Ю. П. РАЙЗЕР
ЛАЗЕРНАЯ ИСКРА
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ
РАЗРЯДОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА
1974

УДК 533.9.15 + 537.52.7
Райзер Ю. П. Лазерная искра и распространение разрядов. М., «Наука» , 1974.
Рассматриваются пробой газов лазерным излучением и эффекты распространения
плазменных фронтов. Изложена теория развития электронной лавины под действием
оптического и сверхвысокочастотного излучения. Формулируется подход к задаче о
поддержании плазмы в электромагнитных полях. Рассмотрены генераторы плотной плазмы —
плазмотроны. Говорится о явлениях «световой детонации», о «горении» светового
луча, о взаимодействии луча и плазмы. Рассматриваются многие фундаментальные
вопросы физики взаимодействия ионизованного газа с электромагнитным полем. Книга
рассчитана на научных и инженерно-технических работников, студентов старших
курсов и аспирантов соответствующих специальностей, Таблиц 5. Иллюстраций 103.
Библиогр. 344 назв.
Р Q42 (01)—74 4°2~-74 © Издательство «Наука», 1974 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге рассматривается определенный круг разрядных
явлений, которые интенсивно изучались в течение последнего
десятилетия и фактически открывают новые разделы физики
газового разряда. К их числу в первую очередь принадлежит
полученный в 1963 г. эффект лазерной искры — один из интереснейших
в области взаимодействия интенсивного излучения с веществом.
Явление лазерной искры в качестве важнейшего элемента
включает в себя процесс пробоя газа, т. е. возникновения и
развития в нем бурной ионизации под действием поля. Осуществление
пробоя полями оптических частот стало возможным только после
создания лазеров, и притом лазеров, дающих особенно мощные,
хотя и очень кратковременные световые импульсы. Процесс
оптического пробоя содержит много необычного, так как в этом случае
проявляется квантовый характер поля. Тем не менее сейчас он
исследован с ненамного меньшей степенью доскональности, чем
пробой в постоянном электрическом поле, который изучается уже
в течение многих десятков лет, так что настало время подведения
первых итогов. Пробою газов в полях оптического диапазона
посвящена первая часть книги; много внимания там уделяется и
близким вопросам сверхвысокочастотного пробоя.
Во второй части рассматриваются процессы поддержания
плотной низкотемпературной плазмы и эффекты распространения
разрядов, т. е. превращения в плазму новых масс газа, находящихся
во внешнем поле. В отличие от пробоя эти разрядные процессы
могут протекать и в полях сравнительно небольшой
интенсивности — необходимо лишь однажды зажечь разряд. Эффекты
распространения разрядов и поддержания плазмы за счет
электромагнитной энергии наблюдаются в самых разнообразных
условиях. Они всегда присутствуют в лазерной искре, лежат в основе
действия дуговых, высокочастотных и сверхвысокочастотных
генераторов плазмы — плазмотронов, которые широко
применяются в науке и технике, зачастую возникают в используемых на
практике сверхвысокочастотных устройствах. Недавно была
реализована многообещающая возможность непрерывного и
длительного поддержания плазмы путем подвода к ней энергии с помощью
лазерного луча.
5

Систематическое рассмотрение подобных эффектов в полях
различных частотных диапазонов и формулировка некоего общего
теоретического подхода к их описанию составляет содержание
второй части книги. Анализ с единой точки зрения во многом
несхожих процессов помогает лучше понять известные явления и
создает теоретические основы для объяснения и предсказания
новых эффектов.
Главное внимание в книге уделяется выяснению физической
сущности явлений, методам простого теоретического расчета
характерных величин и зависимостей. Но наряду с этим приводится
и много экспериментальных сведений, ценных в качестве
справочного материала. В частности, сделана попытка собрать воедино
большинство полезных экспериментальных данных по оптическому
пробою газов. По возможности подробно и доступно разбираются
необходимые вопросы общефизического характера:
взаимодействие электронов с электромагнитным полем, взаимоотношение
классического и квантового подходов к этим процессам и др. Нашей
целью было сделать книгу полезной не только для специалистов—
физиков и инженеров, но и для тех, кто только приступает к
изучению соответствующих разделов физики взаимодействия
электромагнитного поля с ионизованным газом и физики разрядов. В
книге использована литература, опубликованная в основном до
середины 1972 г.
Автор глубоко благодарен П. П. Пашинину, который
ознакомился с рукописью и сделал ряд ценных замечаний, Г. А. Аскарья-
ну — за обсуждение многих вопросов физики лазерной искры,
Н. М. Сериковой и Н. Н. Магретовой — за большую помощь,
оказанную при подготовке книги.

ВВЕДЕНИЕ
Изучение электрического пробоя газов в постоянном
электрическом поле в свое время явилось одной из центральных проблем
физики газового разряда. Основная характеристика эффекта —
это величина пробивающего напряжения между электродами,
которая, как хорошо известно, зависит от произведения давления на
длину разрядного промежутка и описывается кривыми Пашена.
Еще с конца прошлого века известен и безэлектродный пробой
газа в поле высокой частоты. Его легко наблюдать, если внутрь
соленоида поместить откачанный сосуд и пропустить через
катушку высокочастотный ток достаточной силы. Под действием
вихревого электрического поля, которое индуцируется
переменным магнитным потоком, в остаточном газе возникает пробой,
и в сосуде самопроизвольно зажигается разряд. Природа этого
эффекта стала в достаточной мере понятной не так уж давно,
фактически в результате работ Дж. Дж. Томсона 1926—1927 гг.
Томсон экспериментально доказал, что разряд имеет
индукционную природу, и вывел теоретически условия зажигания:
зависимость порогового для пробоя магнитного поля (или тока в
соленоиде) от давления газа и частоты. Подобно кривым Пашена для
пробоя разрядного промежутка в постоянном электрическом поле,
пороговое магнитное поле при изменении давления проходит
через минимум. Для практического диапазона высоких частот от
сотен килогерц до десятков мегагерц минимумы лежат в области
низких давлений: поэтому безэлектродный пробой в давние
времена наблюдался только в сильно разреженных газах.
Следующий существенный шаг в сторону более высоких частот
был сделан уже в наше время. В годы второй мировой войны
развитие радарной техники вызвало большой интерес к явлениям в
сверхвысокочастотном (микроволновом) диапазоне электромагнитного
поля, т. е. в диапазоне гигагерцевых частот и длин волн,
измеряемых миллиметрами и сантиметрами. Пороговое для пробоя
электрическое поле в СВЧ-волне в зависимости от давления газа
также имеет характерный минимум. Минимальные
напряженности электрического поля соответствуют давлениям газа,
измеряемым миллиметрами ртутного столба, и имеют порядок десятков
или сотен вольт на сантиметр. Основы теории сверхвысокочастот-
7

ного (или, как иногда говорят для простоты, высокочастотного)
пробоя были заложены в конце 40-х — начале 50-х годов. Физике
СВЧ-пробоя в газах посвящена превосходная книга А. Мак-Донал-
да [1], 1966 г., которая вышла в русском переводе в 1969 г. В ней
излагается теория пробоя и приводится большое количество
экспериментальных данных. В дальнейшем нам придется
рассматривать вопросы СВЧ-пробоя весьма подробно.
Если обратиться к книгам по физике газового разряда,
написанным до изобретения лазеров, даже к книге С. Брауна 1959 г.
(русский перевод — 1961 г. [2]), в которой впервые было дано
короткое, но обстоятельное изложение физики СВЧ-пробоя, то
можно заметить, что в них не проскальзывают даже чисто
умозрительные допущения о возможности пробоя газов излучением
оптического диапазона. И действительно, до изобретения лазеров
наибольшие интенсивности света, которых можно было достичь,
фокусируя лучи даже самых мощных источников, были столь
слабыми, что любое предположение о возможности такого пробоя
казалось бы совершенно фантастичным. Более того, даже после
создания первого рубинового лазера в 1960 г. мощность этого
источника была далеко не достаточной, для того чтобы «пробить» газ
световым излучением. Воздух оставался безучастным к лучу
лазера, как и в случае световых лучей любых других источников.
Только после создания оптических генераторов с
модулированной добротностью, работающих в режиме гигантского импульса,
когда максимальные мощности достигают десятков мегаватт, и
притом в результате острой фокусировки таких мощных лучей,
впервые удалось наблюдать оптический пробой. Теперь этому не
приходится удивляться, ведь для пробоя газов на оптических
частотах требуются огромные электрические поля порядка
106—107 в/см. Для сравнения укажем, что в постоянном
электрическом поле, впрочем как и на высоких и сверхвысоких частотах,
атмосферный воздух пробивается при напряженности поля
3-Ю4 в/см. Когда луч рубинового лазера, работающего в режиме
гигантского импульса, пропустили через фокусирующую линзу,
в воздухе, в точке фокуса, вспыхнула искра, как при
электрическом пробое разрядного промежутка. Впервые об этом сообщили
в феврале 1963 г. Мейкер, Терхун и Сэвидж [3] на III
Международной конференции по квантовой электронике в Париже, и в то
время это вызвало сенсацию.
Явление лазерной искры сразу же и надолго приковало к себе
внимание физиков. После первых сообщений об эффекте, которые
появились в 1963 г., новое явление стало предметом детальных
исследований и самых оживленных обсуждений в физических
журналах и на конференциях в разных странах. Открытие
лазерной искры стимулировало развитие ряда новых направлений в
физике разрядов и плазмы. Сюда относятся вопросы лавинного пробоя
газов на оптических частотах, генерации плазмы световым
излучением, общая теория распространения разрядов, поддерживаемых
8

электромагнитными полями, и др. Возникла непосредственная
необходимость в построении теории многоквантовых процессов —
фактически нового раздела квантовой механики, который,
казалось бы, представлял чисто академический интерес.
Показателем темпа, с которым разворачивались исследования
по лазерной искре, может служить следующий факт. В свое время
по лазерной искре были опубликованы две обзорных статьи, одна
из них автора [4], в которой были подведены итоги работ
примерно до весны 1965 г., другая — Де Михелиса [5], доведенная до
уровня мая 1968 г. Оба обзора содержали почти исчерпывающую
библиографию, и если в первом из них список литературы,
непосредственно касающейся лазерной искры, содержал около 50
ссылок, то во втором это число выросло уже до 160. В настоящее время
оно достигает нескольких сотен. Современное состояние
исследований освещено в обзоре Г. В. Островской и А. Н. Зайделя [23].
Явление лазерной искры можно ориентировочно разбить на
три последовательных стадии. На первой стадии происходит
пробой, т. е. в холодном газе развивается ионизация и образуется
начальная плазма. Для второй стадии характерны эффекты
взаимодействия еще не закончившегося лазерного импульса с уже
образованной плазмой: движение плазменного фронта,
поддерживаемого лазерным излучением, нагревание плазмы до очень выоких
температур, поглощение и отражение лазерного света плазмой.
И, наконец, на третьей стадии наблюдаются явления взрывного
характера, которые продолжаются еще долго после окончания
светового импульса: распространение постепенно затухающей
ударной волны, источником которой послужило выделение в газе
энергии лазерного импульса, свечение взрывной волны,
напоминающее огненный шар ядерного взрыва, но, конечно, в
миниатюрном масштабе, диамагнитные эффекты, проявляющиеся при
наложении внешнего магнитного поля, и т. д. В первой части книги
изучается только первая стадия лазерной искры — пробой,
вторая и третья стадии относятся к области генерации плазмы и
распространения разрядов, они будут рассматриваться во второй
части. Общий вид лазерной искры в воздухе представлен на
фотографии рис. 1.1, сделанной с большой экспозицией.
Обнаруженные при изучении лазерной искры эффекты
движения плазмы навстречу световому лучу являются проявлением
общей тенденции к распространению, свойственной разрядам не
только в оптическом, но и в любых других диапазонах частот
электромагнитного поля: высокочастотном,
сверхвысокочастотном, в постоянном электрическом поле. Всегда существуют
процессы, которые способствуют ионизации слоев газа,
соприкасающихся с разрядной плазмой: нагревание ударной волной,
теплопроводностью, тепловым излучением плазмы и др. Если вновь
ионизованные слои находятся в достаточно сильном поле, в них также
выделяется много энергии, ионизация охватывает следующие слои,
и разряд (плазменное состояние) распространяется по веществу.
У

При этом для поддержания и распространения однажды
зажженного разряда достаточны сравнительно небольшие поля, гораздо
меньшие, чем те, которые необходимы для пробоя газов.
Эффекты распространения разрядов и поддержания плазмы за
счет электромагнитной энергии встречаются во многих физических
процессах, причем эффекты распространения, наблюдаемые даже
в таких, казалось бы, далеких друг от друга процессах, как
Рис. 1.1. Фотография
лазерной искры в воздухе. Взята из
работы Берквиста и Клемана
(см. раздел 7.1 к гл. 2)
лазерная искра и индукционная плазменная горелка, имеют
много общего и могут быть теоретически описаны единым образом.
Явления поддержания и генерации плотной плазмы и
распространения разрядов в электромагнитном поле, интенсивность
которого недостаточна для пробоя газа, рассматриваются в части П.
Охвачен довольно широкий круг явлений: лазерная искра
(вторая ее стадия, когда плазменный фронт движется от точки
первоначального пробоя навстречу лучу), процессы в
высокочастотном плазмотроне, распространение плазмы в волноводах и в
постоянном электрическом поле, столб дуги, непрерывный оптический
разряд и др. Всех их объединяет общность главных
закономерностей. Один из наиболее замечательных моментов здесь — это
глубокая аналогия между процессами распространения разрядов
и процессами горения и детонации горючих веществ. Обращение
к идеям и методам теории горения и детонации немало
способствовало пониманию и изучению соответствующих разрядных явлений.
В заключение отметим, что с исследованиями по лазерной
искре тесно соприкасается другая обширная ветвь физики лазерной
плазмы, связанная с проблемой достижения термоядерных
температур и осуществления термоядерных реакций при воздействии
предельно мощных лазерных импульсов на твердые мишени.
Однако это особая тема, и в книге она совсем не затрагивается.
Весьма отрывочный характер имеют экскурсы в другую смежную
область — физику разрядов в постоянном электрическом поле.

ЧАСТЬ I
ПРОБОЙ ГАЗОВ
ИЗЛУЧЕНИЯМИ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ
1. Два механизма оптического пробоя
Можно представить себе два возможных механизма пробоя
газа под действием интенсивного светового излучения. Первый из
них по своей природе не отличается от того, что происходит во всех
наблюдавшихся ранее условиях. Предположим, что в области
действия поля по тем или иным причинам появились первые
«затравочные» электроны. В поле электрон набирает энергию. В
постоянном электрическом поле электрон просто ускоряется в одном
направлении до первого столкновения, и при рассеянии энергия,
сообщенная ему полем, переходит в тепло. В осциллирующем
поле электрон колеблется, но в среднем при каждом столкновении
с атомом кинетическая энергия его колебаний также переходит
в энергию хаотического движения, так что скорость этого
движения нарастает. Именно такое, классическое, представление о
процессе соответствует ситуации, которая возникает в полях не
чрезмерно больших частот; сюда включается СВЧ-диапазон. На
«квантовом» языке, который скорее применим в отношении оптических
частот, электрон приобретает энергию, поглощая фотоны при
столкновениях с атомами газа — этот процесс является обратным
по отношению к тормозному испусканию квантов при рассеянии
электронов нейтральными атомами. Результат «классического» и
«квантового» способов ускорения электрона одинаков. Накопив
энергию, достаточную для ионизации, электрон ионизует атом, и
вместо одного появляются два медленных электрона, которые
начинают тот же путь сначала, и т. д. Так происходит
размножение электронов и развивается электронная лавина. Если такой
11

процесс на самом деле осуществляется, и притом достаточно
быстро, а для этого нужны сильные поля, в газе вспыхивает пробой.
В недостаточно сильном поле пробоя не происходит. Дело
в том, что всегда существуют процессы, приводящие к торможению
лавины, препятствующие ее развитию. Сюда относятся и потери
самих электронов вследствие ухода их из области действия поля,
и потери энергии электронов вследствие упругих и неупругих
(возбуждающих атомы) соударений. Эти потери необходимо
компенсировать, для чего и нужны достаточно большие поля. Отсюда
существование порога для пробоя.
Второй- механизм характерен именно для световых частот,
он имеет чисто квантовую природу. Электроны могут отрываться
от атомов в результате многоквантового фотоэффекта т. е. при
одновременном поглощении сразу нескольких фотонов. Однокван-
товый фотоэффект невозможен в случае частот видимого
диапазона, так как потенциалы ионизации атомов в несколько раз
превышают энергии квантов. Так, например, для рубинового лазера
Йо) = 1,78 эв, а потенциал ионизации аргона / = 15,8 эв, т . е. для
отрыва электрона требуется девять квантов. Обычно
многофотонные процессы маловероятны, но скорость их очень резко
повышается при увеличении плотности фотонов (интенсивности света),
и при тех исключительно высоких интенсивностях, при которых
наблюдается оптический пробой, вероятность может достигать
значительной величины. Как будет видно из дальнейшего, в
плотных газах, при давлениях порядка атмосферного и выше, всегда
происходит лавинная ионизация. Многоквантовые процессы здесь
являются лишь причиной появления первых электронов. В
разреженных же газах, когда электроны вылетают из области
действия поля, не успев испытать много столкновений, лавина не
развивается и оптический пробой возможен только за счет
непосредственного вырывания электронов из атомов под действием света.
2. Постановка опытов и первые измерения
пороговых полей
Вскоре после первого сообщения об открытии лазерного
пробоя появилась работа Мейерэнда и Хота [6], которые исследовали
эффект количественно, проведя первые измерения интенсивностей
света, необходимых для пробоя аргона и гелия при разных
давлениях. Принципиальная постановка этих опытов типична для
многих последующих экспериментов, поэтому расскажем о ней
подробнее.
Схема установки показана на рис. 1.2. Рубиновый стержень
длиной 15 и диаметром 1,3 см «накачивался» четырьмя
импульсными ксеноновыми лампами, через каждую из которых разряжалась
конденсаторная батарея. Добротность квантового генератора
модулировалась при помощи поляризатора и ячейки Керра, как и
12

в опытах [3]. В результате получался одиночный гигантский
световой импульс, в котором содержалась энергия примерно 1 дж.
Длительность импульса составляла примерно 30 нсек (1 нсек =
= 10~9 сек), максимальная (пиковая) мощность 30 Мет.
Энергия импульса определялась калориметрическим путем.
О форме этого импульса (она типична для гигантских импульсов)
можно судить по осциллограмме, приведенной в другой статье
Рис. 1.2. Схема опытов по измерению порогов оптического пробоя [6]
— рубин, 2 — ксеноновые лампы, з — поляризатор, 4 — ячейка Керра, 5 — зеркало,
6 — фокусирующая линза, 7 — собирающие электроды, 8 — окно
тех же авторов [7] (рис. 1.3). На этой фотографии совмещены две
осциллограммы полного светового потока, прошедшего через
фокус при фокусировке излучения линзой. Одна (верхняя)
соответствует условиям, когда мощность света недостаточна для пробоя, т. е.
характеризует распределение во времени мощности в исходном
луче. Вторая получена при пробое, и видно, как начиная с
некоторого момента, когда ионизация в области фокуса достигает
достаточной величины (т. е. наступает пробой), образовавшаяся плазма
поглощает остальную часть светового потока.
Интенсивности света, выходящего из лазера, даже в
гигантском импульсе недостаточны для пробоя газа, поэтому для того,
чтобы повысить плотность потока излучения, его фокусируют линзой
в маленький кружок. Обычно применяются линзы с фокусным
расстоянием / в несколько сантиметров.
Рис. 1.3. Осциллограмма гигантского импульса рубинового лазера [7]
13

Диаметр кружка фокусировки d определяется углом
расходимости светового луча \ выходящего из генератора, 8 по формуле
d = / 6. В опытах [6] диаметр был равен 2-Ю""2 см.
Диаметр определялся не только по расходимости, но и по
величине отверстия, которое луч прожигал в тонкой золотой фольге
(толщиной 5-Ю"6 см). При пиковой мощности 30 Мет и диаметре
фокуса 2-10"2 см плотность потока лучистой энергии в фокусе
составляла примерно 105 Мвт/см2 = 1018 эрг/см2сек, поток
квантов F « 3-Ю29 1/см2сек, а электрическое поле Е « 6-Ю6 в/см.
Е, 6/см
Рис. 1.4. Пороговые поля для
пробоя аргона и гелия
излучением рубинового лазера по
данным Мейерэнда и Хота [6]
Луч света фокусировался внутри камеры, наполненной
исследуемым газом. Факт пробоя устанавливался по появлению видимой
световой вспышки в области фокуса; свечение длилось примерно
50 мксек. Кроме того, для объективной регистрации пробоя
использовалась пара электродов, к которой прикладывалось
небольшое напряжение (100—200 в). При пробое из области фокуса
вытягивалось около 1013 электронных зарядов.
Порог для пробоя имеет очень резко выраженный характер —
стоило лишь немного понизить мощность света по сравнению с
пороговой величиной, как пробоя не возникало. Определяя
минимальную мощность светового импульса W, при которой происходит
пробой, и зная радиус кружка фокусировки г, можно
определить пороговое поле для пробоя газа. Результаты измерений [6]
для аргона и гелия в интервале давлений от 1,5-103 до 105 тор
(от 2 до 130 атм) представлены на рис. 1.4.
Вообще говоря, порог можно характеризовать разными
величинами: плотностью потока лучистой энергии (интенсивностью
света) S, потоком квантов F = 5/Йоь среднеквадратичной
напряженностью электрического поля в световой волне Е = y^nSIc
(она в У2 раз меньше амплитуды поля). Чаще всего пользуются
именно величиной поля. Приведем для удобства численные форму-
1 Обычно расходимости порядка 3—30' = 1СГ3 — 1СГ2 рад.
14

лы для пересчета от одних величин к другим (F вычислен для
квантов рубинового лазера Н(д= 1,78 эв):
S = 3,2-105 WlM™}em/cM*, F = 3,4-1018 (S [вт'/см2]) 1/см*сек,
(1.1)
Е = 19 YS [вт/см2] в/см.
График рис. 1.4 дает общее представление о порядке величин и
характере зависимости порогового поля от давления. В
дальнейшем появилось много экспериментальных работ, в которых
измерялись пороги для пробоя в самых различных газах, при разных
давлениях, при разных диаметрах кружка фокусировки, на
разных частотах (см. гл. 2).
Отметим, что при дальнейшем повышении давления газа по
сравнению с данными рис. 1.4 пороговое поле проходит через
минимум и начинает возрастать, как и при СВЧ-пробое. Но только
в случае СВЧ минимумы лежат при давлениях порядка сотых
долей атмосферы, а на оптических частотах — при давлениях в
сотни атмосфер.
3. Непосредственная ионизация атомов
излучением
3.1. Туннельный эффект и многоквантовый фотоэффект.
Вообще говоря, мыслимы два механизма вырывания электронов из
атомов в поле. Можно представить, что наряду с многоквантовым
фотоэффектом электроны освобождаются из атома путем
туннельного эффекта, как под действием сильного статического
электрического поля Е. Вероятность туннельного эффекта была
вычислена Оппенгеймером еще в годы становления квантовой механики,
в 1928 г. [8], и соответствующая формула выводится во многих
курсах квантовой механики. Вероятность эта
w0 = ftexp^— Т %еЕ J сек \ (1.2)
где / — потенциал ионизации атома, а предэкспонента Р по
порядку величины равна частоте движения электрона в атоме |3 ~ Ilk.
С другой стороны, вероятность многоквантового фотоэффекта,
который происходит при одновременном поглощении п фотонов
(пН(х) ^> /), пропорциональна п-й степени потока квантов F, т. е.
пропорциональна Е2п, если Е — электрическое поле в световой
волне. Как уже отмечалось, для световых частот и большинства
атомов п — довольно большое число, порядка 10, и вероятность
многоквантового фотоэффекта, как и вероятность туннельного
эффекта по формуле (1.2), чрезвычайно резко зависит от
величины поля. Для вырывания электронов из атомов и тем и другим
механизмом требуются очень большие поля.
15

Очевидно, электрическое поле электромагнитной волны
действует как «статическое», если оно мало меняется за время пролета
электрона через потенциальный барьер. Обозначим это время т.
Ширина потенциального барьера, создаваемого в атоме при
наложении на него поля Е, имеет порядок А ~ / / еЕ. Скорость
электрона в атоме v ~ Y 11т. Следовательно, т ~ А/г; — ^ImleE.
Если круговая частота изменения поля со, то условием
квазистатичности поля является неравенство сот ~ (oY^Im/eE <^ 1.
При достаточно больших частотах со электрон не успевает
проскочить через барьер за время малого изменения поля, т. е.
за время, малое по сравнению с периодом колебаний, и возникает
частотная зависимость вероятности вырывания.
Противоположное неравенство сот ^> 1 является условием того, что процесс
вырывания электрона из атома имеет характер многоквантового
фотоэффекта. Легко видеть, что в случае пробоя на оптических
частотах выполняется именно последнее неравенство. Для света
рубинового лазера X = 6934 А, со = 2,7Лоирад/сек, I ^ 10 эв,
Е ж 107 в!см и сот ж 20 ^> 1. Таким образом, вырывание
электронов световым полем должно иметь характер многоквантового
фотоэффекта.
Казалось бы, многоквантовый фотоэффект и туннельный
эффект представляют собой совершенно различные процессы,
которые иногда могут даже конкурировать. Так думали многие до
появления в 1964 г. работы Л. В. Келдыша [9], в которой он
показал, что оба механизма имеют общую природу и появляются как
предельные случаи единого процесса перехода электрона из
связанного состояния в атоме в свободное под действием переменного
электрического поля. В работе была вычислена вероятность
такого перехода из основного состояния атома водорода. В отличие
от обычной квантовомеханической теории возмущений, в которой
рассматриваются стационарные конечные состояния, здесь
рассматривается нестационарное конечное состояние свободного
электрона в осциллирующем электрическом поле световой волны
Е = Е0 sin со£, вызывающем переход. При вычислении
матричного элемента используется точная волновая функция,
соответствующая этому состоянию. Тем самым учитывается главное,
ускоряющее, воздействие поля на свободный электрон.
В результате всех вычислений получается формула для
вероятности вырывания электрона из атома w. Вероятность зависит от
частоты со и амплитуды поля Е0, причем последняя входит в
формулу только в составе комбинации у = (йУ^2т1/еЕ0, которая
совпадает с характерным параметром сот, упоминавшимся выше.
В пределе малых частот и очень сильных полей, когда у =
— сот <^J 1, общее выражение для вероятности практически
превращается в формулу для туннельного эффекта (1.2). В
противоположном случае высоких частот, у = сот ^> 1, получается
зависимость w~Eln, описывающая многоквантовый фотоэффект.
16

Эту предельную формулу можно записать в следующей
упрощенной форме, удобной для численных оценок:
Здесь ё е= 2,72 . . t, п — число квантов, необходимых для отрыва
электрона, которое равно целой части величины (//Йсо) + 1,
причем эффективный потенциал ионизации / превышает обычный /
на величину средней энергии колебаний свободного электрона
в поле электромагнитной волны е2Е02 / 4т(оа (см. подраздел 4.1).
Значения множителя В заключены в не очень большом диапазоне
и имеют порядок 1. При оценках можно полагать В = 1. Дело
в том, что вероятность w исключительно сильно зависит от поля,
а для сравнения теории с опытом фактически приходится
оценивать не вероятность по заданному полю, а, наоборот, величину
поля Е0, которое может обеспечить данную вероятность
вырывания. Даже значительный разброс в значениях В приведет к
ничтожной вариации в величине поля, ибо Е0 ~ ВХгП.
В численном виде формула (1.3) для частоты рубинового
лазера дает (с В = 1)
w ^ 2,7 • 1015д3/* (1,3 • 10^FIH/I)n сек1, (1.4)
где /н = 13,6 эе — потенциал ионизации атома водорода, поток
F [1/см2сек\; например, для аргона w ж 5-10-280 F9 сек'1.
Чтобы появилось 1013 ионов в объеме фокуса (г ж 10~2 см) за
время лазерного импульса 30 нсек и при плотности атомов 10201/cmz,
как в опытах Мейэранда и Хота [6], только за счет многофотонной
ионизации, вероятность w должна была бы быть равной 106 1/сек.
Для этого потребовался бы поток квантов F ~ 1032 1/см3сек,
т. е. поле Е ^ Ю8 в/см, тогда как на самом деле пробой происходит
при полях меньше 107 в/см. Это говорит о том, что механизм пробоя
в таких условиях, т. е. в плотных газах, иной.
Конечно, изложенные выше первичные представления о
многофотонной ионизации не исчерпывают всего многообразия тонких
и сложных эффектов, которые здесь возникают, и деталей, которые
оказываются существенными для теории (см. гл. 5).
3.2. Первые измерения вероятности многофотонной ионизации.
Тот факт, что многоквантовым фотоэффектом нельзя объяснить
наблюдаемые пороги для пробоя не слишком разреженных газов,
подтверждается не только оценками, но и прямыми
экспериментами. Непосредственные измерения вероятности многоквантового
фотоэффекта в световых полях были впервые сделаны Г. С.
Вороновым и Н. Б. Делоне в 1965 г. [10].
Типичная постановка экспериментов, которые продолжались
и в последующие годы, иллюстрируется рис. 1.5. Излучение
рубинового лазера 2, работающего в режиме гигантского импульса,
фокусируется линзой 3 внутри вакуумной камеры с исследуемым
17

газом. Предварительно луч раздваивается полупрозрачным з.ер-
калом 2. Один луч идет в камеру, другой ослабляется фильтром 7,
фокусируется линзой 8, которая тождественна первой, и область
фокусировки с помощью микрообъектива 9 отображается в
увеличенном масштабе на фотопленку 10. Это дает возможность оценить
диаметр кружка фокусировки, необходимый для расчета поля
в световой волне, и определить пространственное распределение
освещенности в кружке фокусировки, т. е. пространственное
распределение поля. Первые опыты
производились с ксеноном при
давлениях меньше 10~2 мм рт. ст.,
при которых длина пробега
электронов, не менее 1 см, на два
порядка превышает размеры
области фокуса, что исключает роль
соударений электронов с атомами.
Ионы, образованные светом в
области фокуса 4, вытягиваются
однородным электрическим полем
5 Е я^ 10 в!см на коллектор 6.
Особые меры принимались для
того, чтобы исключить из
регистрации ионы, образующиеся на
поверхности фокусирующей
линзы. Это достигалось специальной
конструкцией коллектора, при
которой ионы, образованные вне
области фокуса, на него не
попадали. Порог чувствительности
системы регистрации составлял 4-103
ионов.
Опыты показали, что за время лазерного импульса 20 нсек при
полях в области фокуса (0,8 -ч- 1,5) -107 в!см образуется примерно
105 ионов ксенона, что соответствует вероятности ионизации
w ж 5 • 10ь сек'1. При полях меньше 0,8 ЛО7 в/см никакого сигнала не
наблюдалось. В разреженном гелии никакого сигнала при тех
же полях вообще не было. Это и понятно — потенциал ионизации
атома гелия гораздо выше, чем атома ксенона. Последующие
опыты показали, что заметная многофотонная ионизация различных
атомов происходит только в полях превышающих примерно
107 в/см. Между тем пробой при высоких давлениях наблюдается
в гораздо более слабых полях.
Таким образом, теоретические оценки и опыты показывают, что
многоквантовый фотоэффект не может обеспечить наблюдаемого
сравнительно низкого порога пробоя не слишком разреженных
газов и причину пробоя следует искать в механизме электронной
лавины. Лавинным пробоем мы в основном и будем заниматься
в дальнейшем.
Рис. 1.5. Схема опытов по изме
рению вероятностей многофотон
ной ионизации [10]
18

4. Нарастание энергии электронов в поле электромагнитной
волны по классической теории
4.1 Средняя скорость нарастания энергии. Скорость
размножения электронов в лавине определяется в первую очередь
скоростью нарастания энергии электрона в поле электромагнитной
волны или временем, в течение которого электрон набирает
энергию, достаточную для ионизации атомов. Предположим, что
частота поля со не очень велика, так что величина кванта Йсо мала
(по сравнению с чем — сейчас станет ясно). Тогда действие поля
на электрон можно рассматривать на основе чисто классических
представлений. Отметим сразу, что строгое условие классичности
хорошо выполняется для СВЧ-диапазона, но не выполняется для
оптического. Энергии электронов в лавине имеют порядок
нескольких электрон-вольт, скорости их нерелятивистские, так что
влияние магнитного поля волны ничтожно. Кроме того,
смещение электрона под действием поля обычно гораздо меньше, чем
длина волны X, так что можно считать электрон движущимся в
однородном переменном электрическом поле амплитуды Е0.
Свободный изолированный электрон осциллирует в
направлении электрического вектора с частотой поля. Как следует из
уравнения движения тх = — еЕ0 sin со£, амплитуда его колебаний
а = eEJm<s)2, амплитуда колебательной скорости и = еЕ^ты,
а средняя за период кинетическая энергия колебаний екол =
= яш2/4 = е2Е02/4тю2. Например, для частоты 3 Ггц, Я, = 10 см,
со = 1,9-1010 рад/сек и поля Е0 = 300 в/см, характерного для
СВЧ-пробоя, а = 1,5• 10~3 см, и = 2,8-Ю7 см/сек, екол = 0,11 эв.
При этом Йсо = 1,24'10"~5эв <^ екол. Электроны участвуют в
хаотическом движении, так что колебания под действием поля
накладываются на поступательное движение с какой-то скоростью.
Колебательные скорости и заметно меньше поступательных v,
которые при энергиях в несколько электрон-вольт порядка
108 см/сек.
Итак, изолированный электрон, не испытывающий
столкновений с атомами, энергии от переменного поля не отбирает, он
только однажды приобретает энергию колебаний, в момент включения
поля, и после этого его средняя кинетическая энергия остается
неизменной. Энергия электронов в поле нарастает только в
результате столкновений. Говоря о столкновениях, мы всегда будем
иметь в виду столкновения с нейтральными атомами, предполагая,
что степень ионизации мала и столкновениями с ионами можно
пренебречь (впрочем, это момент не принципиальный).
При упругом рассеянии атомом электрон резко изменяет
направление своего движения, которое складывалось из
поступательного и колебаний под определенным углом к
поступательному. Свое новое движение электрон начинает практически с той
же кинетической энергией, которой он обладал в момент перед
самым рассеянием, так как в силу большой разницы масс упругая
19

передача энергии атому очень Мала. Но новое поступательное
движение имеет теперь совсем другое направление по
отношению к полю, и в среднем поле как бы заново раскачивает электрон
под новым углом к поступательной скорости. Так к энергии
электрона в среднем добавляется новая порция, по порядку величины
равная энергии осцилляции 8К0Л- Если она составляет много
квантов (8КОл ^§> ^со), процесс является классическим. Для СВЧ-диапа-
зона это всегда так. В этом рассуждении о наборе энергии
заложено существенное предположение о том, что столкновения
происходят очень редко и в период между столкновениями электрон
успевает совершить много осцилляции. Только в этом случае
имеет смысл говорить, что в интервале между столкновениями
электрон полностью набирает колебательную энергию 8К0Л. В
противоположном случае очень частых столкновений колебательная
составляющая скорости не успевает сильно измениться в период
между столкновениями, и при рассеянии электрон в среднем
приобретает энергию, меньшую, чем 8К0Л.
Для того чтобы вычислить средний прирост энергии электрона
в единицу времени в общем случае, воспользуемся, как это обычно
делается (см., например [2,11]), следующим упрощающим приемом.
В своем реальном движении электрон испытывает воздействие со
стороны атомов лишь в короткие мгновения актов столкновений;
в период между столкновениями на него действует только сила
электрического поля. В момент рассеяния импульс электрона резко
изменяется на величину mAv = т (v' — v), rnev и v' — векторы
скорости до и после столкновения, причем с большой точностью
I v' l= I v I = v- Распределим это изменение импульса,
приходящееся на один интервал времени между столкновениями,
равномерно по всему интервалу и будем считать, что вместо резких
периодических ударов на электрон действует непрерывная во
времени сила трения, которая заквивалентным образом рассеивает
начальный импульс электрона.
Эта сила, очевидно, равна среднему изменению импульса в
единицу времени </nAv/Tc>, где тс — среднее время между
столкновениями, а < > — символ усреднения.
Величина, обратная времени — частота столкновений — равна
vc = те1 = Navoc, где Na — число атомов в 1 см3, v — скорость
электрона, ас — сечение упругого рассеяния. Величина Av
усредняется по многим актам столкновений, т. е. по углу рассеяния
6. Разложим вектор Av на составляющие, параллельную и
перпендикулярную начальной скорости v: Av = Avy + Avj_.
Вследствие симметрии рассеяния <Av_^> = 0, а <Дуц> = <v'n > — v —
= v cos 8 — v, где cos G — средний косинус угла рассеяния.
Таким образом, уравнение движения электрона запишется
в виде
mv = — mvvm — еЕ, Е = Е0 exp (—-iatf), (1.5)
где vm = vc (1 — cos 6) — частота столкновений, характеризующая
20

изменение импульса; она определяется транспортным сечением
рассеяния от = ос (1 — cos 0).
Решение уравнения (1.5)
v = — ieE'/m (со + &vw), (1.6)
конечно, не описывает реальной траектории электрона, но в
определенном отношении оно эквивалентно реальному движению.
Работа, которую поле совершает над электроном и которая
затрачивается на преодоление силы трения, как раз соответствует
фактическому приобретению электронами энергии при столкновениях.
Работа поля в единицу времени равна — e(Ev), где скобка в
данном случае означает усреднение по времени. При комплексной
форме записи гармонических переменных такую величину можно
вычислить, взяв половину действительной части от произведения
одного сомножителя на комплексно-сопряженное другого1 [12].
Подставляя (1.6) в выражение для работы, найдем, что работа
поля над электроном в единицу времени, т. е. скорость нарастания
энергии электрона 8 под действием поля:
(de/dt)E = e*ElvJ2m (со2 + v2n) = e*E*vJm (со2 + v^), (1.7)
где Е = EjY% — среднеквадратичное поле.
Среднее приращение энергии, приходящееся на одно
«эффективное» столкновение (частота которых vw):
е2 Е2 Г|л2 fn2
На одно «истинное» столкновение приходится энергия
Ае(1 — cos 9).
В предельном случае, когда столкновения редки, vw2<^co2,
мы получаем ясный в качественном отношении результат:
Ае = 2екол; в среднем при столкновении электрон приобретает
энергию порядка энергии колебаний, как и было отмечено в самом
начале. Отрицательная роль слишком частых столкновений, когда
столкновения препятствуют полной раскачке «новых» колебаний
после каждого акта рассеяния, описывается характерным
множителем со2/(со2 + vm2). В рамках данного приближенного описания
это воздействие проявляется в уменьшении амплитуды
эквивалентных колебаний, что видно из формулы(1.7).
Чтобы определить полную скорость нарастания энергии
электрона, учтем еще потери энергии, которыми сопровождаются
упругие столкновения. Положим, что атом до столкновения покоится,
1 В самом деле, если А = Ао cos (со* + Фа) и J9 = i?o cos (со* + Фв)> т0
<АВ> = [АоВо cos (фв — фА)]/2. В комплексной форме А = Аа ехр (—mt) =
= Ао ехр ( — im + iq>j), В — В& ехр (— шг) = Во ехр (— i(ot + *Фв)> где
Ла и i?a — комплексные амплитуды. Легко видеть, что [Re (АВ*)]/2 =
= АоВо Re ехр {[—i (<рв — ФА)]}/2 = [AQB0 cos (<рв — <рА)]/2.
21

это обычно бывает оправданным, так как в условиях развития
лавины температура атомов, как правило, гораздо меньше
энергий электронов. В отдельном акте соударения атом приобретает
импульс р = — 77iAv. Поскольку вначале атом покоился, он
получает при этом кинетическую энергию р2/2М, где М — его масса.
Следовательно, средняя потеря энергии электроном при одном
столкновении равна т2 <(Av)2>/27kf. Но <(Av)2> = 2v2 (1 — cos Э),
откуда средняя потеря равна (2т/М) (1 — cos 9)s, е = mv2/2.
Таким образом, полная скорость нарастания энергии
электрона под действием поля и при учете одних только упругих
столкновений
е*Е*
I т (со2 + v^)
■TST*]vm- (I-9)
Ac — ' в/см _ » вт/см* ,а л^
аг9в— ГГ77i "" „, ■ Л,2 > К1-^)
Выражение в скобках представляет собой результирующее
приобретение энергии из расчета на одно эффективное столкновение:
Де — Деупр.
Приведем полезную для расчетов численную формулу для As.
При этом поле часто бывает удобным выразить через плотность
потока энергии в электромагнитной волне S = сЕ2/4к
(предположено, что показатель преломления п близок к единице):
1.75.10»^/CAl _6,34.10^бт/сл12
СО2 + V2
со [рад/сек], v^cen'1].
4.2. Истинные изменения энергии в отдельных столкновениях
и непосредственный вывод среднего прироста энергии.
Использованный выше прием усреднения исходного уравнения движения
электрона по самой своей сути не позволяет сказать, как же на
самом деле изменяется энергия электрона в отдельном
столкновении, он дает лишь среднюю величину изменения. Между тем
было бы заблуждением думать, что электрон получает от поля
энергию в каждом столкновении или что индивидуальные
изменения энергии характеризуются величиной Де ~ екол- В
действительности, в каждом отдельном столкновении электрон может как
приобретать энергию от поля, так и отдавать ее полю, причем
порциями, которые значительно превышают средний прирост Де.
Среднее значение Де — это в сущности малая разность двух
больших величин, которая, однако, всегда положительна.
Приобретет электрон энергию или отдаст — зависит от
соотношения между направлениями движения и поля во время
столкновения и от фазы поля, т. е. фазы колебания в это время.
Этот факт имеет принципиальное значение, ибо здесь
содержится «классический» аналог таких, казалось бы, чисто
квантовых эффектов, как истинное поглощение и вынужденное
испускание фотонов (см. об этом в следующем разделе). Чтобы лучше его
уяснить, рассмотрим простейший частный случай. Пусть в период
22

между столкновениями электрон движется строго в направлении
электрического поля и время между столкновениями гораздо
больше периода колебаний. Скорость такого движения можно
представить в виде v = v + и cos со£, где v — средняя скорость,
и = еЕ0/тП(х), причем v J> и.
Средняя по времени энергия электрона в период перед
столкновением (mv2/2) = mv2/2 + mu2/i = 8ПОст + е-кол» Если
электрон сталкивается с атомом в момент, когда колебательная
составляющая его скорости направлена в сторону среднего
поступательного движения, и имеет амплитудное значение, электрон начнет
новое поступательное движение после рассеяния со скоростью
v + и.
Поскольку новое движение после рассеяния резко наклонено
по отношению к полю, новые колебания будут раскачиваться под
большим углом к начальной скорости и средняя скорость нового
движения по существу останется близкой к начальной v + и.
Новая кинетическая энергия m (v + и)2/2 ж mv2l2 + mvu будет
примерно на величину mvu больше, чем старая, до столкновения,
причем эта величина в v/u ^> 1 раз превышает 8К0Л-
Если перед столкновением скорости направлены в разные
стороны и v — v — и, электрон в результате столкновения потеряет
энергию приблизительно mvu.
Легко видеть, что в среднем электрон все же приобретает
энергию. Поскольку столкновения происходят случайно, два
рассмотренных варианта столкновений равновероятны и средний
для них прирост энергии будет равным
m (v + и)2
(mv2 mu2 \\ \m (v — u)2 ( mv2 . mu2\
— + —)\+ [ 2 [—+—)
muz 0
— = 2e„
Это среднее результирующее приобретение энергии порядка 8К0Л
и примерно в v/u раз меньше, чем амплитудные значения
приобретений и потерь.
Рассмотрим теперь общий случай «элементарного» процесса,
происходящего в период от одного столкновения к другому, и
непосредственным образом вычислим Де, не накладывая
ограничений на направление поступательного движения электрона, момент
столкновения (фазу колебаний) и соотношение между частотами
колебаний и столкновений. Примем во внимание, что
длительность самого акта столкновения очень мала по сравнению с
периодом колебаний *, так что точно с той энергией, которой электрон
обладал непосредственно перед моментом столкновения, он и
начинает движение непосредственно после рассеяния (без учета
малой упругой потери).
1 В самом деле взаимодействие с атомом длится ~ ao/v ~ 10~16 сек, поскольку
размеры атома ао ~ 10~8 см, аг; ^ 108 см/сек. Периоды колебаний даже на
оптических частотах ~ 10~14 сек.
23

В течение времени между столкновениями вектор скорости
электрона v удовлетворяет уравнению движения
ш\ = — eE0sincD£ (1.11)
и равен
v = u (cos со£ — cos со£0) + v0, и = еЕ0/та>,
где t0 — момент последнего столкновения, a v0 — скорость, с
которой электрон начал движение после этого столкновения (мы сейчас
для большей наглядности отказываемся от комплексного
описания величин).
Пусть следующее столкновение происходит в момент tx. В
период времени от одного столкновения к другому энергия
электрона под действием поля изменяется на величину
™ (V2 — vg) = у [u2 (cos atfi — cos со£0)2 + 2uv0 (cos arti — cos co*0)].
(1.12)
Теперь надо усреднить эту величину по всем возможным
вариантам движений: по моментам столкновений t0 и tx и по
направлению начальной скорости v0. Тогда мы получим среднее изменение
энергии Ав, рассчитанное на одно столкновение, т. е. искомый
результат. Здесь имеется одна тонкость. Ясно, что моменты t± и t0
не независимы и существует определенная вероятность того, что
следующее столкновение после предыдущего произойдет через
время tx — t0. Если vc — средняя частота столкновений, то эта
вероятность равна
Р (*j — t0) dt = vc exp [— vc (*! — *0)] dt (1.13)
(сами моменты t0, разумеется, равновероятны).
Возникает вопрос; в любом ли случае «среднее» столкновение
произведет одинаковый эффект в отношении последующего
движения? Если, например, рассеяние предельно неизотропно и почти
в каждом акте электрон рассеивается точно вперед, ясно, что
эффект будет таков, как будто бы столкновения и вовсе не было,
и указанное усреднение (1.12) не даст истинного среднего
приобретения энергии, которое на самом деле будет равно нулю.
Следовательно, в принципе необходимо было бы еще
рассмотреть, как пойдет движение после столкновения в момент t±. Этого
можно избежать в единственном случае, когда рассеяние
изотропно, cos 6 = 0, и мы можем быть уверенными в том, что достаточно
ввести понятие «столкновения», не снабжая его никакой
дополнительной информацией, говорящей о том, «какое» это столкновение.
Итак, допустим, что рассеяние строго изотропно, и усредним
(1.12). Воспользуемся тождеством
cos co^i — cos со^о = — 2 sin -у (tx + t0) sin -^ (i± — t0).
24

Средний момент времени между двумя столкновениями (^ + t0)/2
и фаза поля в этот момент, разумеется, так же произвольны, как и
tQ, поэтому при усреднении синуса полусуммы второе слагаемое
в (1.12) обратится в 0; средний квадрат этого синуса в первом
слагаемом даст 1/2. Далее,
оо
\ sin2 -£- (*х — *0) ехр [—vc(tx — tо)] vcd(^ — t0) = т 9Ю а .
о с
Таким образом, среднее приращение энергии электрона при
одном столкновении
Л ' — /™ /2__ 2 \ = ^1 ^ ^ g2£0 СО2
А8 \2 ^i Vo)/ 2 co2 + v2 2mc°2 co2 + v2 '
т. е. мы пришли к уже знакомой нам формуле (1.8) (в
рассматриваемом случае cos 0 — 0 и vm = vc).
Формально можно было бы таким же путем получить результат
(1.8) и в общем случае неизотропного рассеяния, если называть
«столкновениями» акты, происходящие с частотой vm, а не vc, т. е.
заменить vc HavmB формуле для вероятности (1.13). Однакотакой
способ не представляется физически оправданным.
По-настоящему следовало бы, наверное, оставить вероятность столкновения
в виде (1.13), но как-то учесть, что истинная передача энергии
электрону не просто определяется формулой (1.12), а зависит от угла
рассеяния, и затем еще усреднять выражение, уточненное по
сравнению с (1.12) по этим углам.
Подчеркнем, что формулы (1.7), (1.8) правильны, несмотря на
приближенность метода, которым они были выведены. Это
подтверждается более строгими вычислениями на основе
кинетического уравнения для электронов [11] (см. гл. 3, а также
подраздел 4.5).
4.3. Связь с проводимостью и поглощением электромагнитной
волны. Работа, производимая полем над всеми электронами,
содержащимися в единице объема (число их — Ne), в единицу времени
представляет собой не что иное, как скорость выделения джоулева
тепла токов. По закону Ома плотность тока j = сгЕ, где о —
проводимость. Джоулево тепло равно <jE> = а<Е2> = а Е20/2.
Допустим, что частота столкновений vm не зависит от скорости
(энергии) электрона. Тогда работа поля над электронами в 1 сек
в 1 см3 равна просто Ne (d&/dt)E- Сопоставляя выражение для
джоулева тепла с формулой (1.7), найдем высокочастотную
проводимость ионизованного газа
а - e2Neym/m (со2 + vm2). (1.14)
Если Vm зависит от энергии электрона, столь простой формулы
уже не получается. В этом случае приходится исходить из
кинетического уравнения [11]. Однако практически чаще всего пользу-
25

ются формулой (1.14) элементарной теории, подразумевая под
vm некоторую среднюю по спектру электронов «эффективную»
частоту столкновений. В пределе низких частот co2<^vm2 из
(1.14) получается обычная формула для проводимости в
постоянном поле: о = e2Ne/mvm Численно:
в = 2,53.WWevm/(cD2 + vbJceK-1^ 2,82.1(rWevm/(co2+ ^Jom^cm'1.
(1.15)
С другой стороны, джоулево тепло определяет диссипацию
энергии поля, т. е. поглощение энергии электромагнитной волны.
Плотность потока энергии в монохроматической волне,
распространяющейся в однородном веществе [12]:
S = JL <[ЕН]>, S = -^ пЕ20 = пс <Е2>/4я, (1.16)
где п — показатель преломления.
Поток в направлении распространения х затухает по закону
dSldx = — [inS, (1.17)
где (Ысо — коэффициент поглощения энергии волны. Величина
fie*!? равна количеству энергии, которое выделяется в 1 еж3 вещества
в 1 сек, т. е. джоулеву теплу. В условиях, когда частота поля
заметно превышает плазменную частоту (см. об этом чуть ниже),
показатель преломления п близок к 1. Для СВЧ это условие
выполняется при слабой ионизации, для оптических частот — почти
всегда, во всяком случае, при исследовании пробоя. Это условие
можно считать выполненным. Сопоставляя при этом [i^S с
выражением для джоулева тепла Ne(dz/dt)E по формуле (1.7), найдем
коэффициент поглощения электромагнитной волны в слабо
ионизованном газе.
p,w = ine2NevJmc (со2 + v^) = 4кв/с. (1.18)
Численно:
uw = ОДОбЛ^Дсо2 + v*J см'1. (1.19)
При co2^>Vm имеем характерную частотную зависимость
поглощения: [1Ш ~ со-2.
Подчеркнем, что величина [1Ш представляет собой
результирующий коэффициент поглощения электромагнитной волны,
усредненный по многим актам столкновений электронов. В
индивидуальных процессах столкновений поле может как ослабляться,
так и усиливаться в зависимости от того, приобретает или теряет
энергию электрон.
4.4 Токи проводимости и поляризации. Диэлектрическая
постоянная плазмы. Проводимость о легко найти и прямо из
выражения для скорости электронов (1.6), рассматривая не джоулево
тепло, а ток [11]. При этом одновременно определяется и
диэлектрическая постоянная плазмы ed. Составим выражение для плотно-
26

сти полного тока j, = — Neev и отделим в коэффициенте при
Е действительную и мнимую части:
w((02 + v2i) m^+vl) V
Первый член, удовлетворяющий закону Ома (ток совпадает по
фазе с полем), представляет собой ток проводимости, а
коэффициент при Е — электропроводность (см. формулу (1.14)). Второе
слагаемое в пределе постоянного поля со -> 0 исчезает; эта часть
тока сдвинута по фазе относительно поля на я/2 и соответствует
току поляризации dP/dt = — icoP, где вектор поляризации
Р = (ed — 1) Е/4я. Сравнивая это выражение с (1.20), найдем:
ч = 1 _ 4яе27У> (со2 + v^) = 1 - со2/(со2 + v2J, (1.21)
где
сор = (ine^NJmf2 = 5,65-lOW?1 рад/сек (1.22)
— плазменная частота.
В отличие от тока проводимости, который имеется только в
условиях, когда электроны сталкиваются с атомами, ток
поляризации существует и в отсутствие столкновений, и, напротив, в этом
случае даже больше.
Ток поляризации связан с периодическими смещениями полот
жения электронов под действием осциллирующего поля.
Поскольку скорость свободных колебаний сдвинута по фазе на я/2 по
отношению к фазе поля, скорость часть времени направлена по полю,
часть — против поля. Поэтому в среднем по времени поле не
совершает работы над колеблющимся без помех электроном, о чем
уже говорилось выше. Электрон только однажды приобретает
энергию колебаний. Джоулева тепла ток поляризации,
следовательно, не дает и к диссипации поля не приводит. За это
ответствен только ток проводимости. Как и формула для а,
элементарная формула (1.21) для ed строго справедлива только при vm =
== const.4
Показатель преломления п и коэффициент поглощения
электромагнитной волны [1^ в общем случае выражаются через га и о
по общим формулам [11, 12] (см. формулы (7.30), (7.31)). При
условии со2^>сор диэлектрическая постоянная, как видно из
(1.21), мало отличается от единицы, п ж 1, и общая формула для
\1Ш сводится к формуле (1.18), полученной выше несколько иным
путем.
Неравенство со2 ^> сор соответствует малости электронной
плотности Ne по сравнению с критической величиной
Л^кр = таЩле2 = 1,24-Ю-8 (со/2я)2 = 3,16.10"10co2 \1см\ (1.23)
при которой со = сор. Если Ne > 7VKp и со < соР, диэлектрическая
постоянная становится отрицательной (если только частота стол-
11

кновений не превышает сильно частоту поля) и электромагнитная
волна не проникает в плазму. Ясно, что, когда мы рассматриваем
явление пробоя, т. е. процесс самого развития электронной лавины
под действием поля волны, такая ситуация интереса не
представляет (для СВЧ 7VKp ~ 1010 -г- 10131/см3, для оптических частот—
порядка 1019 — 1021 1/см3).
4.5. Тормозное излучение при столкновениях электрона с
атомами и закон Кирхгофа. Вычислим в рамках классической теории
интенсивность тормозного излучения, которым сопровождается
рассеяние электрона атомами. Этот процесс является обратным
по отношению к процессу поглощения электромагнитной волны,
которым мы занимались выше.
Рассмотрение тормозного излучения преследует две цели:
во-первых, это позволит лучше понять эффект корреляции между
отдельными столкновениями, который является причиной
появления характерного множителя со 2/(со2 +vm2), а во-вторых, на
этой основе в следующем разделе будет приближенно выведен
квантовый коэффициент поглощения света.
По классической электродинамике ускоренно движущийся
электрон излучает в единицу времени энергию 2e2w2/3c3 [13],
где w — вектор ускорения. За все время какого-то процесса он
излучает энергию
* = Т? \ w*dt эрг'
— оо
Если мы интересуемся спектральным составом излучения,
нужно подставить сюда разложение функции w (t) в интеграл
Фурье и произвести интегрирование по времени. В результате
получим % в виде интеграла по частотам. Количество энергии,
которое излучает электрон в интервале частот от со до со + dco
в результате любого движения, оказывается равным
оо
d8<» = -J- jg" | Wco |2dco, w» = 2^- \ v?(t)exv(—mt)dt. (1.24)
—oo
Оно определяется квадратом модуля компоненты Фурье
вектора ускорения.
Предположим сначала, что за все время от — оо до + оо
совершается только одно столкновение. Очевидно, такое
приближение допустимо, если интересоваться излучением частот со, которые
гораздо больше, чем частота столкновений электрона с атомами.
Имея в виду, что сам акт рассеяния происходит практически
мгновенно по сравнению с периодом излучаемых колебаний,
представим w (t) в виде дельта-функции по времени w (t) = Дуб (t), где
Av — изменение вектора скрости электрона при столкновении.
При этом ww = Ду/2зт, так что
(Wu=~(bv)'d<i>9pe. (1.25)
28

Чтобы найти количество энергии dQ^, которое электрон,
совершая такие не связанные между собой акты излучения,
испускает в спектральном интервале dco за секунду, следует усреднить
(1.25) по углам рассеяния при столкновениях и умножить на
число столкновений в секунду vc. Если быть последовательным,
оставаясь на позициях классической теории излучения, которая
на самом деле таит в себе глубокое противоречие, следует при
усреднении (Av)2 считать абсолютную величину скорости неизменной.
Это дает <(Av)2> = 2v2 (1 — cos 0) и
dQ'a = Щ- е^Л1 dco эрг/сек \ (1.26)
Рассмотрим теперь излучение частот со, которые сравнимы
с частотой столкновений или меньше ее [15].
В этом случае мы уже не имеем права просто суммировать
энергии, излученные в отдельных столкновениях, как при выводе
(1.26). Разности фаз волн, излученных в последовательных
столкновениях, теперь не будут большими, волны будут
интерферировать, и будет существовать корреляция между отдельными актами.
Это значит, что «процессом» следует называть совокупность
большого числа N последовательных столкновений.
N
В этом случае вектор ускорения w(t)--= 2^vfc^(*— *&)> т&е
индекс к относится к к-му столкновению. Его компонента Фурье
N
ww = 2 (Avfr/2n)exp(—i(Dy.
Запишем квадрат модуля этой величины, выделим из
получающейся двойной суммы члены с одинаковыми индексами и
скомбинируем члены с одинаковыми парами индексов. Получим
N N
w£ = ^r2{(Av;)2 + 2 2 (AViAv,) cos ©ft--*,)}'
1 Несовершенство классической теории проявляется в том, что интеграл от
dQo> по всему спектру от 0 до оо расходится. Это противоречие устраняется
только в квантовой теории, согласно которой электрон не может излучить
квант йсо, превышающий его начальную энергию е = mv2/2. Однако, если
интересоваться излучением квантов йсо, малых по сравнению с 8,
изменением скорости действительно можно пренебречь.
Заметим, что фактическая средняя тормозная потеря энергии при одном
"max
столкновении, которую приближенно можно представить как \ с1&ш,
о
где comax = mv2/2t, для нерелятивистских скоростей оказывается
чрезвычайно малой не только по сравнению с начальной энергией электрона е, но даже
по сравнению с небольшой упругой потерей (2mlМ) (1 — cos 0)8. Это и
оправдывает пренебрежение изменением скорости (подробнее см. [14])»
29

Это выражение необходимо усреднить по всем возможным
вариантам последовательных столкновений. Поскольку каждое/-е
столкновение в среднем ничем не выделяется среди других, сумма
по / превратится при усреднении в N одинаковых слагаемых, а
в сумме по i произвольное /-е столкновение можно принять за
«начальное» и вести отсчет времени от него (заменяем / ->- О,
Avj ->■ Av0, £j-> t0 = 0). Тогда
N
«> = Й {«Д v)*> + 2 S < AviAvo> <cos a)^>} . (1.27)
Здесь множители, содержащие Av, усредняются по углам
рассеяния, a cos (ott — по моменту i-то столкновения после
начального. При этом следует учесть, что вероятность промежутка
времени tt — ^_х между двумя последовательными столкновениями
определяется формулой (1.13). Если корреляции между
столкновениями нет, второе слагаемое в (1.27), очевидно, обращается
в нуль и с учетом того, что dQ^ = (d^^vJN', мы возвращаемся
к формуле (1.26).
Мы не будем проводить процедуру усреднения, которая
довольно сложна, но доводится до конца абсолютно точно (см. [15]).
В результате в формуле (1.26) появляется уже знакомый нам
множитель со2/(со2 + v2m), так что в общем случае
лП 4 еЧ*ут со2 л эрг . 9R.
Подчеркнем, что здесь фигурирует именно частота
столкновений для передачи импульса vffl, а не vc. Как видим, dQ^ <^ dQ^',
парциальные волны, излучаемые при отдельных
столкновениях, частично гасят друг друга при интерференции, что
сопровождается уменьшением суммарной интенсивности. Это связано
с тем, что в среднем, векторы двух любых парциальных волн
всегда оказываются направленными в противоположные стороны.
Итак, мы определили путем совершенно независимых
вычислений лучеиспускательную способность электрона, связанную
с тормозным излучением при столкновениях с атомами, dQ^ по
формуле (1.28) и коэффициент поглощения для обратного процесса
(формула (1.18)). Первая величина в рамках классической теории
была вычислена точно, вторая содержала некий элемент
приближенности, ибо в основу вывода было положено не точное, а
усредненное уравнение движения электрона в поле (1.5). Проверим,
удовлетворяют ли излучательная и поглощательная способности
закону Кирхгофа, и если удовлетворяют, то при каком условии.
Очевидно, это укажет на степень приближенности формулы
(1.18) ДЛЯ jLtco.
По закону Кирхгофа в условиях полного термодинамического
равновесия испускание лучистой энергии в точности
уравновешивается роглощением, и этим равенством связываются между собою
30

излучатеЛьная способность и коэффициент поглощения.
Обозначим количество лучистой энергии частоты со, испускаемой в 1 сек,
в 1 см3, в интервал частот dco и интервал телесного угла dQ около
какого-то направления Q, j^d^dQ (/w — это излучательная
способность газа).
Для тормозного излучения эта величина равна Ne {dQ^ydQ/Ал,
где dQu усредняется по спектру скоростей электронов. В процессе
усреднения вклад электронов с различными скоростями просто
суммируется. Далее, пусть 1Ш (Q) d&dQ — количество лучистой
энергии обеих поляризаций частоты со в интервалах частот dec и
телесного угла dQ около направления Q, которое проходит в 1 сек
через площадку в 1 см2, нормальную к направлению
распространения Q; /со называется интенсивностью излучения. Поглощается
из интервала d^dQ в 1 см3 в 1 сек энергия iJd^dQ^, где \хш —
некоторый средний по спектру электронов коэффициент поглощения.
В отличие от испускания о способе усреднения заранее ничего
определенного сказать нельзя. В подразделе 4.2 мы видели, что
поглощение волны — это средний результат некоего процесса,
при котором энергия электрона все время меняется, и будет ли
просто суммироваться вклад в поглощение электронов с каждой
данной энергией, заранее сказать трудно. Как станет ясным из
дальнейшего, простое суммирование осуществляется только при
максвелловском распределении скоростей.
При термодинамическом равновесии равновесная
интенсивность излучения /сор описывается формулой Рэлея — Джинса
/сор = (о2кТ/4п3с2, а спектр электронов — максвелловский.
Составляя равенство излучения и поглощения и подставляя dQ^, по
формуле (1.28) найдем коэффициент поглощения
/^Qco (v)\ _ 4iteWe
и — TV ПС / Vco v < \ _- *п™е / mvvm \ (л опч
Из этой формулы видно, что только при условии независимости
частоты столкновений vm от скорости электрона мы приходим
к выведенной ранее формуле (1.18) для |Ысо (поскольку <тш;2> =
= ЗкТ). Коэффициент ^ от скорости электронов в этом случае
не зависит.
Таким образом, формула (1.18) справедлива, если vm (г;) =
= const. Этот вывод следует и из более строгого вычисления
коэффициента поглощения, основанного на применении
кинетического уравнения для электронов [11, 16] (см. также гл. 3).
Непосредственное вычисление среднего прироста энергии в
одном столкновении для случая изотропного рассеяния, когда
мы получили множитель со2 / (со2 + vc) (подраздел. 4.2), в
сущности также содержало допущение о независимости частоты
столкновений vc от энергии электрона, поскольку в течение
рассматривавшегося там процесса движения электрона в период между
столкновениями энергия его изменялась.
31

5. Нарастание энергии электронов
в поле фотонов
5.1. Стохастический характер квантового процесса. Еще в
первой работе Мейерэнда и Хота [6], о которой говорилось в раз-
деле 2, отмечалось, что оптический пробой в плотных газах
следует трактовать как процесс лавинной ионизации, но что теория
СВЧ-пробоя к данному случаю, видимо, неприменима, так как
энергия колебаний электронов в поле и среднее приращение его
энергии при столкновении гораздо меньше величины кванта.
Действительно, для частоты рубинового лазера со = 2,7-1015 padjcen
и пробивающего поля Е ж 107 в/см по классической формуле
(1.10) As = 28кол ~ 2,3-10~2 эв, что на два порядка меньше, чем
П(о = 1,78 эв. Нарастание энергии электрона в поле при этом
следует рассматривать с позиций квантовой теории, и основным
механизмом поглощения света, как указывалось в [6], является
эффект, обратный тормозному испусканию кванта при упругом
рассеянии электрона нейтральным атомом. Для краткости в
дальнейшем будем называть его тормозным поглощением. (В сущности
это квантовый аналог процесса, который рассматривался в
разделе 4.)
Лавинная теория пробоя на основе квантовых представлений
была впервые развита в работе Я. Б. Зельдовича и автора [17]
в 1964 г., вслед за появлением первой публикации по
экспериментам с оптическим пробоем [6]. В этом разделе мы рассмотрим
только элементарные процессы и разберем вопрос о взаимоотношении
квантовых и классических представлений о нарастании энергии
в поле электромагнитной волны и поглощении света. Расчеты
лавины и пробивающих полей для лазерного пробоя будут изложены
в гл. 4; там же будет говориться и о других теоретических работах
на эту тему.
Для того чтобы сразу было ясно, какие вопросы должны нас
интересовать в первую очередь, если мы задались целью
объяснить процесс размножения электронов в поле фотонов,
целесообразно с самого начала пояснить, как протекает этот процесс.
Основным механизмом нарастания энергии электрона является
поглощение световых квантов при столкновениях с атомами. Как
и в классической теории, столкновения здесь играют решающую
роль, т.к. изолированный электрон не может поглощать кванты —
это противоречило бы закону сохранения импульса.
Действительно, приобретая энергию, электрон получает и импульс. Между
тем импульс фотона ничтожно мал. Следовательно, в акте
поглощения должна участвовать еще одна частица. Таковой в данном
случае является атом, который воспринимает импульс отдачи.
Чтобы достичь потенциала ионизации, электрону достаточно
приобрести энергию, соответствующую сравнительно небольшому
числу квантов, порядка десяти. Это, однако, не означает, что
все дело сводится к тому, чтобы электрон поглотил подряд десяток
32

квантов. Наряду с актами поглощения все время совершаются
акты вынужденного испускания квантов под действием светового
поля, опять же при столкновениях с атомами. Оказывается, что
вероятности тех и других актов почти одинаковы, но с
превышением вероятности поглощения. Электрон совершает некий
стохастический процесс блуждания по оси энергии, то приобретая
энергию, то отдавая ее порциями Йсо, но в конечном счете энергия его
все же постепенно возрастает до величины, необходимой для того,
чтобы произошел акт размножения. Очевидно, чтобы рассчитать
время, которое для этого потребуется, необходимо знать частоту
скачков по оси энергии, которая определяется вероятностями
поглощения и вынужденного испускания квантов или
соответствующими коэффициентами.
5.2. Поглощение и вынужденное испускание квантов при
столкновениях электронов с атомами. Коэффициенты тормозного
поглощения и вынужденного испускания можно приближенно
вычислить при помощи полуклассического приема, в основе своей
подобного тому, которым Крамере еще в 1923 г. нашел
коэффициент тормозного поглощения, соответствующий рассеянию
электронов в поле ионов. Существо этого приема состоит в том, чтобы от
классической формулы для интенсивности тормозного испускания
частоты со перейти к квантовому эффективному сечению
испускания кванта Йсо (подробно см. об этом в книге [14]). После этого
коэффициент обратного процесса — поглощения легко
определить, воспользовавшись квантовым принципом детального
равновесия.
Количество энергии, которое электрон со скоростью v,
сталкиваясь с атомами, излучает в 1 сек в спектральном интервале
dco, по классической теории дается формулой (1.28). На
квантовом языке эту энергию следует представить в виде hwNavdOu,
где (1оы — дифференциальное сечение испускания квантов от
Йсо до Йсо + d(Zko). Определим приближенно квантовое сечение
излучения, приравнивая эту величину классическому выражению
dQo>. В реаультате найдем
4 e2v2Gm со2 , /л оп\
»aw = or qfc тг асо. (1.30)
В силу существования корреляции между отдельными
столкновениями сечение в общем случае оказалось зависящим от
плотности газа (через vm = Navom).
Как следует из самого вывода, формула (1.30) должна быть
справедливой применительно к излучению малых квантов ftco <^
<^ е = тг;2/2. Однако известно, что вычисленные таким же
способом сечения тормозного излучения при рассеянии электрона
ионами превосходно согласуются с точными квантовомеханиче-
скими результатами для квантов, сравнимых с энергией электрона,
чуть ли не до самого предела /komax = е [14]. Имеются и квантово-
механические расчеты тормозных сечений для столкновений
33

с нейтральными атомами [18, 16]. Сравнение с ними простой
формулы (1.30) показывает, что формула дает результаты, вполне
приемлемые для практического использования. Квантовомеха-
нические формулы и выводы их, как правило, весьма сложны.
Воспользуемся теперь принципом детального равновесия
Эйнштейна для излучения.
Обозначим ф (г;) функцию распределения электронов по ско-
оо
ростям, нормированную условием \ ф (v) dv = Ne. Количество лу-
о
чистой энергии, которое самопроизвольно испускается в 1 см3 в
1 сек в интервал частот dco и интервал телесного угла dQ
электронами, обладающими скоростями от v до г/ + dv', есть
%*NMv')dvV^fnd<*. (1-31)
С учетом вынужденного испускания эту величину следует
помножить на 1 + п, где п — число фотонов с определенным
направлением поляризации, уже находящихся в той же фазовой
ячейке, в которую попадает испущенный фотон; п = 4л3с2/а)//ко2,
где /о> — интенсивность излучения, определение которой было
дано в подразделе 4.5. Полное испускание с учетом вынужденного
есть
ftoNM*)d»'v' -i^dco (l + -^ /.) • (1.32)
Пусть после испускания кванта Йсо скорость электрона
становится равной v. Скорости г/ и v связаны законом сохранения
энергии
mv'2/2 = mv*/2 + ha>, в' = 8 + Йсо, v'dv' = vdv. (1.33)
Обозначим коэффициент тормозного поглощения,
рассчитанный на один атом и один электрон скорости v, aw (г;) смъ.
Количество лучистой энергии из интервала dcodQ, которое поглощается
в 1 см3 в 1 сек электронами, обладающими скоростями от v до
v -f- dv, есть
IudadQNау (v) dvcLi* (v). (1-34)
Аналогично определим понятие коэффициента вынужденного
испускания Ьш (г/) смъ так, чтобы величина
I^dadQNаф (г/)dv'ba (г/) (1.35)
давала количество энергии, испускаемой вынужденным образом
электронами со скоростями г/. Эта величина эквивалентна
второму слагаемому в (1.32). Сопоставляя (1.35) и (1.32), получим связь
двух радиационных коэффициентов из трех (аю, Ьш, do^/dco):
М*') = -Т5Г---35Г-- (I-36)
34

По принципу детального равновесия при полном
термодинамическом равновесии величины полного испускания (1.32) и
поглощения (1.34) в точности равны. Подставляя в это равенство
распределение Максвелла
фо (v) dv - AnNe (m]2nkT)*k exp (—mv*/2kT) v4v (1.37)
и формулу Планка для равновесной интенсивности
т __ Йсо3 1 ^я
1<лр ~~ 4я3с2 exp (ha/kT) — 1 \г '6Ь>
и имея в виду соотношения (1.33), найдем еще одну связь
коэффициентов:
Л2С2 v* de^ (vr)
или на основании (1.36)
М«О = £М«0 = (в-^)*«(*). d-4°)
Подставляя в формулу (1.39) найденное приближенно сечение
тормозного излучения (1.30), получим формулу для коэффициента
поглощения
аш ^ - a„fc 3 —- ш ^-j- , (а.41)
где а^ — классический коэффициент поглощения, определяемый
формулой (1.18), но рассчитанный на один электрон и один атом:
ашк = 4лва17(5т (i;)/mc (со2 + vj^) - \b/NaNe. (1.42)
Мы специально так сгруппировали сомножители в формуле
(1.41), чтобы выделить эту величину.
По поводу выражения (1.41) необходимо сделать несколько
замечаний. Конечно, эту формулу следует рассматривать как сугубо
приближенную, по л у качественную. Строго она справедлива
лишь в пределе малых квантов hax^s'. Формально она должна
содержать еще множитель [со2 + v™ (e)]/[co2 + v2n (в')], но, помня
о том, что принятый корреляционный коэффициент, строго говоря,
правилен, только если vm (е) = const, мы положили указанный
множитель равным единице. Вообще на оптических частотах, как
правило, со2 ^> v^ и корреляция сказывается только при очень
высоких давлениях газа (однако эффект корреляции проявился
на опыте, см. гл. 2). Если интересоваться частотами co2^>v2n>
когда корреляции нет, то требование постоянства частоты
столкновений vm (е) = const не обязательно. Поэтому мы сохранили
в формуле фактическую зависимость от (е).
Однако, распространяя классическую формулу (1.28) для
тормозного излучения на случай излучения больших квантов,
следует, по-видимому, учесть неодинаковость энергий электрона до и

30-w33Y
после столкновения и отнести
сечение от, скажем, к средней
энергии (е' + е) /2. Тогда в
формуле (1.41) вместо от (е + Йсо)
появится величина от (е + Йсо/2)
[19]. Численные результаты от
этого зависят мало.
Заметим, что расходимость при
8 -> 0, присутствующая в формуле
(1.41), связана с полной
неприменимостью исходной формулы (1.30)
для сечения тормозного
испускания к случаю предельно больших
квантов Йсо -> е', когда как раз
остаточная энергия электрона
8 -> 0. По полуклассической
формуле (1.30) сечение при Йсо ->- е'
остается конечным, тогда как на
самом деле оно в этом пределе
стремится к нулю. Соответственно
исчезнет расходимость и в (1.41) (ср. с выражениями для
тормозных эффектов при рассеянии электронов ионами [14]).
Для иллюстрации на рис. 1.6 представлены рассчитанные [17]
коэффициенты аш и Ьш для аргона и гелия на частоте рубинового
лазера. В основу расчетов положены экспериментальные кривые
сечений упругих столкновений, изображенные на рис. 1.7 (там же
приведены кривые для молекул воздуха). На этих рисунках
вместо эффективного сечения представлена часто употребляющаяся
величина «вероятности соударений» Рс, по определению равная
Рис
ния
ния
один
1.6. Коэффициенты поглоще-
аш и вынужденного испуска-
6Ш квантов ha = 1,78 эв (на
электрон и один атом) для
аргона и гелия [17]
1Щ
120
100
80
60
40
20
»I
I
W-
л
\
л
Г
'/
/
-——"
1
\
^
Хе
-JfiL
Ne
Рис. 1.7. Вероятности Рс упругих
столкновений электронов в газах [2]
14 5 8 10
^35
36

числу столкновений, которое испытывает электрон, проходя
расстояние в 1 см при давлении газа р0 = 1 мм рт. ст. и Т = 0° С.
Эта величина связана с сечением и частотой столкновений
соотношениями ос = 0,283-Ю-16 Рс см2, vc = Рсг;/?отор сек"1, где р0 —
«приведенное» давление, характеризующее плотность газа, р0 =
= 273 р/Т°, р — фактическое давление.
5.3. Предельный переход к классике. Вернемся к общим
соотношениям между радиационными коэффициентами для
непрерывного спектра, не конкретизируя выражения для них, которые
получаются путем фактического вычисления одного из коэффициентов
для каждого процесса.
Если из опыта находится изменение интенсивности луча света
при прохождении через среду, это в принципе не дает
возможности различить эффекты истинного поглощения и вынужденного
испускания. Изменение интенсивности зависит от
результирующего коэффициента поглощения, который определяется
разностью между поглощением и вынужденным испусканием. Такой
коэффициент поглощения иногда называют эффективным или
исправленным на вынужденное испускание. Как следует из
выражений (1.34) и (1.35), результирующий коэффициент поглощения
света
оо оо
mm
где u'min = (2йо)//п)1/« — наименьшая скорость, обладая которой
электрон еще может испустить квант Йсо.
Подставим в это выражение Ьш (г/) по формуле (1.40) и
воспользуемся третьим соотношением (1.33). Получим
оо
К = Na I v*a<* {v) [ф {v) v-* - ф (i/) г/"2] dv. (1.43)
о
В случае максвелловского распределения электронов
(1.37) с учетом (1.33) найдем
оо
К. = N* \ У» И *» (*>) dv И - ехР {-ЪфТ)Ь (1.44)
о
Роль вынужденного испускания сводится к уменьшению
среднего коэффициента истинного поглощения множителем 1 —
— ехр (—Н(й/кТ). Вклады вынужденного испускания и истинного
поглощения относятся как ехр (— Ню/кТ) и 1. Для больших
квантов, /гсо ^$> кТ, роль вынужденного испускания мала, для
малых, ft со <^ кТ, напротив, результирующий эффект
представляет малую разность порядка Иы/кТ двух больших и почти
одинаковых эффектов поглощения и вынужденного испускания.
37

Результаты квантовой теории должны переходить в
классические в пределе малых квантов, т. е. при Ны -*- 0. Пусть Йсо ->- 0
в общей4 формуле для результирующего коэффициента
поглощения (1.43). Разлагая выражение в квадратных скобках по малой
разности v' — v и имея в виду (1.33), найдем
оо
0
Выражая коэффициент a<» через сечение испускания по
формуле (1.39) и принимая во внимание, что, по определению, Ha)Navdow
представляет собой количество энергии, испускаемой в dco и во все
стороны одним электроном в секунду dQ^, поручим предельный
коэффициент поглощения
lim^ = -Щ d-hvi (О*- d-45)
о
Соотношение (1.45) имеет самый общий характер и справедливо
для любого процесса излучения в непрерывном спектре, если
dQu/dd) —- соответствующая этому процессу лучеиспускательная
способность одного электрона *. Оно было выведено Б. А.
Трубниковым [20] в 1958 г. в связи с исследованием циклотронного
излучения быстрых электронов в термоядерных установках.
Применим общую формулу (1.45) к нашему процессу
столкновений электронов с нейтральными атомами. Подставив в качестве
dQa точное выражение (1.28), найдем точный классический
коэффициент поглощения
оо
V* = - »SV--^T7- y3i(<F~a)^- С1-46)
о т
Эта формула справедлива при любой зависимости vm (v) и при
произвольном спектре электронов. В частном случае vm (г;) =
= const, интегрируя (1.46) по частям, получим в точности
классическую формулу (1.18) независимо от характера электронного
спектра.
Показательно, что, если исходить не из рассмотрения
движения отдельного электрона, как это было сделано при выводе
(1.18), а из кинетического уравнения Больцмана для функции
распределения электронов ср (г;), получается в точности та же
формула (1.46) (см. гл. 3). Характерным для нее является способ
усреднения величины, зависящей от скорости электрона, в котором
фигурирует не сама функция распределения электронов, а ее
производная.
1 В самом деле, в выражении (1.31) для испускания с самого начала можно
было оперировать величиной t/Qw, не прибегая к понятию сечения о?<зад.
38

Интересно, что соотношение (1.46) в принципе допускает
возможность существования отрицательного поглощения
электромагнитной волны, т. е. усиления. Для этого в спектре электронов
должны существовать участки с нарастающей функцией
распределения д (сргГ2)/дг; ^> 0 (нечто вроде инверсной заселенности) и,
конечно, частота столкновений должна соответствующим
образом зависеть от энергии электрона [16].
При исследовании вопросов пробоя нас не столько интересует,
как поглощается электромагнитная волна, сколько, как нарастает
при этом энергия электрона. Как отмечалось в самом начале
раздела, процесс этот в квантовом случае имеет четко выраженный
стохастический характер (впрочем, в свете сказанного в
подразделе 4.2 это относится и к классическому случаю; к этому мы еще
вернемся чуть ниже). Поскольку акты поглощения и
вынужденного испускания происходят случайно и независимо, всегда есть
вероятность того, что электрон поглотит подряд несколько
квантов, не испустив ни одного. Рассмотрение такой возможности
неизбежно требует применения методов исследования
стохастических процессов (по существу применение квантового
кинетического уравнения, см. гл. 3). Однако некоторую среднюю скорость
нарастания энергии электрона можно оценить и более простым путем,
в особенности в предельном случае, когда электрон совершает
«блуждания по оси энергии» малыми скачками, т. е. в пределе
малых квантов. В этом пределе среднюю скорость нарастания
энергии электрона можно представить в виде разности скоростей
приобретения и отдачи энергии (по существу так же, как и в чисто
классическом случае; см. подраздел 4.2).
Если электрон находится в поле излучения /w и его энергия
превышает величину кванта е ]> Йсо, то, очевидно, средняя
скорость нарастания энергии есть
dsjdt = $ dQ \ daluNa [a„ (и) — ba (v)].
В случае достаточной монохроматичности излучения можно
пренебречь зависимостью коэффициентов аш и Ьш от частоты в
пределах линии излучения и положить просто
de/dt = cUNa [аа {v) — &<* {v)], (1.47)
где
U = l^J„da>dQ,
по определению,— плотность энергии излучения.
Перейдем к классическому пределу hco ->- 0. С помощью
формулы (1.40) для связи коэффициентов аш и b<* получим
lim [аш (и) — Ьсо (v)] = lim [аа (г) — [(s — Н(о)/г]1/2аш (г —- йсэ)1 ж
ж Йсо [аш (e)/2s + daw (e)/de].
39

Подставляя сюда аш (е) по формуле (1.41), получаем, что при
условии независимости частоты столкновений от энергии
электрона это выражение превращается в классический коэффициент
ашк (формула (1.42)). Если учесть еще, что плотность излучения
U = Е2/Ак (Е — среднеквадратичное поле), мы приходим к
классической формуле (1.7) для скорости нарастания энергии
электрона.
Наиболее существенным результатом этого довольно
очевидного вывода является заключение об условиях применимости
классической формулы (1.7) [17]. Как следует из самого вывода,
условием приближенной справедливости формулы (1.7) является
малость величины кванта по сравнению не с энергией колебаний
электрона в поле, как казалось сначала, а по сравнению с
энергией самого электрона е. Это условие Йсо <^ е неизмеримо мягче, чем
условие Нсо <^ ек0л, поскольку, как правило, ек0Л <^ £.
Если на оптических частотах Йсо не меньше, а, напротив,
гораздо больше, чем ек0Л, то условие /ко <^ е с какой-то степенью
приближенности еще можно принять. Действительно, основную
роль в спектре электронов в условиях пробоя играют энергии
порядка нескольких и даже десяти электрон-вольт, тогда как для
рубинового лазера Йсо = 1,78 эв, для неодимового (к = 1,06 мк)
Йсо — 1,17 эв, а для инфракрасного лазера на углекислом газе
(А, = 10,6 мк) энергия кванта (Йсо = 0,124 эв) совсем мала, и здесь
сомневаться в применимости классики и вовсе не приходится.
Стоит, однако, еще раз подчеркнуть, что возможность
классического описания процесса нарастания энергии электрона в поле
при условии, что среднее приобретение энергии в одном
столкновении Де<^Йсо, но 8^>Йсо, аргументируется доводами только
математического характера. Физическая сущность процесса
остается квантовой. Так, в примере, приведенном в начале
подраздела 5.1. при интенсивности излучения рубинового лазера S = 2,8х
XlO11 вт/см2, и поле Е — 107 в/см получалось Де = 2,3-10~2з#,
что примерно в 80 раз меньше Йсо = 1,78 эв. Это означает, грубо
говоря, что электрон испытывает семьдесят девять столкновений,
не приобретая от поля никакой энергии Де, а на восьмидесятый раз
сразу получит полную порцию Йоз = 80 Де.
5.4. Параллель между квантовой и классической теориями и
многоквантовые тормозные процессы. Итак, мы убедились в том,
что в квантовом случае среднюю скорость нарастания энергии
электрона в поле излучения можно в каком-то смысле
рассматривать как разность между скоростью истинного поглощения и
вынужденного испускания квантов, как результат одновременного
влияния этих противоположных воздействий. Но в сущности с
таким же положением мы имеем дело и в чисто классическом случае,
когда в каждом отдельном столкновении электрон может как
приобретать энергию от поля, так и отдавать ее, и средний прирост
энергии на столкновение Де также определяется результирующим
эффектом этих противоположных влияний. То же относится и к
40

вопросу о поглощении электромагнитной волны: классическая
теория оперирует только результирующим коэффициентом
поглощения, который в сущности представляет собой разность между
истинным поглощением и вынужденным испусканием.
Мы видели, что в пределе малых квантов результаты квантовой
теории как в отношении фактического поглощения излучения, так
и в отношении скорости нарастания энергии электрона сводятся
к результатам, которые дает классическая теория. Но, имея такую
глубокую параллель квантовых и классических представлений в
качественном отношении и точный предельный переход для
результирующих эффектов, естественно задаться вопросом: а не
существует ли количественного соответствия между эффектами
квантового истинного поглощения и классического истинного
приобретения энергии от электромагнитной волны при столкновении, а
также — вынужденного испускания и классической истинной
отдачи энергии? Если обратиться к формулам, с которыми мы имели
дело выше, мы сразу же убедимся в том, что никакого
количественного соответствия нет. Действительно, средняя энергия, которую
электрон в квантовом случае приобретает в одном столкновении
в результате актов истинного поглощения, Де+ = с11аш (е) Na/vc.
Эта величина пропорциональна Е2/Ны (напоминаем, что аш ~
~ 1/Йсо; vc — частота столкновений), т. е. в пределе Йсо -> 0
стремится к бесконечности.
В то же время истинная энергия, которую электрон может
получить при столкновении, согласно классической теории (см.
подраздел 4.2), порядка mvu, т. е. пропорциональна первой
степени поля и имеет вполне конечную величину.
Однако это расхождение еще ни о чем не говорит, ибо такое
сопоставление неправомочно. В самом деле, изложенная выше
квантовая теория не в состоянии описать всех эффектов,
соответствующих пределу Йсо —>-0, ибо она оперирует только однокван-
товыми процессами. Обычно этого бывает достаточно, так как
вероятности многоквантовых процессов резко зависят от величины
поля и проявляются только в очень интенсивных полях (см.
пример многофотонной ионизации, раздел 3). Но даже из формулы
для многоквантового фотоэффекта (1.3) видно, что большие поля
требуются только при большой величине кванта. Если же На) -> 0,
то вероятности многоквантовых процессов становятся
значительными и в слабых полях. Ясно, что при Йсо—>0 однокванто-
вые процессы становятся менее вероятными, чем
многоквантовые. Следовательно, без анализа квантовомеханической теории,
учитывающей возможность и многоквантовых процессов, нечего
и ожидать буквального перехода к классике во всех отношениях.
Имеется и другой вопрос, на который трудно ответить без
такого анализа. Использованный выше критерий квантовости
Де <^f Йсо (или классичности Де^> /ко) процесса нарастания
энергии электрона в поле хотя и кажется естественным, все же
является умозрительным. Переход от одного предельного случая к дру-
41

гому осуществляется путем включения многокваптовых процессов.
Хотелось бы получить теоретически обоснованный критерий и
выяснить, каково соотношенпе между вероятностями поглощения
различного количества квантов.
Многоквантовые процессы тормозного поглощения и
вынужденного испускания излучения при рассеянии электронов
силовым центром рассматривали Ф. В. Бункин и М. В. Федоров [21]
с целью оценки роли этих эффектов при оптическом пробое.
Вероятность перехода электрона, находящегося в электрическом поле
световой волны Е = E0siii(f)t, из состояния с импульсом р в
состояние ср'в результате действия рассеивающего поля по теории
возмущений в борновском приближении представляется в виде г
оо
го = 2 w(n)- Слагаемые суммы иА1) пропорциональны б (р'2/2т —
■—оо
— р2/2т — тгйсо), и их можно трактовать как вероятности
одновременного поглощения (если п ^> 0) или вынужденного
испускания (п <0) п фотонов. Соответствующие сечения поглощения и
вынужденного испускания определяются как о^ = w^ /F, где
F = S/h(d — плотность потока фотонов.
В работе [21] сечения вычисляются применительно к случаю
рассеяния электрона на кулоновском потенциале, т. е. ионами.
Последнее не влияет, однако, на выводы о соотношении сечений
для процессов с участием различного числа квантов. Сечения
тормозных процессов всегда пропорциональны сечению рассеяния,
независимо от того, происходит ли рассеяние на кулоновском
потенциале или на резко спадающем с расстоянием потенциале
нейтрального атома. Просто в первом случае появляется «кулонов-
ское» сечение рассеяния порядка (Ze2/mv2)2, где v — скорость
налетающего электрона, Z — заряд иона, а во втором — сечение
рассеяния атомов от.
В качестве основного параметра, которым характеризуется
действие электромагнитного поля, в выражениях для сечений
выступает безразмерное отношение у = evE0/ha)2. Но это есть не что
иное, как отношение классического масштаба истинных изменений
энергии электрона при рассеянии в присутствии электромагнитного
поля к величине кванта: у = mvu/liw, где и = еЕ0/т(о (см.
подраздел 4.2). При у <^1, когда процесс имеет существенно
квантовый характер, w^ ~Fn—Eln, что как раз и соответствует обычным
представлениям о многоквантовом переходе. Сечения a(n) ~ F7^1
~ 2?о(п_1); сечения одноквантовых процессов а*1) от потока
фотонов и поля, естественно, не зависят.
Параметр разложения в сумме по п для вероятностей
многоквантовых переходов зависит от соотношения энергий электрона и
фотона. Для быстрых электронов при 8 = mv2/2^>h(x) возможны
Действие светового поля учтено в волновых функциях электрона;
возмущением же является рассеивающий потенциал.
42

как поглощение, так и испускание многих квантов и параметром
разложения служит величина у2<^1: w^ ~ у2п; а(п) ^о^у2^1*1).
Вероятности быстро убывают с ростом числа фотонов, что и
обосновывает обычную практику рассмотрения только однокванто-
вых процессов в относительно слабых полях, когда у2<^1. В
случае медленных электронов, е<^;Йсо, параметром разложения
служит большая величина у2, (Нсо/е), которая представляет собой не
что иное, как отношение классического среднего прироста энергии
Де = е2Е1/2та>2 при столкновении к величине кванта y2(ha)/e) ж
ж Де//ко. Формулы справедливы только, если параметр
разложения меньше 1.
При у ^> 1 выражение для w^ не представляется в виде п-й
степени El, оно зависит от поля сложным образом, причем при
п ^> 1 гораздо слабее, чем Е*а. В этом случае понятия
^-квантового поглощения или испускания имеют гораздо более формальный
смысл, чем в предыдущем, когда вероятность одновременного
поглощения п фотонов была пропорциональной п-й степени их
потока в полном соответствии с «корпускулярной» интерпретацией
процесса. Случай у^>1 и должен соответствовать переходу к
классике.
Надо полагать, что рубежом, разграничивающим однокван-
товый и классический пределы, является условие у2 ~ 1,
(mvu/hco)2 ~ (Ае/Йо)) (е/Йсо) ~ 1, а не (Ае/Йсо) ~ 1. Чтобы
сделать выбор между тем и другим приближением, надо сравнивать
с величиной кванта масштаб истинных изменений энергии при
столкновениях mvu, а не результирующее приращение энергии
Де, которое имеет скорее формальный, чем буквальный
физический смысл.
Что же касается вопроса о количественном соответствии
между квантовыми понятиями истинного поглощения фотонов и
классическими истинными изменениями энергии электрона при
столкновении, то он пока остается без ответа. Теория [21] не позволяет
разумным образом осуществить предельный переход к классике.
Среднее приобретение энергии электроном в столкновении за счет
оо оо
истинного поглощения равно Д&+ = 2 rafoo^(n7vc = $ 2 n°(nVvc
71=1 П=0
и аналогично средняя потеря за счет вынужденного испускания
—оо
As" = S 2 \n\rtn)/Vc- Если подставить сюда сечения, вычислен-
п=—1
ные [21] в случае у ^> 1, и перейти к пределу Йсо -»- 0 (у ->■ оо),
никакого разумного результата не получается (хотелось бы
получить величину порядка mvu). Быть может, дело в том, что
исходные предпосылки теории [21] не позволяют перейти к
классическому пределу (например, все вычисления сделаны в борновском
приближении, которое, как известно, противоположно
квазиклассическому). Вопрос остается открытым и требует специального
43

исследования, которое представляется нам заслуживающим
внимания.
В заключение отметим, что и в случае оптических частот
возможны условия, когда поведение электрона в поле является и по
существу не «квантовым», а «классическим». Просто для этого
требуются очень высокие интенсивности излучения. Например,
для рубинового лазера при S = 1014 вт/см2, (Е = 2-Ю8 в/см)
Де = 8,6 эв и Де/Йоо £^ 5, а величина у2 ж (Де/Йсо) (е/Йсо) еще
больше, так как характерные энергии электронов в спектре заметно
превышают Йоо и здесь, безусловно, применима классика.
В настоящее время столь высокие световые интенсивности уже
достигнуты, они фигурируют в опытах по пробою газов
сверхкороткими, сверхмощными пикосекундными импульсами (см.
раздел 9 и подраздел 16.6).
6. Лавинная ионизация и пробой
6.1. Потери энергии электронов и самих электронов. Процесс
лавинообразной ионизации газа в быстропеременных полях в самой
основе своей не отличается от того, который происходит в
постоянном электрическом поле и который ответствен за обычный
пробой разрядного промежутка (последний описан в большинстве
книг по газовому разряду). Отличаются детали механизма
нарастания энергии электрона в поле. Но пробой на СВЧ и тем более
на оптических частотах имеет много своих специфических
особенностей. В этом параграфе мы дадим лишь беглый обзор явлений
СВЧ и оптического пробоя, а более подробно теория пробоя будет
рассматриваться в главах 3, 4. Однако предварительно
познакомиться с основными теоретическими представлениями необходимо
сейчас, ибо без этого трудно . обсуждать результаты опытов
в гл. 2.
Скорость размножения электронов зависит не только от того,
как быстро нарастает их энергия в поле. Она существенным
образом зависит и от потерь, которые тормозят развитие лавины,
а в случае недостаточно сильных полей и вовсе делают
размножение невозможным. Существуют два рода потерь: это потери
энергии электронов и потери самих электронов. Первые связаны с
упругими и неупругими столкновениями. В каждом акте упругого
соударения с атомом электрон в среднем отдает атому малую долю
своей энергии порядка отношения масс электрона и атома (см.
формулу (1.9)). Эти потери сопровождают процесс нарастания
энергии электрона в поле все время, начиная от самых малых
энергий и до конца. Роль их тем больше, чем легче газ. Неупругие
потери появляются только по достижении электроном достаточно
большой энергии, приближающейся к потенциалу ионизации,
и связаны с возбуждением атомов. В инертных газах, например,
потенциалы возбуждения первых уровней составляют примерно
две трети—три четверти от потенциала ионизации.
44

Pi Pi
t,o\
o,e\
o,?\
0,8 <
7
/
Av
/
/
Lzkr
"7Y"\ "'"
J , ■
1
'
...__
Ne
--
—
,~-
-"
.—■»■
^
—-"
•-""
i ^
i
_.
_H.2
—
_ 1.....
/
/
X
/
/
/
•
/ 1
—
—
He
.-■
---
/2
16
20
24 28
е,эд
Рис. 1.8. Вероятности
возбуждения Р* (—) и ионизации Р{
( ) электронами в Не, Ne,
Аг и Н2 [2]
Рис. 1.9. Сечения возбуждения
и ионизации ксенона [22]
б?смг
Ч-1016
г
п
6*+6t/
I /
/
/ /б
/ /
/'' У
У /
6У\
I
10
№
18 е,эб
В молекулярных газах электронные уровни часто лежат ниже,
кроме того, обычно бывают значительными неупругие потери,
связанные с возбуждением колебательных состояний в молекулах.
Совершив акт возбуждения, электрон сбрасывает накопленную
в поле энергию, и ему приходится начинать все заново. При не
слишком большой скорости нарастания энергии в поле
относительная вероятность возбуждения весьма значительна, и электрон
может много раз набирать энергию и терять ее на возбуждение,
прежде чем ему удастся «прорваться» через «опасный»
энергетический промежуток между потенциалами возбуждения и
ионизации и получить возможность ионизовать атом. Даже при
энергиях, превышающих потенциал ионизации, все равно имеется
значительная вероятность того, что электрон не ионизует, а
только возбудит атом и, следовательно, снова потеряет свою энергию.
Типичные зависимости сечений ионизации ot и возбуждения
атомов о * от энергии вблизи от порогов этих процессов показаны на
рис. 1.8, 1.9.
45

Обычно, когда дело касается пробоя в постоянном
электрическом поле или в СВЧ-диапазоне, возбуждение атомов играет
вредную роль, тормозя развитие лавины. Можно, конечно, допустить
возможность ступенчатого процесса ионизации, когда электрон
возбуждает атом, а затем возбужденный атом ионизуется другим
электроном, даже не очень энергичным, ибо энергия связи
электрона в возбужденном атоме значительно меньше, чем в
невозбужденном. Однако при полях, близких к пороговым, такие
цепочки играют очень малую роль, и на самой величине порогового
для пробоя поля сказываются мало.
Действительно, произойдет ли пробой в данном поле или нет —
это решается на самых ранних стадиях лавины, когда начинают
размножаться первые затравочные электроны. Это вопрос о том,
сумеют ли они начать лавину или погибнут. При малой
концентрации электронов очень мала вероятность встречи возбужденного
атома с электроном, слишком долго пришлось бы ждать акта
ионизации возбужденного атома. Таким образом, на ранней стадии
лавины возбужденные атомы в игре не принимают участия, они
частично высвечиваются, частично накапливаются (в метастабиль-
ных состояниях).
Другое дело — пробой на оптических частотах. В этом случае
иногда возможны условия, когда возбужденные атомы активно
участвуют в процессе размножения, а именно: электрон
вырывается из такого атома излучением. Действительно, в отличие от
ионизации невозбужденных атомов, чтобы оторвать электрон от
возбужденного атома, достаточно небольшого числа квантов. Так,
например, потенциал ионизации аргона / = 15,8 эв, а потенциал
возбуждения нижних уровней / = 11,5 $в; энергия связи
электрона в возбужденном атоме Д/ = 4,3 эв, т. е. для отрыва электрона
достаточно трех квантов рубинового лазера, Йю = 1,78 эв, и
четырех — неодимового, Йсо = 1,17 эв г.
Вероятности многоквантового фотоэффекта с таким небольшим
числом квантов, вообще говоря, могут оказаться и не столь
малыми. В отношении роли ионизации возбужденных атомов
световым излучением в процессе оптического пробоя до сих пор нет
полной ясности. Подробнее этот вопрос будет обсуждаться ниже.
Для определенности сейчас укажем лишь, что на частоте
рубинового лазера, скорее всего, такой процесс играет существенную
роль, а что касается частоты неодимового, оценки и опыт
свидетельствуют об обратном.
Существует еще одна ситуация, когда эффект возбуждения
атомов обращается «на пользу». Она связана с так называемым
эффектом Пеннинга — резонансной передачей возбуждения одного
атома на ионизацию другого. Если в газе, состоящем из атомов типа
А, присутствуют атомы типа В, такие, что потенциал ионизации
Возможно, число необходимых квантов снижается на единицу из-за сни
жения границы непрерывного спектра в поле световой волны (см. гл. 5)
46

/в меньше потенциала возбуждения /а, то при столкновении
возбужденного атома А с невозбужденными атомами В последние
ионизуются. Обычно сечения таких процессов довольно велики, они
иногда приближаются к газокинетическим. Примерами подобного
рода могут служить смеси гелия (/не = 19,8 эв) и паров ртути
(^Hg = Ю,4 эв), неона (1^е = 16,6 эв) и аргона (/Аг = 15,8 эв).
Но, конечно, это случаи не типичны.
Потери самих электронов связаны в первую очередь с
диффузионным уходом их из области, где развивается лавина: в случае
СВЧ-пробоя — диффузия на стенки волновода или сосуда х, при
оптическом пробое — из области фокусного пятна. В
электроотрицательных газах, таких, как кислород (и воздух, поскольку
он содержит кислород), электроны исчезают и вследствие
прилипания к молекулам или атомам.
Хотя воздействие потерь и того и другого рода в конечном
счете одинаково в том смысле, что именно потери определяют
порог пробоя, т. е. минимальную величину приложенного поля, при
которой еще происходит видимая ионизация газа, качественный
характер влияния потерь энергии и потерь электронов
существенно различен. Размножение электронов в лавине представляет
собой процесс типа цепной реакции.
Потери электронов приводят к обрыву цепей. Потери энергии
к обрыву цепей не приводят и лишь в той или иной степени
затормаживают процесс достижения энергии, необходимой для
размножения (скажем, энергии, превышающей потенциал ионизации
атомов). Конечно, достаточно большие потери энергии пресекают
видимое развитие лавины. Но если отвлечься от того
обстоятельства, что пробой только тогда и можно назвать «пробоем», если
ионизация нарастает бурно, одни лишь потери энергии без потерь
самих электронов не могли бы воспрепятствовать пусть очень
медленному, но все же накоплению числа электронов в газе.
Действительно, в силу статистического характера потерь энергии при
столкновениях электрон всегда имеет шанс «прорваться» сквозь заслон
потерь и все же приобрести энергию, достаточую для ионизации,—
это лишь вопрос времени. В особенности это касается пробоя на
оптических частотах, когда энергия электрона в поле меняется
значительными скачками и для достижения потенциала ионизации
достаточно сравнительно небольшого числа таких скачков.
Статистическая вероятность «прорыва» здесь становится вполне
ощутимой. Проскочить область неупругих потерь легче, чем преодолеть
упругие, так как сечения возбуждения (порядка 10~17 см2)
обычно гораздо меньше, чем сечения упругих столкновений (o»m ~
~ 10~~15сж2). Строгое рассмотрение таких эффектов возможно
лишь на основе кинетического уравнения для электронов, почему
1 Если в СВЧ-резонаторе пробой развивается в области пучности поля -^
диффузия из этой области.
47

детальные теории пробоя и базируются на этом уравнении (см.
гл. 3, 4).
6.2. Критерии пробоя. Введем понятие частоты ионизации,
производимых электронами vt. Так называют обратную величину
среднего времени т^, необходимого для того, чтобы в результате
всех воздействий, которые претерпевает электрон на пути
достижения значительной энергии, действительно произошел акт
размножения. Не будем пока принимать во внимание те
исключительные условия, когда возбужденные атомы способствуют
размножению, и рассмотрим типичный случай, когда размножение
происходит только в результате ионизации невозбужденных атомов
электронным ударом. Наиболее строго частоту ионизации можно
определить, зная функцию распределения электронов по энергиям
(по скоростям).
Пусть п (г) de — функция распределения электронов по
энергиям, нормированная так, что интеграл от нее по всему спектру
энергии дает плотность электронов Ne. Тогда частота ионизации
v4 == )у<^ п (s) va{ (в) de, 8 = mv*/2. (1.48)
Частота ионизации существенно зависит от величины поля
(поле влияет на функцию распределения электронов). В простейшем
случае, когда потери на возбуждение не играют роли и процесс
нарастания энергии можно описать просто путем задания
скорости нарастания энергии электрона de/dt (например, формулой
(1.9)), частота ионизации приближенно определяется временем,
которое необходимо электрону для того, чтобы приобрести энергию
от «нуля» до потенциала ионизации
*« = *?= far (1-49)
(это предполагает, конечно, что электрон, обладающий энергией,
чуть большей /, мгновенно ионизует атом).
Положим, что единственным процессом потерь электронов
является их диффузия (этот случай типичный), и обозначим среднее
время, необходимое для исчезновения электрона xd. Величина
xd (или вероятность ухода vd = т^1) определяется
коэффициентом диффузии D и характеристической диффузионной длиной Л
по формуле
vd = t;i = D]h\ (1.50)
типичной для диффузионного процесса. Длина Л всегда имеет
порядок характерных пространственных размеров системы.
Например, для области между двумя плоскими пластинами,
расположенными на расстоянии L, А = L/к; для цилиндра радиуса г
и высоты L 1/Л2 = (2,405/г)2 + (я/L)2; для сферы радиуса г
Л = г/л [1,2].

Коэффициент диффузии D зависит от характера диффузии.. При
малых плотностях электронов, т. е. в самом начале развития
лавины, электроны диффундируют самостоятельно; в условиях более
развитой лавины, когда плотности заряженных частиц велики и
между ними действуют кулоновские силы,— вместе с ионами.
Диффузия при этом является амбиполярной. Однако пробой
обычно определяется свободной диффузией электронов, так как
главную роль играет самая ранняя стадия лавины, когда
электронов еще очень мало и «решается вопрос»: разовьется лавина или
затухнет.
Величина коэффициента свободной диффузии зависит от
энергии электрона
D = lmv/3 = i>2/3vm, (1.51)
где lm — v/vm — длина пробега электронов. Приведем полезные
для оценок численные формулы, выражающие vm и D через
вероятность столкновений Рс, которая обычно приводится на
графиках, и давленир р (1 тор = 1 мм рт. ст.):
vm = 5,93-107 ]/s96 РсРтор (1 — cos9)сек"1; (1.52)
D = l№A07V&7e/Pcpmop (1 - gosQ)см*/сек. (1.53)
Величина 1 — cos9) обычно близка к 1. Для оценок приходится
выбирать некоторые средние по спектру электронов значения D.
Например, в условиях лазерного пробоя в аргоне при
атмосферном давлении D ~ 104 см2/сек (е ~5 эв), г ~ 10"2 см и %d ~
~ 10~8 сек. Таковы же примерно времена диффузии и в условиях
СВЧ-пробоя. Например, при р ~ 1 тор в гелии D да 2-Ю6 см1/сек,
А да 0,3 еж, xd да 5-КГ8 сек [1].
Изменение числа электронов Ne во время лавинообразной
ионизации определяется феноменологическим уравнением кинетики
dNJdt = vfle — vdNe. (1.54)
Если N0 — плотность начальных, затравочных, электронов, то
Ne = No exp [(v, - vd) t] = N0 exp (t/Q) (1.55)
и при условии vt ^> vd плотность растет по экспоненциальному
закону. Величину 9 = (v* — vd)_1 можно назвать постоянной
времени лавины. Ясно, что лавина может развиваться только при
условии, что частота ионизации vt превышает вероятность
диффузионного ухода vd. В противном случае, даже если в начальный
момент по какой-либо причине в газе возникла ионизация, плазма
р аспадается.
Обычно в опытах -с СВЧ-диапазоном условие vt (Е) = vd и
является критерием пробоя, который определяет пороговое поле Et.
Равенство это, строго говоря, свидетельствует о стационарности
процесса: сколько электронов рождается, столько и исчезает.
Конечно, для того чтобы на самом деле произошел пробой, необхо-
49

димо, чтобы частота ионизации хотя бы немного превышала
частоту уходов, т. е. поле было чуть выше Еи но обычно даже при
небольшом превышении v^ над v^ постоянная времени лавины 0
оказывается столь малой, что пробой вспыхивает моментально
(отсюда и резкость порога для пробоя). Это видно, из примера,
который был приведен выше. Если время диффузии электронов
тй=5-10~8геи, vd = 2« 107сек'1, то даже при vt — vd = 0,lvd 0 = 2 х
X10"6 сек, и лавина развивается за каких-нибудь несколько
десятков микросекунд. Для опытов с неимпульсными СВЧ-источника-
ми это мгновение.
Итак, в условиях «стационарного» пробоя, когда время
действия поля достаточно велико, пороговое поле вычисляется из
уравнения
Vi(tf) = vd, (1.56)
где сама частота ионизации v^ зависит от скоростей нарастания
энергии электронов в поле и потерь энергии за счет упругих и
неупругих столкновений.
Совершенно иная ситуация возникает, когда действие поля
чрезвычайно кратковременно, как это обычно имеет место для
гигантских лазерных импульсов. Здесь необходимо большое
превышение частоты ионизации над частотой уходов электронов, и
потому потери электронов вообще не кардинальным образом
сказываются на величине порога (хотя и влияют на нее, см. гл. 4). Здесь
вопрос о том, произойдет пробой или нет, определяется тем, успеет
ли за короткое время гигантского импульса (« 3-1СГ8 сек)
народиться достаточное для заметного эффекта число электронов.
Именно таков «нестационарный» критерий пробоя гигантским
лазерным импульсом [17]. Например, опыты [6] показали, что
видимая вспышка возникает, если полное число электронов в области
пробоя достигает примерно JTX = 1013. Если лавина начинается,
скажем, с одного электрона, это означает, что за время t --
= 30 нсек должно народиться k = lg2 1013 = 43 поколения
электронов (Жх = Ж0-27с, «#*о = 1) и постоянная времени лавины
должна быть 0 ж 1 нсек. Это время заметно меньше, чем время
диффузии из области фокуса, следовательно, дело не в потерях
электронов. Просто, если поле будет несколько ниже порогового и
постоянная времени станет, например, вдвое меньше, чем при
пороговом поле, то, скажем, вместо 1013 появится только 1013/2 ж
ж 3-Ю6 электронов, а этого будет явно недостаточно для
регистрации факта пробоя. Итак, в условиях «нестационарного» пробоя
пороговое поле должно вычисляться из приближенного
равенства
0-1 = Vi (Е) - vd « Л1 In Л^/Жо, (1.57)
где t± — длительность импульса, a/j и Ж*0— конечное и
начальное числа электронов.
50

Задание этих чисел достаточно произвольно, но слабая,
логарифмическая, зависимость от них критерия пробоя (1.57)
скрадывает эту неопределенность, ибо частота ионизации зависит от
поля сильно. В пределе tx ->- оо «нестационарный» критерий
пробоя (1.57) автоматически переходит в «стационарный» — (1.56).
Несколько особняком стоит вопрос о происхождении первых,
«затравочных», электронов, с которых начинается лавина. Если в
случае пробоя световым излучением первые электроны появляются
в результате многоквантового фотоэффекта, вызываемого самим
излучением, то при пробое в СВЧ-полях или излучением далекого
инфракрасного диапазона (лазера на углекислом газе X = 10,6 мк)
многоквантовый фотоэффект заведомо невозможен. Здесь первые
электроны появляются от случайных причин, скажем, от
действия космических лучей. В атмосфере, на уровне моря по
естественным причинам образуется примерно 10 электронов в 1 см3
в 1 сек х. В случае кратковременных импульсов, когда вероятность
попадания случайного электрона в область действия поля мала,
пробой затрудняется, и часто для его наблюдения приходится
искусственным образом впрыскивать некоторое количество
электронов (например, создавая ионизацию гамма-лучами).
6.3. Пороговые поля. Уже элементарной формулы типа (1.9)
для скорости нарастания энергии электронов в поле достаточно
для того, чтобы получить общее представление о зависимости
пробивающего поля от давления газа и сделать оценки порогов [2].
Особенной простотой обладает случай, когда не нужно учитывать
роль неупругих потерь. Так, например, обстоит дело при СВЧ-
пробое гелия с примесью паров ртути (Heg-газ). Столкновения
возбужденных метастабильных атомов гелия с атомами ртути
приводят к быстрой ионизации последних (об этом механизме
говорилось выше), и в сущности стоит лишь энергии электрона достичь
потенциала возбуждения гелия 1не — 19,8 эв, как немедленно
происходит акт размножения. На рис. 1.10 показаны пороговые
напряженности поля для СВЧ-пробоя Heg-газа в плоском
резонаторе на частоте 2,8 Ггц для различных расстояний L между
пластинами (Л = L/я). Кривые эти типичны для СВЧ-пробоя любых
газов.
Рассмотрим сначала предельный случай высоких давлений. Из
рисунка видно, что пороговое поле не зависит от размеров
системы, все кривые для разных L асимптотически приближаются к
одной. Это и понятно, при высоких давлениях диффузионные
потери электронов становятся незначительными и пороги
определяются упругими потерями энергии электронов. Из формулы (1.9)
следует, что при данном поле энергия электрона вследствие
упругих потерь не может вырасти выше максимальной величины
8тах = Ме*Еу2т* (о>2 + v2m). (1.58)
1 В воздухе они быстро прилипают к молекулам кислорода, и равновесные
плотности положительных и отрицательных ионов порядка 103 1/см3.
51

Численно:
W эе = 1,6 • 10» AEe%M/(tf + vl) = 5,8 • 10™ASem/cM>/(<»2 + V2m),
(1.59)
где A — атомный вес.
Если emax меньше, чем /Не, ни один электрон не достигнет
необходимой энергии, и ионизации не будет. Условие етах > /не
и определяет порог пробоя. Формально в критерии (1.56) vd ж 0
и условие пробоя есть vt (Е) > 0, что фактически и сводится к
условию етах > /Не. В предельном случае больших давлений со2-^
£, в [см
J i i i i i i it I I L_J Mill L__J I ' i i i I i i il
0,1 1 10 100 woo
p, mop
Рис. 1.10. Пороги СВЧ-пробоя в Heg-газе [2]
<^vm2n пороговая напряженность не зависит от частоты поля, она
такая же, как и при пробое в постоянном поле. Из формулы (1.58)
видно, что при этом£2 ^v2m, т. е. Е ~ р: пороговое поле
пропорционально давлению, как и при пробое плотного газа в разрядном
промежутке постоянным напряжением. Вообще говоря, в
стационарных условиях электроны в поле имеют некоторый энергетический
спектр (см. гл. 4), спадающий в сторону больших энергий, и
правильнее исходить не из максимальной, а из некоторой средней
энергии электронов "s, которая раза в 3 меньше потенциала
ионизации (в данном случае — возбуждения), так что будет точнее
определить порог из условия, при котором средние упругие потери
компенсируют приобретение энергии от поля: ё ж етаХ/3 =
= /не [2].
При небольших давлениях электроны диффундируют на стенки
быстро, для компенсации этих потерь требуются высокие поля,
етах гораздо больше, чем /Не, упругие потери незначительны,
второй член в правой части формулы (1.9) гораздо меньше, чем
первый. В этом случае частота ионизации приблизительно равна
величине, обратной времени, которое требуется, чтобы энергия электро-
52

на выросла от нуля до /не, т. е.
v. = J-(^ = **Vm ±- (160)
В предельном случае низких давлений со2 ^> \т, и критерий
(1.56) вместе с формулами (1.50), (1.51) дает для пороговой
напряженности величину
Е = (Dm(d4*/A2e2vmf2= (m/*/3)1/2 (o/ecmNaA ~ со/рА, (1.61)
где под скоростью электрона подразумевается какое-то среднее
значение, соответствующее характерной для спектра энергии в
несколько электрон-вольт. Таким образом, в пределе низких
давлений пороговое поле обратно пропорционально давлению,
размерам и пропорционально частоте. Численные расчеты по этим
формулам неплохо описывают асимптотические прямые (в двойном
логарифмическом масштабе, рис. 1.10), соответствующие большим
и малым давлениям * [2].
Минимум порога лежит примерно на пересечении
асимптотических прямых приблизительно при давлении, соответствующем
равенству со = vm, которое разграничивает случаи высоких и
низких частот. Это равенство соответствует максимальной
скорости нарастания энергии электрона в поле (de/dt)E — ^т(со2 +
+ Vm )~\ если рассматривать ее как функцию от vm, т. е.
давления.
В качественном отношении неупругие потери влияют на
пороговые поля примерно таким же образом, как и упругие. При
низких давлениях пороги СВЧ-пробоя определяются главным образом
диффузией, пороговые поля настолько высоки, что электрон,
приобретая энергию от поля, быстро проскакивает «опасную»
энергетическую зону между потенциалами возбуждения и
ионизации, возбуждая атомы лишь с небольшой вероятностью.
Пороговое поле при этом определяется той же формулой (1.61). При
больших давлениях роль диффузии мала и порог определяется
упругими и неупругими потерями, причем первые, как правило,
менее значительны, чем вторые, а в тяжелых газах упругие
потери и вовсе не существенны.
Расчеты влияния неупругих потерь требуют применения
кинетического уравнения для электронов, и только так и делаются.
Это будет рассматриваться в гл. 4. Здесь же, для того чтобы
выяснить качественную сторону дела, поступим простейшим способом.
Дополним элементарную формулу для скорости изменения
энергии электрона (1.9) слагаемым, учитывающим неупругие потери.
Конечно, это приближение является чрезвычайно грубым. В
отличие от упругих потерь, которые связаны с очень маленькими из-
1 У гелия частота столкновений почти не зависит от энергии электронов и
vm ^ 2,4-109 Ртор- Полезно знать, что у водорода зависимость vm (v) также
слабая и vm ^ 5,9-109 Pmov-
53

менениями энергии, но сопровождающими каждое столкновение,
неупругие столкновения происходят гораздо реже, но потеря при
этом огромна, и в этом случае не оправдано представление о
непрерывном изменении энергии ds/dt. Однако некое качественное
представление о характере действия неупругих потерь такой
способ все же дает.
Итак, запишем обобщенную формулу для de/dt с учетом
неупругих потерь в виде
| = Г е2Е2 t *£ el vw - 6Ч*Г, (1.62)
y== JO При 8</%
ll При 8>Г.
Здесь v* = Nav * a * — частота актов возбуждения
электронами, энергии которых"лежат в диапазоне /*<; е<7; о* и
v * — некоторые средние значения сечения возбуждения атомов
и скорости электронов в этом диапазоне энергий.
Для оценки порогового поля пренебрежем упругими потерями
и положим, что лавина развивается, если приобретение энергии
от поля при-энергиях электрона в указанном диапазоне
компенсирует неупругие потери: (deldt)E > [ (de/dt) * J. Рассматривая
высокие давления, когда со2 <^ v™, получим из этого условия
Е- [т?£с+'оГ*L>4"~>- с-63»
Как и в случае упругих потерь, пороговое поле стремится к
пропорциональности давлению и независимости от частоты, о чем
и свидетельствует опыт (см. рис. 4.9, относящийся к СВЧ-пробою
аргона и ксенона). Формула (1.63) слишком груба, она дает
численную оценку лишь с точностью до порядка. Так, для аргона,
полагая vw = 7-Ю9 ртор 1/сек, v * = 2,6«108 ртор 1/сек, I * =
= 11,5 эв, получим Е ж 110 pmov в/см, тогда как асимптота
рис. 4.9 — это Е ^ 10 Ртор в/см. Расчет по кинетическому
уравнению (подраздел 17.2) приведет к уточнению формулы (1.63).
В ней появится еще множитель, и будет достигнуто гораздо лучшее
согласие с экспериментом.
Элементарные оценки, поясняющие качественный характер
закономерностей и дающие порядки величин, можно сделать и в
случае пробоя газа гигантским лазерным импульсом.
Допустим, что при пробое газа мощным излучением
рубинового лазера возбужденные атомы быстро ионизуются под
действием лазерного света. Тогда частота ионизации vt определяется
просто временем, которое требуется для того, чтобы электрон
достиг энергии /j*, немного (на 1—2 эв) превышающей потенциал
возбуждения / *. В случае оптических частот частота столкновений
vm превышает частоту света лишь при самых высоких (в сотни
атмосфер) давлениях.
54

Рассматривая не чрезмерно большие давления, будем считать
со2 5^> Vm- Кроме того, при не слишком острой фокусировке (см.,
например, [6]) диффузионные потери электронов из области
фокуса не очень велики. Тогда условие пробоя (1.57) вместе с формулой
типа (1.60) для vt дают пороговое поле
Здесь в численной формуле подставлено со = 2,7 «Ю15 рад/сек
и Жг/ЛГ0 = 1013.
Пороговое поле уменьшается при повышении давления (по
формуле — как 1/]/р), что качественно согласуется с опытом
(рис. 1,4.). Для аргона (1г* = 12,5 эв) при р = 1500 тор (vm =
= 1013 1/сек) и tx = 3-10~8 сек, как в опытах [6], получим Е ж
ж 2,3 »106 в!см. Измеренное значение — 6-Ю6 в!см. Как видим,
оценка дает правильную по порядку, хотя и заниженную
величину. Занижение, вероятно, связано с тем, что мы при оценке
совсем не учитываем потери. Более подробно роль потерь при
оптическом пробое будет рассматриваться в гл. 2 и 4.
В молекулярных газах, таких, скажем, как воздух, пороги для
пробоя обычно более высокие, чем для пробоя атомарных газов.
Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, в молекулах
электронные уровни чаще всего лежат относительно ниже, чем
в атомах инертных газов. Фотоионизация низких состояний
невероятна, а чем ниже лежат возбужденные уровни, тем труднее
электрону «преодолеть» неупругие потери и достичь потенциала
ионизации. Во-вторых, в молекулярных газах появляется
дополнительный механизм неупругих потерь — возбуждение колебаний
в молекулах электронным ударом. Он оказывает тормозящее
действие уже при очень низких энергиях электронов, начиная се^
~ 1 эв, так как величины колебательных квантов молекул
составляют десятые доли электрон-вольт.
Глава 2
ОПЫТЫ С ГАЗАМИ НЕ МАЛОЙ ПЛОТНОСТИ
В этой главе будут рассмотрены результаты измерений
пороговых полей для пробоя газов не слишком малой плотности, когда
механизм пробоя имеет преимущественно лавинную природу.
В большинстве опытов по изучению оптического пробоя
измерялись пороговые мощности света и поля, необходимые для
пробоя газов сфокусированными гигантскими лазерными импульсами.
55

Исследовались самые различные газы и даже смеси при разных
давлениях, разных размерах фокусного пятна, разных частотах
света. Данные по пробою получены для пяти оптических частот:
на первой и второй гармониках рубинового (X = 0,69; 0,35 мк)
и неодимового (X = 1,06; 0,53 мк) лазеров, что охватывает видимую
часть спектра и прилегающие инфракрасную и
ультрафиолетовую области, и при помощи газового лазера на углекислом газе,
т. е. в длинноволновой инфракрасной области X = 10,6 мк.
Последние измерения в некотором роде прокладывают мост между
пробоем в световом и СВЧ-диапазонах, так как воздействие поля
X = 10,6.шг уже почти не отличается от воздействия СВЧ. Что
касается длительности световых импульсов, то полнее всего изучен
пробой,гигантскими импульсами твердотельных лазеров, которые
длятся десятки наносекунд (~ 10~8 сек). Импульсы лазеров на
углекислом газе обычно имеют большую длительность, порядка
микросекунды (~ Ю-6 сек). В последние годы был исследован
пробой пикосекундными импульсами твердотельных лазеров
(~ 10"11 сек). Имеются скудные данные по пробою лазером,
работающим в режиме свободной генерации.
Изучался пробой и в нестандартных условиях, при
одновременном воздействии светового и СВЧ-полей, при воздействии
света на предварительно ионизованный газ.
7. Влияние различных параметров
на пороговые поля
7.1. Давление. О первых опытах Мейерэнда и Хота [1], в
которых измерялись пороги для пробоя аргона и гелия излучением
рубинового лазера, уже говорилось в разделе 2. Там же на рис. 1.4
были показаны экспериментальные зависимости пороговых полей
от давления газа. Наиболее характерной их чертой является
понижение порога при увеличении давления. Такого же типа
кривые получались и во многих других экспериментах.
На рис. 2.1 показаны измеренные в работе Минка [2]
пороговые мощности рубинового лазера, необходимые для пробоя
нескольких газов. Добротность лазера модулировалась при помощи
вращающейся призмы. Импульс треугольной формы имел
полуширину 25 нсек и пиковую мощность 3—5 Мет. Использовалась
линза с фокусом / = 2 см. Пробой регистрировался по появлению
видимой вспышки. Диаметр фокусного пятна в этих опытах не
измерялся, однако отмечается, что с учетом аберрации линзы
и характеристик лазерного луча диаметр фокуса был 1,2 -10~3 см.
Эта величина существенно меньше, чем в опытах [1], где d ^ 2х
ХЮ~2 см, что проявилось в значительном повышении пороговой
интенсивности по сравнению с данными [1]. Как показали
специальные исследования, пороговые величины довольно сильно
возрастают при уменьшении диаметра фокуса (см. ниже).
56

p, атм
Рис. 2.1. Пороговые мощности
для пробоя газов рубиновым
лазером [2]
Диаметр фокуса 1,2-10-* см
Нельсон с соавторами [3]
измерили порог для пробоя атмосферного
воздуха. Рубиновый лазер давал
импульсы с энергиями до 0,8 дж,
длительностью 80 нсек и расходимостью
4-10~3ра<9. Радиус кружка
фокусировки 10"2 см. Калориметрическим
методом измерялось прохождение
луча через фокус в зависимости от
мощности падающего излучения. При
потоке 0,5 • 1011 вт/см2, Е « 4,4 х
X Ю6 в/см коэффициент прохождения
резко уменьшался от 1 до 0,3,
появлялась вспышка, т. е. происходил
пробой.
Пороговые параметры зависят не
только от рода газа, его давления и
частоты света (так что нельзя
придавать абсолютный смысл такой
безусловно важной величине, как порог
для пробоя атмосферного воздуха),
но и от диаметра фокуса, отчасти от
длительности импульса, от
распределения интенсивности по сечению
лазерного луча. Поэтому редко бывает,
чтобы совпадали результаты измерений разных авторов для одного
и того же газа и того же давления (иногда пороговые потоки
различаются на порядок).
На рис. 2.2 приведены пороговые потоки для ряда
молекулярных и инертных газов, измеренные в работе Томлинсона, Да-
мона и Башера [4]. Измерения были сделаны на двух частотах
с помощью рубинового и неодимового лазеров (X = 6943 и 10 600 А
соответственно). Мощность импульсов достигала 5 Мет,
длительность по полуширине 40 нсек, фокус линзы 5,5 см.
Фокальное пятно для рубинового лазера было близко к кружку (оси
4,3-10~3 и 3,1-10~s см, площадь 10~5 см2, а для неодимового
представляло довольно вытянутый эллипс с осями 13-Ю"3 и 3,4-10~3 см
и площадью 3,5«Ю-5 см2. В целом из графиков видно, что на
частоте неодимового лазера пробой происходит легче (о частотной
зависимости подробнее речь пойдет ниже) и молекулярные газы
имеют более высокие пороги, чем атомарные, причем пороги в них
медленнее изменяются с давлением. В атомарных газах
пороговые потоки убывают как \1р для неодимового лазера и как 1/р0»7
для рубинового (в исследованном интервале давлений). Очень
показателен рис. 2.3 [4], на котором совмещены осциллограммы
ряда импульсов, прошедших через область фокуса. Амплитуды
импульсов последовательно уменьшаются. Видно, как пробой
и поглощение наступают все позже и позже по мере ослабления
57

пиковой мощности и, наконец, при амплитуде ниже пороговой
поглощение вовсе исчезает.
При исследовании зависимости порога от давления в диапазоне
давлений от нескольких до двух тысяч атмосфер Гилл и Дугал [5]
обнаружили минимумы порогов, как и при СВЧ-пробое.
Измерения были сделаны с рубиновым лазером мощностью до 30 Мет,
длительностью 50 нсек (по половине мощности), диаметром фокуса
10~2 см. Результаты измерений показаны на рис. 2.4. Здесь поле
Е амплитудное, а не среднеквадратичное. Вообще, в большинстве
работ авторы не оговаривают, какое поле они рассчитывали, но
в данной работе это явствует из приводимой расчетной формулы.
На рис. 2.4 ясно видны минимумы. У гелия минимум широкий,
центр его приходится на давление 680 атм, минимальное
пороговое поле 4-Ю5 в/см. У аргона минимум острее, он лежит п£и
170 атм, величина поля меньше, 2,5«10б в/см. У азота минимум
менее острый, лежит при 102 атм (4,4-105 в/см). Значения
пороговых полей в общем согласуются по порядку величины с
измерениями Мейерэнда и Хота [1], но все же они в несколько раз
меньше.
S, 6т/см 2
58

Е, б/см
Рис. 2.3. Зависимость мощности лу- z
ча, прошедшего через фокус/от
времени [4] JQ&
8
6
U
Рис. 2.4. Пороги пробоя рубиновым
лазером [5] 2 , ...
10 100 1000 р?атм
Авторы объяснили свои результаты на основе классической
формулы (1.7) для скорости нарастания энергии электронов в поле.
Как и при СВЧ-пробое, минимум порогового поля примерно
соответствует максимальной скорости нарастания энергии
электронов, если рассматривать ее как функцию давления. В подразделе
6.3 уже говорилось о том, что максимум (de/dt)E, который
появляется при равенстве круговой частоты поля и частоты
столкновений, примерно совпадает по давлению с наблюдаемым минимумом
порога СВЧ-пробоя. Оценки, сделанные таким же образом для
частоты рубинового лазера и по данным об упругих сечениях
гелия и аргона, действительно дали разумное согласие с
экспериментом: для гелия по оценке 1450, для аргона 224 атм
(необходимо, конечно, иметь в виду, что при выборе эффективной частоты
столкновений имеется некий произвол, особенно в случае аргона) г.
Минк и Радо [6] также наблюдали минимумы порогов и нашли,
что в молекулярных газах (азоте, метане) пороги меняются с
давлениями медленнее, чем в инертных.
На рис. 2.5 приведены результаты измерения порогов пробоя
ксенона, аргона и азота излучением неодимового лазера,
полученные Берквистом и Клеманом (длительность импульса 35 нсек,
1 Что касается попытки авторов объяснить пологость минимума у гелия и
остроту у аргона соответственно пологостью и остротой максимумов
кривых зависимости упругого сечения от энергии электронов у этих газов,
то с этим трудно согласиться. Это обстоятельство, как нам кажется,
отношения к делу не имеет.
59

энергия 1,5 дж, пиковая мощность до 50 Мв, расходимость
З'Ю""3 рад, радиус фокуса 4,5 -10"3 см, площадь6,4-10~5см2).
Видно, как замедляется уменьшение порога при давлениях выше
нескольких сотен торр. Пожалуй, это замедление сильнее, чем
получалось у других авторов. Абсолютные значения порогов [7]
согласуются с измерениями Томлинсона [8] в тех же газах на
рубине при давлении 400 тор.
Опыты В. Е. Мицука, В. И. Савоскина и В. А. Черникова
[9, 10] в области еще более низких давлений, до 20 тор, были
проведены с рубиновым лазером, длительность импульса бОнсек,
расходимость 1,4-Ю*"3 рад, фокус линзы 1,8 см. Результаты
показаны на рис. 2.6. При самых низких давлениях порог начинает
быстро расти, что связано с влиянием диффузионных потерь
электронов.
Сравнительно низким порогом пробоя обладает хлор (Хау [11]).
При атмосферном давлении на частоте рубинового лазера при
длительности импульса 50 нсек, фокусе линзы 4,1 см порог равен
2,3-109 вт/см2, что в несколько десятков раз меньше, чем пороги
для воздуха и инертных газов. Этот факт обращает на себя
внимание, так как потенциал ионизации у молекулы хлора довольно
высок: 13,2 эв. Впрочем, чистота газа была не очень высокой,
99,5%.
Риццо и Клеве [12] исследовали пробой в парах ртути, рубидия
и цезия (рубин; площадь фокуса 5-10"4 см2), пороги в ртути ока-
5 7-102
р, тор
Рис. 2.5. Пробой Аг, Хе, N2
излучением неодимового
лазера [7]
Sвт/см* ^ i'9'i0~19'FUcM2ceKt
где F — поток фотонов
Рис. 2.6. Пороги пробоя
криптона и ксенона [9]
Лазер рубиновый
Е,10s 6/см
Ш р, тор
60

зались сравнимыми с порогами в аргоне и гелии (рис. 2.7), а в
случае цезия и рубидия световые потоки такого же порядка
пробивают газ гораздо более низкой плотности. Авторы усматривают
противоречие между результатами для щелочных металлов и
лавинной теорией. Но это и неудивительно: в газах со столь малыми
потенциалами ионизации (Ics = 3,89 эв, /Rb = 4,18 эв)
существенную роль должны играть многофотонные процессы.
Пары ртути изучались [13] в диапазоне давлений от 1 до
800 тор (см. раздел 8). Зависимость порога от давления
изучалась также в работах [14] (воздух, азот, гелий, аргон), [15]
(аргон), [16] (инертные газы), [54] (атомарные и молекулярные газы,
выяснялась зависимость от потенциалов ионизации).
Пробой, вызываемый излучением лазера на углекислом газе,
исследовали значительно позднее, чем пробой, создаваемый
излучением твердотельных лазеров, после того, как была замодулиро-
вана добротность газового лазера и получены достаточно мощные
импульсы.. Первое краткое сообщение о наблюдении факта пробоя
импульсами газового лазера содержалось в статье Смита [17].
Первые измерения порогов для пробоя были сделаны в работе
Н. А. Генералова, В. П. Зимакова, Г. И. Козлова, В. А. Масю-
кова и автора [18]. В непрерывном режиме лазер давал мощность
до 70 вт. Добротность резонатора модулировалась при помощи
вращающегося зеркала. В результате получались импульсы
длительностью 0,3—1,5 мксек, с пиковой мощностью порядка 10 кет,
следующие с частотой 50—250 гц. Через соляное окно излучение
поступало в камеру с исследуемым газом и фокусировалось назад
в середину сосуда сферическим зеркалом с фокусом 1,5 сМ. Радиус
кружка фокусировки составлял 4«Ю-3 см.
Пробой развивается за время порядка 0,1 мксек, и затем
большая часть излучения поглощается образовавшейся плазмой.
Одновременно с поглощением происходит и частичное отражение
света от плазмы, а также возникает свечение, которое продолжается
еще довольно долго после окончания светового импульса, однако
затухает задолго до начала следующего. За порог пробоя
принималось начало появления редких видимых вспышек.
На рис. 2.8 показаны результаты измерения порогов для
пробоя ксенона, аргона, неона и гелия в интервале давлений от 2 до
25 атм. Порог в гелии несколько повышается, если газ хорошо
очищен. Это, видимо, объясняется тем, что ионизации
поглощенного газа способствует передача энергии от возбужденных атомов
гелия атомам примесей, которая идет на ионизацию последних.
При пробое ксенона наблюдалось заметное отражение лазерного
излучения от плазмы — до 7 %. Это свидетельствует о том, что
плотность электронов здесь достигает критической для X =
= 10,6 мк величины: 1,13 -1019 1/смК
На рис. 2.8 явно видны минимумы порогового поля, хотя они
выражены и не очень резко, ибо лежат вблизи границы
исследованного диапазона давлений. Оценка показывает, что положение ми-
61

S,dm/cM'
1011^
w
10
10*
Rb
Cs
I l llllll 1 I I llllll L i mill i i i mill i i i Mini
10
is
10
17
S, М5т/смг
200{
10
E, 6/cm
ZO
10
21
10
zt
M, Г/см3
10 15 ZO 25
p, атм
2 7.jqS Рис. 2.7. Пороги пробоя паров
1 ' щелочных металлов,
Hg, Не и Аг
Лазер рубиновый
Рис. 2.8. Пороги пробоя
лазером на С02 [18]
Черные кружки — гелий более
высокой чистоты
нимума по давлению соответствует условию приближенного
равенства круговой частоты света и частоты столкновений. Для
ксенона, например, эффективная частота столкновений vm ж 9 х
ХЮ12 ратм сек-1 и равенству со = 1,78-1014 рад/сек = vm
соответствует давление 20 атм. Опытное значение лежит где-то в районе
15 атм.
Для того чтобы газ действительно пробивался импульсами
излучения лазера на углекислом газе, необходимо было принимать
специальные меры, облегчающие появление затравочных
электронов. В противном случае пробоя не было. Это и понятно, ведь
кванты лазера на углекислом газе (Йсо = 0,124 эв) столь малы, что
ни о каком многоквантовом фотоэффекте, который служит
источником появления первых электронов в случае рубинового лазера,
здесь не может быть и речи. Вместе с тем импульсы слишком крат-
ковременны, для того чтобы с заметной вероятностью в области
фокуса появились случайные электроны естественного
происхождения (см. раздел 6). Пробой излучением лазера на углекислом
газе изучался и в работах [19, 20] (см. подразделы 7.2, 7.3). И. И.
Абрикосова и О. М. Бочкова [55] изучали пробой газообразного
62

и жидкого гелия, пройдя очень большой диапазон плотностей,
причем точки легли на одну кривую.
7.2. Частота. С целью выяснения частотной зависимости
С. А. Ахманов, А. И. Ковригин, М. М. Струков и Р. В.
Хохлов [21] измеряли пороги для пробоя атмосферного воздуха на
первой и второй гармониках неодимового лазера. На второй
гармонике порог по потоку оказался выше, чем на первой, в 1,6—1,7 раза,
правда, длительность импульса на второй гармонике была
несколько меньше.
Детальная картина частотной зависимости представлена в
работе Башера, Томлинсона и Дамона [22], которые измеряли
пороги в инертных газах на первых и вторых гармониках
рубинового и неодимового лазеров. Длительности импульсов и размеры
фокальных пятен указаны в табл. 1, где сопоставляются
Таблица 1
Газ
Хе
Кг
Аг
Не
Ne
S, 1010 вт/см? (р = 2000 тор)
X = 10,6 мк
tx = Юз
ту103 = 3
2,0.10-2
—
1,7.10-2
1,2-10-2
1,0-10-2
1,06 мк | 6943 А | 5300 А
40
3,3
0,2
0,39
0,51
1,4
2,0
40
1,8
1,9
3,3
4,1
7,6
10,0
28
1,6
1,06
—
4,7
—
3471 А
20
1,4
0,4
—
0,91
—
—
'
12,13
13,99
15,76
24,58
21,56
РГ т,
с max
140
99
83
20
13
Примечание. X, мк — длина волны; tlt нсек —длительность импульса;] гр см —
радиус фокуса,
пороги для пробоя пяти инертных газов. Показательно
сопоставление порогов с потенциалами ионизации газов и упругими
сечениями. Видно, как для одной частоты пороги возрастают при
увеличении потенциала. Исключение составляют только неон и гелий,
но здесь, по-видимому, дело объясняется тем, что сечение
упругих столкновений электронов с атомами, которому
пропорциональна скорость нарастания энергии электрона в поле, у гелия
выше, чем у неона.
Частотную зависимость порогов особенно явственно
иллюстрирует рис. 2.9. Прежде всего обращает на себя внимание ее
немонотонный характер, в особенности резкое снижение порога на
второй гармонике рубина. В рамках элементарной теории этого
объяснить нельзя. Действительно, скорость нарастания
энергии электрона в поле обратно пропорциональна квадрату
частоты, и, вообще говоря, можно было бы ожидать частотной
зависимости порогового потока S ~ Е2 ~ со2 (см. подраздел 6.3), ко-
63

о, 6т/см
10й-
торая обеспечивала бы
неизменную скорость нарастания
энергии при переходе от одних частот
к другим. В качественном
отношении такое возрастание порога при
повышении частоты
действительно наблюдается в области не очень
высоких частот, скажем, если
сравнивать частоты неодимового и
рубинового лазеров. Однако при
дальнейшем повышении частоты
зависимость Е (со) проходит через
явный максимум и поле резко
падает.
Можно было бы попытаться
приписать резкое снижение
порога в ультрафиолетовой области
спектра действию многофотонной
ионизации, однако оценки,
базирующиеся на известных теориях,
показывают, что наблюдаемая на
опыте пороговая интенсивность
слишком мала, для того чтобы
дать заметный эффект. Возможно,
на больших частотах происходит
мгновенная ионизация
возбужденных атомов под действием
излучения, но тогда сам факт
понижения порога подтверждает
предположение о том, что на более
низких частотах такой ионизации
возбужденных атомов не
происходит, хотя некоторые другие
данные говорят в пользу обратного.
Вопрос о причине понижения
порога еще не был теоретически
проанализирован в достаточной
степени. О немонотонном характере частотной зависимости
порогов пробоя свидетельствуют и другие измерения [56, 57].
Интересно сопоставить пороги для пробоя излучением
рубинового и неодимового лазеров с порогом для лазера на углекислом
газе, так как здесь имеется сильное различие частот излучения.
Это было сделано в работе Смита [19]. Добротность лазера
модулировалась вращающимся зеркалом. Импульсы имели пиковую
мощность 100 кет, длительность 200 псек по уровню половинной
интенсивности, расходимость 3,5-10~3 рад. Излучение
фокусировалось линзами, сделанными из германия или иртрана II (эти
вещества, как и поваренная соль, прозрачны для излучения
Рис. 2.9. Частотная зависимость
порогов для пробоя инертных
газов [22]
1—3,5 — аргон; 4, 6—8 — ксенон; 1,
4 — р = 1000; 2,6 — 2000; 3,7 — 4000;
5, 8 — 8000 тор
64

% = 10,6 мк); фокусное расстояние 2,5 см. Как и в опытах [18],
пробой резко затрудняется в отсутствие источников первичных
электронов. Для проверки этого обстоятельства лазерный импульс
фокусировался в разряд в аргоне при атмосферном давлении.
Разряд создавался между электродами, к которым было
приложено постоянное напряжение, и плотность электронов в нем была
~ 1011 1/см3. Пробой и вспышка наблюдались при минимальной,
пороговой, интенсивности 2-Ю8 вт/см2. Между тем пробой
обычного аргона при том же атмосфер- 2
ном давлении не наблюдался даже S^4GM
при интенсивностях 109 вт/см2. Г^
Эффект влияния предварительной 2
ионизации проверялся и на неоди- Wf1\
мовом лазере в тех же условиях. 5[
Без предварительной
ионизации разрядом порог составлял
2-1011вт/см2, при фокусировке
импульса в разряд 1011 вт/см2, т. е.
вдвое ниже. На рис. 2.10 показаны
пороги для пробоя аргона атмос-^
ферного давления на частотах 5
лазеров на углекислом газе, нео- 2
димового и рубинового. Там же
пунктиром проведена зависимость
пороговой интенсивности от
частоты S —со2, вычисленная в
предположении отсутствия любых
потерь, т. е. по формуле,
вытекающей из простейшего условия:
(de/dt)E = 7/6 = /■ In jTJJTo
(см. формулы (1.49), (1.57) с vd = 0).
При этом считалось, что
предварительная ионизация составляет
Ж0 » 1011 1/см3. График
показывает, что порядок величин,
которые дает элементарная теория,
в общем разумный. Зависимость
порога в аргоне от давления [19]
(рис. 2.11) получилась более
резкой, чем по измерениям в работе
[18], но порядки пороговых
величин, измеренных в этих двух
работах, согласуются.
В табл. 1 добавлена графа, в
которой приведены данные [18] по
пробою на длине волны А, = 10,6 мк.
1,06 0,59к,мк
Рис. 2.10. Пробой аргона р =
= 1 атм на частотах рубинового,
неодимового и С02-лазеров [19]
8,5т/см ^
Рис. 2.11. Пороги пробоя
аргона [19]
Лазер на СО*
65

Сравнение с порогами для X = 1,06 мк показывает, что
закономерность S ~ со2 ~ Аг2 выполняется по порядку величины, хотя
детального согласия и нет. Обращает на себя внимание
обратный порядок следования порогов при переходе к более высоким
потенциалам ионизации, но, во-первых, точность измерений для
лазера на углекислом газе невелика, а во-вторых, прямого
сравнения с величинами порогов для твердотельных лазеров
проводить нельзя. Слишком различаются длительности импульсов; если
в случае твердотельных лазеров критерий пробоя —
«нестационарный», то в случае лазера на углекислом газе -— явно
«стационарный».
7.3. Размеры фокуса. Уже самые первые измерения [1, 2]
показали, что пороги пробоя в одних и тех же газах при
одинаковых давлениях у разных авторов сильно различаются. В то
время, по-видимому, еще не обратили внимания на тот факт, что
размеры фокуса в этих работах были существенно разными, но
вскоре зависимость порога от размеров подверглась специальному
исследованию. Подробные данные представлены в работе Хота,
Мейерэнда и Смита [23]. В этих опытах использовались
рубиновый и неодимовый лазеры, дающие импульсы треугольной формы
с полуширинами 20 и 50 нсек и расходимостями 6 = 4,5 «10"3 и
3«10"3 рад соответственно. Пробой регистрировался по
появлению вспышки и путем вытягивания зарядов (~ 1013 пар ионов),
как и в опытах [1]. Для изменения размеров фокуса применялись
линзы с различными фокусными расстояниями / от 3 до 15 см.
Поскольку целью работы являлось выяснение зависимости порога
от размеров фокуса, т. е. диффузионных потерь, в качестве
параметра, характеризующего размеры, использовался не диаметр
кружка фокусировки, а диффузионная длина Л (см.
подраздел 6.1). Считалось, что область фокуса, т. е. область каустики
линзы, представляет собой цилиндр с диаметром фокусного пятна
d = /0 и длиной L = (1^2—1) /20AD, где D — диаметр лазерного
луча, падающего на линзу. Диффузионная длина Л определялась
через d и L по формуле, приведендой в подразделе 6.2.
Измерения показали, что пороговое поле заметным образом
уменьшается при увеличении диффузионной длины, примерно как
Е ~ Л""3/*, а пороговый поток энергии S ~ Л~3/2. Это следует
из рис. 2.12, на котором представлены пороги в воздухе, аргоне
и гелии при давлении 8,15 атм на частоте неодимового лазера.
При изменении размеров фокуса несколько изменяется и
зависимость порога от давления, в частности смещается положение
минимума по давлению. Так, оказалось, что при больших размерах
фокуса минимум располагается при гораздо меньших давлениях,
чем в случае острой фокусировки. Это иллюстрируется рис. 2.13.
Любопытно, что при высоких давлениях порог в аргоне на частоте
рубинового лазера становится меньше, чем для неодимового,
пороговые кривые пересекаются (рис. 2.14).
66

Факт понижения порога пробоя при увеличении размеров
области фокусировки луча, в которой сосредоточено поле и где
развивается пробой, казалось бы, свидетельствует о важной роли
диффузионных потерь электронов. Однако прямые оценки
показывают, что электроны диффундируют слишком медленно и не
успевают покидать область фокуса, в особенности при высоких
давлениях. Авторы [23] предположили, что существуют некие «диффу-
зионноподобные» потери (как они их назвали), связанные с уходом
h Не
4
Рис. 2.12. Зависимость порогов /06\-
от диффузионной длины [23] г
Неодимовый лазер, р = 8,15 атм Ь
10~3 2 J W~2
Л, см
возбуждения из области фокуса при диффузии резонансного
излучения. Надо полагать, что имеются в виду потери энергии,
запасенной в возбужденных атомах (в работе [23] говорится об этом
очень кратко). Нам кажется сомнительным, чтобы такой механизм
мог существенным образом повлиять на порог пробоя, так как
порог определяется скоростью развития лавины в самом начале
этого процесса, когда электронов и возбужденных атомов еще очень
мало и последние вообще не участвуют «в игре». Иными .словами,
судьба возбужденных атомов не может сказаться на величине
порога.
Еще в работе [24] высказывалось предположение о том, что
диффузионные потери действительно существуют и играют роль,
но это диффузия электронов не из всей области фокуса, а из очень
маленьких, «горячих» точек, в которых имеются повышенные
локальные поля и где преимущественно развивается лавина. Дело
в том, что распределение интенсивности по сечению лазерного
луча весьма неравномерно и перепады интенсивности от одних
точек к другим могут быть очень большими, в 10 и более раз. Это
подтверждается и непосредственными измерениями, о чем речь
пойдет в разделе 18. Распределение интенсивности в исходном
луче подобным образом переносится и в область фокуса, т. е. там
также имеются очень малые области с резко повышенным полем.
Если уходить из всей области фокуса электроны не успевают, то
выйти за пределы этих маленьких областей они могут успеть, и
тогда это будет сказываться на скорости развития лавины.
©7

w в
Рис. 2.13. Пороги в гелии и аргоне [23]
Неодимовый лазер. Цифры около кривых А, 10~3 см
Е, 6/см
р,тор
Рис. 2.14. Пороги в аргоне и гелии на частотах рубинового (1) и неодимо-
вого (2) лазеров при Л = 2,4-10~"3 см [23]
Е,10ьв/см
11\
15f,CM
Рис. 2.15. Зависимость порогов в криптоне и ксеноне от фокусного
расстояния линзы [9]
Лазер рубиновый, длительность импульса tt = 60 ксек

Надо сказать, что этот вопрос не проанализирован в
достаточной степени, и высказанные соображения следует рассматривать
как гипотезу.
Зависимость порогов от диаметра фокусного пятна изучалась
[9, 10] при сравнительно низких давлениях. Результаты
приведены на рис. 2.15 (перейти от фокусного расстояния линзы к
диаметру можно, зная расходимость их лазера 1,4-10"3 рад).
Весьма ценными для теоретического исследования влияния
размеров фокуса и диффузионных потерь на пороги пробоя
являются данные, полученные при помощи одномодового лазера,
так как в этом случае получается гладкое распределение поля в
области фокуса, лишенное случайных неоднородностей, что
исключает неопределенности в величине полей. Измерение порогов с од-
номодовым лазером было сделано Смитом и Томлинсоном [25],
Янгом и Херчером [16] и более детально в работе Алкока, Де Ми-
хелиса и Ричардсона [26]. В этой работе одномодовьтй рубиновый
лазер давал очень слабо расходящийся световой пучок с гладким,
почти гауссовым распределением интенсивности по углу, т. е. по
сечению. Угловая расходимость по уровню 1/е от максимальной
интенсивности составляла 0,63 -10"3 рад. Фокусировка этого
излучения линзами с фокусами от 13 до 1 см позволила далеко
продвинуться в сторону малых размеров фокуса, вплоть до ХжЗх
Х10~4 см, что почти на порядок меньше, чем в работе [23] (X
вычислялось по той же формуле). На рис. 2.16 показаны
измеренные пороги в аргоне при двух давлениях. Эти данные неплохо
согласуются с результатами [23]. Так, при Л«1,5'10~3 см и
р х 8 атм Е^2-106 в/см по рис. 2.16 и #ж4-106 в/см по
рис. 2.12. На рис. 2.17 показаны пороги в азоте и гелии при
разных давлениях и одинаковом фокусе линзы для пробоя одномодо-
вым и многомодовым лазерами. Результаты измерений порогов,
сделанных с одномодовым лазером, очень удобны для
сопоставления с теоретическими расчетами, так как здесь распределение
поля в области фокуса заведомо гладкое, без сильных
неоднородностей, которые характерны для многомодовых лазеров. В работе
[26] также обсуждается возможность проявления эффектов
самофокусировки лазерного излучения, разумеется, после того, как
произошел пробой и образовалась плазма.
При пробое газов излучением лазера на углекислом газе
наблюдается такая же зависимость порога от диаметра, как и в случае
рубинового или неодимового лазеров [20]. В этой работе был
измерен и порог для пробоя атмосферного воздуха на длине волны
X = 10,6 мк. Лазер генерировал импульсы длительностью
200 нсек с пиковой мощностью более 1 Мет и расходимостью по
половине мощности приблизительно 4,5 -=- 2,5 ЛО"3 рад. Выше
уже отмечалось, что для пробоя излучением лазера на углекислом
газе необходим какой-то источник первых электронов. В этих
опытах предварительную ионизацию обеспечивали примеси,
попадающие в газ со стенок камеры, облученных самим лазерным
69

Е, 6/вм
to"
10k
ь
I-
[i
г
U L_
*
i
—1 1 L_
Ф
i
■ ■ ■
6
5
W 3 А,см
3,8m/см 2
to9
to8
\ N
□ \
Дк
^
-
_
1 1 1
tamM}
N
\p
1
доздух
1атм, Ar
,°\
Vs
\ b
4^2amм, He
i i I.„ , i, i i i .
fff
r-2
m
г-Г
d,cM
Рис. 2.16. Пороги в аргоне [26]
Одномодовый рубиновый лазер;
П —\V = 2800, О — 8850 тор
Рис. 2.17. Пороги в азоте (□, и) и
гелии (о, •), измеренные с одномо-
довым (/) и многомодовым (77)
лазерами при одинаковом фокусе
линзы / = 2,28 см [26]
Рис. 2.18. ГПороги пробоя лазером
на С02 при разных диаметрах
фокуса [20]
импульсом. В лабораторном воздухе первые электроны
появлялись от каких-то присутствующих в нем загрязнений. Когда
через область фокуса продували сухой азот, пробой никогда не
возникал, даже при максимальной интенсивности, которую мог дать
лазер и которая превышала 1010 вт/см2.
На рис. 2.18 показаны результаты измерений порогов в
воздухе, аргоне, гелии при нескольких диаметрах фокуса. Пороги
в гелии при 1 атм практически совпадают с порогами в аргоне при
1 атм, поэтому соответствующая кривая не проведена на рисунке.
Л. Е. Вардзигулова, С. Д. Кайтмазов и А. М. Прохоров [27]
наблюдали понижение порога пробоя при наложении внешнего
магнитного поля 200 кэ параллельно оси светового луча. Они
связывают этот эффект с уменьшением влияния диффузионных потерь
электронов, так как ларморовский радиус в таком поле, равный
10~5 см, меньше длины свободного пробега. Однако Эдварс и Лит-
вак [28] при поле 100 кэ и Чейн, Де Михелис и Кронаст [29] при
70

поле 200 кэ не зарегистрировали какого-либо понижения порога
для пробоя ряда газов.
7.4. Ымпульсы разной длительности. Почти все измерения
порогов для оптического пробоя газов были сделаны с лазерами,
работающими в режиме модулированной добротности. Длительности
гигантских импульсов твердотельных лазеров в разных
установках и у различных авторов варьируются обычно в пределах от
15—20 до 50—60 нсек. Гигантские импульсы газовых лазеров на
углекислом газе длятся дольше, 0,2—1,5 мксек (т.е. 200—
1500 нсек). В случае твердотельных лазеров прямых
исследований влияния длительности импульса на порог при прочих равных
условиях, пожалуй, не было 1. Сравнивать данные по импульсам
разной длительности, полученные на разных установках и
разными авторами, довольно трудно. Все же из сопоставления, по-
видимому, можно сделать заключение о том, что при увеличении
длительности импульса пороги несколько снижаются. Это вполне
укладывается в представления о нестационарном характере
развития лавины и критерия пробоя при малых длительностях
импульсов (см. подраздел 6.2).
Прямое исследование влияния длительности было сделано в
работе Смита [20] с газовым лазером. Гигантский импульс имел
длительность 200 нсек, а. импульс, прошедший через фокус в
условиях, когда воздух в фокусе пробивался, имел длительность 50 нсек.
Пробой наступал как раз через это время, а после пробоя
образовавшаяся плазма почти полностью поглощала остальную часть
импульса. Этот укороченный импульс и использовался для
пробоя. Измерения порогов с импульсами 200 и 50 нсек по
длительности при всех прочих одинаковых условиях показали, что порог
для пробоя не зависит от длительности импульса и определяется
только его мощностью. Это свидетельствует о «стационарном»
характере пробоя при столь больших длительностях воздействия
поля. Порог определяется условием баланса между нарастанием
энергии электронов и потерями (см. подраздел 6.2).
Имеется опыт М. П. Ванюкова, В. И. Исаенко, В. В.
Любимова, В. А. Серебрякова и О. А. Шорохова [30], в котором
наблюдался пробой атмосферного воздуха излучением неодимового
лазера, работающего в режиме свободной генерации при
длительности 0,8—1,2 мсек. Пробить воздух столь длинным
импульсом удалось потому, что лазер давал очень большую энергию,
800—1400 дж, так что средняя мощность была 1—2 Мет. Луч
фокусировался линзой с / = 10 см. Авторы говорят, что поток
в фокусе был (1—3) • 109 вт/см, чему соответствует диаметр
кружка фокусировки примерно 4-10-2 см. Надо сказать, что
указанный поток значительно меньше, чем пороговая величина для
атмосферного воздуха в случае гигантского импульса 5-Ю10 ет/см2
1 Резко различающиеся длительности сравнивали Вэнг и Дэвис [53];
см. конец раздела 9.
71

[3]. Вероятнее всего, пробой возникает потому, что импульс
лазера, работающего в режиме свободной генерации, состоит
из множества последовательных пичков, разделенных
«пустыми» промежутками. Пички имеют длительность порядка 1 мксек
и пиковую мощность, в несколько раз превышающую среднюю
величину. Известно, что мощности отдельных особо энергичных
пичков могут превышать среднюю мощность даже в десятки раз,
и, видимо, они-то и пробивают воздух. (О пробое плотных газов
сверхкороткими пикосекундными импульсами см. раздел 9.)
8. Смеси газов
8.1. Эффект Пеннинга в смеси неона и аргона. Любопытный
эффект обнаружили Смит и Хот [31]. Изучая пробой аргона при
давлении 5,2-104 тор излучением неодимового лазера, они
заметили, что небольшая добавка к нему неона заметным образом
понижает порог для пробоя. Так, при размерах фокуса,
характеризуемых диффузионной длиной Л = 1,6 -10-3 см, порог для
чистого аргона был 3,2 -106 el см, а при добавке 1% неона
снижался до 1,9 -106 el см и оставался неизменным при увеличении
содержания неона в смеси до 20%. Это казалось тем более
странным, что порог у чистого неона выше, чем у аргона, т. е. смесь
пробивалась легче, чем любой из компонентов.
Можно было бы предположить, что добавка неона, не
обладающего рамзауэровским минимумом упругого сечения для
электронов, заполняет таковой у аргона, что увеличивает скорость
набора энергии электронов в поле при столкновениях с атомами.
Однако при добавлении в аргон гелия или азота, также не
обладающих рамзауэровским минимумом, порог не уменьшался.
В смесях аргона с гелием порог монотонно изменялся от более
низкого для чистого аргона до более высокого для чистого гелия.
Существенно, что добавка неона понижала порог в аргоне
только при давлении выше 5-Ю3 тор (рис. 2.19), причем тем
сильнее, чем больше давление. Такое давление как раз соответствует
примерному совпадению времени между столкновениями атомов
и постоянной времени развития лавины, т. е. атом-атомные
столкновения могут сказываться на развитии лавины только при более
высоких давлениях. Это обстоятельство заставило авторов [31]
предположить, что понижение порога связано именно со
столкновениями атомов неона и аргона.
Смит и Хот истолковали наблюдаемый эффект понижения
порога, считая, что добавление неона к аргону уменьшает «диффу-
зионноподобные потери», о которых уже говорилось в
подразделе 7.3.
Уменьшение потерь они непосредственно связывают с
эффектом, происходящим при электрическом пробое в смеси
Пеннинга. Смесь Пеннинга состоит из неона с небольшой примесью арго-
72

на, т. е. является обратной по отношению к смеси, исследованной
в работе [31]. Добавление аргона к неону меняет действие
возбуждающих столкновений, переводя их из разряда «вредных» в разряд
«полезных» для лавины. Это происходит потому, что потенциал
возбуждения неона 16,6 эв чуть больше потенциала ионизации
аргона 15,8 эв и возбужденный атом неона при столкновении с
атомом аргона резонансным образом передает свою энергию
последнему, ионизуя его. Таким образом, акт возбуждения основного
Е, В/см
Рис. 2.19. Пробой чистого ар- 2
гона (1) и аргона с добавкой
lo/о неона (2) [31]
А = l,6-10-3a/u f()5
Z 5 W4, Z 5
p, mop
газа в смеси Пеннинга сопровождается быстрой ионизацией при
меси, т. е. размножением электронов, развитие лавины
ускоряется и порог пробоя, следовательно, понижается.
Изложенные соображения, привлекаемые Смитом и Хотом и
относящиеся к настоящей смеси Пеннинга, как нам кажется,
никак не могут объяснить эффекта, который они наблюдали в
«обратной» смеси аргона с примесью неона. В самом деле,
эффективное сечение ионизации аргона электронным ударом значительно
больше, чем сечение возбуждения неона (см. рис. 1.8), а кроме
того, в случае однопроцентной примеси концентрация аргона в
100 раз больше концентрации неона. Поэтому электрон,
набравший под действием поля энергию выше 16,6 эв, с гораздо большей
вероятностью просто ионизует аргон, чем возбудит неон.
Следовательно, двухступенчатый процесс — возбуждение неона с
последующей передачей возбуждения на ионизацию аргона —
совершенно не скажется на скорости ионизации и развитии лавины.
Безуспешность попыток найти адекватное объяснение
результатам Смита и Хота привела к мысли воспроизвести их измерения
и расширить программу экспериментов, что и было сделано в
работе Б. Ф. Мульченко и автора [32]. Был исследован весь диапазон
составов смеси аргона с неоном, от чистого аргона до чистого
неона, включая и настоящую смесь Пеннинга, а также рассмотрен
пробой не только неодимовым, но и рубиновым лазером.
Условия опытов были выбраны близкими к тем, которые были
у Смита и Хота, для того, чтобы облегчить сравнение с их
результатами. Измерения порогов были сделаны при давлении смеси
6-Ю4 тор = 80 атм. Диффузионная длина в случаенеодимового
J —J L
73

Е,10б6/см
WO
А г, °/о
100
Ng, °/о
Рис. 2.20. Пороги для смесей неона с аргоном [32]
V = 80 атм; а — неодимовый лазер, диаметр фокуса 1-10-2 см, А. = 1,75*10~3 см;
б — рубиновый лазер, диаметр фокуса 1,4*10—я см, А. = 2,6-10-8om
лазера Л = 1,75-10~~3 см (диаметр фокуса 10~~2 еж), в случае
рубинового — Л = 2,6-10~8 см (диаметр 1,4-10~2 см). Методика
приготовления смесей обеспечивала точность состава 0,1%.
Результаты измерений представлены на рис. 2.20. Вывод
Смита и Хота о понижении порога аргона при добавлении малого
количества неона в случае неодимового лазера полностью
подтвердился, но на длине волны рубинового лазера никакого подобного
эффекта не наблюдалось: порог монотонно меняется от порога
чистого аргона до порога чистого неона при изменении состава
смеси.
Укажем сразу, что нам не удалось придумать
удовлетворительного объяснения эффектам, возникающим при небольшой добавке
74

неона к аргону, и объяснить, почему на частоте неодимового
лазера порог снижается, а на частоте рубинового — нет.
Единственное, что можно сделать, это не согласиться с рассуждениями
Смита и Хота. Зато результаты измерений [32] в настоящей
смеси Пеннинга (неон с малой добавкой аргона) позволяют
сделать некоторые существенные заключения о роли ионизации
возбужденных атомов под действием самого лазерного излучения.
Опыты показали, что небольшая примесь аргона к неону сильно
снижает порог на частоте неодимового лазера и не сказывается на
величине порога в случае рубинового. Это можно
интерпретировать как результат большой вероятности ионизации
возбужденных атомов неона под действием излучения рубинового лазера,
кванты которого сравнительно велики, и малой вероятности
фотоионизации излучением неодимового лазера, когда требуется
большее количество квантов. В первом случае эффект Пеннинга не
ускоряет и так быстро идущего процесса ионизации
возбужденных атомов неона, а во втором случае производит сильное
воздействие.
Заметим, что эффект Пеннинга, приводящий к «использованию»
возбужденных атомов неона при добавке атомов аргона,
включается как раз при тех добавках аргона в несколько процентов, при
которых наблюдалось снижение порога на частоте неодимового
лазера (см. рис. 2.20). Очевидно, эффект будет действенным,
если время жизни возбужденного неона по отношению к
ионизации аргона %\ не больше, чем время размножения, т. е. постонная
времени лавины 6 да 10~9 сек. Известно, что сечение резонансной
передачи возбуждения от Ne* к Аг а да 2,6-Ю-16 см3. Отсюда
следует, что при давлении 80 атм х\ да 0 при концентрации
аргона 2—3%
Непосредственные оценки на основе экспериментальных
данных также подтверждают предположение о том, что на рубине
происходит фотоионизация возбужденных атомов неона, а на
неодиме нет. В чистом неоне на частоте неодимового лазера и при
пороговом поле Е = 4-106в/сл* время нарастания энергии
электрона до потенциалов возбуждения или ионизации по формуле (1.9)
оказывается равным %е « 3,6-Ю-11 сек, причем упругие и
диффузионные потери малы (частоты столкновений при 80 атм для
разных энергий электронов 1013 — 1014 сек'1). Это время гораздо
меньше, чем постоянная времени лавины 6 да 10~9 сек. Это
означает, что электрон совершает, грубо говоря, 0/те да 36 актов
возбуждения, прежде чем совершит акт ионизации. Вероятность
«прорыва» через зону возбуждения мала, и «узким» местом,
лимитирующим скорость размножения, являются неупругие потери.
В случае рубинового лазера «узким» местом являются упругие
потери. Порогового поля Е = 1,5-106 el см едва хватает на то,
чтобы преодолеть упругие потери: по формуле (1.58) smax да
да 10 эв. Если бы оказывали влияние еще и неупругие потери,
порог неминуемо должен был бы стать выше. То, что этого не про-
75

исходит, свидетельствует о малой роли неупругих потерь, т. е.
о быстроте фотоионизации возбужденных атомов.
Подчеркнем, что приведенные прямые оценки дали такой
результат потому, что порог на частоте рубинового лазера
оказался значительно меньше, чем на частот© неодимового. При
небольших давлениях соотношение порогов обратное и подобное
рассуждение могло бы и не привести к такому результату
(пересечение пороговых кривых для рубинового и неодимового лазеров при
изменении давления наблюдалось и в [23]).
Е, б/см
Рис. 2.21. Пороги пробоя
паров ртути (1) и смесей Ne— Hg
(2) и Не—Hg (3) при
неизменном давлении инертного газа
400 тор [33]
8.2. Другие смеси. В работе Э. Гернитца, Р. М. Миникаевой,
В. Е. Мицука и В. А. Черникова [33] измерялись пороги для
пробоя паров ртути (см. также [13, 34, 35]) и смесей инертных газов
с парами ртути. Опыты были сделаны с неодимовым лазером,
длительность импульса 65 псек, расходимость 1,5 -10~3, диаметр
фокуса 3,8-10~3 см. Давление паров ртути менялось в диапазоне
от 1 до 800 тор. На рис. 2.21 приведены пороги для чистых
паров и смесей Не — Hg, Ne — Hg с постоянным содержанием
инертного газа, 400 тор. Из рис. 2.21 видно, как при увеличении
содержания паров ртути в смеси пороги монотонно
приближаются к порогам для чистых паров. Эффект Пеннинга здесь,
по-видимому, не проявляется. При малых добавках ртути слишком
мала вероятность атом-атомных столкновений из-за того, что
давления низкие. При больших содержаниях ртути в смеси, видимо,
более вероятна непосредственная ионизация атомов ртути
электронами.
Чайн и Айсенор [36] (см. также [37]) исследовали эффект
добавки в аргон молекул фреона CC12F2, обладающих сродством
к электрону. Они обнаружили, что при давлении 2500 тор порог
повышается, видимо, вследствие прилипания электронов к
молекулам. При низком давлении (300 тор) порог, наоборот,
становится меньше, по-видимому, из-за ионизации самих молекул. При-
76
W0S\ 1 L- L. J
200 ш 600 800
Рщ,тор

лигхание при столь низких давлениях происходит слишком
медленно. Эффект добавок хлороформа в органические пары
рассматривал Адельман [38], добавки маленьких частиц в хлор —
Хау [11].
9. Сверхкороткие (пикосекундные) импульсы
Особого внимания заслуживает явление пробоя плотных
газов сверхкороткими, но чрезвычайно мощными импульсами,
которые удается создать на основе твердотельных лазеров путем
применения метода самосинхронизации мод.
Длительности таких импульсов имеют порядок 10""11 сек (их
называют иногда пикосекундными в отличие от обычных
гигантских — наносекундных; 1 псек = 10~12 сек). Импульс может нести
световую энергию порядка 0,1 дж и обладать огромной
мощностью порядка 1010 вт. При фокусировке такого импульса
получаются световые потоки —1014 вт/см2 и электрические поля в
световой волне выше 108 в [см.
При воздействии на газы гигантских импульсов наносекундной
длительности существует единственный способ выделить на
опыте один из механизмов ионизации: варьировать давление газа.
В сильно разреженных газах происходит многоквантовый
фотоэффект, в плотных развивается электронная лавина. Еще до
постановки первых опытов по пробою газов пикосекундными
импульсами Ф. В. Бункин и А. М. Прохоров [39] указали на другой
возможный путь экспериментального разделения основных механизмов
ионизации — воздействовать на газ импульсами сильно
различающейся длительности. Они показали, что в случае чрезвычайно
коротких импульсов многоквантовый фотоэффект можно наблюдать
и в плотных газах.
В самом деле, вероятность тг-фотонной ионизации
пропорциональна тг-й степени светового потока: w = ASn, и если в объеме
фокуса V находится J\Ta = NaV атомов, то за время импульса t
появится
ЛГг = NaVASnt (2.1)
электронов (конечно, при условии, что ЛГг <Жа). Обычно еще
далеко не полную ионизацию регистрируют как «пробой», так что
на пороге пробоя и в самом деле ^i<^«^a. С другой стороны,
скорость нарастания энергии электрона в поле пропорциональна
S, время набора энергии, равной потенциалу ионизации,
пропорционально 1/5 и в отсутствие потерь (а при очень больших
полях потери действительно несущественны) число поколений
электронов, рождающихся в лавине за время импульса,
пропорционально St. Ясно, что при больших п даже в случае плотного газа можно
подобрать столь короткое время t, что, несмотря на большую
интенсивность 5, лавина не успеет развиться. Между тем
фотоионизация, которая пропорциональна высокой степени 5, будет про-
77

исходить достаточно эффективно, и именно ею будет определяться
порог для пробоя (для появления определенного числа
электронов <#\).
Последующие опыты подтвердили этот качественный вывод.
Впервые лазерная искра в воздухе, образованная серией
следующих друг за другом пикосекундных импульсов, наблюдалась в
опытах С. Д. Кайтмазова, А. А. Медведева и А. М. Прохорова [401
(см. также [41]). Пороги для пробоя воздуха, азота и аргона
одиночным импульсом были измерены в работе Алкока и
Ричардсона [42]. Генератор, в котором использовалось неодимовое стекло
давал импульсы длительностью примерно 10~исек (10 тек) с,
расходимостью 2 -10~3 рад. Свет фокусировался линзой с / = 2 см .
Порог для пробоя атмосферного воздуха оказался равным
3-Ю14 вт/см2. Это более чем в тысячу раз превышает порог для
пробоя воздуха обычными гигантскими импульсами наносекундной
длительности. На рис. 2.22, а показаны результаты измерений
порогов в аргоне и азоте в области давлений 500—6000 тор, т. е. в
области, типичной для лавинного пробоя. Видно, что здесь
зависимость от давления имеет еще такой же характер, как и для
наносекундных импульсов. Авторы отмечают, что эти данные не
противоречат лавинной теории [24], согласно которой пороговая
интенсивность должна быть приближенно обратно
пропорциональной длительности импульса.
<?, бт/см *
5
3
2
10Ш
8
6
Ч
\ а
r ^S ^sl
ХЛ^\т
!\1v^
>tAr
1 i iii i_i i j_
to3
Рис. 2.22. Пробой пикосекунд-
ными импульсами
а — неодимового [42], б —
рубинового (N2 [43], Аг, Не [44]) лазера
W4' р,тор
WJ 10ч
р,тор
78

В широком диапазоне давлений пробой исследовался в работе
И. К. Красюка, П. П. Пашинина и А. М. Прохорова [43], и здесь
было обнаружено существование двух характерных режимов
пробоя, различающихся зависимостью порога от давления. В этих
опытах использовался рубиновый лазер, длительность
выделенного одиночного импульса была 50 псек, площадь сечения фокуса
3-10"6 см2. Пробой регистрировался при помощи
фотоумножителя по появлению вспышки. Пороги для пробоя азота при
давлениях от 2 до 104 тор показаны на рис. 2.22, б„ Отчетливо виден
излом кривой при давлении р0~360 тор. Излом, очевидно,
свидетельствует о смене механизмов пробоя. При низких давлениях
Р <Ро> по-видимому, осуществляется механизм непосредственной
фотоионизации молекул в поле сильной световой волны. В
предположении, что за время импульса 5-Ю-11 сек происходит полная
ионизация всех молекул в области фокуса, экспериментальная
вероятность фотоионизации получается равной обратной величине,
т. е. 2«1010 сек'1. Расчет по формуле Келдыша дает значение 4,6•
•1011 сек"1. Авторы отмечают, что параметр у (см. раздел 3) в
столь сильном поле, какое было в опытах, близок к 1, т. е.
вырывание электронов из молекул должно иметь промежуточный
характер между многоквантовым фотоэффектом и туннельным
эффектом.
В следующей работе тех же авторов [44] были измерены пороги
в аргоне и гелии в широком диапазоне давления. Пробой также
регистрировался по появлению вспышки. Результаты показаны на
рис. 2.22 б. Также при некоторых значениях давлений
появляются характерные изломы в кривой пороговой интенсивности. Но
здесь смена механизмов происходит при гораздо более высоких
давлениях, чем в азоте: /?0~ 5-103 тор. Пороговые интенсивности в
области фотоионизации значительно ниже, чем в азоте, в
особенности в случае аргона (более чем на порядок). Параметр «у здесь
больше 1, так что ионизация имеет характер многоквантового
фотоэффекта. Измеренные пороги для гелия неплохо согласуются с
вычислениями Бебба и Голда (об этих расчетах речь пойдет в гл. 5),
для аргона согласие хуже. При давлениях выше точки излома
пороговая интенсивность изменяется примерно как 1/р, что
характерно для лавинного пробоя. Сопоставление с порогами для на-
носекундной длительности показывает, что пороговая
интенсивность, грубо говоря, обратно пропорциональна длительности.
Обратим внимание на различие результатов работ [43, 44] и
[42] (см. рис. 2.22). Для азота зависимости от давления
согласуются (в работе (42) исследовались давления только «за изломом»).
Но порог в работе [42] раз в 5 выше, чем в [43]. Вероятно, дело в
том, что импульс в первом случае (10 псек) в 5 раз короче. Это
соответствует лавинной теории. Менее ясно обстоит дело с
аргоном. Здесь согласно [44] при давлениях ниже 5000 тор порог не
зависит от давления и равен примерно 1013 вт/см2, тогда как
согласно (42) порог продолжает быстро расти при уменьшении дав-
79

ления до крайней исследованной точки 500 тор и в этой точке
в 40 раз выше — 4-Ю14 вт/см2. Столь сильное расхождение
трудно объяснить одной лишь разницей в длительностях импульса.
Расхождение тем более разительно, что в работе [421 площадь
фокуса была в 4 раза больше, чем в [44] (f = 2cM, 6 — 2Л0~3 рад,
диаметр фокуса 4-10~3см, площадь 12-10"6 см2, тогда как в
[44] ЗЛО-* см2).
Особенно заметна независимость порога пробоя от давления
газа при тех давлениях, которые соответствуют области действия
многофотонной ионизации (см. рис. 2.22,6). Это обстоятельство
кажется весьма странным. Ведь при фотоэлектрической регистрации
пробоя, как это было в опытах [43, 44], факт «пробоя», казалось
бы, должен соответствовать появлению более или менее
определенного количества электронов, а не определенной степени
ионизации газа.
Если это действительно так, то согласно формуле (2.1)
пороговая интенсивность S должна зависеть от давления
(плотности) газа как S — р1^ и эта, пусть даже очень слабая,
зависимость должна была бы проявиться на опыте при исследовании
столь широкого диапазона давлений, как в [43, 44].
Чрезвычайно слабо зависит от давления порог пробоя аргона
и азота и на второй гармонике рубина, хотя в этом случае
показатель степени 1/п вдвое больше. Измерения были сделаны
И. К. Красюком и П. П. Пашининым [59]. Длительность импульса
составляла 30—50 псек, площадь фокуса 1,4- 10~б см2. Факт пробоя
регистрировался визуально, по появлению вспышки. При
изменении давления от 400 до 4500 тор, т. е. в 11 раз, порог для
пробоя аргона практически не изменился и был равным 5-Ю11 вт/см2,
порог в азоте, по-видимому, немного снизился, от 3,5-1011 до
2,8-1011 вт/см2. По сравнению с первой гармоникой порог стал
ниже в 20 раз для аргона и в 300 раз для азота. В работе [43]
отмечается, что причина слабой зависимости S (р), возможно,
связана с тем, что происходит полная ионизация газа, но вопрос
все же остается без должного ответа.
Дьюхарст, Перст и Рэмсден [60], работая с пикосекундными
импульсами неодимового лазера, обнаружили излом на кривой
зависимости порога в азоте, а в других газах не обнаружили.
Дальнейшее исследование искры, образованной пикосекундными
импульсами [45], показало, что при фокусировании излучения
длиннофокусной линзой с / — 15 см в кружок с диаметром d =
— 2«10~2 см порог для пробоя азота и воздуха при атмосферном
давлении 3,5-1012 вт/см2 значительно снизился по сравнению со
случаем более острой фокусировки (/ = 2 см, d = 1,7-10~3 см),
когда он составлял 1,5-1014 вт/см2 [43].
Авторы связывают такую зависимость от диаметра с влиянием
эффекта самофокусировки при пробое. Явление самофокусировки
лазерного излучения привлекалось для объяснения
экспериментальных данных по лазерной искре и в работах [46, 47]. Вопрос
80

этот очень сложный, и здесь еще далеко до полной ясности, так же
как и в понимании явления пробоя сверхкороткими импульсами.
Вэнг и Дэвис 153] измеряли порог для пробоя атмосферного
воздуха импульсами неодимового лазера с длительностями At ^
ж 20 псек, 1 нсек и 100 нсек. Пороги по интенсивности S относятся
как ж1 : 2 : 100. Они предложили феноменологическое
соотношение S — сосД£ [1 — ехр (— cocAt) _1 с сос = 1,5 -103 Нсек для
описания зависимости S (At).
10. Одновременное действие лазерного импульса
и СВЧ-поля
В работе А. П. Дарманяна, В. Е. Мицука и В. А. Черникова
[48] было обнаружено, что при одновременном действии
гигантского лазерного импульса и СВЧ-поля порог для пробоя
существенно понижается по сравнению с порогами, соответствующими
каждому из излучений в отдельности. Луч рубинового лазера с
длительностью импульса 60 нсек и расходимостью 2-10~3 рад
фокусировался линзой с / = 1,8 см внутри СВЧ-резонатора,
который представлял собой закороченный отрезок волновода
сечением 2,3 • 1,0 см2. Резонатор возбуждался на частоте 9,4 Ггц
(Я0 ж 3 см) с помощью импульсного магнетрона (мощность в
импульсе 100 кет, длительность 1 мксек). Максимальное СВЧ
электрическое поле внутри резонатора в области фокуса
достигало 7-Ю3 el см. Вектор поля был направлен вдоль оси светового
луча. Пробой регистрировался визуально и с помощью
фотоумножителя. Для всех исследованных газов (Аг, Кг, Не) и
давлений (от 40 до 460 тор) СВЧ-поля были значительно ниже
пороговых для пробоя. Даже при самом низком давлении 40 тор
поля были в 2—3 раза ниже пороговых, а при более высоком
давлении — в еще большее число раз (при таких давлениях СВЧ-
пороги растут с повышением давления, см. раздел 6).
При воздействии светового импульса порог по световому полю
уменьшается в десятки раз по сравнению с полем, требующимся
для пробоя газа при тех же условиях, но в отсутствие СВЧ-воз-
действия. Результаты измерений показаны на рис. 2.23 для СВЧ-
поля 7-Ю3 е/см и на рис. 2.24 для разных СВЧ-полей.
Проделанные расчеты [48] развития электронной лавины на
основе теории [24] и с привлечением результатов расчетов [9, 10]
показали, что энергия электронов нарастает главным образом под
действием не светового, а СВЧ-поля; роль света заключается в
резком увеличении вероятности электрону проскочить зону
возбуждения. Принимая во внимание это обстоятельство, вероятно,
естественнее было бы говорить не о снижении порога светового
пробоя при наложении СВЧ-поля, а, наоборот, об облегчении СВЧ-
пробоя при воздействии лазерного импульса.
81

В работе А. Г. Акманова, Л. А. Ривлина и В. С. Шильдяева [58]
было обнаружено, что напряжение пробоя газа между
электродами снижается, если газ подвергается многофотонной ионизации
Е, 5/см
£?.0/№
400
р,тор
2-70-
4-10
6-10'Е1гб/см
Рис. 2.23. Пороговые поля излучения рубинового лазера для пробоя аргона (2)
и при совместном действии излучения рубина и СВЧ-поля 7-103 el см (2) [48]
Рис. 2.24. Зависимость порогового лазерного поля от величины
приложенного СВЧ-поля [48]
1 — криптон, р = 160 тор\ а — аргон, р = 100 тор
под действием ультрафиолетового излучения четвертой
гармоники неодима. Канал пробоя располагался вдоль светового луча.
Отклоняя луч от нормали к плоским электродам, можно было
создать направленный пробой. (См. также работу Л. В. Норин-
ского [61] на эту тему).
11. Взаимодействие лазерного импульса с ионизованным газом
и эффекты нелинейного поглощения
11.1. Эксперимент. Известно, что искусственное создание
затравочных электронов нисколько не облегчает условия для
оптического пробоя газа. В работе [23] отмечается, что облучение газа
ионизирующим излучением радиоактивного кобальта никак не
повлияло на лазерный пробой. При более значительной
предварительной ионизации, — 1011 1/см3, характер пробоя не
меняется, но порог понижается, для неодимового лазера — вдвое по
интенсивности (см. подраздел 7.2).
Совершенно иной характер имеет процесс воздействия
лазерного импульса на газ, ионизованный в заметной степени. Этот
процесс изучался экспериментально и теоретически в работах
Н. А. Генералова, Г. И. Козлова и автора [49—52]. На опыте
были обнаружены эффекты нелинейного поглощения света, т. е.
зависимости поглощательной способности газа от
интенсивности светового излучения. Собственно, при обычном пробое
также проявляется нелинейный характер поглощательной способ-
82

ности газа в том смысле, что при слабых интенсивностях света,
которые ниже пороговых для пробоя, поглощательная способность
равна нулю, а выше порога — отлична от нуля и весьма высока.
Однако в отличие от пробоя в обычных условиях при воздействии
светового импульса на ионизованный газ процесс теряет резко
выраженный пороговый характер, и переход от прозрачности к
непрозрачности при изменении интенсивности света становится
постепенным. Более того, в некотором диапазоне интенсивностей
света поглощательная способность ионизованного газа становится
меньше нормальной величины, соответствующей обычному
(линейному) поглощению световых лучей слабой интенсивности, т. е.
среда «просветляется».
В опытах [49, 50] ионизованный в должной степени газ — это
был ксенон — получался за отраженной ударной волной в
ударной трубе. Температура непосредственно за отраженной волной
была равна 11 200°, плотность нейтральных атомов Na = 5,5*
•1018 1/см3, плотность электронов Ne = 1,0 • 1018 1/смг. Такие
параметры получались при начальном давлении ксенона 10 тор
и скорости падающей ударной волны 1,82 км/сек. Ударная труба
имела два смотровых окна, расположенных друг против друга по
большому диаметру на расстоянии 1 см от заднего торца. Через
эти окна пропускался лазерный свет и измерялось его ослабление
в результате прохождения через плазму; путь в плазме, равный
внутреннему диаметру трубы, составлял 8 см. Длительность
импульса рубинового лазера 50 нсек; луч фокусировался линзой с
/ = 3 см в кружок диаметром 1,35-10~2 см в точку на оси трубы.
Мощность падающего света изменялась нейтральными
светофильтрами, причем исследовался большой диапазон мощностей в
пределах семи порядков.
Газ за ударной волной в ударной трубе всегда охлаждается
из-за потерь на излучение. Поэтому, для того чтобы в каждом из
многочисленных опытов импульс проходил через плазму с
одними и теми же параметрами, лазер должен был срабатывать в
строго определенный момент времени после прохождения отраженной
ударной волны мимо смотровых окон. Это достигалось путем
соответствующей синхронизации.
На рис. 2.25 показано отношение прошедшей световой
мощности к падающей PJP0 (кривая 1 — 10000°, 2 — 9000°) в
зависимости от падающей Р^ Последняя представлена в относительных
единицах, на оси абсцисс отложена величина P0/Pt, где Pt =
= 20 Мет — пороговая мощность для пробоя холодного ксенона
той же плотности, что и исследуемая плазма, и при фокусировке
света той же линзой. Плотность плазмы в опытах соответствует
давлению холодного ксенона р ж 200 тор. Измеренная в этих
опытах пороговая интенсивность St = 1,4-1011 вт/см2, хорошо
согласуется с данными [8]. Кривая 3 дает то же самое для
холодного ксенона. Видно, насколько резок порог для пробоя
холодного газа и как медленно и постепенно нарастает поглощение све-
83

Та при увеличении его мощности, если газ предварительно
ионизован. В случае холодного газа при пороговой мощности через
плазму пробоя проходит только 10% падающего излучения, а при
мощности, всего в полтора раза меньшей, никакого ослабления
света вообще не удается заметить. Если же газ предварительно
ионизован, поглощение света начинает нарастать еще при
мощности, в 100 раз меньшей, чем пороговая. Можно сказать, что под
действием лазерного света происходит «потемнение» плазмы.
Pt/Po
1,М!Г3 МПО"1
1,4-W1 1,4-103 8,Мвт/см'
0,8\
ОА
&
о1=г
10 8
±
1(Г
10~
10~
Ро/Рь
10°
Рис. 2.25. Прохождение
импульса рубинового
излучения через плазму
ксенона с Т = 10 000 (1);
Т = 9000° (2) и через
холодный ксенон той же
плотности р = 200 тор
(3)
Р0 — падающая мощность,
Pt — прошедшая,
Pt = 20 Мет [52.1
Из рис. 2.25 видно, что при мощностях, составляющих 10~4 —
КГ2 от Pt, относительное прохождение луча через плазму
оказывается более сильным* чем в случае малых интенсивностей света,
когда она не зависит от интенсивности, поскольку коэффициент
поглощения плазмы является постоянным. Это означает, что под
действием света происходит «просветление» плазмы. Кривая 2
рис. 2.25 относится к моменту времени 300 мксек после
прохождения отраженной ударной волны мимо смотровых окон в ударной
трубе. За это время исходная плазма остывает на 2000°, т. е. до
9000°.
Кривая 1 относится к моменту 100 мксек, что соответствует
охлаждению плазмы к моменту лазерного импульса только на
1000°, т. е. более высокой степени ионизации и более сильному
поглощению в линейной области. Параметры этой плазмы таковы:
Т = 10 000°, Na = 6,1-1018 1/см3, Ne = 0,38-10" 1/см3, степень
ионизации — 6%, измеренный коэффициент поглощения света
слабой интенсивности \х'ш = 0,105 см"1 (это есть эффективный
коэффициент, учитывающий вынужденное испускание, см. подраздел
5.3). В этом случае эффект просветления выражен более
явственно, ибо он появляется на фоне более сильного линейного
поглощения.
Итак, опыт показал, что при интенсивностях лазерного света
меньше — 107 em/см* коэффициент поглощения ионизованного газа
84

йе зависит от интенсивйости света, в области S — 107 -г- 109
вт/см2 поглощательная способность уменьшается, а в диапазоне
S ~ 109 -г- 1011 вт/см2 постепенно нарастает. При интенсивности
iSf ж 1,4-Ю11 вт/см2, пороговой для пробоя холодного ксенона
той же плотности, состояние плазмы в фокусе оказывается одним
и тем же независимо от того, был ли газ предварительно
ионизован или нет. Плазма в фокусе при этом почти полностью
поглощает лазерный луч.
11.2. Физические причины «просветления» и «потемнения»
плазмы. Оба обнаруженных на опыте нелинейных эффекта:
«просветление» и постепенное «потемнение» частично ионизованного
газа — связаны с воздействием поглощаемого света на плазму,
которое приводит к изменению ее состояния, причем состояние
это становится существенно неравновесным. Имеются два
основных механизма поглощения света в частично ионизованном газе:
связанно-свободные переходы, или фотоионизация атомов, и
свободно-свободные, или тормозное поглощение, при рассеянии
электронов в поле ионов. Коэффициент фотоионизационного
поглощения складывается из парциальных коэффициентов,
соответствующих атомам, находящимся в различных квантовых состояниях,
(ico = SiVnan, где Nn — число атомов на тг-м уровне в 1 см3,
оп — сечение фотоэффекта для этого уровня. Сумма
распространяется только на те довольно высоко лежащие уровни, где
энергия связи электронов меньше, чем Йсо = 1,78 эв, ибо только такие
уровни и участвуют в поглощении квантов /ш. Коэффициент
тормозного поглощения \хТ — N\ Т~Ч*, полный коэффициент
^ = Нч& + Иг-
Рассмотрим сначала, как происходит просветление плазмы.
В результате поглощения лазерного света электронный газ
нагревается и его температура возрастает. Как показывают оценки,
заметное нагревание происходит как раз при тех интенсивностях,
при которых начинается просветление.
Повышение температуры способствует ионизации
возбужденных атомов при столкновениях с электронами. Ионизация
-происходит очень быстро при температурах 10000° К, за времена порядка
10~п сек, очень малые по сравнению с длительностью лазерного
импульса. Повышение температуры ведет и к одновременному
ускорению актов возбуждения атомов из основного состояния при
электронных ударах. Однако процесс возбуждения (и ионизации)
атомов из основного состояния идет значительно медленнее, чем
ионизация возбужденных атомов, так как требует гораздо
большей затраты энергии. В обычных (равновесных) условиях этот
второй процесс все равно протекает достаточно быстро, что ведет
к повышению заселенности верхних состояний атомов. Иное дело
в опытах с короткими лазерными импульсами. За время
импульса процессы возбуждения атомов из основного состояния не
успевают происходить, и в результате преимущественного действия
быстрого процесса ионизации возбужденных атомов заселенность
85

верхних уровней падает. Уменьшается она не беспредельно, так
как одновременно с ионизацией идут столь же быстро
протекающие обратные процессы захвата электронов ионами на верхние
уровни при тройных столкновениях с участием электронов в
качестве третьих частиц. Устанавливается новое квазиравновесное
состояние, в котором имеется приближенное равновесие между
свободными электронами и возбужденными атомами, но нет
равновесия между возбужденными и невозбужденными атомами. В
этом новом состоянии концентрация возбужденных атомов,
которые и являются главными поглотителями света, становится
меньше начальной, что и приводит к уменьшению поглощения
света.
Исчезновению возбужденных атомов способствует и процесс
фотоэлектрического поглощения световых квантов. В самом
начале области просветления он играет второстепенную роль.
Однако при дальнейшем увеличении интенсивности света роль
его становится значительной. Заметим, что наряду с
фотоионизацией под действием света быстро протекает процесс вынужденной
фоторекомбинации, при котором в поле лазерного света
происходит захват электронов ионами с испусканием квантов тех же
частот и направлений.
При больших интенсивностях начинается другой эффект —
потемнение плазмы. В этой области интенсивностей света
электронный газ нагревается весьма сильно, что способствует росту
скорости возбуждения (и ионизации) атомов из основного
состояния. Это приводит к нарастанию степени ионизации и плотности
свободных электронов и в результате — к увеличению поглощатель-
ной способности плазмы.
На основе изложенного качественного объяснения механизмов
возникновения просветления и потемнения плазмы в работе [52]
построена количественная теория нелинейного поглощения. Она
базируется на рассмотрении кинетики неравновесных состояний
плазмы при воздействии на нее лазерного излучения. Результаты
расчетов хорошо согласуются с опытом.
Нелинейные эффекты при поглощении света плазмой могут
существенно изменить экранировку лазерного излучения
ионизованными парами при облучении твердых мишеней. Их
необходимо учитывать и при лазерной диагностике плазмы, которая по
самой своей идее требует того, чтобы свойства плазмы не менялись
под действием лазерного света. Ведь при лазерной диагностике
всегда стараются применять как можно более интенсивное
излучение, чтобы легче было зарегистрировать очень слабый
рассеянный свет, который и несет информацию о свойствах плазмы. Как
видим, возможности увеличения интенсивности ограничены, так
как при больших интенсивно стях свет существенным образом
воздействует на плазму и меняет ее состояние.
86

Глава 3
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В ПОЛЕ
12. Уравнение Больцмана для электронного газа
12.1. Функция распределения электронов. В элементарной
теории ионизованного газа в поле электромагнитной волны,
которая излагалась в гл. 1, все внимание сосредоточено на одном
отдельном электроне. Рассматривая движение электрона в поле
при одновременном воздействии столкновений и считая, что все
электроны в среднем ведут себя одинаково, можно приближенно
вычислять многие важные величины: электропроводность и
диэлектрическую постоянную ионизованного газа, коэффициент
поглощения электромагнитной волны, скорость нарастания
энергии электрона — и на этой основе выяснить некоторые
закономерности развития электронной лавины и пробоя. Однако такой
подход, весьма привлекательный благодаря своей простоте и
наглядности, все же является весьма несовершенным. Например,
в рамках элементарной теории довольно трудно вычислить
вероятность электрону проскочить через «опасную» энергетическую
зону между потенциалами возбуждения и ионизации, т. е.
рассмотреть эффект, имеющий первостепенное значение для вопроса
о пробое.
Наиболее полное и детальное описание различных эффектов
взаимодействия ионизованного газа с электромагнитной волной
можно дать лишь при помощи функции распределения
электронов. Функция распределения электронов по скоростям / (t, г, v)
определяется таким образом, что / (£, г, v) drdv представляет
собой число электронов, находящихся в момент времени t в
элементарном объеме dr = dxdydz и обладающих компонентами
скоростей от vx, vy, vz до vx + dvx, vy + dvy, vz + dvz. Символом dv
обозначается элемент объема в пространстве скоростей dv =
= dvxdvydvz. В условиях, когда в пространстве есть выделенное
направление, как в интересующем нас случае (направление
электрического поля), вектор v удобнее выражать не в декартовых, а
в сферических координатах. Он определяется величиной скорости
v и углом наклона ее Ф к полярной оси, а в общем случае еще
азимутальным углом ф (рис. 3.1, на котором показаны координатные
орты е0, ее). Элемент объема dv — v2dvdQ, где dQ = sin ftdftdy —
элемент телесного угла направлений вектора скорости.
Интеграл по скоростям от функции распределения дает
плотность электронов
ЛГв =$/(*, г, v)dv. (3.1)
87

От функции распределения по векторам скорости легко перейти
к распределению по абсолютным значениям скорости ф (г;) dv
или по энергиям п (е) de:
п (&) de = ф (v) dv = v2dv \ / (v) dQ.
(3.2)
Связь между этими распределениями следует из равенства
е = mv2/2:
п (е) = ф (v)/mv, ф (и) = п (г) }^2m8. (3.3)
Зная функцию распределения электронов, можно вычислить
любую величину, относящуюся к электронному газу,
например частоту ионизации по формуле (1.48)
или плотность полного электронного тока
h
?^ v/(v) dv.
(3.4)
Рис. 3.1. Сферические
координаты в
пространстве скоростей
С помощью этого выражения можно будет
определить высокочастотные проводимость
и диэлектрическую постоянную плазмы.
12.2. Формулировка кинетического
уравнения. Выводу, исследованию и
методам решения кинетического уравнения
Больцмана для частиц в газе посвящено
много работ и руководств. Сошлемся
лишь на фундаментальный труд Чепмена
и Каулинга [1]. Кинетическое уравнение
для электронов в поле рассматривается
в книгах В. Л. Гинзбурга [2], В. Е. Го-
ланта [3], особенно детально в книге Мак-
Доналда [4]. Тем не менее мы здесь также
остановимся на выводе классического кинетического уравнения
для электронов и, главное, преобразовании его к уравнению для
функции распределения по энергиям, поскольку последнее лежит
в основе лавинной теории пробоя. При этом, кое-где поступаясь
математической строгостью и полнотой, мы постараемся
изложить этот в общем не простой раздел по возможности доступнее
и в той мере, в какой это необходимо, для того чтобы оперировать
уравнением в задачах о пробое с полным пониманием физического
существа дела.
Проследим за совокупностью электронов, занимающих в
данный момент t некоторый элементарный фазовый объем drdv около
точки г, v. Этот элемент движется во времени, так как электроны
переходят из одной точки обычного пространства в соседнюю и
под действием внешних сил ускоряются, т. е. скорости их также
меняются. Полная производная от функции распределения,
которую, следовательно, надо рассматривать как сложную функцию
88

времени, есть
dt - at + х дх + У ду + z dz + VxfoTx + vv э^ + v* wz'
где точкой обозначено дифференцирование по времени. В
компактной векторной форме это выражение запишется в виде
df/dt = df/dt + v df/дт + w df/dv,
где символы д/dv и d/dv обозначают градиенты в обычном
пространстве и в пространстве скоростей, a w = v — вектор
ускорения. Если F — внешняя сила, которая действует на электрон, то
w = F/m.
Число электронов в перемещающемся элементе фазового
объема изменяется за счет столкновений, а также в результате
рождения или исчезновения электронов. Одни электроны уходят из
данного элемента dv вследствие изменения скорости при
рассеянии, другие приходят после последнего столкновения. Акты
рождения и исчезновения электронов в общем также связаны с теми
или иными процессами столкновений.
Обозначим изменение функции распределения вследствие всех
этих процессов столкновений (df/dt)CT. В своей наиболее общей
форме кинетическое уравнение выражает тот факт, что df/dt =
= (df/dtCT), т. е.
df/dt + у df/dv + ~ df/dv = (df/dt)CT. (3.5)
Если полная производная df/dt связана с совокупностью
частиц, перемещающихся в фазовом пространстве, то частная
производная df/dt характеризует изменение числа электронов в
данной покоящейся точке фазового пространства. Это локальное
изменение связано не только со столкновениями, но и с втеканием
(вытеканием) частиц в покоящийся элемент объема. Уравнение
(3.5) можно вывести и таким путем, рассматривая протекание
частиц через поверхности покоящегося объема. При этом,
естественно, получается то же самое уравнение (3.5).
Теперь конкретизируем уравнение применительно к
интересующему нас случаю электронов, находящихся в поле
монохроматической электромагнитной волны. При этом введем ряд
упрощающих допущений. Будем пренебрегать действием магнитного
поля волны и считать электрическое поле однородным в
пространстве. Первое допущение предполагает, что скорости
нерелятивистские: v<^c. Второе —что путь, проходимый электроном за
период колебаний поля, и амплитуда колебаний электрона в поле
гораздо меньше длины волны, т. е. v/co <^ с/со (это дает то же
самое условие, v <^ с) жеЕ/пкй2, <^ с/со (и = еЕ/ты <^ с). Последнее
неравенство, как следовало из оценок гл. 1, в условиях пробоя
выполняется с большим запасом.
89

Зависимость функции распределения от пространственных
координат связана не только с возможной зависимостью от
координат электрических сил, но и с существованием градиентов,
скажем градиента плотности электронов. Это приводит в
конечном счете к диффузионному потоку частиц. Нас здесь главным
образом будет интересовать распределение электронов не в
обычном пространстве, а по скоростям и энергиям. Диффузионные
потери можно учесть стандартными методами и сейчас, при
исследовании распределения по скоростям, мы ими заниматься не будем.
Положим, следовательно, что функция распределения в той же
мере однородна в пространстве, что и поле, и опустим в (3.5)
слагаемое ydf/dv. Раскроем символ градиента в пространстве
скоростей, воспользовавшись сферическими координатами:
д __ , д 1а. _А д
g^ = graav - ev ^ + е^^ + еф ^^-^
(см. рис. 3.1).
Принимая во внимание перечисленные упрощения и допущения
и имея в виду осевую симметричность распределения скоростей
относительно направления поля, запишем исходное кинетическое
уравнение для функции /(£, v, ft) в виде
d±-eJL rcos ft й + *Ь£± д* 1 - (U) (3 6)
12.3. Интеграл столкновений. Займемся теперь правой частью
уравнения (3.6). Будем считать газ ионизованным слабо и
пренебрегать столкновениями электронов с другими электронами и
ионами, учитывая только столкновения с нейтральными атомами.
В задаче о пробое это вполне оправданно, так как вопрос о том,
разовьется ли лавина или затухнет, решается на самой ранней
стадии размножения, когда электронов еще мало. Вклады
столкновений каждого рода в изменение функции распределения просто
суммируются. Разделим все столкновения на упругие и
неупругие:
(df/dt)„ = (d//d*)ynp + да*)неупр = /(/)+<? (/)• (3.7)
К группе неупругих столкновений помимо процессов
возбуждения и ионизации атомов отнесем рождение новых электронов
при ионизации, возможные процессы исчезновения и т. д.
Неупругие столкновения часто играют большую роль в
формировании энергетического спектра электронов, но случаются они
гораздо реже, чем упругие, и потому практически не влияют на
взаимодействие электронов с полем и на изменения скорости и
энергии электронов под действием подя. Неупругие процессы не
влияют, следовательно, на установление асимметричной части
функции распределения, которая связана с направленным
действием поля и частыми упругими столкновениями. Поэтому пока
мы не будем раскрывать выражения Q (/) = (df/dt)ueYnp и сделаем
90

это лишь после того, как перейдем от функции распределения по
векторам скоростей к распределению по энергиям электронов.
Рассмотрим слагаемое / (/) — так называемый интеграл
столкновений. Будем считать атомы до столкновения покоящимися,
что вполне оправданно, так как они гораздо тяжелее электронов
и температура атомного газа в начале пробоя почти не отличается
от комнатной. Тогда из законов сохранения энергии и импульса
следует, что скорость электрона v после упругого рассеяния на
угол 0 с точностью до величины второго
порядка малости по а — т/М равна
v = v'(l-a), а = ^ С1 ~ cos е)> (3-8)
где г/ — скорость до столкновения *.
Теперь, принимая во внимание, что
величина скорости электрона после
столкновения однозначно определяется углом
рассеяния, составим выражение для
интеграла столкновений. Обозначим Q —
вектор направления скорости, dQ —
интервал (телесный угол) направлений. Функ- Рис. 3.2. Угол рассеяния
ция распределения2 является функцией
от величины и направления скорости / (v) = / (г>, Q). Из данного
элементарного объема в пространстве скоростей v2dvdQ около
конца вектора v (г;, Q) в единицу времени вследствие
столкновений уходит / (г;, Q) v2dv dQ vc (v) электронов, где vc (v) — частота
столкновений. В эту величину вносят свой вклад акты рассеяния
на всевозможные углы (рис. 3.2). Пусть q (г;, Q, Q') dQ' —
вероятность того, что при рассеянии электрон со скоростью v (г;, Q)
приобретает направление Q' в интервале направлений dQ'.
Вероятность того, что электрон приобретет любое направление,
равна 1, т. е. \ q (v, й, Й') dQ' = 1. Число уходящих электронов можно
подробно расписать в виде
/ (v, Q) v2dvdQvc (v) = $ / (у, О) v2dv dQvc (v) q (v, Й, Q') dQ'. (3.9)
a'
Из других направлений Q' в данное Я в тот же интервал
i?dvdQ в секунду приходит
\ / (г/, Q') v'2 dv' dQ'vc И q (i/, Я', Q) dQ (3.10)
1 Действительно, атом приобретает при ударе импульс — т (v — v') и
энергию т2 (v — v')2/2 М. Такую же энергию электрон теряет: mv2/2 —
— mv'2l2 ^ — (2m/M)(mv'2/2)(l — cos 0), откуда с учетом т/М <^ 1 и
получается (3.8).
2 Вообще говоря, / = / (v, ft), но для последующих рассуждений
направление скорости является существенным, поэтому мы оставляем более общую
| форму / (v, О).
Ш

электронов. Начальные значения скорости г/ и интервалы dv
при данном угле рассеяния связаны с конечными v, dv уравнением
(3.8), в котором 0 — угол между векторами Q' и Я.
Результирующее изменение числа электронов в
рассматриваемом интервале 7" [/ (г;, Q)] v2dv dQ равно разности выражений
(3.10) и (3.9). Выразим v'2dv' в (3.10) через v2dv с помощью
уравнения (3.8): v'2dv' ^ v2dv (1 + За) (здесь произведено разложение
с учетом того, что а <^ 1). Это соотношение выражает тот факт,
что из-за небольшой потери в скорости электроны приходят в
данный элемент объема в пространстве скоростей из несколько
большего объема.
Далее, величина, характеризующая вероятность перехода при
столкновении из одного направления в другое, q (Q' Я),
зависит не от самих направлений Й'иЙ, а лишь от угла 0 между
ними, поэтому в выражении (3.10) величину q (г/, Я', Я) = q (г/, 0)
с равным успехом можно интегрировать как по конечным
направлениям Я, так и по начальным Я'. Составляя теперь разность
(3.10) и (3.9), вынося дифференциал объема v*dv dQ и сокращая
на него, найдем
/ (/) = 5 [/ (*', ПО vc И q К 0) (1 + За) - / (v, Я) vc (v) q (v, 0)] effi',
* (3.11)
где направления Я' и Я отклонены друг от друга на угол 0 и
интегрирование ведется по всем направлениям Я'.
Имея в виду, что скорость г/ отличается от v лишь на очень
малую величину av, разложим первое слагаемое под знаком
интеграла около значения скорости v и пренебрежем величинами
второго порядка малости по а. В результате простого вычисления
интеграл столкновений (3.11) представляется в виде суммы двух
слагаемых:
/tf) = /e(/) + /e(f). (3.12)
Первое из них не зависит от а, т. е. соответствует бесконечно
тяжелым атомам:
h (/) = \ [f (v, ОТ) - / (v, Я)] vc (v) q (v, 0) dQ'. (3.13)
Оно описывает влияние изменения направления скорости при
упругих столкновениях. Второе слагаемое, которое порядка а:
h(f) = а [ [3(/vcg) + v ± (fvcq)] dQ',
CI'
преобразуется к виду
7* (/)=ъ ^Tvv* Вf <*•Q,> v° м <* -cos е) q {v>е) dQr] -(зл4)
Этот член, пропорциональный т/М, как мы увидим ниже,
характеризует роль упругих потерь энергии электронов.
92

13. Классическое уравнение
для энергетического спектра электронов
13.1 Вывод уравнения из кинетического. Кинетическое
уравнение (3.6) с правой частью, определяемой формулами (3.7),
(3.12), (3.13), (3.14), в математическом отношении очень сложно,
так как оно является интегродифференциальным по углу д.
Стандартный метод решения кинетических уравнений состоит в
том, чтобы превратить интегродифференциальное уравнение в
дифференциальные путем приближенного описания угловой
зависимости распределения по скоростям. Представим решение
уравнения в виде разложения по полиномам Лежандра Pk (cos О):
1, cos Ф,...,
f(t,v,^) = lf0(t,v) + cos^f1(t,v)+ -1 (3cos2fl-l)/2(£, !?)+...
(3.15)
и поставим задачу отыскания функций /0, Д, /2... Главный член
разложения /0 определяет функцию распределения электронов по
энергиям, так как в силу ортогональности полиномов Лежандра
и согласно формулам (3.2), (3.3)
1
5 / dQ =з 2п J P0fd (cos #) = 4я;/0 = Ф {v)Ju2 = т^п (в)/ ]/~2&. (3.16)
—1
Для многих задач знания угловой зависимости функции
распределения вообще не требуется и единственной целью решения
кинетического уравнения является отыскание одной лишь ее
изотропной составляющей /0.
Представление функции распределения в виде ряда (3.15)
облегчает задачу решения кинетического уравнения лишь в том
случае, если в разложении можно оставить небольшое число
членов, скажем два, а остальные отбросить. Поскольку причиной,
вызывающей угловую зависимость функции /, является поле, то,
очевидно, такой способ решения имеет смысл в случае небольших
полей. В отсутствие поля решение уравнения (3.6) от направления
скорости не зависит. Следовательно, разложение (3.15) можно
рассматривать как разложение по малому параметру, который
пропорционален величине поля: Д — Е, /2 — Е2 и т. д. Что на
самом деле представляет собой этот малый параметр, который,
конечно, является безразмерным, станет ясно из дальнейшего.
Для того чтобы вывести уравнения, которым подчиняются
новые функции /0, Д, /2,.--> будем умножать кинетическое
уравнение (3.6) на Рт и интегрировать по углам с учетом
ортогональности и других свойств полиномов Лежандра [2]. Получающиеся
в результате вычислений первые три уравнения имеют вид
а/о еЕ_ Г 1 d{v*fi) , 1 _ г -
dt т 1>2 ~~д^ ""Г • • • J — Mb
93

Ь = ^\Р*{™*)$)„Я*. (3.18)
Выражения в квадратных скобках слева легко получить путем
непосредственного вычисления, так как первые несколько
полиномов выглядят очень просто. Точки в скобках означают, что
опущены малые по отношению к оставленным члены порядка £2,
Я4 и т. д.
Система (3.17) выписана с гораздо большей степенью полноты,
чем это фактически потребуется для приближенного решения.
Это сделано для того, чтобы продемонстрировать, как
«зацепляются» уравнения и почему так получается, что в разложении (3.15)
fk — Ек. Ограничимся только двумя первыми членами
разложения (3.15), представив функцию распределения в простейшей
форме
/ = /o + /iCosd = /0 + ^s(i;), g(v) = !±p. (3.19)
Соответственно ограничимся двумя первыми уравнениями
(3.17), опустив в них члены порядка /2 и выше. Тогда система из
этих двух уравнений относительно неизвестных функций /0 и Д
становится замкнутой.
Рассмотрим первое из уравнений (3.17). Интеграл по углам от
слагаемого Iq B'(df/dt)CT (формулы (3.7), (3.12), (3.13))
автоматически обращается в нуль при любой функции / (Ф)
(действительно, число электронов с любым направлением скорости от упругих
столкновений не меняется). В слагаемом Д, которое и само по себе
мало, так как оно пропорционально т/М, оставим только старший
член /0. Тогда эта величина становится не зависящей от
направления скорости и равной
7» = Ъ hTv ^™ М М« v- = vc (1 - ™ie). (3.20)
В таком виде согласно (3.18) она и включается в качестве
слагаемого в L0. В слагаемом Q (/) (3.7) мы также оставим только
старший член функции распределения /0, поскольку величина
Q (/) мала из-за редкости неупругих столкновений. Таким
образом, первое из уравнений (3.17) превращается в уравнение
Ж = ет£ТО + /о+ <?(/•)• (3-21)
Как следует из этого уравнения, в отсутствие поля распределение
электронов по энергиям изменяется с течением времени из-за
94

упругих и неупругих потерь энергии, причем упругие потери
даются членом 10. Воздействие поля на энергетический спектр
описывается первым слагаемым в правой части (3.21).
Рассмотрим второе из уравнений (3.17). Слагаемое,
пропорциональное /2, в левой части опускаем. В интеграле Lx слагаемые
подынтегральной функции cos §Ди cos Ф Q при интегрировании
по углам обратятся в нули, так как мы оставляем в этих малых
величинах только симметричную часть /0. Таким образом,
L± = JL С Cos WQ = А [ cos MQ [ [f (Qf) - / (Q)] vcq (0) dQ'.
Старший член в этом интеграле, который мы только и
оставим, пропорционален Д, так как /0 (Q) = const. Тогда
Lx = -—■ /х (у) vc (у) ^ cos & dQ ^ (cos tf' — cos О) g (6) dQ'.
Внутренний интеграл по dQ' берется
по всем направлениям й' при
фиксированном направлении Q. При
интегрировании по углам Й' вовсе не обязательно
в качестве полярной оси выбирать
направление поля, в данном случае гораздо
удобнее выбрать фиксированное
направление Q и описывать направление Q'
углами 0 и ф' (рис. 3.3), где азимут q/ от-
считывается от плоскости, в которой лежат
направления Е и £2. Выражая cos Ф' через
новые переменные интегрирования 9 и
ф' (dQ* = йф' sin 0d0) по известной
формуле
1
Si
\ К
Рис. 3.3. Направления
скоростей при рассеянии
и поля
cos Ф' = cos Ф cos 0 + sin Ь sin 0 cos ф',
найдем
5<
I (cos Ь' — cos Ь) q (0) йф' sin QdQ = cos Ф (cos 0 — 1).
В этом вычислении использовано то, что J cos ф'йф' = О,
a I qdQ' = 1 согласно условию нормировки вероятности q.
Следовательно, имеем
U = ^ /ivc (cos8 - 1) $cos2ddQ = - vm(v)U(v),
и второе уравнение (3.17) превращается в уравнение
(3.22)
t + ^A
e_E_dfo
т dv
Заметим, что до сих пор мы еще нигде не оговаривали
характер зависимости поля от времени. Уравнения (3.21), (3.22)
определяют асимметричную функцию распределения электронов (3.19)
95

в любом достаточно слабом однородном поле Е (t) постоянного
направления, в частности в случае постоянного поля.
Применим уравнения (3.21), (3.22) к случаю
монохроматического поля. Для наглядности представим поле в действительной
форме Е = Е0 sin cot. Временная зависимость симметричной
части распределения /0 или распределения по энергиям
складывается из двух частей. Это, во-первых, возможная медленная
зависимость, вызванная упругими и неупругими потерями энергии при
столкновениях или рождением (исчезновением), она определяется
слагаемыми 10 и Q (/0) в (3.21). На это медленное изменение /0
налагается вызванная переменным полем высокочастотная
составляющая порядка Efx — Е2. Ясно, что физический интерес
представляет энергетический спектр электронов, усредненный по
периоду колебаний поля. При интегрировании (3.22) мы в правую
часть подставим усредненную за период колебаний функцию
(df0/dvy (высокочастотная составляющая дала бы в Д (t) член
высшего порядка по Е). Интегрируя (3.22), получим
f1= еЕо /д^У (о cos со* - vm sin ©*). (3.23)
Подставим (3.23) и (3.20) в (3.21) и усредним уравнение по
времени за период колебаний поля, выделяя только «медленную»
временную зависимость/0. При этом <cos cousin cot) = 0, a <sin2oi>£> =
= 1/2. Опуская знак усреднения < > у /0, получим уравнение для
функции /о (*, v)
_ 1 д Г ^гЩ vm (у) у* а/о <т ч Л А_п li\ П ?4Л
а/о
Переходя от функции /0 к функции распределения по
энергиям с помощью формулы (3.16) (напоминаем, что п (е) ds —
= 4ttv2f0dv), представим (3.24) в виде уравнения для
энергетического спектра
г = к[^57- + тН + ^ (3-25)
е*Е20 Vm 2 е*Е* vm
А =
Ът а)2+ v2 3 m co2+v2
m
13.2. Параметр разложения и пределы применимости. Пределы
применимости уравнения (3.25) фактически определяются
допустимостью пренебрежения членами порядка /2 и выше в
разложении (3.15), т. е. возможностью представить асимметричную
функцию распределения в простейшей -форме (3.19). Рассмотрим
случай высоких частот, когда co2^>Vm- Как видно из равенства
(3.22), по порядку величины
, еЕо О/о еЕо /о и ,
'1 race dv ты v v ■'0,
96

где и = еЕ0/ты — амплитуда скорости колебаний электронов в
поле. Далее, из третьего уравнения (3.17) следует, что по
порядку величины
а/а , еЕ д ( fi\ еЕ fi , и ,
Точно так же, рассматривая последующие уравнения, мы
убедились бы в том, что каждый следующий член разложения (3.15)
отличается от предыдущего множителем порядка u/v. Таким
образом, параметром разложения (3.15) является величина
eE0/m(ov = u/v — отношение скорости колебаний электронов в
поле к характерной скорости хаотического движения. Параметр
этот пропорционален полю, и условие справедливости
приближения заключается в том, чтобы параметр этот был малым: u<^v.
В большинстве случаев, представляющих практический интерес,
это условие выполняется (см. оценки в разделе 4), так что
уравнением (3.25) пользоваться можно.
В низкочастотном случае co2<^v^, который по существу
соответствует пределу постоянного электрического поля, как видно
из (3.22) или (3.23),
'*- mv v v ^°'
т
где ис = eE/mvm = еЕ хт/т — дополнительная скорость,
которую приобретает электрон, ускоряясь в постоянном поле Е, в
течение времени %т между двумя столкновениями. Характерным
масштабом времени для изменения высших составляющих в
разложении (3.15) является именно время между столкновениями,
так что из третьего уравнения (3.17) следует, что /2/tm — (сЕ/т)
(/i/г;), т. е. в этом случае параметром разложения является
величина ujv. Для справедливости приближения нужно, чтобы
электрон мало ускорялся за время между столкновениями.
Рассмотрение интеграла L2 показывает, что L2 — v^ (подобно тому,
как Ьх = — vm/x), так что соотношение /2 — (ujv) fx следует и
отсюда.
В случае действительно постоянного электрического поля
следует положить dfjdt = О и (3.22) дает Д = (еЕхт/т) (dfjdv).
Эта формула была выведена еще Лорентцом, который решал
кинетическое уравнение для свободных электронов в металле с
целью определения проводимости (см. подраздел 13.4), решал его
в сущности тем методом, о котором говорилось выше. Уравнения
для энергетического спектра (3.24) или (3.25) сохраняются в силе
и для этого случая, если положить в них со = 0 и Е0/ 2 = Е2.
13.3. Неупругие столкновения и диффузионные потери. Для
того чтобы сделать уравнение (3.25) вполне определенным,
необходимо еще раскрыть выражение (?, описывающее неупругие
процессы. Уход электронов в 1 сек из энергетического интервала
cte, связанный с процессами возбуждения и ионизации атомов,
97

равен п (е) de v* (е) и п (е) devj (е), где v* (е) и vt (е) — частоты
возбуждения и ионизации, v* (г) = Navo*, vt (г) = NavGu а a*, ot —
сечения соответствующих процессов. В акте возбуждения
электрон, обладающий начальной энергией е', теряет энергию /*,
равную потенциалу возбуждения, плюс еще небольшую энергию еа,
которая, как и при упругом соударении, идет на сообщение
атому такой скорости va, чтобы суммарный импульс электрона и
атома не изменился. Если атом вначале покоился, то импульс,
который передается атому, равен — т (v — v'), где v' —
начальная скорость электрона, \ — конечная. Кинетическая
энергия атома после удара еа = Mva2/2 = т2 (v' — \)2/2М ^
ж e'rnjM <^ е' = mv'2/2; электрон теряет при неупругом
соударении почти всю скорость. Таким образом, в балансе энергии
е' = е -f /* + еа, где е — энергия, которая остается у
электрона, величиной еа практически можно пренебречь. Следовательно,
обладая вначале энергией е' в интервале de', электроны после
акта возбуждения остаются с энергией е ж е' — /* в таком же
интервале de = de'. Таким образом, сколько электронов уходит
из &', de', столько приходит в е = е' — /*, de, и слагаемое в
Q (п) в (3.25), связанное с актами возбуждения, можно
представить в виде
Q* (п) = — п (е) v* (е) + п (е + /*) v* (е + /*), (3.26)
причем v* (е) = 0, если е ^ /*. Несколько сложнее выгляди-
слагаемое, связанное с актами ионизации. В результате акта йот
низации появляются два электрона с суммарной энергией е' — 1и
где е' — начальная энергия ионизующего электрона, It —
потенциал ионизации (энергией отдачи иона пренебрегаем). Пусть
q (е', е) de — вероятность того, что при ионизующем
столкновении электрона с энергией е' энергия одного из электронов после
ионизации будет равна е и попадет в интервал de. Вероятность q
равна нулю, если 8 выходит из интервала е' — It ^> 8 ]> 0, и
нормирована условием
\ q (в', в)А* = 1. (3.27)
о
Слагаемое в (3.25), связанное с ионизацией,
оо
Q. (Л) = — и (8) Vi (8) + 2 \ П (8х) Vi (8') q (8', &) de'. (3.28)
2 перед интегралом появляется из-за того, что любой из двух
«рождающихся» электронов попадает в интервал от 8 до е + de с
вероятностью q. Если электроны прилипают к тяжелым частицам
с частотой vnp, (?Пр = — Wnp. Так же можно учесть и
рекомбинацию; впрочем, в условиях развития лавины рекомбинация
98

обычно несущественна (для этого электрон должен встретиться с
ионом, а последних, так же как и электронов, мало).
Пространственную диффузию электронов можно было бы
строго учесть, если бы мы сохранили в исходном кинетическом
уравнении (3.5) член с пространственным градиентом v df/dr. Это,
конечно, усложняет, вернее, загромождает, вычисления (см. [4]), и мы
сознательно обходим этот момент, ибо главное внимание должно
быть сосредоточено на вопросе о распределении по скоростям.
В приближении (3.19) выражение для диффузионного потока
электронов имеет обычную форму. Условие справедливости такого
приближения, т. е. условие, обеспечивающее возможность
пренебрежения членами высших порядков в угловом разложении функции
распределения, состоит в малости пространственных градиентов
функции. Плотность электронов должна слабо меняться на
расстоянии порядка длины пробега электрона, т. е. размеры области,
в которой действует поле, должны быть гораздо больше, чем
пробег электрона. Фактически в расчетах лавины и пробоя
диффузионный уход электронов учитывается просто путем добавления
к правой части уравнения (3.25) слагаемого
Qd (п) = -п (e)vd (е), (3.29)
где
vd = xl1 = £>/Л2; D = i;2/3vm = 2e/3mvm (в)
— «частота» диффузии, т. е. величина, обратная времени
диффузионного ухода электрона из области действия поля (см.
подраздел 6.2). Функция п (е) при этом считается не зависящей от
координат. Пространственное распределение электронов приближенно
учитывается путем соответствующего определения характерной
диффузионной длины Л, которая для каждой геометрии
определенным образом связана с размерами области. Формально это
получается, если сохранить в кинетическом уравнении член с
пространственным градиентом, но в дальнейшем разделить
переменные, представив функцию распределения в виде произведения
функций от пространственных координат и скорости [4].
Итак, в уравнении (3.25)
Q (п) = Q* (п) + Qt (п) + Qd (п), (3.30)
где соответствующие слагаемые определяются формулами (3.26)—
(3.30). Заметим, что в молекулярных газах необходимо учитывать
в Q и столкновения, сопровождающиеся возбуждением колебаний
в молекулах. Они описываются слагаемыми типа (3.26).
13.4, Проводимость и диэлектрическая постоянная. Одним из
важных результатов, который немедленно следует из
приближенного представления функции распределения в виде (3.19) и
установления связи (3.23) Д с /0, является уточнение элементарных
формул (1.14), (1.21) для проводимости и диэлектрической
постоянной ионизованного газа [2]. Подставим (3.19) в общее вы-
99

ражение (3.4) для плотности полного тока. Вследствие осевой
симметрии функции распределения ток направлен только вдоль
поля, и величина его равна
оо
jt= — е \ v3 /х dv \ cos2 Ф dQ = ~ е \ у3Д dv.
о
Подставим сюда выражение (3.23) для Д. Та часть тока,
которая находится в фазе с полем, т. е. пропорциональна полю и
sin (x)t, представляет собой по определению (по закону Ома)
ток проводимости. Та часть, пропорциональная cos со£, которая
сдвинута по фазе по отношению к полю на я/2, т. е.
пропорциональна dE/dt, есть ток поляризации. В соответствии с
определениями проводимости а и диэлектрической постоянной ed найдем
-s!-^-(-*)*. о-»»
о т
оо
О w
Если частота столкновений vm(#) не зависит от скорости, то,
интегрируя по частям с учетом (3.1), (3.16) и принимая во
внимание, что при v ->- оо /0 (г;) ->■ 0, получим формулы (1.14) и (1.21).
Таким образом, условием справедливости элементарных формул
является независимость частоты столкновений от энергии
электронов. Выражение (3.31) совпадает с формулой, которая
получается при предельном переходе от квантового принципа
детального равновесия к классике (см. подраздел 5*3).
14. Квантовое уравнение и переход к классике
14.1. «Блуждания» по оси энергии. По самому существу
классических представлений об изменении энергии электрона в поле
распределение электронов по энергиям является функцией
непрерывной. Дело не только в том, что кинетическое уравнение
описывает статистическое поведение большого числа частиц, которые
могут начинать движение с самыми различными скоростями.
Функцию распределения всегда можно трактовать в
вероятностном смысле. Величина / (£, v) dv/Ne представляет собой
вероятность того, что тот единственный электрон, за которым мы следим,
в момент времени t обладает скоростью в интервале от v до v +
-fdv, а п (£, е) de/Ne — вероятность для него иметь энергию от
8 до 8 + dг. Даже если задать электрону определенную
начальную скорость и энергию, все равно с течением времени
вероятность обладания какой-то энергией е «расплывается», становится
100

непрерывной функцией е. Залогом того является
дифференциальный характер кинетического уравнения, непрерывность работы,
производимой над электроном электрической силой, что
заключено в дифференциальном выражении Е df/dv, а также возможность
рассеяния электрона при столкновениях на любые углы.
Иначе обстоит дело в квантовом случае, когда энергия
электрона в поле излучения меняется в результате поглощения или
вынужденного испускания фотона конечной энергии Йсо. В этом
случае энергия электрона, начавшего процесс с какой-то
определенной энергией е0, всегда будет отличаться от 80 на целое число
квантов (если, конечно, отвлечься от непринципиального в
данном случае влияния упругих потерь энергии). Конечно, в
квантовом случае также можно ввести в рассмотрение непрерывную
функцию распределения по энергиям п (£, г) de, но это
обусловлено лишь непрерывным характером начальных энергий
электрона и упругих потерь. (Неупругие потери на возбуждение, кстати,
также имеют дискретный характер.) Главное, что взаимодействие
с полем излучения в квантовом случае описывается не
дифференциальными, а конечно-разностными выражениями, и это
накладывает особый отпечаток на функцию распределения п (е).
Уравнение такое составить очень легко. Пусть а (е) см5 и
Ъ (е) см5 — коэффициенты поглощения и вынужденного
испускания квантов при столкновениях с атомами, рассчитанные на один
электрон и один атом. Величины аш, &w были введены в разделе 5;
здесь у них для краткости опущены частотные индексы; мы всегда
будем рассматривать монохроматическое поле излучения. Если
F 1 см2 сек — плотность потока фотонов (для простоты луч света
считаем параллельным), то квантовое уравнение для
энергетического спектра п (t, е) можно записать в виде [5]
^- = FNa{ — а (е)п(е) + Ь(г + На)п{г + йю) — Ь(е)п(е) +
+ а (е — Йсо) п (е — Йсо)} + Qx. (3.33)
В Qt включены все члены, не связанные с взаимодействием
электронов с полем излучения и описывающие упругие, неупру-
гйе процессы, диффузию в пространстве:
<?i = i Чт v-en <е> + У № + Q* (») + <?<* (»)• (3-34)
Последние три слагаемых определяются формулами (3.26),
(3.28), (3.29). В этом разделе мы ими интересоваться не будем.
Стоит специально оговорить роль спонтанного испускания
квантов при столкновениях. Потери энергии на тормозное
излучение, как отмечалось в подразделе 4.5, очень малы, даже меньше,
чем упругие. Сравнительная роль вынужденного и спонтанного
испускания определяется интенсивностью внешнего излучения
1Ш (см. формулу (1.32)). Если приписывать излучению
температуру Го», то в соответствии с этой формулой и формулой Планка
101

отношение скоростей вынужденного и спонтанного испускания
квантов К равно /ВЫн//спон = [ехр(/г(о//сГю) — I]-1. Тот факт,
что мы не учитываем спонтанного испускания, эквивалентен
предположению о «бесконечности» этой величины, т. е.
бесконечности спектральной «температуры» поля излучения: /Вын//спон ~
ж kTJhcd ->• оо. Конечно, в случае лазерного излучения это
допущение выполняется с огромной точностью, так как
«температура» Го колоссальна.
Рис. 3.4. Схема
скачкообразных блужданий электрона по
оси энергии
t
Мы остановились здесь на этом в общем довольно тривиальном
обстоятельстве, для того чтобы продемонстрировать одно общее
свойство уравнения (3.33), не зависящее от конкретного вида
коэффициентов а (е) и Ъ (е). В стационарных условиях и в
отсутствие всех других процессов, кроме взаимодействия с излучением,
электроны должны находиться в термодинамическом равновесии
с полем излучения. Они должны обладать максвелловским
распределением с температурой Г^, которая в данном случае
«бесконечна», Максвелловская функция с бесконечной температурой
есть п (s)d& ~ v2dv ~ Угйг. С помощью формул (1.40),
связывающих коэффициенты а и Ь, нетрудно убедиться в том, что
эта функция действительно удовлетворяет уравнению (3.33),
если dn/dt = 0 и Q1 = 0.
В нестационарных условиях уравнение (3.33), вернее, та
часть его, которая связана с поглощением и испусканием квантов,
описывает случайные «блуждания» электрона по энергетической
оси, блуждания, которые происходят скачками Йсо вперед и
назад. Опустим временно слагаемое Q± в уравнении (3.33). Такая
операция имеет определенный смысл, так как упругие потери в
очень интенсивном поле излучения играют сравнительно малую
роль, в особенности если газ тяжелый. Неупругие потери
действуют либо в области достаточно больших энергий 8, превышающих
потенциал возбуждения атомов /*, либо приводят к «рождению»
электронов с малыми энергиями. Этот последний фактор можно
формально учесть так, будто в области малых энергий имеется
источник электронов. В этих предположениях нестационарное
движение электрона по энергетической оси можно представить
себе как скачкообразные переходы, которые иллюстрируются
рис. 3.4, где интервалы времени между скачками имеют порядок
s t
tldi
102

среднего времени между поглощением или вынужденным
испусканием квантов та, ть. Вероятности скачков
уа = т"1 = FNaa, vb = Ть1 = *Wa6. (3.35)
Например, для частоты света рубинового лазера Йсо = 1,78 эв,
плотности атомов аргона Nа = 5,3«1019 1 /еж3, соответствующей
давлению р = 1500 тор, пробивающего поля Е = 6-Ю6 в/см,
F = 3,4 • 1029 1/см2 сек и энергии 8 ж 10 эв частоты скачков
согласно [5] va « vb ж 5,4.10й се»"1, та ж хъ « 1,8-Ю-12 сек.
Как следует из формул (1.40), (3.35), при энергиях 8,
достаточно больших по сравнению с Йсо, вероятности скачков в ту и в
другую сторону становятся примерно одинаковыми. Это не
означает, однако, что электрон все время «топчется на месте».
Электроны, начавшие движение со строго определенной энергией е0 ^>
^> Йсо, разбегаются по оси энергии в обе стороны, как при
обычной одномерной диффузии частиц в пространстве. Однако даже
при равновероятности скачков вперед и назад в конце концов
электроны все равно уйдут вперед, в сторону нарастания энергии.
Это происходит потому, что в области малых энергий 8 <С Йсо
вероятность вынужденного испускания обращается в нуль и здесь
невозможно движение назад. Процесс вполне аналогичен
одномерной диффузии частиц при наличии непроницаемой стенки.
С течением времени частицы неизбежно уходят в сторону от
стенки, где бы ни находился источник, т. е. откуда бы они ни
начинали свой путь.
14.2. Диффузионное приближение. Конечно-разностное
уравнение (3.33) можно существенно упростить, превратив в
дифференциальное, если функция распределения п (е) мало меняется
на длине одного скачка Йсо, т. е. при условии, что Йо гораздо
меньше характерных значений энергии 8 [5]. При пробое многих газов
лазерным излучением это условие с каким-то приближением
можно считать выполненным. Действительно, энергия электронов в
лавине достигает значений, превышающих потенциалы ионизации
атомов (у аргона 15,8 эв] у ксенона 12,1; у неона 21,6; у гелия
24,6 эв). Такого же порядка и средние энергии в спектре
электронов. Между тем энергии квантов составляют 1,78 эв для
рубинового лазера, 1,18 эв — для неодимового. Итак, положим, что
Йсо <^J 8, и разложим около точки 8 все функции от аргументов
8 + Йсо, сохранив члены второго порядка малости по Йсо/е.
Подставляя эти разложения в уравнение (3.33) и опуская члены более
высокого порядка малости, чем (Йсо/е)2, получим
дифференциальное уравнение второго порядка для функции распределения
электронов по энергиям п (t, s), которое запишем в следующем виде:
■Ж = --ЗГ+е, /=-s4j- + 7m-7iuc, (3.36)
103

где коэффициенты
3) = 4" FN а (Щ* [а (8) + Ъ (в)], (3.37)
u = FNa (На) [а (г) — Ъ (в)] — d25/cte, (3.38)
и° = W v™8' (3-39)
Q==Q{n)=Q* (п) + <?i (п) Qd (п). (3.40)
Здесь в дополнение к операциям, проделанным с выражением
в фигурной скобке (3.33), мы выделили из Q± (формула (3.34))
слагаемое, соответствующее упругим потерям энергии, поскольку
оно также представляется в виде производной по е, и включили
его в выражение — dj/де в виде слагаемого — пис в /.
Уравнение (3.36) представляет собой не что иное, как
уравнение одномерной диффузии частиц вдоль «координаты» е, т. е.
по энергетической оси. Изменение во времени «плотности» частиц
п в данной точке е определяется дивергенцией потока / и
распределенными источниками Q. Поток складывается из диффузионного
потока, пропорционального градиенту плотности с
«коэффициентом диффузии» 25, и потока кинематического, в котором частицы
сносятся с локальной «скоростью» и — ис. Снос по оси энергии
связан как с действием излучения (скорость и), так и с действием
упругих потерь (отрицательная скорость — ис, направленная в
сторону уменьшения энергии).
Коэффициент 3) следует интерпретировать как коэффициент
диффузии отнюдь не по формальным причинам, он и в самом деле
имеет такой физический смысл. Действительно, тй1 = FNa (a -f
+ Ъ) — это вероятность электрону либо поглотить, либо
испустить квант и совершить скачок по координате е; хш — среднее
время его жизни по отношению к такому шагу, т. е. «время между
столкновениями». Квант Йсо — это величина шага, так сказать
«длина пробега» частицы. Следовательно, Йсо/То, — это «скорость
хаотического движения» по оси, так что 3) = (Н(о)2/2хш вполне
соответствует обычному определению коэффициента
одномерной диффузии. Величина и также по существу дела характеризует
«снос» частиц. Согласно (3.35) ее можно представить в виде и =
= /гсо/та — Н(й/хь — d3)/ds. Здесь /ш/та — это средняя скорость
одностороннего перемещения частиц по оси 8 вправо, в сторону
увеличения энергии, так как ха — время жизни по отношению к
одному лишь поглощению кванта. Аналогично hw/xb —
односторонняя скорость движения влево. Систематический снос
возникает из-за того, что средние скорости хаотических скачков вправо
и влево не одинаковы, а кроме того, коэффициент диффузии
меняется от точки к точке (член — d3)/de).
Скорость сноса — ггс, связанная с упругими потерями, также
имеет ясный физический смысл: среднее время между упругими
104

столкновениями тс = (l/vm) (1 — cos 6), и в каждом из них
электрон в среднем теряет энергию Аеупр = (2т/М) (1 — cos Э) 8
и смещается на такую величину. Следовательно, электрон
движется в сторону уменьшения 8 с односторонне направленной
скоростью — ис = — ДеуПр/т/с = — (2т/М) vme.
К уравнению (3.36) следует присоединить начальное и
граничные условия. В начальный момент t = 0 должна быть задана
функция п (О, г). Что касается граничных условий, то одно из
них заключается в том, что при 8 —>- сю п (е) ->• 0 достаточно бы-
оо
стро, для того чтобы плотность электронов Ne = \ п(г)д,г была
о
конечной величиной. Второе граничное условие следует из закона
сохранения числа электронов. Интегрируя уравнение (3.36) по
всему спектру с учетом выражений, составляющих источники Q,
и условия / (е) ->• 0, при 8 -> оо найдем
где
оо
Vi=^rS"(8)v'(8)de (3,42)
— средняя частота ионизации, производимых всем электронным
спектром, a vd — средняя по спектру частота диффузионных
потерь электронов. Закон сохранения числа электронов требует,
чтобы при 8 = 0 поток / (0) обращался в нуль, т. е.
/(0) = (-Ж-|£ + пиЦ-0 (3.43)
(цоток «упругих потерь» — пис при 8 = 0 обращается в нуль
автоматически). Подчеркнем, что граничное условие (3.43)
соответствует только распределенному характеру источников Q (г).
В дальнейшем мы будем приближенно считать источники не
распределенными, а сосредоточенными, и соответственно граничные
условия к уравнению будут формулироваться совсем иначе.
Заметим также, что равенства (3.41), (3.43) предусматривают
отсутствие иных источников электронов, кроме ионизации
невозбужденных атомов электронным ударом, скажем фотоионизации
возбужденных атомов (см. раздел 6).
14.3. Классический предел. В сущности переход от конечно-
разностного квантового уравнения (3.33) к диффузионному
уравнению (3.36), совершенный при условии Йсо <ij 8, уже сильно
приблизил нас к классическому уравнению (3.25), которое также
можно представить в виде уравнения диффузионного типа, если
раскрыть в нем производные по е в правой части.
(3.41)
105

Чтобы завершить предельный переход к классике, следует
ввести явные выражения для квантовых коэффициентов 3) и и и
перейти к пределу Йсо ->■ 0.
Однако прежде чем совершить такую операцию, сделаем еще
один шаг, не требующий задания коэффициентов в явной форме,
но еще более приближающий уравнение к классическому. Дело
в том, что фактически коэффициенты а и Ь, которые определяют
3) и и, выводились в подразделе 5.2 полуклассическим методом.
Поэтому результаты, не требующие явных выражений для 3)
и и или а и fo, обладают большей общностью, ибо всегда допускают
возможность использования коэффициентов, выведенных строгим
квантовомеханическим путем.
Итак, рассмотрим выражения (3.37), (3.38) для 25 и и. В них
входят коэффициенты а и Ъ при одинаковом значении аргумента
е. Фактически при условии Йоо <^ е можно, не уменьшая
существенно точности, разложить общее соотношение (1.40) между
коэффициентами вынужденного испускания и поглощения,
представив его в виде
ъ (8) = (8 Т Ы )а(г — й(°) ~fl ^)-^w~ы - ЖЫ'
Подставляя это разложение в формулы (3.37), (3.38) для 3)
и и и оставляя только самые старшие члены по Йсо, найдем
3)(z) = FNa{h®)2a(s), (3.44)
и = JL FN а {h(o)2a (е)/е = 3) (е)/2е. (3.45)
Подставляя.выражение для и через 3) в формулу для потока
(3.36) и сворачивая первые два члена в один, получим
■£--■£-[*»£-£+•£*.«•] + <?• <3-46>
В таком виде диффузионное уравнение (3.46) точно совпало бы
с классическим (3.25), если бы 3) равнялось Аг. Легко видеть,
что в пределе Йоо/е ->• 0 это действительно так. Для этого
достаточно подставить в (3.44) выражение (1.41) для коэффициента
истинного поглощения а (е), принять во внимание, что HcoF — S =
= сЕ2/Ап = cEq/8 п и устремить Йсо ->• 0.
Таким образом, мы совершим предельный переход от
квантового уравнения для функции распределения электронов по
энергиям к классическому, при Йсо ->- 0, но фактическим параметром,
по которому производилось разложение, было отношение Йсо/е.
Мы еще раз убедились в том, что условием применимости
классических уравнений для описания поведения электронов в поле
излучения является малость величины кванта 7ш по сравнению с
энергией хаотического движения электрона е, а вовсе не по
сравнению с энергией его колебаний в поле, как кажется на первый
взгляд (см. подраздел 5.3). Предельные значения коэффициента
106

диффузии и скорости сноса есть
и __ °^ __ s± __ о^ т
28 2 6m m2 I v2
ш ~ т
Следует особо подчеркнуть, что запись чисто классического
уравнения (3.25) в форме уравнения диффузии представляется не
более чем формальным актом. В рамках классической теории
невозможно придать физический смысл величине, играющей роль
коэффициента диффузии, ибо классика не знает о существовании
квантованных скачков вперед и назад по энергетической
координате. Понять диффузионную природу движения электрона по
энергетической оси можно лишь на основе квантового уравнения
и последующего перехода к классике *.
Следствием диффузионного уравнения является и
диффузионная формула для средней скорости изменения энергии электрона
в поле. Составим уравнение для скорости изменения средней
энергии спектра электронов. Для этого умножим уравнение (3.36)
на 8 и проинтегрируем по всему энергетическому спектру от 0 до
оо. Проинтегрировав два раза по частям с учетом граничных
условий и поделив на Ne, получим
1Г = ТГ + И лГ(^8)-днеупр-^—), (3.48)
где черта означает, что величина усредняется по спектру
электронов.
Предпоследний член описывает непругие потери энергии,
последний — потери энергии, которую уносят диффундирующие в
пространстве электроны. В классическом пределе (3.47) и при
постоянстве частоты столкновений первые два слагаемых,
описывающие воздействие поля (de/dt)E, принимают форму, характерную
для процесса, в котором одновременно участвуют диффузия и
снос:
(dB/dt)E = 2)/г + и = 1,5А. (3.49)
С другой стороны, как видно из (3.49) и (3.47), формула (3.48)
для изменения средней энергии спектра в точности превращается
в элементарную формулу (1.9) для изменения скорости
отдельного, т. е. «среднего», электрона (неупругие и диффузионные
потери там вообще не рассматривались, поэтому формула (3.48)
содержит по сравнению с (2.9) два лишних, последних, слагаемых).
Вообще говоря, в свете сказанного в подразделе 4.2 в классике энергия
электрона при столкновениях также может изменяться как в одну, так и
в другую сторону, так что процесс набора энергии в поле также имеет
диффузионный характер. Но этот факт никак не проявляется при выводе
(3.25), и, кроме того, скачки по оси энергии в классике не квантуются.
Величина «классических» скачков не имеет ничего общего с йсо,она
складывается из многих квантов.
(3.47)
107

Г л ава 4
РЕШЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
И РАСЧЕТЫ ПРОБИВАЮЩИХ ПОЛЕЙ
15. Стационарный спектр электронов в допороговых полях,
определяемый действием упругих столкновений
15.1. Кинетическое уравнение и элементарная теория.
Кинетическое уравнение для функции распределения электронов по
энергиям (3.24) или (3.25) слишком сложно, для того чтобы можно
было надеяться решить его в сколько-нибудь общем виде.
Аналитические решения удается найти лишь для некоторых наиболее
простых вариантов условий либо при помощи упрощающих
допущений, да и то решения эти часто оказываются чрезвычайно
сложными и громоздкими (см. [1]). Поэтому большой интерес
представляют те случаи, когда решения имеют простую форму,
допускают наглядное физическое истолкование и позволяют уяснить
какие-нибудь аспекты поведения ионизованного газа в поле.
С одного такого случая, который, вообще говоря, лишь косвенно
связан с вопросом о пробое, мы и начнем.
Рассмотрим стационарное состояние электронов в газе,
находящемся в сравнительно слабом поле, которое заметно меньше
порогового для пробоя. Допущение о стационарности такого
состояния отнюдь не противоречит условию малости поля. Для того
чтобы в холодном, неионизованном газе произошел пробой и зажегся
разряд под действием самого поля, поле действительно должно
быть довольно большим. Но если разряд однажды зажжен при
помощи постороннего источника или какого-либо искусственного
приема, то для его поддержания, т. е. поддержания уже
существующего ионизированного состояния газа, как правило,
достаточны поля, значительно меньшие, чем те, которые необходимы
для пробоя. Если газ разреженный и ионизация слабая, обычно
возникает неравновесное состояние, при котором электроны в
поле обладают заметной энергией, а газ тяжелых частиц, атомов
и ионов, остается холодным х.
В стационарном состоянии ионизация, производимая
электронами, уравновешивает диффузионный уход электронов из области
действия поля, скажем, на стенки сосуда в СВЧ или
высокочастотных полях (потери на рекомбинацию обычно менее существенны).
Энергия, которую электроны получают от поля, при этом в
полной мере передается атомам в упругих столкновениях, а в свою
очередь от тяжелых частиц отводится путем теплопроводности
При больших плотностях, скажем при давлении порядка атмосферного,
состояние разрядной плазмы в не слишком сильных полях, напротив,
довольно близко к термодинамически равновесному. Равновесные разряды
будут подробно рассматриваться в части II.
108

на стенки. Ёлагодаря относительно большой теплоемкости ?а§а
при слабой ионизации, последний нагревается очень мало. Ясно,
что для поддержания такого стационарного состояния требуются
поля, меньшие, чем для пробоя газа той же плотности.
В самом деле, при уже развитой ионизации, т. е. в горящем
разряде, диффузия зарядов имеет амбиполярный характер, т. е.
происходит медленно, и для компенсации диффузионных потерь
электронов достаточно небольшой скорости ионизации, которую
может обеспечить сравнительно слабое поле. Между тем при
пробое неионизованного газа первые электроны, которых всегда
очень мало, диффундируют свободно, частота ионизации должна
превосходить частоту гораздо более быстрых диффузионных
уходов и для того, чтобы под действием самого поля развилась
электронная лавина и зажегся разряд, требуются гораздо более
сильные поля.
Итак, рассмотрим разреженный, слабоионизованный газ в
сравнительно слабом поле, считая, что состояние электронов
стационарное и энергией атомов можно пренебречь по сравнению с
энергией электронов. В этих предположениях энергетический
спектр электронов описывается уравнениями (3.24) или (3.25)
с df0/dt = дп/dt = 0. Далее, поскольку поле значительно ниже
пробивающего, частота ионизации очень мала. Лишь немногие
электроны достигают энергии, равной потенциалу ионизации и
близкому к этой величине потенциалу возбуждения.
Следовательно, роль неупругих столкновений, а также диффузионных потерь,
которые как раз и компенсируются редкими актами ионизации,
мала и в кинетическом уравнении можно пренебречь
соответствующим слагаемым Q.
При этих условиях выражение под знаком производной д/дг
в (3.25), которое согласно (3.36) интерпретируется как поток по
энергетической оси / (е), становится константой. Но в области
больших энергий е ->■ оо число электронов и поток стремятся к
нулю, следовательно, в данных условиях поток тождественно
равен нулю. Это значит, что положительная часть потока, связанная
с приобретением энергии электронов в поле, при каждом значении
энергии ,е в точности компенсируется отрицательной частью,
связанной с потерями энергии при упругих столкновениях.
Приравнивая нулю выражение в квадратных скобках под
знаком производной d/dv в (3.24) и интегрируя, найдем функцию
распределения /0 (г;)
V
U = Cexv[--^\v{tf+Jm)dv\ . (4.1)
0 О
К распределению по энергиям легко перейти с помощью
общего соотношения
п (е) ds = 4яу2/0 (v) dv. (4.2)
109

Постоянная интегрирования С определяется из условия
нормировки
оо оо
{ 4m;2/0 (v) dv = \п (8) de = Ne. (4.3)
о о
Она пропорциональна плотности электронов Ne.
Функция распределения приобретает особенно простую форму
в двух частных случаях, которые мы и рассмотрим. Если частота
столкновений vm постоянна, т. е. сечение столкновений от ~
~ 1/у, распределение электронов имеет вид максвелловской
функции
/о = Сехр
с температурой
Ме^Е\
= С ехр [-__!-] (4.4)
_ 1 М е*Ё* 1 м Аб
•* р. —
6Л т m(©« + v^) 3
7П.
Средняя энергия спектра ё = ЗкТе/2 при этом в точности
совпадает с максимальной энергией етах, которую по элементарной
теории электрон может приобрести в поле при действии
упругих столкновений и которая дается формулой (1.58) (в ней стоит
Е2 = El/2).
На этом примере особенно наглядно проявляется
несовершенство элементарной теории поведения электронов в поле по сравнению
с более строгой теорией, основанной на использовании
кинетического уравнения. По элементарной теории энергия каждого
электрона описывается формулой (1.9): ds/dt = (Де — Aeynp) vm.
Если в начальный момент электрон обладал энергией е <£тах,
его энергия будет возрастать за счет преобладающего действия
поля, если е ^> 8тах — уменьшаться вследствие упругих потерь.
Стационарное состояние энергетического спектра определенного
количества электронов в отсутствие актов рождения и неупругих
столкновений определяется условием ds/dt — 0, т. е. в
стационарном состоянии все электроны должны иметь одинаковую энергию
е = етах, и спектр должен быть «дельта-образным».
На самом же деле, как следует из кинетического уравнения,
электронный спектр размыт около среднего значения ё. По
более или менее случайным причинам при vm = const е в точности
совпадает с 8тах, в других случаях также совпадает, но лишь
приближенно (см. ниже). В истинном спектре присутствуют
электроны с энергиями, превышающими етах, которые по
элементарной теории должны были бы растерять ее на упругие
столкновения, «спустившись» до уровня етах. Это, видно, связано с тем, что
вывод кинетического уравнения основан на использовании
строгого описания силового воздействия поля на электроны, которое
110

допускает возможность и больших приобретений энергии при
столкновениях, превышающих Де. В таком описании заложена
также возможность и потерь энергии электронов при
взаимодействии с полем, благодаря чему в стационарном состоянии
присутствуют и электроны с энергиями, меньшими, чем етаХ.
Тот факт, что вопреки элементарной теории в спектре
электронов, подверженных действию поля и упругих столкновений,
всегда присутствуют электроны с энергиями, превышающими етах,
может иметь важное значение. Это одна из причин, по которой
электроны могут ионизовать атомы даже в слабых полях, когда
£тах меньше потенциала ионизации /, и по которой,
следовательно, возможно поддержание стационарных разрядов в
сравнительно слабых полях. Другая причина, по которой в разряде
появляются энергичные электроны,— это не учтенные в данном
рассмотрении редкие электрон-электронные столкновения.
Описанная выше общая ситуация имеет место, в частности, в
положительном столбе тлеющего разряда низкого давления [2].
Электрическое поле в этом случае постоянно во времени,
Е = const, но формула (4.1) годится и для постоянного поля,
если перейти в ней к пределу со = 0, но заменить на Е = const не
амплитуду синусоидального поля Е0, а среднеквадратичное поле
Ео/У2. Именно при такой замене уравнения (3.24), (3.25) для
функции распределения /0 (г;) и п (в) автоматически переходят в
уравнения для электронного спектра в постоянном поле Е. В этом
легко убедиться, если проследить, как выводится (3.24) из более
общих уравнений (3.21), (3.22), справедливых при произвольной
зависимости поля от времени (при Е = const в (3.22) dfjdt = 0).
15.2. Распределения Маргенау и Дрюйвестейна. В физике
газового разряда чаще рассматривается другой случай, когда не
зависящей от энергии считается не частота столкновений vm, а
длина пробега электронов lm = v/vm, т. е. транспортное сечение вт.
В этом предположении vm ~ v ~ ]/"е и выражение (4.1)
принимает вид
/.-^[-•f^c+weo].
Его удобно переписать, введя два характерных энергетических
параметра: гг — т (со/т)2/2 и е2 = еЕ01т:
, п Г 6т s2 + 2eie~l /7 сч
/0 = С exp |_ -jj ± j . (4.5)
Распределение (4.5) было получено Маргенау [3] (см. также
[4]).
В случае постоянного поля (&х = 0) оно превращается в
найденное ранее прямым путем распределение Дрюйвестейна [5, 4]
/о-Свхр[-тг1т], <4-6>
ш

где е2 = еЕ1т в соответствии с указанным выше правилом
заменяет величину е2/]/"2 = е (Е0/У2) 1т. Параметр е2 имеет
физический смысл энергии, которую электрон приобретает под
действием поля Е на длине пробега, если он движется вдоль
направления поля в сторону действия электрической силы. Для
распределения Дрюйвестейна характерно быстрое уменьшение числа
электронов с большими энергиями, гораздо более быстрое, чем в макс-
велловском случае (рис. 4.1). Средняя энергия спектра примерно
Рис. 4.1. Распределения
Максвелла и Дрюйвестейна
при одной и той же
средней энергии [4]
соответствует случаю, когда показатель экспоненты равен 1,
т.е. s ~ УМ/т е2. Понятие «температуры» в данном случае,
естественно, особого смысла не имеет.
Так же, как и в частном случае vm = const, средняя энергия
электронов в распределении Маргенау (в том числе и в
^распределении Дрюйвестейна) близка к величине максимальной энергии
электронов 8шах, которую они набирают в поле согласно
элементарной теории. При условии lm = v/vm = const и с помощью
обозначений е1? е2 элементарная формула (1.9) приобретает вид
_cfe __ Г
dt ~" [1
2т
8jVm.
[.4 (81+ 8) М
Максимальная энергия 8Шах определяется из решения
квадратного уравнения
2 __ М 2
Smax + 81$тах — gm е2-
В распределении Маргенау спектр размыт около средней
энергии 8, которую можно оценить из приближенного уравнения
8* + 28l8^-g^-82.
Оно получается, если приравнять показатель экспоненты
(4.5) 1. Из сравнения этих двух квадратных уравнений видно, что
8 ~ вшах- ^ - _
В случае низкочастотного поля, при условии ех <^ 8 —
^УМ/Ете, распределение Маргенау (4.5) практически совпа-
1!12

дает с распределением Дрюйвестейна (за исключением области
очень малых энергий). На высоких частотах, когда 8 <^ е1? что
получается при условии еа ^> У'М/Ит е2, распределение (4.5)
в основной части спектра 8 <^ гг имеет характер максвелловского
с температурой Те = (М/12пг) (e2/8i) fad к). Но все равно в
предела больших энергий е ^> ех максвелловское распределение
превращается в дрюйвестейновское. Следует, конечно, иметь в виду,
что распределения Маргенау и Дрюйвестейна на самом деле
нарушаются при энергиях, превышающих потенциал возбуждения
атомов, так как здесь на спектр существенным образом влияют
потери энергии за счет неупругих столкновений.
Рассмотрим в качестве численного примера гелий при
давлении 2 тор, находящийся в СВЧ-поле частоты 2,8 Мгц, со =
= 1,76-Ю10 рад/сек. Частота столкновений vm^4,8-109 сек'1,
т. е. со2 ^> Vm. При длине диффузии Л = 0,2 см амплитуда
пробивающего поля, которую можно найти из графика 4.15 книги
[1], Е0 ж 1000 в/см. Возьмем слабое допробойное поле Е0 ж 20 в/см
той же частоты. Эффективную длину пробега, которую будем
считать постоянной, возьмем соответствующей энергии 8 ж 5 эв
и скорости v= 1,3• 108 см/сек. Тогда /т^2,7-10^2 см.
Характерные параметры: ех = 65 эв, е2 ^ 0,54 эв. Здесь осуществляется
случай, когда распределение Маргенау фактически превращается
в максвелловское с температурой Те = 2,7 эв и средней энергией
е = (3/2) kTe ^ 4 эв. Практически та же температура
получается, если исходить из распределения (4.4), соответствующего не
lm = const, a vm — const.
16. Электронная лавина и частота ионизации
в оптических и СВЧ-полях
Лавинной теории оптического пробоя, ее формулировке,
решению уравнений, выяснению отдельных физических деталей,
уточнению математических положений, расчетам пороговых полей
посвящено много работ: Я. Б. Зельдовича и автора [6], Д. Д. Рю-
това [7], Райта [8], Г. А. Аскарьяна и М. С. Рабиновича [9],
Брауна [10], Тозера [11], Фелпса [12], В. А. Барынина и Р. В. Хох-
лова [13], М. Л. Грутмана, Р. М. Миникаевой, В. Е. Мицука и
В. А. Черникова [14, 15], Янга и Херчера [16], Ю. В.
Афанасьева, Э. М. Беленова, О. Н. Крохина и И. А. Полуэктова [17, 18,
28, 21]. Нильсена, Канавана и Роквуда [19], А. И. Выскребен-
цева и автора [20], Г. С. Романова и К. Л. Степанова [29, 30].
Мы здесь не ставим себе задачи проведения подробных
расчетов, наилучшим образом описывающих эксперимент. Для
некоторых случаев такие расчеты сделаны применительно к СВЧ-про-
бою [1]. Зачастую эти решения получаются в результате
громоздких выкладок и приводят к сложным трудноинтерпретируемым
выражениям. Конечно, всегда остается путь численного решения
113

кинетического уравнения, как это делалось в работах [12, 19]
для оптического пробоя. Результаты таких расчетов весьма
показательны, и они будут приведены ниже. Следует, однако, иметь
в виду, что численное решение уравнения также не избавляет от
всех трудностей, которые возникают при рассмотрении
оптического пробоя, ибо еще не вполне ясны или не поддаются достаточно
простому количественному учету отдельные моменты чисто
физического характера. Поэтому даже при численном решении
уравнения в самой постановке задачи в явной или скрытой формах
содержатся различные допущения.
Наша цель здесь — в наиболее простой и доступной для
обозрения форме продемонстрировать роль основных эффектов,
выяснить существенные закономерности развития лавины и дать
оценки пороговых полей. Для этого, конечно, желательно получить по
возможности простые и наглядные приближенные решения. В этом
разделе будет рассмотрено такое решение для случая лавины в
не слишком легких одноатомных газах. Оно базируется на
приближениях работы [6] и представляет собой усовершенствованный
вариант того решения. Результат его был без вывода приведен в
кратком сообщении [22]. Здесь учтены уточнения, сделанные
А. И. Выскребенцевым [20].
16.1. Постановка упрощенной задачи. Руководствуясь
изложенными в разделе 14 соображениями о допустимости
приближенного описания оптического пробоя при помощи
диффузионного уравнения (3.46), возьмем за основу это уравнение. Оно
совпадает с классическим уравнением (3.25), поэтому
соответствующие результаты распространяются на СВЧ-пробой даже в
большей степени, чем на оптической. Для облегчения задачи, которая
в общем виде очень сложна, ограничим круг рассматриваемых
случаев и введем некоторые упрощающие допущения. Общность
качественных результатов при этом сохраняется.
Будем рассматривать только одноатомные газы. В
молекулярных газах существенны неупругие столкновения электронов,
сопровождающиеся возбуждением колебаний в молекулах, кроме
того, молекулы обычно обладают низко расположенными
электронными уровнями, которые возбуждаются малоэнергичными
электронами. Каких-либо новых качественнвгх эффектов эти
факторы не дают, но детальный учет их без применения численных
методов вряд ли возможен.
Будем пренебрегать упругими потерями энергии электронов.
Это допустимо, если максимальная энергия, которую электроны
могут приобрести в данном поле при действии упругих потерь
(формулы (1.58), (1.59)), значительно превышает потенциал
ионизации. Условие 8таХ ^> / означает, что упругие потери не мешают
электрону набрать энергию, достаточную для размножения.
Оценки и анализ экспериментальных данных по порогам пробоя
показывают, что в случае тяжелых газов упругими потерями
можно пренебречь почти всегда, в легких — только при невысоких
114

Давлениях (при численных расчетах порогов на основе подобного
решения следует всегда проверять роль упругих потерь). Член
упругих потерь существенно усложняет кинетическое уравнение.
Даже при самых сильных прочих упрощениях решение уравнения
при учете упругих потерь выражается через конфлюентные
гипергеометрические функции [1] и малодоступно для наглядной
демонстрации закономерностей.
Будем считать не зависящими от энергии электрона частоту
упругих столкновений vm и характерное время диффузионного
ухода электронов из области действия поля xd, или частоту
диффузионных уходов vd = l/td. Эти константы следует подбирать
эффективным образом исходя из данных по сечениям и с учетом
характера спектра электронов.
Как уже отмечалось в гл. 1, 2, неупругие столкновения,
сопровождающиеся возбуждением атомов, не всегда ведут к потерям
энергии электронов. Например, если возбужденные атомы очень
быстро ионизуются лазерным излучением, возбуждающие
столкновения по своему эффекту эквивалентны ионизирующим, ибо они
также способствуют размножению электронов. Мы рассмотрим
сначала случай, когда возбуждающие столкновения приводят к
потерям энергии. Он является более общим, так как допускает
предельный переход к более простому случаю, когда за актом
возбуждения сразу следует ионизация.
Сечения возбуждения и ионизации атомов а* (е), ot (е)
начинаются от нуля у порогов (см. рис. 1.9, 1.8). Введем величины
1г и 1ц немного превышающие потенциалы возбуждения / *
и ионизации /, так чтобы можно было пренебречь
соответствующими столкновениями при энергиях 8 < 1Ъ 1Х. Будем считать
частоту возбуждающих столкновений v* в интервале энергий
электронов /i<^ s <СА постоянной, не зависящей от е. Как и vm,
константу эту следует выбирать исходя из данных по сечениям.
Положим далее, что электроны, достигшие энергии /ь
«мгновенно» испытывают неупругое столкновение. Сечения довольно
быстро растут от порога, и для возможности такого допущения
достаточно выбрать величину 1г на 1—2 эв выше истинного
потенциала ионизации (точно так же 1Х — I* ^ 1 эв). Электрон с
энергией е ^> /i может как ионизовать, так и возбуждать атом.
Введем р — вероятность того, что неупругое столкновение при 8 ^> 1г
окажется ионизующим. Вероятность того, что неупругое
столкновение приведет к возбуждению, есть 1 — р. По поводу выбора
параметра р будет сказано ниже.
Допущение о мгновенности неупругого столкновения при
8 ^> 1Х отнюдь не является чересчур грубым, так как
соответствующие частоты столкновений достаточно велики. Между тем оно
сильно упрощает задачу. Оно позволяет исключить из
рассмотрения область энергий 8 ^> 1г и заменить действие
распределенных в ней отрицательных источников (?Неупр соответствующим гра-
115

нйчным условием при е = Д. Действительно, для плотности
электронов на энергетической оси (функции распределения п (е, t)),
которая описывается уравнением типа диффузии, в точке & = 1±
имеется «сток» бесконечной мощности, следовательно, функция
распределения в этой точке обращается в. нуль.
Будем считать сосредоточенными и положительные источники
(?неупр в области малых энергий. Конечно, электроны,
испытавшие неупругие столкновения, а также электроны, рожденные в
результате ионизации, обладают некоторой энергией, но не
будет большой ошибкой считать, что они начинают свой путь по оси
энергии от нуля. Таким образом, действие источников электронов
в области малых энергий мы также заменим соответствующим
граничным условием при 8 = 0.
В результате сделанных упрощений уравнение для п (е, t)
в области 0 < 8 < 1Х принимает вид
dn'jdt = — dj/дг — 6*v*n — vdn; j = — 3) дп/дг + пи, (4.7)
б* = 1 при il < 8 < h\ б* = 0 при 8 < l[ (4.9)
(Е — среднеквадратичное поле).
Согласно сказанному решение должно удовлетворять
граничному условию
при 8 - Л п = 0. (4.10)
Составим второе граничное условие. По определению, поток
/ (е, t) представляет собой число электронов в 1 см3, которые
проходят в 1 сек через точку 8 по энергетической оси. «Стока» при
8 = 1г в 1 сек в 1 см3 достигают j\ = / (71? t) электронов. Согласно
предположению они незамедлительно совершают неупругое
столкновение, причем доля р из них при этом удваивается за счет
ионизации. Связанное с этим число «рождений» медленных
электронов в 1 см3 в 1 сек есть 2j$ + j\ (1 — |3) = j\(l + Р).
Кроме того, с малой энергией рождаются электроны, которые в
данный момент совершили возбуждающее столкновение из
интервала энергий 1г <8</i. Следовательно, полная скорость
рождений, или поток при нулевой энергии
h
/о = /(0, t) = п (1 + р) + v* ^п ds. (4.11)
Это и есть второе граничное условие, которое накладывается
на решение уравнения (4.7).
Поскольку частота возбуждений равна нулю при 8 <[ Iv
уравнение (4.7) приходится решать отдельно в двух областях:
116

0<e</iH/1<<8 <СЛ. На границе областей должны быть
непрерывными плотность и поток, т. е. п и дп/дг.
Средняя по всему спектру частота ионизации vt определяется
строгой формулой (1.48). В нашем приближении число актов
ионизации в 1 см3 в 1 сек дается выражением ДР, т. е. частота
ii
ионизации определяется равенством vtNe = ДР, где Ne = \ nde —
о
объемная плотность электронов. Если проинтегрировать по
спектру уравнение (4.7) с учетом этого равенства и (4.11), получим
феноменологическое уравнение кинетики (1.54). В поле
неизменной амплитуды с течением времени (фактически через
несколько поколений) должен устанавливаться постоянный спектр
электронов. Частота ионизации при этом от времени не зависит,
и плотность электронов изменяется с течением времени по
экспоненциальному закону (1.55). Будем искать решение для такого
установившегося режима размножения. В этом случае в
уравнении (4.7) можно разделить переменные и искать функцию п (е, t)
в виде п (е, t) = п (г) ехр (£/0), где неизвестная пока постоянная
времени лавины 0 связана с также неизвестной пока частотой
ионизации vt соотношением
1/0 = v, - vd. (4.12)
Функция п (е) удовлетворяет уравнению
(vi + 6*v*) п + df/de = О, j = — 23 dn/de + пи (4.13)
и граничным условиям (4.10), (4.11) (б* дается формулой (4.9)).
Это уравнение второго порядка однородное, и, следовательно,
одна из произвольных постоянных должна остаться неопределенной,
в виде множителя у п (е). Между тем число граничных условий,
как видно, на единицу больше числа произвольных постоянных в
общем решении. Это и дает возможность определить частоту
ионизации Vj в зависимости от поля. Она не зависит от частоты
диффузии, т. е. от потерь электронов. От этой величины зависит 0,
т. е. скорость развития лавины. Обращаем внимание на тот факт,
что ни уравнение (4.13) для п (е), ни граничные условия (4.10),
(4.11) не содержат частоты диффузии vd или постоянной времени
лавины 0. Установившийся спектр и соответствующая ему
частота ионизации, которая в сущности только спектром и
определяется, одинаковы для любых скоростей развития лавины,
включая и нулевую скорость (0 = оо), т. е. стационарный случай,
когда dn/dt = 0.
Подчиняя функцию 0 (Е) общему нестационарному критерию
пробоя (1.57), который в случае длительного воздействия tx —>■ оо
переходит в стационарный критерий (1.56), можно вычислить
пороговое поле.
Если происходит какой-то процесс, в результате которого
возбуждение атома приводит к немедленному появлению нового элек-
117

трона, например быстрая многоквантовая фотоионизация
возбужденного атома лазерным излучением или резонансная
передача возбуждения атому другого сорта с более низким потенциалом
ионизации (см. раздел 6), система (4.13), (4.10), (4.11) упрощается.
В этом случае «сток» располагается прямо в точке I±, (3 = 1,
и уравнения для функции п (е) приобретают вид
vtn + dj/de = 0; / = — 3) dn/ds + пи, (4.14)
п (II) = 0„ (4.15)
/(0) = 2/(£). (4.16)
Этот вариант без потерь на возбуждение, по всей видимости,
описывает пробой газов излучением рубинового лазера. Для
ионизации любых возбужденных атЪмов квантами Йсо = 1,78 эв тре-
эуется не более трех фотонов, а может быть, не более двух, если
учесть возможное размытие и снижение границы непрерывного
спектра в атомах под действием достаточно интенсивного
лазерного поля. Двухквантовый фотоэффект, во всяком случае,
протекает очень быстро. Для осторожности мы сохраняем
предположительную форму для высказанного положения, ибо прямых и
надежных подтверждений его всеобщей справедливости,
теоретических или экспериментальных, нет. К случаю отсутствия
неупругих потерь относится и СВЧ-пробой в смесях газов, допускающих
эффект Пеннинга (т. е. передачу возбуждения на ионизацию
атома другого сорта). В случае оптического пробоя
кратковременными импульсами это относится лишь к очень высоким давлениям,
когда за время ~ 10~9 сек успевают происходить такие
резонансные атом-атомные столкновения (см. раздел 8).
Вариант с непругими потерями (4.13), (4.10), (4.11) включает
в себя СВЧ-пробой и пробой лазером на С02 (Йсо = 0,124 эв),
когда о фотоионизации возбужденных атомов не может быть и
речи. Сопоставление кривых сечений возбуждения и ионизации
атомов а* (е), ot (е) (см., в частности, рис. 1.8, 1.9) показывает,
что в качестве вероятности ионизации (3 при неупругих
столкновениях с энергией е ^> 1г ж / + 1 эв можно выбрать величину
Р « 0,2.
Вполне реальным при оптическом пробое и хуже всего
поддающимся хорошему количественному описанию является
промежуточный случай с частичными потерями на возбуждение.
Дело в том, что электроны, обладающие достаточной энергией,
возбуждают не только самые нижние, но и верхние уровни в
атомах. Если нижние уровни не ионизуются излучением, то верхние,
с энергиями связи, меньшими /ш, во всяком случае, мгновенно
ионизуются путем обычного одноквантового фотоэффекта.
Вероятнее всего, ионизуются и уровни с энергиями связи, меньшими
2Йсо. Таким образом, необходимо делать различие между
возбуждениями различных состояний. Влияние подобных эффектов на
118

оптический пробой рассматривали Г. А. Аскарьян и М. С.
Рабинович [9] в рамках элементарной теории и В. А. Барынин и
Р. В. Хохлов [13] путем видоизменения граничного условия.
К этому промежуточному случаю, по-видимому, относится
пробой неодимовым лазером, так как для ионизации низких
возбужденных состояний здесь требуется не менее трех, а
возможно, и четырех квантов, что делает ее маловероятной. Случай
частичных потерь можно приближенно включить в схему расчета
с потерями, полагая вероятность (3 более близкой к 1.
Действительно, электроны с небольшими энергиями возбуждают, как
правило, нижние уровни, а электроны со значительными энергиями
8 ]> 1г в заметной степени возбуждают верхние состояния.
16.2. Решение для случая мгновенной ионизации
возбужденных атомов. Рассмотрим сначала этот, более простой, случай.
При связи (4.8) между 3) и и и при А = const уравнение (4.14)
имеет общее решение
п = Сг ехр (2 Vv&fA) + С2 ехр (— 2 Vvfi/A). (4.17)
Подчиняя его граничным условиям (4.15), (4.16), получим
систему двух однородных алгебраических уравнений для постоянных
интегрирования Cl7 С2. Система разрешима, если детерминант
ее равен нулю. Это дает трансцендентное уравнение
sh х = 2z, х = 2 VvJl/A, (4.18)
корень которого х = 2,18, чем и определяется частота
ионизации vt (Е).
Согласно формулам (4.8) и (1.7) постоянная А характеризует
величину скорости нарастания энергии электрона в поле, которая
получается из элементарной теории: (de/dt)E = 3^4/2.
Комбинация
vE = 1/Тв = -±- (*.)в = ЪА/211 (4.19)
представляет собой обратную величину времени %е нарастания
энергии электрона под действием поля до значения 1г,
достаточного для размножения х. Назовем ее для краткости «частотой
набора энергии». Таким образом, х = ]/~6vj/v.e = 2,18 и
e2£2v
Vi{E) = 0,8V* = 1,2 1 . (4.20)
т(® +vm)Ii
С точностью до коэффициента, близкого к 1, частота
ионизации совпадает с частотой наборов энергии, чего, собственно, и
1 Напоминаем, что, согласно квантовым представлениям, нарастание
энергии электрона в поле имеет характер процесса диффузии по энергетической
оси. И действительно, с помощью формулы (4.8) время хЕ можно
представить в виде характерного для диффузионного процесса отношения квадрата
«пути» к «коэффициенту диффузии»: %Е = 2/*/ЗЛ = 2/*8у(ЗЮ (г) ж 1**1 Ю (/*).
119

следовало ожидать, если для рождения нового электрона ничего,
кроме набора энергии возбуждения, не требуется (см. подраздел
6.2). Для расчетов рекомендуем формулу: v* = 0,8 (Аеэв/1*Хдв) vm,
где Деав дается численной формулой (1.10).
На основании формул (4.17), (4.15), (4.18) энергетический
спектр электронов описывается функцией
п (в) = С sh [2,18 (1 - "Ке/тГ)], (4.21)
где постоянную С можно выразить через плотность Ne с помощью
условия нормировки (4.3).
Функция п (е) монотонно уменьшается * от конечного
значения при е = 0 до нуля при е = 1г. Поток по энергетической оси
/ (е) в данный момент времени уменьшается вдвое от /0 при е = 0
до j\ = /0/2 при е = 1г. Это уменьшение потока объясняется тем,
что электроны, втекающие в точку е = /х, в данный момент
начали свой путь от точки е = 0 на время жизни одного поколения
раньше, когда электронов было меньше.
16.3. Решение для случая, когда возбужденные атомы не
ионизуются. Как уже отмечалось выше, этот случай является более
общим; предыдущий можно получить из него путем предельного
перехода. В области 0 <е <-Л. общее решение уравнения (4.13)
в точности совпадает с (4.17). В области Ix <е <Цг решение
имеет тот же вид (4.17), но только вместо vt стоит сумма vt + v*.
Решения следует подчинить условиям непрерывности п и dn/de
на границе областей 8 = 1г и граничным условиям (4.10), (4.11).
Отсюда для четырех постоянных интегрирования получается
четыре однородных алгебраических уравнения, и соотношение,
выражающее равенство нулю детерминанта системы, определяет
частоту ионизации v^ подобно (4.18). Однако данный случай более
сложный, и уравнение для v* весьма громоздко. Его удобно
записать, введя следующие» безразмерные комбинации:
У = 2/(v, + v*)#il = a^Vbto + vyvB,
z = V(vi + V)/v, = Vi + VM, (4.22)
n^VTjfb vB = 3i4/2/x.
Здесь ve — по-прежнему частота наборов энергии,
необходимой для размножения. Только теперь это энергия /ь а не 1г,
как в предыдущем случае (ср. с формулой (4.19)).
1 Как видим, спектр не имеет ничего общего с распределениями Максвелла,
Маргенау или Дрюйвестейна.
120

В переменных z, у уравнение для частоты ионизации имеет
вид
expl(a-l)im h^- + 2sh^-j-exp[-(a-l)i/] X
х (ch-f- *sh-f) = 2а(1+Э)у + 2(1 — 1/z2) X
X {у ch [(a - 1) у] + sh [(a - 1) у] - ш/}. (4.23)
Z
W
-1
5
3
2
5\
3
Z
w~3
s\
3
z
10"
Оно определяет функцию z (у) при данных значениях параметров
а и |3, т. е. фактически зависимость
Vj от vs, ибо согласно (4.22)
vE/v* = 6^V(^2-i);
Vi/v* = \\(? - 1). (4.24)
Параметр а практически для
всех инертных газов одинаков:
а ж 1,2. Что касается параметра
Р,то, как говорилось в подразделе
16.1, для всех сверхвысоких
частот и излучения лазера на С02
можно принять для всех газов
Р = 0,2, а для излучения неоди-
мового лазера 0 = 1. Таким
образом, достаточно раз и навсегда
вычислить две универсальные
безразмерные зависимости v^/v* =
= F (vje/v*), чтобы оценивать
пороги для пробоя разных газов
при разных частотах, давлениях,
размерах области, где
развивается лавина, но, разумеется, в
пределах ограничений,
сформулированных при самой
постановке задачи. Указанные кривые
з
Z
10~5
to
\\шщ
шш=ш
jffllK m
Ш|^ш
ЩШЙ^ет'
N Illll/ HI
гз
3 5 WT
3 5 t04 3 I
v£/v*
Рис. 4.2. Зависимость
безразмерной частоты ионизации от
безразмерной частоты наборов энергии
-.г представлены на рис. 4.2.
^"предельных случаях больших и малых потерь на
возбуждение уравнение (4.23) значительно упрощается, и его решение имеет
очень наглядный физический смысл. Допустим, что частота
возбуждений v* велика (по сравнению с частотой наборов энергии vE)
и потери энергии на возбуждение в зоне 1Х <е <А большие.
В этом случае y^>i, частота ионизации вследствие потерь
гораздо меньше частоты наборов энергии, z^>l, но y/z «
ж a"1 V&vt/VE <С 1- Уравнение (4.23) имеет при этом
асимптотическое решение
z2 ж (у2/12а |i) ехр [(а - i)y], (4.25)
(4.26)
: 2a*$vE ехр [- -^ /6v7vB]
121

Чтобы уяснить физический смысл этого равенства, Составим
отношение потоков по энергетической o^i в точках 1г и 1г. С
помощью определения потока / по формуле (4.7), выражения (4.17)
и граничного условия (4.10) найдем
а = /{h)lj(ГО = ау/{уch[(a -l)y] + ah[{a- 1)у]}. (4.27)
Эту величину можно приближенно интерпретировать как
вероятность электрону, обладающему энергией Гъ проскочить через
«опасный» энергетический интервал /i<e </iH достичь
энергии 1и при которой он имеет шанс произвести размножение х.
В предельном случае у^$> 1 а ж 2а ехр I— (а — 1) у], и
асимптотическое равенство (4.26) можно записать в виде
vt х v^ap-a2; xt ж ХегпсГ2; т = 1/сф. (4.28)
Эти соотношения имеют ясный физический смысл. С точностью
до численного коэффициента а2 (порядка 1) частота ионизации
определяется временем набора необходимой энергии %е = уё1
и вероятностями электрону, во-первых, проскочить «опасную»
зону, а, и, во-вторых, совершить ионизующее столкновение после
этого, р. Электрон т = 1/сф раз совершает цикл движения по
энергетической оси, набирая энергию выше потенциала
возбуждения и без пользы теряя ее, прежде чем ему удастся ионизовать
атом. Разумеется, оценочную формулу (4.28) можно было бы
записать и непосредственно из физических соображений, но без
рассмотрения кинетического уравнения трудно было бы сколько-
нибудь надежно вычислить вероятность «проскакивания» а.
Само выражение для вероятности а при a <^J 1 имеет весьма
характерную форму. Положим, что ширина «опасного»
энергетического участка А = 1± — 1г относительно мала, Д <^ 1Х (а ж
ж 1). В этом случае
o«2aexp[-(o-l)y] = 2expf-j/r-|-^^.l =
где A£g> = A2/25(/i) — время, примерно в течение которого
электрон диффундирует через участок А на энергетической оси.
В противоположном предельном случае малых потерь на
участке A v* <^ V£, z»1h уравнение (4.23) принимает вид sh ay =
= ay (1 + (3). Если Р = 1, мы возвращаемся к формуле (4.20):
Вообще говоря, в нестационарном случае такой вероятностью следовало
бы называть величину / (71э Z)//Vi*> t — At) = [/' (I^/j (/]*)] ехр (Дг/0),
где At — время, в течение которого электрон проходит путь от 8 = 1±*
до /1# Но, поскольку G"1 <v£n v^A* = I^1 (de/dt)E At = (7Х — /i*)//i =
= 1 — a~2 ж 0,3, временной множитель близок к 1.
122

vt = 0,8 ve- Если же считать [3 <^ 1 и произвести разложение
sh ау по малой в этом случае величине ау, найдем ау ж 6|3 или
Vf = v^p. Чтобы произвести размножение, электрону требуется
совершить 1/(3 циклов движения по энергетической оси7 что также
естественно.
16.4. Постоянное поле и законы подобия. Частоты
столкновений и возбуждений пропорциональны плотности, или давлению,
газа р. В пределе низких частот (со2 <^ v^), который фактически
эквивалентен случаю постоянного поля, ve ~ E2/vm и v^/v* ~
~ (Е/р)2. Таким образом, отношение частоты ионизации к
давлению газа является функцией отношения Е/р: Vt/p ~ F± (Е/р).
Сама функция F± непосредственно определяется функцией F,
введенной выше. Подобие по Е/р, как известно, свойственно многим
важным величинам, характеризующим поведение ионизованного
газа в постоянном поле [4,23], например скорости дрейфа
электронов в поле vd = \ieE. Здесь [хе — подвижность; по элементарной
теории \ie = e/mvm, так что vd ~ Е/р.
Частотой ионизации vt и подвижностью определяется первый
ионизационный коэффициент Туансенда cq = Vt/\ieE —число
электронов, которые рождаются при движении электрона вдоль
поля на 1 еж. Отношение at/p является функцией Е/р. Величина же
ионизации, производимой электроном при прохождении разности
потенциалов в 1в, % = сц/Е = Vi/\ieE2, сама является функцией
Е/р.
Полученное выше решение для частоты ионизации позволяет
оценить первый таунсендовский коэффициент оц или коэффициент
у\г. Для этих величин имеются экспериментальные данные, и
интересно сравнить расчет с экспериментом. Рассмотрим случай
малых Е/р, т. е. больших неупругих потерь и малых частот
ионизации, когда справедлива асимптотическая формула (4.26) для
Vj. Подставляя в нее выражение v# = e2E2/mvmI1,
соответствующее о) = 0, получим для ионизационного коэффициента формуле
Ц1 = Ах ехр (— Вр/Е), А{ = 2аг$/119в пар ионов/в,
}^ll = 5,8-10~8 ^~ Vlwvlmvl в/см тор.
(4.29)
Здесь vlm, vj — коэффициенты в численных выражениях
типа vm = vlmpmop 1 /сек, Е/р, [в/см тор].
Например, выбирая для аргона vm = 7-Ю9 pmov, v* = 2,6-
• 108 ртор, что можно сделать, рассматривая кривые сечений, и
полагая а = 1,2, р = 0,2, 1± — 16,8 эв, найдем В = 53, At =
= 0,04. Если же аппроксимировать функцией типа (4.29)
экспериментальную кривую в области небольших Е/р х 5 -=- 20
(график 4.49 в книге [23]), получим В = 31, Аь = 0,01, т. е. имеется
разумное согласие расчета с измерениями (упругие потери при
этих условиях несущественны). Еще лучшее согласие получается
В =
а-1
/
123

для ксенона. Сечения возбуждения ксенона в отличие от других
инертных газов не были измерены до недавнего времени. В 1968 г.
появилась работа Диксона и Энгеля [24], по данным которой в
интервале от порога /* = 8,4 до 12 эв сечение растет с примерной
константой наклона Сж4«10~17 см2/эв. Выбирая в соответствии
с этими данными сечение <з* ^ 6-10~17 см2, возьмем v* =
= 4«108pwop 1/сек; кроме того, vm = 1,5-1010 pm0J> 1/сек. 1г = 13,1 эв.
Получим В = 85; А% = 0,05. По экспериментальному графику
[23] при малых Е/р В = 85, At = 0,1.
Законы подобия существуют и в другом предельном случае —
высоких частот. При со2 ^> v2rn имеем vE~p(E/to)2 и vt ~
~ pF2(E/(o). Характерным для высоких частот является
отношение Е/(о в отличие от Е/р для низких. Функция F2 определяется
функцией F. В крайних случаях низких и высоких давлений, как
и в низкочастотном случае, можно написать явные выражения для
F2. При малых р vt ~ ve ~ р(Е/<о)2. При больших р vt ~
~ v#a ~ р (Е/(о)2 ехр (— const (л1Е).
Не следует думать, что отмеченные выше законы подобия
свойственны лишь приближенному решению. Им подчиняется частота
ионизации, определяемая точным решением уравнения (3.25)
(но, конечно, соответствующая установившемуся спектру). В этом
легко убедиться путем непосредственного анализа уравнения (3.25)
и определения (1.48) частоты ионизации. Существование
подобия имеет большое значение, так как позволяет делать пересчеты
от одних условий к другим, позволяет, например, использовать
экспериментальные данные по частотам ионизации, полученные
путем измерения порогов пробоя в одном частотном диапазоне,
для расчета применительно к трудноисследуемому диапазону
и вообще к другим условиям.
16.5. Влияние возбуждения молекулярных колебаний. В
подразделе 16.1 отмечалось, что расчет лавины в молекулярных газах
по сравнению с одноатомными осложняется по двум причинам:
во-первых, из-за потерь энергии электронов, связанных с
возбуждением молекулярных колебаний и, во-вторых, с присутствием
сравнительно низко расположенных уровней электронного
возбуждения в молекулах. В полной мере эти эффекты учитываются
при численных расчетах, как в работах [12, 19], но, конечно,
представляет интерес возможность аналитических оценок. Один
из эффектов — возбуждение молекулярных колебаний — был
приближенно рассмотрен в работе Ю. В. Афанасьева, Э. М. Беле-
нова и И. А. Полуэктова [21]. Это было сделано в рамках
уравнения типа (3.36) или (4.7).
В подразделе 14.2 было показано,, что член упругих потерь
электронов можно преобразовать таким образом, что в
выражении для потока по энергетической оси появится слагаемое —nuct
соответствующее «сносу» в сторону уменьшения энергии
электрона, где ис = Деу11р/тс — «скорость сноса». Это возможно
постольку, поскольку потеря энергии электрона ДеуПр при одном
124

упругом столкновении очень мала (тс — время между
столкновениями). Но энергии колебательных квантов молекул Йсо„
также не очень велики, порядка 0,2 эв, и приближенно можно ввести
аналогичную скорость «сноса» uv — fr&v/xv, связанную с потерей
энергии на возбуждение колебаний. Здесь l/t„ = Navav —
частота возбуждающих столкновений электронов, av — сечение
возбуждения колебаний. К потоку/по энергетической оси добавится
слагаемое — nuv.
Сечение возбуждения молекулярных колебаний электронами
обычно имеет значительную величину только в сравнительно
узком интервале энергий Asv. Например, в азоте энергетическая
ширина пика сечения Деу ж 2 эв и пик лежит при энергии
электронов sv ^ 2 эв, величина его ovmax ^ 3-10~16 см2. Положим
приближенно, что сечение возбуждения av = 0 вне указанного
интервала энергий и частота возбуждений постоянна внутри
интервала Asv. Тогда вне интервала остается справедливым уравнение
(4.7); остаются в силе и граничные условия (4.10), (4.11), а внутри
интервала Де„ к величине / добавляется слагаемое — nuv с uv =
= const.
Поскольку интервал Де,, узкий и основную роль здесь играет
член неупругих потерь на возбуждение колебаний, поток / здесь
можно считать постоянным, а в выражении (4.7), описывающем
набор энергии под действием поля, пренебречь слагаемым пи
по сравнению с 3)дп/дг (это соответствует приближению Де^ <^
<^ е„). Тогда падение энергетической плотности электронов на
участке Де„ получается равным
av = п (zv + ksv/2)/n (sv — A8w/2) ~ exp [— lmvkev/xvAbv].
Эту величину можно приближенно интерпретировать как
вероятность электрону проскочить через «опасную» зону Деу
(ср. с подразделом 16.3). Как показывает полное решение
уравнения (4.7) с учетом такого падения плотности п(&) на участке
Де^, частота ионизации содержит вероятность av «проскакивания»
в качестве множителя, как и вероятность «проскакивания» через
зону электронного возбуждения а. Оценки [21] показывают, что,
например, в условиях пробоя азота импульсами лазера на С02
вероятность av имеет величину порядка 10"2—10~3), и эффект
возбуждения молекулярных колебаний приведет к увеличению
пороговых интенсивностей света в 100 раз.
16.6, Численные решения квантового и классического
кинетических уравнений. Такие расчеты были сделаны Фелпсом [12].
На рис. 4.3 [12] представлены установившиеся функции
распределения электронов, найденные путем численного решения
квантового кинетического уравнения (3.33) для гелия, аргона и азота
в поле излучения рубинового лазера с интенсивностью S = 7,8-
. 1010 вт/см2 (Е = 5,3-Ю6 в/см). Учитывались и упругие и
неупругие столкновения, в том числе и возбуждение колебаний в
молекулах азота. Спектры электронов в гелии и аргоне обладают
125

п, 1/зд
f(e), эб~3^ 10 ° г-
е, эд е, эб
Рис. 4.3. Рассчитанные [12] функции распределения электронов
Интенсивность излучения рубинового лазера 7,8-Ю10 вт/см2; функция нормирована
условием У / (е) Vede = 1
Рис. 4.4. Энергетический спектр электронов, полученный путем решения
упрощенной задачи
Пунктир — точное численное решение Фелпса [12]
очень слабо выраженной периодической структурой с периодом,
равным энергии фотона Йсо = 1,78 эв. В азоте периодическая
структура выражена чрезвычайно резко. Наряду с квантовым
численно решалось и классическое кинетическое уравнение при
том же самом отношении £7со, которым характеризуется действие
поля в условиях, когда со2 ^> v™. Для аргона и гелия квантовый
и классический спектры почти совпали, в азоте различие
значительно.
Оценка по формуле (1.59) показывает, что при значении Е/& =
= 2«10~9 в сек/см, к которому относится рис. 4.3, для аргона
8тах = 250 эв^> I = 15,8 эв, т. е. упругие потери
незначительны, и, следовательно, можно сопоставить найденное выше
приближенное решение с точным расчетом Фелпса (в гелии упругие
потери существенны: етах = 25 эв ж / = 24,6 эв).
Нормированный на Ne = 1 энергетический спектр электронов п(г) в аргоне,
следующий из приближенного решения подраздела 16,3;
представлен на рис. 4.4. Расчет сделан со следующими значениями
параметров: Е/ау = 2-Ю"9 в сек/см, как и в точном решении, а =
= VIJ 1{ = 1,2, р = 0,2, vm/v* = 26.
Пунктиром на том же рисунке нанесен точный спектр, который
получается по данным рис. 4.3 (функцию / рис. 4.3 надо умножить
126

на e1/z, так как п ~ в1^ /).
Видно, что согласие достаточно
удовлетворительно.
На рис. 4.5 показаны средние по
спектру частоты возбуждений в
гелии, аргоне и азоте vB. Для
аргона и гелия результаты
классического и квантового расчетов
практически неразличимы. Фелпс приводит
частоты возбуждений, а не
ионизации^ так как при расчете порогов
пробоя он считает, что все
возбужденные атомы немедленно фо-
тоионизуются. Не следует путать
среднюю частоту возбуждений vB
с величиной v*. Первая
представляет собой среднее по всему
спектру, подобно частоте ионизации
vf, тогда как частота v* относится
только к определенной части
спектра 1Х <^ е < 1г. В нашем
приближении средняя частота
возбуждений vb соответствует частоте
ионизации vi? вычисленной в
подразделе 16.2 в предположении,
что каждое возбуждение ведет к
немедленной ионизации.
Для принятой выше частоты
= 7,0-Ю9 pmov = 1,9-10"7 X Na 1/сек и при со2 ;> v™ наша
частота «возбуждений» по формуле (4.20)
vB=Vi = 0,8^vm = 2A0'(-^-)2Na.
1г \ ^рад/сек J
Соответствующая этой зависимости логарифмическая прямая
lg vJNа = 7,3+ 2 lg Е/ы с удовлетворительной точностью
совпадает с кривой Фелпса в области больших полей, когда только
и имеет смысл сравнивать приближенный расчет с точным. При
малых полях существенны упругие потери, частота
возбуждений становится относительно меньше, и кривая Фелпса
отклоняется вниз от асимптотической прямой. Но на этот случай
приближенный расчет и не распространяется.
В работе Нильсена, Канавана и Роквуда [19] численно
решалось нестационарное квантовое уравнение (3.33) для
молекулярного дейтерия в поле излучения рубинового лазера (также с
учетом возбуждения колебаний). Спектр быстро устанавливается во
времени. Считалось, что энергия электрона может принимать
значения, только кратные Йсо; проведенная через дискретные точки
10"° ЯП
E/iti, д-сдп/см
Рис. 4.5. Средние по спектру
частоты возбуждений (из расчета на
один атом) [12]
Сплошные кривые — квантовое урав-
с ft© = 1,78 эе, пунктир —
классическое
столкновении в аргоне vm
127

кривая подобна гладким кривым рис. 4.3 без периодической
структуры.
16.7. Сверхсильные оптические поля. Выше, в разделах 16.1 —
16.4, предполагалось, что электроны, достигшие энергии 119
мгновенно совершают неупругие столкновения с атомом. Это
допустимо, если среднее время, необходимое для неупругого
столкновения при г = Ix l/vHeyn (Ii), гораздо меньше, чем время
нарастания энергии в поле до величины/!, т. е. ve <^vHeyn(I1). При
пробое газов наносекундными лазерными импульсами это
неравенство выполняется достаточно хорошо. Так, например, при
пробое аргона с р = 1500 тор излучением рубинового лазера Е х
» 6-106 в/см, S ^ 1011 вт/см2 среднее приращение энергии
электрона при столкновении по формуле (1.10) Де = 8,6-10~3 эв,
vm х 1013 1/сек и vE « Ю111/сек, тогда как vHeyn (h) » *Ю12 1/сек
(сечение aHeyn(^i) » Ю"16 см2).
Иная ситуация возникает при пробое сверхкороткими, пико-
секундными импульсами, когда пороговые интенсивности
достигают 1013—1016 вт/см2 (см. раздел 9). В этом случае скорость
развития лавины лимитируется не набором необходимой энергии в
поле^ что происходит быстро, практически за одно столкновение,
а относительно малой скоростью неупругих столкновений. (В
очень сильных полях возбужденные атомы немедленно фотоиони-
зуются(, так что любое неупругое столкновение ведет к
размножению.) Развитие лавины в таких условиях рассматривалось в
работах Ю. В. Афанасьева1, Э. М. Беленова и О. Н. Крохи-
на [17, 18], которые, кстати сказать, были сделаны еще до
появления опытов с пикосекундными импульсами. В этих
работах было составлено (на чисто классической основе) и решено
кинетическое уравнение для функции распределения электронов
по энергиям. Для использования классической теории здесь
имеются даже большие основания, чем при пробое наносекундными
импульсами. В очень сильном поле при столкновении электрон
приобретает большую энергию, превышающую Йсо (так, при S =
= 1014 вт/см2 Де = 8,6 эв ж 5Й со), что и свидетельствует о
«классичности» процесса х.
В ходе решения кинетического уравнения в [17] определяется
постоянная времени лавины 9. Мы не будем останавливаться на
этом решении, которое довольно громоздко, но для пояснения
существа дела выведем формулу для 0 из элементарных соображений
(конечно, с точностью до численного коэффициента).
Авторы [17] исходили прямо из уравнения (3.25) для распределения
электронов по энергиям п (е). Было бы интересным, однако, вывести такое
уравнение из общего уравнения (3.6) для функции распределения по скоростям
применительно к данному случаю. Дело в том, что в сверхсильных полях
нарушается условие eE/m(ov <^ 1, при котором было выведено уравнение
(3.25) (см. подраздел 13.2). Поэтому вопрос о применимости уравнения
(3.25) сам по себе требует специального анализа.
128

Если скорость нарастания энергии электрона очень велика,
время, необходимое для размножения 0, равно примерно
среднему времени жизни электрона по отношению к
неупругому столкновению тГнеуп(ё) ПРИ тои характерной энергии *ё,
которую электрон успевает приобретать в поле за это время.
Энергия 8 определяется равенством ё = (de/dt)E tHeyn (ё). Подставляя
сюда (dz/dt)E = Aevm и тнеуп (ё) = Ша УШ\т вяеуп (ё)]-1,
получим уравнение для ё. Допустим [17], что электрон до неупругого
столкновения успевает приобрести значительную энергию,
которая лежит за максимумом кривой сечения tfHeyn(£)» где сечение
спадает как 1/е. Полагая анеуп ~ о^8™/8» гДе ^т и °т относятся
к максимуму сечения, найдем ё ж (As)2v^nm/2Ntom^m-
Постоянная времени лавины 0 ж тне.уп (&)» откуда 1/0 ^ 2N2lG2ne2ri/^vmAs.
(В [17] это выражение содержит еще множитель я).
Обращает на себя внимание обратная зависимость скорости
нарастания лавины от интенсивности света (Де ~ S ~ Е2), что
является следствием падения сечения неупругих столкновений
с энергией онеуп ~ 1/е в области больших энергий. Таким образом,
если в полях умеренной интенсивности скорость развития
лавины 1/0 возрастает при увеличении поля, то в очень сильных она
падает. Следовательно, зависимость 1/0 от поля имеет максимум.
Это было показано в работе Ю. В. Афанасьева, Э. М. Беле-
нова, О. Н. Крохина и И. А. Полуэктова [18], в которой
кинетическое уравнение с явным выражением для члена неупругих
потерь (типа (3.26), (3.28)) было решено в широком диапазоне интен-
сивностей лазерного излучения. Случаи умеренных полей,
соответствующих обычным наносекундным импульсам, и
сверхсильных получаются из этого решения как предельные. Параметром
теории служит отношение характерных скоростей неупругих
потерь и нарастания энергии электрона в поле ро = I &шеуп/ke,v т.
В пределе (30 ^> 1 получаются результаты подразделов 16.1—16.4,
в пределе (50 <^J 1 — решение, о котором говорилось в этом
подразделе. Максимум скорости развития лавины 1/0 лежит при
Р0 ж 0,25. В работе [18] приводятся функции распределения
электронов, полученные путем численного интегрирования
универсального обезразмеренного кинетического уравнения, и
безразмеренная зависимость скорости развития лавины от параметра
Р0 (от поля).
В очень сильных оптических полях с лавинным механизмом
ионизации конкурирует механизм многоквантового фотоэффекта.
Надо сказать, что детальному теоретическому анализу
экспериментальные результаты по пробою пикосекундными импульсами
(подраздел 9) не подвергались, хотя, безусловно, это представило
бы интерес.
129

17. Расчеты пороговых полей
17.1. Случай быстрой ионизации возбужденных атомов. К
нему, по всей видимости, относится пробой рубиновым лазером.
Частота ионизации vt определяется формулой (4.20). Пороговое
поле Е можно вычислить при помощи общего, нестационарного
критерия пробоя (1.59). Рассмотрим в качестве примера пробой
аргона. Здесь имеются удобные для сравнения экспериментальные
данные, полученные Алкоком, Де Михелисом и Ричардсоном [25]
при помощи одномодового рубинового лазера (см. раздел 7).
Напоминаем, что поле многомодового лазера имеет резкие
пространственные неоднородности и определяемая обычно на опыте
средняя по сечению фокуса величина может заметно отличаться от тех
истинных локальных полей, в которых на самом деле развивается
лавина.
Для тех невысоких давлений, с которыми мы будем иметь
дело, со2 ^§> vm и частота ионизации в аргоне приближенно равна
vj « 0,8v£ « 1»1"Ю~7 ртор Е2/см Псек. Здесь, как и выше,
частота столкновений принята равной vm = 7-Ю9 ртор Псек;
l\ = 12,5 эв. В качестве коэффициента пространственной
диффузии возьмем соответствующую этому значению vm величину
D = 1,2-106/ртОр см2/сек; частота диффузионных уходов vd =
= D/A2, эффективная длительность лазерного импульса в опытах
[25] tx х 15 псек. Будем называть «пробоем» появление Жх = 1013
электронов при одном начальном. Тогда получим из (1.59)
численное уравнение 1,1-10"7 р Е2 — 1,2-ЮУр Л2 = 2-Ю9 Псек.
На рис. 4 6 сопоставлены вычисленные и экспериментальные
пороговые поля в зависимости от диффузионной длины Л при
двух давлениях. При большем из давлений р = 8850 тор =
= 11,6 атм диффузионные потери электронов по расчету должны
быть существенными только при самой острой фокусировке и
самых малых Л. При не малых Л диффузионные потери
незначительны и расчетное поле не зависит от Л. Для этого случая
чисто «нестационарного» пробоя характерна зависимость порога
от давления: Et ~ р-1^2, St ~ р'1. При меньшем из давлений
р = 2800 тор и самых малых Л расчетные диффузионные потери,
напротив, значительны и критерий пробоя ближе к
«стационарному»: vt ж vd. Для этого случая характерна зависимость Et ~
~ 1/рЛ, St ~ 1/р2Л2. При всех фигурирующих здесь полях
упругие потери в аргоне малы.
Рассчитанные пороговые поля согласуются с измеренными по
абсолютной величине. Однако уже здесь намечается тенденция,
которая особенно разительно проявляется при больших размерах
фокуса, фигурирующих в других экспериментах (fM. раздел 7).
При больших Л диффузионные потери по расчету оказываются
несущественными, критерий пробоя становится чисто
нестационарным, и порог перестает зависеть от размеров фокуса. Между
тем опыт показывает продолжающееся уменьшение порога при
130

E,W66/cm E, б/см
I I I I L_J ., I 1 1 1 I I I H
/ 2-10* ZOO 400 600
Л, см p,mop
Рис. 4.6. Расчетные пороговые поля в аргоне в предположении, что
возбужденные атомы мгновенно ионизуются излучением
Рубиновый лазер; точки — эксперимент [25] с одномодовым лазером
Рис. 4.7. Пороги для пробоя дейтерия рубиновым лазером [19]
j — расчет в предположении, что возбуждения уровней с энергиями 8,8 эв и выше, 3 —
12 эв и выше равносильны ионизации, 2 — эксперимент, 4 — возбужденные атомы не
ионизуются
росте Л. Этот эффект и возможная его причина обсуждались в
подразделе 7.3. Впрочем, здесь еще многое неясно.
Фелпс [12] рассчитывал пороги для пробоя аргона рубиновым
лазером и сопоставлял результаты с экспериментами.
Вычисления были сделаны в двух предположениях: возбужденные атомы
немедленно ионизуются и не ионизуются излучением: в последнем
случае пороги существенно выше. Измеренные значения заняли
промежуточное положение между теми и другими данными. К
такому же результату пришли Нильсен, Канаван и Роквуд [19],
делавшие расчеты для пробоя дейтерия (см. подраздел 16.4);
их результаты показаны на рис. 4.7. Это свидетельствует о том,
что процесс фотоионизации возбужденных атомов излучением
рубинового лазера играет определенную роль в развитии лавины.
Ионизуются ли все возбужденные состояния, включая самые
нижние, или не все, сказать с определенностью трудно, так как
расчеты сравнивались с измерениями, выполненными при помощи
многомодового лазера.
17.2. Случай существенных потерь на возбуждение. В разделе
16.3 была установлена безразмерная функция v^/v* = F (ve/v*);
она изображена на рис. 4.2. Обозначим Ф обратную функцию, так
что vE/v* = Ф (vf/v*); она, очевидно, дается тем же графиком
4.2. Общее условие пробоя (1.59) можно представить в виде vt =
= vd + vt, где V; = t^11пЖх/Ж0 Следовательно, пороговое поле
131

Е определяется из равенства vE/v* = Ф [(vd + v()/v*], которое
после подстановки выражения для Vjg дает
Е2 =
/lTO.(C02 + V^) v.
Ф(Л),
Т| =
vd + v*
(4.30)
Вычисления показывают, что в качестве средней энергии г
в выражении для среднего по спектру коэффициента диффузии
D = <z;2/3vm (г;)> = 2e/3mvm можно взять половину потенциала
возбуждения атомов. Таким образом, для расчета порогового поля
Ф
о
г
5
3
ПГ*
5
я
»-"
Wm
А
с
Щ/
ш
flTs 3 5 /(Г* 3 5 W3 3
Рис. 4.8. Универсальная
безразмерная функцияФ(г\),
определяющая пороговое
поле по формуле (4.31)
Sltr' 3 5 /IT
для пробоя разных газов при разных частотах, давлениях,
размерах имеем весьма компактную численную формулу
Яв/сж = 5,7 • 10-«/1эв (со2 + О -J- Ф 0D,
Ц = (vd + v,)/v*. vd = 5,8- 10"J>WA]
(4.31)
2
■см*
Для удобства расчетов функции Ф (г\) для [3 = 1 (неодимовый
лазер) и р = 0,2 (более низкие частоты) приведены на отдельном
графике рис. 4.8.
Рассмотрим подробнее имеющий большой круг приложений
случай «стационарного» пробоя, когда временньш членом vt в
условии пробоя можно пренебречь и пробивающее поле
определяется равенством чисел рождений и потерь электронов vt = vd.
Сюда относятся почти все встречающиеся на практике случаи
пробоя газов постоянным полем, полями низких, высоких,
сверхвысоких частот, а также гигантскими импульсами инфракрасного
излучения лазера на С02, короче говоря, все те случаи, когда
длительности действия поля превышают 10~7—10~6 сек. При
«стационарном» пробое г] = vd/v* ~ 1 (рЛ)2 и в предельных случаях
малых и больших частот или же высоких и низких давлений,
для порогового поля справедливы определенные законы подобия
по давлению и размерам области. Количественным критерием
того и иного пределов служит соотношение между частотами поля
ю и столкновений vm.
132

При co2<^v^ Е2 ~ р2Ф (const/p2A2). Этот предел
соответствует случаю постоянного, статического, поля, и мы видим, что
«напряжение» пробоя ЕА является функцией произведения
давления на характерный размер области рА (вспомним известные
кривые Пашена). В противоположном, «высокочастотном»,
случае со2 ^> v™ функцией рА является отношение напряженности
поля к частоте £7со. При прочих равных условиях пороговое поле
растет пропорционально частоте электромагнитных колебаний,
а пороговая интенсивность волны пропорциональна со2.
В предельных случаях низких и высоких давлений можно
воспользоваться асимптотическими формулами для функции Ф
и выписать явные выражения для порогового поля, которые
наглядно демонстрируют характер зависимостей (по-прежнему
рассматриваем «стационарный» пробой). При малых давлениях
определяющую роль играют сильные диффузионные потери,
вследствие чего для пробоя требуется высокое поле. При больших
полях вероятность проскакивания электрона через зону /ь< е <; 1г
велика, и vi ж vs|3, т. е. vE « vd/(3, откуда непосредственно
следует формула для порогового поля. Если же исходить формально
из общего выражения (4.31), то в нем при r\ = vd/v* ~ 1/р2 ->- оо
Ф ж т]/|3. Учитывая еще, что при низких давлениях со2 ^> v^,
получим
Ев[см « Vlwf„№ фтА ~ со/рЛ, (4.32)
что почти совпадает с формулой (1.61). Пороговое поле обратно
пропорционально давлению и размерам.
При высоких давлениях диффузия происходит медленно и
преобладают неупругие потери. В этом случае согласно (4.26)
имеем для Ф асимптотическое трансцендентное уравнение
Ф = 6 [(а - 1)/а]2/[1п (2а3рФ/т012, (4.33)
из которого следует, что в данном пределе р -> оо, г] -> О, Ф —
очень слабая функция т]. Полагая со2 <^ Vm при р->оо и вводя
здесь явное выражение для множителя [(а — 1)/а]2, довольно
чувствительного к вариациям потенциалов, получим из (4.30),
(4.31)
F __ i/~Iimvmv* VE(a—l)la (, од\
* — У & In (2азрф/г)) ' v*-°*>
Яв/см— In (2а3рФ/т)) ' V*'00'
где Ф под знаком медленно меняющегося логарифма можно
считать величиной постоянной. Формула (4.34) уточняет
полукачественную формулу (1.63) — в ней присутствует дополнительный
множитель (после корня). Формула (4.34) показывает, что
асимптотический закон Е ~ р при больших давлениях, который на-
133

блюдается и на опыте, верен только с точностью до медленно
меняющегося с р логарифмического множителя. В следующем
приближении (Ф = const) Е ~ p/[const + In (рЛ)], т. е. пороговое
поле растет чуть медленнее, чем/?. Но самое главное, что в формуле
(4.34) в отличие от (1.63) содержится зависимость порога от
размеров.
Слабость этой зависимости, которая является только
логарифмической, связана с тем, что главную роль играют не
диффузионные, а неупругие потери. Однако, несмотря не относительно
малый эффект диффузионных потерь, их существование имеет
принципиальное значение. Если бы электроны вообще не исчезали
(Л = оо), то при «бесконечной длительности» действия поля, что
и соответствует условию «стационарного» пробоя, порога для
пробоя просто не было бы. В любом, сколь угодно слабом, поле
происходило бы медленное размножение электронов. Множитель у
корня в формуле (4.34) довольно сильно отличается от единицы
(он порядка 10*"1), так что формула (4.34) существенно уточняет
элементарную формулу (1.63) и в количественном отношении.
Вероятность «проскакивания» при пробое а = г)/|ЗФ с точностью
до логарифмического множителя уменьшается с ростом давления
как а ~ 1/(рА)2.
В газах, частицы которых обладают сродством к электрону,
например в кислороде (и воздухе), помимо диффузионных имеются
еще потери электронов, связанные с прилипанием последних к
молекулам. Поскольку частота прилипаний va ~ р, a vd ~ 1/р,
при р —> оо потери на прилипание всегда больше диффузионных.
В этом случае, из стационарного условия пробоя v^ = va и (4.26)
следует, что в пределе р -> оо v^ ^ va и пороговое поле Е ~ р,
т. е. этот закон остается в силе. Для воздуха, как известно,
Ев/см » 3-Ю4 ратм; Е ж 30 кв/см при р = 1 атм.
В случае «нестационарного» пробоя, как это имеет место при
пробое газов наносекундными импульсами неодимового и
рубинового лазеров, следует пользоваться общей формулой (4.31).
Здесь при не слишком высоких давлениях, т. е. в области до
минимума (см. подраздел 7.1) зависимость порогового поля от
давления более слабая, чем в случае «стационарного» пробоя, когда
Е ~ Пр. При не слишком высоких давлениях Ф ~ т) и Е ~ r|V*,
но т] теперь зависит от р медленнее, чем 1/р2 из-за присутствия
члена v,.
На рис. 4.9—4.11 представлены результаты расчетов по
формуле (4.31) порогов для пробоя аргона и ксенона в СВЧ и
оптическом диапазонах (излучениями лазеров на углекислом газе и
на неодимовом стекле). Для расчетов были приняты те же частоты
упругих и неупругих столкновений, что и при вычислении частот
ионизации в постоянном электрическом поле (см. подраздел 16.4):
для аргона vm = 7'109pmop i/сек, v* = 2,6-108pmop (/х = 16,8 эв,
I* = 11,5 эв)\ для ксенона vm = 1,5-1010^тор, v* = 4-108/?mop
(73 = 13,1 дву 7* -= 8,4 эв). При вычислении порогов «нестацио-
134

Е, В J см
10'
10'
io3V
10'
+++^+t*J^'
^
■ I I I I I III
' I I I I I p
0,01
0,1
1,0
10
Рис. 4.9. Пороговое поле для СВЧ-пробоя
100
Сплошные кривые —наш расчет, пунктирные — эксперимент [1]. Расчетных данных
в FlJ нет
о — аргон: 1 — частота поля 2,8 Ггц (со = 1,8-1010 рад/сек), А. = 0,15 см; 2 —* частота
0,99 Ггц (со = 6,2-10» pad/сек), Л= 0,63 см; б — ксенон, частота поля 2,8 Ггц, А.—
= 0,10 см
Рис. 4.10. Расчетные поля для оптического пробоя
а—аргона (J) и ксенона (2) излучением лазера на С02, Х= 10,6 мк, © = 1,9-
• 10й рад/сек, длительность импульса U ~ 1 мк, радиус фокуса 4-Ю-3 см; б — аргона
неодимовым лазером, длительность импульса /, « 50 псек, Л = 1,64 10~3 см;
экспериментальные точки взяты из [22] (а) и [26] (б)
135

нарного» пробоя неодимовым лазером было принято JiT^JiT^ =
= 1013 (в лавине рождается 43 поколения электронов).
Как видим, формула (4.31) обеспечивает разумное согласие
расчета с экспериментом в широком диапазоне частот и давлений.
Расхождения, которые все же имеются, вполне можно отнести за
счет тех весьма кардинальных упрощений и приближений, которые
и позволили получить столь простую формулу, несмотря на это
охватывающую широкий диапазон условий. Кстати, из формулы
FtW23t/cMZceN
Рис. 4.11. Расчетные плотности
потока фотонов для пробоя ксенона
неодимовым лазером
Экспериментальные точки взяты из статьи
[271. Длительность имдульса U = 35 псек,
радиус фокуса 4,5-10—3 см
(4.31) видно, что минимум порога соответствует давлению, при
котором со ~ vm. Действительно, для стационарного пробоя
условием минимума функции (4.31) является равенство
dlgO/dlgri=l/(l+(o2/v^).
Из рис. 4.8 видно, что логарифмическая производная имеет
порядок 1, т. е. со ~ vm.
17.3. О роли ионизации возбужденных атомов ударами
электронов. Если фотоионизации возбужденных атомов не
происходит, к концу лавины их накапливается много, и тогда их быстро
ионизуют электроны. Оценим, насколько этот процесс понижает
порог пробоя газа. Интересуясь действием коротких световых
импульсов, не будем учитывать диффузионные потери электронов.
Пренебрежем также дезактивацией возбужденных атомов
электронными ударами второго рода и высвечиванием, чем несколько
завысим влияние рассматриваемого процесса. В такой
упрощенной постановке лавина описывается следующими уравнениями
кинетики для плотностей электронов Ne и возбужденных атомов
iV*;
dNJdt - hNaNe + k*N*Ne, (4.36)
dN*/dt = k*NaNe - k*N*Ne. (4.37)
Константы скоростей реакций ионизации kt, k\ и возбуждения
/с* определяются спектром электронов, который будем считать
неизменным и зависящим только от поля Е. Величина ktNa
тождественна рассматриваемой выше частоте ионизации v^. В
условиях значительных потерь на возбуждение средняя по спектру
I, i i i i i i I, i м,1 i
р,тор
136

частота возбуждений vB = k*Na практически совпадает с
частотой наборов энергии электрона в поле vE. В начальный момент
t = 0 имеем: Ne = Ne0, a N* = 0.
Нелинейная система (4.36) и (4.37) имеет первый интеграл
Ne = iVe0 - N* + Nl (1 + МО In (1 - N^NloT1; rf» = ^Na,
h
подстановка которого в (4.37) сводит это уравнение к
квадратуре. В безразмерных переменных: t = vtt, Ne = NJNlo.
N* = N*/N(X> решение системы зависит от двух параметров:
kt/k* и Ne0.
Приведем результаты расчета типичного варианта: ktlk* =
= 10~2, Ne0 = 3,7-10~14. Например, если давление —
атмосферное и к%1к* = 102, каковая оценка следует из рассмотрения
спектров и сечений, i\C = 2,7 -1017 см"3 и Ne0 = 104 см"3. Такое
значение Ne0 соответствует наличию одного затравочного электрона
в объеме фокальной сферы радиуса 3-10~2 см. Если считать
«пробоем» появление 1013 электронов, т. е. нарастание лавины до
плотности Nel = 1017 см"3, Nel= 0,37, то без ионизации
возбужденных атомов пробой произошел бы в момент t = In {Nel/Ne0) = 30.
Благодаря ионизации возбужденных атомов, пробой при
данном поле наступает раньше, в момент tx — 22,4 (при этом N± =
= 0,63). До момента t = 17,1, когда N* = 10~4, a Ne = ЮЛ лавина,
с точностью до 2%, нарастает так же, как и без ионизации
возбужденных, по «медленному» закону Ne = Ne0 exp (v^). Только потом
начинается постепенное ускорение лавины, которое завершается
«взрывообразным» освобождением электронов за время,
значительно меньшее начальной постоянной времени развития лавины
0 = vj\
Для того чтобы за счет одного лишь механизма ионизации
невозбужденных атомов пробой произошел в тот же момент tu что
и при действии ионизации возбужденных, частота ионизации v^
должна была бы быть больше в 30/22,4 = 1,34 раза. Поле для
этого должно было бы быть выше менее чем на 10%.
Это свидетельствует о том, что процессы ионизации
возбужденных атомов ударами электронов не могут существенным образом
повлиять на величину порога пробоя газа.
17.4. Нерешенные вопросы. Заканчивая рассмотрение
оптического пробоя не слишком разреженных газов и отмечая, что
лавинная теория позволила объяснить основные черты явления и
дать в общем правильные количественные результаты, мы
хотели бы перечислить некоторые оставшиеся неясными места и
нерешенные вопросы. Быть может, это окажется полезным для выбора
путей дальнейшего экспериментального и теоретического
исследования явления.
1. По-преяшему нет прямых и четких экспериментальных или
137

теоретических доказательств того, что возбужденные атомы
«мгновенно» ионизуются под действием излучения (хотя бы рубинового
лазера). Измеренные пороговые поля занимают промежуточное
положение между результатами расчетов, выполненных в том и
ином предположениях, причем реальные точности как теории, так
и эксперимента не позволяют сделать однозначных заключений.
Косвенные соображения, следующие из анализа эксперимента и
теории, зачастую приводят к противоречивым выводам.
2. Остаются неясными результаты измерения частотной
зависимости порогов (см. подраздел 7.2). Не объяснено резкое
снижение порогов на больших частотах (на второй гармонике рубина).
Вероятности поглощения фотонов электронами, как мы знаем,
уменьшаются при увеличении ^со, т. е. казалось бы, лавина
должна замедляться. Приписать эффект влиянию многоквантовой
ионизации атомов из основного состояния довольно трудно. Если же
отнести его за счет фотоионизации возбужденных атомов, то
отсюда следует, что на более низких частотах, в частности на первой
гармонике рубина, этого эффекта нет. Но это противоречит ряду
указаний на существование эффекта. Таким образом, этот вопрос
находится в тесной связи с тем, который обсуждался в п. 1.
3. Нет четкого объяснения причин наблюдаемого снижения
порогов при увеличении диаметров в области больших размеров
фокусов (подраздел 7.3), когда диффузионные потери электронов
из области фокуса становятся заведомо малыми. Здесь остается
пока не доказанной гипотеза о том, что лавина развивается в
местах с большими локальными полями, и существенны
диффузионные потери из малых областей внутри фокуса. Имеется и гипотеза
о существовании «диффузионноподобных» потерь, связанных с
диффузией резонансного излучения, которая не кажется нам
правдоподобной.
4. Совершенно непонятна причина снижения порога пробоя
аргона при добавке в него малых количеств неона. Гипотеза о
влиянии эффекта Пеннинга, по-нашему мнению, не выдерживает
критики (подраздел 8.1).
5. Имеются расхождения между результатами измерений
порогов разными авторами, как в отношении величины пороговых
полей при близких условиях, так и в отношении зависимости от
давления. В ряде работ наблюдалась очень слабая зависимость
при не слишком низких давлениях (раздел 7.1). Между тем вопрос
о зависимости от давления находится в прямой связи с вопросом
о роли диффузионных потерь.
6. Нет теоретического объяснения экспериментальных
результатов пробоя газов пикосекундными импульсами, в частности
соотношения ролей многоквантового фотоэффекта и лавинного
механизмов ионизации (раздел 9). Не объяснено существенное
расхождение между измеренными зависимостями порогов от давления,
полученными разными авторами, а зависимости от давления для
многоквантового и лавинного механизмов существенно различны.
138

Глава 5
РАЗРЕЖЕННЫЕ ГАЗЫ
В сильно разреженных газах ионизация электронным ударом
роли не играет и единственной причиной пробоя является
непосредственное вырывание электронов из атомов под действием
интенсивного светового поля. В разделе 3 было показано, что в
условиях экспериментов с гигантскими лазерными импульсами этот
процесс, как правило, имеет характер многоквантового
фотоэффекта. Лишь в исключительно сильных полях выше 108 el см
процесс занимает некое промежуточное положение между
многоквантовым эффектом и туннельным эффектом —
противоположным предельным случаем вырывания электронов из атомов
статическим электрическим полем.
Фактически и эксперимент и теория в отношении оптического
пробоя разреженных газов сводятся к измерению и вычислению
вероятностей вырывания электронов из атомов под действием
светового поля. Что касается теории, то по существу это
совершенно особая, самостоятельная тема, некий весьма сложный раздел
квантовой механики, который к настоящему времени разработан
лишь в общих чертах. Тема эта стоит в стороне от общего
направления книги, и мы затронем ее очень кратко. Вопросы теории и
эксперимента в области многофотонной ионизации атомов
рассмотрены в обзоре Н. Б. Делоне и Л. В. Келдыша [1], который был
использован при написании главы. Раньше работы на эту тему
рассматривались в обзорах 1965 г. [2, 31.
18. Многоквантовый фотоэффект
18.1. Эксперимент. О первых опытах Г. С. Воронова и Н. Б.
Делоне [4], в которых была измерена вероятность многоквантового
фотоэффекта в ксеноне, было рассказано в подразделе 3.2.
Постановка этих опытов и методика эксперимента типичны и
для последующих работ. Во всех опытах исследуются сильно
разреженные газы при давлениях порядка Ю-4 тор, что полностью
исключает влияние столкновений частиц на ионизацию.
Образованные в области фокуса ионы вытягиваются приложенным полем,
разделяются по массам и детектируются электронным
умножителем или цилиндром Фарадея. Это дает абсолютное число
образовавшихся ионов J/*x за все время светового импульса. Мощность
светового излучения, падающего на фокусирующую линзу,
изменяют в широких пределах путем применения соответствующих
ослабителей. В каждом опыте калориметрическим методом
измеряется полное число фотонов <#%, прошедших через фокус за
время импульса. Зная длительность импульса tx и радиус кружка
139

17,8ЦНу
Рис. 5.1.Типичная зависимость
числа образующихся ионов от
числа фотонов, прошедших
через область фокусировки [10]
Криптон, рубиновый лазер. Из
измерений следует, что п = 6,49 +
+ 0,22
фокусировки г0, можно определить
среднюю плотность потока фотонов
в области фокуса F = J\Tj%r\tx.
Типичная зависимость числа
ионов от числа прошедших квантов
показана на рис. 5.1, построенном в
двойном логарифмическом масштабе.
Наклон прямой, проведенной через
экспериментальные точки,
определяет показатель степени п в
зависимости яАГ-х — Ж™. Этот показатель и
представляет собой число квантов,
одновременное поглощение которых
приводит к ионизации атома, ибо
вероятность тг-квантового
фотоэффекта ш-Г-^v. Абсолютная
величина вероятности ионизации атома в
световом поле w, равная обратному
времени жизни атома по отношению
к ионизации, рассчитывается с
помощью экспериментальных данных
по формуле
W = JTt/NaVtb (5.1)
где Na— плотность атомов, V— объем
области фокуса, где происходит
ионизация.
Разумеется, есть некоторая неопределенность в задании
величин объема и длительности импульса tv Но здесь возникает и еще
более существенная неопределенность, связанная с вопросом,
какому значению плотности потока F приписать данную
вероятность w; ведь задача эксперимента — определить функцию w (F).
Дело в том, что распределение поля в области фокуса при работе с
многомодовым лазером крайне неравномерно. Измерение числа Жу
позволяет определить средний по области фокуса поток F. Но
определяемая из опыта по формуле (5.1) средняя вероятность w
пропорциональна не п-й степени среднего потока, Fn, а среднему по
объему значению п-й степени потока, Fn. При очень
неравномерном распределении интенсивности и большом п эти величины могут
существенно различаться.
Простой пример: пусть интенсивность имеет гауссово
распределение по сечению фокуса F (г) = F0 ехр (— г2/го). На опыте из-
оо
меряются мощность излучения Р = \ F (г) 2лг dr = FQnr\ и
эффективный радиус кружка фокусировки г0
ностью является величина F = Р/яг0 = F0.
«Средней» интенсив-
Фактическая
вероятно

ность ионизации пропорциональна
Fn = [ Fn2nrdrjnrt = F*/n = Fn/n.
о
Эта величина в п раз меньше, чем Fn, так как ионизация идёт
преимущественно в области максимального поля. Факт резкой
неоднородности поля в луче многомодового лазера был установлен еще в
работах А. М. Леонтовича и А. П. Ведута [5] и Брэдли [6]. В
случае большого числа мод световое поле лазера не является
когерентным, флуктуации поля можно приближенно считать подобными
флуктуациям теплового характера, для которых справедлив
гауссов закон распределения. При этом Fn = п\ Fn, т. е. вероятность
перехода увеличивается в п\ ж (п/е)п раз при той же самой средней
интенсивности светового потока F.
Структура поля излучения в области фокуса изучалась в
работе Т. М. Бархударовой, Г. С. Воронова, В. М. Горбункова и Н. Б.
Делоне [7] как раз в связи с поставленным вопросом. Луч лазера
фокусировался линзами без сферической аберрации. Выделенное
сечение луча отображалось при помощи микрообъектива на
фотопленку, чем и фиксировалось распределение освещенности в
сечении. Оказалось, что минимальное сечение луча немного сдвинуто
дальше от фокуса, распределение интенсивности по сечению крайне
неравномерно и локальные освещенности в 30—50 раз превышают
средние по сечению значения (локальные поля, следовательно,
в 5—7 раз больше средних). Конечно, области с очень большими
локальными полями чрезвычайно малы по сравнению с
поперечными размерами всего луча.
С учетом этого обстоятельства в опытах по измерению
вероятности многофотонного поглощения света часть исходного луча
всегда отводится, фокусируется линзой, тождественной той,
которая фокусирует излучение в газ, и сечение фокуса отображается
на фотопленку. Так в каждом опыте определяется максимальная
локальная интенсивность излучения FmdiX.
Оценки показывают, что в силу чрезвычайной резкости
зависимости w — Fn при большом числе квантов п атомы
преимущественно ионизуются в местах максимального локального поля
-^тах» поэтому определенную из опыта вероятность w следует
относить именно к этому наибольшему, а не к среднему значению
потока. Так и делается при обработке экспериментальных данных.
Кроме результатов, полученных Г. С. Вороновым, Н. Б. Делоне и
др. [4, 7—15, 45], большинство других результатов по
многоквантовому фотоэффекту получено в работе Агостиниидр. [16, 46]. В этой
работе изучалась фотоионизация инертных газов и водорода.
Постановка и методика опытов были близки к описанной выше.
Использовался неодимовый лазер мощностью 400 Мет и
длительностью импульса t± = 25 нсек. Луч фокусировался в вакуумную
камеру, наполняемую газами при давлении 10"3 тор (плотность
141

Таблица 2
Элемент
Хе
Кг
Аг
Ne
Не
Na
К
Н2
Не*
Лео, эв
1,18
1,78
2,36
1,18
1,18
1,78
2,36
1,18
1,18
1,18
1,18
1,18
1,78
1,18
1,18
1,78
п0
и
7
6
12
12
8
6
14
19
21
5
4
9
14
14
31
п
8,8±0,2
5,9±0,1
4,4±0,2 1
9,1±0,1
9,0±0,5
6,3±0,1
5,4-£0,1
10±0,3
13±1
18±0,3
4,9±0,1
4,0±0,1
7,7±0,4
8±1
10,5±2,8
2,9±0,1
Д(П=п0 —п
2,2±0,2
1,1±0,1
1,6±0,2
2,9±0,1
3,0±0,5
1,7±0,1
0,6±0,15
4,0±0,3
6,0±1
3,0±0,3
0,1±0,1
o±cf,i
1,3±0,4
6,0±1
3,5±2,8
0,1±0,1
Е0, в/см
1()7,вв±0,15
1Q7,55±0,15
1Q7,34±0,15
/[07,71+0,15
Ю7'51
Ю7,55±0,15
1Q7,34±0,16
Ю7,51
Ю7,51
Ю7,51
Юб,55+0,2
Юб,32+0,15
Ю7,04
Ю7,8 ±Э,15
Ю5,48
w, сек*1
Ю8,8 ±1,8
Ю7,17±2,4
Ю7,37±1,8
Ю8,0в±1,8
Ю6,16
Ю6,3 ±2,4
Ю5,63±1,8
Ю5,85
Ю5,0
10^°
Ю2'4
Юб,о
Юб,з ±1,6
Ю7»8 ±1>°
ЮМ
У
5
9
19
4
7
10
21
7
9
9
40
60
31
630
Ссылки
11
9
13
И
16
10
13
16
16
16
14
14
8
16
45
17
атомов Na — 3,5 -1013 1/см3). Объем фокуса составлял V ^ 0,7 -т-
~- 1,2-10"в см3, т. е. число атомов в области фокуса ЛГа ж 3,5-
•107. В случае гелия, например, при небольшой мощности
вытягивалось 5«105 ионов, что соответствует степени ионизации 1,4%.
Результаты всех измерений сведены в табл. 2, заимствованной
из обзора [1] и немного дополненной нами. Измерения сделаны на
частотах рубинового и неодимового лазеров (Йсо = 1,78; 1,18 эв) и
на второй гармонике неодима (7ш = 2,36 эв). В табл. 2 приводятся
экспериментальные значения «числа квантов» п с соответствующей
погрешностью и те значения п0, которые следуют из величин
потенциала ионизации / и энергии кванта. Значения п определены
по наклонам прямых lg J\T{ от \g «#\. Приводятся абсолютные
величины вероятности фотоионизации для какого-нибудь
определенного значения амплитуды Е0 поля, что позволяет найти
коэффициент А в зависимости w = АЕ2?- Дана также величина параметра
V = со V2 т1/еЕ0, соответствующего данному полю (физический
смысл этого параметра объяснен в подразделе 3.1). Превышение у
над 1 характеризует степень приближения процесса вырывания
электрона из атома к эффекту многоквантового поглощения (у <^ 1
соответствует туннельному эффекту — вырыванию электрона
статическим полем).
1142

В предыдущих главах неоднократно говорилось о том, какое
большое значение для теории лавинного оптического пробоя имеет
предполагаемый процесс фотоионизации возбужденных атомов. В
работе Й. Бакоша, Й. Кантора и А. Киша [17] были
экспериментально измерены вероятности трехфотонной ионизации атомов
гелия, находящихся в возбужденных метастабильных состояниях
2 jS, светом рубинового лазера. Лазерный луч фокусировался в
плазму послесвечения разряда, в которой имелись метастабиль-
ные атомы гелия в состояниях 21S и 23S. Образованные ионы
регистрировались зондом. Экспериментальные данные получены в
диапазоне полей Е ж 1 -=- 3-Ю5 в/см (см. табл. 2).
Холл [18] изучал двухфотонную ионизацию паров цезия, но
большие экспериментальные трудности не позволили получить
надежные результаты. Данные по пробою паров рубидия и цезия при
плотностях 1016—1017 см~3, соответствующих давлениям,
пересчитанным на комнатную температуру 0,3—3 тор [19], были
приведены на рис. 2.7. Ионизацию паров цезия при давлении 0,5 тор
излучением рубинового лазера исследовали Попеску, Жита и Ни-
кулеску [20]. Они рассматривают сложный механизм ионизации,
связанный с двухфотонным возбуждением атомов цезия, в которых
переход 6 Sy2 — 10 Р»/2 с точностью до 0,004 эв совпадает с
энергией двух рубиновых квантов, и последующей ассоциативной
ионизацией (возбужденный атом цезия объединяется с другим атомом,
образуя молекулярный ион и электрон). Исследовалась также
двухфотонная ионизация отрицательных ионов иода [21].
Перессини [22] исследовал ионизацию в поле рубинового лазера
большой мощности (2 Гвт). При диаметре фокуса 1,7 • 10""2 см
получался поток 0,9-1013 вт/см2 и амплитуда поля Е0 = 7,8-107 в/см.
Исследовались аргон и ксенон при давлении 0,3 тор. При
значениях светового потока, близких к максимально возможному, число
вытянутых электронов достигало насыщения 1,6-108,
соответствующего полной однократной ионизации атомов в объеме фокуса1.
При уменьшении поля число электронов резко уменьшалось. В
ксеноне насыщение наступало при меньшем поле, чем в аргоне.
Перессини трактует свои результаты не как многоквантовый
фотоэффект, а как туннельный эффект в переменном поле, рассматривая
влияние изменения поля в адиабатическом приближении.
Имеются опыты по пробою газов пикосекундными лазерными
импульсами, когда также происходит фотоионизация атомов
(раздел 9).
18.2. Вычисление вероятностей. Первые теоретические
исследования многоквантового фотоэффекта, которые были
стимулированы открытием эффекта оптического пробоя газов, принадлежат
Ф. В. Бункину и А. М. Прохорову [23], Л. В. Келдышу [24],
1 На самом деле число зарядов было в 4 раза больше из-за вторичной
ионизации газа вырванными электронами, которые ускорялись в
вытягивающем поле 70 е.
143

Голду и Беббу [25]. Работа Л. В. Келдыша имела фундаментальное
значение для всей проблемы, ибо в ней было продемонстрировано
единство эффектов многоквантовой ионизации и туннельного
вырывания электрона из атома статическим полем как предельных
случаев одного процесса и впервые выведена в обозримом виде
формула для вероятности, с помощью которой можно было сделать
численные оценки (раздел 3).
Имеются два различных подхода к решению квантов омехани-
ческой задачи о многофотонной ионизации. Одному из них было
положено начало в упомянутой работе Келдыша, и об этом речь
еще пойдет ниже. В другом подходе, детально развитом в работах
Голда и Беб.ба [25—28], используется теория возмущений высших
порядков. Гамильтониан системы, состоящей из атомного
электрона, взаимодействующего с полем излучения, записывается в виде
суммы гамильтонианов электрона, находящегося в, поле атомного
остатка, электромагнитного поля излучения и гамильтониана
взаимодействия Нг = —eJE (г, t)-r, где г — радиус-вектор электрона,
JEJ — поле волны. В гамильтониане Нг поле выражается по Гайт-
леру через операторы уничтожения (и рождения) фотонов.
Вероятность перехода определяется составным матричным
элементом от энергии взаимодействия, который содержит
суммирование по всевозможным переходам через промежуточные состояния
атома. При этом в силу самой постановки задачи в конечном
состоянии вырванный электрон считается либо свободным [25], либо
движущимся в кулоновском поле иона [26] (последнее дает
существенное уточнение результатов), но не подверженным действию
электромагнитной волны. Так и задается его конечная волновая
функция. Как правило, основной вклад в сумму по промежуточным
состояниям дает небольшое число слагаемых, соответствующих
переходам, при которых энергия нескольких квантов оказывается
близкой к энергии возбуждения какого-нибудь уровня в атоме.
Такие переходы близки к резонансным и потому происходят с
большой вероятностью. Так, например, для ионизации аргона
квантами рубинового лазера 7ш = 1,78 эв требуется девять
квантов, а энергия восьми квантов только на 0,18 эв отличается от
энергии возбуждения уровня 5р35х. Для ионизации гелия нужно 14
квантов, основной вклад дают переходы через промежуточное
состояние 3 р'Ри энергия которого отличается от 13 7ш на 0,116 эв,
и состояние 2s'S0 с отличием от 127ш на 0,811 эв. Вообще,
вычисление полных сумм представляет большие трудности, и для этой
цели разрабатываются специальные методы.
Работы Голда и Бебба особенно ценны тем, что они доведены до
конкретных численных результатов, которыми можно
пользоваться для оценок (в этом отношении они выгодно отличаются от
многих исследований в этой области чисто теоретического плана).
Кривые вероятности ионизации в зависимости от энергии кванта
при изменении последней в небольшом интервале наглядно
показывают [26], как получается резонансный эффект (заметим, что су-
М4

ществует практическая возможность небольшой вариации частоты
лазерного света путем изменения температуры лазера).
Приведем составленные по данным [26] численные формулы
для вероятности многоквантовой ионизации инертных газов
излучением рубинового лазера при комнатной температуре, когда
К = 6943,5 А:
Таблица 3
Газ Не Ne Аг Кг Хе
т.сек'1 10-438^14 io~399F13 10~265F9 10~~233F8 10-205^7
Сделаны также подробные расчеты для атома водорода в случае
любых квантов [26].
Восьмифотонную ионизацию атома водорода излучением
рубинового лазера без каких-либо дополнительных упрощений в
рамках теории возмущений рассчитали Гонтье и Трахин L29]. Так же
точно вычислена Церником [30,47] вероятность двухфотонной
ионизации метастабильного 25-уровня атома водорода. Для 7ш = 1,78 эв
w = 1,53-10~47 F2 сек"1. Имеется хорошее согласие
приближенного расчета этого варианта на основе метода [26] с точным
вычислением Церника. Двухфотонная ионизация рассчитывалась также
в работах [31, 32], в последней — для отрицательных ионов
галогенов в хорошем согласии с измерениями [21].
Один из главных недостатков метода теории возмущений
состоит в том, что он применим только при сравнительно слабых
полях. Ведь энергия взаимодействия электрона с полем
рассматривается как малое возмущение, значит, предполагается, что она мала
по сравнению с энергией поступательного движения электрона в
свободном состоянии. Таким образом, энергия осцилляции
электрона в поле должна быть гораздо меньше энергии, с которой
электрон вылетает из атома и которая не превышает величины кванта (в
противном случае для отрыва электрона потребовалось бы
большее число квантов). Между тем, в теории с самого начала
рассматриваются только переходы с наименьшим необходимым
количеством квантов. Указанное ограничение на допустимые световые
поля 8КОЛ/Йсо = e2El/Amhd)3 <^ 1 можно представить в виде
сопоставления амплитуды светового поля Е0 с характерным
внутриатомным полем Еа = e/al = 5,14-109 в/см, где а0 = h2/me2 —
боровский радиус. Вводя еще потенциал ионизации атома водорода
/н = теЧ2Н2, получим условие
(Яо/Яа)2-2(7н//ко)3 = (Я0/Яа)а-2л|<1; (Я0/Яа)2<1/2гс3н
(тгн = /н/^со — число квантов, необходимых для ионизации атома
водорода), которое является гораздо более жестким, чем обычное
условие применимости теории возмущений El <^ Е\.
Кроме того, при использовании теории возмущений
предполагается, что атомные уровни слабо искажаются внешним световым
145

полем. Между тем в сильных световых полях уровни смещаются в
результате эффекта Штарка и уширяются из-за увеличения
вероятности переходов с них, в частности из-за перехода в непрерывный
спектр, т. е. ионизации. Эти эффекты особенно сильно изменяют
роль уровней, близких к резонансным для целого числа квантов,
так как они влияют на степень расстройки резонанса и тем самым
резко изменяют вероятности переходов, дающих основной вклад в
ионизацию. Смещение и размытие высоковозбужденных уровней в
сильных полях приводит к тому, что уровни практически
сливаются, и это оказывается эквивалентным снижению границы
непрерывного спектра. В результате уменьшается число квантов,
необходимых для ионизации атома. При этом многофотонную
ионизацию вообще нельзя описать в рамках теории возмущений
[33]. Указанные эффекты штарковского смещения, уширения и
слияния уровней и их влияния на многофотонную ионизацию
рассматриваются в работах [24, 33—38].
Теория Келдыша [24] в основе своей является
полуклассической, ибо в ней не рассматривается система, состоящая из электрона
и квантованного поля излучения. Свободный электрон считается
движущимся в электрическом поле световой волны, и это, наиболее
сильное, воздействие светового поля учитывается тем, что в
качестве волновой функции свободного электрона берется
соответствующая волновая функция. Тем самым снимается ограничение
на энергию осцилляции электрона в световом поле, и для
справедливости теории достаточно выполнения лишь общего, гораздо более
мягкого, неравенства Е0<^ Еа. Последнее обусловливает
возможность применения теории возмущения для вычисления вероятности
перехода электрона из связанного состояния в атоме в свободное
под действием возмущающего поля Е0 sin ш£. Формула для
вероятности многофотонной ионизации в упрощенной, удобной для
оценок форме была приведена в разделе 3.
Двухступенчатый переход, состоящий из резонансного
возбуждения несколькими квантами соответствующего уровня в атоме,
если таковой найдется, и последующей ионизации, имеет гораздо
большую вероятность, чем нерезонансный, одноступенчатый [24].
Теория, основанная на применении квазиклассического
приближения, развивалась в дальнейшем в работах [39] (см. также [40,
48]).
Формула Келдыша, в которой не учтены резонансные эффекты,
дает меньшие значения вероятностей, чем расчеты Бебба и Голда.
Так, например, для ионизации аргона квантами рубинового лазера
по формулам (1.3), (1.4) получается w ж Ю""279 F9 сек"1, что в 10 и
раз меньше, чем по Голду и Беббу. Это устрашающее различие на
самом деле не столь велико, ибо фактически надо сравнивать
гораздо менее чувствительные к предположениям теории значения
световых потоков F, которые обеспечивают данную вероятность, а
расхождение в F не столь значительно: например, при w = 106
F = 2-Ю33 и 4-Ю31 по этим двум теориям.
Мб

18.3. Сравнение с экспериментом прежде всего показывает, что
экспериментальное значение показателя п в степенной зависимости
w — Fn, как правило, меньше, чем число квантов п0, из которых
складывается потенциал ионизации, вернее, большая
целочисленная величина //Йсо (см. табл. 2). Получается так, как будто для
отрыва электрона требуется меньшее число квантов. Это,
естественно, затрудняет количественное сравнение расчетов с измерениями,
так как во всех теориях w — Fn°.
Только в случаях ионизации атомов натрия и калия п ж щ с
большой точностью; в этих случаях расчеты по теории возмущений
[41] дают разумное согласие с опытом [14]. Квазиклассический
подход приводит к сильному расхождению, впрочем, он справедлив
только для высоких потенциалов ионизации, когда п0 ^ I/ha) 2^> 1.
Анализ показывает [1], что экспериментальное значение показателя
п оказывается меньше п0 всякий раз, когда среди уровней атомов
оказывается близкий к резонансному (энергия возбуждения близка
к целому числу квантов) и, наоборот, когда все уровни далеки от
резонанса, как это имеет место в случае атомов щелочных металлов —
п близко к п0. Это обстоятельство проверялось в специально
поставленных опытах [42] по четырехфотонной ионизации атомов
калия излучением неодимового лазера с плавно перестраиваемой
частотой от длины волны к = 10 650 А до К = 10 680 А. При X =
= 10 665 А энергия Зйсо совпадает с энергией возбуждения уровня
3/, и в окрестности этой длины волны наблюдалось сильное
уменьшение экспериментального показателя п от п0 = 4 вдали от
резонанса до п = 1,5 при резонансе.
Обращаем внимание на то, что в единственном опыте [17] по
ионизации возбужденных атомов (трехфотонная ионизация Не*)
показатель п с большой точностью совпал с теоретическим
значением п0 = 3 (см. табл. 2). Экспериментальная вероятность для
Не* w = 4,7-lO"71^1 F2»9^0'1 Псек. Быть может, дело здесь
заключается в том, что трехфотонная ионизация наблюдалась при
сравнительно слабых полях, которые мало искажают уровни и тем
самым не уменьшают естественной расстройки резонанса, которая
весьма сильна. Однако теоретический расчет трехфотонной
ионизации Не* [43] дал величину w, на семь порядков меньшую, чем
это следует из опыта (согласие теории и эксперимента в случае
щелочных металлов было гораздо лучшим).
При больших интенсивностях света в отдельных «горячих»
точках, где локальные поля в области фокуса особенно велики,
может происходить насыщение ионизации. Если ионизуются все
атомы, то при увеличении световой мощности число ионов будет
нарастать не столько за счет повышения вероятности
многоквантового фотоэффекта, сколько за счет увеличения объема,
охваченного достаточно сильным для полной ионизации полем. Это
обстоятельство отмечено в работе И. Н. Арутюнян, Г. А. Аскарьяна
и В. А. Погосян [44].
М7

ЧАСТЬ ТТ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАЗРЯДОВ И ПОДДЕРЖАНИЕ
ПЛАЗМЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ
19. Механизмы распространения и аналогия с горением
В одной из ранних работ, посвященных лазерной искре, был
обнаружен интереснейший эффект (Рэмсден и Дэвис [1]). Фронт
плазмы, образующейся первоначально в области фокуса линзы, где
происходит первичный пробой газа, в течение продолжающегося
лазерного импульса быстро двигался вдоль светового канала
навстречу лучу (рис. 6.1). О движении фронта можно было судить,
рассматривая фоторазвертку процесса, полученную при помощи
высокоскоростной фотографии (рис. 6.2). О движении
свидетельствовал и допплеровский сдвиг частоты лазерного излучения,
рассеянного от фронта под прямым углом. Оба метода указывали на
то, что граница плазмы движется навстречу лучу со скоростью
порядка 100 км{/сек.
Для объяснения этого эффекта и оценки скорости Рэмсден и
Савич [2] выдвинули идею о «еветодетонационной» волне. Суть дела
состоит в следующем. От места, где происходит поглощение
лазерного излучения в плазме и интенсивно выделяется тепло, по газу
распространяется сильная ударная волна. В ударной волне таз
нагревается, ионизуется и приобретает способность поглощать
лазерное излучение. Следовательно, во все новых и новых слоях газа,
примыкающих к фронту ударной волны и находящихся в поле
лазерного излучения, выделяется энергия излучения, и эти слои
последовательно становятся источниками поддержания ударной
волны. Так ударная волна, двигаясь вдоль светового канала
навстречу лучу, все время поддерживается и не затухает.
Распространяясь в боковых направлениях, поперечных лучу,
ударная волна выходит за пределы светового канала и, лишенная
«поддержки» энерговыделением, постепенно ослабевает. Что
касается направления вдоль светового канала, но по лучу, то здесь
ударная волна либо вовсе не поддерживается излучением, либо
поддерживается заметно слабее, чем в направлении навстречу лучу.
Это связано с тем, что лазерное излучение хорошо поглощается
плазмой и довольно тонкий слой ее (он зачернен на рис. 6.1) уже
148

заметно экранирует указанные участки фронта ударной волны от
излучения. Описанный процесс обладает большим сходством с
явлением детонации горючих веществ с той лишь разницей, что там в
результате воспламенения, производимого ударной волной, в
веществе выделяется химическая энергия, заложенная в нем самом,
а здесь в плазме выделяется энергия светового излучения, которая
подается извне.
Рис. 6.1. Схема движения
плазменного фронта лазерной
искры
Плазма заштрихована,
поглощающий слой зачернен
Понятие «световой детонации», безусловно, впечатляет своей
неожиданностью и оригинальностью (впрочем, очень точно
передающими существо дела), однако было бы заблуждением считать этот
эффект каким-то совершенно особым и из ряда вон выходящим.
При всей своей необычности он оказывается принадлежащим к
определенному, и притом широкому, классу процессов, которые
встречаются в различных, часто
весьма отдаленных друг от друга
областях физических
исследований и даже техники. Этот круг
явлений можно охарактеризовать
кратким названием «процессы
распространения разрядов». Все они
связаны между собой общностью*
определенных закономерностей, и
рассмотрение различных явлений
с единой точки зрения позволяет
лучше разобраться в их природе,
выделить главные черты и
установить некую систему, создающую
теоретические основы для анализа
уже известных эффектов и поиска
или предсказания новых. Такое
рассмотрение и составляет предмет
второй части книги.
Мы начали этот вводный
раздел со световой детонации и про- „ п 0 -
& » Рис. 6.2. Фоторазвертка лазер-
должим его в гл. 6 дальнейшим ной ИСкры fi]
Изучением Лазерной ИСКрЫ, ГЛаВ- Лазерный луч слева направо
149

ным образом для того, чтобы совершить «непрерывный переход» от
первой части книги ко второй. В последующих главах будут
рассмотрены совсем другие явления и устройства, поэтому анализу во
многом несхожих конкретных явлений целесообразно предпослать
некий общий обзор объединяющих их основных особенностей.
В любых процессах, именуемых «разрядами», газ, находящийся
во внешнем электрическом или электромагнитном поле, пребывает
в ионизованном состоянии. Плазменное состояние вещества
является не только следствием выделения в нем электромагнитной
энергии, но и причиной диссипации поля, ибо неионизованные газы не
проводят электрический ток и, как правило, не поглощают
электромагнитные излучения в широких спектральных диапазонах,
вплоть до далекого ультрафиолетового.
По признаку частоты поля принято различать разряды в
постоянном (или слабопеременном) электрическом поле,
высокочастотные (масштабом частот которых служит мегагерц),
сверхвысокочастотные (гигагерц). Дополним этот перечень понятием «оптиче-
ского»разряда, имея в виду те же эффекты диссипации (поглощения)
в плазме излучений оптического диапазона и поддержания за этот
счет состояния ионизации в газе. Термин этот, быть может, еще не
получил широкого распространения, но в данном случае он вполне
отвечает существу дела, ибо все эффекты, которые будут
рассматриваться ниже, являются общими для различных частот
электромагнитного поля, включая и оптические.
Любым разрядам свойственна тенденция к распространению.
Действительно, всегда имеются механизмы передачи энергии от
разрядной плазмы к окружающим холодным слоям газа, что
способствует ионизации последних. Таковы, например, нагревание
ударной волной (о чем уже говорилось), теплопроводностью или
тепловым излучением плазмы, сопровождающееся термической
ионизацией, непосредственная ионизация атомов тепловым
излучением плазмы или возбуждение их с последующей ионизацией.
Если вновь ионизованные слои находятся в достаточно сильном
поле, в них также выделяется энергия, она передается дальше,
ионизация охватывает последующие слои и т. д. Иными словами,
разряд распространяется по веществу. Заметим, именно по
веществу; только в этом смысле мы и будем говорить о
«распространении». Вовсе не обязательно, чтобы граница плазмы
перемещалась также и в пространстве. Вполне возможна ситуация, когда
газ протекает через неподвижный разряд, т. е. эффект
распространения присутствует, а движения границы в пространстве нет.
Такая, обращенная, картина распространения разрядов
фигурирует в плазмотронах — устройствах, предназначенных для
непрерывной генерации плотной плазмы с помощью разрядов.
В этих устройствах холодный газ непрерывным потоком
продувают через область, в которой горит стационарный разряд, и газ
вытекает из нее в виде плазменной струи, чаще всего
атмосферного давления. На практике используются плазмотроны трех типов,
150

Рис. 6.3. Схемы плазмотронов
а — дугового, б — высокочастотного безэлектродного, в — СВЧ: 1 — поток холодного
газа, 2 — разряд, з — плазменная струя, 4 — индуктор, 5 — волновод, 6 — трубка,
К — катод, А — анод
соответственно частотным характеристикам применяемого
разряда. В дуговом плазмотроне дуговой разряд горит между двумя
электродами, подчас сложной геометрии (рис. 6.3, а). В
высокочастотном — внутри катушки-индуктора, по которой пропускают
ток высокой частоты; разряд поддерживается индуцированными
вихревыми токами (см. рис. 6.3, б). В сверхвысокочастотном
энергия подается к разряду с помощью электромагнитной волны,
бегущей по волноводу (см. рис. 6.3, в) Как мы увидим, возможно
создание и оптического плазмотрона, в котором энергия подается
к плазме световым лучом, причем для этого имеются не только
теоретические, но и экспериментальные основания — уже был
получен на опыте непрерывно горящий оптический разряд,
поддерживаемый в течение сколь угодно длительного времени
лазерным излучением.
Разумеется, тенденция к распространению реализуется
только при надлежащих условиях. Если, скажем, сильное поле
локализовано в ограниченной области, через которую нет потока газа,
или интенсивность поля достаточна только для компенсации
потерь энергии из данной массы плазмы, но уже недостаточна для
превращения в плазму новых слоев газа, разряд не
распространяется. В этих случаях происходит не генерация, а лишь
поддержание электромагнитным полем плазменного состояния в
определенной массе. Такие разряды в отличие от распространяющихся
будем называть «статическими». Большинство разрядов, которые
встречаются в повседневной практике, являются статическими,
например разряды в замкнутых трубках или сосудах.
151

Существенно, что для поддержания плазмы в незатухающем
статическом разряде и для распространения разрядов требуются
сравнительно небольшие поля, во всяком случае гораздо меньшие
тех, которые необходимы для пробоя газа. Это, конечно,
предполагает применение посторонних средств для первоначального
инициирования разряда, но, с другой стороны, открывает больше
возможностей для управления разрядами, чем при пробое,
который вспыхивает самопроизвольно, стоит полю превысить
пороговое значение.
Распространение разрядов подчиняется закономерностям, в
некоторых отношениях являющимся общими независимо от
характера поля или движущего механизма. Эффект часто можно
рассматривать как распространение некоей волны. Основная задача
теории — вычисление скорости распространения и параметров
образующейся плазмы — принадлежит при этом к классу задач
теории «режимов», которая охватывает волны многих типов: горения,
детонации, лучистого охлаждения и др. [3—5]. Статический
разряд в известном смысле также включается в эту схему: он
представляет собой предельный случай «распространения» с нулевой
скоростью. Мы увидим, что при постепенном уменьшении
приложенного поля скорость распространения монотонно уменьшается
до нуля. Кстати сказать, отвечающая нулевой скорости величина
поля служит «порогом», необходимым для стационарного
поддержания плазмы в разряде данного типа. При меньших полях
стационарное существование разряда оказывается невозможным —
плазма распадается из-за потерь энергии.
Вообще существует глубокая физическая и математическая
аналогия между процессами распространения разрядов при
выделении в плазме энергии поля и горением, связанным с
выделением энергии химической. Физическая причина аналогии
коренится в сходном характере температурной зависимости основных
факторов, которыми определяются скорости выделения энергии
в веществе в обоих случаях — скорости химической реакции при
горении и степени ионизации в разрядных явлениях.
Химические реакции в горючих смесях совершенно не идут
при обычных температурах и резко ускоряются при нагревании.
Скорости реакций, как правило, повышаются с температурой
Т по закону больцмановского типа — закону Аррениуса:
ехр (— U/kT), где U — энергия активации (рассчитанная на
молекулу, если к — постоянная Больцмана). При комнатной
температуре кТ <^ U и потому температурная зависимость
скоростей оказывается чрезвычайно сильной. Когда смесь
поджигают в каком-либо месте, передача тепла от горячих продуктов
сгорания к еще не реагировавшим слоям ведет к воспламенению
последних, и волна горения распространяется по веществу. При
этом возможны два основных механизма нагревания исходной
смеси и соответственно два механизма распространения горения;
детонация и медленное горение.
152

В первом случае смесь нагревается до воспламенения ударной
волной, за которой непосредственно следует зона, где протекает
химическая реакция. Детонационная волна распространяется
по веществу со сверхзвуковой скоростью, реакция протекает
в сжатом ударной волной газе при плотности, превышающей
плотность исходной смеси (при высоком давлении). Во втором случае
теплопередача осуществляется медленным механизмом
теплопроводности, пламя распространяется с дозвуковой скоростью,
процесс идет при почти постоянном давлении, т. е. в зоне горения,
где температура высока, плотность значительно меньше
плотности холодной смеси.
Подобно скоростям химических реакций, степень ионизации
очень резко возрастает с повышением температуры, при
небольших ионизациях — также по закону больцмановского типа
ехр (— 1/2кТ), где / — потенциал ионизации атомов или молекул.
Энергия внешнего поля выделяется в газе в виде джоулева тепла
токов или в результате поглощения излучений 1 только при
достаточно высокой ионизации. В данном случае также уместно
говорить о температуре «воспламенения», вернее, температуре
«ионизации», ибо в силу чрезвычайной резкости нарастания
ионизации с температурой температура, при которой начинается
заметная диссипация поля, фиксируется с достаточной степенью
определенности. Обычно эта величина лежит в пределах 5000—
12 000° К, в зависимости от рода газа и частоты поля.
Основные (но не единственные) механизмы распространения
разрядов — теплопроводность и ударная волна — совпадают
с теми, которые осуществляют распространение горения. Этому
соответствуют режимы распространения разрядов, аналогичные
медленному горению и детонации. Об одном из них,
«детонационном», уже упоминалось в начале этого раздела. Кстати сказать,
световая детонация — это единственный изученный вариант
режима такого типа. Эффектов типа медленного горения много.
Сюда относятся и соответствующий режим лазерной искры, и
процессы, которые протекают в плазмотронах, и некоторые другие
процессы. Более всего сходны с настоящим горением равновесные
теплопроводностные режимы распространения разрядов, которые
наблюдаются при высоких давлениях порядка атмосферного и
выше (в частности, в плазмотронах). При высоких давлениях
состояние плазмы близко к термодинамически равновесному и газ
приходит в движение, как и при распространении пламени.
Наблюдаются режимы распространения разрядов, в которых
газ неподвижен и распространение плазменного фронта имеет
характер волны ионизации. Это происходит при низких давлениях
или при небольших степенях ионизации, когда энергия, которая
первоначально выделяется в электронном газе, либо не успевает
1 Какой из этих терминов является более естественным, зависит от того,
классический или квантовый характер имеет процесс диссипации
электромагнитного поля.
153

передаваться газу тяжелых частиц, либо недостаточна для его
нагревания, газ остается холодным и потому не приходит в
движение. Возможны механизмы распространения разрядов и
отличные от обычной атомарной или молекулярной
теплопроводности: электронная теплопроводность, перенос теплового
излучения плазмы, диффузия резонансного излучения.
Мысль о сходстве теплопроводностного механизма
распространения плазменного фронта в поле с процессом медленного горения,
по-видимому, впервые была высказана Е. П. Велиховым и
А. М. Дыхне [6] (1965), которые решали задачу о волне ионизации
в постоянном однородном электрическом поле, движимой
механизмом электронной теплопроводности. Работа эта была сделана-
в связи с опытами Ю. М. Волкова [7] (1965), в которых
наблюдалось радиальное расширение цилиндрического канала разряда
между двумя электродами, причем расширение было явно не
гидродинамического происхождения. В 1968 г. [8] была подмечена
далеко идущая аналогия между механизмом превращения
холодного газа в плазму в безэлектродном высокочастотном
плазмотроне и горением в обычной химической горелке. На этой основе
была построена теория распространения разряда и теория
плазмотрона.
В опытах Ф. В, Бункина, В. И. Конова, А. М. Прохорова
и В. Б. Федорова [9] (1969 г.) было обнаружено медленное
расширение лазерной искры (со скоростями порядка десятков
метров в секунду), существенно отличное от быстрого движения,
которое всегда наблюдалось раньше. Авторы интерпретировали
его как распространение лазерной искры в режиме медленного
горения. Еще в 1961 г. Вест и Форд [10] описали явление, которое
нередко наблюдается в СВЧ-передатчиках киловаттной мощности,
работающих в непрерывном режиме. В волноводе, служащем для
передачи СВЧ-мощности к антенне, внезапно вспыхивает
локализованный разряд, и плазменное образование бежит вдоль
волновода по направлению к генератору. Этот эффект был объяснен только
в 1971 г. на основе представлений о распространении разряда
в режиме медленного горения [11]. Даже из этого далеко не
полного перечня работ видно, сколь разнообразны явления, в
которых наблюдается распространение разрядов, и сколь широк
диапазон приложений теории, включающей в себя аналогию с
горением (см. также обзор [12]).
Все же аналогия между распространением разрядов и
горением, впрочем как и всякая аналогия, справедлива лишь до
определенных пределов. Главное и, надо сказать, принципиальное
различие этих двух процессов состоит в следующем. При
химическом горении в данной массе вещества может выделиться лишь
ограниченное количество энергии, которое определяется
теплотворной способностью горючего. По этой причине температура
продуктов горения более или менее фиксирована. Соответственно
фиксируются и величины скоростей детонации или медленного
154

горения. В разрядах энерговыделение тем больше, чем выше
интенсивность внешнего поля, которую мы вольны менять в
широких пределах. Переменными оказываются и зависящие от поля
параметры плазмы (скажем, ее температура), и скорость
распространения. Уменьшая поле, можно постепенно замедлить
распространение разряда вплоть до полной остановки, что
неосуществимо при горении. Последнее связано с тем, что стационарный
статический разряд, к которому можно прийти путем такого
предельного перехода, вообще не имеет аналога в горении. Данная
масса горючего вещества может прореагировать только один раз,
далее горение либо перейдет к соседним слоям (с конечной
скоростью!), либо прекратится вовсе. Между тем данная масса
плазмы при соответствующем теплоотводе может воспринимать
энергию поля в любом количестве и сколь угодно долго.
Глава 6
ОСНОВНЫЕ РЕЖИМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ В ПОЛЯХ ЛАЗЕРНЫХ ЧАСТОТ
20. Световая детонация
20.1. Первые измерения скорости и температуры. В опытах
[1] гигантские импульсы рубинового лазера длительностью 20 нсек
фокусировались в воздухе короткофокусной линзой с / = 0,8 см
в кружок диаметром 10~2 см. Пробой возникал при мощности
5 Мет. При мощности, превышающей пороговую для пробоя,
плазма поглощала примерно 60% энергии импульса, что
составляло 0,2 дж. В опытах регистрировалось лазерное излучение,
рассеянное плазмой под прямым углом к оси падающего луча.
Рассеянный луч собирался линзой и фокусировался на щель
спектрографа. Изменение интенсивности рассеянного излучения во
времени измерялось фотоэлектрическим и фотографическим
методами. Рассеянный свет появлялся только при наличии пробоя,
что исключало возможность наблюдения рассеяния от
невозмущенного воздуха. Рассеянный свет представлял собой узкую
монохроматическую линию с длиной волны, сдвинутой по отношению
к лазерной до 3 А в сторону коротких волн. Это смещение
естественно было интерпретировать как допплеровский сдвиг,
связанный с движением рассеивающей плазмы навстречу лазерному лучу
(см. рис. 6.1).
Максимальный сдвиг 3 А соответствует скорости движения
границы плазмы примерно 100 км/сек. Этот вывод подтверждается
и результатом фотографирования области фокуса сбоку с разверт-
155

кой во времени. На фоторазвертке (см. рис. 6.2) хорошо видно,
как граница свечения движется навстречу лучу, причем, судя по
наклону линии фронта, начальная скорость его равна тем же
100 кмIсек. С течением времени наклон, т. е. скорость,
уменьшается, соответственно уменьшается и допплеровский сдвиг
рассеянной линии. Иногда наблюдалась слабая линия,
сдвинутая в сторону длинных волн. Это, видимо, связано с рассеянием
от заднего фронта плазмы, который расширяется по лучу (см.
рис. 6.1). Хотя плазма и непрозрачна для лазерного излучения,
все же некоторую долю его, порядка 10%, она пропускает.
Абсолютные измерения интенсивности рассеянного света при
известной геометрии позволили оценить плотность электронов в плазме,
которая оказалась равной примерно 5«1019 1/смг. Это
соответствует полной однократной ионизации атомов воздуха при
нормальной плотности.
Чтобы оценить скорость плазменного фронта, Рэмсден и Савич
[2] воспользовались известной формулой для скорости
детонации [4] D = [2(у2 — 1) д]*/2, где q — теплотворная способность
горючего в эрг/г, а 7 — показатель адиабаты продуктов реакции.
В данном случае под «теплотворной способностью» следует
понимать количество энергии, которое выделяется в единице массы
газа вследствие поглощения светового луча. Положив q ^ S0/pD,
где S0 — плотность потока (интенсивность) лазерного излучения,
падающего на фронт светодетонационной волны, ар—
плотность газа, они нашли D ^ (S^/p)1/», что согласовалось с опытом.
Действительно, при S0 ж 10б Мет/см2 = 1018 эрг/см2 сек и р «
ж 10~3 г/см3 (атмосферный воздух) получается D £^ 107 см/сек.
В работе С. Л. Мандельштама, П. П. Пашинина, А. М.
Прохорова, Ю. П. Райзера и Н. К. Суходрев [13] также было
зарегистрировано движение плазменного фронта навстречу лучу, но,
самое главное, была непосредственным образом определена
электронная температура плазмы во время движения фронта. Это было
сделано путем измерения интенсивности мягкого рентгеновского
излучения с длиной волны X ж 10 А, испускаемого плазмой в
области фокуса. Опыты были сделаны в воздухе с помощью
рубинового лазера при энергии в импульсе 2,5 дж и длительности 40 нсек,
радиусе фокусировки 10~2 см. При этих параметрах интенсивность
излучения в фокусе составляла S0 ^ 2-Ю18 эрг/'см2 сек. Эта
величина в 2,5 раза превышает порог для пробоя воздуха в
указанных условиях, так что пробой происходил еще на ранней стадии
лазерного импульса. Электронная температура плазмы оказалась
равной примерно 60 эв ж 700 000° К. При такой температуре
регистрируемые рентгеновские кванты Йсо = 8 кэв находятся
в далекой виновской области спектра, где испускание
пропорционально ехр (—hco/kT), причем Нау/кТ ж 130. При столь больших
значениях показателя величина экспоненты чрезвычайно
чувствительна к температуре. Это обеспечивает хорошую точность
экспериментального определения температуры таким методом, несмотря
156

на известную неопределенность в необходимых для вычисления
температуры сведениях об излучающем объеме, длительности
испускания и других величинах. Во всяком случае, температуры 45
и 75 эв вместо 60 эв оказываются совершенно несовместимыми с
измеренной интенсивностью ни при каких разумных значениях
параметров.
Скорость плазменного фронта, определенная, как и в [1], по
допплеровскому смещению рассеянной лазерной линии (но в
несколько иной экспериментальной установке), оказалась равной
110 км/сек. Между прочим, убедительным доказательством доп-
плеровской природы сдвига послужил тот факт, что при
наблюдении рассеяния назад к линзе, т. е. под углом около 180°,
смещение длины волны света удваивалось по сравнению со сдвигом,
наблюдаемым под углом 90°. При изменении интенсивности
светового потока в фокусе S0 в довольно широком диапазоне
значений максимальная измеренная скорость границы плазмы менялась
примерно пропорционально Sq9i в согласии с законом, который
следует из трактовки эффекта как световой детонации.
В дальнейшем, работая с более мощным рубиновым лазером,
дающим 300—400 Мет при длцтельности 15 нсек, Алкок,
П. П. Пашинин и Рэмсден [14] зафиксировали еще более высокие
температуры в лазерной искре. В воздухе при давлении 400 тор
температура достигала 180 эв ж 2*10во, в неоне при 500—600 тор
W эв ж 106°. Температура также измерялась по рентгеновскому
излучению, но другим способом: регистрировалось отношение
потоков рентгеновского излучения в широком спектре,
прошедшего через бериллиевые фольги двух разных толщин. В опытах
М. П. Ванюкова, В. А. Венчикова, В. И. Исаенко, П. П. Паши-
нина и А. М. Прохорова [15] при мощности лазера 6 Fern в смеси
воздуха и дейтерия была измерена температура 300 эв, т. е. более
3 млн. град,
20.2. Ударная адиабата волны поглощения света. Вычисления
показывают, что при тех температурах в сотни тысяч градусов,
которые достигаются в плазме, образующейся в результате
поглощения лазерного излучения, излучение это поглощается в
довольно тонком слое. Во всяком случае, толщина слоя не больше, чем
поперечные размеры плазменного фронта, которые порядка
диаметра светового канала. Действительно, при таких температурах
небольшие по сравнению с кТ лазерные кванты поглощаются в
основном свободными электронами при столкновениях их с ионами.
Эффективный коэффициент такого («тормозного») поглощения,
исправленный на вынужденное испускание, равен (см., например
[5])
_ 16я2 /2я\У» e*Z*NeN+ = S,l-i<rslZ?Ng 1 (п ,,
^^ 3 \ 3 У (ткТ)Ча* (^град)3/2(йсо9б)2 см ' ( '"'
я ZeW/3 Z/3/V/3
1(57

Здесь Ne, N+, N — числа электронов, ионов и исходных
атомов в 1 см3; Z — средний заряд ионов; атомы предполагаются
ионизованными многократно, так что N+ = N, Ne = ZN+;
g — так называемый фактор Гаунта *. Например, в воздухе при
атмосферной плотности в предположении равновесной ионизации
получаются следующие значения Z и длины пробегов /^ = \1\к^
квантов рубинового лазера:
Таблица 4
Т* 10* °К 0,5 1 2,5 5 7 10
Z 1,35 2,7 5,0 5,2 5,7 6,6
1Ш, 10;3 6,0 2,3 1,9 4,7 5,9 7,0
Видно, что 1Ш — Ю-3—10~2 см, тогда как самый малый диаметр
светового канала (в фокусе) d ж 10~2 см.
Поскольку ширина слоя, в котором поглощается падающий
поток энергии, меньше его поперечных размеров, слой с каким-то
приближением можно считать плоским. Кроме того, за время
At, в течение которого граница слоя сдвигается на расстояние
порядка его ширины Ах, поток лазерного излучения и зависящая
от него скорость фронта не успевают сильно измениться. В
самом деле, At — AxlD, Ах ~ 1Ш — 10~2 см. D — 107 см/сек,
At — 10~9 сек, тогда как характерное время лазерного импульса
— 10~8 сек. Следовательно, распространение плазменного фронта,
поддерживаемого лазерным излучением, можно рассматривать
как движение некоей плоской волны, стационарной в системе
координат, движущейся вместе с ним.
Если не интересоваться внутренней структурой волны, ее
можно трактовать как гидродинамический разрыв. Протекая
через разрыв, холодный газ в результате поглощения светового
потока превращается в плазму. Применение к разрыву законов
сохранения массы, импульса и энергии дает возможность связать
равновесные параметры плазмы за фронтом волны с
термодинамическими параметрами холодного газа перед фронтом и
скоростью движения фронта и получить существенную информацию
о некоторых особенностях поведения волн распространения
разрядов. Эти представления были развиты в работе [16], где был дан
общий анализ сверхзвуковых режимов распространения «волны
При %са <^. кТ тормозное поглощение света в сущности имеет классический
характер. С точностью до коэффициента порядка единицы формулу (6.1)
можно получить и из уже знакомой нам классической формулы (1.18) для
поглощения электромагнитной волны в ионизованном газе. Для этого в
(1.18) следует положить со2 ^>v^, а под vm подразумевать частоту
столкновений электронов не с атомами, как при слабой ионизации, а с ионами:
vm = N+ve<s кул, где кулоновское сечение есть <зкул = лг^ул, причем
характерный радиус кулоновского взаимодействия электронов и ионов
определяется равенством ZeVr^y^ ж 3 к Т/2.
158

поглощения света и нагревания газа», как там был назван фронт
оптического разряда.
Итак, рассмотрим распространение но газу плоского,
стационарного в собственной системе координат гидродинамического
разрыва, в котором происходит поглощение падающего на
поверхность потока энергии S0 эрг/см2сек (рис. 6.4). В последующих
рассуждениях нигде не фигурирует частота излучения, так что они
имеют достаточно большую общность. Пусть газ с плотностью
PkPiI
>-
Рис. 6.4. Скачок температуры >
в волне поглощения света и PoiPotso
нагревания газа >
О х
р0, давлением /?0, удельной внутренней энергией е0 втекает в
разрыв со скоростью D, которая по величине совпадает со скоростью
распространения волны по невозмущенному газу. После
прохождения через разрыв, поглощения потока электромагнитной энергии
S0 и прихода в термодинамически равновесное состояние газ
приобретает параметры р, р, е и скорость относительно фронта v.
Законы сохранения потоков массы, импульса и энергии в этом
случае имеют вид (см. например, [5])
p0D = pv, ро + p0D2 = р + pv2,
во + Ро/Ро + D2/2 + S0/p0D = e + pip + v2/2, (6.2)
Где e (Г, p) и p (Г, p) — термодинамические функции, которые
предполагаются известными.
Рассмотрим сначала два простейших предельных случая,
обладающих большой наглядностью. Отвлечемся от того
обстоятельства, что плазма за фронтом волны приходит в движение и
плотность ее меняется по сравнению с плотностью холодного газа,
иными словами, допустим, что процесс протекает при постоянной
плотности («постоянном объеме»). Такое положение и в самом деле
возможно, если существует механизм очень быстрого
негидродинамического переноса состояния ионизации, который
обеспечивает распространение плазменного фронта со скоростью,
значительно превышающей скорость звука в нагретом газе (ниже будут
указаны такие возможные механизмы). Газ в волне при этом
просто не успевает «сдвинуться с места». В этом случае поток S0
затрачивается только на сообщение газу внутренней энергии 8
и температуры Т. За время dt на 1 см2 поверхности фронта падает
энергия S0dt, она поглощается в массе p0Ddt, которую волна
захватывает за это время, так что
р0 De(T) = $0 (6.3)
v
1159

(считаем, что нагревание велико и в^> £0). Соотношение (6.3)
следует и из (6.2) в пределе р ж р0.
Соотношение (6.3), как мы увидим, с достаточной точностью
справедливо и в общем случае. Оно является выражением закона
сохранения энергии и приближенно справедливо всегда
независимо от механизма распространения волны, связывая скорость
распространения с температурой нагревания. В частности, если
механизмом распространения является ионизация ударной
волной (режим «детонации»), скорость распространения имеет
порядок тепловой скорости тяжелых частиц нагретого газа, т. е. D ж
ж У е. Отсюда немедленно следуют оценочная формула D ж
« (5УРо),/з» которая приводилась выше, и соотношение,
определяющее температуру плазмы: 8 (Т) ж (S0/p0)2^.
В случае очень медленного, дозвукового, распространения
волны, когда скорость D меньше скорости звука в холодном газе
(режим медленного горения), процесс протекает при почти
постоянном давлении. Приток тепла при этом затрачивается на
увеличение не внутренней энергии, а энтальпии газа, w = е + /?/р,
для такой волны с учетом w J^> w0
p0Dw(T) = S0. (6.4)
^ Это соотношение также вытекает из (6.2) в пределе р ж р0.
Вернемся к общим уравнениям (6.2). Если исключить из
третьего уравнения скорости D и v с помощью первых двух, получим
так называемое уравнение ударной адиабаты
е - е0 = ±- (р + р0) (7„ -V) + S0 V(Vo - V)/(p - ро), (6.5)
где V = 1/р — удельный объем.
При известной термодинамической зависимости 8 (р, V)
уравнение (6.5) дает связь между конечными значениями давления
и плотности (объема) за разрывом. Поток S0 входит в него в
качестве параметра. Примем простейшую термодинамическую связь
у — 1 ~р y — 1 "
как для идеального газа с постоянной теплоемкостью (у —
эффективный показатель адиабаты [5]). Мы не будем здесь
анализировать общие зависимости р (V) или V (/?), которые следуют из
уравнений (6.5), (6.6),— они описываются довольно громоздкими
выражениями. В большинстве дозвуковых режимов оказывается
достаточным приближение постоянства давления р ^ р0, которое
приводит к приближенной связи (6.4), а при сверхзвуковом
движении допустимо другое упрощение.
Рассмотрим сверхзвуковые режимы. В этих случаях
плотность и давление газа за фронтом повышаются, и в силу высокого
нагревания газа всегда можно пренебречь начальными давлениями
и энергией р0, е0. С помощью (6.6) получаем следующее явное
160

выражение для ударной адиабаты р (V):
( 2 УГ=Т1 £орх0/2 12/з
Р = [[(Г + 1)/(Т-1)]г]-1 ) ' Л = *770 = р0/р. (6.7)
Уравнение баланса энергии, уточняющее (6.3), имеет вид
р0Де (Г, л) = ЗД, Р = ^.^.^ , (6.8)
где обратную величину сжатия ц при желании можно исключить
с помощью еще одного равенства:
(у - 1) б/Z)2 = т] (1 - т|). (6.9)
Ударная адиабата (6.7), соответствующая определенным
значениям параметров S0 и р0, изображена на рис. 6.5, а. Она
выходит из точки начального состояния О (р = р0 = О, V = V0,
т) = 1) и при р -+ сю асимптотически приближается к прямой
"Л = (у — 1)/(y + 1)» соответствующей предельному сжатию в
ударной волне. Чем больше поток излучения и начальная
плотность, тем относительно выше проходит кривая конечных состоя-
а б
р
Рис. 6.5. Ударные
адиабаты волны поглощения
света и нагревания газа
(а) и обычной
детонационной волны (б)
Вертикальная прямая —
ударная адиабата сильной
ударной волны
у+1 у+1 у+Г у+Г
ний р (г|). Ударная адиабата волны поглощения света
существенным образом отличается от ударной адиабаты взрывчатого
вещества (ВВ) с теплотворной способностью q эрг/г. Последняя имеет
вид
р = 2др0/{[(т + 1)/(Т - 1)] П - 1}. (6.10)
Она показана на рис. 6.5, б. Отличие связано с тем, что в случае
поглощения заданного внешнего потока энергии S0,
энерговыделение на грамм S0/pQD обратно пропорционально скорости волны,
тогда как для ВВ оно постоянно и равно q.
20.3. Детонационный и сверхдетонацйонные режимы. Если
исключить v из первых двух уравнений (6.2), получим
161

р = p0D2 (1 — т]), (ро — 0). Это означает, что скорость волны/) тем
больше, чем больше наклон прямой, проведенной из точки О
начального состояния в точку конечного состояния /?, т), которая
лежит на ударной адиабате. Из рис. 6.5, а видно, что прт* данном
значении S0 существует минимально возможная скорость
распространения волны разряда, в которой происходит сжатие вещества.
Эта скорость отвечает точке Ж конечного состояния газа, в
которой указанная прямая касается ударной адиабаты.
Распространению с меньшими скоростями соответствуют только дозвуковые
режимы, в которых происходит расширение газа (г| ^> 1) и которые
описываются ветвью ударной адиабаты, лежащей вправо от точки
О и не показанной на рис. 6.5. Анализ уравнений (6.2) показывает,
что в точке Ж ударной адиабаты конечная скорость газа
относительно разрыва v в точности совпадает с местной скоростью звука
а = У у р/р, т. е. волна движется по нагретому газу со звуковой
скоростью.
Положение это совершенно аналогично тому, которое возникает
в волне горения, распространяющейся по ВВ (см. рис. 6.5,6).
Точка Ж ударной адиабаты представляет собой так называемую точку
Жуге, и отвечающий ей режим соответствует режиму нормальной
детонации [4]. При отсутствии иных механизмов ионизации
(«поджигания»), кроме ионизации ударной волной, или же при меньшей
эффективности других механизмов при данном потоке S0
осуществляется именно этот, «детонационный», т. е. гидродинамический,
режим распространения разряда. При детонационном режиме
газ сжимается и нагревается ударной волной до состояния А,
лежащего на ударной адиабате ударной волны, которая в
предположении р0 = 0 представляется вертикальной прямой г] —
= (у — 1)/(Y + !)• Затем ионизованный в ударной волне газ,
получая дополнительную энергию за счет поглощения потока
излучения SQ, расширяется вдоль прямой АЖ и достигает точки
Жуге Ж к моменту окончания энерговыделения. Переход от
состояния А к состоянию Ж происходит внутри фронта волны, который
мы заменили разрывом, и может быть исследован только в рамках
более подробной теории, принимающей во внимание внутреннюю
структуру «разрыва».
Вычисление показывает, что минимальная скорость
сверхзвуковой волны разряда, отвечающая детонационному режиму, т. е.
точке Жуге, равна
£ = [2(r2-l)*VPo]1/3. (6.11)
Эту формулу можно получить и из выражения для скорости
обычной детонации, если подставить в нее q = S0/p0D. Именно
так поступили Рэмсден и Савич [2] (но только они взяли
конечную плотность р вместо р0 и потому получили формулу несколько
менее точную, чем (6.11)). Нагревание при детонационном режиме
имеет максимально возможную для сверхзвуковых движений
162

и данного S0 величину, согласно (6.8), (6.9)
8 = Т 7)2 - ^ /Л.\2/з - 12ч
(Т2 — 1) (Т + 1) _ (Т2 _ l)V3 (т + 1) \ ро У • *°'^>
Сжатие за волной-1/r) = (7 + 1)/y, в уравнении сохранения
энергии (6.8), коэффициент р = 2у1(у + 1).
Подставим в формулы (6.11), (6.12) значения S0 =
= 2-Ю18-эрг 1см2 сек, р0 = 1,3-10"3 г/см3 [13] и положим у = 1,33
(таков эффективный показатель адиабаты воздуха атмосферной
плотности при температурах в сотни тысяч градусов [5]). Получим
D = 133 км1сек% 8 = 1,35-1014 эрг/г. В равновесии такой энергии
соответствует температура Т = 910 000° К [5]. Эти цифры
неплохо согласуются с измеренными (110 км/сек, 700 000°). Еще лучшее
согласие получается, если учесть потери энергии из волны,
связанные с конечностью ширины фронта, о чем пойдет речь в
следующем подразделе.
«Сверхдетонационный» гидродинамический режим
распространения волны разряда с ионизацией ударной волной, но со
скоростью, превышающей скорость «нормальной детонации» (6.11),
не осуществляется. Такому режиму соответствовало бы сжатие
газа ударной волной до состояния типа А' на ударной адиабате
ударной волны с последующим расширением газа во время
поглощения светового потока вдоль отрезка прямой А'О до точки В на
ударной адиабате волны. Но в состоянии В скорость
распространения волны по нагретому газу v оказывается дозвуковой.
Расширение нагретого газа за такой волной тотчас бы ослабило и
замедлило волну, переведя ее в режим нормальной детонации (из
точки В в точку Ж ).
Режим типа В известен в теории обычной детонации. Это так
называемая пересжатая детонация. Для ее осуществления
необходимо какое-то дополнительное внешнее воздействие на газ,
например поршнем, который толкает взрывчатую смесь со скоростью,
превышающей скорость нагретого газа относительно холодного
D — v при нормальной детонации. Таково же положение и с
волной разряда: что-то должно «подталкивать» ударную волну, для
того чтобы она распространялась со скоростью, большей, чем это
может обеспечить выделение энергии одного лишь потока
излучения. Но поскольку в обычных условиях опытов такой
дополнительной силы нет, то сверхдетонационные режимы с ударной
волной типа В невозможны.
Допустим теперь, что какой-то негидродинамический механизм
ионизации действует эффективнее, чем ударная волна, и при
данном потоке S0 в состоянии обеспечить более быстрое продвижение
волны разряда, чем «детонация». Таким механизмом при очень
высоких температурах может послужить, например, электронная
теплопроводность, которая является нелинейной,— коэффициент
теплопроводности быстро возрастает с ростом температуры
(подробнее об этом механизме, так же как и о другом возможном,
163

речь пойдет в разделах 25, 26). В этом случае осуществляется
сверхдетонационный режим, соответствующий состоянию типа
С на ударной адиабате. Сжатие в волне при этом происходит
непрерывным образом (без ударного скачка) вдоль прямой ОС из
начального состояния О в состояние С.
Такая волна распространяется по нагретому газу, который
остается за нею, со сверхзвуковой скоростью, так что никакие
гидродинамические возмущения, в том числе и ударная волна,
ее на догоняют. Сжатие в сверхдетонационной волне меньше, чем
в детонационной, и в формуле (6.8) коэффициент р < 2у1(у + 1).
В пределе D -> оо газ вообще не успевает приходить в движение,
и плотность его остается неизменной, т] -*• 1, р ->- 1. Из
сказанного видно, что коэффициент Р заключен в интервале 1 << р <^
^ 2у1(у + 1), 1< р < 1,14 при у = 1,33, что свидетельствует
о незначительном влиянии движения и сжатия на баланс энергии.
Поэтому простое уравнение баланса энергии (6.3) справедливо
с хорошей точностью.
20.4. Пределы детонации. При ослаблении потока энергии,
поддерживающего светодетонационную волну, ее интенсивность,
т. е. скорость распространения и температура за фронтом, также
уменьшаются. Если безоговорочно верить формулам (6.11),
(6.12), поток можно уменьшать беспредельно — волна будет
распространяться при сколь угодно малых световых потоках, разве
что формулы потеряют силу, когда скорость D упадет до
величины, сравнимой со скоростью звука в холодном газе, и будет
нарушено использованное условие р ^> р0.
Парадоксальный вывод о принципиальной возможности
существования режима при очень малых световых потоках
является следствием идеализации задачи, предположения о малости
ширины фронта волны по сравнению с его поперечными размерами
при любых амплитудах волны. Между тем при низких
температурах и слабой ионизации длина пробега света, которой
определяется ширина фронта, становится большой, больше поперечных
размеров поверхности фронта, всегда ограниченных поперечными
размерами светового луча, и именно это обстоятельство ставит
пределы существованию режима световой детонации.
Явление пределов или критического диаметра для обычной
детонации ВВ хорошо известно. Оно было исследовано Ю. Б. Ха-
ритоном (см. [4]) еще в конце 30-х годов и заключается в
следующем. Если уменьшать диаметр цилиндрического заряда ВВ
данного состава, скорость детонации становится все меньше по
сравнению с нормальной, а начиная с некоторого «критического»
диаметра заряд не детонирует вообще. Критический диаметр 2г
всегда сравним с шириной зоны химической реакции Ах, т. е.
величиной порядка D%, где т — характерное время сгорания
данного ВВ.
Причина эффекта состоит в том, что нагретый и находящийся
под высоким давлением газ в зоне, где протекает химическая реак-
164

ция и выделяется тепло, расширяется не только в сторону
движения ударной волны, благодаря чему она и движется, но и в
боковых направлениях (рис. 6.6). На боковой разлет расходуется часть
энергии, и эта энергия тратится без пользы для распространения
детонационной волны. Ясно, что отношение потерь энергии на
боковое расширение к полезным затратам на расширение в
направлении движения волны характеризуется отношением боковой
поверхности цилиндрической зоны реакции 2лгАх к площади фронта
Рис. 6.6. Схема бокового
разлета газа в светодетонационной
волне
Область поглощения света
заштрихована
волны яг2, т. е. величиной Ах/r. Пока ширина фронта Ах мала
по сравнению с его радиусом, потери малы и детонация
распространяется с нормальной скоростью, следующей из теории
разрыва. Если же величина Ах порядка или больше г, потери энергии
на боковое расширение столь значительны, что тепловыделения
не хватает на поддержание поджигающей ударной волны.
Совершенно аналогичная ситуация возникает и в случае
световой детонации [17]. Ширина фронта волны поглощения Ах,
который выше заменялся разрывом, порядка длины пробега
падающего излучения /ш при значении температуры за фронтом. При
больших потоках S0 за фронтом достигается высокая
температура, длина пробега меньше радиуса светового канала г и потери на
боковое расширение хотя и существуют, но не очень велики. При
небольших температурах, соответствующих области первой
ионизации атомов, длина пробега света чрезвычайно резко возрастает
с понижением температуры и начиная с определенной температуры
Tt становится больше радиуса. Условием l& (Tt) — г вместе с
зависимостью температуры за фронтом от потока S0 и определяется
порог St существования режима. При реальных радиусах
световых каналов г ~ 10~2 -г- Ю-1 см длина пробега лазерного
излучения становится сравнимой с г при температурах порядка 20 000°,
чему соответствуют пороговые световые потоки St — 100 Мвт/см2.
Этим простым качественным рассуждениям легко придать
формальный характер. Обобщим формулы (6.11), (6.12), введя в них
поправки на боковое расширение газа. Скорость вытекания газа
через боковую поверхность «цилиндрической» зоны волны,
заштрихованной на рис. 6.6, имеет порядок скорости звука нагретого газа
а = У у (у — 1) е. Баланс энергии в зоне волны, уточняющий
приближенное уравнение (6.3), можно записать в виде
p0Denr2 + 9оаг ' 2ягД# = S0nr2,
165

где второй член слева учитывает бесполезное вытекание
внутренней энергии через боковую поверхность зоны волны.
Отсюда
p0De = S08, 8 = (1 + 2Axa/rD)~1. (6.13)
Можно рассуждать и немного иначе. За время
энерговыделения At — Ax/D ударная волна проходит в радиальном
направлении расстояние Аг — aAt — a Ax/D, так что выделяющаяся
энергия S0nr2At расходуется на нагревание массы p0Dn(r -f- Ar)2At.
Для средней энергии нагревания получим уравнение p0Ds =
= S0[r/(r -f Лг)]2, которое при Ar <С г сводится к (6.13). При
детонационном режиме а = В/2и поправочный множитель в
уравнении баланса энергии б = 1/(1 + Ах/r). Этот коэффициент можно
прямо ввести в формулы (6.11), (6.12), положив в них S08 вместо
S0. Например, для условий опытов [13] Ах да 1Ш да г да 10~2 см
и 8 да 0,5. В результате вместо значений D = 133 км/сек, е —
= 1,35-1014 эрг/г, Т = 910 000°, полученных по формулам (6.11),
(6.12) без учета поправки на боковое расширение (см.
подраздел 20.3), найдем D = 105 км/сек, г = 0,85-1014 эрг/г, Т =
= 720 000°, что совсем близко к измеренным значениям
(110 км/сек, 700 000°).
Найдем порог существования режима. В силу сказанного
энергия, до которой нагревается газ в светодетонационной волне,
дается выражением
.(!•) = Р (Щ'\ *-, ' , ■ (6-14)
v/ (Т2 _ if/z(Т +!) \ ро / 1-И» СП/г v '
При высоких температурах, соответствующих многократной
ионизации атомов, длина пробега лазерного излучения
определяется формулой (6.1), а при не очень высоких, которые
соответствуют однократной ионизации и порогу режима, можно
воспользоваться формулой Унзольда — Крамерса, учитывающей не
только свободно-свободные переходы, но и связанно-свободные, т. е.
фотоионизацию возбужденных атомов (см. например [5]):
v- %•*■**-%&■«* (-'-^) [«—»(--£•)] • (615)
где N — число атомов в 1 см3; g+/g0 — отношение статистических
весов ионов и нейтральных атомов. Формулы (6.14), (6.15) вместе
с интерполяционной термодинамической зависимостью г — Т*
(ада 1,5 [5]) определяют температуру в волне в зависимости от
потока излучения S0. Эта зависимость показана схематически
на рис. 6.7. Видно, что при S0 <С St режима нет. Величина St
определяется из усдовия минимума функции S0 (J7), которое дает
приближенное уравнение
1(* V *) ~ (2/за) [(/ - Щ/kT — 1] '
166

уточняющее качественное условие 1Ш (Tt) — г. Практически
Z„ (Tt) ж 0,4г.
Легко видеть, что устойчивым состояниям в волне отвечает
только верхняя ветвь кривой Т (*50), которая соответствует
уменьшению толщины волны и роли потерь при увеличении потока
излучения S0. Действительно, допустим, что по какой-то случайной
причине температура в волне немного понизилась. В случае,
если состояние лежит на нижней ветви кривой, для поддержания
Т
Рис. 6.7. Зависимость темпе- 7t
ратуры за светодетонационной
волной от потока излучения
нового стационарного состояния с большей шириной фронта и
большими потерями потребовался бы больший поток излучения
SQ. Следовательно, имеющегося потока будет недостаточно для
поддержания стационарного режима, волна начнет ослабевать,
пока вовсе не затухнет. Напротив, состояние на верхней ветви
кривой устойчиво. Если температура понизилась, поток
окажется превышающим необходимый, и волна снова усилится,
вернувшись к стационарному состоянию. Аналогичные рассуждения
показывают, что повышение температуры в волне, отвечающей
нижней ветви, приведет к переходу точки, описывающей состояние
за фронтом, на устойчивую верхнюю ветвь.
Численно для воздуха при атмосферном давлении,
излучения неодимового лазера и радиуса светового канала г = 0,1 см
получается Tt « 19 000°К, е, = 6,7.10й эрг/г (у = 1.17 [5]).
Предельный, пороговый, поток излучения St « 80 Mem/см2.
Соответствующая наименьшая скорость «детонации» Dt ^ 8,5 км/сек.
Предельные значения слабо зависят от радиуса канала г и
частоты света и мало чувствительны к приближениям теории в
силу резкой, больцмановской зависимости коэффициента
поглощения света 1//со от температуры. При понижении плотности газа
(в небольших пределах) порог понижается. Так, в воздухе при
р0 = 0,1 атпм и прочих равных условиях Tt ^ 26 000°, et = 1,1-
• 1012 эрг/г, St = 19 Mem/см2, Dt?=z 11 км/сек. При г = 0,1 см
полные пороговые мощности лучей Pt = Stnr2 равны 2,6 и 0,6 Mem
для 1 и 0,1 атм.
Пороговая величина потока, необходимого для поддержания
режима световой детонации, St ~ 100 Mem/см2 в случае
атмосферного воздуха, конечно, очень велика, но все же она на три порядка
меньше порога для пробоя воздуха. Это означает, что те огромные
167

световые потоки, которые фигурируют в опытах по лазерной
искре, где наблюдается световая детонация, вовсе не нужны для
поддержания последней, они нужны исключительно для поджигания,
инициирования волны путем создания первоначальной плазмы
пробоя. В принципе бегущую лазерную искру вполне можно
поджечь и при интенсивностях лазерного излучения, недостаточных
для пробоя, если создать первоначальную плазму при помощи
постороннего источника, подобно тому как обычное горючее
вещество поджигают при помощи спички. В разделе 23 будет
рассказано о том> как в процессе реализации на опыте вывода о
возможности «принудительного» поджигания лазерной искры был
получен новый режим распространения плазменного фронта —
медленное горение.
20.5. О возможности детонации на других частотах. Выше речь
шла о световой детонации просто потому, что экспериментально
и теоретически этот режим исследовался только применительно
к излучениям оптического диапазона в связи с опытами по
лазерной искре. Между тем не видно причин принципиального
характера, по которым подобный режим не мог бы существовать
и в других частотных диапазонах. В формулах (6.11), (6.12) для
скорости детонации и энергии нагревания плазмы вообще не
фигурирует частота поддерживающего режим
электромагнитного поля, присутствует только величина потока
электромагнитной энергии. Вполне возможно, например, представить себе
волновод, по которому бежит электромагнитная волна СВЧ-диапа-
зона и навстречу ей распространяется фронт «детонации»: газ в
волноводе ионизуется ударной волной, и за ударной волной
происходит поглощение электромагнитной энергии. Рассматривая
идеальную плоскую волну такого разряда без учета потерь
энергии, мы немедленно придем к тем же формулам (6.11), (6.12),
следующим из теории гидродинамического разрыва. Кстати сказать,
общая картина гидродинамического течения в волноводе была бы
очень похожей на то, что происходит при обычной детонации
горючей газовой смеси в трубе.
Если же говорить о реальной осуществимости на опыте
детонационного режима, скажем в том же СВЧ-диапазоне, то здесь
положение оказывается не столь простым. Прежде всего
возникает вопрос о пробое. Дело в том, что потоки энергии,
необходимые для поддержания детонационного режима, от частоты
излучения зависят слабо, без учета потерь вообще не зависят. В то же
время потоки, пороговые для пробоя, от частоты зависят
существенно, примерно как со2, и если на оптических частотах пороги
для пробоя гораздо выше, чем необходимые для детонации, то в
СВЧ-диапазоне положение часто обратное: скажем, при
атмосферном давлении пробой произойдет прежде, чем возникнет
детонационная волна. Так, например, в воздухе нормальной плотности
пороговое поле в СВЧ-диапазоне и на более низких частотах
равно 30 кв/см, чему соответствует поток энергии 2 Мет/см2.
168

Для детонации требуется как минимум, чтобы
электромагнитная волна поглощалась в достаточно тонком слое. Быть может,
толщина слоя не обязательно должна быть меньше поперечных
размеров волновода, так как боковой гидродинамический разлет
нагретого газа будет сдерживаться металлическими стенками
волновода и потери энергии из волны разряда будут связаны с
теплопроводностным вытеканием тепла в стенки, что происходит
гораздо медленнее. Но все равно пределы детонации будут
определяться такой температурой, при которой длина поглощения
электромагнитной волны сопоставима с размерами волновода,
пусть даже его длиной. Для оценки пороговой температуры
точная величина пороговой длины поглощения не столь важна, ибо
при низких температурах и слабой ионизации длина поглощения
излучения исключительно резко возрастает при понижении
температуры. Если в воздухе при Т ^ 4000° К она порядка
сантиметра, то при 3000° это уже метр, а при 2000° она больше любых
мыслимых размеров волноводов. Если взять в качестве пороговой
температуры несколько тысяч градусов, то в формуле (6.12)
пороговый для детонации поток энергии оказывается более
высоким, че(м порог для пробоя порядка 10 Mem/см2, и пробой всегда
опередит детонацию.
Но все же принципиальная возможность для осуществления
режима, т. е. получения детонации при допробойных потоках,
имеется. Это возможно при высоких давлениях газов, ибо
пороговый поток для пробоя растет как /?2, а порог для детонации —
только как р (пороговые для режима температура и энергия газа
слабо зависят от давления и по формуле (6.12) St —' р0 ~ р0).
Разумеется, для осуществления детонации потребовались бы
огромные по современному уровню техники СВЧ-мощности в сотни
или даже тысячи мегаватт, которые обеспечивали бы потоки
порядка 100 Мвт/см?, ибо площади сечения волноводов порядка
1—10 см2.
21. Лазерная искра после первичного пробоя
При изучении распространения ударных, взрывных,
детонационных и иных волн, например горения, обычно можно четко
выделить две группы вопросов. Первая из них касается самого
волнового фронта, его внутренней структуры, механизма и
скорости распространения, параметров состояния вещества за
фронтом. Вторая — закономерностей движения и эволюции
поверхности фронта, пространственного и временного
распределения параметров газа во всей возмущенной области, короче
говоря, поведения газа в целом. Таково же примерно положение и в
задачах о распространении разрядов, в частности о лазерной
искре после первоначального пробоя.
В предыдущем разделе при рассмотрении световой
детонации была затронута только первая группа вопросов. Между тем
169

в ходе исследований лазерной искры даже большее внимание
уделялось второй: изучению общей картины течения газа,
диагностике лазерной плазмы, ее спектроскопии, поведению искры в
магнитном поле, роли излучения плазмы и др. Были обнаружены
примечательные особенности поведения искры, которые
указывают на присутствие эффектов самофокусировки лазерного
излучения.
Исследования искры, которые условно можно связать со
второй группой вопросов, как правило, экспериментальные,
зачастую имеют характер накопления фактов, описательный. Здесь
нет какой-либо четкой, стройной теории, да, по-видимому,
таковой и не может быть, многие моменты остаются неясными даже
в качественном отношении, а утверждения — спорными, в
особенности когда речь заходит о самофокусировке. Мы ограничимся
здесь только самым беглым обзором этих явлений с единственной
целью дать общее представление том, как протекает процесс.
Для более полного ознакомления с современным состоянием
исследований по лазерной искре после пробоя и литературой
рекомендуем обстоятельную обзорную статью Г. В. Островской и
А. Н. Зайделя [18], доведенную до уровня 1972 г.
Вслед за первоначальным пробоем газа в области фокуса из
этого места во все стороны расходится плазменный фронт, чаще
всего совпадающий с фронтом ударной волны. Как правило,
быстрее всего фронт движется вдоль оси луча по направлению к
линзе.
Скорости распространения плазменного фронта измерялись во
многих работах и различными методами: по фоторазверткам
свечения искры [1, 19—23], по допплеровскому сдвигу рассеянного
лазерного излучения [1, 13, 23], по изменению с течением
времени очертаний светящейся области, полученному шлирен-мето-
дом [24, 100], и с помощью голограмм [25, 26]. При умеренных
мощностях лазеров порядка десятков или сотен мегаватт и
фокусных расстояниях линзы порядка нескольких сантиметров
(именно эти условия являются типичными для многих опытов)
начальные скорости движения плазменного фронта навстречу
лучу имеют порядок 100 км1сек.
С течением времени скорость уменьшается. Это происходит по
двум причинам. Во-первых, сказывается геометрический фактор:
волна поглощения света продвигается вдоль расходящегося к линзе
светового канала и попадает в область все меньших и меньших
световых потоков. Во-вторых, после прохождения через максимум
падает мощность в самом лазерном импульсе. Измеренные
скорости в общем согласуются с теми, которые следуют из
представлений о световой детонации, в частности выполняется зависимость
D ~ (50/р0)«Л.
Некоторые авторы [2, 19] рассчитывали закон движения
светодетонационной волны вдоль осевой координаты х по
уравнению dxldt = D = const Sq\ подставляя фактическую опытную
170

функцию S0 (х, t) с учетом геометрического фактора и временного
изменения мощности лазера, и получали разумное согласие с
экспериментом. Расчеты гидродинамического движения делались
и в работах [56—58].
В боковых направлениях измеренные скорости плазменной
границы обычно в 2 или несколько раз меньше, чем по направлению
к линзе. Меньше они и в направлении от линзы. Только в самых
легких газах (водороде и гелии), и притом в случае невысоких
давлений, фронт распространяется от линзы также с большой
скоростью. Это легко объясняется тем, что в этих случаях плазма
довольно прозрачна и лазерное излучение поддерживает движение
и заднего фронта плазмы.
Об измерениях электронной температуры плазмы в стадии
действия лазерного импульса (по рентгеновскому излучению)
говорилось в подразделе 20.1. Следует добавить, что измерения,
сделанные с пространственным разрешением [27], показали, что
источником рентгеновского излучения и, следовательно, наиболее
горячей, действительно является область, примыкающая к
переднему фронту плазмы, т. е. к волне поглощения света.
Электронные концентрации в плазме искры измерялись
интерференционными, спектроскопическими, голографическими
методами [25, 26, 28—34]. Большинство данных относится к поздней
стадии, следующей за окончанием лазерного импульса, однако
некоторые измерения выполнены и в стадии действия излучения.
В газах атмосферного давления электронные плотности равны
(2 -н 5)'1019 1/см3, что соответствует ионизации, во всяком случае
превышающей однократную. Чтобы более определенно судить о
степени ионизации, необходимо одновременно находить из
опыта и плотность газа. Шаги в этом направлении были предприняты:
применялись методы двухдлинноволновой интерферометрии [25,
26, 32, 53].
Вследствие того что скорости различных участков фронта
ударной волны неодинаковы, поверхность фронта к моменту
окончания импульса имеет несколько грушевидную форму,
обращенную тупым концом к линзе и смещенную от фокуса в том же
направлении. Эволюция плазменного фронта наглядно
демонстрируется рис. 6.8, построенным по данным голограмм, из которых
можно извлечь распределения электронной плотности в
пространстве [25]. Пробой происходил в момент, отстоящий от максимума
мощности на 15 нсек, когда мощность составляла еще только
половину пиковой (энергия лазера 0,7 дж; импульс имел примерно
треугольную форму). Время отсчитывал ось от момента пробоя.
На рис. 6.9 показаны распределения электронной плотности
вдоль луча для тех же моментов времени. Видно, что плотность
максимальна вблизи переднего фронта ударной волны. Падение
электронной плотности за фронтом связано с расширением
нагретого газа — рекомбинация на этой стадии роли не играет, так
как она протекает слишком медленно.
171

N,1019cm~3
Z,MM
Рис. 6.8. Линии фронта
лазерной искры в атмосферном
воздухе [25]
1 — момент времени 30, 2 — 40*
3—52, 4 — 65, 5 — 105 нсек
Рис. 6.9. Распределения
плотности электронов вдоль оси
луча для варианта рис. 6.8
С течением времени после окончания лазерного импульса
поверхность фронта ударной волны постепенно симметризуется,
принимая форму, приближающуюся к сферической. Процесс на
поздней стадии имеет много общего с ядерным взрывом в воздухе,
будучи в некоторых отношениях его миниатюрной моделью.
Сходство это тем разительнее, чем больше энергия лазерного
импульса, чем сильнее сфокусирован луч и чем короче импульс, т. е.
чем лучше соблюдаются условия «точечное™» и «мгновенности»
выделения энергии.
Распространение взрывной волны ядерного взрыва
описывается теорией Л. И. Седова [34], согласно которой радиус
сферической ударной волны изменяется с течением времени по закону
in

Здесь Е — выделившаяся энергия; р0 — плотность исходного
газа; £0 — численный коэффициент порядка единицы, зависящий
от показателя адиабаты газа у.
Эта формула дает превосходное согласие с опытом в случае
ядерных взрывов, т. е. при энергии, скажем, Е = Ю21 эрг [34].
Применение той же формулы к взрывной волне, образованной
лазерной искрой, т. е. при характерной энергии Е = 1 дж = 107 эрг,
отличающейся на 14 порядков от ядерной, также дает разумное
согласие с экспериментом, что демонстрирует силу подобия столь
различных по своим масштабам процессов.
Явление похоже на ядерный взрыв и в другом отношении.
Когда температура в затухающей ударной волне ядерного
взрыва уменьшается до величины, недостаточной для возбуждения
свечения газа, фронт ее становится невидимым. Он отрывается от
границы высоко нагретой и потому светящейся области — так
называемого «огненного шара» и уходит вперед; огненный шар,
вначале ограниченный поверхностью ударной волны, остается
внутри взрывной волны и расширяется гораздо медленнее [5,
35]. То же самое происходит и в лазерной искре, на что было
обращено внимание в работе Г. А. Аскарьяна, М. С. Рабиновича,
М. М. Савченко и В. К. Степанова [36].
Вообще, экспериментальное исследование поведения
лазерной искры в течение лазерного импульса, т. е. в течение одного
или нескольких десятков нанасекунд, сопряжено с гораздо
большими трудностями, чем изучение всего процесса в целом, который
длится десятки микросекунд, так что в большинстве работ
изучалась именно поздняя, растянутая во времени стадия, следующая
после окончания лазерного импульса. Здесь использовались
многие методы: фотографические (высокоскоростная покадровая
съемка процесса), спектроскопические измерения температуры,
спектральные, интерферометрические, голографические,
микроволновые измерения распределения электронных плотностей и т. д.
Исследованиям такого рода, а также некоторым расчетам
гидродинамики взрывного процесса при лазерной искре посвящены работы
[25, 26, 28, 32, 33, 37-61].
В работе Г. А. Аскарьяна, М. С. Рабиновича, М. М. Савченко
и А. Д. Смирновой [42] было обнаружено явление, названное
авторами «ореолом ионизации» (см. также [43, 44]). Оказывается,
значительный объем газа, окружающий взрывную волну,
частично ионизуется еще до прихода фронта ударной волны. Это
происходит под действием жесткого ультрафиолетового и мягкого
рентгеновского излучений, испускаемых высоконагретой
плазмой центральной области искры.
Позднее, в лазерной искре, образующейся в результате
пробоя одиночным пикосекундным импульсом (с длительностью ~
Ю-11 сек; см. раздел 9 гл. 2), наблюдалось короткое и очень
быстрое расширение области свечения с начальной скоростью
4000 км/сек [62]. Авторы связывают свечение с фотоионизацией
173

газа коротковолновым излучением, выходящим из наиболее
горячей области искры, т. е. фактически с тем же эффектом «ореола
ионизации». При пробое газа серией пикосекундных импульсов
[63—65] каждый из импульсов дает свою искорку; искры
располагаются вдоль оси луча на некоторых расстояниях друг от друга.
Каждая из них вначале расширяется со скоростью порядка
3000 км/сек [65], что также связывается с эффектом фотоионизации.
Прерывистую структуру искры можно объяснить тем, что плазма
пробоя от каждого импульса служит источником расходящейся
взрывной волны и пробой от следующего импульса происходит
во фронте ударной волны, удалившейся от источника [64].
В работах [66—68] изучалась искра, создаваемая импульсами
инфракрасного излучения X = 10,6 мк лазера на углекислом газе.
Гигантские импульсы этих лазеров обычно длятся дольше, чем
импульсы рубинового или неодимового (сотни наносекунд и даже
микросекунду). При этом также наблюдалось распространение
плазменного фронта навстречу лучу с «детонационными»
скоростями.
Исследуя рассеяние лазерного излучения плазмой искры,
созданной при помощи одномодового рубинового лазера, В. В. Короб-
кин и Алкок [70] обнаружили, что рассеивающая область имеет
вид тончайших нитей диаметром, не превышающим 5«Ю-4 см.
Они интерпретировали нити как результат самофокусировки
лазерного излучения. В дальнейшем тонкие плазменные нити в
лазерной искре наблюдались и исследовались в работах [71—75],
где также обсуждается механизм самофокусировки.
Представления о самофокусировке привлекаются и для объяснения
некоторых особенностей пробоя пикосекундными импульсами [76].
Оценки порогов самофокусировки в условиях пробоя содержатся
в работах [77, 78]. Анализу работ, посвященных самофокусировке
в лазерной искре, уделяется большое внимание в обзоре [18].
Еще в одной из первых теоретических работ по лазерной искре
Г. А. Аскарьяна и М. С. Рабиновича [79] говорилось об
эффектах, которых следует ожидать, если создавать лазерную искру
в присутствии внешнего магнитного поля; о возникновении
индукционных токов в расширяющейся плазме и диамагнитного
момента, о возможности таким путем исследовать разлет плазмы.
Магнитные эффекты изучались в опытах [80—83]. О влиянии
магнитного поля на пороги лазерного пробоя говорилось в разделе
7.3 гл. 2.
О различных схемах получения лазерной искры, о
применении ее для прикладных целей, о возможностях достижения с ее
помощью условий, необходимых для осуществления
термоядерного синтеза, можно прочесть в обзоре [18].
174

22. Волна пробоя
Помимо световой детонации существует другой механизм,
который в некоторых опытах с лазерной искрой приводит к
видимому движению границы светящейся плазменной области по
направлению к линзе. Механизм этот связан с чисто геометрическими
особенностями светового луча, с тем, что в опытах луч всегда
фокусируется, и состоит в следующем.
Для того чтобы в сверхпороговом поле ионизация достигла
определенной величины, которая соответствует «пробою» и при
которой можно уже наблюдать свечение плазмы, требуется
какое-то время. Время это тем больше, чем меньше интенсивность
света. Но при фокусировке луча линзой интенсивность света в
каждый момент времени максимальна в области фокуса и
уменьшается по мере удаления от фокуса в обе стороны из-за
возрастания площади сечения светового конуса. Следовательно, даже если
бы не существовало никаких механизмов распространения
разрядов, связанных с ионизацией холодных слоев газа от
соприкосновения с горячими, граница свечения должна была бы бежать
навстречу к линзе просто потому, что точки на оси луча, все более
удаленные от фокуса, начинали бы светиться все позже и позже.
В условиях, когда плазма полупрозрачна, граница свечения
должна по тем же причинам бежать от фокуса и в расходящейся
части луча за фокусом. Этот механизм движения плазменного
фронта, предложенный в работе [16] в качестве одного из
возможных, был назван «волной пробоя». Совершенно аналогичные
представления (отличающиеся только количественными деталями)
одновременно и независимо были развиты в статье Р. В. Амбар-
цумяна, Н. Г. Басова, В. А. Бойко, В. С. Зуева, О. Н. Крохина,
П. Г. Крюкова, Ю. В. Сенатского и Ю. Ю. Стойлова [84], где
таким образом были интерпретированы результаты проделанных
в этой работе экспериментов.
Вычислим приближенно скорость, с которой волна пробоя
должна продвигаться от фокуса по световому каналу конической
формы. Плотность электронов в лавине нарастает с течением
времени по закону
t
dNjdt = Ne/Q, Ne = N0 exp l\ dt/e\, (6.16)
где 0 — постоянная времени лавины. При тех больших световых
потоках, при которых, как оказывается, может наблюдаться волна
пробоя, скорость развития лавины определяется главным образом
временем, в течение которого медленный электрон под действием
поля набирает энергию, достаточную для ионизации (а иногда
возбуждения) атомов и молекул. В этом случае скорость
развития лавины пропорциональна интенсивности света S и 9-1 — aS,
где а обозначен коэффициент пропорциональности, явное
выражение которого нам не понадобится.
175

Естественно допустить, что «пробой», т. е. регистрируемое на
опыте свечение плазмы, наступает, когда плотность электронов
в газе достигает некоторой величины Nv Это означает, что момент
пробоя t в данном сечении светового канала (рис. 6.10)
определяется уравнением
J Л/9 = а 5 S (х, t) dt = In (NJNo) = Ь. (6.17)
о о
Величину Ь, лишь логарифмически зависящую от начальной
(затравочной) и конечной концентраций электронов N0, iVx,
будем считать постоянной.
Рис. 6.10. Схема светового
канала в области фокуса
Рис. 6.11. Форма лазерного
импульса и аппроксимация
кривой для расчета
о „о" t,
Представим световой поток в виде
Я [г (ж)]2
S(x,t)
Ф(0.
(6.18)
где Рт — пиковая мощность лазерного импульса; г — радиус
канала в сечении х, а ср (t) — безразмерная функция,
характеризующая форму импульса (рис. 6.11). Подставляя это выражение
в (6.17), получим
t
(6.19)
a^y(t)dt = b.
Отнесем это уравнение к точке фокуса, г = г0, обозначив
момент пробоя в фокусе t0. Поделив (6.19) на получающееся
уравнение, исключим величины а и Ъ. Задавая еще уравнение формы
светового канала в простейшем виде, г (х) = r0 -\- х tg а, где
а — половина угла фокусировки (см. рис. 6.10), получим
окончательное уравнение для закона движения волны пробоя х (t)
t Но
5ф(0лКф(0Л = (1 + ^а)я. (6.20)
№

Для упрощения оценки скорости по этому уравнению
аппроксимируем ф (t) в стадии нарастания мощности прямой ср = const-t,
отсчитывая момент пробоя t0 от точки пересечения прямой с осью
времени (см. рис. 6.11). Из уравнения (6.20) найдем, что в стадии
нарастания мощности лазера скорость волны пробоя постоянна:
AiP = dx/dt = r0/t0 tg а, x = Dnp (t — t0). (6.21)
Оценим зависимость скорости от пиковой мощности и
длительности лазерного импульса. Полагая для оценки ср (t) = t/At, где
At — полуширина «треугольного» импульса, по формуле (6.19)
найдем, что в фокусе момент пцрбоя, отсчитанный от «начала»
ммпульса t0 = (2тсЬ/ау/2г0Рт2? и по формуле (6.21)
Dnv = (а/2лЪ)1/2РЪ&/2 tg а. (6.22)
Существенно, что при прочих равных условиях скорость
волны пробоя1 возрастает с увеличением мощности лазера, т. е.
интенсивности света в фокусе S0, быстрее, чем скорость
«детонации» (So2 и So3). Это значит, что при больших мощностях волна
пробоя должна двигаться скорее, чем светодетонационная, т. е.
последняя просто не возникает. Вполне может случиться, что
вследствие сглаженности каустики линзы (малости угла
схождения лучей а вблизи фокуса) сначала по каустике пойдет волна
пробоя, а затем ее обгонит светодетонационная волна. Из
формулы (6.22) следует, что для возникновения волны пробоя
благоприятны короткие мощные импульсы и слабая фокусировка луча.
Приведем численные примеры. В опытах Рэмсдена и Дэвиса [1],
где впервые наблюдалось распространение плазменного фронта,
была использована короткофокусная линза, дающая tg а ж 1;
г0 ж 4'10~3 см; время пробоя t0 ж 7 нсек. По формуле (6.21)
получается Duv ж 6 км/сек, что гораздо меньше зарегистрированной
(100 км/сек), которая объясняется детонационным механизмом.
В опытах С. Л. Мандельштама и др. [13] г0 = 10~2 см, t0 ж 10 нсек,
tg а «0,1; получается Dnv ж 100 км/сек, что близко и к
опытной и к теаретической детонационной скорости. Однако
экспериментальная зависимость скорости от мощности D ~ £0
лучше согласуется с представлениями о детонационном
механизме. В опытах Р. В. Амбарцумяна и др. [84], которые авторы
интерпретировали как раз на основе механизма волны пробоя,
г0 « Ю-2 см, t0 ж 5 нсек, tg а ж 0,1 и Duv « 200 км/сек, что в
общем согласуется с опытом. По своей формуле авторы [84]
получили практически то же, ибо, как отмечалось, численное от-
В работе [84] выводятся формулы для скорости, несколько отличающиеся
от (6.21) или (6.22), так как там принималось, что пробой в данном
сечении х наступает, когда нарастающий во времени световой поток достигает
определенного значения. Отличие от приведенного вывода, следовательно,
состоит в допущении о «безынерционности» развития лавины. Впрочем,
численные расхождения по обеим формулам невелики.
177

личие ее от (6.21) невелико. Скорость детонации для условий
этих опытов (энергия в импульсе 3 дж, длительность по
половинной мощности 11 нсек, мощность примерно 200 Мет,
интенсивность в фокусе S0 ж 6-Ю5 Мет!см2, = 6-Ю18 эрг/см2 сек, воздух)
получается немного меньше 200 км/сек. Конечно, точности как
оценок, так и измерений недостаточны для того, чтобы только на
основании вычисленных скоростей отдать предпочтение тому или
другому механизму, но в данном случае авторы имеют
экспериментальные указания, свидетельствующие против
детонационного механизма в пользу пробойного.
В этих опытах, кстати сказать, впервые была сделана
покадровая фотосъемка процесса (при помощи растрового
фоторегистратора) с рекордной в то время (1965 г.) скоростью: интервалом
между кадрами 4,4 нсек. Светящийся конус распространяется к
линзе (измерения длин х на кадрах и позволили определить
скорость движения). Но в боковых направлениях плазменный фронт,
который, видимо, совпадает с фронтом ударной волны
распространялся гораздо медленнее, со скоростями всего лишь в десятки
километров в секунду. Это свидетельствует о том, что ионная
температура в плазме существенно ниже электронной. Между тем
скорость ударной и детонационной волн определяется именно
температурой тяжелых частиц, а не электронов.
Вопрос об осуществимости детонационного механизма в
большой степени связан с вопросом о скорости передачи энергии от
электронов к ионам. Ведь энергия лазерного излучения
первоначально выделяется именно в электронном газе, тогда как
ударная, а следовательно, и светодетонационная волна движется со
скоростью, которая определяется тепловой скоростью
(температурой) тяжелых частиц. Если представить себе на мгновение, что
выделяющаяся энергия вообще не передается ионам, ударная волна
просто не может возникнуть, и следует думать о каком-либо
ином механизме распространения.
В условиях многих опытов по лазерной искре обмен энергией
между электронами и ионами, как показывают прямые оценки,
происходит достаточно быстро. Так, например,*лри Т ж 700 000°
в воздухе примерно нормальной плотности^[13])характерное
время обмена г получается равным 3-Ю-10 сек. При скорости волны
поглощения света 100 км/сек характерная длина обмена равна
3'10_3 см, что сравнимо с шириной зоны энерговыделения
(длиной пробега света). Надо полагать, здесь температуры электронов
и ионов успевают выравниваться и детонационный механизм
возможен. Добавим, что при наличии градиентов энергия
электронного газа передается газу тяжелых частиц не только при
столкновениях частиц (как это считается при оценке скорости обмена),
но и гидродинамическим путем, через работу сил электронного
1 Формулу для скорости обмена см., например, в книге [5]. Вычисление
сделано в предположении о равновесной, пятикратной ионизации и с куло-
новским логарифмом, равным шести.
178

давления над ионным газом, ибо электроны и ионы жестко
связаны между собой кулоновскими силами. Это также способствует
выравниванию температур.
Быть может, в условиях опытов [84] при большой
интенсивности излучения и большой скорости распространения обмен
происходит не столь быстро и температуры не успевают
выравниваться, что и является причиной большей эффективности волны
пробоя. Быть может, здесь действуют оба механизма.
Механизм волны пробоя обсуждался в работах [24, 59], в
частности в [24] принято во внимание, что первичные электроны
образуются в сечении, отстоящем от плазменного фронта, под
действием излучения плазмы искры. Вероятно, он фигурирует и
в опытах [21, 22], сделанных с лазерами большой, гигаваттной,
мощности. Можно было бы ожидать появления волны пробоя и
в опытах Н. Г. Басова, В. А. Бойко, О. Н. Крохина и Г. В. Склиз-
кова [85], в которых была получена так называемая «длинная
искра». В этих опытах лазерный импульс гигаваттной мощности
слегка фокусировался линзой с чрезвычайно большим фокусным
расстоянием — 2,5 м. Пробой возникал вначале в фокусе, а потом
распространялся в обе стороны от фокуса с огромными
скоростями, превышающими 104 км/сек, причем искра была не сплошной,
а состояла из множества очагов. Общая длина ее составляла более
двух метров!
Все же здесь не было волны пробоя, возникновение
последовательных очагов, как показал анализ, было связано с
изменением во времени структуры лазерного луча, при котором в
разные моменты времени основная энергия фокусировалась в
различных точках оси луча. Отметим неъбычный способ получения
протяженной искры, предложенный в работе Б. Я. Зельдовича,
Б. М. Мульченко и Н. Ф. Пилипецкого [86]. Нитевидный пробой
получался путем фокусировки лазерного импульса конической
линзой.
В заключение этого раздела мы хотели бы еще раз
подчеркнуть, что механизм волны пробоя имеет принципиальное отличие
от всех тех механизмов распространения разряда (ударной волны,
теплопроводности, переноса излучения и т. д.), о которых
говорилось в разделе 19. Здесь отсутствует перенос энергии,
передача ее от горячих слоев к холодным. Распространение лишено
«материальной» основы, и скорость его является чисто «фазовой».
Естественно задать вопрос: возникают ли волны пробоя в полях
иных частотных диапазонов, кроме оптического, где для
осуществления этого механизма есть такая простая причина, как
схождение луча при фокусировке? На этот вопрос, конечно, следует
ответить утвердительно, и, вероятно, анализ позволит обнаружить
подобные эффекты в процессах пробоя, встречающихся в
экспериментах или технике. Волны пробоя могут возникать в
пробивающих полях любых частот (включая постоянное поле) с
неравномерным пространственным распределением интенсивности.
179

23. Принудительное поджигание лазерной искры
и «световое горение»
23.1. Эксперименты и их интерпретация. Вычисление пределов
световой детонации позволило утверждать, что бегущую
лазерную искру вполне возможно возбудить и при интенсивностях
света, недостаточных для пробоя газа [17]. Для этого следует
искусственно создать на пути светового луча поглощающую плазму.
Рис. 6.12. Схема опыта [9] и конфигурация плазмы
Э — электроды для поджигания. Плазма заштрихована
Принудительное поджигание лазерной искры было
осуществлено в опытах Ф. В. Бункина, В. И. Конова, А. М. Прохорова
и В. Б. Федорова [9]. Луч лазера на неодимовом стекле,
работающего в режиме свободной генерации и дающего большую энергию
(около 1000 дж), слабо фокусировался в воздухе линзой с
фокусным расстоянием 50 см. Импульс длился 2 мсек, пиковая
мощность составляла приблизительно 1 Мет. Диаметр фокусного
пятна получался равным примерно 3 мм, а интенсивность света
в фокусе S0 ж 10 н- 15 Mem/см2. Чтобы пробить воздух таким
импульсом, требуется гораздо более острая фокусировка, которая
обеспечивала бы поток энергии порядка 1000 Мвт/см2 (см.
подраздел 7.4). Вблизи фокуса помещалась пара тонких
игольчатых электродов, присоединенных к конденсаторной батарее
(рис. 6.12). Световой луч «задевал» электрод, с поверхности
испарялось небольшое количество металла, и это инициировало
пробой разрядного промежутка.
Разрядная искра возникала еще в самом начале лазерного
импульса и длилась всего 0,1 мсек. В этой плазме частично
поглощалось лазерное излучение и начинался оптический разряд.
Фронт лазерной искры распространялся вдоль светового канала,
причем в обе стороны от фокуса одинаково, так как плазма была
весьма прозрачной. Но в отличие от опытов с гигантскими
лазерными импульсами плазменный фронт двигался сравнительно
медленно, со средней скоростью примерно 40 м/сек. Движение
постепенно замедлялось, и примерно через 1,5 мсек, т. е. еще до
180

полного окончания лазерного импульса, фронт, пройдя вдоль
луча в обе стороны по 4 см, останавливался. Эффект имел
явный порог по мощности; при энергии в импульсе менее 730 дж,
т. е. мощности ниже Pt да 0,9 Мет (интенсивности в фокусе
менее St да 10 Мет/см2), лазерная искра не возникала, хотя
разрядный промежуток пробивался.
Обнаруженное медленное распространение плазменного фронта
было интерпретировано [9] как процесс, аналогичный медленному
горению. Механизмом распространения разряда при этом
служит обычная теплопроводность: холодный газ перед фронтом
плазмы нагревается и ионизуется за счет теплопроводностной
передачи тепла от плазмы и приобретает способность поглощать
энергию излучения. И действительно, световые потоки в этих
опытах, S да 10 Мвт/см2, были слишком малы для возбуждения
световой детонации, для чего понадобилось бы как минимум
100 Мвт/см2.
Чтобы оценить скорость фронта, авторы воспользовались
известной формулой Зельдовича для скорости распространения
пламени
о
где Ро — плотность исходного газа, wK — удельная энтальпия
продуктов горения за фронтом пламени, соответствующая
конечной температуре Гк, F+ эрг/см3 сек — скорость тепловыделения в
ходе химической реакции (ее следует рассматривать как функцию
температуры), Я — коэффициент теплопроводности, вообще
говоря также зависящий от температуры.
В случае «светового» горения скорость энерговыделения
выражается через поток энергии и коэффициент поглощения света *
(Хо/, для оценки интеграл по температуре был положен равным
k\itoS0TK. Из эксперимента следовало, что лазерный луч
поглощался в искре очень слабо, не более чем на 5% и это давало
оценку fXco да 7«10~3 11см. Температура плазмы, определенная по
коэффициенту поглощения при помощи формулы Унзольда —
Крамерса (6.15), 7К да 1 эв да 104°.
Вычисленная таким образом скорость и получается порядка
10—100 см/сек, что характерно для медленного теплопроводно-
стного процесса, но она оказывается в десятки раз меньше, чем
наблюдаемая. Причину такого расхождения авторы [9]
объяснили, заметив, что-при световом горении происходит тоже, что и
при распространении пламени от закрытого конца трубы [3, 87].
Дело в том, что формула (6.23) определяет скорость распростра-
1 Вспомним, как Рэмсден и Савич [2] перешли от скорости обычной
детонации к скорости световой детонации, выразив теплотворную способность
В В через эквивалентное энерговыделение за счет поглощения света
(раздел 20).
181

нения пламени по веществу. Между тем нагревающийся при энер-
говьщелении газ расширяется во все стороны, в том числе и в
сторону распространения фронта. Действуя как поршень, он
приводит в движение холодный газ перед фронтом. Поэтому фронт
распространяется не по покоящемуся, а по движущемуся в ту же
сторону газу, причем движущемуся с большой скоростью, во
много раз превышающей скорость распространения и.
Таким образом, в данных условиях фактически наблюдается
именно эта скорость расширения плазмы. Она превышает скорость
распространения и (как мы всегда будем называть скорость
движения фронта по веществу) примерно в р0/рк Р&з, где рк —
плотность нагретого газа за фронтом. Это станет ясно из
дальнейшего. В силу дозвукового характера движения давления по обе
стороны фронта почти одинаковы, так чтор0/рк^ TjTR8i4, где Гнач —
температура холодного газа. Например, при Тк я^ 104° и ГНач~
^ 300°К наблюдаемая скорость должна быть раз в 30 больше,
чем и; с учетом этого обстоятельства оценка скорости плазменного
фронта по формулам теории горения дает согласие с опытом.
Как и при детонации, предел горения связан с потерями
энергии, в данном случае — теплопроводностным вытеканием тепла
из зоны волны за пределы светового канала [88, 89].
В работе [90] лазерная искра при интенсивностях света,
недостаточных для пробоя, поджигалась путем пробоя,
создаваемого импульсом другого лазера. Изучался «подхват» плазмы
излучением основного лазера, питающего бегущий оптический
разряд. Для поддержания горения служил рубиновый лазер,
который работал в квазинепрерывном беспичковом режимег и давал
гладкий импульс с энергией до 50 дж и длительностью 1,5 мсек .
Излучение фокусировалось линзой с / = 2,5 см в аргон при
давлениях от 16 до 80 атм (радиус фокусного пятна — 2,1-10~2 см).
Луч поджигающего лазера (работающего в пичковом режиме
свободной генерации), фокусировался в ту же точку и подавался
под прямым углом к лучу питающего. Это был значительно более
короткий импульс (0,3 мсек) с небольшой энергией 2 дж,
который создавал маленький и короткоживущий очаг плазмы 2.
Скорости распространения плазменного фронта навстречу лучу
питающего лазера измерялись по фоторазверткам процесса (рис.
6.13). Скорости были порядка нескольких десятков метров в се-
1 Обычный лазерный импульс, получаемый в режиме свободной генерации
(как в [9]), состоит из множества отдельных пичков с длительностями около
1 мксек, следующих друг за другом через каждые несколько микросекунд.
При такой прерывистой генерации плазма искры оказывается крайне
неоднородной, тогда как при гладкой беспичковой генерации она обладает
большой однородностью, что очень ценно для плазменных измерений.
2 Средняя по времени мощность лазера, дающего пичковую генерацию,
была значительно меньше, чем у беспичкового. Тем не менее пичковый
импульс легко пробивал газ, а беспичковый был далеко не достаточным
для пробоя. Это объясняется тем, что при пичковом режиме случайно
попадаются отдельные очень мощные пички, которые и создают пробой.
1®2

Рис. 6.13. Фоторазвертка распространения плазменного фронта оптического
разряда [90]
Слабая прерывистая горизонтальная линия — поджигающая плазма пробоя.
Масштаб по вертикали 10 мм. Питающий луч идет снизу вверх
кунду, максимальные — до 250 м/сек. Из-за высокого давления
плазма была малопрозрачной, так что фронт двигался только
навстречу лучу. Путем фотометрирования фотопленок
определялось распределение температуры в плазме (плазма излучала почти
как черное тело). При р ж 17 атм температура у фронта волны
достигала 18 000°, при 80 атм 33 000°.
В опытах [90] измерялись пороговые мощности Pt, необходимые
для поддержания горения при разных давлениях р. При мощ-
Р,к5т д0,Мбт/смг
60
Рис. 6.14. Пороговые
мощности рубинового лазера и потоки 20
света, необходимые для
поддержания горения в аргоне [90]
о го w во
р,атм
ности питающего лазера ниже пороговой начальная плазма
пробоя излучением этого лазера не «подхватывалась». Результаты
измерений показаны на рис. 6.14 [90]. Падение пороговой
мощности при повышении давления объясняется тем, что с ростом
р возрастает поглощательная способность газа и то же самое
энерговыделение получается при меньших световых потоках.
Между тем теплопроводностные потери энергии, которые и
должны быть скомпенсированы тепловыделением, от давления зависят
слабо, ибо коэффициент теплопроводности мало меняется при
изменении плотности газа. При высоких давлениях вступают в силу
потери на тепловое излучение, которые возрастают с ростом
плотности, поэтому в области самых высоких давлений падение
функции Pt (р) замедляется. В процессе установления
стабилизированного, непрерывно горящего оптического разряда, который
поддерживается излучением лазера на углекислом газе С02 [91]
W
го
\
- \
\
1111
—X—.
1S3

(см. раздел 27), также наблюдается медленное горение.
Плазменный фронт бежит навстречу лучу с типичной для этого режима
скоростью порядка 10 м1сек.
Не исключено, что в некоторых экспериментах, где лазерная
искра получается в результате пробоя газа гигантскими
импульсами и наблюдается световая детонация, в самом конце импульса,
когда мощность сильно падает и фронт замедляется, происходит
переход от детонационного режима к медленному горению.
Возможно, так происходит при пробое гигантскими импульсами
лазера на углекислом газе, которые имеют сравнительно большую
длительность; в опытах [66, 67] наблюдалось нечто похожее.
Возможно, волна горения возникает и в опытах, где под действием
лазерного импульса происходит испарение вещества с
поверхности твердой мишени. Если температура паров достаточно высока
и пары заметно ионизованы, может произойти поджигание волны
оптического разряда в парах или даже окружающей атмосфере.
23.2. «Сжигание» светового луча. Еще недавно подобное
выражение показалось бы нелепым и вызвало улыбку. Между тем
все предыдущее изложение показывает, что в нем не содержится
ничего парадоксального и оно образно, но верно передает
сущность возможного физического процесса. Действительно,
световой луч может гореть, как бикфордов шнур, и несомая им
энергия будет превращаться в тепло. Представим себе, что в нашем
распоряжении имеется очень мощный оптический генератор,
который работает в непрерывном режиме и дает длинный
стабильный цилиндрический световой пучок. Допустим, луч «подожгли»
далеко от генератора, перекрыв его искусственным образом
созданной плазмой. От места поджигания к генератору побежит
волна оптического разряда. Поглощая свет и перекрывая луч,
волна будет оставлять за собой постепенно остывающий
плазменный столб («продукты горения»). Тепло от плазмы будет
рассасываться в окружающей среде. Так будет продолжаться, пока
луч полностью не «сгорит», т. е. пока волна не добежит до
генератора.
В принципе можно сжечь сколь угодно длинный световой
«шнур», лишь бы хватило мощности генератора на то, чтобы
обеспечить достаточную плотность потока на дальнем конце светового
пучка с учетом его неизбежной расходимости г и генератор
работал бы, не переставая, все время, пока «пламя» не добежит до
него. В описанной картине нет ничего фантастичного,
предыдущее изложение показало, что все это уже наблюдалось на опыте,
но, конечно, в очень маленьких масштабах — и пространственных,
и временных. Увеличение масштабов — это вопрос создания
достаточно мощных и достаточно долго действующих генераторов
света.
1 Как известно, вследствие всегда существующей дифракции даже строго
параллельный вначале луч приобретает расходимость порядка отношения
р;лины волны к начальному диаметру.
184

Как ясно из предыдущего, луч может гореть и медленно и
быстро. Это зависит от мощности или величины светового потока,
от того, достаточно ли будет их для поддержания детонационного
режима или хватит только на медленное горение. Здесь обращает
на себя внимание одно обстоятельство. Если сопоставить
предельные режимы, отвечающие минимальным энергетическим
затратам, которые еще обеспечивают распространение волны, то
обнаруживается некое кажущееся несоответствие. В самом деле, в
подразделах 20.4 и 23.1 говорилось примерно об одинаковых
условиях: луче неодимового лазера радиусом R порядка 1 мм,
который распространяется в атмосферном воздухе. Но светоде-
тонационная волна при пороговой интенсивности ~ 100 Мвт/см2
должна двигаться со скоростью ~ 10 км/сек, тогда как волна
светового горения при пороговой интенсивности ~ 10 Мвт/см2,
которая всего лишь на порядок меньше, распространяется (по
веществу) со скоростью ~ 1 м!сек, на целых четыре порядка меньше
детонационной. И это получается при том, что газ в обоих
случаях нагревается до температур одного порядка, 10 000—20 000°,
т. е. приобретает одного порядка энергию.
Причина такого несоответствия кроется в энергетической
невыгодности режима медленного горения в данном случае. В
сверхзвуковом режиме распространения свет поглощается в газе
большой плотности, выше атмосферной, и поглощается полностью в
сравнительно тонком слое, с толщиной порядка радиуса луча (на
пороге режима). При дозвуковом же распространении свет
поглощается в разреженной среде, плотность которой в десятки
раз меньше атмосферной, и потому поток может поглотиться
полностью только на очень большом расстоянии, во много раз
превышающем радиус.
Между тем ясно, что на продвижение волны разряда
расходуется только та часть энергии, которая выделяется в слое
порядка радиуса луча около поверхности фронта и которая в процессе
теплопередачи поступает в холодный газ перед фронтом.
Энергия, которая поглощается на более далеких расстояниях,
практически полностью вытекает через относительно близко
расположенную боковую поверхность за пределы светового канала, не
доходя до далеко лежащего фронта, т. е. пропадает «бесполезно».
Так, например, в опытах [9] при R = 0,15 см и коэффициенте
поглощения света в плазме [1Ш ^ 7-10-3 11см, т. е. длине пробега
света Zw я^ 140 см, на продвижение волны расходовалась лишь
ничтожная доля светового потока порядка Rll^ ~ 10~3. Как
видим, коэффициент «полезного» использования световой энергии
в этих условиях крайне мал.
Лучший способ повысить коэффициент использования света
и обеспечить возможность медленного горения при меньших
мощностях генератора — это использовать более длинноволновое
излучение, которое лучше поглощается в плазме (в оптическом
диапазоне коэффициент поглощения, грубо говоря, как и в сверх-
185

высокочастотном, пропорционален 1/со2) *. Кроме того,
твердотельные лазеры (неодимовый, рубиновый) работают только в
импульсном режиме и дают импульсы, не превышающие по
длительности примерное.—2 мсек. За столь малое время волна
горения много пройти не успевает. И здесь, благодаря счастливому
стечению обстоятельств, из всех лазеров, которые могут давать
длительную, непрерывную генерацию, наиболее мощным является
газовый лазер на углекислом газе, который дает излучение, на
порядок более длинноволновое, чем излучение твердотельных
лазеров.
Таким образом, если ставить задачу «сжигать» длинный луч,
следует возлагать надежды именно на этот лазер. Пороговая
мощность для поддержания медленного горения луча лазера на
углекислом газе на два порядка меньше, чем в случае неодимового.
Если для неодимового, как показали опыты [9] и расчеты [88,
89], это сотни киловатт, почти 1 Мет, то для тонкого
(миллиметрового) луча лазера на углекислом газе, по тем же расчетам, это
несколько киловатт. Такие мощности являются доступными уже
сейчас. По тем же причинам лазер на углекислом газе является
единственным подходящим и для создания непрерывно горящего
оптического разряда (непрерывного поддержания стабильной
плазмы световым лучом) и оптического плазмотрона (см. раздел 27).
24. Равновесный теплопроводностный режим
типа медленного горения 2
24.1. Общая постановка задачи. Задачи о различных
равновесных теплопроводностных режимах, например в полях разных
частотных диапазонов, имеют очень много общего. Поэтому
сейчас на примере одной из них мы более подробно остановимся на
самой постановке задачи, лежащих в ее основе допущениях и
укажем пути упрощений с тем, чтобы в дальнейшем по возможности
не повторяться.
Теория волны должна дать ответ на три главных вопроса:
какова скорость ее распространения, каковы параметры
состояния вещества (температура) за фронтом и каковы пределы
существования режима. Надо сказать, что рассмотрение теплопровод-
ностной волны как гидродинамического разрыва не дает ответа на
эти вопросы. Даже в том простейшем случае, когда весь
падающий поток энергии затрачивается на нагревание газа, т. е.
отсутствуют потери, законы сохранения на разрыве приводят лишь
к связи двух неизвестных (скорости и температуры) типа (6.4).
ЧМожно, конечно, работать и при высоких начальных давлениях; именно
так было сделано в работе [90].
2 Содержание этого раздела основано на работах автора [8, 88, 89, 11,
12].
186

В действительности же потери энергии чаще всего играют
существенную роль, так как при дозвуковом распространении
волны плазма имеет низкую плотность и поглощает излучения слабо
(см. подраздел 23.2). При этом в уравнение баланса энергии,
обобщающее (6.4), входит еще одна неизвестная величина,
характеризующая роль потерь. Поэтому без рассмотрения
внутренней структуры волны здесь обойтись нельзя вообще1.
Итак, представим себе для определенности, что через газ
проходит параллельный световой луч радиуса R и где-то на его
пути была создана поглощающая свет плазма. Пусть
интенсивность света недостаточна для возникновения световой детонации.
Тогда, даже если при поджигании образуется ударная волна, она
скоро уйдет далеко от области плазмы и давление выравняется.
Тепло, которое выделяется в плазме внутри светового канала,
медленно растекается во все стороны благодаря теплопроводности,
нагревающийся газ медленно расширяется, все скорости —
дозвуковые, и движение происходит при почти постоянном давлении
р, близком к давлению невозмущенного газа.
Рассмотрим установившийся процесс, при котором теплопро-
водностная волна, распространяясь вдоль канала навстречу
потоку электромагнитной энергии вследствие непрекращающегося
тепловыделения, не затухает. В дальнейшем условимся называть
волной только тот слой плазмы, примыкающий к переднему
фронту нагрева, который в основном влияет на скорость фронта и
ответствен за поддержание режима. Ширина волны (в этом смысле)
никогда не превышает величины порядка радиуса канала R.
Если длина поглощения электромагнитного потока в плазме 1&
гораздо меньше R, то ширина волны, которая в этом случае
порядка /о, столь же мала. Если плазма сильно прозрачна и 1Ш больше
R, тепло, которое выделяется на расстояниях, превышающих Д,
практически не доходит до фронта, так что ширина волны
порядка R (см. подраздел 23.2).
Допустим, что величина светового потока мало изменяется
за время, в течение которого волна проходит расстояние порядка
своей ширины. Тогда сформировавшаяся волна движется вдоль
осевой координаты х как «целое», почти без искажения
температурного профиля. Если направить ось х против движения волны
(по световому потоку), то температуру как функцию х и t
можно представить в виде Т (х, t) = Т (х + ut), где и — абсолютная
величина скорости распространения волны относительно
холодного газа. Иными словами, в системе координат, движущейся
1 Аналогичная ситуация возникает и при рассмотрении детонационного
режима с учетом потерь, т. е. вблизи пределов детонации (см. подраздел
20.4). Но если говорить совсем точно, то строгое решение вопроса о
скорости детонации даже без учета потерь требует анализа внутренней
структуры волны, ибо только такое рассмотрение в свое время позволило
исчерпывающим образом обосновать условие Жуге, которым дополнялись
законы сохранения. Это было сделано Я. Б. Зельдовичем в 1940 г. [4].
187

вместе с фронтом, процесс в волне является квазистационарным.
Будем, как это обычно делается в теории режимов, рассматривать
все в этой системе координат и считать процесс в ней
стационарным.
Математически задача о режиме всегда формулируется во всем
пространстве по х, от — сю до + оо, т. е. приходится рассматривать
и область, далеко отстоящую от фронта, на расстояниях гораздо
больших, чем радиус. Процесс за волной в далеко растянутой
uo~^z
Рис. 6.15. Схема растекания
тепла и расширения газа в
волне светоаого «горения»
Показаны изотерма и линии тока
газа
зоне в действительности не стационарен и в системе координат
фронта. Но, поскольку на продвижение волны эта зона влияет
мало, не будет большой ошибкой считать стационарной также и ее.
в' системе координат фронта холодный газ втекает в волну
со скоростью w, равной по величине скорости распространения
фронта по холодному газу. (В лабораторной системе холодный
газ сам может течь в направлении движения волны, вытесняемый
расширяющейся плазмой, см. подразд. 23.1.)
В результате нагревания газ расширяется не только в осевом
направлении, но и в стороны, как и тепло, вытекая из канала.
Картина растекания вещества и тепла существенно двумерна;
она схематически показана на рис. 6.15. Двумерные уравнения
газодинамики даже для стационарного случая слишком сложны
(см. [89]). Поэтому упростим задачу, приближенно считая тe^
чение одномерным, как если бы световой канал был заключен в
трубку, препятствующую радиальному расширению газа.
Осевые скорости будем считать не зависящими от радиуса, а фронт
волны — плоским (интенсивность света также считаем
постоянной по сечению канала). Заключая канал в «трубку», мы,
конечно, несколько занижаем потери энергии, ибо тепло вытекает
из канала не только вследствие теплопроводности, но и
вследствие гидродинамического переноса вместе с вытекающим газом.
По оценкам эти потери не очень велики, во всяком случае, они не
превышают теплопроводностных.
В одномерном приближении в условиях стационарности
производная по времени в движущейся частице есть dTldt = vdT/dx,
а согласно уравнению непрерывности рг; = const = р0и, где р и
188

v — плотность и осевая скорость газа в текущей точке х\ р0 —
плотность холодного газа г. Уравнение теплопроводности,
которым описывается поле температур, имеет вид
Роиср — = —Х — + ——гХ1ЯГ- + б<£*> - Ф. (6.24)
Здесь ср — теплоемкость при постоянном давлении; первые
два члена справа связаны с осевым и радиальным потоками тепла;
третий член — скорость энерговыделения, связанная с
диссипацией поля; а — проводимость, которая в равновесной плазме
является функцией температуры, Е — электрическое поле, а
знак < > означает усреднение по времени за период
осцилляции поля. (Говоря о свете, естественнее выражать
энерговыделение через поглощение потока, что мы потом и сделаем, но
выписанная форма является более общей и справедлива для
полей любых частот.) Ф — потери энергии на тепловое излучение,
точнее, разность между лучеиспусканием плазмы и поглощением
этого излучения в 1 см2 в 1 сек (дивергенция потока теплового
излучения).
Уравнение (6.24) все равно еще содержит частные
производные, и потому сделаем дальнейшее упрощение, усреднив его по
сечению канала. Радиальная часть дивергенции потока тепла
дает при этом среднюю объемную потерю энергии, связанную с
вытеканием тепла через боковую поверхность канала: {2IR) (ХдТ1
]dr)r==R. Эту величину можно представить в виде
т
-Ae/R\ &= [%(T)dT,
о
где в — потенциал потока тепла, соответствующий средней
температуре в данном сечении канала, А — численный коэффициент,
который определяется радиальным профилем температуры и
который будем считать не зависящим от х.
Остальные члены в уравнении (6.24) можно при усреднении
оставить без изменения, подразумевая теперь под Т среднюю по
сечению температуру.
Если считать, например, радиальный профиль Т (г) или в (г)
таким же, как в цилиндре с сильно охлаждаемыми стенками, без
продольных градиентов и источниками тепла, спадающими по
радиусу как функция Бесселя /0 фг/R), где |3 = 2,4 — ее
первый корень, то в (г) ~ /0 фг/R), среднее значение Т составляет
0,43 от значения на оси и А = |32 = 5,8. В наших условиях на
границе канала температура достаточно высока (см. рис. 6.15),
радиальные градиенты меньше, и для численных расчетов
значение А можно принять раза в 2—3 меньшим, чем указанное.
1 Последнее равенство поясняет высказанное в подразделе 23.1 утверждение
о том, скорость расширения плазмы, т. е. конечная скорость нагретого
газа относительно холодного, vK ^ иро/рк.
189

В результате сделанных упрощений уравнение баланса
энергии (6.24) приобретает вид
р0иср dT/dx = — dJ/dx + F, J = — X dT/dx,
f (6.25)
F = <з<#2> — A&/R* — Ф, 0 = \ %dT,
о
где / — осевой поток тепла, a F — функция источников тепла.
Фигурирующее здесь электрическое поле описывается
уравнениями Максвелла, которые вместе с уравнениями (6.25)
образуют единую систему, ибо в одно из уравнений Максвелла входит
зависящая от температуры проводимость (и диэлектрическая
постоянная) среды. Как хорошо известно, скорость диссипации
энергии поля выражается через дивергенцию плотности потока
электромагнитной энергии. В стационарном случае
6<£»> = -divS, S = ^<IEH]>, (6.26)
так что член тепловыделения от поля (обозначим его F+) можно
представить в виде
F+ = б <Я2> = - dS/dx (6.27)
(вектор S совпадает с положительным направлением оси х).
Начиная с этого момента следует учесть конкретные
особенности полей различных частотных диапазонов, ибо оперирование
общими уравнениями Максвелла в ряде случаев привело бы к
неоправданным трудностям. Проще всего обстоит дело в случае
постоянного электрического поля. При рассмотрении
высокочастотного диапазона обычно можно пренебречь токами смещения.
В случае же оптических частот и не чрезмерно высоких давлений,
который будет рассматриваться в этой главе, отражение света от
плазмы мало и с большой точностью справедливо обычное
уравнение поглощения светового потока
dS/dx = — pJS, (6.28)
где коэффициент поглощения fxw выражается через
высокочастотную проводимость формулой (1.18) и также является функцией
температуры. Тепловыделение при этом F+ = S^. Наибольшие
трудности представляет промежуточный СВЧ-диапазон, когда,
строго говоря, необходимо пользоваться волновым уравнением
для поля. В разделе 31 при рассмотрении этого промежуточного
случая будет сказано и об условиях применимости уравнения
(6.28).
Перейдем к потерям на излучение. Последовательный учет
лучистого теплообмена представляет задачу исключительной
сложности, связанную с включением в систему спектрального
уравнения переноса излучения (см., например, [5]). Здесь приходится
идти на серьезные упрощения, характер которых зависит от
конкретных условий. При не слишком высоких давлениях, в частности
при давлениях* порядка атмосферного, которые представляют
190

наибольший интерес, и реальных размерах R (миллиметры,
сантиметры) плазма достаточно прозрачна для своего теплового
излучения и величина Ф определяется в основном ее излучательной
способностью. В некоторых частях спектра, в частности в
спектральных линиях, существенна реабсорбция, но так или иначе
для плазмы удается приближенно ввести потери на излучение
как функцию ее температуры Ф (Г).
В холодной части волны перед фронтом нагрева далекая
ультрафиолетовая часть излучения плазмы полностью поглощается,
участвуя в нагревании газа. Здесь величина Ф отрицательна и с
локальной температурой никак не связана. Возможен даже такой
чисто радиационный механизм нагревания холодного газа и
продвижения волны разряда, который действует так же, как и
теплопроводность: перекачивает энергию из нагретой части волны в
холодную и тем самым обеспечивает необходимую для
диссипации поля ионизацию. Радиационный механизм распространения
будет рассмотрен в разделе 26 применительно к условиям,
которые реализуются при гигантских лазерных импульсах.
Оказывается, эффективность его при этом сравнима с эффективностью
детонационного механизма. Лучистый теплообмен, конечно,
действует и при не очень высоких температурах, отвечающих
дозвуковым режимам медленного горения, но здесь роль лучистого
нагревания, по предварительным оценкам, не превышает роли
теплопроводности, и мы будем рассматривать только теплопровод-
ностный механизм распространения.
При очень высоких давлениях, когда плазма сильно цоглощает
тепловое излучение, на первый план может выступить другая
предельная форма лучистого теплообмена — лучистая
теплопроводность. При этом вместо включения в уравнение баланса
энергии типа (6.25) величины Ф в виде источников следует просто
соответствующим образом определить коэффициент
теплопроводности X (Т) (см. [5]). Надо сказать, что вопрос о лучистом
теплообмене как возможном механизме медленного распространения
волн разрядов еще не был рассмотрен должным образом. Все же
по расчетам в режимах с не очень высокими температурами и
давлениями и при тех радиусах i?, которые отвечают представляющим
интерес условиям, потери на излучение чаще всего либо меньше
теплопроводностных, либо сравнимы с последними, так что
неточности в задании потерь на излучение не могут кардинальным
образом сказаться на результатах расчетов.
Итак, резюмируя все сказанное выше, будем описывать теп-
лопроводностную волну разряда нелинейной системой трех
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (6.25),
(6.28) относительно неизвестных функций координаты Т, J, S,
где функция источников
т
F = %о (Г) - А® (Т)/№ - Ф (Г), в = J % dT (6.29)
о
191

выражается через Т и S при помощи известных материальных
функций к (Г), fico (Т), Ф (Т) (функции [1Ш (Т) и Ф (Г)
исключительно быстро стремятся к нулю при понижении температуры в
области малых ионизации). Система содержит неизвестный
параметр — скорость распространения волны и.
Поскольку координата х входит в уравнения только под
знаком дифференциала, порядок системы (6.25), (6.28) можно
понизить на единицу, поделив уравнения друг на друга. Система
сведется к двум дифференциальным уравнениям, например
dJ/dT - - XF (2\ S)/J - роиср, (6.30)
dS/dT = S\xJJ, (6.31)
и квадратуре
х = -^[X(r)dT/J{T)]. (6.32)
Систему уравнений необходимо снабдить соответствующими
граничными условиями. Условия эти вытекают из физической
постановки задачи. Перед волной разряда невозмущенный газ
холодный; при отсутствии отражения света от плазмы световой
поток S0 здесь определяется только мощностью генератора Р и
радиусом луча: Р = S0nR2. Таким образом,
при х = — оо Т = 0, S = SQ. (6.33)
Из уравнения баланса энергии (6.25) видно, что если
температура обращается в нуль только на бесконечности, то вместе с
ней автоматически стремится к нулю и поток тепла, так что для
системы (6.30), (6.31) условие перед волной гласит:
при Т = 0, / = 0, S = S0. (6.34)
Поскольку система (6.30), (6.31) не содержит никакой
информации о пространственных условиях задачи, для нее факт
обращения в нуль потока тепла / при Т = 0 не является
тривиальным. Уравнения эти вполне допускают существование
интегральных кривых, для которых при T = 0nS = S0J=^0.
Граничных условий (6.33), (6.34) достаточно для того, чтобы
при заданном значении параметра и начать интегрирование
уравнений от точки перед волной. Но результат такого
интегрирования при произвольном значении и вовсе не обязательно будет
соответствовать условиям задачи. Условия же эти таковы, что газ
сначала нагревается в волне разряда, а потом, когда поток
электромагнитной энергии израсходуется настолько, что тепловыделение
достаточно упадет, охлаждается до конца из-за потерь энергии,
как показано на рис. 6.16. Следовательно, за волной
при х = + оо Т = 0. (6.35)
192

J
■So
^max
T ^^
l/^^i
\ F
X. ^
Как и перед волной, на
бесконечности исчезает и поток тепла, т. е.
для системы (6.30), (6.31) условие за
волной имеет вид
при Т = 0 / = 0. (6.36)
Граничное условие (6.35) за
волной и как следствие условие (6.36)
отнюдь не являются единственно
возможными. Можно, например,
вообразить, что за волной с той же
скоростью движется «охлаждаемая
стенка», которая обеспечивает сток
тепла (отрицательный
сосредоточенный источник). В пространстве от
х = — оо и до источника процесс
описывается теми же самыми
уравнениями, но на задней границе
области у стенки поток тепла отличен от
нуля. Стенка при этом будет отстоять
от фронта волны не на бесконечном,
а на конечном расстоянии.
Таким образом, интегральная
кривая, соответствующая
поставленной выше задаче, выйдя из точки
Т = 0, / = 0, S = S0 в
пространстве Т, J, S, снова должна вернуться к оси S в какой-то
другой точке 5к (#к< S0, так как свет поглощается) х. Это
возможно, только при избранном значении параметра и.
Указанная «переопределенность» задачи и позволяет в ходе ее решения
найти неизвестную скорость распространения волны 2. Ситуация
в этом отношении не отличается от той, которая имеет место в
теории обычного горения. В результате решения будет определена
и максимальная температура Тщ^х. Именно эту величину естест-
1 Заметим, что это конечное значение SK отлично от нуля и часть потока,
пусть даже очень малая, при учете потерь обязательно просачивается на
«бесконечность». Это связано с тем, что коэффициент поглощения уменьшается
при падении температуры чрезвычайно резко и оптическая толщина тем-
оо
пературного профиля, изображенного на рис. 6.16, х= \ |хш dx — огра-
—оо
ниченна.
2 Переопределенность задачи связана с групповыми свойствами уравнений.
Общее решение системы (6.25), (6.28), в которую х входит только под
знаком дифференциала, имеет вид функций Т — Г(а; + ^, С2, С3)ит. д.,
где С — произвольные постоянные. Поскольку граничные условия
заданы на бесконечности, а начало координат мы вправе поместить в любую
точку, постоянная й, даже в окончательном решении остается
неопределенной. Определению подлежат только две, С2 и С3, тогда как
граничных условий три: (6.33), (6.35).
Рис. 6.16. Схематические
распределения температуры,
потоков тепла и
электромагнитной энергии и источников
в волне разряда с потерями
193

венно называть «температурой плазмы» или температурой «за
фронтом разряда».
24.2. Постановка в предельных случаях слабого ,и сильного
поглощения. Зона остывания газа за температурным максимумом в
той или иной мере всегда оказывает влияние на продвижение
волны. Падение температуры здесь обусловливает отток тепла
назад от фронта волны, т. е. дополнительные потери энергии, и эти
потери суммируются с потерями тепла через боковую поверхность
канала и потерями на излучение. Это видно из уравнений (6.25): в
точке максимума температуры dTldx = О, d2T/dx2<C О и,
следовательно, F^>0. Значит, еще на некотором расстоянии за
максимумом энерговыделение от поля продолжает превышать
потери, но к фронту этот результирующий приток тепла уже не
поступает, он отводится назад (см. рис. 6.16).
По той причине, что зона остывания влияет на
распространение волны, и приходится при строгой формулировке задачи о
режиме с потерями рассматривать весь цикл, который претерпевает
газовая частица, проходя через волну разряда: сначала
нагревание, а затем охлаждение до исходного состояния с Т = 0. Надо
сказать, что немонотонность хода температуры и необходимость
«вылавливать» представляющую основной интерес величину Гтах»
которая лежит где-то посередине волны, приводит к
значительным трудностям при изыскании эффективных способов
приближенного решения уравнений; ведь о том, чтобы найти точное
аналитическое решение нелинейной системы (6.30), (6.31), и
говорить не приходится 1.
Однако в двух практически важных предельных случаях:
«слабого» и «сильного» поглощения потока электромагнитной
энергии, когда потери энергии играют соответственно большую
или малую роль, задачу о режиме можно существенно упростить,
вообще исключив из рассмотрения зону остывания газа.
Если свет поглощается слабо в том смысле, что длина
поглощения /со, отвечающая характерной температуре плазмы Гщах,
гораздо больше, чем радиус канала R, то в длинном по
сравнению с радиусом столбе тепловыделение от поля остается почти
постоянным. Газ нагревается до высокой температуры на
расстоянии порядка R или меньше, а затем устанавливается
сбалансированное состояние, в котором почти вся выделяющаяся энергия
расходуется на компенсацию вытекания тепла через боковые
стенки канала и потерь на излучение, причем вследствие посто-
1 При численном интегрировании уравнений в теории режимов обычно
применяется метод «попыток». Задаваясь разными значениями параметра
м, интегрируют уравнения от одного конца, стараясь попасть в нужную
точку на другом конце. «Загнав» искомое решение в «вилку», постепенно
делают «вилку» все уже и уже, все уточняя значение параметра.
Эффективный способ численного решения задач такого типа предложен М. О.
Розовским [92]. Суть его состоит в том, что параметр и рассматривается
формально как неизвестная функция х и система дополняется новым
дифференциальным уравнением du/dx = 0.
194

s^
/ т
—"^1 1
£Л 1а»Л
\ т ^"^
1 U у?—^
/^ Г
~R
-7к
с
£
0
Рис. 6.17. Распределения
температуры в волнах разряда:
а — слабое, б — сильное поглощение,
в — приближение, в котором зона
остывания не рассматривается
янства тепловыделения постоянна
и температура. Только на
расстоянии ~~ 1Ш 5> R от фронта
начинается заметный спад
температуры. Распределение ее вдоль оси х
имеет при этом вид, показанный
на рис. 6.17, а: за подъемом
следует растянутое плато.
Если электромагнитный поток
поглощается сильно (в смысле
1<л (^max) <^ R), ТО ПрОТЯЖенНОСТЬ
самой зоны энерговыделзния мала
по сравнению с расстоянием
порядка R, на котором формируется
спад температуры *. И в этом
случае газ нагревается до
температуры, блиЗКОЙ К Гщах» быстро ПО
сравнению со временем, в течение
которого эта высокая температура
держится (см. рис. 6.17, б). На
распространение волны потери энергии в этом случае вообще не
влияют, так как основная доля выделившейся энергии выносится
вперед благодаря относительно большому градиенту
температуры в области ее подъема.
Таким образом, в обоих случаях зона остывания не оказывает
влияния на продвижение фронта волны, поскольку отток тепла
назад, пропорциональный температурному градиенту за
максимумом, гораздо меньше выноса тепла вперед, который
пропорционален градиенту в области подъема. Поэтому ее можно вообще
исключить из рассмотрения, считая «концом» волны место, где
температура достигает наибольшего значения, и относя это место
на бесконечность (см. рис. 6.17, в).
Предельный случай слабого поглощения реализуется на
оптических частотах при не слишком высоких давлениях, в частности при
атмосферном (см. раздел 24.3). Случай сильного поглощения, как
правило, реализуется в высокочастотном диапазоне (см. раздел 33),
отчасти — в СВЧ (см. раздел 34), а в оптическом — при достаточно
высоких давлениях. Впрочем, возможен также не дозвуковой,
а сверхзвуковой («сверхдетонационный») теплопроводностный
режим распространения лазерной искры, когда плазма не
успевает расширяться и потому сильно непрозрачна даже при не
очень большом начальном давлении. Но это требует мощностей,
соответствующих гигантским лазерным импульсам (см. раздел 25).
В новой постановке, когда считается, что температура за
волной асимптотически стремится к своему «конечному», отличному
1 Если потери на излучение больше теплопроводностных, следует
переопределить величину Я, подразумевая под ней не радиус канала, а
характерное расстояние, на котором газ остывает из-за высвечивания.
195

от нуля значению Тк, граничное условие за волной:
при х — + оо / = 0. (6.37)
Для системы с исключенной координатой оно согласно
уравнению (6.25) выражает тот факт, что в конце волны источники
исчезают:
/ = 0, когда F (Г, S) = 0. (6.38)
Сами же уравнения в том и другом предельных случаях,
естественно, упрощаются по-разному1.
Рассмотрим сначала случай сильного поглощения, когда
1Ш(ТК) <^ R. При этом, как следует из рассуждений,
приведенных выше, потерями вообще можно пренебречь. Тогда F = F+ =
= £(Хсо (Г), а в общей форме (6.27), справедливой для любых частот
электромагнитного поля, F = F+ = —dS/dx. Уравнение
баланса энергии (6.25) приобретает вид
р0иср dT/dx = — dJ/dx — dS/dx, J = — X dT/dx (6.39)
и соответственно справедливо также для любых частот. Если
по-прежнему оставить в силе уравнение (6.28) для светового
потока, то режим без потерь будет описываться уравнениями (6.39),
(6.28) с граничными условиями (6.33), (6.37). Для системы (6.30),
(6.31) с исключенной координатой имеем условие (6.34), а за
волной —
/ = 0 при S = 0 или Е = 0. (6.40)
Последнее эквивалентно (6.38), так как в отсутствие потерь и
в нагретом газе функция источников, т. е. тепловыделение от
поля, обращается в нуль только вместе с полем (этот результат
также справедлив для любых частот). Температура плазмы Тк и
скорость волны и, как и в общей постановке, находятся только в
результате решения уравнений. Поскольку потери не учтены,
режим существует при любых, даже очень малых значениях
потока S0.
Уравнение баланса энергии в отсутствие потерь (6.39)
немедленно интегрируется. С учетом граничных условий (6.33)
получаем первый интеграл системы уравнений
т
р0ш£> {Т) + J + S = S09 w = \ cv dT. (6.41)
о
Переформулировка одних лишь граничных условий за волной без внесения
изменений в уравнения сама по себе к новой постановке задачи не
приводит. В самом деле, если температура на бесконечности отлична от нуля,
оптическая толщина всего температурного профиля бесконечна и поток S
на бесконечности ослабляется до нуля. Но при £ = 0 функция F по
формуле (6.29), обращается в нуль только при Т = 0, что и соответствует
старой (общей) постановке задачи.
196

Он выражает закон сохранения полного потока энергии,
который складывается из потоков гидродинамического, теплопровод-
ностного и электромагнитного. Задача теперь сводится к решению
одного нелинейного уравнения, скажем, (6.31), где / выражено
через Т и S по формуле (6.41). Если отнести равенство (6.41) к точке
за волной, придем к общему уравнению баланса энергии в
дозвуковой волне разряда без потерь
PoUWk = S0, wK = w (Гк), (6.42)
которое было получено раньше из рассмотрения волны как
гидродинамического разрыва (формула (6.4) в разделе 20).
Перейдем к случаю слабого поглощения (больших потерь),
L(Tu) ^>R- В этом случае можно пренебречь ослаблением
светового потока в волне, т. е., полагая S (х) « const = S0, вообще
опустить уравнения (6.28), (6.31). Режим описывается
уравнениями (6.25) или (6.30) с граничными условиями (6.33), (6.37) или
(6.34), (6.38). Конечная температура Тк в данном случае
определяется еще до решения дифференциальных уравнений, из
алгебраического уравнения (6.38)
Р(ТЯ, 5о) = 0, (6.43)
так что граничное условие (6.38) принимает вид
/ = 0 при Т = ТК. (6.44)
Равенство (6.43) выражает условие компенсации
энерговыделения и потерь в длинном стационарном и однородном
плазменном столбе, который заполняет световой канал за волной разряда.
Конечно, для существования рассматриваемого режима
прежде всего необходимо, чтобы уравнение (6.43) относительно
температуры при данных значениях светового потока S0 и радиуса R
имело нетривиальный (отличный от нуля) корень. Однако
наличие корня не является условием достаточным, и здесь при анализе
этого момента мы подходим к важному вопросу об устойчивости
режима с потерями.
Вернемся к уравнению баланса энергии (6.25), переписав его
в виде
dT . &Т . dl I dT \2
Р^^^ЖГ + irUr) +F-
Как следует из самой постановки задачи с исключенной зоной
остывания, dT/dx >0и при асимптотическом стремлении Т -> Тк,
a dT/dx-+ 0, вторая производная d2T/dx2 отрицательна. Учитывая,
что второе слагаемое справа имеет при этом второй порядок
малости, найдем, что функция F —»- 0 за волной, будучи
положительной. Другими словами, реальному режиму может соответствовать
только тот корень функции F (Т), для которого dFidT <; 0. Если
такого корня у функции F (Т) нет, нет и режима.
197

Условие возможности режима
dF/dT<C0 при F = 0, Г = ГК (6.45)
можно трактовать как условие устойчивости волны. В самом деле,
допустим на мгновение, что возникло стационарное состояние, в
котором в точке за фронтом волны разряда при F = 0 dFldT >0.
Предположим, что температура за волной по какой-то случайной
причине немного повысилась. Это немедленно повлечет за собой
превышение тепловыделения над потерями (F станет
положительным), что приведет к дальнейшему разогреву, т. е. к потере
устойчивости (как бы «тепловому взрыву»). Если температура,
напротив, понизилась, потери станут больше тепловыделения, газ
начнет охлаждаться и «горение» погаснет. Напротив, если в
конечной точке dFldT < 0, небольшое повышение температуры
приведет к превышению потерь над тепловыделением, и температура
понизится, вернувшись к стационарному значению. Такое
состояние, следовательно, будет устойчивым.
Приведенные общие соображения об устойчивости и
неустойчивости стационарного состояния в зависимости от знака
производной dFldT станут еще более ясными, когда мы
познакомимся в следующем разделе с конкретным видом реальных функций
F (Т). Дальше станет понятным, и «куда ведет» неустойчивость, и,
вообще, когда какой из предельных режимов на самом деле
осуществляется.
24.3. Пределы и скорости светового горения. Этот вариант
режима горения со слабым поглощением электромагнитного потока и
большими потерями осуществляется при медленном
распространении фронта разряда по световому лучу при умеренных
давлениях, в частности в наиболее интересных условиях, когда
средой служит атмосферный воздух.
Представим функцию источников тепла F в виде разности
тепловыделения и потерь F = F+ — F__, где F_ = A® (T)IR2 +
+ Ф (Г), a F+ = S^ (Т) в соответствии с приближением S (х) ^
« S0. Построим эти функции.
Поглощение света неодимового и рубинового лазеров в плазме
при температурах 10 000—20 000°, характерных для данного
режима, связано с фотоионизацией возбужденных атомов и свободно-
свободными переходами электронов. Для большей точности
коэффициент поглощения следует вычислять по формуле Л. М. Бибер-
мана и Г. Э. Нормана [93], которая усовершенствована по
сравнению с формулой Унзольда — Крамерса (6.15) путем введения
некоторых поправочных множителей. Коэффициент поглощения,
исправленный на вынужденное испускание в области первой
ионизации, удобно представить в следующей расчетной форме:
0,14? (со) р1шмх\ exp (ftAcD/AT) [ехр (Ы/кТ) - 1]
uw — ——— «—-— \ см. (о.4о)

Здесь хе — ре/р — молярная доля электронов (р —
электронное давление, р - полное), которая определяется из
уравнения Саха Jr
1 — 2х
6,7.10»i«exp(-W,
(6.47)
гДе £+> ga — статистические веса ионов и атомов; Асо — снижение
границы непрерывного спектра в плазме, которое оценивается
по формуле Инглиса — Теллера
ЙДю/И1 = 0,68^?^ (Г/Ю4)"1'27;
I (со)— некоторая функция частоты, характерная для каждого
сорта атомов, для нее имеются графики [93].
Длинноволновое инфракрасное излучение лазера на
углекислом газе, которое в свете сказанного в подразделе 23.2
представляет исключительный интерес, поглощается в основном за счет
свободно-свободных переходов, и коэффициент поглощения здесь
описывается формулой (6.1). К этой формуле можно перейти и от
форкулы (6.46), если положить в ней ЙШ/А;Г<<1, опустить фактор
ехр (АД©/ЛГ), влияющий только на фотоионизационные
процессы, и заменить поправочный множитель | (со), также
относящийся к фотоиоризации, на фактор Гаунта g. Расчетная формула
для И© = 0,124 эв имеет вид
IMccty
ШР1тм*2её
(Тграб/т71>
Уа СМ
(6.48)
g = 0,551n[27(212paa/104)4/3pe-1^]
На рис. 6.18, а для иллюстрации представлены коэффициенты
поглощения света неодимового лазера (Йсо = 1,17 эв) в воздухе.
Рис. 6.18. Коэффициенты поглощения
в воздухе света
а — неодимового лазера: 1 — р = 1 атпм
МО'*—
,-г
I !**£
лГЪл*{
х
\
Г
3/
1 -1 ,
1 , L
_1__,1
а
^тах = 6*10"8 см~х> 2 — Ю arrut; 0,34 см~*\
з—ЮО arrut, 18 см-1; б — лазера на СО*:
1 — р = 1 атм, Д«>тах = 0,85 см~*\ 2 —
10 атм; 38 cjvt"1; 3—100 arrut, 1600 см~*
fAlulP2,CMiamK'z
0,8
ол
l-rf
/
/
/
\L
■/\
л
-Tl
L
V4-
l L_
2
L L
T
^—
8 12 16 20 2<t 28
8 12 16 20 24 28
Т-ГО^град
199

Расчет сделан со средними по составу воздуха значениями:
/ = 14,4 эв, gjga = 1,9, I = 0,7. Множитель ехр (йАсо/ЛГ) =
= 1,2-^-1,5. Учтен и вклад второй ионизации, которая
начинается при температурах выше примерно 20 000°. На рис. 6.18, б
показаны коэффициенты поглощения для света лазера на
углекислом газе также с учетом второй ионизации (g ж 2,5).
При низких температурах коэффициенты чрезвычайно малы
и быстро возрастают с повышением температуры. Затем рост
замедляется и поглощение проходит через максимум.
Возникновение максимума связано с тем, что мы рассматриваем зависимость
(Лео от Т при постоянном давлении. При температурах,
соответствующих почти полной однократной ионизации, непосредственное
воздействие температуры на коэффициент поглощения становится
слабым и сказывается уменьшение плотности, которым
сопровождается нагревание при постоянном давлении. Новый подъем
поглощения при температурах выше ж 25 000° вызван действием
второй ионизации. По завершении второй ионизации поглощение
снова проходит через максимум и т. д.
Свет неодимового лазера в воздухе атмосферного давления
поглощается очень слабо; максимальная величина tiNdmax~
»6«10~"3 см"1, кстати, это значение согласуется с
экспериментальной оценкой [9]. Свет лазера на углекислом газе поглощается
на два порядка сильнее: |ico2max~ 0>^5 см~г. Однако и в этом
случае при миллиметровых радиусах светового канала приближение
слабого поглощения [i^R <^J 1 еще не теряет силы (заметим, что
Их* max ~ Р2/С02).
В случае малого ослабления светового потока в волне
температурная зависимость тепловыделения F+ ж S0\Lu> (Т) в точности
повторяет зависимость коэффициента поглощения. Наиболее
важные для дальнейшего и типичные черты ее — это резкое
стремление к нулю при не очень высоких температурах, наличие более
или менее определенной температуры, при которой тепловыделение
становится заметным (температуры «ионизации») — примерно
12 000—13 000° для воздуха атмосферного давления, и
существование максимума с последующим спадом тепловыделения в
некотором интервале температур. Все это справедливо для любых
газов.
Перейдем к функции потерь F__. На рис. 6.19 представлены
коэффициент теплопроводности X [94] и потенциал потока тепла в
в зависимости от температуры для воздуха при атмосферном
давлении.
Первое представление о потерях на излучение можно получить
при помощи формулы для излучательной способности водородной
плазмы в непрерывном спектре
ф - ^F (l + °'027 -£") «W«A (6-49)
200

А
_i
q/
/
1
«чг-
^ 0,3
4 8 12 16 20 24
Г, 10 3град
Рис. 6.19. Коэффициенты
теплопроводности X и потенциалы потока
тепла 6 в воздухе при р = 1 атм
и>, квт/см
60
40
20
1 1 ШЛ
J
/
/
Z
[Л
/
[
_J
\
12 16 го
Т,Ю3врад
Рис. 6.20. Потери на излучение воздуха при р = 1 атм для цилиндрических
объемов с диаметрами в несколько миллиметров
Основную роль здесь играет рекомбинационное излучение, 84%
которого связано с захватом электрона на нижний уровень
атома. Небольшая поправка к единице в скобках соответствует
тормозному излучению (нетрудно учесть и эффект второй ионизации).
Реальные объемные потери отличаются от (6.49) как
вследствие неводородоподобности сложных ионов, так и вследствие
излучения в спектральных линиях. Последние дают огромный
эффект в случае абсолютной прозрачности плазмы. Но при
диаметрах нагретого столба порядка нескольких миллиметров, как
в интересующих нас условиях, линии сильно реабсорбируются
и их вклад в потери примерно такой же, как и вклад непрерывного
спектра. Расчеты для воздуха с учетом всех этих эффектов сделаны
в работах [95, 96], в которых приводятся таблицы степеней
черноты плоских слоев и полусферических объемов толщины (радиуса)
R0 для R0 > 1 см и Т < 20 000° К. Средние объемные потери на
излучение, вычисленные через степени черноты для р = 1 атм
и наименьшего размера R0 = 1 см, который ближе всего к
интересующим нас диаметрам, не более чем вдвое превышают то, что дает
компактная формула (6.49). Имеются также расчеты и
эксперименты для дуг атмосферного давления в азоте при Т ^ 13 000 -н
-ь 15 000° К и диаметрах канала 3 и 5 мм [97]. Потери на
излучение в этом случае примерно в 2 раза больше, чем вычисленные
по степеням черноты для R0 = 1 см.
Комбинируя все эти данные, можно построить оценочную
функцию средних объемных радиационных потерь ф (Т)
воздушной плазмы для Т ж 10 000 -=- 21 000° К. Она показана на
рис. 6.20.
201

Как уже отмечалось в подразделе 24.1, ультрафиолетовое
излучение плазмы, которое выходит в направлении движения
волны, в большой степени поглощается непосредственно перед
фронтом, т. е. не «пропадает». В этом направлении, если судить по
отношению площадей поперечного сечения и боковой поверхности
волны (т. е. зоны длиной порядка R), излучается заметная доля
всей тепловой радиации волны. В конечном счете «пропадает»
не все излучение, выходящее и через боковую поверхность, так
Рис. 6.21. Кривые
тепловыделения F+ и потерь F_ в
зависимости от в
Воздух, р = 1 атм, лазер на С02,
So = 100 квт/см2, А = 2,9, R =
=0,15 см
ff,i~7,7 10,8 7J;J 15,5 17,5
Т, IО3град
как, поглощаясь частично вблизи канала, оно способствует
повышению температуры у «стенок» канала и уменьшению теплопро-
водностных потерь. Грубо учесть эти эффекты при численных
расчетах можно, уменьшив потери на излучение вдвое, т. е.
полагая Ф = ср/2 (поскольку потери на излучение не играют
определяющей роли, неточности здесь не опасны).
На рис. 6.21 построены кривые F+ (в) и F_ (в); как станет
ясным чуть ниже, в качестве аргумента функции целесообразнее
использовать не температуру, а монотонным образом зависящий
от нее потенциал потока тепла. График этот типичен, и на нем
можно разобрать все вопросы принципиального характера.
Кривые тепловыделения и потерь имеют две точки пересечения, т. е.
функция источников F имеет два корня. Устойчивому состоянию
за волной отвечает верхняя точка 6К, Гк, где dF/dT <С 0. Такая
точка существует постольку, поскольку коэффициент
поглощения при р = const имеет максимум. Именно это обстоятельство
обеспечивает возможность выполнения условий существования
данного режима. Если такая точка действительно имеется, то
обязательно есть и вторая, нижняя, точка пересечения кривых
в1? Т±, ибо при Т ->- 0 тепловыделение уменьшается скорее, чем
теплопроводностные потери. В нижней точке dF/dT )>0, ив силу
неустойчивости этого состояния оно никак не может быть
конечным для волны, хотя при температуре Тг тепловыделение, так же
как и при Гк, в точности компенсирует потери,
d
*6
20
*/б+/тк
L 1 Г- \
т, 1/^01 яг
/6_ / #/ кВт/см
\^У 0,1 у 0,20 ( 0,30
202

Если увеличить световой поток, кривая F+ ~ S0 пройдет выше
показанной на рисунке и температура Тк за волной возрастет,
если уменьшить поток — понизится. Из рисунка видно, что поток
нельзя уменьшать беспредельно. Начиная с некоторого значения
(назовем его Sn) кривая F+ целиком ляжет ниже кривой F_, и
они нигде не будут пересекаться, за исключением тривиальной
точки Т = 0. При любой отличной от нуля температуре потери
будут больше тепловыделения, и, даже если в начальный момент
в световом канале и существовал длинный столб плазмы, он сразу
же начнет равномерно охлаждаться — стационарных состояний
вообще не будет. Однако не этим условием определяется порог
существования волны разряда. Если и в самом деле при уже
сформировавшейся волне начать уменьшать поток света, фронт разряда
остановится еще до того, как начнется повсеместное охлаждение
нагретого газа. Именно это значение потока St1 отвечающее
нулевой скорости распространения, и является порогом для
существования режима волны. Сейчас мы найдем величину St и увидим,
что она больше, чем Sn.
Проинтегрируем уравнение (6.30) по всему температурному
интервалу волны. С учетом граничных условий (6.34), (6.44)
получим
тк 0К
р0и С | /1 ср dT = С F (0) de, dB = X dT. (6.50)
о о
Нулевой скорости распространения отвечает такой поток StJ
при котором
©к
^F(St, 6)d0 = O, (6.51)
о
т. е. одинаковы верхняя а+ и нижняя а_ площади, заключенные
между кривыми F+ и F__.
Если S ^> St, верхняя площадь больше нижней и согласно
(6.50) и ^> 0 — волна разряда распространяется по холодному
газу. Если S < St, о+ < о_ и и <С 0. Отрицательный знак
скорости означает, что плазменный фронт отступает назад, т. е. по
нагретому столбу газа бежит «волна охлаждения». Пока S ^> Sn
и а+ ^> 0, где-то в столбе все еще поддерживается стационарное
состояние; в данной точке оно поддерживается до тех пор, пока
до нее не добежит фронт охлаждения. Иными словами, нагретый
столб охлаждается с переднего «торца». И только при еще
меньшем потоке света S <^ SnJ когда кривая F+ целиком опустится
ниже F_, волна охлаждения мгновенно охватит весь столб плазмы
и он начнет остывать сразу по всему объему. Превышение порога
St над Sn связано с необходимостью компенсировать вытекание
тепла из плазменного столба не только через боковую поверхность,
но и с торца — через переднюю поверхность фронта плазмы.
203

Для воздуха атмосферного давления, излучения неодимового
лазера и радиуса R = 0,15 см [9] вычисление порога из условия
«равенства площадей» на основе функций F+, F_ типа
изображенных на рис. 6.21 дает St да 13 Мет1см2, Pt да 0,92 Мет, что
превосходно согласуется с измеренными значениями. При тех же
условиях для лазера на углекислом газе порог режима St да
да 100 кет/см2, Pt да 7 кет, на два порядка ниже (поглощение
света на два порядка больше).
При радиусе R = 0,15 см потери на излучение примерно такие
же, что и теплопроводностные. При радиусах R ^ 0,05 см тепло-
проводностные потери существенно больше радиационных. В этом
случае F_ ~ 1/R2 и, следовательно, пороговый поток St ~ 1/i?2,
а пороговая мощность Pt = nR2St от радиуса не зависит. Для
того чтобы сколь угодно длинный, но очень тонкий луч лазера
на углекислом газе диаметром не более 1 мм мог «сгореть», он
должен, по этим расчетам, нести мощность как минимум 4 кет.
Температура плазмы при всех рассмотренных выше условиях
получается равной примерно 18 000°.
Все основные закономерности режима волны со слабым
поглощением света становятся особенно наглядными, если задать
коэффициент поглощения \хш в модельной форме: при Т <С Т0,
в <С в0 jj^eeeO, при Т^>Т0 (ico = const. Очевидно, величина Т0
играет роль «температуры ионизации». Произвол для замены
истинной кривой [Хо, (Т) такой «ступенькой» вовсе не велик.
Например, в воздухе при р = 1 атм для света неодимового лазера, как
видно из рис. 6.18, Т0 да 12 000 -г- 14 000°, а постоянное
значение \1Ш да 4-10-3 см~г. Опустим далее потери на излучение и
положим ср (Т)/Х (Т) = const, что в общем также приемлемо. В
результате этих упрощений уравнение баланса энергии (6.25)
становится линейным относительно в;
cv d& д,Щ . с А Л® „ (0 при в < 0О, ta гоч
^^-^Г + SoM--^-, e={t пРрив^во_ (6-52)
Интегрируется оно элементарно.
Для скорости распространения волны получается простая
формула
и = Y2A -*у \-Р'1Р 1 / J, (6.53)
росРл V1 - ptl2P V pt
где Р — мощность луча, а
Р{ = 2яЛв0/[х„, в0 - в (Го) (6.54)
— пороговая мощность, соответствующая и = 0.
При пороговой мощности вк = 2в0, а эффективная ширина
волны равна 2ДА|Л4. Оценка по элементарной формуле (6.54)
дает результат, весьма близкий к тому, который следует из урав-
204

нения (6.51) с «настоящими» функциями F+, F_. Так, при
^ = 4-Ю-3 см-\ в0 = 0,17 квт/см (Т0 = 12 000°), А =
2,9получаем Pt = 0,8 Mem, тогда как раньше мы нашли Pf = 0,9Z Mem,
так что формулу можно использовать для оценок. При Р < Pt
скорость и < 0, причем при уменьшении мощности волна
охлаждения бежит со все большей скоростью, а при Р < PJ2 скорость
становится мнимой, стационарного решения не существует. Легко
видеть (рис. 6.22), что при мощности Рп = Pt/2 «ступенька» тепло-
Рис. 6.22. Модель «ступеньки»
Наклонная прямая — линия потерь F-,
горизонтальные прямые — тепловыделение F+:
2 — сверхпороговая мощность, 2 — пороговая
мощность (равные площади заштрихованы),
3 — мощность, соответствующая пределу
существования стационарного решения
L
/ ;|
/ .2.
=7 p=pt
р=рп
**-
0п
в
выделения только касается вершиной угла прямой потерь
AS/R2, а при Р <С Рп пересечения вообще нет.
В работе [89] найдено приближенное выражение для скорости
и в общем случае, когда функции F+, F_ заданы сложным образом
и =
Ро^к
\Fm \[\
FdQ) =
V2
Ро^к Vs+
(6.55)
При S ^> St а+J> сг_, что соответствует условию F+^>F_
в основной температурной области, эта формула в точности
сводится к формуле Зельдовича для скорости распространения
пламени (6.23), которая соответствует, следовательно, большим
надпороговым мощностям. Когда световой порог уменьшается,
приближаясь к пороговому, о+ -+■ о_ и скорость монотонно
уменьшается до нуля, как и по элементарной формуле (6.53). Этот
результат, характерный для волн разряда, не имеет аналога в
обычном горении, где при приближении к пороговым условиям (путем
изменения потерь) горение гаснет «скачком».
Для иллюстрации численных значений в табл. 5 приведены
результаты расчетов скоростей и других величин для воздуха
при 1 атпм. Напоминаем, что скорость движения фронта разряда
в «лабораторной» системе координат должна быть по порядку
величины в р0/рк, т. е. в несколько десятков раз больше.
Интересно, что уравнение типа (6.25) описывает превращение
фаз с разными температурами и плотностями в межзвездном
газе, который нагревается космическими лучами и охлаждается
205

Таблица 5
S, квщ'см2
1,26.10^
1,5 -104
2,0 -104
0,94-102
1,0 -102
1,2 -102
1,5 -lO2
0K, кет,'см
0,29
0,31
0,34
1 0,31
0,32
0,32
0,39
град
ик>
кдж[г
©1, кет/см
Ti, 10*,
град
(квгп/см2)2
Лазер на иеодимовом стекле
1,7
1,8
1,9
8,6 1
9,4 '
9,8
0,17 1
0,17
0,17
1,2 1
1,2
1,1
Лазер на углекислом газе
1 1,8
1,8
1,8
2,1
1 9,4
9,4
9,4
11
1 0Д8
0,18
0,18
0,17
1 4-2
1,2
1,2
1,2
1,69 1
3,1
6,8
1 1,65
2,2
3,9
8,4
(кет; см2)2
1,63
1,6
1,5
1 1,65
1,6
1,6
1,4
и,
м/сек
0
1,0
9,8
10
0,48
1,3
2,4
излучением. Этот процесс рассматривали Я. Б. Зельдович и
С. Б. Пикельнер [98]. Условие равенства площадей определяет
давление в устойчивом состоянии. Скорость превращения фаз в
неустойчивом состоянии р0и вычисляется в работе [98] несколько
иначе, чем здесь. Уравнением типа «равенства площадей»
определяется и условие сосуществования бестоковой и токовой областей
в постоянном и однородном электрическом поле (это явление
называется контракцией разряда; см. раздел 30).
24.4. Волна без потерь. Как следует из предыдущего
рассмотрения, предельный случай больших потерь осуществляется, если
коэффициент поглощения света при постоянном давлении имеет
максимум по температуре (а это бывает всегда) и наибольшая
величина его удовлетворяет условию [хытах^ ^ 1- При этом газ
в волне разряда нагревается до температуры Гк, которая лежит
в районе максимума функции ^(Г), как правило, за максимумом,
и соответствует почти полной однократной ионизации газа г.
Положим теперь, что выполняется обратное неравенство
Мчотах^ ^ 1, например частота поля достаточно мала или
давление газа достаточно велико (с каким-то приближением [Д-Штах ~
~ /?2/со2). Допустим далее, что начальный поток
электромагнитной энергии S0 велик настолько, что кривая F% = Sq\jl<* (Г),
соответствующая неослабленному потоку, проходит намного выше
кривой потерь F_, как это показано на рис. 6.23. Даже если кри-
1 Вообще говоря, функция \1Ш (Т) имеет ряд максимумов, соответствующих
переходам от ионизации одной кратности к последующей. Функция F
при этом может иметь несколько корней, удовлетворяющих условию dFj
dT<C0. Быть может, существует несколько режимов с разными конечными
температурами, каждый из которых обладает некоторым «запасом
устойчивости». Этот вопрос еще не исследовался должным образом.
206

F+,F-
вая F+ где-то при высокой температуре и пересечет кривую F_,
спустившись затем ниже ее, все равно такая температура Тк
не может отвечать конечному состоянию в волне. Действительно,
еще при более низких температурах поглощение станет настолько
большим, что световой поток сильно ослабеет до этого момента и
истинная кривая тепловыделения F+ = S (Т)^ (Т) пойдет вниз
раньше. Конечно, истинная функция F+ (Т) заранее неизвестна,
поскольку зависимость S (Т) может быть найдена только после
полного решения задач, так что она
проведена умозрительно.
При низких температурах кривая
F+ в любом случае проходит ниже
F_, но всегда существующая точка
пересечения Тг лежит внутри волны,
ибо в ней состояние неустойчиво:
малейшее изменение температуры по
сравнению со стационарным
значением Тх привело бы либо к разго-
ранию, либо к погасанию разряда.
Максимальная температура в
волне лежит где-то в окрестности
верхнего корня функции F (Т) (точнее,
еще до пересечения F+ и F_, т. к.
при Т = Гщах F ^> 0; см. подраздел
24.2). Но если потери малы по
сравнению с тепловыделением в основном
интервале температур, то кривая F_
почти совпадает с осью абсцисс на
рис. 6.23. Конечная температура Тк
при этом соответствует пересечению экстраполированной кривой
F+ с этой осью, т. е. обращению F + и S в нуль (пунктир на
рис. 6.23). Так и получается режим «без потерь».
Мы найдем приближенно температуру плазмы Гк и скорость
волны в предположении, что функция [Хо, (Т) очень резкая. Такое
допущение справедливо во многих случаях, и его возможность
вытекает даже из предыдущих рассуждений. Если температура Тк
заметно меньше, чем температура, при которой поглощение
максимально, то это значит, что степень ионизации в плазме невелика.
Но при малой степени ионизации коэффициент поглощения
пропорционален ехр (—1/2кТ), причем кТ<^:1, т. е. возрастает с
температурой очень быстро.
В случае резкого возрастания функции ^ (Т) основная доля
диссипирующейся энергии поля выделяется в газе при
температурах, уже весьма близких к конечной. При больцмановском законе
эффективный интервал температур Т0 < Т <С ТК, в котором
происходит поглощение, порядка
дГ = Ти - Т0 ж (2kTK/I) ТК < Г„. (6.56)
Рис. 6.23. График,
поясняющий возникновение режима
«без потерь»
207

В этом интервале поглощение изменяется в е раз. Температура
Т0 имеет смысл температуры ионизации, отвечающей конечной
температуре Тк. Таково же определение температуры
воспламенения при обычном горении.
В зоне, где происходит основное выделение тепла, сам газ
нагревается мало, всего лишь на АГ<^ Гк градусов. Почти все
выделяющееся тепло выносится теплопроводностью вперед в
холодный газ и затрачивается на нагревание его до температуры
ионизации Т0. Этот вынос тепла из зоны энерговыделения не
является потерей, ибо тепло остается в газе и подготавливает его
к восприятию энергии поля. Таким образом, всю область волны
можно приближенно разделить на две характерные зоны: зону
прогревания газа до температуры ионизации Г0, где световой
поток ослабляется сравнительно мало, и зону диссипации
Т0 < Т < Гк, где происходит основное поглощение потока1.
Рассмотрим зону диссипации. Здесь, в области существенного
изменения светового потока почти от S0 и до нуля, можно
приближенно пренебречь изменением температуры и заменить w (Т)
в интеграле потоков (6.41) на w(TK) = wK. Исключая эту
величину с помощью уравнения баланса энергии волны (6.42), найдем,
что в зоне' диссипации приближенно справедливо равенство
/+5=0. (6.57)
Это уравнение строго описывает баланс потоков в
стационарном статическом разряде, который получится, если на пути
падающей электромагнитной волны поставить перед разрядом
охлаждаемую «стенку», прозрачную для электромагнитной волны. Все
тепло, которое выделяется в неподвижном разряде, отстоящем от
стенки на определенном расстоянии, отводится в стенку.
Расстояние это устанавливается автоматически таким, чтобы при
получающемся перепаде температур Тк — Тст между плазмой и
стенкой тепловой поток в стенку как раз отводил бы все тепло.
Но судьба потока тепла в области температур ниже Г0, где
практически нет источников тепла и S ж const = S0, не может
сильно сказаться на самой температуре, до которой нагревается
плазма, ибо последняя, естественно, определяется условиями
в зоне тепловыделения. Поэтому, интересуясь температурой
плазмы Гк, мы можем приближенно распространить уравнение (6.57)
на всю область температур до нуля. Иными словами, это
рассуждение сводит задачу определения температуры в движущейся
волне разряда к задаче о температуре в соответствующем
искусственно охлаждаемом статическом разряде.
Распределение температуры в зоне прогревания волны,
конечно, сильно отличается от распределения в статическом
охлаждаемом разряде. В первом случае тепло идет на нагревание новых
1 То же самое делается в теории горения. Именно на основе таких
рассуждений выводится формула Зельдовича для скорости пламени.
208

слоев газа, протекающих через разряд, и температурный «язык»
простирается до бесконечности (до — оо), во втором — тепло
отводится в близко расположенную холодную стенку (рис. 6.24).
Уравнения (6.57), (6.28) для статического случая
интегрируются элементарно. Подставляя в (6.57) выражения / = —XdT/dx
и s = —y^dSldx и умножая уравнение на \1а, найдем (с учетом
граничного условия S = S0 при Т = Гст ж 0)
т
S{T) = S0- J M.dr. (6.58)
о
Относя это равенство к точке на бесконечности (за волной),
получим уравнение
J V»(T)K(T)dT = S0, (6.59)
о
которое определяет температуру плазмы Тк в зависимости от
электромагнитного потока S0 г. Теперь, зная Тк, легко найти
скорость распространения волны и при помощи уравнения
баланса энергии (6.42). Профиль температуры можно найти из
уравнений (6.32), (6.56), (6.58).
Рис. 6.24. Распределение
температуры в
распространяющемся (а) и статическом (б)
разрядах
Охлаждаемая стенка заштрихована
W
Мы не будем в этом разделе заниматься рассмотрением
конкретных процессов, описываемых данным решением. Наиболее важный
объект его применения — это волны СВЧ-разрядов (см. раздел 34).
Здесь мы рассматриваем решение главным образом для того,
чтобы дать представление о возможных вариантах режимов типа
медленного горения. Все же укажем для примера, что в воздухе
при р = 1 атпм на частоте 10 Ргц (длине волны 3 см), при потоках
1 Соотношение, похожее по своей структуре на (6.59), было получено ранее
в работе В. А. Груздева, Р. Е. Ровинского и А. П. Соболева [99], которые
рассматривали статический высокочастотный разряд внутри соленоида.
В этом случае также существует дифференциальное соотношение для
потока S, которое в известном смысле представляет противоположный предел
по отношению к уравнению (6.28). (Об этом будет подробно говориться
в разделе 28.)
61
far
209

S0 ж 0,5 -г- 1 квт/см2 получаются температуры Тк ж 5 500 ч-
ч- 6 000° и скорости распространения и ж 20 -н 30 см1сек.
Физическое содержание определяющего соотношения (6.59)
становится особенно наглядным, если, как это чаще всего бывает,
зависимость ^ (Т) можно описать больцмановским законом
|Ясо ~ exp (—I/2kT). В этом случае интеграл (6.59) можно
приближенно вычислять по способу Франк-Каменецкого, разлагая
ЦТ в показателе экспоненты около верхнего значения: ЦТ ^
« 1/Гк + (ТК — Т)1Т\. Имея в виду, что К (Т) — функция
сравнительно медленная, получим формулу
S0^K^-2kTl/I, (6.60)
которая дает непосредственную связь ТК и S0 (здесь ХК = X (Гк),
[хк = fico (Тк)). Но с точностью до численного коэффициента
порядка 1 ее можно получить из самых простых качественных
соображений. Энергия поля выделяется в основном в слое, где
коэффициент поглощения достаточно велик, скажем не более
чем в е раз меньше наибольшей, конечной величины \хк.
Температура в этом слое меняется от Т0 = Тк — А Г до Тк. Толщина
слоя порядка lK = l/|iK. Следовательно, поток тепла, который
выносит из слоя выделяющуюся энергию S0, порядка XKA77ZK.
Приравнивая эту величину S0 и подставляя А Г по формуле
(6.56), получим соотношение (6.60).
Из формулы (6.60) видно, что при резкой больцмановской
зависимости [xw (Т) температура плазмы зависит от потока
электромагнитной энергии S0 только логарифмически. Таким образом,
при увеличении потока возрастает главным образом не
температура плазмы, а скорость распространения волны и = S0/p0w (Тк).
Выражению для скорости волны можно придать очень
наглядную форму, характерную для теплопроводностного механизма
распространения. Подставим в уравнение баланса энергии волны
(6.42) S0 по формуле (6.60) и сгруппируем определенным образом
сомножители. Получим
Рк *к 1 2ЛГК с агк
и= ; = —. (6.61)
Комбинация Хк == ^к/рк^рк представляет собой
температуропроводность нагретого газа. Величина ср TJwK имеет порядок 1
(при ср (Т) = const — равна 1). Комбинация lK I/2kTK = Ах
представляет собой характерную ширину всей волны, включая
зону прогревания. В самом деле, из уравнения (6.39) следует, что
в зоне прогревания, где источников тепла практически нет и
dS/dx ж 0, температурный «язык» имеет профиль
Т = Т0 ехр (— | х \/а), а = X/p0ucv. (6.62)
Здесь для простоты положено К = const ср = const; начало
координат х = 0 помещено на границу между зонами прогревания
210

и диссипации, где Т = Т0. Поток тепла на этой границе равен
%Т01а. Но, с другой стороны, он примерно равен потоку тепла,
поступающему из зоны диссипации ХАТ/1К, откуда следует,
что характерные ширины зон прогревания а и диссипации ZK
относятся, как а//к~ Т0/АТ. Если кТк<^1, то Г0 ж ТК и по
формуле (6.56) а/1к ж I/2kTK ^> 1, откуда и получим, что
Ах ~ а + /к ж 1К1/2кТК. Наконец, vK = р0и/рК — это скорость
движения волны относительно нагретого газа. Таким образом, мы
Рис. 6.25. Распределение
температуры в волне без потерь
с сосредоточенным источником
тепла
О X
приходим к естественной оценке для скорости теплопроводност-
ного распространения фронта температурной волны от нагретого
вещества; vK ^ %К/Ах — скорость имеет порядок отношения
температуропроводности к ширине перепада температуры.
Для решения некоторых задач о волнах разряда удается
применить простой и действенный приближенный метод, существо
которого будет сейчас изложено на примере режима без потерь.
Это позволит по-новому взглянуть на основное соотношение (6.59)
и дать ему весьма примечательную физическую интерпретацию.
Мы только что видели, что при условии резкого нарастания
поглощения с температурой, вплоть до конечного значения в волне,
относительно малы не только температурный интервал Т0 <
< Т <С Гк, который занимает зона диссипации, но и ее
протяженность.
Доведем до крайности идею о малой ширине зоны
тепловыделения и будем считать источники тепла в уравнении (6.39)
сосредоточенными. Помещая начало координат в точку, где расположен
источник, и записывая его выражение в виде дельта-функции
(величина коэффициента при б-функции вытекает из условия ее
нормировки), получим уравнение,
РоЦСр 1L = _|_ х IL + <?0б {х). (6.63)
В этом приближении температура ионизации Т0, при которой
начинается существенное поглощение светового потока, совпадает
с конечной температурой Гк, а гладкий на самом деле профиль
Т (х) приобретет вид, показанный на рис. 6.25, с разрывом
производной (потока тепла) в точке источника. В простейшем
предположении ср = const, А, = const в области х < 0 имеем решение
(6.62) с Т0 = ТК. Интегрирование (6.63) по всему пространству
дает общую связь (6.42) температуры ТК и скорости и, и для
-Уг'
21(1

определения этих двух неизвестных нам не хватает еще одного
уравнения.
Недостающее соотношение можно установить, исходя из
физических соображений, и этот момент представляется центральным
для формулировки подобных приближенных методов. Как следует
из уравнения (6.28), световой поток ослабляется в волне по закону
х
S (х) = S0 ехр [— х (х)], х (х) = { цш [Т (х)} их. (6.64)
— оо
Но в силу самого определения понятий зон диссипации и
прогревания оптическая толщина зоны прогревания, а в более общем
смысле — зоны подготовки газа к восприятию электромагнитной
энергии, т0 = т (0), никак не может сильно отличаться от 1.
В самом деле, если допустить, что т0 заметно меньше 1, это
означало бы, что в конце зоны прогревания коэффициент поглощения
еще столь мал, что на протяжении некоторой прилегающей части
зоны диссипации поглощение также мало. Если допустить, что т0
заметно превышает 1, то уже в зоне прогревания
электромагнитная волна должна испытать сильное поглощение. И то и другое
допущения противоречат принципу, пр которому было
произведено разделение волны на две зоны. Это рассуждение оставляет
некоторый произвол для выбора конкретного числа, которому
следует приравнять т0. Легко видеть, что при условии полного
поглощения светового потока приближению сосредоточенного
источника отвечает точное равенство т0 = 1. Действительно,
подставляя в точное интегральное соотношение
оо
S0= [ ix«Sdx, (6.65)
— оо
которое следует из (6.28), приближение S = S0 при х <С 0 и
S = 0 при х ^> 0, получим т0 = 1.
Преобразуем приближенно выражение для т (6.64),
воспользовавшись крайней резкостью нарастания множителя [д^ (Т)
в подынтегральной функции:
о о
Относя это равенство к точке х = 0, со стороны
отрицательных х и замечая, что согласно уравнению (6.63) вся выделяющаяся
энергия светового потока выносится тепловым потоком в зону
прогревания, получим недостающее соотношение
т0 = ^ ^ H*Adr = l, (6.67)
о
212

которое совпадает с выведенным уравнением (6.59). Таким образом,
это уравнение выражает не что иное, как факт равенства
1 оптической толщины зоны прогревания в волне в пределе
(Гк - Т0)/Тк -> 0.
В следующем разделе метод сосредоточенного источника и
условие «оптической толщины» будут использованы, для того
чтобы получить простейшее приближенное решение задачи о
режиме с потерями. В дальнейшем таким способом будет
приближенно решена гораздо более сложная задача о режиме волны
ионизации, механизмом распространения которой служит диффузия
резонансного излучения (см. раздел 35).
24.5. Волна с потерями. Рассмотрим условия, когда
выполняется неравенство [^max^^l (большое давление, низкая
частота), но в отличие от предыдущего раздела световой поток не
столь велик, чтобы можно было пренебречь потерями энергии.
Им отвечает общая постановка задачи о режиме, когда
приходится принимать во внимание остывание газа за температурным
максимумом (см. подраздел 24.1).
Поставим себе цель, не стремясь к большой точности,
выяснить основные особенности режима и вывести по возможности
простые формулы, с помощью которых можно было бы оценивать
главные параметры волны. Лучший путь здесь — это
линеаризация системы уравнений (6.25), (6.28). Не будем учитывать
потери на излучение, что в данном случае допустимо, ибо
температуры плазмы не получаются высокими; они, как правило*,
соответствуют небольшой степени ионизации. Положим, далее,
ср/Х = const. Перепишем уравнение баланса энергии в волне
_L_g. = d*d/dx2 + F+- A8/R\ а = h/p0ucv. (6.68)
Чтобы сделать это уравнение линейным относительно
потенциала потока тепла в, нужно еще соответствующим образом
аппроксимировать функцию F+ (в).
Простейший способ — это считать источник тепла
сосредоточенным. Пренебрегая световым потоком 5К, который
«просачивается» через волну на бесконечность (см. сноску1 в конце
подраздела 24.1), положим F+ = S08 (х). Решение уравнения (6.68),
удовлетворяющее граничным условиям в = 0 при х = + оо и
условию непрерывности температуры, есть
0 = ©техр/— кг\хи £<0; в = ®техр(— к2х), #>0;
V / (6.69)
Л1.2=^(/1+44аа/Д2±1).
Распределение в (ж), которое характеризует и профиль
температуры, показано на рис. 6.26.
213

Если проинтегрировать уравнение (6.68) по х от — оо до + оо,
+?
получим уравнение баланса энергии всей волны S0— \ (AQ/R2) dx.
— оо
Оно свидетельствует о том, что энергия светового потока
затрачивается на компенсацию потерь, связанных с вытеканием
энергии из канала. Больше энергия ни на что не тратится, ибо газ
в конечном состоянии, как и в начальном, холодный. Последнее
равенство дает
®m = S0a/Vi + 4Aa*/R*. (6.70)
В точке х = 0, где расположен источник, поток тепла,
естественно, терпит разрыв, причем разность тепловых потоков вправо
Sn
и
J J
—-^ 1
N^77; 7/77
>v J
в J
-к? О
к£ х
Рис. 6.26. Распределение
потенциала потока тепла (и
температуры) в волне с потерями
и сосредоточенным
источником тепла
и влево равняется поглощающемуся здесь световому потоку *:
/+ — /_ = S0. Если подставить сюда выражения J± = + &2»i®m>
также получим формулу (6.70). Она связывает две неизвестные
величины вт и а, т. е. фактически наибольшую температуру Т^
и скорость распространения и, и заменяет собой равенство (6.42)
для волны без потерь.
В качестве второго, недостающего соотношения используем
условие равенства 1 оптической толщины зоны прогревания:
т0 = 1. Запишем приближенно выражение для т0 в виде (6.66),
относя эту формулу к точке х = 0 со стороны отрицательных х,
и подставим / (—0) = /__ = — Л1в7П, выразив кг по формуле
(6.69). Вычисляя интеграл по температуре тем же способом,
каким была получена формула (6.60), и приравнивая т0 1, найдем
вторую связь Тт и и:
ft.<rj« _. (6>71)
X Т 2кТ
mm rr
в„
1 У*1+4Ла2/Я2 + 1
= 1.
Разрешая равенство (6.70) относительно а и исключая эту
величину из уравнения (6.71), представим уравнения в следую-
Заметим, что в приближении сосредоточенного источника
непосредственного вытекания энергии из канала в зоне диссипации нет, ибо сведена к
нулю ее боковая поверхность. Энергия вытекает сначала вдоль канала
вправо и влево, а потом уже за пределы канала. Поскольку общий баланс
энергии при этом не нарушается, эквивалентным образом возрастают
потоки тепла от источника назад и вперед.
214

щей, окончательной, форме:
S0(l + Vt- 4A&J&SI) = %mVLm —^ {]Xm = цш (Тп)), (6.72)
-^ 0m = S0 Y\ - AA&l/R'Sl (6.73)
Первое из них определяет наибольшую температуру плазмы Тт,
второе — по известной температуре скорость распространения и.
Проанализируем эти результаты. В пределе очень малых
потерь, которому соответствует R -+ оо, мы возвращаемся к
формулам (6.60), (6.42), полученным в предыдущем разделе при
рассмотрении волны без потерь (Тш соответствует Гк). При R ->• оо
эффективная ширина зоны остывания 1/к2 ^ R2/Aa неограниченно
возрастает, профиль Т (х) здесь растягивается, стремясь к
Т = const = Tm = ТК. Ширина зоны прогревания становится
равной кх = 1/а, как в волне без потерь (см. формулу (6.62)).
Далее, из уравнения (6.72) видно, что с уменьшением потока
S0 температура плазмы Тт также уменьшается, хотя и медленно,
так как \хш (Т) ~ ехр (—1/2кТ) — функция очень крутая.
Наоборот, небольшому уменьшению температуры отвечает резкое
падение светового потока. Следовательно, существует такое
значение St, ниже которого уравнение (6.72) относительно вт не
имеет решения. Этому значению St отвечает обращение в нуль
квадратного корня в (6.72) и скорости распространения в (6.73).
При S < St скорость становится мнимой. Это просто означает,
что уравнение баланса энергии не имеет стационарных решений
и режима нет. В данном случае не получается режима волны
охлаждения, как при слабом поглощении света, когда существует
длинный столб нагретого газа.
Пороговое значение светового потока St и соответствующая
ему наибольшая температура плазмы Tt удовлетворяют
уравнениям
St = 2VA9JR, (6.74)
2 VA&JR = Х^ (Tt) 2kT2t/I, (6.75)
которые имеют очень наглядный физический смысл. Комбинация
в правой части (6.74) по порядку величины равна радиальному
потоку тепла в зоне диссипации, тому самому потоку, который
выносит энергию за пределы канала. Комбинация в правой части
(6.75) приближенно представляет собой осевой поток тепла из
зоны диссипации в зону прогревания, XtkT/lh где АГ ж 2кТ\11 —
соответствующий перепад температуры (см. предыдущий
подраздел). Как видно из уравнения (6.72), при больших надпороговых
потоках S0 2> St световой поток SQ практически полностью
компенсируется осевым потоком тепла, а радиальный поток мал.
При пороговой же интенсивности все три потока: световой и оба
215

тепловые (радиальный и осевой) оказываются одного порядка,
о чем и свидетельствуют уравнения (6.74), (6.75). Можно сказать
иначе: предел режиму наступает, когда радиальный тепловой
поток, уносящий энергию из канала, становится сравнимым с
осевым. Это происходит, когда длина поглощения электромагнитного
потока вырастает до величины, составляющей определенную долю
радиуса, а именно
/ IT. 4 2кТ.\
^ИЧ^-т1)*- <в-7в>
к
Из уравнений (6.72), (6.73) видно, что при данном световом
потоке $0 ^> St температура в волне с потерями выше, чем в волне
без потерь (где R = оо), а скорость распространения меньше.
Имея в виду, что температура очень мало меняется при изменении
светового потока, скорость распространения волны с потерями
(6.73) можно представить в виде
и == Uoo Vi - SbSl Woo = SVPo^k, (6-77)
где Uoo — скорость, соответствующая режиму без потерь.
Численный пример, как и в предыдущем разделе, приведем из
области СВЧ-разрядов, для которых данный режим типичен.
В воздухе при р = 1 алгм на частоте 10 Ггц (длине волны 3 см)
и R = 0,5 см пороговая температура по уравнению (6.76) равна
примерно Tt ^ 4500°; 6^^^1,2-10~2 квт/см. Пороговая длина
пробега составляет величину порядка 0,1 R. В воздухе при
температурах 4000—6000° XT/Q ж 3; основной вклад в ионизацию
дает образующаяся окись азота с I = 9,4 эв; А ж 2 -г- 3, откуда
и получается эта оценка. Пороговый поток электромагнитной
энергии по формуле (6.74) St zz 0,1 квт/см2.
Более точные результаты получаются, если в исходном
уравнении (6.68) считать зону диссипации протяженной. Чтобы
сохранить линейность уравнения, можно задать функцию F+ так,
чтобы тепловыделение было постоянным в зоне диссипации и
равным нулю в зонах прогревания и остывания. При этом
постоянное тепловыделение и ширину зоны диссипации следует
соответствующим образом выразить через световой поток S0 и
характерную длину поглощения света, отвечающую максимальной
температуре /о, (Тт) [11]. Для приведенного выше примера пороговая
длина поглощения получается раз в 5 больше, температура чуть
ниже, Tt ж 4200°, а пороговый поток вдвое выше (0,2 квт/см2).
Когда дело касается СВЧ-диапазона, возникает существенный
вопрос об отражении электромагнитной волны от плазмы (см.
раздел 31).
216

25. Сверхзвуковой, «сверхдетонационный»
теплопроводностный режим
Выше рассматривались медленное дозвуковое
распространение оптического разряда, аналогичное медленному горению
(раздел 23 и подраздел 24.3) и быстрый, сверхзвуковой режим,
аналогичный детонации (раздел 20). Первый наблюдается при
умеренных световых мощностях, которые получаются при
свободной генерации твердотельных лазеров и с помощью лазера
непрерывного действия на углекислом газе, и в этом случае
температуры плазмы имеют порядок 20 000°. Второй — при очень больших
мощностях, соответствующих гигантским лазерным импульсам,
когда температуры имеют порядок сотен тысяч и миллиона
градусов.
Интересно, что при еще более высоких интенсивностях
излучения, когда достигаются температуры в миллионы градусов, на
первый план снова может выступить теплопроводностный
механизм распространения плазменного фронта, но на этот раз не
дозвуковой, а сверхзвуковой и даже «сверхдетонационный», ибо он
обеспечивает распространение со скоростью, превышающей
скорость ударной волны. Положение аналогично тому, которое имеет
место на самой ранней стадии сильных взрывов, при очень
высоких температурах, когда энергия взрыва сначала
распространяется в воздухе не гидродинамическим путем, а тепловой волной
и только потом вперед выходит ударная волна [5].
Правда, при сильных взрывах тепловая волна обязана лучистой
теплопроводности, тогда как в лазерной искре, где явления имеют
очень маленькие масштабы, речь может идти скорее об
электронной теплопроводности. Дело в том, что при плотностях газа,
соответствующих, скажем, атмосферному давлению, и миллиметровых
масштабах, которые фигурируют в опытах по лазерной искре,
плотность теплового излучения плазмы обычно гораздо меньше
равновесной. Лучистый теплообмен при этом имеет существенно
неравновесный характер и скорость переноса энергии не столь
велика, как в условиях лучистого равновесия. Между тем при
огромных размерах нагретой области, которые получаются в
результате сильных взрывов, тепловое излучение равновесно и
лучистая теплопроводность всегда превышает электронную.
Рассмотрим сверхзвуковую теплопроводностную волну. При
сверхзвуковом распространении газ в волне разряда не
расширяется, а согласно ударной адиабате волны сжимается или же
не меняет плотности. Поэтому в отличие от случая «светового
горения» плазма непрозрачна, световой поток поглощается в
сравнительно тонком слое, и роль потерь невелика.
При высоких температурах в области многократной ионизации
атомов коэффициент поглощения (тормозного) световых квантов
по формуле (6.1) пропорционален jjw ~ Z3jT~3/2, где Z — средний
заряд ионов или же число свободных электронов на атом. Потен-
217

циалы последовательных ионизации ионов (грубо говоря) 1г ~ 22,
а степень равновесной ионизации зависит от температуры
примерно так, что IJkT ^ const [5] т. е. Z ~ Т1/* и \хш (Т) ^ const
(это подтверждается табл. 4, подраздел 20.2). В области слабой
первой ионизации поглощение резко падает, так что, если
говорить о широком интервале температур порядка миллиона
градусов, можно аппроксимировать \1Ш (Т) «ступенькой»: ^ — 0 при
Т < Т0 ^ 20 000°; [Хсо ж const = \i при Т > Т0. В этом
приближении уравнение баланса энергии в волне без потерь можно
записать в виде
1 de ащ , с , ЧА л (0 я<0, 0<0О, ta nQ,
а ах ах [ 1 #> 0, 0> 0О,
где 60 = 0 (Т0), а = р0иср/Х и (х = const.
Удельная внутренняя энергия многократно ионизованного
газа складывается из поступательной энергии частиц еПост ~ %Т —
~ Т^ и потенциальной энергии, затраченной на отрыв электро-
ъ
нов: 8П0Т~\lzdZ~Zz~Тч\ Таким образом, 8 ~ Г/* иср ~ Пк
о
Коэффициент электронной теплопроводности 'k~Z-1T5/2~ Г2,
V
так что 0 = \ XdT — Т3 и а ~ 0 ^2 при 0 }> ©0. Зависимость
о
а (0) не очень сильная, и в грубом приближении мы положим
и = const, для того чтобы уравнение стало линейным.
Решая его с граничными условиями 0=0 при х = —оо и
d@/dx = 0 при х = +оо и условиями непрерывности 0 и d@/dx
при х = 0, найдем после элементарного вычисления
в„ = -^ (1 + /1 + 4S0/6#) « /SOT- (6-79)
Последнее приближение вытекает из того факта, что конечная
температура Гк гораздо больше, чем температура ионизации, и
тем более вк^>0о. Отсюда получаем зависимость конечной
температуры от светового потока, Гк ~ Sq\ а из уравнения баланса
энергии в волне р01гг^к = S0 с учетом того, что wK ~ Т^, находим
зависимость скорости волны от потока и ~ S], .
Но скорость световой детонации зависит от потока света
медленнее, как D ~ iSq3 (температура в такой волне Тк ~ г^3 ~
~ S4^9). Следовательно^ начиная с каких-то достаточно высоких
значений потока S0 или температур плазмы Тк волна разряда,
движимая электронной теплопроводностью, должна обгонять
светодетонационную. Оценки показывают, что этот переход
должен происходить при температурах Тк выше миллиона градусов
и световых потоках S0 ~ 1019 -~ 1020 эрг/см2сек, которые могут
быть получены в экспериментах с гигаваттными лазерными им-
218

пульсами. При меньших температурах ударная волна движется
быстрее теплопроводностной. Если действительно осуществляется
детонационный режим, перед фронтом ударной волны образуется
только стационарный температурный «язык» прогрева электронной
теплопроводностью, как это всегда бывает в очень сильных
ударных волнах [5].
26. Режим лучистого теплообмена
26.1. Постановка задачи. Существо «радиационного», как мы
будем для краткости называть его, механизма распространения
разряда заключается в том, что тепловое излучение плазмы,
поглощаясь частично в холодных слоях, прилегающих к фронту
разряда и находящихся во внешнем поле, тем самым способствует
их ионизации. В результате фронт переходит на новое место.
Радиационный механизм рассматривался в работе [16] как одна
из возможных причин быстрого распространения лазерной искры
(помимо детонации и волны пробоя).
Радиационный механизм, как и теплопроводностный, может
действовать в полях любых частот и любой геометрии. Чем больше
поток электромагнитной энергии, поддерживающей разряд, тем
выше температура плазмы и ее излучательная способность, тем
интенсивнее происходит лучистый теплообмен и тем скорее
распространяется разряд. В зависимости от величины внешнего
поля разряд может распространяться как медленно, так и быстро.
Надо сказать, что при сверхзвуковом распространении
возникают гораздо более благоприятные условия лучистого
теплообмена, чем при дозвуковом, и не только потому, что в этом случае
температуры выше. При тех давлениях и размерах плазмы,
которые обычно фигурируют в опытах и на практике, плазма, как
правило, бывает прозрачной для собственного излучения.
Лучеиспускание имеет объемный характер и потому сильно зависит
от плотности газа (при данной температуре пропорционально
чуть ли не квадрату плотности). При сверхзвуковом
распространении плазма в области поглощения внешнего потока энергии
имеет плотность такого же порядка, что и плотность холодного
газа, при дозвуковом — много меньше. Это существенным
образом подрывает эффективность лучистого теплообмена при
небольших потоках энергии и низких температурах, когда процесс
протекает при постоянном давлении. Во многих представляющих
интерес случаях низкотемпературных разрядов с температурами
порядка 104° лучистый теплообмен не выдерживает конкуренции
с действием обычной теплопроводности, которая при данной
температуре от плотности зависит слабо. Напротив, при высоких
температурах (~ 105—10во), как в опытах с лазерной искрой,
радиационный механизм, возможно, и не уступает
детонационному.
219

Ставя своей целью оценку эффективности радиационного
механизма, естественно рассматривать его изолированно,
игнорируя действие других: гидродинамического (детонационного) и
теплопроводностного. По этой причине общая постановка
идеализированной задачи о радиационном режиме волны разряда
в предельных случаях сверхзвукового и дозвукового
распространения оказывается практически одинаковой, с той лишь
разницей, что в первом из них следует считать постоянной плотность
газа, а во втором — давление. Проявляется это в общих
уравнениях только в том, что в одном случае фигурирует теплоемкость при
постоянном объеме cv и внутренняя энергия 8, а в другом — ср и
энтальпия w.
Сформулируем максимально простым образом задачу о
режиме, придерживаясь в основном тех же допущений, что и при
рассмотрении теплопроводностной волны, тем более что по характеру
своему задачи эти весьма сходны. Пусть внутри светового канала
радиуса R навстречу световому потоку S0 со скоростью и
относительно холодного газа движется температурная волна.
Рассмотрим стационарный процесс в системе координат, связанной
с фронтом волны. Чтобы сделать задачу одномерной, будем
оперировать средними по сечению канала величинами. Считая газ
термодинамически равновесным, а излучение — напротив,
неравновесным, запишем уравнение баланса энергии вещества
внутри светового канала
р0ис„,р dT/dx = - 4я/ (Т) + Q(X) + 5^ (Г), (6.80)
где cViP, есть либо с„, либо ср, j (Т) эрг/смгсекстер —
лучеиспускательная способность газа, Q эрг/см3сек — энерговыделение,
связанное с поглощением теплового излучения.
Световой поток S удовлетворяет уравнению (6.28). В самой
общей форме
Q = JdQ$XeJw(Q)d<D,
где /о (Q) эрг/'см2-сек-частота-стер — спектральная
интенсивность излучения, распространяющегося в направлении Q в данной
точке пространства; хш — коэффициент его поглощения,
исправленный на вынужденное испускание.
Будем оперировать интегральной по частотам интенсивностью
/ (Q) == \ 1Ш <&о и неким оценочным, усредненным по спектру
коэффициентом его поглощения х, который зависит от
пространственной точки. Интенсивность / (Q) и тепловыделение Q будем
вычислять для точек оси канала, где направление Q задается
только углом •& между вектором Q и осью х. В этих
предположениях
Q (х) = % J I (р) 2я sin ft dft, (6.81)
220

а уравнение переноса излучения для интенсивности / (Ф, х) можно
представить в виде
cos * dl/dx = / (Т) — kL (6.82)
Не будем учитывать приход в световой канал излучения,
испущенного в нагревающемся газе за пределами канала, как если бы
канал был заключен в поглощающую «трубку». Это, конечно,
увеличивает роль потерь энергии на излучение и ухудшает
условия распространения волны, но не кардинальным образом.
Граничные условия, как всегда, следуют из физической
постановки задачи. Перед волной при х = — оо Т = О, S = S0.
За волной при х = +оо газ охлаждается до Т = 0 вследствие
потерь на излучение — только в неограниченном по радиусу
пространстве слагаемое Q могло бы скомпенсировать / при
отличной от нуля температуре. Это условия для уравнения (6.80).
Условие для уравнения (6.82) гласит, что излучение не втекает
в световой канал снаружи через боковую поверхность. Оно делает
задачу нахождения поля излучения при известном распределении
температуры Т (х) вполне определенной. Условие же Т' = 0 за
волной для уравнения (6.80) является «лишним». Это и дает
возможность в ходе решения системы (6.80)—(6.82) найти
неизвестную скорость распространения и.
Как и для теплопроводностного режима, в предельных случаях
сильного и слабого поглощения внешнего светового потока S0,
которые практически соответствуют сверхзвуковому и
дозвуковому вариантам, нет смысла рассматривать зону остывания газа.
Вместо этого следует считать, что за волной газ нагревается до
какой-то конечной, постоянной температуры Гк, т. е. при
х = + оо dTldx = 0. В случае слабого поглощения следует
положить S (х) ж const = S0. Конечная температура Тк тогда
найдется из условия равенства нулю правой части уравнения
(6.80). В случае сильного поглощения необходимо каким-либо
формальным способом свести к нулю играющие небольшую роль
потери энергии на излучение в плазменном столбе, который
образуется в результате полного поглощения светового потока.
26.2. Приложение к лазерной искре. В плазме, образованной
гигантскими лазерными импульсами, температуры имеют порядок
105—106°. Плазма излучает кванты с характерными энергиями
10—100 вв. Пробеги их в плазме, порядка Ю-1—10 см, гораздо
больше радиусов светового канала R — 10~2 -г- Ю-1 см, т. е.
плазма сильно прозрачна для теплового излучения. Лазерный
свет она поглощает, напротив, очень сильно: пробеги 1& = 1/fXco ~
~ 10~3ч- 10""2 см заметно меньше радиусов. Скорости
плазменного фронта имеют порядок 100 км1сек. Если в таких условиях
возникает радиационный режим, то он, без сомнения принадлежит
к тому типу, который характеризуется сверхзвуковым
распространением, неизменной плотностью газа, сильным поглощением
светового потока и малыми потерями на излучение.
221

Оценим скорость волны в этом случае. Сформулированная выше
система уравнений, несмотря на все сделанные допущения, все
равно остается очень сложной, и разрешить ее в доступном для
обозрения виде можно только путем самых грубых упрощений.
Характер приближений вытекает из физических особенностей
процесса. Лазерный поток S0 намного больше потоков теплового
излучения плазмы, почему потери на излучение и малы. Как
только ионизация перед волной, вызванная поглощением излучения
плазмы, достигает значительной величины, а это происходит
при температурах Г0 ж 20 000°, лазерный свет начинает
интенсивно поглощаться и влияние лучистого теплообмена на баланс
энергии газа в зоне диссипации поля становится несущественным.
Вследствие относительной малости потока теплового излучения и
конечная температура Гк ~ 105 ч- 106 ° долго остается
постоянной, на расстояниях, гораздо больших, чем 1Ы. Напротив, в зоне
прогревания плазменным излучением при Г < Г0 можно
пренебречь поглощением лазерного светового потока, а также
лучеиспусканием. Воспользуемся отмеченными обстоятельствами.
Поместим начало координат ж = 0в точку, где Т — Г0, и
назовем плоскость х — 0 «плазменным фронтом». Из всех трех
слагаемых правой части уравнения (6.80) оставим в зоне
прогревания х < 0 только одно — Q. Интегрируя уравнение, получим
тогда связь температуры «ионизации» Г0 и скорости волны и
о
р0ие0 = J Q (х) dx = G, s0 = 8 (Г0), (6.83)
—oo
где G — та часть потока излучения, выходящего с поверхности
фронта, которая поглощается внутри светового канала.
С другой стороны, в силу самого определения в точке х = 0
при температуре Г0 сравниваются тепловыделения от
поглощения лазерного света и излучения плазмы, т. е.
SoV*(To)=Q(0). (6.84)
Интегрируя уравнение (6.80) в зоне диссипации с учетом
малости потерь итого факта, что ГК^>Г0, придем к уже знакомому
нам уравнению баланса энергии волны
р0иек = S0, 8К = 8 (Гк). (6.85)
Из равенств (6.83), (6.85) следует, что соотношение температур
Гк и Т0 характеризуется отношением лазерного потока и потока
теплового излучения
8K/80 = 8 (Гк)/е (Го) - S0/G. (6.86)
Займемся вычислением Q (0) и G. Источники теплового
излучения, поступающего из-за фронта в зону прогревания,
расположены в основном в плазменном столбе с длиной порядка диаметра
(рис. 6.27). Поскольку R ^> 1Ш (Гк) и охлаждение плазмы проис-
222

ходит медленно, температуру источников можно считать
постоянной и равной Тк. Пренебрегая поглощением теплового излучения
в плазме и считая коэффициент его поглощения в сравнительно
холодной зоне прогревания постоянным, найдем из уравнения
(6.82), что в области х< О
/ (в, Х) = /к ехр (_ Jj^LL) (Д/sin * - | х | / cos О),
*<*o = arctg(i?/|a:|)>
где /к - / (Гк); при G > Ф0 J - 0.
Интегрируя интенсивность по углам, по формуле (6.81) найдем
По формулам (6.83), (6.81), меняя порядок интегрирования,
получим
Л "" ■ (кД) _ я
г Q (0) г|: (кД) эь . „ . , D4
Ф (6) = яГ1 [l#i (6) + 2 - Г1 + ехр (_ I) (Г1 - 1)], (6.87)
где Ег — интегральный логарифм. Функция -ф (£) очень
медленная и гладкая: -ф (оо) = 0,64, -ф (1) == 0,39, -ф (0, 1) - 0,14.
Комбинируя уравнения (6.84), (6.87), (6.86), найдем
8 (Гк)/8(Го) = Х/|Д«(Г0)*(хД).
(6.88)
Два уравнения, (6.88) и (6.86), в котором G представляется
в виде функции Гк по формуле (6.87), образуют систему для
определения двух неизвестных температур, Тк и Т0. Скорость волны
потом находится по уравнению энергии (6.85).
Рис. 6.27. Схема, поясняющая
вычисление интенсивности
теплового излучения, которое
осуществляет перенос волны
\
\
^^ R
0
\
X
Приведем результаты несколько более детальных вычислений
[161 применительно к условиям опытов [13], в которых искра
создавалась в атмосферном воздухе импульсами рубинового
лазера. Для воздуха нормальной плотности при Т ^ 2-Ю5 ~- 106°
средняя длина пробега Zx, определяющая лучеиспускательную
способность по общей формуле / = 4аГ4//1? 1г ^ 2 (Г°/5-105)3 см;
8^4,6-Ю13 (Г75.105)'/» эрг/г при Т ж 2-105 -- 5.105° и
еж 4,5-1013 (Т°/5Л05)^ эрг/г при Т ж 5-105 -f- 106° [5].
223

Коэффициент поглощения [1Ш (Т0) можно взять по формуле
Крамерса — Унзольда (6.15). Для S0 = 2-Ю18 эрг/см2сек,
R = Ю-2 мм, к = 30 еж-1 получается е0 = 5,3• 1011 эрг/г,
Т0 да 15 000°, |л„ (Г0) да 0,5 еж-1, ек = 8,3-1013 э/?г/г, Тк да 7,5-
•105°, гг да 95 км/сек.
Скорость радиационной волны оказывается практически
совпадающей со скоростью световой детонации D (см. раздел 20).
Более того, почти совпадают и зависимости скоростей обоих
режимов от светового потока: и ~ *Sq'36, тогда как D ~ Sq3-
Разумеется, совпадение скоростей не следует понимать
буквально, его надо рассматривать как совпадение по порядку величины,
но все же расчеты свидетельствуют о том, что эффективность
радиационного механизма распространения волны при очень больших
световых потоках сравнима с эффективностью
гидродинамического. Конечно, точность расчетов далеко не достаточна для того,
чтобы отдать уверенное предпочтение тому или другому
механизму. Надо сказать, что экспериментальным путем решить этот
вопрос также очень не просто, во всяком случае, имеющиеся
данные не позволяют сделать сколь-либо определенных заключений.
Что касается небольших световых потоков и дозвуковых
режимов, то здесь, повторяем, радиационный механизм,
по-видимому, уступает теплопроводностному. Это усугубляется еще и
тем, что теплообмен может осуществлять только далекое
ультрафиолетовое излучение, а при низких температурах (да 10 000—
20 000°) плазма в основном испускает такие кванты, для которых
холодные газы совершенно прозрачны. Поэтому лишь небольшая
доля спектра излучения участвует в теплообмене. Этот вопрос,
безусловно заслуживающий внимания, как следует не
анализировался.
Глава 7
ПОДДЕРЖАНИЕ ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЫ
ПОЛЯМИ РАЗЛИЧНЫХ ЧАСТОТ
В этой главе будут рассматриваться разряды всевозможных
частотных диапазонов, которые служат или могут служить для
непрерывной генерации и длительного поддержания плотной
низкотемпературной плазмы с давлениями порядка атмосферного.
Большинство из них: дуговые, высокочастотные,
сверхвысокочастотные — в той или иной степени используются для прикладных
целей, и в частности на их основе созданы генераторы плазмы —
плазмотроны. Разряды эти давно и много исследовались, и им
посвящена обширная литература как физического, так и инженер-
224

но-технического характера 1, Исключение составляет только
непрерывно горящий оптический разряд, поддерживаемый лучом
света, который был впервые получен лишь совсем недавно.
Мы далеки от намерения давать в книге освещение различных
аспектов хорошо известных разрядных явлений. Мы будем
интересоваться только вопросом о теоретическом определении
основных параметров разряда, главное — температуры плазмы, а в
следующей главе — эффектами распространения. Наша цель —
продемонстрировать общность и единство разрядов любых частотных
диапазонов в отношении основных закономерностей, которые
определяют температуру разрядной плазмы, условия
стационарного существования и скорость распространения, и
сформулировать по возможности единый подход к задачам подобного рода.
В этой главе будут рассматриваться разряды только высокого
(атмосферного) давления, которые чаще всего и применяют в
целях генерации плазмы. Отличительной их чертой является
приближенная близость состояния плазмы к термодинамическому
равновесию и преобладающая роль теплопроводности как
механизма теплообмена разрядной плазмы с окружающей средой.
27. Непрерывно горящий оптический разряд
27.1. Оптический генератор плазмы. Каждый из применяемых
в настоящее время способов поддержания и генерации плотной
плазмы обладает своими достоинствами и недостатками, но всем
им присуща одна общая черта. Для подвода электромагнитной
энергии, питающей разряд, необходимо применение каких-либо
конструктивных элементов. В разрядах постоянного тока это
электроды, в высокочастотных — катушки-индукторы, в
сверхвысокочастотных — волноводы, резонаторы (на рис. 6.3 были
показаны принципиальные схемы этих устройств).
Указанной особенности может быть лишен оптический
генератор плазмы, в котором энергия подводится к плазме при помощи
светового луча, и эта возможность свободной передачи энергии
через пространство, присущая оптическому диапазону частот,
представляется весьма привлекательной и перспективной для
приложений [1]. В принципе оптический разряд можно зажечь
в любом месте, вдали от каких-либо твердых предметов, можно
заставить разряд бежать по лучу, а можно локализовать его,
например, путем фокусировки луча и тем самым стабилизировать.
Можно как угодно (но не слишком быстро) двигать плазму в
пространстве, передвигая луч, скажем его фокус, к которому
«привязан» разряд. Можно продувать газ через стабилизированный
локализованный разряд и получать непрерывную плазменную
1 В особенности это относится к дуговым разрядам, в меньшей степени —
к высокочастотным, в еще меньшей — к СВЧ.
225

Струю. Такое устройство представляло бы не что иное, как
«оптический плазмотрон». Последний отличался бы от существующих
дуговых, высокочастотных и сверхвысокочастотных большими
возможностями в смысле выбора места разряда, приближения к
определенным точкам тел, предназначенных для обработки с
помощью плазменной струи, и т. д. и т. п. Кроме того (и это
немаловажно), в плазме оптического разряда достигаются значительно
более высокие температуры, чем в случае высокочастотных и
СВЧ-разрядов. Наконец, непрерывно горящий оптический
разряд можно использовать в качестве стабильного источника света
большой яркости, который в принципе можно расположить в
«свободном пространстве».
Ясно, что в целях длительного поддержания плазмы с помощью
светового луча необходимо использовать непрерывный световой
источник возможно большей интенсивности. Таковым в
настоящее время является газовый лазер на углекислом газе, дающий
излучение в далеком инфракрасном диапазоне. Мы уже отмечали,
что последнее обстоятельство является крайне благоприятным,
так как, чем меньше частота света, тем лучше он поглощается
в плазме и тем меньше требуется мощности, для того чтобы
обеспечить необходимое энерговыделение.
Возможности использования для данной цели световых
источников не лазерного типа резко ограничены, так как источник
должен обладать исключительно высокой яркостью.
Действительно, излучение оптического диапазона сильно поглощается
в плазме только при весьма высокой температуре, 15 000—20 000°.
Такие температуры имеет плазма, поддерживаемая светом.
Световой источник, питающий плазму, должен обладать по крайней
мере столь же высокой температурой, так как согласно второму
началу термодинамики в принципе невозможна перекачка
энергии от менее нагретого тела к более нагретому. Так, например,
фокусируя солнечные лучи зеркалом или линзой сколь угодно
большого диаметра, т. е. концентрируя сколь угодно большую
световую мощность (подобного типа мощные установки уже
созданы), нельзя поддерживать температуру в плазме выше 6000°.
Но при столь низкой температуре свет поглощается настолько
слабо, что оптический разряд немедленно погас бы из-за потерь.
Как было вычислено в разделе 24.3, для «сжигания» в
атмосферном воздухе тонкого параллельного луча лазера на углекислом
газе с диаметром не более 1 мм луч должен переносить мощность,
превышающую примерно 4 кет,— таков порог для поддержания
плазмы параллельным лучом, отвечающий распространению
разряда с «нулевой» скоростью. Такая же примерно мощность
требуется и для создания оптического плазмотрона на воздухе при
атмосферном давлении.
27.2. Оценка порога для сфокусированного луча.
Статический разряд, поддерживаемый параллельным световым лучом,
неустойчив. Действительно, если мощность по какой-либо слу-
226

чайной причине станет немного больше пороговой — разряд
побежит по лучу навстречу световому потоку, если мощность
уменьшится — плазменный фронт начнет отступать, и волна
охлаждения погасит разряд.
Стабилизировать оптический разряд, сделав его устойчивым,
легко путем фокусировки луча. В этом случае разряд не может
далеко уйти от фокуса, ибо интенсивность света там становится
все меньше и меньше. Положение плазменного фронта на каком-то
расстоянии от фокуса, диктуемом пороговыми условиями, будет
устойчивым. В самом деле, если фронт передвинется немного
дальше от фокуса, он попадает в поле, интенсивность которого
меньше пороговой, и разряд отступит назад. Напротив, если фронт
отодвинется назад от устойчивого положения, он попадет в сверх-
пороговое поле, начнет распространяться и вернется в исходное
положение. Фокусировка луча под большим углом вообще
облегчает условия для поддержания плазмы: во-первых, световая
энергия сильнее концентрируется, а во-вторых, боковая поверхность,
через которую энергия бесполезно вытекает из светового канала,
становится относительно меньше. С этой точки зрения
наивыгоднейшими были бы условия, при которых световой луч сферически
симметрично сходится в точку фокуса. Этот случай является и
наиболее простым для расчета пороговой мощности, ибо
соответствующая теплопроводностная задача является строго
одномерной. Задача со сферической симметрией служит неплохой моделью
для приближенного описания разряда в сильно сфокусированном
луче, в особенности когда плазма полупрозрачна и тепло
выделяется в обоих световых конусах, соприкасающихся своими
вершинами в точке фокуса.
Рассмотрим стационарный процесс поддержания плазмы
сферически симметрично сходящимся световым лучом мощности Р,
в котором все выделяющееся тепло отводится от разряда
теплопроводностью [2, 38]. Потери на излучение учитывать не будем
(см. подраздел 24.3). Распределение температуры, вернее
потенциала потока тепла, описывается уравнением баланса энергии
ld.de. РМ0) Г ? д 1 п /7 л\
7Г1*Гг2^Г+ ~4^ехР [" ] ^dr J = °' (7Л)
г
{ г при r^> R,
9==\R при г<Д,
где R — эквивалентный радиус фокусировки луча, который
естественно определить, приравнивая объем «сферического» фокуса
4ni?3/3 истиннрму объему области фокуса при фокусировке луча
реальной оптической системой (с учетом каустики).
Решение уравнения (7.1) должно удовлетворять граничным
условиям конечности температуры в центре и равенства нулю на
бесконечности,
237

Представление о закономерностях процесса и оценки можно
получить, если задать функцию ja» (0) в виде «ступеньки»: ц,№ = О
при G < 60, и (Хо, = const при 0 > 0О, в результате чего
уравнение (7.1) становится линейным. В подразделе 24.3 при
рассмотрении цилиндрической геометрии было показано, что такое
приближение дает хорошие результаты, практически совпадающие
с точным расчетом, причем для выбора температуры ионизации Т0
и G0 нет большого произвола. В получающемся решении температу-
Рис. 7.1. Зависимость
световой мощности от радиуса
сферически симметричного
оптического разряда
ра монотонно спадает по радиусу от центра. Радиус г0 точки, где
0 = 0О, который служит радиусом «разряда», зависит от
мощности Р, причем функция r0 (Р) двузначна. В предельном, но
практически важном случае, когда область фокуса прозрачна
для света, [Хсой<^1, обратная зависимость Р (г0) описывается
простой формулой
р = 4я60 | 3 (R/r0) при г0 < Я,
ft* Х 1 ИЛ 11-ехр {- у„г0) (1 + 2у J?/3)ra при г0>Д. (7.2)
Допущение о прозрачности фокуса хорошо выполняется при
не слишком высоких давлениях. Например, в воздухе
атмосферного давления для излучения лазера на углекислом газе [Лш да
да 1 см"1, и при обычной фокусировке, когда R да Ю-2 см,
ц* Д да Ю-2.
Зависимость Р (г0) имеет минимум, который лежит при
rot да R (Зи.сой/4)"1/* > R (рис. 7.1). Минимальная пороговая
мощность, ниже которой невозможно стационарное поддержание
плазмы сходящимся световым лучом:
Р,да4яв0/||«. (7.3)
Она отличается от порога для случая цилиндрического луча (6.54)
численным коэффициентом порядка 1.
Для воздуха атмосферного давления и излучения лазера на
углекислом газе согласно выбору, сделанному на основе истинной
кривой [la, (Т) (см. рис. 6.18, б) и сравнения модельного расчета
подраздела 24.3 с точным, можно принять: Т0 да 12 000°,
0О да 0,17 кет/см, [хы да 0,8 см-1. По формуле (7.3) Pt да 2,7 кет.
В цилиндрическом случае порог для горения тонкого луча
получался в А/2 да 1,5 раза большим (4 кет). Надо полагать, что ис-
228

8,к6т/см
80
0,3
6,нбт/см
Рис. 7.2. Распределения потенциала потока тепла по радиусу в сферически
симметричном оптическом разряде (а) и коэффициенты поглощения fi , с
которыми делался расчет (б)
1 — Pt = 43 em; 2 — Р = 49 вт\ 3 — Р = 120 em;
пунктир — неустойчивые решения
тинное значение порога для сфокусированного луча заключено
между этими двумя значениями. Температура плазмы близка
к величине, при которой коэффициент поглощения \хш (Т)
максимален, т. е. приближается к 20 000°. Из рис. 7.1 видно, что данной
сверхпороговой мощности отвечают два стационарных состояния
с разными значениями радиуса разряда и температуры в центре.
Однако одно из них, а именно то, которое лежит на ниспадающей
ветви кривой Р (г0) и соответствует меньшей температуре,
неустойчиво. Если радиус в таком состоянии немного вырастает,
стационарным условиям должна будет соответствовать мощность,
меньшая, чем фактическая. Следовательно, реальная мощность будет
выше стационарной, разряд начнет распространяться, и радиус
будет продолжать расти, пока не достигнет значения г0(Р), которое
лежит на возрастающей ветви кривой. Последнее состояние
является устойчивым, что легко проверить путем аналогичного
рассуждения. Таким образом, реализуются только состояния на
возрастающей ветви кривой Р (г0). На рис. 7.2, а показаны
распределения в (г), полученные в результате численного
интегрирования уравнения (7.1) с истинной кривой коэффициента поглощения
И'© (@) (.см. подраздел 24.3) в условиях, когда фокус нельзя считать
сильно прозрачным *. Расчет сделан для аргона при р = 15 апгму
излучения лазера на углекислом газе и «радиуса фокуса»
R = 0,01 см. Соответствующая кривая коэффициента поглощения
представлена на рис. 7.2, б ([хтах ж 80 см*1 и соответствует
1 Этот расчет был сделан Н. Н. Магретовой.
229

Т ^ 20 000°, в ^ 0,18 квлг/см). Пороговая мощность получилась
равной Pt х 43 em. Для иллюстрации пунктиром показаны не-
реализующиеся неустойчивые решения, которым соответствуют
меньшие радиус плазмы и температура в центре; при Р = Pt оба
решения, устойчивое и неустойчивое, вырождаются в одно.
27.3. Эксперимент. Мощность, необходимая для поддержания
оптического разряда в атмосферном воздухе, скажем прямо в
комнате, довольно велика, по расчету примерно 3 кет. В то время,
когда ставились первые эксперименты, лазеров такой мощности
практически не было, и, естественно, необходимо было выбрать
более легкие для осуществления эксперимента условия. Что нужно
для того, чтобы зажечь разряд при небольших лазерных
мощностях, с очевидностью вытекает из качественных представлений
о характере процесса и видно из формулы (7.3). Пороговая
мощность тем меньше, чем больше плотность газа (так как при этом
свет лучше поглощается) и чем меньше его теплопроводность
(меньше вынос тепла из области разряда). Таким образом, легче
всего зажечь разряд в малотеплопроводных газах, таких, как
тяжелые инертные, и при повышенных давлениях.
Непрерывно горящий оптический разряд, поддерживаемый
сфокусированным лучом лазера на углекислом газе, был впервые
получен в 1970 г. в работе Н. А. Генералова, В. П. Зимакова,
Г. И. Козлова, В. А. Масюкова и Ю. П. Райзера [3]. Луч лазера
на углекислом газе мощностью всего лишь 150 em подавался
в камеру, наполненную ксеноном, под давлением в несколько
атмосфер. Луч фокусировался в середине свободного объема вдали
от всех поверхностей в кружок радиусом 5-10-3 см. Для
поджигания разряда служил другой лазер на С02, который давал
периодические импульсы мощностью 10 кет, длительностью 1 мксек,
с частотой следования 100 гц. При фокусировке этих импульсов
в газе происходил пробой и появлялась начальная плазма.
Фокусы обоих лазеров тщательно совмещались. После
инициирования, поджигающий лазер отключался, а разряд, питаемый лучом
непрерывно работающего лазера, продолжал гореть, при
определенных условиях очень стабильно и сколь угодно долго. Надо
сказать, что вопрос о способе инициирования разряда не имеет
принципиального значения, зажечь разряд удается различными,
притом гораздо более простыми способами, что и делалось в
дальнейших экспериментах.
Свойства непрерывного оптического разряда исследовались [4]
с более мощным лазером. На рис. 7.3 показана фотография
разряда, сделанная через окно камеры. На рис. 7.4 приведена серия
фотографий увеличенного изображения разряда при различных
мощностях света и давлениях газа (ксенона). Плазменное
образование имеет размеры порядка миллиметра, тем большие, чем выше
мощность. Разряд всегда начинается в фокусе, где происходит
поджигание, затем несколько смещается вдоль луча навстречу
световому потоку и останавливается. Измеренные скорости рас-
230

Рис. 7.3. Непрерывный
оптический разряд,
сфотографированный через окно камеры
Диаметр окна 80 мм
Рис. 7.4. Увеличенное
изображение оптического разряда в
ксеноне при различных
давлениях и W = 200 вт (а—г);
при Iразличных мощностях и
р = 4 атм (д—ж) и ход
лазерных лучей (з; одно деление
— 1 мм)
а — р = 16,
6 — 8,
в— 2,
г — 1 атм\
д — W = 200,
е — 100,
ж — 50 era
пространения были порядка нескольких метров в секунду, что
характерно для режима медленного горения.
При каждом значении давления существует определенная
пороговая мощность, ниже которой разряд не горит. При мощности,
выше пороговой, разряд горит, но смещается все дальше от фокуса
в область меньших интенсивностей, как раз соответствующих
пороговой. Однако при очень высоких давлениях и горизонталь-
га!

ном расположении светового луча разряд теряет стабильность и
гаснет. Это связано с влиянием архимедовой силы, под действием
которой плазма всплывает и выходит из области интенсивного
поля. Возможно, здесь сказывается и влияние конвективных
газовых потоков. Вертикальная подача питающего излучения снизу
вверх надежно стабилизирует разряд и снимает верхнюю по
давлению границу его устойчивого существования. В этом
случае плазма, всплывая вверх, попадает в область более интен-
Р,бт
300
200
100
\\ \
V
н
\ Аг
\ <
к°
V
Рис. 7.5. Зависимость от
давления мощности, необходимой
для поддержания
непрерывного оптического разряда
горизонтальным лучом
10
20 30
р,атм
сивного светового поля и снова разрастается, смещаясь вниз по
лучу, так что разряд становится устойчивым.
На рис. 7.5 показаны измеренные пределы для существования
устойчивого горения при горизонтальной подаче лазерного
излучения в аргоне и ксеноне. Нижние ветви соответствуют
обычному порогу, определяемому потерями, верхние — пределу
устойчивости. Область устойчивого горения заключена между верхней
и нижней кривыми. При вертикальной подаче излучения верхних
кривых нет, остаются только нижние, и разряд горит при любом
высоком давлении. Видно, что при повышении давления порог
(по потерям) понижается, причем сначала резка, а потом очень
медленно. Такое поведение порога очень похоже на то, которое
наблюдалось в опытах [90] по поджиганию разряда в импульсном
режиме (см. подраздел 23.1). И причины эффекта здесь,
по-видимому, те же самые. При низких давлениях преобладают
теплопроводностью потери и пороговая мощность уменьшается с ростом
давления в соответствии с формулой (7.3). При высоких же
давлениях преобладают потери на излучение, которые
возрастают с давлением примерно так же, как и поглощение
лазерного излучения. Поэтому соотношение тепловыделения и потерь
становится слабо зависящим от давления.
В работе [4] определялась температура плазмы. По штарков-
скому уширению Н$ — линии водорода измерялась плотность
электронов. В аргоне при давлениях 4—16 атм полуширина линии
составляла 100—130 А, чему соответствует плотность электронов
5-Ю17 1/см3. При р = 2 атм Ne х 3,5-1017 1/см3. В
предположении существования термодинамического равновесия этим значе-
232

ниям отвечает температура 23 000°. Легко видеть, что измеренная
плотность электронов соответствует почти полной однократной
ионизации газа и диапазон возможных вариаций температуры
с учетом различия температур электронов и ионов весьма
ограничен. Непосредственная оценка также показывает, что отрыв
температур невелик. Таким образом, температура аргоновой
плазмы при 2 атм составляет примерно 23 000°. Измеренная
температура согласуется с расчетом, согласно которому температура
плазмы оптического разряда при условии ее заметной
прозрачности должна быть близкой к той, при которой ионизация
(однократная) почти полная и коэффициент поглощения максимален.
Плазма светится ослепительным белым светом; непрерывных
источников света столь большой яркости раньше не было.
В работе Фрэнцена [5] были воспроизведены опыты по
получению непрерывного оптического разряда примерно в такой же
постановке, при мощности лазера 0,6 кет. В статье Стюэрдинга
[37] были сообщены сведения, почерпнутые в порядке личной
информации от Конрада и Сциклауса, о том, что последние
получили непрерывный оптический разряд в атмосферном воздухе
с помощью мощного газодинамического лазера на С02. Мощность
была 100 кет, луч слегка фокусировался линзой с фокусным
расстоянием 15 м в пятно площадью 10 см2, поток в фокусе составлял
10 кет/см2. Плазма двигалась от фокуса по расходящемуся лучу
к линзе, а затем останавливалась, как и в опытах [3, 4].
Длительность работы лазера и горения разряда не указывается. При
таких больших диаметрах луча теплопроводностный механизм
выноса энергии из разряда [1, 2] значительно уступает
конвективному, связанному с тепловым расширением плазмы1 [37].
28. Высокочастотный индукционный разряд
Основы современной техники индукционных разрядов
высокого давления были заложены в 40-х годах работами Г. И. Бабата [6].
Г. И. Бабат, создав высокочастотные ламповые генераторы с
мощностями порядка сотни киловатт, получил безэлектродный
разряд в воздухе при атмосферном давлении и вводил в разряд
огромные по тому времени мощности в десятки киловатт.
Индукционные разряды нашли серьезное практическое
применение. На их основе созданы безэлектродные плазмотроны,
которые имеют ряд важных преимуществ по сравнению с
дуговыми. Главное — в безэлектродных плазмотронах генерируется
стерильно чистая плазма, не загрязненная продуктами разрушения
электродов. Кроме того, плазменная струя получается более ста-
1 Примечание при корректуре.
2 Смит и Фаулер [39], фокусируя линзами с / < 14 см луч пятикиловаттно-
го лазера непрерывного действия, получили оптический разряд в
атмосферном воздухе. Экспериментальный порог стабильного поддержания
плазмы — примерно 2 кет, что неплохо согласуется с предсказанной величиной.
233

бильной, и практически не ограничено время работы, тогда как
в дуговых плазмотронах большой мощности быстро разрушаются
электроды. Температуры плазмы обычно 6000—10 000° в
зависимости от мощности и рода газа. Безэлектродные плазмотроны
сейчас используют в плазмохимии, металлургии, для
выращивания кристаллов тугоплавких веществ, для физических
исследований, например для изучения воздействия высоких температур и
плазмы на материалы.
28.1. Температура плазмы. Один из главных вопросов, на
который должна ответить теория разряда, это какова температура
Тст
^xVxVxV^WA^^
\г„
о о о о
--С. ^ Рис. 7.6. Схема индукционно
^мпах го разряда в трубке, вставлен-
^ ной в длинный соленоид
Г
' Справа — распределение
температуры по радиусу, г0 — радиус
разряда
плазмы, от чего и как она зависит. Помимо непосредственного
интереса, который представляет этот вопрос, его принципиальное
значение состоит в том, что по известному распределению
температуры в плазме можно вычислить любые другие характеристики
разряда: его омическое сопротивление, мощность, вкладываемую
в разряд, распределения полей, самоиндукцию.
Довольно полное представление об энергетических и
электродинамических закономерностях индукционного разряда можно
получить, рассматривая идеализированную задачу об одномерном
стационарном статическом разряде, который горит в неподвижном
газе внутри диэлектрической трубки, помещенной в бесконечный
соленоид. Стационарность состояния обеспечивается тем, что все
выделяющееся в разряде тепло отводится от плазмы путем
теплопроводности в охлаждаемые стенки трубки (рис. 7.6). Такая
задача была строго сформулирована в работе В. Н. Сошникова и
Е. С. Трехова [7].
В условиях цилиндрической симметрии и стационарности
процесса радиальное распределение температуры Т (г) описывается
следующим уравнением баланса энергии:
- -f-^rr/ + б <^2> ~ ф = °' /z= -hdT/dr, (7.4)
где Ф — потери на излучение плазмы.
В соленоиде бесконечной длины магнитное поле имеет только
осевую, а электрическое — азимутальную составляющие: H=HZ,
Е = Е<р. В случае мегагерцевых частот с хорошим приближением
можно пренебречь токами смещения. Имея также в виду, что Е,
Н ~ ехр (—ш£), запишем уравнения Максвелла прямо для
комплексных амплитуд, которые для краткости обозначим Е, Н:
~dH/dr = ^-eE, -L^-rE = ie>H/c. (7.5)
234

Фактически, это не два, а четыре
уравнения для четырех функций
поля, ибо действительные и мнимые
части Е и Н или же амплитуды и
фазы являются функциями
независимыми.
В равновесной плазме с
выравненным давлением проводимость о
является функцией одной только
температуры, о = о (Г), причем
высокочастотная проводимость при
атмосферном давлении практически
совпадает с проводимостью для
постоянного тока. На рис. 7.7
показаны кривые а (Т) для воздуха и
аргона.
Граничные условия к системе
(7.4), (7.5) таковы. На оси, при г = О
вследствие симметрии / (0) = 0,
Е (0) = 0. У внутренней поверхности
трубки при г = R поток тепла и
температура подчиняются условию
теплопередачи в стенки. Для
простоты можно положить и так: Т (R) =
= Гст, где Тст — какая-то
небольшая по сравнению с температурой
плазмы температура у стенки.
Магнитное поле в непроводящей среде у стенки определяется «ампер-
витками» соленоида:
r°,WJK
Рис. 7.7. Электропроводности
воздуха и аргона при
атмосферном давлении
4л;
при г = R H(R)==H0 = — 7>,
(7.6)
где 10 — амплитуда тока в катушке, an — число витков на
единицу длины [8].
Амплитуды 10 и Н0 можно счиаать действительными, так как
фаза тока произвольна.
Уравнения (7.4), (7.5) интегрировались численно [7], причем
для упрощения решалась обратная задача. На самом деле в
соответствии с постановкой задачи следует задавать ампер-витки
соленоида и радиус трубки R. В результате решения должны
определиться температура и магнитное поле на оси Т (0), Н (0).
Авторы же, задаваясь произвольно значениями Г (0), Н (0), начинали
интегрировать уравнения от точки г = 0. На некотором радиусе
температура Т (г) очень резко падала. Радиус R, соответствующий
экстраполяции Т к нулю, и считался радиусом трубки, а по
амплитуде поля Н в этой точке определялись ампер-витки.
На рис. 7.8 представлены результаты расчета для нескольких
вариантов, которые иллюстрируют поведение температуры и по-
235

О 0,2 0,4 0,6 г, см 0 0,2 0,4 0,6 г,см
Рис. 7.8. Распределения температуры (а) и
амплитуд полей (б, в) по радиусу [7]
Статический разряд в воздухе при р = 1 атм на
частоте 50 Мгц. Для последовательности чисел
ампер-витков на 1 см Jew = 84, 72, 64, 79, 107, мощность,
вкладываемая в разряд, составляет W = 2,0; 2,4; 2,8; 5,1;
10,5 квт/см, потери на излучение— 0,03; 0,05; 0,09;
0,35; 2,0 квт/см соответственно
лей в разряде. Профиль температуры имеет характер плато с
небольшим провалом в середине и резким спадом у краев.
Появление провала связано с влиянием потерь на излучение: тепло
выделяется только в периферийном слое плазмы из-за скинирования,
а излучает весь нагретый объем.
Многочисленные измерения распределений температур и
электронных плотностей по радиусу, выполненные различными
методами, подтверждают такое поведение температуры и также
свидетельствуют о существовании небольшого провала на оси. На рис.
рис. 7.9 и 7.10 для примера приведены результаты двух
экспериментальных работ.
Результаты численных расчетов многих вариантов и их
разумное согласие с экспериментом показывают, что изложенная выше
постановка задачи правильно отражает существо процесса.
Однако проникнуться пониманием природы закономерностей явления
можно только путем пусть даже приближенных, но
аналитических решений. Значительный прогресс в этом направлении был
достигнут в работе В. А. Груздева, Р. Е. Ровинского и А. П.
Соболева [11], в которой рассматривалась та же самая задача и те
же уравнения, но только без учета потерь на излучение (кстати,
расчеты [7] показали, что последние существенны только при
236

T, f0H Ne,Wf6, см"
i i i ■ ■ '
0 11 28 г,мм
Рис.7.9. Радиальные распределения температур (1, 2, 4) и электронны*
концентраций (3, 5) в аргоне (1—3) и ксеноне (4, 5) [9]
Статический разряд в трубке радиуса 35 мм, на частоте 11,5 Мгц: 1, 2 — р =1 атм
мощности — 4,7 и 7,2 квт\ 3 — 7,2 квт\ 4,5 — р = 1 атм, 6 кет
Рис. 7.10. Изотермы в аргоне [10]
Разряд в потоке газа, р = 1 атм. Радиус трубки 11 мм, трубка охлаждается водой;
частота 28 Мгц; мощность 2,5 кет, расход 80 см3/сек. 1 — Т = 9750°, 2 — 965С°,
5—9400°, 4 — 9000°, 5 — 8700°, 6 — 8400°
больших мощностях, когда температуры превышают примерно
10 000°). В работе [11] был найден второй интеграл системы (7.4),
(7.5), который в практически важном случае тонкого скин-слоя
непосредственным образом определяет температуру плазмы через
ампер-витки соленоида.
Опуская потери Ф в уравнении (7.4) и выражая член джоулева
тепла через дивергенцию потока электромагнитной энергии S
(S = Sr) по общей формуле (6.26), получим первый интеграл
системы (7.4), (7.5)
J + S = 0; / = /г>0, 5<0, (7.7)
где постоянная интегрирования, равная нулю, определяется
граничными условиями на оси.
237

Уравнение (7.7) выражает тот очевидный факт, что в условиях
стационарного процесса без потерь электромагнитный поток
в каждой точке компенсируется тепловым, так же как и в целом
поток электромагнитной энергии, поступающий в разряд от
соленоида, полностью отводится теплопроводностью в стенки трубки.
Но уравнения Максвелла (7.5), в которых опущен ток
смещения, позволяют представить поток S в дифференциальной форме:
S== ~12Ж<("^)>=~"б4к"1г1Я12- (7'8)
Если подставить это выражение, а также дифференциальное
выражение (7.4) для / в уравнение (7.7) и умножить все на а,
уравнение можно проинтегрировать, и мы получим второй
интеграл системы, причем постоянная интегрирования определяется
граничными условиями у трубки: при Т = Тст Н — Н0. Будучи
отнесенным к точке г = 0, интеграл дает связь максимальной
температуры плазмы (на оси) Тк = Т (0) с величиной магнитного
поля на оси
\ o(T)X(T)dT = ^-
тпт«о
л 1#(0)12
Я2
о
(7.9)
В том практически важном случае, когда скин-слой у
поверхности плазменного столба оказывается тонким по сравнению с его
радиусом (фактически с радиусом трубки i?), т. е. поле не
проникает в глубь плазмы и Н (0) ж 0, уравнение (7.9) дает
непосредственную связь температуры плазмы Тк с током в соленоиде
[ б{Т)Х (Т) dT = ся#2/64яа = (J>/2)2. (7.10)
тст^о
Температура в этом случае не зависит ни от частоты поля, ни
от радиуса трубки.
В работе [11] развит метод последовательных приближений
для нахождения распределений температуры Т (г) и полей и
вычисления мощности и в общем случае, когда Н (0) ^ 0. Приведем
численный пример. Для разряда в аргоне при атмосферном
давлении и при 10п = 13,3 а-в/см по расчету [11] получается Тк =
= 8000°; на частоте 12 Мгц и при радиусе трубки R = 3,75 см
в единицу длины разряда вкладывается мощность W =
= 0,21 квтп/см; радиус поверхности, где температура снижается
до такой величины, что проводимость уже очень мала, Т = 4500°,
составляет г0 = 0,91 R. По известной формуле
6 = с/]/~2л;асо = 5,03/|/"aOJVl-ic^-iVM2tf см (7.11)
для толщины скин-слоя [8] проводимости сгк = a (Тк)
соответствует бк = 0,45 см. При 10п = 33 а-в/см получается Тк =
238

= 10 000°, W = 1,1 квт/см, r0 = 0,98 R, б =0,3 см. Эти
результаты неплохо согласуются с экспериментом.
Обращает на себя внимание большое сходство соотношений
(7.10) и (6.59). Последнее справедливо для такого же статического
разряда, но поддерживаемого электромагнитной волной, которая
описывается приближением геометрической оптики (6.28).
Причина сходства состоит в том, что в обоих случаях существует
интеграл сохранения потока энергии (7.7) и (6.57) и уравнения
Максвелла позволяют приближенно выразить поток электромагнитной
энергии в дифференциальной форме. Дифференциальные
выражения (7.8) и (6.28) соответствуют предельным случаям малых частот,
когда несуществен ток смещения, и больших частот, когда
справедливо геометрико-оптическое уравнение (6.28).
Физический смысл определяющего соотношения (7.10)
становится наглядным, если связать температуру не с ампер-витками,
а с плотностью потока электромагнитной энергии 50, поступающей
в разряд от соленоида. Это можно сделать, но только
приближенно. Уподобим разрядную плазму однородному проводнику
радиуса г0 и проводимости а = ак, который отделен от стенок трубки
непроводящим зазором,— это называют моделью «металлического
цилиндра». (Из рассмотрения графиков Т (г) рис. 7.8 следует,
что такое приближение вполне приемлемо.) Если скин-слой
тонкий (б <^ г0), поле спадает в глубь проводника по закону
ехр (—х/8), а поток энергии в проводник выражается простой
формулой [8]
__ сН\ I ю у/2 _ cW\ !
°0"" 16л \2ю) "" 32я2 об ' {'ui*'
Soem/см* = 3,16-10 "2 (10Пав1см)2(Умгц/вом-*см-^2
(мощность на единицу длины разряда W = 2 nr0S0).
Заменяя в (7.10) Н0 через S0, получим
J o(T)K(T)dTtt-L<sKbxS0. (7.13)
о
Допустим, что температура 1 к и степень ионизации невелики,
так что а — Ne — ехр (— 1/2кТ). Вычисляя интеграл (7.13),
так как это сделано в подразделе 24.4 при выводе формулы (6.60),
найдем
*о~^^, (7.14)
что можно интерпретировать так же, как и формулу (6.60). Джо-
улево тепло выделяется главным образом в слое, где проводимость
не более чем в е раз меньше максимальной величины ак на оси.
Перепад температуры в этом слое А Г дается формулой (6.56).
Толщина слоя, где поле диссипируется, порядка бк-
Следовательно, радиальный поток тепла, который выносит к трубке энергию
239

£0, поступающую в разряд от соленоида, порядка ЯкАГ/бк.
Приравнивая эту величину £0, и получим (7.14) с точностью до
численного коэффициента.
Как было показано в работе Б. Э. Мейеровичаи Л. П. Питаев-
ского [12], в рассматриваемом случае бк <^ г0 и кТк<^ /,
распределение температуры и поля в переходном слое от непроводящего
газа к плазме, т. е. в области границы разряда, имеют
универсальный характер, например Т = TKf(r/8K). В этой работе выведено
и численно проинтегрировано уравнение для безразмерной
температуры и построены профили всех величин в переходном слое.
Найдена также точная связь температуры плазмы Тк с потоком
электромагнитной энергии S0 в разряд. Эта связь, естественно,
дается той же формулой (7.14), но содержит точное значение
численного коэффициента— 3,14 вместо 4, что характеризует
степень приближения модели металлического цилиндра в данном
случае.
В заключение этого раздела мы хотели бы еще раз подчеркнуть,
что температура разрядной плазмы определяется условием
баланса потоков энергии в самой зоне диссипации поля и без
рассмотрения этого процесса, скажем, если в буквальном смысле не выходи-
дить за рамки модели «металлического цилиндра», определить
проводимость эквивалентного разряду проводника в принципе
невозможно. Что же касается радиуса разряда г0, то его легко
связать с выделяющейся в проводнике мощностью W условием тепло-
отвода этой мощности через «непроводящий зазор». Интегрируя
уравнение теплопроводности в «зазоре», получим приближенно
J ^r = 0K_0CT~|llnA. (7.15)
28.2. Влияние частоты и порог режима. Вследствие резкого
характера зависимости а (Т) даже для небольшого повышения
температуры требуется значительное увеличение тока в
индукторе, что сопровождается существенным увеличением мощности,
вкладываемой в разряд. Сказанное следует из формул (7.10),
(7.13) и усугубляется появлением при высоких температурах
потерь на излучение, которые не были учтены. Практически в
индукционных разрядах атмосферного давления температуры не
поднимаются выше примерно 10 000°. Примечательно, что ток
в индукторе, необходимый для поддержания данной температуры,
по формуле (7.10) не зависит от частоты. Этот вывод, однако,
справедлив только в случае достаточно высоких частот. На низких
частотах, так же как и при небольшой проводимости (температуре),
толщина скин-слоя перестает быть малой по сравнению с радиусом
разряда, и формулы (7.10), (7.13) теряют силу.
В работе Р. Е. Ровинского и А. П. Соболева [13] был
рассмотрен практически важный вопрос: на какой частоте вообще
выгоднее всего работать, если, скажем, иметь в виду получение плазмы
240

определенной температуры. Для того чтобы дать на него ответ,
следует проанализировать зависимости тока 10 и мощности W
от частоты при данной температуре. В общем случае, когда бк ^
^ г0, связи #о и W с со и Гк можно установить только
приближенно. Удобнее всего воспользоваться моделью «металлического
цилиндра». Поле на оси Н (0), входящее в формулу (7.9),
выражается при этом через бесселевы функции от комплексного
аргумента [8], а мощность еще и от производных этих функций, и в
результате получаются очень сложные соотношения. В работе [13]
анализ был произведен численным методом, и результаты его
представлены на рис. 7.11. Поясним эти результаты.
На больших частотах при бк <^ R число ампер-витков при
заданной температуре не зависит от со, а мощность W — S0 — со1/2,
что следует из предельных формул (7.10), (7.13). Чтобы
продемонстрировать физический смысл результатов на низких частотах,
рассмотрим приближенно противоположный предельный случай
бк ^> г0. В этом случае магнитное поле в трубке практически
однородно и равно Н0. Согласно уравнению Максвелла Е =
= тН0г/2с. Мощность, которая выделяется в разрядном столбе
единичной длины, по порядку величины
? JtCKCD2#M Jt3GK(D2 (/on)arJ
W=\*<E*)2nrdr \^ == K ; V (7.16)
0
Энергия эта выносится теплопроводностным потоком из зоны
диссипации поля, которой в данном случае служит весь столб
разряда. По порядку величины
W ~ 2яг<ДкД7Уг0 - 2я^кДГк = 2nXK2kTl/I, (7.17)
т. е. при данной температуре мощность постоянна. Из уравнения
(7.15) следует, что и радиус разряда постоянен, причем ГК/АГК —
— I/kTK ~ lni?/r0. Что же касается тока в индукторе, то согласно
(7.16) (10п) — 1/со, как и на рис. 7.11.
Из рис. 7.11 видно, что при естественном стремлении
затрачивать поменьше мощности и понизить ток в индукторе
целесообразно работать на таких частотах, чтобы при требуемой
температуре р ^ 10 -г- 30, т. е. 6к/# ~ 0,25 -=- 0,45, короче, чтобы
толщина скин-слоя составляла примерно х/з радиуса трубки.
Перейдем теперь к другому вопросу, которому уделялось
много внимания при исследовании различных режимов разряда
на оптических частотах и который имеет принципиальное
значение: каков порог существования режима. В данном случае той
величиной, которой характеризуется внешнее воздействие на
плазму и которую можно по своей воле менять и, вообще говоря,
измерить, является ток в индукторе, так что будем искать
порог именно по току. Посмотрим, какова зависимость между
числом ампер-витков и температурой плазмы при данной частоте
тока.
241

t\N\
^ >''' -'*>3 <-"' j
^=r^ ^ ./
I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ^-K 1 1 1 1 1 ll I
2 4 67 JO 20 40 70/00 ZOOp
Рис. 7.11. Качественные зависимости числа ампер-витков на 1 си (сплошные
линии) и мощности на 1 см длины индуктора (штриховые линии) от параметра
р = (V2R/6)2 [13]
Фактически это зависимости от частоты, так как ft ~ со"1/2 и 3 ~ со
J — Т = 8000°, 2 — 9000°, 5—10000°, 4 — 11000°
Рис.7.12. Качественные зависимости числа ампер-витков на 1 см от
температуры плазмы
При высоких температурах и большом токе, когда бк <^ R
и справедлива формула (7.10), I0n — Y° (^к) и не зависит от
частоты. При низких температурах, когда бк ^> г0, согласно
равенствам (7.15) — (7.17) 10п обратно пропорционально со и а(Гк)
в какой-то степени порядка 1 (степень эта зависит от численных
коэффициентов в соотношениях (7.17) и Э — XT). Не будем
останавливаться на рассмотрении промежуточного случая, который
приближенно описывается сложными трансцендентными
уравнениями. Физически ясно, что зависимость 10п от Гк проходит
через минимум, как показано на рис. 7.12, причем координаты
точки минимума, грубо говоря, соответствуют месту пересечения
экстраполированных предельных кривых.
Пороговое число ампер-витков (I0ri)t, ниже которого
невозможно поддержание плазмы, приближенно соответствует условиям,
когда толщина скин-слоя бк сравнима с радиусом трубки R.
Для оценки (I0n)t экстраполируем формулу (7.10) (в которой
вычислим интеграл)
c(r,)V2&r?/J«(J0w/2)?
до точки Ти где б (Tt) ^
ot — о (Tt) с помощью
R. Исключая пороговую проводимость
уравнения 6t == c/Y~2tteta> ^ R найдем
(hn)t
V±
сПчкТ\
Ясс/
242

Пороговая температура Tt определяется уравнением,
которое получится, если исключить (I0n)t из двух последних равенств.
Она очень слабо зависит от со и R и практически определяется
потенциалом ионизации газа. Таким образом, пороговый ток
возрастает с уменьшением частоты, как 1/со1/2. По-видимому, левые
ветви кривых рис. 7.12 должны соответствовать неустойчивым
состояниям. Если температура немного повысится, для ее
поддержания хватит более слабого тока в индукторе, чем фактический,
и начнется разогрев плазмы до перехода на правую ветвь, которая
согласно такому же рассуждению соответствует устойчивым
состояниям. Впрочем, здесь требуется еще внимательный анализ.
В экспериментах Эккерта [36] по изучению индукционного
разряда на низких частотах (около 10 кгц уменьшение индукции,
связанное с применением низкой частоты, компенсировалось
использованием железного сердечника). Разряд получался в
«баранке», надетой на сердечник, обладающий большой магнитной
проницаемостью. Переход на низкие частоты сулит то
практическое преимущество, что при этом вместо лампового генератора
может быть использован машинный. (Сведения по физике
высокочастотного разряда можно почерпнуть из обзорной статьи [14];
подробная библиография по эксперименту и приложениям
содержится в обзоре М. И. Якушина [15], см. также книгу [40].)
29. Дуга и вопрос о принципе минимума мощности
29.1 Температура и вольт-амперная характеристика.
Исторически при изучении именно дугового разряда была впервые строго
сформулирована задача о стационарном режиме поддержания
равновесной плазмы полем (по физике дуги см. книгу Финкельнбурга
и Меккера [16]). Рассмотрим длинный цилиндрический столб
дуги в продольном электрическом поле. Столбом называют часть
разряда, достаточно удаленную от электродов, где не сказывается
влияние приэлектродных явлений. В стационарном столбе
автоматически устанавливаются такие распределения температуры
и проводимости и такая напряженность электрического поля Е,
чтобы через дугу протекал определенный ток /0, величина
которого определяется главным образом э.д.с. генератора и
сопротивлением внешней цепи. Задача теории состоит в отыскании
температуры плазмы и поля в зависимости от тока. Это дает
вольт-амперную характеристику, ибо длина дуги известна и равна расстоянию
между электродами.
В отсутствие потока газа и в пренебрежении потерями на
излучение (что допустимо для слаботочных дуг) стационарность
длинной дуги обеспечивается радиальным выводом
выделяющегося в разряде джоулева тепла теплопроводностью. В одномерном
случае баланс энергии описывается тем же уравнением (7.4),
в котором теперь <Z£2> = Е\ == Е2 (его называют уравнением
243

Эленбааса-Геллера):
- -i- -JL г J + в (Т) Е* = 0, / = - X dT/dr = - d@/dr, (7.18)
причем в силу уравнения Максвелла rot Е = 0 поле не зависит
от радиуса. На оси при г = 0 J = 0, а на достаточно большом
удалении от разряда при г = R температуру можно принять равной
температуре окружающей среды или считать, что имеется
«охлаждаемая стенка»: Т — Тст ж 0. Поле Е связано с током законом
Ома:
R
/о = Я$ o2nrdr, (7.19)
о
а мощность, которая выделяется в единице длины столба, W =
== h Е.
Известно полученное Меккером [17] простое аналитическое
решение линеаризованного уравнения, в котором функция а (Т)
задается в приближенной форме: о = 0 при Т <^ Т0, 0 <^ 0О;
а = В (0 — 0О) при 0 > 0О, где В = const. В общем случае для
решения нелинейной задачи обычно пользуются «каналовой
моделью», в которой столб дуги приближенно разделяют на
проводящий канал радиуса г0 с постоянной проводимостью ак
(температурой Гк) и непроводящую зону теплоотвода r0 <r <.R,
где а = 0 [16]. Каналовая модель для дуги вполне соответствует
модели металлического цилиндра для индукционного разряда
и неоднократно использованной выше аппроксимации
«ступенькой» коэффициента поглощения [i^ (Т) для задач с
электромагнитной волной.
В каналовой модели равенство (7.19) принимает вид
/0 = Еакяг1 (7.20)
Интегрируя уравнение (7.18) в зоне теплоотвода, где а = 0,
и замечая, что поток тепла через всю цилиндрическую поверхность
равняется выделяющейся в канале мощности W = ll/nrloK на
единицу длины, получим еще одно уравнение:
Мвй - ®ст) = -fs- In -£-, 0 = [к dT, (7.21)
2я2г£ го J
0 о
которое соответствует уравнению (7.15) для индукционного разря"
да. Уравнение (7.21) связывает две неизвестные величины: 6К
или ак и г0, причем по своему выводу характеризует именно
радиус разряда, а не температуру или проводимость плазмы.
Уравнение (7.20) фактически служит для определения поля Е или
вкладываемой в разряд мощности W = I0 Е через ак и г0. Таким
образом, не хватает еще одного соотношения, которое по своему
смыслу давало бы определение температуры или проводимости
плазмы.
244

Для получения недостающего уравнения в теории дуги обычно
используется так называемый принцип минимума Штеенбека,
или принцип минимума мощности, согласно которому при
заданных /0, R и Тст должно установиться такое распределение Т (г),
чтобы выделяющаяся мощность W, а следовательно, и поле Е
были минимальными. Если продифференцировать уравнение
(7.20) по г0 с учетом того, что между ак = о (Гк) и г0 имеется
функциональная зависимость, подставить производную dTK/dr0, опре-
F, б/см
40
Рис. 7.13. «Вольт-амперная»
характеристика дуги в азоте
атмосферного давления [16]
Сплошная линия — эксперимент, пунктир- £Q
ная — расчет с применением принципа
минимума. Радиус охлаждаемой трубки
1,5 см 0 5 10 15 20
деленную путем дифференцирования уравнения (7.21), а затем
в соответствии с условием минимума положить dE/dr0 = 0, найдем
недостающую связь Тк и г0:
ЬА№1аТ)т-тл = hl^rl (7.22)
Расчеты дуг на основе уравнений (7.20)—(7.22) дали
превосходное согласие с опытом (рис. 7.13). Однако вопрос о правомерности
использования принципа минимума, который отнюдь не является
очевидным, послужил предметом многих дискуссий и
обсуждений в печати, начиная с 30-х годов и вплоть до наших дней.
Вопрос, видимо, не потерял своей актуальности, ибо даже в
последние годы появляются работы, в которых при помощи принципа
минимума рассчитывают не только дуговые, но индукционные
и СВЧ-разряды. Между тем в последних двух случаях
применение принципа приводит просто к ошибочным результатам, хотя
внешне в каких-то диапазонах параметров получаются разумные
качественные зависимости и даже согласие с опытом [14, 18, 38].
Откладывая немного обсуждение возможности использования
принципа минимума, покажем, что в привлечении этого принципа
к расчету дуги на основе каналовой модели нет ни малейшей
необходимости, а недостающее соотношение вытекает из
рассмотрения процесса в самом канале [18]. Тем самым будут
продемонстрированы общность и единство основных закономерностей, которые
определяют температуру плазмы в разрядах любых частотных
диапазонов и возможность действовать стандартным методом,
которым уже были получены соответствующие соотношения
245
\
1 \
! \
V

в случаях индукционного разряда (см. раздел 28) и разряда,
поддерживаемого электромагнитной волной (см. подраздел 24.4).
В рассматриваемой задаче из исходного уравнения (7.18),
совершенно общего соотношения (6.26) и граничных условий на
оси также вытекает закон сохранения суммарного потока энергии
(7.8). Замечая, что S = Sr = (с/An) EH (Е = Ez, Н = #ф),
выражая Е через Н по уравнению Максвелла rot Н = 4яаЕ/с,
умножая уравнение потоков (7.8) на а и интегрируя, получим
\ ^T)4T)dT = ^.\^(rH)dr. (7.23)
тст о
Это точное соотношение мы превратим в приближенное,
воспользовавшись каналовой моделью, для того чтобы выразить
первую часть через данную величину полного тока. (В условиях
данной геометрии поток S нельзя представить в чисто
дифференциальной форме, поэтому уравнение потока (7.8) не удается
проинтегрировать точно.) Вне канала Н = Н0 (г0/г), где Н0 = 2/0/сг0,
внутри канала Н = Н0 (г/г0). Подставляя эти выражения в (7.23),
получим соотношение
J a(T)X(T)dT = H/Wrl (7.24)
тст«о
которое дает недостающую связь Гк и г0, по своему выводу
определяет именно температуру плазмы и вполне аналогично
соотношениям (7.10), (6.59), которые получались для рассмотренных
ранее разрядов.
При обычно резкой зависимости о (Т) новое уравнение (7.24)
дает практически те же численные результаты, что и старое —
(7.22), т. е. также обеспечивает согласие с опытом, проверенное
старыми расчетами слаботочных дуг (см. рис. 7.13). Но, конечно,
оно имеет совсем иное физическое содержание, выражая, как
и в рассмотренных ранее случаях, условие стационарного вывода
энергии из зоны диссипации теплопроводностным потоком.
Взаимные связи параметров дуги выступают в очень
наглядной форме, если положить о = С ехр (— 1/2кТ), где , С = const
и кТ <^ /; Я = const и Тст = 0. Разрешая систему уравнений
(7.20), (7.21), (7.24) \ найдем
го = В Уа^/С, h = 2лЯ yWkiCI ТКоК, (7.25)
Е = 2 VmXjl TK/RaK, W = 4яДАГк,
АГК = 2kTl/I, ск = о (Тк).
1 Заметим, что при этом вычисление интеграла в (7.24) использованным
ранее способом дает результат, в точности совпадающий с результатом
дифференцирования а в уравнении (7.22).
246

Таким образом, для поддержания более низких температур
требуются меньшие токи (кстати, отсюда следует, что состояния
устойчивы). При понижении тока сокращается радиус разряда,
уменьшается мощность и возрастает напряженность поля. Из
последнего ясно, что существует порог по току (и температуре): если
необходимое напряжение на электродах превысит возможности
генератора, режим станет невозможным.
29.2. О недопустимости повсеместного применения принципа
минимума. Принцип минимума мощности был высказан Штеен-
беком в 1932 г. [16] в качестве интуитивного полуэмпирического
правила, и его популярность в значительной степени объясняется
успешным согласием с опытом, которое дает его применение к
расчетам дуговых разрядов. Попытки теоретического обоснования
принципа свелись в конце концов к анализу его связи с известным
принципом минимума производства энтропии в термодинамике
неравновесных процессов. При этом, а также при выяснении
причин отдельных неудач получилось некое наслоение ошибок:
некоторые авторы, справедливо критикуя предыдущие работы, сами
допускали новые неточности. Наиболее совершенный анализ
вопроса, по нашему мнению, содержится в работах М. О.
Розовского [19, 20].
Не входя в подробности, скажем о результате этого
исследования. Даже когда справедлив принцип минимума производства
энтропии, мощность в стационарном состоянии, вообще говоря,
не минимальна по сравнению с мощностью, диссипируемой в
разряде при нестационарных условиях, близких к стационарному,
т. е. принцип минимума мощности для дуги не является
физическим законом. В то же время условием минимума W можно
пользоваться при вариационном подходе к расчету дуги как удобным
математическим приемом, но справедливым только для
определенного класса пробных распределений температуры. В
частности, распределения, отвечающие каналовой модели дуги,
удовлетворяют необходимому условию, которое накладывается на
допустимые распределения, и потому результаты, основанные на
принципе минимума мощности, получаются удовлетворительными.
Что касается термодинамических систем, находящихся в
переменных электромагнитных полях, то для них оказывается
несправедливым сам принцип минимума производства энтропии и
вариационный подход, основанный на применении условия минимума
мощности, вообще незаконен. В работе [20] показано воочию, в
каком конкретном месте рассуждений появляется ошибка при
применении принципа минимума к высокочастотному разряду. Там
предложен также некий полезный вариационный подход к
задачам о стационарных разрядах.
Итак, нет никаких причин для того, чтобы прибегать в теории
разрядов к принципу минимума, который не имеет ясного
физического содержания и даже при ближайшей попытке обоснования
неизбежно приводит к необходимости тонкого и сложного анализа.
247

Любую практически полезную упрощенную модель разряда
типа каналовой, металлического цилиндра и т. д. (все они имеют
один характер) можно сделать замкнутой путем приближенного
рассмотрения процесса в самом «канале» на основе обычных
уравнений баланса энергии и электродинамики.
30. Контракция разряда в постоянном поле
теплоотдачей в стенки
Мы видели, что задача о столбе дуги (раздел 29) в своей
постановке и по характеру решения уравнений режима имеет большое
сходство с задачами об индукционном разряде в длинном соленоиде
(раздел 28), о разряде в сходящемся световом луче (раздел 27),
о поддержании плоского плазменного фронта падающей
электромагнитной волной (подраздел 24.4). В основе сходства лежит то
обстоятельство, что диссипирующаяся энергия поля во всех этих
случаях выносится потоком тепла только в ту область, где
действует поле и откуда в разряд поступает поток электромагнитной
энергии.
Рассмотрим процесс, который в этом отношении существенно
отличается от перечисленных выше и, напротив, обнаруживает
полнейшую аналогию с процессом поддержания длинного
плазменного столба в цилиндрическом световом канале, в условиях,
когда плазма сильно прозрачна для света (подраздел 24.3). Это
разряд в плоском канале между двумя пластинами, в котором
создано постоянное продольное электрическое поле. Задача эта была
поставлена и решена в работе А. Ф. Витшаса, А. М. Дыхне,
В. Г. Наумова и В. П. Панченко [21] при изучении контракции
разрядов. Явление контракции часто наблюдается в различных
разрядах и заключается в том, что разряд не охватывает всей
области, где действует внешнее электрическое поле, достаточное
для поддержания разряда. В результате стационарно
сосуществуют соприкасающиеся области, где протекает электрический ток
и где тока нет. В разделе 32 мы еще упомянем о различных
возможных причинах контракции, сейчас же рассмотрим процесс,
в котором причиной контракции служит теплопроводностный
вынос тепла на охлаждаемые стенки канала.
Представим себе бесконечный в двух измерениях плоский
канал между двумя охлаждаемыми пластинами, расположенными на
расстоянии Л друг от друга (рис. 7.14). Вдоль канала
параллельно пластинам действует постоянное однородное электрическое
поле Е == EZ1 созданное электродами, которые расположены
параллельно плоскости ху. Допустим, что в данный момент времени
слева от некоторой плоскости yz газ не ионизован и тока там нет,
несмотря на то что поле имеется, а справа от нее ток течет
(заштрихованная область). Вообще говоря, возможен стационарный
режим, в котором пограничная плоскость, разделяющая токовую
248

и бестоковую зоны (плазменный фронт), движется б постоянной
скоростью и вдоль оси х за счет теплопроводностной передачи
тепла от плазмы в холодный газ. Это типичный случай теплопровод-
ностного режима распространения разряда, о котором говорилось
в разделе 24.
Поставим себе целью найти условия стационарного
статического сосуществования токовой и бестоковой зон, когда
плазменный фронт покоится (и = 0). Такая задача решалась для слу-
Рис. 7.14. Схема разряда
в плоском канале
А — анод, К — катод. Область
разряда заштрихована. Сверху —
качественное распределение
температуры
чая неравновесного разряда в условиях очень слабой ионизации,
когда электронный газ в плазме нагрет до высокой температуры,
а газ тяжелых частиц (атомов и ионов) нагревается мало из-за
его большой по сравнению с электронами теплоемкости и
вследствие теплопередачи в стенки [21]. Задача эта служила
идеализированной моделью для интерпретации опытов А. Ф. Витшаса,
В. С. Голубева и М. М. Маликова [22] по разряду в аргоне с
малой легкоионизуемой добавкой паров цезия (атомы аргона
оставались найтральными). Рассмотрим, в общем следуя ходу
рассуждений работы [21], гораздо более простой случай равновесного
режима, в котором электропроводность является функцией
единой температуры газа. Он вполне укладывается в класс тех
равновесных статических режимов, которым посвящена данная
глава, и в силу своей простоты позволяет с большей наглядностью
продемонстрировать все закономерности процесса. Не
рассматривая распределение температуры в поперечном направлении г/,
для того чтобы сделать задачу одномерной, запишем уравнение
баланса энергии режима волны разряда
pQucp dT/dx = — dj/dx + F, J = — % dT/dx,
F = F+-F_ = 6E*- {A'@/A2 + Ф),
(7.26)
где A' — численный коэффициент порядка нескольких единиц,
который определяется поперечным профилем температуры и
характеризует теплоотвод в стенки канала. Уравнение (7.26)
совпадает с уравнением (6.25), только вместо радиуса цилиндрического
канала R стоит толщина плоского канала Л. Как и в предельном
случае слабого поглощения светового потока в плазменном столбе
(подразделы 24.2, 24.3), поле Е постоянно, а граничные условия
свидетельствуют о том, что в холодном газе при х = — оо Г = 0,
а в плазме при х = + оо тепловыделение компенсируется
потерями и /= 0.
249

Конечная температура ^к отвечает верхней, устойчивой, точке
пересечения кривых тепловыделения F+ = оЕ2 и потерь F__ =
== A'S/A2 + Ф и является функцией поля Е, Кстати, она должна
быть высокой и соответствовать почти полной однократной
ионизации газа, когда кривая о (Т) при постоянном давлении начинает
идти вниз.
Статическому режиму контрагированного разряда, в котором
граница между токовой и бестоковой областями стоит на месте
и и = О, соответствует поле Еь удовлетворяющее условию
«равенства площадей»:
®к ©к Щ
\ F d® = С [вЕ2- АЪ/А2 - Ф] d® = 0, (7.27)
о о
совершенно аналогичное (6.51). Если Е ^> Еи разряд будет
распространяться влево с постоянной скоростью и (Е), охватывая
холодный газ. Если Е <Еи вправо по плазме пойдет волна
охлаждения и деионизации. Начиная с какого-то еще меньшего
значения поля Еп < Еи при котором кривая F+ целиком лежит
ниже F_, стационарного режима не будет вообще и начальная
плазма, если таковая имеется, будет повсеместно распадаться.
Все это также находится в полной аналогии со случаем светового
потока (подраздел 24.3).
Величина поля Еи если рассматривать Е как функцию
температуры, определенную равенством тепловыделения и потерь, не
является минимальной, так что принцип минимума не выполняется
[21]. Действительно, минимальная величина Еп, при которой
вообще возможна компенсация потерь тепловыделением,
соответствует лишь касанию кривой F+ и F_, тогда как истинное поле
Et определяется условием равенства площадей, для чего кривая
F+ должна проходить выше F_ (см. рис. 6.21, 6.22). Как отмечают
авторы [21], сосуществование токовых и бестоковых областей
в газовом разряде имеет сходство с тем, что происходит в
полупроводниках с так называемой ^-образной вольт-амперной
характеристикой. В теории подобных явлений в полупроводниках,
которая излагается в обзоре А. Ф. Волкова и Ш. М. Когана [35],
также фигурирует условие равенства площадей типа (7.27).
Показательно сопоставление рассмотренного разряда плоской
геометрии с обычной цилиндрической дугой. Если в дуге
температура плазмы и поле (напряжение), плотность тока и радиус столба
определяются величиной полного тока /0, то в рассмотренной
геометрии ни температура, ни поле, ни плотность тока / = оЕ от
величины полного тока не зависит. В статическом режиме все
эти величины вообще не варьируются, а могут иметь
одно-единственное значение. Полным током определяется лишь ширина L
(вдоль оси х) разрядной области по формуле /0 = j'AL.
Решение рассмотренной задачи не может дать ответ на вопрос:
на сколько участков и какой длины разбивается в статическом
250

случае суммарная токовая длина L = /0//Л (если L ^> Л) при
заданном полном токе 10. Ясно, что рассмотренные уравнения
допускают любые варианты при условии, что ширина каждой из
токовых областей и промежутки между ними значительно больше
толщины канала. Заметим также, что при анализе устойчивости
данного статического режима необходимо учитывать, включен
разряд в цепь генератора «тока» или генератора «напряжения»,
т. е. что больше — сопротивление внешней цепи или
сопротивление разряда. Отметим работу В. Д. Письменного и А. Т.
Рахимова [23], в которой рассматривается близкая по духу задача о
неустойчивости мощного разряда плоской геометрии при
одновременном действии потерь на излучение и теплоотдачи в стенки.
31. СВЧ-разряды
Систематическое и целеустремленное изучение разрядных
явлений в практическом СВЧ-диапазоне (частоты порядка 109—
1010 гц, сантиметровые волны), в частности СВЧ-пробоя,
началось в конце 40-х годов. Длительно существующие разряды
высокого (атмосферного) давления были получены в начале 50-х годов,
когда были созданы генераторы непрерывного действия
достаточно большой (киловаттной) мощности. Типичная схема была
представлена на рис. 6.3. Разряд горит внутри волновода, в
диэлектрической трубке, пронизывающей волновод, и поддерживается
за счет энергии СВЧ-волны. Выделяющееся тепло либо отводится
вследствие теплопроводности в охлаждаемые стенки трубки, либо
уносится продуваемым через трубку газом. Подобная схема, на
основе которой был создан СВЧ-плазмотрон, описана в работе
В. П. Аксенова, Л. М. Блинова, В. П. Марина, Л. С. Полака
и В. С. Щипачева [24] (1965).
В работах П. Л. Капицы, начатых еще в 1950 г. и ставших
широко известными в 1969 г., после опубликования статьи [25],
развивалось другое направление — разряд получался внутри
резонатора, в котором возбуждались стоячие электромагнитные
волны. В ходе этих работ был создан генератор непрерывной
мощности 175 кет на длине волны 19 см, и это позволило вводить в
разряд мощность до 20 кет (см. подраздел 31.3).
Процессы в волноводе отягощены многими деталями,
связанными со сложным характером распределения поля в присутствии
плазменного образования также не простой геометрии. Между
тем большинство этих деталей влияет скорее на количественную
сторону дела. Поэтому общее представление об основных
особенностях СВЧ-разрядов удобнее получить при помощи простой
модели.
31.1. Режим, поддерживаемый плоской электромагнитной
волной. Рассмотрим статический разряд, поддерживаемый плоской
электромагнитной волной [26]. Допустим, что неподвижность
25J

плазменного фронта обеспечивается теплоотводом выделяющейся
энергии в охлаждаемую диэлектрическую стенку, прозрачную
для СВЧ-волны и расположенную между ее источником и
разрядом (рис. 7.15). (Это как бы участок трубки и прилегающей
поверхности разряда на рис. 6.3, обращенный непосредственно к
падающей волне.) Не будем пока принимать во внимание ограниченность
поперечных размеров волны и разряда и пренебрежем потерями
на излучение, которые в СВЧ-разрядах всегда малы, так как тем-
6
'f
_L
N*
*-
Рис. 7.15. Схематическое
распределение температуры в
плоском статическом СВЧ-рас-
ряде (а) и соответствующее
распределение плотности
электронов (б)
пературы не получаются высокими. Как было показано в
подразделе 24.4, при этом справедлив закон сохранения потока энергии
/ + 5 = 0, / = — X dT/dx. (7.28)
В СВЧ-полях обычно бывают существенными эффекты
волнового характера, такие, как интерференция, отражение, и поле
следует описывать волновым уравнением, которое вытекает из
уравнений Максвелла. В случае монохроматического поля и плоской
геометрии для комплексных амплитуд Е = Еу, Н = Hz имеем
уравнения типа
d?E/dz* + (е + i 4jta/co) -J E = 0, (7.29)
где проводимость а и диэлектрическая постоянная 8 даются
формулами (1.14), (1.21), причем а ~ 1 — 8 ~ Ne ~ ехр (— 1/2кТ).
Граничные условия к уравнениям (7.28) (7.29) таковы: у
стенки Т = Тст ж 0, задан поток энергии S0 в падающей
электромагнитной волне, который определяется мощностью генератора,
а глубоко в плазме поле исчезает. В результате решения
уравнений должны определиться температура плазмы ТК и доля
падающего потока энергии, которая затрачивается на ее поддержание
$i — ^о (1 — Р)> или коэффициент отражения потока р.
Даже при известных распределениях а (х), 8 (х) волновое
уравнение в неоднородной среде удается решить лишь для неболь-
252

шого числа простейших распределений [27]. Тем более сложна
задача, в которой сами распределения о [Т (х)], г[Т (х)] заранее
неизвестны. Для приближенного решения воспользуемся, как
это всегда делалось выше, крайней резкостью зависимости
электродинамических характеристик среды а и 1 — е от температуры.
Диссипация поля и рождение отраженной волны происходят
главным образом в слое, где температура близка к конечной (см.
формулу (6.56)) и пространственная граница плазмы является
весьма резкой, как показано на рис. 7.15. Будем решать систему
(7.28), (7.29) методом последовательных приближений и в
порядке нулевого приближения заменим гладкие распределения
<т (х), е (х) функциями ступенчатого характера (см. пунктир на
рис. 7.15).
В плоской монохроматической волне, которая
распространяется в однородной среде, Е ~ Я — ехр (— mt + inax/c — х ых/с)
[8, 27], где
п = У [е + |/"е2 + (4ли/ю)*]Д
к = У\— 8 + l/s2 + (4Я6/0))2]А (7-3°)
Поток энергии S ~ | Е | 2 затухает по закону
dS/dx = — [XcoiS, iico = 2>с(о/с = 4яхД0 (7.31)
(^0 — длина волны в вакууме).
При нормальном падении волны из среды с а = О, 8 = 1 на
резкую границу среды со значением а, 8, коэффициент отражения
потока
Ро = [(п - I)2 + у?]1[(п + I)2 + х2]. (7.32)
В следующем приближении будем считать, что коэффициент
поглощения \1Ш зависит от температуры по формулам (7.31), (7.30),
и проинтегрируем уравнения (7.28), (7.31) * учетом граничного
условия перед разрядом. В результате получим соотношение
т*
J X(Т) 1хш(Т)dT = S1 = S0[l-p(Гк)], (7.33)
о
которое определяет температуру плазмы Тк и обобщает уравнение
(6.59) на случай, когда существенно отражение волны от плазмы.
Для коэффициента отражения можно взять формулу (7.32), а
лучше найти в первом приближении профили Г, or, 8 и уточнить
величину отражения с учетом размытости границы плазмы. Если
положить и.ш — Ne и kTk <^1, то первое приближение дает
Ne/NeK = о/бк = (1 - 8)/(1 - 8К) = 1/[1 + ехр (- |iKa)],
|*к = МГк), (7.34)
(начало координат помещено в точку половинной ионизации).
Нерезкость границы снижает отражение, причем тем сильнее,
чем меньше температура плазмы, т. е. шире переходный слой.
253

Таблица 6
Т, тыс.
град
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
2V , CJH-3
6,6-Ю11
4,4-10'2
1,6-103
4,8-Ю13
9,3-1013
2,М014
v -Ю-",
сек-1
7,5
7,1
6,6
6,4
6,0
5,8
а-10-™,
сек-*
0,13
0,88
3,3
9,9
19,0
41,0
е
0,78
—0,53
-5,1
-18
-39
-88
4л5
0)| £|
0,33
3,3
1,3
1,1
1,0
1,0
п
0,89
0,81
1,3
2,1
2,8
4,3
X
0,14
1,1
2,6
4,7
7,3
И
'со =
= 1/1*0,, CJH
1,7
0,22
0,091
0,050
0,032
0,022
Ро
0,0089
0,28
0,57
0,71
0,83
0,88
Рассмотренным высокочастотному (раздел 28) и оптическому
(подраздел 24.4) диапазонам отвечают предельные случаи «малых»
и больших частот в уравнениях (7.29), (7.30). В пределе со -> 0,
когда | 4яа/сое | ^> 1, получается п да х да ]/2яа/со ^> 1, р0 да 1,
т. е. падающая волна практически полностью отражается от
плазмы, а проникающее в плазму поле затухает на толщине скин-
слоя б = c/J/ 2яасо. Отсюда вовсе не следует, что в случае
высокочастотных разрядов в плазму вводится лишь очень малая доля
энергии, вырабатываемой генератором. Прежде всего нет смысла
говорить об индукционных разрядах в терминах волновых
представлений, так как длины волн гораздо больше размеров системы.
Но если все-таки употреблять «волновую» терминологию, то дело
здесь обстоит так, как если бы «отраженная» мощность
возвращалась назад в индуктор и генератор восполнял только малую
разность между «падающей» и «отраженной» мощностями. Иное
положение в случае разрядов в волноводе. Здесь по техническим
причинам отраженную волну приходится отводить от генератора,
так что отражение и в самом деле снижает коэффициент
использования электромагнитной энергии.
В пределе со -> оо, когда 4 яа/сое<^1 и 8 да 1, показатель
преломления п да е1/2 да 1, а показатель поглощения х да 2яа/со8^2.
В этом случае поглощение на длине волны и отражение малы, так
что уравнение (7.31) приближенно остается справедливым и в
неоднородной среде (неоднородность «слабая»). Это есть
приближение геометрической оптики, и оно было использовано в разделе
24 при рассмотрении оптических частот.
В СВЧ-диапазоне обычно | 4яа/сое | — 1, так что он занимает
промежуточное положение между двумя предельными случаями.
Это иллюстрируется табл. 6, где приведены электродинамические
параметры ионизованного воздуха при р = 1 атм для частоты
10 Ггц, Х0 = 3 см х. В общем случае поток S нельзя представить
в чисто дифференциальной форме (7.8) или (7.31), и потому соот-
1 Частоты столкновений электронов вычислялись с сечением 10 15 см2,
соответствующим молекулам азота.
254

Таблица 7
Т, тыс. град
4,2
4,5
5,0
5,5
6,0
'MG6,
квт/см-град
0,92
0,95
1,1
1,3
1,55
0.1О2,
квт/см
i,i
1,4
1,9
2,5
3,3
Si, квт/см1
0,045
0,14
0,30
0,60
р
0,2
0,4
0,65
0,76
0,81
S0s квт/см2
—
0,075
0,40
1,25
3,1
Si*,
квт/см2
0,2
0,23
0,35
0,56
1,06
s *
к т/см2
0,25
0,38
1,0
2,3
5,6
ношение (7.33) является приближенным в отличие от точных
предельных равенств (7.10, 6.59). В табл. 7 представлены результаты
расчетов потоков S0 и S± = *S0 (1 — р), необходимых для
поддержания температуры Тк для тех же условий. Коэффициенты
отражения р вычислены с учетом размытости границы плазмы.
Если учесть ограниченность поперечных размеров области
поля и разряда, например считать, что интенсивность поля
спадает по сечению волны к краям и сильное поле, так же как и
разряд, сосредоточено в «луче» радиуса R, появляются потери
энергии за счет теплопроводностного вытекания тепла из области
действия сильного поля. При этом режим имеет порог. Задача с
учетом потерь рассматривалась в подразделе 24.5. Полученные
результаты можно полностью перенести на данный случай, ерли
учесть эффект отражения, т. е. заменить S0 на Sv В табл. 7
приведены значения потоков S± и S0 при учете потерь для случая
R = 0,3 см (они отмечены звездочками). Пороговые значения
S{ = St ^ = 0,2 квт/см2, Tt = 4200°. Как мы увидим в
подразделе 34.1, этот результат неплохо согласуется с опытом. При
повышении мощности и температуры относительная роль потерь
уменьшается и значения Sx и S± сближаются. Сильное отражение не
позволяет получить в СВЧ-разрядах высокие температуры, в воздухе
обычно температуры не превышают 5000—6000°.
31.2. Разряд в волноводе. На практике разряды чаще всего
получают, применяя волноводы прямоугольного сечения и Н01 —
моду падающей волны. Вектор электрического поля в такой волне
параллелен узкой стенке волновода; напряженность поля в этом
направлении постоянна, а в перпендикулярном изменяется по
синусоидальному закону (рис. 7.16). Разряд организуют в
трубке посередине сечения волновода, где электрическое поле
максимально; при этом разряд всегда вытягивается вдоль поля.
Плазменное образование естественно уподобить цилиндрическому
проводнику радиуса г0 и постоянной проводимости ак, отвечающей
температуре плазмы Гк, что вполне соответствует каналовой
модели дуги или модели металлического цилиндра для индукционного
разряда. Такая модель рассматривалась в работах Л. М. Блинова,
В. В. Володько, Г. Г. Гонтарева, Г. В. Лысова и Л. С. Полака
255

[28], Л. М. Балтина, В. М. Батенина, И. И. Девяткина,
В. Р. Лебедевой и Н. И. Цемко [29], в которых разряд
исследовался на опыте.
Остановимся на основных моментах, из которых должно
складываться решение задачи о разряде. Цель решения, очевидно,
состоит в том, чтобы при заданной мощности в падающей волне
Р0 и данных условиях теплоотвода, скажем данном радиусе
охлаждаемой трубки R, найти мощность Рх, которая диссипируется
в плазме, температуру плазмы Тк и ее радиус г0.
Рис. 7.16. Схема разряда в
волноводе, поддерживаемого Я01 волной
о — поперечное сечение волновода,
трубки и разряда; плазма заштрихована;
б — распределение напряженности
электрического поля вдоль широкой стенки
Для определения мощности, вводимой в плазму, требуется
рассмотрение рассеяния падающей волны проводящим стержнем
в условиях, показанных на рис. 7.16. Под действием
электрического поля падающей волны в проводнике индуцируется переменный
продольный ток, который, вообще говоря, состоит из
незамкнутого тока проводимости и тока поляризации. Индуцируемый ток
служит источником рассеянной волны, которая интерферирует
с падающей. Мощность Р0, которая поставляется генератором,
делится между отраженной и проходящей волнами, а часть ее Рг
диссипируется в проводнике. Решение волновой задачи сопряжено
с большими математическими трудностями и фактически сделано
только для предельного случая очень тонкого стержня [30],
причем даже в этом случае результаты представляются в столь
громоздкой форме, что в полной мере использовать их трудно.
Согласно этому решению в проводнике может диссипироваться максимум
половина мощности падающей волны, четверть при этом проходит,
четверть отражается. Вычисление [28], сделанное в
предположении 4яак/со | 8 | ^> 1, показывает, что диссипация максимальна,
если глубина проникновения поля в плазму сравнима с ее
радиусом 1. Если скин-слой тонкий, 6 = с/]/"2яак(о <^ г0 (проводимость
велика, радиус большой), волна сильно отражается. Если б J^> г0
1 Напоминаем, что в индукционном разряде условия для нагрева плазмы
также оптимальны при б ~ го (см. раздел 28).
256

(проводимость низкая, проводник очень тонкий), так что
электрическое поле и ток равномерно распределены по сечению, волна
хорошо проходит. Таким образом получается связь коэффициента
использования электромагнитной энергии v\ = PJPq с ок =
= о (Тк) и радиусом х г0.
Радиус плазменного столба г0 характеризуется условием тепло-
отвода выделяющейся мощности, которое также связывает Р1т
Гк и г0. Уравнение теплоотвода совпадает с равенством (7.15),
если W = PJh, где h — длина столба. Такого же типа уравнение
(7.21) фигурирует и в каналовой модели дуги.
Наконец, проводимость и температура плазмы определяются,
как мы уже неоднократно подчеркивали, балансом энергии в
самой зоне диссипации поля. Если глубина проникновения поля
в плазму /к = 1/п.со (Тк) мала по сравнению с ее радиусом г0,
справедливо уравнение (7.33) в той части, где температура Тк
связывается с потоком диссипирующейся энергии S±. Последний
можно определить равенством Sx = W/2nr0 = PJlnr^h. Если
же поле в плазме однородно, уравнение баланса следует составить
точно так же, как это делалось для дуги при выводе формулы
(7.24). В более грубом приближении условие теплопроводностного
вывода выделяющегося тепла из зоны диссипации можно записать
в совсем простой форме: при lK <^ r0 W ж 2яг0А,кДГк//к, при
*к >> r0 W^2nr0XI{ATJr0 = 2яЯкДГк, где АГК - 2kT\II —
перепад температур в «проводнике». Последнее уравнение в
точности совпадает с (7.17). Промежуточный случай ZK ~ г0 требует
специальных вычислений, но для оценок достаточно проэкстра-
полировать предельные кривые Тк (W) с двух сторон до места их
пересечения.
В работе [28] температура плазмы не вычислялась
теоретически, а принималась соответствующей оптимальным условиям
для ввода энергии в плазму (бк — г0). В работе [29] для вывода
уравнения, которое определяет температуру плазмы,
использовался принцип минимума Штеенбека. В свете сказанного в
разделе 28 это нельзя признать оправданным 2.
В силу существования максимума у зависимости
«коэффициента полезного действия» г) — PJPq от проводимости (температуры)
1 Заметим, что реальные радиусы г о никогда не удовлетворяют очень
жесткому ограничению «тонкости» стержня [30], но уточнения потребовали бы
слишком сложных расчетов. По-видимому, решение можно «загнать в
вилку», рассмотрев в качестве противоположного предельного случая
рассеяние плоской волны проводящим слоем конечной толщины,
подразумевая под последней диаметр стержня 2го.
2 Можно показать, что полученные таким образом результаты, которые на
первый взгляд кажутся качественно правильными, на самом деле содержат
скрытое противоречие: в исходных уравнениях [29] считается б <^ г0, а
получающееся выражение для мощности W ~ АлХАТ на самом деле
соответствует случаю б ^> го. Численно правильные результаты получаются
только в «оптимальном» случае, когда б ~ г0. Сходное положение
получается и когда принцип минимума применяется к индукционному разряду,
как это было сделано в работе Фримэна и Чейза [31] (см. об этом [14, 20]).
257

проводника кривая Р0 (Гк) проходит через минимум при
некотором значении Ти которое, грубо говоря, соответствует условиям,
когда глубина проникновения поля в плазму сравнима с ее
радиусом. Следовательно, режим имеет порог по мощности падающей
волны. Ниспадающая ветвь кривой Р0 (Гк) соответствует
неустойчивым состояниям [29]. Все это, как видим, очень похоже на
то, что происходит в разрядах других типов: оптическом,
индукционном, отчасти дуговом, которые рассматривались в
предыдущих разделах.
Рассмотрим кратко результаты экспериментов. Правда, в
опытах выделяющаяся в разряде мощность отводилась не в трубку*
а потоком газа, но, как отмечалось в подразделе 24.4 и, как мы
увидим ниже, в разделе 33, температура плазмы слабо зависит
от способа теплоотвода. В работе [28] разряд исследовался на
длине волны Л0 = 12 см в волноводе сечения 7,2 X 3,4 см2. Трубки
имели радиусы порядка 1 см, радиус разряда г0 составлял
примерно 0,5 см. В плазму вводилась мощность 1—2 кет. При этом
температура в воздухе атмосферного давления была примерно 4000°,
в азоте — примерно 5000°. Температуру в азоте удавалось поднять
(примерно до 6000°) при переходе на более короткую волну, Х0 =
.= 3 см (соответственно в волноводе другого сечения). К.п.д.
устройства можно значительно повысить, если поставить за
разрядом отражатель для проходящей волны, с тем чтобы «завернуть»
ее назад. В результате в волноводе устанавливается стоячая
волна. При этом расстояние между разрядом и отражателем
подбирается так, чтобы разряд приходился на область пучности поля.
Таким образом удается ввести в плазму до 80—90% энергии,
вырабатываемой генератором.
В опытах [29] также использовался волновод 7,2 X 3,4 ель2.
Разряд получался в кварцевой трубке радиуса 0,8 см.
Исследовался азот при атмосферном давлении. Проведенные измерения
колебательной и вращательной температур, с одной стороны, и
концентрации электронов — с другой, показали, что состояние
плазмы близко к равновесному. Температура Т ж 6000° и слабо
зависит от мощности. Напротив, в СВЧ-разряде в аргоне, который
исследовался в опытах Л. М. Балтина, В. М. Батенина,
В. Р. Гольдберга и Н. И. Цемко [32] (в той же постановке),
электронная температура ж 6500—7000° заметно превышала
атомную — 4500°. Это и естественно: в атомарных газах отсутствует
такой действенный механизм выравнивания температур» как
возбуждение молекулярных колебаний ударами электронов.
31.3. Разряд в резонаторе. В опытах П. Л. Капицы [25]
разряд получался внутри резонатора. В цилиндрическом резонаторе
возбуждались стоячие волны типа Е01. Структура поля при этом
такова, что электрическое поле на оси направлено вдоль оси и
изменяется по синусоидальному закону; по радиусу поле спадает
при удалении от оси. Разряд поджигался на оси в области
максимального поля. Плазма вытягивалась вдоль электрического век-
258

тора и при больших мощностях имела вид шнура (рис. 7.17).
Длина шнура достигала половины длины волны колебаний, т. е. 10 см
(Х0 = 19 см), диаметр 1 см. При больших мощностях разряд
извивался и всплывал под действием архимедовой силы. В целях его
стабилизации газ в резонаторе закручивался, это предотвращало
всплывание и придавало плазменному шнуру устойчивость.
Благодаря использованию очень мощного генератора (175 кет) для
накачки резонатора в стабилизированный разряд можно было вво-
Рис. 7.17. Схема шнурового разряда [25] в резонаторе
Проведены силовые линии электрического поля в колебаниях типа Еп\ плазменный шнур
заштрихован
дить мощность около 20 кет. Исследовались разряды в
водороде, дейтерии, гелии и других газах при давлениях порядка одной
или нескольких атмосфер. Разряд не всегда имел вид шнура;
при небольших мощностях форма его была овальной и границы
имели размытый «диффузный» характер.
В работе П. Л. Капицы [25] подробно описаны результаты
экспериментальных и теоретических исследований
электродинамических характеристик процесса, параметров плазмы, влияния
внешнего магнитного поля. Однако основное внимание в ней
сосредоточено на обсуждении предполагаемого эффекта образования
внутри разряда высоконагретой полости с температурой
электронов порядка миллиона градусов. Считается, что центральная
высокотемпературная область теплоизолирована от окружающей
обычной разрядной плазмы с температурой примерно 6000°
двойным электрическим слоем и поддерживается за счет энергии,
которая выделяется благодаря возникновению аномального скин-
эффекта. Рассмотрение этого явления (см. также [33]) выходит
за рамки той темы, которой посвящена данная книга, и мы
остановимся здесь только на тех же аспектах данного разрядного
процесса, которые обсуждались во всех предыдущих разделах этой
главы.
Идеализированная задача о разряде данного типа решена в
работе Б. Э. Мейеровича [34]. Рассматривается одномерный
цилиндрический разряд, который горит в охлаждаемой трубе,
имитирующей резонатор. Электрическое поле направлено вдоль оси
(Е = Ez), магнитное образует кольцевые замкнутые линии (Я =
= #ф). Только в этом отношении задача и отличается от задачи
259

об индукционном разряде, где Н = #2, а Е = _ЕФ, ибо токи
смещения не учитываются. Геометрия полей такова же, как и
в столбе дуги, но только поля переменные, и потому имеет место
эффект скинирования. Система уравнений баланса энергии (7.4)
(без потерь на излучения) и Максвелла (без токов смещения),
как и в работе [12], упрощается с учетом того факта, что к Т/1 <^ 1.
Она сводится к универсальному уравнению для безразмерной
температуры, которое интегрируется численно.
В результате найдены профиль температуры (он имеет обычный
вид плато со спадом у краев), максимальная температура на оси
ТК в зависимости от мощности, выделяющейся в единице длины
разрядного столба W, и эффективный радиус разряда г0. Связь
ТК и мощности W дается формулой
W = 4nv(t)XKkTlJI, (7.35)
где v — безразмерная функция отношения эффективного радиуса
плазмы к толщине скин-слоя £ = г0/6к.
В предельном случае тонкого скин-слоя, 5 ^> 1»
цилиндрическая геометрия практически не отличается от плоской и формула
(7.35) превращается в формулу (7.14), но с точным значением
коэффициента — 3,14 [12] вместо 4.
В пределе | <^ 1, когда тепло выделяется во всем объеме
плазменного столба, v (0) = 4. Этот случай в точности совпадает
с ситуацией в дуговом разряде и близок к ситуации в
индукционном разряде без скинирования. В приближенном решении для
дуги (7.25) численный коэффициент получился вдвое меньшим,
чем и характеризуется степень приближения. В оценочной формуле
(7.17), записанной для индукционного разряда из элементарных
соображений, коэффициент был в 4 раза меньшим.
В численных расчетах, сделанных для водорода [34],
обнаруживаются эффекты, характерные для молекулярных газов. Дело
Рис. 7.18. Зависимость температуры
от вкладываемой мощности [34] для
разряда в резонаторе (а) и радиус
разряда (б)
Водород, р = 1 атм, радиус трубы
R = 10 см, v =а Ю Ггц
а
Е
Тк,,!03оК
в\
5,8\
5М
V
\
LiA_.j_.__..
F
^
J 1 1_
0 2
Ч В 8 10
W, кВт I см
го,см
г
1
А
I
с4г^
\в
I I
6
111
!
Z Ц к dm/ш 0
0,4
0,8 W, к Вт/см
260

в том, что теплопроводность молекулярных газов немонотонно
зависит от температуры. Это видно из рис. 6.19, где приведена
кривая X (Т) для воздуха, типичная для любых молекулярных
газов. Максимум теплопроводности лежит в области развитой
диссоциации молекул. Он связан с тем, что атомы
диссоциированных молекул, диффундируя в область пониженной
температуры, там рекомбинируют и при этом выделяется большая
энергия связи. Немонотонность кривой теплопроводности приводит
к неоднозначности зависимостей температуры плазмы Тк и
радиуса разряда г0 от вкладываемой мощности W (рис. 7.18). Участок
ВС соответствует неустойчивым состояниям, состояния на
участках АВ и CD устойчивы. По мнению Б. Э. Мейеровича, здесь
кроется причина существования двух форм разряда, которые
наблюдались на опыте: ветвь АВ соответствует диффузному разряду,
CDEF — шнуровому. При изменении мощности переходы из
одной формы в другую происходят скачком в точках В и С, как
показано стрелками на рис. 7.18, а.
Было бы интересным проанализировать данные экспериментов
по разрядам других типов и соответствующие теории, с тем чтобы
попытаться обнаружить подобные эффекты в других разрядах.
Глава 8
ЭФФЕКТЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАЗРЯДОВ
В ПОСТОЯННОМ, ВЫСОКОЧАСТОТНОМ И СВЧПОЛЯХ
32. Волны ионизации в постоянном поле,
движимые электронной теплопроводностью
В опытах Ю. М. Волкова [1] при исследовании импульсных
разрядов в инертных газах с малыми добавками паров цезия
наблюдалось быстрое расширение токопроводящего канала между
электродами. Так, например, в аргоне с добавкой 1% атомов
цезия при давлении 100 тор и разрядном токе 80 а начальная
скорость расширения цилиндрического канала разряда
составляла около 1 км/сек. Движение границы светящейся области
постепенно замедлялось, и примерно через 100 мксек скорость падала
до 10 м/сек. Электрическое поле (параллельное оси цилиндра)
уменьшалось при этом от начальной величины Е ^ 50 до Е «
^5 в/см. В искровых разрядах большой мощности расширение
токопроводящего канала обычно связано с гидродинамическим
расширением плазмы и сопровождается распространением
цилиндрической ударной волны, которая образуется вследствие
поршневого действия расширяющейся плазмы. Здесь же на ранней
261

стадии процесса газ тяжелых частиц не успевал нагреваться и
приходить в движение, так как в разряд вкладывалась небольшая
энергия и концентрация электронов, поставляемых только легко-
ионизуемыми атомами цезия, была весьма малой. Ионизация
распространялась по неподвижному газу, и было предположено, что
механизмом распространения служит электронная
теплопроводность.
В этой связи Е. П. Велихов и А. М. Дыхне [2] рассмотрели
модельную задачу о плоском режиме волны ионизации, которая
распространяется за счет электронной теплопроводности. Волна
движется в постоянном электрическом поле Е = Ez в
направлении х, перпендикулярном полю. Как отмечалось выше, это была
первая постановка задачи о теплопроводностном режиме
распространения разряда, и авторы [2] впервые обратили внимание на
сходство такого процесса с процессом медленного горения. Задача
о режиме формулировалась со следующими допущениями.
Считалось, что концентрация электронов настолько мала, что
атомарный газ представляет собой как бы резервуар бесконечной
теплоемкости и, воспринимая от электронов энергию при
столкновениях, совершенно не нагревается. Плазма является существенно
неравновесной в том смысле, что температура электронов Т
сильно отличается от температуры атомов Та ^ 0. С другой
стороны, считалось, что плотность электронов достаточно велика для
того, чтобы атомы ионизировались «мгновенно», степень
ионизации повсюду была равновесной по отношению к локальной
электронной температуре Г, и было справедливым уравнение Саха.
Предполагалось, далее, что кТ <^ / и никаких иных потерь
энергии электронов, кроме передачи энергии газу тяжелых частиц
при столкновениях с нейтральными атомами, нет.
В системе координат, где фронт волны покоится и процесс
стационарен, уравнение баланса энергии электронов имеет вид
/х = _ %г dTfdx, Ne ~ ехр (— 1/2кТ).
Здесь в выражениях для теплового потока и джоулева тепла
выделены множители плотности электронов Ne, так что аг и
кг — электропроводность и электронная теплопроводность,
рассчитанные на один электрон. Они выражаются через время
свободного пробега электронов т, которое считалось постоянным:
ог = еН/тп, %г да v\xk да к2Тх/т. В последней формуле опущены
численные коэффициенты порядка 1; ve — тепловая скорость
электронов; М — масса атомов.
За волной при х —>■ оо температура стремится к постоянному
значению ТК, которое определяется условием компенсации
тепловыделения и упругих потерь энергии электронов. Три Т ^> Та
ТК = е*Е*х*М/Зкт2. (8.2)

Поток тепла за волной, естественно, исчезает. В силу
нелинейного характера электронной теплопроводности, коэффициент
которой растет с ростом температуры, передний край
температурной волны резкий, он не простирается до бесконечности, как
в случае, когда коэффициент теплопроводности постоянен.
Граничное условие здесь должно свидетельствовать о том, что
начальный подъем температуры электронов связан с теплопроводностным
переносом энергии из зоны диссипации поля, а не с нагревом их
полем. Иными словами, на краю волны при Т —>- 0 в искомом
решении старшим членом правой части уравнения (8.1) должно быть
первое слагаемое. Отсюда предельная форма искомого первого
интеграла уравнения при Т -+■ О имеет вид uINe = —Nej\ +
+ const. Постоянная интегрирования равна нулю, так как Лте
очень быстро стремится к нулю при Т ->• 0. Так получаем второе
граничное условие: при Т = 0 j\ = —ul = const'. Задача
переопределена, что и дает возможность найти скорость
распространения и.
Порядок величины скорости и и ширину волны можно оценить
путем сопоставления различных слагаемых в уравнении (8.1).
Сравнивая главный член в дивергенции потока тепла,
пропорциональный dNJdx, с членом упругих потерь электронов, найдем,
что масштабом длины в волне является величина L = (М/т)1/* X
X (1/т)Х1ч. Ей по порядку величины и равна эффективная ширина
волны. Сопоставляя дивергенцию потока с конвективным членом,
найдем масштаб скорости
U = (кТк/МГ> (кТК11)Ъ да vev (m/ЩЬ {кТК/1)Ъ. (8.3)
В работе [2] уравнение (8.1) преобразуется к безразмерным
переменным Ф = Т/Т^, £ = x/L и, далее, путем исключения
координаты и понижения порядка — к О* и у = ftdft/dli, (у — это
безразмерный поток тепла на один электрон). Качественное
исследование поля интегральных кривых в зависимости от параметра
v = и/U показало, что граничным условиям удается
удовлетворить только при одном значении v да 1, т. е. скорость волны
и да U.
Оценка скорости, сделанная [1] по формуле (8.3) [2], дала
согласие с опытом по порядку величины. Все же это кажется нам
недостаточным для того, чтобы отождествить механизм
распространения ионизационного фронта [1] с рассмотренным в данной
задаче. Теория содержит существенное допущение об очень
быстром достижении равновесной ионизации в условиях, когда
последняя мала. Проводить сопоставление с опытом без анализа
этого вопроса рискованно. Но независимо от того, объясняет ли
изложенная теория опыт [1] или нет, сама задача обладает
большим изяществом и, повторяем, была первой задачей о режиме
такого типа.
Позднее, Таркотт, Онг и Мант [3, 4] рассматривали ту же
задачу о волне ионизации в постоянном поле, но с учетом кинетики
263

ионизации, т. е. без допущения о равновесности степени
ионизации, а также с учетом диффузии электронов. Последняя
обеспечивает появление первых электронов перед волной ионизации,
от которых начинается электронная лавина. Поскольку плотность
электронов теперь не является функцией температуры, для нее
следует составлять отдельное уравнение. В строгой записи оно
имеет вид
dNe d (п dNe 8 DNe dT , DNeeEx\ , „ q ,,
:_[£-_+ ____ + __ j + q. (8.4)
dx dx \ dx
Здесь D ж v\x — коэффициент диффузии электронов; Ex —
продольное поле поляризации, которое возникает вследствие
некоторого разделения зарядов при диффузии; q — результирующая
скорость образования электронов в 1 см3 в 1 сек, q = KiNNe —
— KrNtN+, где N+ и N — плотности ионов и атомов, a Kt и Кг —
константы скоростей ионизации и рекомбинации. Последние
связаны друг с другом принципом детального равновесия и являются
функциями электронной температуры Т.
Уравнение ддя плотности ионов в пренебрежении диффузией
ионов есть udNJdx = q. Поле поляризации Ех удовлетворяет
уравнению Пуассона dEx/dx = Апе (N+ — Ne).
Для электронной температуры записывается также строгое
уравнение баланса энергии с выражением для потока
электронного тепла, которое соответствует потоку числа электронов в
уравнении (8.4)
d I 3 АГ 7m\ d 180 j^nT 7 dT , 55 ^7 ^ dNe . 55 лт ^ ^ \ ,
, NeDe*E* WekT T r. T R-
+ —m щ-v -la)-H- (8-5)
Здесь проводимость и время свободного пробега электронов
выражены через коэффициент их диффузии; Е = Ег — внешнее
поле. Температура атомов Та считается малой: Та <^ Т.
Граничные условия к системе уравнений для неизвестных
функций Nei N+, Т, Ех таковы.. За волной при х = + °° все
градиенты исчезают, газ электронейтрален и Ех = 0. Конечная
электронная температура Тк определяется той же формулой (8.2)
а плотность электронов Ne = N+ = NK равновесна и выражается
через Тк по формуле Саха. Передний фронт волны в данной
постановке, когда учитываются диффузия электронов и конечная
скорость ионизации, размыт и простирается до бесконечности.
При х = —оо имеем Ne = N+ = 0, а температура электронов
Т (— оо) и поле поляризации Ех(—оо) ограниченны, но заранее
неизвестны.
Фактически дебаевский радиус всегда оказывается столь
малым, что разделение ничтожно, и диффузия имеет амбиполяр-
ный характер. Кроме того, авторы подчеркивают, что
характерное время реакции ионизации, т. е. время установления равновес-
264

ной степени ионизации, треак = (KiN)"1, чаще всего велико
по сравнению с характерным временем передачи энергии от
электронов тяжелым частицам т0бм = т (М/яг), и при расчетах
используют это обстоятельство. Таким образом, исследуется случай,
прямо противоположный тому, который рассматривали Е. П.
Велихов и А. М. Дыхне. Скорость распространения волны в этом
случае лимитируется не скоростью прогревания электронного
газа теплопроводностью, а скоростью развития ионизации в газе
при наличии быстро прогретых начальных электронов.
Электронная температура оказывается почти постоянной во
всем пространстве, а ширина волны имеет порядок Ьг ~ итреак.
С другой стороны, в силу диффузионной природы
распространения ионизационного фронта и ~DjLi, откуда масштаб скорости
Ui = Ve (т//Треак)1/2.
Система уравнений приводится к безразмерному виду, и
параметр vx = u/U-l находится в результате решения задачи,
которая, как обычно, переопределена. Оказывается, система имеет
два собственных значения v1? одно из которых порядка 1, а другое
существенно меньше 1 и, по-видимому, является лишним х.
Численно для водорода при плотности атомов N = 1015 1/см3 и
конечной температуре Тк = 10 000°, при которой NeK « 10121/сл&3,
время реакции ионизации треак в 105 раз больше времени обмена
Тобм, т. е. ионизация существенно неравновесна, чем и
подтверждается необходимость учета кинетики ионизации. Скорость
волны получается равной и ж 36 м/сек. Для аргона при тех же
параметрах получается ТреакДобм = 54 и u ^ 180 м/сек.
В изложенных выше постановках плоский фронт ионизации
распространяется в сколь угодно слабом поле. Между тем на
практике во многих случаях разряд не охватывает всей области,
где имеется такое же самое электрическое поле, и непроводящая
€естоковая область статическим образом сосуществует с
ионизованной, где идет ток. В разделе 31 уже упоминалось об этом
явлении, которое называется контракцией разряда. Как указывалось
в работах В. Ю. Баранова и К. Н. Ульянова [6, 34], причиной
контракции может явиться зависимость частоты столкновений
электронов от температуры, связанная с тепловым расширением
нагревающегося газа и возрастанием роли кулоновских
столкновений с ионами. Как показал А. М. Дыхне [7], уравнение (8.1)
в этом случае допускает нетривиальное решение с и = 0, т. е.
может описывать стационарное сосуществование токовой и
бестоковой областей с неподвижной границей. Возможен и
радиационный механизм контракции, когда распространение
ионизационного фронта сдерживается потерями на излучение [7]. В
разделе 30 рассматривался механизм контракции разряда в
ограниченном пространстве, связанной с теплоотдачей в стенки.
Заметим, что в теории горения при учете потерь появляются две скорости
пламени [5].
265

33. Высокочастотный разряд в потоке газа
Равновесный теплопроводностный режим распространения
волны разряда, рассмотренный в разделе 24 применительно к
оптическим частотам, в полях высокочастотного диапазона возникает
в безэлектродном плазмотроне. Индукционная плазменная
горелка, как иногда называют это устройство, была
сконструирована Ридом [8] в 1960 г. (см. рис. 6.3, б). Через соленоид,внутри
которого горит разряд, по трубке продувается газ и газ вытекает*
чаще всего прямо в окружающую атмосферу, в виде плазменной
струи атмосферного давления. Одним из самых существенных
конструктивных моментов в плазменной горелке является применение
тангенциальной подачи газа, в результате чего газ течет по
трубке, совершая винтовое движение. Благодаря действию
центробежных сил в районе оси давление получается пониженным, и
здесь образуется завихрение. Продольное движение в приосевой
области практически отсутствует. Газ протекает в основном в
периферийном слое у поверхности трубки, отжимая разряд от
стенок и тем самым предохраняя трубку от разрушающего действия
высоких температур.
На рис. 8.1 показана фотография разряда и плазменной струи
в установке, созданной М. И. Якушиным [9]. Двухвитковый
индуктор сделан из медной трубки, охлаждаемой водой. Он
питается от лампового генератора, который работает в диапазоне
частот 6—18 Мгц и создает на индукторе напряжение порядка
5 кв. В разряд вводится мощность до 40 кет. По кварцевой трубке
длиной 35 и диаметром 6 см продувают воздух или аргон под
давлением чуть больше атмосферного, причем также используется
тангенциальная подача. При обычных расходах порядка Ю3см3/сек
осевые скорости холодного газа на периферии имеют порядок
1 м/сек. Температура плазмы на срезе трубки достигает 10 000°.
В 1968 г. автором [10] была предложена модель, призванная
объяснить, как происходит превращение холодного газа в плазму
в таком плазмотроне. Было показано, что существует глубокая
аналогия между процессом, который протекает в плазмотроне,
и горением в обычной химической горелке. Таким образом,
оказалось, что в термине «плазменная горелка», появившемся
вследствие внешнего сходства плазменного факела плазмотрона с
химическим пламенем, заключено гораздо более серьезное
содержание. Основным элементом модели служит решение задачи о
нормальном распространении равновесной теплопроводностной волны
разряда, подобно тому как объяснение конфигурации фронта
пламени в химической горелке зиждется на решении
фундаментальной задачи о нормальной скорости распространения горения.
33.1. Нормальная скорость распространения разряда. К
постановке задачи о плоском режиме волны разряда удобнее всего
прийти путем следующего рассуждения. Представим себе
неустановившийся процесс расширения плазменного столба в длинном
266

Рис. 8.1. Разряд и плазменная струя безэлектродного плазмотрона [9]
Диаметр трубки 6 см; воздух* р = 1 атм, расход 2»103 см3/сек, Р = 27 кет, темпера*
тура на оси у среза трубки 9800° К. Поток слева направо
соленоиде без протока газа в стадии, когда разряд, будучи
зажженным на оси, еще не достиг своего устойчивого радиуса.
Допустим, что частота поля и температура плазмы таковы, что
толщина скин-слоя мала по сравнению с радиусом плазменного
столба. На практике чаще всего так и бывает. Например, в варианте,
показанном на рис. 8.1, толщина слоя, в котором происходит
основное тепловыделение, 6/2 = 0,15 см (v = 15 Мгц, о ^
25 ом"1 см"1), тогда как радиус разряда г0 ж 2 см.
В этом случае каждый участок поверхности волны разряда
можно считать плоским, и плоскость эта параллельна
направлению магнитного поля. Продольные градиенты температуры в
длинном соленоиде малы, т. е. потоком тепла в направлении,
поперечном к направлению распространения фронта, можно пренебречь.
Пренебрегая также потерями на излучение, мы приходим к задаче
о плоском режиме волны без потерь, которая рассматривалась
выше, применительно к разряду, поддерживаемому падающей
электромагнитной волной. В данном случае ток смещения мал
по сравнению с током проводимости, но поля Н = Hz и Е = Еу,
также взаимно перпендикулярны друг другу и параллельны
плоскости фронта разряда.
Рассмотрим стационарный режим в системе координат, где
фронт волны покоится. Уравнение баланса энергии (6.39),
которым описывается волна, имеет интеграл сохранения суммарного
потока (6.41), а общий баланс энергии всей волны дается
равенством (6.42), где S0 — поток электромагнитной энергии,
поступающий в разряд от соленоида и направленный по радиусу к оси
цилиндра (вдоль оси х). Поля Е и Н удовлетворяют уравнениям
dH 4я „ dE Ш гт /о ол
dx с 'do? с \ • /
Температура в волне ведет себя так, как это показано на
рис. 6.17, в. За волной (при х = + оо) поток тепла и поле исче-
267

зают, а температура стремится к постоянному конечному
значению Тк. Перед волной (при х = — оо), где S = S0, Т = О,
а магнитное поле Н = Н0 определяется ампер-витками соленоида
по формуле (7.6).
В подразделе 24.4 для решения аналогичной задачи мы
воспользовались резкостью зависимости коэффициента поглощения
электромагнитной волны от температуры, и это позволило считать,
что в зоне диссипации поля процесс в распространяющемся
разряде протекает практически так же, как и в статическом.
Следовательно, температура плазмы примерно такова же, что и в
соответствующем статическом разряде, в котором тепло, выносимое
из зоны диссипации теплопроводностью, затрачивается не на
нагревание новых порций газа, втекающего в волну, а отводится
в охлаждаемую стенку. Точно так же можно поступить и в данном
случае. Тогда мы придем к соотношению (7.10), которое
определит температуру плазмы через ампер-витки; после этого
скорость распространения волны и найдется из равенств (6.42)
и (7.12).
Подобная процедура дает очень хорошую точность для СВЧ-
разряда, где температуры получаются совсем низкими, 4000—
6000°, но может вызвать сомнения в случае высокочастотного,
где температуры выше, около 10 000°. Зависимость а (Т) при этом
уже не столь резка и вообще может отличаться от больцмановской,
так как здесь начинают играть роль кулоновские столкновения
электронов с ионами. Когда главными становятся последние, а
в воздухе и аргоне, например, это происходит при температуре
примерно 12 000°, больцмановский закон вообще переходит в
зависимость а ~ Г3/2.
Будем решать систему (6.41), (8.6) методом последовательных
приближений без допущения о неразличимости температур
распространяющегося и статического разрядов. В порядке нулевого
приближения заменим функцию а [Т (х)] ступенчатой: о = 0
при х <^ 0, о — const = ак при х ^> 0, помещая «ступеньку»
в точку, где температура равна «температуре ионизации» Го-
Уравнения Максвелла при этом дадут решение (см. подразделы
28.1): Н = #0, S = S0 при х < 0; Н = Н0 ехр (—ж/6к), S =
= S0 ехр (—2х/бк) при х ^> 0, где толщина скин-слоя бк
определяется формулой (7.11), а поток энергии в него S0 — формулой
(7.12).
Теперь можно проинтегрировать уравнение (6.41) и найти
в первом приближении распределение температуры Т (х). В зоне
прогревания х <^ 0 получим профиль (6.62), а в зоне диссипации
х > 0 — асимптотическое приближение Т к Тк. С помощью (6.42)
получим связь между температурой ионизации Т0 и конечной
температурой Тк. Остается последний шаг — установить уравнение для
определения температуры плазмы Тк. Для этого воспользуемся
точным равенством (7.8) (г надо заменить на —х) и так же, как это
£ыло сделано в подразделе 28.1, выведем из (6.41) точное инте-
268

тральное
соотношение
[ в%[1 — р0и (wK — w)/J] dT =
64я2
(8.7)
Оно обобщает соотношение (7.10) на случай и Ф 0.
Подставляя сюда функцию / (Г), построенную на основе первого
приближения для Т (х), и исключая и по формуле (6.42), получим
искомое уравнение для Тк. После вычисления Тк скорость и найдем
по формулам (6.42), (7.12).
Эффективные ширины зон прогревания и диссипации а =
= ^k/Powcpk и бк/2 относятся, как Тк ж АТК = Тк — Г0. Отсюда
вытекает выражение для скорости
U^ — -* ™ , %к = Ак/ркСрк, (8«8)
Ро °к J к
характерное для теплопроводностного механизма
распространения и вполне аналогичное формуле (6.61). Физический смысл
его был разъяснен в подразделе 24.4. Скорость можно представить
и в виде, аналогичном формуле Зельдовича для скорости пламени
(см. подраздел 24.3).
В качестве иллюстрации численных значений в табл. 8
приведены результаты расчета температуры Тк и скорости волны и
для воздуха и аргона при атмосферном давлении. Температура
плазмы от частоты не зависит, а потоки S0 вычислены для частоты
v = 15 Мгц. Для сравнения приведены «статические» температуры
Таблица 8
10п,
а-в/см
Я0,
tkS,
тыс.
тыс.
То,
тыс.
град
кдж/г
• Ю-"
Хк.10-4
эрг/см
сек>град\
So, ,
кет/см2]
Р, квт\
смг/сек
19
37
53
60
72
94
Воздух
24
46
66
76
91
119
7,2
8,9
10,4
11,0
11,9
13,0
7
8
9
10
11
12
6,4
7Д
6,9
7,6
8,8
10
26
38
43
48
53
62
0,24
0,66
1,38
2,18
2,92
3,71
40
35
12
10
13
18
0,085
0,20
0,27
0,28
0,32
0,54
2,6
4,1
4,9
4,6
5,2
6,9
8,5 1
20
27
28
36
54
Аргон
260
410
490
450
520
680
4,7
10
20
32
52
77
5,9
13
25
40
65
97
7,1
8,1
9,1
10,3
11,6
13,0
7
8
9
10
11
12
6,4
7,3
8,1
8,8
9,5
10,6
3,65
4,23
4,96
6,06
8,17
11,8
0,41
1,35
2,34
3,15
3,87
4,77
1,9
2,5
3,6
5,2
7,0
12
0,0040
0,011
0,031
0,070
0,16
0,31
0,62
1,5
3,5
6,5
11
15
0,4
1,1
3,1
7,0
16
31
62
150
350
650
1100
1500
269

TKs, вычисленные по уравнению (7.10). Видно, что температуры
за волной всегда немного ниже, чем в статическом разряде.
О последних двух столбцах таблицы будет сказано ниже. В работе
Б. Э. Мейеровича [11] задача о плоской волне высокочастотного
разряда решается с использованием условия кТ <^J / для
упрощения уравнений. Численные результаты мало отличаются от
приведенных в табл. 8.
33.2. Конфигурация «пламени» в плазменной горелке.
Вернемся к процессу радиального расширения фронта разряда,
которое происходит со скоростью и, вычисленной в предыдущем
разделе. Допустим, что в какой-то момент «включился» осевой поток
газа, сосредоточенный преимущественно в периферийных слоях
у трубки, как в плазмотроне. Теплопроводностная волна,
поддерживаемая выделением джоулева тепла, распространяется:
в радиальном направлении, но одновременно тепло сносится
газовым потоком в осевом направлении. Очевидно, тепло будет
дальше распространяться по радиусу задней части соленоидаг
куда газовые частицы приходят нагретыми при прохождении
передней части. По этой причине изотерма Т = Г0,
ограничивающая фронт разряда, начнет наклоняться по отношению к потоку,
и так будет происходить до тех пор, пока осевой снос тепла в
точности не скомпенсирует радиальную подачу. Можно сказать
иначе. Как только возрастающая по мере наклонения фронта
нормальная составляющая скорости втекания газа в разряд станет
равной скорости нормального распространения разряда и,
дальнейший поворот фронта прекратится и состояние станет
устойчивым.
Установившаяся конфигурация фронта разряда (фронта
«пламени») в индукционной горелке имеет вид, показанный на
рис. 8.2, и это подтверждается фотографией рис. 8.1. Собственно
«волна разряда», т. е. скин-слой, который предполагается тонким,
вместе с предшествующей зоной прогревания на рис. 8.2
заштрихованы. На рисунке проведены линии тока газа, вернее
проекции фактически спиральных линий на плоскость диаметрального
сечения трубы. Линии тока преломляются в волне, так как,
нагреваясь, газ расширяется и ускоряется главным образом в
направлении, перпендикулярном к поверхности фронта, а
касательная составляющая скорости газа при этом меняется мало. Это
поясняется рис. 8.3, на котором показано разложение векторов
скорости газа перед и за волной. Угол наклона фронта разряда
к оси равен примерно отношению нормальной скорости
распространения и к осевой скорости холодного потока v0. Поскольку
v0 ~ 1 м/сек, а и ~ 1 -^- 10 см/сек, угол наклона мал. Это и
позволяет при вычислении и приближенно считать, что плоскость
участка фронта разряда параллельна вектору магнитного поля.
Внутренняя полость разрядного «кольца» (при тонком скин-
слое) заполнена плазмой, нагретой до конечной температуры Тк>
причем поток здесь выпрямляется, как показано на рис. 8.2.
270

Рис. 8.2. Качественная схема процесса в плазмотроне
Рис. 8.3. Разложение скоростей около участка волны разряда, поясняющее
причину преломления линий тока
Скорость вытекания нагретого газа из фронта разряда в силу
закона сохранения потока массы в тонком слое волны разряда
vK ^ *гр0/рк. Такой же порядок имеет и скорость выпрямленного
плазменного потока, т. е. скорость нагретой струи на выходе из
соленоида. В приосевой области трубы перед разрядом скорость
потока мала, так что холодный газ втекает в разряд главным обра-
зом через боковую поверхность. Плазменная струя окружена
значительно более медленным потоком холодного газа, который
не проникал в разряд, а отжимал его от трубки.
Рассчитать радиусы разряда г0 можно только при
одновременном рассмотрении газодинамики всего процесса с учетом
распределения осевых скоростей по радиусу. Эта весьма сложная задача
еще не решена. Опыт показывает, что радиус разрыва уменьшается
при увеличении скорости газового потока [9], что и естественно.
В последних столбцах табл. 8 приведены оценочные значения
полной мощности, вкладываемой в разряд Р, и расхода G той
части газа, которая превращается в плазму. Эти величины
вычислены по формулам Р = S02nr0h, G = u2nr0h в предположении,
что разряд имеет форму цилиндра с радиусом г0 = 2 и длиной
Л = 8 см.
Вся описанная выше картина относится к случаю, когда
течение газа в плазмотроне имеет ламинарный характер и
единственным механизмом прогревания холодного газа до температуры
ионизации является теплопроводность. Опыт показывает, что
при не слишком больших скоростях потока течение действительно
ламинарно. Однако возможен и турбулентный режим горения,
подобно турбулентному пламени в химических горелках. В этом
случае появляется дополнительный и весьма эффективный
механизм подготовки холодного газа к восприятию джоулева тепла,
связанный с турбулентным перемешиванием плазмы с холодным
газом. Турбулентный режим обсуждался в докладе В. Д. Матю-
хина и Д. А. Франк-Каменецкого, краткое содержание которого
опубликовано в [12]. Некоторые вопросы устойчивости горения
271

в плазмотроне рассматривались в докладе Д. А. Франк-Каме-
нецкого [13].
Интересно, что при больших скоростях подачи газа на оси
образуется высокотемпературный «язык», который проникает
далеко от индуктора навстречу холодному газу. Такая
рециркуляция плазмы, отмеченная еще Ридом [8], возможно, связана с темг
что при схождении к оси горячего газового потока в зоне
индуктора там повышается давление, и плазма засасывается вверх
по потоку в вихревую зону с пониженным давлением.
В работе В. Н. Сошникова, Е. С. Трехова и Ю. М. Хошева
[14] численно решалась задача о разряде в прямом (не
спиральном) потоке газа. Считалось, что на входе в соленоид газ уже
обладает высокой температурой, но скорость его втекания
задавалась произвольно и чрезмерно большой. Осевые потоки тепла не
учитывались. Между тем, если нет иного механизма переноса
тепла, кроме теплопроводности, как и подразумевалось в [14],
скорость подачи газа при принятой постановке задачи не может
превысить определенной и притом весьма малой величины, иначе
разряд «сдует». Если бы в расчете [14] был принят во внимание не
только радиальный, но и осевой поток тепла, сразу стало бы
очевидным, что искомого стационарного решения при произвольной
и большой скорости втекания газа в соленоид не существует
(подробнее обсуждение этой работы см. в обзоре [15]).
Численные расчеты индукционного разряда в прямом потоке
на основе двухмерного уравнения теплопроводности в
цилиндрической системе координат с учетом конвективного члена были
проделаны и в работе Миллера и Айена [32]. Радиальный профиль
осевой скорости считался ступенчатым: скорость на периферии
была взята во много раз большей, чем в приосевой области, в
противном случае плазма сносилась потоком.
34. Процессы «горения» в волноводах
34.1. Бегущий разряд в воздухе атмосферного давления*
В СВЧ-устройствах сравнительно большой (киловаттной)
мощности, работающих в непрерывном режиме, нередко наблюдается
такое явление. Внезапно в каком-нибудь месте волновода
вспыхивает разряд, и плазменное образование бежит по направлению
к генератору навстречу СВЧ-волне. Все это случается при
мощностях, которые могут быть в сотни и тысячу раз меньше мощности,
необходимой для пробоя атмосферного воздуха, находящегося
в волноводе. Поводом к возникновению разряда всегда служит
какая-нибудь неоднородность, примесь, чужеродный предмет,
например случайно оставшаяся металлическая стружка. Они
сильно раскаляются в СВЧ-поле и дают начальное облачко
ионизованных паров, инициирующих разряд. Поэтому для
предотвращения эффекта, который часто создает серьезные помехи для нор-
272

мал ьного функционирования СВЧ-устройств, рекомендуется
тщательно очищать волновод.
Явление это было описано Вестом и Фордом в 1961 г. [16].
В целях исследования эффекта авторы намеренно возбуждали
разряд путем введения в волновод маленького стального винтика.
Для опытов служил волновод прямоугольного сечения 2,29 X
X 1,02 см2, предназначенный для Х-полосы СВЧ-излучения
(частоты 5,2—11,9 Ггц, длины волн в вакууме Х0 = 3,8—2,5 см).
Эффект имел порог по мощности примерно 0,25 кет; для пробоя
воздуха в таком волноводе требуется мощность, в тысячи раз
большая. Скорость движения разряда монотонно возрастала при
увеличении мощности, от ^25 см/сек вблизи порога до 6 м/сек
при 2,5 кет. Само плазменное образование, судя по приводимым
в статье фотографиям, имеет очертания столбика, расположенного
посередине волновода перпендикулярно оси и параллельно узкой
стенке, т. е. вдоль направления электрического поля (применялась
Н01 мода колебаний). Диаметр разрядного столбика 2г0,
насколько можно видеть из фотографий, равен нескольким миллиметрам,
длина h близка к размеру узкой стенки (разряд почти касается
широких стенок). В типичных случаях в плазме поглощалось
примерно 75% мощности падающей волны, остальное
отражалось.
Ознакомление с изложенными фактами не оставляет сомнения
в том, что мы имеем дело с явным примером распространения
разряда, на этот раз сверхвысокочастотного, в режиме медленного
горения. На этой основе была дана физическая интерпретация
эффекта и вычислены основные величины [17]. В сущности теория,
которая позволяет понять механизм явления и сделать оценку,
была уже изложена выше, в разделах 24 и 31, так что мы здесь
ограничимся только краткими замечаниями.
Конечно, дать полное описание явления можно только на
основе совместного рассмотрения гидродинамического процесса
с учетом теплопроводностной передачи тепла из разряда в
окружающий холодный воздух и тепловыделения за счет поля, причем
для вычисления распределения поля следует включать в систему
волновое уравнение с учетом электродинамической неоднородности
среды. Но оценки можно получить и с помощью модельных
представлений. Простейшей моделью является плоский режим,
поддерживаемый электромагнитной волной. Если интересоваться
порогом режима, необходимо учитывать потери, связанные с теп-
лопроводностным вытеканием тепла за пределы области, где
действует интенсивное поле. Решение типа изложенного в подразделе
24.5, но несколько более точное, при радиусе электромагнитного
луча R = 0,3 см, что соответствует радиусу г0 разрядного
столбика в опытах, дает пороговое значение потока, который
необходимо вводить в плазму (0,2 кет) [17] (расчет сделан для условий
опыта, т. е. для воздуха при р = 1 атм и Х0 = 3 см). Пороговая
температура воздушной плазмы Tt ж 4200°. Глубина проникно-
273

вения поля в плазму при пороговых условиях сравнима с радиусом
разряда, но меньше последнего.
Опыт дал пороговую мощность в падающей волне Pot ~ 0,25 кет.
Если, как говорят авторы, поглощалось 75% мощности, то
в плазму вводилась мощность Plt ^ 0,19 кет. Ее разумно отнести
к поверхности разрядного столбика, обращенной к падающей
волне nr0h, так как эффект скинирования налицо. Полагая г0 =
= 0,3, h = 0,8 см, получим для порогового потока в плазму
Sit == PitMro^ ~ 0,25 кет/см2, что согласуется с теоретической
оценкой 0,2 кет/см2.
Результаты расчета температур плазмы при различных
сверхпороговых потоках электромагнитной энергии приведены в табл. 6.
В табл. 7 даны значения соответствующих электродинамических
параметров плазмы (расчеты эти также относятся к воздуху р =
= 1 атм и К0 = 3 см). Вычисление скорости распространения волны
разряда, опять-таки на основе решения [17], несколько более
точного, чем в подразделе 24.5, дает типичные для теплопровод-
ностного механизма значения и = 11 см/сек при St= 0,35 кет/см2,
Тк = 5000°; и = 31 см/сек при S[ = 1,1 кет/см2, Тк = 6000°
(у порога и ->- 0). Скорости распространения фронта разряда
относительно нагретого газа vK ж (Ро/рк) и равны 2,5 и 8,7 м/сек
соответственно. С измеренными на опыте скоростями согласуются
значения vK, а не и. Это свидетельствует о том, что ситуация в
какой-то мере близка к «горению» в трубе от закрытого конца, так
же как и в случае бегущей лазерной искры (см. разделы 23, 24).
Нагревающийся в разряде газ расширяется во все стороны, в том
числе и в направлении движения фронта, так что волна разряда
медленно распространяется по быстро движущемуся в ту же
сторону газу. Наблюдаемая на опыте скорость движения фронта
разряда практически совпадает со скоростью движения холодного
газа, толкаемого расширяющейся плазмой, т. е. порядка г;к,
а не и.
Другое дело в плазмотроне, где разряд стабилизирован и стоит
на месте, а в него втекает газ. Там в установившемся процессе волны
сжатия, посылаемые расширяющейся плазмой в холодный газ,
уже прошли, отразились от стенок трубы, и быстрое движение
холодного газа перед фронтом разряда затухло. Плазма
расширяется только назад от фронта разряда, как при горении в трубе
с закрытым передним, но открытым задним концом, куда
истекают продукты горения.
34.2 СВЧ-плазмотроны. Обращенная картина
распространения СВЧ-разряда, весьма похожая на то, что происходит в
индукционной плазменной горелке, возникает в СВЧ-плазмотроне.
Схема одной из первых и типичных конструкций была показана
на рис. 6.3, в и обсуждалась в связи с вопросом о поддержании
плотной плазмы СВЧ-полем (см. раздел 31). По трубке,
пересекающей волновод, продувают газ обычно таким же закрученным
потоком, как и в индукционных плазмотронах (чтобы отжать
274

разряд от стенок). Скорости осевого течения имеют порядок 10—
100 см/сек. Применяют СВЧ-излучение с длинами волн Я0 ~
~5-н12 см\ в плазму в таких конструкциях вкладывают мощность
порядка нескольких киловатт. СВЧ-плазмотроны обладают тем
достоинством, что в них достигается очень высокий к.п.д. —
до 90%. Как говорилось в разделе 31, для уменьшения потерь
мощности иногда за разрядом ставят отражатель. В работе «П. М. Бал-
тина, В. М. Батенина, И. И. Девяткина, В. Р. Лебедевой и
Н. И. Цемко [18] отмечается, что на уменьшение потерь влияет
еще и то, что падающая волна, дойдя до трубки, пересекающей
волновод, «заворачивает» в трубку. Посередине трубки горит
разрядный столб, и там для СВЧ-волны образуется нечто вроде
коаксиальной линии. Дополнительное поглощение в плазме
происходит за пределами волновода [18].
Температуры в плазменной струе, генерируемой в СВЧ-плаз-
мотронах, не получаются высокими, они обычно равны 4000—
6000°. Как было разъяснено в подразделе 24.4 и показано путем
прямого расчета на примере индукционного разряда в разделе
33, температура, которая достигается в плазме, почти не зависит
от судьбы выделившейся энергии, отводится ли она в стенки
трубки или затрачивается на нагревание новых порций продуваемого
газа. Поэтому все результаты, касающиеся температуры плазмы
и полученные в разделе 31 при рассмотрении статического режима,
полностью переносятся и на СВЧ-плазмотрон.
В работе Л. М. Балтина, В. М. Батенина, В. Р. Гольдберга,
И. И. Девяткина и Н. И. Цемко [19], вообще говоря посвященной
экспериментальному исследованию СВЧ-рэзряда в азоте при
указанной выше геометрии, задача о волке разряда, поддерживаемого
электромагнитной волной, решалась численными методами.
Уравнения (6.41), (6.31), описывающие режим без потерь, превращались
в интегральное уравнение
S(T) = exV[-^ 9oUw{T)_[Sq_S(T)] j, (8.9)
о
и численно искалось решение, отвечающее условию баланса
энергии (6.42). Расчеты были сделаны для широкого интервала частот,
включая высокочастотный диапазон. Численные результаты в
общем сходны с теми, которые приводятся в разделах 31, 33.
Что касается конфигурации фронта «пламени» в СВЧ-плазмо-
троне и процесса превращения холодного газа в плазму, то надо
полагать, что процесс здесь протекает в общем так же, как и в
индукционном плазмотроне, так как гидродинамические условия
и геометрия области тепловыделения в обоих устройствах
примерно одинаковы.
В статье Л. М. Блинова, В. В. Володько, Г. Г. Гонтарева,
Г. В. Лысова и Л. С. Полака [20], которая специально
посвящена вопросам конструирования и теории СВЧ-плазмотронов,
275

описан плазмотрон совершенно иной и оригинальной
конструкции, которую авторы считают весьма перспективной. Разряд
горит на оси волновода круглого сечения (радиуса R = 5 см
и длины несколько десятков сантиметров), по которому
распространяется СВЧ-волна Е01-тяп& (к0 = 12,5 см). Внутренняя
поверхность волновода и внешняя поверхность проводящего
плазменного столба на оси (г0 ж 1 см) образуют коаксиальную линию
для электромагнитной волны (рис. 8.4). Вдоль волноводной трубы
Д
Га
4444/Л/////Л4#44^^ Рис. 8.4. Схема
«коаксиального» СВЧ-плазмотрона
Разрядный столб и плазменная
струя заштрихованы
закрученным потоком продувается газ, и это стабилизирует
разряд. Волноводная труба заканчивается соплом, через которое
вытекает плазменная струя. В этой системе генерируемая мощность
поглощается плазмой почти полностью и достигается более
высокая температура, чем в плазмотроне с поперечным дутьем.
Вычислим температуру плазмы в разряде такого типа. Это
можно сделать с помощью уравнений, о которых говорилось
выше. Будем для простоты пренебрегать токами смещения, так
как частота в этой системе не очень велика, и считать скин-слой
у поверхности плазменного цилиндра тонким (последнее
выполняется хорошо). Тогда температура плазмы ТК связана с
радиальным потоком энергии в плазменный цилиндр S0 соотношениями
(7.13) или (7.14), справедливыми для индукционного разряда.
Поток S0 в свою очередь связан с погонной потерей мощности
электромагнитной волны, бегущей вдоль коаксиальной линии
(вдоль оси z). Последняя выражается через мнимую часть ft"
постоянной распространения к, которая определяется как Е —
~ exp (ikz), к = к' + ik". В предположении, что мощность
бегущей волны Р ~ | Е [2 затухает только вследствие диссипации
энергии в плазме, имеем уравнение
dP/dz = - 2к"Р = - 2jtr0S0. (8-Ю)
Из электродинамики известно, что в коаксиальной линии
с потерей мощности
2ft" = Цр/ю/гяа, (8.11)
2г0 In
го
где о — оК — проводимость проводника на оси.
Комбинируя (7.13) или (7.14) с (8.10) и (8.11), получим
уравнение, связывающее температуру плазмы Тк с мощностью,
276

проходящей через волновод Р:
J el dT « eKXK2kTl/I - сР/(16яаН! In Д/го). (8Л2)
о
Например, для воздуха при 1 атпм, R = 5 еж, г0 = 1 еж и
мощности Р = 5 явяг уравнение (8.12) дает Т « 5000°. Для % =
= 12,5 см по формуле (8.11) получается 1/2А;" = 28 см. Эти
результаты неплохо согласуются с опытом [20].
35. Волны ионизации в волноводах
35.1. Режим, связанный с диффузией резонансного излучения.
В работах Ветке, Рэсса и Фромэна [21—23] был обнаружен и
детально исследован на опыте следующий эффект. Если в
волноводе, наполненном инертным газом, у конца, далекого от
источника СВЧ-излучения, ударной волной или искровым разрядом
создать локализованную плазму, плазменный фронт отрывается
от начального места и быстро движется по направлению к
источнику. Опыты ставились в цилиндрическом волноводе радиуса
2,5 см и длиной более 1 м, на частоте 8,35 Ггц (к0 = 3,6 см).
Исследования проводились в ксеноне, криптоне и аргоне при
низких давлениях, от 0,3 до 3 мм pm. ст. Эффект возникал уже при
небольших мощностях СВЧ-излучения, пороги по потоку
составляли всего 0,2—1 вт/см2. Для пробоя газов в тех же условиях
необходимо 40—200 вщ/см2. При мощностях, меньших пороговых,
плазменный фронт от начальной плазмы не отрывался. При
увеличении СВЧ-мощности скорость фронта возрастала от
нескольких десятков метров в секунду вблизи порога до нескольких
десятков километров в секунду при потоках порядка 50 вт/см2,
приближающихся к пробивающим. Максимальные электронные
плотности составляли 0,7 -г- 9-Ю12 1/см3 и были, как правило,
больше критической величины1 0,72-1012 1/см3.
Специальная проверка показала, что газ оставался
неподвижным, т. е. распространение плазменного фронта имело характер
волны ионизации. Это не удивительно, так как теплоемкость
атомного газа огромна по сравнению с теплоемкостью электронов —
плотность атомов N ~ 1016 1/см3, тогда как Ne ~ 1013 1/см3,
так что газ тяжелых частиц остается холодным. Механизм
распространения был выяснен экспериментальным путем. Волновод
перекрывали диэлектрическими пластинками, прозрачными для
СВЧ-излучения. Перед пластинкой из пластика, обладающего
коротковолновой границей прозрачности % ж 2000 А, волна
ионизации останавливалась, а через пластинку из фтористого
1 Критическая плотность электронов в волноводе немного отличается от
величины, соответствующей свободному пространству, которая определ я
ется формулой (1.23).
277

лития, который пропускает ультрафиолетовое излучение примерно
до 1100 А, волна проникала и продолжала распространяться
с той же скоростью. Отсюда можно было заключить, что в
механизме распространения плазменного фронта главенствующую роль
играет ультрафиолетовое излучение с длинами волн в интервале
X ж 1100 -ч- 2000 А. Но именно в этом диапазоне, точнее, в
диапазоне ^1000—1500 А, лежат резонансные линии исследованных
инертных газов. Так был сделан вывод о том, что
распространение ионизационного фронта связано с диффузией резонансного
излучения [23].
Перейдем к теоретическому рассмотрению волны ионизации,
механизмом распространения которой служит диффузия
резонансного излучения и которая поддерживается СВЧ-излучением.
Задача о таком режиме была сформулирована и приближенно
решена в работе В. И. Мышенкова и автора [24] в связи с опытами
Ветке и Рэсса. Примем простейшую кинетическую схему процесса:
электроны набирают энергию в СВЧ-поле и возбуждают атомы
на единственный резонансный уровень. Возбужденные атомы
ионизуются также электронным ударом. Потенциал ионизации
возбужденного атома 1\ раза в 3 меньше, чем потенциал
возбуждения /*, так что, если электроны в поле достигают энергии,
достаточной для возбуждения, ее заведомо хватает и на то, чтобы
ионизовать возбужденный атом. Напротив, прямая ионизация
атомов из основного состояния практически не осуществляется.
Для этого потребовались бы пробивающие поля, тогда как
фактические поля гораздо меньше пороговых для пробоя. Возбуждение
из плазмы передается в невозмущенные слои газа перед плазмой
механизмом диффузии резонансного излучения, и любой
электрон, появившийся в этой области, набрав энергию от поля,
производит ионизацию. Так перенос энергии возбуждения из плазмы
в неионизованные слои способствует ионизации последних в не-
пробивающих полях. Первые электроны возникают за счет
«посторонних» эффектов в результате фотоионизации
возбужденных атомов, фотоэффекта со стенок трубы и др.
Конечно, в ионизованном газе происходит множество других
кинетических процессов: возбуждение метастабильных состояний,
ударные переходы между метастабильными и резонансными
уровнями, тушение возбуждения, последовательное повышение
степени возбуждения, ассоциативная ионизация при столкновении
высоко возбужденного атома и невозбужденного с образованием
молекулярного иона и т. д. Учет их привел бы к большому
усложнению задачи. Между тем принципиальной, роли они не играют
и могут оказать только количественное влияние на скорости
суммарной кинетики возбуждения и ионизации. Нас же будет
интересовать именно принципиальная сторона дела. Рекомбинация
электронов и потери, связанные с диффузией зарядов к стенкам,
по оценкам несущественны; диффузия имеет амбиполярный
характер и протекает медленно. Эти процессы приводят к распаду плаз-
278

мы лишь за волной ионизации. Диффузия электронов вперед
в лучшем случае может обеспечить появление некоторого
количества начальных, «затравочных», электронов, но не быстрое
распространение волны.
Рассмотрим одномерный стационарный режим в системе
координат, где фронт волны покоится. Газ считается неподвижным, и
плотность атомов N — постоянной. Плотности электронов Ne
и возбужденных атомов N* считаем малыми по сравнению с N.
Рис. 8.5. Качественные
распределения плотностей
возбужденных атомов 7V* (а),
электронов Ne (б) и поля Е (в) в
волне ионизации
а Jo^
и
/ЯГ~~
N*
6
f^7
N*
*"
6
X
X
Неизвестными функциями координаты х в волне являются Ne,
N* и СВЧ-поле Е (рис. 8.5). Плотность электронов Ne
удовлетворяет уравнению кинетики ионизации, которое в сделанных
предположениях имеет простой вид
и dNjdx = o/VyV*, а = <va* (v)>. (8.13)
Константа скорости ионизации а зависит от энергетического
спектра электронов и, следовательно, от поля Е.
Плотность возбужденных атомов описывается известным инте-
гродифференциальным уравнением, которое исследовалось в
работах Л. М. Бибермана [25, 35]. Для упрощения задачи это
уравнение было приближенно преобразовано к дифференциальному
уравнению типа диффузии, что оказалось возможным, так как
процесс переноса возбуждения происходит в трубе конечного
радиуса. Член, учитывающий рождение возбужденных атомов,
удается приближенно выразить через выделение джоулева тепла,
так как в конечном счете в значительной своей части последнее
затрачивается именно на возбуждение атомов. В окончательной
форме уравнение диффузии для плотности энергии возбуждения
I*N* имеет вид
иГ dN*/dx = D*r d*N*/dx2 + а <Я2> — FN*/Г (8.14)
и в точности соответствует уравнению баланса энергии (6.25)
для равновесного теплопроводностного режима, которое описывает
«диффузию тепла».
279

Коэффициент диффузии возбуждения D* = /2/Зт*, где т* —
время жизни возбужденного атома по отношению к испусканию
резонансного кванта, а Z — средняя длина пробега квантов.
С учетом дисперсионной формы крыльев резонансной линии
где Z0 — длина пробега в центре линии, a R —
радиус трубы.
Поясним, откуда берется такая зависимость D от R.
Распределение излучения и поглощения в линии дисперсионной формы
дается функцией / (£) == [л (1 + S2)]"1, t = (v — v0)/Av, где
v0 — частота центра линии, Av — ее полуширина. Длина пробега
квантов частоты v равна Zv = Z0 (1 + £2). Обозначим <pv
вероятность того, что квант частоты v, испущенный на осевом
расстоянии Zv от данного сечения трубы х, достигнет этого сечения, а не
попадет на стенки трубы. Очевидно, cpv есть функция z = U/R,
причем <pv ~ 1 при z <^ 1 (Z0 <^ R) и cpv ~ z~2 при z ]> 1. Поток
квантов в сечении х по порядку величины равен
оо
-±r \ [N'(x-h)-N(x + h)]l^4f(l)dl^
—оо
оо
«—■£■ К H<pJ{l)dl\dN*/dx = — D'dN*/dx.
—оо
Переходя в последнем интеграле к переменной z, получим
D*« -^- J *V.q>v (2) dz ~ #'Д§/'/т* ■
о
Качественно это выглядит так. Перенос энергии возбуждения
осуществляют кванты с U ~ R, так как кванты с Zv <^ R не
уходят от места излучения, а кванты с /v^>i? попадают на стенки.
Но поскольку / (£) ж 1/£2, время жизни атома по отношению
к испусканию таких квантов т* « т*1, где 1 я^ (Zv/Z0)1/2 ж
« (i?/Z0)1/2. Следовательно, коэффициент диффузии возбуждения
Последний член в (8.14) описывает потери, связанные с уходом
возбуждения в стенки трубы: считалось, что стенки поглощают
резонансные кванты. Характерное время для ухода Г* = R2/3D*
и соответствует диффузионной природе этого процесса.
Проводимость а дается формулой (1:14) и пропорциональна плотности
электронов Ne. СВЧ-поле Е удовлетворяет волновому уравненвдо
(7.29).
Спектр электронов, от которого зависит константа скорости
ионизации ос, определяется путем решения кинетического
уравнения для электронов в поле (см. гл. 3 и 4). Вычисления
показывают, что а (Е) можно приближенно считать не зависящей от поля
280

в достаточно сильных полях и равной 0 — в слабых, когда
упругие потери мешают электронам достичь энергии l\, необходимой
для ионизации возбужденных атомов. Таким образом, а = const
при <£'2>> Е\ и а = 0 при <£"2> < Е\, где предельное поле Ек
определяется равенством (1.59), в котором следует положить
— т*
Из того же равенства (1.59), но с етах = 7* определяется поле
Еи ниже которого электроны из-за упругих потерь не достигают
энергии, необходимой для возбуждения атомов, т. е.
рассматриваемый режим вообще не может существовать. Оценка
соответствующих этому полю предельных потоков энергии дает величины
St £^0,4 -=- 1 em/см2, находящиеся в хорошем согласии с
результатами опытов Бетке и Рэсса [23]. Порог данного режима
определяется именно упругими потерями энергии электронов, а не
потерями резонансных квантов в стенки трубы, что соответствовало
бы причинам возникновения порога в равновесном тзплопровод-
ностном режиме.
Граничные условия для системы (8.13), (8.14), (7.29),
описывающей режим, аналогичны условиям для теплопроводностной
волны с потерями (см. разделы 24, 31). Перед волной, при х =
= — оо, JV* = 0 и заданы поток электромагнитной энергии в
падающей волне S0 и некая малая плотность «затравочных»
электронов Ne0 (поскольку мы не рассматриваем процессы их
возникновения). За волной, при х = + оо, вследствие ухода
возбуждения в стенки N* = 0. В уравнении (8.13) не учтены потери
электронов, поэтому плотность электронов стремится к наибольшему,
заранее неизвестному значению NK, несмотря на то что
возбужденные атомы исчезают. Поскольку плазма за волной простирается
до бесконечности, Е (+ оо) = 0. Система, как обычно,
переопределена, и это определяет скорость волны и.
В основе приближенного решения системы, которое мы здесь
излагать не будем (см. [24]), лежат три главных момента. В
нулевом приближении источник возбужденных атомов считается
сосредоточенным (см. подразделы 24.4, 24.5). Это позволяет
проинтегрировать уравнение (8.14), а затем (8.13) и найти
распределение электронной плотности Ne (х) в первом приближении.
Волновое уравнение решается в приближении резкости границы
плазмы, как в подразделе 31.1 для равновесной волны СВЧ-разряда;
учитывается отражение. И, наконец, для установления уравнения,
определяющего скорость распространения, используется условна
равенства 1 оптической толщины зоны «предыонизации», которая
соответствует зоне прогревания в тещюпроводностной волне и
в которой ионизация нарастает до такой величины, что начинается
интенсивная диссипация поля (см. подраздел 24.4).
Для иллюстрации численных результатов решения приведем
пример применительно к условиям одного из вариантов опытов
[23]: ксенон, р = 3 тор, со = 5,3-1010 i/сек, радиус трубы R ==
281

= 2,5 см. Из данных по резонансным линиям имеем: /0ж2,6«
•Ю-6 см, х* = 3,7-10~9 сек, откуда D* = 3,2- 10б сж2/сеи, Г* =
= 6,5 • 10"6 сек. Для константы скорости ионизации возбужденных
атомов можно принять а ^ 4 • 10~8 см3/сек. Кроме того,
частота упругих столкновений электронов vm = 2,4 -1010 1/сек,
а в качестве /* возьмем эффективную величину 9 эв. Расчет
показывает, что при изменении потока в падающей волне
5о от 0,6 до 40 вт/см2 электронная плотность в плазме за волной
NK нарастает от 1,8* 1012 до 9-Ю12 1/см3, что хорошо согласуется
с опытом. Скорость волны и по расчету нарастает от 70 м/сек
до 2 км/сек. Зависимость и (S0) получается правильной, но
расчетные скорости оказываются заниженными в несколько раз. Скорее
всего, это связано с тем, что в расчете была занижена скорость
ионизации (согласно решению и ~а). Учет ступенчатой
ионизации привел бы к большему значению константы скорости
суммарной кинетики а. Интересно, что в опытах [23] наблюдались скачки
скорости, как бы переходы с одного режима на другой. Природа
их пока остается необъясненной.
Не видно причин, по которым рассмотренный выше механизм
распространения разряда не мог бы осуществляться и в других
частотных диапазонах; он же может отводить энергию от статических
разрядов. Для выяснения вопроса следует подвергнуть анализу
результаты экспериментов по разрядам в инертных газах и
сделать соответствующие расчеты.
35.2. Различие механизмов распространения в одноатомных
и молекулярных газах. Как следует из изложенного в
подразделе 35.1, картина распространения СВЧ-разряда в разреженных
инертных газах очень сильно отличается от того, что происходит
в воздухе атмосферного давления (см. раздел 34). В воздухе
плазменный фронт движется медленно, со скоростями, типичными для
теплопроводного процесса. В инертных же газах наблюдается
очень быстрое распространение, и данные опыта свидетельствуют
о том, что механизм распространения связан с диффузией
резонансного излучения.
Еще более разительным выглядит различие механизмов
распространения разряда в одноатомных и молекулярных газах, если
сопоставить процессы в тех и других при давлениях одного порядка.
Это можно сделать на основе результатов работ В. М. Батенина,
И. И. Девяткина, В. С. Зродникова, И. И. Климовского и Н. И.
Цемко [26, 27], в которых также изучалось распространение
ионизационных фронтов в волноводе. В первой из работ [26]
исследовался аргон при гораздо более высоких давлениях, чем в опытах
[23], от 0,1 до 1 атм, и азот при гораздо более низких давлениях,
чем в [16], 16—40 тор. СВЧ-разряд инициировался искровым
разрядником и распространялся внутри длинной кварцевой трубки
радиусом 1 см, расположенной вдоль оси волновода. Применялось
СВЧ-излучение с частотой 2,4 Ггц (А-0 = 12,6 см), мощность
менялась от ^200 до 1300em. Плазма поглощала около 70% мощности
282

падающей волны. Электронные плотности в аргоне были порядка
1013 1/сж3, в азоте — 1012 1/см3. Температура электронов была
порядка 10 эв. Разряд в азоте имел форму столба,
ориентированного вдоль электрического поля, в аргоне разряд имел сложную
структуру, состоящую из отдельных искривленных нитей.
На рис. 8.6 показаны измеренные скорости фронта ионизации.
Видно, что при одном и том же уровне мощности и примерно
одинаковых давлениях скорость в аргоне измеряется километрами
Иьг,м/сек
Рис. 8.6. Скорости волн
разряда в волноводе [26]
Аргон: 2 — v = 76, 4 = 760 тор\
азот: 1 — 16, з — 40 тор
о,
иНг,ч/ш
4000
2000
11
2
' 3
4
20
10
0,8 Р,кбт
в секунду, а скорости в азоте порядка метров в секунду, как и в
атмосферном воздухе. Если сопоставить скорости в аргоне при
р = 1 атм и скорости в воздухе при 1 атм, измеренные Вестом и
Фордом [16] (см. раздел 34), видно, что при одинаковых мощностях,
которые в обоих случаях в сотни раз меньше пороговых для
пробоя, скорости в аргоне на два порядка больше скоростей в
воздухе (сотни метров в секунду и метры в секунду). По измерениям
[27], скорости в воздухе при давлениях 16 и 22 тор и СВЧ-мощ-
ностях 0,2—0,7кквт также порядка нескольких метров в секунду,
как и в азоте при более высоких давлениях.
Все это говорит о том, что механизм движения разряда в
молекулярных газах, даже при невысоких давлениях, скорее всего,
теплопроводностный, а в одноатомных иной, ибо он дает гораздо
более быстрое распространение даже при высоких давлениях,
порядка атмосферного. Возможно, распространение при высоких
давлениях также связано с диффузией резонансного излучения, как
и при низких. Этот вопрос требует специального исследования.
При больших мощностях СВЧ-излучения, выше 1 квт, волна
разряда в разреженном воздухе довольно сильно ускоряется и
скорости достигают десятков метров в секунду [27]. Авторы этой
работы высказывают соображения о том, что здесь возникновению
разряда способствуют эффекты типа пробоя. Дело в том, что
результирующее электрическое поле, которое получается при
сложении падающей и отраженной от плазмы волн, в пучностях
оказывается близким к пробивающему. Так, по расчету [27] в воз-
283

духе при р = 16 тор пробой должен наступать при СВЧ-мощности
1,3 кет. И действительно, на опыте при большей мощности разряд
не бежит от места инициирования, а одновременно вспыхивает
сразу во всей трубке.
Все же мы хотели бы подчеркнуть, что при допробойной
мощности механизм «пробоя» сам по себе не может привести к
распространению разряда с конечной скоростью, ибо в допробойных полях
распространение может возникнуть только в результате действия
какого-то механизма переноса энергии или частиц из плазмы в
холодный газ.
Интересно, что волну СВЧ-разряда можно замедлить и даже
совсем остановить, если создать на ее пути достаточно сильное
продольное магнитное поле. Это было показано в опытах В. М.
Батенина, В. С. Зродникова, И. И. Климовского, В. А. Овчарен-
ко и Н. И. Цемко [28]. В азоте при 40 тор и мощности 1,3 кет,
когда скорость была 4 м/сек, для остановки разряда потребовалось
поле 1,7 кэ. Причиной замедления согласно [28] является
уменьшение действующего значения электрического поля или
уменьшение коэффициента поглощения плазмы при наложении
продольного магнитного поля. Влияние магнитного поля на
распространение СВЧ-разряда исследовалось в работе [27].
36. Тлеющий разряд в газовом потока
36.1 Быстропроточные лазеры. В последнее время в связи с
проблемой создания мощных лазеров непрерывного действия на
углекислом газе [36] большое внимание уделяется процессу
тлеющего разряда в постоянном электрическом поле, горящего
в быстром потоке газа. В типичных условиях, в смеси, состоящей,
скажем, из 80% гелия, 15% азота и 5% углекислого газа, при
давлении порядка 10—50 тор поддерживается стабильный
разряд с плотностью электронов Ne ~1010 -г- 1011 1/см3 (степень
ионизации порядка 10~7—10~8). При характерных значениях Е/р ж
^ 3—8 в/см тор средняя энергия электронов 1 эв и энергия,
которую электроны приобретают от электрического поля, затрачивается
в основном на возбуждение колебаний в молекулах N2 и С02. Это
и приводит к накачке верхнего лазерного уровня. В лазерное
излучение переходит не слишком большая доля энергии,
вкладываемой в разряд. В конечном счете основная часть энергии через
электроны, а затем молекулярные колебания переходит в
поступательную энергию атомов и молекул. Между тем для
нормальной работы лазерной системы температура газа тяжелых частиц
не должна превышать 500—600° К, в противном случае оказывается
слишком большой заселенность нижнего лазерного уровня и
слишком малой степень инверсности. Поэтому, если разряд горит в
неподвижном газе и выделяющееся джоулево тепло отводится
из разряда медленным механизмом теплопроводности в стенки
разрядной трубки, в разряд нельзя вложить большую энергию —
284

температура газа будет слишком высокой. Нельзя,
следовательно, получить и большую мощность излучения.
Для того чтобы снять это ограничение на мощность, и
применяют быструю прокачку газа через разряд. В этом случае через
газ можно пропустить гораздо больший ток и вложить в разряд
гораздо большую мощность, повысив и давление газа. Каждая
порция свежего газа остается в разряде лишь очень
непродолжительное время, и за это время газ просто не успевает нагреваться.
Можно сказать и иначе: джоулево тепло очень быстро выносится
потоком из разряда, действует конвективный механизм тепло-
отвода, более интенсивный, чем теплопроводностный. В
современных установках применяют газовые потоки со скоростями
порядка 100 м/сек и более.
36.2. Диффузионный механизм распространения. Нас здесь,
естественно, интересуют не лазерные процессы, а только
процесс горения разряда в потоке, который включает в себя
эффект распространения, как и в плазмотронах. Однако в
отличие от плазмотронов степень ионизации в данном случае
чрезвычайно мала, ионизованный газ существенно неравновесен
(«температура» электронов гораздо выше, чем температура атомов),
и механизмом распространения разряда не может служить
обычная теплопроводность.
Одну из типичных схем организации разряда можно
представить в следующей идеализированной форме. К плоским
параллельным электродам приложено постоянное напряжение, и между
ними по каналу прямоугольного сечения перпендикулярно
направлению электрического поля Е течет газ с постоянной
скоростью и (рис. 8.7). Механизмом распространения разряда в
данном случае может служить диффузия электронов, которая,
конечно, имеет амбиполярный характер, так как плотность зарядов
достаточно высока, порядка 1010 1/см3. Электроны из
разряда диффундируют вверх по потоку, и когда новая
макроскопическая газовая частица вступает в область действия поля, в ней
уже имеется достаточно большое число электронов. Электроны
набирают энергию в поле и производят ионизацию атомов и
молекул, что и служит источником зарядов. Теряются заряды путем
амбиполярной диффузии на стенки канала, в том числе и на
электроды; рекомбинация играет меньшую роль.
В такой примерно постановке задачу о разряде в потоке изу-
285

чали и экспериментально и теоретически В. Ю. Баранов, А. А.
Веденов и В. Г. Низьев [29]. Плотность электронов N (опустим
индекс е) описывается уравнением диффузии в потоке, которое
в стационарном случае можно представить в виде
и dN/dx = D]d*N/dx2 + v{N - DN/A\ (8.15)
Последний член описывает диффузионные потери электронов
в стенки. Он получается из поперечной части лапласиана DAN
с учетом условия исчезновения N на стенках; при этом получается
1/Л2 = (я/б)2 + (я/с)2 (смысл параметров а, Ъневиден из рис. 8.7).
Частота ионизации v* зависит от поля Е, причем ее можно
приближенно положить константой в области —а/2 <^ х <^ а/2
между электродами и равной нулю — вне ее. Коэффициент амби-
полярной диффузии D, который несколько зависит от спектра
электронов, т. е. Е, здесь приближенно считается постоянным.
К уравнению (8.15) присоединяются граничные условия: dN/dx =
= 0 при х = ± оо. Задача, как видим, имеет большое сходство
с задачей о теплопроводностном режиме распространения разряда
с потерями (см. подраздел 24.5).
Линейное уравнение (8.15) легко интегрируется, одно
граничное условие, как обычно, является «лишним», и тем самым
определяется скорость распространения и, вернее, связь ее с частотой
ионизации Vf, т. е. с полем Е, которое необходимо для
поддержания разряда в потоке такой скорости. При этом, естественно,
следует воспользоваться какой-то функцией v* (Е). Она
определяется спектром электронов. В работе [29] используется
распределение Дрювейстейна (см. подраздел 15.2), хотя формула для
Vi (Е) и не вполне совпадает с обычной [33]. Если считать спектр
электронов максвелловским, то для определения связи между
температурой электронов и полем следует воспользоваться условием
равенства энерговыделения от поля и передачи энергии от
электронов тяжелым частицам.
Особенно простым получается решение, если посчитать размер-
а малым по сравнению ciic, что дает возможность представить
член источников vtN в виде дельта-функции 46 (%)- Коэффициент
пропорциональности А при этом естественно связать с
максимальной плотностью электронов iVmax в точке х = 0 и реальной
протяженностью области поля в направлении х интегральной формулой
Ад (х) dx = A — A^maxV^a. Решение имеет вид
\ exp [(yV/4£> + 1/А2 + u/2D) х], х < О,
Л = 7Vmax \ г
[ех? [{У u2/4D + 1/А2 -u/2D)x], я>0
(ср. с решением (6.79) подраздела 24.5; плотность электронов
спадает вниз по потоку медленнее, чем вверх). При этом
и = ]/"^(Я)а]2-4£2/Л2.
286

Поле, необходимое для поддержания разряда ь неподвижном
газе (порог существования режима и = 0), определяется условием
равенства частоты ионизации vt и некоей эффективной частоты
диффузионных уходов электронов vd = 2D/Aa, как в обычной
теории Шоттки положительного столба тлеющего разряда [33].
Чтобы поддерживать разряд в потоке, требуются большие частоты
ионизации и поля, тем большие, чем быстрее поток.
Опыты [29] были сделаны с гелием. Использовались стержневые
электроды, которым соответствовали эффективные параметры
6 = 18, с = 4 ш и сравнительно небольшой размер а (фактически
он определялся характером «выпучивания» поля). При давлении
р = 15 тор и токе 0,15а необходимое поле возрастало от 14 до
22 в/см при увеличении скорости потока от 0 до 100 м/сек (iVraax ~
~4-1010 1/см3). Расчетные зависимость Е (и) и распределение
N (х) хорошо совпали с измеренными.
(Отметим статью [30], в которой решается нестационарная
трехмерная диффузионная задача для геометрии рис. 8.7, и
работу В. Ю. Баранова [31], в которой экспериментально
исследовались искривление и снос стационарной дуги в поперечном потоке
газа.)
36.3. Механизм турбулентного перемешивания. В достаточно
быстрых потоках, как раз при скоростях порядка 100 м/сек,
течение может стать турбулентным. В турбулентном потоке
включается новый, весьма действенный механизм
распространения ионизации и разряда — турбулентная диффузия или
турбулентное перемешивание газа, которое приводит к
проникновению ионизованных макроскопических газовых частиц вверх
по потоку к границам области действия поля. Этот механизм
аналогичен механизму распространения пламени при турбулентном
горении газовых смесей. Однако в случае распространения
разряда имеются и свои тонкости. Так, например, не через любую
беспорядочную смесь ионизованных и неионизованных объемов
может идти ток — должен существовать «проводящий путь», т. е.
непрерывная цепочка соприкасающихся ионизованных объемов.
Впрочем, не исключено, что маленькие неионизованные
«перемычки» между близко расположенными ионизованными объемами
заполняются зарядами благодаря амбиполярной диффузии, и так
прокладывается проводящий путь.
Турбулентное перемешивание газа оказывает существенное
влияние на горение разряда в быстром продольном потоке,
способствуя однородному заполнению разрядом больших объемов
(в продольном случае электроды расположены так, чтобы поле
и ток были направлены не поперек потока, как на рис. 8.7,
а вдоль). Дело в том, что тлеющим разрядам свойственна тенденция
к контракции или «шнурованию» (см. разделы 30, 32), в результате
чего однородный разряд стремится разбиться на совокупность
отдельных токовых шнуров — «дуг». Обычно шнурование
происходит при повышении тока и давления (плотности) газа,
287

т. е. как раз при тех условиях, которые необходимы для внесения
в разряд большой электрической и извлечения большой лазерной
мощности. Борьба со шнурованием разряда представляет одну
из самых трудных и главных проблем при создании мощных
газовых лазеров. Опыт показывает, что искусственное внесение
мелкомасштабной турбулентности в газовый поток при помощи
генераторов вихрей — системы небольших штырей, заслонок
и т. д., введенных в поток, позволяет существенным образом
расширить диапазон токов и давлений, при которых разряд еще
сохраняет однородность. Применение подобной техники позволило
Хиллу [37] пропускать через разряд ток до 20 ма/см2, при
давлениях ~ 100 тор и создать на такой основе мощный лазер на 20 кет.
Действие турбулентности в данной ситуации можно трактовать
как проявление эффекта распространения разрядов.
Действительно, представим себе два параллельных токовых шнура в
однородном электрическом поле, разделенных неионизованным газом.
В быстром продольном потоке медленная амбиполярная диффузия
не успевает заполнить зарядами неионизованный промежуток
за короткое время протекания газа через разряд. Между тем,
гораздо более быстрый процесс турбулентной диффузии может
это сделать, шнуры расширяются и сливаются, чем и достигается
однородность разряда. Но такой процесс представляет собой не
что иное, как турбулентное распространение разряда от одного
шнура к другому поперек поля и потока.
В быстром турбулентном потоке возможно осуществить и
неравновесный высокочастотный разряд при средних давлениях.
Обычный индукционный разряд высокого давления, на основе
которого создан высокочастотный плазмотрон (см. разделы 28,
33) близок к дуговому в том смысле, что в обоих разрядах
плазма довольно высоко ионизована, почти равновесна и механизмом
переноса тепла и, в конечном счете, состояния ионизации служит
теплопроводность.
Если через соленоид по трубке продувать газ с большой
скоростью ~ 100 м/сек и обеспечить достаточно большие токи в
индукторе, чтобы вихревое электрическое поле было достаточно
высоким, может возникнуть разряд типа тлеющего, с сильным
отрывом температур электронов и газа. Механизмом
распространения его послужит турбулентное перемешивание ионизованных
и неионизованных объемов. Не исключено, что замкнутые
индукционные токи будут вести себя в отношении шнурования более
благоприятным образом, чем токи между электродами в обычном
тлеющем разряде. В этом случае высокочастотный разряд может
оказаться полезным для техники мощных газовых лазеров.
Надо сказать, что очень интересный и практически важный
вопрос о распространении разряда в турбулентном потоке еще
совершенно не исследован.

ЛИТЕРАТУРА
К главе I
1. А. Мак-Доналд. Сверхвысокочастотный пробой газов. М., «Мир», 1969.
2. С. Браун. Элементарные процессы в плазме газового разряда. М., Гос-
атомиздат, 1961.
3. P.D. Maker, R. W. Terhune, С. M. Savage. Optical third harmonic
generation. In. Quantum Electronics, v. III. P. Grivet and N. Bloembergen
(Eds.). N. Y., Columbia Univ. Press, 1964.
4. Ю. П. Райзер. Пробой и нагревание газов под действием лазерного
луча.— УФН, 1965, т. 87, стр. 29.
5. С. De Michelis. Laser induced gas breakdown. A bibliographical revieew.—
IEEE J. Quant. Electron., QE-5, 1969, p. 188.
6. R. G. Meyerand, A. F. Haught. Gas breakdown at optical frequencis.—
Phys. Rev. Letters, 1963, v. 11, p. 401.
7. R. G. Meyerand, A. F. Haught. Optical-energy absorption and
high-density plasma production.— Phys. Rev. Letters, 1964, v. 13, p. 7.
8. J. R. Oppenheimer. Three notes on the quantum theory of a periodic
effect.— Phys. Rev., 1928, v. 31, p. 66.
9. Л.В. Келдыш. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны.—
ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 11.
10. Г. С. Воронов, Н. Б. Делоне. Ионизация атома ксенона электрическим
полем излучения рубинового лазера.— Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 1,
вып. 2, стр. 42.
11. В. Л. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плазме.
Физматгиз, 1960.
12. Л. Д. Ландау, Е. M. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М.,
ГИТТЛ, 1957.
13. Л. Д. Ландау, Е. M. Лифшиц. Теория поля. Физматгиз, 1960.
14. Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. Физика ударных волн и
высокотемпературных гидродинамических явлений. М., «Наука», 1966.
15. Ю. П. Райзер. Тормозное излучение электрона при рассеянии
нейтральными атомами с учетом корреляции столкновений.— ПМТФ, 1964, № 5,
стр. 149.
16. Дж. Бекефи. Радиационные процессы в плазме. М., «Мир», 1971.
17. Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. О лавинной ионизации газа под
действием светового импульса.— ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 1150.
18. В. Касьянов, А. Старостин. К теории тормозного излучения
медленных электронов на атоме.— ЖЭТФ, 1965, т. 48, стр. 295.
19. А. V. Phelps. Theory of growth of ionization during laser breakdown.—
In: Physics of Quantum Electroncs. N. Y., McGraw-Hill, 1966, p. 538.
Перевод в сб. «Действие лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
20. Б. А. Трубников. Излучение плазмы в магнитном поле.— ДАН СССР,
1958, т. 118, стр. 913.
21. Ф. В. Бункин, M. В. Федоров. Тормозной эффект в сильном поле
излучения.— ЖЭТФ, 1965, т. 49, стр. 1215.
289

22. A. J. Dixon, A. von Engel. Total inelastic cross section for slow electrons
in xenon.— Internat. J. Electronics, 1968, v. 25, p. 233.
23. Г. В. Островская, A. H. Зайделъ. Лазерная искра в газах.— УФН,
1973, т. 111, стр. 579.
К главе 2
1. R. G. Meyerand, A. F. Haught. Gas breakdown at optical frequencies.—
Phys. Rev. Letters, 1963, v. 11, p. 401.
2. R. W. Minck. Optical frequency electrical discharges in gases.— J. Appl.
Phys., 1964, v. 35, p. 252.
3. P. Nelson, P. Vegrie, M. Berry, Y. Durand. Experimental and theoretical
studies of air breakdown by intense pulse of light.— Phys. Letters, 1964,
v. 13, p. 226.
4. R. G. Tomlinson, E. K. Damon, H. T. Buscher. The breakdown of noble
and atmospheric gases bu ruby and neodymium laser pulses,— In:
Physics of Quantum Electronics. N. Y., McGraw-Hill, 1966,p. 520. Перевод
в сб. «Действие лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
5. D. Н. Gill, A.A. Dougal. Breakdown minima due to electron — impact
ionization in super-high-pressure gases irradiated by a focused giant-pulse
laser.— Phys. Rev. Letters, 1965, v. 15, p. 845. Перевод в сб. «Действие
лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
6. R. W. Minck, W. G. Rado. Investigation of optical frequency breakdown
phenomena.— In: Physics of Quantum Electronics. N. Y., Mc Graw-
Hill., 1966, p. 527. Перевод в сб. «Действие лазерного излучения». М.,
«Мир», 1968.
7. T. Bergquist, В. Kleman. Breakdown in gases by 10 600 Ä laser radiation.—
Arkiv fys., 1966, v. 31, p. 177.
8. R. G. Tomlinson. Multiphoton ionization and the breakdown of noble
gases.— Phys. Rev. Letters, 1965, v. 14, p. 489.
9. B. E. Мицук, В. И. Савоскин, В. А. Черников. Пробой на оптических
частотах при наличии диффузионных потерь.— Письма в ЖЭТФ, 1966,
т. 4, стр. 129.
10. В. Е. Мицук, В. А. Черников. О механизме потерь при первичном
световом пробое.— Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, стр. 627.
11. J.A. Howe. Laser-Induced breakdown in chlorine.—J. Appl. Phys., 1965,
v. 36, p. 3363.
12. /. E. Rizzo, R. C. Klewe. Optical breakdown in metal vapours.— Brit.
J. Appl. Phys., 1966, v. 17, p. 1137. Перевод в сб. «Действие лазерного
излучения». М., «Мир», 1968.
13. М. Л. Грутман, P. M. Миникаева, В. Е. Мицук, В. А. Черников.
Световой пробой паров ртути.— Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 7, стр. 311.
14. R. W. Waynant, J. H. Ramsey. Laser-induced ionization of gases.— J.
Opt. Soc. America, 1965, v. 55, p. 602.
15. C.J. Chen. Experimental evidence of inverse bremsstrahlung and
electron impact ionization in low pressure argon ionized by a giant pulse
laser.— Phys. Rev. Letters, 1966, v. 16, p. 833.
16. M. Young, M. Hercher. Dynamics of laser induced breakdown in gases.—
J. Appl. Phys., 1967, v. 38, p. 4393.
17. D. С Smith. Q-Switched G02 Laser.— IEEE J. Quant. Electron. 1969,
QE-5, p. 291.
18. H. А. Генералов, В. П. Зимаков, Г. И. Козлов, В. А. Масюков, Ю. П. Рай-
зер. Пробой газов под действием длинноволнового инфракрасного
излучения лазера на С02.— Письма в ЖЭТФ, 1970, т. 11 стр. 343.
19. D. С. Smith. Gas-breakdown with 10.6—u.-wavelength C02 laser
radiation.— J. Appl. Phys., 1970, v. 41, p. 4501.
20. D. C. Smith. Gas-breakdown dependence on beam size and pulse duration
with 10.6—u-wavelength radiation.— Appl. Phys. Letters, 1971, v. 19,
p. 405.
290

21. С. А. Ахманов, А.И. Ковригин, M. M. Струков, Р. В. Хохлов. О
частотной зависимости порога светового пробоя в воздухе.— Письма в ЖЭТФ,
1965, т. 1, стр. 42.
22. Н. Т. Busher, R. G. Tomlinson, Е. К. Damon. Frequency dependence of
optically induced gas breakdown.— Phys. Rev. Letters, 1965, v. 15, p.
847. Перевод в сб. «Действие лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
23. A. F. Haught, R. G. Meyerand, D. С. Smith. Electrical breakdown of
gases by optical frequency radiation.— In: Physics of Quantum Electronics.
N. Y., McGraw-Hill, 1966, p. 509. Перевод в сб. «Действие лазерного
излучения». М., «Мир», 1968.
24. Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. О лавинной ионизации газа под
действием светового импульса.— ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 1150.
25. D. С. Smith, R. G. Tomlinson. Effect of mode beating in laser produced
gas breakdown.— Appl. Phys. Letters, 1967, v. 11, p. 73.
26. A, J.Alcock, C. De Michelis, M. C. Richardson. Breakdown and
Self-focusing effects in gases produced by means of a single-mode ruby laser.—
IEEE J. Quant. Electron., 1970, QE-6, p. 622.
27. JI. E. Вардзигулова, С. Д. Кайтмазов, A. M. Прохоров. Лазерная искра
в сильном магнитном поле.— Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, стр. 799.
28. D. F. Edwards, M. M. Litvak. Recombination mechanism for laser
produced discharges on argon.— Bull. Amer. Phys. Soc, 1965, v. 10, p. 73.
29. P. W. Chan, C. De Michelis, B. Kronast. Laser-Produced Sparks in a
200-kG Magnetic Field.— Appl. Phys. Letters, 1968, v. 13, p. 202.
30. M. П. Ванюков, В. И, Исаенко, В. В. Любимов, В. А. Серебряков,
O.A. Шорохов. Применение оптического квантового генератора,
работающего в пичковом режиме, для получения высокотемпературной
плазмы.— Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 3, стр. 316.
31. D. С. Smith, A. F. Haught. Energy loss processes in optical frequency gas
breakdown.— Phys. Rev. Letters, 1966, v. 16, p. 1085.
32. Б. Ф. Мулъченко, Ю. П. Райзер. Лазерный пробой смесей неона с
аргоном и роль фотоионизации возбужденных атомов.— ЖЭТФ, 1971, т.
60, стр. 643.
33. Э. Гернитц, P.M. Миникаева, В.Е. Мицук, В. А. Черников.
Оптический пробой в смеси газов.— Вестник Московского университета
(физика), 1970, № 3, стр. 336.
34. R.M. Minikaeva, V. Е. Mitsuk, V. A. Chernikov. Investigation of
frequency dependence of the threshold of optical breakdown in the mercury
vapour.— Proc. IX-th Internat. Gonf. on Phenomena in Ionized Gases.
Bucharest, 1969.
35. V. E. Mitsukb R. M. Savvina, V. A. Chernikov. Proc. X-th Internat.
Conf. on Phenomeua in Ionized Gases. London, 1971.
36. S. L. Chin, N. R. Isenor. Effect of an electron-acceptor gas on the optical
breakdown of argon.— Phys. Rev., 1967, v. 158, 93.
37. M. Young, S. L. Chin, N.R. Isenor. Laser-Induced breakdown in freon —
doped rare gas.— Canad. J. Phys., 1968, v. 46, p. 1537.
38. A.H. Adelman. Laser induced breakdown of organic vapours.— J.Chem.
Phys., 1966, v. 45, p. 3152.
39. Ф.В. Вункин, A. M. Прохоров. О некоторых особенностях
взаимодействия коротких импульсов лазерного излучения с веществом.— ЖЭТФ,
1967, т. 52, стр. 1610.
40. С. Д. Кайтмазов, A.A. Медведев, А. М. Прохоров. Исследование
оптического пробоя в воздухе лазером, работающим в режиме
синхронизации мод.— ДАН СССР, 1968, т. 180, стр. 1092.
41. Б. 3. Горбенко, Ю.А. Дрожбин, С. Д. Кайтмазов, A.A. Медведев,
А. М. Прохоров, А. М. Толмачев. Исследование оптического пробоя в
воздухе, вызванного сверхкороткими импульсами, при помощи
фотохронографа с ЭОП.— ДАН СССР, 1969, т. 187, стр. 772.
42. A. J. Alcock, M. С. Richardson. Creation of a spark by single subnanose-
cond laser pulse.— Phys. Rev. Letters, 1968, v. 21, p. 667.
291

43. И. К. Красюк, П. П. Пашинин, A. M. Прохоров. Исследование пробоя
в азоте под действием пикосекундного импульса излучения лазера на
рубине.— Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, стр. 581.
44. И. К. Красюк, П. П. Пашинин, А. М. Прохоров, Исследование пробоя
в аргоне и гелии под действием пикосекундного импульса излучения
лазера на рубине.— ЖЭТФ, 1970, т. 58, стр. 1606.
45. Ф. В. Бункин, И. К. Красюк, В. M. Марченко, П. П. Пашинин,
А. М. Прохоров. Исследование структуры искры, возникающей при
фокусировании пикосекундного лазерного импульса в газах.— ЖЭТФ,
1971, т. 60, стр. 1326.
46. V. V.Korobkin, A. J. Alcock. Self-focusing effects associated with laser-
induced air breakdown.— Phys. Rev. Letters, 1968, v. 21, p. 1433.
47. A. J. Alcock, C. De Michelis, V. V. Korobkin, M. C. Richardson.
Preliminary evidence for self-focusing in cas breakdown produced by picosecond
laser pulses.— Appl. Phys. Letters, 1969, v. 14, p. 145.
48. А. П. Дарманян, В. E. Мицук, В. А. Черников. Снижение порога
светового пробоя в фокусе лазера при наложении СВЧ-поля.— Письма в
ЖЭТФ, 1968, т. 8, стр. 117.
49. H.A. Генералов, Г. И. Козлов, Ю. П. Райзер. Эффект сильного
увеличения поглощательной способности частично ионизованного газа при
больших интенсивностях света.— Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 8, стр. 138.
50. H.A. Генералов, Г. И. Козлов, Ю.П. Райзер. Эффект «просветления»
плазмы под действием лазерных импульсов.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, стр.
789.
51. H.A. Генералов, Г. И. Козлов, Ю. П. Райзер. Нелинейное поглощение
лазерных импульсов частично ионизованным газом.— ПМТФ, 1970,
№, 1, стр. 142.
52. H.A. Генералов, Г. И. Козлов, Ю. П. Райзер. Возникновение
неравновесных состояний и изменение поглощательной способности плазмы под
действием мощных световых импульсов.— ПМТФ, 1970, № 3, стр. 27.
53. С. С. Wang, L.I. Davis. New observations of dielectric breakdown in air
induced by a focused Nd-glass laser with various pulse widths.— Phys.
Rev. Letters, 1971, v. 26, p. 822.
54. W. Holzer, P.Ranson, P.Peretti. Optical breakdown in gases of medium
ionization potential.— IEEE J. Quant. Electron., 1971, QE-7, p. 204.
55. И. И. Абрикосова, О. M. Бочкова. Пробой жидкого и газообразного
гелия лазерным лучом и наблюдение ВРМБ в жидком гелии.— Письма
в ЖЭТФ, 1969, т. 9, стр. 285.
56. С. Barthélémy, M. Leblanc, M. T. Boucalt. Variation du seuil de claquage
de Pair en fonction de la longuer d'one de l'irradiation laser.—C. r. Acad.
sei. Paris, ser. B, 1968, v. 266, 1234.
57. В. И. Еремин, Л. В. Норинский, В. А. Прядеин. Частотная зависимость
порога светового пробоя в воздухе в ультрафиолетовом диапазоне.—
Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 13, стр. 433.
58. А. Г. Акманов, Л. А. Ривлин, В. С. Шилъдяев. Оптически
инициируемый направленный электрический пробой в газе.— Письма в ЖЭТФ,
1968, т. 8, стр. 417.
59. И. К. Красюк, П. П. Пашинин. Пробой в аргоне и азоте при
воздействии пикосекундного импульса лазерного излучения с длиной волны
0,35 мкм.— Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 15, стр. 471.
60. R.J. Dewhurst, G.J. Pert, S.A. Ramsden. Proc. 10 Internat. Gonf. on
Ionized Gases. Oxford, 1971.
61. Л, В. Норинский. Инициирование направленного электрического
пробоя в газе излучением третьей гармоники неодимового лазера.—
Квантовая электроника, 1971, т. 5, стр. 108,
292

К главе 3
1. С. Чепмеп, Т. Каулинг. Математическая теория неоднородных газов.
ИЛ, I960.
2. В. Л. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плазме.
Физматгиз, 1960.
3. В. Е. Голант. Сверхвысокочастотные методы исследования плазмы. М.,
«Наука», 1968.
4. А. Мак-Доналд. Сверхвысокочастотный пробой газов. М., «Мир», 1969.
5. Я. В. Зельдович, Ю. П. Райзер. О лавинной ионизации газа под
действием светового импульса.— ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 1150.
К главе 4
1.-4. Мак-Доналд. Сверхвысокочастотный пробой в газах. М., «Мир», 1969,
2. В. Л. Грановский. Электрический ток в газе (Установившийся ток). М.,
«Наука», 1971.
3. Н. Margenau. Conduction and dispersion of ionized gases at high
frequencies.— Phys. Rev., 1946, v. 69, p. 508.
4. И. Мак-Даниелъ. Процессы столкновений в ионизированных газах.
М., «Мир», 1967.
5. M. Y. Druyvesteyn. Phisica, 1930, v. 10, p. 61.
6. Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. О лавинной ионизации газа под
действием светового импульса.— ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 1150.
7. Д. Д. Рютов. Теория пробоя благородных газов на оптических
частотах.—'ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 2194.
8. J. R. Wright. Theory of the electrical breakdown of gases by intense
pulses of light.— Proc. Phys. Soc, 1964, v. 84, p. 41.
9. Г.А. Аскарьян, M. С. Рабинович. Лавинная ионизация среды под
действием вспышки интенсивного света.— ЖЭТФ, 1965, т. 48, 290.
10. P. F. Browne. Mechanism of gas breakdown by lasers.— Proc. Phys. Soc,
1965, v. 86, p. 1323.
11. B. A. Tozer. Theory of the ionization of gases by laser beams.— Phys.
Rev., 1965, v. 137A, p. 1665.
12. A. V. Phelps. Theory of growth of ionization during laser breakdown. —
In: Physics Quantum Electron. N. Y., McGraw-Hill., 1966, p. 538.
Перевод в сб. «Действие лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
13. В. А. Барынин, Р. В. Хохлов. К вопросу о механизме светового пробоя
в газе.— ЖЭТФ, 1966, т. 50, стр. 472.
14. М. Л. Грутман, Р. М. Миникаева, В. Е. Мицук, В. А. Черников.
Световой пробой паров ртути.— Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 7, стр. 311.
15. В. Е. Мицук, В. А. Черников. О механизме потерь при первичном
световом пробое.— Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, стр. 627.
16. M. Young, M. Hercher. Dynamics of laser-induced breakdown in gases.—
J. Appl. Phys., 1967, v. 38, p. 4393.
17. Ю. В. Афанасьев, Э. M. Беленое, О. H. Крохин. Лавинная ионизация
газа в поле большой интенсивности.— Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 8,
стр. 209.
18. Ю. В. Афанасьев, Э. М. Беленое, О. Н. Крохин, И. А. Полуэктов.
Лавинная ионизация газа при оптическом пробое в широком диапазоне
потоков.— ЖЭТФ, 1969, т. 57, стр. 580.
19. P.E. Nielsen, G. H. Ganavan, S.D. Rockwood. Breakdown of deuterium
with a ruby laser.— Proc. IEEE, 1971, v. 59, p. 707.
20. А. И. Выскребенцев, Ю. П. Райзер. Простая теория пробоя одноатомных
не легких газов в полях любых частот, от низких до оптических.—
ПМТФ, 1973, № 1, стр. 40.
21. Ю. В. Афанасьев, Э. М. Беленое, И. А. Полуэктов. Оптический пробой
молекулярных газов.— Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 15, стр. 60.
293

22. H.A. Генералов, В. П. Зимаков, Г. И. Козлов, В. А. Масюков, Ю.П.
Райзер. Пробой газов под действием длинноволнового инфракрасного
излучения лазера на С02.— Письма в ЖЭТФ, 1970, т. И, стр. 343.
23. С. Браун. Элементарные процессы в плазме газового разряда. Госатом-
издат, 1961.
24. A. J. Dixon, A. von Engel. Total inelastic cross section for slow electrons
in xenon.— Internat. J. Electronics, 1968, v. 25, p. 233.
25. A. J. Alcock, C. De Michelis, M. С. Richardson. Breakdown and
self-focusing effects in gases produced by means of a single-mode ruby laser.—
IEEE I. Quant. Electron., 1970, QE-6, p. 622.
26. A. F. Haught, R. G. Meyerand, D. C. Smith. Electrical breakdown of
gases by optical frequency radiation. In.: Physics of Quantum
Electronics. N. Y., McGraw-Hill, 1966, p. 509. Перевод в сб. «Действие
лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
27. T. Bergqvist, В. Kleman. Breakdown in gases by 10 600 Â laser
radiation.— Arkiv fys., 1966, v. 31, p. 177.
28. Ю. В. Афанасьев, Э. M. Беленое, О. H. Ерохин. Лавинная ионизация
газа мощным ультракоротким импульсом света.—ЖЭТФ, 1969, т. 56,
стр. 256.
29. Г. С. Романов, К. Л. Степанов. О пробое инертных газов.— Журнал
прикл. спектроскопии, 1967, т. 6, стр. 719.
30. К. Л. Степанов. К вопросу о пробое молекулярных газов.— Журнал
прикл. спектроскопии, 1967, т. 7, стр. 430.
К главе 5
1. Н. Б. Делоне, Л, В. Келдыш. Обзорный доклад.— Материалы IV
Всесоюзной конференции по физике электронных и атомных столкновений.
Рига, 1969. Препринт ФИАН СССР № 11, 1970.
2. Ю.П. Райзер. Пробой и нагревание газов под действием лазерного
луча.— УФН, 1965, т. 87, стр. 29.
3. А. М. Бонч-Бруевич, В. А. Ходовой. Многофотонные процессы.— УФН,
1965, т. 85, стр.^3.
4. Г. С. Воронов, Н. Б. Делоне. Ионизация атома ксенона электрическим
полем излучения рубинового лазера.— Письма в ЖЭТФ, 1965, 1, вып.
2, стр. 42.
5. Ä. М. Леонтович, А. П. Ведута. Возбуждение мод и объяснение
расходимости пучка излучения оптического генератора на рубине,— ЖЭТФ,
1964, 46, 71.
6. D. J. Bradly, A. W. Desilva, D. Е. Evans, M. J. Forrest. Spectra of
giant pulsus from a ruby laser.— Nature, 1963, v. 199, p. 1281.
7. T. M. Бархударова, Г. С. Воронов, В. M. Горбунков, Л. Б. Делоне.
Пространственное распределение электрического поля, созданного
путем фокусировки излучения оптического квантового генератора на
рубине.— ЖЭТФ, 1965, т. 49, стр. 386.
8. Г. С. Воронов, Г. А. Делоне, О. В. Кудреватова. Многофотонная
ионизация молекулы водорода в сильном электрическом поле излучения
рубинового лазера.— Письма в ЖЭТФ, 1965, 2, вып. 8, стр. 377.
9. Г. С. Воронов, Л. Б. Делоне. Многофотонная ионизация атома ксенона
излучением рубинового лазера.— ЖЭТФ, 1966, т. 50, стр. 78.
10. Г. С. Воронов, Г. А. Делоне, Л. Б. Делоне. Многофотонная ионизация
атомов.— ЖЭТФ, 1966, т. 51, стр. 1660.
11. Т. Б. Быстрова, Г. С. Воронов, Г. А. Делоне, Л. Б. Делоне.
Многофотонная ионизация атомов ксенона и криптона на длине волны % =
= 1,06 мк.— Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 5, стр. 223.
12. Т. М. Бархударова. Измерение распределения интенсивности излучения
лазера, работающего в режиме гигантского импульса.— ФХОМ, 1969,
№ 4, стр. 10.
294

13. Г. А. Делоне, H. Б. Делоне. Роль связанных состояний в процессе
многофотонной ионизации атомов.— ЖЭТФ, 1968, т. 54, стр. 1067.
14. Г. А. Делоне, Н. Б. Делоне, Н. П. Донская, К. Б. Петросян. Роль
напряженности поля и структуры атома в процессе многофотонной
ионизации.— Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, стр. 103.
15. Г. А. Делоне, Н. Б. Делоне. Влияние многофотонного резонанса на
процесс многофотонной ионизации.— Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 10, стр.
413.
16. P. Agostini, F. Bonnal, G. Mainfray, С. Manus. Ionisation multiphoto-
nique de l'hydrogène et des gaz rares par MM. G. r. Acad. sei. Paris, 1968,
v. 266, p. 1034.
17. Й. Бакош, Й. Кантор, A. Киш. Трехфотонная ионизация атома гелия,
находящегося в возбужденном состоянии 2S.— Письма в ЖЭТФ, 1970,
т. 12, стр. 371.
18. /. L. Hall. Two-quantum photoionization of Gs and I".— IEEE J. Quant.
Electron., 1966, QE-2, p. 361.
19. /. E. Rizzo, R. C. Klewe. Optical breakdown in metal vapours.— Brit.
J. Appl. Phys., 1966, v. 17, p. 1137. Перевод в сб. «Действие лазерного
излучения». М., «Мир», 1968.
20. /. Popescu, С. Chita, N. Niculescu. On the ionization of caesium vapours
by a laser beam.— Phys. Letters, 1967, v. 24A, p. 276.
21. /. L. Hall, E. J. Robinson, L. M. Branscomb. Laser double-quantum pho-
todetachment of I~.— Phys. Rev. Letters, 1965, v. 14, p. 1013.
22. E. R. Peressini. Field emission from atoms in intense optical fields.
Physics of Quantum Electronics. N. Y., McGraw-Hill, 1966, p. 499. Перевод
в сб. «Действие лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
23. Ф. В. Бункин, А. М. Прохоров. Возбуждение и ионизация атомов в
сильном поле излучения.— ЖЭТФ, 1964, т. 46, стр. 1090.
24. Л. В. Келдыш. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны.—
ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 1945.
25. A. Gold, H. В. В ebb. Theory of multiphoton ionization.— Phys. Rev.
Letters, 1965, v. 14, p. 60.
26. H. В. В ebb, A. Gold. Multiphoton ionization of hydrogen and rare gas
atoms.— Phys. Rev., 1966, v. 143, p. 1. Перевод в сб. «Действие
лазерного излучения». М., «Мир», 1968.
27. Н. В. В ebb. Quantitative theory of the two-photon ionization of the
alkali atoms.— Phys. Rev., 1966, v. 149, p. 25.
28. H. В. В ebb. Theory of three-photon ionization of the alkali atom.— Phys-
Rev., 1967, v. 153, p. 23.
29. /. Gontier, M. Trahin. Multiphoton ionization of atomic hydrogen in the
ground state.— Phys. Rev., 1968, v. 172, p. 83.
30. W. Zernik. Two-photon ionization of atomic hydrogen.— Phys. Rev.,
1964, v. 135A, p. 51.
31. Б. А. Зон, H. Л. Монаков, Л. П. Раппопорт. Двухфотонная
ионизация атома водорода.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, стр. 400.
$2. S. Geltman. Double-photon photo-detachment of negative ions.— Phys.
Letters, 1963, 4, 168.
33. G. S. Voronov, V. M. Gorbunkou, G. A. Delone, N. B. Delone, L. V. Ke-
lohysh, O. V. Kudrevatova, M. S. Rabinowich. Multiple-photon ionization
of atoms and molecules in a strong electromagnetic wave field.— Proc. 7.
Internat. Gonf. on Phenomena in Ionized Gases. Beograd, 1965.
34. Г. С. Воронов. О зависимости вероятности многофотонной ионизации
атомов от интенсивности потока фотонов — ЖЭТФ, 1966, т. 51, стр.
1496.
35. А. П. Котова, М. В. Терентъев. Резонансная ионизация атомов в поле
сильной электромагнитной волны.— ЖЭТФ, 1967, т. 52, стр. 732.
36. /. Gontie, M. Trahin. Section efficace d'ionisation multiphotonique
calculée en utilisant une fonction de green perturbée par MM.— C. r. Acad.
sei.-, ser. B, 1968, v. 267, p. 357.
295

3?. V. A. Kovarsky. Statistical aspect of the theory of multiphoton
processes.— Internat. Conf. on Phenomena in Ionized Gases. Bucharest, 1969,
p. 41.
38. С. И. Ветчинкин, С. В. Христенко. Применение кулоновской функции
Грина к расчету взаимодействия атома водорода с полем световой
волны во втором порядке теории возмущений.— Оптика и спектр, 1968,
т. 25, стр. 650.
39. А. М. Переломов, В. С. Полое, М. В. Терентъев. Ионизация атомов в
переменном электрическом поле, часть 1.— ЖЭТФ, 1966, т. 50, стр.
1393.— Часть II, ЖЭТФ, 1966, т. 51, стр. 309.
40. А. И. Никишев, В. И. Ритус. Ионизация систем, связанных
короткодействующими силами, полем электромагнитной волны.— ЖЭТФ, 1966,
т. 50, стр. 255.
41. V. M. Mort ion. Multiphoton absorption in monoatomic gases.— Proc.
Phys. Soc, 1967, v. 92, 301.
42. Г. А. Делоне, П. Б. Делоне. Влияние многофотонного резонанса на
процесс многофотонной ионизации.— Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 10,
стр. 413.
43. Б. А. Зон, П. Л. Манаков, Л. П. Раппопорт. Полуфеноменологическая
функция Грина оптического электрона в сложном атоме.— ДАН СССР,
1969, т. 188, стр. 560.
44. И. Н. Арутюнян, Г. А. Аскаръян, В. А. Погосян. Многофотонные
процессы в фокусе мощного луча лазера с учетом расширения объема
воздействия.— ЖЭТФ, 1970, т. 58, стр. 1020.
45. Н. К. Бережецкая, Г. С. Воронов, Г. А. Делоне, Н. Б. Делоне, Г. К.
Пискова. Воздействие сильного электромагнитного поля оптической
частоты на молекулу водорода.— ЖЭТФ, 1970, т. 58, стр. 753.
46. P. Agostini, G. Barjot, F. Bonnal, G. Mainfray, С. Manus, J. Morellec.
Multiphoton ionization of hydrogen and rare gases.— IEEE J. Quant.
Electron., 1968, QE-4, p. 667.
47. W. Zernik. Multiphoton ionization of atomic hydrogen.— Phys. Rev.,
1969, v. 176, p. 420.
48. А. И. Никишев, В. И. Ритус. Ионизация атомов полем
электромагнитной волны.— ЖЭТФ, 1967, v. 52, р. 223.
К главе 6
1. S. A. Ramsden, W. Е. Davies. Radiation scattered from the plasma
produced by a focused ruby laser beam.— Phys. Rev. Letters, 1964, v. 13,
227.
2. S. A. Ramsden, P. Savic. A radiative detonation model for the
development of a laser induced spark in air.— Nature, 1964, v. 203, p. 1217.
3. Я. Б. Зельдович. Теория горения и детонации газов. Изд-во АЦ СССР,
1944.
4. Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец. Теория детонации. Гостехиздат, 1955.
5. Я. Б. Зельдович, Ю. П. Райзер. Физика ударных волн и
высокотемпературных гидродинамических явлений. М., «Наука», 1966.
6. Е. П. Велихов, А. М. Дыхне. Волна неравновесной ионизации в газе.—
Труды VII Международного симпозиума по ионизационным явлениям
в газах. Белград, 1965, стр. 47.
7. Ю. М. Волков. Импульсный неизотермический разряд в смесях
инертных газов с цезием.— Теплофизика высоких температур, 1965, т. 3,
стр. 4.
8. Ю. П. Райзер. Высокочастотный разряд высокого давления в потоке
газа как процесс медленного горения.— ПМТФ, 1968, № 3, стр. 3.
9. Ф. В. Бункин, В. И. Конов, А. М. Прохоров, В. Б. Федоров. Лазерная
искра в режиме «медленного горения».— Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, стр.
609.
296

ÎO. W. Beust, W. L. Ford. Arcing in GW transmitters.— Microwave J., MTT,
1961, N 10, p. 91.
11. Ю. П. Райзер. Распространение сверхвысокочастотного разряда высокого
давления.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 222.
12. Ю. П. Райзер. Распространение разрядов и поддержание плотной
плазмы электромагнитными полями.— УФН, 1972, т. 108, стр. 429.
13. С. Л. Мандельштам, П. П. Пашинин, А. М. Прохоров, Ю. П. Райзер,
П. К. Суходрев. Исследование искры в воздухе, возникающей при
фокусировании излучения лазера, ч. 2.— ЖЭТФ, 1965, т. 49, стр. 127.
14. A. J. Alcock, P. P. Pashinin, S. A. Ramsäen. Temperature measurements
of a laser spark from soft X-ray emission.— Phys. Rev. Letters, 1966, v.
17, p. 528.
15. M. П. Ванюков, В. А. Венчиков, В. И. Исаенко, П. П. Пашинин,
А. М. Прохоров. Получение высокотемпературной плотной плазмы при
пробое в газах с помощью лазера.— Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 7, стр.
321.
16. Ю. П. Райзер. Нагревание газа под действием мощного светового им"
пульса.— ЖЭТФ, 1965, т. 48, стр. 1508.
17. Ю. П. Райзер. О возможности поджигания бегущей лазерной искры
при интенсивностях светового луча, много меньших пороговой для
пробоя.— Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 7, стр. 73.
18. Г. В. Островская, А. Н. Зайделъ. Лазерная искра в газах.— УФН,
1973, т. 111, стр. 579.
19. /. W. Daiber, H. M. Thompson. Laser driven detonation waves in gases.—
Phys. Fluids, 1967, v. 10, p. 1162.
20. F. Floux, P, Veyrie. Etude expérimentale du plasma créé par focalisation
d'un faisceau laser dans l'air.— G. r. Acad. Sei. Paris, ser. B, 1965, v.
261, p. 3771.
21. F. Floux, D. Guyot, P. Langer. Etude expérimentale de l'ionisation du
deuterium sous l'action d'un laser à impulsion courte.— G. r. Acad. Sei.,
ser. B, 1968, v. 267, p. 416.
22. /. L. Bobin, C. Canto, F. Floux, D. Guyot, J. Reuss. Gas. breakdown with
nanosecond pulse.— IEEE J. Quant. Electron., 1968, QE-4, p. 923.
23. В. В. Коробкин, С. Л. Мандельштам, П. П. Пашинин, А. В.
Прохиндеев, А. М. Прохоров, П. К. Суходрев, М. Я. Щелев. Исследование
«искры» в воздухе, возникающей при фокусировании излучения лазера III.—
ЖЭТФ, 1967, т. 53, стр. 116.
24. А. /. Alcock, С. De Michelis, К. Hamal, В. A. Tozer. A modelocked laser
as a light source for schlieren photography.-- IEEE J. Quant. Electron.,
1968, QE-4, p. 593.
25. И. И. Комиссарова, Г. В. Островская, Л. Л. Шапиро. Голографические
исследования лазерной искры П.— ЖТФ, 1970, т. 40, стр. 1072.
26. А. Б. Игнатов, И. И. Комиссарова, Г. В. Островская, Л. Л. Шапиро.
Голографические исследования лазерной искры III. Искра в воздухе
и гелии.— ЖТФ, 1971, т. 41, стр. 701.
27. /. W. Daiber, H. M. Thompson. X-Ray temperatures from laser-induced
breakdown plasmas in air.— J. Appl. Phys., 1970, v. 41, p. 2043.
28. A. J. Alcock, E. Panarella, S. A. Ramsden. An interferometric study of
laser induced breakdown in air.— Proc. 7th Internat. Gonf. on Phenomena
in Ionized Gases, 1966, v. 3, p. 224. Beograd.
29. Г.В. Островская, Ю.И. Островский. Голографическое исследование
лазерной искры.— Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4, стр. 121.
30. А. Н. Зайделъ, Г. В. Островская, Ю. И. Островский, Т. Я. Челидзе.
Голографирование лазерной искры с временным разрешением.— ЖТФ,
1966, т. 36, стр. 2208.
31. A. Kakos, G. V. Ostrovskaya, Yu. I. Ostrovskii, A. N. Zaidel. Interfero-
metry holographie investigation of a laser spark.— Phys. Letters, 1966,
v. 2a, p. 81.
297

32. M. Hugenschmidt. Evolution temporele et spatiale de la densité
électronique dans un plasma de xénon créé par le faisceau d'un laser à rubis.
G. r. Acad. Sei. Paris, ser. B, 1970, v. 271, p. 757.
33. M. Hugenschmidt, K. Vollrath. Analyse par interférométrie à deux
longueurs d'onde de plasmas produits par focalisation d'un faisceau laser
au néodyme.— G. r. Acad. Sei. Paris, ser. B, 1971, v. 272, p. 36.
34. Л. И. Седов. Методы подобия и размерности в механике. М., «Наука»,
1967.
35. Действие ядерного оружия. 2-е издание. Воениздат, 1965.
36. Г. А. Аскаръян, М. С. Рабинович, M. М. Савченко, В. К. Степанов.
«Огненный шар» светового пробоя в фокусе луча лазера.— Письма в
ЖЭТФ, 1967, т. 5, стр. 150.
37. С. Л. Мандельштам, П. П. Пашинин, А. В. Прохиндеев, А. М.
Прохоров, П. К. Суходрев. Исследование «искры» в воздухе, возникающей
при фокусировании излучения лазера. ЖЭТФ, 1964, т. 47, стр. 1003.
38. Т. П. Евтушенко, Г. М. Малышев, Г. В. Островская, В. В. Семенов,
Т. Я. Челидзе. Исследование искры в воздухе с помощью двух
синхронизированных лазеров. ЖТФ, 1966, т. 36, стр. 1115.
39. К. Buchl, К. Hohla, R. Wienecke, S. Witkowski. Investigation of the
blast wave from a laser produced gas breakdown.— Phys. Letters, 1968,
v. 26A, p. 248.
40. K. Hohla, K. Biichl, R. Wienecke, S. Witkowski. Energiebestimmung der
Stosswelle eines laserinduzierten Gasduchbruchs.—Z. Naturforsch., 1969,
Bd. 24A, S. 1244.
41. T. П. Евтушенко, A. H. Зайделъ, Г. В. Островская, Ю. И. Островский,
Т. Я. Челидзе. Оптические исследования лазерной искры.— Сб.
«Диагностика плазмы», ч. 2, стр. 43. Атомиздат, 1968.
42. Г. А. Аскаръян, М. С. Рабинович, M. М. Савченкю, А. Д. Смирнова.
Обнаружение быстрого ореола фотоионизации и облака
концентрированной долгоживущей ионизации от ударной волны искры в луче
лазера.—Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 1, № 6, стр. 18.
43. Г. А. Аскаръян, М. С. Рабинович, А. Д. Смирнова, В. Б. Студеное.
Поляризация ореола ионизации световой искры в постоянном
электрическом поле.— Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 2, стр. 503.
44. Г. А. Аскаръян, М. С. Рабинович, M. М. Савченко, В. К. Степанов.
Быстрое перекрытие СВЧ-излучения ореолом ионизации световой искры
в луче лазера.— Письма в ЖЭТФ, 1966, № 3, стр. 465.
45. A. J. Alcock, S.A. Ramsden. Two wavelength interforemetry of a laser
induced sparik in air.— Appl. Phys. Letters, 1966, N 8, p. 187.
46. И. И. Комиссарова, Г. В. Островская, Л. Л. Шапиро. Голографическое
исследование лазерной искры.— ЖТФ, 1968, № 38, стр. 1369.
47. A. H. Guenther, W. К. Pendleton, С. Smith, С. H. Skeen, S. Zivi. Pulsed
interferometric holography of laser — produced air brakdown.— J. Opt.
Soc. Am., 1971, v. 61, p. 688.
48. Т. П. Евтушенко, A. H. Зайделъ, Г. В. Островская, Т. Я. Челидзе.
Спектроскопические исследования лазерной искры I. Искра в гелии.—
ЖТФ, 1966, № 36, стр. 1506.
49. M. M. Litvak, D. F. Edwards. Electron recombination in laser produced
hydrogen plasma.— J. Appl. Phys., 1966, N 37, p. 4462.
50. G. Baravion, J. Bretagne, J. L. Delacroix, J. Godart, G. Sultan. Etude
de la post — décharge d'un plasma produit par laser. Comp. Rend., 267B,
639, 1968.
51. N. Ahmad, В. C. Gale, M. H. Key. Experimental and theoretical studies
of the time and space development of plasma parameters in a laser induced
spark in helium.— Proc. Roy. Soc, 1969, v A 310, p. 231.
52. E. V. George, G. Bekefi. Structure of the plasma fireball produced by C02
laser.— Phys. Fluids, 1971, v. 14, p. 2708.
53. Т. П. Евтушенко, В. X. Мкртчян, Г. В. Островская.
Спектроскопические исследования лазерной искры, часть 4. Спектры поглощения
искры в водороде.— ЖТФ-, 1971, т. 41, стр. 2581.
298

54. D. Bize, T. Consoli, L. Slama, P. Stevenin, M. Zymanski. Mesure de la
densité d'un plasma en évolution obtenu par ionisation lasse à l'aide de
Tinterferometre Fabry—Perot.— С. r. Acad. Sei. Paris, Ser. B, 1967, v.
264, p. 1235.
55. G. Lampis, S. S. Brown. Afterglow measurements of a laser breakdown
plasma.— Phys. Fluids, 1968, v. 11, p. 1137.
56. /. L. Champetier. Interprétation théorique de l'évolution du plasma créé
par focalisation d'un faisceau laser dans l'air.— C. r. Acad. Sei. Paris,
ser. B, 1965, v. 261, p. 3954.
57. /. L. Champetier, M. Conairon, Y. Vendenboomgaerde. Sur les boules do
claquage créés par laser.— C. r. Acad. Sei. Paris, ser. B, 1968, v. 267,
p. 1133.
58. R. E. Kidder. Application of lasers to the production of high temperature
and high pressure plasma.— Nucl. Fusion., 1968, v. 8, p. 3.
59. C. Canto, J. D. Reuss, P. Veyrie. Etude théorique de l'ionisation du
deuterium sous l'action d'un laser à impulsion courte.— G. r. Acad. Sei.
Paris, ser. B, 1968, v. 267, p. 878.
60. E. Panarella, P. Savic. Blast waves from a lasser induced spark in air.—
Canad. J. Phys., 1968, v. 46, p. 183.
61. /. Martineau, G. Tonon. Evaluation of a magnetically confined laser
created plasma.— Phys. Letters, 1968, v. 28A, p. 710.
62. A. J. Alcock, C. De Michelis. Creation of a spark by a single subnanose-
cond laser puise.— Phys. Rev. Letters, 1968, v. 21, p. 667.
63. A. J. Alcock, C. De Michelis, M. C. Richardson. Production of a spark b$
a train mode-locked laser pulses.— Phys. Letters, 1968, v. 28A, p. 356.
64. C. C. Wang, L. J. Davis. New observations of dielectric breakdown in air
induced by a focused Nd3+ — glass laser with various puis widths.— Phys.
Rev. Letters, 1971, v. 26, p. 822.
65. Б. 3. Горбенко, Ю. А. Дрожбин, С. Д. Кайтмазов, А. А. Медведев,
А. М. Прохоров, А. М. Толмачев. Исследование оптического пробоя в
воздухе, вызванного сверхкороткими импульсами, при помощи
фотохронографа с ЭОП.— ДАН СССР, 1969, т. 187, стр. 772.
66. М. Gravel, W. J. Robertson, A. J. Alcock, К. Büchl, M. С. Richardson.
Forward going filament in sparks induced by 10.6— ju, laser radiation.—
Appl. Phys. Letters, 1971, v. 18, p. 75.
67. R. G. Tomlison. Plasma expansion under heating by C02 laser pulse.—
Appl. Phys. Letters, 1971, v. 18, p. 149.
68. R. W. Macpherson, M. Gravel. Sequential dielectric breakdown of air
by the focused radiation from a mode locked C02 TEA laser.— Opt.
Communs, 1971, v. 4, p. 160.
69. M. M. Савченко, В. К. Степанов. О структуре изображения лазерной
искры.— Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 8, стр. 458.
70. V. V. Korobkin, A. J. Alcock. Self-focusing effects associated with laser-
induced air breakdown.— Phys. Rev. Letters, 1968, v. 21, p. 1433.
71. A. J. Alcock, C. De Michelis, M. C. Richardson. Breakdown and
self-focusing effects in gases produced by means of a single-mode ruby
laser.— IEEE J. Quant. Electron., 1970, v. QE-6, p. 622.
72. R. G. Tomlinson. Scattering and beam trapping in laser-produced
plasmas in gases.— IEEE J. Quant. Elect., 1969, v. QE-5, p. 591.
73. M. H. Key, D. A. Preston, T. P. Denaldson. Self focusing in gas
breakdown by laser pulses.— J. Phys., 1970, ser. B, v. 4, p. 88.
74. M. С Richardson, A. J. Alcock. Image-converter streak camera with
picosecond resolution.— Appl. Phys. Letters, 1971, v. 18* p. 354.
75. P. Belland, C. De Michelis, M. Matt Mi. Self-focusing in laser induced
gas breakdown.— Opt. Communs., 1971, v. 4, 50.
76. Ф. В. Бункин, И. К. Красюк, В. M. Марченко, П. П. Пашинин,
А. М. Прохоров. Исследование структуры искры, возникающей при
фокусировании пикосекундного лазерного импульса в газах.— ЖЭТФ,
1971, т. 60, стр. 1326.
299

77. H. Нога. Self-focusing of laser beams in a plasma by ponderomotive
forces.— Z. Phys., 1969, Bd. 226, S. 156.
78. A. J. Palmer. Stimulated scattering and self-focusing in laser-produced
plasmas.— Phys. Fluids, 1971, v. 14, p. 2714.
79. Г. А. Аскарьян, M. С. Рабинович. Лавинная ионизация среды под
действием вспышки интенсивного света.— ЖЭТФ, 1965, т. 48, стр. 290.
80. Г. А. Аскарьян, М. С. Рабинович, M. M. Савченко, А. Д. Смирнова.
Световая искра в магнитном поле.— Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 1, № 1,
стр. 9.
81. Г. А. Аскарьян, M. М. Савченко, В. К. Степанов. Диамагнитный момент
сильной ударной волны высокотемпературного светового взрыва в газах.
ЖЭТФ, 1970, т. 59, стр. 1133.
82. С. Д. Кайтмазов, А. А. Медведев, А. М. Прохоров. Воздействие
магнитного поля в 400 кэ на плазму лазерной искры.— Письма в ЖЭТФ,
1971, т. 14, стр. 314.
83. В. В. Коробкин, Р. В. Серов. Исследование магнитного поля искры,
возникающей при фокусировке излучения лазера.— Письма в ЖЭТФ,
1966, т. 4, стр. 103.
84. Р. В. Амбарцумян, Н. Г. Басов, В. А. Бойко, В. С. Зуев, О. Н* Кро-
хин, П. Г. Крюков, Ю. В. Сенатский, Ю. Ю. Стойлов. Нагрев вещества
при фокусировке излучения оптического квантового генератора.—
ЖЭТФ, 1965, т. 48, стр. 1583.
85. Н. Г. Басов, В. А. Бойко, О. Н. Крохин, Г. В. Склизков. Образование
длинной искры в воздухе под действием слабо сфокусированного
излучения лазера.— ДАН СССР, 1967, т. 173, стр. 538.
86. Б. Я. Зельдович, Б. М. Мулъченко, Н. Ф. Пилипецкий. Наблюдение
протяженной световой искры.— ЖЭТФ, 1970, т. 58, стр. 794.
87. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Механика сплошных сред. ГИТТЛ, М.,
1954.
88. Ю. П. Райзер. О возможности создания светового плазмотрона и
необходимой для этого мощности.— Письма в ЖЭТФ, 1970, т. 11, стр. 195.
89. Ю. П. Райзер. Дозвуковое распространение световой искры и пороговые
условия для поддержания плазмы излучением.— ЖЭТФ, 1970, т. 58,
стр. 2127.
90. Б. Ф. Мулъченко, Ю. П. Райзер, В. А. Эпштейн. Исследование
лазерной] искры высокого давления, зажигаемой посторонним источником
плазмы.— ЖЭТФ, 1970, т. 59, стр. 1975.
91. Н. А. Генералов, В. П. Зимаков, Г. И. Козлов, В. А. Масюков, Ю. П*
Райзер. Экспериментальное исследование непрерывно горящего опти"
ческого разряда.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 1434.
92. М. О. Розовский. Распространение высокочастотного разряда в режиме
медленного горения.— Труды МФТИ, 1971, стр. 99.
93. Л. М. Биберман, Г. Э. Норман. Непрерывные спектры атомарных газов
и плазмы.— УФН, 1967, т. 91, стр. 193.
94. V. Penski. Theoretical calculation of transport properties in nitrogen
equilibrium plasma.— Proc. 4-th Sympos. on Thermophys. Properties,
1968, p. 189.
95. Л. M. Биберман, В. С. Воробьев, Г. Э. Норман, И. Т. Якубов.
Радиационный нагрев при гиперзвуковом обтекании.— Космические
исследования, 1964, т. 2, стр. 441.
96. /. V. Avilova, L. M. Biberman, V. S. Vorobiev, В. M. Zamalin, G. A.
Kobsev, A. N. Lagarkov, A. Kh. Mnatzakanyan, G. E. Norman. Optical
properties of heated air 1. Basic processes and spectral properties, 2.
Integral properties 4000—20000° K.— J. Quant. Spectr. Rad. Transfer, 1969,
v. 9, p. 89, 113, 1285.
97. Э. И. Асиновский, E.B. Дроханова, A.B. Кириллин, A. H. Лагаръков.
Экспериментальное и теоретическое исследование коэффициента
теплопроводности и полного излучения плазмы азота.— Теплофизика
высоких температур, 1967, т. 5, стр. 739.
300

98. Я. Б. Зельдович, С. Б. Пикелънер. Фазовое равновесие и динамика газа
при объемном нагревании и охлаждении.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, стр. 310.
99. В. А. Груздев, Р. Е. Ровинский, А. П. Соболев. Приближенное решение
задачи о стационарном индукционном высокочастотном разряде в
замкнутом объеме.— ПМТФ, 1967, № 1, стр. 143.
100. A, Y. Alcock, С. De Michelis, К. Hamal, В. A. Tozer. Expansion
mechanism in a laser produced spark.— Phys. Rev. Letters, 1968, 20, p. 1095.
К главе 7
1. Ю. П. Райзер. О возможности создания светового плазмотрона и
необходимой для этого мощности.— Письма в ЖЭТФ, 1970, v. 11, р. 195.
2. Ю. П. Райзер. Дозвуковое распространение световой искры и
пороговые условия для поддержания плазмы излучением.— ЖЭТФ, 1970,
т. 58, стр. 2127.
3. H.A. Генералов, В. П. Зимаков, Г. И. Козлов, В. А. Масюков, Ю. П.
Райзер. Непрерывно горящий оптический разряд.— Письма в ЖЭТФ, 1970,
т. И, стр. 447.
4. Н. А. Генералов, В. П. Зимаков, Г. И. Козлов, В. А. Масюков, Ю. П.
Райзер. Экспериментальное исследование непрерывно горящего
оптического разряда.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 1434.
5. D. L. Franzen. CW gas breakdown in argon using 10.6—fx laserradiation.—
Appl. Phys. Letters, 1972, v. 21, p. 62.
6. Г. И. Бабат. Без электродные разряды и некоторые связанные с ними
вопросы.— Вестн. электропромышленности, № 2, стр. 1; № 3, стр. 2,
1942.
7. В. Н. Сотников, Е. С. Грехов. К теории высокочастотного вихревого
разряда высокого давления части 1—3.— Теплофизика высоких
температур, 1966, т. 4, стр. 166; т. 4, стр. 324; 1967, т. 5, стр. 522.
8. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М.,
Физматгиз, 1957.
9. P.E. Ровинский, В. А. Груздев, Т. М. Гутенмахер, А. П. Соболев.
Определение температуры в стационарном высокочастотном
индукционном разряде.— Теплофизика высоких температур, 1967, т. 5, стр. 557.
10. В. М. Голъдфарб, С. В. Дресвин. Оптическое исследование
распределения температуры и электронной концентрации в аргонной плазме.—
Теплофизика высоких температур, 1965, т. 3, стр. 333.
И. В. А. Груздев, Р. Е. Ровинский, А. П. Соболев. Приближенное решение
задачи о стационарном индуцированном высокочастотном разряде в
замкнутом объеме.— ПМТФ, 1967, № 1, стр. 143.
12. Б. Э. Мейерович, Л. П. Питаевский. О структуре переходного слоя в
высокочастотном газовом разряде.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 235.
13. Р. Е. Ровинский, А. П. Соболев. Оптимальный частотный диапазон
стационарного индукционного разряда. Теплофизика высоких
температур, 1968, т. 6, стр. 219.
14. Ю. П.гРайзер. Высокочастотный индукционный разряд высокого
давления и безэлектродный плазмотрон.— УФН, 1969, т. 99, стр. 687.
15. М. И. Якушин. Получение высоких температур газа в без электродном
высокочастотном разряде (обзор).— ПМТФ, 1969, № 3, стр. 143.
16. В. Финкелънбург, Г. Меккер. Электрические дуги и термическая
плазма. ИЛ, 1961.
17. Г. Меккер. О характеристиках цилиндрической дуги. В сб. переводов
«Движущая] плазма», ИЛ, 1961.
18. Ю. П. Райзер. О недостающем уравнении каналовой модели дуги,
которое заменяет условие минимума напряжения.— Теплофизика высоких
температур, 1972, т. 10, стр. 1152.
19. М. О. Розовский. О принципе минимума мощности для дугового
разряда.— ПМТФ, 1972, № 6, стр. 176.
20. М. О. Розовский. О вариационном подходе к расчету индукционного
высокочастотного разряда.— ПМТФ, 1973, № 2, стр. 42.
301

21. А. Ф. Витшас, A. M. Дыхне, В. Г. Наумов, В. П. Панченко.
Исследование квазиодномерной модели контракции газового разряда.—
Теплофизика высоких температур, 1971, т. 9, стр. 225.
22. А. Ф. Вшпшас, В. С. Голубев, M. М. Маликов. О величине нормальной
плотности тока в контрагированной плазме.— Сб. «Некоторые вопросы
исследования газоразрядной плазмы и создания сильных магнитных
полей». Л., «Наука», 1970.
23. В, Д. Письменный, А. Т. Рахимов. Неустойчивость мощного газового
разряда.— ДАН СССР, 1971, т. 196, стр. 562.
24. В. П. Аксенов, Л. М. Блинов, В. П. Марин, Л. С. Полак, В. С. Щи-
пачев. СВЧ-плазмотрон и некоторые возможные области его
применения в химии.— Сб. «Кинетика и термодинамика химических реакций
в низкотемпературной плазме». М., «Наука», 1965.
25. П. Л. Капица. Свободный плазменный шнур в высокочастотном поле при
высоком давлении.— ЖЭТФ, 1969, т. 57, стр. 1801.
26. Ю. П. Райзер. Распространение сверхвысокочастотного разряда
высокого давления.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 222.
27. В. Л. Гинзбург. Распространение электромагнитных волн в плазме. М.,
Физматгиз, 1960.
28. Л. М. Блинов, В. В. Володъко, Г. Г. Гонтарев, Г. В. Лысое, Л. С.
Полак. Сверхвысокочастотные плазмотроны, их характеристики и область
применения.— Сб. «Генераторы низкотемпературной плазмы». М.,
«Энергия», 1969.
29. Л. М. Балтии, В. М. Батенин, И. И. Девяткин, В. Р. Лебедева.,
П. И. Цемко. Стационарный СВЧ-разряд в азоте при атмосферном
давлении.— Теплофизика высоких температур, 1971, т. 9, стр. 1105.
30. Л. Левин. Современная теория волноводов. ИЛ, 1954.
31. М. P. Freeman, J. D. Chase. Energy-transfer mechanism and topical
operating characteristics for the thermal rf plasma generator.— J. Appl.
Phys., 1968, v. 39, p. 180.
32. Л. M. Балтии, В. M. Батенин, В. Р. Гольдберг, П. И. Цемко.
Спектроскопическое исследование СВЧ разряда в аргоне.— Сб. «Генераторы
низкотемпературной плазмы». М., «Энергия», 1969.
33. Б. Э. Мейерович. Диффузия в высокочастотном газовом разряде.—
ЖЭТФ, 1972, т. 63, стр. 549.
34. Б. Э. Мейерович. К теории равновесного высокочастотного газового
разряда.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 1891.
35. А. <Ъ. Волков, Ш. М. Коган. Физические явления в полупроводниках с
отрицательной дифференциальной проводимостью.— УФН, 1968, т.
96, стр. 633.
36. H. U. Eckert. Induction plasmas at low frequencies.— AIAA J., 1971,
v. 9, p. 1452.
37. B. St ever ding. Subsonic plasma motion in continuous laser light.— J.
D. Appl. Phys., 1972, v. 5, p. 1824.
38. Ю. П. Райзер. Распространение разрядов и поддержание плотной
плазмы электромагнитными полями.— УФН, 1972, v. 108, стр. 429.
39. D. С. Smith, M. С. Fowler. Ignition and maintenance of c.w. plasma in
atmospheric-pressure air with CO2 laser radiation.— Appl. Phys. Lett.,
1973, v. 22, p. 500.
40. Физика и техника низкотемпературной плазмы. Под ред. С. В. Дресвина.
М., Атомиздат. 1972.
К главе 8
1. Ю. М. Волков. Импульсный неизотермический разряд в смесях
инертных газов с цезием.— Теплофизика высоких температур, 1965, т. 3,
стр. 3.
2. Е. П. Велихов А. М. Дыхне. Волна неравновесной ионизации в газе.—
Труды VII Международного симпозиума по ионизационным явлениям
в газах. Белград, 1965.
302

3. D. L. Turcotte, R. S. В. Ong. The structure and propagation of ionizing
wave front.— J. Plasma Phys., 1968, v. 2, p. 145.
4. R. Munt, R. S. B. Ong, D. L. Turcotte. On the propagation of ionization
waves.— Plasma Phys., 1969, v. 11, p. 739.
5. Ф. А. Вильяме. Теория горения. M., «Наука», 1971.
6. В. Ю. Баранов, К. Н. Ульянов. Контракция положительного столба.—
Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, стр. 622.
7. А. М. Дыхне. Теория одномерной контракции дуг.— Сб. «Некоторые
вопросы исследования газоразрядной плазмы и создания сильных
магнитных полей». Л., «Наука», 1970.
8. Т. В. Reed. Induction-coupled plasma torch.— J. Appl. Phys., 1961,
v. 32, p. 821.
9. С. В. Кононов, M. И. Якушин. К определению интенсивности удельных
тепловых потоков к поверхности в струях высокочастотного
безэлектродного плазмотрона на воздухе.— ПМТФ, 1966, № 6, стр. 67.
10. Ю. П. Райзер. Высокочастотный разряд высокого давления в потоке
газа, как процесс медленного горения.— ПМТФ, 1968, № 3, стр. 3.
11. Б. Э. Мейерович. К теории равновесного высокочастотного газового
разряда.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 1891.
12. В. Д. Матюхин, Д. А. Франк-Каменецкий. Ширина и устойчивость зоны
прогрева в индукционном плазмотроне.— Труды IV Всесоюзной
конференции по физике и генераторам низкотемпературной плазмы. Алма-
Ата, 1970, стр. 729.
13. Д. А. Франк-Каменецкий. Плазменные аналоги теории горения.
Авторефераты докладов II Всесоюзного симпозиума по горению и взрыву.
Ереван, 1969, стр. 3.
14. В. Н. Сошников, Е. С. Трехов, Ю. М. Хошев. Вихревой разряд в аргоне
при атмосферном давлении с продувом.— Сб. Физика газоразрядной
плазмы, вып. 1. М., Атомиздат, 1968, стр. 83.
15. Ю. П. Райзер. Высокочастотный индукционный разряд высокого
давления и безэлектродный плазмотрон.— УФН, 1969, т. 99, стр. 687.
16. W. Beust, W. L. Ford. Arcing in GW transmitters.— Microwave J. MTT,
1961, v. 10, p. 91.
17. Ю. П. Райзер. Распространение сверхвысокочастотного разряда
высокого давления.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 222.
18. Л. М. Балтии, В. М. Батенин, И. И. Девяткин, В. Р. Лебедева,
Н. И. Цемко. Стационарный СВЧ-разряд в азоте при атмосферном
давлении.— Теплофизика высоких температур, 1971, т. 6, стр. 1105.
19. Л. М. Балтии, В. М. Батенин, В. Р. Голъдберг, И. И. Девяткин,
Н. И. Цемко. Исследование стационарного СВЧ-разряда атмосферного
давления в атоме.— Труды IV Всесоюзной конференции по физике и
генераторам низкотемпературной плазмы. Алма-Ата, 1970, стр. 673.
20. Л. М. Блинов, В. В. Володько, Г. Г. Гонтарев, Г. В. Лысое, Л. С. По-
лак. Сверхвысокочастотные плазмотроны, их характеристики и область
применения.— Сб. «Генератор низкотемпературной плазмы». М.,
«Энергия», 1969.
21. G. W. Bethke, A. D. Ruess, Е. Frohman. Dynamic coupling of high
microwave power with schock-produced plasmas,— Phys. Fluids, 1963,
v. 6, p. 594.
22. G. W. Bethke, A. D. Ruess. Mechanism of radio-frequency-induced
plasma shield propagation.— Phys. Fluids, 1966, v. 9, p. 1430.
23. G. W. Bethke, A. D. Ruess. Microwave-induced plasma shield propagation
in rare gases.— Phys. Fluids, 1969, v. 12, p. 822.
24. В. И. Мышенков, Ю. П. Райзер. Волна ионизации, распространяющаяся
благодаря диффузии резонансных квантов и поддерживаемая
сверхвысокочастотным излучением.— ЖЭТФ, 1971, т. 61, стр. 1822.
25. Л. М. Биберман. К теории диффузии резонансного излучения.— ЖЭТФ,
1947, т. 17, стр. 416.
26. В. М. Батенин, И. И. Девяткин, В. С. 3родников, И. И. Климовский,
Н. И. Цемко. Экспериментальное исследование движения фронта иони-
303

зации в СВЧ электромагнитном поле.— Теплофизика высоких
температур, 1971, т. 9, стр. 896.
27. В. М. Батенин, В. С. 3родников, И. И. Климовский, Н. И. Цемко.
О механизме распространения сверхвысокочастотного разряда в
воздухе.— ЖЭТФ, 1972, т. 63, стр. 854.
28. В, М. Батенин, В, С. 3родников, И. И. Климовский, В. А. Овчаренко,
Н. И. Цемко, Стабилизированный магнитным полем СВЧ-разряд.—
Теплофизика высоких температур, 1971, т. 9, стр. 1289.
29. В. Ю. Баранов, А. А. Веденов, В. Г. Низъев. Разряд в потоке газа.—
Теплофизика высоких температур, 1972, т. 10, стр. 1156.
30. Н. Е. Wilhelm, N. Liron. Initial-boundary-value problem of the formation
of an electrical discharge in a flow.— Phys. Fluids, 1972, v. 15, p. 1328.
31. В. Ю. Баранов. Искривление плазменного проводника в потоке газа.—
Сб. Некоторые вопросы исследования газоразрядной плазмы и создания
сильных магнитных полей. М., «Наука», 1970, стр. 39.
32. R. С. Miller, R. J. Ay en. Temperature profiles and energy balanced for
an inductively coupled plasma torch.— J. Appl. Phys., 1969, v. 40, p. 5260.
33. А. Энгелъ. Ионизованные газы. Физматгиз, 1959.
34. В. Ю. Баранов, К. Н. Ульянов. Контракция положительного столба,
части 1, 2. ЖТФ, 1969, т. 39, стр. 249, 259.
35. Л, М. Биберман. Приближенный способ учета диффузии резонансного
излучения.— ДАН СССР, 1948, т. 59, стр. 659.
36. А. I. Demaria. Review of c.w. high-power CO2 lasers.—Proc. IEEE, 1973,
v. 61, p. 731. Перевод: А. И. Демариа. Мощные лазеры непрерывного
действия на С02.— Обзор ТИИЭР, 1973, т. 61, стр. 54.
37. А. Е. Hill. Uniform electrical exitation of large-volume high-pressure
near-sonic CO2—N2—He flowstream.— Appl. Phys. Lett., 1971, v. 18, p. 194.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Часть I
ПРОБОЙ ГАЗОВ ИЗЛУЧЕНИЯМИ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
Глава 1. Основные представления и элементарная теория 11
1. Два механизма оптического пробоя 11
2. Постановка опытов и первые измерения пороговых полей . 12
3. Непосредственная ионизация атомов излучением 15
3.1. Туннельный эффект и многоквантовый фотоэффект . . 15
3.2. Первые измерения вероятности многофотонной ионизации 17
4. Нарастание энергии электронов в поле электромагнитной
волны по классической теории 19
4.1. Средняя скорость нарастания энергии 19
4.2. Истинные изменения энергии в отдельных столкновениях
и непосредственный вывод среднего прироста энергии . . 22
4.3. Связь с проводимостью и поглощением
электромагнитной волны 25
4.4. Токи проводимости и поляризации. Диэлектрическая
постоянная плазмы 26
4.5. Тормозное излучение при столкновениях электрона с
атомами и закон Кирхгофа . 28
5. Нарастание энергии электронов в поле фотонов 32
5.1. Стохастический характер квантового процесса .... 32
5.2. Поглощение и вынужденное испускание квантов при
столкновениях электронов с атомами 33
5.3. Предельный переход к классике 37
5.4. Параллель между квантовой и классической теориями и
многоквантовые тормозные процессы 40
6. Лавинная ионизация и пробой 44
6.1. Потери энергии электронов и самих электронов ... 44
6.2. Критерии пробоя 48
6.3. Пороговые поля 51
305

Глава 2. Опыты с газами не малой плотности . . . 55
7. Влияние различных параметров на пороговые поля ... 56
7.1. Давление 56
7.2. Частота 63
7.3. Размеры фокуса 66
7.4. Импульсы разной длительности 71
8. Смеси газов 72
8.1. Эффект Пеннинга в смеси неона и аргона 72
8.2. Другие смеси 76
9. Сверхкороткие (пикосекундные) импульсы 77
10. Одновременное действие лазерного импульса и СВЧ-поля. 81
И. Взаимодействие лазерного импульса с ионизованным газом и
эффекты нелинейного поглощения 82
11.1. Эксперимент 82
11.2. Физические причины «просветления» и «потемнения»
плазмы 85
Глава 3. Кинетическое уравнение для электронов в поле 87
12. Уравнение Больцмана для электронного газа 87
12.1. Функция распределения электронов 87
12.2. Формулировка кинетического уравнения 88
12.3. Интеграл столкновений 90
13. Классическое уравнение для энергетического спектра
электронов 93
13.1. Вывод уравнения из кинетического 93
13.2. Параметр разложения и пределы применимости ... 96
13.3. Неупругие столкновения и диффузионные потери . . 97
13.4. Проводимость и диэлектрическая постоянная 99
14. Квантовое уравнение и переход к классике 100
14.1. «Блуждания» по оси энергии 100
14.2. Диффузионное приближение 103
14.3. Классический предел 105
Глава 4. Решения кинетического уравнения и расчеты пробивающих
полей , . 108
15. Стационарный спектр электронов в допороговых полях,
определяемый действием упругих столкновений 108
15.1. Кинетическое уравнение и элементарная теория . . . 108
15.2. Распределения Маргенау и Дрюйвестейна 111
16. Электронная лавина и частота ионизации в оптических и
СВЧ-полях 113
16.1. Постановка упрощенной задачи . 114
16.2. Решение для случая мгновенной ионизации
возбужденных атомов 119
16.3. Решение для случая, когда возбужденные атомы не
ионизуются 120
16.4. Постоянное поле и законы подобия 123
16.5. Влияние возбуждения молекулярных колебаний . . . 124
16.6. Численные решения квантового и классического
кинетических уравнений 125
306

16.7. Сверхсильные оптические поля 128
17. Расчеты пороговых полей 130
17.1. Случай быстрой ионизации возбужденных атомов . . 130
17.2. Случай существенных потерь на возбуждение 131
17.3. О роли ионизации возбужденных атомов ударами
электронов 136
17.4. Нерешенные вопросы 137
Глава 5. Разреженные газы 139
18. Многоквантовый фотоэффект 139
18.1. Эксперимент 139
18.2. Вычисление вероятностей 143
18.3. Сравнение с экспериментом 147
Часть II
РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАЗРЯДОВ И ПОДДЕРЖАНИЕ ПЛАЗМЫ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ
19. Механизмы распространения и аналогия с горением .... 148
Глава 6. Основные режимы распространения и их реализация в
полях лазерных частот 155
20. Световая детонация 155
20.1. Первые измерения скорости и температуры .... 155
20.2. Ударная адиабата волны поглощения света 157
20.3. Детонационный и сверхдетонационные режимы ... 161
20.4. Пределы детонации 164
20.5. О возможности детонации на других частотах ... 168
21. Лазерная искра после первичного пробоя 169
22. Волна пробоя . . 175
23. Принудительное поджигание лазерной искры и «световое
горение» 180
23.1. Эксперименты и их интерпретация 180
23.2. «Сжигание» светового луча 184
24. Равновесный теплопроводностный режим типа медленного
горения 186
24.1. Общая постановка задачи 186
24.2. Постановка в предельных случаях слабого и сильного
поглощения 194
24.3. Пределы и скорости светового горения 198
24.4. Волна без потерь 206
24.5. Волна с потерями 213
25. Сверхзвуковой, «сверхдетонационный» теплопроводностный
режим 217
26. Режим лучистого теплообмена 219
26.1. Постановка задачи 219
26.2. Приложение к лазерной искре 221
Глава 7. Поддержание плотной плазмы полями различных частот 224
27. Непрерывно горящий оптический разряд 225
27.1. Оптический генератор плазмы 225
307

27.2. Оценка порога для сфокусированного луча .... 226
27.3. Эксперимент 230
28. Высокочастотный индукционный разряд 233
28.1. Температура плазмы 234
28.2. Влияние частоты и порог режима 240
29. Дуга и вопрос о принципе минимума мощности 243
29.1. Температура и вольт-амперная характеристика . . . 243
29.2. О недопустимости повсеместного применения
принципа минимума 247
30. Контракция разряда в постоянном поле теплоотдачей в
стенки 248
31. СВЧ-разряды 251
31.1. Режим, поддерживаемый плоской электромагнитной
волной 251
31.2. Разряд в волноводе 255
31.3. Разряд в резонаторе 258
Глава 8. Эффекты распространения разрядов в постоянном,
высокочастотном и СВЧ полях 261
32. Волны ионизации в постоянном поле, движимые электронной
теплопроводностью 261
33. Высокочастотный разряд в потоке газа 266
33.1. Нормальная скорость распространения разряда . . . 266
33.2. Конфигурация «пламени» в плазменной горелке . . 270
34. Процессы «горения» в волноводах 272
34.1. Бегущий разряд в воздухе атмосферного давления . . 272
34.2. СВЧ-плазмотроны 274
35. Волны ионизации в волноводах 277
35.1. Режим, связанный с диффузией резонансного излучения 277
35.2. Различие механизмов распространения в одноатомных и
молекулярных газах 282
36. Тлеющий разряд в газовом потоке 284
36.1 Быстропроточные лазеры 284
36.2. Диффузионный механизм распространения 285
36.3. Механизм турбулентного перемешивания 287
Литература 289
Юрий Петрович Райзер
Лазерная искра и распространение разрядов
Утверждено к печати Институтом проблем механики
Редактор издательства Я. Я. Шаталина
Художник Г. А. Астафьева. Технический редактор И. Я. Жмуркина
Сдано в набор 7/1 1974 г. Подписано к печати 25yIV 1974 г. Формат 60x90Yie
Бумага № 2. Усл. печ. л. 19,25. Уч.-изд. л. 20,4. Тираж 3000 экз.
Т-07833. Тип. за к. 63. Цена 1 р. 61 к.
Издательство «Наука». 103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10