, если некоторый дележ принадлежит внутренности ядра, то
он не может даже быть предпочтительнее какого-либо другого дележа, не
может доминировать его. В самом деле, пусть х принадлежит внутренности
C(v) и х >у. Тогда по сказанному в п. 11.3 будет х > Лх+ (1 — \у) и при
любых сколь угодно близких к единице значениях Л. Но такие дележи
должны принадлежать С (v) и потому доминироваться не могут.
Разумеется, идеальным было бы указание такого дележа, который не
только не доминировался бы какими-либо другими дележами, но сам
доминировал бы любой другой дележ. К сожалению, ни в одной существенной
кооперативной игре такого дележа не может быть. Не удается найти и
дележей, обладающих в разумной степени ослабленными свойствами такого
рода. Поэтому решение данной проблемы следует искать на пути
расширения класса тех объектов, которые подлежат сравнению в
кооперативных играх —-на пути некоторого расширения класса дележей. Этот путь,
как мы видели, уже оправдал себя в бескоалиционных играх: введение
смешанных стратегий позволило решить проблему существования ситуаций
равновесия для произвольных конечных (а в действительности также и для
многих бесконечных!) бескоалиционных игр. В кооперативном случае мы
будем искать решения не в виде единственных дележей, а в виде множеств
дележей.
Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн предложили потребовать от
множества дележей, которое принимается в качестве решения кооперативной игры,
16.Н.Н. Воробьев 241

следующие два свойства: внутреннюю устойчивость, состоящую в том,
чтобы дележи из решения нельзя было противопоставлять друг другу, и
внешнюю устойчивость, состоящую в возможности каждому отклонению от
решения противопоставлять некоторый дележ, принадлежащий решению.
Формализация этих двух требований приводит к следующему определению.
16.2. Определ ение. Решением по Нейману - Моргенштерну
(короче, Н—М-решением) кооперативной игры называется множество (R дележей
в ней, обладающее следующими свойствами:
1) внутренняя устойчивость: никакие два дележа из (R не
доминируют друг друга;
2) внешняя устойчивость: каков бы ни был дележ s, не
принадлежащий (R, найдется дележ г, принадлежащий (R, который доминирует s.
Содержательно представление о Н—М-решении кооперативной игры
можно интерпретировать как представление о такой системе норм
поведения, что последствия двух допустимых этими нормами поведений не
могут быть противопоставлены какой-либо общественной силой
(коалицией) друг другу, а каково бы ни было отклонение от допустимых
поведений, в обществе (т.е. в множестве всех игроков /) найдутся такие силы
(т.е. некоторая коалиция), которые будут стремиться к восстановлению
нормы.
16.3. Между оядром кооперативной игры и ее Н—М-решением имеется
простая связь, выражаемая следующей теоремой.
Теорема. Если в кооперативной игре v существуют с-ядро и Н—М-
решение <R,ro C(v) С <R.
Доказательство. Если дележ х принадлежит С (и), то он не может
доминироваться каким-либо другим дележом. Если же он не принадлежит
решению, то он должен доминироваться некоторым дележом из решения.
Следовательно, принадлежащий с-ядру дележ х должен принадлежать
и каждому Н—М-решению. D
16.4. Н—М-решение существенной кооперативной игры не может
состоять только из одного дележа.
Теорема. Если некоторое Н—М-решение кооперативной игры v
состоит из единственного дележа х, то характеристическая функция v
является несущественной.
Доказательство. Предположим, что характеристическая
функция v существенная. Согласно пп. 7.2 и 11.7 мы можем предполагать, что
она имеет 0—1-редуцированную форму. Пусть х. — некоторая
положительная компонента дележа х. Для существенной характеристической функции
|/| =п > 1, и мы можем составить дележу = (yl9... ,уп), положив
У1
х. + 9 если j ф 19
О, если / = 1.
По определению доминирования дележ х не может доминировать у,
следовательно, у, отличаясь от х, должен входить вместе с х в любое Н—М-
решение игры. D
242

16.5. Аналог теоремы п. 13.4 для Н—М-решений неверен: для Н—М-ре-
шения (R игры v и ее автоморфизма тт не обязательно должно быть n6i = (R,
и в (R может не найтись такого дележа х*, что пх* = х* при любом
автоморфизме я. Соответствующие примеры непосредственно усматриваются из
анализа игр трех лиц в § 17.
Понятие Н—М-решения обладает свойством симметрии в весьма
ослабленном смысле.
Теорема. Если 61 есть Н-М-решение v, a n — изоморфизм v, то n6i
также есть Н—М-решение nv.
Доказательство следует из того, что соотношение доминирования
сохраняется при изоморфизмах. □
16.6. Понятие Н—М-решения при всей его естественности обладает также
некоторыми недостатками. Отметим следующие из них.
Во-первых, известны примеры кооперативных игр, которые не имеют
Н—М-решений. Более того, в настоящее время не известно каких-либо
критериев, позволяющих судить о наличии у кооперативных игр Н—М-
решений. Тем самым заложенный в Н—М-решении принцип оптимальности
не является универсально реализуемым, и область его реализуемости
пока остается неопределенной.
Во-вторых, кооперативные игры, если имеют Н—М-решения, то, как
правило более одного. Поэтому принцип оптимальности, приводящий к
Н—М-решению, не является полным: он, вообще говоря, не в состоянии
указать игрокам единственной системы норм распределения выигрыша.
В-третьих, как мы видели, решения существенных кооперативных
игр состоят более чем из одного дележа. Таким образом, даже выбор
какого-либо конкретного Н—М-решения еще не определяет выигрыша
каждого из игроков.
Наконец, в-четвертых, понятие Н—М-решения отражает, как это видно
из п. 16.5, лишь в весьма малой мере черты справедливости.
Перечисленные недостатки следует понимать не как пороки, которые
следовало бы исправлять, а именно как недостатки, которые хотелось
бы восполнить. К сожалению, такое восполнение рассматриваемого
принципа оптимальности едва ли возможно, разве лишь за счет резкого
сокращения области его реализуемости. Впрочем, это отражает положение дел в
действительности: большинство экономических и социальных проблем
допускает множественные решения, и эти решения не всегда поддаются
непосредственному сравнению по их предпочтительности.
§ 17. Н-М-РЕШЕНИЯ В ИГРАХ ТРЕХ ЛИЦ
С ПОСТОЯННОЙ СУММОЙ
17.1. Вопрос об Н—М-решениях в несущественных играх, а также в
произвольных играх двух лиц решается точно так же, как и вопрос о оядре
в этих играх (см. п. 13.4). Именно, поскольку среди дележей в играх двух
лиц никаких доминирований быть не может (см. п. 11.4), а в каждой из
несущественных игр вообще имеется всего лишь один дележ (см. п. 9.5),
Н—М-решениями в таких играх оказываются множества всех дележей.
В соответствии с этим анализ Н—М-решений кооперативных игр
следует начинать с рассмотрения существенных игр трех лиц. На основании
16*
243

сказанного в п. 11.7 мы можем ограничиться играми в 0—1-редуцированной
форме.
17.2. Множеством всех дележей в существенной игре трех лиц в
0—1-редуцированной форме является треугольник. Внутренняя устойчивость Н—М-
решения означает, что никакие принадлежащие ему два дележа не
доминируют друг друга. Поэтому любые два дележа, принадлежащие одному
решению, должны лежать на прямой, параллельной одной из сторон
треугольника всех дележей (см. п. 12.4). Следовательно, все отрезки, соединяющие
попарно дележи из И—М-решения, должны быть параллельны трем
направлениям (сторонам треугольника дележей).
Рис. 4.19
Рассмотрим отдельно два случая:
1) все принадлежащие Н—М-решению дележи лежат на одной прямой;
2) не все дележи Н—М-решения лежат на одной прямой.
17.3. Пусть Н—М-решение (R целиком лежит на одной прямой. Пусть для
определенности эта прямая А В параллельна стороне 12 треугольника всех
дележей (рис. 4.19). Никакие два дележа из (R не доминируют друг друга,
так что внутренняя устойчивость (R выполняется автоматически.
Займемся внешней устойчивостью этого множества.
Ни один дележ отрезка АВ не доминируется каким-либо из остальных
дележей этого отрезка. Поэтому внешняя устойчивость (R требует, чтобы
в (R входил весь отрезок АВ.
Далее, дележ х (см. рис. 4.19) доминирует по коалиции {1,2} дележи,
составляющие параллелограмм xF3E, а совокупность всех дележей
отрезка — объединение всех таких параллелограммов, т.е. треугольник АВЗ
(разумеется, без его стороны АВ). Обратимся теперь к доминированию
дележей, расположенных ниже отрезка АВ. Дележ х доминирует по
коалиции {1,3 } параллелограмм xD2B, а все дележи АВ — объединение таких
параллелограммов, т.е. параллелограмм ВА Ш. Аналогично по коалиции
{2,3} дележи АВ доминируют параллелограмм AG2B. Очевидно, чтобы
дележи АВ доминировали все дележи из трапеции А\2В> необходимо,
чтобы точка пересечения прямых AG n BH находилась строго ниже
основания треугольника дележей 12. Выберем это последнее условие алгебраически.
Рис. 4.20
244

Уравнением прямой АВ будет %3=х3. Следовательно, точки А и В
имеют соответственно барицентрические координаты (1 -х3,0,х3) и (0,
1 — х3,х3). Поэтому уравнения прямых AGnBH будут %х = 1 — х3 и£2 =
= 1 — х3. Условие, чтобы точка пересечения этих прямых лежала вне
треугольника 12 3, состоит в том, что f i + £2 > 1> т.е. х3 < 1/2. Это значит,
что для того, чтобы множество (R было внешне устойчивым и, тем самым,
Н—М-решением, необходимо и достаточно, чтобы этот отрезок лежал ниже
средней линии треугольника. Каждый такой отрезок представляет собой
Н—М-решение рассматриваемой игры.
17.4. Содержательно описанные Н—М-решения состоят в представлении
игроку 3 некоторой доли айв последующем произвольном
распределении оставшейся части 1 — а между игроками 1 и 2. Мы видим, что во всех
дележах этого решения сумма, получаемая игроком 3, одна и та же. Такие
решения в теории кооперативных игр принято называть
дискриминирующими, 2l игроков, получающих во всех дележах решения один и тот же
выигрыш, - дискриминированными.
17.5. Совершенно так же можно построить серии Н—М-решений игры,
в которых дискриминированными будут соответственно игроки 1 или 2.
Ясно, что при автоморфизме я Н—М -решение (R, дискриминирующее
игрока /, переводится в Н—М-решение 7r<R, дискриминирующее
игрока т.
17.6. Рассмотрим теперь случай, когда не все дележи Н—М-решения лежат
на одной прямой.
Пусть х,у и z — три таких дележа. Посмотрим, к чему приведет попытка
"пристроить" к имеющимся трем дележам четвертый дележ и, не
доминируемый ни одним из этих трех и не доминирующий ни одного из них.
Соединим и сх. Отрезок их должен быть параллельным одной из сторон
ху, yz или xz треугольника xyz (или совпадать с ней). Если хи совпадает
по направлению с ху (рис. 4.20), то дележ и находится на прямой ху,
отличаясь как от х9 так и от >\ В этом случае отрезок zu не будет параллелен ни
zx, ни zy, 2l этого не может быть. Аналогично отвергается случай, когда
отрезок хи идет вдоль стороны xz.
Пусть теперь отрезок хи параллелен yz (рис. 4.21). В этом случае
прямая, соединяющая z с и, вынуждена быть параллельной ху, так что
четырехугольник xyz и оказывается параллелограммом. Его диагональ,
соединяющая у с и, не параллельна ни одной из его сторон, а также другой его
диагонали, давая нам тем самым недопустимое четвертое направление.
Таким образом, если не все дележи Н—М-решения лежат на одной
прямой, то это решение должно состоять ровно из трех дележей, являющихся
вершинами некоторого треугольника. Его стороны должны быть
параллельными сторонам треугольника всех дележей. Значит, малый
треугольник должен быть либо подобно расположен в большом (рис. 4.22), либо
"антиподобно" (рис. 4.23).
17.7. Рассмотрим сначала случай "подобного" расположения. Нетрудно
проверить, что здесь ни одна из точек внутреннего треугольника не доми-
нируется какой-либо из его вершин. Поэтому тройка вершин этого
треугольника не может составлять Н—М-решения.
В случае "антиподобного" расположения, как легко убедиться,
недоминируемыми оказываются дележи, расположенные в замкнутых треугольни-
245

Рис. 4.22 Рис. 4.23 Рис. 4.24
ках, заштрихованных на рис. 4.23. Следовательно, чтобы множество деле-
жейЫ, В, С} составляло Н—М-решение, необходимо, чтобы от этих
заштрихованных треугольников остались только их вершины, т.е. чтобы точки
А,В и С оказались на соответствующих сторонах треугольника всех
дележей. Но это возможно, лишь если точки А, В и С находятся в серединах
соответствующих сторон основного треугольника.
До сих пор рассуждения этого пункта носили необходимый характер:
мы установили, что если существует Н—М-решение в существенной игре
трех лиц, дележи которого не лежат на одной прямой, то оно может
состоять лишь из трех точек, именно, из трех середин сторон (рис. 4.24).
Нам остается проверить, что множествоЫ,/?,С}, которое по доказанному
только и может быть Н—М-решением, действительно оказывается таковым.
Внутренняя устойчивость этого множества все время была одним из
условий его построения. Проверим его внешнюю устойчивость. Дележ А
доминирует дележи из параллелограмма 1С А В,, за исключением внутренних
точек отрезков В А и АС. Подчеркнем, что, в частности, он доминирует
все внутренние точки отрезка ВС. Далее, дележ В доминирует
параллелограмм 2АВС (кроме внутренних точек отрезков В С и В А), а дележ
С — параллелограмм САЪВ (кроме внутренних точек ВС и АС). Но
внутренние точки ВС до минируются дележом А, внутренние точки АС —
дележом В, а внутренние точки В А — дележом С. Таким образом, все дележи,
за исключением самих дележей А, В и С, до минируются этими тремя
дележами. Тем самым множество^, В, С) оказывается внешне устойчивым
и поэтому — Н—М-решением.
Найденное решение состоит из дележей
А ={0,1/2, 1/2}, £={1/2,0,1/2}, С«= {1/2, 1/2,0).
Оно называется симметричным.
17.8. Нетрудно убедиться в том, что симметричное решение переводится
само в себя любым автоморфизмом игры оправдывая этим свое название;
§ 18. Н-М-РЕШЕНИЯ В ОБЩИХ ИГРАХ ТРЕХ ЛИЦ
18Л. Рассмотрим сначала случай, когда с-ядро игры пусто.
Геометрически это означает, что точки попарных пересечений прямых £j = 1 — Ci, £2 =
= 1— с2,£з = 1— Съ составляют треугольник,расположенный как показано
на рис. 4.25.
18.2. Из сказанного в п. 12.5 ясно, что дележи, лежащие внутри
треугольника ABC, не могут доминироваться какими-либо дележами, лежащими
246

вне его. Следовательно, всякое
подмножество треугольника ABC, внутренне и
внешне устойчивое по отношению к
доминированиям в пределах этого малого
треугольника (будем для удобства
называть его "Н—М-решением в малом"), явля-
ется^ таковым по отношению к
доминированиям в пределах большого треугольни- _
ка, и наоборот. Таким образом, если в *2Z—
рассматриваемой нами игре имеется
некоторое Н—М-решение, то его пересечение с ^
треугольником ЛВС должно быть
Н—М-решением в малом. Но эти последние бы- Рис. 4.25
ли описаны нами в предыдущем
параграфе.
Для того чтобы из Н-М-решения в малом получить Н—М-решение всей
игры, необходимо добавить некоторые дележи, расположенные вне
треугольника ЛВС. Рассмотрим отдельно случаи, когда решение в малом
является дискриминирующим или симметричным.
18.3. Пусть Н—М-решение в малом — дискриминирующее (рис. 4.26).
Множество всех недоминируемых множеств А В дележей на рисунке
заштриховано. Ограничимся рассмотрением необходимой добавки к А В для
того, чтобы доминировались все дележи из треугольника KLM. Добавки
для остальных треугольников описываются аналогичным образом. Ясно,
что эта добавка должна сама находиться в треугольнике KL М. Уравнения
наклонных сторон этого треугольника имеют вид £i=a и £2 =0. Возьмем
в треугольнике KLM некоторую точку х с данными координатами £i и £2
(рис. 4.27). Доминируемые ею дележи из этого треугольника составляют
два параллелограмма (очерчены пунктиром). Следовательно, если два
дележа принадлежат одной добавке до Н—М-решения, то соединяющий их
отрезок должен составлять с вертикалью угол не более чем в 30°. В
частности, каждая горизонталь может пересекать эту добавку не более чем в
одной точке. Значит, вся эта добавка должна лежать на криволинейном
отрезке, соединяющем точку L с основанием треугольника дележей
и не отклоняющемся от вертикали более чем на 30°. Предположим,
что одна из точек криволинейного отрезка не принадлежит добавке.
По своему положению она не может доминироваться другими дележами
добавки. Никакими дележами вне добавки она, очевидно, также
доминироваться не может. Поэтому при сделанном предположении добавка
оказывается недостаточной для получения Н—М-решения. Следовательно,
каждая точка криволинейного отрезка должна на этой добавке принадлежать.
Аналогичные криволинейные отрезки составляют добавки до
Н—М-решения в остальных двух треугольниках, и все Н—М-решение приобретает
вид, изображенный на рис. 4.28. Ясно, что добавляемые к Н—М-решению
в малом криволинейные отрезки должны выходить из соответствующих
точек, не отклоняться по своему направлению от перпендикуляра к
соответствующей стороне треугольника дележей более чем на 30° и доходить
до самой этой стороны. В остальном они могут быть совершенно
произвольными.
247

18.4. Пусть теперь Н-М-решение в малом симметрично. В этом, как ив
предыдущем случае, мы можем дополнить его криволинейными отрезками,
как это показано на рис. 4.29. Эти криволинейные отрезки должны
удовлетворять тем же условиям, что и указанные в предыдущем пункте, а в
остальном могут быть произвольными.
Между прочим, из сравнения дискриминирующего и симметричного
решений в случае общих игр трех лиц становится вполне ясным, что второе
можно рассматривать как предельное положение первого.
18.5. Обратимся, наконец, к случаю, когда игра имеет непустое с-ядро.
Совокупность дележей, составляющих ядро, доминирует все дележи, за
исключением множества, заштрихованного на рис. 4.30. Для того чтобы
дополнить с-ядро до Н-М-решения, к нему необходимо, как и выше,
добавить в каждом из треугольников недоминируемых дележей по
соответствующему криволинейному отрезку (рис. 4.31) .
Ясно, что если с-ядро становится четырех-, пяти- или шестиугольником,
то вместе с исчезновением недоминируемых треугольников отпадает и
надобность в соответствующих криволинейных отрезках (рис. 4.32). В
частности, если с-ядро доходит до каждой из сторон треугольника дележей
3
Рис. 4.28
Рис. 4.29
Рис. 4.30
Рис. 4.31
Рис. 4.32
Рис. 4.33
248

(случай, изображенный на рис. 4.15), то оно просто совпадает с Н—М-ре-
шением.
18.6. Для игры рынка с продавцом и двумя покупателями из п. 2.2
с-ядро было описано в п. 14.3 (см. рис. 4.16). В соответствии с этим Н—М-
решения для этой игры будут иметь вид, изображенный на рис. 4.33.
§ 19*. Н-М-РЕШЕНИЯ В ИГРАХ
С ЧИСЛОМ ИГРОКОВ, БОЛЬШИМ ТРЕХ
19.1. В случае, когда число игроков в игре становится большим трех,
разнообразие вариантов формировавния Н—М-решений начинает весьма
быстро возрастать.
Наглядный пример дает анализ Н—М-игр четырех лиц с непустым ояд-
ром. Это оядро, как было выяснено в § 15, является пересечением
четырнадцати, замкнутых полупространств (которое удобно представлять себе
как пересечение трех выпуклых многогранников). В случае, когда оядро
непусто, всякое Н—М-решение должно содержать, кроме дележей изоядра,
еще и дальнейшие дележи, принадлежащие тетраэдрам и клиновидным
многогранникам, играющим в этом случае ту же роль, что и недоминируемые
с-ядром треугольники в игре трех лиц, показанные на рис. 4.30.
Оказывается, что таким путем удается построить Н—М-решения для любой игры
четырех лиц с непустым оядром.
19.2. Если в игре четырех лиц с-ядро пусто, то построение ее
Н—М-решений оказывается более сложным. Выражаясь несколько вольно, это
усложнение проистекает здесь из-за того, что если пересечение трех
многогранников может быть непустым как бы единственным способом, то пустота
этого пересечения может иметь различные причины (за счет пустоты
пересечения уже какой-либо пары из этих многогранников или даже
возможного исчезновения одного из них). Тем не менее существование Н—М-ре-
шения конструктивно устанавливается и во всех этих случаях.
Следует подчеркнуть, что форма Н—М-решений некоторых игр четырех
лиц может быть достаточно экзотической. Именно, любое замкнутое
подмножество не слишком длинного отрезка может быть погружено в
симплекс дележей так, что будет замкнутой компонентной одного из
Н—М-решений некоторой игры четырех лиц.
19.3. О существовании Н—М-решений в кооперативных играх пяти лиц
никакого универсального суждения высказать нельзя: ввиду
комбинаторного разнообразия таких игр нахождения Н—М-решений в каждой игре не
представляется пока возможным, а примера игры пяти лиц, не имеющей
Н—М-решений, также пока не найдено. Такой пример игры без
Н—М-решений обнаружен лишь среди игр с большим числом игроков. В наиболее
простом из них имеется 10 игроков. Он носит достаточно искусственный
характер и имеет скорее принципиальное, чем практическое значение.
19.4. Ввиду того, что не все кооперативные игры имеют Н—М-решения,
представляет интерес исследовать существование Н—М-решений для
отдельных частных классов игр.
Тривиальной оказывается теория Н—М-решений для простейших игр.
Она исчерпывается следующим утверждением.
249

Теорема. Простейшая игра vR имеет единственное Н-М-решение,
совпадающее с ее с-ядром.
Доказательство. Внутренняя устойчивость с-ядра соблюдается
автоматически. Покажем, что в условиях простейшей игры vR множество
С (и д) оказываетя и внешне устойчивым.
Возьмем для этого дележ у ф C(vR). Согласно п. 13.7 для этого дележа
должно быть у (R ) < 1. Положим
у;+ — для i€R,
{ 0 для i<ER.
Очевидно,х= (*! ,. .. ,х„) G C(vR) их>у. □
(R
§ 20. ВЕКТОР ШЕПЛИ. АКСИОМАТИКА
20.1. Теория игр рассматривает весьма разнообразные принципы
оптимальности. Некоторые из них отражают интуитивные представления об
оптимальности непосредственно. Таковы, например, принцип приемлемых
ситуаций (принцип осуществимости цели) в бескоалиционных играх (см.
§ 2 гл. 1) с его важнейшим частным случаем — принципом максимина,
а также рассмотренные в предыдущих параграфах принципы оптимальности,
приводящие к с-ядру и Н—М-решению. Однако, кроме этих принципов
оптимальности, которые можно назвать естественными, теория игр сама
конструирует принципы оптимальности, задавая их теми свойствами,
которыми они должны обладать. Такой подход к вопросу по существу
является аксиоматическим.
В данном параграфе мы рассмотрим такое аксиоматическое задание
одного из принципов оптимальности, которое является весьма интересным
как с теоретической, так и с практической точки зрения. Если
характеризовать отдельные принципы оптимальности при помощи неформальных,
интуитивных определений, то конструируемый нами сейчас принцип можно
было бы с некоторым основанием назвать принципом справедливого
дележа.
Нашей целью будет указание способа, который ставит в соответствие
каждой кооперативной игре (т.е. каждой характеристической функции)
v над множеством игроков / = {1,. .. ,п) некоторый вектор Ф(и) =
= (Ф! (и),..., Ф„(и)), компоненты которого описывают справедливые
в нектором смысле выигрыши каждого из игроков в этой игре. При этом
естественно желать, чтобы этот вектор Ф(и) оказался дележом в условиях v.
20.2. Приступим к формулировке тех требований, которые естественно
предъявлять к справедливому дележу. Прежде всего "справедливость
требует" при разделении общего выигрыша носителя игры ничего не выделять
на долю посторонних, не принадлежащих этому носителю болванов (см.
п. 6.3), равно как и ничего не взимать с них. Формально это можно
выразить в виде следующей аксиомы.
Аксиома эффективности. Если N— носитель и, то
Е Ф^) = и(М). (20.1)
i<EN
250

20.3. Теорема. Если / — болван в v, то
&j(P) = v(f). (20.2)
Доказательство. Возьмем носителя N игры, v, не содержащего
болвана /. Ясно, что множество 7VU / также является носителем v. Поэтому
в нашем случае справедливо равенство (20.1), а также равенство
2 tbiW^viNUj). (20.3)
HENUj
Почленное вычитание (20.1) из (20.3) дает нам (20.2). D
20.4. Из этой теоремы следует, что в несущественной игре, в которой все
игроки — болваны, формула (20.2) справедлива для каждого игрока.
205. Важной чертой справедливости является симметрия: игроки,
одинаково входящие в правила игры, должны "по справедливости" получать
одинаковые выигрыши.
Аксиома симметрии. Для любого автоморфизма я игры
V Ф;(и) =Ф7Г,-(и).
20.6. Наконец, естественно потребовать, чтобы операция перехода к
справедливому дележу обладала некоторыми чертами аддитивности.
Пусть имеются две игры v и v " с одним и тем же множеством игроков /.
Сумма v ии", т.е. заданная на подмножествах / функция у'+ v" , для
которой
(v +v")(K) = v'(K) + v"(K),
как следует, например, из п. 4.1, также является характеристической
функцией.
Сложение характеристиеских функций можно понимать как
одновременное участие каждого из игроков из / в двух играх.
"Справедливо считать", что при участии игроков в двух играх их
выигрыши в отдельных играх должны складываться.
Аксиома агрегации. Если v' и v" — две игры с множеством
игроков /, то
Ф(и +и")еФ(у') + Ф(0-
Тривиальной индукцией эта аксиома распространяется на произвольное
конечное число слагаемых.
20.7. Оказывается, что система, состоящая из трех приведенных аксиом,
является непротиворечивой и полной в том смысле, что для всякой
характеристической функции v а) существует, и притом б) единственный, вектор
Ф(и), удовлетворяющий этим трем аксиомам. Этот вектор называется
вектором Шепли,
В связи с вектором Шепли перед нами встают следующие задачи.
Прежде всего нам нужно указать формулы, выражающие компоненты
вектора Шепли в явном виде и позволяющие, по крайней мере в принципе,
вычислять их для каждой игры. При этом, разумеется, необходимо
доказать, что получаемый по этим формулам вектор действительно является
вектором Шепли, т.е. удовлетворяет определяющим вектор Шепли
аксиомам (непротиворечивость аксиоматики) и является среди таких
векторов единственным (полнота аксиоматики). Это мы сделаем в § 21.
251

Желательно, далее, чтобы способ получения этих формул был достаточно
естественным. Идеалом в этом смысле представляется дедуктивный вывод
их из перечисленных аксиом. Такой вывод будет проведен в § 23. При
всей своей естественности он оказывается довольно сложным.
Вместе с тем те же формулы можно получить и из других, внеаксиомати-
ческих, как бы эвристических соображений. Это будет сделано в § 22.
Такой вывод представляется несравненно более простым и наглядным,
чем опирающийся на аксиомы. Однако положенные в его основу посылки
могут показаться искусственными и неубедительными. Впрочем, такое
основанное на эвристических отображениях описание вектора Шепли может
в свою очередь также пониматься как некоторое его аксиоматическое
задание, пожалуй, только посредством менее убедительных аксиом. Тот факт,
что на обоих путях получаются для вектора Шепли одинаковые выражения,
свидетельствует об эквивалентности полагаемых в их основы явных или
неявных аксиоматик.
§ 21. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВЕКТОРА ШЕПЛИ
21.1. Найдем сначала вектор Шепли для характеристической функции
вида cvR, где vR — простейшая характеристическая функция (см. п. 4.2),
ас>0.
Теорема. Для вектора Шепли &(cvR) характеристической функции
cvR (где с> О) должно быть
&i(cvR) =
с
\R
если /еЛ,
(21.1)
О, если iGR*)
Доказательство. Множество R является для cvR носителем.
Поэтому по аксиоме эффективности
2 <Pt(cv) = cvR(R) = c. (21.2)
i<ER
Далее, перестановка (транспозиция) любых двух игроков из R является
автоморфизмом cvR. Поэтому по аксиоме симметрии слева в (21.3) все
слагаемые равны друг другу, и мы получаем верхнюю строку (21.1).
Наконец, все игроки, не входящие в R, являются в cvR болванами, и
применение в этом случае формулы (20.3) дает нам нижнюю строку (21.1). □
21.2. Следствие. Для простейшей характеристической функции
vR ис>0 Ф(мк) =сФ(и/?).
Доказательство. Следует непосредственно из (21.1). Q
21.3. Из аксиомы агрегации и последнего следствия вытекает, что при
любых cR i> 0 должно быть
Ф(2 cRvR)=X <b(cRvR)=X cR<b(vR). (21.3)
R R R
*) Подчеркнем, что согласно аксиоме агрегации мы можем определять вектор
Шепли для тех или иных характеристических функций лишь вместе с векторами Шепли
для их сумм. Поэтому формулировка данной теоремы носит условный (а говоря
формально , чисто необходимый) характер: она указывается лишь на то, каким должен
быть вектор Шепли простейшей характеристической функции, если она
таковым обладает.
252

Распространим эту формулу на случай коэффициентов cR с
произвольными знаками.
Лемма. Если v ' и v" — характеристические функции, а их разность
v' — v "также является характеристической функцией, то
Ф(и' - v") = Ф(и ) - Ф(и"). (21.4)
Доказательство. По условию мы имеем тождественно и' = v" +
+ (v ' — v "). Справа здесь стоит сумма двух характеристических функций,
и по аксиоме агрегации мы имеем
Ф(и) = Ф(и') + Ф(и -V),
откуда и следует (21.4). □
21.4. С л е д с т в и е. Формула (21.3) остается справедливой, если знаки
коэффициентов cR произвольные, а сумма 2 cR vr является
характеристической функцией. R
Доказательство. Имеем
и = 2 cRvR = 2 cRvR- 2 (-cR)vR.
R R R
cR>,0 cR<0
Здесь во второй сумме все числа — cR являются положительными, так что
вычитаемая сумма оказывается характеристической функцией. Поэтому
по лемме п. 21.2
Ф(и) = Ф( 2 cRvR)-<P( 2 (-cR)vR) =
R R
cR>lO cR<0
= 2 слФ(ил)- 2 (-сл)Ф(иг) = 2 слФ(и). □
я я я
215* Теорема. Каждая характеристическая функция имеет не более
одного вектора Шепли.
Доказательство. То, что каждая простейшая характеристическая
функция имеет не более одного вектора Шепли, следует из теоремы
п. 21.1. Но, как было показано в п. 4.4, произвольная характеристическая
функция представима в виде линейной комбинации простейших
единственным способом. Поэтому и на основании сказанного в пп. 21.3, 21.4 каждая
характеристическая функция имеет не более одного вектора Шепли. □
21.6. Нам остается доказать существование вектора Шепли для любой
характеристической функции. В соответствии со сказанным в п. 20.7 мы
опишем сначала вектор Шепли "немотивированным" образом.
Теорема. Для любой характеристической функции v над I ={1,...
...,«} компоненты вектора Шепли определяются по формуле
Ф,(и)= 2 V ^ —Ми(*)-и(К\0). (21.5)
Доказательство. Проверим сначала, что вектор Ф(и) с
компонентами из (21.5) является дележом.
253

Сначала установим индивидуальную рациональность Ф(и). Ввиду
супераддитивности характеристической функции мы имеем
v(K)-v(K\i) > v(i),
так что
Ф,(и)^ S —(n-\K\)\(\K\-iy.v(i) =
iGKCI П\
= v(i) 2 -^ (л-|*|)!(|*|-1)!
i<EKCI П\
Объединение слагаемых, соответствующих коалициям К с одинаковым
числом игроков, дает нам
1
Ф{(р)^и(1) 2 2 — (л-*)!(*-!)!,
а так как внутренняя сумма состоит из Cknz\ одинаковых слагаемых, —
Ф,(и)^и(1) £ ,/ ' ,„ — (*-*)!(*-1)! =
/с=] (/:- 1)! (и - к)\ п\
п 1
= и(0 2 — =u(i). (21.6)
Для доказательства коллективной рациональности Ф(v) напишем
(п-\К\)\(\К\- 1)!
2 Ф/(и)= 2 2 — (u(A-)-u(A"\0). (21.7)
Во всей двойной сумме выражение и (*) встретится в роли уменьшаемого
| К| раз (по числу входящих в К элементов) и тем самым
приобретает коэффициент
(п-\К\)\(\К\- 1)! (п-\К\)\К\\
\К\
п\ п\
который при | К\ =п, т.е. при К = 1, очевидно, равен единице. В роли же
вычитаемого оно встретится п — \К\ раз (по числу не входящих
в К элементов) и тем самым приобретает коэффициент
(п- \К\- 1)! \К\\ (п- \К\)\ \К\\
-(л-ЦП) ~ = , если пФ \К\ ,
и коэффициент, 0, если п = | К \ .
Таким образом, правая часть (21.7) равна v (I) :
2 <Pi(v) = v(I\ (21.8)
и вектор Ф(и) оказывается коллективно рациональным.
Следовательно, вектор, описываемый (21.5), действительно является
дележом. Обратимся к проверке для него аксиом вектора Шепли.
254

Аксиома эффективности. Пусть в условиях v игрок /
является болваном. Тогда при любой коалиции К С/
v(K)-v(K\i) = v(i), (21.9)
и точно так же, как от неравенства (21.5) мы переходили к неравенству
(21.6), мы можем от равенства (21.9) перейти к равенству
Ф/(и) = и(0. (21.10)
Возьмем теперь произвольного носителя N игры v. Так как все игроки
вне N — болваны, мы можем просуммировать равенство (21.10) по / Е
EI\N:
2 Ф/(и) = 2 v(i).
i e /\w / е i\n
Почленное вычисление этого равенства из (21.8) приводит к
2 Ф.-О,) = !,(/)- 2 u(i),
/елг iei\N
и ссылка на формулу (6.10) дает нам требуемое.
Аксиома симметрии. Пусть я — автоморфизм v. Тогда вместе с
К коалиция пК пробегает все подмножества /, и мы можем (21.5)
переписать как
(п-\7тК\)\\(\ттК\- 1)!
Фя,-(")= 2 — (v(<nK)-v(n(K\i))).
niGnK с / Л !
С другой стороны, из автоморфности я следует, что v (тгАГ) = v (К), и
\пК \ = \К \, а 7Т1 и ттК под знаком суммирования можно обратно
переименовать соответственно в i и К. Окончательно мы имеем
KCJ П\
Аксиома агрегации соблюдается в силу того, что компоненты
вектора Ф(и) зависят от значений характеристической функции v линейно.
Таким образом, вектор Ф(и) действительно является для
характеристической функции v вектором Шепли, существование которого тем самым
доказано. □
21.7. Вектор Шепли как дележ обладает естественным свойством
инвариантности.
Теорема. Если я - изоморфизм характеристической функции v на
характеристическую функцию v', то Фя/ (v ) = Ф,- (v).
Доказательство отличается лишь несущественными деталями от
проверки аксиомы симметрии в доказательстве теоремы предыдущего
пункта. □
21.8. Теорема. Если имеется преобразование аффинной
эквивалентности характеристической функции v в v , то вектор Шепли Ф(и') будет
как дележ соответствовать вектору Шепли Ф(и).
Доказательство вытекает непосредственно из линейности выражения
компонент вектора Шепли через значения характеристической функции. □
255

§ 22. ЭВРИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЕКТОРА ШЕПЛИ
22.1. "Справедливо считать", что каждый игрок /Е/, создавая вместе
с какими-либо другими игроками некоторую коалицию KCI, должен
получить тот прирост уверенного выигрыша, т.е. значения
характеристической функции
v(K)-v(K\i\ (22.1)
который он вносит в коалицию К.
Так, как, однако, при этом может быть сформирована любая
содержащая игрока i коалиция К, справедливой долей игрока / следует считать
не значение разности (22.1) для какой-либо конкретной коалиции К,
а некоторое усреднение значений этой разности по всем коалициям,
содержащим игрока /.
В случае вектора Шепли разность (22.1) входит в его г-ю компоненту
с коэффициентом ("весом", "вероятностью")
.(/1-1*1)! (1*1-1)!
; , (22.2)
и уместен вопрос о непосредственном обосновании этих коэффициентов
как вероятностей появления коалиции К, при условии, что в нее заведомо
войдет игрок /.
22.2. Наиболее простым будет представление числа (22.2) в виде
— (С^_~х J . При таком представлении его можно понимать как
вероятность совмещения двух независимых событий: равновероятного
назначения размеров I К I коалиции К, т.е. равновероятного выбора одного из
чисел 1, 2, . . . , п с последующим равновероятным выбором из п — 1
возможных партнеров, состоящего из I К \ — 1 игроков набора, составляющего
вместе с / коалицию \К\.
22.3. Несколько "игрушечный", хотя и достаточно наглядный вид имеют
следующие рассуждения.
Предположим, что игроки в случайном порядке по очереди приходят
в некоторое место, причем каждый пришедший получает ту сумму, на
которую он увеличивает своим приходом значение характеристической функции
для уже собравшейся коалиции. Покажем, что математическое ожидание
этой суммы и есть компонента вектора Шепли игрока.
Рассмотрим для этого произвольную перестановку 7Г множества
игроков. Обозначим через К((тт) множество игроков, предшествующих данному
игроку i в перестановке 7Г. Разность
v(Ki(7r) U /) - и(К((1т)) = A(v, U тг) (22.3)
есть тот прирост значения характеристической функции и, который игрок
i осуществляет в перестановке 7г.
Теорема. Если все перестановки it равновероятны, то
1
МА(и, /, тг) = — 2 А (и, г, тг) = Ф,(и). (22.4)
тг П\ тг
256

Доказательство. Число перестановок, в которых игроку /
предшествуют игроки из * и только они, очевидно, равно |*|! (и—1-|*|)!,
а вероятность появления такой перестановки равна
— |*|! («-1-1*1)!.
п\
Следовательно, по (22.3)
1
М A(vt i, тг) = 2 — ЦГ|! («-1-|*|)! (р(К U 0 - и(*)),
тг KCl\i n\
или, переобозначая под знаком суммы * U / через *,
М А(и, U тг) = 2 —- (|*| - 1)! (п - |*|)! (v(K) - v(K\i)) = Ф,(и),
тг /елгс/ я!
а это и требовалось. П
22.4. В сущности, приведенные в п.п. 22.2 и 22.3 выводы формул для
компонент вектора Шепли можно считать "как бы аксиоматическими".
Только применяемые при этом аксиомы (равновероятность числа
партнеров в коалиции с данным игроком в равновероятность самих коалиций
с заданным числом партнеров в первом случае или равновероятность
всевозможных перестановок игроков во втором) представляются несколько
нарочитыми и потому малоубедительными.
§ 23 *. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЕКТОРА ШЕПЛИ ИЗ АКСИОМ
23.1. Выведем формулу (21.4) для компонент вектора Шепли
непосредственно из положенных в его основу аксиом эффективности, симметрии
агрегации. Говоря точнее, мы воспользуемся формулой (21.1) для
компонент вектора Шепли простейшей характеристической функции и явным
представлением (4.3) —(4.4) произвольной характеристической функции
через простейшие и преобразуем полученное выражение к виду (21.5).
23.2. Согласно пп. 21.3, 21.4 из v = 2 Х# vR, следует
r с/
ФКи) = 2 ХяФКи*).
RCI
Подставим в правую часть этой формулы вместо коэффициента \R
его выражение из формулы (4.4), а вместо Ф/(и#) — его выражение из
формулы (21.2). Мы получим
Ф&) = Z ( S (-l)1*1-1*1 !<*))— =
i(ER KCR \R\
= z( Б (-l)'*'-'*'-i-W
K\KUiCR \R\/
Нам остается преобразовать стоящее справа выражение.
17. Н.Н.Воробьев
257

Находящаяся здесь в скобках сумма зависитоткоалиции К и от игрока /.
Обозначим ее поэтому через yt{K). Очевидно, если / G К. то
Ъ{К\г> S -L(_i)Wi-«Vl B
RD(K\i)Ui \R\
RCI
= Б -^r(-l)«|-uc|+1=-7f(A).
яэл: \R\
RCI
(заметим что здесь К - К U /).
Объединим теперь каждую коалицию К С /, содержащую игрока /, в пару
с коалицией АД/. Мы получим
Ф&) = 2 (yi(K)v(K) + yi(K\i)v(K\i)= Z T/WW/O-KMO).
/СС/ /(EAT С/
АГЭ/
Далее, для всех таких А^
%<*) = Б 1 (-i)Wi-i'i = sis (-1У1*1.
/?С/ KCRCI
Последняя сумма, очевидно, стостоит из С^'*1. одинаковых слагаемых.
Следовательно,
ъ(Ю= z 1(_1Г|ЛГ1С_Щ.
г=|АЧ Г и |А|
Но
£ -(-ly-'c'"' = z J *'-^-1Г'с£', =
1 п
о '=f
1
о
Последний интеграл известен в математике под именем эйлерова
интеграла первого рода, или бэта-функции и обозначается через В (Г, п) .Известно,
что
B(t,n) = -^ — • (23.1)
и!
Для полноты изложения выведем эту формулу. Заметим с этой целью, что
1 1
В(1,и) = / (1 -x)n~ldx = - — (1 -xfl1 = -L. (23.2)
о п
Далее возьмем интеграл В(г, п) по частям, для чего положим (1 -х)п~ =и, х* ах =
= dv. Очевидно, здесь
аи = (п-0(1-х)п~Г~К v=j-xT.
258

Значит, при t > О
1 ,. n-t '
B(t,n) = / (1 -x)"-fxf^1dx= (1 -х)""' i-xM + / (1 -х)"-'-1х1Фс
t \o t
о о
= -^p B(r+ l'n)>
откуда
t
B(f+l,w) = B(t,n).
n-t
Применяя эту формулу к (23.2) , мы п
В(2,и) = г
п п-\
B(3,„)=i._L_l_,
и «—1 п—2
«, х 1 1 2 ^-1
В(г, и) = , . . . =
п и-1 ' п-2' ' * n-t+1
оследовательн
(w-t)!(f-l)!
п\
С учетом (23.1) окончательно оказывается
1
Ъ<Ю
(и - 1*1)! (1*1-1)!,
откуда
1
Ф,-(и) =2 — (п - |*|)! (|*| - 1)! (v(K) - v(K\iJ).
КЭ1 П\
(23.3)
§ 24. ВЕКТОР ШЕПЛИ ДЛЯ ИГР ТРЕХ ЛИЦ
24.1. В отдельных случаях формула (21.4) для компонент вектора Шеп-
ли допускает более "замкнутое" их описание. Помимо простейших игр
(см. п. 21.1), это удается сдедать, например, для игр трех лиц.
Ввиду сказанного в п. 20.4 мы можем ограничиться существенными
играми, а ввиду сказанного в п. 21.8 — играми в 0—1-редуцированной форме.
24.2. Теорема. Если v - характеристическая функция трех лиц в
0—1-редуцированной форме с v(i, /) = с^, то
Ф&) = ± (2 -2ci + Cj + ck).
(24.1)
Доказательство. Воспользуемся теоремой п. 22.3. С этой целью
выпишем все перестановки игроков в игре трех лиц и подсчитаем разность
А(у, /, я) при / = 1 для каждой из них:
1
1
2
2
3
3
7Г
2 3
3 2
1 3
3 1
1 2
2 1
А
0
0
сз
1-е,
с*
1-е,
17*
259

Каждую из этих разностей следует умножить на вероятность 1/6
соответствующей перестановки и полученные произведения сложить. В итоге мы
получим
*i(«0 = -~(2-2d+c2+C3),
а надлежащее переименование игроков дает формулу (24.1). □
24.3. Например, для игры рынка с одним продавцом и двумя
покупателями (пример 3 из п. 2.2) в 0—1-редуцированной форме (см. п. 8.3)
фП1(и)= бм' фп2(и)=Т-Т 7=7'
Мы видим, что монопольное положение продавца делает для него
"справедливым" получение более чем половины от общего прироста
полезности. Кроме того, как нетрудно подсчитать, из Ь <> с следует Фп, 00 = фп 2 00-
Это значит, что справедливо, чтобы доля фактически вступающего в сделку,
более конкурентоспособного покупателя была бы больше, чем у его
конкурента.
24.4. Игры, в которых вектор Шепли принадлежит с-ядру, представляют
естественный содержательный интерес: именно в таких играх существует
дележ, который является одновременно справедливым и устойчивым
(его выгодность вытекает из свойства коллективной рациональности,
которым обладают все дележи).
Можно сформулировать условия того, чтобы для характеристической
функции v было Ф(и) Е С(и). Для игр трех лиц этот вопрос решается
достаточно просто.
Теорема. Для того чтобы в игре трех лиц с характеристической
функцией v(i, f) = ck вектор Шепли Ф(р) принадлежал с-ядру C(v),
необходимо и достаточно соблюдение неравенств
4с,- + Cj + ck < 4 для любых /, /, к (24.2)
Доказательство. Согласно теореме п. 13.2 условиями
принадлежности с-ядру дележа х в игре трех лиц v будут неравенства */ + xy J> ck.
Для случая х = Ф(и) это переписывается как Ф,(и) + Ф/(и)££с*, и формула *
(24.1) дает нам
■^ (4-с,-с;- + 2сл)^сл,
откуда немедленно следует (24.2). D
Наглядное изображение множества всех игр трех лиц, в которых вектор
Шепли принадлежит с-ядру, получается, если на рис. 4.1 построить
пересечение куба всех игр с тремя полупространствами (24.2).
260

§ 25. ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕКТОРА ШЕПЛИ
25.1 Игра с главным игроком. В игре участвуют п игроков,
один из которых называется главным. Коалиция К выигрывает 1, если
она либо содержит главного игрока и хотя бы одного кроме него, либо же
всех и-1 "неглавных". Если главный игрок имеет номер и, то
характеристическая функция этой игры записывается в следующем виде:
( 1, если KD{i, и}, гФп,
\){К) = 1, если КЭ{ 1,..., и-1},
10 в остальных случаях.
Очевидно, во всякой перестановке главный игрок увеличивает выигрыш
коалиции на единицу, если только он оказывается в ней не первым или не
стоит|на и-м!месте. Вероятность этого события равна (и-2)/и. В противном
0\ 1 Z 3 4 ... п-1 п к
Рис. 4.34
0\ 1 1Ъ U ... п-1п к
Рис. 4.35
случае он не увеличивает выигрыша коалиции. Следовательно, в нашем
случае ~Фгл(и) = (и-2)/и. Данная игра имеет 0—1-редуцированную форму.
и-1
Поэтому 2 Ф/(и) = 1 - Фгл00 = 2/и. Но ясно, что все неглавные игроки
равноправны. Поэтому по симметрии Ф/(и) = 2/и(и-1), i = 1,..., и—1..
Мы видим, что "монопольное" положение главного игрока обеспечивает
ему в (п-1) (п-2)12 раз больший выигрыш, чем "рядовым" участникам
игры. Это обстоятельство подчеркивает вторичный, относительный,
экономически обусловленный характер "справедливости".
25.2. "Помещик и батраки". Предположим, что имеются п—\
батраков (игроки 1,..., «—1) и помещик (игрок п) и что помещик,
наняв к батраков, получит от урожая доход f(k), а батраки в любом числе
сами по себе дохода получить не могут. Это положение дел описывается
следующей характеристической функцией:
уШ = (/(1^1-1), если п<ЕК,
^ ' [ 0 в противном случае.
Нетрудно видеть, что в случайной равновероятно распределенной
перестановке помещик с вероятностью \\п окажется на любом fc-м месте и
увеличит тем самым значение характеристической функции на f(k-1). Поэтому
и-1
Ф„(») = 1 2 f(k).
(25.1)
На основании условий эффективности и симметрии всех батраков мы имеем
ф/(и) =_L(/(„_i)_ 1 х f(k)) i = l,..., и-1.
261

Геометрически сумму в (25.1) можно представить себе как площадь,
ограниченную графиком функции / (см. рис. 4.34 и 4.35). В условиях
слабо механизированного сельского хозяйства график функции / будет
напоминать кривую, изображенную на рис. 4.34. По мере роста уровня
механизации этот график начинает напоминать кривую на рис. 4.35. Это
означает увеличение доли помещика в доходах, что соответствует
представлениям о росте нормы эксплуатации с ростом органического состава
капитала.
25.3. Однопродуктовый сбалансированный рынок.
Рассмотрим рынок, в котором участвует множество продавцов Р, причем
каждый продавец kGP располагает количеством хк некоторого товара,
и множество покупателей Q, причем покупатель / G Q предъявляет спрос
на этот товар в объеме .У/. Сбалансированность рынка выражается в
равенстве суммарного предложения суммарному спросу: 2 хк = X yv Очевид-
к<ЕР 1<EQ
но, каждую из этих сумм можно, не нарушая общности, приравнять единице.
Такой рынок можно описать кооперативной игрой с множеством
игроков I=PUQ (как обычно, мы полагаем \1\=п) и характеристической
функцией
v(K) = min\ 2 xki 2 уЛ. (25.2)
Персональность и супераддитивность функции v проверяются
непосредственно. Свойством дополнительности она, очевидно, не обладает, так как,
например, v(P) = v{Q) = 0, a v(P U (?) = v(l) > 0.
Значением этой характеристической функции является, очевидно, объем
сделок, которые могут быть заключены между членами-продавцами и
членами-покупателями коалиции К.
Найдем вектор'Шепли для этой кооперативной игры.
Рассмотрим произвольную перестановку игроков п и поставим ей в
соответствие "противоположную" перестановку 7г*, т.е. такую перестановку,
в которой переставляемые игроки расположены в обратном порядке.
Возьмем теперь произвольного продавца к и обозначим через К^(к)
множество всех участников рынка, предшествующих ему в перестановке 7г.
Обозначим разность
Ъ уг - £ хк>
I'fEKnikynQ к'<ЕКп(к)ПР
через d(k, л). Из определения характеристической функции (25.2) мы имеем
( 0, если d(k, тг)<0,
v(Kn(k) U к)- iKKn(k)) = d(k, тг), если 0^d(k, л)^хк,
[хк, если xk^d(k, я).
Как легко убедиться, d(k, 7г) + d(k, 7r*) = xk. Поэтому
v(Kn(k) U к)- v(Kn(k)) + v(Kn*(k) U к)- v(Kn*(k)) = xk.
Значит, если мы объединим в сумме (22.4) в данном случае слагаемые
в пары, сочетая каждую перестановку с противоположной ей, то всего мы
получим л!/2 пар, и сумма слагаемых в каждой паре будет равна хк. Сле-
262

довательно, для каждого продавца к € Р
1 п\ 1
*к(Р) = — — *к = — *к,
п\ 2 2
и аналогично для любого покупателя / G <2
Таким образом, для сбалансированного однопродуктового рынка доля
каждого участника рынка в распределении прироста полезности от
совершаемого обмена зависит только от его капитала (взятого в денежной или
натуральной форме) и не зависит от распределения капиталов между
отдельными участниками рынка. Это значит, что цена на сбалансированном
однопродуктовом рынке формируется вне рынка, т.е. в сфере
производства, что и соответствует трудовой теории стоимости и закону стоимости.

Приложение 1
О СМЫСЛЕ ВЫРАЖЕНИЯ
"ПОЛНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ИГРЫ"
Согласно теореме п. 6.1 из равенства (13.10), справедливого для любой
матрицы А, следует, во-первых, что смешанное расширение любой
матричной игры имеет значение, т.е. является вполне определенной игрой, а,
во-вторых, что игроки в этом смешанном расширении имеют оптимальные
стратегии.
Как отмечалось в п. 4.5, значение смешанного расширения игры есть с
одной стороны уверенный ожидаемый выигрыш игрока 1 за одну партию
такой игры, а с другой — справедливая плата за участие в ней.
Здесь можно было бы воспроизвести рассуждения из п. 6.7 с тем
отличием", что теперь вместо достоверного получения тех или иных конкретных
сумм речь будет идти об ожидаемых выигрышах. Поэтому полная
определенность смешанного расширения матричной игры должно пониматься
в том смысле, что в условиях применения игроками оптимальных
смешанных стратегий однозначно устанавливается математическое ожидание
выигрыша игрока 1, которое и будет равно значению игры. Разумеется,
если оптимальные стратегии игроков являются строго смешанными (т.е.
не являются чистыми), то фактические (случайные) значения выигрышей
игроков в отдельных партиях игры могут оказаться различными.
Приложение 2
ДРУГОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ НЭША
Существенно проще с технической точки зрения оказывается
доказательство теоремы Нэша, если вместо сравнительно элементарной теоремы о
неподвижной точке Брауэра воспользоваться более тонкой теоремой Каку-
тани.
Теорема Какутани. Пусть X — непустое компактное
подмножество Rfc, а отображение ф ставит в соответствие каждому элементу IEX
некоторое непустое замкнутое выпуклое подмножество ^(^0 СХ, причем
выполняется условие полунепрерывности сверху: если последовательность
Хх, ..., Xt, ... точек из X сходится к предельной точке X0i а
последовательность Yi9 ..., Yti ..., где Yt G ф(Х{) - к точке Y0i то Y0 G ф(Х0). Тогда
264

отображение ф имеет неподвижную точку в том смысле, что найдется точка
Х\ для которой Х*(Еф(Х*)*\
Терема Нэша доказывается на основании теоремыКакутани
следующим образом.
Возьмем в игре Г = < /, { х,- } / е /, Wi) i е /' > произвольную
ситуацию в смешанных стратегиях X = (Хг, ..., Хп) и рассмотрим для каждого
i G I множество ф* (Х{) всех тех смешанных стратегий X*. игрока/, для
которых
Нг(Х\\Х!)>Н((Х WXi) (9.5)
при любом Х\ G X/.
Как легко проверить, множество ф* (Xj) является замкнутым и
выпуклым подмножеством Xj. Следовательно, декартово произведение
П ф*(Х{)
является замкнутым и выпуклым подмножеством в пространстве всех
ситуаций в смешанных стратегиях. Обозначим его через ф(Х).
Соответствие X и» ф(Х) является полунепрерывным сверху, ввиду того, что в обеих
частях (9.5) стоят непрерывные функции от X, так что при переходе к
пределу неравенство сохраняется.
Таким образом, по теореме Какутани найдется такая ситуация в
смешанных стратегиях X*, что X* G ф(Х*). Для этой ситуации X* неравенство
(9.5) переписывается как
Щ{Х*)> Ht(X* WXi), XitXi,
т.е. X* является ситуацией равновесия игры Г в смешанных стратегиях. □
*) Доказательство теоремы Какутани см., например, в кн. Л.В. Канторович,
Г.П. Акилов, Функциональный анализ, М.: Наука, 1984, с. 637.
265

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
А. УЧЕБНИКИ
Х.Бургер (Burger E.) Emfuhrung in die Theorie der Spiele. - Berlin: W. de Gruyter, 1959,
S. 169 (Англ. пер.: Introduction to the theory of games. Englewood Cliffs: Prentice-Hall,
1963,202 р.)
2. Воробьев Н.Н. Теория игр. Лекции для экономистов-кибернетиков. - Л.: Изд-во
ЛГУ 1974. - 160 с. (Англ.пер.: Game Theory. Lectures for economists and system
scientists. - New York: Springer, 1977. - 178p.)
3. Давыдов Э.Г. Методы и модели теории антагонистических игр. - М.: Изд. МГУ,
1978.-208 с.
4. Джонс (Jones A.J.) Game theory: mathematical models of conflict. Mathematic and its
applications. Chichester: E. Horwood, 1980-309 p.
5. Дрешер (Dresner M.) Games of strategy, Theory and applications. - N.Y.: Prentice-
Hall, Englewood Cliffs, 1961. - 186 p. (Рус. пер.: Стратегические игры. Теория и
приложения. - М.: Советское радио, 1964. - 352 с.)
в.Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр. - М.: Наука,
1981.-336 с.
7. Крушевский А.В. Теория игр. - Киев:. Вища школа, 1977. -215 с.
Ъ.Мак-Кинси (MacKinsey J.CC.) Introduction to the theory of games, N.Y.: McGraw-
Hill, 1952. - 371 p. (Рус. пер.: Введение в теорию игр. М.: Физматгиз, 1960. -
420 с. Йсплер.: Introduction a la teoria matematica de los juegos. Madrid: Aguilar,
1967.-377 p.)
9. Мантейфель, Штумпе (Manteuffel К., Stumpe D.) Spieltheorie. - Leipzig: Teubner,
1977.-60S.
10. Оуэн (Owen G.) Game theory. - Philadelphia e.a.: Saunders, 1968. - 228 p. (Рус.
пер.: Теория игр. -М.: 1971. -230 с)
11. Оуэн (Owen G.) Game theory. Second Edition. Acad. Press, 1982. - 344 p.
12. Cen, Форго (Szep E., Forgo F.) Bevezetes a jatekelmelet be. - Budapest: Kozagzd.
kiado, 1974.-3131.
13. Cen, Форго (Szep E., Forgo F.) Einfuhrung in die Spieltheorie, Budapest, Akade'miai
Kiado, 1983.- 292 S.
14. Судзуки (Suzuki Mizuo) Theory of games. - Tokyo: Kieso Shobo, 1959, - 242 p.
15.Суздаль В.Г. Теория игр для флота. - М.: Воениздат, 1976. - 318 с.
Б. МОНОГРАФИИ
16. Ауман, Шепли (Aumann R.J., Shapley L.S.)Values of nonatomic games. - Princeton
univ. press, 1974. - 333 p. (Рус. пер.: Значения для неатомических игр. - М.: Мир,
1977. - 357 с.)
17.Базар, Олдсер (Basar Т., Oldser G.J.) Dynamic noncooperative game theory.- London
a.o.: Academic Press, 1982. - 430 pp.
18.Берж (Berge C.) Theorie generate des jtux a n personnes. — Paris: Gauthier-Villars,
1957. — 114 pp. (Рус. пер.: Общая теория игр нескольких лиц. - М.: Физматгиз,
1961.-с. 126.)
19. Воробьев Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. - М.: Наука, 1984. -
495 с.
20. Данскин (Danskin J.M.) The theory of max-min. - Berlin: Springer, 1967. - 126 S.
(Рус. пер.: Теория максимина. - М.: Советское радио, 1970. - 200 с.)
266

21. Карлин (Karlin S.) Mathematical methods and theory in games, programming and
economics.- London-Paris: Pergamon press 1959. (Рус. пер. Математические
методы в теории игр, программировании и экономике. — М.: Мир, 1964. - 838 с.)
22. Моргенштерн (Morgenstern О.) Spieltheorie und Wirtschaftswissenschaft. - Miinchen-
Wien: R. Oldenbourg, 1966. - 200 S.
23. Фон Нейман, Моргенштерн (von Neumann J., Morgenstern O.) Theory of games and
economic behavior. 3rd ed. -Princeton: Princeton univ. press, 1953. - 641 p. (Нем.
пер.: Spieltheorie und wirtschaftliches Verhalten. — Wiirzburg: Physica-Verlag, 1961. -
668 S.; Рус. пер.: Теория игр и экономическое поведение. — М.: Наука, 1970. -
707 с.)
24. Обэн (Aubin J.P.) Mathematical methods of game and economic theory. — Amsterdam:
North-Holland Publ. Co., 1979. - 619 p. (2 изд., испр., 1982.-616 p.)
25. Партхасаратхи, Рагхаван (Parthasarathy Т., Raghavan T.E.S.) Some topics in two-
person games. -* N.Y.: Amer. Elsevier, 1971. — 259 p. — (Рус. пер.: Некоторые
вопросы теории игр двух лиц. - М.: Мир, 1974. - 295 с.).
26.Розенмюллер (Rosenmuller J.) Kooperative Spiele und Markte. - Berlin: Springer,
1971 (Lect. Motes Oper. Res. Math. Syst. V. 53) - 152 S.(Pycпер.:Кооперативные
игры и рынки. - М.: Мир, 1976.-159 с.)
27'. Розенмюллер (Rosenmuller J.) The theory of games and markets. - Amsterdam: North-
Holland, Publ., Co., 1981. - 554 p.
28. Фридман (Friedman J.W.) Oligopoly and theory of games. -Amsterdam ел.: North
Holland, 1977 (Advanced textbooks in economics, vol. 8). - 311 p.
29. Ховард (Howard N.) Paradoxes of rationality: theory of metagames and political
behavior. - Cambridge Mass.: MIT Press, 1977. - 248 p.
30. Фон Штакельберг (von Stackelberg H.) Marktform und Gleichgewicht. - Wien:
Springer, 1934. (Англ. пер.: The theory of the market economy. - Oxford: Oxford Univ.
Press, 1952.)
В. НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ ЛИТЕРАТУРА
31. Вентцель E.C., Элементы теории игр. — М.: Наука, 1961. — 67 с.
32. Воробьев Н.Н., Математическая теория игр. - Л.: Знание, 1963. - 72 с.
33. Воробьев Н.Н., Теория игр. - М.: Знание, 1976. - 64 с.
34. Дэви с (Davis M.A.), Game theory. A nontechnical introduction. - N.Y.: Basic books,
1970. - 224 p. - (Нем. пер.: Spieltheorie fur Nichtmathematiker. - Munchen-Wien:
Oldenbourg, 1972. - 216 S.; Франц. пер.: La theorie de jeux. - Paris: Colin, 1973. -
271 p.)
35. Рапопорт (Rapoport A.) Two-person game theory. The essential ideas. - Ann Arbor:
The Univ. of Michigan Press, 1966. - 229 p.
36. Рапопорт (Rapoport A.) TV^person game theory. Concepts and applications. - Ann Arbor:
The Univ. of Michigan Press, 1970. - 331 p.
37. Фогельзанг (Vogelsang R.) Die mathematische Theorie der Spiele.- Bonn: Ferd. Dum-
mlersVerl. 1963,254 s.
Г. ОБЗОРЫ И СПРАВОЧНИКИ
38.Теория игр. Аннотированный указатель публикаций по 1968 г. - Л.: Наука,
1976, -224 с.
39. Теория игр. Аннотированный указатель публикаций отечественной и зарубежной
литературы за 1969 - 1974 гг. - Л.: Наука, 1980. - 298 с.
^.Воробьев Н.Н. Развитие теории игр. - В рус. пер. кн.: [23], с 631-702.(Немлер.:
Entwicklung der Spieltheorie, Berlin, Verlag der Wissenschaften, 1975,143 S.)
41. Воробьев Н.Н. Современное состояние теории игр. — Успехи мат. наук, 1970,
с. 25, №2, с. 81-140.
42. Воробьев Н.Н. Бескоалиционные игры. - В кн.: Проблемы кибернетики, вып. 33,
М., 1978, с. 69-90.
43. Лукас (Lukas W.F.) Some recent development in TV-person game theory. - SIAM Rev.
1971, vol. L3,N'4,p. 491-523.
267

44. Льюс и Райфа (Luce R.D., Raiffa H.) Games and decisions. Introduaion and critidal
survey. - N.Y.: J. Wiley, 1957. - 509p. (Рус. пер.: Игры и решения. Введение и
критический обзор. - М.: ИЛ, 1961. - 642 с.)
45. Соболев А.И. Кооперативные игры. - Проблемы кибернетики, 1982 вып. 8,
с. 45-54.
. 46. Томпсон, Томпсон (Thompson D.M., and Thompson Gih.) A bibliography of game
theory. - Contributions to the theory of games, v. 4. Ann. of Math. Studies, - Princeton
Univ. Press, 1959, p. 407-453.
47. Шубик (Shubik M.) Game theory in the Social sciences. Concepts and solutions.
Cambridge, Mass.a.o.: The MIT Press, 1982. - 514 p.
48. Яновская Е.Б. Бесконечные антагонистические игры. - В кн.: Теория
вероятностей. Математическая статистика. Математическая кибернетика. Т. 10, М., 1972,
с. 75-106.
49. Яновская Е.Б. Антагонистические игры. - В кн.: Проблемы кибернетики, вып. 34.
М.: Наука, 1978, с. 221-246.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Основные обозначения 5
Введение
§ 1. Бескоалиционные игры 7
§ 2. Примеры бескоалиционных игр 10
§ 3. Оптимальность 12
§ 4. Равновесие 15
§ 5. Кооперативная теория 18
§ 6* Постановка прикладных задач теории игр 19
§ 1* Проблематика теории игр 21
Глава 1. Матричные игры
§ 1. Антагонистические игры 23
§ 2. Оптимальность в антагонистических играх 26
§ 3. Некоторые свойства экстремумов 30
§ 4. Ситуации равновесия (седловые точки) 32
§ 5. Инвариантность седловых точек 35
§ 6. Седловые точки и минимаксы 38
§ 7. Матричные игры 42
§ 8. Смешанные стратегии 43
§ 9. Смешанное расширение матричной игры 45
§ 10. Существование минимаксов в смешанных стратегиях 49
§ 11. Выпуклые множества 51
§ 12. Лемма о двух альтернативах 52
§ 13. Теорема о минимаксах 54
§ 14. Задача решения матричных игр 55
§ 15. Свойства значения игры и оптимальных стратегий игроков . 56
§ 16. Множества оптимальных стратегий игроков в матричных играх . 59
§ 17. Спектры стратегий и дополняющая нежесткость 59
§ 18. 2 X 2-игры 63
§ 19. Графоаналитический метод решения 2 X w-игр 68
§ 20. Графоаналитический метод решения т X 2-игр 71
§ 21. Графоаналитический метод решения 3 X 3-игр 72
§ 22. Доминирование стратегий 76
§ 23. Строгое доминирование стратегий 78
§ 24. Вполне смешанные стратегии 79
§ 25. Матричные игры и линейное программирование 83
§ 26. Симметрия в играх 87
Глава 2. Бесконечные антагонистические игры
§ 1. Бесконечные антагонистические игры 92
§ 2. Ситуации е-равновесия, е-седловые точки и е-оптимальные стратегии. 93
§ 3. е-оптимальные стратегии и минимаксы 94
§ 4. Смешанные стратегии. 96
269

§ 5. Свойства значения игры и оптимальных стратегий игроков 101
§ 6. Естественная метрика на множествах стратегий 104
§ 7. Вполне ограниченные игры 107
§ 8. Основная теорема о вполне ограниченных играх 110
§ 9* Компактные игры 111
§ 10. Оптимальные стратегии игроков в компактных играх 115
§ 11. Внешняя топология. Непрерывные компактные игры 116
§ 12. Вьшуклые функции одного переменного 117
§ 13. Вьшуклые игры на единичном квадрате. Чистые оптимальные
стратегии игрока 2 121
§ 14. Вьшуклые игры на единичном квадрате. Оптимальные стратегии
игрока 1 123
§ 15. Строго выпуклые игры 125
§ 16. Общая схема решения выпуклых игр на единичном квадрате.
Примеры . 125
§ 17. Борьба за рынки 127
§ 18. Распределение производственных мощностей в условиях частичной
неопределенности 130
§ 19. Игра на единичном квадрате с выпуклой неограниченной функцией
выигрыша , 133
§ 20* Выпуклая разрывная функция выигрыша 134
§ 21.* Вьшуклые функции нескольких переменных 135
§ 22Г Выпуклые игры с векторными стратегиями. Чистые оптимальные
стратегии игрока 2 136
§23* Выпуклые игры с векторными стратегиями. Оптимальные стратегии
игрока 1 137
§ 24* Оптимальное распределение ограниченных ресурсов в условиях
неопределенности 140
§ 25.* Примеры распределения о1р«шиченных ресурсов в условиях
неопределенности 144
§ 26. Игры с разрывными функциями выигрыша 145
§ 27. Простые игры 146
§ 28. Оценки значений простой игры 147
§ 29. Примеры простых игр 149
§ 30* Графоаналитическое решение одного класса простых игр 151
§ 31. Борьба за встречу случайно появляющегося объекта 153
Глава 3. Бескоалиционные игры
§ 1. Понятие и определение бескоалиционной игры 159
§ 2. Основные соотношения между бескоалиционными играми 161
§ 3. Оптимальность в бескоалиционных играх 163
§ 4. Приемлемые ситуации и ситуации равновесия 163
§ 5. Инвариантность приемлемых и равновесных ситуаций 164
§ 6. Ситуации, оптимальные по Парето 166
§ 7. Смешанные расширения бескоалиционных игр 168
§ 8. Ситуации равновесия в смешанных стратегиях 170
§ 9. Теорема Нэша 171
§ 10. Дополняющая нежесткость- 174
§ 11. Симметричные ситуации равновесия 174
§ 12. Биматричные игры 176
§ 13. Решение би матричных игр 177
§ 14. 2 X 2-биматричные игры 179
§ 15. Почти антагонистические игры 182
§ 16. "Семейный спор" 183
§ 17. "Два бандита" : 185
§ 18. Метастратегии и метарасширения 186
§ 19. Реализация принципов оптимальности в метастратегиях 188
§ 20. Диадические игры 191
§ 21. Диадические игры трех лиц 193
270

§ 22. Охрана окружающей среды 193
§ 23. "Дезориентирующая реклама" 197
§ 24. Полиантагонистические игры 200
Глава 4 Классические кооперативные игры
§ 1. Характеристические функции бескоалиционных игр 202
§ 2. Абстрактные характеристические функции 207
§ 3. Реализация характеристических функций 209
§ 4. Линейная структура множества всех характеристических функций 212
§ 5. Основные соотношения между характеристическими функциями . . . 214
§ 6. Аддитивность в характеристических функциях 217
§ 7. 0 - 1-редуцированная форма 220
§ 8. Перечисление характеристических функций с малым числом игроков 222
§ 9. Дележи и классические кооперативные игры 224
§ 10. Дележи и характеристические функции 228
§ 11. Доминирование дележей 229
§ 12. Примеры доминирования дележей , . . 232
§ 13. с-ядро 236
§ 14. с-ядро в общих играх трех лиц 238
§ 15* с-ядро в играх четырех лиц 240
§ 16. Решения по Нейману - Моргенштерну 241
§ 17. Н-М-решения в играх трех лиц с постоянной суммой 243
§ 18. Н-М-решения в общих играх трех лиц 246
§ 19.* Н—М-решения в играх с числом игроков, большим трех 249
§ 20. Вектор Шепли. Аксиоматика 250
§ 21. Существование и единственность вектора Шепли 252
§ 22.. Эвристические выводы формулы для вектора Шепли 256
§ 23* Вывод формулы для вектора Шепли из аксиом . 4 257
§ 24. Вектор Шепли для игр трех лиц 259
§ 25. Примеры вычисления вектора Шепли 261
Приложение 1.0 смысле выражения полная определенность игры". . . . 264
Приложение 2. Другое доказательство теоремы Нэша 264
Список рекомендуемой литературы . 266

НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ВОРОБЬЕВ
ТЕОРИЯ ИГР ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ-КИБЕРНЕТИКОВ
Редактор А.Д. Вайнштейн
Художественный редактор Т.Н. Кольченко
Технические редакторы СВ. Геворкян, О.Б. Черняк
Корректоры Т.В. Обод, Е.А. Янышева
Набор осуществлен в издательстве
на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 12425
Сдано в набор 03.07.85. Подписано к печати 22.10.85
Т-20176. Формат 60 X 90 1/16. Бумага офсетная № 1
Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усл.печ.л. 17,00
Усл. кр.-отт. 17,00. Уч-изд.л. 18,86. Тираж 10000 экз.
(1001 — 10000 экз., II завод) Тип. зак. 117. Цена 1 р. 50 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
1-я типография издательства "Наука"
199034 Ленинград, В-34, 9-линия, 12