НАНОЭЛЕКТРОНИКА
Часть I
Введение
в наноэлектронику

ПРЕДИСЛОВИЕ
Наноэлектроника является новой областью науки и техники,
формирующейся на основе последних достижений физики твердого тела, квантовой
электроники, физической химии и технологии электроники
конденсированных сред, что определяется необходимостью установления фундаментальных
закономерностей и физико-химических особенностей формирования нано-
размерных структур. Физика и технология низкоразмерных структур -
актуальнейший и динамично развивающийся раздел современной твердотельной
электроники. Интерес к этой области связан как с принципиально новыми
фундаментальными научными проблемами и физическими явлениями, так и с
перспективами создания на основе уже открытых явлений новых квантовых
устройств и систем с широкими функциональными возможностями для опто-
электроники, измерительной техники и информационных технологий нового
поколения, средств связи и пр. Результатом исследований низкоразмерных
систем стало открытие принципиально новых, а теперь уже широко
известных явлений, таких как целочисленный и дробный квантовый эффект Холла в
двумерном электронном газе, вигнеровская кристаллизация квазидвумерных
электронов и дырок, обнаружение новых композитных квазичастиц и
электронных возбуждений с дробными зарядами, высокочастотных блоховских
осцилляции и др. Современные полупроводниковые лазеры на
гетеропереходах также основаны на использовании низкоразмерных систем (структуры с
квантовыми ямами, самоорганизованными квантовыми точками и
квантовыми нитями). Наиболее выдающиеся достижения в этой области отмечены
тремя Нобелевскими премиями по физике (1985 г. - за открытие квантового
эффекта Холла; 1998 г. - за открытие дробного квантового эффекта Холла;
2000 г. - за исследования, заложившие основы современных
информационных технологий).
Развитие этой области электроники открыло возможности
конструирования средствами зонной инженерии и инженерии волновых функций и
последующего изготовления с помощью современных высоких технологий нано-

структур (сверхрешетки, квантовые ямы, точки и нити, квнтовые контакты,
атомные кластеры и т.д.) с электронным спектром и свойствами,
необходимыми для изучения новых физических явлений или для соответствующих
приложений. Создание наноструктур базируется на новейших технологических
достижениях в области конструирования на атомном уровне твердотельных
поверхностных и многослойных структур с заданными электронным спектром и
необходимыми электрическими, оптическими, магнитными и другими
свойствами. Требуемая зонная структура таких искусственных наноматериалов
обеспечивается выбором веществ, из которых изготовляются отдельные слои
структуры («зонная инженерия»), поперечных размеров слоев («размерное
квантование»), изменением степени связи между слоями («инженерия
волновых функций»). Наряду с квантово-размерными планарными структурами
(двумерный электронный газ в квантовых ямах, сверхрешетки) активно
исследуются одно- и нульмерные квантовые объекты (квантовые нити и точки),
интерес к которым связан с надеждами на открытие новых физических
явлений и, как следствие, па получение новых возможностей эффективного
управления электронными и световыми потоками в таких структурах. Элементная
база, основанная на использовании разнообразных низкоразмерных структур,
является наиболее перспективной для электронной техники новых
поколений, когда при переходе к системам нанометрового масштаба начинает
проявляться квантово-мехапическая природа квазичастиц в твердом теле. В
результате возникает принципиально новая ситуация, когда квантовые эффекты
(размерное квантование, конфайнмент, туннелирование, интерференция
электронных состояний и др.) играют ключевую роль в физических процессах
в таких объектах и в функционировании приборов на их основе.
В первой части книги излагаются основные (необходимые для
последующего анализа) вопросы физики твердотельных систем пониженной
размерности, последовательно рассматриваются особенности энергетического спектра
частиц, транспортных и оптических свойств и процессов переноса частиц в
различных квантово-размерных структурах.

1. ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
(ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ)
1.1. Пространственная структура твердых тел
/. /. /. Межатомные связи
Макроскопические (оптические, механические, тепловые и др.) свойства
твердых тел в значительной степени определяются характером сил
взаимодействия между атомами. В соответствии с природой этих сил различают
молекулярные, атомные, ионные и металлические кристаллы. Все механизмы
связи между атомами обусловлены силами электрического притяжения и
отталкивания, типы и силы связи зависят от конкретного строения электронных
оболочек взаимодействующих атомов. Реальные закономерности
межатомного взаимодействия сложны и могут быть исследованы только с помощью
аппарата квантовой механики; примеры количественных оценок энергии
связи и построения потенциальных диаграмм кристаллических структур
приведены в этом разделе простых полуэмпирических приближениях, полезных
для логики последующего описания основных закономерностей
твердотельной наноэлектроники.
Тип кристаллов определяется характером связей; в металлических
кристаллах реализуется металлическая связь, в ковалентных - ковалентная,
ионных - ионная, молекулярных - ван-дер-ваальсова. Тип кристаллов связан со
свойствами твердых тел. Металлические кристаллы отличаются от остальных
большим количеством квазисвободных электронов, что существенно влияет
практически на все свойства. Ионные кристаллы являются тугоплавкими
диэлектриками. Ковалентные кристаллы -диэлектрики и полупроводники, к ним

относятся и органические вещества. Молекулярные кристаллы - летучие
вещества, сжиженные газы.
Природа межатомных связей. Подавляющая часть свойств твердых тел
связана с электромагнитными силами, действующими на заряженные
частицы, из которых главным образом и состоит вещество. Межатомные силы,
обеспечивающие устойчивость, представляют собой в основном
электростатические (кулоновские) силы. Электроны (длина волны де Бройля для них
обычно гораздо меньше характерных расстояний) описываются стоячими
(для свободных состояний) волнами, причем физический смысл имеет
квадрат модуля волновой функции, соответствующий плотности вероятности
нахождения электрона в данной точке.
Каждый электрон рассредоточен, делокализован в пространстве;
зарядовая структура вещества, таким образом, представляет собой почти точечные
положительные и распределенные отрицательные заряды (рис. 1.1.1 я).
Форма, размеры и другие характеристики волновых функций электронов зависят
от квантово-механических параметров состояний, и для определения
пространственного распределения заряда электронов необходимо в общем
случае решение квантово-механической задачи с учетом принципа Паули,
обменного взаимодействия, спина и др. Однако существенно, что после кванто-
во-механического определения пространственного распределения зарядов,
для вычисления энергии данной конфигурации частиц (атома, молекулы,
кластера частиц, твердого тела и др.) во многих случаях достаточно решить
классическую задачу - найти суммарную (по всем частицам, в том числе
электронам) потенциальную энергию зарядов в поле суммарных (от всех частиц и от
распределенных по объему отрицательных зарядов электронов) кулоновских
сил. Это обстоятельство значительно упрощает представления о природе
связей: система частиц устойчива, если суммарные силы притяжения между
разноименными зарядами больше суммарных сил отталкивания между зарядами
одного знака.
В частности, весьма устойчивы нейтральные или заряженные системы,
составленные многозарядным ядром и электронами, формирующими
замкнутые оболочки (He-подобная состоит из двух электронов, Ne-подобная - из
восьми, Аг-подобная - из восемнадцати и др.): в этих оболочках электроны
находятся относительно близко к ядру, а потенциал компактного ядра
превышает потенциал электронного облака (это следует из решения уравнения
Пуассона для электростатического потенциала в сферически-симметричной системе
зарядов). Из-за устойчивости и малых размеров такую систему часто можно
рассматривать как отдельную частицу (ион, нейтральный атом инертного
газа), а атом или ион с незаполненными оболочками - как систему,
составленную, во-первых, из иона с заполненными оболочками, во-вторых, из внешних

- -•- -е- -е-
-•-"- - -е- -
- -•- -е-_-©-
а б
10
ИГ2 КГ1 10° 10' 102г/с
Рис. 1.1.1. Модели, зарядовой структуры вещества
Рис. 1.1.2. Функция экранирования кулоновского потенциала
для разных приближений: Нильсен (/); Томаса—Ферми (2); Мольера (5)
вален гных электронов, которые имеют орбитали относительно больших
размеров и потому слабее притягиваются ядром (рис. 1.1.16).
Распределение заряда и патепциапау ядра. В непосредственной близости
от ядра потенциал определяется законом Кулона:
U(_r) = Ze2/{4-m0r),
(1.1.1)
где Z — заряд ядра; г — расстояние от него. Кулоновское притяжение к ядрам
приводит к локальному повышению плотности электронного газа, так что
потенциал ослабляется отталкиванием электронных облаков, т. е. заряд ядра
экранируется, и вместо (1.1.1) можно записать
U{r)=<£(r)Ze2/(4TiE0r),
где Ф(/-)— функция экранирования. В общем случае Ф(7-) характеризуется
распределением электронной плотности в оболочках атома (Is2, 2s2, 2р6 и т.д.),
для вычисления которой необходимо решить квантово-механичсскую задачу
для многих частиц. Однако для ряда задач теории твердого гела ход функции
экранирования задают из более простых моделей (рис. 1.1.2). Так, в модели
Томаса-Ферми рассматривается электронный газ в силовом поле ядра без
учета оболочсчных эффектов: концентрацию электронов находят с помощью
соотношения неопределенностей Гейзенберга и уравнения Пуассона:
2 4 з
n{r)=—-v[p(r)\ ,
h 5

V2U(r) = n(r)e/z0.
Получающийся радиус экранирования - радиус экранирования Томаса -
Ферми
rTF = 0,8853o0Z~1/3.
Решение (см. рис. 1.1.2) не выражается через элементарные функции, что
неудобно при аналитических исследованиях. Другим недостатком этой модели
является значительное отличие от более точных моделей при г> 10 а. Поэтому
часто применяют другие, полуэмпирические, модели: потенциал Мольера
Ф(г/гп..) = ^С^хр(-Ь,г/г7Т)
(С, = 0,35;С2 = 0,55;С3 = 0,1; Ъх = 0,3; Ь2 = 1,2; Ь3 = 6,0); потенциал Борна-Майера
Ф(г/г„р)=ехр(-г/г0),
где /*0 - параметр, соответствующий радиусу атома в кристалле; более
сложный потенциал Слэтера, учитывающий оболочечное строение электронного
облака, и др. Для отдельных диапазонов г/а0 применяют также степенную
аппроксимацию Нильсен:
O(r/rTF) = 0A\6rTF/r.
В последнем случае значение £/(/-) пропорционально Mr2.
Связи между нейтральными атомами в молекулах или твердых телах
также являются равнодействующими силами электростатического притяжения и
отталкивания зарядов (рис. 1.1.3). Количественная оценка сил связи приводит
к понятию об энергии связи кристалла Es, под которой понимают
приходящуюся на один атом вещества разность между полной энергией кристалла при
Т = 0 К и энергией составляющих его частиц, разнесенных друг от друга на
бесконечно далекое расстояние. Энергия Es отрицательна, но в справочной
литературе обычно указывают ее абсолютные значения. Минимуму энергии
связей, т.е. устойчивому равновесному состоянию, соответствует
упорядоченное расположение ионов в теле, которое в этом случае является
кристаллом. По характеру распределения электронной плотности межатомные связи
разделяют на ковалентные, ионные и металлические (характерные энергии
1...5 эВ на атом), а также более слабые связи - ван-дер-ваальсовы (0,2 эВ на
атом) и водородные (0,1.. .0,5 эВ).
Ионные связи. В случае ионной связи атомы одного сорта (например,
щелочного металла Na) отдают свои валентные электроны атомам другого сорта

G, эв
© © ©
© © ©
© © ©
12 3 4 5
г, 10-10м
Рис. 1.1.3. Энергетическая диаграмма молекулы NaCl:
/ — энергия отталкивания; 2 — полная энергия: 3 — энергия притяжения
Рис. 1.1.4. Модель ионного кристалла
(например, галогена С1), так что образуются положительные ионы с
прочными заполненными оболочками. Ионный кристалл состоит из положительных
и отрицательных ионов, расположенных так, что кулоновское отталкивание
одноименно заряженных ионов оказывается меньше кулоновского
притяжения ионов с противоположным зарядом, т.е. каждый ион имеет ближайшее
окружение из ионов противоположного заряда (рис. 1.1.4), а ионы того же
знака, от которых данный ион отталкивается, находятся дальше и оказывают
меньшее силовое воздействие.
Когда ионы Na и О приближены друг к другу в отсутствие каких-либо
других атомов, энергия их кулоновского притяжения при межъядерном
расстоянии /-, отсчитанная от нулевого значения энергии при удалении их друг от
друга на бесконечное расстояние, равна энергии притяжения точечных зарядов:
ЕпР=-е2/(47те0г),
т.е. распределение электронного заряда в заполненной электронной оболочке
сферически-симметрично. На ионы действует соответствующая
отталкивающая сила через кулоновские силы притяжения к деформированным
электронным оболочкам (рис. 1.1.5). Энергия отталкивания быстро изменяется с
межъядерным расстоянием, и ее можно представить приближенными выражениями
Еот = А/г" (п = 12, А = const)
1
0
-1
-2
•3
\
V
ч
^
\
V „-—
\^
/3
■ «'ill
или

Рис. 1.1.5. К объяснению природы сил отталкивания
Еот = Бехр(-г/р) (Б = const, p = const),
которые не соответствуют в точности сложному квантово-механическому
процессу, определяющему конфигурацию распределенного заряда
электронов. Устойчивой будет конфигурация с таким расстоянием г между ионами,
при котором энергия
Е = Е„р + Е0Т =-е2/(4^оО + 5ехр(-г/р) (1.1.2)
минимальна (см. рис. 1.1.3).
Правила образования связи между парой ионов при учете некоторых
дополнительных геометрических соображений оказываются вполне
справедливы и для кристалла.
Энергетически наиболее выгодная структура кристалла определяется
соотношением межд) радиусами аниона и катиона. (Напомним, что радиальный
размер;;0 аниона обычно значительно больше размера;/ катиона.) В том
случае, когда это соотношение радиусов допускает контакт аниона с катионом,
структура заменится на другую ионную структуру. Можно показать, что
структура кристаллаNaC 1 предпочтительнее структуры CsC 1 (рис. 1.1.6.)
только при г°/г? > 1,41, а когда отношение r° /rf становится большим,
энергетически самой выгодной оказывается структура ZnS (где каждый анион
окружен четырьмя катионами, центры которых расположены в точках,
соответствующих вершинам правильного тетраэдра).
оТ^^ЬгТ
.м^^г
Ъ^Ч^Ч^
Рис. 1.1.6. Изображение кристаллической решетки: w-NaCl; 6-CsCl

Рассматривая NaCl как типичный кристалл с ионной связью, заметим,
что катион натрия окружен шестью ближайшими соседями С1 на расстоянии
г0, двенадцатью следующими за ближайшими соседями анионами Na+ на
расстоянии 31/2г0 и т.д. Таким образом, полная энергия кулоновского
притяжения, приходящаяся на одну ионную пару, равна сумме бесконечного ряда:
E.lu=[-e/(47ie0r0)]{6-12/V2+8/V3-...} =
= 17Ще2/(4т0г0)] = а[е2/(4ке0г0)]. (1.1.3)
Множитель а называют постоянной Маделунга, и его значение для
данной решетки определяется ее геометрией. (Заметим, что по сравнению с
решеткой NaCI решетка ZnS имеет а = 1,638, а для структуры типа CsCl
ос= 1,763.) С учетом (1.1.3) выражение (1.1.2) для кристалла принимает вид
Е; =-ае2/(47ге0г0) + Сехр(-г/р),
гдег0 - равновесное расстояние; С - [ае р/(4пе0г0)]ехр(г0/р); г- расстояние
между ближайшими ионами; при/- = г0
Е,=--^-(1-.Р) = --^-
4тге0г0 г0 4тге0г0
(так как р«г0).
Для галогенидов щелочных металлов р= 0,0345 нм, ar0 =r° +>)с, т.е.
положительные ионы щелочных металлов и отрицательные ионы галогенов с
целиком заполненными электронными оболочками ведут себя как
несжимаемые сферы, касающиеся друг друга при равновесных расстояниях. Как
правило, ионные кристаллы - это диэлектрики.
Ковачеитпые связи. Ковалептные (гомеополярные) связи образуются
вследствие существования между ионами областей повышенной электронной
плотности, так что притяжение ионов к этим областям отрицательного заряда
больше отталкивания от более далеких положительных зарядов ионов
(рис. 1.1.7). Условие образования таких областей между атомами -
обобществление двух электронов парой соседних ионов. Каждый атом может
образовывать ограниченное число внешних электронов (отличается от числа,
необходимого для полного заполнения электронной оболочки). Кроме того,
имеются явно выраженные преимущественные направления связей. Так, углерод
может образовывать четыре связи по направлениям вдоль ребер тетраэдра
(под углами 109,5°), и характерная тетрагональная структура наблюдается в

Рис. 1.1.7. а) Модель ковалентного кристалла, б) Конфигуарция ковалентных
связей, образуемых s- и р-валентными электронами , в) Типы структур, образуемых
атомами различной валентности , г) Тетраэдрическая связь в полупроводниках
кристаллическом алмазе и различных органических соединениях. Во всех
случаях сближению атомов препятствует кулоновское отталкивание ядер, а в
более тяжелых атомах при этом добавляется и отталкивание из-за перекрытия
заполненных внутренних электронных оболочек.
К веществам с ковалентной связью относятся: I) большинство
органических соединений; 2) твердые и жидкие вещества, у которых связи образуются
между парами атомов галогенов (а также между парами атомов Н, 1М, О);
3) простые вещества из элементов IV, V, VI гру пп (Si, Ge и др.).
Ионпостъ связи. Полностью симметричные ковалентные связи возможны
только в молекулах и кристаллах из атомов одного элемента; в других случаях
электронная плотность более или менее асимметрична. Для количественной
характеристики промежуточных типов связи применяют понятие ионности. Для
осуществления чисто ионной связи в соединении необходимо наличие двух
составляющих: существенно электроположительной (которая может быть легко
ионизована, чтобы образовать катион) и существенно электроотрицательной
(имеющей большое сродство к электрону для образования аниона). (Этим
требованиям удовлетворяют галогениды щелочных металлов.) Однако в
соединениях элементов с не столь явно выраженными электроположительными и элек-

троотрицательными свойствами степень перехода заряда от катиона к аниону
значительно меньше 100%. Например, благородные металлы имеют большую
энергию ионизации, чем щелочные, и поэтому связь в галогенидах серебра в
меньшей степени относится к ионной, чем в соответствующих галогенидах
щелочных металлов. В действительности для соединений элементов, у
которых разность электроотрицательностей убывает, наблюдается непрерывный
переход от чисто ионных связей к чисто ковалентным.
При частичном обобществлении электронов связь между атомами А и В
рассматривают как комбинацию ионной и ковалентной конфигураций
зарядов. При этом усредненную по времени волновую функцию электрона,
участвующего в образовании такой связи, записывают в виде
4> = 4>KOB+X4>»on(X = comt),
где ЧКК0В и Ч'1Ю11 - нормированные волновые функции для чисто ковалентной и
чисто ионной связей соответственно. Степень ионности
а,- = Х2/(\ + Х2).
Смешанный характер связи приводит к появлению добавки ДЕ к энергии связи:
ЛЕ = Е ЛБ - Е ков,
где Еко1) -энергия гипотетической чисто ковалентной связи, равная среднему
арифметическому (или среднему геометрическому) энергий ковалентных
связей ЕАА и EBS.
Для оценки степени ионности связи имеется несколько полуэмпирических
способов определения электроотрицательности элементов Х- характеристики,
описывающей способность атомов удерживать около себя электрон (рис. 1.1.8).
При образовании молекул или кристалла из атомов А и В электронное облако
смещается в сторону более электроотрицательного атома, и тем дальше, чем
больше разность Хл —Хн. Учитывая, что ДЕ пропорциональна квадрату
перешедшего заряда, определяют электроотрицательность по Полингу:
1,3(^-^Гв)2=ДЕ
(ДЕ- в электронвольтах). В этом случае разностьХл-Хн численно равна дипо-
льному моменту связи, выраженному в дебаях (1 А = 3,33 ■ 10"3 Кл • м).
Ионность (определяемая из дипольных моментов) с хорошей точностью
(рис. 1.1.9) связана с электроотрицательностью:
а, = {1-ехр[-(Х,-А^)2/2]}.
Металлическая связь. Эта связь возникает в кристаллах1' в результате
электростатического взаимодействия ионов (одно- и двухзарядных) с газом квазис-
1) Но не молекулах металлов, которые удерживаются ковалентными связями.

1 2 3 4JT
Рис. 1.1.8. Коэффициенты электроотрицательности по Полингу
Рис. 1.1.9. Зависимость степени ионностн соединения от разности
электроотрицательностей компонентов
Рис. 1.1.10. Модель металлического кристалла
вободных валентных электронов, которые образуют более или менее
пространственно-равномерную плотность отрицательного заряда (рис. 1.1.10).
Металлические структуры имеют довольно редкое расположение атомов
(большие межъядерные расстояния) и большое число ближайших соседей у
каждого атома в кристаллической решетке (примерно 8—12). Металлическую
связь образуют элементы со слабосвязанными валентными электронами и
большими размерами агомов, степень металличности растет с номером периода
и уменьшается с ростом номера группы в таблице Менделеева.
Во многих металлах для образования такой связи достаточно одного
электрона у каждого атома, например в Li, у которого на внешней оболочке
(следующей за заполненной К-оболочкой) имеется всего один электрон. Кристалл
Li следует рассматривать как решетку ионов Li+ (шаров радиусом 0,068 нм),
окруженных электронным газом, плотность которого — один электрон на
атом. Каждая отдельная связь относительно слаба, так как межъядерные
расстояния в металлах больше, чем в двухатомных молекулах. Так, расстояние

Li-Li в кристалле Li составляет 0,304 нм, в то время как в молекуле Li2 с кова-
лентной связью оно равно 0,267 нм. Однако полная энергия связи в
металлических кристаллах больше, чем в отдельных молекулах, поскольку общее число
связей в кристалле металла значительно возрастает (хотя каждая из них и
становится слабее). Например, энергия связи в расчете на один атом увеличивается
от 0,6 эВ у Liz до 1,6 эВ у кристаллического Li.
Соотношение металлической, ковалентной и ионной связей. Рассмотрим
зависимость степени металличности связи от расстояния между атомами (т.е.
плотности). Пусть решетка имеет структуру алмаза, т.е. соседи каждого атома
находятся в вершинах тетраэдра. При достаточно больших расстояниях
между атомами внешние электроны занимают полностью зону, образованную
расщепленными л-состояниями (два электрона на атом) и на треть занимают
зону, образованную /^-состояниями (два электрона из шести на атом).
Электроны могут переходить от одного атома к другому и приобретать энергию с
возбуждением в пределах />-зоны, т.е. система представляет собой металл;
связь имеет металлический характер. Качественный скачок происходит при
сближении атомов па такие расстояния, что s- и/>-зоны перекрываются, т.е.
энергия перехода из s- в/>-состояние становится нулевой; при этом орбитали
претерпевают изменение: формируются четыре эквивалентные (гибридизо-
ванные) орбитали (рис. 1.1.1 1), отделенные на энергетической диаграмме от
оставшихся двух запрещенной зоной, причем ниже нее состояния заполнены,
а выше - свободны (рис. 1.1.12), т.е. электроны уже не могут передвигаться,
приобретая малые порции энергии, что соответствует полупроводнику или
диэлектрику. Валентные электроны образуют стационарные области
повышенной плотности заряда между атомами, т. е. связь приобретает ковалент-
ный характер.
Диаграмма, построенная для кристалла Si (см. рис. 1.1.12), иллюстрирует
структуру и всех других кристаллов того же типа, составленных из атомов IV
группы (С, Si, Ge, Sn). Наименьшее расстояние между ядрами и наибольшая
ширина запрещенной зоны наблюдаются в кристалле алмаза. У каждого
следующего элемента ряда расстояние между ядрами увеличивается (что на
рис. 1.1.12 соответствует движению справа налево), и, наконец, для Sn
расстояние между ядрами таково, что ширина запрещенной зоны обращается в нуль.
Равновесные расстояния между атомами увеличиваются с ростом размеров
этих атомов, в среднем растущих с атомным номером, поэтому тяжелые
элементы образуют кристаллы с металлической связью.
Для описания такого изменения можно определить степень металличности
аш, увеличивающуюся от С к Sn и от периода к периоду таблицы Менделеева,
отражающую уменьшение отношения энергии расщепления на заполненные
и незаполненные состояния к энергии ip-расщепления. Степень ионности и

Рис. 1.1.11. Схема ^-гибридизации. Одна л- и три р-орбитали
образуют четыре sp~ -гибридизованные орбитали, которые направлены
по четырем тетраэдрическим осям / — 4: а — s- и р-орбитали;
б — гибридизованные sp-орбитали
Рис. 1.1.12. Образование энергетических зон гомеополярного
тетраэдрического кристалла при сближении атомов:
/- изолированные атомы; //—металл; ///— ковалентный кристалл;
/ — заполненные (связывающие) состояния;
2 — запрещенная зона; 3 — незаполненные
(антисвязывающие) состояния
степень металличности характеризуют закономерности в изменении свойств
ковалентных кристаллов, в частности, наблюдается уменьшение угловой
упругости при увеличении ат и а, для тетраэдрических структур, не
имеющих плотной упаковки, так что если любая из этих двух величин будет
слишком большой, то структура резко изменится и станет плотноупакованной.
Новая система имеет качественно иную структуру энергетических зон, и
необходимо применение новых приближений. Можно рассматривать это
явление в координатах ат, а, (рис. 1.1.13). Если пара образующих кристалл
атомов (например, Li и F) обладает большой полярностью, то возникает плотно-
упакованная структура (типа каменной соли). Когда степень металличности
достаточно велика, устойчивость плотноупакованной структуры также
возрастает (например, если Sn существует в тетраэдрической модификации, то
является ковалентным кристаллом; если имеет плотноупакованную
структуру белого олова, то является металлом). Даже Si и Ge в расплавленном
состоянии приобретают плотноупакованную структуру и становятся жидкими
металлами.
Для завершения фазовой диаграммы следует провести линию,
разделяющую металлы и ионные кристаллы. Материалы, располагающиеся вблизи
этой зоны, называют интерметаллическими соединениями. Они могут распо-

О 0,5 а, 1 0,5 1 ас
Рис. 1.1.13. Фазовая диаграмма, характеризующая типы кристаллов:
/- металл, плотноупакованная структура, проводник;
// - ковалентный кристалл, тетраэдрическая структура,
полупроводник; ///-ионный кристалл, плотноупакованная
структура, диэлектрик
Рис. 1.1.14. Зависимость ионной энергии связи
в расчете на одну связь от степени ковалентности для гомеополярных
полупроводников и изоэлектронных с ними соединений
лагаться на «металлической» стороне от разделительной линии (например,
Mg2Pb) или на «ионной» (например, CsAu).
Резкое различие между ионными и ковалентными кристаллами
подчеркнуто при перестройке периодической системы элементов, осуществленной
Пантелидесом и Харрисоном (табл. 1.1.1). В этой системе щелочные и
некоторые другие металлы перемещены в таблице вправо. Кристаллы, составленные
из элементов группы углерода (столбец 3), и соединения, образованные
элементами, лежащими по обе стороны от столбца 4 (например, GaAs или CdS),
являются ковалентными кристаллами с тетраэдрической структурой.
Соединения, составленные из элементов, лежащих по обе стороны от группы Не
(группа инертных газов), например КС1 или СаО, являются ионными
кристаллами, имеющими характерную для ионных кристаллов симметрию. Лишь
несколько ионных и ковалентных соединений не укладываются в эти рамки
(MgO, AgF, AgCI и AgBr) и являются ионными кристаллами, a MgS и MgSe
могут выступать как ионные, так и ковалентные кристаллы (заметим, что Mg
помещен и в столбце 2, и в столбце 10).
"■/71
1
'
0,5
■
ръ
In
'Si
'С
/
GaAs<
•
П
TIBi у
;inSb\//7
AlP^ "\
CuBrl
.BeO
•
Lif
4

Периодическая система элементов
z
■а
■<
■<
1
■и
\л
D3 W D5 D6 D7 М D9 D10
Sc
2!
9.35
1.24
1.11
181
44.96
Y
39
6.80
1-Я
0.99
1.99
88.91
La
71
6.62
1.58
1j09
1.97
175.0
ТЛ
22
1I.04
1.08
1.17
1.61
0.90
47.90
2>
«0
8.46
1.41
1.02
1.77
91.22
НГ
72
8.14
1.44
1.12
1.75
178J5
V
23
12.55
0.98
1.21
1.49
0.48
50194
41
10.03
1.28
1.04
1.62
92.91
Та
73
937
1.34
1.15
1.62
180.9
Сг
24
13.94
0.90
1.22
1.42
0.84
5200
М.
41
1136
1.20
1.04
1-55
95.94
W
74
10.96
1.27
1.16
1.56
183.8
Мп
25
15.27
0.86
1.24
1.43
0.80
54.94
Тс
43
13.08
1.11
1.03
1.50
(99)
75
1X35
1.20
1.15
1.52
186.0
26
1654
0.80
1.25
1.41
0.76
55.85
На
44
14-59
1.05
1.00
1.48
101.1
О»
76
13.73
1.13
1.14
1.49
Со
27
17.77
0.76
1.24
139
0.78
58.93
На
«5
16.16
0.99
0.95
1.49
102.9
и
77
15.13
1.08
1.10
1.50
190211922
N1
28
18.96
0.71
132
138
072
5B.7I
Fd
46
17.66
0.94
0.93
1.52
106.4
78
16.55
1.04
1.07
1-Я
195.0
Си
29
20.14
0.67
1.15
1.41
6.92
1.83
136
63.54
А« 47
19.21
0.89
0.71
1.59
6.41
го?
1.20
107.9
Аа
79
17.98
1.01
0.98
139
6.48
238
197.0
2 3 ■ 4 5 6
Не
4
8.17
4.14
1.94
0.58
0.30
9.01
12
6.В6
2.99
137
0.74
0.65
24.31
1л
30
8.40
3.38
1.59
0.59
6537
Cd
48
7.70
3.38
1.41
0.65
11X4
hi
80
7.61
3.48
1.36
006
141
200.6
В
5
12.54
6.64
0.44
0.16
10.81
AI
13
10.11
4.86
1.73
0.61
0.45
26.98
Са
31
11.37
4.90
1.66
0.59
69.72
In
49
10.12
4.69
1.50
0.63
114.3
Т1
81
9.92
4.61
1.46
0.60
204.4
ь
2
1
1
с
6
17-52
8.97
Z76
037
12.01
Si
14
13.55
6.52
1.81
OJ6
0.38
28.09
Gc
32
14.3В
636
1.74
0.54
7259
So
50
1230
5.94
1.63
0.59
118.7
РЬ
82
12.07
5.77
138
037
207.2
N
7
23.04
11.47
14.01
Р
15
17.10
8.33
0.51
30.97
As
33
17.33
7.91
031
74.92
Sb
SI
14.80
7.24
0.56
121.8
Kl
83
14.15
6.97
0.57
209.0
О
29.14
14.13
0.42
1.46
16.00
s
16
20.80
10.27
0.47
1.90
32.06
Sc
34
2032
9.53
0.50
78.96
Те
52
17.11
839
034
127.6
B4
16.21
8.19
(210)
II
1
1.00
7
F
9
35.80
16.99
133
19.00
a
17
24.85
12.31
0.48
1JBI
35.45
Br
35
23.35
11.20
1.95
79.91
I
53
19.42
9.97
126.9
At
B5
18.24
9.44
(210)
"-2
23.40
4.00
5
3
8
10
43.20
20.00
—
20.18
Ar
18
28.70
14.50
39.95
Kr
36
2630
13.00
—
83.80
Xc
54
21.80
11.40
2.16
1313
Ra
86
20.31
10.71
(222)
-;
ri
2
i
5
5
a
s
Li
3
3.48
1.13
0.92
068
8.94
9
Na
и
5.13
0:91
0.96
0.98
2X99
К
19
4.19
0.73
1.20
1.33
39.10
Kb
37
3.94
0.69
1.38
1.48
85.47
Ci
55
3.56
0.64
1.55
1.67
132.9
Fr
87
3.40
1.75
(223)
Переходные металлы
Простые метимы
-Неметаллы-

по Пантелндссу и Харрисону
Таблица 1.1.1
ю и
FT
6.86
XV)
1.37
0.74
0.63
24.31
Се"
20
5.41
21
5.83
Простые
атомы
Атомный номер
-Ег-эВ
-^,-эВ
kh 10ю м
гс.1(Г10м
А>.10-,0м
Атомный вес
Переходные
металлы
Атомный номер
-fi/.эВ
rrf.10-,0M
*j.10-10m
rv> 1(Г10 м
кр ИГ10 м
Атомный вес
Металлы
с незаполненной
/-оболочкой
Атомный номер
Z (высотность)
г0,Ю-,0м
гг,10-,0м
Ау.КГ'Ом
Атомный вес
1.11
O.S0
0.S4
40.4S
Sr
38
5.00
I.OZ
1.14
1.10
87.62
44.96
V
5.53
88.91
Параметры
Расстояние между ближайшими соседями
Ковалентный кристалл: d=d
Ионный кристалл: d=rf+г?
Металл: г03*3Р = 9л2У4
Инертный газ: d= 1.12а
R И Н F FI В F10 FlI FI2 FI3 FI4 FI5 FI6 F17
Вы
56
57
58
Fr
59
Nd
60 61
So.
62
Ел
63
Gd
64
ТЬ
65
Djr
66
Но
67
68
Tm
69
Yb
70
71
4.45
098
1.60
1.29
4.86
2.02
3
Z02
3
2.01
3
1.99
2
2.27
3
1.99
3
1.95
3
1.96
3
0
1.95
3
о
1.94
3
о
1.93
2
О
1.99
3
О
1.92
0.83
1.11
0.86
0.81
I.0S
0.83
1.04
0.81
0.71
1.02
0.75
0.61
0.99
0.72
0.96
0.78
0.70
0.94
I37J
138.9
140 J
140.9
144.2
(1473
150.4
152.0
157.2
158.9
162.5
164.9
167.3
168.9
17Э.0
175.0
88
Ас
89
ТЬ
90
91
92
NP,
93
94
Am
95
Cm
96
Bk
97
98
99
Fm
100
Md
101
No
102
Lw
103
4.24
!.37
4.63
1.99
1.81
1.71
1.66
1.78
2.01
0.59
0.72
1.05
(226) (227)
Z32.0
(231)
Простые метилы
238.1 (237) (244) (243) (247) (247) (252) (254) (257) (257) (255) (256)
Металлы с незаполненно* оболочке*

Определение типа связи. Количественно ионность а, и металличность
а,„ для данной пары элементов А и В могут быть определены по
металлической V\, ковалентной Уг и ионной Уз эффективным составляющим энергии
связи АВ:
а,„=Ух/№ + к;> (1-1.4)
они, в свою очередь, могут быть найдены из соотношений
VxA=-(EAp-EA)/4, V? =-(Ej-Ef)/4,
Vx=(VxA+VxB)l2,
V2 =2,\6h2/(ma2),
V3=(lf-lf)/2
(здесь /; , /, - энергия ионизации внешней оболочки атома), т.е. по энергии
Es , Е валентных s- и/7-состояний, расстоянию а между атомами Л и В.
Таким образом, для кристалла любого состава элементов А и В по данным
табл. 1.1.1 и формулам (1.1.4) и (1.1.5) можно определить ат и а,, а с
помощью рис. 1.1.13- тип кристалла.
Степень ковалентности, максимальная в ковалентных кристаллах,
Значению ас пропорциональны, например, энергии в пересчете на одну связь
для изоэлектронных соединений (т.е. имеющих подобные валентные
оболочки) как гомеополярных, так и гетерополярных кристаллов (рис. 1.1.14); другая
закономерность - уменьшение энергии связи при уменьшении степени метал-
личности.
Ваи-дер-ваачьсово взаимодействие. Оно всегда существует между
близко расположенными атомами, но играет важную роль лишь в отсутствие
более сильных механизмов связи. Это слабое взаимодействие (с характерной
энергией до 0,2 эВ/атом) между нейтральными атомами и между молекулами.
Природа его также имеет электростатический характер: хотя средний
электрический дипольный момент нейтральных атомов, как и многих молекул, ра-
(1.1.5)

вен нулю, эти атомы и молекулы притягиваются друг к другу электрическими
силами. В одном из двух соседних атомов электронная оболочка смещается,
например, в сторону второго атома. (Причину смещения иногда наглядно
представляют как результат удара при тепловом движении; однако, по
принципу неопределенности, у каждого атома имеется флуктуирующий диполь-
ный моменте быстроменяющейся ориентацией и амплитудой.) В поле диполя
происходит поляризация другого атома, причем образовавшийся второй
диполь притягивается к первому (рис. 1.1.15): разноименные заряды оказывают-
Рис. 1.1.15. Схема ван-дер-ваальсова взаимодействия:
а - два невзаимодействующих атома; б - взаимодействующие атомы
ся ближе друг к другу, чем одноименные. Индуцируемое диполем поле
убывает пропорционально кубу расстояния. При этом потенциальная энергия
взаимодействия между диполями (приводящая к притяжению)
ЕПР=-ЛА6.
Полная энергия(рис.
1.16)
Е = -Л/г6+5ехр(-г/р),
или
Е = 4е
Гп\
\r J
\r J
(потенциал Леннарда-Джонса). Постоянные а и z имеют порядок примерно
0,1 нм и 10 " эВ. Количественно в точке равновесия Е ~ 0,1 эВ.
Поскольку ограничения на направления связей отсутствуют, твердые
тела, в которых связи обусловлены силами Ван-дер-Ваальса, стремятся
образовать плотноупакованные кристаллические структуры с максимально
возможным числом ближайших соседей у каждого атома. Силами
Ван-дер-Ваальса связаны атомы кристаллов инертных газов Ne, Аг, Кг, Хе, а также
кристаллы из молекул с насыщенными ковалентными связями (например,
кристаллы многих насыщенных органических соединений, а также твердые Ш, N2,
О2, F2, СЬ, Вгг, Ь). Связи Ван-дер-Ваальса между молекулами разрываются
гораздо легче, чем ковалентные связи (например, энергия возгонки СЬ
составляет 0,2 эВ на молекулу, а энергия диссоциации - 2,5 эВ на молекулу).

+
-
1 \2
\ Вс"Г/Р
I \
V \
\ 1
s
/1
/А/г"
2-
<S(r)
r/ro
3
Рис. 1.1.16. Полная потенциальная энергия
вап-дер-ваалъсова взаимодействия {сплошная кривая),
полученная при сложении энергий притяжения (/) и отталкивания (2)
Рис. 1.1.17. Водородные связи {штриховые линии) в кристалле льда
Смешанные ковалентные и ван-дер-ваальсовы связи определяют
структуру графита, в котором атомы С в каждом слое расположены в вершинах
правильных шестиугольников, так что три из четырех электронов внешней оболочки
каждого атома участвуют в образовании ковалентных связей внутри слоя
(четвертый электрон свободен). Расстояние между слоями велико, поскольку
притяжение между ними осуществляется только за счет ван-дер-ваальсова
взаимодействия, и слои могут легко скользить друг относительно друга.
Водородная связь. Атом водорода, имеющий один электрон, может
образовать ковалентную связь только с одним атомом, при этом электронная
плотность смещается в сторону этого атома, т.е. протон и электрон образуют
диполь. Положительный заряд диполя может притягиваться ко второму атому,
обладающему сильной электроотрицательностыо (О, F, в меньшей степени N).
Эту диполыгую связь называют водородной, ее энергия изменяется в
интервале 0,1...0,5эВ.
Водородные связи существенны при взаимодействии молекул FbO
(рис. 1.1.17), играют определяющую роль в полимеризации таких
соединений, как HF, HCN, NH4F, ответственны за сегнетоэлектрические свойства
твердых тел и др.
Таким образом, свойства твердых тел в значительной степени
определяются характером сил связи между частицами, образующими
кристаллическую решетку. В соответствии с природой этих сил различают молекулярные,
ионные, атомные и металлические кристаллы. Количественная оценка сил
связи приводит к понятию об энергии связи кристалла Есв, под которой пони-

мают приходящуюся на 1 моль вещества разность между полной энергией
кристалла при Г=0 К и энергией составляющих его частиц, разнесенных на
бесконечно далекое расстояние друг от друга. Энергия Есв отрицательна,
однако в таблицах обычно указывают ее абсолютные значения.
Молекулярные кристаллы. Молекулярные кристаллы содержат в узлах
решетки молекулы, удерживаемые силами Ван-дер-Ваальса, энергия сил
притяжения пропорциональна -1/г", где п=в. Если молекулы поляризованы, то
между ними возникают силы, аналогичные силам притяжения двух
электрических диполей (силы ориентационного взаимодействия). При наличии же
только части полярных молекул происходит индуцирование ими
электрического момента у соседних неполярных молекул с последующим взаимным
притяжением (силы поляризационного или индукционного взаимодействия).
Наконец, даже неполяризованные молекулы могут притягиваться друг к другу за
счет взаимодействия мгновенных дипольных моментов, образованных
электронами, синхронного вращающимися вокруг положительных ядер
(дисперсионное взаимодействие). Молекулярные кристаллы имеют низкие
температуры плавления и кипения, сильную сжимаемость, малую электропроводность,
они прозрачны для электромагнитного излучения вплоть до далекого
ультрафиолета. К ним относятся такие вещества, как Нг, N2, СЬ, HiO, ССЬ,
органические кристаллы, инертные газы в твердом состоянии и т.д. (табл. 1.1.2).
Таблица 1.1.2
Теоретические и экспериментальные значения параметров
Ленпарда Джонса и энергий сцепления молекулярных кристаллов
Кристалл
Nc
Аг
j Хе
и 10"'. им
2.74
3.40
3.98
е. эВ
0.0031
0.0101
0.0200
го
10"'
эксперимент.
3.14
3.75
4.35
. им
теоретич.
2,99
3,71
4.34
и0.
эксперимент
-0.020
-0.080
-0.170
эВ
теоретич.
-0.027
-0.089
-0.172
Ионные кристаллы. Силы притяжения в ионных кристаллах представляют
собой кулоновские силы взаимодействия между ионами противоположных
знаков, локализованными в узлах решетки. Поэтому энергия притяжения
обратно пропорциональна расстоянию между ионами. Как правило, ионные
кристаллы -это неорганические диэлектрики с проводимостью, в 10" раз меньшей,
чем у металлов. С повышением температура проводимость в отличие от
металлов возрастает, так как она связана с диффузией ионов вдоль решетки (ионная
электропроводность). Ионные кристаллы хорошо поглощают
электромагнитное излучение в инфракрасной части спектра. В качестве примера кристаллов с
ионными связями можно назвать КС1, AgBr, LiE и др. (табл. 1.1.3).

Таблица 1.1.3
Атомные и ионные радиусы элементов
Номер
атома
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Сим- Атомный
вол радиус,
мм
Н : 0,046
Не :
Li 0.152
Be ; 0.114
В 0,097
С 0,077
N : 0,071
О 0.060
F
Ne , 0.160
Na 0,186
Mg 0,160
Al 0.143
Si 0.117
P 0.109
S 0.106
CI 0.107
Ион
B"
-
Li+
Be
B3+
C1+
N5+
o2-
F"
Na+
Mg2+
Al3+
Si4"
Si4+
Ps+
s3-
s6+
cr
Ar 0.192 ' -
К 0.231 ! K+
Ca 0.197
Sc 0.160
Ti 0.147
V V3+
V4+
v5+
Ca2+
Sc2+
Ti2+
Ti,+
Ti4+
Ионный
радиус, нм
0.154
-
0.078
0.054
0,02
<0,02
0.01-0.02
0.132
0,133
0.098
0.078
0,057
0,198
0.039
0.03-0.04
0.174
0.034
0.181
-
0.133
0.106
0.083
0.076
0.069
0.064
0.065
0.061
-0.04
Номер , Сим- | Атомный
атома вол j радиус,
мм
45 1 Rh : 0,134
-
46 Ph 0,137
47 ; Ag 0.141
48 Cd 0,150
49 In 0.157
50 Sn 0.158
51 Sb 0.161
52 Те 0.143
53 1 0,136
54 : Xe ' 0.2128
55 Cs 0.265
56 Ba 0.217
57 La 0.187
58 Ce 0.182
59 Pr
60 Nd
61 Pm
62 Sm
63 Eu
64 Gd
65 Tb
66 Dy
Ион
Rh3+
Rh4+
Pd2+
Ag+
Cd2+
ln,+
Sn4"
Sn4+
Sb-1+
Te:-
Te4+
Г
I5+
-
Cs+
Ba2+
La?+
Ce1+
Ce4+
Pr3+
Pr4*
Nd3+
Pm3+
Sm,+
Eu3+
Gd3+
Tb3+
Tb4+
Dy3+
Ионный
радиус,
нм
0.068
0.065
0.050
0,113
0.103
0.092
0.215
0.074
0,090
0.211
0,089
0.220
0.094
-
0.165
0.143
0.122
0.118
0.102
0.116
0.100
0.115
0.106
0.113
0.113
0.111
0.109
0.089
0.107

Номер
атома
24
25
26
27
28
29
Сим- Атомный
вол радиус,
мм
Сг 0,125
1
Мп 0.112
-
Fe 0.124
Со 0.123
Ni 0.125
Си 0.128
30 Zn 0.133
31 Ga 0.135
32 Ge 0.122
33 As 0.125
34
35
36
Se 0,116
Вг 0.119
Кг 0.197
Ион
Cr3+
Crs+
Mn2+
Mn,+
Mn4+
Fe2+
Co2'
Co3+
Ni2+
Cu+
Cu2+
Ионный
радиус, нм
0.064
0,03-
0,04
0,091
0.070
0.052
0,087
0.067
0,082
0,065
0,078
0.096
0.072
Zn2+ 0,083
Ga3+
Ge4+
As3+
As5+
Se"
Sc^
Br"
-
37 ] Rb 0.251 j Rb+
38
39
40
41
42
Sr 0,215 ! Sr2+
Y 0.181 ! Y'4
Zr 0.158
Nb 0.143
Mo 0.136
Zr4"
Nb4+
Nb^
Mo4h
j Mo6t
0,062
0.044
0.069
-0,01
0.191
0.03-0.04
0.196
0.149
0.127
0.106
0.087
0.074
0.069
0.068
0.065
43 Tc - ' -
44 Ru 0.134 ! Ru4+ 0,065
Номер Сим- Атомный
атома вол радиус,
мм
67 Но
68 Ег
69 Тт :
70 , Yb
71 Lu
72 Hf
73 Та
74 W :
75 '■ Re
76 Os
77 Ir
78 Pt
79 Au
80 Hg
81 Tl
82 Pb
83 Bi
84 Po
85 At
86 Rn
87 Fr
88 Ra
89 Ac
90 Th
Ион
Ho3+
Er3+
Tm3+
Yb3+
Lu3+
Hf4+
Ta5+
W4+
Re4+
Os4+
lr4+
Pt2+
Pt4+
Au+
Hg2+
ТГ
Tl3+
Pb4"
Pb2+
Pb4+
Bi,+
Po6+
Al7+
Fr+
Ra+
Ac3+
Th4H
91 Pa ! -
92 U | U4+
Ионный
радиус,
нм
0.105
0.104
0.104
0,100
0.099
0.084
0.068
0.068
0.065
0,072
0.067
0.066
0,052
0.055
0.137
0.112
0.149
0,106
0,215
0.132
0.084
0.120
0.067
0.062
0.180
0.152
0.118
0.110
0.105

Атомные кристаллы. Атомные кристаллы образованы за счет ковалент-
ной (валентной, гомеополярной, обменной) связи между атомами решетки.
Она возникает при перекрытии внешних электронных оболочек соседних
атомов, когда резко возрастает вероятность туннельного перехода валентных
электронов от одного атома к другому. При расстоянии между ядрами менее
0,2 нм частота обмена валентными электронами настолько велика, что можно
говорить о системе из двух ядер с обобществленными валентными
электронами, принадлежащими обоим ядрам. При обобществлении электронов
происходит заметное изменение симметрии распределения плотности
«электронных облаков» вокруг ядер атомов - плотность электронов выше средней
плотности вдоль линий, соединяющих соседние атомы. «Электронное облако» как
бы втянуто в пространство между ядрами и своим полем обеспечивает их
притяжение (рис. 1.1.7а). Ковалентная связь образуется при перекрытии
электронных оболочек, т.е. при малых расстояниях между атомами. При больших
расстояниях между атомами действуют силы Ван-дер-Ваальса. Ковалентная
связь присуща в основном элементам средних групп Периодической системы,
таким, как С, Ge, Si, а также большинству органических соединений,
галогенам и т.д. Атомные кристаллы характеризуются большой прочностью, низкой
сжимаемостью, высокой температурой плавления, малой проводимостью при
низких температурах (в отсутствие примесей) и заметным ее ростом с
повышением температуры. По оптическим свойствам они близки к ионным
кристаллам.
Металлические кристаллы. Металлические кристаллы образубются
главным образом из атомов элементов первых групп Периодической системы
Менделеева. Атомы металлов в кристаллической решетке расположены столь
близко, что волновые функции валентных электронов перекрываются и
валентные электроны получают возможность оторваться от атомов и свободно
перемещаются по кристаллу, образуя электронный газ. Этот процесс связан
со снижением потенциальных барьеров на границе каждого атома за счет
действия остальных атомов, в результате чего энергетические уровни валентных
электронов оказываются выше границы барьеров; отрыв валентного
электрона не требует затрат энергии и атомы превращаются в ионы без внешнего
воздействия и при любой температуре. Оторвавшиеся валентные электроны
принадлежат всему кристаллу, они обобществлены и ведут себя как газ,
подчиняющийся статистике Ферми. Облако отрицательно заряженного электронного
газа, заполняющего междоузлия, создает силы притяжения между
положительными ионами решетки. Энергия сил притяжения обратно пропорциональна
расстоянию между ионами. Устойчивое положение ионов определяется
равновесием сил их взаимного электростатического расталкивания сил и сил
притяжения за счет «электронного облака». Металлическим кристаллам свой-

ственны хорошая электро- и теплопроводность, высокая отражательная
способность в инфракрасной и видимой частях спектра, прозрачность в
ультрафиолетовой области спектра.
Таким образом, потенциал в атомах приближенно описывается
известными универсальными соотношениями (закон Кулона, потенциал Томаса -
Ферми, аппроксимация Нильсен и др.).
Тип связи в кристаллах определяется особенностями распределения
потенциала вдали от ядер.
Реально существуют не чисто металлические, ковалентные, ионные связи,
а промежуточные их типы, характеризующиеся количественно ионностью и
металличностыо, которые можно определить по приведенным выше данным.
1.1.2. Структура кристаллов
Рассмотрение геометрических структур идеальных кристаллов,
связанных с их симметрией, позволяет ввести новые понятия и определения,
необходимые для описания анизотропных свойств твердых тел, а также установить
связь геометрических свойств кристаллических структур с такими
физическими понятиями, как брэгговское отражение, зоны Бриллюэна и
пространство импульсов.
Симметрия кристаллов. В твердых телах каждый ион (ядро)
удерживается силами, являющимися равнодействующими сил кулоновского притяжения
к делокализованным электронам (представляющим собой «облака»
пространственного заряда) и сил отталкивания от практически точечных ядер (ионов).
Очевидно, что эти силы образуют для данного иона сложный потенциальный
рельеф с определенными координатами минимумов, соответствующими
устойчивым положениям этого иона. Кулоновское поле изолированного ядра
симметрично; электронные оболочки атома, представляющие собой стоячие
волны в этом поле, обладают достаточно высокой симметрией. Поэтому при
сближении атомов наиболее энергетически выгодно образование правильных
кристаллов.
Идеальный монокристалл представляет собой бесконечное повторение в
трехмерном пространстве идентичных блоков одинаковой ориентации.
Каждый блок, называемый базисом, может представлять собой атом, молекулу
либо группу атомов или молекул. Базис - это количество вещества,
содержащееся в элементарной ячейке, которая имеет форму, например, трехмерного
параллелепипеда. Перемещая эту ячейку на определенные дискретные
расстояния во всех трех направлениях (операция трансляции), можно заполнить
все пространство.
Однако фактическое определение элементарной ячейки остается до
некоторой степени произвольным. Очевидно, что для этой цели можно было бы

Рис. 1.1.18. Различные возможности выбора элементарной ячейки
Рис. 1.1.19. Ячейка Вигнера-Зейтца для ОЦК-решетки
выбрать много параллелепипедов подходящих размеров, формы и
ориентации (рис. 1.1.18). Если некоторая точка структуры есть центр симметрии
(следовательно, и все эквивалентные точки обладают этим свойством), то ее
удобно выбрать в качестве центра ячейки. При этом ячейка будет
центрально-симметричной. Известен прием построения ячеек Вигнера—Зейтцап (рис. 1.1.19).
Каждая является множеством точек, расположенных ближе к данному узлу
решетки, чем к какому-либо другому. Для построения такой ячейки из
выбранного центра нужно провести отрезки к ближайшим эквивалентным узлам
решетки, затем построить плоскости, перпендикулярные этим отрезкам и
проходящие через их середину. Тогда область, ограничивающая все
плоскости, будет, очевидно, ячейкой Вигнера — Зейтца.
Трансляционная симметрия является наиболее очевидной для
кристаллических твердых тел. Согласно требованиям этой симметрии, можно выбрать
три вектора трансляции ai, аз. аз так. чтобы вектор трансляции
Т = nlal + /?2a9 + «заз
(где щ, ят и из — произвольные целые числа) соединял два положения в
кристалле, имеющих одинаковые атомные окружения. Векторы трансляции а\, а?
и аз (основные векторы) направлены вдоль трех смежных ребер элементарной
ячейки, имеющей форму параллелепипеда- наименьшего многогранника,
сохраняющего все свойства кристалла. Однако трансляционная симметрия
означает не только то, что расположения атомов на противоположных
границах элементарной ячейки должны быть одинаковы, но и то, что локальное рас-
1) В математике их называют ячейками Дирихле.

положение атомов вблизи любой точки г (совпадающей или не совпадающей
с положением атома) должно быть тем же, что и вблизи любого множества
точек г', связанных с г соотношением
г' = г + Т.
Множество операторов трансляции Т определяет пространственную
решетку, или решетку Браве. Понятие пространственной решетки является
чисто геометрическим. Реальная кристаллическая решетка получается, когда
базисы заполняют все пространство вокруг каждой геометрической точки
решетки Браве. Кроме трансляционной решетка Браве может характеризоваться
симметрией относительно поворота на 2л/2, 2л/3, 2л/4, 2л/6 рад вокруг оси
симметрии (соответственно второго, третьего, четвертого, шестого порядка);
зеркального отражения относительно плоскости; винтового поворота и др.
В трехмерном пространстве наиболее общим типом решетки является
триклинная решетка, у которой элементарная ячейка имеет вид
параллелепипеда с отличными от прямых углами и векторами трансляции ai, аг и аз разной
длины. При выполнении некоторых специальных соотношений между
сторонами и углами ячейки получается 13 «особых типов решеток», т.е. всего 14
трехмерных решеток Браве. Эти решетки представлены либо элементарными
ячейками, либо ячейками большего объема, если последние лучше выявляют
свойства симметрии. Из табл. 1.1.4 ясно, как 14 решеток по признакам
симметрии можно разделить на семь кристаллических систем - сингоний.
Элементарные ячейки для этих семи систем получают при последовательных
нарушениях кубической симметрии (рис. 1.1.20).
Необходимо напомнить, что в кристаллографии термин «структура» не
эквивалентен термину «кристалл», а обозначает совокупности
математических точек, каждой из которых поставлена в соответствие группа атомов с
данной симметрией. Два кристалла могут иметь одну и ту же структуру, даже
если базис одного из них состоит всего из одного атома, а базис другого
содержит два, три или даже несколько тысяч атомов.
Характерным примером ковалентных кристаллов с неодноатомным
базисом является алмаз (и аналогичные по строению кристаллы Si, Sb, Sn); он
имеет гранецентрированную кубическую (ГЦК) структуру с базисом из двух
атомов, сдвинутых в направлении большой диагонали куба на 1/4 ее длины, так
что каждый атом имеет четыре ближайших соседа, расположенных
симметрично - в вершинах правильного тетраэдра (рис. 1.1.21). Наиболее плотно
упакованы атомы в гранецентрированной кубической (рис. 1.1.22) и (точно с
той же плотностью) в гексагональной плотноупакованной (ГПУ) (рис. 1.1.23)
решетках. Последняя имеет простую гексагональную решетку с базисом из
двух атомов. Кроме перечисленных выше часто встречается также
объемно-центрированная кубическая (ОЦК) решетка (рис. 1.1.24).

Таблица 1.1.4
Семь трехмерных кристаллических смнгоний и 14 решеток Браве
Сиигония
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тетрагональная
Кубическая
Тригональная
Гексагональная
Ограничения, накладываемые на
размеры и углы в стандартных
элементарных ячейках
a, 5t a, 5t я,, а ф (3 * у
а, /а,*а,.а=у = 90°*р
а, * а, * а3. а = Р = у = 90°
a, * а2 * av а = р = у = 90°
а, =а2=а3.а = р = у = 90°
а, = а-,=ач. 120°>а =Р = у*90°
а, =а, * а3.а = Р = 90°.у = 120°
Решетка Браве
Простая
Простая
Объемно-центрированная
Простая Базоценгрированная
Объемно-цен грированная
Грансцснгрированная
11ростая
Объемно-ценгрированная
Простая кубическая
Объемно-центрированная
Грансцснтрированная
Ромбоэдрическая простая
Простая
Рис. 1.1.20. Семь трехмерных кристаллических систем,
полученных последовательными нарушениями кубической симметрии:
/ - кубическая; 2 - гексагональная; 3—тетрагональная;
4 - тригональная;5 - ромбическая; б - моноклинная; 7 - триклинная

Рис. 1.1.21. Кристаллическая решетка со структурой алмаза
Рис. 1.1.22. ГЦК-решетка:
а — четыре взаимопроникающие подрешетки; б - решетка Браве
Рис. 1.1.23. Общепринятая элементарная ячейка ГПУ-структуры
Рис. 1.1.24. ОЦК-решетка (а) и ее ячейка Вигнера-Зейтца (б)
Индексы Миллера и кристаллографические направления. При
рассмотрении кристаллов возникает необходимость описания плоскостей, направлений и
узлов решетки. За начало координат принимают узел, базис системы координат
(в общем случае неортогональной) составляют векторы ai, аг, аз, а за единицы
измерения вдоль соответствующих осей принимают постоянные решетки а\, аг,
аъ, т.е. координаты узлов описываются целыми числами (их принято записы-
Рис.1.1.25. Ячейка Вигнера-Зейтца: я —двумерный случай (заштрихованная
область); б — для объемноцентрированной кубической ячейки;
в - для гранецентрированной кубической ячейки

вать в двойных квадрагных скобках). Направление принято обозначать
координатами того узла, радиус-вектор которого параллелен этому направлению;
соответствующие числа записывают в квадратных скобках.
В общем случае трехмерной решетки, в которой длины основных
векторов трансляции ai, Э2, аз произвольны, углы между парами этих векторов не
обязательно равны 90е. На рис. 1.1.26 показана часть решетки, где точки О, А,
ВиС представляют собой узлы решетки и выбраны таким образом, что векто-
-> —> ->
ры ОА, ОБ и ОС совпадают по направлению с векторами трансляции.
Расстояния \ОА |, \ОВ | и \ОС | в целое число раз т, т и т превосходят длины
соответствующих основных векторов.
Для задания плоскости ABC вполне было бы достаточно указать
проекции (п\\ я\\, яг] аз|, из| аз|), однако такое обозначение слишком громоздко и
поэтому не применяется. Не используется и более краткое обозначение
плоскости, а именно (щ, я?, из). Вместо этого плоскость ABC удобно обозначать как
(М/), где h,k,l— набор целых чисел, причем
h:k:l=fi} :п2 '.пъ .
(1.1.6)
Плоскость, которая удовлетворяет отношению (1.1.6), имеет индексы
Миллера (М/). Использование индексов Миллера проще всего продемонстрировать
на примере кубической решетки (рис. 1.1.27). Таким образом обозначают
плоскости и в структурах с более низкой симметрией. Плоскость (МО) Пересе-
w
(100)
(100)
(200)
/кт\ Л
(110)
(111)
А
и.
(222)
Рис. 1.1.26. Плоскость, проходящая через точки решетки А, ВнС:
а,, а 2, a J — элементарные векторы; И|, п2, п3 — произвольные числа
Рис. 1.1.27. Наиболее часто встречающиеся плоскости кубической решетки
и индексы Миллера (а); Символы основных плоскостей в кубической
решетке (б); Две плоскости с индексами (HiKtLi) и {H2K2L2) принадлежат
зоне с индексами [UVW] (с)

кает ось с (направление ОС) на бесконечно большом расстоянии; очевидно,
такая плоскость параллельна оси с. Аналогично плоскость, параллельную
осям b и с, обозначают (Л00). В соответствии с принципом использования
наименьшего из подходящих целых чисел любую плоскость (Л00), если о ней не
нужно сообщать дополнительной информации, обозначают как (100).
Отметим, в этом случае обозначение вида (пи ni, то) пришлось бы записывать как
(1, оо, оо), что менее удобно.
Если рассматриваемая плоскость пересекает ось а\ в области
отрицательных значений координат, в соответствии с терминологией Миллера
используют обозначение (hkl). I la рис. 1.1.27 показаны плоскости (100) и (100),
связанные одна с другой трансляционной симметрией. Символом {НЩ обозначают
все плоскости, эквивалентные (М/) вследствие симметрии. В гексагональных
и тригональных кристаллах положения кристаллографических плоскостей
также можно задавать тремя индексами Миллера. Однако для этих
кристаллографических классов более принято использовать набор четырех индексов
Миллера, представляющих собой обратные значения координат точек
пересечения плоскости с осями а к ai, аз и с (рис. 1.1.28). Соотношения между
компланарными векторами ai, 32, аз накладывают условие на первые три индекса
Миллера: их сумма должна быть равна нулю.
Обратная решетка. Чтобы определить физическую модель
кристаллической структуры, надо задать значения некоторой функции пространственных
координат/(г) (это может быть локальная концентрация электронов,
электростатический потенциал и т.д.). Эту функцию надо связать с расположением
атомов. Условие трансляционной симметрии состоит в том, что она должна
быть периодической функцией (рис. 1.1.29):
/(г + Т)=/(г).
Хорошо известны периодические функции для одного измерения. Так, для
функции, изображенной на рис. 1.129а,
Рис. 1.1.28. Наиболее естественная элементарная ячейка для гексагональных
и тригональных кристаллов
Рис. 1.1.29. Периодическая функция одной (о) и двух (б) переменных

f(x + T) = f(xl
(1.1.7)
где Г имеет вид Т\а, причем а — период функции, &Т\ — целое число.
Координатное описание периодических функций удобно дополняется
гармоническим анализом, т.е. разложением на гармоники в ряд Фурье (так, в
одномерном случае f(x) = 2^ Л„е' *"Л °, где п - целое число), с последующим
рассмотрением зависимости амплитуды А,, от волнового числа к = 2пп/а. Так
из пространства координат переходят в пространство волновых векторов
(обратное пространство), которое при описании частиц и квазичастиц твердого
тела совпадает (с точностью до множителя /?) с пространством импульсов. Как
и функции координатного пространства, функции пространства импульсов
для кристалла обладают периодичностью, которая для обратного
пространства описывается обратной решеткой.
Разложение/(.у) в ряд Фурье записывают в виде
Ж) = 2>се-'&, (1.1.8)
с
G = 2nn/a. (1.1.9)
Взятые из набора обратных длин решетки коэффициенты в (1.1.8), как
известно, описываются выражением
а
AG=-\f(x)e-'Gxdx. (1.1.10)
ai
Область интегрирования в данном случае 0 < х < а, т.е. совпадает с одной
элементарной ячейкой решетки. Простейшее доказательство того, что из
выражения (1.1.8) следует условие периодичности (1.1.7), можно получить,
воспользовавшись равенством
е/ет=1, (1.1.11)
справедливым для любого G и для всех трансляций Т. Справедливость этого
равенства следует из того, что
2тТ77
GT = — Txa = 2nnT\ =2nN,
а
где N - целое число (если G принимает одно из разрешенных значений и
Т= T\ti). Вывод формулы (1.1.10) также вытекает из равенства (1.1.11).

Распространение указанных зависимостей на трехмерный случай
приводит к следующему. Если в качестве координатных осей взяты аЛ, ау, аг и
/(r + T)=/(r + ^ax+rvav + 7>__) = /(r),
то
Дг)= ^А(0х,С)ПС:)ехр{Щхх + Суу + 0;2]}, (1.1.12)
GX,GV,G.
где каждое из чисел Gx и т.д. есть обратная длина из набора 2л/7/яЛ..
Перепшисм выражение (1.1.12) в виде
/(r) = 2Xexp(z'Gr), (1.1.13)
G
где G - вектор с компонентами (Gv, G}„ G:), обладающий свойствами типа
(1.1.9), т.е. для любого такого вектора
GT = (G,7>r + GyTyay + GzTzaz) =
2тшт 2тш„ 2жп.
= Txax л Та н -Т:а. =2izN .
ат а а.
Для непрямоугольной решетки при построении обратной решетки
следует принять в качестве тройки базисных векторов следующие:
т = [а2'аз! т = Ia3>all j = 1а1>а2]
alla2'a3]' 2 alla2» аз1 J alla2» аз1
(здесь [а,, а •] - векторное произведение), а вектор
G = G,T, + G2T2 + G3T3 - гтг^Т, + 2тш2Т2 + 2пп3Т3. (1.1.14)
Можно написать также формулу типа (1.1.14) для коэффициента
разложения (1.1.13):
4;=^J/(r)exp(/Gr)dr,
v
где V— объем ячейки. Векторы, определяемые формулой (1.1.14), т.е.
G = 27Ш1Т1 + 27ш->Т> + 27Ш3Т3,
образуют решетку с основной ячейкой, построенной на векторах 2пТ,, 2яТ2,
2лТ3. Она, очевидно, обладает трансляционной симметрией. Эту решетку на-

зывают обратной по отношению к исходной прямой решетке; она
представляет собой инвариантный геометрический объект, свойства которого играют
важную роль в физике твердых тел. Для примера на рис. 1.1.30 показана
обратная решетка для ГЦК-рсшетки. Радиусы-векторы, определяющие узлы
обратной решетки, имеют координаты, совпадающие с символами Миллера
плоскостей, в которых есть узлы прямой решетки. Так, верхняя
горизонтальная плоскость (001) отображается узлом обратной решетки с координатами
(001), а наклонные плоскости (111) и (1/2, 1/2, 1/2), проходящие через узлы в
центрах граней. - в центр этого куба соответственно.
Некоторые простейшие геометрические свойства обратной решетки:
каждый вектор обратной решетки перпендикулярен некоторому множеству
плоскостей прямой решетки; вектор | G | обратно пропорционален
расстоянию между плоскостями прямой решетки, перпендикулярными G.
Обозначение плоскостей решетки с помощью координат
соответствующих им векгоров обратной решетки эквивалентно применению индексов
Миллера. Отрезки, отсекаемые рассматриваемой плоскостью па
координатных осях, выраженные в единицах длин соответствующих базисных
векторов, обратно пропорциональны целым числам п\, «2, Щ- Эти целые числа и
представляют индексы Миллера данной плоскости (см. рис. 1.1.30); их
записывают В ВИДС (Л|. /72- /?з)-
Объем элементарной ячейки решетки обратно пропорционален объему
элементарной ячейки прямой решетки.
Прямая решетка является обратной по отношению к своей обратной
решетке. Например решетка, обратная грапецептрированной кубической, есть
объемно-центрированная кубическая решетка, и наоборот.
Элементарная ячейка обратной решетки не обязательно имеет форму
параллелепипеда.
Рис. 1.1.30. ГЦК-решетка [а) и ее обратная решетка (б)

Большое значение в физике твердого тела имеет понятие о ячейке Вигне-
ра-Зейтца в обратной решетке. Такую ячейку называют зоной Бргишоэна; для
ОЦК-решетки построение зоны Бриллюэна изображено на рис. 1.1.24.
В зоне Бриллюэна выделяют особые, с позиций симметрии обратной
решетки, точки; их принято обозначать заглавными буквами греческого и
латинского алфавитов (рис. 1.1.31).
Обратная решетка и обратное пространство тесно связаны с
пространством волновых векторов к и пространством импульсов квазичастиц
(электронов, фононов и др.) в твердом теле, в котором они отображаются в виде точек,
если известен импульс (квазиимпульс) этих частиц ftk (напомним, что в этом
случае в обычном пространстве их координаты не определены). Это
проясняет такие свойства обратной решетки, как соответствие плоскостей точкам и
наоборот: ведь квазичастица с известным к, изображаемая точкой в к-про-
странстве (и в обратном пространстве), в координатном пространстве
описывается плоской волной (см. разд. 2.2).
Существенно, что границы зоны Бриллюэна соответствуют условиям
полного брэгговского отражения квазичастиц, которое играет большую роль
в распространении волн в твердом теле.
в г
Рис. 1.1.31. Зоны Бриллюэна: о- простой кубической решетки;
б — ГЦК-решетки; в — ОЦК-решетки; г — гексагональной решетки
(показаны наиболее важные точки и линии симметрии и их обозначения)

Полиморфизм. Способность некоторых веществ существовать в
нескольких кристаллических фазах, отличающихся друг от друга по симметрии
структуры и по свойствам, называется полиморфизмом. Каждая из таких
фаз - полиморфная модификация - стабильна в определенной области
температур и давлений, за пределами которых наблюдается фазовый
переход-процесс превращения одной модификации в другую. Скорость протекания
фазового перехода определяется целым рядом факторов: температурой, давлением
и т.д. Наибольшее число полифорыных модификаций образуют углерод (из
простых веществ) и оксид кремния (из сложных).
Некоторые полиморфные модифиации углерода. Алмаз (рис. 1.1.32я)
имеет неплотноупакованную структуру, где каждый атом углерода окружен
четырьмя такими же атомами, располагающимися по вершинам тетраэдра,
поэтому координационное число и = 4. Атомы углерода занимают все узлы
ГЦК-ячейки, а также центры половины октантов, на которые можно разбить
куб, причем заполненные и незаполненные октанты чередуются в шахматном
порядке: рядом с заполненным октантом - незаполненный, под
незаполненным - заполненный. В структурном типе алмаза тенденция атомов углерода
образовывать направленные связи столь высока, что алмазная структура
оказывается более энергетически выгодной, нежели плотноупакованная.
Графит (рис. 1.1.326) существует в двух модификациях - гексагональной
и ромбоэдрической. Гексагональная модификация термодинамически
устойчива при температурах ниже 1000°С. Структура графита слоистая, причем
каждый из чередующихся слоев построен по одному и тому же закону из
гексагональных ячеек. Каждый слой смещен по отношению к двум другим
соседним слоям на половину большой диагонали гексагона. Поэтому структура
двухслойная с чередованеием слоев АВАВАВ... . Структура графита является
примером слоистой структуры: периоды решетки по оси с и по осям, лежаю-
щим в плоскости слоев, различаются очень сильно. Внутри слоя действуют
прочные ковалентные связи между слоями - слабые ван-дер-ваальсовы связи.
В кристаллах со слоистой структурой очень сильно различие физических
свойств вдоль и поперек плоскостей слоев. Так, в графите
электропроводность вдоль слоев в 105 раз больше, чем в поперечном направлении.
В csinQ
Рис. 1.1.32. Брэгговское отражение, (а). Структура алмаза (кружками обозначены
атомы углерода); (б). Кристаллическая решетка графита

Способность атомов углерода образовывать структуры в виде сеток ярко
проявляется в таких объектах, как фуллерены. Фуллерены представляют
собой семейство шарообразных молекул, содержащих различное число атомов
углерода. Их поверхность состоит из соприкасающихся шестиугольников
(гексаэдров) и пятиугольников (пендагонов), в вершина которых
располагаются атомы углерода (рис. 1.1.33).
Рис. 1.1.33. Кристаллические модификации углерода:
а) — молекулы фуллерсна С24 и С60; б) - однослойная нанотрубка
Наиболее изучены структуры, свойства и технология получения фуллере-
на Сбо, который состоит из 20 гексаэдров и 12 пентагонов. Атомы углерода в
вершинах многоугольников соединены ковалентными связями, причем
каждый атом в молекуле связан с тремя соседними атомами одной короткой
(1,39А) и двумя длинными (1,493А) связями.
Центр молекулы фуллерена представляет собой свободную сферу (пору),
в которой могут размещаться атомы других элементов, они играют роль
легирующих примесей. В фуллсренах больших размеров могут размещаться, в
частности, даже молекулы других фуллеренов меньших размеров. Кроме того,
атомы примесей могут замещать атомы углерода на поверхности молекул.
Практический интерес представляют фуллерены в кристаллическом
состоянии, которые представляют собой еще одну полиморфную модификацию
углерода. В этом случае они носят название фуллериты. Например, фуллерит
Сбо при температуре 300 К обладает гранецентрированной кубической
решеткой, в узлах которой размещены молекулы фуллерена. Между этими
молекулами в решетке действуют слабые ван-дер-ваальсовы связи. С понижением
температуры до 255 К происходит превращение ГЦК-решетки в простую
кубическую. Фуллерит Сбо проявляет полупроводниковые свойства, причем
атомы примеси могут играть в нем роль доноров или акцепторов.
Важнейшее значение в настоящее время приобретают паноразмерные
углеродные трубки. По механизму своего образования они близки к фуллсре-
нам. В простейшем случае нанаотрубку можно представить как свернутый в
цилиндр лист графита толщиной в один атомный слой (рис. 1. J .33). В отличие
от фуллерена, атомы углерода в нанотрубке расположены только в виде со-

z-f?
Рис. 1.1.34. о) — элементарная ячейка сс-кварца и координационные
многогранники Si04; б) — элементарная ячейка р-кварца
и цепь координационных многогранников в ней
прикасающихся шестиугольников. На концах нанотрубок образуются
«шапочки» конической или сферической формы. Нанотрубки могут быть как
однослойными, так и многослойными, иметь различный диаметр и отличаться
размещением шестиугольников по длине трубки. Многослойные трубки
обычно имеют внешний диаметр 40-50А и состоят из вставленных одна в
другую трубок меньшего диаметра.
Жидкие кристаллы. Жидкими кристаллами называют жидкости, у
которых наблюдается определенный порядок в расположении молекул,
следствием чего является наличие у них ряда признаков, присущих кристаллческим
веществам, в частности анизотропия механческих, электрических, магнитных и
оптических свойств. В этом состоянии, промежуточном между жидкостью и
твердым телом, находятся некоторые органические вещества в определенном
температурном интервале.
Молекулярная структура жидких кристаллов характеризуется
присутствием дальнего порядка лишь вдоль одной из координатных осей. Поэтому
жидкокристаллическое состояние иначе называется мезоморфным, т.е.
имеющим упорядоченность, промежуточную между аморфным веществом и
кристаллом. Отличительной чертой строения молекул жидких кристаллов
является их вытянутая форма — сигарообразная, плоская или планкообразная.
Удлиненные молекулы обычно обладают дипольными моментами,
взаимодействие между которыми приводит к взаимному упорядочению молекул.
По способу образования жидкокристаллческие вещества подразделяют
на термотропные (образованные при нагреве твердого вещества) и лиотроп-
ные (полученные растворением кристаллов). Известны две основные
структуры жидких кристаллов - смектическая и нематическая. Смектическая
структура имеет вид слоев молекул, ориентированных осями перпендикулярно или

? ? т т ?
И A A А
т ? т т т
А А А А А
а б с
Рис. 1.1.35. Структура жидких кристаллов:
а) - нсматичсского; б) — смектического; в) — мыльного раствора
под некоторым углом, меньшим 90°, к поверхности слоя (рис. 1.1.35). Углы
ориентации одинаковы для всех молекул слоя, однако в соседних слоях они
могут несколько различаться. В отличие от твердого кристалла молекулы
соседних слоев не обязательно расположены друг против друга, поскольку силы
связи между слоями значительно меньше сил, ориентирующих молекулы
внутри слоев, и могут быть преодолены тепловым движением молекул. Слои
мог}'г скользить относительно друг друга, что приводит к их большой
подвижности в направлении плоскости слоя.
У нематических кристаллов менее упорядоченная структура. В пределах
каждого микрообъема оси всех молекул параллельны друг другу, однако
отсутствуют слои и, по-видимому, не сохраняется одинаковая ориентация
молекул вдоль всего объема вещества (рис. 1.1.356). Молекулы объединяются в
группы («рои») с одинаковой ориентацией осей, причем в соседних группах
ориентации молекул не совпадают. Каждая группа содержит 104—106 молекул.
Слсд> ст отметить, что ряд исследователей оспаривают наличие групп с
разной ориентацией молекул. Разновидностью нематических веществ являются
холестерические жидкие кристаллы, отличающиеся параллельной
ориентацией молекул в каждом слое, однако направление ориентации несколько
меняется при переходе от одного слоя к другому, примерно на 15 угл. мин.
(рис. 1.1.35е), оси молекул параллельны слою, который в силу этого имеет
малую толщину. Направление осей молекул в каждом слое может быть
охарактеризовано вектором единичной длины (директором) п. Для холсстсричсских
веществ положение директора в различных плоскостях, перпендикулярных
оси z, определяется компонентами
1 СИ виши

nx = cos(qz + q>),
ny = sin(qz + (p% •
n. = 0.
т.е. конец вектора п по мере перехода от одной плоскости к другой движется
по спирали.
Поскольку направления векторов п и -п эквивалентны,
пространственный период структуры L составляет половину шага спирали, т.е. L=Tilq.
Величина L порядка 300 нм сравнима с длиной волны света в оптическом
диапазоне, поэтому можно наблюдать брэгговские отражения от холестерического
вещества.
Пространственный период L является функцией температуры (у
большинства веществ dL{rf)ldT>(y), напряжеиностей электрического и магнитного
полей, примесей посторонних веществ и т.д., причем даже незначительное
изменение L изменяет условия отражения света, а следовательно, и цвет
вещества. Вязкость жидких кристаллов колеблется от вязкости клея до вязкости
стекла. Например, для нематических веществ вязкость (~0,1 П) на порядок
выше, чем у воды при комнатной температуре (~102 П). С ростом
температуры жидкокристаллические вещества переходят в изотропную жидкость, а при
низких температурах - в твердый кристалл.
Электропроводность жидких кристаллов имеет, как правило, ионный
характер. Удельпя проводимость чистых веществ порядка 10 s— 10^10 См/м, но
может быть увеличена введением соответствующих органических примесей.
Особый интерес вызывает анизотропия свойств жидких кристаллов, дающая
основу для создания приборов нового типа. Сюда относятся:
- изменение плоскости поляризации света, проходяндего сквозь холесте-
рические жидкие кристаллы (угол поворота плоскости на единице длины
неизмеримо больше, чем у твердых кристаллов - порядка 107-10s град/м в
отличие от 2,4--104 град/м для кварца, причем он сильно зависит от величины Z,);
-двойное лучепреломление, т.е. разделение поверхностью жидкого
кристалла белого света па две перпендикулярные друг другу поляризованные
компоненты, что вызывает радужную окраску, существенно зависящую от угла
падения света и температуры;
- заметное изменение оптических свойств (светопроггускания, окраски и
др.) под действием внешних возмущений (температуры, электрического и
магнитного полей, излучения, механических натяжений, химических
реакций), которые влияют на силы взаимодействя между молекулами и
ориентировку упорядоченной структуры.

Внешнее электрическое поле взаимодействует не с моментами диполей
отдельных молекул, как в жидкости, а с ориентированными коллективами
тысяч молекул, так что энергия взаимодействия велика и превышает энергию
теплового движения. Поэтому даже слабые электрические поля существенно
изменяют ориентацию молекул, а следовательно, и оптичесские свойства
вещества. В магнитном поле молекулы жидких кристаллов, как правило,
ориентируются параллельно силовым линиям поля. С момента возникновения
электрического или магнитного поля перестройка структуры происходит за время
порядка 10" -10" с; возвращение к исходной структуре после выключения
поля проходит за время порядка 10- с (время релаксации). Важную роль здесь
играет поверхность электрода, на которую нанесен слой жидкого кристалла и
которая способствует восстановлению исходной ориентации молекул.
В то же время у ряда жидкокристаллических смесей обнаружен эффект
памяти, когда, например, ставший непрозрачным в электрическом поле
тонкий слой жидкого кристалла остается непрозрачным и после выключения
поля в течение длительного времени (до нескольких дней). Первоначальное
состояние при необходимости можно быстро восстановить, создав в слое
переменное поле с частотой выше некоторого критического значения
(несколько сот Герц).
К жидкокристаллическому веществу могут быть добавлены красители; в
этом случае молекулы жидкого кристалла, переориентируясь во внешнем
поле, изменяют ориентацию также молекул красителя, что приводит к
изменению окраски всего вещества.
Брэгговское отражение. При взаимодействии с правильной решеткой
рассеивающих центров и волны любой природы (электроны, фотоны, фоно-
ны) в результате дифракции волна может либо проходить без изменения, либо
отражаться.
Для произвольного угла падения Э волны условие образования
отраженной волны записывают в виде
rik =2asinG,
где А, - длина волны; п — целое число (формула Вульфа-Брэгга). Это условие
можно вывести, рассматривая соотношения между фазами волн, отраженных
от разных плоскостей решетки (рис. 1.1.32). Чтобы дифрагированные пучки
усиливались, на избыточном пути ABC должно укладываться целое число
длин волн. Переходя к терминам обратного пространства, можно получить,
что в правильной решетке волна может испытывать дифракцию лишь в том
случае, если при этом изменение к'- к волнового вектора к равно Gn. В
противоположном случае при интерференции воли, рассеянных различными
узлами, интенсивность дифрагированной волны обращается в нуль. Если
волновой вектор к изменяется на Gn, т.е.

к' = k+Gn,
и рассеянные волны складываются, то первичная волна испытывает
отражение. При этом новая волна имеет ту же частоту, что и падающая: | к'| = | к |, или
| к'| = (k+G)~. Отсюда можно получить условие Брэгга
kG = -G2/2 ,
означающее, что отражаются те и только те волны, волновые векторы к
которых оканчиваются на плоскостях, делящих пополам векторы трансляции G
обратной решетки. Эти плоскости, кстати, и являются множеством точек,
равноудаленных от узлов обратной решетки, т.е. границами ячеек Вигнера-Зей-
тца в k-пространстве, или границами зон Бриллюэна. Другими словами,
волны с к, лежащими внутри зон Бриллюэна, не испытывают рассеяния, а с к на
границах этих зон - отражаются.
Таким образом, из-за симметрии волновых функций электронов в атомах
наиболее энергетически выгодны упорядоченные структуры атомов.
Обратную решетку строят по заданному алгоритму из произвольной
прямой решетки.
Переход от прямой решетки к обратной соответствует переходу от
пространства координат к пространству импульсов. Первая зона Бриллюэна-это
ячейка Вигнера - Зейтца в обратной решетке.
Движущиеся в кристалле частицы с импульсами, соответствующими
границам зоны Бриллюэна, испытывают брэгговское отражение.
1.1.3. Дефекты кристаллической структуры.
Аморфные и поликристаллические тела
В реальных твердых телах всегда имеются дефекты кристаллической
структуры (нарушения трансляционной симметрии), связанные с конечными
размерами твердого тела (поверхностью), внешними воздействиями
(механическими, тепловыми, радиационными и др.) и примесями, которые оказывают
существенное влияние на все свойства твердых веществ. Если число дефектов
становится столь велико, что трансляционная симметрия нарушается уже при
одной-двух трансляциях на основной вектор, то происходит качественный
скачок - переход кристаллической структуры в аморфную
(характеризующуюся только ближним порядком). Количественные оценки степени влияния
аморфизации и дефектов па переносные, оптические, механические и другие
свойства твердых тел приведены ниже.
Если дефекты рассматривать как я-мерные нарушения в кристаллической
решетке, то они могут быть: точечными (п = 0), линейными (п- 1), плоскими
(п = 2), объемными (п = 3).

К точечным дефектам относят атомы посторонней примеси, которые
могут располагаться как в узлах, так и в междоузлиях, основной решетки
(матрицы) кристалла; вакансии — пустые узлы матрицы; междоузельные атомы
самой матрицы; посторонние атомы, адсорбированные на поверхности
кристалла. Линейные дефекты представляют собой дислокации. К плоским дефектам
принадлежат границы зерен кристаллов-двойников, границы самого
кристалла и зоны Гинье-Престона, представляющие собой скопления примесных
атомов в кристалле, пока еще когерентных с самой матрицей, т.е. область пред-
выделения. Объемные дефекты, по существу, являются макроскопическими
нарушениями. Это закрытые и открытые поры, трещины, включения
посторонней фазы. Сложные дефекты наименее изучены. Они могут возникать
вследствие взаимодействия атомов или ионов примесей с вакансиями. Такие
дефекты еще называют ассоциированными.
Точечные дефекты в чистых кристаллах. Согласно основным
принципам статистической физики, даже в том случае, когда средняя кинетическая
энергия атомов очень мала, в кристалле всегда найдется некоторое
количество атомов, кинетическая энергия которых может быть очень велика. При этом
в соответствии с вероятностным характером этого явления любой атом
кристалла в тот или иной момент времени может приобрести энергию,
значительно большую, чем средняя кинетическая энергия атомов кристалла. Такой атом
может выйти из своего равновесного положения, т.е. узла решетки.
Перемещаясь по кристаллу и передавая энергию остальным атомам, он занимает
новое равновесное положение. Если все ближайшие узлы решетки заняты, то он
может разместиться только в междоузлии (где в потенциальном рельефе для
атома в твердом теле имеются минимумы). Оставшийся пустым узел решетки
называют вакансией. Точечные дефекты в виде совокупности вакансий и
атомов в междоузлиях называют дефектами по Френкелю (рис. 1.1.36).
Парные дефекты по Френкелю возникают легче в кристаллах,
содержащих большие межатомные промежутки, чем в плотноупакованных. В
ОООООООО
ОООООООО
ОООООООО
ooquoooo
ОООООООО
ОО -ЧЮООО
ОООООООО
ОООООООО
] ** X
£yj
\^^*^"^^1
к^°
*-1
О-2
Рис. 1.1.36. Дефект по Френкелю
Рис. 1.1.37. Расположение тетраэдрических междоузлий в структуре алмаза:
1 - междоузлие; 2 - атом

последних для междоузельных атомов нет места. Примером кристаллов
первого типа являются кристаллы со структурой алмаза (рис. 1.1.37), а
кристаллов второго типа - металлы с плотной упаковкой. Так, маловероятно
встретить при обычных условиях междоузельные атомы в ГЦК-металлах.
Единственным типом междоузельных атомов здесь являются лишь малые
примесные атомы, такие, как атомы В, С, N.
Полупроводники со структурой алмаза, ZnS и близкие к ним являются
относительно рыхлыми. Они содержат большие межатомные пустоты, в
которых могут легко размещаться междоузельные атомы. Междоузлия в
структуре алмаза имеют тетраэдрическое окружение (см. рис. 1.1.37).
По возможности размещения междоузельных атомов структуры с ионной
связью занимают промежуточное положение между плотноупакованными
металлами и полупроводниками с ковалентной связью. Несмотря на то, что
геометрия решетки оставляет для них некоторое пространство, ионы часто
сильно различаются по объему, и в результате упаковка получается довольно
плотной. Поэтому вероятность появления междоузельных атомов в ионных
соединениях сильно изменяется от одного вещества к другому.
Кроме парных дефектов, по Френкелю, в кристаллах имеются и
одиночные точечные дефекты - вакансии, дефекты по Шоттки. Обычно они
встречаются в кристаллах с плотной упаковкой атомов, где образование
междоузельных атомов затруднено и энергетически невыгодно. Процесс образования
дефектов в таком кристалле может происходить следующим образом.
Некоторые атомы из приповерхностного слоя в результате теплового движения
выходят из кристалла на поверхность (рис. 1.1.38). Образовавшаяся вакансия
мигрирует затем в объем кристалла.
Как всякий точечный дефект, вакансии приводят к нарушениям
внутреннего периодического поля в кристалле. Следовательно, это должно приводить
к возникновению локальных уровней в запрещенной зоне полупроводника. В
германии и кремнии эти уровни должны носить акцепторный характер.
Действительно, удаление одного из матричных атомов в таких кристаллах
приводит к незавершенности электронных орбит соседних с вакансией атомов, т.е.
эти атомы способны воспринимать электроны из валентной зоны: в этом
случае возникновение вакансии эквивалентно образованию четырехзарядного
акцептора.
В гетерополярных полупроводниках типа AmBv, например, акцепторный
или донорныи характер уровней вакансий зависит оттого, какого из атомов не
хватает в решетке кристалла. Пустые металлоидные узлы, т.е. вакансии Л,
являются донорами, а вакансии В - акцепторами. В щелочно-галоидных
кристаллах вакансия аниона (т.е. «отсутствие отрицательного заряда») действует
как эффективный положительный заряд. Поскольку кристалл в целом должен

y> r eeeeee
nrffnn eeeeee
ooboo ©ее-ее
ooooo eeeeee
eeeeee
Phc. 1.1.38. Дефект по Шоттки
Рис. 1.1.39. /-"-центр окраски в щелочно-галоидном кристалле
Рис. 1.1.40. Возможное расположение примесных атомов в кристалле: я —раствор
замещения; б- раствор внедрения; / - матричный агом; 2 - примесный атом
оставаться электронейтральным, концентрации положительных и
отрицательных вакансий должны быть равны. Однако при наличии в кристалле
электронов или дырок, а также при образовании сложных дефектов такое равенство
не является обязательным.
Электроны принимают участие, например, в образовании центров
окраски в щелочно-галоидных кристаллах и представляют собой анионную
вакансию, которая, имея эффективный положительный заряд, удерживает при себе
свободный электрон (рис. 1.1.39). Этот электрон может появиться в
кристалле, например, в результате ионизации избыточного атома щелочного металла
Такой F-центр вызывает появление полос поглощения в видимой области
спектра (бесцветный шелочио-галоидный кристалл становится окрашенным).
Точечные дефекты в ионных кристаллах оказывают сильное влияние на
электропроводность, которая в большей мере обусловлена движением
заряженных точечных дефектов - вакансий, междоузельных собственных или
примесных ионов (ионная проводимость).
Очевидно, что равновесная концентрация вакансий обоих типов зависит
от гемператл ры и от энергии образования вакансии, которую называют
энергией дефектообразовапия Ец. В случае вакансии по Френкелю — это энергия
отрыва атома от равновесного положения, а в случае вакансии по Шоттки к
ней добавляется энергия, затрачиваемая на перемещение атома к стокам.
Процесс образования вакансий имеет вероятностный характер, поэтому
концентрация вакансий
Nv=Acxp[-Ej(kBT)],
где А — коэффициент пропорциональности, зависящий от общего числа
атомов в единице объема кристалла и от числа пустых мест, в которые может
перескочить атом.

Обычно энергия дефектообразования велика по сравнению с тепловой
энергией квТ и составляет 1...2эВ для различных кристаллов.
Если.Ё'д = 1,0эВи^4= 10 см 3, то концентрация вакансий будет меняться
с изменением температуры очень быстро (при Т = 300 К Nу к 6 • 10 см-3, а
приГя 1100К N у ~2-1017 см-3). Если выдержать кристалл некоторое время
при высокой температуре, т.е. образовать в нем большое количество
вакансий, а затем быстро охладить (закалка), то повышенное количество вакансий
заморозится, т.е. не успеет исчезнуть. Поэтому количество вакансий в
реальном кристалле помимо температуры и энергии дефектообразования
определяется предыдущей термообработкой.
Точечные дефекты, возникающие при облучении кристаллов быстрыми
частицами (нейтронами, протонами, электронами), а также осколками
деления ядер и ускоренными ионами, получили название радиационных дефектов.
В отличие от тепловых радиационные точечные дефекты термодинамически
неравновесны, так что после прекращения облучения состояние кристалла не
является стационарным.
Для возникновения радиационных дефектов наибольшее значение имеют
упругие столкновения быстрых частиц с атомами кристалла. Если энергия,
переданная в результате упругого столкновения от движущейся частицы
атому мишени, превышает некоторое значение, то атом мишени, выбитый из
узла решетки, оставляя вакансию, движется через кристалл. Наименьшую
энергиюЕп, которую необходимо передать одному из атомов кристалла,
чтобы он оказался в ближайшей междоузельной позиции, называют пороговой
энергией. Если энергия, переданная атому быстрой частицей, меньше Ел, то
смещения атома не происходит, а возникают лишь упругие волны, энергия
которых переходит в энергию теплового движения атомов. Опыт показывает,
что.Еп примерно в два-три раза больше энергии, необходимой для
адиабатного перемещения атома из узла решетки в междоузлие. Так, Ея ~ 25 эВ для
большинства кристаллов, в которых энергия связи атомов составляет примерно
10 эВ. Каждый атом кристалла, получивший от быстрой частицы энергию
Е >Еа, может сместиться в междоузлие, в результате чего одновременно
возникают вакансия и атом в междоузлии. Радиационные точечные дефекты в
отличие от тепловых всегда парные (дефекты по Френкелю).
Примесные атомы. Чужеродные примесные атомы с матрицей основного
кристалла могут образовывать либо твердые растворы замещения, либо
твердые растворы внедрения. В первом случае примесные атомы находятся в
узлах кристаллической решетки, во втором - в междоузлиях (рис. 1.1.40).
Та или иная ситуация реализуется в зависимости от влияния двух
факторов: геометрического и электрохимического.

Влияние геометрического фактора учитывают, считая, что растворы
замещения образуют лишь те атомы, радиусы которых отличаются от радиусов
матричных атомов не более чем на 15%. Чтобы применять это правило,
необходимо определить эффективные атомные радиусы (см. табл. 1.1.1).
Для образования растворов замещения необходимо также, чтобы атомы
примеси и матриц были электротехнически подобны, т.е. разность электроот-
рицательностей примесного и матричного атомов должна быть мала. Твердые
растворы внедрения подчиняются сравнительно простому правилу:
отношение радиуса внедряющегося атома к радиусу атома матрицы должно быть
меньше, чем 0,59. Можно показать, что значение 0,59 соответствует наибольшей
сфере, которая может уместиться в промежутках плотноупакованной
решетки. Если отношение гп /гм / (где г, - радиус примесного атома; гм - радиус
матричного атома) заключено в пределах 0 < гп /гм < 0,59, то примесь образует
раствор внедрения, а если 0,85 < гп /гм < 1,15, то раствор замещения, область
значений 0,59 < гп /гм < 0,85 вообще неблагоприятна для образования твердых
растворов.
Примеси замещения. Рассмотрим их на примере кристаллов Ge, Si, где
кристаллическая решетка состоит из четырех валентных атомов с ковалент-
ной связью, при которой валентные электроны матричных атомов
объединяются в электронные пары (рис. 1.1.41а).
Если в такой решетке один из узлов заместить примесным атомом с
большей валентностью, например пятивалентным атомом Sb (рис. 1.1.41 б), то
четыре валентных электрона атома Sb будут участвовать в образовании кова-
лентной связи так же, как и у обычного матричного (Ge или Si) атома, и
лишний пятый электрон уже не сможет находиться в валентной зоне кристалла
из-за отсутствия в ней свободных энергетических уровней (см. разд. 1.2.3).
Следовательно, этот электрон будет либо в запрещенной зоне, либо в зоне
проводимости. Чтобы он попал в зону проводимости, примесный атом необ-
=lfc=l Ь-
4=4=
-t t 7 т-
> = ==>-
&=
f У ? ?-
-ч = =
-ч =^=
-мм-
</-1 ©-2
Рис. 1.1.41. Схема, иллюстрирующая образование
допоров и акцепторов в кристалле с примесями:
а — ковалентный беспримесный кристалл; б - образование доноров;
в - образование акцепторов; / - пятивалентный атом; 2 - трехвалентный атом

ходимо ионизировать, затратив для этого энергию ионизации Е1Г Величина
Ея отличается от энергии ионизации^, свободного атома, так как атом
примеси находится в кристалле, т.е. погружен в среду с некоторой диэлектрической
постоянной 8,., что ослабляет кулоновские силы. При этом примесный атом
можно рассматривать как содержащий только один электрон, т.е. как водоро-
доподобный атом.
Из-за поляризующего действия всей решетки сила притяжения электрона
примесным атомом будет в е~ раз меньше, чем в вакууме, а масса электрона
заменяется на эффективную /и*, т.е. в этом случае формально можно
уподобить примесный атом атому водорода, но большего размера i\. (в егт/т* раз)
и с меньшей (в е~ т/m*e раз) энергией связи:
4ne()e..h2 А „ 1 Z2e4m*.
>'е= Н— >Д£д =
тее t (47is08;./2)
Кроме основного у примесного донорного атома могут быть
возбужденные состояния, которые также можно описать в водородоподобном
приближении (т.е. в предположении, что поле иона, в котором движется электрон,
близко к кулоновскому, как в атоме водорода):
_ 4m0e,.h2n 1 ZV4: l
fen ~ —l > А^Д -^~ 7^~' (1.1.17)
тев~ l (47is0s/./7)" п
где п = 2, 3, 4, ... - главное квантовое число состояния. Для возбужденных
состояний водородоподобное приближение выполняется значительно лучше,
чем для основных, так как особенности строения волновых функций
остальных электронов оказывают меньшее влияние на возбужденные электроны,
которые находятся на значительно большем расстоянии от иона, чем электроны
основного состояния.
Такой электрон слабо связан с ионом внедрения и легко его покидает, т.е.
переходит в зону проводимости. Таким образом, подобные дефекты создают
уровни энергии в запрещенной зоне вблизи дна зоны проводимости и
являются донорами, т.е. поставляют электроны проводимости.
Другая ситуация возникает при замещении атома Si трехвалентной
примесью (рис. 1.1.41 в): ненасыщенная связь создает условия для захвата
электрона, причем энергия такого электрона лишь немного выше, чем у валентных
электронов в чистом Si. Уровень образуется у потолка валентной зоны, а
примесь является акцептором, т.е. захватывает электроны валентной зоны,
образуя подвижные дырки.

Атомы других валентностей, как правило, образуют уровни, лежащие
далеко и от дна зоны проводимости, и от потолка валентной зоны; эти уровни
называют глубокими. Такие примеси способны в ряде случаев образовывать
не один примесный уровень, а несколько, соответствующих различным
зарядовым состояниям. Например, в Ge атомы Си создают три уровня,
соответствующих, присоединению одного, двух или трех электронов.
Расположение энергетических уровней, образованных различными примесями,
представлено на рис. 1.1.42.
II
Я
о
:-%>^/-;йЗона-проводимостиг%4/^%;
Uh0,033 р+0,045 As+0,049 Sb+0,039
V+ 0,22 S+ 0,18
Сг+ 0,5 Mn+0,53
- Zn~ 0,55 Fc" 0,53-Au"0,54-
0,35 _ Cu-0,49
Zn 0,31 Fe++0,40
In" 0,16 Au+ 0,35
B"0,045 AT 0,057 Ga" 0,065 Cu+ 0,24
Ni~
у//У,пУ////у/''/-у/у/У/////оууу/У/У/Ууу-'-
'///v: Валентная-зона //УуУу////УУ/{'У,
УУУУ/УУУ
У/У/У-УУУ/У/УУУУУУ/УУУУУУУ''УУУ
Рис. 1.1.42. Энергетические уровни различных примесей в Si
Примеси внедрения. В этом случае электроны примесных атомов уже не
участвуют в образовании валентных химических связей, а принадлежат
только самому примесному атому, донорный или акцепторный характер
внедренного атома не зависит прямым образом от их валентности, а определяется
значением электроотрицательное™.
Если электроотрицатсльность Хп примесных атомов больше, чем атомов
основного кристалла Хм, то примесь проявляет акцепторные свойства. При
обратном соотношении (Хи <Х^) атомы примеси будут донорами. Появление
уровней в запрещенной зоне существенно меняет многие свойства
полупроводников и диэлектриков (электропроводность, оптические свойства и др.).
Влияют примеси и на транспортные свойства металлов (они являются центрами, на
которых рассеиваются движущиеся квазичастицы - электроны, фононы и др.).
Тепловое движение дефектов. Кинетика дефектов определяет диффузию
и ионную проводимость кристаллов.
Передвижение дефектов является следствием наличия высокоэнергетич-
ного хвоста в болыдмановском распределении атомов, т.е. при Т> 0 К для
атома примеси внедрения или вакансии имеется ненулевая (хотя и
экспоненциально малая) вероятность преодолеть потенциальный барьер ДА,
переместиться на соседнее равновесное состояние.

Аппроксимируя рельеф потенциальной ямы параболой
U(x) = U(x0) + k(x-x0)2/2 (1.1.16)
(где к = const; х - текущая, хо - равновесная координаты), получают частоту
переходов в виде
®=vexp[-MJ/(kBT)), (1.1.17)
где AU - высота потенциального барьера, а стоящий перед больцмановской
экспонентой множитель представляет собой частоту гармонических
колебаний атома в иоле (1.1.15):
1
v = —
2л:
(М- масса атома). Физический смысл (1.1.16) ясен: вероятность перехода за
данный цикл колебаний равна больцмановской вероятности того, что данный
атом получит энергию выше AU.
Под действием электрического поля Е ионы в междоузлиях могут
двигаться в направлении электростатической силы. Предположив, что
потенциальный барьер для иона под действием поля в одном направлении уменьшается
на еЕа/2 (где а - постоянная решетки), а в другом - увеличивается на столько
же, можно получить скорость направленного движения примесей, умножив av
на разность вероятностей скачка по полю и против поля:
v = av{exp[- (AU -еЕа/2)/(квТ)] -ехр[-(ДС/ + еЕа/2)/(кВТ)]} =
= avexp[-AU /(квТ)]{ехр[еЕа/(2квГ)]-
-ехр [-еЕа/(2квТ)]}(а2еЕ<а /(квТ)).
Разделив v на Е, получают подвижность дефектов
ц = а2еа> /(квГ),
по которой можно определить и коэффициент диффузии, и ионную
проводимость.
Движение примесей замещения наиболее вероятно при появлении рядом
с примесным атомом вакансии, т.е. диффузия атомов замещения коррелиро-
вана с движением вакансий.
Линейные и поверхностные дефекты. Линейные дефекты -дислокации в
кристалле- могут иметь любую форму, но они или образуют замкнутые пет-

Рис. 1.1.43. Дислокации в кристаллах:
а — схема идеального кристалла; б — схема кристалла с краевой дислокацией
(линия AD — край лишней атомной полуплоскости ABCD); в — схема кристалла
с винтовой дислокацией (линия AD превращает поверхность в наклонный спуск).
Стрелками указаны силы, которые могут вызывать такие дислокации
ли, или начинаются и заканчиваются на границах кристалла (или межкристал-
литных границах). В общем случае дислокация может быть представлена как
результат суперпозиции винтовой и краевой дислокаций, причем
соотношение между ними может меняться вдоль линии дислокации. Чисто краевая
дислокация образуется, когда атомная плоскость прерывается внутри кристалла
(рис. 1.1.43). В случае чисто винтовой дислокации одна часть решетки
смещается относительно другой в направлении, параллельном линии дислокации.
Количественно дислокация характеризуется вектором Бюргерса Ь,
определяющим величину и направление смещения атомных плоскостей. Для его
нахождения проводят, переходя от атома к атому, замкнутый контур,
охватывающий дислокацию — контур Бюргерса — вначале в недеформированной, а
затем в деформированной решетке. Вектор Бюргерса — это вектор,
необходимый для замыкания последнего контура. Для чисто краевой дислокации b
перпендикулярен обрывающейся плоскости, для чисто винтовой дислокации он
равен шагу спирали и параллелен ее оси. Дислокации уменьшают и
коррозионную стойкость кристаллов, вдоль них облегчена диффузия примесей: в ядре
дислокации меньше высота потенциальных барьеров между стационарными
состояниями атомов внедрения. Поверхностными дефектами являются
границы зерен практически правильных кристаллов с малоугловыми границами,
разделяющими кристаллы с относительной разориентировкой
кристаллических осей на углы 6 от нескольких секунд до 3...5°. Согласно Бюргерсу,
малоугловые границы представляют собой совокупности дислокаций, а угол 0
связан с | b | и расстоянием D между дислокациями (рис. 1.1.44):
tgQ = b/D.
Границы зерен оказывают существенное влияние на многие свойства
кристаллов, в частности, на электропроводность, поглощение ультразвука,
оптические свойства и т.д. Наличие границ приводит к тому, что в поликрис-

>+=::
ГТ
+-+
—-f
TV
it
0
w
:::H
£:;:
~
::::
-ifr
___
"
: ::
0 1,0 2,0 r/a
Рис. 1.1.44. Границы зерен с малым углом разориентации
Рис. 1.1.45. Кривая радиального распределения атомов:
/ - для аморфного и 2 - для кристаллического кремния
таллах коэффициент диффузии примесей значительно больше, чем в
монокристаллах. Плоскими дефектами, помимо названных уже границ зерен и
поверхности, являются также границы двойниковых кристаллов — кристаллов, у
которых одна часть совмещается с другой либо поворотом вокруг оси двойни-
кования, либо отражением, либо двумя операциями совместно. В принципе,
поверхностными дефектами являются и свободные границы кристаллов, где
нарушается кристаллическая симметрия.
Краевая дислокация, переходящая из одной плоскости скольжения в другую,
расположенную выше на одно межатомное расстояние, называется ступенькой.
Если расстояние между плоскостями скольжения равно одному период}-
решетки, то дислокационную ступеньку называют единичной, в случае более
удаленных друг от друга плоскостей скольжения ее называют сверхступенькой.
Точечные дефекты могут аннигилировать на дислокации. Если к точке А
единичной дислокационной ступеньки (рис. 1.1.46) подходит вакансия, то
ступенька смещается в положение В, а сама вакансия исчезает. Если же к
точке^ подходит межузельный атом, то процесс аналогичен и ступенька
смещается в С с поглощением межузельного атома.
Кроме упругого взаимодействия дефекта в большинстве твердых тел
осуществляется также электрическое взаимодействвие. Наиболее ярко оно
проявляется в полупроводниках и диэлектрических ионных кристаллах.
Оборванные связи в области дслокации действуют как акцепторы. В полупровод-

Г 2 21
—И t ( > йк ( ^
Рис. 1.1.46. Анигиляция точечных дефектов на ступеньке краевой дислокации
Рис. 1.1.47. Перемещение дислокации в решетке и периодический характер
изменения при этом ее потенциальной энергии
никах n-типа они могут захватывать электроны проводимости и тем самым
создают кулоновское взаимодействие дислокации и положительного иона.
Максимальная величина электрического взаимодействия может быть
представлена приближенным выражением
Е *&-
а
где/— доля свободных оборванных связей, а - расстояние между этими связя-
тами, е — заряд электрона. При комнатной температуре максимальное
значение £,л «0,02 эВ.
Барьеры Пайерлса. Важной характеристикой материала, связанной с
движением дислокаций, являются так называеые напряжения (или барьеры)
Пайерлса. Рассмотрим изменение сил, действующих на дислокацию при ее
перемещении на вектор Бюргерса (рис. 1.1.47). В исходном положении силы
отталкивания, действующие на дислокацию со стороны соседних плоскостей,
одинаковы и симметрично направлены в противоположные стороны. С
началом перемещения дислокации из исходного положения 1 напряжение
отталкивания увеличивается и достигает максимума, когда дислокация пройдет
путь d/4, где d— межплоскостное расстояние, и затем изменяется до минииума
под влиянием сил притяжения при переходе дислокации в положение Г,
равное dl2. Процесс повторяется при переходе из положения 1' в положение 2.
При этом полуплоскость 2 сместится право в положение 2'. Такое цикличе-
Липшяя полуплоскость
Мсжузсльный атом
С А \В
•...'■ Дислокация
Вакансия
0 1
Еп\

ское изменение напряжения происходит в течение всего времени движения
дислокации.
Следовательно, при перемещении дислокации в решетке она испытывает
периодическое изменение тормозящих упругих напряжений. Это происходит
так, как будто дислокация тормозится силами трения в врешетке. Положение,
соответствующее Е„=0, называют долиной потенциального рельефа.
Характер зависимости потенциальной энергии краевой дислокации Е„=0 от
смещения из равновесного положения определяется типом химической связи и
другими факторами.
Дефекты упаковки. Дислокации с вектором Бюргерса, равным периоду
кристаллической решетки, называют полными. Наряду с ними существуют
частичные дислокации, результаты появления которых являются дефекты
упаковки атомов. Дефект упаковки возникает при расщеплении дислокации
на две частчные, у которых вектор Бюргерса не равен периоду трансляции
решетки. Дефект упаковки - это отклонение от нормальной для данного
кристалла последовательности в расположении атомных слоев.
При несовпадении решеток по разные стороны от линии дислокации, что-
имеет место при частичной дислокации, поверхность такого несовпадения
должна иметь очень большую упругую энергию, потому в большинстве
кристаллов, где образование частичных дислокаций энергетически не выгодно,
таких смещений не происходит.
Гранецентрированную кубическую (ГЦК) и гексагональную плотноупа-
кованную (ГПУ) структуры можно представить как серию плотноупакован-
ных плоскостей, уложенных друг на друга. ГЦК-структуре (рис. 1.1.48)
плотная упаковка атомов достигается по плоскости (111). Если атомы
последовательно (от начала координат) располагаются в слоях ABCD, то в проекции на
одну из плоскостей (111) атомы D совпадут с А. Поэтому всю
последовательность плотноупакованных плоскостей можно представить как ABC'ABC'ABC'...
Дня ГПУ-структуры эта последовательность - АВАВАВ... Если произвести
сдвиг вверхнего слоя на расстояние^, то атомы следующего слоя снова
попадут в лунку А. Такой сдвиг соответствует полной дислокации с вектором
Бюргерса 6, (рис. 1.1.48). Если произввести сдвиг верхнего слоя относительно
нижнего на векторы Бюргерса частичных дислокаций Ь-, или 63> т0 атомы из
лунки А попадут в лунку С или из С в А. При этом нарушается порядок
чередования плоскостей (111), который может теперь иметь последовательность
АВСАВАВСАВС... илиАВСАСАВСАВС... Таким образом, в ГЦК-структуре
образуется тонкая прослойка ГПУ, которая является дефектом упаковки. Края
дефекта упаковки представляют собой частичные дислокации.
Существуют также частичные дислокации, у которых вектор Бюргерса не
лежит в плоскости дефекта упаковки. Наиболее важными из них являются

Рис. 1.1.48. Плоскости атомов в ГЦК-решетке - (а);
возможные смещения атомов в ГПУ-решетке — (б)
дислокации, возникающие при схлопывании скопления вакансий или
образовании скольжения (рис. 1.1.49).
В ГПК-решетке типа алмаза появление таких дефектов происходит в
плоскостях (111). Такая дислокация не способна скользить и поэтом}
называется дислокацией Франка. При этом возникает нарушение правильного
чередования плотноупакованных слоев, которые по существу является дефектом
упаковки. На рис. 1.1 .49о показано образование за счет скопления вакансий
дефекта упаковки вычитания. При образовании скопления межузельных
атомов возникает дефект упаковки внедрения (рис. 1.1.496).
С
В в
В в
А А
Рис. 1.1.49. Дислокация Франка: а) — дефект упаковки вычитания, образованной
схлопыванием вакансий: б) — дефект упаковки внедрения
Границы зерен. Поликристаллы состоят из большого числа мелких
монокристаллов, которые называют зернами. Зерна разделены некоторыми зонами
перехода — границами зерен. Граница зерна представляет собой поверхность
между двумя монокристаллами различной ориентации, которые примыкают
друг к другу, т.е. некий сплошной переход от одного монокристалла к
другому. Бюргере предположил, что границы зерен с малым углом разориентиров-
ки ф состоят из совокупности дислокаций (рис. 1.1.50).

Рис. 1.1.50. Зерна и малоугловая граница
Рис. 1.1.51. Болынеугловая граница в поликристалле: а) межзеренная граница
между двумя квадратными решетками зерен (6 = 36,9е); б) — эта граница может
быть представлена решеткой совпадающих узлов
Если углы разориентировки ф соседних зерен кристаллической решетки
невелики (5—10 градусов), то границы называют малоугловыми границами,
или субграницами, а ограниченные ими области решетки - субзернами. Такие
границы могут присутствовать как между зернами поликристалла, так и в
монокристаллах. Угол разориентировки связан с модулем вектора Бюргерса Ъ
краевых дислокаций D между ними соотношением:
Ъ
Если же углы разориентировки превышают 10 градусов, то границы на-
зыаются большеугловыми (рис. 1.1.51). Монокристаллы не могут содержать
большеутловых границ.
Большеугловые границы обладают определенным кристаллическим
строением, отличающимся от строения зерен и зависящим от структуры
последних и утла разориентировки между ними.
Наличие экстремумов энергии для определенных узлов разориентировки
связано с тем, что при этих углах часть атомов соседних зерен занимает
позиции, общие для решеток обоих зерен. На рис. 1.3.516 эти атомы показаны в
виде светлых кружков в зерне, находящемся справа от большеугловой
границы. Такие границы получили название специальных, а остальные - случайных
(или границ общего типа).
Границы зереноказывают существенное влияние на электропроводность,
оптические и другие свойства кристаллов.

С явлением движения дислокаций в твердом теле связаны такие
технически важные процессы, как упрочнение и разупрочнение материала при
пластической деформации и отжиге.При движении дислокации приложенное
напряжение совершает работу, одна часть которой идет на увлеичение энергии
дислокации, другая рассеивается в виде тепла, и третья часть расходуется на
образование в пластически деформированном теле структурных дефектов,
увеличивая его внутреннюю энергию. Увеличение внутренней энергии
связано с искажением решетки пластически деформированных кристаллов из-за
значительного увеличения плотности дислокаций, их скопления на
препятствиях, увеличения концентрации точечных дефектов, образующихся в
«шлейфах движущихся дислокаций и т.д.
Дислокации изменяют оптические свойства кристаллов, на чем основан
метод наблюдения изолированных дислокаций в прозрачных материалах.
Нарушение регулярности кристаллической решетки в ядре дислокации приводит
к тому, что в местах выхода линий дислокаций на внешнюю поверхность
твердого тела химическая устойчивость кристалла ослабляется, и специальные
реагенты способны разрушить окрестность оси дислокации, образуя видимые под
микроскопом, а иногда даже невооруженным взглядом ямки. На этом основан
метод избирательного травления, являющийся основным методом наблюдения
отдельных дислокваций в массивных образцах непрозрачных материалов.
Возникновение системы «оборванных» связей в ядре дислокации
выделяет линии дислокации в электрическом, магнитном и оптическом отношении.
Дислокация можетиести или захватывать электрический заряд и обладать
намагниченностью, отличной от средней намагниченности кристалла. Наличие
дислокации повышает электросопротивление проводника и изменяет
концентрацию свободных электронов в полупроводниках. Значительную роль
играют дислокации в магнитных кристаллах, существенно влияя на различные
релаксационные явления.
Аморфные тела. Структура. У твердых тел часто встречаются такие
большие отклонения от правильной кристаллической структуры, что их уже
нельзя рассматривать как кристаллы с отдельными дефектами различных типов.
Такие тела, называемые аморфными, по структуре и многим свойствам
подобны жидкостям, но вязкость аморфных твердых тел на 15-16 десятичных
порядков выше, чем у капельных жидкостей.
Наиболее характерным для структуры аморфных тел является наличие
ближнего порядка при отсутствии дальнего, т.е. каждый атом находится почти в
том же окружении, что и в кристалле, но трансляционная симметрия нарушена.
Примером, иллюстрирующим это свойство, может огужить радиальная
функция распределения атомов / в аморфном кремнии, сопоставленная на рис.
1.1.48с данными для кристалла Si (здесь /,. = 4nr ~n(r)dr - число атомов в сфери-

ческом слое толщиной d/* на расстоянии г от данного атома; п(г) — средняя по
атомам концентрация ядер на расстоянии г ). Функция/г как для аморфного/»,
так и для кристаллического /,с тела имеет пики на межатомных расстояниях,
причем первые пики на/<, \\/гс практически одинаковы. Вторая
координационная сфера (второй максимум на двойном межатомном расстоянии) на/»
выражена менее четко, чем на/с, а третий координационный максимум
отсутствует. Можно считать, что атомы в аморфном теле располагаются в узлах
трехмерной сетки, сходной с кристаллической решеткой соответствующего
кристалла по структуре элементарных ячеек, но эти ячейки искажены. Искажения,
накапливаясь на нескольких порядках решетки, приводят к нарушению
трансляционной симметрии и дальнего порядка. Кроме близких к правильным
встречаются также топологически «неправильные» ячейки, соответствующие
разрыву связей или установлению «лишних» связей в области дефекта
кристалла. Так же, как и кристаллические, аморфные тела различаются по числу
подвижных носителей заряда на металлы, полупроводники и диэлектрики.
Аморфные металлы. Отсутствие дальнего порядка характерно для
многих сплавов. Аморфные состояния чистых металлов (металлическое стекло)
образуются, например, при быстром охлаждении расплавленного металла.
По-видимому, любой расплав можно привести к твердому аморфному
состоянию. Предполагается, что в металлическом стекле существует хаотическое
непрерывное распределение сферических частиц, характеризующееся плотной
упаковкой без каких-либо разрывов типа границ и точечных дефектов,
характерных для кристаллов. Координационные числа, определенные по площади
под первым пиком функции радиального распределения, в большинстве
случаев оказываются равными 12, как для правильных плотноупакованных решеток,
т.е. они больше, чем для жидких металлов.
При нагреве в аморфных металлах происходят структурные изменения. В
отличие от обычных стекол (оксидных), которые при этом размягчаются и
переходят в расплав, а при охлаждении расплава снова образуется стекло,
металлические стекла при повышении температуры кристаллизуются. Эта
особенность обусловлена металлическим типом связи. Температура
кристаллизации Гк аморфных металлических сплавов в твердом состоянии достаточно
велика. Например, для сплавов переходных металлов с металлоидами Гк
превышает (0,4...0,6) Гпл.
Особенности атомной структуры металлических стекол, приводящие к
отсутствию в них таких дефектов, как дислокации, границы зерен и т.д.,
обусловливают высокую прочность и износостойкость. Так, предел прочности сплавов
на основе железа существенно больше, чем у чистого железа. Высокая
устойчивость металлических стекол к коррозии связана прежде всего с отсутствием
границ зерен, включений и т.п.; примером может служить нержавеющая сталь.

Аморфные полупроводники и диэлектрики. Эти материалы разделяют на
три группы:
1. Аморфные твердые тела с тетраэдрическими связями, такие, как
кремний, германий, соединения Л111 и 5V. Эти полупроводники в аморфном
состоянии нельзя получить охлаждением расплава. Их получают обычно в виде
тонких пленок с помощью различных методов осаждения (термическое
испарение в вакууме, катодное напыление и т.д.). Их свойства в значительной
степени подобны свойствам кристаллических аналогов.
2. Халькогенидные стекла - некристаллические вещества, содержащие
атомы халькогенов (серы, селена, теллура), получающиеся в результате
охлаждения расплава. Они в основном нечувствительны к примесям, обладают
симметричными вольт-амперными характеристиками, претерпевают
различные структурные изменения.
3. Стекла, основным компонентом которых являются элементы V группы
таблицы Менделеева. По своим свойствам эта группа аморфных
полупроводников занимает промежуточное положение между халькогенидными
стеклами и аморфными полупроводниками с тетраэдрическими связями.
;Ч. Аморфные диэлектрики в виде тонких пленок. Эти материалы находят
широкое применение в микроэлектронике. Во многих таких диэлектриках,
так же как и в аморфных полупроводниках, проводимость (весьма
незначительная) осуществляется перескоками из одного локализованного состояния в
другое. Энергия активации этого процесса значительно ниже, чем энергия
активации примесной проводимости в кристаллических диэлектриках.
Поскольку аморфные диэлектрики имеют более низкую плотность, чем
соответствующие кристаллы, их диэлектрическая проницаемость е несколько
ниже по сравнению с 8 кристаллов.
Жидкие кристаллы. Это жидкости, у которых наблюдается
определенный порядок в расположении молекул, следствием чего является наличие у
них ряда признаков, присущих кристаллическим веществам, в частности,
анизотропия механических, электрических, магнитных и оптических свойств. В
этом состоянии, промежуточном между жидкостью и твердым телом,
аморфным и кристаллическим состоянием, находятся некоторые органические
вещества в определенном температурном интервале.
Таким образом, возможность образования растворов внедрения и
замещения можно оценить по приведенным геометрическим и
электрохимическим характеристикам примеси и кристалла.
Примеси замещения с валентностью, отличной от валентности атомов
кристалла, образуют слабосвязанные пары ион-электрон (ион-дырка).
Аморфные тела характеризуются наличием ближнего и отсутствием
дальнего порядка.

1.2. Электронные свойства твердых тел
1.2.1. О системах частиц в твердых телах
Проанализированы классические и квантовые равновесные функции
распределения, функции плотности состояний, необходимые для
статистического описания поведения большого числа частиц, составляющих реальные
твердые тела и получения усредненных макроскопических характеристик.
Объем квантовой частицы в шестимерном пространстве. Каждая
частица, как известно, проявляет двойственную природу: корпускулярную и
волновую, т.е. описание ее поведения связано с определением параметров
некоторой волны. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой
функции (пси-функции), равный вероятности нахождения частицы в данной
точке в данный момент времени. Так, с каждой свободно (прямолинейно и
равномерно) движущейся частицей с определенной энергией Е и импульсом р
связана волна с круговой частотой со=Е/Й, волновым вектором к = р/Й,
длиной волны X = 2лй//?, групповой скоростью да/дк = v - волна де Бройля:
^Р(х) = С ехр(/Ъг - mt) (С = const).
Волновую функцию (как и любую функцию) можно представить в виде
интеграла Фурье, т.е. в виде суммы многих гармоник. Так, в одномерном
(плоском)случае
00
Ч'(х)= $A(k)exp(-ifo)dk,
00
где амплитуда каждой гармоники определяется однозначно:
00
А(к) = [1/(2ж)] JV(x)exp(-/fct)dje.
-00
Аналогичные соотношения верны и для трехмерного случая.
Такое преобразование удобно тем, что позволяет представить волновую
функцию в пространстве импульсов (или k-пространстве в виде xF = xF(k).
Например, если точно известно местоположение частицы (точка х = 0), то
волновая функция вся сосредоточена в точке х = 0, т.е. представляет собой
дельта-функцию в пространстве координат. В пространстве импульсов в
этом случае

A(k) = [1/(2тг)] J5(x)exp(-/fcc)dx = 1/(2тг) = const. (2.1.1)
Существенно, что функция 4J не равна нулю во всем пространстве
импульсов, т.е. в интеграле (2.1.1) есть волны всех возможных А,, и волновой
функции нельзя поставить в соответствие ни одно конкретное значение А, или к, так
как импульс частицы, описываемой такой волновой функцией, не определен
(рис. 2.1.1 а). В случае точно известного импульса hk = hk0 волновая функция
в координатном пространстве представляет собой волну де Бройля, так что
квадрат модуля ее постоянен во всем диапазоне -оо< .г<оо, т.е. координата
частицы в направлении х не определена (рис. 2.1.1 б). В промежуточном случае,
если импульс частицы известен с неопределенностью Ар (волновое число - с
точностью Ак = Ар I ft), координата - с неопределенностью Ах, то
Ах Ак> 2 л, или AxAp>h
(2.1.2)
-соотношение неопределенности Гейзенберга (рис. 2.1.1 в) в трехмерном
случае (2.1.2) принимает вид
AxAyAz Арх Ару Ар. > h ,
(2.1.3)
т.е. в шестимерном пространстве координат (х,у, z) и импульсов (рх, р , р.)
частица занимает не точку, а конечный объем h . Причины этого - в волновой
Re у "
Rey ,,
Ар —>оо
ф Y
(к=р/Ь.)
Рис. 2.1.1. Соотношения неопределенностей Гейзенберга:
а - Ах -> 0, Ар —> оо; 6 - Ар -> 0, Ах -> оо; в - Ар * О, Ах * О

природе частиц: соотношение (2.1.3) отражает тот факт, что бессмысленно
определять положение волнового пакета с точностью, большей, чем длина
волны. Аналогичное соотношение связывает неопределенность энергии ДЕ и
неопределенность момента времени At: ДЕД^ > h, т.е. стационарные состояния
системы (At —> со) обладают определенной энергией.
Функция распределения частиц. Макроскопические явления связаны с
движением и взаимодействием друг с другом и с электромагнитными и
другими полями большого числа элементарных частиц (электронов, ядер и др.).
При анализе поведения макросистем естествен переход к статистическому
описанию системы в терминах функции распределения/, которая для
шестимерного пространства координат и импульсов (х,у, z,px,py,,p:) определяется
следующим образом.
Пусть dt, - число возможных состояний некоторой группы частиц,
характеризующихся импульсами вблизи некоторого импульса р в интервале dp,
координатами вблизи точки г в интервале dr; djV- число частиц, находящихся в
состояниях этой группы. Функция распределения частиц по г и р
/(r,p,0=cW(r,p,0/dC(r,p,0- (2.1.4)
Они характеризуют плотность заполнения состояний частицами. Из (2.1.4)
следует нормировка/:
\fdC,\dN=N0, (2.1.5)
где N— общее число частиц. Среднее значение некоторой величины а
(например, скорости, энергии и т.д.)
<а>= jadN/\6N=(l/N0)ja6N
при известной функции/может быть определено интегрированием по
возможным состояниям:
<a>=(l/N0)\adN=(l/N0)\afdC>. (2.1.6)
Часто используют функции распределения, зависящие только от энергии
частиц: / = /(Е). Тогда из (2.1.6)
<a>=\af(E)g(E)dE/N0,
где g(E) = dC, / дЕ- плотность состояний в пространстве энергии.

Равновесные функции распределения классических частиц. После
прекращения воздействия на частицы внешних сил функция распределения
стремится в равновесному пределу, который не зависит от I, г и направления р/| р |,
остается зависимость лишь от энергии Е частиц. Найдем выражения для
равновесных функций распределения классических частиц.
Между частицами постоянно происходит обмен импульсами и энергией;
например, частицы 1' и 2', имевшие до взаимодействия** импульсы р', и р'2 и
энергии Б', и Е'2, приобретают импульсы р" и р2 и энергии Е" и Е"-,, причем из
законов сохранения следует, что
Pi + Pi = Pi + P2 . El + E2 ~ E, + E2 .
Переходя к статистическому описанию, рассматривают не единичные
взаимодействия, а класс столкновений, переводящих частицы из состояний dC,v и
dt,y в состояния d(^r nd^r, ,т.е. не точки, а элементарные объемы в
пространстве импульсов (рис. 2.1.2). Частота столкновений 8v' зависит от свойств
частиц и способности занимать состояния, уже заселенные другими частицами. В
классической статистике вероятность 8v'заселения состояний
пропорциональна начальному числу частиц и числу «новых» состояний:
5v' = 4-2,_r2,,cWr(WzdCrdCr ,
(2.1.7)
где AY y_VT - коэффициент, зависящий от класса столкновений,
пропорциональный соответствующему сечению перехода. Частота обратных столкновений
5v" = AV2„_V2,dNrdNTdi;vdC>2,,
причем из обратимости единичных актов столкновений следует, что
А\'2'-\"2" = ^Г'2"-Г2' ■
(.S'2,d&2,dZ2,dN2)Px\dPiJ
-Ру
(&2,d&bdZ2tdN2)
l^Pyi
APxl
_pi{&l,d£[,AZ[,&N[)
Рис. 2.1.2. Отображение в пространстве импульсов столкновений,
переводящих частицы из состояний dC,\ и dC,'2 в состояния dC," и dC,\

При равновесии (в соответствии с принципом детального равновесия)
скорости прямых и обратных процессов совпадают:
5v'= 5v"
т.е.
dN{ dN; dCI'd^' = dW,"dtf2"d£; d^2,
(dN[dN{)/(dC,\ dC2) = (d^rd^OAdC'd^'),
или с учетом (2.1.4)
ЛЕ',)/(Е'2)=ЛЕ';)/(Е2').
При переходе Г 2'- 1* 2"сохраняются как Е , +Е2,таки/(Е i)/(E 2)- Такими
свойствами обладает лишь экспоненциальная функция, т.е.
/(Е) = Сехр(-рЕ) (2.1.8)
(знак «-» взят из условия нормируемости функции - иначе расходится
интеграл в (2.1.5)).
В случае невзаимодействующих классических точечных частиц, т.е. столь
редко расположенных в шестимерном пространстве, что объем каждой
частицы h не существен (идеальный невырожденный одноатомный газ), энергия Е -
кинетическая энергия поступательного движения: E = w(v~ + v~ + v_)/2, a
пространство импульсов однородно, т.е. dC, пропорционально объему в
шестимерном пространстве:
dpxdpvdp: dxdydz = dpxdp jdp.dV,
dN =/d£=C'exp(-pm(vJ + v2+v2:)/2)2dv;tdvvdv=dF.
Здесь С - нормировочная постоянная, определенная из условия (2.1.5),
принимающего вид
\dN =V jCexp(-$m(v2x +v2y + vl)/2)dvxdvydv: = N0. (2.1.9)
Интегрируя (2.1.9) с учетом тождества
jexp(42)d£=V^/2,

получают
С' = п[т$/(2т1)]У2.
Физический смысл В можно определить, найдя среднюю кинетическую
энергию <ш\ /2>. Используя для усреднения формулу (2.1.6), записывают
< m v2/2 > = (\(m v2/l)f dg/( J/dQ =
со
J \\(v2x+v2y + vl)C'exp[-Pm(v2x+v2y + vl)/2]dvxdvydv =
m -oo
о со
J J JCexp[-pm(v2 +v2y+ v2.)/2]dv;tdvydvr
— 00
Так как числитель равен производной знаменателя по В, а знаменатель равен
[2л:/(тВ)]3/2, то <mv2/2>=3/(2B). Учитывая, 4to<wv2/2>=3(квТ)/2,
получают В = \/(квТ). С учетом этого равновесная функция распределения
классических частиц по скоростям (2.1.8) в одноатомном газе (функция
распределения Максвелла) принимает вид
f = [m/(2nkBT)f2exp[-m(v2x+v), + v2:)/(2kBT)], (2.1.10)
или
/ = [l/(W^)]3exp(-v2/V),
где v =vv+vv+v.,m = ^J2kBT/m - наиболее вероятная скорость частиц.
Представляет интерес также распределение частиц по модулю скорости v
(в этом случае элемент объема в пространстве импульсов (скоростей) имеет
вид не куба, а шарового слоя объемом 4nv dv (рис. 2.1.3)):
/'(v) = 47rv2[l/(W^)]3exp(-v2/w2) (2.1.11)
(рис. 2.1.4). Определенные с помощью (2.1.6), (2.1.11) средняя
арифметическая и средняя квадратичная скорости равны соответственно
00
<v>= lf'vdv = jMBT/(nm),
о

/(£) dJV'|d/v
Рис. 2.1.3. Элемент объема при распределении по модулю v
Рис. 2.1.4. Равновесное распределение классических частиц по энергии
{сплошные тиши) и по модулю скорости {штриховые линии)
< v2 >т =
J/'vdv
1/2
= т]ЪквТ/т
Наиболее вероятная скорость и соответствует максимуму функции /'(v).
Отметим, что
<v>:w:<v2 >1/2=л/87л:72:7з =1,1287:1:1,2247.
В отличие от (2.1.8) или (2.1.10) функция распределения по модулю скорости
стремится к нулю при v = 0. Это объясняется малым числом состояний, в
которых одновременно малы vA., v „, и v .: при фиксированном d|v| относительно
мал объем вблизи нуля (] v | - 0) в пространстве импульсов по сравнению с
объемом шарового слоя, соответствующего большим |v|.
Если частицы обладают как кинетической, так и потециальной энергией
U, то равновесная функция распределения (2.1.10) принимает вид
f = Clexp[-m(v2x+v2y + vl)/(2kBT)]exp[-U/(kBT)]
(распределение Максвелла-Больцмана). В общем случае классическое
равновесное распределение частиц по энергии имеет вид
/=С2ехр[-ЕЕ/(^Г)].

Здесь Es - суммарная (кинетическая, поступательная и вращательная плюс
потенциальная) энергия частиц (распределение Больцмана), определяющее,
например, равновесную заселенность возбужденных состояний/ атомов
(молекул, ионов):
xj = gj exp [- Е* /(к в Г)]/£ gj exp [-Е)/(квТ)],
где Xj — относительная доля атомов на уровне/; g) — его статистический вес, т.е.
число состояний с данной энергией; Е* - энергия возбуждения
(суммирование по всем уровням).
Квантовые статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. На размерах
порядка и менее длины волны де Бройля Хв = h/(mv) = h/(2k BTm)]'2, когда н-
еопределенность импульса приобретает порядок самого значения р = т\,
волновые свойства частиц выходят на первый план и классический подход
оказывается непригодным. В системах со многими частицами границу
применимости классической механики указывает критерий вырождения:
X в = h/-yJ2kB Тт > L ,
где L - характерное расстояние между частицами (радиус сферы, в объеме
которой находится в среднем одна частица: (4/3)(яХ п)= 1. С учетом этого
вырождения наступает при концентрации частиц
п>— (2тквТ/й2)Ш,
4я
т.е. при большой плотности и малой температуре.
Влияние вырождения на статистику частиц объясняется изменением
вероятности заселения состояний (элементарных объемов h ) шестимерного
пространства, в которых уже находятся частицы. По-разному ведут себя в
этом смысле частицы с полуцелым спином - фермионы (электроны,
нейтроны, протоны и др.) и частицы с целым спином - бозоны (фотоны, фононы и
др.). В каждом состоянии может находиться не более двух фермионов (с
разными спинами) (принцип Паули), т.е. число частиц ограничено сверху
плотностью состояний. Для бозонов ситуация противоположная: вероятность
заселения состояния в случае нахождения в нем N частиц увеличивается в N + 1
раз по сравнению с незаселенным состоянием, т.е. бозоны стремятся
объединиться в одно и то же состояние.
Одним из наиболее известных примеров такой «конденсации» бозонов
служит явление индуцированного излучения, используемого в лазерах: пер-

вичный фотон вызывает индуцированные переходы, в результате которых
образуются вторичные фотоны, находящиеся в том же состоянии, что и
первичный (т.е. имеющие те же энергию, вектор импульса, поляризацию, фазу и т.д.).
Определим вид равновесной функции распределения для фермионов -
функцию распределения Ферми-Дирака. Как и в описанном выше
классическом случае, рассмотрим класс столкновений, переводящих частицы из
состояний d^'| и dC,'-, в состояния dC,\ и dC,"2- Определяя частоту столкновений 8v', в
отличие от (2.1.7) для фермионов необходимо учитывать уменьшение числа
состояний, которые могут быть заняты, на число заполненных состояний:
5v' = ^,.2._rrd/Vrd/V2.d^^d^2«,
dC,"* =dC,"-dN",
5v" = AVT_X2dN]rdNTd^*xd^*2<,
dC," = d£'-dAT.
Аналогично
(dN{ d^)/(d;i* d^2*) = (dJV,"dividerйСГ),
dN/dC,* = C"exp(-BE),
dN/dC = dN/(dC,-dN) = l/[(dN/dQ~l -1].
Итак, функция распределения для фермионов по энергиям имет вид
/ИЕ) = 1/[ехр(ВЕ)/С" + 1].
Физический смысл В легко определить предельным переходом: при
fF (E)« I, когда состояния не заполнены, ферми-газ не вырожден и получить
функцию распределения классических частиц возможно лишь при
В= 1/(квТ). Нормировочный фактор удобно записать в виде
1/C"=exp[-EF/(*SD],
а значение и физический смысл постоянной EF (энергия Ферми) (при Е = EF,
f = 1/2) находят из условия нормировки (2.1.5), учитывая, что число
состояний dC, определяется (удвоенным с учетом двух направлений спина) числом
объемов в шестимерном пространстве, связанных с соотношением
неопределенностей Гейзенберга - см. (2.1.3):

АрхАруАр. Ах Ay Az = h3.
В случае распределения частиц по энергиям элементарный объем,
соответствующий интервалу Е... Е + dE, имеет форму шарового слоя в
пространстве импульсов (см. рис. 2.1.3), aAxAyAz = AV- объему тела. Учитывая, что
p = (2mE)U2, dp = [m/(2E)]y2dE,
находят число состояний
dC>=2V(4Tip2/h3)dp = 2V[4nm(2mEf2/h3]dE. (2.1.12)
С учетом (2.1.12) нормировочное соотношение для определения EF
принимает вид
оо
N = Jy>dC = \l/(exp[(E-EF)/(kBT)] + \)2V[4nm(2mE)U2/h3]dE.
о
При Т= О К fF представляет собой ступенчатую функцию от Е, равную
единице при Е< EF и нулю при E>Ef, так что условие нормировки
принимает вид
N = [fFdC,= \2V[4nm(2mE)V2/h3]dE,
о
откуда энергия Ферми при Т= О К
EF0=h2/(Sm)(3n/nf\
т.е. энергия EF при Т= О К практически зависит только от концентрации п час-
тиц. При характерных для твердых тел значениях и« 10 см" - см. (2.1.13) -
Е/г0 «1...5 эВ, что существенно превышает значения квТ& 0...0,1 эВ. При
kBT<EF
EF *EF0{l-(nkBT)2/[U(EF0)2]}.
Эта зависимость слабая, равновесная функция распределения фермионов по
энергиям (функция распределения Ферми-Дирака) выражается формулой
fF=\/{exp[(E-EF)/(kBT)] + l},

Рис. 2.1.5. Распределение Ферми-Дирака
при Т= О К {штриховая линия) и при Т> О (сплошная линия)
где энергия Ферми ЕЛ- ~ Е,.-0 -энергия, при которой//.- = 1/2; при Е < EF
значение fp стремится к единице, т.е. практически все состояния заняты; при
Е> EF - к нулю, т.е. практически все состояния свободны; ширина области
изменения //.- имеет порядок квТ(рис. 2.1.5); в области Е > EF функция
распределения приближается к классической (2.1.8).
Для определения равновесной функции распределения бозонов
используют аналогичный описанный выше алгоритм рассуждений с учетом того, что
частота переносов определяется из соотношения
5v' = Avr_rr d Nv d NT d£" dC£ , K* = ^ + dN
и функция распределения Бозе-Эйнштейна
/м=1/{ехр[(Е-Ем)/(ВД]-1}.
Для фотонов, фонопов и других частиц, число которых не постоянно, АВЕ = 0 и
fBE=\/{exp[E/(kBT)]-l}.
(2.1.14)
При Е»квТ /be стремится к классической, при Е<квТ превышает ее,
стремясь к бесконечности при Е -> 0; так проявляется стремление бозонов к
объединению.
Например, для фотонов с энергией E = /?v, импульсом p = hv/c число
состояний в элементарном объеме, соответствующем интервалу энергии
Е... Е + dE, аналогично (2.1.12), равно
d<; = 2V(4np2/h3)dp = 8nVv2dv/c2
(2.1.15)
(здесь фактор 2 соответствует двум возможным поляризациям фотонов).
Объемная плотность энергии фотонов
dUjdv = hvdN /dv = hv fBEd(;/dv.
(2.1.16)

Учитывая (2.1.14)- (2.1.16), для равновесного фотонного газа получают
соотношение
dUv/dv = 8nhvyc3{l/(exp[hv/(kBT)]-l)} (2.1.17)
- формула Планка для плотности энергии излучения абсолютно черного тела.
Функция (2.1.17) равна нулю при v = 0 (вследствие малого числа состояний в
пространстве импульсов при р —> 0), экспоненциально стремится к нулю при
hv»kBTu проходит экстремум при hvx2,8kBT.
Таким образом, по функции распределения и функции плотности
состояний можно определить средние характеристики систем со многими
частицами. В равновесии функции распределения частиц известны: для
невырожденных систем (разреженных и горячих) - распределение Больцмана
(Максвелла- Больцмана), в случае вырождения проявляется специфика фермионов
(принцип Паули, конечный объем в шестимерном пространстве) и бозонов
(стремление их к объединению в одно состояние).
1.2.2. Двиэ/сение частиц в периодических потенциальных рельефах
Рассмотрены уравнение Шредингера на одномерных кусочно-постоянных
потенциальных рельефах (что несложно с точки зрения математики);
особенности поведения квантово-механических частиц: проникновение в классически
запрещенную область, туниелирование, отражение от потенциального порога,
образование дискретного спектра при движении в потенциальной яме,
расщепление уровней при сближении потенциальных ям, что необходимо для анализа
динамики частиц в твердом теле, на границе раздела сред и т.д.
Корректное описание квантово-механических процессов, как правило,
сопряжено с использованием громоздкого математического аппарата. Однако
многие особенности поведения квантово-механических частиц становятся
понятны на простейших примерах.
Рассмотрим эффекты надбарьерного отражения, туннелирования,
образования дискретного энергетического спектра, расщепления уровней при
взаимодействии потенциальных ям и некоторые другие квантово-механиче-
ские эффекты, проявляющиеся в описанных ниже конкретных физических
системах, на примере ряда элементарных и методически идентичных задач,
основанных на решении одноэлсктронного уравнения Шредингера при
кусочно-постоянных одномерных потенциальных рельефах (ступенька,
потенциальный барьер, потенциальная яма, две потенциальные ямы - рис. 2.2.1).
Волновую функцию Тдля стационарного состояния квантово-мехаииче-
ской системы определяют из уравнения Шредингера:
НЧ^ЕУ, *Р=ехр(-/Е//Й)1|/,

a
U._
б
I
в
i
д
Рис. 2.2.1. Потенциальные рельефы: я-постоянный потенциал, соответствующий
движению свободной частицы; б- ступенька, в - потенциальный барьер;
г - потенциальная яма; д - две потенциальные ямы; е - модель Кронига-Пенни
где Е - энергия системы (которая в стационарных состояниях всегда
сохраняется: Д^-> О, ДЕ -> 0, так как At ДЕ > Й); Т- функция координат,
независящая от времени; I - оператор Гамильтона. Для частицы во внешнем поле U(x,
у, z) уравнение Шредингера имеет вид
h2/(2m)V24i+[E-U(x,y,z)]\]J = 0,
(2.2.1)
где V" - оператор Лапласа (в декартовых координатах V = д /дх~ + д'/ду' +
+d~/dz ). Для определения волновой функции стационарного состояния
необходимо найти решения уравнения (2.2.1), удовлетворяющие заданным
граничным условиям и некоторым дополнительным условиям: во-первых,
условию нормировки
ji|A|/*d3r = 1,
(2.2.2)

где \\t* комплексно сопряжена с \\j, интегрирование ведут по всему объему
пространства. Во-вторых, физический смысл iy-функции предполагает
ограниченность vyi|/, а следовательно, и \\)(г). В-третьих, из (2.2.1) следует, что при
ограниченном (не бесконечно большом) значении | Е - U(x, у, z)\ вторые
производные упо координатам ограничены, т.е. первые производные
непрерывны. Отсюда следует непрерывность и самой пси-функции.
Частица в постоянном поле (свободная частица). Рассмотрим частицу с
известными энергией Е и направлением движения (т.е. с точно известным
импульсом^).
Поскольку потенциальная энергия определена с точностью до
постоянного слагаемого, можно принять U(r) = 0; тогда уравнение Шредингера будет
иметь вид
d2v|//dx2+(2m//i2)Ey =0.
Учитывая, что 2mE/h = к~ = р~ /h , находят
d2\\i/dx2 +k2\\i = 0
Решение такого уравнения имеет вид волны де Бройля:
i|/(x) = Cexp(±/fcc), С = const, (2.2.4)
(знаки «+» и «—» соответствуют движению волны в сторону нарастания и
убывания х). Нормировочная постоянная С в данном случае не может быть
найдена из (2.2.2), поскольку Арх = 0, т.е. волновая функция отлична от нуля во всем
пространстве, и интеграл \\i\\i* по объему расходится. В таких случаях
нормировка производится на дельта-функцию:
\xllpyp,dx = b(px-p-x), (2.2.5)
что учитывает соотношение неопределенности Гейзенберга (ограничен
интеграл по шестимерному пространству). С помощью тождества
00
8(з>-Г) = 1/(2л) jexp(/a>0>-y))dco
-00
из (2.2.4), (2.2.5) получают С = /Г1/2, т.е. волновая функция
\]>(px) = h-]l2exp(ipxx/h).
(2.2.3)

В трехмерном случае нормировка и волновая функция свободной частицы
(волна де Бройля) имеют вид:
\ц,Ур<13г = Нр-р') = Чрх-р'х)ЧРу-р'у)Нр:-р':),
\\i (p) = /Tj/2 ехр(/'рг/Й).
Прямоугольная ступенька. Рассмотрим поведение одномерного потока
микрочастиц в окрестности ступеньки потенциального рельефа: U = U(x) = 0 при х < О
и U(х) - U0 при х > 0. В случае «высокой» ступеньки (U0 > Е) решение уравнения
Шредингера можно проводить отдельно в двух областях с последующей сшивкой
на границе.
В области Е > U(x), т.е. х < 0, решение аналогично случаю свободного
движения - см. (2.2.3):
v|/, = A] exp(/£|jt) + В{ exp(—ik\x), k{ = 2/иЕ/Й
(слагаемые соответствуют частицам, движущимся в двух противоположных
направлениях; А\, В\ - постоянные интегрирования). В области Е < U (х> 0)
уравнение Шредингера имеет вид
d2v|//dx2 - k;\\i = 0 (k; = 2m(U0 - Е)/п2 > 0).
Решение его - непериодическая экспоненциальная функция
l|/2 = /f2exP(^2x) + -^2eXP(_^2x)'
причем из нормировки пси-функции следует, что Ai = 0. Соотношения между
коэффициентами находят из непрерывности волновой функции и ее
производной в точке х = 0:
i|/,(jr = 0)=i|/20t = 0),
d\\J! /дх (х = 0) = д\\/ 2 / дх(х = 0),
B2=Al+B],B\=(kl-ikj)l{kx +ik2), B1= 2кхЦкх + ik2)
(здесь коэффициент Ль пропорциональный числу падающих частиц, для
простоты считают равным единице). Итак, в квантовой механике в области с
потенциалом, большим, чем энергия частицы, вероятность обнаружения
частицы хотя и относительно мала (экспоненциально убывает), но отлична от нуля.

Глубина проникновения Ах частиц в «запрещенную» область и «дефект
энергии» (С/0 - Е) частицы связаны соотношением неопределенностей вида
(£/0-Е)Дх«й.
В случае Е > С/0 волновая функция имеет колебательный характер в обеих
областях:
\\i 2 = Л2 ехр(г'А:2х) + 52 ехр(- ik2x),
[^=0,5,=^,-^)/^,+^)].
Отсюда видно, что квантовые частицы лишь частично отражаются от
«неровностей» дна потенциального рельефа, которые в классическом случае
преодолевались бы всеми частицами. Коэффициент надпорогового
отражения (рис. 2.2.2)
1,0
0,5
\ ''''D
/ 7^—г-
Mninf"
1 2 3 G/U0 0 1/4 1/2 3/4 1 П/4 d/X
Рис. 2.2.2. Коэффициенты надпорогового прохождения и отражения
Рис. 2.2.4. Надбарьерное прохождение частиц
|2
/? = |5ir=(A:,-A2)2/C*i+*2)2.
(2.2.6)
Существенно, что зависимость (2.2.6) симметрична относительно перестановок
к\ и Ь, т.е. R не зависит от направления движения частиц, подходящих к
ступеньке: вероятность отражения (прохождения) одинакова как для частиц,
движущихся против действия силы F = -VC/, так и для частиц в направлении этой силы.
Потенциальный барьер, туннельный эффект. Пусть одномерный пучок
микрочастиц падает с энергией Е на прямоугольный потенциальный барьер
высотой С/о и шириной d (рис. 2.2.3а): С/ = 0 прих< 0 (область/)их >
d(область III), С/= С/о при 0 < х< ^(область II). В случае Е < С/0 решения уравнения
Шредингера для трех областей, как и прежде, имеют вид:
1|/1 = Д ехр(/'А:1д:) + 5, ехр(-/£,л:) (А:, = ^2mE/h2),
V|/2 = Л2 ехр(£2х) + В2 ехр(-£2х) (к2 = yj2m(U0 - E/ft1),

Рис. 2.2.3. Прохождение частиц через потенциальный барьер:
а -пространственные распределения; б- зависимость D от Е/£/0
v|/ з = Л3 ехр(- ik\ х) + Щ ехр( ikx x).
Учитывая, что А^ = О, принимая А] = 1 из условий непрерывности
пси-функции и ее производной при х = 0 и х = d, получают коэффициент прохождения
частиц через барьер (прозрачность) (рис. 2.236)
D = |53|2 = Лк^кЦЦк} -k{)2sh2k2d + 4kfk22ch2k2d]. (2.2 J)
При k-,d» 1, D « 1 выражение (2.2.8) упрощается:
D=D0(E)ехр(-2/й72/и(С/0 - Е) с/),
А,=16Е/С/0(1-Е/С/0).
В квантовой механике частица имеет ненулевую вероятность проникновения
через потенциальный барьер - коэффициент прохождения D > О (туннельный
эффект). Вероятность отлична от нуля при d, не намного большей, чем длина
волны де Бройля, определенная по U0 - Е.
В случае E>U0 (иногда в классической механике частицы
беспрепятственно проходят над барьером) квантовые микрочастицы частично
отражаются. Для получения коэффициента прохождения барьера D в (2.2.7) заменяют к2
на ikj, тогда D принимает вид колебательной функции (рис. 2.2.36 и 2.2.4):
D = 4к2к2 /[(к2 - к2)2 sin2 k2d + Ьк\к\ ] =
= {\ + [((k2-k2)smk2d)/(2k]k2)]2y\

Видно, что£>= 1 при k2d = nn, п = О, 1, 2 при
d=пк2/2,
т.е. если на ширине барьера укладывается целое число полуволн де Бройля,
соответствующих энергии в этой области Е = С/0 (брэгговское условие
интерференции). В случае sin k2d = ±\ значение D минимально:
Dmin=4E(E-£/0)/(2E-t/0)2.
Такие особенности надбарьерного прохождения связаны с интерференцией
волн, отраженных от двух границ барьера, и аналогичны эффектам
интерференции в тонких пленках.
Частицы в потенциальной яме. Рассмотрим прямоугольную
потенциальную яму вида
U =U0 при х < d/2 или д: > d/2,
U = 0 при -d/2<x<d/2,E<U0.
Как и выше, для этих трех областей волновые функции имеют вид:
v|/, = Ах ехр(-к2х) + В] ехр(к2х),
\\)2 = A2exp(-iklx) +B2exp(ik]x), (2.2.8)
v|/3 = v43 exp(-k2x) + B^ exp(k2x).
Из условия нормировки волновой функции следует В] = А% = 0, из симметрии -
А\ = В\. Условия непрерывностиЦ)идц)/дхна границах ямы после подстановки
их в (2.2.8) и тождественных преобразований дают^42 = ±В2; при А2 =В2
В2 = Ах = 2A2zxp{k2d/2)cos(kxd/2),
тогда волновые функции принимают вид
\\i, = 2А2 ехр[к2(х + d/2)]cos(k] d/2),
\\i2 =2A2cos(k{x), (2.2.9)
ц/3 =2A2exp[k2(-x + d/2)]cos(k\ d/2).
Решение симметрично относительно х = 0 (четно) (рис. 2.2.5). При А2 =-В2
аналогично получают антисимметричное, нечетное решение (меняющее знак
при преобразовании х—>-х) (см. рис. 2.2.5):

Рис. 2.2.5. Частица в потенциальной яме: а-возможные рельефы потенциальной
ямы; б - одномерная потенциальная яма; область 1: х> d/2 (U =U0), область 2:
-d/2 < х < d/2(U = 0), область 3: х < -d/2(U =U0); в-д- волновая функция Ц)(х)
частицы в потенциальной яме для разных квантовых чисел
i|/, = -2iA2 exp[k2(x + d/2)]sin(kx d/2),
\|/7 =2iA2 sin(k\x),
vj/ з = 2iA2 exp [k2 (-x + d/2)] sin(£, d/2).
(2.2.10)
Существенно, что решения (2.2.9) и (2.2.10) возможны не при всех
комбинациях значений задаваемых величин к\, kj, d. Например, условие
непрерывности производной волновой функции (2.2.10) при x = d/2 устанавливает между
этими величинами связь
кх cos(k\d/2) = —k2 sin(k\d/2).

Причина в том, что в потенциальной яме частица образует стационарные
стоячие волны с дискретным числом полуволн (аналогично, например, стоячим
волнам на поверхности жидкости в ванне). Таким образом, при данных
параметрах d, Uq ямы энергия Е может принимать лишь определенные дискретные
значения. Аналогичный анализ симметричной функции приводит к
дискретному спектру энергий, дополняющему спектр для антисимметричных функций.
Следует отметить также, что значение Е растет с числом полуволн п (с
ростом аргумента синусоиды в ш2); минимально возможная энергия
отлична от нуля, так как значение Е = 0 приводит к тривиальному нулевому
решению ш, = ш2 =ш3= 0-см. (2.2.10), т.е. отсутствию частицы. Итак, квантовая
частица не может «лежать на дне» ямы, и даже в наиболее
низкоэнергетическом состоянии она обладает «энергией нулевых колебаний».
Качественно подобные эффекты возможны в случаях движения частиц в
потенциальных ямах других форм, моделирующих финитные (ограниченные
в пространстве) состояния.
Две прямоугольные потенциальные ямы. Рассмотрим одномерную
потенциальную яму вида: U = U0 при| х\>d + b/2(область /)ипри| х\< 6/2(область
3), U0 = 0 при 6/2 < | а' | < d + b/2 (область 2) (рис. 2.2.6), схема нахождения
волновой функции аналогична описанным выше: решение представляется в виде
- Л, exp(A:1|x|) + 51exp(-A:1|x|),
Vi
ш.
= A2exp{ik2\x\) + B2exp(-ik2\x\), к2 = -\lmEJn1 , (2.2.11)
v|/3 = Аъ exp(A:1|x|) + 53exp(-^1|x|),
к,=^2т(и0-Е)/П2.
Из нормируемости ш следует А \ = 0, из симметрии потенциала относительно
преобразования х —> -х - А^ = ±53. Так же, как и в случае изолированной
прямоугольной ямы, из (2.2.11) с учетом непрерывности шив дц)/дх на границах
Уос.и
Рис. 2.2.6. Симметричная и антисимметричная волновые функции
в системе из двух потенциальных ям

зон можно получить выражения, связывающие к\, ki, b, d, т.е. определяющие
дискретный энергетический спектр системы. Однако по сравнению с
одиночной двойная яма имеет удвоенное число энергетических уровней: число
состояний частицы удвоено (частица может быть обнаружена как в одной, так и
в другой прямоугольной яме), а влияние соседства двух ям приводит к
расщеплению этих удвоенных уровней: при одном и том же числе полуволн в
каждой яме возможны симметричная ц/^ (Ат, = Вт,) и антисимметричная ц>0А
(A3 = -Bj) волновые функции, соответствующие различным энергиям А.
Последний вывод верен и для любых двух пространственных ям
(например, для молекулярного иона//}", где электрон движется в поле двух кулонов-
ских центров, а также для других двухатомных молекул). Более того, в
системе, содержащей N пространственных потенциальных ям, каждый уровень
изолированной ямы расщепляется на N уровней (взаимодействие снимает
TV-кратное вырождение уровней N ям). Примером такой системы при N —>со
служит твердое тело.
Таким образом, плотность вероятности обнаружения квантово-механиче-
ской свободной частицы с известным импульсом равномерна по
пространству. Поток частиц отражается при «спуске» с низкой потенциальной ступеньки
так же, как и при «подъеме» на нее. Частицы «туннелируют» через
классически запрещенные области. В потенциальной яме спектр энергии частиц
дискретный, причем нижний уровень лежит выше дна ямы. В случае двух
потенциальных ям каждый уровень расщепляется на два, N ям — на N уровней. Все
эти особенности поведения квантово-механических частиц следуют из
анализа уравнения Шредингера.
1.2.3. Зонная структура кристаллов
На основе рассмотренных в разд. 1.2.2 представлений рассмотрены
состояния электрона в периодическом потенциале, моделирующем потенциал в
твердом теле, аналогии и различия электрона в этом состоянии со связанными
электронами атома и свободными электронами. Определены дисперсионные
соотношения Е = Е(к), служащие основой для количественного описания
поведения электронов. Проанализирован электронный спектр твердого тела,
состоящий из запрещенных и разрешенных энергетических зон.
Модель Крот/га - Пенни. В твердых телах, где соседние ядра находятся
на расстояниях порядка размеров электронных орбиталей в изолированных
атомах, существенную роль играет взаимное влияние атомов. Ряд
особенностей поведения электронов в кристаллах следует из модели Кронига - Пенни,
стоящей в ряду рассмотренных выше элементарных квантово-механических
задач. Ниже будет рассмотрена волновая функция электрона в одномерной
периодической системе прямоугольных потенциальных ям, причем энергия Е элект-

11
u0
II I II
4
b
-« *■
/ II
с
Рис. 2.3.1. Потенциал в модели Кронига-Пенни
Рис. 2.3.2. Волна Блоха
рона меньше высоты Uq потенциального барьера (см. рис. 2.2. \е и 2.3.1). Как и
в разд. 2.2, решение имеет вид
V]/ [ = А] ехр(г&|Л:) + Вх exp(-ikxx)
(кх = >/2nE/h),
v|/ 2 = А2 ехр(к2х) + В} ехр(-к2х)
(k2=J2m(U0-E/h).
(2.3.1)
Предполагая, что электрон может двигаться внутри кристалла почти как
свободный, с известным импульсомр, и учитывая, что его волновая функция
должна быть модулирована (поскольку модулирован потенциальный рельеф),
представим решение в виде волны Блоха.
v[/ = U(x)exp(ikx),
(2.3.2)
где к = р/h — волновой вектор; U(x) - периодическая функция координат с
периодом, равным постоянной решетки а = Ъ + с (рис. 2.3.2). Для нахождения
коэффициентов (2.3.1) используют условия непрерывности UadU/dx на
границах и периодичность U(x), т.е. условия
Ul(x = 0) = U2(x = 0),(dU2/dx)x^o=(dUjdx)x^o,
U2(x = c) = Ul(x = -b),(dU2/dx)x=c=(dUl/dx)x=_b,
где U] находят из (2.3.2) по v|/=vf/,, £/2-noi|/2- Подставив в (2.3.2) соотношения
(2.3.1), получают однородную систему четырех уравнений относительно
четырех коэффициентов, совместную при условии равенства нулю ее
детерминанта. Эти условия после тождественных преобразований имеют вид

[(к2 —кх )/(2&, A:2)]sh(^2^)sin(^ic) + criC^2'')cos(^ic) = cosk(b + c)
(2.3.3)
и, как ранее, связывают задаваемые величины ^Дти к, т.е. задают спектр
разрешенных значений энергии Е в зависимости от волнового числа к при
данных {/о, Лис. Для упрощения анализа выражение (2.3.3) преобразуем, полагая
£->0, U —>оо при сохранении величины bUo, определяющей прозрачность
прямоугольного потенциального барьера; тогда k2=(2mUD) /Тг, с = а,
sh(k2b)=k2b, ch(k2b)= 1 и аналог (2.3.3) принимает вид
Psm(kxa)/(kia) + cos(kxa) = cos(fef), (2.3.4)
гдеР = mabUG J ti~ — величина, характеризующая непрозрачность
потенциальных барьеров.
Из (2.3.4) можно получить зависимость Е = Е(Л). График,
соответствующий левой части (2.3.4), представлен на рис. 2.3.3. Поскольку правая часть
(2.3.4) по модулю не превышает единицы, решения существуют только для
таких значений Е, при которых функция на рис. 2.3.3 лежит в пределах от—1
до 1. Для к\ = 0 орди ната равна 1 + Р, а когда &, = пп/а (п=± 1, ±2,...), ордината
равна ±1 независимо от значения Р. Последнее влияет на ширин}'
запрещенных интервалов к\, для которых решения (2.3.4) не существуют. Пределу
полностью свободных электронов соответствует Р = 0 (т.е. потенциальные
барьеры отсутствуют, энергетический спектр не содержит запрещенных зон),
пределу сильно связанных электронов — Р —> оо (атомы далеки др> г от друга, и
а а а а а а
Рис. 2.3.3. К анализу уравнения (2.3.4)
Рис. 2.3.4. Зависимость Е(к) для электронов в одномерной периодической структуре.
Штриховая линия — зависимость Щк) для свободного электрона. При k=h п/а
функция Е(к) претерпевает разрыв, что означает наличие запрещенных зон

каждый имеет дискретный спектр энергии). В отличие от дискретных
спектров, характерных для потенциальных ям конечных размеров, в случае
бесконечного периодического потенциального рельефа (2.3.3) или (2.3.4)
определяет непрерывный спектр энергии (рис. 2.3.4), состоящий из разрешенных и
запрещенных зон (в последних Е не соответствует (2.3.3), и такие состояния не
реализуются); это соответствует расщеплению каждого из уровней
одиночной потенциальной ямы на TV уровней (в результате взаимного влияния TV ям,
см. выше) и стремлению N к бесконечности, вследствие чего густо
расположенные многочисленные уровни можно считать континуумом.
Из анализа (2.3.4) следует также, что кривая Е = Е(к) имеет разрывы при
значениях к, кратных п/а; это условие соответствует целому числу длин
волны де Бройля, укладывающихся на длине постоянной решетки: п'кв/2=а,
(и = 1,2,3,...), что совпадает с формулой Вульфа - Брэгга (см. разд. 1.1.2),
описывающей брэгговское отражение лучей от плоскостей кристаллической
решетки; такая волна не может распространяться в кристалле из-за отражения.
Области значений к между точками брэгговского отражения называют
зонами Бриллюэна (см. разд. 1.2). Для рассмотренной одномерной цепочки
атомов первая зона Бриллюэна заключена в пределах-п/а< к <п/а, вторая в
пределах п/а < к <2п/а и—2ж/а < к <— п/а и т.д. (представление расширенных зон
Бриллюэна, рис. 2.3.5, а).
Рис. 2.3.5. Различные варианты представления зонной структуры:
а — представление расширенных зон Бриллюэна,
б- повторяющихся, с - приведенных (цифры - номера зон)
Из (2.3.4) видно, что Еявляется периодической функцией от&с периодом
2п/а, т.е. зависимость Е(Л) неоднозначна, а форма кривых зависимости Е(к)
для первой зоны Бриллюэна полностью повторяется при сдвиге наи27г/а(рис.
2.3.5, б— представление повторяющихся зон), т.е. первая зона Бриллюэна
содержит всю информацию о зависимости Е = Е(&). Это позволяет выразить
энергию электрона, находящегося в любой зоне Бриллюэна, через значение к,
лежащее в пределах первой зоны (приведение к первой зоне Бриллюэна,
представление приведенных зон, рис. 2.3.5, в).

kx ky
a
Рис. 2.З.6. Зоны Бриллюэна для двумерной гексагональной решетки
Рис. 2.3.7. а — параболоид энергии для свободного электрона (Е ~ k ~ ) над
двумерной гексагональной решеткой в к-пространстве.
Параболоид и к-плоскость разделены на зоны Бриллюэна в соответствии
с рис. 2.3.6; б— приведение параболоида к первой зоне Бриллюэна
С увеличением энергии Е электрона ширина разрешенных зон
увеличивается, а запрещенных уменьшается. Это соответствует более сильному
расщеплению верхних, наружных, состояний электронов.
Прежде чем переходить к реальному трехмерному случаю, полезно
рассмотреть еще одну гипотетическую двумерную решетку, например
гексагональную. Границы зоны Бриллюэна (в представлении расширенных зон),
соответствующие условию полного брегговского отражения в (кх,
^-пространстве, показаны на рис. 2.3.6. На рис. 2.3.7 изображена параболическая
зависимость Е = к~/(2т) для свободных электронов: на рис. 2.3.7, а —в
представлении расширенных зон, рис. 2.3.7, б—отображение его в первой зоне
Бриллюэна в представлении приведенных зон.
Рассмотрение двумерного аналога модели Кронига — Пенни дает
«сглаживание» резких «складок» на поверхностях зависимости Е = Е(к),
приведенной к первой зоне Бриллюэна (рис. 2.3.8), что может приводить, в частности, к
появлению запрещенных зон, как и в одномерной модели. Однако возможным
становится и такой случай, когда запрещенная зона для движения в одном
направлении не совпадает с запрещенной зоной для движения в другом, в
результате в суммарном энергетическом спектре запрещенная зона пропадает
из-за перекрытия двух разрешенных зон..

<s*
Рис. 2.3.8. Дисперсионная зависимость для двумерной гексагональной решетки
Рис. 2.3.9. Дискретные уровни изолированного атома и зоны Бриллюэна
в кристалле: а — дисперсионная зависимость в приближении расширенных зон;
б— приведенная к первой зоне; в — энергетический спектр разрешенных
и запрещенных зон; г — уширение уровней при сближении атомов
Рис. 2.3.10. Иерархия дисперсионных зависимостей: / — свободные атомы;
//—сильная связь; ///-реальная ситуация; IV— почти свободные
электроны; V— свободные электроны
Так как энергетические зоны можно представить как результат уширения
уровней при сближении атомов (рис. 2.3.9) и имеется соответствие между
дискретными состояниями изолированного атома и зонами Бриллюэна в
твердом теле (рис. 2.3.10), считают, что одна зона происходит от ^-состояний,
одна — от 2s-, три - от 2р-, одна - от Зл-, пять — от 3d и т.д.
Приближения cwibitoii связи и квазисвободных электронов. Среди методов
определения электронной структуры наиболее простыми являются методы,
основанные на представлении периодического поля кристалла как малого
возмущения. Если искажение атомных орбиталей при образовании кристалла не
очень велико, то в реальных расчетах может применяться приближение
сильной связи, в котором как исходные используются волновые функции
изолированных атомов, а взаимодействие атомов в кристалле рассматривается как воз-

мущение. В варианте этого приближения применяют в качестве волновых
функций линейные комбинации атомных s-,p-, J-орбиталей {метод ЛКАО).
Противоположным предельным приближением, справедливым при
большом перекрытии волновых функций, является метод почти свободных
электронов (ПСЭ), где предполагается, что периодический потенциал создает
малое возмущение соответствующих свободным электронам волновых
функций, а потому именно они принимаются за нулевое приближение.
Таким образом, в периодическом потенциальном рельефе,
моделирующем твердое тело, энергия и импульс электрона связаны не квадратичной
зависимостью, как у свободных частиц, а более сложными дисперсионными
соотношениями Е = Е(к). Функция Е = Е(к) определена не для всех диапазонов
Е, т.е. образуются разрешенные и запрещенные энергетические зоны. Каждая
разрешенная зона может рассматриваться также как результат расщепления
соответствующих атомарных уровней.
/. 2.4. Двиэюение электронов под действием внешних сил в кристалле
На основе дисперсионных зависимостей описаны характеристики
движения электронов в твердом теле: динамические (скорость, эффективная масса,
импульс) и статические (изоэнергетические поверхности, плотность состояний
в пространстве энергии), определяющие транспортные свойства твердых тел.
Движение электрона в кристаллах, где на его состояние помимо внешнего
поля существенно влияют взаимодействия с другими частицами, отличается
от движения свободного электрона. Однако для описания поведения
электрона в твердом теле уравнение движения удобно представить так же, как и для
свободного электрона, т.е. в виде второго закона Ньютона.
При движении в силовом поле F скорость изменения энергии частицы
dE/d/ = FVn3, (2.4.1)
где Уф - скорость частицы, соответствующая групповой скорости волнового
пакета:
vn,=V,co (2.4.2)
{У k - набла-вектор в ^-пространстве; со = Е/Н—круговая частота колебаний). С
учетом (2.4.1), (2.4.2) ускорение частицы
dvrp/dt=d(Vk E/ft)/df = (l/ft)Vt dE/dt = (\/h)VkFvrp =
= (\/h2)Vk(FVkE) = (1/л2)2>ДЕ*)dE/dkJ)/dki =
i J
= Ze,Z^52E/(a^,).
' j

Таким образом, вектор ускорения имеет компоненты
а,=^(д2Е/(дк^))/п2.
(2.4.3)
Сравнение (2.4.3) со вторым законом Ньютона показывает, что тензор с
компонентами
К] = П2/[д2Е/(дк^)]
имеет размерность массы; его называют тензором эффективной массы для
электрона в периодическом поле (рис. 2.4.1). В твердых телах с сильной
анизотропией все компоненты этого тензора отличны от нуля.
G
2,5
"
4
1Д
' '
^
к
044
[111] k [100] [111] к [100]
а б
Рис. 2.4.1. Зависимость от волнового числа: а - энергии; б - скорости (~ dE/dA:);
в — d 2 Е/бк 2; г - эффективной массы электронов (~ l/(d E dk ))
Рис. 2.4.2. Зависимость Е(к) для трех валентных зон и нескольких
первых зон проводимости Ge (а) и Si (б)

Так, в Ge и Si зона проводимости (рис. 2.4.2) описывается двумя
значениями масс т*х и ш*ц:
Е(к) = П2/2 [(к2 + к2у)/т^ + к2=/т'4 ] •
Это уравнение эллипсоида вращения с большой полуосью, расположенной в
Ge вдоль направления [111] ив Si вдоль [100]. Малая полуось эллипсоида
располагается в произвольном направлении в перпендикулярной плоскости,
например, [001] и [010] в Si и [110] и [112] в Ge.
В ряде случаев (например, для кристаллов с кубической симметрией)
обоснованно приближение изотропного твердого тела, для которого т^ = 0 при
/ Ф j, а диагональные компоненты /и,у равны; тогда электрон имеет скалярную
эффективную массу /«* = fi~/(d~E'dk~) (ml учитывает влияние сил
взаимодействия электрона с кристаллической решеткой на характер его движения,
но не является мерой его инерции). Введение понятия эффективной массы -
это прием, который позволяет решать задачи о движении электрона в твердом
теле с помощью формул для свободного движения.
Понятие о дырках. Для электронов в кристаллах сила F имеет
электромагнитную природу. Это позволяет при рассмотрении состояний электронов
у потолка разрешенной зоны (ш* < 0) вместо отрицательной nil ввести
понятие дырки - квазичастицы, имеющей положительный заряд и массу, равную
| w* |. Удобство такого подхода состоит в том, что в области тепловых
скоростей, когда ml = const, дырки движутся аналогично свободным частицам, что
облегчает анализ.
Эффективные массы электронов и дырок в общем случае не совпадают
друг с другом; в реальных кристаллах возможно наличие ряда зон с
экстремумами при близких энергиях (см. рис. 2.4.2), т.е. одновременно могут
существовать «тяжелые» и «легкие» электроны и дырки. Так, валентная зона Ge и Si
состоит из трех подзон с тремя сортами дырок (табл. 2.4.1, 2.4.2)
Таблица 2.4.1
Относительные массы частиц в Ge и Si
Полупроводник
Ge
Si
п\ 1 "\-
1.58
0.91
mL I т{.
0.08
0,19
Щ,\1т,
0.33
0,49
m'h2 I оте
0,042
0,16
'"аз 1 '"<■
-0,077
0.245

Таблица 2.4.2
Относительные массы частиц в полупроводниках AmBv
Эффективная масса
тс1тс
щ, 1 те
InSb InAs
0.012
0.5
0.025
0.3
"Т _ —
InP GaSb GaAs
0.077
0,2
0.017 0.07
0.39 0,5
—i
GaP
0.034
0.5
~ ~1
AlSb
0.39
0.4
Изоэпергептческне поверхности. Значения импульса (волновых векторов),
соответствующие одному значению энергии, могут быть найдены по
зависимостям Е = Е(Л). Так, для двумерной модели решетки они определяются
проекцией линии уровня для поверхности E = E(kx,ky) (см. разд. 1.2.3); эта линия
представляет собой замкнутую кривую в пространстве импульсов {кх, к}),
имеющую симметрию, соответствующую симметрии обратной решетки (т.е. зоны
Бриллюэна). В трехмерном случае состояния с заданным значением энергии
образуют изоэнергетические поверхности в ^-пространстве (см. рис. 2.4.3).
Рис. 2.4.3. Примеры изоэнергетических поверхностей: о —замкнутая;
б— открытая в направлении kv; в — открытая в направлении кх, кп к.
Рис. 2.4.4. Поверхность Ферми и границы зоны Бриллюэна для меди
Рис. 2.4.5. Сечение поверхности Ферми

Рис. 2.4.6. Приведение сферы к первой зоне Бриллюэна:
а — сфера в представлении повторяющихся зон; б-д — приведение к первой зоне
соответственно от второй, третьей и четвертой зон Бриллюэна
Наибольшую роль играют поверхности с энергией, равной энергии
Ферми EF - поверхности Ферми (см. рис. 2.4.4,2.4.5) (электроны с Е ~ EF
определяют многие макроскопические свойства кристаллов). Для свободной
частицы (Е = к2/-j2m) это сферы к2 = к2 + к2 + к2 = EF /л/2/м = const, для частицы в
кристаллической решетке эти сферы искажаются в большей или меньшей
степени (см. рис. 2.4.4) (в основном за счет того, что границы зон Бриллюэна
пересекаются изоэнергетическими поверхностями под прямыми углами).
Сложный вид приобретают изоэнергетические поверхности, выходящие за
пределы первой зоны Бриллюэна, после их приведения к первой зоне (рис. 2.4.6).
Так, поверхность Ферми алюминия в представлении расширенных зон
близка к сферической. Эта поверхность, однако, захватывает четыре зоны
Бриллюэна и после отображения в первую зону образует составленную из
отдельных изолированных участков многосвязную сложную поверхность.
Плотность состояний. В пространстве импульсов (которому
соответствует k-пространство в представлении расширенных зон) число состояний
определяется волновыми свойствами электрона, приводящими к конечному
размеру электрона в k-пространстве: число состояний — это удвоенное число
элементарных объемов h . Для двумерной системы
d£ = (2/h2)dpxdpy = [2/(2тг)2 Щхдку
(фактор 2 учитывает два направления спина). Таким образом, плотность
состояний равномерно распределена по k-пространству. Для нахождения
распределения частиц по энергии

Рис. 2.4.7. К определению g(E) по дисперсионной зависимости
d#/dE=/(E)dC/dE
при известной функции распределения /(E) необходима плотность
распределения не по импульсам, а по энергии g(E)=d^/dE:
g(E)dE = (d^/dE)dE = [2/(2тг)3 Jl/(V,E(k))dF(E)]dE,
(E=const)
где VA. E - градиент в трехмерном k-пространстве; F(E)—площадь изоэнерге-
тической поверхности.
Такое интегрирование проводится для каждой энергетической полосы;
там, где полосы перекрываются (т.е. одной энергии соответствуют разные
значения к), плотности состояний складываются (рис. 2.4.7). Для энергий из
«запрещенных зон», которым не соответствует ни одно разрешенное
состояние, плотность состояний обращается в нуль (рис. 2.4.8).
В пределах каждой зоны Бриллюэна в каждой ветви дисперсионной
зависимости имеется 2Nсостояний (где N— число атомов в теле), причем очевидна
нормировка g:
Рис. 2.4.8. Дисперсионное соотношение для Si (a)
и соответствующая ему зависимость плотности состояний от энергии (б)

E2
\gdE=2N.
E,
Если вблизи границы зоны эффективную массу т* считать постоянной
(функция Е = Е(к) близка к параболе), то плотность состояний такая же, как и у
свободных частиц, но с массой, равной т*:
g = (4n/h')(2m*f2E\/2,
где Ек - кинетическая энергия, Ек = р2 /(2т* ); для электронов у дна зоны с
■у 9 / *
эффективной массой те полная энергия Е = Е ] + р /(2те ), для дырок вблизи
верха зоны проводимости (с массой т*)
Е = Е2-\р2/(2т*)\,
т.е. у краев энергетической зоны зависимость g - g(E) имеет параболический
вид (рис. 2.4.8).
Качественный анализ дисперсионных зависимостей. /Несмотря на
сложность дисперсионных зависимостей Е = Е(к)или со=со(к)для реальных
твердых тел, по ним можно оценить ряд количественных характеристик. Таким
образом, из дисперсионных зависимостей получают:
1) скорость и эффективную массу электрона при заданном значении к;
2) плотность состояний;
3) распределение электронов по энергии.
Таким образом, в случае действия на электрон внешней ускоряющей
силы при приближении его импульса к границе зоны Бриллюэна происходят
торможение, остановка и движение в обратном направлении - брэгговское
отражение; это можно описать как движение частицы или с отрицательной
массой, или с противоположным зарядом (дырки). Изоэнергетические
поверхности можно представить как сферы (эллипсоиды), искаженные у границ зон
Бриллюэна. Плотность состояний равномерна по k-пространству, но из-за
сложной зависимости Е = Е(к) одинаковым интервалам Е,...Е,+АЕ и
Е 2... Е 2 + ДЕ соответствуют разные объемы k-пространства, и потому
g(E , )* g(E 2). Все эти особенности однозначно описываются количественно
дисперсионными соотношениями Е = Е(к).
1.2.5. Статистика носителей заряд
и электронные свойства твердых тел
Проведем анализ электронных свойств реальных твердых тел,
позволяющий наряду с качественным описанием электронного строения простых и
переходных металлов, ковалентных, молекулярных и ионных кристаллов опре-

делить количественные характеристики распределения электронов по
энергиям, число квазисвободных электронов, дырок и др., что необходимо для
последующего анализа транспортных свойств твердых тел.
Металлы, диэлектрики и полупроводники. Различия в зонной структуре
существенно влияют на свойства кристаллов, в первую очередь на
электропроводность, которая изменяется в пределах десятков порядков величины
(табл. 2.5.1).
Таблица 2.5.1
Удельная электропроводность (См/м) при Т к 300 К
Металлы и полуметаллы
Медь
Железо
Висмут
Полупроводники
Чистый аптимонид индия, кремний для транзисторов
Чистый германий
Чистый кремний
Кристаллический селен
Диэлектрики
Чистый сульфид кадмия
Чистый йод
Полиэтилен
Листовое стекло
Аморфный селен
Парафин
Чистый алмаз
106
._-10\..
ю-2
ю-6
ю-'°
ю-14
С точки зрения зонной теории принципиальное отличие неметаллов
заключается в наличии у первых не целиком заполненных зон, т.е. уровень
Ферми находится в пределах разрешенной зоны (рис. 2.5.1). Среди металлов по
типу заполнения зон выделяют два класса веществ. В первом из них верхняя
занятая электронами зона заполнена лишь частично (рис. 2.5.1а). Типичными
представителями таких веществ являются щелочные металлы, например, в
атоме Na - десять внутренних электронов образуют замкнутые Is -, 2s~-,
2р -оболочки, в твердом теле они соответствуют узким, целиком
заполненным зонам (пяти зонам Бриллюэна). Расположенный в следующей, шестой,

S"
Mg
Ар
wc~~~&F
■Hjij:
iJirHi
hs
—»-
о
-3 -2 -1
(£-£*), эВ
Рис. 2.5.1. Плотность состояний и распределение электронов
(заштрихованная часть) по энергии: а — металл; б —диэлектрик;
в — собственный полупроводник; г — донорный полупроводник;
д — акцепторный полупроводник; е — распределение Ферми — Дирака
Рис. 2.5.2. Плотность состояний у Mg
Рис. 2.5.3. Плотность состояний у Ni
зоне валентный электрон находится в Зл-состоянии. При объединении N
атомов Na в кристалл в Зх-зоне имеется 2N(2l+1) = 2N состояний (/ = 0 —
орбитальное квантовое число), а присутствует лишь N электронов, что и определяет
металлические свойства натрия.
К другому классу относят вещества, у которых верхняя зона,
соответствующая целиком заполненным оболочкам в атомах, перекрывается со следующей
(свободной в атомах) зоной, образуя единую разрешенную (рис. 2.5.2,2.5.3).

Рис. 2.5.4. Плотность состояний у Si
Рис. 2.5.5. Температурная зависимость уровня Ферми в полупроводнике:
я — с одним типом донорной примеси; б— с одним типом акцепторной примеси
для двух различных концентраций (штриховой пинией показан ход зависимости
уровня Ферми в нелегированном полупроводнике)
Диэлектрики и полупроводники характеризуются тем, что при Т= 0 у них
каждая зона либо заполнена (fp= 1), либо свободна (fp = 0). т.е. уровень Ферми
попадает в запрещенную зону (рис. 2.5.16, в; 2.5.4). Различие между
диэлектриками и полупроводниками достаточно условно и не имеет
принципиального характера. Полупроводниками считаются неметаллические твердые тела, в
которых ширина запрещенной зоны ДЕ < 2... 2,5 эВ и может быть создана
высокая концентрация локализованных состояний дефектов структуры в
запрещенной зоне возле какого-либо ее края. Неметаллы с ДЕ^ >3...10 эВ и
уровнями дефектов в запрещенной зоне, далекими от ее границы, являются
диэлектриками.
Распределение электронов по энергиям. Концентрация электронов в зоне
проводимости металла (пе ~ 1028 м"3) соизмерима с плотностью разрешенных
квантовых состояний, но все же меньше ее. Значение /(E) меняется от
единицы до тля на AE~kBT«EF (kBT~0,01...0,1 эВ, EF к3...5 эВ), т.е. при
Е < 0,9EF распределение электронов по энергиям соответствует
распределению разрешенных состояний, а при Е > EF —F « 1 (рис. 2.5.5).
В собственных полупроводниках и диэлектриках при Т= 0 К целиком
заполнена валентная зона и полностью свободна зона проводимости, что
соответствует расположению энергии Ферми в запрещенной зоне и при Т > 0 К.
При этом у границы запрещенной зоны в зоне проводимости появляется
некоторое количество электронов, равное в соответствии с распределением Ферми

и функцией плотности состояний для квазисвободных электронов (см. разд.
1.2.1, 1.2.4)
пе= JdC/dE/F(E)dE =
Ес
Е,
= |(47r//23)(2/«;)3/2(E-Ec),/2{l/(exp[(E-EF)/(^D] + l}, (2.5.1)
где Е 2 - верхняя граница зоны проводимости.
Поскольку квТ«Е 2 - Ес, верхний предел может быть заменен на оо
(вклад в интеграл участка от Е 2 до оо мал). Интеграл (2.5.1) (интеграл Ферми) не
выражается через элементарные функции; чтобы получить простое выражение,
пренебрегают единицей в знаменателе, т.е. переходят к распределению
Максвелла. Интегрируя, получают число электронов в зоне проводимости
ne=Nccxp[-(Ec-EF)/(kBr)l (2.5.2)
где Nc- эффективная плотность состояний в зоне проводимости,
Nc=2(2nm*ekBT/h2f2. (2.5.3)
Для валентной зоны число дырок определяют аналогично:
Е,
п„= J(dC/dE [1 - У> (E)dE =
Е,
Ev
= l(4n/h')(2m;f2(Ev -E)1/2[l-l/(exp[(E-EF)/(^D] + l)]dE-
Е,
Ev
- J(4tt//23)(2^)3/2(Ev -E)1/2exp[-(EF -E)/(kBT))dE.
-co
Окончательно
nh=Nyexp[-(EF-Ev)/(kBT)], (2.5.4)
где Nv - эффективная плотность состояний в валентной зоне.

Nv=2(2nm;kBT/h2)V2. (2.5.5)
Вследствие квазинейтральности кристалла пе = п/„ откуда с учетом (2.5.2)-
(2.5.5)
EF =(Ec + E4)/2 + (3/4)kBTHml/ml). (2.5.6)
При Т= О К из (2.5.6) следует, что уровень Ферми расположен посередине
запрещенной зоны; с ростом температуры он, как правило, несколько
смещается вверх (так как обычно mj, >m*e). Подстановка (2.5.6) в (2.5.2) дает число
электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне беспримесного
полупроводника или диэлектрика
ne=nh = (A^v)1/2exp[- AEg/(2kBT)].
При наличии в полупроводнике некоторой концентрации Nj донорной
примеси (см. рис. 2.5.1, г) (примеси со слабосвязанными электронами) в
запрещенной зоне на малом расстоянии AEd « ДЕ от дна зоны проводимости
образуется уровень, при Т= О К заполненный электронами, а уровень Ферми
расположен посередине между донорным уровнем и дном зоны
проводимости (рис. 2.5.5а). С ростом температуры концентрация свободных электронов
растет по закону
пе = (NdNc)mcxp[-AEd/(2kBT)]. (2.5.7)
При дальнейшем повышении температуры (до Т= Т\) (рис. 2.5.6)
происходит полная ионизация донорной примеси, и ne = Nj. Если концентрация
примеси значительна, a AErf « ДЕ , то процессы возбуждения электронов
валентной зоны сказываются только при высоких температурах Т >Т2 »Т}, и при
ТХ<Т <Т~, число электронов постоянно. При Т »Т2 наличие примеси
сказывается слабо на пе, и пе можно вычислять по (2.5.6). При нагреве EF сначала
смещается ко дну зоны проводимости, а затем отходит от него, стремясь к
положению EF для собственного полупроводника (см. рис. 2.5.5а).
В полупроводниках с акцепторной примесью незаполненный уровень
находится на малом расстоянии ДЕД « ДЕ^ от верха валентной зоны.
Рассмотрение поведения дырок приводит к аналогичным результатам: концентрация
дырок при невысоких температурах (Т « АЕа/(2кв))
nh=(NaNc)mcxp[-AEj(2kBT)],

xw
их
SSSS Г/
Рис. 2.5.6. Зависимость концентрации электронов в зоне проводимости
от 1/Гдля различных концентраций донорной примеси,Nin > N J2'-
/— область возрастания примесной электропроводности; //—область полной
ионизации примеси; /// - область собственной электропроводности
Рис. 2.5.7. Квазиуровни Ферми
Рис. 2.5.8. Дисперсионное соотношение для А1 (штриховой линией показана
дисперсионная зависимость для газа свободных электронов)
при более высоких температурах меняется в соответствии с рис. 2.5.56, а
поведение уровня Ферми — как в случае с однородной примесью (с точностью до
симметричного отображения относительно середины запрещенной зоны).
Кеазиуроени Ферми. Понятие уровня Ферми справедливо для электронного
газа, находящегося в тепловом равновесии с кристаллической решеткой. Однако
энергетический спектр электронов может быть изменен под действием внешних
возбуждающих факторов (таких, как облучение светом, рентгеновское
излучение, сильное электрическое поле, инжекция носителей заряда через границу
кристалла, бомбардировка заряженными частицами) — концентрация становится
выше равновесной из-за избыточных носителей заряда, называемых
неравновесными носителями, причем энергия их может оказаться много большей средней
тепловой энергии (рис. 2.5.7).
В процессе столкновений с атомами решетки неравновесные носители
заряда за малый промежуток времени (т ~ 10~ с) выравнивают свою энергию с
энергией равновесных носителей заряда и подчиняются статистике,
свойственной данному телу. Неравновесными они остаются лишь с точки зрения
избыточной концентрации. Для нахождения общей концентрации носителей
заряда в теле при наличии нетеплового возбуждения можно пользоваться
формулами (2.5.2) и (2.5.3), однако уровень Ферми должен быть заменен
квазиуровнями Ферми, значения которых для электронов и дырок различны. В
случае избыточной концентрации квазиуровень Ферми для электронов выше рав-

новесного уровня Ферми, для дырок - ниже (рис. 2.5.8). Чем выше
концентрация неравновесных носителей заряда, тем дальше отстоят квазиуровни от
уровня Ферми.
Полная концентрация электронов и дырок п' и р' связана с равновесной
концентрацией пир выражениями
пе = neexp[(E*Fe-EF)/(kBT)],
n'h = nhexp[(EF -EFh)/(kBT)],
где E*Fe и Ед, - квазиуровни Ферми для электронов и дырок.
Для неравновесного полупроводника не выполняется закон действующих
масс:
n'en'h(nenh) =e*p[(E^ -E*Fh)/(kBT)] .
Электронные свойства простых металлов. Простые металлы (см. табл.
2.5.1) имеют валентные электроны, относительно слабо связанные с атомами,
т.е. для этих веществ применимо приближение почти свободных электронов
(см. рис. 2.5.7). Эффективная масса электронов практически совпадает с
массой свободного электрона. Поверхность Ферми и другие изоэнергетические
поверхности для них в первом приближении описываются сферой в к-про-
странстве с радиусом к?, который определяется так, чтобы все имеющиеся
валентные электроны поместились внутри сферы. Например, если в единице
объема имеется N электронов, то (4/3)nkF 2/(2л)3 = N, откуда
kF =(3n2N)m.
Концентрация электронов определяется концентрацией атомов (которую
можно найти по плотности кристалла) и числом Z' валентных электронов.
Существенно, что Z' - целое число и определено однозначно для каждого эле-
/* _9
т (по порядку величины v F » 10 "с,
Vp«10 v s). Кинетическая энергия электронов на поверхности Ферми
KF = h kF J(2m* ), а средняя кинетическая энергия электронов
к lkF
<К>=(\[Пk2/(2m)]4nk2dk) / $4nk2dk = (3/5)A> .
о /о

Рис. 2.5.9. Поверхность Ферми для Си в представлении повторяющихся зон
Рис. 2.5.10. Сечение поверхности Ферми для А1 (штриховыми линиями
показаны сечения границ зон Бриллюэна). Поверхность Ферми близка
к сферической и располагается во 2, 3 и 4-й зонах Бриллюэна
В представлении повторяющихся зон изоэнергетические поверхности (в
частности, поверхности Ферми) для простых металлов весьма близки к
сферам, отличия от сферичности возникают лишь вблизи границ зон Бриллюэна.
В зависимости от значения кр поверхность Ферми может занимать
положение в первой зоне Бриллюэна или в большей или меньшей степени
располагаться в других зонах. Так, для Си поверхность Ферми целиком находится в
первой зоне Бриллюэна и возмущения сферичности имеются лишь там, где
эта поверхность подходит к границам зоны: там образуются «перешейки»,
так что сферы Ферми соединены (рис. 2.5.9). Для А1 крбольше радиальных
размеров первой зоны Бриллюэна, и близкая к сферической поверхность
Ферми располагается во 2, 3 и 4-й зонах Бриллюэна (рис. 2.5.10). В
представлении повторяющихся зон такие поверхности приближенно
представляли бы собой взаимно пересекшиеся сферы, получающиеся при
увеличении размеров сфер с сохранением межцентровых расстояний. Если
перевести такую поверхность в первую зону Бриллюэна (представление
приведенных зон), то получается весьма сложная многосвязная поверхность —
«монстр» (рис. 2.5.11).
Энергия связи простых металлов и полупроводников IV группы
представлена табл. 2.5.2.
а б в г
Рис. 2.5.11. Поверхность Ферми («монстр») для А1: границы первой зоны
Бриллюэна (а) и приведение 2-й (б), 3-й (в) и 4-й (г) зон Бриллюэна

Таблица Z.b.2
Энергия связи Es (эВ) простых металлов (а также полупроводников IV группы
2tr"=2)_
Be
3.32
Mg
1.59
Zn
1.35
Cd
1.16
Ng
0.67
3L='=3) _
в
5.77
Al
3.39
Ga~
2.81
In
2.52
Ti
1.88
Ч*г*>
С
7.37
Si
4.63
Gc
3,85
Sn
3,14
Pb
2.03
4_ J^=5)
As
■ 2.96
1 Sb
2.75
Bi
2.18
9(r'=l)
Li
1.63
Na
1.11
К
0.934
Rb
0,852
Cs
0,804
_Щ^=2Х
Ca
1,84
Sr
1,72
Ba
1.90
Электронное строение переходныхметачлов. Общая отличительная
черта переходных металлов - значительное влияние внутренних d- или/^оболо-
чек на электронные свойства.
В «/-переходных металлах имеется пять узких зон. соответствующих
^-состояниям, которые пересекают зоны почти свободных л-электронов,
«/-состояния удобно рассматривать как линии атомарных «/-уровней на фоне
сплошного спектра газа свободных валентных s-электронов, тем более что волновые
функции J-состояний крис галла оказываются близки к волновым функциям
«/-состояний атомов.
& эВ"1
-
"*-
/ wd
1 1
/-:
-
ц
10
\gd&
14
12
10
8
6
4
2
0
GF &, эВ
Рис. 2.5.12. Плотность состояний переходного металла (я) и модель Фриделя (б)

«-СЗД-Ю^В^см-3
Sn
Ag-^fcaTGd—
12 14 ЛГ
Рис. 2.5.13. Плотность состояний на уровне Ферми.
По оси абсцисс отложено число валентных электронов на атом
Большое число d-зон приводит к существенному изменению плотности
состояний вблизи Ек- (рис. 2.5.12), что важно для целого ряда физических
свойств. Плотности состояний на уровне Ферми изображены на рис. 2.5.13.
Приближенно плотность состояний переходных металлов представляют
в виде суммы двух вкладов (модель Фриделя, см. рис. 2.5.12). Первый - это
плотность состояний с/-типа, расположенная вблизи энергии Е^ в пределах
области с шириной Wd: grf(E)= 10/И^ при (Ed -Wd/2)<E<(Ed + Wd/2).
Кроме того, имеется плотность состояний почти свободных ^-электронов:
^(Е) = [2/(Зл)](2/н*1-0~/Й") 2Е ". Эффективная масса т* равна
m/[l + 5rd /(7t/"0 )]. Параметры модели Фриделя приведены в табл. 2.5.3.
Таблица 2.5.3
Параметры модели Фриделя для переходных металлов: ширина </-зоны Wj,
ее средняя энергия Erf (эВ), число s-электронов на один атом Ns = JgsdE
Параметры
Ej
У*
Sc
5.13
7.05
0.46
Ti
6.08
7.76
0.58
V
6.77
8.13
0.69
Cr
6.56
8.01
0.76
Mn
5.60
7.91
0.82
Fc
4.82
7.64
0.84
Co
4.35
7.36
0.84
Ni
3.78
6.91
0.81
Cu
2.80
5.90
1.00

Параметры
"'./
£,/
N*
Параметры
»'</
Ej
N,
Y
6.59
6.75
0.39
l.u
7.81
8.44
0.54
Zr
8.37
7.17
0.47
HI"
9.56
9.12
0.67
Nb
9.72
7.29
0.57
Га
11.12
9.50
0.82
Mo
9.98
7.12
0.67
W
11.44
9.45
0.96
Tc
9.42
6.67
0.72
Re
11.02
8.99
1.04
Ru
8,44
6.02
0.73
Rh
6.89
5.08
0.66
Os li
10,31
8.38
1.09
8.71
7,35
1.02
Pb
5.40
4.52
0.59
Pi
7.00
6.51
5,18
Ag
3.63
2.49
1.00
Au
5.28
0.94
1.00
Электронное строение ковстентпых кристаллов. При описании
строения ковалентных кристаллов применимы приближение сильной связи и метод
ИКАО. В э гом случае происходит удаление формы изоэнергетических
поверхностей от сферической и приближение ее к границам зон Бриллюэна (см.
рис. 2.5.10 и 2.5.14). Поверхность Ферми заменяется участками плоскостей
брэгговского отражения, в пределе граница свободных и занятых состояний
совпадае г с границами зон Бриллюэна, так что при Т= 0 К одни зоны целиком
заполнены электронами, а другие — свободны, т.е. такие кристаллы ведут себя
как диэлектрики или полупроводники.
Для ковалентных кристаллов со структурой алмаза с увеличением
атомного номера растет расстояние между атомами и ) величивается степень метал-
личности (см. разд. 1.1.1) — уменьшается ширина запрещенной зоны ДЕ ~вГ~.
Зонная структура при этом качественно не меняется (рис. 2.5.16). Кристаллы с
(220)
&,
10
0
-10
-20
-30
эВ
С
Q
QP
Рис. 2.5.14. Сечение поверхности Ферми при увеличенном псевдопотенциале
(ср. с рис. 2.5.10). Граница занятого электронами о&ьема в k-пространстве частично
проходит по плоскостям границ зон Бриллюэна
Рис. 2.5.15. Дисперсионные соотношения графита

ионной составляющей связи, изоэлектронные с Si, имеют качественно
подобные со спектром Si электронные спектры, которые регулярным образом
меняются при изменении степени ионности и степени метапличности. В
частности, АЕ приближенно описывается соотношением
AEg =1Л(У? + V32)V2(l-am).
Ковалентные связи могут образовывать также плоские структуры, такие,
как в графите, где др-гибридизованные орбитали связывают атомы углерода в
плоскую решетку с расстоянием между атомами всего 0,142 нм. Четвертые
валентные /j-электроны образуют относительно слабые (расстояние 0,34 нм)
связи между плоскостями. Это объясняет, с одной стороны, тугоплавкость
графита, а с другой — малую сопротивляемость сдвигу плоскостей. Электрон-
&, эВ &, эВ
Рис. 2.5.15. Дисперсионные соотношения С (я), Si (б), Ge (с), Sn (г)

ные состояния, связывающие плоскости между собой, заполнены только
наполовину, поэтому графит имеет проводимость металлического типа и
является полуметаллом (проводимость его невелика, так как число состояний у
EF относительно мало). Энергетические зоны графита показаны на рис.
2.5.15. Для полупроводников с малой степенью металличности и ионности
(Si, SiC, BP, GaP и др.) минимум зоны проводимости находится в одной точке
зоны Бриллюэна (точке X), а максимум валентной зоны - в другой (в точке Г)
(непрямозонные полупроводники).
Электронное строение кристаллов замкнутыми электронными
оболочками ионных и молекулярных кристаллов). К кристаллам с замкнутыми
электронными оболочками относятся, во-первых, кристаллы инертных газов и,
во-вторых, ионные кристаллы, в которых замкнутые оболочки образуются в
результате перехода электронов от катионов к анионам.
Энергетические зоны кристаллов инертных газов хорошо описываются в
терминах приближения сильной связи, т.е. они представляют собой несколько
уширенные атомные уровни, а ДЕ^ близка к энергии ионизации атомов; ДЕ^
пропорциональна а'~. Атомным возбужденным состояниям соответствуют
сильно связанные экситонные состояния (экситоны Френкеля). Эти же
особенности отличают и другие молекулярные кристаллы, связанные силами
Ван-дер-Ваальса.
Замкнутые оболочки «прочные»; они препятствуют сближению ядер и
поэтому определяют межъядерные расстояния в ионных кристаллах в первом
приближении как просто сумму ионных радиусов аниона и катиона. В ионных
кристаллах кулоновское взаимодействие много больше ван-дер-ваальсова
взаимодействия в молекулярных кристаллах, и межатомное расстояние в них
оказывается несколько меньше. Поэтому возникают заметное перекрытие
волновых функций и уширение атомарных уровней в более широкие зоны.
Определяющая электронную проводимость кристалла ДЕ может быть
определена по приближенной зависимости
&Eg =r]gh2/(ma2),
где а - расстояние между ионами; г| - полуэмпирический коэффициент,
Г) =9,1 для одновалентных соединений (заряд ионаZ= 1), 5,3 для7' = 2 и 1,6
для Z' = 3. Для соединений одновалентных и двухвалентных ионов (CaF2,
Na2S и т.п.) л =2,8. Электроны аниона испытывают притяжение катиона,
поэтому заряд отрицательного иона уменьшается относительно Z', что
называют расплыванием заряда, или уменьшением жесткости иона. Так, для
одновалентных ионов щелочно-галоидных соединений Z* = 0,51 (это значение
используют для приближенной оценки электростатического поля и его градиента в
кристалле).

Электронная структура аморфных тел. Отсутствие трансляционной
симметрии изменяет подходы к описанию электронной структуры аморфных
тел. Рассеяние носителей заряда в непериодическом поле столь велико, что
(квази) импульс к не сохраняется даже приближенно, и потому не имеют
смысла дисперсионные соотношения Е = Е(к), неприменимы также понятия
зоны Бриллюэна и поверхности Ферми (но остаются понятия плотности
состояний dt,/dE и распределения Ферми для электронов).
Важную роль играет понятие пространственной локализации электронных
состояний. Для его количественного определения (в модели Андерсона)
рассматривается трехмерная решетка с правильно расположенными
потенциальными ямами - «атомами», каждый из которых имеет один (основной) уровень
энергии Е, (если эти уровни одинаковы, то получается трехмерный аналог
модели Кронига-Пенни, т.е. энергетические состояния расщепляются в полосу
шириной ДЕ). Чтобы рассмотреть влияние аморфизации, уровни энергии
следует считать различными, статистически распределенными по диапазону AU
(рис. 2.5.17). Если данное электронное состояние локализовано, то область
движения электрона Е = Е (/ -> оо) ограничена, и при больших временах t -> /м
имеется ненулевая вероятность возвращения электрона в потенциальную яму, в
которой он находился в момент t= О (это реализуется при ДС//ДЕ > 5). Если
состояние делокализовано, то эта вероятность стремится к нулю.
•S*
^inqpr
о
Рис. 2.5.17. Потенциальный рельеф (а) и плотность состояний (б)
в модели Андерсона (заштрихованы локализованные состояния)
Единичные дефекты в правильном кристалле создают дискретные
примесные уровни, и при увеличении их концентрации расстояния между ними в
решетке становятся достаточно малыми, чтобы происходило их
взаимодействие, приводящее к расщеплению уровней (как у атомов в молекуле). С
дальнейшим ростом концентрации дефектов вместо уровней образуются полосы.
В случае примесей замещения типа доноров или акцепторов либо
относительно небольших искажений структуры кристаллической решетки первыми
локализуются состояния с малой кинетической энергией - у краев разрешенных
зон, и полосы локализованных состояний простираются в запрещенную зону

Рис. 2.5.18. Расплывание зон локализованных состояний
с ростом концентрации дефектов (а-г)
(рис. 2.5.18). При наличии примесей с глубокими уровнями, а также с грубым
нарушением структуры (например, примеси внедрения и оборванные связи
вследствие воздействия потоков частиц высоких энергий) полосы
локализованных состояний образуются с расплыванием соответствующих дискретных
уровней (рис. 2.5.19).
Плотность состояний g в пределах области, соответствовавшей в
кристалле запрещенной зоне, может обращаться в нуль либо быть конечной.
Энергетическим спектром cg= 0 обладают прозрачные (см. рис. 2.5.18)
некристаллические вещества. В случае g^ 0 весь энергетический интервал Ev < Е < Ес
заполнен, но эта область принципиально отличается от разрешенных зон. Так,
электроны, локализованные здесь на дискретных уровнях, могут участвовать
в переносе заряда только путем перескоков. При Т —> О К вероятность
последних стремится к нулю, так что их вклад в электропроводность полностью
исчезает, т.е. область Е v < Е < Ес можно называть запрещенной зоной.
Термины «зона проводимости» и «валентная зона» также используются в физике не-
8 8
g
Рис. 2.5.19. Образование полосы локализованных состояний
с ростом концентрации дефектов (а—в)

Рис. 2.5.20. Закон Бриллюэна арсенида галлия и цинковой обманки. Показаны
тонким высокой симметрии Г. К. L. U, W.Xu оси симметрии Л, Л, Е, Q, S, Z
Рис. 2.5.21. Схема расположения валентной зоны (внизу) и зоны проводимости
(вверху) в полупроводнике, аппроксимированных параболами.Область валентной
зоны, содержащая дырки, и область зоны проводимости, содержащая электроны,
заштрихована. Показана также прямозонная ширина щели Eg
кристаллических веществ. При этом их относят к областям энергий, занятым
нелокализованными состояниями для электронов и дырок, которые можно
считать квазисвободными, как и в правильных кристаллах.
Рис. 2.5.22. Зонная структура арсенида галлия,
вычисленная методом псевдопотенциалов
Рис. 2.5.23. Температурная зависимость концентрации собственных носителей
в кремнии, германии и арсениде галлия. Небольшая нелинейность при низких
температурах возникает из-за сомножителя Т*11 в уравнении 2.15.

Волновое число, к Волновое число, к
Рис. 2.5.24. Зонная структура непрямозонных полупроводников Si и Ge.
Из рисунка видно, что наинизшая точка, или дно зоны проводимости
в германии находится в точке симметрии L (отмечено къкЬ\) с энергией 0,6 эВ,
а в кремнии она находится на расстоянии 85% от центра П5 по направлению AikA"i.
Из рис. 2.15 видно, что дно зоны проводимости прямозонного полупроводника
GaAs находится в центре симметрии Г6 зоны Бриллюэна. Вершина валентной
зоны находится в центре зоны Г для обоих веществ.
Таким образом, квазисвободные электроны в простых металлах по
свойствам близки к свободным. Большинство конструкционных металлов —
переходные rf-металлы, на свойства которых влияют внутренние ^/-оболочки.
Аморфные тела также разделяются на металлы, диэлектрики и
полупроводники, хотя плотность состояний в запрещенной зоне может быть отличной от
нуля. Электронное строение ионных и молекулярных кристаллов близко к
строению свободных атомов и молекул.
Таблица 2.5.4
Значения параметров а и Р, определяющих ширину запрещенной
зоны Ее некоторых чистых полупроводников и полупроводниковых
соединений при различных температурах Т
Вещество
C(d)
Si
Gc
SiC
AlAs
Р(эВ/К)
5-10 5
2.8-10"4
3.7 -КГ1
5,8-10"4
4-10""
T (К)
135-300
200
200-400
295-700
300
а (эВ/Бар)
2-10 7
-1.4110"6
3-Ю"6
7ТК)
80
300
80
—

Вещество
AlSb
GaN
GaP
GaAs
GaSb
TnP
InAs
InSb
P (эВ/К)
3,5-Ю"4
1,8 Ю-4
5210"1
35-Ю"4
3,7 10"4
29-10"4
3.5-10"4
2.8 1 О"4
Г (К)
300
1104-350
300
80+300
77 н-296
6-300
77-497
77 4-415
а (эВ/Бар)
-1,6-Ю-6
12 10"6
-1,1-10"*
12-10"6
14J5 -10_б
1,6-10-6
9,8-10"*
15f-10"6
Г(К)
300
77 4-296
300
300
24-300
300
300
2004-575
Таблица 2.5.5
Ширина запрещенной зоны при абсолютном нуле и комнатной температуре
для различных полупроводников: /-в полупроводниках с непрямыми
переходами: г/—в полупроводниках с прямыми переходами
Вещество ;
Алмаз !
Si
Ge
a-Sn
InP
InAs
InSb
GaP
GaAs
GaSb
GaN
AlAs
A1P i
AlSb
SiC
Те
CaO
Ef (эВ)
OK
5.48
1.16
0,741
0,0
1,42
0.42
0,24
2,35
1,522
0,81
3,50
2,228
2,5
1.7
2.417
0,33
1,09
Eg (эВ)
300 К
5.47
1.12
0,66
0.08
1.35
0,36
0.17
2,26
1.42
0.72
3,14
2.15
2,45
1.6
2,2
-- - - ■
Вид
перехода
.'... ...
d
d
d
d
i
d
d
d
i
i
i
i
d
i
Вещество
PbS
PbSe
PbTc
CdS
CdSe
CdTe
ZnO
ZnS
ZnSe
ZnTe
ZnSb
SnTe
AgCl
..._.A8j._
Cu20
TiO2
.-..?BTe
Eg (эВ)
OK
0,286
0,145
0.187
2,58
1.85
1.61
2.136
3.85
2.82
2.39
0,56
...._°>3 .__
3.25
3.02
2,172
3.03
-03
Et (эВ)
300 К
0.11
0.27
0.31
2.42
1,70
1.56
3,2
3,68
2,68
2.25
0,56
0,18
3.2
2,8
' Вид
{ перехода
! d
d
Г d
■ d
d
d
; d
d
d
1 d
d
i
d
; d
! d

Таблица 2.5.6
Эффективная масса электронов вблизи дна зоны проводимости
для ряда полупроводников
Вещество
Si
Ge
AlAs
AlSb
GaN
GaP
GaAs
GaSb
InP
InAs
InSb
Cu20
in 1 in
■ - ■- -
0.28
0.067
0,04
0,077
0,027
0.013
0,99
in, 1 in
0,1905
0,08152
0,19
0.23
0,21
Ш/ 1 in
0,9163
1,588
1,56
1.64
7,25
- —-
— - --
ПК)
1,26
1.4
300
300
296
300
300
300
Таблица 2.5.7
Характеристические параметры для изоэнергетической поверхности
вблизи вершины валентной зоны и эффективная масса дырок
для ряда полупроводников при 300 К
Вещество !
Алмаз
Si
Ge
А1Р
AlAs
AlSb
GaAs
GaP
GaSb ■
TnAs
InP
InSb
Cu20
A
-429
-1338
-8,48
-3,47
-4.03
-4,12
-658
-420
-11.7
-19,7
-628
-35
В
-0,68
13,15
-0.130
-2,09
-2.09
-43
1,97
-8.19
-16.8
4,17
-31,4
\c\
4,87
0,043
3,96
1.63
4,71
6.2
4.60
11.07
13.66
6,24
20,92
III,/, 1 1П
0.7
0.153
0,34
0,20
0,15
0.14
0.068
0.16
0.047
0.025
0,089
0.016
0,58
mhh 1 in
2.18
0.52
msohlm
1,06
0,234
0.084 1
0.63
0,76
0,94
0,5
0,54
0,3
0,11
0,85
0.39
0,29
0,24
0.29
0.133
0,24
0,12
0,089
0.17
0,47
0,09

Измеренные значения энергии ионизации примесных состояний
в чистых монокристаллах кремния, германия и арсенида галлия
Таблица 2.5.8
Ge|
0.66
ЭВ
Sb
As
Se
1
Те
Си
ела 2^ £Ш
й.ооэзо.оэв гшгшз
середина &23. (ц аз д SL3a Q22. ^
0,23 2^3 д^23 А оТЭТ
поя £Ш5 2-L2 J^.gjjfiZ CL09 2J£
V
£U
Аи
-0.0»-
Ад
0.26
о.зз"
0.09
А
А
0.15
0.04 0 04 О.Ой
д.13
В Л Ti Ga in Be Zn Cr Cd Hg Co Ni Mn
U Sb P Ax Bl Те Ti c_Mg Se Cr Ta Cs Ba S Mn Ag Cd Pt Si
Fo
Pr
Si
QJA
1.12
.033,ОЭ9,045.064т5ггЙЛ4 Q.I и
середина n ^n е_Л15& _^ rf.^ a^^QAL
^ 035 О^НЁГ
,045Д61Д1?'
-ajroj-
D "
'^^p^ 0^f° \^bi1Jf
^0^
В Al Ga In Ti Pd
Na Be
Si
Ge
Zn Au Co V Ni Mo Hg Sr Ge Си К Sn W Рэ ОFT"
S Sn Те Se О
GaAs
1,42
0.0(558
0T55
cToo5 07J5
0T53 0,0059
середина
QA
— 0.67-
pj§3
_. 152 053
0,44 D
CJZ.
ojize ала ma ojai алза олза Щ^^ ^ ^ ^
ол5 oji P-^^faa
2J223
С Be Mg Zn Si Cd U Ge Au Mn Ag Pb Co Ni Си Fe Cr

1.3. Колебания кристаллической решетки
1.3.1. О простейших моделях тепловых колебаний
Рассмотрены колебания атомов в решетке и дисперсионные зависимости;
как и для электронов в твердом теле, по ним определяют значения скоростей
звука, плотности состояний, степень анизотропии распространения
колебаний и др. Проанализированы характерные дисперсионные зависимости
реальных твердых тел.
Тепловые колебания атомов решетки. В результате теплового движения
частиц происходят небольшие (порядка 10~"А) смещения атомов из положения
равновесия, что является нарушением периодичности решетки. В положении
равновесия энергия атома минимальна (рис. 3.1.1), и смещенный атом
стремится возвратиться в это положение, что служит причиной колебательных
процессов. Атом условно можно представить связанным упругими силами со всеми
ближайшими атомами решетки (дальние взаимодействия в начальном
приближении можно не учитывать). Последние, в свою очередь, совершают
колебательные движения, и получается сложная картина из N колеблющихся атомов,
каждый из которых имеет три колебательные степени свободы (ЗЛО-
Колебательные процессы в кристалле могут быть также представлены в виде движения
Л''волн (фурье-компонента разложения) с разными частотами (нормальных
колебаний), в каждом из которых участвуют все атомы решетки: движение
каждого атома в таком представлении определяется суперпозицией всех
3Nнормальных колебаний в точке равновесия этого атома.
ГЧ I ~l~i-
0-2) (/-1)
0+1) 0+2)
(д+Дц-1-Ду)
Рис. 3.1.1. Потенциальная энергия взаимодействия атомов
(сплошная линия и параболическая аппроксимация (штриховая линия)
Рис. 3.1.2. Линейная одноатомная решетка: а- атомы находятся в положении
равновесия; 5-атомы смещены вследствие прохождения продольной волны

Колебания цепочки одинаковых атомов. Основные представления о
колебательных процессах в кристаллах можно получить, рассмотрев простую
(классическую) модель - одномерную цепочку шаров, связанных упругими силами
(«пружинами») (рис. 3.1.2), где сила./5}, действующая на каждый шару, линейно
(по закону Гука) зависит от расстояния до ближайших соседей j - 1 иу'+1:
Fj=Cx(AJ+l -Aj)-Cx(Aj-Ah) = Cx(Ajm + Д,_, -2Д,-), (3.1.1)
где Л ■ = х - Xj0 - смещениеу'-го шара относительно положения равновесия х-0;
Сх - коэффициент упругости. Возможность такого представления связана,
во-первых, с тем, что при характерных малых смещениях сила, действующая на
атомы, пропорциональна смещению (т.е. д Е/дх = const, см. рис. 3.1.1), а во-
вторых, с тем, что ядра, в которых сосредоточена масса атомов, па характерных
расстояниях могут рассматриваться как классические частицы.
Согласно второму закону Ньютона, возвращающая сила, действующая на
у'-й атом,
Fj = md2 Xj/dt2 =md2 Ay/df2. (3.1.2)
Представляя решение в виде плоской волны
А ■ = Aexp[i(qXj -co/)] (3.1.3)
(здесь q - волновое число , со - частота колебаний) и подставляя (3.1.3) в
(3.1.1) и (3.1.2), получают связывающее q и со дисперсионное уравнение,
которое описывает спектр и характеристики колебаний, в виде
со2 = ЦСХ /т) sin2 (qa/2), (3.1.4)
где a=Xj0 —Xj_l0 - период решетки дисперсионной кривой (рис. 3.1.3);
область малых q соответствует большим длинам волн, для них групповая
скорость распространения колебаний - скорость звука составляет
v0 =dco /dg =dx[(4Cx!m)V2sin(aq/2)]/dq *(Cx/m)l/2a = (omm а/2
(3.1.5)
и не зависит от длины волны. Это линейное низкочастотное приближение
справедливо для частот примерно до 10 " Гц, что перекрывает акустический и
ультразвуковой диапазоны частот.
1) Для колебаний решетки принято волновое число обозначать буквой q.

При q - + п/а, или при длине полуволны Х/2 = а, когда соседние атомы
движутся в противофазе, групповая скорость v0, по (3.1.5), равна нулю, т.е. волны
являются стоячими. Отметим, что для них выполняется условие брэгговского
отражения. Диапазон q от -(п/а) до п/а, который в случае колебаний
одномерной цепочки содержит весь спектр колебаний (колебания с Х/(2а) не имеют
смысла), соответствует первой зоне Бриллюэна. При ш> штах = 2(Сх/т)]П
колебания в одномерном кристалле распространяться не могут (точнее,
распространяются с сильным затуханием), т.е. частотный спектр имеет разрешенную
и запрещенную зоны. Выше для простоты рассматривались продольные
колебания, т.е. смещения были параллельны цепочке; по цепочке могут
распространяться также поперечные колебания со смещением, перпендикулярным
цепочке, для которых можно повторить все выкладки и получить аналогичные
результаты с той лишь разницей, что другими, не равными Сх, будут значения
коэффициентов Су и С-, соответствующих смещениям ъу- и z-направлениях. В
результате на дисперсионной зависимости со=ш(д) появятся еще две ветви
(которые в случае Су = С: вырождены, т.е. совпадают).
Длинноволновые акустические колебания. При акустических колебаниях
все атомы базиса движутся в одном направлении, а в длинноволновом
пределе q —» 0 амплитуда колебаний слабо меняется от одной элементарной ячейки
к другой, т.е. для описания колебаний применимо приближение сплошной
среды в терминах теории упругости.
1,0
0,5
0
-Зя/(2д) -п/а -к/(2а) 0 к/(2а) п/а Зя/(2а) к
/ I \ / . \
' I \ / \
(2/-2) (2/-1) 2/ (2/+1) (2J+2)
[2^+^1/2=й*
V(2a)
Рис. 3.1.3. Дисперсионное соотношение для модели
линейной одноатомной цепочки
Рис. 3.1.4. Линейная двухатомная решетка
Рис. 3.1.5. Дисперсионные кривые для продольной волны,
распространяющейся в линейной двухатомной решетке
*/(2я)

В этом случае уравнения относительно смещения отдельных частиц (при
многоатомном базисе - центров тяжести элементарных ячеек с суммарной
массой М)
Md2 X,jdt2 =-1>«,Ч7 а г = i,2, з,...)
lit
заменяют уравнениями сплошной среды относительно непрерывного (не
дискретного) поля смещения:
pd2xjdt2 =ЕС>/*/52 ^/(5г*5г,), (3.1.6)
fkl
где р- плотность среды, аСм/ -тензор упругости, описанный в разд. 1.1.4
(здесь индексами /, к, I обозначены направления ортов; п - номер
элементарной ячейки; штрихом обозначены параметры соседних с рассматриваемым
атомов; ф£/ -константа силы, учитывающая воздействие на атом я,
смещенный в направлении /', со стороны атома п', смещенного в направлении /'.
Определить направление силы, действующей на смещенный атом, не всегда легко,
в частности, в случае изотропной среды уравнение (3.1.6) дает дисперсионные
соотношения вида pa>~L =(СР + 2С44)д =Сид , pcoj-=C44g", т.е. скорости
звука для продольной L и поперечных Г волн постоянны и равны у L =v^ii/P>
VT=VC44/P-
Колебания кристалла разнородных атомов. Аналогично случаю
одноатомных кристаллов рассмотрим одномерную модель - модель шаров,
соединенных пружинами, но в данном случае чередуются шары с атомами массой т
и М(т < М) (рис. 3.1.4). Записывая закон Гука и второй закон Ньютона:
-/иа>2Д2у = md2A2j/dt2 = C(A2j+] + Д2,_, -2Д2у), ^^
-Мш2Д2/+1 = Md2A2J+l/dt2 = C(A2j+2 + A2j -2Д2,+1),
представляя колебания в виде гармонических волн (с различными
амплитудами А и В):
A2j = A exp[i(2qja -cat)],
A2;+i = Bexp{ift2j + \)aq-(Qt]}
и подставляя (3.1.6) в (3.1.7), получают
А(2С -та2)= 2CBcos(qa), В(2С - Айв2) = 2CAcos(qa). (3.1.8)

Исключив Л и В из (3.1.8), получают связь между q и со (дисперсное
соотношение) в BHfle(2C-AH<B2)(2C-Mo2) = 4C2cos2(ga), откуда
со2 = С(\/т + 1/М) + СЦХ/т + 1/М)2 -4sin2(qа)/(тМ)]т.(3.1.9)
Спектр частот является двузначной функцией q (рис. 3.1.5) и разделен
на разрешенные и запрещенные зоны. Нижняя ветвь - акустическая -
качественно подобна спектру одноатомных кристаллов (см. рис. 3.1.5), она
получается при знаке «-» в (3.1.9) и связана с тепловыми колебаниями. Из (3.1.9)
следует, что максимальная частота таких колебаний
со, = (2С/М)У2
явно не зависит от т, т.е. (рассмотрев отношение амплитуд колебаний В/А) из
(3.1.8) можно получить
В/ А = (1С - ma2)/[2Ccos(qa)] = 2Ccos(qa)/(2C - Ma2) (3.1.10)
и при q —> п/(2а) В/А —»°о - при колебаниях легкие атомы неподвижны. В
длинноволновом пределе q -> 0, частота со также мала и В/ А - 1, т.е. атомы
колеблются в фазе, одновременно смещаясь в одном направлении. Верхняя
ветвь соответствует знаку «+» и называется оптической, поскольку в
кристаллах, в которых атомы различных сортов имеют противоположный заряд,
такие колебания можно возбудить светом определенной частоты (при любых q
величина В/А отрицательна, т.е. соседние атомы колеблются в
противоположных направлениях, а именно такое движение возбуждается поперечной
электростатической составляющей электромагнитной волны). Для оптических мод
с большими длинами волн q —> 0 угловая частота
comin=[2C(l/m + l/M)]1/2,
фазовая скорость стремится к бесконечности, групповая - к нулю, а в
согласии с (3.1.10) В/ А = - т/М, т.е. такие моды соответствуют одновременным
колебаниям атомов массой шиМв противофазе при неподвижном центре масс
пары атомов.
При оптических колебаниях с максимально возможным волновым
числом <7 = ±я/(2а), когда X минимальна, а со убывает и стремится к пределу
со= со2 = (2С//и)1/2, величина В/А стремится к нулю, т.е. тяжелые атомы
неподвижны. Групповая скорость dco/dgтакже стремится к нулю, т.е. волны
являются стоячими и испытывают брэгговское отражение.

Различия между смещениями атомов в акустических и оптических
колебаниях становятся яснее, если изобразить поперечные смещения (рис. 3.1.6).
Переход от двухатомного к одноатомному базису при /w —>• М
иллюстрируется рис. 3.1.7.
Для реальных решеток наиболее простой является подобная
рассмотренным выше модель, в которой ионы представляются материальными точками,
связанными «пружинами» (рис. 3.1.8). Получающиеся на ее основе
дисперсионные зависимости, точнее, некоторые сечения соответствующих этим
зависимостям поверхностей показаны на рис. 3.1.9 (для их получения следует
аналогично записать уравнения закона Гука для каждой связи и второго закона
Ньютона для каждого атома и искать решение в виде волны).
гШ~
т т
а II I "1/
Ш\ и ilfiy#TY'Ht i #"iinlli
т Т т m-J
т
\1
•я/а WW 0 л/(2д) ф к
б II Г II
— а
Д X Z М
Рис. 3.1.7. Дисперсионная зависимость для моноатомной линейной цепочки,
приведенная к первой зоне Бриллюэна для случаев: а - период решетки равен а
(элементарная ячейка состоит из одного атома); б - период решетки равен 2а
Рис. 3.1.6. Смещение атомов при распространении поперечной волны вдоль
двухатомной линейной цепочки: а - оптическая мода колебаний;
б - акустическая мода колебаний
Рис. 3.1.8. Неодномерная модель колебаний кристалла
Рис. 3.1.9. Дисперсионные зависимости для случая, приведенного на рис. 3.1.8

Анализ трехмерных моделей приводит к качественно подобным
результатам, которые могут совпадать с экспериментом; примеры дисперсионных
зависимостей <о( g) для реальных веществ представлены на рис. 3.1.10.
Причины различий заключаются в следующем:
1) модель с пружинами вместо связей, строго говоря, верна только для
центральных сил межатомного взаимодействия и неверна, например, для ко-
валентных кристаллов;
2) некоторую роль может играть поляризация ионов, появляющаяся при
деформации электронной оболочки иона;
3) силы связи действуют не только между ближайшими соседями, в
принципе, надо учитывать взаимодействие с достаточно удаленными атомами, на-
10~13ю, рад/с
25
20
15
10
5
то
- \lA
тиХА
/la .
1/та
I
Аг
■
■
i
РЬ
L
(000) (100) (110)(3/43/4o)(000)(000)(kkV2)
д*- -* q q+-
б
50
(V2 \г fc) (ооо)
(100) 2
(000) (100) (110) (3/43/40)<000) (000) (fe fe V2)
q*- -*e q*~
в
Рис. 3.1.10. Дисперсионные зависимости со (к):
а - для алмаза; б—для свинца; в — для меди
Рис. 3.1.11. Искажения ковалентной решетки
при смещении атома А (атом В повернут)

пример, в ковалентных кристаллах смещение только одного атома в решетке
приводит к повороту соседних электронных оболочек с почти неизменными
углами между связями (изгибу связей), так что и без изменения положения
далеких атомов на них действуют силы (рис. 3.1.11).
Таким образом, колебания атомов в твердом теле описываются в виде
суперпозиции волн и характеризуются дисперсионным соотношением со= со(^г).
В кристаллах с одноатомным базисом со = (£>(q) присутствуют три
акустические ветви, а с jV-атомным - еще три (N- 1) оптические ветви.
Из физических соображений область ^-пространства ограничена первой
зоной Бриллюэна.
Скорость звука различна для продольных и поперечных колебаний и
определяется компонентами тензора упругости.
1.3.2. Фонолы: законы дисперсии и статистика
Понятие о фононах - квазичастицах, описывающих распространение
колебаний решетки, - позволяет представить сложные нелинейные
взаимодействия различных мод колебаний решетки в терминах инерциального
движения и парных столкновений фононов.
Рассмотрены статистические свойства фононного газа (плотность
состояний, функция распределения), введено понятие температуры Дебая, что
необходимо для описания тепловых, транспортных и оптических свойств твердых
тел.
Фононы. Как указывалось выше, в кристалле возможны коллективные
возбуждения совокупности атомов, представляющие собой 3N различных
нормальных колебаний, подчиняющихся соответствующему распределению
по частотному спектру. Каждое колебание, распространяющееся в кристалле,
обладает энергией и импульсом, поэтому по аналогии с квантованием
электромагнитных колебаний введено понятие о квантовых тепловых колебаниях
решетки - фононах. Колебательные процессы в кристалле представляют в
виде движения фононов, число которых зависит от частоты колебаний.
Можно показать, что энергия нормального колебания в кристалле с
частотой со квантована и по аналогии с энергией линейного гармонического
осциллятора в квантовой механике подчиняется закону Еы(пю + 1/2) Йсо, где
/7(0 = 0, 1, 2, 3, ...; Йсо - минимальная порция, квант энергии колебаний (фо-
нон). Таким образом, каждое нормальное колебание содержит пш фононов с
энергией Йсо. Слагаемое 1/2 учитывает наличие так называемых нулевых
колебаний решетки, существующих при температурах вплоть до 0 К и обычно не
учитываемых при исследовании тепловых свойств кристалла.
Фононы являются определенной абстракцией при описании
колебательных процессов в кристалле, когда реальные колебания представляют в виде

потока квазичастиц. Скорость фононов равна скорости распространения
колебания, импульс равен /zq, среднее время жизни порядка 10~ 2 с,
распределение по энергиям определяется статистикой Бозе - Эйнштейна.
Введение корпускулярного понятия «фонон» позволяет упростить
рассмотрение многих физических процессов. Рассеяние электронов тепловыми
колебаниями решетки описывается как столкновение электронов с фононами.
При этом выполняются законы сохранения энергии и импульса.
Взаимодействие различных колебаний в решетке может быть представлено как рассеяние
фононов друг на друге. Одно колебание вызывает изменение упругих свойств
среды при смещении атомов, что сказывается на втором колебании. Расчеты
показывают, что взаимодействие двух волн с частотами со, и со2 волновыми
векторами q i и q2 может быть описано как столкновение двух фононов с
появлением третьего фонона, имеющего частоту со3 и импульс /zq3, причем
со3 =со, +co2,q3 =q, +q2-
Многие закономерности динамики решетки становятся весьма
наглядными, если представить элементарные колебания как воображаемые
квазичастицы -фононы, обладающие определенной энергией (около 0,01 эВ),
импульсом (примерно Ьтг/2а) (точнее, квазиимпульсом), временем жизни (т « 10~ с).
Смысл введения понятия фонона заключается в возможности представления
процессов с участием колебаний решетки (транспортные свойства, неупругие
взаимодействия электронов, фотонов, атомарных частиц с кристаллом) в
терминах движения, возникновения, уничтожения, рассеяния квазичастиц, так
что становятся применимы основные понятия из кинетической теории.
Рассмотрение колебаний с позиций квантовой механики указывает на квантован-
ность, дискретность возможных значений амплитуд колебаний с энергией Йсо.
Минимально возможная энергия данной моды колебаний равна не нулю, а
Йсо /2, т.е. существует нулевая энергия колебаний (как у электрона в
потенциальной яме), суммарная энергия данной моды колебаний составляет
Е = Йсо(и + 1/2). Эта энергия переносится по кристаллу с волновой групповой
скоростью дсо /dq. Переходя к корпускулярному описанию, получаем п
фононов, движущихся со скоростью v = 3co/3q = V со, имеющих энергию Йсо
каждый (слагаемым 1/2 часто можно пренебречь). Фононы подчиняются
статистике Бозе - Эйнштейна, т.е. являются бозонами, подобно фотонам - квантам
электромагнитных колебаний. Как и фотоны, фононы имеют спин, равный
нулю, число их не сохраняется при взаимодействиях.
При применявшейся выше гармонической аппроксимации (т.е.
применимости закона Гука - пропорциональности упругой силы и смещения Л)
колебания полностью независимы друг от друга - фононный газ состоит из
невзаимодействующих фононов. Однако, если учесть отличие кривой,
описывающей потенциал взаимодействующих атомов, от параболы, особенно заметное

при больших амплитудах колебаний, то получим взаимодействие двух
колебаний; вместо них может возникать третье, с частотой
со3 =(»! +со2
и волновым вектором (при условии, что q | + q2 не выходит за границы зоны
Бриллюэна)
q3 =qi+q2
В терминологии описания столкновений частиц это соответствует
сохранению их суммарной энергии
йю3 = Йсо2 +йсо1 (3.2.1)
и квазттульса
hq3 = hq2 + hqx . (3.2.2)
Понятие «квазиимпульс» отражает отличие ftq от импульса: например,
колебания с волновым вектором q описывают на границе зоны Бриллюэна стоячие
волны, когда никакого импульса не передается.
Процессы переброса Пайерлса. Фонон-фононные взаимодействия,
описываемые формулами (3.2.1), (3.2.2), называют нормальными (ЛА-процессы),
они имеют место всегда, когда три вектора qj, q2, q3 лежат в пределах зоны
Бриллюэна. Качественное изменение ситуации происходит в случае, когда q3
выходит за ее пределы (процессы переброса, ^/-процессы, от нем. Umklappen
- перескакивать, перебрасывать).
Зона Бриллюэна, будучи элементарной ячейкой обратной решетки,
может быть повторена так, что покроет все q-пространство (представление
повторяющихся зон). При ^-процессах вектор q3, с необходимостью попадает в
точку другой зоны Бриллюэна, которая имеет полностью эквивалентную
точку q 3, и в первой зоне (согласно трансляционной симметрии обратной
решетки) положение этой точки q3 отстоит от q3 на вектор трансляции G:
Чз = Чз + G
При взаимодействии высокоэнергетичных фононов qi и q2 образуется
фонон с квазиимпульсом
q*3 =q,+q2+G,
т.е. квазиимпульс не сохраняется из-за «переброса» фонона с q3 на вектор
трансляции G. В результате при взаимодействии двух фононов, движущихся,
например, вправо, образуется третий, направленный влево (рис. 3.2.1).

Рис. 3.2.1. Процессы переброса при фонон-фононном взаимодействии:
а — в представлении повторяющихся зон;
б - после приведения к первой зоне Бриллюэна
Отсюда следует, что процессы переброса могут иметь место при много-
фононных процессах (когда уничтожается п фононов, а порождается п'
фононов), а также при всех других типах многочастичного взаимодействия (элект-
рон-фононного, нейтрон-фононного - при торможении нейтрона и т.п.), когда
один фонон при сохранении квазиимпульса получит значение q, выходящее
за пределы первой зоны Бриллюэна. При б'-процессах избыточный импульс
ftG передается кристаллу как целому, закон сохранения импульса
выполняется. Процессы переброса можно представить себе как рождение (или
уничтожение) фонона с одновременным брэгговским отражением, при котором
«избыточный» импульс ftG передается сразу многим атомам решетки.
Процессы фонон-фононного взаимодействия связаны с ангармонизмом
колебаний, т.е. с отличиями формы трехмерной потенциальной ямы для иона
от соответствующей закону Гука (в которой потенциал пропорционален
квадрату смещения). В анизотропном кристалле параметры фонон-фононного
рассеяния носят тензорный характер и определяются фурье-образом тензора
ангармонического члена в потенциале иона (ангармонический член
характеризует отличие потенциальной ямы от соответствующей закону Гука и
является тензорной величиной, так как в разных направлениях это отличие может
быть различным). При заданных параметрах двух уничтожающихся и одного
рождающегося фононов частота рассеяний пропорциональна числу фононов,
при трех уничтожающихся - квадрату числа фононов и т.д.
Зависимость Е от q для фононов, подобно дисперсионной зависимости
для электронов в кристаллах, определяет многие свойства фононов. Как и в
случае электронов, она периодична в q-пространстве, и достаточно
ограничиться первой зоной Бриллюэна, форма которой совпадает с ячейкой Вигнера -
Зейтца в обратном пространстве. Зависимость Е = E(q)также неоднозначна и
состоит из ряда ветвей. Число ветвей равно 2>г (где г - число атомов в базисе),
каждая из которых задает однозначную функциональную зависимость
co = co(q). Поскольку при любом заданном (квазидискретном) значении q су-

шествует несколько состояний фононов, соответствующих разным ветвям,
они имеют разные частоты со и разные константы взаимодействия с другими
колебаниями. Поэтому в зависимости от характеристик ветви колебания при
таких значениях q, когда колебания чисто продольные или чисто поперечные,
различают продольные (L, Longitudinal) и поперечные (Т, Transversal), а также
акустические (А) и оптические (О) фононы: ТА-, ТО-, LA-, ZO-фононы.
Число мод оптических фононов равно 3(г — 1), оно может быть весьма
большим в кристаллах с многоатомным базисом, например, органических
кристаллах (где имеется много мод внутримолекулярных колебаний). В
изотропной среде групповые скорости (скорости фононов) не зависят от направления,
так что поверхности равной частоты в q-пространстве имеют сферический
вид; поскольку продольные колебания имеют большую скорость звука, сферы
для продольных фононов при той же энергии больше, чем для поперечных
(рис. 3.2.2а). В кристалле упругие свойства обычно оказываются
анизотропными, и потому форма поверхности постоянной частоты может значительно
отличаться от сферической, причем поперечные фононы с различными
поляризациями имеют разные изоэнергетические поверхности (кроме некоторых
направлений высокой симметрии) (см. рис. 3.2.26). К границам зон Бриллюэ-
на изоэнергетические поверхности (определенные для каждой ветви
колебаний отдельно) подходят под прямым углом, причем искажение за счет брэг-
говского отражения сфер, соответствующих свободным фононам,
происходит аналогично искажению электронных изоэнергетических поверхностей
(рис. 3.2.3):
dNp/dE=fBE du,ph/d(ha) = ^)/Щехр[Ы/(квТ)]-1},
Рис. 3.2.2. Сечение поверхностей постоянной частоты:
а—для изотропной среды; б - для кристалла
Рис. 3.2.3. Поверхности постоянной частоты в двумерной квадратной решетке
в представлении повторяющихся зон Бриллюэна

гДе /be ~ функция распределения Бозе - Эйнштейна; dC,ph/d(ha) = g((u) -
плотность состояний фононов.
Плотность состояний. В решетке конечного размера число
различающихся мод колебаний (число различающихся фононов) ограничено. Чтобы
понять закономерность распределения этих мод по частотам (или волновым
векторам q), вновь рассмотрим линейную цепочку N+ 1 атомов длиной Na. На
этой цепочке могут возбудиться только такие колебания (продольные или
поперечные), для которых на Na уложится 1,2,3,..., N полуволн.
Соответствующие волновые числа q = n/(Na), 2n/(Na), ..., it/a разделены одинаковыми
интервалами Aq — n/{Na) = 2л/4, которые при N -> °о стремятся к нулю. Число
состояний в области от q до q + dq равно (Na!n)/dq, а на единицу длины
одномерного кристалла в интервале dq распределение g(q) плотности состояний
по модулю | q | имеет вид
(d;/d|q|)d|q| = g(|q|)d|q| = 2Zd|q|/(27iZ)=d|q|/7i,
|q|<7r/a;s(|q|)d|q| = 0,|q|>7r/a.
Плотность состояний (на единицу длины и единичный интервал | q |)
равномерно распределена по отрезку 0 < | q | < я/а Аналогичная ситуация имеет
место в трехмерном случае: состояния расположены равномерно по зоне
Бриллюэна в q-пространстве, причем каждому состоянию соответствует
объем куба с ребром Aq = n/(Na) = 2n/4. Распределение состояний по модулю
волнового вектора на единицу объема L в интервале d| q
(d;/dq)dq = g(q)dq = 4nq2dq/(b\2n/l?)) = q2 dq/(2n2).
Распределение по частотам
g(co) = dC/dco = (dC/aq)/(dro /dq) = [q2/(2n2)]/(dco /dq), (3.2.3)
т.е. плотность состояний полностью определяется дисперсионными
зависимостями co=co(q).
Для зависимости со от q в соответствии с (3.1.4), (3.1.5)
д® /dq = acomax cos(qa/2)/2 = {\/2)a(omax^sm2(qa/2) =
= (1/2) ясо max Vl-(co/co2max) • (3 -2-4)
Подставляя (3.2.4) в (3.2.3), получают

aC/aco = g(a>) = 2arcsin2(ro /comax)/[(nVv0A/l -(со /co2^))]. (3.2.5)
При со/сотах < 1 значение g(со) пропорционально со". До сих пор учитывалась
только одна ветвь колебаний, однако даже в одноатомных кристаллах имеется
одна ветвь продольных и две ветви поперечных колебаний. Соответствующие
разным ветвям плотности состояний должны быть сложены. Такое описание
плотности состояния известно как модель Дебая.
Окончательно для малых частот со / сотах из (3.2.5) в пренебрежении
отличиями скоростей продольных и поперечных колебаний V/. = \т=vr=Vo в
модели Дебая получают
8С,/8(й = g(co) = 3co2/(2n:2v^. О-2-6)
Зависимости g-(co) в реальных кристаллах заметно отличаются от закона
(3.2.6): они являются суммой вкладов от целого ряда ветвей колебаний, если
достаточно мала ширина частотного интервала, где ветвь дает вклад в g(co),
т.е. колебательная ветвь почти горизонтальна (например, оптическая). В этом
случае можно пренебречь разницей в частоте и считать вклад данной полосы
дельта-функцией частоты при со = ©£ (рис. 3.2.4). Такое простейшее
приближение называют моделью Эйнштейна. При частотах, где 5Е/5со= 0, на фукн-
ции g = g(co) имеются резкие перегибы (особенности Ван Хова), там велик
знаменатель в (3.2.3), или, другими словами, малому интервалу со
соответствуют большие объемы q-пространства.
со
Рис. 3.2.4. Дисперсионное соотношение для оптической ветви колебаний (а),
соответствующая плотность состояний (б) и модель Эйнштейна (в)
Суммарное число состояний на единицу объема в каждой полосе,
соответствующей одной ветви колебаний, известно и равно Л^(где N- число
элементарных ячеек на единицу объема в кристалле), т.е. плотность состояний в
полосе нормирована:

00
co)dco = N.
о
Если полоса расположена между comin и сош, то эти величины можно взять
за пределы интегрирования. В частности, в модели Дебая, где суммируются
три полосы колебательного спектра, можно найти верхний предел aD:
СО,, СО/,
Jg(co)dco = j3co3dco /(2л2 vj^) = 37V,
о о
откуда
aD=v0(6n2N)m. (3.2.7)
Характерную максимальную энергию фононов /zcoD - подгоночный
параметр модели Дебая - можно выразить через температурные единицы, что дает
температуру Дебая
@D =haD/kB,
или через эффективный радиус границы зоны Бриллюэна в обратном
пространстве
qD =coD/v0
(сфера радиусом qo занимает в q-пространстве тот же объем, что и зона
Бриллюэна). Фононы с волновым числом q^q^j частотой co~coD, энергией
E~kB&D находятся вблизи границ зоны Бриллюэна.
Учитывая связь плотности состояний по модели Дебая с распределением
фононов по энергиям и свойства функции Бозе-Эйнштейна^вя, легко
заключить, что при Т < 0£> таких приграничных фононов практически не будет
(высокоэнергетическая часть спектра будет «зарезана» экспоненциальным
фактором в/ве в области Тга><квТ):
dN/dE=dN/d(hv) = 3(ukBT/(2n2h2vl); (3.2.8)
спектр имеет максимум при со- kBT/h, т.е. при росте температуры сдвигается
в высокоэнергетическую область. ПриГ>0д условие Йа><квТ выполняется
почти для всех фононов, т.е. распределение почти до ©=сош соответствует
(3.2.8), максимум BN/dE находится на со= сош, а форма спектра фононов не
зависит от температуры - при неизменном распределении Nph по энергиям
пропорционально температуре увеличивается число фононов. При этом
большинство фононов имеют волновые векторы вблизи границ зоны Бриллюэна
*

q~qD, а при Т «&D таких высокоэнергетичных фононов нет, и волновые
векторы q, qo лежат у середины зоны Бриллюэна. Поскольку фононы cq — qD
nq<qD по-разному взаимодействуют друг с другом и с электронами,
процессы переноса (теплопроводность, электропроводность и др.) различны при
T«&D иТ>©0.
При T>@D у большей части фононов длина волны составляет порядка
нескольких межатомных расстояний, а при J <<©д длины волн фононов
могут быть гораздо больше и по порядку величины равны a®D/T.
Несмотря на то, что в модели Дебая используется довольно грубое
упрощение спектра (рис. 3.2.5), a@D является подгоночным параметром, эту величину
часто используют для характеристики степени заполнения фононами спектра
состояний. Для уточнения иногда полагают ©D зависящей от Г (рис. 3.2.6).
Хорошее приближение дает также сочетание модели Дебая для акустических
фононов и модели Эйнштейна — для оптических.
1 I1 I
о, 1013 рад/с
10 15 20 25
Т, К
Рис. 3.2.5. Плотность состояний фононов в меди
{сплошная кривая — эксперимент, штриховая — модель Дебая)
Рис. 3.2.6. Зависимость &п(Т) для индия (определена по теплоемкости)
При соударениях фононов сохраняются энергия и квазиимпульс (с
учетом процессов переброса).
Столкновения фононов связаны с энгармонизмом колебаний атомов и
полностью отсутствуют при точном выполнении закона Гука для потенциала
взаимодействия.
Как и для электронов в периодическом потенциале, динамические и
статические количественные характеристики фононов определяют из
дисперсионных соотношений. При температуре Дебая Т = ©D происходит заполнение
фононами всего спектра плотности состояний. При малых температурах
Т «©£> заполнена лишь низкоэнергетичная часть спектра.

1.3.3. Квазичастщы в твердом теле
Анализ электронных свойств твердых тел и тепловых колебаний атомов
решетки приводит к понятию о квазичастицах - квазисвободных электронах,
дырках и фононах; ниже такой подход распространен на ряд других
коллективных взаимодействий при введении ряда квазичастиц (плазмоны, поляро-
ны, поляритоны, магноны и др.), что позволяет представить квантово-механи-
ческие процессы передачи различных возбуждений в твердых телах в
терминах инерциального движения и парных или трехчастичных соударений.
Концепция квазичастиц. Система многих частиц, частным случаем
которой является кристаллическая решетка, подвергается непрерывному
возмущающему действию внешних сил, являющихся проявлением взаимодействия
решетки с окружающей средой. Слабо возбужденное состояние кристалла
может быть разложено на элементарные возбуждения, распространяющиеся
вдоль решетки, причем свойства их подобны свойствам частиц, т.е. им можно
приписать энергию и импульс, а изменение возбужденного состояния
кристалла описывают как результат столкновения квазичастиц и изменения при
этом их параметров (энергии, импульса, спинового момента).
Введение каждой квазичастицы (табл. 3.3.1) приводит к исключению из
рассмотрения какого-либо механизма коллективного взаимодействия; так,
введение квазисвободных электронов исключает взаимодействие между
электронами и периодическим потенциалом, введение фононов- между
колебаниями соседних атомов. При этом характеристики исключенного
взаимодействия учитываются в свойствах квазичастиц (в дисперсионных
зависимостях Е = Е(к)). Термин «квазичастица» подчеркивает отличие ее от обычных
частиц, так как квазичастицы - результат взаимодействия большого числа
реальных частиц, и в отсутствие этого взаимодействия они либо не существуют
(фононы, магноны), либо превращаются в обычные частицы (например,
электроны). У квазичастиц твердого тела импульс может быть определен с
точностью до величины, пропорциональной вектору обратной решетки, поэтому
для описания их поведения пользуются понятием квазиимпульса.
Плазмоны и экранированные электроны. Вследствие кулоновского
отталкивания средняя плотность электронного заряда около данного электрона
понижена, т.е. вокруг электрона образуется область распределенного неском-
пенсированного положительного заряда. Это приводит к ослаблению,
экранированию дальнодействующей составляющей кулоновского поля точечного
заряда.
В результате коллективно взаимодействующий электронный газ можно
представить как газ слабо взаимодействующих друг с другом, но
экранированных зарядов и газ слабо взаимодействующих друг с другом плазмонов.
Плазмоны являются бозе-частицами, энергия плазмона ha>p! определяется
плазменной частотой колебаний

Таблица 3.3.1
Основные квазичастицы твердого тела
Квазичастица
Квазисвободный
электрон, дырка
Фонон
Экранированный
квазисвободный
электрон
Плазмон
Полярон
Экситон
Поляритон
Магнон
Куперовская
пара
Соответствующая; Учитываемое взаимодействие
элементарная
частица 1
Электрон ! Кулоновское взаимодействие
| электрона с ионами решетки
- ! Взаимодействие тепловых колебаний
; соседних атомов решетки
Электрон ' „ ■
; Кулоновское взаимодействие
электрона с электронами
- ] Взаимодействие колебаний
! электронов твердого тела
Электрон \ Кулоновское притяжение электроном
! положительных ионов и отталкивание
j отрицательных при движении по
\ ионному кристаллу
i
- ! Кулоновское притяжение электрона и
'дырки
Фотон ; Силовое взаимодействие переменного
электрического поля с положительны-
! ми и отрицательными ионами (воз-
'. буждение их колебаний) при
движении фотона по ионному кристаллу
- Взаимодействие ориентации
магнитных моментов соседних атомов
Два электрона '■ Притяжение двух электронов за счет
] обмена виртуальными фононами
Функция
распределения
Ферми -
Дирака
Бозе-
Эйнштейна
Ферми -
Дирака
Бозе-
Эйнштейна
Ферми-
Дирака
Бозе-
Эйнштейна
Бозе-
Эйнштейна
Бозе-
Эйнштейна
Бозе-
Эйнштейна
c*pl=[e2Ne/(me4)f2, (3.3.1)
а импульс р = Йк- волновым вектором к.
Экранирование соответствует исключению из фурье-разложения куло-
новского потенциала длинноволновых мод к < кс; экранированный
потенциал имеет вид
U3Kp -e2exp(-kcr)/(47ieoe|r|) (3.3.2)
(рис. 3.3.1). Поэтому каждый экранированный электрон «не чувствует» поля
частиц, удаленных более чем на к~~с].

AS, эВ
Рис. 3.3.1. Кулоновский потенциал (7),
его длинноволновая (к < кс) составляющая (2), экранированный потенциал (3)
Рис. 3.3.2. Закон дисперсии плазмона в Si в двух направлениях
Рис. 3.3.3. Большой полярон
Длинноволновые моды колебаний потенциала с к < кс относятся к
динамическим колебаниям электронного газа - плазменным колебаниям, которым
соответствуют плазмоны. Значение кс для вырожденного газа оценивают как
kc~®pi/vF-
Концентрация квазисвободных электронов Ne в металлах достигает
1023 см~\ и со /, согласно (3.3.1), составляет 10...30эВ (табл. 3.3.2). В
неметаллах также возможны колебания с участием всех валентных электронов (так,
для С, Si, Ge - по четыре на атом). Из-за квантованности плазмоны не могут
возбуждаться при нагреве (когда характерные порции энергии теплового
возбуждения слишком малы). Возбуждение плазмонов происходит, например,
при движении по кристаллу высокоэнергетичных (Е > 10... 20 эВ) электронов,
при этом последние теряют порции энергии ha>p,, 2Нар1 и т.п. В отсутствие
таких источников возбуждения плазмоны не появляются, однако при этом
вместо квазисвободных электронов с кулоновским взаимодействием следует
рассматривать электроны с экранированным потенциалом - см. (3.3.2).

Таблица 3.3.2
Энергия плазмонов
i " ■ г
1 Элемент Be ; В 1 С
|fito„,. эВ i 19 , 19 | 22
Si
17
Ge
16
Al
15
Mg
10
Cu i Ag ZnS i MgO
20 j 23 | 17 25
В собственных полупроводниках возможны также низкочастотные
плазменные колебания с Ne, соответствующей концентрации электронов
проводимости, которая гораздо меньше атомной; энергия таких плазмонов
составляет порядка 0,01 эВ (инфракрасный диапазон волн). Плазменную частоту в
этом случае определяют с учетом диэлектрической проницаемости е:
ap/=[eX/Vs60)],/2.
Анизотропия решетки сказывается на свойствах плазмонов (рис. 3.3.2).
Поляроны. При движении квазисвободного электрона в ионном
кристалле электроны притягивают положительные и отталкивают отрицательные
ионы, т.е. вместе с ним по решетке движется область поляризации (рис. 3.3.3),
изменяющая динамику электронов и дырок. Деформация решетки приводит к
образованию потенциальной ямы, удерживающей электрон (дырку) в области
локальной поляризации; следовательно, энергия такой системы квантована, а
энергетические уровни находятся в запрещенной зоне ниже дна зоны
проводимости. Движущийся заряд вместе с перемещающейся областью
поляризации представляет собой квазичастицу - полярон. Особенностью полярона
является большая эффективная масса (в сотни раз большая массы электрона), а
следовательно, малая подвижность.
Поскольку энергия полярона меньше энергии свободного электрона в
среде, где отсутствует поляризация, в ряде веществ, например в оксидах
переходных металлов и полупроводниках с узкой зоной проводимости, электроны
проводимости находятся именно в поляронном состоянии. Поляроны,
созданные электроном и дыркой, могут объединяться в систему из двух связанных
поляронов - «поляронный» экситон. Поскольку искажение (деформация)
решетки связано с движением фононов, считают, что электрон окружен облаком
виртуальных оптических фононов, которые вместе с электроном образуют
квазичастицу - полярон. Эта квазичастица характеризуется импульсом Йк.
Дисперсионное соотношение для большого полярона (т.е. с размером
поляризованного облака, существенно большим, чем порядок решетки) в
приближении непрерывной среды при малых к имеет вид
E(k) = -ah(uL+h2k2/(2mpol), (3.3.3)

где (£>L - частота продольных оптических колебаний при к = 0; mpoi- масса по-
лярона; постоянная а, равная удвоенному среднему числу виртуальных фоно-
нов, имеет вид
а = [е 2/(8лб0йш ь)фт'а L /й [1/е(оо) - 1/е(0)];
здесь е(0), е(оо) - диэлектрическая проницаемость кристалла при
низкочастотном и высокочастотном пределах (табл. 3.3.3); т* -эффективная масса.
Таблица 3.3.3
Значения б (0) и б (со) для различных кристаллов
Кристалл
NaCl
KCI
Cu:0
AgCl
а, им
5,63
6,28
2,46
5,55
Е(0)
5.6
4.7
10.5
12,3
Е(оо)
2,2
2,1
4,0
4,0
Размер полярона при а< 1
rp=p/(2mpol(uL)
составляет (10... 100) а.
При а> 1 формула (3.3.3) неприменима и
"V = w*(1 + a/6)'
а радиус гр уменьшается пропорционально 1/а. При а» 1 полярон мал, т.е.
г < а, и т j » т*. Предельно тяжелым поляроном является неподвижный
локализованный электрон с т ы ->оо. Электрон в малом поляроне создает
себе в результате поляризации потенциальную яму глубиной
Е'=а2Йю1/4.
Экситоны. Под экситоном понимают электрически нейтральное
элементарное возбуждение в кристалле, обусловленное появлением пары связанных
друг с другом электрона и дырки. Если энергия возбуждения электрона
валентной зоны меньше ширины запрещенной зоны, то он не сможет перейти в зону
проводимости, однако электрон способен удалиться от атома, оставаясь
связанным силами притяжения с образовавшейся дыркой. Связанная пара
электрон - дырка может перемещаться вдоль кристалла, но, будучи электрически

нейтральной, не создает тока. В то же время такая пара, как и любая
квазичастица, обладает энергией и квазиимпульсом. Движение экситонов вызывает
перенос энергии в решетке.
Энергия экситона квантована и характеризуется набором дискретных
квантовых чисел, энергетические уровни располагаются в запрещенной зоне,
причем они не являются локальными, поскольку экситонное состояние
соответствует возбуждению всего кристалла. Увеличение энергии экситона
сопровождается переходом на более высокие энергетические уровни, и при
достаточной энергии электронно-дырочная пара разрывается с образованием
свободных электрона в зоне проводимости и дырки в валентной зоне.
При образовании экситоиного состояния существенную роль играет
величина энергии связи между электроном и дыркой. Выделяют две различные
модели, соответствующие предельным случаям. Экситон характеризуется
волновым вектором к, соответствующим движению экситона как целого, и
расстоянием между электроном и дыркой Р; экситоны подчиняются
статистике Бозе - Эйнштейна, образуя бозе-конденсат, экситонные молекулы,
электрон-дырочные капли.
Экситон с удаленными друг от друга частицами Р » а- экситон Ваннье -
рассматривается как два заряда, находящихся в среде с диэлектрической
проницаемостью б и взаимодействующих по кулоновскому закону, т.е. как водо-
родоподобный атом, но с малой массой ядра (сравнимой с массой электрона)
и с уменьшенными в б2 раз силами притяжения. Энергия экситона Ваннье
E = AEg -^е4/(32п2е20г2П2п2) + П2к2/[2(т* + m'h)]; (3.3.4)
здесь первый член - ширина запрещенной зоны, второй — энергия связи,
третий - кинетическая энергия движения экситона; ц - приведенная масса,
(.Г =(т*у +(/?//*)" ; п = 1, 2, 3,...- квантовое число, характеризующее
энергетический уровень экситона (рис. 3.3.4). Радиус экситона с квантовым
числом п выражается формулой
R„ =n2Emea0/\i,
где ао - боровский радиус.
Другой предельный случай, когда электрон и дырка движутся в пределах
одной элементарной ячейки кристалла, соответствует экситону Френкеля. В
этом случае анализ проводят в терминах возбужденных состояний отдельных
атомов. Важная общая черта у экситонов Френкеля и Ваннье заключается в
том, что энергия возбуждения может последовательно передаваться по
решетке, т.е. экситоны движутся, и их энергия выражается формулой типа
(3.3.4) (движение заключается не в перемещении зарядов, а в передаче
возбуждения вдоль решетки).

Рис. 3.3.4. Энергетические уровни экситона Ваннье
Рис. 3.3.5. Фонон-поляритон (а) и его распад (б)
Рис. 3.3.6. Окрестности пересечения двух дисперсионных кривых
(со = ск — для фотонов и со = со , — для экситон-поляритонов)
В процессе хаотического перемещения по кристаллу экситон может
взаимодействовать с другими квазичастицами или дефектами структуры. При
этом изменяются его энергия и квазиимпульс. Экситонное состояние при
столкновениях может быть разрушено.
В результате либо образуются свободный электрон и дырка, либо
испускается фотон, а избыточная энергия передается решетке.
Среднее время жизни экситона составляет 10 ... 10 с. Движущийся
экситон может также быть захвачен одним из узлов или дефектов решетки и
локализоваться в их области. Возможно объединение экситонов в комплексы с
образованием экситонных молекул или ионов.
Экситонные уровни заметно влияют на спектр поглощения, а также на
процессы, связанные с переносом энергии возбуждения в кристалле.
Поляритоны. Электромагнитные колебания (фотоны) взаимодействуют с
тангенциальными волнами поляризации - тангенциальными (поперечными)
оптическими фононами (при поляризации ионной компоненты) и экситонами
(для электронной компоненты), такое взаимодействие заключается во
взаимном превращении фотонов и квантов поляризации (т.е. фононов или
экситонов, рис. 3.3.5).
Дисперсия квантов поляризации невелика, т.е. их дисперсионные
зависимости вида со-со0= const (почти горизонтальные) пересекаются с линейно
растущей зависимостью для фотонов а-ск (рис. 3.3.6), причем пересечение

происходит при малых значениях к. В окрестности точки пересечения
взаимодействие между этими квазичастицами столь велико, что ни одну из них уже
нельзя рассматривать как маловозмущенную, т.е. имеет место единый
колебательный процесс, в котором участвуют и вещество, и электромагнитное поле.
Он характеризуется квазичастицами - поляритонами, являющимися бозонами.
Для экситон-поляритонов в приближении сплошной среды
дисперсионное соотношение определяется уравнением вида (см. рис. 3.3.6)
Е4-Е2(Е2,-Е22) + Е2]Е22+4Е]Е2Е23 =0,
где Е , = Пек; Е , = Пир1^\ + хе1%,\ Е 3 =i^jxeckh2/{4ар1^\ + хе1%1 )'■> 3Десь
Хе -диэлектрическая восприимчивость. При больших значениях £ ветви
соответствуют чисто фотонной ((й = ск) и чисто экситонной (со=ю;)/)
зависимостям. При малых к первая стремится к постоянному значению
со= &р1^\ + х/cog ■.а вторая - к началу координат, причем угол наклона меньше
скорости света в -УЕ(°°) Р33- Для фонон-поляритонов дисперсионное
соотношение имеет вид
i4 -со2[со2 + с2к2/е(со)] + (й'т с~к2/е(со) = 0,
со
гдесо^, сог -частоты продольных и поперечных фононов при к = 0 (рис. 3.3.7).
Верхняя ветвь при к —> 0 стремится к со= &L, а при к —> оо приближается к
линейной зависимости от к, однако скорость распространения таких полярито-
нов в уе(со) раз меньше скорости света. Нижняя ветвь имеет наклон сД/б(0) и
затем стремится к со= а>т.
Ю м
???????
Рис. 3.3.7. Дисперсионные кривые для фонон-поляритона
Рис. 3.3.8. Спиновая волна в одномерной цепочке:
а - пространственное представление; б - вид сверху

Магноны. Атомы твердого тела могут обладать магнитным моментом,
связанным в основном со спинами s электронов, причем при низких
температурах в кристаллах эти магнитные моменты упорядочены. Существует
сильное влияние Гна магнитную структуру ферромагнетиков: с ростом Гначинает
нарушаться строгая упорядоченность магнитных моментов.
Слабые нарушения упорядоченности расположения спинов,
происходящие в результате возбуждения твердого тела, распространяются в виде
спиновых волн (рис. 3.3.8). Ситуация сходна с тепловыми колебаниями, когда
вследствие взаимодействия соседних элементарных ячеек энергия
взаимодействия распространяется по кристаллу. Спиновые волны также квантуются,
соответствующая квазичастица - магнон; при малых плотностях магнонов их
рассматривают как бозе-частицы с квазиимпульсом Йк. Закон дисперсии для
одноатомного кубического кристалла ферромагнетика имеет вид
E(k)=$/v(l-cos*a) + P, (3-3.5)
где I- обменный интеграл, I - квТс; v- число ближайших соседей. При ка « 1
из (3.3.5) следует
E(k) = /z2k2/(2m*),
где
пС =h2/(vsla2)
_ О
- эффективная масса магнона, при v = 6, s = 1 /2, а = 10 см
т* *\0*те/Тс
(Тс - в кюри). С повышением температуры количество магнонов возрастает
пропорционально Г ", поэтому намагниченность насыщения Ms спадает
(закон трех вторых Блоха):
Ms(T)/Ms(T = 0) = \-A(T/Tc)m,
где А - константа, зависящая от типа вещества.
На переориентацию спиновых моментов затрачивается энергия,
следовательно, магноны увеличивают теплоемкость ферромагнетика. Особенно
заметен их вклад при низких температурах, где фононная теплоемкость,
пропорциональная Т , быстро убывает.
В кристаллах с многоатомным базисом кроме акустической ветви (3.3.5)
имеются еще и оптические.

Куперовские пары. При низких температурах Т < Ts (где Ts - 0,10 D -
критическая температура ) в веществах с сильным электрон-фононным
взаимодействием акт рассеяния электрона на неоднородности решетки вызывает
локальное смещение ионов решетки полем электрона и появление нормального
колебания в решетке, т.е. фонона, который распространяется по кристаллу и
может быть поглощен вторым электроном. Между электронами,
обменивающимися фононами, возникают силы притяжения, превышающие кулоновские
силы отталкивания и приводящие к объединению электронов в пары (куперов-
ские пары), причем энергия пары связанных электронов меньше энергии
свободных электронов на величину энергии связи.
Наибольшую вероятность объединения в пары имеют электроны,
импульсы и спины которых равны и антипараллельны, а энергии близки к EF.
Образуются как бы молекулы из двух электронов, обладающие равными нулю
импульсом и спином, т.е. куперовские пары являются бозонами и собираются
(конденсируются) в упорядоченный, связанный коллектив на одном
энергетическом уровне, лежащем ниже уровня Ферми на величину Д.
Пространственная протяженность волновой функции одной пары
электронов имеет порядок длины когерентности ^ (в чистых сверхпроводниках
^~]0~ м, а при наличии примесей уменьшается пропорционально 1е ~, где/е-
длина свободного пробега). В то же время среднее расстояние между парами
составляет порядка 1(Г м, т.е. волновые функции электронов перекрываются,
и пары не изолированы друг от друга, а упорядочены. Силы взаимодействия
между коллективными куперовскими парами приводят к появлению в
спектре плотности состояний электронов энергетической щели шириной 2Д
(рис. 3.3.9), причем значение 2Д гораздо больше энергии связи одной пары
(при Т= О К, 2Д(0) = 3,52квТ3). Поэтому пара электронов, движущихся в
кристалле, не может возбудиться, т.е. получить энергию от решетки. Иными
словами, пары электронов не рассеиваются решеткой (пока порция энергии не
достигает 2Д); их полный импульс не меняется и равен нулю.
Наряду со связанными в куперовские пары электронами в кристалле при
О < Т< Ts имеется некоторое количество несвязанных, квазисвободных
электронов на уровнях выше запрещенной зоны - обычных электронов
проводимости. Распределение Ферми записывают для них в виде
ЯЕ) = [ехр(Е'/(ВД) + !]-',
1) Критические температуры Г, изотопов элементов, переходящих в
сверхпроводящее состояние, связаны с массами изотопов Ма, соотношением Ts(Mal)m = const
(изотопический эффект).

ТСТ
Рис. 3.3.9. Диаграмма распределения
по энергиям плотности состояний электронов в сверхпроводнике
Рис. 3.3.10. Зависимость величины энергетической щели Д от температуры
гдеЕ' = (Е +Д ) ;Е—энергия, отсчитываемая от уровня Ферми. Поскольку
А > квТ, величина /(E) мала, и, следовательно, мала концентрация
несвязанных электронов.
При Т— 0 ширина энергетической щели 2Д(0) = 3,52 квТх. С ростом
температуры кристалла усиливаются колебательные движения атомов, появляются
фононы с энергиями, способными разрушить пары и уменьшить
упорядоченность системы электронов. Одновременно затрудняется распространение фо-
нонов между электронами пары. Все это приводит к уменьшению ширины
щели, и при Т= Ts величина Д(Г) обращается в нуль (рис. 3.3.10).
Одновременно разрушаются упорядоченные куперовские пары, и электронный газ
переходит в обычное состояние.
Вещества с высокой электропроводностью при высоких температурах
характеризуются слабым электрон-фононным взаимодействием, поэтому у них
не образуются куперовские пары и не возникает сверхпроводимость.
Некоторые свойства кристаллов представлены в табл. 3.3.4.
Введение квазичастиц — прием, позволяющий описывать коллективные
возбуждения многих взаимодействующих частиц тела как движение
свободных квазичастиц, а изменение возбужденного состояния кристалла — как их
столкновения. Введение квазичастицы исключает из рассмотрения
какой-либо тип коллективного взаимодействия, причем свойства этого
взаимодействия учитываются в дисперсионном соотношении.
1.3.4. Закономерности взаимодействия частиц и квазичастиц
Кинетика процессов в твердом теле может быть представлена в виде
движения и столкновения квазичастиц. Приведены количественные оценки и
проанализированы тенденции изменения частот, длин пробегов и сечений
рассеяния для основных типов соударений, влияющих на транспортные, on-

s
a
e
о
си
а
<u
И
X
h
o
о
в.
с
в
о
я
н
и
S
о.
»
я
а
н
о
)S
о
а
U
1-
a
3.57
0.205
3.75
0.088
4.48
Ne
4.46
1.51
0.02
р|
In
О
no го 1 I |
«О
vn v-> "*!
U го го "-
2230
1 ^ ~ I J
И 1 см v> 1 1
Постоянная решетки axlO-10, м
Плотность, г/см3
—. Энергия связи элементов, эВ/атом
г-- гч го
см во го
(S гч - rS
Li
3.491
0.542
1.65
Li
<
О
ОТ
5.31
1.77
0.080
92
2.03
2.86
а,
от
<
"—" Температура Дебая 0, К
""""-» Электропроводность, х Ю^, Ом-1 • см-1
1440-
3.08.
344
1.07
СИ
S
а
Z
5.430
2.33
4.64
645
VI О * 00 "Л
О Г; Г1 ^ «
TJ* сч' ГО* *N* ГО
3.21
1.74
1.53
400
2.33
4.255
1.013
1.13
158
2.11
и:
и
03
V
ОТ
1Л
<
я
О
е
N
а
и
Z
о
О
и.
С
«5
и
>
н
ел
а
и
«
5.64
3.09
0.116
72
4.05
1.22
4.81
2.13
90
Г- о «Ч I
"^ zi <*>
1 «пм 1
Я N Г- ^ I
■g го оо г-
^ щ го го |
1 н»0Г>
| О Г~ см '"&
1 in см' «о о
\о m vi гч. а\
no — го см чэ
см S —' «*> —'•
— го О го оо
NO ON VO Tt во
ГО QO ГО ГО in
3.52
8.91
4.435
450
1.43
<м о» £ "* -
Г-- Г^ ON о ГЧ
во ОО CN г~ О
I г- во о Р
1 г~ CN ■* q
во On О О 00
ОО — ~ К Г-
СМ [-: т)- NO о
ГО CN О О О
О О го во "0
ГО NO WO* ГО ©
2-2 о "
04 "о во гч гч.
N ■» ,: ■* о
-~ On ГО о —
ГО ON ON ф ГЧ
го ri го го о
1
во го JCJ О °°
"0 W0 во ГО Г-;
in —' _j гч гч
"5.225
0.91
0.941
91
!.39

го
ю
а
н
и
к
X
я
Я
о
О
3
CS rs
^ ю (N о "*
-* г-. —; о о\
щ ю ri f^ о
"5 о> « и f
CN CN ^ О —'
m ^ <n - _:
- SSSS
3 cs oo _; cs
O "1 Ov ,s1 CS
•>* 2 cs cs \o
£Г
43 •*- 1Л
rn ^ X?
2 «ни---
cs о
о 2 Й о ~
oo 4 JC oo О
« 2 vi ^ N
£ ri =
£ Я 2 © £
- ^ я n M,
« 2 " "■ -
С OO Г-* и-, CTv
_ f»} u-1 TJ; r-~ vq
^ rS OO Г-' «^ О
N)
о - S - 4-
CS «П m Оч CS
nuijQ м о
!Я 5 oo О г-
m •* ^ N О
u-| 0\ OO _
oo (S vn vo S
ja тюсойЗ
Вй «-> — О °
От о, N
OO -H _ CS
C\ cs —' о
ov n q о §
£ ^ - cs - ь
vo С r- vi oo
'.""«it
— — — -- о
H ^ =
Is?
о t- О
Я cs 2? "л О
p 2- r-. \o —
^ •* £ m — о
=* ^ £ ^ •n
S. m cs1 ^ ™ ■*
"* S " о <о
t* Г1 J^ УЗ ^t «
8^
v : —
oo ^ О
« N щ
rS £ oo
Q ЧО Ov y.
<* cs £ гч £
<~ ~ -; m. vi >*J
щ m 2 vo N О
^ Ol M ri
чо -: — О
cs ст\ vo <-> **>
О v-i oo „ cs
И vi rS « ~ о
So is oo S
(J ЧО — О °
й S ^ 2 -
^ СЛ CTv S «^ О
Yb
5.48
6.97
1.5
120
0.38
Tm
3.54
9.32
2.6
0.16
Er
3.56
9.04
3.3
0.12
oo о о I ro
e vi oo 4 —■
д r-i oo m Id
CTv en q —«
Ю VI . _ —
Q* ГП 00 m CS с
ТЬ
3.60
8.27
4,1
0.090
m CTv tj- о S
TJ «3 °° ". 8 о
О "> t- *■ «^ 6
«П ю О 1 —
oo cs oo —
£ ■»«->-: Id
Sm
7.54
2.11
0.10
E
ft.
Nd
3.66
7.00
3,35
0.17
Pr
3.67
6.78
3.9
0.15
VO Г- Г~ I CS
„ -: f-. r-: -
£J vi vo tj- 1 О
*
J
О
Z
■o
S
E
In
О
ва
E
о
Am
3.64
11.87
2.6
Pu
19.81
4.0
0.070
Np
20.45
4.55
0.085
1РБЙ
Pa
3.92
15.37
5.46
Th
5.08
11.72
5.926
163
0.66
£ P

тические и другие свойства твердых тел. В начале рассмотрены процессы
упругого и неупругого рассеяния потоков электронов, затем фононов и,
наконец, поглощения и рассеяния фотонов.
Количественно рассеяние квазичастиц описывается в тех же терминах,
что и рассеяние частиц в газе или плазме (сечение Е, длина свободного
пробега /, частота столкновений v= 1/т).
Понятие сечения для описания взаимодействия двух волн требует
пояснения. Рассмотрим элемент объема среды, в котором содержится TV
рассеивающих центров (рис. 3.4.1). В этом объеме через поперечное сечение А проходит
поток частиц, или волна, с интенсивностью /о- После прохождения TV
рассеивающих центров интенсивность потока становится равной 1\. Таким образом,
потери на рассеяние /, = 1о~1\. Значение Е определяют с помощью
вероятности рассеяния: I Jl0 =(/0 -7,)/70 = NL/A. Соотношения между Е, /, v, т такие
же, как и в газовой плазме для рассеяния частица на частицах р.
Если имеются рассеиватели различных типов (например, Р и у), то (при
отсутствии взаимодействия между процессами рассеяния) суммарная частота
столкновений определяется суммой частот (va(p+y) - vap + VpY), а полное
сечение рассеяния Е объема V является суммой отдельных сечений
^v : "полк = 2-i^v . (Для рассеяния квазисвободных электронов при про-
v
хождении электрического тока подобное соотношение известно как
правило Матиссена.)
Описание процессов рассеяния как правило требует проведения сложных
квантово-механических вычислений.
Рассеяние электронов. Основные процессы рассеяния электронов,
обсуждаемые ниже, представлены в табл. 3.4.1.
"к?
т=т«/2
Дк
Упругое Неупругое
рассеяние
Рис. 3.4.1. Сечение и вероятность рассеяния
Рис. 3.4.2. Волновой вектор первичной (ki)
и вторичной (к2) волн при упругом и неупругом рассеянии

Таблица 3.4.1
Основные процессы рассеяния электронов
Рассеиватели
Квазисвободпые электроны
ke+kv
^V^^
!¥v
k',-kv
А
\&е
\ЛУ
k'e+Ake+G
Электроны внутренних
оболочек
*>
г
Фононы
k',=ke-q
k< ,s
*к
^
q
к'
Q2 Я-Г
42
Плазмоны по валентным
и внутренним оболочкам
к'г
кг »
■Ы^
bmpi
Тип рассеяния
Нормальное
рассеяние
Рассеяние с
перебросом
Рождение
электрон-дырочных
пар. ионизация
впутренних
оболочек
Однофононное
рассеяние
'
Двухфононное
рассеяние
Рождение
плазмонов
Влияние
Воздействует на релаксацию
функции распределения
к стационарной (не влияет
на перенос теплоты и заряда)
Влияет на перенос
теплоты и заряда
Влияет на торможение
быстрых электронов
Определяет (почти) упругое
рассеяние при температурах Т > @D
электропроводность металлов и
диэлектриков
Значительно
менее эффективно,
чем однофононное
Влияет на торможение
быстрых электронов

Рассеиватели
Магноны
Дислокации
Точечные дефекты
ке
к*
Ионы р
ке
ке
ешеп
Ке
к'е
vWW
q
ГКИ
k'e
wvw
q
k'e
-kv
Тип рассеяния
-
Рассеяние на
заряженных
дефектах
Рассеяние на
нейтральных
дефектах
Рассеяние на
дефектах с
магнитным
моментом
Рассеяние на
частично
экранированном
заряде ядра, с
рождением фонола
Рассеяние на поле
ядра с рождением
фотона
Влияние
Существенно влияет на
электропроводность и теплопроводность
переходных металлов при
температурах Т >Т(-
Влияет на электропроводность,
теплопроводность металлов
при низких температурах
Влияет па электропроводность
легированных полупроводников
(в меньшей мере на электро- и
теплопроводность металлов при
7" <<©«)
Сечение рассеяния медленных
электронов значительно меньше,
чем у заряженных дефектов
Влияет на рассеяние медленных
электронов в металлах и
полупроводниках с примесями переходных
металлов при низких температурах
Влияет па торможение быстрых
электронов: сечение рассеяния не мало лишь
для высокоэнергетических электронов;
тепловые электроны не рассеиваются
ионами правильной решетки
Влияет на торможение быстрых
(релятивистских)электронов
Электрон-электронные столкновения. Нормальные процессы. В
невырожденном электронном газе твердого тела (в полупроводниках) электроны
взаимодействуют друг с другом как кулоновские заряды в среде с
диэлектрической проницаемостью б, т.е. сечение взаимодействия считают резерфордов-
ским с точностью до б.
Качественно иная ситуация складывается в вырожденной плазме, где
запрещены переходы на занятые состояния с энергией, меньшей EF -kBT.
Выражение для вероятности рассеяния имеет вид
W = a(kBD2/(EFh),a^l,
сечение
Е =W/(vene) = a(kBT)2^/(EFh^2E~ne),

где пе - концентрация валентных электронов. Усиление рассеяния при
удалении энергии электрона от уровня EF объясняется ростом фазового объема
слоя, где расположены состояния, которые могут участвовать в рассеянии.
Нормальные электрон-электронные столкновения влияют в основном на
скорость релаксации функции распределения электронов к равновесной, ферми-
евской. При них от электрона к электрону передаются и энергия, и импульс, а
потому такие процессы никак не влияют на перенос энергии и заряда при
условиях, близких к равновесным.
Электрон-электронные рассеяния с перебросом. При рассмотренных
выше нормальных процессах и начальное, и конечное состояния лежат в
одной зоне Бриллюэна; в другом случае - при переходах между точками,
находящимися в соседних зонах Бриллюэна (в представлении повторяющихся
зон), в представлении приведенных зон происходят внезапные скачки с
одного края зоны Бриллюэна на другой - процессы переброса Пайерлса, такие же,
как при фонон-фононном рассеянии (см. разд. 1.1.3). Тогда вместо закона
сохранения импульса имеем
Pi + Р2 = Pi + Р2 + ЙС .
где G - вектор трансляции обратной решетки. Чтобы переходы имели
значительную вероятность, и исходные, и конечные состояния электронов должны
быть близки к поверхности Ферми (тогда малы изменения энергии при
переходах). Отсюда с помощью простейших геометрических построений легко
заключить, что для того, чтобы импульс хотя бы одного электрона мог после
рассеяния «достичь» поверхности Ферми в соседней зоне Бриллюэна, в
представлении повторяющихся зон необходимо, чтобы поверхности Ферми в
соседних зонах находились близко друг от друга, на расстоянии, не большем
| G |/4. Это условие выполняется для всех известных кристаллов. В результате
электрон-электронные переходы с перебросом возможны практически во
всех случаях, и электрон-электронное рассеяние вносит вклад в электро- и
теплосопротивление.
Электрон-электронное рассеяние быстрых электронов. Эти процессы
при Ег » EF происходят главным образом упруго и в многочисленных
малоугловых рассеяниях: время «диффузии» в k-пространстве распределения
быстрых электронов, имевших вначале импульс Йк0, в нормальном к к0
направлении (т.е. по изоэнергетической сфере, рис. 3.4.2),
t± = ^ее/2
намного меньше времени диффузии в продольном направлении (т.е. с
изменением энергии):

Ц~Ье1{квТ)хее»хее.
Соответствующие сечения:
si =2/(xeeve«e) =2/(xeene^2Ee/me),
. (3.4.1)
Ц=квТ/(хееЕеперЕе/те).
Здесь хее - элементарное время рассеяния:
l/x„ =Ау[2ппее4 Е;3/2/[е2(т*Гш] = 8пАЕвпек-3/й,
гдеборовская энергия Ев =т*е4/(Й2Б2); б-диэлектрическая проницаемость;
Л - кулоновский логарифм, Л= \п(к/к*); в больцмановском газе
(полупроводники)
к* =тах(кТ,г^),
в вырожденном газе (металлы)
к* = max(kF,rfF)\
здесь кт - волновое число, соответствующее kBT;rD, rTF - радиусы
экранирования заряда в невырожденном и вырожденном газе соответственно. Л - слабо
меняющаяся функция, т.е. рассеяние быстрых электронов на электронах
вещества определяется концентрацией пе и слабо зависит от степени вырождения.
Электрон-плазмонное взаимодействие. Для возбуждения плазмона
необходимы энергии порядка десятка электронвольт и локальная флуктуация
плотности заряда. Эти условия выполняются при прохождении через твердое
тело высокоэнергетичного электрона, возбуждающего один или несколько
плазмонов. Сохранение энергии при этом акте приводит к тому, что энергия
быстрого электрона теряется дискретными порциями, равными энергиям
плазмонов Йсо_/.
Рассеяние электронов на ионах решетки. Этот процесс имеет заметные
сечения при энергиях 0,01...] МэВ: медленные электроны, как отмечалось, не
рассеиваются правильной решеткой. Сечения рассчитывают в приближении
одного рассеивающего центра, т.е. задача аналогична рассеянию электрона на
ионе в газовой плазме; поскольку для искривления траектории высокоэнерге-
тичных электронов необходимы сильные поля, которые есть лишь вблизи
ядер, поля рассеивающих центров можно считать кулоновскими с зарядами,

равными зарядам ядер, а сечения взаимодействия вычислять по формуле Ре-
зерфорда, определяющей сечения рассеяния заряженных частиц в газовой
плазме. Более точные теории учитывают частичное экранирование поля ядер
внутренними электронами. В результате рассеяния на ионе электрон почти не
теряет энергию, но может значительно изменить направление движения. В
терминах квазичастиц, при рассеянии рождается фонон с относительно
небольшой энергией, но большим квазиимпульсом, этот процесс влияет на
траекторию быстрых электронов в твердом теле (см. разд. 1.5.4).
Рассеяние электронов с рождением фотона. При рассеянии электрон
испытывает ускорение, что вызывает излучение электромагнитных волн.
Особенно велика вероятность передачи энергии фотону при торможении
релятивистских электронов. Такой процесс потери энергии при энергиях
Ее> 10 МэВ определяет тормозную способность (см. разд. 1.5.4).
Рассеяние электронов на фононах. Достаточно сложный квантово-меха-
нический процесс рассеяния электронов на коротковолновых фононах можно
грубо представить как взаимодействие с атомами, вышедшими из «строя»
периодической решетки и поэтому представляющими собой центры рассеяния.
В качестве простейшей модели рассмотрим для сечения рассеяния
величину, выражающую квадрат амплитуды колебаний идеальных узлов решетки
Е = (Ла)2=52.
Для оценки 8 используем модель Эйнштейна: заменим сложный фоно-
нный спектр набором осцилляторов, плотность которых равна плотности
атомов па, причем все осцилляторы имеют одну и ту же собственную частоту.
Степень теплового возбуждения осцилляторов описывается функцией
Планка - Бозе — Эйнштейна:
EpA-faoe/{exp[/zcoe/(A:sr)-l]}.
Если не ограничиваться оптическими фононами, то в этом приближении
можно рассматривать только предел высоких температур, T»&D:
Eph^hG>E/[l + hvE/(kBT)-l] = kBT.
Гармонический осциллятор совершает колебания с амплитудой 8:
Е^Мо^б2.
Отсюда при Т » & £
б2 =kBT/(Ma2E) = kBTh2/(Mk2B®2E).

Сечение рассеяния и длина свободного пробега
z = п2т/(Мкве2Е), i = MkB®2E/(ti2naT).
Напомним, что при таких температурах число фононов с ростом Т линейно
увеличивается при постоянном спектре, т.е. сечение Ъ пропорционально
числу фононов. Это согласуется с представлениями о столкновениях свободных
частиц. Для обратного времени столкновений получают:
в полупроводнике
1/т = h2 naTl(MkB®2E)^kBTm ~ТШ;
в металле
l/x = xFti2TnJ(MkB®2E)~T.
При низких температурах требуется учет изменения спектра фононов: в
этом случае поглощаются и испускаются лишь фононы с малым модулем q,
так что при каждом акте рассеяния к импульсу электрона может добавляться
лишь небольшой импульс фонона, и рассеяние происходит на малые углы
(рис. 3.4.3). Чем ниже температура, тем меньше q и возможные углы
отклонения электронов. Тогда обратная длина пробега электронов по отношению к
рассеянию на фононах выражается формулой вида1'
l/l, = NZa[fi2k2DkBT/(Mk2®2D)W/®D)4 \4y4dy/(ey -l),
о
где Е„ - среднее по углам рассеяния сечение рассеяния электрона одним
атомом; переменная интегрирования y=kB©D/(kBT),kB®D/{kBT) = Jig\s/(kBTy,
tig—импульс фонона; hkD — дебаевский импульс, hkD\s=kB®,N— концентра-
Рис. 3.4.3. Электрон-фононные нормальные процессы:
а - при высоких температурах; б — при низких температурах

ция атомов; Еа - полное сечение рассеяния электрона изолированным атомом.
При Г >0D интеграл стремится к (0D/T)4, и в результате
\/ii = m:ah1klkBTl{Mk1B®2D).
С учетом формулы Линдемана (см. разд. 1.3) длина свободного пробега
I^SOaTjT,
или сечение
Z = T/(50TmNph),
где длина а определена так, что а - объем элементарной ячейки; Тт -
температура плавления. При Т «&D интеграл стремится к постоянной (равной
124,4), а сопротивление оказывается пропорциональным Т5. Эта сильная
температурная зависимость представляет собой характерный квантовый эффект,
подобный дебаевскому закону пропорциональности Т 3 для теплоемкости.
Здесь N h -число фононов в дебаевском спектре. Соответствующее сечение
Е = (N/N ph)Za\24Ah2k7hT5 /(MkB®6D).
Эти зависимости являются приближенными. Среди источников
погрешности следует отметить влияние процессов переброса, анизотропию
кристалла, неучтенную зависимость сечения рассеяния от угла рассеяния, недебаев-
ский спектр фононов.
Двухфононное рассеяние электронов. Это процессы трех типов:
испускание при рассеянии электрона двух фононов; поглощение двух фононов с
передачей энергии электрону; рассеяние фонона на электроне, т.е. поглощение
одного фонона и испускание другого.
Сечения двухфононных процессов Е2 меньше, чем сечения однофонон-
ных £,; при оценках можно считать, что
(1/т2)(1/т1)-КМ)1/2«1-
Двухфононные процессы могут играть роль, лишь если по каким-либо
причинам (законы сохранения, квантово-механические правила отбора)
запрещены однофононные процессы.
Рассеяние электронов на ионизованных дефектах. Примесные атомы,
как правило, имеют заряд, отличающийся от заряда атомов решетки;
причиной может быть другая электроотрицательность и (или) валентность атома
примеси. Для количественного описания используют аналогию с резерфор-
довским рассеянием.

Сечение определяется кулоновским рассеянием, как и при столкновении
заряженных частиц в газовой плазме; в невырожденном электронном газе
(полупроводники) неплохое приближение дает «плазменная» формула вида
л 2Ry2
2,=7га£-^-1п(1/у + 1), (3.4.2)
s Ек
= С2/г2,С=^
1 е2 1
2 4ле0е Ек
здесь га — среднее межионное расстояние; Е^ - начальная кинетическая
энергия электрона. Некоторые отличия связаны с возможным вырождением
электронного газа, дебаевским экранированием (см. разд. 4.1) и с поляризацией
среды (описываемой в терминах диэлектрической проницаемости). В
результате можно получить обратное время пробега в виде
1/т = л,-Л[1п(1 + В) -5/(1 + В)].
Соответствующие сечения для полупроводников
£ = А^т*/(2Е)[Ы(1 + В)-В/(1 + В)],
для металлов
£ = Ayjm*/(2EF)[ln(\ + B)- В/(\ + В)].
Параметры А и В различны для случаев вырожденного и невырожденного
газа, так как различны /. Для полупроводников
для металлов
А=е4г2/(\6лт1ь7г2Е20Еш),
В = 8m*880 kBTE/(zth2e2rii),
A = z2tne4hkF/(2m*E2F),
B = 2nh2kF/(z*m*e2);
здесь z» - заряд иона примеси. Для металлов т не зависит от Т, количественно
по отношению к электрон-фононному взаимодействую рассеяние ионизован-

а б
Рис. 3.4.4. Зависимости сечения рассеяния на ионизованных
дефектах от их концентрации: я - невырожденный электронный газ
(полупроводники, Е^ =3/2квТ); б-вырожденный (металлы Ек =Е,.-);
1 - расчеты без учета экранирования и вырождения (по плазменной
формуле), 2-е учетом этих процессов
ными центрами в металлах играет значительную меньшую роль, чем в
полупроводниках (за счет более сильного экранирования заряда), и заметно только
при криогенных температурах. В невырожденном электронном газе сечение
рассеяния не зависит от концентрации электронов пе и слабо зависит от
концентрации дефектов я* (рис. 3.4.4а). Поэтому приближенно считают сечение
£, не зависящим от концентрации и пропорциональным Е^2 (рис. 3.4.5). В
рамках этого приближения получают для времени релаксации импульса в
полупроводнике
Тщ =1/(утепл",£,)~Е1/2/",-
Сечения рассеяния на ионизованном дефекте на много порядков больше,
чем на фононах (Zph = 10 лад). Так как концентрация па дефектов на много
порядков ниже концентрации колеблющихся основных атомов, в целом
рассеяние на ионизованных дефектах имеет значение только при невысоких
температурах.
Эффективные заряды z„ в металлах не равны в точности разнице
валентностей примеси и основных атомов z-zo, на них влияет наличие избыточного
объема bV, занятого примесью, а точнее, изменение средней постоянной
решетки при введении примесей:
z, = z - z0bVJV.

Так, введение в медь серебра дает 5 Vja\ = 0,32 и z„ =-0,32 вместо нуля (у Ag и
Си одинаковые валентности), а введение меди в серебро дает 8V а =-0,185 и
z» = 0,185. В табл. 3.4.2 приведен ряд примеров значений z„ и соответствующих
добавочных сопротивлений, связанных с сечениями рассеяния Е, формулой
p = N'hkFzJ(nee2),
где N' - концентрация примеси; пе - концентрация электронов, определенная
по валентности металла.
Таблица 3.4.2
Заряды и относительное влияние примесей на сопротивление металлов
1
Примесь в металле j
NieCu j
Ge в Си !
Аи в Си i
Аи в Ag
Sn в Ag
Ag в Au
Си в Аи 1
Zn в Аи j
* Традиционная единица измерения
содержание с коэффициентом 100
Z.
-054
2.09
-0,52
0.01
2,34
-0.15
0.34
i
1
Н —
!
... :.._.
!
Др, мкОм • см/%(ат.)
1,11
3,79
0.55
0.38
4,3
0,36
0.45
1,26 ; 0.95
«атомный процент» переводится в парциальное
Рассеяние электронов на нейтральных примесях (в полупроводниках).
Его можно приближенно описывать в таких же соотношениях, что и для
рассеяния электрона на нейтральном атоме газа, но с учетом е и т*:
Z=C(aB/k),aB =/z2e/(mV), (3.4.3)
где коэффициент С ~ 20 для k>aQ/2 вплоть до значений энергий электрона
порядка четверти энергии ионизации. При меньших к, соответствующих
криогенным температурам, значение С уменьшается, при этом в (3.4.3)
устраняется расходимость при к -> 0 (рис. 3.4.6).
Упругое рассеяние на дислокациях. Для квазичастиц в твердом теле
дислокации являются нарушениями периодичности поля решетки, как и точеч-

0,05
0,25 кга\
100 Т, К
Рис. 3.4.5. Температурная зависимость сечения рассеяния ионизованных
дефектов: 1-п,= 1016 см"3; 2-п,= 10м см"3; 3-П/= 10I6cm"3
(сплошные кривые - уравнение (4.2.2), штриховые кривые —
с учетом экранирования Дебая - Хюккеля)
Рис.3. 4.6. Зависимость С от к
ные дефекты, но в отличие от первых представляют собой не нуль-мерные, а
одномерные (линейные) рассеивающие возмущения потенциала. Благодаря
трансляционной инвариантности относительно сдвига в направлении оси
дислокации е при рассеянии электрона должно выполняться соотношение
(к-к>°=2л«/ае, и = 0,±1,±2,...,
где ае - период решетки в направлении е; е - единичный вектор, т.е. при
рассеянии должен выполняться закон сохранения квазиимпульса. Вместе с
законом сохранения энергии это определяет область возможных конечных
состояний к'.
В плоской задаче рассеяния, возникающей при учете закона сохранения
(3.4.1) вместо сечения фигурирует поперечник рассеяния Е' с размерностью
длины, связанный с т:
где NR - число дислокаций на единицу площади поверхности,
перпендикулярной е; v± - проекция скорости частицы на эту плоскость.
Рассеивающий потенциал представляют состоящим из двух частей:
потенциала ядра дислокации (область вблизи оси дислокации, где смещения
атомов - порядка межатомных состояний) и потенциала, обусловленного де-

формацией решетки вокруг нее. Рассеяние на ядре оценивают как рассеяние
на одномерной цепочке вакансий с поперечником Е' порядка поперечника
самого ядра (т.е. в несколько межатомных расстояний). Поле деформаций
вокруг ядра дислокации изменяется как Mr, что обусловливает дальнодействую-
щий характер взаимодействия электронов с дислокациями.
Для полупроводников, когда деформационный потенциал не
экранирован (т.е. к »Гр\ где rD - дебаевский радиус), поперечник рассеяния
оценивают как
Е, ~к^2/к3, ke «2л/ае, d= const.
При сильном экранировании к « г^ на расстояниях порядка дебаевского
радиуса
1 ^ kpiCl РпК ■
В металлах (т.е. в случае вырожденного электронного газа) в изотропной
модели при слабом экранировании
£] « kprD jk,
здесь &р примерно на порядок меньше к&. При сильном экранировании
{k«rD')
Zj « k^rD jk.
Из-за того что рассеяние происходит в плоскости, перпендикулярной е,
дислокация является анизотропным рассеивателем. Если же имеются дислокации
различных направлений, то рассеяние считают изотропным и х оценивают как
-Г1 =A^v<I'>,
где N'D - суммарная длина всех дислокаций в единице объема. (В металлах
при N'D > 10 см~ преобладает рассеяние на ядре дислокации, X', ~а0\ при
N'D = \0 ...10 см и преобладании краевых дислокаций S'] ~ 10д0, что
связывают с рассеянием на поле деформации).
Рассеяние электронов намагнонах. Рассеяние Momma. В переходных
металлах может реализоваться специфический механизм межзонного рассеяния
Мотта. Рассмотрим рассеяние j-электронов в ^/-полосу в d-переходных
металлах. Легкие 5-электроны после столкновения с фононами могут переходить в

свободные состояния rf-полосы. На дисперсионной зависимости Е = Е(к)
ветви, соответствующие rf-состояниям, значительно более пологие, чем s-ветви,
т.е. меньше d"E/dk2 и больше т = ft2/(d2E/dk2), и при переходе .у-электрона
в rf-состояние резко увеличиваются его эффективная масса, а следовательно, и
общее электросопротивление. Для парамагнитных переходных металлов
вблизи температуры Дебая выражение для частоты рассеяния, связанного с
этим механизмом, имеет вид
vs_d =Ag(E)Q-jT{\-[n2(kBT)2QN2 -N2)/6]},
^=[1МЕ)]а^(Е)/аЕ|Е=Е/,
N2=(l/g(E))d2g(E)/dE2\ .
|Е=Е;,-
В металлах подгруппы скандия, ванадия, марганца, палладия и платины
магнитная восприимчивость увеличивается с ростом температуры, в металлах
подгруппы титана, хрома, иридия, родия - падает; для первых, как правило,
д\/дТ2 > 0, а для вторых d2v/dT2 < 0.
В металлах, магнитоупорядоченных при низких температурах, для
описания этого рассеяния обычно используют два простых подхода. Один из них,
зонный механизм Мотта, основан на представлении о расщеплении во
внутреннем магнитном поле узкой зоны (/-дырок и смещении подзон спинов
«вверх» и «вниз» друг относительно друга при магнитном упорядочении.
Такая поляризация приводит к изменению плотности состояний (d-дырок), в
которые могут рассеиваться s-электроны. Связанная с этим механизмом частота
рассеяния v„, определяется намагниченностью:
v„ =vs_d[(l~M/M0)m +(1 + М/М0)1/3]/2, (3.4.4)
где М - средняя намагниченность, достигающая насыщения М = Мо при
Т «Тс (рис. 3.4.7). Выше точки намагниченного разупорядочения TqM= 0, и
добавочный вклад в сопротивление аналогичен моттовскому члену vs_d в
выражении (3.4.4). При температурах ниже Тс магнитное упорядочение
приводит к уменьшению сопротивления по сравнению с обычным j-rf-вкладом, и
температурная зависимость сопротивления металлов при магнитоупорядо-
ченном состоянии имеет характерный вид - ниже Тс д\/дТ > 0, а выше
d2v/dT2 < 0 с точкой перегиба в районе Тс.

Л«Г)/Л4(0)
0,8
0,4
0
0,4 0,8 Т/Тс
Рис. 3.4.7. Температурная зависимость средней намагниченности
Другой подход основан на использовании однозонной модели, согласно
которой ^-электроны, образующие широкую зону, рассеиваются на
магнитных моментах локализованных rf-электронов (механизм Касуя).
Величина магнитного вклада быстро растет по мере приближения к Тс и
при Т>ТС стремится к постоянной, пропорциональной S(S+ 1), где S—
максимальное значение проекции спина для одного узла кристаллической решетки.
Рассеяние на магнитных неоднородностях имеет место и в немагнитных
переходных металлах с сильным обменным взаимодействием.
Эти механизмы рассеяния удобно представить в терминах квазичастиц в
виде рассеяния квазисвободных электронов на магнонах. При Т < Тс при
магнитном упорядочении число магнонов мало, рассеяние на них
малоэффективно. С ростом температуры увеличивается число магнонов, заполняется их
энергетический спектр, так что роль электрон-магнонного рассеяния растет.
При Т>ТС происходит полная хаотизация направлений магнитных моментов
атомов, что соответствует заполнению всего спектра магнонов, достижению
предельно возможной концентрации этих рассеивающих центров и
независимости частоты электрон-магнонных рассеяний от температуры.
Резонансное рассеяние электронов на виртуальных d-уровнях. Такой
механизм рассеяния электронов преобладает в случае примеси с незаполненной
rf-оболочкой переходных металлов и рассеяние представляют как двухста-
дийное: захват на ^-уровень и уход электрона через время Й/Г, где
Г =(Ed - EF )tg(z7i/10), (здесь z - число ^/-электронов в атоме примеси; Ed -
энергия верха зоны d-электронов). Приращение электросопротивления
вследствие такой примеси
Ap = 5p0sin2(zn/10), p0 =4nhN/(e2nekF).
Сечение рассеяния на таких центрах
Е = 4nh/(kFmtve)5sm2 (zn/10),

где пе — концентрация электронов проводимости, a N - атомов примеси.
Рассеяние фононов. Основные процессы рассеяния фононов
перечислены в табл. 3.4.3.
Таблица 3.4.3
Основные процессы рассеяния фононов
Рассеиватели
Фононы
Дефекты структуры
решетки
Границы
кристаллов и зерен
поликристаллов
Квазисвободпые
электроны
] Тин рассеяния
i С перебросом
1
Без переброса
Вакансии, атомы замещения
и внедрения, изотопы.
дислокации, границы зерен
—
;
~~
: Примечание
i Определяет решеточную
теплопроводность в
: диэлектриках при Г > 0„
; Не влияет па теплопроводность,
влияет на релаксацию функции
распределения к стационарной
Определяют теплопроводность
при Т« Q/
Определяют теплопроводность
правильных кристаллов при
\т«@р
Дают вклад, уменьшающий
решеточную теплопроводность
! металлов
Фонон-фононное рассеяние. Как отмечалось выше, взаимодействие
фононов связано с отличием колебаний атомов от гармонических. При этом
преобладают процессы: 1) поглощения одного фонона с испусканием двух; 2)
поглощения двух фононов с образованием одного.
Если ни один из волновых векторов фононов не выходит за пределы
первой зоны Бриллюэна, то законы сохранения энергии и квазиимпульса для
этих квазичастиц аналогичны обычным законам сохранения, и фонон-фоно-
нные столкновения никак не влияют на суммарный импульс и энергию
потока фононов. Однако ситуация меняется при больших значения q из-за
вышеупомянутых процессов переброса, меняющих суммарный квазиимпульс
сразу на вектор обратной решетки G. Это создает сопротивление потокам
фононов.
При Т «®D процессы переброса маловероятны, для переброса
необходимо, чтобы волновое число одного из фононов <7i было больше величины
q* -G/2, или ЙСО] >kB&D/2. Число таких фононов, согласно распределению
Бозе - Эйнштейна, пропорционально exp[-ftcoD /(квТ)] = exp[®D/(2T)].

При T>&D вероятность процессов переброса резко увеличивается, так
как в спектре преобладают фононы с большими волновыми векторами. При
сечении фонон-фононного взаимодействия, не зависящем от числа фононов,
частота рассеяния данного фонона пропорциональна числу фононов, т.е.
пропорциональна температуре Т.
Рассеяние фононов на дефектах. Рассеяние на дефектах структуры
преобладает при низких температурах, когда процессы переброса
«вымораживаются». Центрами рассеяния, в частности, могут служить точечные
неоднородности массы ДМ примесей замещения (в чистых правильных кристаллах -
атомы изотопов). Сечение рассеяния на неоднородности массы по формуле
Рэлея, полученной с помощью теории упругости, определяется как
Z = q4(4Tinl)(AM/M)2,
где па - концентрация атомов среды. Видно, что длинноволновые фононы
почти «не замечают» таких точечных дефектов. Однако для коротковолновых
фононов при отсутствии других механизмов рассеяния этот механизм
(изотопическое рассеяние) может стать основным.
Фононы рассеиваются также на границах зерен в поликристаллических
образцах и на геометрических границах образца кристалла, I h <L, где L -
характерная длина кристалла.
Рассеяние фотонов. Основные фотопроцессы перечислены в табл. 3.4.4
(ДЕ* > ДЕ - граница прямых переходов, не упоминаются отражение и
преломление, связанные с поглощением).
Электрон-фотонное взаимодействие. Прямые межзонные переходы. В
простейшем случае взаимодействуют один фотон и один электрон. Закон
сохранения квазиимпульса при очень малом импульсе фотона требует
практически нулевого изменения волнового вектора электрона, т.е. на
дисперсионной зависимости Е = Е(к) для электрона переход изображается вертикальной
прямой. Поскольку при данном к электрон может иметь только строго
определенные значения энергии (задаваемые дисперсионными зависимостями),
переход возможен лишь при определенных значениях энергии кванта
Й(в=Е1(к)-Е0(к),
где Е0(к), Е](к)- значения энергии при данном к на различных
энергетических зонах. Кроме того, необходимо, чтобы начальные состояния были
заполнены электронами, а конечные-свободны, т.е. переходы происходили из всех
ветвей валентной зоны и более глубоко лежащих зон во все возможные ветви
в зоне проводимости. Сечение такого перехода пропорционально числу удов-

летворяющих этим условиям состояний, т.е. размеру соответствующей
области к-пространства, для описания чего вводят объединенную плотность
состояний. Для определения ее удобно перейти к гипотетическому двумерному
кристаллу. Переходы с энергиями квантов Йсо... Йсо+dftcoH между ветвями / иу
соответствуют полосам на поверхностях Еу = ЕДк) и Еу - Е (к), отстоящим
друг от друга на Е,(к)-Е^(к)=Йсо...Йю + с1Йсо, т.е. полосе на поверхности
Еу =Е,у(к) = ЕДк)-Еу(к), вырезаемой изоэнергетическими линиями
Еу = Йсои Еу = ftco + dftco. Число состояний йС, пропорционально площади
проекции этой полосы на k-плоскость. Величину d(^/dEy называют
объединенной плотностью состояний. В реальном трехмерном случае
Таблица 3.4.4
Основные процессы поглощения и рассеяния фотонов
Рассеиватели | Тип рассеяния
: Прямые межзонные переходы
_ ! из состояний валентной зоны —
Электроны
1 одпофотонное поглощение,
; двухфотонное поглощение
: Прямые межзонные переходы
■ из внутренних оболочек
Внутризонные переходы
„ . Непрямые межзонные переходы
Электроны и фонолы
Акустические фононы —
бриллюэновское рассеяние
Фононы при участии Оптические фононы —
квазичастиц в проме- : рамановское рассеяние
жуточных стадиях
Одно- и многофоноиное
Фононы поглощение
т, . , Возбуждение и ионизация
1 очечные дефекты '
Экситоны Возбуждение и ионизация
Примечание
Фундаментальное поглощение
фотонов с Йш> Д£„, в
полупроводниках и
диэлектриках
Поглощение рентгеновского
излучения
Поглощение в
полупроводниках в ИК-спектре; видимого,
ИК- и ближнего УФ-излучения
в металле
Поглощение в непрямозонных
полупроводниках при
AEj, < Йю< AEg
Рассеяние с изменением
энергии фотона па сотые доли
электронвольта
Рассеяние с изменением
энергии фотона на десятые
доли электронвольта
Поглощение в
полупроводниках и диэлектриках в
ИК-спектре
Вклад в поглощение в
полупроводниках и
диэлектриках при Йю< АЕ^
То же

dC/dEy. = [l/C**3)] JdF(E^)/|v,E^=to); (3.4.5)
здесь интегрирование проводят по изоэнергетической (Е f ■ = Йсо) поверхности F.
При малом VAE,y (в двумерном случае - при параллельных Е,(к) и Еу(к) при
данном к) dC/dE,^ и сечение перехода велики. Для примера рассмотрим прямые
переходы из ветви валентной зоны в ветвь зоны проводимости
полупроводника, у которого максимум первой и минимум второй ветви находятся в точке
к - О и могут быть описаны в терминах изотропных эффективных масс дырок
m*h и электронов т* (т.е. зависимости Е = Е(к) близки к квадратичным):
EiJ=AEg+n2k2/(2m;) + n2k2/(2m*e) = AEg + h2k2/(2m*1). (3.4.6)
С учетом (3.4.5) и (3.4.6) можно получить
dC/dE^ = \/(2n2)(2m1/h2Y/2(fia - ДЕ^)1
Л/2
Сечение поглощения, пропорциональное dC,/dftco, имеет параболическую
спектральную зависимость при/ко > ДЕ . ПриЙсо< ДЕ суммарная плотность
состояний равна нулю (энергии фотона не хватает для электронного перехода
через запрещенную зону), т.е. такие прямые межзонные переходы
происходить не могут.
Следует отметить, что комбинация квантовых чисел, описывающих
полосы, бывает такой, что переходы между ними могут быть запрещены.
Например, запрещены прямые переходы между полосами с изменением
орбитального квантового числа Д/= 1. Это приводит к значительному ослаблению
соответствующих сечений поглощения, а также к изменению их спектральной за-
1/9 1/9
висимости: они пропорциональны не (йсо — ДЕ ) , а (Йсо — ДЕ ) , т.е.
нарастание за порогом более медленное.
Электрон-фотон-фоноиное взаимодействие. Непрямые межзоиные
переходы. Возможны трехчастичные процессы, в которых квазиимпульс
электрона меняется вследствие поглощения (+) или испускания (-) фонона:
к'е = ке + kv + qph, Е'е = Ее + йсо ± Йсо
Р1,
Такое взаимодействие рассматривают как процесс, идущий в два этапа:
прямой переход с поглощением электроном фотона и возбуждением на
виртуальное состояние, а затем — электрон-фононное взаимодействие с
испусканием или поглощением фонона и переходом электрона в состояние с волновым
вектором к'. При этом закон сохранения энергии должен выполняться лишь
относительно начального и конечного состояний и может «нарушаться» в

промежуточном, виртуальном состоянии. Суммарный квазиимпульс,
напротив, должен сохраняться для каждого этапа. Вероятность непрямых
переходов значительно меньше, чем прямых (это произведение вероятности прямого
перехода на вероятность электрон-фононного взаимодействия).
Соответствующее сечение поглощения в описанных выше предположениях о виде
зависимости Е = Е(к) можно представить как
Е = Ca(hv + haph - ДЕ^)2 +Ce(hu-haph-AEg)\ (3.4.7)
где Са, Се — факторы, не зависящие явно от ha. Для запрещенных переходов
вместо вторых степеней в (3.4.7) появляются третьи степени, и уменьшается
значение факторов Са и Се. Следует отметить, что вклады в (3.4.7) исчезают
при отрицательных значениях выражений в скобках.
Электрон-фотонное взаимодействие с переходами внутри электронной
ветви. Кроме оптических переходов между различными электронными
ветвями возможны также переходы с поглощением фотона электроном, при
которых и начальное, и конечное электронные состояния принадлежат одной
ветви и связаны непрерывной последовательностью стационарных электронных
состояний. Такие переходы вероятны, если на одной ветви присутствуют и
занятые, и свободные состояния, т.е. в металлах и в зоне проводимости
полупроводников и диэлектриков. Электроны описывают в терминах
эффективной массы и считают квазисвободными (с точностью до отличия поверхности
Ферми от сферической и анизотропии эффективной массы). Такой процесс
поглощения фотона представляют как высокочастотную
электропроводность. Двухфотонное поглощение с прямым электронным переходом имеет
гораздо меньшую вероятность, чем однофотонное, и заметно лишь при
больших мощностях потока излучения и отсутствии конкурирующих процессов.
Этот процесс также можно разбить на два этапа с возбуждением электрона на
промежуточное виртуальное состояние.
Экситон-фотонное взаимодействие. Экситоны образуют
дополнительные системы уровней, между которыми возможны переходы с поглощением
или испусканием фотона, энергия которого равна разности энергии
начального и конечного состояний электрона. Возможны переходы между двумя экси-
тонными состояниями и переходы между экситонным состоянием и
электронной полосой. При этом на вероятности переходов могут существенно влиять
квантово-механические правила отбора, например Д/=±1. Кроме прямых
переходов с участием экситонных уровней возможны и непрямые (экситон-фо-
тон-фононное взаимодействие). Они могут рассматриваться как
последовательности двух этапов и имеют вероятность, увеличивающуюся с увеличением
Г (т.е. с ростом числа фононов). Экситоны могут быть локализованы у заря-

женного или нейтрального точечного дефекта, энергия связи экситона с
дефектом, однако, обычно мала (Ю-2... 10 эВ).
Электрон-дырочные комплексы. Кроме экситонов (пар электрон - дырка,
N = 2) в полупроводниках существуют устойчивые комплексные квазичастицы
- трионы (7V = 3): два электрона и дырка - отрицательный трион, две дырки и
электрон - положительный трион; биэкситоны (N=4)- квазимолекулы из двух
электрон-дырочных пар; в пределе N -> со получаем капли так называемой
электрон-дырочной жидкости. Энергии связи, например, биэкситонов также
составляют десятые - сотые доли электронвольта. Существование этих
квазичастиц сказывается, в частности, в оптических свойствах твердых тел.
Фотон-фононное взаимодействие. Однофононное поглощение фотона
происходит в ионных кристаллах с образованием ГО-фононов (остальные
случаи такого поглощения запрещены правилами отбора). Из законов
сохранения следует, что образующийся фонон должен иметь те же частоту и
волновой вектор, что и фотон, т.е. поглощаются фотоны с частотами, близкими к
частотам, при которых оптические ветви поперечных колебаний пересекают ось
к = 0 (волновые числа фотонов гораздо меньше размеров зоны Бриллюэна).
Чтобы не образовался поляритон, фонон должен распадаться быстрее, чем
превращаться обратно в фотон.
Многофононное поглощение фотона предполагает образование
нескольких фононов, возможны также процессы с поглощением фонона. Здесь могут
образовываться и LO-, LA-, 7/4-фононы.
Брнллюэновское рассеяние фотона. Бриллюэновское рассеяние фотона
происходит при рождении (поглощении) акустического фонона, при этом
сохранение энергии предполагает уменьшение (увеличение) энергии (частоты)
фотона на энергию фонона, а сохранение импульса - изменение направления
движения фотона (рис. 3.4.8). Это объясняется в терминах брэгговского
отражения электромагнитных волн от последовательности поверхностей равной
фазы плоской волны колебаний решетки (рис. 3.4.9). Это отражение
происходит при выполнении брэгговского условия: Xj2 = Xs sin (0/2)и, где А. - длина
волны фотона, Xs - фонона; 0 - угол рассеяния фотона; п - целое число. Для
акустических фононов A.' = v5vs (где vs - скорость звука). Поскольку волны
колебаний атомов перемещаются со скоростью vs, вследствие эффекта
Доплера (движение рассеивающего объекта) частота электромагнитного излучения
изменяется на Av = ±vs, тогда энергия рассеянных фотонов
hv = hv0 ±2hv0(v Jc)nsin(Q/2)
(формула Бриллюэна). В результате в спектре появляются две сдвинутые (на
vs) в длинноволновую и коротковолновую стороны линии (стоксовский и ан-
тистоксовский сдвиг, рис. 3.4.10).

Рис. 3.4.8. Схематическое изображение рассеяния фотонов на акустических
фононах: / - падающий фотон; 2 - рассеянный фотон; 3 - фонон
Рис. 3.4.9. Диаграмма, показывающая рассеяние света
под углом 6 движущейся тепловой волной
Рис. 3.4.10. Спектр бриллюэновского рассеяния
Романовское рассеяние. Рамановское рассеяние с уменьшением энергии
фотона рассматривается как процесс образования электрон-дырочной пары с
последующим испусканием оптического фонона и излучательной
рекомбинацией. Рассеяние с увеличением энергии фотона может происходить с
поглощением оптического фонона. Так как взаимодействие происходит с
оптическими фононами, энергетический сдвиг±у^ значительно больше
бриллюэновского. Из-за малости импульса фотона образуется фонон с к= 0. Отношение
интенсивности стоксовой (v0-vj и антистоксовой (v0+vj составляющих
больше единицы и растет при уменьшении значения Т. Многофононные
процессы при рамановском рассеянии предполагают испускание двух и более фо-
нонов или поглощение одного и испускание другого фонона и т.п. Они
расширяют частотные интервалы рассеянных фотонов.
Таким образом, взаимодействия между различными типами
возбуждений, как правило, отсутствуют в нулевом приближении теории и проявляются
при учете эффектов первого, второго и т.д. порядков малости. Введение
понятия квазичастиц позволяет процессы взаимодействия возбуждений кристалла
представить в наглядной форме парных, тройных и т.д. соударений, причем
все особенности сложных коллективных процессов взаимодействия
описываются сечениями столкновений.

1.4. Кинетические явления
1.4.1. Описание неравновесных процессов. Кинетическое уравнение
и введение в формальную теорию процессов переноса
Для описания процессов переноса в твердом теле применяют аппарат,ис-
пользующий кинетическое уравнение Больцмана. Проанализированы
функции распределения электронов для различных процессов переноса.
Рассмотрим стационарное состояние, не очень далекое от равновесного.
Тогда функцию распределения частиц/можно представить в виде
f=f°+g, (4.1.1)
где неравновесная добавка g меньше равновесной функции распределения/^
При этом/определяется линеаризованным кинетическим уравнением
Больцмана относительно g вида
-df/dt-vVrf° -(e//7)(E + [v,B])V,/° =
= Wrg + (e/h)[v,B]Vkg-(df/dt)s, (4-1.2)
где V,. и Vk - градиенты в г- и k-пространствах; v = VA (Е/й) - групповая
скорость при данном к (см. разд. 2.4). Это уравнение получают из теоремы Лиу-
вилля, согласно которой df/dt меняется только вследствие столкновений, т.е
df/dt + (df/8r)(dr/dt) + (df/8k)(dk/dt) = (df/dt)5,
с учетом второго закона Ньютона для силы Лоренца
Эр/а/ = dhk/dt = е(Е + [v, В]).
Часто применяют упрощение члена (df/dt)s, описывающего влияние
столкновений, до вида
(df/dt)5=-(f-f0)/x (4.1.3)
(тау-приближение), где т - характерное время релаксации функции/к
равновесной функции распределения/ .
Отметим, что это уравнение одинаково пригодно как для обычной
газовой плазмы, так и для плазмы твердого тела, причем как для электронов, так и
для дырок, фононов и др. В случае, например, фононного газа в (4.1.2) следует
положить е = 0, за равновесную функцию распределения/ взять функцию
Бозе - Эйнштейна; для электронного газа в металлах/^ - функцию
распределения Ферми - Дирака: /° = fF.

Преобразовав левую часть (4.1.2) с учетом свойств этой функции,
приведя производные/0 к dfF /9E, с учетом (4.1.1), (4.4.3) можно получить
(-dfF/dE){-VrEF+[(E-EF)/T]VrT + eE}v =
= yVrg + (e/h)[v,B]Vkg+g/T. (4.1.4)
Отметим, что g и ее производные, согласно (4.1.4), пропорциональны
dfF/dE. В случае невырожденного газа, когда fF близка к максвелловской,
вклад в производную дают все энергетические состояния, т.е. все электроны
участвуют в переносе. Если же газ вырожден, то dfF /дЕ отличается от нуля
только в окрестности Е«ЕР, т.е. в переносе участвуют только электроны
вблизи поверхности Ферми.
Рассмотрим характерные примеры, соответствующие различным
процессам переноса.
Электропроводность. Однородная (V,. = 0) среда находится в
постоянном электрическом поле, и В = 0. Тогда (4.4.4) принимает вид
g = -(8f°/dE)TevE. (4.1.5)
Для нахождения электропроводности вычисляют плотность тока в среде:
j = \evdne = Jev/dC = JevgdC = Je2v(v,E)(-5/°/9E)T/(4^3)dk (4.1.6)
(здесь принято во внимание, что в равновесии тока нет, т.е.
и учтено равномерное распределение состояний по к-пространству).
В невырожденном электронном газе (полупроводник) равновесная
функция распределения имеет вид
f0=cxp[-(E~EF)/(kBT)l (4.1.7)
полная концентрация электронов в зоне проводимости (см. разд. 2.5)
ne=Ncexp[EF/(kBT)] (4.1.8)
(при отсчете энергии от дна зоны проводимости; EF < 0). Подставляя (4.1.7),
(4.1.8) в (4.1.6), в приближении эффективной массы (см. разд. 2.4) получают
j = е2пе <х>Е/т*,а = е2пе <i>/m*; (4.1.9)

здесь < т > - усредненное время свободного пробега,
< т>= |т(Е)Е3/2 ехр[-Е/(£вГ)]с1Е/ Je3/2 exp[-E/(kBT)]dE
(в этом случае усреднение т зависит от температуры).
В вырожденном газе функция распределения близка к ступенчатой, ее
производная отлична от нуля только вблизи поверхности Ферми, что вносит
значительные изменения в переносные свойства. Записывают интеграл по
объему в k-пространстве в виде интегралов по изоэнергетической
поверхности в k-пространстве сЩЕ) и по нормали к этой поверхности:
Jcpdk = \<pdkxdkydk, =JcpdS(E)|dk/dE|dE = J(cp/| V/tE|)d5(E)dE =
= J(p/(»|v^dS(E)dE,
где ф - подынтегральное выражение; тогда
j = \[в2у(у,Е)М-д/°/дЕ)/(4п2П\ v |)]dS(E)dE.
В случае вырожденного электронного газа производная df /дЕ отлична от
нуля только при Е~ ЕF, т.е. можно считать \ = \F, т = т F ■ Вынеся vF и тF
из-под интеграла по dE, с учетом
-J(d/>/dE)dE=/F(0)-/F(oo) = l
получают
j = J[e2v(v,E)T/(47r3^|v|)]d5(E) =
= {[e2T/(47r3^)]J(v,vy/|v|)dS(EF)}E. (4ЛЛ°)
Здесь в фигурных скобках записан тензор электропроводности а,
учитывающий анизотропию, - (4.1.10) фактически является его определением. В
кристаллах с кубической симметрией j || Е, тогда 5 превращается в скаляр:
a = [l/(\2n3)](e2T/h)\wFdS(EF) = [\/(\2n3)](e2x/fi)\lFdS(EF)(4.l.n)
(фактор 1/3 возникает при усреднении по скоростям).

Отметим, что значение с пропорционально площади поверхности Ферми
и не зависит явно от температуры (если не считать возможной температурной
зависимости / или т).
Рассмотрим вид функции распределения / при наличии электрического
поля. Согласно (4.1.1), (4.1.11), (4.1.5),
/ =fF+[-<dfF/dE)VkEeTE/fi] = fF +Чк/Р{-етЩ). (4.1.12)
Разложив/в ряд Тейлора с учетом только первых двух членов
•О/
/ = r+v,r(k-k') +
(4.1.13)
и сравнив (4.1.12) и (4.1.13), получим, что/соответствует равновесной
функции распределения f'F, сдвину гой в k-пространстве на расстояние
к' = етЕ/7?
в направлении действия поля (рис. 4.1.1). Это можно интерпретировать так,
что
/=/[E(k) + <?TvE],
т.е. электрон со скоростью v движется в электрическом поле в течение
времени т, и перемещение (в k-пространстве) приповерхностных электронов
эквивалентно тому, что каждый из электронов (и приповерхностных, и
внутренних) сдвинулся Ha8k = /7/*6v, т.е. приобрел дрейфовую скорость
5v = ctv E/(»7*v) = етЕ/м*.
Плотность тока при общей концентрации квазисвободных электронов пе
j = епЬ\ = пее тЕ/т*.
стУЕ
Ж
\ I
\ I
\ I
V/
г\-дГ/дв
Рис. 4.1.1. Функция распределения электронов в электростатическом поле:
а — смещение поверхности Ферми; б — смещение распределения Ферми

т.е. электропроводность вырожденного электронного газа в твердых телах
су = пе2т/т\ (4.1.14)
что формально с точностью до отличия те от /и* и т от < т > совпадает с
формулой для электропроводности в газовой плазме и невырожденной плазме
твердого тела.
Можно показать, что зависимость (4.1.11) выполняется и в
невырожденной плазме, причем (4.1.11) и (4.1.14) эквивалентны; в вырожденном газе
(4.1.11) правильнее отражает суть явления: в переносе участвуют лишь
электроны, расположенные возле уровня Ферми.
Теплопроводность электронного газа. Рассмотрим однородный образец с
градиентом температуры V,T Ф О при отсутствии полей. Тогда
линеаризованное уравнение Больцмана в тау-приближении (4.1.4) дает
g = (-а/°/Ж)[(Е - EF)/T]xvVrT. (4.1.15)
Вид соответствующей функции распределения показан на рис. 4.1.2.
Величина g отлична от нуля только в окрестности EF, но фактор (Е — EF ) в (4.1.15)
приводит к разным знакам добавки g для Е > EF hE<Ef,b результате
суммарная функция распределения похожа на равновесную, но с одной стороны
край распределения круче, чем с другой, и поток теплоты отличен от нуля
Холодные Горячие
J\\-dfC/8G J\\-8fC/dG
/ ife, :: ^f°. \
.v4A. J"._^ -^.J^>>
~&~ (G-eF)(-Sf0/8&)Tv(-VT)
Рис. 4.1.2. Функция распределения электронов при градиенте температуры
из-за того, что в одну сторон)" (в сторону - V,T) идут электроны, которые
«горячее» средней температуры н&ЬТ=-тл/УгТ (их функция распределения
более пологая, что соответствует более нагретому ферми-газу), а в другую —
электроны «холоднее» на 67\
Среднее время свободного пробега т зависит от рассматриваемого
процесса, т.е. при анализе теплопроводности т^ может быть иным, чем для
электропроводности т0. Неупругие столкновения с малым (относительно кр)
изменением импульса, но заметным (по сравнению с (Е — EF )~ квТ) изменением

энергии практически не влияют на перенос заряда, однако существенны для
потока теплоты: например, после такого рассеяния вместо горячего электрона
(с Е - Е F > 0) в данном направлении движется холодный (с Е - EF < 0).
Упругие же соударения, меняя направление движения и оставляя неизменным как
заряд, так и (Е - E/Y-), одинаковым образом влияют на а и к, т.е. тст = тх. Так,
электрон-фононные рассеяния приГ >&D почти одинаково влияютнатст ит; .
При Г «0D, напротив, электрон-фононные соударения приводят к передаче
энергии порядкакцТиха ^хх.
Связь потоков теплоты и переноса заряда. В случае одновременного
действия Е и VГТ кинетическое уравнение (4.1.4) имеет вид (в тау-приближе-
нии для однородной среды)
g = (-df°/dE)Tv{eE+[(E-EF)/T](-VrT)}.
Аналогично (4.4.6) для плотности тока получают
j = \evdNe = Jey/aC = \evgVkC,dk = e2K0E + eK, (-VrT)/T, (4.1.16)
где кинетические коэффициенты Ко и К) (в общем случае тензоры)
K„=[l/(47r3)](T/^)Jj[(v,vy)(E-EF)"(-5/%E)/|v|]d5dE
(в случае вырожденного газа интегрирование проводят только по
поверхности Ферми). Для потока теплоты (переносимая энергия равна Е - EF):
w = \(E-EF)vdNe = j(E-EF)y/c!C = J(E-EF)vgV,Cdk =
= eK{E + (\/T)K2(-V,.T). (4.1.17)
Из (4.1.16) и (4.1.17) следует, что потоки теплоты и перенос заряда
оказываются взаимосвязанными. Этим объясняются так называемые
термоэлектрические эффекты (эффекты Зеебека, Пельтье, Томсона, см. разд. 1.5). Очевидна
связь коэффициентов в (4.1.16), (4.1.17) с а и ке. Действительно, при VГТ = 0
j = e"K0E = aE, т.е.
ст = <?2К0; (4.1.18)
при Е = 0 w = -(K2/T)VlT = -keVlT, т.е.
ке=К2Т. (4.1.19)
При тст =т? из свойств функции распределения Ферми следует:
К2=(1/3)тг2(А:гП2К0. (4-1.20)

С учетом (4.1.18), (4.1.19) и (4.1.20) получают соотношение между электронной
теплопроводностью и электропроводностью - закон Видемана - Франца:
\=(п2/3)(к2в/е2)То.
Эффект Холла. Рассмотрим кинетическое уравнение в тау-приближении
(4.1.4) для однородного изотермического образца, помещенного в
электромагнитное поле
eEv(-df° /дЕ) = g/T + {e/ti)[y,B]V kg. (4.1.21)
Решение ищут в виде
g = (-df°/dE)TveA,
где А - вектор, подлежащий определению; тогда (4.1.21) в модели почти
свободных электронов принимает вид
vE = vA + (ет/яО(у, В, А).
Последнее уравнение удовлетворяется тождественно при
Е = А + (ет/т*)(В,А).
Из геометрических соображений (рис. 4.1.3) следует, что
A = {E-(eT/V)[B,E]}/[l + (<?TH/V)2].
А >^\>«[В, А]/я
Рис. 4.1.3. К выводу формулы для эффекта Холла
Электрический ток при этом j = стА, где а - электропроводность при
отсутствии магнитного поля, векторы j и Е не параллельны, т.е., как и в плазме
возникает поперечная (холловская) составляющая ЭДС (см. также разд. 1.1.5).
При B-Lj поперечный ток Холла \н = (ет/от* )jB, что с точностыо до замены те
на т* совпадает с выражением ЭДС Холла для газовой плазмы.
Термоэлектрические, галъвапомагнитпые и термомагнштые явления.
Кинетическое уравнение (4.1.4) описывает целый ряд эффектов, которые по
типу действующих факторов разделяют на три основные группы: термоэлект-

рические (VT, Е), гальваномагнитные (В, Е) и термомагнитные (V7\ В);
внутри каждой группы различия между отдельными эффектами связаны, например,
с взаимной ориентацией действующих сил (поперечные, продольные
эффекты).
Взаимодействие электронов проводимости с переменным
электромагнитным полем. Рассмотрим взаимодействие электронов в однородном
твердом теле с переменным электромагнитным полем с Е-составляющей вида
E=E0exp(/kvr-/co/), где kv -волновой вектор излучения; со-частота
излучения . Кинетическое уравнение (4.1.4) принимает вид
eEv(-dfF /дЕ) = ф + vV,. g + dg/dt. (4.1.22)
Решение ищут в виде£ = £ exp(/kvr-/coO- Подставив выражения для Е и#в
(4.1.22), получают
eE0y(-dfF /дЕ) = g°/т + /kvvg° - /cog0 ,
откуда
g° = (-dfF /дЕ) exvEj(\ - /cog0 + /kvvg°) •
Плотность тока (аналогично (4.1.6))
j = JevcWe = [e2/(4n3)] |{tv(v, E)/[l - /т(со - kvv)| v |]} dSF. (4.1.23)
Предполагая наличие кубической симметрии у металла в случае
нерелятивистских скоростей электрона, со» кууь из (4.1.23) получают
а(со) = е2/(\2п3) Jtv(1 + /сот)/(1 +a2x2)dSF =
= а(0)(1 + /сот)/(1 + сй2т2), (4.1.24)
где о(0)- статическая электропроводность. Соотношение (4.1.24) между о(со)
и о(0) полностью аналогично соответствующему соотношению в газовой
плазме.
Рассмотрим диссипацию энергии электромагнитной волны вследствие
взаимодействия с квазисвободными электронами металла. Электромагнитное
поле при отсутствии столкновений электронов вызывает лишь их
осцилляцию, т.е. энергия не поглощается, столкновения же приводят к передаче
энергии от электронов с необходимостью отбора энергии от волны для вос-
1) Напомним, что к комплексным числам переходят для удобства проведения
вычислений; при получении измеряемых величин в комплексных выражениях
принимают во внимание лишь действительные части выражений.

становления прерываемых колебаний. Этот механизм напоминает
диссипацию энергии электромагнитной волны в плазме из-за возбуждаемых в ней
токов. Энерговыделение вследствие джоулева нагрева наведенными токами
определяется средней действительной частью произведения j(^, r) • Щ(, г):
jE = Re{E0exp[2/kvr-2/co/]a(cu)}.
После усреднения по колебаниям экспоненциальный фактор пропадает.
Тогда коэффициент поглощения - величина, обратная длине, на которой энергия
волны е0Е0/2 уменьшается в е раз:
ае; = Re(jE)/(e0E2c) = Re[ar(o>)]/(C60) = ar(0)/[ce0(l + со2т2)], (4.1.25)
где с - скорость света. При ю2т2 » 1 коэффициент поглощения
электромагнитного излучения обратно пропорционален квадрату частоты; такая же
зависимость, как и (4.1.25), наблюдается в спектре поглощения газовой плазмы,
обусловленном передачей энергии излучения свободным электронам
(обратное тормозное поглощение).
Таким образом, процессы электронного переноса заряда и энергии,
термоэлектрические, гальваномагнитные, термомагнитные эффекты,
взаимодействие квазисвободных электронов с электромагнитным полем
осуществляются в металлах группой электронов с энергиями, близкими к энергии Ферми.
Все эти процессы описываются кинетическим уравнением Больцмана,
записанным с учетом вырождения электронного газа.
1.4.2. Механизмы рассеяния носителей зарядов
Рассмотрен комплекс процессов (рассеяние упругое и неупругое,
возбуждение фононов, плазмонов, рождение электрон-дырочных пар и др.),
сопровождающих движение в твердом теле электронов с надтепловыми энергиями.
Проанализированы траектории и пробеги электронов.
Проанализированы закономерности движения по твердому телу ионов (с
энергиями, существенно превышающими энергию связи атомов решетки);
рассмотрены как ионы умеренных энергий, так и высокоэнергетичные
(образующиеся, например, при ядерных и термоядерных реакциях).
В твердом теле надтепловые (Ее =mv2/2»kBT) электроны движутся
как квазичастицы, испытывая: упругие рассеяния, изменяющие лишь
направление скорости; ионизующие неупругие столкновения, порождающие
электрон-дырочные пары, т.е. увеличивающие число квазисвободных электронов
(вторичных); неупругие столкновения, не приводящие к образованию
свободных носителей заряда; электроны также могут рекомбинировать с дырками
или заряженными дефектами и выходить за пределы твердого тела.

Торможение электрона при взаимодействии с твердым телом описывают
длиной потери энергии / (длиной пути, на котором Е уменьшается в 2,718
раза) и тормозной способностью:
(-dE/dx) = E/Z.
Электрон-электронные и электрон-плазмонные неупругие соударения.
Валентные оболочки металлов. При движении по плотному электронному газу
электрон рассеивается на электронах в парных соударениях, а также порождает
коллективные элементарные возбуждения - плазмоны (рис. 4.2.1). Для
относительно невысоких энергий Е , /EF < 25 (т.е. Е , < 100 эВ)
С1 =1,47(EFP)3/2E1(E1 -EF)2/{K)1/2[tg(l/p,/2)]-1 +
+ Р,/2/(1 + Р)},Р = [4/(9тг)],/3^/тг
(£ — в нанометрах; Е^, Е , — в электронвольтах); здесь ^—выраженное в
единицах радиуса Бора среднее расстояние между электронами,
(4л/3)(/-/70)3ис = 1. При энергиях E^Ejr+E^ (где Ер, = Йсор1 — энергия
плазмона) длина пробега электронов при генерации плазмонов
"Ка нм "Кр\, нм
1000
2 3 4 5 6 (S/Gf)'1
б
Рис. 4.2.1. Длина взаимодействия электрон-электрон (а), электрон-плазмон (б)
в А1 в зависимости от энергии электрона
1/2 Т-.1/2
1р1 =0,2«0Е,/Ер/{1п[(Е^ +Ер,Уи -Е£Ч
А/2
1/2-
-1п[Е,1"-(Е1-ЕрГУ"]>.
Возбуждение внутренних электронных оболочек. Формула Бора. Закон
торможения Бете. Если электрон имеет энергию, достаточную для возбужде-

-BS/дх, 5,14-10 кэВ/мкм
V^B
10' 10J 104
&-&F, эВ
14
12
—
1 1
О 10 30 50 Z
Рис. 4.2.2. Зависимости тормозной способности электрона
от энергии для различной плотности электронного газа и
Рис. 4.2.3. Полуэмпирическая зависимость / от заряда Z
ния внутренних оболочек, то торможение его связано с парными и
коллективными возбуждениями внутренних электронов, т.е. с рождением
электрон-дырочных пар (новых свободных электронов) и с возбуждением плазмонов по
электронам этих оболочек (рис. 4.2.2). Анализ приводит к формуле Бора:
-dE/dx = (4™2/v,) J>„, ln(2v, //„,),
(4.2.1)°
«,/
где п2 - концентрация атомов; N„i~ число электронов на оболочке с главным и
орбитальным квантовыми числами п и /; /„/-энергия ионизации для этой
оболочки, суммирование проводят по оболочкам с Inl < 4(/?/vf/2) (т.е. при
увеличении V] во взаимодействие последовательно включаются все новые
оболочки). Формула Бора пригодна также для описания торможения вследствие
ионизации валентных оболочек и возбуждения плазмонов в полупроводниках
и диэлектриках при Ер > AEg. При Е>/п/ формула Бора неточна, так как не
учитывает индивидуальных особенностей строения оболочки til; уточнение
связано либо с подробными квантово-механическими расчетами, либо с
использованием полуэмпирических зависимостей.
1) Здесь и далее в гл.4 звездочкой помечены номера формул, записанных в
атомной системе единиц Хартри (см. приложение).

В соответствии с моделью атома Томаса-Ферми, число электронов с
1/ Ч +
v < vi равно n(v,) = Z2 v,, где Zi - заряд ядра атома. Из (4.2.1) следует
выражение для dE/cbc:
-dE/dx =27m24Z21/3/v1. (4.2.2)*
При высоких энергиях электронов суммирование в (4.2.1) проводят по
всем оболочкам; в этом случае (если среднюю энергию ионизации атома 7,
определить из формулы Z2 In 7, = ]>] Znl In Inl) из (4.2.3) следует формула Бете:
и/
-dE/dx = [4nn2Z2 /(v2)]ln(2v2//,). (4.2.3)*
Для оценки Ij (эВ) используют полуэмпирическую зависимость Блоха
I/ = 13,6Z2 или экспериментальные данные (рис. 4.2.3). Если ввести
безразмерные параметры
Е' =2mv2Jl, ,K =47rw2Z2/[vf(///4)],4 =Ajc, (4.2.4)*
то формулу Бете - Блоха можно записать в универсальном для всех веществ
виде:
dE'/d^ = -lnE'/E'.
Релятивистские электроны. Для релятивистских электронов (Е»1
МэВ) выражение (4.2.3) преобразуется к виду
-dE/dx = (4V(v?))n2Z2{ln[(v?/E)/(2/,2)] + ln[l/(l -p2)] -
-[2(l-p2)I/2-l + p2]ln2 + (l-p2) + [l-(l-p2)I/2]2/8},
p = v,/c«V!/137 (4.2.5)*
(формула Фано).
Электрон-ионное взаимодействие. Дифракция электронов на ионах в
кристаллах. Дебройлевская длина волны при Ее < 10 МэВ XD>a, поэтому при
движении электронов возникают квантово-механические дифракционные
эффекты: вследствие брэгговского отражения и интерференции с падающей волной в
кристалле образуются стоячие волны (рис. 4.2.4) с пространственно
неравномерной плотностью вероятности нахождения высокоэнергетичных электронов
I P I |2
|v|/]| . Суммарная плотность |vj/2| электронов тела, валентных и внутренних,
также пространственно неоднородна (она существенно выше вблизи ядер).
Поэтому в тех случаях, когда минимумы | \\i] | соответствуют узлам решетки, эти
электроны при движении по кристаллу встречают гораздо меньшее сопротив-

'кдисталла
О L
Рис. 4.2.4. Фазовое соотношение для двух возбуждаемых в кристалле волн
(сплошные и штриховые линии в направлении кс находятся в противофазе)
Рис. 4.2.5. Зависимость интенсивности /электронного пучка
от толщины L в кристалле клинообразной формы
ление из-за электрон-электронного рассеяния. В этом и состоит причина кана-
лирования электронов, т.е. аномально больших длин пробега электронов в
определенных направлениях распространения. Интерференционные эффекты
приводят к появлению немонотонной зависимости интенсивностипрохожде-
ния пучка при изменении длины образца (рис. 4.2.5).
Каналированиерелятивистских электронов. ПриЕ е > 10МэВЛ.с <а, при
этом быстрые электроны можно рассматривать как классические частицы и
может происходить такое же каналирование, как и при движении
положительных ионов, но вместо отталкивания от цепочек ионов происходит
притяжение. В результате проекции на поперечную плоскость траекторий электронов,
движущихся под малыми углами к направлениям цепочек атомов в
кристаллах, совершают движение по траекториям, напоминающим спирали или
синусоиды (рис. 4.2.6); при этом столкновения происходят значительно реже, чем
У{ УЬ Уь
0,2
Т=0К
-0,2 О1
; 0,2 z
-0,6
Рис. 4.2.6. Проекции траектории каналирования электронов с энергией 10 МэВ
вдоль оси <110> Си: для малого (а), среднего (б) и большого (с) угловых моментов

при хаотическом расположении атомов или при движении под
произвольными углами к кристаллографическим направлениям.
Электрон-фотонное взаимодействие. При движении быстрых
электронов в твердом теле испускаются фотоны (рентгеновские и гамма-кванты).
Причина этого, во-первых, в фоторекомбинации электронов и дырок,
образовавшихся при ионизации внутренних оболочек, и, во-вторых, в отличии
движения электронов от прямолинейного равномерного; при ускорении
заряженных частиц, согласно классической электродинамике, испускается
электромагнитное излучение, мощность которого
S = [2/(3c^)](d2r/dt2f. (4.2.6)*
При Е « тс тормозная способность с учетом энергии на тормозное излучение
-dE/dx = (16/3)n2EZ22/(137), (4.2.7)*
где ао - радиус Бора. При Е » тс2
-dE/dx = 4rc2EZ22/(137){ln[2E/(c2)]-1/3}. (4.2.8)*
При Е > 20тс~ к 10 МэВ тормозная способность, связанная с излучением,
становится больше одноэлектронного возбуждения (рис. 4.2.7).
Тормозная способность в соединениях. При относительно высоких
энергиях первичных электронов, когда несущественно взаимодействие с
валентными электронами, соединения, состоящие из атомов различных элементов,
рассматривают как смеси элементов, а тормозную способность считают
равной сумме ее значений для составляющих (правило Брэгга):
(-dE/dx)x=]T(-dE/dx),C„
где (dE/dx-), -тормозная способность ктомов элементов / при концентрации,
равной концентрации атомов в соединении; С, - парциальная доля этого
элемента (2^ Ct = 1). Правило Брэгга справедливо и для валентных оболочек, если
они в соединении не подвергаются сильной модификации.
Упругое рассеяние электронов на фононах. Оно связано с
электростатическим взаимодействием с полем внутри решетки. Высокоэнергетичные
электроны отражаются лишь от глубоких потенциальных воронок в
непосредственной окрестности решеточных остовов, где поле близко к кулоновскому, и
для рассеяния электрона на ионе применима формула Резерфорда:
а(0) = (5/4)2cosec4(0/2), 5 = 2Z2/(v2). (4.2.9)*

d&
dt
, отн. ед
Тормозное
излучение
\ Возбуждение
1 электрона
у/
\
\
100 1000
(&-тс2Жтс2)
Рис. 4.2.7. Энергетические зависимости сечений
одноэлектронного возбуждения и тормозного излучения Pt
Рис. 4.2.8. Рождение вторичных электронов и функция плотности
возбуждения истинно вторичных электронов
При таком отражении небольшая часть энергии и импульс передаются
решетке, т.е. рождается фонон, так как ДЕ ~ 0,1 эВ, аЕ, = 10~...10 эВ; такое
рассеяние считают упругим. Однако изменение импульса (квазиимпульса)
электрона при рождении фонона может быть очень большим (с учетом процессов
переброса Пайерлса) и электроны могут отклоняться на большие углы
рассеяния (в обратном направлении).
Общая картина взаимодействия пучка электронов с твердым телом.
Попадающий в твердое тело быстрый электрон испытывает практически
упругие рассеяния на фононах на большие углы и неупругие рассеяния на
электронах, сопровождающиеся появлением новых квазисвободных
носителей заряда с меньшей энергией. Тормозная способность имеет максимум,
положение и величина которого зависят от электронной плотности среды (см.
рис. 4.2.2): с увеличением Е, до максимума (при Е тах) рост дЕ/дх связан с тем,
что расширяется число возможных неупрутих переходов и электронных
возбуждений (последовательно включаются взаимодействия с валентными и все
более глубокими электронными оболочками); при Е>Егпах на первый план
выходит уменьшение сечений взаимодействия быстрого электрона с
электронным газом. В ультрарелятивистском случае Е » тс~, рост длины
свободного пробега ограничивается потерями на излучение жестких рентгеновских
и гамма-квантов. При Е < 10 МэВ в кристаллах могут быть существенны кван-
тово-механические эффекты, приводящие к каналированию электронов в
определенных кристаллографических направлениях. При своем движении в
твердом теле высокоэнергетичный электрон с энергией E>Emax на началь-

ном отрезке пути тормозится относительно слабо, а при приближении Е к
Етах быстро отдает свою энергию, так что максимум плотности
энерговыделения находится не на поверхности, а внутри тела. Из-за многочисленных
рассеяний (обычно малоугловых на электронах и рассеяний на большие углы на
фононах) траектория первичного электрона имеет сложную статистически
нерегулярную форму с ветвлениями (вследствие возбуждения вторичных
электронов) (рис. 4.2.8).
Глубина проникновения электронов связана со статистическим
усреднением по траекториям и поэтому не может быть однозначно охарактеризована
одним параметром. На рис. 4.2.9 показаны характерные распределения
электронов по глубине х. Кроме нормального пробега RxN, соответствующего
а б
Рис. 4.2.9. Зависимость коэффициента прохождения электронов
в Си от их энергии (с) и от толщины пленки (б)
ослаблению электронного потока в е раз, используют максимальный пробег
Rxmsx, на котором ток первичных электронов практически прекращается,
применяют также экстраполированный пробегRX3, который получают
экстраполяцией линейного участка распределения по глубине потока электронов
у = у(х) (см. рис. 4.2.9). Вводят и наиболее вероятный пробег7?ЛМ,
соответствующий максимуму производной потока электронов, отнесенный к
начальному потоку dyx/dx, и средний пробег Rxcp,
ОО /со
^ср = \х(йух/йх)йх/ \dyjdx.
о /о
Для каждого вещества форма распределения у = у(х) почти не меняется при
вариации начальной энергии падающих частиц Е , в пределах 10 ... 10 эВ, и
его аппроксимируют эмпирической формулой
yx=exp[-(x/RxN)p],
(4.2.10)

гдеЛд.д, зависит от вещества мишени и Е ,, а значениер, определяемое
свойствами мишени, находят из эмпирической зависимости
p = 3,7jZ2/A2/\gZ2
{А.2 - атомный вес мишени). С помощью (4.2.10) легко выразить пробеги через
один из них, например RxN :
Rxmax=Wyyxmm)]Up,
RXD =(р + \)RxN /р, Rxw = ((р-l)/P)VpRxN , Rxcp = Щр + l)/p)RxN;
здесь yxmjn - значение у х, которое можно считать практически нулевым в
некотором конкретном случае; Г(у) - гамма-функция. Значения RxN
определяются, с одной стороны, средней длиной траектории электронов до полного
торможения
^ = J(-dE/dx)"'dE,
(4.2.11)
с другой - отклонениями траектории от прямолинейной, связанными с
рассеяниями на ионах решетки. Из экспериментальных данных следует зависимость
пробега от коэффициента неупругого отражения г\ (см. 8.6):
-J- Rx, мкг/см
103 -
10
10
10
10
)5
)4
)3
7
1
1
1/2
3 з
Ж-1
М/,з
Г"'
Ж"'
//'/
/"'
/"'
/'''
fl'l
/ill
1 ////
/'"
/
/
1 1 1
о о о о о
о о о с/
О • О О О
-о Vo^o^'o—^
у) о о-*- о
о р \ &~~/ (^ о
о 9 q. <v
О -«-О / Q О^ О
Р 9 ° Ч
о о \ о-»- о о
о р о о
о о * о о о
о о
о
о о
О—"- О- J
<Ч °
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
о о
1 10 100 5,, кэВ
Рис. 4.2.10. Зависимость максимального {сплошные тиши) и нормального
{штриховые) пробега электронов от энергии для А1 (/), Си (2), Аи (3)
Рис. 4.2.11. Начальная стадия развития каскада столкновений в AI
{черный кружок - первично выбитый атом)

*™=^(0,95-UrD.
Значение R^ определяют интегрированием (4.2.11): полагая, что тормозная
способность описывается законом Бете-Блоха, получают
?'2
%=КЩЕ'?)*Кд(Е\У,
(4.2.12)
где Е', =Е ]/{Ii/4);K = 2nn2Z2/[El(Ii/4)], \i(y)= J(l/ln>->±у— интегральный
логарифм; параметры аппроксимации этой функции q и п см. в табл. 4.2.2
(рис. 4.2.10).
Таблица 4.2.1
Длина свободного пробега (нм) для неупругого рассеяния электронов
£-£;,,эВ
2
5
10
15
20
30
40
60
80
100
150
200
300
400
600
800
1000
2000
4000
6000
8000
10 000
А1
—
2.59
1.5
1.01
0.413
0.357
0,368
0.403
0,444
0,55
0,651
0,846
1,03
1,38
1.71
2,02
3,50
6.22
8,76
11,2
13,6
Si
—
2,5
1,45
0,93
0,419
0,357
0,366
0,402
0.444
0,551
0,656
0,857
1.05
1,41
1,75
2.07
3,60
6.41
9,05
11,6
14,0
Ni
77,0
14.3
4.66
2,65
1.8
1,03
0,515
0,404
0,402
0.42
0,482
0,544
0,672
0,789
1,02
1,24
1,44
2,41
4.19
5,85
7,43
8.97
Си
50,0
10.0
3,65
2,09
1.45
0.648
0,447
0,402
0,414
0,439
0.511
0,582
0,724
0,853
1,11
1,34
Ь5б_
2,61
4.55
6,35
8,07
9,99

Таблица 4.2.2
Параметры аппроксимации
Е
п
Ч
1—10
1.35
1.37
5—50
1.52
0.95
10—100 ' 50—500 100—1000
1.64 1.77 i 1.8
■■ -■ [ ■" --- j -
0.64 ! 0.36 0,31
500—5000
1,85
0.223
1000—10000
1.865
0.198
Энерговыделепие в твердом теле. Большая часть энергии поглощенных
телом быстрых электронов преобразуется в конечном счете в теплоту, т.е.
происходит нагрев приповерхностных слоев. Распределение мощности
поглощенной энергии электронного пучка по глубине зависит от (-dE/dx) и
вероятности рассеяния, определяющей характер формы траекторий электронов.
Это распределение аппроксимируют функцией Гаусса
G(x) = G„,exp[-(x-x„;)2/Axm] =
= G,„exp[-(x/Ax„, -ае)2],
где хт - координата максимума мощности; Ахп1 - полуширина распределения;
ае = хт/АхП1; необходимые параметры находят из эмпирических соотношений
Ъ*т = (Rxmax -хт)/2 = RxmBK/(2 + ае),
эе = х„,/Дх,;, =0,16rfa65;
значение G„, определяют нормировкой на суммарную поглощенную энергию:
Gm = 2Е, (1 - 0,5л " 0,4Л2)/{ 7^Лх„, [1 + erf (л)]},
у
где erf(y) = (2/л/я) Ге~;' dy- функция ошибок.
о
В случае относительно узких пучков диаметром d«Rmax, когда задачу
нельзя считать плоской, пространственное распределение энерговыделения
приближенно определяют в предположении, что источник тепловыделения
представляет собой сферу с центром на глубине хт от поверхности, плотность
энергии в которой падает при удалении от центра по закону Гаусса:
G(x,^z)=G^exp[-((x-x„,)2+/+z2)/Ax2]
(осиу и z направлены вдоль поверхности из точки попадания пучка). G'„,
также находят из условий нормировки:

G'm = 2E, (1 - 0,5л - 0Ar\2)/{(^AxJ3 [1 + erf (л)]},
параметры хт и Ахт задаются теми же формулами, что и для плоского случая.
Таким образом, тормозная способность электронов с ростом их скорости
проходит через максимум, поэтому максимум мощности энерговыделения
при воздействии пучка на тело находится не на поверхности, а в глубине.
Движение быстрых ионов в твердом теле. Быстрый ион в твердом теле
взаимодействует в парных соударениях с ионами решетки и электронами,
валентными и внутренними, а также порождает коллективные возбуждения
ионов (фононы) и электронов (плазмоны). Упорядоченное расположение
ионов в кристалле вносит анизотропию. При движении в веществе ион
передает ему энергию вплоть до полного торможения или выхода из среды,
траектория приобретает сложный вид из-за рассеяний, в кристаллической решетке
возникают дополнительные нарушения структуры.
Ион-ионные столкновения. Сечения столкновений быстрого иона с
ионами в твердом теле в первом приближении рассматривают в рамках тех же
моделей, что и кулоновские столкновения изолированных заряженных частиц. В
классической механике сечение кулоновского рассеяния на углы 9...9 +d6
определяется формулой Резерфорда:
a(9)d9= [Z1Z2e2/(2^v?)]2cosec4(9/2)de, (4.2.13)
гдеМ= 1/(1/М] + 1/М2)-приведенная масса; vi-скорость бы строго иона; Zi,
Z2, Mi, M? - зарядовые числа и массы ионов. Соответствующие сечения
передачи энергии ДЕ... ДЕ + dAE
a(AE)dAE = {n/4)[2Z{Z2e2/(Mv20f{AEmax/AE2)dAE, (4.514)
где ДЕтах = 4М1М2Е/(М] +М2) - максимальная величина передаваемой
энергии, E = M]v2/2. Из законов сохранения импульса и энергии следует, что
при М\ » М2 быстрый ион рассеивает ионы твердого тела, отклоняясь на
небольшие углы; при М, « М2 он может рассеиваться на углы до 180°, т.е.
достаточно часты рассеяния на большие углы. Полная передача энергии в одном
столкновении ДЕтах = Е возможна только при М\ = Mi. Квантово-механиче-
ское сечение рассеяния в первом приближении совпадает с классическим.
Рассеяния на неэкранированном поле ядра преобладают при больших
энергиях ионов
Е, >ЕВ =4Ry2Z,2Z22(Z12/3 + Z22/3)M,/(M2E*),
где Ry = 13,6 эВ; Е * - энергия, необходимая для выбивания иона из узла
кристаллической решетки.

На расстояниях больше или порядка характерного размера внутренних
электронных орбит заряд ядра решетки, однако, экранируется электронами
(см. разд. 1.1.1), в этом случае считают, что потенциал взаимодействия
описывается, например, формулой Фирсова:
U = A/r2,A = 0,45a^e2Z{Z2 = 3,05-КГ16 ZlZ2/(Z}/2 + Z21/2)2/3 (4.2.15)
(А - в электронвольтах на сантиметр в квадрате). Выражение (4.2.15)
применимо при расстояниях между ядрами в пределах от 0,7 Дф до 5 Дф, где радиус
экранирования по Фирсову
^=0,8853a0(Z'/2+Z'/2)-2/3.
При
Е < ЕА = RyZ,Z2(Z,2/3 + Z22/3)1/2 2(M, + М2)/М2
дифференциальное сечение рассеяния на угол 8 определяется потенциалом
(4.2.15):
cr(e)de=(7r2^/E){(7r-e)(M1 +M2)/[92(27r-e)2M2sin9]}de. (4.2.16)
При E^<E|<ES рассеяние на большие углы с передачей энергии
ДЕ~ДЕтах подчиняется резерфордовским зависимостям (4.3.13), (4.2.14), а
малоугловые рассеяния следует рассчитывать по (4.2.16).
Торможение ионов в аморфном или поликристаллическом теле.
Тормозная способность аморфного тела, т.е. тела с хаотическим расположением
рассеивающих ионов, в случае кулоновского потенциала (Е > Ев) определяется
формулой Бора, полученной при статистическом усреднении по парным
столкновениям с различными прицельными параметрами:
-dE/dx = nn2d2AEmzx\n(AEmax/AEmin)/4,
где d = Z,Z2 (M, + М2)/(М2Е\)' - расстояние сближения ядер при лобовом
столкновении; AEmjn -энергетические потери при скользящих
столкновениях с прицельным параметром порядка межатомного размера а,
AEmin=MIffi2(a)/(M2E1),
1) Формула записана в атомной системе единиц Хартри.

00
ae(6) = j[fyV2 -b2)V2][-dU(r)/dr]dr,
ь
где U{r)~ потенциал взаимодействия между быстрым ионом и ионом решетки.
В случае энергий Е<Е,, когда t/(r)~r_ , удельные потери энергии не
зависят от энергии частицы; для определения тормозной способности можно
использовать формулу Линдхарда и Шарффа:
-dE/dx = ^v(n2/2)(n2Mj(M] +M2))Z]Z2a', (4.2.17)*
^v =2/(2,7183-0,8853), (4.2.18)*
a'=0,8853(Z12/3+Z22/3)-1/2.
Взаимодействие ионов с кристаллами. Каскадные процессы и
повреждения решетки. Фокусоны. При движении иона по телу в столкновениях с
ионами решетки последним передаются порции энергии, которые могут
многократно превышать энергию Е *, необходимую для выбивания иона с его места
в кристаллической решетке. Выбитый ион претерпевает столкновения с
соседями, также передавая некоторым из них энергию ДЕ > Е *, так что
появляются каскады соударений (рис. 4.2. ] I) и могут образоваться многочисленные
дефекты решетки типа вакансий и атомов в междоузлиях, которые
локализованы в поврежденной области. В ее центре преобладают вакансии, на
периферии - междоузельные включения (рис. 4.2.12). Эта зона может охватывать
значительную область кристалла, а число одновременно смещающихся
атомов достигать примерно 10 . Движение выбитых атомов в правильном
кристалле происходит анизотропно, преимущественно в направлениях,
соответствующих наибольшей атомной плотности (наименьшим межатомным
расстояниям).
Это можно представить в виде цепочек замещающих столкновений либо
в терминах движения по кристаллу фокусонов. Если фокусон дошел до /-го
атома цепочки, это означает, что атом получил импульс от (/ - 1)-го атома и
передает его (/ + 1)-му, причем после прохождения фокусона (/' - 1)-й атом
остается в положении равновесия /-го узла, /-й в (/ + 1)-м узле и т.д. Там, где
энергия фокусона становится меньше Е*, образуется дефект типа атома
внедрения. Если цепочка ведет к поверхности кристалла, последний атом может
покинуть твердое тело - см. (4.2.14).
Условие образования фокусона в данном кристаллографическом
направлении получают из рассмотрения модели цепочки шаров, последнему из которых

Рис. 4.2.12. Структура поврежденной области: квадрат — первоначальное
положение первично выбитого атома; 1 - обедненная зона; 2 - зона,
насыщенная внедренными атомами {черные кружки);
3 — неповрежденная кристаллическая решетка
Рис. 4.2.13. К анализу образования фокусона на примере цепочки шаров
/' придан импульс р, под углом а, к цепочке (рис. 4.2.13). Когда центр этого
шара окажется в точке 0\, произойдет столкновение /-го и (/ + 1)-го атомов,
последний получит импульс р/ +1, направленный по линии 0\ Ом под углом а,+1 к
оси цепочки. На рис. 4.2.13 видно, что sin(cij +aw)/sinai—а>{2К). Отсюда
можно получить угол направления импульса (/ + 1)-го атома а/+]: он равен или
меньше ос,-, если cos a, <a/(4R)—условие, при выполнении которого вектор
передаваемого импульса все в большей степени ориентируется по оси цепочки.
Из этого условия следует, что наиболее вероятное проявление фокусировки
наблюдается при малых значениях а, т.е. в направлениях наиболее плотной
упаковки атомов в кристалле.
Каналирование. Анизотропия расположения рассеивающих центров в
кристаллах приводит к существенной зависимости тормозной способности
первичных ионов от направления относительно кристаллографических
осей: имеются направления (прямые «каналы» между атомными
цепочками), при движении по которым быстрый ион не подходит близко к ядрам
атомов решетки, т.е. не испытывает торможения на ион-ионных
соударениях. Такое движение — каналирование — возможно и при вхождении иона в
канал не точно по оси, а под небольшим углом ф < ф ; тогда ион многократно
отражается от ионов цепочек, совершая поперечное движение, близкое к
колебательному (рис. 4.2.14,4.2.15). Взаимодействие в этом случае носит
характер упругого отражения от цепочки как целостного непрерывного
рассеивающего объекта. Условие применимости непрерывного приближения таково: за

о о о о о о о о-о о о о
о о о о о о
Рис. 4.2.14. Каналирование ионов в кристалле
Та
у
,v_;
V.
h w
го
#
^_
Г\
С
г
JJL
ю:
ч5
,о
!с>
AJ/
££
XT
Рис. 4.2.15. Проекции траектории ионов
при каналировании в Си <100> (о) и в Си <110> (б)
время At наибольшего сближения быстрого иона с осью он взаимодействует с
несколькими атомами, успевая пролететь расстояние, большее межатомного,
т.е. V||A/>er, где V|| = vcos(p - параллельная оси составляющая скорости;
A'~7min/V_L> vi =vsin(j>, rmin — минимальное расстояние сближения, которое
определяют из условия сохранения энергии поперечного движения
•у
Е± ;sE~sin(p:
U'(r)= \u(r)dx/a;
здесь U'(r)— потенциал цепочки; U(r)— потенциал взаимодействия иона и
атома; х — осевая координата.
Критический угол Линдхарда фкр определяется таким значением (р, при
котором УцД?=а, при этом необходимо задаться конкретным видом
внутриатомного потенциала U(r). При малых углах (р (считая sin ф ~ (р) для
потенциала вида (4.2.15) (т.е. для не очень больших значений энергии, Е^2 <Е/)) из
приведенных здесь соотношений можно получить выражение для
критического угла Линдхарда:
(4.2.19)*
срк =[пА/(Еа2)]
1/3

(зависящий от Z i и Zt фактор А определен в (4.2.15)). Угол (р кр растет при
уменьшении межатомного расстояния в цепочке, т.е. каналирование происходит
преимущественно вдоль кристаллографических направлений с наиболее
плотным расположением атомов.
При каналировании параллельно заданной оси возможны два типа
траекторий: ограниченные только одним каналом (гиперканалирование, см. рис.
4.2.15а) и неограниченные, со свободным блужданием иона между каналами
(см. рис. 4.2.156). При гиперканалировании критические углы вхождения
меньше критического угла Линдхарда, поскольку они определяются
потенциалом на границе между каналами.
Блокировка. При углах, больших <р , непрерывное приближение
становится некорректным; следует рассматривать последовательные рассеяния на
атомах цепочки (рис. 4.2.16). Быстрый ион претерпевает несколько рассеяний
на цепочке и затем покидает этот канал. При этом одно или два рассеяния
происходят на относительно большие углы (около 10°), а остальные — на малые
(примерно 1°) с малой потерей энергии. Траектория, конечная энергия и угол
вылета при данных Е и \у зависят от значения прицельного параметра (т.е. от
того, нацелен первичный ион на ядро или между ядрами атомов цепочки)
6, град
рь 1010м
0 8 1624 324048 56 v, град
Рис. 4.2.16. Рассеяние частицы на цепочке атомов
Рис. 4.2.17. Периодическая зависимость угла рассеяния В от первого
прицельного параметра р\ для разных углов падения
Рис. 4.2.18. Зависимость максимального и минимального углов вылета р
для различных начальных энергий Е 0

(рис. 4.2.17). При рассеянии непрерывного пучка получаются характерные
распределения по энергиям (с двумя пиками, один из них соответствует
одному, другой—двум рассеяниям на большие углы) и по углам (ограниченное как
минимальным, так и максимальным углами, рис. 4.2.18). Ограничение угла
вылета сверху объясняется тем, что ион не может подойти к атому на
достаточно близкое расстояние из-за отклоняющих малоугловых столкновений с
предыдущими атомами цепочки «блокировка на входе»), снизу — из-за
отклонения последующими атомами («блокировка на выходе»).
Наличие минимального угла вылета делает практически невозможным
движение иона после рассеяния параллельно цепочке: происходит рассеяние
на углы порядка соответствующего зеркальному отражению, причем
распределение по углам сдвинуто в сторону больших углов рассеяния (см. рис.
4.2.18). Ион практически не может выйти в направлении оси канала, т.е. на
соответствующем распределении прошедших через кристалл ионов в точках —
проекциях кристаллографических направлений — образуются тени (эффект
блокирования, рис. 4.2.19). Более слабые тени образуются на проекциях
кристаллографических плоскостей. При наличии многочисленных дефектов
решетки эффект блокировки не проявляется. Смазывается картина теней и
тепловых колебаний решетки при высоких температурах.
Декансишровапие. По разным причинам частицы могут выходить из
режима каналирования (деканалирование), и в идеальном кристалле деканали-
рование может происходить из-за неупругих рассеяний на электронах, плаз-
Рис. 4.2.19. Эффект теней при отражении протонов от монокристалла Аи
(темные полосы указывают на ослабление интенсивности отраженного пучка
ионов вследствие эффекта блокировки выходящих ионов атомными плоскостями)
Рис. 4.2.20. Доля х деканалированных протонов с энергией 1,6 МэВ в Si <110>
в зависимости от глубины проникновения
X, %
2 4 6 8 10 12 14 х, мкм

монах и колебаний решетки. Наличие небольших возмущений энергии
поперечного движения делает траекторию каналируемой частицы случайной, так
что имеется конечная вероятность «диффузии» иона в поперечном
направлении, т.е. деканалирования; она увеличивается при росте температуры
(рис.4.2.20) и числа дефектов структуры.
Торможение ионов на электронах. При соударениях с электронами
быстрые ионы теряют энергию малыми порциями и рассеиваются на малые углы;
это диктуется законами сохранения импульса и энергии при парных
соударениях тел с резко различающейся массой М2 » те. Поэтому для описания
этих процессов применимы понятия о непрерывном торможении.
Низкоэнергетичпые ионы. Модель Фирсова. При малых скоростях
v, <<(е21К)2^Ъ тормозная способность иона вследствие взаимодействия с
электронным газом хорошо описывается моделью Фирсова, где передача
импульса объясняется тем, что при подходе к атому решетки быстрый ион
захватывает электрон, увлекает его с собой, придавая импульс порядка mev, и затем
«возвращает» этот электрон атому на возбужденный уровень; в последнем
акте импульс отдачи отсутствует.
В модели Фирсова анализируется обмен электронами между атомом и
ионом, причем для нахождения drn/dt рассматривается односторонний поток
электронов 7V*, которые в ходе своего движения по орбиталям пересекают
плоскость, равноудаленную от обоих ядер; в направлении от атома к иону эти
электроны приобретают дополнительный импульс (равный meV\) и энергию;
обратный поток электронов не оказывает воздействия на движение иона.
Результирующее соотношение для элементарной порции энергии, теряемой при
пролете иона на расстоянии Rq от атома, имеет вид
-AE = (l/2)v, -0,7(Z, +Z2)5/3/[l+0,16(Z, +Z2)1/3^].(4.2.20)*
Существенно, что ЛЕ и dE/d a ~ v,. Такая же зависимость от v [ получается и в
других, более подробных, моделях:
-dE/ck = Ce8^«Z,Z2v1/(Z12/3 +Z22/3),/3, Ce =1, •• .Д, (4.2.21)*
(формула Линдхарда-Шарффа-Шиотта);
-dE/cbc = 0,32nm Z?v{nm (4.2.22)*
(формула Хитагава-Оцуки). Зависимости от зарядов ядер атомов мишени и
быстрого иона в формулах (4.2.20)-(4.2.22) несколько различаются между
собой и не всегда согласуются с экспериментом.

Высокоэнергетичные ионы. Формула Бете-Блоха. При высоких скоро-
стях v, » Z2 (т.е. скоростях, превышающих скорости и валентных, и
внутренних электронов атомов) быстрый ион возбуждает электроны как в парных
соударениях (ионизация внутренних оболочек), так и в коллективных
процессах (возбуждение плазмонов). Средняя энергия возбуждения ДЕ > KyZ^
определяется внутренними свойствами электронной подсистемы кристалла и не
зависит от энергии первичного иона, так что тормозная способность для
парных соударений в первом приближении определяется произведением ДЕ на
число рассеивающих атомов и на сечение рассеяния, причем последнее
пропорционально квадрату заряда ядра иона и обратно пропорционально
квадрату скорости. Вывод дает формулу Бете-Блоха (аналогичную формуле для
электрон-электронных рассеяний):
-dE/dx = (47iZf /vf) л ln(2v? //), (4.2.23)*
где п - n2Z2 - плотность электронов.
Как и в указанном случае, она учитывает как парные соударения, так и
возбуждение плазмонов, причем парциальные вклады их в (4.2.23) одинаковы
(принцип равнораспределения).
Промежуточная область скоростей. В промежуточной области
v j ~ Z2 * тормозную способность, определяемую связанными электронами,
вычисляют по сумме вкладов от тех электронных оболочек п, 1, которые могут
быть ионизованы в данном случае, т.е. которые имеют энергию ионизации /„/
меньше, чем порция энергии 4(mv, /2), которую быстрый ион может передать
одному электрону:
-dE/dx = (4tiZ, /vfM^/lnCv?//,,/), (4.3.24)*
",/
где N„i — число электронов в оболочке с квантовыми числами п, I (формула
Бора). Следует отметить, что (4.2.23) получают из (4.2.24) в пределе больших
скоростей при введении ДЕ из соотношения
Z2ln/ = X^/ln(2mvf//;)/),
где можно также применять формулу Бете-Блоха с поправками, например, с
заменой множителя \n(2m\*/l) на [ln(2mv^ /1) -С / Z2]. Значения C/Z2 для
случая торможения протона показаны на рис. 4.2.21.

c/z2
10
1
10
10^U
10
2
-2
■A
-6
-:jF
■7
92/ ,
^^
H +
i i i
«S = l/2 vi=Z22/3 e2/h
НГ 10J 104 НГ G, кэВ
Рис. 4.2.21. Энергетическая зависимость С/Z2
log<S
Рис. 4.2.22. Зависимость средней тормозной способности иона от энергии:
/ - область преобладания ядерных потерь энергии; 2 - область преобладания
электронных потерь энергии, формулы (4.2.8)-(4.2.10); 3 - формула Бете - Блоха
(4.2.23); 4 - область торможения релятивистских частиц на фотонах.
В областях /, 2 частицы в основном нейтральны, в 3, 4 - ионизованы
Релятивистские ионы. Для случая очень быстрых ионов с (3 = v х /с < 1
формула Бете-Блоха принимает вид (формула Фано)
-dE/dx = (4nZ] /v[)«{ln(2v2//) + ln[l/(l-p2)]-p2}(5.5.13)*
(из-за существенно большей массы покоя ионы гораздо сложнее ускорить до
релятивистских скоростей, чем электроны).
Взаимодействие с соединениями. Как и для электронов, тормозная
способность ионов при взаимодействии с веществом, состоящим из атомов различных
элементов, равна сумме тормозных способностей каждой из подрешеток:
-dE/dbc = XC/(-dEAH >
суммирование ведут по элементам, С,- парциальная доля элемента /'.
Общая картина взаимодействия ионов с твердыми телами. При
движении по твердому телу ион отдает энергию ядрам решетки и электронам
(внутренним и валентным) и возбуждает плазмоны - коллективные колебания
электронов. Потери энергии на электромагнитное излучение, как правило,
малы. Возбуждаются также фононы, образуются экситоны.
Тормозная способность включает электронную и ионную составляющие
(рис. 4.2.22). Электронная (электрон-плазмонная) тормозная способность при
малых скоростях ионов v,<<vgZf связана с возбуждением внешних
электронов и пропорциональна V|, при больших-с внутренними электронами и
обратно пропорциональна v,, т.е. проходит через максимум при скорости иона,

близкой к скорости внутренних электронов в атомах vBZ, . Для легких
ионов этот максимум соответствует энергии 104...105 эВ, для тяжелых -
10°... 10s эВ. Ионная тормозная способность (рассеяние на ядрах мишени)
также проходит через максимум, который в соответствии с формулой Линд-
харда — Шарффа — Шиотта достигается при энергии иона
Е, ^10(Z,2/3 +Z22/3)1/3Z,Z2(M, +M2)/M2
(Е, - в электронвольтах), что для легких ионов соответствует 102...103 эВ,
для тяжелых-10 ...10 эВ. Нарастание тормозной способности в области
малых энергий идет относительно медленно (примерно логарифмически, см.
рис. 4.2.22). В результате при малых энергиях основным является рассеяние
на ионах решетки, а при больших- на электронном газе (рис. 4.2.23). В
монокристаллах при поступлении ионов параллельно кристаллографическим
направлениям с максимальной упаковкой атомов вследствие эффекта каналиро-
вания часть ионов проникает на расстояния, существенно превышающие
расстояния для других неканалированных ионов или для аморфных веществ: для
каналирования ионов менее вероятны столкновения с ядрами атомов решетки
и электронами.
и/, nd
(dS/dp)д.отн. ед.
0,5-
0,4- /~\
о|Д , ' 7 ' 1 ~
10~3 10~2 10"1 S, отн. ед
0 1,0 x/R
б
Рис. 4.2.23. Ядерная тормозная способность в безразмерных координатах Е и р: -
(dE/dx)„ =([Z,Z2e2a/,M1/72]/[B0(M1 + M2)])(dE/dp)„ , а, = 0,885а0(Zf/3 +Z22/3)
Рис. 4.2.24. Распределение по глубине внедренных ионов (штриховые линии)
и смещенных атомов (сплошные) при М2/М] =1/4(я)и Л/2/М, =4(6)

При столкновениях с ионами решетки возможны рассеяния на большие
углы и передача энергии большими порциями, а торможение на электронах
происходит с малыми отклонениями от прямолинейной траектории и почти
непрерывными потерями энергии. В результате быстрые ионы обычно между
редкими рассеяниями на ионах решетки имеют почти прямолинейную
траекторию и тормозятся на электронах, а выбитые по пути относительно
медленные ионы образуют зоны радиационных повреждений. Распределение
концентрации смещенных атомов по глубине близко к распределению
имплантированных ионов (рис. 4.2.24).
Число смещенных атомов, созданных первично смещенным атомом,
Л^=0,42Еда/Е*,
где Е * - пороговая энергия смещения атома при сильном ударе, Е* - 10... 3 0 эВ; Е аа
- энергия первично смещенного атома, расходуемая в упругих взаимодействиях,
Еаа =(А'/Се)\п[\ + Е'С1(А'/Се+В')],
А' =0,45, В' =0,3; Е^ =Eff/E0, E0 = Z,Z2e2 (MJM2 +\)/aTF ;
здесь Еа - энергия первично смещенного атома; aTF - радиус Томаса-Ферми;
Се - коэффициент пропорциональности между безразмерной электронной
тормозной способностью (-дЕ'а/дх')е и безразмерной скоростью атома
(Е'а),/2, х' = х/х0,х2 =(А/, + M2)2/(4MlM2aTFnn1).
В случае большой дозы облучения (более 10 ... 10 см~~) каскады атом-
атомных столкновений могут перекрываться, в результате объемная
плотность дефектов достигает насыщения, происходит аморфизация.
Релаксация зоны радиационного повреждения. После прекращения
поступательного движения ионов по решетке происходит частичная релаксация
из неравновесного состояния. Структура решетки частично
восстанавливается в ходе рекомбинации дефектов в значительной степени вследствие
диффузии, стимулированной энергией колебаний, возбужденных при торможении
иона данного или соседних каскадов. Отвод основной доли энергии из
области, прилежащей к каскаду, описывается в рамках теории теплопроводности,
однако некоторая ее доля переносится и в виде ударной волны. Взаимное
влияние температурных полей соседних каскадов при больших мощностях
энерговклада может приводить к снижению градиентов температуры и более или
менее равномерному оплавлению и кипению тела.
Глубина проникновения ионов. Среднюю длину пробега ионов
определяют приближенно (при замене дискретных соударений на непрерывное
торможение) по формуле

Л(Е,) = \Ш-дЕ/дх)е + (-5E/ac);.]}dE,
о
где индексами е, i отмечены тормозные способности электронов и ядер
решетки. Для вычисления R можно и не проводить интегрирования, а
воспользоваться аппроксимациями; так, в случае пренебрежимо малых электронных
потерь при Е'| =Е ,/Е 0 «0,02
R/xq =2А(Е\)2/В, ^f =0,1412, 5 = 0,4206;
при 0,1 <Е', <5
R/x0 = 3.06E',.
Для диапазона энергий 0,02 < Е', < 10 с учетом (ЗЕ/йх),- и (дЕ/дх)е
R/x0 =(2/Ce)(E',)1/2 -0,9/[Се2(0,45/Се +0,3)1/2]х
xarctg[(E'1),/2/(0,45/Ce+0,3),/2].
Поскольку траектории отличны от прямолинейных, R(E ,) не совпадает в
общем случае с расстоянием от поверхности имплантированных быстрых
ионов - средним проективным пробегом Кр.
В широком диапазоне значений энергии Е', = 2 • 10_3 - 10 расчеты
торможения с хаотически расположенными центрами и потенциалом
экранирования по Томасу-Ферми (см. разд. 1.1.1) приводят к следующим приближенным
формулам для Rp, домноженных на плотность:
R'p = с,М2 [(Z,2/3 + Z22/3)E , KzxZ2)]m /р при 0,002 < Е^ < 0,1,
R'p = с2 М2 (Z2n + Z22/3 )1/2 Е, /(Z, Z2p) при 0,5 < Е', < 10;
коэффициенты с\ и с2 зависят от М2/М] (рис. 4.2.25); Е , - в кэВ, Rp - в
мкг/см2.
Средний квадратичный разброс пробегов ДЛ при пренебрежении
электронным торможением можно вычислить по формуле
&R2p=R2A(n-l)/[n(2n-\)],
где R - траекторный пробег; Л = 4М]М2/(М] + М2)2\п- показатель
степенной аппроксимации потенциала (в частности, при аппроксимации Нильсен п =
2-см. разд. 1.1).

0,20 N
0,15 "
0,10 I '
0,1 1,0 10 М^М^ 0,1 1,0 10 Mi/Mi
а б
Рис. 4.2.25. Зависимости с\ (а) и с2 (б) от М2/М,
В условиях преобладания электронного торможения при потенциале
ион-ионного взаимодействия U(r)~ l/r2 Rp можно найти по R с помощью
формулы
ЛДЕО/ДСЕО^-х^Щ-х),
гдех = (М2/М] )(dE/dx)i/(дЕ/дх)е; Ei-интегральная показательная функция.
Зависимость для протонов представлена на рис. 4.2.26 (для других легких
ионов получаются кривые, близкие к ней). Некоторые характерные данные по
пробегам указаны в табл. 4.2.3.
Таблица 4.2.3
Проективные пробеги и средние нормальные отклонения (х10~ м) ионов в Si
Энергия.
кэВ
20
60
100
120
Ионы
В
.3__.
714
2074
3275
3802
ДЛ„
276
562
726
793
Р
*/-
289
729
122
148
ДЯ„
107
228
350
40
As
. */>. ...
151
368
574
677
ДЯ„
34
81
122
141
Распределение примесей по глубине часто близко к гауссовому, которое
описывается формулой
N(x) = [N0/(JbxARp)]exp[-(x-Rp)2 /(2AR2p)],
где Л'о - интегральная доза имплантированных ионов на 1 см2; AR - среднее
квадратичное отклонение проективных пробегов.

RJR
0,1 0,2 0,5 1 2 3 10 20 б, отн.ед
Рис. 4.2.26. Зависимость R„/R от энергии для протонов
Рис. 4.2.27. Распределение по глубине ионов, внедренных в ориентированный
монокристалл, для хаотической (/) и хорошо каналироваиной (2)
частей пучка, а также с учетом деканалирования (3)
В случае распространения пучка ионов по монокристаллу в направлении
какой-либо оси вследствие каналирования распределение ионов по глубине
имеет два максимума: соответствующий описанному выше случаю
(аморфные и поликристаллические мишени) слой у поверхности и глубинный слой
каналированных ионов (рис. 4.2.27); глубина последнего слоя в области роста
(дЕ/дх) пропорциональна скорости иона:
Е, Е,
R'/Ro=- J[l/0E/ar)e]dE= j[l/(CeE1/2)]-dE=2E,/2/Ce.
о о
Поскольку \Се | не увеличивается с ростом Z\, при одной и той же энергии
пробеги тяжелых ионов больше (так как меньше скорость и меньше
тормозная способность).
В целом пробеги ионов значительно меньше пробегов электронов, т.е.
ионный пучок воздействует на узкий приповерхностный слой (0,01... 10 мкм),
тогда как электронный пучок может проникать и на значительно большую
глубину (до сантиметра и более).
Движение нейтронов, ядерные и термоядерные реакции в твердом теле.
Взаимодействие нейтронных потоков с веществом сводится, во-первых, к
инициации ядерных реакций (при этом нейтроны поглощаются), во-вторых, к
упругим и неупругим рассеяниям на ядрах решетки (при этом происходит
замедление нейтронов). Закономерности ядерных реакций относятся к ядерной
физике и здесь подробно не рассматриваются. Сечения ядерных процессов,
как правило, невелики по сравнению с сечениями газокинетических и других,
затрагивающих электронные оболочки атомов; об этом свидетельствует,
например, значение традиционной для ядерной физики единицы измерения
сечений: 1 барн(б)= 10~28м2(лл2 = 0,879-108б).
Сечения взаимодействия нейтронов с ядрами зависят от их энергии и от
элементного состава мишени (рис. 4.2.28).

Е, б
E, б
40 50 60 100 100120140 Й.^В 100 1О040050О60О£, эВ
Рис. 4.2.28. Полные сечения рассеяния и поглощения нейтронов
для различных изотопов элементов (а-в) (начало)

S.6
Е, б
10'
10'
10u
\Jr-^\sn—
2 4 6 8 S, МэВ
10
IO"2 IO"1 10° 101 102 103 104 10s 106S, эВ
Z, 6
102
10
D20
н2о
■ ■
H
^sA
~4
^
ю~2 Ю"1 io° io1 io2 , io3 io4 ios ю6е, эв
Рис. 4.2.28. Полные сечения рассеяния и поглощения нейтронов
для различных изотопов элементов (г-е) (окончание)

При неупругом рассеянии нейтронов происходят захват нейтрона и затем
распад составного ядра с испусканием нейтрона с меньшей энергией. После
эмиссии нейтрона ядро приобретает кинетическую энергию, а также
оказывается в возбужденном состоянии, переход из которого в основное состояние
сопровождается испусканием гамма-кванта.
При упругом рассеянии также часть энергии нейтрона передается ядру
решетки (причем энергетические соотношения такие же, как и при рассеянии
иона с массой 1 а.е.м.); основное воздействие на тело также связано с
образованием быстрого иона материала решетки и его дальнейшей релаксацией.
При других ядерных реакциях после распада составного ядра получаются
продукты реакции, отличающиеся от исходных частиц. Ниже приведены не-
Е, мб
102
10
1
/5
3
1
3
fT~
г-
^\
1
Б, мб
Е, мб
Рис. 4.2.29. Зависимости сечений реакций от энергии нейтронов а:
1 - ,60(«, p),6N; 2 - 19F(«, рУ"0- 3 - 24Mg(«, />)24Na; 4 - ,4N(«, р)ыС;
5 - 58Ni(«, /?)58Со; 6 - 27А1(и, p)27Mg; б: 1 - 28Si(/i, p)2iA\; 2 - 3,Р(и, pfSi;
3 - 32S(aj, pf2P; 4 - 56Fe(«, p)SUMn; в: 1 - 6Li(«, p?H; 2 - 9Be(/7, a)6He;
3 - wB(n, a)7Li; 4 -шВ(и, 2a)3H; 5 - 27А1(и, a)24Na; г: I - 19F(«, a)16N;
2-l4N(ii,a),IB;3-:,4S(ii,a)3,Si

которые характерные значения параметров реакций. Сечения поглощения
тепловых нейтронов: Н - 6,33 б, С - 3,8 • Ю-3 б, N - 1,88 б. На один
поглощенный тепловой нейтрон для Н испускается один фотон с Йсо< 4,95 МэВ, для Fe -
широкий спектр (Йсо< 1 МэВ-0,65 фотона; 1...2 МэВ -0,6; 2... 3-0,27; 3...5-
0,23;5...7-0,25; 7...9-0,38; 9... 10, 16 -0,021).
Сечение реакции на тепловых (300 К) нейтронах ,4Н + п = ,4С + р +
+ 0,626 МэВ равно 1,75 б; |70 + п = 14С + а+ 1,72 МэВ - 0,5 б; сечение реакции
на нейтронах спектра деления 54Fe + п = 54Мп + р - 2,93 МэВ равно 0,011 б
(альфа-частица - ядро гелия). Сечение упругого рассеяния тепловых
нейтронов на Н - 38 б, С - 4,8 б, N - 10 б. Время замедления нейтронов от 2 МэВ до
0,025 эВ: вводе- 10"5 с, в Be-6,7 ■ 10"3 с, в С (графит) - 1,5 ■ 10~5 с. Средний
квадрат смещения нейтрона (по прямой) от начальной точки до термализации
для энергии 2,64 эВ в НгО составляет 210 см2. Характерные сечения ядерных
реакций под воздействием высокоэнергетичных нейтронов представлены на
рис. 4.2.29, 4.2.30.
При бомбардировке высокоэнергетичными ядрами легких элементов в
твердом теле могут происходить также реакции термоядерного синтеза (рис. 4.2.31).
При ядерных и термоядерных реакциях образуются гамма-кванты,
быстрые нейтроны и заряженные частицы - высокоэнергетичные электроны, по-
Б, мб
10J
Е, мб
10"
10
Na
/ у
Г
с
о--
од
Б, мб
239р Jf^\/ \
u sS~ i
ф, п'Л^
/ / ст(л, 2п)
\ 235и
( 239Pu^
ili i
1,0 <5„, МэВ 0,1 1,0 <S„, МэВ Ю "2 10_1 10°<S„, МэВ
а б в
Рис. 4.2.30. Сечения неупругого рассеяния (п, п') и реакции (п, 2п) (а-в)

Е, см2
ю-24
10-25
ю-26
ю-27
ю-28
10 "29
1 10 102 103 104<S, кэВ
Рис. 4.2.31. Сечения термоядерных реакций: / - 2H(d, я)3Не; 2 - 3Н(</, и)4Не;
3 - 3Не(</, и)"Не; 4 - 3Не(</, y)5Li; 5 - 3Не(7, рп)АНе; 6 - 6L\(d, p)7U
зитроны и ионы. Наибольшие сечения взаимодействия с веществом имеют
именно заряженные частицы, которые и производят наибольшие
радиационные повреждения решетки в окрестности точки ядерной реакции. Для
гамма-квантов вещество, как правило, прозрачно, и их воздействием на тело, в
котором происходят ядерные реакции, часто пренебрегают. Они, однако,
влияют на радиационную обстановку в окрестности реактора.
Итак, рассмотрение взаимодействия с телом нейтронного потока,
ядерных и термоядерных реакций сводится, во-первых, к нахождению начальных
пространственных и энергетических характеристик рождающихся быстрых
заряженных частиц (что включает определение параметров ядерных реакций
и описание движения нейтронов среди рассеивающих и поглощающих
центров), во-вторых, к анализу описанных выше процессов релаксации
заряженных частиц в веществе. Поскольку нейтронные потоки проникают на большие
глубины (порядка 10" ... 10 м), они вызывают радиационные повреждения в
объеме (распухание, охрупчивание, радиационную ползучесть и др.).
Поверхностные повреждения и эмиссии, возникающие под воздействием
нейтронных потоков, малы.
Таким образом, тормозная способность ионов с ростом Е | может
проходить два пика, связанных с торможением на ионах и на электронах.
Анизотропия кристаллов приводит к эффектам каналирования и блокирования.
Торможение быстрого иона сопровождается образованием зоны радиационного по-

вреждения. Пробеги ионов значительно меньше, чем электронов, т.е. ионный
пучок воздействует на приповерхностный слой (0,01... 10 мкм). Воздействие
нейтронных потоков на тело определяется образованием высокоэнергетич-
ных заряженных частиц (как из-за упругих рассеяний нейтронов, так и
вследствие ядерных реакций).
1.4.3. Электропроводность
На основе представлений о квазичастицах и их статистических свойствах,
а также решений кинетического уравнения Больцмана проанализированы
зависимости для электропроводности реальных твердых тел: металлов
(простых и переходных), полупроводников и диэлектриков, как чистых веществ,
так и легированных, кристаллических, аморфных.
Концентрация квазисвободных электронов в полупроводниках настолько
меньше их числа в металлах, что электропроводность последних оказывается
существенно выше. В соответствии с материалами, изложенными в разд. 4.4, для
данного металла при известной поверхности Ферми зависимость с(Т)
выражается только во влиянии Т на длину (или время) свободного пробега при Е = EF.
В полупроводниках а невырожденного электронного газа описывается
формулой а=пее <т >/ш*, где пе сильно зависит от Г и наличия дефектов.
При бизких по порядку величины сечениях взаимодействия Е и концентра-
циях iij рассеивателей значения х = (п Е v e) для металлов гораздо меньше,
чем для полупроводников, из-за того, что скорость электронов,
соответствующая Еуг, гораздо выше тепловой скорости электронов полупроводников.
Электропроводность металлов. Для металла электросопротивление
складывается из вкладов рассеяния электронов на дефектах, фононах,
электронах, магнонах и др.:
P = Pd + PPh+Pe+Pm + ■■■
(правило Матиссена). В металлах при высоких температурах важную роль
играет рассеяние на фононах р л. При T>&D спектр фононов не меняется, а
энергетический спектр электронов, переносящих ток (как и средние сечения
электрон-фононного рассеяния), практически не зависит от температуры
(энергии Ее ~ EF), число же рассеивающих фононов пропорционально Т, т.е.
связанная с электрон-фононным рассеянием составляющая
электросопротивления р h ~ Т. Поэтому электросопротивление часто считают
пропорциональным Т. Однако реальные зависимости а = <з(Т) значительно сложнее
(рис. 4.3.1-4.3.3). Отклонения от зависимости pph ~ Гсвязаны с
вымораживанием фононов при Т <&D зависимостью &D =&D(T); другие нелинейности
р=р(Г) объясняются электрон-магнонным рассеянием, фазовыми перехода-

р-10*Ом-м
120
100
80
60
40
20
.
W
щ ;^>-
/р
/ /9т
■'""Рг-уЛ
^
>♦ |rm
0 250 500 750 1000 12501500 1750 Т,К
Рис. 4.3.1. Зависимость р(7) для Fe; p = pe_ph + pL,_„,, где pe_ph - электрон-фононная,
Pe-m ~ электрон-магнонная составляющие
р-108Омм
400
_
-
-
ц
°У
1Гпл /Cs
1 /
/Ba//
мо_^
0 1000 2000 3000 T, К
a
1000 2000 T, К
2000
2500 T, К
Рис. 4.3.2. Температурные зависимости удельного электросопротивления металлов

РСП
Р(Г-)
1,30
1,20
1,10
1,00
0,90
Hg К NaAgAu Си
1 .' ' ' ' '
-III' ' '
Hi'1/ /
Will' /j
ill ' ' //
III' ' //
'11 4 11 //
11 II11 //
1/ //// //
\\ 'III jy
1/ 41/ ЛГ
Я ill/ jy
W/ Cd
W/ *
Mr *
^^d_^-^Zn
>Mg
ы/
1
'Sn
р/р(©л)
0 0,1 0,2 0,3 0,4770л
1,00 1,50 2,00 T/Tm
Рис. 4.3.3. Температурные изменения электросопротивления жидких металлов
Рис. 4.3.4. Электросопротивление металлов вследствие рассеяния
на фононах при малых температурах
ми и др. При Т « & D расчеты с учетом уменьшения числа фононов и
изменения их спектра дают зависимость а~ Т~ . Точнее, определяемое электрон-фо-
нонными рассеяниями удельное электросопротивление
р= const -Г5 |х5/[(е*-1)(1-0]сЬс, x=QD/T (4.3.1)
о
(соотношение Блоха-Грюнайзена), интеграл в (4.3.1) равен х /4 при малых и
константе при больших значениях х; вид зависимости p(T)/p(&D)
представлен на рис. 4.3.4.
На р(Г) оказывают влияние температурное расширение решетки и
связанное с ним изменение &D. Поэтому при преобладании электрон-фононного
рассеяния приТ >&D часто имеется более быстрое, чем линейное, нарастание
электросопротивления.
Рассеяние электронов в переходных металлах может быть связано с
рассеянием электронов на магнонах, т.е. с разупорядочением ориентации спинов
атомов, дополнительный источник беспорядка приводит к значительному
увеличению р. Поскольку при низких температурах имеет место
упорядочение, а при Т>ТС (где Тс - температура Кюри) происходит полная хаоти-
зация ориентации спинов, это сопротивление падает с уменьшением Гпри Т<
Тс, а при Т> Тс наступает насыщение (см. рис. 4.3.1).

В чистых металлах и их сплавах при различных условиях (Т,р) могут
существовать фазы, отличающиеся строением кристаллической решетки. При
переходе из одной фазы в другую в значениях электропроводности
наблюдаются скачки значения р как в одну, так и в другую сторону, причина этому -
различное взаимодействие разных кристаллических структур с электронным
газом, а также переходы типа порядок- хаос при плавлении металла (при этом
с ростом температуры и степени беспорядка р растет). На значения р влияет
также «история» обработки образца (наклеп, деформация, закалка,
намагничивание).
Сверхпроводимость. При низких температурах Т< ГДгде
^-температура сверхпроводящего перехода) некоторые металлы, полупроводники и
сплавы скачком теряют свое электросопротивление. Причина этого, согласно
теории БКШ (Бардина-Купера-Шриффера), состоит в образовании куперовских
пар - пар электронов, обменивающихся виртуальными фононами.
Естественно, для устойчивости таких пар необходимо сильное электрон-фононное
взаимодействие, т.е. в обычном, несверхпроводящем состоянии указанные
вещества являются достаточно плохими проводниками (в них эффективно
электрон-фононное рассеяние). Ts зависит от магнитного поля: последнее
затрудняет переход в сверхпроводящее состояние. При Т = 0
сверхпроводимость существует только при H<HS, при 0 < Т< Ts - при Н< HS(T), последняя
зависимость описывается формулой вида
Hs(T) = H0[l-l,06(T/Ts)2],
а для Т= Тс
HS(T) = \,13H0(\-T/TS).
При переходе в сверхпроводящее состояние магнитное поле вытесняется из
сверхпроводника (идеальный диамагнетик, эффект Мейснера), толщина
переходного слоя на границе
x = x0[i-(T/Ts)4ru\
гдеА.0-5-10~ м; магнитное поле спадает по закону В= Вйе~х (здесь х -
расстояние от границы).
Электропроводность сплавов металлов. В сплавах металлов
электросопротивление зависит от того, является ли данный образец твердым раствором
(легирующий элемент равномерно распределен по объему), либо он состоит
из отдельных фаз с разным химическим составом. Например, отожженная
сталь состоит из смеси фаз a-Fe и Fe^C, а закаленная -твердый раствор
углерода в a-Fe. В случае смеси фаз электросопротивление обычно близко к значе-

нию р для наиболее проводящей фазы (для стали a-Fe), хотя при выпадении
плохо проводящей фазы по краям зерен такие «перегородки» могут
существенно увеличить сопротивление образца.
Твердые растворы с небольшим содержанием примеси обычно
представляют собой поликристаллы с определенным количеством точечных дефектов,
образующих рассеивающие центры, электросопротивление при легировании
растет. Это является общим правилом даже в том случае, когда в металле А с
низкой электропроводностью растворяется металл В с высокой
электропроводностью. Повышение р при образовании твердого раствора (легировании)
может быть весьма значительным. Например, введение 0,2% (ат.) As или Fe в
золото приводит к росту значения р при температуре 0°С в 2 раза.
Электрическое сопротивление слабо концентрированного твердого
раствора р= р0 + р', где р0 - сопротивление основного компонента
(растворителя); р' - остаточное сопротивление, равное сАр (здесь с - атомарное
содержание примеси; Ар- добавочное сопротивление на 1% (ат.) примеси); второе
слагаемое в формуле не зависит от температуры.
Из приведенных в разд. 1.4.2 закономерностей рассеяния электронов
на ионизованных и нейтральных дефектах следует, что возрастание
сопротивления, вызванное содержанием 1% (ат.) различных металлов (кроме
переходных), растворенных в одном и том же растворителе, зависит от
валентности растворителя и растворенных металлов: чем больше различие
между их валентностями, тем больше добавочное сопротивление, т.е.
Ap = a+b(z- z ) , где а и Ъ - константы; z и Zp-валентности легирующего
компонента и металла-растворителя (правило Линде). Правая часть
диаграммы на рис. 4.3.5 (примеси непереходных металлов) является
наглядным подтверждением этого правила: через соответствующие точки
для р можно провести параболу. Левая часть иллюстрирует аномалию при
растворении переходных металлов, связанную с описанными выше
рассеяниями на магнонах. Максимум сопротивления в двойных сплавах, как
правило, лежит при 50% (ат.): 1/ст~ с(1 - с), где с - атомная доля одного из
компонентов (рис. 4.3.6).
В твердых растворах ферромагнетиков и сильно парамагнитных
металлов максимальное сопротивление может соответствовать концентрации,
отличной от 50%> (ат.). Например, сопротивление растворов благородных
металлов и металлов переходных (при больших концентрациях) аномально высоко
вследствие того, что валентные электроны могут переходить на лежащие
глубже недостроенные d- или^-уровни переходных металлов, и число
электронов, создающих электрический ток, уменьшается, т.е. проявляется s-d- и
^-/-рассеяние электронов.

Др', нОм-см/%(ат.)
10
5
0
паш iv vvivnvmATB п m iv vb
р, мкОмсм
Ti
а
1
1
1
1
1
. 1
1
1
<*Mg
Au
1 Fe J?e
\/ КаСЗАЬр^Р
10
10
10
100 °C
l//-273aC\\
II i x \\
// / N \\
// ' ч \\
// ' ч \\
■//' ч \\
II i N V
/' ^ \
г/ \ч
/ \
/ \
, , , i '
p, mkOm-cm
0 20 40 60 80 100
Си % (ат.) Au
10
5
/ •
/ 'ffl
2
•n
3 \
0 25 50 75 100
Cu % (ат.) Au
Рис. 4.3.5. Добавочное сопротивление на 1% (ат.) примеси в Au
Рис. 4.3.6. Зависимость удельного электросопротивления
сплавов Си и Аи от состава
Рис. 4.3.7. Удельное сопротивление сплавов Си и Au: / - закаленные сплавы;
2 - сплавы после отжига; 3 — зависящая от температуры часть сопротивления
При стехиометрических соотношениях компонентов, соответствующих
составу интерметаллического соединения, возможно образование
упорядоченной кристаллической решетки: электрическое поле ионного состава
решетки становится при упорядочении более симметричным, что уменьшает
значение р(рис. 4.3.7).
Влияние наклепа. Влияние образующихся при деформации (наклепе)
дислокаций и вакансий на электросопротивление чистых металлов относительно
мало и при нормальных температурах не превышает 2...6% (табл. 4.3.1). Роль
таких дефектов заметна лишь при малых температурах, где они дают вклад в
остаточное сопротивление, обусловленное факторами, не зависящими от
температуры (рис. 4.3.8).
Таблица 4.3.1
Сравнение влияния различных дефектов
на изменение сопротивления металлов
Тип дефекта
Вакансии
Междоузельные атомы
Границы зерен
Др
мкОмсм/%(ат.)
мкОм ■ см/%(ат.)
10""7 мкОм • см^см2 / см3)
Al ;
2.2 !
4,0 :
13.5
Си
1.6
2.5
31.2
Ag
13+0,7
—
—
Аи
U ±03
—
35,0

р, нОм-см о/а, %
20 -
15 -
10 -
5 -
О 5 10 15 20 Г, К " '" "" "" "" " '"
Рис. 4.3.8. Удельное сопротивление металла при малых температурах
Рис. 4.3.9. Зависимость электрического сопротивления сплава CuAu
от степени деформации е: / - закаленный, 2 -отожженный образец
Рис. 4.3.10. Зависимость изменения электрического сопротивлени
холоднотянутой стали (с 0,58% С) от степени обжатия
При наклепе и отжиге твердых растворов, даже
слабоконцентрированных, их электрическое сопротивление изменяется в большей степени, чем
сопротивление чистых металлов в тех же условиях; еще более значительно
изменение электрического сопротивления при наклепе упорядоченных твердых
растворов (рис. 4.3.9): при наклепе порядок в расположении атомов
вследствие относительного перемещения пачек скольжения и отдельных атомных
плоскостей нарушается.
Пластическая деформация гетерогенных (неоднофазных) структур может
и несколько увеличивать электропроводность - вследствие образования
ориентированной структуры с частичным разрушением перегородок из плохо
проводящей фазы (рис. 4.3.10).
При большом количестве статистически расположенных дефектов
(аморфный металл) рассеяние приобретает коллективный характер. При этом
правило Матиссена может нарушаться. По электропроводности аморфные
металлы ближе к жидким металлам, чем к кристаллическим.
У аморфных металлических сплавов при комнатной температуре
р=(1... 2) • 10-4 Ом • см, что в 2-3 раза превышает р соответствующих
кристаллических сплавов и слабо зависит от Т. Это связано с особенностями структуры
аморфных металлов. В кристаллических металлах длина свободного пробега
электрона составляет примерно 50 периодов решетки даже при Т, близкой к Тпл.
Отсутствие дальнего порядка в металлических стеклах обусловливает малую
длину свободного пробега, соизмеримую с межатомным расстоянием.
0 20 40 60 е,
П ОП АГ\ А(\ ЯП .

Электропроводность полупроводников. Электропроводность
полупроводников в слабых электрических полях может быть обусловлена
движением электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне; также
возможна проводимость по примесям а':
o = enev.e + enhiih+o',
где \хе =е<\е >1 т*е, \ih =e<xh >/ m*h - подвижности электронов и дырок.
В случае большой концентрации носителей заряда газ оказывается
вырожденным; при этом подвижность почти не зависит от температуры.
В более важном случае невырожденного больцмановского распределения
носителей заряда наиболее вероятна тепловая скорость носителей заряда (для
определенности электронов) < v >= [&kBT/(iim*)]' . Зависимость длины
свободного пробега / от энергии электрона Е может быть аппроксимирована в виде
l = ATp(E-Ec)q, A = const, (4.3.2)
где Ес - граница зоны (для электронов - зоны проводимости), а числа/? и q
зависят от того, на чем (фононах, дефектах и т.д.) происходит рассеяние. Тогда
после усреднения по энергиям можно получить
yi=BTp+qAI2.
Такая температурная зависимость содержит фактор Тр из зависимости
(4.3.2), фактор Tq, полученный из (Е - Ec)q при усреднении (так как среднее
отклонение энергии частиц от дна зоны - порядка Г), а фактор Т~ появился в
результате деления на среднюю скорость. В частности, для рассеяния на
продольных акустических (LA-) фононах при T>0D / пропорционально Т~
(числу фононов), т.е. р =—1,<7 = 0 и соответствующая подвижность \x=BT~v .
При рассеянии на ионизованных дефектах длина пробега не зависит от
температуры и обратно пропорциональна резерфордовскому сечению, т.е.
(Е - Ес) , q = 2,р = 0, и \х пропорциональна Тзп. Точнее,
ц = 64яДе0е/z)2 x
х(п/т*)т(2квТ/е2)ш/1п{1 + (\2ле0еквТ/[ге2п)п])2},
где z - заряд примеси. Если температура не слишком мала, а концентрация
примеси не очень велика, т.е. если аргумент логарифма гораздо больше
единицы, то знаменатель слабо зависит от щ и Ти ц,« СТ V2n~\ С = const. В случае,
когда под логарифмом находится величина порядка единицы, получается

иная зависимость вида \х&СТ п( . Заметим, что подвижность не зависит
от знака заряда примеси. С двумя указанными (обычно основными)
механизмами рассеяния на £Л-фононах и ионизованных дефектах конкурируют и
некоторые другие. Так, в ионных кристаллах при высоких температурах может
оказаться основным рассеяние электронов на ГО-фононах, тогда значение ц
пропорционально ехр[Йсо£ /(квТ)], где соя - характерная частота оптических
фононов.
Значительно уменьшить подвижность электрона в полярном кристалле
может образование полярона, который обладает большой т*.
Рассеяние в полупроводниках может быть обусловлено не только
ионизованной, но и нейтральной примесью; сечение рассеяния (см. разд. 4.2) обратно
пропорционально скорости электрона, так что подвижность оказывается не
зависящей от Е и Ти примерно равной \i~e/(20tia0n0), где п0 - концентрация
примесей. Такое рассеяние наиболее эффективно для быстрых электронов
(которые меньше взаимодействуют с ионизованными примесями) при низких
температурах (когда мало фононов).
Рассеяние происходит также на дислокациях (особенно если они
оказываются заряженными), на границах зерен и др.
Электропроводность аморфных полупроводников. Предположим, что
плотность состояний имеет вид, изображенный на рис. 2.5.176. В рамках этой
модели в аморфном полупроводнике различают три механизма проводимости.
1. Проводимость, связанная с носителями, которые возбуждены в нелокали-
зованном состоянии. В этом случае перенос осуществляется аналогично тому,
как это имеет место в кристаллических полупроводниках. Опыт показывает, что
во многих аморфных полупроводниках ток переносится дырками. Тогда
CT=CT0exp[-(EF -Ev)/(kBT)],
где а0 и 100... 500 Ом-1 см-1 не зависит от Т; при этом значение \х
пропорционально Т~].
2. Проводимость, связанная с носителями, возбужденными в
локализованные состояния, расположенные в «хвостах» зон, т.е. вблизи ЕА или Ед
(см. рис. 2.5.175). Если ток переносится также дырками, то проводимость,
осуществляемая в этом случае путем перескоков, определяется выражением
a=G] exp[-(EF -Ев + ДЕ,)/(А:ВГ)], гдеЕв -энергия края «хвоста» флуктуа-
ционных состояний; АЕ1 - энергия активации перескоков (прыжков); обычно
сто/а, «Ю2...Ю4.
3. Прыжковая проводимость, связанная с носителями, которые
совершают перескок между локализованными состояниями вблизи уровня Ферми с
различными энергиями (рис. 4.3.11). Для прыжка в более высокоэнергетиче-

б"
Рис. 4.3.11. О механизмах прыжковой (перескоковой) проводимости
ское состояние электрон должен получить энергию АЕ от фонона: при Т= О К
прыжковая проводимость равна нулю.
В прыжковой проводимости принимают участие только электроны с
энергиями в интервале порядка квТ около уровня Ферми. Число таких
электронов п = g(EF )kBT, где g(EF )- плотность состояний вблизи уровня Ферми.
Вероятность перескока электрона пропорциональна фактору Больцмана
ехр[-ДЕ/(А:ВГ)], где АЕ - разность энергий, и зависит от перекрытия
волновых функций. Отсюда прыжковая проводимость по локализованным
состояниям вблизи уровня Ферми определяется формулой Мотта:
c = e2pR2g(EF);
Здесь вероятность перескока /?=v , ехр[-2а/?-ДЕ/(А:вГ)]; v h»
12 II —I
к 10 ... 10 с - множитель, зависящий от спектра фононов; а—
коэффициент, зависящий от степени перекрытия волновых функций; R - расстояние,
на которое осуществляется перескок.
Средняя энергия активации перескоков АЕ тем меньше, чем выше
плотность состояний. При сильной локализации электрон перескакивает
лишь на ближайшее локализованное состояние, и тогда
AE = l/[R3g(EF)].
В области низких температур электроны с большей вероятностью
перескакивают на более удаленные состояния, разность энергий между которыми
меньше, чем для ближайших состояний. При этом прыжковая проводимость
определяется законом Momma:
а = а2ехр[-(Г0/Г),/4].
Параметры ст2 и То зависят от g(EF) и радиуса локализации волновых
функций.

lncy
су, Ом^-см '
10"
10"
10
10
12
16
As2S3
л ,_(As2Te3-Ti2Se)
XAs2Te3-As2Se3)
■ ■ ' ■ ' ,
1
9 103/Г, К"1
Рис. 4.3.12. Зависимость (области / — 5*) электропроводности аморфного
полупроводника от температуры
Рис. 4.3.13. Температурная зависимость электропроводности
некоторых халькогенидных полупроводников
Общий вид зависимости электропроводности в координатах In сгот Т~ с
учетом всех перечисленных механизмов переноса представлен на рис. 4.3.12.
Область / соответствует переносу по нелокализованным состояниям, 2 — по
состояниям в «хвостах» зон, 3 и 3' - по локализованным состояниям вблизи
уровня Ферми. При этом на участке 3' выполняется закон Мотта. Если
плотность состояний, связанных с дефектами, велика, то следует ожидать, что не
будет такого интервала температур, где процесс 2 был бы доминирующим. В
этом случае участок 3 переходит в участок /. Примеры реальных
зависимостей с=о(Г) представлены на рис. 4.3.13.
Электропроводность пористых полупроводников. У
сильнолегированных полупроводников (оксидов с избытком металла) суммарный ток
электропроводности складывается из тока, протекающего через объем кристаллов и
контакты между ними, тока, проходящего по поверхности кристаллов, и,
наконец, эмиссионного тока свободных электронов в порах оксидного слоя
(рис. 4.3.14).
При низкой температуре электропроводность осуществляется в основном
вследствие переноса электронов по приповерхностному слою кристаллов,
который представляет собой, по существу, поверхностную зону вырожденного
полупроводника, резко отличающуюся по своим свойствам от свойств
объема. В высокотемпературной области электронный ток идет в основном по
объему кристаллов (включая контакты между ними) и по порам слоя.
Электропроводность пористых слоев окислов чрезвычайно
чувствительна к условиям приготовления образца, его пористости, плотности проходяще-

су, Om''-см"1
0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 ЮУГ, К
Рис. 4.3.14. Структура оксидного слоя: I& — ток по объему кристаллов;
Люв — ток по поверхности; /„ор — ток свободных электронов в порах слоя
Рис. 4.3.15. Зависимость электропроводности ВаО от температуры:
/ — монокристалл ВаО, активированный в парах Ва; 2 — то же,
обесцвеченный длительным прокаливанием в вакууме;
3 — плотная поликристаллическая пленка ВаО
го через слой тока, наличия и состава примесей и поверхностных пленок
(рис. 4.3.15).
Таким образом, электросопротивление металлов, связанное с элект-
рон-фононным рассеянием, при T>©D примерно пропорционально числу
фононов, т.е. пропорционально Т . В переходных металлах при Т^ТС
значительна роль электрон-магнонного рассеяния. Электросопротивление сплавов
выше, чем у чистых металлов (особенно при малых значениях Т ).
Электропроводность полупроводников пропорциональна концентрации носителей
заряда, которая в беспримесных полупроводниках экспоненциально зависит от
Г, а в примесных - в широком диапозоне значений Т равна концентрации
примесей.
1.4.4. Теплопроводность твердых тел
Из анализа динамики электронной, фононной и фотонной составляющих
плазмы твердого тела получены зависимости для теплопроводности
металлов, полупроводников и диэлектриков.
Тепловая энергия в твердом теле передается в основном при переносе
фононов, свободных электронов, фотонов.
В кинетической теории газов и газовой плазмы мощность потока
тепловой энергии w при движении частиц
w = -divA, • gradr,
(4.4.1)
где "к — коэффициент теплопроводности,

X = X(1/3)Q;УД ; (4.4.2)
здесь сумма берется по сортам частиц, переносящих энергию; Су-
теплоемкость, v - скорость, /-средняя длина свободного пробега частиц. Фактор 1/3
связан с усреднением по направлениям движения частиц.
Длину пробега для данного сорта рассеяний^'/ выражают через
эффективное сечение соударения Еу/ и концентрацию рассеивающих центров я,:
!j, = 1 / (£у/И/).
Длину пробега частицу определяют по длинам пробега /,, относительно
соударений с различными сортами рассеивателей /:
(/=1/£(1/(/Д
Эти же выражения можно использовать при описании переноса энергии в
плазме твердого тела.
Фононная теплопроводность. Фононная теплопроводность играет
примерно ту же роль, что и теплопроводность вследствие наличия тяжелых
частиц в газовой плазме; она существенна в диэлектриках и полупроводниках.
Соответствующий коэффициент, согласно (4.4.2),
^■ph =CygV phlph>
где I h - средняя длина пробега фонона в решетке; vp/, - средняя скорость фо-
нонов (приТ «&D совпадающая со скоростью звука, а при Т >&D имеющая
близкие к ней значения). В общем случае при вычислении lph следует сложить
частоты соударений с фононами, дефектами структуры, поверхностью
кристалла и др.
Фонон-фононное рассеяние играет основную роль в правильных
кристаллах при T>&D. Если T>&D, то число фононов Nph ~ Т, С ~ const, поэтому
A, h ~ Т~]. Коэффициент пропорциональности может быть оценен
несколькими способами; удобным приближением является формула Дугдела и Макдо-
налъда для трехфононных процессов
^P\-ph =9ay/T(vsCva),
где а-коэффициент линейного термического расширения; у - параметр Грю-
найзена; v s = (v L + 2v T )/3 - средняя скорость звука (здесь \l - скорость
продольных волн; Vf— скорость поперечных волн); Су — удельная теплоемкость
при постоянном объеме.

Рассеяние фононов на электронах также дает вклад в решеточное тепло-
сопротивление. Оценка величины и температурной зависимости этого вклада
показывает, что при высоких температурах
^рН-е~ПЬв)2г2е(Ре-Рн/Т),
где ze - эффективное число электронов проводимости на атом; ре_р/, - элект-
рон-фононный вклад в р.
Так как р <,_,,/, примерно пропорционально Г, при высоких температурах
A. h_e не зависит от температуры. В переходных металлах УС h_e может быть
соизмеримым или даже большим, чем А,_Д_ h. При низких температурах X~ph_e
пропорционально Т .
Столкновения между фононами без переброса не препятствуют тепловому
потоку, так как при рассеянии фононы «передают» друг другу часть
переносимой энергии, а также импульса как указателя направления перемещения этой
энергии. Поэтому нормальные фонон-фононные рассеяния не дают вклада в
/ А, а при отсутствии других механизмов рассеяния (правильный кристалл
больших размеров) теплопроводность могла бы неограниченно нарастать. Такой
рост A. h наблюдается при Т «QD, когда процессы переброса
«вымораживаются», т.е. их вероятность стремится к нулю пропорционально
exp(-fi®/(kBT)), P» 0,5...0,7; итак, приГ«0о фонон-фонопное рассеяние
оказывается неэффективным. В этом случае фононы в диэлектриках и
полупроводниках рассеиваются границами тела- имеет место «кнудсеновское течение
фононного газа» (под / понимают характерный размере'тела). Поскольку при
Т «&D Су ~ Т , то A, h ~L'T . В поликристаллических образцах длина /
равна размеру монокристаллов L'. Рассеяние может происходить также на
точечных дефектах (примесях, вакансиях), дислокациях, других нарушениях
упорядоченности в решетке, даже на случайных распределениях различных изотопов
химических элементов. В частности, в сплавах замещения периодичность
решетки для фононов нарушается из-за случайного распределения атомов разной
массы по эквивалентным узлам, поэтому теплопроводность решетки сплава
меньше теплопроводности любого из исходных материалов.
Соответствующие длины пробега часто слабо зависят от температуры,
тогда при Т « 0 D X h ~ Т (из-за Cyg), а при Т > 0 D - не зависит от Т.
Конкретные температурные зависимости для различных случаев
представлены на рис. 4.4.1-^.4.4.
Электронная теплопроводность. В металлах основную роль играет
перенос энергии свободными электронами, он примерно на один-два порядка ин-

X, Вт/(м-К)
10"
Я, Вт/(м-К)
10;
10"
10
0 000
1000
100
- LiF
- /^-\Г99% 7Li
' / 50% 7Li \
7 50% "li \
\ i
Я, Вт/(м-К)
10 000f
1000
Естественный л
изотопный
состав
_i i i i i t
10
100 Т, К
10
100 Т, К
50100 Т, К
Рис. 4.4.1. Зависимость решеточной теплопроводности
от температуры для монокристаллических стержней из LiF:
1-е размерами 1,33x0,91мм; 2-7,55x6,97мм
Рис. 4.4.2. Влияние изотопического рассеяния на величину
решеточной теплопроводности LiF и Ge
тенсивнее фононной теплопроводности (точно так же электронная
теплопроводность преобладает над атомарной и ионной в сильноионизованной
плазме). Хотя теплоемкость электронного газа значительно меньше, чем у
решетки, скорости движения электронов существенно выше скорости звука, и
результирующая теплопроводность получается большой. Поскольку и теплота, и
X, Вт/(м-К)
Х,Вт/(м-К)
80
60
40
20
(
G
1
) 20
iAs
40 60
% (ат.)
80 1
Ga
00
Р
5,0
2,0
1,0
0,5
0,2
0,1
0,05
0,02
2 5 10 20 50 100200300 Т, К
Рис. 4.4.3. Влияние на решеточную теплопроводность рассеяния фононов,
обусловленного случайным распределением компонентов в системах
Рис. 4.4.4. Зависимость теплопроводности от температуры для Ge
при различных концентрациях дефектов

заряд в металлах переносятся электронами, для металлов часто выполняется
закон Видемана-Франца (см. разд. 4.4) и анализируются отклонения от него,
т.е. отличия числа Лоренца
L = Х/(иТ)
от
L0=(nkB)2/(3e2).
Так, при высоких температурах с хорошей точностью L ~Z0, т.е. выполняется
закон Видемана - Франца. Если электросопротивление связано с электрон-
фононными соударениями, т.е. пропорционально Т, то А,е не зависит от Т.
Существует несколько причин, по которым может быть L*L0. Прежде
всего это неупругий характер рассеяния (при этом процессы рассеяния,
обусловливающие электро- и теплосопротивление, имеют различную
интенсивность, и нельзя ввести единое время релаксации для электро- и теплосопро-
тивления), а также сложная структура электронных зон и электронного
спектра, и негладкий характер g(E) в пределах теплового слоя (ширина которого
порядка квТ). Примером проявления последнего могут служить межзонные
s-^-переходы, существенно определяющие внешнее число Лоренца в
переходных металлах.
Для электронной теплопроводности ^/-переходных металлов в рамках
s-^-модели Мотта (см. разд. 1.4.2)
Xe*Ae2Dg(E){l + n2(kBT)2/6[37K2/5-2lK2/5]},
где Кр К2 - кинетические коэффициенты (см. разд. 4.4). Для приведенной
функции Лоренца
(1/10)я/=[1 + тс2(*вГ)2(37К?/5-21К2/5)]/{1 + 712(*вГ)2[ЗК?-К2]}.
Из этих выражений следует, что и величина, и вид температурных
зависимостей L являются однозначными функциями плотности электронных
состояний и ее производных (изменение фононного спектра учитывается
зависимостью @D =@D(T)).
Проявление неупругого характера рассеяния приT>&D также связано с
рассеянием на магнонах. В модели Касуя L = Lq при Т>ТС (и так как
р = АТ + D, то ке =L0/(A + DT~]), что обеспечивает рост теплопроводности с
температурой).
Однако ниже точки Кюри L зависит от температуры вследствие
проявления вкладов неупругого рассеяния.

В парамагнитных переходных металлах рассеяние на парамагнонах также
имеет неупругий характер. L зависит от температуры и параметров широкой s-
и узкой d-зон. При низких температурах теплосопротивление, обусловленное
парамагнонным рассеянием, изменяется какАГ^ Л, пропорциональное Т.
При высоких температурах L, связанное с рассеянием электронов на
парамагнонах, меньше Zo и стремится к нему в пределе Т —> оо:
(i/A))p„,« V(i + NT)
(Л определяется параметрами s- и <У-зон). Отметим, что для металлов, у
которых уровень Ферми лежит вблизи максимума плотности состояний, моттов-
ская составляющая, связанная с ^-(У-рассеянием, приводит к увеличению L по
сравнению с Lq.
Рис. 4.4.5. Температурная зависимость
функции Лоренца различных металлов

При низких температурах / меняется из-за возникновения больших
различий во времени релаксации для электропроводности тст и теплопроводности
т^: при учете только нормальных электрон-фононных соударений т^
пропорционально M&4D/T , а Хе - M®AD/T2, так что L*L0, а пропорционально
Примесный вклад в электронное теплосопротивление X~e_t для чистых
металлов при высоких температурах подчиняется закону Видемана-Фран-
ца-Лоренца: А,~_, =р,/(£0Г), где р, - остаточное сопротивление. С ростом Т
этот вклад быстро убывает и для достаточно чистых металлов при Т > 0,5 не
заметен на фоне других составляющих. Экспериментальные температурные
зависимости функции Лоренца и теплопроводности металлов представлены
на рис. 4.4.5, 4.4.6.
X, Вт/(мК) X, Вт/(м-К)
0 500 1000 1500 Т, К 0 1000 2000 ТУК.
а б
Рис. 4.4.6. Температурные зависимости
теплопроводности различных металлов {а, б)
Фотонная теплопроводность в диэлектриках при высоких
температурах. Перенос излучения, также как и в газовой плазме, в общем случае не
носит характера теплопроводности и может быть представлен в виде (4.4.1)
только при малой (по сравнению с размером тела£') средней по спектру фотонов
длине пробега фотона < /v >; в этом случае
Ху=(16/3)«,2ст55Г3</у>, (4.4.3)
00
< /v >= llvG[H(kBT)]d[hv/(kBT)],
о
200
100

GOO = 15/ ехр(-^)/{тг4[1 -ехр(-^)]2}.
Из-за резкой спектральной зависимости /v закон усреднения существенно
влияет на результат, при lv «L' потоке растет при увеличении длины
пробега /v. При оптической прозрачности lv »L', когда каждый фотон выходит за
пределы тела, более применимо приближение радиационного охлаждения
w = 4ae,cy5Sr4; (4.4.4)
здесь усредненный по Планку обратный пробег излучения
ае, = \(\lk)Gx[hvl{kBT)]d[hvl(kBT)],
где G](y)= 15у 1(т1А{еу - 1)). При lv »L' перенос энергии растет при
уменьшении /v. Из (4.4.1), (4.4.3), (4.4.4) следует, что (при постоянных lv) поток
энергии пропорционален Т . Максимальные значения Sv достигаются при
/v ~L'. Закономерности формирования оптического спектра /v обсуждаются
ниже.
Таким образом, для металлов при T>®D перенос теплоты и заряда
осуществляется в основном квазисвободными электронами, а
электропроводность ст и теплопроводность X связаны законом Видемана-Франца, т.е. если и
примерно пропорциональна Т~ , то A, -const. В диэлектриках и
полупроводниках теплопроводность определяется фононным газом. При Г >0D и
преобладании рассеяний на фононах А, примерно обратно пропорциональна Т.
1.4.5. Термоэлектрические,
гальваномагнитные и термомагнитные явления
Анализ кинетического уравнения Больцмана указывает, что на любой из
процессов переноса влияет не только «свой» возмущающий фактор (для
тока - электрическое поле, для потока теплоты - градиент температуры и
т.д.), но и на все остальные; это принято описывать в терминах
термоэлектрических, гальваномагнитных, термомагнитных эффектов. Рассмотрены
феноменология и закономерности изменения количественных характеристик
основных из этих эффектов.
Кинетические явления в кристаллах, обусловленные изменением
функции распределения электронов при одновременном воздействии нескольких
возмущающих факторов - электрического и магнитного нолей и градиента
температуры, - по типу действующих сил подразделяют на три основные
группы: термоэлектрические, гальваномагнитные и термомагнитные.

Термоэлектрические явления. Термоэлектрические явления объединяют
группы физических процессов, обусловленных взаимными превращениями
энергии теплового движения и энергии электрического тока. К ним относят
обычно три обратимых эффекта - Зеебека, Пельтье и Томсона.
Эффект Зеебека. Эффект Зеебека заключается в том, что в электрической
цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов, изготовленных
из различных материалов, возникает термоЭДС, если места контактов
поддерживаются при неодинаковых температурах. Как показано в разд. 4.4, если при j
= 0 в однородном образце V,T Ф 0, то возникает поле напряженностью
Е = (1/(еГ))(Ко'K^Vr = QVT. (4.5.1)
Если соединить два различных металла (полупроводника) А и В в замкнутую
цепь и поддерживать контакты 7 и 2 под разными температурами, то в цепи
возникает ЭДС ф (см. разд. 1.4.4):
12 0 2
Ф = \EBdx + \EAdx + \EBdx=\(QA -QB)dT.
0 12 1
На количественные характеристики эффекта Зеебека влияет изменение
распределения температуры, сечений соударений, градиентов температуры и др.
Эффект Пельтье. Эффект Пельтье, обратный эффекту Зеебека, состоит в
том, что при прохождении тока в цепи с проводниками из разнородных
материалов в местах контактов помимо выделения джоулевой теплоты
поглощается или выделяется (в зависимости от направления тока и типа вещества)
некоторое количество теплоты Qn =Ш/, где П - коэффициент Пельтье; /— сила
тока; /-время. Если вдоль подобной цепи поддерживается постоянная
температура, УГ = 0, и под действием внешней ЭДС протекает току, то
w = еК,£, j = e2K0E (4.5.2)
(см. разд. 4.4), т.е.
w=(l/e)K~0%j = ij. (4.5.3)
С учетом определения Ки, легко заключить, что П зависит от материала и
состояния (температуры) проводника, т.е. в ветви А течет поток теплоты П^ j, в
ветви 5-ngj^n^j. На контактах поток теплоты должен быть непрерывен;
следовательно, количество теплоты, равное (Пл - Пд), выделяется в единицу
времени на одном контакте и поглощается на другом. В нагреве одного
контакта и охлаждении другого и состоит эффект Пельтье. Из (4.5.3) и (4.5.1)
видно, что

Tl = QT.
(4.5.4)
Эффект Томсона. При наличии в цепи одновременно и электрического
тока, и потока теплоты в объеме однородного проводника на фоне выделения
джоулевой теплоты при jV,T < 0 поглощается, а при jVГТ > 0 выделяется
количество теплоты
д=\\т(Т)&Т, (4.5.5)
где х = т(71)- коэффициент Томсона. Из (4.5.5), (4.5.1) следует связь xviQ:
dQ/dT = -x/T. (4.5.6)
Коэффициент Томсона имеет физический смысл удельной теплоемкости
носителей электрического тока: количество теплоты поглощается, если потоки
теплоты (из-за теплопроводности и носителей заряда) противонаправлены, и
выделяется, если они сонаправлены, т.е. поток носителей заряда как бы
сносит тепловое распределение с собой.
ТермоЭДС электронного газа. Значение термоЭДС (и связанных с Q
коэффициентов Пельтье (4.5.4) и Томсона (4.5.6)) зависит от особенностей
рассеяния носителей заряда и дисперсионных зависимостей вблизи Е = EF.
Учитывая выражения для а и термоЭДС Q через интегралы К„ (4.5.1), (4.5.2) и
определение К„, получают связь между Q и а в виде
Q = ±п2/3(к2вТ/е){д[1пс(Е)]/дЕ}\Е=Е1 . (4.5.7)
В зависимости от знака носителей заряда может быть взят плюс или минус;
с=о(Е) рассматривается как функциональная зависимость а от энергии Е,
соответствующей поверхности S:
су =а(Е) = [1/(4tt3)]0?2V/0 J7(E)dS(E).
Непосредственно выражение (4.5.7) применимо при T>®D.
Аппроксимируя зависимость ст=с(Е) вблизи Е = Ер степенной зависимостью
<т = const • Е*,
из (4.5.7) получают
Q = (n3/3)k2BTx/(eEF). (4.5.8)

В зависимости от особенностей рассеяния и строения электронного спектра
вблизи Е = EF величина х может быть положительной или отрицательной.
В переходных металлах энергия Ферми лежит в области d-полос, дающих
основной вклад в плотность состояний d^/d Е ~ (Е^ - Е/.- ). В терминах
квазичастиц т* < 0 (рассматривается верх разрешенной зоны, см. разд. 1.2.4), т.е.
носители заряда ведут себя как дырки. Если считать, что особенности
поведения о(Е) определяются особенностями энергетической зависимости в dd^/d E,
то с помощью (4.5.7) можно получить
Q = -(n2/6)klT/[e(Ed-EF)].
(4.5.9)
Поскольку Е ^ -EF «EF, для переходных металлов значение Q больше, чем
для простых.
Выражение (4.5.9), как и (4.5.8), получено в достаточно грубых
приближениях и может лишь с осторожностью применяться в количественных
расчетах; в частности, оно не точно при температурах меньше температуры
магнитного упорядочения. Однако (4.5.9) качественно верно описывает влияние
уровня Ферми на О, в частности, для сплавов переходных и непереходных
металлов, например Cu-Ni-сплавов. Размеры и электроотрицательность атомов
Си (атомный номер 29) и Ni (28) очень близки, и они образуют гомогенные
твердые растворы замещения при любых концентрациях. Однако в среднем
0,6 электронов на атом Ni в чистом металле уходят из J-оболочек и находятся
в ^-состоянии, оставляя 0,6 дырок в J-оболочке на атом, т.е. энергия Ферми
лежит ниже Ed, у чистой меди же каждому атому соответствует один
свободный ^-электрон, а ^/-оболочка полностью занята (рис. 4.5.1). В сплаве часть
электронов меди заполняют дырки в ^/-оболочках никеля, приближая Е F к Ed.
Согласно (4.5.9), это должно вызвать росттермоЭДС, что и наблюдается в
эксперименте (рис. 4.5.2). Максимум на зависимости Q от концентрации связан
Рис. 4.5.1. Плотность состояний никеля (а) и меди (б)

Q, мкВ/К
73
0,200
61 63
Си,%(ат.)
53
55
57 59
б
61 63
Си,%(ат.)
53 55 57 59
Рис. 4.5.2. Зависимость Е(/ -Е7,- (а) и термоЭДС (б)
от состава медно-никелевых сплавов
с конкуренцией роста Q согласно (4.5.9) и влиянием разбавления переходного
элемента с увеличением концентрации Си.
На рис. 4.5.3 показаны экспериментальные термоЭДС для ряда металлов.
Электронная термоЭДС в полупроводниках имеет гораздо большие
значения, чем в металлах, так как электронный газ не вырожден, и
температурные изменения функции распределения значительнее. В случае одного типа
носителей заряда значение Q можно найти по формуле Писаренко:
Q = ±(кв I е){г + 2 + \ф(2%т* квТУ121 (пкъ)]}, (4.5.10)
Рис. 4.5.3. Температурная зависимость абсолютной термоЭДС
некоторых металлов (а, б)

где знак соответствует знаку носителя заряда; г - показатель в степени
зависимости длины пробега носителей заряда от их энергии:
/*4>ЕГ. (4.5.11)
При наличии двух типов носителей заряда - электронов и дырок - Q равно
разности (алгебраической сумме) термоЭДС составляющих, взятых с весами,
пропорциональными вкладам в электропроводность ст.
Q = (kB/o){vhnh{r + 2 + \n[2(2nm*kBT)3,2/(nhh3)]}-
-liene{r+2 + \n[2(2nm*kBT)y2/(neh3)]}},
где цЛ, це, nh,nc - подвижность и концентрация дырок и электронов
соответственно.
Решеточная термоЭДС. Наряду с потоком заряда и электронной
термоЭДС может проявляться поток теплоты, переносимый «увлеченными» фоно-
нами - решеточная термоЭДС. Причина «увлечения» фононов - передача им
импульса при электрон-фононных рассеяниях, преимущественно в
направлении дрейфа носителей заряда, в ходе нормальных процессов (см. разд. 1.4.2),
для которых суммарный импульс сохраняется. Эту картину существенно
нарушают процессы переброса, при которых фононы испускаются более всего в
направлении, противоположном направлению тока носителей заряда.
Особенно значительна роль переброса в металлах, так как в вырожденном
электронном газе переходы с малым изменением энергии происходят при
начальном и конечном состояниях электрона вблизи поверхности Ферми,
которая может быть близка к границам зоны Бриллюэна, так что относительно
малого импульса фонона достаточно для выхода за пределы этой зоны, т.е. для
осуществления процесса переброса.
В невырожденных полупроводниках при Т «®D возбуждаются
акустические фононы также с малыми волновыми числами, и процессы переброса
происходят редко. В полупроводниках термоЭДС значительно выше, чем в
металлах. Знак решеточной термоЭДС совпадает со знаком носителя заряда.
Гальваномагнпптые явления. Гальваномагнитные явления — это
совокупность эффектов, связанных с воздействием магнитного поля на электрические
свойства твердых тел.
Электропроводность анизотропного кристалла является в общем случае
тензором, и гальваномагнитные явления можно трактовать как изменение
этого тензора под действием магнитного поля, приводящего к искривлению
траекторий электронов между столкновениями с радиусом кривизны
г-т*\&ь/(еВ0). Особенно сильно сказывается влияние магнитного поля при

критических значениях индукции Во, когда раднус г становится величиной
одного порядка с длиной свободного пробега 1е. В этом случае искажение
траектории настолько велико, что изменяется механизм рассеяния электронов.
Критическая напряженность поля для большинства веществ очень высока
(#кр и 107...10" А/м), и в реальных полях (Я = 106 А/м) искривление
траекторий электронов незначительно. Однако у ряда веществ (например, в Bi)
значение Нкр значительно ниже и магнитное поле резко изменяет тензор
электропроводности.
Гальваномагнитные явления подразделяют на продольные и поперечные
в зависимости от того, в каком направлении они проявляются относительно
вектора электрического поля. К поперечным гальваномагнитным явлениям
относят эффекты Холла и Эттинсгаузена, к продольным - изменение
продольного сопротивления в магнитном поле и эффект Нернста.
Эффект Холла. Эффект Холла заключается в возникновении
поперечного электрического поля Ея в кристалле, по которому протекает ток I, при
помещении его во внешнее магнитное поле Во, перпендикулярное I. Поле Ея
перпендикулярно I и Во, а его напряженность пропорциональна силе тока и
индукции магнитного поля.
Физическую природу эффекта Холла легко понять с помощью
кинетического подхода, анализируя движение свободных электронов в скрещенных
электрических и магнитных полях (как в газовой плазме). Известно, что в
поле на движущуюся частицу действует сила Лоренца, Fe = e[v, В],
перпендикулярная скорости. Чтобы скомпенсировать вызванное этой силой
отклонение носителей заряда, требуется наложение поперечного электрического поля
Е„ =[B,v] = [l/(mO][B,j], (4.5.12)
возникающего в результате появления нескомпенсированных зарядов на
поверхности тела. Две указанные поперечные силы компенсируют одна другую,
и носители тока движутся под действием лишь продольного электрического
поля.
ЭДС Холла обратно пропорциональна концентрации п носителей тока,
поскольку при той же плотности тока с падением п растет средняя скорость,
т.е. увеличивается относительное влияние магнитных сил.
Имеется и качественное, и количественное соответствие между
проявлениями эффекта Холла в плазме твердого тела и в газовой плазме: формула
(4.5.12) применима в обоих случаях.
Если B-Lj, то поперечное поле (поле Холла) Ея =ех jB/(w*a)=i? jB,
коэффициент Холла в данном приближении./? = ez/(m*a) - \/(пе). При выходе за
рамки модели свободных электронов появляется зависимость R от особенно-

стей поверхности Ферми и индукции магнитного поля, наиболее заметная при
низких температурах. В ферромагнетиках ЭДС Холла определяется суммой
R0B + RSI, где Rq - обычный, или нормальный, коэффициент Холла; В -
индукция магнитного поля; Rs- аномальный коэффициент Холла; /-
намагниченность образца. При комнатных температурах в ферромагнетиках Rs на
один-два порядка больше Rq и существенно зависит от температуры (часто
наблюдается корреляция между поведением Rs и квадратом
электросопротивления). Ниже приведены данные для коэффициента Холла в
парамагнитной области.
У металлов значение R имеет порядок 10-' м3/Кл, эффект Холла проявляется
слабо, аномально большие значения постоянной Холла имеют металлы V группы
(Bi, Sb, As) - до 1СГ6 м3/Кп. У полупроводников R достигает 102 м /Кп. При
наличии носителей заряда обоих знаков R = (A/e)(nh\\.h - иеи,~)/(ц.лил + \iene)~.
При рассмотрении эффекта Холла в полупроводниках следует учитывать
зависимость длины пробега /электронов от энергии (так как перенос
осуществляется электронами с широким спектром Е):
R = ±A/(en),
где А - постоянная, учитывающая энергетическую зависимость / в
приближении (4.5.11), А~ 1 для вырожденного газа, а для невырожденного
А = --fnT{2r + 3/2)/[Г(г + 2)]2 ;
здесь Г - гамма-функция, г имеет то же значение, что и в (4.5.12); так, для
рассеяния на ионах (г = 2)А = 1,93.
Плотность тока связана с параллельной составляющей электрического
поля:
Ец =j/tf-
Для дырок справедливы аналогичные закономерности, но из-за другого
знака заряда (или m*h) направление ЭДС Холла противоположно.
Эффект Эттипсгаузена. Эффект Эттинсгаузена заключается в
появлении поперечного градиента температуры при протекании тока /в магнитном
поле BJJ. Причина в том, что реальный электронный газ в кристалле имеет
некоторое распределение по скоростям, на более быстрые электроны
действует большая отклоняющая сила магнитного поля, и они могут преодолеть силы
поперечного электрического поля Холла. Медленные электроны, на которые
действует меньшая отклоняющая сила Лоренца, не могут преодолеть силу

еЕн и смещаются к противоположной стенке образца. В результате
происходит разделение электронов в поперечном направлении в зависимости от их
скорости, и вследствие обмена энергией электронов с решеткой (быстрые
электроны отдают энергию, а медленные увеличивают ее за счет решетки) в
поперечном направлении появляется градиент температуры VT =Р[1, В0], где
Р - коэффициент Эттинсгаузена. Поперечный перепад температур невелик
(обычно он не превышает долей градуса).
При помещении вещества в магнитное поле изменяется продольная
составляющая электропроводности. Это явление называют магнитосопротивлением
(магниторезистивным эффектом, эффектом Гаусса). Магнитное поле вызывает
искривление траекторий электронов проводимости, и если вдоль искривленной
траектории длина свободного пробега останется прежней, то в направлении
электрического поля она уменьшится, а следовательно, уменьшится и
электропроводность; ее изменение связано с индукцией магнитного поля и
подвижностью носителей заряда соотношением Да/а=-С(|ли50 )2. Магнитосопротивле-
ние в отличие от эффекта Холла является четной функцией относительно
магнитного поля (изменение направления вектора Во на противоположное не
влияет на Да). Коэффициент С определяется механизмом рассеяния носителей
заряда и равен (9/16)л: для ионных кристаллов. Для примесных полупроводников
С — л/10 в атомных решетках и С = 0,96 в ионных. Измеряя зависимость Да от
Во, определяют подвижность носителей заряда.
Значение Да/а для металлов невелико, однако у Bi это отношение может
достигать 200%, и по его изменению измеряют магнитные поля. Для
полупроводников отношение Да/а изменяется в широких пределах в зависимости от
их типа (от средних значений 10" ... 10" до нескольких единиц). В полях
напряженностью выше 10 А/м зависимость Да/а от Во отклоняется от
квадратичной, и Да/а пропорционально В™, где 1 < т< 2.
Распределение электронов по скоростям сказывается на степени их
смещения магнитным полем. Медленные электроны сильно «закручиваются» и
не могут пройти вдоль всего образца в отличие от более быстрых электронов,
создается продольный градиент температуры дТ/дх, пропорциональный
B0vIx (эффект Нернста).
Термомагнитные явления. К термомагнитным явлениям относят
эффекты, возникающие при воздействии магнитного поля на вещество, в котором
существует градиент температуры. Здесь также выделяют продольные и
поперечные эффекты (по отношению к направлению градиента температуры).
В кристалле с разными температурами граней встречные диффузионные
потоки носителей заряда отклоняются магнитным полем в разные стороны, а
поскольку они имеют разные тепловые скорости, появляется поперечный гра-

диент температуры (эффект Риги-Ледюка). Кроме того, более быстрые
электроны, движущиеся от горячей грани, слабее отклоняются полем, тогда как
движущиеся им навстречу от холодной грани медленные электроны получают
большее смещение, создавая поперечный градиент концентрации и поперечное
электрическое поле (поперечный эффект Нернста-Эттинсгаузена). Так как
искривление траекторий в магнитном поле приводит к уменьшению длины
свободного пробега вдоль образца, уменьшается и продольная составляющая
электронной теплопроводности (эффект Маджа -Риги-Ледюка). Искривление
траекторий сказывается также на средней энергии электронов, в результате
изменяется термоЭДС (продольный эффект Нернста-Эттинсгаузена).
Таким образом, значения термоЭДС, постоянной Холла, влияние магни-
торезистивного эффекта и т.д. для металлов значительно меньше, чем для
полуметаллов (Bi, Sb, As) и полупроводников.
1.4.6. Процессы переноса в аморфных материалах
Электронные процессы в полупроводниках. В последнее время
значительно возрос интерес к использованию в электронной технике
некристаллических полупроводниковых соединений. Это связано с возможностью создания
на базе аморфных, полупроводников принципиально новых устройств, а
также с рядом их преимуществ перед кристаллическими веществами.
Своеобразный ход вольт-амперной характеристики делает аморфные полупроводники
перспективными для создания элементов вычислительной техники.
Структура и энергетическая диаграмма аморфных полупроводников. В
структуре и физико-химических свойствах аморфных полупроводников
много общего с неорганическими стеклами. К ним относятся три основных вида
стекол-оксидные, элементные и халь-когенидные. Оксидные стекла
образованы окислами элементов III, IV и V групп Периодической системы (S1O2,
GeC>2, B2O3, Р2О5, AS2O3), а также сплавами окислов, в том числе элементов VI
группы. При этом в полупроводниковых приборах стремятся применять
стекла, в которых с помощью специальных добавок устранена ионная элек-троп-
роводность. Элементные стекла образованы элементами V и VI групп (S, Se,
Р, Те), а также элементом IV группы (Ge).
Наиболее распространены халькогенидные стекла. Халькогены (S, Se, Те)
- вещества, обладающие сходной с кислородом внешней электронной
структурой, способные создавать с металлами соединения, аналогичные окис-
лам-сульфиды, селениды и теллуриды, составляющие основу халькогенид-
ных стекол. Возможны сложные многокомпонентные системы, одной из
которых является халькоген. Для получения заданных свойств добавляют
присадки Ge, I, Аи, Ag, Си. Халькогенидные полупроводники обладают, как
правило, дырочной электропроводностью. Их электрическая проводимость ле-

жит в пределах 10" — 10" см/м в зависимости от состава и способа
изготовления. Замена элемента в стекле его аналогом, расположенным ниже в
Периодической системе, вызывает обычно увеличение проводимости. У халькогенид-
ных стекол ярко выражены эффекты термо-э.д.с, фото-э. д. с, а также
фотопроводимости.
Аморфные полупроводниковые соединения получают напылением на
подложку или охлаждением расплава.
Исследования структуры и свойств аморфных полупроводников
позволяют сделать вывод о том, что, несмотря на отсутствие дальнего порядка в
расположении атомов, основные особенности зонной энергетической модели
сохраняются. Электрические свойства вещества, как аморфного, так и
кристаллического, определяются ближним порядком и характером связей атомов,
причем оба эти фактора сходны у кристаллических и аморфных
полупроводников. На рис. 4.6.1 показана условная структура некоторого вещества А2О3 в
кристаллическом (о) и аморфном (б) состояниях.
Энергетическая диаграмма элементного аморфного полупроводника
аналогична энергетической диаграмме собственного кристаллического
полупроводника с той лишь разницей, что за счет отсутствия дальнего порядка (что
можно рассматривать как возмущение кристаллической решетки) границы
валентной зоны и зоны проводимости размыты и плотность разрешенных
состояний в запрещенной зоне отлична от нуля. «Хвосты» разрешенных зон
вытянуты в сторону запрещенной зоны и могут даже перекрываться (рис. 4.6.2а).
Распределение энергетических уровней в «хвостах» непрерывное, а
плотность их уменьшается при удалении от краев зон. Однако существуют
некоторые различия в характере электропроводности, осуществляемой с помощью
а о
Рис. 4.6.1. Условная структура некоторого вещества А203
в кристаллическом (а) и аморфном (б) состояниях
Рис. 4.6.2. Энергетическая диаграмма

электронов, расположенных непосредственно в разрешенных зонах, и
электронов на энергетических уровнях «хвостов» зон.
Внутри зон объемная плотность разрешенных состояний велика, среднее
расстояние между ними порядка 1 нм, поэтому велика вероятность
туннельного перехода электрона из одного состояния в другое, и электроны свободно
перемещаются под действием внешнего поля аналогично свободным
носителям заряда кристалла. Плотность состояний «хвостов» зон на несколько
порядков меньше и расстояние между ними составляет десятки нанометров, так что
электроны локализованы в пространстве и их подвижность незначительна.
«Хвосты» зон халькогенидных полупроводников перекрываются, тоэто-
му электроны валентной зоны переходят на ниже расположены уровни зоны
проводимости. В результате появляются как положительные, так и
отрицательные локализованные заряды. При асимметричности «хвостов» зон в
полупроводнике может появиться дырочная электропроводность.
Наряду с описанной используется для расчетов энергетическая
диаграмма, представленная на рис. 4.6.26, в которой предполагается наличие в
области уровня Ферми узкой зоны (< 0,1 эВ) с такой болышой плотностью
разрешенных состояний, что уровень Ферми жазывается привязанным к этой зоне в
широком температурном интервале.
Можно выделить три различных механизма электропроводности в
аморфных полупроводниках:
1) электронная или дырочная электропроводность в зонах, описываемая
экспоненциальным законом. При дырочной электропроводности
а = а0ехр
'.:^L_£l\ (4.6.1)
кТ
где ао=4-104 см/с.
При таком типе электропроводности величина от не зависит от частоты
вплоть до 10 Гц;
2) электропроводность за счет туннельного перескока носителей заряда
между локальными уровнями в запрещенной зоне вблизи зоны проводимости
или валентной зоны. При дырочной электропроводности
а =<Т| ехр
f_EF-Ev+AE^
V
кТ
(4.6.2)
Здесь ДЕ| -энергия активации перескоков ai=s(10"2-10"4)ao;
3) перескоки носителей заряда между состояниями вблизи уровня Ферми.
Этот процесс аналогичен электропроводности по примесям в сильно
легированных полупроводниках и для него

а=а2 ехр(-Д£2 / кТ), (4.6.3)
где ДЕг - энергия активации перескоков; аг<а|.
При низких температурах возможны перескоки носителей заряда не
только между соседними локальными состояниями, но и между более далекими
состояниями с близкими значениями энергии. При этом зависимость
проводимости от температуры подчиняется закону
lna = A- BT~V\ (4.6.4)
где А и В - константы.
Проводимость, обусловленная перескоками носителей заряда, на часто-
с ПК
тах v > 10 Гц пропорциональна v ' . Зависимость 1па(1/Т), получаемая в
процессе измерений, представляет собой прямую линию, однако у ряда веществ
при опрдееленных температурах на прямой появляются изломы,
свидетельствующие о переходе от одного механизма электропроводности к другому.
Результаты экспериментальных исследований позволяют также сделать вывод о
преобладающем характере электропроводности за счет перескоков носителей
заряда между локальными состояниями в запрещенной зоне.
В сильных электрических полях наблюдается резкое увеличение
проводимости с ростом напряженности поля "6, описываемое экспоненциальным законом
а~фг(Е/Е0), (4.6.5)
где £о=А+ВТ при Т > 300 К (А и В - константы).
Свойства аморфных полупроводников. В свойствах кристаллических и
аморфных полупроводников имеется много общего. Прежде всего сюда
относится экспоненциальная зависимость проводимости от температуры. В то же
время аморфные полупроводники отличаются малой (менее 10" м /В-с)
подвижностью носителей заряда, обусловленной утратой дальнего порядка, и
вследствие этого значительно более высоким удельным сопротивлением, а
также слабой зависимостью проводимости от концентрации примесей,
радиационной стойкостью, высокой прозрачностью в широком диапазоне частот,
включая видимую и инфракрасную области.
Высокая радиационная стойкость обусловлена тем, что электроны с до-
норных уровней, образуемых дефектами структуры, которые появляются при
облучении, не возбуждаются в зону проводимости, а переходят на свободные
уровни «хвостов» зон. Это приводит к незначительному смещению уровня
Ферми и почти не влияет на величину проводимости.
Плотность локализованных состояний велика (до 10 м" ), поэтому
толщина барьера Шоттки в контактах халькогенидных стекол с металлами
настолько мала, что в ряде соединений не вызывает эффекта выпрямления.

^
1
0 Vn
о vu
Рис. 4.6.3. Типы вольт-амперных характеристик
переключающих элементов с аморфным полупроводником
Вольт-амперная характеристика аморфных полупроводников линейна в
слабых полях, нелинейность появляется при '( > 4-10 В/м. Когда
напряженность поля превысит 107 В/м, сопротивление полупроводника резко падает и
он как бы переключается в новое состояние с существенно отличной
величиной проводимости. Типы вольт-амперных харатеристик, переключающих
элементов с аморфным полупроводником представлены на рис. А.вЗа-г. При
достижении напряжения Vn, соответствующего точке А, сопротивление
полупроводника уменьшается и рабочая точка переходит на низкоомную ветвь
вольт-амперной характеристики. Напряжение Vn повышается с возрастанием
толщины образца, а также с уменьшением температуры и длительности
приложенного напряжения. Особый интерес представляют устройства,
характеристики которых соответствуют рис. 4.6.3<? и г. При повторном включении
они работают в режиме (низкоомном или высокоомном), в котором работали
ранее, т. е. такие устройства обладают эффектом запоминания ранее
сформированного состояния.
Время переключения в низкоомное состояние для большинства халькоге-
нидов составляет 510" с. Время восстановления высокоомного состояния
после выключения напряжения, определяющее предельную частоту
переключения, увеличивается с ростом времени, в течение которого ранее оставалось
включенным напряжение низкоомного состояния.
Физика механизма переключения. Сложность процессов, протекающих в
аморфных полупроводниках, не дает пока возможности дать строгое
толкование механизма переключения.
Одним из вероятных механизмов переключения является обратимый
тепловой пробой полупроводника без разрушения его структуры. Расчет
времени, необходимого для начала пробоя после подачи напряжения,
удовлетворительно совпадает с экспериментом. Напряжение Vn, при котором происходит
переход в низкоомное состояние (напряжение переключения), связано с уде-

льным сопротивлением, температурой и шириной образца соотношением V„
~ р / Т L . По мере развития пробоя радиус области, в которой проходит
ток, уменьшается, и электропроводность осуществляется через узкий канал
тока. Механизм теплового пробоя удовлетворительно объясняет
экспериментальные результаты в образцах толщиной более 8 мкм.
При высоком сопротивлении и низких температурах преобладает,
по-видимому, другой механизм переключения, связанный с накоплением
объемного заряда за счет двойной инжекции носителей заряда с металлических
электродов. Инжектированные носители заряда захватываются локализованными
состояниями и накапливаются у катода (электроны) и анода (дырки). С
повышением приложенного напряжения области объемного заряда растут
навстречу друг другу, пока не перекрываются при К« Vn, что и приводит к резкому
увеличению проводимости.
Можно предполагать, что проводящее состояние возникает тогда, когда
все ловушки электронов и дырок заполняются носителями заряда,
возбужденными приложенным электрическим полем, что приводит к резкому
увеличению времени жизни носителей. Теперь они успевают за время, равное
времени жизни, пройти через весь слой полупроводника, что вызывает
скачкообразное возрастание тока.
Предполагаются и другие механизмы переключения. Существуют
теоретические модели, основанные на ударной ионизации в сильных полях,
переходе небольших областей полупроводника в кристаллическое состояние,
образовании цепочки /"-«-переходов на границе микронеоднородностей,
переходе носителей заряда на уровни с «прыжковой» электропроводностью и т. д.
Запоминающее состояние в аморфном полупроводнике обусловлено,
по-видимому, структурными изменениями в области токового канала,
связанными с повышением температуры и наличием электрических полей и
приводящими к большей упорядоченности атомов.
Важными свойствами переключателей на аморфных полупроводниках
являются высокое отношение проводимостей в открытом и закрытом
состояниях (порядка 10 ), быстрота переключений (порядка 10" с), большой срок
службы (до 10 переключений).
Указанные свойства аморфных полупроводников позволяют
использовать их в логических и счетных схемах, а также в усилительных и
коммутационных устройствах. Широко применяются аморфные полупроводники в
оптике инфракрасного диапазона. Показана возможность создания
аморфно-кристаллических гетеропереходов и приборов на их основе.
Успешное развитие технологии изготовления аморфных
полупроводников позволяет добиваться приемлемой надежности приборов и
воспроизводимости их параметров.

1.5. Оптические свойства твердых тел
7.5.7. О взаимодействии электромагнитного поля и среды
Рассмотрены величины, описывающие взаимодействие среды с
электромагнитными полями, как постоянными, так и переменными (комплексная
диэлектрическая проницаемость, комплексный показатель преломления,
коэффициент поглощения, коэффициент отражения, электрическая и магнитная
восприимчивость).
Для учета взаимного влияния электромагнитного поля (характеризуемого
векторами Е, В) и среды вводят группу векторов: индукции электрического
поля D, напряженности магнитного поля Н и плотности электрического тока
j, связанных между собой уравнениями Максвелла. Для замыкания системы
уравнений используют соотношения, описывающие поведение среды под
действием поля. Существует два способа учета этого влияния:
мультипликативный (когда свойства среды описываются факторами, связывающими j и Е,
D и Е, В и Н) и аддитивный (когда вместо отношений E/D и В/Н записывают
их разности).
Векторы напряженности и индукции электрического поля Е и D связаны
для изотропной ' диэлектрической среды соотношением
D = £0E + P = £0(l+xe)E = £0£E, (5.1.1)
где Р- вектор поляризации единицы объема; хе -диэлектрическая
восприимчивость; в - относительная диэлектрическая постоянная; в анизотропной
среде хе и Е являются тензорами.
Аналогично, для магнитного поля
В = ц0(Н + М) = ц0(1+хм)Н = ц0цН, (5.1.2)
где В, Н - векторы индукции и напряженности магнитного поля; М -
намагниченность; Хщ ~ магнитная восприимчивость; ц,- относительная магнитная
проницаемость, д0 - магнитная постоянная.
Выражения (5.1.1) и (5.1.2) носят характер не законов, а определений. Для
вычисления D и В необходимо с учетом свойств вещества найти значения е и ц
(Р и М, или хе и Хп,)-
Комплексная диэлектрическая проницаемость. Быстропеременное
электромагнитное поле иначе, чем квазистационарное, взаимодействует с
веществом. Смещение зарядов, вызывающее поляризацию, происходит за конечные
1) Изотропными диэлектрическими свойствами обладают кристаллы с
кубическими решетками.

времена, так что при высоких частотах состояние среды может «не успевать»
подстраиваться под поле; диэлектрическая проницаемость связана с теми
механизмами поляризации, которые успевают следить за полем; для наиболее
медленных ориентационных процессов критические частоты поля, при
превышении которых «отключается» этот процесс, лежат в СВЧ-диапазоне, для
ионной поляризации - в инфракрасной, для электронной - в
ультрафиолетовой области частот.
Соответствующие значения диэлектрической проницаемости слабо
зависят от частоты со излучения между «критическими» частотами и почти
скачком снижаются при «выключении» очередного процесса (рис. 5.1.1).
е, отн. сд.
i i i
ei i i i
—~L ' ■ '
r
I
I
I
'A A A
О СйОг CO/ C0e CO
Рис.5.1.1. Зависимости действительной (е,) и мнимой (е2) частей комплексной
диэлектрической проницаемости от частоты
Из-за инерционности процессов поляризации возникает сдвиг фаз между
полем и вектором поляризации, что сопровождается поглощением энергии
электромагнитного поля. Это описывают, представляя е в виде комплексной
величины:
£ = £, + ie2 .
Процессам, аналогичным происходящим в постоянном поле, соответствует
действительная часть е,, а диссипативные процессы и сдвиг фаз отражает
мнимая составляющая /е2. Применение комплексных чисел здесь
объясняется тем, что при колебательных процессах многие функциональные
зависимости выражаются через экспоненциальные функции комплексных
переменных, описывающих как осцилляции, так и их поглощение или усиление, а
экспонента - удобная для аналитических выкладок функция.
В низкочастотном пределе в является действительной величиной (см. рис.
5.1.1). Мнимая часть е 2 значительна в окрестностях «критических» частот
излучения, но мала вдали от этих частот: здесь механизмы поляризации либо
слишком быстры, и для них поле квазистационарно, либо слишком медленны,
и их можно не учитывать.

Комплексный показатель преломления. Кроме е для описания
взаимодействия электромагнитного поля со средой применяют комплексный показатель
преломления, который однозначно выражает скорость волны, ее затухание,
отражение от границы тела и другие характеристики.
Электромагнитное поле в квазинейтральной изотопной среде
описывается решением уравнений:
rotE = -3B/3f,divB = 0,
rotB/(n0|i) = 3(e0eE)/3f + aE, divee0E = 0. (5.1.3)
Полагая ц= 1, е = const, из (5.1.3) можно получить, учитывая, что скорость све-
тас = (е0ц0)"1/2:
V2E = (e/c2)d2E/dt2 + [c/(e0c2)]dE/dt
- волновое уравнение, имеющее решение вида
Е = Е0 ехр[/'(кг - со?)];
здесь со - частота электромагнитных колебаний; V - лапласиан; /' - мнимая
единица; к - волновой вектор,
Лг=(со/с)[е + га/(е0сй)],/2
(волновое число k в общем случае - комплексное). Для вакуума
k =(й /с,
что соответствует волне, распространяющейся со скоростью света с. В среде
скорость определяется какс/N, где N -комплексный показатель преломления:
N = [£+za/(80ffi)]1/2, (5.1.4)
Ы = и+/£\ (5.1.5)
Волновое число
к = п(й /c + ik(u /с.
Коэффициент поглощения. Коэффициент поглощения эе (доля энергии,
поглощаемой при прохождения излучения через прозрачный слой вещества
малой единичной толщины), определяется как
ЭЁ = Re(jE)/| E|2 = 2пк& /с. (5.1.6)

Если излучение падает нормально на поверхность материала, то отношение
комплексных амплитуд отраженной и падающей волн есть
£2/£,=(l-N)/(l + N),
что соответствует вещественному коэффициенту отражения
R = |(1 - N)/(l + N)|2 = [(n -1)2 + Р ]/[(« +1)2 + Р ]. (5.1.7)
Из (5.1.4), (5.1.5) получают также выражения через ии к для диэлектрической
проницаемости:
ех=п2 -Р,е2=2пк. (5.1.8)
Приведенные зависимости найдены при весьма общих допущениях и верны
для самых различных сред (как для газовой плазмы, так и для плазмы твердого
тела).
Таким образом, комплексная диэлектрическая проницаемость е,
комплексный показатель преломления N, коэффициент поглощения ае, коэффициент
отражения R любой среды однозначно связаны между собой.
1.5.2. Диэлектрические свойства
Проведен краткий анализ диэлектрических свойств твердых тел при их
взаимодействии с постоянными и переменными (высокочастотными)
электрическими полями.
Постоянное поле. В хороших проводниках с большой
электропроводностью а —> оо наличие в среде ненулевого электростатического поля приводит к
возникновению токов - движению зарядов, которые стремятся
расположиться так, чтобы уменьшить это поле; поэтому внутри проводников при
отсутствии токов внешнего поля нет- оно скомпенсировано полем, созданным
наведенными поверхностными зарядами. В терминах (5.1.1) это соответствует D =
Р,Хе —> °°, е —> °°. Поэтому основное внимание при определении
диэлектрических свойств обычно уделяют изоляторам.
Для квазинейтральной непроводящей среды взаимодействие ее с
внешним электростатическим полем удобнее выражать не через точечные заряды
(которые к тому же связаны), а через пары противоположно заряженных
частиц - диполи. Количественная характеристика диполя - дипольный момент
p = qR, (5.2.1)
где q - заряд каждой из частиц диполя; R - расстояние между ними. Поле
диполя в вакууме (определенное как сумма кулоновских полей, создаваемых
точечными зарядами) выражается как

Е(г) = [3(рг)г-г2р]/(4тге0/-5). (5.2.2)
В реальной среде диполи образуются ионом и связанным с ним
электроном, атомами асимметричной молекулы и другими квантово-механическими
объектами, в которых заряды делокализованы по пространству; однако
электрические поля, создаваемые такими системами, близки к полю (5.2.2),
особенно на значительных расстояниях, что позволяет также характеризовать их
постоянным дипольным моментом р.
Ориентация диполей во внешнем электростатическом поле вызывает
создание на границах тела нескомпенсированных (связанных) зарядов, которые
и создают в среде поле, частично компенсирующее внешнее. Поверхностная
плотность зарядов
2=(-i/*oZPin=-(V*opn,
где сумму берут по всем диполям в приповерхностном единичном объеме V; п
- единичный вектор, нормальный к поверхности.
Внутри диэлектрика поле, однако, превышает это ослабленное внешнее
поле (Ei < Е): с любым элементом объема внутри диэлектрика граничат с
одной стороны положительные, с другой - отрицательные заряды диполей,
поэтому локальное поле в нем
Её =(б + 2)Е/3,
которое при е » 1 значительно превышает внешнее поле.
В любых атомах (молекулах) в электрическом поле происходит
электронная поляризация, причем в случае изотропной среды
Р = аЕл, (5.2.3)
где а- поляризуемость атомов (молекул), зависящая от их волновых функций.
В ионных кристаллах под действием внешнего поля происходит
дополнительная к электронной ионная поляризация - смещение разноименных ионов в
противоположных направлениях; в ковалентных кристаллах она также
описывается формулой (5.2.3), но с другим значением а.
Суммарный вектор поляризации при применимости (5.2.3) может быть
представлен как
P = EuYJNiai/V = [(e + 2)E/3]YJNia,/V, (5.2.4)
откуда, принимая во внимание (5.2.1), получают соотношение Клаузиуса -
Мосотти, связывающее атомную поляризуемость и макроскопическую
диэлектрическую проницаемость:
1>;а,/К=Зе0(е-1)/(е + 2).

Рис. 5.2.1. Полярные молекулы
(цифрами обозначены эффективные заряды в долях е)
В асимметричных молекулах, обладающих поляризацией и при
отсутствии внешнего поля (рис. 5.2.1), при его наложении происходит
преимущественная ориентация диполей по направлению внешнего поля. Полной
ориентации препятствуют, во-первых, кристаллические связи: выбирать приходится
среди дискретного числа возможных состояний молекул в кристалле, и
процесс ориентации представляется совокупностью скачкообразных переходов.
Во-вторых, температурные флуктуации оказывают хаотизирующие
воздействия, «размазывая» функцию распределения диполей по дискретным или
непрерывным (например, в жидкости или газе) углам (угол между
направлениями диполя и внешнего поля). Ориентационная поляризуемость вследствие
ориентации диполей дает вектор поляризации
V = Np2E/(V-3kBT),
а диэлектрическая восприимчивость с учетом (5.1.1) Хог = Np~ /(3soVkBT).
Суммарную диэлектрическую проницаемость при одновременном
проявлении всех механизмов (электронная, ионная, ориентационная поляризуемость)
записывают в виде
е = 1 + Хе+Х/+Хог. (5-2-5)
где хе и Xi связаны с соответствующими векторами поляризации (5.2.4)
соотношениями (5.1.1). Первые три слагаемых в (5.2.5) не зависят от температуры,
а Хог еи обратно пропорциональна; поэтому в телах из асимметричных
молекул, где Хог ф 0> значение е падает с ростом температуры.
Граничные частоты. Указанные механизмы поляризуемости
проявляются в определенных частотных диапазонах: при повышении частоты излучения

ю последовательно выключаются ориентационная, ионная и электронная
составляющие поляризуемости (см. рис. 5.1.1).
Вероятность перехода молекулы в другую ориентацию за один цикл
тепловых колебаний равна относительной части молекул, имеющих
достаточную для перехода энергию Е; характерное время перехода т пропорционально
вероятности перехода за один цикл колебаний и обратно пропорционально
частоте колебаний. Так как распределение молекул по энергиям - больцма-
новское (в пренебрежении изменением плотности состояний при изменении
энергии примерно на квТ), характерная частота
= и0ехр[-Е/(^Г)].
со.
13
Если Е«квТ, то частоты переходов ю0,. яюо»10 ...10 с. Однако при
Е > квТ инерционность ориентационной поляризуемости резко возрастает и
соответствующий предел сдвигается в более длинноволновую область;
поэтому при уменьшении температуры для ряда веществ наблюдается резкий спад
низкочастотной диэлектрической проницаемости, соответствующий
«выключению» ориентационного механизма (рис. 5.2.2).
Граничная частота для ионной поляризуемости ю, - это собственная
частота колебаний атомов в поле действия возвращающих сил; она соответствует
длинноволновой граничной частоте оптических колебаний (см. разд. 3.1).
Частота а>е, соответствующая границе электронной поляризуемости,
связана с колебательными движениями валентных электронов в атомах;
аппроксимируя действующую на «отклонившийся» на Ах электрон «возвращающую
силу» Fe в виде Fe =-CeAx, получают собственную частоту колебаний
(ne0-(Ce/me)] 2 (где Се связана со стационарной поляризуемостью атомов
ае0). При а> = (ае0 значительно изменяется высокочастотная электронная
поляризуемость <хе, однако критические изменения в диэлектрической
проницаемости, связанной с <хе соотношениями Клаузиуса - Мосотти, происходят при
частоте сое, несколько сдвинутой в длинноволновую область:
20
15
10
5
п
-
1
ч Н28,5кГц
i i i
75 100 125 150 175 Т, К
Рис. 5.2.2. «Выключение» ориентационного механизма при охлаждении H2S
Рис. 5.2.3. Деформация молекул под действием электрического
i ПОЛЯ

coe =[a2e0-e2ne/(3meeQ)]V2.
Значения юог лежат обычно в радиоволновом, ю, - в инфракрасном, юе - в
ультрафиолетовом диапазонах спектра.
Пьезоэлектричество и электрострищия. В некоторых молекулах
кристаллов, которые можно представить как несколько расположенных под
углом диполей, при сжатии или растяжении возникает электрическая
поляризация, т.е. электростатическое поле; и наоборот: при наложении внешнего
электрического поля происходит сжатие (растяжение) образца (рис. 5.2.3).
Причина пьезоэффекта - поворот диполей при деформации, в результате
которого суммарный дипольный момент становится не равен нулю, и поворот
диполей в электрическом поле, дающий растяжение молекулы в одном
направлении и сжатие - в другом. Наиболее силен пьезоэффект в сегнетовой
соли NaKCuHUOe ■ 4НгО, значительно слабее - в кварце SiC^.
Для любого ионного кристалла вне зависимости от того, является он пье-
зоэлектриком или нет, в электрическом поле наблюдается намного меньшая
по величине деформация, пропорциональная не Е, как при пьезоэффекте, а Е .
Это явление (электрострищия) связано с нарушением закона Гука (см.
разд. 1.3.1) Если деформация решетки вызвана изменением температуры, то
явление возникновения поляризации называют пироэлектрическим
эффектом.
Сегиетоэлектрики. Сегнетоэлектрики - это пьезоэлектрики, у которых
даже при отсутствии деформации имеются ненулевые дипольные моменты,
причем упорядоченное расположение диполей более энергетически выгодно,
чем неупорядоченное. При повышении температуры выше точки Кюри
вследствие тепловых колебаний упорядоченное расположение диполей
нарушается, тогда разрушается сегиетоэлектрическое состояние. Большие значения
объемной поляризации имеют такие кристаллы, как ВаТЮ3 (Р = 0,26 Кл/м ,
7с = 393 К) и КМЮз (Р = 0,3 Кл/м2,Гс =710 К). Кристалл сегнетоэлектрика не
обязательно проявляет макроскопические признаки объемной поляризации,
поскольку он разделен на множество доменов (областей) с различными
направлениями поляризации; толщина переходных слоев (доменных стенок)
составляет одно—два межатомных расстояния. При наличии внешнего
электрического поля домены с направлением поляризации, близким к направлению Е,
растут за счет доменов с другими направлениями. Сегнетоэлектрики при
температуре выше Тс, когда спонтанная поляризация отсутствует, обладают
очень высокой диэлектрической постоянной (так, для керамики BaSrTi03
е«6-103).
Электреты. Электреты - постоянно поляризованные диэлектрики,
способные длительно сохранять наэлектризованное состояние и создавать элект-

рическое поле в окружающей среде (электрические аналоги постоянных
магнитов). Электреты изготовляют из расплавов различных органических и
неорганических диэлектриков охлаждением в сильном электрическом поле. Они
могут оставаться поляризованными длительное время - от нескольких часов
до нескольких лет, однако у некоторых веществ со временем направление
поляризации может измениться на противоположное.
Таким образом, для частот электромагнитного поля, далеких от
граничных, диэлектрическая проницаемость постоянна и действительна. В области
граничных частот происходит значительное поглощение энергии поля.
1.5.3. Оптические свойства твердотельных структур
Рассмотрены количественные характеристики процессов поглощения и
отражения электромагнитного излучения в широком диапазоне значений
энергии квантов при взаимодействии с металлами, диэлектриками и
полупроводниками; проанализированы различные оптические переходы: внутризон-
ные и межзонные с участием дефектов и квазичастиц.
Взаимодействие излучения со свободными электронами в металлах.
Низкочастотное излучение. В широком диапазоне энергии квантов (от
длинноволновой части спектра до ультрафиолетовой) оптические свойства металлов
связаны с наличием в зоне проводимости большого количества
квазисвободных электронов (как в газовой плазме). Металлы обладают высокой
электропроводностью; это позволяет пренебречь величиной е в формуле для
комплексного показателя преломления (5.1.4), так что вещественная и мнимая
части показателя преломления равны по абсолютной величине:
n + ik = [а/(2сое0)]1/2(1 + г). (5.3.1)
Наиболее важное следствие, вытекающее отсюда, состоит в том, что
отражательная способность твердого тела становится очень большой. Из формул
(5.1.7), (5.3.1) следует
Д«1-2(2е0со/а)1/2 (5.3.2)
(соотношение Хагена - Рубенса). Отклонение от идеальной отражательной
способности пропорционально (2е0со/а) ", оно намного меньше единицы
даже в той области, где со приближается к инфракрасным частотам.
Коэффициент поглощения ае- см. (5.1.6) - почти не зависит от со и пропорционален а.
Высокочастотные излучения. Если электрическое поле меняется столь
быстро, что электроны не успевают претерпевать соударения, т.е. если сот > 1 (гдет
- время свободного пробега свободных электронов в классической формуле для
электропроводности (4.4.14)), то возникает частотная зависимость электропро-

водности а. В некоторых достаточно общих допущениях для этого случая на
основе анализа кинетического уравнения Больцмана можно получить
ст(со) = ст(0)(1 + /сот)/(1 + со2т2), (5.3.3)
где о(0)- обычная статическая электропроводность металла. В
высокочастотном пределе значение е можно считать приближенно равным единице,
поскольку описываемая этим фактором поляризация среды неэффективна из-за
инерционности (оптическим частотам соответствуют быстропеременные
поля). Тогда, подставив (5.3.3) в (5.1.4), (5.1.5), получают
п2-Р= 1 -ео'сг(0)сот/[со (1 + ш V)] = 1 -((йр1х)2/[\ + (сот)2], (5.3.4)
2Я^=е0-1а(0)/[(0(1 + (02т2)]=(юр//ш)сор/т/[1 + (шт)2], (5.3.5)
где (£>р[ = (пее~ /г0те) ' - плазменная частота (здесь пе- концентрация).
Анализ (5.3.4), (5.3.5) показывает, что высокочастотная часть спектра разбивается
на две подобласти: область релаксации с со, лежащей в пределах 1/т < со< со /; и
область ультрафиолетовой прозрачности с со> со у. В области релаксации ае~
1/(со2а).
R*\-2l{vplT)<\.
В коротковолновой области со>сор/ вещественная часть становится
положительной, отражательная способность спадает до нуля, 32 спадает примерно
каксо2//(со2тс)(рис. 5.3.1).
Межзонные переходы в металлах. Внутризонные переходы,
описываемые рассмотренной выше моделью свободных электронов, доминируют в
некоторых простых металлах (рис. 5.3.2, 5.3.3). Однако даже для них уже
заметно влияние межзонных переходов, т.е. переходов с одной ветви
дисперсионной зависимости Е = Е(к) на другую: в алюминии такой переход приводит к
снижению отражательной способности при Йсо = 1,4 эВ.
Межзонные переходы в металлах влияют на оптические характеристики в
широкой области спектра. С увеличением энергии квантов эффективное
число электронов, участвующих в фотопроцессах (в пересчете на один атом),
сначала постоянно и близко к числу свободных электронов (так, для Ag и Си —
порядка единицы), а затем, при превышении порогового значения для прямого
перехода на другую ветвь зависимости Е = Е(к), оно плавно нарастает: в
фотопроцессы включаются другие валентные электроны (например, для Ag и Си
- 3^-электроны) (рис. 5.3.4). При малых, допороговых энергиях квантов пре-

к
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
6=69,4°,
^64,4°
.-59,4°
- 49,4°
i
Zn
I
1100
1500
и).,
1900 X, 10",им
Рис. 5.3.1. Оптические характеристики металлов: /- область Хагена - Рубенса;
//— область релаксации; ///—область ультрафиолетовой прозрачности
Рис. 5.3.2. Коэффициент отражения Zn для неполяризованного
света при различных углах В
обладают описанные выше внутризонные переходы (поглощение
свободными электронами). Пороговую энергию Йсо0 отсчитывают на дисперсионной
зависимости Е = Е(к) по вертикали (т.е. при постоянстве к) от самого высокого
занятого электронного состояния (вблизи уровня Ферми) до нижнего свобод-
R, %
90
70
50
30
10
V-
'
^^
Л
А1 1
\
i i i 1*"»
20 25
hoi, эВ
4 8 12 15 206, эВ
Рис. 5.3.3. Коэффициент отражения AI
Рис. 5.3.4. Эффективное число электронов на один атом, дающих
вклад в оптические свойства, в зависимости от энергии

д %
-n/d
ко +n/d к
00
50
10
5
Ч
\ Ni
i
' .о.\\ <*
V
1
\
\
N
■\
Ч
. ч.
0 2 4 6 8 10 12 14 <S, эВ
Рис. 5.3.5. Внутризонные (/) и межзонные (2, 3) переходы в металлах
(2 - запороговые, 3 - припороговые значения энергии квантов)
Рис. 5.3.7. Коэффициенты отражения для (/-переходных металлов
ного состояния (рис. 5.3.5). При запороговых значениях энергии квантов
становятся возможными переходы из состояний под уровнем Ферми в состояния
над ним. Поглощение, отражение и другие оптические характеристики для
металла при этом определяются как внутризонными, так и межзонными
переходами, так что комплексная диэлектрическая проницаемость может быть
представлена как
е, =е
f
J
'1 + е1 >е2 — е2 + Е2 '
где е ] и е 2 определяются из соотношений для газа свободных электронов, а
е, ие° описывают вклад межзонных переходов (рис. 5.3.6). В соответствии с
соотношениями (5.1.7), (5.1.8) эти переходы вносят вклад не только в
поглощение, но и в изменение коэффициента отражения.
В переходных металлах уровень Ферми пересекается ^-состояниями, и
переходы между различными полосами включаются уже при малых
значениях энергии квантов (например, для Ni при /гю0 = 0,3 эВ), и в этом случае
R^ 0,3...0,5 (рис. 5.3.7), т.е. в коротковолновой области ha» Йсо0 переходные
металлы плохо отражают свет.
Межзонные переходы в рентгеновском спектре. При больших энергиях
квантов (/гю> 102... 104 эВ) становятся возможными прямые переходы с
участием низколежащих зон внутренних электронов, представляющих собой не-

6
4
2
0
-2
-4
-8
-9
10
12
14
-
£l
ll
Л е(4)
/I
/ V **
11 N^ c""-
' V — "■" ^г-—
/CO/ y^
1 /
1 1
1
/
i i i i
10 <S, эВ О
6
8 &, эВ
Рис. 5.3.6. Коэффициент отражения Ag (а) и разложение е, на вклады
виутризонных (е. ) и межзонных (е, ) переходов (б)
сколько уширенные атомарные уровни. Переходы между внутренними
уровнями и разрешенными зонами (валентной и проводимости) дают полосы
поглощения в рентгеновском диапазоне, причем разница между металлами и
диэлектриками для этого фотопроцесса несущественна: большую роль играет
внутреннее строение атомов. У легких элементов с малым числом внутренних
электронных орбиталей наиболее глубокие уровни по энергии соответствуют
области вакуумного ультрафиолета и мягкого рентгена (Йсо= 100... 1000 эВ).
Тяжелые элементы с большим зарядом ядра имеют более широкий
энергетический спектр внутренних уровней, от слабосвязанных внешних до сильно
притягиваемых к ядру внутренних электронов. Поэтому именно тяжелые
элементы непрозрачны в области жесткого излучения и используются в качестве
экранов для радиационной защиты.
Межзонлые переходы в немета/шах. Поглощение, связанное с межзон-
Йсо,
Е..., где ДЕ,, -
ными переходами, начинается при энергии Йсо= AEg -«ш„Л ~ех, .„- ^^
ширина запрещенной зоны (с учетом непрямых переходов); Йю _л - энергия
фонона, который может быть поглощен при переходе; Еех -энергия связи эк-
ситона, который может образоваться в результате перехода; эти граничные
процессы имеют место при поглощении фотона и фонона с возбуждением
электрона из верха валентной зоны на экситонный уровень. Вероятности та-

hco
ifcS^>
•^1
•
ь *-
A x
Рис. 5.З.8. Непрямой межзонный переход в Si с поглощением фотона
с энергией Лш и поглощением (или испусканием) фонона с импульсом q;
/ - начальное, 2 — промежуточное, 3 - конечное состояния электрона
ких процессов (непрямых межзонных переходов, рис. 5.3.8) зависят от числа
фононов, т.е. от Т. При энергиях Йю = ДЕ + Йю А - Еех включаются процессы
с возбуждением фонона, образуются «пороги». Примеры спектра поглощения
представлены на рис. 5.3.9.
При повышении энергии квантов в поглощение включаются прямые
переходы, имеющие значительно большуто вероятность; пороговое значение to
равно расстоянию Е* по вертикали (т.е. при постоянном к) между
максимумом валентной зоны и нижней ветвью зоны проводимости за вычетом Е
,1/2
с понижением
При высоких температурах ае пропорционально (Йю-Е*)
температуры проявляется экситонный пик (см. рис. 5.3.9).
Спектр поглощения за порогом определяется в основном прямыми
межзонными переходами, причем пики и пороги на зависимостях для кс
logs1/2, см"1
0,62 0,66 0,70 0,74 0,78 0,82 0,86
hv, эВ
Рис. 5.3.9. Коэффициент поглощения для Ge (а) и CibO ((*) в приикаригигоий ашс

ентов поглощения проявляются при тех энергиях фотона, где подобные пики
и пороги имеются на объединенной плотности состояний.
Поглощение свободными носителями заряда в полупроводниках. Такое
поглощение аналогично обратному тормозному поглощению в плазме; как и в
этом случае, оно существенно в длинноволновой (инфракрасной) области
спектра.
Для коэффициента поглощения 32 = сое2/с
ае
=(Vе) с® р/А° т )ю ? Аю т + ш2) ■
При высоких частотах (со» со ,, coT)e"«e'He' = ei = 1 + 32,■ + 32е. В области
частот, где отсутствует дисперсия,
эе*(1/с)ш^а>т/а>'
(формула Друде для коэффициента поглощения электронами проводимости)
(рис. 5.3.10).
Отклонения от классической модели Друде описываются в терминах
комплексного удельного сопротивления р= 1/сг в этой модели р(со)распадается на
два члена, один из которых не зависит от частоты и определяется
расстоянием, а другой не зависит от рассеяния - инерционный член
р(со) = со т Де0со2р1) - /со /(е0®2р1).
а, см"1/2
41 м 1 см 100 мкм 1 мкм
10"
101
10 -2
10
1
\
\
_^*Л
1
-со-2\
10"4 10"2 10° 102
v-103cm_1
Рис. 5.3.10. Поглощение Друде свободными носителями в полупроводнике (Ge)
Рис. 5.3.11. Коэффициент отражения Ge при разных степенях легирования

Кроме поглощения взаимодействие длинноволнового излучения с
носителями заряда в полупроводнике приводит к отражению в соответствии с
законом Хагена - Рубенса (5.3.2) (как и в металле), но коэффициент отражения
здесь зависит от степени легирования (рис. 5.3.11).
Примесное поглощение. Если примесный атом, создающий уровень в
запрещенной зоне, нейтрален, то под действием кванта излучения электрон из
валентной зоны может быть заброшен на акцепторный уровень или с донорного
уровня - в зону проводимости. Такие переходы аналогичны фотоионизации в
плазме и сопровождаются поглощением в области частот со^Е^/Й, где Е, -
расстояние от примесного уровня до границы запрещенной зоны. Спектр
такого перехода представляет собой ступеньку, простирающуюся за пороговое
значение йш=Е/ в область больших энергий; как правило, сечение перехода
максимально у порога.
У примесного атома могут возникать возбужденные состояния.
Переходы между ними, между основным и возбужденными состояниями могут
давать вклады в виде линий. Переходы между указанными уровнями и зонами
(валентной проводимости) дают вклады в виде ступенек. К указанным
состояниям и переходам нейтрального атома примеси добавляются спектры
ионизованных примесных атомов.
Часто соответствующие линии сильно уширены, а края ступенек
размыты (при росте концентрации примеси линии превращаются в полосы и зоны,
см. разд. 2.5). Вклады уровней примеси пропорциональны заселенности этих
уровней; если Е, «АЕ, то при &ВГ га Е, и&вГ>Е, происходит их
ионизация, т.е. заселенность резко падает, и пропадает соответствующий вклад в
спектры.
На рис. 5.3.12 видно, что одни переходы (длинные стрелки) имеют
энергию, близкую к АЕ , а другие (короткие стрелки) - намного меньше.
Соответствующие вклады лежат вблизи порога фундаментального поглощения
Йсо= АЕ (ближний инфракрасный и видимый диапазоны) и в далекой
инфракрасной области спектра. Характерные спектры представлены на рис. 5.3.13.
Экситононное поглощение. Экситоны также имеют ряд уровней
(основное и возбужденное состояния), расположенных у дна зоны проводимости, и
дают подобные вклады в двух областях спектра - при ha>< ДЕ„ (образование
экситона при фотовозбуждении электрона валентной зоны) и в далеком
инфракрасном диапазоне (фотораспад экситона с образованием свободных
носителей заряда). Кроме уровней структурных дефектов, примесных, экситонных
могут образовываться уровни комплексов - примесь-экситон и т.п.
В сильнолегированных вырожденных полупроводниках уровень Ферми
расположен в глубине зоны проводимости (на АЕ). В этом случае невозможны
переходы на занятые разрешенные уровни края этой зоны, т.е. видимый край

я> ru"1 ^» мкм „ -1
аг.см 140 100 80 60 ffi>CM
16
12
В
1 Е Cl
I
Iks
GaAs
4,2 К
8 12 16 20
hco, мэВ
0,22 0,23 0,24
hco, эВ
Рис. 5.3.12. Схема возможных оптических переходов в примесном кристалле
Рис. 5.3.13. Коэффициенты поглощения GaAs (а) и InSb (б) в припороговой области
фундаментального поглощения смещается в противоположном направлении
— в сторону больших энергий квантов (примерно на ДЕ) (рис. 5.3.14).
Оптические свойства аморфных полупроводников. Для аморфных
веществ коэффициент поглощения заметно спадает при некоторой пороговой
частоте <о0, близкой к красной границе межзонного поглощения света в
кристаллическом материале. При этом в зависимости от условий приготовления
аморфного полупроводника наблюдается два типа поведения:
а) коэффициент поглощения резко обрывается вблизи частоты <о0,
обращаясь при <о< со0 в нуль (кривая 2 на рис. 5.3.15). Такой вид зависимости ае(со)
свидетельствует о существовании в аморфном веществе достаточно резких
краев зон;
б) коэффициент поглощения при со< <о0 уменьшается достаточно плавно,
оставаясь конечным и в области меньших частот (кривая /). Существование
такого оптического «хвоста» связано с оптическими переходами между
локализованными состояниями на краях зон, плотность которых экспоненциально
спадаете энергией. В ряде аморфных полупроводников, используя различные
виды обработки, можно перейти от зависимости типа 2 к зависимости /. В
аморфном кремнии такой переход наблюдается, например, при введении
водорода. Причиной этого является снижение плотности дефектных состояний
в щели подвижности.
Взаимодействие излучения с фононами. При взаимодействии кванта света
с кристаллической решеткой возможны два механизма. В первом, однофонон-
ном, механизме, каждый попадающий в кристалл фотон создает один фонон,

_l I I I 1 I I I
0,15 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7
ha>, эВ
Рис. 5.3.14. Видимое смещение края фундаментального поглощения
при увеличении концентрации примесей в InSb
Рис. 5.3.15. Край спектра оптического поглощения
для аморфного (/ и кристаллического (2) Si
причем, поскольку импульс фотона близок к нулю, создается фонон тоже с
нулевым импульсом, т.е. один из оптических (поперечный или продольный)
фононов (энергия акустического фонона при к= 0 равна нулю). Во втором
механизме каждый поглощенный фотон может привести к излучению или
поглощению двух, трех и более как оптических, так и акустических фононов, сумма
импульсов которых близка к нулю, а сумма энергий равна энергии фотона.
В области частот, где вносит вклад однофононное поглощение (однофо-
нонный резонанс, полоса остаточных лучей), т.е. в далекой инфракрасной
области спектра, имеется связанный с этим процессом пик поглощения, а спектр
отражения имеет отчетливо выраженные особенности, изменяясь почти от
нуля до 100%. Этот частотный интервал определяется значениями энергии
оптических LO- и ГО-фононов при к= 0- ha>L и ha>T. В простейшем
приближении одномерной двухатомной цепочки ионного кристалла,
взаимодействующего со знакопеременным электрическим полем, можно показать, что
s(co) = е(оо)[1 - (со I - со \ )/(со2 - со \)],

где е(оо) - высокочастотная диэлектрическая проницаемость,
e(oo)s e(co»(£>L). В интервале частот сог <co<ot показатель преломления N
является чисто мнимой величиной, а коэффициент нормального отражения
/? = |(N — 1)/(N + 1)]~ = 1, т.е. кристалл отражает все падающее излучение
(рис. 5.3.1 бег). При учете первого из ангармонических членов в законе
межатомного взаимодействия частотная зависимость е(ш) принимает вид (рис. 5.3.166)
£(со) = £(со)[1 -(Сй| — СОf-)/(—СО^ + СО2 + /Сиу)] = £, + f£2 -
Многофоногтое поглощение. Аналогичные качественно, но более слабые
пики поглощения и такие же особенности спектра отражения, как при одно-
фононном поглощении, наблюдаются при частотах, соответствующих много-
фононному поглощению; эти частоты C0j лежат по обе стороны от ыТ: со, > сог
при испускании нескольких фононов; со, < сог, когда при поглощении фотона
наряду с испусканием фононов поглощается один или несколько тепловых
фононов (рис. 5.3.17).
Частоты со, и волновые числа всех частиц, участвующих в акте
взаимодействия, таковы, что выполняются законы сохранения энергии и квазиимпульса (с
учетом процессов переброса). Вероятность многофононных процессов растет с
увеличением равновесного числа фононов, т.е. с ростом температуры.
ш, со/
Л Я-/Г, 2пк
че2(со)
У
е,о=12.
г^—пке
-Ink
'/со,
0,004
0,002
0,050
0 0,75 1,00 1,25 1,50 со/со,
б
Рис. 5.3.16. Коэффициент отражения и диэлектрическая проницаемость
без учета (а) и с учетом (б) диссипации энергии

V, CM
1000 700 500 400 300
Ж ,СМ
10
-3
10"
10
1 -
л 33 KB
р ++ + +
Ш =Ш
20 30 Х.мкм
Рис. 5.3.17. Двухфононный спектр поглощения
Рис. 5.3.18. Частоты ш, и ш
Плазмон-фононный резонанс. В том случае, когда плазменная частота
со 7 близка к coi и а>т, длинноволновая (к-»0) диэлектрическая
проницаемость взаимодействующей системы ZO-фононы - плазмоны принимает вид
е(со) - s(co) + [s(0) -s(oo)]co2 Дю2- -со2 + /у со) - со ^(оо) Дсо (со + //т)],
(5.3.6)
где у ~ и х - времена жизни фононов и плазмонов соответственно, эффективно
учитывающие затухание этих элементарных возбуждений; е(0) -
низкочастотная диэлектрическая проницаемость. Особенности в спектрах возникают
при переходе е(со) через нуль; приу =х_ =0 из (5.3.6) можно получить, что это
происходит при частотах со+ и со_, определяемых как
со| =0,5{o>2p/ + coi±[(co2p/ + co|)2-4co2^co2r]1/2}
(рис. 5.3.18, 5.3.19).
При малых концентрациях носителей со , «сог высокочастотная ветвь
соответствует ZO-фонон-поляритонам (со+ = coL), а низкочастотная - плаз-
мон-поляритонам, экранированным низкочастотной диэлектрической
проницаемостью е(0): со_ «со2,/©2-/со2, = со2/е(оо)/е(0). При а>р1»сог
высокочастотная ветвь со+ имеет в основном плазмон-поляритонный характер, со+ ~ а>р!, а
низкочастотная соответствует ZO-фонон-поляритонам, экранированным
свободными носителями заряда так, что со_ ~ сог. В ветви со = сог атомы и
электроны колеблются в фазе, а в ветви со= со_ - в противофазе.

X, мкм
,R 200100 50 30
1,01—i—iii i i i—i 1—
-1016cm-3
10 10"
ho, эВ
-10ю см3
Рис. 5.3.19. Спектры отражения при плазмон-фононном резонансе для GaAs
Рис. 5.3.20. Схематические спектры отражения (а) и поглощения (б) чистого
(сплошная линия) и сильнолегированного (пунктир) полупроводника
Результирующие спектры неметаллов. На рис. 5.3.20 показаны спектры
отражения R( о) и поглощения se(co). В первом интервале взаимодействие света
с кристаллом обусловлено переходами электронов из нижних зон в свободные
состояния зоны проводимости (пик / соответствует энергии J-зоны), во втором
- со свободными электронами в зонах (подобно металлам). В третьем
интервале основной механизм взаимодействия — межзонные вертикальные и
невертикальные (с участием фононов) переходы. Кроме того, в спектрах поглощения
достаточно чистого кристалла на границе третьего и четвертого интервалов (на
краю основного поглощения) возможно возникновение экситонной линии 10
(или водородоподобной серии линий), линии 11, вызванной оптическим
возбуждением комплексов, а также примесной полосы 12.
Пики 2, 3, 4 соответствуют энергиям прямых (вертикальных) переходов
между экстремальными точками зон. В четвертом интервале основной вклад
дают внутризонные переходы (сплошной спектр 19, плазменный минимум 5
вблизи плазменного края б) и фотоионизация примесных центров (совокуп-

ность линий 13). В пятом интервале и прилежащих к нему областях главный
механизм - взаимодействие с колебаниями решетки кристалла (однофонон-
ный резонанс) - это полоса остаточных лучей 8 с минимумом 7. Справа и
слева от полосы 8 в спектре поглощения могут возникать более слабые линии,
обязанные своим происхождением испусканиям или поглощениям
нескольких фононов (колебаний решетки) под действием кванта света. Пики 14, 15
соответствуют суммарному механизму, когда под действием фотона
испускается несколько фононов, а пики 16, 17 - разностному механизму, когда под
действием кванта света одновременно испускаются и поглощаются два или
более фононов.
Спектры отражения и поглощения в четвертом и пятом интервалах
чувствительны к примесям и свободным носителям в кристалле. Край основного
поглощения 18 у образца с большой концентрацией свободных носителей
сдвигается в коротковолновую сторону, полосы 10, 11, 12 маскируются сильным
поглощением свободными носителями. Полоса остаточных лучей в спектре
отражения образца с большой концентрацией свободных носителей также
маскируется сильным (как в металлах) отражением и поглощением свободных
носителей. Энергия, при которой возникают особенности 5 и 6, непосредственно
связана с концентрацией и эффективной массой носителей заряда в кристалле.
Таким образом, электронный газ в металлах отражает длинноволновое
(инфракрасное, оптическое) излучение и становится относительно
прозрачным для коротковолнового (ультрафиолетового, видимого
ультрафиолетового). Реальные металлы имеют особенности в спектрах, связанные с
межзонными переходами. Диэлектрики практически прозрачны для излучения с
энергией квантов меньше ЛЕ? и поглощают излучение с Йю> AEg
(фундаментальное поглощение). Особенности связаны с возбуждением фононов, экси-
тонов, с дефектными состояниями и др. В рентгеновском спектре как
диэлектриков и полупроводников, так и металлов основную роль играют переходы с
внутренних оболочек атомов.
1.5.4. Оптическое поглощение
и фотопроводимость в полупроводниках
Важными явлениями физики полупроводников являются процессы
взаимодействия с ними электромагнитного излучения. Сюда относят образование
неравновесного состояния электронного газа за счет энергии внешнего
излучения и, как следствие этого, изменение электрических свойств
полупроводника, а также появление излучения, источником которого является
возбужденное состояние кристалла. Рассмотрим лишь ограниченный круг вопросов,
имеющих наиболее существенное значение для работы твердотельных
электронных приборов.

Оптическое поглощение. Интенсивность светового потока при
прохождении в теле расстояния х падает экспоненциально в соответствии с законом Бу-
гера - Ламберта:
J(x) = /(0)<Гат (5.4.1)
На длине 1/а интенсивность падает е раз. Коэффициент а, выражающий
вероятность поглощения фотона на расстоянии в единицу длины, называется
коэффициентом поглощения. Спектр оптического поглощения
полупроводника (зависимость а от частоты v или длины волны света А.) определяется
характером и концентрацией поглощающих центров. Центрами поглощения
могут служить свободные и связанные электроны тела, а также кристаллическая
решетка. Можно выделить несколько типов оптического поглощения. На
рис. 5.4.1 схематически представлен спектр поглощения полупроводника и
обозначены основные полосы поглощения (без соблюдения масштаба).
Рис. 5.4.1. Спектр поглощения полупроводника и основные полосы
поглощения (без соблюдения масштаба)
Рис. 5.4.2. Прямые и непрямые переходы электрона из валентной
зоны в зону проводимости
1. Собственное (основное, фундаментальное) поглощение света (область
1 на рис. 5.4.1) связано с переходом электронов из валентной зоны в зону
проводимости за счет энергии квантов излучения. Для осуществления такого
перехода энергия кванта должна превышать ширину запрещенной зоны:
hv>AEg. При частотах ниже граничной частоты /jv=AEg/A коэффициент
поглощения а резко падает. При частотах же \»AEg/h собственное поглощение
является доминирующим и коэффициент а значительно выше, чем при других
типах поглощения (до 10 м" ). При больших энергиях кванта v»AEg помимо
собственного поглощения возникает поглощение, связанное с возбуждением
коллективных (плазменных) колебаний валентных электронов, а также с
перебросом электронов в зону проводимости из зон, лежащих ниже валентной
зоны.

Различают прямые и непрямые переходы электрона из валентной зоны в
зону проводимости (рис. 5.4.2). При прямом, вертикальном переходе А, если
он разрешен правилами отбора, импульс электрона не изменяется. Это
следует из закона сохранения импульса с учетом того, что импульс фотона
ничтожно мал по сравнению с импульсом электрона и им можно пренебречь.
Непрямые переходы происходят в полупроводниках с абсолютным минимумом в
зоне проводимости и максимумом в валентной зоне, расположенными в
различных точках зоны Бриллюэна. При непрямом переходе Б изменение
импульса электрона нарушает закон сохранения, поэтому такой переход требует
участия решетки, т.е. поглощения или испускания фонона. Минимальная
энергия кванта света, необходимая для непрямого перехода электрона,
Йу = ДЯг±Бф (5.4.2)
где бф - энергия фонона. Знак «-» соответствует поглощению, а «+» -
испусканию фонона.
Как видно из рис. 5.4.2, энергия, затрачиваемая на непрямой переход,
меньше, чем в случае прямого перехода.
Вероятность непрямых переходов мала, поскольку здесь в отличие от
прямого перехода должны одновременно встретиться в одной точке не две, а
три частицы (фотон, электрон и фонон), поэтому коэффициент поглощения,
связанный с непрямыми переходами, относительно невелик и не превышает
105 м"1 (область 2 на рис.5.4.1).
Частота vrp, называемая краем собственного поглощения, лежит в
видимой или инфракрасной части спектра в зависимости от ширины запрещенной
зоны и зависит от окружающей среды. С ростом температуры, а также при
уменьшении давления (при небольших давлениях) ширина запрещенной зоны
большинства полупроводников спадает по линейному закону и край
собственного поглощения смещается в область меньших частот. Заметное влияние
на vrp оказывает степень легирования. С ростом концентрации примесей в
вырожденных полупроводниках заполняются нижние уровни зоны
проводимости и для возбуждения валентных электронов на свободные уровни требуется
энергия, превышающая AEg. Поэтому vrp смещается к коротковолновой части
спектра. Положение края собственного поглощения зависит также от
внешних полей: в электрическом поле vrp уменьшается, в магнитном - возрастает.
2. Примесное поглощение обусловлено переходами электронов с донор-
ных уровней в зону проводимости или на акцепторные уровни из валентной
зоны. Примесные уровни, как правило, расположены вблизи зоны
проводимости или валентной зоны и для ионизации примесей требуется затрата неболь-

шой энергии hv = ДЕП, поэтому область примесного поглощения смещена к
инфракрасной части спектра (область 3 на на рис. 5.4.1).
Коэффициент примесного поглощения на несколько порядков ниже
коэффициента собственного поглощения, так как плотность примесных
состояний намного меньше плотности состояний в зонах. Величина а зависит от
степени легирования и температуры полупроводника. С ростом температуры,
повышающим вероятность термической ионизации примесных атомов, роль
примесного поглощения снижается. В спектре поглощения присутствуют
также отдельные полосы, связанные с возбуждением примесных атомов (область
4 на рис. 5.4.1). Возможно, наконец, появление полос поглощения за счет
ионизации поверхностных уровней в кристалле.
3. При экситонном поглощении энергия квантов расходуется на
образование экситонов, которые, будучи нейтральными, не увеличивают числа
свободных носителей заряда и не повышают проводимости кристалла. Однако
косвенное влияние на величину проводимости все же оказывается, поскольку
через определенное время после своего образования экситон может
столкнуться с дефектом решетки или фононом и либо диссоциировать с образованием
свободных носителей заряда, либо рекомбинировать.
Для образования связанных зарядов (экситона) требуется меньшая
энергия, чем для перевода электрона из валентной зоны в зону проводимости,
поэтому экситонное поглощение характеризуется узкими пиками у края
собственного поглощения (в области 2 на рис. 5.4.1). Колебания атомов и дефекты
решетки вызывают расширение экситонных пиков, которые могут заметно
перекрываться с областью собственного поглощения.
4. Энергия излучения может поглощаться свободными носителями заряда
в зоне проводимости и валентной зоне. При этом происходит переход
электронов с одних энергетических уровней на другие в пределах зоны. Ввиду
квазинепрерывности энергетических зон спектр поглощения свободными
носителями заряда сплошной и распространяется в длинноволновую область,
соответствующую минимальным энергиям квантов. Коэффициент поглощения
невелик из-за малой концентрации свободных носителей заряда в
полупроводнике и возрастает по квадратичному закону при увеличении длины волны
(область 6 на рис. 5.4.1). В полупроводниках со сложной структурой
разрешенных зон могут появляться узкие полосы поглощения, обусловленные
переходами носителей заряда между различными участками зоны.
5. Часть энергии излучения может расходоваться на увеличение
колебательной энергии решетки. При этом появляются узкие полосы поглощения в
инфракрасной части спектра (область 5 на рис. 5.4.1). В частности, у ионных
кристаллов наблюдается сильное поглощение в далекой инфракрасной области.

Люминесценция. Внешнее воздействие на полупроводник переводит
электронный газ в возбужденное неравновесное состояние. Поскольку
электроны не могут длительное время находиться в возбужденном состоянии,
одновременно с началом внешнего воздействия начинаются переходы части
электронов в невозбужденное состояние, которые в ряде случаев могут
сопровождаться излучением. Особый интерес представляет явление
люминесценции - неравновесного излучения, избыточного над тепловым при данной
температуре и обладающего свойством послесвечения (свечения после
прекращения действия возбуждающих факторов) с длительностью, превышающей
период световых колебаний. Наличие послесвечения отличает
люминесценцию от других видов свечения, например рассеяния света, излучения
Вавилова - Черепкова, тормозного излучения и т.д. В соответствии с физикой
явлений, обусловливающих люминесценцию, различают спонтанные,
вынужденные, рекомбинационные и резонансные процессы.
По типу внешнего возбуждения имеется несколько видов
люминесценции (табл. 5.4.1).
Таблица 5.4.1
Виды люминесценции
Вид люминесценции
Фотолюминесценция
Катодолюмипесцспция
Электролюминесценция
Радиолюминесценция
Рснтгеполюмипесцспция
Триболюминссценция
Хсмилюминесценция
Биолюминесценция
Сонолюминссценция
Кандолюмипесцепция
Термолюминесценция
Тип внешнего возбуждения
Излучение видимого и ультрафиолетового диапазонов
Поток электронов с энергиями 102—10s эВ
Внешнее электрическое поле
Быстрые частицы (продукты радиоактивного распада
и космической радиации) и гамма-излучение
Рентгеновское излучение
Механическое воздействие на кристалл
Экзотермические химические реакции
Химические процессы в живых организмах
Действие ультразвука па растворы некоторых веществ
Пламя газовой горелки
Изменение температуры кристалла
В зависимости от длительности послесвечения т люминесценцию подраз-
деляют на флуоресценцию (т ~ 10" - КГ с) и фосфоресценцию (х > 10" с).
Длительность послесвечения определяется характером зонной структуры
полупроводника, в первую очередь наличием электронных ловушек, и, кроме
того, зависит от температуры кристалла.

Наибольший интерес с точки зрения электронной техники представляют
три вида люминесценции-фотолюминесценция, электролюминесценция и ка-
тодолюминесценция.
Фотолюминесценция. Для характеристики фотолюминесценции
используют понятия энергетического и квантового выходов. Под энергетическим
выходом фотолюминесценции понимают отношение энергии, излученной в
процессе полного высвечивания люминофора (до полного прекращения
люминесцентного свечения), ко всей энергии внешнего излучения, поглощенной
кристаллом. Если возбуждение проводилось в течение времени от 0 до 1в, то
00 00
\dt\w,{y,t)ds>
л = Н ' (5АЗ)
)dt\Wn{v,t)dv
о о
где Wn и W„ - мощности люминесцентного и падающего излучений.
Квантовый выход фотолюминесценции г| - это отношение числа квантов
люминесцентного свечения N„ к числу поглощенных квантов N„. При
монохроматическом облучении
т|=— — = —L — = Y — ■ (5.4.4)
Nnhvn N„ <ХЛ> <ХЛ>
Здесь vn и А.п _ частота и длина волны поглощенного излучения; <ул> и <А.л> -
средние частота и длина волны люминесцентного свечения.
Максимум спектра люминесцентного свечения оказывается сдвинутым в
сторону более длинных волн относительно максимума спектра поглощения
(закон Стокса) (рис. 5.4.3). Дело в том, что часть энергии поглощенного
кванта расходуется на увеличение колебательной энергии молекулы, которая
переходит после этого в равновесное состояние с остальными молекулами за
время (-10" с), меньшее времени электронного перехода с излучением.
Таким образом, энергия кванта люминесцентного свечения, а следовательно, и
частота, меньше, чему падающего излучения. Наличие антистоксовой
области (на рисунке заштрихована), в которой длина волны люминесцентного
свесе ,9
• V,
.* / \/ \-«ч„.
//"А VI
Рис. 5.4.3. Спектр люминесцентного свечения и спектр поглощения

чения меньше, чем длина волны возбуждающего излучения, объясняется тем,
что часть первичных квантов взаимодействует с уже возбужденными
атомами кристалла, так что энергия вторичных (люминесцентных) квантов может
превысить энергию первичных квантов. С ростом температуры, а значит, с
увеличением термического возбуждения атомов антистоксово свечение
проявляется сильнее.
В некотором интервале длин волн энергетический выход люминесценции
пропорционален длине волны внешнего излучения, а затем, когда энергия
кванта становится недостаточной для возбуждения люминесценции,
величина г\ резко спадает до нуля (закон Вавилова).
В качестве источников люминесцентного свечения в электронной технике
используют сложные неорганические соединения - кристалла-фосфоры,
состоящие из основного вещества (полупроводник с довольно широкой
запрещенной зоной), активатора (в основном атомы тяжелых металлов) и плавней
(легкоплавкие соли NaCI, KG, "NaNCh и др., предназначенные для облегчения
образования кристаллов и улучшения условий внедрения атомов активатора).
На энергетической диаграмме кристаллофосфора (рис. 5.4.4) активаторы
образуют дискретный набор разрешенных локальных энергетических
уровней. Нормальному, невозбужденному состоянию активатора соответствуют
уровни вблизи валентной зоны. Уровни возбужденных состояний
располагаются ближе к зоне проводимости. Еще выше, у самого дна зоны
проводимости, находятся локальные уровни электронных ловушек (уровни захвата),
образованные дефектами кристаллической решетки. Энергетическая диаграмма
реальных люминофоров довольно сложна и допускает широкое разнообразие
типов электронных переходов. На рис. 5.4.4 представлены некоторые из
возможных переходов электронов между энергетическими уровнями в процессе
поглощения внешнего излучения и дальнейшего перехода из возбужденного в
невозбужденное состояние с излучением:
А
Д
Ловушки
Возбужденные
уровни активатор
Нспозбуждсппые
уровни активатор
Валентная
Рис. 5.4.4. Энергетическая диаграмма кристаллофосфора

^-возбуждение атома активатора с последующей рекомбинацией и
возвращением электрона на нижний энергетический уровень;
^-возбуждение электрона в зону проводимости с дальнейшей
рекомбинацией с другим примесным центром (ионом активатора);
В — возбуждение электрона в зону проводимости и захват его ловушкой.
За счет термического возбуждения электрон может покинуть ловушку захвата
и снова перейти в зону проводимости с дальнейшей рекомбинацией с ионом
активатора;
У'-переход в зону проводимости электрона валентной зоны при большой
энергии кванта внешнего излучения. Став свободными, электрон проводимости
и дырка в валентной зоне перемещаются по кристаллу до тех пор, пока не реком-
бинируют в области примесного центра (электрон активатора рекомбинирует с
дыркой, перейдя в валентную зону, а образовавшийся при этом положительный
ион активатора может рекомбинировать с электроном проводимости);
Д-этот же процесс может быть замедлен захватом электрона
проводимости ловушкой.
Возбужденное состояние носителей заряда может быть создано не только
непосредственным воздействием квантов излучения. Энергия может
поглощаться во всей решетке с образованием экситонов, которые, двигаясь по
кристаллу, переносят ее к атомам активаторов, способствуя тем самым
люминесценции. Одновременно возможно появление излучения, связанного с
рекомбинацией экситонов.
Наличие ловушек (центров захвата) и их постепенное освобождение
(высвечивание) термическим возбуждением вызывают длительное
послесвечение кристаллофосфора. Чем глубже расположены ловушки относительно
зоны проводимости, тем большее время удерживают они электроны. Если
глубина ловушки АЕЛ, то время пребывания в ней электрона / ~ел '
Интенсивность свечения сильно возбужденного полупроводника, с
большой концентрацией возбужденных электронов, спадает со временем по
закону J=Jo(l+Pt)"~, где (3 О - константа, зависящая от степени начального
возбуждения. Если же концентрация возбужденных носителей заряда много меньше
равновесной концентрации, то интенсивность свечения уменьшается по
экспоненциальному законус J=Joe" т, где х - средняя длительность
возбужденного состояния. На скорость затухания влияют температура (увеличивается
скорость высвечивания ловушек, а также освобождаются более глубокие
ловушки), внешнее поле, инфракрасное облучение и т. д.
Повышение температуры помимо высвечивания ловушек вызывает так
называемое температурное тушение люминесценции, т. е. увеличение
вероятности безызлучательных переходов энергии возбужденного состояния в
тепловую энергию. Электроны валентной зоны переходят на возбужденные

уровни активаторов, которые уже не могут стать центрами рекомбинации.
Дырки же локализуются в так называемых центрах тушения, около которых
рекомбинация с электроном происходит без излучения. Интенсивность
свечения спадает с ростом температуры по закону
J<?> -1 + С=хрГ """'
J(T = 0)
(5.4.5)
Здесь С - константа, характеризующая степень возбуждения полупроводника;
Е,.- энергия активации тушения (величина, различная для разных типов безыз-
лучательных переходов, зависящая от расположения примесных уровней).
Электролюминесценция. Электролюминесцентное свечение появляется
под действием электрического поля, увеличивающего сверх равновесной
концентрацию свободных носителей заряда, которые затем рекомбинируют с
испусканием световых квантов, или фононов. При рассмотрении механизма
возбуждения электролюминесценции следует выделить два различных типа
распределения возбуждающего электрического поля. Когда внешнее поле
распределено равномерно вдоль кристалла (в том числе при включениир-и-пере-
хода в прямом направлении), яркость люминесцентного свечения
пропорциональна I или I , где I - ток сквозь кристалл. Если же поле сконцентрировано в
небольшом участке кристалла (например, при включении /?-и-перехода в
обратном направлении), то яркость свечения пропорциональна Vnexp^bV""^,
где V- напряжение; п, т и b - константы {п = 0,1 или 2, т - 0,5 или 1). В этом
случае электролюминесценция наблюдается обычно на переменном
напряжении.
о
В полях напряженностью менее 10 В/м возбуждение электронов с
примесных уровней и из валентной зоны в зону проводимости обеспечивается
процессами ударной ионизации. В полях напряженностью свыше 10 В/м
(тонкие пленки, высокоомные полупроводники) к этому добавляются
туннельное просачивание сквозь запрещенную зону и ионизация полем примесных
атомов. Процесс ударной ионизации стимулируется инжекцией носителей
заряда с металлических контактов. Дальнейшая рекомбинация носителей
заряда вызывает свечение люминофора. Область свечения располагается, как
правило, у контактов металл - полупроводник или полупроводник-
полупроводник, поскольку именно здесь имеется наибольшая напряженность поля. Для
того чтобы носители заряда не уносились полем от места ионизации и не
снижалась вероятность рекомбинации, необходимо периодическое выключение
или изменение полярности напряжения (импульсный режим или переменное
напряжение).
Особый интерес представляет электролюминесценция, появляющаяся
при рекомбинации носителей заряда противоположных знаков в р-п-перехо-

де, включенном в прямом направлении. Основные носители заряда по обе
стороны перехода имеют различные знаки, поэтому отпадает необходимость в
ионизации атомов сильным электрическим полем. Носители заряда
ускоряются навстречу друг другу, а после инжекции в область с другим типом
электропроводности становятся неосновными и усиленно рекомбинируют путем
межзонных переходов, причем в полупроводниках типа GaAs, GaP, InAs,
InSb, SiC, ZnS выделяющаяся при рекомбинации энергия не переходит в
тепловую, а излучается в виде люминесцентного свечения. Концентрация
инжектированных носителей заряда, а следовательно, яркость свечения
уменьшаются при удалении от границы перехода.
Инжекционные диоды (светодиоды) создаются на основе
полупроводников типа а также SiC и тройных соединений типа GaAsP, InAsP,
PbSnSe, PbSnTe и др. Спектр свечения диодов перекрывает весь видимый
диапазон - от фиолетовой до близкой инфракрасной области. Для получения
достаточно большого квантового выхода необходимо пропускать через переход
токи значительной плотности (10 - 100 А/см"), в противном случае будет
преобладать безызлучательная рекомбинация.
Весьма перспективны для создания светодиодов гетеропереходы, в
которых обеспечивается высокоэффективная инжекция из широкозонной в
узкозонную область без сильного легирования. В то же время широкозонный
полупроводник прозрачен для рекомбинационного излучения, генерируемого в
узкозонной области, что позволяет существенно упростить конструкцию све-
тодиода. В переходах с переменной шириной запрещенной зоны возможно
плавное изменение длины волны излучения.
Преимущества светодиодов - высокое быстродействие, малое
потребление энергии, большой к.п.д., миниатюрность, высокая надежность.
Использование люминесценции. Люминофоры. Явление люминесценции
широко используется при создании различных типов электронных устройств.
Достаточно перечислить лишь некоторые области применения:
люминесцентные лампы; электролюминесцентные источники света;
электролюминесцентные сигнальные устройства; люминесцентные красители; детектирование
невидимых излучений (ультрафиолетового, инфракрасного, рентгеновского,
ядерного); люминесцентные экраны электроннолучевых приборов;
люминесцентный анализ в различных областях науки.
В качестве люминофоров используют прежде всего полупроводники на
основе сульфидов ZnS, CdS, CaS, SrS, MgS, BaS, окислов СаО, SrO, MgO,
BaO, ZnO, вольфраматов CaW04, CdW04, MgW04, а также SiC, GaP, GaAs,
ZnSe, ZnxCd|.xS, ZnSxSei_x с введением активаторов Си, Mn, CI, Sn, Al, Ag, Bi,
Ni, Co, Cd, Pb, определяющих спектр и длительность люминесцентного
свечения.

Стимулированное излучение. В отсутствие внешнего электромагнитного
поля переходы атомов из возбужденного в основное состояние носят
случайный, спонтанный характер и не связаны между собой во времени. Поэтому
спонтанное излучение является некогерентным.
Внешнее электромагнитное поле с частотой v = (E,„-En/h, где Еп и Ет -
энергии основного и возбужденного состояний атома, способно увеличить
вероятность излучения квантов. При этом переходы электронов носят
вынужденный характер, а излучение называется стимулированным
(индуцированным, вынужденным). Увеличение вероятности излучения во внешнем поле
связано с тем, что кванты являются бозонами и устремляются в область
занятых квантовых состояний. В отличие от спонтанного стимулированное
излучение когерентно, причем его частота, фаза, поляризация и направление те же,
что и у индуцирующего электромагнитного поля.
Система с инверсной населенностью способна усиливать
электромагнитные колебания за счет индуцированных переходов. Действительно, в случае
инверсной населенности количество квантов, излучаемых при
индуцированных переходах, больше числа поглощенных квантов.
Рабочими телами квантовых генераторов и усилителей могут служить не
только смеси газов или паров различных веществ, но также твердые
диэлектрики и полупроводники. Для создания инверсии населенностей между двумя
уровнями системе необходимо сообщить дополнительную энергию, с тем
чтобы населеность верхнего энергетического уровня оказалась больше, чем у
нижнего. Инверсная населенность может быть создана различными
методами, например:
- возбуждением внешним электромагнитным излучением;
- инжекцией неосновных носителей заряда через/>-и-переход;
- облучением тела электронным пучком высоких энергий;
- ударной ионизацией в сильном электрическом поле и др.
Для полупроводниковых приборов наиболее приемлемы инжекция,
обстрел электронами и внешнее облучение (оптическая накачка).
При интенсивном оптическом возбуждении полупроводника электроны с
верхних уровней валентной зоны перебрасываются на нижние уровни зоны
проводимости. Равновесное состояние полупроводника нарушается. При
достаточном возбуждении квазиуровни Ферми располагаются: для
электронов - выше дна зоны проводимости, для дырок - ниже потолка валентной
зоны, т.е. получается распределение носителей заряда, аналогичное
вырожденному состоянию. Энергетические уровни ниже квазиуровня Ферми в зоне
проводимости заполнены электронами сильнее, чем уровни выше
квазиуровня Ферми в валентной зоне, в результате в полупроводнике образуется
состояние инверсной населенности. В этих условиях возможно появление стимули-

рованного излучения на длине волны, соответствующей границе
собственного поглощения, причем кванты, испускаемые при переходе электронов из
зоны проводимости в валентную зону, сами способны стимулировать
аналогичные переходы. Поглощение же испускаемых квантов полупроводником
существенно ослаблено, так как их энергия /zv = AE^, а расстояние между
верхними заполненными уровнями в валентной зоне и нижними свободными
уровнями в зоне проводимости превышает Л£?. Оптическая накачка может
осуществляться монохроматическим излучением от другого лазера.
Инверсная населенность может быть создана также при обстреле
полупроводника потоком электронов с энергией 10-100 кэВ, способных
возбуждать электроны из валентной зоны в зону проводимости.
Однако наилучший эффект может быть получен при использовании
электронно-дырочных переходов, в которых инверсная населенность создается за
счет инжекции носителей заряда через переход, включенный в прямом
направлении, при условии высокой степени вырождения полупроводника.
Приборы, основанные на подобном механизме работы, называются инжекцион-
ными лазерами.
В сильно вырожденных полупроводниках уровни Ферми расположены
внутри разрешенных зон (рис. 5.4.5а). В состоянии равновесия они находятся
на одной высоте. При достаточном напряжении в прямом направлении
уменьшается потенциальный барьер, уровень Ферми в полупроводнике «-типа
может подняться выше дна зоны проводимости полупроводника^-типа на
некотором участке перехода (рис. 5.4.56), в результате образуется область
инверсной населенности Х]Хг. Электроны, переходящие в зону проводимости полу-
Рис. 5.4.5. Энергетические уровни сильно вырожденных полупроводников
проводника/>-типа, рекомбинируют с излучением в узкой области,
прилегающей к границе перехода (так как концентрация инжектированных носителей
заряда резко спадает с расстоянием). При малых токах через переход
излучение носит спонтанный характер, как в светодиоде, но при достижении
определенной величины тока, называемой пороговым током, происходит переход к
устойчивому режиму интенсивного вынужденного излучения.

Для увеличения коэффициента усиления и получения режима генерации
необходимо ввести положительную обратную связь, сдеав две
противоположные грани полупроводника, перпендикулярные плоскости перехода,
строго параллельными и оптически отполированными. Отражаясь от них, часть
усииленного излучения,строго перпендикулярная граням, многократно
проходит через переход, который в результате становится источником мощного
остронаправленного излучения, близкого к монохроматическому.
К преимуществам полупроводниковых лазеров следует отнести высокий
к.п.д., возможность модуляции излучения током через переход,
быстродействие, малые габариты. Однако плотность порогового тока обычно настолько
велика, что для обеспечения условий теплоотвода лазер может работать лишь
в импульсном режиме. Поэтому особый интерес вызвало создание лазеров на
гетеропереходах (инжекционных гетеролазеров), генерирующих в видимой и
ближней инфракрасной областях спектра.
Гетеролазер представляет собой структуру с одним или двумя
инжектирующими гетеропереходами. Ширина запрещенной зоны в активной области
гетеролазера (базе) меньше, чем в пассивных (инжектирующих)
областях-эмиттерах, поэтому инжектированные носители заряда находятся в
активной области в потенциальной яме и удерживаются там гетеропереходны-
ми барьерами. За счет этого инверсная населенность достигается при
значительно меньших плотностях тока. Концентрация инжектированных носителей
заряда в базе может превысить концентрацию носителей заряда в эмиттерах.
Оптические свойства базы отличны от оптических свойств эмиттеров,
поэтому гётероструктура обладает хорошими волноводными свойствами и
излучение выводится наружу с малыми оптическими потерями.
Высокая эффективность и малый пороговый ток позволили использовать
двойную гетероструктуру для создания инжекционного гетеролазера,
работающего в непрерывном режиме при комнатных температурах.
Фотопроводимость. Под фотопроводимостью понимают величину
изменения электрической проводимости тела под действием электромагнитного
излучения. В первую очередь фотопроводимость обусловлена внутренним
фотоэффектом - увеличением концентрации сводных носителей заряда за
счет их оптического возбуждения. Кроме того, изменение проводимости
может быть связано и с изменением подвижности носителей заряда, которые,
возбуждаясь, переходят на более высокие энергетические уровни и,
следовательно, изменяют свою эффективную массу. Однако вторая причина имеет
значение лишь в невырожденных слабо легированных полупроводниках с
малой эффективной массой носителей заряда, при низких температурах и малых
энергиях возбуждающих квантов излучения hv, когда осуществляются внут-
ризонные переходы «горячих» электронов, т. е. в далекой инфракрасной обла-

сти спектра, и для подавляющего большинства фотоэлектронных приборов
этого явления можно не учитывать. Оптически возбужденные носители
заряда за очень короткое время (порядка 10-1 с) в результате нескольких
столкновений приобретают энергию, близкую к средней энергии равновесных
носителей заряда, и для расчета фотопроводимости можно пользоваться
величинами подвижности равновесных носителей.
Внутренний фотоэффект у металлов практически не наблюдается,
поскольку концентрация электронов проводимости столь велика, что добавка за
счет возбуждения излучением оказывается незначительной в процентном
отношении. В то же время у полупроводников, имеющих сравнительно малую
концентрацию свободных носителей заряда, проводимость заметно
изменяется под действием света. Энергия квантов внешнего излучения передается
электронам полупроводника, которые переходят в зону проводимости из
валентной зоны или с донорных уровней, либо на акцепторные уровни из
валентной зоны.
При межзонных переходах (собственная фотопроводимость) появляется
пара свободных носителей заряда - электрон в зоне проводимости и дырка в
валентной зоне. Минимальная энергия кванта, обеспечивающая
возникновение собственной фотопроводимости, равна ширине запрещенной зоны:
ftvc=AEg. В кристаллах со сложной структурой энергетических зон (см. рис.
5.4.2) это условие выполняется лишь для непрямых оптических переходов, а
поскольку вероятность непрямых переходов мала, резкое возрастание
фотопроводимости начинается лишь тогда, когда энергия кванта достаточна для
осуществления прямого перехода {А на рис. 5.4.2). Частота vc называется
красной границей фотопроводимости, и по ней можно судить о ширине
запрещенной зоны полупроводника.
В примесных полупроводниках квантами света возбуждаются носители
заряда лишь одного знака. Красная граница определяется условием ftVd=AEd
для донорного и Йуа=ДЕа для акцепторного полупроводников. Энергии
активации примесей AEd и ДЕа много меньше ширины запрещенной зоны AEg, и
красная граница примесной фотопроводимости смещена в длинноволновую
часть спектра относительно границы собственной фотопроводимости.
Концентрация электронов на примесных уровнях значительно нижа, чем в
валентной зоне, поэтому примесная фотопроводимость меньше собственной.
Фотопроводимость определяется концентрацией носителей заряда,
избыточной относительно равновесной концентрации:
аф =e(An[in + Apiip).
(5.4.6)

Полная проводимость а = сгт +аф, где ат - проводимость в отсутствие
облучения, вызванная термическим возбуждением носителей заряда (темновая
проводимость).
С момента включения источника внешнего излучения концентрация
неравновесных носителей заряда Дп и Др возрастает. Одновременно
увеличивается количество актов рекомбинации в единицу времени. При постоянной
интенсивности облучения J через определенное время устанавливается
некоторое стационарное количество избыточных носителей заряда:
Ая =^^
hv
ocPJt
&Рст=—ТГ^>
hv
где а - коэффициент поглощения; Р - квантовый выход - число пар носителей
заряда (в случае примесной фотопроводимости число носителей заряда),
образованных одним квантом света; тп и тр - время жизни неравновесных
носителей заряда. Тогда
«Р^ / N ,С Л ON
<*ф=:-^—(^Цп+-срЦр). (5.4.8)
T|V
Квантовый выход в полупроводнике при энергиях кванта AEg</zv<2AEg
меньше или порядка единицы, однако при ftv>2AEg он может превысить
единицу. В этом случае появляются «горячие» носители заряда, обладающие
избыточной энергией, достаточной для образования новых
электронно-дырочных пар в процессе ударной ионизации. В реальных полупроводниках
фотопроводимость обеспечивается не электронно-дырочными парами, а лишь
носителями заряда того знака, у которых больше время жизни.
При выключении источника света концентрация избыточных носителей
заряда, а следовательно, и Стф спадает за счет рекомбинации по
экспоненциальному закону с постоянной времени, равной времени жизни носителей
заряда, до тех пор, пока а не уменьшится до ат. Скорость нарастания и спада
концентрации неравновесных носителей заряда может быть замедлена, если
кристалл содержит ловушки, захватывающие носители заряда и
задерживающие процессы генерации и рекомбинации. Носители заряда удерживаются
ловушками (например, F-центрами) до тех пор, пока не получат за счет
термического возбуждения энергию, достаточную для перевода их в зону.
Вероятность акта рекомбинации носителя заряда в ловушке невелика. Поэтому, хотя
ловушки и увеличивают эффективное время жизни носителей заряда и, следо-
(5.4.7)

вательно, сгф, их отрицательное действие проявляется в заметном увеличении
инерционности процессов в приборах с фотопроводимостью, ограничивая
импульсный и высокочастотный режимы работы.
Спектральная зависимость фотопроводимости изображена на рис. 5.4.1
штрихпунктирными линиями. Красная граница собственной
фотопроводимости совпадает с краем собственного поглощения. При уменьшении длины
волны света фотопроводимость проходит через максимум и затем быстро
спадает. Уменьшение фотопроводимости с укорочением световой волны может
быть объяснено тем, что одновременно возрастает коэффициент поглощения
а и, следовательно, носители заряда возбуждаются лишь в узком
приповерхностном слое полупроводника. Изменение проводимости узкого
приповерхностного слоя слабо влияет на проводимость всего образца. Кроме того,
влияние поверхности проявляется в усилении рекомбинации носителей заряда и
уменьшении среднего времени жизни, а следовательно, 0ф. Есть также
основания полагать, что уменьшение 0ф связано с преимущественным
возбуждением квантами света бестоковых квазичастиц-экситонов, которые, не образуя
свободных носителей заряда,.рекомбинируют с излучением или
возбуждением колебаний -решетки.
Помимо максимума собственной фотопроводимости на спектральной
кривой наблюдаются максимумы, связанные с ионизацией или возбуждением
примесных атомов (возбужденный светом атом в процессе дальнейшей
термической активации теряет электрон, увеличивая фотопроводимость). Вид
графика 0ф (к) для примесной фотопроводимости хорошо согласуется с
зависимостью а (к).
При определенных условиях на фотопроводимость могут влиять и экси-
тоны, которые способны переносить энергию по кристаллу и возбуждать
носители заряда из атомов примесей или ловушек. Сами они также могут
увеличить фотопроводимость, распадаясь в области неоднородности кристалла на
два свободных носителя заряда.
При малых интенсивностях светового облучения ]ф~.1. Однако с ростом
интенсивности время жизни избыточных носителей заряда становится
функцией их концентрации, и зависимость ]§(3) получается нелинейной. В целом
действует закон]ф~.1т, где т изменяется с ростом J от 1 до 0,5.
Изменение фототока в зависимости от интенсивности облучения
используют, в частности, для создания фоторезисторов-приборов,
сопротивление которых зависит от J. Фоторезистивный слой представляет собой
тонкую пленку полупроводника, поскольку свет проникает лишь на глубину
порядка 0,1 мкм. При этом, однако, концентрация избыточных носителей
заряда ограничена поверхностной рекомбинацией, так как диффузионная длина

соизмерима с толщиной пленки. Преимущество фоторезисторов - высокая
чувствительность (на несколько порядков выше, чем у вакуумных
фотоэлементов), недостатки-высокая инерционность и зависимость сгб / сг6 от
температуры.
Красная граница фотопроводимости собственных полупроводников
лежит в видимой или инфракрасной области спектра, примесных-в
инфракрасной области, поэтому фоторезисторы можно применять для
детектирования инфракрасного излучения. В качестве рабочих материалов используют
сульфиды, селениды и теллуриды некоторых металлов, например CdS,
CdSe, CdTe, PbS, PbSe, PbTe, T12S, а также Se, Ge, Si, InSb, GaAs, InAs и др.
Большой практический интерес представляет фотопроводимость халькоге-
нидных стекол. Спектральная зависимость фотопроводимости халькогени-
дов зависит от их состава. С увеличением процентного содержания тяжелых
элементов максимум фоточувствительности сдвигается в область более
длинных волн.
Фото-э.д.с. Фотоэлектродвижущая сила (фото-э.д.с.) представляет собой
разность потенциалов, возникающую между различными участками
кристалла в результате фотогальванического эффекта - пространственного
разделения оптически возбужденных носителей заряда противоположного знака.
Фото-э.д.с. появляется либо в неоднородных полупроводниках, либо в условиях
неоднородного освещения.
При освещении одной из граней однородного полупроводника светом
генерируемые в приповерхностном слое избыточные электроны и дырки за
счет градиента концентрации начинают диффундировать в глубь
полупроводника, но поскольку подвижность электронов выше, чем дырок, они
быстрее достигают противоположной грани, которая заряжается отрицательно,
тогда как освещаемая грань приобретает положительный заряд (эффект
Дембера).
Для собственного полупроводника э.д.с. эффекта Дембера
^^Ь11г>+(\ (5.4.9)
где gS(])- фотопроводимость освещенного приповерхностного слоя. Э.д.с.
эффекта Дембера составляет несколько милливольт.
Если освещенный с одной стороны полупроводник поместить в
магнитное поле, перпендикулярное направлению светового луча, то образующиеся
разноименные неравновесные носители заряда будут в процессе диффузии
отклоняться силой Лоренца в противоположные стороны, заряжая разными
знаками грани, параллельные вектору напряженности магнитного поля и
направлению распространения света (фотомагнитоэлектрический эффект, или

эффект Кикоина-Носкова). В результате появляется разность потенциалов,
пропорциональная напряженности магнитного поля и интенсивности
излучения (при не слишком больших интенсивностях).
У некоторых полупроводников, выполненных в виде тонких пленок,
наблюдается аномально большая величина фото-э.д.с. — до 5- 10 В. Строгое
описание причин этого явления пока отсутствует.
Особое значение имеет фото-э.д.с, появляющаяся при освещениир-п-ие-
рехода в полупроводнике (вентильная фото-э.д.с). Если переход (рис. 5.4.6)
освещается светом с энергией кванта /?v >ДЕЁ, то по обе стороны от его
границы будут генерироваться электронно-дырочные пары за счет возбуждения
электронов из валентной зоны в зону проводимости. Дырки в я-области и
электроны в/7-области являются неосновными носителями заряда, которые в
Рис. 5.4.6. Фото-э.д.с. при освещении р-л-перехода в полупроводнике
Рис. 5.4.7. Вольт-амперная характеристика р-л-перехода при различных
интенсивностях светового облучения
отличие от основных носителей ускоряются полем контактной разности
потенциалов /(-«-перехода. Часть неосновных носителей заряда, образующаяся
на расстоянии от перехода, меньшем диффузионной длины, не успев реком-
бинировать, переводится полем контактной разности потенциалов через
границу перехода, увеличивая концентрацию основных носителей заряда в
противоположных областях. Основные же носители заряда (электроны в
«-области и дырки в/7-области), образованные излучением, не могут преодолеть поля
контактной разности потенциалов и не переходят в противоположные
области полупроводника. Таким образом, /?-и-переход пространственно разделяет
генерированные светом носители заряда разных знаков.
В результате в и-области появляется избыточный отрицательный заряд,
а в/7-области - избыточный положительный заряд и диаграмма
энергетических уровней перехода (штриховые линии) оказывается смещенной
относительно равновесного состояния (сплошные линии). Уровни Ферми в обеих
частях полупроводника также смещены относительно друг друга па величи-

ну eV^o (Кфо-фото-э.д.с), что соответствует неравновесному состоянию
системы. Поэтому при замыкании/?- и и-областей с помощью внешней
электрической цепи в ней начнет протекать ток 1Н. Такой электронно-дырочный
переход может быть использован в качестве вентильного фотоэлемента для
преобразования энергии излучения в электрическую энергию. Величина фо-
то-э.д.с.
fy> =
кТ
In
1± + 1
(5.4.10)
где 1ф - ток возбужденных светом носителей заряда; Is - ток насыщения в
обратном направлении в отсутствие освещения.
При подключении внешней нагрузки разность потенциалов на
фотоэлементе Уф создается лишь частью носителей заряда, другая часть носителей
обеспечивает ток 1п:
Кф =—In
(**-h
V
L
+ 1
(5.4.11)
Вольт-амперная характеристика вентильного фотоэлемента описывается
выражением
( BY* \
h = Is
кТ
■1
'ф-
(5.4.12)
Фото-э.д.с. приложена к/?-/?-переходу в прямом направлении и
увеличивается с ростом интенсивности светового потока, пока не достигнет величины
контактной разности потенциалов. Область, в которой возникает фото-э.д.с,
ограничена расстоянием, равным диффузионной длине по обе стороны от
перехода. Носители заряда, генерированные светом за пределами этой области,
рекомбинируют, не дойдя до границы перехода, и не вносят вклада в
фото-э.д.с. Поэтому обычно стремятся к увеличению диффузионной длины
носителей заряда в вентильных фотоэлементах.
Падающее излучение поглощается в тонком приповерхностном слое, в
результате плоскость перехода приходится делать перпендикулярной
световому лучу и располагать ее близко к поверхности. При этом, однако, не
удается получить высокого к.п.д., так как тонкий внешний слой перехода обладает
повышенным сопротивлением и в нем велика поверхностная рекомбинация
носителей заряда. В этой связи представляет большой интерес использование
гетеропереходов для создания фотоэлементов. Свет с энергией квантов, боль-

шей ширины запрещенной зоны узкозонной области и меньшей ширины
запрещенной зоны широкозонной области, свободно проходит сквозь
полупроводник с широкой запрещенной зоной и поглощается в узкозонной области
вблизи перехода (эффект окна в гетеропереходе). Широкозонный материал
служит одновременно окном и защитным покрытием и может быть сделан
достаточной толщины ввиду своей прозрачности. Тем самым гетеропереход
становится малочувствительным к состоянию поверхности. Эффективность
фотоэлементов с гетеропереходами можно повысить за счет плавного изменения
ширины запрещенной зоны в переходе.
Материалами солнечных батарей, преобразующих солнечную энергию в
электрическую, служит Si, GaAs, CdTe, InP, CdS. К.п.д. кремниевых
фотоэлементов достигает 15% и, по-видимому, может быть повышен до 20-25%. В
качестве материалов для вентильных фотоэлементов могут быть использованы
также Se (спектральная чувствительность соответствует спектральной
чувствительности человеческого глаза), Ge, TI2S, AgiS, AlSb, соединения свинца и
др. Фотоэлементы чувствительны в видимой и инфракрасной частях спектра,
некоторые из них - в близкой ультрафиолетовой области.
Помимо фотогальванического режима, когда отсутствует источник
внешнего напряжения, /^-«-переход может работать в фотодиодном режиме, при
котором на него подается от батареи обратное напряжение. В этом случае
фототек складывается с обратным током перехода и вольт-амперная
характеристика является функцией освещенности. Преимуществами фотодиодного
режима являются высокая чувствительность и малая инерционность (порядка
10" с), преимуществами фотогальванического режима-отсутствие
источников питания и малый уровень шумов.
Вид вольт-амперной характеристики/?-и-перехода при различных интен-
сивностях светового облучения показан на рис. 5.4.7. Участок а-б
соответствует фотодиодному режиму, участок б-в-фотогальваническому.
Избыточные носители заряда в/»-/?-переходе могут возникать и при
облучении его быстрыми электронами, альфа-частицами, гамма-излучением. При
этом переход может быть использован для регистрации излучения, либо для
преобразования его энергии в электрическую. Трудность заключается в том,
что жесткое излучение постепенно разрушает кристаллическую решетку и
выводит из строя фотоэлемент.
Широкое применение малогабаритные полупроводниковые источники
света и фотоприемники находят при разработке оптронов - функциональных
элементов оптоэлектронных схем, в которых сочетаются электрические и
оптические методы передачи и преобразования сигналов, причем
использование оптической связи позволяет одновременно осуществлять гальваническую
развязку входных и выходных электрических цепей.

1.6. Контактные явления
1.6.1. Структура и потенциальный рельеф границы кристаллов
В предыдущих главах рассматривались объемные свойства твердых тел.
Ниже проанализированы электронная зонная структура поверхности
(реальные поверхности с дефектами и адатомами), поверхностные квазичастицы,
начинается обсуждение поверхностных свойств, являющихся базовыми для
описания эмиссионных свойств поверхностей.
Свойства кристаллических структур существенно зависят от состояния
их поверхностей, представляющих собой очевидное нарушение объемной
упорядоченности кристаллической решетки, которая приводит к изменению
зонной структуры у поверхности и к дополнительным локальным
приповерхностным энергетическим уровням в запрещенной зоне. Незавершенность
валентных связей у атомов поверхности делает ее активно взаимодействующей
с окружающей средой.
Число поверхностных атомов относительно невелико: так, у образца
размером примерно 1 см (около 10 периодов решетки) число атомов в объеме
достигает 10 , при этом 10 атомов находятся на поверхности. Состояние
поверхности определяет ряд важных свойств твердых тел, в частности, влияет на обмен
теплотой, зарядом и массой с окружающей средой, оптические свойства и др.
Структура поверхностей кристаллов. При образовании кристалла его
свободные поверхности стремятся образовать определенным образом
ориентированные плоскости. Причина в том, что при образовании поверхности в
результате скола кристалла затрачиваемая (поверхностная) энергия
пропорциональна числу обрываемых связей, и наиболее вероятны сколы по
плоскостям, соответствующим минимальному числу этих связей (рис. 6.1.1).
Энергетически невыгодно также образование острых углов: при постоянном объеме
срезание этих углов уменьшает площадь поверхности.
Поверхность ковалентных кристаллов. Реконструкция. В ковалентных
кристаллах поверхностная энергия в несколько раз меньше суммарной
энергии разрыва связей вследствие реконструкции поверхности, заключающейся
в том, что одна часть оборванных связей насыщается за счет ухода электронов
с другой части связей. Одни из поверхностных атомов при этом смещаются в
глубь тела, другие - в противоположном направлении, таким образом, ранее
«равноправные» атомы на поверхности становятся различными, т.е.
снижается порядок симметрии атомов на поверхности (рис. 6.1.2).
Перед реконструкцией на поверхности имеются гибридизованные (см.
разд. 1.1.2) состояния оборванных связей с энергией, лежащей вблизи
запрещенной зоны объемных состояний или в ней самой. В результате
реконструкции эти состояния расщепляются на заполненные, уходящие в глубь
валентной зоны состояния, и свободные, оказывающиеся в зоне проводимости.

Рис. 6.1.1. Наиболее вероятные плоскости скола кристалла
со структурой алмаза (плоскость чертежа (110))
Рис. 6.1.2. Реконструкция поверхности ковалентного кристалла
со структурой алмаза (гибридизованные состояния, занятые двумя
электронами, изображены двойными линиями)
Поверхность ионных кристаллов. Модель структуры поверхности
ионных кристаллов можно получить, если мысленно за некоторой
кристаллической плоскостью удалить все ионы. При анализе возможных поверхностей
скола нужно учитывать наличие зарядов у различных атомов решетки: при
разрезе плоскостью могут образоваться поверхности, несущие очень большой
поверхностный заряд; могут образовываться и квазинейтральные
поверхности с одинаковым числом положительных и отрицательных зарядов (так, для
структуры KCI — поверхность (100)). Реализуется обычно последняя
ориентация. Основной вклад в поверхностную энергию связан с увеличением
электростатической энергии в расчете на один ион. Так, для поверхности (100)
кристалла со структурой КС1 расчеты дают поверхностную энергию
Е, = 0,0422z~e /(4iiE0a~), где z- полный целочисленный заряд иона.
Поверхность металлов. Силы зеркального изображения. Потенциал
внутри твердого тела в среднем всегда положителен (относительно
потенциала на бесконечности в вакууме). Причина заключается в существенно различ-

ной массе частиц: тяжелые ионы локализованы в малых областях
пространства, тогда как волновые функции электронов (особенно валентных) занимают
относительно большие объемы, выходят за границу распределения
положительного заряда и создают дипольныи слой, определяя потенциал. Из уравнения
Пуассона V U=—nqejzu (где nq — плотность зарядов) получается «перевес»
вклада ионов над электронами (рис. 6.1.3). Таким образом, твердое тело
является для электронов трехмерной потенциальной ямой, на границах которой
существует потенциальная ступенька высотой 1...10эВ.
Форму потенциала в металле вблизи поверхности (рис. 6.1.4) можно
представить следующим образом. В нулевом приближении электронная
плотность одинакова для ячеек Вигнера — Зейтца как приповерхностных атомов,
так и атомов в глубине образца (рис. 6.1.5). Следующее приближение учиты-
I
JR
о
ф
J
''///Яу//////^ууШ/£//М' 1
v\i
i
/-*'
©^-Л©А~Ч
-<©>—<©>
©У-<©W
-<©У-Л©>
©У-< ©W
—(©)—< ©р
а п(х)
' ]
б
ч ,
X
Рис. 6.1.3. Распределение потенциала в системе: точечный ион — равномерно
делокализованный по шару радиусом R электрон
Рис. 6.1.4. Потенциал вблизи границы металла (заштрихована зона проводимости)
Рис. 6.1.5. Структура приповерхностной области металла:
а — поверхность твердого тела как разрез, проведенный по поверхностям
ячеек Вигнера - Зейтца (штрихами изображена идеально гладкая поверхность);
б—поведение электронной плотности вблизи поверхности

вает распространение волновой функции электронов за пределы граничных
ячеек, причем получающаяся граница электронной плотности оказывается
сглаженной, почти не модулированной с периодом решетки. Возникает
«атомно-гладкая» поверхность электронного газа, поэтому при качественном
описании граничных эффектов используют так называемую модель желе, в
которой положительный заряд ионов п(х)е считается равномерно
распределенным по полупространству. Потенциал ионной составляющей U(x)
определяют из уравнения Пуассона V~U(x)=-n{x)e/E0 (где n(x) = nt при а<0,
п(х) = О при х > 0; пе = и,— средняя плотность зарядов в глубине тела), а
распределение электронной плотности пе = пе(х) - из уравнения Шредингера для
электрона на указанном потенциальном рельефе. Эта модель из всех
параметров металла содержит только электронную плотность пе и не учитывает
других особенностей. Модель желе описывает появление дипольного слоя на
границе, что отражается на потенциальной диаграмме (см. рис. 6.1.4) наличием
ступеньки высотой в 5.. .10 эВ.
В следующих приближениях учитывается неоднородность
распределений потенциала (учет влияния структуры решетки и валентности атомов z).
В металлах электронный газ вырожден, уровень Ферми значительно
выше дна потенциальной ямы, однако ниже уровня вакуума. Если пренебречь
анизотропией и неоднородностью потенциального рельефа, считая дно
потенциальной ямы гладким, а электроны металла квазисвободными, то
получается модель Зоммерфельда (рис. 6.1.6).
Форма потенциала у границы металла вне условной геометрической
границы электронного газа с хорошей точностью определяется силами
зеркального изображения. Электрон, покинувший металл, создает вокруг себя элект-
Рис. 6.1.6. Модель Зоммерфельда {штриховкой обозначена область
валентной зоны, занятая электронами)
Рис. 6.1.7. К анализу сил зеркального изображения

ростатическое поле, возмущенное близким присутствием металлической
поверхности: электрическое поле может быть только нормально к ней.
Конфигурация силовых линий соответствует половине поля диполя (рис. 6.1.7).
Между электроном и его «зеркальным изображением» действует сила куло-
новского притяжения F = е /[4ле0(2х) ], а создаваемый ею потенциал
СО
U(x)= jFdbc = -e2/(4^o'4^)-
X
Электронная зонная структура поверхности. Существование
поверхности, даже абсолютно правильной, является нарушением трансляционной
симметрии, что сказывается на дисперсионных зависимостях для электронов.
Приграничные атомы имеют несимметричное окружение и поэтому
иную электронную структуру, чем атомы в объеме. Качественно влияние
этого фактора можно проанализировать на основе одномерного уравнения Шре-
дингера на потенциале, образованном цепочкой прямоугольных ям (модель
Кронига- Пенни), но с конечной длиной цепочки и с изменяющейся на
концах высотой барьеров. В отличие от периодического поля (модель Кронига -
Пенни) появляются добавочные электронные состояния, волновые функции
которых локализованы вблизи поверхности и экспоненциально спадают при
удалении от нее (уровни Тамма) (рис. 6.1.8, 6.1.9).
При образовании поверхности объемного кристалла вероятность
нахождения электрона на объемных уровнях металла в приповерхностной области
может измениться вследствие интерференции падающих на поверхность и
отраженных от нее потоков электронов. Поэтому если для характеристики
электронной структуры всего кристалла в целом вводят понятие плотности
состояний g(E) = 2j8(E - Еа), где а- индекс, нумерующий разрешенные уровни
а
энергии Еа, то при описании электронной структуры приповерхностного
слоя целесообразно использовать локальную поверхность состояний (ЛПС),
определяемую в точке пространства г с учетом статического веса каждой
собственной функции системы:
g(r,E) = £ka(r)|2S(E-Ea),
a
где \\ia (г) - амплитуда вероятности нахождения электрона, имеющего
координату г, на уровне Еа. Расчет и сравнение друг с другом объемной плотности
состояний g(E) и ЛПС g(r, E), в которой в качестве координаты г фигурирует
номер атомного слоя, показали, что в окрестности дна зоны Wb ЛПС поверх-
ностного атомного слоя (S = 1) ведет себя как(Е-Ж6) (рис. 6.1.10), то же
справедливо и в отношении второго (S = 2), третьего (S = 3) слоев, однако с

Рис. 6.1.8. Зонная структура Li: a - в плоскости (001) ОЦК-решетки;
б- пленки лития, состоящей из 13 атомных слоев
Рис. 6.1.9. Волновые функции объемного (1)
и поверхностного (2) состояний для плоскости (001) Li
увеличением номера слоя 5" такое поведение становится все менее
выраженным, и в пределе S -> оо получается объемная плотность состояний, которая
ведет себя в окрестности дна зоны как (E-Wb) ~. Аналогичное поведение
имеет место в окрестности потолка зоны. Закон трех вторых для
поверхностных атомных слоев на краю зоны металла отражает лишь тот факт, что
вероятность нахождения электрона в приповерхностной области на уровнях в
окрестности дна или потолка зоны меньше, чем для электрона в объемных слоях
металла.
Таммовские состояния (ТС) разделяют на собственные и несобственные.
Первые относятся к чистым поверхностям, тогда как вторые возникают
только в том случае, если на поверхности адсорбировались инородные атомы.
Очевидно, в последнем случае поверхностного возмущения,
сформировавшегося в результате релаксации идеальной и чистой поверхности (собственной
релаксации), недостаточно, и лишь адсорбция частиц доводит его до
значения, необходимого для образования ТС на данной грани. Часть ЛПС
(рис. 6.1.11), отвечающая ТС, довольно быстро убывает с номером слоя, одна-

Рис. 6.1.10. Разрешенная по слоям ЛПС для трех верхних
поверхностных плоскостей в модели сильной связи (а
в сравнении с объемной плотностью состояний (б)
Рис. 6.1.11. Разрешенная по слоям ЛПС для трех слоев
в модели сильной связи с учетом поверхностного возмущения
ко формально она присутствует в выражении для ЛПС с произвольно
большим номером атомного слоя. Это показывает, что таммовский уровень точно
так же, как и любой другой, принадлежит всему кристаллу, и с увеличением
номера слоя очень быстро (экспоненциально) уменьшается лишь вероятность
нахождения на нем электрона. Поэтому о таммовских уровнях часто говорят
как о чисто поверхностных состояниях.
При рассмотрении цепочки, в которой поверхность ассоциируется с
крайним атомом, решение задачи об определении спектра электронных уровней
энергии при наличии поверхностного возмущения приводит к тому, что ТС
получается как дискретный уровень, отщепившийся от объемной зоны
металла, что связано с невозможностью движения электрона вдоль поверхности.
При решении же задачи о полупространственном кристалле с бесконечной
плоской поверхностью, вдоль которой электрон может двигаться, часть ЛПС,
отвечающая ТС, обладает конечной шириной и может частично
перекрываться с интервалом объемных состояний (см. рис. 6.1.11).

Примером таких состояний служат состояния Шокли, соответствующие
оборванным ковалентным связям, находящиеся у уровня Ферми и примерно
наполовину заполненные, что обеспечивает участие их в поверхностной
электропроводности. Однако, в случае реконструкции поверхности эти состояния
расщепляются на заполненные, уходящие в глубь валентной зоны, и
свободные, оказавшиеся в зоне проводимости.
Поверхностные квазичастицы. Поскольку потенциальные
характеристики для поверхностных атомов и электронов существенно отличаются от
объемных, возникают поверхностные элементарные возбуждения, или
поверхностные квазичастицы, с количественно иными свойствами, нежели чем у
квазичастиц в глубине тела.
Поверхностные фонолы. Одной из простейших моделей поверхностных
квазичастиц может служить одномерная модель поверхностных фононов. В
ней рассматриваются колебания одномерной конечной цепочки с
незакрепленными концами, составленной из атомов, взаимодействующих по закону
Гука. Прямое решение уравнений, аналогичных (3.1.2), указывает на
существование «поверхностной» моды колебаний - частоты, для которой амплитуды
смещений атомов экспоненциально спадают при удалении от
незакрепленных концов, т.е. соответствующие фононы локализованы на границе тела.
Частота колебаний в этой моде (us лежит в запрещенной зоне между полосами
акустических и оптических колебаний; например, при двухатомном базисе
со,. =у]С(т + М)/(тМ).
Поверхностные поляритоны и плазмоны. Поверхностные поляритоны
можно описать, рассматривая распространение электромагнитных волн на
границе раздела двух сред (с диэлектрическими проницаемостями еа(со) и е6(со)).
Такие колебания влияют, например, на оптические свойства в инфракрасном
диапазоне для кристаллов диэлектриков малых размеров (порошки, тонкие
пленки, кристаллиты). Дисперсионное уравнение поверхностных поляритонов
С2к2/(й2 =8о(С0)8А(ю)/[8а(ю)+8А(С0)]
отличается от такового для однородной среды с~к~/ со =е(со).
В частном случае поверхностных плазмон-поляритонов зависимость
гь = еь (со) описывается формулой Друде (см. гл. 6):
£а(ю) =е(соХ1-со^//ю2),со5?/ =пе2/[е0е(сю)т*].
При малых к(к>(£>р/с) поляритон близок к фотону, а при больших - к
поверхностному плазмону (рис. 6.1.12). В пределе к»(и>р /с)энергия
поверхностного плазмона стремится к h(ops =Йсо , /[1 + 1/е(°о)]|/2. Для границы ме-

талла и диэлектрика (полупроводника) с проницаемостью е'(оэ)
поверхностные плазмоны имеют энергию Йссу ~Йюрп1Д1 + I/e'C00)]172. где ю -
плазменная частота для электронов в металле.
Для границы с вакуумом (е'(со)=1) энергия поверхностного плазмона
tnaps = ti(£>pm Д2) . В трехслойной системе (металл- пленка диэлектрика
толщиной L — вакуум)
1/2
рт
<V = °> р,„ {[е(°°) + НЩ]/[2г{оо) + (1 + £2(TO))th(^)]}
В таких системах энергия поверхностного плазмона намного меньше Йй>
(т.е. порядка нескольких электронвольт). Поверхностные плазмоны связаны с
осцилляциями плотности заряда, сосредоточенного непосредственно на
поверхности (соответствующие решения получают при рассмотрении
уравнения Пуассона совместно со вторым законом Ньютона). Они проявляются,
например, в спектрах отражения полупроводников и металлов, вызывая
особенности при Й(о« Йсо .
ha>s, отн. ед.
4 ск/Юрг
Рис. 6.1.12. Дисперсионная кривая для поверхностных
плазмон-поляритонов в полупроводнике я-тшта flnSb)
Рис. 6.1.13. Дисперсионные зависимости поверхностных и объемных мшшшпшв
Рис. 6.1.14. Схема реальной поверхности: / — адсорбированный атоме
2 - адсорбированный атом на уступе; 3 — атом на конце уступа; -#—аппам
уступа; 5 — атом на ступени; б — выход винтовой дпелокашшс""—PHjpa
адсорбированных атомов; 8 — вакансия в уступе: 9—вэксажют к ст$ашаюй

Поверхностные магнопы. В магнитных материалах при Т<Тс
направления магнитных моментов атомов упорядочены вследствие обменного
взаимодействия, что приводит к появлению магнонов. На поверхности
возбуждаются спиновые волны (магноны) с количественно отличающимися от объемных
характеристиками (рис. 6.1.13).
Реальные поверхности, адатомы. Как правило, атомно-чистая
поверхность кристалла имеет многочисленные дефекты типа одноатомных ступеней
с уступами, вакансий на поверхности, атомов на ступени, выходов
дислокаций, а реальные поверхности имеют также адатомы - адсорбированные
чужеродные атомы (на ступени, на уступах) и образованные ими одноатомные
пятна (рис. 6.1.14).
Все эти дефекты создают уровни, расположенные в запрещенной зоне
кристалла, как акцепторные, так и донорные; соответствующие им
электронные состояния локализованы не только по энергии, но и в пространстве - они
сосредоточены лишь на самой поверхности раздела полупроводника с
вакуумом или газом.
Адатомы на поверхности ковалентных кристаллов. Адатомы на
поверхности ковалентных кристаллов вступают в химическую связь с
незаполненными орбиталями, устраняя причину реконструкции. Так, атом Н на
поверхности (111) Si, располагаясь над поверхностным атомом, отдает свой
электрон для насыщения оборванной связи. При неполном покрытии поверхности (
B = Na/Na0 < 1, где 9-степень покрытия; Na - число адатомов на единице
поверхности; Nao — их число при моноатомном покрытии) адатомы стремятся
собираться в пятна с 9= 1, оставляя часть поверхности атомарно чистой (9= 0),
т.е. реконструированной: такое расположение энергетически выгоднее
хаотического.
Адсорбция на металлической поверхности. При адсорбции на
металлической поверхности анализ проводят в рамках модели желе; первоначально
узкие энергетические уровни свободного атома в результате взаимодействия с
металлом уширяются, образуя более или менее широкие полосы. Электроны
адатомов могут туннелировать в металл и обратно, их волновые функции
искажаются (рис. 6.1.15), уширенные уровни дают вклад в энергетическое
распределение плотности электронных состояний металла. Соответствующие
пики в распределении g = g(E) называют резонансами (рис. 6.1.16). В
зависимости от положения резонанса относительно EF в ячейке адатом будет в
большей или меньшей степени ионизован: заполнена будет та часть состояний
адатома, которая лежит ниже уровня Ферми, при этом заряд адатома может
стать положительным или отрицательным. Например, адатом С1 на А1
образует резонанс под уровнем Ферми (так как энергия ионизации, определяющая
положение резонанса, у С1 больше работы выхода - расстояния от энергии

-15 -10 -5 0
Рис. 6.1.15. Контуры постоянной электронной плотности для атомов,
адсорбированных на поверхности А1; а — полная плотность; б — разность полной
плотности и суперпозиции плотностей для свободных атомов и для чистой
поверхности металла {прямая линия — поверхность желе)
Рис. 6.1.16. Плотность состояний электронов у атома на поверхности А1
Ферми до уровня вакуума Е=0). Все соответствующие состояния
оказываются занятыми, что характерно не для атома, а для иона СГ с заполненными нео-
9 9 f\
ноподобными оболочками Is 2s 2р (см. рис. 6.1.16). Противоположная
ситуация создается при адсорбции Li, дающего резонанс над уровнем Ферми и
+ 9
образующего ион Li с гелиоподобной оболочкой Is (рис. 6.1.16). Для пары
Al-Si ситуация иная: хотя Зз-уровень Si расположен низко, Зр-уровень
находится у Е р, т.е. шесть уровней р-резонанса Ър заполнены наполовину:
заняты только состояния, образующие химическую связь. При этом часть заряда
локализована между атомом и металлом (заряд на связи, рис. 6.1.16).
Таким образом, для кристаллов с различными типами связей применяют
качественно различные модели описания структуры, потенциального рельефа
границы, состояния адатомов и др. У металлов поверхность «атомно-глад-
кая», а потенциал определяется силами зеркального изображения.
7.6.2. Контактные явления. Контактная разность потенциалов,
поле пятен, барьер Шоттки, р-п-переход
Последовательно проанализированы контактные явления: на границе
раздела металл — металл, металл - полупроводник, металл - диэлектрик —
полупроводник, а также на неоднородной поверхности.
Контактная разность потенциалов. При контакте двух разнородных
металлов 7 и 2 с работами выхода ф] <ф2 (EF >EF ) (рис. 6.2.1«) электроны

&Fl
i
:«Pi
ж
.
Ф2
"
D.
? <^N ,6
•г 2
T^7"
w /'
<Sj-
,1 i
<P2
И ^
' /~
i
6
I
,rj
-eUi
Рис. 6.2.1. Потенциальные диаграммы контакта
металл — металл до (о) и после (б) контакта
преимущественно перетекают из металла 1 на свободные и ниже
расположенные уровни металла 2. В состоянии равновесия уровни Ферми у обоих тел
выравниваются, при этом между точками еиг вакуума у поверхности
соприкасающихся тел (вне линии контакта) устанавливается разность потенциалов С/к,
называемая внешней контактной разностью потенциалов:
^к =<P2-<Pi-
2-10 см ) из приповерхностного слоя, т.е. концентрация электронно-
10"4 см- ) не отличается от невозмущенной и проводимость кон-
Выравнивание EF в металлах обеспечивается переходом части электронов
(Ли*
го газа (ие
такта не отличается от металлической.
Для возникновения внешней контактной разности потенциалов (КРП) не
обязательно приводить тела в непосредственный контакт. Достаточно создать
условия для обмена электронами, например, в результате термоэлектронной
эмиссии. В цепи, состоящей из последовательно включенных металлических
проводников, значение UK между крайними телами не зависит от работ
выхода промежуточных (рис. 6.2.2).
После выравнивания уровней EF обмен электронами определяется
разностью кинетических энергий электронов, находящихся на уровне Ферми, т.е.
Ер —Ер^. Более быстрые электроны переходят из первого тела во второе (так
как EF >EF_i), создавая вдоль линии контакта внутреннюю контактную
разность потенциалов:
и,=(и1+ик-и2) = (ЕГ1>Ер2).
Значения Е^ и EFj определяются концентрациями электронов
проводимости; следовательно, £/,- создается при диффузии электронов из металла с боль-

и
I
w<Pl 1
,,
92 2
"
uK
it
В I
^'V\^P2
v*
i.«Pi
1
3_
4
2
-*■
В I
Рис. 6.2.2. К определению контактной разности потенциалов в цепи,
образованной двумя (о) и более {б) различными металлами (/ -А)
шей концентрацией электронного газа. В равновесии диффузионный ток
равен встречному дрейфовому току, создаваемому полем Ut.
Положение уровня Ферми в металле хотя и слабо, но зависит от
температуры (см. разд. 2.1), поэтому зависит от температуры и Ui\ если считать
постоянной электронную концентрацию пе\, пеп, то
£/,=[№,, -Е.Жтг/ЩВДО/Е, -1/Е,)],
ГДеЕР„1 =EFt
* t* с* — tL с*
r=o "2 г
т=о
. Однако в реальных телах еще большее
влияние на EF (и на U,) оказывают другие факторы, например, изменение
электронной концентрации вследствие температурного расширения решетки (см.
разд. 1.3.3). В металлах U, не превышает примерно 10""" В, тогда как UK может
достигать нескольких вольт. UK между электродами может существенно
влиять на работу низковольтных газоразрядных устройств (особенно если
значения работы выхода изменяются со временем из-за напылений, адсорбции
газов и т.д.).
Поле пятен. Поле КРП существует не только между поверхностями
разных тел, но и между частями поверхности одного и того же тела,
обладающими неодинаковыми ф (например, неполное пятнистое покрытие эмиттера
монослоем, поликристаллические эмиттеры и т.д.).
Области поверхности тела с той или иной работой выхода называют
пятнами, а всю поверхность—пятнистой. Поле, обусловленное контактной
разностью потенциалов между пятнами, называют полем пятен.
Значение (pmjn и фтах соответствуют ф массивных однородных образцов
при достаточно больших размерах пятен L » L* и 10... 20 нм (при L<L*
понятие локальной работы выхода уже неприменимо). Так как EF совпадают, а
значения фт;п и фтах различны, потенциалы поверхностей различаются на

UK =<Pmir> _<Pmax- Уровень вакуума вдали от поверхности (при x»L)
одинаков для пятен с сртах и фтт, т.е. перед поверхностью с (рга1Г) возникает
запирающее поле, а с сртах —тянущее электрическое поле пятен (рис. 6.2.3). На
больших расстояниях (за пределами действия поля пятен) срустанавливается на
общем среднем уровне q)y6, равном разности между уровнем вакуума и EF,
причем при отсутствии внешнего поля (Е = 0)
Ф уб = С1 / с> J<PdfJ = Ф minCT min /a + Ф max <* max fa *
о
где crmax, cmm — площади поверхности с локальной работой выхода cpmax, (pmjn;
°=0тах+0тт-
Напряженность поля пятен Еп -> 0 при L-+L* »L3H (где Z3.H =ct—
размер действия поля зеркального изображения Е3), т.е.
Еп^(ф-ф?ф)А«ф/й=;Ез-
В состоянии равновесия толщина слоя, в котором некомпенсированная
плотность зарядов близка к максимальной, составляетL' — [2е0еС/6/(еп)] .
Контакт металл — полупроводник (барьер Шоттки). При контакте
металла с полупроводником (так же, как и при контакте двух металлов) уровни
<Рм
«V
Фи
L
'i-Фп
GFn
■6v
(U*-U)
(J7K-tJ)
•п Аг Ат б 2
Рис. 6.2.3. Поле пятен над поверхностью с неоднородной работой выхода
Рис. 6.2.4. Энергетические диаграммы контакта металла с полупроводником и-типа,
ipn > tpra: а — до приведения тел в контакт; б — контакт в состоянии равновесия;
в — обратное и прямое включения внешнего напряжения

Ферми совпадают, возникает КРП £/к =фм -фп и происходит сдвиг зонных
диаграмм по шкале энергий.
В реальных контактах на зонную диаграмму оказывают влияние
диэлектрический зазор между металлом и полупроводником и поверхностные
электронные состояния на границе раздела.
Рассмотрим сначала контакт металла с полупроводником w-типа с фп < фм
(рис. 6.2.4). В равновесии EF и EF выравниваются благодаря
преимущественному переходу электронов из полупроводника в металл. Но, в отличие от
контакта двух металлов в полупроводниках и диэлектриках, ширина V
переходного слоя, обедненного электронами, значительно больше (10~ м в
металле, 10" м в полупроводнике и до нескольких сантиметров в диэлектрике), так
как необходим переход в металл электронов из примерно 103 атомных слоев
полупроводника {пеи « пем ). В результате в полупроводнике появляется прикон-
тактный слой высокого сопротивления с почти постоянной плотностью
положительного заряда - запирающий слой, называемый барьером Шоттки, на
котором сосредоточено практически все падение приложенного напряжения.
Если при контакте металла с полупроводником w-типа выполняется
условие фп > фм, то электроны переходят из приконтактного слоя металла в
полупроводник, создавая в нем область, обогащенную носителями заряда, - анти-
запирающий слой. В случае приведения в контакт металла и дырочного
полупроводника фп запирающий слой образуется при фт <Фп, антизапирающий -
при фт < ФГ] • Контакты с антизапирающими слоями не обладают
выпрямляющими свойствами.
Электроны, переходящие в металл из полупроводника w-типа, оставляют
в приграничном слое нескомпенсированный положительный заряд
ионизированных доноров и в то же время увеличивают отрицательный заряд в прикон-
тактном монослое, т.е. между металлом и полупроводником возникает КРП:
Г/к=Фм "Фп-
Поле КРП много слабее поля атомов решетки, так что зонная структура не
нарушается, однако в запирающем слое зоны искривляются по
параболическому закону относительно координаты (как показывает решение уравнения
Пуассона для переходной области полупроводника). По мере перемещения из
полупроводника в металл электрон движется против сил поля КРП, его
потенциальная энергия возрастает, и энергетические зоны, характеризующие зависимость
энергии от координаты, искривляются вверх. Поле КРП, как и внешнее поле,
сосредоточено в переходной области (запирающем слое), ширина^' которой
зависит от разности потенциалов и концентрации свободных носителей заряда в
полупроводнике, т.е. от степени легирования.
Запирающий слой обладает выпрямляющими свойствами: при
приложении внешнего напряжения U, направленного против контактной разности по-

тенциалов UK между полупроводником и металлом («прямое включение»),
ускоряемые полем свободные носители заряда из металла беспрепятственно
проходят запирающий слой, и суммарный ток достаточно велик. При
«обратном включении» ускоряются полем относительно немногочисленные
основные носители заряда в полупроводнике, причем при U — UK < О переносит ток
лишь часть носителей заряда, преодолевшая барьер | U - UK \.
Характер протекания тока через запирающий слой определяется
соотношением между шириной слоя V и длиной свободного пробега 1е электронов.
Диодная модель. При V «1е электроны не испытывают рассеяния в
запирающем слое, который в этом случае отождествляют с вакуумным
промежутком. Зависимость силы тока через контакт металл - полупроводник и-типа от
приложенного напряжения U имеет вид:
/=/02{ехр[±/У/(*а;Г)-1]},
где знаки «+» и «-» соответствуют прямому и обратному включениям
внешнего напряжения; 102 -ток из полупроводника в металл. При обратном
напряжении, когда выполняется условие U»kBT, это выражение сводится к
1 =-10-,, т.е. 102 - ток насыщения в обратном направлении. Согласно диодной
теории,
I02=(l/4)en<v>exp[-Uj(kBr)], (6.2.1)
где /7 и <v> - концентрация и средняя тепловая скорость носителей заряда в
полупроводнике соответственно.
Диффузионная модель. При£'»1е анализ приводит к выражению,
аналогичному (6.2.1), однако ток насыщения при этом меньше, чем в тонком
запирающем слое, зависит от приложенного напряжения и равен разности тока,
создаваемого электрическим полем, и диффузионного тока, появляющегося
вследствие градиента концентрации носителей заряда (концентрация
электронов в запирающем слое ниже, чем в объеме полупроводника, поэтому
электроны проводимости диффундируют к контакту, тогда как поле КРП ускоряет
их в противоположном направлении). В отличие от диодной модели
учитывается изменение ширины запирающего слоя при перемене полярности
приложенного напряжения.
При обратном включении Z,, = [2бгб0(£/к +U)/(en)] >L'. При
включении внешнего поля в прямом направлении L2 = [2б,.б0(£/к + U)/(en)]] 2 <L'.
При U = UK запирающий слой исчезает и удельное сопротивление контакта
становится таким же, как и в объеме полупроводника.
р-п-переход. Контакт двух полупроводников, один из которых легирован
донорной, другой - акцепторной примесями, называют ^-«-переходом

в г
Рис. 6.2.5. Энергетические диаграммы /т-п-перехода:
а — до приведения тел в контакт; б — контакт в состоянии равновесия;
с, г — обратное и прямое включения внешнего напряжения
(рис. 6.2.5). В равновесии уровни Ферми выравниваются, при этом уходящие
из слоя L„ полупроводника и-типа электроны рекомбинируют с дырками из
слоя Lp полупроводника /?-типа. В итоге по обе стороны от поверхности
контакта образуются слои, обедненные основными носителями заряда, которые,
несмотря на малую ширину L ~ КГ м, обладают большим сопротивлением.
Приложенное внешнее напряжение целиком сосредотачивается в переходной
области. Поле КРП, созданное зарядами неподвижных ионов, искривляет
энергетические зоны в пределах />-л-перехода.
Для невырожденных полупроводников КРП
С/, = квТЩп„/пр) = квТ1п(рр/р„),
где п„ и р„ - концентрация электронов и дырок полупроводника и-типа, пр ирр
—р-типа.
Если концентрации примесей в донорном и акцепторном
полупроводниках равны соответственно п^ипа, то размеры обеих частей перехода относятся
какLH/L = na/na. При Ln = Lp переход называют симметричным, при Ln &Lp
переход несимметричен. Полная ширина перехода (резкого перехода)
L = [(2££0/е)(С/к ± t/)K + np)/{n„np)]in ;
здесь знак «+» соответствует обратному включению («+» на и-области), а «—»
— прямому.

При приложении к/>-/г-переходу внешнего напряжения U в обратном
направлении для основных носителей заряда потенциальные барьеры
увеличиваются на U, т.е. и электроны из полупроводника и-типа, и дырки
полупроводника £>-типа должны преодолевать поле в переходной области; переносимый
ток резко уменьшается. Неосновные носители заряда, наоборот, ускоряются в
этом слое, но поток их (определяемый малыми концентрациями пр ир„ и
тепловыми скоростями неосновных носителей заряда) от этого остается
практически таким же, что и при f/= 0. Таким образом, при «обратном» включении
ток через р-п-переход очень мал, для невырожденных полупроводников он
оценивается по формуле
I=I'{cxp[-eU/(kBT)]-l},
I' = e(Ln"p/^„+LPPn/^p)^
где Ln и т„ - диффузионная длина (расстояние от контактной границы, где
концентрация носителей зарядов уменьшается в е раз) и время жизни для
электронов в/7-области, Lp и т - для дырок в и-области.
Внешняя разность потенциалов, приложенная в «прямом» направлении
(«-» на/7-области и «+» на/г-области) (рис. 6.2.5г), снижает потенциальный
барьер или даже ускоряет основные носители зарядов, т.е. сопротивление
^-w-перехода быстро падает с ростом U. Сила тока при «прямом» включении
I=I'{cxp[eU/{kBT)]-l}.
Уравнение вольт-амперной характеристики /?-и-перехода:
I = e(L„np/xn+Lppn/Tp){txp[±eU/(kBT)]-l}.
Пробой р—п-перехода. Пробой ^-«-перехода - резкое увеличение
обратного тока при некотором обратном напряжении - может происходить по
четырем механизмам: туннельному, лавинному, тепловому и поверхностному.
Туннельный (зинеровский) пробой происходит при напряженности поля
£=10 ...10 В/м в условиях узких переходов вследствие туннельного
эффекта (имеющего место как для электронов, так и для дырок). Лавинный пробой
обусловлен ударной ионизацией атомов полупроводника, вызванной
ускорением в поле перехода неосновных носителей заряда с лавинным нарастанием
числа электронов и дырок при достаточно широком переходе. При тепловом
пробое омический нагрев от обратного тока повышает температуру в области
перехода, что приводит к увеличению числа неосновных носителей, росту
обратного тока и омического нагрева. Поверхностный пробой обусловлен
влиянием поверхностных зарядов и диэлектрических свойств окружающей среды

на высоту и форму потенциального барьера в месте выхода /?-п-перехода на
поверхность полупроводника и, следовательно, на условия возникновения
ударной ионизации и туннельного просачивания электронов.
Омический контакт. При контакте полупроводников одного типа
проводимости, но разной степени легирования, как и для обычных/7-и-переходов,
возникает потенциальный барьер. Если обозначить через п+ и р+ более сильно
легированные области, то высота барьера фо будет равна соответственно для
п п- и р+р—переходов:
<р0=Шп^Ч
(6.2.2)
Для случая однотипных полупроводников п+п--типа зонная структура
контакта до установления равновесия и после представлена на рис. 6.2.6а, б.
Видно, что в этом случае не образуется обедненного слоя с малой
концентрацией зарядов, поэтому сопротивление системы определяется в основном
сопротивлением ее высокоомной области. Включение этого перехода в прямом
направлении означает понижение потенциального барьера, т.е. в этом случае
к п+-области присоединяется «минус» источника напряжения и из п - в
п-область будут переходить электроны, которые и для n-области являются
основными носителями. Дырочная компонента тока при этом из п- в п+-область
будет мала, поскольку для обоих полупроводников дырки - неосновные
носители. При включегнии n+n-перехода в обратном направлении из п+- в п-область
+ г- П1
можно пренебречь, поскольку изх концентрация в п -области р + = — очень
" "я
мала. Таким образом, в этом случае практически отсутствует явление инжек-
ev
Рис.6.2.6. Контакт двух электронных полупроводников
с разной степенью легирования (п* > пп) в равновесном состоянии

ции неосновных носителей. ВАХ линейна, и, следовательно, контакт является
омическим.
Контакт металла с полупроводником. На рис. 6.2.7 показаны
энергетические диаграммы идеализированного контакта металла с полупроводником
n-типа, работа выхода которого еф„ меньше работы выхода металла есрм (о—до
приведения тел в контакт, б — контакт в состоянии равновесия). В реальных
контактах на зонную диаграмму оказывают влияние диэлектрический зазор
между металлом и полупроводником и поверхностные электронные
состояния на границе раздела.
В процессе установления равновесия уровни Ферми металла и
полупроводника выравниваются благодаря преимущественному переходу электронов
из полупроводника в металл, уровень Ферми которого расположен ниже, чем
в полупроводнике.
Но в отличие от контакта двух металлов ширина / переходного слоя в
полупроводнике, обедненного электронами, значительно выше (10" м в
металле, I0"7 м в полупроводнике и до нескольких сантиметров в диэлектрике).
Дело в том, что концентрация свободных электронов в полупроводнике на
несколько порядков меньше, чем в металлах, и для выравнивания уровней
Ферми необходим переход в металл электронов примерно из тысячи атомных
слоев полупроводника. В результате в полупроводнике появляется приконтакт-
Рис. 6.2.7. Энергетические диаграммы
идеализированного контакта металла с полупроводником и-типа

ный слой высокого сопротивления с почти постоянной плотностью
положительного заряда - запирающий слой, называемый барьером Шоттки, на
котором сосредоточено практически все падение приложенного напряжения.
Если работа выхода электронного полупроводника превышает работу
выхода металла, то электроны переходят из приконтактного слоя металла в
полупроводник, создавая в нем область, обогащенную носителями заряда- ан-
тизипирающий слой. В случае приведения в контакт металла и дырочного
полупроводника с работой выхода ефп запирающий слой образуется при ефм <
еф„, антизапирающий - при ефм > ефп. Контакты, в которых образуется анти-
запирающий слой, не обладают выпрямляющими свойствами.
Электроны, переходящие в металл из полупроводника n-типа, оставляют
в запирающем слое нескомпенсированный положительный заряд
ионизированных доноров и в то же время увеличивают отрицательный заряд в прикон-
тактном монослое металла. В результате между металлом и полупроводником
возникает контактная разность потенциалов VK, определяемая разностью
работ (потенциалов) выхода:
К =ОФл, -еф„)/е = ф,и-ф11. (6.2.3)
Поле контактной разности потенциалов много слабее поля атомов
решетки, так что нарушений зонной структуры не происходит, однако в
запирающем слое зоны искривляются по параболическому закону относительно
координаты (как показывает решение уравнения Пуассона для переходной
области полупроводника). По мере перемещения из полупроводника в металл
электрон движется против сил поля контактной разности потенциалов, поэтому
его потенциальная энергия возрастает и энергетические зоны,
характеризующие зависимость энергии от координаты, искривляются вверх. Поле
контактной разности потенциалов, так же как и внешнее поле, сосредоточено в
переходной области (запирающем слое), ширина / которой зависит от разности
потенциалов и концентрации свободных носителей заряда в полупроводнике, т.
е. от степени легирования. В состоянии равновесия
\ еп )
Характер протекания тока сквозь запирающий слой определяется
соотношением между шириной слоя / и длиной свободного пробега электронов Ае. В
зависимости от этого соотношения процессы, происходящие в контакте
металл-полупроводник, можно рассматривать с точки зрения различных теорий.
Диодная теория выпрямляющего контакта рассматривает переходы
металл-полупроводник при 1«Ае, когда электроны не испытывают рассеяния в
(6.2.4)

запирающем слое, который можно в этом случае отождествить с вакумным
промежутком.
В состоянии равновесия ток электронов из металла в полупроводник Ioi
равен встречному электронному току 1о2 и суммарный ток через контакт 1о = 1ог _
Ioi = 0. С приложением внешнего напряжения Vb обратном направлении (рис.
6.2.76, в), т.е. таким образом, чтобы оно складывалось с контактной разностью
потенциалов, высота потенциального барьера для электронов, переходящих из
металла в полупроводник, не изменится, тогда как для электронов, движущихся
во встречном направлении, потенциальный барьер возрастет на еУза счет
тормозящего действия внешней разности потенциалов. Электроны проводимости
в невырожденном полупроводнике подчиняются статистике Максвелла-Боль-
E-EF
цманаии(£)~е кТ , поэтому увеличение потенциального барьера на еУуме-
еУ_
ныиает в е кт раз число электронов полупроводника, способных преодолеть
барьер и перейти в металл. В результате ток из полупроводника в металл умень-
шается и становится равным I-, - 102е кТ, ток из металла в полупроводник не
изменяется I| =Ioi = Io2> а суммарный ток через переход
( *v \
/=/,-/, =/,
'02
eV_
~кТ
1
(6.2.5)
С приложением внешнего напряжения в прямом направлении
(рис. 6.2.76, г), т. е. таким образом, чтобы оно компенсировало контактную
разность потенциалов, потенциальный барьер для электронов
полупроводника уменьшается наеУи выражения для токов примут вид
т —J „кТ
J2 -•'02е >
( eV \
1=1
02
,кт _!
(6.2.6)
Следовательно, зависимость тока через контакт металл — полупроводник
от приложенного напряжения может быть записана в виде

/ = /,
02
Г +eV_ \
<?*«" -1
V J
(6.2.7)
где знаки «+» и «-» соответствуют прямому и обратному включениям
внешнего напряжения.
Из выражения (6.2.7) видно, что контакт металл - полупроводник может
при определенных условиях обладать униполярной проводимостью
использоваться как выпрямляющее устройство. При подаче обратного напряжения,
для которого выполняется условие eV»kT, это выражение сводится к1=-1о2,
т. е. ток 1о2 представляет собой ток насыщения в обратном направлении.
Согласно диодной теории
1 -^
1т=-еп{у)е кт , (6.2.8)
где п и <v> - концентрация и средняя тепловая скорость носителей заряда в
полупроводнике.
Диффузионная теория, рассматривающая движение электронов в
запирающем слое при Д»Ле, приводит к выражению, аналогичному (6.2.7), однако
ток насыщения при этом меньше, чем в тонком запирающем слое, и зависит от
приложенного напряжения.
В диффузионной теории учитывается, что электроны в толстом
запирающем слое испытывают большое число столкновений, и ток представляет
собой разность тока, создаваемого электрическим полем, и диффузионного
тока, появляющегося за счет градиента концентрации носителей заряда
(концентрация электронов в запирающем слое ниже, чем в объеме
полупроводника, поэтому электроны проводимости диффундируют к контакту, тогда как
поле контактной разности потенциалов ускоряет их в противоположном
направлении). Здесь в отличие от диодной теории необходимо учитывать
изменение ширины запирающего слоя при перемене полярности приложенного
напряжения.
При обратном включении источника питания ширина и сопротивление
запирающего слоя увеличиваются, поскольку внешнее поле вытягивает
электроны из переходной области:
4 =
en
>l.
(6.2.9)
Включение внешнего поля в прямом направлении вызывает уменьшение
ширины запирающего слоя:

h =
2zMVK-V)
en
Ml
<l
(6.2.10)
и увеличение проводимости контакта. При V =VK запирающий слой исчезает
и удельное сопротивление контакта становится таким же, как в объеме
полупроводника.
р-п-переход. Контакт двух полупроводников с разным типом
электропроводности (р-п-переход) является основным элементом большинства
полупроводниковых приборов. Известно несколько методов получения /7-и-перехода
(сплавление, вытягивание, диффузия, эпитаксиальное наращивание, ионное
легирование), целью которых является создание перехода в одном
монокристалле для уменьшения количества неоднородностей структуры на границе,
способных стать центрами рекомбинации носителей заряда.
В случае приведения в контакт электронного и дырочного
полупроводников (рис. 6.2.8а, б) между ними начинается интенсивный обмен носителями
заряда. Концентрация свободных электронов в полупроводнике/7-типа выше,
чем в полупроводнике/7-типа, а концентрация дырок в полупроводнике/?-ти-
па выше по сравнению с полупроводником и-типа. За счет разности
концентраций электроны из полупроводника и-типа диффундируют в полупроводник
/7-типа, оставляя в приконтактном слое полупроводника л-типа нескомпенси-
рованный положительный заряд ионов донорной примеси. Дырки в свою оче-
Ерп
есШ<Л. 2222я
Ерр EFn -
Ev
'/.
e(VK+ У)'-'
'//У/Ж
EFU
ШУ/
y/////'L
eK
еШ
//ш>
tf/7Z77/,h
ш,
о
'f7Z7/S
■Ер-р
Ev
■Epp EFn.
Ev
fa^fftffE,
h
sK.
Epp
Ev
Рис. 6.2.8. Об искривлении зон

редь диффундируют в полупроводник и-типа, в результате чего в приконтакт-
ном слое полупроводника/7-типа возникает отрицательный заряд ионов
акцепторной примеси. Все энергетические уровни зарядившегося
положительно полупроводника и-типа снижаются, а энергетические уровни
полупроводника р-типа повышаются, и между полупроводниками возникает поле
контактной разности потенциалов VK, которое будет возрастать до тех пор, пока
не вызовет встречного тока носителей заряда, уравновешивающего
диффузионный ток. Преимущественное перетекание зарядов прекратится после
выравнивания уровней Ферми (примерно через Ю-8с), когда eVK = е(фр - фп).
Область перехода обеднена свободными носителями заряда и содержит в
основном неподвижные заряды ионов примесей, поэтому /7-и-переход, не-
с о
смотря на малую ширину /»10" -10" м, обладает большим сопротивлением,
во много раз превышающим сопротивление остальной части
полупроводников, и можно считать, что с приложением внешнего напряжения оно целиком
сосредоточивается в переходной области.
Поле контактной разности потенциалов, созданной зарядами
неподвижных ионов (~ 10-10 В/м), как и в случае контакта металл-полупроводник,
искривляет энергетические зоны в пределах /7-л-перехода. Там же, где поле
отсутствует, потенциал постоянен и искривления зон за пределами
переходной области нет (рис. 6.2.8, б). Для невырожденных полупроводников
контактная разность потенциалов
Кк=^1п^- = ^1п^-, (6.2.11)
е пр е Рп
где пп и рр - концентрация электронов проводимости и дырок в
полупроводнике и-типа; пр и рр - то же, для полупроводникар-типа.
Из выражения (6.2.11) видно, что контактная разность потенциалов
увеличивается с ростом уровня легирования полупроводников.
Если концентрации примесей в донорном и акцепторном
полупроводниках равны соответственно Nj и 7Va, то размеры обеих частей перехода
относятся как /n//p=N0/7Var. При равных концентрациях примесей 1\п - /р и переход
называется симметричным, при /п ^/р переход несимметричен. В условиях
равновесия полная ширина перехода (так называемого резкого перехода)
Г~ . V'2
/ =
2s,.£0 nn + рр
к
(6.2.12)
V - nnPP j
В отсутствие внешнего электрического поля суммарный ток черезр-п-пе-
реход равен нулю и состоит из взаимно уравновешивающих встречных
потоков основных и неосновных носителей заряда.

Ток основных носителей заряда (электронов из и-области 1ео и дырок из
р-области 1ро) обусловлен их диффузией через границу перехода за счет
разности концентраций. В процессе диффузии носители заряда преодолевают
тормозящее действие контактной разности потенциалов, а перейдя в
полупроводник с другим типом электропроводности, становятся там неосновными
носителями заряда и рекомбинируют, так что концентрация их спадает от
границы перехода и на некотором расстоянии уже не отличается от равновесной
концентрации неосновных носителей заряда.
Встречный ток неосновных носителей заряда (электронов из р-области
Ге0 и дырок из «-области Г 0) определяется тепловыми процессами их
генерации и дальнейшей диффузией в область перехода. Попавшие в переходную
область неосновные носители заряда ускоряются полем контактной разности
потенциалов и создают дрейфовый ток, направленный навстречу
диффузионному току основных носителей заряда. В условиях равновесия электронные и
дырочные составляющие токов равны друг другу (1со = 1'ео и 1ро=/р0) и полный
ток через переход равен нулю.
После приложения к ^-«-переходу внешнего напряжения У в обратном
направлении, т. е. в направлении контактной разности потенциалов (плюс на
/7-области и минус на/7-области), уровни Ферми обоих полупроводников
смещаются относительно друг друга на величину е V и равновесное состояние
системы нарушается (рис. 6.2.8в).
Приложенное поле выводит заряженные частицы из области перехода,
оставляя там неподвижные заряды ионов примесей. В результате ширина и
сопротивление переходной области возрастают.
/. =
^^«о ». + Рр^
(6.2.13)
V - ппРр J
Токи основных носителей заряда уменьшаются в ект раз, поскольку для
них высота потенциального барьера увеличивается наеУ, тогда как токи
неосновных носителей заряда, которым не приходится преодолевать
потенциальный барьер, не изменяются. Число неосновных носителей заряда, прошедших
/>-л-переход, в первом приближении не зависит от приложенного напряжения,
а определяется лишь скоростью тепловой генерации носителей заряда и
шириной области, из которой они могут, не рекомбинировав, попасть за счет
диффузии в зону ускоряющего поля перехода. Суммарный ток через переход
eV ( eV \
I=V«+Ifl)e kT-U'eO+I'Po)=(I'eO+I'Po)
е кт -1
(6.2.14)

При |eV|»kT ток через переход в обратном направлении стремится к на-
_eV_
сыщению, поскольку е кт —> 0 и равен току неосновных носителей заряда:
/**=-(/*>+/;<>). (6-2.15)
Расчет дает для тока неосновных носителей заряда в узком /?-и-переходе
следующее выражение:
/In+/'пл =е
еО
рО
Lnnp , "Р
LpPn
V т«
(6.2.16)
'р )
где Z„ - диффузионная длина электронов в р-области (расстояние от границы
перехода, на котором концентрация электронов в р-области уменьшается в е
раз); Lp- диффузионная длина дырок в n-области; тп и тр- среднее время
жизни электронов в/7-области и дырок в и-области.
Разность потенциалов V, приложенная в прямом направлении, уменьшает
поле контактной разности потенциалов и снижает потенциальный барьер на
величину еК(рис. 6.2.%г). Ширина барьера также уменьшается:
h =
2е,е0 и„ + Рр
ли
(K-v)-
ппРр
(6.2.17)
Теперь число основных носителей заряда, способных преодолеть
потенциальный барьер р-и-перехода, возрастает, облегчаются условия инжещии
(«впрыскивания») электронов в/?-область и дырок в и-область, и токувеличи-
вается по сравнению с равновесным значением в е кт раз. Поскольку
неосновные носители заряда и в этом случае не преодолевают потенциального
барьера, их ток остается неизменным и суммарный ток через переход в прямом
направлении
eV ( eV \
/=(/й+/_„)«"■ -(/;0+/ро)=(/й+/л)
,кТ _1
(6.2.18)
J
Объединяя выражения (6.2.14), (6.2.16) и (6.2.18), получим уравнение
вольт-амперной характеристики/?-и-перехода:
(
1=е
1ппр , "р
LpP„ ' ±
\
у т«
р )
кт -1
(6.2.19)
где знаки «+» и «-» соответствуют прямому и обратному включениям.

/
^
\j
V
Рис. 6.2.9. Вид типичной вольт-амперной характеристики
Вид вольт-амперной характеристики, показывающей униполярный
характер электропроводности/7-и-перехода, показан на рис. 6.2.9.
Условия обмена носителями заряда в симметричном и несимметричном
переходах различны. В несимметричном переходе электронная и дырочная
составляющие токов не равны друг другу. При Nd»Nd ток в прямом
направлении создается в основном дырками и переход служит эмиттером дырок в
и-область. При Na«Nj переход является эмиттером электронов в/7-область.
Вид вольт-амперной характеристики существенно зависит от
температуры перехода. При высоких температурах замедляется рост тока в прямом
направлении ^увеличением напряжения V. Одновременно возрастает скорость
тепловой генерации неосновных носителей заряда и, следовательно, ток в
обратном направлении. При температурах, когда электропроводность
полупроводников становится собственной, уровни Ферми смещаются к середине
запрещенной зоны и потенциальный барьер, а вместе с ним и выпрямляющие
свойства исчезают.
Область /7-77-перехода обеднена носителями заряда, и ее можно
рассматривать как диэлектрическую прослойку между дырочным и электронным
полупроводниками с зарядами противоположных знаков. Поэтому в
переменных внешних полях сопротивление ^-«-перехода становится комплексным,
причем реактивность носит емкостный характер.
Пробой р-п-перехода. Туннельный эффект. При достижении некоторого
напряжения на/7-и-переходе в обратном направлении, называемого
напряжением пробоя, начинается резкое увеличение обратного тока - пробой
перехода (рис. 6.2.9). В зависимости от природы протекающих при этом процессов
различают четыре основных типа пробоя - туннельный, лавинный, тепловой
и поверхностный.
Туннельный (зинеровский) пробой возникает в узких переходах за счет
туннельного просачивания электронов с примесных уровней или из
валентной зоны полупроводника р-типг. сквозь запрещенную зону в зону
проводимости полупроводника «-типа, когда вследствие больших значений Кпримес-

ные уровни или верхний уровень валентной зоны полупроводника/7-типа
смещаются выше нижнего уровня зоны проводимости полупроводника и-типа.
Критическая напряженность поля, соответствующая началу туннельного
пробоя, равна 107-108В/м.
Лавинный пробой p-n-перехода в значительной степени аналогичен
лавинному пробою в газах. Он обусловлен процессами ударной ионизации
атомов полупроводника, вызванной ускорением неосновных носителей заряда в
поле перехода достаточной ширины, с лавинным нарастанием числа
электронов и дырок.
При тепловом пробое энергия, выделяемая обратным током на
сопротивлении /}-и-перехода, повышает температуру перехода в условиях
недостаточного теплоотвода, что в свою очередь вызывает увеличение обратного тока и
дальнейший разогрев перехода.
Поверхностный пробой обусловлен влиянием поверхностных зарядов и
диэлектрических свойств окружающей среды на высоту и форму
потенциального барьера в месте выхода ^-«-перехода на поверхность полупроводника и,
следовательно, на условия возникновения ударной ионизации и туннельного
просачивания электронов.
Свойства/7-77-перехода существенно зависят от степени легирования
полупроводников. При высокой степени легирования, когда концентрация
примесей достигает 10" -10 м" , примесные атомы расположены настолько
близко друг от друга, что волновые функции их электронов перекрываются и
примесные уровни размываются в примесные зоны, которые в свою очередь
перекрываются с зоной проводимости в л-области и валентной зоной в р-об-
ласти, так что ширина запрещенной зоны уменьшается. Электронный и
дырочный газы становятся вырожденными, и уровень Ферми располагается в
зоне проводимости полупроводника и-типа и валентной зоне полупроводника
р-типа. Энергетические зоны в области перехода сильно искривлены
(рис. 6.2.106), а ширина переходной области мала. Появляется вероятность
прямого туннельного перехода электронов сквозь потенциальный барьер.
Туннельный эффект не зависит от температуры, поэтому диоды,
использующие такие р-и-переходы (туннельные диоды), могут работать в широких
температурных интервалах.
Принцип действия туннельного диода можно понять из рассмотрения
энергетических диаграмм/>и-перехода, соответствующих различным точкам
вольт-амперной характеристики (в.а.х.) (рис. 6.2.\0ж).
Плотность тока при туннельных переходах пропорциональна плотности
занятых энергетических уровней по одну сторону перехода и плотности
свободных уровней на той же высоте по другую сторону перехода.

а бег
I
Рис. 6.2.10. Энергетические зоны в области перехода
При обратном напряжении на диоде электроны переходят из валентной
зоны полупроводника/7-типа на свободные уровни зоны проводимости
полупроводника л-типа (рис. 6.2.10а) и ток через/7-«-переход значительно
превышает встречный поток электронов (точка б на в.а.х.). При V = 0 система
находится в состоянии равновесия и уровни Ферми обоих полупроводников
расположены на одной высоте (рис. 6.2.106). Поэтому движение электронов из
полупроводника и-типа в полупроводник £>-типа уравновешивается
встречным потоком электронов и суммарный ток равен нулю (точка б на
в.а.х.).
С ростом напряжения в прямом направлении (точка в на в.а.х.) ток
обусловлен переходом электронов с заполненных уровней зоны проводимости
полупроводника и-типа на свободные уровни валентной зоны
полупроводника /7-типа (рис. 6.2.10в). При V=Vi нижний край зоны проводимости
полупроводника п-типа совпадает с уровнем Ферми в валентной зоне полупроводника
/7-типа. Дальнейший рост напряжения приведет к уменьшению числа занятых
электронами уровней в и-области, расположенных напротив свободных
уровней в /7-области, и одновременно к тому, что напротив части заполненных
уровней зоны проводимости полупроводника и-типа окажется запрещенная
зона/7-области (рис. 6.2.10г), так что ток начнет резко уменьшаться (точка г на
в.а.х.) и достигнет минимума при совпадении верхнего уровня валентной
зоны полупроводника/7-типа с нижним уровнем зоны проводимости
полупроводника и-типа (рис. 6.2.1 Од, точка д на в.а.х.). При еще большем повышении

напряжения в прямом направлении механизм электропроводности
становится таким же, как в обычном /7-и-переходе (диффузия), и ток снова возрастает
(рис. 6.2.\0е, точка е на в.а.х.).
Таким образом, на вольт-амперной характеристике туннельного диода
наблюдается участок отрицательного дифференциального сопротивления,
что позволяет использовать диод в качестве активного элемента генератора,
усилителя или преобразователя высокочастотных колебаний. Для
эффективного туннельного обмена электронами напряженность поля в /7-и-переходе
должна быть порядка 10 В/м, так что уровень легирования должен
обеспечивать ширину перехода около 10 нм.
Важным параметром диода является отношение пикового тока Ii к току
впадины Ь, определяющее наклон падающего участка характеристики и
зависящее от материала и технологии изготовления /7-и-перехода. В реальных
приборах ток 1г всегда несколько больше диффузионного тока обычного
/7-л-перехода за счет размытости границ энергетических зон при наличии
большого числа примесей и, кроме того, за счет присутствия посторонних
примесей, приводящих к образованию локальных уровней в запрещенной зоне,
на которые могут переходить электроны в результате туннельного эффекта с
последующим «падением» в валентную зону.
Работа туннельного диода не связана с медленными процессами
рекомбинации и диффузии, время же туннельного прохождения барьера имеет
порядок 10" с, поэтому туннельные диоды можно использовать на очень высоких
частотах (десятки гигагерц). Область рабочих напряжений не превышает
десятых долей вольта и потребление энергии невелико, что в совокупности с
высоким быстродействием делает туннельные диоды пригодными для
применения в вычислительной технике.
Разновидностью туннельного диода является обращенный диод, в
котором полупроводники по обе стороны перехода близки к вырождению и
уровень Ферми расположен вблизи дна зоны проводимости в и-области и
верхнего края валентной зоны в /^-области. Вольт-амперная характеристика такого
/7-и-перехода совпадает с вольт-амперной характеристикой туннельного
диода при V<0 и почти совпадает с вольт-амперной характеристикой обычного
диода при V>0. Область характеристики вблизи V=0 сильно нелинейна, и
обращенный диод можно использовать для детектирования и преобразования
очень слабых сигналов (доли вольта) на высоких частотах.
Транзисторы. Последовательное соединение двух/7-и-переходов в одном
кристалле образует полупроводниковый триод (транзистор), служащий так
же, как и электровакуумный триод, для усиления электрических колебаний,
но отличающийся меньшими размерами, малым потреблением мощности и
высокой надежностью. Наиболее распространены плоскостные транзисторы,

Рис. 6.2.11. Электрическая схема и энергетические диаграммы перехода типа п-р-п
(а—в отсутствие напряжения, б-при наличии напряжения)
образованные двумя плоскими /7-и-переходами и имеющие либо р-п-р-, либо
и-р-и-структуру.
На рис. 6.2.11 представлены электрическая схема и энергетические
диаграммы транзистора типа п-р-п (я-в отсутствие напряжений, б -при наличии
напряжений). Левый переход, называемый эмиттерным, включается в прямом
напряжении, правый переход, называемый коллекторным, - в обратном.
Поток электронов из эмиттера диффундирует сквозь базу к коллектору и
уменьшает сопротивление коллекторного перехода, вызывая увеличение тока в
цепи коллектора и рост напряжения на нагрузке R. Малая проводимость
коллекторного перехода позволяет включать в его цепь большое нагрузочное
сопротивление, поэтому небольшие изменения коллекторного тока вызывают
значительное изменение напряжения на резисторе R.
Толщина базы невелика - много меньше диффузионной длины
неосновных носителей заряда (электронов), а степень легирования меньше, чем у
эмиттера, поэтому электроны доходят от эмиттера до коллектора,
практически не рекомбинируя в базе. Приближенно можно считать ток коллектора
равным току электронов, вышедших из эмиттера, но поскольку сопротивление в
коллекторной цепи много выше, чем в эмиттерной, выходная мощность
больше входной, так что транзистор может служить усилителем мощности и
напряжения.
Аналогично работает транзистор типа р-п-р, только связь между
эмиттером и коллектором осуществляется потоком дырок.
На рис. 6.2.1 \в показано включение транзистора по схеме с общей базой.
При включении транзистора по схеме с общим эмиттером входной сигнал
подается между эмиттером и базой, а выходной снимается между эмиттером и
коллектором. В такой схеме возможно усиление по напряжению и току.

Частотные свойства транзистора в значительной степени определяются
шириной базы, так как на высоких частотах время диффузии электронов
сквозь базу становится соизмеримым с периодом колебаний и не все носители
заряда успевают дойти до коллектора. Кроме того, траектории электронов при
диффузии сквозь базу неодинаковы и время движения различно, что приводит
к искажению формы усиливаемого высокочастотного сигнала. Однако идти
по пути уменьшения ширины базы не всегда удается из-за опасности пробоя.
Поэтому для высокочастотных приборов между базой и коллектором вводят
слой собственного полупроводника, создавая структуры типа p-n-i-p или
n-p-i-n, в которых сопротивление /-слоя вызывает появление сильного
электрического поля. В результате носители заряда диффундируют сквозь тонкую
базу и затем ускоряются полем /-слоя, так что время движения в базе очень
мало и транзистор может быть использован на высоких частотах.
Возможны и иные комбинации электронно-дырочных переходов для
получения полупроводниковых приборов различного назначения, которые
здесь не рассматриваются.
Таким образом, при контакте разнородных материалов уровни Ферми
выравниваются. Возникающее при этом поле контактной разности потенциалов
значительно меньше полей в кристалле и не влияет на локальную зонную
структуру (относительное положение зон), но приводит к пространственному
изгибу зон (изменению уровней отсчета).
1.6.3. Полупроводниковые гетероструктуры
Гетеропереходы. Гетеропереход представляет собой контакт двух
различных полупроводников с неодинаковой шириной энергетических зон (в
отличие от рассмотренных гомонереходов, образованных в кристалле одного
вещества). В более широком смысле понятие «гетеропереход» объединяет не
только контакт двух полупроводников, но вообще контакт двух разнородных
веществ, например металла и полупроводника. Даже обычные /7-га-переходы
можно рассматривать как частный случай гетероперехода.
Слоистые структуры, содержащие различные вещества - металлы,
полупроводники, диэлектрики (гетероструктуры), получают все большее
распространение в электронике и позволяют значительно разнообразить свойства
твердотельных приборов. Наибольший интерес представляют
полупроводниковые р-п-, п-п- и/7-р-гетеропереходы.
Создание гетеропереходов связано с трудностью подбора таких веществ,
кристаллические решетки которых имели бы минимальные структурные
отличия (желательно совпадение постоянных решетки с точностью до 0,5%) и
одинаковые коэффициенты теплового расширения, в противном случае в
месте контакта возникают существенные неоднородности, в первую очередь дис-

локации. Для получения гетеропереходов используют методы эпитаксиально-
го выращивания кристаллов, граничного плавления, вакуумного осаждения
одного полупроводника на другой. В качестве примеров полупро-воднико-
вых гетеропереходов можно назвать переходы типа AlAs-GaAs,
GaAs-AlGai_xAs, GaAs-InxGa|.xAs, GaAs-Ge, GaAs-GaP, GaAs -InAs,
ZnSe-ZnTe и др.
На рис. 6.3.1 представлены энергетические диаграммы идеально резких
гетеропереходов с различной шириной запрещенной зоны.
Видны основные особенности полупроводникового гетероперехода -
неодинаковая высота потенциального барьера для электронов и дырок и разрыв
зон на границе раздела ДЕс и ДЕУ).
Действительно, с приведением в контакт обоих полупроводников
устанавливается равновесное состояние за счет обмена носителями заряда, и
уровни Ферми выравниваются, что приводит к появлению разрывов в положении
энергетических зон. Разрыв в зоне проводимости определяется разностью
внешних работ выхода, разрыв в валентной зоне зависит также от
соотношения размеров запрещенных зон.
Неоднородности кристаллической решетки в месте контакта в случае
разницы постоянных решетки более 1% или при несовпадении коэффициентов
теплового расширения приводят к образованию дополнительных граничных
энергетических уровней. Заряды, скапливающиеся на граничных уровнях,
могут вызывать дополнительный изгиб энергетических зон.
Важная особенность гетероперехода состоит в наличии различных
условий движения для электронов и дырок, связанных с неодинаковостью
потенциальных барьеров, и хотя высота барьеров зависит от приложенного
внешнего напряжения или освещения гетероперехода, разница в условиях движения
носителей заряда при этом все равно сохраняется.
На рис. 6.3.1а представлена энергетическая диаграмма л-р-гетероперехо-
да с более широкой запрещенной зоной вр-области (AEgp >£Agn). Полная
контактная разность потенциалов определяется разностью работ выхода или
суммарным изгибом зон:
^ = _^р м^ = evx+ev2 = у у (6 3Л)
е е
Электронам, движущимся из я-области в р-область, необходимо
преодолеть высокий потенциальный барьер ЕС2 - Ес\, тогда как на пути дырок из
р-области в я-область (с уровня £V? на уровень is,,/) находится более низкий пи-
кообразный барьер, и, таким образом, ток через переход будет
осуществляться преимущественно носителями заряда одного знака - дырками, которые
инжектируются из полупроводника р-типа в полупроводник я-типа.

Уровень вакуума
eVk
СФ«
Ес\.
АЕ,
Evi-
■qn
/eVi
?Vi
\AEc
%
'^Z_~PEv
%
bEqn\\ I I Й'
Ev\
~^Z
4
4-c2
-EF
'Evi
.Eel &Eqp\
■EF ~
-Ev2
Рис. 6.З.1. Энергетические диаграммы идеально резких гетеропереходов
с различной шириной запрещенной зоны
По-иному ведет себя и-р-гетеропереход при &Egn/> AEgp. Потенциальный
барьер для дырок изр-области значительно выше, чем для электронов из и-об-
ласти (рис. 6.3.16), и дырочная составляющая тока через переход
пренебрежимо мала по сравнению с электронной. Справа от разрыва в зоне проводимости
образуется впадина (потенциальная яма, накапливающая электроны).
Механизм прохождения электронов через барьер в зоне проводимости зависит от
величины пика ДЕС. Возможны три различных механизма движения
электронов — инжекция через барьер (над барьером), как в гомопереходе при
достаточной энергии частиц, туннелирование сквозь пик и рекомбинация
носителей заряда на границе раздела при наличии большого числа дефектов
решетки. Ток через гетеропереход в прямом направлении экспоненциально зависит
от приложенного напряжения. При малых значениях V
I ~ехр
f eV^
\y\kT)
(6.3.2)
где т] — коэффициент, учитывающий генерацию и рекомбинацию ноителей
заряда на границе раздела и равный нескольким единицам.

При больших значениях Fсвязь тока с напряжением описывается формулой
/ ~ exp(AV)exp(BT), (6.3.3)
где А и В - константы, не зависящие от напряжения и температуры.
Энергетические диаграммы изотипных гетеропереходов n-п- ир-р-типов
представлены на рис. 6.3. \в, г. Условия движения электронов в я-я-структуре
неодинаковы по обе стороны контакта, поэтому вольт-амперная
характеристика несимметрична, и гетеропереход может быть использован для
выпрямления. Это же справедливо и для дырок вр-р-гетеропереходе.
Поскольку в создании тока участвуют лишь основные носители заряда и
при переключении полярности внешнего напряжения не происходит
рекомбинации неосновных носителей заряда, как в гомопереходе, инерционность
процесса переключения мала (аналогичная картина наблюдается и в контакте
металл-полупроводник с барьером Шоттки). На этом свойстве изотипных
гетеропереходов основано создание высокоскоростного переключательного
диода с временем переключения порядка десятых долей наносекунды.
Это лишь один из примеров использования гетеропереходов в
электронной технике. Усовершенствование технологии создания гетероструктур
позволило развернуть широкие исследования в области физики
гетеропереходов и разработки различных устройств с новыми свойствами, которыми не
обладают гомопереходы. Кроме того, применение гетеропереходов в
использовавшихся ранее приборах с гомопереходами позволяет существенно
улучшить их параметры.
На основе гетеропереходов разработаны транзисторы с широкозонным
эмиттером, в которых обеспечивается интенсивная инжекция носителей
заряда в базу без сильного легирования эмиттера, инжекционные гетеролазеры -
источники когерентного излучения, работающие в непрерывном режиме при
комнатной температуре, силовые полупроводниковые диоды, туннельные
диоды с большим отношением \\lh, широкополосные фотоприемники,
преобразователи излучения и светодиоды, различные приборы оптоэлектроники и
множество других электронных приборов и устройств.
Сфера использования гетеропереходов непрерывно расширяется и их
применение в электронике весьма перспективно.
Явления на поверхности полупроводников и в тонких пленках. Свойства
полупроводниковых структур существенно зависят от состояния их
поверхности, представляющей собой очевидное нарушение объемной
упорядоченности кристаллической решетки. Незавершенность валентных связей у
атомов поверхности делает ее способной активно взаимодействовать с
окружающей средой. Особое влияние оказывают поверхностные эффекты на работу
тонкопленочных полупроводниковых схем, у которых велико отношение

площади поверхности к объему. Механизм электропроводности в тонких
пленках также имеет некоторые особенности. В связи с этим необходимо
кратко рассмотреть явления на поверхности полупроводников и в тонких
пленках твердых тел.
Поверхностные энергетические состояния и энергетическая диаграмма.
Энергетическая структура у поверхности тела отличается наличием
поверхностных состояний - локальных энергетических уровней, расположенных,
как правило, в запрещенной зоне. Электроны или дырки на этих уровнях
концентрируются у поверхности полупроводника.
Поверхностные состояния существуют даже в идеальном кристалле.
Решение уравнения Шредингера с учетом нарушения периодичности структуры
у границы тела показывает, что в кристалле имеются дополнительные
разрешенные энергетические уровни, локализованные у поверхности (уровни Там-
ма) с плотностью порядка 10 м" . В идеальных кристаллах к образованию
поверхностных состояний приводит также наличие нескомпенсированных
валентных связей у атомов на границе решетки (уровни Шокли). Плотность
уровней Шокли, так же как и уровней Тамма, определяется концентрацией
поверхностных атомов и равна 10 м" .
В реальных кристаллах основную роль играют уровни, связанные с
искажением потенциала решетки у границы за счет адсорбированных на
поверхности атомов или ионов примеси и дефектов поверхности, образованных в
процессе технологической обработки полупроводника. При большой
концентрации дефектов поверхностные уровни расщепляются с образованием
поверхностной энергетической зоны.
Подобно донорным или акцепторным уровням полупроводника
поверхностные состояния могут обмениваться электронами с зоной проводимости
или валентной зоной, что приводит к возникновению у поверхности
заряженного слоя электронов или дырок. Как правило, полупроводник покрыт
окиснои пленкой (рис. 6.3.2), причем поверхностные уровни расположены по обе
стороны пленки. Различают два типа поверхностных состояний - быстрые (2)
и медленные (1). К. быстрым относят поверхностные состояния на границе
полупроводник - окисел, так как время, в течение- которого электроны
переходят в эти состояния или возвращаются обратно в энергетические зоны
(время релаксации), не превышает 10~7 с. Медленные поверхностные состояния
располагаются с внешней стороны окисной пленки, поэтому прохождение
электронов из зон полупроводника на эти уровни затруднено и требует
времени более 10"" с. Поверхностная плотность медленных состояний определяется
в значительной степени окружающей газовой средой и превышает 10 м" ,
тогда как плотность быстрых состояний, по-видимому, равна 10 м" .
Появление поверхностного заряда в силу условия электрической
нейтральности (равенства нулю суммарного заряда в объеме и на поверхности полу-

к?
* ф
*"///////;%%"
^
1 Ег
'Ш/Ж
•Я',-
**/////////Ш-- У//////Л
, 4 -±
^+ ^mwf'W 'шуш
^
еЧ'
Рис. 6.3.2. Поверхностные состояния полупроводника
Рис. 6.3.3. Изгиб энергетических зон полупроводника и-типа
при положительном (о) и отрицательном (б) поверхностных зарядах
проводника) приводит к образованию приповерхностного слоя объемного
заряда противоположной полярности, компенсирующего заряды у
поверхности. Образование объемного заряда связано с притяжением или
отталкиванием основных носителей заряда силамиэлектростатического взаимодействия с
поверхностными зарядами. Толщина слоя объемного заряда в металлах, у
которых концентрация электронов равна 102 м"3, не превышает 1 нм, и такой
слой не влияет на свойства металла. В то же время в полупроводниках с
концентрацией носителей заряда порядка 102 м" толщина слоя,
компенсирующего поверхпостный заряд, доходит до 1 мкм, а в собственных
полупроводниках—до 100 мкм, и приповерхностный слой оказывает существенное влияние
на электрическую проводимость. В зависимости от знака поверхностных
зарядов и типа электропроводности полупроводника слой объемного заряда
обогащен или обеднен основными носителями заряда и распределение
потенциала от поверхности в глубь полупроводника аналогично распределению
потенциала в контакте металл-полупроводник.
Решая уравнение Пуассона, можно показать, что энергетические зоны в
области объемного заряда искривлены, причем степень искривления
определяется плотностью поверхностных зарядов. На рис. 6.3.3 показан изгиб
энергетических зон полупроводника и-типа при положительном (а) и
отрицательном (б) поверхностных зарядах. В первом случае область объемного заряда
обогащена электронами, во втором — обеднена, так как основные носители
заряда (электроны) отталкиваются от отрицательных поверхностных зарядов.
Изгиб зон характеризуется разностью efs - Ej, где Ej — энергетический
уровень середины запрещенной зоны в объеме полупроводника, a Ts —
электростатический потенциал поверхности. Вводится также понятие
поверхностного потенциала (ps, определяемого соотношением
4,={EF-eV,)/e. (6.3.4)

При высокой плотности поверхностных зарядов одного знака с
основными носителями заряда искривление зон может стать настолько большим, что
уровень Ферми в приповерхностной области окажется ниже середины
запрещенной зоны Ej в полупроводнике л-типа (рис. 6.3.36), либо выше Ej, в
полупроводнике р-типа, и знак cps изменится на противоположный. В результате
концентрация неосновных носителей заряда в приповерхностном слое 1\
превысит концентрацию основных носителей заряда и слой 1\ будет иметь иной
тип электропроводности, чем остальная часть полупроводника (слой 1\
называется в этом случае инверсным). За счет инверсного слоя в полупроводнике
образуется р-л-переход, свойства которого зависят от концентрации
поверхностных состояний.
Поверхностная проводимость. Эффект поля. Изменение концентрации
носителей заряда Дп и Др в приповерхностном слое полупроводника
сказывается прежде всего на его проводимости. Изменение проводимости может
быть записано в виде
Aa = e(Anv.lls + Apiips), (6.3.5)
где \з.пз и \i.ps- подвижность электронов и дырок в приповерхностном слое,
которая может значительно отличаться от подвижности в объеме
полупроводника за счет добавочного рассеяния на поверхности.
Как показывает расчет, величина Да зависит от изгиба энергетических зон.
Наличие обогащенного слоя вызывает увеличение проводимости. Обеднение
приповерхностного слоя носителями заряда приводит к уменьшению проводимости,
однако при большой концентрации поверхностных зарядов, одноименных с
основными носителями, когда вместо обедненного слоя образуется инверсный слой,
проводимость вновь возрастает. Очевидно, зависимость поверхностной
проводимости от изгиба зон е^5 - Е„ представляет собой кривую с минимумом.
Обогащение или обеднение приповерхностных слоев объемного заряда
носителями может быть вызвано также внешним электрическим полем,
вектор напряженности которого нормален к поверхности полупроводника.
Поэтому поверхностная проводимость зависит от поперечного электрического
поля {эффект поля). Используя это свойство, можно определить плотность
поверхностных состояний в полупроводнике. Для этого измеряют
поверхностную проводимость как функцию величины и направления поперечного
электрического поля. Аналогично тому как это происходит под действием
поверхностных зарядов, проводимость возрастает в электрических полях,
образующих обогащенный или инверсный слой, и уменьшается в поле,
приводящем к образованию обедненного слоя. Эта зависимость может быть
рассчитана теоретически. Отклонение экспериментальных кривых от расчетных
объясняется наличием поверхностных состояний (поверхностный заряд экра-

Лст1
_i 1 i i i
КГ6 lO"*5 1С"2 1 U)2 t.c
Рис. 6.З.4. Изменение поверхностной проводимости
при постоянном поперечном электрическом поле
Рис. 6.3.5. Граница р-л-перехода при больших
положительных поверхностных зарядах
нирует внешнее поле), поэтому сравнение экспериментальной и
теоретической кривых позволяет рассчитать концентрацию, глубину залегания и спектр
поверхностных энергетических состояний, тип поверхностной проводимости
и изгиб зон.
С течением времени поверхностная проводимость падает при
постоянном поперечном электрическом поле (рис. 6.3.4). В первый момент
проводимость уменьшается быстро, с постоянной времени менее 10"6 с, в дальнейшем
она спадает плавно с постоянной времени, доходящей до нескольких часов.
Такой ход зависимости Aa(t) объясняется захватом электронов сначала на
быстрые поверхностные состояния, а затем на медленные, до которых им
приходится диффундировать сквозь толщу окиси в течение длительного времени.
Измерения скорости спада поверхностной проводимости со временем
позволяют определить время релаксации быстрых и медленных состояний.
Зависимость проводимости от напряженности поперечного
электрического поля используют для управления электрическим током в ряде
полупроводниковых структур, в частности в полевых транзисторах.
Влияние поверхности па работу полупроводниковых приборов.
Стабильность работы полупроводниковых приборов в значительной степени
определяется поверхностными свойствами полупроводника. Особенно
сильно сказывается появление инверсных слоев и изменение типа
электропроводности Приведем несколько примеров влияния поверхностных зарядов на
свойства полупроводниковых приборов.
1. Обогащенный приповерхностный слой, вызванный поверхностными
зарядами, уменьшает толщину р-и-перехода, в результате чего снижается
пробивное обратное напряжение.

2. Поверхностные состояния, расположенные в середине запрещенной
зоны, могут служить наряду с примесными уровнями в объеме
полупроводника центрами рекомбинации неравновесных носителей заряда. Во многих
случаях скорость рекомбинации носителей заряда на поверхности может
значительно превысить скорость их рекомбинации в объеме. Центрами
рекомбинации могут быть лишь быстрыеповерхностные состояния, поскольку у
медленных состояний слишком велико время релаксации.
Процесс рекомбинации заключается в том, что электрон зоны
проводимости переходит в области границы тела на поверхностный уровень, а оттуда в
валентную зону, рекомбинируя с дыркой. Такой процесс значительно более
вероятен, чем прямой переход электрона из зоны в зону. Поэтому
поверхностная рекомбинация особенно важна в чистых кристаллах с малой
концентрацией объемных центров рекомбинации.
Скорость поверхностной рекомбинации s (отношение числа пар
носителей заряда, рекомбинирующих на единице поверхности в единицу времени, к
концентрации избыточных носителей вблизи области объемного заряда)
зависит от концентрации поверхностных зарядов, состояния поверхности и
окружающей среды. В частности, травление поверхности кристалла
уменьшает величину s более чем в 100 раз.
Наиболее благоприятные условия для рекомбинации носителей заряда
создаются при таком изгибе энергетических зон, когда уровень е^3, совпадает
с уровнем Ферми, т.е. поверхностный потенциал cps, равен нулю и уровень
Ферми у поверхности расположен вблизи середины запрещенной зоны.
За счет поверхностной рекомбинации уменьшается эффективное время
жизни неравновесных носителей заряда тЭф:
1/тэф=1/ту+1/т,. (6.3.6)
Здесь тр и Ту - время жизни носителей заряда в объеме и на поверхности
полупроводника.
Для тонких образцов толщиной d
1/тэф =\liv-2sld. (6.3.7)
В соответствии с формулой (6.2.16) уменьшение т вызывает увеличение
тока насыщения р-л-перехода в обратном направлении.
3. Обратный ток р-л-перехода увеличивается еще и за счет электронной
или ионной составляющих тока утечки по окисной пленке или по пленке из
адсорбированной на поверхности влаги.
4. Особенно возрастает обратный токр-л-перехода при образовании
приповерхностных инверсных слоев. На рис. 6.3.5 показана граница р-л-перехо да

при больших положительных поверхностных зарядах, которые могут
появиться в случае адсорбции влаги на поверхности. Граница перехода смещена в
сторону дырочного полупроводника за счет образования инверсного слоя
длиной до нескольких миллиметров с электропроводностью л-типа. Рост
обратного тока связан с увеличением эффективной площади контакта. Легче
всего инверсные слои образуются в высокоомных слаболегированных
полупроводниках.
Инверсные слои увеличивают вероятность пробоя перехода при подаче
обратного напряжения. Образование инверсного слоя в базе транзистора
может закоротить эмиттер с коллектором и резко ухудшить параметры прибора.
5. Наличие быстрых и медленных поверхностных состояний с большим
разбросом времени релаксации, особенно у медленных состояний, приводит к
ухудшению шумовых характеристик прибора. В этих условиях приобретают
важное значение возможность контроля состояния поверхности
полупроводника и стабилизация поверхностной структуры. С этой целью используют
защитные покрытия, герметизацию, создание толстой окисной пленки, с тем
чтобы затруднить образование новых быстрых поверхностных состояний и
уменьшить влияние медленных состояний и т. д.
Перенос носителей заряда в топких пленках. Механизм переноса
носителей заряда определяет принцип работы тонкопленочных элементов схем.
Существует несколько различных механизмов переноса, причем в реальных
устройствах часть из них может осуществляться одновременно. Ниже кратко
рассматриваются основные механизмы электропроводности в тонких пленках.
1. Туннельное прохождение электронов через тонкие диэлектрические
слои является преобладающим механизмом переноса в диэлектриках с
небольшой концентрацией носителей заряда при малой толщине пленки (менее 10
нм) и низкой температуре. Толщину пленки выбирают меньше длины
свободного пробега электрона в диэлектрике, чтобы не было заметного рассеяния
электронов, но в то же время учитывают, что диэлектрик должен
выдерживать напряжение порядка нескольких вольт.
Потенциальный барьер между двумя металлическими электродами,
разделенными тонкой диэлектрической пленкой, имеет довольно сложную
форму, которая при расчетах может быть аппроксимирована прямоугольником,
трапецией (кривая 1 на рис. 6.3.6) или параболой (кривая 2). Ток через пленку
вычисляют как разность двух встречных туннельных токов сквозь
потенциальный барьер при различных напряжениях, приложенных к электродам, т.е.
при различных положениях уровня Ферми по обе стороны пленки. При этом
учитывают распределения электронов по импульсам в металлах и величину
прозрачности барьера при сделанной аппроксимации.Для барьера
параболической формы зависимость плотности туннельного тока от приложенной к
пленке разности потенциалов V записывается в виде

E,
■F\.
Рис. 6.3.6. Потенциальный барьер между двумя металлическими электродами,
разделенными тонкой диэлектрической пленкой
у = 4^,ехр(-ад пс>кТ MbiV_hvl)[l_ е]ф( )L (63.8)
h С] sin(7tc,A:7j
где bo, bi, b? и ci - константы, не зависящие от V.
Это выражение справедливо также для любой формы барьера при малых
значениях V. Отсюда
псхкТ
sminc^kT)
1 + -(псхкТ)2
(6-3-9)
J\t=o
Разлагая экспоненты в правой части выражения (6.3.8) в ряд по Ги
ограничиваясь первыми членами разложения, получим j~V. Линейная
зависимость плотности туннельного тока от приложенного напряжения (при малых
значениях V) и квадратичная зависимость от температуры (6.3.9)
подтверждаются экспериментально. При дальнейшем росте напряжения вольт-амперная
характеристика сначала становится экспоненциальной, а затем наступает
заметное ограничение тока объемным зарядом в диэлектрике, образованным
электронами проводимости и электронами, захваченными локальными
энергетическими уровнями (ловушками).
2. При низких потенциальных барьерах между металлическими
электродами, разделенными диэлектрической или полупроводниковой пленкой, и
при высокой температуре преобладают токи надбарьерной (шоттковской)
эмиссии электронов. Ускоряющее электрическое поле напряженностью ¥■
снижает высоту потенциального барьера на границе металла и уменьшает его
работу выхода на величину
е3Е
нлеге0;
. В результате возрастает доля
электронов, обладающих энергиями, достаточными для преодоления барьера.

Эмиссия посредством теплового переброса электронов через граничный
потенциальный барьер при наличии ускоряющего электрического поля
называется эмиссией Шоттки. Электроны, эмиттированные одним из
металлических электродов, попадают в зону проводимости диэлектрика или
полупроводника и создают ток между электродами, плотность которого в случае
диэлектрической пленки толщиной d
j = AT exp
~kT
exp
/
e3ln2
4n£r£0d
+
e'V
4mrz0d
1-exp
kT j
(6.3.10)
где A - постоянная Ричардсона; еср - работа выхода электрона из металла
(катода) в отсутствие внешнего поля. Из (6.3.10) видно, что In j ~\V при больших и
1гу~Гпри малых разностях потенциалов Гмежду электродами. Из этого
выражения следует также, что эмиссия Шоттки сильно зависит от температуры.
Если вместо диэлектрика между электродами помещена пленка
полупроводника, то напряженность поля определяется не отношением 'f—V/d, как в
диэлектрике, а шириной переходной области объемного заряда /. Поскольку
/ ~ 4V (см.(6.2.13)), то Е ~ -JV vij~V] . Структура подобного типа обладает
выпрямляющими свойствами.
По мере увеличения температуры и толщины слоя диэлектрика или
полупроводника роль эмиссии Шоттки непрерывно повышается по сравнению с
туннельным прохождением электронов.
3. Токи в диэлектрических пленках с большой концентрацией дефектов и,
следовательно, малой подвижностью носителей заряда определяются
эффектом Френкеля. Они обусловлены уменьшением под действием
электрического поля энергии, необходимой для перевода электронов с примесных уровней
в зону проводимости. Зависимость тока от приложенного напряжения
соответствует экспоненциальному закону /~exp((WF).
Малая подвижность носителей заряда затрудняет возникновение
электрического пробоя, и диэлектрические пленки такого типа можно
использовать в качестве слоев с особо высокой электрической прочностью.
5. Слой диэлектрика или высокоомпого полупроводника содержит
незначительное количество собственных носителей заряда и в какой-то мере
аналогичен вакуумному промежутку между двумя металлическими электродами.
Электропроводность диэлектрика обусловливается носителями заряда,
инжектируемыми в него металлическими электродами, если потенциальный
барьер на границе металл-диэлектрик невелик. В реальных диэлектриках и
полупроводниках содержится значительное количество дефектов, создающих
энергетические уровни захвата электронов (ловушки) в запрещенной зоне с

концентрацией порядка 10-10 м" . Носители заряда, инжектированные в
полупроводник, частично захватываются ловушками, образуя неподвижный
объемный заряд, не участвующий в электропроводности.
Ток сквозь диэлектрик ограничен полем объемного заряда, создаваемого
неподвижными носителями, а также полем объемного заряда носителей,
участвующих в электропроводности. Инжекция носителей заряда и ограничение
тока объемным зарядом аналогичны явлениям, протекающим в вакуумном
промежутке лампового диода, поэтому структуры
металл-диэлектрик-металл с инжекцией носителей заряда получили название аналоговых
твердотельных приборов.
Расчет вольт-амперной характеристики тока, ограниченного объемным
зарядом, приводит к выражению
-2
J =~
ed2N
е^па.Ыл
2d
il-u
V-r
+ ■
46 V
(6.3.11)
Здесь VT = —; d -толщина диэлектрической пленки; Na - концентра-
офе,.е0
ция ловушек; цп - подвижность электронов в диэлектрике; а и Р - параметры,
1<а<2, 1/2<Р<1; 9 - параметр, характеризующий степень заполнения
ловушек.
При V«Vt, когда ток ограничен объемным зарядом на ловушках, и
V»Vt,t. е. при ограничении тока полем свободных носителей заряда,
выражение (6.3.11) дает квадратичную зависимость тока от приложенного
напряжения. При VwVir происходит более резкое возрастание тока.
Коэффициент выпрямления аналогового диода с током, ограниченным
объемным зарядом, превышает 10 , причем за счет большой ширины
запрещенной зоны такие диоды могут работать при высоких температурах.
Односторонняя инжекция носителей заряда (с одного из электродов)
происходит в случае, если потенциальные барьеры при переходе из обоих
металлов в полупроводник существенно различны по высоте. Наряду с
односторонней инжекцией носителей заряда в симметричных структурах наблюдается
двойная инжекция (электронов с катода и дырок с анода), которая вызывает
уменьшение объемного заряда носителями противоположных знаков, а также
усиление процессов рекомбинации электронов и дырок и, как следствие,
значительное увеличение тока. Структуры с двойной инжекцией могут иметь
участки отрицательного сопротивления на вольт-амперной характеристике в
том случае, если электропроводность обусловлена в основном рекомбинаци-
онными процессами.

5. В сильно легированных полупроводниках с высокой концентрацией
примесных центров возможны переходы носителей заряда непосредственно с
одних примесных центров на другие. Такая «прыжковая» электропроводность
играет важную роль при низких температурах, когда мала проводимость
носителей заряда в зонах. Величина проводимости резко зависит от концентрации
примесей. При сравнительно небольшом количестве примесных центров
переход между ними осуществляется туннельным эффектом. Когда же
концентрация примесей настолько велика, что волновые функции электронов заметно
перекрываются, появляется металлическая электропроводность по примесям.
6. Работа ряда металлополупроводниковых структур основана на
прохождении «горячих» электронов сквозь тонкие металлические пленки. Электроны с
энергией, превышающей среднюю равновесную энергию электронов в металле
(«горячие» электроны), могут быть инжектированы через шоттковский барьер
или туннелированием в тонкую металлическую пленку из диэлектрика или
полупроводника; поскольку толщина пленки меньше длины поглощения, основная
масса «горячих» электронов проходит сквозь пленку, не испытывая
столкновений и не приходя в равновесие с электронным газом металла. Путь, на котором
«горячий» электрон, потеряв избыток энергии, становится равновесным (длина
поглощения L), зависит от энергии электрона, возрастая при ее уменьшении.
Значения L лежат в пределах 10-100 нм. Рассеяние «горячих» электронов в
металлической пленке определяется процессами столкновений с электронами и фонона-
ми. Точная зависимость величины L от длины свободного пробега «горячих»
электронов при электрон-фононном ЛЭф и электрон-электронном Лее механизмах
рассеяния пока неизвестна, однако в предельных случаях
L =
1
^ ее-^ эф
V
L = A
3 Л„ +Л
эф )
приЛее »Лэф
эф
при Л
ее < Л эф •
(6.3.12)
Плотность тока на выходе пленки h связана с плотностью тока на входе j i
соотношением
a=j2/j]=(\-R)c-d/L, (6.3.13)
где R - коэффициент отражения электронов от границы пленки; d - толщина
пленки; а - коэффициент передачи тока, зависящий от Лее и Леф;
d d
(
а =ехр
V
лв
л
(6.3.14)
эф у
Прохождение «горячих» электронов сквозь металлическую пленку может
быть, в частности, использовано для создания триодов с металлической базой.

2. ФИЗИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И СВОЙСТВА
ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ НАНОСТРУКТУР
2.7. Особенности энергетического спектра частиц
в системах пониженной размерности
Как уже отмечалось, основу развивающейся наноэлектроники
составляют структуры, состоящие из чередующихся полупроводниковых слоев с
различными электрофизическими характеристиками. Отличие электронных
свойств таких структур от свойств однородного полупроводника связано с
наличием в них дополнительных резких изменений потенциала. С
общетеоретической точки зрения расчет электронных свойств в слоистых структурах
должен проводиться путем решения соответствующей трехмерной задачи о
зонной структуре кристалла. Для этого без принципиальных ограничений могут
быть использованы традиционные методы расчета зонной структуры. Однако
непосредственные вычисления при этом существенно усложняются. Именно
поэтому в большинстве случаев анализ электронных свойств слоистых
структур проводится на упрощенных моделях.
Наиболее часто для описания электронных свойств многослойных
структур используют метод огибающих волновых функций, в котором в области
каждого слоя влияние его периодического потенциала сводится к
подстановке в оператор кинетической энергии эффективной массы, а изменения законов
дисперсии на гетерограницах играют роль эффективных потенциалов.
Рассмотрим основные особенности энергетического спектра и движения
частиц в системах характерных для структур наноэлектроники.
2.7.1. Рассеяние частиц на потенциальной ступеньке
Напомним основные моменты, связанные с особенностями прохождения
частиц из одного материала в другой, т.е. через одну границу раздела.

Будем полагать, что первый материал занимает полуплоскость от -со до О,
а второй от 0 до со. При этом частицы движутся перпендикулярно плоской
границе раздела.
Такая задача также соответствует случаю, когда частицы, испускаемые
источником, удаленным на большое расстояние, рассеиваются на той или
иной преграде (потенциальном рельефе с большим масштабом
неоднородности), уходя после этого в бесконечность.
Простейшей моделью подобных задач, является рассеяние частицы на
потенциальной ступеньке (прямоугольном потенциальном барьере бесконечной
ширины)
ГО, х < О
U{X) = \\ (7.1.1)
[U0,x>0
где U0 = const (рис. 7.1а).
Будем полагать, что источник частиц находится далеко слева (при х —> -со), а
испускаемые им частицы движутся слева направо.
Поскольку задача стационарная (потенциальный рельеф не зависит от
времени), отыскание состояний движения частицы сводится к решению
стационарного одномерного уравнения Шредингера
П2
X¥" + (U(X)-E)X¥ = 0, (7.1.2)
1т
здесь т— масса частицы; Е — полная энергия частицы.
В данном случае уравнение (7.1.2) удобно решать отдельно для области
х < 0 и х > 0. В области х (область 1), где U(x) = 0, (7.1.2) принимает вид
уравнения для свободной частицы, а его общее решение
¥,(*) = Ах ехр(/Х,х) + 51 ехрНВД = ^,(+) +x¥](~\ (7.1.3)
где
(7.1.4)
Если учесть, что в случае стационарных состояний волновая функция
гармонически зависит от времени, то Ч^ представляет собой суперпозицию
падающей и отраженной волн де Бройля. Таким образом, Ах является
амплитудой волны, распространяющейся от источника к потенциальной ступеньке
(падающие на ступеньку частицы), аВх -амплитудой рассеянной волны,
распространяющейся назад к источнику (отраженные от ступеньки частицы).

a '
E
0
6 '
E
0 1
.
E
.
7 \
U,
i
Uj
L *
2 3
^0
2
.
Щ
0
/
E
2
Ui
5
"U2
.*
3
U2
Рис. 7.1. Энергетическая диаграмма (я) и зависимость
коэффициента отражения R от E/U0 (б) для прямоугольной ступеньки
Рис. 7.2. Энергетическая диаграмма прямоугольного потенциального барьера
В области х> 0 (область 2) уравнение (7.1.2) принимает вид
П2
— 4Z + (U0-E)4>2=0.
2т
(7.1.5)
Характер решения уравнения (7.1.5) определяется соотношением между
энергией падающей частицы Е, задаваемой источником, и высотой
потенциальной ступеньки U0.
В случае Е >U0 общее решение для волновой функции в области 2 имеет
вид
% = А2 exp(iK2x) + fy exp(-/X2x), (7.1.6)

где
К2 = .]2m(E-U0)/h > 0.
(7.1.7)
Учитывая однородность среды 2 (по постановке задачи в области х>0
других источников рассеяния нет), амплитуду В2 «встречной» волны в
области 2 следует положить равной нулю. При этом А2 является амплитудой волны,
прошедшей за ступеньку (частицы, пролетающие над барьером). Таким
образом, для E>U0
¥2 = А2 ехр(/ВД = %(+). (7.1.8)
Физический интерес представляют коэффициенты прохождения и
отражения, определяемые отношением плотностей потоков прошедших и отраженных
частиц к плотности потока падающих частиц. Для расчета коэффициентов
прохождения D и отражения R воспользуемся понятием вектора плотности потока
вероятности j (квантовым аналогом классического вектора плотности потока
частиц). В одномерном случае выражение для j принимает вид
ih
2т
(7.1.9)
С учетом (7.1.9) коэффициент прохождения D (коэффициент прозрачности)
(7.1.10)
D= lim
|*]->СО
аналогично коэффициент отражения R
Г,Ле>Л
и
(+)|
\"\
R
lim
|jr|—>оо
С учетом (7.1.9) имеем
В=К2Ш
КХ\АХ
-,R =
т
(7.1.11)
(7.1.12)
Чтобы найти А2 и2?|, воспользуемся условиями непрерывности волновой
функции и сохранения потока частиц. Так как в нашем случае граница двух
сред соответствует х=0, то из этих двух условий с учетом явного вида
функций у,(х) и \])2(х) получим, что

В = А (lizM, а2 = л _^L_, (7.1.13)
откуда с учетом (7.1.12), (7.1.4) и (7.1.7)
В. "*\- . 4 (7.1.14)
{Кх + К2) ^а/(а _ 1) + 2 + ^(a-l)/a
i?=(^1-^2)2 V^_v^-T4
(К,+К2)2
гдеа=£У£/0.
Плотность потока вероятности частиц при х> О
J(+)_4^2^V,|2
2 /Я(£, + #2 )2"
Полученные результаты существенно отличаются от классических.
Согласно законам классической механики частица, обладающая энергией
Е > U0, всегда проникает в область 2 (при полной потере кинетической
энергии в случае Е = £/0). Согласно же законам квантовой механики при E>UQ
имеется конечная вероятность отражения частицы от потенциального
барьера, так что в области 1 есть встречный поток отраженных частиц
_/["' =у'] -/> , причем отражение будет полным, если Е = UQ. В любом
случае £>+Л =1.
Отметим, что для частиц, движущихся к барьеру из +со, D и R могут быть
вычислены тоже по формулам (7.1.15) и (7.1.16). При заданной полной энергии
Е(Е > С/0) коэффициенты прохождения и отражения оказываются не
зависящими от направления движения частиц. То есть частицы, движущиеся к барьеру
слева, имеют такую же вероятность отразиться от него, что и частицы с той же
энергией, движущиеся к барьеру справа. При этом вероятности прохождения и
отражения определяются только отношением E/U0. Смена направления
движения приводит к изменению фазы отраженной волны. В нашем случае, для
частиц, падающих на ступеньку слева, отражение происходит в фазе с падающей
волной, а при движении справа ( в противофазе.
В случае, когда энергия падающей частицы E<U0, характер решения
уравнения (7.1.5) радикально меняется. В соответствии с (7.1 -1)К2 становится
мнимым и общее решение (7.1.6) будет не комбинация двух волн,
распространяющихся в противоположных направлениях, а совокупность двух
монотонных функций

W2 (x) = С, exp(px) + C2 exp(-px), (7.1.16)
rne$ = j2n(U0-E)/h.
Учитывая требование конечности волновой функции, необходимо
положить С| = 0(х>0). Таким образом, ириЕ <U0
%(х)=С2ехр(-Рх). (7.1.17)
«Сшивая» волновые функции (7.1.3), (7.1.17) и их производные при х=0,
получим
в1=-
(К, + ф)
'-, с,
(*| + *Р)
(7.1.18)
Отметим, что в случае Е <U0 амплитуды Вх иС2 - комплексные числа, а
коэффициент отражения R равен единице
R = -
1Д
(tf I - ф)
(Я, + /р)
1.
Таким образом, при Е<U0 все частицы отражаются от потенциальной
ступеньки так, что в области 2 поток частиц отсутствует. Несмотря на это, в
области 2 волновая функция отлична от нуля, т.е. имеется определенная, хотя
и малая, вероятность проникновения частицы внутрь потенциального
барьера. В области ;с>0
|Ч>2|2 =\С2\2 ехр(-2рх) = 4аехр(-2рх)|Л,|2 Ф 0.
Частица как бы проходит внутрь потенциального барьера и возвращается
назад (поток частиц в области 2 отсутствует). При этом между падающей и
отраженной волнами появляется фазовый сдвиг
Дф = arctg
2£р
£2-р2
Эффективная глубина проникновения под барьер, на которой вероятность
обнаружения частицы еще заметно отлична от нуля, имеет порядок величины
1/Р.
Зависимость коэффициента отражения R от отношения E/U0 показана на
рис.7.15.

7.2.2. Потенциальный барьер конечной ширины
Реально мы всегда имеем дело со слоями конечной толщины, а,
следовательно, и с барьерами конечной ширины. Найдем коэффициенты отражения и
прохождения при движении частицы через прямоугольный потенциальный
барьер ширины L и высоты U] в предположении, что энергия частицы
U2<E<U] (рис.7.2о).
Используя результаты п.7.1, можем сразу записать решения уравнения
Шредингера для трех областей (1, 2 и 3)
Ч^ = Ах exp(zX,x) + В{ exp(-zX,x);
х¥2 = А2 ехр(Рх) + 5j exp(-px);
4*3 = Аъ exp(zXjx),
(7.2.1)
гдеКх = j2mE/h, р = J2m(Ui -E)/ti,КЗ = ,j2m(E-U2)/h.
При записи уравнений (7.2.1) учтено, что в области 3 нет источников
частиц и рассеивающих центров, т.е. будет распространяться только прошедшая
волна.
Подставив (7.2.1) в (7.1.10) и (7.1.1 1), получим
D=K3\A3\2/(K,\A\2),R = \Bl\2/\A,\2.
Амплитуды В] и Аг найдем из системы линейных алгебраических
уравнений, полученной с использованием условия непрерывности волновой
функции и ее первой производной на границе двух областей.
В результате для несимметричного барьера (рис. 7.2а) получим
D = 4К3КХ $2/z,R = l-4K:K3 $2/Z;D + R = 1;
Z = (K2 +Р2)(АГ32 +p2)sh2(pZ) + (A:1 +К2)2$2.
(7.2.2)
Отсюда для случая симметричного барьера (рис.7.2.16), когда А!"] =К3,
D =
1 +
sh2(P)
4а(1-а)
-1
R =
1 +
4а(1-а)
sh2(pZ)
(7.2.3)
Анализ выражений (7.2.2) и (7.2.3) показывает, что в случае барьера
конечной ширины и высоты появляется конечная вероятность частице пройти под
барьером, что абсолютно невозможно в классическом случае, так как при Е <U0
формально значение кинетической энергии Т становится отрицательным:

T = E-Un<0.
Проникновение частицы с энергией Е < £/0 через потенциальный барьер -
чисто квантово-механический эффект, что видно из формул (7.2.2) (если
положить в них Й=0, получаем Z)=0). Это явление носит название туннельного
эффекта.
Отметим, что коэффициенты прохождения и отражения (7.2.2)
оказываются симметричными по индексам 1 и 3. Это означает, что проницаемость
барьера одинакова для потоков, падающих справа и слева. Из уравнений (7.2.2)
также следует, что прошедший поток монотонно стремится к нулю, если либо
Ки либоА^з стремится к нулю. Заметим также, что проведенный анализ и
формулы (7.2.2) могут быть распространены и на случай барьера, показанного на
рис.7.2е, путем замены потенциала U2 на - С/2.
2.7.3. Интерференционные эффекты
при надбаръерном пролете частиц
Рассмотрим особенности прохождения частицы над прямоугольным
потенциальным барьером (рис. 7.2а), когда Е > С/, и £/2 • Отметим, что надбарь-
ерное прохождение частиц может служить одним из простейших примеров
проявления квантовых размерных эффектов. Последние в этом случае
приводят к квазипериодической осцилляции коэффициента прохождения частиц
при изменении их энергии Е.
В данном случае решение уравнения Шредингера для всех трех областей
будет иметь вид
Ч'у = Aj exp(iKjx) + B(-iKjx),
здесь у-номер области (1, 2 или 3). При этом в отличие от (7.2.1),
К2 = ^1тЕ2 /п, (7.3.1)
гд.еЕ2=Е~и].
Полагая, как и ранее, что частицы движутся слева направо, в отсутствии
рассеяния можно получить
D = 4K\KlKjZ; (7.3.2)
R = l-D; (7.3.3)
Z = (K? -Kl){Kl -K\)sin2(K2L) + K22 (К, +К3)2.
Заметим, что выражения (7.3.2), (7.3.3) переходят в (7.2.2), если учесть,
чтоК2=-ф2.

В случае симметричного барьера, когда К] =К3 (рис.7.26), выражения
(7.3.2) и (7.3.3) упрощаются и принимают вид
D = [1 + (U2 sm2{K2L))l{AEE2)rX; (7.3.4)
R = [1 + 4EE2/(U2 sm2(K2L))y\ (7.3.5)
Анализ (7.3.4) и (7.3.5) показывает, что при изменении энергии частицы^
будут наблюдаться осцилляции коэффициентов прохождения и отражения.
При этом, когда D = Z)max, то R = Rmin, и наоборот. Период осцилляции
соответствует условию
sin2(£2L) = 0
или
K2nL = nn,(n = l,2,...), (7.3.6)
при выполнении которого коэффициент прохождения для частиц с волновым
вектором К2 „ обращается в единицу. В этом случае для частиц с энергией
E2,„=E-U0 (7.3.7)
на ширине барьера L укладывается целое число полуволн де Бройля, и
коэффициент отражения равен нулю. Квазиклассически это можно трактовать как
результат интерференции волн, отраженных от скачков потенциала на
границах барьера. Условие (7.3.7) можно еще записать в виде
E2,„=f(f)2"2=K„. (7.3.8)
Величина^ равна энергии и-го уровня частицы, локализованной внутри
потенциальной ямы ширинойL с бесконечно высокими стенками (см. (7.4.6)),
т.е. резонансные значения энергии Е2 п совпадают с энергией и-го уровня
такой ямы.
При изменении энергии частицы коэффициент прохождения
осциллирует, как показано на рис.7.3. Минимальные значения D=Dmin и
соответствующие им значения Е'2„ («антирезонансные» состояния), можно приближенно
оценить из условия
Отсюда
sm2(K2L) = l.
«V&. + IW» ,д (739)
2mL

a
■'-Лшп,/;
1 +
Ш
4^n(t/0+^«).
-l
(7.3.10)
С ростом номера п и уменьшением ширины барьера! минимальный
коэффициент прохождения Dminn быстро возрастает, так что осцилляции
становятся все менее выраженными. Увеличение высоты барьера С/0, напротив,
уменьшает Z)mjn„, увеличивая амплитуду осцилляции, при этом
соответствующие антирезонансные значения Е'2„ остаются постоянными (рис. 7.3).
Используя предыдущие рассуждения (симметричный барьер), можно
получить выражение для оценки отношения концентрации частиц в окрестности
точки с координатой 0 < x<L (над барьером) к концентрации частиц в
падающей волне (рис. 7.26)
gjy2(s)|2 =D(E-U0cos2(K2)L-x)))^
И,|2 E-UQ
здесь D определяется выражением (7.3.4).
Согласно (7.3.11) для частиц, имеющих энергию Е, удовлетворяющую
условию (7.3.6), когдаD = Z)max = 1
0(х = О) = 1,б(* = !)=-£з^ = 1 + ^-, Q(x = L) = l. (7.3.12)
Следовательно, в данном случае концентрация частиц с энергией Е в
области, занимаемой барьером, будет больше, чем в падающей волне, т.е.
несмотря на то, что при/? > U0 волновая функция электрона «размазана» по
всему пространству, существуют избранные значения энергии (и импульса) Еп,
при которых вследствие интерференции электронных волн, отраженных от
границ барьера, амплитуда волновой функции в области барьера будет
больше, чем в других областях.
Сделанные выводы справедливы и в случае несимметричного барьера
(см. рис.7.2а, в, г). Однако в этом случаеZ)max будет меньше единицы, поэтому
все эффекты выражены слабее.
В реальных полупроводниковых структурах наблюдать и тем более
использовать на практике квантовые осцилляции вероятности надбарьерного
прохождения носителей заряда достаточно трудно, поскольку над барьером
могут проходить лишь «горячие» электроны, причем увеличение эффекта за
счет более высоких барьеров требует соответствующего повышения их энер-

гии. Кроме того, уменьшение коэффициента прохождения при увеличении
энергии электронов, которое в принципе могло бы привести к появлению
падающего участка на ВАХ структуры, реально оказывается либо малым, либо
происходит на интервале энергий (30-50) мэВ, сравнимом с тепловым
разбросом при комнатной температуре, и поэтому при температурах выше
комнатной сильно размыто.
2.7.4. Частица в прямоугольной потенциальной яме
При выращивании пленки узкозонного полупроводника между двумя
слоями широкозонного материала может быть реализован потенциальный
рельеф, показанный на рис. 7.4.
В этом случае задача определения стационарных состояний движения
электрона сводится к задаче о поведении частицы в прямоугольной
потенциальной яме.
Для асимметричной потенциальной ямы (рис. 7.4а) с
U{x)=\
Ux x<-0,5W
0 \x\<-0,5W
U2 х > -0,5W
при Е <U1 общие решения уравнения (7.1.2) в областях 1, 2 и 3 (с
постоянными значениями потенциала) можно представить в виде
%(х) = Ах ехр(Р,х); *Р3(х) = Щ ехр(-(32х);
¥2 (х) = А2 exp(iKx) + fy exp(-zTCc), (7.4.1)
где К = -Jb^E/h; py = ^IrriiJJj-E)/fi; j = 1, 2.
Решения Ч*, и Ч^ записаны с учетом того, что они должны равняться нулю
на бесконечности.
«Сшивая» волновые функции и их первые производные при х± 0,5W,
придем к уравнению
^(Р,+Р2)
= ctg(KW), (7.4.2)
определяющему значения волнового вектора К, удовлетворяющие условиям
данной задачи.
Подставляя р, и Р2 в (7.4.2), получим трансцендентное уравнение,
позволяющее оценить разрешенные значения К:

a
1
Ц
и
2
Е
3
Г
-1Г/2 О И'72 х
б ' U
1000
0,01
У 10
-И72 0 И72 .v
Рис. 7.4. Энергетическая диаграмма прямоугольной потенциальной ямы:
а — асимметричной, б - симметричной
Рис.7.5. Зависимости Х(У) для первых трех энергетических уровней
с л=1, 2 и 3 соответственно, рассчитанные с использованием (7.4.9)
Л!Ж = пк - arcsin^/Gi) - arcsin(A7 Сг2 )>
(7.4.3)
гдел=1, 2, 3 ...-нумерует разрешенные значения^ в порядке их возрастания;
Gy = JimUj rh, j = 1, 2; значения арксинуса надо брать в интервале 0, 0,5л.
Уравнение (7.4.3) определяет набор положительных значений волнового
вектора Кп и, следовательно, возможные уровни энергии, соответствующие
этим состояниям. Таким образом, энергияЕп = Ь~К~/2т частицы в
потенциальной яме оказывается квантованной, принимающей одно из разрешенных
дискретных значений Еп. Чтобы подчеркнуть это, потенциальные ямы
(особенно узкие) часто называют квантовыми ямами (КЯ).
Поскольку аргумент арксинуса не может превышать 1, значения К лежат
только в интервале
0<K<G2.
Если WGj < 7i, то в КЯ находятся не более одного разрешенного
энергетического уровня. В общем случае количество разрешенных энергетических
уровней в прямоугольной КЯ можно оценить, используя неравенство
n< {[WG2 + arcsm(^U2/U;)]/n + 0,5} < n + 1. (7.4.4а)

Согласно (7.4.4а) при U2 *■ Ux всегда найдутся столь малые значения WG2,
для которых в КЯ не будет ни одного разрешенного уровня энергии. Заметим,
что при U2 = £/] (рис.7.4б) условие (7.4.4а) для и=1 всегда выполняется.
Следовательно, симметричная одномерная потенциальная яма с произвольными
значениями WnU всегда имеет не менее одного разрешенного
энергетического уровня. Более того, если в случае произвольного одномерного потенциала
асимптотические значения £/(°о) = £/(-«>) и между ними находится один
минимум, то всегда имеется, по крайней мере, один связанный уровень. Если же
С/(оо) ^ С/(-°о), то связанного состояния может и не быть. В случае двух и трех
измерений в неглубоких узких потенциальных ямах связанных состояний
может не быть даже при С/(°о) = С/(-°о), т.е. частица не будет «захватываться»
ямой. Согласно же классической механике частица может «захватываться» и
совершать финитное движение в любой потенциальной яме, лишь бы энергия
частицы была достаточно мала.
Особенно простой вид имеют решения уравнения (7.4.3) для бесконечно
больших значений С/, и U2. В случае прямоугольной ямы с бесконечно
высокими стенками (БПЯ) согласно (7.4.3)
Кп=—, (7.4.5)
W
где п = 1,2,3.... В этом случае на ширине ямы укладывается целое число длин
полуволн де Бройля
2W _ К „И
= п.
При этом разрешенные дискретные уровни энергии частицы
определяются соотношением
2т
—} п2 = 0,3737
W
т
о
л
/
V т J
п
\
W{nu)
[эВ],
(7.4.6)
здесь т0 - масса свободного электрона, a W в нм.
Нормированные волновые функции частицы в состояниях с различными
значениями Еп в этом случае могут быть представлены в виде
Т„(х) = J—cos
пхп )
W j
если п нечетное,
Чп{х) = л\-*ш
(%хп^
W )
, если «четное.
(7.4.7)

Согласно (7.4.7) волновая функция основного состояния Т, (состояния с
наименьшей энергией) не имеет нулей внутри квантовой ямы, функция Ч^
(волновая функция первого возбужденного состояния) имеет один нуль (узел)
внутри КЯ, функция vj/3 имеет два узла и т.д. Аналогичную зависимость числа
узлов волновой функции от номера возбужденного состояния демонстрируют
и другие одномерные системы, в которых движение происходит в
ограниченной области пространства.
В общем случае, когда С/ ф оо разрешенные значения волнового вектора
(а, следовательно, и энергии) можно найти, решая уравнение (7.4.3) численно
или графически. Однако и в этом случае удается получить ряд соотношений,
облегчающих практические оценки.
Например, можно показать, что
4n(W/2) = (-1)"-' pxlU2Vn{-Wl2)
здесь £Эфф =(W+ Pn', + р,/2)-представляет собой эффективную длину
области локализации частицы с энергией Еп и отражает тот факт, что частица
преимущественно локализована внутри КЯ, но частично проникает и в области
барьеров.
Для симметричной КЯ ширины W и глубины С/0, введя нормированные
переменныеY = е/е* uX = U0/E* (здесь/?* =ti2n2/(2inW2)-энергия
первого разрешенного уровня в БПЯ), выражение (7.4.2) можно представить в виде:
2Y-X
i4y^x - y
= ctg(W7). (7.4.8)
Анализ (7.4.8) показывает, что в симметричной КЯ конечной глубины для
О < X < 1 возможно существование лишь одного разрешенного состояния с
энергией Е\<Е , для \<Х<А количество разрешенных состояний равно 2,
для 4<^<9-Зи т.д. Кроме того, если в симметричной КЯ возможно
существование и-го энергетического состояния (с п>2), то
Еп_{ (оо, W) < Еп (U0,W) < Еп (оо, W) независимо от глубины КЯ U0, а общее
число разрешенных энергетических уровней п в симметричной прямоугольной
КЯ можно оценить, используя неравенство
n<JX +\<n + \. (7AA6)

Существует и другая возможность для оценки энергетического
положения разрешенных состояний в симметричной КЯ конечной глубины. В этом
случае, используя (7.4.8), рассчитывают зависимости X от Y. При этом
X = 27[ctg2 (W£) - ctg(nV£)Vl + ctg2(nV^) +1] =
27 { sin(2W7)|
~ sin2 (WF) 1 2| sin(nV7)| J *
(7.4.9)
Зависимости Х(У) для первых трех энергетических уровней,
рассчитанные с использованием (7.4.9), приведены на рис.7.5. По ним, задаваясь
параметрами КЯ W, U0 и /«(т.е. X), можно определить У и энергетическое
положение уровней. Из рисунка видно, что для КЯ заданной ширины с уменьшением
глубины (т.е. X) будет происходить уменьшение энергии разрешенных
состояний (У) и последовательное выталкивание их из ямы (т.е. уровни будут
сгущаться медленнее, чем уменьшается глубина ямы). Причем, при изменении
UQ от оо до Еп_\ (со, W) энергия и-го уровня в КЯ конечной глубины будет
уменьшаться от Еп (оо, W) лишь до £,,_] (оо, W), а при дальнейшем уменьшении U0
л-й уровень будет вытолкнут из ямы.
Решив одномерную задачу, в данном случае легко получить решение и
для двумерного и для трехмерного случая. Например, если частица движется
в потенциальном поле U = U(x) + U{y) + U{z), где
У(х)=1«прнх>ЮЛГ 1»пр„,>|0,54
_ ГО при х <\0,SW\
(Z) ~ [оо при х >\0,5W\'
то ее волновая функция Ч^дс,у, z) = 4/(x)4/(>')4/(z), а.Е=Е{ +Е2 +Е2. В этом
случае трехмерное уравнение Шредингера распадается на три независимых
одномерных уравнения:
dx tr \
d2 7т ]
^ + dl[E2-Uiy)]W(y) = o,
dy tr I

^ + ^[E,-U(z)]W(z) = 0.
dz n J
Таким образом, чтобы получить решение для данной трехмерной задачи,
достаточно решить одно из этих уравнений (что мы уже и сделали ранее) и по
аналогии записать решения для двух других уравнений. Отметим, что при
h^d^W, каждому значению энергии будет соответствовать одна волновая
функция *¥(х, у, z). Другими словами, в системе отсутствуют вырожденные
состояния. В случае же h = d = Асимметрия поля совпадет с симметрией куба
и система уже может иметь двукратно и трехкратно вырожденные уровни.
Кроме того, особый характер зависимости потенциальной энергии от
координаты в данном случае может приводить к дополнительному — случайному
вырождению.
2.7.5. Особенности движения частиц над потеициачъной ямой
Мы рассмотрели случай, когда полная энергия частицы Е была меньше
высоты стенок потенциальной ямы (финитное движение). В этом случае
размерный эффект проявляется в квантовании энергии и волнового вектора частицы.
В случае, когда энергия частицы превосходит высоту стенок
потенциальной ямы (E>U-, рис.7.4) движение частицы является инфинитным. Однако,
как и в случае движения над потенциальным барьером, здесь возможно
отражение частиц от областей с резким изменением потенциала (в данном случае
от краёв ямы) и даже своеобразный резонансный захват пролетающих над
ямой частиц.
Если частица движется вдоль оси X, то, достигая потенциальной ямы, она
испытывает действие сил. При этом частица либо отразится, либо «пройдет»
над потенциальной ямой. В областях 1 и 2 (рис.7.4а) решение уравнения
(7.1.2) в данном случае имеет вид
4>j = Aj Qxp(iKjX) + Bj expi-iKjX), (7.5.1)
где Кх = ^2niE - U\ )/й, К2 = -j2mE/fL
В области 3 (х> W/2) решение имеет вид уходящей от ямы волны
У3 = А2 Qxp(iK3x), (7.5.2)
здесь
Чтобы вычислить коэффициенты прохождения и отражения, надо
выразить амплитуды А3 и В] через амплитуду падающей волны Л,. Для этого
используем условие непрерывности волновой функции и потока частиц при
X = ±W/2. В результате получим

D = 4K]K3K22/Z;
_ (К2 -К2х){Кг2 -KJ)sm\K2W)(K, -Къ)гКг2 .
Z
Z=(K\ -K})[K\ -Kl)sm{K2W) + {Kx + K2)2Kl
Для симметричной ямы, когдаА^ =К3 (рис.7.4.16),
-1
(7.5.3)
(7.5.4)
D
R
1 +
1 +
U^sin\K2W)
4E(E-U0)
Uism2(K2W)
(7.5.5)
(7.5.6)
Отметим, что по виду выражения (7.5.3)-(7.5.6) совпадают с
аналогичными выражениями (7.3.2)—(7.3.5) для прохождения частицы над
потенциальным барьером.
Согласно (7.5.3), при прохождении частиц над потенциальной ямой, как и
в случае потенциального барьера, коэффициент прохождения осциллирует с
увеличением энергии частицы (рис.7.6). В обоих случаях осцилляции имеют
одну и ту же физическую природу. Квазиклассически их можно трактовать
как результат интерференции электронных волн, отраженных от скачков
потенциала на границах барьера или ямы. Однако, как показывает сравнение
рис.7.3 и 7.6, при близком качественном характере зависимостей имеются и
заметные различия. Так, при равных значениях ширин и скачков потенциала
барьера и ямы размах осцилляции коэффициента D при прохождении частиц
над барьером больше, чем при прохождении над ямой.
На первый взгляд движение электронов над потенциальной ямой
оказывается еще менее пригодным для наблюдения и использования осцилляции
коэффициента прохождения. Однако в данном случае заметные осцилляции
могут наблюдаться при сравнительно небольших энергиях частицы, что
улучшает условия их наблюдения.
2.7.6. Движение частицы в сферически симметричной
прямоугольной потенциальной яме
Развитие нанотехнологии инициировало широкое исследование новых
классов нанообъектов и, в частности, квантовых точек (КТ), в которых осуще-

1000
3E./U0
У 10
Рис. 7.6. Зависимость коэффициента прохождения над потенциальной ямой
отэнергии(£, =E-U0): 1 -U0/V: = l,2-t/0/F, = 2, 3 -t/0/K, = 3, 4-1/0/И, =4
Рис. 7.7. Зависимости -¥(7) для первых трех энергетических уровней
(с «=1, 2 и 3 соответственно) в сферически симметричной прямоугольной
потенциальной яме конечной глубины, рассчитанные с использованием (7.6.9)
ствляется пространственное ограничение носителей заряда в трех
измерениях. КТ как квазинульмерные системы важны не только как возможная
элементная база для наноэлектроники, но и как модельные объекты для
фундаментальных исследований. Электронный спектр изолированных КТ
представляет собой набор дискретных уровней размерного квантования и в этом
смысле они могут рассматриваться как гигантские искусственные атомы с
контролируемо изменяемыми параметрами, такими как глубина и характер
удерживающего потенциала, число частиц и характерные размеры области их
локализации.
Вид удерживающего потенциала определяется способом получения КТ.
Для его представления наиболее часто используются модель «жестких
стенок» и модель «параболического удерживающего потенциала».
Рассмотрим движение частицы массы н/0 в сферически симметричной
прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины (модель «жестких
стенок»), т.е. в потенциал
ГО, если г < а,
Щг) = \ (7.6.1)
[оо,если г > а.
Стационарные состояния частицы, движущейся в сферически
симметричном потенциале, описываются уравнением Шредингера с гамильтонианом
# = —
2т,
■Д + С/(г),
(7.6.2)
VI 1 2
х + у + z - расстояние от центра КЯ, а Д - оператор Лапласа.
Учитывая симметрию потенциала, решение уравнения (7.6.2) обычно
ищут в сферических координатах. В этом случае

2 я Г . я\ ъ?-
# = -
где оператор
1
Л =
Г 8
2т0 дг
г2
V
д_
дг j
Г Л
2w0 г2
+ t/(r), (7.6.3)
\д_(. _ aV 1 а2
sin(9)
+
sin(9)[ae^ aej sin(9)acp
Временная зависимость волновых функций стационарных состояний
характеризуется множителем exp(-/£Y//z), где Е - энергия системы. Поэтому далее мы
будем интересоваться только зависимостью волновых функций от г, 0, и ср.
Известно, что волновая функция стационарных состояний движения час-
тицы с определенными значениями квадрата углового момента£ и проекции
момента L. в произвольном потенциале сферической симметрии может быть
записана в виде
4WAq>) =/£/(г)7/т(9,Ф), (7.6.4)
где /е/0')~ радиальная волновая функция, /- орбитальное квантовое число
(/=0,1,2,...), т— магнитное квантовое число (ш=0,±1,...,±/). Поскольку в
потенциале сферической симметрии нет выделенных направлений в
пространстве, то радиальная функция не может зависеть от значения т. В результате
каждое из стационарных состояний с определенным значением / будет 2/+ 1-
кратно вырождено соответственно 21+ 1 значениям т. Состояния,
соответствующие разным значениям /=0,1,2,..., принято обозначать соответственно
малыми латинскими буквами s, p, d, /, g и т.д.
Подставляя (7.6.4) в уравнение Шредингера с оператором (7.6.3) для
свободного (U= 0) движения частицы с определенным значением орбитального
момента получим, что полная волновая функция данного состояния равна
Тш = [Aj,(kr) + Яп/СЬОШв.ф), (7.6.5)
где ji(kr) и Т|/(^'')~~ сферические функциями Бесселя и Неймана,
соответственно, а к = 2m0E/ti .
Постоянные ЛиВв (7.6.5) определяются граничными условиями и
нормировкой волновой функции. Если частица может двигаться в области,
включающей точку г = 0, то из условия конечности волновой функции при г = 0
следует, что 5 = 0. При этом
Чк1т=А],{кг)¥1тф,Ч>\
Именно такая волновая функция соответствует нашей задаче при r<a.
При г > а волновая функция должна равняться нулю, так как частица не может

проникнуть в область с бесконечно большой потенциальной энергией.
Отсюда следует, что
У/(Аа)=0. (7.6.6)
Обозначив корни сферической функции Бесселя 1-го порядка через Хп1,
где п = 1, 2, ... - главное квантовое число, из (7.6.6) получим уравнение,
определяющее разрешенные дискретные значения к, а значит и энергии
стационарных состояний Е.
к_}_х aF __*!_£«'
а 2т0 а"
ni
(7.6.7)
В таблице приведены значения корней для первых шести состояний.
Подставляя эти значения в (7.6.7) легко оценить энергии разрешенных состояний
в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме бесконечной
глубины. Заметим, что по виду (7.6.7) совпадает с выражением (7.4.6) для
оценки положения энергетических уровней в БПЯ. Более того, для .у-состоя-
ний Хп1 кратны л. Однако в знаменателе (7.6.7) стоит радиус КЯ, в то время
как в (7.4.6) учитывается полная ширина потенциальной ямы.
Значения корней сферических функций Бесселя
Состояние
Is
)Р
2s
1/
2р
*«/_...
3,142
4.493
5,763
6,283
6.988
7,725
Для ^-состояний удается получить достаточно простое аналитическое
выражение для оценки положения энергетических уровней и в сферически
симметричной прямоугольной потенциальной яме конечной глубины. Оно имеет вид
P = -*ctg(afc), (7.6.8)
Е, р= I—— (Л/0 -Е). Здесь Е - энергия частицы, а С/0 - глубина
ъ. /2wo
гдей: = —-
потенциальной ямы. При этом радиальная волновая функция
,., . . s'm( кг)
j[r) = А -, если г < а

f(r) = В ^ р , если г > а.
г
Переходя к нормированным переменным У = Е/Е иХ = U0/E* (здесь £
-энергия основного состояния в БПЯ с W = 2d), уравнение (7.6.8) можно
переписать в виде:
■JX-Y = -V7ctg(7i/2V7). (7.6.9)
Анализ (7.6.9) показывает, что данное уравнение может иметь решения
только при [(п - 0,5) < ЫУ < п] (здесь п = 1,2,...) так какX и У действительные
положительные числа. Зависимости X{Y) для первых трех энергетических
уровней в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме конечной
глубины, рассчитанные с использованием (7.6.9), приведены на рис. 7.7. По
ним, задаваясь параметрами КЯ a, U0 и т (т.е. X), можно определить У и
положение энергетических уровней. Из рисунка также видно, что для \Х < 0,5 в
сферически симметричной прямоугольной КЯ конечной глубины связанные
состояния отсутствуют (т.е. частица не задерживается в такой яме), а для
0,5<-JX <(п + 0,5) возможно существование не более п связанных состояний.
Из рис.7.7 также следует, что существуют интервалы энергий, которым
не могут соответствовать ^-состояния ни при каких параметрах сферически
симметричной прямоугольной потенциальной ямы. Однако, для Г>1 этим
энергиям могут соответствовать р, d, f и другие состояния.
Обычно геометрические размеры КТ в плоскости роста значительно
превышают их «высоту». В случае бесконечно глубокой аксиально
симметричной двумерной потенциальной ямы радиуса а с
ГО, если р < а,
£/(р)= \ (7.6.10)
оо, если р > а.
собственные функции гамильтониана можно представить в виде
ТПрШ(р, ф) = у„р н(р)е""ф (здесь р, ср - полярные координаты пр = 0,1,2,... -
радиальное квантовое число, /и=0,±1,±2,...- магнитное квантовое число). При
этом энергетический спектр частицы определяется выражением:
"■ а л +1 т
\Н=-Г±Г. (7-6.11)
v 2m a
гдеа„ +1 „, -(ир + 1)-й корень функции Бесселя J ,„{&■„ +i,m)(B порядке
возрастания). Например, а10 = 2,4, аи =3,83, а12 =5,14, а20 =5,52, а13 =6,38.

2.7.7. Энергетический спектр и волновые функции
линейного, плоского и сферического осциллятора
Современная технология молекулярно-лучевой эпитаксии с
применением компьютерного управления затворами молекулярных пучков позволяет
получать различные профили потенциала квантовой ямы. Поэтому наряду с
прямоугольными КЯ в настоящее время интенсивно исследуются структуры с
более сложным ходом потенциала. С этой точки зрения значительный интерес
представляют структуры с параболической КЯ, позволяющие реализовать
систему эквидистантных энергетических уровней.
Задача определения стационарных состояний движения электрона в
данном случае обычно сводится к задаче о линейном (одномерном) осцилляторе.
Стационарное уравнение Шредингера в случае линейного осциллятора
имеет вид
2т
xi"' + 0,5Kx24J=EK¥.
(7.7.1)
Важное отличие осциллятора заключается в том, что движение частиц в
данном случае не ограничено какой-либо непроницаемой стенкой. Поэтому у
осциллятора нет граничных условий, подобных условиям для бесконечной
прямоугольной ямы. Единственным требованием, которое налагается на
волновую функцию осциллятора, является требование ее квадратичной
интегрируемости.
Решение уравнения (7.7.1) с учетом этого условия дает спектр и
собственные функции линейного осциллятора в виде
у,!л)« =
£,;л) = йсо(и + 0,5);
Г 1 V/4 , f
1
1
\Tiar )
Ь"п
ехр
.2 Л
V
т 2
2а
Н,
^
\а)
(7.7.2)
(7.7.3)
здесь (й=^К/т, a=*Jti/m(u, Hn{z) - полиномы Эрмита; так H0(z)=l;
H](z) = 2Z,H2(z) = 4Z2 -2 и т.д.
В случае плоского изотропного осциллятора вместо (7.7.1) имеем
2т
U дг
,2 Л
■ + ■
ctcz dvl
+f(*2+/)
ч/(п) =Еу
(п)
(7.7.4)
Так как операторы

h2 д2 Кх2 „ h1 д2 ку2
я, = - +— иЯ, = ^ + -^—
1 2тдх2 2 2т ду2 2
коммутируют друг с другом и с гамильтонианом плоского осциллятора, рав-
нымЯ=Я| +Я2, то собственные функцииЯ] и Я2 могут быть выбраны также
собственными функциями Я. Учитывая это обстоятельство и известное
решение уравнения (7.7.1), можем найти разрешенные уровни энергии и
собственные функции плоского осциллятора
4П) =ha>(N + iy, N= 0,1,2,...; (7.7.5)
Ч>{п)(х,у) = Ч>(л)(х)Ч>{п\у),
"i"2 "i пг J
где a-^jK/m; N =n]+n2;nl =0,1,2,...; п2 = 0,1,2,....
Так как уровню Е^ с данным значением N отвечают (N + 1) независимая
собственная функция ^,,„ cni = 0,1,2... N (при этом n2 = N -п{), то он
является (N + \укратно вырожденным.
В случае плоского осциллятора с потенциалом
U = 0,5К(х2 + у2) + аху (7.7.6)
при а<К (7.7.6) можно представить в виде
U=0,25[K(x + y)2+K(x-y)2],
где .К, 2 =К ±а>0.
т.' ~ х+У -х+у
Если теперь перейти к новым переменным х, -—т=- и ух =—==— (пово-
V2 л/2
рот на л/4 в плоскости (ху)), то гамильтониан примет вид суммы
гамильтонианов двух независимых осцилляторов:
Я = -^4 + М--4 + М- С7.7.7)
2т дх2 2 2т ду2 2
Соответственно энергетический спектр системы в данном случае можно
представить как
£<"„> = П^(К + а)/т(щ + 0,5) + hJ(K-а)/т(п2 + 0,5), (7.7.8)

/(п>,
,_»т/(л).
iW,
Аналогично в случае трехмерного осциллятора, когда потенциальная
энергия имеет вид
U =0,5(К\Х2 +К2у2 +Кгг2\
гамильтониан системы
H = -^-A + kKlxz+K2y2+K2Z2),
2т 2
здесь Д - оператор Лапласа, который может быть представлен в виде суммы
гамильтонианов трех независимых осцилляторов. Таким образом, задача
опять сводится к одномерной. С учетом (7.7.2) и (7.7.3) получаем, что спектр
разрешенных состояний и волновые функции трехмерного осциллятора
могут быть представлены в виде
E = ha>x («, + 0,5) + йсо 2 (п2 + 0,5) + й© з («3 + 0,5);
( . \V4
(2n^+lhnl\n2\n:s\r]/2x
г
хехр
1
3 2 2 2
71 Я] а2 а3 у
У
7 \
1 2 т 2 -.2
V 2а\ 2а2 2аЪ J
Н„
^
Н„
а\)
\а2)
н„
( \
z
\аи
(7.7.9)
где ©, = ■jKj/m; a, = -Jh/пщ.
В частном случае сферического осциллятора, когда U = 0,5kr , решение
соответствующего уравнения Шредингера можно представить в виде
Е^ =ha(N + l,5),N = п\ + п2 + п3, N =0,1,2,..,
г (с)
_ш(л).
гОО/
г (л)
^зд(о=*;лч*)ч/;л;(^)ч/;,,;(^111,я2,я3 =одд,.... (7.7.Ю)
Таким образом, стационарные состояния сферического осциллятора,
согласно (7.7.10), образуют эквидистантную последовательность
энергетических состояний.
(с)
Отметим, что *¥„„ „ - радиальная волновая функция, а полная волновая
функция имеет вид аналогичный (7.6.4).

Рассматривая сферически симметричную потенциальную яму с
параболическим удерживающим потенциалом в более общем случае, можно
показать, что каждое из разрешенных состояний характеризуется двумя
квантовыми числами п и /(и - радиальное квантовое число {п = О,1,2,...), /- орбитальное
квантовое число (/= 0,1,2,...)).Причем энергия разрешенных состояний
зависит только от комбинации этих чисел 2п +1= N
Е„,=П(й(2п +1 + 1,5), (7.7.11)
а соответствующая ортонормированная система одночастичных волновых
функций имеет вид
1 е,т Ull + W-пГ) JjjLLHU
Jhi i 2{l + m)\ ' У \Г(п +1 + 0,5)
x exp(-Va r2/2)r lllf>5 (Var2),
где т- магнитное квантовое число;Р,т(x)-присоединенные функции Лежан-
дра первого рода; Г(х)- гамма-функция Эйлера; Ln(х)- обобщенный
многочлен Лагерра; г, 9, ср - сферические координаты от центра ямы; a - параметр
крутизны удерживающего потенциала £/(г,0, ср) = ш*~.
Так как каждое значение N > 2 может осуществляться несколькими
комбинациями значений п и /, то стационарные состояний сферического осциллятора,
начиная с третьего, оказываются g(N)- кратно вырожденными, причем
g(N)=0,5(N + \)(N+2).
Например, уровень энергии EN =E2 = 7/2йю будет шестикратно
вырожден. В одном из этих шести состояний угловой момент (а, следовательно, и
орбитальное квантовое число /) равен нулю (у - состояние), а остальные пять
состояний относятся к d- состояниям, которые различаются проекциями
углового момента.
Необходимо отметить, что в случае сферического осциллятора
вырождение каждого из р-, d-, f - и т.д. состояний, является результатом
сферической симметрии потенциального поля, а вырождение, благодаря которому s-
состояние имеет энергию, совпадающую с энергией d- состояния (при N = 2,
является «случайным». Оно обусловлено не симметрией задачи, а
квадратичной зависимостью потенциальной энергии от радиуса. Если зависимость
потенциальной энергии от радиуса будет отличаться от квадратичной (т.е. от
£/(/-,0, ф) = а.7*2), например, членом $г2к, то вырождение, связанное со
сферической симметрией сохранится, а случайное - будет отсутствовать.

2.7.8. Энергетические состояния
в прямоугольной квантовой яме сложной формы
Возможность получения слоев с произвольным профилем изменения
состава позволила для улучшения характеристик приборов использовать
структуры с КЯ сложной формы. Так для создания нового поколения
резонансно-туннельных диодов и гетеролазеров с раздельным электронным и
оптическим ограничением применяются структуры с прямоугольными КЯ, в центре
которых имеется дополнительный провал (рис. 7.8а)
Рассмотрим влияние дополнительного провала на энергетический спектр
КЯ с бесконечно высокими стенками (рис. 7.86).
При анализе учтем, что провал получен изменением состава твердого
раствора, и, следовательно, в области провала (-d<x<d) эффективная масса
электрона т2 может отличаться от эффективной массы пц в прилегающих
областях (d<\x\<l).
В случае, когда эффективная масса зависит от координаты, одномерное
уравнение Шредингера может быть представлено в виде
h2 д
-1 д
т(х)~[ — + и(х)
2 дх дх
¥=£VF.
(7.8.1)
Для областей 1 и 3 (d<\x\ </)0-8.1) принимает вид
2/и, дх2
+ 0
Ч, = Е¥.
Аналогично для области 2 (|х\< d) имеем
П2 д
2т2 дх2
■-U
¥ = £4'.
Найдем положение разрешенных энергетических уровней для Е > 0 (т.е.
попадающих в широкую часть КЯ). В этом случае волновая функция во всех
трех областях может быть представлена в виде
¥,- = Aj ехр(/£у х) + Вj expi-iKjX), j = 1,2,3,
где Кх з =
2т,
-Е;К2 =
2т-,
(E + U).

a
4
V
-i
1
-d
2
3
d
t i
U
5
X
I
-d
I
2
3
d
U
I
2
4 ^^^
J
>*■ з
'
~*
0,0 0,5
л
лг=0
r\
к.
1,5 K,l
rs
XT
Рис.7.8. Энергетическая диаграмма КЯ с дополнительным
потенциальным провалом
Рис.7.9. Графическое решение уравнения (7.8.6): 1 -/Г,/; 2,3,4 и S—F0{kxl);2~
т2 =/»! к U = 0; 3— тг < /и, и(/ =0;4 — т2 <т1 и(/ ^0; 5 — т2 =щ и[/^0
Рис. 7.10. Потенциальный профиль и волновые функции
для системы из двух прямоугольных КЯ
Для нахождения коэффициентов А и В как обычно воспользуемся
условиями, обеспечивающими непрерывность волновой функции (непрерывность
плотности частиц) и плотности потока частиц. Тогда при |х|=г/ имеем, что
чи=ъя±*ь..±аъ. (7.8.2)
тх ах т2 ах
Кроме того, так как стенки КЯ бесконечно высокие, при \х\= I
¥,3=0. (7.8.3)
Используя граничные условия (7.8.2) и (7.8.3), получим два уравнения:
tg[^1(/-^)] = ^^-ctg(^2^);
тх К2
tg[Kl(l-d)] = -'^^-ctg(K2d),
/77, К2
(7.8.4)
(7.8.5)

из которых первое определяет разрешенные К (а следовательно, и Еп) для
четных состояний, а второе - для нечетных.
Анализ выражений (7.8.4) и (7.8.5) позволяет выявить влияние провала и
различия эффективных масс на положение разрешенных уровней энергии.
Так, для основного (нижнего) четного состояния из (7.8.4) получаем
K,l = F0, (7.8.6)
где
F0 = — + K{d- arctg
На рис.7.9 представлено решение уравнения (7.8.6) графическим
методом.
Разрешенные значения К\ при известной ширине КЯ (2/) определяются
точками пересечения прямой 1 (соответствующей левой части уравнения
(7.8.6)) с зависимостями F0(KJ) (кривые 2-5).
Анализ (7.8.6), (7.8.7) и приведенных зависимостей показывает, что для
основного четного состояния: 1 -уменьшение эффективной массы т2
сдвигает разрешенный уровень энергии в область больших энергий; 2 - увеличение
ширины du глубины U провала понижает разрешенный уровень энергии; 3 -
результирующее смещение уровня энергии определяется суперпозицией
данных эффектов, при этом влияние эффективной массы обычно слабее. Так, при
т2 -> 0 аргумент у arctg в (7.8.7) стремится к
[т2К: ) К{П2
т.е. влияние т2 на решение уравнения (7.8.6) вообще исчезает, а влияние d и U
остается.
Увеличивая ширину и глубину провала, можно «втянуть» основной
четный уровень из широкой части КЯ в провал. В этом случае кривые F0(Kxl) не
будут пересекать прямую 1 (рис. 7.9) при (KJ) > О, а, следовательно,
производная функции F0(AT,/) по переменной (К^Г) в точке (АГ,/) = 0 станет меньше
единицы. Отсюда следует, что условие существования основного четного уровня
в широкой части потенциальной ямы имеет вид
тх К 2
т2 Кх
tg(K2d)
(7.8.7)

где
2m2d
Анализ (7.8.8) показывает, что увеличение d, U, /и, или т2 способствует
втягиванию основного четного уровня в провал.
Рассмотрим теперь влияние параметров системы на положение первого
возбужденного (нечетного) состояния. Как следует из (7.8.5), выражение для
определения разрешенных значений К в этом случае может быть
представлено в виде
Kil = Flt
где
F{ =n + Kxd-axctg
^-±tg(K2d)
_Щ К2
(7.8.9)
(7.8.10)
Анализ показывает, что и в этом случае уменьшение т2 увеличивает
разрешенное значение энергии, а рост d и U — уменьшает. Однако в данном
случае ослабляется роль U. Так, устремляя т2 к нулю, видим, что аргумент arctg в
(7.8.10) стремится к
'тг^ы
Щ К2
т
= -^Kxd,
J
т.
т.е. влияние U исчезает.
Различное влияние U и т2 на положение основного и первого
возбужденного состояний связано с различным видом волновых функций,
соответствующих этим состояниям. Если для основного состояния в области провала
велико значение |ЧР|" и мало значение |<W/a!x|2, то для первого возбужденного,
наоборот, велико \dsVjdx\1, но мало |¥| . Так как средняя энергия в данном
состоянии
2 оо
ё=\
К
2т
с№
dx
dx+ \U(xf¥\ dx,
то оказывается, что в основном состоянии средняя энергия будет более
«чувствительна» к наличию и величине провала, а в первом возбужденном
состоянии - к значению тг.
В результате оказывается, что можно создать структуру, у которой
наличие слоя с меньшей эффективной массой приведет к понижению энергии

основного и повышению энергии возбужденного состояния, т.е.
энергетический зазор между этими уровнями станет больше, чем в случае простой КЯ,
что, например, используют для увеличения контрастности ВАХ
резонансно-туннельных диодов.
Реально мы имеем дело с потенциальными ямами, стенки которых имеют
конечную высоту (рис. 7.8л). В этом случае необходимо дополнительно
учесть возможность проникновения частицы под барьеры (т.е. в области 4 и 5,
см. рис. 7.8я). Решение уравнения (7.8.1) для этих областей (|;г|> /) можно
записать в виде
¥45=C4i5exp[-P(|x|-/)],
(7.8.11)
где Р" = ■
2т-,
п
Учитывая граничные условия при x = ±d и х = ±1, соответствующие
дисперсионные уравнения для определения разрешенных значений энергии и в
этом случае (V^<x>) удаётся представить в виде (7.8.6) и (7.8.9), но F0 для
основного четного состояния теперь будет иметь вид
F0 = arctg
7Я,Р
пи К
+ К] d -arctg
1 V
-i"-?-tg(A:2d)
m-, A,
(7.8.12)
aF] для первого возбужденного (нечетного) состояния может быть
представлено как
Fy -n + Kyd- arctg
гтпъК^
/и,р
■arctg
V
m7 К, ,т, ^
(7.8.13)
Анализ показывает, что понижение высоты стенок КЯ понижает значения
разрешенных уровней энергии как для основного четного, так и для
возбужденного состояния. Такому понижению способствует и увеличение ш3
(эффективной массы материала барьеров). В результате условие существования основного
четного уровня в широкой части потенциальной ямы принимает вид
,U \тъи
>l.
(7.8.14)
Оценки показывают, что, например, для структуры, у которой барьеры
изготовлены из AlAs, широкая часть КЯ - из твердого раствора In 0 «Gao 47 As,
провал - из InAs, с параметрами V = 1,32 эВ, £7=0,24 эВ, of =9,2 А, /=18,2А,
/Я] = 0,046/и0, тг = 0,023/»0, тъ = 0,124ш0 уровни энергии основного и первого
возбужденного состояний равны соответственно 0,09 и 1,22 эВ. В то же время

для аналогичной структуры без провала эти же уровни соответствуют
значениям 0,22 и 0,94 эВ. Таким образом, наличие провала может изменять
положение уровней на несколько десятых эВ.
2.7.9. Структура со сдвоенной квантовой ямой
Выше мы рассмотрели поведение частиц в системах, содержащих
изолированные КЯ и потенциальные барьеры. Однако накопленный к настоящему
времени опыт и совершенствование техники для выращивания эпитаксиальных
структур позволяют создавать и более сложные гетерокомпозиции,
содержащие полупроводниковые слои со сложным потенциальным профилем. С этой
точки зрения большой интерес представляет изучение энергетического спектра
частиц в связанных КЯ, так как в таких системах возможно направленное
регулирование энергетического спектра и скоростей рассеяния электронов не
только с помощью изменения формы КЯ, но и изменения связи между КЯ.
Двойная КЯ является к тому же одним из наиболее простых модельных
объектов для изучения процессов туннелирования через потенциальный
барьер. Интерес к этому объекту связан, прежде всего, с тем, что современный
уровень развития технологии позволяет создавать подобные структуры с заранее
известными параметрами (ширина слоев, высота барьера), причем разброс этих
параметров, возникающий в процессе изготовления структур, очень
незначительный. Это существенно уменьшает взаимодействие квазичастиц с неоднород-
ностями (дефекты гетероперехода, непостоянство состава, примеси и т.п.).
Структуры со связанными КЯ стали основой многих электронных и опто-
электронных приборов. На их основе созданы лазеры инфракрасного
диапазона (ИК), приемники (ИК) излучения, элементы нелинейной оптики и
быстродействующие транзисторы.
Для выяснения влияния, оказываемого сближением изолированных КЯ.
рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых одномерных
прямоугольных КЯ, разделенных проницаемым потенциальным барьером (рис.7.10).
Обсудим прежде всего на качественные изменения.
Известно, что энергетический спектр такой системы имеет вид дублетов.
Волновая функция в данном случае является решением уравнения (7.1.2) с
потенциалом, показанным на рис.7.10. Если КЯ достаточно удалены друг от
друга, то между ними волновая функция *F практически равна нулю. Решение
(7.1.2) в окрестности каждой КЯ в этом случае будет практически совпадать с
решением для изолированной КЯ с тем отличием, что величина yV\~
вследствие нормировки уменьшится вдвое. Волновая функция Ч* для наинкзшего
квантового состояния показана на рис.7.10а.
Однако для данной задачи возможно и другое решение уравнения Шре-
дингера (рис.7.1 Об). Единственное различие между *F функциями, показании-

ми рис.7.10, состоит в изменении знака в одной из КЯ и означает, что волновая
функция Ч* (включая зависимость от времени) в одной из ям отличается по
фазе на 180° от Ч* в другой яме. Принято говорить, что волновая функция (а)
симметрична, а волновая функция (б) - антисимметрична.
Между значениями энергии для обоих решений (а) и (б) разницы
практически нет, что следует из одинаковой для обоих решений формы Ч*(х), а
следовательно, одинаковой средней кинетической энергии (~\c№/dx\ ) и средней
потенциальной энергии (~ [/(jt)^2 ).
При сближении КЯ волновые функции (а) и (б изменяют свою форму (рис.
7.11). В этом случае волновая функция (а) будет давать меньшее значение
полной энергии Е, поскольку для нее среднее значение потенциальной энергии
приблизительно такое же, как и в случае (б), тогда как среднее значение
кинетической энергии меньше, так как меньше среднее значение | d*¥/dx\ .
В предельном случае (рис. 7.12), когда ширина барьера между ямами
равна нулю, т.е. ямы только что соприкоснулись, Ч* - функция (а) есть не что
иное, как волновая функция основного состояния для КЯ шириной 2W. Поско-
льку, согласно (7.4.2) и (7.4.6), энергия глубоких состояний Е ~п /W (W -
ширина КЯ), то соответствующее значение Е составит примерно 1/4 энергииЕ
для рис. 7.10.
Аналогично, волновая функция (б) на рис. 7.12 есть волновая функция с
п = 2 для КЯ шириной 2W. Таким образом, значение Е, связанное с этой
функцией Ч*, будет примерно то же, что иЕ для волновой функции на рис. 7.13, так
как п увеличилось в два раза (равенство будет точным для КЯ с бесконечно
высокими стенками). Зависимость энергии для этих двух состояний от
расстояния L между КЯ показана на рис. 7.13. Для обоих состояний исходным
является значение энергииЕ} при L = <n(El -энергия частицы в состоянии п = 1для
прямоугольной КЯ конечной глубины). Из рис. 7.13 следует также, что при
любом значенииLуровеньЕ}, соответствующий изолированной КЯ,
расщепляется на два уровня (образуется дублет), причем это расщепление растет с
уменьшением расстояния между КЯ. При этом, если частица находится в
состоянии с более низкой энергией, то волновые функции в обеих КЯ
оказываются в одной фазе; если же частица находится во втором состоянии, то
волновые функции оказываются в противоположных фазах. Отметим, что
расщепление уровней во взаимодействующих КЯ аналогично расщеплению
резонансных частот в связанных резонансных контурах.
Рассмотрим более подробно энергетический спектр частицы в системе,
состоящей из двух КЯ, разделенных 5-образным барьером (рис. 7.14).
Распределение потенциала в этом случае можно записать в виде

a
б
У
У
А\
i
/л ■
/ \ •
' V
V
Рис. 7.11. Изменение волновых функций при изменении расстояния между КЯ
Рис. 7.12. Волновая функция для предельного случая, когда барьер только что исчез
U(x) =
f]U(x)=a5(x) при \x\<W
\U(x) =oo при |х|>Ж'
причем а >0.
Для | д-|< W состояния частицы в этом потенциале описываются
уравнением Шредингера
Ь1 d24>
+ аб(х)1? = £Т.
2т dx2
В интервале 0 < х < W решение (7.9.1) имеет вид
а для -W < х < О
4х! = Ах exp(iKx) + B{ exp(-iKx),
4*2 = А2 exp(iKx) + B2 ехр(-/АЗс),
(7.9.1)
(7.9.2)
(7.9.3)
здесь £=—£.

, г—
и
-IV
_.
"
._ и
у^о
Рис. 7.13. Зависимость энергии от/, для симметричного и антисимметричного
состояний в связанных КЯ. Кривая а) соответствует симметричной ^-функции;
б) антисимметричной
Рис. 7.14. Энергетическая диаграмма КЯ с 6-образным потенциалом
С учетом граничных условий в точках | х\ = W получаем
% = 2/5, exp(-iKW) sm[K(W - х)]; (7.9.4)
% = 2/5j exp(-iKW)sin[K(W + х)]. (7.9.5)
При наличии 5-образного потенциала граничные условия в точке х = 0
принимают вид
"2.171
% (0) = Ч>2 (0) и %(0) - % (0) = — аУ(0).
п
Отсюда получаем выражение, определяющее спектр четных
разрешенных состояний в данной системе,
Kh2
та
= -tg(KW).
(7.9.6)
h2
h2
Анализируя (7.9.6) в пределе а» и —К (последнее неравенство
mW m
ограничивает рассмотрение состояний с достаточно низкой энергией) для
четных (симметричных) состояний получим, что
е: = е„
1-
2Й
2 Л
)
maW
здесь Епт - энергия «-го уровня в БПЯ шириной W (7.4.6), п=\ ,2,3,...
(7.9.7)

Для нечетных состояний волновая функция при лИ) должна равняться
нулю. Согласно (7.9.4) и (7.9.5) данное условие выполняется, если
KW = гт.
При этом энергия частицы, находящейся в нечетном (антисимметричном)
состоянии будет определяться выражением
E~=EIW, (7.9.8)
т.е. в нечетном состоянии частица как бы «не чувствует» наличия 5-образного
потенциала в точке д=0 симметричной системы.
Сопоставляя (7.9.8) и (7.9.7), заметим, что Е~ >Е*. Именно такое
расположение состояний и вытекало из качественного рассмотрения подобной системы.
2. 7.10. Прохождение частиц
через миогобарьерпые квантовые структуры
Рассматривая поведение частицы (электрона) в системах, содержащих
изолированные КЯ и потенциальные барьеры, было установлено, что при тун-
нелировании через одиночный потенциальный барьер коэффициент
прохождения D всегда будет меньше единицы. Казалось бы, что при туннелировании
через два и более потенциальных барьера общий коэффициент прохождения
должен стать еще меньше. Однако это не всегда так, и в ряде случаев
коэффициент прохождения через многобарьерную систему может стать больше
коэффициента прохождения через любой барьер этой системы. Данный эффект
связан с интерференцией волн де Бройля и также может служить примером
проявления размерных эффектов.
Рассмотрим прохождение частицы через систему из двух потенциальных
барьеров (рис.7.15). Будем полагать, что потенциальная энергия системы не
зависит от времени. Тогда состояния движения частицы через
рассматриваемую систему могут быть найдены из решения одномерного уравнения Шре-
дингера (7.1.2). Для энергий, соответствующих туннелированию частицы
через оба барьера, решения (7.1.2) в областях 1, 3 и 5 можно записать в виде
¥,(*) = А, ехр(/АГ,.х) + В, ехр(-/Я», / = 1,3,5, (7.10.1)
здесь К, = l—r-Ej (полагаем, что масса частицы во всех областях одинакова).
Для областей 2 и 4
У,(х) = А, ехр(Р,х) + В, ехр(-р», (7.10.2)
здесь

/
Я|
2
U2
L2
3
E>
, Wi
4
1.1
J
£3
Рис. 7.15. Энергетический профиль двухбарьерной квантовой структуры
а / = 2,4.
Подставляя (7.10.2) и (7.10.1) в (7.1.10), коэффициент прохождения
представим в виде
£> =
Кг U
(7.10.3)
Используя в качестве граничных условий равенства волновых функций и
их первых производных на каждой границе, с учетом (7.10.3) получим
D = ^-{Щ cos(K3W) + F2 sm(K3W)f +
к\
+[F2 cos(K3W)+FA sm(K3W)fy\
(7.10.4)
где
^i =
Fi =
F,=
v К J
с
ch(p2Z2)ch(p4Z4) +
P2 *i p4
sh(P2Z2)ch(P4Z4) +
K\K2 p2;
sh(p2Z2)ch(p4Z4) +
*, p2;
'P4 *3*5^
^з к, p4;
P4 *5
sh(P2Z2)sh(P4Z4),
ch(p2Z2)sh(p4Z4),
•*i P4J
ch(p2Z2)sh(P4Z4),
P1P4__^1^i
*1*3 P2 Pj
sh(p2Z2)sh(p4Z4)-
^1 + El
\K] K3 j
ch(p2Z2)ch(p4Z4).
(7.10.5)

Отметим, что (7.10.4) соответствует выражению для расчета
прохождения электромагнитных волн через интеферометр Фабри-Перо. Причем, из
геометрической оптики известно, что для некоторых длин волн,
определяемых расстоянием между пластинами интерферометра, коэффициент
прозрачности системы равен единице.
Аналогично можно получить выражение для расчета коэффициента
прохождения двухбарьерной структуры, если энергия частицы соответствует
интервалу, в котором прохождение частиц происходит под первым барьером, но
над вторым. В этом случае коэффициент прохождения удается представить в
виде (7.10.4) с:
F,
'к5 р2
/
ch(p2Z2)cos(p4Z4)-
vP2 К, К,j
sh(p2Z2)sin(p4Z4),
К
\
\К\ К,
Fz =
з
3 filJ
sh(P2Z2)cos(P4I4)-|^ + ^-^|ch(P2Z2)sin(P4Z4),
ч*.
(л
F,=~
sh(p2Z2)cos(p4Z4)
^3 ^5
К, К, " P2*J
Р2 ^4 ^3 ^5
£1 а
\К} +К J
(
sh(p2Z2)sin(p4Z4)-
3 -"М
ch(p2Z2)sin(p4Z4),
^3 +^S
ch(p2Z2)cos(p4Z4).
(7.10.6)
В случае симметричной двухбарьерной структуры, когда£, =£3 =Е5 =Е
wU-2=UA=U выражение (7.10.4) существенно упрощается и принимает вид
D= 1 +
(K2+p2)2sh2(PL)[2Kp>ch($L)cos(KW)-(K2 -(32)sh((3Z)sin(/CW)]2
4/^4(34
(7.10.7)
где AT:
!£*.э-$«/-*).
Данное выражение соответствует формуле Эйри. Анализ (7.10.7)
показывает, что в случае симметричной двухбарьерной квантовой структуры (ДБКС)
коэффициент прохождения оказывается равным единице, если
0,5h-l/il] = cth(pZ)ctgCOF),
(7.10.8)

здесь Г| = АУр. Это выражение определяет значения энергии частицы, для
которых наступает «резонансное» прохождение ДБКС и отражение полностью
отсутствует.
Как уже отмечалось, данный эффект является следствием интерференции
волн де Бройля, отражающихся от каждой границы раздела. Конечно, для
полного подавления отражения от структуры (R = 0,D = 1) необходимо
выполнение определенных фазовых и амплитудных соотношений для
интерферирующих волн. При этом фазовые соотношения определяются энергией частицы
и геометрическими размерами барьеров и КЯ, а амплитудные - отношением
E/U0.
Состояния вКЯ, соответствующие значениям энергии, для которых!) = 1,
называют резонансными, а в случае, когда нужно подчеркнуть возможность
ухода частицы из КЯ туннелированием через барьеры их еще называют
квазистационарными или метастабильными. Энергетическое положение
квазистационарных состояний определяется шириной КЯ и высотой барьеров.
Зависимость же их энергетического положения от толщины барьеров L является
слабой. Толщина барьеров, в первую очередь, определяет «ширину»
квазистационарных уровней, связанную с конечной вероятностью ухода частицы из КЯ.
Полагая (PL) ->°о, выражение (7.10.8) можно представить в виде (7.4.2).
Таким образом, в случае непроницаемых барьеров (7.10.8) определяет
энергетическое положение стационарных состояний в КЯ.
На рис. 7.16 представлена зависимость коэффициента прохождения D от
энергии для симметричной двухбарьерной квантовой структуры,
рассчитанная по (7.10.7) cL = W = 3,0hm, m=mQ и UQ =0,1 эВ. Согласно расчетам, в
данном случае наблюдаются два резонансных пика, в максимуме которых D= 1.
Полуширина (ширина пика на полувысоте) первого пика < 0,1 мэВ,
полуширина второго пика - на порядок больше, что связано с увеличением вероятности
туннелирования частицы из КЯ с увеличением энергии частицы. Здесь же
показана зависимость коэффициента прохождения D от энергии частицы для
трехбарьерной структуры при тех же параметрах ям и барьеров. В случае
трехбарьерной структуры получить простое аналитическое выражение типа
(7.10.7) не удается. Поэтому проводилось численное решение уравнения
Шредингера с учетом сшивания волновых функций и их производных на
шести границах.
Из рис. 7.16 видно, что в данном масштабе положение первого пика для
трех- и двухбарьерной структур совпало, а второй пик заметно расщепился на
два, расположенных по обе стороны от пика, соответствующего
двухбарьерной структуре.
На рис. 7.17 в другом масштабе представлены зависимости D от энергии
для первого пика трехбарьерной структуры при различной ширине среднего

1,0
D
0,81-
0,6 -
0,4
0,2
0.0
2 барьера —
-
и
1
3 пяркеря.
Л"
1 1 1 1
А
0,0
0,020413
0,020423
0,020433 Е,эВ
0,02 11,03 0,04 0,05 0,06 0,07Я,эВ
Рис. 7.16. Зависимость коэффициента прохождения D через двух-
и трехбарьерную структуры от энергии частицы. На вставке показан
потенциальный профиль структуры
Рис. 7.17. Зависимости коэффициента прохождения от энергии
для трехбарьерной структуры: 1 — d = 2,5dk,2 — d = 2,15dk,
3 — d = ],9dk,4 — d = l£dk, здесь d— ширина среднего барьера,
dk — ширина внешних барьеров
барьера (параметры внешних барьеров и КЯ соответствуют предыдущему
случаю). Видно значительное влияние ширины среднего барьера на
коэффициент прохождения. Согласно расчетам, при уменьшении толщины среднего
барьера коэффициент D сначала возрастает, сохраняя форму резонансного
пика, затем достигает единицы, когда толщина среднего барьера примерно в 2
раза больше толщин внешних барьеров, а затем расщепляется на два пика,
которые удаляются друг от друга (отталкиваются) по мере уменьшения
толщины среднего барьера. При этом провал между пиками углубляется. Такое
поведение соответствует изменению дублетного расщепления в системе из КЯ,
разделенных туннельно-прозрачным барьером. Заметим, что крайние пики на
рис.7.17 соответствуют первому пику на рис.7.16. При этом из-за изменения
масштаба расщепление не проявляется.
В случае, когда энергия частицы превосходит высоту каждого из
потенциальных барьеров двухбарьерной квантовой структуры рис.7.15. (E>U2-> £/4
- надбарьерное прохождение), интерференция отраженных (от скачков
потенциала) и падающих волн де Бройля будет приводить к немонотонной
зависимости коэффициента прохождения от энергии частицы. Выражение для
расчета коэффициента прохождения и в этом случае можно представить в
виде (7.10.4) с

1 + -
к.
cos(K2L2)cos(KALA )-
v -\ J
f
К А Л 5 A. 2
-F-,
-Fy =
^K] АГ3 K2 j
^4 =
K2 KA K3 K5
A. j К ^ К 2 К A
sin(K2L2)cos(KALA ) +
sin(A'2Z<2)C0S(^4^4 ) +
Sm(K 2L2)s'm(K ALA)
s'm(K 2L2)sin(K AL4),
cos(K 2L2)sm(K ALA),
1 л4 У
V^3 *4 ^4 У
^4 | ^5
ч-^l ^4 J
cos(K 2L2)sin(K AL4),
cos(K 2L2)cos(K AL4).
(7.10.9)
где K2A = I—(£ - C/2j4).
В случае симметричной двухбарьерной структуры, когда^Т, =Е-$ =ES = £,
U2=U4 = U wL2=LA =L выражение (7.10.4) принимает вид
D
_\ | (к2-к2)2вт2(к2ь)
-1
4л:2л:2
R
(7.10.10)
J 2т 1т
—E,K2=J—(E-U),a
R =
[(К2 + К\)sin(K2L)sinjKW) -2КК-, cosjK^L)cos(KW)f
~K2K2 =
(7.10.11)
Согласно (1.10.10) при изменении энергии частицы коэффициент
прохождения будет равен единице всякий раз, когдаs\\\(K2L)vu\vlR будут
равняться нулю.
Зависимость коэффициента прохождения/) от энергии частицы,
рассчитанная по (7.10.10), показана на рис. 7.18 (кривая 1). Расчет проводился для
£=2нм, И/ = 5нм, /н=9,1 ■ 10" кги £/=0,2эВ. По оси х отложена энергия в
относительных единицах X =Е/Е0, где Е0 - энергия первого уровня в БПЯ
шириной W.
Заметим, что при/? = 1 (7.10.10) совпадает с выражением (7.3.4) для
расчета коэффициента прохождения частицы над одиночным симметричным
потенциальным барьером. Таким образом, условие зт(А^2£)соответствует
случаю, когда частица проходит над каждым барьером с коэффициентом про-

хождения равным единице и не возникает отраженных волн ни от первого, ни
от второго барьера. При этом в области между барьерами концентрация
частиц равна концентрации частиц с данной энергией, испускаемой источником.
Следовательно, частицы с данной энергией могут накапливаться только в
области барьеров.
Согласно (7.10.11) условие R = 0 выполняется, если
Ц^1- = ctg(K2L)ctg(KW).
ZKKi
(7.10.12)
При этом коэффициент прохождения над каждым барьером по
отдельности не равен единице. Однако, за счет накопления частиц в области между
барьерами полный поток частиц, прошедших второй барьер, будет равен потоку
частиц, испускаемых источником и будет подавлено отражение частиц,
налетающих на первый барьер.
На рис. 7.19 приведены зависимости распределения отношения
концентрации частиц в окрестности точки х к концентрации частиц в падающей волне
по межбарьерной области симметричной двухбарьерной структуры. При
расчетах, как и ранее, полагали, что ширина барьеров L = 2 нм, ширина КЯ
W = 5hm, высота барьеров U0 = 0,2эВ (в относительных единицах 13,38).
9
l-'s
7
6
J
4
3
->
1
Л Л Л Л
' \ f \ \ I \
v * А ■' 11 А" / \ А / /
Л \ /Л ч \/ А \ •' /
-\ \ / /\ У V Л \ •' /
- \ \/ ' \ А А 1 \ \! 1
4W ^>dr\rrd^\fw^
0 1 2 3 - х=вг :
В А
в
-
А
1 (
и
"в \а\ в
1 If d=L
Fh
-И"
Рис. 7.18. Зависимость коэффициента прохождения от энергии для симметричной
двухбарьерной структуры- 1; 2— зависимость, рассчитанная по (7.10.10)
при R = 1; 3 - зависимость вида 1/(1 + R)
Рис. 7.19. Распределение относительной концентрации частиц
по межбарьерной области симметричной двухбарьерной структуры.
1 -для X = 10,84; 2 - для X = 15,5; 3 - для X =25,76; 4 - для ,Y =20
Рис. 7.20. Одномерный периодический потенциал Кронига-Пеннн

Кривая 1 на рис. 7.19 соответствует относительной энергии частицы
Х = 10,84 (энергии наивысшего (четвертого) квазистационарного состояния в
КЯ). При этом частица ту ннелирует под двумя барьерами. Амплитуда кривой 1
на рисунке уменьшена в 10 раз по сравнению с расчетной, т.е. в области между
барьерами наблюдается существенное возрастание концентрации частиц.
Кривая 2 соответствует энергии частицы X - 15,5 (первое надбарьерное
резонансное состояние). Данная энергия соответствует условию R-0, т.е.
(7.10.12). При этом в области между барьерами также наблюдается
накопление частиц (g > 1), однако оно значительно меньше, чем в первом случае.
Такое поведение объясняется резким увеличением коэффициента прохождения
области второго барьера с увеличением энергии частицы при переходе от под-
барьерного туннелирования к надбарьерному прохождению. В результате для
создания одинаковых потоков частиц, прошедших через область второго
барьера при подбарьерном туннелировании и надбарьерном прохождении, в
первом случае в области КЯ необходимо накопить больше частиц (т.е.
увеличить поток частиц, падающих на второй барьер), чем во втором.
Кривая 3 на рис. 7.19 соответствует третьему надбарьерному
резонансному состоянию с энергией Х = 25,76. При данной энергии тоже выполняется
условие R — 0 и в области между барьерами происходит накопление частиц.
Так как с увеличением энергии частицы коэффициент прохождения через
область второго барьера возрастает, накопление частиц становится еще менее
выраженным.
Распределение относительной концентрации частиц с X = 20 по
межбарьерной области симметричной двухбарьерной структуры показано на рис. 7.19,
кривая 4. Данная энергия почти соответствует энергии второго надбарьерного
резонансного состояния и условию /?= 1. Поэтому накопления частиц с
данной энергией практически не происходит.
2.7.11. Энергетически?/ спектр сверхрешеток
Рассмотрим прохождение частиц в системе, состоящей из большого
числа тонких слоев двух или нескольких материалов, чередующихся в одном
направлении (см., например, рис. 7.25). Такие системы называют
«сверхрешетками» (СР). Реально период повторения в таких системах составляет от
единиц до десятков нанометров, что обычно меньше длины свободного пробега
электронов, но больше постоянной кристаллической решетки. Изменения
потенциала при переходе от одного слоя к другому также имеют периодический
характер, сам же потенциал во многих случаях может быть представлен
системой чередующихся прямоугольных потенциальных барьеров и КЯ.
В одномерном приближении прохождение частиц через систему
чередующихся прямоугольных потенциальных барьеров может быть рассмотрено в

рамках модели Кронига-Пенни. В основу этой модели положена правильная
цепочка прямоугольных барьеров и КЯ (рис. 7.20). Период СР б/в этом случае
равен суммарной ширине КЯ и барьера (W + L).
Учитывая периодичность потенциала
U(x) = U(x + d) = U{x + 2 d) =..,
решение уравнения Шредингера (1.1.2) следует искать в виде функций Блоха
Т(х) = и(х) exp(zTCc), (7.11.1)
где и(х)- амплитуда блоховской функции, периодичная с периодом СР d.
Подставляя (7.11.1) в (7.1.2), получим уравнения для функции и(х)
^ + ПК^ + (К1 -К2)и = 0дляО < х< W (7.11.2а)
dx2 dx
^- + ПК^-ф2 +K2)u = 0rjw-L<x<0, (7.11.26)
dx2 dx
здесь К\ = Ji—E - волновой вектор частицы в области КЯ; Е — энергия
частицы (0<Е <U0),
V = ^(U0-E) (7.11.3)
- волновой вектор частицы в области потенциального барьера.
Решения уравнений (7.11.2а) и (7.11.26) имеют вид
и = Aexp[i(K: -K)x] + Bexp[-i(Kl +K)x] (7.11.4)
для 0 < х < W и
и = Сехр[(|3 - iK)x] + £>ехр[-(Р + iK)x] (7.11.5)
для -L < х < 0.
Константы А, В, С и D должны выбираться так, чтобы и и du/dx были
непрерывны при х=0 и x — W и выполнялось условие периодичности, согласно
которому значения и и du/dx в точке x-W должны быть равны значениям и и
du/dx в точке x = -L. Это приведет к системе линейных однородных уравне-

ний. Данная система имеет решение, если ее детерминант, составленный из
коэффициентов при А, В, С и D, равен 0. С учетом этого получим, что разре-
П2К2
шенные значения волнового вектора К (а значит, и энергии Е = ) должны
2/и
удовлетворять следующему дисперсионному соотношению:
cos(Kd)=cos(K^W)ch(^L)-0,5[r\-l/r]]sm(K]W)sh(^L), (7.11.6)
где г\ = К] /(3.
Согласно (7.11.6) энергетический спектр СР 0 <Е < U0 для разбивается на
зоны разрешенных и запрещенных значений энергии. Разрешенным зонам
соответствуют такие значения Е, для которых значение правой части (7.11.6)
лежит в интервале от -1 до +1 и К принимает вещественные значения. Области
Е, которым не соответствуют вещественные К, называются запрещенными
зонами или щелями, так как частицы с такими энергиям, согласно (7.11.1) не
могут распространяться по СР на значительные расстояния.
Если сделать барьеры достаточно широкими (L -> оо), то придем к случаю
с изолированными КЯ, для которых разрешены только дискретные значения
энергии. Согласно (7.11.6) при L -» оо для определения разрешенных значений
К получаем соотношение
0,5
Г)
= c\g{KW\ (7.11.7)
которое совпадает с (7.4.2) для симметричной потенциальной ямы.
В промежуточной областиL, когда взаимодействие между КЯ мало,
выражение (7.11.6) также можно упростить. Обозначив через Еп дискретные
значения энергии, соответствующие (7.11.7), а черезF(E)- правую часть (7.11.6),
разложим F(E) в ряд в окрестности Еп (так как если (3L велико, то F(E) будет
меньше единицы лишь вблизи Еп). Ограничиваясь первым членом
разложения, имеем
Е = Еп + Sn + 2tn cos(Kd), (7.11.8)
_ _,_. dE \dE
гдеб^ =-r(bn)—, tn = здесь значения производных вычисляются при
dF 2 dF
Е = Еп.
Выражение (7.11.8) соответствует приближению сильной связи для
взаимодействующих КЯ, которые в отсутствие взаимодействия имели бы
связанные состояния, определяемые (7.11.7).

Согласно (7.11.8) взаимодействие между ямами проявляется двояким
образом. Во-первых, связанное состояниеЕп сдвигается на величину £„.
Во-вторых, в системе из N невзаимодействующих КЯ уровень Еп будет /У-кратно
вырожден. Взаимодействие снимает это вырождение и создает зону конечной
ширины 4t„.
Ширина энергетических зон в СР оказывается значительно меньше
ширины энергетических зон материалов слоев, образующих СР. Чтобы
подчеркнуть это, энергетические зоны в СР называют минизонами. Анализ (7.11.6)
показывает, что ширина разрешенных минизон увеличивается с увеличением
взаимодействия между КЯ (т.е. с уменьшением высоты и ширины барьеров) и
порядкового номера минизоны.
В реальных системах электрон может двигаться в трех направлениях.
Обратим внимание на одну особенность энергетического спектра СР,
проявляющуюся при учете трехмерного характера движения электрона.
Возьмем СР в которой движение в х направлении происходит через
систему потенциальных барьеров (см. рис.7.20 ), а в направлениях у и z (вдоль
слоев СР) движение частицы является свободным. Рассмотрим электрон,
имеющий в слое А энергию ЕА и волновой вектор КА с компонентами К., Ку и Кх.
Пусть, переходя в слой В, тот же электрон имеет энергию Ев, равную Ед в
силу закона сохранения энергии, и волновой вектор Кв с компонентами К.,
К иК2. Из непрерывности волновой функции на границе слоев вытекает
сохранение у- и z-компонент волнового вектора, т.е. К. =К: и К =К . При
этом, используя закон сохранения энергии, получим
h2(KfI+K2) h\K]I+Kl)
2т.
2т,
+ U
ср>
(7.11.9)
гд,еKfj = К2 + К2; Uc - потенциал СР. Так как
то из (7.11.9) имеем
К2 =
\2тг
Ex-Ucp+En
т
* \
т
в J
(7.11.10)

где Ех - энергия, соответствующая ^-компоненте волнового вектора в области
П2К2
А (т.е.ЛГ)), г.Еп =—-^--энергия поперечного движения в слое А.
2тА
Сопоставляя (7.11.3) и (7.11.10) видим, что выражение
[Ucp-E„{\-mAlт*в)\ в (7.11.10) играет роль эффективного потенциала.
Причем, из-за несовпадения компонент эффективных масс контактирующих
веществ эффективный потенциал зависит отЕ„ (т.е. от К. иКу ). Последнее,
может даже приводить к изменению знака эффективного потенциала, т. е. к
превращению потенциального барьера в яму, и наоборот. Из (7.11.10), в част-
ности, следует, что это произойдет при Ех kp =[Ucp -Eu(\-mA /mB)],
причем в зависимости от величины тА /тв Ех ^ может быть как больше, так и
меньше Ucp.
Традиционное решение «барьерных» задач сшиванием решений в
областях с различающимися потенциалами требует достаточно громоздких
преобразований. Для решения подобных задач рассматривается использование
концепции импеданса (от лат. impedio - препятствую). Отмечается, что импедан-
сная модель упрощает моделирование и существенно сокращает
соответствующие программные продукты, что особенно важно при аподизации -
изменении параметров потенциальных барьеров и ям для формирования требуемых
характеристик многобарьерных структур и СР.
2.7.12. Классификация полупроводниковых сверхрешеток
С момента появления идеи создания искусственных СР, высказанной
Л.В.Келдышем в 1962 году и возрожденной L.Esaki и R. Tsu в 1970 году,
полупроводниковые СР представляют собой одну из наиболее развивающихся
областей физики твердого тела. Как уже отмечалось, термин «сверхрешетка»
используют для периодических структур, состоящих из тонких слоев
полупроводников, повторяющихся в одном направлении с периодом, меньшим длины
свободного пробега электронов. В основном различают два типа
искусственных СР. Это композиционные СР (КСР), состоящие из периодической
последовательности полупроводников разного химического состава, и
легированные СР (ЛСР), представляющие собой последовательность слоев п-и р-тчпа
одного материала с возможными безпримесными прослойками между ними
(итр/-кристаллы). Использование этих двух подходов позволило создать
большое число различных СР. Существующее разнообразие полупроводниковых
СР сделало необходимой их классификацию. В данном разделе мы
рассмотрим классификацию полупроводниковых СР.

Потенциальный профиль в КСР создается за счет периодического
изменения ширины энергетической запрещенной зоны в направлении роста
кристалла; в ЛСР он обусловлен электростатическим потенциалом
ионизированных примесей.
Расположение краев энергетических зон различных материалов обычно
сравнивают, используя в качестве единого начала отсчета уровень вакуума.
При этом каждый из рассматриваемых материалов характеризуют величиной
электронного сродства и, которое определяет энергию, требуемую для
переноса электрона со дна зоны проводимости материала на уровень вакуума.
Поэтому в материале с большим значением электронного сродства (ЭС) край
зоны проводимости лежит ниже по энергии, чем в материале с меньшим ЭС.
Использование общего начала отсчета энергии позволяет разделить
композиционные СР на три типа (рис. 7.21).
В СР типа I разрывы зоны проводимости АЕС и валентной зоны A.EV
имеют противоположные знаки, а запрещенные зоны Egi полностью
перекрываются. Такие СР называют также «контравариантными» композиционными
сверхрешетками.
Характерной чертой данных СР является то, что узкозонный слой,
зажатый между широкозонными слоями, образует две прямоугольные КЯ - одну
для электронов, а другую - для дырок. Глубина этих потенциальных ям
зависит от того, какая часть разности ширин запрещенной зоны АЕ =Eg2 ~Eg\
приходится на разрыв Д£с, а какая - на разрыв AEV. Например, наиболее
используемые в настоящее время разрывы зон для гетероперехода
GaAs- Alj.Ga,^. As составляют 0,6АЕ для АЕС и 0,4кЕ -для &EV.
В СР типа II изменения краев зоны проводимости и валентной зоны
имеют одинаковый знак, а запрещенные зоны перекрываются лишь частично,
либо не перекрываются вообще («ковариантная» СР).
Характерной чертой данных СР является пространственное разделение
носителей, локализованных в КЯ. Электроны сосредоточены в КЯ,
образованных одним полупроводником, а дырки - в КЯ, образованных другим
полупроводником. Отметим, что в этих многослойных системах возникает «непрямая
в реальном пространстве запрещенная зона». В качестве примера на рис. 7.22
показаны зонные диаграммы сверхрешеток данного типа на основе систем
InAs - GaSb и In ^.Ga^ As - GaSb,_v As^.
Политипная СР (рис.7.21е) представляет собой трехкомпонентную
систему, в которой слои, образующие СР типа II, дополняются широкозонным
материалом, создающим потенциальные барьеры как для электронов, так и
для дырок. Пример энергетических диаграмм двух типов политипных СР
представлен на рис.7.23. Такие политипные СР конструируются из базовых

Ey,
e^/z/a
"2 //////,
v///// T
ЛЕ,,
-777777е*-
ec ^ '////,
CsEv
-777777^
'777777
W
S/Л//
/Ш7Г
E,
77777
77777
^77777
Be,
lg2 777/77 б
^2
mm
1
7/7 '- /7
i
1
m
,'.'?/M
Рис. 7.21. Расположение зоны проводимости и валентной зоны
относительно уровня вакуума (штриховая линия) в отдельных
неконтактирующих материалах (слева) и КСР различных типов (справа):
а — СР типа I; б — СР типа II; в — политипная СР. По оси абсцисс отложена
пространственная координата, по оси ординат — энергия
многокомпонентных систем типа ВАС, АВСА, АСВСА и т.д., где А означает
AlSb, В - GaSb и С - InAs.
Термином «легированные СР» принято называть периодическую
последовательность слоев и- и р-типа одного и того же полупроводника.
Результирующее распределение заряда в этом случае создает совокупность
параболических потенциальных ям (рис.7.24). Потенциал объемного заряда
модулирует края зон исходного материала таким образом, что электроны и дырки
оказываются пространственно разделеными. Причем, соответствующим
выбором параметров структуры (уровней легирования и толщин слоев) это
разделение можно сделать практически полным. В свою очередь
пространственное разнесение минимума зоны проводимости и максимума валентной зоны

6 E
Ev.
GaSb
x.y 1.0
GaSbi^Asy
Шх
InAs
WM
У t >
4
bK
Ф??А
'."
кг
УШ
-i Ga,As
1 Ec
E,
i<:
*i
Er
*z
ъ
Рис. 7.22. Положение краев зон относительно уровня вакуума в твердых
растворах In^Ga^As и GaSb,_„As „ от состава последних (я) и зонные
диаграммы СР InAs -GaSb(6) и 1п,_Л.СаЛ As -GaSb,_vAs v (e). Заштрихованные
области соответствуют энергиям подзон и участкам пространства,
где концентрируются носители заряда. На рис. б и в по оси абсцисс
отложена пространственная координата
кардинально сказывается на параметрах системы. Например, из-за малого
перекрытия электронных и дырочных состояний времена электронно-дырочной
рекомбинации могут на много порядков превосходить свои значения в
однородном полупроводнике.
Особенностью ЛСР является возможность использования для их
создания любого полупроводн ика, допускающего легирование, как донорами, так и
акцепторами.
Другое преимущество ЛСР связано с их структурным совершенством, так
как в данном случае отсутствуют гетерограницы. с которыми связаны
возможности разупорядочения состава или появления напряжений
несоответствия. И, наконец, в ЛСР путем подбора уровней легирования и толщин слоев
эффективной ширине запрещенной зоны можно предавать практически
любое значение от нуля до ширины запрещенной зоны исходного материала.

г
/.
Л"
I
0,41 эВ
0,68 эВ
0.15.ЭВ
10.36 эВ-1
AlSb GaSb InAs
(Л) (В) (С)
ш
[U
СЛВСуШС СуШЛС/J
6
Рис. 7.23. Энергия краев зон AlSb по отношению к GaSb и /лЛд (о)
и энергетические диаграммы двух типов политипных СР (б).
Заштрихованные области соответствуют запрещенным зонам
Рис. 7.24. Схема расположения слоев (а) и координатная зависимость зонной
диаграммы (б) для легированных СР GaAs (/мр/-кристаллах GaAs).
Стрелка на рис.(о) показывает направление роста слоев
Возможности легирования отдельных слоев используются и для
изменения свойств КСР. При этом обычно осуществляют легирование донорной
примесью широкозонного материала (материала барьеров). Поскольку край
зоны проводимости узкозонного материала (дно КЯ) в этом случае
оказывается ниже по энергии, чем донорные уровни в барьерах, электроны с донорных
состояний могут переходить в нелегированные слои, пространственно
разделяясь с породившими их ионизированными донорами. Такой
пространственный переход подвижных носителей в СР с модулированным легированием
создает в КСР области объемного заряда чередующегося знака, что вызывает
периодические изгибы краев зон (рис.7.25) и трансформацию прямоугольных
КЯ в КЯ параболического типа. Кроме того, подвижные носители заряда,
перешедшие в КЯ, могут двигаться в них параллельно гетерогранице,
испытывая слабое рассеивание на ионизованных примесях из-за пространственного
разделения рассеивающих центров и канала, в котором движутся подвижные
носители заряда.
В СР с модулированным легированием можно достичь еще большего
увеличения подвижности электронов, если ввести тонкие нелегированные
широкозонные прослойки толщиной 5-10 нм, т. е. еще больше разнести
рассеивающие центры и подвижные носители. Этот эффект будет наиболее выражен
при низких температурах, когда ослаблены процессы фононного рассеяния.
На рис.7.26 показан еще один тип легированных КСР. обладающий
перестраиваемыми электронными свойствами (как ЛСР) и одновременно
существенно увеличенными подвижностями электронов и дырок в КЯ (как СР с
модулированным легированием).

Рис. 7.25. Схема расположения слоев (а) и координатная зависимость зонной
диаграммы (б) для СР / -GaAs-пл — AlvGa1_Jl.As с модулированным легированием.
Изгибы зон вблизи гетерограниц создаются пространственными зарядами,
возникающими при переходе электронов с ионизованных доноров
в барьерах п + -А1ЛСа,_Л. As в потенциальную яму / -GaAs
Рис. 7.26. Расположение последовательности слоев (слева)
и координатная зависимость зонной диаграммы (справа) для легированной СР
GaAs - AljGa^As. Период СР состоит из десяти отдельных слоев.
Стрелка на левом рисунке показывает направление роста
Основная идея создания такой легированной СР состоит в периодическом
включении специально нелегированных /-слоев. При этом сверхтонкие
нелегированные слои / - GaAs оказываются зажатыми между чередующимися
легированными и- и р-слоями AI^Ga^As. Эффект пространственного
разделения перешедших в слои GaAs свободных носителей заряда и породивших
их ионизованных примесей усиливается за счет введения тонких
нелегированных прослоек / - Al vGa ,_х As на гетерограницах. При этом оказывается, что
периодический ход потенциала обычной легированной СР периодически
прерывается потенциальными ямами, образованными материалом с меньшей
шириной запрещенной зоны.
Кроме КСР и JICP возможны и другие типы этих материалов,
различающиеся способом создания модулирующего потенциала. В спиновых СР
легирование исходного полупроводникового материала осуществляется
магнитными примесями. Периодический потенциал в таких СР возникает при
наложении внешнего магнитного поля. Потенциал СР может создаваться таюке
периодической деформацией образца в поле мощной ультразвуковой волны
или стоячей световой волны.
На рис.7.27 дана общая классификация СР по структурным признакам,
относительному расположению краев зон на гетерограницах, материалам
слоев, образующих СР, и степени рассогласования постоянных решетки на
гетерограницах.

Полупроводниковые
сверхрешетки (СР)
|Монокристаллнческне СР
1
Аморфные СР
I Композиционные СР
ct-Si:H/a-Ge:H
Легированные
композиционные СР
/GaAs//i+-AlJ[Ga1.AAl
I Легированные СР
и-GaAs/p-GaAs
Композиционные
СРтипа!
L
Композиционные
СР типа II
1
Попнтнпные СР
InAs/GaSb
АВСЛВС
[Изопериодическис СР |
GaAs/AIjGa,., As
СР с напряженными слоями
ZnS/ZnSe
Спиновые СР
Cd. ж Mn-Te/Cd.„ Мл Дс
*1-х
СР полупроводник-
полуметалл
HgTe/CdTe \
|СР на основе Sil
Si/Si^Ge,.,
Рис. 7.27. Общая классификация полупроводниковых СР
Следует отметить, что еще в 1977 году Петровым В.А. был предложен
принципиально новый способ создания СР в двумерных системах путем
ориентации плоскости КЯ (пленки или инверсионного слоя в МДП-структуре)
вдоль кристаллографических плоскостей с высокими индексами Миллера
(ориентационные вицинальные СР).
Возникающий при этом в плоскости КЯ новый минимальный период
трансляции А »а(а— постоянная решетки) (см. рис.7.28) приводит к
появлению в таких системах новых границ зон Бриллюэна и минищелей в
энергетическом спектре носителей заряда. Существует теория, связывающая
положения минищелей с ориентацией вицинальных поверхностей для СР на основе
многодолинных полупроводников.
Развивая этот подход помимо сверхрешеток, у которых слои разных
материалов чередуются в направлении роста (перпендикулярно поверхности), в
настоящее время уже созданы латеральные сверхрешетки, чередование слоев
у которых происходит в направлении, параллельном поверхности.

Рис. 7.28. Схема возникновения дополнительного периода трансляции А, а также
системы террас и ступеней на поверхностях с высокими кристаллографическими
индексами: — атомы в квадратной решетке
Рис.7.29. Процесс формирования нанотрубок:
а — слои TnAs и GaAs с различными постоянными решеток в свободном состоянии;
b — сопряжение слоев с помощью эпитаксиального роста; с — изгиб двухслойной
пленки при ее освобождении от связи с подложкой; d— самосворачивание
двухслойной пленки в трубку при селективном удалении жертвенного слоя AlAs,
дополнительно выращенного между пленкой и подложкой
Если к началу 80-х годов наноэлектронные системы создавались, в
основном, на основе изоморфных (т.е. согласованных по параметру решетки) гете-
роструктур AlxGa,_x As/GaAs (сейчас к ним добавились гетероструктуры
In052Al04gAs/ In052Ga047As/ In052Al04gAsHa подложках InP), то в
дальнейшем успехи технологов позволили получать псевдоморфные напряженные
гетеросистемы (например, AlxGa !_xAs / In Ga ,_y As / GaAs с х— 0,2-0,25 и y-
0,15-0,22) и метаморфные (метастабильные изоморфные) (например.
InxAl,_xAs / IiiyGa^y As с содержанием In до 0,6).
Исследования псевдоморфных гетероструктур продемонстрировали рад
преимуществ над гетероструктурами AIxGa,_xAs/GaAs, включая более
высокую концентрацию двумерного электронного газа у гетерограницы (засчетуве-
личения высоты потенциальных барьеров); большее значение подвижности ID
электронов при 300 К (за счет меньшей эффективной массы электронов в lnGa-
As по сравнению с GaAs) и меньшую концентрацию глубоких ДХ-центров в
слоях и —Alj.Ga^j.As вследствие возможности формирования слоев с т<0Д.
Однако из-за сильного несоответствия параметров решетки lnyGa,_yAs п
GaAs, мольная доля In, у и толщина L слоя In Ga[_y As должны быть всесда
ниже некоторых критических значений укр £=0,25-0.3 nZkp а?20нм.
В свою очередь метаморфный эпитаксиальный рост позволил
выращивать полупроводниковые структуры, сильно рассогласованные по параметру

решетки с подложкой. Это стало возможным за счет формирования
промежуточного буферного слоя переменного состава, в котором изменяется параметр
решетки. В результате, например, удается выращивать метаморфные гетеро-
структуры InxAlI_xAs/InyGa,_ As на подложках GaAs с мольной долей In,
(х, у) в диапазоне 0 < х, у< 0,52 - 0,6.
Напряженные гетероструктуры представляют интерес и еще с одной
точки зрения. Так был предложен и реализован подход, позволяющий
преобразовывать планарные напряженные гетероструктуры и сверхрешетки в
трехмерные, имеющие радиальную симметрию.
На рис.7.29 схематично представлен процесс формирования нанотрубок,
иллюстрирующий суть данного подхода на примере полупроводниковой
напряженной гетероструктуры InAs/GaAs, выращенной на подложке InP.
Постоянные решеток слоев GaAs и InAs значительно различаются
(величина рассогласования постоянных решеток Да/а =7,2%). При эпитаксиаль-
ном росте слоев InAs и GaAs их решетки подстраиваются под решетку InP
подложки, слой InAs упруго сжимается вдоль поверхности, а слой GaAs
растягивается (рис.7.29а, Ь). В результате постоянные решеток выращенных
напряженных InAs и GaAs слоев отличается от собственных.
При освобождении от связи с подложкой двухслойной пленки InAs/GaAs
межатомные силы будут стремиться увеличить расстояние между атомами в
сжатом слое InAs и уменьшить их в растянутом слое GaAs. Возникающие в
слоях InAs и GaAs силы межатомного взаимодействия F| nF2
противоположно направлены и создают момент сил М, изгибающий двухслойную пленку
(рис.7.29 с). В результате этого изначально плоская двухслойная пленка
сворачивается в трубку-свиток (puc.7.29d). Витки в трубке плотно прилегают
друг к другу и в случае малых диаметров могут образовать
монокристаллическую стенку. Диаметр трубок D определяется величиной рассогласования
постоянных решеток GaAs и InGaAs Аа/а, толщиной слоев d этих материалов
(рис.7.30) и для толстых пленок описывается формулой D к da/Аа.
Было также обнаружено, что узкие InGaAs/ GaAs полоски, отделяемые от
подложек GaAs (100) и InP (100), сворачиваются в кольца при ориентации
полосок вдоль направлений, а при отклонении от данных направлений - в
винтовые спирали. Шаг спирали определяется углом отклонения полоски от
направления. Эти особенности процесса сворачивания вызваны анизотропией
модуля Юнга GaAs и InGaAs.
Экспериментально были изготовлены нанотрубки с диаметрами в
диапазоне от 3 нм до 4 мкм и спирали с диаметром 10 нм.
Для освобождения от связи с подложкой двухслойной пленки InAs/GaAs
используется селективное травление вспомогательного слоя AlAs,
выращенного между InAs/GaAs пленкой и подложкой (рис.7.29о^). Этот слой селектив-

■и
Рис.7.30. Фотографии нанотрубок различного диаметра/) на основе слоев:
а. Ъ — InGaAs/GaAs (каждый толщиной 4 монослоя) £>=120 нм, с — InAs/GaAs
(каждый толщиной 2 монослоя) D= 18 нм, d— InAs/GaAs
(толщина InAs 2 монослоя, GaAs — 1 монослой) D=A нм
но удаляется в растворах на основе плавиковой кислоты, которые не травят
GaAs и InAs (селективность травителя 10 ).
Количество витков трубки определяется временем травления AlAs и
может достигать 40. Трубки остаются закрепленными на подложке в месте, где
слой AlAs не был удален (рис.7.31). При использовании многослойных
структур имеется возможность получать массивы идентичных трубок плотно
покрывающих поверхность.
Предложенный подход изготовления свободных InGaAs/GaAs
нанотрубок может быть успешно применен также и к напряженным металлам,
диэлектрикам или гибридным эпитаксиальным структурам.

Рис.7.31. Фотографии нанотрубок, закрепленных на подложке.
Трубки с диаметром 4 мкм, ориентированные вдоль направления <100>
Рис. 7.34. Фотография нанотрубки и винтовой спирали,
изготовленных на основе двухслойной структуры Ge04Si06 /Si
На рис.7.32 схематично представлен процесс формирования нанотрубок
на примере полупроводниковой напряженной гетероструктуры GeSi/Si
(рис.7.33) (постоянные решеток слоев Ge и Si различаются на 4%),
выращенной на кремниевой подложке.
В данном случае, варьируя толщины слоев и их состав (рассогласование
постоянных решеток), удается получать нанотрубки диаметром от 10 нм до
13 мкм. Результирующий диаметр может быть оценен по формуле
D= a (dl+d2)^
ЗДо dxd2
здесь dxu d2 -толщины верхнего и нижнего слоя, соответственно.
На основе слоев Ge и Si также удается получать упругие винтовые
спирали. На рис. 7.34 приведены фотографии нанотрубки и винтовой спирали,
изготовленных из структуры, содержащей слой Ge04Si06 толщиной 10 нм и слой
Si толщиной 20 нм. В данном случае диаметр трубки составил 1,4 мкм, а
спирали 1,8 мкм при длине более 50 мкм. Используя слои этого же состава, но
толщиной соответственно 40 и 100 нм спираль получается уже диаметром 13
мкм при длине порядка сотни мкм.
Существует еще один подход к созданию наноэлектронных систем,
базирующийся на регулярной вариации зарядового состояния изолирующего слоя
у его контакта с поверхностью полупроводника.
Получение регулярного распределения встроенного заряда
соответствующих масштабов вдоль межфазной границы диэлектрик-полупроводник воз-

Рис. 7.32. Схема формирования нанотрубок на основе слоев Ge и Si
Рис. 7.33. Схема формирования напряженного (деформированного) слоя
можно, например, на основе техники сканирующей туннельной микроскопии.
Формируя различные распределения локальной плотности заряда в
диэлектрике, индуцирующего в приповерхностной области полупроводника
двумерный потенциальный рельеф, можно реализовать всевозможные
низкоразмерные структуры: квантовые ямы, точки, проволоки, СР и т.п.
Существует необычный подход к проблеме формирования трехмерных
наноструктур. Для создания нанообъектов авторы предлагают использовать
механическую «разборку» монокристаллических эпитаксиальных структур
по заданным траекториям или слоям. В рамках этого подхода для создания
нанообъектов, имеющих размеры, сравнимые с размером атома, необходимо
иметь инструмент, позволяющий разрывать межатомные связи в заданном
месте твердого тела без воздействия на соседние области (атомная разборка).
В качестве такого инструмента предложено использовать вершину
управляемой хрупкой трещины. При этом необходимо контролировать процессы
введения и распространения трещины в твердом теле. В настоящее время уже
продемонстрирована возможность управления траекторией распространения
трещины непосредственно в процессе ее роста. Для этого осуществляли
управление полем локальных растягивающих напряжений в вершине
трещины с помощью внешней электростатической силы.
В рамках такого подхода изготовлены туннельные полупроводниковые
структуры, у которых в качестве барьеров (или КЯ используются специально
сформированные сверхузкие трещины (рис. 7.35), которые можно заполнять
различными веществами в твердом, жидком или газообразном состоянии и
вакуумировать.

а б
2 мкм
50 нм
Рис. 7.35. Изображение тонких GaAs пленок с контролируемо
введенными трещинами, полученные просвечивающей электронной
микроскопией высокого разрешения: а — толщина GaAs слоя 0,25 мкм; Ь — 0,1 мкм
Рис. 7.36. ВАХ пленарных туннельных переходов полупроводник — воздух —
полупроводник, созданных из различных полупроводниковых слоев:
1 — GaAs; 2,3. — InAs (2 — начальное состояние туннельного перехода,
3 — после соприкосновения берегов трещины).
На рис. 7.36 представлены вольт-амперные характеристики таких
пленарных туннельных переходов полупроводник — воздух — полупроводник,
созданных на базе различных полупроводниковых слоев. Так как
характеристики потенциальных барьеров (или КЯ) сильно сказываются на процессах тун-
нелирования, то такие структуры представляются перспективными и для
использования в качестве сенсоров разного типа.
2.7.13. Низкоразмериые системы
с цичиндрической и сферической симметрией
Современные технологические методы позволяют создавать сложные
многослойные системы не только на основе квазидвумерных гетероструктур.
но и на основе квазиодномерных (квантовые проволоки) и нульмерных
(квантовые точки) структур. Достигнутый к настоящему времени прогресс в
области создания таких объектов позволяет получать как отдельные квантовые
проволоки (КП) и изолированные квантовые точки, так и целые массивы КП и
КТ достаточно однородные по своим размерам и формам.
Рассмотрим основные особенности энергетического спектра в подобных
структурах.
Энергетический спектр цилиндрической нити с радиусом R и бесконечно
высокими потенциальными стенками имеет вид
Crack jpAs
GaAs
i ,
IS
I
\
f .
1
1 r-'Sfinv
1 1 /
i2 1 /
1 1 /
П J
0
—l
__2
1 £/,B
1 Я,

г- 7 b~ -> h'k ,„ ,-, ,ч
Enmk =——Гп\т\ +Т^' (7.13.1)
2т К 2т
где п = О, 1, 2, ....- радиальное квантовое число; т= 0,±1,±2,...- магнитное
квантовое число; к — квазиимпульс электрона в продольном направлении;
у „|„,| - w-й нуль функции Бесселя Jn и-го порядка. Таким образом,
энергетический спектр цилиндрической КП представляет собой набор отдельных
перекрывающихся одномерных подзон, положение экстремумов которых
определяется квантовыми числами п и т, а также радиусом проволоки. Движение
электронов вдоль КП оказывается свободным (но с массой т ), а в
радиальном направлении ограниченным R.
Энергетический спектр в квантовой сверхрешетке цилиндрической
симметрии (СРЦС) рассматривался. Такая гетеросистема представляет собой
набор коаксиальных квантовых проволок, вложенных друг в друга и
образующих периодическую структуру в плоскости перпендикулярной её оси
(рис.7.3Та). Данная СРЦС создает периодический потенциальный рельеф
аксиальной симметрии. Для потенциала вида
ГUо, для рО + X < р < рп + L + Xd,
U(p) = { ° К К К0 (7.13.2)
[О, для р < р0, и р0 + L + Xd < р < р0 + (X + \)d,
А. = 0,1,2,...
(см. рис.7.376), где d=L + W -период потенциала, L- ширина барьера
(материал \),W— ширина потенциальной ямы (материал 2) и р0 - радиус
внутреннего цилиндра (материал 2). Энергетический спектр такой СРЦС представляет
собой чередование разрешенных и запрещенных зон (минизон), а
эффективная масса электрона является тензором. Причем, если продольная
составляющая эффективной массы электрона СРЦС, характеризующая движение вдоль
оси СР, близка по значению к эффективной массе электрона
полупроводникового материала, характеризующего КЯ сверхрешетки, то радиальная
составляющая эффективной массы электрона сверхрешетки существенно зависит от
радиуса ядра гетероструктуры р0, периода и величины потенциала, а также
толщины полупроводниковых коаксиальных слоев. Размеры ядра гетеросис-
темы влияют на ширину разрешенных зон и кривизну закона дисперсии. Чем
больше р0, тем больше распрямляются границы цилиндрических
поверхностей, происходит расширение разрешенных минизон и уменьшается величина
радиальной составляющей эффективной массы электрона.
Энергетический спектр СРЦС с потенциалом (7.13.2) в первом
приближении теории возмущений может быть представлен в виде

Q^Q О
6
и
Uc
и
i 1
О Рсt Pc+LPj+dPtf-d+ll-
Рис. 7.37. Структура (о) и потенциальный профиль (б) цилиндрической СР
Рис.7.38. Топология сверхрешетки из цилиндрических КП
Ет =Е +
h2k2
2т„
(7.13.3)
гдеЕпт — энергетический спектр радиального движения электрона, к — квази-
*
импульс электрона в продольном направлении и тп — продольная
составляющая эффективной массы.
Учитывая непрерывность радиальных волновых функций и плотности их
потоков на границах областей, нормировку радиальной волновой функции и
периодичность потенциала, дисперсионное уравнение для определения
энергетического спектра Епт можно представить в виде
cos(qd)=F(EnJ,
(7.13.4)
где
nE„) = ^^{[JM№Pi)N^(fiPl)-Nw^p2)J^№pl)]x
х
М
(ар, )КЩ (ар0) -J-L - /,„,, (ар0Жн (ар,) -^-
+[Л«1 (аРо )КН (aPi) " JM (°Ф1 )кы (аРо )]х
Х[^И (ароЖм (aPi) ~ 7М (aPi )^l«| (аРо)] +
+

+
+—K„i(pPi)^l(pP2)-ivl'w|(pp1)/H((3p2)]x
\x2o,
x[7N(aPi)^N(aPo) -^m|(apo)^|„,|(api)] +
\x2a
HiP
^т^Р^^Ро)—- --/и(ар0)^н(аР1)-^
K\m\VaPl) '/|m|laP2J
х[/м(рР1)^м(рР2)-^н((зР1)4„|(рр2)],
2 (VO bnm)> P - Рпт ~ л\ 2 '"" '
а =апт = д/—^-(^0 -^,ш). Р s Р,ш =
Pi = Р0 + А Р2 = Р0 + ^,
/г?, и 7772- эффективные массы в барьерах и КЯ соответственно, У|П),(р), Л^ш|(р)
- функции Бесселя первого и второго рода, /|m|(p), K^(p)-
модифицированные функции Бесселя и Ганкеля.
По виду (7.13.4) соответствует уравнению (7.11.7), определяющему
спектр в простой одномерной СР, и также указывает на появление минизон
разрешенных (в случае, если F(Enm) < 1) и запрещенных (в случае, если
F(Enm)> 1) значений энергии.
В окрестности экстремумов разрешенных минизон энергетический
спектр СРЦС может быть представлен в виде
*2г 2 *2 2
е-0) _ /г° п к Ъ д Г7 13^
Ептк ~ Ьпт + _ * . * > (/.13.5J
2тп 2ц„т
здесь цлш - радиальная составляющие эффективной массы электрона в СРЦС;
q - квантовое число, играющее роль радиального квазиимпульса. Значения
Епт, тп и \хпт могут быть рассчитаны лишь численно.
Проведенные расчеты показали, что начиная с р0 порядка нескольких
десятков постоянных решетки материала ядра СРЦС (в статье с 30 постоянных
решетки) и до р0 —> оо (граничный переход к плоской СР), закон дисперсии
электрона практически не изменяется и совпадает со спектром плоской СР
(при одинаковых параметрах КЯ и барьеров). Исследования также показали,
что при р0 —> оо (плоская СР), когда толщина барьеров L=0 (а ширина КЯ W
конечная), в области энергий 0<Епт <£/0 запрещенная зона отсутствует (края
минизон соприкасаются).

Иная ситуация имеет место при конечных значениях р0. Радиальная
симметрия СРЦС (другими словами кривизна границ цилиндрических
поверхностей) оказывается настолько важной, что радикально изменяет характер
спектра электрона по сравнению с плоской СР. Например, при конечных
значениях р0 и W (но Z=0) существует запрещенная зона, ширина которой
определяется параметрами системы.
Интересным объектом для развивающейся наноэлектроники
представляется также гетероструктура, состоящая из квантовых проволок одного
материала, находящихся в матрице другого материала и образующих
сверхрешетку в плоскости, перпендикулярной к оси КП (рис.7.38). Рассчитывался
энергетический спектр электронов и дырок в такой СР, состоящей из
цилиндрических КП (материал 1), периодически расположенных в материале 2. Расчеты
показали, что ширины, образующихся в такой СР минизон, практически не
зависят от величины радиуса КП р0, но их положение существенно изменяется
при изменении р0. Увеличение радиуса КП приводит к сдвигу минизон в
область меньших энергий.
В свою очередь уменьшение толщины барьеров при фиксированном
радиусе р0 также приводит к сдвиг}' минизон в область меньших значений
энергии и к значительному увеличению их ширины (а значит и к уменьшению
соответствующей компоненты эффективной массы). Таким образом, изменяя
топологию СР из цилиндрических КП, можно целенаправленно управлять
энергетическим спектром электронов и дырок.
Оценки показывают, что использование квантово-размерных структур, в
которых движение носителей заряда ограничено по двум (КП) и трем (КТ)
направлениям, может приводить к значительному улучшению характеристик
полупроводниковых приборов.
Как уже отмечалось, электронный спектр изолированной КТ
представляет собой набор дискретных уровней размерного квантования и в этом смысле
подобен электронному спектру одиночного атома.
Современные технологические методы позволяют создавать не только
отдельные изолированные квантовые точки, но и многослойные сферические
наногетероструктуры (рис. 1.39а). В приближении эффективной массы теория
дискретных спектров, соответствующих стационарным состояниям
электронов, дырок и экситонов в таких многослойных сферических квантовых ямах,
развивается. Предполагалось, что среда, в которой находится сферическая
наноструктура, является потенциальным барьером по отношению к внутренним
слоям системы. То есть рассматривались закрытые системы.
Исследование квазистационарных спектров электронов и дырок в
открытых многослойных сферических наногетероструктурах с потенциалом,
показанным на рис.7.396, проводилось. Отличительная особенность таких откры-

°"о о о
о © о
очЬ о
Рис. 7.39. Топология и потенциальный рельеф
в открытой сферической наноструктуре
Рис. 7.40. Топология (а) и плоское сечение (б) СЦКТ
тых систем состоит в том, что в них внешняя среда не является
потенциальным барьером для электронов и дырок. При этом появляется конечная
вероятность пребывания квазичастицы на бесконечном расстоянии от центра
структуры, что кардинально меняет волновые ф\ нкции системы и приводит к
возникновению квазистационарных состояний с конечным временем жизни.
В приближении достаточно мощных барьеров получили
аналитические выражения для определения уровней квазистационарного
энергетического спектра и времен жизни электрона и дырки в соответствующих
состояниях.
Численные же расчеты показали, что при увеличении толщин барьеров
положение энергетических уровней электрона и дырки практически не
изменяется, а время жизни квазичастиц экспоненциально увеличивается. При
фиксированной толщине барьеров время жизни увеличивается с уменьшением
энергии соответствующего состояния. Таким образом, время жизни
квазичастиц в квазистационарных состояниях оказывается чувствительным к
изменению как ширины квантовых ям. так и барьеров. Увеличение высоты
потенциальных барьеров приводит к увеличению энергии основного состояния и его
времени жизни.
Кроме таких одиночных систем проводились исследования
горизонтальных и вертикальных «молекул» из квантовых точек, а также сверхреше-

ток из цилиндрических квантовых точек (СЦКТ) (рис.7.40). Развитый метод
позволяет проводить численные расчеты законов дисперсии электрона и
дырки для систем из квантовых точек с предельно слабой связью между
квазичастицами в разных слоях и такими расстояниями между КТ в слоях, при
которых электроны и дырки не локализуются в пределах КТ, а транслируются по
всей СЦКТ. В частности было показано, что увеличение расстояния между КТ
при произвольных а и L (см. рис.7.40) увеличивает эффективные массы
электрона и дырки поскольку увеличение расстояния между КТ эквивалентно
увеличению «мощности» барьера для электронов и дырок. При фиксированном
расстоянии между КТ (Ь) увеличение высоты точки (I) или её радиуса (а)
также приводит к увеличению эффективных масс квазичастиц, так как оба
фактора приводят к эффективному увеличению «мощности»
потенциальных барьеров поскольку увеличение объема ямы «опускает»
энергетические уровни.
Теоретическому исследованию сверхрешеток из квантовых точек при
наличии электрического поля посвящены некоторые работы. В этих работах
показано, что в постоянном электрическом поле энергетический спектр
электронов и дырок в идеальных двумерных и трехмерных СР из квантовых точек
может существенно изменяться и становиться дискретным или непрерывным в
зависимости от ориентации поля относительно кристаллографических осей СР.
2.8. Влияние однородного электрического поля
на энергетический спектр систем пониженной размерности
2.8.1. Влияние однородного электрического поля на энергетический
спектр бесконечной прямоугольной потенциальной ямы
Для создания электронных приборов необходимо научиться
целенаправленно управлять энергетическим спектром носителей заряда с помощью
различных внешних воздействий. Наиболее часто для управления используют
электрические поля. Рассмотрим влияние постоянного однородного
электрического поля на спектр разрешенных состояний бесконечной прямоугольной
потенциальной ямы (БПЯ).
Будем полагать, что поле напряжённости F направлено параллельно оси
х. Потенциальная энергия электрона для 0 < х < W в этом случае имеет вид
U(x) = qFx + const,
здесь q - абсолютная величина заряда электрона. Выбирая постоянную, так
чтобы U(x)= 0 при х= 0, получим U(x) = qFx (рис. 8.1). В этом случае
отыскание состояний движения частицы сведется к решению уравнения

E
Щ
Ef>-
W x
Рис.8.1. Энергетическая диаграмма БПЯ в однородном электрическом поле
Рис.8.2. График функций Эйри: а, = -2,34, а 2 = -4,09, а 3 = -5,52,
а4 = -6,79, р, =-1,17, р2 =-3,27,р3 =-4,83,р4 =-6,17
—-4"(i) + qFx4>{x) = EV(x).
2т
(8.1.1)
Сделав замену переменной х на
Z =
qp.
2mqF
\l/3
уравнение (8.1.1) можно представить в виде
xF"(Z)-ZxF(Z)=0.
В свою очередь общее решение уравнения (8.1.2) имеет вид
4>(Z)=ClAi(Z) + C2Bi(Z),
(8.1.2)
(8.1.3)
где Ai(Z) и Bi(Z)- функции Эйри первого и второго рода соответственно.
Известно, что при Z < 0 Ai(Z) и Bi(Z) - осциллирующие функции, а при Z > 0
Ai(Z) —> 0, Bi(Z) —> оо. Зависимости Ai(Z)Bi(Z) изображены на рис. 8.2.
Отметим, что согласно рисунку расстояния (ап - ап_,) и (Р„ - Р„_,) уменьшаются с
увеличением и(а„ - корни Ai(Z), P„ - корни 5/(Z)), то есть корни Ai(Z)nBi(Z)
сгущаются.
Используя граничные условия (ЧР = 0, так как рассматривается БПЯ) при
х= 0 и x = W, можно получить дисперсионное уравнение, определяющее
разрешенные значения энергии Еп, в виде
Ai(Z+)Bi(Z~) - Ai(Z~)Bi(Z+) = 0, (8.1.4)
где Z+ и Z" - соответствуют Z при х = W и х - 0. Отметим, что в данном случае
отношение постоянных С, иС2 будет иметь вид

C2 _ Ai(Z+) _ Ai(Z~)
С, ~~ Bi(Z+) ~ Bi{Z~)
В случае произвольной величины поля и размеров КЯ решение уравнения
(8.1.1) удаётся найти лишь приближенными методами.
При W —> оо приходим к случаю с треугольной потенциальной ямой, когда
ЧР(х) —> оо при х= 0 и при х —> оо. Это возможно в случае, еслиС2 = 0.
Следовательно, дисперсионное уравнение, определяющее разрешенные значения энергии
Еп для треугольной потенциальной ямы, может быть представлено в виде
^•(Z)U=o.
Так как значения Z, при которых Ai(Z) = О, соответствуют корням функции
Эйри а„, то выражение для разрешенных значений энергии принимает вид
Еп — -а п
п q F
\
im
(8.1.5а)
)
Для оценки разрешенных значений энергии в данном случае получено и
приближенное выражение
( ьХ\
2т
1/3
J L
-qFi^n + 0,lS)
Уз
(8.1.56)
отличающееся от точного решения для бесконечной треугольной
потенциальной ямы не более, чем на 2%.
В случае слабого электрического поля и достаточно узкой КЯ (эти
условия конкретизируем позже) решение уравнения (8.1.1) можно найти,
используя теорию возмущений.
Для этого, как обычно, разобьем гамильтониан Н в (8.1.1) на два слагаемых
где Н0 - гамильтониан задачи, допускающей точное решение, а V - малая
добавка (оператор возмущения).
В нашем случае положим
Н0=-
2т dx1
а V = qFx.

Тогда, для невозмущенной задачи имеем
Н0Ч>^=Е^(0);Е^ =
( „\2
2т
71
\Wj
п2, п = 1,2,3,...; (8.1.6)
¥<0,=J-sin|
_2_
W
71 1
— пх при 0 < х < W.
W ) V
Теперь, в соответствии со стационарной теорией возмущения, в первом
приближении собственные значения и собственные функции оператора//
могут быть вычислены по формулам
Е(\) и£(0) ,у .vpd) юш(0)+у
V,
In
гЧ
(0)
~-Е(0)_Е(0) I '
здесь
_/щ(0)
vln=(4>r\v\^
(0)
(8.1.7)
(8.1.8)
F/n - матричный элемент оператора V в «Е^ - представлении», т.е. Vm есть
среднее значение возмущения в состоянии, описываемом невозмущенной
функцией ЧР,|0). В нашем случае, подставляя (2.1.6) в (2.1.8), получим
w
Упп = \^YV^^dx = 0,5qFW, (8.1.9)
о
т.е. в первом порядке теории возмущений все разрешенные уровни энергии в
БПЯ смещаются одинаково на величину 0,5qFW и
ЕР -
2т
п2 + 0,5qFW.
(8.1.10)
Заметим, что согласно (8.1.10) положение уровней относительно дна КЯ в
точке x = 0,5W не изменяется, так как при наличии электрического поля дно
КЯ в этой точке тоже смещается на 0,5qFW.
Во втором приближении поправка к собственному значению £„
определяется выражением
Л£,
(2)
1*п ~п
W,
1п\
(0)
?(!»'
(8.1.11)

Таким образом, для основного состояния во втором порядке теории
возмущений в нашем случае имеем
w ,
у = ШоГууЮ* = _4[l + (-l)]W
nJ я2(/-1)2(/ + 1)2
и
( ^\4 („Т?ТХГ\1 _5_ (Ь- _L1\2
Согласно (8.1.13) во втором приближении при наличии слабого
однородного электрического поля энергетический зазор между дном КЯ и основным
состоянием в точке x=0,5W будет уменьшаться пропорционально квадрату
напряженности электрического поля. Отметим, что вклад ъУп, а следователь-
но, и в АЕ\~ дают только состояния с четными /.
Оценки показывают, что ряд в (8.1.13) быстро сходится и при вычислении
Е\ обычно достаточно ограничиться учетом всего одного слагаемого. При
этом получим, что
£,(2) s£,(0) +0,5qFW-\,0i-\0~2^F^} . (8.1.14)
Учет второго слагаемого с Л = 1 в (8.1.13) изменит значение суммы менее,
чем на 0,2 %. Таким образом, (8.1.14) можно считать хорошим приближением
для (8.1.13).
Условие применимости теории возмущений требует, чтобы матричные
элементы оператора были малы по сравнению с соответствующими
расстояниями между невозмущенными уровнями энергии, т.е. чтобы выполнялось
неравенство
|rj«|£j0) -Ej0)\. (8.1.15)
В нашем случае необходимо, чтобы
Таким образом, выражение (8.1.14) можно использовать для оценки
положения разрешенных энергетических уровней в БПЯ пока максимальное
изменение потенциала на краю ямы под действием электрического поля не станет
с(0)
порядкам, .

2.8.2. Оценка смещения энергетических уровней под действием
электрического поля в прямоугольной КЯ конечной глубины
Рассмотрим влияние однородного постоянного электрического поля на
разрешенные уровни энергии в прямоугольной КЯ конечной глубины.
Направив поле параллельно оси л:, потенциальную энергию электрона в данном
случае можно представить в виде
U(x) - V(x) + qFx + const,
здесь F - напряженность электрического поля; V(x)- потенциальный рельеф
КЯпри^ = 0(рис.8.3аг).
Выбирая const, так чтобы U(x) = 0 при х = О, получим, что потенциальный
рельеф КЯ при наличии электрического поля в данном случае будет иметь
вид, показанный на рис. 8.35.
Основное отличие данного случая от, рассмотренного в п. 2.8.1 связано с
изменением хода потенциала при |;с|>0,5Ж. В связи с тем, что при наличии
электрического поля потенциальная энергия при больших отрицательных х
становится меньше полной энергии частицы в КЯ, частица может пройти
через потенциальный барьер в сторону отрицательных л: и удалиться на
бесконечность. То, что при F * 0 все собственные значения гамильтониана
оказываются «погруженными» в непрерывный спектр, принципиально отличает их от
стационарных состояний при F = 0. Вместо дискретных уровней в
электронном спектре появляются резонансные пики, называемые резонансами Брей-
та-Вигнера, и в приближении слабо взаимодействующих уровней
совпадающие по форме с лоренцевым контуром
1 (0,5Г„)2
L„(E) =
п(Е-Еп)2+№Гп)2'
-IF/2
1172
б
У* '
-IVI2
Е
/'о
W
Е,
/2 л-
Рис. 8.3. Энергетическая диаграмма КЯ: а - при F=0; б - при F ф 0
Рис. 8.4. Энергетическая диаграмма параболической КЯ при F = 0 и F ф 0

здесь 77- номер пика (состояния).
Ширина пика Г„ определяется мнимой, а энергетическое положение резо-
нанса£„ -действительной частью соответствующего собственного значения.
Таким образом, возможность прохождения частицы через потенциальный
барьер проявляется в у ширении уровней в яме. Это у ширение будет тем меньше,
чем глубже уровень.
В слабых полях для нижних уровней вероятность туннелирования может
быть ничтожно мала, поэтому решения будут мало отличаться от
стационарных. Наличие таких ярко выраженных резонансов позволяет говорить о
существовании квазисвязанных состояний с конечным временем жизни.
Состояния такого типа называют еще и квазистационарными состояниями.
Если предположить, что слабое электрическое поле мало изменяет
невозмущенное состояние системы, то затухание волновой функции под барьером
будет пропорционально (см. (7.4.12) и (7.4.14))
ехр[-р„(|х|-0,5^)]при|х|> 0,5W,
2777, ^
здесь p„=(-y(t/0-£„)
Для того чтобы амплитуда волновой функции на длине (/(рис. 8.36) стала
пренебрежимо малой, необходимо, чтобы (/было » 1/Р„. В свою очередь,
qF
Таким образом, необходимо, чтобы
qF« U°~E» , (8.2.1)
0,5^ + 1/Р„
Для нижних уровней широких и глубоких КЯ из (8.2.1) получаем условие
квазистационарности состояний в виде
gF<<^SLZliL, (8.2.2)
0,5W
для узких и мелких КЯ - в виде
qF«V„(U0-En). (8.2.3)
Согласно (8.2.1) для КЯ Ga0 7A103 As / GaAs при W= 10 нм основное
состояние можно считать квазистационарным вплоть до полей напряженностью
F«105B/cm.

Ограничиваясь случаем слабых электрических полей и полагая состояния
в КЯ квазистационарными, оценим изменение энергии основного состояния
под действием возмущения qFx. В первом порядке теории возмущений
AE^=Vu=(^\qFx\^A
где Т| определены выражением (7.4.12).
В связи с тем, что оператор электрического дипольного момента qFx
изменяет знак при операции инверсии пространственных координат, его
среднее значение в основном состоянии будет равно нулю. Таким образом,
поправка к энергии в первом приближении равна нулю, а во втором -
Учитывая в (8.2.4), как и в (8.1.14), только одно слагаемое, получим
^в -^nSf1^ +*<«2« -f m
'" гз +FA)\ , (8.2.5)
где
a, =0,5W(K{ +K2);a2 =0,5W(K2 -£,);
1 (P1 + P2) (P1 + P2)2 (K2+£,)2'
2 (P1+P2) (P,+P2)2 (K2-Kx)2'
cos(a[) cos(a7)
(^2+^) (^2-^)
Пг 2m
Кj -определяются (1.4.3) при « = /; P, = I—г-(С/0 -£,■ );£, =——-; Л, -амп
литуда волновой функции /-го невозмущенного состояния КЯ (см. (8.4.13),
(7.4.15)).
Отметим, что Е\ <Е\ , поэтому поправка к энергии основного
состояния AEj < 0, т.е. под действием слабого электрического поля энергия основ-

ного состояния и в этом случае уменьшается пропорционально квадрату
электрического поля. Однако в данном случае эти оценки окажутся верными лишь
тогда, когда одновременно выполняются условия (8.1.16) и (8.2.1).
Зависимости положения резонансов и их ширины от величины
электрического поля (в широком интервале полей) для КЯ различной глубины
приведены в литературе.
2.8.3. Влияние однородного электрического поля
на энергетический спектр параболической потенциальной ямы
Оценим влияние однородного электрического поля на энергетический
спектр системы с параболической КЯ.
Как и в предыдущих случаях, направим вектор напряженности
электрического поля F параллельно оси х. Тогда для одномерного (линейного) случая
потенциальная энергия электрона может быть представлена в виде
Щх) = 0,5Кх2 + qFx. (8.3.1)
При F = 0 U(x) представляет собой несмещенную параболу (кривая 1,
рис. 8.4). При F ф 0 минимум параболы смещается в сторону меньших энергий
на величину
А = -^£ (8.3.2)
2К
и находится в точке x = d (кривая 2, рис.8.4)
d = -^-. (8.3.3)
К
Зная решение уравнения Шредингера для линейного осциллятора в
отсутствии электрического поля, легко найти собственные функции и
собственные значения уравнения Шредингера с потенциальной энергией (8.3.1).
Заменой переменной z = х- dуравнение Шредингера с потенциалом (8.3.1)
-—4"'(х) + (0,5Ajc2 + qFxy¥{x) = ЕЯ>(х) (8.3.4)
2т
сводится к уравнению Шредингера для обычного линейного осциллятора.
В нашем случае получим
П2 , Г_ (qF)2^
■x¥"(z) + 0,5Kx24>(x) =
2т
Е +
2К j
T(z). (8.3.5)

Сопоставляя (8.3.5) и (7.6.1), получаем, что при наличии электрического
поля
Е„ = Йсо(л + 0,5) + А, п = 0,1,2... (8.3.6)
и
4n{z) = 4><?\x-d), (8.3.7)
здесь со = ^К/т.
В соответствии с (8.3.6) и (8.3.7), как и в классическом случае, действие
однородного электрического поля на осциллятор сводится лишь к смещению
его положения равновесия. При этом энергия всех разрешенных состояний
понижается на {qF) /(2K).
Например, принимая характер движения электрона в плоскости КЯ
(вдоль у viz) свободным, для трехмерного случая получаем, что
Klkl
ЕпК = ^ + Йю(о + 0,5) + А (8.3.8)
' р 2т
р JLVL- ^na-J v 7 V 2al J \ a J
(8.3.9)
здесьа =-J ft/та; k~ = k~ + к:; (крр) = куу+ k.z; kp -волновой вектор
электрона в плоскости КЯ; L.,,L: - размеры системы соответственно в направлениях у
и г, Нп (х) - полиномы Эрмита.
Практически для характеристики параболического потенциала вместо
коэффициента квазиупругой силы К часто удобнее пользоваться значением
расстояния г между ветвями параболы при заданном значении энергии Ес
(рис.8.4). При этом
К = %Ц-; (8.3.10)
г
д = -М)1г2и d = _Vl_r\ (8.3.11)
16£с 8£с
В реальных системах смещение минимума параболического потенциала
КЯ в электрическом поле при разумных значениях параметров исследуемой
системы может достигать нескольких нанометров. Так при Ес =0,255 эВ,
г = 400нм иЕ= 10 В/см смещение d= 8нм. Таким образом, изменяя электри-

ческое поле, мы можем как бы сканировать систему на десяток нанометров в
обе стороны от первоначального положения минимума потенциала.
2.8.4. Интерференционная передислокация
электронной плотности в туннелыю-связанных квантовых ямах
Исследования в области разработки высокопроизводительных
вычислительных систем, средств связи и обработки информации привели к появлению
нового подхода в создании элементной базы электроники. В рамках этого
подхода носителем информации выступает амплитуда электронной волновой
функции в данной области квантовой системы. Прикладывая внешнее
напряжение, меняющее энергетический спектр, можно вызывать контролируемую
передислокацию электронной плотности в системе, соответствующую
преобразованию информации по заданному закону.
В качестве физической основы для реализации приборов с управляемой
передислокацией электронной плотности могут быть использованы
структуры, образованные набором туннельно-связанных квантовых ям.
В многоямной квантовой структуре распределение амплитуды волновой
функции определяется, по сути, интерференцией квантовых состояний
различных КЯ. Поэтому перераспределение электронной плотности под
действием внешнего напряжения может носить сложный немонотонный характер.
При этом соответствующий немонотонный характер будет носить и
изменение физических характеристик системы, что открывает широкие
возможности для разработки различных квантовых приборов.
Подробное исследование временной динамики процесса передислокации
волновой функции, определяющей быстродействие данных приборов, было
выполнено.
Рассмотрим эволюцию электронных состояний системы, образованной
набором КЯ и барьеров в монотонно меняющемся во времени внешнем
электрическом поле. В качестве конкретного объекта рассмотрим одномерную
структуру, состоящую из двух КЯ (рис.8.5).
Для описания процессов межъямного туннелирования необходимо
решить нестационарное уравнение Шредингера для системы квантовых ям и
барьеров в зависящем от времени электрическом поле
дЧ* Тс д2х¥
ih— = -—7— + {U{x)-qF{t)x)4>, (8.4.1)
ol 2т ох"
здесь F(t) = V(t)/L - напряженность электрического поля; V{t) - зависящее от
времени внешнее напряжение, приложенное к структуре; L - размер
структуры; U(x)- потенциальный рельеф структуры при F= 0.

Рис.8.5. Геометрия структуры
Рис.8.6. Зависимость вероятности нахождения электронов в КЯ 1 и 2
с параметрами a, = 0,4?l, а2 =§,1\ и Ъ =0,5А. (здесь А. =(2л2й2/»г*АЕС)]'2, АЕС -
высота барьера) от напряжения при его медленном адиабатическом изменении
Будем полагать, что прозрачность барьера, разделяющего КЯ, невелика и
без учета межэлектронного взаимодействия систему можно описать в
приближении сильной связи. При этом свойства отдельной КЯ удобно
характеризовать величиной энергии размерно-квантованных состояний.^ (левая яма) и
ER (правая яма), соответствующих изолированным КЯ, ограниченным
бесконечно широкими барьерами. Рассмотрим случай, когда в «затравочных»
изолированных ямах, из которых образована структура, имеется только по
одному электронному уровню.
В приближении сильной связи волновую функцию системы можно
представить в виде линейной комбинации одноямных собственных функций
ЧЧ*,0 = ХС,(0Ф,(*Х (8-4.2)
где С, коэффициент удовлетворяет условию нормировки. Вероятность
обнаружить электрон в z'-й КЯ определяется квадратом модуля |С,-| .
В умеренно сильных электрических полях в качестве Фь и Фд в (8.4.2)
можно использовать волновые функции изолированных ям, рассчитанные в
отсутствии поля (F = 0). Расстояние Е2 -Е{ будет обусловлено перекрытием
волновых функций Ф;,ФД и относительным сдвигом одноямных уровней EL,
ER в электрическом поле
ЕХ2 = 0,5 EL + ER ± j(EL-ER)2+4W2 , (8.4.3)

здесь W- интеграл перекрытия;£, =£,° + </Ф, (i = L,R), ф
Д*)_электростатический потенциал. Оценки показывают, что для системы GaAs/AlAs, в которой
высота барьеров на гетерогранице составляет около 1 эВ, приближение
сильной связи применимо даже для барьеров шириной порядка 10А.
Согласно (8.4.3), при увеличении электрического поля будет происходить
смещение уровней, и при определенной полярности и величине поля
V >(Е^ -Е% )/q можно даже осуществить инверсию уровней. В слабо
связанной двухъямной структуре при этом имеет место передислокация амплитуды
волновой функции из одной ямы в другую.
В случае медленного адиабатического включения потенциала изменение
распределения вероятности нахождения электрона в различных областях
структуры можно получить, считая величину поля F(t) в (8.4.1) зависящей от
времени как от параметра. При этом электрон совершит бездиссипативную
передислокацию из ямы 2 в яму 1 (см. рис. 8.5). На рис. 8.6 представлены
зависимости вероятности со, нахождения электронов в ямах 1 и 2
a>i(t) = j\4'(x,t)\2dx
(интегрирование в пределах z'-й ямы) от приложенного напряжения,
полученные в результате решения уравнения (8.4.1) для двухъямной структуры при
медленном адиабатическом изменении напряжения. Согласно оценкам,
режим, близкий к адиабатическому, достигается на временах порядка пикосе-
кунды.
Иная ситуация наблюдается при скачкообразном изменении напряжения.
В этом случае электрон, находившийся в основном состоянии
преимущественно в яме 2, переходит в возбужденное состояние, но по-прежнему
максимум его волновой функции остается в яме 2, совершая слабые осцилляции
около положения равновесия. Передислокация максимума амплитуды
волновой функции при этом происходит путем межъямной релаксации с
испусканием фонона.
На рис. 8.7а показаны зависимости вероятности нахождения электрона со,-
в каждой из ям от времени при ступенчатом изменении напряжения от нуля до
V>(E2 -E\)/q. Видно, что в этом случае максимум электронной плотности
остается во второй яме, испытывая сравнительно малые осцилляции. Для
описания передислокации при этом необходимо включение в рассмотрение дис-
сипативных процессов. Переключение же будет осуществляться благодаря
межямной релаксации с испусканием фонона.
Время переключения в этом случае определяется временем релаксации и
зависит от расстояния ЛЕ между термами и прозрачности барьера,
определяющей степень перекрытия волновых функций.

Рис.8.7. Зависимость вероятности нахождения электрона в КЯ 1 и 2 от времени для
двухямной структуры с параметрами ах =0,4Л,, а2 =0,7к, Ъ = 0,5А, (tD =2nti/AEc: a
- при ступенчатом изменении напряжения от V0 до F, в момент t = 0; б - при
ступенчатом изменении внешнего напряжения от V0 до Vr
Рис.8.8. Изменение вероятностей со временем для двухямной структуры
при двухступенчатом включении внешнего напряжения.
На вставке зависимость напряжения от времени, т = 9t0
Рис.8.9. Потенциальная ступенька в однородном электрическом поле
Если скачком изменить напряжение от нуля до резонансного значения Vr,
соответствующего равенству вероятности обнаружить электрон в первой и
второй ямах в стационарном состоянии (см. рис. 8.6), то, как и в предыдущем
случае, наблюдается осцилляторное поведение со(0 (рис. 8.76). но амплитуда
осцилляции велика, значения вероятностей в минимумах обращаются в нуль,
то есть за период колебаний происходит полная предислокация электронной
плотности из одной ямы в другую. Период колебаний 2ТГ при этом
определяется расстоянием между уровнями стационарных состояний в резонансных
условиях и существенно зависит от толщины барьера.
Сопоставляя рис. 8.7а и б, можно сделать вывод, что для осуществления
бездиссипативной передислокации электронной плотности необходимо
вначале приложить к структуре напряжение Vr, а в момент достижения
максимума вероятности в первой яме (то есть при t=Tr) скачком увеличить
напряжение до Vx, соответствующего передислокации в стационарных условиях.
На рис. 8.8 представлены зависимости со(0 для такого режима. При этом
передислокация в основном достигается за время Тг и для структур, сформи-

рованных на основе слоев GaAl,_xAs/GaAs, составляет 0,15 пс для и 0,45 пс
при х= 0,1.
Отметим, что на таких временах осуществить ступенчатое изменение
напряжения на структуре очень сложно, однако оценки показывают, что и при
плавном, например, линейном по времени, включении напряжения можно
добиться бездиссипативной передислокации за время менее 1 пс. Причем это
время зависит от размеров КЯ и соответствующим их подбором оно может
быть еще уменьшено. В частности, показано, что оптимальным режимом
переключения будет не скачкообразное изменение приложенного к структуре
напряжения, а более плавный процесс, при котором система некоторое время
находится в окрестности резонанса уровней энергии различных КЯ. Время
переключения в этом случае определяется временем туннелирования в
резонансе, которое для структуры GaAs-AlAs при толщинах барьеров и ям ~ 40 - 50 А
может быть порядка 0,1 пс. При этом оказалось, что динамика
передислокации волновой функции слабо зависит от формы временного фронта импульса
переключения.
2.8.5. Потенциальная ступенька в однородном электрическом поле
При приложении электрического поля к системе металл (сильно
легированный полупроводник)-диэлектрик может быть реализован потенциальный
рельеф, показанный на рис. 8.9. Рассмотрим движение электрона через
систему с таким треугольным потенциальным барьером. Будем полагать, что
потенциальная энергия системы не зависит от времени. Тогда состояния
движения электрона могут быть найдены из решения уравнения Шредингера
-—ЧГ{х) + и(х)Ч!(х)=ЕЯ{х) (8.5.1)
1т
[0 при х < 0,
[U0 -qFx при х> 0
здесь F - напряженность электрического поля, С/0 > 0.
Будем полагать, что источник электронов находится при х —> —оо. Тогда
волновая функция, описывающая движение электронов с энергией Е, в
области х < 0 может быть представлена в виде
% (х) = Ах (£)exp(/for) + В, (£)exp(-i7br), (8.5.2)
vjx&k^^lmE/h2 >0.
Сделав замену переменной х на

z =
X--
U«
■ + ■
qF qF/
flmqF
{ h2 )
1/3
(8.5.3)
уравнение Шредингера для x> 0 приводится к виду
d y2(g) + zy2(z)=0j (854)
В свою очередь решения (8.5.4) выражаются через функции Ганкеля
первого рода .//„,. Причем, Ч*2(г) следует выбирать в виде
4>2(z) = A2(E)^H$
(1
±z3/2
(8.5.5)
так как именно такое решение имеет необходимую асимптотику
42(z)«A2(zY
exp
7Wz
t-z*~
12
(8.5.6)
при x —> +oo.
Принимая во внимание, что согласно (7.1.9) плотность потока частиц в
состоянии, описываемом (8.5.5), при х->■ +оо равна
,•(+)
3
Л^-еЛУ3
Л1+,*-14(Я)Г
2Й^
\ т" J
коэффициент прохождения Z) можем представить в виде
_ 3 (2mqF)V3 \A2{E)\2
D
пк{ h2 J
A(E)\
(8.5.7)
(8.5.8)
Соотношение между А-,(Е) и AX{E) находится из граничных условий в
точке х:=0. Учитывая непрерывность волновой функции и ее производной
при х=0, имеем
Ах (Е) + ВХ{Е) = А2 (Еу^Н$(1 zf j
ik(ME) - B,(E)) = А2(Е)\
2mqF
\ i/з
h2 J
Z0H-2/3\^
273/2
где z0 = z(x = 0) = (2mqF/h2 ),/3 (Е - U0)jqF.
(8.5.9)

В результате окончательно получаем, что
од- nh>F
n\E-Un
\Lm
0)
(E-U0)H^
-z,
3/2
J
+ ikH$
,3/2
Так в случае барьера, для которого и
2mqF
i/з
я»1 и
(8.5.10)
1/3
а|1 -E/U0\» 1, выражение (8.5.10) можно преобразовать к виду
--Л(1-а)3
D(E) » 4^a(l-a)exp
при£<£/0 (здесьа = £/£/0, у = U0/E],E] =Ь2/2та2) и к
2mqF
IT
(8.5.11)
Д£)«
4Va(a-l)
(л/а + Va-1)2
(8.5.12)
при E>U0.
На рис. 8.10 приведены зависимостиD{E)ото, рассчитанные с
использованием (8.5.11) для у = 8000, 13824 и 4096. Видно, что вероятность
прохождения потенциальной ступеньки при приложении к ней однородного
электрического поля сильно зависит от высоты ступеньки, энергии частицы и величины
поля. При уменьшении высоты ступеньки, увеличении энергии частицы или
напряженности электрического поля коэффициент прохождения возрастает.
W6
©ю-8
i<ri:
ю-1л
КГ"
10""
1CT2°L
ю-г
7Л .
-
1 1 1 1 1 1 1
■ у"3 =20
А у'3 =24
♦ У"3 =16
>Т 1 J* i A i i i
Е
0
U,
Е¥
иг
0,1
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7a 0,8
L, LXHV Ц-гИ'+Ьг
Рис.8.10. Зависимости коэффициента прохождения потенциальной ступеньки
в однородном электрическом поле от приведенной энергии a
Рис.8.11. Энергетическая диаграмма двухбарьерной
структуры в электрическом поле

Заметим, что выражение (8.5.11) совпадает с выражением для
коэффициента прохождения данного барьера, найденным в квазиклассическом
приближении, при условии, что 4/Зд/у(1-а) » 1.
В свою очередь (8.5.12) описывает поведение коэффициента
прохождения при надбарьерном пролете частиц. Согласно (8.5.12) при увеличении
энергии частицы коэффициент прохождения будет монотонно расти.
2.8.6. Tlpoxooicdenue частиц через двухбаръерную
структуру в электрическом поле
Как показано в п.7.10 при туннелировании через систему двух одинаковых
одномерных барьеров, частица может проходить их без уменьшения
амплитуды волновой функции. В электрическом поле форма барьеров изменяется и они
смещаются относительно друг друга по энергетической шкале. В результате
коэффициент прохождения уменьшается, однако соответствующим изменением
параметров системы (обычно за счет увеличения ширины второго барьера) для
определенных напряжений его опять можно сделать равным единице.
Рассмотрим прохождение частицы, изначально имеющей энергию EF, через
систему из двух потенциальных барьеров и КЯ (рис. 8.11), к которым приложено
постоянное напряжение V и переменное напряжение с частотой со. В результате
высота барьеров периодически осциллирует во времени и для нахождения
состояний движения частицы необходимо решать уравнение Шредингера вида
.„&¥ П2 a2vF ТТ, .,„ ,0£Л.
гп— = — - + U(x,t)x¥ (8.6.1)
dt
2m дх1
U(x,t) = Ul(x,t) + U2(x,t) + Uj(x,t) + U4(x,t),
(8.6.2)
£/,(*, О
qV
Ux-2—x + U0Xcos((nt), 0<х<Ц
0 x < 0, x > Ц
(8.6.3)
U2(x,t) =
L
0
x, Ц< x< Ц+W
x< Ц, х> Ц +W
(8.6.4)
U3(x,t) =
qV
U2-2—x + [/02cos(co/-i-(p), Ц +W < x< L /o/rr\
0 х<Ц+1¥, x>L

\-qV, x<L
0 x< L
(8.6.6)
Здесь C/0), C/02 - амплитуды модуляции высот первого и второго барьеров; ф-
разность фаз.
В области л:<0 решение уравнения (8.6.1) может быть представлено в
виде
VL(x,t) = i>„0e'*"-T + 4,e-'*-T}exp
где кп = yJ2m(EF + ийсо) / Й, а в области x>Lb виде
^5 (*.')= ЕС;,ехр -/
..Ее- + ИЙСО
-Z-
П
t
, (8.6.7)
Ее- +nha , ,
F 7-*ll5(x-L)
П
(8.6.8)
с £м5 = yl^m^Ep +nti(£> + qV) I h. Первый член в (8.6.7) описывает падающую на
структуру частицу, второй - совокупность отраженных (при EF + nha> > 0) или
(при EF + Л7ЙС0 < 0) локализованных около барьеров (поверхностные
состояния) волн.
В КЯ между барьерами решение уравнения Шредингера выражается
через функции Эйри
¥з (*,')= H\BnAi
f Q2(n)L + x^
+ S.,Bi
/ в2(п)Ь+хл
xexp
Ло J
EF + nha
-i— /
Ko J J
(8.6.9)
где92(«) = (£Р +nh&)/gV, & x0={tj2L/2mqV)V\
В свою очередь в области первого барьера волновая функция принимает
вид
¥2(х,0 = ехр
-z—— sim
ч
Йсо
+
+cj_mL±i"
V
( EF + nha> }
►ехр -/— 1
Ко у
V
(8.6.10)
У
а в области второго

Ч/4(х,0 = ехр -z—^-sin(a)f+ <р) У \H„Ai
' е3(«)1+хл
+
+&*
' дз(п)Ь+хл
>ехр
-;
£F + ийсо
(8.6.11)
Э,(и) =(£F + ийю -Ui)/qV,Q3(n) = (EF + nha-U2)/qV.
Из (8.6.7)—(2.6.11) следует, что усредненная по периоду колебаний произ-
водная от плотности вероятности р = Ч'Ч' по времени равна нулю, и поэтому
2>„+дя) = 1.
(8.6.12)
ЗдесьDnuRn- коэффициенты прохождения и отражения для канала с
номером 77.
А,=.
£F + ийсо + д'Г 2
|0?Г 0(£F + ийш + qV\ (8.6.13)
Л„=.
М- |Ли|2 0(£F + пП(й),
(8.6.14)
0(z)-единичная функция Хевисайда.
Используя условия непрерывности волновой функции и ее первой
пространственной производной, получена бесконечная система линейных
уравнений с комплексными коэффициентами для определения Сп и Ап.
На рис. 8.12 приведены зависимости D0 от приложенного напряжения V,
рассчитанные для случая Ul=U2 = 1,8 эВ, Ц = 1 нм, L2 = 1,3 нм, W =Ъ нм,
EF =1эВ, Йсо=0,1 эВ, С/01 =U02 =0,05эВ, ф = 0, т-тй, т0 - масса электрона.
Анализ показывает, что для основного канала (и = 0),которому соответствует
прохождение без излучения и поглощения частицей квантов колебаний,
увеличение энергии модуляции в диапазоне 0 < йсо < 0,15эВ (при неизменных
отношениях £/01/(Йсо) и £/02/(Йсо)) приводит к уменьшению значения .Domax и
смещению максимума в область меньших напряжений. Для данной системы
при Йсо=0,01эВ максимальное значение Z)0max = 0,9938 достигается при
VmuX = 0,45075 В, а при йш = 0,15эВ£>0тах = 0,9111 и Ктах = 0,45036 В. Т.о. для
частицы, туннелирующей через два барьера, к которым приложено
напряжение V, а высоты гармонически изменяются во времени с частотой со, с
увеличением частоты модуляции резонансное значение коэффициента прохождения
уменьшается, а резонансная кривая смещается в область меньших напряже-

0,4502 0,4504 0,4506 0,4508 0,451 0,45
1 И7Г
Рнс.8.12. Зависимость коэффициента прохождения D0 от напряжения V.
1 - Лео = 0,1 эВ, 2 - Йю = 0 эВ (статический случай)
Рис.8.13. Функциональные зависимости Ej(И7), рассчитанные
с использованием (8.7.1) при Л/К =0,5 (цифры у кривых соответствуют
номеру стационарного состояния)
ний. Кроме того, изменения кривой прохождения существенно зависят от
значений £/01/(йю) и £/02/(Йсо).
Прохождение частиц по каналам с п ф О (с излучением для и < 0 или
поглощением для п > 0) также носит резонансный характер и определяется
величинами С/01/(Йсо), С/^Дйсо), EF и со. Резонансы имеют место для прохождения с
поглощением при Vn < Ггаах и Vm!Si, а для прохождения с излучением при Vmax и
Vyy > Vmax (здесь Vmax - напряжение, при котором достигается максимум
коэффициента прохождения без излучения и поглощения). При этом Ги
расположено ближе к Vmax, чем Vu и эта несимметричность возрастает с тостом со.
Дополнительного увеличения Dn при Vu и Уи можно добиться, варьируя
величину барьеров. Причем для наиболее эффективного поглощения частицей
кванта колебаний необходимо уменьшить ширину второго барьера, а для наиболее
эффективного испускания увеличить.
В последние годы в связи с созданием и быстрым совершенствованием
квантового каскадного лазера инфракрасного диапазона на межподзонных
переходах интерес к изучению транспорта электронов через системы
потенциальных ям и барьеров в высокочастотном электрическом поле заметно
усилился. Наиболее подробно модель двухбарьерных структур с электронной
накачкой в двухуровневом приближении, позволяющая учесть произвольные
формы барьеров и возмущения, развивается. Авторами, в частности, удалось
найти аналитические самосогласованные решения нестационарных
уравнений Шредингера и Пуассона, описывающих взаимодействие электронов, тун-
нелирующих через двухбарьерные структуры, с высокочастотным
электрическим полем. Показано, что с приложением высокочастотного поля в таких

структурах может наблюдаться гистерезис вольт-амперной характеристики, а
при определенных условиях могут возникнуть токовые осцилляции.
Следует отметить, что излучательные переходы в квантовом каскадном
лазере (QC - лазере) с последовательным туннелированием электронов
составляют порядка 10- - 10" от общего числа межподзонных переходов, что
заставляет пропускать через структуры большие токи. Вместе с тем, в 1994
году Е.И.Голандом, А.Б.Пашковским и А.С.Тагером была выдвинута идея
лазера с чисто баллистическим (когерентным) транспортом электронов,
открывающая новые возможности для совершенствования лазеров. При этом
использование интерференционных эффектов в трехбарьерных структурах
должно существенно повысить интенсивность и квантовую эффективность
переходов. Дело в том, что в отличие от двухбарьерных структур, где частота
переходов определяется продольным размером КЯ и номерами резонансных
уровней, в трехбарьерной структуре частотой переходов можно управлять, меняя
мощность среднего барьера (см. рис.7.21). При этом важной особенностью
расщепленных уровней является их практически одинаковая ширина (в
отличие от двухбарьерных структур, где нижний уровень всегда значительно уже
верхнего), что во многом облегчает получение высоких значений
отрицательной динамической проводимости.
Развивается математическая модель, описывающая когерентное туннели-
рование электронов в трехбарьерных квантово-размерных структурах в
высокочастотном электрическом поле терагерцового диапазона. Исследованы
частотные зависимости отрицательной динамической проводимости
(интенсивности квантовых переходов) трехбарьерных наноструктур с когерентным
туннелированием электронов по близко лежащим расщепленным
энергетическим уровням.
2.8.7. Влияние однородного электрического поля
на двухэлектронные состояния в двойной квантовой точке
Установленная возможность контролируемым образом перемещать
электронную плотность из одной квантовой точки в соседнюю и проводить
полный набор базовых логических операций, необходимых для выполнения
квантовых вычислений, открыла перспективы использования двойных
квантовых точек в качестве базовых элементов квантового компьютера и
стимулировала исследование таких систем.
Проводился расчет электронных спектров в двойной квантовой точке в
отсутствие и при наличии внешних полей. Рассмотрим систему из двух
одинаковых туннельно связанных сферических КТ радиусом R с двумя электронами
в постоянном электрическом поле напряженности F, направленном вдоль оси
структуры. Будем полагать потенциальный барьер между точками достаточно

высоким, а размеры точек столь малыми, что энергия размерного квантования
существенно превышает не только энергию расщепления уровней Л, но и
энергию кулоновского взаимодействия, и тепловую энергию. В результате
можно ограничиться двухуровневым приближением.
Анализируя такую двухуровневую систему в приближении бесконечно
глубокой потенциальной ямы, выражение для расчета спектра электронов
можно представить в виде
(е + V)[(e + V)(e - V)2 - AW2{г + V)-(e- V)A2 ] = 0, (8.7.1)
гдее =E-U-2X-A - h2n2/mR2,a.X, W, С/и V -матричные элементы,
учитывающие межэлектронное взаимодействие в электрическом поле. При этом
комбинации матричных элементов U + V wU-V имеют смысл энергий
взаимодействия электронов, соответственно находящихся в центрах одной и
разных КТ.
В случае отсутствия внешнего поля (F = 0) и W = О из (8.7.1) имеем
Й2 2 /
Е0 =U+2X + —^- + A-iV2 +A2,
mR
E=U + 2X + ^-Ar + A-V,E,=U + 2X + + A + V,
mR2 - mR2
*2 2 .
E2=U + 2X + ^T + A + ylV2 + A2. (8.7.2)
mR2
Согласно (8.7.2) в отсутствие внешнего электрического поля кулоновское
взаимодействие приводит к сдвигу всех уровней на величину U + 2Х, а также
к снятию вырождения среднего уровня. Кроме того, анализ показывает, что
для основного состояния в условиях сильного кулоновского взаимодействия
(V» А) вероятность нахождения обоих электронов в одной КТ оказывается
малой (порядка (Д/2К) ), а вероятность обнаружения электронов в разных
точках близка к единице. В первом возбужденном состоянии вероятность
обнаружения двух электронов в одной точке вообще равна нулю. Т.е.
кулоновское взаимодействие в данном случае с максимальной вероятностью разводит
электроны по разным точкам. Во втором возбужденном состоянии с
единичной вероятностью электроны окажутся в одной из КТ и не могут быть
обнаружены в разных. В третьем возбужденном состоянии с достаточно большой
вероятностью электроны будут находиться в какой-то одной КТ.
Причиной расхождения электронов по разным КТ в основном состоянии
является кулоновское отталкивание. В этом случае имеет место своеобразный

запрет на туннелирование электрона из одной точки в другую, если там уже
есть второй электрон, — явление, называемое кулоновской блокадой туннели-
рования. Для преодоления кулоновского отталкивания необходимо
приложить дополнительные внешние усилия, например, включить постоянное
электрическое поле, направленное вдоль оси двойной КТ.
Рассмотрим теперь влияние постоянного электрического поля на
энергетический спектр и распределение электронов в двойной квантовой точке.
На рис. 8.13 приведены зависимости е((Ж), рассчитанные с
использованием (8.7.1). Видно, что электрическое поле существенно изменяет
положение энергетических уровней всех состояний кроме первого возбужденного
состояния. На рис. 8.14 приведены зависимости вероятностей нахождения
обоих электронов соответственно в левой (P[L) и правой (Prr ) квантовых
точках, а также вероятности симметричного (Р$ ) расположения электронов в
разных точках, от отношения W/V для j = О,2 и 3. Для первого возбужденного
состояния PiL =Prr =®'Ps = 1- И3 рис. 8.14 видно, что вероятности/^
являются симметричными функциями W, a P[L и PRR при смене знака W переходят
друг в друга. Можно также заметить, что значениям матричного элемента W,
соответствующим горизонтальным участкам (или приближающимся к
горизонтальным) на зависимости £,(1^), всегда отвечает симметричное
расположение заряда в КТ. Кроме того, те участки, на которых происходит
монотонное изменение энергии при изменении электрического поля, соответствуют
максимально несимметричному пространственному распределению
электронной плотности. Переход от одного «режима» к другому происходит в
точках антикроссинга: для второго и третьего возбужденных состояний - при
W = О, а для основного и второго возбужденного состояний - при W-±V.
Такое поведение, например, для основного состояния объясняется тем, что в
области | W - V\ электроны находятся в разных квантовых точках, и их
потенциальные энергии во внешнем поле компенсируют друг друга (т.к. имеют разные
знаки). Это и отражает почти горизонтальный участок на кривой s0(W). При
переходе через точку антикроссинга W = V оба электрона в основном
состоянии переходят в левую точку. В результате их потенциальные энергии во
внешнем электрическом поле уже складываются (т.к. имеют одинаковые
знаки) и энергия основного состояния начинает изменяться пропорционально
изменению поля. Следует отметить, что данные закономерности в достаточной
степени универсальны и не должны существенно зависеть от конкретной
формы квантовых точек. Соотношения же между матричными элементами и
потенциальная энергия электронов будут в значительной степени зависеть от
диэлектрических поляризационных свойств материалов как самих КТ, так и
окружающей среды.

X
I ^--^.
1 WIV 2
-0,04
-0,02
0,02 WIVOJM
Рис.8.14. Зависимости вероятностей Р^ (о), Pi2) (б) иР(3) (с) от отношения W/V
при A/V = 0,5: Р*д - сплошная кривая, Р^ - пунктир и pj - штриховая кривая
Рис.8.15. Рациональные (Fp ) и иррациональные (F ) направления
электрического поля в 2D СРКТ
В случае контакта двух материалов с близкими значениями
диэлектрической проницаемости (например, близких по свойствам полупроводников),
пренебрегая искажениями электрического поля около границ КТ,
потенциальную энергию парного взаимодействия двух электронов можно представить
в стандартном виде
2
К
вз
4тте^0|г, -г2\
(8.7.3)
При этом, если уровень отсчета потенциальной энергии выбрать
посередине между КТ, то потенциальная энергия каждого из электронов во внешнем
электрическом поле напряженности F, будет описываться выражением
V(r) = qFr — qFx (здесь F — проекция вектора напряженности электрического
поля F на ось дс).
Показано, что в данном случае симметричные диагональные элементы X
тождественно обращаются в нуль (в силу симметрии задачи), а
недиагональные элементы W=qFL (здесь 2L — расстояние между центрами КТ).
В свою очередь матричные элементы парного взаимодействия

u = -
4nese0R
1-
Si(2n) Si(4n)'
2tt An
+ ■
16яе^е0£ 4яе^е0
f 0,893 1 ^
+
V
R
4L)
V =
Я
4nese0R
r Si(2n) Si(4n)
V
2л
4л
У
16яе^е0£ 4ле^е0 v R
0,893
(8.7.4)
где Si(A,) - функция интегрального синуса аргумента X.
Таким образом, из (8.7.2) и (8.7.4) заключаем, что учет кулоновского
взаимодействия в данном случае повышает энергии основного и первого
возбужденного состояний приблизительно на q /8леsz0L, а энергии второго и
третьего возбужденных состояний - на q /4лб ^б uR. Кроме того, условие |Ж|=К,
задающее точки антикросинга, теперь принимает вид
l,78g2
4nese0R
&mse0L
= 2g\F\L
(8.7.5)
и представляет собой закон сохранения энергии. Левая часть (8.7.5)
соответствует разности энергий взаимодействия электронов, находящихся в одной и
в разных КТ, а правая - работу электрического поля по перемещению заряда
из одной квантовой точки в другую. Таким образом, (8.7.5) определяет
некоторое критическое значение электрического поля7г, при котором кулоновская
блокада может быть преодолена. При меньших значениях электрическое поле
не может преодолеть силы отталкивания и электроны остаются в разных КТ.
Согласно оценкам, критическое значение напряженности электрического
поля может превышать 10 В/см, что соответствует разности потенциалов
между КТ в несколько десятков мВ.
Отметим, что в другом предельном случае, когда контактируют
материалы с сильно различающимися диэлектрическими проницаемостями
(например, полупроводник и диэлектрик), зависимость Квз (^, г2) может
существенно отличаться от обычного кулоновского закона, a V(r) уже не равно qFr,
поскольку поля, создаваемые каждым электроном, претерпевают сильные
изменения по сравнению со случаем однородной среды. Кроме того, при записи
полной потенциальной энергии электронов необходимо учесть еще и энергию
взаимодействия каждого электрона с полями изображений. При этом энергия
взаимодействия электрона с полем собственного изображения будет давать
вклад в функцию V(r), а с полем другого электрона - Ую (/•], г2).

Полагая, что диэлектрическая проницаемость полупроводника много
больше диэлектрической проницаемости диэлектрика zd, выражение для
оценки критического поля, достаточного для преодоления сил отталкивания,
удалось представить в виде
f\ 1 ^
^КР =
8mdE0L
(8.7.6)
R 2LJ
Численные значения FKP в этом случае имеют тот же порядок величины,
что и в случае контакта двух полупроводников с близкими
поляризационными свойствами.
2.8.8. Энергетический спектр сверхрешетки
из квантовых точек в постоянном электрическом поле
Известно, что в отсутствие электрического поля энергетический спектр
электронов и дырок в сверхрешетках из квантовых точек (СРКТ)
представляет собой набор минизон, образующихся в дополнительном периодическом
потенциале сверхрешетки, модулирующем дно зоны проводимости и верх
валентной зоны материала, в котором изготовлена СР. В постоянном
электрическом поле энергетический спектр электронов и дырок в идеальных двумерных
и трехмерных СРКТ может существенно изменяться и становиться
дискретным или непрерывным в зависимости от ориентации поля относительно
кристаллографических осей СР.
Предположим, что величины электрического поля и резонансных
интегралов перекрытия между КТ настолько малы, что применимо одноминизон-
ное приближение. Это соответствует случаю, когда в изолированной КТ есть
только один уровень квантования.
Условие «изолированности» минизоны можно записать в виде
AqFh-«l, (8.8.1)
т Egd
где F — напряженность электрического поля, т - эффективная масса
электрона в материале СР, Eg - величина энергетической щели между минизонами,
fif-период СР.
Используя в качестве базиса функции Ванье, было показано, что
уравнение для коэффициентов разложения Ср волновой функции электрона по
функциям Ванье в данном случае имеет вид
(£ + ^р)Ср-ХАр_Р1СЛ=0, (8.8.2)

здесь р = 2_, и,-а, - собственные вектора СРКТ, а, - базисные
кристаллографические вектора СРКТ, Др - модифицированные электрическим полем
интегралы перекрытия.
Анализ показывает, что решения (8.8.2) даже качественно различны для
двух классов ориентации электрического поля относительно базовых
векторов СРКТ.
Если все отношения проекций электрического поля на базисные вектора
СРКТ (Fa, )/(Fa k),i*k- иррациональные числа (иррациональные
направления поля), то электрический потенциал всех узлов СРКТ различен. Для таких
направлений электрического поля вектора СР, перпендикулярные полю,
отсутствуют (так как плоскость постоянного электрического потенциала
проходит только через одну КТ (рис. 8.15)), спектр дискретен и образует двумерную
или трехмерную лестницу Ванье-Штарка:
ER =-gFR = -5>,Fa,., (8.8.3)
где R = 2_, Л;а, _ вектор прямой решетки.
Электрон в таких состояниях локализован во всех направлениях.
В случае, когда хотя бы одно из отношений (Fa; )/(Fa k),i*k-
рациональное число (рациональные направления электрического поля), в
перпендикулярной к полю плоскости возникают цепочки (или плоскости) КТ,
электрический потенциал которых одинаков (рис. 8.15). Это означает существование
векторов СР, перпендикулярных полю. Показано, что в данном случае на
каждой ступени штарковской лестницы образуется поперечная минизона
(рис. 8.16), а выражение для энергетического спектра с учетом
экспоненциальной зависимости резонансных интегралов от расстояния между КТ для
каждого рационального направления поля может быть представлено в виде
EN (к) = -NqFau + ^cos(kaJ, (8.8.4)
где к - волновой вектор поперечного движения, ап - расстояние между
поперечными цепочками, qFau - разность электростатического потенциала между
соседними поперечными цепочками КТ, а± - расстояние между КТ в
поперечных цепочках, Д± - ширина поперечных минизон.
Следует отметить, что так как расстояния между КТ в поперечных
цепочках (плоскостях) различаются для разных рациональных направлений поля
(расстояния между КТ увеличиваются с увеличением кристаллографического
индекса направления поля, рис. 8.15), а резонансные интегралы
экспоненциально зависят от этого расстояния, ширина поперечной минизоны в (8.8.4)
также экспоненциально зависит от направления электрического поля (рис. 8.17).

Рмс.8.16. Спектр СР из квантовых ям в электрическом поле («); спектр СРКТ
при рациональных направлениях электрического поля (б)
Рис.8.17. Зависимость ширины поперечных минизон от ориентации
электрического поля относительно кристаллографических осей 2D СРКТ
(длины лучей соответствуют ширине минизон в логарифмическим масштабе
при данном направлении электрического поля
Еще одно существенное отличие спектра (8.8.4) от спектра штарковской
лестницы в СР из квантовых ям заключается в узости поперечных минизон,
образующихся в СРКТ за счет возможности резонансного туннелирования
электронов в поперечных цепочках КТ. Как и в СР из квантовых ям, область
локализации электрона в электрическом поле LmK определяется отношением
резонансного интеграла между ближайшими КТ в направлении поля Д п и
разностью электрических потенциалов этих КТ "к-2 ^.п/ qFan. В слабых полях,
когда "к»1 длину локализации в направлении поля можно оценить как
LnoK =2kqn. В противоположном предельном случае сильных полей (А.«1)
электрон оказывается в основном локализованным в одной цепочке КТ.
перпендикулярной электрическому полю, а амплитуда волновой функции в
соседних цепочках при этом пропорциональна "к. В тоже время в одномерных СР
из квантовых ям состояния различных ступеней штарковской лестницы
благодаря широкому поперечному спектру остаются вырожденными при любой
величине электрического поля (рис.8.16а).
Как показали исследования столь сильная зависимость энергетического
спектра электронов в СРКТ от величины и ориентации электрического поля
позволяет путем их изменения добиться: — полного подавления однофононно-
го рассеяния на оптических фононах; - сильного подавления рассеяния на
акустических фононах между поперечными минизонами штарковской
лестницы; — уменьшения скорости затухания блоховских осцилляции при
рассеянии на акустических фононах внутри поперечных минизон по крайней мере
на два порядка величины, что очень важно для создания источников и
приемников излучения в терагерцовом диапазоне частот.

2.9. Распределение квантовых состояний
в системах пониженной размерности
2.9.1. Особенности распределения
плотности состояний в ID-системах
Использование для определения разрешенных значений энергии в
объёмных (3D) материалах граничных условий в виде условий цикличности
Борна-Кармана приводит к выводу, что компоненты волнового вектора .К
изменяются не непрерывно, а принимают ряд дискретных значений. Так
Кх =^-щ;Кг = ^-n2;Kz=^n2, (9.1.1)
Lx by Lz
здесь rij = 0,± 1,±2, ..^Lx,Ly ,LZ- размеры кристалла (в форме
параллелепипеда) соответственно вдоль X, Y и Z направлений.
При этом объём /^-пространства, приходящийся на одно квантовое
состояние, оказывается равен (2л) /V, где К=LxLyLz - объём кристалла. Таким
образом, число электронных состояний, приходящихся на элемент объёма
d K = dKxdKy dKz, рассчитанное на единицу объёма кристалла, будет
(2ny/VV (2тт)3
здесь множитель 2 учитывает две возможные ориентации спина. Заметим, что
согласно (9.1.2) число состояний, приходящихся на единичный
объёма-пространства g(k)(r.e. плотность состояний), есть величина постоянная, не
зависящая от величины К.
ГГ.Л dN 2
d3K (2тт)3
т.е. в ^-пространстве разрешенные состояния распределены с постоянной
плотностью.
В приложениях, однако, необходимо знать количество состояний,
приходящихся на единичный интервал энергии Е (т.е. плотность состояний g(E)), и
зависимость плотности состояний от-Е, а не от К. Точное вычисление
функции g(£) в общем случае практически невозможно, так как изоэнергетические
поверхности могут иметь довольно сложную форму. Однако часто
оказывается достаточным знать функцию g(E)только вблизи краёв зон. При этом
обычно удаётся воспользоваться приближением эффективной массы и свести зада-

чу о нахождении спектра разрешенных состояний, а значит, и зависимости Е
от К к решению уравнения Шредингера для свободной частицы с эффектив-
ной массой m . Например, для простои, изолированной, изотропной
энергетической зоны решение уравнения Шредингера в приближении эффективной
массы будет иметь вид плоской волны
4>(x,y,z)=(LxLyLz)-V2exp[i(Kxx + Kyy + Kzz] (9.1.3)
(а не функции Блоха). При этом связь энергии с волновым вектором К
представится в виде
Е = ^-(К2+К2+К2)=-^К2, (9.1.4)
2т 2т
зц.есьК2=(Кх+Ку +К2).
Заметим, что в (9.1.3) и (9.1.4) начало отсчёта энергии ведется отточки
экстремума зависимости is от К. В дальнейшем для определенности будем
полагать, что отсчет энергии ведется от дна зоны проводимости объёмного (3D)
материала.
В этом простейшем случае изотропного параболического закона
дисперсии (9.1.4) изоэнергетические поверхности представляют собой сферы
(рис. 9.1а). Объём такой сферы U
U=-nK3, (9.1.5)
а радиус сферы К связан с энергией Е, определяющей данную изоэнергетиче-
скую поверхность, уравнением (9.1.4). Согласно (9.1.2) число электронных
состояний N, приходящихся на объём /^-пространства U, для единичного
объёма кристалла равно
N-2-U K' 1
(2тт)3 Зтт2 Зтт2
(^ * V/2
2т ~
Vй J
(9.1.6)
Именно столько разрешённых состояний в единице объема данного
кристалла будут соответствовать энергиям менее Е.
При этом плотность состояний g(E) будет равна
т-.^ 0^ГЕ. (9Л.7>
dE 2n2h3

E = Et \l
1 J J" 3
_^/ 17=1
кГ~7
Рис. 9.1. Изоэнергетическая поверхность — (a)
и зависимость плотности состояний от энергии — (б) для SD-систем
Рис. 9.2. Энергетический спектр частиц — (а) и распределение квантовых
состояний в /С—пространстве — (б) для тонкой пленки
В случае эллипсоидальных изоэнергетических поверхностей
Е =
hz
гк1 к2у к?л
* * *
ктх ту т.;
преобразованием
kx = д[ т * k'x, к у = фпу к'у, kz = -yjml k':
выражение для спектра можно привести к сферической форме
Е = ^К'2.
В результате с учетом (9.1.2), (9.1.5) для плотности состояний в этом
случае получаем следующее выражение:
* * *
dn (2mxm т.) ._
(9.1.8)

Таким образом, в объёмных (3D) кристаллах с параболическим
энергетическим спектром при увеличении энергии плотность разрешенных
энергетических уровней (плотность состояний) увеличивается пропорционально -JE
(см. рис. 9.16).
Рассмотрим теперь случай, когда движение электрона будет
определяться периодическим потенциалом кристаллической решётки и дополнительным
потенциалом U(z)
ГО npnO<z<W
[оо при z<0 viz>W
ограничивающим движение вдоль оси Z. Такая система может
рассматриваться, как грубая модель для описания движения частиц в тонкой пленке
узкозонного полупроводника (толщина пленки W), выращенной между двумя слоями
широкозонного полупроводника.
Ограничиваясь рассмотрением энергетических состояний только у края
зоны с изотропным законом дисперсии, в данном случае (U(z) = 0 = const для
0 < z < Wтакже можно воспользоваться приближением эффективной массы. В
этом приближении движение электронов проводимости вдоль осей X и Y (в
плоскости пленки) оказывается свободным (но с массой т ), а движение
вдоль оси Z будет ограничено потенциалом U(z) (квазидвумерная система или
2£)-система).
Для данного профиля потенциала с учетом граничных условий (¥= 0 при
z = 0 и W) одноэлектронные нормированные волновые функции и
энергетический спектр электронов можно представить в виде
У(х,У,г) =
К
( „ V/2 (
sin
V
L T W
71
W
exp[i(Kxx + Kvy)l (9.1.9)
Гп\
1m
\Wj
2^^^2^2,_г ^^Kl
Е(п,КхЛу) = — - п'+—т(К$+Ц) = Еп+ £, (9.1.10)
2m 2m
здесь Lx, Ly - размеры пленки в плоскости {ХУ) (предполагается, что Lx,
hi ' ^
Ly »W); и= 1,2,3..4 Еп =—-I—J n - энергия, соответствующая дну и-й
подзоны, £л к К у определяются (9.1 Л), АГр =Jk^ +K2y =^2m*{E -En)/fi2 -
величина двумерного волнового вектора в плоскости пленки,
соответствующая данным п и Е.

Согласно (9.1.10) в такой квазидвумерной системе состояния электрона
проводимости определяются тремя числами (п,Кх,Ку), энергетический
спектр разбивается на отдельные перекрывающиеся двумерные подзоны
Е„ =Еп (Кх,Ку), соответствующие фиксированным значениям п (рис. 9.2а), а
кривые постоянной энергии представляют собой окружности. Отметим, что
отсчет энергии ведется от дна зоны проводимости объёмного кристалла.
Если дискретному квантовому числу п сопоставить разрешенные
значения абсолютной величины Z-компоненты волнового вектора\К7 \=(n/W)r?, то
можно распределение квантовых состояний представить в /^-пространстве,
как показано на рис. 9.26. Видно, что объём ^-пространства, ограниченный
замкнутой поверхностью данной энергии Е, в случае пленки разбивается на
ряд сечений, соответствующих фиксированным значениям п.
Воспользовавшись представлением о распределении квантовых
состояний в /^-пространстве, определим зависимость плотности состояний от
энергии в тонкой пленке (в 2£>-системе).
Для этого при заданном п найдем площадь S кольца, ограниченного двумя
изоэнергетическими поверхностями, соответствующими энергиями иЕ + dE,
S = 2nKpdKp,
здесь dKp - ширина кольца.
Так как одному состоянию в плоскости (КхКу) соответствует площадь
dS = (2л) /(LxLy), то число электронных состояний в кольце, рассчитанное на
единицу объёма кристалла, будет
2S K0dK0 dKn
dN= — = -£ £■ =—£-, (9.1.11)
VdS nW 2nW
здесь множитель 2 учитывает две возможные проекции спина. Отсюда для
плотности состояний в пленке имеем
YdN m х-
dE nWhz „
здесь 0(7) - единичная функция Хевисайда, 0(7) = 1 при 7 > 0 и 0(7) = 0 при
7 < 0. Суммирование в (9.1.12) ведется по числу подзон, дно которых
находится ниже данной энергии Е.
Иногда представляют в виде
^™(£) = -^r,f?, (9-1-13)
nWh2

где \tJe/E\ ] - есть целая часть ■yJE/E\, равная числу подзон, дно которых
находится ниже данной энергии Е.
Из (9.1.12) и (9.1.13) следует, что для пленок с параболическим законом
дисперсии: плотность состояний в любой подзоне постоянна и не зависит от
энергии; каждая подзона дает одинаковый вклад в общую плотность
состояний gUJl(E); при фиксированной толщине пленки, плотность состояний
gun (E) не зависит от энергии, пока величина \_^Е/Е\ ] не изменится на
единицу, поэтому общая зависимость gm](E) носит ступенчатый характер
(рис.9.За). Скачок плотности состояний происходит всякий раз, когда энергия
Е совпадает с дном очередной подзоны, т.е. при Е = Еп =Е\п~.
Выразим gnn(Е)ъ форме (9.1.13) через gM (E)массивного образца(9.1.7).
При этом получим, что для изотропного случая
£пл(£) = <?м(£)
4т '
(9.1.14)
Отсюда видно, что Е =Еп при плотность состояний в пленке равна
плотности состояний в массивном образце. Из (9.1.14) также следует, что если при
заданной энергии Е увеличивать толщину пленки W (т.е. уменьшать Е\), то,
когда tJe/E\будет равняться целому числу gnjl(E) = gM (E). При других
толщинах с ростом W плотность состояний gnn (E) будет уменьшаться
пропорционально \(W до тех пор, пока дно очередной подзоны не совпадет с Е.
Зависимость gUJl (Е) от W приведена на рис. 9.36.
Отметим, что в пленке плотность состояний меняется немонотонно и
меньше, чем в массивном образце.
17 W, нм 22
Щ 2Щ Щ Щ IV
Рис. 9.3. Зависимость плотности состояний пленки
от энергии Е-(а) я толщины W-(б)
Рис. 9.4. Зависимость границы Ферми от толщины размерно-квантованной пленки

Значения толщин, при которых плотность состояний меняется скачком,
можно определить из соотношения
W„ =
Ъп
" i
2т Е
■п = W\n,n = 1,2,3,...,
(9.1.15)
здесь W\ - толщина, при которой дно наинизшей подзоны совпадает с
заданной энергиейЕ.
Из (9.1.15) и рис. 9.36 видно, что gnn (Е)является периодической функцией
толщины, причём период осцилляции AW = W\ - 0,5Я., где А. - длина волны де
Бройля электронов с энергией Е. Именно с этим поведением плотности
состояний в условиях размерного квантования связаны осцилляции
термодинамических и кинетических характеристик пленки при изменении её толщины.
В случае спектра с анизотропным законом дисперсии
E(n,Kx,Kv) =
К
1т.
( тт\2
2 К
п + —
к1 к
+ ■
у
^тх
т
У J
кривые постоянной энергии представляют собой эллипсы. Преобразованием
кх = л\тх кх, к у — -J туку,
как и в случае объемного материала, выражение для спектра можно привести
к изотропной форме
-Л
Е(п,Кх,Ку)= —
2т.
2 ъ2
„2 ^П V2
здесь К'р=^К'2+К'2.
Таким образом, с учётом (9.1.11) для плотности состояний в пленке с
анизотропным законом дисперсии получаем
dE iiWn
(9.1.16)
В заключение заметим, что в случае произвольного закона дисперсии или
выбора пленочного (ограничивающего) потенциала другого вида, функции
gnn (E, W) могут отличаться от приведенных на рис. 9.3, однако основная
особенность - немонотонный ход - сохранится.

2.9.2. Зависимость положения уровня Ферми
от концентрации и толщины пленки для 2D-cucmeM
Ступенчатый характер зависимости плотности состояний от энергии
(9.1.13) для 2£)-систем проявится и в зависимости уровня Ферми от
концентрации электронов.
Равновесную концентрацию электронов п, энергия которых лежит в
интервале (Emsx -Е min), можно найти, используя выражение
и= \g(E)ME)dE,
(9.2.1)
£m;„
здесь /q(E)- функция распределения Ферми-Дирака; g(E)- плотность
состояний.
Если для описания распределения разрешенных энергетических
состояний электронов воспользоваться моделью, использованной в п.9.1, то
выражение (9.2.1) примет вид
* *-Тпах
n1D=Ar-Y. \f0®(E-En)dE, (9.2.2)
bmin
где£„ =Е\п . Учитывая резкую зависимость/о от энергии и полагая верхний
предел интегрирования равным бесконечности, из (9.2.2) получаем
EF-En
«so = 42D)2>
1 +ехр
kQT
J.
(9.2.3)
(2D) т kr\T
здесь N г = — эффективная плотность состояний; Е F -уровень Ферми.
■rfiW
Для невырожденного электронного газа, когда [(Ер -Еу)/коТ]«\ из
(9.2.3)
<Е Л
"2D = N$D)exp —F- Jexp
\koTJ »
En_
(9.2.4)
отсюда
EF = k0TLn
"2D
N(2D) £ехр(-£иД0:Г)
(9.2.5)

Заметим, что формально в (9.2.3-9.2.5) суммирование по п необходимо
проводить до п = л0 = со, однако реально в (9.2.4) и (9.2.5) можно ограничиться
суммированием до
"О ~
2,5.
кпТ
(9.2.6)
где [Z] - целая часть Z.
В случае сверхтонких пленок, когда можно учитывать заполнение лишь
нижней подзоны, из (9.2.4) и (9.2.5)
' EF-Ex
n2D=NgD)exp
к0Т
EF =Ei+ kQTLn
г \
У1УС J
Для толстых пленок (квазиклассический случай) выражение (9.2.4)
переходит в соответствующее выражение для массивного кристалла.
В случае сильного вырождения электронного газа и низких температур,
когда [(EF -E^/kQT]»1 из (9.2.3) получим, что
N(2D) «о
"2d=-tVZ(£f-£i"2)>
к0Т
(9.2.7)
где и0 - целая часть *jEp jE\.
Выполнив в (9.2.7) суммирование по п, имеем
"2D =
m
nhzWL
EF-EX
(ио+1)(2ио+1)'
(9.2.8)
Отсюда получаем связь между границей Ферми (граница Ферми -
уровень энергии, ниже которого при Т = О К все разрешенные состояния заняты, а
выше - все пусты) и концентрацией электронов для пленок произвольной
толщины в виде
EF =
nh2W
m*riQ
n2D + Е{
(ио+1)(2ио+1)
(9.2.9)

В случае толстых пленок, когда заполнено много подзон и hq »1,
согласно (9.2.9)
EF =EF(*) =^(2n2n2Df\ (9.2.10)
2т
т.е. при больших толщинах выражение для Ер в пленке переходит в
соответствующее выражение для Ер в массивном кристалле.
В случае сверхтонких пленок, когда электроны находятся только в
нижней подзоне, и0 = 1 и граница Ферми проходит между первым и вторым
пленочными уровнями, согласно (9.2.9)
EF=EX +
izh2W
■n2D.
(9.2.11)
т
Таким образом, при W ->• 0 граница Ферми Ер ->• Е\.
Зависимость границы Ферми от толщины пленки, рассчитанная по (9.2.9)
для л= 10~э м~ ии = 0,067niQ, представлена на рис. 9.4. Минимумы на кри-
вой связаны с уменьшением Е\ (пропорционально W ~) и плотности
состояний (пропорционально W~ ). Максимумы определяются толщинами Wmax,
при которых граница Ферми совпадает с дном очередной подзоны с номером
«0- При этом
£H^max)=£l(^max)"0
(рассматривается КЯ с бесконечно высокими стенками).
Толщины Wmin и Wmax, соответствующие экстремумам на зависимости
Ер от толщины пленки, можно оценить по формулам
где «0 =
= 1,2,3...
W ■ =
" ПИП
."2D
^max ="0<
п
"2D
(»0+1)(2п0+1)
"о г
1/3
(9.2.12)
(яр + 1)(2ир +1)
6п2
1/3
(9.2.13)
здесь п0 = 2,3,4.., так как в вырожденном случае граница Ферми может
совпадать только с дном подзон 2, 3, 4 и т.д.
В минимуме

EF(Wmia) = EF(co)
где л0 = 1,2,3,.., а в максимуме
EF(Wmn) = EF(co)
(^+1)(2яо+1)
2»o2
4/rf
1/3
(9.2.14)
(ио-1)(4ио+1)
2/3
(9.2.15)
Таким образом, при увеличении толщины пленки для смежных
максимумов и минимумов имеем
1V3
wt
max
wr
min
4»q+1
4«0 -1
(9.2.16)
^/r(^max)
= 2nr
(4«0+1)2(2«o-1).
1/3
(9.2.17)
здесь щ = 2,3,4.
2.9.3. Распределение плотности состояний
в квантовых проволоках и квантовых точках
Рассмотрим систему, в которой движение частиц определяется
периодическим потенциалом кристаллической решётки и дополнительным
потенциальным рельефом вида
U(x,y) =
0 при 0 < у< dvi 0 < z<W
оо при у < О, z < 0 ,
оо при у > d, z > W
ограничивающим движение вдоль осей Y и Z.
Структуры с КЯ, в которых движение электронов ограничено по двум
направлениям и свободно в третьем (одномерные или Ш-системы) называются
квантовыми проволоками (или проводами) (КП).
Рассматривая энергетические состояния только у края невырожденной
зоны с изотропным параболическим законом дисперсии, для данного
профиля потенциала одноэлектронные нормированные волновые функции и
энергетический спектр электронов можно представить в виде

Ч,Пз„(х,у,г) =
ч1/2
yLxdW
sin
\d )
sin
ж
У
ехр(/А:хх), (9.3.1)
Е(п,т,Кх) = -JC +
2т 2т
'-1
/77 +
'-1
(9.3.2)
где ось X—направлена вдоль квантового провода; Кх - одномерный волновой
вектор, определяемый (9.1.1); dи W- толщина КП вдоль осей Y и Z
соответственно (предполагается, htoZa. »duJ¥); m,n= 1,2,3...-положительные числа,
характеризующие квантовые подзоны.
Согласно (9.3.2) энергетический спектр КП разбивается на отдельные
перекрывающиеся одномерные подзоны (параболы) Е{п, т, Кх),
соответствующие фиксированным значениям и и т (рис. 9.5а). Движение электронов вдоль
оси X оказывается свободным (но с массой т ), а вдоль осей Y и Z движение
ограничено.
Определим зависимость плотности состояний в КП от энергии.
Число квантовых состояний, приходящихся на интервал dKx,
рассчитанное на единицу объёма, равно
dN = dK>
dKy
V(2n/Lx) 2nWd
Согласно (9.3.2)
кх =
\1m
'\P ^n,m)->
(9.3.3)
(9.3.4)
где
Jn,m *
2m
'-1
7
m +
n
(9.3.5)
энергия, соответствующая дну подзоны с заданными п и т. Таким образом,
ж,=
i
2т dE
2ЦЕ-ЕПу
(9.3.6)
т
С учётом (9.3.6) зависимость плотности состояний в КП от энергии,
рассчитанная на единицу объёма, может быть представлена в виде
gKn(E)=\—YL "' ■ (9-3-7)
*ЬШтп4Е-Еп,т

При выводе (9.3.7) учтено спиновое вырождение состояний и то, что
одному интервалу dE соответствуют два интервала ±dKx (см. рис. 9.5а) каждой
подзоны, для которой(Е-Еп 1п)>0.
Отметим также, что в (9.3.7) энергия Е отсчитывается от дна зоны
проводимости массивного образца.
Зависимость плотности состояний в КП от энергии представлена на
рис. 9.56. Цифры у кривых показывают квантовые числа п и т. В скобках
указаны факторы вырождения уровней подзон.
Согласно (9.3.7) в пределах отдельной подзоны плотность состояний
уменьшается с увеличением энергии как \Je-Enm. Полная плотность
состояний представляет собой суперпозицию одинаковых убывающих функций
(соответствующих отдельным подзонам), смещенных по оси энергии. При
Е = Епт плотность состояний gKn равна бесконечности. Однако необходимо
заметить, что для любого конечного интервала энергии число разрешённых
состояний оказывается конечным. Отметим также, что при d= ^подзоны с
квантовыми числами «^/«оказываются дважды вырожденными.
11(1)
12(2)
22(1)
13(2)23(2)
Рис. 9.5. Энергетический спектр электронов при d < W — (а) и зависимость
плотности состояний от энергии при d = W - (б) для квантовой проволоки
Рис. 9.6. Распределение числа разрешённых состояний N в зоне проводимости
для квантовой точки при h = d = W; цифры обозначают квантовые числа;
в скобках указаны факторы вырождения уровней
Рис. 9.7. Энергетическая диаграмма БПЯ при наличии 5-образного потенциала

При трехмерном ограничении движения частиц, мы приходим к задаче о
нахождении разрешённых состояний в квантовой точке (ячейке) или 0£>-системе.
В случае, когда наряду с периодическим потенциалом кристаллической
решётки на частицу действует ограничивающий потенциал вида
U(x,y,z) = <
О при 0< х< h,0< у< d к 0< z< W
оо при х <0, у <0, z < О
оо при х > h, у > d, z > W
для состояний вблизи края невырожденной изотропной параболической
зоны, используя приближение эффективной массы, нормированные волновые
функции и спектр разрешённых состояний в OD-системе удаётся представить
в виде
^rvn,l(x,y,z) =
Е(п,т,1) =■
8
л
hdWJ
1/2
sin
— X
sin
fn \
~,У
sin
J
71
w
2m
,h)
12 +
m2 +
'-1
n
(9.3.8)
где h, dvi W- размеры квантовой ячейки соответственно вдоль осей X, Y и Z; п,
/ии / = 1,2,3... - положительные числа, нумерующие подзоны.
Согласно (9.3.8) энергетический спектр квантовой ячейки представляет
собой набор дискретных разрешённых состояний, соответствующих
фиксированным п, ти/. Число состояний, соответствующих одному набору п, т, /,
рассчитанное на единицу объёма,
/ = 2/hdW.
Полное число состояний, имеющих одинаковую энергию, рассчитанное
на единицу объёма,
N=t-g,
здесь g — фактор вырождения уровня.
Вырождение уровней в первую очередь определяется симметрией задачи.
Например, в случае, когда d-h-W уровни будут трехкратно вырождены,
если два квантовых числа равны между собой и не равны третьему, и
шестикратно вырождены, если пфшф1. Необходимо также отметить, что
конкретный вид потенциала может приводить к дополнительному, так называемому
случайному, вырождению. Например, в нашем случае к трёх кратному вы-

рождению (п = 5, т= 1, /= 1; п = 1, т= 5, /= 1; п - 1, т= 1, /= 5), связанному с
симметрией задачи, добавляется случайное вырождение (п = 3,т=3,1= 3),
связанное с видом ограничивающего потенциала. Распределение числа
разрешенных состояний N по энергии для квантовой ячейки при h = d = W показано на
рис. 9.6.
2.9.4. Влияние дополнительного пространственного ограничения
на энергетический спектр связанных состояний
в одномерной Ъ-образной потенциальной яме
Мы рассмотрели влияние потенциальных барьеров на энергетический
спектр изначально свободных частиц. Остановимся теперь на влиянии
дополнительных ограничений (потенциальных барьеров) на разрешенные
состояния локализованных частиц.
Найдем разрешенные уровни энергии и волновые функции связанных
состояний частицы в 5-образном потенциале при наличии дополнительных
бесконечно высоких потенциальных барьеров (рис. 9.7).
Энергетический спектр частицы и волновые функции стационарных
состояний определяются в этом случае решениями уравнения (7.1.2) с потенциалом
Г оо при х<Оих>^
U{x)={ (9.4.1)
[-a5(x-Z) приО<х<\У,
здесь a > 0.
Для Е < 0 (связанные состояния) решения уравнения (7.1.2) в данном
случае имеют вид
W] = Ах ехрфх) + By (-р*) при 0 < х < L
и
Ч>2 = А2 ехр(-Рх) + #, (Р*) при L < х < W, (9.4.2)
где Р = *J-2mE I Й.
При наличии 5-образного потенциала граничные условия в точке X=L
можно представить в виде
-*F'(Z + 0) + 4"(£-0) = —<х¥Ш (9.4.3)
h2
и
T(Z + 0) = lF(Z-0). (9.4.4)
Кроме того, необходимо учесть, что в соответствии с (9.4.1)
4J](0) = W2(W) = 0. (9.4.5)

Причем именно на проявлении ограничений (9.4.5) мы и хотим
сосредоточить внимание.
Учитывая граничные условия (9.4.3), (9.4.4), (9.4.5) и уравнения (9.4.2),
можно показать, что
*Pj (х) = 2^sh(Px) при 0 < х < L,
Т2 (х) = -252ехр(Р W)sh(${W - x)) npnL<x<W,
1т
РФ exp(p^)ch[p(^ -Щ - А{сЩЬ)) = -А1 —а ■ sh(pZ),
Й
R, exp®W)sh[fi(W - L)] = -^sh(p^). (9.4.6).
Из двух последних уравнений легко получить выражение, определяющее
спектр разрешенных уровней энергии, в виде
P[cth[P(W - Щ + акфЩ = а Щ. (9.4.7)
Анализ (9.4.7) показывает, что р\ а следовательно, и энергия связи
состояния убывают при уменьшении как Д так и W, т.е. при приближении
локализующего потенциала к любой из потенциальных стенок. Более того, в данном
случае связанное состояние (состояние сЕ < 0) вообще появляется не всегда, а
только при определенных соотношениях между a, L и W.
Если поместить 5-образный потенциал в центр КЯ, образованной
дополнительными границами при х= 0 и x=W, т.е. в точку с x = Z, = 0.5W, то (9.4.7)
примет вид
P=<x-^-th(pZ). (9.4.8)
h2
Согласно (9.4.8) связанное состояние может образоваться (т.е. 5-образная
потенциальная яма сможет локализовать (захватить) частицу), только если
т сНЬфЬ)
а
П2 </Р
а значит, и
>1,
р=о
П2
L> . (9.4.9)
am
При меньших L влияние дополнительного ограничивающего потенциала
«выдавит» уровень из 5-образной ямы. Из (9.4.8) также следует, что при
наличии двухстороннего дополнительного ограничения для связанного состояния

P<a-^-, (9.4.10)
h
т.е. область локализации частицы Ах будет более 2й /(а/я), а энергия делока-
2/2
лизации менее a m/2h .
Если исключить влияние одной из дополнительных потенциальных
границ, например, положив W = co, hoZ^oo, то из (9.4.7) имеем
P(l + cth(pZ))=a2;"
П2
или
a---p
v й2 j
= th(Pi). (9.4.11)
Согласно (9.4.11) в данном случае связанное состояние может
образоваться, только если
й2
Z>—, (9.4.12)
т.е. условие стало менее жестким.
Если исключить влияние дополнительного ограничения вообще
(устремив W и L к °о), то из (9.4.7) получаем, что в этом случае в одномерной 5-образ-
ной потенциальной яме всегда имеется одно связанное состояние с
Р = ^ (9.4.13)
п
2
и энергией связи
Е = -^. (9.4.14)
С этой точки зрения 5-образная потенциальная яма моделирует мелкую
потенциальную яму U(x) достаточно произвольного профиля, для которой
mr Uq/H «1 (здесь Щ и /* - характерные величина потенциала и его
протяженность), при этом
a=-jU(x)dx.
В заключение отметим, что тенденция к уменьшению энергии связи и
даже исчезновению связанного состояния за счет появления дополнительных
потенциальных границ в одномерных системах сохраняется и при других

формах локализующего потенциала. Например, из анализа, проведенного в
п. 1.7, следует, что при наличии связывающего потенциала в виде
прямоугольной ямы (потенциальный провал) связанные состояния появятся, если
расстояние до дополнительных потенциальных границ
/>
wj V и
г
и
'-dj
(см. формулу (7.8.8)). В общем случае уменьшение высоты дополнительных
ограничивающих потенциальных барьеров способствует появлению
связанных состояний.
2.9.5. Энергетический спектр мелких примесных состояний
в системах пониженной размерности
Оценка энергии связи мелких примесных состояний в неограниченных
кристаллах обычно проводится в приближении эффективной массы. При этом
задача сводится к нахождению собственных значений энергии электрона в
атоме водорода с учетом эффективной массы т и диэлектрической
проницаемости кристалла е, т.е. к решению уравнения Шредингера вида
Г
2т
4Л880Г
Ч* = ЕЧ,
(9.5.1)
где Д - оператор Лапласа.
Известно, что для частицы в кулоновском потенциале притяжения
U = -a/r уровни энергии для состояний дискретного спектра определяются
выражением
Е„=-а2—^-гс = 1,2.., (9.5.2)
а радиальная функция для основного состояния (^-состояния) может быть
представлена в виде
Rl0 = 2а 3/2 ехр(-г/г),
где а= Й /та— эффективный боровский радиус.
В нашем случае согласно (9.5.1)
(9.5.3)
а =
47166 г

Таким образом, для энергии основного примесного состояния (л=1) из
(9.5.2) получаем
' я2 л
Е = -
а эффективный боровский радиус
% =■
47T8S
т
2/г
2'
т
4л88с
(9.5.4)
(9.5.5)
Отметим, что в (9.5.4) отсчет энергии ведется от дна зоны проводимости.
Если ограничить область движения электрона потенциальными
барьерами, например, поместив слой полупроводника, в который введен атом
примеси, между двумя слоями более широкозонного полупроводника, то для
определения энергии связи примеси вместо уравнения (9.5.1) необходимо решать
уравнение
К
2т
-A + U(r) + V(z)
4>(г) = Е¥{г),
(9.5.6)
где V(z) - потенциальный рельеф ямы, ограничивающий движение
электронов вдоль Z-направления; U(r) — потенциал, обусловленный примесным
атомом.
Если совместить начало координат с центром потенциальной ямы и
обозначить координату примесного атома по оси, перпендикулярной стенкам
ямы - Zj, то потенциал U(r) можно представить в виде
_ 2
U(г) = , J7 (9.5.7)
47Г880д/р2 +(Z-Zj)2
9 9?
здесь р = х + у - расстояние до примеси в плоскости, параллельной
стенкам ямы.
Пусть при отсутствии примесного центра система с потенциалом V(z)
имела разрешенное значение энергии основного состоянияEq(V), тогда
энергия связиEj(V, Zj) примеси определится соотношением
Ei(V,zi) = E0(V)-E(V,zi),
(9.5.8)
гцеЕ(У, Zj)- собственные значения (9.5.6).
Для упрощения расчетов рассмотрим случай, когда потенциал V(z) имеет
вид

ГО при \z\<0,5W
[oo при z\>0,5W
т.е. представляет собой БПЯ.
При этом в отсутствии примесного центра
Е*<У) = -*-г[£)> (9-5-9)
2т \W )
а собственная функция, соответствующая этому состоянию, может быть
представлена в виде
4{г) = ^ехр[ККхх + Куу)]со5{К12), (9.5.10)
здесь S и W - площадь стенок и ширина ямы, К\ - n/W.
Поскольку в (9.5.6) переменные не разделяются, точное решение задачи в
общем случае невозможно. Поэтому для оценки энергии связи используют
приближенные методы. Кроме того, известны решения для некоторых
предельных случаев. Например, если поместить атом примеси в начало координат и
устремить W —> 0, то придем к задаче определения спектра связанных
состояний частицы в двумерном потенциальном поле вида
t/(p) = -ct/p. (9.5.11)
Разрешенные значения энергии частицы в таком потенциале
определяются выражением
* 2
т а
42D)=- , „» = U-, (9-5.12)
2h2(n-0,5)2
а волновая функция, описывающая основное состояние данной системы,
имеет вид
ЧЧр)= —техр
(9.5.13)
Из сравнения (9.5.12) и (9.5.2) видим, что при переходе от трехмерной
системы к двумерной энергия связи примесного атома в основном состоянии
(и = 1) увеличивается в четыре раза.
Более детальную зависимость энергии связи (9.5.8) от ширины
потенциальной ямы W и положения примесного центра в направлении нормали к
стенкам ямы можно получить лишь приближенно, используя, например, прямой
вариационный метод. Оценка E(V, z,) в этом случае сводится к
использованию неравенства

E0 < l4>*m>dv(3.5A4)
где Eq - энергия основного состояния системы; Н - полный гамильтониан
системы (в данном случае соответствующий (9.5.6)); Ч1 - пробная функция,
содержащая некоторое число неизвестных параметров и удовлетворяющая
условиям задачи (в нашем случае - граничным условиям и условию
нормировки)
здесь, как и в (9.5.14), интегрирование ведется по всему объёму пленки.
Практически оценка энергии основного состояния E(V, z,) сводится к
нахождению минимума интеграла в (9.5.14) при варьировании пробной функции.
При удачном выборе вида пробной функции найденное значениеЕ может
оказаться близким к истинному значению энергии основного (наинизшего)
состояния Eq даже при небольшом числе варьируемых параметров.
Выбор пробной функции обычно базируется на качественном анализе
решений с учетом симметрии задачи. В нашем случае пробную функцию
удобно выбрать в виде
4J(r)^Ncos(Klz)exp
Vp2+(z-z,-)2
X
(9.5.15)
здесь N - нормировочный множитель, а А. - вариационный параметр.
Заметим, что функция (9.5.15) является одной из простейших пробных
функций, удовлетворяющих симметрии задачи и условию полного
ограничения ямой Q¥ = О при| z\= 0,5W). Кроме того, функция (9.5.15) является точным
решением (9.5.6) в двух предельных случаях: W=0 и 1¥ = <я (см. (9.5.3) и
(9.5.13)).
Используя (9.5.15), выражение для определения собственных значений
(9.5.6) удается представить в виде
П2К2
E(V,zi)=E(W,zi,X)= J- + -
h'
(qNXY
1 +
2т
cosjlKyZj) К2Х2
\-К2Х2 \+К2Х2
2т X
f
ехр
8блб
СП
V
X
2z/
~Х~.
(9.5.16)
Минимизируя это выражение по X, получим E(V, Zj) = E(W, z,)при
значении X, обеспечивающем min (9.5.16). Теперь с учетом (9.5.8) для энергии связи
примеси имеем

Ei{W,zi) = f^--E(W,zi).
2m
(9.5.17)
Анализ показывает, что Ej(W, z,) убывает при увеличении ширины ямы W
и удалении места расположения примесного атома от центра ямы (т.е. при
увеличении z,), причем.Е,(РГ, Zj ) = Ej(W,-Zj). При неизменной ширине ямы W
величина энергии связи Ej(W, z,-) максимальна при расположении примеси в
центре ямы (z,- = 0) и минимальна при z,- =±0,5РГ. В пределе W —> оо значение
Ej(W, Zj) уменьшается для z, = 0 до значения Е =E(3D), определяемого
выражением (9.5.4), и до£(3£>)/4для z,- =±0,5W (здесь (3Z))- обозначает
трехмерный случай).
Такое уменьшение энергии связи в случае расположения примесного
центра на краю КЯ поясним, рассмотрев одномерный случай.
Пусть заданы два потенциальных рельефа С/|(| лг|) и £/2(х), причем при
х>0 U2(x) = Ul(\x\\ а при х<0 £/2(;с) = со (рис.3.8). Сопоставим
энергетические уровни дискретного спектра и волновые функции стационарных
состояний частицы в потенциальных ямах с U\(\ x\) и U2(x). Для этого заметим, что
при х > 0 уравнение Шредингера (7.1.2) с потенциалом U\ (| х\) совпадет с
аналогичным уравнением, но с потенциалом £/2(jc). Кроме того, граничные
условия для системы с С/2(л:)(4>(0) = 4^(00) = 0), совпадают с граничными
условиями для нечетных состояний в потенциале £/i(|x|). Таким образом, получаем,
что спектр разрешенных значений энергии Е,~ для ямы с £/2(х) совпадает со
спектром нечетных состояний £^+1 для ямы с f7i(|x|) (£ = 0,1,2...), т.е.
Е^ =£^ р а нормированные собственные функции для этих состояний
отличаются только множителем, т.е.
4f)(x) = V24^+1(x),x>0.
-<0.^>_ _
3 \
4"—А—
ег—Х-
ел
VI
-С-
74"
гтИ<>
S
Гу-30
20
10
1
V
W
>
V о
,
/
^*8"*~OO-CLj^ О
?
1 1
0 3 5 10 W, им 30
Рис. 9.8. Схематическое изображение потенциалов V\(\x\)w.lJг{х)
Рис. 9.9. Зивисимость энергии связи акцептора, расположенного в центре (кривая 1)
и у границы (кривая 2) от ширины КЯ GaAs/GaAlAs: кружки - эксперимент;
плотные линии - результаты расчета для бесконечных барьеров

Проведенный анализ показал, что при переходе от системы с
симметричным потенциалом £/i(|x|) к системе с потенциалом и2(х) энергия связи для
основного состояния уменьшается (\Eq \<\Eq |). Отметим также, что если
потенциал U\(\ x\) приводит к появлению только одного (четного) связанного
состояния (яма мелкая), то в потенциале и2(х) связанное состояние не появится
вообще.
В нашем случае при z-t = ±0,5РГ (т.е. атом примеси расположен точно на
краю потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками) и W -> оо(т.е.
вторая стенка находится далеко) пробная функция (9.5.15) сводится (с точностью
до множителя) к волновой функцииR2l возбужденного 2pz-состояния
частицы в трехмерном кулоновском потенциале U(r) = -a/r (здесь начало отсчета
совмещено с краем ямы). Таким образом, получаем, что в данном случае
уровень энергии основного состояния примесного атома совпадает с уровнем
возбужденного 2pz -состояния частицы в трехмерном кулоновском
потенциале. При этом согласно (9.5.2) имеем, что
*
lim Ei(W±0,5W) = E2 =-<x2-^—. (9.5.18)
w^co 2Й 4
Это значение в четыре раза меньше энергии связи основного примесного
состояния E(3D) в неограниченном кристалле, что мы и отмечали ранее.
В реальных квантово-размерных структурах зависимость энергии связи
мелкого примесного состояния от ширины ямы и места расположения
примеси несколько ослабляется. Расчеты показывают, что в КЯ конечной глубины
при малых W волновая функция «выжимается» из ямы в область барьера, в
результате энергия связи начинает изменяться, стремясь к величинеE(3D)с
эффективной массой, соответствующей материалу барьера. Отметим также, что
в широких ямах энергия связи оказывается более чувствительна к положению
примеси, чем в узких.
Вариационный метод использовался и для расчета энергии связи мелких
акцепторов. Отличительной особенностью такого расчета является
необходимость учета вырождения валентной зоны объемных кристаллов. Влияние
потенциального рельефа КЯ в этом случае может приводить к снятию
вырождения и перестройке структуры основного состояния акцептора. Результаты
расчета зависимости энергии связи акцептора от ширины КЯ приведены на
рис.9.9. Из рисунка видно, что, как и для доноров, для акцепторов энергия связи
примеси, расположенной в центре ямы, заметно превосходит энергию связи
этой же примеси объемного материала, используемого в качестве КЯ.
В заключение обратим внимание ещё на две особенности, связанные с
влиянием размерного квантования на энергию связи мелких примесных со-

стояний. Во-первых, в системах пониженной размерности даже при
небольших концентрациях примеси могут возникать примесные зоны, причем в
данном случае зоны будут образовываться вследствие различного расположения
примесных атомов по ширине КЯ. Во-вторых, изучение проблемы водородо-
подобных примесных уровней с учетом вышележащих двумерных подзон
показало, что в КЯ существуют примесные состояния, «связанные» с
различными квантовыми подзонами энергии. Эти состояния расположены на фоне
непрерывного спектра, связанного с нижними подзонами, и, следовательно,
являются резонансными.
2. 9. 6. Влияние размерного квантования
на состояния мелкого экситона
Влияние потенциала КЯ на локализацию волновых функций сказывается
и на энергии связи мелких экситонов (экситонов Ванье-Мотта).
Известно, что спектральное положение минимумов экситонных подзон
для слабосвязанных экситонов в трехмерном случае достаточно хорошо
описывается водородоподобной серией, которая для изотропных и квадратичных
законов дисперсии электронов и дырок выражается формулой
*
.4
E3D= О L = Jk. (9 6 1)
2Й2(4ле0е)2 п2 п2
3D
здесь п - 1,2...- номер экситонной подзоны; Еех - отсчитывается от дна зоны
проводимости; 1/ ц = l/me + l/ni/, - приведенная эффективная масса
электрона и дырки; Rex — эффективная «экситонная» постоянная Ридберга.
Соответствующий экситонный боровский радиусаех =(4леоЕ)Й /(q ц ). Например,
3D
для экситона в кристалле GaAs Rex=4,2 мэВ и аех ~ 15 нм. Отсюда следует,
что как для температур >50 К, так и для электрических полей
напряженностью >3000 В/см образование экситонов для процессов поглощения в
объемных структурах несущественно.
При уменьшении размеров кристалла (ширины КЯ W), когда W
становится порядка экситонного боровского радиуса, энергия размерного квантования
h n /(2т(аех ) ) становится сравнимой с энергией взаимодействия
электрона и дырки q /(4nEQEaex ) и спектр трехмерного экситона начинает
модифицироваться потенциалом ямы V(z).
Наличие границ не позволяет получить точное аналитическое решение
задачи о спектре экситона в КЯ (как и для примесных состояний) даже для

случая простых зон. В приближении эффективной массы эта задача сводится
к отысканию решений уравнения Шредингера с гамильтонианом
Я =#1+#2+#з+#4+#5+#б, (9.6.2)
где
Я,=-
п1
2V-n
р5р
л
V
Ф
+ ■
1 dz
р2дц>2
- кинетическая энергия относительного движения электрона и дырки в
плоскости КЯ;
н2 =
2™е dz]
,#з =
2fnh±. dzl
- кинетическая энергия движения электрона и дырки соответственно поперек
плоскости КЯ;
а2
(9.6.3)
Я4 =
,2-.1/2
47I80s[PZ+(ze-Z/,)Z]1
- энергия кулоновского взаимодействия электрона и дырки;
Н5 = Kw(ze)>H6 = Vhw(zh)
- потенциалы КЯ для электрона и дырки соответственно;
У №11 = Уте + VmMi> \*-П ~ приведенная эффективная масса экситона в
плоскости КЯ; пцл — эффективная масса дырки в плоскости КЯ; /%^ _
эффективная масса дырки поперёк КЯ. При записи (9.6.2) использовалась
цилиндрическая система координат (Z, р, ср), причем ось Z направлена поперек КЯ, а
начало координат совмещено с центром КЯ.
Решение уравнения Шредингера с гамильтонианом (9.6.2) находят
приближенными методами. Расчеты показали, что как и для примесных
состояний, основное отличие квазидвумерного экситона от трехмерного
заключается в увеличении энергии связи экситона в КЯ. В предельном случае W = 0
энергия связи двумерного экситона должна быть в 4 раза больше
соответствующего значения в трехмерном случае.
В КЯ с барьерами конечной высоты при уменьшении РГ энергия связи ква-
зидвумерного экситона при W < 2аех должна сначала увеличиваться,
достигая максимума при 0,5аех <W<аех , а затем снова уменьшаться (из-за
проникновения в область барьеров). Результаты расчетов зависимости энергии
связи экситона от ширины КЯ представлены на рис.9.10.

10 ■
9 ■
m
2
i
14
12
10
0 5 10 \V,mt 15
Рис. 9.10. Зависимость энергии связи экситона (штриховая линия)
для КЯ GaAs/Ga0 7AI0 3A.S. Сплошная кривая - зависимость
радиуса экситона а» в плоскости ямы от ширины ямы
Рис. 9.11. Зависимость положения первого Е\ и второго £2 энергетических уровней
от ширины КЯ. 1,3 - расчет по (9.7.11а); 2,4 - расчет по (9.7.8)
Согласно этим расчетам экситонные пики в спектре поглощения
квантовых размерных структур должны быть заметны вплоть до комнатных
температур. Действительно, такие пики наблюдаются в экспериментах по
межзонному поглощению света в КЯ на основе GaAs/GaAlAs при комнатных
температурах (в КЯ GaAs/GaAlAs с W = 4,6 нм такие пики наблюдали даже при
500К).
Реально свойства экситона в КЯ оказываются между свойствами 3D - и
2D -экситонов, т.е. соответствуют экситону, находящемуся как бы в
пространстве дробной размерности а, причем 2 < а < 3. При этом выражение для
энергетического спектра связанных состояний частиц, движущихся в
пространстве дробной размерности и, притягивающихся по закону Кулона,
можно представить в виде
д(«Я) --R
'-'гх 1Кех I
п +
v
(9.6.4)
J
В настоящее время нет достаточно обоснованного способа выбора а для
конкретных квантово-размерных структур. Предполагая, что а определяется
отношением Р среднего расстояния между электроном и дыркой вдоль оси z к
эффективному боровскому радиусу аех , для аппроксимации зависимости а
от W можно, например, использовать выражение а= 3-ехр(-Р). В 3.0-случае
Р —> оо, а в 2D - к нулю. Таким образом, данное выражение дает правильные
оценки в предельных случаях и, по крайней мере качественно, верно отражает
тенденцию изменения Е^ ' при изменении ширины КЯ.
Если спектр валентной зоны состоит из подзон легких и тяжелых дырок,
то возможно существование двух типов экситонов: электрон -тяжелая дырка

(тяжелый экситон) и электрон - легкая дырка (легкий экситон). При этом под
каждой электронной размерной подзоной появятся две серии уровней,
соответствующих тяжелому и легкому экситонам. Край экситонного поглощения
в этом случае будет определяться тяжелым экситоном.
При интерпретации экспериментальных данных необходимо также
принимать во внимание перемешивание состояний, соответствующих разным
дырочным подзонам (см. раздел 9.8). «Взаимодействие» подзон при
квантовании может привести к тому, что в некоторых из них эффективные массы
станут отрицательными (рис. 9.15). В этом случае, при соответствующем
соотношении между эффективными массами электрона те и дырки mh, приведенная
+
эффективная масса д может стать отрицательной. В результате
электронно-дырочная пара не будет иметь связанных состояний, поскольку кулонов-
ское взаимодействие в этом случае соответствует их отталкиванию друг от
друга.
Перемешивание состояний, принадлежащих различным подзонам
необходимо учитывать и при получении граничных условий.
Существует еще один своеобразный экситон, связанный с
отрицательными эффективными массами в дырочных подзонах. Данный тип экситона
образуется при возбуждении дырок в подзонах с разными (по знаку) эффективны-
ми массами. При этом необходимо, чтобы их приведенная масса д была
отрицательной. Такой экситон в отличие от обычного электрически
нейтрального имеет положительный заряд равный 2q. В оптических спектрах ему должна
соответствовать водородоподобная серия, сходящаяся в область меньших
частот, т.е. в красную область спектра, а не в фиолетовую как обычно.
Пространственное ограничение и различие диэлектрических проницае-
мостей компонентов наноструктуры на малых расстояниях изменяют
характер кулоновского взаимодействия между электроном и дыркой. Например,
для КЯ при;-« W зависимость энергии взаимодействия от расстояния между
электроном и дыркой принимает вид
a2 (W^
#4(0=— 1"
27iss0r
+ const.
(9.6.5)
V r J
На больших расстояниях r»W H^(r) определяется (9.6.3). С учетом
(9.6.5) энергия связи 2£>-экситона в основном состоянии при будет
определяться соотношением:
'ех,1
4izee0W
In
's^
VeV
W
а
3D
+ const
(9.6.6)

где е' - диэлектрическая проницаемость материала барьеров.
Если в СР и КЯ на основе гетеропереходов AlGaAs/GaAs и InGaAs/GaAs
определяющую роль играют эффекты, связанные с пространственной
локализацией электронов и дырок (разница диэлектрических проницаемостей слоев
мала и, как правило, не приводит к существенным эффектам), то в
наноструктурах на основе гетеропереходов InGaN/GaN, GaAs/ZnSe, а также
полупроводник/диэлектрик (например, пористый кремний) благодаря сильному
различию диэлектрических проницаемостей слоев существенную роль в
электронно-дырочном взаимодействии начинают играть потенциалы изображения.
При этом силы изображения могут как увеличивать, так уменьшать энергию
связи экситона.
Диэлектрическое увеличение энергии связи экситона (так называемое
диэлектрическое усиление экситонов, или диэлектрический конфаймент)
можно трактовать как следствие добавочного притяжения электрона к
изображению дырки и дырки к изображению электрона. Если заряд q находится в среде
с диэлектрической проницаемостью б вблизи плоской границы раздела со
средой с диэлектрической проницаемостью б', то заряд изображения равен
д'=^д, (9.6.7)
s + e
т.е. его знак совпадает со знаком заряда, если е > б'. Важно отметить, что
увеличение энергии связи экситона, казалось бы, должно приводить к сдвигу эк-
ситонных линий в красную область спектра. Однако в целом за счет
диэлектрического окружения экситонные линии и в этом случае будут сдвигаться в
фиолетовую область, так как помимо притяжения электрона к изображению
дырки и наоборот существует также отталкивание электрона и дырки от своих
собственных изображений (эффект самодействия), а поскольку заряд всегда
ближе к своему собственному изображению, чем к изображению другого
заряда, отталкивание в целом будет превалировать.
Дальнейшее понижение размерности и переход к LD-системам
показывает, что если энергия взаимодействия между электроном и дыркой остается
обратно пропорциональной расстоянию между ними, то придем к водородопо-
добной серии типа (9.5.12), однако из нее выпадет нижний уровень, энергия
которого стремится к бесконечности. Это означает, что в Ш-системах экситон
Ванье-Мотта фактически не может существовать. В реальных же
квазиодномерных наноструктурах следует ожидать увеличения энергии связи по
сравнению с 2£)-структурами.
Яркий пример увеличения энергии связи экситонов при увеличении
степени пространственной локализации демонстрируют эксперименты на нано-

структурах полупроводник/диэлектрик на основе йодида свинца. С
увеличением степени пространственной локализации энергия связи экситонов в этих
структурах нарастает от ~ 45 мэВ в объемном полупроводнике до 300 мэВ в
КЯ, 700 мэВ в квантовом проводе и более чем до 1эВ в квантовых точках.
Влияние потенциала СР на энергию связи экситона рассматривалось.
Расчеты показали, что энергия связи экситона (как и энергия связи электрона на
доноре) увеличивается при увеличении периода СР d с равной толщиной
слоев, а продольно-поперечное расщепление уменьшается. Такое поведение
объясняется изменением ширины минизон при изменении d.
2.9.7. Энергетический спектр полупроводниковых
пленок типа n-GaAs
Энергетический спектр электронов полупроводниковых пленок может
быть найден в результате решения уравнения Шредингера
(H0+U(z))4'=EW, (9.7.1)
где Яд - гамильтониан электрона в периодическом поле кристаллической
решетки материала пленки; U(z) - пленочный потенциал, создаваемый
граничными поверхностями пленки с нормалью вдоль оси z.
В случае не слишком тонких пленок QV»a, здесь W - толщина пленки,
а- межатомное расстояние) для описания электронных свойств обычно
используют метод (приближение) огибающих волновых функций. Волновая
функция электрона в приближении огибающих функций ищется в виде
произведения быстро меняющихся блоховских функций краев зон на медленно
меняющиеся огибающие F(z)
s
Ч»(г) = 2>(z)"7o(r)expO*pp), (9.7.2)
7=1
здесь Ujq - периодическая часть блоховской функции, соответствующей краю
_/-й зоны; кр - двумерный волновой вектор для движения в плоскости пленки
(кр =к^+ку); р-двумерный вектор в плоскости пленки; s- число зон,
учитываемых в разложении (9.7.2). Сами же огибающиеFy(z) определяются в
результате решения системы дифференциальных уравнений
,(z) =0,7 =1,2,3....,*, (9.7.3)
?[^("/^'^'^)~5yjE + C/(Z)
I

составленной с использованием эффективного гамильтониана, полученного
из к ■ р гамильтониана однородного полупроводника заменой в кинетической
энергии kz на оператор (-id/dz), и добавлением пленочного потенциала U(z).
В (9.7.3)5 .у -символ Кронекера; Z),у (к) -совокупность величин,
определяющих электронный энергетический спектр массивного кристалла.
Найдем в рамках метода огибающих волновых функций положение
энергетических подзон для электронов в КЯ на основе (001) слоев прямозонных
соединений А^В^.
Сначала аппроксимируем пленочный потенциал U(z) потенциальной ямой
шириной W с бесконечно высокими стенками. В этом случае на границах КЯ
Fj(Q)=Fj(W)=0. (9.7.4)
Для получения явного вида системы (9.7.3) воспользуемся трехзонной
моделью Кейна, в рамках которой точно учитывается взаимодействие зоны
проводимости Tg с валентными зонами Гзтяжелых и легких дырок, а также
зоной Г7, отщепленной спин-орбитальным взаимодействием. Матрица
элементов DJ.-'(к) для данного случая описана.
Поскольку нас интересует только положение энергетических подзон будем
полагать кр =0. В этом случае матрица Кейна расщепляется на две идентичные
матрицы 3x3 (отвечающие состояниям зоны проводимости, зоны легких дырок
и зоны, отщепленной спин-орбитальным взаимодействием) и два одинаковых
уравнения (отвечающих состояниям зоны тяжелых дырок, т.е. оказывается, что
в трехзонном приближении Кейна состояния зоны тяжелых дырок не
взаимодействуют ни между собой, ни с состояниями остальных трех зон). При этом
матрицу 3x3 для элементов D .у (kz ,0) можно представить в виде
0
-Л-РЬк,
-РПк,
-Еп
-Eg-A
(9.7.5)
)
здесь Р - матричный элемент Кейна, учитывающий взаимодействие между
зоной проводимости и валентной зоной; Е„ - ширина запрещенной зоны между
зоной проводимости и валентной зоной в точке Г; Д - величина
спин-орбитального расщепления; начало отсчета энергии в (9.7.5) выбрано на дне зоны
проводимости.

Подставляя Z) .у из (9.7.5) в (9.7.3) с учетом (9.7.4), получаем, что
разрешенные значения волнового вектора Кп (характеризующего состояния
движения перпендикулярно плоскости пленки) как и в идеальной одномерной КЯ
(см. (7.4.6)) должны удовлетворять условию
Кк
■кп
(9.7.6)
однако соотношение между Кп и разрешенными значениями энергии в
данном случае имеет вид
Еп(Е„ + Eg)(E„ + Eg + А) 2
h2P2(En+Eg+ 2/3 Л)
(9.7.7)
Согласно (9.7.7) одному значению Кп удовлетворяют три значения
энергии Еп, соответствующие уровням размерного квантования зоны
проводимости, зоны легких дырок и отщепившейся зоны.
Полагая, что масса свободного электрона щ много больше эффективных
масс электронов и дырок, из (9.7.7) при малыхКп (и, следовательно, Еп) для
каждой из этих зон соотношения Еп (Кп) можно представить в виде,
соответствующем (7.4.6):
/г =
Е1п = ~Ек ~
А
■ + ■
1
Eg+A
^ D2fc2
^к2
2т.
И'
А
■+■
Р2П2
Esn=-Eg-A
ЕЕ+А,
P2h2
3(£„ + A)
К2=-Е - —
■> 2rri[
1 h2 2
К~ =-Eg -A ГК„.
2тг
К~,
(9.7.8)
(9.7.9)
(9.7.10)
Отметим, что те, Ш[ и ms - в данном приближении (параболическое
приближение) соответствуют эффективным массам на дне зоны проводимости,
потолке зоны легких дырок и отщепившейся зоны в объемном материале.
Для£и «Е„ +-Д из (9.7.7)

E = s-
1-
1 +
■ + ■
\ s
Eg+A;
"«***>
3E,
g
1/2
(9.7.11a)
Eg
2
Hn
1 +
1 +
■ + ■
\^s
Eg+Aj
"<pVk1
Ж
g
(9.7.116)
g 2
1 P2h2K2
1 + —+
A(£e + Д)
2P2ti2K2
3A(£„ + A)
(9.7.11e)
На рис.9.11 показаны зависимости положения первого El и второго Ei
уровней размерного квантования от ширины КЯ W, рассчитанные в
параболическом (9.7.8) и непараболическом (9.7.11а) приближении. Параметры КЯ
соответствовали пленке GaAs (me =0,065w0 h£„(300£)= 1,43 эВ). Из
рисунка видно, что в этом случае параболическое приближение может быть
использовано для оценки положения первого уровня размерного квантования Е\
в бесконечно глубокой КЯ лишь при W>5 нм, а для оценки £? _ лишь при
И^>7нм.
Для зоны тяжелых дырок в рамках трехзонного приближения Кейна
выражения для расчета уровней размерного квантования получить нельзя.
Реально мы всегда имеем дело с потенциальными ямами конечной
глубины. Для нахождения положения уровней размерного квантования в этом
случае необходимо правильным образом сшить на левой границе потенциальной
ямы решение уравнения (9.7.1) для материала левого барьера (слой 1, см.
рис.7.4) с решением аналогичного уравнения для материала КЯ (слой 2), а на
правой границе - решение уравнения (9.7.1) для слоя 2 с решением для
материала правого барьера (слой 3). Естественно использовать при этом обычную
процедуру сшивания на границах волновой функции (9.7.2) и ее производной
с учетом различия эффективных масс электронов в контактирующих слоях.
Однако такие граничные условия обычно не применяются, так как они
требуют знания точного вида блоховских функций экстремумов зон.
Наиболее простой способ преодоления этих трудностей предложил Ж.Ба-
стард. Он предложил считать непрерывными на границах огибающие, что
равносильно предположению об одинаковости блоховских функций краев
зон в контактирующих материалах. Несмотря на заведомую
необоснованность такого предположения (оно может быть лишь частично оправдано оди-

наковой симметрией свойств контактирующих веществ и близостью
параметров решеток), получаемые таким способом результаты обычно находятся в
удивительно хорошем согласии как с экспериментом, так и с более
последовательными теоретическими расчетами.
Заметим, однако, что в приближении огибающих функций теряются все
микроскопические детали, связанные, в частности, и со свойствами гетеро-
границ. В результате данное приближение будет несправедливо при описании
узких КЯ и сверхрешеток с малым периодом (всего несколько атомных
плоскостей в слое), где огибающиеF:(z)будут существенно изменяться на
расстояниях порядка постоянной решетки.
Кроме выбора граничных условий для нахождения положения уровней
размерного квантования в КЯ конечной глубины необходимо связать между
собой изменения положения краев энергетических зон в контактирующих
материалах. На рис. 9.12 показана связь между положением зон Г6, Г8 и Г7 в
контактирующих материалах А и В. Если положить, что Us, С//, и С/д в
материале А равны нулю, то из (9.7.3) с учетом (9.7.5) можно получить уравнение
Шредингера для огибающих функций, соответствующих состояниям зоны
проводимости, в следующем виде:
P2h2 д
3 dz
1
dz
Flr+Usr(z)Flr=EFlr, (9.7.12)
где
-*4
W
. — _ — — i
"*я
9-
[001]
[ОЮ]
-ж Г8"
[ЮО]
- - Г7А
К 7 в
±_4 гв
Рис. 9.12. Связь между положением энергетических зон
в контактирующих материалах
Рис. 9.13. Ориентация пленки - (а) и обозначения энергетических
минимумов для Si - (б)

Mz)
■ + ■
_EgA+E + Uhr (z) EgA + E + AA + UAr _
, (9.7.13)
ar- 1,2,3- соответствует номеру контактирующего слоя.
При записи (9.7.12) для упрощения матричный элемент .Р полагался
одинаковым для контактирующих материалов и равным значению Р в материале
А. Обоснованием этого является малое изменение кейновского матричного
элементаР для материалов со структурой цинковой обманки (табл. 9.1).
Таблица 9.1
Значения параметров энергетических зон (4,2 К)
для соединений А3В^
Соединение
Ек = £Г6 _ Ег&- эВ
Д. эВ
m*/'«o
2»г0/,2,эВ
InSb
0.237
0.81
0.014
23
InAs
0.42
0,38
0.023
21.7
GaSb
0.813
0.752
0.041
23.6
ШР
1.423
0,11
0.08
18.2
GaAs
1.519
: o,34i
0.067
; 24.2
AlSb
2,37
0.75
0,11
23.4
GaP
2.67
0,13
0.13
20.9
AlAs
3.11
0,314
0.13
24.6
В качестве материала А можно выбрать материал любого из слоев
системы. Мы будем полагать, что материал А относится к КЯ (слой 2).
Следуя Бастарду, будем считать, что огибающие функции непрерывны на
границах слоев. Тогда для получения второго граничного условия
необходимо проинтегрировать (9.7.12) по отрезку, пересекающему границу. Если при
этом Us, Uf, и С/д имеют лишь конечные разрывы, то из условия
непрерывности F придем к требованию непрерывности на границе и величины
1 <&[,
\Lr dz
(9.7.14)
Представляя теперь огибающую функцию в КЯ (т.е. F^) в виде суммы
падающей и отраженной плоских волн с волновым вектором К^, а в барьерах
{F\\ и F\$) в виде спадающих экспонент(~ ехр(+р, z), с учетом рассмотренных
граничных условий, систему уравнений, определяющую положение уровней
размерного квантования для электронов сЕ <Usr, можно представить в
следующем виде:

Kl
Pi p.
K2
I-12
Pi , P3
U4 Ръ)
E(E + Eg2)(E + Eg2+A2) = h2P2Ki(E + Eg2+^A2);
-(E - Usr)(E + E- -Usr)(E + E„ + Л,. - U„) =
(9.7.15)
= h2P2(E + Egr + -Ar-U5,.)V2r;
здесь г = 1,3.
В рамках введенных выше допущений нетрудно также получить
дисперсионное соотношение для СР на основе слоев A^B5. При этом необходимо
дополнительно учесть условие периодичности потенциала СР. Поскольку
потенциалы краев различных зон периодичны по z (Us/,^(z + d) = Us/,,д(г)),
справедлива теорема Блоха и для любого целого т
F\{z + md) = Qxp(iKmd)F\(z),
(9.7.16)
здесь d-L + W- период СР (см. рис. 1.20), К - волновой вектор СР вдоль оси z.
С учетом (9.7.16) дисперсионное соотношение для Е < UsB удается
представить в виде, аналогичном (7.11.6),
cos(Kd) = cos(KA ^)ch(pi) - 0,5 l
Ъ1
sm(KAW)sh($L), (9.7.17)
однако здесь
Р/Ця
а КА и Р определяются соотношениями
^2П2
/
Е+Е +-&А
gA 3
E(E + EgA)(E + EgA+AA) = h-P
-(E-UsB)(E + EgB -UsB)(E + EgB+AB -UsB)
(9.7.18)
(9.7.19)

= h2P2
( 2 Л
>2
Pz, (9.7.20)
E + EL + ^AB-US„ .
KA - волновой вектор, соответствующий плоской волне в КЯ; [3 - параметр,
характеризующий спад огибающей функции в материале барьера; \iA и цв
определяются (9.7.13), где для \хА необходимо полагать £//, и £/д равными
нулю.
Сопоставляя (7.11.6) и (9.7.17), можно сделать вывод, что дисперсионное
соотношение (9.7.17) является обобщением модели Кронига-Пенни на
многозонную ситуацию.
В заключение подчеркнем, что данное дисперсионное соотношение
получено в приближении кр = 0. При кр ф 0 в матрице Кейна не удается избавиться
от перемешивания состояний с различными спинами. Кроме того,
необходимо переформулировать граничные условия. В результате оказывается, что
минизоны в СР при конечных кр не только сдвигаются, но и деформируются. В
разд.7.11 было показано, что из-за несовпадения компонент эффективных
масс в контактирующих материалах при изменении энергии поперечного
движения будет изменяться эффективный потенциал гетероперехода. Причем в
зависимости от отношения тА / тв при изменении кр эффективный
потенциал может увеличиваться, уменьшаться и даже изменить знак. Это, в частности,
приводит к зависимости ширины минизоны от кр. Например, в СР на основе
слоев InAs-GaSb ширина первой электронной минизоны с ростом кр
уменьшается.
Как отмечено, дисперсионное соотношение для СР ~ 0 можно разложить в
ряд в окрестности = 0, что в первом приближении приводит к выражению
h2k2
Еп(к,кр) = Еп0+ ?--2tn0(\ + ank2p)cos(kd), (9.7.21)
2т „
*
где£л0 - 2tnQ - положение минизоны при к и кр = 0; тп - эффективная масса,
характеризующая движение параллельно слоям СР; 4/л0 - ширина n-й
минизоны при кр = 0; ап - коэффициент, отражающий зависимость ширины
минизоны при изменении кр.
С использованием (9.7.21) удается получить зависимость плотности
состояний для СР g(E) от энергии. Для Е<EnQ-2tnQ gn(E)=0, а для
П2
Е >Еп0 + 2(п0 при а„ < — gn (E) равна константе. При этом

g(E) =
ndh'
-I-
mt
' h4
B(E-En0-2tn0). (9.7.22)
Сравнение (9.7.22) с выражением для плотности состояний в одиночной
КЯ (9.1.12) показывает, что при ап = 0 (9.7.22) совпадает с (9.1.12),
умноженным на число элементарных ячеек СР Lz /d (Lz - длина СР вдоль оси z), а учет
ап ф О лишь изменяет массу тп.
2.9.8. Энергетический спектр электронов
в размерно-квантованных пленках Ge и Si
Рассмотрим энергетический спектр электронов в простейшем варианте
приближения эффективной массы, когда не учитывается взаимодействие с
другими зонами, а электроны характеризуются эффективными массами,
соответствующими эффективным массам массивного кристалла. Будем также
полагать, что потенциальный барьер на границах пленки достаточно велик, так
что огибающую волновой функции электрона в плоскости границы раздела
можно считать равной нулю. Последнее допущение представляется
достаточно обоснованным для границы полупроводник-диэлектрик(Si02,CaF2),
однако практически неприемлемо для гетерограниц Si/Ge.
Расположим декартову систему координат так, чтобы z ось совпала с
направлением нормали к пленке, а оси х и у расположим в плоскости пленки
(рис. 9.13а). Как показано энергетический спектр электронов в пленках с
многодолинным характером зоны проводимости может быть представлен в виде
E(kx,ky) = E№ +
+ -
w
XX
2 ^
kl+2
wxy~-
™xzwyz
\
kxky +
w
w
,2 Л
У?
УУ
W~7
(9.8.1)
где w>jj - компоненты тензора обратной эффективной массы в системе
координат xyz, а Е)1' - энергия дна n-й подзоны для z'-го минимума.
Чтобы в (9.8.1) избавиться от перекрестных членов, необходимо
дополнительно повернуть систему координат вокруг оси z против часовой стрелки
на угол а, определяемый соотношением
2(wzzwxy ~wxzM'yz)
tg(2a)=-
*XX" ZZ
'yy"'zz
4
'V
(9.8.2)

В результате (9.8.1) примет вид
2 2
v х' у) — п ~^ х ~^\ у '
2тх
2т,
где
тУ
w
2 Л
w
хх
w„ j
cos (a)+
+
w
w
УУ
.2 Л
У-
w.
sirr(a) + 2
wxv ~
M'xzwyz
w77
sin(2a),
my
2 \
Wyy-
wyz
■" J
cos (a) +
+
wxx -
2 ^
wxz
wzz
sin (a)-2
wxy
WXzwyz
W —
sin(2a),
ab),' в нашем случае равно
2т\!
(О
„(')
(9.8.5)
где \/ту = M'-'J. Причем именно (9.8.5) будет претерпевать изменения при
изменении вида ограничивающего пленочного потенциала U(z) и граничных
условий.
Главные значения эффективных масс тх и /;;., зависят от ориентации изоэ-
нергетических поверхностей в объеме полупроводника относительно
поверхности. В табл.9.2 и 9.3 приведены эффективные массы для трех ориентации
поверхности полупроводниковой пленки типа Si с эллипсоидами постоянной
энергии, расположенными на осях < 100 >, и типа Ge с эллипсоидами
постоянной энергии, расположенными на осях < 111 >, выраженные через продольную
и поперечную эффективные массы электрона в объемном материале. Там же
приведена кратность вырождения каждой совокупности долин gv.

Таблица 9.2
Ориентация
поверхности
(100)
(110)
(111)
тх
Щ
га,
Щ
га,
га,
/и,, ! т.
\
га, | га/
га/ : га,
(га,+га/)/2 | 2га,га//(га,+га/)
га, | га,
(га,+2га/)/3 ! Зга,га//(га,+2га/)
Для Si га/ = 0,916т0 га, = 0.1 9гад
gv
2
4
4
2
6
6
Таблица 9.3
Ориентация
поверхности
(100)
(ПО)
(111)
тх
га,
га,
/",
га,
™/
Для Ge гщ
»К
(га, +2га/)/3
(2га, +2га/)/3
.'"/..
Ш,
(га, +8га/)/9
= \$Ъщ га, = 0,082га0
га_
2А;г,АИ//(ш, +2га/)
Зга,га//(2га, +га/)
„_._'_"/
га/
9»г,га//(га, +8га/)
gv
4
2
2
1
3
Многодолинный характер спектра при учете размерного квантования в
первую очередь проявляется в снятии долинного вырождения и разной
скорости изменении положения квантовых подзон, принадлежащих разным
экстремумам. На рис. 9.14 и 9.15 приведены зависимости распределения
концентрации электронов по долинам от толщины кремниевой пленки,
ориентированной соответственно в плоскости (100) и (110). При расчете полагали, что
полная концентрация электронов остается неизменной.
Из рисунков видно, что для данной температуры и концентрации
электронов при увеличении толщины пленки примерно до 5 нм практически все
электроны будут оставаться в подзоне, соответствующей долине 1, а при
дальнейшем увеличении толщины пленки начнет проявляться перераспределение
электронов по долинам. Причем это перераспределение имеет немонотонный
характер.
Согласно зависимостям, представленным на рис. 9.16 и 9.17 каждый раз,
когда дно очередной подзоны будет приближаться к уровню Ферми,
заполнение состояний данной подзоны будет вызывать уменьшение концентрации

5,0X10'
4.5X1024
4,0xl02
3.5x102
24
3,0x10 "
24
2,5x10
2,0x10
\ /
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
II, им
5.0X10"
W.M3„
4.5X1024
4,0x10*1
2-1
3,5x10
2-1
3.0x10
24
2,5x10
21
1
Л
- /
-
/
У\,—
I ■
1 1 1 1 1 1
10 15 20 25 30 35 ,40 45 50
Yr, им
Рис. 9.14. Зависимость концентрации электронов в долинах от толщины (100) Si
пленки при Г=30 К и Nd =10 м. / - соответствует долинам типа 1;
2 — долинам II и III. Нумерация минимумов соответствует рис. 9.136
Рис. 9.15. Зависимость концентрации электронов в неэквивалентных долинах
25 —3
от толщины (110) кремниевой пленки при Т = 30 К и Nj =10 м .
/ — соответствует долинам типа I и II;
электронов в других подзонах. Если не принимать во внимание возможное
изменение подвижности, то вследствие анизотропии эффективных масс
немонотонное перераспределение электронов по долинам может привести и к
немонотонному изменению суммарной проводимости при изменении толщины
пленки.
20 25 30 35 40 45 50
If, нм
Рис. 9.16. Зависимость приведенного уровня Ферми и положения квантовых подзон
от толщины (100) пленки Si. - е[1}, - е}2,3), - Е™, - £*2'3),-Е*,}, - £<2'3). Верхние
индексы обозначают долины в соответствии с рис. 9.136, нижние — соответствуют
25 —3
номеру квантовой подзоны. Т=30 К. N j = 10 м
Рис. 9.17. Зависимость приведенного уровня Ферми и положения квантовых подзон
от толщины (110) пленки Si. — E\
(1).(2)
-Е
(3)
с-(1).(2) _F(3)
r(D.(2)
гР)
Верхние индексы обозначают долины в соответствии с рис. 9.13,6, нижние —
соответствуют номеру квантовой подзоны. Т=30 К. N d = 10 м

2.9.9. Энергетический спектр в полупроводниковых
пленках с вырожденными зонами
Характерной чертой валентной зоны массивных кристаллов
полупроводников со структурой алмаза и цинковой обманки является вырождение зон
тяжелых и легких дырок, а также существенное спин-орбитальное
взаимодействие, приводящие в трехмерном случае к гофрировке изоэнергетических
поверхностей (рис. 9.18) и непараболичности спектра дырок. В результате
расчет энергетического спектра дырок в общем случае становится достаточно
трудной задачей.
Как отмечалось выше, в первом приближении трехзонной модели Кейна
не удается учесть «взаимодействие» состояний тяжелых и легких дырок. С
этой точки зрения для расчета размерно-квантованного энергетического
спектра дырок в пленках Ge, Si и соединений А3В5 удобнее использовать подход
Кона-Латтинжера, в котором «взаимодействие» дырочных подзон
учитывается сразу.
В рамках модели Латтинжера матрица элементов Dц> (к) имеет вид
F
*
Я
*
I
О
т'
я
G
о
/•
о
G
-Я'
о **L -i4ii
i(G-F) . SH
-Я -/
4i -Ji
SH i(G-F)
F ~i4ll*
i{G-F) .ТЗЯ . /т. F + G
4i 4i
i4ii
■4ii'
л/2
i(G-F) iH_
4i 4i
о
-m*
-A 0
F + G
(9.9.1)
где F = 0,5(Я: + M){k2x + k2y) + Mk2, 3G = F + 2M(k2 + kj) + 2Lk~,
N
H = ~{kxky-ikxk2\ I = -=[(L-M)(k2-kj)-2iNkxkyl L = 2B + A,
V 3 V12
M = A-B, N = SD.
Величины A,BuD определяют энергетический спектр дырок в массивном
кристалле. В (9.9.1) направлены вдоль осей кх, ку и kz типа< 100>.

Ограничим наше рассмотрение случаем, когда пленочный потенциал
U(z) в (9.7.1) аппроксимирован бесконечно глубокой потенциальной ямой.
Даже в таком приближении использование (9.9.1) позволяет получить
аналитические выражения для расчета разрешенных значений энергии только в
отдельных случаях.
[100]
[ПО]
[ПО]
0.5 1.0 _10 _о>5
0.5 1,0
Рис. 9.18. Сечения изоэнергетических поверхностей тяжелых дырок в кремнии
(слева) и германии (справа) плоскостями типа (001) - (а), типа (ПО)- (б), типа (111)
— (с). Цифры у кривых указывают энергию в эВ, волновой вектор к в нм ~

Например, при кр = 0 (когда «взаимодействие» между энергетическими
ветвями тяжелых и легких дырок исчезает) уравнения, определяющие
разрешенные значения энергии в пленке с нормалью вдоль направления, имеют вид
Ehn=(A-B)K2;
Eln = (А + 0,5В)К2п -0,5Д + 0,5^9В2К*+2ВАК2+А2;
Esn=(A + 0,5В)К2 -0,5Д -0,5^9В2К^+2ВАК2+А2, (9.9.2)
здесь Е/т, Е1п и Esn - соответствуют уровням размерного квантования зоны
тяжелых дырок, зоны легких дырок и отщепившейся зоны; Кп = nn/W; W -
ширина КЯ (толщина пленки).
Для пленки с нормалью вдоль
Ehn={A-DlJi)K2n\
Eln =(A + D/4\2)K2 -0,5Д + 0,53A9D2K* + ~DAK2n + А2;
Esn =(A + D/JU)K2 -0,5Д -0,5 3£>2^ + ^=DAK2n + A2. (9.9.3)
Для пленки с нормалью вдоль
„ (В2 +D2)ki А2 , ч А,2 А
Ehn=2^ _^_я. + _со8(фи) + ^2__
Eb=f+I^)k" +y(-cos(9J + V3sin(9j) + ^-|, (9.9.4)
здесь ф« = -arctg
ГУЛ _(3D2-B2)Bk3n Л3
VTj " 8 27'
k2
Vn=^J20,25-Fl-D2kl+F2-k*+F3-B-A3 -k2ni+F4,
36

Fl =9B4 -6B2D2 + D4,F2 = 27 ■ А2 -(В2 + D2)2,
F3 = -ЩВ2 -3£>2),F4 = 12-Л4 -(B2 +D2).
Отметим, что выражения (9.9.2), (9.9.3) и (9.9.4) не всегда характеризуют
энергию дна квантовых подзон (см., например, рис. 9.19).
-2 -1 0 1 KIV/K2
Рис. 9.19. Дисперсионные кривые первой (/) и второй (2
подзон размерного квантования р -Ge: k0 = 0,6 n/W
Из рассматриваемых полупроводниковых материалов (за исключением
Si, InP и InAs) при толщинах W> 10~ см спин-орбитальное расщепление
оказывается много больше расстояния между уровнями размерного квантования.
В этом случае можно ограничиться рассмотрением верхнего края валентной
зоны (т.е. зонами тяжелых и легких дырок). Впервые приозведен расчет
размерно-квантованного энергетического спектра для полупроводниковых
пленок р-типа с вырожденными гофрированными зонами в рамках данного
приближения.
Используя левую верхнюю 4x4 часть матрицы (9.9.1) и граничные
условия (9.7.4), в результате решения системы (9.7.3) выражение, определяющее
размерно-квантованный энергетический спектр пленки с нормалью вдоль
[001], можно представить в виде
sm{kz2W)sm(k.AW) =
_ {НХН*2 + Н;H2)[\-Cos(kz2W)Cos(kzlW)mFl)Q(F2)
\Hl\202(F2)+\H2\202(Fl)+\I\2(Fl-F2)2
где <b(Fj ) = E-Ej,Hj= H(kx, ку, kzj), Fj = F(kx, ky, кzj), a
kl= * o{AE + (B2-A2+0,5C2)(k2+k2y) +
Az-Bz

+(-\)J[B2E2 + AC2E(k2 + k2y) + C2(B2-A2 +0,25C2)x
х(к2+к2у)2+С2(А2-В2)к2к2у]У2,
C2=D2-3B2,j = \,2. (9.9.6)
В достаточно малой окрестности точки кр = О решение уравнения (9.9.5)
имеет вид
.2
Е$\кх,ку) = (А-В)
Е\2\кхЛу) = {А + В)
' Т1ПЛ
\Wj
+ -^(к2+к2Л
2т
(О
' пп л
yW j
+ ■
*' -Л . ,2,
2т
(1)
(*х+*у).
(9.9.7)
где в области кр «
( пп\
АЛ
эффективные массы nrtf' определяются формулами
т0 L2-M2-N2 . /t,N2^3M(2L + M) (-l)7*1+cos(cp,)
—— +sign(M)- - T1 ■
m
P 2{L-M) {L-My
m0 (L-M)(L + 5M) + 3N:
K«sin(9j)
m
(2)
6(1 -M)
■ +
+sign(Af)
N2^3M(2L+M) (-l),?fl+cos(92)
(L-MY
K«sin(92)
(9.9.8)
здесь ф) =пп
Ш bW2kl
2L + M
2nn
Ф2 = nn
ia
2L+M bW^
3M
2nn
8 = -
(L-MY-3N
(L-M)^3M(2L + M)
Анализ (9.9.7) с учетом (9.9.8) показывает, что вблизи точки кр = О
дисперсионные кривыеЕ]р (кр ) изотропны в плоскости пленки и квадратичны от
кр. При увеличении кр из-за изменения т!п эти зависимости становятся
неквадратичными.

В области значений кр &(nn/W) анизотропия Е%'(кр) становится
существенной и решение (3.9.5) удается получить только численно. Результаты та-
( *2 „2 >
кого расчета приведены на рис. 3.19, где Е =Е
п~
Ъщ w2 j
^2min = 9,94;
£9 max = 14,4; Ejc = 10,13 (Ec - энергия, соответствующая седловой точке).
Видно, что в зависимости от заполнения подзон полупроводник может вести
себя как одно- или многодолинный. Кроме того, вследствие
пространственного квантования в вырожденной зоне наряду с дырочными состояниями могут
возникнуть электронные с положительными эффективными массами.
Отметим также, что в ряде случаев в спектре дырок необходимо
учитывать особенности, связанные с появлением конических точек, а также
конечной глубиной КЯ.
При и —>• оо правая часть (9.9.5) стремится к нулю, так что решение, по
существу, становится квазиклассическим, когда «взаимодействием» между
энергетическими ветвями тяжелых и легких дырок пренебрегают. В этом случае
4/)(^)=4/)
"р
где
kp'¥j
E{W{kp,kr) = Ак2 ± ,]в2к4 + С2(к2к2 + к2к2 + к],к1)
определяет дисперсионное соотношение в массивном кристалле.
Анализ особенностей плотности состояний в зависимости от геометрии
изоэнергетических кривых с использованием (9.9.5) показал, что в пленке
наряду с изменениями плотности состояний скачками (в случае прохождения
точки минимума или максимума квантовой подзоны, см. рис. 9.19.) возможны
логарифмические особенности (при прохождении седловой точки), а также
особенности тута\Е -Ес\ '". Последняя особенность в поведении плотности
состояний у края подзоны, характерная для ID-систем, обусловлена тем, что
зарождение изоэнергетических линий у края подзоны происходит не в точке,
а на целой кривой, так называемой петле экстремумов. Например, если закон
дисперсии в подзоне п имеет вид
то при тп < 0 с учетом (9.1.12) для зависимости плотности состояний от
энергии Еп получим

gn(E„) = V{4nWRjE„-Enj
. X'
mm)
гдеу=1 приЕП]
<E„ <ЕУ> и v=0,5 при£<0) <Е„, аЕ„
г(0)
'л
.min '-•n
энергия, соответствующая минимуму n-тл подзоны. Конечный скачок gn (En )
при En = E)j' соответствует исчезновению одного семейства изоэнергетиче-
ских линий в точкеЕп =Е\ ' при возрастании энергии.
В случае />Si, InP и InAs ситуация еще больше усложняется, так как при
W < 20 нм обычно необходимо принимать во внимание и зону, отщепленную
спин-орбитальным взаимодействием. В данных материалах с малой
величиной спин-орбитального расщепления несферичность и непараболичность
энергетического спектра дырок оказывается очень существенной (рис. 9.20).
Расчеты с учетом взаимодействия с отщепленной зоной показали, например,
что при уменьшении толщины пленки энергетический зазор между
подзонами легких и тяжелых дырок перестает изменяться. Согласно (9.9.2) и (9.9.3)
для пленок, ориентированных в плоскостях (100) или (111), этот зазор в точке
кр = 0 не превысит величины 2/3 Д, а в модели (9.9.5) он монотонно растет.
В тех случаях, когда энергия дырок сравнима с величиной
спин-орбитального расщепления зон Г8 и Г7, используя теорию возмущений, можно найти
Рис. 9.20. Изоэнергетические поверхности зоны тяжелых дырок в Si
для £=40 мэВ: о-в отсутствие деформации; б- при растяжении вдоль [001]
на 0,64%, в - при сжатии по [001 ] на 0,64%

поправку к Е)/'(кр) за счет взаимодействия этих зон. Для этого вместо
элементов F,G,H и I в (9.9.5), нужно подставлять
F' =F + ^-(\H\2+4\I\2;G' = G + ^-((F-G)2 +3\Н\2);
2Д 2Д
Н'=Н + — (H(G-F) -2л/3#*/);/' = / —-(л/3#2 + 2I{G-F)\
2Д 2Д
а вместо уравнения (9.9.6) для определения kZj- использовать уравнение
2В3к6 + ЗВС2к2® + 27(2D3/V27 + В2 -BD2)k2 klk2
В2 к4 +С20 +
Д
( „2 . 4 „9„^\
= 0,
2 2 2 22 22 22
где кН = кх +ку + kz,Q = кх ку + кх kz + ky kz. Таким образом, в первом
приближении можно учесть непараболичность спектра за счет взаимодействия
зон Г§ и Г7.
Вырождение энергетических зон необходимо учитывать и при
определении энергетического спектра в пленках «-Si. Известно, что в зоне
проводимости кремния, а также большинства соединений A3 В5 реализуется так
называемая «двугорбая» структура (см. рис.9.21). Такая особенность обусловлена к -р
С С
«взаимодействием» Х\ и Х-з, - состояний, приводящим к существенной не-
параболичности закона дисперсии электронов, которая в отличие от кейнов-
ской наиболее сильно проявляется вблизи минимума зоны.
Для точки X в электронном кремнии
£>l i = Ак2 + В(к2у +к2)+ Dkx;
D22 =DU -2Dkx; Dl2 = D2X = Mkykz, (9.9.9)
где ось х соответствует направлению Д, а оси у и z параллельны направлениям
типа. Начало отсчета волнового вектора и энергии находится в точке X.
Константы А, В, D и М определяют энергетический спектр электронов в
массивном кристалле.

\ ^.0 *\
\
/■ /
V'
IK
7
CQ 6
V
Я 4
о
-.3
S2
ьо i
1 1 1 1
~ir^
T i i
♦ go(EJ
Пр(£;-б,005)
Ag (E;0,005)
>
0,05
0,1
0,15 £ B0,2
Рис. 9.21. Строение зоны проводимости и-Si вблизи ^-минимума
Рис. 9.22. Зависимости плотности состояний от энергии для Х\ зоны в Si.
go(E)- расчет по (9.9.11), g(E,z)-расчет по (9.9.10)
В массивных кристаллах совокупность величин (9.9.9) приводит к выра-
с. с
жению для дисперсионных зависимостей X] и Хт> -зон вида
E{l2\k) = Ак2 + В(к2у + к2) ± ^D2k2+(Mkykz+Le'yz). (9.9.10)
Обычно вместо (9.9.10) используют более простое выражение
Е{1\к) = Ак2+В(к2у+к2),
(9.9.11)
которое получается при разложении (9.9.10) в ряд в окрестности минимума
энергии (с учетом переноса начала координат для энергии и кх в точку
минимума) и соответствует простой многодолинной модели энергетического
спектра. Именно (9.9.11) в большинстве случаев применяют и для определения
спектра в условиях размерного квантования. В этом случае при
моделировании пленочного потенциала бесконечно глубокой потенциальной ямой
квантованный энергетический спектр электронов получают подстановкой
значения пп/Wb выражение (9.9.11) или (9.9.10) и
Еп(кр)=Еп
'~W
(9.9.12)
здесь W- толщина пленки, кр - составляющая волнового вектора в плоскости
пленки.
В случае неограниченного кристалла использование (9.9.11) обычно
оправдано, так как минимум Aj расположен примерно на 0,11 эВ ниже точки
вырождения .
На рис. 9.22 представлены зависимости плотности состояний от энергии
для Х{ зоны в Si, рассчитанные с использованием (9.9.11)- go(E)и (9-9.10) -

g(E,z) при zyz = 0, -0,005 и 0,005. Из рисунка видно, что разложение (9.9.11)
позволяет рассчитать зависимость плотности состояний от энергии с
достаточной точностью лишь при наличии больших отрицательных сдвиговых
деформаций. При отсутствии деформации е у7 ошибка в оценке плотности
состояний с использованием (9.9.11) превысит 5% при Е > 0,04 эВ и 15% при
£■ > 0,08 эВ, а в случае положительных сдвиговых деформаций ошибка еще
возрастет.
В случае же размерно-квантованных пленок, когда минимум даже
нижней квантовой подзоны может оказаться на 0,15 -н 0,2 эВ выше минимума Д i в
неограниченном кристалле (т.е. даже выше точки вырождения Х\ см.
рис.9.21), применение (9.9.12) требует дополнительного обоснования.
Решая систему (9.7.3) с учетом (9.9.9), полагая, что нормаль к
поверхности пленки направлена вдоль оси z (рис.9.13), можно получить уравнение,
определяющее квантованный энергетический спектр электронов
Еп(кх,ку,Ж)в минимумах типа / для Еп <(Ак~ + Dkx)e следующем виде:
sh(Wyp22~)sm(kz]W) =
2kz^-k22$>(kz2)[\-ch(Wyl-k22)cos(kzlW)]<$>(kzl)
4Ф2(^2)+4Ф2(^1)
9 7 9
rne<$(kzi) = Ak~ +B(ky + kzi) + Dkx -E, akzj - корни уравнения
(9.9.13)
det\\Djf(kz,kp)-bJfE\\=0.
Для Еп >(Ак~ +Dkx) уравнение, определяющее энергетический
Еп (кх ,ky,W) спектр в минимумах /, принимает вид
sm(kz2)s'm(kziW) -
_ 2kz{kz24>(kz2)[\ -cos(kz2W)cos(kzlW)mkzl)
k2zl02(kz2) + k2z24>2(kz])
(9.9.14)
Данное уравнение необходимо использовать при определении спектра
квантовых подзон, образованных из представления А'2-
В достаточно малой окрестности ку = 0 решение уравнения (9.9.13)
можно представить в виде

nh2y
En(kx,ky,W) = Akf-Dkx + f + B
2m,
71
П —
W
Л2
(9.9.15)
где
= 25-
Mz
mt
Dk
x v
\2
2^[BQ(kx,W)[(-\)^1 +ch(Wn(kx,W))]
DkxWsh{WQ(kx,W))
(9.9.16)
aQ(kx,W) = .
1*14?
. Разложение (3.9.15) верно в области значений
П2ку «\2т*пАЕп\, где №п = Еп+х -Еп.
Анализ выражения (9.9.13) показывает, что положения минимумов
квантовых подзон, определяемые с использованием (9.9.13) и (9.9.12), совпадают
(аналогичное свойство имело место и при квантовании спектра дырок, когда в точке
экстремума не происходило «перемешивание» волновых функций,
принадлежащих разным ветвям спектра). Однако в окрестности минимума поведение
зависимостей Еп(кр ), рассчитанных по (9.9.13) и (9.9.12), будет различным.
На рис.9.23 приведены зависимостиЕп(кх0,ку), рассчитанные с
использованием (9.9.13) (сплошные линии) и (9.9.12) (пунктир), для W=S и 10 нм.
Видно, что с уменьшением толщины пленки и увеличением номера квантовой
подзоны различие возрастает. Это видно и из данных табл. 9.4, где
представлены значения эффективных масс в минимумах квантовых подзон,
рассчитанные по (9.9.16). При расчетах полагали, что в неограниченном кристалле
и-Si, тц = 0,917т0, m?=0,19/w0 и A2-Ai=0,5 эВ в точке кх=кх0,
ку=к,=0.
Рис. 9.23. Зависимости энергии от к v, рассчитанные по (9.9.13) - сплошные
линии и по (9.9.12)-пунктир; а - для ^= 10 нм, б-для ^=5 нм.
Цифры у кривых указывают номер квантовой подзоны

Таблица 9.4
Значения эффективных масс в точке экстремума
Толщина, нм
5
10
15
20
1
0.236
0,204
0,198
0,194
Номер квантовой подзоны
2
-11,2
0,264
0,221
0.206
3
0.543
0,275
0.232
4
0,422
0.279
Так как ку и kz входят в (9.9.9) симметрично (для минимума /),
сделанные выводы будут в равной степени относиться и к случаю, когда нормаль к
пленке направлена вдоль оси у.
В случае, когда нормаль к пленке направлена вдоль оси х, решение
системы уравнений (9.7.3) приводит к следующему выражению, определяющему
квантованный энергетический спектр электронов в минимумах/
sin(kx2)sin(kx]W) =
2D2kx] kx2 [1 - cos(kx2W) cos(kxlW)]0(kA)
D\k2xl+k2x2)
A2{k2xl-k2x2)2
(9.9.17)
где kxj - корни уравнения
det\\DJf(kx,kp)-5lfE\\=0.
При kD = 0 (9.9.17) упрощается и принимает вид
Еп=А
п
i
W
АА
(9.9.18)
Это выражение и определяет положение минимумов подзон для долин
типа / при квантовании вдоль оси х. Аналогичное выражение получается и
при использовании (9.9.12). Анализ (9.9.17) также показывает, что и в
плоскости пленки энергетический спектр в данном случае практически не зависит от
толщины пленки и может оцениваться с использованием (9.9.12).
Результаты, представленные выше, могут быть использованы и для
расчета размерно-квантованного спектра электронов в минимумах 11 и III путем
замены индексов в (9.9.13-9.9.18) в соответствии с рис. 9.136.
Распределение электронов по энергии для системы в целом будет
определяться суперпозицией процессов, происходящих в каждом минимуме. Так,
например, при изменении толщины пленки с нормалью вдоль [100] наряду со
снятием долинного вырождения следует ожидать увеличения эффективной
массы в минимумах II и III для движения вдоль осей z и у соответственно, а

для минимума I такого изменения быть не должно. Обобщение на случай
произвольной ориентации пленки может быть получено в результате
аналогичных расчетов.
2.9.10. Энергетический спектр в квантовой точке
с параболическим удерживающим потенциалом
В настоящее время в качестве материалов для создания квантовых точек в
основном используют полупроводниковые соединения А3В5 (InAs, GaAs,
InSb и т.п.), а также Ge и Si. Все эти материала обладают сложным
энергетическим спектром, описываемым многозонным гамильтонианом. В общем
случае для расчета энергетического спектра размерно квантованных систем
необходимо использовать гамильтониан, учитывающий к ■ р взаимодействие
рассматриваемой зоны с как можно большим числом состояний. Так
полагают, что для расчета спектра в низкоразмерных системах на основе
полупроводников A3 В 5 необходимо учитывать как минимум 14 состояний.
Для получения явного вида системы (9.7.3) воспользуемся моделью Кей-
на, в рамках которой состояния валентной зоны Г§ и Г7 (6 состояний) и зоны
проводимости Tg (2 состояния) объединяются в один класс (класс А по Левди-
ну) и взаимодействие между ними учитывается точно, а все другие состояния
относятся к классу В и -р взаимодействия с этими состояниями устраняются
при помощи итерационной процедуры.
В рамках данной модели, учитывая только независящую от к часть
оператора спин-орбитального взаимодействия, и обозначая
Р+ =Vk+,Pz = Vk2ik+=kx±iky,Z = U-Eg-A, (9.10.1)
Р - здесь матричный элемент Кейна, U = U(r)- внешний, удерживающий
потенциал, матрицу 8x8 полного гамильтониана Я можно представить в виде
[«
0
\nf-
И -|^«
^8x8 -
-!-Р
IV6 +
1 0
Ьк-
&'♦
0
и
0
4i F+
^р_
V3
-LP
V2 +
0
U-Eg
0
0
0
0
0
№
#"♦
0
U~ES
0
0
0
0
*'-
#■•
0
0
u~Eg
0
0
0
0
42
0
0
0
U~ES
0
0
V3 2
0
0
0
0
z
0
iM
tA
0
0 1
0
0 1
0 1
(9.10.2)

В соответствии с (9.10.2) система уравнений Кейна принимает вид
-ЕС, -4с3 + £ргС4 + ^С5 + ^С7 + %=СЯ = 0,
Ж
Р+
-ЕС2-^С4+^С5+фбС5+^С7+^=0,
-^Cl-(E + Eg)C3 =0,^,0,-^C2-(E-Eg)CA=0,
^=Cl+ ^PZC2 -(E + Eg)C5 = 0,^C2-(E + Eg)C6 = 0,
^=Cl+^C2-(E + Eg + Д)С7 = О,
^С1--^С2-(£ + ^+Д)С8=0.
(9.10.3)
Введя параболический удерживающий потенциал U(r) = <xr путем так
называемой минимальной замены, и, учитывая сферическую симметрию
задачи, удалось представить уравнение для радиальной волновой функции в
следующем виде
В J, Р~
А + -±В\
2
1 +
\ 2;
F(r) = 0,
(9.10.4)
здесь
Р2£„+£ + |Д) 2 22
А = -Е + ^ ъ—-(-V2 + Х2г2 + ЗЯЛ,
(£„+£ + A)(£„+£)V
г
г=1
Р2ДХ
2 2та
,л, -■
3(Eg+E)(Eg+E + A) n
а а- параметр крутизны удерживающего потенциала

При этом оказалось, что уравнение, определяющее энергетический
спектр электронов, легких дырок и дырок в спин-орбитально отщепленной
зоне, принимает вид:
f 3^
ЯЕ) = П<а
2n + l + -
2)
(9.10.5)
где
Е(Е +ЩЕ +E + A)(Eg+2/3A)
f(E) = - +
(Eg +E + 2/3 Д) Eg(Eg + A)
+ -
Йсо
3 (Eg+E + 2/3 Д) 2
— ±
2
/ + ■
— Йсо,
2
ПХ Ь2 Е (Е+ Д)
со =—,т = —- —— .
т 2Р2(^г+2/ЗД)
г
(9.10.6)
По форме выражение (9.10.5) совпадает с (7.7.11), описывающим спектр
простой сферически симметричной потенциальной ямы с параболическим
удерживающим потенциалом. Однако учет межзонного взаимодействия в
данном случае приводит к проявлению непараболичности. Кроме того,
выражение (9.10.5) с учетом (9.10.6) имеет шесть различных корней. В результате
при йсо^ 0 вырождение подзон снимается.
Для E«Eg +2/ЗД выражение (9.10.6) можно упростить. В результате
для подзон электронов:
(1) Eg( 4ha[3(2n + l + 2) + (4n + l + 4)A/Eg]
3Eg+2A
е 2
1-1 +
4йсо [3(2л + / + 2) + (4л + / + 4) A/Eg ]
3Eg+2A
(9.10.7)
В случае же, когдаЕ„ »£иД, (9.10.7) переходит в
Ее * £[1-л/1 + 4(2и + / + 2)Йсо/£&].
(9.10.8)
При этом подзоны остаются вырожденными и при йш * 0.

2.10. Экранирование электрического поля
в структурах пониженной размерности
2.10.1. Приповерхностная область пространственного заряда
Как ясно из введения, наноразмерные структуры практически всегда
создаются на основе плёнок с толщиной порядка десятков (единиц) нанометров
либо из тонкоплёночных структур, состоящих из таких плёнок. Понятно, что
при транспорте электронов вдоль или поперёк такой плёнки или структуры
основное влияние на все процессы будут оказывать параметры границы
раздела (интерфейс) и приповерхностных областей. На локальных электронных
состояниях на границах раздела локализуются электроны, создавая
встроенные заряды. Роль таких поверхностных зарядов может играть и внешнее
электрическое поле.
В равновесных условиях любой рассматриваемый образец должен быть
электрически нейтрален. Это возможно только в том случае, если локальные
заряды и внешние поля будут экранированы. Отсюда следует, что любой
поверхностный заряд или внешнее поле должны быть скомпенсированы равным
по величине и обратным по знаку зарядом в приповерхностном слое
полупроводника. Этот заряд в общем случае состоит из заряда ионизированных
доноров и акцепторов и заряда подвижных носителей - электронов и дырок.
Располагаясь в приповерхностном слое, он экранирует объём полупроводника от
поля поверхностного заряда. Понятно, что для создания этого
дополнительного экранирующего заряда необходимо иметь в приповерхностном слое
концентрацию подвижных зарядов, отличную от объёмных. Таким образом, в
приповерхностном слое образуется слой пространственного заряда. Понятно,
что в этом слое появится электрическое поле и возникнет распределение
электростатического потенциала. Как то, так и другое определяются уравнением
Пуассона при соответствующих граничных условиях. Такие решения для
поверхностных слоев хорошо известны еще с времен разработки теории
выпрямления на контакте металл-полупроводник, проведенных практически
одновременно Давыдовым в России, Шоттки в Германии и Моттом в Англии.
Однако в этом случае в формировании пространственного заряда участвовали
только нескомпенсированные доноры и акцепторы. Это связано с тем, что по
своей природе выпрямление на контакте металл-полупроводник
определяется наличием так называемого истощенного (или обедненного) слоя, который
соответствует обеднению приповерхностного слоя основными носителями
заряда. Ясно, что в этом случае нет необходимости учитывать
непосредственный вклад в заряд подвижных зарядов - электронов и дырок.
Концентрация носителей заряда в термодинамическом равновесии в
общем случае описывается статистикой Ферми-Дирака

/o= 7JZTS (10ЛЛ)
1 + exp —
I hT J
Если уровень Ферми не слишком близко расположен к границам
разрешённых зон, т.е. разность энергий Ес -EF\EF -Ev> 3k0T, то единицей в
знаменателе (10.1.1) можно пренебречь. Иначе говоря, при отсутствии
вырождения концентрации подвижных носителей заряда в любой точке
полупроводника определяются статистикой Больцмана. Если измерять энергию в
единицах к0Т, то функция распределения Больцмана имеет вид
f0(Ec,Ev,EF)=exp(EF-E). (10.1.2)
Пусть положение всех энергетических уровней измеряется от уровня
Ферми собственного полупроводника. Тогда в случае простой зоны£^
определяется по формуле
EF=-l/2AEg+3/4k0T\n(mh/me). (10.1.3)
здесь AEg — ширина запрещенной зоны, те и /и/, - эффективные массы
плотности состояний соответственно для электронов и дырок.
При /и;, = те или Т = 0 К уровень Ферми действительно располагается в
точности посередине между валентной зоной и зоной проводимости. В
большинстве собственных полупроводников отклонение уровня Ферми от этого
среднего положения при обычных температурах невелико. В то же время для
некоторых полупроводников, например InSb, для которого ш/, /ше = 20,
отклонение уровня Ферми в сторону зоны проводимости при комнатных
температурах достигает 0,056 эВ.
Следует помнить, что довольно долгое время в научной литературе по
полупроводникам при рассмотрении статистики Ферми-Дирака в качестве
нормировочного коэффициента вместо уровня Ферми употреблялся так
называемый химический потенциал. Известно, что для металлов даже при
абсолютном нуле температур электроны обладают кинетической энергией
трансляционного движения и заполняют все нижние уровни энергии в кристалле вплоть
до уровня химического потенциала. Химический потенциал £q является
функцией состояния, используемой для описания термодинамических систем с
переменным числом частиц N, и характеризует способность рассматриваемого
компонента к выходу из данной фазы. В случае систем, состоящих из
заряженных частиц (электроны, ионы), химический потенциал записывается в
виде
S/^o+W. (Ю.1.4)

где z, - заряд частицы; q- элементарный заряд; ф - электрический потенциал.
В этом случае £,,- называется электрохимическим потенциалом. Смысл двух
слагаемых в выражении для электрохимического потенциала состоит в том,
что при внесении (или удалении) в систему дополнительно новых dN,- частиц
к обычной «химической» работе E,qcIN,- добавляется работа по преодолению
электрических сил.
Химический потенциал вырожденного газа тождественно совпадает с
энергией Ферми, ниже которой все состояния оказываются заполненными, а
выше - свободными. Именно такая ситуация и характерна для металлов при
температуре Т = О К. В собственном полупроводнике при Т = О К химический
потенциал электронов численно равен энергии середины запрещенной зоны.
Отсюда и название этой энергии - уровень Ферми собственного
полупроводника. Если система находится при температуре выше абсолютного нуля, то
всегда существует определённое количество частиц с энергией выше энергии
Ферми и равное им количество свободных состояний ниже этой энергии.
Соотношение между заполненными и свободными состояниями отражает
различное положение уровня Ферми. Постепенно в научной литературе для
систем, подчиняющихся статистике Больцмана или Ферми, стали вместо
химического потенциала применять термин - энергия Ферми (уровень Ферми) во
всех случаях и при любой температуре. В настоящей работе также
используется эта терминология.
В соответствии с вышесказанным, при отсутствии вырождения
концентрации электронов и дырок в разрешённых зонах записываются в виде
no=Ncexp(EF-Ec), (10.1.5)
p0=Nvexp(Ev-EF), (10.1.6)
а так как Nq ехр(-£<~ ) = Ny ехр(£у ) = и, - собственной концентрации, то
окончательно можно записать для равновесных концентраций в разрешённых
зонах
«0 = Щ ехР(^)> А) = Щ exp(-£F). (10.1.7)
Используя эту запись, можно сделать один формальный, но очень важный
вывод, который неоднократно нам понадобится в дальнейшем,
поРо = nf=NcNvexp(-Eg/k0T). (10.1.8)
Это значит, что произведение равновесных концентраций электронов и
дырок в отсутствии вырождения всегда равно квадрату собственной
концентрации.

Из соотношения (10.1.8) видно, что собственная концентрация является
фундаментальной характеристикой для каждого полупроводника и
определяется его кристаллической структурой и природой элементов его
составляющих. Собственная концентрация для данного полупроводника изменяется
только с изменением температуры (рис. 10.1). Это означает, что назвать точную
величину собственной концентрации можно только для определённой
температуры. Если температуру не называют, то обычно имеют в виду собственную
концентрацию при комнатной температуре или при 300 К.
При различных расчетах полупроводниковых структур часто пользуются
еще одним полезным понятием. Это так называемая мера легирования
полупроводника. Она определяется как отношение концентрации основных
носителей заряда к их собственной концентрации
^ = Po/ni=ni/n0 = ^Po/no- (10.1.9)
Из уравнения (10.1.9) видно, что для собственного полупроводника если
п0 = Ро= п\, то X = 1. Для дырочного полупроводника - X > 1, для электронного
-Х.<1.
Используя формулы 10.1.7, можно записать
п0 =п^\р0 =rijk,EF = \пХ~1. (10.1.10)
Это означает, что величина In X так же, какЕр определяет энергетическое
расстояние (в единицах kQT) между уровнем Ферми при данном легировании
и уровнем Ферми собственного полупроводника (середина запрещенной
зоны).
Объектом исследования в курсе «Физические основы наноэлектроники»
чаще всего являются очень тонкие (единицы, десятки нанометров)
полупроводниковые слои. Иногда рассматриваются отдельные части более толстых
слоев, по своим параметрам отличающиеся от основной «матрицы» и,
конечно, тоже с базовыми размерами на уровне нанометров. Такие слои чаще всего
отделяются друг от друга областью, называемой границей раздела- interface.
Границей раздела называют переходной слой, в котором
физико-химические, кристаллические и другие параметры полупроводника отличаются от
основного кристалла, плёнки или объёма образца. В последнем случае этот
слой чаще называют приповерхностным слоем.
В пределах рассматриваемой проблемы наиболее частым случаем
является полупроводниковая поверхность и тонкоплёночные гомо- и гетерополуп-
роводниковые структуры. Из вышесказанного очевидно, что поведение
приповерхностного слоя при воздействии внешнего электрического поля на по-

,1000 500 200 100 27 0-20
►
опз
© J (
© J 1
"© ' \
Д © (
» VJ| \
;ir
/S.
Ec
№)=£,(:) ~| £> =lnX <0
^
E,
Ey
),5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
1000/Г.К"1
Рис. 10.1. Температурная зависимость собственной концент рации Si, Ge и GaAs
Рис. 10.2. Экранирование объёма полупроводника областью
пространственного заряда
Рис. 10.3. Энергетическая диаграмма ОПЗ полупроводника
электронного типа проводимости для некоторого произвольного
значения поверхностного электростатического потенциала
лупроводник можно легко распространить на многие из перечисленных
объектов.
Распределение электрического поля и зарядов в этой области
рассматривали многие исследователи. Основой нашего рассмотрения будет работа
основоположников науки о физике поверхности полупроводников Гаррета и
Брэттена, которая, несмотря на давность, является одной из лучших в этой
области знаний.
Если к конденсатору, одной из обкладок которого является пластина
полупроводника, приложить электрическое поле, то вблизи поверхности
последнего возникнет индуцированный заряд. Этот заряд создаётся
подвижными носителями заряда, присутствующими в полупроводнике. Появившийся
заряд экранирует остальной объём полупроводника от проникновения
внешнего электрического поля.
Область локализации этого индуцированного заряда называется
областью пространственного заряда-ОПЗ (рис. 10.2).

На рис. 10.2 стрелками указаны силовые линии внешнего электрического
поля. Они заканчиваются на локальных зарядах и не проходят в объём, что
является наглядной иллюстрацией эффекта экранирования. Необходимо
отметить, что возникновение ОПЗ может быть связано не только с
перераспределением в полупроводнике подвижных носителей заряда в разрешённых зонах,
а также перераспределением заряда на локальных энергетических состояниях
в запрещенной зоне.
Общей характеристикой заряда в ОПЗ является величина его объёмной
плотности p(z), зависящая от координаты Z нормальной к поверхности
полупроводника. Величина p(z) определяется алгебраической суммой всех типов
положительных и отрицательных зарядов в данной точке пространства.
Предполагается, что по остальным направлениям полупроводник полностью
изотропен. Таким ообразом,
Р(г) = q[Nd-Na + p(z)-n(z)], (10.1.11)
где N j и Nа - концентрации ионизированных доноров и акцепторов; n{z) и
p{z)- равновесные концентрации электронов и дырок в разрешённых зонах;
q - абсолютная величина заряда электрона.
Такая запись возможна при выполнении двух условий:
а) доноры и акцепторы, присутствующие в полупроводнике, полностью
ионизированы в любой точке полупроводника;
б) все легирующие примеси являются однозарядными. Это означает, что
однозарядный нейтральный донор может отдать только один электрон и его
заряд станет равным +q, а однозарядный акцептор может приобрести только
один электрон и тогда его заряд равен -q, т.е. Nj =/?q> a Nа = Pq. Учитывая
это условие, объёмная плотность заряда в ОПЗ может быть записана в виде
РО) = д["о -Ро+ P(z) - <z)l (10.1.12)
Понятно, что если полупроводник содержит несколько типов донорных и
акцепторных уровней, то необходимо при расчёте брать сумму концентраций
зарядов на каждом из них.
При отсутствии индуцированного заряда полупроводник электрически
нейтрален вплоть до границы раздела. В этом случае сумма положительных и
отрицательных зарядов всюду равна нулю и p(z) = 0.
2.10.2. Уравнение Пуассона
Распределение индуцированного заряда в слое некоторой толщины
означает, что потенциал в полупроводнике плавно затухает от некоторого
значения на поверхности до нулевого значения за пределами ОПЗ. Величина рас-

пределенного объёмного заряда p(z) и потенциал электростатического поля в
нём V(z) взаимно однозначно связаны между собой уравнением Пуассона
4"*?>. (.0.2.,)
dz EoE.s
гдее0 -диэлектрическая проницаемость вакуума; es -диэлектрическая
проницаемость полупроводника.
Величина qV(z) соответствует изменению потенциальной энергии
положительного заряда в ОПЗ относительно значения этой энергии в объёме
полупроводника (при z, стремящемся к бесконечности).
На величину qV{z) в ОПЗ смещаются все энергетические уровни,
которые существовали в полупроводнике в данной точке z при отсутствии
индуцированного заряда. Если выразить изменение потенциальной энергии в
единицах к0Т и ввести обозначение Y{z)-qV{z)/kQT, то уравнение Пуассона
примет вид
d2V
dz2 £oEskoT
p(z). (10.2.2)
Как известно, при определённых граничных условиях решением этого
уравнения является некоторая функция Y(z), затухающая в глубь
полупроводника. На величину этой функции смещаются все безразмерные (в единицах
к0Т) энергетические уровни относительно своих безразмерных значений до
возникновения ОПЗ. Эта же величина определяет безразмерный изгиб
энергетических зон в каждой точке z.
Величина Y(z) носит название безразмерного поверхностного
электростатического потенциала.
Расстояние от середины запрещённой зоны до уровня Ферми
обозначается буквой ф, а его значение на поверхности -ф^. В отличие от безразмерного
электростатического потенциала ф5 носит название поверхностного
потенциала. Вообще в научной литературе по полупроводникам индекс s принят для
обозначения параметра, величины, касающихся поверхности, так как s -
первая буква английского слова «surface».
В соответствии с плавным затуханием потенциала плавно изменяется
положение всех уровней относительно уровня Ферми, который, как известно,
является мерой средней энергии носителей заряда по всему кристаллу и поэтому
остаётся неизменным вплоть до границы кристалла (поверхности) при z - 0.
На рис. 10.3 изображена энергетическая диаграмма ОПЗ, где приведены
все введённые в тексте обозначения. Значение безразмерного электростатиче-

ского потенциала на поверхности обозначается Ys. Знак для этой величины, в
соответствии с принятым направлением отсчёта энергии будет
положительным для изгибов зон вниз и отрицательными для изгибов вниз. Из рисунка
хорошо видно, что при наличии изгиба зон значение энергии Ферми становится
функцией координаты z. Отсюда понятно, что для любой точки (или сечения'
параллельного поверхности) ОПЗ в соответствии с законами статистики
можно записать выражение для равновесных концентраций в виде
n(z) = щехр[Ер{г)\ p{z) = n^xp[-EF{z)\ (10.2.3)
Из общих соображений и из рассмотрения энергетической диаграммы на
рис. 10.3 видно, что энергия Ферми в каждой точке определяется разностью
изгиба зон Y(z) и энергии Ферми в объёме
EF(z) = EF-Y(z). (10.2.4)
И для поверхности
EFs =EF-YS. (10.2.5)
Это позволяет нам записать
ns =njewp(EF)expYs
и
ps=niexp(EF)exp(-Ys). (10.2.6)
Используя формулы 10.1.7, теперь можно записать
п5 = щ exp(Ys), р5 = р0 exp(-Ys). (4.2.7)
Остановимся кратко на знаках введенных величин Ер, и Y$. Знак
безразмерного электростатического потенциала будет отрицательным при изгибе
зон вверх и положительным при изгибе вниз. Ер, так же как Ер, будет иметь
отрицательный знак, если уровень Ферми находится на энергетической
диаграмме в нижней половине запрещенной зоны, и наоборот.
Соотношения (10.2.7) фактически отражают использование для
определения поверхностных концентраций ns и ps статистики Максвелла-Больцма-
на. Ранее уже отмечалось, что это возможно, если уровень Ферми расположен
не очень близко к разрешённой зоне. Фактор близости определяется
соотношением между единицей и экспонентой в знаменателе формулы (10.1.1). Если
показатель экспоненты больше 3, то экспонента на порядок превышает
единицу - переход к статистике Больцмана. В противном случае имеет место
вырождение и необходимо пользоваться статистикой Ферми.
Для поверхности это означает, что будут рассматриваться такие изгибы
зон, при которых уровень Ферми на поверхности не приближается к краям
разрешённых зон ближе, чем на 2 - 3 к$Т.

<" Ее
£....
•" Еу
ч
ч
v.
Ее
Ер
Et
Еу
Рис. 10.4. Энергетические диаграммы, иллюстрирующие предельные изгибы зон
Графически предельные изгибы выглядят следующим образом
(рис. 10.4).
2.10.3. Разновидности ОПЗ
Рассмотрим различные виды ОПЗ, возникающие на границах раздела,
сначала качественно, ещё до решения уравнения Пуассона. В качестве
примера выберем формирование поверхностной ОПЗ для полупроводника с
достаточно сильно выраженным «типом проводимости. Это означает, что для него
выполняется неравенство Ер = In А. > 3.
1. Плоские зоны. Название говорит само за себя. Эта ситуация
изображается на энергетической диаграмме с прямыми зонами вплоть до поверхности
(рис. 10.5). Положение уровня Ферми на поверхности совпадает с таковым в
объёме. Область пространственного заряда не образуется: p(z)= 0.
2. Обогащение. Необходимо сразу отметить, что этот и все последующие
термины относятся к изменению концентрации основных носителей заряда.
Например, в рассматриваемом случае ясно, что обогащение означает
увеличение концентрации основных носителей в поверхностной ОПЗ. Эта область
«обогатилась» основными носителями заряда - n(z)>n0. Для выбранного в
качестве примера электронного полупроводника это означает, что уровень
Ферми на поверхности и во всей ОПЗ располагается ближе к зоне проводимо-
е _
_©_ ©__
© © © Ее
Ер =1пХ I Е*
Е,
Еу
И
е
<K(r)=£>(z)
<~
Ее
Ер
Ер =1гЛ <0 Е,
Еу
Рис. 10.5. Энергетическая диаграмма для случая плоских зон. ОПЗ - отсутствует
Рис. 10.6. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника «-типа,
соответствующая случаю обогащения ns > «q

сти, чем в объёме. Всё это соответствует изгибу зон вниз. В выбранной
системе отсчёта этому соответствует положительное значение поверхностного
электростатического потенциала Y$ >0(рис. 10.6).
3. Обеднение. В соответствии с принятым выше определением, это
состояние должно означать, что концентрация электронов в ОПЗ меньше чем в
объёме n(z) < riQ. Это происходит для полупроводника электронного типа при
отрицательных изгибах зон (Ys < 0). В этой области, естественно, будет и
очень мало дырок, так как уровень Ферми находится в верхней половине
запрещённой зоны (рис. 10.7). При дальнейшем увеличении изгиба зон
наступает момент, когда концентрациями и электронов, и дырок можно пренебречь
по сравнению с концентрацией ионизированных доноров. Следовательно, эти
неподвижные доноры и формируют основную часть поверхностного заряда.
Уровень Ферми на поверхности в этот момент совпадает с серединой
запрещённой зоны на поверхности Ys = In A..
Электроны как бы отодвигаются в объём на определённую глубину со,
ограничивающую явно выраженный слой обеднения (рис. 10.7).
Соотношения объёмных и поверхностных концентраций при этом
Щ = Ps =Щ,п5«щ,р5 > р0.
(10.3.1)
4. Инверсия. По мере увеличения отрицательного изгиба зон
концентрация электронов продолжает падать, а концентрация дырок растёт. Этот
процесс сильно ускоряется после перехода уровня Ферми ниже середины
запрещённой зоны на поверхности (рис. 10.8). Когда поверхностная
концентрация неосновных носителей заряда на поверхности становится больше чем в
объёме, наступает состояние инверсии. В приповерхностной области
меняется (инвертируется) знак заряда преобладающего типа носителей. Изгиб зон
k '"x::zz:zz:::z::z::zz:zzzz:z::.zzz..~::z:..z
Ч..-1.-.~.~ ...~Г. ™ .... -
Vd—
©Г
i
^_
©
©
*©Л
'">®
ЕГ
|
Уj > 21n?„ I
ilnX. Ер
Еу
Рис. 10.7. Энергетическая диаграмма поверхности полупроводника «-типа,
соответствующая обеднению
Рис. 10.8. Энергетическая диаграмма для полупроводника п-типа,
соответствующая инверсии

при этом называется инверсионным. Значение поверхностного
электростатического потенциала легко определить из приведенного выше условия начала
инверсии
ps=n0. (10.3.2)
Если вспомнить, что «о = и,- ехр(£у), ро = п-, ехр(-£у) и Ер - In X,
получим значение изгиба зон (значение электростатического потенциала), с
которого начинается инверсия
Ys=2lnX. (10.3.3)
Начиная с этих изгибов зон, вся основная часть неосновных носителей
заряда сосредоточена в тонком слое между поверхностью и некоторой
плоскостью, за которой расположен слой обеднения.
Эта плоскость проходит через точку {zi), на которой величина
поверхностного электростатического потенциала равна 2 In Л.. Из рис. 10.8 видно, что
слой обеднения много толще инверсионного слоя. Для последующего очень
важно отметить, что после достижения изгибов зон, соответствующих
сильной инверсии, толщина слоя обеднения перестаёт менять свою величину. Всё
изменение экранирующего заряда происходит за счёт увеличения
концентрации неосновных носителей заряда между поверхностью и плоскостью z,.
Толщина слоя инверсии хотя и возрастает, но всё равно всегда много
меньше толщины слоя обеднения.
2.10.4. Решение уравнения Пуассона
Уравнение Пуассона с использованием понятия безразмерного
электростатического потенциала было записано в виде
d2Y q
7^ = ^T7P(Z)-
dz £0£5/c0''
Выражение для плотности заряда в ОПЗ - р(г), входящее в это уравнение,
с использованием формул (10.2.7) можно представить в виде
р(7) = q\p0(e-Y-\)-щ(ег-Щ (10.4.1)
Уже в этом выражении для удобства вместо Y(z) стоит просто У. Когда
будет необходимо подчеркнуть текущую координату или поверхностное
значение параметра Y, то это будет специально отмечено.
Если при этом использовать ещё понятие уровня легирования X,
введённое ранее, то уравнение Пуассона примет вид

ТУ =^T[4e~Y -D-^V -1)]. (Ю.4.2)
dz ALrf
Как видно, в этом выражении введено обозначение
^ te££ (10A3)
Выражение (10.4.3) по виду совпадает с длиной экранирования Дебая.
Это понятие возникает из следующих физических соображений.
Если источник электрического поля (заряженная частица, тело,
плоскость) окружён средой, содержащей положительные и отрицательные заряды,
то вследствие поляризации среды электрическое поле источника на
расстояниях, превышающих некоторую величину, становится очень малым. Иначе
говоря, поле «экранируется». Именно это расстояние, на котором поле
уменьшается так, что его влиянием можно пренебречь, называется «длиной
экранирования Дебая». Это расстояние тем больше, чем больше диэлектрическая
проницаемость е ^ среды, и тем меньше, чем больше зарядов в этой среде. Из-
вестно, что в металле приблизительно 10 " электронов. Если сравнить
характерную для металлов длину Дебая с полупроводником с концентрацией элект-
15 —3
ронов 10 см , то отношение для этих двух материалов без учёта разницы в
е s будет равно 3x10 .
Иначе говоря, любое поле в металле будет экранироваться на длинах
много меньших, чем в полупроводниках, что и обуславливает изготовление
экранов от электромагнитных и электростатических полей из металлов с высокой
проводимостью.
Первое интегрирование уравнения Пуассона проводится при граничных
условиях, что безразмерный поверхностный электростатический потенциал и
его первая производная стремятся к нулю при z —> оо (т.е. в объёме
полупроводника)
7(z)-»0
•z -» оо. (10.4.4)
dz
Первый интеграл при этих условиях получим в виде
dY(z) =F(Y(z\X)
dz La
(10.4.5)

где
F(Y(z),X) = ±[X(e-y -l) + X~\eY -\) + (X-X'l)Y]]/2. (10.4.6)
Полученное в результате первого интегрирования выражение для
соответствует понятию электрического поля (7 - потенциал, z - расстояние). Но
Y - это безразмерный потенциал в единицах kQT/q. Следовательно, для того
чтобы получить величину электрического поля в единицах В/см, необходимо
результат первого интегрирования уравнения Пуассона умножить на
величину к0Т/д
<r)Jj£KJJLEm. (Ю.4.7)
q dz q Ld
Иначе говоря, полученная величина dYjdz с точностью до множителя
kftT/q определяет напряжённость электрического поля в ОПЗ при каждом
значении Y(z).
Для того чтобы определить вид зависимости Y(z), необходимо ещё раз
проинтегрировать уравнение Пуассона. Решению в этом случае подлежит
интеграл вида
Y(z)
\ dY F(Y,X) = ^. (Ю.4.8)
s
Как видно из (10.4.9), функция F(Y,X) содержит как линейные, так и
экспоненциальные члены по Y, и поэтому интеграл в общем случае не берётся.
Выход из этого положения находят в численных расчетах F(Y,X). Наиболее
удобно пользоваться таблицами таких величин, вычисленных в широком
диапазоне Y и опубликованных в книге Г.Пикуса.
2.10.5. Поверхностное квантование
Изизложенного ясно, что носители заряда при больших изгибах зон у
поверхности располагаются в потенциальной яме. Одна граница этой ямы -
поверхность, другая - слой обеднения. По мере увеличения изгиба зон
поперечный размер такой потенциальной ямы позволяет говорить о возникновении
размерного квантования. Такая квантовая приповерхностная яма обычно
аппроксимируется треугольной потенциальной ямой, которая является
вариантом хорошо известной прямоугольной потенциальной ямы (рис. 10.9).
Движение носителей заряда в потенциальной яме является хорошо
известной задачей в волновой механике для твердого тела. Довольно давно было
показано, что в этом случае кинетическая энергия квантуется. Лауреат Нобе-

Ei
1 1
г
Е2
-Е
Рис. 10.9. Диаграмма энергетических уровней в треугольной
и прямоугольной потенциальной яме (вверху) и зависимость
плотности состояний от энергии N(E) для этих случаев (внизу)
левской премии Шрифер впервые в 1957 году предложил идею о важности
учета этого квантования в узких каналах или очень тонких пленках. Главное -
необходимо принимать в расчет квантование движения в z направлении
(перпендикулярно поверхности). В то же время, движение вдоль поверхности, т.е.
в плоскости х- у, остается свободным и может быть рассчитано как движение
носителей заряда в объеме полупроводника. Достаточно серьезный
теоретический анализ этой ситуации был проведен в конце 60-х и в начале 70-х годов
XX столетия. Причиной такой задержки по сравнению с остальными
квантовыми расчетами явилось то, что только к этому времени бурное развитие
технологии микроэлектроники позволило создать транзисторы, в инверсионных
слоях которых однозначно проявилось существование двумерных
энергетических зон.
Выше уже говорилось, что построение зависимости поверхностного
потенциала от расстояния вглубь образца основывается на решении уравнения
Пуассона. Для его решения необходимо знать распределение
пространственного заряда перпендикулярно поверхности p(z).
Для отыскания такого распределения в квантово-механическом случае
необходимо знать вид волновой функции электрона в инверсионном слое в
случае наличия условия квантования. В приближении эффективной массы
волновая функция описывается уравнением Шредингера
(Т - q V(z))4>(x, у, z) = EV(x, у, z),
(10.5.1)

где Т - оператор кинетической энергии, а Е - энергия электрона. Потенциал
V(z) находится из уравнения Пуассона и обычно является функцией
расстояния z.
Волновая функция записывается в обычном виде
4J(x,y,z)=E,(z)e > e ,
(10.5.2)
где кх ику - квазиимпульсы в соответствующих направлениях, a v-
величина, зависящая от этих квазиимпульсов.
Уравнение Шредингера можно разделить на два уравнения. Первое из
них описывает одномерное движение в направлении z и имеет вид
f
К
2mz dz2
■qV(z)
t>(z)=EiU^\
(10.5.3)
J
причем для z = 0 и z = <x> £(z) = 0.
Второе уравнение описывает двумерное движение вдоль поверхности
( . ~> -? ,2 -,2 "\
ik,.x-ik.,y „ ik..x-ik.,y
' -* = к в -
П2 д2
Г
2тх дх2 2
т
уду1
(10.5.4)
Каждое собственное значение Es находится из решения уравнения
(10.6.3) и представляет собой дно /-й подзоны с энергией
Ei(k) = ~ кх +
2/nv
2т,
К у + Лр / — ,1,Z,...
(10.5.5)
Хотя массы в этом уравнении только в исключительных случаях
совпадают с таковыми в объеме, но использование последних в расчете
поверхностных квантово-размерных структур приводит к очень небольшим ошибкам.
Если перейти к обычному представлению разрешенных состояний в виде
зависимостей Е(к), то мы получим ряд парабол, каждая из которых
начинается в минимуме энергии£;(0), / = 0,1,2....
Для направлений х, у - непрерывные параболы, а для направления
(перпендикулярно поверхности) получаем только точки разрешенных состояний
(рис. 10.10).
Двумерная плотность состояний на единицу поверхности D(E) для одной
подзоны без учета вырождения по спину согласно (9.1.146) имеет вид
ЩЕ) =
^тхту
2v.fi'
(10.5.6)

1
\
\
\
ч
-E, 1
-F,
,, 1
-bo,
.'*'
Рис. 10.10. Вид энергетических подзон вдоль основных направлений в кристалле
Рис. 10.11. Форма и расположение изоэнергетических поверхностей в Ge, Si, GaAs
Эта плотность состояний не зависит от энергии (в отличие от объема).
Теперь достаточно просто рассчитать поверхностную концентрацию
электронов в /-й подзоне. Согласно (9.2.3)
Ш1
ту In
1 + ехр
EF~Ei
к0Т
\
(10.5.7)
Необходимо отметить, что плотность состояний и соответственно
концентрация электронов будет зависеть от ориентации поверхности кристалла.
Это легко понять из рис. 10.13, где представлены изображение и
расположение поверхностей постоянной энергии для различных полупроводников.
Видно, что эти поверхности представляют собой для Ge восемь
эллипсоидов, вытянутых вдоль осей [111], для Si имеется шесть эллипсоидов,
вытянутых вдоль осей [100], а для GaAs — поверхности постоянной энергии сферы с
центром в центре зоны Бриллюэна. Ясно, что эффективная масса для
различных направлений будет различна, а следовательно, будет меняться плотность
состояний в подзоне и соответственно концентрация электронов.
_зо
ю
(100) Si 0°K
Af,-NE=1030M"3
Кы 3,8*10Мм~2
^ez. 1
-i
10 20 30 40
Distance from surface (Angstroms)
2 3»10
Рис. 10.12. Плотность пространственного заряда, рассчитанная
для случая отсутствия квантования (классич.) и при его наличии
для двух ориентации поверхности (квантов)
Рис. 10.13. Зависимость энергии квантовых уровней для ОК
в функции полной плотности индуцированного заряда

Это хорошо видно на рис. 10.12, где приведены результаты расчета
концентрации электронов для классического случая и для случая наличия
поперечного квантования энергетического спектра. Так как в случае инверсии
именно они определяют величину ОПЗ, то, следовательно, представлено и
пространственное распределение зарядовой плотности в поверхностной
области кристалла. Плотность электронов в инверсионном слое в зависимости от
координаты рассчитывается по следующей формуле:
n(z) = YJNi\^f- (Ю-5-8)
/'
Выражение для плотности заряда от координаты имеет вид
p(z) = q -Y.Ki\Uzf+ND-NA . (10.5.9)
V i J
Из рис. 10.12 видно, что расчет проводился для температуры жидкого
гелия. Это важно отметить, потому что расщепление сплошного спектра на
локальные уровни будет иметь существенное значение только, если расстояние
между уровнями будет превышать размытие (уширение) последних, связанное
с теплом или рассеянием. Используя понятие времени релаксации т с учетом
всех возможных механизмов рассеяния, это условие можно записать в виде
-,к0Т<(Ем-Е,). (10.5.10)
т
В качестве иллюстрации приведем результаты расчета системы
квантовых уровней в зависимости от индуцированного заряда (рис.4.13).
Из рис. 10.14, легко понять возникновение уровней с обозначениями Е\ и
£■]/ (Eq и Eff). В направлении [111] эффективная масса имеет два значения.
Первая соответствует направлению вдоль большой оси эллипса, вторая -
вдоль малой. Следовательно, в этом случае имеются как бы две группы
электронов с «легкими» и «тяжелыми» массами квантования. Это и приводит к,
хорошо видимому на рис. 10.13, чередованию подзон квантования.
Рис. 10.14. Поверхности постоянной энергии (фрагмент) для поверхности (111) Ge,
объясняющие возникновение двух типов подзон квантования

Рис. 10.15. Энергетические диаграммы ОПЗ и заселенности квантовых
подзон для ориентации поверхности (111) (а) и (100) (б). Пунктирными
линиями показаны положения квантовых подзон для электронов с более
легкой массой квантования. Цифры - процентный вклад заполнения
данного уровня в общую плотность заряда[14].
Интересно отметить, что в случае германия, где коэффициент
анизотропии К = mji j'mL равен 20 (для кремния 5), для (111) поверхности (рис. 10.15)
первые три подзоны для электронов с тяжелой массой лежат ниже первой
подзоны для электронов с легкой массой. В то же время, плотность состояний,
определяемая эффективными массами вдоль поверхности с «легкой» массой
квантования, значительно выше. Такое соотношение масс приводит к
парадоксальному результату - заполнение выше лежащих уровней оказывается
больше, чем нижележащих. Это хорошо видно на рис. 10.15, где впервые был
проведен такой расчет для инверсионных слоев на германии.
В дальнейшем было установлено, что время релаксации сильно зависит
от среднего расстояния центра симметрии электронной плотности для
различных подзон, что позволило объяснить ряд экспериментов, посвященных
приповерхностным явлениям переноса (холл-фактора и магпетосопротивлепия) в
инверсионных каналах н-типа на германии.
В заключение необходимо отметить, что большой класс транспортных
явлений в МДП структурах был правильно объяснен только после разработки
описанной выше квантово-механической модели. Было также показано, что
эти эффекты следует учитывать для случая сильной инверсии даже при
комнатной температуре.
Эксперимент по обнаружению размерного квантования в тонких пленках
висмута впервые был выполнен в нашей стране. В этих работах была
однозначно показана осцилляционная зависимость проводимости, а также
постоянной Холла и магнетосопротивления от толщины пленки.

Суть явления заключается в том, что в пленках, толщина которых
сравнима с длиной волны электрона, при изменении толщины энергетическое
положение уровней размерного квантования меняется. Электронные свойства
металлов и вырожденных полупроводников определяются электронами,
близкими по энергии к уровню Ферми. Значит, на всех зависимостях кинетических
коэффициентов от толщины должны наблюдаться экстремумы при
прохождении квантовых уровней через уровень Ферми, что и наблюдается в
эксперименте.
Физические явления в приповерхностном слое полупроводника легли в
основу создания самого распространённого прибора в полупроводниковой
микро- и наноэлектроники-транзистора с изолированным затвором (МДПТ).
Основой функционирования этого прибора заключается в изменении
проводимости тонкого слоя полупроводника под влиянием поперечного
электрического поля. Понятно, что характеристики этого прибора будут определяться
закономерностями поведения носителей заряда (электронов и дырок) в
поверхностной области пространственного заряда, чему и посвящена эта глава.
Важность сведений, которые мы получаем из исследования физики
поверхности полупроводника усиливаются тем фактом, что и наиболее
употребительные устройства элементов памяти также основаны на явлениях
происходящих в приповерхностном слое и на границе раздела
полупроводник-диэлектрик. На этих же принципах построена работа широко известной и также
широко используемой в настоящее время - «флэш-памяти».
Несмотря на бурный процесс развития конструкций наноэлектронных
приборов, смену используемых материалов, внедрение новых технологий -
физические основы явлений происходящих в приповерхностном слое
полупроводника, разработанные в 50-х-60-х годах прошлого века, являются
необходимым инструментов каждого учёного и инженера, работающего в этой
области науки и техники.
2.10.7. Экранирование электрического поля в 2D-cucme.\iax
Как показано выше, толщина слоя полупроводника, в котором
существует заряд и электрическое поле, характеризуется длиной экранирования Ьэ.
При наличии носителей заряда только одного знака, например, электронов,
длина экранирования L3 может быть представлена в виде
L3=LDJ^f, (10.7.1)
здесь Lq - длина экранирования Дебая

LD=.
le0esk0T
q n
D - коэффициент диффузии; ц- подвижность электронов.
В случае произвольного легирования соотношение Эйнштейна
принимает вид
ц q \sn
здесъ(^-Ef -Eq -химический потенциал. Отсюда
Л a2 \dn
и
ЕпБ
0bs
(10.7.2)
(10.7.3)
Таким образом, длина экранирования определяется скоростью изменения
химического потенциала при изменении концентрации носителей заряда,
экранирующих электрическое поле.
Используя (10.7.2) и (9.2.1), для массивных кристаллов (3£)-системы)
получим
к0Т Ру2(У\)
3D Ч F_y2(r\)
(10.7.4)
здесь Fj(r\)- интеграл Ферми индекса j,
J n/ + nj
:Jdz
r(./ + l)0Jl + exp(e-r|)
m] = (EF-Ec)/k0T.
Аналогично из (4.7.3)
ens
0bs
k0T
V Я ^NcF_y2(T])'
здесь N^ - эффективная плотность состояний
Nc=2
(10.7.5)
2%m kQT
h
Для невырожденного электронного газа, когдаехр(е - г\)>> 1, из (10.7.4) и
(10.7.5)

knT
иЬэ =LD.
(10.7.6)
'3D 4
В случае сильного вырождения и низких температур, когда г)»1, из
(10.7.4) и (10.7.5)
2(EF-EC)
3 а
rD^
\V)
(10.7.7)
3D
^э =^л/гЛ0СЛ
-X
(10.7.8)
Для ID-систем, когда, например, тонкий слой узкозонного
полупроводника выращен между слоями широкозонного, соотношение Эйнштейна
принимает вид
£ln[l + exp(r|-s;j)]
п — (10.7.9)
fD^
kQT
IV-J
3D 4 Xln[l + exp(r|-£„)]"
-Г
здесье„ = ——,Е„ -энергия, соответствующая минимуму подзоны с номером п.
В отсутствие вырождения, когда(е„ -г])» 1, согласно (10.7.9)
vv-j
voJ
\VJ
3D
'2D Ч
Таким образом, в невырожденном случае, когда вероятность заполнения
электронных состояний описывается распределением Максвелла-Больцмана,
соотношения между коэффициентом диффузии и подвижностью в условиях
термодинамического равновесия для двух- и трехмерного газа электронов
совпадают.
При наличии вырождения и низких температурах, когда (е„ -г])»1 и
граница Ферми располагается между минимумами первой (Е]) и второй (Е2)
пленочных подзон
EF-EX
rD^
\V>J
(10.7.10)
2D
Таким образом, в вырожденном случае отношение ф/мОго будет расти с
увеличением концентрации носителей заряда (как и в случае 3/)-систем в
соответствии с ростом Ер (10.7.7)).

Используя (10.7.10) и (9.2.11), можно показать, что в случае заполнения
одной подзоны двумерная проводимость G будет связана с коэффициентом
диффузии соотношением
G =
2 *
__q m
D.
nh'
(10.7.11)
По мере увеличения концентрации и приближения уровня Ферми к
минимуму второй подзоны в (10.7.9) возрастает роль слагаемых с п> 1. В тот
момент, когда граница Ферми пересечет дно второй подзоны,
'/У
_EF-0,5(El+E2)
2D
т.е. произойдет уменьшение отношения (D/yi)2D, причем в пределе скачок
достигнет величины
(-
&>-&
2D
2q
(10.7.12)
которая для БПЯ зависит от толщины пленки W как W .
Сопоставляя (10.7.10) и (10.7.12), видим, что в момент пересечения
границей Ферми второй квантовой подзоны значение (Ц/ц)2£> при низких
температурах может уменьшиться в два раза.
Результаты численных расчетов отношения для (Д/ц^о слоя GaAs при
Ж=20 нм приведены на рис. 10.16. Видно, что «аномальное» поведение
(Ц/ц.)2/) в этом случае следует учитывать при температурах ниже 80 К и кон-
1 о о
центрации электронов порядка 10 см .
Используя (10.7.3), (10.7.9) и (9.2.11), выражение для оценки длины
экранирования в условиях одномерного ограничения (2£)-системы) можно
представить в виде
L(2D) _ EpSj
k0T
q2 JiVgD)I[l+exp(Ew-ri)]
-1
(10.7.13)
В отсутствие вырождения из (10.7.13) с учетом (9.2.3) получим

и
§80
Q|i
60
40
20
р -^
X 1
Л*?
1 1
Г =
^^*
1
= 300 К .^
/Т80>/<
1^4
1
20 40 60 80 100 ;,мэВ
100 ^мэВ
Рис. 10.16. Зависимость отношения (£>/|л)20 от положения
уровня Ферми £, в зоне проводимости GaAs
Рис. 10.17. Зависимость длины экранирования Li, ' от положения
уровня Ферми в зоне проводимости mieHKHGaAs
т.е. в отсутствие вырождения выражение для длины экранирования 1/э '
совпадает с соответствующим выражением для/,, ' массивных кристаллов.
При наличии вырождения и низких температур, когда уровень Ферми
находится между первой и второй пленочными подзонами и (г]-е„)»1, из
(10.7.13) получим
^-ь-Ш
nh2w
т
(10.7.14)
В предельном случае Т -> 0 и заполнении подзон из (10.7.13) с учетом
(10.7.14) имеем
42/))="Г=. (Ю.7.15)
здесь Ид _ номер высшей подзоны, дно которой пересек уровень Ферми.
На рис. 10.17 представлены результаты расчетов зависимости длины
экранирования D~ ' от заполнения зоны проводимости пленки GaAs при W = 20
нм. Видно, что ступенчатый характер зависимости плотности состояний от
энергии в КЯ обеспечивает неизменность длины экранирования L\ ' при
заполнении отдельной подзоны.
По мере заполнения вышележащих подзон длина экранирования
уменьшается. С понижением температуры эта зависимость приобретает
ступенчатый характер.

20 W, им
100
и
n
40
20
0
4 К/
/ -^U
■ 300 K^A" А'
■ БОК /^
i -/ i i
i 1—
Is
/
,
20 40 60 80 100 120 С мэВ
Рис. 10.18. Зависимость длины экранирования lS3 ' от толщины пленки GaAs
при различной концентрации электронов. Справа показаны значения
отношения Lj/Lqb объемном GaAs при LQ = 6 нм; е =12,5; W=20 нм
Рис. 10.19. Зависимость отношения (D/\x) lD от положения
уровня Ферми С, в зоне проводимости GaAs
Если концентрация электронов остается постоянной, то при изменении
толщины пленки W значение л0 будет скачком изменяться, что вызовет
осцилляции длины экранирования Д," (см- Рис- Ю-18).
В свою очередь, ступенчатое изменение длины экранирования может
вызвать резкие изменения других характеристик материала пленки. Например,
вариации толщины пленки W, концентрации или температуры могут
приводить к резким изменениям энергии связи экситона и экситоннои полосы
поглощения.
Квантование энергетического спектра влияет на экранирование
электрических полей и в легированных СР (n-i-p-i кристаллах). Особенности
экранирования в этом случае с учетом хвостов плотности состояний,
возникающих в результате флуктуации концентрации примесей описаны.
2.10.8. Особенности экранирования электрического
поля в квантовых проволоках
Рассмотрим поведение длины экранирования и отношения кинетических
параметров D/\i в структурах с ограничением движения по двум
направлениям (ID-системы). Согласно (10.7.2) и (10.7.3) выражение для (D/\jl)w nD0 'в
этом случае можно представить в виде
^
и1Ло
knT
ZZF-i/2(^-e«,«i)
п т
S2>-
-3/2Ol ~zn,m)
(10.8.1)

здесь N£D)
к0Т
(10.8.2)
- эффективная плотность состояний для
Ю-системы, W и й?толщина квантовой проволоки вдоль осей Y и Z
соответственно.
Согласно (10.8.1) и (10.8.2) в отсутствии вырождения, когда (еи -г\)» 1,
как и в случае ID-систем,
_к0Т
'D^
^
\V-J
\D
\V-J
3D
L^ =
s0esk0T
' q2n
= L
D-
В случае сильного вырождения и низких температур, когда
ко* п m
SS2^-6^
ш
? ХХ01-б«,™)
-1/2'
(10.8.3)
Если граница Ферми расположена между первой и второй подзоной, то из
(10.8.3) получим
'D\ =2(EF-En) (10g4)
Сопоставляя (10.7.7), (10.7.10) и (10.8.4), видим, что и в этом случае при
понижении размерности системы зависимость (D/\i) от Ер- качественно не
изменяется.
При увеличении Ер- (т.е. при возрастании концентрации электронов)
отношение (D/yC)\D будет расти. Когда уровень Ферми пересечет дно второй
подзоны, согласно (10.8.3)
^
UAd
= 2
\{EF -EU)(EF -En)
(10.8.5)

Сравнение (10.8.5) с (10.8.4) показывает, что в момент прохождения
уровнем Ферми дна второй подзоны произойдет уменьшение отношения {D/\x)w.
При этом предельный скачок (при Т -^ 0) (D/\i)w составит
= 2
(Еп-Еи)
(10.8.6)
w
если структура в сечении имеет размеры W Ф d.
Согласно (10.8.4) и (10.8.6) в предельном случае скачок составит 100 %,
т.е. отношение (£>/ц)ю скачком уменьшится до нуля, а затем будет снова
расти в соответствии с (10.8.5). При прохождении уровнем Ферми дна третьей
подзоны должно наблюдаться следующее скачкообразное уменьшение
(AV)lD Д° НУЛЯ-
В общем случае при наличии вырождения и низких температурах
согласно (10.8.1) с увеличением EF значение (D/\i)]D осциллирует. Эти изменения
(.D/u.)l£) связаны с характером зависимости средней энергии электронов от их
концентрации и в этом смысле аналогичны осцилляциям (Д/ц)в квантующих
магнитных полях.
Результаты численных расчетов отношения (D/ц)^ для квантовой
проволоки из GaAs npnW = d=20nM приведены на рис. 10.19. Видно, что
«аномальное» поведение (D/\±)\D и в этом случае следует учитывать при
температурах ниже 80 К и концентрации электронов порядка 10 см-3.
В случае сильного вырождения и низких температур выражение ддяЬ\} '
принимает вид
Z<lD> =
E0es
кпТ
*Jn
чг РГШ(ч-^г,/2
(10.8.7)
п m
9 №0 П
Рис.10.20. Зависимость изменения длины экранирования L\ '
от положения уровня Ферми для квантовой проволоки

Зависимость Is^ ' от приведенного уровня Ферми, рассчитанная с
использованием (10.8.7), изображена на рис. 10.20. В качестве нормирующих
коэффициентов при этом использовались
_ IsqEj к0Т^/п _ Ь" ( тС\ 1
М) -Л—^ГЛ ч лт и Б0 -
q2 \q2N^ ° 2m* {W) kQT
Сопоставляя результаты анализа поведения отношения /Э/ци длины
экранирования от положения уровня Ферми (а значит, и от концентрации
электронов) для тонкой пленки и квантовой проволоки, при наличии вырождения газа
электронов можно сделать вывод, что с понижением размерности системы
осцилляции Ц/ц и Ьэ становятся выраженными сильнее.
2.11. Квантовый эффект Холла
в двумерном электронном газе
В 70-х годах идея исследования свойств электронных, систем в структурах
с управляемым энергетическим спектром активно претворялась в жизнь в
многочисленных работах теоретиков и экспериментаторов. Управление
энергетическим спектром осуществлялось либо технологически, путем создания
специальной полупроводниковой структуры как, например, в сверхрешетках, либо
внешним воздействием - электрическим, магнитным полем или деформацией.
Особенно перспективным представлялись исследования двумерных
электронных систем, в которых внешним воздействием - сильным
магнитным полем - удавалось добиться радикальной перестройки энергетического
спектра. При этом появились интересные особенности в электрофизических
свойствах исследуемых структур. На это определенно указывали первые
теоретические работы. Экспериментальные исследования, проведенные фон
Клитцингом, Дордой и Пеппером подтвердили предсказания теоретиков и
обнаружили принципиально новые свойства двумерных электронных систем в
сильном магнитном поле.
Эти свойства оказались столь необычными, что в физику вошел термин
«квантовый эффект Холла». Сейчас этим термином обозначаются два явления.
1. Возникновение нескольких плато на зависимости холловской
проводимости аху от концентрации электронов двумерного электронного газа или
индукции магнитного поля при постоянной концентрации электронов. На этих
плато указанная компонента с большой точностью оказывается кратной
величине q~/h

a*y=iY' (11ЛЛ)
где q и Л- заряд электрона и постоянная Планка, /= 1,2,3...- целые числа.
Для тех же значений концентрации электронов или величин магнитных
полей, при которых наблюдается плато для компоненты проводимости аху,
другие компоненты тензора проводимости ст^. и сг^, обращаются в нуль или
проходят через глубокий минимум.
Эти, экспериментально обнаруженные явления получили название
целочисленного квантового эффекта Холла.
2. В 1982 г., спустя два года после выхода работы фон Клитцинга и др.,
Д.Цуи, Х.Штермер и А.Госсард опубликовали сообщение о наблюдении
дробного квантового эффекта Холла. В этом эффекте предыдущее
соотношение (11.1.1) сохраняет силу, но множитель / равен:
._1_ 2 4 5 2 3
'~3'3'3'3'5'5"^
причем знаменатель обязательно нечетный.
Механизмы этих двух вариантов квантового эффекта Холла различны. К
настоящему времени целочисленный эффект Холла нашел полное
объяснение, а теоретические и экспериментальные исследования подробному
эффекту привели к определенной модели. По этой причине в данной главе основное
внимание будет уделено целочисленному эффекту Холла и лишь в
заключение коснемся дробного эффекта.
Первые публикации дали толчок всестороннему исследованию эффекта и
сейчас число работ по квантовому эффекту Холла исчисляется сотнями,
обстоятельное рассмотрение которых было сделано Э.И. Рашбой и В.Б.
Тимофеевым. В настоящее время исследование свойств двумерных электронных
систем в квантующих магнитных полях представляют одно из важнейших
направлений физики полупроводников.
2.11.1. Эксперименты с двумерным электронным газом
Рассмотрение квантового эффекта Холла мы начнем с описания
эксперимента, приведенного в публикации, ставшей к настоящему времени классикой.
Двумерный электронный газ проще всего получать на границе
диэлектрик-полупроводник в полевом МДП транзисторе, либо на гетеропереходе
между двумя полупроводниками. Первые эксперименты были проведены на
МДП структурах, а затем Д. Цуи и А. Госсард показали перспективность
применения гетероструктур.

На рис. 11.1 изображены схемы МДП структур, применявшихся Клитцин-
гом и его сотрудниками. На монокристаллическом p-Si с ориентацией (100)
термически выращивалась двуокись кремния с толщиной 0,1 ■*■ 1,0 мкм. Роль
затвора играет алюминиевый электрод. Положительное относительно
подложки напряжение на затворе обеспечивает создание инверсионного слоя
и-типа у поверхности и управление концентрацией электронов в канале
вблизи границы диэлектрик-полупроводник.
Для измерений применялись два вида структур - прямоугольная и
кольцевая. Прямоугольная структура помимо стандартных электродов - стока,
истока и затвора - содержала еще две пары холловских электродов, которые
позволяли измерять не только холловскую разность потенциалов с поперечных
электродов, но и продольную проводимость с помощью потенциальных
зондов 1 и 2. Эти измерения позволяли определять компоненты тензора
сопротивления рху и puv. Кольцевая геометрия, показанная на рис. 11.16, давала
возможность найти компоненту тензора проводимости ст^..
Омические контакты к инверсионному слою образованы
сильнолегированными л+ областями. Поверхностный канал в рассматриваемых МДП
структурах изолируется от остальной подложки слоем обеднения, который
при температурах проведения эксперимента (несколько Кельвинов) имеет
столь высокое сопротивление, что ток от истока к стоку течет только по
инверсионному каналу, а не по подложке.
Плоские границы инверсионного слоя образуют стенки узкой
потенциальной ямы, исключающие движение по нормали к границам (вдоль оси £) и
позволяющие электронам свободно двигаться в плоскости ху (рис. 11.2).
ЗА
\а 2а
SiO
"1—Г
\б 26
®
Кремниевая
подложка
-.
6 4
1 2
f^NJlfl,
7-R
4 4
Рис.11.1. Вид сверху (а, 6) и поперечное сечение типичных МДП-структур (в),
используемых в экспериментах. Слева - длинный образец, справа - кольцевой
образец. 1 - исток, 2 - затвор, 3 - сток, 4 — инверсионный и-слой
(двумерный электронный газ), 5 - подложка р -Si, 6- и+-контакт
Рис. 11.2. Зонная диаграмма МДП-структуры

Условия эксперимента обеспечивали столь узкие по z размеры
потенциальной ямы, чтобы дискретность энергетического спектра по z значительно
превосходила среднюю кинетическую энергию электронов. Таким образом,
гарантируется принадлежность всех электронов инверсионного слоя одному
и тому же значению энергии волновой функции по z.
Важным достоинством МДП структур является возможность простым
образом управлять плотностью подвижных носителей инверсионного слоя
путем изменения напряжения на затворе. Плотность заряда электронов -Qmn
и величина напряжения на затворе связаны соотношением
гдеС0К - удельная емкость подзатворного диэлектрика; V0 - пороговое
напряжение; V„ — напряжение на затворе.
По порядку величины поверхностная концентрация электронов в инвер-
12 —2
сионном слое составляет ~ 10 см
Двумерный электронный газ можно создать и на границе между двумя
полупроводниками в гетероструктурах, например, GaAs- AlxGa|_xAs
(рис.11.3). В таких структурах концентрация носителей тока определяется не
напряжением на затворе, а уровнем легирования слоя AlxGa]_x As.
В экспериментах определялись отношение холловского напряжения V^ к
току между истоком и стоком (т.е. холловское сопротивление RH)
Rff =Vjj/1х и сопротивление между потенциальными зондами Rx =VX/IX,
где Vx - напряжение между потенциальными зондами.
20 J/,,B 30
Рис.11.3. Зонная диаграмма гетероструктуры GaAs-AlGaAs.
В GaAs р-типа концентрация легирующей примеси меньше, чем
в AlGaAs и-типа. Пунктирная линия - уровень Ферми, зачерненная
область содержит двумерный электронный газ
Рис.11.4. Зависимость холловского сопротивления Яи(=Рху)
и сопротивления Rx(= p^) от напряжения на затворе.
Измерения производились при В=18,9 Тл, и 7=1,5 К

Найденные экспериментально величины RH и Rx практически равны
компонентам тензора сопротивления рху и рдч. (см. ниже), поскольку
геометрические поправки, связанные с шунтирующим действием токовых и
потенциальных электродов, в эксперименте были пренебрежимо малы.
Полученные эксперментальные зависимости холловского сопротивления
Rfj и сопротивления Rx от напряжения на затворе и, следовательно,
плотности электронов электронного газа показаны на рис. 11.4.
Обнаружено, что зависимость холловского сопротивления Rjj =f(Vq)
носит ступенчатый характер, причем его значение на плато не зависит ни от
свойств вещества, ни от величины тока или температуры, а определяется
только мировыми постоянными - зарядом электрона и постоянной Планка.
Сопротивление Лх и продольная компонента тензора сопротивления р^.
имеют осциллирующий характер. Как раз при тех значениях напряжений на
затворе, когда наблюдается плато на зависимости Rf.j = f(Vg), сопротивление
Rx имеет глубокий минимум. Эксперименты показывают, что уменьшение
сопротивления Rx может достигать 10 раз!
Полученные удивительные экспериментальные результаты показывают,
что свойства двумерного электронного газа радикально отличаются от
поведения электронов в трехмерном случае в сильном магнитном поле.
2.11.2. Энергетический спектр электронов
в постоянном однородном магнитном поле
Для понимания свойств двумерного электронного газа в сильном
магнитном поле рассмотрим вначале влияние этого поля на энергетический спектр
электронного газа, в котором электроны могут двигаться в трех измерениях.
Пусть магнитное поле характеризуется магнитной индукцией 5,
направленной вдоль оси z и для простоты рассмотрения будем считать, что электроны
обладают изотропной эффективной массой т .
Магнитное поле воздействует как на орбитальное движение электронов,
так и на ориентацию их спинов через соответствующие магнитные моменты.
Гамильтониан для электронов в магнитном поле имеет вид
2т
где/5 =-/йУ- оператор импульса; А- вектор потенциал магнитного поля; q-
величина заряда электрона.
Второе слагаемое в гамильтониане описывает взаимодействие спинового
магнитного момента с магнитным полем и (1Б = qhjlm - магнетон Бора; g -
гиромагнитное отношение для электрона; а- оператор спина электрона.

Для целочисленного квантового эффекта Холла роль спина
несущественна, поэтому далее будем рассматривать упрощенный гамильтониан
2т
(11.2.1)
Следуя Ландау, вектор-потенциал выберем в форме Ах = 0, Ау =Вх,
А2 = 0. Поскольку В = rotA, то такой выбор вектор-потенциала обеспечивает
наличие только одной отличной от нуля компоненты магнитного поля,5т Ф 0.
Квадрат суммы в гамильтониане следует раскрывать учитывая
перестановочные соотношения, которым удовлетворяет оператор импульса
(перестановочные соотношения Гейзенберга 1 -го рода)
дА:
AjPj - PjAj = ih —A j = x,y,z. (11.2.2)
J OX:
Кроме того, будем предполагать, что вектор-потенциал удовлетворяет
условию калибровки
divZ = 0. (11.2.3)
С учетом (11.2.2) и (11.2.3) гамильтониан (11.2.1) можно привести к форме
А—^у>+Л
2т
т
В-у
-ih—
ду)
+
д2В2х2
2т
Выражение (11.2.4) можно переписать в эквивалентной форме
Н =
2т
дх1
■ +
д iqBx
— + ——
ду Н
\2
+ ■
dz'
(11.2.4)
(11.2.5)
Соответствующее гамильтониану (11.2.5) уравнение Шредингера
принимает вид
Г а2
дх1
+
( д iqBx^2
— +
ду h
+ ■
д2 2т Е
■ + ■
J
dz'
4*(xyz)=0. (11.2.6)
Компоненты вектор-потенциала не зависят от у и z, поэтому решение
уравнения (11.2.6) можно искать в форме
4>(xyz) = eKk>y+k=%(x).
(11.2.7)
Подставляя это решение в уравнение (11.6), получаем уравнение на
волновую функцию ф(х)

T^1 + г(й^ + ?#*) Ф =
2m <& 2m
*-^P
Удобно ввести обозначения
2т
Пк
ф. (11.2.8)
J
У
П2к2
Е'=Е f,x = x' + x0, гдех0
2т Bq
С учетом этого уравнения (11.2.7) принимает вид
Ь2 d\ q2B2 ,o
+ -——х ф = £ф.
* 2
2я? ш: 2я?
(11.2.9)
Уравнение (11.2.8) совпадает с квантовым уравнением для
гармонического осциллятора, колеблющегося с частотой
Bq
т
Его решения хорошо известны - энергия Е' квантована по закону
£' = Йшс[л--1 (11.2.10)
где п= 1,2,3....
Собственные функции, удовлетворяющие уравнению (5.2.9), имеют вид
фО) = л/уехр'
(*-*ь)'
2У2
Я.
'*-^
(11.2.11)
где у = yjh/Bq - величина, имеющая размерность длины и называемая поэтому
магнитной длиной; Нп
X— Xq
- полином Эрмита порядка «и».
v у J
Энергия электрона в магнитном поле оказывается состоящей из двух,
частей:
Е =
П2к2
im
г
+ ЙС0,
п —
. 2у
(11.2.12)
Первое слагаемое описывает энергию электрона, движущегося вдоль оси
z, по которой направлено магнитное поле. Магнитное поле не оказывает
влияния на эту составляющую энергии.

Движение в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю,
оказывается квантованным и эта составляющая описывается вторым слагаемым в
(11.2.12). При фиксированном значении kz энергетический спектр электрона
представляет ряд эквидистантных, уровней, разделенных промежутками Йсос.
Эти уровни именуются уровнями Ландау.
В целом энергетический спектр распадается на ряд подзон (рис. 11.5).
Учет квантования поднимет энергию дна наинизшей зоны на величину
0,5Йсос. Энергетический спектр в магнитном поле оказывается сильно
перестроенным. Магнитное поле, однако, не может изменить число степеней
свободы электронов в зоне проводимости, в результате каждый уровень Ландау
должен быть сильно вырожден. Для определения кратности вырождения
удобно взять образец в виде куба со стороной L, поскольку при этом расчеты
идут наиболее простым образом. Вообще же форма образца роли не играет,
поскольку размеры стороны куба много больше размеров постоянной
решетки.
У N(E)
а
А
Ё
Ъ)Щ
2hb\
hu>c
Плотность состояний Плотность состояния
Два измерения в идеальном кристалле с у,1етом беспорядка
Рис.11.5. Схема энергетических зон и соответствующая плотность состояний
для трехмерного (а) и двумерного (б) электронного газа
Три измерения
Плотность состояния
Е
& 3/ш,
5
К
| 2tat
/ко.
-
-
N(E)
Зйи>с -
2ftco,

ky = — ny, к- =—nz, (11.2.13)
По направлениям у и z волновую функцию подчиним условиям
периодичности
4(xyz) = W(x, y + L, z), 4>(xyz) = 4>(x, y, z + L).
Учитывая явный вид волновой функции электрона в магнитном поле
(11.2.7); (11.2.11) из приведенных соотношений вытекает условие
квантования проекций волнового вектора ку и kz
2л , 2%
— nv, к- =—
L y L
где пу и nz - квантовые числа, принимающие значение 0,± 1,± 2....
По измерению х волновая функция (11.2.7) локализована вблизи
координаты xQ и имеет характеристические размеры порядка магнитной длины у.
Поэтому можно ограничить значение xq естественным условием
-|<х0<|. (11.2.14)
Отметим, что возможность изменения xq в соответствии с выражением
(11.2.14) определяется изменением компоненты ку волнового вектора.
Учитывая (11.2.11) и (11.2.13), из (П.2.14) получаем
L2 Bq L2 Bq
4<nv< J
2nh 2 y 2nh 2 '
В результате при фиксированных Е и nz квантовое число пу может
принимать
Cl = — qB (11.2.15)
2nh
различных значений. Это и есть кратность вырождения уровня Ландау.
Найдем теперь число состояний на единичный интервал энергий для
электрона, движущегося в магнитном поле с индукцией В. Как показано выше
(11.2.12), энергия такого электрона представляется выражением
(11.2.16)
где Ес — энергия дна зоны проводимости, если пренебречь взаимодействием
внешнего магнитного поля со спиновым магнитным моментом электрона.
Как следует из статистической физики, общее число электронов N в
объеме V дается выражением

П =Y*f№j>T)Clj,
(11.2.17)
где f0(Ej,T)- среднее число электронов в состоянии с энергией Ej при
температуре Г; Q; - кратность вырождения j-ro состояния и суммирование
распространяется на весь спектр энергии Е.-.
В рассматриваемом случае состояние jзадается номером уровня Ландау п
и проекцией волнового вектора на ось z-kz = 2ii/Lnz, где nz =0, ±1, ±2...
Кратность вырождения дается формулой (11.2.15). Для электронов с одной
ориентацией спина получаем из (11.2.17)
п к.
£„ +
v
Ь2к2х
2т
+ йш,
п —
2J
,Т
(11.2.18)
Расстояние между соседними значениями kz составляет Mz = 2n/L и при
обычных макроскопических размерах кристалла настолько мало, что
позволяет перейти в (11.2.18) от суммирования по kz (или nz) к интегрированию
00
Y,fo(En,kz,T)=2^ \f0(En,kz,T)dk2. (11.2.19)
На последнем этапе преобразований учтено, что энергия является четной
функцией от волнового вектора kz. С учетом промежуточного выражения
(11.2.19) для общего числа электронов в кристалле получаем
с»
N =I?-^--2\dkXMEn,kz,T). (11.2.20)
(2л)2 Й 0J „
Множитель, стоящий за объемом кристалла V -L , есть концентрация
электронов п в единице объема. В интеграле (11.2.20) вместо переменной к2
введем энергию. Пользуясь выражением для энергетического спектра
(11.2.16), получаем
flml 1
dk2 =
h 2jE-Ec-h(uc(,n-0,5)
dE.
В результате для концентрации электронов с одной ориентацией спина
имеем
дВ
(2яГЫ
2
JZ
1
h т]Е~Ес-П(йс(п-0,5)
МЕ,Т) =

S \N(E)f0(E)dE,
Лео,.
где
Ы{К) = дЩ^ . Х (11.2.21)
(2л)2 „ jE-Ec-hac(n-0,5)
Это и есть плотность состояний электронов в магнитном поле.
Из выражения (11.2.21) следует, что плотность состояний есть
осциллирующая функция магнитного поля. Она имеет острые максимумы для тех
значений энергии, где разность Е -Ес равна энергии одного из уровней Ландау
Е~ЕС = ha с(п-0,5). (11.2.22)
На рис.11.5а представлена соответствующая зависимость плотности
состояний.
Осцилляция плотности состояний проявляется в том, что в металлах и
вырожденных полупроводниках многие физические величины, выражающиеся
через плотность состояний при выполнении условия (11.2.22), осциллируют
при изменении магнитного поля. Например, в металлах основную роль в
процессах проводимости играют электроны вблизи поверхности Ферми.
Осцилляция проводимости возникает при каждом прохождении очередного уровня
Ландау мимо уровня Ферми.
Превращение трехмерного электронного газа в двумерный ведет к
дальнейшему изменению плотности состояний.
Рассмотрим поэтому этот вопрос подробнее.
Если движение электронов вдоль направления магнитного поля
исключено, то их энергетический спектр определяется только уровнями Ландау и,
следовательно, может управляться экспериментатором
Е = Ес+П(йс(п-0,5). (11.2.23)
Соответствующая плотность состояний (рис.11.56) должна бы
представляться набором дельта-функций с максимумами, локализованных на уровнях
Ландау и отделенных промежутками Шс. Однако такая ситуация имеет место
только в идеальном кристалле, в котором отсутствуют процессы рассеяния.
В реальных кристаллах из-за действия рассеяния электрон может
находиться на каждом уровне лишь время т, соответствующее времени свободного
пробега. Как следует из квантово-механического принципа неопределенно-

сти «время-энергия», это приводит к тому, что каждый уровень приобретает
ширину АЕ ~ Й/т. В результате плотность состояний приобретает вид острых
максимумов конечной ширины (рис.11.56, правая часть). Для наблюдения
влияния квантования двумерного электронного газа чрезвычайно важно,
чтобы ширина уровней была много меньше расстояния между уровнями Ландау
h ь.
— « П(йс.
X
Двумерный электронный газ, в котором выполняются эти условия,
начинает вести себя как полупроводник с шириной запрещенной зоны Йшс.
Радикальная перестройка спектра двумерного электронного газа
приводит к упрощению формулы (11.2.18), связывающей общую концентрацию
электронов и спектр энергетических уровней. Поскольку движение по оси z
подавлено, формула (11.2.18) принимает вид
2
N=^Zfo(E,EF,T). (11.2.24)
При температурах порядка нескольких градусов Кельвина функция
распределения Ферми /$(Е,Ер,Т) имеет вид, близкий к единичной ступеньке.
Поэтому, если уровень Ферми лежит выше уровня Ландау с номером п, то
формула (11.2.24) принимает особенно простой вид
N=^-n. (11.2.25)
2nh
Множитель, стоящий перед п, представляет вырождение уровня Ландау,
одинаковое для всех уровней. Кроме того, стоит вспомнить, что полученная
формула Q= относится к электронам с одной ориентацией спина.
2.11.3. Проводимость двумерного электронного газа
Если к сильному магнитному полю добавить слабое электрическое поле,
направленное в плоскости образца, движение электронов по циклотронным
орбитам не нарушится, однако центры орбит, определяемые величиной xq,
начнут дрейфовать в направлении, перпендикулярном к магнитному и
электрическому полю. Этот дрейф приводит к возникновению холловской ЭДС и к
появлению недиагональных компонент в тензоре проводимости.
Тензор проводимости двумерного электронного газа в магнитном поле в
общем виде имеет форму
сг„п =
»а(3
a2i ст22
(11.3.1)

Причем о"]2 =-<У21-
Тензор удельного сопротивления является обратным по отношению к
проводимости, и компоненты обоих, тензоров связаны соотношениями
2
ZpapCTpY =5ap,a,p,y = l,2, (11.3.2)
(3=1
где 5an - символ Кронекера.
Решение системы (11.3.2) приводит к соотношениям
Pll _ Р21 пп^
ап=^ 2~'CTl2__7^ Г7' (П.з.з)
Р11+Р12 (Pll+РГг)
гдерп = Р22 ир12=-р12.
Двумерный электронный газ в сильном магнитном поле начинает вести
себя как полупроводник с шириной запрещенной зоны, равной расстоянию
между соседними уровнями Ландау Eg =Йсос. Если уровень Ферми лежит
между двумя соседними уровнями Ландау и температура такова, что
Т «(Йсос /к), то такой полупроводник будет вести себя как изолятор и
диагональные компоненты тензора проводимости будут стремиться к нулю,
o"i J —> 0, Ст22 —> 0. Существенно, что при этом недиагональные компоненты
ст12> °21 не Равны нулю. В результате тензор проводимости двумерного газа
принимает форму
]2 . (11.3.4)
,ст21 0 J
Из соотношений (11.3.3) следует, что тензор удельного сопротивления
будет иметь аналогичную (11.3.4) структуру
( 0 l/c2^
\/аХ2 0
Реальные эксперименты проводятся при температурах несколько
градусов Кельвина и магнитных полях порядка 10 Тл, так что вероятность заброса с
«и»-го на «и + 1» уровень Ландау полностью исключить нельзя. Это приводит
к тому, что проводимости o"i 1 и ст22 будут хотя и малыми, но все таки
отличными от нуля величинами. Поэтому в статьях, где описываются
экспериментальные результаты по квантовому эффекту Холла говорится об уменьшении про-
(\ 7
водимости в 10 ■¥ 10 раз по сравнению с исходной, при В = 0, но не об
обращении в нуль компонент o"i [ и о^-
Общий характер изменения диагональных компонент тензора
проводимости и удельного сопротивления связан со степенью заполнения уровней
aap -
Pap
J

Ландау, которую можно связать с числом квантов магнитного потока,
захваченных двумерным электронным газом.
Для этого учтем, что величина 2у , где у - магнитная длина, входящая в
экспоненциальную часть волновой функции (11.2.11), определяет размеры
волновой функции электрона на нижнем уровне Ландау. Тогда магнитный
поток, пронизывающий эту орбиталь, будет равен
<&Q=2ny2B = h/q. (11.3.5)
ПотокФ0 имеет смысл минимального магнитного потока, который может
быть «захвачен» электроном на уровне Ландау. Существенно, что величина
этого кванта определяется только мировыми постоянными.
Кратность вырождения одинакова для всех уровней и определяется
формулой (11.2.25). Это означает, что электроны, находящиеся на полностью
заполненном уровне Ландау, могут «захватить» количество квантов магнитного
потока Ыф, равное
BL2 Ф
[h/q] Ф0
В экспериментах можно изменять либо число электронов у поверхности
N либо магнитное поле и, следовательно, влиять на Л^ф. Отношение
\'=///Л^ф представляет степень заполнения уровней Ландау электронами.
Степень заполнения достигает максимального значения v=w при
прохождении уровня Ферми через и-й уровень Ландау.
В те моменты, когда степень заполнения уровня Ландау достигает
максимального значения, диагональные компоненты удельного сопротивления рхх
и р.,у стремятся к нулю при Т -> О К. Этот факт был подтвержден прямыми
экспериментами Клитцинга, Дорды и Пеппера. Их эксперименты, однако,
показали интересные особенности в поведении недиагональных компонент
тензоров сопротивления и проводимости.
Когда двухмерный электронный газ находится в сильном магнитном
поле, напряженность поперечного холловского поля Eyj выражается
обычным образом через поверхностную плотность тока /(А/м) и поверхностную
концентрацию ns(см- )
£Я=—■ (И -3.7)
Из (11.3.7) следует, что недиагональная компонента тензора удельного
сопротивления

РХУ=^ = — • (П-3.8)
Jx 1ns
Эта стандартная форма Холловского сопротивления принимает
замечательный вид, когда п-тл уровень Ландау полностью заполнен и, следовательно,
v = n. В этот момент поверхностная концентрация электронов
N дВп
~£~' 2ith
Подставляя (11.3.9) в (11.3.8), pxv становится равной
«,=^=^- (11-3-9)
2жЫ h I nn,m
РхУ=—— =-у-, и = U,.... (11.3.10)
q n q n
Отношение h/q определяется только мировыми постоянными и
известно с высокой степенью точности
h/q2 =25812,8 Ом.
В ходе своих экспериментов Клитцинг, Дорда и Пеппер не только
определили величину рху, но и обнаружили горизонтальные плато на зависимости
рху =f(ns). На этих плато, расположение которых соответствует областям,
где компоненты тензора удельного сопротивления рд.д. и руу обращаются в
нуль (достигают минимального значения), компонента рху остается
постоянной и равной (11.3.10) даже при некотором изменении концентрации
электронов в двумерном электронном газе. Экспериментально установлено, что чем
ниже температура, тем больше ширина плато.
Если рассматривать 2D электроны как идеальный газ, то квантование
значений рху согласно (11.3.10) и обращение в нуль компоненты рхх будут
достигаться только в отдельных точках по концентрации или магнитному полю,
когда выполняется условие (11.3.9).
Поразительная особенность экспериментов фон Клитцинга, Дорды и
Пеппера заключалается в обнаружении горизонтальных участков
холловского сопротивления («холловские плато») на концентрационной рху =f(tis) или
полевой р™ =f(B) зависимостях компонент рху. Значения поперечной
компоненты рху, описываемые формулой (11.3.10), поддерживаются
постоянными с относительной точностью около 1 • 10" . Осцилляции продольного
сопротивления р^ являются ожидаемым эффектом, происхождение которого
имеет те же первопричины, что и эффект Шубникова-де-Гааза. Теория,
описывающая целочисленный эффект Холла должна, как минимум, ответить на
два вопроса:

1. Почему холловское сопротивление имеет плато в некотором интервале
изменения ns или В1
2. Почему на плато рху квантуется в единицах h/g2 со столь высокой
точностью?
Холловские плато в целочисленном эффекте Холла
Для объяснения происхождения плато необходимо учесть, что реальные
полупроводниковые кристаллы содержат разнообразные несовершенства
кристаллической решетки, которые можно объединить общим понятием
беспорядка. Простейшими примерами могут служить шероховатость
поверхности полупроводника или неоднородность толщины подзатворного
диэлектрика в МДП транзисторе. Практически всегда можно считать, что потенциал,
вызванный несовершенством решетки, V^, изменяется достаточно медленно
в пространстве, т.е.:
l*rffclY<<fcoc,
где у - магнитная длина (у я 50 -г-100А).
В этом случае движение свободных электронов можно рассматривать не
как рассеяние, а как перемещение в плавном потенциале. Перемещение
состоит из двух частей: быстрого движения по циклотронной орбите с частотой шс
и медленного дрейфа центров орбит вдоль эквипотенциальных линий,
определяемых внешним электрическим полем и потенциалом беспорядка)^.
Направление дрейфа определяется силой Лоренца [W^isB\ а энергия
электронов определяется круговым движением и потенциальной энергией, связанной
с беспорядком.
В идеальном кристалле плотность состояний двумерного электронного
газа представляет собой совокупность вырожденных 5-функционных пиков
(рис.11.56). Случайный потенциал беспорядка снимает вырождение и
приводит к Гауссовому закону распределения плотности состояний,
пропорциональной ~ ехр(£ -EN /Г) , где EN - энергия уровня Ландау; Г - параметр,
характеризующий ширину пика (рис. 11.56, правый).
Существенно, что поведение электронов в пределах энергетической
зоны, образованной из вырожденного уровня Ландау весьма различно.
Электроны вблизи пика плотности состояний являются подвижными (делокализо-
ванными) и участвуют в переносе тока точно также, как и электроны в зоне
проводимости трехмерного полупроводника.
Электроны, находящиеся вблизи хвостов пиков плотности состояний
неподвижны (локализованы) и вклада в проводимость не дают. Граница в
энергетической зоне между локализованными и делокализованными состояниями
носит название «край подвижности», а расстояние между краями подвижное-

ти соседних зон — «щель подвижности». На рис.11.56 границы подвижности
условно выделены штриховой линией.
Уровень Ферми в реальном кристалле может находиться где угодно
между двумя зонами Ландау. При температуре Т —> О все состояния с энергиями
Е <EF заняты и пусты, если Е >EF. Поэтому вблизи минимума
потенциальной энергии V(xy) все эквипотенциальные контуры (состояния) с энергией
Е <Ер- будут заняты, образуя квантовую холловскую каплю.
Изменяя поверхностную концентрацию электронов, как в экспериментах
фон Клитцинга, или величину магнитного поля, можно управлять положением
уровня Ферми относительно максимумов плотности состояний зон Ландау.
На рис. 11.6 схематически представлены контуры холловских капель и их
эволюция, позволяющая понять происхождение холловских плато, а на
рис. 11.7 показано изменение продольной и поперечной компоненты о"хх.ал;),
при возрастании энергии Ферми в 2D системе и связанной с ней
концентрацией электронов. Там же для ясности приведено распределение плотности
состояний и указаны границы щелей подвижности, связанных с разными
уровнями Ландау.
Если магнитное поле велико (или мала концентрация электронов)
размеры капель малы и все электроны сосредоточены в областях, где потенциал
беспорядка минимален. Орбиты краевых электронов не перекрываются и все
электроны локализованы, так что axv =oxy = 0.
Уменьшение величины магнитного поля (или возрастание концентрации
электронов) приводит к расширению размеров капель и перекрытию орбит,
соответствующих соседним каплям. Возможна ситуация, когда траектории
движения центров циклотронных орбит электронов становятся инфинитными
и электроны получают возможность перетекать от одного электрода к
другому. В этом случае уровень Ферми попадает в область делокализованных
состояний и продольная компонента электропроводности становится отличной
от нуля, так же как поперечная. Дальнейшее перемещение уровня Ферми по
делокализованным состоянием приводит вначале к росту axv, так как число
носителей в этих состояниях возрастает. Когда же уровень Ферми попадает
вновь в область локализованных состояний (в щель подвижности)
электропроводность обращается в нуль.
В это же время холловское сопротивление монотонно растет, достигая
значения Rj.j =h/q~. Дальнейшее продвижение уровня Ферми по щели
подвижности оставляет концентрацию делокализованных электронов
постоянной, что приводит к сохранению значения Rj.j и формированию плато. При
прохождении следующей области делокализованных состояний,
относящихся к соседней зоне Ландау, вновь происходит изменение Rjj в соответствии с
(11.3.10). Ширина области делокализованных состояний порядкакТ, поэтому

Рис. 11.6. Формирование проводящего канала, шунтирующего
сопротивление Rx на холловском плато
Рис. 11.7. Плотность состояний спектра (я) и осцилляции компонент проводимости
(б) в сильном магнитном поле. Локализованные состояния заштрихованы
Рис. 11.8. Схема мысленного опыта Лафлина.
/ — азимутальный ток электронов, Ufj — холловское напряжение,
В — нормальное к поверхности постоянное магнитное поле
переходные области между соседними плато оказываются тем больше, чем
выше температура, а размеры плато — соответственно меньше.
Таким образом, существование беспорядка приводит к появлению плато.
Экспериментально установлено, что ширина переходных областей
уменьшается с увеличением подвижности электронов в образцах и, соответственно, с
уменьшением степени беспорядка.
РЛафлину принадлежит общее доказательство закона квантования хол-
ловского сопротивления, который позволяет обосновать высокую точность
последнего, наблюдаемую в экспериментах. Доказательство не связано с
конкретизацией гамильтониана и использованием того или иного расчетного метода.
Рассмотрим мысленный опыт по определению холловского
сопротивления в геометрии, представленной на рис. 11.8, где лента двумерного электрон-

ного газа свернута в цилиндр. По ленте течет ток/ и внешнее магнитное поле
В направлено по нормали к поверхности, через ось цилиндра проходит
бесконечно длинный соленоид. В рассматриваемой геометрии образца и поля на
торцах цилиндра возникает холловская разность потенциалов U'н.
Если Ф - поток, создаваемый соленоидом, то азимутальная компонента
вектор-потенциала от соленоида на поверхности цилиндра будет равна:
А -*-
ф 2пК
(11.3.11)
где R - радиус цилиндра.
Изменение магнитного потока 5Ф через цилиндрическую ленту (контур
тока) по которому течет ток /, приводит к изменению свободной энергии 8F
двумерного электронного газа:
5Ф
(11.3.12)
Это общее соотношение позволяет получить закон квантования холлов-
ского сопротивления.
Гамильтониан системы заряженных частиц в электромагнитном поле
обладает свойствами калибровочной инвариантности, что связано с
неоднозначностью определения вектор-потенциала А (с точностью до градиента
произвольной скалярной функции). Поэтому, если магнитный поток через
соленоид изменить на целое число квантов к, 5Ф = кФ0, то калибровочным
преобразованием:
1 дАи)
(11.3.13)
АЛ - АЛ
R дц>
иг
i кф0 /
гдеЛу =——ф7;у
2л
номер частицы вектор-потенциал на поверхности ленты
можно оставить неизменным.
Если основное состояние не вырождено по квантовым числам, то
начальное 5Ф= 0 и конечное состояние (5Ф = кФ0) многочастичного гамильтониана
должны быть идентичны. Между тем, при преобразовании (11.3.13) волновая
функция умножается на фазовый множитель:
ехр
J
Пехр
Фг
(11.3.14)

Этот фазовый множитель можно устранить, совершив трансляцию
системы электронов вдоль оси цилиндра на расстояние а.
Фп
а = —9- (11.3.15)
2nRB
поскольку трансляция в магнитном поле также сопровождается изменением
фазы волновой функции. Нарушения состояний электронов в двумерном газе
не происходит, так как последний обладает свойством трансляционной
инвариантности (в среднем, при наличии беспорядка). Физически преобразование
(11.3.15) означает, что при изменении магнитного потока на Ф0целое число
электронов N перейдет с одного торца цилиндра на другой. Локализованные
состояния в процессе переноса заряда при этом не участвуют.
При отсутствии диссипации энергии изменение свободной энергии
составляет 5F= Nq Uj-j. Учитывая (11.3.12), находим соотношение между током
и холловским напряжением:
ДФ h N д2 ^ '
Множитель N выступает как число заполненных зон Ландау. Таким
образом, калибровочная инвариантность, наличие локализованных состояний,
невырожденность основного состояния сводят задачу квантования холловского
сопротивления к квантованию заряда электрона и магнитного потока.
Высокая точность квантовая холловского сопротивления и
воспроизводимость экспериментальных результатов привели к идее создания
международного эталона сопротивления, равного
RH ^ Ar = 25812,808 (Ом).
Ч
Эта идея находится в общем русле развития метрологии, когда для
эталонов стремятся использовать только мировые физические константы.
Комбинация h/q" входит также в постоянную структуры Зоммерфельда:
h 1
д2с 137'
где с - скорость света.

Эта безразмерная постоянная играет исключительную роль в квантовой
электродинамике. Повышение точности определения а неизбежно влияет на
значения комптоновской длины, постоянной Фарадея, а также все расчетные
значения энергетических, уровней в атомах. Таким образом, квантовый
эффект Холла позволяет уточнить большое число фундаментальных параметров
и проверить предсказания важнейших физических теорий.
2.11.4. Дробный квантовый эффект Холла
Два года спустя после публикации статьи Клитцинга, Дорды и Пеппера
по целочисленному эффекту Холла, появилось первое сообщение Д. Цуи, X.
Штермера, А. Госсарда о наблюдении дробного квантового эффекта,
приводящего к появлению плато на холловской проводимости при некоторых
значениях, являющихся простыми дробями величины q" Ih. При этом
диагональные компоненты сопротивления стремятся к нулю как и в случае
целочисленного эффекта.
По общим оценкам, явление дробного квантового эффекта
представляется еще более интересным, чем целочисленный эффект. Теоретический анализ
дробного эффекта привел к новому пониманию свойств двумерных
электронных систем.
В данной части главы мы вначале рассмотрим экспериментальные
результаты, полученные Д. Цуи с сотрудниками, а затем теоретические подходы к
объяснению явления.
Эксперименты по дробному квантовому эффекту Холла
Образцы для измерений были получены методом молекулярно-лучевой
эпитаксии и состояли из монокристаллических слоев нелегированного GaAs
о
толщиной 1 мкм, нелегированного A^GagyAs толщиной 500А, слоя
Al03Ga07As, легированного кремнием толщиной 600А и легированного
кремнием GaAs толщиной 200А. Вся эта многослойная система была
выращена на подложке из изолирующего GaAs. На гетерогранице GaAs -AlGaAs со
стороны GaAs возникал газ двумерных электронов, созданных за счет
ионизации доноров в AlGaAs. Образцы вырезались в виде стандартных холловских
структур (рис. 11.9, левая верхняя часть). В исследованных образцах поверх-
1 ] —2
ностная концентрация электронов изменялась в пределах 1,1 + 1,4-10 см , а
подвижность в пределах (8-ь 10)- 10 см~В с . Магнитное поле в
экспериментах изменялось от 0 до 25 Тл. На рис. 11.9 представлены зависимость хол-
ловского сопротивления рху и продольного сопротивления р^. от величины
магнитного поля при четырех температурах от 0,48 до 4,15 К. На верхней
шкале рисунка приведена степень заполнения уровня Ландау, равная отношению

Рис. 11.9. Зависимости pA.v и рху от В в образце GaAs—Al0 3GaQ 7As
cN =1,23-10псм"2 иц=9-104см2В~,с"1 при/=1м'км.
Фактор заполнения уровней Ландау v = Nh/eB
Рис. 11.10. Схематическое представление электронного 2D газа в магнитном поле:
а — вихри магнитного поля (белые кружки) в 2D электронном газе (темный фон).
Стрелки представляют собой кванты магнитного потока Ф0 внешнего магнитного
поля В; б — взаимодействие вихрей магнитного поля и электронов (случай полного
заполнения уровня Ландау, v=l, соответствующий целочисленному эффекту Холла
концентрации электронов п к числу возможных на уровне v=n/N. При v= 1
наблюдается холловское плато на зависимости рху = f(B) и нули на
продольном сопротивлении р^., как это и должно следовать из теории
целочисленного эффекта Холла.
При температурах выше 4,2 К зависимость рху =/(#) практически
линейна и эффекты квантования не заметны. С понижением температуры становится
все более отчетливо заметно плато на зависимости р^ от магнитного поля при
степени заполнения уровня Ландау v= 1/3. Одновременно становится все более
отчетливым глубокий минимум на продольном сопротивлении pxv.

Обнаруженное значение квантового сопротивления рЛ.у в
последующих экспериментах было убедительно подтверждено для степеней
заполнения:
_2 2 3 2
V_3'5,5'7"
Полученные данные показывали, что обнаружено новое состояние
двумерного электронного газа, которое не реализовалось для целочисленного
квантового эффекта Холла.
Теоретические аспекты дробного квантового эффекта
Открытие дробного квантового эффекта в значительной мере обязано
успехам технологии создания наноэлектронных структур.
Важнейшее требование к экспериментальным структурам - высокая
подвижность электронов - удалось реализовать на гетероструктурах
GaAs- AlxGaj_xAs, полученных методом молекулярно-лучевой эпитаксии.
Гетероструктуры, которые Д. Цуи и А. Госсард стали впервые
использовать для наблюдения целочисленного квантового эффекта, оказались в
определенном смысле более перспективными, чем кремниевые МДП структуры,
применявшиеся Клитцингом с сотрудниками, в первую очередь из-за
величины подвижности электронов.
Высокая подвижность означает относительно малый вклад процессов
рассеяния на потенциале примесей в движение электронов и приводит к
проявлению более тонких особенностей взаимодействия электронов в двумерном
газе. В условиях сильных магнитных полей и высокой подвижности это
проявляется в корреляции движения электронов.
Целочисленный эффект Холла может быть понят на основе анализа
движения отдельного электрона в магнитном поле. При этом кулоновское
взаимодействие электронов между собой несущественно при объяснении квантования
холловского сопротивления /?// = h/iq~, где / = 1,2,3..., так как энергия
взаимодействия много меньше энергетического зазора между уровнями Ландау.
Дробный квантовый эффект Холла удалось объяснить только после
осознания того, что это принципиально не одночастичная (как в целочисленном
эффекте), а многочастичная задача.
В условиях, когда уровень Ландау заполнен лишь частично, электроны
имеют достаточно свободы для того, чтобы перемещаться внутри
кристаллической решетки, находясь друг от друга возможно дальше, чтобы
минимизировать кулоновскую энергию отталкивания. Это приводит к согласованному
(коррелированному) движению электронов, когда их общая энергия понижается.

Боб Лафлин предложил многочастичную волновую функцию, которая
корректно описывает поведение электронов, заполняющих уровень Ландау на
1/3 (так же, как и вообще на \jm часть, где т— нечетное число). Из решения
квантовых уравнений для такой волновой функции следует, что должна
существовать зона запрещенных энергий, не связанная с уровнями Ландау и
являющаяся следствием решения многочастичной задачи. Кроме этого, в
условиях, когда степень заполнения уровня Ландау чуть меньше или чуть больше
v= 1/3, перенос заряда в двумерной системе в магнитном поле можно
интерпретировать как движение квазичастиц с зарядом q =±q/3. При дальнейшем
изложении мы будем следовать интерпретации эффекта, данной Х.Штерме-
ром в его Нобелевской лекции.
Для интерпретации квантового эффекта Холла оказалось чрезвычайно
удобным и плодотворным представление магнитного поля, пронизывающего
двумерный электронный газ, в виде набора маленьких вихрей, каждый из
которых несет по одному кванту поля Ф0 = hjq. Размеры вихря примерно равны
размеру области, которое содержит 1 квант - S = Ф0/В. Внутри вихря
плотность заряда электронов в центре равна нулю и постепенно возрастает, по
мере приближения к краям, до среднего значения по образцу, так что
приближенно можно считать, что электроны перемещены из вихря. Плотность
распределения вихрей в плоскости образца в однородном магнитном поле
постоянна (рис.1 1.10).
Электроны и вихри оказываются, в некотором смысле,
противоположными объектами. Электрон - это сгусток заряда, вихрь - его отсутствие.
Взаимное расположение электронов и вихрей сильно влияет на полную энергию
двумерного газа. Энергетически чрезвычайно выгодно оказывается
помещение электрона в центр вихря. При этом остальные электроны максимально
отодвинуты от него, а энергия кулоновского взаимодействия с соседями -
становится минимальной.
В целочисленном эффекте Холла на полностью заполненном уровне
Ландау каждый электрон присоединяет по одному вихрю (рис. 11.1 Об).
В более сильных магнитных полях, чем те, что обеспечивают заполнение
первого уровня Ландау, число вихрей магнитного поля становится больше
числа электронов. В этом случае электронам выгодно присоединить сразу
несколько вихрей, что еще дальше отодвинет соседние электроны и уменьшит
энергию электростатического взаимодействия.
Электрон и присоединенный к нему один или несколько вихрей
концептуально удобно рассматривать как составную частицу (СЧ). Из-за введения
составных частиц реальная система взаимодействующих электронов
заменится на систему слабо взаимодействующих СЧ. Вдобавок, поскольку
магнитное поле в виде вихрей уже входит в состав СЧ, то формально внешнее

магнитное поле можно не учитывать, и считать, что СЧ образуют ансамбль
свободных частиц. Однако наиболее существенным является то, что
присоединение вихрей изменяет характер СЧ, превращая их из фермионов в бозоны
или наоборот.
Волновая функция системы фермионов изменяет свой знак при
перестановке любой пары частиц и является антисимметричной. Система бозонов
имеет симметричную волновую функцию и не изменяет свой знак при
перестановке любых двух частиц. Различная симметрия волновых функций
приводит к глубокому отличию свойств систем частиц-бозонов и частиц-фермио-
нов. В системе фермионов действует статистика Ферми-Дирака и заполнение
квантовых состояний подчиняется принципу Паули, который запрещает
нахождение в одном квантовом состоянии двух фермионов. Это жесткое
ограничение приводит к тому, что фермионы предпочитают держаться друг от
друга подальше и последовательно, один за одним, заполняют энергетические
уровни в твердом теле.
В системе бозонов действует статистика Бозе-Эйнштейна и никаких
ограничений на число частиц в одном квантовом состоянии нет.
Частицы-бозоны предпочитают собираться в одном состоянии, что обозначается
термином «Бозе-конденсация». Глубокое отличие в статистике между частица-
ми-фермионами и частицами-бозонами находит свое проявление в
качественном различии физических свойств систем частиц. В системе частиц-бозонов
наблюдаются такие необычные физические свойства, как сверхтекучесть,
лазерный эффект, сверхпроводимость.
Сами электроны являются фермионами и их волновая функция
антисимметрична по перестановкам. Однако присоединение одного вихря магнитного
поля к электрону приводит к образованию СЧ, которая является бозоном.
Дальнейшее присоединение вихрей к электрону меняет характер СЧ - при
четном числе вихрей СЧ становятся фермионами, а при нечетном - бозонами.
Эти превращения меняют свойства коллектива частиц. В системе составных
частиц, построенных из минимально-возможного числа частей - один
электрон плюс один вихрь - наблюдается целочисленный эффект Холла.
Следующая по сложности СЧ, которая является бозоном, должна
содержать один электрон и три присоединенных вихря (рис. 11.11). В коллективе
таких частиц наступает Бозе-конденсация на некотором новом основном
состоянии, которое отделено от следующего возбужденного состояния
энергетическим зазором Е„. Ситуация оказывается схожей с явлением
сверхпроводимости.
Наличие энергетического зазора приводит к квантованию холловского
сопротивления и исчезновению продольного сопротивления. Ширину зазора
можно измерить экспериментальными методами, например, по рассеянию

Рис. 11.11. Статистика электронов и составных частиц.
Стрелка и точка схематически обозначают составную частицу:
электрон + вихрь магнитного поля. Составная частица с нечетным числом
присоединенных вихрей - фермион, с четным - бозон
света или по температурной зависимости продольного сопротивления.
Эксперименты показывают, что последняя качественно описывается в виде
р^. ~ехр(-Е„ /Т), где Е„ > 4 ■*■ 5 К - энергия активации. Образование плато на
полевых зависимостях рху =/(В) и pxv = /(B) объясняется теми же
причинами, что и в целочисленном эффекте.
Когда значение магнитного поля отклоняется от величины Bv,
обеспечивающей точное заполнение уровня Ландау на v= 1/3, числа электронов и
вихрей магнитного поля уже не равны друг другу. Если, например, В > Bv, то
магнитных вихрей оказывается больше, чем электронов. Присоединение
добавочных вихрей к имеющимся электронам превращает СЧ в фермион. Если
избыток вихрей не слишком велик, то перенос электрического тока в такой
системе можно описать с помощью движения квазичастиц с зарядом + q/3. В
противоположном случае В <BV, перенос тока можно описать движением
квазичастиц с зарядом -q/З. Ситуация напоминает электронно-дырочный
формализм при описании процессов протекания тока в валентной зоне и зоне
проводимости полупроводников.
Объяснение дробного квантового эффекта Холла для степеней
заполнения v= 1/5, 1/7 и т.д. с квазичастицами q/5, qjl и т.д. можно провести
совершенно аналогично описанному выше случаю заполнения уровня Ландау на
1/3. В каждом из этих случаев к электрону присоединяется 5, 7 и т.д. вихрей
магнитного поля. Если уровень Ландау заполнен на 2/3, v = 2/3, то вся
интерпретация для v = 1/3 сохраняется. Для этого необходимо рассматривать полный
уровень Ландау и 1/3 отсутствующих электронов.
Квазичастицы с дробным зарядом
В данной части параграфа кратко изложены некоторые основные идеи,
позволившие Роберту Лафлину дать теоретическое объяснение дробного

квантового эффекта. Более детальное обсуждение вопроса можно найти в
обстоятельном обзоре, на который мы здесь ориентируемся, или в статьях
Р.Лафлина.
Феноменологическая аргументация Р.Лафлина, предложенная
первоначально для целочисленного эффекта (см. обсуждение формул 11.3.12, 11.3.16)
может быть обобщена и на дробный эффект. К целочисленному квантованию
приводило предположение о невырожденности основного состояния электронов
двумерного электронного газа. Дробное квантование может быть объяснено,
если предположить, что основное состояние имеет конечное вырождение.
В мысленном опыте Лафлина увеличение магнитного потока на 1 квант
магнитного потока приводило к переносу электронов между торцами
цилиндрической ленты. Если основное состояние имеет кратность вырождение «/и»,
то для возвращения к исходной конфигурации волновой функции необходимо
увеличить поток на тФ0 квантов. Пусть при этом переходит рэлектронов с
одного края ленты на другой. Тогда повторяя рассуждения, приводящие к
формуле 11.3.16, получаем, что холловская проводимость принимает значение:
' т п
и фактор заполнения v = pjm может быть меньше единицы.
В условиях реальных экспериментов уровень Ферми совпадает с
энергией наинизшего уровня Ландау, спины электронов ориентированы
одинаковым образом (приближение сильного поля) и расстояние между соседними
уровнями Ландау значительно больше, чем энергия межэлектронных взаимо-
2 /
действии, оцениваемая как q /у:
hac»g2/y,
где у - магнитная длина.
Измерения показывают, что при степени заполнения v= 1/3 наинизшего
уровня Ландау образующееся новое состояние электронов отдельно от
наинизшего уровня щелью А 0,03 д~ /у. Поэтому для объяснения дробного
квантового эффекта необходим новый подход, учитывающий многочастичные
эффекты, связанные с кулоновским взаимодействием электронов.
Р.Лафлин впервые ясно показал, что в двумерном газе в сильном
магнитном поле возможны коллективные состояния, характеризующиеся
квантованием межэлектронных расстояний, что позволяет электронам обтекать
препятствия без генерации возбуждений.
Для количественного обоснования этой идеи Р.Лафлин вначале подробно
проанализировал квантовые состояния коллектива из двух и трех электронов,

а затем обобщил результаты на N частиц. При этом оказался важен
рациональный выбор калибровки вектор-потенциала в магнитном поле. Первый
способ (калибровка Ландау) описан в 9.5.2, Лафлин же использовал симметрич-
-(Ву Вх0 \ ^
ную калибровку вида А\ —, ,0 . Этот тип калибровки весьма удобен для
двумерных систем, поскольку допускает разделение переменных уравнении
Шредингера в полярной системе координат. В этом случае целесообразно
записывать волновую функцию в комплексных переменных:
z = х - iy, z = х + iy.
В этих переменных решение уравнения для одночастичного
гамильтониана (11.2.1) имеет вид:
х тп
Причем
1
(2т+п+\т\П\)У2
ехр
( 2 2
х + у
д . д
■ — !■
д . д
+ i
'"от
п + -
дх ду) \дх ду]
Ч» /i = 0,l,.._
ехр
f 2 2Л
х + у
2 J
(11.4.2)
(11.4.3)
В выражениях (11.4.2) и (11.4.3) и далее, энергия и длина измеряются в
единицах циклотронной энергии /zcoc = НеВ/т и магнитной длины у.
Волновая функция Ч?тп является также собственной функцией оператора
углового момента М, отвечающей собственному значению т—п. Множество
состояний с энергией п + 1/2, отличающиеся угловым моментом, составляют
«/7» уровень Ландау.
Волновые функции наинизшего уровня Ландау п = 0 имеет более простой
вид, чем (11.4.2).
Izl2
1
^ет.О _
2т+1пт
■z e *
(11.4.4)
где z — x — iy.
Эти состояния описывают циклотронное движение вокруг начала
координат и с угловым моментом \М\=Ьт Радиус орбиты электрона составляет
«V2m, поскольку средний квадрат расстояния равен:
f2 = fr*m0r2Vm0dT = 2(m + \)
(11.4.5)

ипри/и=1, г -1т
Таким образом, квантование по моменту количества движения приводит
к квантованию размеров циклотронных орбит.
Для одной частицы энергетический спектр определяется только
квантовым числом п. Иная ситуация складывается если рассматривать движение
двух частиц.
Гамильтониан для двух электронов в магнитном поле имеет вид:
1
Я = —
1т
П
А{+дА{
+ ■
2т
П } а1
-А2+дА2 + £-, (11.4.6)
где Д,-, / = 1,2- означает дифференцирование по координатам первой и второй
частицы, Aj - вектор-потенциал в месте нахождения частиц. Уравнение на
собственные значения энергии и собственные волновые функции с
гамильтонианом (11.4.6) допускает разделение переменных. Вводя координаты центра
масс zm и внутреннего движения za:
zm
z\ + z2
nza =
-1 ~z2
2 " 2
обычным путем получаем гамильтониан, описывающий внутреннее
движение электронов
НВН = -^r(-i»Vfl + qAa)2 + f-. (11.4.7)
2т 2ra
Угловой момент в этой задаче является сохраняющейся величиной,
поэтому собственные функции
Нвн=Ч{ху) = Е¥ (11.4.8)
имеют вид:
y¥{xy)=R(r)ein"9 (11.4.9)
где ха — iya = гехр(-/ф) и г, ф - полярные координаты и т- квантовое число
углового момента.
Весьма существенным для системы из «N» электронов является
требование антисимметрии волновой функции. Из этого требования следует, что m
должно быть нечетным. Подставляя (] ] .4.7, 11.4.9) в (11.4.8) получаем
уравнение для радиальной части волновой функции
( d2R 1 dR
dr2 г dr
т
2Л
mR
r2R
- + +^R = ER, (11.4.10)
I a V2r

где Е - собственное значение энергии. Это уравнение описывает радиальное
движение двумерного гармонического осциллятора с добавочным
отталкивающим потенциалом q jr.
В сильных магнитных полях роль добавочного потенциала невелика,
поэтому решение уравнения (11.4.8) можно приближенно аппроксимировать
волновыми функциями свободной частицы (11.4.4):
HBH^mfi = [ Ет + i V,,, (11.4.11)
V ±J
где
Ет=^\<$\чт^т. (11.4.12)
Это приближение выполняется тем точнее, чем больше m и хорошо
выполняется в реальных экспериментах по квантовому Холлу.
Таким образом, уже в двухчастичном приближении появляются
дополнительные энергетические уровни, величина которых зависит от углового
момента электронов. Физически картина движения представляется как круговое
движение двух частиц вокруг их центра масс, организованное магнитным
полем, в котором слабое отталкивание может быть компенсировано влиянием
внешнего фона кристаллической решеткой, что эквивалентно внешнему
давлению на рассматриваемую пару частиц.
Изложенный подход Р.Лафлин применил для анализа поведения трех
электронов во внешнем магнитном поле. Внешнее давление имитировалось
потенциалом вида:
Г = §(*? + *2+*з). (11.4.13)
где z\, z2, z3 - координаты электронов, а- параметр потенциала («давление»).
Вычисление кулоновских матричных элементов типа (11.4.12) позволило
оценить энергии связи, распределения электронной плотности и площадь,
занимаемую электронной системой. При этом выяснилась существенная роль
величины суммарного углового момента М и кратности вырождения
состояний. Вырождение по угловому моменту отсутствует при малых М и
состояния Ч^ являются собственными. Первым состоянием, вырожденным по
угловому моменту, является состояние с М = 9, что в три раза превышает
минимально возможное значение углового момента М = 3 для уровня п = 0.
Состояние с моментом М-9 приблизительно соответствует упаковке электронов с
плотностью v= 1/3.

tj
c<7
6
">
4
3
2
|—
-
-
i i i i i
10 20
4 л//б К
Рис. 11.12. Зависимость приведенной площади электронной системы
от обратного давления l/а. Величина а измеряется в единицах
2
yj3/2 ——, а площадь А - в единицах у
Рис. 11.13. Распределение зарядовой плотности для состояния с угловым
моментом М = 9, при условии, что центр масс (Д) лежит в начале координат,
а один из электронов расположен при у = -3. Каждый контур соответствует
плотности заряда, составляющей 0,1 максимальной величины
Величина площади, занимаемой электронным кластером из трех
электронов, дискретным образом зависит от величины потенциала (11.4.13). На
рис. 11.12 приведена зависимость площади электронной системы (в единицах
у ) от обратного давления 1/сс.
Такая скачкообразная зависимость площади является указанием на
несжимаемость двумерной электронной жидкости, находящейся в сильном
магнитном поле.
Свойство несжимаемости позволяет обтекать коллективу электронов
рассеивающие центры кристаллической решетки без генерации возбуждений.
Квантование углового момента системы электронов приводит к
квантованию расстояний между ними. На рис.11.13 приведено распределение
зарядовой плотности для системы трех электронов с М = 9. Один из трех электронов
зафиксирован в точке у=—Ъ, и каждый контур соответствует плотности 0,1 от
максимальной величины. Очевидна упорядоченность электронной
структуры, что минимизирует энергию взаимодействия между частицами и является
прообразом своеобразной электронной «решетки» микроскопического
состояния при дробном эффекте Холла.
Результаты при трех частиц Р.Лафлин обобщил на систему из п
электронов. Для простейших типов дробного заполнения v=—,-, — ... для описания
3 5 7

4L{zl...zN) =
(11.4.14)
основного состояния электронов им была предложена волновая функция,
являющаяся обобщением одночастичной (11.4.4):
1 Г 1N Л
Требование антисимметрии приводит к нечетности показателя /7, а
величина последнего определяется через угловой момент системы электронов.
При степени заполнения уровня v= l/p, площадь «заметаемая»
электроном, вращающимся вокруг центра масс в соответствии с (11.4.5) равна:
Sp=p-2ny = pS0,
(11.4.15)
где So - площадь, занимаемая одним квантом магнитного потока. Таким
образом, для степени заполнения v=l/3 с одним электроном будет связано три
кванта магнитного потока, а изъятие одного электрона (образование дырки)
приведет к изменению площади, занимаемой электронной жидкостью на
S = 3S0.
Можно поставить вопрос, что будет, если изменить площадь на величину
S0, занимаемую только одним квантом магнитного потока. Теоретически
такое можно представить как помещение в какую либо точку электронной
жидкости бесконечно тонкого соленоида, поток которого изменяется наФо- В
соответствии с (11.3.14) изменение потока приведет к изменению фазы
одночастичной волновой функции, что эквивалентно приращению углового момента
тна единицу, z
примет вид:
->z
т+\
с учетом этого, многочастичная волновая функция
*ян =
N
П (*«■-*)
Т,
(11.4.16)
где Ч^ дается выражением (11.4.14).
Волновая функция ^„^ (11.4.16) согласно Лафлину, есть волновая
функция квазидырки с комплексной координатой £. Квазидырка представляет
элементарное возбуждение электронной жидкости и физически описывает
недостаток заряда в точке £, по сравнению со средней электронной плотностью.
Магнитный поток, связанный с квазичастицей, реализуется существованием
кругового тока вокруг последней.
Наряду с квазидыркой, в лафлиновской жидкости могут существовать
другие квазичастицы, которые представляют локальный (в точке £) избыток
заряда по сравнению со средней электронной плотностью.

Элементарные возбуждения жидкости - квазиэлектроны и квазидырки и
основное состояние разделены энергетической щелью (11.4.2).
Замечательной особенностью Лафлиновских квазичастиц является их
дробный заряд q , равный
*
q =+vq, (11.4.17)
где q - заряд электрона.
Из общих соображений ясно, что при степени заполнения основного
состояния v= 1/р, на один электрон приходится р квантов магнитного потока
(квазичастиц) и, следовательно, заряд, приходящийся на квазичастицу,
составляет —. То есть рождение в одной точке р квазичастиц эквивалентно
обрати
зованию одного реального электрона (дырки).
Введение квазичастиц позволяет объяснить дробный квантовый эффект
не только для степеней заполнения v-l/р, как это первоначально сделал
3 3 5
Р.Лафлин, но и для других наблюдаемых значений v = -, — , — .... При v= \/p
электроны в основном состоянии образуют конденсат (жидкость),
возбуждения в котором - квазичастицы имеют конечную энергию активации. Число
квазичастиц при температурах проведения эксперимента мало и все они
захвачены примесями и вклада в проводимость не дают, так что ахд. = 0, а хол-
ловская проводимость точно соответствует (11.4.1). Наличие небольшого
количества примесей обеспечивает ненулевую ширину холловского плато. При
дальнейшем увеличении числа электронов увеличивается и число
квазичастиц, в том числе и в делокализованном состоянии. Делокализованные
квазичастицы сами образуют конденсат, приводя к новому устойчивому фактору
заполнения Vj. Все предыдущие рассуждения можно повторить и, таким
образом, возникает иерархия дробных состояний, удовлетворяющая закону:
1
V =
а,
т +
а2
а3
Рз+-
где а,- = +1, pj - четные числа.
Коллектив квазичастиц, которые наряду с зарядом несут и квант
магнитного потока, обладает свойствами, отличными от свойства коллектива
электронов. В трехмерном пространстве для систем одинаковых частиц
реализуются только два типа статистик: Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. В двумерном

газе квазичастиц может реализоваться аномальная Тэта-статистика. Тип
статистики частиц вообще определяется одномерными неприводимыми
представлениями фундаментальной группы гомотопии конфигурационного
пространства N неразличимых частиц.
В двумерном пространстве неприводимые представления такой группы
имеет вид:
Хе=ехр(-/е),(0<е<2л).
Статистики бозононов и фермионов отвечают соответственно
значениями 6 = 0 и 0 = л.
Действие Тэта-статистики приводит к тому, что квазичастицы с их
комбинации (кластеры) в зависимости от величины магнитного потока и
дробности заряда могут быть и бозонами и фермионами, как это на качественном
уровне обсуждалось в предыдущем параграфе.
Обнаруженный еще в 1879 году студентом 5-го курса университета в
Балтиморе, США, Эдвином Холлом эффект появления поперечной ЭДС в
результате отклонения движения носителей заряда в магнитном поле стал в
настоящее время мощным экспериментальным методом, позволяющим определять с
высокой точностью концентрацию носителей и знак их заряда. Долгое время
казалось, что в теории и применении этого эффекта все достаточно ясно.
Однако в 1980 году немецкий физик Клаус фон Клитцинг с коллегами
измеряя эффект Холла в сильных магнитных полях, обнаружили квантование
холловского сопротивления. Авторы представили свою работу как новый
высокоточный метод определения постоянной тонкой структуры. Квантование
холловского сопротивления открыло путь к принципиально иному пути
построения эталона сопротивления. В 1985 году Клаусу фон Клитцингу с
соавторами была присуждена Нобелевская премия по физике. Дальнейшее
продолжение исследования эффекта Холла в сильных магнитных полях на
высокочистых образцах с совершенной кристаллической структурой привело к
открытию дробного квантового эффекта.
За экспериментальные исследования и теоретическое объяснение этого
эффекта американским физикам Б.Лафлину, Х.Штермеру и Д.Цуи в 1998 году
присуждена Нобелевская премия по физике. Эта награда в полной мере
отразила признание открытия нового основного состояния в физике
конденсированных сред, которое обладает целым рядом уникальных свойств, в
частности, дробным зарядом элементарных возбуждений.
Став за двадцатое столетие дважды Нобелевским лауреатом, эффект
Холла продемонстрировал огромные возможности физики твердого тела,
микроэлектроники и наноэлектроники.

2.12. Особенности фононного спектра
в системах пониженной размерности
2.12.1. Дисперсионные зависимости фононов
в полупроводниковых сверхрешетках
В многослойных субмикронных структурах, содержащих чередующиеся
сверхтонкие слои разных материалов, наряду с изменением спектра
электронов происходит и изменение спектра фононов.
Рассмотрим основные особенности фононного спектра
полупроводниковой сверхрешетки на основе решения задачи о колебаниях линейной цепочки
атомов.
Известно, что для линейной двухатомной цепочки (рис. 12.1) в упругом
приближении, при учете взаимодействия только с ближайшими соседями
уравнение движения атомов обоих сортов можно представить в виде
dt2
2
M^hp±=K[u +U -2U2r+]],
dt2
(12.1.1)
Г t I м м
-9—• •—4—• •—• в > >
(2г-2)(2г-1)2г(2гН)(2Н-2)
-2е-е 0 е2е
GsAs |
AlAs
2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0,5 1,0 0,5 1,0
Imq Rcq ]mq
Рис. 12.1. Линейная двухатомная цепочка атомов
Рис. 12.2. Дисперсионные зависимости для колебаний, распространяющихся
вдоль [100] направлений в кристаллах GaAs и AlAs.
Сплошные линии - продольные колебания, пунктир - поперечные
Рис. 12.3. Модель линейной цепочки атомов, используемая
для расчета фононного спектра в СР

здесь т, М - массы атомов, К - межатомный коэффициент жесткости, Un -
смещение атома с номером п от положения равновесия.
Представляя решения (12.1.1) в виде плоских волн
U 2,- =Axexv{i[q2rz-m]},
U2r+\ = А2 exp{/fa(2r + 1)е -orf]}, (12.1.2)
(здесь б - расстояние между атомами), из (12.1.1) получаем дисперсионное
соотношение между волновым вектором q и угловой частотой колебаний со
,. ч {IX - тп2)(2К - Мсо2) -2К2
cos(2qe) = - ^ }- . (12.1.3)
2К2
Выражения (12.1.1) и (12.1.2) позволяют также найти соотношение,
связывающее смещения соседних атомов,
_ U2r *[l + exp(+;2gs)]
Y± -— = j » (12.1.4)
и2,-\ (2К-т(й2)
здесь «+» относится к волне, бегущей слева направо, а «-» - к волне, бегущей
справа налево.
Как следует из (12.1.3), для построения спектра фононов линейной
двухатомной цепочки в данном приближении (гармоническое приближение)
требуется знать значения трех параметров щМиК. Так как массы
колеблющихся атомов обычно известны, то необходимо определять только значение
межатомного коэффициента жесткости К.
Значение коэффициента жесткости можно получить из сравнения
результатов расчета с экспериментальными данными. В рассматриваемом случае
для этого достаточно иметь экспериментальные данные хотя бы для одной
точки спектра фононов. Чаще всего для получения параметров, необходимых
для расчета спектра фононов, используют экспериментально определенные
значения граничных частот для q -» 0 и q —> п/2е (2е - размер элементарной
ячейки цепочки атомов).
В материалах с кристаллической решеткой типа цинковой обманки
(А3В5)в плоскостях, перпендикулярных направлению [100], содержатся
атомы только одного типа (либо катионы, либо анионы). Поэтому для колебаний,
распространяющихся в направлении [100], смещения атомов в монослое
одинаковы, и задача может быть сведена к одномерному случаю. На рис. 12.2
представлены дисперсионные зависимости, рассчитанные с использованием
(12.1.3), для продольных и поперечных колебаний, распространяющихся

вдоль [100] направлений в кристаллах GaAs и AlAs. Параметры модели
определялись по совпадению результатов расчета с экспериментальными
данными в точках, отмеченных на рисунке кружками. По горизонтальной оси
отложены вещественная и мнимая части волнового вектора фонона в единицах
7г/2б.
Согласно (12.1.2) величина (lmq)~ , обратная значению мнимой части
волнового вектора, характеризует длину, на которой амплитуда
колебательного возбуждения уменьшится в е раз. Поэтому колебательные возбуждения,
у которых Im q* 0, не могут распространяться по атомной цепочке
(кристаллу) на значительные расстояния. Так, например, продольные колебательные
возбуждения, соответствующие диапазону частот со= (210- 350)см~ , будут
проникать в AlAs на глубину порядка 6А (рис. 12.2), т.е. всего на два монослоя.
Рассмотрим колебания в одномерной СР, содержащей чередующиеся
слои бинарных соединений (рис 6.3).
При учете взаимодействия только между ближайшими соседями в
упругом приближении уравнения движения атомов СР в пределах каждого слоя
могут быть записаны в виде (12.1.1). Однако с учетом возможного отражения
колебательных волн от границ слоев решения уравнений движения следует
искать в виде суперпозиции волн, распространяющихся вдоль и против
направления оси z,
Uj(z) = Aj exp(z'az) + Bj exp(-z'az) и £/,(z) = С,- exp(z'Pz) + Dt exp(-z'Pz),
z = 1,2; z = /s; / = 0,±1,±2,.., (12.1.5)
здесь Uj (z) и Uj(z) смещения -атомов /-го сорта в слоях 1 и 2; а и Р~ волновые
вектора для слоев 1 и 2, связанные с частотой колебаний атомов
соотношением (12.1.3).
В качестве первого граничного условия используем то обстоятельство,
что граничный атом с массой М2 одновременно принадлежит и слою 1 и слою 2.
Таким образом,
U2(0) = U2(0)uU2(d2) = U2(d2). (12.1.6)
В качестве второго условия учтем непрерывность значений механических
напряжений при переходе через границу между слоями. Отсюда получим
K[UY(e)-Ui(-s)] = K[U{(s) -Ux(-s)]
и
K[Ul(d2+z)-U](d2-s)]=K[U](d2+E)-U](d2-s)]. (12.1.7)
Кроме того, учет периодичности СР приводит к соотношению

Uj(z + d) = U^expiidq), (12.1.8)
где q - волновой вектор колебательных возбуждений СР, d=dy+d2- период
СР; d\ и d2 _ толщины слоев 1 и 2 соответственно.
Заметим, что граничные условия (12.1.6) и (12.1.7), по существу,
являются дискретными аналогами условий типа (7.7.2).
Подставляя (12.1.5) в (12.1.6) и (12.1.7), придем к системе уравнений,
позволяющей рассчитать спектр колебаний СР. Для упрощения расчетов можно
учесть, что в рамках линейного приближения для каждого слоя СР имеют
место соотношения типа (12.1.4). Таким образом, для слоев 1 имеем
у+=и^ = к[1 + ыр(±а*е)\ (12Л9)
и2г-\ (2К-М2(а2)
аналогично для слоев 2
U2r _#[1 + ехр(+г2рБ)]
5± = -^~ = L —rv-~h~/j (12.1.10)
U2r-i (2K-M2a2)
Сучетом сделанных обозначений, атакже (12.1.8) система уравнений для
расчета спектра колебаний СР примет вид
у+е-,а*Ах +y_eia*Bl -5+e-''pEC! -b_e^Dx = 0;
у +e-''a^i^)Axeiqd + y_eia{d^)B]eigd -b+e®{d^Cx -S.e'^^Dy =0;
Ksm(ae)Al -Ksm(ae)Bl -^sin(pe)C] +Ks\n($£)Dl = 0;
Ksm(ae)e-iad'Axeiqd - К sin(as)e/W> Bxeiqd -
-^sin(p8)e,pd2C! +^sin(ps)e"/p^Z)I =0.
(12.1.11)
Исключив из (12.1.11) коэффициенты А\,В\,С\ и D\, получим
дисперсионное соотношение между волновым сектором q и угловой частотой
колебаний со для СР
cos(qd) = cosiad^cosifid^ -0,5[F + l/F]sm(adl)sm($d2), (12.1.12)
„ (2К-М2(й2) , ч 1П ч
здесь F = „ J- ' tg(ae)ctg( pe).
(2К-М2ш1)
Анализ выражения (12.1.12) показывает: что спектр частот СР
объявляется многозначной функцией q, что граница первой зоны Бриллюэна СР рас-

положена в точке q=n/d (так как размеры зоны Бриллюэна в этом случае
определяются периодом СР d, а не расстоянием б между соседними атомами,
как в одноатомной решетке, или 2б — как в двухатомной решетке) и что в
спектре частот появляются участки, которым не соответствуют
вещественные значения q (появляются запрещенные зоны или щели) и которых не
было в спектрах фононов материалов слоев, из которых образована СР.
Таким образом, наличие дополнительной трансляционной симметрии с
периодом d (помимо периодичности, присущей материалам слоев, образующих
СР) привело к появлению разрешенных мини-зон. В результате спектр СР
будет содержать 2(и + т) ветвей (полагаем, что dy = 2еи и J2 = 2e»i). Отметим
также, что выражение (12.1.12) по форме совпадает с результатами
известной модели Кронига-Пенни для анализа энергетического спектра
электронов в одномерной периодической цепочке прямоугольных потенциальных
барьеров, что позволяет провести аналогию между формированием
спектров электронов и фононов.
YlpuF = 1 из (12.1.12) получаем
cos(qd) - cos(adi + P<i2 ) и q = — [рА\ + fid-,),
d
F
ю«о»о»о»оао«о*о«о«
d, Id.
ЛОФ
OAs
• Ga
'In
„<????P?9<?„ (GaAsJioOnAsk „ CJJ (InAs)J0(GaAs),
•fhwhw*
СВАФ
d»:
i?T?T?T?T?.e
•^iliMA'
•o«o*o«o«oao«o«o»o«g
A.I. d,
0?oJL
• j ^"г~^РОФОвОООвО0ООО9ООООО0О
ЛАФ
о?
*цо^1«о«о«о<о«о«о«о«о*о>о<о
СВАФ
^?Г?т0^^0ттТ?То^ААо
О q Kid
Рис. 12.5. Дисперсионные зависимости CP(GaAs)i0(InAs)2 и (InAs)|0(GaAs)2

О 0,25 0,5 0,75 q 1,0
Рис. 12.4. Дисперсионные зависимости для продольных
колебаний СР (GaAs)5(ALAs)4
Рис. 12.6. Дисперсионные зависимости, рассчитанные для GaAs, AlAs и InAs
т.е. в этом случае волновой вектор q, характеризующий колебания в СР с
частотой со, является линейной комбинацией волновых векторов а и В,
соответствующих колебаниям с частотой со в материалах слоев, из которых состоит СР. При
этом весовые коэффициенты, определяющие вклад а и В, зависят от отношения
d\/d2, т.е. от соотношения толщин слоев, составляющих СР материалов.
Дисперсионные кривые, рассчитанные по (12.1.12) для продольных волн,
распространяющихся в линейной CP(GaAs)5(AlAs)4, показаны на рис. 12.4. На
рис. 12.5 представлены аналогичные зависимости для СР (GaAs)io(InAs)2 и
(InAs)io(GaAs)2, а также изображено смещение атомов, соответствующих
продольным фононам различных типов. Для наглядности амплитуда продольных
смещений отложена перпендикулярно направлению волнового вектора.
2.12.2. Свертка ветвей акустических фононов
Фононный спектр полупроводниковых СР интенсивно исследовался как
теоретически, так и экспериментально.
Остановимся на основных особенностях колебательного спектра СР,
проявляющихся в области частот, соответствующих частотам акустических
колебаний в исходных материалах.
При строгом рассмотрении фононный спектр СР нельзя свести к
спектрам образующих СР материалов. Тем не менее сравнительный анализ
дисперсионных зависимостей объемных материалов является весьма
информативным для понимания механизмов формирования фононного спектра СР. На

рис. 12.6 изображены дисперсионные зависимости, рассчитанные для
колебаний продольного типа в материалах GaAs, AlAs и InAs. По горизонтальной
оси отложены вещественная и мнимая части волнового вектора в единицах
(7t/2e), гдеб = а/4 и а— постоянная кристаллической решетки
соответствующего материала. Вертикальными штриховыми линиями на рисунке отмечены
значения \mq, которым соответствует глубина проникновения толщиной в
один монослой, штрихпунктирными линиями - два монослоя.
Дисперсионные зависимости были получены из решения задачи о колебаниях линейной
двухатомной цепочки, нормировка осуществлялась по значениям частот
продольного оптического фонона с q= 0.
Из рисунка видно, что в низкочастотной области (область акустических
фононов) ветви фононов для различных материалов перекрываются в
широком интервале частот. Колебательные возбуждения, принадлежащие этому
диапазону частот, могут распространяться в обоих образующих СР
материалах. Таким образом, в этом диапазоне частот фононный спектр СР
соответствует дел окал изованным колебательным возбуждениям.
Этот вывод относится практически ко всему диапазону частот
акустических колебаний пары GaAs-AlAs, а для пары GaAs-InAs акустические
колебания будут делокализованными в диапазоне частот от 0 до 150 см- .
Рассматривая распространение колебаний в СР в рамках модели упругого
континуума, дисперсионное соотношение можно представить в виде
cos(qd) = cos
Plvl
(
\
(
COS
со
(
V2J
-0,5(^+1/^) sin
to
(
in
со
^
v2j
(12.2.1)
здесь ^i = ; pj, p2, vj, v2 - плотности и скорости звука для образующих СР
p2v2
материалов.
Это выражение значительно проще для анализа, чем (12.1.12), однако
может использоваться только для рассмотрения длинноволновых колебаний.
В пределе сои #-> 0 со = vcpgr. При этом из (12.2.1) получаем, что
vcp =dl
v?
+
£5.
vl v2
-1/2
В случае .Fi = 1 выражение (12.2.2) упрощается и
"ср
Ч
+ ■
vl v2j
(12.2.2)
(12.2.3)

Именно этот случай характерен для СР на основе слоев GaAs-AlAs, где^
всего на несколько процентов отличается от единицы.
Полагая F\ - 1, из (12.2.1) получим
cos(qd) = cos
d\ d2
ю —+ ю —
V vl v2
Отсюда с учетом того, что колебания могут распространяться по СР в обе
стороны,
ю = V,
ср
±q±2n-
(12.2.4)
здесь /=0,1,2.... Аналогичные соотношения npHF= 1 получаются из (12.1.12).
При этом а= co/v[, a P= co/v2.
Отметим, что выражение (12.2.4) осуществляет своеобразное
«сворачивание» зависимости co = vcp<7, приводя ее к первой зоне Бриллюэна СР. Отсюда
возникло понятие «свертка» акустических фононов (СВАФ). В результате
«свертки» (проявления дополнительной трансляционной симметрии)
акустические фононы превращаются в оптические.
Анализ (12.2.1) при^ « 1 показывает, что наиболее значительные
изменения спектра по сравнению со случаем F\ = 1 наблюдаются около тех значений
q, где согласно (12.2.4) имеется вырождение. При этом в результате
интерференции колебаний вырождение снимается и появляются запрещенные
участки спектра (щели) шириной
2(1-^)^ n.JnKdxv2-d2vx)\
(dlv2 + d2vl у
Дю =
-vcpsin<!
для q = 0, а для q = ± n/d
Лео
2(1-FO^
vcp cos< n
/ + -
{dxv2-d2vl)
2) (dxv2+d2vx
где /= 1,2,3... Отсюда видно, что ширина щели растет с увеличением различия
произведения (pv) для слоев СР.
На рис. 12.7 представлен фрагмент дисперсионной зависимости для СР
(GaAs)5(AlAs)4 в окрестности первой щели при q- 0, рассчитанный с
использованием (12.1.12). На этом же рисунке кружками показаны данные,
полученные из экспериментов по комбинационному рассеянию света.
Наличие щелей в колебательных спектрах СР проявляется в селективном
отражении фононов. При этом максимальное отражение будут испытывать

70
v/
у
'/
,*У GaAs
/
AlAs '
2
/
/
/
Л
62 I i ■ ^^
0 0,05 q.(idd) 0,10
Рис. 12.7. Дисперсионная зависимость для СР в окрестности первой щели
Рис. 12.8. Граница раздела двух материалов с разными
диэлектрическими постоянными
фононы с длинами волн А. = 2d (условие Брегга). Фильтрующее действие СР
GaAs / Al05Ga05 As наблюдалось экспериментально, и оно может быть
использовано для создания фононного спектрометра. Так, СР GaAs / Al05Gao5Asc
периодом d= 12,2 нм является фононным фильтром для частоты 2,2 • 10 Гц с
шириной линии 0,2-10 Гц. При этом, если поверхности раздела идеальны,
высокочастотные фононы с длинами волн порядка 10 нм могут проходить без
заметного ослабления через сотни границ раздела композиционных СР.
Выражение (12.2.1) достаточно хорошо описывает спектр колебаний
продольного типа в СР GaAs-AIAs в области частот 0-130 см- . Имен- но для этой
области дисперсию делокализованных колебательных возбуждений можно
получить довольно точно путем свертки ветвей акустических фононов в
пределах первой зоны Бриллюэна СР с границей (л/d). Анализ показал также, что
в области свернутых акустических фононов дисперсионные зависимости для
такой СР практически не зависят от ширины переходного слоя на гетерогра-
ницах. Оказалось, что влияние неидеальности гетерограниц существенно
только в центре и на границе зоны Бриллюэна, причем размытие гетерограниц
приводит к уменьшению щелей в дисперсионных зависимостях.
Для того чтобы подчеркнуть характерные особенности фононного
спектра СР понятие о «свертке» фононов обычно распространяют на весь диапазон
делокализованных колебаний. В случае СР на основе слоев GaAs-AIAs это
понятие оказывается применимо практически ко всему диапазону частот
акустических колебаний пары GaAs-AIAs (рис. 12.6), причем в результате СВАФ
данный диапазон разобьется на (п + т) ветвей. В случае же СР на основе слоев
GaAs-InAs представление о свертке акустических фононов используют до
частот порядка 150 см- Следует отметить, что в этой СР в диапазоне частот
со» 220-^250 см имеет место делокализация оптических фононов и пред-

ставление о «свертке» (в данном случае о свертке оптических фононов
(СВОФ)) распространяют и на эту область (рис.6.6).
2.12.3. Локализация фононов
Анализ спектров (рис. 12.6) показывает, что для пары GaAs-InAs имеется
интервал частот (примерно от 150 до 180 см ), где дисперсионная
зависимость фононов InAs расположена в области мнимых волновых векторов, т.е.
колебательные возбуждения с такими частотами затухают в InAs. Оценки
показывают, что для акустического фонона с частотой ~160см~ глубина
проникновения в InAs составляет примерно два монослоя (~6А). Таким образом,
для этого интервала частот в СР GaAs-InAs возможно образование
локализованных акустических фононов (ЛАФ) в слоях GaAs (при условии, что
толщина InAs превышает два монослоя).
Локализация колебаний в слоях одного типа может наблюдаться и в СР
GaAs-AlAs. Согласно рис. 12.6 в такой СР может наблюдаться локализация
оптических мод колебаний (локализация оптических фононов (ЛОФ)) в слоях
GaAs (для со» 220 -г- 295 см~ ) и в слоях AlAs (для со» 350 -^ 405 см- ).
Допустим, что частота колебаний ©лежит в разрешенной зоне дисперси-
онной зависимости слоя 1 и запрещенной зоне - слоя 2, причем Р = — + /р.
2е
Подставив Р в (12.1.12), получим выражение, определяющее дисперсионные
зависимости в этом случае,
cos^af) = (-l)m \ cos(a^)ch(p^2) - 0,5
л —
1
sin(adi)sh(pflr2)L (12.3.1)
здесь
Л = ~ J /tg(as)th(Ps).
(12.3.2)
Если сделать слои 2 широкими (d2 -» °о), то придем к случаю, когда слой 1
толщиной d\ будет заключен между неограниченными слоями материала 2.
При этом согласно (12.3.1) спектр колебаний будет определяться выражением
0,5
1
Л
л;
= ctg(ou/i),
(12.3.3)
которое по виду совпадает с уравнением (7.4.2) для определения связанных
состояний электрона в симметричной квантовой яме с потенциальными
стенками конечной высоты. Таким образом, как и в случае электронов, приходим
к квантованию спектра фононов. В данном случае колебания оказываются ло-

кализованными в основном в пределах одного слоя, где образуются стоячие
волны. Причем глубина проникновения колебаний в соседние слои, как
правило, не превышает одного-двух монослоев (в отличие от электронов фононы
локализуются гораздо сильнее). Именно поэтому обычно полагают, что
локализованный в слое 1 с толщиной d\ оптический фонон с порядковым номером
/ имеет частоту, равную частоте фонона объемного материала при значении
волнового вектора р = (8 - глубина проникновения фонона в слой 2,
(^+5)
принимаемая обычно равной ~ 1 монослою).
Если частоты колебаний в слое 1 соответствуют диапазону, для которого
волновой вектор в слое 2 становится мнимым, то есть Р = /'Р, выражение для
спектра колебаний в слое 1 сохраняет вид (12.3.3), однако при этом
^J^-M2o2)g(as)cth(h) (1234)
(2К-М2(й2)
Анализ дисперсионных зависимостей, представленных на рис. 12.6,
показывает, что для СР на основе слоев GaAs-AlAs наблюдается сильная
локализация оптических фононов, как в слоях GaAs, так и в слоях AlAs. В результате
дисперсионная зависимость CP(GaAs)5(AlAs)4 (рис. 12.4) в этой области
частот содержит девять (л + т) бездисперсионных ветвей, пять (л) из которых
соответствуют колебаниям оптического типа, локализованным в слое GaAs, и
четыре (т)- колебаниям, локализованным в слое AlAs. При этом в отличие от
СВАФ частоты ЛОФ в данной СР могут значительно изменяться в
зависимости от толщины переходного слоя на гетерограницах.
В свою очередь, дисперсионная зависимость СР (InAs)jo(GaAs)2
(рис. 12.5) содержит только три бездисперсионные ветви, сильно
локализованные в слое GaAs, две из которых соответствуют колебаниям оптического типа
(#2 - антисимметричное колебание и А\ - симметричное), а третье -
акустического типа. Напротив, для дисперсионной зависимости СР (GaAs)io(InAs)2
(рис. 12.5) характерно, что все фононные ветви, включая ветви, описывающие
колебания на предельных оптических частотах, имеют конечный наклон, то
есть d(u/dq*0. В данном случае даже для предельных оптических частот,
находящихся в области ЛОФ, условие сильной локализации не выполняется, и
оптический фонон частично проникает в соседние слои.
Особенностью СР (GaAs)K(InAs)i являются сильные механические
напряжения слоев, обусловленные рассогласованием параметров решеток GaAs
(<3[ =5,65A)HlnAs(a2 =6,04А)науровне7%, приводящие к сближению частот
оптических фононов. На рис. 12.6 штриховыми линиями обозначены ветви оп-

тических фононов растянутого GaAs (кривая 1) и сжатого InAs (кривая II).
Видно, что сближение ветвей оптических фононов приводит к
перераспределению областей СВОФ и ЛОФ по шкале частот, а также меняет условия
локализации фононов в слое GaAs.
2.12.4. Интерфейсные фононы
Рассмотрим явления, связанные с распространением колебаний вдоль
границы раздела между двумя средами с различными диэлектрическими
постоянными Ej иет (рис. 12.8).
Пусть слой 1 занимает верхнюю полуплоскость, а слой 2 - нижнюю, и в
материалах слоев присутствует ионный тип связи.
Распространение упругих колебаний в таких материалах будет создавать
поляризацию Р и электрическое поле.Е, изменяющиеся периодически во
времени и в пространстве по тому же закону, что и смещения атомов. Таким образом,
в кристалле возникает электромагнитное поле, связанное с упругими волнами.
Для изотропного материала в рамках «диэлектрической континуальной
модели», согласно уравнениям Максвелла,
divD=div80e^(-gradO)=0, (12.4.1)
здесь D - электрическая индукция; Ф- потенциал.
Таким образом, электрический потенциал должен удовлетворять
уравнению
е^ДФ = 0. (12.4.2)
Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты в полярных
кристаллах может быть представлена в виде
es(m) = e0
( 2 2 ^
х | ^LQ-^TO
(йтп - СО - /ШГ
(12.4.3)
^ IDfQ—lX) — !Ш1 J
здесь (uLQ и (ujq - частоты длинноволновых(q = 0) продольных и поперечных
оптических колебаний; Г - коэффициент затухания; еи- высокочастотная
диэлектрическая проницаемость.
В случае отсутствия затухания колебаний из (12.4.3) имеем
е„(ш)=е0
(2 2 \
®ьо-°то
гл2 ^2
(12.4.4)
При этом частоты поперечных и продольных оптических фононов cq=0
являются нулями и полюсами диэлектрической функции ss((o).

J
шго
/~ -
l^o
J
<*то
Рис. 12.9. Зависимость диэлектрической проницаемости
от частоты в полярных кристаллах
Рис. 12.10. Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты
Зависимость (12.4.4) схематически изображена на рис. 12.9. Видно, что в
соответствии с (12.4.2) в полярных кристаллах возможно существование
электрических колебаний с со= u>iq (es = 0).
Другой тип решения (12.4.2) для е^ Ф 0 в случае изотропной модели
можно представить в виде
Ф(х,г) = 0(z)exp[i(qnx-(ut)l (12.4.5)
здесь qjj - волновой вектор фонона в направлении, параллельном границе
раздела, х- произвольное направление, параллельное границе раздела.
Подставляя (12.4.5) в (12.4.1), придем к уравнению
^-адй=а (12А6)
bzz
решение которого имеет вид
Ф(г) =
>?>'
Фп'е
-Чп*
Таким образом,
фЮеЧ„2
>U)p±quz
для
для
z>0
z<0'
Ф(х, z) = Ф^'е-ч»2 exp[i(qnx- ш)1
(12.4.7)
(6.4.8)
здесь «-» - для z > 0, «+» - для z < 0.
Согласно (12.4.8) данный тип колебаний оказывается локализованным
около границы раздела.
Такие колебательные моды могут распространяться вдоль границ
раздела, экспоненциально затухая в контактирующих средах. Следует отметить,
что глубина проникновения колебательных возбуждений в контактирующие
среды определяется волновым вектором qjj (т.е. длиной волны колебаний
X = 2%/qij). При этом короткие волны будут затухать быстрее, чем длинные.

ЭФ
Используя условия непрерывности Ех = и D7 на границе раздела,
дх
получим, что Фу = ф|)', то есть амплитуда колебаний потенциала в слоях по
обе стороны границы раздела будет одинаковой, и что интерфейсные
колебания могут возникать, если
г{Р=-г{?. (12.4.9)
Анализируя зависимость диэлектрической проницаемости от частоты
(12.4.4), замечаем, что условие (12.4.9) может выполняться как минимум в
двух случаях: а) на границе раздела полярный кристалл-вакуум (es вакуума
= 1); б) на границе раздела двух полярных кристаллов.
На границе раздела полярный кристалл-вакуум (12.4.9) принимает вид
85 =-1.
Этому условию будет удовлетворять волна с частотой колебаний
(£>То < со< (£>io (см. рис. 12.10). Таким образом, вдоль границы полярный
кристалл-вакуум возможно распространение бегущей волны (возможно
существование поверхностного фонона).
Для анализа особенностей распространения бегущих волн вдоль границы
раздела двух полярных кристаллов необходимо сопоставить зависимости
8 ^ (со) для контактирующих материалов. На рис.12.11 представлены
зависимости es(со) для GaAs и AlAs. Согласно рис. 12.11 условие (12.4.9) в данном
случае будет удовлетворяться для двух мод колебаний с частотами со^ и со^.
Таким образом, вдоль гетерограницы GaAs-AlAs возможно распространение
двух типов колебаний (т.е. возможно существование двух интерфейсных фо-
нонов).
Аналогично удается рассмотреть распространение колебаний вдоль
границы раздела в многослойных структурах и СР. При этом, если qjjd» 1 (d —
толщина самого тонкого слоя), то колебания, распространяющиеся вдоль
соседних границ раздела, будут слабо взаимодействовать друг с другом, и в
рамках диэлектрической континуальной модели параметры интерфейсных фоно-
нов должны удовлетворять условию (12.4.9).
Если же qud« 1 (длинноволновые колебания и тонкие слои), то в рамках
данной модели СР можно рассматривать как однородный анизотропный
кристалл. При этом параллельно границе раздела могут распространяться
продольные моды (LO), для которых
8(,1}(со)^ =-e{?\®)d2 (12.4.10а)
и поперечные моды (ТО), для которых

Рис. 12.11. Зависимости е^(со) для GaAs и AlAs
Рис. 12.12. Зависимости частот интерфейсных фононов
от толщины слоев AlAs для СР GaAs-AlAs
eiP((u)d2=-eip((ii)d]. (12.4.106)
Зависимости частот интерфейсных фононов от толщины слоев AlAs для
СР GaAs-AlAs представлены на рис. 12.12. Как видно из рисунка, в данном
случае наблюдается сильная зависимость частот интерфейсных фононов от
соотношения толщин слоев, образующих СР материалов.
Такое поведение легко объясняется зависимостями е^(со),
представленными на рис. 12.11. Отметим также, что для СР с большим отношением
толщин контактирующих слоев в соответствии с (12.4.10), частоты
интерфейсных фононов оказываются близки к частотам продольных и поперечных
оптических колебаний в объемном кристалле, соответствующем материалу
одного из слоев, образующих СР.
Заканчивая рассмотрение особенностей фононного спектра в системах
пониженной размерности, необходимо отметить, что представленные модели
являются достаточно упрощенными и описывают реальную картину лишь
качественно. При анализе реальных систем обычно дополнительно необходимо
учитывать: взаимодействие не только с ближайшими соседями, трехмерный
характер явления, а в ряде систем еще и пьезоэлектрические эффекты.

2.13. Транспортные явления
2.13.1. Стационарная дрейфовая скорость
Одним из важнейших факторов, определяющих быстродействие
полупроводниковых приборов, является дрейфовая скорость носителей заряда.
Прежде чем описывать процесс дрейфа электрона в электрическом поле,
попытаемся представить феноменологически это движение.
При приложении электрического поля F(x) электрон начинает
непрерывно ускоряться в направлении поля. Если кристалл идеален (отсутствуют
дефекты), то под действием силы F значение квазиимпульса электрона кх, будет
расти, пока не достигнет кх = п/а (точка А рис. 13.1 а). Далее значение к уже
окажется за пределами первой зоны Бриллюэна, что равносильно появлению
электрона в точке А' с кх =-л/о. Не вдаваясь в подробные объяснения,
отметим, что по мере приближения к значению кх — п/а. эффективная масса
электрона становится отрицательной. Это означает, что в координатном
пространстве (рис. 13.16) электрон, выходя из точки О, сначала ускоряется, затем
замедляется при приближении к точке А и, наконец, снова начинает ускоряться,
но уже в обратном направлении (двигаясь к точке Б), хотя направление и
величина внешней силы сохраняются неизменными. При кх =0 электрон снова
окажется в состоянии покоя. Таким образом, под влиянием постоянного
внешнего поля электрон должен в пространстве Е(к) совершать скачкообразное
движение вдоль оси кх (около начала координат в схеме приведенных зон),
двигаясь вверх и вниз по периодической кривой ОАВС в схеме повторяющихся
Рис. 13.1. Движение электрона в электрическом поле: я— в ^-пространстве;
б — в координатном пространстве; в — наклон энергетических зон

зон, и колебаться на ограниченном отрезке оси х в координатном
пространстве с амплитудой Ax-A/2qF(x) и частотой Cl~qF(x)a/h (здесь Д - ширина
энергетической зоны, а— период решетки в направлении поля).
Однако хорошо известно, что это не соответствует реальному случаю и
поведение электрона в реальном кристалле совсем другое. Это различие
обусловлено наличием даже в самых совершенных кристаллах примесей и
различных дефектов, к числу которых можно отнести и колебания решётки. Дело
в том, что для наблюдения блоховских осцилляции необходимо выполнение
чрезвычайно жестких условий слабости рассеяния носителей заряда за
период осцилляции, т~. , <Q=qF(x)a/h, здесь тэфф -эффективное время
рассеяния, Q- частота блоховских осцилляции.
В обычных условиях за время, необходимое электрону для значительного
возрастания энергии под действием электрического поля, он успевает много
раз столкнуться с различными дефектами (нейтральные и ионизированные
примеси, акустические и оптические колебания решетки).
Так как масса ионов примесей очень велика по сравнению с массой
электрона, то соударение между ними носит упругий характер. Электрон при этом
практически не меняет своей энергии. Изменяется только направление его
движения. Аналогичный характер имеет и рассеяние на акустических
колебаниях решетки. В этом случае упругость соударений обусловлена большим
различием в энергиях «партнеров». Обычно энергия электронов на порядок
превышает энергию акустического фонона (ЙсоЛ» 0,\к0Т, а Еэп = 3/2к0Т).
Следовательно, при взаимодействии с перечисленными дефектами волновой
вектор электрона к, как правило, изменяется только по направлению,
оставаясь на поверхности равной энергии в ^-пространстве.
Большой вклад в рассеяние может дать рассеяние на оптических фононах.
Это обусловлено близостью по величине энергии электрона (£зооя" ~ 0,025
эВ) и энергии оптического фонона (Йсод « 0,036- 0,037 эВ), что значительно
повышает вероятность неупругого рассеяния по сравнению с другими
механизмами. Понятно, что решающее значение этого фактора проявится при
взаимодействии электронов с сильным электрическим полем, когда может
произойти увеличение энергии электрона.
Таким образом, движение электрона в кристалле оказывается
аналогичным движению молекулы в газе. Двигаясь в отсутствие внешних полей
хаотично, электрон обладает при этом определённой длиной свободного пробега
между двумя последовательными столкновениями. Если же прикладывается
внешнее поле, то на это хаотическое движение накладывается направленный
дрейф в реальном пространстве. Естественно, что действительная длина пути,
пройденная электроном, оказывается значительно больше пути дрейфа.

Чтобы найти среднюю дрейфовую скорость в поле F, необходимо найти
функцию распределения электронов по импульсам, координате и времени -
f(k,r, t\ например, путём решения кинетического уравнения Больцмана.
Хорошо известно, что аналитическое решение этого уравнения возможно только
для некоторых специальных случаев. Прежде всего, это случай, когда
неравновесная функция распределения в электрическом поле отличается от
равновесной малым приращением. Уравнение Больцмана упрощается также в
стационарном случае для однородного по объёму распределения электронов,
когда исчезают производные по времени и координате. Часто для решения
уравнения Больцмана используют методы последовательного приближения
(метод прямой итерации) или непрямой метод Монте-Карло моделирования
движения электронов в к,г, /-пространстве (импульс, координата, время).
Найденную из решения уравнения Больцмана функцию распределения
используют для нахождения макроскопических параметров полупроводника:
тока электронов, их средней энергии и средней по ансамблю электронов
дрейфовой скорости Vj в поле F.
Наиболее употребительным на практике является приближение, при
котором так называемый столкновительный член уравнения Больцмана (столк-
новительный интеграл) удаётся записать с использованием понятия времени
релаксации i(k). Смысл этого параметра легко понять при рассмотрении
следующего простого выражения:
'df) =^4 (13.1.1)
'столк
dt
где х{к) - время релаксации.
Время релаксации - это время, в течение которого разность между
неравновесной и равновесной функциями распределения после выключения
внешнего воздействия (поля) уменьшается в е (~ 2,73) раз.
Обычно приближение времени релаксации является обоснованным, если
процессы рассеяния либо приводят к случайному распределению скоростей
(вероятность перехода otFq к -V или к+V одинакова), либо изменение энергии
при столкновении невелико. Для качественной и наиболее наглядной оценки
изменения дрейфовой скорости и энергии электронов в однородно
легированном полупроводнике в сильных электрических полях применяются уравнения
баланса усредненных импульса Vd и энергии электрона Е
d\m\E)Vd-\= m*{E)Vd
dt xp(E) '
dF
^ = qFVd-(E-E0)/xE(E), (13.1.3)
dt

3k0T
гдеEq = средняя тепловая энергия в отсутствие внешнего поляF;x р(Е)
и хЕ(Е)- времена релаксации по импульсу и по энергии соответственно.
В условиях стационарности, а именно, их мы ввели в начале
рассмотрения, можно записать
d(m * Vd )/dt = dE/d(=0. (13.1.4)
Иначе говоря, мы считаем, что в течение рассматриваемого промежутка
времени энергия электрона и импульс неизменны. Это дает возможность
получить из уравнений баланса выражения для времени релаксации по
импульсу и по энергии в следующем виде:
Tp(Es) = mVds/(qFXTE(Es) = (Es - EQ)/(qFVds), (13.1.5)
здесь индекс s означает стационарное значение.
Именно такими уравнениями в основном и пользуются при оценке
максимальных дрейфовых скоростей и при описании динамики их изменений во
времени.
Эти оценки обычно сравниваются с результатами компьютерных
расчетов методом Монте-Карло, чему посвящено огромное количество работ.
Заметим, что ЭВМ-эксперименты обычно легче и дешевле реальных.
Известно, что время релаксации по импульсу, как правило, много короче
времени релаксации по энергии, так как упругие столкновения до
растрачивания накопленной в электрическом поле энергии могут произойти
неоднократно. Это означает, что средняя частота столкновений носителей заряда с
центрами рассеяния в кристалле, а следовательно, и дрейфовая скорость, также
определяется величиной времени релаксации по импульсу
qxJE)F
Vd= P; = VlF, (13.1.6)
т (Е)
где ц=—- подвижность носителей заряда.
т (Е)
Из (13.1.6) видно, что зависимость подвижности от напряженности
электрического поля определяется зависимостью тр(Е) через среднюю энергию
электрона, зависящую от внешнего поля.
Экспериментальные ВАХ полупроводников позволяют определить ц,
затем Vd и, наконец, - т. Во всех полупроводниках дрейфовая скорость растет с
ростом электрического поля только до некоторых максимальных значений, а
затем либо насыщается (кремний - рис. 13.2а), либо уменьшается (AjjjBy -
рис.13.26).

Рис. 13.2. Экспериментальные зависимости скорости электронов (1^) и дырок (5) в
кремнии от напряженности поля (а); зависимость дрейфовой скорости электронов
от напряжённости электрического поля для GaAs (1-2) и AlGaAs (3) (б)
Рис.13.3. Зависимости времён релаксации импульса и энергии от разницы между
средней и тепловой энергией в Si и GaAs при Т = 296 К
Как мы увидим далее, зависимость дрейфовой скорости от поля
определяется не только механизмами рассеяния, но и структурой энергетических зон.
В валентных или одноатомных полупроводниках, какими являются Ge и
Si, основной причиной ограничения темпа роста дрейфовой скорости
является рассеяние на оптических фононах.
Как уже было сказано выше, в отличие от почти упругого рассеяния на
акустических фонолах, рассеяние па оптических фонолах является резко пе-
упругим и более того вероятность рассеяния на оптических фононах на
порядок выше вероятности рассеяния на акустических фононах.
Как только энергия электрона становится выше энергии оптического фо-
нона, частота рассеяния резко растет, а значит, время релаксации резко
падает. Частота рассеяния представляет собой вероятность рассеяния электрона с
волновым вектором к в единицу времени.
Это сугубо неупругое рассеяние на оптических фононах ограничивает
рост энергии электронов и приводит к насыщению дрейфовой скорости.

Иначе говоря, резкое увеличение частоты столкновений электронов при
энергиях выше энергий оптических фононов и увеличение вероятности
взаимодействия электронов с этими фононами компенсирует рост т „ при
дальнейшем увеличении электрического поля.
Но как видно из рис. 13.3, время релаксации импульса и энергии, а
следовательно, и подвижность электронов для GaAs начинают падать с
дальнейшим увеличением их энергии. Это сильное падение обусловлено еще
одним дополнительным механизмом рассеяния): эффектом междолинного
переброса.
Для описания этого добавочного механизма рассеяния необходимо
обратиться к энергетической диаграмме GaAs (рис. 13.4).
Из энергетической диаграммы видно, что энергии минимумов L - и X -
долин располагаются выше минимума/"-долины. Энергия минимума
L-долины относительно минимума Г -долины составляет ErL и 0,3 эВ, а X
-долины -ErL -0,47 эВ.
Междолинный переброс электрона из нижней Г -долины в верхние L - и
X - долины происходит, как только энергия электрона в /"-долине достигает
значений энергий, близких к минимумам верхних долин. Как видно из
энергетической диаграммы, центральная /"-долина имеет большую кривизну по
сравнению с боковыми / - и X -долинами. Это означает, что в Г -долине
эффективная масса меньше, а подвижность больше, чем в L и X.
Но в то же время, вследствие большей эффективной массы, плотность
состояний в боковых долинах много выше, чем в центральных
Nc=2
Ант KqI
(13.1.7)
J
Vr \
Еп\
EL у
E
/Г
Jr
J S^
/ Ex
Eg
;
Em
^^N. i'ioo
лЛ
3
2 4 4 6 8 20 40 60 E, кВ/см
Рис.13.4. Энергетическая диаграмма (зависимость Е(к) для GaAs
Рис. 13.5. Зависимость распределения горячих электронов
в L - и X -долинах зоны проводимости GaAs от электрического поля

По этой причине, если электроны в /"-долине приобретают энергию
вблизи или выше энергии боковых минимумов, то вероятность найти его в
боковой долине становится значительно выше, чем в центральной /"-долине.
Это означает высокую вероятность междолинного перехода.
Междолинный переход происходит с участием оптических и акустических фононов с
большим волновым числом, соответствующим разнице волновых чисел
между центральной и боковыми долинами.
Возможен и обратный переход из боковых в центральную долину.
Электроны, совершившие такой переход (перешедшие в Г -долину), теряют в
величине средней направленной скорости, т. е. их дрейфовая скорость в момент
перехода в среднем стремится к нулю. Этот эффект внешне очень похож на
воздействие неупругого рассеяния на оптических фононах в Si. Наличие в
ансамбле электронов в Г -долине определенного количества электронов,
которые претерпели обратный переброс, приводит к ускорению насыщения
скорости при меньших энергиях, чем те, которые характерны для средней
дрейфовой скорости электронов в /"-долине.
Основная масса электронов, претерпевших переброс в верхние долины,
опять же вследствие высокой плотности состояний в них, остается в этих
долинах (рис.13.5).
Из рисунка видно, что с ростом электрического поля сначала заполняется
L -долина, а затем X -долина. Междолинный переброс ведет к снижению
средней дрейфовой скорости электронов, так как подвижность и дрейфовая
скорость электронов верхних долин меньше, чем электронов /"-долины.
С учётом приведенного распределения, можно оценить среднюю
скорость электронов в канале транзистора при заданном значении
электрического поля
АпУп, (13.1.9)
/ "о
где Апг + AnL + Апх = «о _ сумма долевых вкладов электронов в разных
долинах.
В результате перезаселения долин для GaAs и некоторых других
полупроводников дальнейший рост поля с определённого момента не
увеличивает, а уменьшает величину дрейфовой скорости.
Проведённые на основании вышеизложенного расчёты показывают, что
стационарная максимальная дрейфовая скорость в полупроводнике не может
превышать величины (1 - 3)-10 см/с при Т = 300 К. Это, казалось бы,
накладывает принципиальное ограничение на быстродействие приборов. Однако в
динамическом режиме и коротких образцах можно получить дальнейшее
увеличение дрейфовой скорости электронов в полупроводниках.

2.13.2. Всплеск во времени дрейфовой скорости
при воздействии электрического поля
Рассмотрим теперь, что произойдет с величиной дрейфовой скорости
(имеется в виду максимальная дрейфовая скорость) в динамическом режиме.
Иначе говоря, будем прикладывать к полупроводнику электрическое поле в
виде импульса с крутым передним фронтом. Задача заключается в том, чтобы
отрезок времени, на котором действует поле, был короче времени между
столкновениями -т „. Следовательно, на протяжении этого отрезка времени
электрон будет «бесстолкновительно» разгоняться до величины дрейфовой
скорости, определяемой обычной формулой для ^(13.1.6), где только время
релаксации т „ будет заменено на отрезок времени / - длительность импульса
приложенного напряжения.
Vd=qFt/m\ (13.2.1)
где/<т р.
Исходя из этих простых рассуждений, можно ожидать, что в достаточно
сильных электрических полях скорость Vj достигнет величин значительно
больших, чем в случае воздействия более протяженного во времени
стационарного электрического поля той же величины, когда включаются механизмы
рассеяния, уменьшающие скорость.
Для определения оптимальной протяженности во времени
прикладываемого к образцу (каналу транзистора) импульса поля проводят исследования,
используя ступеньки напряжения с идеально резким фронтом.
На рис. 13.6 приведены рассчитанные по методу Монте-Карло
зависимости дрейфовой скорости в Si для температуры 300 и 77 К; на вставке
изображена зависимость напряженности электрического поля (£=10 кВ/см) от
времени. Кроме того, показано изменение средней энергии электронов. Видно,
что изменение дрейфовой скорости во времени для таких условий
характеризуется начальным всплеском (overshoot), который достигает максимума, а
затем быстро спадает до стационарного значения.
Весь процесс разгона и затухания, как видно, происходит за время
0,5-1 пикасекунды.
Электроны сначала разгоняются до скорости см/с, а затем (~ через
т „ = 0,1 пс при 77 К), достигнув энергии оптических фононов, начинают
активно рассеиваться на них и теряют накопленный добавок к стационарной
скорости. Именно за это время, примерно равное 0,1 пикасекунды, дрейфовая
скорость Vd спадает до стационарного значения, т.е. в сумме, всего за 0,2 - 0,4
пс, дрейфовая скорость достигает стационарного значения, характерного для
2
сильного электрического поля £ = 10 кВ/см (Frf = 1300 10-10 В/см
Вс
= 1,3-107 см/с).

0,5 1,0
Расстояние, мкм
0,5 xlL in
Рис. 13.6. Дрейфовая скорость и средняя энергия электронов в Si
от времени при воздействии прямоугольного импульса электрического поля.
Кривые 1 и 3 для 7Т = 293 К , 2 - Т= 11 К
Рис.13.7. Профиль плотности доноров вдоль канала в п+ -i-n+ GaAs
Рис. 13.8. Нормализованные потенциал и, концентрация доноров п0 и концентрация
электронов в зависимости от нормализованного расстояния XJL, где L -длина канала
Из рисунка также видно, что средняя энергия электрона при этом плавно
растет во времени, насыщаясь практически в момент достижения
стационарного значения Vd.
Подводя итоги всего сказанного в этом разделе, можно сказать, что эффект
всплеска скорости во времени (overshoot) позволяет получить максимальные
дрейфовые скорости в несколько раз больше их стационарных значений.
—13
Величины времен релаксации, получаемые при этом, тр«10 с
т £ « 10 "с позволяют предполагать, что возможности использования
исследуемых полупроводниковых материалов сохраняются до 100 -ь 500 ГГц.
Всплеск дрейфовой скорости в коротких структурах
Итак, мы показали, что на коротких отрезках времени можно получить
значительное (в разы!) увеличение дрейфовой скорости.

Если приложить к каналу транзистора соответствующее электрическое
поле так, чтобы электроны пролетали активную область за очень короткий
промежуток времени, то средняя дрейфовая скорость в этой области окажется
значительно выше стационарной.
Теперь проведем элементарную оценку. Если скорость электрона будет
7 —5 —12
на уровне 10 см/с, то он пролетит область 10 см (0,1 мкм) за 10 секунды.
Это означает, что ожидаемый всплеск дрейфовой скорости во времени будет
достаточно длительным, т. е. будет существовать во все время пролета. Иначе
говоря, этот всплеск скорости во времени приведет к всплеску скорости в
субмикронных структурах по пространственной координате на всю толщину
структуры. Если перевести это рассуждение в термины, описывающие работу
транзистора, то всплеск дрейфовой скорости в пространстве обеспечит
повышение быстродействия и уменьшение задержки сигнала в транзисторе.
Следует осознать, что наши рассуждения о всплеске скорости во времени,
в основном, основывались на изменении параметров полупроводников в
условиях воздействия «теоретического импульса» со сверхрезким фронтом
(субпикосекундным!), что практически почти нереально. В то же время
осуществление всплеска скорости в пространстве - явление, реально
реализуемое в полупроводниковых структурах. И, что самое важное,
пространственный всплеск скорости носит стационарный характер.
Необходимый скачок (резкое увеличение электрического поля)
реализуется за счет заранее заданной неоднородности полупроводниковой структуры
по координате. Когда электроны попадают в область резкого изменения
электрического поля, они испытывают резкое изменение скорости или, иначе
говоря, эффект всплеска. Такой неоднородной структурой может служить
хорошо известная и легко осуществимая п+ -i-n+ структура. Такая структура
была получена с помощью двусторонней имплантации Si в пластину GaAs. В
результате последующего отжига дефектов и неизбежной в таких случаях
диффузионной разгонки была получена структура с распределением
концентраций, показанным на рис. 13.7.
На рис. 13.8 изображены рассчитанные с использованием рис. 13.7
величины: концентрация доноров, концентрация носителей заряда и потенциал
(всё в относительных единицах) в зависимости от нормализованного
расстояния X/L. L - длина, которая по расчету равна 0,75 мкм. К этой структуре
прикладывался длинный импульс напряжения (300 пс), длинный, естественно, по
сравнению с временами релаксации, которые, как отличалось выше, будут
порядка 1 пикасекунды (тимп »тр).
Исходя из этого соотношения, такая большая длительность импульса
может быть трактована просто как подключение «постоянного» напряжения к
структуре. Амплитуда импульса изменялась от 0,2 до 10 В. Измерения
проводились при комнатной температуре.

Если вспомнить, как должна бы при этом вести себя дрейфовая скорость,
то ясно, что она сначала должна была бы расти, пока энергия, полученная
электроном от поля, не достигла энергии переброса, а затем упала бы до
стационарных значений из-за междолинных перебросов и рассеяния на
оптических фононах.
Но эти эффекты начинают сказываться только при значительно больших
полях, что и приводит к насыщению роста тока. До такого насыщения рост
тока обусловлен наличием пространственного всплеска дрейфовой
скорости - пространственным «over-shoot»oM.
2.13.3. Баллистический транспорт
в полупроводниках и субмикронных приборах
Если вернуться к более микроскопическому анализу процессов,
рассмотрение которых проводилось в разд. 13.2, то их можно описать так.
Электрон переходит при взаимодействии с электрическим полем в
возбужденное состояние, затем происходит переход к равновесию в результате
взаимодействия (столкновений) с различными дефектами. Чаще всего для
этого достаточно одного-двух столкновений. Отсюда можно заключить, что
время релаксации (время, за которое возбуждение электрона уменьшается в е
раз) порядка времени, необходимого для прохождения длины свободного
пробега электрона,
LCB=V-x. (13.3.1)
Известно, что в общем случае время релаксации есть функция энергии.
Снова разделим по смыслу время релаксации на два: т £ — время релаксации
по энергии ихр-время релаксации по импульсу, причем, так какх р <хЕ, то
Lp=TpVt<LE=TEVt. (13.3.2)
Это означает, что нужно сравнить размеры активной области с этими
длинами релаксации. Кроме того, отметим, что в игру включился эффект
увеличения дрейфовой скорости за времена менее т. „, что привело к увеличению Lp
и, следовательно, к возникновению явления, которое мы назвали
«пространственным «overshoot»OM». Другими словами, ни контакты, ни
несовершенства кристалла не успевают нарушить обычного движения электрона, что очень
похоже на свободное движение тела в классической физике.
Для лучшего понимания предстоящего обсуждения следующего способа,
используемого для повышения быстродействия за счет увеличения скорости
движения электрона, вновь рассмотрим зависимость т р и Vj от энергии
электрона (рис. 13.10).
На рисунке (вверху) изображена зависимость от энергии интегральной
частоты (темпа) рассеяния, внизу приведена скорость, которую может до-

Рис. 13.10. Интегральная частота столкновений в Г -долине (а) и скорость
электронов (б) в зависимости от энергии электронов
Рис.13.11. Влияние электрического поля различной конфигурации, приложенного
к образцу полупроводника, на энергию и скорость электрона
стичь электрон в центральной долине. Штриховая линия внизу - это
параболическая долина, откуда и взято значение эффективной массы, необходимой
для расчета. Точка 1 - энергия оптического фонона, точка 2 - энергия
междолинного перехода. Понятно, что высокую скорость можно получить для
электронов, обладающих энергией ниже энергии оптических фононов и
междолинного перехода. Из рисунка хорошо видно, что в первом случае мы полу-
7 R
чим скорость не выше 3,5 • 10 см/с и порядка ~ 10 см/с во втором. Последний
случай, конечно, более интересен для практики.
Теперь нам нужно отыскать наилучший путь достижения этого состояния
электронной системы, когда энергия электронов была бы чуть меньше
энергии междолинных переходов, а скорость и энергия изменялись бы вначале как
можно более резко.
Для этого имеет смысл рассмотреть возможность влияния
электрического поля различной конфигурации.

На рис. 13.11 приведены результаты расчетов методом Монте-Карло
для электрического поля в виде ступеньки бесконечной протяженности
(первый случай, рис. 13.11 а) и очень короткого импульса поля (второй
случай, рис. 13.116).
Первый случай (вверху) - типичный случай всплеска дрейфовой
скорости, когда постоянное поле (или ступенька в 7 кВ/см) прикладывается к
ансамблю электронов, находящихся в термическом равновесии. Этот всплеск
продолжается до тех пор, пока энергия электронов не приблизится вплотную
к энергии междолинных переходов.
Так как время наблюдения (воздействия поля) достаточно короткое, то
скорость при этом еще не спадает до стационарного состояния и в определен-
ных пределах она достигает высокого значения (Vd > 10 см/с). Однако сразу
видно, что из-за широкого распределения скоростей во времени, полученные
скорости ниже, чем мы могли бы получить для энергий, близких KErL. Это
означает, что в постоянном поле накопленная энергия, которая должна
увеличивать скорость, интенсивно рассеивается на оптических фононах и скорость
падает. Необходимо отметить также, что из-за инерционных явлений (разгон
термолизованных электронов) увеличение скорости сопровождается
неупругими столкновениями.
На рис. 13.156 представлен второй случай, когда набор энергии и
скорости происходит в течение короткого импульса большой амплитуды ~70
кВ/см. Видно, что электрон за короткое время достигает величины скорости
на порядок большей стационарной, а энергия не доходит до энергии
междолинных переходов (EpL). После окончания импульса скорость и энергия
начинают релаксировать, причем обе величины спадают.
Резкий рост скорости во время действия импульса (или, иначе говоря,
отсутствие широкого расплывания во времени) обусловлен именно малым временем
воздействия поля - отсутствием за это время существенного влияния рассеяния.
Ничего (почти ничего) не тормозит рост скорости. Однако, как только такое
значение скорости будет достигнуто, необходимо выключить электрическое поле,
чтобы не дать энергии увеличиться до энергии междолинных переходов.
После выключения электрического поля электроны будут продолжать
двигаться в направлении поля по инерции или, как принято говорить,
движение будет носить баллистический характер. В этом случае можно считать, что
электрон движется по классическим законам, когда время пролета равно
просто расстоянию между контактами, деленному на скорость пролета (конечно,
если расстояние между электродами мало, т.е. это расстояние меньше длины
свободного пробега, обусловленного временем релаксации по импульсу -
d<Lp). Это значит, что движение происходит либо без столкновения с
дефектами, либо с небольшим количеством актов рассеяния. Движение электронов

будет в основном характеризоваться их инерцией, а столкновения очень редко
изменяют их регулярное движение.
В механике движение такого свободно брошенного тела описывается
баллистической траекторией. Этот термин произошел от греческого слова
«ballo», что означает «бросаю». Затем возникло немецкое слово «Balistik» -
наука, изучающая законы движения артиллерийских снарядов, пуль, которые,
как известно, вылетают из ствола под давлением пороховых газов, а затем
летят по инерции.
В научно-технической литературе в настоящее время используется
следующая терминология:
Бесстолкновительное движение электронов называется баллистическим,
а с единичным или небольшим количеством актов рассеяния -
квазибаллистическим.
Необходимо сказать несколько слов о том, откуда же взять электроны с
такой высокой скоростью, чтобы они начали двигаться баллистически. Не
приводя подробных формул или сложных энергетических диаграмм,
рассмотрим на основании общеизвестных сведений о полупроводниковых структурах
«инжектор» таких электронов на основе гетероперехода, представляющего
собой границу между двумя полупроводниками с различной шириной
запрещенной зоны (например, GaAs и AlGaAs).
В AlGaAs электроны проводимости имеют более высокую
потенциальную энергию, чем в арсениде галлия. Когда к гетеропереходу прикладывается
электрическое поле, электроны с помощью различных механизмов могут
преодолевать барьер и переходить из широкозонного полупроводника в
узкозонный. При этом их потенциальная энергия уменьшается, но суммарная энергия
остаётся неизменной. Это значит, что кинетическая энергия возрастает, а
значит, возрастает и их скорость.
На основе данного принципа создан целый ряд быстродействуюих
транзисторов с баллистической инжекцией электронов. Энергетические
диаграммы таких приборов изображены на рис.13.12. Видно, что величина начальной
скорости инжектированных электронов определяется именно структурой
барьера эмиттер-база. Быстродействие транзистора определяется временем
пролёта этих электронов через базу. Последнее определяется как t = d^/VQ,
т.е. толщиной базы и начальной скоростью электронов. Как было показано ра-
Q
нее, эта скорость порядка 10 см/с. При этом время пролёта базы составит
доли пикосекунды.
2.13.4. Подвижность электронов
в системах с селективным легированием
Как отмечалось ранее, достижению предельного быстродействия
электронных устройств мешает наличие рассеяния частиц в реальных системах.

Поэтому важной задачей физики и технологии твердого тела является
совершенствование материалов и структур с целью получения больших времен
жизни, малых вероятностей рассеяния, высокой подвижности и управляемой
концентрации носителей заряда. Одна из проблем, возникающих при этом,
состоит в том, что носители заряда в полупроводниках создаются за счет
введения примесей, и тем самым обычно ограничивается увеличение времени
жизни и увеличивается рассеяние.
AlGaAs ■
■ GaAs
1 ^^t
1
d<
*' г
1 '.'
Легированный ■
I
Нелегированпый
и, 10"cm-j
Рис. 13.12. Энергетические диаграммы (дна зоны проводимости) баллистических
униполярных транзисторов на горячих электронах: а - гетероструктурный
с туннельным эмиттером; б-с планарно- легированными барьерами;
в — с варизонными барьерами и индуцированной базой
Рис.13.13. Зонная диаграмма гетероперехода AlGaAs-GaAs со слоем
2£>-электронов у границы. Точками обозначены ионизованные доноры,
z j - эффективная ширина области локализации 2£>-газа
Рис. 13.14. Зависимость подвижности электронов от их поверхностной
концентрации для гетеропереходов AlGaAs-GaAs с селективным легированием

Как отмечалось в п. 13.1, увеличение подвижности носителей заряда
может быть достигнуто в системах с модулированным или селективным
легированием. Гетероструктуры с селективным легированием (ГСЛ) представляют
собой системы с неоднородным распределением легирующих атомов и с гете-
рограницами, направляющими движение подвижных носителей заряда и
разделяющими носители заряда и примеси. С этой точки зрения, методика
селективного легирования полупроводниковых структур представляет собой
способ обхода ограничений, связанных с влиянием примесей на характеристики
подвижных носителей. При этом, с использованием методики селективного
легирования удается получать исключительно высокие подвижности,
представляющие интерес как для создания приборов, так и для наблюдения новых
размерных эффектов.
Рассмотрим три варианта реализации этого метода.
Первый вариант — селективное легирование широкозонного материала
структуры.
Известно, что при нанесении легированного широкозонного слоя AGaAs
на нелегированный GaAs вследствие различия электронного сродства этих
материалов у границы их раздела формируется 2/>-электронный газ. Зонная
диаграмма такой структуры показана на рис. 13.13.
Причиной перехода электронов из барьеров в КЯ является более низкая
энергия электронных состояний в КЯ по сравнению с энергией электронов,
находящихся в зоне проводимости материала барьера или локализованных в
барьерах на донорных состояниях. При этом носители заряда в КЯ
оказываются «прижаты» к потенциальной ступеньке гетероперехода электрическим
полем заряженных доноров. Результирующее поле у самой границы имеет
почти треугольную форму и квантует движение носителей.
Заряд, перешедший с примесных состояний AlGaAs через границу
раздела в GaAs, можно найти, приравнивая заряды обедненного слоя в AlGaAs и
обогащенного слоя, локализованного в КЯ, и, используя условие
непрерывности уровня Ферми на гетерогранице. Расчеты показывают, что в хорошей ге-
тероструктуре AlGaAs-GaAS потенциальная яма у гетерограницы обычно
содержит лишь две заполненные квантовые энергетические подзоны.
Существует методика расчета распределения потенциала, концентрации и
подвижности электронов в ГСЛ, а также хода потенциала.
Первыми такими ГСЛ были СР GaAs- AlxGaj_xAs, выращенные
методом МЛЭ с легирующей примесью кремния. Данные структуры специально
создавались для разделения доноров и подвижных электронов в СР с целью
увеличения промежутка времени между актами рассеяния и эксперименты
сразу же показали существенное увеличение подвижности.
В результате многочисленных исследований для увеличения
подвижности (за счет еще большего разнесения ионизованных доноров и подвижных

электронов) было предложено использовать тонкие нелегированные слои
(спейсеры) широкозонного материала непосредственно около границы
раздела (см. рис.13.13).
Для случая вырожденного 2.0-газа подвижных носителей с поверхност-
-2 ,
ной концентрацией ns см , отстоящего на расстоянии я,- от двумерного слоя
ионов с концентрацией N $ см , было получено простое выражение для
подвижности электронов
3/2
ix=\6^^-dj, (13.4.1)
П Ns
здесь dj - толщина спейсера, q- заряд электрона.
В (13.4.1) следует обратить внимание на рост подвижности с увеличением
концентрации подвижных носителей, поскольку в случае 2D-газа он
перекрывает обычное падение ц.с ростом концентрации ионов примеси N$ в случае,
когда ns = N $. Такое возрастание подвижности при больших ns связано с
увеличением фермиевского волнового вектора при росте ns и ослаблением
рассеяния на ионах примеси с ростом энергии электрона.
Возрастание подвижности электронов с увеличением ns будет
продолжаться до начала заполнения второго квантового уровня, так как при
формировании второй подзоны появляется возможность для многозонного рассеяния
электронов.
Зависимости подвижности от поверхностной концентрации электронов
ns представлены на рис. 13.14. Для изменения поверхностной концентрации в
данных экспериментах использовались фотовозбуждение и эффект поля. В
приборах, где концентрация варьировалась от 7 • 10 до 6 • 10 см- подвиж-
0,45
ность росла с ростом концентрации по степенным законам от ц.~и до
В целом за счет использования селективного легирования в гетерострук-
турах GaAs-AlxGaj_xAs при 300 К достигнуто увеличение подвижности в
два раза, а при 77 К - в десять раз. По ряду источников можно сказать, что в
настоящее время максимальная подвижность 2.0-электронов
14,4 • 10 см /В • с наблюдалась в селективно легированной GaAs - AlGaAs re-
тероструктуре со слоем спейсера толщиной 68 нм при 0,1 К. Такая величина
подвижности соответствует длине свободного пробега 120 мкм. Двумерный
11 —2
газ при этом имел концентрацию электронов ~ 2,4 • 10 см . Более того, этот
эксперимент позволил установить, что подвижность электронов и в этом
случае по-прежнему ограничена примесным рассеянием, что оставляет надежду
на ее дальнейшее увеличение.

Еще одна возможность пространственного разделения подвижных
носителей и рассеивающих центров появляется при использовании б-легирования.
Термин дельта-легирование означает получение легированного до
вырождения моноатомного слоя. Распределение легирующей примеси по
координате в этом случае напоминает 5-функцию, с чем и связано такое название.
Экранировка заряда ионизованной примеси подвижными электронами
приводит к формированию ^-образного потенциала (рис. 13.15).
При этом характерные размеры КЯ оказываются сравнимы с длиной
волны электрона, что приводит к существенному квантованию энергетического
спектра. Анализ осцилляции Шубникова-де Гааза показывает, что в КЯ оди-
ночных 5-слоев с Ns = 6 ■ 10 см ~ проявляются, по крайней мере, три уровня
размерного квантования. Вообще же N £ в одиночном 5-слое может достигать
10й см"2.
8-Si
а I
• •фа*
о о о о о о
• • • • •
о о о о о о
• • ф • •
о о о о о о
о о о о о о
♦
1 МКМ 1
о
Рис. 13.15. б-слой: а — схема легирования, б — энергетическая диаграмма
Рис. 13.16. Схема эксперимента по наблюдению
магнитного эффекта Ааронова-Бома
Рис.13.17. Микрофотография золотого колечка с токоподводами
(100)
•
As
о Ga
♦
Si
Источник
®
Соленоид

2.13.5. Эффект Ааронова-Бома
Рассматривая транспорт электронов вдоль проводящих слоев,
остановимся еще на одной идее, открывающей путь для создания
сверхбыстродействующих электронных приборов с малой мощностью переключения, в том числе
квантового интерференционного транзистора.
В 1959 г. Якир Ааронов и Дэвид Бом обратили внимание на то, что
электромагнитный вектор-потенциал должен сдвигать фазу волновой функции
электрона ф (даже в том случае, когда путь электрона лежит в области, где нет
никаких электрических или магнитных полей) на величину
Дф=-^ \(Vdt-AdS), (13.5.1)
h J
где q- модуль заряда электрона; dS и Л-элементы пути и времени на
траектории электрона; V — напряжение электрического поля; А - вектор потенциал
магнитного поля.
На рис. 13.16 показана схема эксперимента по наблюдению магнитного
эффекта Ааронова-Бома (АБ). Пучок электронов, испускаемых из источника,
в плоскости «а» расщепляется таким образом, чтобы он огибал магнитный
поток с двух сторон. В плоскости «б» парциальные электронные пучки
сливаются и электронные волны интерферируют друг с другом. Относительная фаза
электронов в двух пучках определяется магнитным потоком Ф в соленоиде,
расположенном между путями электронов. При изменении Ф будет меняться
интерференционная картина, а следовательно, электронный ток и
проводимость структуры.
Рассмотрим простейший случай, когда через плоскость «а» пролетают
два электрона с одинаковыми начальными фазами электронных волн.
Обозначив начальные и конечные амплитуды электронных волн Л,(0)и Aj(L)(i = 1,2),
коэффициент прохождения от «а» к «б» можно представить в виде
D = ^1(0)ехр(Д11) + Л2(0)ехр(Д2£)
М0) + А2ф)
Пусть в плоскости «а» электроны находились в одинаковых состояниях.
Тогда A\(0) = A2(0)nD = cos~[(ki -к2)1/2]. Если нормально к структуре
приложено магнитное поле с индукцией В, то согласно (13.10.1)
Дф = (&[ - k2)L = qO/h, здесь Ф = В ■ £эфф - магнитный поток через площадку
^ЭФФ межДУ средними линиями каналов, так что коэффициент прохождения
(13.5.2)
D = cos2(q0/2h).
(13.5.3)

Таким образом, электронный ток и проводимость структуры должны
периодически осциллировать при изменении магнитного потока Ф с периодом
h/q.
Простейшей цепью, являющейся аналогом геометрии АБ, является
колечко из тонкой проволоки с двумя токоподводами (рис. 13.17).
Если в металлических образцах размах осцилляции АБ не превышает
0,15% от среднего сопротивления, то в полупроводниковых интерферометрах
на основе 2D — электронного газа наблюдался размах осцилляции 35%. На
рис. 13.18 приведено изображение и схематический разрез такого
интерферометра на основе гетероперехода AlGaAs/GaAs. На рис. 13.19 показаны
результаты измерений сопротивления в зависимости от величины магнитного поля
при Т и 20 мК. Видно, что на осцилляции сопротивления с периодом hjq нало-
d-r,— 0,8 мкм
din— 0,4 МКМ
20 им i-GaAs
ДЭГ
^зфф- <X6t> МКМ
\ 35 им я-AlGaAs
_3 им /-AlGaAs
ДЭГ1
500HMi-GaAs
IV : 0,02 мкм
Рис. 13.18. Полупроводниковый интерферометр: а - изображение
в растровом электронном микроскопе; б—схематический разрез
Рис.13.19. Зависимость сопротивления интерферометра от магнитного поля;
на вставке - поведение осцилляции АБ в области минимума биений
Рис. 13.20. Микрофотография структуры для изучения
электростатического эффекта Ааронова-Бома [35]

жен флуктуирующий фон. Когда электроны движутся по кольцу, на их
траектории действует магнитный поток (сила Лоренца), пронизывающий материал
кольца. Этот вклад выглядит как случайные флуктуации сопротивления при
изменении магнитного поля 13. Такие флуктуации имеют гораздо больший
характерный масштаб по магнитному полю, чем первичные осцилляции АБ.
Считается, что в первом приближении различие в масштабе полей отражает
разную площадь пронизывающего потока: для периодических осцилляции
АБ поток ограничен площадью всей петли, в то время как в случайную
компоненту дает вклад только площадь проводящего канала. Таким образом,
отношение масштабов магнитных полей приблизительно равно отношению
соответствующих площадей. При увеличении магнитного поля характер
осцилляции изменяется слабо до тех пор, пока поле не достигнет столь больших
величин, при которых диаметр циклотронной орбиты (удвоенная магнитная
длина) станет меньше ширины проводящего канала и нарушается диффузное
движение электронов.
Влияние скалярного потенциала на интерференцию электронных волн
(электростатический эффект Ааронова-Бома) изучалось на устройстве,
показанном на рис. 13.20.
Это устройство представляет собой металлическую петлю с
конденсаторными электродами вдоль ее сторон. Постоянное напряжение, приложенное к
конденсаторным электродам, обусловливает накапливаемое увеличение фазы
Vdl электронов в боковых сторонах петли. При этом изменение
напряжения A.V будет вызывать осцилляции коэффициента прохождения
D = cos2 (qxbV/2h\ (13.10.4)
где т = L/v- среднее время пролета электронов через канал; Z-длина канала,
на котором действует электрическое поле; v— средняя скорость электронов.
Изменение фазы в данном случае происходит из-за изменения длины волны
электронов и определяется временем пролета участка, где действует
электрическое поле, а не площадью кольца, как в случае магнитного эффекта АБ.
На рис. 13.21 приведены результаты измерений зависимости
сопротивления от величины магнитного поля для петли (рис. 13.20) из сурьмы размером
0,8 мкм. Согласно рис. 13.2 \а фаза осцилляции Л/ов этой петле изменяется на
л при изменении напряжения, приложенного к конденсаторным электродам,
на 0,75 В. Амплитуда осцилляции при этом практически не меняется. Таким
образом, прикладывая напряжение к конденсаторным электродам, можно
менять выходное напряжение на кольце при постоянном магнитном поле.
Изменение напряжения на конденсаторных электродах приводит к
смещению осцилляции по шкале магнитного поля. На рис. 13.216 показано изме-
{ч/т

-0.80 -0 79 -0 78 -0.88 -0.87 -0.86 -0.85
В, Тл В, Тл
Рис. 13.21. Зависимость сопротивления от магнитного поля (а), изменение
сопротивления при увеличении напряжения на конденсаторных электродах (б)
нение сопротивления от магнитного поля при увеличении напряжения на
конденсаторных электродах на 0,2 В при переходе от нижерасположенной
кривой к вышерасположенной. Согласно рис. ] 3.21 б по мере роста
электрического напряжения осцилляции сдвигаются сначала в отрицательном
направлении, а после четвертой кривой обратно в положительном направлении. Также
наблюдался переворот фазы осцилляции Ааронова-Бома.
Строго говоря, в данных экспериментах эффект АБ также проявляется не в
чистом виде. Электрическое поле, проникая в проводящий канал,
непосредственно влияет на движение электронов, что меняет интерференционную картину.
Хорошо известно, что, несмотря на то, что более 90% приборов в микро и
наноэлектронике созданы с использованием кремния, существует ряд задач
которые приборы из кремния решить не могут. Имеется в виду задачи
телекоммуникации, мобильной и оптоволоконной связи, где применяются приборы,
работающие на высоких и сверхвысоких частотах, изготовленные из материалов
АЗВ5 и их твёрдых растворов. Именно поэтому необходимо знать природу
подвижности в этих материалах. И не только в «идеальном» состоянии, но и в
конкретных приборных конфигурациях. Особо важно помнить, что только
использование этих материалов даёт надежду создать монолитную схему
осуществляющую, функцию как оптического прибора (излучатель, приёмник), так и
быстродействующую электронную составляющую (усилитель, генератор, элемент
вычислительной логики). Обеспечение первой функции определяется прямо-
зонной энергетической структурой материалов АЗВ5 (кремний не прямозон-
ный материал), вторая высокой подвижностью носителей заряда в этих
полупроводниках. Хотя промышленного выпуска таких приборов пока не
существует, но огромное количество научных и конструкторских работ в этой области
внушает надежду на её решение в недалёком будущем.

2.14. Туннелирование через квантово-размерные структуры
2.14.1. Туннелирование через двухбаръерную
структуру с квантовой ямой
Ранее были рассмотрены особенности формирования пространственного
заряда в инверсионном слое у поверхности полупроводника в случае наличия
размерного квантования. Движение электрона при этом предполагалось
вдоль поверхности, например, в канале МДП-транзистора.
В то же время, за последние 20 лет появилось множество научных работ и
технических разработок, описывающих работу электронных
быстродействующих приборов, функционирование которых основано на движении
электронов поперёк квантово-размерных слоев. Понятно, что и в этом случае
толщина таких слоев должна быть достаточно малой, чтобы проявились квантово-
механические (волновые) свойства электрона. Получение таких тонких слоев
стало возможным только после развития современных технологий. Наиболее
распространённой из них является молекулярно-лучевая эпитаксия. Именно с
её помощью удаётся получать многослойные тонкоплёночные структуры с
толщиной отдельных слоев порядка десятков и единиц нанометров.
Упомянутое выше быстродействие основано на закономерностях
прохождения туннелированием электронов сквозь тонкие потенциальные
барьеры и на взаимодействии этих электронов с энергетическими уровнями
размерного квантования в потенциальных ямах, разделяющих барьеры.
Ранее было отмечено, что критерием перехода к размерному
квантованию служит уменьшение толщины слоя до величины порядка длины волны де
Бройля электрона. Именно с этого момента главным в характеристике
электрона и в его взаимодействии с внешней средой становятся его волновые
свойства. Для наглядности и ясного представления рассматриваемых реальных
величин полезно будет провести оценку длины волны электрона для металла и
полупроводника.
В своё время, из эксперимента по дифракции электронов при
прохождении их через твёрдое тело было обнаружено, что длина волны электрона А,
обратно пропорциональна его скорости
Х=—, (14.1.1)
mv
причём коэффициент пропорциональности оказался равным h/m -
постоянной Планка, делённой на массу электрона. Используя эту экспериментальную
зависимость, можно записать формулу для квазиимпульса в виде

p = mv = — = , (14.1.2)
где 2л/Л. называется волновым числом (или волновым вектором), которое, как
и в классической механике, определяет и направление движения электрона.
Таким образом,
. 2л h h | 15,4эВ п/iit*
Л = — = —= — = It^-^ нм, (14.1.3)
л р mv
где »j - эффективная масса электрона в твёрдом теле, щ - масса электрона в
вакууме, а £кин - кинетическая энергия электрона, выраженная в
электрон-вольтах. Для полупроводников отношение эффективной массы к массе
свободного электрона для приближённых расчетов может быть принято
т IniQ = 10". Кинетическая энергия при комнатной температуреЕкии = 0,025
эВ. Подставив все эти числа в (14.1.3), получим величину
Лзоол: = 25нм = 25 • 10~ мкм, что составляет, наконец, 250 ангстрем.
Для металлов, где кинетическая энергия определяется энергией Ферми
Ер = 1-10 эВ, волна де Бройля электрона на порядок и более меньше, чем в
полупроводниках. Это означает, что именно при таких толщинах тонких
плёнок или структур, содержащих слои с данной толщиной, можно ожидать
проявления волновых свойств электрона. В частности, это относится и к тун-
нелированию через тонкоплёночные структуры, которое описывается в
данной главе. Отсюда ясно, что эти эффекты технологически легче осуществить в
полупроводниках, чем в металлах, так как возможность создания тонкой
плёнки с необходимыми для проявления квантования размерами и с
сохранением монокристаллических свойств тем легче, чем больше её толщина.
Наибольший интерес с точки зрения создания новых высокочастотных
приборов вызывают не одиночные барьеры, а структуры, имеющие двойной
потенциальный барьер, разделённый квантовой ямой. Впервые подробно
такую задачу с точки зрения не только чисто квантово-механических расчетов,
но и учитывая возможное применение в электронике, рассмотрел наш
соотечественник Л. В. Иогансен.
На рис. 14.1 изображена схема тонкоплёночного туннельного триода.
Эмиттер (справа) служит источником электронов, которые туннелируют в
коллектор (слева) через два барьера и яму. Понятно, что, если энергия
электрона совпадает с энергией уровня в потенциальной яме, их поток принимает
максимальное значение. Происходит так называемое резонансное туннелиро-
вание. Надо сразу сказать, что этот термин со времени опубликования работ

6 U(z)
Ш^ШШ П
4SB М
VI г
V(z)
и,
гц(г)
z
у{7
--
--
U\
ш
Напряжение па структуре
Рис. 14.1. Тонкоплёночный резонансный туннельный триод (о);
изменение потенциальной энергии электрона в зависимости от приложенного
напряжения (б,виг):1 и 5 - металлические эмиттер и коллектор;
2 и 4- два диэлектрических барьера, между которыми
расположен тонкий проводящий резонатор 3
Рис. 14.2. Осцилляции туннельного тока с изменением напряжения
через двухбарьерную структуру
Л.Иогансена, на которые мы ссылаемся, разделился на два: резонансное
когерентное и резонансное последовательное туннелирование. Второе означает,
что при приложении потенциала к двухбарьерной структуре электрон,
энергия которого совпадает с квантовым уровнем в яме, туннелирует из эмиттера
на этот уровень. Затем тот же электрон ещё раз туннелирует через второй
барьер в коллектор.
Считается, что эффект туннелирования по первому механизму возникает,
когда электронная волна так согласуется с размерными квантовыми уровнями
в яме, что волновая функция резонансных электронов сохраняет
когерентность по всей двухбарьерной системе. В этом случае так же, как и в оптике,
амплитуда волны в яме должна расти и должно возникнуть резонансное
туннелирование через всю структуру. Именно это туннелирование называют в
литературе когерентным резонансным туннелированием в отличие от
некогерентного, которое называют последовательным резонансным
туннелированием. Надо отметить, что различие между этими двумя механизмами очень
размыто. Ранее активно обсуждались возможности использования КЯ между
барьерами в качестве резонаторов для электронных волн. Считалось, что в
отсутствие рассеяния система должна быть прозрачна для электронов,
обладающих резонансными энергиями. Это в свою очередь должно привести к
возникновению значительно большего тока, чем для некогерентного
туннелирования. Одновременно в цитируемых работах отмечалось, что для осуществле-

ния когерентного туннелирования необходимо выполнить ряд требований к
параметрам электрона и к двухбарьерной системе. Во-первых, длина волны
электрона должна быть сравнима с толщиной резонатора (квантовой ямой),
иначе невозможно будет наблюдать интерференцию. Во-вторых, длина
свободного пробега должна быть достаточно велика, чтобы электрон имел
возможность многократно пройти без рассеяния поперёк резонатора. Для этого,
кстати, он должен испытывать на границах ямы только зеркальное рассеяние
либо же с очень небольшой добавкой диффузности. Ну и, конечно, энергия
электрона должна совпадать с энергией одного из локальных квантовых
уровней в квантовой яме. Теоретическому и экспериментальному исследованию
когерентного туннелирования посвящено довольно много работ.
Большинство экспериментальных (да и теоретических) работ,
посвященных туннелированию через двухбарьерные структуры, в настоящее время
используют понятие последовательного туннелирования, поэтому дальнейшее
изложение будет посвящено более подробному изучению именно этого
механизма. Отметим сразу, что в современной литературе его чаще называют
просто резонансным туннелированием, чему мы и будем следовать в дальнейшем
изложении.
Интерес к протеканию тока через двух- и многобарьерные структуры
возник из предположительной возможности создать высокочастотные приборы
на их основе. Ранее приводилась вольт-амперная характеристика триода
(рис. 14.2), основанного на такой структуре. На рисунке хорошо видно, что ток
периодически возрастает, а затем спадает, создавая условия для
возникновения отрицательного дифференциального сопротивления. Обратим ещё раз
внимание на то, что ток падает с ростом напряжения. Именно этот феномен
указывает на наличие отрицательного дифференциального сопротивления
(ОДС). Такое уменьшение тока с ростом напряжения эквивалентно сдвигу
фазы между указанными величинами на 180°. Иначе говоря, их переменные
составляющие как бы направлены навстречу друг другу. Следовательно,
мощность переменного сигнала, равная произведению тока на напряжение,
будет иметь отрицательный знак. Это показывает, что отрицательное
сопротивление не потребляет мощности переменного сигнала, а отдаёт его во
внешнюю цепь. С помощью ОДС можно скомпенсировать потери, вносимые в
схему положительным сопротивлением, и таким образом осуществлять схемы
усилителя, генератора или преобразователя напряжения. При этом
необходимо помнить и понимать, что эта отдаваемая мощность черпается из источника
постоянного напряжения, подключённого к элементу, обладающему ОДС.
Качественное объяснение характеристики, кроме необходимости
выполнения условий туннелирования через барьер, основано на энергетической
структуре квантовой ямы. Как упоминалось ранее, она представляет собой си-

стему локальных уровней размерного квантования. Если вернуться к рис. 14.1,
то легко пояснить повышение тока после включения напряжения. Это
изменение будет связано с заполнением нижнего уровня в яме, который лежит ниже
уровня Ферми эмиттера (справа), и последующим туннелированием через
второй барьер в коллектор. При дальнейшем увеличении напряжения уровни
в яме двигаются вниз по шкале энергии относительно уровня Ферми.
Понижение первого уровня ниже дна зоны проводимости эмиттера сделает туннели-
рование через первый уровень невозможным, что вызовет уменьшение тока.
Как только незаселённый второй уровень «коснётся» уровня Ферми,
электроны начнут резонансным образом туннелировать из эмиттера в коллектор,
используя второй уровень для временного пребывания в яме. Это, естественно,
приведёт к резкому возрастанию туннельного тока. Далее картина
повторяется для следующего уровня в яме, и в результате можно предположить
осцилляции тока с изменением напряжения. Понятно, что расстояние между
пиками на этой кривой будет пропорционально расстоянию между уровнями в
яме. Это даёт возможность установить зависимость энергии электрона от
величины квазиимпульса. Иначе говоря, полученная в возможном
эксперименте осциллирующая кривая позволит установить закон дисперсии электронов.
Также анализировался вопрос о влиянии напряжения, подаваемого между КЯ
и эмиттером, что означало возможность функционирования системы в
режиме триода.
К сожалению, как это не раз случалось, практическое осуществление и
основные работы по теоретическому их обоснованию были выполнены не
российскими учёными. Это было связано с технологическим отставанием в
развитии основного метода создания туннельно-барьерных структур - моле-
кулярно-лучевой эпитаксии (МЛЭ).
Основополагающую расчетную работу в этой области в 1973 году
выполнили в соавторстве Р.Цу и Нобелевский лауреат Л.Есаки. Они провели расчет
процесса туннелирования электронов через конечную сверхрешётку. Были
рассчитаны вольт-амперные характеристики для различных предполагаемых
экспериментов. Главным условием такого мыслимого опыта было
ограниченное число периодов сверхрешётки и относительно малая длина свободного
пробега электрона.
Здесь уместно сделать несколько общих замечаний об истории
возникновения понятия, а затем и объекта исследования - сверхрешётки. Впервые (и
это признано всем научным сообществом) на возможность создать
дополнительный к решёточному периодический потенциал указал в своей давней
работе Л.В.Келдыш. Он показал, что деформации в кристалле, возникающие
при прохождении через него ультразвуковой волны, приводят к
качественным изменениям в зонной структуре. Это поле деформации звуковой волны

пространственно периодично, что в свою очередь приводит к возникновению
пространственной периодической модуляции энергии электронов с периодом
гораздо большим, чем постоянная решётки. Ширина разрешённых зон
Eq ~ 1/ X , где X - длина волны звука. Поскольку X » ciq (ag - постоянная
решётки кристалла), то для электрона, движущегося в направлении
распространения звуковой волны, спектр разрешённых энергий распадается на ряд
относительно узких разрешённых и запрещенных зон (рис. 14.3).
Эта идея о возможности кардинальной рукотворной перестройки
энергетического спектра электронов в кристалле была весьма привлекательна, так как
предсказывала возникновение ряда эффектов, не наблюдавшихся ранее. Одним
из них является возникновение так называемых осцилляции Блоха (см. гл.13),
дающих принципиальную возможность построения СВЧ приборов. Сейчас эта
проблема активно обсуждается в научной периодике и на различных
конференциях уже с точки зрения практического использования. Первым изготовил
сверхрешётку на основе гетеропереходов GaAs- AlxGa|_xAs тот же Есаки.
Интересно отметить, что одновременно с ним на Будапештской конференции в
1970 году результаты по исследованию изготовленной ими сверхрешётки
доложили советские учёные из Горьковского физико-технического института
(Ю.А.Романов с соавторами). Но они назвали свою работу просто
«полупроводниковой многослойной периодической структурой» хотя горьковчане
использовали технологию близкую к тому, что мы называем сейчас МЛЭ, а Есаки
жидкостную и газовую эпитаксию. Все это привело к тому, что их пионерскую
работу редко цитируют и не отмечают наравне с пионерской работой Есаки. Не
последнюю роль в этом очевидно сыграл и ореол Нобелевского лауреата.
В нашей стране сверхрешётку на основе слоев GaPx AS[_X и GaAs,
полученных газофазной эпитаксией, впервые создал Ж.И.Алфёров с коллегами в
том же 1970 году. Свои результаты они изложили, уже ссылаясь на первую ра-
V/
%
%
'///■
Ее А
X
Щ™™т '///>
Ес
IGaAs
А
GaAs
ШШ
ЛЗШи
Рис. 14.3. Пример построения зонной диаграммы
сверхрешётки с образованием минизоны
Рис. 14.4. Энергетическая диаграмма СР в равновесии (вверху)
и при приложенном напряжении (внизу): / - падающий поток электронов;
R - коэффициент отражения; D - коэффициент прохождения

боту Есаки. Правда, и Есаки при объяснении свойств сверхрешётки,
основанных на соотношении амплитуд модуляции зоны проводимости и валентной
зоны, ссылался на Ж.И.Алфёрова.
Всё это указывает на очень высокий уровень отечественной науки,
которой мы вправе гордиться.
Энергетическая диаграмма сверхрешётки без и при приложенном
напряжении изображена на рис. 14.4. Подробно исследовав протекание тока J через
эту систему последовательного туннелирования, было получено выражение
для расчета ВАХ многобарьерных структур.
Зависимости коэффициента пропускания от энергии, рассчитанные для
структур с двумя, тремя и пятью барьерами, представлены на рис. 14.8. С
учетом рис. 14.5 на вольт-амперных характеристиках должны появиться области
отрицательной дифференциальной проводимости.
На рис. 14.6 показаны вольт-амперные характеристики, рассчитанные для
двух- и трёхбарьерной структуры. Характеристики на рис. 14.9 рассчитаны
для случая Т = О, когда выражение для плотности тока принимает вид
■А
-6
-s
-10
-12
барьера
i т i
10 12 14 16 IS
V, вольт
0,04 0.0S 0,12 0.160,20 0,240,28 0.32 0,36
Энергия электрона, эВ
Рис. 14.5. Зависимость логарифма коэффициента пропускания
от энергии электрона для случаев двух-, трёх- и пятибарьерной структуры.
Ширина барьеров 20 ангстрем, а ям - 50
Рис. 14.6. Зависимость плотности тока для двух- и трёхбарьерной
структуры от приложенного напряжения

•/ = ^TT \{EF-Ex)DecdEx. (14.1.4)
2n2ti3 0J
Одной из важных особенностей (рис. 14.9) является соотношение
положения пика по шкале напряжений с положением такового на рис. 14.8 по шкале
энергий. Первый пик для двухбарьерной структуры лежит приблизительно
при 0,082 эВ, что соответствует положению первого квантоворазмерного
уровня в яме. Максимальное значение тока достигается в момент
приближения резонансного уровня в КЯ к дну зоны проводимости эмиттера. Казалось
бы, что для этого надо приложить к двухбарьерной структуре напряжение,
численно равное энергии резонансного уровня, которая выражается в нашем
случае во внесистемных единицах - электронвольтах. Однако же пик
возникает при напряжении порядка 0,16 В. Это связано с тем, что дно ямы, а с ним и
все остальные энергетические уровни в симметричных структурах
сдвигаются в соответствии с распределением падения напряжения в системе ровно на
половину приложенного напряжения. Это простое правило даёт возможность
в эксперименте предсказывать приблизительное положение особенностей на
ВАХ по заранее рассчитанным из параметров ямы энергиям уровней.
2.14.2. Вольт-амперная характеристика многослойных структур
Начнём с вывода выражения для расчета ВАХ СР. Будем полагать, в
соответствии с рис. 14.4, что в данном случае эмиттер находится слева, коллектор
справа, а напряженность электрического поля направлена параллельно оси х.
Предположим также, что длина структуры много меньше длины свободного
пробега электрона, т.е. на движение электрона оказывают влияние только
потенциальные барьеры.
Сначала рассчитаем ток, создаваемый электронами, движущимися слева
направо.
Выделим группу электронов с заданным импульсом рх в направлении,
перпендикулярном барьерам. Скорость этих электронов vx - рх /т и,
следовательно, все электроны, находящиеся на расстоянии, меньшем vv 1 сек от
первого барьера, за одну секунду достигнут его. Общее число электронов с
данным импульсом, падающих на 1см~ поверхности барьера за секунду,
равно vv (p)dn(p), где
dpxdpvdpz
dn{p) = fedN =2fe Их Уу Fz, (14.2.1)
(2яЙ)
здесь fe - функция распределения для электронов в эмиттере; dn(p) - число
электронов в см , имеющих заданное значение импульса рх.

Общее число переходов для электронов с данным импульсом за 1 секунду
равно
2
dle = ^—г/е(1 ~fc)Decpxdpxdp dpz. (14.2.2)
(2яй) т
Для расчета полного тока нужно проинтегрировать dJ=-dI по всем
состояниям, на которые возможны переходы. Таким образом, полная плотность
тока
Рх max Л_тах
-/- = - - - \U\-fc4pecPxdpx \pj_dpj_. (14.2.3)
о о
-g
2тГ7Гт
Интегрируя (14.2.3) по р±, получим, что плотность тока, создаваемая
электронами, движущимися из эмиттера в коллектор, будет равна
Je =
-qm kOT
2л2П2
\Dec\n
\ + exp[(EF-Ex)/(k0T)]
l + exp[(EF-Ex-qV)/(k0T)l
dEx, (14.2.4)
здесьЕх - кинетическая энергия, связанная с движением электрона
перпендикулярно слоям СР; V - внешнее приложенное напряжение; EF - энергия
уровня Ферми; Dec - коэффициент прохождения (прозрачности).
Аналогично можно получить выражение для расчета плотности тока Jc,
создаваемого электронами, движущимися из коллектора в эмиттер.
Полная плотность тока в этом случае равна
J = Je + Jc.
В результате получим, что
И=
1 -ехр
qV_
-1
\Je\ при V фО,
(14.2.5)
\J\ = 0upnV = 0.
2.14.3. Экспериментальное исследование вольт-амперных
характеристик двухбарьерных квантовых структур
Исследовались ВАХ структуры AIj_xGaxAs-GaAs- Alj_xGaxAs с
различным соотношением толщины барьеров и ямы. Эта гетеропара была
выбрана по двум соображения. Во-первых, химические связи Ga и А1 с As
практически идентичны, и ионы этих элементов имеют почти одинаковые размеры, что
обеспечивает с большой точностью совпадение постоянных решетки данных

соединений. Это даёт возможность получать методом молекулярно-лучевой
эпитаксии очень однородные тонкие плёнки с минимальным количеством
дефектов как в самих пленках, так и на границах между ними, что является
одним из главных условий наблюдения резонансного туннелирования. Вторым
аргументом выбора послужил достаточно большой барьер па гетерогранице—
порядка одного электрон-вольта при х= 1. Энергетическая конфигурация
одной из изготовленных таким образом структур изображена на вставке
(рис. 14.7).
На рис. 14.8 представлена зависимость производной ВАХ структуры с
равными толщинами барьеров и ямы.
Двухконтактная структура для измерения ВАХ представляла собой меза-
структуру диаметром 6 мкм с верхним контактным слоем из GaAs с концент-
1 О "У
рацией 10 см "". Такая же концентрация носителей заряда была в подложке.
Разница в толщинах и конфигурации этих двух частей структуры привела к
определённой несимметричности ВАХ. Полярность напряжения показывает
знак, относящийся к верхнему электроду. Для измерения кондактанса исполь-
0.9
0.6
s
О
"to
-0.3
-0.3
-0.6
-0-9.
77К
„ d/
dK
-
-
i
0.53 0,75
1л Л
10,11 0,19/ / 1
\ f |(
-» CD
о
с"
Ь-2
8 им
5 им
0.285
0.078
8 им
[■
-
-
-
-
-0,1
°{
■0.1
-0,2
|..о
=*
0,9
0.8-
уТк
_ \ 1.10
'
-
1 0,20
\ 4
i i
1.15 /
А 1
0.35 / \ /
V
4
40,
(1.363
1
(1.104
W0 А
-1.8 -1.2 -0.6 0,0 0,6 1,21',В1,8
-0,6
0,0
0,6 V.B 1,2
■0,3
Рис. 14.7. Ток и дифференциальный кондактанс в зависимости от напряжения для
структуры, энергетическая диаграмма которой изображена на вставке. На
диаграмме показаны толщины структуры и рассчитанные в соответствии с этим
положения локальных энергетических уровней в яме. На кривых стрелками
показаны напряжения, соответствующие наблюдаемым особенностям в ВАХ
Рис. 14.8. Зависимость дифференциального кондактанса от приложенного
напряжения для двухбарьерной структуры, изображённой на вставке

зовалось переменное напряжение, имеющее размах по амплитуде 2 мВ.
Заметим, что в отличие от удельной проводимости, кондактанс определяется как
отношение тока к падению напряжения на образце. Таким образом,
кондактанс представляет собой свойство образца конечных размеров, а не чисто
внутреннюю характеристику материала.
Сравнивая рис. 14.7 и 14.8, видим, что обе кривые кондактанса похожи и
характеризуются двумя парами особенностей (указаны стрелками).
Легко заметить, что величины напряжений, отвечающих указанным
особенностям, приблизительно вдвое больше значений, соответствующих
положению уровней в ямах. Например, на рис. 14.7 удвоенная величина для
первого уровня - 0,156, для второго - 0,57 хорошо соответствуют среднему для
двух полярностей напряжения - 0,15 и 0,66 В. Такое отклонение вполне
объяснимо тем, что при расчёте уровней использовались значение эффективной
массы (0,1 массы свободного электрона) и высота барьера (0,4 эВ),
предназначенные именно для оценки, а не для точных количественных вычислений.
Следующим важным вопросом является влияние температуры измерения
на исследуемые процессы, которое легко анализировать по рис. 14.9.
Прежде всего, обращает внимание полное отсутствие каких-либо
эффектов, связанных с туннелированием, на ВАХ соответствующей комнатной
температуре. Авторы справедливо связывают это с температурным размытием
локальных уровней в яме и невысоким барьером, который легко
преодолевается электронами с относительно высокой для комнатной температуры
энергией. Хорошо видно, что с понижением температуры, когда практически
исчезают перечисленные осложнения, отрицательная дифференциальная
проводимость снова чётко проявляется. Снижение температуры до 4,2 К не
приводит к ожидаемому обострению особенностей, что, по-видимому, связано с
наличием рассеяния на структурных флуктуациях и примесях. Это, в свою
очередь, задаёт дополнительное уширение локальных уровней, которое
необходимо всегда учитывать наряду с тепловым.
Таким образом, уже в ранних работах по исследованию резонансного
туннелирования проявились две существенные задачи для будущих
исследователей - резкость пика отрицательной дифференциальной проводимости и
получение этого эффекта при комнатной температуре. Как первое, так и
второе даже при поверхностном взгляде должно быть связано с совершенством и
конструкцией эпитаксиальных тонкоплёночных структур. Важную роль при
этом должны играть и материалы, из которых формируется структура.
Развитие этих вопросов начнём рассматривать по материалам.
Ток, протекающий через двухбарьерную структуру, по природе
возникновения можно выразить суммой двух компонентов
J = Jrt+Jex, (14.3.1)

CaAs AlAs GaAs AlAs CaAs
?T?
1 !
Lf,
Lw
LB
4
Lf-
\
■i L
Й1- ul-
Лсгированный Не легированный Легированный
0,2 0,3 0,4 0.5 0,6
Энергия элеетрона Ех, эВ
"'-1,2 -0,6 0,0 0,6 F.B 1.2
Рис. 14.9. Температурная зависимость кондактанса для образцов
с конфигурацией, соответствующей рис. 14.10
Рис. 14.10. Схематическое изображение двухбарьерной структуры AlAs-GaAs-AlAs
и зависимость коэффициента прозрачности от энергии электрона. Двухбарьерная
структура состоит из барьеров AlAs толщиной 2,3 нм (8 атомных слоев ) и ям
с толщиной 5, 7 и 9 нм соответственно. Полуширина пиков соответственно 180, 54
и 22 микроэВ для первых резонансов и 2900,660 и 230 микроэВ для вторых
где Jpj- — компонент резонансного туннелирования, a Jgy — избыточный (или
остаточный) компонент тока.
Задача разработчика приборов сводится к созданию структуры с
максимальным значением первого компонента и минимальным вторым.
Из рассмотрения процесса туннелирования ясно, что одним из
важнейших факторов, определяющих туннельный ток, является величина
коэффициента прозрачности/) и его зависимость от приложенного напряжения. С точки
зрения конструкции прибора, эта зависимость, в свою очередь, определяется
толщиной барьера и ямы (геометрический фактор) и высотой барьера
(энергетический фактор). Последний задаётся соотношением ширин запрещённых
зон материалов, составляющих структуру, и взаимным расположением их в
энергетическом пространстве. Чаще всего этот так называемый разрыв зон
обеспечивается в основном за счёт зоны проводимости, так что высоту барье-

pa в первых работах полагали примерно равной разности энергий
запрещенных зон.
Ток резонансного туннелирования создаётся электронами, чья энергия в
направлении движения Е% лежит в диапазоне энергий, где коэффициент
туннельной прозрачности достаточно велик. Результаты расчёта этого
коэффициента в зависимости от энергии электрона приведены на рис. 14.10.
На рис. 14.10 ясно видно, что Д а следовательно, и ток JRT будут сильно
зависеть от формы D(E). Иначе говоря, величина тока зависит не только от
амплитуды пика коэффициента прозрачности Д но и от полуширины этого пика
—АЕур. Очень важным параметром, влияющим на JR[- и J^y, являются
величины энергии, соответствующие максимальному значению коэффициента
прозрачности. Рассчитанные зависимости этих величин от толщины барьера
и ширины ямы изображены на рис. 14.11 и 14.12. При расчете авторы
полагали, что высота барьеров равна разрыву зон.
600
500
ь 300
Энергия тп
10
100
и
i i i i
0=1.355
а: 5 им
fc : 6 ны
с: 7 им
d. 8 им
■
*
„(3
^яма
1
с®
о<"
■■-ьт
т
dll)
i
0,75
1,75
2.75 Ц
бар
2,0 Ljj, им 3.0
Рис. 14.11. Результаты расчёта энергии электронов, при которой должен
наблюдаться пик коэффициента прозрачности для различных величин толщины
барьера и ширины ямы для структуры AlAs-GaAs-AlAs. Цифрами 1 и 2 обозначены
значения для первого и второго резонансного пика соответственно
Рис. 14.12. Полуширина (ширина на половине высоты) первого
и второго коэффициентов прозрачности в функции толщины
барьера для различных ширин ямы

Из рисунков видно, что энергия пика практически не зависит от толщины
барьера, но сильно зависит от ширины ямы, 1,9. В то же время полуширина в
меньшей степени определяется шириной ямы, но является сильной функцией
толщины барьера.
Теперь можно вернуться к наиболее интересной для практики величине
туннельного тока JRT. Из самых общих рассуждений можно заключить, что
этот ток должен быть пропорционален интегральному потоку электронов, чья
энергия совпадает с значениями энергий, для которых характерны большие
коэффициенты пропускания. Иначе говоря, J^j пропорционален
произведению высоты пика/)тах на его полуширину АЕхр (ширину на половине
высоты). Это произведение получило название «окно» прозрачности.
2.14.4. Диапазон рабочих частот
двухбарьерной квантовой структуры
Необходимо отметить, что большой интерес к исследованиям
двухбарьерной квантовой структуры связан со стремлением создать активные
полупроводниковые СВЧ приборы, работающие в области частот выше сотен
гигагерц, и сверхбыстродействующие переключатели с задержкой менее одной
пикасекунды. Бурный рост числа экспериментальных и теоретических работ
по созданию и исследованию таких структур привёл к появлению в
литературе различных названий и сокращений для одних и тех же структур. Это
структура с двойным барьером и резонансным туннелированием (ДБРТ, DBRT);
диоды с двойным барьером (ДБД, DBD); структура с двойным барьером
(ДБС, DBS) и, наконец, двухбарьерные квантовые структуры (ДБКС, DBQS).
Последнее название и аббревиатуру мы используем в нашей работе.
Исследование частотного предела ДБКС чаще всего начинают с анализа
выражения (14.2.3) для туннельного тока. Одним из вариантов этой формулы
воспользовались также и авторы, где она представлялась в виде
к,,
J = —Ц- \dklkr\D\2(EF-E), (14.4.1)
2/27Г2 о
здесь к р(Ер)- волновой вектор Ферми; к ,к' - величина волнового вектора
слева (эмиттер) и справа (коллектор) от структуры; Е — продольная энергия.
Причём, за нулевую энергию принята граница зоны проводимости, которая во
многих работах называется дном «моря Ферми» (рис.14.13), а туннелирова-
ние происходит в z направлении.
Это выражение получено для туннелирования электронов при смещении,
превышающем энергию Ферми -Ер ^^^смещ. (^смещ _ приложенное
напряжение) D в (14.4.1) имеет вид

D
к1Г2
кгКЕ-Е0)2+Г2]
(14.4.2)
Параметр Г называется шириной линии резонанса или просто размытием
(уширением) квантового уровня. Смысл этого понятия легко установить,
обратившись к одному из основных положений квантовой механики —
соотношению неопределённостей. Согласно этому положению координата и
импульс, энергия и время, а также другие пары динамических величин,
характеризующих состояние микрочастицы, не могут одновременно иметь точно
определённые значения. Для квантовой электроники особо важное значение
представляет соотношение неопределённости для энергии и времени.
Энергия электрона имеет определённое значение лишь в стационарных
неизменных во времени состояниях. Конечное время жизни электрона на резонансном
уровне х обуславливает «естественное уширение» этого уровня.
Неопределённость энергии в данном случае обычно и называют шириной уровня или
«уширением уровня». Ширина уровня Г связана с х соотношением
неопределенности Г = Й/х.
Кроме «естественного уширения», значительный вклад в уширение
уровней обычно вносят еще тепловое и столкновительное (релаксационное)
уширения. Тепловое уширение обусловлено температурой и, если не существует
никаких других факторов, будет порядка к^Т. Для комнатной температуры
к()Т=0,025 эВ, то есть порядка двух сотых электрон-вольта. Столкновительное
уширение определяется временем релаксации т „, которое должно учитывать
все процессы, разрушающие когерентность волновых функций.
Е
'■лШШ
ушшм
*ЛЛл
Рис. 14.13. Прохождение электрона через ДБКС при приложении напряжения V
Рис. 14.14. Эквивалентная схема ДБКС диода

С учётом смысла параметра Г выражение (14.4.1) в предположении
предельно узкого резонанса (14.4.2) можно записать
*
JSSHL-{E -Е0)Гв(Е0ЖЕР-Е0), (14.4.3)
2тгГ
здесь в(Е) - функция Хевисайда.
Из этого выражения видно, что по мере вызванного приложенным
напряжением уменьшения разности (EF - Eq ), «море Ферми» движется вверх. Или, с
другой стороны, уровень Eq будет опускаться всё ниже по направлению дна
«фермиевского моря», которое принято в данной системе за ноль энергии. При
приближении к положению Е§ = 0, резонансный поток электронов на уровень
быстро выйдет на насыщение, а затем вообще прекратится. Это произойдет в
тот момент, когда Eq = 0. При дальнейшем увеличении смещения уровень Eq
опустится ниже дна зоны проводимости, где электроны отсутствуют.
Отметим, что такая двухбарьерная структура может быть включена как
по диодной, так и по триодной схеме. В последнем случае смещение на
первый и второй барьеры можно задавать независимо. При этом ВАХ также
будет иметь участок с резким падением тока при увеличении напряжения.
Характеристики и принцип формирования ОДС ДБКС диода сходны с
теми, которые имеют место в туннельных диодах Есаки (ДЕ). Различие состоит
в том, что туннелирование в ДБКС идёт через единичный резонансный
уровень. Это меняет условие сохранения импульса при переходе электронов по
сравнению с ДЕ, где туннельный эффект имеет место между широкими зонами.
Более точный результат интегрирования (14.4.1) при Eq = 0, даёт
следующее выражение для оценки ОДС
-R„ —
4т? П3 1
q m S
г fEF^
Tarctg —-
I Г
(14.4.4)
здесь S -площадь структуры.
В радиотехнике понятие отрицательного сопротивления известно уже
давно. Наиболее часто это явление используется для создания генераторов
незатухающих колебаний. Для чего к колебательному контуру, всегда
состоящему из ёмкости, индуктивности и сопротивления, необходимо подключить
отрицательное сопротивление, чтобы скомпенсировать в нём все активные
потери. Причём, чем хуже добротность контура, тем меньшей величиной
должно обладать ОДС. Иначе говоря, чем меньше абсолютное значение ОДС, тем
активнее является данный элемент.
Для высокочастотного применения желательно иметь как можно
меньшее ОДС. Из приведенных выше выражений ясно, что оно напрямую зависит

от величины Г - ширины резонансного уровня. Чем меньше Г, тем больше
выражение в знаменателе формулы (14.4.4) и тем меньше величина Rn. В
пределе при Г —>• 0 величина Rn достигнет своего минимального значения. Отсюда
понятно, что для любой конкретной системы, как бы мы ни снижали Г, мы не
сможем получить Rn меньше, чем
_*min=J4Al I (1445)
q m S &F
Отметим также, что при Г < Ер максимальная плотность тока
пропорциональна ширине резонансного уровня Г, а минимальное ОДС не зависит от Г.
В целом влияние Rn легко проследить, используя обобщенную формулу
для расчёта максимальной частоты генерации
где R$ - последовательное сопротивление прибора; С - емкость; Rn -
отрицательное дифференциальное сопротивление.
Существует, однако, ограничение на уменьшение величины Г, связанное
с частотным пределом использования ОДС. Из упомянутого выше
соотношения неопределённости замедление процесса туннелирования (или увеличение
времени задержки) является величиной, обратно пропорциональной ушире-
нию уровня Г
Й
^задержки = ~Z-> (14.4.1)
т.е. чем Г меньше, тем больше увеличивается замедление и ухудшаются
предельные частотные характеристики проектируемого прибора. Если
определяющей является инерционность самого процесса резонансного
туннелирования, то
г 1Ш
JTT
max - *
<
^^^задержки
Если теперь исходить из экспериментально полученных значений
максимальных частот генерации (200-300 Ггц) и усиления (1-3 ТГц), то величина Г
не должна быть меньше 1 миллиэлектрон-вольта. С другой стороны, исходя
из обычного уровня легирования эмиттера (величины энергии Ферми),
диапазон существования ОДС будет порядка 54 милливольт. Таким образом, для
осуществления СВЧ применения ДБКС, уширение уровня должно лежать в
диапазоне 1 мэВ < Г < 54 мэВ. Это позволяет прогнозировать fjj^ на уровне
1-3 терагерц.

Кроме проведенной оценки максимальной частоты, исходя из величины
ширины резонансного уровня, которая получила в литературе обозначение
/т7-ах> оценку также проводят, исходя из эквивалентной схемы прибора.
Пример такой схемы представлен на рис. 14.14, где G - дифференциальная
проводимость, С - ёмкость диода, LqW - индуктивность квантовой ямы, R$ -
последовательное сопротивление.
Из рисунка видно, что в схему кроме статических параметров барьера
(дифференциальной проводимости G и ёмкости С) включены эквивалентная
индуктивность квантовой ямы и последовательное сопротивление. Расчёт
частоты отсечки по этой модели производится по формуле
f£bT=(-G/RS-G2)l/2/(2nC).
Величина ёмкости рассчитывалась исходя из параметров структуры с
использованием обычной формулы плоского конденсатора
С -e0esS/(d + w + a),
где S - площадь; w - толщина слоя обеднения; d - толщина двухбарьерной
структуры; а- толщина слоя обогащения. Квантовая индуктивность
получается из оценки сдвига фаз между током и напряжением, обусловленного
общей задержкой в ДБКС, куда наибольший вклад даёт т = /г/Г. Термины
обеднение и обогащение относятся прежде всего к нелегированным областям -
спейсерам, которые, как было уже указано ранее, вводятся для уменьшения
рассеяния на примесях, определяющих нужные свойства контактов. Кроме
того, эти области используются для согласования параметров решётки
компонентов структуры ДБКС, что улучшает границу раздела между слоями, и
таким образом также работает в направлении уменьшения рассеяния.
Спейсеры используются также и для увеличения скорости движения
электрона. Понятно, что по сравнению с временем пролёта в области
обеднения, таковое в яме можно считать мгновенным. Следовательно, необходимо
увеличивать скорость движения через область обеднения. Это достигается
увеличением протяжённости такого слоя, где при приложении внешнего
напряжения возникает обеднённый слой, в поле которого электрон достигает
максимальной скорости насыщения. Пример структуры, в которой эта
скорость vd =7,0-10 см/с, изображен на рис. 14.15.
Проведенные рассуждения были использованы для расчёта граничной
частоты fxlc реальной структуры со следующими параметрами: область
обеднения w=60 нм, толщина двухбарьерной структуры - d=6,7 нм, обогащенный

Повшючка подключения диода
Линейный ирсоиразоватсль \ Прдстосчнын
-ч - короткозамигутып
контур
п + контакту Обедненный спенсер1пл. контакт
Нсобслнсннын cuciiccp Пеобсдненнын cnciiccp
Стш шарт! iiiii'i полнород /
Согласующие волновод
W
ДБКС
Онпмр
ишкнх частот
Рис. 14.15. Структура ДБКС с встроенными нелегировапными областями
(спейсерамн). I [оказано образования обедненной области для достижения
максимальной скорости насыщения электрона
Рис. 14.16. Волноводная система, используемая в качестве резонансной
цепи при исследовании генерации в схеме с ДБКС
слой — «=9 нм. Величина последовательного сопротивления Rs для такой
структуры оказалась равной 4 Ом на постоянном токе и 6 Ом для частоты
600 ГГц. Чтобы выяснить зависимость частоты отсечки от RS, аналогичные
расчёты проводились и для Rs — 2 Ом. Величину введённой индуктивности
квантовой ямы приблизительно можно оценить по формуле
Lqw=*i/G, (14.4.8)
П
гдет,=-.
С использованием перечисленных параметров была рассчитана
зависимость частот генерации /rcl и /зт^ от величины отрицательной
дифференциальной проводимости.
Результаты расчёта показали, что для больших значений Rs различие
между /кс1 и /ту-3"4 невелико. Из этого делается вывод, что для больших
/^•граничная частота мало зависит от задержки, обусловленной уширением.
Уменьшение R$. вызванное увеличением обедненной области, приводит, в
соответствии с увеличением скорости электрона, к возрастанию
максимальной частоты до 1,1 ТГц.
Полученные результаты отражают тот факт, что основным
ограничивающим частоту фактором являются не физический предел формирования
отрицательного дифференциального сопротивления, а паразитные ёмкости и
сопротивления.
При максимальных частотах, описанных выше, паразитные емкости
полностью шунтируют ДБКС, и отрицательное дифференциальное
сопротивление исчезает.
Результаты расчётов и измерений показывают, что ДБКС приборы
действительно являются сверх высокочастотными, работающими в области гига-

герц и даже «замахиваются» на терагерцовый диапазон частот. Таким
частотам соответствует миллиметровый и субмиллиметровый диапазон длин волн.
Это означает, что измерительную схему уже невозможно построить из
обычных пассивных сосредоточенных радиотехнических элементов
(сопротивлений, ёмкостей и индуктивностей). Следует использовать, так называемую
волноводную технику и аппаратуру СВЧ. Подробное описание таких систем
не входит в задачу настоящего учебного пособия, поэтому ограничимся
только примером схемы, изображенной на рис. 14.16.
Дальнейшее совершенствование приборов на основе ДБКС и
современное состояние вопроса можно проследить.
Еще одна возможность создания источников и приемников
электромагнитных колебаний в терагерцовом частотном диапазоне в настоящее время
связывается с явлением блоховских осцилляции в полупроводниковых
сверхрешетках. Как уже отмечалось, в таких структурах период дополнительного
периодического потенциала (период сверхрешетки) в десятки раз
превосходит межатомные расстояния, что приводит к разбиению квазиимпульсных
зон Бриллюэна и разрешенных энергетических зон электрона однородных
исходных материалов на совокупность относительно узких (10 -10 см- )
мини-зон Бриллюэна и узких( 10 - 10~ эВ) разрешенных и запрещенных
энергетических мини-зон. Из-за малых размеров этих мини-зон уже при
приемлемой величине напряженности электрического поля (10 - 10 В/см) в
сверхрешетке реализуются блоховские осцилляции электрона и возникают уровни
Ванье-Штарка. Эти осцилляции и уровни обусловлены брэговскими
отражениями электрона в сверхрешеточном потенциале. При этом в сверхрешетке с
периодом 10 нм в электрических полях^(х) = 4 кВ/см частота блоховских
осцилляции Q= qF(x)a/fizi 1 ТГц. Необходимо отметить, что частота
блоховских осцилляции Q не зависит от закона дисперсии, а определяется лишь
периодом сверхрешетки и величиной электрического поля в ней. Закон
дисперсии мини-зоны проявляется в ангармонизме пространственных колебаний
электрона и для обычно используемого синусоидального закона дисперсии
(приближение сильной связи) одномерной мини-зоны сверхрешетки они
гармонические. Все это делает весьма привлекательной идею создания на основе
полупроводниковых сверхрешеток терагерцового блоховского генератора с
непрерывно перестраиваемой статическим электрическим полем частотой.
Следует однако отметить, что в сверхрешетках на основе квантовых ям,
как и в объемных полупроводниках, при любой величине электрического
поля проявляется сильное рассеяние носителей заряда на колебаниях
решетки, приводящее к быстрому затуханию блоховских осцилляции. Даже в
области очень низких температур (~10 К) время жизни блоховских осцилляции со-

ставляет всего десяток периодов осцилляции, а при комнатных температурах
время затухания становится порядка периода осцилляции. Один из путей
увеличения рабочих температур систем, использующих блоховские осцилляции,
связан с понижением размерности системы. Так показано, что возможности
управления спектром двумерных (2D) и трехмерных (3D) сверхрешеток из
квантовых точек путем изменения величины и направления электрического
поля позволяют существенно подавить в них все каналы рассеяния на фоно-
нах и уменьшить скорость затухания блоховских осцилляции в
сверхрешетках из квантовых точек до величины -10 с при частоте осцилляции
12
Q> 10 Гц. Заметим, что для сверхрешеток из квантовых ям скорость затуха-
ния блоховских осцилляции составляет ~ ] 0 с . Это значительное
преимущество сверхрешеток из квантовых точек перед слоистыми сверхрешетками
может быть использовано для создания источников и приемников излучения
в терагерцовом диапазоне частот.
В заключение необходимо обратить внимание на основное отличие всех
туннельных приборов от транзисторов с точки зрения их применения в
радиотехнических (интегральных) схемах. Это различие сводится к тому, что
туннельные диоды по своей конструкции - двухполюсники, то есть имеют только
два выходных зажима. Это приводит к большим, часто непреодолимым,
трудностям при построении многокаскадных усилительных, импульсных и других
схем, где обычно сигнал передаётся с входа на выход.
Дальнейшее развитие быстродействующей микро и наноэлектроники на
основе ДБКС в последние годы связано с разработкой трехэлектродных
резонансно-туннельных приборов. Под трёх электродными ДБКС имеются в виду
приборы получившие название резонансно-туннельные транзисторы.
Использование приборов этого типа позволило «развязать» различные
логические элементы и памяти в соответствующих функциональных
интегральных схемах. Кроме этого появилась возможность как бы комбинировать в
одном приборе электронное усиление транзистора и собственную мультиста-
бильность ДКБС.
Первые разработки таких комбинированных приборов были скорее так
называемые гибридные приборы, в которых в едином приборе
осуществлялось просто последовательное соединение РТД с гетеротранзистором
(рис. 14.17), где РТД используется практически в качестве стока.
На следующем рис. 14.18. приведены вольт-амперные характеристики
описанной конструкции. Видно, что характеристики резонансно туннельного
диода и гетеротранзистора не согласованы. Это в основном касается
изменения величины тока транзистора относительно пикового тока РТД. Изменение
затворного напряжения транзистора слабо влияет на параметры РТД и при-

InCaAs/InAIAs-HFET
Исток
МИЗУЛи
сплав
\
Затвор
IVIi/
Pt/.\u
/
Ni/Ga/Au юмггакт
w^lnGaAs
n+ InGaAs
AlA&InAs-RTD
/if IriGdAs
,,**lnAIU
H++InGaAs
AlAs Citpbep UIcttkii
AlAs галдел
Si Ь-лсгировлпк
AlAs crnucep
GaAs калач
Буфер
подложка: s.i. InP
Исток
3,0 о,:
U,4 0,6
1,0'си. В
Рис. 14.17. Резонансно туннельный диод, объединенный в монолитном
приборе с последовательно включенным гетеротранзистором.
Справа приведена принципиальная схема соединения элементов
Рис. 14.18. Характеристики гибридного прибора, показанного на рнс.14.17
сутствие последнего в качестве стока также мало влияет на характеристики
транзистора. В то же время на характеристике РТД возникают
дополнительные ступеньки, которые совсем не улучшают его выходные параметры.
Стремление к согласованию характеристик элементов схемы с целью
максимально возможного использования преимуществ обоих приборов и
создания многокаскадных ИС, привело к возникновению конструкций трёхэ-
лектродного прибора на базе РТД, где согласование характеристик
выполнено внутри самого прибора. В этих разработках ДБКС используется в качестве
различных элементов транзистора. Это могут быть как эмиттер, база,
коллектор для биполярного транзистора, так и затвор, сток, исток и даже канал
полевого гетсротранзистора. Во всех этих примерах ДБКС придаёт новые
свойства транзисторам и значительно расширяет его функциональные возможности
и зачастую и быстродействие.
На следующем рис. 14.19 приведена структура транзистора с ДБКС в
качестве эмиттера, изготовленного и исследованного авторами. Они назвали
этот прибор транзистором на горячих электронах с резонансным туннелиро-
ванием - ТГЭРТ (RHET).
Из следующего рис. 14.20 легко понять принцип работы такого прибора.
На этом рисунке показана энергетическая диаграмма ТГЭРТ, включенного с
общим эмиттером. Е\ — резонансное состояние в квантовой яме. Если
напряжение база — эмиттер равно нулю, то инжекция электронов отсутствует и
коллекторный ток также равен нулю (А). Когда же напряжение база — эмиттер
становится приблизительно равно 1Е\ /д (В), электроны начинают
инжектироваться в базу, резонансно туннелируя через квантовую яму, баллистически
(или квазибаллистически) пролетают базу и проходят над коллекторным ба-

Квантовая яма
?№l
X Эммнгтер
EFEC
Коллекторный барьер
Коллектор
А1,ОаА5ц,(50А)
rC - GaAs .•*
GaAs(50A)
„--GaAsAGGaAsu,(50A)
j (1000 А)
I Al^GaAsi^,
1 (3000 А)
гГ - GaAs
"0.0
0,1 0,2 0,3 0,4
Напряжение база-эмиттер, В
0,5
Рис. 14.19. Структура и зонная диаграмма ТГЭРТ
Рис. 14.20. Энергетическая диаграмма ТГЭРТ при трех значениях напряжения КБЭ
Рис. 14.21. Зависимость тока коллектора от смещения база — эмиттер
при различных напряжениях коллектор — эмиттер
рьером, к которому приложено положительное напряжение. Возникает
коллекторный ток. По мере дальнейшего увеличения смещения база — эмиттер
(С), коллекторный ток резко падает, так как перестают соблюдаться условия
резонансного туннелирования.
Ещё раз подчеркнём, что описываемый прибор благодаря использованию
резонансного туннелирования и баллистистического пролёта, обладает
высокими скоростными параметрами. Отметим также, что в отличие от
общепринятых гетеротранзисторов на горячих электрононах (баллистический
пролёт!) в данном приборе резонансный эмиттер инжектирует горячие
электроны с очень узким разбросом по энергии — 0,2 мэВ. При обычной инжекции
через гетеробарьер эта величина составляет величину порядка 50 мэВ. Из
рис. 14.21 видна также главная особенность созданного прибора —это наличие
на зависимости тока коллектора от напряжения база—эмиттер
отрицательного спада.
Ещё одним интересным прибором является конструкция, названная
авторами «вертикальным резонансно — туннельным транзистором для
применения в цифровых логических цепях». Отличительной особенностью этого
прибора, кроме внутреннего совмещения характеристик РТД и гетеротранзисто-

Рис. 14.22. Структура вертикального резонансно — туннельного транзистора
Рис. 14.23. Характеристики вертикального резонансно-туннельного транзистора
ра, является возможность регулировать ток прибора с помощью кольцевого
затвора Шоттки (рис. 14.22).
Особо нужно подчеркнуть, что последние два сохраняют указанные
особенности характеристик и при комнатной температуре. Именно этот факт в
сочетании с высоким быстродействием привел к конструированию
высокоскоростных интегральных схем нового поколения для вычислительной
техники на основе материалов АЗВ5. В настоящее время уже предложены и
реализованы планарные конструкции высокоскоростных устройств, в которых
интегрированы РТД и полевые транзисторы с затвором Шоттки.
Из изложенного понятно, что при соответствующих усилиях
разработчиков и вложения средств быстродействующие приборы на материалах АЗВ5
Рис. 14.24. Схема технологического маршрута создания связанных
обогащенный/обеднённый НЕМТ AlGaN/GaN
Рис. 14.25. Статические В/А характеристики приборов
изготовленных по схеме рис. 14.24

могут составить серьёзную конкуренцию кремниевой электронике. И это
касается не только традиционных транзисторовна гетеропереходах, но имеются
попытки создать аналоги КМОП структурам, чтобы использовать наработки в
схемотехнике вычислительной логики. Примером такой разработки могут
служить работы (рис. 14.24), где демонстрируются очень высокие параметры
AlGaN - НЕМТ включающей два прибора в модификации обогащения и
обеднения на непосредственно связанные на одной подложке, (аналог Si-КМОП).
Авторы утверждают, что отдельные приборы характеризовались граничной
fT и максимальной /тах частототами: для обогащенной моды 10,7 и 21,9
ГГЦ, а для обеднённой 14,3 и 28,7.
Разработки высокочастотных приборов гигагерцового диапазона,
подобные описанной выше дали мощный импульс в развитии быстродействующих
схем памяти и логических схем на материалах АЗВ5. К сожалению, до сих пор
нет обобщающих обзоров на эту тему, поэтому можно порекомендовать
материалы последних конференций типа IEDM, откуда и взяты эти примеры.
2.15. Проблемы одноэлектроники
В последнее время в связи с приближением к пределам миниатюризации
классических микроэлектронных приборов усилился интерес к приборам,
могущим обеспечить дальнейший прогресс электроники. Одним из возможных
путей такого прогресса является создание приборов, в которых контролируется
перемещение определенного количества электронов, в частности, одного
электрона. Создание так называемых одноэлектронных приборов открывает
заманчивые перспективы цифровой одноэлектроники, в которой бит информации
будет представлен одним электроном. В таких приборах перемещение электрона
происходит посредством туннелирования. Так как времена туннелирования
электрона достаточно малы, то теоретический предел быстродействия
одноэлектронных приборов очень высок. С другой стороны, работа, необходимая
для перемещения одного электрона, также мала, следовательно,
энергопотребление одноэлектронных схем должно быть чрезвычайно небольшим. Так, по
оценкам основоположника одноэлектроники К.К.Лихарева теоретический
предел быстродействия одноэлектронного прибора составляет сотни ТГц (тера-
—8
герц), а энергопотребление одного прибора -3-10 Вт.
Явление одноэлектронного туннелирования впервые было предсказано в
1986 г. нашим соотечественником К.К.Лихаревым. Через несколько лет после
первой статьи Лихарева начало появляться множество работ, в которых
описывалось экспериментальное наблюдение эффектов, предсказанных
Лихаревым. Таким образом, теория блестяще подтвердилась экспериментально.

В силу особенностей, которые будут подробно обсуждены ниже, первые
эксперименты проводились при очень низких температурах - несколько мК,
а в настоящее время одноэлектронные эффекты наблюдаются и при
комнатной температуре, однако это осуществлено лишь при использовании
сканирующего туннельного микроскопа (СТМ), и приборов, работающих при
комнатной температуре, до сих пор не создано. Устойчиво
функционирующие приборы с воспроизводимыми характеристиками существуют лишь при
температуре 4,2 К. Однако в отличие от ситуации с высокотемпературной
сверхпроводимостью, где неясно, возможна ли сверхпроводимость при
комнатной температуре, одноэлектронные эффекты при комнатной
температуре уже наблюдались и проблема заключается в создании работоспособных
приборов.
2.15.1. Теоретические основы одноэлектроники
Базовая теория кулоновской блокады. Теория одноэлектронного тунне-
лирования впервые была предложена К.К.Лихаревым. Теоретические
вопросы разбираются также в статье М.Тинхама, а также в обзорах Л.Гирлигса и ван
Хоутена. Рассмотрим теорию Лихарева подробно. Первой была описана
система из одного туннельного перехода между двумя металлическими
контактами. Пусть емкость такой системы есть С. Тогда энергия данной системы,
т.е., по сути, конденсатора, составляет
Е = ^-, (15.1.1)
1С
где Q - заряд на обкладках конденсатора. Так как заряд электрона является
дискретной величиной, то минимальная величина изменения энергии АЕ составит
2
АЕ = —, (15.1.2)
1С
где е - элементарный заряд электрона. Для наблюдения эффектов
необходимо, чтобы минимальное изменение энергии было больше температурных
флуктуации, т.е.
АЕ»кТ, (15.1.3)
где к - постоянная Больцмана, а Т - температура. Кроме этого, необходимо,
чтобы данное изменение превышало квантовые флуктуации
hG
АЕ»—, (15.1.4)
С

где G = max(G5, G,-), G,- - проводимость туннельного перехода, Gs -
проводимость, шунтирующая переход. Исходя из (15.1.4) можно записать, что
G«Rq\ (15.1.5)
где Rq - квантовое сопротивление Rq = h/Ае « 6,45 кОм.
Одно из важнейших предположений теории одноэлектронного туннели-
рования заключалось в том, что начальный заряд Qq на туннельном переходе
может быть отличен от 0, и, более того, может принимать значения, не
кратные целому числу электронов. Данный факт объясняется тем, что начальный
заряд может создаваться поляризацией близлежащих электродов,
заряженных примесей и т.д. и, таким образом, иметь любое значение. Тогда заряд Q в
уравнении (15.1.1) будет иметь вид Q = Q§-e.Wi всего вышесказанного
вытекает, что, если Q лежит в пределах от -е/2 до +е/2, добавление или вычитание
целого числа электронов будет увеличивать энергию (15.1.1), т.е. является
энергетически невыгодным. Данный вывод иллюстрируется на рис.15.1. Из
него видно, что если заряд хотя бы немного меньше значения е/2, то
добавление или вычитание одного электрона (штрих пунктирные стрелки) приводит к
увеличению общей энергии. Если же заряд превышает значение е/2, то
выгодным становится туннелирование электрона через диэлектрик. Так как
напряжение на конденсаторе V = Q/C, то при напряжениях от-е/2С до+е/2С ток
через туннельный переход протекать не должен. Говоря иначе, для того чтобы
обеспечить туннелирование через переход, необходимо преодолеть силу ку-
я.
1
с
1
1
с'
R
R-.
i
■ с, J
1
1——
С'
^——^—
X
Рис. 15.1. Зависимость зарядовой энергии перехода от заряда.
Стрелками показано добавление (вычитание) одного электрона
Рис. 15.2. Эквивалентная схема туннельного перехода
Q\2Cf
tl
II
I/
Рис. 15.3. Эквивалентная схема конструкции с двумя переходами

лоновского отталкивания электронов. Данный эффект отсутствия тока при
приложении напряжения в указанных пределах был назван эффектом куло-
новской блокады. Таким образом, кулоновская блокада- это явление
отсутствия тока при приложении напряжения к туннельному переходу из-за
невозможности туннелирования электронов вследствие их кулоновского
отталкивания. Напряжение, которое необходимо приложить к переходу для
преодоления кулоновской блокады
¥къ=е/2С, (15.1.6)
иногда называют также напряжением отсечки. В дальнейшем мы будем
придерживаться термина «напряжение кулоновской блокады» и обозначения
Рассмотрим процесс протекания тока через одиночный туннельный
переход. Так как ток является величиной непрерывной, то заряд на одной стороне
перехода накапливается постепенно. При достижении величины е/2
происходит туннелирование одного электрона через переход и процесс повторяется.
Это аналогично падению капель из неплотно закрытого крана: при
достижении некоторой критической массы капля отрывается от крана и начинается
образование следующей (такая аналогия была предложена Лихаревым). Заряд
одного электрона е накапливается при токе / за время t:e = I x t, затем
электрон туннелирует через переход. Нетрудно видеть, что процесс повторяется
периодически с частотой
f=I/e, (15.1.7)
где / - ток через переход. Такие осцилляции были названы одноэлектронны-
ми туннельными (Single Electron Tunneling-SET) осцилляциями.
Следует еще раз отметить, что наблюдение кулоновской блокады
возможно лишь при выполнении условий (15.1.3) и (15.1.5). Данные условия,
особенно температурное (15.1.3), накладывают довольно жесткие
ограничения на конструкции одноэлектронных приборов. Из (15.1.2) и (15.1.3) можно
получить значение емкости, необходимое для наблюдение кулоновской
блокады при данной температуре Т
С«е2/2кТ. (15.1.8)
Подставив численные значения е и к, получим, что для наблюдения
эффекта при 4,2 К необходима емкость « 2 ■ 10~ Ф, а для Т=11 К и Г=300 К со-
— 17 —18
ответственно «10 и « 3 ■ 10 . Таким образом, для работы приборов при
высоких температурах (выше 77 К) необходима емкость 10"18-10"19Фили
0,1-1 аФ (аттофарада).

На рис. 15.2 показана эквивалентная схема рассмотренной системы.
Прямоугольником обозначен туннельный переход. Данное графическое
обозначение для кулоновского туннельного перехода является
общепринятым. Переход характеризуется сопротивлением R и емкостью С, С - емкость
подводящих контактов. К переходу приложено напряжение V. Из
приведенной схемы видно, что если паразитная емкость С больше емкости перехода,
емкость системы будет определяться шунтирующей емкостью С. В реальных
приборах не удается получить шунтирующую емкость менее 10 Ф, что как
минимум на два порядка больше требуемой для наблюдения одноэлектронно-
го туннелирования даже при температурах жидкого гелия. Таким образом,
наблюдение одноэлектронного туннелирования в системе с одним переходом
при сегодняшнем развитии технологии является проблематичным.
Для разрешения данной проблемы была предложена конструкция из двух
туннельных переходов, включенных последовательно. Эквивалентная схема
этой конструкции представлена на рис. 15.3.
Как видно из рисунка, емкость контактов уже не шунтирует емкость
каждого перехода. Общую электростатическую энергию такой системы можно
записать в виде
=■- й + -^-, (15.1.9)
2Q 2С2
где 1,2 - индексы переходов. Физически такая конструкция представляет
собой малую проводящую частицу, отделенную туннельными переходами от
контактов, поэтому Q\ = Qi = Q - заряду, находящемуся на частице. Тогда
(15.1.9) можно переписать в виде
О2
£ = ■£-, (15.1.10)
который полностью аналогичен формуле (15.1.1), за исключением того, что
вместо емкости С фигурирует емкостьС2 =С\+С2- суммарная емкость двух
переходов, так какС^ иС2 включены параллельно, если смотреть с частицы.
Таким образом, справедливыми остаются формулы (15.1.2), (15.1.4) и (15.1.8)
при замене в них С на С2. В формулах (15.1.3) и (15.1.4) необходимо заменить
G на max(Gi,G2). Характерная вольт-амперная характеристика двухпереход-
ной системы с симметричными переходами показана на рис. 15.4.
Представлено точное решение для потенциального профиля одноэлект-
ронной ловушки. Выведено аналитическое выражение для общей свободной
энергии, соответствующей электростатической энергии, высоте барьеров ост-

400
300
200
100
0,1 0,2 0,3 К, мВ 0,4
l'Cze'
Рис. 15.4. Вольт-амперная характеристика двойного перехода при 20 мК,
для затворного напряжения 0 (сплошная кривая) и е/2С (штриховая кривая).
Точечные кривые соответствуют теоретическим расчетам для симметричного
перехода с такими же емкостью и сопротивлением
Рис.15.5. Расчетная ВАХ схемы, показанной на рис. 15.3 для различных
значений внешнего заряда (G] « G2, C\ =2С2)
ровка при наличии на нем электрона и напряжения, необходимого для
передачи единичного заряда.
Кулоновская лестница. Рассмотрим двухпереходную систему с нессимет-
ричными переходами. Темп туннелирования через 1 переход можно записать
Г, =
ЪЕ
е2&
(15.1.11)
где 5^ =eVy -е /2С\ изменение энергии на 1-м переходе при падении на нем
напряжения К] >^кб- Подставив 5£] в (15.1.11), получим
V, 1
Г, =
e2Rl 2RXCX
(15.1.12)
Аналогичное выражение можно записать для Г2. Из (15.1.12) видно, что
при различии R и С переходов будут различаться и темпы туннелирования.

Если/? и С переходов равны, то при увеличении напряжения будет
происходить плавный рост тока, так как количество пришедших на кулоновский
остров электронов будет равно количеству ушедших. При несимметричности
переходов на островке будет существовать заряд из п электронов. При
увеличении напряжения до значения, достаточного для забрасывания на островок
п + 1-го электрона, вначале будет происходить резкое увеличение тока,
обусловленное переходом с высоким темпом туннелирования. Дальнейшее
увеличение тока, обусловленное переходом с низким темпом туннелирования,
будет медленным до тех пор, пока на островок не сможет попасть п + 2-й
электрон. Таким образом, хотя ток через систему протекает непрерывно, в каждый
момент времени на островке будет существовать определенное количество
электронов, зависящее от приложенного напряжения. В результате ВАХ
двухпереходнои системы имеет ступенчатый вид, называемый «кулоновскои
лестницей». Ступеньки кулоновскои лестницы будут тем ярче выражены, чем
несимметричнее переходы, а при симметрии переходов, т.е. при равенстве RC
- постоянных, ступеньки исчезают. Семейство кулоновских лестниц,
рассчитанное К.К.Лихаревым для различных значений Qq, представлено на рис. 15.5.
На рис. 15.9 изображена экспериментальная кулоновская лестница,
наблюдавшаяся при помощи сканирующего туннельного микроскопа.
Как уже отмечалось выше, заряд Q в уравнении (15.1.1) имеет вид
Q = Qo-ne, (15.1.13)
где п- целое число электронов на кулоновском острове. Так как Q0 имеет
поляризационную природу, то, расположив рядом с кулоновским островом
третий электрод - затворный, можно управлять этим зарядом путем приложения
затворного напряжения. Следует заметить, что этот заряд можно изменять
непрерывно, пропорционально затворному напряжению. Таким образом, при
непрерывном изменении Qq, периодически будет выполняться условие
кулоновскои блокады, графически показанное на рис. 15.1. Следовательно, при
изменении затворного напряжения периодически будет возникать кулоновская
блокада, и зависимость тока через точку (или напряжения на ней при
постоянном токе) будет носить осцилляционный характер. Пример таких осцилляции
(напряжение на точке при постоянном токе через нее в зависимости от
затворного напряжения) показан на рис. 15.6.
Со-туннелирование. В системах с несколькими переходами кроме
последовательных событий туннелирования возможно также туннелирование
более высокого порядка, так называемое со-туннелирование (co-tunneling), при
котором сохраняется энергия лишь между начальным и конечным состоянием
всего массива переходов. Другими словами, массив переходов является
«черным ящиком», на входе и выходе которого энергия проходящего через него

(ЪГмВ
10 V, мВ
Рис.15.6. Зависимость напряжения на квантовой точке при постоянном токе
через нее /=30 рА в зависимости от напряжения на затворе
Рис. 15.7. ВАХ, снятая при 320 мК (а), соответствующая началу
кулоновской лестницы; производная dl/dV (б)
электрона сохраняется, однако поведение электрона на каждом отдельном
переходе неопределенно. Кроме того, возможно также неупругое туннелирова-
ние, при котором происходит генерация или рекомбинация
электронно-дырочных пар.
Квантовые размерные эффекты. Рассмотренная выше теория является
полуклассической, так как наряду с классическими кулоновскими эффектами
присутствует квантовое туннелирование. Однако в одноэлектронных
системах возможны и чисто квантовые эффекты, связанные с пространственными
ограничениями объектов.
При использовании двух- и более переходных систем между двумя
электродами находятся малые объекты, которые при определенных условиях
(геометрические размеры и температура) могут рассматриваться как квантовые
точки, т.е. нульмерные объекты, в которых энергетический спектр
представляет собой набор дискретных уровней. Проведя несложный анализ, можно
увидеть, что для А1 зерна с характерным размером 4,3 нм, для наблюдения
квантово-размерных эффектов необходима температура <1,5 К.
Для полупроводниковых точек, однако, необходимая температура будет
выше из-за более низкой плотности состояний. При наличии в зерне
отдельных энергетических уровней электрон сможет туннелировать только через
них, и на вольт-амперной характеристике одноэлектронной системы на
кулоновской лестнице будет проявляться структура энергетических уровней, что
хорошо видно на рис. 15.7, где показана одна ступень кулоновской лестницы
при наличии квантовых размерных эффектов. Подробно транспорт через
дискретные энергетические уровни в квантовой точке рассмотрен с
теоретической точки зрения в работе Исавы и Сувы. В ней обсуждается влияние флук-

туаций потенциала на транспортные свойства квантовой точки. Показано, что
наличие таких флуктуации делает пики кулоновских осцилляции
нерегулярными.
Влияние внешних переменных полей на квантовые кулоновские точки.
Несколько работ посвящены влиянию переменных внешних полей на одноэлект-
ронный транспорт. В работах Адачи и др. и Хатано и др. теоретически
рассмотрено влияние модулирования высоты потенциальных барьеров
квантовой точки на транспорт через нее. Обнаружено, что область кулоновской
блокады сдвигается из-за наличия межзонного возбуждения, появляется
резонансная структура кулоновских пиков, а также, что электрон туннелирует через
барьер до того, как он достигнет наименьшего значения, причем фаза
модулирующего сигнала, при которой происходит туннелирование, зависит от
амплитуды сигнала и от высоты и толщины барьера. В работе Зорина и др.
модулирование потенциала цепочки металлических островков происходило при
помощи поверхностной акустической волны, распространявшейся по
пьезоэлектрической подложке. Теоретически, через такую цепочку должен
протекать постоянный ток / = ±е/, где / - частота волны, а знак зависит как от
величины постоянного смещения островков, так и от направления
распространения волны. Для проверки теоретических выкладок авторы провели
эксперимент, в котором, цепочка из 8 островков с емкостями 0,1 пФ и
сопротивлениями 170 кОм модулировалась поверхностной акустической волной с частотой
/= 48 МГц. Однако было установлено, что протекающий постоянный ток
значительно меньше, чем ожидалось. Авторы связывают данный факт с
наличием неконтролируемых случайных фоновых зарядов.
Эффекты, связанные с кулоновской блокадой. Помимо собственно
эффекта кулоновской блокады в некоторых работах теоретически рассмотрены
эффекты, могущие возникать при кулоновской блокаде, и их влияние на саму
блокаду.
Так, в работе Горелика и др. рассмотрен случай, при котором кулонов-
ский островок может изменять положение относительно электродов. Такой
случай имеет место при использовании в качестве туннельных диэлектриков
органических материалов. Показано, что кулоновский островок будет
периодически менять положение относительно электродов, курсируя между ними
наподобие челнока при передаче электронов. В результате даже при
равенстве толщин туннельных барьеров возникает кулоновская лестница.
В работе Хакенбройха проанализировано влияние изменения формы куло-
новского островка в режиме кулоновской блокады. Данная ситуация имеет
место, если кулоновский остров образован ограничивающим потенциалом
(областями обеднения). Определено, что данное влияние скажется на величине
емкости островка, однако никаких качественных изменений не произойдет.

Работа Ричардсона посвящена теоретическому исследованию
возможности одноэлектронного туннелирования в туннельных диодах. Показано, что
свойства одноэлектронного туннельного диода будут существенно
отличаться от свойств обычных туннельных диодов. Среди отличий, например,
следует отметить ступенчатое изменение тока насыщения с периодом е/2С.
2.15.2. Реализация одноэлектронных приборов
Конструкции одноэлектронных приборов весьма различны, однако их
можно классифицировать по следующим признакам.
По направлению протекания тока конструкции делятся на
горизонтальные (латеральные) и вертикальные. В горизонтальных приборах направление
протекания тока параллельно плоскости поверхности структуры. В
вертикальных - направление тока перпендикулярно плоскости поверхности.
По способу формирования квантовых точек конструкции делятся на
приборы на постоянных и временных квантовых точках.
Заметим, что термин «квантовая точка» по отношению к малому объекту
не всегда корректен, так как квантования энергетического спектра может и не
наблюдаться. Однако данный термин широко используется в силу того, что
для квантования спектра достаточно понизить температуру. В дальнейшем
мы также будем придерживаться такой терминологии.
Постоянная квантовая точка существует все время и представляет собой
чаще всего какой-либо кластер (металлический или полупроводниковый).
Временная квантовая точка создается в двумерном электронном газе путем
приложения обедняющих напряжений, т.е. существует лишь во время работы
прибора. Кроме того, приборы на временных квантовых точках можно
разделить по способу формирования двумерного электронного газа на инверсные и
гетероструктурные. В инверсных двумерный электронный газ формируется в
инверсных приповерхностных каналах путем приложения соответствующего
напряжения. В гетероструктурных приборах двумерный электронный газ
существует на гетерогранице.
По количеству квантовых точек приборы делятся на нульмерные
(одноточечные), одномерные (цепочка точек) и двумерные (массив точек).
По управляемости параметрами квантовых точек приборы делятся на
неуправляемые (двухэлектродные) и управляемые (многоэлектродные, с
одним или несколькими затворами).
Рассмотрим наиболее часто встречающиеся конструкции
одноэлектронных приборов.
Приборы на основе сканирующего туннельного микроскопа. Примером
вертикального одноэлектронного прибора служит конструкция с
использованием сканирующего туннельного микроскопа (СТМ). Идея данной реализа-

ции заключается в следующем. Между проводящей подложкой и иглой СТМ
располагается некоторая малая металлическая частица (металлический
кластер), изолированная туннельными переходами как от подложки, так и от иглы.
Таким образом, металлическая частица играет роль кулоновского острова. По
приведенной выше классификации - это вертикальный нульмерный
неуправляемый прибор на постоянной квантовой точке. Следует отметить, что только
реализованный при помощи СТМ одноэлектронный прибор может работать
при комнатной температуре, что резко отличает его от всех остальных одно-
электронных приборов.
Приборы на основе СТМ различаются способом изоляции частицы от
подложки. Частица либо высаживается на тонкий изолирующий слой, либо
металлический кластер окружают изолирующие органические лиганды.
Схематический вид структуры, общий для всех работ, изображен на
рис.15.8.
Рассмотрим структуры подложка-изолятор-частица-игла. В качестве
металлических частиц все авторы использовали золото, однако материалы,
использовавшиеся для подложки и изолятора, различны. В работах Шоненберга
и др. в качестве подложки — Аи, изолятор — Zr02. Теми же материалами
пользовался ван Кемпен, кроме золота для частиц он использовал также In.
Дороги, как и Шоненберг, для подложки использовал Аи, однако в качестве изоли-
Рис. 15.8. Экспериментальная реализация двухпереходной системы:
а - игла СТМ, которая располагается над металлической частицей,
лежащей на изолирующем слое; б—металлическая частица окружена
изолирующим слоем лиганд, играющих роль туннельного барьера
Рис. 15.9. ВАХ, полученные при помощи СТМ. Толстая кривая (верхняя) -
при 300 К, штрихпунктирная кривая - дифференциальная проводимость,
полученная численно, тонкие кривые - теоретический расчет (сдвинуты
для ясности по вертикали). На вставке — кулоновская лестница при 4,2 К

рующей пленки применил полимерную органическую пленку дитиола. Уеха-
ра в качестве подложки и изолятора использовал окисленный А1. Толщина
диэлектрика у всех авторов составляет около 1 нм; способ формирования частиц
Аи схож у всех: на изолирующую пленку наносился тонкий (от 0,2 до 1 нм)
слой золота, который собирался в кластеры размером несколько нанометров,
либо на изолирующую пленку осаждались предварительно сформированные
кластеры.
В случае исследования металлических частиц, окруженных
органическими молекулами, в качестве ядра авторы применяли Pt. Шоненберг погружал
частицы в водный раствор поливинил-пирролидона, в результате чего вокруг
частицы образовывалась «шуба» из полимерных металлофильных молекул.
Ван Кемпен в качестве объекта исследования использовал кластеры
Р*309Рпеп36^30' гДе Phen ~~ молекула фенантролина.
Вольт-амперные характеристики, полученные вышеперечисленными
авторами, сходны и имеют лишь небольшие количественные различия. Все
авторы отчетливо наблюдали кулоновскую блокаду и кулоновскую лестницу
как при 4,2 К, так и при комнатной температуре. Естественно, при комнатной
температуре данные эффекты менее выражены. Типичная ВАХ приведена на
рис. 15.9.
Для исключения ложной интерпретации полученных результатов
большинство авторов измеряло также ВАХ при установке иглы СТМ не над
частицей, а над свободной поверхностью. В результате наблюдались омические ли-
2001 11,5
Рис. 15.10. Относительное дифференциальное сопротивление как функция
приведенной электростатической энергии одного электрона е2/СкТ
Рис. 15.11. Зависимость Rq от вертикального расстояния:
а—измерения; Ъ — экспоненциальная подгонка; с - а), деленное на Ь)

нейные вольт-амперные характеристики, что свидетельствовало в пользу
интерпретации нелинейных ВАХ как кулоновских эффектов.
Кроме измерения вольт-амперных характеристик многие авторы
проводили и другие исследования. Так Шоненберг изучал влияние значения
начального заряда Qq. Результаты показаны на рис. 15.10.
По вертикальной оси отложено отношение Rq/R, где /?0 -
дифференциальное сопротивление при нулевом смещении; R - асимптотическое
сопротивление при большом смещении. По горизонтальной оси отложено отношение
е /СкТ, где С - емкость, изменяющаяся с изменением расстояния между
частицей и иглой СТМ.
Кружками представлены измерения для различных частиц, сплошные
линии - рассчитаны для внешнего заряда Qq /e, изменяющихся от 0 до 0,5 с шагом
0,05. Из рис. 15.10 видно, что измеренные значения хорошо согласуются с
теорией, причем начальный заряд случайно распределен по различным частицам.
Авторы также исследовали изменение Qq с изменением расстояния от иглы до
частицы. На рис. 15.11 показаны зависимости./?^" от расстояния z. При отсутст-
S
0.С
-0.1
-0.2
-0.4
-o.t
-0.2
-0.4
-0.6
o«to JP °
° ° о^ со8° °°оо о%о о So
еда о
ч-^ь
-^
1
о
° ,
^о
ЛЦГШаш "
QD о
сдешюадв3
V о
**>
о*
1 1 1
csgfep
^8» °*° 0<&&
Оо
1
<&^><ъ
соРсгЭпю <д
°о <ge>
1 1 1
-0.4
-0.6
-0.S
-0.1
Qc
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1 П
а
8
о
о о
о°
со
30
Время, с 60
20
40
60 „ 80
Время, с
Рис.15.12.Изменение Qq от функции времени для трех различных
туннельных переходов на Аи островках при 4,2 К
Рис. 15.13. Зависимость Qq от времени для In островка при 1,3 К:
с-195мВ;6-580мВ

вии частицы зависимость имеет экспоненциальный характер (кривая а), при
наличии частицы видны осцилляции, наложенные на экспоненту (кривая Ь),
осцилляции становятся виднее при делении а) на Ь) (кривая с).
Ван Кемпен наблюдал зависимость Qq от времени. На рис. 15.12
приведены результаты для трех различных островков Аи при 4,2 К.
На рис. 15.13 приведены результаты для одного и того же In островка, но при
различных смещениях 195 мВ (а) и 580 мВ (б) при 1,3 К. Авторы предполагают,
что такое изменение связано с наличием ловушек в слое диэлектрика с временем
захвата-освобождения от 5 до 20 с. Результаты моделирования, проведенного на
основе данного предположения, соответствуют экспериментальным.
Уехара изучал эмиссию видимого света, возникающую при
инжектировании электрона с иглы СТМ в подложку. Максимальная энергия излучаемого
фотона /?vmax -eV, где V — приложенное напряжение. Данное утверждение
справедливо для макроскопических образцов. При малых размерах частиц,
т.е. при наличии кулоновской блокады, максимальная энергия должна
уменьшиться на величину Е = е2/2С, необходимую для преодоления кулоновской
блокады. Таким образом, смещение составит Д£ = М>тах —Е. Для исследова-
30
Щ
СТЬ, 0TI
!,„
5
I
\
L/'
iHh
1,94бэв'
Большая
Ширина щели
' Маленькая
t 2,026 эВ
1.5
2.0 2,5
Энергия фотонов, эВ
6
Is
2
|4
g
с
с
о •?
о -
1
5
'о
£4
ь
и
о
а
из
1
1
а
\ Игла-кластер (К2)Л00
- Подложка-кластер (R1) ^^^О^^^
i i i
б ~tr~~._
Подложка-кластер (С1)
Игла-кластер (С2)
1 1 1
■ ~и
1
3 Ток, нА 4
Рис.15.14. Спектры излучения о-большой; fe-малой частиц. Два вертикальных
штриха показывают абсолютную точность спектрографа-детектора
Рис. 14.15. Зависимость подгоночных параметров от установочного
тока I{V, z) при постоянном V

ния авторы выбрали на поверхности две частицы: «большую» площадью 490
7 9
нм и «маленькую» площадью 32 нм". Для большой частицы сдвиг АЕ
составил 3,8 мэВ, для маленькой - 58 мэВ. Таким образом, разница между сдвигами
должна составить »54 мэВ. Результаты эксперимента представлены на
рис. 15.14. Разница сдвигов составила^80 мэВ, что, по мнению авторов,
согласуется с приведенными грубыми оценками.
Дороги кроме измерений проводил численный расчет ВАХ (кулоновской
лестницы), используя в качестве параметров/?i,R2,С\,С2-
Индекс 1 соответствует параметрам кластер-подложка, 2 — игла-кластер.
Измеренная и рассчитанная ВАХ совмещались по методу наименьших
квадратов. Результаты расчетов представлены на рис. 15.15. По оси абсцисс
отложен ток I(V, z)|r=consl 7 т.е. z — расстояние от иглы до частицы.
При измерениях на металлических частицах, окруженных полимерными
молекулами, была обнаружена большая нестабильность характеристик во
времени, зависимость диэлектрической постоянной и толщины оболочки от
расстояния между иглой и частицей, что связано с природой органических
полимерных молекул.
Нейо и др. в качестве кулоновского острова использовали органические
молекулы жидких кристаллов, а также молекулы фуллерена. Кулоновские
эффекты рассматриваются как с точки зрения классической теории, так и с точки
зрения решения уравнения Шредингера. Соавторами данной работы Бакшее-
Otipai line смешение стоки Уд, В
Рис. 15.16. Схематическая диаграмма
субмикронного вертикального одноэлектронного транзистора
Рис.15.17. ВАХ структуры (рис.15.16) для прямого (а) и обратного (6) смещений

вым и Ткаченко разработана математическая модель, позволяющая
определять параметры одноэлектронных приборов по измеренным
характеристикам.
Вертикальные обноэлектронные приборы на основе сэндвичевых
структур. Одним из возможных путей реализации одноэлектронных приборов
является применение многослойных структур, выращенных при помощи моле-
кулярно-лучевой эпитаксии. Так как МЛЭ позволяет выращивать слои с
точностью до одного монослоя, то их остается ограничить в двух других
измерениях для получения объектов необходимых размеров. В качестве материала
используются главным образом гетероструктуры на основе GaAs/AlGaAs.
Остина и др. использовали двухбарьерную резонансную туннельную
структуру на основе AlGaAs/GaAs, показанную на рис. 15.16.
После выращивания двухбарьерной структуры на поверхность
наносились верхние контакты диаметром ef=0,3, 0,4, 0,5 и 0,7 мкм.
Затем, используя верхний контакт в качестве маски, стравливался слой
300 нм и наносился затворный контакт. Расстояние от затвора до
двухбарьерной структуры составляло 50 нм. Подача на затвор отрицательного
напряжения создавала области обеднения, которые ограничивали квантовую яму
между двумя барьерами. Таким образом, данная конструкция представляет собой
вертикальный управляемый прибор на одной временной точке.
В работе приведены вольт-амперные характеристики структуры: ток
стока от напряжения на стоке при различных затворных напряжениях (рис. 15.17)
и ток стока от напряжения на затворе (т.е., по сути от Qq) при различных
напряжениях на стоке (рис. 15.18). Из первой характеристики видно, что при
отсутствии напряжения на затворе структура ведет себя как
резонансно-туннельный диод, а при отрицательном напряжении на затворе, т.е. при формирова-
-1,0
1,6 К сГ-400нм
-0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0
Напряжение на затворе К , В
Сг
GaAs
шшшшщшшш
'^//М^б
GaAs
///^^/////
<=
>
У/ЛУ
ш^
ч* GaAs
Рис. 15.18. Сток-затворные ВАХ при различных напряжениях на стоке.
Кривые смещены вертикально на 10 пА для ясности
Рис. 15.19. Схематический разрез структуры

1 цгп
"?ш.
'€'
-10
-650
-600 -550 -500
Затворное напряжение, мВ
Рис. 15.20. Фотография структуры, сделанная при помощи сканирующего
электронного микроскопа
Рис. 15.21. Переменный сигнал на входе измерительного НЕМТа.
На вставке - вольт-фарадная характеристика структуры,
стрелкой отмечено положение первого пика на основном рисунке
нии квантовой точки, отчетливо видна кулоновская блокада. На второй
характеристике пики соответствуют определенному количеству электронов на ку-
лоновском острове. Все характеристики сняты при Г =1,6 К.
Этими же авторами реализована трехбарьерная конструкция, т.е.
содержащая две квантовые точки. В работе исследовано влияние взаимного
положения квантовых уровней в точках на электронный транспорт. Установлено,
что при большом несоответствии квантовых уровней кулоновская лестница
значительно подавляется.
Другая конструкция представлена в работе Ашури и др.. В целом она
аналогична конструкции Остина, однако затворный и истоковый контакт
совмещены, т.е. прибор является двухэлектродным. Схематический разрез
структуры изображен на рис. 15.19, а фотография со сканирующего электронного
микроскопа на рис. 15.20. На затвор подавалось отрицательное смещение и
малый дифференциальный сигнал на частоте 210 кГц. Измерения
проводились при «откачанных» гелиевых температурах. Результаты измерения
представлены на рис. 15.21. Каждый пик соответствует туннелированию одного
электрона на изолированный энергетический уровень в квантовой точке.
В работе Хауга и др. использовалась структура, подобная структуре
Остина, однако столбик протравливался до подложки и затворные электроды
отсутствовали. Диаметр столбика составлял 350 нм. В работе исследовалось
влияние магнитного поля на транспорт через такую квантовую точку при
температуре 22 мК. Результаты измерений (ВАХ при различных значениях
магнитного поля) представлены на рис. 15.22.

-1.0
f>
-SO -90 -100
Рис. 15.22. В АХ структуры в зависимости от магнитного поля
Рис. 15.23. Электронная фотография части массива квантовых точек
Изменение напряжения кулоновской блокады связано с изменением
положений уровней в квантовой точке под действием магнитного поля.
В работе Хауга исследуется также транспорт через систему из двух точек,
изготовленную на основе двумерного электронного газа в AlGaAs/GaAs гете-
роструктурах. Такие конструкции будут рассмотрены позднее.
Приборы на основе массивов квантовых точек. Дуруоз и др. в своей
работе представляют двумерный массив 200 х 200 точек, приготовленный следуют
щим образом. На поверхности AlGaAs/GaAs структуры с двумерным
электронным газом (ДЭГ), залегающим на глубине 77 нм, с помощью электронной
литографии создавались крестообразные точки с периодом 0,8 мкм,
промежутки между которыми протравливались на 80 нм, т.е. глубже залегания ДЭГ.
Сверху на весь массив накладывался Ci/Au затвор. Таким образом, данная
Рис. 15.24. Типичная ВАХ массива при различных затворных напряжениях.
Кривые смещены вертикально для ясности
Рис. 15.25. ВАХ массива при различных температурах, напряжение
на затворе —115 мВ. Кривые смещены вертикально для ясности

структура представляла собой управляемый планарный двумерный прибор на
постоянных квантовых точках. Электронная фотография части массива до
нанесения затвора показана на рис.15.23. Вольт-амперные характеристики
массива при различных напряжениях на затворе, снятые при 7=20 мК, показаны
на рис. 15.24. Напряжение на затворе увеличивало высоту барьера между
точками, однако было меньше напряжения, полностью обедняющего ДЭГ (630
мВ). В АХ массива в зависимости от Г представлены на рис. 15.25. На В АХ
отчетливо проявляется кулоновская блокада.
В работе Римберга и др. исследовались как одномерные, так и двумерные
массивы квантовых точек. Точки представляли собой А1 островки,
разделенные туннельными промежутками А1хОу.
Структура формировалась при помощи электронной литографии. Между
контактами располагалось 440 островков в одномерном случае и
2С0
inn
-юс
-200
<10
1°
-10
1
' '
~sf
-0.5
-1апря
i
0.0
0
жение,
5
В
iOOO
рой
i i i
^(<0В)
-40
-20
20 40
Напряжение, мВ
Верхний затвор
Нижний затвор
0,12 мкм
Оксид
10 им
v.-
Верхний затвор у „
Нижний затвор \ | Оксид La D
М#ш v ■-■■■-"**-2—
0 ,, 200 400 JSOO
. Напряжение, мкВ
Рнс. 15.26. В АХ для а — одномерного и Ъ — двумерного массивов квантовых
точек. На правых вставках показаны схемы массивов
Рис. 15.27. Схема кремниевого одноэлектронного транзистора
с двумя затворами на одиночной квантовой точке
Рис. 15.28. Схема кремниевого одноэлектронного транзистора
с двумя затворами на двойной квантовой точке

38x40=1520 островков в двумерном. Площадь туннельных контактов со-
2 2
ставляла 70 х 80 нм и 70 х 70 нм для W и 2D массивов соответственно.
Вольт-амперные характеристики вместе со схематическими диаграммами
массивов представлены на рис. 15.26.
К этим же конструкциям можно отнести прибор на самообразующихся
InAs квантовых точках, находящихся в GaAs, представленный в работе Такеу-
чи и др. На поверхность GaAs осаждалось 2,5 монослоя InAs, который
собирался в островки со средним диаметром 26 нм со стандартным отклонением
11%, плотностью 8,7 -10 островков/см". Высота островков составляла 5 нм.
Среднее расстояние между центрами островков — 26 нм, т.е. при отклонении в
большую сторону островки сливались. Небольшое расстояние между
островками создавало высокую вероятность туннелирования. В работе
исследовалась фотолюминесценция такого массива квантовых точек.
Кремниевые одноэлектронпые приборы. Конструкция, основанная на
принципе работы МОП транзистора с индуцированным каналом, предложена
Матсуокой и др.
Существует транзистор на одной квантовой точке, и — на двух.
Конструкции этих транзисторов изображены на рис. 15.27 и рис. 15.28. Затвор таких
транзисторов состоит из двух электрически не связанных частей. Подача на
Напряжение на нижнем затворе Чс 3,7 3,8 3,9 4,0 Vlc, В 4,1
Рис. 15.29. Зависимость тока стока от напряжения на нижнем затворе
для различных напряжений на верхнем затворе при 4,2 К
Рис.15.30. Зависимость тока стока от напряжения на нижнем затворе для различных
температур. Напряжение на верхнем затворе - 1В, на стоке 200 мкВ

40 nm
<■ ЛЪ. *< ...
Рис. 15.31. Схематическое изображение квантового одноэлектронного транзистора
Рис. 15.32. Фотография электронного транзистора, сделанная при помоши
сканирующего электронного микроскопа
нижний затвор положительного напряжения формирует инверсный и-канал в
/^-подложке, а подача на верхний затвор отрицательного напряжения
разрывает канал областями обеднения, формируя квантовые точки.
Эти приборы являются планарными управляемыми приборами на одной
или двух временных квантовых точках. На рис. 15.29 показана зависимость
тока стока от напряжения на нижнем затворе при различных напряжениях на
верхнем затворе для одноточечного транзистора. На рис. 15.30 представлены
аналогичные характеристики, но при различных температурах. Осцилляции
на этих зависимостях соответствуют присутствию отдельных электронов.
Леобандунг и др. сделали как электронный, так и дырочный приборы,
использующие эффект кулоновской блокады. Схематично транзистор
представлен на рис. 15.31. В кремниевой подложке создавался изолирующий слой
путем имплантирования кислорода, затем при помощи электронной литографии
и реактивного ионного травления формировался необходимый рисунок.
После этого проводилось термическое подзатворное окисление, которое
уменьшало размеры квантовой точки и увеличивало высоту потенциальных
барьеров между точкой и контактами. Сверху наносился
поликристаллический кремниевый затвор. Разница заключалась в использовании n-Si для
электронного и p-Si для дырочного транзистора.
Вышеописанные транзисторы являются управляемыми планарными
приборами на одной постоянной квантовой точке. Фотографии со сканирующего
электронного микроскопа представлены для электронного (рис. 15.32) и для
дырочного (рис. 15.33) транзисторов. Зависимость тока стока от затворного
напряжения для электронного транзистора при различных температурах
представлена на рис. 15.34. Аналогичные зависимости получены и для дыроч-

10 nm
s.bk «MwrtseSi
0,5 1,0 1,5 Ifc.B 2.0
Рис. 15.33. Фотография дырочного транзистора, сделанная при помощи
сканирующего электронного микроскопа
Рис. 15.34. Ток стока от напряжения на затворе для электронного
транзистора при различных температурах
ного транзистора. Следует отметить, что два вышеописанных транзистора
являются единственными одноэлектронными приборами (кроме реализованных
при помощи СТМ), работающими при температурах выше 77 К. Однако
вопрос о воспроизводимости 10 нм структур при помощи электронной
литографии авторами замалчивается.
^М4^
Туннельный барьер
Рис. 15.35. Схема одноэлектронного транзистора
Рис. 15.36. Фотография одноэлектронного транзистора (рис. 15.35), полученная
при помощи сканирующего электронного микроскопа

Аналогичная конструкция с аналогичными характеристиками создана
Фудживарой и др.. Однако их транзистор отличается большими размерами и
работает до температуры 28 К.
В работе Охаты и др. предложена конструкция, показанная на рис. 15.35.
Прибор изготавливался следующим образом: на поликремниевый слой
наносился толстый слой Si02- При помощи электронной литографии и
реактивного ионного травления формировался островок Si — Si02. Затем
проводилось термическое окисление для получения тонкого окисла (2 нм) на боковой
поверхности островка. После нанесения еще одного слоя поликремния при
помощи электронной литографии и реактивного ионного травления
формировались подводящие контакты, как показано на рис. 15.35.
Роль квантовой точки играл островок, туннельные контакты
осуществлялись через тонкий боковой окисел. Емкость перекрытия контактов и островка
уменьшалась за счет большой толщины SiO? (50 нм) сверху островка. В
качестве затворного электрода использовалась подложка. Классификация
прибора аналогична предыдущему.
Как видно из рисунка, площадь туннельного контакта определяется
высотой островка и шириной подводящего контакта, которые составляли 30 и 100
нм соответственно. Таким образом, емкость контактов при толщине бокового
окисла 2 нм составляла 50 aF. СЭМ-фотография структуры показана на
рис.15.36. На рис.15.37 представлены характерные одноэлектронные
осцилляции тока стока от напряжения на затворе (т.е. на подложке). Измерения
проводились при температуре 4.2 К.
Приборы на основе двумерного эчектронного газа в AlGaAs/GaAs гетеро-
структурах. Основная идея таких приборов состоит в формировании в ДЭГ
-80
-40 0 40 S0
Напряжение на затворе. В
Рис. 15.37. Зависимость тока стока от напряжения на затворе,
напряжение на стоке — ЗмВ
Рис. 15.38. СЭМ-фотография одноэлектронного транзистора

г С2
ci
0,5
1,0 1,5
G1
2,0 мкм
т
1
Рис. 15.39. Фотография одноэлектронного транзистора, полученная
при помощи атомного силового микроскопа
Рис. 15.40. Схематическое изображение прибора
квантовых точек путем приложения обедняющих напряжений к электродам
на поверхности образцов. Такие конструкции являются планарными
управляемыми приборами на одной или нескольких квантовых точках.
Различные конструкции данного тина различаются конфигурацией
управляющих электродов и количеством квантовых точек. На рис. 15.38 пред-
го
Цл- -135 мВ
Цл= -165 мВ
1&=-10мВ
Г=35«К
i
i
i
1
i
i
i
10 s
2 градуса
-700
Напряжение на затворе !£q, мЛ
Рис. 15.41. Зависимость проводимости от напряжения на затворе
для транзистора, изображенного на рис. 15.40
Рис. 14.42. Модель транзистора, по которой производилось
моделирование характеристик

ставлена СЭМ-фотография прибора из работы Bay фа и др.. Толщина
электродов около 300 нм. Прибор работает при температуре меньше 1К.
На рис. 15.39 показана фотография с атомного силового микроскопа
одноточечного прибора из работы Хофмана и др.
Прибор работает при Т=25 мК. Схематичное изображение прибора из
работы Паскьера и др. (аналогичное Хаугу) приведено на рис. 15.40. Прибор
работает при температурах менее 35 мК. На рис. 15.41 показаны характерные
осцилляции тока от напряжения на электродах, формирующих квантовую точку.
Аналогичные характеристики получены и представленными выше авторами,
поэтому мы не будем на них подробно останавливаться.
В работе Фурусаки и Матвеева для конструкции, показанной на
рис. 15.42, получена аналитическая форма зависимости линейной
проводимости структуры от затворного напряжения и температуры.
Приборы па основе структуры А1 / А1хОу / AL В приборах такого типа
используется возможность получения тонкого окисла А1.
Часто используется техника так называемого теневого испарения (shadow
evaporation), описанная в обзоре Гирлигса. Последовательные стадии данного
процесса показаны на рис. 15.43. На стадии а на трехслойный
PMMA-Ge-PMMA резист наносится рисунок при помощи электронной
литографии. Стадии b — d— последовательное травление трехслойного резиста.
Стадия е— изотропное селективное травление нижнего слоя РММА-резиста с
образованием висящих Ge мостиков. Стадия/—последовательное напыление
Рис. 14.43. Схема процесса теневого испарения (описание см. в тексте)
Рис. 14.44. СЭМ фотография двух емкостно связанных одноэлектронных
транзисторов, изготовленных при помощи теневого испарения

Рис. 14.45. Последовательные стадии самосовмещенной технологии,
использовавшейся для изготовления одноэлектронного транзистора
Рис. 15.46. Принципиальные схемы одноэлектронных инверторов:
а — емкостного и Ъ — резистнвного
А1 под разными углами, после первого напыления А1 окисляется и напыляется
еще один слой А1 под другим углом, так что тень от Ge мостика находится в
другом месте. В месте перекрытия первого и второго слоя А1 образуется
туннельный контакт. На стадии g удаляется оставшийся резист.
В работе Виссчера и др. представлены изготовленные подобным образом
приборы, фотография одного из них показана на рис. 15.44. Туннельные
переходы J| и J2 образованы перекрытием подводящих контактов и квадратным
металлическим островком. Прибор работает при Т = 60 мК.
Сходная технология описана, однако там испарение А1 используется для
изготовления шаблона: на вытравленную в резисте канавку под двумя
различными углами напыляется А1, в результате чего ширина канавки уменьшается.
При помощи этого метода достигнута ширина канавки 100 нм. Достоинство
метода состоит в простоте, так как для него достаточно обычной
фотолитографии и жидкостного травления.

Прибор, построенный на основе самосовмещенной технологии,
представлен на рис. 15.45 из работы Гётца и др. Процесс также является
многостадийным. На стадии «формируется узкая А1 полоска; Ь- наносится резист поперек
полоски; с- незакрытые резистом части полоски стравливаются; d- торцевые
части А1 полоски окисляются; е- сверху все закрывается АЛ; f - удаляется
резист вместе с лежащим на нем А1. В результате формируется прибор, в
котором остаток полоски, окисленный с торцов, примыкает к двум электродам,
являясь кулоновским островком. Ширина полоски составляла 80-150 нм,
толщина 50 нм, ширина полосы резиста поперек полоски - 150 нм. Прибор
работает до Т= 2 К.
Имеются и другие способы реализации одноэлектронных приборов,
например, в работе Кубаткина и др. описан прибор с кулоновским островком из
высокотемпературной сверхпроводящей керамики YBaCuO. Размер островка
200 х 150 х 1000 нм , прибор работает при Т = 0,5 К.
0,4г
г< —г< _ Cin_ Сои
с'~С2~т "То
R^R^OMIl
еЧ-Т (2С,)=1000
•1^2С,е-'=0,25
• rz2C, е1 = 0,3
•l'L2Ciel = 0,35
°'Ч2С,е-'°'4
1,2
"\0,9
о
ri
"0,6
0,3
еЧГ (2C,jhdQ0
J\
ydi-X
1 1
V,2CieA= 1,4
VL2Ciel= 1,8
VL2C\eA = 2,2
VL2Ciel = 2,6
' Ki2Cie' = 3,0
"*- — — —. _ _ — —
1
0,3
0,6
0,9 .il,2
Й 0.3
0,1
R,-R^0,\RL eW(2C,)"=1000
= Cux = C
--ЯГ c,.2c,e-'=o,:
-0,1
-0,3
-0,5
б
0,8
Й0.4
0,0 -
-0,4
0,6
i0'4H
J
40,2
0,0
-0,2
1000
1500 2000
'(fii.c,)-'
"]-»2 30 30 30 e-H(2C,)-1000
C, =c2 = ^»K
У,2Схе'
1,6
0,9
0,4
500
1000
0,0
1500 2000
Рис. 15.47. Передаточная характеристика емкостного (а)
и резистивного инверторов (Ь)
Рис. 15.48. Динамические характеристики емкостного (а) и резистивного (Ь)
инверторов при подаче на вход прямоугольного импульса

2.15.3. Применение одноэ.чектронных приборов
Возможные области применения одноэлектронных приборов были
показаны еще Лихаревым в его первых работах по одноэлектронным эффектам.
Он, в частности, предлагал использовать одноэлектронные приборы в
качестве электрометров из-за высокой чувствительности к внешнему заряду. Исходя
из (15.1.7) можно записать, что I = f -е, т.е. сделать стандарт тока.
Одноэлектронные приборы могут быть использованы также в качестве логических
элементов цифровых схем. Последняя область применения является, очевидно,
наиболее важной. Большинство работ, связанных с применением
одноэлектронных приборов, посвящено как раз цифровой электронике. Йошикава и др.
анализируют динамические характеристики инверторных схем на
одноэлектронных транзисторах с резистивным и емкостным входами, изображенных на
рис. 15.46. Принцип работы таких инверторов заключается в следующем.
Если входное напряжение Vin мало, т.е. соответствует логическому «О», и
недостаточно для преодоления кулоновской блокады, то ток через транзистор
не протекает и выходное напряжение Vout соответствует логической «1». При
увеличении Vin до значения, снимающего кулоновскую блокаду (что
соответствует логической «1»), через транзистор начинает течь ток и потенциал Vout
понижается до логического «О».
Расчет характеристик проводился методом Монте-Карло. Статические
характеристики инверторов изображены на рис. 15.47 (на верхнем графике для
транзистора с емкостным входом, на нижнем - с резистивным входом).
Динамические характеристики, полученные при подаче на вход импульса
логической «1», приведены на рис.]5.48 также для емкостного и резистивного
инверторов. Кроме того, авторами исследовались каскадное включение
инверторов и каскадное включение с обратной связью. Передаточные характери-
J l.o
-.3 0,5
^ 0,0
Я, = /?,; RL= 30«!;йи= ЗОЯ,
С2=0,2С, ; (W ЗОС,
VL 2C, il = 1,4 еЗДГ2С, )"'= 1000
^вых1
''вый , ,
0,5
L0 v пг -1 1,5
Рис. 15.49. Передаточная характеристика для каскада
из двух резистивных инверторов
Рис. 15.50. Принципиальная схема одноэлектронных инверторов с использованием
туннельного перехода вместо истокового (а) и стокового (Ь) резисторов

Рнс.14.51. Карта доменов стабильности внутренних состояний схемы рис.14.50с
Рис.14.52. Передаточная характеристика схемы, изображенной на рис. 14.50с
стики двухтранзисторного каскада с обратной связью приведены на рис. 15.49.
В результате исследования авторы утверждают, что резистивная схема имеет
более высокий коэффициент усиления по напряжению, большую
стабильность рабочей точки и разделение входа-выхода, однако у нее меньшая
разница логических уровней, чем у емкостной схемы. Выходные сигналы
осциллируют во времени из-за стохастического характера одноэлектронного туннели-
рования. Время ключения составляет ХООЩСх. Логические уровни становятся
стабильными в длинных цепочках инверторов.
В отличие от Йошикавы, Фукуи (Fukui) и др. предлагают схему, в которой
смещение одноэлектронного транзистора осуществляется не
сопротивлением, а туннельным переходом, как изображено на рис. 15.50.
Принцип работы такой схемы заключается в следующем. Внутреннее
состояние определяется зарядом, находящимся в точках А и В. Для схемы были
вычислены области стабильности в зависимости orVjn wVoul. Диаграмма для
схемы рис.15.50о представлена на рис. 15.51. Заштрихованные области
представляют собой нестабильные области, пустые треугольники со срезанными
углами—области кулоновской блокады (в скобках указаны зарядовые
состояния для точек А и В). При изменении входного напряжения схема переходит
из одного стабильного домена в другой, при этом меняется зарядовое
состояние и, следовательно, напряжение.
На рис. 15.52 представлена передаточная характеристики для схемы
рис.15.50« при различных температурах. Временная зависимость выходного
напряжения при подаче входного импульса показана на рис. 15.53. Из этого
графика хорошо видно отсутствие осцилляции выходного напряжения,
присущее традиционной схеме (см. рис. 15.48). Предложенная конструкция
является более стабильной, чем традиционная и ненамного сложнее ее.

[.(1)
i Уде
| c,Bj j ОЙ I
J pump
„ SO 100
Время, не
Рис.15.53. Временная зависимость входного и выходного напряжений
при подаче на вход положительного импульса
Рис. 15.54. Принципиальная схема логического элемента, построенного
на бистабильности фаз сигналов
Принципиально другую конструкцию, основанную на SET осцилляциях
(15.1.7), предлагают Кихл и Ошима. Принципиальная схема изображена на
рис. 15.54. На каждую ячейку (обведены пунктиром) подается постоянное на-
(п)
пряжение смещения V. , и - номер ячейки, причем смещение подается с
определенной фазой ty clock- Переменное напряжение накачки
Vpwnp =Vpcos(2o)st) подается одновременно на все ячейки, со^ - частота
входного переменного сигнала Vm =cos(co^ + cp,-,?), ф,„ - разность фаз входного
сигнала и сигнала накачки. Ц>с1оск также отсчитывается от фазы накачки.
Такая система может находиться в двух стабильных состояниях из-за
неопределенности фазового соотношения частот С0у и 2с0у. Рассчитанная фазовая
диаграмма разности фаз входного и выходного сигналов при различных
соотношениях ф,„ и tyciock приведена на рис. 15.55. Параметр е = С,„/C,j
характеризует степень связи. Из приведенного рисунка видно, что в случае сильной
связи (е = 0,4) разность фаз зависит в основном только от фазы входного сигнала.
Заметим, однако, что вышеописанная схема представляет главным образом
теоретический интерес, так как практическая реализация одиночного
туннельного перехода весьма проблематична по причинам, изложенным в
разделе 9.1.
Наказато и Ахмед использовали для своих ячеек логики и памяти
приборы, основанные на многотуннельных переходах (Multi Tunnel Junctions -
MTJ). Эти приборы являются единственным примером практической
реализации одноэлектронных логических элементов среди всех, которые были рас-

Рис. 15.55. Фазовая диаграмма для схемы, показанной на рис. 15.54
Рис. 15.56. Схема прибора, построенного на MTJ
Рис. 15.57. Принципиальная схема одноэлектронной ячейки памяти
смотрены в данном разделе. Физическая конструкция прибора с MTJ показана
на рис. 15.56. В GaAs подложке на глубине 30 нм создавался 8-легированный
слой Si при помощи металлоорганического химического осаждения. Затем на
поверхности на глубину 120 нм вытравливалась структура, показанная на
рисунке. Формирование квантовых точек в канале происходило из-за
флуктуации потенциала.
Рассмотрим одноэлектронную ячейку памяти, принципиальная схема
которой показана на рис. 15.57. При подаче положительного импульса
напряжения V„, достаточного для преодоления кулоновской блокады, конденсатор С„
заряжается, затем при возвращении V„ в 0, С„ начинает разряжаться до тех
пор, пока процесс разрядки не прервет кулоновская блокада. На MTJ будет
находиться избыточное количество электронов и напряжение V будет меньше 0.
вблизи напряжения кулоновской блокады (V > — F^g ) происходит запись «0».
При подаче отрицательного импульса напряжения V„ ситуация повторяется,
только V положительно и находится вблизи положительного напряжения
кулоновской блокады (V<Vy^,)- На рис. 15.58 показана временная зависимость
напряжения на ячейке памяти при записи «0» и «1». Верхний график
представляет случай отсутствия кулоновской блокады, на нижнем графике
хорошо виден эффект памяти с разницей логических уровней около 6 мВ.
Измерения проводились при Т= 1,8 К. При применении MTJ в качестве
логического элемента использовался боковой затвор, при помощи которого

Запись ТГ
О -<
-L
Запись "1"
-15
^Ч*1**
|l£>0 б
^мл^^гг
>
■
100
Время, с 200
1,0 мм 1,4 мм 0.2 мм Ширина 10 мкм
50 мкм
a JBz^JLJL пЬ»а-
2,0мм*J IU.- U-
АА"
Е
AuCu месндр 200 им—'//
А1 подложка 200 нм ' /
Litis;—-* _
ъ
mm
М—-* I Нитг
'кисленный Si ~
Нитрид
кремния 1 мкм
80
70
^60
5 50
ё
10
§40
О
30
20
-
-< ■
1
....j
Л". /
Частота, Гц
j j -
10« ]07 [08 Ю» Ю'О 10"
Рис. 15.58. Временные характеристики записи «0» и «1»
в одноэлектронную ячейку памяти
Рис.15.59. Схематическое изображение фильтра для одноэлектронных приборов
Рис.15.60. Частотная характеристика ослабления фильтра
можно управлять режимом кулоновской блокады. В этом случае прибор ведет
себя как инвертор, принцип работы которого аналогичен приборам,
описанным, например, у Йошикавы и Фукуи.
Косвенное отношение к применению одноэлектронных приборов имеет
работа Виона и др., содержащая описание миниатюрных фильтров для
уменьшения шумов при работе с одноэлектронными приборами. Проблема
заключается в том, что электромагнитные шумы от высокотемпературных частей
оборудования проникают к одноэлектронным приборам, находящимся, как
правило, при криогенных температурах, и влияют на эффект кулоновской блокады.
Авторы подробно исследовали это влияние и предложили фильтр,
показанный на рис.15.59. Частотная характеристика фильтра представлена на
рис.15.60. Для сопряжения аппаратуры при 300 К и 30 мК необходимо 4
фильтра. Проблема заключается в выборе температуры самих фильтров.
Быстродействие одноэлектронных приборов. В заключение рассмотрим
вопрос быстродействия одноэлектронных приборов. Приведем оценки.

Оценка быстродействия одноэлектронных приборов
Характеристики
Современная
технология
Ближайшая
перспектива
Пределы
нанолитографии
Молекулярный
уровень
S = а х Ь, нм
100x100
30x30
10x10
3x3
С,аФ
300
30
3
0.3
Г, К R. кОм
0.15 30
1
1
1.5 30
i
15 ! 30
150 30
i
т = RC,пс
10
1
0,1
0,01
В таблицеS = ах Ь- площадь туннельного перехода,С - емкость данного
перехода, R - сопротивление, Т - рабочая температура, х - время
переключения.
В заключение отметим, что структуры на основе одно-электронного тун-
нелирования (кулоновской блокады) в настоящее время представляются
весьма перспективными для создания широкого спектра твердотельных
приборов, в том числе интегральных схем нового поколения сверхвысокой степени
интеграции. Уже сейчас известно большое количество структур
рассматриваемого типа различной конфигурации и назначения, и число их продолжает
неуклонно расти. Становится сложно ориентироваться в этой области. Поэтому
работы по классификации приборных структур продолжаются.
Проблемы одноэлектпроники. Как видно из изложенного в этой главе
материала, с момента первой публикации К.К.Лихарева об одноэлектронном
туннелировании, за прошедшие 22 года не ослабевает интерес к этой
чрезвычайно интересной и плодотворной идее. Главной проблемой остаётся
отставание технологии (литография на уровне ангстремов), которая заставляет
испытывать и использовать одноэлектронные структуры при криогенных
температурах.
Однако тема создания новых конструкций и устройств в области одно-
электроники продолжает занимать своё место в научных публикациях и
докладываться на различных конференциях.
Продолжаются попытки создания Si одноэлектронных приборов,
работающих при комнатных температурах. Появилось также сообщение, что создан
одноэлектронный транзистор на графене.
Однако, практически все исследователи, работающие в этой области
отмечают, что полученные результаты показывают только перспективы
будущей электроники, а эпоха кремния продлится еще минимум до 2020-2025
года.

2.16. Кремниевая транзисторная наиоэлектроника
2.16.1. Введение
Электронная промышленность на основе производства кремниевых
интегральных схем (ИС) развивается с 1959 года после их изобретения Джеком
Килби (ныне лауреатом Нобелевской премии) и Робертом Нойсом. В 2000
году передовые компании перешли рубеж 100 нм для минимального размера
элементов транзистора и тем самым преодолели рубеж между
микроэлектроникой и наноэлектроникой. Это событие сравнивают с «большим взрывом».
Образ «большого взрыва» заимствован из космологии («большой взрыв», в
результате которого родилась наша вселенная). В результате «большого
взрыва» микроэлектроники накопление огромного технологического опыта
привело к рождению целого ряда новых направлений развития электроники:
наноэлектроники, микро- и наноэлектромеханики, молекулярной электроники,
магнитонаноэлектроники, оптонаноэлектроники, бионаносенсорики.
полимерной наноэлектроники и других. В то время как многие из предложенных
нанотехнологий лишь обещают оказать сильное влияние на развитие
мирового сообщества, кремниевая микроэлектроника уже стала наиболее важной на-
нотехнологией в мире. Объем продаж изделий микроэлектроники к 1998 году
составил 1 трлн. USD, а в 2010 году он утроится, что составит 10% мирового
валового продукта.
Стремительное развитие микроэлектроники подчинялось закону Мура
(рис. 16.1) (экспоненциальное со временем увеличение числа транзисторов на
кристалле). Это приводило к уменьшению стоимости на функцию
электронной цепи. Например, стоимость памяти на бит уменьшалась вдвое каждые два
10000000000
1000000000
100000000
10000000
1000000
100000
10000
1000
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010
Рис. 16.1. Закон Мура: экспоненциальный рост количества
транзисторов в процессорах
Dual-Core Intel* intanium 2 processor
Intel* intanium 2 processor
.. , . Intel* intanium processor,-■*
Moore s low r jf
Intel* IV pentium processor
Intel* III pentium |
Intel* pentium
Intel* П pentium
processoro^Intcl 486 Proccssor
-oo^ processor
Intel 386
4004

года. Уменьшается также время переключения на функцию. С 1959 года
быстродействие интегральных схем улучшилось на 4 порядка. По мере
уменьшения размеров уменьшались потребляемая мощность и энергия на каждую
операцию переключения. Энергия на переключение с 1959 года уменьшилась на
б порядков. Число транзисторов на чип увеличилось в 108 раз.
Основную долю рынка (до 90% в настоящее время) интегральных схем,
начиная с 1980 года, составляют ИС на МДП (металл - диэлектрик -
полупроводник) транзисторах в конфигурации КМДП (комплементарные МДП, т.е.
взаимодополняющие />-МДП и и-МДП транзисторы, включенные
последовательно в цепи «источник питания - точка с нулевым потенциалом»). Главное
преимущество таких схем заключается в том, что в любом из двух
статических состояний («0» или «1») один из транзисторов закрыт, и ток в
упомянутой выше цепи определяется током транзистора в выключенном состоянии
/пыкл. Это означает, что, если /выкл пренебрежимо мал, ток от источника
питания потребляется только в режиме переключения, а потребляемая
мощность пропорциональна частоте переключения и может быть оценена
простым соотношением:
Py^C^/U2, (16.1)
rfleCv - суммарная емкость нагрузки на выходе логического элемента, / -
частота переключения, U— напряжение питания. Практически вся потребляемая
мощность выделяется в виде Джоулева тепла, которое должно быть отведено
от кристалла. При современных средствах отвода тепла можно достичь
приблизительно 200 Вт на квадратный сантиметр площади кристалла. Если мы
хотим оценить достижимую частоту в кристаллах сложностью N логических
элементов, то из (1) / ~РМЖС I'CyNU . Практически вся потребляемая
мощность выделяется в виде Джоулева тепла, которое должно быть отведено от
кристалла. Поэтому уровни выделения тепла с увеличением сложности СБИС
для высокопроизводительных ЭВМ растут почти экспоненциально. Оценка
о
для СБИС на транзисторах с длиной канала 10 нм (число транзисторов 5-10,
напряжение питания 1 В) при частоте переключения 10 ГГц дает 2,5 кВт(!).
Воздушное охлаждение позволяет отвести примерно 60-85 Вт/см , жидкост-
ное (микроканалы) - 200-300 Вт/см , прямое охлаждение процессора водой
(распылением и струйное) -до 450 Вт/см2. Однако стоимость конструкций с
жидкостным охлаждением очень высока. Такие системы охлаждения
используются только в суперкомпьютерах. Поэтому максимальные частоты
функционирования процессорных схем в персональных компьютерах остаются на
уровне 1 ГГц. Проблема усугубляется тем, что с увеличением сложности
процессоров (увеличением числа транзисторов на кристалле с уменьшением ми-

нимальных размеров) растет плотность статической потребляемой мощности,
определяемая токами утечки (токи через подзатворный диэлектрик и подпо-
роговые токи), и становится сравнимой с динамической при длинах каналов
транзисторов 10-20 нм. Приемлемыми являются токи утечки на уровне 10"
А/мкм (ширины канала). При длине канала 5 нм (число транзисторов на
кристалле - 5- 1010) резко возрастает ток прямого квантового туннелирования
между истоком и стоком транзистора (до 10~ А/мкм), что приводит к
дополнительному увеличению статической потребляемой мощности на величину
порядка 1 кВт.
Критическими размерами в интегральных схемах (ИС) являются
минимальный размер (MP), воспроизводящийся в фоторезисте методом
фотолитографии, и длина канала МДП транзистора 1К. Обычно LK удается сделать равным
приблизительно 0,55 MP. Из зависимости изменения этих размеров по годам в
соответствии с ITRS 2005 (International Technology Roadmap for Semiconductor-
ежегодно обновляемый ведущими экспертами международный прогноз
развития техники ИС) видно, что MP, равный 22 нм, будет достигнут в производстве
к 2013 году, при этомЬк составит 12 нм. Если!* равно 12 нм, то на кристалле
можно разместить 10 транзисторов. Долгосрочный прогноз предсказывает
возможность создания гигантских интегральных схем на транзисторах с
длиной канала до 6 нм, но этот диапазон (6-12 нм) требует отдельного обсуждения.
Применение в будущих схемах тонких слоев кремния, т.н. подложки
«кремний на изоляторе (КНИ), позволяет существенно снизить уровень токов
утечки, исключить влияние короткоканальных эффектов, уменьшить
паразитные емкости и при малой толщине канала порядка 10 нм и меньше вообще
отказаться от легирования канала. Это позволяет реализовать баллистический
перенос носителей через область канала при его длине меньше 50 нм.
Заметим, что в баллистических транзисторах с малой длиной канала понятие
подвижности теряет смысл, так как электрон пролетает канал без столкновений,
однако именно величина подвижности определяет максимальную длину
канала, при которой наступает баллистический режим переноса.
2.16.2. МДП-транзисторы на объемной подлоэюке
Ознакомимся с принципом работы классического длинноканального
полевого МОП-транзистора на объемной подложке. Схематически вид такого
транзистора изображен на рис. 16.2.
Кремниевые полевые транзисторы в зависимости от типа носителей,
участвующих в переносе тока, делятся на п- и />-канальные. В и-канальных
транзисторах ток переносят электроны, а в />-канальных - дырки. Далее для
определенности рассмотрим и-канальный транзистор.

Рис.16.2. Схематическое изображение МОП-транзистора
на объемной подложке (Bulk MOSFET)
Весь транзистор выполнен на единой подложке по планарной
технологии. Подложкой является кристалл кремния с малой остаточной
концентрацией примеси (10 —10 см~ ). Имплантацией и отжигом создаются высоко-
легированные (10" —10" см ) области-исток (source) и сток (drain), которые
необходимы для образования омических контактов с металлическими
электродами. Омическим называется контакт, который имеет линейную
зависимость тока от приложенного напряжения, как в законе Ома. Практическое
использование этого термина предполагает еще и достаточно малое
сопротивление контакта. Между истоком и стоком размещается проводящий электрод —
затвор (gate), отделенный от подложки слоем диэлектрика. Поскольку
транзистор имеет металлические контакты в областях истока, стока и затвора, это
позволяет включать его в схему. Подложка транзистора обычно замыкается с
истоком. Потенциал истока условно полагается нулевым. Потенциал затвора
равен VG. Напряжение между истоком и стоком равно VDS. Ток, текущий через
транзистор, обычно снимается в цепи стока и поэтому его принято называть
током стока и обозначать ID. Основными статическими параметрами
транзистора являются его вольт-амперные характеристики (ВАХ)-зависимости ID
от VG (передаточная В АХ) и от VDS (выходная В АХ). Для нормального
функционирования схем ВАХ полевых транзисторов должны иметь вид,
показанный на рис. 16.3. Напряжение на затворе, выше которого наблюдается резкое
возрастание тока при VDS * 0 называется пороговым напряжением VT
(threshold voltage). Режим работы полевого транзистора при напряжении на затворе
VG ниже порогового VT носит название закрытого (подпорогового) режима
(OFF state). При VG > VT имеет место открытый (падпороговый) режим (ON
state). Закрытый режим характеризуется низкой проводимостью канала, а
открытый — высокой, что связано с обогащением канала электронами,
затекающими из областей истока, стока и подложки. Этот режим также называется
инверсионным, поскольку канал наполняется носителями противоположного

Ы >IM>M
Рис. 16.3. Передаточная (а) и выходная (Ь) В АХ полевого транзистора
знака по отношению к тем, которые имеются в подложке. Таким образом, в
полевом транзисторе осуществляется управление проводимостью канала
посредством электрического поля затвора, этим и объясняется название
транзистора как «полевого». Вообще, сам термин «транзистор» возник из
комбинации двух слов: transistor = transfer resistor, что попросту означает переменное
сопротивление.
На зависимости ID {VDS) видно, что при фиксированном Vq >Vj с
увеличением VDS по абсолютной величине ток постепенно выходит на насыщение
(saturation). Этот эффект обусловлен тем, что приложенное между истоком и
стоком напряжения VDS падает на краю канала вблизи стока, а напряженность
тянущего поля в самом канале перестает изменяться.
2.16.3. Эволюция МДП транзистора
По мере развития технологии размеры транзисторов уменьшались, при
этом разработчики пользовались законами масштабирования (scaling).
Законы масштабирования МДП транзистора требуют, чтобы при уменьшении его
размеров в плоскости кристалла должны быть уменьшены его размеры по
глубине. Это относится, прежде всего, к толщине подзатворного диэлектрика и к
глубине залегания р-и-переходов. Уже при MP, равных 65 нм, толщина
окисла должна быть равной 1 нм, что недопустимо из-за неприемлемо
высоких токов туннелирования через тонкий диэлектрик. Эта проблема
решается применением диэлектриков с высоким е (исследуются
возможности применения НЮ2, ZrO,, ZrSi04, HfSi04, Si3N4, А1203 и др.).
Например, для Hf02e = 25, тогда необходимая толщина диэлектрика
^НГО2 = ^3icnenfo2 I eSiO ~ 6 нм (для обсуждаемого примера), что
обеспечивает ничтожно малые туннельные токи через диэлектрик. Критерии выбора
подзатворного диэлектрика многообразны. Это достаточно большая величина е,
высокая термическая стабильность, возможность наращивания сплошных и

однородных слоев толщиной несколько нанометров, удовлетворительное
взаимное расположение запрещенных зон диэлектрика и кремния (высота
барьеров для электронов и дырок не менее 1 эВ, например, для НЮ2 HHfSi04 1,5 и
3,4 эВ, соответственно), отсутствие реакции с кремнием, удовлетворительная
граница раздела с кремнием (дефекты, встроенный заряд и т.п.).
Нужно также учитывать, что в режиме инверсии подзатворный
диэлектрический слой как бы утолщается, во-первых, из-за того, что максимум
плотности подвижных носителей в канале отстоит от границы
кремний-диэлектрик на величину около 0,3 нм (такую оценку дает совместное решение
уравнений Шредингера и Пуассона), и, во-вторых, из-за образования области
обеднения (> 1 нм) в легированном поликремниевом затворе на границе с
диэлектриком. Кроме того, из-за отсутствия возможности в нужной степени
легировать поликремниевый затвор не удается получить малые сопротивления
затвора. В п-МДПТ поликремниевый затвор легируется бором, атомы которого
способны диффундировать через подзатворный диэлектрик в канал. По этим
причинам разрабатываются технологии замены поликремниевых затворов на
металлические. Требования к материалам металлических затворов
достаточно сложны. Кроме высокой проводимости и термической стабильности,
высокой адгезии и низкой реактивности (недопустимо окисление) металлический
электрод должен обладать необходимой работой выхода электронов.
Поскольку в КМОП-схемах совмещены транзисторы двух типов (и и р), и их
необходимо симметризовать, нужны два типа электродов с разными работами
выхода 4,1-4,4 эВ и 4,8-5,1 эВ. Например использованы Та (с работой выхода 4,3
эВ на HfSi04) для п-МДПТ и TiN (4,9 эВ) для р-МДПТ.
Привлекательно использование силицидов металлов, что расширяет
спектр возможностей для технологов. Например, силицид никеля NiSi имеет
низкую температуру образования (450°С), низкое сопротивление (15
мкОм/см), не реагирует с двуокисями кремния и гафния. Этот силицид
является метастабильной фазой из числа соединений никеля с кремнием и при
относительно невысоких температурах (> 700°С) переходит в стабильную фазу
дисилицида никеля NiSi2, имеющего существенно большее сопротивление.
Поэтому при использовании силицида никеля необходимо ограничение
температурного бюджета каких либо последующих технологических процессов
производства ИС. Необходимы интенсивные исследования МДПТ с
металлическими затворами.
Глубина залегания р-и-переходов стока и истока должна быть равной
примерно 0,5ZK. Это достигается имплантацией ионов примеси при малых
ускоряющих напряжениях (0,1-1 кВ). При таких напряжениях ток ионов в
традиционных имплантерах с системами сепарации ионов падает до 10" -10
А/см , что катастрофически увеличивает время набора дозы, т.е. ухудшает

производительность. Проблема может быть решена применением плазмен-
но-иммерсионных ионных имплантеров (ПИИИ) на основе широкоапертур-
ных источников плотной плазмы (с плотностью до 10 см ). В этом случае
плотность тока может быть увеличена до 10 мА/см по порядку величины, а
время набора дозы снижена до долей минуты. Принцип работы такого имп-
лантера прост. На подложку подается импульсное смещение, амплитуда
которого равна ускоряющему напряжению. Вокруг пластины формируется
область пространственного заряда. Давление в камере избирается таким
образом, чтобы ионы преодолевали область пространственного заряда без
столкновений. Тогда ионы внедряются в приповерхностный слой кремния с
энергией, ограниченной созданным смещением. Плазменные процессы играют
большую роль в полупроводниковых производствах. Если процессы
литографии повторяются в производстве ИС приблизительно 25 раз, то после каждой
из литографий следует один или более плазменный процесс. Это изотропное
или анизотропное травление кремния и кремнийсодержащих диэлектриков,
процессы осаждения диэлектрических или полупроводниковых тонких слоев
с заданными свойствами, процессы очистки поверхности пластины от
органических загрязнений и атомов тяжелых металлов, стабилизации и снятии рези-
ста, частичной планаризации рельефа пластины и, наконец, имплантации.
Правила масштабирования МДПТ при уменьшение размеров в а раз,
представленные в таблице,
Размеры: длина и ширина канала, толщина подзатворного
диэлектрика, ширина соединения
Степень легирования канала
Напряжение питания
Плотность размещения
Быстродействие
Мощность
Плотность мощности
Энергия на операцию
1/а
а
1/а
1/а2
а
1/а2
1
1/аЗ
требуют увеличения степени легирования канала, что предотвращает смыкание
областей пространственного заряда стока и истока, но приводит к снижению
подвижности носителей в канале из-за рассеяния электронов и дырок на атомах
примеси и, следовательно, к снижению тока транзистора в открытом состоянии 1тч.
Возможность увеличить ток- использовать тонкие слои напряженного кремния. В
производствах с MP 90 и 65 нм для транзисторов на объемной подложке
используются локальные напряжения, например, локальное сжатие кремния в области ка-

нала р-МДЦТ селективным эпитаксиальным заращиванием
«кремний-германием» вытравленных предварительно областей стока и истока. При
содержании Ge около 17% /пкл р-МДПТ увеличивается на 30%. При этом для и-МДПТ
необходимо достичь одноосного растяжения решетки кремния в канале по
линии тока. Это обеспечивается, например, нанесением сильно напряженной
пленки нитрида кремния над «-канальным транзистором, что увеличивает ток
/пкл на 10%. Поскольку любой из процессов вносит тот или иной уровень
напряжений в приповерхностные слои кремния, оптимизация технологического
процесса становится сложной задачей, а и без того сложный процесс
производства интегральных схем дополнительно усложняется.
Радикальное улучшение свойств обоих типов транзисторов дает биаксиаль-
ное растяжение в плоскости кристалла. Это объясняется тем, что в условиях би-
аксиального растяжения зонная структура кремния изменяется, в частности, это
приводит к подъему четырехкратно вырожденных эллипсоидов с высокой
эффективной массой электронов и к снижению двухкратно вырожденных
эллипсоидов с низкой эффективной массой. В результате большинство электронов
удерживается в долинах с низкой эффективной массой при более низких энергиях, а
междолинное рассеяние уменьшается. В валентной зоне биаксиальное
растяжение увеличивает вырождение «тяжелые дырки/легкие дырки» в точке Г, что
приводит к уменьшению эффективной массы дырок для транспорта в плоскости
кристалла и уменьшению междолинного рассеяния. При этом подвижность
электронов увеличивается более чем вдвое, а дырок - почти на 50%.
Предложен ряд технологических маршрутов получения напряженных
кремниевых слоев, основанных на эпитаксиальном росте кремния на релакси-
рованных слоях Ge-Si. Результирующие структуры относятся к технологии
КНИ (кремний на изоляторе), переход к которым вероятнее всего неизбежен
для MP < 45 нм.
«Золотая эра масштабирования» закончилось, поскольку легирование
канала становится недопустимо высоким. Неизбежен переход к новым структурам и
материалам транзисторов. Таблица, приведенная ниже, отражает вероятные
изменения технологии и материалов в структуре МДП по мере уменьшения MP.
Поколение ИС
Технология
Затвор
Подзатворп.
диэлектрик
65 нм
Объемная
подложка.
Одноосные
напряжения
Поликремний
SiON
45 нм
Напряженный
КНИ. Биаксиальн.
напряжения
Поликремний
Si0N/HfO2 и др.
32 им
Напряженный
КНИ. Сверх
тонкий КНИ
Металлы,
силициды
Hf02 или др.
22 нм
Сверхтонкий
КНИ
Металлы,
силициды
Hf 02 или др.

2.16.4. Короткокансшьные эффекты в полевых транзисторах
Несмотря на все свои многочисленные достоинства и долгую историю
развития, в ближайшем будущем МОП-транзисторы на объемной подложке
будут вынуждены отойти на второй план, уступив место приборам нового
поколения. Это связано с тем, что дальнейший масштабирование (скейлинг)
классических МОП-транзисторов на объемной подложке в технологические
размеры меньше 45 нм сталкивается с так называемыми короткоканальными
эффектами. Вот некоторые из них:
1. С уменьшением длины канала возрастают термоэмиссионные токи
утечки между истоком и стоком в закрытом состоянии, т.к. при этом
начинают перекрываться области обеднения р—/j-переходов исток-канал и
канал-сток (рис. 16.4), что приводит к снижению потенциального барьера в
канале транзистора. Разработчики стараются преодолеть эту проблему путем
увеличения степени легирования /жанала. В самом деле, согласно теории
р — и-перехода ширина области обеднения (области пространственного
заряда — ОПЗ) равна:
Рис. 16.4. Перекрытие областей пространственного заряда
при сокращении длины канала полевого транзистора

где е - диэлектрическая проницаемость среды, е 0 - диэлектрическая
постоянная, фс — контактная разность потенциалов перехода, U- приложенное
внешнее смещение на переход, е - элементарный заряд, N А и ND - концентрации
акцепторов в р-области и доноров в и-области, соответственно.
Однако увеличение уровня легирования влечет за собой новые проблемы:
2. Из-за усиления кулоновского рассеяния носителей снижается их
подвижность и, как следствие, снижается ток. Это приводит к ухудшению
основных характеристик открытого режима транзистора. Уменьшаются про-
водимость канала транзистора и крутизна транзистора —— на линейном
dVD dVG
участке вольт-амперной характеристики.
3. Кроме того, снижение подвижности ведет к росту времени пролета
носителей через канал, а, следовательно, к уменьшению внутреннего
быстродействия транзистора. Увеличение сопротивления канала транзистора Rjn
канала (тока транзистора) влечет уменьшение быстродействия логических схем.
Работа таких схем основана на том, что ток одного транзистора переключает
состояние другого путем зарядки соответствующих емкостей СоШ (например,
контактов истока, стока, затвора и соединений между ними). Время задержки
в логической схеме определяется величиной RjnC0Ut.
2.16.5. КНИ-траизисторы и их преимущества
Все проблемы, упомянутые в предыдущем разделе, успешно
преодолеваются в транзисторе со сверхтонким нелегированным каналом (КНИ или SOI)
(рис. 16.5). Подложка КНИ-транзистора так же, как и у обычного
МОП-транзистора, представляет собой монокристалл кремния. На подложке выращен
слой изолятора - кристаллической двуокиси кремния Si02. Над изолятором
же располагается монокристаллический канал из собственного (intrisic)
кремния толщиной менее 10 нм. Области истока и стока фактически представляют
собой продолжения канала, но отличаются от него высоким уровнем
легирования. Выше, как и в обычной МОП-структуре, размещается тонкий слой
диэлектрика и затвор.
Основные отличия КНИ-транзистора с тонким слоем кремния от
субмикронного МОП-транзистора на объемной подложке заключаются в следующем.
1) Канал КНИ-транзистора не содержит примесей. Это обеспечивает
баллистический (без рассеяния) режим переноса носителей в канале, что в свою
очередь влечет за собой увеличение тока и уменьшение времени пролета
канала. Оба эти обстоятельства повышают быстродействие.
2) Поскольку канал тонкий и изолирован от подложки слоем диэлектрика,
в закрытом состоянии транзистора малы токи утечки.

►
Tunnel current
Рис. 16.5. Схематическое изображение КНИ-транзистора
Рис. 16.6. Схема полевого транзистора с контактами Шоттки (туннельного
транзистора) на нелегированной кремниевой подложке
Согласно International Technology Roadmap for Semiconductor (ежегодно
обновляемый ведущими экспертами международный прогноз развития
техники интегральных схем) основной прогресс до 2021 года будет связан
именно с КНИ-технологией. Перспективность КНИ-транзисторов обосновывается
также в работах.
2.16.6. Сравнение КНИ-транзистора с альтернативными приборами
Следует упомянуть и о некоторых других типах новых перспективных на-
нотранзисторных структур, на которые разработчики ИС также возлагают
надежды. Следует особо подчеркнуть, что использование новых материалов вовсе
не предполагает отказ от кремниевой подложки. Вероятнее всего, будет
применяться гибридная технология, совмещающая новые материалы с кремнием.
1. Туннельные транзисторы (транзисторы с контактами Шоттки).
Прежде всего, упомянем новый тип транзисторов, которые очень близки к
обычным кремниевым полевым транзисторам на объемной подложке. Этот
тип транзисторов вполне может составить конкуренцию КНИ-транзисторам.
Если туннельные транзисторы победят, то обычная кремниевая подложка
снова вернется в технологию.
Одна из возможных конструкций транзистора представлена на рис. 16.6.
Главное отличие в том, что подложка не легируется вообще. Напомним, что в
обычном полевом транзисторе для создания омических контактов истока и
стока применяется сильное легирование до 10 —10 см- . Дело в том, что
существенно уменьшить высоту потенциального барьера на границе
металл-полупроводник не удается даже в том случае, если работы выхода металла и
полупроводника совпадают. Это связано с тем, что из-за различия
кристаллических решеток на границе образуются многочисленные дефекты, наличие
которых приводит к фиксации уровня Ферми вблизи середины запрещенной

зоны полупроводника. Таким образом, высота барьера всегда оказывается
близкой к половине ширины запрещенной зоны (для кремния это составляет
0,6 эВ). Не имея возможности понизить барьер, мы, однако, имеем
возможность сделать его более тонким. Ширина барьера равна ширине области
обеднения (1). При уровне легирования 102 см-3 это 4 нм. Если такую ширину
будут иметь спейсеры (зазоры между затвором и истоком и стоком), то контакты
истока и стока, являясь формально контактами Шоттки, окажутся
омическими контактами. В остальном работа транзистора такая же. Потенциал затвора
управляет наполнением канала электронами и, следовательно, током
транзистора. К сожалению, совсем убрать спейсеры невозможно, Без них емкости
затвор-исток и затвор-сток могут оказаться слишком большими, что пагубно
скажется на быстродействии транзистора.
Интересно, что на основе туннельных транзисторов все-таки возможен
инвертор, аналогичный КМОП, если использовать различные металлы в
качестве материала затвора.
1. Приборы на основе графена и углеродных нанотрубок
Физические свойства нанотрубок. Углеродная напотрубка (Carbon Na-
notube, CNT) фактически является свернутым монослоем графита {графена).
Диаметр нанотрубок составляет 1-2 нм. Их физические свойства резко
отличаются от объемных кристаллов.
Кристаллическая решетка графена имеет сотовую структуру (рис. 16.7).
Красные стрелки соответствуют обычному выбору направлений, вдоль
которых отсчитываются индексы (и, т), характеризующие сворачивание графена в
нанотрубку. На рис. 16.76 представлен схематический вид зонной структуры
графена, состоящей из шести конусов с линейным законом дисперсии
(зависимости энергии носителя от его волнового вектора), который, однако, строго
соблюдается для достаточно малых энергий. Подобным законом дисперсии
обладают безмассовые частицы, такие как акустические фононы и фотоны.
Вследствие этого носители заряда в нанотрубках (электроны и дырки)
обладают одинаковой фазовой и групповой скоростью равной vF = 10 см/с.
Интересно отметить, что закон дисперсии графена сформулировал Wallace еще в
1947 году. В равновесии уровень Ферми в графене находится в вершине
конусов. Верхняя часть конуса (положительные энергии) соответствует зоне
проводимости, а нижняя (отрицательные энергии) соответствует валентной зоне.
При нулевой температуре (Т = 0) носители отсутствуют.
Положение уровня Ферми можно изменить, если использовать графен в
качестве канала в полевом транзисторе. При положительном напряжении на
затворе из контактов истока и стока в канал натекают электроны, уровень
Ферми смещается в зону проводимости. При отрицательном напряжении на
затворе в канал натекают дырки и уровень Ферми смещается в валентную

Рис. 16.7. Углеродные нанотрубки: кристаллическая и зонная структура
а) Кристаллическая структура графена; б) схематический вид зонной структуры
графена; г) упрощенная модель зонной структуры нанотрубки; д) кристаллическая
структура нанотрубкок с высокой степенью симметрии. «Кресельная» нанотрубка
(и, п) всегда металлическая. Нанотрубка (и,0) называется «зигзагообразной».
Она является полупроводниковой, если и не делится на 3
зону. Таким образом, графен обладает биполярной проводимостью. При
температуре отличной от нуля в свободном графене в одинаковом количестве
присутствуют и дырки, и электроны. Из-за отсутствия запрещенной зоны тип
проводимости графена называется металлическим, несмотря на то, что при
Т — О носители отсутствуют. При комнатной температуре концентрация
носителей весьма высока: порядка 10 " см-2.
При сворачивании графена в нанотрубку возникает дополнительное
условие квантования по периметру: скс = 2п1,1— целое число, с—длина
окружности сечения свернутой нанотрубки, кс — волновой вектор в направлении
сворачивания. Это квантование означает, что одномерная зонная структура
нанотрубки получается путем сечения двумерного конуса в соответствии с
приведенным выше условием плоскостью кс =27r//c=const в Л-пространст-
ве. Примеры сечения приведены красными линиями на рис. 16.76. Если
сечение проходит через вершину конуса, запрещенная зона в нанотрубке, как и в
графене, отсутствует. В этом случае нанотрубка обладает металлическим ха-

рактером проводимости. В противном случае, возникает запрещенная зона
шириной Д и нанотрубка становится полупроводниковой.
На рис.16.7г представлена упрощенная модель зонной структуры нанот-
рубки. Синие кривые отвечают двум зонам металлической проводимости, а
красные - полупроводниковой. На рис.16.7д представлены нанотрубки с
высокой степенью симметрии. Так называемая «кресельная» нанотрубка (и, п)
всегда металлическая. Нанотрубка (и, 0) называется «зигзагообразной». Она
является полупроводниковой, если п не делится на 3. На рис. 16.7а синяя
стрелка отвечает сворачиванию в металлическую нанотрубку (5,5).
В общем случае условие металлического типа нанотрубки есть п - /и= 3/,
где /- целое число. Из этого следует, что при хаотическом образовании нанот-
рубок 1/3 из них металлические и 2/3 полупроводниковые.
Главным обстоятельством для практических применений нанотрубок в
электронике служит огромная величина подвижности носителей. Измеренная
подвижность в углеродных нанотрубках с/>-типом проводимости при
комнатной температуре на два порядка превышает подвижность в объемном
нелегированном монокристаллическом кремнии и составляет 100000 см2/В с.
Полевые транзисторы на основе нанотрубок. Естественно, первым
микроэлектронным применением нанотрубок явился полевой транзистор. Пока
не удается создать такой транзистор, который мог бы конкурировать с
кремниевыми полевыми транзисторами (MOSFET), хотя исследования проводят
ведущие микроэлектронные компании, такие как IBM, Intel и др.
Основные проблемы, которые не удается решить разработчикам полевых
транзисторов на основе CNT:
1) формирование коротких нанотрубок в нужном месте;
2) обеспечение хорошего (омического) контакта с электродами истока и
стока;
3) создание огибающего электрода затвора с узкой диэлектрической
прослойкой,
Перспективным технологическим приемом формирования нанотрубок в
нужном месте является в настоящее время их выращивание на катализаторах,
в качестве которых могут служить окись алюминия, золото и другие
материалы. Однако высокая температура роста может оказаться серьезным
препятствием при формировании микросхем.
Существенным недостатком нанотрубок является их плохой контакт с
металлами, вызванный наличием потенциального барьера на границе. Высота
барьера при контакте металла с полупроводником обусловлена различной
работой выхода металла и полупроводника. Однако огромную роль в
определении высоты барьера играют заряженные дефекты границы и поверхностные
состояния.

Для создания омического контакта обычно используют сильное легирование
полупроводника. Оно не приводит к понижению барьера, но приводит к
уменьшению его ширины, поскольку ширина барьера определяется шириной
обедненного слоя, которая имеет зависимость~(N)~U2 от степени легирования N.
Легирование нанотрубок пока является неразрешенной проблемой.
Необходимо отметить, что даже когда это будет достигнуто, поведение контакта
одномерной нанотрубки с трехмерным металлом будет существенно
отличаться от контакта трехмерного полупроводника с трехмерным металлом.
Недавние исследования, проведенные в IBM T.J.Watson Research Center
показали, что наименьший барьер имеет контакт нанотрубки с палладием.
Было обнаружено, что высота барьера существенно зависит от диаметра
нанотрубки. Кроме того, она зависит от приложенного напряжения между
истоком и стоком. При малом напряжении его высота составляет около 0,8 эВ.
Таким образом, по качеству контактов нанотрубки значительно уступают
КНИ-структурам, в которых видится ближайшее будущее кремниевой наноэ-
лектроники вплоть до длины канала 5-10 нм. Впрочем, возможно, при
дальнейшем продвижении в сторону меньших размеров именно нанотрубки
сыграют решающую роль.
Полевые транзисторы на основе графена. Полевые транзисторы на
основе графена и его модификаций интенсивно исследуются. В графене (особенно
в подвешенном состоянии), как и в нанотрубках, обнаружена высокая
подвижность 100000 см /В с при комнатной температуре. С этим связывают
возможное повышение быстродействия в 100 раз по сравнению с кремниевым
транзистором таких же размеров. Это открывает перспективу использования
графена в быстрых аналоговых схемах. Высокая подвижность в графене
(следовательно, большая длина свободного пробега) позволили впервые
наблюдать квантовый эффект Холла (QHE) при комнатной температуре.
Что касается логических схем, то здесь применение графена пока кажется
проблематичным. Действительно, отношение тока в открытом состоянии
транзистора к току в закрытом состоянии при комнатной температуре
составляет всего I0N I Iqff = 10-100, в то время как в обычных кремниевых полевых
транзисторах в больших интегральных схемах оно равно 106. Это связано с
отсутствием у графена запрещенной зоны. В результате при изменении
полярности напряжения на затворе с положительной на отрицательную изменяется
просто характер проводимости канала транзистора: вместо электронов, канал
заполняют дырки.
Имеются различные предложения по «созданию» запрещенной зоны. В
двуслойном графене возникает запрещенная зона, причем ее величина зависит
от приложенного напряжения. Запрещенная зона возникает и в графене,
насыщенном водородом (графан - graphane). Получить запрещенную зону можно и

в узких полосках графена шириной порядка ш нм. Они называются нанореб-
рами (nanoribbons). Зона возникает из-за поперечного квантования.
Возникшая запрещенная зона разрешив одну проблему уменьшения тока в закрытом
состоянии приводит к другой проблеме — проблеме формирования омических
контактов, с которой сталкиваются и в транзисторах на нанотрубках.
2. Интерференционные транзисторы
Одной из мотиваций поиска новых видов транзисторов является
уменьшение энергии их переключения из открытого состояния в закрытое
состояние в логической схеме. Во всех используемых в настоящее время
транзисторах такое переключение осуществляется за счет перемещения электронов из
одного места пространства в другое. Эти положения разделяются
потенциальным барьером, изменяя высоту которого можно делать такой переход
возможным или невозможным. Фактически, это означает управление
термоэмиссией. Энергия переключения в расчете на один электрон не может быть
меньше кТ. В этом и состоит фундаментальное ограничение. Интерференционные
(рис. 16.8) и спиновые транзисторы работают совсем на других принципах, и
это ограничение для них не действует. Интерференционные транзисторы
являются квантовыми приборами. Их действие основано на управлении
интерференцией носителей тока с помощью потенциалов внешних электродов.
Все, предложенные до сих пор, конструкции интерференционных
транзисторов пока оказываются нереализуемыми. Возможно, наиболее
перспективными являются У-образные нанотрубки. Потенциалом затвора,
расположенным в месте разветвления можно направлять пучок электронов в одно русло
либо в другое. Важно понять, как формировать и размещать подобные
объекты в нужных местах структуры, ведь, как правило, У-образные нанотрубки
возникают случайным образом среди прочих обычных нанотрубок.
Однако авторам работы удалось изготовить трехтерминальное
устройство усилителя тока (рис. 16.8а), выращивая регулярным образом именно
У-образные разветвления на нанотрубке.
Рис. 16.8. Транзистор на Y-образной нанотрубке:
а) Структура интерференционного транзистора; б) Схематическое
изображение интерференционного транзистора.

3. Спиновые транзисторы
Спинтроника — это новая перспективная область электроники, которая
начала развиваться сравнительно недавно. В ее основе лежит управление
состоянием спина электрона. Ожидаемая практическая польза от применения
спиновых транзисторов — уменьшение энергии переключения. В отсутствие
внешнего магнитного поля на изменение состояния спина электрона (спин
направлен вверх или вниз) не тратится энергия. Конечно же. при этом энергия
тратится в цепи для создания определенных потенциалов на элекгродах.
Невзирая на радужные перспективы, американские ученые S.Bandyopad-
hyay и M.Cahay в 2004 году произвели ревизию спинового полевого
транзистора. В основном был рассмотрен самый первый подобный транзистор,
который предложили Datta и Das в 1990 году (рис. 16.9). По общему мнению, это
было самым ярким предложением в области микроэлектроники за последние
годы. Исток, которым может быть, например, ферромагнетик, в идеале
поставляет поток электронов со 100% спиновой поляризацией в канал
транзистора. Сток служит спиновым фильтром, он проп> екает только электроны с
соответствующей спиновой поляризацией. Спин-орбитальное
взаимодействие внутри канала, управляемое напряжением затвора, производит прецессию
спинов. При повороте на 180° электроны уже не проходят в сток, ток равен
нулю. Это и есть закрытое состояние транзистора. Потенциал затвора создает
перпендикулярное электрическое поле в канале. При переходе в систему
отсчета электрона это поле приобретает магнитную компоненту, с которой и
взаимодействует магнитный момент электрона. Этот эффект является
частным сличаем спин-орбитального взаимодействия Рашбы.
Возможной перспективой развития спинового транзистора является
использование нанотрубок. Как только Datta и Das в 1990 году предложили спи-
Рис.16.9. Структура спинового транзистора. Стрелками показано
направление спина в контактах истока и стока. Затвор управляет
прецессией спина при прохождении канала
Рис. 16.10. Устройство молекулярного транзистора. Затвор
формируется сверху либо им служит проводящая подложка снизу

новый транзистор, сразу стало ясно, что он может работать только на
одномерных каналах. В двумерном или трехмерном канале из-за разброса по
направлениям движения будет разное время пролета носителей через канал. Из
этого следует необходимость использования именно одномерных каналов.
Интересно, что в одномерном канале не важен разброс по скоростям,
поскольку угол прецессии пропорционален скорости и времени пролета канала, а
время пролета канала обратно пропорционально скорости.
Хотя полевой спиновый транзистор работает совершенно на других
принципах, нежели обычный полевой транзистор, тем не менее, именно с ним
его надо сравнивать как с главным конкурентом. Авторы показали, что все
надежды, связанные со спиновым транзистором, а именно, низкое управляющее
напряжение, малое энергопотребление и высокое быстродействие,
противоречивы. Улучшая одно, мы неизбежно ухудшаем другое. Так низкое
напряжение на затворе приводит к необходимости длинного канала, чтобы успеть
перевернуть спин. Это снижает быстродействие и делает недопустимо большим
ток в закрытом состоянии из-за процессов релаксации спина. Вывод такой: до
тех пор, пока ученые не придумают структуры, в которых имеет место гораздо
более сильное спин-орбитальное взаимодействие, спиновый полевой
транзистор будет уступать кремниевому. Следует еще добавить, что и идеального
100% инжектора спинового тока и, соответственно, 100% фильтра пока не
существует.
4. Молекулярные транзисторы
Привлекательность молекул и атомов, прежде всего, состоит в том, что
они являются идеальными объектами и воспроизводятся со 100% точностью.
Тем не менее, их применение в микроэлектронных схемах сталкивается с
проблемой формирования воспроизводимых контактов. Действительно, в
качестве канала транзистора могут использоваться молекулы, металлические
гранулы, фуллерены и даже одиночные атомы (рис. 16.10). Однако пока
общим недостатком таких структур является невоспроизводимость их
характеристик именно из-за контактов.
Молекулярные транзисторы, несомненно, могут найти применение в
качестве чувствительных сенсоров.
2.16.7. Эволюция моделей МДП-транзисторов
Моделирование полевых транзисторов, несомненно, важно как для
понимания физических процессов, происходящих в них, так и для оптимизации их
конструкции с целью достижения наилучших характеристик. Именно
моделирование отражает эволюцию представлений о том, как работает транзистор
при различных его размерах (рис. 16.11). Для микронных размеров
транзисторов, когда длина свободного пробега была гораздо меньше длины канала, ис-

„лЛ
Ф уравнения Шрединга
• *•
c^
кинетическое уравнение Больцмана
Заряженная жидкость:
гидродинамическое уравнение
Рис.16.11. Эволюция физических моделей, описывающих работу транзисторов
пользовалось представление о том, что в канале транзистора протекает
заряженная жидкость, и для его описания использовались гидродинамические
модели, в частности, дрейфово-диффузионная. Для субмикронных размеров,
когда длина свободного пробега уже оказывалась сопоставимой с длиной
канала, более реалистичными оказываются представления о частицах,
пролетающих через канал транзистора. Для описания использовалось кинетическое
уравнение Больцмана для функции распределения. Эффективным методом
решения подобного уравнения оказался метод Монте-Карло. Следует
заметить, что применение диффузионно-дрейфовой модели для описания
переноса в баллистическом режиме приводит к совершенно неправильному
результату. Эта модель дает бесконечное нарастание тока при уменьшении длины
канала. В то же время, проводимость баллистического канала ограничена
квантом проводимости и перестает зависеть от длины канала. Представления
о процессах, происходящих в канале транзистора, радикально изменяются,
когда ширина и длина канала становятся близкими к де-Бройлевской длине
волны носителей. Реально это происходит при длине канала 10-50 нм. В этом
случае канал ведет себя как волновод и для его описания необходимо
использовать уравнение Шредингера. Такой транзистор становится квантовым.
2.16.8. Основные квантовые эффекты в полевых напотранзисторах
Прежде чем рассмотреть квантовые методы моделирования КНИ
транзисторов, назовем основные квантовые эффекты, которые должны быть
приняты во внимание.
1. Поперечное квантование
а. Движение носителей поперек канала ограничено высокими
потенциальными стенками, что отвечает слабому проникновению «хвостов» волновых

функций вглубь окисла. Это означает, что мы можем рассматривать канал как
волновод, а энергия носителей (электронов или дырок), отвечающая их
поперечному движению, квантуется, т.е. принимает дискретные значения.
Энергия поперечного квантования электрона в тонком слое КНИ вносит вклад в
величину порогового напряжения. Величина поправки для носителей
(электронов и дырок) может быть оценена как энергия низшего состояния
поперечного квантования в канале
-|2
71
е0 =
2т
d
Si
(16.3)
где т — соответствующая эффективная масса (например, для электронов это
наибольшая эффективная масса зоны проводимости /и=0,98/и0, т0 — масса
свободного электрона), dSi —толщина слоя кремния (рис. 16.3).
Для слоя кремния толщиной dSi = 5 нм эта поправка еще невелика по
сравнению с типичными пороговыми напряжениями (0,5 В) и составляет 20 мэВ.
Однако соответствующий сдвиг порогового напряжения уже может вызвать
существенное изменение величины подпорогового тока. Для толщины слоя
кремния dSi =2 нм сдвиг порогового напряжения уже настолько велик (0,12
мэВ), что его необходимо компенсировать выбором материала затвора. В
столь тонком канале в переносе тока, фактически, участвуют только
электроны двух долин из шести (рис. 16.12). Интересно, что само по себе это
обстоятельство не означает уменьшение тока транзистора в 3 раза, и даже изменение
тока вообще.
Затвор
Source 7v
[010]
Drain
[100]
Рис. 16.12. Структура зоны проводимости в канале КНИ-транзистора
Рис. 16.13. Распределение электронной плотности по сечению канала

б. Вторым следствием поперечного квантования является снижение
емкости системы затвор-канал. В классическом рассмотрении предполагалось,
что электронная плотность в открытом режиме равномерно «размазана» по
толщине канала, при этом рассматривался плоский конденсатор с толщиной
диэлектрика, равной толщине подзатворного окисла. С учетом поперечного
квантования ясно, что из-за малой величины амплитуды волновой функции на
стенках канала электронная плотность «отодвинута» от стенок (рис. 16.13). В
этом случае уже следует рассматривать конденсатор с большей толщиной
диэлектрика. Емкость такого конденсатора меньше и ее принято называть
квантовой емкостью.
в. Поперечное квантование может играть существенную роль при учете
поверхностного рассеяния. Квантовый расчет дает исключительно высокие
степени зависимости интенсивности рассеяния от dSi вплоть до ^ в
зависимости от характера шероховатости. Интуитивное обоснование этого явления
может быть следующим. Классическая частица «чувствует» поверхность
только в момент непосредственного касания. Волновая функция «чувствует»
поверхность во всем объеме канала. Поверхностное рассеяние может
существенно уменьшить токи КНИ-нанотранзисторов. Чтобы избежать этого, нужны
совершенные атомно-слоевые технологии. Впрочем, они нужны не только
для получения тонких слоев кремния, но и подзатворных диэлектриков.
2. Продольное квантовое движение в канале
а. Квантовый транспорт вдоль канала транзистора резко отличается от
классического, в частности, при прохождении потенциального барьера.
Следствием этого эффекта может быть прохождение через барьер частиц с
энергией ниже высоты этого барьера и отражение частиц, энергия которых
превышает высоту барьера.
б. Наиболее существенным фактором, который ограничивает снизу
возможную длину канала транзистора, является прямое туннелирование
электронов между истоком и стоком, когда транзистор работает в подпороговом
режиме. Оценки показывают, что при длине канала 12 нм туннельный ток
начинает превосходить термоэмиссионный. Заметим, что наблюдавшаяся в
эксперименте величина/ВЫК1 при длине канала 5 нм составила 10~ А/мкм, что на
несколько порядков минимальную величину термоэмиссионного тока 10"
А/мкм.
в. Следующим квантовым эффектом, который необходимо учитывать
при расчете баллистического нанотранзистора, является интерференция
электронов на случайно расположенных дискретных заряженных примесях или
других заряженных центрах внутри диэлектрика или на его границе со слоем
кремния. В самом деле, при столь малых размерах канала уже необходимо

принимать во внимание дискретность заряженных центров. Неоднородность
(шероховатость) стенок канала тоже может существенно сказаться не
переносе носителей.
3. Статистика Ферми-Дирака
Высокая степень легирования контактов истока и стока (10" -10" см" )
приводит к вырождению электронного или дырочного газа. Это вызывает
необходимость использовать в расчетах квантовую функцию распределения
Ферми—Дирака.
2.16.9. Обзор квантовых методов
моделирования нанотранзисторов
К числу основных квантовых методов, которые предлагается
использовать для моделирования объектов наноэлектроники можно отнести метод
функций Вигнера, метод неравновесных функций Грина и метод, основанный
на формализме Ландауэра-Бюттикера.
1. Метод функций Грина
Ключевым понятием в этом методе является функция Грина, а точнее,
причинная функция Грина. Введем ее для системы тождественных квантовых
частиц. Пусть каждая частица может находиться в одном из квантовых
состояний Ц/Дх). Тогда так называемые ^операторы записываются в виде:
$(*) = Z5/Vi(*)>
v+W = E«/>/*W. (16-4)
где а[ и <5, - канонические операторы рождения и уничтожения частиц,
вводимые в представлении вторичного квантования.
Представим гамильтониан системы в виде
tf = tf0+tfint, (16.5)
гд,еН0 является невозмущенной частью гамильтониана, аН\п1 — возмущение.
Далее ^операторы преобразуются следующим образом в представлении
взаимодействия:
-H0t ---Н0с
Va(r,t) = eh ya(r)e h ,
4/>V) = e*%>V*"°', (16.6)

где а обозначает спиновый индекс.
Введем понятие хронологического произведения операторов (Г-произве-
дения) для некоммутирующих операторов А и В следующим образом
ТА(Р^тг,П^ЩГ)' '>'' (16.7)
Знак «+» соответствует статистике Бозе, а «-» - статистике Ферми.
Теперь можно определить саму причинную функцию Грина:
Gap(r,F',t,t')=-i<S0>-]<0\T4a(r,t)ya(r',O\0>, (16.8)
где< 0|...|0>обозначает матричный элемент, взятый по основному состоянию
системы с невозмущенным гамильтонианом Н0. Множитель
<S0> =<0|е h |0> взят для нормировки.
Если функция Грина становится известной из расчетов, то с ее помощью
легко найти значения различных важных физических величин. Так, например,
одночастичная матрица плотности равна
pap(r,f\0 = ±/lim Gao(f,F',t,t'). (16.9)
f'->/+0
Плотность частиц и плотность их потока в свою очередь выражаются
следующим образом:
п(г,0 = ±/ lim TrG„R(г,г',t,t'), (16.10)
г'->7
j(F,t) = ±^- lim(Vr--V?.)TrGap(r,r',r,r'), (16.11)
(знак «+» снова соответствует статистике Бозе, а «-» - статистике Ферми), где
т- масса частицы, взятие следа Тг (суммирование) производится по
спиновым индексам.
2. Метод функций Вигнера
Уравнение Вигнера является полным эквивалентом уравнения Шредин-
гера и записывается для «функции распределения» Вигнера /,„(г,р, I),
которая выражается через волновую функцию \y(r, t) или соответствующую
матрицу плотности
9(f,r',t) = y(f,t)y*(r',t) (16.12)

следующим образом:
со , .
f„(r>M= №'dr+\г ,г-\Ае-ГрТ' I h. (16.13)
Функция Вигнера является решением уравнения
+СО
от тот й J 27Гй
—со
где
+00
Vw{r,p)=2 \dF'sm(pF'/h)[V(F + l/2r')-V(r-l/2r')l (16.15)
о
Здесь V(r)— потенциальная энергия, включающая электрическую часть
eU(F), величина р имеет смысл импульса частицы, тогда р — mv. Легко
заметить значительное сходство уравнения Вигнера с кинетическим
уравнением Больцмана, точнее, с уравнением Лиувилля, когда интеграл
столкновений равен нулю. На первый взгляд, уравнение Вигнера выглядит, как
естественное продолжение классического кинетического уравнения в
квантовую область. С его помощью особенно удобно сопрягать классические
зоны (контакты) с квантовыми (канал транзистора), поскольку граничные
условия для обоих уравнений выглядят одинаково: они ставятся на
функцию распределения частиц, влетающих в расчетную область. На этом, к
сожалению, сходство заканчивается и начинаются существенные отличия,
которые, вообще говоря, и следует ожидать, поскольку уравнение Вигнера
является просто по-другому записанным уравнением Шредингера.
Отметим эти различия:
1) уравнение Вигнера обладает исключительно сложным нелокальным
полевым слагаемым, которое фактически описывает интерференцию;
2) не удается ввести произвольное рассеяние в уравнение Вигнера, пока
это сделано лишь для 5-образного потенциала рассеивающих центров, что
далеко от реальной ситуации (фононы, кулоновское рассеяние, поверхностное
рассеяние);
3) в отличие от истинной функции распределения, функция
«распределения» Вигнера не является положительно определенной величиной и, в
действительности, не может трактоваться как вероятность или плотность
распределения частиц.

Отметим, что последнее обстоятельство делает невозможным
применение традиционного метода Монте-Карло для решения этого уравнения.
Однако попытки обойти это затруднение предпринимаются. В последнее время
уравнение Вигнера успешно привлекается для моделирования
резонансно-туннельных диодов, хотя время расчетов оказывается огромным.
3. Формализм Ландауэра-Бюттикера
На наш взгляд, именно формализм Ландауэра-Бюттикера является
наиболее приемлемым для моделирования полевых нанотранзисторов.
Во-первых, он обладает ясным физическим смыслом, заключающимся в
представлении работы квантового транзистора как распространение электронных волн в
волноводе, что соответствует физической реальности. Во-вторых, что
наиболее важно, этот метод обладает преемственностью с предшествующими
подходами, основанными на классической кинетике.
Согласно этому подходу рассчитывается коэффициент прохождения из
одной моды поперечного квантования на входе в канал во все другие моды
поперечного квантования на выходе из канала Т{Е\ затем ток между истоком и
стоком I(Vsd) при напряжении между ними Vsd получается из соотношения
Ландауэра
I(Vsd) = у \dET{E)[fs{E)-fd{E)\ (16.16)
где е-заряд электрона, И — постоянная Планка, fs nfd -функции
распределения в истоке и стоке, соответствующие разности химических потенциалов
eVsd, определяемой напряжением между истоком и стоком J^. Коэффициент
перед знаком интеграла происходит из кванта проводимости G0 = .
h
Коэффициенты прохождения электронов из контакта истока в контакт
стока получаются путем решения задачи рассеяния для уравнения Шрединге-
ра с учетом распределения электрического поля в канале транзистора.
Электрическое поле определяется путем решения уравнения Пуассона с учетом
распределения плотности носителей, полученной в результате решения
уравнения Шредингера. Совместное итерационное решение обоих уравнений
приводит к вычислению тока по формуле (16.16).
Несмотря на простоту и ясность формулировки метода
Ландауэра-Бюттикера, он обладает скрытыми недостатками, свойственными всем
кинетическим подходам, описывающим баллистический или квазибаллистический
перенос, как квантовый, так и классический. Действительно, для применения
формулы (16.16) необходимо знать функцию распределения частиц,
влетающих в расчетную область. Вообще говоря, ее можно считать близкой к равно-

весной только в глубине контактов, но там присутствует очень сильное
рассеяние, которое совершенно не учитывается в модели. Как правило, в работах
эта проблема обходится вниманием. Нам, однако, удалось обосновать
применимость метода даже в том случае, когда сильное рассеяние в контактах не
принимается во внимание. Наше обоснование основано на наличии высокого
потенциального барьера вблизи контактов истока и стока, который возникает
из-за натекания носителей в нелегированный канал транзистора из
сильнолегированных областей истока и стока. Большая часть частиц (волн) отражается
от этого барьера и возвращается в контакт. Только небольшая доля частиц,
имеющая достаточную энергию, проникает в контакт, поэтому можно считать
эти частицы как находящиеся в равновесии с резервуаром и имеющие
равновесное распределение. Это утверждение справедливо независимо от
интенсивности рассеяния в контактах.
2.16.10. Эффективный метод решения задачи
рассеяния для уравнения Шредингера
Для расчетов мы используем модифицированный нами метод Г-матрицы
(трансфер-матрицы). Главным достоинством этого метода является простота
и малое время расчета по сравнению, например с методом матрицы рассеяния
(^-матрицы). Это особенно важно при расчетах трехмерных(31))структур,
например, при полностью квантовом моделировании полевых нанотранзисто-
ров. Тем не менее, существенным недостатком, сдерживавшим
использование этого метода для расчета приборов, являлась катастрофическая потеря
точности при работе с нераспространяющимися модами (evanescent modes).
Нераспространяющимся модам соответствует отрицательная энергия
продольного движения или, другими словами, мнимое значение продольного
волнового вектора. Таким образом, нераспространяющиеся моды соответствуют
решениям, которые экспоненциально затухают или экспоненциально
возрастают вдоль канала транзистора. По названной причине в расчетах, как
правило, используют намного более сложный метод матрицы рассеяния, где
возрастающие и затухающие моды разделяются и при расчетах ^-матрицы взаимно
компенсируются (cancellation).
Мы разработали алгоритм, позволяющий при достаточно умеренном
увеличении времени расчетов устранить вышеупомянутый недостаток. Идея
метода заключается в точном учете экспоненциально возрастающих и
затухающих мод (evanescent modes) посредством чисел произвольной заданной нами
точности. Существо метода заключается в следующем. Если предположить,
что для длины канала А/ нам для правильного.расчета коэффициентов
прохождения и отражения достаточно 16 значащих цифр после запятой, то для
канала в п раз большей длины нам потребуются числа с п раз большим количест-

вом значащих цифр. Таким образом, для одновременной работы как с
экспоненциально возрастающими, так и с экспоненциально убывающими
коэффициентами при модах в разложении проходящей электронной волны
необходимо линейное увеличение количества значащих цифр в используемых числах.
На сегодняшний день существуют эффективные алгоритмы, позволяющие
проводить математические операции над числами произвольной точности за
время порядка п * log(«), где п - число значащих цифр в числе. В результате
этого увеличение длины канала в п раз приводит к увеличению времени
работы нашего алгоритма также лишь в и * log(«) раз, что соответствует
практически линейному росту.
Перейдем теперь непосредственно к описанию предлагаемого метода.
Мы решаем стационарное уравнение Шредингера:
д2
тхдх2
д2
туду2
д~
+ U(x,y,z)
m.oz
\\i(x,y,z)=E\\i(x,y,z). (16.17)
Уравнение записано в атомных единицах, тх, т и т. есть отношения
эффективной массы в соответствующем направлении к массе свободного электрона.
Волна распространяется в направлении оси х, геометрические
характеристики канала не зависят от координаты х.
Раскладываем волновую функцию в плоскости перпендикулярной оси х
по собственным модам каналаср,(_у, г):
у (х, >>, z) = £ с,-(х) * Ф / 0,4
7=1
(16.18)
Полная система функций ср,(у, z) является решением двумерного уравнения
Шредингера в плоскости перпендикулярной оси х в отсутствии потенциала:
т ду~
mzdz~
Ф,(>'>0=£/Ф/О,0-
(16.19)
В случае прямоугольного сечения канала с размерами d x d., ф,(.у,z)-
есть просто произведение синусов:
<Pi(y>z) =
^dydz
sin
f ■ \
V dy J
sin
( ■ \
Tll.Z
V d-- J
(16.20)

Соответствующая энергия есть
яг.
£/ =
т.
\dyJ
+ •
т
г ■ \2
т.
= v d= j
(16.21)
Если взять конечное число М модфДу, z), получим в разложении (16.18)
приближенное равенство. Подставим разложение (16.18) в уравнение (16.17),
умножим слева на волновую функцию ф;(у, z) и проинтегрируем по z и по у.
Поменяв местами индексы / и у, получим:
_£_££) + j, х) (х) = [E_£j]Cj(x) (1622)
к2
На входе, где потенциал отсутствует, Е - —*~ + е , где е -энергия j-ой моды.
тх
Будем решать уравнение (16.22) на сетке, с равноотстоящими узлами хк,
к= X...N. Соответствующее разностное уравнение запишется как:
с, (хк-\) = -с, (**+1) + 2с/ (хк ) +
+тх ■Ax2(JjUij(xk)cJ(xk)-[E-sl]cl(xk)). (16.23)
Или в векторной форме:
фкА) = -c(xjfc+i) + 2с(хА.) + тх ■ Ах2 (U(xk )с{хк )-[Е- е]с(хк)) =
= -с(хк+,) + А(хк)с(хк). (16.24)
Уравнение (24) можно переписать в следующем виде:
Фк-\)
. Фк) .
Таким образом,
А(хк) -I
I
О
' Фк)'
.Фк+\).
Т(хк)
Фк)
.Фк+\).
'c(x_^ "+1
Фо)
=ПТ(^)
/t=0
C(XW+l) | _rp[ Фы+\)
Фы+г),
\.Фы+2),
(16.25)
(16.26)

Выделим из коэффициентов с части соответствующие модам, которые
при Е >е, распространяются в прямом направлении -с^(х) и в обратном
направлении - cj(x) вдоль оси х. В случае Е <е, (evanescent modes) это будут
моды соответственно экспоненциально возрастающие и затухающие.
ci(x) = ct(x) + c;(x). (16.27)
Из уравнения (16.22) следует, что в начале канала, где отсутствует потенциал
U, изменение коэффициентов с,(а-) при изменении координаты х на Ахбудет:
с,(х + Ах) = с!(х)е^'"ЛЕ-Е')Ах + с;(х)е-^тЛЕ-Е')Хх. (16.28)
Выразим коэффициенты с*(х) и cj(x) через значения коэффициентов с, в
точках х и х + Ах.
с,+ 0) = b(iC,(x) + Ъ[гс,(х+Ах),
где
сТ(х) = bilCj(x) + Ъ[2с>(х + Ax), (16.29)
1
Кг =
1
e-iyl»h(E-Zi)te _ e<4n^E-Zi)bx
hi - 1
j _ e2/Vwx(£-E,)A* '
Следует отметить, что при Ах -> 0 коэффициенты 6' неограниченно
возрастают и имеет смысл только их линейная комбинация в выражении (16.29).
Запишем также выражения коэффициентов с, в точках лих+Дх через
с*(х) и с~(х) в конце канала, где потенциал постоянен и равен Udrajn:
ci(x) = bl\cl(x) + b]'2c;(x),

с, (х + Ах) = £/, с,+ (х) + 62'2 с; (х),
(16.31)
где
%i _i л' _1 Г' _ '%К(£-Е,-£/,/га/и)Лх
°11 _ 1' °12 — х' °21 — е >
£/ _ е-'фпЛЕ-Е,-и./гш»)&х
(16.32)
Переписывая (16.29) и (16.31) в векторной форме и учитывая (16.26),
получим связь коэффициентов с*(х) и с~(х) на входе и выходе из канала:
= в т
c + (*-i)
c(x^+l)
.c(xW+2).
= B
'c(x_,)'
f
= B T В
c (xw+i)
(16.33)
Матрица В имеет вид:
В =
(а1
°п
0
0
ь21
0
10
0
*
0
0
■•.
0
0
0
0
0
ьг\
6,2
0
0
^22
0
0
0
0
0
0
(Г
0
Ь\2
0
0
Ьп )
(16.34)
Для матрицы В все формулы выглядят аналогично.
Представим себе, что мы посылаем в канал 1-ю моду с энергией
Е- — + eh тогда на входе получим распространяющиеся моды се,<E,i= 1...
тх
'MPleft' из которых одна налетающая и i^Pkft отраженных, а также
экспоненциально возрастающие и затухающие моды, т.е. evanescent modes, у которых
е, >Е,\ = \МР1ф...М. На выходе также будем иметь iMPl.ight прошедших
распространяющихся мод с е 1< Е + Udram > i=\---hfPright и evanescent modes с
е, >£ + Udrain, / = iMPl.ighl ...M, где потенциал в конце канала Udrain уже не зави-

сит от координат. В нашем случае он равен напряжению между истоком и
стоком, умноженному на заряд электрона. Коэффициенты с* и с~ на входе и
выходе из канала будут выглядеть следующим образом:
О
С;„ =
О
1/
О
■ 'MTIeft-l
\ ь increase, M J
С/« =
/ - Л
С reflect^
''reflect, iMpbf
0
о
с+ =
' transmit ,1
' transmit, iMPrij,hl
0
0
' cout ~
J
0
Cdecrease,iMPrig/„+l
^ ^ decrease, M j
(16.35)
где на входе мы положили равными нулю коэффициенты при
экспоненциально возрастающих при х -> -°о модах, а на выходе при модах возрастающих на
л:—»+оо. Решая уравнение (16.33) относительно 2М неизвестных можно
вычислить оставшиеся коэффициенты {с}. Заметим, что трансформация мод, т.е.
изменение по модулю коэффициентов {с} происходит только в неоднородном
потенциале, поэтому на входе и выходе из канала, т.е. там, где потенциал
постоянен, граничные условия на коэффициенты можно ставить в произвольной
точке х. Потенциал фактически выравнивается внутри сильнолегированной
области контактов истока и стока.
Коэффициенты прохождения и отражения получаются из соотношений

\c+ I2 k
j, _ V"1 \^transmil,i\ л/
i=V-JMPRigfil
k,
= l-R = l- £ |C^-y|2^, (16.36)
i=l-iMPh/i I
где коэффициенты с, нормированы так, чтобы на входе коэффициент при
налетающей волне содержащей 1-ю моду, был равен единице.
Подходя к описанию практической реализации метода заметим, что
коэффициенты ев (16.27) в случае нераспространяющихся мод (evanescent modes)
состоят из экспоненциально возрастающей и экспоненциально убывающей
частей. Поэтому для получения правильного результата, мы должны следить,
чтобы разность порядков с, + (х) и с, - (х) как минимум не превышала
количества значащих цифр в числах, используемых при расчетах на конкретной
вычислительной машине. При двойной точности это 15-16 десятичных цифр.
Нетрудно привести условие на максимальную длину части канала Д/, на кото-
рой еще можно работать с двойной точностью. Для этого необходимо, чтобы
2 /л! (е -Е)Ы , Л16 »т /- ,- ~»7
е " mas < 10 . Чтобы проводить расчеты в канале длины большей Д/,
мы используем числа произвольной точности. В этом случае каждый раз
после получения Т матрицы очередного участка из ш< Д/ / Дх слоев, на котором
еще не происходит катастрофической потери точности, мы умножаем
результат на результирующую матрицу, состоящую из чисел повышенной точности.
При таком умножении обычные числа умножаются на числа
произвольной точности, каждое из которых представлено п обычными числами,
поэтому временные затраты на такое умножение больше только в п раз. При
моделировании транзистора нам обычно требовалось 5-7 таких
перемножений. Мантисса чисел произвольной точности должна содержать
Nd > 2\geJmx(Bj -E)L значащих цифр.
В общей структуре алгоритма только решение системы линейных
уравнений (16.30) требует операций с умножения и деления чисел
произвольной точности. Как уже было сказано выше, в настоящее время
существуют эффективные алгоритмы, позволяющие проводить математические
операции над числами произвольной точности за время порядка п * log(/7),
где и- число значащих цифр в числе. Это увеличивает времени работы
алгоритма также лишь в п * log(w) раз. Таким образом, мы имеем алгоритм, с
помощью которого можно рассчитывать рассеяние электронной волны с
учетом произвольного числа нераспространяющихся мод (evanescent
modes), в канале произвольной длины. Время работы алгоритма, как показали

наши расчеты, по сравнению с обычным методом Г-матрицы, который не
позволяет проводить реальные расчеты, увеличивается лишь линейно от длины
канала.
Представленный метод решения задачи рассеяния для трехмерного (3D)
уравнения Шредингера может найти широкое применение при
моделировании различных наноэлектронных структур, в частности, интерференционных
структур с длинными каналами. Однако в настоящей работе мы остановимся
только на моделировании КНИ транзисторов, которые имеют самую близкую
перспективу использования в больших интегральных схемах.
2.16.11. Результаты моделирования
На основе описанного выше метода в Физико-технологическом
институте РАН была разработана программа моделирования для расчета
характеристик КНИ-транзистора. Программа основана на расчете коэффициентов
прохождения электронов из контакта истока в контакт стока путем решения
уравнения Шредингера с учетом распределения электрического поля в
канале транзистора. Для обеспечения устойчивости решения уравнения
Шредингера без потери точности применяется разложение волновой функции
электронов в канале по конечному числу поперечных мод, а также
использование чисел произвольной точности, как это описано в предыдущем разделе.
Для расчета самосогласованного поля решается уравнение Пуассона. Ток
рассчитывается согласно соотношению Ландауэра-Бюттикера (16.13),
которое, фактически, основано на представлении канала нанотранзистора как
квантового провода.
В настоящей работе для демонстрации расчета коэффициентов
прохождения были выбраны следующие геометрические параметры структуры:
длина затвора Юнм, спейсеры по 5 нм, толщина кремния 2 нм, ширина канала 5
нм, эффективная толщина подзатворного окисла 1,5 нм. Легирование контак-
тов истока и стока 10" см . Расчетная область включала 5нм контактов, что
оказалось достаточным для правильного описания самосогласованного
потенциального барьера на границах канала.
Рассчитанные коэффициенты прохождения для различных долин зоны
проводимости кремния при нулевом напряжении на стоке VD = 0
представлены на рис. 16.14. Интерференционные пики на зависимостях для 4
случайных примесей в канале более отчетливы для электронов из долин [100] и
[010], чем из долин [001]. Это объясняется значительно меньшей массой
продольного движения электронов в канале (рис. 16.14), следовательно,
значительно большей длиной волны. Следует отметить, что при указанных
размерах структуры преимущественно электроны только двух долин [100]
дают вклад в ток, поскольку именно эти долины имеют наименьшую энер-

Энергия, эВ
Рис.16.14. Зависимость коэффициента прохождения от продольной энергии
электронов из долин [100] и [010] (вверху) и долины [001] (внизу) в канале
транзистора. Присутствуют 4 случайные примеси в канале
гию поперечного квантования в канале. Надо особо отметить, что в конечном
итоге это обстоятельство весьма мало сказывается на токе транзистора в
открытом состоянии.
Полученный немонотонный характер зависимости коэффициента
прохождения как раз отражает квантовую природу процессов внутри канала
транзистора, а именно, интерференцию волн. При классическом поведении
электронов в канале коэффициент прохождения при некоторой энергии электронов
резко бы изменялся от 0 до 1. Следует заметить, что, несмотря на то, что
зависимости коэффициента прохождения электронов изломанные, итоговые
выходные вольт-амперные характеристики транзистора оказываются вполне
монотонными. В этом заключается, пожалуй, главный результат моделирования.
Другим предназначением разработанной программы моделирования
является выяснение влияния интерференции на самосогласованном потенциале и
случайных заряженных центрах в канале на характеристики транзистора.
Действительно, не раз высказывались опасения, что случайные заряженные центры
(дефекты и примеси) в канале транзисторов могут привести к значительному
разбросу характеристик транзисторов. Это могло бы стать препятствием на
пути создания больших быстродействующих логических схем в будущем.
Аналогичные опасения вызывали и неровности (шероховатости) стенок канала.
Расчеты, проведенные с помощью программы моделирования, позволили
выяснить степень влияния реалистических неоднородностей канала на
зависимости тока транзистора от напряжения на стоке (рис. 16.15, 16.16). Как
видно из рис. 16.15, наличие ступеньки снижает ток открытого состояния
транзистора, что означает сдвиг порогового напряжения. Особенно эта неоднород-

. 1-2*10
ДО4(Г>
-ё 4,0*10 >
flat channel
о 0,5 им step at the source
A 0,5 им step at the drain
channel thickness 3 им
0.0 0.2
0.4 0,6 0,8
drain voltage. В
1.0
,1-2*10S|-
t: 8.0*10
24,0 JO"
-
-/
' 1
о empty channel
a 1 impurity near source
° 1 impurity near drain
channel thickness 3 им
Г I 1
0,0 0.2
0.4 0.6 0.8 1,0
drain voltage, В
Рис. 16.15. Зависимость тока транзистора от напряжения на затворе
для гладких стенок канала и при различном расположении ступеньки
(вблизи контакта истока или стока)
Рис. 16.16. Зависимость тока транзистора от напряжения на затворе
для идеального канала и при различном расположении одиночного
заряженного центра (вблизи контакта истока или стока)
ность канала сказывается на токе транзистора, когда она находится вблизи
контакта истока. Одиночный положительно заряженный центр увеличивает
ток транзистора (рис. 16.16), что также связано со сдвигом порогового
напряжения. Предварительные расчеты показали, что разброс характеристик
нанотранзисторов, связанный с указанными выше неоднородностями канала,
составляет 5—20%. Хотя эти исследования пока носят предварительный
характер, они указывает на то, что разброс не является катастрофическим, как
предполагалось раньше, однако, по всей видимости, потребует
совершенствования технологии процессов изготовления интегральных схем на основе
нанотранзисторов.
Кремниевый полевой транзистор еще долгое время будет сохранять свое
лидерство и в области нанометровых размеров как основной элемент
сверхбольших интегральных схем. При нанометровых размерах этот транзистор
становится квантовым объектом. Его работа более похожа на распространении
заряженных волн в волноводе, чем на пролет частиц или протекание
жидкости, как было прежде. Моделирование нанотранзисторов требует применения
методов квантовой механики.
Что касается создания и использования альтернативных приборов, то
пока все они сталкиваются с очень серьезными трудностями, поскольку в
значительной степени уступают кремниевым полевым транзисторам по
совокупности своих характеристик, превосходя их только в отдельных
показателях.

2.17. Полномасштабные квантовые компьютеры
и перспективы реализации их в твердотельных
микро- и наноструктурах
Во введении к предлагаемому обзору даны основные общие сведения о
квантовых компьютерах. Затем обсуждается перспективность отдельных
направлений по разработке полномасштабных (масштабируемых) структур.
Основное внимание уделяется тем твердотельным вариантам, для которых
были предприняты попытки такой реализации. Это, в частности, схема,
кремниевого квантового компьютера на состояниях ядерных спинов донор-
ных атомах фосфора. Далее обсуждается состояние разработок в области
создания твердотельных квантовых компьютеров, использующих в качестве
кубитов квантовые состояния в сверхпроводниковых структурах, зарядовые
(орбитальные) и спиновые состояния электронов в квантовых точках, фул-
леренах а также состояния ионов в ловушках, создаваемых в твердотельной
структуре по интегральной технологии. Наконец, кратко обсуждаются
перспективы реализации некоторых других моделей полномасштабных
квантовых компьютеров.
2.17.1 Введение
Основой современного цифрового компьютера является совокупность
макроскопических полупроводниковых элементов - классических битов с
двумя базисными логическими булевыми состояниями «О», «1» и логических
элементов - вентилей, которые производят локальные логические операции
над базисными состояниями этих элементов. Развитие вычислительной
техники идет в основном по пути организации вычислительных операций на
основе классической булевой логики.
Уровень технологии современной микроэлектроники, являющейся
основой цифровых вычислительных устройств, характеризуется уровнем
интеграции интегральных схеи и минимальным контролируемым размером ширины
затвора транзистора (длина канала транзистора несколько меньше ширины
затвора). Корпорация IBM сообщала недавно об освоении производства
интегральных схем с уровнем интеграции в сотни миллионов транзисторов в
одном кристалле (чипе) по 32 нм технологии при размере кристалла 22 мм.
Число транзисторов в микропроцессоре или структуре памяти растет
экспоненциально в процессе развития технологии. Так, число транзисторов на кристалле
в микропроцессорах фирмы Intel, начиная с 1970 года, удваивается каждые
два года и к настоящему времени практически достигло 10 . Такого рода
зависимость получила название закона Мура.

Прогресс микроэлектроники и вычислительной техники до конца
прошлого века виделся в основном на пути дальнейшего увеличения степени
интеграции и уменьшения характерных размеров элементов вплоть до наномет-
ровых значений, увеличения быстродействия интегральных схем и
использования логически обратимых вентилей. Несмотря на то, что физические
процессы в наноэлектронных приборах имеют в значительной степени
квантовый характер и требуют для своего описания применения квантовых методов,
их принцип действия, как и традиционных микроэлектронных приборов,
основан на использовании классических булевых логических состояний.
Передаваемая информация в них обрабатывается с помощью некогерентных
классических сигналов, носителями которых являются электрические токи и
напряжения.
Идея квантовых вычислений, по-видимому, впервые высказанная
Ю.И.Маниным в 1980 году, активно стала обсуждаться в мире с 1982 года,
после опубликования статьи американского физика-теоретика, нобелевского
лауреата Р.Фейнмана. Им же была предложена и первая схема квантового
обратимого компьютера.
Основными базовыми элементами любого квантового компьютера
являются квантовые двухуровневые структуры, получившего в дальнейшем
название кубитов (от английского термина quantum bit или qubit). В качестве ку-
битов могут, в частности, рассматриваться электронные и ядерные спины со
спиновым квантовым числом 7 = 1/2, а также системы, для описания двух
квантовых состояний котроых может использоваться понятие эффективеного
спина.
Уровням энергии отдельного спина-кубита в магнитном поле В (рис. 17.1)
соответствуют его собственные состояния |0> и |1>, называемые базисными
состояниями кубита.
В отличие от классического бита, характеризующегося двумя булевыми
состояниями «0» или «1», занимаемыми с вероятностями либо Р(0) = 1, либо
Р(\)=\, квантовый двухуровневый элемент может находиться в
суперпозиции базисных квантовых состояний, описываемой вектором состояния в
двухмерном комплексном гильбертовом пространстве состояний:
|\|/ >= с010 > +с, |1 >, | с012 +| с, |2 = 1.
Базисные вектора состояния |0> и |1 > в этом пространстве являются
единичными ортами, а комплексные амплитуды с0,С] проекциями вектора
состояния на направление базисных состояний (рис. 17.2а). Вектор состояния
может изменяться весьма плавно, принимая произвольные направления в
гильбертовом пространстве, а вероятности найти спин в базисных состояниях
выражается через модули коэффициентов с0, сх: Р(0) =|c0|2,/J(l)=|c1|2. Это озна-

Лео = TiyB
■f- u>=u>
■4— |t>=io>
Рис. 17.1. Уровни энергии спина с / = 1/2 с гиромагнитным отношением у > О
в магнитном поле В (положительное направление спина по полю)
Рис. 17.2. (а) Вектор состояния суперпозиции|ц/ > = Vl/2 (|0> +|1 >) и его проекции
на направление базисных состояний в двухмерном гильбертовом пространстве.
(б) Поворот вектора состояния \\\i > в двухмерном гильбертовом пространстве
при унитарной операции «НЕ» над кубитом
чает, что система спин-кубит может находиться одновременно в состояниях
|0>, и|1>.
Помимо вероятностей Р(0) и/"(1) заполнения базисных состояний |0> и
|1 >, состояние кубита характеризуется когерентными или
интерференционными слагаемыми в вероятности состояния \ц/>, определяемых произведения-
ми комплексных амплитуд с0с: и с0С\. В этом и состоит принципиальное
различие классического и квантового бита.
Для системы двух кубитов гильбертовое пространство становится
четырехмерным а произвольный вектор состояния характеризуется уже четырьмя
комплексными коэффициентами,
Поскольку законы квантовой физики на микроскопическом уровне
являются линейными и обратимыми, то и соответствующие квантовые логические
устройства, производящие операции с когерентными (чистыми) квантовыми
состояниями кубитов, оказываются также обратимыми, а квантовые
вычислительные операции представляются так называемыми унитарными
операторами в гильбертовом пространстве, производящими определенный поворот
вектора состояния в гильбертовом пространстве.
С помощью унитарной преобразования осуществляется, в частности, и
образование когерентной суперпозиции базисных состояний. Например,
такая однокубитовая унитарная операция как поворот вектора состояния из
положения |0> на 45° в плоскости |0>, |1>, приводит к суперпозиции
<Л72(|0> + |1>)(рис.17.2а).

В качестве другого примера можно привести также простейшую
унитарную операцию НЕ (NOT) над одним кубитом, находящемся в состоянии
суперпозиции базисных состояний |v[/>=c0|0>+c1|l>, в которой производится
инверсия базисных состояний |0>—>|1> и |1>-^|0>. В результате получим
|vy>=c0|l>+C]|0>, то есть вектор состояния переходит в положение
симметричное относительно биссектрисы угла между направлениями базисных
состояний (рис. 17.26).
Состояние системы из N кубитов характеризуется вектором состояния в
2 -мерном гильбертовом пространстве. Для описания такой квантовой
суперпозиции в классическом вычислительном устройстве потребовалось бы
задать экспоненциально большое число 2 комплексных амплитуд. Уже для
N = 100 это число исключительно велико - 2 =(1024) ~10 ! Отсюда
следует вывод о том, что эффективное моделирование квантовых систем,
содержащих сотни двухуровневых квантовых элементов, практически не доступно
классическим компьютерам, для которых потребовалось бы выполнить 2
элементарных шагов для вычисления всех амплитуд суперпозиции. При
любой мыслимой скорости элементарных операций это потребовало бы
нереально большого времени классических вычислений.
Но такое моделирование может эффективно осуществляться на основе
использования квантовых операций, действующих в 2' -мерном
гильбертовом пространстве состояний. В этом случае элементарной унитарной
квантовой операцией является поворот вектора состояния всей Л^-кубитовой
системы в 2' -мерном гильбертовом пространстве, при этом выполняется
параллельная обработка сразу всех 2 комплексных амплитуд. Такое свойство
называется квантовым параллелизмом в работе квантовых устройств, оно
приводит к экспоненциальному ускорению вычислительного процесса. В этом
заключается одно из главных преимуществ квантовых компьютеров по
сравнению с классическими цифровыми компьютерами.
Принципиальная схема работы любого квантового компьютера может
быть представлена следующим образом (рис. 17.3). Основной его частью
является квантовый регистр - совокупность (цепочка) из некоторого числа N
кубитов. До ввода информации в компьютер отдельные кубиты регистра
должны быть приведены в основные базисные (булевые) состояния, то есть в
исходное (инициализированное) состояние
10, >, |02 >, |03 >, |04 >, ...,\0N >.
Эта операция называется инициализацией (подготовкой начального)
состояния регистра.

Юл?
Ввод
информации
па входе
Квантовый процессор
(унитарное U(t)
преобразование
падМ кубитами)
Считывание
(измерение состояний)
кубитов на выходе
I
Управляющий классический компьютер,
генераторы радиочастотных, СВЧ и лазерных импульсов
Рис.17.3. Схематическая структура квантового компьютера
Далее с помощью импульсов внешнего электромагнитного поля,
управляемых классическим компьютером основные базисные состояния
определенных кубитов переводятся в состояния |1 >. При этом состояние всего
регистра перейдет в суперпозиции базисных состояний вида |л>=|Я], п2, и3> ■••>
nN >, где я, = 0, 1, соответствующих бинарному представлению чисел в КВаН-
товом регистре п= /tn,2'.
1=1
Совокупность этих суперпозиций образует систему ортогональных
базисных состояний 2 -мерного гильбертового пространства состояний
квантового регистра.
При вводе информации в квантовый компьютер состояние входного
регистра, с помощью соответствующих импульсных воздействий преобразуется в
соответствующую когерентную суперпозицию базисных ортогональных со-
стояний |ц^0)>= 2jC„|»>. В таком виде информация далее подвергается воз-
17=0
действию квантового процессора, выполняющего последовательность
квантовых логических операций, определяемую унитарным преобразованием
U(t), действующим на состояние всего регистра. В результате преобразований
к моменту времени / исходное квантовое состояние становится новой супер-
2N-\
позицией вида|ц47)>= /_lcnUnm(t)\n>sкоторая и определяет результат пре-
образования информации на выходе компьютера.
Совокупность всех возможных операций на входе данного компьютера,
формирующих исходные состояния, осуществляющих унитарные локальные
преобразования, соответствующие алгоритму вычисления, способы
подавления декогерентизации и исправления случайных ошибок играют здесь роль

того, что называют в вычислительной технике «программным обеспечением»
(software).
При выборе конкретной схемы любого квантового компьютера
необходимо, прежде всего, решить три вопроса: во-первых, выбрать физическую
систему, представляющую требуемую систему кубитов, во-вторых, определить
физический механизм, определяющий необходимое для выполнения двухку-
битовых операций взаимодействие между кубитами, в-третьих, определить
способы селективного управления кубитами и измерения их состояния на
выходе. Все это можно отнести к «аппаратному обеспечению» (hardware)
квантового компьютера.
Полномасштабный (масштабируемый) квантовый компьютер должен
превосходить по производительности любой классический компьютер, на
каких бы физических принципах он не работал. В настоящее время такие
полномасштабные многокубитовые квантовые компьютеры являются пока
умозрительной конструкцией, как в свое время умозрительными конструкциями были
персональные компьютеры на сверхбольших интегральных схемах (СБИС).
Можно думать, что подобно тому, как бурное развитие вычислительной
техники, отражаемое законом Мура, началось с появления планарной КМОП
технологии, так и в случае полномасштабного квантовых компьютеров
должно сформироваться соответствующее основное технологическое
направление, которое обеспечит реализацию полномасштабных многокубитовык
квантовых компьютеров. Можно ожидать, что закон, подобный закону Мура,
будет иметь место и для характеристики развития такой технологии.
На пути к реализации полномасштабных квантовых компьютеров пока
стоит целый ряд не решенных пока проблем как общефизического, так и
технологического характера, благодаря чему ни один из многих предложенных
вариантов многокубитовых квантовых компьютеров пока не удалось
осуществить.
Принято считать, что возможность реализации любого полномасштабно-
гоо квантового компьютера определяется выполнением пяти основных
требований, сформулированных Ди Винченсо (IBM):
1. Физическая система, представляющая полномасштабный квантовый
регистр, должна содержать достаточно большое число (N > 1000) кубитов с
управляемыми резонансными частотами, на которые можно было бы независимо
воздействовать в процессе выполнения соответствующих квантовых операций.
2. Необходимо обеспечить условия приготовление состояния входного
регистра с необходимой точностью в исходном основном состоянии \0N_{,
3. Необходимо обеспечить максимальное подавление эффектов декоге-
рентизации и исправление случайных ошибок квантовых состояний регистра.

Характерное время декогерентизации должно в 104—105 раз превышать время
выполнения основных квантовых операций (время такта) для того, чтобы
ошибка при выполнении отдельной квантовой операции была, по крайней
мере, менее 10" . Проблема подавления декогерентизации является одной из
основных проблем на пути реализации квантовых компьютеров.
4. Необходимо обеспечить за время декогерентизации выполнение
требуемой совокупности квантовых логических операций. Эта совокупность
должна содержать определенный набор защищенных от ошибок двухкубитовых
операций и однокубитовых операций. Управляющие операциями импульсы
должны контролироваться, соответственно, с точностью не хуже, чем 10" .
5. Необходимо обеспечить с достаточно высокой надежностью
измерение состояния отдельных кубитов регистра в вычислительном базисе на
выходе. Проблема измерения квантовых состояний является другой основной
проблемой на пути реализации квантовых компьютеров.
Первый вариант квантового компьютера на состояниях ионов,
захваченных линейными ионными ловушками Пауля, был предложен австрийскими
физиками И.Цираком и П.Цоллером в 1995 году. В том же году были
выполнены первые эксперименты группой исследователей в США (NIST).
Интенсивные исследования в этом направлении продолжаются по настоящее время
в лабораториях ряда стран (NIST, Innsbruck, LANL, MIT, Oxford и др.).
Основными недостатками таких квантовых компьютеров являются
необходимость создания сверхнизких температур, обеспечения устойчивости
состояний ионов в одномерной цепочке и сравнительно небольшое возможное
число кубитов (N < 40) в одной зоне (первый критерий ДиВинченсо не
выполняется).
Альтернативным вариантом явились ЯМР квантовые компьютеры на
органических молекулах в жидкости. Первые предложения были
сформулированы в 1997 году в США (MIT, LANL) и в Великобритании (Оксфорд) и в этом
же году были выполнены первые эксперименты на ядерных спинах двух
атомов водорода Н в молекулах 2,3-дибромотиофена SCH:(CBr)2:CH и на
трех ядерных спинах - одном в атоме водорода Н и двух в изотопах углерода
С в молекулах трихлорэтилена СС12:СНС1. Позднее были осуществлены
квантовые операции также в цитозине, хлороформе, аланине и других
жидкостях с числом спинов-кубитов N = 3, 5, 6, 7.
Главным преимуществом жидкостного компьютера является то, что
огромное число практически независимых естественных
молекул-компьютеров жидкости действует одновременно, обеспечивая тем самым возможность
управления ими с помощью хорошо известных в технике ядерного
магнитного резонанса (ЯМР) операций над макроскопическим объемом жидкости.
Индивидуальное обращение к отдельным кубитам заменяется здесь одновремен-

ным обращением к соответствующим кубитам во всех молекулах большого
ансамбля. Компьютер такого рода получил название ансамблевого ЯМР
квантового компьютера (bulk-ensemble quantum computer). Этот принцип мы
обсудим ниже и для случая многокубитовых твердотельных квантовых
компьютеров.
Замечательным является то, что такой ЯМР квантовый компьютер в
принципе может работать и при комнатной температуре. В
экспериментальном отношении в области ЯМР квантовых компьютеров на органических
жидкостях к настоящему времени удалось достичь наибольших успехов.
Принято считать, что предельное число кубитов в жидкостном ЯМР
квантовом компьютере не можен превышать 20-30, то есть они также не уовлетво-
ряют первому критерию Ди Винченсо. Поэтому ЯМР квантовые компьютеры
на молекулах жидкостти, как и ранние компьютеры на ионных ловушках в
вакууме могут рассматриваться как прототипы будущих квантовых
компьютеров, полезные для отработки принципов квантовых вычислений и проверки
квантовых алгоритмов, которые предполагается использовать и при
разработке полномасштабных квантовых компьютеров.
Что касается возможности создания многокубитовых квантовых
регистров, то перспективным представляется использование твердотельных
структур. Естественно, что в настоящее время бурного развития твердотельных
технологий невозможно в ограниченном по объему обзоре сколь-нибудь
полно проанализировать все развиваемые направления. Мы ограничились здесь в
основном теми напрвлениями, которые, на наш взгляд, наиболее близки к
физической реализации твердотельных многокубитовых квантовых устройств.
Это мог быть, в частности, ядерный магниторезонансный (ЯМР)
квантовый компьютер на планарной полупроводниковой структуре по схеме Кейна,
роль кубитов в котором играют состояния ядерных спинов донорных атомах
фосфора. Мы обсудим преимущества и недостаткаи схемы Кейна.
Далее дается обзор состояния основных направлений в области создания
элементной базы твердотельных квантовых компьютеров, использующих в
качестве кубитов, квантовые состояния в сверхпроводниковых структурах,
зарядовые и спиновые состояния электронов в квантовых точках, фуллеренах.
Предпринятые в ряде стран, интенсивные экспериментальные попытки
создания твердотельного многокубитового квантового компьютера ни по
одному из перечисленных выше направлений пока не увенчались большими
успехами. К настоящему времени были реализованы структуры содержащие
пока не более 4 кубитов (см. разделы 1-3). Основные трудности были связаны
с измерением состояний отдельных кубитов, с изготовлением сложных
структур с нанометровыми масштабами, с организацией двухкубитовых операций
между удаленными кубитами, с подавлением декогерентизации, обусловлен-

ной взаимодействием кубитов с окружающей средой и флуктуациями
напряжения на затворах.
Между тем, в последнее время все большое внимание привлекают
многообещающие разработки квантовых компьютеров на состояниях ионов в
ловушках с большим числом кубитов, реализуемых в твердотельных
многозонных структурах, создаваемых методами современной интегральной микро- и
нанотехнологии. Это направление обсуждается ниже в разделе 2.17.4.
Интересным новым направлением может стать разработка квантовых
компьютеров на состояниях электронных спинов, плавающих в вакууме в слое жидкого
гелия (раздел 2.17.5).
В заключение делаются выводы о перспективности отдельных
направлений в разработке элементной базы полномасштабных квантовых
компьютеров.
2.17.2. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах
При достаточно низких спиновых температурах (Т; < 1 мК), в отличие от
жидкостных квантовых компьютеров, сигнал на выходе твердотельного ЯМР
квантового компьютера не зависит от числа кубитов N. При этом исходное
состояние квантовых регистров оказывается практически чистым
(когерентным) квантовым состоянием и необходимость в использовании специальных
операций для приготовления начального состояния, характерная для
жидкостного варианта, отпадает. Одним из перспективных кандидатур для многоку-
битового квантового регистра является твердотельный гомоядерный вариант.
В нем ядерные спины, образующие квантовый регистр, принадлежат
идентичным атомам, размещенным в некоторой твердотельной искусственной или
естественной структуре. Существенно, что такая схема является
масштабируемой, то есть допускает создание многокубитовых квантовых регистров.
Модель кремниевого квантового компьютера на ядерных спинах донор-
ных атомов фосфора с индивидуальным обращением к кубитам. Первый
вариант модели твердотельного квантового компьютера с индивидуальным
обращением к отдельным ядерным спинам-кубитам в квантовом регистре был
предложен австралийским физиком Б.Кейном в 1998 году. Интенсивные
теоретические и экспериментальные исследования по разработке такого и других
вариантов квантовых компьютеров, начиная с 2000 года были развернуты в
специально созданном для этих целей Австралийском Центре квантово
компьютерных технологий (CQCT).
Согласно предложенной Кейном модели в приповерхностный слой
МОП-структуры, образованной на подложке изотопно-чистого кремния 2 Si,
на глубину порядка 10 нм внедряются донорные атомы изотопа Р с ядерным
спином / = 1 / 2 в виде регулярной цепочки, образуя своего рода линейную

«искусственную молекулу», с произвольным числом ядерных спинов-куби-
тов. Расстояния между донорами должно было быть порядка 20 нм. То есть
для изготовления таких структур требуется высокоточная нанотехнология.
При температурах Т < 0,1К донорные атомы не ионизированы и
находятся в основном орбитальном ^-состоянии, а электронные спины S = 1 / 2 в полях
порядка нескольких тесла практически полностью поляризованы.
Инициализация ядерных спинов-кубитов требует создания для ядерных спинов
значительно более низких температур (7) < 1 мК). Настройку резонансных частот
отдельных спинов в схеме Кейна предполагается осуществлять
индивидуально, путем воздействия на ядерные спины через сверхтонкое взаимодействие,
изменяя электрический потенциал на затворах А, а контроль взаимодействия
между ядерными спинами соседних доноров осуществляется с помощью
затворов J (рис. 17.4) изменяя степень перекрытия электронных плотностей
соседних доноров.
Подложка
Рис. 17.4. Схематическое изображение фрагмента регистра из двух
ячеек полупроводниковой структуры в модели Кейна с ядерными
спинами-кубитами донорных атомов Р. Расстояние между
соседними атомами фосфора составляет 1Х. »20 нм
В предложенной Кейном схеме для измерения состояний отдельных
ядерных спинов-кубитов первоначально предполагалось использовать
высокочувствительные методы, основанные на использовании одноэлектронных
транзисторов. В этом случае путем адиабатического изменения величины
обменного взаимодействия (потенциал на затворе J) между электронными
состояниями донорных атомов производится переход электрон-ядерной
системы из одного состояния в другое с той же полной проекцией полного спина,
но с передачей информации от ядерной спиновой подсистемы к электронной
подсистеме. Это сопровождается переносом электрона на соседний донорный
атом, что и детектируется с помощью специально созданных симметричных
одноэлектронных транзисторов.

Дальнейшему развитию методов измерения состояний отдельных, спи-
нов-кубитов был посвящен целый ряд сообщений. Остановимся кратко на
некоторых из них.
Так, схема с использованием одноэлектронного транзистора не является
наилучшей из-за малой энергии ионизации конечного состояния донора после
перехода электрона на соседний донор, позднее был предложен новый более
совершенный метод, основанный на резонансном переносе электрона.
Другой новый механизм считывания сигнала о состоянии электронного
спина основан на том, что в отличие от предыдущего случая переход
электрона на соседний донор не происходит. Схема использует три донора и два
электронных спина, один связан с неизвестным кубитом, состояние другого
является репером. Населенность состояния третьего, первоначально
ионизированного (пробного) донора, определяется электрометром (одноэлектронный
транзистор). Для определения состояния неизвестного спина-кубита
предлагается использовать туипелирование репериого спина к ионизированному
донору. Спиновая информация преобразуется в заряд долгоживущего пробного
состояния.
Авторы сообщения вместо симметричного одноэлектронного
транзистора предлагают использовать несимметричный одноэлектронный транзистор,
что позволяет существенно увеличить эффективность этого метода и
уменьшить влияние декогерентизации состояния кубита в процессе измерения его
состояния.
Обособленное место занимают предложения, основанные на
использовании магнитно-резонансного силового микроскопа (МРСМ). Была
представлена теория варианта такого устройства и проведено моделирование процесса
измерения одно-спинового состояния. Показано, что кантилевер микроскопа
может рассматриваться как квазиклассический прибор, который способен
измерять составляющую спина относительно эффективного магнитного поля.
Весьма интересным является исследованный недавно экспериментально
на модельной структуре вариант электрического измерения состояния
электронного спина донора Р по зависящему от состояния этого спина току
рекомбинации на так называемом /^-центре. Роль /^-центров могут играть
трехвалентные атомы кремния, локализованные с достаточной плотностью
вблизи границы раздела Si/Si02 с уровнями энергии в запрещенной зоне
кремния.
Если нейтральный Рь0-центр локализован вблизи ' Р-донора, то
электроны донора и /^-центра могут образовать слабосвязанную электронную
спиновую пару в состоянии с волновой функцией | *F >. Вероятность рекомбина-
ционного процесса, когда электрон Р-донора переходит кР^д-центру, обра-

зуя отрицательно заряженный (Р^о) -Центр с двумя электронными спинами в
синглетном состоянии \S>, будет пропорциональна синглетной доле
|< S\ Ч* >| в состоянии пары. После захвата свободной дырки (Рьо )~-центром и
ободного электрона Р+-центром оба центра возвращаются в нейтральное
исходное состояние. Этот процесс детектируется по измерению тока.
Индивидуальное обращение к Р кубиту в донорной цепочке
производится с помощью приложения положительного электрического потенциала к
затвору А, обеспечивающему связь донора с определенным /^-центром и
отрицательного потенциала ко всем остальным затворам А. Затворы J
контролируют, как и в схеме Кейна, взаимодействие между кубитами.
Рассмотренная схема была использована для наблюдения электрически
детектируемого электронного спинового резонанса, который регистрируется
путем измерения фотопроводимости после включения резонансного СВЧ-им-
пульса. Поскольку спиновая пара достаточно слабо связана, то возможно
наблюдение сверхтонкого взаимодействия в 31Р', и, следовательно, возможно
электрическое детектирование состояния ядерного спина. Результат был
получен при Г = 5 К на ансамбле из 104 доноров 3]Р. Авторы считают, что при
понижении шумов удастся настолько повысить чувствительность, что
возможно станет измерение состояние ядерного спина в отдельном доноре.
Однако уже достигнутый результат может быть полезен для ансамблевых
вариантов кремниевых ЯМР квантовых компьютеров (см. ниже).
Перечисленные выше одно-спиновые методы измерения имеют, однако,
общий недостаток, связанный с необходимостью создания исключительно
высокочувствительных измерительных устройств и использования
уникального дорогого оборудования.
Основные преимущества схемы Кейна с индивидуальным обращением к
кубитам заключаются в следующем:
а). В кремниевом ЯМР квантовом компьютере по схеме Кейна
используется один тип атомов с ядерными спинам, которые сами по себе являются
кубитами. Их число в регистре N в отличие от жидкостных прототипов может
быть произвольно большим.
б). При температурах менее 1 К в полях порядка нескольких тесла
ядерные спины имеют очень большие времена (часы и дни) продольной
релаксации, что позволяет достаточно долго сохранять исходные базисные состояния
квантового регистра и выполнять достаточно большое число квантовых
операций.
Однако схема Кейна сталкивается и с весьма значительными
трудностями, препятствующими созданию на этой основе полномасштабного ЯМР
квантового компьютера. Основные трудности состоят в следующем:

а) Для инициализации состояний кубитов требуются очень низкие
температуры ядерных спинов, для получения которых необходимо использовать
специальные методы динамической поляризации ядерных спинов.
б) Сигнал, несущий информацию о состоянии индивидуального ядерного
спина индивидуального атома фосфора очень мал, что приводит к большим
трудностям в разработке методов измерения отдельных ядерных спинов.
в) Требуется высокая точность регулярного расположения донорных
атомов и большого числа затворов в нанометровом масштабе.
г) Необходимо исключить влияние процесса декогерентизации
квантовых состояний кубитов, определяемого тепловыми флуктуациями
напряжения на затворах и дробовым шумом.
Несмотря на предпринятые в течение ряда лет весьма большие усилия,
планируемое создание первого прототипа ЯМР кремниевого квантового
компьютера в Австралийском центре (CQCT), реализовать схему Кейна даже
для малого числа кубитов не удалось до сих пор. Появившиеся уже в 2004
году публикации из этого центра свидетельствуют о том, что внимание в
значительной мере переключено к кубитам, использующим не ядерные
спиновые, а зарядовые и электронные спиновые состояния доноров фосфора.
Твердотельное направление, основывающееся на использовании кубитов на
электронных зарядовых и спиновых состояний обсуждается ниже.
Модель ЯМР квантового регистра с индивидуальным обращением к
кубитам на базе одноосного антиферромагнетика. В качестве модели
полномасштабного квантового регистра во ФТИАНе былп предложена и детально
исследовалась регулярная одномерная цепочка из изотопов с ядерными
спинами 1/2, замещающих базовые атомы в пластине легкоосного
антиферромагнетика, не содержащего ядерных спинов (рис. 17.5).
Внешнее постоянное магнитное поле предполагалось направленным
вдоль оси анизотропии, перпендикулярной плоскости пластины и
направлению цепочки, и обладающим постоянным градиентом вдоль цепочки спинов.
В(х)
x^aj
\\s
Рис.17.5. Схема расположения электронных (S) и ядерных (I) спинов
в двухподрешеточной легкоосной антиферромагнитной пластине
для значения внешнего поля менее поля фазового перехода типа
опрокидывания В(х) < Вс. Изображены только два ядерных спина
с номерами к и /в узлах подрешетки А с периодом aL вдоль оси х

Было показано, что вблизи квантового фазового перехода в
антиферромагнетике типа опрокидывания и вблизи антиферромагнитного резонанса
благодаря анизотропии внешнего поля косвенное взаимодействие между
двумя спинами-кубитами существенно изменяется. Так, в условиях, когда
значение локального поля в средней точке между ними совпадает с критически
полем однородного фазового перехода, косвенное взаимодействие резко
возрастает и даже приобретает осциллирующий характер в зависимости от
расстояния. Соответствующие критические значения локального поля были названы
«точками поворота». В условиях однородного антиферромагнитного
резонанса косвенное взаимодействие приобретает дополнительные точки поворота,
положение которых определяется частотой и СВЧ-мощностыо.
Основным преимуществом рассматриваемой одномерной модели
квантового регистра является то, что расстояние между кубитами в регистре может
быть значительно больше тех, которые предполагаются в полупроводниковой
модели Кейна. Это позволяет для управления кубитами перейти к системе
электрических затворов больших масштабов и тем самым существенно
снизить технологические трудности создания таких квантовых регистров.
Более того, наличие неоднородности внешнего магнитного поля
обеспечивает не только различие резонансных частот отдельных кубитов в
квантовом регистре, но и включение взаимодействия между определенными
удаленными спинами. Благодаря этому настройка резонансных частот,
участвующих в квантовых операциях кубитов и управление их взаимодействием может
осуществляться в принципе и без использования локальных электрических
затворов.
Проблемы инициализации квантового состояния регистра, декогеренти-
зации и помехоустойчивости, записи и считывания информации практически
являются теми же, что и в случае полупроводниковой схемы. Одной из
наиболее трудных проблем при реализации квантового компьютера является
проблема инициализации квантовых состояний квантового регистра. Для ее
решения может быть использован метод динамической поляризации ядерных
спинов.
Ансамблевые варианты квантовых компьютеров на ядерных спинах.
Заманчивым представляется использование уже продемонстрированного в
жидкостных квантовых компьютерах ансамблевого подхода, позволяющего
путем перехода к ансамблю параллельно работающих индивидуальных ЯМР
компьютеров существенно увеличить уровень сигнала на выходе
компьютера. Было предложено несколько различных твердотельных вариантов
ансамблевых подходов (ни один из них пока не реализован).
Остановимся сначала кратко на разрабатываемом во ФТИАНе
ансамблевом варианте полупроводникового ЯМР квантового компьютера, в котором, в

Рис.17.6. Схема расположения донорных атомов Р под полосковыми
затворами для двух ячеек регистра и трех элементов ансамбля
отличие от схемы Кейна, затворы А и J, образуют цепочки узких (lA ~ 10 нм),
длинных (микроны) проводящих полосок, вдоль которых на расстоянии /
друг от друга располагаются донорные атомы фосфора (рис.17.6).
Если расстояние 1у настолько больше расстояния между полосками 1Х
(/,. >50 нм), что обменное спиновое взаимодействие между электронами
донорных атомов вдоль полосковых затворов (ось у) пренебрежимо мало, то
такая система распадается на параллельные структуры из кубитов,
расположенных в направлении оси х. Они образуют ансамбль параллельно действующих
независимых копий эквивалентных компьютеров Кейна, играющих роль
больших искусственных «молекул». Сигнал на выходе в такой системе будет
пропорционален, как и в случае жидкостей, числу «молекул» или числу
донорных атомов (элементов ансамбля) под полосковыми затворами А. Путем
изменения потенциала на затворе А, как и в модели Кейна, можно
подстраивать резонансную частоту ансамбля кубитов под данным полосковым
затвором, а путем изменения потенциала на затворах J в поле ~ 2 Тл можно
включать и выключать взаимодействие между ансамблевыми кубитами.
В жидкостном случае при температурах порядка комнатных максимально
возможная амплитуда сигнала ЯМР экспоненциально уменьшается с ростом
числа кубитов N, что и приводит в конечном счете к ограничению
возможного числа кубитов N в жидкостном ЯМР квантовом компьютере. Однако в
полях порядка нескольких тесла, и при достаточно низких спиновых
температурах это ограничение снимается.
Приготовление начального состояния (инициализация) ядерных спинов в
анамблевом квантовом регистре может быть обеспечена как путем прямого
охлаждении до Т ~ 10- К, так и путем использования динамических методов
поляризации ядерных спинов. Выходной сигнал от такого ансамбля
параллельно работающих цепочек, как и в случае жидкостей, будет пропорционален

числу «молекул». Увеличивая число элементов ансамбля позволило бы
добиться существенного увеличения интенсивности ЯМР сигнала.
Возможность использования стандартной ЯМР техники для считывания
информации существенно упрощает процесс измерения и не требует
высокочувствительных односпиновых измерительных устройств. В этом состоит
основное преимущество ансамблевых ЯМР вариантов.
Основной недостаток ансамблевого варианта с полосковыми затворами,
как и модели Кейна, связан с наличием системы затворов, флуктуации
напряжения на которых являются одним из основных механизмов декогерентиза-
ции квантовых состояний. Для реализации рассматриваемой структуры из по-
лосковых затворов по-прежнему требуется нанотехнология с разрешением
порядка нанометра.
Особняком стоит вариант ансамблевого компьютера, где в качестве куби-
тов в нем рассматриваются ядерные спины фтора, принадлежащие не
искусственной структуре, а естественному твердому кристаллу флюорапатита
(Ca5F(P04 )3), которые располагаются в виде одномерных цепочек в
параллельных плоскостях кристалла. Исходную поляризацию ядерных спинов
предполагается достигать путем охлаждения кристалла до очень низких
температур. Время релаксации ядерных спинов Г, в этом случае в немагнитных
кристаллах очень велико.
Основной проблемой является подавление тех диполь-дипольных
спиновых взаимодействий, которые приводят к декогерентизации спиновых
состояний, при сохранении взаимодействий, необходимых для выполнения
логических операций. Предлагается для этого использовать кристаллы высокого
качества и метод «контролируемого усреднения» с помощью радиочастотных
импульсов, известного в технике ЯМР высокого разрешения в твердых телах.
Другая проблема связана с необходимостью различать и детектировать
ядерные спины в периодической структуре кристалла. Для ее решения
предлагается использовать сильный статический одномерный в пределах кристалла
градиент магнитного поля.
Предлагаемый квантовый компьютер состоит из ансамбля N одномерных
цепочек из п ядерных спинов атомов ' F
Сделанные оценки показывают, что в рамках предложенного варианта
можно реализовать уже при существующей чувствительности
магнитно-резонансной силовой микроскопии квантовые вычисления на 300 кубитах при
температурах Т = 10 мК и полях 5 = 20 Тл.
Этот вариант имеет два важных преимущества по сравнению с
описанными выше вариантами твердотельных ЯМР квантовых компьютеров:
Во-первых исключаются трудности, связанные с созданием искусственных
наноструктур с контролируемым расположением атомов с ядерными спинами. В

предлагаемом варианте используются ядерные спины, которые естественным
образом организованы в кристаллической структуре. Во-вторых, наличие
достаточно большого ансамбля спинов позволяло бы не бояться проблем
считывания и инициализации отдельных ядерных спинов. К сожалению,
существенным недостатком является необходимость создания больших градиентов
магнитного поля.
Аналогичный вариант был предложены и для кремниевой структуры
Si, в которой естественным образом в кристалле создаются регулярные
цепочки из атомов " Si с ядерными спинами 1/2. Еще одни вариант
рассматривался на протонах в гидроксиапатите кальция Са5(Р04 )3ОН .
Ансамблевые способы организации квантовых вычислений и измерений
конечного состояния кубитов открывают хорошую перспективу для создания
твердотельных ЯМР квантовых компьютеров по сравнению с вариантами,
использующими индивидуальное обращение к кубитам.
Квантовые клеточные автоматы на ядерных спинах. Использование
принципов квантового клеточного автомата имеет определенное
преимущество, поскольку потенциально допускает отказ от создания регулярных
наноструктур из затворов и поэтому может рассматриваться как весьма
перспективное направление.
Один из твердотельных вариантов был предложен Бенжамином. Им было
показано, что для построения квантового компьютера, работающего на
принципе клеточного автомата достаточно только двух разных типов
двухуровневых элементов - физических кубитов А и В, в частности, ядерных спинов,
отличающихся резонансными частотами. Пусть каждый спин имеет основное
\i > и возбужденное |Т > состояния, которые могут образовывать также и
квантовую суперпозицию. В исходном состоянии все спины инициализированы,
то есть вся структура находится в состоянии \lA iB ЬА...+ >, подобном двух-
подрешеточному ферромагнетику. Для кодирования битов квантовой
информации здесь предлагается использовать состояние не трех, а четырех
примыкающих спинов. Так логические состояния «|0>» и «|1>» представляются
состояниями ячейки из двух пар спинов, соответственно, |Т/)Тв^/)Тв>и
\lA iB Т А Т в >. Использование операций SWAP на основе соответствующих
последовательностей радиочастотных импульсов позволяет и в этом случае
выполнять как однокубитовые так и двухкубитовые операции.
Основное преимущество ансамблевого подхода, использующего
принципы клеточного автомата, отличающее его от всех рассмотренных выше
твердотельных вариантов квантового компьютера, состоит в том, что в этом
случае можно вообще отказаться, если не от всех, то от многих типов затворов и
соединений. К преимуществам такого компьютера относятся также
возможность выполнения им как цифровых, так и квантовых вычислительных опера-

ций, а также возможность организации сравнительно простых алгоритмов
исправления ошибок.
Основой для создания будущих ансамблевых ЯМР квантовых
компьютеров могут стать не только искусственно созданные твердотельные
наноструктуры, но также и некоторые естественные кристаллы, в частности,
антиферромагнетики. Здесь мы рассмотрим вариант ансамблевого ЯМР квантового
клеточного автомата в системах с антиферромагнитным упорядочением
электронных спинов.
В простейшей одномерной модели антиферромагнетика каждый элемент
представляется магнитным атомом, имеющим один электронный и один
ядерный спин 7 = 1/2, связанных сверхтонким взаимодействием.
Вариант ЯМР квантового клеточного автомата на основе
антиферромагнитной структуры имеет целый ряд преимуществ. Он содержит только один
тип атомов с ядерным спином 1/2 (гомоядерная структура), он не требует
создания наноструктур с многочисленными затворами, в результате чего
существенно упрощается конструкция квантового регистра и исчезает механизм
декогерентизации, связанный с электрическими шумами. Если удастся
подобрать соответствующий естественный антиферромагнитный материал, то
отпадает необходимость использования высокоточной нанотехнологии. Для
инициализации большого ансамбля ядерных спинов могут быть
использованы динамические (оптические) методы поляризации ядерных спинов. Способ
кодирования логических состояний на нескольких физических спинах-куби-
тах обеспечивает более высокую помехоустойчивость по отношению к
случайным генерациям ошибочных кубитов.
Вариант квантового ЯМР клеточного автомата на линейных цепочках
типа АВАВ... из двух типов чередующихся эндоэдрально легированных
изотопами N и Р, имеющими, соответственно, ядерный спин 7 = 1/2, фулле-
ренах С60 был предложен Дж.Твамли.
Эндоатомы располагаются в геометрическом центре клетки фуллерена,
их основное электронное состояние является квартетом S = 3 / 2.
Предполагается разместить такие клетки на некоторой поверхности кремния вплотную
друг к другу на расстоянии между атомами ~ 1 нм. Электронные волновые
функции сильно сжаты внутри клеток С60 и поэтому электронное обменное
взаимодействие между эндоатомами отсутствует. Отдельные клетки хорошо
экранированы от внешних электрических полей и, следовательно, защищены
от электрических помех. Очень резкие ЭПР спектры этих молекул
показывают, что продольные времена релаксации при Т ~ 1 К. составляют ~ 1 с, а
поперечные времена релаксации, независимо от температуры, ~ 20 мкс.
Однако клетки фуллеренов С60 не ограничивают магнитных диполь-ди-
польных взаимодействий между электронными спинами эндоатомов Aw В

(A = 15 N@ C60, В = 31 P@ C60, которые предполагаются слабыми, при этом ди-
поль-дипольными взаимодействиями ядерных спинов можно пренебречь.
Поскольку ядерные спины связаны только с электронными спинами
собственных атомов посредством сверхтонкого взаимодействия, то это
позволяет сохранять информацию на состояниях ядерных спинов в течение очень
большого времени между логическими операциями.
Преимущество рассматриваемого варианта клеточного автомата состоит
в том, что выходной сигнал можно выразить через состояния электронных
спинов. Поэтому считываемый сигнал будет в- 1000 раз интенсивнее, чем
непосредственно от состояний ядерных спинов.
При наличии несомненных преимуществ рассмотренного варианта
квантового клеточного автомата на фуллеренах он не свободен от недостатков,
связанных с наличием ряда трудностей, в частности:
а) Организация отдельных вычислительных операций требует
использования большого числа селективных радиочастотных и СВЧ-резонансных
импульсов.
б) Гетероядерные структуры с двумя типами содержащих ядерные спины
эндоатомов содержат изотоп N, который имеет распространенность в
природе 0,366%, а бесспиновый изотоп ' С имеет распространенность 98,9%. Это
может привести к процессам декогерентизации ядерных спиновых состояний,
если не прибегать к глубокой очистке материалов от нежелательных изотопов.
в) Наличие отличной от нуля полной намагниченности электронных и
ядерных спинов инициализированного состояния приводит к
чувствительности всей системы к внешним магнитным полям и граничным условиям и
появлению неконтролируемых фазовых множителей.
г) Однако, к главному недостатку следует отнести предполагаемое
индивидуальное обращение к кубитам, играющих роль портов, через которые
вводится и выводится информация.
Для преодоления последних трех трудностей, как нам представляется,
перспективным является переход к гомоядерной схеме, когда все фуллерены
содержат только атомы фосфора, а диполь-дипольное взаимодействие между
электронными спинами способно обеспечить антиферромагнитное
упорядочение электронных спинов, подобно тому, как это обсуждалось выше для до-
норных атомов фосфора. В этом случае резонансные частоты ядерных спинов
эндоатомов могут чередоваться в соответствии с ориентацией электронных
спинов. Намагниченность инициализированного состояния всей системы
будет отсутствовать.
Перспективным представляется также использование ансамблевого
подхода для того, чтобы можно было не прибегать к исключительно тонким
методам измерения состояний индивидуальных кубитов.

К преимуществам квантовых клеточных автоматов, независимо от
предлагаемых конкретных схем, можно отнести следующее:
а) Глобальное обращение ко всем элементам цепочки кубитов позволяет
исключить многочисленные металлические шины, затворы и многочастотные
генераторы импульсов, требуемые для локального управления кубитами, в
результате чего существенно упрощается конструкция квантового регистра и
исчезает механизм декогерентизации, связанный с электрическими шумами.
б) Сложности, связанные с конструкцией компьютера и организацией
квантовых операций переносится на программное обеспечение квантового
клеточного автомата.
в) Квантовые клеточные автоматы, возможно, будут способны выполнять
программы, которые не доступны обычным квантовым схемам. Например,
операции, построенные из определенного числа двухкубитовых операций
CNOT и однокубитовых операций Адамара, относящиеся к группе
Клиффорда, на квантовом автомате типа так называемого одностороннего (one-way)
квантового компьютера могут быть выполнены за один шаг.
г) Важным свойством квантовых автоматов является возможность запа-
раллелить квантовые вычислительные операции при использовании
ансамблевого подхода, что может также существенно упростить и считывание
информации.
д) Основным технологическим процессом может быть выращивание
соответствующих кристаллических структур. Роль нанотехнологии сводится к
минимуму, например, для создания только затворов над атомами, играющими
роль портов или внедрения атомов с отличающейся ядерной резонансной
частотой для ансамблевого ввода и вывода информации.
2.17.3. Квантовые компьютеры на сверхпроводниковых
квантовых элементах
Достаточно полный обзор работ в области разработки твердотельных
квантовых компьютеров на период до 2004 г., включающий структуры, с
одной стороны, из полупроводниковых квантовых точек, в которых в качестве
кубитов используются электронные состояния, а с другой стороны, из
сверхпроводниковых квантовых элементов был дан Буркхардом (IBM).
Обращение к сверхпроводниковым элементам с целью использования их
в качестве кубитов связано, главным образом, с надеждой на то, что в этом
случае удастся исключить использование сложных и громоздких
вспомогательных устройств и создать квантовый компьютер, управляемый только
электрическими импульсами. Кроме того, проявление квантовых свойств у
сверхпроводниковых устройств макроскопических размеров делает их
привлекательными и с точки зрения создания масштабируемых квантовых схем. Поско-

льку режим когерентной квантовой динамики в них может быть достигнут
уже на макроскопических элементах микронных масштабов, то для их
изготовления могут быть использованы методы хорошо известные в современной
полупроводниковой микроэлектронике. Это позволяет уже при современном
уровне развития технологии создавать сверхпроводниковые интегральные
схемы высокой степени интеграции, подобные полупроводниковым
интегральным схемам, что дало бы сверхпроводниковым квантовым элементам
существенные преимущества при создании полномасштабных квантовых
компьютеров по сравнению с любыми другими вариантами.
Развитие методов нанотехнологии открывает новые возможности для
создания таких квантовых компьютеров. Для этого 1 ноября 2005 года был
создан объединенный европейский проект EuroSQIP (European Superconducting
Quantum Information Processor), с 16 участниками. Проект предполагает уже в
2009 году создать работающие элементарные квантовые алгоритмы и
протоколы, продемонстрировать управление квантовыми состояниями в
макроскопической многокубитовой системе, продемонстрировать состояние
запутанности и его перенос.
Рассматриваются в основном два различных типа устройств,
использующих для создания кубитов и организации квантовых вычислений, физические
явления в сверхпроводниках.
Использование в качестве кубитов зарядовых состояний куперовских
пар. Одним из возможных вариантов является использование в качестве куби-
та двух зарядовых состояний куперовских пар в сверхпроводниковых
островках (box) нанометрового масштаба, связанных переходами Джозефсона
малой емкости.
Первая попытка реализации сверхпроводникового кубита на зарядовых
состояниях была предпринята в Японии (NEC FRL) в 1998 году. На рис. 17.7
представлена электронография и эквивалентная схема полученного образца,
являющегося прообразом сверхпроводникового кубита. Приведены его
характерные размеры полученных элементов. Эксперимент проводился при
температуре порядка 30 мК. Время декогерентизации оценивалось в
несколько наносекунд при продолжительности переключающего импульса в сотни
пикосекунд.
В аналогичной схеме было исследовано преобразование состояния |1>
(отличающееся от состояния |0 > на лишнюю куперовскую пару) в процессе
туннелирования квазичастиц на сверхпроводящий островок. Заряд
регистрировался с помощью одноэлектронного транзистора. Характерное время
затухания когерентных осцилляции составило 5,8 не. Сообщается также о
демонстрации двухкубитовой квантовой операции и об исследовании когерентной
динамики двух связанных зарядовых кубитов.

dc gate
probe
I
pulse gate
111 tunnel junction
Л Л capacitor
Рис. 17.7. (а) Электронография и (б)эквивалентная схема полученного
образца, являющегося прообразом первого сверхпроводникового кубита.
V — постоянное смещение на затворе, V' (/) - импульсный электрический
потенциал, Vb — потенциал на пробном высокоомном туннельном переходе,
Ф — магнитный поток в интерференционной петле, контролирующий
энергию связи пары джозефсоновских переходов А и В
Использование в качестве кубитов квантовых состояний магнитного
потока. Другой вариант сверхпроводникового кубита основан на
использовании квантования магнитного потока (флуксойдных состояний) в
сверхпроводящем квантовом интерференционном приборе - SQUIDe, который
представляет собой прерванное туннельными переходами Джозефсона
сверхпроводящее кольцо
В настоящее время наиболее интенсивные теоретические и
экспериментальные исследования флуксойдных кубитов ведутся в США (IBM) и в
Нидерландах в Дельфтском Технологическом Университете (TU Delft).
Квантовая когерентность флуксойдных состояний долгое время не
наблюдалась, и только в 2000 году появилось сообщение об экспериментальном
наблюдении интерференции или когерентной суперпозиции двух
упомянутых выше состояний, соответствующих двум сверхпроводящим токам в
кольце, текущих навстречу друг другу. Для наблюдения этой интерференции
потребовалось хорошая изоляция системы от внешнего шума. Эксперимент
проводился при температуре 40 мК на СКВИДе с двумя параллельными джозеф-
соновскими переходами со структурой Nb / А1д. / Nb, который был защищен
от внешнего излучения экраном из PdAu. Переходы между состояниями
происходили под действием импульсов СВЧ-излучения частоты 96 ГГц и
детектировалось с помощью магнетометра. Рабочие температуры (40 мК) были в
500 раз меньше температуры сверхпроводящего перехода, поэтому все
микроскопические степени свободы были заморожены и только коллективные
флуксойдные моды определяли динамику системы.

\
-*-
-к-
У^У^гь.
-w-
MW
Л^
Рис. 17.8. (а) Электронография флуксойдного кубита.
Светлые линии - аллюминиевые проводники, (а) Эквивалентная схема
чипа. Крестиками обозначены переходы Джозефсона. Логические состояния кубита
|0 > и |1 > соответствуют двум направления циркуляции сохраняющегося (persistence)
тока в петле кубита, показанного на (а) белой и черной стрелками
Структура флуксойдного кубита с сохраняющимся током, исследованная
в TU Delft, представляет собой малую петлю с тремя переходами Джозевсона
и критическим током 0,5 А, которая примыкает к SQUIDy в виде большой
петли с двумя переходами Джозефсона (рис. 17.8).
Площадь средней петли кубита составляет 0,8 от площади остальных
двух петель, отношение площадей кубита и SQUIDa около 1/3. Наблюдалась
когерентная временная эволюция суперпозиции двух состояний
сверхпроводникового флуксойдного кубита, представляемых противоположно
направленными сохраняющимися токами, управляемыми резонансными СВЧ
импульсами. Считывание производилось с помощью SQUID-магнетометра. При
интенсивном СВЧ воздействии возбуждалось сотни когерентных
осцилляции. Время релаксации составляло 900 не, время дефазировка (декогерентиза-
ции) 20 нс.Эксперимент проводился при температуре 25 мК.
Экспериментальная реализация полной совокупности четырех квантовых
CNOT операций на системе из двух связанных кубитов с высокой точностью
воспроизведения (fidelity) порядка 0,4, была недавно предпринята в TU Delft.
Эксперимент проводился при температуре около 20 мК.
Исследованная структура представляла собой (рис. 17.9) два связанных
так называемых градиометерных флуксойдных кубита (two coupled gradiome-
ter qubits). Они включают в себя не прерванные переходами сдвигающими

4 I J.
5 мкм
■ i
Рис.17.9. Атомно-силовая микрография пары флуксойдных кубитов.
На врезке показано увеличенное изображение перехода Джозефсона
Рис.17.10. Микрография прибора из четырех кубитов со смешанными связями.
Центральные переходы А1-АЗ связывают А1 кубитовые петли ql-q4. Окружающая
катушка из Mb является частью колебательного контура LC, используемого как для
измерений, так установки общего магнитного потока.
фазу флуксойдные кольца (светлые прямоугольные контуры с тремя
переходами в средней ветви), SQUlD-детекторы, располагающиеся поверх кубитов в
верхней половине прямоугольных контуров и малые петли в нижней
половине флуксойдных колец, создающих постоянные смещения потока. Все связи
между различными элементами определяются взаимными индуктивностями.
Использование такой схемы обеспечивает снижение влияния
длинноволновых шумов.
В сообщении описывается первая реализованная структура из четырех
флуксойдных кубитов (рис.17.10). Схема состоит из четыоех флуксойдных
кубитов с тремя переходами Джозефсона и одновременно с ферро- и антофе-
ерромагнитной связью между ними. Структура помещалась в камеру рефре-
жиратора при температуре 7^ = 10 мК.
Другая структура с двумя туннельно-связанными флуксойдными кубита-
ми была исследована в канадской фирме Dwave System (рис. 17.11). Структура
формировалась на пластине окисленного кремния с использованием
трехслойного Nb-процесса. Проводящие слои изолировались диэлектрическими
прослойками из напыленного SO-,.
Кубиты, обозначенные а и с, контролируются магнитными потоками f°,
f°, где (/,.' = Ф'х IФ0, Ф0 = эти / е). Петли с переходами Джозефсона Ъ и е испо-

a IУ tu uJ
250 мкм
Рис.17.11. (а) Эквивалентная схема и (б) схема двух туннельно-связанных
флуксоидных кубитов (сверпроводниковые петли - тонкие светлые линии)
льзуются для настройки критических токов 1'с. Для измерения состояний
кубитов используются связанные с ними SQUIDbi fug. Туннельная межкуби-
товая связь осуществляется посредством fr-SQUIDa со смещением fx'.
Сохраняющийся ток кубита Ы =IC s\n(2nf ), где / — полный поток в петле Ь.
Сохраняющийся ток 1а в петле а дает дополнительный поток в петле Ь, который
изменяет ток 1Ъ на величину Ы р «1% Ма dl I dOb, где Mflfc - взаимная
индуктивность контуров а и Ь. Энергия взаимодействия двух кубитов о и с
принимает BiwJ = MabMbcdIbp I dQ>bI%Ich.
В работе для двухкубитовой системы были продемонстрирована техника
операций считывания, непосредственного измерения состояний отдельных
флуксоидных кубитов. Эксперимент проводился при температуре 10 мК.
В феврале 2007 года фирма Dwave System сообщила о создании на основе
современной планарной технологии более сложной структуры, содержащей
16, а затем и более флуксоидных сверхпроводниковых кубитов, которая была
представлена как первый шаг к полномасштабному квантовому компьютеру,
названному «Орион», в котором использовались адиабатические квантовые

вычислительные операции. Адиабатические квантовые вычисления являются
важной альтернативой вычислениям по схеме квантовых вентилей и
представляют интерес, поскольку естественным образом частично обеспечивают
помехоустойчивость вычислений.
Это сообщение встретилось с жесткой критикой и недоверием со стороны
многих специалистов в области квантовых вычислений. Одним из наиболее
неясных был вопрос о реальной масштабируемости представленной
структуры как многокубитового квантового компьютера, для которого существенное
значение должны иметь многокубитовые запутанные состояния. Другим
является вопрос о возможности адиабатических квантовых вычислений для
решения NP-полных задач, то есть таких, которые не могут быть решены на
классических компьютерах за время полиномиально зависящее от числа ку-
битов, представляющих задачу. На эти и другие вопросы до сих пор нет
четкого ответа.
Поисковые теоретические и экспериментальные исследования новых
квантовых структур проводятся также на высокотемпературных
сверхпроводниках, обеспечивающих высокую степень подавления процессов декоге-
рентизации.
Также был предложен и проанализирован вариант кубита на
высокотемпературных сверхпроводниках типа YBa2Cu307 (^/-сверхпроводник),
отличающихся от обычных сверхпроводников симметрией волновых функций
спаривающихся электронов. Основная идея такого кубита состоит в
использовании (/-характера симметрии волновой функции сверхпроводящего
макроскопического состояния. В этом варианте кубит представляет собой
структуру, состоящую из двух джозефсоновских переходов между обычными s
сверхпроводниками (S) и расположенным между ними J-сверхпроводником (D),
образующих так называемый /)-переход, включенный в интерференционную
петлю сквида с малой индуктивностью, большой емкости С и обычного
(SS) джозефсоновского перехода.
Основные преимущества такого кубита состоят в следующем:
1. Прежде всего это естественный бистабильный элемент, не требующий
для поддерживания стационарного состояния внешнего питания или
магнитных полей,
2. Базисные состояния интерференционной петли с малой
индуктивностью не зависят от тока в петле, а магнитный поток в ней постоянен и равен
одному кванту, поэтому дальние взаимодействия с другими элементами
компьютера исключены. Кубит оказывается максимально изолированным от
окружения.
3. Отсутствует механизм декогерентизации, связанный с накапливанием
различия фаз в исходном состоянии с течением времени.

Укажем на основные трудности, которые можно ожидать на пути создания
сверхпроводниковых многокубитовых квантовых компьютеров. Они связаны
1. С необходимостью жесткого контроля над совершенством
изготовления туннельных джозефсоновских переходов и за временными
характеристиками импульсных воздействий.
2. С необходимостью использования для управления отдельными кубита-
ми затворов, флуктуации напряжения на которых является основной
причиной декогерентизации.
3. С наличием связи большого числа кубитов с электромагнитным
окружением, благодаря которой образуется сложная нелинейная система, где
могут проявляться нежелательные нелинейные эффекты.
Исследование структур с биэпитаксиальными пленками
высокотемпературных сверхпроводников с целью использования их для создания
сверхпроводниковых кубитов посвящены другие работы.
Отметим, что к настоящему времени пока не удалось реализовать
работоспособную структуру, состоящую из многих сверхпроводниковых кубитов ни
для одного из указанных вариантов, если не учитывать сообщения фирмы
Dwave System.
2.17.4. Квантовые компьютеры на электронных
состояниях донорных атомов и квантовых точек
в полупроводниковых структурах
Квантовые компьютеры на зарядовых (орбиталььных) состояниях
квантовых точек. Краткий обзор возможных вариантов квантовых компьютеров
на электронных состояниях в квантовых точках был приведен ранее.
Квантовые точки представляют собой искусственно созданные атомопо-
добные нульмерные наноструктурные элементы с конечным числом
дискретных энергетических уровней, в которых происходит удержание (confinement)
электронов во всех трех измерениях. Это удержание обычно достигается в
полупроводниковых гетероструктурах с помощью либо использования
электрических затворов, либо технологии травления в области двухмерного
электронного газа. В качестве квантовых состояний кубитов служат возбужденные
электронные состояния в квантовых точках, впервые рассмотренные в работе
в 1995 году.
К преимуществам кубитов на электронных состояниях в квантовых
точках относятся:
1. Высокая скорость выполнения логических операций,
2. Относительно большая интенсивность считываемого сигнала,
позволяющая использовать сравнительно простые методы измерения состояний
отдельных кубитов,

3. Более простые способы управления такими кубитами,
4. Квантовые регистры на квантовых точках могут работать при более
высоких температурах, чем твердотельные ЯМР квантовые регистры.
Несмотря на интенсивные теоретические исследования твердотельных
(обычно полупроводниковых) структур с квантовыми точками и детальное
моделирование их свойств, экспериментальные исследования упираются в
ряд трудностей.
Это в основном связано с весьма жесткими требованиями к технологии
изготовления таких структур для многокубитовых регистров. Кроме того,
электронные состояния характеризуются малыми временами релаксации и
декогерентизации по сравнению с такими же временами для ядерных спинов
из-за значительного взаимодействия электронов в квантовых точках с
электрическими полями, создаваемыми окружающей средой (заряженными
примесями, фононами) и системами управления.
Тем не менее, это направление, как и направление для
сверхпроводниковых кубитов следует считать перспективными с точки зрения создания
полномасштабного квантового компьютера при условии преодоления
существующих технологических трудностей.
В 2000 году было выполнено численное моделирование варианта кубита,
на сформированной в арсениде галлия квантовой точке, разделенной
управляемым потенциальным барьером с одним электроном (рис. 17.12).
Потенциальный барьер гауссовой формы создавал два одинаковых потенциальных
минимума на расстоянии порядка десятка нанометров друг от друга.
Предполагалось, что система находится при низких температурах порядка милликельви-
нов, что обеспечивало их исходную инициализацию и требуемую
когерентность. В качестве логических состояний |0 > и |1 > служили полностью
локализованные состояния электрона и его отсутствие в минимумах потенциала при
достаточно большой высоте потенциального барьера. Были рассмотрены способы
осуществления квантовых однокубитовой и двухкубитовой (CNOT) операций.
Экспериментальное исследование когерентной эволюции зарядовых
состояний в двойной квантовой точке на GaAs было предпринято следующим
Рис.17.12. Схематическое изображение квантовой точки с разделяющим
потенциальным барьером

Рис.17.13. (а) Зарядовый кубит на скрытых донорах в кремнии с одним
электроном, (б) Затвор В управляет барьером, затвор S контролирует симметрию,
одноэлектронный транзистор (SET) служит для считывания заряда.
(в) Возможный выбор логических состояний |0 > и |1 >
образом, этот туннельный зарядовый кубит возбуждался с помощью
высокоскоростного импульса напряжения и наблюдались когерентные осцилляции с
временем декогерентизации более 1 не.
Схема с двойной квантовой точкой, в которой роль пары потенциальных
минимумов играли потенциалы двух внедренных в кремний скрытых донор-
ных ионов Р+, была реализована в в Австралийском центре CQCT (рис. 17.13),
при этом были использованы достижения в технологии формирования
структур из отдельных доноров, разрабатывавшиеся для ЯМР квантового
компьютера по схеме Кейна.
Образование структуры из скрытых доноров Р с точностью 1 нм
производилось в CQCT с помощью сканирующей литографии гидрогенезированной
поверхности кремния с последующим эпитаксиальным наращивания слоя
кремния и имплантацией доноров через наномасштабную апертутную
структуру на глубину 10-20 нм. Была осуществлена контрольно измерительная
схема для зарядового кремниевого квантового компьютера. Каждый кубит
состоял из двух донорных атомов Р, разделенных расстоянием 50 нм, один из
них был однократно ионизирован. Два нижних энергетических состояния
оставшейся электронной структуры образовывали логические состояния.
Поверхностные электроды-затворы контролировали состояния кубита
используя импульсы напряжения и одноэлектронные транзисторы. Процесс
имплантирования отдельных атомов и кластеров из атомов производился с
точностью лучше, чем 20 нм.
Возможность выполнения квантовых операций в кремниевой двухдонор-
ной структуре с орбитальными квантовыми состояниями с помощью
совместных резонансных оптических и электрических импульсов была теоретически
исследована Цукановым.
Квантовые компьютеры на спиновых электронных состояниях
квантовых точек. Рассмотрим здесь сначала простую схему, предложенную Лоссом
и Ди Винченсо в 1998 году (рис. 17.14). Квантовые точки формируются в двух-

Обратные Намагниченный Гегероструктурная
затворы
квантовая яма
Рис.17.14. Схематическое изображение квантового регистра из квантовых точек,
предложенного Лоссом и Ди Винченсо
мерной полупроводниковой гетероструктуре с металлическими затворами,
расположенными над гетероструктурой. В каждой квантовой точке
содержится один электрон со спином 1/2. С помощью затворов выполняется включение
и выключение квантовых точек, участвующих в выполнении квантовых
операций. Взаимодействие между кубитами осуществляется посредством
обменного туннелирования электронов.
Структура из двух квантовых точек нанометрового масштаба на GaAs-Al-
GaAs гетероструктуре была осуществлена в Дельфтоском Техническом
университете. Ее электронография представлена на рис. 17.15. Заряд на
квантовых точках контролировался с точностью до одного электрона с помощью
потенциалов на затворах Q-L и £>-/? и измерялся по току 1ОРС через контакты
Q—R и Q—L. Измерялся также туннельный ток между квантовыми гонками
1дот-
Исследователями предлагается другая заманчивая архитектура
масштабируемого квантового компьютера, построенного на квантовых точках обед-
dr±tl
Ш.
*2
20>tM
1
ОД
/ojpc
gate
■^^gate dielectric
InAsOW
GaSb OW
ж;
iel
dr^in 2
Рис.17.15. Электронография структуры, состоящей из двух кубитов
на квантовых точках, формируемых металлическими электродами
(светлые структуры) на поверхности гетероструктуры GaAs/AIGaAs
Рис.17.16. Схема одноэлектронного транзистора с «обогащенной» модой
в системе InAs/GaSb, электрон индуцируется затвором D

ненного типа, электроны из которых удалены под действием полевых
затворов. Базовым элементом квантовой схемы является одноэлектронный
транзистор обогащенного типа (рис. 17.16), который под действием вертикального
электрического затвор может иметь один электрон или быть пустым (при
нулевом потенциале на затворе D), образуя тем самым односпиновую
квантовую точку с двумя состояниями (кубит). Транзистор такого типа,
построенный методом молекулярно-лучевой эпитаксии на гетероструктуре InAs/GaSb,
схематически изображен на рис. 17.16.
Предлагаемый подход сохраняет преимущество как латеральных, так и
вертикальных систем из квантовых точек. Если на затворе D приложен
положительный потенциал, то между областями GaSb и InAs образуется
симметричная квантовая яма с туннельными барьерами, ограничивающими
квантовую точку в области InAs (рис. 17.16), через которые может туннелировать
отдельный электрон.
Вертикальные электрические затворы над каждой квантовой точкой
позволяют контролировать как наличие или отсутствие электронов в каждой
точке, так и перенос электронов из занятой точки в свободную соседнюю
точку и связь между двумя квантовыми точками, содержащими по одному
электрону. Более того, открывается возможность формирования с помощью
электростатических затворов двухмерной квадратной решетки из квантовых точек,
с электрическим контактом к каждой из них. Такая структура может состоять
из большого числа логических кубитов, что необходимо для осуществления
протоколов коррекции ошибок. Важным преимуществом конструкции с
вертикальным электрическим затвором является ее аналогия с хорошо
известными структурами в КМОП-технологии.
Полупроводник InAs имеет ряд преимуществ для использования в
квантовой информатике, по сравнению с другими полупроводниками, такими как
GaAs, а именно
1. Важно, что InAs имеет большой g-фактор (g- 15 по сравнению с 0,44
для GaAs), поэтому зеемановское расщепление электронных уровней в InAs
такое же, как в GaAs может быть достигнуто в СВЧ полях в 30 раз меньших.
Вследствие этого, период осцилляции Раби для физических кубитов (грубо
говоря, время такта) оказывается много меньше, чем время спиновой дефазиров-
ки Т2 (время декогерентизации). При этом, требуемые для управления кубита-
ми на InAs токи, соответствуют диссипации мощности в 1000 раз меньшей.
2. Другое важное свойство InAs - сильная зависимость g-фактора от
энергии, что приводит к разному зеемановскому расщеплению в отдельных
квантовых точках из-за их разных размеров, определяющих их энергетический
спектр. Следовательно, появляется возможность индивидуального
обращения к кубитам посредством настройки частоты переменного магнитного поля.

3. Еще одно свойство InAs — большое орбитальное расщепление уровней
и более крутой латеральный удерживающий потенциал, благодаря чему
уменьшается смешивание уровней за счет спин-орбитального взаимодействия. В
результате скорость диссипации (11Т\) и декогерентизации (1 /Т2)
оказываются малыми, а квантовые точки становятся близкими к идеальным кубитам.
4. Крутой профиль латерального потенциала в InAs квантовых точек
позволяет размещать их близко друг к другу, что увеличивает взаимодействие
между кубитами при включенной связи.
Время электронной спиновой декогерентзации за счет взаимодействия с
фононами для 50 нм InAs квантовой точки при Т = 300 мК характеризуется
значением Т2 = 100 мкс. Такой же порядок имеет Т2 за счет сверхтонкой связи
электронных и ядерных спинов и дипольно-дипольного взаимодействия.
Предполагается, что по мере перехода к относительно малым размерам
квантовых точек, будут обеспечены требуемые времена спиновой релаксации и
декогерентизации порядка десятков миллисекунд, сравнимые с теми, которые
достигнуты в настоящее время для GaAs систем, на которых технология одно-
электронных транзисторов была недавно продемонстрирована.
Для управления кубитами предлагается использовать систему затворов/)
и 7, с помощью которых генерируются два взаимно перпендикулярных
СВЧ-поля (рис. 17.17л и б). Это позволяет создать суперпозицию этих полей,
благодаря чему могут осуществляться вращения спина электрона вокруг
произвольной оси, и могут быть выполнены любые однокубитовые операции.
Для осуществления двухкубитовых операций и включения связи между
соседними квантовыми точками — кубитами предлагается использовать
дополнительные затворы J. Расстояния между квантовыми точками должны
быть при этом менее 100 нм.
Предложенная система обогащенных квантовых точек открывает
реальную возможность для эффективной телепортации кубитов, которая состоит в
Рис. 17.17. (а) Схематическое изображение квантовой точки с двумя
затворами Dul [68]. (б) Вид сбоку на ту же транзисторную структуру,
показывающий направления двух перпендикулярных полей, создаваемых
импульсными токами вдоль затворов £> и /

восстановлении данного квантового состояния на некотором удаленном
расстоянии.
Аналогичная конструкция на основе обогащенного подхода может быть
создана и на базе кремниевых МОП-структур. Одиночные спины в
кремниевом или Si-Ge сплаве имеют ряд свойств, полезных для осуществления
квантовых операций. В кремнии отдельный электрон из-за очень слабого
сверхтонкого взаимодействия с ядерным спином (поскольку естественный
основной изотоп Si имеет спин, равный нулю) характеризуется очень большим
временем декогерентизации. Электроны, связанные с донором в Si имеют
время релаксации порядка часов. Преимущества большого времени
декогерентизации, и беспрецедентный уровень развития кремниевой технологии делает
структуры на кремнии перспективными кандидатами для масштабируемых
квантовых компьютеров. Эксперименты по созданию обогащенных одно-
электронных транзисторов на квантовых точках в Si в настоящее время
интенсивно развиваются.
2.17.5. Квантовые компьютеры на ионах в твердотельных ловушках
Стандартная линейная радиочастотная ловушка Пауля состоит из
четырех параллельных стержней, центры которых расположены в вершинах
квадрата. Радиочастотный потенциал в мегагерцовом диапазоне в несколько сотен
вольт прикладывается к двум противоположным стержням, а статический
потенциал к другим двум стержням (управляющим DC-электродам)
(рис.17.18«). Эта конфигурация создает почти гармонический пондеромотор-
ный псевдопотенциал квадрупольной симметрии в перпендикулярной к
стержням плоскости (рис. 17.186). Продольное удержание в отдельной ловушеч-
ной зоне осуществляется с помощью сегментирования каждого
управляющего электрода вдоль длины ловушки и приложения соответствующего статиче-
6 ЛР-элсктроды
Минимум
и
RF
\\
\
\ ~1 ^
\
' Управляющие
Ионы £>С-электроды \
г Локальный
максимум
Рис.17.18. (а) Схема стандартной четырех электродной линейной ловушки
Пауля с секционированными управляющими электродами.
(б) Поперечная структура псевдопотенциала в ловушке Пауля

ского потенциала к различным его сегментам. В ловушечной зоне благодаря
кулоновскому отталкиванию ионов образуется устойчивая одномерная
цепочка, достигающая размеров порядка десятков ионов.
Ловушка находится в вакуумной камере, где создается очень низкое
давление порядка Ю-11 Ра = 0,75-10~9 Тор для исключения влияния
столкновений с остаточными атомами. Роль кубитов здесь играют низкоэнергетические
квантовые состояния ионов в ловушке в условиях лазерного охлаждения до
микрокельвиновых температур для исключения влияния неиспользуемых в
качестве кубитов возбужденных ионных мод. Индивидуальное управление
кубитами осуществляется с помощью сфокусированных на ионах лазерных
импульсов инфракрасного диапазона. Взаимодействие между кубитами в
одномерной цепочке ионов осуществляется посредством возбуждения
колебаний коллективной COM (center of mass) моды ионов.
Для выполнения многокубитных квантовых операций требуется
обращение к индивидуальным ионам. Для этого сфокусированные лазерные лучи
должны возбуждать моды только одного иона. По мере увеличения числа
ионов в ловушке и увеличения скорости операций такая адресация становится
все более трудной.
Поэтому далее внимание было обращено к многоионным структурам,
состоящим из многих ловушечных зон, в каждой из них удерживаются только
небольшое число ионов, которые и используются для выполнения
необходимых квантовых операций. Обмен информацией о состоянии ионов между
зонами осуществляется, в частности, с помощью перемещения содержащего
информацию «разогретого» иона между зонами.
Ниже представлен обзор опубликованных результатов, достигнутых по
реализации твердотельных многозонных структурах, для создания которых
используются существующие методы интегральной микро- и нанотехнологии.
Шеспшзонная двухслойная линейная ловушечная структура. Итоги
многолетних исследований квантовых устройств на ионах в линейных ловушках,
были подведены в обзорах, выполненных в основном в NIST, .
Там же был описан, как первый шаг к многоионным структурам, вариант
шестизоннои двухслойной конструкции, которая, в отличие от ранних работ
реализуется в твердом теле с помощью интегральной технологии
(рис. 17.19а). Роль слоев здесь играют две пластины из окисла алюминия,
между которыми создается ловушечная область.
Радиочастотный потенциал (~ 200 В при 150 МГц) прикладывается к
верхнему широкому золотому электроду, нанесенному поверх пластины и
изображенному на рис. 17.196. «Управляющие» потенциалы прикладываются к
восьми секциям управляющих электродов (рис.17.19в). Путем
координированного изменения потенциалов на отдельных секциях осуществляется переме-

a
Рис.17.19. (я) Вид двухслойной четырехэлектродной трехзонной структуры.
(б) Фотография верхней пластины с шестизонной линейной ловушкой,
показаны золотые трассы управляющих электродов, нанесенные поверх
пластины Л12Оэ (светлое поле), (в) Увеличенное изображение области
ловушки (черное поле на рисунке (б))
щение ионов между шестью зонами, которые обозначены L, 1,2, Д £ и Z?. Зона
L является «загрузочной», ее ширина выбрана относительно большой для
того, чтобы увеличить вероятность захвата атомов Be (они поставляются из
теплового источника), которые затем ионизируются в этой области с
помощью электронной бомбардировки.
В большинстве квантовых алгоритмов ловушки зон А и В использовались
для того, чтобы управлять внутренними состояниями кубитов (состояниями
ионов) с помощью перекрывающих эти зоны лазерных лучей.
На описываемом устройстве были осуществлены эксперименты по
квантовой телепортации, квантовой коррекции ошибок, плотному квантовому
кодированию и квантовому фурье-преобразованию. В этих экспериментах
требовалось, чтобы запутанность между состояниями ионов сохранялась, когда
ионы локализованы в разных зонах. В схеме, изображенной на рис. 17.196
запутанность состояний ионов создавалась в зоне Л, затем ионы перемещались в
зону S, где они разделялись. Для этого зона S была относительно узкой, чтобы
обеспечить разделение отдельных групп ионов на подгруппы путем
включения потенциального клина между разделенными ионами. Например, в
эксперименте по телепортации на ионах Ве+ три иона разделялись на группу из
двух ионов, доставляемых в зону А и третий ион, доставляемый в зону В. При
времени ^-разделения в 200 мкс ионы могут быть разделены без внесения
ошибки в запутанность их состояний.

Выполненные эксперименты продемонстрировали работоспособность
простейших твердотельных устройств на ионных ловушках с малым числом
ионов. Описанная система допускает масштабирование путем создания
структуры из соединенных между собой ловушечных зон и использования
экспериментально разработанных алгоритмов на основе базовых элементов
этой схемы. Использованный подход применим также и для создания
многозонных ловушек большой степени интеграции.
Характерные размеры ловушечных зон на рис. 17.196 составляют десятки
микрон. Поскольку скорость двухкубитовых операций пропорциональна
частотам перемещения ионов, которые в свою очередь обратно
пропорциональны квадрату размера электродов, желательно было бы иметь ловушки с
меньшими размерами. Однако, золотые электроды имеют ограничения по
размерам, связанные с тем, что лазерный луч на пластине ограничен шириной
порядка 20 мкм.
Линейные ионные ловушки с Планерной геометрией электродов.
Наиболее прямой способ модификации трехмерной ловушечной структуры состоит
в размещении всех электродов в общей плоскости в виде чередующихся
плоских радиочастотных и управляющих электродов. Такие планарные ионные
ловушки могут быть созданы с помощью современной СБИС-технологии и
таким образом допускают масштабирование до произвольно больших и
сложных ловушечных структур.
На рис. 17.20 дано схематическое изображение симметричной пятиэлект-
родной планарной ионной ловушки, когда все электроды находятся в одной
плоскости, Радиочастотный потенциал прикладывается к двум средним
RF-электродам, обеспечивая радиальное удержание ионов, а статический
потенциал прикладывается к двум управляющим DC-электродам, которые
сегментированы для того, чтобы выполнять продольное удержание и
перемещения ионов вдоль оси ловушки. Центральный электрод GND служит для
задания начала отсчета постоянного потенциала. Захваченные ловушкой ионы
располагаются на некотором расстоянии над центральным контрольным
электродом вдоль оси ловушки, которая показана на рис. 17.20 пунктирной
линией.
В сообщении описывается реализованная с помощью стандартной микро
технологии пятиэлектродная однозонная ловушечная структура, фотография
которой представлена на рис. 17.21. На каждом внешнем выводе
управляющих электродов имеется радиочастотный фильтр, обеспечивающий
фильтрацию радиочастотных наводок.
Электродная структура формировалась с помощью фотолитографии и
последующего электроосаждения паров золота. Ширина электродов была
порядка 30 мкм, а расстояние между электродами около 8 мкм. В качестве под-

ложки использовался полированный плавленый кварц, обладающий низкими
радиочастотными потерями.
Заметим, однако, что описанная симметричная пятиэлектродная
структура встречается с трудностью лазерного охлаждения вертикального движения
захваченных ловушками ионов.
Были представлены результаты экспериментальных исследований и
численного моделирования для несимметричной четырехэлектроднои планарнои
структуры с четырьмя независимыми секциями контрольного электрода.
Система изучалась при давлении ниже, чем 10~8 Ра~ Ю-11 Тор. Использовались
ионы магния ~ Mg+, которые образовывались в результате фотоионизации
лазерным лучом в течении нескольких секунд термически испаренных
нейтральных атомов магния в области ловушки. Для доплеровского охлаждения
Нмкость фильтра
DC RF GND RF DC
Область ловушки
1:5 мм
Сегментированные
управляющие
электроды
Охлаждающий
ион.
Логический ■,
ион • \
^-
Зона процессора
\ Управляющий
Зонагшмяти
*'» Охлаждающий
■чик-г*
Резисторы
филмра
Управляющие
электроды
ЛК-элсктроды
Рис. 17.20. Схема поверхностной геометрии для пятиэлектродной планарнои ионной
ловушки Пауля. Управляющие DC-электроды имеют здесь три секции
Рис.17.21. Микрофотография пятиэлектродной однозонной линейной
ловушки, сформированной из золота на плавленом кварце. Наверху
приведен общий вид структуры, показаны контактные площадки, пассивные
элементы фильтра, выводы и область ловушки. Подложка имеет
размеры 10 мм х 22 мм х 500 мкм. Внизу изображены детали области
ловушки, указанной выделенной окружностью на верхней фотографии,
положение RF-электродов и трех секций управляющих электродов
Рис. 17.22. Пятиэлектродная схема структуры QCCD

ионов использовался лазерный луч непрерывного действия. Состояния ионов
оценивалось по скорости фотолюминесценции.
В этой работе были измерены частоты колебаний отдельного иона в
ловушке (частоты колебаний СОМ-мод). Для возбуждения разных типов
колебательных мод были использованы различные постоянные потенциалы на
каждой секции управляющего электрода. Проведя численное моделирование
с использованием измеренных частот колебаний иона, авторы получили
картину ловушечного потенциала. Ион локализовался приблизительно на
расстоянии порядка 40 мкм над поверхностью золотых электродов в потенциальной
яме глубиной 177 мэВ.
В полномасштабном квантовом компьютере потребуется оперировать с
системой многих ионных ловушек, в которой отдельные ионы будут
перемещаться между областью памяти (хранения) и областью процессора
(взаимодействия). Авторами была предложена схема, названная «квантовым
прибором с зарядовой связью» (Quantum Charge-Coupled Device - QCCD)
состоящая из большого числа соединенных ионных ловушек (рис. 17.22).
Изменяя управляющее напряжение на определенных секциях
управляющих электродов можно удержать некоторое число ионов в определенной
ловушке или перемещать ионы от ловушки к ловушке. Захваченные ловушкой
ионы, несущие квантовую информацию, предполагается располагать в
области памяти. Чтобы выполнить логическую операцию, следует с помощью
приложенных к сегментированным электродам напряжений переместить
соответствующие ионы в область взаимодействия, где они оказываются вблизи
друг друга, и происходит запутывание их состояний. Лазерный луч,
управляющий логическим вентилем, фокусируется на области взаимодействия. После
выполнения логической операции ионы возвращаются в исходную область.
Время перемещения ионов из одной области в другую должно составлять
малую часть времени такта компьютера. Так, например, значение времени
перемещения на расстояние ~ 1,2 мм оценивается в 50 мкс, что значительно
меньше времени декогерентизации кубита, и, соответственно, времени такта,
которое при использовании DFS (Decoherence-Free 5иЬзрасе)-кодирования
кубитов может достигать 20 с.
Двумерная 11-зонная Т-образно соединенная система ионных ловушек с
трехслойной геометрией. Как первый шаг к реализации QCCD (рис. 17.23)
была продемонстрирована двумерная 11-зонная ловушечная структура с
Т-образно соединенными областями ионных ловушек, которые могут быть
областям памяти и взаимодействия. Структура формируется на тонкой
полированной подложке из окиси алюминия. Основная часть ловушечной
структуры представляет собой линейную квадрупольную ловушку Пауля, в которой
ионы Cd удерживаются в поперечном направлении на узловой оси квадру-

польного потенциала. В работе использовалась симметричная трехслойная
геометрия электродов. Средний слой служит для приложения
радиочастотного потенциала. Одинаково сегментированные верхняя и нижняя пары
электродов служат для приложения квазистатических контролирующих
потенциалов, обеспечивающих удержание ионов вдоль аксиального направления в
ловушки (рис. 17.23). Центральный слой содержит Т-образный канал, электроды
формируются путем осаждения золота вблизи канала. Покрытие золотом 24-х
контрольных электродов на каждом из двух внешних слоев осуществляется с
помощью фотолитографии и сухого химического травления. Каждый
внешний электродный слой и центральный радиочастотный слой пространственно
разделены тонким слоем из о окиси алюминия.
Пары кадмия поставляются в в область ловушки при парциальном
давлении 10~ Тор, Атомы ионизируются с помощью лазерных импульсов, затем
охлаждаются с помощью лазера непрерывного действия.
Был продемонстрирован полный двумерный контроль положения
атомных ионов в Т-образной ловушке, включая обход угла и обмен положениями
двух ионов. Такой контроль может быть полезным для реализации
полномасштабных квантовых компьютеров на ионах в ловушках. О выполнении
квантовых операций в многоионной ловушке пока не сообщалось.
Двумерные миогозонные ионные ловушки с планарнои геометрией
электродов на печатной плате. В работах Массачузетского технологического
института ( MIT) описывается результаты экспериментального исследования
модельной планарнои ловушечнои структуры для макроскопических ионов
находящихся в невысоком вакууме (~ 0,1 Тор) и без охлаждения ионов. Такая
конструкция планарнои ловушки для макроскопических ионов была исполь-
Вид сперху
Поперечное сечение
Верхний слой
(JDC-нотенцигш)
RF-акял
Э МКМ
*—ООП MiriiN
200 мкм—Г
2э0 мкм I
Нижний слой
(DC-потснциал)
Рис. 17.23. (а, б) Вид сверху и поперечное сечение двумерной 11-зонной
ловушечнои структуры. Точки показывают положения ионов в ловушечных зонах
(в) Фотография ловушечнои структуры вблизи переходной области

зована для изучения временных циклов, тестирования и оптимизации
электродной топологии. Она включает три основных составляющих: источник
ионов, схема ионной загрузки и схема электродов на печатной плате.
Рассматриваемая планарная ловушечная структура состоит из четырех прямых плеч,
соединенных крестообразным пересечением (рис. 17.24) и представляет собой
печатную плату, полученную с помощью стандартной технологии.
Электроды выполнены из луженой меди, подложкой является слоистый пластик для
СВЧ-диапазона.
Для структуры ловушки выбрана пятиэлектродная схема, с
сегментированными внешними электродами (использовалась 36-зонная ловушка) для
осуществления контроля аксиального потенциала. Соединения с этими
электродами осуществляются на обратной стороне печатной платы у основания
структуры. Противоположные пары этих электродов электрически
соединены, по две пары в каждом плече, ближайшие к области пересечения секции
электрически независимы и используются для осуществления более тонкого
контроля ионов. Центральный электрод также сегментирован вблизи области
пересечения для выполнения дополнительного контроля в этой области.
Ширина средних трех электродов в этой модельной структуре 1,27 мм, ширина
зазора между электродами 0,89 мм, секции внешних управляющих
электродов имеют длину 2,5 мм.
В результате электрораспыления образуются макроскопические ионы
стронция с определенным распределением отношения заряда к массе. Затем
распыленная струя под действием сильного электрического поля направляет-
Рис. 17.24. Вид сверху на ловушечную структуру. Радиочастотный
потенциал (RF) приложен к двум центральным электродам, статический
DC-потенциал - к внешним секционированным электродам,
на среднем электроде задано основное постоянное смещение (GND)
Рис. 17.25. Сопряжение четырехэлектродной и планарной структур. Вырез в
планарной структуре служит для образования общей оси ловушек обоих структур.

ся на конец традиционной четырехэлектродной ловушки Пауля (рис. 17.25).
Взаимное отталкивание загруженных таким образом ионов смещает их в
область планарной ловушечной структуры, которая содержала 36 зон (77
электродных секций), где производилось линейное перемещение ионов,
расщепление и соединение ионов в цепочках и прохождение через область
пересечения. При полном заполнении планарная структура может содержать порядка
50 ионов. Загрузка производится сначала при атмосферном давлении, затем
фланец камеры завинчивался и давление медленно снижалось до 15 Ра ~ 0,1
Тор.
Для ионов в многоионном квантовом компьютере существенны три
момента: перемещение иона, обход углов, и разделение или соединение двух
ионов. Для перемещения ионов потенциалы на ближайших управляющих
электродах с двух сторон иона создают вдоль направления оси ловушки
удерживающую потенциальную яму. Путем смещения этой ямы вдоль ловушки
контролируется ускорение, скорость и конечное положение иона.
Для разделения пары ионов с помощью управляющих электродов
создается потенциальный горб высотой до 5 В, снижение высоты этого горба до
нуля приводит снова к соединению ионов (это необходимо для выполнения
двухкубитовых операций).
Чтобы обогнуть угол необходимо преодолеть потенциальные горбы, как
в плече источника ионов, так и в плече предназначения. Для этого понижается
потенциал центрального основного электрода в плече предназначения до -2
В, затем повышается потенциал на управляющем электроде в плече
источника до 5 В, чтобы перебросить ион через горб потенциала в плече источника.
На рассмотренной модельной структуре были продемонстрированы все
основные операции перемещения ионов, необходимые для многозонной
архитектуры: расцепление и образование ионных цепочек, движение ионов
через области пересечения.
Рассмотренная структура, однако, не может быть непосредственно
использована для выполнения квантовых операций на ионах. Для этого
необходимо перейти к атомным ионам, низкоэнергетические состояния которых будут
служить в качестве кубитов и использовать лазерное охлаждение уже в
четырехэлектродной ловушке Пауля, а для подавления процессов декогерентиза-
ции поместить систему в сверхвысокий вакуум.
Проблема загрузки попов в плапарные много ионные ловушки. Ионизация
с помощью электронной бомбардировки, которая является стандартным
методом загрузки ионных ловушек, обычно приводит к значительным
электрическим помехам. Электрические поля помех могут смещать ионы от нулевого
положения в ловушке, что приводит благодаря взаимодействию ионов к их
разогреву. Для уменьшения этих эффектов обычно используют компенсиру-

ющие поля, создаваемые определенными электродами около ловушек. Для
симметричных трехмерных ловушек значения компенсирующих полей равны
нулю, но в случае асимметричных двухмерных линейных ловушек перед
началом загрузки требуется выполнить соответствующие расчеты
компенсирующих полей, учитывающие реальную геометрию структуры и задать
соответствующие потенциалы на электродах.
В работах MIT был продемонстрирован метод загрузки двумерных
ионных ловушек с помощью электронной бомбардировки, учитывающий
асимметрию ловушек и использующий буферный газ для подавления
радиочастотного разогрева ионов. Была рассмотрена планарная ионная структура из пяти
электродов (рис. 17.26). Один центральный электрод базовый, два электрода с
радиочастотным потенциалом V^ и два сегментированных электрода с
постоянными потенциалами.
3,7 мм 4.8 мм
Рис.17.26. На фотографии показана электродная плата смонтированная
на 6,3 мм выше положения ловушек
Электроды из меди осаждаются на подложку, обладающую малыми
радиочастотными потерями, с помощью стандартных методов, используемых в СВЧ
схемах. В области загрузки между RF и DC электродами создается щель для
исключения закорачивания их при загрузке ионов Sr+. Чтобы уменьшить
эффект лазерного рассеяния поверхность ловушек полируется до уровня 1 мкм.
Ловушечная система помещалась в стандартную камеру сверхвысокого
вакуума, откаченной до 10" Тор, которая загружалась ионами Sr+,
полученными с помощью электронной бомбардировки нейтральных атомов,
поступающих из нагревательного устройства. Оптимальное количество
буферного газа соответствовало 10 Тор.
Более продуктивным способом загрузки ионов в ловушку может быть
предложенное в MIT использование метода лазерного удаления (лазерной аб-
лации) материала с поверхности некоторой мишени. В результате из мишени
6 мм
RK
\
GND

> * m * »** •
50 мкм
Охлаждающий луч
Рис. 17.27. Изображение кристалла из ионов Sr+, полученное ПЗС видео-камерой
Рис. 17.28. Схема расположения мишени и ионной ловушки.
Поверхность мишени расположена на расстоянии 25 мм от центра ловушки
и ортогональна направлению на ионную ловушку и лазерному лучу
испускается струя из материала мишени по направлению к ловушечной
структуре, содержащая нейтральные атомы, ионы, молекулы и электроны.
Электроны, содержащиеся в удаляемой из мишени струе, первыми достигают
ионной ловушки и закорачивают ловушечные электроды на время порядка 10
мкс. Фотоионизация нейтральных атомов производится тем же лазерным
лучом в удаляемой из мишени струе, когда она проходят ловушечную область
без использования для этого дополнительного лазера. Там они захватываются
ионными ловушками после восстановления напряжения на электродах. Этот
метод более эффективен для загрузки ионов Sr+ в ловушки с малой
глубиной по сравнению с электронной бомбардировкой. В работе использовалась
пятиэлектродная ловушечная структура на печатной плате, помещавшаяся в
сверхвысокий вакуум ~ 10~ Тор.
Как отмечают авторы, этот метод имеет два преимущества. Во-первых,
ионы могут загружаться под действием отдельного лазерного импульса за
время значительно меньшее, чем секунда. Во-вторых, разогрев ловушки
оказывается пренебрежимо малым, что позволяет локализовать загрузку ионов
сразу в многозонной структуре.
На рис. 17.28 показана схема расположения мишени и пятиэлектродной
од
ионной ловушки на печатной плате. Ионы Sr детектировались по
индуцированной флуоресценции. В качестве материала мишени использовались
монокристалл SrTi03 и 5 мкм порошок SrTi03.
Была продемонстрирована загрузка ионной ловушки с поверхностными
электродами для глубины ловушек менее 40 мэВ.
Авторы делают вывод о том, что метод лазерного удаления является
полезным методом загрузки ионов для полномасштабных квантовых
компьютеров с ионными ловушками.
Полномасштабная структура планарных ионных ловушек,
интегрированная с планарной полупроводниковой СБИС. Основная идея состоит в том,
Мишень
Луч, удаляющий
материал
на мишени

чтобы использовать те же материалы и процессы, которые известны в
стандартной кремниевой СБИС технологии, благодаря чему может быть легко
получено масштабирование системы до очень больших чисел ионов.
В сообщении MIT описывается конструкция планарных ионных ловушек,
выполненная с помощью стандартной кремниевой СБИС-технологии. Была
разработана технология, позволяющая создавать монолитный кристалл,
включающий в себя несколько вертикально связанных микроструктур: чип со
структурой планарных ионных ловушек, затем чип, осуществляющий
лазерный контроль состояний ионов в ловушке и, наконец, электронную
КМОП-схему, управляющую с помощью потенциалов на сегментированных
электродах движением и позиционированием ионов в ловушке. Лазерное
обращение к ионам может осуществляться либо с помощью обстрела
поверхности ловушки лучем лазера, либо путем использования вертикальных щелей в
ловушечном чипе.
Основная трудность состоит в том, что разогрев ионов с уменьшением их
размеров и при использовании резистивных полупроводниковых материалов
становится все более существенным. Эта проблема для полномасштабных
квантовых компьютеров на ионных ловушках требует тщательного
экспериментального изучения.
В других работах описывается вариант планарной ионной ловушки с
несимметричной структурой электродов, выполненная также с помощью
кремниевой СБИС-технологии. Были использованы две пластины из
коммерческого кремния, легированного бором. Структура электродов выполнялась с
помощью стандартной фотолитографии с последуюоим глубоким реактивным
ионным травлением верхней пластины. Это травление создавало канавки
произвольной геометрии, глубиной сотни микрон и шириной менее нескольких
микрон (рис. 17.29). Такая структура формировалась на поверхности
стеклянного слоя, который имеет полость в области ловушечной зоны и над которой
а б___
p"Si 200 мкм
• гама I— —
Стекло **3
p-Si t
Центр ловушки
Рис.17.29. (а) Схематическое изображение ионной ловушки на легированном
бором кремнии, (б) Фотоизображение верхней поверхности ловушки.
Темные (розовые) области у RF-электродов, пронумерованы секции
управляющих CD-электродов (светлые области)

кремниевые электроды образуют консоли, представляющие собой элемент
микро-электромеханической системы (MEMS). Верхняя кремниевая
пластина образует общий управляющий электрод. Ионы создаются в вакууме с
помощью лазерной фотоионизации атомных паров, получаемх из нагреваемой
ампулы, содержащей Mg. В такой ловушке лазерно-охлажденные ионы
24 Mg+ удерживаются приблизительно на расстоянии 40 мкм выше
поверхности нижней пластины кремния, были получены линейные кристаллы из ионов
длиною до 103 мкм.
Продемонстрированная технология вместе с планарной геометрией
электродов позволяет надеяться на то что подобный подход может быть
использован для создания полномасштабных многозонных ловушечных структур.
Поверхностные электроды пригодны для организации сложных структур из
ловушечных зон, но быстро осуществлять электрические соединения по мере
роста сложности структуры является трудным.
Для решения этой проблемы предлагается использовать многослойные
слои. Разработан вариант такой многослойной ловушки, сформированной на
подложке из аморфного кварца. Другие способы формирования микроловушек
предлагались также некоторыми другими группами. Недавно была реализована
пятиэлектродная 19-зонная линейная ловушечная структура на кремнии.
В сообщениях обсуждается конструкция предполагаемого компьютера,
состоящего из двух основных частей: системы линейных ловушек Пауля в
«ионном чипе», помещенном в высокий вакуум, и контролирующая схема
ловушечных электродов также интегрированая в чип, в то время как оптическая
система находится вне вакуумной камеры (рис. 17.30). Кубиты создаются на
сверхтонких состояниях ионов, находящихся на ионных ловушках,
расположенных в чипе.
Предлагаемый ионный чип строится на 13000 ионах, которые могут
перемещаться по 20 мкм вакуумным каналам в чипе. Ионный чип содержит
160000 электродов размерами 1 мкм, контролируемых индивидуально со
скоростью переключения 50 МГц напряжением в области от 10 до 100 В с
помощью классической электрической схемы, интегрированной в чип.
Для манипуляций сверхтонкими состояниями ионов и возбуждением
процессов флюоресценции для считывания результатов вычислений
предлагается использовать оптическую систему, представляющую собой 990 пар
лазерных пар, сфокусированных в области ~ 1 мкм с мощностью от 10 до 200
мВт на луч. Каждый пара должна иметь разность частот порядка 10 ГГц, при
этом лучи могут быть частотно модулированы. Радиочастотная модуляция на
частоте около 660 МГц, с длительностью импульсов от 0,1 до 1 мкс
осуществляется способами, аналогичным используемым в ядерном магнитном
резонанса (ЯМР).

i—i 10 мм
Рис. 17.30. Схема полномасштабного компьютера. Оптический чип
содержит лазерный источник, оптический переключатель, радиочастотную
схему для контроля лазерных импульсов. Мультиплексные лазерные лучи
(показаны только 2 из 1000 пар) создают изображение в ионном чипе в вакууме,
содержащем систему ионных ловушек и электрическую схему управления
движением ионов. Детектор регистрирует оптическую флюоресценцию,
его элементы могут быть включены в ионный чип
Основная новизна состоит в большом числе электродов (~ 160000) и
параллельных операциях (~ 1000 требуется для полностью помехозащищенных
операций). Требуемая величина и скорость производимых операций (время
переключения порядка 10 не) в электрических цепях вполне доступны
современной технологии. В качестве подложки может служить кремний.
Существуют также предложения интегрировать оптическую систему во
второй чип. Однако, это важная задача для будущих технологий. Оптическую
систему можно реализовать с помощью современной техники, такой как
твердотельные лазеры и акусто-оптические преобразователи. Лазерные лучи,
используемые для квантовых операций, настраиваются на середину
сверхтонкого расщепления. Это означает, что для того, чтобы получить требуемую
скорость операций их интенсивность должна быть для Cd+ порядка 8,7
■у
мВт/мкм . Лазерный луч при этом не должен быть слишком узким, например,
он может иметь диаметр 5 мкм. Для Cd+ это составляет 25 длин волн, что
вполне достижимо для качественной оптики.
В случае однородно освещения на 5 мкм пятно потребуется 170 мВт
лазерной мощности требуемой интенсивности. Этому соответствует полная па-

дающая лазерная мощность на ионный чип2х 0,17 х 990 = 340 Вт. Для
снижения мощности следует уменьшить диаметр луча.
Если оптический чип помещен внутри вакуумной камеры, то
фокусирующие элементы оказываются вблизи ионного чипа (на расстоянии порядка
нескольких миллиметров). Такая конструкция исключает влияние флуктуации
давления воздуха и обеспечит большую стабильность системы, а отсюда и
меньшее значение диаметра и мощности лазерного луча.
Важной проблемой выполнение высоко точного управления 1000 парами
лазерных лучей импульсами длительностью поряка 1 мкс. Для этого могут
использоваться акусто-оптические и электро-оптические модуляторы. Они
имеют размеры порядка сантиметров и рассеивают радиочастотную мощность ~ 1
Вт, каждый. Система из тысячи таких устройств, обеспечивающих требуемую
стабильность, была бы громоздким, хотя и возможным решением.
Выполненные оценки показали, что предлагаемый квантовый компьютер
способен осуществлять квантовые алгоритмы, требующие 109 логических
операций на 300 логических кубитах со скоростью физических операций 1
МГц и логических операций 8 кГц, используя методы квантовых операций
уже испробованнные экспериментально.
Он может рассматриваться как вариант полномасштабного
твердотельного квантового компьютера на ионах в ловушках, в котором соединяются как
методы интегральной полупроводниковой технологии, так и методы
интегральной оптоэлектроники.
С увеличением сложности ловушек возникают некоторые другие
проблемы. Первым из является вопрос как упаковать ловушки и создать
электрические соединения для их управления. Другой проблемой является
соответствующая сложность лазерной системы, необходимой для управления ионами.
Помимо охлаждения, приготовления квантовых состояний и детектирования,
лазеры необходимы для когерентных манипуляций с внутренними
состояниями ионов и связанных пар или групп ионов. Мультиплексная система лазеров
для адресации к множеству ловушечных зон для выполнения параллельных
процессов очень трудной. В качестве альтернативы манипуляции
состояниями отдельных ионов с помощью лазерного оптического поля были
предложены магнитные структуры в виде как активных проволочных петель, так и
пассивных магнитных слоев, создающих неоднородное внешнее поле, что
позволяет исключить адресацию к отдельным ионам с помощью сфокусированных
лазерных лучей. Если это направление окажется жизнеспособным, оно
позволит перейти от сложной параллельной структуры к электронной схеме,
которая может быть более надежной и масштабируемой. Наконец, обсуждается
возможность и преимущества использования в качестве кубитов состояний
ядерных спинов ионов в ловушках.

2.17.6. Квантовые компьютеры на спиновых состояниях
электронов, плавающих в слое жидкого гелия
Был предложен вариант архитектуры масштабируемого квантоого
компьютера на подвижных и устойчивых кубитах, роль которых играют
спины индивидуальных электронов, плавающих в вакууме в слое жидкого гелия
(eSHe). Здесь мы кратко остановимся на общих чертах этого пока еще не
реализованного, но заманчиваемого варианта.
Устройства на плавающих электронах близки по духу
полупроводниковым структурам с кубитами на электронных спинах типа приборов с
зарядовой связью (ПЗС) (Charged-Coupled Devices - CCD), для которых существует
хорошо разработанная интегральная полупроводниковая технология.
Однако, если в полупроводниковых гетероструктурах электроны расположены в
квантовой яме, то плавающие электроны удерживаются на границе раздела
жидкий гелий - вакуум и управляются затворами, расположенными на
несколько микрон ниже поверхности гелия, что позволяет преодолеть некоторые
трудности, присущие полоупроводниковым структурам. В частности
1. Для электронов, движущихся вдоль гетероструктуры,
спин-орбитальное взаимодействие создает эффективное магнитное поле, затрудняющее
сохранение когерентности для электронных спиновых кубитов,
перемещающихся на большие расстояния в полупроводниках. Этот механизм декогерен-
тизации на порядок слабее для электронов, плавающих в гелии, что позволяет
увеличить размеры используемой архитектуры.
2. Электронные ловушки и флуктуации потенциала делают надежный
контроль состояний индивидуальных электронов в полупроводниковых
гетероструктурах проблематичным. Но они не являются критичными для
поверхности раздела жидкий гелий-вакуум.
3. Большое время декогерентизации спиновых состояний плавающих
электронов исключают необходимость использования быстрого, сложного
контроля обменного взаимодействия для запутанных спиновых состояний.
Вместо этого может быть использовано более слабое, но легче
контролируемое диполь-дипольное взаимодействие.
Благодаря относительно свободному от шумов окружению и подавлению
спин-орбитального взаимодействия, кубиты в схеме eSHe для слоя гелия
толщиной 40 нм, при температуре 30 мК будут иметь исключительно большое
время декогерентизации порядка 10 секунд или около 28 часов.
В отличие от схемы квантовых компьютеров на ионных ловушках с
подвижными кубитами (QCCD), время передачи квантовых состояниий в
которой велико (10-20 мс) по сравнению с временем квантовых операций (1-34
мкс), и схемы Кейна на ядерных спинах с неподвижными кубитами, время
передача состояний с помощью двухкубитовых операций SWAP, в которой про-

6-long 3-wide bus
•—<&—©■
•—©-
w
Юмкм
©—©—©—©
after left shift:
voltage holds
e~ stationary
CCD motion
control
w
Ф—©—©—©—•
a—gi—a • & • •
Рис.17.31. (а) Вид сбоку системы eSHe (не в масштабе). Электронные
кубиты плавают в вакууме на слое жидкого гелия. Положительно заряженные
металлические под слоем жидкого гелия притягивают эти электроны
и обеспечивают стационарность системы
порциональна числу таких операций, в архитектуре eSHe кубиты высоко
мобильны и время передачи ожидается много меньше операционного времени.
Управление положением отдельных электронов предполагается
осуществлять путем установления притягивающих положительных потенциалов под
каждым электроном (рис. 17.31сг). Эти положительные потенциалы создаются
на металлических затворах под слоем жидкого гелия. Кубиты имеют высокую
подвижность и эти металлические затворы могут использоваться для сдвига
положений электронов подобно тому как это происходит в приборах с
зарядовой связью. Приложение некоторого потенциала к ближнему затвору и при
этом понижение потенциала на текущем затворе вынуждает электрон
перемещаться от текущего к ближнему затвору. В отличие от схемы на ионных
ловушках, где также используется прицип CCD, в случае eSHe кубитов не
возникает трудностей с возвратом кубита в исходное состояние.
Для того, чтобы исключить взаимодействие между спиновыми
состояниями, минимальное расстояние между двумя кубитами должно быть порядка
10 мкм. Скорость передачи в схеме CCD оценивается в 100 м/с. Была измерена
эффективность переноса заряда в схеме CCD, составившая величину по
крайней мере 0,99999992. Отсюда следует, что будеттолько одна ошибка передачи
на каждые проходимые 300 м.
Измерение состояний отдельных кубитов может быть осуществлнено
подобно тому, как это делается при измерении спиновых состояний в квантовых
точках и в частности с использованием одноэлектронных транзисторов.
Логические операции над кубитами осуществляются с помощью
СВЧ-импульсов
Однокубитовые операции и измерения состояний кубитов производятся в
течение порядка 1 мкс. Для выполнения двухкубитовых операций соответст-
сующие кубита сближаются 100 нм. Из-за слабого диполь-дипольного
магнитного взаимодействия они требуют порядка 1 мс.

Длительность памяти является одной из ключевых характеристик eSHe
кубитов. Откуда следует, что неработающие кубиты не нуждаются в
исправлении ошибок за каждый цикл.
Отличительной чертой рассмотренной архитектуры является
возможность поддержания высокого уровня параллелизма квантовых операций.
Заметим, что существенным преимуществом рассматриваемого
варианта квантового компьютера вяляется, как и в сдучае компьютеров на ионных
ловушках, возможность их интеграции с управляющими кремниевыми
СБИС.
Из представленного обзора следует, что разработка квантовых
компьютеров в начале XXI века вышла на новый качественный уровень, открывающий
многообещающие возможности по реализации многокубитовых квантовых
компьютеров. Существенным моментом стала, в частности, возможность
формирования многокубитовых структур в твердотельных структурах с
использованием современной интегральной микро- и нанотехнологии.
В обзоре были рассмотрены четыре основных направления развития
твердотельных квантовых компьютеров: на ядерных спинах, на
сверхпроводниковых структурах, на квантовых точках и на ионах в ловушках.
Интенсивные экспериментальные попытки создания твердотельного многокубитового
квантового компьютера по трем из выше перечисленных направлениий пока
не увенчались большими успехами. Были реализованы структуры
содержащие пока не более 4 кубитов. Более упешным оказалось направление,
основанное на использовании ионных ловушек в твердотельных структурах.
К настоящему времени уже продемонстрировано управление
перемещениями ионами в сравнительно сложной многозонной ионной ловушке с
микронными минимальными размерами с числом ионов более десяти при
наличии разветвлений и пересечений, а также выполнен ряд простых квантовых
операций. Однако, для реализации полномасштабных квантовых
компьютеров с более сложной структурой, содержащей сотни и тысячи ионов
необходима дальнейшая миниатюризация электродной структуры вплоть до нано-
метровых минимальных размеров, а также разработка способов интеграции ее
с управляющей электроникой и оптической системами. При этом возникает
известная в микроэлектронике проблема обеспечения надежности работы
сложной структуры.
Создание сложной лазерной системы для адресации к многозонным
ловушкам в параллельном вычислительном процессе является, хотя и
возможной, но весьма трудной и пока нерешенной задачей. Заманчивым
представляется альтернативный вариант ловушечных структур с интегральными
магнитными структурами в неоднородном внешнем магнитном поле, который
экспериментальные сложности лазерных систем, связанные с адресацией к отдель-

ным ловушечным зонам, мог бы передать более надежной и проще
масштабируемой электронной системе.
Можно думать, что именно использованию методов планарной
интегральной кремниевой СБИС технологии в процессе разработки квантовых
полномасштабных устройств является все более выраженным современным
направлением. Можно ожидать, что дальнейшее развитие этой тенденции
приведет к формированию такого направления в развитии квантовых
компьютеров, которое будет характеризоваться законом, подобным закону Мура в
микроэлектронике. Одним из возможных направлений возможно будет то,
которое основано на использовании ионных ловушек.

Список рекомендуемой литературы
1. Аброян И.А., Андронов А.Н., Титов А.И. Физические основы
электронной и ионной технологии. -М.: Высшая школа, 1984.
2. Аскеров Б.М. Электронные явления переноса в полупроводниках. - М.:
Наука, 1985.-320 с.
3. Блейкмор Дж. Физика твердого тела. - М.:Мир, 1998. - 608 с.
4. БлохинцевД.И. Основы квантовой механики. - М.: Наука, 1983. - 664 с.
5. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и
реальность, 2-ое изд. - Москва-Ижевск: НИЦ РХД, 2002, 352 с.
6. ВудрафД., Делчар Т. Современные методы исследования поверхности:
Пер. с англ. -М.: Мир, 1989.
7. Зеегер К. Физика полупроводников. - М.: Мир, 1998. -608 с.
8. Зи С. Физика полупроводниковых приборов // М., Мир, 1984.
9. Кокин А.А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах.
- Москва-Ижевск: ИКИ, 2004, 204 стр.
10. Маделунг О. Физика твердого тела. Делокализованные состояния:
Пер. с англ. - М.: Наука, 1985.
11. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры /Под ред. Л.Чен-
га, К.Плога. - М.: Мир, 1989. - 584 с.
12. Старосельский В.И. Физика полупроводниковых приборов
микроэлектроники. - М.: Высшее образование; Юрайт-Издат, 2009. - 463 с.
13. Харрисон У. Электронная структура и свойства твердых тел. Физика
химической связи. Т.1, 2: Пер. с англ. - М.: Мир, 1983.
14. Херман М. Полупроводниковые сверхрешетки. - М.: Мир, 1989. - 240 с.
15. Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Вводный том / Под ред.
В.Е.Фортова. М.: Наука, 2000.