Автор: Васин А.А. Морозов В.В.
Теги: математическая кибернетика математика экономика теория игр
ISBN: 5-317-01388-7
Год: 2005
Текст
ЕОРИ
ИГР
и модели
математической
экономики
Учебное пособие
К 250-летию
Московского Государственного Университета
им. М.В. Ломоносова
А.А. Васин, В.В. Морозов
ТЕОРИЯ ИГР И МОДЕЛИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ
Учебное пособие
Рекомендовано Научно-методическим советом
по прикладной математике и информатике УМО
университетов РФ в качестве учебного пособия для
студентов, обучающихся по направлению 510200 —
Прикладная математика и информатика
и по специальности 010200 — Прикладная
математика и информатика
МАНС
ПРЕСС
Москва 2005
УДК 519.7
ББК 22.18
В19
Рецензенты:
профессор, зав. кафедрой ГУ ВШЭ Ф.Т. Алескеров,
кафедра анализа систем и решений МФТИ (ГУ)
Васин А.А. , Морозов В.В.
В19 Теория игр и модели математической экономики
(учебное пособие). - М.: МАКС Пресс, 2005 г. -
272С.
ISBN 5-317-01388-7
Книга представляет собой учебное пособие, пригодное
как для первоначального, так и углубленного изучения
теории игр и ее экономических приложений. В ее первой
части приводятся основные понятия, модели и результаты
для антагонистических, некооперативных и кооперативных
игр. Во второй части излагаются модели, связанные с тео-
рией экономических рынков, рассматриваются теоретико-
игровые подходы к решению актуальных проблем государст-
*венного регулирования экономики. Излагаются подходы к
антимонопольному регулированию, созданию эффективных
контролирующих органов (на примере налоговой службы) и
финансированию бюджетной сферы.
Для студентов математических и экономических специ-
альностей, а также специалистов в области исследования
операций, теории игр и математической экономики.
Библиогр. 111.
УДК 519.7
ББК 22.18
Подготовка данного учебного пособия была осуществлена при
поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,
проект № 02-01-00610, и гранта Президента РФ № 1815.2003.1.
ISBN 5-317-01388-7
© Васин А.А.,Морозов В.В.,2005
© дизайн обложки, издательство
«МАКС Пресс»,2005
Содержание
Предисловие............................................ 4
Введение............................................... 5
ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ........................ 8
§ 1. Седловые точки и антагонистические игры...... 8
§ 2. Смешанное расширение игры................... 17
§ 3. Свойства решений в смешанных стратегиях..... 27
§ 4. Методы решения матричных игр................ 37
§ 5. Игры с вогнутой функцией выигрыша........... 51
§ 6. Исследование игровых моделей................ 61
§ 7. Многошаговые антагонистические игры......... 69
Комментарий и библиография к главе I.................. 80
ГЛАВА П. ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ................................ 83
§ 8. Ситуации равновесия в играх двух лиц........ 83
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх..... 94
§ 10. Иерархические игры двух лиц . . . ...........113
Комментарий и библиография к главе П..................123
ГЛАВА Ш. ИГРЫ МНОГИХ ЛИЦ..............................125
§ 11. Равновесие по Нэшу...........................125
§ 12. Позиционные игры с полной информацией........135
§ 13. Позиционные игры общего вида . . ...........143
§ 14. Кооперативные игры ..........................154
Комментарий и библиография к главе Ш..................161
ГЛАВА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ ЭКОНОМИКУ163
§ 15. Модели нерегулируемых рынков.................163
§ 16. Монополизированный рынок.....................174
§ 17. Модель двухотраслевой экономики..............179
§ 18. Модели олигополии............................185
§ 19. Налоговое регулирование .....................201
§ 20. Модели организации налоговой инспекции ......212
Комментарий и библиография к главе IV.................218
§ 21. Решение упражнений...........................223
Приложение ...........................................246
Список литературы.....................................260
Предметный указатель..................................269
Предисловие
Содержание предлагаемого пособия основано на материалах лекци-
онных курсов по теории игр и математической экономике, читавшихся
авторами в течение ряда лет на факультете вычислительной матемаг
тики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.
В отличие от изданной ранее учебной литературы основное внима-
ние уделяется теории некооперативных игр и ее экономическим при-
ложениям. Излагаются новые разделы теории: иерархические и стати-
стические игры, методы поиска ситуаций равновесия, доказательство
сходимости метода Брауна для матричных игр и др. Рассматриваются
модели несовершенной конкуренции, задачи оптимального налогооб-
ложения и организации налоговой инспекции. Для читателей, интере-
сующихся математическими основаниями теории игр, в приложении
даны доказательства теоремы об отделяющей гиперплоскости, теоре-
мы Хелли о пересечении выпуклых компактов евклидова простран-
ства, теоремы Брауэра и Какутани о неподвижной точке.
Пособие может быть использовано для чтения курсов по теории игр
и математической экономике студентам, обучающимся по специаль-
ностям сПрикладная математика» и Экономическая кибернетика».
Предполагается знакомство читателей с начальными курсами матема-
тического анализа, линейной алгебры и теории вероятностей. Предла-
гаемые в каждом параграфе примеры и упражнения способствуют ак-
тивному усвоению материала и позволяют использовать пособие также
для проведения семинарских занятий. Последний раздел содержит ре-
шение всех упражнений. Каждая глава снабжена библиографическим
комментарием, позволяющим заинтересованному читателю более глу-
боко изучить соответствующую тему.
Авторы признательны всем коллегам по кафедре исследования опе-
раций за поддержку и советы, во многом определившие структуру
книги и стиль ее изложения. Мы также благодарны Полине Васиной,
Евгению Жиглову, Юлии Сосиной, Алексею Теплову, Елене Тыртыш-
никовой и Кириллу Чокпарову за помощь при подготовке пособия.
Авторы выражают особую благодарность профессору Ф.Т. Алеске-
рову, прочитавшему рукопись и высказавшему ряд ценных замечаний.
Введение
Теорией игр называется математическая теория принятия решений
в конфликтных ситуациях. Поясним это определение. Простейшие мо-
дели принятия решений рассматриваются в курсах математического
анализа и оптимизации. В этих моделях лицо, принимающее решение
(ЛПР), выбирает свое действие из некоторого множества стратегий
(например, из множества планов производства). Считается, что зада-
на целевая функция, которая отражает интересы ЛПР и зависит от
выбранной им стратегии (например, функция прибыли, зависящая от
назначенного плана производства). Задача принятия решения в этой
постановке состоит, как правило, в том, чтобы найти стратегию, до-
ставляющую максимум целевой функции. Отличие конфликтной ситу-
ации заключается в том, что решения принимаются не одним индиви-
дуумом, а несколькими участниками, и функция выигрыша каждого
индивидуума зависит не только от его стратегии, но также и от реше-
ний других участников.
Математическая модель такого рода конфликта называется игрой,
а участники конфликта — игроками. В рамках теории игр существуют
два основных направления.
Теория кооперативных игр изучает принятие решений в предпо-
ложении, что существует механизм, обеспечивающий выполнение сов-
местно принятого решения. При этом основная проблема — указать
множество взаимовыгодных решений с учетом интересов и самостоя-
тельных возможностей отдельных игроков и коалиций, то есть групп
совместно действующих игроков. Если это множество включает не-
сколько вариантов решения, то возникает также задача выработки
критерия оптимальности, который позволил бы найти единственное,
наилучшее в некотором смысле решение. В настоящем пособии основ-
ные понятия и некоторые результаты теории кооперативных игр из-
ложены в § 14.
Некооперативные игры отражают ситуации, в которых игроки дей-
ствуют самостоятельно, независимо друг от друга, и если какие-то со-
глашения заключаются, то они не являются обязывающими: каждый
игрок может отклониться от договоренности. Таким играм уделяется
основное внимание в данном пособии.
Если игроков двое, а интересы их противоположны, то игра называ-
ется антагонистической. Типичными примерами антагонистических
игр являются шахматы, шашки, <крестики-нолики», а также азартные
игры типа «орлянки». При проведении военных операций нападающая
сторона обычно стремится нанести противнику максимальный ущерб,
6
Введение
а противник стремится этот ущерб минимизировать. Поэтому в таких
случаях военную операцию можно также изучать как антагонистиче-
скую игру.
В некоторых задачах целевая функция ЛПР зависит от неопреде-
ленного фактора (например, погодных условий). Рассчитывая на «худ-
ший случай», предполагают, что этот фактор — стратегия противника,
имеющего противоположные интересы. Возникает игра против «при-
роды», также относящаяся к антагонистическим играм, которые рас-
сматриваются в первой главе.
Вторая и третья главы посвящены неантагонистическим играм.
Экономика и социальная сфера дают многочисленные примеры таких
игр. Пусть несколько фирм конкурируют на товарном рынке и заин-
тересованы в увеличении своих доходов. Цена на продукцию опреде-
ляется спросом на товар и количеством выпущенной продукции. Тео-
рия игр предписывает фирмам-игрокам назначать выпуск продукции
в таких количествах, при которых каждому отдельно взятому игроку
было бы невыгодно отклоняться от предписанного объема. Соответ-
ствующий набор стратегий называют равновесием по Нэшу.
Другим примером являются иерархические игры, отражающие взаг
имодействие между верхним и нижним звеньями управления (началь-
ником и подчиненным, заказчиком и производителем продукции и т.п.).
Здесь обычно интересуются не равновесием в игре, а наилучшим га-
рантированным результатом, который может себе обеспечить игрок-
лидер, первым сообщающий свою стратегию другому игроку. Значи-
тельное внимание в указанных главах уделяется также решениям по
доминированию, возникающих при последовательном исключении до-
минируемых стратегий.
. В четвертой главе дается краткое введение в математическую эко-
номику и рассматриваются приложения теории некооперативных игр
к анализу актуальных экономических проблем. Одна из них — исследо-
вание экономических рынков в условиях несовершенной конкуренции
и оценка отклонения ожидаемого состояния рынка от конкурентного
равновесия. Изложенная в § 17 теорема благосостояния для однопро-
дуктовой экономики показывает, что состояние конкурентного равно-
весия является оптимальным с точки зрения суммарного выигрыша
всех участников. В § 18 рассматриваются модели рыночной конкурен-
ции по Курно и Бертрану, а также аукцион функций предложения.
Проводится сравнение равновесий по Нэшу и решений по доминиро-
ванию с конкурентным равновесием.
В §§ 19, 20 обсуждаются модели, связанные с функционированием
Введение
7
налоговой системы. Рассматриваются простейшие задачи оптимально-
го выбора налоговых ставок для финансирования бюджетного сектора,
а также модели организации налоговых проверок в условиях уклоне-
ния и коррупции.
Теория игр и математическая экономика представляют собой ши-
рокие и быстро развивающиеся области науки. Авторы не ставили себе
задачи полностью охватить их (что, видимо, нецелесообразно в рамках
одного учебного пособия). Более подробное изложение ряда тем мож-
но найти в книгах А.А. Петрова, И.Г. Поспелова, А.А. Шананина [80],
Л.А. Петросяна, Н.А. Зенкевича, Е.А. Семиной [81], Р.Г. Стронгина
[88] и Е.В. Шикина [106].
В настоящем учебном пособии используются следующие основные
обозначения:
Ет - m-мерное евклидово пространство векторов х = (a?i,...,a:m)
т /-----
со скалярным произведением (ж, у) = Х{у{ и нормой |ж| =
i=l *
Axg[naxf{x) = {х* Е X | f(x') = шах/(ж)} — множество точек
максимума функции /, определенной на множестве X;
Argmin/(z) = {s' € X | f(x‘) = min/(*)};
жеЛ жел
{а*} — последовательность элементов а*, к = 1,2,...;
ЁХ, УагХ — математическое ожидание и дисперсия случайной
величины X;
е — вектор, все компоненты которого равны 1;
ei — вектор, /-я компонента которого равна 1, а остальные компо-
ненты — нулевые;
2s — множество всех подмножеств множества S;
|S| — число элементов конечного множества S;
— число сочетаний из т по п;
def
= — «равно по определению»;
V 3 => О — кванторы: «для всякого», «найдется», логические
связки «следует», «тогда и только тогда, когда»;
0 — пустое множество;
— конец доказательства.
ГЛАВА I. АНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
§1. Седловые точки и антагонистические игры
Пусть функция F(x,y) определена на декартовом произведении
X х Y, где X, Y — множества произвольной природы.
Определение. Пара (х°,у°) € X х Y называется седловой точкой
функции F(x, у) на X х Y, если
V®eX,Vyer F(x,y°) <F(x°,y0)^F(x°,y) (1.1)
или, эквивалентно,
max F(x,y°) = F(x°,y°) = mmF(x°,y).
xex yeY
Понятие седловой точки используется в определении решения ан-
тагонистической игры.
Опишем антагонистическую игру. В ней принимают участие два
игрока 1 и 2 (первый и второй). Игрок 1 выбирает стратегию х из
множества стратегий X, игрок 2 выбирает стратегию у из множества
стратегий У. Нормальная форма игры подразумевает, что каждый иг-
рок выбирает свою стратегию независимо, не зная выбора партнера.
Задана функция выигрыша F(xty) первого игрока, определенная на
X х У. Выигрыш F(xty) первого игрока является проигрышем для
второго. Цель первого игрока состоит в увеличении своего выигрыша
F(x,y), а цель второго — в уменьшении F(x,y).
Таким образом, антагонистическая игра задается совокупностью
Г = (X, У, F(x,y)\ Термины «выигрыш» и «игрок» сложились ис-
торически, когда анализировались преимущественно азартные игры.
Эти термины не совсем точные. Например, если значение F(x, у) < О,
то «выигрыш» первого игрока является фактически его проигрышем.
Кроме того, рассматривают игры, где F(®, у) является не денежным
выигрышем, а, скажем, вероятностью поражения цели. Игрок 2 может
не быть интеллектуальным противником. Часто рассматривают игры
против «природы».
Вернемся к определению седловой точки, которой можно придать
следующий игровой смысл. Если игроки выбрали в качестве стратегий
компоненты xQ,yQ седловой точки, то каждому из них невыгодно от-
клоняться от выбранной стратегии. Поэтому седловая точка является
формализацией концепции равновесия в игре.
§ 1. Седловые точки и антагонистические игры
9
Определение. Говорят, что антагонистическая игра Г имеет реше-
ние, если функция F(x,y) имеет на X х Y седловую точку. Пусть
(я0,!/°) - седловая точка функции F(x, у). Тройка (ж0, у0, v = F(®°, у0))
называется решением игры, ®°,у0 - оптимальными стратегиями иг-
роков, a v — значением игры.
Покажем, что значение игры не зависит от выбора седловой точки.
Лемма 1.1. Если (ж0,у0), (ж*,у*) - две седловые точки функции
F(s, у) на X х У, то F(®°,j/°) = F(x*,j/*).
Доказательство. Наряду с (1.1), выпишем аналогичные неравен-
ства для седловой точки (х*,у*)
V х € X, V у € У F(x,j/*) F(x*j!Z*) F(x\y). (1.2)
Имеем
(1.2) п (1.1) п п (1.1) (1.2)
F(x*,y*) F(x*,y°) < F(x°,y°) F(x° ,у*) < F(x\y*).
Здесь все неравенства выполнены как равенства.
Важнейший класс антагонистических игр образуют матричные иг-
ры. Они часто используются на практике.
Определение. Антагонистическая игра Г называется матричной,
если множества стратегий игроков конечны: X = {1,...,тп}, У =
{1, ...,п}. При этом принято обозначать стратегию первого игрока че-
рез i, стратегию второго через j, а выигрыш первого F(i,J) через а^.
Матрица А = (aij)mxn называется матрицей игры. Первый игрок вы-
бирает в ней номер строки г, а второй — номер столбца j.
В обозначениях матричной игры (i°,J°) - седловая точка матрицы
А, если
aijo a^ojo i = 1, ...т, j = 1, ...,n.
Здесь элемент а,о7о является максимальным в }°-м столбце и мини-
мальным в 1°-й строке.
Пример 1.1. А = 0) .
Здесь (1,1) и (2,1) — две седловые точки и значение игры v равно
нулю. Заметим, что an = v, но (1,2) не является седловой точкой
матрицы.
Пример 1.2. Игра «орлянка». Первый игрок закладывает монету
орлом (О) или решкой (Р), а второй пытается отгадать. Если второй
10
Глава L Антагонистические игры
игрок отгадает, то первый платит ему единицу, если не отгадает, то -
О Р
* ъ А О /-1 1\ „
наоборот. Здесь А = р I -1)* Нетрудно видеть, что эта матрица
не имеет седловой точки.
Вернемся к общему определению седловой точки и антагонистиче-
ской игры. Возникают два основных вопроса. Когда антагонистиче-
ская игра имеет решение, т.е. когда функция F(®, у) имеет седловую
точку на X х У? Как искать седловые точки, если известно, что они
существуют?
Рассмотрим игру Г с точки зрения первого игрока. Пусть он выбрал
стратегию х. Ясно, что его выигрыш будет не меньше, чем inf F(®, у).
yGY
Величину inf F(x,y) назовем гарантированным результатом (вы-
yeY
игрышем) для первого игрока, если он использует стратегию х. Наи-
лучший гарантированный результат для первого игрока задается фор-
мулой у = sup inf F(x, у) и называется нижним значением игры.
xexveY
Определение. Стратегия х° первого игрока называется максимин-
ной, если inf F(®°,y) = v.
Рассмотрим игру Г с точки зрения второго игрока. Если он вы-
брал стратегию у, то для него естественно считать гарантированным
результатом величину sup F(®, у). Проигрыш второго игрока будет не
хех
больше, чем эта величина. Наилучший гарантированный результат для
второго игрока задается формулой v = inf sup F(x, у) и называется
у&хех
верхним значением игры.
Определение. Стратегия yQ второго игрока называется минимакс-
ной, если sup F(x, yQ) = v.
хех
Лемма 1.2. В любой антагонистической игре Г справедливо нера-
венство У V.
Доказательство. Возьмем произвольные стратегии игроков х и у.
Тогда
inf F(x,y) F(x,y) sup F(x,y) => inf F(x,y) sup F(x,y).
yeY xeX yeY xeX
Левая часть последнего неравенства зависит от х, а правая часть —
§ 1. Седловые точки и антагонистические игры
11
нет. Поэтому
V у е Y sup inf F(x, у) sup F(s, у) => у и.
хехуЫ хех
Теперь сформулируем необходимое и достаточное условие суще-
ствования седловой точки для функции двух переменных.
Теорема 1.1. 1) Для того чтобы функция F(x,y) на X х У име-
ла седловую точку, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено
равенство
max inf F(x, у) = min sup F(x, у). (1.3)
хех уеУ yer хех
2) Пусть выполнено равенство (1.3). Пара (s°,t/°) тогда и только тогда
является седловой точкой, когда xQ — максиминная, a yQ — минимак-
сная стратегии игроков.
Доказательство. Необходимость. Пусть (®°,j/°) — седловая точка
функции F(x,у). Покажем, что выполнено равенство (1. 3), а ж0,!/0 —
максиминная и минимаксные стратегии. Имеем
v sup F(x, yQ) = F(®°, у0) = v = inf F(®°, у) у => v y.
XEX
Но неравенство у v верно в силу леммы 1.2. Поэтому v = у и в
последних неравенствах всюду можно поставить знаки равенств. Из
полученных равенств следует, что х° — максиминная, a yQ — мини-
максная стратегии игроков.
Достаточность. Пусть равенство (1.3) выполнено. Возьмем ж0, у0 —
максиминную и минимаксную стратегии и покажем, что они образуют
седловую точку. Имеем
F(z°, yQ) inf F(xQ,y) = y=}v = sup F(x, j/°) F(xQ,yQ).
xex
Во всех неравенствах можно поставить знаки равенств и получаем, что
(ж°,1/°) “ седловая точка функции F(x,y).
Замечание. Если выполнено равенство (1.3), то множество всех сед-
ловых точек прямоугольно и совпадает с Х° х У0, где Х° и У0 -
множества всех максиминных и минимаксных стратегий игроков.
Упражнение 1.1. Докажите, что 3 х 3-матрица не может иметь
ровно 7 седловых точек.
12
Глава I. Антагонистические игры
Пример 1.3. Найдем все седловые точки матрицы
/7 -1 -4 1\
4 2 3 2
2 2 5 2
\4 -3 7 —2/
Здесь (jnin^Otf) = (—4,2,2,-3) и (max ау) = (7,2,7,2). Отсюда v =
2=2, Х° = {2,3}, У° = {2,4}. Четыре седловые точки образуют
множество Х° х Y°.
Пример 1./. Пусть X = Y = [0,1], F(x,y) = 2а:2 - Зху + 2у2. Най-
дем величины у и v. При фиксированном х минимум по у функции
F(x, у) достигается в точке у(х) = Зж/4 € Y. Поэтому функция мини-
мума — W(x) = F(x, у) = 7х2/8. Отсюда у = 7/8 и х° = 1 —
максиминная стратегия. Зафиксируем у. Максимум функции F(x, у)
по х достигается в концах отрезка [0,1] и равен
М(у) *= max F(x, у) = max[F(0, у), F(l, у)] =
, _ ,, (2 - 3v + 2у2, 0 £ у < 2/3,
Минимум функции М(у) достигается при у0 = 2/3 и v = М(у°) =
8/9 > у = 7/8. Следовательно, функция F(x,y) не имеет седловой
точки.
Упражнение 1.2. Найдите максиминную и минимаксную страте-
гии, а также нижнее и верхнее значения игры Г, в которой
X = [-2,3], Y = [-1,2], F(x,y) = -х2 +4ху - 5у2 + За; - 2у.
Иногда в выражениях
у = sup inf F(x, у), v = inf sup F(x, у)
sex ver ver z6x
внешние sup и inf не достигаются, но
sup inf F{x,y) = inf sup F(x,y). (1.4)
sex veY
§ 1. Седловые точки и антагонистические игры
13
Тогда максиминная (или минимаксная) стратегия не существует и сед-
ловой точки нет. Возможен другой случай, когда v < v, но эти ве-
личины близки. В подобных случаях используют понятие е-седловой
точки.
Определение. Пусть задано е > 0. Пара (хе,уе) Е X х Y называется
е-седловой точкой функции F(x, у) на X х У, если
Vs е X, У у Е Y F(x,ye) - е F(xe,ye) F(xe,y) + s.
Упражнение 1.3. Пусть ж0, у0 - максиминная и минимаксная стра-
тегии, а е = v — v > 0. Доказать, что (ж0,у°) — е-седловая точка функ-
ции F(x,y).
Определение. Пусть задано е > 0. Стратегия первого игрока хе на-
зывается е-максиминнойу если inf F(xe,y) ^v — e. Стратегия второго
yeY ~
игрока уе называется е-минимаксной, если sup F(s, уе) и + е.
хех
Эти стратегии обеспечивают игрокам получение своих наилучших га-
рантированных результатов с точностью до е. Сформулируем аналог
теоремы 1.1.
Теорема 1.1'. 1) Для того чтобы при любом е > 0 функция F(s, у)
на X х У имела е-седдовую точку, необходимо и достаточно, чтобы
было выполнено равенство (1.4).
2) Пусть равенство (1.4) выполнено. Тогда компоненты е-седло-
вой точки являются 2е-максиминной и 2е-минимаксной стратегиями.
Обратно, е-максиминная и s-минимаксная стратегии образуют 2е-сед-
ловую точку.
Упражнение Ц. Докажите теорему 1.1'.
Представляют интерес условия топологического характера, при ко-
торых существуют максиминные и минимаксные стратегии.
Теорема 1.2. Пусть функция F(x, у) непрерывна на X х У, где
X, У — компакты метрических пространств1. Положим
У(х) d= Argmin F(x, у). Тогда
yer
1) Функция минимума W(x) = minF(s,y) непрерывна на X.
yeY
1 Читатель, не знакомый с этим понятием, здесь и далее может заменить выраг
жение «компакт метрического пространства» на выражение «замкнутое ограни-
ченное множество евклидова пространства».
14
Глава I. Антагонистические игры
2) Предположим дополнительно, что при каждом х Е X множе-
ство Y(x) состоит из единственного элемента у (х). Тогда функция у (х)
непрерывна на X.
Доказательство. 1) Возьмем любую последовательность {ж*} эле-
ментов из X, сходящуюся к ж0. Покажем, что lim W(xk) существует
fc->oo
и равен W(x°). Предположим противное. Тогда найдется такая под-
последовательность {ki}t что Ad— lim W(xkl) / W(xQ). Возьмем по-
Z->oo
следовательность {ykl Е K(xfc/)}. В силу компактности множества Y
можно считать, что1 lim yki = у0. Покажем, что у° Е У (ж0). Действи-
/->оо
тельно, по определению у*‘
Vу 6 У РГ(а;*') = F(xkl,ykl) F(xkl,у).
Переходя в этом неравенстве к пределу при I -> оо и используя непре-
рывность функции F(x,y), получим
VyeK F(x°,y°)^F(x°,y)=> у°еУ(х°).
Наконец, А = lim F(xk‘,yk‘) = F(x°,y°) = 1У(х°) (противоречие).
/—>0О
2) Покажем, что функция у(х) непрерывна на X. Предположим,
что она разрывна в некоторой точке xQ Е X. Тогда найдется такая по-
следовательность элементов из X, сходящаяся к х°, что соответ-
ствующая последовательность {у(хк)} не сходится к y(xQ). Поэтому су-
ществует окрестность U точки у (ж0), вне которой находится бесконеч-
ное число членов последовательности {у(я;*)}. В силу компактности
множества Y\U из этой последовательности можно выделить подпо-
следовательность {y(xkt}} С Y\U, сходящуюся к некоторому элементу
у1 / y(xQ). Но, как и в части 1), нетрудно доказать, что у' Е У (ж0).
Получили противоречие с тем, что множество У (ж0) состоит из един-
ственного элемента.
Замечание. В процессе доказательства теоремы мы также устано-
вили замкнутость множества {(х,у) | х Е X, у G У (я)}. Отметим
также, что в теореме 1.2 компактность множества У существенна.
Пример 1.5. Пусть
x = [-l,l], Y = (-оо,+оо), F(x,y) = (у2 + 1)(ху - I)2.
1 Здесь использовано следующее свойство компакта метрического пространства:
из любой последовательности элементов компакта Y можно выделить подпоследо-
вательность, сходящуюся к некоторому элементу из Y. Считаем, что {ук*} и есть
соответствующая выделенная подпоследовательность.
§ 1. Седловые точки и антагонистические игры
15
Здесь множество Y не является компактом, а функции
. fl/а:, х /0, . (о, а:# О,
via:) = < W (х) = min Fix, у) = <
УУ ' [0, х = 0, ’ ver ' [1, х = О,
разрывны.
Определение. Антагонистическая игра Г называется непрерывной,
если X,Y — параллелепипеды евклидовых пространств, а функция
F(x,y) непрерывна на X х У. В частности, при X = [а, 6], Y = [с, d]
будем говорить о непрерывной игре на прямоугольнике.
Из теоремы 1.2 следует, что в непрерывной игре Г существуют мак-
симинные и минимаксные стратегии игроков.
Теперь займемся достаточными условиями существования седло-
вой точки функции двух переменных. Их можно сформулировать в
терминах выпуклого анализа. Напомним некоторые определения.
Определение. Множество Z евклидова пространства называется вы-
пуклым, если для любых точек z1 / z" из Z и любого числа А Е (0,1)
точка Az' + (1 - A)z" также принадлежит множеству Z.
Определение. Функция h(z), определенная на выпуклом множестве
Z, называется выпуклой, если для любых точек z' / z" из Z и любого
числа А Е (0,1) выполнено неравенство
A(Az' 4- (1 - A)z") < Aft(z') + (1 - A)ft(z"). (1.4)
Если последнее неравенство выполнено как строгое, то функция ft(z)
называется строго выпуклой. Если вместо неравенства в (1.4) фи-
гурирует неравенство (>), то функция ft(z) называется вогнутой
(строго вогнутой).
т
Упражнение 1.5. Докажите, что функция zi строго выпукла.
t=i
Упражнение 1.6. Докажите, что строго выпуклая и непрерывная
Функция на выпуклом компакте1 евклидова пространства достигает
минимума в единственной точке.
Теорема 1.3. Пусть X С Ет и У С Еп — выпуклые компакты
евклидовых пространств, а функция F(x,y) непрерывна на X х У.
Предположим, что при любом у Е У функция F(x, у) вогнута по х и
1 Замкнутом ограниченном множестве.
16
Глава I. Антагонистические игры
при любом х Е X она выпукла по у. Тогда функция F(x, у) имеет на
X х Y седловую точку.
Доказательство. Вначале докажем существование седловой точки
в случае, когда функция F(s, у) строго выпукла по у. Тогда для вся-
кого х Е X функция F(®, у) достигает минимума на У в единственной
точке у(х). По теореме 1.2 функции — minF(x,y) и у(х) непре-
yQY
рывны на X. Возьмем точку ж*, максимизирующую функцию W(х)
на X, и докажем, что пара (х*9у(х*)) является седловой точкой функ-
ции F(x,y). Для любой точки х и любого числа t Е (0,1) положим
У — 1/((1 “ *)®* + В СИЛУ вогнутости по х функции F(x, у) имеем
ИЧя*) > VT((1 - t)x* + tx) = F((l - t)x* + tx,y)
HI - t)F(x*,y) + tF(x,y) Hl - + tF(x,y).
Отсюда tF(x,y) tW(x*). Сократив на положительное t и устремив
t -> 0-Ь, получим неравенства для седловой точки
V х е X, V у е YF(x,y(x*)) W(x*) = F(®*,з/(ж*)) F(x\y).
Докажем теорему в общем случае. При е > 0 функция
Ft (х, у) d- F(x, у) + е у]
j=l
непрерывна, вогнута по х и строго выпукла по у. По доказанному
функция Fe(®, у) имеет седловую точку (хе,уе) на X х У :
V®eX, Vj/ЕУ Fe(x,ye) < Fe{x\ye) Fe(x£,y).
Возьмем последовательность положительных чисел {е*}, сходящуюся
к нулю. Из компактности множеств X и У следует, что без потери
общности хе* -> ж0, y£k -> yQ. Полагая в последних неравенствах е =
ek и переходя к пределу при k -> оо, получим неравенства (1.1) из
определения седловой точки.
Заметим, что первая часть доказательства теоремы конструктивна:
для поиска седловой точки функции F(x,y), строго выпуклой по у,
достаточно найти максиминную стратегию ж* и наилучший ответ на
нее у(х*) второго игрока. Аналогично, пусть в условиях теоремы 1.3
функция F(x, у) строго вогнута по ж, у* - минимаксная стратегия,
а х(у*) € ArgmaxF(x,y*) — наилучший ответ на нее первого игрока.
Тогда (®(!/*),1/*) - седловая точка функции F(x, у).
§ 2. Смешанное расширение игры
17
Из первой части доказательства вытекает, что для существования
седловой точки вместо строгой выпуклости функции F(x, у) по пере-
менной у достаточно потребовать при любом х € X единственность
наилучшего ответа у(х) второго игрока. Если последнее условие не
выполнено, то пара (ж*,у*), где у* € У(ж*), может не быть седловой
точкой. Например, для функции F(x,y) = ху на X х Y = [0,1] х [0,1]
пара (ж*,у*) — (0,1) седловой точкой не является.
Пример 1.6. X = Y = [0,1], F(x,y) = -х2 + у3 4- ху2 - 4у.
Здесь функция F(x, у) выпукла по у и строго вогнута по х. Функция
наилучшего ответа первого игрока - х(у) = у2/2 и
М(») = max F(x,y) = F(x(y),y) = //4 + у3 - 4y.
Производная М'(у) = t/3+3t/2—4 обращается в нуль в точках 1,-2. От-
сюда yQ = 1 — минимаксная стратегия и ж(у°) = 1/2. Следовательно,
(1/2,1) - седловая точка функции F(x,y).
§2. Смешанное расширение игры
В предыдущем параграфе приводился пример антагонистической
игры, не имеющей решения («орлянка»). Играть в подобные игры весь-
ма непросто. Проигравшему игроку каждый раз хочется сменить свою
стратегию, но он будет бояться это сделать (а вдруг партнер догада-
ется?). Теория игр предлагает игрокам использовать смешанные стра-
тегии.
Определение. Смешанной стратегией первого игрока в игре Г на-
зывается вероятностное распределение tp на множестве стратегий X.
Для первого игрока применить смешанную стратегию <р — это вы-
брать стратегию х 6 X как реализацию случайной величины, имеющей
закон распределения <р. Далее рассматриваются три вида смешанных
стратегий.
1) Пусть X — {1,...,тп}, как это имеет место в матричной иг-
ре. Тогда вместо <р для обозначения смешанной стратегии будем ис-
пользовать «вероятностный» вектор р = (Pi,—,Рт)> удовлетворяю-
т
Щий ограничениям р< = 1, Pt 0, i = 1,...,тп. Если применяется
*=1
вектор р, то стратегия i выбирается с вероятностью р<. Например, в
игре «орлянка» разумные игроки используют смешанную стратегию
Р° = (1/2,1/2), подбрасывая монету и выбирая «орел» или «решку» в
зависимости результата бросания.
18
Глава I. Антагонистические игры
Вообще, одна из возможных реализаций смешанной стратегии —
это бросание монет. С помощью одного бросания одной монеты мож-
но осуществить только вероятность 1/2. С помощью двух монет или
двукратного бросания одной монеты можно уже реализовать веро-
ятности 1/2, 1/4 и 3/4. Ясно, что бросанием нескольких монет или
многократным бросанием одной монеты можно реализовать широкий
спектр вероятностей. Другой возможный и более удобный способ ре-
ализации смешанной стратегии - использовать рулетку. Делим круг
рулетки на сектора с площадями, пропорциональными заданным ве-
роятностям использования чистых стратегий. Затем вращаем стрелку
и используем ту стратегию, в секторе которой она остановится.
2) Пусть X = [а, 6], как это имеет место в непрерывной игре на пря-
моугольнике. Здесь смешанная стратегия - функция распределения <р
на отрезке [а, Ь].
Пример 2.1. Пусть X = [0,1], с(х) — неубывающая дифференци-
руемая функция, определенная на отрезке [1/2,1] и удовлетворяющая
условиям с(1/2) = 1/2, с(1) = 1. Определим функцию распределения
{0,
1/4,
Ф),
1,
<Ро(®) =
-оо < х < 0,
0 х < 1/2,
1/2 х 1,
1 < х < -Ьоо.
Интеграл Стилтьеса от непрерывной функции h(x) по функции
распределения <pv(x) вычисляется по формуле
У h(x)dtpQ(x) = “Л(0) + -Л(1/2) + У h(x)c'(x)dx.
О 1/2
3) Пусть X — выпуклый компакт евклидова пространства. Здесь
примером смешанной стратегии может служить вероятностная мера,
сосредоточенная в конечном числе точек:
m m
¥>(х) = £р*4ю(®)» = 1, Pi > °, ®(<) € X, » = 1,
i=l t=l
где
r < \ _ I1’ ® = x(<)»
4<i,(a:)" (0, x/x«
При использовании меры tp стратегия x^ выбирается с вероятно-
стью pi. Интеграл от непрерывной функции Л(х) по рассматриваемой
§ 2. Смешанное расширение игры
19
мере имеет вид
/т
h(x)dip(x) = ^pih(x^).
х i=1
Обозначим через {^} - множество всех смешанных стратегий пер-
вого игрока на множестве X. Можно считать, что X С {р}. Действи-
тельно, в последнем случае стратегию х можно отождествить с вероят-
ностной мерой /ж. Если множество X конечно, то выбор i эквивалентен
выбору смешанной стратегии р = (0,..., 0,1,0,..., 0), где единица стоит
на i-м месте, а при X = [а, 6] стратегию х Е [а, 6] можно отождествить
с функцией распределения, имеющей скачок 1 в точке х.
Множество X будем называть множеством чистых стратегий пер-
вого игрока (в противовес смешанным).
Займемся построением смешанного расширения антагонистической
игры Г = {X, У, F(®,j/)). Мы определили множество {р} смешанных
стратегий первого игрока. Аналогично, пусть {ф} — множество сме-
шанных стратегий второго игрока, т.е. вероятностных распределений
ф на множестве Y его чистых стратегий. При заданных стратегиях р и
ф математическое ожидание выигрыша первого игрока определяется
формулой
= У j F(x,y)(fy(x)dil>(y).
X Y
Здесь предполагается, что двойной интеграл существует.
Определение, Антагонистическая игра
г = (М, {*}, FM))
называется смешанным расширением игры Г.
Определение. Решение (<p°,^°,v = F(<p0,^0)) игры Г называется
решением исходной игры Г в смешанных стратегиях. При этом р°,ф°
называются оптимальными смешанными стратегиями игроков, a v —
значением игры Г.
Далее будут построены смешанные расширения матричных и не-
прерывных игр и будет показано, что эти игры всегда имеют решения
в смешанных стратегиях.
Напомним, что матричная игра Г задается матрицей А = (а^)тхп-
В ней множество смешанных стратегий первого игрока —
Р = {Р= (Pi, -»Pm) I Ер< = 1> Я>0, t =
t=l
20
Глава I Антагонистические игры
множество смешанных стратегий второго игрока -
Q = {q = (91 > •••> 9n) I Е qj = 1, q, > о, J = 1,nJ,
>=i
а математическое ожидание выигрыша первого игрока —
m п
A(p,q) =
i=i ]=1
Таким образом, Г = (Р, Q, А(р,д)) - смешанное расширение матрич-
ной игры Г.
Теорема 2.1 (Основная теорема матричных игр). Всякая мат-
ричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.
Доказательство. Достаточно доказать, что функция Л(р, q) имеет
седловую точку на Р х Q. Множества Р, Q - многогранники евклидо-
вых пространств, а функция А(р, д) билинейна и поэтому непрерывна
на Р х Q, вогнута по р и выпукла по q. По теореме 1.3 функция А(р, q)
имеет на Р х Q седловую точку.
Упражнение 2.1. Покажите, что тройка
(p°,g°,v) = ((1/2,1/2), (1/2,1/2), 0)
- решение в смешанных стратегиях игры <орлянка»из примера 1.2.
Отметим типичные случаи, когда можно обосновать применение
смешанных стратегий.
1) Игра повторяется много раз. В этом случае за большое число
повторений игры средний выигрыш первого игрока, использующего
оптимальную смешанную стратегию, будет близок к значению игры
или будет превышать его.
2) Смешанная стратегия реализуется в виде <физической смеси»
чистых стратегий. Что это означает, поясним на примерах.
Пример 2.2. Игра против природы. Фермер (игрок 1) имеет участок
земли, который можно засеять тремя сельскохозяйственными культу-
рами. Год может быть нормальным, засушливым и дождливым (это
три стратегии игрока 2 - природы). Пусть Н = (Л»>)зхз “ матри-
ца урожайности, a bi — цена за единицу продукции i-ro вида. Тогда
А = (Ь»Лу)зхз - матрица игры, где выигрыш фермера — стоимость
произведенной продукции. Пусть р° = (1/2,1/4,1/4) - оптимальная
смешанная стратегия первого игрока. Реализовать ее можно, засеяв
половину участка первой культурой, а оставшиеся две четверти — вто-
рой и третьей культурами.
§ 2. Смешанное расширение игры
21
Пример 2.3. Некоторая страна (игрок 1) использует три типа истре-
бителей для борьбы с самолетами противника (игрока 2). Если истре-
битель типа i первого игрока встречается с самолетом типа j второго
игрока, то он побеждает противника с вероятностью %-. Смешанная
стратегия р° = (1/2,1/4,1/4) первого игрока может быть реализована
в виде парка истребителей с пропорциями типов 2:1:1.
3) Смешанные стратегии можно применять и при однократном по-
вторении игры, когда игрок действует в условиях риска. При этом
необходимо выигрыши заменить на их «полезности», учитывающие
отношение игрока к риску.
Пример 2.4- Пусть игрок вынужден один раз сыграть в игру с
* л (10 °\ Ш Л
матрицей А = I Л _ ) . Выигрышам 10 и 0 припишем полезности
\ и О j
1 и 0. Определим полезность выигрыша 5. Пусть в некоторой лотерее
выигрыш 10 ожидается с вероятностью 0 < а < 1. Первому игроку
предлагается выбрать такое значение а, при котором игрок согласен
купить лотерейный билет по цене 5. Выбранное значение а и будет
полезностью выигрыша 5. Если a = 1/2, то отношение игрока к риску
нейтральное, если а > 1/2, то игрок осторожен, а если а < 1/2, то
игрок азартен.
Элементы теории полезности см. в конце данного параграфа.
Займемся смешанным расширением непрерывной игры Г. Ограни-
чимся игрой на прямоугольнике X х Y = [а,Ь] х [с, d). При заданных
стратегиях и <ф - функциях распределения на отрезках X и Y —
ожидаемый выигрыш F(y>, <ф) первого игрока равен
b d
F(<P,^) = / / F(x,y)fy(x)dij>(y).
a с
Здесь двойной интеграл от непрерывной функции F(s, у) существует.
Волее того, по теореме Фубини он равен повторному:
b d
F(<p,tl>) = У F(x^)d(p(x) = У F(y>,j/)d^(y),
a с
где
d b
F(x,‘$) = / F(x,y)chl>(y), F(<p,y) = /F(x,y)dtp(x).
c a
22
Глава I. Антагонистические игры
Итак, построено смешанное расширение Г = ({^}, непре-
рывной игры Г на прямоугольнике. Наша ближайшая цель — доказать
существование решения игры Г.
Напомним, что последовательность смешанных стратегий {<£*} сла-
бо сходится к стратегии <pQ, если для любой непрерывной на отрезке
[а, 6] функции h(x) выполнено
ь ь
lim / h(x)dipk(x) = / h(x)d<pQ(x).
fc->oo J J
a a
Нам потребуется известный результат.
Теорема 2.2. Множество смешанных стратегий {<р} на отрезке
[а, 6] является слабым компактом. Это означает, что из любой после-
довательности смешанных стратегий {^} можно выделить подпосле-
довательность слабо сходящуюся к некоторой стратегии у?0.
Лемма 2.1. В непрерывной игре Г на прямоугольнике существуют
максиминная и минимаксная смешанные стратегии игроков.
Доказательство. Рассмотрим выражения
v= sup inf v= inf sup F(<M)
Фе{Ф} W ve{v}
и докажем, что внешние sup и inf в них достигаются. По определе-
нию верхней грани v найдется такая последовательность смешанных
стратегий {<рк}, что
inf > v - ek, ek-t 0+,
ИЛИ
V^>e{y>} f F(x,i/>)<fyk(x) ^v.-ek> k = 1,2,.... (2.1)
x
Выделим из {<pk} подпоследовательность слабо сходящуюся
к смешанной стратегии у>°. Заметим, что при фиксированной страте-
гии *ф функция F(x,V>) непрерывна по х. Переходя в (2.1) к пределу
по подпоследовательности {&/}, получим V ф € {^} v.
Отсюда
=> inf F(<p°,il>) = v
nip? — максиминная смешанная стратегия первого игрока. Аналогично
доказывается существование минимаксной смешанной стратегии.
§ 2. Смешанное расширение игры
23
Лемма 2.2. Рассмотрим две антагонистические игры
Г = (X, Y, F(x,y)), Г = (X, Y, F'(x,y)),
в которых функции F(x, у) и F'(x, у) ограничены на X х Y и при е > О
выполнено условие
V (х, у) е X х Y |F(®, у) - F'(x, у)| е.
Тогда |й - v'| е, |й -1/| е.
Доказательство. Для всякого х 6 X справедливы неравенства
taf F(x,y) - jnf F'(x.y) mf (F(®,y) - F'(z,y)) > -e.
Можно получить аналогичные неравенства, меняя местами функции
F(x,y) и F'(x,y). В результате находим, что
V® € X | inf F(x, у) - inf F'(x, у)| < е.
y€Y уЕУ
Далее,
sup inf F(x,y) - sup inf F'(i,y) sup (inf F(x,y) - inf F'(a;,y)) e.
xexyeY xexytY хеху^у у&у
Как и выше, находим, что |v - v'| е. Аналогично доказывается нераг
венство |v - v'| е. И
Теорема 2.3 (Основная теорема непрерывных игр). Всякая
непрерывная игра Г на прямоугольнике имеет решение в смешанных
стратегиях.
Доказательство. По теореме 1.1 достаточно доказать равенство
величин v= max inf F(^,^)hv= min sup
v€{v} ?€{?}
Заметим, что достижимость здесь внешних максимумов и миниму-
мов вытекает из леммы 2.1. Возьмем произвольное е > 0. Из непре-
рывности функции F(s,y) следует существование такого разбиения
отрезка X = [а, 6] на непересекающиеся промежутки (отрезок и полу-
интервалы) X*, i = 1,...,тп и такого разбиения отрезка У = [c,d] на
аналогичные промежутки У7, j = 1,...,п, что
V i, J, V (ж,у), (s',у') Е Xi х У* |F(s,у) - F(s', j/')| е. (2.2)
Для любых возьмем точки ж* € X1, у* Е У7 и определим ступен-
чатую функцию
V (ж,у) Е X* х Fi(x,y)d= F(xt)yj), i = 1,j = 1,...,n.
24
Глава I. Антагонистические игры
Тогда из (2.2) следует, что
У(х,2/)ЕХхУ |Г(х,р)-^(я,у)|^е. (2.3)
Итак, функция Fi(®, у) аппроксимирует функцию F(x,y) с точностью
до е > 0. Непрерывная игра Г фактически приближена игрой с мат-
рицей А = (ау)тхп = (Р(х*,у*))тхп.
Всякой смешанной стратегии ср поставим в соответствие вектор
Р = (Р1
• -,Prn) Pi = j dip(x), i = 1......m,
x>
где Pi — вероятность попадания реализации смешанной стратегии в
множество Xх (мера множества Xх ). Очевидно, что р является сме-
шанной стратегией первого игрока в матричной игре, т.е. р Е Р. По-
строенное отображение Р : {<£>} -» Р является отображением на Р.
Действительно, для любой стратегии р Е Р функция распределения
<р со скачками в точках хх является прообразом р при отображении
Р. Аналогично определяется отображение Q : {ф} -» Q, где Q — мно-
жество смешанных стратегий второго игрока матричной игры. Далее,
для любых стратегий ф и соответствующих стратегий р = Р(<р),
q = Qfy) справедлива формула
b d т п
= [ [Fi(x,y)dp(x)dil>(y) = Y^PiF^xi'yi^ = Л(Р»«)- (2-4)
ас 1=1 >1
Кроме того, используя (2.3), получим
b d
- Fi(<p,^>)| = | У У (F(x,y) - Fi(x,y))d<p(x)di/>(y)\
a c
b d b d
j j ^x,y^ ~ /^{x)dxl>{y) = e.
a c a c
Последнее неравенство означает, что для функций F(^,V0> Fi(^,^>)
выполнены условия леммы 2.2. Из нее вытекают неравенства
<Рё{ч>} W
(2-5)
§ 2. Смешанное расширение игры
25
| mm sup F(¥>,V)- min max e. (2.6)
¥,e{v} V»eW
Из (2.4) и основной теоремы матричных игр следует, что
max min Fi(o?,iA) = maxminA(p,g) =
= min max A(p, q) = min max Fi (<p, ib).
Отсюда и из неравенств (2.5),(2.6) следует |v - v| 2е. В силу произ-
вольности е > 0 получаем v = v.
Элементы теории полезности
Правомерность использования математического ожидания выигры-
ша в смешанном расширении игры вызывает сомнения. Когда игроки
применяют заданные смешанные стратегии, то выигрыш каждого яв-
ляется случайной величиной с заданным законом распределения. В те-
ории полезности такую величину называют лотереей. Формально она
задается набором параметров (Ai,...,А*; ®1,...,«л), где выигрыш А/
k
возникает с вероятностью хц 1 = 1,..., к, и £ Xi = 1.
z=i
Упражнение 2.2. Указать параметры лотереи, которая соответству-
ет паре смешанных стратегий (р, q) в матричной игре.
Оценка исхода любой игры по математическому ожиданию пред-
полагает, что лотереи
(0;1), ( $5000, $-5000; Ц) и ( - 1руб., 10000руб.; )
эквиваленты для индивидуума. Можно предположить, что для мно-
гих читателей это не так. Далеко не все могут себе позволить сыграть
во вторую лотерею, даже если несколько увеличить размер выигрыша.
В то же время значительная часть населения участвует в лотереях, по-
добных третьей, даже при отрицательном среднем выигрыше: многие
готовы рискнуть маленькой суммой в расчете на счастливый случай.
Вообще, отношение людей к риску достаточно сложно и не до конца
исследовано. Его изучением занимается теория полезности (в эконо-
мике функции выигрыша обычно называют функциями полезности).
Один из важнейших результатов этой теории состоит в следующем.
Предположим, что у индивидуума есть отношение предпочтения на
26
Глава I. Антагонистические игры
множестве всевозможных лотерей, т.е. для любых двух лотерей Lx и
£2 он может указать, какое из соотношений ( причем только одно)
выполняется: Lx >- L2 (£1 предпочтительней £2), £2 > £1 или Lx ~ L2
(лотереи эквивалентны).
Пусть эти соотношения удовлетворяют следующим (довольно есте-
ственным) аксиомам:
I. Если Lx >- L2 и L2 >- £з, то Lx > £3-
II. Если Lx ~ L2 и L2 ~ L3, то Lx ~ L3.
III. Если £i ~ £2 и £2 >- L3, то Lx > L3.
IV. Если Lx > L2 и L2 ~ L3, то Lx >- L3.
V. Лотереи, которым соответствует одинаковое распределение ве-
роятностей, являются эквивалентными.
Пусть Lx,L2 — две лотереи, 0 т 1. Обозначим через
rLx + (1 - t)L2 лотерею, в которой с вероятностью г разыгрывается
лотерея £1, а с вероятностью 1 - г - лотерея £2.
Из аксиомы V вытекает, что для любых лотерей £х,£2,£з и веро-
ятностей г, з справедливы соотношения
rLx 4- (1 — г)£г ~ (1 — г)£г 4- г£х,
rLx 4- (1 — г)(£г 4- (1 — s)L3) ~ rLx 4- (1 — г)£г 4- (1 — г)(1 — s)L3.
VI. Если £1 ~ L2 (£1 > £2), то для любой лотереи £3 и любой
вероятности г > 0 выполнено соотношение
rLx 4- (1 — r)L3 ~ rL2 4- (1 — r)L3 (rLx 4- (1 — r)L3 >- г£г 4- (1 — r)L3).
VII. Если £1 > £2 £3» то найдется такая вероятность г, что
rLx 4- (1 — г)£з ~ £2.
Аксиома VII похожа на теорему о промежуточном значении для
непрерывной функции на отрезке и означает, что отношение предпо-
чтения непрерывно в некотором смысле. Пусть, наконец, справедлива
аксиома
VIII. Если Ai > Ah, то (Л; 1) >- (Ah; 1).
Лемма 2.3. Пусть на множестве лотерей предпочтение индивиду-
ума удовлетворяет аксиомам I — VIII и £х >- £2. Тогда для лю-
бых вероятностей Р < а выполнено соотношение aLx 4- (1 — сг)£г >-
/?£х + (1-№.
Доказательство. По аксиоме VI при L3 = £2 получаем
aLx 4- (1 — a)L2 >- £2- Представим Р в виде Р = 7а, где 7 € [0,1). Тогда
по аксиомам VI и V
aLx 4- (1 — a)L2 > 7(orZri 4- (1 - а)£г) 4- (1 - 7)£г ~
~ 7а£х 4- [7(1 - а) 4-1 - 7]£г ~ PLx 4- (1 - /?)£г-
§ 3. Свойства решений в смешанных стратегиях
27
Теорема 2.4. При выполнении указанных аксиом I — VIII суще-
ствует функция полезности u(L), определенная на множестве лотерей
вида (Ai,Ak\Xk) и такая, что выполнены следующие свойства:
1) для любых лотерей Li,Ir2 u(Li) > <=> Li >• L2;
к
2) для любой лотереи L = (Ai,...»Аь;Х1, ...,зд) u(L) = £ ®/«(А/);
z=i
3) функция u(A; 1) монотонно возрастает по А.
Более того, эта функция единственна с точностью до линейного
преобразования: если другая функция v(L) удовлетворяет тем же свой-
ствам 1)-3), то существуют такие константы с > 0 и Ь, что для любой
лотереи L v(L) = cu(L) + b.
Утверждение теоремы означает, что для каждого индивидуума (при
выполнении аксиом I - VIII) существует монотонное преобразование
функции выигрыша, которое позволяет оценивать любую лотерею, ис-
ходя из математического ожидания выигрыша. В частности, если в
матричной игре взять преобразованную функцию выигрыша и(а^), то
случайный исход при использовании смешанных стратегий р и q мож-
m п
но оценивать по математическому ожиданию £ 12 P»u(au)<7j- Отме-
i=l j=l
тим, что функция полезности u(L) — своя для каждого индивидуума,
поэтому игра с преобразованными матрицами выигрышей (гхДо^)) и
(г*2(а^)) вполне может оказаться неантагонистической.
Упражнение 2.3. Докажите теорему 2.4.
Указание. Без потери общности можно считать, что Ai > А2 >
... > Ajfe. Положим u(Ai) = n = 1, u(Ak) = г* = 0, а величины u(At) =
И, I = 2, — 1 определим из соотношений n(Ai) + (1 — п)А* ~ А<,
О < п < 1, используя аксиому VII. С помощью леммы 2.3 покажите,
что функция
k k
u(L) = = ^xiu(Ai)
Удовлетворяет всем утверждениям теоремы.
§3. Свойства решений в смешанных стратегиях
В данном параграфе рассматриваются свойства решений в смешан-
ных стратегиях матричных игр и непрерывных игр на прямоугольни-
ке. Эти свойства в частных случаях позволяют находить оптимальные
смешанные стратегии.
28
Глава I. Антагонистические игры
Теорема 3.1. Для того чтобы тройка (y>°,^°,v) была решением в
смешанных стратегиях непрерывной игры Г, необходимо и достаточно,
чтобы было выполнено условие
VxeX,VyeY Р(х,ф°) О F(^°,j/). (♦)
Доказательство. Необходимость. Пусть (<p°,^°,v) - решение не-
прерывной игры в смешанных стратегиях. Тогда v = F(^°,^°) и по
определению седловой точки
Vy> € М, Уф €{ф] Р(<р,ф°) F(^°,^°) = v <$ F(^0,^).
Возьмем в последних неравенствах вместо (риф чистые стратегии х
и у. В результате получим условие (*).
Достаточность. Пусть для тройки (<р°, ф°, v) выполнено условие (*).
Проинтегрируем первое неравенство этого условия по любой стратегии
(р9 а второе — по любой стратегии ф и получим
V (р Е М, V ф Е {ф} F((p, V>°) О F(^°, ф).
Подставляя, в частности, (р = (pQ и ф = находим, что F(y>°, ф^) = v
и пара — седловая точка функции Р((р,ф) на {<р} х {V>}. В
Отметим, что теорема 3.1 справедлива для произвольных смешан-
ных расширений антагонистических игр.
Сформулируем аналогичную теорему для матричных игр.
Теорема 3.1'. Для того чтобы тройка (p°,g°, v) была решением в
смешанных стратегиях игры с матрицей А, необходимо и достаточно,
чтобы было выполнено условие
v A(p°,J), i = l,...7n, J = l,...,m. (*)
Упражнение 3.1. Докажите теорему 3.1'.
Отметим, что проверка выполнения условия (*) теоремы 3.1' сво-
дится к подсчету скалярных произведений вектора р° на столбцы, а
также вектора д° на строки матрицы А и сравнению их с числом v.
Пример 3.1. Пусть матрица игры - циклическая:
<ci с2 ... Сп \
_ Cn Cj ... Сп—1 I
<С2 ... Сп С1 /
§ 3. Свойства решений в смешанных стратегиях
29
Покажем, что
Р° = 9° = (1/п> •••» 1/п), « =
fc=l
- решение игры в смешанных стратегиях. Действительно, условие (*)
здесь выполнено, поскольку все неравенства в нем выполнены как ра-
венства. В качестве конкретного примера рассмотрим игру <мешок,
камень, ножницы» с матрицей
мкн
м / О 1 -1 \
А = к [ -1 0 1 I.
н \ 1 -1 0 /
Можно дать следующую интерпретацию этой игры. Двое выбира-
ют один из трех предметов: мешок, камень или ножницы. Каждый
предмет против самого себя никакого выигрыша не дает, поэтому на
диагонали стоят 0. Ножницы тупятся о камень, поэтому они проигры-
вают камню 1, а тот в свою очередь выигрывает у ножниц 1. Камень
можно поместить в мешок, поэтому мешок выигрывает у камня 1, а
камень проигрывает мешку 1. Ножницы режут мешок, поэтому они
выигрывают у мешка 1, а мешок проигрывает ножницам 1.
Упражнение 3.2. Пусть В — матрица, полученная прибавлением
константы с ко всем элементам матрицы А. Покажите, что значения со-
ответствующих матричных игр связаны соотношением v(B) = v(A)+c,
а оптимальные смешанные стратегии игроков совпадают.
Пример 3.2. Продавец выставляет на продажу три предмета, не
представляющие для него особой ценности (старые телевизоры и т.п.).
Он готов их продать даже за незначительную цену. Имеются два поку-
пателя (игрока), располагающие одинаковыми суммами денег А. Иг-
рок становится обладателем предмета, если предлагает за него сумму,
бблыпую, чем партнер. Цель первого игрока состоит в покупке двух
каких-либо предметов из трех. Цель второго игрока — воспрепятство-
вать этому.
з
Пусть х = (хх,Х2,хз) € X = {ж | £ ж» = А, Х1,Х2,хз > 0} -
»=i
стратегия первого игрока, состоящая в предложении суммы х» за г-й
предмет. Аналогичную стратегию у — (У1,1/2,2/з) 6 Y = X использует
второй игрок.
30
Глава I. Антагонистические игры
F(x,y) =
' Будем писать х >- у, если какие-либо две компоненты вектора х
больше соответствующих компонент вектора у. Определим функцию
выигрыша первого игрока
1, я >- у,
0, в противном случае.
Заметим, что Ух еХЗу CY : -»(x > у) => у = 0. Также верно, что
V у CY Эх Е X :х>- у => v = 1. Отсюда вытекает, что рассматривае-
мая игра не имеет решения в чистых стратегиях. Найдем ее решение
в смешанных стратегиях.
Множество стратегий X (совпадающее с У) изобразим на плос-
кости в виде равностороннего треугольника высоты А. Точка у име-
ет барицентрические координаты У1,У2,Уз> определяющие ее рассто-
яния от трех сторон треугольника. На рис. 3.1 изображены линии
= !/i, х2 = J/2, *з = Уз-
Рис. ЗА
Множество стратегий вне этих линий разобьем на два подмноже-
ства Х1(у) = {х Е X I X > у} и Х2(у) = {х Е X I у >" ж}.
Заметим, что Xi(y) является объединением трех треугольников.
Например, нижний треугольник на рис. 3.1 состоит из таких векторов
ж, для которых х2 > у2^хз > уз. Множество
С = {жеХ|0^я;<^ 2А/3, i = 1,2,3}
представляет собой правильный шестиугольник с центром у0, совпа-
§ 3. Свойства решений в смешанных стратегиях
31
дающим с центром треугольника X (рис. 3.2).
Пусть tfP - равномерное распределение на С. Докажем, что трой-
ка (у?°,^°,1/2) — решение игры в смешанных стратегиях. Для этого
достаточно проверить условие (♦) теоремы 3.1.
Обозначим через mes(S) площадь фигуры S С X. Тогда
vyer г(у^у) = ше8^1(гУС)-
mes(u)
Нетрудно показать, что V у е С mes(Xi(y) П С) = 0.5mes(C). Дей-
ствительно, для центра шестиугольника yQ это утверждение очевидно.
Пусть у yQ. Определим вектор у1 6 С :
= 1/1, 1/2 = 1/2 = Л/3> 1/3 = 24/3 - У1.
Сравнивая фигуры Xi(y)nC, Xi(y1)nC и -XiQ/’jflC', убеждаемся,
что их площади равны. Следовательно, при V у € С F(tp°,y) = 1/2.
Методом сравнения площадей можно также показать, что
V у f С mes(Xi(y) П С) > 0.5mes(C').
Итак, доказано, что Vy € Y F(y>°,y) 1/2. Поскольку
v.ex ---------------------------------
Для доказательства неравенства V х € X F(x,<fP) 1/2 достаточно
заметить, что
V х е X mes(Xi(х) П С) + mes(X2(x) П С) = тез(С).
32
Глава I. Антагонистические игры
Пусть Г — смешанное расширение произвольной антагонистической
игры Г.
Определение. Смешанная стратегия V>° второго игрока называется
выравнивающей, если F(®,^°) = const на множестве X. Аналогично
определяется выравнивающая стратегия первого игрока.
Утверждение 3.1. Если в игре Г у обоих игроков существуют вы-
равнивающие стратегии у?°,^°, то они оптимальны.
Доказательство. Действительно, по определению
Vyer F(^°,y) = C1, v®ex f(x,^°) = c2.
Интегрируя эти равенства по V’0 и ур соответственно, получим
F{tp°,ilP) = Ci = с2. При v = F(<p°,^°) неравенства из условия (*)
теоремы 3.1 для тройки выполнены как равенства.
Доказанное утверждение можно усилить.
Упражнение 3.3. Пусть в игре Г ~ выравнивающая страте-
гия второго игрока и найдется такая смешанная стратегия первого
игрока, что F(<p°,^°) = min F(<p0,^). Докажите, что <р°,^° — опти-
феМ
мальные смешанные стратегии игроков.
Упражнение ЗД. Приведите пример игры с 2 х 3-матрицей, в ко-
торой второй игрок имеет выравнивающую, но не оптимальную сме-
шанную стратегию.
Пример 3.3. Первый игрок ведет стрельбу по цели, которая может
находиться в одной из трех точек: либо в концах отрезка [В, D] длины
2, либо в его середине С. Первый игрок выбирает точку прицела В, С
или D. Пусть d - расстояние от точки прицела до положения цели,
а вероятности ее поражения равны 1,а,0 для расстояний d = 0,1,2
соответственно. Выигрыш первого игрока - вероятность поражения
цели. Требуется определить оптимальную стратегию стрельбы в зави-
симости от значения параметра а Е (0,1).
BCD
В
Составим матрицу игры А = С
D
Пусть q° = “ выравнивающая стратегия второго игро-
ка. Матрица А симметрична и смешанная стратегия р° = д° первого
игрока также является выравнивающей. Из утверждения 3.1 вытека-
ет, что стратегии р° и q° оптимальны. Найдем qQ. В силу симметрии
1 а 0\
а 1 а I.
0 а 1 I
§ 3. Свойства решений в смешанных стратегиях
33
концов отрезка [В, Р] по отношению к его середине С можно считать,
что 9? = 9з- Следовательно,
2q? + = !> 9? + а9° = v> 2а$1 + 9° = v-
Выпишем решение полученной системы уравнений
о° = 1 ~а О0 = 1-2а
91 3 —4а’92 3 —4а’
1 —2а2
V 3 - 4а ‘
Из условия неотрицательности q®, q® находим, что а 1/2. При а > 1/2
покажите, что тройка (p°,q°,v) = ((0,1,0), (1/2,0,1/2), а) — решение
игры в смешанных стратегиях.
Упражнение 3.5. Используя выравнивающие стратегии, решите ана-
логичную игру с матрицей
/1 а 0 0\
. alaOl п 1
А = Л , , 0 < а < 1.
0 а 1 a I
^0 0 а 1/
Теорема 3.2. Для непрерывной игры Г справедливы следующие
два утверждения:
1) V <р е {ч>} inf F(y>, ф) = min F(<p, у);
yeY
2) V ф e {ф} sup F(y>,^>) = maxF(x,^).
Доказательство. Докажем 1). Возьмем любую стратегию tp. За-
метим, что min F(y?, у) достигается, поскольку функция F(y>, у) непре-
уеУ
рывна по у. Далее,
inf F(<p, tf>) min F(<p, у) (3.1)
*е{^} »€У
и для любого ф G {ф}
Р(<Р,Ф) = [ Р(<р,у)йф(у) > / пйп F(tp, у) йф(у) = minF(<p,y).
J J VtY yEY
Y Y
Отсюда
, inf F(<p, ф) > min Ffa, y}. (3.2)
y£Y
Из (3.1) и (3.2) следует первое утверждение теоремы. Утверждение 2)
доказывается аналогично.
34
Глава I. Антагонистические игры
Следствие. Значение v непрерывной игры Г может быть представ-
лено в виде следующих двух формул:
v = max min у) = min maxF(®,^).
yeY Фе{Ф} sex
Доказательство. По теоремам 1.1, 2.2 и 3.2 получаем
v = max inf F(<p,y) v= max inf F(ip.y).
4>e{*}yeY
Вторая формула выводится аналогично.
Упражнение 3.6. Докажите, что значение v непрерывной игры Г
удовлетворяет неравенствам
v = max min F(®, у) v min max F(®, у) = v.
хЕХ yEY yEY хЕХ
Теорема 3.2'. Для игры с матрицей А справедливы следующие
два утверждения:
1) VpEP minA(p,g)= min A(p,j);
2) VgEQ maxA(p,q) = max A(i,g).
pEP
Докажите самостоятельно.
Следствие. Значение v игры с матрицей А может быть представ-
лено в виде следующих двух формул:
v = max min A(p,j) = min max A(i,q).
pEP qEQ
Теперь обсудим так называемое свойство дополняющей нежестко-
сти. Определим множество Sp(<p) С X — спектр смешанной страте-
гии <р, заданной на отрезке X.
Определение. Будем говорить, что точка х' Е X = [а, Ь] принадле-
жит спектру стратегии <£, если для всякого е > 0 существует такой
отрезок [а', У], содержащий ж', что У — а' < е и ^(У) — <р(а') > 0.
Множество всех точек спектра обозначим через Sp(<p).
Упражнение 3.7. Докажите, что точки скачка функции распреде-
ления и точки, где ее производная существует и положительна, при-
надлежат спектру Sp(ip).
Теорема 3.3 (Свойство дополняющей нежесткости). Пусть
(^°,^°,v) — решение в смешанных стратегиях непрерывной игры Г.
Тогда справедливы следующие два утверждения:
§ 3. Свойства решений в смешанных стратегиях
35
1) х Е Sp(jp°) => F(x, = v;
2) у 6 Зр{ф°) => F(v>0,y) = v.
Доказательство. Докажем утверждение 1). Предположим против-
ное, т.е. найдется такая точка х' € Sp(^°), что F(®z,^°) / v. Тогда по
свойству (*) теоремы 3.1 будет выполнено неравенство F(x' ,^°) < v.
Из непрерывности функции F(®,^°) и определения спектра страте-
гии <р° вытекает, что для всякого е > 0 найдется такой отрезок [а', 6'],
содержащий точку я/, и такое число v' < v, что для всех х Е [а', У]
F(x^)$v' < v, У-а,<е, /(У) - <pQ(a') > 0.
Теперь
F(^°^°) = I =
х
= У F(x,$Q)dcpQ(x) + У F(x,$Q)dipQ(x) У vzdp°(®)+
(а',Ь'] Х\(а',6'] (а',6']
+ У vd<pQ(x) < - y>°(az))v 4- У vd(f?(x) = v,
Х\(а',Ь'] Х\(а',Ь']
что противоречит определению значения игры. Утверждение 2) дока-
зывается аналогично.
Следствие. Пусть (y>°,^°,v) “ решение в смешанных стратегиях
непрерывной игры Г. Тогда
1) F(x,^°) < v => х $ Sp(yP)\
2) F(^p)>v=»HSp(<).
Сформулируем аналогичную теорему для матричных игр.
Теорема 3.3z (Свойство дополняющей нежесткости).
Пусть (p°,g°,v) - решение в смешанных стратегиях игры с матрицей
А. Тогда
1) р? > 0 => A(i,g°) = v;
2) g? > 0 => А(р°, j) = v.
Следствие. Пусть (p°,^°,v) - решение в смешанных стратегиях
игры с матрицей А. Тогда
1) A(t,q°) < v=»p? = 0;
2) А(р°,j) >v^q°j = 0.
Упражнение 3.8. Докажите теорему 3.3z.
36
Глава L Антагонистические игры
Поясним выражение «дополняющая нежесткость», заимствованное
из теории двойственности линейного программирования. Поставим
в соответствие неравенству A(i,qQ) v (Л(р°, j) v) из условия (*)
неравенство р? 0 (д® 0) с тем же номером. Тогда если одно из
этих неравенств выполнено строго («нежестко»), то по теореме 3.3' и
ее следствию соответствующее неравенство выполнено как равенство
(«жестко»). Все это можно записать в следующей краткой форме: для
решения (p°,g°,v) в смешанных стратегиях игры с матрицей А спра-
ведливы равенства
Pi(v - A(i,q°)) = q°(A(p°,j) - v) = 0, i = j =
Пример S.j. Решим игру с диагональной матрицей Л, в которой
диагональные элементы а, > 0. Предположим, что все компоненты
оптимальных смешанных стратегий р°, д° положительны. Тогда по
теореме 3.31
A(i,q°) = Oiq°i=v, i = l,...,n, ^9? = 1.
t=l
Решая эту систему относительно n + 1 неизвестных g?, i = 1, ...,n, и,
получим g° = v/ai, i = 1, ...,п, где
1
Аналогично можно найти, что р° = д°.
Приведем одну интерпретацию этой игры. Пусть милиционер (пер-
вый игрок) ищет преступника (второго игрока) в одном из п баров.
Если милиционер приходит в бар г, где находится преступник, то ве-
роятность его задержания равна а». Оптимальные смешанные страте-
гии предписывают игрокам идти с большей вероятностью в тот бар,
где вероятность задержания меньше. Поэтому оптимальная стратегия
преступника естественна, а милиционера — парадоксальна. Отметим
также, что мы одновременно решили следующую задачу поиска мак-
симина:
v = max min A(pti) = max min atpi.
pEP l^i^n pGP
§ 4. Методы решения матричных игр
37
§4. Методы решения матричных игр
В этом параграфе изложены некоторые методы решения матрич-
ных игр в смешанных стратегиях. При этом наша цель будет состоять
в поиске хотя бы одного решения игры.
I. Доминирование строк и столбцов.
Если элементы некоторой строки ii матрицы А меньше соответ-
ствующих элементов другой строки г*2, то интуитивно ясно, что стро-
ку ii первому игроку можно не использовать. Сформулируем условия
доминирования строк и столбцов матрицы игры, позволяющие умень-
шить ее размеры.
Определение. Будем говорить, что вектор а = (ai,...,a/) слабо до-
минирует вектор b = (Ь1,...,Ь/), если а* i = 1,...,/. Будем го-
ворить о строгом доминировании, если все нестрогие неравенства
заменены на строгие >. Заметим, что слабое доминирование возможно
даже в случае равенства векторов а и Ь.
Определение. Для векторов i = 1,...,тп, евклидова простран-
т
ства и чисел pi 0, i = l,...,m, — 1» линейная комбинация
Pi<№ называется выпуклой комбинацией векторов с коэффи-
t=i
циентами р<.
Теорема 4.1 (О доминировании строк). Пусть некоторая стро-
ка матрицы А слабо доминируется выпуклой комбинацией остальных
строк. Тогда эта строка входит с нулевой вероятностью в некоторую
оптимальную смешанную стратегию первого игрока. Если указанное
доминирование строгое, то эта строка входит с нулевой вероятностью
в любую оптимальную смешанную стратегию первого игрока. Доми-
нируемые строки можно вычеркнуть из матрицы игры.
Доказательство. Пусть строка матрицы А с номером ii слабо до-
минируется выпуклой комбинацией остальных строк с коэффициента-
ми pi 0, i / ii :
айз J - 12 Pi = 1 (4Л)
Рассмотрим матрицу Л, полученную из А вычеркиванием (исключе-
нием) ii-й строки. Пусть (р, g°, и) - решение игры с матрицей А. Поло-
жим р° = (pi,...,^!-!, О, р<1+1, ...,рт) и докажем, что тройка (p°,g°,v) -
38
Глава I. Антагонистические игры
решение игры с матрицей А. Тем самым будет доказано первое утвер-
ждение теоремы о слабом доминировании и обосновановычеркивание
ii-й строки. Действительно, решая игру с матрицей Л, мы находим
решение исходной игры, добавляя в р нулевую й-ую компоненту.
Проверим условие (*) для тройки (p°,g°,v) в игре с матрицей А.
Имеем
A(p°,j) = A(pJ) ^v, j = 1,n; V t / »i A(i, g°) = A(i, q°) v.
Пусть i = ii. Тогда, полагая p' = (p^i / й), получим
= ^(p',9°) < v>
j=l J=1
поскольку стратегия qQ второго игрока оптимальна в игре с матрицей
А. Итак, (p°,g°,v) - решение игры с матрицей А.
Предположим, что неравенства в (4.1) строгие. Тогда в последних
выкладках первое неравенство также строгое и А(й,д°) < v. Пусть
р* — произвольная оптимальная смешанная стратегия первого игрока.
Тогда (р*, g°, v) — решение игры с матрицей А. Из последнего неравен-
ства по свойству дополняющей нежесткости получаем р*х = 0.
Отметим, что при исключении строго доминируемых строк опти-
мальные смешанные стратегии первого игрока сохраняются. При сла-
бом доминировании оптимальные стратегии могут теряться. В каче-
стве примера достаточно рассмотреть матрицу игры с равными эле-
ментами.
Следующую теорему докажите самостоятельно.
Теорема 4.1' (О доминировании столбцов). Пусть некоторый
столбец матрицы А слабо доминирует выпуклую комбинацию осталь-
ных столбцов этой матрицы. Тогда этот столбец входит с нулевой ве-
роятностью в некоторую оптимальную смешанную стратегию второго
игрока. Если указанное доминирование строгое, то этот столбец входит
с нулевой вероятностью в любую оптимальную смешанную стратегию
второго игрока. Доминирующие столбцы можно вычеркнуть из мат-
рицы игры.
Пример 4.1. Решить игру с матрицей
/3 1 5\
А = 1 3 3 .
\2 2 V
§ 4. Методы решения матричных игр
39
Здесь полусумма первых двух строк слабо доминирует третью строку
и ее можно вычеркнуть. В полученной матрице третий столбец слабо
доминирует второй. После его вычеркивания получим циклическую
матрицу
1\
3/
с решением игры (p,g, v) = ((1/2,1/2), (1/2,1/2), 2). Поэтому исходная
игра имеет решение (p°,g°,v) = ((1/2,1/2,0), (1/2,1/2,0), 2).
Упражнение /.L Пусть матрица А имеет седловую точку. Пока-
жите, что после исключения слабо доминируемых строк и слабо до-
минирующих столбцов без использования выпуклых комбинаций ре-
дуцированная матрица имеет седловую точку матрицы А.
Упражнение 4-2. Полковнику Блотто1 (первому игроку) поставле-
на задача прорыва тремя полками через два горных перевала, охраня-
емых двумя полками противника (второго игрока). Стратегия Блотто
(fci, &г) 6 X = {(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)} состоит в том, что ki полков
направляются на первый перевал, a fcj “ на второй. Противник рас-
полагает аналогичными стратегиями (/1J2) € Y = {(2,0), (1,1), (0,2)}.
Полки Блотто и противника, встретившись на перевале, взаимно уни-
чтожают друг друга. Выигрышем Блотто является общее число его
полков, прорвавшихся через два перевала, т.е. величина maxffci -Zi, 0]+
max[fc2 — kjO]. Решите матричную игру и найдите оптимальную стра-
тегию Блотто.
П. Графический метод решения игр с матрицами размеров 2 х п
ит х 2
Рассмотрим игру с 2 х n-матрицей А. Смешанная стратегия первого
игрока р = (pi,l — pi) определяется величиной pi 6 [0,1]. Значение
игры, согласно следствию теоремы 3.2', представимо в виде
v = max min A(p,j) = max min [aypi + a2,(l - pi)].
pgP
1 Полковник Блотто — анекдотический персонаж, действующее лицо многих ил-
люстративных примеров из области антагонистических игр.
40
Глава I. Антагонистические игры
Для нахождения значения игры и оптимальной смешанной стра-
тегии первого игрока достаточно на отрезке [0,1] построить графики
семейства линейных функций = QijPi + a2j(l — Pi) с угловыми
коэффициентами kj = a^j - tt2j, j = 1, —,n> и найти точку максимума
Pi функции min l7(pi) — нижней огибающей семейства (рис. 4.1).
Найдем оптимальную смешанную стратегию второго игрока. Раз-
берем следующие возможности.
а) 0 < Pi < 1.
Этот случай представлен на рис. 4.1. Возьмем две прямые и
проходящие через точку (р®, v) и имеющие угловые коэффициенты
fcji > 0, kj2 $ 0. Рассмотрим уравнение
^Л* + ^(1-Л = 0. (4.2)
Оно имеет решение д*, принадлежащее отрезку [0,1]. Из (4.2) следует,
что угловой коэффициент прямой ^1(pi)g*+02(pi)(l — g*) равен нулю.
Смешанная стратегия второго игрока
g° : g° = < 1 - g\ j = h,
k0,
оптимальна, поскольку при всех pi € [0,1]
4(p,g°) = Oi(Pih‘ + k(Pi)(l - «*) = v-
6) p? = 0.
В этом случае чистая стратегия 2 первого игрока является опти-
мальной. Покажем, что у второго игрока также имеется чистая опти-
мальная стратегия. Действительно, найдется прямая , проходящая
через точку (0,и) и имеющая угловой коэффициент к^ 0. Выби-
рая чистую стратегию я, второй игрок не позволит первому выиграть
§ 4. Методы решения матричных игр
41
-1 —2 3\
2 4 1/*
больше, чем v, поскольку = /71(Р1) v при всех pi Е [0,1].
Итак, матрица игры имеет седловую точку (2,ji).
в) Р1 = 1-
В этом случае, аналогичном б), матрица игры также имеет седло-
вую точку.
Пример 4-2- Решим игру с матрицей А =
Построив три прямые (рис. 4.2)
h(pi) = (-l)Pi + 2(1 - Pi) = 2 - Зрь
= (-2)pi + 4(1 - pj = 4 - 6pi,
*з(Р1) = 3pi + 1(1 - pi) = 1 4- 2pi,
найдем, что максимум нижней огибающей достигается в р? = 1/5 —
точке пересечения прямых и /3.
Рис. 4.2
Значение игры v = ii(р?) = 7/5 и р° = (1/5,4/5). Здесь ji = 3, k3 =
2, J2 = 1, &i = “3. Из уравнения 2g* 4- (-3)(1 - g*) = 0 находим
g* = 3/5. Отсюда g° = (2/5,0,3/5) - оптимальная стратегия второго
игрока. Сделайте проверку условия (*) теоремы 3.11 для найденного
решения (p°,g°,v).
Упражнение 4-3- Найдите все оптимальные стратегии игроков в
игре с матрицей А =
Теперь рассмотрим игру с m х 2-матрицей А. Смешанная стратегия
g = (gi,l — gi) второго игрока определяется величиной gi € [0,1].
Значение игры, согласно следствию теоремы 3.2', представимо в виде
v = min max A(i.q) = min max [a»igi 4- 0*2(1 — Qi)l.
3 1 0\
0 1 3J
42
Глава I. Антагонистические игры
Поэтому необходимо построить верхнюю огибающую max Z*(qi) се-
мейства прямых l»(gi) = anqi +0*2(1-91), i = 1,..., пг, и найти на отрез-
ке [0,1] точку Qi ее минимума. Она будет соответствовать оптимальной
смешанной стратегии второго игрока. Оптимальная стратегия первого
игрока строится с использованием уравнения, аналогичного (4.2).
Ш. Сведение решения матричной игры к паре двойственных задач
линейного программирования.
Сведение решения матричной игры к задачам линейного програм-
мирования - наиболее эффективный прием, позволяющий использо-
вать алгоритм симплекс-метода.
Без потери общности будем предполагать, что значение матричной
игры v положительно. Согласно следствию теоремы 3.2', оно предста-
вимо в виде
т
v = max min A(p.j) = max min 52 Piaa-
pePi^n pePi^n-r'i 3
Введем вспомогательную переменную и и запишем задачу нахо-
ждения максимина как задачу линейного программирования
v = max и, где
(и,р)€В
т т
В = {(u,p) I £ Р»аи «» 3 = 1> ••>«» Е Pi = 1, Pi > 0, i = 1,
t=l t=l
Действительно, при фиксированном р € Р максимальное значение и
при ограничениях (и,р) 6 В равно min
Поскольку v > 0, можно считать, что и принимает положитель-
ные значения. Сделаем замену переменных Zi — Pi/u, z = (zi, ...,zm).
Тогда, учитывая ограничения (u,p) Е В, получим
т т
^2zi = l/u, Z 1, j = Zi >0, i =
t=l »=1
m
Отсюда v = max и = 1/ $2 где z° “ оптимальное решение задачи
(«,р)€В *=i
линейного программирования
т
У2 zi т^п
»=1
т
^^ai3Zi 1> J = 1>—zi 0, i = 1,...,7П. (/)
»=1
§ 4. Методы решения матричных игр
43
Цо z° находим значение игры и оптимальную смешанную стратегию
первого игрока:
v = 1/ zi> Р° “ vz°.
»=1
Аналогично можно получить, что
п
v = min max A(i.q) = 1/V'w?,
J=1
где w° - оптимальное решение задачи линейного программирования
п
57 wj max
j=i
n
1, i = l,...,m, Wj 0, j = l,...,n. (77)
j=i
Здесь g° = vw° - оптимальная смешанная стратегия второго игрока.
Задачи (/) и (II) являются взаимодвойственными.
Отметим свойство дополняющей нежесткости для оптимальных ре-
шений z° и w° задач (/) и (II) :
1) z? > 0 => £ aijW? = 1;
2) w? > 0 => 22 aijzi - !•
i=l
Оно непосредственно вытекает из утверждения теоремы 3.31 после за-
мены переменных р° = vz°, g° = vw°.
Пример 4.3. Решим игру с матрицей А =
4\
“2 3/
. Стратегия
р = (1/2,1/2) обеспечивает первому игроку положительный выигрыш.
Поэтому v > 0. Выпишем задачи линейного программирования
0 3
2 1
zi + z2 -> min
2z2 1, 3Z1 + Z2 1, 4zi — 3^2 1, (I)
zitZ2^ 0;
wi 4- W2 + W3 —> max
3w2 4- 4w3 1, 2wi 4- W2 - 3w3 1, (II)
Wi,W2, w3 0.
44
Глава I. Антагонистические игры
Испаптдуя графические построения на плоскости, нетрудно найти, что
2о _ /5 /д 1/2) — оптимальное решение задачи (/). Отсюда
V = 1/(*? + *§) = 8/9, р° = vz° = (5/9,4/9).
Найдем оптимальное решение w° задачи (77). Поскольку z°, > О
и 3zi + z£ > 1, по свойству дополняющей нежесткости
3w% + = 1, 2w® + - 8W3 = 1, w2 = О-
Поэтому w° - (7/8,0,1/4), g° = vw° = (7/9,0,2/9).
IV. Необходимые условия для крайних оптимальных смешанных
стратегий.
Здесь рассматривается комбинаторного типа алгоритм решения иг-
ры, основанный на переборе подматриц матрицы А.
Определение. Пусть Z — выпуклое множество евклидова простран-
ства. Точка z° € Z называется крайней точкой множества Z, если не
существует таких точек z' / z" Е Z и такого числа А Е (0,1), что
z° = Az' + (1-A)*".
Другими словами, крайняя точка выпуклого множества Z не яв-
ляется внутренней точкой никакого отрезка, соединяющего две точки
этого множества. Нетрудно видеть, что крайняя точка не может быть
внутренней точкой множества Z. Однако не всякая граничная точка
множества Z является крайней точкой этого множества. Например, у
квадрата крайними точками являются только его вершины.
Упражнение 4-4- Пусть Z — выпуклый компакт евклидова про-
странства и z° € Argmax |z|2. Докажите, что z° - крайняя точка мно-
жества Z.
Упражнение 4-5- Пусть h(z) - линейная функция, определенная
на выпуклом компакте Z евклидова пространства. Докажите, что h(z)
достигает максимума в некоторой крайней точке множества Z.
Если множество Z — многогранник, то его крайние точки называ-
ются вершинами. Вернемся к игре с матрицей А и рассмотрим множе-
ство оптимальных смешанных стратегий первого игрока
m
р° = {р° е Р | £р^ац ^v, j = 1,
i=l
где v — значение матричной игры. Нетрудно видеть, что Р° — много-
гранник евклидова пространства.
Определение. Крайней оптимальной смешанной стратегией перво-
го игрока будем называть вершину многогранника Р°.
§ 4. Методы решения матричных игр
45
Множество оптимальных смешанных стратегий второго игрока
Q° = {q° 6 Q | £ Оцф О, i = 1,
J=1
также является многогранником и его вершины — крайние оптималь-
ные смешанные стратегии.
Теорема 4.2. Пусть в игре с матрицей А = (ау)тхп значение
v / 0. Тогда для любой пары р°,д° крайних оптимальных смешанных
стратегий игроков найдется такая невырожденная подматрица А =
(а^)лхЛ матрицы А, что выполнены условия
k k
= v, t = 1....Л = 1, (4.3)
i=i i=i
Доказательство. Определим следующие множества чистых стра-
тегий игроков:
А = {»I Pi > 0}, h = {»I Е aijlj = «},
j=i
m
Jl = {j I <lj > 0}, Jz = {Л Ё P°iaij = «}
»=1
Из свойства дополняющей нежесткости (теорема 3.3') следует, что
Л С Л С Л- Без потери общности будем считать, что
Л = {l,-.,r}, /2 = {l,...,d}, Jl = {l,...,s}, J2 = {l,...,ft},
где г d и з Л. Этого всегда можно добиться подходящей переста-
новкой строк и столбцов матрицы А.
Рассмотрим подматрицу А = (aij)dxh матрицы А. Докажем, что
первые г строк матрицы А линейно независимы. Предположим про-
тивное. Тогда найдутся такие числа а», i = 1, ...,г, не все равные нулю,
что
52 = 0, j = 1,Л. (4.5)
Покажем, что при этом
г
5> = 0. (4.6)
»=1
46
Глава I. Антагонистические игры
Действительно, из (4.5) и из определения множества I2 следует, что
Л г т h г
о=52(22 = 52 °«$)=v 52а<-
j=l t=l i=l j=l i=l
Поскольку v / 0, отсюда следует (4.6). Чтобы придти к противоречию,
рассмотрим ненулевой вектор a = (ai,..., ar, 0,..., 0) Е Em и при е / 0
определим вектор ре = р° + еа. Из (4.6) следует, что сумма компонент
вектора р£ равна единице и при достаточно малом е эти компонен-
ты можно сделать неотрицательными. Таким образом, при малом е
вектор ре является смешанной стратегией первого игрока. Покажем,
что при достаточно малом е стратегия ре оптимальна. Действительно,
используя (4.5) и определение множества J2, при малом е получим
17В 17В Г | _ ._-. 1
A(pe,j) = ^Plaij = ^Piац + e22] Г V' ’h"’ ’
i=l i=l i=l J >> n.
Итак, смешанная стратегия pe при малых е оптимальна. Наконец, р° =
(р® +р”е)/2, что противоречит определению стратегии р°.
Аналогично доказывается, что первые 5 столбцов матрицы А ли-
нейно независимы. Обозначим через к ранг матрицы Я. Из доказан-
ного вытекает, что к шах[г,з]. Без потери общности можно считать
базисными первые к строк и первые к столбцов_матрицы Л. На их пе-
ресечении стоит невырожденная подматрица А = (aij)kxk- Для этой
подматрицы справедливы равенства
k k
Y^pian=v, j = 22p° = 1<
b=1 i=l
k k
^aijqQi=v, * = i, 52$ = 1»
i=i j=i
которые представляют собой системы (4.3) и (4.4), если вернуться к
исходной нумерации строк и столбцов.
Упражнение 4-6. Докажите, что условия (4.3) и (4.4) достаточны
для того, чтобы оптимальные смешанные стратегии р° и д° были край-
ними оптимальными.
Покажем, что система fc+1 линейных уравнений (4.3) относительно
к+1 неизвестных р?, 1 = 1,..., fc, v либо не имеет решения, либо имеет
§ 4. Методы решения матричных игр
47
единственное решение. Действительно, расширенная матрица системы
(4.3) имеет вид:
aihji -1 0\
-1 0
aiijh aihjh -1 0
\ 1 * 1 0 1/
Нетрудно видеть, что ее ранг равен к + 1. Если система (4.3) име-
ет решение, то по теореме Кренекера-Капелли ранг матрицы системы
также равен к +1 и она - невырожденная. Отсюда следует единствен-
ность решения системы (4.3).
Выпишем в последнем случае решения систем (4.3) и (4.4) в явном
виде. Для этого введем векторы
р = (р® , I = 1,.... к), q = (9? , t = 1,.... к), е = (1,.... 1) € Ек
и запишем систему (4.3) в матричных обозначениях
pA = ve, (р,е) = 1.
Умножая первое равенство справа на матрицу (А)-1, выразим вектор
р через v : р = ve(A)-1. Подставляя это выражение в уравнение
(р,е) = 1, получим
- е(А)-1 1
(е(А)-1,е)’ (е(А)-1,е)
Аналогично из системы (4.4) находится
- (ЛИе
Упражнение 4-7. Приведите пример 2 х 2-матрицы А, для которой
система (4.3) не имеет решения.
Рассмотрим теперь алгоритм решения матричной игры. Перебира-
ем все невырожденные к х fc-подматрицы А матрицы А, начиная с
к = 2. Для каждой подматрицы А решаем системы уравнений (4.3) и
(4.4). Если решения не существует или некоторые компоненты
48
Глава I. Антагонистические игры
отрицательны, то переходим к следующей подматрице А. Пусть ука-
занные компоненты решений неотрицательны. Тогда определим сме-
шанные стратегии
Р° : Р° = '
ffi
О,
» = -0 . 00= М. j=3t,
i/ir, 3 [0,
Теперь для тройки (p°,g°,v) необходимо проверить условие (*) теоре-
мы 3.1'. Если оно выполнено, то искомое решение (p°,g°,v) найдено.
В противном случае переходим к следующей подматрице А.
Пример 4 4- Рассмотрим матрицу вида
/1 1 1 0 0\
10 0 10
0 10 0 1
\0 0 1 1 1/
Здесь нет слабо доминируемых строк (даже никакими выпуклыми
комбинациями — докажите!) и слабо доминирующих столбцов. Если
применить указанный выше алгоритм, то подматрица
_ Л 0\
а45 / \0 1/
даст решение в смешанных стратегиях
р° = (1/2,0,0,1/2), qQ = (1/2,0,0,0,1/2), v = 1/2.
V. Метод Брауна.
В этом параграфе мы рассмотрим итерационный метод прибли-
женного решения игры с матрицей А. Пусть задано число е > 0. Тре-
буется найти значение игры с точностью до величины е, а также е-
максиминную и е-минимаксную смешанные стратегии игроков.
Метод Брауна состоит в многократном фиктивном разыгрывании
матричной игры, при котором игроки по определенным правилам вы-
бирают свои чистые стратегии. Пусть за к повторений игры первый
игрок п раз выбрал стратегию i, i = 1,...,тп, а второй lj раз выбрал
стратегию j, j = 1, ...,п. Векторы частот выбора чистых стратегий
/. \ ( 1*1 1*m I /»\ Ml \
р(А)- (fc’-’ к J’ (*’•••’ к J
являются смешанными стратегиями игроков.
§ 4. Методы решения матричных игр
49
Определим итерационный процесс Брауна.
Шаг 1. Игроки выбирают произвольно стратегии д ид.
Пусть за к повторений игры первый игрок выбрал стратегии д,..., ik, а
второй — стратегии д,..., д. При этом р(к) и q(k) - соответствующие
векторы частот.
Шаг к + 1. Игроки выбирают стратегии ik+i и д+i из условий
A(ik+i,q(k)) = max A(i,q(k)) = vi(fc),
A(p(k),jk+i) = min A(p(fc), j) = v2(fc).
Каждый игрок выбирает свою чистую стратегию как наилучший ответ
на соответствующий вектор частот партнера. Если наилучших ответов
несколько, то выбирается любой из них.
Покажем, что vi(fc) и V2(k) — оценки для значения v матричной
игры:
V2(fc) v vi(fc), к = 1,2,.... (4.7)
Действительно, используя следствие теоремы 3.2', получим
v2(fc) = mm A(p(k),j) maxmin A(p,j) = v =
P&P
= mm m ax Л(*>«) < “.a* = vi(fc)-
q$Q
Сформулируем правило остановки. Пусть задано число е > 0. Будем
останавливаться на шаге fco, когда впервые выполнено неравенство
-у2(ко) О (4.17)
Из (4.7) и (4.17) следует, что величины vi(ко), «2(^0) приближают зна-
чение v матричной игры с точностью до е. Покажем, что р(ко) — е-
максиминная стратегия первого игрока. Действительно,
min A(p(ko),j) = V2(fco) > v - е.
Аналогично, g(fco) — е-минимаксная стратегия второго игрока.
Теорема 4.3 (Робинсон). В методе Брауна
Нт Vi(k) = Пт v2(fc) = v,
fc->oo fc->oo
а любые предельные точки p°,g° последовательностей {p(fc)J, {g(fc)}
являются оптимальными смешанными стратегиями игроков.
50
Глава I. Антагонистические игры
Доказательство см. в Приложении П5. Там же показано, что ско-
рость сходимости последовательностей {vi(fc)} и {v2(fc)J к значению
игры v можно оценить как O((l/fc)1/(fn+n”1)). Полученная оценка ма-
лоэффективна при больших размерах матрицы А. Практически на-
блюдаемая скорость сходимости существенно выше.
С целью ускорения процесса Брауна рассмотрим модификацию пра-
вила остановки. Положим
vj(*) = mb*vi(t), (Л) = тм ъф, к = 1,2,...
Из неравенств (4.7) следует, что
v vj(fc), fc = l,2,....
(4.18)
Таким образом, ^(fc), vj'(fc) — наилучшие оценки снизу и сверху для
значения игры v за к ее повторений. При заданном е > 0 будем оста-
навливать процесс на шаге /со, когда впервые выполнено неравенство
vj(fco) — v$(fco) е. При этом величины v* (ко),^(Ло) приближают зна-
чение игры v с точностью до е. Пусть v*(ko) = vi(ti), г$(Лй) = vzfo)-
Покажем, что p(t2) - е-максиминная стратегия первого игрока. Дей-
ствительно, используя неравенство (4.18) при к = ко, получим
min A(p(t2),j) = v2(t2) = vj(fco) > v - e.
Аналогично, q(ti) — ^-минимаксная стратегия второго игрока.
Пример /.5. Пусть е = 1/5, а матрица игры -
(2 1 0\
2 0 3 .
-1 3 -3/
Отметим, что решение игры в смешанных стратегиях имеет вид:
р° = д° = (0,2/3,1/3), v = l.
Применяя метод Брауна, найдем приближенное значение игры, а
также е-максиминную и е-минимаксную смешанные стратегии игро-
ков. Вычисления удобно производить в форме таблицы. В каждой ее
Л-й
строке подчеркнуты наибольшие значения величин Ci(k), i = 1,2,3, и
наименьшие значения величин dj(k), j = 1,2,3.
§ 5. Игры с вогнутой функцией выигрыша
51
Табл. 4-1
к ik С1() С2() сз() «1() 3k di() (feG) <fe() v2()
1 1 2 2 -1 2 1 2 1 Q 0
2 1 2 § -4 5/2 3 4 2 Q 0
3 2 2 3 -7 8/3 3 6 2 3 2/3
4 2 3 8 -4 2 2 8 2 6 1/2
5 2 4 S -1 8/5 2 10 2 9 2/5
6 2 5 S 2 4/3 2 12 2 12 1/3
7 2 6 S 5 8/7 2 14 2 15 2/7
8 2 7 3 8 1 2 16 2 18 1/4
9 3 8 8 11 11/9 2 15 5 15 5/9
10 3 9 8 14 7/5 2 14 8 12 4/5
«1(10) = 1, «2 (Ю) = 4/5, ti=8, t2 = 10,
р(10) = (1/5,3/5,1/5), 9(8) = (1/8,5/8,1/4).
Упражнение 4-8. Проверьте 1/5-оптимальность полученных стра-
тегий. Сделайте еще 8 шагов по алгоритму, улучшив точность до ве-
личины е = 1/18.
§5. Игры с вогнутой функцией выигрыша
Определение. Антагонистическая игра Г = (X,K,F(x,y)) называ-
ется игрой с вогнутой функцией выигрыша, если X С Em, Y С Е** —
выпуклые компакты евклидовых пространств, функция F(x, у) непре-
рывна на X х Y и при любом у € Y она вогнута по х.
Игра Г называется игрой с выпуклой функцией выигрыша, если
(вместо требования вогнутости) при любом х € X функция F(x,y)
выпукла по у.
Теорема 5.1 (Хелли). В евклидовом пространстве Е”* имеется
семейство Da, а € {а}, выпуклых компактов, обладающее следующим
т+1
свойством: для любых а>, ...,aim+i f) Daj 0. Тогда
j=i
А д.#*
ле{л}
Доказательство теоремы см. в Приложении П2.
Упражнение 5.1. Докажите теорему при т = 1.
52
Глава I. Антагонистические игры
Теорема 5.2. Для игры Г с вогнутой функцией выигрыша спра-
ведливо равенство
v = max min F(®, у) = min max min F(x,yJ).
“ xex yeY v xex i^m+i 4 * '
J=1.m+1
Доказательство. Обозначим последнюю величину через w. Для
любых y1,...,ym+1 € Y справедливо неравенство
max min F(x, у7) max min F(x, y) = v.
xex i^j^m+i xex yeY
Следовательно, w у. Докажем неравенство w у. По определению
w для любых y1,---,yrn+1 G Y
max min F(x,yi) w =>
xex
=> 3 x G X : F(x9 yj) j = 1,m + 1.
Введем множества Dy = {x G X | F(x,y) w}, у G Y, представ-
ляющие собой выпуклые компакты в Ет. Из последних неравенств
т+1
вытекает, что Q Dyj / 0 при любых у1, ...,ym+1 Е Y. Следовательно,
j=i
выполнены условия теоремы 5.1 и Q Dy / 0, т.е.
yeY
3xG р|Ру=>УуЕУ F(®,y) > w => minF(®,y) > w.
»€У VeY
Отсюда y>w=>y = w.
ш-bl
Положим Q = {q 6 Em+1 | S qj = 1, Qj > 0, j = + 1}.
3=1
Определим набор
(yj, 3 = 1» + 1) e Arg min max nun Г(®,!^)
y’GY xex
j=l.m+1
и пусть g° — минимаксная стратегия в задаче
m+l
minmax$(z,g), где Ф(ж,д) = 22
§ 5. Игры с вогнутой функцией выигрыша
53
Теорема 5.3. Игра Г с вогнутой функцией выигрыша имеет ре-
шение в смешанных стратегиях вида («°,^°, v)> гДе х° ” максиминная
стратегия первого игрока, а
т+1
;=1
Доказательство. По теореме 5.2 и по выбору
У Л 3 = 1,..., т + 1, v = w = max min F(x,yj).
х^Х l^j^m+1
Функция Ф(ж,д) непрерывна, линейна по q и вогнута по х. Следова-
тельно, по теореме 1.3 она имеет седловую точку. Поэтому
v = max min F(®, pJ) = maxmin Ф(ж, q) =
x£X l^j^m+1 x£X qtQ
= тштахФ(х,д) = тахФ(ж,д0) =
qtQ xGX x£X
m+1 ~
= max V F(x,yJ')^ = max / F(x,y)dip°(y) = maxF(®,<).
j=l у
Отсюда следуют равенства
max F(x, <) = v = min F(x°, y)
x^X y£Y
и по теореме 3.1 тройка (®°,^°, v) - решение игры в смешанных стра-
тегиях.
Замечание. В доказательствах теорем 5.2 и 5.3 выпуклость множе-
ства Y не использовалась. Y можно было считать компактом метри-
ческого пространства.
Аналогично доказывается следующее утверждение.
п+1
Положим Р = {р 6 Fn+1 | р» = 1, Pi > 0, i = 1, ...,п 4-1}.
Определим набор
(z\ t = l,...,n + l)€Arg max min max Р(х\у)
»’€X y€Y l^<n+l
t=al,...,n + l
и пусть p° — максиминная стратегия в задаче
п+1
тахттФх(р,р), где Фх(р,р) = У^р{Р(х*,у).
р&р yeY
54
Глава I. Антагонистические игры
Теорема 5.4. Игра Г с выпуклой функцией выигрыша имеет ре-
шение в смешанных стратегиях вида (^°,3/°,v), где yQ — минимаксная
стратегия первого игрока, а
п+1
¥’° = £р?4‘-
Пример 5.1. Пусть X = Y = [0,1], F(x,y) = 1 - (х - у)2 - игра с
вогнутой функцией выигрыша. Здесь
3 1
" = (SioSy1 ’ (х = 4’ Х° = 2’ = +
91+92 = 1. 91,9г > О,
Найдем величину
w = min max min[F(x,«1),.F(®,y2)].
При фиксированных у1,у2
о“х^1min^ ~^Х~ у1)2’1 “ “ У2)2] = 1 ~ ( —2 У ) •
Отсюда
(„1 _ „2 \ 2 о
—-— j =7, у1 = 0, j/2 = 1.
2 у 4’ * ’ у
Найдем теперь Q®,92, решая задачу
min тахФ(х,о)= min max [(1 - х2)т + (1 - (х - 1)2)о21.
Имеем Фх(х,д) = -2xqi - 2(х - 1)д2 = 0. Отсюда стратегия х = ®
максимизирует функцию Ф(х,д) по переменной х. Следовательно,
max Ф(х,д) = 1 - qi(l - 91) => = | ^ ^° = + хА-
Отметим, что полученное решение игры можно было предугадать и
проверить лишь условие (*).
§ 5. Игры с вогнутой функцией выигрыша
55
Упражнение 5.2. Решите игру с вогнутой функцией выигрыша
х = Y = [0,1] х [0,1], F(xi,X2,yi,y2) = l-(xi- У1)2 - (х2 - уъ)2.
Широкий класс игр с выпуклыми функциями выигрыша образуют
статистические игры. Дадим необходимые определения.
Статистик наблюдает реализации z< независимых, одинаково рас-
пределенных случайных величин Z», i = 1,...,п, имеющих плотность
распределения зависящую от вектора неизвестных парамет-
ров х Е X. Здесь X - выпуклое множество евклидова пространства.
Пусть Z = (Zi,...,Zn) — векторная случайная величина, принимаю-
щая значения z = (zi,..., zn) Е Z и имеющая плотность распределения
5(Ф) = п Мх)-
t=l
Статистик оценивает вектор ж, используя решающую функцию у :
Z -> А = X. Величина а = y(z) называется оценкой вектора х из
множества оценок А. Ошибка в определении вектора х задается с по-
мощью функции потерь L(x, а). Математическое ожидание этой функ-
ции
F(x,y)^E[L(®,y(Z))J = j L(x,y(z))g(z\x)dz
z
называется функцией риска.
Статистик (второй игрок) использует решающую функцию (стра-
тегию) у из некоторого множества Y и стремится минимизировать
функцию риска. Природа (первый игрок) стремится ее максимизиро-
вать, выбирая х Е X. Построенная антагонистическая игра
r = {XiY,F(xiy))
называется статистической.
Пусть оцениваемый вектор является случайной величиной X, при-
нимающей значения х Е X и имеющей плотность распределения /.
С игровой точки зрения это означает, что природа использует сме-
шанные стратегии f Е {/}.
Обычно используется следующий метод решения статистической
игры. Сначала строится уравнивающая риск решающая функция ста-
тистика yQ : F(x,y°) = const на X. Затем подбирается стратегия при-
роды — плотность распределения /°, относительно которой решаю-
щая функция yQ является байесовской, т.е. минимизирующей функцию
риска: F(/°,y°) = minF(/°,j/). Тогда в соответствии с резу^тато^
56
Глава I. Антагонистические игры
упражнения 3.3 /°, yQ - оптимальные стратегии природы и статисти-
ка. Плотность распределения /° называется априорной.
Покажем, что для плотности распределения /° при квадратичной
функции потерь Ь(х,а) = |ж — а|2 байесовская решающая функция j/°
определяется однозначно. Определим апостериорную плотность рас-
пределения fQ(x\z) = g(z\x)f°(x)/p(z), где
p(-z) = J g(z\x)f°(x)dx.
X
Утверждение 5.1. Пусть yQ — байесовская решающая функция
относительно плотности распределения /°. Тогда при квадратичной
функции потерь
V z е Z y\z} = B[X|z] =' У a;/0(s|z)(fc. (5.1)
х
Доказательство. Поскольку множество X выпукло, можно пока-
зать, что V z € Z у0 (г) € А = X. Для произвольной решающей
функции у eY
F(f°,y) = f j L(x,y(z))g(z\x)dzf°(x)dx =
X z
= I® - y(z)l2f°(xlz)dx]p(z)dz.
Z X
При фиксированном z € Z внутренний интеграл является квадратич-
ной функцией от а = y(z). Поэтому его минимум достигается при
а0 = y°(z), определенном в (5.1).
В дальнейшем будем считать, что функция распределения g каж-
дой случайной величины Z, зависит только от одного неизвестного па-
раметра — математического ожидания х. Дисперсию случайной вели-
чины Zj обозначим через D(x). Для математического ожидания часто
п
используется несмещенная оценка z = z</n- Свойство несмещенно-
<=1
сти означает, что
EZ = i=1 - = х.
п
§ 5. Игры с вогнутой функцией выигрыша
57
Поэтому естественно рассмотреть множество решающих правил вида
Y = {у | y(z) = C1Z + C2, С1,С2 > 0}.
Функцию потерь возьмем квадратичной: L(x,a) = (х — а)2. Поло-
жим с = (ci,C2). Тогда функция риска
F(x,c) d—F(x,y) = E(x—ciZ—c2)2 = c?EZ2+2a(c2-x)EZ+(x-c2)2 =
_ c2 ( Д(») + д.2 j + 2C1(C2 - x)x + (X - C2)2 = cj^^ + (Ci® - X + C2)2
\ n I n
выпукла no c.
Рассмотрим конкретные примеры статистических игр.
Пример 5.2. Пусть случайные величины Z* имеют биномиальное
распределение:
/ j \ zi =
s(*|a:) = h-x z=0-
х Juy «i — v,
D(x) = x(l - x), x e X = [0,1J.
n
Положим k = $2 zi “ nz- Тогда
g(z\x) = xk(l - x)n~k,
F(x, c) = Ci + ®2^ - 2cix2 + 2cic2x + x2 - 2c2x + <^ =
= | ——^c? — 2ci + 1 |x2 + | — + 2cic2 — 2c2 Ii + c^.
\ n J \ n /
Найдем выравнивающую решающую функцию y°(z) — <^z + c%. Для
этого решим систему уравнений
^с? - 2С1 + 1 = 0, + 2cic2 - 2с2 = 0 (5.2)
п п
и получим
о _ -0 _ 1
2(7п + 1)‘
Отбросим второе решение
С1 = ^=л’ C2 = 2(Vn-l)-
58
Глава I. Антагонистические игры
Рассмотрим на отрезке X = [0,1] бета-распределение с плотностью
Г(*) =
B(p,q)
1
где B(p,g) = Jг(1 - xi)g“1dxi - бета-функция, а параметры р и
о
q положительны. Интегрируя по частям, нетрудно вывести, что
1
ЕХ= [ xf°(x)dx =
J р+я
о
Покажем, что при подходящем выборе параметров р и q решаю-
щая функция у0 является байесовской относительно бета-распределе-
ния /°. Найдем
Р(«) = j f0 (x)dx =
о
_ Г ж*(1 — т)п~*а:>>~1(1 — а;)9-1 _ B(k+p,n + q —к)
J B(p,q) ~ B(p,q)
о
Отсюда условная плотность
_ MW) _
1 1 ' p(*) B(k+p,n + q-k)
задает бета-распределение с параметрами р* = k + pnq* = n + q- к.
Байесовская решающая функция
E[X|z] = [ xf°(x\z)dx = —= к + р =
1 1 1 J v 1 ’ P*+q* n + p + q n + p + q
X
совпадает с выравнивающей функцией yQ при p = q =
Итак, доказано, что для оценки параметра биномиального распре-
деления
- минимаксная решающая функция.
§ 5. Игры с вогнутой функцией выигрыша
59
Интересно сравнить значения функции риска при минимаксной у°
и классической z решающих функциях. Имеем
Неравенство F(x, у°) < F(x, z) выполнено лишь при
1
Х 2
def ^1 + 2у/п
<£~ 2(1 + 01)'
Если п велико, то минимаксная оценка лучше классической лишь при
значениях х, принадлежащих малой 6-окрестности точки 1/2. Однако,
при малых п интервал значений х, где минимаксная оценка лучше,
значительно увеличивается.
Во многих задачах выравнивающей решающей функции не суще-
ствует и указанный выше метод решения статистической игры исполь-
зовать нельзя. В таких случаях минимаксную стратегию статистика yQ
можно найти, решая непосредственно задачу
v = min max F(x, у) = maxF(x,y°).
yEY хЕХ хЕХ
Пример 5.3. Страховая компания осуществляет страхование гра-
жданской ответственности автомобилистов. Водители обычно разби-
ваются на группы по нескольким признакам (профессия, стаж вожде-
ния и т.п.). Рассмотрим некоторую группу, состоящую из п водителей.
Требуется оценить среднее число х дорожных происшествий в расчете
на одного водителя, которые произойдут в течение ближайшего го-
да, исходя из информации о происшествиях прошедшего года. Задачу
можно свести к решению статистической игры.
Пусть число дорожных происшествий с водителем i является слу-
чайной величиной Zj, имеющей распределение Пуассона:
Zi е Z ~ <°» 2» •)•
Здесь EZi = х, VarZi = D(x) = х, х € X = [0,®*], где х* - верхняя
грань возможных значений параметра х. Имеем
F(x, с) = + (ci® — х + сг)2 = cf — + (ci® — х + С2)2.
и п
60
Глава J. Антагонистические игры
Нетрудно проверить, что в этом примере не существует выравнива-
ющей решающей функции. Обозначим М(с) = sup F(x,c) и най-
O^z^z*
дем v = min^M(c) = ЛГ(с°). Поскольку F(x,c) выпукла по х, то
М(с) = max[F(0,c),F(®*,c)].
Утверждение 5.2. Для минимаксной стратегии y°(z) = cjz 4-
выполнено условие F(0, с°) = F(x*,c°) или
»_ !(<$)’+(4 -!)’»•
2(1-4)
Доказательство. Допустим, что F(x*,c°) > F(0, с°). Если с® > 0,
то при малом е > 0
F(x*, с°) = + (cix* + - ®*)2 > F(x*> <% — £,<% + ех*) =
_ (С1 е) х + ^Од,. + дО _ ж*)2 > j?(o, с® - е, + ех*) = (<^ + ех*)2
и Af(ci — е,С2 +ежж) < М(с°) (противоречие). Если с® = 0, то
F(x*,c°) = (с® - х*)2 > Ё(0,с») = (с®)2.
Отсюда < х*]2. Увеличивая на малое е > 0, придем к противо-
речию. Случай F(x*,c®) < F(0,c°) разбирается аналогично.
Из доказанного утверждения вытекает, что
min М(с) = min
С1,С2^0 0^С1<1
£(С1)2 4- (сх - 1)2д*
2(1 —Ci)
Последний минимум достигается при
.о _ х*п +1 _ у/х*п 4-1
1 ~ х*п 4-1
\/х*п 4-1 — 1
п
Таким образом, при оценке параметра распределения Пуассона
у°(г) =
х*п 4-1 — -^х*п + 1_
ж*п4-1 Z +
\/х*п + 1 — 1
п
- минимаксная стратегия статистика. В частном случае при п = 30,
х* — 0.5, z = 0.2 получаем оценку y°(z) = 0.16.
§ 6. Исследование игровых моделей
61
Упражнение 5.3. Пусть все случайные величины Z* имеют нор-
мальное распределение с плотностью
g{zi\x) = Zi е Е1,
у/2тга
где дисперсия а2 статистику известна, а математическое ожидание х -
нет: х Е X = Ех. Покажите, что классическая решающая функция z
является выравнивающей и минимаксной стратегией статистика.
§6. Исследование игровых моделей
Модель «нападение-обор она».
Имеется п обороняемых пунктов с номерами i = 1,..., п возможного
прорыва средств нападения. Пусть А и В — количества средств напа-
дения и обороны. Эти средства предполагаются бесконечно-делимыми.
Стратегия первого игрока (нападения) состоит в распределении своих
средств по пунктам в соответствии с вектором
п
х = (®i,...,a:n) Е X = {х | ^Xi = A, Xi 0, i = 1,...,п}.
t=i
Второй игрок (оборона) использует аналогичную стратегию
!/ = (У1,-,Уп)€Г = {у| = г = 1,
Пусть pi — количество средств нападения, которое может уничтожить
одна единица средств обороны на i-м пункте. Если ж* > PiPi, то через
г-й пункт прорывается - piPi средств нападения. Если pipi9
то через этот пункт нападение не прорвется. Объединяя оба случая,
находим формулу для количества средств нападения, прорвавшегося
через i-й пункт: тах[я;< - piPi, 0]. Определим функцию выигрыша пер-
вого игрока
п
F(x,y) =
t=l
которая задает общее количество средств нападения, прорвавшееся че-
рез все пункты.
Заметим, что функция F(®, р) выпукла по р. По теореме 5.4 зна-
чение игры v = v и минимаксная стратегия pQ обороны оптимальна.
62
Глава L Антагонистические игры
Займемся исследованием этой игры в чистых и смешанных стратегиях.
Без потери общности предположим, что коэффициенты эффективно-
сти обороны pi упорядочены: Дх > Дг > Дп* Таким образом, п-й
пункт обороны является слабейшим.
а) Покажем, что
v = m«mmF(x,y) = шах[А-ДпВ,0], х^ = (0,...,0,А)
- максиминная стратегия нападения, состоящая в нанесении «концен-
трированного» удара по слабейшему пункту.
Для любой стратегии нападения х определим вспомогательную стра-
тегию обороны у :
п -1
4 *=ip*
Тогда
nunF(x,у) F(x,y) = 52max[®i - щуц 0].
Если В > £ (®*/д*), то у< > Xi/in, i = =► F(x,y) = 0.
k=l _
В противном случае у{ х^щ, » = 1,п, и
“ Miii) О - /*п 52^ = 4 - ^В-
i=l t=l
Таким образом, для любой стратегии х
minF(:c,y) шах[А - дпВ,0] = тттах[А - Дп!/п»0] = ттГ(я<п\у)
и х^ — максиминная стратегия нападения.
б) Покажем, что
v = = max[A - А) ,о],
А=1
а
у° : у? = в(щ ^-) , * = 1......п,
*=1
§ 6. Исследование игровых моделей
63
- минимаксная стратегия обороны.
Сначала докажем, что при любых у € Y справедливо равенство
maxF(x, у) = max F(x&, у), (6.1)
х$Х l^t^n
где = (0, ...,^^,0, ...,0) - стратегия нападения, состоящая в наг
i
несении концентрированного удара по i-му пункту,
п
Представим стратегию х в виде х = fa®. По определению
t=i
выпуклой функции
F(x,y) £ уГ(т(<),у) max F(iw,y).
Следовательно,
maxF(x,p) max F(x(i\y) maxF(x,y)
х$Х l<i<n х€Х
и (6.1) доказано. Далее имеем
v — min max F(x, у) = min max F(x^, у) =
y£Y хбХ y$Y l^t^n
= min max max[A - piyi, 01 = minmaxfA — min /од,0] =
y^Y l<t^n y€Y l^t^n
= maxLA. - В max min PiyJBJ)} = (замена переменных
VGY l<i<n
p = y/B e P = {p = (pi, ...,Pn) | £ Pi = 1, Pi 2 0, i = 1, ...,n}] =
= max[A — В max min PiPi, 0] =
p€P l^t^n
(n \ — 1
E 1 ,0].
При этом
V
Когда в игре существует решение в чистых стратегиях?
64
Глава I. Антагонистические игры
Если В А 52 тг > то v = 0 У.^ О и, следовательно, v = у = 0.
fc=i
Для нападения любая стратегия оптимальна. В этом случае оборона
так может распределить свои силы, чтобы не позволить нападению,
использующему концентрированный удар, прорваться на каком-либо
пункте.
п
Если В < А 52 77“ > т° функция F(x,y) седловой точки не имеет.
Действительно,
Заметим, что v > 0. Поэтому справедливо неравенство
v > тах[А - рпВ> 0] = v.
в) Покажем, что в игре существует решение в смешанных страте-
гиях вида v), где yQ — чистая минимаксная стратегия обороны,
а оптимальная смешанная стратегия для нападения имеет вид
<р°=pi = (д*Е -М >»=1, ->п.
»=1 Ь=1
Поскольку функция F(x,y) выпукла по у, достаточно проверить
условие (*) для смешанной стратегии <pQ :
Vyer F(<p°,y)^v.
Имеем
F(<p°,y)= f F(x,p)c^°(z) = ^p°F(z(i),y) =
x i=1
= J2p°max[4-д^,0] = ]Pmax[p°A-р;р°уй0] >
i=l t=l
>maxE(p?A-PiPbi),о]=тахИ- £ ^ (E тг) >°i =
t=l i=l fc=l
= тах[Л-в(Е^-) ,0]=v.
k=l V*
§ 6. Исследование игровых моделей
65
Здесь мы воспользовались элементарным неравенством
п п п
maxfai, £>»] > maxQP а«, $2
»=1 i—1 »=1
справедливым для любых вещественных чисел i = 1, ...,п.
Модель дуэли.
В дуэли принимают участие два дуэлянта ( первый и второй игро-
ки). В начальный момент времени дуэлянты находятся на расстоянии
do и по команде начинают сближаться. В распоряжении каждого дуэ-
лянта имеется один выстрел, который он может произвести в против-
ника с любого расстояния (конечно, при условии, что дуэлянт жив),
он даже может подойти к противнику вплотную.
Пусть pjfe(d) - функция меткости fc-ro дуэлянта, равная вероятно-
сти поражения противника, если выстрел был произведен с расстояния
d. Предположим, что функции pjfe(d) непрерывны и убывают на отрез-
ке [0, tfo] и без потери общности р*(0) = 1, p*(do) =0, к = 1,2.
Определим антагонистическую игру. Пусть х Е X = [0, do] - рас-
стояние, с которого первый игрок намечает произвести свой выстрел.
Аналогично, у Е Y = [0, do] - расстояние, с которого намечает свой
выстрел второй игрок. Определим функцию выигрыша F(x, у) первого
игрока.
Рассмотрим сначала шумную дуэль, когда противники слышат вы-
стрелы друг друга. Тогда
Pi (я), 0 ^у ^х do,
1-Р2(1/), 0^x<y^do.
По смыслу F(x, у) есть вероятность поражения первым игроком вто-
рого. Если х < у и второй игрок промахнется, то первый, услышав
выстрел противника, стреляет в него с расстояния 0 вместо х. Отме-
тим, что F(x,y) является осреднением функции, принимающей зна-
чение 1 или 0 в зависимости от того, убит второй дуэлянт или нет.
Итак, шумная дуэль определена как игра в нормальной форме Г =
(X,Y,F(X,y)).
Покажем, что шумная дуэль имеет решение в чистых стратегиях
(d*,d*,v = Pi(d*)), где d* — единственный корень уравнения pi(d) =
1 -P2(d). Проверим неравенства из определения седловой точки:
VarEX, Vt/ЕУ F(x,d*) Oi(d*) = F(d*,d*) F(d*,p).
F(x>2/) =
66
Глава I. Антагонистические игры
Имеем
Pi(®) < d* х ^do,
l-p2(d*)=p1(d*), O^x<d*,
11-Р2(у) > 1 ~P2(d*) =Р1(<Г), d*<y^.do.
Если функции меткости игроков одинаковы, то из уравнения Pi(d) =
1 — pi(d) находим, что значение игры равно 1/2, а (Г является корнем
уравнения pi(d) = 1/2.
В бесшумной дуэли игроки не слышат выстрелы друг друга и
F(x ») = 1й(ж)’
I Pi (®)(1 - Рг(у)), 0 х < у do-
Покажем, что бесшумная дуэль не имеет решения в чистых стратеги-
ях. Найдем величину у = sup inf Р(х,у). Стратегия х = do не
O^x^do
может быть максиминной, поскольку F(do,p) = Pi(do) = 0 при всех
у eY. Пусть 0 < х < do. Тогда
farf = min[J4 F(x>y)> >1, =
O^j/^do O^j/^x x<]/^do
= min[pi(®),pi(®)(l -P2(®))] =Pi(z)(l -P2(®)).
Отсюда v = max pi(s)(l — pfa)).
O^x^do
Упражнение 6.1. Докажите, что
v= inf sup F(x,y) =Р1(сГ).
Таким образом,
v = max pi(®)(l -P2(x)) <
O^x^do
< max min[pi(®), 1 — рг(ж)] = Pi(d*) = v.
O^x^do
Решение бесшумных дуэлей обычно сводится к интегрированию
обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы ограничимся иссле-
дованием конкретного примера.
§ 6. Исследование игровых моделей
67
Пример 6.1. Рассмотрим бесшумную дуэль с одинаковыми функ-
циями меткости игроков pi(d) = Pzid) = 1 — d, 0 d do = 1. Тогда
F(x,!z) = ? \
I (1 - х)у,
О х < у 1.
Предположим, что оптимальные смешанные стратегии игроков <pQ(х)
и ^Q(y) имеют совпадающие спектры Sp(tfP) = Sp(^°) = [0, а], где
a 1 — параметр, подлежащий определению. Пусть на отрезке [0, а]
функции распределения ^0(я) и t/>Q(y) непрерывны и имеют производ-
ные (плотности распределения) f(x) и g(у).
По свойству дополняющей нежесткости (теорема 3.3) для любого
у Е [0, а] выполнено F(«p°,p) = v или
а у а
У F(®, y)f(x)dx = j\l- x)yf(x)dx + j(1 - x)f(x)dx = v. (6.2)
0 0 у
Дифференцируя дважды по у интегральное уравнение (6.2), получим
дифференциальное уравнение 3/(у) = (1 — у) Г (у), имеющее (после
замены у на х ) общее решение вида f(x) = с(1—х)~3. По определению
1
плотности f f(x)dx = 1 (условие нормировки). Отсюда
о
(6.3)
Найденная плотность f(x) должна также удовлетворять исходному ин-
тегральному уравнению (6.2), т.е.
с
= V.
(6-4)
Поскольку уравнение (6.4) не является тождеством по у, смешанная
стратегия <р°(х) указанного вида не существует. Поэтому предполо-
жим, что функция распределения ipQ(x) имеет скачок величины а в
нуле. Тогда уравнения (6.2)—(6.4) изменятся:
cry +
У a
У (1 - x)yf(x)dx + У (1 - x)f(x)dx = v,
О У
(6-2)'
68
Глава I. Антагонистические игры
(6-3)'
(6-4)'
Для того чтобы уравнение (6.4)' выполнялось как тождество, необхо-
димо положить <j = с. Из уравнений (6.3)', (6.4)' получаем
(6-5)
Из свойства дополняющей нежесткости также следует, что для любого
х Е [0, а] выполнено F(x,^°) = у или
У Р(х, y)g(y)dy = У (1 - x)g(y)dy +
О о
У (1 - x)yg(y)dy = v.
X
(6.6)
Отсюда, как и выше, получим д(у) = ci(l - у) 3. Подставляя д(у) в
уравнение (6.6), находим
1 а
или, используя условие нормировки Jg(y)dy = ci f(l — y)~3dy = 1,
о о
(1-х) 1-
Cl Cl
1-а 1-ж
= V.
Для того чтобы последнее равенство выполнялось тождественно, необ-
ходимо, чтобы ci = у = 1 — а. Отсюда и из (6.5) находим
а = 2 - v2, ci = у = v2 - 1, с = а = —-—
Окончательно
</>°(*) =
2 — у2 / 1
4 I (х — I)2
О х 2 - у/2,
1,
§ 7. Многошаговые антагонистические игры
69
h/2-i/_i_____И
№) = < 2 \Jy-l)2 )'
(1,
О у 2 - 72,
2-у/2<у^1.
Особенность оптимальной смешанной стратегии ipQ состоит в том, что
первый игрок с вероятностью а = ждет до полного сближения с
противником. Отметим также, что значение игры v = у/2 — 1 бесшум-
ной дуэли меньше значения игры v = 1/2 шумной дуэли, что объясня-
ется уменьшением информированности первого игрока.
§7. Многошаговые антагонистические игры
Определим многошаговую антагонистическую игру с полной ин-
формацией. Игра происходит в течение Т шагов с номерами t = 1,..., Т.
На каждом шаге t игроки выбирают по очереди альтернативы — зна-
чения переменных xt,yt-
Шаг 1. Сначала первый игрок выбирает альтернативу xi € Ui,
затем второй игрок, зная выбор первого, выбирает альтернативу
2/ieV1(x1) = V1(-).
Пусть игроки в течение t — 1 шагов выбрали альтернативы
xi,...,a;t-i,2/i,...,^_i. Положим ж* = (xi,...,xt), yt = (|/i,
Шаг t. Сначала первый игрок, зная предысторию вы-
бирает альтернативу xt 6 Ut(xt-i>yt-i) — ^(‘)- Затем второй игрок
выбирает альтернативу yt Е Vt(xt,yt-i) = Vt(-), зная предысторию
xt,yt-i, включая выбор xt первого игрока на данном шаге.
После завершения шага Т возникает пара (жу, ут), называемая пар-
тией игры. По смыслу партия игры — это запись всех альтернатив,
выбранных игроками. Для любой партии (хт,Ут) задается выигрыш
первого игрока.
Определим теперь игру в нормальной форме. Для этого необходи-
мо определить стратегии игроков. На шаге t первый игрок может вы-
брать альтернативу Xt как значение функции хt : xt = xt(xt-i9yt-i)-
Функция xt должна быть определена при всевозможных значениях
аргументов xt-i>yt-i- Обозначим множество всех таких функций xt
через tit- Заметим, что Xi = Ж1, поскольку на первом шаге первый
игрок никакой информацией не располагает.
70
Глава I. Антагонистические игры
Стратегия первого игрока представляет собой набор функций
т
x = (xt, *=1,...,Т)€Х = ПЙ.
t=l
Аналогично, на шаге t второй игрок может выбирать альтернативу yt
как значение функции yt : yt = Функция yt должна быть
определена при всевозможных значениях аргументов xt,yt_l. Обозна-
чим множество всех таких функций yt через Vt. Стратегия второго
игрока представляет собой набор функций
т
У = (ш, t = l..Т)€У = ПЙ-
t=l
Игроки могут выбрать стратегии х, у независимо друг от друга до
игры, а во время игры - применять их «автоматически» по мере по-
ступления информации.
Заметим, что любой паре стратегий (ж, у) однозначно соответствует
партия игры: хг = хг, ух = 2/i(xi), х2 = x2(xi, j/i) и т.д.
Положим F(x,y)d— Р(хт,УтЪ гДе (ят,2/т) “ партия, соответствую-
щая стратегиям х и у. Итак, многошаговая игра с полной информацией
определена в нормальной форме Г = (Х,У,Р(ш,2/)).
В дальнейшем будем рассматривать два класса игр с полной ин-
формацией:
игра Г1, в которой все множества СЛ(-), ИС) конечны;
игра Г", в которой все множества С4(-) = Ut, Vt(-) = Vt не зависят
от предыстории и являются компактами метрических пространств, а
функция Р(хТ)Ут) непрерывна на произведении
Щ х • • • х Ut х Vi х • • • х VT.
Определим пару стратегий
х° = (x°t,t = у° =
используя метод динамического программирования. Для этого доопре-
делим функцию F на всех отрезках партии вида или
и назовем ее функцией Веллмана. Компоненты стратегий у® будем
задавать в порядке, обратном выборам игроков.
Определим сначала у?. этого зафиксируем произвольное зна-
чение аргументов (хт,Ут-\) и зададим значение функции
§ 7. Многошаговые антагонистические игры
71
Ут(хт,Ут-1)^Ут '•
F(xT,yT_!,y^) = min F(xT,yT_i,yT) ^F(xT, Ут-i)-
УтЕУт()
Определим функцию х?. Зафиксируем произвольное значение аргу-
ментов и зададим значение функции
х^(хТ-19уТ-1)d~xr :
= max F(xT-!,хт,Ут-1)^F(xT-i,Ут-1).
xtGUt()
Пусть определены компоненты стратегий и функции Веллмана
Ут>«т. ••> $+1 > ®t+i> ^(®Т, Ут-i)’ •••>**(®t>it)-
Тогда 2$задаются по приведенным выше
формулам с заменой Т на t
Покажем, что стратегии i°, j/° определены корректно для игр Г' и
Г". Действительно, в игре Г' все множества Ut(«), Vt(-) конечны и по-
этому максимумы и минимумы, фигурирующие в определениях стра-
тегий х° и у0, достигаются. Аналогичное утверждение справедливо и
для игры Г", поскольку по теореме 1.2 функция Веллмана непрерывна
на соответствующих компактах.
Определим величину
v = max F(si) = max min F(a?i, j/i) = ...
yieVi(’)
= max min ... max min F(tt,vt).
i/iGViC) xt€J7t(’) !/t€Vt(-)
Справедлива следующая
Теорема 7.1 (Цермело). Всякая многошаговая антагонистиче-
ская игра с полной информацией Г; (или Г") имеет решение (i°,^°, v).
Доказательство. Докажем, что функция F(x,y) имеет седловую
точку (i°,2/°) на X х Y. Для этого достаточно доказать, что
l)VyeY F(xQ,y)^v;
2) Vi EX F(i,£°)^v.
Докажем неравенство 1). Имеем
F(x°,y) nun F(x°,yi,...,yT~i,Ут) = F(x°,yi,...,yT-i) =
УтёУт()
72
Глава I. Антагонистические игры
def in/~п —О — ~ \
= max Г(^,..., , xTi У\,...»ут-\) =
жте(/т()
= F(xq1,...,Xt_1^-.->Vt-i) > •F(®i,!/i) > ma£ F(xi) = v.
xiEUi
Неравенство 2) доказывается аналогично.
Пример 7.1. Покажем, что шахматная игра имеет решение. Суще-
ствует такое целое число Т, что в соответствии с правилами игры лю-
бая шахматная партия заканчивается не позднее хода Т. Поэтому без
потери общности можно считать, все партии продолжаются Т ходов.
Если партия заканчивается раньше, то игроки делают необходимое
число фиктивных ходов, не влияющих на исход игры.
Шахматы являются игрой вида Г'. Действительно, Utfxt-i^yt^)
представляет собой множество разрешенных правилами альтернатив-
ных выборов хода белыми (первым игроком) на t-м ходу в позиции,
определяемой предыдущими ходами игроков (х^^у^). Аналогично
задается как множество выборов хода черными на t-м ходу.
Выигрыш белых определяется по правилу
F(xTiyT) =
если выиграли белые,
если выиграли черные,
если сыграли вничью.
По теореме Цермело шахматная игра имеет решение. Практиче-
ское значение этот результат имеет для позиций эндшпиля, где обычно
ищут форсированный выигрыш, либо ничью.
Пример 7.2. Рассмотрим матрицу
/5 3 1 4\
2 7 2 0
3 2 3 3
\4 0 2 5/
Разобьем множество ее строк на подмножества Mi = {1,2} и М2 =
{3,4}, а множество столбцов - на подмножества 2Vi = {1,2} и Nz =
{3,4}. Определим двухшаговую игру с полной информацией.
Шаг 1. Сначала первый игрок выбирает номер a Е {1,2} множе-
ства Ма, из которого он будет на втором шаге делать выбор строки
матрицы А. Затем второй игрок, зная а, выбирает номер /3 Е {1,2}
множества Np, из которого он будет на втором шаге выбирать номер
столбца матрицы А.
Шаг 2. Первый игрок выбирает номер строки i Е Ма, зная а,/?,
затем второй игрок выбирает номер столбца j Е Np, зная
§ 7. Многошаговые антагонистические игры
73
Выигрыш первого игрока равен Oij.
Для решения задачи воспользуемся позиционной формой игры, ко-
торую будем отображать на плоскости в виде дерева. Начальная (кор-
невая) вершина дерева1 соответствует первому ходу первого игрока
(выбор альтернативы а), в вершинах второго уровня альтернативу /3
выбирает второй игрок и т.д.
В финальных вершинах, отвечающих различным партиям игры,
указаны выигрыши первого игрока = aij. В вершинах чет-
вертого уровня указаны значения функции Веллмана
F(a,0,») = mm
в вершинах третьего уровня — F(atl3) = maxF(a,^,i), в вершинах
второго уровня - F(a) = min F(a,jS), а в начальной вершине — зна-
3=1 >2
чение игры v = max F(a) = 2.
Укажем оптимальные стратегии игроков
х° = (a°,i°(a,/?)), у° = (Д°(«), J°(«, /?,»)) :
хНа рис. 7.1 дерево изображено в перевернутом виде, поскольку так его удобнее
рисовать.
74
Глава I. Антагонистические игры
а0 = 2, i°(2,1) = 3, ?(2,2) = 3, 0°(1) = 2, 0°(2) = 1,
?(1,2,1) = 3, , ?(1,2,2) = 4, j°(2,1,3)= ?(2,1,4) = 2.
Отметим, что сначала мы подсчитали функцию Веллмана, а затем по-
строили в естественном порядке компоненты оптимальных стратегий.
В результате была достигнута некоторая экономия вычислений, по-
скольку эти компоненты необязательно следует определять при всех
значениях аргументов. Например, а0 = 2 и значения функции г°(а,/?)
нужно находить только при а = 2,
Еще более существенное сокращение вычислений достигается с ис-
пользованием приемов теории искусственного интеллекта.
Рассмотрим вопрос о программировании шахмат. В текущей пози-
ции шахматной партии при ходе, скажем, белых дерево игры поро-
ждается на глубину нескольких ходов. В финальных вершинах дерева
выигрыш белых задается с помощью оценочной функции, учитываю-
щей материальные и позиционные особенности финальной позиции.
После этого решается получившаяся игра с полной информацией и
находится оптимальный ход белых в текущей позиции.
Обычно дерево игры порождается с помощью рекурсивной проце-
дуры построения поддеревьев. При этом в вершинах дерева вычисля-
ются значения функции Веллмана. Рассмотрим возможный ход белых
ai в текущей позиции. Пусть построено поддерево игры, соответству-
ющее этому ходу и получена оценка хода ai (точнее, позиции, возника-
ющей после этого хода), равная 4. Рассмотрим другой ход белых аз в
текущей позиции. Теперь пусть черные выбрали ход bi и установлено,
что его оценка равна 1. Тогда оценка хода аг будет не больше 1 и его
можно отбросить, поскольку он хуже хода ар Таким образом, здесь не
потребовалось полное построение поддерева хода аг- Оценка хода ах в
данном случае называется а-отсечением.
Если в текущей позиции ход черных, то аналогично можно опре-
делить понятие /3-отсечения.
Многошаговые игры с неполной информацией.
Определим теперь более общую модель многошаговой игры, в про-
цессе которой игроки могут не иметь полной информации о сделанных
выборах. Ограничимся играми Г' с конечными множествами
Пусть Н} обозначает множество всех отрезков партий вида
а ~ множество всех отрезков партий вида (xtSUt-iY
§ 7. Многошаговые антагонистические игры
75
Предположим, что множество Я/ разбито на непересекающиеся под-
множества Я/(at), at е Д. Перед выбором xt первому игроку из-
вестно, что (xt-i,j/t-i) е Аналогично, пусть множество Я42
разбито на непересекающиеся подмножества Я2(&), Pt € St- Перед
выбором yt второму игроку известно, что (xt>j/t-i) е HttPtY Если, в
частном случае, at = (xt-i,yt-i), Pt = (^t>yt-i)> a множества H}(at)
и Ht(Pt) содержат по одному элементу at и Pt соответственно, то
получим игру с полной информацией.
Стратегия х € X первого игрока задается набором функций it от
at, принимающих значения xt(at) £ Ut(at), t = 1,...,Т. Стратегия
у 6 У второго игрока задается набором функций yt от Pt, принимаю-
щих значения yt(Pt) € Vt(Pt), t = 1,...,Т. По определению F(i,y) =
F(xT,yT)> гДе партия игры (хт,Ут) однозначно задается стратегиями
игроков хну. Итак, определена игра Г = (X, Y, F(x, у)) в нормаль-
ной форме.
Пример 7.3. Пусть at = Pt = (®t-i,yt-i),
H}(at) = {at}, Hf(pt) = {(it,l/t-i) I 6 UM}.
Здесь на каждом текущем шаге игроки не знают выбора друг друга,
но они знают все выборы, сделанные на предыдущих шагах. При этом
будем говорить об игре с полной информацией о предыдущих шагах.
Конкретным примером может служить повторяющаяся игра <орлян-
ка».
Упражнение 7.1. Показать, что в игре Г с полной информацией
о предыдущих шагах (пример 7.3) нижнее и верхнее значения игры
задаются следующими выражениями:
v = max min max min ••• max min Р(хт,Ут)>
yiEVi X2eUi(xi,yi) У2ёУ2(Х1,У1) XtEUt(oit) ут€Ут(Рт)
v = min max min max ••• min max
yiEVi xiEUi V2€V2(2ityi) !/t€Vt(3t) ®т€С/т(ат)
Упражнение 7.2. Найти верхнее и нижнее значения игры из при-
мера 7.2, предполагая полную информированность игроков о преды-
дущих шагах.
Если в игре Г v < и, то игроки должны использовать смешанные
стратегии. Ограничимся примерами.
Пример 74. Найдем решение в смешанных стратегиях игры из при-
мера 7.2, предполагая полную информированность игроков о преды-
76
Глава I. Антагонистические игры
дущих шагах. На втором шаге значения а, /3 игрокам известны и воз-
никает подыгра с 2 х 2-подматрицей (%‘)»€МЛу€Л> матрицы А. Пусть
(p°(a,j0),g°(a,/?), v(a,/?)) - решение в смешанных стратегиях указан-
ной подагры. В следующей таблице эти решения приведены при всех
значениях а и &.
Табл. 7.1
а 0 9°(а,/0 v(a,0)
1 1 (5/7,2/7) (4/7,3/7) 29/7
1 2 (2/5,3/5) (4/5,1/5) 8/5
2 1 (1,0) (0,1) 2
2 2 (1,0) (1,0) 3
На первом шаге первый игрок стремится увеличить свой ожидаемый
выигрыш, получаемый на втором шаге, а второй игрок стремится этот
выигрыш уменьшить. Поэтому на первом шаге игроки участвуют в
игре с матрицей
(»(»,«)»«П
Решение этой игры в смешанных стратегиях имеет вид
(p°,9°,v) = ((35/124,89/124), (49/124,75/124), 323/124).
Итак, первый игрок должен выбирать а = 1 с вероятностью 35/124, а
второй игрок должен выбирать /3 = 1 с вероятностью 49/124. Значение
игры Г равно 323/124.
Пример 7.5. Ведущий телевизионного шоу предлагает участнику
показать на одну из трех закрытых дверей, за которыми размещены
«Мерседес» и два козла. После этого ведущий открывает какую-либо
из двух невыбранных дверей, за которой находится козел, и вторично
(шаг 2) предлагает участнику открыть одну из оставшихся дверей. Ес-
ли за дверью стоит «Мерседес», то участник получает его в качестве
приза, если — козел, то участник ничего не получает. Пусть выигрыш
участника равен 1 или 0 в зависимости от того, получен им приз или
нет. Найдем оптимальные стратегии участника (первого игрока) и ве-
дущего шоу (второго игрока), а также значение игры. Если на первом
шаге первый игрок показал на дверь, за которой стоит козел, то яс-
но, что на втором шаге он должен открыть другую дверь и наверняка
получить приз. Отсюда, используя соображения симметрии, укажем
оптимальные смешанные стратегии игроков.
§ 7. Многошаговые антагонистические игры 77
Определим стратегию р° первого игрока: на первом шаге он должен
выбрать одну из трех дверей с вероятностью 1/3, а на втором шаге от-
крывать другую оставшуюся дверь. Определим стратегию qQ второго
игрока: он должен поместить «Мерседес» за одной дверью из трех с
вероятностью 1/3. Если первый игрок показал на дверь с «Мерседе-
сом», то второй игрок должен открыть одну из двух других дверей с
вероятностью 1/2. Значение игры равно 2/3.
Для доказательства оптимальности указанных стратегий проверим
условие (*). При любой чистой стратегии второго игрока первый иг-
рок, применяя р°, показывает на дверь с козлом с вероятностью 2/3.
На втором шаге он указывает на другую дверь и выигрывает приз.
С другой стороны, пусть второй игрок применяет стратегию д°.
Покажем, что в этом случае первый игрок не может выиграть приз с
вероятностью, большей, чем 2/3. Рассмотрим типичную чистую стра-
тегию первого игрока: сначала он выбирает первую дверь, на втором
шаге он открывает вторую дверь, если второй игрок открыл третью и
открывает первую дверь, если второй игрок открыл вторую. Нетруд-
но подсчитать, что вероятности его выигрыша при размещениях МКК,
КМК и ККМ равны 1/6, 1/3 и 0 соответственно.
Таким образом, данная чистая стратегия обеспечивает выигрыш
приза с вероятностью 1/2. Если на втором шаге первый игрок указы-
вает не на первую дверь, то выигрыш приза (только в этом случае)
увеличивается до 2/3. Отметим, что в этом примере мы обошлись без
полного описания множеств стратегий игроков и матрицы игры. Это
представляет собой весьма непростую задачу, если рассмотреть обоб-
щение игры на случай, когда имеется п дверей, за которыми распо-
лагаются один «Мерседес» и п — 1 козел. Игра происходит в течение
п — 1 шагов. На каждом из первых п — 2 шагов участник показывает
на какую-либо закрытую дверь, а ведущий открывает другую дверь,
за которой стоит козел. На шаге п — 1 все происходит так же, как и
при п = 3. Значение игры здесь равно (п - 1)/п.
Докажите оптимальность следующей стратегии первого игрока. Он
с равной вероятностью 1/п выбирает одну из дверей, на которую по-
казывает в течение первых п — 2 шагов. На последнем (п — 1)-м шаге,
когда останутся две закрытые двери, он открывает другую дверь.
Пусть многошаговая игра задана в позиционной форме. Тогда ин-
формированность игроков задается с помощью информационных мно-
жеств.
Определение. Информационным множеством игрока называется
множество вершин дерева игры, в которых очередь хода принадлежит
78
Глава I. Антагонистические игры
данному игроку и имеется одинаковое число альтернатив. Игрок зна-
ет, что позиция игры соответствует одной из вершин информационного
множества, но не знает какой именно. На информационное множество
накладывается следующее ограничение: оно не может содержать двух
вершин лежащих на одном пути, ведущим из начальной вершины в
финальную. Будем считать, что все информационные множества пер-
вого игрока Л,..., Д пронумерованы таким образом, что если какая-то
вершина множества 7* реализуется в игре раньше некоторой верши-
ны множества /j, то г < j. Все информационные множества второ-
го игрока Ju—iJi пронумерованы аналогичным образом. Стратегией
первого игрока является вектор х = (xi,...,£*) Е X, где Х{ - либо
альтернатива, выбираемая игроком в множестве 7<, либо Xi = *. По-
следнее означает, что выбор альтернатив Ж1,...,^_1 гарантирует, что
в игре заведомо не будет реализована никакая вершина из множества
7». Аналогичным образом определяются стратегии у = 6 Y
второго игрока.
Отметим, что в игре могут встречаться позиции случал. Это озна-
чает, что в некоторых вершинах дерева игры выбор альтернативы не
принадлежит игрокам, а осуществляется случайным образом с извест-
ным законом распределения (см. пример ниже). Тогда при выбранных
стратегиях игроков х иу выигрыш первого игрока, определяемый по
финальной вершине, будет случайной величиной и значение F(x,y)
следует определить как математическое ожидание этого выигрыша.
Таким образом, мы свели позиционную форму игры к нормальной
форме.
Позиционные игры с неполной информацией подробно рассматри-
ваются в § 13.
Пример 7.6. Игра «покер». Колода состоит из двух карт: старшей
(с) и младшей (м). Игрокам сдается по одной карте рубашкой вверх.
Первый игрок берет свою карту и имеет две альтернативы: либо пасо-
вать (п), выплачивая второму игроку сумму а > 0, либо увеличивать
ставку (у) до суммы Ь > а. Если первый игрок увеличивает, то второй
игрок, не зная расклада карт, может либо пасовать, выплачивая пер-
вому а, либо увеличивать ставку до Ь. Если оба игрока увеличивают
ставку, то карты открываются и игрок со старшей картой получает
сумму Ь от партнера. На рис. 7.2 изображено дерево игры.
§ 7. Многошаговые антагонистические игры
79
Начальная вершина игры представляет собой позицию случая: аль-
тернативы (с) и (м) выбираются с вероятностью 1/2. Первый игрок
имеет два информационных множества, отвечающих двум равноверо-
ятным раскладам карт. Поэтому у первого игрока четыре стратегии:
(п,п),(п,у),(у,п),(у,у). Второй игрок не знает расклада карт. Он имеет
единственное информационное множество и две стратегии: п и у.
Рис. 7.2
Матрица игры в нормальной форме имеет вид
/-а
О
О
\<*
Нетрудно видеть, что третья строка матрицы доминирует первую и
вторую строки. Вычеркивая их и решая игру с 2 х 2-матрицей, получим
решение в смешанных стратегиях
п IЛ Л 2а Ь —а\ 0 (b — a 2a \ a(b — a)
р “(°’0,Гн?Г+^)’ 9 “ (Гн?ГнН’ V~ Ь+а ’
Можно сделать вывод, что чем больше значение Ь/а, тем с большей
вероятностью первый игрок должен блефовать (увеличивать на млад-
шей карте), а второй - ему не верить (пасовать).
80
Глава I. Антагонистические игры
Комментарий и библиография к главе I
§ 1. Основные понятия теории антагонистических игр были введены
Э. Борелем (см. английский перевод [15] трех его работ 1920-х годов).
Термин «физическая смесь стратегий» использовала Е.С. Вентцель в
книге [29]. Пример 2.2 взят из книги Г.Н. Дюбина и В.Г. Суздаля [46].
Еще один пример 8.7 использования «физической смеси стратегий»
в биматричной игре см. во второй главе. Основы теории полезности
заложены в фундаментальном труде Дж. фон Неймана и О. Морген-
штерна [72]. О методах построения функций полезности см. [49].
Интересно проанализировать поведение первого игрока, использу-
ющего оптимальную смешанную стратегию (а/(1 + а), 1/(1 + а)) в игре
с матрицей полезностей А = Q примера 2.4, в зависимости от его
отношения к риску. Чем более осторожен игрок (с ростом полезности
а), тем ближе его стратегия к (1/2,1/2). Азартный игрок выбирает
чистую вторую стратегию с тем большей вероятностью, чем меньше
значение а. Сходное поведение мы наблюдали у милиционера в при-
мере 3.4.
Теорема 1.1 доказана в книге Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна
[72]. Теорема 1.2 получена М. Шифманом [104]. Пример 1.5 был сооб-
щен автору С.А. Ашмановым. Аналогичный пример см. в [6] (С. 237).
Теорема 1.3 доказана С. Какутани [47] с использованием обобщения
теоремы Л. Брауэра о неподвижной точке. Однако она вытекает из
полученного четырьмя годами раньше следующего результата [74].
Теорема (Дж. фон Нейман). Пусть X С Ет и У С Еп - вы-
пуклые компакты евклидовых пространств, а компакты 17, V С X х Y
удовлетворяют следующему условию: для любых х Е X и у Е Y мно-
жества Y(x) = {у Е Y | (ж, у) Е V} иХ(з/) = {х Е X | (ж, у) Е 17}
являются непустыми выпуклыми компактами. Тогда U А V / 0.
Действительно, полагая в условиях теоремы 1.3
Х(у) = Argmaxxex F(x,y), U = {(х.у) Е X х Y | х е Х(у)},
Y (х) = Arg mincer F(x,y), V = {(х,у) еХ xY \ у е У (я)}
получим, что существует пара (я:0, yQ) Е 17 А V — седловая точка функ-
ции F(x, у). Поэтому теорему 1.3 обычно связывают с именем Дж. фон
Неймана. Доказательства С. Какутани и М. Шифмана теоремы 1.3
можно прочесть в книге С. Карлина [48].
§ 2. С теорией интеграла Стилтьеса можно ознакомиться по учеб-
нику А.Н. Колмогорова и С.В. Фомина [50]. Основная теорема мат-
ричных игр (теорема 2.1) была доказана Дж. фон Нейманом в 1928
§ 7. Многошаговые антагонистические игры
81
году [73] методом математической индукции по размерам матрицы иг-
ры. Ранее Э. Борель [15] продемонстрировал ее справедливость для
кососимметрической Зх 3-матрицы. Приведенное доказательство тео-
ремы 2.1 принадлежит С. Какутани [47]. Теорема 2.2 объединяет две
теоремы Э. Хелли ([50]). Основная теорема непрерывных игр (теорема
2.3) была доказана Ж. Виллем [30].
§ 3. Свойства решений в смешанных стратегиях матричных и непре-
рывных игр излагаются в большинстве книг по теории игр (см., на-
пример, [45, 63]). Пример 3.2 принадлежит Э. Борелю [16]. Он также
рассматривал дискретный вариант игры с А = 7, которому дал следу-
ющую интерпретацию. Игроки набирают по семь карт. Каждая карта
может быть одной из трех мастей (содержащих по 14 карт): трефы,
бубны или червы. Первый игрок побеждает, если в каждой из каких-
либо двух мастей он имеет больше карт, чем противник. О других
решениях этой игры см. [78].
Выравнивающие стратегии впервые использовал Э. Борель [15] для
доказательства существования решения в смешанных стратегиях игры
с кососимметрической Зх3-матрицей. Игры с диагональными и цикли-
ческими матрицами, а также их обобщения см. в [48].
§ 4. Понятия доминирования строк и столбцов в матричных играх
использовались многими авторами. В форме теорем они, по-видимому,
впервые были сформулированы М. Дрешером в 1951 году в отчете
корпорации РЭНД (см. его книгу [45]). Графический метод решения
игр с 2 х 2-матрицами использовал еще Э. Борель. Более общий ме-
тод <двойного описания» см. в работе [70]. Эквивалентность решения
матричной игры задаче линейного программирования была продемон-
стрирована Г. Данцигом [43]. Теорема 4.2 о крайних оптимальных сме-
шанных стратегиях доказана Л.С. Шепли и Р. Сноу [101]. Итерацион-
ный метод решения матричной игры был сформулирован Г. Брауном
в [17]. Сходимость процесса Брауна доказана Джулией Робинсон [84].
Она использовала более общий итерационный процесс с ненулевыми
начальными векторами с(0) и d(0), называемый в литературе процес-
сом Брауна-Робинсон. Оценка скорости сходимости O(fc“m+«-2) была
получена Г.Н. Шапиро в [100]. Модификация условия остановки по
методу Брауна была предложена Ю.Б. Гермейером в [36]. О других
игровых процессах типа Брауна-Робинсон см. [8].
§ 5. Теорема 5.1 о пересечении выпуклых компактов евклидова про-
странства была открыта Э. Хелли в 1913 году и сообщена И. Радону,
опубликовавшему ее доказательство в [83] как следствие собственных
результатов. Геометрическое (и более наглядное) доказательство ме-
82
Глава I. Антагонистические игры
тодом математической индукции по размерности пространства было
опубликовано Э. Хелли в [94]. Многочисленные обобщения и приложе-
ния теоремы Хелли см. в [42].
Структура решений в смешанных стратегиях игр с вогнутыми и
выпуклыми выигрышами установлена Х.Ф. Боненбластом, С. Карли-
ном и Л.С. Шепли в [12]. Приводимые здесь конструктивные доказа-
тельства теорем 5.2 и 5.3 принадлежат Э.Г. Давыдову [41], который
опирался на результат 1938 года Л.Г. Шнирельмана [106], придав ему
современный вид х.
Основы теории статистических решений были заложены А. Валь-
дом [21] (см. также [И, 20]), где, в частности, введена функция рис-
ка. С приложениями теории статистических игр можно ознакомиться
в [40]. Минимаксная оценка параметра биномиального распределения
получена Дж. Ходжесом и Е. Леманом [96], а аналогичная оценка ма-
тематического ожидания нормального распределения при известной
дисперсии получена И. Вольфовицем [33].
§ 6. Модель «нападение-оборона» определена и изучена Ю.Б. Гер-
мейером [36]. Она является модификацией модели О. Гросса, в которой
п
функция выигрыша нападения имеет вид F(x, у) = £ шах[я;* — 0],
г=1
a ki интерпретируются как коэффициенты важности пунктов. В.А. Го-
релик предложил сходную игровую модель производства бензина [39].
Приводимые здесь шумная и бесшумная модели дуэлей исследо-
ваны Ю.Б. Гермейером [36]. В классических моделях [48] F(x,y) по-
лучается осреднением функции, принимающей значение 1, если убит
второй дуэлянт, а первый остался жив, значение —1, если убит пер-
вый дуэлянт, а второй остался жив и значение 0 в остальных случаях
(оба дуэлянта живы или оба убиты). Методы решения игр с выбором
момента времени (дуэльного типа), основанные на использовании ин-
тегральных и дифференциальных уравнений, см. в [9, 48].
§ 7. Теорема существования решения многошаговой игры с полной
информацией с целью применения к шахматной игре доказана Э. Цер-
мело в 1912 году [97]. Основные понятия теории позиционных игр опре-
делены Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в [72]. Полная фор-
мализация этих игр проведена Г.У. Куном [58]. Пример 7.5 был сооб-
щен авторам Н.М. Новиковой. Пример 7.6 простейшей модели покера
принадлежит Э. Борелю [16].
1Шнирельман доказал теорему 5.2 в терминах выпуклых множеств, не исполь-
зуя понятие вогнутой функции.
ГЛАВА П. ИГРЫ ДВУХ ЛИЦ
§8. Ситуации равновесия в играх двух лиц
Понятие антагонистической игры значительно расширить. В кон-
фликтной ситуации с двумя участниками их интересы не всегда про-
тивоположны. В качестве модели такого конфликта определим игру
двух лиц общего вида.
Пусть первый игрок имеет в своем распоряжении стратегии х из
множества стратегий X, а второй игрок — стратегии у из множества
стратегий Y. Рассмотрим игру в нормальной форме. В такой игре каж-
дый участник выбирает стратегию, не зная выбора партнера. Пара
стратегий (ж, у) называется ситуацией игры. Интересы первого игрока
характеризует функция выигрыша F(x,j/), а второго - функция вы-
игрыша (7(я, у), определенные на множестве всех ситуаций X х Y. Каж-
дый игрок стремится, по возможности, максимизировать свою функ-
цию выигрыша. Таким образом, игра двух лиц в нормальной форме
задается совокупностью Г = (X, Y,F(x, j/),G(x, j/)).
В антагонистической игре понятие решения мы связывали с седло-
вой точкой функции выигрыша первого игрока. В произвольной игре
двух лиц аналогом седловой точки является понятие ситуации равно-
весия.
Определение. Ситуация (ж0,?/0) называется ситуацией равновесия
(равновесием по Нэшу) игры Г, если
maxF(x,t/°) = F(x°,3/°), maxG(x°, ?/) = G(x°ty°).
xGX yEY
Стратегии x° hi/0, составляющие ситуацию равновесия, будем назы-
вать равновесными. Если оба игрока придерживаются ситуации рав-
новесия, то одному игроку от нее невыгодно отклоняться.
Упражнение 8.1. Если F(x,y) = —то игра Г — антагони-
стическая. Докажите, что в антагонистической игре ситуации равно-
весия — это седловые точки функции F(x, у) на X х Y.
Обсудим, как можно использовать понятие равновесия по Нэшу с
точки зрения принятия решений. В теории игр, как и во многих других
теориях, можно выделить два подхода: нормативный и дескриптив-
ный. Нормативный подход состоит в том, что теория дает рекоменда-
ции, как следует действовать в той или иной конфликтной ситуации.
А при дескриптивном подходе теория пытается описать, как на самом
деле происходит взаимодействие между игроками. Изначально теория
84
Глава IL Игры двух лиц
игр развивалась как нормативная. И сейчас мы обсудим понятие рав-
новесия по Нэшу именно с такой точки зрения. В этом случае пра-
вило принятия решения можно сформулировать следующим образом:
в конфликтной ситуации, описываемой игрой в нормальной форме,
каждому участнику следует использовать стратегию, которая входит
в равновесие по Нэшу. Дескриптивный подход более подробно обсу-
ждается в конце § 9.
Ситуация равновесия в произвольной игре двух лиц может не об-
ладать теми свойствами, которые характерны для седловой точки ан-
тагонистической игры.
В антагонистической игре, имеющей решение, компоненты седло-
вой точки являются максиминной и минимаксной стратегиями игроков
и, наоборот, любая пара таких стратегий образует седловую точку. Та-
ким образом, в антагонистической игре принцип равновесия согласует-
ся с принципом оптимизации игроками своих гарантированных резуль-
татов. Кроме того, во всех седловых точках выигрыш первого игрока
один и тот же и равен значению игры. К сожалению, в общем случае
ситуации равновесия не обладают указанными свойствами. Убедимся
в этом на примерах. Предварительно введем понятие биматричной
игры.
Определение. Игра двух лиц Г называется биматричной, если мно-
жества стратегий игроков конечны:
Х = {1,...,т}) Г = {1,..,п}.
Здесь i Е X, j 6 У — стратегии первого и второго игроков. Выигрыши
игроков задаются двумя матрицами
А = j))mxn ~ (O’ijjmxni В = (C?(i,J))mxn ~ (bijjfnxn*
Запишем определение ситуации равновесия в обозначениях бимат-
ричной игры.
Определение. Ситуация (i°, j°) биматричной игры Г называется си-
туацией равновесия (равновесием по Нэшу), если
dijO CLiQjO, i = 1,...,7П, b{Oj b^ojo, j = l,...,n.
Здесь элемент а^о^о является максимальным в }°-м столбце матрицы
A, a biOjo - максимальным в <°-й строке матрицы В.
Всегда ли в игре двух лиц существует ситуация равновесия? В об-
щем случае ответ — отрицательный, поскольку, например, в антагони-
стической игре не всегда существует седловая точка.
§ 8. Ситуации равновесия в играх двух лиц
85
Приведем пример неантагонистической игры, не имеющей ситуа-
ции равновесия.
Пример 8.1. Покупатель (игрок 2) приходит на рынок за яблока-
ми. Продавец, торгующий яблоками (игрок 1), использует пружинные
весы. У него есть две стратегии:
1) честно взвесить 1 кг яблок;
2) подкрутить пружинку и обвесить покупателя на 200 грамм.
Назовем эти стратегии «честность» и «обман» соответственно.
Покупатель также имеет две стратегии:
1) поверив продавцу, заплатить деньги и уйти;
2) взвесить купленные яблоки на контрольных весах и в случае
обнаружения обмана потребовать возмещения ущерба.
Назовем эти стратегии «поверить» и «проверить» соответственно.
Определим выигрыши продавца и покупателя в каждой ситуации:
а) Продавец честно взвесил, а покупатель ему поверил. Соответ-
ствующие выигрыши обоих, равные 0, выберем в качестве начала от-
счета.
б) Продавец обманул, а покупатель ему поверил. Выигрыш продав-
ца примем равным 1, так как он получил дополнительную прибыль.
Выигрыш покупателя равен —1, поскольку он получил меньше яблок.
в) Продавец честно взвесил, а покупатель его проверил. Выигрыш
продавца равен 0. Пусть выигрыш покупателя равен —1/2: он, во-
первых, зря потратил время, а, во-вторых, глупо себя чувствует.
г) Продавец обманул, а покупатель его проверил. Выигрыш про-
давца примем равным -1, так как обнаружение обмана грозит ему
определенными неприятностями (например, его могут лишить лицен-
зии на торговлю на этом рынке). Выигрыш покупателя равен 1/2, так
как, во-первых, ему возместили обвес, а, во-вторых, он испытывает
моральное удовлетворение от разоблачения обманщика.
Получается следующая биматричная игра:
пов пров пов пров
. _ честн /0 0 \ п _ честн / 0 —1/2
— обман \ 1 — 1 J ’ обман у —1 1/2
Легко проверить, что здесь нет равновесий по Нэшу.
В приведенном примере элементы матриц А и В удовлетворяют
следующим неравенствам:
ап
А
<*21
<*12
V
<*22
Ь11 > &12
&21 < &22
86
Глава IL Игры двух лиц
Упражнение 8.2, Проверить, что если элементы в матрицах вы-
игрышей игроков связаны такими соотношениями, то в игре не суще-
ствует равновесий по Нэшу.
Игры, подобные примеру 8.1, распространены в моделях, описы-
вающих экономические и экологические взаимодействия. Рассмотрим
пример игры, имеющей две ситуации равновесия.
Пример 8.2. Игра «семейный спор»:
ф т ф т
л_Ф И 0\ ф /2 0\
т \0 2J' т \0 1/
Интерпретация. Жена и муж (первый и второй игроки) обсуждают
вопрос, куда пойти развлечься: на футбол (стратегия 1 ) или в театр
(стратегия 2). Если идут на футбол, то жена получает 1 единицу, а
муж — 2 единицы «удовольствия». Если идут в театр, то выигрыш
жены — 2, а мужа - 1. Если оба идут в разные места, то выигрыши
игроков - нулевые.
В игре существует две ситуации равновесия: (1,1) и (2,2). Первая
из них предпочтительней второму игроку, а вторая — первому. Если
игроки будут действовать независимо, то первый, вероятно, выберет
стратегию 2, а второй — стратегию 1. В результате оба получат по
нулю. Пример 8.2 показывает, что необходим какой-то механизм коор-
динации при выборе стратегии, если существует несколько равновесий
по Нэшу. Поэтому игры, подобные примеру 8.2, называют также «иг-
рами на координацию».
Использование ситуаций равновесия на практике часто связывает-
ся со следующим сценарием поведения игроков. Они сначала должны
договориться о ситуации равновесия, затем всякие переговоры запре-
щаются и игроки независимо выбирают свои стратегии, возможно на-
рушая принятое соглашение. Заметим, что одному игроку будет невы-
годно отклоняться от своей равновесной стратегии. Если игроки при-
держиваются в игре такого сценария поведения, то игра Г называется
бескоалиционной.
Приведем еще один пример «игры на координацию».
Пример 8.3. Игроками являются два водителя, которым надо про-
ехать через перекресток, к которому они подъехали одновременно.
Есть две стратегии пересечения перекрестка: использовать «правило
правой руки», согласно которому водитель должен пропустить помеху
§ 8. Ситуации равновесия в играх двух лиц
87
справа (стратегия 1), или «правило левой руки», согласно которому
водитель должен пропустить помеху слева (стратегия 2). Если оба во-
дителя придерживаются одного правила, то они успешно разъедутся,
но если один из них использует «правило правой руки», а другой «пра-
вило левой руки», то может возникнуть авария. Следовательно, для
благоприятного исхода в таких играх у всех игроков должен быть оди-
наковый подход к выбору правил поведения.
Упражнение 8.3. Объяснить (см. рис. 8.1), почему выигрыши иг-
роков в последнем примере можно задать следующими матрицами:
пр.р
А = пр.р ( 1
лев.р I — 1
лев.р
-10 \
0 /
пр.р
в = пр.р f 0
лев.р \ -1
лев.р
-10 \
1 J
Рис. 8.1
Рассмотренные в примерах 8.2 и 8.3 игры характеризуются следу-
ющими соотношениями элементов матриц выигрыша:
(Ди Ап > &12
V А I , I
021 #22 / \&21 < &22
Упражнение 8.4- Проверить, что при выполнении таких соотноше-
ний в игре всегда существует два равновесия по Нэшу.
Приведем пример, который показывает, что равновесие по Нэшу
может быть неэффективным с точки зрения интересов игроков.
Пример 8.4. Игра «дилемма заключенного»:
пр
Л=пр (fn
нет \ -10
нет
0
-1
пр
пр /-8
нет \ О
нет
-10
-1
В =
Интерпретация. Два бандита (игроки 1 и 2), подозреваемые в совер-
шении тяжкого преступления, находятся изолированно друг от друга
88
Глава П. Игры двух лиц
в предварительном заключении. Ввиду отсутствия прямых улик успех
или неуспех обвинения зависит от признания (стратегия 1) или непри-
знания (стратегия 2) самих бандитов. Если оба бандита признаются
(ситуация (1,1)), то они будут признаны виновными и приговорены к
8 годам тюрьмы. Если ни один из них не признается (ситуация (2,2)),
то по обвинению в главном преступлении они будут оправданы, но
обвинителю все-таки удастся доказать их виновность в некотором со-
путствующем менее тяжком преступлении, например, в ношении ору-
жия, в результате чего они будут приговорены к 1 году тюрьмы. Если,
наконец, признается только один из них (ситуации (2,1) и (1,2)), то
признавшийся будет освобожден (за помощь следствию), а непризнав-
шийся будет приговорен к отбытию максимального срока - 10 лет.
В этой игре имеется единственная ситуация равновесия (1,1): обоим
признаться. Однако есть ситуация (2,2), более выгодная обоим игро-
кам, но не являющаяся ситуацией равновесия. Следовательно, равно-
весия по Нэшу могут быть неэффективны в том смысле, что за счет
отклонения обоих игроков от ситуации равновесия можно улучшить
выигрыши каждого из них.
Описанная в примере 8.4 игра имеет следующую структуру:
(Лц Oi2\ /Ьц >
v v ,
а21 а22 / \^21 > &22 /
Упражнение 8.5. Проверить, что при выполнении таких соотноше-
ний в игре всегда существует единственное равновесие по Нэшу.
В связи с последним примером дадим определение ситуации, оп-
тимальной по Парето.
Определение. Ситуация (®°,t/°) игры Г называется оптимальной
по Парето, если не существует такой ситуации (х,у) что выполнены
неравенства
F(x,y)2F(x°,y°), G(x,y)>G(x\y*)
и при этом хотя бы одно из них - строгое.
В примере 8.4 в ситуации (2,2) оба игрока получают по —1, что
больше, чем их выигрыш -8 в ситуации равновесия (1,1). Следова-
тельно, ситуация равновесия не является оптимальной по Парето.
Упражнение 8.6. Докажите, что в антагонистической игре любая
ситуация оптимальна по Парето.
§ 8. Ситуации равновесия в играх двух лиц
89
Следующий пример показывает, что не всегда равновесные страте-
гии являются максиминными.
Пример 8.5. Пусть
/2 0 5\ и _ /2 2 1\
“ \2 2 3/ ’ \0 7 8/
Здесь (1,1) - единственная ситуация равновесия, но стратегия 1 пер-
вого игрока не является максиминной. Действительно,
W = 1“йз = °’ W = °2j = 2‘
Стратегия 1 второго игрока также не является максиминной. Если
игрок неблагожелательно настроен по отношению к партнеру, то он
может нарушить соглашение и вместо равновесной стратегии выбрать
максиминную. В результате он получит тот же выигрыш 2, что и в
ситуации равновесия, а партнер получит 0.
Мы отметили три недостатка понятия равновесия по Нэшу:
1) равновесий по Нэшу в игре может не существовать;
2) равновесие по Нэшу может быть не единственно;
3) равновесие по Нэшу может быть неэффективно.
Несмотря на эти недостатки, указанное понятие играет централь-
ную роль в теории принятия решений в конфликтных ситуациях.
Приведем теорему существования ситуации равновесия в игре двух
лиц, которая является обобщением теоремы 1.3. Предварительно сфор-
мулируем топологическую теорему о неподвижной точке.
Теорема 8.1 (Брауэр). Пусть f : Z -> Z — непрерывное отобра-
жение в себя выпуклого компакта Z конечномерного евклидова про-
странства. Тогда у него существует неподвижная точка z° :
/(z°) = z°.
Доказательство теоремы см. в Приложении (ПЗ,П4).
Упражнение 8.7. Докажите теорему для X = [0,1].
Отметим, что все условия теоремы существенны. Например, ес-
ли множество Z — невыпуклое, то утверждение теоремы может быть
неверным. Действительно, если Z — окружность, a f — ее поворот на
угол а < 2тг, то f неподвижной точки не имеет.
Упражнение 8.8. Постройте контрпримеры к утверждению теоре-
мы, если
1) Z = [0, оо); 2) Z = (0,1]; 3) Z = [0,1], но функция / разрывна.
90
Глава II. Игры двух лиц
Теорема 8.2. Пусть в игре двух лиц Г множества X и Y — вы-
пуклые компакты евклидовых пространств Ет и Еп. Предположим,
что функции F(x,y) и G(x,y) непрерывны на X х У, функция F(x,y)
вогнута по х при любом фиксированном т/, а функция G(x,y) вогнута
по у при любом фиксированном х. Тогда в игре Г существует ситуация
равновесия.
Доказательство. Вначале предположим, что функции F(x,y) и
G(xty) непрерывны на X х У и строго вогнуты по «своим» перемен-
ным х и у соответственно. Тогда для любых стратегий у и х множества
наилучших ответов игроков
X(y)d-Arg max F(x, у) = {x(y)}, Y(x)d= ArgmaxG(x,j/) = {у(х)}
xex yeY
содержат по одному элементу x(y) и y(x). Согласно теореме 1.2, функ-
ции х(у) и у(х) непрерывны. Будем называть их функциями наилуч-
шего ответа первого и второго игроков соответственно.
Положим Z — X х У и рассмотрим отображение f : Z —> Z,
f(x,y) = (x(j/), j/(rr)). По теореме 8.1 отображение f имеет неподвиж-
ную точку z° - (х°,у°) : /(z°) = zQ или х(у°) = ж0, у(х°) = yQ.
Следовательно, (ж°,2/°) — ситуация равновесия.
Теперь предположим, что функции F(x,y) и G(x,y) вогнуты по
«своим» переменным х и у, но необязательно строго. Положим
m т
Fe(х,y) = F(x,y)-e^2xl, Ge(х,у) = G(x,у)-е^у],
1=1 j=l
где е > 0. Функции Fe(x,y) и <7е(т,з/) непрерывны на X х У, Fe(x,y)
строго вогнута по ж, a Ge(x,y) строго вогнута по у. По доказанному
в игре Ге = (Х,У, Fe(a;,t/),(re(x,t/)) существует ситуация равновесия
(же,2/е). Пусть {бд} — такая последовательность чисел, что бд -> 0+ и
соответствующая последовательность ситуаций равновесия {(a;eh, ySh)}
сходится к некоторой ситуации (ж°,з/°). По определению (xe\yeh)
VzEX Feh(x,^)^Feh(^,/h),
Vj/бУ Geh{xeh,y)^G£h{xeh,yeh).
Переходя при фиксированных х и у к пределу при h -> оо, получим
V х Е X F(x,yQ) F(x°,yQ), V у Е У G(xQ,y) <: G(xQ,y°). Это
означает, что (ж°,з/°) — ситуация равновесия игры Г.
§ 8. Ситуации равновесия в играх двух лиц
91
Рассмотрим метод поиска ситуации равновесия с использованием
множеств наилучших ответов
Х(у) = Arg max F(x, у) и Y(х) = ArgmaxG(z, ?/).
хех yeY
Он состоит в решении системы включений
х°еХ(у°), y°eY(x°).
(8-1)
В том случае, когда у игроков существуют непрерывные функции
наилучшего ответа х(у) и у(х) (см. первую часть доказательства тео-
ремы 8.2), система включений (8.1) эквивалентна системе уравнений
а;(у°) = а:0, у(х°) = у°.
Пример 8.6, Найдем все ситуации равновесия игры Г :
/ 2 3 5 -1\ ( 1 5 4 7\
4 -2 3 4 4 5 5 4
R —
2 1 & 4 , — -3 6 б 2
2 5 3/ 1 s 7 3 6/
В матрице А подчеркнуты наибольшие элементы в столбцах, а в матри-
це В — наибольшие элементы в строках. Общий подчеркнутый элемент
соответствует (3,3) - единственной ситуации равновесия.
Пример 8.7. Рассмотрим игру двух лиц Г = (X, У, F(x,у),С(х, j/)),
где X, Y и F(x,y),G(x,y) - множества стратегий и функции выигры-
ша первого и второго игроков. Пусть
X = Y = [0,1], F(xty) = —3z2 + 2у2 + 7ху, G(x,y) = -(х 4- у - I)2.
Функции F(x,y) и G(x,2/) строго вогнуты по переменным х и у соот-
ветственно. Функции наилучшего ответа —
х(у) = <
7J//6,
1,
О у 6/7,
6/7 < у 1,
у(х) = 1 - X.
Решая систему х(у) = х, у(х) = у, находим а;0 = 7/13, у° = 6/13.
Для численного решения системы включений (8.1) часто применя-
ется процедура нащупывания по Курно. Она заключается в построе-
нии последовательности стратегий: а:1 б X, у1 б ^(а;1), а;2 б Х(у1),
У2 бУ(?) и т.д.
92
Глада Л. Игры двух лиц
Пусть последовательности стратегий {ж*}, {t/*} сходятся соответ-
ственно к xQ и у0. Тогда (®°, t/°) - ситуация равновесия, поскольку для
(x°,i/°) справедлива система включений (8.1) (см. доказательство тео-
ремы 1.2). Однако последовательности {хк}, {у*} сходятся не всегда.
Пример 8.8. Рассмотрим непрерывную игру Г = (X, У, F(x,t/)), в
которой
X = Y = [-1,1}, F(x,y) = -х2 4- 2аху + у2,
где а Е (0,1] — параметр. Функция F(x, у) строго вогнута по х, стро-
го выпукла по у и имеет единственную седловую точку (0,0). Функ-
ции наилучшего ответа игроков равны х(у) = ау, у(х) = —ах. Пусть
х1 Ф 0. Тогда процедура нащупывания по Курно порождает последо-
вательности {хк = (-1)*-1^^2®1}, {ук = (—l)fca2fc“"1x1}, сходящиеся
при 0 < a < 1 и расходящиеся при a = 1.
Следующий пример показывает, что для поиска равновесия по Нэ-
шу можно использовать необходимые условия оптимальности первого
порядка.
Пример 8.9. Модель дуополии. Две фирмы выпускают бесконечно-
делимый товар для продажи на рынке. Пусть х и у — количества то-
вара, выпускаемого первой и второй фирмами, а 0 < С2 - затра-
ты на его производство, т.е. себестоимости единицы товара для обеих
фирм. Цена товара р(х + у) зависит от общего выпуска х + у. Функции
выигрыша фирм F(x,y) = (р(х + у)-с1)х и G(x,y) = (р(х+у)-с2)у -
прибыли, полученные от реализации произведенной продукции.
Пусть цена на продукцию определяется по следующей формуле
р(х + У) = А?/(® + У)а> гДе 1 > « > 0. Тогда можно считать, что
X = [0, (F/ci)1/"], поскольку при х > (К/сх)1!01 первая фирма тер-
пит убытки при любой стратегии второй фирмы. Аналогично Y =
[0,(К/с2)1/а].
Заметим, что для полученной игры выполнены условия теоремы
8.2 и ситуация равновесия (ж0, у0) существует. Пусть х° > 0, t/° > 0.
Тогда равновесные стратегии х°, yQ находятся из системы уравнений
z п пч К aKxQ
Fx^x ,У } ~ \х° + у°)а ~С1~ (®° + у0)"*1 “ °’
G' (х° — %________с->_____аКу _ Q
» I® , У ) - + с2 + ^0)а+1 - и.
Складывая уравнения, находим сначала сумму
(2-о)Х\Ma
Cl + С2 ' ’
х°
§ 8. Ситуации равновесия в играх двух лиц
93
а затем
. о оч 1 /(2-а)К\(«+1)/а/ ч
(l •’’- (’+ (°- 1)С|'С‘+ <“-1)й)'
Поскольку у0 > 0, то необходимо Q + (а — 1)сг > 0. Если выполнено
неравенство ci + (а — 1)сг 0, то первая фирма является на рынке
монополистом и равновесные стратегии имеют вид:
° ,°=0.
Байесовское равновесие
Пусть в игре двух лиц Г = (X, У, F(x,j/,c), F(®,i/,c)) функции
выигрыша игроков F(x, у, с) и G(x, у, с) зависят не только от ситуации
(ж, 2/), но и от случайного вектора параметров с = (с1,сг) Е С. Пред-
положим, что множество С конечно и р(с), с Е С — вероятностное
распределение на С, известное всем игрокам. Пусть Ck — множество
значений, принимаемых параметром Ck, когда вектор с пробегает мно-
жество С. Игроку к перед выбором стратегии становится известным
значение <своего» параметра с*, к = 1,2. Поэтому стратегией первого
игрока является функция х : С\ -> X, а второго — функция у : С2 -» У,
Множество всех таких функций х обозначим через X, а функций у -
через У. Определим осредненные функции выигрыша игроков
F(x,y) = ]Tp(c)F(£(c),y(c),c), G(x,y) = ^p(c)G(f (с),у(с),с).
cGC cGC
Определение. Игра Г = (X, У, F(f,p), G(f,p)) и ситуации равно-
весия в ней называются байесовскими.
Пример 8.10. В продолжение примера 8.9 рассмотрим модель дуо-
полии с функциями выигрыша игроков F(x,p,ci) = (р(х + у) - ci)x,
G(x,y3C2) = (р(х + у) - С2)у и линейной функцией цены р(х 4- у) =
а — х — у. Пусть себестоимость Ci известна обоим игрокам, а себестои-
мость С2 представляет собой случайную величину, принимающую зна-
чения cj и с| с вероятностью 1/2. В этих предположениях стратегия
х игрока 1 является функцией-константой и совпадает с х. Положим
2/* = 2/(4)> г = 1,2. Тогда в байесовской игре функции выигрыша
игроков имеют вид
2 -2
Г(®>!/) = (а-х- (—2 —) -ci)®, G{x,y) =-^(а-х-у1-<^)у\
94
Глава П. Игры двух лиц
Найдем байесовскую ситуацию равновесия (ж0, (з/01>3/02)) при условии
а > 2max[ci,C2,C2]. Функции наилучшего ответа игроков имеют вид:
2/*(с2,ж) = max
г = 1,2.
Решая систему уравнений
= У\ * = 1,2,
находим ситуацию равновесия
01 1 । 7 1 1 о | 02 1 I 7 о 1 1 i
У =3\а + С1~1С2~1^]' у =з(а + С1-4С2_4С2 )•
§9. Ситуации равновесия в биматричных играх
Перейдем к смешанным расширениям биматричных игр Г, задава-
емых матрицами
Л = В = (bij)mxn*
Смешанные стратегии игроков здесь такие же, как и в матричной игре:
р Е Р, q 6 Q. Ожидаемые выигрыши игроков —
т n т п
а(р, g) = 22 52> в(р> я) = 22 52
i=l j=l i=l j=l
В результате получили смешанное расширение биматричной игры
r = (P1Q)A(p,g),B(p,g)).
Ситуации равновесия игры Г будем называть ситуациями равновесия
в смешанных стратегиях (или смешанными равновесиями по Нэшу)
исходной игры Г.
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
95
Множества смешанных стратегий Р и Q — выпуклые компакты
евклидовых пространств, а функции А(р,д) и B(p,q) билинейны. По
теореме 8.2 в игре Г существует ситуация равновесия с смешанных
стратегиях (р°,д°). Для нее по определению выполнены неравенства
VpeP A(p,q°) 3^. А(р°,q°), VqtQ В(р° ,q) B(p°,q°).
Рассмотрим свойства ситуаций равновесия в смешанных стратегиях,
аналогичные свойствам решений матричных игр.
Лемма 9.1. Для того чтобы ситуация (р°,д°) была ситуацией рав-
новесия в смешанных стратегиях биматричной игры Г, необходимо и
достаточно, чтобы было выполнено условие
^(^Q°) ^(р°>9°), г = 1,...,тп,
S(p0,j) B(p°,Q°), ; = 1,...,п.
Доказательство. Необходимость. Пусть (р°,д°) - ситуация равно-
весия. Тогда Vp Е Р Л(р,д°) А(р°,д°). Полагая р = (i-я чистая
стратегия) получим неравенства условия (*) для матрицы А. Анало-
гично выводятся неравенства для матрицы В.
Достаточность. Пусть ситуация (p°,Q°) удовлетворяет условию (*).
Возьмем любую смешанную стратегию р первого игрока, домножим
неравенства А(г,д°) А(р°,д°) на р, и сложим их. В итоге получим
неравенство А(р,q°) А(р°,д°). Аналогично, для любой стратегии q
второго игрока справедливо неравенство B(p°,g) В(р°,д°).
Теорема 9.1 (свойство дополняющей нежесткости). Пусть
(р°,д°) — ситуация равновесия в смешанных стратегиях биматричной
игры Г. Тогда
1)р° >0 => А(г,д°) = А(р°,д°);
2) > 0 => B(p°,J) = В(р°,д°).
Доказательство. Докажем утверждение 1). Предположим, что для
некоторого и р? > 0 и A(ii,Q°) < А(р°,д°). В условии (*) каж-
дое неравенство A(£,q°) А(р°,д°), г = 1,...,т, умножим на р® и
сложим их. Поскольку гi-e неравенство сохранится строгим, получим
A(p°,g°) < A(p°,g°) (противоречие). Утверждение 2) доказывается
аналогично.
Следствие. Пусть (р°, q°) — ситуация равновесия в смешанных стра-
тегиях биматричной игры Г. Тогда
1) A(i,q°) < A(p°,q°) =>• р° = 0;
2) В(р°, j) < B(p°,q°) =► = 0.
96
Глава П. Игры двух лиц
Теорема 9.2. Для того чтобы ситуация (р°,д°) была ситуацией
равновесия в смешанных стратегиях биматричной игры Г, необходимо
и достаточно, чтобы нашлись множества XQ С X, У0 С У и числа
vi,V2, для которых выполнены условия
$2 = гбХ°,
Е j€V° t^X°,
Е = э=о, jey°,
(9.1)
52 Piba =
»6Х°
Е V2,
i£X°
Е р? = 1,р?>о,
1»ех°
з е y°,
3 t Y°,
iex°.
(9-2)
Доказательство. Необходимость. Пусть (p°,g°) — ситуация равно-
весия. Положим Vi = A(p°,q°), V2 = £(р°»9°)>
x° = {iex|p?>o}, у° = {уеу|9?>о}.
Условия (9.1) и (9.2) вытекают из леммы 9.1 и теоремы 9.1.
Достаточность. Пусть для ситуации (р°, q°) выполнены условия (9.1)
и (9.2). Покажем, что тогда необходимо A(p°,q°) = vi. Действительно,
из (9.1)
52 = 52 =V1> * 6 х°-
jeY° j=i
Умножая эти равенства на р?, i Е Х°, и складывая их, получим
A(p°,g°) = vi. Аналогично доказывается, что B(p°,g°) = vj. По лемме
9-1 (р°,д°) является ситуацией равновесия.
Упражнение 9.1. Докажите, что в игре Г с матрицами
(2 0 1\ /1 0 2\
1 2 0 , В = 12 1 О
0 12/ \0 2 1/
существует единственное равновесие по Нэшу
(Р°,9°) = ((1/3,1/3,1/3), (1/3,1/3,1/3)).
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
97
Сформулируем условие, обеспечивающее равенство1 |Х°| = |У°|. В этол/
случае матрицы систем (8.7) и (8.8)
А = (aij)iGX°jGY°> В = (bij)iexQjeY°
являются квадратными.
Определение. Говорят, что система векторов (№ Е Em, i Е Х°,
|Х°| тп+1 имеет максимальный аффинный ранг, если найдутся такой
номер io е Х° и такре множество X1 С Х°, io t X1, (X1) = m, что
векторы i Е X1 линейно независимы. Например, при m = 2
система точек на плоскости тогда и только тогда имеет максимальный
аффинный ранг, когда точки не лежат на одной прямой.
Определение. Говорят, что матрица А (матрица В) находится в об-
щем положении, если система строк (столбцов) любой ее подматрицы
А = (<4j)iexojeY<> с |Х°| > |Г°| (подматрицы В = с
|Х°| < |У°|) имеет максимальный аффинный ранг.
Отметим, что для любых двух матриц А и В найдутся сколь угодно
поэлементно близкие матрицы А1 и В1, для которых выполнено усло-
вие общности положения. Это утверждение можно доказать, используя
непрерывность определителя матрицы как функции ее элементов.
Теорема 9.3. Пусть матрицы А и В игры Г находятся в общем
положении. Тогда для любой ситуации равновесия (р°, q°) в смешанных
стратегиях найдутся такие множества Х° С X, У0 С Y и такие числа
Vi, V2, что выполнены условия (9.1), (9.2) и |Х°| = |У°|.
Доказательство. Пусть (р°,д°) — произвольная ситуация равно-
весия в смешанных стратегиях. Тогда по теореме 9.2 найдутся такие
множества Х° С X, У0 С Y и такие числа vi, V2, что выполнены усло-
вия (9.1) и (9.2).
Докажем, что |Х°| = |У°|. Предположим, что |Х°| > |У°|. Рас-
смотрим подматрицу А — (<Lij)iex°jeYQi отвечающую системе урав-
нений (9.1). Из условия общности положения найдутся такой номер
г’о 6 Х° и такое множество X1 С Х°, io t X1, IX1] = |У°|, что матри-
ца (aij - aiQj)iex1jeY° “ невырожденная.
Из (9.1) получаем систему уравнений
ieX1>
jevo
1 Множества Х° и Y° содержат равное число элементов.
98
Глава П. Игры двух лиц
имеющую нулевое решение д® = 0, j Е У0, что противоречит равен-
ству в? = Аналогично приходим к противоречию, предполагая,
jer°
что |Х°| < |У°|.
Условие общности положения для матриц Ан В трудно проверить.
Отказавшись от него, можно получить утверждение, более слабое, чем
теорема 9.3.
Теорема 9.3'. В любой биматричной игре Г для некоторой ситу-
ации равновесия (р°,д°) в смешанных стратегиях найдутся такие мно-
жества Х°СХ, У0 СУ и такие числа vi,V2, что выполнены условия
(9.1), (9.2) и |Х°| = |У°|.
Доказательство. Для матриц А и В найдутся такие последова-
тельности матриц {А*}, {В*}, удовлетворяющих условию общности
положения, что поэлементно Ак -> А, Вк -> В.
Возьмем последовательность ситуаций равновесия {(р*, qk)} игр Г*
с матрицами Ак,Вк. По теореме 9.3 найдутся такие множества
Хк С X, Yk С У и числа vk, vkt что |Х*| = |У*| и выполнены условия
yer*
< Е “0 9* < vi»
Е $ = 1, > О,
ieXk, ' L Pibij = v2, 3 € Yk, »€X*
i$Xk, < E Pibij v2 » 3 ^Yk,
iexh
j е Yk, E Pi = 1, P? > 0, i e xk.
Без потери общности (выделяя соответствующие подпоследовательно-
сти) можно считать, что рк -> р°, qk д° и Хк = Х°, Yk = У0
при всех к. Переходя в последних уравнениях и неравенствах к преде-
лу при к -> оо, получим условия (9.1),(9.2) для смешанных стратегий
р°,д°. По теореме 9.2 ситуация (р°,д°) будет равновесием по Нэшу.
Рассмотрим алгоритм поиска ситуаций равновесия в смешанных
стратегиях. Перебираем квадратные подматрицы
А = (%)«€Х°>€У°» В = (bij)iexOjeY°
и решаем системы уравнений из (9.1),(9.2). Если решения этих систем
р°, i е Х°, vi и g?, j Е У0, V2 удовлетворяют неравенствам из
условий 9.1 и 9.2, то, добавляя компоненты pi = 0, i Х° и д7- =
О, j £ У0, получим ситуацию равновесия (р°,д°). Из теоремы 9.3'
вытекает, что за конечное число шагов алгоритм приводит к ситуации
равновесия.
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
99
Проиллюстрируем работу алгоритма для игр с матрицами разме-
ров 2 х п :
в =
А = (011
\tt21
а1п
°>2п
61п\
^2п/
В данном случае смешанная стратегия первого игрока имеет вид р =
(pi, 1 — Pi), где 0 pi 1. Перебирать нужно 2 х 2-подматрицы. Каж-
дая из них задается номерами двух столбцов Ji, 7’2- Запишем систему
(9-2)
Plblh + С1 - Р1)*2л = V2, Р?Ь1,а + (1 - Pl)&2j2 = «2,
ffllj + (1 «2, 3 / 31,32, O^L
Если эта система несовместна, то перейдем к другой паре ji,j2- Если
решение pj,vi системы (9.2) существует, то рассмотрим систему (9.1)
оу,9* + aih С1 “ 9*) = «1» °2л 9* + а2й (1 - «*) = vi, О О* < 1-
Пусть существует ее решение1 9*,vi- Определим стратегию
{9*, 3 = 31,
1-9*, 3=32,
О, 3/31,32,
и ситуация (р°,9°) будет смешанным равновесием по Нэшу.
Здесь алгоритму можно дать геометрическую интерпретацию. На
отрезке 0 pi 1 строим прямые = bijpi + Ьгу(1 - Pi), j =
1,...,п. Точки излома верхней огибающей семейства прямых lj соот-
ветствуют парам Ji,J2, для которых существует решение p?,V2 систе-
мы (9.2). Поэтому последовательно перебираем точки верхней огиба-
ющей и решаем систему уравнений из (9.1) с проверкой неравенств
О q* 1.
При п = 2 обе матрицы АиВ имеют размеры 2 х 2. В этом случае
прямые h(pi) = biiPi + &2i(l - Pi) и /2(pi) = &12Р1 + 622(1 - Pi) тогда
и только тогда пересекаются в точке 0 р? 1, когда выполнено
неравенство (рис. 9.1)
(622 — б21)(6ц — 612) 0.
(9.3)
ХВ противном случае переходим к другой паре
100
Глава П. Игры двух лиц
Если столбцы матрицы В (и соответствующие прямые li и l?) не
совпадают, то компоненты смешанной стратегии р°, удовлетворяющей
системе (9.2), можно записать в явном виде
о = &22 - *>21 0 = 611—612 ,9 4)
1 &22 — &21 + Ь11 — &12 ’ 2 J>22 — &21 + Ь11 — Ь12
Для системы (9.1), из которой вычисляется смешанная стратегия вто-
рого игрока, все рассуждения проводятся аналогичным образом. В ре-
зультате мы получим следующее условие на матрицу первого игрока,
обеспечивающее существование решения системы (9.1):
(<*22 — <*12)(<*11 — <*21) 0. (9.5)
Это условие можно выписать и сразу, исходя из следующих соображе-
ний: надо заменить второго игрока первым и учесть, что второй игрок
выбирал свои стратегии по столбцам, а первый выбирает их по стро-
кам. Поэтому,-чтобы выписать условие существования решения, надо
выписать условие (9.3), заменив одну матрицу на другую, а строки на
столбцы. Если строки матрицы А не совпадают, то компоненты сме-
шанной стратегии д°, удовлетворяющей системе (9.1), можно записать
в явном виде
0 <*22 “ <*12 о <*11 “ а21 7П
Qj — , Q2 — ' " ' ' ' • ^9.6)
<*22 — <*12 + <*11 “ <*21 <*22 — <*12 + <*11 — <*21
Пример 9.1. Модель технического контроля за качеством продук-
ции. Завод выпускает автомобили партиями по 100 штук. За каждую
автомашину завод получает от концерна 1.3 ед. оплаты, из которых
1 ед. составляют премиальные, а 0.3 ед. предназначены для операций
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
101
технического контроля (ОТК). Завод (игрок 1) может выпускать пар-
тию автомобилей либо с ОТК (стратегия 1), либо без ОТК (стратегия
2), увеличивая сумму премиальных. При использовании первой стра-
тегии итоговая сумма премиальных, полученная заводом за партию,
составляет 100 ед., при использовании второй стратегии — 130 ед.
С целью уменьшения производственного брака концерн решил при-
влечь независимую фирму, осуществляющую технический контроль
за качеством продукции. Стоимость проверки автомобиля для фирмы
составляет 0.12 ед. Если ОТК заводом не проводится, то автомобиль
неисправен с вероятностью 4/5. В случае обнаружения неисправностей
завод обязан их устранить, затратив 0.3 ед., и заплатить дополнитель-
но фирме 0.2 ед. из своих премиальных. Фирма (игрок 2) может либо
проверить партию (стратегия 1), либо отказаться от ее проверки (стра-
тегия 2).
Выигрышем первого игрока является ожидаемая сумма премиаль-
ных, полученная заводом от концерна за партию автомобилей с учетом
издержек на ОТК и возможных выплат фирме. Выигрышем второго
игрока является ожидаемая сумма выплат, полученных от завода при
проверке партии автомобилей с учетом затрат на эту проверку. Выпи-
шем матрицы игры
_ /100 100\ „ _ /-12 0\
^90 130/ ’ \ 4 0J *
Например, если завод не проводит ТК, а фирма проверяет партию, то
средние премиальные равны 100(0.8(4/5) + 1.3(1/5)) = 90 ед., а ожи-
даемая прибыль фирмы составит 100(0.08(4/5) - 0.12(1/5)) = 4 ед.
Нетрудно видеть, что в данной игре не существует ситуации равнове-
сия в чистых стратегиях. Условия (9.3) и (9.5) выполнены и ситуацию
равновесия находим по формулам (9.4) и (9.6)
(р°> 9°) = ((1/4,3/4), (3/4,1/4)).
Равновесные стратегии р° и д° могут быть реализованы в виде физи-
ческих смесей»: первый игрок <должен» 25 автомобилей каждой пар-
тии выпускать с ОТК, второй игрок должен проверять по 75 автомо-
билей каждой партии.
102
Глава Л. Игры двух лиц
Здесь Zi(pi) = 3pi, hipi) = 2, h(pi) = 3(1 - pi). Первая точка
верхней огибающей ( пересечение прямых I2 и 1з на рис. 9.2) имеет
абсциссу Pi = 1/3. Рассмотрим систему уравнений из 9.1
4g* + 5(1 - g*) = 2g* + (1 - g*) = vx.
Из нее находим q* = 2 > 1, что невозможно. Переходим ко второй
точке огибающей, лежащей на пересечении прямых li и I2. Она имеет
абсциссу Pi = 2/3. Система
2g* + 4(l-g*)=v1, 4g* + 2(1 - g*) = V1
имеет решение g* = 1/2, vi = 3. Поэтому
(P°,9°) = ((2/3,1/3), (1/2,1/2,0))
— искомая ситуация равновесия в смешанных стратегиях.
Отметим, что рассматриваемый алгоритм не всегда приводит к на-
хождению всех ситуаций равновесия.
Пример 9.3. Пусть
А_(о Л 2 2\
\1 о)’ \-1 з; •
Здесь пересечение прямых li и I2 дает стратегию р° = (1,0) с нуле-
вой компонентой (вырожденный случай). Решая систему уравнений
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
103
из (9.1), находим д° = (1/2,1/2). Полученная ситуация равновесия
не единственна. Действительно, запишем условие (9.1) для стратегии
(g*,l — д*) второго игрока с учетом свойства дополняющей нежест-
кости 1 - g* = vi, g* Vi, 0 д* 1. Отсюда 0 д* 1/2.
Таким образом, в данном примере получили целый отрезок ситуаций
равновесия {((1,0), (д*, 1 - д*)) | 0 д* 1/2}.
Для игры с матрицами размеров 3x3 поиск смешанных равнове-
сий по Нэшу уже требует достаточно большого перебора всевозмож-
ных подматриц исходных матриц А и В. Однако в некоторых случаях,
обсуждаемых в следующих двух параграфах, этот перебор можно зна-
чительно сократить.
Вполне смешанное равновесие
Определение. Ситуация равновесия называется вполне смешанной,
если все чистые стратегии используются с положительными вероятно-
стями.
В общих предположениях (для <почти любой биматричной игры»)
вполне смешанное равновесие может существовать, только если m = п.
Это интуитивно понятно: для нахождения смешанной стратегии вто-
рого игрока, в которой все компоненты отличны от нуля, требуется
решить систему уравнений из (9.1), содержащую m + 1 уравнение с
п + 1 неизвестным (число элементов во множестве Y плюс еще одно
неизвестное Vi). Следовательно, для существования решения должно
выполняться условие п т. Аналогично, смешанная стратегия перво-
го игрока удовлетворяет системе уравнений из (9.2), содержащей п + 1
уравнение с тп +1 неизвестным, и для существования решения должно
быть т п. В результате получаем, что для существования решения
обеих систем должно быть т = п, если обе системы невырожденные.
Выпишем для вполне смешанного равновесия (р°, д°) системы урав-
нений из (9.1) и (9.2) в матричном виде
Aq° = vie, (g°,e) = 1, p°B = V2e, (р°,е) = 1,
где е = (1,..., 1) е Ет.
Аналогичные системы (4.3) и (4.4) справедливы для крайних опти-
мальных смешанных стратегий из 4. (Там же см. и способ нахождения
решения этих систем.) Пусть матрицы А и В - невырожденные. Тогда
о _ А"1е 1 о _ еВ-1 1
V1 (А“1е,е)’ {еВ~\е}
104
Глава II. Игры двух лиц
Доминирование в биматричных играх
При поиске ситуаций равновесия в биматричных играх можно ис-
пользовать доминирование строк матрицы А и столбцов матрицы В.
Определение. Будем говорить, что в биматричной игре Г стратегия
первого игрока ii строго доминирует стратегию г'2 (ii > <2) на мно-
жестве Y С У, если V j Е Y a^j > ai2j. Будем говорить о слабом
доминировании (ц > гг), если V j Е Y a^j ai2j.
По смыслу при строгом доминировании стратегия ii приносит пер-
вому игроку больший выигрыш, чем стратегия как бы ни играл
второй игрок, используя стратегии из множества Y. Аналогично вво-
дятся понятия строгого и слабого доминирования для стратегий вто-
рого игрока.
Определение. Будем говорить, что в биматричной игре Г стратегия
второго игрока д строго доминирует стратегию д (д > J2) на мно-
жестве X С Ху если V i Е X bij2. Будем говорить о слабом
доминировании (д > д), если Vi Е X bij2.
Определим процедуру последовательного исключения строго до-
минируемых стратегий. Эта процедура состоит в построении двух
последовательностей вложенных множеств X = D Х2 2 * * • 2 Хь
и У = У! Э Y2 D • • • D Yk. При этом для I = 1, ...,k — 1 выполнены
следующие условия:
V «2 € 3 ii Е Х/+1 : д >-12 на Yi;
V д G Yi\Yi+i 3 ji E У5+1 : ji > д на Xi.
Мы описали процедуру последовательного исключения стратегий
формально. Посмотрим теперь, как эта процедура осуществляется на
практике.
Шаг 1. Полагаем Xi = X, У1 = У и строим множества %2, Уг-
Для этого выкидываем из множества Xi все строго доминируемые на
множестве У1 стратегии, т.е. мы ищем такие пары стратегий ii, г2, что
строка ii поэлементно больше строки г2 в матрице А : а<17- > a*2j, j =
1,..., п. Вычеркиваем все такие найденные строки д в обеих матрицах.
Аналогично ищем столбцы д в матрице В второго игрока, которые
строго доминируются другими столбцами ji : > Ь^-2, i = 1, ...,тп.
Вычеркиваем все такие доминируемые столбцы д из обеих матриц.
Предположим, что нам удалось вычеркнуть хотя бы одну строку или
столбец. Тогда переходим к шагу 2.
Шаг 2. После вычеркивания строк и столбцов на первом шаге мы
получили редуцированные матрицы, в которых множество строк — %2,
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
105
а множество столбцов — У2. При этом либо Х2 / Xi, либо У2 / Yi>
либо оба множества не совпадают с предыдущими. Может получиться
так, что в редуцированных матрицах окажутся новые доминируемые
строки и столбцы. Вычеркиваем их и переходим к следующему шагу.
Продолжаем процедуру до тех пор, пока не вычеркнем все, что
можно. Ниже доказано, что при этом сохраняются все смешанные рав-
новесия по Нэшу.
Определение. Будем говорить, что_множество Z = X х Y строго
доминирует множество Z = X х Y (Z > Z), если оно получено из
множества Z последовательным исключением строго доминируемых
стратегий, т.е. в описанной выше процедуре X = Х&, Y = У*. Бу-
дем говорить о слабом доминировании (Z > Z), если множество Z
получено из множества Z последовательным исключением слабо до-
минируемых стратегий.
Рассмотрим понятие доминирования в смешанных стратегиях.
Определение. Будем говорить, что смешанная стратегия р строго
доминирует чистую стратегию i на множестве У СУ (р >- i), если
V j Е У A(p,j) > Будем говорить о слабом доминировании на
множестве У С У (р > i), если V j Е У A(p,J) а^-.
Аналогично определяется доминирование в смешанных стратегиях
второго игрока.
Как искать строго доминируемую стратегию?
Пример 9.j. Рассмотрим игру Г с матрицами
(-4 0 2\ / 4 4 4\
4 -1 7 , В = 1-1 3 1.
-5 3 0/ \-4 “2 V
Найдём в каждом столбце первой матрицы максимальный элемент. Ес-
ли максимум единственный и стоит в некоторой строке, то она не мо-
жет быть строго доминируемой. Следовательно, строго доминируемой
может быть только первая строка. В чистых стратегиях доминирова-
ния нет. Исследуем доминирование в смешанных стратегиях. Возьмём
вторую и третью строки с коэффициентами 1/2. Видно, что эта ком-
бинация строго доминирует первую строку.
Введём понятия слабо и строго доминирующих множеств для сме-
шанных стратегий.
Определение. Будем говорить, что множество Z = X х У строго
доминирует множество Z = X х У в смешанных стратегиях (Z >- Z),
106
Глава II. Игры двух лиц
если оно получено из множества Z последовательным исключением
строго доминируемых по смешанному доминированию стратегий, т.е.
Z = Zk С Zk-i С • • • С Z\ — Z, Z{ = X/ х У/, 1 = 1,...,Л,
и выполнены условия
V i Е Xi\Xi+i 3 р Е Р .* р >- i на Yi и V s Xi+i р8 — 0;
V j Е УДУ/+1 3 q £ Q : q >- j на Xt h_V к£ У/+1 qk = 0.
Будем говорить, что множество Z = X х У слабо доминирует мно-
жество Z = X х У в смешанных стратегиях (Z >2 И), если оно получено
из множества Z последовательным исключением слабо доминируемых
по смешанному доминированию стратегий, т.е.
Z = Zk С С---С Zi = Z, Zi = Xi x Yh I = 1,
и выполнены условия
Vie 3 p E P : p>i на KjhVs^ Xj+i p8 = 0;
V j E УДУ1+1 3 g E Q : g >: j на X/ и V fc £ У/+1 qk = 0.
Как связаны различные отношения доминирования?
Вернёмся к примеру 9.4 и найдём доминирующие множества. Пер-
вую строку мы вычеркнули, так как она строго доминируема комби-
нацией второй и третьей строк. Рассмотрим вторую матрицу. Можно
заметить, что первый столбец строго доминируется, например, вторым
столбцом. Следовательно, первый столбец можно вычеркнуть. Полу-
чаем, что {2,3} х {2,3} >- Z.
Теперь сформулируем теорему о связи исключения доминируемых
стратегий и поиска смешанных равновесий по Нэшу.
Теорема 9.4. 1) Пусть множество Z = X х Y строго доминирует
множество Z = X х Y в смешанных стратегиях. Тогда для любой
ситуации равновесия (р°,д°) выполнены условия
»£Х=>р? = 0; ;£У=>д? = 0.
2) Пусть множество Z = X х Y слабо доминирует множество Z =
X х Y в смешанных стратегиях и (р, q) - ситуация равновесия в игре
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
107
с матрицами
— (а*Дех jeY и В — (bij)ieX
Определим смешанные стратегии
Тогда (р°,д°) “ ситуация равновесия в исходной игре Г.
Упражнение 9.2. Докажите теорему 9.4.
Обсудим смысл теоремы. Второе утверждение говорит о том, что
если редуцированная игра получена путем исключения слабо домини-
руемых стратегий, то каждому смешанному равновесию по Нэшу (р, q)
в этой редуцированной игре будет соответствовать смешанное равно-
весие по Нэшу (р°,д°) в исходной игре, определяемое по указанному
правилу. Первое утверждение теоремы показывает, что при вычерки-
вании строк и столбцов по строгому доминированию мы не теряем
равновесий по Нэшу.
Таким образом, при поиске всех равновесий по Нэшу можно вы-
черкнуть все строго доминируемые строки и столбцы и искать равно-
весие в редуцированной игре. Дополнив нулями найденное равновесие,
мы получим равновесие смешанное в исходной игре. Если необходимо
найти хотя бы одно смешанное равновесие по Нэшу, тогда можно вы-
черкивать строки и столбцы по нестрогому доминированию. Исклю-
чение строк и столбцов позволяет сократить перебор подматриц для
поиска равновесий по Нэшу. В примере 9.4 после исключения строго
доминируемых стратегий получим редуцированную игру
-1 Л ( 3 i\
з 0/’ 1-2 1Г
А =
В этой игре ситуация (р,д) = ((3/5,2/5), (7/11,4/11)) является един-
ственным смешанным равновесием по Нэшу. Следовательно, ситуация
(р°,д°) = ((0,3/5,2/5), (0,7/11,4/11)) является смешанным равновеси-
ем по Нэшу в исходной игре Г.
Пример 9.5. Рассмотрим игру Г с матрицами
/2 0 6 0\ /7 2 6 0\
3204 „ |0 1 0 4
03 70 ’ 02 23
\1 1 3 1/ \5 3 4 3/
108
Глава П. Игры двух лиц
Ищем максимальные элементы в столбцах первой матрицы. В чи-
стых стратегиях доминирования нет. Рассмотрим доминирование в
смешанных стратегиях. Видно, что четвёртая строка строго домини-
руется комбинацией второй и третьей строк с весами 1/2. Поэтому ее
можно вычеркнуть.
Теперь найдём максимальные элементы в строках второй (реду-
цированной) матрицы. Второй столбец строго доминируется комбина-
цией первого и четвёртого столбцов с весами 1/3 - е и 2/3 + е при
малых е > 0. Мы можем вычеркнуть второй столбец. Следовательно,
{1,2,3} х {1,3,4} >- Z. В результате исключения четвертой строки и
второго столбца получим следующие редуцированные матрицы:
(2 б 0\ _ /7 6 0\
3 0 4 , В= 10 0 4 .
0 7 0/ \0 2 3/
Повторяем процедуру исключения стратегий для редуцированных
матриц. Ищем максимальные элементы в столбцах первой матрицы.
В чистых стратегиях доминирования нет. Рассмотрим доминирование
в смешанных стратегиях. Вторую и третью строку исключить невоз-
можно, так как в них содержатся максимальные по столбцам элемен-
ты. Первая строка не содержит ни одного максимального по столбцу
элемента, однако, ее также невозможно исключить, так как она не
доминируется ни одной линейной комбинацией второй и третьей стро-
ки. Аналогично, невозможно исключить ни один столбец во второй
матрице. Следовательно, процедура исключения по доминированию
смешанными стратегиями завершена и {1,2,3} х {1,3,4} = Z.
Дескриптивный подход к понятию равновесия
Следует отметить, что использование смешанных стратегий с по-
мощью механизма бросания монет или других подобных механизмов
не характерно для реального поведения людей. Другая интерпретация
смешанных равновесий относятся к играм, соответствующим типич-
ным конфликтным ситуациям, в которых принимают участие много
индивидуумов. Такие ситуации описаны в примерах 8.1-4: множество
покупателей приходит на рынок и сталкивается с множеством продав-
цов; различные пары водителей сталкиваются у перекрестков и т.п.
Дескриптивный подход к равновесию в смешанных стратегиях пред-
полагает, что каждая такая стратегия описывает распределение инди-
видуумов в соответствующей роли. Например, если (р°, д°) — ситуация
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
109
равновесия в игре «продавец-покупатель» (пример 8.1), то на практи-
ке доля Pi продавцов ведет себя честно, а доля обманывает, доля
покупателей не проверяет купленный товар, а остальные проверяют
и т.п. Очевидно, что лишь если распределения по стратегиям в каж-
дой роли соответствуют смешанным равновесиям по Нэшу, то ни у
кого не будет стимула поменять стратегию поведения. Формально это
отражено в лемме 9.1 и теореме 9.1. Поэтому можно ожидать, что ста-
бильные распределения по стратегиям в реальных взаимодействиях
больших групп отвечают смешанным равновесиям по Нэшу.
Теоретическое обоснование этого тезиса дают динамические моде-
ли поведения (см. § 13). Примером модели поведения игроков может
служить метод Брауна фиктивного разыгрывания матричной игры,
изложенный в § 4. Аналогичный метод можно применять и для поис-
ка ситуаций равновесия в биматричных играх специального вида.
Определение. Игру Г с матрицами А и В назовем эквивалентной
антагонистической, если найдется такая матрица антагонистической
игры А1 = (<4;)тхп и найдутся такие числа fj, j = l,...,n, giy i =
l,...,m, что
°v = aij + fj> bij = -aij + 9i, i = 1,•••>«*» j = 1, •••»n. (9.7)
Заметим, что матрица А' и коэффициенты Д, gi здесь определяют-
ся неоднозначно. Действительно, если они удовлетворяют равенствам
(9.7), то для любого числа с матрица о элементами а'^ + с и коэффи-
циенты fj - с, gi + с также удовлетворяют (9.7).
Если игра Г эквивалентна антагонистической, то сумма ее матриц
представима в виде А 4- В = (gi 4- fj)mxn- Обратно, если такое пред-
ставление имеет место, то Г эквивалентна антагонистической игре с
матрицей
А — (aij — fj)mxn — (~bij 4" gi}mxn*
Упражнение 9.3. Пусть биматричная игра Г эквивалентна антаго-
нистической игре с матрицей Л', а /1 = 0. Выразите элементы матрицы
А' через элементы матриц Л и В.
Упражнение 9./. Пусть биматричная игра Г эквивалентна анта-
гонистической игре Г'. Для того чтобы пара (р°,д°) была седловой
точкой в смешанных стратегиях игры Г', необходимо и достаточно,
чтобы (р°,д°) была ситуацией равновесия игры Г. Докажите.
Определим итерационный процесс, аналогичный процессу Брауна
для матричных игр из § 4.
110
Глава П. Игры двух лиц
Шаг 1. Игроки выбирают произвольно стратегии ii ид.
Пусть за к повторений игры первый игрок выбрал стратегии ii,..., д, а
второй — стратегии д,д. При этом р(к) и q(k) — соответствующие
векторы частот.
Шаг к 4-1. Игроки выбирают стратегии и jk+i из условий
A(ik+i,q(k)) = max A(i,q(k)), B(p(k),jk+i) = тюс B(p(fc), j).
Каждый игрок выбирает свою чистую стратегию как наилучший ответ
на соответствующий вектор частот партнера. Если наилучших ответов
несколько, то выбирается любой из них.
Теорема 9.5. Пусть биматричная игра Г эквивалентна антагони-
стической. Тогда любая предельная точка (р°,д°) последовательности
{(p(fc),g(fc))} итерационного процесса является ситуацией равновесия
игры Г.
Упражнение 9.5. Докажите теорему 9.5.
Если биматричная игра Г не эквивалентна антагонистической, то
утверждение теоремы 9.5 может быть неверным. Вся оставшаяся часть
параграфа будет посвящена доказательству этого факта. В качестве
примера рассмотрим игру Г из упражнения 9.1 с матрицами
(2 0 1\ /1 0 2\
1 2 0 , 2 1 0 ,
0 12/ \0 2 1/
в которой существует единственное смешанное равновесие по Нэшу
(р°, 9°) = ((1/3,1/3,1/3), (1/3,1/3,1/3)).
Пусть € Е3 — вектор, i-я компонента которого равна 1, а две другие
равны нулю. Пусть с (к + 1)-го по (к + з)-й шаг первый игрок выбирал
чистую стратегию i. Тогда
р(к 4- з) = (кр(к) + sei)/(k 4- s) = (fc/(fc 4- s))p(k) + (з/(к + s))ei.
Нетрудно видеть, что точка р(к 4-1) при изменении t = 0,1,..., з, пе-
ремещается вдоль отрезка [р(з),е<] от точки р(з) до точки р(к 4- з).
Аналогичная формула может быть записана и для векторов частот
второго игрока.
Пусть на некотором к-м шаге (к > 1) возникла пара (д, д) = (1,1),
т.е. выполнены неравенства A(l,g(fc — 1)) A(i,q(k — 1)), i = 2,3,
В(р(к - 1), 1) £ В(р(к - 1) J), j = 2,3.
§ 9. Ситуации равновесия в биматричных играх
111
Тогда
A(l,gW) = (fe~ W, 9(^-1))+^(l,ei) =
к
_ (к- l)A(l,g(fc - 1)) + 2 (к - 1)А(2, q(k - 1)) + 1 ... ....
--------------ь---------->------------------------= A(2,q(k)).
Аналогично доказывается, что A(l,g(A;)) > A(3,q(k)). Поэтому необ-
ходимо й+i = 1- Далее,
ВДЦ,!) = (t-l)B(p(t-l),l) + S(e„l) =
к
_ (Л - 1)В(р(Л - 1), 1) + 1 (fc - !)В(р(к - 1), 2)
------------------------>----------------------= В{р(к),2)
и, следовательно, Jfc+i / 2.
Таким образом, на (к + 1)-м шаге возникнет пара (1,1) или (1,3).
Причем после нескольких возможных повторений пара (1,1) обязатель-
но перейдет в пару (1,3). Аналогично доказывается, что после пары
(1,3) процесс обязательно перейдет в пару (3,3) и т.д. по схеме
(1,1) -> (1,3) -> (3,3) (3,2) -> (2,2) -» (2,1) -> (1,1).
Пусть на (к + 1)-м шаге процесс перешел с пары (2,1) на пару (1,1)
(т.е. ik = 2, jk = 1, U+i = Л+i = 1), на (к + з + 1)-м шаге - с пары
(1,1) на пару (1,3), а на (к + s +1 + 1)-м шаге - с пары (1,3) на пару
(3,3):
к k+s fc+s+t
(2,1), (1,1),..., (1,1), (1,3),..., (1,3), (3,3),...
Тогда A(l,q(k)) > A(3,g(fc)) и
... /. kA(3,q(k)) + ааз1+ta33 ... .. ..
А(3, g(fc + « + <)) =---- - --------> A(l, q(k + s +1)) =
К “Г 8 “Г v
_ M(l,g(fc)) + зац + tai3 > M(3,g(fc)) + зац + ta13
к + з + t ' k + s + t
Отсюда получаем неравенство sa3i 4- ta33 зап + йиз или t 2з.
Итак, <пребывание» процесса в его остановке на паре (1,3) будет по
крайней мере в два раза продолжительнее, чем на непосредственно
предшествовавшей остановке на паре (1,1). Точно так же последующая
остановка на паре (3,3) по крайней мере в два раза продолжительнее,
чем на паре (1,3) и т.д.
112
Глава IL Игры двух лиц
Теперь рассмотрим, как меняются стратегии игроков. Если первый
игрок на некотором шаге использует стратегию 1, то в дальнейшем
он ее сменит на стратегию 3, потом стратегию 3 на стратегию 2 и
т.д. по следующему циклу: 1 —> 3 —> 2 —> 1. Разобьем рассматрива-
емый процесс на отрезки шагов постоянного использования первым
игроком своих чистых стратегий. Длина такого отрезка — это число
содержащихся в нем шагов.
Лемма 9.1. Длина отрезка постоянного использования первым иг-
роком любой чистой стратегии более, чем в три раза превышает число
шагов процесса, предшествовавших данному отрезку.
Доказательство. Без потери общности будем считать, что процесс
начинается с пары стратегий = (1,1). Пусть первый игрок =
1 + з раз подряд, начиная с первого шага, выбирал стратегию 1 ( один
раз при паре (1,1) и з раз при паре (1,3)). Далее, пусть он 13 = t + h
раз выбирал стратегию 3 (t раз при паре (3,3) и h раз при паре (3,2)).
Затем он 12 раза подряд выбирал стратегию 2. Тогда, согласно ранее
доказанному, з 2, t 2s, h 2t 4s => l3 = t + h 6s. Но
li = 1 + з 3s/2 /з/4. Следовательно, 13 4/1 > З/i. Аналогично
можно доказать неравенство l2 4I3 > 3(Zi +l3).
Итак, утверждение леммы доказано для начальных отрезков ис-
пользования стратегий 1,3 и 2. Завершим доказательство индукцией
по числу отрезков использования первым игроком своих стратегий.
Пусть ik = 3 и, начиная с (к + 1)-го шага, первый игрок 12 раз ис-
пользовал стратегию 2, затем с (fc+^+l)-1,0 шага он Ч раз использовал
стратегию 1 и далее стратегию 3. Тогда 1{ 412 (это доказывается ана-
логично неравенству li 412). Индуктивное предположение состоит в
выполнении неравенства 12 > Зк. Но тогда 41'2 > 3(l2 + fc).
Из леммы непосредственно вытекает, что если в момент к + 1 пер-
вый игрок меняет свою стратегию i (ik = i, ik+i / i)>т0 ^"я компонента
вектора р(к) больше 3/4.
Посмотрим, как перемещается точка р(к) в симплексе Р — множе-
стве всех смешанных стратегий первого игрока. Используя барицен-
трические координаты, симплекс Р можно изобразить на плоскости в
виде равностороннего треугольника (см. комментарий к рис. 3.1). На
рис. 9.3 точки М, N, и К разбивают стороны треугольника Р в от-
ношении 3:1. Отрезки [ei, М], [е2,К] и [e3,7V], пересекаясь, образуют
внутренний треугольник АВС. В течение нескольких начальных ша-
гов точка р(к) находится в вершине ei. Затем она перемещается вдоль
отрезка [ei,вз] до некоторой точки р', минуя при этом точку К. Далее
точка р(к) движется вдоль отрезка [р', е2] до некоторой точки р", пере-
§ 10. Иерархические игры двух лиц
113
секая отрезок [ei, М]. Затем она перемещается вдоль отрезка [р", ei] до
некоторой точки р'", пересекая отрезок [e3,N], и т.д. При этом точка
р(Л) никогда не будет находиться внутри треугольника АВС, содер-
Поэтому р° не является предельной точкой последовательности {p(fc)]
Аналогично доказывается, что д° = (1/3,1/3,1/3) не является пре-
дельной точкой последовательности {g(fc)}.
§10. Иерархические игры двух лиц
Здесь мы рассматриваем игры двух лиц, в которых игроки прежде,
чем выбрать стратегии х 6 X, у Е У, предварительно обмениваются
информацией о своих выборах. Такого рода игры описывают взаимо-
действие между верхним и нижним звеньями управления (начальни-
ком и подчиненным, центром и производителем продукции и т.п.) и
называются иерархическими. Будем считать, что первый игрок осу-
ществляет управление вторым игроком и делает сообщение первым.
Рассмотрим исходную игру двух лиц в нормальной форме
r = (X,y,F(x,2/),G(x,2/)),
на основе которой будем строить иерархические игры. При этом нас
будет интересовать наилучший гарантированный результат (выигрыш),
который может получить в игре первый игрок. В данном параграфе
предполагается, что функции F(x, у) и G(x, у) непрерывны на произ-
ведении X х У компактов метрических пространств.
Игра Г1. Первый игрок выбирает стратегию х Е X и сообщает ее
второму. Затем второй игрок выбирает стратегию у € У, зная х. При
114
Глава II. Игры двух лиц
этом будем использовать схематичную запись: х-+у. Смысл подобных
сообщений очевиден в тех случаях, когда интересы игроков близки.
Например, если вы решили с кем-нибудь встретиться, то сообщаете,
куда придете. Игра Г1 является неантагонистической одношаговой иг-
рой с полной информацией.
Экономическая интерпретация: первый игрок (центр) сообщает вто-
рому игроку (производителю продукции) цену х на продукцию. Вто-
рой игрок выпускает продукцию в количестве у, зная цену х.
Полезно записать игру Г1 в нормальной форме. Второй игрок ис-
пользует стратегии вида g : X —> У. Множество всех таких стратегий
обозначим через {<?}. Тогда
Г1 = <Х,Ш,Г(х,ДС(х,5)),
где F(x,g)d=F(x,g(x)), G(x,g)d= G(x,g(x)).
Найдем наилучший гарантированный результат Fi первого игрока
в игре Г1. Предположим, что второй игрок, зная ж, выбирает
у е Г(х) = ArgmjucGfoy),
т.е. максимизирует свою функцию выигрыша G(xyy). Первый игрок
знает функцию выигрыша второго игрока, ему также известно, что
второй будет выбирать стратегию из множества У (я:), но он не знает
конкретного выбора у 6 У(ж).
Величина
W(x) = min F(x,y)
1Г€У(х)
называется оценкой эффективности (гарантированным результатом )
стратегии х.
Заметим, что множество У(х) — непустое и является компактом.
Следовательно, min достигается и наилучший гарантированный ре-
у€У(х)
зультат имеет вид:
Fi = sup min F(x,y).
xexyeY(x)
Определение. Пусть задано е > 0. Стратегия первого игрока х?
называется е-оптимальной в игре 1\, если 1Г(а;с) Fi - е.
В дальнейшем мы приведем пример, в котором sup не достигается.
хех
Решить игру Гх — это значит найти величину F\ и ^-оптимальную
стратегию хе при заданном е > 0.
§ 10. Иерархические игры двух лиц
115
Игра Г2. Первый игрок перед выбором х имеет полную информа-
цию об у. Он ходит первый и сообщает второму игроку стратегию
вида f : Y -> X. Множество всех таких стратегий обозначим через
{/}. Схема сообщений в игре Г2 : f Л у А х = f(y).
Экономическая интерпретация: f(y) - величина премии, обещае-
мая центром за произведенную продукцию у.
Найдем выражение для наилучшего гарантированного результата
F2 первого игрока в игре Г2. Предположим, что второй игрок, зная /,
выбирает у из множества
У(/) = Argmax G(f (у), у).
yEY
Множество Y(f) может оказаться пустым, если функция f разрывна.
В случае пустого Y(/) будем считать, что второй игрок может выбрать
любую стратегию у Е У.1 Определим множество
y.fn = /n/), г(/)/0,
|г, У(/) = 0.
В сделанных предположениях второй игрок выбирает у Е Y*(f). Оцен-
ка эффективности стратегии f задается формулой
W(f) = ^^F(f(y),y).
Наилучший гарантированный результат первого игрока имеет вид
F2= sup inf F(f(y),y).
Определение. Пусть задано е > 0. Стратегия fe называется е-опти-
мальной в игре Г2, если W(f£) F^-t.
Поиск величины F2 по указанной формуле весьма сложен, так как
связан с решением оптимизационной задачи на множестве функций
{/}. Мы далее упростим формулу для F2 таким образом, чтобы опти-
мизация велась по исходным множествам X и Y.
Игра Г3. Пусть второй игрок играет с первым в игру Г$, т.е. со-
общает ему стратегию д : X -> Y (функцию ответа). Первый игрок
в игре Гз первым сообщает второму стратегию /1 : {#} -> X. Схема
сообщений в игре Гз : /1 А д -» х = fi(g) -> у = д(х).
1 Техническое условие, которое можно ослабить, например, предположив, что
второй игрок максимизирует функцию G(/(y),y) с точностью до е.
116
Глава IL Игры двух лиц
Экономическая интерпретация: fi(g) - величина ресурса, который
выделяет центр производителю продукции, когда тот сообщает ему
свои производственные возможности ( функцию g ).
Наилучший гарантированный результат первого игрока в игре Гз
имеет вид
Г3 = sup inf F(fi (р), g),
he{h}3^Y*(h)
Y(h), Г(Л)/0,
{<?}, H/1) = 0,
Y\h) =
Г(Л) = Arg max G(/i(p),p).
Вернемся к игре Г2. Найдем более простую формулу для ГЬ- По-
ложим Х(у) = ArgmaxF(x>y) — множество наилучших ответов перво-
хех
го игрока, Х*(у) =Arg max G(x,y) - множество наилучших ответов
хех(у)
первого игрока, благожелательных по отношению ко второму. Опре-
делим стратегию первого игрока /* : V у Е Y f*(y) Е Х*(у).
Лемма 10.1. Функция G(f*(y),y) полунепрерывна сверху в любой
точке yQ Е У, т.е. для любой последовательности {t/*}, сходящейся к
2/°, выполнено неравенство
~^G(f(yk),yk) G(f*(y°),y°). (10.1)
Доказательство. Пусть в некоторой точке yQ Е Y функция
G(f*(y), у) не является полунепрерывной сверху. Тогда найдется такая
последовательность {t/*}, сходящаяся к t/°, что
G' =f lim G(f*(yk),yk) > G(f*(y°),y°). (10.2)
Л-4ОО
Без потери общности считаем (выделяя соответствующую подпосле-
довательность), что f*(yk) -» х'. Из непрерывности функции G(x,y)
следует
G' = lim G(f*(yk),yk) = G(x',y°).
fc—>оо
Покажем, что х' Е X(yQ). Действительно, по определению функции /*
имеем V х Е X F(x,yk) F(j*(yk)>yk)> к = 1,2,.... Отсюда, переходя
в последнем неравенстве к пределу при к -> оо, получим
УхЕХ Р(х,у0)^Р(хг,у<>) => т'ЕХ(1/°).
§ 10. Иерархические игры двух лиц
117
Итак, неравенство (10.2) можно записать в виде
G' = G(x',y°) > С(Г(г/°),У°).
Оно противоречит тому, что /*(у°) 6 Х*(у°).
Нам потребуется следующие величины и множества:
G2 = maxminG(a:,t/) — наилучший гарантированный результат
yeY xex
второго игрока при условии, что первый применяет по отношению к
нему стратегию «наказания» /н : fH(y) €Argmin <7(ж, у) V у € У;
хех
Е =Argmaxmin G(x, t/) - множество максиминных стратегий вто-
yeY хех
рого игрока;
D = {(x,y)eXxY | G(x,y) >б2};
sup F(x,y), D/9,
К =
-оо,
М = min max F(x, у).
уеЕхех v '
D = 0;
Теорема 10.1 (Гермейер). В сделанных предположениях наилуч-
ший гарантированный результат первого игрока в игре Г2 равен
F2 = max[F,M],
Замечание. Для нахождения F2 необходимо решить оптимизаци-
онные задачи на исходных множествах X и Y. Оптимальные (или е-
оптимальные) стратегии, обеспечивающие тах[Х, М], будут указаны в
первой части доказательства теоремы. Результат max[K, М] довольно
велик. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим частный случай. Допу-
стим, что существует пара (ж0, t/°) EArg max F(x, у) П D. Тогда
(®,у)€ХхУ
К = sup F(x,y) = max F(x,y) = F2>
(x,y)eD (xty)eXxY
т.е. результат F2 равен максимуму функции F(x,y) на X x У.
Доказательство. Первая часть. Построим стратегии первого игро-
ка, обеспечивающие ему результат max[F, М]. Рассмотрим два случая.
1) К > М => D / 0. Покажем, что для всякого е > 0 найдется
такая стратегия /е, что W(f£) К—е. По определению верхней грани
К найдется такая пара (хе,уе) Е D, что F(xe,ye) К - е. Положим
ч _ I* , У = У,
J \У) ) гН/ \ / е
I/ (у), у£у£-
118
Глава Я. Игры двух лиц
Покажем, что W(f£) = F(x£,y£) К — е. Действительно, второй иг-
рок, получив сообщение о /с, выберет у = у£, так как в противном слу-
чае он получит выигрыш G(/H(y),з/) = minG(®,2/) G2 < G(x£,y£).
хЕХ
Поскольку второй игрок максимизирует свой выигрыш, он выберет
у = уе,т.е. Y*(fe) = {ye}.
2) К М. Укажем стратегию /°, для которой W(f°) > М. Поло-
ЖИМ
/О/ \ _ I f (s0> У &
! W " {/"(»>. vtE,
где стратегия /* была определена выше перед леммой 10.1. Получив
сообщение о /°, второй игрок выберет у Е Е. Действительно, если
у $ Е, то G(/H(y),з/) = minG(x, у) < G2- Далее, при у Е Е
хЕХ
= О(Г(у),у) min G(x,у) = G2.
хЕХ
Функция G(/*(j/),y) полунепрерывна сверху на компакте Е, поэтому
Г*(/°) = ArgmmcG(r(y),y) С Е.
у€&
Отсюда
W(f°) = ^no}F(r(y),y)^
> minF(f*(y),y) = minmaxF(®,y) = М.
уЕЕ уЕЕ хЕХ
Вторая часть. Докажем, что для произвольной стратегии f Е {/}
W(f) тах[К, М]. Имеем
supG(/(y),j/) maxminG(x,i/) = G2.
уеу yEY X^x
Рассмотрим два случая.
1) supG(/(y),y) > G2.
veY
В этом случае найдется такая стратегия второго игрока
yQ Е У*(/), что G(f(yQ),yQ) > G2, т.е. (/(у0),2/°) 6 Р. Действительно,
если sup достигается, то Y (/) / 0 и yQ возьмем реализующим sup.
y£Y yEY
Если sup не достигается, то У*(/) = Y и стратегия yQ найдется по
yEY
определению sup. Отсюда
VEY
W(f) = inf F(f(y),y) F(f(y°),y0) < К $ тах[К,М].
yEY'(f)
§10. Иерархические игры двух лиц
119
2) supG(/(y),y) = G2.
ver
Покажем, что Е С У*(/). Действительно, пусть у Е Е. Тогда
G2 = minG(x,y) G(f(y),y) 5$ supG(/(j/),y) = G2.
®€X yeY
В этой цепочке неравенства выполнены как равенства. Отсюда
!/6Г(/)иЕСГ(/). Итак,
W(f) = 9^F(f(y),y)^
inf F(f(y),y) Sj minmaxF(x,y) = M maxf/C,ЛГ].
yEE y&E х€Х
Сформулируем аналогичный результат для игры Гз. Напомним,
что в игре Гз второй игрок выбирает у, когда выбор стратегии х пер-
вого ему известен. Второй игрок использует стратегию g : X -> К
Определим следующие величины и множество:
G3 = minmaxG(z, у) = maxG(xH,t/) — наилучший гарантирован-
иях yeY yeY
ный результат второго игрока, когда первый применяет стратегию на-
казания жн;
D' = {(ж,у) Е X х Y | G(x,y) > С73};
sup F(x,y), D‘ /0,
К1 =
-00, D' = 0.
Тогда F3 = max[K',Fi] (см. упражнения 10.1-2). Если Fi > К\
то первый игрок применяет е-оптимальную стратегию игры Гь Пусть
Fi < К1. В этом случае найдется такая пара (хе,уе) Е Р7, что выпол-
няется неравенство F(xe, уе) К' — е.
Упражнение 10.1. Докажите, что для стратегии
= 9^ = у£’
1 (9) Ьн, Р(хе)/УЕ,
оценка эффективности К1 — е.
Упражнение 10.2. Докажите, что для любой стратегии Д первого
игрока в игре Г3 W(fi) max[R7,Fi].
Упражнение 10.3. Докажите, что в игре Г1 в нормальной форме
всегда существует ситуация равновесия.
Упражнение 10./. Докажите, что Fi F3 F2.
120
Глава П. Игры двух лиц
Пример 10.1. Решим игры Г1,Г2,Гз для игры Г с матрицами
/3 6 8\ /7 4 3\
А= 4 3 2 , В= 7 7 3 .
\7 -5 -1/ \4 б б/
aii = 1^з= Argi“x36<i’
Игра Ti-Fi = max
и /°0) = *
и /°(5) = '
Игра Г1. Fi = max min
1^з7еУ(»)
РИ(1) = IV(2) = 3, WT(3) = -5 => Fi = 3 и i° = 1,2 - оптимальные
стратегии.
Игра T2. G2 = max = 4, E = {1,2}, D = | Ъц > 4},
К = max aij = 4, M = min max a„ = 6 => Fz = M = 6
(ij)eD 3 1^21^3 3
3, J = 1,
1 2 3 — оптимальная стратегия.
Игра Гз. G3 = ттз max Ьц = 6, D' = {(t, j) | dy > 6},
= max aij = 4 > Fi = 3 => F3 = K' = 4
2, 5(2) = 1,
3, p(2)/l, оптимальная стратегия.
Пример 10.2. Решим игры Г1,Г2,Гз для игры Г :
Х = У = [0,1], F(x,y) = 3x/4 + y/2, С(х,у) = (х-у)2.
ИграГ1. Fi = sup min (3®/4 + j//2),
{{1}, 0 х < 1/2,
{0,1}, х = 1/2,
{0}, 1/2 < х 1.
§ 10. Иерархические игры двух лиц
121
Здесь Fi = 7/8, х£ = 1/2 —4е/3 — e-оптимальная стратегия. Отметим,
что внешняя верхняя грань в выражении для Fi не достигается.
Игра Гг- 62 = ^max ^min^^ - у)2 = О, D = {(х,у) | (х - у)2 > 0},
К = 5/4 = F2, (Xе, уе) = (1 - 4е/3,1), f'(y) = Г*’ У =
У Ф Уе,
— е-оптимальная стратегия.
Игра Гз. б3 = min max (х - у)2 = 1/4, жн = 1/2,
D' = {(я,у) | |аг - у\ > 1/2}, К1 = sup (Зж/4 + у/2) = 1,
(xty)eDf
Fi = 7/8 => F3 = К\ (х\уе) = (1,1/2 - 2е) Е К\
1,
1/2,
Ш =
р(1) = 1/2 — 2е,
, ч , - е-оптимальная стратегия.
<?(1)/1/2-2е,
Пример 10.3. Игра перестрахования. Перестраховщик (игрок 1) и
страховщик (игрок 2) заключают договор перестрахования. Пусть Z —
суммарное возмещение страховщика клиентам, представляющее собой
случайную величину с экспоненциальной плотностью распределения
z 0. При заключении договора страховщик выбирает пре-
дел убыточности у Е Y = {у Е Е1 | у 0} : если Z > у, то сумму
Z - у возмещает перестраховщик. Отметим, что при у = 0 страховщик
полностью передает оплату исков перестраховщику. Величина
h(y)d=Emax[Z - у, 01 = [(z - y)-e~z/mdz = те~^т
J т
у
- средняя величина выплат перестраховщика. Стоимость договора пе-
рестрахования равна d(x,y)d— (1 + x)h(y\ где х 0 - коэффициент
надбавки за риск, устанавливаемый перестраховщиком. Будем счи-
тать, что оплата договора осуществляется страховщиком из фонда
страховых платежей величины А > т. Договор может быть заклю-
чен лишь при выполнении неравенства d(x, у) + у А. Положим
Y(x) = {у е Y I d(x,y) + у А}, X = {х 6 Е1 | х > 0, Y(x) £ 0}.
Если у Е У (ж), то договор заключается, выигрыш перестраховщика
равен его ожидаемой прибыли F(®, у) = xh[y)b а выигрыш страховщи-
ка — гарантированной величине остатка фонда страховых платежей
G(xby) = А - d{x^y) - г/, соответствующей случаю Z у.
122
Глава II. Игры двух лиц
Решим игру Г1> Напомним, что сначала первый игрок сообщает
второму стратегию х 6 X. Затем второй игрок выбирает стратегию
у е Y(x) = Arg max G(x,y). Пусть x € X. Максимум
yeY(x)
max G(x, y) = max [A - (1 + x)me~y^m -y\ = A-m-m ln(l + x)
yeY(x) yeY(x)
достигается в единственной точке у(х) = пг1п(1+я;). Отсюда вытекает,
что Y(х) / 0, если А - т - т 1п(1 + х) 0. Следовательно, X = [0, а;0],
где xQ d— е^А~т^т — 1. Отсюда
„ z хт х°т
Fi = maxF(x,y(x)) = max -----= -----
хех v ” o^z°l + х l + xQ
их0 - оптимальная стратегия первого игрока.
Упражнение 10.5. Рассмотрите игру двух фирм из примера 8.9
при а = 1 и решите игру Г1. Сравните наилучший гарантированный
результат первого игрока Fi с выигрышем, который он получает в
ситуации равновесия.
Равновесие по Штакельбергу
Определим теперь равновесие по Штакельбергу игры Г1. Положим
У* (х) =Arg max F(xt у) - множество наилучших ответов второго иг-
yeY(x)
рока, благожелательных по отношению к первому.
Определение. Ситуация (®°,у°) называется равновесием по Шта-
кельбергу, если
xQ е Arg max max F(x,y)9 yQ eY*(xQ).
xexyeY(x) 4 v '
Здесь предполагается, что второй игрок, получив информацию о х,
использует свой наилучший ответ, благожелательный по отношению к
первому игроку.
Покажем, что в сделанных предположениях равновесие по Шта-
кельбергу существует. Для этого определим стратегию второго игрока
д* : V х е Y д*(х) € Y*(x). По лемме 10.1 функция F(x,g*(x)) полу-
непрерывна сверху на X. Следовательно, она достигает на компакте
X наибольшее значение в некоторой точке xQ. Тогда при у° = <7* (я0)
ситуация (х°,у°) будет равновесием по Штакельбергу.
§ 10. Иерархические игры двух лиц
123
Упражнение 10.6. В условиях примеров 10.1 и 10.2 найдите равно-
весия по Штакельбергу.
Отметим, что использование равновесия по Штакельбергу требует
от игроков сотрудничества, которое, как показывает следующий при-
мер, не всегда возможно. В игре с матрицами
ситуация (2,2) является единственным равновесием по Штакельбергу.
Однако договориться о ней игрокам будет очень сложно, поскольку в
ситуации (1,2) (возникающей при решении игры 1\) выигрыш второго
игрока существенно больше, чем в (2,2), и он едва ли согласится на
ситуацию (2,2).
Комментарий и библиография к главе II
§ 8. Понятие ситуации равновесия еще в 19-м веке использовалось
О. Курно в частном случае при анализе модели дуополии [59]. Опре-
деление ситуации равновесия для игры многих лиц принадлежит Дж.
Нэшу [76]. В 1994 году Джон Нэш получил Нобелевскую премию по
экономике. Критический разбор понятия ситуации равновесия (в част-
ности, анализ игр «семейный спор» и «дилемма заключенного») сде-
лан Р.Д. Льюсом и X. Райфой [61]. Пример 8.3 является модификацией
примера «перекресток» из [71].
Теорема 8.1 о неподвижной точке принадлежит Л. Брауэру [18].
Комбинаторное доказательство этой теоремы, использующее лемму
Э. Шпернера [107], получено Б. Кнастером, К. Куратовским и С. Ма-
зуркевичем [53] (доказательство теоремы см. в Приложении и в [79]).
Теорема существования ситуации равновесия в игре многих лиц с
вогнутыми функциями выигрыша (см. также следующую главу) дока-
зана X. Никайдо и К. Исода [75]. Пример 8.6 является частным случаем
модели О. Курно [59]. Байесовские игры введены Дж. Харшаньи [92].
Пример 8.10 взят из [91].
§ 9. Термин «биматричная игра» был предложен Н.Н. Воробьевым
(см. [34], где содержится систематическое изложение теории бескоали-
ционных игр). Теорема существования ситуации равновесия в бимат-
ричных играх доказана Дж. Нэшем [76]1. Там же приведены свойства
*Даже для более общих игр с конечными множествами стратегий игроков (см.
главу III)
124
Глава П. Игры двух лиц
ситуаций равновесия в смешанных стратегиях. Условие общности по-
ложения для биматричных игр использовали К. Лемке и Дж. Хоусон
[60] при разработке алгоритма поиска всех ситуаций равновесия. Тео-
рема 9.3 имеется в книге Э. Мулена [71]. Изложенный алгоритм поиска
ситуаций равновесия биматричной игры является весьма упрощенным
вариантом алгоритма К. Лемке и Дж. Хоусона [60, 79].
Концепция ситуации равновесия, основанная на исключении доми-
нируемых стратегий, предложена Э. Муленом [71]. Доказательство от-
сутствия сходимости итерационного процесса к ситуации равновесия
игры из примера 9.1 принадлежит Л.С. Шепли [103].
§ 10. Основы теории иерархических игр с использованием принципа
гарантированного результата для игрока-лидера (игрока 1) заложены
Ю.Б. Гермейером [37, 38]. В частности, Ю.Б. Гермейеру принадлежит
центральный результат этот теории — теорема 10.1. Аналогичный ре-
зультат для игр Гз (упражнения 10.1 и 10.2) получен Н.С. Кукушки-
ным [57]. Экономическая интерпретация иерархических игр предло-
жена И.А. Вателем и Ф.И. Ерешко [28]. Определение равновесия по
Штакельбергу сформулировано в [95]. Обзор работ по иерархическим
играм см. в [52].
ГЛАВА III. ИГРЫ МНОГИХ ЛИЦ
§11. Равновесие по Нэшу
Пусть задано множество А участников игры, или игроков. Игрок а
имеет в своем распоряжении стратегии за из множества стратегий Sa.
Каждый из игроков выбирает стратегию, не зная выборов партнеров.
В результате в игре реализуется набор стратегий
s = (sa, aeA)es = ®sa,
аЕА
называемый ситуацией. У каждого игрока а имеется функция вы-
игрыша ua(s), определенная на множестве ситуаций S, которую игрок
стремится, по возможности, максимизировать. Таким образом, игра
многих лиц в нормальной форме задается совокупностью
Г = (A, Sa, иа(з), а Е А).
Важнейшим принципом принятия решений в конфликтных ситуациях
является понятие равновесия по Нэшу.
Определение. Ситуация s = (sa, а Е А) называется ситуацией рав-
новесия (равновесием по Нэшу) игры Г, если
V а Е А шах ua(s||sa) = иа(з).
8a^Sa
Стратегии составляющие ситуацию равновесия, будем называть
равновесными.
Выражение s||sa читается <з при условии за*. Оно обозначает ситу-
ацию, в которой все компоненты, кроме стратегии игрока а, совпадают
с компонентами ситуации а, а стратегия игрока а есть за. Определе-
ние равновесия показывает, что стратегия s°, входящая в ситуацию з,
является оптимальной для игрока а при фиксированных стратегиях
всех остальных игроков. Таким образом, можно сказать, что равнове-
сие по Нэшу — это такая ситуация, от которой ни одному из игроков
невыгодно отклоняться индивидуально.
Опишем класс игр, для которых равновесие всегда существует.
Определение. Функция ft(z), определенная на выпуклом множестве
Z евклидова пространства, называется квазивогнутой, если для лю-
бых точек zf)Z" Е Z и любого числа А Е (0,1) выполнено неравенство
Л(А/ + (1 ~ А)/') minpi(z'), Л(?')].
126
Глава III. Игры многих лиц
Нетрудно видеть, что любая вогнутая функция является квазивогну-
той. Примером квазивогнутой функции на прямой может служить
произвольная возрастающая (или убывающая ) функция.
Определение. Пусть z° 6 Z. Для функции Л(г), определенной на Z,
множества вида Z+(z°) = {z Е Z | h{z) Л(г0)} называются множе-
ствами Лебега.
Упражнение 11.1. Jljia того чтобы функция h(z) была квазивогну-
той на выпуклом множестве Z, необходимо и достаточно, чтобы ее
множества Лебега Z+(z°) были выпуклыми для любых точек z° Е Z.
Докажите.
Пусть Z\ и Z% — выпуклые компакты евклидовых пространств.
Точечно-множественное отображение Ф : Z\ -> 2Z2 сопоставляет каж-
дой точке z е Zi подмножество Ф(г) С Z2.
Определение. Точечно-множественное отображение Ф : Zi -> 2^2
называется выпуклозначным, если для каждой точки z Е Zi мно-
жество Ф(г) выпукло. Оно называется замкнутым, если его график
{(z,j/) | z Е Zi, у Е Ф(г)} — замкнутое множество, т.е. множество Zi
замкнуто и для любых последовательностей {zn Е Zi} и {уп Е Ф(гл)},
таких, что zn -> z° и уп -> yQ, выполнено у° Е Ф(г°).
В частном случае Ф может быть просто отображением из Z в Z.
Тогда свойство замкнутости отображения Ф совпадает со свойством
непрерывности. Таким образом, предыдущее определение обобщает
понятие непрерывности для точечно-множественных отображений.
Теорема 11.1 (Какутани). Пусть Z — выпуклый компакт конеч-
номерного евклидова пространства, а Ф : Z —> 2Z — замкнутое вы-
пуклозначное точечно-множественное отображение. Тогда существует
неподвижная точка z° отображения Ф, т.е. z° Е Ф(г°).
Докажем теорему для Z С Е1. В соответствии с условием теоремы
Z — отрезок [а, Ь]. Рассмотрим множество
Z = {z Е Z | шахФ(г) z}.
Оно содержит точку а. Пусть z° = supZ. Покажем, что z° Е Ф(г°).
Действительно, тахФ(г°) z°, так как Ф(г) — замкнутое отображе-
ние. Докажем, что min Ф(г°) z°. Если z° = b, то утверждение очевид-
но. Пусть zQ < Ь. Рассмотрим последовательность {z*}, сходящуюся к
z° и для которой zk > zQ, k = 1,2,.... По определению z° для этой по-
следовательности max Ф(г*) < zk, k = 1,2,.... Поэтому найдется такая
§ 1L Равновесие по Нэшу
127
последовательность {ук Е Ф(г*)}, что ук < zk, к = 1,2,.... Без поте-
ри общности можно считать, что последовательность {у*} сходится к
yQ z°. Поскольку Ф(г) — замкнутое отображение, то yQ Е Ф(з°) и
тшФ(г°) z°. Отсюда z° Е Ф(г°).
Доказательство теоремы Какутани в общем случае основано на те-
ореме Брауэра и содержится в Приложении (ПЗ).
Теорема 11.2. Пусть в игре Г множества Sa — выпуклые ком-
пакты евклидовых пространств, а функции ua(s) непрерывны на S и
квазивогнуты по за (при любых фиксированных sb Е Sb, b Е 4\{а}).
Тогда в игре Г существует ситуация равновесия.
Доказательство. Определим точечно-множественное отображение
Ф : S -> 2s следующим образом: для любой ситуации з Е S положим
Ф($) = ® Фа(з\ b Е Л\{а}),
аеА
где
Фа(зь, b Е 4\{а})*=^ Arg^max иа(з||Ла)
- множество наилучших ответов игрока а на стратегии sb, b Е А\{а},
остальных игроков. Нетрудно проверить, что отображение
Ф“: Q S6->2s“
ьед\{а}
замкнуто (см. замечание к теореме 1.2) и выпуклозначно. Поэтому
Ф удовлетворяет условиям теоремы 11.1 и имеет неподвижную точку
з Е Ф(з), которая и будет равновесием по Нэшу в игре Г.
Смешанное расширение игры
Пусть в игре Г множества стратегий игроков конечны:
Sa = {1, ...,тпа}, а Е А. Стратегии за, входящие в Sa, называются чи-
стыми стратегиями игрока а. Смешанная стратегия игрока а опреде-
ляется как вероятностное распределение тга = (тг®,...,тг^в), где тг*а —
вероятность выбора чистой стратегии за Е Sa в качестве реальной
стратегии игрока а. Множество смешанных стратегий игрока а — это
симплекс
та
П“ = {тг“ = (7Г?,I £ 0, = 1,
з“ = 1
128
Глава HL Игры многих лиц
Ддя заданного набора стратегий
7г = (тг“, а 6 А) 6П = 0П“
а£А
обозначим р(з|тг) П пза “ вероятность реализации ситуации з =
aQA
(sa, a G А). Тогда математическое ожидание выигрыша игрока а за-
дается функцией иа(тг) = $2 р(«к)на(з). Таким образом, смешанное
ses
расширение игры Г в нормальной форме имеет вид
Г = (А, Па, иа(тг), аеА).
Ситуации равновесия игры Г будем называть ситуациями равновесия
в смешанных стратегиях игры Г или смешанными равновесиями по
Нэшу. Каждая функция иа(тг), очевидно, непрерывна по тг и линейна
по тга при любых фиксированных тгь, b € А\{а}. Поэтому из теоремы
11.2 вытекает следующий результат.
Теорема 11.3. В любой игре Г с конечными множествами страте-
гий существует смешанное равновесие по Нэшу.
Для анализа и вычисления смешанного равновесия по Нэшу полез-
но следующее утверждение.
Теорема 11.4. Для того чтобы ситуация тг = (тга, а 6 А) была
смешанным равновесием по Нэшу, необходимо и достаточно, чтобы
V a Е А max ua(7f||sa) = иа(тг).
Более того, справедливо равенство ua(;r||sa) = ив(тг) для любой такой
стратегии за, что > 0.
Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказатель-
ствам леммы 9.1 и теоремы 9.1.
Пример 11.1. Каждое из трех предприятий, использующих воду из
природного водоема, располагают двумя стратегиями: строить соору-
жения для полной очистки отработанной воды (стратегия 1) или же
сбрасывать ее через имеющиеся очистные сооружения без биологиче-
ской очистки (стратегия 2). Предполагается, что особенности водоема
и технологических процессов таковы, что в случае, когда не полностью
очищенную воду сбрасывает не более одного предприятия, вода в во-
доеме остается пригодной для использования и предприятия убытка
§ 1L Равновесие по Нэшу
129
не несут. Если же не полностью очищенную воду сбрасывают не ме-
нее двух предприятий, то каждый пользователь воды несет убытки
в размере трех единиц. Найдем все ситуации равновесия в чистых и
смешанных стратегиях описанной игры трех лиц. Исходная игра Г
представлена в следующей таблице:
Табл. 11.1.
S1 в2 з3 u2(s) t?(s)
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 -1 -1 -1 -4 0 -3 -3 -3 -1 -1 0 -3 -1 -4 -3 -3 -1 0 -1 -3 -1 -3 -4 -3
Построим смешанное расширение Г. Пусть ра Е [0,1], а = 1,2,3, -
вероятность, с которой предприятие а выбирает стратегию 1. Возмож-
ные ситуации в игре Г составляют множество
п = {тг = (р^.р3) I р“ 6 [0,1], а = 1,2,3}.
Функция выигрыша первого предприятия в игре Г
u1 (it) = рЧ-р2р3 - р2(1 - Р3) - (1 - р2)р3 - 4(1 - р2) (1 - р3)]+
+(1 - p^HHi - р3) - 3(1 - р2)р3 - 3(1 - р2)(1 - р3)] =
= (-6р2р3 + Зр2 + Зр3 - 1)рх + Зр2р3 - 3 = ^(p’.p’Jp1 + ^(р’.р3).
Аналогично,
u2(ir) = к2{рг,р3)^ +/2(р1,р3), и3(тг) = ^(р1,?2)?3 + /3(р1,р2),
где/^.р3) = 3р2р3-3, ^(р^р3) = 3р1р3-3, ^(р^р2) =3рхр2-3,
к1(р2,р3) = -6р2р3 4- Зр2 + Зр3 - 1, Л2(р\^) = -бр1?3 + Зр1 + Зр3 - 1,
^(Р1)?2) = -бр1?2 + Зр1 + Зр2 - 1.
Пусть jf = (р°, а = 1,2,3) — произвольная ситуация равновесия. По-
ложим fc1 = ^(р2,?3),^ = ^(р1,?3), Л3 = ^(р1,^.
Заметив, что если к > 0, то р“ = 1, а если к < 0, то р“ = О,
рассмотрим все возможные случаи.
130
Глава HL Игры многих лиц
Пусть > 0, а = 1,2,3; тогда ра = 1 и ка = — 1 - противоречие.
Пусть F* > 0, a = 1,2, к < 0. В этом случае ситуация равновесия
(1,1,0). Аналогично, (1,0,1) и (0,1,1) - также ситуации равновесия.
Пусть к1 > 0, fc2,fc3 < 0. тогда р1 = 1 и р2 = р3 = 0, к1 = — 1 —
противоречие. Аналогично, нет и других ситуаций равновесия, соот-
ветствующих случаю одной положительной и двух отрицательных ве-
личин к . Пусть к < 0, а = 1,2,3; тогда ситуация равновесия (0,0,0).
Пусть к = 0, a = 1,2,3. Решая полученную систему, найдем еще
две ситуации равновесия: ((3 - х/3)/6, (3 - \/3)/6, (3 - \/5)/6) и ((3 +
Л)/6, (3 + л/3)/6, (3 + л/3)/6)._
Пусть fc° = 0, a = 1,2, к >0; тогда р3 = 1. Решая соответ-
ствующую систему, получаем ситуацию равновесия (2/3,2/3,1). Если
= о, a = 1,2, к3 < 0, то р3 = 0, р1 = р2 = 1/3, к3 = 1/3 — противо-
речие. Аналогично, (1,2/3,2/3) и (2/3,1,2/3) - ситуации равновесия.
Наконец, рассуждая аналогично, убеждаемся, что нет ситуаций
равновесия, соответствующих одной из величин к , равной нулю, и
двум, отличным от нуля. Итак, в игре Г девять ситуаций равновесия
в чистых и смешанных стратегиях.
Доминирование в игре многих лиц
Понятия и результаты о доминировании стратегий в играх двух
лиц, изложенные в § 9, легко обобщаются на игры многих лиц.
Определение. Будем говорить, что стратегия ha строго домини-
рует стратегию ga (ha >- ga) на множестве ситуаций S С S, если
V з € S ua(s||fta) > ua(s||0a). Будем говорить о слабом доминиро-
вании (ha > ga)t если V з Е S ua(s||ha) ua(s||^a).
Определение. Будем говорить, что множество S строго (соответ-
ственно слабо) доминирует множество S (обозначается S >* S и S > S
соответственно), если оно может быть получено из S в результате по-
следовательного исключения строго (соответственно слабо) доминиру-
емых стратегий, т.е. существует последовательность вложенных мно-
жеств S = Si D S2 D ... D Sk = S, для которой при любом I = 1,..., fc-1
выполнены следующие условия:
Si = Q S* и для любых а Е A, ga Е Si\S^1 найдется такая стратегия
аеА
ha Е что ha >- дЛ (ha > да) на Si.
Процедура последовательного исключения доминируемых (в стро-
гом или слабом смысле) стратегий состоит в следующем. На первом
§11. Равновесие по Нэшу
131
шаге выясняем для каждого игрока, какие стратегии являются доми-
нируемыми на множестве всех ситуаций Si = S и выбрасываем их.
Получаем суженное множество S2. Теперь стратегии, которые не бы-
ли доминируемыми на множестве Si, могут оказаться доминируемыми
на множестве S2. На следующем шаге мы их выкидываем, получаем
множество S3 и т.д.
Определение. Будем говорить, что игра Г разрешима по доминиро-
ванию, если для некоторого слабо доминирующего множества S для
каждого а Е А функция иа(з) не зависит от за на S, т.е. для любых
s е S и ha е 5° u“(s) = и“(в||Л“).
Определение. Будем говорить, что смешанная стратегия тга строго
доминирует стратегию да (тга >- да) на множестве ситуаций S С S,
если V s Е S ua(s||тга) > иа(з||<?а). Будем говорить о слабом домини-
ровании (тга > да), если V s Е S иа(з||тга) иа(з||ра).
Определение. Будем говорить, что множество S строго (соответ-
ственно слабо) доминирует множество S в смешанных стратегиях (обо-
значается S >- S и S > S соответственно), если существует последо-
вательность вложенных множеств S = Si D S2 D ... D Sk = S, для
которой при любом I = 1,..., к — 1 выполнены следующие условия:
Si = 0 S“ и для любых а Е A, ga Е найдется такая стратегия
аел
тга G Sf+1, что тга >- да (тга да) на Si и V за £ S^i ttJ. = 0.
Следующее утверждение аналогично теореме 9.4.
Теорема 11.5. 1) Пусть множество S = 0 Sa строго доминирует
а£А
множество S в смешанных стратегиях. Тогда для любого смешанного
равновесия по Нэшу тг = (тга, а Е А) выполнено условие: для любых
а Е А и за £ S* справедливо равенство тг£. = 0.
2) Пусть множество S = 0 Se слабо доминирует множество S в
аЕА
смешанных стратегиях и тг = (тг“в, sa Е Sa, а Е А) - смешанное рав-
новесие по Нэшу в игре Г = ^А, Sa, иа(з), а Е А^ с сокращенными
множествами стратегий. Определим ситуацию в смешанных стратеги-
ях тг исходной игры Г : для любого а Е А положим
{тг*Л, если зае§а,
0, если за £ Sa.
Тогда тг - равновесие по Нэшу в исходной игре Г.
132
Глава III. Игры многих лиц
Модели игровой динамики
Модели этого типа развиты как альтернатива статическим принци-
пам оптимальности (таким, как равновесие по Нэшу, решения по до-
минированию). Указанные принципы принятия решения требуют для
своей реализации полной информированности игроков относительно
условий игры (т.е. относительно множеств стратегий и функций вы-
игрыша всех участников). Более того, игроки должны быть рацио-
нальны в принятии собственных решений и предполагать такую же
рациональность от своих партнеров. Рассматриваемые динамические
модели предъявляют значительно меньше требований к информиро-
ванности и рациональности игроков и больше похожи на реальные ме-
тоды принятия решений.
Предположим, что конфликтная ситуация описывается игрой
Г = (A, Sa, ua(s), аеА)
с конечными множествами стратегий Sa, а Е А. Пусть игра повторя-
ется в периоды времени t = 1,2,.... Каждый игрок выбирает страте-
гию sa(t + 1) на период (шаг) t + 1, исходя из истории h* — {з(т) =
(за(т),а 6 A)}r^t, сложившейся к этому периоду. Бесконечную после-
довательность ситуаций {«(£)} будем называть траекторией процес-
са. Обозначим через Н множество всевозможных историй, т.е.
Я=11{Л‘}.
Правило поведения игрока в этом процессе задается отображением
ра : Н -> Sa. Совокупность (Г; да, а Е А) называется детерминиро-
ванным игровым процессом.
Определим понятие адаптивного поведения. Смысл его состоит в
том, что игрок прогнозирует вероятности реализации стратегий парт-
неров = (з6, Ь е А\{а}), исходя из предыстории, и максимизи-
рует собственный выигрыш на основании такого прогноза. В качестве
примера рассмотрим модель наилучших ответов.
Процесс начинается с выбора игроками произвольных стратегий
sa(l), а Е А. Далее после t шагов на следующем (t 4- 1)-м шаге
sa(t + 1) Е Arg max ua(s(f)||sa), a Е А.
Таким образом, игрок максимизирует собственный выигрыш, исходя
из предположения, что другие игроки не меняют своих стратегий по
сравнению с предыдущим шагом.
В более общем случае предположения о поведении партнеров в мо-
мент времени t +1 можно характеризовать таким набором параметров
§ 11. Равновесие по Нэшу
133
{A“r 0}r^t, что ^ttr = Игрок а считает, что с вероятностью XfT
в момент t + 1 повторится набор стратегий других игроков 5л\{а)(т),
случившийся в момент т. Исходя из этого, игрок а максимизирует ма-
тематическое ожидание своего выигрыша. Следовательно,
sa(t 4-1) € Arg max* A“rua(s(r)||sa), at А. (11.1)
S“eS* T^t
Определение. Пусть T — минимальное число периодов, для кото-
рого выполнено условие: для любых a Е А и любых т,£, таких, что
t - т > Т, следует равенство XfT = 0. Тогда Т называется памятью
игрового процесса (игроки не помнят то, что происходило Т шагов
назад).
Примером процесса с бесконечной памятью является итерацион-
ный процесс Брауна для матричных игр, изложенный в § 4, или ана-
логичный процесс для биматричных игр из § 9, где A“r = 1/t для всех
таких т и t, что т t. В общем случае правило прогнозирования можно
задать отображением ра(аЛ^а^|Л<), определяющим для игрока а субъ-
ективную вероятность реализации в зависимости от истории
h*. При использовании правил прогнозирования pa, а Е А, на (t + 1)-м
шаге игроки выбирают стратегии по правилу:
sa(t + 1) е Arg max £ Рв(«ЛХ{“} I Ь1)иа(вА^а\за), аеА.
*aeSeH\{.}
Адаптивные правила соответствуют ситуации, когда каждый иг-
рок считает поведение партнеров не зависящим от его собственного
выбора. Он либо не учитывает возможного влияния выбора в теку-
щий период на последующие повторения, либо они его не интересуют
(не случайно другим названием модели наилучших ответов является
<близорукое приспособление»).
Динамика игровых процессов с адаптивными правилами поведе-
ния оказывается для многих игр хорошо согласованной с указанны-
ми выше статическими принципами оптимальности. Приводимые ни-
же утверждения подтверждают возможность использования понятий
равновесия по Нэшу и доминирующих множеств для описания пове-
дения индивидуумов с ограниченной рациональностью.
Определение. Правило прогнозирования ра назовем адаптивным,
если для любой траектории {«(£)} и любого набора стратегий
который встречается в {s(t)} лишь конечное число раз, субъективная
134
Глава HL Игры многих лиц
вероятность ра(зл^а^|Л4) стремится к нулю при t -4 оо, где {Л4} —
последовательность историй, отвечающих траектории {$(£)}.
Упражнение 11.2. Покажите, что в процессе Брауна игроки ис-
пользуют адаптивные правила прогнозирования.
Теорема 11.6. Пусть последовательность множеств ситуаций
S = Si D S2 D ... D Sk получена в результате последовательного
исключения стратегий, строго доминируемых смешанными стратеги-
ями, и да Е S£\S£+1 для некоторых a G А, г Е {l,...,fc - 1}. Тогда
справедливы следующие утверждения.
1) Для любой траектории {а(0} модели наилучших ответов
sa(t + 1) / да при t^r.
2) Для всякой адаптивной динамики с набором параметров {А;,г}
и памятью Т sa(t + 1) / да при t гТ.
Доказательство. 1) Предположим сначала, что стратегия да полу-
чена в результате последовательного исключения стратегий, строго до-
минируемых чистыми стратегиями. Проведем доказательство методом
математической индукции по г. Пусть за >- да, т.е. г = 1. Тогда стра-
тегия да не является наилучшим ответом на любые стратегии других
игроков. Следовательно, sa(t + 1) / да при t 1. Пусть утверждение
доказано для любых стратегий из множества Si\Sr. По предположе-
нию индукции s(t) Е Sr при любых t г. Поэтому, начиная с шага г,
можно ограничиться редуцированной игрой с множествами стратегий
S®, а Е А. Возьмем да Е S®\S®+1. В редуцированной игре стратегия
да строго доминируема и sa(t + 1) / за при любых t г.
Перейдем к доминированию смешанными стратегиями. Пусть сме-
шанная стратегия тга строго доминирует стратегию да, т.е. г = 1. Тогда
для любой ситуации s(t) найдется чистая стратегия sa, для которой
7г®« > 0 и ua(s(t)||sa) > ua(s(f)||<7a). Следовательно, sa(t + 1) / да
при любых t 1. Доказательство, как и для случая доминирования
чистыми стратегиями, завершается индукцией по г.
2) Пусть за >* да. Тогда стратегия да не является наилучшим отве-
том игрока а при t 2, а начиная с шага Т+1, она не входит в правые
части (11.1) и не влияет на поведение остальных игроков. Поэтому при
t Т + 1 можно рассматривать редуцированную игру с множествами
стратегий S^, Ь Е А. Итак, утверждение доказано при г = 1. Далее
проводятся рассуждения по индукции.
Пусть теперь стратегия да строго доминируется смешанной стра-
тегией я®. Тогда для любой ситуации з(т) выполнено неравенство
§ 12. Позиционные игры с полной информацией
135
£irj,u“(s(r)||sa) > ua(s(r)||0“), а отсюда
S®
£а“Х(^)1Ю > £а?,Х(з(т)||<Г).
в® T^t T^t
Следовательно, найдется такая стратегия sa, для которой
>0 и £A“ru“(e(T)||S“)>22At>“(s(T)||ff“).
Поэтому sa(t + 1) / ga при t 1, а при t T + 1 стратегия ga не
влияет на выборы других игроков. Поэтому, начиная с шага Т + 1,
можно рассматривать редуцированную игру с множествами стратегий
S^, b Е А. Далее проводятся рассуждения по индукции.
Теорема 11.7. Пусть траектория {s(t)} соответствует набору адап-
тивных правил pa9 а Е А и s(t) = з при t^t. Тогда з — равновесие
по Нэшу игры Г.
Доказательство. Из условия вытекает, что
ton р°(вЛ\<в>)|Л‘) = 0
при любых / (з6, Ь б А\{а}). Следовательно,
ton р“(з», Ъ € А\{а})|Л‘) = 1, а б А. (11.2)
Предположим, что з не является ситуацией равновесия. Тогда най-
дется такая стратегия за некоторого игрока а, что ua(s||sa) > ua(s).
С учетом (11.2) при достаточно большом t
22 р°(зЛ\{“> | Л‘)и“(5л\<в>,5°) > 22 P°(sXX{e} I
И\{«} eA\{a)
Отсюда sa(t + 1) /3е, что противоречит условию.
Большой интерес представляют обратные результаты — о сходи-
мости адаптивных процессов к ситуациям равновесия по Нэшу (см.
теоремы 4.3 и 9.5).
§12. Позиционные игры с полной информацией
Многие реальные конфликтные ситуации имеют длительный ха-
рактер. Их участники действуют неоднократно и с учетом информа-
ции о предшествующем развитии конфликта. Для соответствующих
136
Глава III. Игры многих лиц
моделей общие теоремы существования решения для игр в нормаль-
ной форме не позволяют находить или даже конкретизировать опти-
мальное поведение из-за большого числа возможных стратегий. Для
решения динамических игр с конечным числом игроков часто удоб-
но использовать позиционное представление игры. Наиболее простым
классом позиционных игр является класс конечношаговых позицион-
ных игр с полной информацией. В такой игре на каждом шаге игры
делает ход лишь один игрок, имеющий полную информацию о теку-
щем состоянии, всех происходящих действиях и общей структуре игры.
Это предположение обычно характеризуется как полная информация.
Хорошо известными примерами таких игр являются шашки и шах-
маты. Многошаговые антагонистические игры с полной информацией
рассматривались в § 7. В этом параграфе будут получены более общие
результаты.
Напомним пример 8.1 взаимодействия продавца (игрока 1) и поку-
пателя (игрока 2). У продавца две стратегии: «честность» и «обман».
У покупателя также две стратегии: «поверить» и «проверить». Мат-
рицы выигрышей игроков имеют вид:
пов пров пов пров
О 0 \ _ честн / 0 -1/2
1 “1 / ~ обман -1 1/2
Рассмотрим динамическую модификацию игры: пусть покупатель спо-
собен заметить, обвешивает его продавец или нет, т.е. он выбирает свой
вариант поведения, зная поведение продавца. Соответствующая схема
изображена на рис. 12.1.
честн
обман
Рис. 12.1
Интуитивно понятно, что рациональным поведением покупателя
является выбор оптимального ответа, выделенного на рисунке жирны-
ми линиями. В свою очередь, продавец может выбрать оптимальную
стратегию, зная реакцию покупателя. Ниже дается обобщение этого
метода решения для любой игры с полной информацией. Приведем
§12. Позиционные игры с полной информацией
137
соответствующие формальные определения.
Определение. Конечным деревом, или ориентированным графом
без циклов, называется пара где X — конечное множество вер-
шин, или позиций, а отображение a : X -> X сопоставляет каждой
вершине ее ближайшего предшественника, причем
• существует единственная начальная вершина xq, для которой
а(ж0) — ®о;
• существует такое целое I 0 , что п1(х) = xq для всех х Е X;
наименьшее такое I называется длиной дерева (Х,а).
Любая вершина х, ддя которой сг-1 (х) = 0, называется финальной
вершиной дерева (Х,а), а множество всех таких вершин обозначает-
ся через Т. Для нефинальных вершин х множество а”"1 (х) состоит из
следующих за х вершин. Ребра дерева (X, а) называются альтерна-
тивами.
Определение. Позиционной игрой с полной информацией называет-
ся следующая совокупность:
G = (А, (X, а), иа(х), х СТ, а Е А; Х\Т = (J Xе U Х°,
Х аел
V X е Х° 3 р(х'|®), х' е а-1 (ж)},
в которой
• А — множество игроков;
• (X, а) — конечное дерево с начальной вершиной а?о и множеством
Т финальных вершин;
• R = {Ха, а Е А, X0} - разбиение множества Х\Т на попарно
непересекающиеся подмножества;
• Ха - множество позиций, в которых делает ход игрок а Е А; Ха
называется множеством личных позиций игрока а.
• Х° — множество позиций, в которых <делает ход» случай;
• иа : Т -> Е1 — функция выигрыша игрока а;
• для каждого х Е Х° заданы вероятности
р(®'|®) >0, £ Р(ж'1ж) = Х>
х'€а“1(х)
перехода из позиции х в позиции х' Е а”1 (ж).
Разбиение R определяет, какой игрок (или случай, если х Е Х°) хо-
дит в каждой конкретной нефинальной вершине х. Если xq Е Ха, а Е
А, то игра начинается с того, что игрок а должен выбрать следующую
за xq вершину, скажем, х± Е а-1(жо). Если Xi - финальная вершина,
138
Глава Ш. Игры многих лиц
то игра окончена и выигрыши игроков суть ua(®i), а Е А. Если Xi -
нефинальная вершина, то игрок 6, для которого € Хь9 имеет право
хода и выбирает следующую за Xi вершину/скажем, Х2 Е и
т.д. Если в какой-то момент мы попадаем в вершину х Е XQ (в кото-
рой ходит случай), то с вероятностью р(ж'|ж) мы переходим к одной
из вершин х1 Е а-1 (ж), в которой продолжаем действовать способом,
описанным выше.
Если игрок а в вершине х Е Ха выбирает вершину х1 Е а""1 (ж), то
также будем говорить, что он выбирает соответствующую альтерна-
тиву — ребро дерева, соединяющего вершины х и х'.
На рис. 12.2 отмеченные крестиками вершины являются финаль-
ными. В вершине 0 ходит случай, в остальных — игроки 1, 2 и 3.
Чтобы определить исход позиционной игры, для каждой позиции
любого игрока должна быть указана вершина, куда он перейдет. Вве-
дем для этого несколько понятий.
Определение. Стратегией игрока а Е А называется отображение да,
определяющее для каждой вершины х Е Ха позицию, в которую он
перейдет: V х Е Ха да(ж) Е а“х(х). Множество всех стратегий игрока
а обозначим через {да}.
Набор таких стратегий д = (да, а Е А) называется ситуацией. Для
каждого х Е X для данной ситуации д можно определить вероятность
р(ж|д) перехода в позицию х. При этом р(жо|д) = 1 - игра всегда
начинается с позиции xq.
В общем случае вероятность попасть в позицию ж, непосредственно
следующую за позицией игрока а(х) Е Р, а Е А, определяется по
формуле р(ж|д) = р(а(ж)|д)р(я;|а(ж),д), где
10 в противном случае.
§ 12. Позиционные игры с полной информацией
139
Если же п(х) Е Х° - позиция случая, то вероятность р(ж|а(я;), д) =
р(ж|а(х)) задана условиями игры. Таким образом, для любой ситуации
р для каждого игрока a Е А определено среднее значение функции
выигрыша иа(д) = E(ua(x)\p) = $2 P(x\v)ua(x)-
хет
Упражнение 12.1. На рис. 12.3 ребра дерева, соответствующие си-
туации д, выделены жирными линиями, а финальные позиции прону-
мерованы от 1 до 6, т.е.
Т = {1,...,6}. Найдите вероятности
Определение. Игра Г((7) = ^Л, {да}, иа(д), а Е Aj называется
нормальной формой позиционной игры G.
Для любой вершины z Е X можно рассмотреть позиционную поды-
гру, начинающуюся из этой точки:
Gz = (А, (Х2,аг), Х2°, Xz, uaz(x), а 6 а),
в которой
• Xz = {х | существует такое целое I 0, что al{x) = z};
• есть сужение отображения а на Xz и az(z) = z;
• Xf = XanXz, а Е Л, X° = X°nXz;
• и*(х) = иа(ж), если х Е Xz П Т.
Пусть д = (да, а Е Л) - ситуация в игре Г(С?). Обозначим через
pz = (д®, а Е Л) — ее сужение на XZi а через ua(pz) - значение
выигрыша игрока а в ситуации pz. Таким образом, для любого z Е X
определена игра Г(<7Х) = ^Л, {д®}, и“(д2), а Е Л^ - нормальная
форма для игры Gz.
Упражнение 12.2. На рис. 12.4 изображено дерево игры G. В фи-
нальных позициях указаны векторы выигрышей и(х) = (и1 (ж), и2(ж))
или исходы игры.
140
Глава IIL Игры многих лиц
Запишите нормальную форму данной игры G и подыгры Gz, соот-
ветствующей случайному выбору правой альтернативы.
Определение. Ситуация р = (д0, a € А) называется совершенным
подыгровым равновесием игры 6?, если для каждой вершины z е х
ситуация цг = а € А), где ~ сужение стратегии на подыгру
Gz, является равновесием по Нэшу в игре Г(б2).
Алгоритм определения совершенного подыгрового
равновесия (алгоритм Куна)
Алгоритм Куна состоит из последовательных редукций игры G.
Шаг 1. Рассмотрим множество Z\ предфиналъных вершин, для ко-
торых все последующие вершины являются финальными:
Zi = {х | <Г1(х) С Т}.
Для каждой вершины х G Zi действуем следующим образом.
1) Если в данной вершине ходит игрок а е А (х е Zi П Ха), то
находим его наилучший выбор в этой вершине
д°(х) € Arg max иа(у)
ye<r-l(x)
и доопределяем вектор выигрышей игроков в вершине
и(х) = (иь(х), Ье А) (ub(jP(x)), ь е А).
2) Если в данной вершине ходит случай (х 6 Z\ Г) Х°), то при-
писываем этой вершине среднее значение вектора выигрышей среди
возможных альтернатив
«(®) = Е р(у|®)«(у).
у&т~г(х)
В результате получили редуцированную игру с множеством нефи-
нальных вершин Х\{Т U Zi).
§12. Позиционные игры с полной информацией
141
Шаг 2. Для этой игры аналогично шагу 1 находим множество нефи-
нальных вершин для которых все последующие вершины в новом
дереве являются финальными: Z2 = {х | а-1 (ж) С TUZi}. Для каждой
вершины х этого множества аналогично пунктам 1) и 2) определяем
выборы р^х) при х Е Ха и вектор выигрышей и(х).
Далее аналогично продолжаем этот процесс для множеств
Z3 = {х | а"1 (ж) С TU Zi UИ2},
Z4 = {ж | а"1 (ж) С Т U Zi U Z2 U И3}
и т.д., пока очередное множество Zi не будет состоять только из на-
чальной вершины xq. При этом полученная ситуация д = (д®, а Е А)
будет совершенным подыгровым равновесием исходной игры G. Таким
образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 12.1. В любой конечной позиционной игре с полной ин-
формацией существует совершенное подыгровое равновесие. Соответ-
ствующие стратегии и выигрыши игроков задаются алгоритмом Куна.
Упражнение 12.3. Найти совершенное подыгровое равновесие в по-
зиционной игре G, изображенной на рис. 12.4.
Пример 12.1. Модель внутриведомственного экологического кон-
троля. Пусть первый игрок — предприятие, имеющее две стратегии:
1 - применять экологически чистый способ производства и 2 — при-
менять «грязный», но более дешевый способ. Второй игрок — контро-
лирующий орган, принадлежащий тому же ведомству, что и предпри-
ятие. Он имеет две стратегии: 1 - штрафовать за применение «гряз-
ного» способа производства, 2 - пропускать экологическое нарушение
(«закрывать глаза»).
Вначале ходит первый игрок, а затем - второй, зная выбор пер-
вого. На рис. 12.5 изображено дерево игры. В финальных вершинах
Дерева указаны условные выигрыши игроков. Например, если оба иг-
142
Глава III. Игры многих лиц
рока применяют вторые стратегии, то первый выиграет 2, а второй
проиграет 1, поскольку произошло загрязнение «окружающей среды.
Легко видеть, что совершенным подыгровым равновесием в данном
случае является набор д = (2,2), приводящий к исходу (2, -1). Одна-
ко, в этой игре существует равновесие по Нэшу, более выгодное для
второго игрока : он может использовать «стратегию наказания» (см.
§ 10) и при выборе первым игроком второй стратегии выбирать стра-
тегию «штрафовать», что приводит к исходу (—5, -2) (несмотря на то,
что это ему не выгодно). Тогда первый игрок, чтобы не получить —5,
предпочтет выбрать первую стратегию. В итоге получится ситуация
равновесия д = (1,1), приводящая к исходу (1,1), которая не является
совершенным подыгровым равновесием. Отметим, что ситуацию (2,2)
можно также получить исключением доминируемых стратегий в игре
Г((7) с матрицами
штр проп штр проп
. __ гряз /1 1 \ _ гряз /1 1 \
— чист \ —5 2 /’ - чист \ —2 —1 у
Нетрудно видеть, что стратегия 1 второго игрока слабо доминируется
стратегией 2. Если ее вычеркнуть, то получается игра, где стратегия 2
первого игрока строго доминирует стратегию 1. В результате исключе-
ния доминируемых стратегий останется ситуация (2,2), которая обыч-
но и возникает при внутриведомственном контроле. В этом примере
игра T(G) разрешима по доминированию.
Вообще для игр с полной информацией типична ситуация, когда
совершенное подыгровое равновесие одно, а прочих равновесий по Нэ-
шу, связанных со стратегиями наказания, много.
Рассмотрим следующее возмущение игры G. Пусть в каждой пози-
ции любого игрока а с некоторой достаточно малой вероятностью е > 0
этот игрок ошибается: с вероятностью 1 — е реализуется намеченная
им альтернатива, а с вероятностью в происходит ход случая и рав-
новероятно реализуется любая другая альтернатива. Обозначим через
Ge указанную возмущенную игру. Очевидно, что множества стратегий
остаются такими же, как в игре G, и любая вершина исходной игры в
возмущенной игре Gs реализуется с положительной вероятностью при
любых стратегиях игроков1.
Теорема 12.2. Пусть в исходной игре G существует единствен-
ное совершенное подыгровое равновесие. Тогда для любого достаточно
1Игра Ge не является позиционной игрой с полной информацией, поскольку
игроки не различают случайные ошибки и сознательные выборы партнеров.
§ 13. Позиционные игры общего вида
143
малого е > 0 в игре Ge существует единственное равновесие по Нэшу,
совпадающее с совершенным подыгровым равновесием исходной игры.
Доказательство повторяет схему алгоритма Куна. В любой пред-
финальной позиции х Е Zi П Ха существует единственный наилуч-
ший выбор J?(x) игрока а, отвечающий совершенному подыгровому
равновесию. В любой ситуации равновесия Д при достаточно малых
е > 0 ра(х) = /Iе (ж), поскольку вероятность осуществления позиции
х положительна и любой другой выбор приведет к строго меньшему
выигрышу. Далее рассматриваются вершины из Z2, Z3,..., проводятся
аналогичные рассуждения по индукции и доказывается, что Д = ~р.
Следствие. Пусть G — позиционная игра, для которой существу-
ет единственное совершенное подыгровое равновесие Ji. Тогда игра в
нормальной форме Г((7) разрешима по доминированию, а выигрыши
игроков иа(Д), а Е А, задаются алгоритмом Куна.
В следующем примере (рис. 12.6) совершенное подыгровое равно-
весие строго хуже для игроков, чем другая ситуация.
§13. Позиционные игры общего вида
Основное отличие позиционных игр с неполной информацией от
игр с полной информацией состоит в том, что игрок в момент приня-
тия решения не знает точно состояние игры, т.е. не различает неко-
торые вершины между собой. Отметим, что неточная информация о
текущем состоянии типична для реальных конфликтов. Общее поня-
тие позиционной игры (с неполной информацией) отличается от дан-
ного выше определения игры с полной информацией в следующем от-
ношении. Для каждого игрока а вводится дополнительное разбиение
множества его позиций на информационные множества.
144
Глава III. Игры многих лиц
Информационное множество — это совокупность состояний пози-
ционной игры, которые игрок не различает между собой. Необходи-
мым условием для всех позиций одного информационного множества
является одинаковое число альтернатив, т.е. последующих позиций, в
каждой такой вершине. Кроме того, информационное множество не
должно содержать двух позиций, принадлежащих одному пути, со-
единяющему начальную вершину с некоторой финальной. Занумеру-
ем эти множества для каждого игрока и обозначим информационное
множество с номером j игрока а Е А через Zaj .
Как и в игре с полной информацией, в произвольной позиционной
игре
G=(A, (X,a), иа(х),хеТ, аеА;Х\Т= и XaUX°,
' аеА
Ух Е Х° 3р(ж'|я;), xf Е а-1(зс)^
заданы
• А — множество игроков;
• (X, а) — конечное дерево (ориентированный граф без циклов), где
X — множество позиций (вершин) с начальной вершиной xq и a : X ->
X — отображение, сопоставляющее каждой вершине дерева (X, а) ее
ближайшего предшественника, причем
1) ^(жо) = Xq,
2) найдется целое I 0, что V х Е X <rl(x) = xq; наименьшее
такое I называется длиной дерева (X,oj;
• Т = {х Е X | а”1 (х) = 0} - множество финальных вершин;
• R = {Xa, а Е А, X0} — разбиение множества Х\Т на попарно
непересекающиеся подмножества;
• Ха — множество личных позиций, в которых делает ход игрок
a Е А;
• Х° - множество позиций, в которых <делает ход» случай;
• иа : Т -> Е1 — функция выигрыша игрока а;
• для каждого х Е Х° заданы вероятности
р(ж'|х) >0, 52
перехода из позиции х в позиции х' Е а-1 (ж).
Кроме того, для каждого а Е А задано разбиение
Ха = и Za>
jeJa
на информационные множества Zaj, j Е Ja, включающие позиции с
одинаковым числом альтернатив, равным fc(j). Альтернативы каждой
§ 13. Позиционные игры общего вида
145
позиции х Е Zai пронумерованы слева направо числами от 1 до Jb(j).
Игрок а делает ход, не различая позиции из Zai между собой. Что-
бы отразить это обстоятельство, обозначим через Ala* = {1, ...,fc(J)}
множество номеров альтернатив для информационного множества Zaj
игрока a Е А. Во всех позициях х Е Za? множество Alai изоморфно
множеству позиций а-1 (ж). Обозначим через £(x,fc) вершину, следую-
щую за ж и соответствующую альтернативе с номером к Е Alai при
указанном изоморфизме.
Определение. Чистой стратегией игрока а Е А называется отоб-
ражение да, определяющее для каждого информационного множества
Zaj альтернативу /ia(Zaj) Е А1а^, которую игрок выбирает в любой
из вершин этого множества. Набор таких стратегий д = (да, а Е А)
называется ситуацией.
Вероятность попасть в позицию х Е X, непосредственно следую-
щую за вершиной а(х) Е Zaj при использовании ситуации д, опреде-
ляется по формуле р(ж|д) = р(а(ж)|д)р(ж|а(а:), д), где
= Р- если 1 = f("С’)-
I 0 в противном случае.
Если же а(х) Е Х° - позиция случая, то вероятность р(ж|а(ж), д) =
р(ж|а(ж)) задана условиями игры. Таким образом, для любой ситуации
д для каждого игрока а Е А определено среднее значение функции
выигрыша
и“(д) = Е(и“(а:)|д) = Р(Ф)«в(®)-
хет
Определение. Смешанной стратегией яа игрока а Е А называется
вероятностное распределение на множестве {да} его чистых страте-
гий, ставящее в соответствие каждой стратегии ра вероятность тг“в ее
выбора.
Ситуация я = (тга, а Е А) в смешанных стратегиях определяет
вероятностное распределение на множестве Т финальных позиций:
Ухет р(ф) = 52 (П
М а€А
Ожидаемый выигрыш игрока а в ситуации я определяется как мате-
матическое ожидание
и“(тг) = Е(и“(а:)|д) = р(ф)ив(®).
хет
146
Глава Ш. Игры многих лиц
Указанный способ введения смешанных стратегий аналогичен случаю
игр в нормальной форме. Однако в данном классе игр он, как пра-
вило, неэффективен, поскольку даже для небольших деревьев число
возможных чистых стратегий может быть очень велико. Более эффек-
тивным является следующий подход, связанный с понятием страте-
гии поведения.
Рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает вероятностное рас-
пределение на альтернативах для каждого своего информационного
множества и, в случае своего выбора, проводит рандомизацию, поль-
зуясь этим распределением. При этом предполагается, что случайный
выбор альтернатив в различных информационных множествах произ-
водится независимо.
Определение. Стратегией поведения &а игрока а называется отоб-
ражение, которое каждому информационному множеству Zaj , j Е Ja,
сопоставляет набор
*(>)
(rf, к = 1,: Yrf = 1, р“> > 0, к = l,...,k(j),
Л=1
причем рак3 - вероятность выбора альтернативы к Е Alaj в любой
позиции множества Zaj.
Любая ситуация /3 = (/3a, а Е А) в стратегиях поведения опреде-
ляет вероятностное распределение на множестве позиций следующим
образом:
а(х) Е х = e(a(x),fc), к Е А1а* р(х\/3) = p(a(x)\0)p*j
<т(х) 6 Х° => р(я:|/3) = р(а(х)|£)р(ф(х)).
Ожидаемый выигрыш иа(0) игрока а в ситуации (3 = (J3a, а Е А)
определяется как математическое ожидание
«“(/?) = 5>(ф)И*)-
хет
Итак, мы определили два смешанных расширения игры G :
Г((7) = (А, {тг*}, и*(тг), а Е А) и f (<7) = (А, {/За}, иа(0), а Е А).
Как они между собой соотносятся? Изучим этот вопрос, используя
следующие понятия.
Определение. Позиция х Е Ха игрока а называется возможной для
смешанной стратегии тг* (чистой стратегии д*), если существует такая
ситуация тг (д), содержащая тг* (д*), что р(ж|тг) > 0 (р(х\р) > 0).
§ 13. Позиционные игры общего вида
147
Определение. Информационное множество Zaj игрока а называется
существенным для смешанной стратегии тга (чистой стратегии да),
если некоторая позиция х Е Zai возможна для тга (да).
Обозначим множество позиций, возможных для стратегии да, через
Poss/Д а семейство информационных множеств, существенных для
/Д через Rel/1а. Аналогично вводятся множество Poss?ra и семейство
информационных множеств Rel?ra.
Обозначим через [то, ж] путь, ведущий из начальной вершины xq
дерева в вершину х.
Упражнение 13.1. Пусть да — чистая стратегия игрока а Е А. По-
кажите, что х Е Poss ра тогда и только тогда, когда стратегия ра в
любой вершине х' Е О Ха, х' / х, выбирает альтернативу, при-
надлежащую пути [я;©, аф В частности, если х Е Ха П Za* - первая
позиция, где игрок а делает ход, то х Е Poss ра и Zaj Е Rel ра для
любой чистой стратегии ра.
Для смешанной стратегии тга, информационного множества Zai и
альтернативы к Е Alai положим
р(*ал)= Е р^а,з)= е
na.za>eRelna Me:Ze>eReUe, дв(я®>)=*
Здесь Р(тга, J) — вероятность выбора чистой стратегии /Д для которой
множество Zaj возможно, а Р*(тга, j) — вероятность выбора аналогич-
ной стратегии ра с дополнительным условием /ia(Zaj) = к. Нетрудно
видеть, что
р(*а,з) = Ер*«»-
* Л=1
Определение. Стратегией поведения /Д соответствующей сме-
шанной стратегии тга игрока а, называется стратегия поведения, опре-
деляемая следующим образом:
Pk(ira, j)/Р(ла, j), если Zai Е Ке1тД
Pak =S £ тг“., если Zai t Relтг“. (13Л)
^“:да(Яв>)=*
Из последних формул вытекает, что каждая смешанная страте-
гия однозначно определяет соответствующую стратегию поведения.
148
Глава III. Игры многих лиц
Обратно, каждой стратегии поведения соответствует много смешан-
ных стратегий. Но одну из них можно задать следующим образом.
Лемма 13.1. Если дана стратегия поведения /За игрока а и смешан-
ная стратегия тга определена по формуле
- п
jeJa
где при каждом j Е Ja pa(Zai) = ij Е А1а\ то есть стратегия
поведения, соответствующая тга.
Доказательство. Любая чистая стратегия ра игрока а определя-
ется набором значений
ia = (ij | pa(Zaj) = ij E Al% j E Ja).
Поэтому
W)
£>>=Е1И=П5Х=>-
ia jeJa jeJa ij=i
Пусть Zai E RelTTa. Тогда для k E Alai
= E »;. =
мв:Яв*еКе1дв, Me(ze>)=fc
= ( $2 П = dkP^‘
Me:Ze>eReUe, Me(ze>)=fc *€Je\{i)
Величина dk от k E Alai не зависит, поскольку она представляет собой
сумму одинакового числа слагаемых, не зависящих от к. Отсюда
*(i) W)
р(*а,п = Ep*(<j)=£<== p^aj)/p^aj)-
fc=l k=l
Пусть Za? Relira. Тогда
E ^ = ( S П p^iz^pk3 =
= П 52 P^‘(Z“)P<k =Pk3-
§ 13. Позиционные игры общего вида
149
Приведенная лемма утверждает, что мы можем получить каждую
стратегию поведения из некоторой смешанной стратегии.
Пример 13.1. Игра с партнером. В этой антагонистической игре
игрок 1 состоит из двух агентов, называемых Играющий и Партнер.
Две карты, <старшая» и «младшая», сдаются Играющему и игроку 2.
Оба возможных расклада карт считаются равновероятными. Игрок со
старшей картой получает доллар от игрока с младшей картой и имеет
альтернативы либо закончить, либо продолжить партию. Если партия
продолжается, Партнер, не зная расклада (и полученной суммы), мо-
жет посоветовать Играющему поменяться картой с игроком 2 или со-
хранить свою карту. Снова имеющий старшую карту получает доллар
от агента, имеющего младшую (см. рис. 13.1, где в каждой финальной
позиции записан выигрыш игрока 1).
Здесь X1 = Zn U Z12, X2 = Z21. Поэтому /? = (/?(Zn),/?(Z12))
и д2 = (д2(И21)). Матрица ожидаемых выигрышей первого
игрока есть
(1) закончить
(закончить, оставить) (1.1) ( 0
(закончить, меняться) (1,2) 0
(продолжить, оставить) (2,1) 1/2
(продолжить, меняться) (2,2) к -1/2
(2)
продолжить
-1/2
1/2
О
О
150
Глава III. Игры многих лиц
«4(1,1),1) = 1/2-1 +1/2-(-1) = 0;
«4(1, 1),2) = 1/2 • 1 + 1/2 • (-2) = -1/2;
«4(1,2), 1) = 1/2-1 +1/2 (-1) = 0;
«4(1,2),2) = 1/2-1 + 1/20 =1/2;
«4(2,1), 1) = 1/2 • 2 + 1/2 • (-1) = 1/2;
«4(2,1), 2) = 1/2 • 2 + 1/2 • (-2) = 0;
«4(2,2), 1) = 1/2 • 0 + 1/2 (-1) = -1/2;
«4(2,2), 2) = 1/2-0 + 1/2-0 =0.
Решение матричной игры
(тг1, тг2, v) = ((0,1/2,1/2,0), (1/2,1/2), 1/4)
обеспечивает игроку 1 ожидаемый выигрыш 1/4, а игроку 2 — ожи-
даемую потерю, не превышающую 1/4. С другой стороны, если взять
стратегию поведения игрока 1 з = р}1, 1-з = р^1 и г = р}2, 1-г = р^2,
то получим, что ожидаемый выигрыш игрока 1 равен
fз/2 + 2((1 - з)т/2) + 0 - 1/2 = (з - 1)(1/2 - г), если д2 = (1),
' з/2 + 2((1 - з)г/2) + 0 + (—2)г/2 4- 0 = з(1/2 - г), если д2 = (2).
Для любых зиг игроку 1 гарантирован только минимум из этих двух
значений. Следовательно, максимальная сумма, которую игрок 1 мо-
жет себе обеспечить, равна
max min[(s - 1)(1/2 - г), «(1/2 - г)] = 0
0^в,г^1
и достигается при г — 1/2. Таким образом, стратегии поведения могут
дать худший результат, чем смешанные стратегии. Заметим, что сме-
шанная стратегия тг1 = имеет соответствую-
щую стратегию поведения
= М = (1г|1д) +^2),^!!) + ТГ{12Д)).
Следовательно, если мы рассмотрим оптимальную смешанную стра-
тегию (0,1/2,1/2,0) игрока 1, соответствующей стратегией поведения
будет 8 = г = 1/2. В то время как оптимальная смешанная стратегия
обеспечивает первому игроку выигрыш 1/4, даже соответствующая
стратегия поведения дает ему только 0. Это расхождение объясняет-
ся, конечно, независимостью, содержащейся в природе стратегии по-
ведения. Чтобы получить оптимальный результат при использовании
стратегий поведения, надо наложить ограничение на информационное
разбиение.
Определение, Игра G называется игрой с полной памятью для иг-
рока а, если из Zaj Е Rel да и х € Zai следует х Е Poss да для всех
Zaj, х и да.
§ 13. Позиционные игры общего вида
151
Из определения вытекает, что в игре с полной памятью для игрока
а любая позиция из существенного информационного множества яв-
ляется возможной. Термин <полная память» означает, что игрок мо-
жет точно восстановить, какие альтернативы он выбирал во всех своих
предыдущих ходах (см. упражнение 13.1).
В примере 13.1 игра G не является игрой с полной памятью для иг-
рока 1. Действительно, информационное множество Z12 существенно
для стратегии д1 = (1,2), поскольку, если игрок 2 использует стра-
тегию д2 = (2), то позиция у Е Z12 реализуется с вероятностью 1/2.
Однако другая позиция х Е Z12 не является возможной для стратегии
д1, так как Играющий, получив старшую карту, заканчивает игру.
Игра с полной памятью для всех игроков превращается в игру с
полной информацией, если все ее информационные множества содер-
жат по одной вершине.
Пусть w Е Т — финальная позиция, а игроку а принадлежит неко-
торая позиция пути [xo,w]. Предположим, что его последняя позиция
х Е Za* П [жо, w] имеет альтернативу с номером t Е Alai, также при-
надлежащую пути [xq,w]. Положим
Sa(w) = {да | Zaj Е Rel да, да(2а>) = t}.
Наконец, пусть величина c(w) равна или произведению вероятностей
альтернатив случая, принадлежащих пути [я?о, w], или 1, если таковых
нет. На рис. 13.1 для финальной вершины w
c(w) = 1/2, S1(w) = {(l,l),(2,l)}.
Лемма 13.2. Пусть G - игра с полной памятью для всех игроков. Тогда
для любой ситуации д = (да, а Е А) и для всех w Е Т
c(w)t если да Е Sa(w), а Е А,
О в противном случае.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать, что если
Да Е Sa(w), а Е А, то каждая стратегия да выбирает альтернативы
игрока а, принадлежащие пути [xq,w] (если таковые существуют). Но
если да Е Sa(w), то Zaj Е Rel да и, так как G — игра с полной памя-
тью, то х Е Poss да. Поэтому да выбирает все альтернативы игрока а,
принадлежащие пути [xq,w] (см. упражнение 13.1).
Следствие. Пусть G - игра с полной памятью для всех игроков.
Тогда для любой ситуации в смешанных стратегиях тг = (тга, а Е А)
p(w|ju) =
152
Глава, III. Игры многих лиц
позиция w Е Т возникает с вероятностью
p(w|?r) = 52 П 7r“.p(w|p) = 52 П (13-2)
М аЕЛ ir.naGSa(w)taeA а^А
Лемма 13.3. Пусть G — игра с полной памятью для игрока а. По-
зиции z Е Zal, £(z,k) и х Е Za* принадлежат пути [xq,w], w Е Т,
причем х — первая позиция, следующая за z.1 Тогда множества Si =
{ра | Zal Е Rel /Д pa(Zal) = Л} и S2 = {да | Zai Е Rel да} совпадают.
Доказательство. Пусть ра Е Si. Тогда Zal Е Rel/Д и, так как G
— игра с полной памятью для игрока а, то z Е Poss да. Следовательно,
стратегия ра выбирает все альтернативы игрока а на пути [0,z]. Но
/ДИа<) = fc, и, значит, ра выбирает все альтернативы игрока а на
пути [0, ж]. Следовательно, х Е Poss/Д Zaj Е Rel/?1 и ра Е £2-
Пусть ра Е £2- Тогда Е Rel/Д и, так как G — игра с полной
памятью для игрока а, то х Е Poss ра. Следовательно (см. упражнение
13.1), z Е Poss/?1 и p,a(Zal) = fc, т.е. ра Е Si.
Следующее утверждение показывает, что в играх с полной памя-
тью можно ограничиться поиском равновесий по Нэшу в стратегиях
поведения.
Теорема 13.1. Пусть ft - ситуация в стратегиях поведения, со-
ответствующая (по формулам (13.1)) произвольной ситуации тг в сме-
шанных стратегиях в игре С?, в которой все позиции имеют по крайней
мере две альтернативы. Тогда для того чтобы ua(fl) = иа(тг), а Е А,
для всех я и для любых значений функций выигрыша ua(w), а Е
A, w Е Т, необходимо и достаточно, чтобы G была игрой с полной
памятью для всех игроков.
Доказательство. Необходимость. Пусть G не является игрой с пол-
ной памятью для некоторого игрока а. Тогда должна существовать
чистая стратегия и такие две позиции х и у в некотором инфор-
мационном множестве Zaj, что х Posspa и у Е Poss/?1. Выберем
стратегию /Д для которой х Е Poss/la и jia(Zai) — t p,a(Zaj). При
этом существует такая позиция z Е [®о, x]nZal, в которой fc-я альтерна-
тива, принадлежащая [то,х], стратегией Да выбирается, а стратегией
ра — нет. Пусть Д — такая ситуация, содержащая /Д что р(ж|Д) > 0, а
w Е Т — финальная позиция, следующая за ж, для которой p(w| Д) > 0.
В игре G примера 13.1 (см. рис. 13.1) a = 1, k = 2, t = 1, I = l,j = 2,
S = A1 = (2,1), A2 = (l).
XB частности, x может совпасть c £(ztk).
§ 13. Позиционные игры общего вида
153
Положим 7га = (1/2)да 4- (1/2)Да. Для соответствующей стратегии
поведения /За выполнено р$ = р*3 = 1/2. Пусть ситуаций (3 в страт
тегиях поведения соответствует ситуации тг = ДЦтг®. Тогда p(w\(3)
(l/4)c(w) < (l/2)c(w) = p(w|tf). Определим для игрока а функцию
выигрыша следующим образом:
Из последнего неравенства следует, что иа(£) < иа(тг) (противоречие).
Достаточность. Предположим, что G — игра с полной памятью для
всех игроков. Тогда достаточно показать, что p(w\/3) = p(w|tf) для всех
w Е Т. Возьмем некоторую финальную позицию w.
Пусть xi Е Zajl,..., xr(a) Е — позиции игрока а, расположен-
ные в порядке следования вдоль пути [®o,w], а ki Е AZajl,...,fcr(a) Е
A/ajr<®> _ номера соответствующих альтернатив, принадлежащих пу-
ти [xq,w]. Заметим, что Zajl Е Relpa для всех ра (см. упражнение
13.1). Поэтому
р«л) = L =L
pe:ze*i еКе1дв
Без потери общности можно считать, что все информационные мно-
жества Zaj2,..., Zajr(e) существенны для стратегии тга. Действительно,
в противном случае p(w\/3) = р(ш|тг) = 0.
В данных обозначениях
Sa(w) = {ра | Za^<®> Е Relpa, pa(Za^®>) = fcr(a)}.
Из леммы 13.3 следует, что jr-i) = Р(*а> jr), г = 2, ...,r(a).
Отсюда вытекает, что для соответствующей тга стратегии поведения
/За = (p*J, k Е Ala’, j € Ja) по формулам (13.1)
r(a) r(a) ( .
П₽К’ = П%^т = ^,.,(””.^.>)= Е (1з-з)
,1 Г.1 '1г1 c-es-w
Используя следствие леммы 13.2, получаем
p(w|j8) = c(w) JJ [J рак3гг (1=3)
a£A r=l
(1=3) c(w) JJ 7T“.=c(w) П ’Гд- (1=2)p(w|Tr).
a€Л na^Sa (w) €S® (w)a€A
154
Глава Ш. Игры многих лиц
Упражнение 13.2. Изменим правила игры из примера 13.1. Первым
делает ход игрок 2. Он выбирает вариант расклада двух карт (старшей
и младшей) Играющему и себе. Играющий, не зная расклада, может
оставить карты в прежнем положении, либо поменять их местами. За-
тем, Партнер, наблюдавший за действиями Играющего, также может
выбрать одну из двух альтернатив: не трогать карты, либо поменять
их местами. Игрок, имеющий в итоге старшую карту, получает от дру-
гого игрока доллар и дополнительную сумму, определяемую по сле-
дующему правилу. Если игрок 1 имеет старшую карту в результате
одного (или двух) ее перемещений, то он получает от игрока 2 до-
полнительно два (или три) доллара. В аналогичной ситуации игрок 2
получает от игрока 1 дополнительно один доллар (или два доллара).
Если после раздачи карты не перемещались, то дополнительные вы-
платы не производятся. Установить, что описанная антагонистическая
игра G является игрой с полной памятью для обоих игроков. Найти
оптимальные стратегии поведения и значение игры.
§14. Кооперативные игры
Кооперативные игры относятся к нестратегическим играм, в ко-
торых игроки делят некоторое количество (денежного дохода, ресурса
и т.п.), используя какой-либо принцип оптимальности.
Пример Ц.1. Игра «джаз-оркестр». Владелец ночного клуба в Па-
риже обещает $1000 певцу, пианисту и ударнику (игроки 1,2 и 3) за
совместную игру в его клубе. Выступление дуэта певца и пианиста
он расценивает в $800, ударника и пианиста - в $650 и одного пи-
аниста — в $300. Дуэт певец—ударник зарабатывает $500 за вечер в
одной станции метро, певец зарабатывает $200 за вечер в открытом
кафе. Ударник один ничего не может заработать. Какое распределе-
ние дохода в $1000 следует считать разумным, учитывая описанные
возможности игроков?
Пусть А — множество номеров игроков. Подмножества К С А в ко-
оперативной теории называются коалициями. Функция v, сопоставля-
ющая каждой коалиции К ее доход v(K), называется характеристи-
ческой. Характеристическая функция v называется супераддитивной,
если v(K U Т) v(K) + v(T) для любых непересекающихся коалиций
К и Т. Условие супераддитивности означает, что при К П Т = 0 доход
коалиции К U Т не меньше суммы доходов коалиций К и Т. В даль-
нейшем вместо v({i,J, ...,/}) будем писать
В примере 14.1 А = {1,2,3}, а характеристическая функция и при-
§ 14. Кооперативные игры
155
нимает следующие значения: v(l) = 200, v(2) = 300, v(3) = 0, v(12) =
800, v(23) = 650, v(13) = 500, v(123) = 1000. Нетрудно видеть, что
v суперадцитивна. Если бы условие супераддитивности здесь нарушат
лось (скажем, при v(l) = 400), то собрать весь состав музыкантов за
$1000 было бы трудно, если только к совместной игре их не привлека-
ют другие стимулы.
Определение. Кооперативной игрой (или игрой в форме характе-
ристической функции) называется пара К. = (A,v).
Установим связь между играми в нормальной форме и коопера-
тивными играми. Предположим, что в игре Г = (A, Sa, ua(s), a G А)
множества стратегий игроков конечны, а выигрыши — денежные. Иг-
роки могут осуществлять побочные платежи, т.е. перераспределять
между собой полученные выигрыши. Определим характеристическую
функцию. Для коалиции А естественно положить v(A) = max $2 ua(s).
a£A
Для любой коалиции К / А и ситуации з обозначим
sK = (sa,aE К) е SK =f ® Sa.
аек
Теперь ситуацию з можно записать в виде з = (зк,зА\к). Пусть игра
Г имеет постоянную сумму, т.е.
иа(з) = const.
а£А
Для таких игр v(K) можно определить как значение антагонистиче-
ской игры коалиции К против ее дополнения А\К
ГК = иа(зк,8А\к)).
аеК
Упражнение Ц.1. Докажите, что для игры Г с постоянной суммой
характеристическая функция v суперадцитивна и
УК С A v(K) + v(A\K) = v(A). (14.1)
Определение. Говорят, что кооперативная игра JC = {А, и) имеет
постоянную сумму, если для нее выполнено условие (14.1).
Пример Ц.2. Рассмотрим две пары матриц
Л1 _ (% ЗА ni _ /5 ' д2 _ —1\ п2 _ 1 2\
А “ 1,4 1) ’ ** “ \7 —2у ’ А ~ ^2 3/ ’ 4 Зу *
156
Глава III. Игры многих лиц
Первый игрок выбирает номер строки г, второй — номер столбца J,
а третий игрок выбирает номер пары г Е {1,2}. Выигрыш первого
игрока равен а£, второго — а третьего - = 10 — - Ь^. Игра
Г имеет постоянную сумму v(123) = 10. Найдем v(l). Первый игрок
играет против коалиции {2,3} в игру с матрицей
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
1 / 2 7 3 -1 \
2 \ 4 2 1 3 )
Вычеркивая первый и второй столбцы и решая игру 2x2, находим
значение игры v(l) = 5/3. Из условия постоянства суммы v(23) =
Ю - v(l) = 25/3.
Упражнение Ц.2. В условиях примера 14.2 найдите значения ха-
рактеристической функции v(2),v(13),v(3) и v(12).
Определение. Дележом называется вектор у = (уа, а Е А), удовле-
творяющий условиям
уа = v(A), уа v(a), а Е А.
а£А
Дележ у задает распределение выигрыша v(A), удовлетворяющее
условию индивидуальной разумности уа v(a), а Е А. Пусть Y -
множество всех дележей.
Из свойства супераддитивности характеристической функции v вы-
текает неравенство 22 v(a) v(A).
aGA
Определение. Кооперативная игра /С = (A, v) называется несуще-
ственной, если v(a) = V(A).
aGA
В несущественной игре дележ у = (v(a),a Е А) - единственный.
В дальнейшем будем рассматривать только существенные игры.
Определение. Две кооперативные игры К, = (A,v) и /С' = (A,v')
называются эквивалентными, если найдутся такие числа с > 0 и
da, а Е А, что
VtfCA «'(#) = cv(tf) + £ rf*.
Переход от игры К. к эквивалентной игре /С' можно связать с измене-
нием в с раз денежной единицы. Положительная величина da интер-
претируется как дополнительная выплата игроку а. Если же величина
§ 14. Кооперативные игры
157
da отрицательна, то — da можно рассматривать как плату игрока а за
участие в игре. Дележ у игры /С переходит в дележ z игры К! с ком-
понентами za = cya + da, a Е A.
Определение. Говорят, что кооперативная игра К/ имеет (0 — ^-ре-
дуцированную форму, если и'(А) = 1 и V а Е А г'(а) = 0.
Для кооперативной игры /С эквивалентная игра /С' имеет (0 — 1)-
редуцированную форму, если
с = (v(A) - v(a))-1 и V а Е A da = -си(а).
аел
Упражнение Ц-З. Для игры «джаз-оркестр» найти эквивалентную
игру в (0 — 1)-редуцированной форме.
В кооперативной теории нет единого понятия «разумного» деле-
жа. Более того, различные соображения «оптимальности» приводят к
разным множествам «разумных» дележей. Рассмотрим два подхода,
основанные на понятиях ядра и вектора Шепли.
Определение. Множество дележей
C = {yeY\VK/A
аек
называется ядром (или с-ядром от английского соте).
Дележ у, принадлежащий ядру, удовлетворяет условию «групповой
разумности»: самостоятельный выигрыш v(K) любой коалиции К не
превосходит ее доли ^2 Уа п0 дележу у.
аек
Займемся выводом условия существования ядра, т.е. когда С / 0.
Положим
С = {уеЕ^\>/К^А £ уа >
аек
Упражнение Ij.j. Докажите, что ядро С существует тогда и только
тогда, когда
аеА
В условии (14.2)
min V уа
уеС' t-' ”
158
Глава IIL Игры многих лиц
запишем с помощью двойственной задачи линейного программирова-
ния
min V уа = max XKv(K),
уес> у дел
a£A KpA
где
Л = {A = (AK, tf/A)|Vtf/A, Va eA £ AK = 1, A* > 0}.
K.atK
Последний максимум можно брать только по множеству Л° крайних
точек (вершин) многогранника Л (см. упражнение 4.5). Окончательно
необходимое и достаточное условие существования ядра записывается
в виде
V А € Л° 52 < »(>*)• (14-3)
К^А
Векторы из множества Л называются сбалансированными покрытия-
ми множества А, а векторы из множества Л° — приведенными (или ми-
нимальными) сбалансированными покрытиями. Для коалиции К С А
определим вектор
x(K)ee^-. x“W = b
[0, а % К.
Эти векторы являются столбцами матрицы системы уравнений, зада-
ющей множество Л.
Для того чтобы сбалансированное покрытие Л было приведенным,
необходимо и достаточно, чтобы система векторов х(К), соответству-
ющая положительным компонентам Хк, была линейно независимой.
Этот факт доказывается аналогично упражнению 5.5.
Определение. Семейство В коалиций называется сбалансированным,
если найдется такое приведенное сбалансированное покрытие Л, что
В = {К|Хк > 0}.
Примером сбалансированного семейства коалиций является разби-
ение В множества А на попарно непересекающиеся подмножества. Для
соответствующего приведенного сбалансированного покрытия А ком-
поненты Хк = 1, К G В. Отметим, что для такого покрытия неравен-
ство из (14.3) выполняется <автоматически», в силу супераддитивно-
сти характеристической функции. Поэтому приведенные сбалансиро-
ванные покрытия, отвечающие разбиениям множества А, в дальней-
шем не рассматриваются. Справедлив и более общий результат.
§ 14. Кооперативные игры
159
Упражнение Ц.5. Пусть для приведенного сбалансированного по-
крытия А найдутся такие коалиции Т и L, что Т Г) L = 0, Ат XL > 0.
Покажите, что покрытие д с компонентами
К = Т,
К = L,
K = TuL,
K^T,L,TUL,
является приведенным сбалансированным и
52 XKv(K) 52 pKv(K).
К±А К^А
(14.4)
Из (14.4) вытекает, что неравенства (14.3) достаточно проверять
только для существенных приведенных сбалансированных покрытий
А, для которых не существуют непересекающихся коалиций Т и L с
положительными Ат и Аь.
Найдем необходимое и достаточное условие существования ядра в
кооперативной игре трех лиц. Компоненты вектора А Е Л° упорядо-
чим следующим образом: А = (А1, А2, А3, А23, А13, А12). Перечислим все
приведенные сбалансированные покрытия множества А:
А( 1) = (1,1,1,0,0,0), А(2) = (1,0,0,1,0,0), А(3) = (0,1,0,0,1,0),
А(4) = (0,0,1,0,0,1), А(5) = (0,0,0,1/2,1/2,1/2).
С учетом результата упражнения 14.5 существенным покрытием яв-
ляется только А(5) и условие существования ядра записывается в виде
v(23) + v(13) + v(12) 2v(123).
Упражнение Ц.6. Для кооперативной игры <джаз-оркестр» про-
верьте, что ядро С существует. Изобразите проекцию ядра на плос-
кость (у1, у2) и найдите его вершины.
В таблице 14.1 перечислены все существенные приведенные сбалан-
сированные покрытия множества А игры четырех лиц.
Табл. Ц.1
в Хк, К ЕВ
А\{а}, а = 1,2,3,4 {1,2,3},{1,2,4}, {3,4} {1,2,3},{1,4}, {2,4},{3,4} 1/3,1/3,1/3,1/3 1/2,1/2,1/2 2/3,1/3,1/3,1/3
160
Глава III. Игры многих лиц
Остальные существенные покрытия отличаются от указанных пере-
становками номеров игроков.
Рассмотрим частный случай кооперативной игры, когда условие
существования ядра может быть записано в простой форме.
Определение. Кооперативная игра JC = (A, v) называется симмет-
ричной, если характеристическая функция v зависит только от числа
игроков в коалиции: V К С A v(K) = V|/q.
Упражнение Ц.7. Покажите, что для симметричной кооператив-
ной игры /С ядро С тогда и только тогда существует, когда выполнены
неравенства
VtfCA V|K| (14.5)
|А|
Недостатком ядра как решения игры является тот факт, что оно
может не существовать. Докажем, что С = 0, если кооперативная игра
/С = (A, v) имеет постоянную сумму. Действительно, если у Е С, то
V а е A v(A\{a}) = v(A) - v(a), уа v(a).
Последние два неравенства могут выполняться только как равенства.
Отсюда V a € А уа = v(a) и Уа < v№) (противоречие).
аел
Указанным недостатком не обладает вектор Шепли. Определим
его, используя вероятностную интерпретацию. Положим v(0) = 0.
Определение. Для игрока а Е К величина v(K) — v(K\{a}) назы-
вается вкладом игрока в коалицию К.
Пусть коалиция А образуется в результате следующего случайного
процесса. Сначала с вероятностью 1/|А| выбирается игрок ai, затем
из оставшихся |А| — 1 игроков с вероятностью 1/(|А| — 1) выбирается
игрок аг и присоединяется к игроку а\ и т.д. В результате с вероят-
ностью 1/|А|! будет выбрана перестановка игроков ах,...,а|д|. Можно
подсчитать вклад игрока ai в коалицию {ai,..., а/}. Таким образом, для
каждого игрока а его вклад (в какую-то коалицию К) будет случай-
ной величиной, принимающей значение v(K) - v(/f\{a}) (где а Е К)
с вероятностью (l/fl - 1)! (|А| - |)!/|А|!.
Определим теперь специальный дележ ip — вектор Шепли. Его ком-
§ 14. Кооперативные игры
161
понента <ра равна математическому ожиданию вклада игрока а, т.е.
К.аёК 1 '
Проверим, что
к.аек
(|*|-1)!(|А|-|АП)!
|А|!
(14.6)
Действительно,
(|*|-1)!(|А|-|*|)! v (I - 1)! (|А| -/)!
И|! М!
*—1 л :аЕл, j л |=<
Число коалиций, содержащих I игроков и среди них игрока а, равно
r/-i (И1~1)!
И-1 (I - 1)! (|А| - ОГ
Поэтому в последней двойной сумме при любом I внутренняя сумма
равна 1/|А|. Отсюда и следует (14.6).
Упражнение Ц.8. Покажите, что вектор Шепли <р = (^а, а Е А)
является дележом кооперативной игры.
Упражнение Ц.9. Выпишите явные формулы для подсчета век-
тора Шепли в игре трех лиц. Найти вектор Шепли для кооператив-
ной игры «джаз-оркестр» и показать его принадлежность ядру. Про-
верить, что если v(123) уменьшить на $3, то вектор Шепли ядру не
принадлежит.
Упражнение Ц. 10. Покажите, что для симметричной кооператив-
ной игры вектор Шепли = (v|x|/|A|,..., V|x|/|A|).
Комментарий и библиография к главе Ш
§ 11. Определение ситуации равновесия для игры многих лиц при-
надлежит Дж. Нэшу [76]. Теорема 11.1 доказана С. Какутани [47] и ис-
пользована для доказательства теоремы 1.3 о вогнуто-выпуклой функ-
ции. Теорема существования ситуации равновесия в играх с конечны-
ми множествами стратегий доказана Дж. Нэшем [76]. Там же приве-
дены свойства ситуаций равновесия в смешанных стратегиях. Пример
11.1 принадлежит Н.Н. Воробьеву [34]. Определение игры, разреши-
мой по доминированию, введено Э. Муленом [71].
162
Глава III. Игры многих лиц
§ 12. Основные понятия теории позиционных игр определены Дж.
фон Нейманом и О. Моргенштерном в [72]. Полная формализация этих
игр проведена Г.У. Куном [58]. Определение совершенного подыгрово
го равновесия принадлежит Р. Селтену [98]. Теорема 12.1 о существо-
вании ситуации равновесия в позиционной игре с полной информаци-
ей доказана Г.У. Куном [58]. Концепция возмущенной игры, в которой
игроки могут ошибаться при выборе своих стратегий, введена Р. Сел-
теном [99].
§13. Пример 13.1 и теорема 13.1 об эквивалентности смешанных
стратегий соответствующим стратегиям поведения в играх с полной
памятью принадлежит Г.У. Куну [58]. Другие результаты по теории
позиционных игр см. в сборнике [82]. С моделями многошаговых неан-
тагонистических игр можно ознакомиться в [22, 23, 71, 91].
§ 14. Кооперативная теория основана Дж. фон Нейманом и О. Мор-
генштерном в [72]. Пример кооперативной игры < джаз-оркестр» при-
надлежит Г.П. Янгу (см. [71]). Понятие ядра определено Д. Джилли-
сом в [44]. Необходимое и достаточное условие существования ядра с
использованием новых комбинаторных объектов — приведенных сба-
лансированных покрытий — получено О.Н. Бондаревой в 1962 году
в [13], где, в частности, описаны приведенные сбалансированные по-
крытия для игр трех и четырех лиц. О.Р. Меньшикова в кандидат-
ской диссертации (факультет ВМиК МГУ, 1978 год) перечислила все
приведенные сбалансированные покрытия для игр пяти и шести лиц.
Результат упражнения 14.5 взят из [109]. Теорию двойственности ли-
нейного программирования см. в [5]. Р. Ауман [7] определил понятие
ядра для игры в нормальной форме. Ряд результатов в этом направ-
лении получен А.А. Васиным (см. [22], где имеется также обзор работ
по теории ядра). В.В. Морозов и М.Х. Аъзамхужаев ввели дискрет-
ные кооперативные игры, в которых значения характеристической
функции и компоненты дележей — целые числа. Для таких игр поиск
дележа из ядра сводится к задаче целочисленного линейного програм-
мирования. В [68] предложен алгоритм ее решения для игр шести лиц.
Вектор Шепли был определен в [102], где имеется аксиоматическое
его обоснование (см. также [31]). С другими концепциями оптимально-
сти в кооперативной теории (решением фон Неймана-Моргенштерна,
n-ядром Шмайдлера и др.) можно ознакомиться в [55, 31, 78]. Фунда-
ментальный обзор результатов по теории игр см. в [93].
ГЛАВА IV. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКУЮ
ЭКОНОМИКУ
В этой главе рассматриваются простейшие математические модели
производства, распределения и потребления.
§15. Модели нерегулируемых рынков
Важную роль в экономической теории играет понятие рынка. Ры-
нок — это механизм обмена товарами, включающий два типа аген-
тов: производители (продавцы) и потребители (покупатели). Каждый
агент самостоятельно принимает решение об участии в обмене, исходя
из своих интересов и предлагаемых условий. Обычно каждый прода-
вец назначает условия обмена в виде цены на свой товар, а покупатели
выбирают, сколько и какого товара купить. Но существуют и другие
варианты рынков. В этой главе рассматриваются три основных модели
рынка одного товара:
1) рынок в условиях совершенной конкуренции, или конкурентный
рынок, на котором много мелких агентов-производителей и потреби-
телей;
2) монополизированный рынок, на котором один производитель-
монополист взаимодействует с большим числом мелких потребителей;
3) олигополия, то есть рынок, на котором несколько фирм конку-
рируют, взаимодействуя с множеством мелких потребителей.
У читателя здесь могут возникнуть вопросы: что означает «мел-
кий» агент, «большое число мелких потребителей» и т.п.? Следует от-
метить, что достаточно полных и точных ответов на подобные вопро-
сы не получено до настоящего времени. Некоторые подходы и оценки
изложены в параграфе, посвященном олигополии. Указанные харак-
теристики служат некоторым обоснованием сформулированных далее
предположений о поведении агентов.
Конкурентный рынок одного товара
Рассмотрим рынок однородного (т.е. не различающегося по каче-
ству) товара, такого как нефть или мука. Предположение, лежащее в
основе модели конкурентного рынка, состоит в следующем: на рынке
складывается единая цена р на товар и ни один производитель или
потребитель не может повлиять на нее индивидуальными действиями,
т.е. каждый агент приспосабливается к рыночной цене р.
164
Глава IV. Введение в математическую экономику
Начнем с описания поведения производителей товара. Предполага-
ется, что каждый из них стремится максимизировать прибыль от про-
изводства товара. Обозначим через А множество предприятий, постав-
ляющих товар на рынок. В простейшем случае конкретное предприя-
тие a 6 А характеризуется максимальным объемом выпуска, или про-
изводственной мощностью, Va и удельной себестоимостью продукта
(в расчете на единицу) с®. При этом стратегией предприятия является
объем выпуска V. Формально поведение продавца а характеризуется
функцией предложения Sa(p), которая указывает оптимальный объем
производства в зависимости от цены. Рассмотрим, как определяется
Sa(p) в данном случае:
{О, если р < са,
[О, Vе], если Р = са,
Va, если р > са,
где V(p — са) — функция прибыли.
Отметим, что функция предложения является точечно-множест-
венным отображением, т.е. одному значению аргумента может соот-
ветствовать целое множество значений функции. Общая характери-
стика рынка со стороны производителей - это суммарная функция
предложения S(p) = £ Sa(p). Эта функция указывает общее количе-
а£А
ство товара, поставляемое на рынок в зависимости от цены. Упорядо-
чим предприятия по возрастанию удельных себестоимостей, т.е. пусть
с1 с2 ... Тогда график функции предложения для случая трех
производителей выглядит следующим образом:
5(Р)
V1 + V2 + V3-----------------------------
У1 + V2---------------------
у1------------- ;
с1 с2 с3 Р
Рис. 15.1
В качестве примера более общей модели производства рассмотрим
предприятие, на котором имеются три вида производственных мощно-
стей (станков) для выпуска товара. Каждый вид характеризуется ве-
§ 15. Модели нерегулируемых рынков
165
личинами удельной себестоимости с* и максимального объема выпуска
V*, где i = 1,2,3 нс1 < с2 < с?. При выполнении заказа на выпуск
V единиц товара предприятие стремится минимизировать издержки
производства. Выясним, как зависит полная себестоимость С(У) от
объема выпуска при оптимальной загрузке мощностей. Очевидно, что
предприятие в первую очередь использует мощности с минимальной
удельной себестоимостью выпуска. Если их не хватит, то будут задей-
ствованы мощности второго, а затем третьего типа. Таким образом,
график С(V) имеет следующий вид:
В общем случае предприятие а характеризуется функцией Ca(V)
себестоимости выпуска в объеме V на данном предприятии. Далее
предполагается, что эта функция задает общие издержки. Прежде,
чем сформулировать свойства функции издержек, напомним опреде-
ление выпуклой (вогнутой) функции (см. § 1).
Определение. Функция C(V) называется выпуклой (вогнутой), ес-
ли для любых двух точек И и V2 и любого числа t Е (0,1) справедливо
неравенство C(tVi + (1 - t)V2)) (ЖЩ) + (1 - t)C(V2).
Отметим некоторые свойства выпуклых функций, известные из
курса математического анализа.
Выпуклая функция C(V), определенная на полуоси V 0, непре-
рывна в любой точке V > 0. Выпуклая и неубывающая функция C(V)
непрерывна и в точке V = 0.
Для выпуклой функции С(У) в любой точке V существуют левая
производная C_(V) и правая производная C+(V) C_(V). Причем,
если V < то C+(V)
Для дифференцируемой функции C(V) необходимым и достаточ-
ным условием выпуклости является неубывание по V производной
C(V).
166
Глава IV. Введение в математическую экономику
Для дважды дифференцируемой функции аналогичным условием
является неотрицательность второй производной C(V).
Будем предполагать, что функция издержек C(V) обладает следу-
ющими свойствами:
С1 монотонно возрастает по V ;
С2 67(0) = 0;
673 является выпуклой функцией;
674 67_(У) -> оо при V -> оо.
Обсудим свойства 671 — 674 с практической точки зрения.
Первое свойство очевидно: чем больше объем выпуска, тем больше
общие издержки.
Второе условие кажется ограничительным, так как у предприятия
могут быть постоянные издержки. Однако эти издержки не играют
роли при расчете функции предложения (см. ниже), а инвестиционные
процессы мы не рассматриваем.
Третье и четвертое свойства означают, что удельные издержки
67+(У) растут и стремятся к бесконечности с увеличением объема вы-
пуска. В то же время из производственной практики известно, что при
переходе от опытного производства к массовому выпуску возникает
эффект масштаба, т.е. удельные издержки убывают с ростом объема
выпуска. Однако, данный эффект возникает тогда, когда предприятие
меняет структуру основных фондов. Рассматриваемая здесь модель
отражает работу предприятия в стационарных условиях.
Дадим формальное обоснование свойства 673. Отметим, что рас-
сматриваемые величины (максимальный объем выпуска, реальный объ-
ем, издержки) относятся к некоторому фиксированному периоду вре-
мени. Рассмотрим две технологии, характеризующиеся объемами вы-
пуска Vi и Vj. Будем чередовать эти технологии (пусть долю време-
ни t используется одна технология, а долю времени (1 — t) — дру-
гая). Таким образом, мы выпустим объем tVi + (1 — t)V2 с издерж-
ками tC(Vi) + (1 — t)C(V2). Следовательно, C(tVi + (1 — t)^))
*67(VX) -Ь (1 -*)67(гЪ).
Упражнение 15.1. Какие реальные факторы не учтены в этом рас-
суждении?
Для функции себестоимости 67® (У), удовлетворяющей условиям
671 — 674, функция предложения предприятия определяется как
Sa(p) = Arg max(pV — Ca(V)),
§15. Модели нерегулируемых рынков
167
где pV — Ca(V) — функция прибыли. Заметим, что здесь нет ограни-
чения сверху на объем V выпускаемого товара.
Теорема 15.1. Если функция Ca(V) удовлетворяет свойствам С1—
674, то функция Sa(p) удовлетворяет следующим свойствам:
SI Sa(0) = 0;
S2 для каждого р множество Sa(p) выпукло и ограничено, а гра-
фик отображение Sa(p) Gr(Sa(p)) = {(p,V) | р 0, V Е Sa(p)}
замкнут;
S3 Sa(p) не убывает по р, т.е. для любых р < р' и для любых
V G Sa(p), V9 Е Sa(p') выполнено неравенство V V1.
Доказательство. S1. Свойство очевидно, поскольку при нулевой
цене производство товара невыгодно.
S2. Функция pV - линейная по V, а Ca(V) - выпуклая, следо-
вательно, функция pV — Ca(V) является вогнутой. Множество точек
максимума у вогнутой функции выпукло. Sa(p) есть множество точек
максимума непрерывной функции pV — Ca(V). Следовательно, множе-
ство Sa(p) замкнуто. По свойству С4 функция издержек C(V) растет
быстрее любой линейной функции. Поэтому при любом р > 0 найдет-
ся такая величина У(р), что V V V(p) pV — C7a(V) < 0. Отсюда
вытекает ограниченность множества Sa(p).
S3. Возьмем р < р' и зафиксируем произвольные V Е Sa(p), V9 Е
Sa(p'). Если V9 = 0, то необходимо С+(0) > р' > р. Следовательно,
Sa(p) = {0} и свойство доказано. Пусть V > 0, V9 > 0. Тогда из
условия максимума функции прибыли вытекают неравенства
C*(V) $C}(V9).
Отсюда с учетом р < р' находим (7®(V) < C+(V'). Из выпуклости
функции Ca(V) следует неравенство V V9.
Графический метод построения функции предложения
1) Пусть Са(У) - дифференцируемая функция. Если максимум
прибыли достигается во внутренней точке V* > 0, то
р = С“(у*) => V* е (С'Т'Ср) = Sa(p).
Если максимум достигается в нуле, то р С7а(0). При р = С7а(0)
Sa(p) = [0, Sa+], где Sa+ = sup{V | Ca{V) = С7а(0)}.
Строим график обратной функции (С7а)-1(р). Для этого отобразим
график функции Ca(V) симметрично относительно биссектрисы. На
оси р соединим ноль с точкой (7а(0) и получим график функции Sa(p).
168
Глава ГУ. Введение в математическую экономику
2) С негладкой функцией поступаем аналогично: скачкам функ-
ции Ca(V) будут соответствовать горизонтальные отрезки на графике
функции S“(p).
Пример 15.1. Функция издержек задана следующим образом:
V/2,
С“(У) = V - 1,
V3/9-l,
О V < 2,
2 V < 3,
V>3.
Требуется построить функцию предложения S“(p).
1) Строим функцию Са(У):
'1/2, 0<У<2,
Ca(V) = 1, 2 < V < 3,
у2/з, У>3.
2) Строим функцию S“(p) как обратную к Са(У):
'О, О О < 1/2,
§ 15. Модели нерегулируемых рынков
169
Упражнение 15.2. Найдите функцию предложения Sa(p) по задан-
ной функции издержек Ca(V) = max[V, V2].
Функция спроса
Мы опирали поведение производителей. Обратимся теперь к дру-
гой стороне рынка и рассмотрим поведение второй группы агентов,
действующих на рынке, — потребителей.
Пусть В — множество потребителей товара; b Е В — конкретный
потребитель, который характеризуется функцией спроса Db(p), указы-
вающей, какой объем товара готов купить потребитель b по цене р.
Общей характеристикой поведения всего множества присутствующих
на рынке потребителей является суммарная функция спроса, которая
определяется следующим образом: D(p) = £ &Ь(р). Для начала рас-
ьев
смотрим несколько примеров функции спроса отдельного потребителя.
Пример 15.2. Пусть Кь — денежный капитал потребителя Ь. Потре-
битель тратит весь капитал на покупку товара, тогда Рь(р) = Кь/р.
Пример 15.3. Как и в предыдущем примере, потребитель Ь характе-
ризуется размером имеющегося у него денежного капитала Кь. Отли-
чие состоит в том, что потребитель может потратить свой капитал не
только на этом рынке товара, но у него есть возможность покупать тот
же товар в другом месте по фиксированной цене г\ которая называ-
ется резервной ценой для данного потребителя. Смысл этой величины
состоит в том, что потребителю невыгодно покупать товар на рассмат-
риваемом рынке, если цена превышает г6, т.е. при р > гь покупка не
производится. Функция спроса для такой модели имеет вид
[ Кь/р, Р < гь,
£>ь(р) = Ло,^/р], р = г\
[О, р>гь.
Дадим альтернативную интерпретацию понятия резервной цены: у дан-
ного товара существует заменитель, цена на который фиксирована и
равна гь. Поэтому в случае, когда цена продукта превышает г6, потре-
битель Ь покупает заменитель.
До сих пор мы предполагали, что весь денежный капитал потреби-
теля расходуется на приобретение товара. Однако на практике количе-
ство денег, которое расходуется на данный товар, может меняться в за-
висимости от цены. Объем потребления предметов первой необходимо-
сти (основных продуктов питания, необходимой одежды и т.п.) обычно
170
Глава IV. Введение в математическую экономику
слабо зависит от цены. Например, даже при значительном росте цены
на хлеб, люди будут потреблять то же самое количество хлеба. С дру-
гой стороны, есть товары типа предметов роскоши (драгоценности,
предметы искусства и т.д.), спрос на которые сильно зависит от коле-
баний цены. Это происходит отчасти потому, что при росте цен на одни
предметы роскоши люди, как правило, предпочитают покупать другие
предметы, которые подорожали в меньшей степени. Свойство функции
спроса изменяться в зависимости от цены называется эластичностью
спроса. Формальное определение будет дано позже. С содержательной
точки зрения эластичность характеризует степень зависимости объема
спроса от цены на товар.
Пример 15./. Рассмотрим пример неэластичной функции спроса:
Р<гь,
р = г*>
р > гь.
Во всех приведенных выше примерах функция спроса Db(p) —
это точечно-множественное отображение, удовлетворяющее следую-
щим свойствам:
D1 выпуклозначность (значением функции спроса Db(p) для лю-
бого р является либо точка, либо отрезок);
D2 замкнутость ( отображение Db(p) имеет замкнутый график
Gr(Db(p)) = {(р, V) | 0 О < оо, V е Db(p)});
D3 Da(p) не возрастает по р, т.е. для любых р < р' и для любых
V Е Db(p), V1 € Db(p') выполнено неравенство V У';
D4 Db(p) -» 0 при р -> оо (при неограниченном возрастании цены
спрос стремится к нулю).
Обсудим подробнее свойство монотонного невозрастания (свойство
D3). Это свойство говорит о том, что при росте цены на товар спрос на
него не увеличивается (а иногда и убывает, если учесть дополнитель-
но свойство 04). Возникает вопрос: для всех ли товаров выполнено
это свойство? В экономике известно несколько экзотических примеров
товаров, спрос на которые не удовлетворяет, по крайней мере в опре-
деленные промежутки времени, свойству монотонного невозрастания.
Пример 15.5. Известно, что в Ирландии в голодные годы, когда це-
на на картошку сильно повышалась, объем ее потребления тоже воз-
растал. С чем это было связано? В обычные годы в рацион основной
массы населения входили картошка и мясо. Когда цена на картошку
§ 15. Модели нерегулируемых рынков
171
значительно повышалась, денег на мясо уже не хватало, и люди пере-
ходили на питание одной картошкой. Поэтому картошки требовалось
больше, чем обычно.
Пример 15.6. Традиционная японская водка — саке. Есть несколько
сортов саке, причем как хорошего качества, так и плохого. Известен
следующий факт: когда цена на саке низкого качества растет, то объ-
ем его потребления тоже увеличивается. Дело в том, что определен-
ная группа лиц, страдающая алкогольной зависимостью, нуждается в
определенной дозе чистого алкоголя. Они, конечно, предпочли бы пить
хороший саке, но когда цена на саке сильно растет, им для получения
своей суточной нормы алкоголя приходится отказываться от хороше-
го саке в пользу плохого. Однако приведенные примеры достаточно
редки и нетипичны, а для большинства товаров свойство монотонного
невозрастания функции спроса выполняется.
Принцип конкурентного равновесия
Итак, мы описали поведение двух групп агентов на рынке (про-
изводителей товара и потребителей) в зависимости от цены на товар.
Для получения полного представления о модели конкурентного рынка
одного товара осталось выяснить, как определяется цена р на рынке.
На конкурентном рынке цена товара определяется из принципа
конкурентного равновесия.
Принцип конкурентного равновесия Вальраса. В условиях совер-
шенной конкуренции на рынке устанавливается цена р, которая ба-
лансирует спрос и предложение на товар и называется ценой конку-
рентного равновесия (или вальрасовской ценой). Формально эта цена
определяется из условия D(p) П S(p) / 0, где S(p) - функция суммар-
ного предложения, a D(p) — функция суммарного спроса.
Таким образом, цена конкурентного равновесия обладает тем свой-
ством, что существует объем товара, который может быть предложен
по этой цене и может быть потреблен по этой цене. Если функции
спроса и предложения — однозначные функции, то принцип конку-
рентного равновесия можно сформулировать проще: по равновесной
цене спрос равен предложению.
Полная формулировка принципа начинается словами: <в услови-
ях совершенной конкуренции...». Что понимается под условиями со-
вершенной конкуренции? Содержательно Вальрас охарактеризовал их
как наличие большого числа близких по своим характеристикам про-
172
Глава IV. Введение в математическую экономику
изводителей и потребителей, каждый из которых не может влиять на
рыночную цену (т.е. все они малы по сравнению с общими объемами
рынка). Кроме того, все производители и потребители располагают
полной информацией о рынке и могут свободно выбирать себе парт-
неров для заключения сделки. Ясно, что такое описание не является
конструктивным. Возьмем конкретный рынок, на котором действу-
ют 20 производителей продукции и 500 потребителей, характеризую-
щихся определенными параметрами. Используя определение Вальра-
са, нельзя сказать, находится ли этот рынок в состоянии совершенной
конкуренции, так как это определение чисто качественное и не дает
количественных критериев.
Свойства равновесной цены
Будем использовать запись Z>(p) - S(p) > 0, если V > V1 при всех
V Е Р(р), Vz Е S(p). Аналогично, будем писать D(p) - S(p) < 0, если
V<V при всех V Е D(p), Vz Е S(p).
Теорема 15.2. Пусть функция предложения Sa(p) каждого про-
изводителя a Е А удовлетворяет условиям S1 — S3, а функция спроса
Db(p) каждого потребителя b Е В — условиям DI - D4. Тогда равно-
весная цена всегда существует.
Доказательство. Заметим, что функция предложения
S(p) = l>“(p)
а£А
удовлетворяет условиям S1 - S3, а функция спроса
ъев
— условиям DI — D4.
Заметим, что S(0) = 0. Если 0 Е Р(0), то 0 — равновесная цена.
Предположим, что S(0) < D(0). Для достаточно больших р функция
S(p) положительна (достаточно взять р > Са(0) для некоторого про-
изводителя а Е А) и не убывает, a D(p) —> 0 при р -» оо. Значит,
D(p) — S(p) < 0 при больших р.
Воспользуемся аналогом теоремы о промежуточном значении непре-
рывной функции, известной из математического анализа: если непре-
рывная функция принимает противоположные по знаку значения на
концах некоторого отрезка, то внутри этого отрезка существует точка,
в которой функция обращается в ноль.
§ 15. Модели нерегулируемых рынков
173
Как уже говорилось, свойство замкнутости аналогично свойству
непрерывности. Так как D(p) и S(p) — замкнутые функции, следова-
тельно, их разность D(p) — S(p) тоже замкнутая функция. Поэтому
существует точка р, в которой эта разность принимает нулевое значе-
ние, в том смысле, что 0 6 Р(р) — S(p).
Теорема 15.3. Пусть р1, р2 — две цены конкурентного равновесия.
Тогда любая цена р Е [р1 ,р2] тоже является равновесной, т.е.
S(p)QD(p)/0.
Доказательство. Функция D(p) — S(p) монотонно не возрастает.
Так как эта функция принимает значение 0 в точках р1 и р2, то и во
всех промежуточных точках она принимает то же значение. Следова-
тельно, D(p) Л S(p) / 0 для любого р € [р1,р2].
Покажем, что на самом деле возможны ситуации, когда равновес-
ная цена определяется не единственным образом. В таких случаях из
теоремы 15.3 будет следовать, что существует целый отрезок равно-
весных цен.
Пример 15.7. Пусть на рынке есть всего три потребителя с неэлаг
стачными функциями спроса. Резервные цены для этих потребителей
равны г1, г2 и г3 соответственно. В этом случае суммарная функция
спроса будет иметь ступенчатый вид. Пусть, кроме того, на рынке есть
два предприятия-производителя с фиксированными удельными себе-
стоимостями с1, с2 и максимальными объемами производства У1,^2
соответственно. Следовательно, суммарное предложение также явля-
ется ступенчатой функцией. Тогда возможна следующая ситуация,
изображенная на рис. 15.6, где получился целый отрезок равновесных
цен р.
Р
Рис. 15.7
Рис. 15.6
174
Глава IV. Введение в математическую экономику
Заметим, что возможна и другая ситуация, когда равновесная цена
р единственна, но не единственным образом определяется равновесный
объем V (см. рис. 15.7).
Из приведенных выше теорем можно сделать вывод, что множе-
ство равновесных цен - это либо точка (единственная цена р), либо
существует отрезок равновесных цен [рх,р2].
Заметим, что случаи, проиллюстрированные на рисунках 15.6-7,
нетипичны и носят вырожденный характер, так как при малом возму-
щении параметров модели графики смещаются и пересечение по цело-
му отрезку превращается в пересечение в точке. При этом возможна
одна из изображенных на следующем рис. 15.8 ситуаций:
В типичных случаях (или, иными словами, в условиях общего по-
ложения) равновесная цена и равновесный объем определяются един-
ственным образом, что и предполагается в дальнейшем.
§16. Монополизированный рынок
Рассмотрим ситуацию, когда на рынке присутствует лишь одна
фирма-производитель. Как и раньше, производитель характеризуется
себестоимостью товара, т.е. функцией издержек C(V), которая пока-
зывает, сколько денег необходимо затратить, чтобы произвести товар
в объеме V.
Потребители на этом рынке полагаются мелкими. Их поведение ха-
рактеризуется суммарной функцией спроса О(р), показывающей, ка-
кой объем товара будет куплен при заданной цене р. Фирма-монопо-
лист устанавливает цену на товар р и объем его производства V. Таким
образом, стратегией монополии является пара (р, V).
§ 16. Монополизированный рынок
175
Поиск оптимальной стратегии монополии
Обсудим задачу поиска оптимальной стратегии монополии. Она
состоит в выборе цены на товар р* и объема производства У*, мак-
симизирующих прибыль монополии. Задача решается при следующих
ограничениях: цена неотрицательна, а объем выпуска неотрицателен и
не превосходит спроса (производителю нет смысла производить боль-
ше товара, чем потребители готовы купить). Формально эта задача
сводится к нахождению оптимальной стратегии
(р*, V*) € Arg шах (рУ - С(У)). (16.1)
(p,V): р>0, 0^£>(рГ
Будем записывать функцию спроса в виде D(p) = [D”(p),D+(p)], где
Р“’(р),Р+(р) — нижняя и верхняя границы для D(p). Аналогичная
запись будет использоваться и для функции предложения:
5(p) = [S-(p),S+(p)].
Решение оптимизационной задачи (16.1) проведем в два этапа.
Этап 1. Оптимизация по объему при фиксированной цене
Фиксируем любую цену р и определим оптимальное значение У*(р).
Заметим, что для монополизированного рынка можно так же, как и
для конкурентного рынка, ввести формально функцию предложения
S(p) = Argmax(py — С(У)) и найти равновесную цену р, такую, что
5(р)ПР(р) А
Теорема 16.1. Если р —равновесная цена, то
{5(р), р<р,
$(р)Л[0,Р+(р)], р = р,
D+(p), р>р.
Доказательство. Пусть р < р. Заметим, что если отбросить в зада-
че (16.1) ограничение на объем, то ее решение при фиксированном р
совпадает со значением функции предложения S(p) в точке р. Так как
5(р) является решением задачи оптимизации на более широком мно-
жестве, то значение оптимизируемого функционала в S(p) не меньше,
чем в точке У*(р).
Однако при р < р функция предложения S(p) удовлетворяет огра-
ничению на объем, т.е. S+(p) < D~(p). Это условие выполняется, так
176
Глава IV. Введение в математическую экономику
как функция S(p) монотонно не убывает, a D(p) монотонно не возрас-
тает и, следовательно, для любого р < р разность D(p) — S(p) > 0 (рис.
16.1). Следовательно, в этом случае V*(p) 6 S(p).
Пусть р = р. В этом случае надо взять оптимальный объем произ-
водства, но такой, который потребитель в состоянии купить. Следова-
тельно, в этом случае V*(p) Е S(p) П [0,D+(p)].
Наконец, пусть р > р. Оптимизируемая в задаче (16.1) функция
представляет собой разность линейной и выпуклой функций и, сле-
довательно, сама является вогнутой функцией. Причем, как было заг
мечено в предыдущем пункте доказательства, максимум ее достига-
ется в S(p). Значит, рассматриваемая функция возрастает на отрезке
[О, S”(p)]. При р > р в силу ограничения на объем предложения мак-
симально допустимым объемом производства будет D+(p), так как в
этом случае D+(p) < S~(p) (см. рис. 16.1 и рис. 16.2). Следовательно,
в этом случае V*(p) = D+(p).
Этап 2. Оптимизация по цене
Итак, мы определили оптимальный объем для каждой фиксированной
цены. Теперь найдем оптимальную монопольную цену.
Теорема 16.2. 1) Монополия всегда назначает цену р* не ниже
равновесной, т.е. р* р.
2) Если функция спроса D(p) — однозначная и дифференцируемая
в окрестности точки р, то монополия назначает цену р* выше равно-
весной, т.е. р* > р.
Доказательство. 1) Сначала покажем, что цена монополии не ни-
же, чем р. Берем любую цену р < р. В силу предыдущей теоремы
16.1 оптимальное значение объема V*(p) € S(p). Рассмотрим альтер-
нативную стратегию (p,V*(p)). Нам известно, что D(p) П S(p) / 0-
§ 16. Монополизированный рынок
177
Тогда из монотонности функций спроса и предложения следует, что
Vp < р D(p) S(p). Следовательно, стратегия (р, У*(р)) допустима,
т.е. тот же объем товара У*(р) может быть реализован по большей
цене р. Заметим, что издержки при этом не изменятся, так как объ-
ем выпуска остался тем же. Значит общая выручка производителя от
продажи по цене р будет выше, чем от продажи по цене р < р. Итак,
монополист всегда назначает цену р* не ниже р.
2) Покажем, что для однозначной и дифференцируемой в окрест-
ности точки р функции спроса О(р) монополист назначит цену выше
р. Из теоремы 16.1 следует, что V*(p) = D(p) при р > р, а при р = р
максимально возможный объем V*(p) 6 S(p) П [0,Z>(p)] равен D(p).
Следовательно, задача оптимизации прибыли монополиста сводится к
нахождению
max(pD(p) - C(D(p))).
р>р
Вычислим производную функции прибыли W(p) = pD(p)~C(D(p))
W(p) = D(p) + D(p)(p - C(D(p))). (16.2)
При p = p ее значение равно W(p) = D(p) 4- D(p)(p — <7(P(p))). По-
скольку D(p) E S(p), a S(p) является решением задачи оптимизации,
то р = С(Р(р)) и второе слагаемое выражения (16.2) равно нулю. От-
куда следует, что W(p) = D(p) > 0. Мы показали, что функция при-
были W (р) возрастает в точке р. Значит, монополист назначит цену
выше цены конкурентного равновесия.
Упражнение 16.1. Пусть функция издержек фирмы-монополиста
С{V) равна функции Ca(V) из примера 15.1, а функция спроса D(p) =
3/р2. Найдите оптимальную монопольную цену р*.
Замечание. Насколько монополист завысит цену по сравнению с
ценой конкурентного равновесия, будет зависеть от конкретного вида
функции спроса, точнее, от скорости ее убывания после равновесной
цены. Если происходит резкое убывание, то монопольная цена будет
мало отличаться от конкурентной, если же убывание функции спроса
происходит медленно, то разница между ценой, назначенной монопо-
листом, и равновесной будет значительной.
Определение. Функция спроса D(p) называется медленно убываю-
щей на отрезке [рьРг], если Vp Е [рьРг] Р2^(рг) Р&(р), т.е. спрос
в денежном выражении pD(p) достигает максимума в точке Р2-
Пример 16.1. Пусть D(p) = К/p. Тогда спрос в денежном выра-
жении равен постоянной величине К. Следовательно, такая функция
178
Глава IV. Введение в математическую экономику
является медленно убывающей. К этому классу относятся также функ-
ции вида D(p) = K/pa^ 0 < а < 1.
Определение. Для однозначной и дифференцируемой функции спро-
са Dip) эластичностью называется величина
,/тм - |й(р)|п-
Она показывает, на сколько процентов изменится объем спроса при
изменении цены на один процент.
Отметим, что если эластичность e(D(p)) = 1, то Dip) = К/p. Вы-
сокоэластичный спрос (на предметы роскоши) характеризуется зна-
чениями e(D(p)) > 1, низко эластичный спрос (на предметы первой
необходимости) - значениями e(Dip)) < 1. В экономической лите-
ратуре, когда говорят об эластичном спросе, обычно подразумевают
высокоэластичный спрос.
Теорема 16.3. Если эластичность функции спроса e(D(p)) 1 на
отрезке [рьрг], то D(p) медленно убывает на данном отрезке.
Упражнение 16.2. Докажите теорему 16.3. Что можно сказать про
поведение монополии в случае, когда спрос медленно убывает?
Теорема 16.4. Пусть для некоторого значения р > р функция
спроса Dip) медленно убывает на отрезке [р, р]. Тогда для оптимальной
монопольной цены выполнено неравенство р* р.
Доказательство. Предположим от противного, что р* < р. Будем
продавать товар по цене р, сохраняя объем выручки: Vp = D(p*)p*.
Тогда V < Dip*), издержки снизятся, а прибыль соответственно вы-
растет. Остается проверить, что можно продать объем V по цене р.
Действительно, из условия медленного убывания Dip) D(p*)p*/р,
откуда V D(p), т.е. такой объем продать можно. Следовательно,
предположение неверно.
Из теорем 16.3 и 16.4 следует, что пока эластичность спроса мала,
монополии выгодно увеличивать цену.
Мы показали, что монопольный рынок плох для потребителя. В сле-
дующем параграфе обсуждается, какой ущерб монополия наносит эко-
номике в целом.
§17. Модель двухотраслевой экономики
179
§17. Модель двухотраслевой экономики
Теорема об оптимальности конкурентного равновесия
Центральная роль понятия конкурентного равновесия в современ-
ной экономической теории определяется следующими свойствами. Во-
первых, согласно гипотезе Вальраса, экономика в условиях совершен-
ной конкуренции естественным путем приходит в состояние конку-
рентного равновесия. Во-вторых, это состояние является оптималь-
ным в определенном смысле. В совокупности эти два свойства можно
интерпретировать в том смысле, что рынок в условиях совершенной
конкуренции является идеальным экономическим механизмом. Отсю-
да понятно то внимание, которое уделяет этой концепции традицион-
ная экономическая теория.
Однако к такой интерпретации надо относится с осторожностью.
Отметим две важные проблемы. Первая - это отсутствие теоретиче-
ски обоснованного конструктивного определения условий совершенной
конкуренции, о чем уже шла речь выше, вторая - неэффективность
рынка при производстве особой группы товаров и услуг, называемых
общественными благами. Последней проблемы мы коснемся в парагра-
фе, посвященном налоговому регулированию, где обсуждаются причи-
ны существования государственного, или бюджетного, сектора эконо-
мики и приводятся модели, обосновывающие целесообразность госу-
дарственного регулирования.
Несмотря на отмеченные сложности, теоремы об оптимальности
конкурентного равновесия имеют большое значение. В этом параграфе
мы докажем <теорему благосостояния» для двухотраслевой экспорт-
но-ориентированной экономики.
Рассмотрим экономику, состоящую из двух отраслей. Первая от-
расль с множеством предприятий А добывает ресурс (например, нефть).
Каждое предприятие характеризуется максимальным объемом выпус-
ка Va и удельной себестоимостью добытого ресурса са. В этом случае
функция предложения имеет вид:
{О, если р < са,
если Р = са,
Va, если р > са.
Вторая отрасль занимается переработкой добытого ресурса. Каждое
предприятие b второй отрасли характеризуется максимальным объ-
емом переработки Wb, удельными затратами сырья на единицу гото-
вой продукции db и прочими издержками на единицу конечного про-
180
Глава IV Введение в математическую экономику
дукта сь. Предполагается, что конечный продукт продается на внеш-
нем рынке и его цена q на этом рынке фиксирована.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда обе отрасли являются конку-
рентными, т.е. там много небольших предприятий, и цена на сырье на
внутреннем рынке складывается из условия равенства спроса и пред-
ложения. Определим спрос на сырье по цене р со стороны предприятия
Ь. Обозначим через
Ргь(р, W) = (q- ^W/df> - pW
прибыль предприятия Ь в зависимости от цены р и объема W перерабо-
танного сырья. Пусть предприятие стремится максимизировать свою
прибыль. Тогда спрос на сырье определяется из условия максимизации
этой прибыли:
Db(p) = Arg max Pr6(p, W).
W€(0,Wb]
Заметим, что функция прибыли Pr6(p, W) линейна no W и все зависит
от значения коэффициента при W. Обозначим через rb = (д — cb)/db
резервную цену предприятия 6. Если цена на сырье больше, чем г6, то
предприятию не выгодно его перерабатывать. Окончательно получаем
выражение для функции спроса
{0, если р <
[0, ГУ6], если р = гь,
Wbt если р > ть.
Предположим, что предприятия добывающей отрасли упорядоче-
ны по возрастанию удельных себестоимостей, т.е. с1 с2 с3 ...,
а предприятия перерабатывающей отрасли упорядочены по убыванию
резервных цен, т.е. г1 г2 .... Построим графики функций спроса и
предложения и определим равновесную цену. Возможны два типа пе-
ресечения графиков, устойчивые к малым возмущениям параметров
§17. Модель двухотраслевой экономики
181
Здесь р — равновесная цена. Рассмотрим ситуацию, когда рынок
является конкурентным. Тогда в производстве будут участвовать те
предприятия добывающей отрасли, у которых са р. При этом, если
са < р, то будут полностью загружены производственные мощности
данного предприятия. В случае равенства са = р мощности добываю-
щего предприятия а могут быть загружены частично, чтобы сбаланси-
ровать равновесное предложение (случай б) на рис. 17.1). Из предпри-
ятий перерабатывающей отрасли будут заняты те, у которых гь р>
и если гь > р, то мощности предприятия будут загружены полностью.
В случае равенства гь = р мощности перерабатывающего предприятия
Ь могут быть загружены частично, чтобы сбалансировать предложе-
ние (в случае а) на рис. 17.1).
Возможны также ситуации, когда цена или объем определяется
неоднозначно (см. примеры 15.7—8). Однако, такие ситуации являют-
ся структурно неустойчивыми, поскольку сколь угодно малыми возму-
щениями параметров модели можно перейти к одному из двух ранее
рассмотренных случаев. Далее предположим, что равновесные цена и
объем определяются однозначно. Выясним, какой будет прибыль пред-
приятий обеих отраслей в ситуации конкурентного равновесия. Общая
прибыль добывающей отрасли £ (Р ~ ca)Va соответствует площади
а:са<р
фигуры, ограниченной осью цен, вертикальной линией р = р, соответ-
ствующей равновесной цене, и графиком функции предложения S(p)
(рис. 17.2).
Прибыль перерабатывающей отрасли £ (г6 - p)Wb - это пло-
Ь:р<гь
щадь фигуры, ограниченной осью цен, линией р = р, соответствующей
равновесной цене, и графиком функции спроса D(p) (рис. 17.3). Об-
щая площадь заштрихованных на рис. 17.2—3 фигур — это прибыль
всей экономики в состоянии конкурентного равновесия (рис. 17.4).
Рис. 17.2
Рис. 17.3
182
Глава ТУ Введение в математическую экономику
V4 V
Рис. 174 Рис. 17.5
Обсудим, каким будет состояние этой экономики, если установится
монополия в одной из отраслей, а другая отрасль останется конкурент-
ной. Для определенности будем считать, что монополизирована добы-
вающая отрасль. Тогда монополия в добывающей отрасли установит
и объем, и цену на сырье, стремясь максимизировать свою прибыль.
Допустим, что функция спроса D(p) является медленно убываю-
щей на отрезке [р, г2]. Согласно теореме 16.4, оптимальная цена для
монополии р* г2. Пусть для определенности р* = г2. Тогда объем
добычи составит D(r2) и прибыль монополии будет равна площади
фигуры, ограниченной горизонтальной линией V = D(r2), графиком
функции предложения S(p), осью цен и вертикальной линией р = г2
(см. рис. 17.5).
Обсудим результаты господства монополии на рынке. Возникают
два основных негативных эффекта: во-первых, для экономики в це-
лом теряется часть прибыли, и во-вторых, установилась диспропор-
ция, поскольку монополия захватила себе львиную долю прибыли в
ущерб второй отрасли.
Допустим теперь, что обе отрасли монополизированы. Тогда цена,
которая установится на рынке, будет определяться путем переговоров
между этими монополиями. Скорее всего, ни одна монополия не со-
гласится, чтобы другая монополия установила монопольную цену, и
в результате переговоров установится промежуточная цена между их
монопольными ценами. Вполне может быть, что они сговорятся о цене,
близкой к конкурентному равновесию, что выгоднее для экономики в
целом, чем предыдущий вариант.
Реальная технологическая цепочка содержит не две отрасли, а не-
сколько. Рассмотрим основные звенья: добыча сырья, транспортиров-
ка, переработка, оптовая торговля, розничная торговля. Для откло-
нения от конкурентного равновесия достаточно, чтобы хотя бы в од-
§17. Модель двухотраслевой экономики
183
ном из звеньев возникла монополия. В российской экономике возник-
новение таких монопольных структур часто связано с преступными
группами. Ими, например, долгое время контролировался сбыт легко-
вых автомобилей. Автомобили скупались на предприятиях по ценам,
близким к себестоимости, и потом продавались в розничной сети по
монопольным ценам.
Практический вывод из рассмотренных моделей состоит в том, что
надо аккуратно относиться к демонополизации отраслей. Иногда бо-
лее выгодно иметь монополии в нескольких отраслях, чем в одной. При
этом по крайней мере общая прибыль для экономики будет выше, чем
в случае одного монополиста. Присвоение им основной части прибы-
ли на практике может привести к разрушению всей технологической
цепочки.
Рассмотрим экономику с аналогичной технологической структу-
рой, но в условиях централизованного планирования. Покажем, что
для централизованно управляемой экономики оптимальный план со-
ответствует состоянию конкурентного равновесия.
Рассматриваем ту же модель с двумя отраслями. Плановый орган
устанавливает задание для каждого предприятия. Плановое задание
для предприятия а добывающей отрасли обозначим как V , а для
предприятия b перерабатывающей отрасли как W . Должен соблю-
даться баланс, т.е. сумма добытого сырья должна равняться сумме
переработанного сырья, а также должны соблюдаться ограничения на
мощности:
^2^ = 227°, F4 va, а 6 A, w\wb,beB. (17.1)
ЬЕВ aQA
Набор (Vе, a Е А, IP*, b Е В), удовлетворяющий системе (17.1),
называется допустимым планом.
Задача централизованного планирования — найти оптимальный
план, т.е. допустимый план, максимизирующий доход страны от про-
изводства и экспорта продукта. Доход, соответствующий допустимому
плану (Vе, atA, TV6, b е В), равен
\ В / а€А bGB b£B абА
Поскольку экономика — централизованная, то внутренних цен может
и не быть.
184
Глава IV. Введение в математическую экономику
Теорема 17.1. Оптимальный план соответствует состоянию кон-
курентного равновесия, т.е. для каждого предприятия надо установить
задание, которое соответствует объему выпуска этого предприятия в
условиях конкурентного равновесия.
Доказательство. Зафиксируем цену р Е [с1, г1] и для допустимого
плана (Vе, а е A, W , b е В) запишем доход в виде
£(р_с“)И + £(?-Р)1у\
аед ьев
(17.1)
Без потери общности будем считать, что
£ Vl^W(p) =' £ wl.
Определим целое k из условия
k fc+l
/=1 1=1
Если k = 0, то условно полагаем V1 = 0 и первое (строгое) нера-
1=1
венство здесь отсутствует. Тогда план, максимизирующий доход (17.1)
при фиксированном р, определяется по формулам
й^=/0’ гЬ<Р>
[W^ гь^р.
Соответствующая величина дохода равна площади фигуры, ограни-
ченной осью цен, горизонтальной линией V = W(p) и графиками
функций спроса и предложения (см. рис. 17.5, где р = г2, Ж(р) =
W1 + W2, к = 2). Площадь этой фигуры максимальная при р = р.
Обсудим этот результат. Теорема говорит о том, что в централи-
зованно управляемой экономике максимальная общая прибыль такая
же, как и в состоянии конкурентного равновесия. Возникает вопрос:
зачем все эти переходы от капитализма к социализму и обратно, ес-
ли и там и там наилучший результат одинаковый? Дело в том, что в
§ 18. Модели олигополии
185
условиях централизованного управления оптимальный план не удает-
ся реализовать на практике. Плановый орган должен иметь правдивую
информацию об издержках и объемах производства. Но предприятие
не заинтересовано в предоставлении правдивой информации. При пла-
новой экономике снижается также качество продукции, а значит рас-
тут издержки производства в последующих звеньях технологической
цепи (см. об этом подробнее [80]).
Что касается рыночной экономики, то она может обеспечить опти-
мальный результат, если складывается конкурентное равновесие. Как
мы показали, действия монополии, максимизирующей прибыль, при-
водят к значительным отклонениям от этого оптимального результата.
Реальные рынки обычно не являются монопольными, в них участву-
ют несколько агентов с каждой стороны. Важная теоретическая про-
блема — оценка возможного отклонения от состояния конкурентного
равновесия для таких рынков. Для ее исследования разработаны мо-
дели несовершенной конкуренции, или олигополии, рассматриваемые
в следующем параграфе.
§18. Модели олигополии
Введенное выше понятие конкурентного равновесия характеризу-
ется следующими свойствами.
1. Товар на рынке продается по единой цене.
2. Каждый производитель и потребитель определяет объем пред-
ложения (соответственно, спроса), максимизируя свою прибыль (по-
лезность) при данной цене.
3. Цена устанавливается таким образом, что балансирует спрос и
предложение.
Рассмотрим теперь модель рынка, на котором действует несколько
производителей товара, каждый из которых обладает определенными
возможностями влиять на рыночную цену и учитывает эти возможно-
сти при выборе своей стратегии. Потребителей по-прежнему считаем
мелкими: отдельный потребитель не оказывает влияния на параметры
рынка. Рынок с такой структурой называется олигополией. Цель иссле-
дования этой модели — ответить на следующие вопросы: При каких
условиях на структуру отрасли-производителя товара рынок придет
в состояние конкурентного равновесия? Как зависит отклонение от
конкурентного равновесия (по цене и объемам выпуска) от структуры
отрасли? Насколько эффективно антимонопольное законодательство
и какие меры регулирования можно предложить для повышения эф-
фективности рынка?
186
Глава IV. Введение в математическую экономику
Модель олигополии по Курно
Рассматривается отрасль экономики, выпускающая однородный то-
вар. В отрасль входит тп предприятий-производителей, каждое из ко-
торых характеризуется постоянной удельной себестоимостью са и мак-
симальным объемом производства Va, а Е А = {1,...,тп}. Задана од-
нозначная функция спроса на товар Р(р), причем D(p) убывает по р
и D(p) -> 0 при р -> оо. Характерным примером функции спроса
является функция вида
D(p) = K/pa, а > 0. (18.1)
Стратегией предприятия а е А является объем выпуска va Е [0, Уа].
Цена на рынке устанавливается таким образом, чтобы фактическое
предложение товара ^2 соответствовало спросу на него. Обозначим
а€А
через v = (va, а Е А) вектор выпуска товара. Тогда цена на рынке
будет равна
p(v) = D~1( 22 v“). (18.2)
\ аёА /
Прибыль производителя а зависит от вектора выпусков v и определя-
ется как
ua(v) = va(p(v)-ca). (18.3)
При выборе объема выпуска каждое предприятие стремится максими-
зировать свою прибыль. Получается, что с одной стороны, если раз-
ность цены и удельной себестоимости положительна, т.е. p(v) — са > О,
то прибыль возрастает с увеличением объема за счет первого сомно-
жителя va. Но с другой стороны, цена убывает с увеличением объема
выпуска в силу (18.2). Действительно, функция спроса D(p) предпола-
гается убывающей и обратная к ней функция D-1(V) также убывает.
Следовательно, прибыль может убывать с увеличением объема выпус-
ка за счет второго сомножителя в (18.3).
Отметим, что в точке v = 0 функции иа(у) имеют особенность.
Естественно определить ua(0) = 0.
Мы описали взаимодействие производителей в виде игры в нор-
мальной форме:
Г = (а, [О, V“], u“(v), V е Q(0, Vе], a G а},
а£А
где А — множество игроков (производителей товара), [0, Va] — множе-
ство допустимых стратегий игрока а (множество допустимых объемов
выпуска), ua(v) — выигрыш (прибыль) игрока а.
§ 18. Модели олигополии
187
Отметим, что если
lira D"1(V)V>0,
v->0+ 4 7
то функция
разрывна в точке va = 0. В этом случае равновесие по Нэшу в игре Г
может не существовать (см. ниже упражнение 18.1).
Поиск равновесий по Нэшу для модели Курно
Найдем равновесие по Нэшу для этой игры, т.е. такой набор страте-
гий v = (va, а Е А), что каждое предприятие выпускает объем товара
v" Е Arg max va I D 1
vee[o,ve] \
b€A\{a}
(18.4)
Обозначим через uj,e(v) частную производную функции ua(v) по
переменной va в точке v.
Лемма 18.1. Если v — равновесие по Нэшу, то v / 0 и выполнены
следующие необходимые условия:
l)va = 0=><«(v)^0;
2)vaE(0,Va)=><«(v)=0;
3)va = Va=><e(v)^0.
Доказательство. Покажем, что ситуация равновесия v не может
быть нулевой. Действительно, предположим, что v = 0 — ситуация
равновесия. В силу свойства D4 функции спроса, О-1(У) -> оо при
V —> 0 4-. Поэтому при достаточно малом va > 0
u“(0||v“) = v“(D-1(va) - с“) > 0 = u°(0),
что противоречит определению ситуации равновесия.
Условия 1)—3) является необходимыми условиями для точки мак-
симума Vе дифференцируемой функции ua(v||va) одной переменной va
на отрезке [0, Va] (см. задачу (18.4)).
Вычислим производную функции прибыли по объему выпуска va
как производную произведения:
<.(«) = D-1 £ vb - с“ + v“/D(p(v)).
хьел /
(18.5)
188
Глава IV. Введение в математическую экономику
Теорема 18.1. Пусть с1 с2 ... ст, т.е. предприятия упоря-
дочены по возрастанию удельных себестоимостей, а функция спроса
D(p) — дифференцируемая и убывающая. Тогда найдется такое пред-
приятие fc, что в равновесии по Нэшу v® > 0, a = 1,2, ...,fc, v® =
О, a = k + 1, ...,тп, причем c*+1 > с*.
Доказательство.
1) Пусть v — равновесие по Нэшу. По лемме 18.1 v / 0. Возьмем
такое к, что vk > 0. Покажем, что тогда
Согласно лемме 18.1 из vk > 0 следует u^fc(v) 0. Из формулы (18.5)
получаем
D"1 (22 V*) - с* > -v*/D(p(v)) > 0,
ьел
поскольку D(p(v)) < 0.
2) Покажем, что й® > 0 при а = 1,..., к — 1. Допустим от против-
ного, что Vе = 0 для некоторого а Е {1,..., к — 1}. Тогда
(v) = D-1 ( £V) - с“ + v°/b(p(v)) = D-1 ( 22 «*) - С“ >
Ь£А ' Ь&А
>р-1(22«‘) -с* >0,
так как с® с* при а < к. По лемме 18.1 из u'va (v) > 0 следует v® > 0.
Получили противоречие с предположением, что v® = 0. Следователь-
но, v® > 0 при а = 1,..., к — 1.
3) Таким образом, найдется такое максимальное fc, что v® > 0, а =
l,2,...,fc, v® = 0, а = к + 1,...,тп. Наконец, покажем, что с*+1 > с*.
Если с*+1 = ск, то
<*+1 (v) = D~l ( 22 - cfc+1 +vk+1/D(p(y)) = D-1 ( 22 V6) - Ck > 0.
ьел ьел
По лемме 18.1 из t^fc+i(v) > 0 следует ок+г > 0 (противоречие).
Полученный результат имеет простой экономический смысл: если
некоторому предприятию выгодно производить товар по данной цене,
то предприятию с меньшей удельной себестоимостью тем более выгод-
но производить этот товар.
§ 18. Модели олигополии
189
Случай с равными удельными себестоимостями
Рассмотрим случай, когда удельные себестоимости са всех пред-
приятий одинаковы и равны с. Из теоремы 18.1 следует, что тогда в
равновесии по Нэшу v* > О при всех а Е А, т.е. каждый производитель
выпускает положительное количество товара.
Рассмотрим сначала модель без ограничений на объемы выпуска.
Будем искать решение задачи (18.4), считая V0, = оо (производствен-
ные мощности предприятий не ограничены). Тогда в точке максимума
задачи (18.4) все производные u{,e(v) = 0 и для поиска равновесия
по Нэшу получаем следующую систему уравнений относительно неиз-
вестных Vе, а = 1,..., тп:
GO = ( У? V6) ~ с + v°/P(p(v)) =0, а е А. (18.6)
ъеА
Суммируем уравнения (18.6) по всем а Е А. Получаем
mD"1 ( - me + ( 22 Vе)) = °- (18.7)
aGA aGA aGA
Выражение (18.7) представляет собой уравнение относительно одной
неизвестной величины 52 Разрешив данное уравнение и подставив
а£А
найденную величину в уравнения (18.6), найдем значения v°, а Е А,
которые, очевидно, одинаковы для всех а.
Продемонстрируем действие этого алгоритма на конкретной функ-
ции спроса. Пусть D(p) = К/p. Тогда р(у) = О*1( 52 v“) = К/ 52 v*-
aQA аеА
Система (18.6) в этом случае принимает вид
а:/22Vе-с-°’ оеЛ> (18.6')
а£А а£А
а уравнение (18.7) преобразуется к виду:
-mc-K/Y^v0 = 0. (18.7')
а£А аЕА
Из (18.7') получаем, что 52 = (w “ 1)К/(тпс). Подставляя это
аеА
выражение в (18.6'), находим равновесие по Нэшу для модели Курно
V а Е A va = v* = —г-4 (18.8)
rm2
190
Глава IV. Введение в математическую экономику
Для модели с ограничениями на объемы выпуска отметим следую-
щие два случая.
a) v* min V6. Тогда решение задачи с ограничениями на объемы
Ь&А
выпуска совпадает с решением той же задачи без учета ограничений,
так как и* — решение задачи оптимизации по более широкому мно-
жеству и в то же время является допустимым объемом выпуска для
задачи с ограничениями. Следовательно, в этом случае v® задается
формулой (18.8).
б) v* > minV6. Упорядочим производителей по убыванию макси-
Ь^А
мальных объемов выпуска: V1 V2 ... Vm. Тогда найдется такой
производитель fc, что
гг =
V*,
V®,
a fc,
a> k.
(18.9)
Алгоритм поиска равновесия по Нэшу вида (18.9)
Фиксируем некоторое к. Тогда, переписав (18.6) для этого случая, по-
лучаем уравнение для нахождения v*(fc):
К/( £ V“ + fcv’) -c-v*K/( V° + fcv*)2 = 0,
a=jt+l a=fc+l
(18.6")
m
где выражение ^2 Va полагается равным нулю.
a=m+l
Начинаем поиск равновесия по Нэшу с к = т. Находим v*(m) и
проверяем условие v*(m) Vm. Если оно выполняется, то найденная
ситуация v является равновесием по Нэшу. Иначе берем к = т — 1 и
т.д. В результате за конечное число шагов найдем равновесие по Нэшу
для этого случая.
Сравнение равновесий по Нэшу и по Вальрасу
Пусть О(р) = К/p, Va = V, са = с. В этом случае равновесие по
Нэшу v и соответствующая ему цена р* определяется по формулам:
Va A v° — = если v* V,
1 V, если v* > V,
♦ _ ГК/(ти*) = ст/(т - 1), если v* V,
|K/(mV), если v* > V.
§ 18. Модели олигополии
191
Чтобы найти равновесие по Вальрасу, надо найти пересечение функ-
ций спроса и предложения, причем
{О, р < с,
[О,mV], р = с,
mV, р> с.
Если К/с mV, тор = с (рис. 18.1), иначе р = К/(mV) (рис. 18.2).
В итоге получаем следующий результат.
Теорема 18.2. Для данной модели возможны следующие соотно-
шения равновесий по Нэшу и по Вальрасу.
1) Если V К/(ст), то
р* = ст/(т — 1), v* = К(т — 1)/(ст2), р = с, va = К/(ст),
т.е. равновесная цена для олигополии р* превышает цену конкурент-
ного равновесия р в т/(т — 1) раз (рис. 18.1).
2) Если К/(ст) > V > К(т - 1)/(ст2), то
р* = ст/(т — 1), v* = К(т - l)/(cm2), р = К/(mV), va = V, т.е.
цены отличаются в меньшей степени.
3) При V К(т - 1)/(ст2) цены и объемы совпадают: р* = р =
K/(mV), v* = va = V. (см. рис. 18.2).
Таким образом, если ограничение объема выпуска несущественно
(V К/(ст)), то для малых т получаем следующие соотношения цен:
т = 2 =>р = р*/2; m = 3 => р = 2р*/3; т = 4 => р = Зр*/4.
Так как
а€Л
192
Глава IV. Введение в математическую экономику
то соотношение объемов обратно пропорционально соотношению соот-
ветствующих цен, т.е. v*/v = 1 — 1/тп, в частности,
тп = 2 => v = 2v*; m = 3 => v = 3v*/2; m = 4 => v = 4v*/3.
Модель Курно позволяет обосновать меры по антимонопольному ре-
гулированию. Из анализа этой модели вытекает, что если на рынке
действует хотя бы четыре компании, то отклонение по объему от со-
стояния конкурентного равновесия по Вальрасу составляет не более
25%, а отклонение по цене не более 33%. При этом объем выпуска
на каждом из четырех предприятий, присутствующих на рынке, дол-
жен составлять v* = ЗК/(16с) (т.е. 3/16 от равновесного по Вальрасу
общего объема производства). Согласно антимонопольному законода?-
тельству США, к предприятию могут применяться антимонопольные
меры, если оно контролирует более 30% рынка. Исходя из модели Кур-
но, таким образом обеспечивается определенная степень близости к
конкурентному равновесию.
Упражнение 18.1. Покажите, что равновесие по Нэшу для модели
Курно не существует, если Dip) = К/ра, 0 < а 1/тп, са = с.
Упражнение 18.2. Найдите равновесия по Нэшу для модели Курно
и сравните их с конкурентным равновесием в следующих условиях:
1. D(p) = К/ра, а > 1/m, са = с, Va = V.
2. D(p) = K/p, са = с, V1 V2 ... > Vm.
3. D(p) = К/p, с1 с2 ^ ... ^ cm, Va = V К/с1.
Достоинства модели Курно:
а) проста для исследования;
б) согласуется с моделью конкурентного равновесия;
в) условия совершенной конкуренции и оценки отклонения от них
легко формализуются.
Недостатки модели Курно:
а) неясно, какое отношение модель имеет к реальным рынкам, по-
скольку на практике нет таких механизмов ценообразования: произво-
дитель назначает и цену, и объем выпуска. Исследование соответству-
ющей модели показывает, что найденное для модели Курно равновесие
по Нэшу неустойчиво к изменению цен (см. следующий параграф);
б) видимо, модель не соответствует и экономической статистике.
Например, по России доля торговой наценки в цене на мелкооптовых
рынках превышает 50%, хотя количество продавцов каждого товара
велико.
§ 18. Модели олигополии
193
Модель ценовой конкуренции Бертрана-Эджворта
Рассмотрим другой вариант модели олигополии. Рынок предпола-
гается прежним: А — множество производителей товара, с® и Vй -
постоянные удельная себестоимость и максимальный объем выпуска
производителя a, D(p) — функция спроса. Потребители — мелкие,
они образуют континуум, каждый из них может купить одну единицу
товара. Потребитель характеризуется резервной ценой г 0. Он поку-
пает, если ему достается товар по цене р г и не покупает в противном
случае.
Ответы на поставленные вопросы относительно условий реализа-
ции конкурентного равновесия и оценки отклонения от него зависят от
механизма взаимодействия между производителями и потребителями.
В качестве примера такого механизма рассмотрим односторонний аук-
цион первой цены. Производители-продавцы одновременно и незави-
симо назначают цены за са на свой товар. Потребители-покупатели
выстраиваются в очередь и покупают предложенный товар в порядке
возрастания цены с учетом их резервных цен. При этом важен порядок
прихода покупателей на рынок.
Пример 18.1. На рынке взаимодействуют два продавца и две груп-
пы покупателей со следующими параметрами: з1 = 5, V1 = 100; з2 =
7, V2 = 50; г1 = 6, D1 = 110; г2 = 8, D2 = 40, где за — цена,
назначенная продавцом a, Va — предложенный по этой цене объем
товара, г* — резервная цена для группы покупателей г, D1 — объем
их спроса (который неэластичен при р < г*)-
Если на рынок первыми приходят «бедные» покупатели (т.е. с низ-
кой резервной ценой), то они покупают 100 единиц по цене 5, а потом
«богатые» купят 40 единиц по цене 7. Если же на рынок первыми при-
ходят «богатые», то они покупают 40 единиц по цене 5, а потом «бед-
ные» покупают 60 единиц по цене 5. Очевидно, что прибыль второго
продавца при этом существенно меняется.
Далее будем предполагать, что потребители с различными резерв-
ными ценами г распределены в соответствии с плотностью р(г) —
неотрицательной функцией, интегрируемой на полупрямой [0, оо). Это
значит, что при заданной цене р г и малом dr потребители с резерв-
ными ценами из отрезка [г, г + dr] купят товар в количестве p(r)dr.
Пусть имеется такое число М > 0, что плотность р(г) положительна
на интервале (0, М), а потребители с резервными ценами г М имеют
дополнительную возможность приобрести товар на другом рынке по
194
Глава IV. Введение в математическую экономику
фиксированной цене М. Тогда функция спроса имеет вид:
IJ p(r)dr,
р
[О,/ p(r)dr],
м
0,
Р<М,
р = М,
р> м.
Отметим, что D(p) можно интерпретировать как общее число потре-
бителей, желающих приобрести товар по цене р. Ясно, что функция
D(p) — убывающая и дифференцируемая на интервале (0, М). Далее
будем считать, что £ Va > D+(M).
a:ca<M
В сделанных предположениях равновесная цена р однозначно опре-
деляется из условия D(p) е [S”(p),S+(p)], причем D(p) > 0.
Набор цен з = (sa, a Е А), установленных производителями, опре-
деляет вектор фактического предложения товара:
V(s) = (V^(s), р Е Р(з)), где V^(s) = £3 ~ количество товара,
a:sa=p
предложенное по цене р, а Р(з) — множество назначенных цен.
В общем случае процесс продажи характеризуется функцией оста-
точного спроса. Функция остаточного спроса D(p, V) показывает, ка-
ков остаточный спрос по цене р после продажи всех объемов Vp> по
ценам р' < р, р' Е Р(з). Рассмотрим три конкретных вида функций
остаточного спроса, связанных с правилами рационирования, т.е. с по-
рядком потребителей в очереди:
1. Приоритет потребителей с большей резервной ценой:
D1
(18.10)
(p,V) = max 0,D(p)-^^ .
p'<p
2. Потребители равномерно распределены в очереди и остаточный
спрос формируется по пропорциональному правилу:
Р2(р, V) = £>(р) max 0,1 - £ .
р'<р
3. Приоритет потребителей с низкой резервной ценой:
Р3(р, V) = max 0,min D(p) - Vp>
L ₽$₽ L ?<₽-<₽
(18.11)
(18.12)
§ 18. Модели олигополии
195
Упражнение 18.3. Докажите формулы (18.10—12).
При любом порядке потребителей в очереди справедливо соотноше-
ние D1^, V) Z>(p, V) Р3(р, V), означающее, что остаточный спрос
убывает быстрее всего в случае 1 и медленнее всего — в случае 3.
Далее рассмотрим произвольный порядок потребителей в очереди,
считая, что остаточный спрос характеризуется функцией D(p, V), удо-
влетворяющей при любых р < р следующим неравенствам:
<£(P,V)<ma40,D(fcF)- £ Ы (1813)
р'<р р&>'<р
Помимо этого, потребуем, чтобы функция D(p, V(s)) была непрерывна
по любой переменной зЛ в интервале 0 < зЛ < р при фиксированных
остальных переменных.
По функции остаточного спроса D(p, V) для любых стратегий за
производителей однозначно определяется максимальная продажная
ценар(з) = max{p Е Р(з) | D(p,V(s)) > 0}, при которой остаточный
спрос еще положителен.
Определим правило распределения величины D(p, V(s)) для про-
изводителей а, выбравших за = р(з). Разобьем их на две группы:
Ai = {а Е А | са < за = р(з)}, А2 = {а Е А | са = за = р(з)}.
Если D(p(s)9V(s)) < Va, то весь остаточный спрос распределя-
a£Ai
ется между производителями а Е Ai пропорционально их максималь-
ным объемам предложения Va. При этом производитель а выпуска-
ет свой товар в количестве va = VaD(p(s), V(s))/ 22 Va- В случае
aEAi
D(p(s), V(s)) 22 Va производители a E Ai выпускают свой товар в
количестве Va. Величина остатка спроса
r>(p(s),V(s)) d=max[o,Z)(p(S),V(S)) - £ Vе]
распределяется между производителями а Е А2 по аналогичному пра-
вилу.
Итак, при распределении остаточного спроса приоритетом пользу-
ются фирмы, для которых себестоимости ниже продажной цены. По-
следнее условие вводится для технического удобства, поскольку опре-
деляемые ниже функции выигрыша разрывны, и данная модель опи-
сывает распределение покупателей при разности цен, близкой к нулю.
196
Глава IV. Введение в математическую экономику
В качестве выигрыша производителя а рассмотрим его прибыль
- с“)У°,
(p(s) — c“)V“ min
(о,
Д(р(а),У(з))
Е vb
за < р(з),
а Е Ai,
а Е Аг или за > р(з).
Таким образом, описана модель ценовой конкуренции производителей
как игра в нормальной форме Г = ^А,{sa | за е?},иа(з), а Е А^,
где игроки а Е А - фирмы, множества стратегий {sa | за сл} — мно-
жества цен, которые они могут назначить, функции выигрыша ua(s)
определяют прибыли фирм.
Известные модели поведения в игре Г - это равновесие по Нэ-
шу, решение по доминированию, модели игровой динамики (динамика
наилучших ответов, адаптивные динамики).
Рассмотрим сначала необходимые условия для равновесия по Нэшу
описанной игры.
Теорема 18.3. Пусть а — равновесие по Нэшу, р — цена конкурент-
ного равновесия. Тогда справедливо одно из следующих двух условий:
1) р($) = р и для каждого производителя а, имеющего са < р,
выполнено sa = р.
2) р($) > р и найдется единственный производитель а, для которого
са < р(з) = 5е, при этом сл р (рис. 18.3).
Доказательство. Заметим, что Е Va S (р) D(p). Отсюда
а: са<р
и из первого неравенства (18.13) вытекает, что каждый производитель
§ 18. Модели олигополии
197
а, для которого с® < р, сможет продать весь свой товар по цене р.
Поэтому для ситуации равновесия s mins® р => р(з) р.
а£А
Пусть р(з) = р. Если са < р < з®, то производитель а ничего не
продаст. Ему выгодно отклониться и выбрать цену за = р, получив
положительную прибыль (противоречие). Итак, са < р => s0, = р.
Пусть р(з) > р. Предположим, что для некоторого производителя
а выполнено с® s® < р(з). По определению р(з) он продаст весь
свой товар в объеме V®. Если он увеличит цену до s® = з® + е, то
при малом е > 0 в силу свойства непрерывности остаточный спрос
D(p(s), V(s||s®)) останется положительным. Следовательно, произво-
дитель а продаст товар в объеме Va и увеличит прибыль (противо-
речие). Итак, с® < p(s) => s® = р(з). Далее, £ V® > D(p) >
а: с®<р(7)
D(p(s)). Поэтому, если производителей а, для которых с® < р(з), по
меньшей мере двое, то они не смогут реализовать полностью свои объ-
емы по цене р(з). Одному из них выгодно отклониться и назначить це-
ну р(з)—е. В результате он увеличит свою прибыль, что противоречит
определению ситуации равновесия.
Следствие. Если найдутся два производителя а, для которых с® <
р, и существует равновесие по Нэшу з, то р(з) = р (см. рис. 18.4).
Упражнение 18.4- В условиях предыдущего следствия дополни-
тельно предположим, что S+(p) > D(p) (рис. 18.5). Докажите, что
для производителя а, имеющего удельную себестоимость с® = р, вы-
полнено неравенство Va S+(p) — D(p).
Теперь сформулируем достаточные условия существования равно-
весия по Нэшу.
198
Глава ГУ. Введение в математическую экономику
Теорема 18.4. Предположим, что
У Va - max Va D(p). (18.14)
' a: ca^p
a: ca ^p
Тогда любая ситуация s, удовлетворяющая условию: sa = р, если
с“ р, является равновесием по Нэшу.
Доказательство. По условию р(з) = р. Производители а, для ко-
торых 3е са > р, ничего не продадут. Отклоняться им от своих
стратегий з“ не имеет смысла, поскольку их прибыль останется нуле-
вой. Рассмотрим теперь производителей а, для которых са р. Если
один из них увеличит цену до з0, = р+е, то ничего не продаст, так как
по условию (18.14) другие представители этой группы полностью по-
кроют спрос по цене р и остаточный спрос по цене р+е будет нулевым.
Поэтому увеличивать цену производителю а невыгодно. Уменьшать ее
(если са < р) также не имеет смысла. Действительно, поскольку
Е Va<S~(p)<D(p),
<в: с®<р
производитель а сможет продать весь свой объем по цене р. Итак, з —
равновесие по Нэшу.
Введем обозначение: с = max са.
а: с®<р
Теорема 18-5. Предположим, что S+(p) = S”(p) = О(р) и суще-
ствуют хотя бы два производителя ai и аг, для которых max[cai, са2] <
р (см. рис. 18.4).
1) Пусть Р(р)(р — с) D(p)(p - с) при р Е [р, М] и
D(p, V) Vp'/W). (18.15)
р'<р
Тогда любая ситуация з, удовлетворяющая условию: за = р, если
са р, является равновесием по Нэшу.
2) Пусть в некоторой правой полуокрестности точки р выполнены
неравенства О(р)(р - с) D(p)(p - с) и
d(p,v)>z>(p)(i-£ VW)),
р’<р
(18.16)
при этом хотя бы одно из них строгое. Тогда в модели ценовой конку-
ренции не существует равновесия по Нэшу.
§ 18. Модели олигополии
199
Доказательство. Из равенства S+(p) = S”(p) вытекает, что не
существует производителей а, для которых са — р. Далее, равенства
S(p) = 52 Va = D(p) означают, что спрос по цене р будет удовлетво-
а:с® <р
рен полностью. Поэтому производитель а, для которого за са > р,
ничего не продаст. Следовательно, р(з) = р.
1) Из условия следует, что Р(р)(р-са) £>(р)(р-са) при р Е [р, М]
для всех производителей а, имеющих удельную себестоимость са < р.
Действительно, при р > р из неравенства D(p)(p - с) D(jp)(p — с)
получаем D(p)p - D(p)p c(D(p) - D(p)) ca(D(p) - D(p)). Отсюда
D(p)(p - са) D(p)(p - с*).
Рассмотрим производителя а, такого, что с® < р. Ему невыгодно
снижать цену за = р, поскольку он продаст весь свой объем Va и по
цене р. Ему невыгодно выбирать и более высокую цену за > р, так как
u“(s||s“) = (sa—ca)D(sa, V(5||s“)) (S“-C“)D(e“)(l-^(s||S“)/D(p)) =
= (S“-c“)D(S“)(l- £ Vb/ £ Vb) =
b : cb<pt b^a b : cb<p
= (sa - ca)D(sa)Va/D(p) (p - ca)Va = иа(з).
2) Предположим, что существует равновесие по Нэшу з. Рассмот-
рим производителя, имеющего удельную себестоимость са = с < р.
При назначении новой цены за = р + е его прибыль будет равна
«W) = (в“ - c)D(sa, У(ф“)) > (sa - c)D(sa)(l - Vp(s\\sa)/D(p)) =
= («“ - c)D(«“)V“/D(p) £ (p - c)V“ = ua(s),
при этом одно из последних двух неравенств выполнено как строгое.
Следовательно, получено противоречие с тем, что ситуация s является
равновесием по Нэшу.
Рассмотрим цену р* и набор объемов v*, а Е А, отвечающих равно-
весию по Нэшу в модели Курно, или исход Курно. Из доказательства
второго утверждения теоремы 18.5 вытекает, что в его условиях исход
Курно не является равновесием по Нэшу в модели ценовой конкурен-
ции, если можно одновременно менять цену и объем предлагаемого
товара. В частности, если
D(p) = К/p, са = с, Va = V К(т - 1)/(ст2),
то согласно теореме 18.2, в модели Курно существует равновесие по
Нэшу v = (V,..., V) с ценой р* = р. Но по второй части теоремы 18.5
200
Глава IV. Введение в математическую экономику
в модели ценовой конкуренции з = (р*,.-->Р*) не является ситуацией
равновесия.
Рассмотрим также модели с последовательным выбором цен и объ-
емов. Пусть на первом этапе производители одновременно назначают
цены за са, а на втором определяют объемы выпуска va Е [0, Уа],
зная цены sa, а Е А. Покажем, что на втором этапе оптимальный
выбор (решение по доминированию) соответствует объемам продаж в
рассмотренной модели ценовой конкуренции. Действительно, заметим,
что в этой модели функция выигрыша производителя а иа не убывает
по параметру Va при фиксированных остальных переменных. Поэтому
стратегия игрока a (sa, Va) слабо доминирует любую его стратегию
(sa, va), где va < Va. Таким образом, данный случай двухэтапной игры
эквивалентен модели ценовой конкуренции.
Предположим теперь, что цены и объемы выбираются в обратном
порядке: на первом этапе производители устанавливают фиксирован-
ные объемы va Е [0, Va], а на втором - цены за са, зная объемы
va, a G А. Прибыль, получаемая производителем а равна vasa — cava,
где va — объем реализованной продукции, определяемый (остаточным)
спросом по цене за. Заметим, что на втором этапе оптимизация этой
прибыли не зависит от издержек cava (объемы va были выбраны на
первом этапе и не меняются). Поэтому на втором этапе игроки фак-
тически действуют в рамках модели ценовой конкуренции с нулевыми
удельными себестоимостями.
Тогда справедливо следующее утверждение.
Теорема 18.6. 1) Пусть при достаточно малых р выполнено нера-
венство
а£А
Если е(Р(р)) 1 при р Е [р,М] и для функции остаточного спроса
выполнено условие (18.15), то совершенные подыгровые равновесия в
рассматриваемой двухэтапной игре однозначно соответствуют равно-
весиям в модели Курно.
2) Пусть для функций спроса и остаточного спроса при некотором
р Е [р, М] выполнены неравенства D(p)p D(p)p и (18.16), причем
хотя бы одно из них строгое. Тогда совершенного подыгрового равно-
весия в двухэтапной игре не существует.
Доказательство. Пусть выбраны va, а Е А. Функция предложения
определяется этими объемами. Поэтому цена конкурентного равнове-
сия р(у) зависит от вектора v. Как отмечалось выше, на втором этапе
§19. Налоговое регулирование
201
удельные себестоимости можно считать нулевыми. Поэтому цена p(v)
однозначно определяется из условия D(p) = £ va (см. рис. 18.6).
аеА
1) Условие e(D(p)) 1 гарантирует выполнение неравенства
D(p)p D(p)p при р Е [р, М]. Поэтому все условия первой части
теоремы 18.5 выполнены. Из него вытекает, что в рассматриваемой
подыгре существует единственное равновесие по Нэшу, соответствую-
щее ситуации s, для которой V а € A sa — p(v). Таким образом,
первый этап эквивалентен модели Курно.
2) Согласно доказательству второй части теоремы 18.5 равновесия
по Нэшу на втором этапе не существует ни при каком выборе объемов
vae[o,va].H
Таким образом, в условиях первой части данной теоремы двухэтап-
ная модель сводится к модели Курно. Для каких товаров выполне-
ны эти условия? Для тех, спрос на которые эластичен и производство
которых нельзя осуществлять по мере поступления заказов, а также
нельзя без значительных издержек долго держать их на складе. В
качестве примера отметим импортные фрукты. Для большинства же
товаров указанные условия не выполнены.
§19. Налоговое регулирование
Создание эффективно функционирующей системы налогообложе-
ния является одной из наиболее актуальных задач для стран, в ко-
торых развивается рыночная экономика. Бюджетный сектор экономи-
ки, существующий в основном за счет налоговых сборов, выполняет
ряд важных функций. Прежде всего, он обеспечивает производство
товаров и услуг, которые не может эффективно производить рынок.
Некоторые из этих услуг необходимы для функционирования рыноч-
ной экономики. В частности, к ним относятся защита прав собственно-
сти и обеспечение выполнения заключенных сделок. Если эти условия
не обеспечены, то эффективность экономического рынка резко сни-
жается: большие ресурсы расходуются на захват чужой собственности
и/или защиту от грабежа и обмана.
Бюджетный сектор производит также другие товары и услуги, от-
носящиеся к так называемым общественным благам. Их специфика
состоит в том, что невозможно или очень дорого распределять их с
помощью рыночного механизма, т.е. продавая индивидуальным потре-
бителям. Известными примерами общественных благ являются маяки,
радио- и телетрансляторы, дорожная инфраструктура. К другому ти-
пу общественных благ относятся услуги, которые целесообразно предо-
202
Глава IV. Введение в математическую экономику
ставить определенной части населения независимо от покупательной
способности отдельных потребителей. Во многих странах в эту ка-
тегорию входят определенный уровень образования, здравоохранения
и информационного обеспечения населения. Целесообразный уровень
обеспечения такими услугами определяется государственными органа-
ми, исходя как из экономических, так и внеэкономических соображе-
ний. Например, определенный уровень культуры и знаний населения
может рассматриваться как самостоятельная ценность вне зависимо-
сти от потребностей экономического рынка.
Основной источник доходов государства - налоги. В качестве при-
мера рассмотрим структуру бюджета США за 1987 г. Национальный
доход США составил 4 трлн. 527 млрд, долларов. Доходы федераль-
ного бюджета: 854 млрд, долларов. Источники дохода: 46% — подо-
ходный налог с физических лиц, 35% - начисление с зарплаты, 10%
- налог на прибыль с корпораций, 4% - акцизы, 5% - таможенные
сборы. Расходы: 1 трлн. 4 млрд, долларов. Статьи расходов: 40% -
социальная помощь, 28% — национальная оборона, 14% — погашение
государственного долга, 7% — государственное образование и медицин-
ские учреждения, 7% — развитие транспортной сети, 4% - субсидии
фермерам.
Рассмотрим основные виды налогов и их влияние на поведение про-
изводителей на конкурентном рынке.
Налог с продаж
Налог с продаж взимается с товаров, которые продаются конечно-
му потребителю. Налог с продаж характеризуется ставкой ts 6 [0,1],
показывающей, какая часть стоимости товара должна поступать в го-
сударственный бюджет. Посмотрим, как налог с продаж влияет на
функции прибыли и предложения.
Без налога с продаж
Pra(p, V) = pV - C(V) - функция прибыли,
Sa(p) = ArgmaxPra(p,y) — функция предложения.
С налогом с продаж функции прибыли и предложения равны
Pra(p,V,M = (l-MpV-C(V),
Sa(p,t») = Arg max Pr“(p, У, ta) = S“(p(l -1,)).
§19. Налоговое регулирование
203
Отсюда следует, что график функции предложения растягивается в
по оси р в 1/(1 -t8) раз (рис. 19.1).
Поскольку функция Sa(p) монотонно не убывает по р, то Sa(p, t8)
Sa(p). То же самое справедливо для совокупной функции предложения
отрасли
a£A
т.е. S(p,t8) S(p). Если собранные налоги не влияют на функцию
спроса или увеличивают ее значения, то равновесная цена не убывает
по t8.
Акцизный налог
Акцизный налог берется не с объема выручки, а с каждой едини-
цы товара (пачки сигарет, бутылки спиртного и т.п.). Ставка акцизно-
го налога te показывает, сколько надо заплатить в бюджет с каждой
единицы проданной продукции. Рассмотрим влияние этого налога на
функции прибыли и предложения
Рга(р,У,1е) = (p-te)V-С(У),
sa(p, te) = Arg max Pr“(p, V, te) = Sa(p-te).
Таким образом, график функции предложения смещается вправо на
te единиц.
Налог на прибыль
Ставка налога на прибыль tpr € [0,1] показывает, какая часть при-
были должна поступить в бюджет. Функция прибыли меняется следу-
ющим образом:
Pr°(p, V, tpr) = (1 - tpr)(pV - C(V)) = (1 - tpr)Pr“(p, V),
204
Глава IV Введение в математическую экономику
а функция предложения остается неизменной:
Sa(p,tpr) = Argmax(l - *рт)Рг“(р, V) = S°(p).
Это относится к краткосрочному анализу, в то же время в долго-
срочном плане налог на прибыль может оказать существенное вли-
яние на равновесие в отрасли. Этот налог делает менее выгодными
инвестиции в строительство новых мощностей и поддержание старых
мощностей. С течением времени функция предложения может начать
уменьшаться, так как старое оборудование будет выходить из строя,
а новое покупать будет невыгодно. Введение высокого налога на при-
быль ведет к тому, что из отраслей, где легко взимать налог на при-
быль, капитал перетекает в отрасли, где легче скрывать прибыль от
налогов. Итак, введение высокого налога на прибыль способствует раз-
витию теневой экономики.
Таким образом, в долгосрочном плане налог на прибыль оказывает
влияние на функцию предложения, и даже в краткосрочном плане он
ведет к перетеканию капитала в теневой сектор.
Налог на добавленную стоимость (НДС)
Когда рассчитывается налог на прибыль, то из выручки от прода-
жи вычитаются все издержки. НДС отличается тем, что при расчете
базы налогообложения вычитаются не все издержки. Рассмотрим по-
дробнее структуру издержек предприятия. Их можно представить в
виде C(V) = Ci(V) + C^V), где Ci(V) - это расходы на приобрете-
ния сырья и прочих необходимых для производства товаров, выпущен-
ных другими производителями, a ^(V) — это внутренние затраты на
данном предприятии, прежде всего - заработная плата (а также неко-
торые другие виды издержек, в частности, расходы на рекламу).
Когда рассчитывается база НДС, из выручки pV вычитаются из-
держки первого типа C'i(V). Это гарантирует, что каждый произве-
денный в экономике товар облагается НДС только один раз. Величина
НДС равна tvAT&V ~ Сд(У)), где tv ат £ [0,1] - ставка НДС. При
этом прибыль предприятия составляет
РгЛ(р, V, tvat) =pV~ C(V) - tVAT(pV - Ci (У)) =
= (1 - tvAT)(pV - С1(У)) - C2(V).
НДС занимает промежуточное положение между налогом с продаж и
налогом на прибыль. Он оказывает определенное влияние на функцию
§19. Налоговое регулирование
205
предложения, снижая ее, но какое именно — зависит от соотношения
Ci(V)hC2(V).
Подоходный налог
Этот налог в отличие от всех предыдущих относится не к произ-
водителям, а к потребителям. Ставка подоходного налога ti(I) Е [0,1]
показывает, какая часть дохода I должна быть уплачена в виде налога.
Типичный вид налога соответствует кусочно-линейной неубывающей
ставке налога (рис. 19.2).
Здесь Л — налогонеоблагаемый минимум. Сейчас в России дей-
ствует более простая схема налогообложения: весь доход свыше Л об-
лагается по ставке 13% (рис. 19.3).
В бюджете России, в отличие от США, подоходный налог дает
небольшую долю (10%), а наиболее важными являются НДС, акци-
зы и налог на прибыль.
Расчет ставки налога
В настоящее время развитие рыночных отношений в России про-
исходит в условиях резкого сокращения реальной заработной платы
в важнейших бюджетных отраслях. В результате значительная часть
наиболее энергичных и способных работников уходят из государствен-
ных систем образования, здравоохранения, науки и культуры. Этот
процесс представляет серьезную угрозу для будущего России. Таким
образом, повышение реальной заработной платы работников бюджет-
ной сферы является весьма актуальной задачей. Источником для по-
крытия расходов бюджета могут служить налоговые поступления. Рас-
смотрим соответствующую задачу расчета ставки налога с продаж для
модели однопродуктовой экономики. Пусть S(p) - функция предло-
жения товара, Pi(p) — функция спроса части населения, относящей-
ся к рыночному сектору, <2г(р) - доходы населения, относящегося к
206
Глава IV. Введение в математическую экономику
бюджетному сектору, из внебюджетных источников, D2 — желатель-
ный объем потребления для этой части населения. Предположим, что
функции S(p) и Di(p) - однозначные. Тогда в отсутствие налога рав-
новесная цена определяется из условия S(p) = Di(p) + Qzipj/p-
^Необходимость введения налога возникает в случае, если ф2(р) <
pD2. Пусть p(t8) — равновесная цена при ставке налога с продаж t8.
Для расчета необходимой ставки получаем следующую систему урав-
нений:
S(p(tJ(l -t8)) = Pi(p(tJ) + Р2,
р(^в)Г2 = Ь)Ж*Д
Эта система позволяет определить нужное значение ставки t8 и
соответствующую цену p(t8) в общих предположениях относительно
параметров модели. В частности, если спрос рыночного сектора явля-
ется неэластичным (Pi(p) = Pi), а внебюджетный доход бюджетников
пропорционален цене (ф2(р) = ЬГр), то
ts = (Р2 - ^)/(Рг + Р2), p(t8) = S“x(Pi + P2)/(l - t8).
Упражнение 19.1. Построить и исследовать аналогичные модели
для расчета ставок акцизного налога и налога на прибыль.
Однако на практике налоговых поступлений часто оказывается недо-
статочно. В этом случае традиционные методы регулирования рыноч-
ной экономики, разработанные Кейнсом и его последователями (см.[2]),
предусматривают единственный способ решения: увеличение номиналь-
ной зарплаты. Связанный с этим рост бюджетных расходов ведет к
усилению инфляции, спекулятивному характеру экономической актив-
ности (инвестиции идут не в развитие производства, а тратятся на
государственные облигации).
Альтернативой является рост предложения дешевых потребитель-
ских товаров и снижение рыночных цен. Одна из возможностей регу-
лирования предложения — это товарные интервенции. Государствен-
ные и региональные органы управления осуществляют их путем за-
купки товаров на внешнем рынке (либо по специальным договорам с
местными предприятиями) и перепродажи потребителям по снижен-
ным ценам. Другой путь — выделение предприятиям субсидий или
льготных кредитов для внедрения технологий с низкими себестоимо-
стями. Следующая модель посвящена поиску оптимальной стратегии,
позволяющей обеспечить некоторый фиксированный уровень потреб-
ления для людей, основной доход которых представляют выплаты из
§ 19. Налоговое регулирование
207
бюджета (зарплаты, стипендии, пенсии и т.п.). Оптимальное опреде-
ление этого уровня представляет самостоятельную проблему, которая
здесь не обсуждается. Мы рассматриваем стратегии, сочетающие оба
указанных подхода: повышение номинальных доходов и дотирование
производства более дешевых товаров - и определяем оптимальное
их сочетание. При этом решается задача минимизации общих расхо-
дов бюджета. Такая постановка наиболее оправдана на региональном
уровне, на который падает большая часть расходов по финансирова-
нию бюджетных отраслей. Именно для этого уровня формулируется и
изучается описанная задача.
Рассмотрим следующий рынок с одним товаром. Пусть А — ко-
нечное множество фирм, поставляющих товар. Каждая фирма а рас-
полагает набором производственных мощностей Ia. Мощность i Е Ia
характеризуется максимальным объемом К и постоянной удельной се-
бестоимостью Ci единицы продукции. Каждая фирма стремится к мак-
симальной прибыли. Все доступные мощности могут использоваться
одновременно.
Функция предложения S»(p) указывает количество товара, выпус-
каемого на мощности типа i в зависимости от цены р, и имеет вид
0, Р < Ci,
Si(p) = [0,V-], р = Ъ,
Общий объем поставок товара на рынок задается функцией
аел ieia
Население региона делится на две группы - независимую и зависи-
мую — следующим образом. Индивидуумы первой группы относятся
к частной сфере экономики и самостоятельно обеспечивают себя то-
варом. Для зависимых жителей региона основным источником дохода
является бюджет, и задача администрации — обеспечить определен-
ный уровень потребления этих жителей. Для упрощения модели зави-
симая группа предполагается однородной.
Пусть функция Di (р) определяет спрос на товар со стороны первой
(независимой) группы. Доход зависимой группы из прочих источни-
ков, кроме регионального бюджета, задается функцией рРг(р)- Весь
этот доход вместе с выплатами из бюджета, или субсидиями, расходу-
ется на приобретение товара.
208
Глава ГУ. Введение в математическую экономику
Таким образом, спрос на товар со стороны зависимой группы со-
ставляет D2(K,p) = Рг(р) + К/p, где К - объем субсидий. Цена р(К)
на рынке определяется из условия баланса спроса и предложения:
Di(p) + D2(K,p)eS(p).
(19.1)
Функции спроса Di(p) и Рг(р) предполагаются дифференцируемыми
и невозрастающими.
Пусть Z>2 - желательный уровень потребления зависимой группы.
В отсутствие субсидий, т. е. при_К = 0, равновесная цена р(0) удо-
влетворяет условию D2(p(0)) < D2 (в противном случае указанный
уровень потребления достигается без вмешательства администрации).
Обозначим через Qi(p) = pDi(p) спрос в денежном выражении по
цене р для Z-й группы населения, I = 1,2, а через Ко(р) объем субси-
дий, необходимых для того, чтобы зависимая группа могла приобрести
товар в количестве D2 по цене р. Тогда
Kd(p) = (D2 - D2(p))p = D2p - Q2(p).
(19.2)
Пусть p8 - цена, для которой Di(pe) + D2 6 S(ps) (рис. 19.4).
PD P Ps q(p) = cj{p) p
Puc. 194
Для того, чтобы обеспечить за счет субсидий желательный уровень
потребления зависимой группы, следует выделить их в объеме
Kd(Ps) = (Р2 ~ D2(pa))p,.
Другой путь повышения уровня потребления зависимой группы связан
с изменением предложения товара на рынке.
Рассмотрим некоторую цену р < ps. Если администрация обеспе-
чит дополнительное предложение товара в объеме Pi(p) + D2 - S(p)
по этой цене и одновременно выделит субсидии зависимой группе в
размере Kd(p), то р окажется новой равновесной ценой. Общее зна-
чение спроса и предложения составит Di(p) 4- и будет достигнут
§19. Налоговое регулирование
209
желаемый уровень потребления зависимой группы. Дополнительное
предложение можно обеспечить, заключая с предприятиями догово-
ры, предусматривающие выпуск продукции на мощностях, для кото-
рых себестоимость Ci > р. При этом оплата осуществляется по себе-
стоимости. (Она фактически и определена выше как минимальная це-
на, обеспечивающая прибыльность использования данной мощности).
Практически договор может предусматривать, например, доплату за
работу в вечерние и ночные часы или выходные. Отметим, что при
реализации такого договора необходим контроль, исключающий воз-
можность фактического выпуска поставляемого товара на мощностях
с низкими себестоимостями.
Возможный вариант — закупка администрацией товара на внешнем
рынке. В этом случае себестоимость включает расходы на доставку.
Предполагается, что функция предложения S(p) отражает все указан-
ные возможности.
Определим, какова минимальная величина К8(р) расходов админи-
страции на дополнительное предложение товара по цене р в количе-
стве Pi(p) 4-1?2 — S(p). Пусть технологии перенумерованы в порядке
возрастания себестоимости: с\ сг ... с™, а мощности i(p),j(p)
определяются из условий
г(р) = max{t | <^ О}> £ V» < Р1(р) + Рг ^ £ Vi'
Тогда следует заключить договоры на полную загрузку мощностей
г(р) +1,..., j(p) — 1, а на мощности j(p) — обеспечить выпуск в количе-
стве
v№)(p) = p1(p) + p2- £ Vi
i<i(p)
(см. рис. 19.4). Размер необходимых дотаций составит
№) _
Ks(p)= £ Vi(p)(ci-p),
i=i(p)+l
где Vt(p) = Vt, i = i(p) + 1,j(p) - 1.
Введя обозначение q(p) = Cj(p), можно переписать это выражение
в интегральной форме
<г(р)
К.(р) = I (Diip) + D2- $(р))Ф =
р
210
Глава IV. Введение в математическую экономику
«(р)
= (А(р) + D2)(q(p) -р) - У S(p)dp. (19.3)
р
Отметим, что q(p) - кусочно-постоянная невозрастающая функция,
имеющая разрывы в точках р&, получаемых из уравнений
k
Dr(p) D2 = fc = l,...,m.
Далее, Di(p) + D2 - S(p) > 0 при p 6 [p,g(p)). Отсюда следует, что
функция К sip) непрерывная и убывающая.
Обозначим через рр цену, по которой зависимая группа в состоянии
без субсидий приобрести товар в количестве D2, т.е. D2(po) — D2. Ад-
министрации, очевидно, нет смысла поддерживать новую равновесную
цену ниже рр. Таким образом, любая рациональная стратегия финан-
сирования зависимой группы полностью определяется выбором цены
Р € [рр,Рз]> которую администрация региона поддерживает как рав-
новесную. Задача выбора оптимальной стратегии сводится к поиску
р* Е Arg min К(р), (19.4)
где K(p) = Кр(р) + а Кр(р) и К8(р) определяются согласно
(19.2) и (19.3).
Отметим, что функция К(р) имеет производную
К(р) = S(p) + Z>i(p)(g(p) - р) - #1(р) - Сг(р) (19.5)
всюду, за исключением точек р = с>, i = 1,..., тп, и точек скачков функ-
ции д(р). В этих точках р производная имеет разрывы первого рода,
причем А+(р) > К_(р). В дальнейшем будем более коротко говорить,
что функция К(р) определена почти всюду.
Упражнение 19.2. Покажите, что если для суммарного спроса
D(p) = Dr(p) + D2(p) 4- К/p эластичность e(D(p)) = |pP(p)/D(p)| < 1,
то Qi(p) + <9г(р) > 0 при всех р Е [pd,pJ.
Упражнение 19.8. Покажите, что если Di(p) 0, a Q2(p) 0, то
функция К(р) выпукла, и необходимое условие ее минимума К_(р*)
0, К+(р*) > 0 является также и достаточным условием.
Теорема 19.1. Любое решение р* задачи (19.4) удовлетворяет нера-
венству р* ps. В зависимости от функций спроса Pi(p), D2(p) опти-
мальная цена р* обладает следующими свойствами.
§19. Налоговое регулирование
211
1) Пусть спрос Pi(p) на отрезке [ря,р8] постоянен. Если денежный
спрос Q2(p) на этом отрезке также постоянен, то оптимальная ценар*
совпадает с ценой равновесия р для рынка с одной (независимой) груп-
пой потребителей и определяется из условия Di Е S(p). Если функция
б?2(р) возрастает на отрезке [pz>,ps], то р* > р, а если убывает, то
Р* <Д
2) Пусть спрос каждой группы складывается из постоянной и убы-
вающей составляющих: Pj(p) = Л + Bi/p, I = 1,2, р Е [рр,рв]. Тогда
оптимальная цена определяется из условия
A1+A2-bq(p^B1/(pyeS(Py
Доказательство. Поскольку S+(ps) Di(p8) + D2 > Di(p8) +
D2(p8) и q(p8) = р81 то из соотношения (19.5) следует, что К(р) > 0 в
правой полуокрестности точки рв, откуда р* р8. Если Pi(p) = Pi,
то из (19.5) следует равенство К(р) = S(p) - Di - Q2(p) почти всю-
ду, откуда вытекает утверждение 1). В условиях 2) функция К(р) =
S(p)—41 — А2-q(p)Bi /р2 определена почти всюду и монотонно возрас-
тает на области определения. Рассмотрим соответствующее ей отобраг
жение К(р), р € [рр, pj, определяя его значение в каждой точке раз-
рыва как отрезок от левого до правого предела. В силу монотонности
функции К(р) найдется единственная точкар*, для которой О Е К(р*).
Эта точка и будет решением задачи (19.4).
Отметим, что оптимальное сочетание субсидий населению и дота-
ций промышленности может существенно сократить общие расходы
бюджета по сравнению с ситуацией, когда из бюджета финансиру-
ется только спрос зависимой группы. В примере, изображенном на
рис. 19.5, предполагается, что Pi(p) = Pi, D2(p) = 0.
Рис. 19.5
Площади заштрихованных областей на графиках а) и б) показыва-
ют затраты бюджета при оптимальной стратегии р* = р и при р* = р8
соответственно.
212
Глава ГУ. Введение в математическую экономику
Рассмотрим теперь другую возможность изменения предложения -
предоставление дотаций для создания новых мощностей. Каждая по-
тенциальная мощность i характеризуется следующими параметрами:
максимальным объемом производства V», удельной себестоимостью про-
изводства Ci и капиталоемкостью ki. Для простоты мы предполагаем,
что необходимые капиталовложения пропорциональны вводимому в
действие объему Vi Vi и составляют Vifa.
Поскольку целью администрации является минимизация текущих
расходов бюджета, то оптимальным является смешанное финансиро-
вание новой мощности. Определим необходимый размер дотации, обес-
печивающий «рыночную» норму т] прибыли на вложение частного кат
питала. Пусть ki — объем дотаций (за один период времени) на едини-
цу вводимой мощности, р — цена на товар. Тогда минимальный раз-
мер дотации определяется из соотношения (р - Ci + ki)/ki = 77, откуда
к{ = Ci + far) - р.
Таким образом, полагая для потенциальных мощностей Ci = Ci +
к&, мы формально сводим задачу выбора оптимальной стратегии к
рассмотренной выше задаче (19.4). Исходя из этого, мы рассматри-
ваем в модели только реальные мощности. Следует, однако, иметь в
виду, что на практике при конкуренции реальных и потенциальных
мощностей существенными могут оказаться и другие критерии, поми-
мо минимизации бюджетных расходов.
§20. Модели организации налоговой инспекции
В этом параграфе изложено несколько теоретико-игровых моделей,
построенных для изучения проблем уклонения от уплаты налогов и
коррупции в налоговой инспекции. Рассматривается взаимодействие
налогоплательщиков, имеющих случайный доход, и центра. Считает-
ся, что в конце каждого отчетного периода налогоплательщик подает
налоговую декларацию. Декларированный доход облагается налогом
в соответствии с действующей системой налогообложения. При этом
налогоплательщик может попробовать уклониться от уплаты налога,
декларируя меньшую сумму, чем его реальный доход. В случае провер-
ки налоговой декларации факт попытки уклонения всегда определя-
ется инспектором. Пойманный нарушитель оплачивает недостающую
часть налоговой суммы и наказывается штрафом.
Предполагается, что налоговая проверка требует определенных из-
держек и что центр заинтересован в максимизации чистого налогово-
го сбора (т.е. средств, полученных за счет сбора налогов и штрафов
за вычетом издержек на проверки). Для однородной группы нал ого-
§ 20. Модели организации налоговой инспекции
213
плательщиков центр располагает лишь информацией, полученной из
налоговых деклараций, и в зависимости от нее определяет оптималь-
ную вероятность проверок налоговых деклараций. Задачей является
нахождение оптимального правила проверки.
Модель налогообложения с двумя уровнями дохода
Рассмотрим модель с двумя возможными уровнями дохода Il^Ih,
где II < 1н- Налогоплательщики получают низкий и высокий дохо-
ды Il и 1н с вероятностями q и 1 — q соответственно. Низкий доход
не облагается, а с высокого берется налог Т. Таким образом, налого-
плательщик с высоким доходом имеет стимул декларировать низкий
доход. Чтобы предотвратить такие действия налогоплательщика, на-
логовая инспекция с вероятностью р проверяет налогоплательщиков,
декларирующих низкий доход. Если налогоплательщик с высоким до-
ходом декларирует низкий доход II и его декларация проверяется, то
факт уклонения от уплаты налога всегда обнаруживается, и налого-
плательщик должен выплатить штраф F, включающий неуплаченный
налог. Стоимость проверки равна с. Задача руководства налоговой ин-
спекции состоит в том, чтобы найти оптимальную вероятность р про-
верки деклараций, указывающих низкий доход Л,. При этом максими-
зируется чистый налоговый сбор Л, т.е. все поступления от налогов и
штрафов за вычетом затрат на проверки.
Опишем поведение налогоплательщика. Он выбирает свою страте-
гию из множества {Il,Ih} при получении высокого дохода. Предпо-
лагается, что налогоплательщику известна стратегия р налоговой ин-
спекции, и он максимизирует свой ожидаемый доход, сравнивая доход
при честном поведении 1н — Т и уклонении от налога 1д - pF. Та-
ким образом, если вероятность проверки удовлетворяет неравенству
А def _ . _
р < р = Т/F, то все налогоплательщики с высоким доходом укло-
няются, и чистый налоговый доход государства в расчете на одного
налогоплательщика равен R(p) = p(qF — с). Если р > р, уклонения не
происходит, и доход имеет вид R(p) = qT - р(1 - q)c (рис. 20.1).
214
Глава IV Введение в математическую экономику
При вероятности проверки р = р налогоплательщику безразлич-
но — уклоняться или нет. В этом случае считается, что он не уклоня-
ется. Таким образом, р — пороговая вероятность, т.е. минимальная
вероятность проверки, обеспечивающая честное поведение налогопла-
тельщиков. Отметим, что данная модель является примером иерархи-
ческой игры Г1, определенной в § 10.
Теорема 20.1. Оптимальная вероятность проверки р* = р, если
qF > (1 — q)c. При этом максимальный чистый налоговый доход госу-
дарства R* положителен и равен qT — р(1 - q)c. В противном случае
р* = 0, R* = 0, т.е. эту группу налогоплательщиков нет смысла про-
верять.
Упражнение 20.1. Докажите теорему 20.1.
Модель, учитывающая случайные ошибки
Теперь предположим, что налогоплательщики с высоким доходом
могут непреднамеренно ошибаться и определяют свой доход как низ-
кий с вероятностью тп. Такие ошибки не меняют пороговую вероят-
ность проверки, которая поощряет честное поведение налогоплатель-
щиков, оценивших свой доход как высокий: они декларируют высокий
доход при р р = T/F.
Обозначим средний доход налогоплательщика с учетом ошибки че-
рез 1ср, а чистый налоговый доход государства через Д(р). Тогда
I _ Л1 -Р^), Р<Р,
с₽ {(1 - q)IL + q(IH - (1 - т)Т - mpF), р^Р,
Жр)=Р*’*’~>><#
|g[(l - т)Т + pm(F - с)] - (1 - g)pc, р > р.
Следующее утверждение определяет оптимальную стратегию государ-
ства.
Теорема 20.2.1) Пусть qF—c > 0. Тогда если штраф за уклонение
F > F = (qm + 1_- g)c/(gm), то оптимальная стратегия государства
р* = 1. Если F < F, то оптимальная стратегия государства р* = р.
2) Пусть qF - с < 0. Тогда оптимальная стратегия государства
ф [о, Fq c(qm + 1 - g),
р = <
I р, Fq c(qm + 1 - g).
§ 20. Модели организации налоговой инспекции
215
Доказательство. Вначале заметим, что в точке р значение
Я(р) = qT - pc(mq + 1 - q)
больше левого предельного значения Я_ (р) = qT—pc. При F > F доход
Д(р) возрастает по р как на полуинтервале [0, р), так и на отрезке [р, 1].
Таким образом, функция Я(р) возрастает на отрезке [0,1] и р* = 1. При
F Е (c/g, F) разница состоит лишь в том, что Я(р) убывает на отрезке
[р, 1] и поэтому р* = р. Наконец при 0 < F < с/д доход убывает на
обоих интервалах, так что максимум достигается на одном из левых
концов: при F > mF р* = р,_Я* = Д(р) > 0, при F < mF р* =
О, R* = 0. Наконец, при F = mF р* Е {р, 1}, R* = 0.
Упражнение 20.2. Найдите оптимальную стратегию государства в
следующих случаях: 1) F = F; 2) F = с/д.
Модели с учетом коррупции
Рассмотрим модели, в которых принимается во внимание возмож-
ность подкупа инспектора пойманным плательщиком. Исследуем слу-
чай двух возможных доходов II и Ih (Il < 1н)> получаемых с ве-
роятностями 1 — g и g соответственно. Как и в предыдущей модели,
предполагается, что низкий доход не облагается налогом, а высокий
доход облагается налогом Т. Таким образом, у налогоплательщиков
с доходом 1н есть стимул декларировать доход II- Декларация, со-
держащая низкий доход, может быть проверена налоговой инспекци-
ей. Проверка всегда выявляет реальный доход, ее стоимость равна с.
Штраф за уклонение F включает неуплаченную сумму налога. Ин-
спектор, обнаруживший уклонение, может быть подкуплен пойман-
ным плательщиком, в этом случае он скрывает результат проверки.
Центр проверяет иногда инспекторов, подтверждающих низкие дохо-
ды, и наказывает их, если выясняется, что факт уклонения от уплаты
налога был скрыт. (Инспекторов наказывают за плохую работу, а не
за взятку, так как ее сложно доказать.) Вероятности р и рс проверки
и перепроверки, проводимой центром, являются его стратегией. Нека-
чественная проверка наказывается денежным штрафом F. Повторная
проверка стоит с. Центр максимизирует чистый доход в бюджет, со-
стоящий из налогов и штрафов за вычетом издержек на все проверки.
Найдем оптимальные значения вероятностей р и рс и проведем сравни-
тельный анализ дохода в зависимости от размеров штрафов. Сначала
рассмотрим, как определяется размер взятки Ь в случае, когда непла-
тельщик пойман инспектором. Подкуп выгоден налогоплательщику и
216
Глава IV. Введение в математическую экономику
инспектору, если b+pcF < Fnb> pcFсоответственно. Таким образом,
подкуп возможен, если F(1 - рс) > pcF или
Рс<Рс =fF/(F + F). (20.1)
Допустим, что в этом случае b — yF(l - рс) + (1 - 7)pcF, 7 G (0,1),
где параметр 7 характеризует близость взятки b к максимуму. В част-
ности, 7 « 1 означает, что размер взятки диктует инспектор, 7 « 0
показывает, что он довольствуется малым. Налогоплательщик с высо-
ким доходом уклоняется, если p(b+pcF) < Т. Если соотношение (20.1)
не выполняется, а р < р, то налогоплательщик уклоняется, но не дает
взятки в случае поимки. Среди возможных значений пар (р,рс) рас-
смотрим следующие области (рис. 20.2).
а) Ре < Рс, p(b + PcF) = p(iF + Рс(1 - у)(Г + F)) < Т.
В этом случае налогоплательщики уклоняются, инспекторы берут взят-
ки, и чистый налоговый сбор в расчете на одного налогоплательщика
составляет Я(р,рс) = p\pc(<l(F + F) - с) - с].
Ь) Рс >Рс,Р< Р-
В этом случае налогоплательщики уклоняются, но инспекторы не бе-
рут взятки и R(p,pc) = p[gF - с-рс(1- д)с].
cl) рс >рс, р>р.
с2) рс < Рс, p(b + PcF) = p(?F + рс(1 - ?)(F + F)) > Т.
В условиях cl) и с2) налогоплательщик не уклоняется и
R(P,Pc) = qT - (1 - q)p(c + рсё).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 20.3. Пусть штрафы F и F подобраны таким образом,
что выполнено неравенство
Pc(q(F + F) - с) - с > 0.
(20.2)
§ 20. Модели организации налоговой инспекции
217
Тогда в области а) доход в бюджет R(p,pc) стремится к верхней грани
Ra при рс -> рс и р -> р. Верхние грани Rb и Rci в областях Ь) и cl)
реализуются на тех же последовательностях вероятностей, более того,
Ra < Rb < Rd- В области с2) те же последовательности вероятностей
реализуют верхнюю грань дохода в бюджет
Rc2 = Rci = qT - р(с + (1 - g)pcc)a, если
Рс < с(1 - 7)/(ci), (20.3)
в противном случае при р —> T/(yF) и рс = 0 доход стремится к верх-
ней грани RC2 = qT - (1 - q)cT/(yF).
Замечание 1. При оптимальных вероятностях налогоплательщики
выплачивают одну и ту же сумму в виде налога в случаях а), Ь) и
cl). Однако издержки на проверки и перепроверки сокращаются при
переходе системы из области равновесия а) в Ь) и из Ь) в cl).
Замечание 2. Неравенство (20.3) выполняется, в частности, при
7 -» 0, т.е. в случае когда налогоплательщик диктует размер взятки.
При 7 -> 1, т.е. в случае когда инспектор диктует размер взятки, оп-
тимально не проверять инспекторов и увеличить в 1/7 вероятность
аудиторской проверки. Таким образом, чистый налоговый сбор при
оптимальной стратегии аудита составляет
R* = - (1 - g)min Г-У---У-, -У].
L 4 LF F + F 1F11
С учетом этого соотношения сравнительный анализ чистого нало-
гового сбора в зависимости от размера штрафов и налогов дает ясные
результаты: R возрастает по Т и F, а также по F, если выполняется
соотношение
£ >________!_______,
F ' cil/y-l)-1-!'
и не зависит от F, если это соотношение не выполняется.
Если вероятности р и рс фиксированы, то сравнительный анализ
усложняется. Хотя в каждой из областей a), b), cl) и с2) налоговый
сбор R монотонен по штрафам и налогу (что соответствует здравому
смыслу), переходы из одной области в другую могут внести неожидан-
ные изменения. Рассмотрим два примера.
1) П усть р < р, рс = Рс- Увеличим слегка штраф F : F' = F+dF. В
результате система переходит из области Ь) в область а) и налоговый
сбор R падает.
218
Глава IV. Введение в математическую экономику
2) П усть рс = Ро р = Р- В этом случае небольшое увеличение нало-
га влечет переход системы из области cl) в область Ь) и, как следствие,
сокращение налогового сбора R.
Комментарий и библиография к главе IV
§ 15. Концепция конкурентного равновесия лежит в основе совре-
менной экономической теории. Согласно известным <теоремам о бла-
госостоянии», конкурентное равновесие является оптимальным состо-
янием экономики, и отклонение от него связано со снижением ее эф-
фективности. Однако, известное качественное описание условий совер-
шенной конкуренции (см. Л. Вальрас [19], Д. Гейл [35]) не является
конструктивным в том смысле, что не позволяет определить для кон-
кретного рынка, выполнены ли эти условия, и если нет, то на сколько
могут отклоняться цены от равновесных по Вальрасу. Значительная
доля реальных рынков относится к олигополиям: в то время, как лю-
бой отдельный потребитель, по-видимому, не обладает рыночной вла-
стью и его доля в общем объеме продаж составляет доли процента,
наиболее крупный производитель на таких рынках обеспечивает не
менее 10% от общего потребления. Поэтому исследования математи-
ческих моделей и оценки ожидаемого отклонения от состояния конку-
рентного равновесия для различных типов олигополии представляют
большой интерес.
§ 17. Теорема 17.1 показывает, что в состоянии конкурентного рав-
новесия достигает максимума национальный доход (суммарная при-
быль экономики). Состояние конкурентного равновесия является так-
же оптимальным по Парето и соответствует ядру кооперативной игры
(см. [85]). Подробнее о трудностях плановой экономики СССР см. [80].
§ 18. Типичным подходом к оценке ожидаемого отклонения от рав-
новесия по Вальрасу является сравнение конкурентного равновесия
с решением игры, описывающей олигополистическую конкуренцию.
Обычной концепцией решения в этом случае является равновесие по
Нэшу в чистых стратегиях. Вопросы существования такого равновесия
и его свойств в модели олигополии по Курно рассматривались во рабо-
тах В. Новчека [77], Н.С. Кукушкина [56], Р. Амира [3] и др. Показано,
что при довольно общих условиях существует единственное равновесие
по Нэшу. Для симметричной олигополии отклонение равновесного по
Нэшу исхода от исхода по Вальрасу убывает и стремится к нулю, когда
число производителей возрастает и стремится к бесконечности. Таким
образом, модель хорошо соответствует концепции конкурентной эко-
номики по Вальрасу. Она также может являться теоретическим обое-
§ 20. Модели организации налоговой инспекции
219
нованием антитрестовских законов, ограничивающих максимальную
долю продаж на рынке для каждого производителя (см. [64]).
Проблема заключается в том, что в модели Курно на поведение
производителей накладываются крайне строгие ограничения. Предпо-
лагается, что каждый производитель товара всегда предлагает фикси-
рованный объем товара независимо от сложившейся цены. На прак-
тике у каждого производителя имеется больше возможностей влиять
на цену. Либо производитель прямо устанавливает цену своей продук-
ции (как на аукционе первой цены), либо стратегиями являются функ-
ции предложения, которые определяют цену отсечения (как в случае
аукциона заявок). Тем не менее, упомянутые результаты, касающиеся
модели Курно, являются важными.
Для нескольких типов рынков с ценовой конкуренцией или с кон-
куренцией функций предложения доказано, что исходы, соответству-
ющие совершенному подыгровому равновесию, совпадают с исходом
по Курно. Д. Крепе и Дж. Шейнкман [54] показали это для двухэтап-
ной модели, в которой сначала устанавливаются объемы выпуска, а
затем производители действуют в рамках модели ценовой конкурен-
ции. Д. Морено и Л. Убеда [69] получили аналогичный результат для
отрасли, где фирмы с идентичной технологией сначала выбирают про-
изводственные мощности, а затем конкурируют, устанавливая резерв-
ные цены, которые определяют простейшие функции предложения.
Следует отметить, что на большей части реальных рынков каж-
дый производитель может назначить как цену, так и объем выпуска
товара. Первая модель такого типа предложена Ж. Бертраном [10] и
рассматривает фирмы-производители с одинаковыми и постоянными
удельными себестоимостями и неограниченными производственными
мощностями.
Предполагается, что продавцы одновременно и независимо назна-
чают цены на предлагаемый товар, а покупатели раскупают его в по-
рядке возрастания цен: сначала продукцию фирм, назначивших ми-
нимальную цену, затем, если спрос еще не удовлетворен, продукцию
фирм, назначивших следующую по возрастанию цену, и т.д. Выпуск
товара производится в соответствии с поступившими заявками. В мо-
дели Бертрана равновесные цены по Вальрасу и по Нэшу совпадают
между собой и с предельными издержками. Фирмы получают нулевую
прибыль. На этом основании модель критиковалась как не соответ-
ствующая реальному поведению игроков (см. Б. Ален и М. Хельвиг
[2]). Действительно, она не учитывает много важных аспектов, в част-
ности динамического характера торгов, возможности сговора агентов
220
Глава IV. Введение в математическую экономику
и т.д. Заметим, однако, что эти аргументы никак не могут служить
основанием в пользу выбора модели Курно.
Э. Эджворт [НО], Ален и Хельвиг [2], а также X. Вивс [32] рассмат-
ривали модель, отличающуюся от предыдущей лишь тем, что каждая
фирма характеризуется ограниченной производственной мощностью.
Эджворт получил следующее достаточное условие существования рав-
новесия по Нэшу: если суммарная мощность всех производителей за
исключением продавца с максимальной производственной мощностью
превышает объем спроса по цене, равной удельной себестоимости, то
равновесная по Нэшу цена совпадает с ценой конкурентного равно-
весия и равна удельной себестоимости. В противном случае свойства
модели существенно зависят от порядка, в котором потребители полу-
чают доступ к предлагаемому товару. Каждый потребитель характе-
ризуется резервной ценой: пока доступная цена на товар не превышает
резервную, его спрос постоянен, а по более высоким ценам он не хочет
приобретать товар. Исход обмена существенно зависит от того, какие
потребители (с более высокими или с более низкими резервными це-
нами) имеют приоритет при покупке товара. Порядок потребителей
определяет функцию остаточного спроса, указывающую спрос на то-
вар в зависимости от цены и от фактического предложения товара по
меньшим ценам.
В литературе порядок потребителей часто задается в виде «прави-
ла рационирования». Ален и Хельвиг [2] рассматривают «пропорцио-
нальное правило рационирования», согласно которому товар по оче-
редной цене предлагается случайной выборке потребителей, и их рас-
пределение по резервным ценам совпадает с распределением во всем
множестве потребителей. Если в этом случае общая мощность про-
изводителей, действующих на рынке, ниже, чем спрос по цене, рав-
ной удельной себестоимости, то равновесия по Нэшу в чистых стра-
тегиях в общих предположениях не существует. Ален и Хельвиг [2]
также рассматривают равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях.
Они характеризуют спектр этого равновесия и показывают, что мо-
нопольная цена входит в него с положительной вероятностью. Этот
результат подтверждает, что продажные цены в данном случае могут
существенно отклоняться как от равновесия Вальраса, так и от равно-
весия Курно. Отметим, однако, что применение смешанных стратегий
на товарных рынках представляется малоправдоподобным. Разверну-
тую критику по этому поводу можно найти в работе Дж. Фридмана
[90]. В работе [32] Вивс рассматривал «правило максимизации прибы-
ли потребителя», согласно которому покупатели обслуживаются в по-
§ 20. Модели организации налоговой инспекции
221
рядке убывания резервной цены. В этом случае равновесие по Нэшу,
соответствующее конкурентному равновесию, существует при доста-
точно эластичном спросе.
Указанные результаты показывают, что в довольно общих предпо-
ложениях в моделях ценовой конкуренции не существует равновесий
по Нэшу в чистых стратегиях. А.А. Васин [23] и Т. Борджес [14] рас-
сматривали другой подход к оценке ожидаемого состояния рынка и
отклонения от конкурентного равновесия. Он связан с последователь-
ным исключением доминируемых стратегий и исследованием адаптив-
ной динамики цен, в частности, динамики наилучших ответов. По-
лученные результаты означают, что традиционный подход к оценке
степени конкурентности рынка (имеется в виду антимонопольное за-
конодательство — оно гласит, что рынок является конкурентным, если
отдельный производитель контролирует небольшую долю продаж) да-
леко не всегда является адекватным с точки зрения потенциального
отклонения рынка от состояния конкурентного равновесия. Во мно-
гих случаях на самом деле важно то, насколько быстро растет функ-
ция предложения после прохождения цены конкурентного равновесия.
Один из результатов заключается в том, что рынок, в котором равно-
весие устанавливается при максимальной загрузке производственных
мощностей, обладает тенденцией к существенному отклонению от со-
стояния конкурентного равновесия, даже если каждый отдельный про-
изводитель контролирует небольшую долю рынка. Для некоторых то-
варов более адекватным описанием рыночной конкуренции считаются
модели с последовательным выбором цен и объемов выпуска [90].
Теорема 18.6 дополняет результат Д. Крепса и Дж. Шейнкмана [54]
о соответствии совершенного подыгрового равновесия исходу Курно в
случае приоритета потребителей с большими резервными ценами.
§ 19. Модели оптимального выбора налоговых ставок рассматриваг
ются экономикой общественного сектора (см. А. Аткинсон и Дж. Стиг-
лиц [4], Г. Майлс [62], С.М. Мовшович и др. [66]) В работах А.А. Васина
и Е.И. Пановой [24], А.А. Васина и П.А. Васиной [26], А.А. Васина и
др. [27] показано, что уклонение от налогов существенно влияет на
оптимальный выбор налогов и налоговых ставок.
§ 20. Основной результат, относящийся к оптимальному аудиту пря-
мых налогов, принадлежит И. Санчес и Дж. Собелю [86]. Они рас-
смотрели группу налогоплательщиков со случайным распределением
дохода, заданным положительной плотностью в интервале [l,h]. Для
любого дохода I налог определяется зависимостью Т(7), устанавли-
ваемой правительством. Налог строго возрастает по I. Руководство
222
Глава IV. Введение в математическую экономику
р* л =
инспекции устанавливает вероятность проверки р(1) в зависимости от
продекларированного дохода I. В случае обнаружения непродеклари-
рованного дохода штраф пропорционален недоплаченному налогу с
коэффициентом 1 + тг > 1 (так как штраф включает недоплаченный
налог). Для задачи максимизации чистого налогового дохода работа
[86] показывает, что оптимальная стратегия проверок всегда относится
к классу «пороговых правил»:
1/(1+ тг), /<7,
о, I I,
для ^некоторого I € р,Л]. Итак, каждый продекларированный доход
I < I проверяется с вероятностью 1/(1 +тг) — минимальной вероятно-
стью, при которой невыгодно декларировать I для любого реального
дохода Г > L
Ф. Коуэлл и Г. Гордон [51] сравнивают различные доступные страт
тегии проверок при сборе косвенного налога. Авторы моделируют укло-
нение от уплаты налогов следующим образом. Фирмагналогоплатель-
щик делает выбор между налогооблагаемой деятельностью и деятель-
ностью в теневом секторе экономики. Если фирма подвергается про-
верке и выявляется ее деятельность в теневом секторе, то ее обязывают
выплатить недостающий налог и наказывают штрафом. Вероятность
проверки зависит от декларации по правилу «отсечения», т.е. фир-
мы, декларирующие доход меньше, чем определенная величина, все-
гда проверяются. Устанавливаются условия, при которых оптималь-
ный случайный аудит более эффективен, чем оптимальное правило
отсечения, и наоборот.
Связь между уклонением от уплаты налогов и коррупцией иссле-
довалась во многих работах (см., например, П. Чандлер и Л. Уайльд
[108], А.А. Васин и О.Б. Агапова [25], Л.Е. Соколовский [87]).
Чандлер и Уайльд [108] описывают взаимодействие налоговых ин-
спекторов (аудиторов) и налогоплательщиков так, как это сделано в
последнем § 20. Отличие от нашего подхода состоит в том, что веро-
ятность аудиторской проверки определяется равновесными по Нэшу
стратегиями игроков, в то время, как вероятность повторной проверки
предполагается фиксированной. В нашем подходе (называемом в за-
падной литературе «principal-agent») вероятности проверок (т.е. стра-
тегия центра) не фиксированы и определяются в результате решения
иерархической игры Г1.
§ 21. Решение упражнений
223
§21. Решение упражнений
1.1. Не может, поскольку число 7 не представимо в виде произве-
дения к • I двух натуральных чисел fc, I 3.
1.2. При фиксированном х график функции F(x,y) представляет
собой параболу ветвями вниз. Поэтому функция минимума
1Г(я;) = min F(xty) = F(x,y(x)) = min[F(®,-1),F(®,2)].
—l^j/^2
Функция наилучшего ответа второго игрока
_ ( 2, F(x,-1) >F(x,2) _ Г 2, -10 0/4,
F(x,-1) <F(x,2) “ (-1, 7/4 < x 3.
Функция минимума
_ fF(x,2) = —x2 + llx - 24, -1 О 7/4,
X |F(x, — 1) = — x2 — x — 3, 7/4 < x 3.
Отсюда x° = 7/4 и у = W(x°) = -125/16. Далее, функция максиму-
ма M(y) = max F(xty) = F(x(y),y). Функция наилучшего ответа
первого игрока?
.. J х = (4р + 3)/2, -10 0/4,
1(9)=|з, 3/4<s<2,
Следовательно,
1^(3,»), 3/4<s«2.
Отсюда
v = min М(у) = min[F(xL=_1( -1),F(3,2)] = -11/4, у° = -1.
—l^j/^2
1.3. Докажем, что - е-седловая точка функции F(x,y). Для
любого у G Y имеем
F(x°,y) > у = inf F(x°,у) = v-e = supF(x,y°) -e > F(x°,y°) -e.
»6У xex
Отсюда для любого у в Y F(x°, у°) F(x°, у)+е. Второе неравенство
из определения е-седловой точки доказывается аналогично.
224
§ 21. Решение упражнений
1.4. Пусть выполнено равенство (1.4). Положим v — v = у. Для
любого е > 0 возьмем х£ — е-максиминную и у£ — е-минимаксную
стратегии, т.е.
inf F(x£,y), supF(x,y£) v + e.
xex
Отсюда v - e F(x£,y£) v + e и при любом x E X
F(x>y£) v + e F(x£,y£) + 2e => F(x,y£) - 2e Р(х£,у£).
Аналогично доказывается неравенство:
Vj/ЕУ F(x£,y£)^F(x£,y) + 2e.
Таким образом, пара (х£,у£) — 2е-седдовая точка функции F(x,y).
Обратно, пусть пара (х£,у£) - е-седловая точка функции F(x,y).
Тогда
VxeX, VyeY Р(х,у£)-е^Р(х£,у£)^Р(х£,у)+е.
Отсюда следуют неравенства
у — е ^v-e supF(x,y£) -е inf F(x£,y) +е у + е v + е
хех
и Xs, у£ — 2е-максиминная и 2е-минимаксная стратегии. Кроме того,
у v У + 2е. Поскольку е > 0 произвольно, получаем, что у = v.
1.5. Возьмем любые две точки / z^ е Ет и любое число
А е (0,1). Тогда неравенство
(Az^ + (1 - A)z<2))2 + (1 - A)(z<2))2 (21.1)
эквивалентно неравенству
О А(1 - А)(^(1) - zj2)}2.
Последнее выполняется как строгое, если / z,^2\ Суммируя по i
неравенства (21.1), получим
ТЛ л HI п 771 л
^(ч'-’ + а-лкР’) <аЕ(«.(”) + (1-Л) £(.,<«) ,
1=1 »=1 »=1
т
что и означает строгую выпуклость функции zl-
»=1
§ 21. Решение упражнений
225
1.6. Пусть строго выпуклая функция Л(г) достигает минимума в
точках z^ / z^ выпуклого компакта Z С Ет. Тогда (z^ + z^)/2 €
Z и из строгой выпуклости функции h(z)
h((z™ + z™)/2) < (h(z^) + h(z&))/2 = min/i(z),
z£Z
что противоречит определению минимума.
2.1. Докажем, что р° = д° = (1/2,1/2) - оптимальные смешан-
ные стратегии игроков, a v = 0 - значение игры. Действительно, для
любых р е Р, q е Q
2/2 \
А(р,д°) = 52 I )р» = 0 = А(р°,д°) = А(р°,д)
i=l \>=1 /
и тройка (р°,д°,0) — решение в смешанных стратегиях.
2.2. L = (dll, •••dmn'tPlQl)
2.3. Заметим, что для любой лотереи L u(L) е [0,1], а из аксиом
VIII и V вытекает, что L ~ (Ai, A*; u(L), l-u(L)). Возьмем две произ-
вольные лотереи Li и Ь2. Имеем ~ (Ai, А*; и(Ь<), 1 -и(Ь*)), i = 1,2.
Если u(Li) = u(L2), то Li ~ Ь2, а если u(Li) > u(L2), то по лемме 2.3
Li >- Ь2.
Пусть v(L) — другая функция, удовлетворяющая свойствам 1)—3),
сформулированным в теореме 2.4. Подберем константы с, 6, исходя из
равенств v(Ai) = cu(Ai) + 6, v(A*) = си(А^) + b. Отсюда, используя
равенства u(Ai) = 1, u(A*) = 0, находим, что с = v(Ai) — v(Ak) > О,
b = v(Ab).
Для любого I = 2,..., к - 1 имеем А/ ~ r/Ai + (1 - п)Аь Следова-
тельно, для произвольной лотереи L — (Ai,..., A^xi,
к к
v(L) = ^xivfAi) = ^xi(nv(Ai) + (1 - ri)v(Ak)) =
i=i i=i
k k
= У2 xi(ri(c + 6) + (1 - ri)b) = cxiri + b = cu(L) + b.
i=i i=i
3.1. Необходимость. Пусть (p°,g°,v) - решение в смешанных страте-
гиях игры с матрицей А. Тогда выполнены неравенства
VpeP, VqeQ A(p,g0)^A(p°,g0) = v^A(p°,g).
В частности, они справедливы для любых чистых стратегий игроков
A(t,g°) О i = (*)
226
§ 21. Решение упражнений
Достаточность. Пусть для тройки (p°,g°, v) выполнено условие (*).
Возьмем любую смешанную стратегию р первого игрока, домножим
неравенства A(i,q°) v на pi и сложим их. В результате получим
т
А(р, g°) v Pi = v- Аналогично, для любой смешанной стратегии
i=i
q второго игрока выполнено неравенство v A(p°,q). Итак, V р €
Р, V q 6 Q A(p,<f) v A(p°,q). Полагая здесь р = p°,q = q°,
получим А(р°, q°) = v и (р°, q°, v) — решение в смешанных стратегиях.
3.2. Пусть (p°,g°,v) — решение в смешанных стратегиях игры с
матрицей А. Тогда по условию (♦)
A(i,q°) A(p°,j), i = j =
Далее, B(i,q°) = A(i,q°) + c, = A(p°,j) + с. Отсюда
B(i,q°) O + B(p°,j), i = j = 1,...,n
и (p°,9°,v + с) — решение игры с матрицей В.
3.3. По определению выравнивающей стратегии .
V ф G {ф} Р(х,ф°) = v => Р(<р,ф°) = v = Р(<р°,ф°) Р(<р°,ф).
Отсюда тройка (<р°,фа,у) — решение в смешанных стратегиях.
Л „ „ /з 1 0\
3.4. В игре с матрицей [ п . „I смешанная стратегия второго
\ U Л о J
игрока qQ = (1/2,0,1/2) является выравнивающей, но не оптимальной.
3.5. Найдем выравнивающую смешанную стратегию д° второго иг-
рока. Из соображений симметрии положим gj = gj, gj = q£. Тогда
получим систему уравнений
9? + <»92 = °91 + 9° + а9° =v> 9? + 9° = V2-
Отсюда q® = 0.5(2 — в)-1, 9® = (1 — a)q®, v = (1 + в — a2)q®. Поскольку
матрица А — симметричная, смешанная стратегия р° = д° первого
игрока также является выравнивающей. Следовательно, стратегии р°
и д° оптимальны, a v — значение игры.
3.6. Поскольку X С {у>} и У С {ф}9
v = maximnF(®,2/) max minF(<p,y) =v =
жех y^Y <pe{v}yGY
= min maxF(®,t^) min max F(x9 y) = v.
' yeY xex v
§ 21. Решение упражнений
227
3.7. Возьмем любое е > 0 и отрезок [а', У] длины, меньшей е, и
содержащий внутри себя точку ж0. Пусть ж0 - точка, в которой функ-
ция <р(х) имеет скачок величины 6 > 0. Тогда в силу ее монотонности
справедливо неравенство у?(У) — 6 > 0.
Пусть в точке xQ функция ip(x) дифференцируема и у/(я0) > 0.
Тогда (р(Ьг) — (p(ar) > 0. Действительно, функция ip(x) не убывает и по
определению производной найдется такая точка х' > х°, близкая к ж0,
что <р(х') > <р(х°).
3.8. Пусть тройка (p°,g°,v) — решение в смешанных стратегиях
игры с матрицей А. Докажем утверждение 1). По условию (♦)
(21.2)
Предположим противное. Тогда найдется такая чистая стратегия ii
первого игрока, что р? > 0 и A(ii,g°) < v. Домножим обе части г-го
неравенства (21.2) на р® и сложим неравенства. Поскольку неравен-
ство с номером ii после умножения на р? останется строгим, получим
A(p°,g°) < v = А(р°,д°) (противоречие).
Утверждение 2) доказывается аналогично.
4.1. Пусть строка ii матрицы А слабо доминирует строку i2- Если
стратегия гг — максиминная, то стратегия ii также является макси-
минной как для матрицы А, так и для редуцированной матрицы с
вычеркнутой 12-й строкой. При этом нижнее значение игры после ис-
ключения строки не меняется. Аналогичное замечание справедливо и
для случая, когда столбец слабо доминируется столбцом J2, а стра-
тегия у*2 является минимаксной.
После исключения слабо доминируемых строк и слабо доминиру-
ющих столбцов в распоряжении игроков остаются максиминная и ми-
нимаксная стратегии игроков исходной ( и редуцированной) игры, об-
разующие седловую точку.
4.2. Выпишем матрицу игры
(2,0)
(3,0) / 1
(2,1) 1
(1,2) 2
(0,3) \ 3
(1,1) (0,2)
2 3 \
1 2
1 1
2 1 /
Вторая строка слабо доминируется первой, а третья строка — четвер-
той. После вычеркивания слабо доминируемых строк замечаем, что
второй столбец равен полусумме первого и третьего столбцов и поэто-
228
§ 21. Решение упражнений
му его можно вычеркнуть. В результате получается матрица
(2,0) (0,2)
(3,0) / 1 3 \
^"(0,3)^ 3 1 /
Отсюда находим решение исходной игры: р° = (1/2,0,0,1/2), q° =
(1/2,0,1/2), v = 2. Отметим, что чистая стратегия 2 второго игрока
также оптимальна.
4.3. Здесь Zi(pi) = 3pi, /2(Р1) = 1 и Z3(pi) = 3(1 - pi). Функция
min /j(pi) достигает максимума в точках отрезка [1/3,2/3]. Поэтому
множество всех оптимальных смешанных стратегий первого игрока
имеет вид Р° = {р° Е Р | 1/3 р? 2/3}. Второй игрок имеет
единственную оптимальную чистую стратегию 2.
4.4. Предположим, что точка z° не является крайней точкой мно-
жества Z и представима в виде z° = Xz' 4- (1 — A)z", z' / z" E Z,
0 < A < 1. Поскольку функция |z|2 строго выпукла на множестве Z
(см. упражнение 1.4), то
|z°|2 = |Az' 4- (1 - X)z"\2 < А|/|2 + (1 - A)|z"|2 max |z|2,
z$Z
что противоречит определению точки z°.
4.5. Множество Z* = Argmaxft(z) - выпуклый компакт. Пусть
zG.Z
zQ - его крайняя точка. Покажем, что z° — крайняя точка множества
Z. Предположим противное, т.е. что найдутся такие точки z' Ф z"
множества Z и такое число А Е (0,1), что z° = Xz' 4- (1 — X)z". Тогда
по крайней мере одна из точек z' или z" не принадлежат множеству
Z*. Поэтому ft(z°) = Xh(z') 4- (1 — X)h{z") < maxft(z) (противоречит
zeZ
определению z°).
4.6. Пусть оптимальная стратегия р° первого игрока удовлетворя-
ет системе уравнений (4.3), где v - значение игры, а матрица В =
(aiijt)kxk - невырожденная. Покажем, чтор0 - крайняя оптимальная
смешанная стратегия. Предположим противное, т.е. р° представимо в
виде р° = Хр' 4- (1 — А)р", где р' / р" Е Р°, 0 < А < 1. Из равенств
V» < {», u = 1,...,*} Р° = 0 = Хр\ + (1 - А)р",
следует, что V i $ {г/ | I = 1, ...,&} р[ = р" = 0. Поскольку р',р" -
оптимальные смешанные стратегии,
A(p',;t) > V, > v, t= (21.3)
§ 21. Решение упражнений
229
Покажем, что неравенства (21.3) могут выполняться только как равен-
ства. Пусть найдется такой номер что A(pf,jtl) > и, ^(р",^) v.
Умножая первое неравенство на А, а второе на 1 — А и складывая их,
получим AijPjtJ > v (противоречие). Итак,
к
= ^(p"Jt) => J2(Pi, - Р"()а»(л = 0, t = 1,к.
1=1
Из невырожденности матрицы В получим, что p'it = р£, I = l,...,fc.
Следовательно, р' = р" (противоречие).
4.7. Пусть В = J 0^ . Тогда матрица системы (4.3) и ее расши-
ренная матрица
/-1 0 -1 10\
I 0 1 -1 |0
\ 1 1 0 11/
имеют ранги 2 и 3 соответственно. Следовательно, по теореме Кронекера-
Капелли система (4.3) не имеет решения.
4.8. Проделаем 8 шагов по алгоритму Брауна.
Продолжение таблицы 4-1-
к ** С1() с2() сз() vi() h diO daO d3() «20
11 3 10 8 17 17/11 2 13 11 9 9/11
12 3 10 11 14 7/6 3 12 14 6 1/2
13 3 10 14 11 14/13 3 11 17 3 3/13
14 2 10 1Z 8 17/14 3 13 17 6 3/7
15 2 10 20 5 4/3 3 15 17 2 3/5
16 2 10 23 2 23/16 3 17 17 12 3/4
17 2 10 26 -1 26/17 3 19 17 15 15/17
18 2 10 29 -4 29/18 3 21 17 18 17/18
Отсюда vj(18) = 1, 14(18) = 17/18 => е = 1/18. Далее, t\ = 8,
t2 = 18, р(18) = (1/9,11/18,5/18), q(8) = (1/8,5/8,1/4).
5.1. Пусть Da = [аа,Ьа], а 6 £ — семейство отрезков, любые два
из которых имеют непустое пересечение. Докажем, что найдется точка
xQ Е П Da. Заметим, что из условия теоремы аа Ъ$ для всех а,/? €
ае£
£. Следовательно, ad— supaa bd— inf Ъ$. Любая точка xQ € [а,5]
а€£
является искомой.
5.2. Положим у1 = (0,0), у2 = (0,1), у3 = (1,0), у4 = (1,1). По
аналогии с примером 5.1 покажем, что
230
§ 21. Решение упражнений
4
(х°,^°, v) = ((1/2,1/2), $2 А/*/4> 1/2) - решение в смешанных страте-
7=1
гиях. Проверим условие (*). Функция
F(x, ф9) = 521[1 - (Х1 - ytf - (х2 -1/02]
7=1
строго вогнута по х = (®i, ®2)- Имеем
^ = -£(*1-^ = 0, ^ = -£>2-^=0.
7=1 7=1
Отсюда следует, что maxF(®,^°) достигается в точке xQ = (1/2,1/2)
хех
и равен 1/2. Далее, minF(x°,y) = F(x°,y1) = 1/2 = maxF(x,V>°) и
yeY хех
условие (*) выполнено.
5.3. Для нормального распределения
F(xtc) = a2cl/n + (ci - 1)2х2 + 2c2(ci - 1)® + с|-
Стратегия статистика y°(z) = c?z + с% будет выравнивающей, если
с® = 1. При этом значение функции риска будет минимальным, если
с® = 0. Если ci / 1, то supF(x,c) = +оо. Следовательно, найденная
z>0
решающая функция yQ(z) = z- минимаксная стратегия статистика.
6.1. Заметим, что sup F(s,do) = sup pi(x) = 1 и стратегия
O^z^do O^z^do
у = do не может быть минимаксной. Пусть 0 у < do- Тогда
sup F(®, у) =
O^z^do
= max[ sup (1-Р2(у))Р1(®)> sup pi(x)] = max[l - P2(j/)>Pi(!/)]•
O^z^y l/<z^do
Функция 1 - Р2(у) возрастает, а функция pi(y) убывает по у. Следо-
вательно, функция max[l - P2(l/),Pi(j/)] достигает минимума в точке
у = d*. Итак, v = pi(d*).
7.1. Положим
w= max min max min ••• max min F(tt,!/t)-
xieUi yieVi Z2e(/2(zi,vi) yaevbGci.yi) ®т€С/т(«т) утсУт(Рт)
Определим стратегию x° = (x®, t = 1,...,T) первого игрока: при лю-
бых t = 1,...,Т и at = (^t-i,j/t-i)
x2(at) E Arg max min max min F(xr,wT).
®4€lZ.(a.)».€V((ft) хт€«7т(ат) Vt6Vt(3t)
§ 21. Решение упражнений
231
Тогда для любой стратегии у второго игрока
, У) min F(i°, ут_г, ут)*'^
УТ^Ут(^т)
= max min > w.
«т€САг(«т) ИтеУтОЗт)
Следовательно,
minF(f°,j/) > w.
С другой стороны для стратегии у* = , t = 1, ...,Т) второго игрока,
определяемой условиями: при любых t = 1, ...,Т и Д = (xt-i.j/t-i)
j/t(^t)€Arg min max
" “Л, -
I/t€Vt(pt)
выполнено равенство F(f°,j/*) = w. Отсюда w = v.
Формула для v выводится аналогично.
7.2. Положим
(«,£) = max min a#, Ffta./S) = mm max a0 , a,0 = 1,2.
t€Ma »6Ma
При этом
(*?(а,/?))зхз=(| °)> (*?(«>0))зхз = (| 1)
и
v = max jnin* F} (a, /?)) = 2, v = jnin^ max F2 (a, /3)) = 3.
8.1. Определение седловой точки (x°, yQ) функции F(x, у) на X х У
можно записать следующим образом:
F(x°,y°) = maxF(x,y°), -F(x°,y°) = mac(-F(x°,y)),
xeX y€Y
что совпадает с определением ситуации равновесия.
8.2. Пусть в игре возникла ситуация (1,1). Тогда выгодно откло-
ниться первому игроку и возникнет ситуация (2,1). Теперь выгодно
отклониться второму игроку, возникнет ситуация (2,1) и т.д. по схеме
(1,1) ->(2,1) ->(2,2) ->(1,2) ->(1,1).
232
§ 21. Решение упражнений
8.3. Если игроки одновременно применяют правило правой руки
(левой руки), то первый (второй) игрок проедет и <получит» 1, а вто-
рой (первый) его пропустит и получит 0. Если первый применяет пра-
вило правой руки, а второй — левой, то они столкнутся и оба про-
играют по 10. Если первый применяет правило левой руки, а второй
— правой, то оба будут стоять и проиграют по 1.
8.4. В игре Г два равновесия по Нэшу: (1,1) и (2,2).
8.5. В игре Г единственное равновесие по Нэшу: (1,1).
8.6. Пусть (ж®, j/0) — произвольная ситуация в антагонистической
игре. Предположим, что ситуация (ж0, у°) не является оптимальной по
Парето. Тогда найдется ситуация (х'9 у'), для которой выполнены нера-
венства F(x'9y') F(x°,y°), -F(x'9y') -F(x°,y°) и при этом хотя
бы одно из них выполнено как строгое. Складывая эти неравенства,
получим 0 > 0 (противоречие).
8.7. Пусть функция f : [0,1] -> [0,1] непрерывна. Тогда для функ-
ции д(х) = f(x) - х д(0) 0 и д(1) 0. По теореме математического
анализа о промежуточных значениях найдется точка ж®, для которой
J(«°) = 0.
8.8. 1) f(x) = х + 1, х е [0, +оо);
2) /(®) = ®/2> х € (0,1];
3WM = P + 1/2’ 16Р’1/2)>
3,/() }х-1/2, хе [1/2,1].
9.1. Пусть (р°,д°) — ситуация равновесия и стратегия q° при неко-
тором vi удовлетворяет системе (см. (9.1))
2g? + g? = g? + 2g® = g® + 2g® = Vi, g? 4- g® + g® = 1.
Отсюда g® = (1/3,1/3,1/3). Предположим, что g® удовлетворяет си-
стеме
2g? 4- g? < g? 4- 2g® = g® 4- 2g® = Vi, g? 4- g® 4- g? = 1.
Тогда gg = 1/3, a g® > 1/3. По свойству дополняющей нежесткости
p® = 0, P2 + 2p§ — P® = v2. Отсюда p® = p® = p® = 0 (противоречие).
Наконец, разберем случай, когда
2g? 4- g®, g? 4- 2g® < g® 4- 2g® = Vi, g? 4- g® 4- g? = 1.
Тогда g® > 1/3, а по свойству дополняющей нежесткости p® = p® =
0 => p§ = 1. Из системы (9.2) следует, что V2 — В(р®,3) > B(p®,2) или
1^2 (противоречие).
§ 21. Решение упражнений
233
Другие случаи реализации системы (9.1) получаются из разобран-
ных перестановкой координат, поскольку матрицы А и В — цикличе-
ские. Аналогично доказывается, что р° = (1/3,1/3,1/3).
9.2. Доказательство теоремы 9.4. 1) Пусть множества
Z = Zk С Zk-i C -CZ^Z, Zi = XixYhl = l, ...,k,
отвечают определению строгого доминирования Z >• Z.
Возьмем i Е Xi\%2- Тогда найдется такая стратегия р Е Р, что р >
i на Yi = Y. Отсюда A(p,j) > %, j = 1, ...,п. Умножая j-e неравенство
на q® и складывая все неравенства, получим Л(р,д°) > A(i,q°). Если
Pi > 0, то из системы (9.1) вытекают неравенства
= vi A(ti,g°), ii =
Умножая каждое ii-e неравенство на величину р^ и складывая их,
получим Л(г,д°) Л(р,д°) (противоречие).
Отсюда для любого i Е Xi\-X2 р® = 0. Аналогично можно пока-
зать, что для j Е У1\У2 Qj = 0.
Пусть векторы р2 и q2 получены из р° и д° отбрасыванием нулевых
компонент с номерами из множеств Xi\X2 и У1\У2 соответственно.
Нетрудно показать, что (р2,^2) — ситуация равновесия в редуциро-
ванной игре с матрицами А2 и В2, полученными из матриц А и В
вычеркиванием строк с номерами из Xi\X2 и столбцов с номерами из
У1\У2- Поэтому рассуждения можно повторить для редуцированной
игры и получить, что для любого i Е Х2\-Хз р? = 0, а также для
любого j е У2\Уз Qj = 0 и т.д.
2) Пусть множества
Z = Zk С Zk-\ С • - • С Zi = Z, Zi = Xi х Yi, I = 1,..., fc,
отвечают определению слабого доминирования Z >2 Z.
Пусть Л*"1 и В*-1 — подматрицы матриц Л и В с номерами строк
из Хк~х и номерами столбцов из Yk~r. Рассмотрим вектор р*-1, по-
лученный из вектора р добавлением нулевых компонент с номерами
из Хк~*\Х. Аналогично, вектор qk~* получается из вектора q до-
бавлением нулевых компонент с номерами из Докажем, что
(pfc-1, д*-1) - ситуация равновесия в игре с матрицами Ak~* и Вк~г.
Для этого проверим условие (*) для ситуации (р*-1,^”1). Имеем
Vi Е X Л*"1^*"1) = Л(г,д) Л(р,д) = Л*-1^"1,^1).
234
§ 21. Решение упражнений
Пусть i Е Хк~\Х. Тогда найдется такая стратегия р, что р i на
У*-1 и V ii £ X pir=Q. Определим вектор р' = (р^, и 6 X). Тогда
Afe-1(i,q*-1) = 52 <
j6y*-i
< J2( 22 = ^(p',5) A(p,q) = Afe-1(p*_1,q*_1).
jeY й€У
В результате доказали неравенства
Vi€ Хк~* А*-1^,^-1) < А*”1^*”1,^*”1).
Аналогично доказывается вторая группа неравенств из условия (*)
v j е г*-1 в*-1^-1 J)
Таким образом, (p*-1,q*-1) — ситуация равновесия игры с матрицами
А*-1 и В*"1.
Рассуждения можно продолжить, аналогичным образом ввести си-
туацию (р*~2, tf*“2) и доказать, что она является равновесием по Нэшу
игры с матрицами Ак~2 и Вк~2 и т.д.
9.3. Пусть С — сумма матриц А и В. Как отмечалось,
С = (Cij)mXn = (/у + Pi)mxn*
Поскольку Д = 0, разность j-го и 1-го столбцов матрицы С можно
записать в виде /уе, где е = (1,..., 1) Е Ет. Отсюда /у = ciy - сц, j =
1, ...,п и V i, j = aij - /у = a<y - аи - biy + an + 6ц.
9.4. Заметим, что для любой смешанной стратегии q второго игрока
А(», q) = A'(i.q) + faq,, i = 1, (21 А)
j=i
Поэтому неравенства A(i,g°) А(р°,д°) равносильны неравенствам
A'(i,g°) ^Z(P°>9°)> * = 1,—Аналогично показывается, что для
любой смешанной стратегии р первого игрока
В(р,з) = -А'(р,;) + 53лр<> ; = 1,-,п, (21.5)
»=1
и что неравенства B(p°,J) В(р°,д°) равносильны неравенствам
^z(P°>j) -^Z(PO>QO)> j = 1,—Отсюда вытекает, что для ситуации
§ 21. Решение упражнений
235
(p°,g°) условие (♦) в игре с матрицей А1 (теорема 3.1') эквивалентно
условию (♦) в игре Г (лемма 9.1).
9.5. Из формул (21.4) и (21.5) следует, что
Arg max A(i, q(k)) = Arg max A'(i,q(k)),
Arg max B(p(fc),J) = Arg min A'(p(fc)J).
Поэтому последовательности стратегий игроков {й},{л} в процессе
Брауна для игры с матрицей А' и в аналогичном процессе для игры Г
можно взять совпадающими. По теореме 4.3 любая предельная точка
(р°,д°) последовательности {(р(Л),д(Л))} является седловой точкой в
смешанных стратегиях и, следовательно, смешанным равновесием по
Нэшу игры Г.
10.1. Заметим, что ii*(/f) = {д | д(хе) = уе}. Следовательно,
= inf F(f*(j), g) = F(xe, y<) > K' - e.
ui)
10.2. Возьмем произвольную стратегию fa € {fa} и докажем, что
W(fa) maxfjK7, Fi]. Пусть {#*} — множество всех функций наилуч-
шего ответа второго игрока. Имеем
sup G(fi(g),g) > sup inf G(xtg) >
96{9} S€{s}l6X
> sup inf G(x,0*) = minmaxG(x,y) = G3.
j*€{r}x6X xexyer
Рассмотрим два случая.
1) sup G(fa(g),g) > G3. Тогда найдется такая функция € Y{(fa\
9&{я}
что пара (я'^у') = (fa(9e)i9e(xt)) принадлежит множеству D9. В этом
случае
W(fa) = inf F(/i(p),<7) F(/i(/),/) = F(x\y9) К9,
ger* (fi)
2) sup G(/i($),p) = G3. Покажем, что {p*} C Yi*(/i).
9&{я}
Действительно, для всякой функции наилучшего ответа д*
G3 = min max G(®, у) = minG(®,^*)
хех yeY хех
G(fi(g*),g*) sup G(fi(g),g) = G3-
9^{я}
236
§ 21. Решение упражнений
В последних неравенствах крайние члены совпадают. Следовательно,
все неравенства выполнены как равенства и {0*} С Y* (/i). Определим
9° е {<Н:
V х Е X д°(х) 6 Arg min F(x, у)
- функцию наилучшего ответа второго игрока, наименее благожела-
тельного по отношению к первому. Тогда
Ж(Л)= inf
9^Yi(h)
sup F(x,g°(x)) = sup min F(x,y) = Fi.
x6X x€X»ey(«)
10.3. Зададим стратегию g* второго игрока условием:
Vx е X д*(х) € Arg max F(x,y).
»€У(®)
Она аналогична стратегии первого игрока /*, определенной перед лем-
мой 10.1. Из этой леммы следует, что функция F(x,g*(x)) полунепре-
рывна сверху на X. Возьмем х* € ArgmaxF(x,5*(x)). Тогда (х*,д*) —
хЕХ
ситуация равновесия игры Гь
10.4. Если первый игрок в игре Гз использует стратегии-константы
Д (д) = х, то он может обеспечить себе такой же результат, как и в игре
Гр Следовательно, Fi F$. Аналогично показывается, что Fi F2.
Далее, К1 К", поскольку D' С D. Поэтому F3 = max[JC',Fi] F2 =
тах[К, М].
10.5. При а = 1 функция наилучших ответов второго игрока имеет
вид ___________________
у/Кх/С2 — ж, 0 X К/С2)
' 0, К/с2 ^х ^К/съ
Оценка эффективности стратегии х равна
Ж(х) = F(x,y(x)) = С1Х’
0 X ЙГ/С2,
К/С2 X к/с\,
оптимальная стратегия
= Гагс2/(^),
ук/съ
С2 2С1,
С2 > 2ci
§21. Решение упражнений
237
и наилучший гарантированный результат для первого игрока
Fi = max W(x) = W(x*) = •! ^C2/(4ci)’
O^z^K/ci 1 (*-2 ~ Ci)K/c2t
C2 2ci,
C2 > 2cx.
Во втором случае y(x*) = 0 и первая фирма вытесняет вторую с рынка.
В обоих случаях Fi > F(x°,y°) = KciC2/(ci + сг)-2, где (х°,у°) =
(Kc2(ci + C2)~2,Kci(ci + сг)-2) - ситуация равновесия в игре Г.
10.6. Равновесие по Штакельбергу в примере 10.1 (t°, j°) = (2,1),
а в примере 10.2 (х°,у°) = (1/2,1).
11.1. Необходимость. Пусть функция h(z) квазивогнута. Докажем,
что множество Лебега Z+(z°) выпукло для произвольного z° € Z.
Возьмем любые две точки z',z" € Z+(z°) и любое число А € (0,1).
Тогда h(Xz' + (1 — A)z") > min[h(z'), h(zu)} > Л(г°).
Достаточность. Пусть множества Лебега Z+(z°) выпуклы при всех
z° € Z. Возьмем любые две точки z't z" е Z и любое А € (0,1). Без по-
тери общности можно считать, что Л(г') /i(z"). Тогда z', z" € Z+(z')
и в силу выпуклости множества Z+(z') точка Azz + (1 — X)z" также
принадлежит Z+(z'), т.е. h(Xz' 4- (1 - A)z") > h(z') = min[h(z'), h(z")].
Следовательно, функция h(z) квазивогнута на Z.
12.1. p(i,p) = 0, i = 1,2,4,6, р(3,д) = 1/4, р(5,Д) = 3/4.
12.2. Игрок 1 имеет стратегии p1 = (k,l) G {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)},
где k и I — номера альтернатив его левой и правой личной позиции
(см. рис. 12.4). Аналогичный вид имеют стратегии второго игрока.
Нормальная форма игры G задается матрицами
/1/2 2 1 5/2 \
1/2 -1 1 -1/2
1/4 7/4 1/4 7/4 ’
\1/4 -5/4 1/4 -5/4/
/ -2 -1/2 -11/4 —1/4\
—2 7/4 -11/4 2 I
-7/4 -1/4 -7/4 -1/4 ’
\—7/4 2 -7/4 2 /
а нормальная форма подыгры Gz — матрицами
Аг —
1
1
3\
—1/
Bz =
-3 -1А
-3 2)'
12.3. р = ((1,1), (1,2)).
13.1. Пусть х € Possp®. Если в некоторой позиции х' € [хо,х] П
Ха, х1 х, стратегия выбирает альтернативу, не принадлежащую
пути [хо,х], то вероятность попасть в вершину х равна нулю (проти-
воречие).
238
§ 21. Решение упражнений
Обратно, пусть в каждой вершине х' Е [жо, ж] П Ха, х' / х, страте-
гия выбирает альтернативу, принадлежащую пути [а?о, ж]. Покажем,
что в этом случае х Е Роэзд®. Действительно, определим стратегии
b Е Л\{а}, других игроков таким образом, чтобы эти стратегии
выбирали в каждой вершине х1 Е [хо,х] П Хь, х' / х, альтернативы,
принадлежащие пути [xq, ж]. Если х' Е [яо> ж] Г) Х°, х1 £ х, то ве-
роятность выбора такой альтернативы положительна. Следовательно,
р(х\р) > 0.
13.2. На рис. 21.1 изображено дерево игры. Игрок 1 имеет пол-
ную память, поскольку Партнер наблюдает за действиями Играюще-
го. Игрок 2 ходит только один раз и поэтому также имеет полную
память. Запишем стратегию поведения игрока 1 в виде /З1 = (h,r,t),
где 0 Л, г, t 1 — вероятности выбора первой альтернативы в мно-
жествах И11, И12 и Z13 соответственно. Игрок 2 имеет две чистые стра-
тегии: (1) и (2).
Рис. 21.1
Ожидаемый выигрыш игрока 1 равен
(hr — 2h(l - г) - 2(1 - h)t + 4(1 - Л)(1 - t), если р2 = (1),
[-hr + ЗЛ(1 - г) + 3(1 - h)t - 3(1 - Л)(1 - 0, если р2 = (2),
или
ГЛ(3г - 2) + (1 - Л)(2 - 60, если р2 = (1),
|Л(3 - 4г) + (1 - h)(6t - 3), если р2 = (2).
Поэтому максимальный гарантированный выигрыш игрока 1 равен
v = max min[ft(3r - 2) + (1 - Л)(2 - 6t), Л(3 - 4r) + (1 - h)(6t - 3)].
§ 21. Решение упражнений
239
Его можно записать как ^max^v^t), где v(r,t) - значение игры Гг$
с матрицей
Зг — 2 3 —4г\
4 —6t 6t-3/‘
Игрок 2, применяя смешанную стратегию 1/2(1)+1/2(2) не позволит
игроку 1 выиграть в игре_Гге больше, чем 1/2 при любых г, L Но игрок
1, используя стратегию Р = (7/12,0,0), обеспечивает себе выигрыш
1/2. Следовательно, указанные стратегии оптимальны и значение иг-
ры v = 1/2.
13.3. В процессе Брауна Л* = ((й,Ль), к = 1, ...,t) и
pW) = IM* = j, Ю<О1/*-*о
при t -> оо, если стратегия j игрока 2 в траектории ((г«, л), t = 1,2,...)
применялась конечное число раз.
14.1. Возьмем две непересекающиеся коалиции К и Т. Пусть РК -
множество смешанных стратегий рк коалиции К. Нетрудно видеть,
что РКиТ э Рк х Рт. Отсюда
UT)= max min икит^кит А\(КиТ)\
' pKUT^pKUT 8A\{KUT)egA\(KUT)
> max max min [uK(p ,p
pK&PK pT€PT вл\(*ит)€$л\(кит)1
+ит(рт,рк,зл^кит))] max max [ min uK
n pKeP* pTePT L8*\*esA\K
Докажем равенство (14.1).
v(K) = max min uK(pK,sA\K) =
pKEPK SA\KeSA\K '
= max min [v(A) - uA\K(pK ,sA\K)] =
pK ерк 8A\K eSA\Kk ,J
= v(A) - min max uA^K(pK,sA^K) =
pKePK sA\KeSA\K
= v(A)~ max min uA\K(pA^K ,sK) = v(A) - v(A\K).
pA\K$рЛ\К 8KESK
14.2. v(2) = 1, v(13) = 9, v(3) = 4, v(12) = 6.
14.3. c = 1/500, b1 = -2/5, b2 = -3/5, b3 = 0, v'(12) = v'(13) =
3/5, v'(23) = 7/10.
240
§ 21. Решение упражнений
14.4. Заметим, что множество С' не пусто, а функция 22 уа огра-
аЕА
ничена на нем снизу величиной 22 v(a)- Отсюда следует, что задача
линейного программирования в (14.2) имеет оптимальное решение z.
Пусть v(A). Возьмем такой вектор h е С', что ha > v(A).
аёА аел
Тогда выпуклая комбинация Az + (1 - А)Л, где А Е (0,1] определяет-
ся из уравнения А £ z0, -f- (1 - А) £ ha = v(A), принадлежит ядру
абА аеА
С. Обратно, допустим, что ядро С не пусто. Тогда (14.2) следует из
включения множеств С С С1.
14.5. Пусть А - заданное в условии приведенное сбалансированное
покрытие. Тогда Хтиь = 0, поскольку в противном случае векторы
Х(Т), х(£) и %(Т U L) были бы линейно зависимыми. Имеем
Хтх(Т) + АЛх(Ь) = (АТ - Аь)х(Т) + АЛ(х(Т) + х(£)) =
= дгх(Т)+мгиЛх(тиь).
Поэтому 52 1*Кх(К) = 52 АКХ(ЛГ) = Х(Л), а система векторов
КУЛ
{Х(К) | /Л > 0} = {х(К) | А* > 0} U {Х(Т U £)}\{x(L)}
линейно независима. Таким образом, вектор р - приведенное сбалан-
сированное покрытие. Далее,
ATv(T) + Xlv(L) = (Аг - XL)v{T) + XL(y(T) + v(L))
(AT - XL)v(T) + XLv(T U L) = mtv(T) + U L).
Отсюда вытекает неравенство (14.4).
14.6. Проекция ядра С на плоскость (j/1, з/2) имеет вид
{(у1,У2) I v(12) О1 + уЧ v(123) - v(3),
v(l) У1 v(123) - v(23), v(2) О2 «(123) - v(13)} =
= {(у\у2) 1800 О1 + У2 1000, 200 у1 С 350, 300 у2 500}.
Вершины множества С:
1/(1) = (300,500,200), у(2) = (350,450,200), у(3) = (350,500,150).
14.7. Необходимость. Возьмем дележ у(0) из ядра С. Обозначим
через у (к), к = 1,..., |А| — 1, дележи, полученные из у(0) циклическим
сдвигом на к компонент вправо. Тогда дележ
|А|-1
Z= Е 1/(*)/|А| = (ц|Л|/|А|, ...,«|д|/|А|)
*=0
§ 21. Решение упражнений
241
принадлежит ядру и, следовательно,
'iKGA £ = ПГТ1 > «|К| => (14-5).
аек ’ '
Достаточность. Пусть выполнены неравенства (14.5). Тогда указанный
вектор z принадлежит ядру С.
14.8. Проверим равенство
Е₽“ =
аеА
= £ Е (|2f| |К|)!(»(К)-»(К\{а})) = Р(А). (21.6)
аеАК.аеК 1 ’*
Возьмем коалицию К / А и подсчитаем в последней двойной сумме
коэффициент = с£ 4- при v(K). Он включает сумму с£ поло-
жительных слагаемых, встречающихся при вкладах в коалицию К, и
сумму £ отрицательных слагаемых, встречающихся при вкладах в
коалицию КU {а}, где а £ К. Поскольку каждый из игроков коалиции
К имеет свой вклад в К,
к (|*|-1)! (|A|-|tf|)! |K|
с+ “ 1ЛI Ц|! ” 1Д1 ‘
Аналогично,
г = -(hi = -<^ s=о.
Если К = А, то с+ = (7|д| = 1 и равенство (21.6) доказано.
Осталось проверить условие индивидуальной разумности, т.е. что
для любого а Е А выполнено неравенство tpa v(a). Из свойства су-
перадцитивности характеристической функции и равенства (14.6)
₽•= Е <w-iwi-iKi)!w_^(a}))>
К-.аеК 1 ’*
? Е
К-.аеК
(|*|-1)!(|А|-|*|)«
—!-----—L-—v(a) = v(a).
242
§ 21. Решение упражнений
14.9.
У »1 = |(v(123) - v(23)) + |(v(12) - v(2)) + j(v(13) - v(3)) + |v(l),
о О и О
< Р2 = |(v(123) - v(13)) + |(v(12) - v(l)) + |(v(23) - v(3)) + |v(2),
0 000
< P3 = |(v(123) - v(12)) + l(v(13) - v(l)) + l(v(23) - v(2)) + |v(3).
0 и o 0
В игре «джаз-оркестр» вектор Шепли (р = (350,475,175). Если v(123) =
997, то <р = (349,474,174) и ip2 + <р3 < v(23) = 650.
14.10. В симметричной игре все компоненты вектора Шепли равны
между собой.
15.1. Не учтены затраты на хранение продукции. Пусть, напри-
мер, предприятие должно поставлять ежедневно 5 изделий. Затраты
на хранение возникают, если через день используется технология, да-
ющая 10 изделий.
(о,
[0,1],
1,
.р/2,
Р = 1,
15.2. S“(p) = <
16.1. Функция спроса D(p) = 3/р2 и функция предложения S“(p)
(рис. 15.5) пересекаются в точке р = 1. Поэтому функция прибыли
имеет вид
W^(p)=pZ>(p)-C'(Z>(p)) =
Гз/р — (з/р2 — 1),
[3/р-3/(2р2),
1 р 5= 5/З/2,
р> 5Д/2.
Ее максимум на полуинтервале [1, оо) достигается при р* = 1.
16.2. Функция pD(p) является неубывающей на отрезке [рьрг], по-
скольку ее производная D(p) +pD(p) = D(p)(l — е(£>(р))) > 0. Поэто-
му функция спроса D(p) — медленно убывающая. Функция прибыли
Ж(р) = рР(р) — C(D(p)) возрастает и оптимальная стратегия монопо-
лии на отрезке [pi ,рг] равна р* = рг-
18.1. Имеем D(p) = K/pa, D-'fV) = K^/V1/01, D(D~l(V)) =
-aV1+1^a/К1/01. Пусть v — ситуация равновесия. По утверждению
18.1 V a € А Vе > 0. Отсюда по лемме 18.1 выполнено V a €
A u'v. (о) > 0 или (см. формулу 18.5)
Va6 А
ье а ьел
§ 21. Решение упражнений
243
Складывая эти неравенства, получим
Kl^a(ma -!)/(&( у*) ) - ст О,
ьел
что невозможно при 0 < а 1/тп.
18.2. Выпишем вторую частную производную функции выигрыша
ua(v) по переменной уа :
- 2(£vb) + (1 + 1/аК)/(а(5>‘)2+1/“).
Нетрудно заметить, что при a 1 функция ua(y) вогнута, а при 1/т <
a < 1 она имеет единственную точку максимума по переменной уа на
полупрямой [0, +оо) ( при фиксированных переменных v6, b Е 4\{а}).
Отсюда следует, что необходимые условия для ситуации равновесия
у, сформулированные в лемме 18.1, являются также и достаточными
условиями.
1. Если V К/(сат)9 то
р = с, ув = А*/(са7п), р* = аст/(та -1), у* = v* =f К/(т(р*)а).
Если К/(сат) > V > у*, то
р = K/(mVa)> va = V, р* = аст/(та — 1), у" = у*.
Если V у*, то р = р* = K/(mVa)) va = va = V.
ТП
2. Положим с = с/К, ti = 22 f = 0,1, ...,тп - 1, tm = 0.
a=z+l
Пусть найдется целое k Е {1, ...,тп}, удовлетворяющее условию
tk < 1/с fjb-i. Тогда из уравнения 18.6" находим
v*(fc) = (fc - 1 - 2cktk + у/ (к — l)2 + 4cktk)/(2сЛ2).
Поскольку^ < 1 ctfc-i, то y*(fc) < (fc—1—2cfcijt4-fc+l)/(2cfc2) Vk.
ТТ -a (va, а> к,
Поэтому у : у = < , - ситуация равновесия. Соответ-
I у*(Л), а к.
ствующая ей цена равна
р* = K/(tk + kv*(k)) = 2ckK/(k - 1 + У(Л- I)2 + 4cfct*) > с = p.
Пусть 1/с to- Тогда V a Е A v* = Va и р* = р = К fa.
244
§ 21. Решение упражнений
3. Положим т/ = К (к—1)/ сь. Тогда ситуация равновесия v имеет
ь=1
вид:
Vе = lTi~rl2cf‘/K> ° = 1>-Л
[О, a = fc+ l,...,m,
i
где к = max{Z | 52 с* > G “ 1)с*}. Соответствующая ей цена равна
6=1
k
р* = Е -1) > р = с1.
6=1
18.3. 1. Объемы Vp?, где р' < р, приобретают сначала потребители
с резервной ценой г р. Для покупки товара по цене р число таких
потребителей станет равным max 0, D(p) — 52 •
L р' <р J
2. Пусть Р(з) = {р,} - упорядоченное множество цен pi < Р2 <
... < Pk < Р Pfc+i < .... Поскольку P(pi) покупателей товара по цене
Pi равномерно распределены в очереди, число покупателей по цене pi,
имеющих резервную цену г р, составит величину VP1D(p)/D(pi),
а аналогичное их число с г Е [pi,p) равно Vpl(D(pi) - Z>(p))/Z>(pi).
Поэтому после продажи товара по цене pi число покупателей по цене
Р2, имеющих резервную цену г р, станет равным Z>(p)(l - VPI /P(pi)),
т.е. оно уменьшится пропорционально коэффициенту 1 - Vpi/D(pi).
Аналогичное уменьшение произойдет и с покупателями, имеющими
резервную цену г рг. Продолжая рассуждения, придем к выводу,
что после покупки товара по цене рг число покупателей по цене рз,
имеющих резервную цену г р, составит величину
- ^>) 0 - PW(^>)=М1 - - ^>)
И Т.Д.
3. Пусть Р(з) = {Рг} — упорядоченное множество цен pi < рг <
... < pk < р Pk+i < —• Тогда нетрудно видеть, что
P(pi, V) = D(pi), D(P2, V) = maxtmintD^),^^) - VP1],0],
D(p3, V) = max[min[P(p3),D(p2) - - VP1 - VP2],0]
и Т.Д.
18.4. В силу следствия к утверждению 18.3 для равновесия по Нэшу
s выполнено р(з) = р. Пусть найдется производитель 6, для которого
§ 21. Решение упражнений
245
Vb > S+(p) — D(p) = У2 Va — D(p) и cb = p. Тогда при малом e > О
a:c®
выполнено неравенство
D(p + e)- 22 У“>°
a:ce^p,a^6
и no (18.13) остаточный спрос по цене р 4- е будет положительным.
Следовательно, производителю Ь выгодно отклониться и выбрать цену
зь = р 4- е (противоречие).
19.1. Для акцизного налога
te = S-1^ 4- D2)(D2 - K)!{DX 4- К). p(te) = te + S-1^ + D2),
для налога на прибыль p(tpr) = S-1(.Di-hD2), tpr = P(tpr)(D2-K)/Pr,
где величина прибыли равна
p(ipr)
Pr = У (Di 4- D2 - S(p))dp.
о
19.2. По условию
e(P(p)) = -p(Pi(p) + P2(p) - tf/p2)/(Pi(p) + P2(p) + K/p) < 1.
Отсюда
Qi(p) + Qzip) = D\(p) 4- D2(p) +p(D\(p) 4- D2(p)) > 0.
19.3. Функция K(p) непрерывна и на отрезках, где она дифферен-
цируема, ее вторая производная К(р) = Di(p)(q(p)—p)—2Di(j)) —Q2(p)
неотрицательна. Функция К(р) в точках своего разрыва имеет поло-
жительные скачки. Следовательно, функция К(р) выпукла на всем
отрезке [рр,рЛ].
20.1. Заметим, что
ton R(p) = T(qF - c)/F = qT- Tc/F < R(p) =qT- T(1 - q)c/F.
p—0
Если qF > (1 - g)c, to R(p) >0, Я* = R(p) = R(p)> P* — P-
Если qF (1 - g)c, то J?(p) 0, R* = p* = 0.
20.2. 1) Из условия следует, что Fq > с. Поэтому функция R(p)
возрастает на полуинтервале [0,р) и постоянна на отрезке [р, 1]. Из
Я(р) > 0 получаем р* Е [рД].
2) Имеем F = c/q < F = (qm 4- 1 - q)c/(qm). Поэтому функция
Я(р) равна нулю на полуинтервале [0,р) и убывает на отрезке [р, 1].
Из Я(р) > 0 получаем р* = р.
Приложение
П1. Теорема об отделяющей гиперплоскости
Теорема П.1. Пусть А и В - два выпуклых непересекающих-
ся компакта в Ет. Тогда найдется гиперплоскость (а, х) = Ь, строго
отделяющая множества А и В, т.е.
V х Е А, V у Е В (а, ж) <Ь < (а, у).
Доказательство. Рассмотрим на А х В функцию |ж - у|2, где
х 6 А, у 6 В, и пусть пара (ж0, у0) - точка ее минимума. Тогда
|ж° - у°| > 0. Покажем, что гиперплоскость (а, ж) = Ь при а = yQ — ж0,
Ь = |(|у°|2 — |ж°|2) является искомой.
Докажем, что V х Е А (а, ж) < Ь. Предположим противное. Тогда
найдется такая точка xf Е А, что (а, ж') Ь. Рассмотрим функцию
g(t) = |у° — (1 — t)x° — tx'l2, t E [0,1]. Имеем
У(0) = 2(j/° - x°,x° - x'} = 2(j/° - xQ,xQ) - 2(a,x')
2(yQ,xQ) - 2|s°|2 - 2b = 2{yQ,xQ) - |s°|2 - И2 = -|x° - j/°|2 < 0.
Следовательно, при положительных и близких к нулю t выполнено
неравенство g(t) < <?(0), что противоречит определению пары (ж0, у0).
Второе утверждение о том, что V у Е В Ь < (а,у), доказывается
аналогично.
П2. Доказательство теоремы 5.1
Теорема очевидна для Е°. Пусть она верна для Е™"1. Рассмотрим
семейство выпуклых компактов Da,a Е £, из Ет, каждые т + 1 из
которых имеют непустое пересечение.
Докажем сначала, что любое конечное подсемейство семейства
Daia Е £, имеет непустое пересечение. Предположим противное. То-
гда существует минимальное целое k > т + 1, для которого найдется
k fc-i
такое подсемейство Dai,i = что f| Dai = 0, р| Da. 0 0.
i=l t=l
k-1
Положим A = Daiti В = p| Dai. Выпуклые компакты А и В не пе-
i=l
ресекаются и найдется строго отделяющая их гиперплоскость Н (см.
Ш.) Пусть С — пересечение каких-либо т множеств из Dai,..., Dah_1.
Тогда В С С и по условию С П А / 0. Возьмем ж0 Е С П А и yQ Е В.
Приложение
247
Тогда отрезок [ж0, у0] принадлежит С и пересекается с Н. Следоваг
тельно, С ОН £ 0. Итак, любые т множеств из Dai П Н,..., DOCk_1 П Н
имеют непустое пересечение. По предположению индукции
Л-1
рРа, ЛЯ = ВЛЯ/0,
»=1
что противоречит построению гиперплоскости Н.
Завершим доказательство теоремы. Предположим , что
П Ра = 0.
Пусть X = Da' — некоторый компакт из семейства Da, а Е £. Опре-
делим новое семейство D'a = Da П X, а Е £. Тогда f| D‘a = 0 и
аес
множества Da = образуют открытое покрытие компакта X,
из которого можно выделить конечное подпокрытие Dai, ...,О^ . От-
р р
сюда вытекает, что р| D‘a. = Q Da. П Da» = 0. По доказанному любое
i=i * i=i
конечное подсемейство семейства Dai а Е £ имеет непустое пересече-
ние (противоречие).
ПЗ. Функция Минковского и гомеоморфизм выпуклых ком-
пактов
Пусть А — выпуклый компакт в Ет, содержащий внутри себя нуль
вместе с во-окрестностью нуля Оео. Определим на функцию Мин-
ковского множества А
Рд(х) = inf < t > О
Рассмотрим ее свойства. Очевидно, что рд(0) = 0, а при х / 0 рд(х) >
О и нижняя грань достигается, поскольку множество А ограничено и
замкнуто. Кроме того, рд(х) 1 х Е А. Функция рд(х) положи-
тельно однородна, т.е. для любого А > О
ах Е Ет
Рд(Хх) = A inf <
— Е А > = ХрА(х).
V I
Докажем, что функция рд (ж) субаддитивна, т.е.
Ух^еЕ"* рл(х + у) ^pA(x)+pA(y).
(П.1)
248
Приложение
Действительно, возьмем х, у / 0. Вектор
х + у _ РА (ж)X Ра (у)У
Ра(х)+ра(у) Рл(х)+рА(у) рА(х) Ра(х)+ра(у) Ра(у)
принадлежит множеству А, поскольку является выпуклой комбинаци-
ей векторов рлЪу из А. Отсюда получаем неравенство (П.1).
Докажем, что функция Минковского непрерывна. Действительно,
для любого х Е О£о
Ое° > £О Ра(х)
Ра(х) Ра(х) е0
Отсюда следует, что рд(ж) непрерывна в нуле. Непрерывность функ-
ции ра (я) в любой точке ж0 вытекает из неравенства
|pa(z) - Ра(®°)| тах[рЛ(х - х°),рА(хй - х)]
и ее непрерывности в нуле.
Теорема П.2. Пусть выпуклые компакты А и В в Ет содержат
внутренние точки. Тогда найдется взаимно однозначное и непрерывное
отображение (гомеоморфизм) А на В.
Доказательство. Без потери общности будем считать, что нуль
содержится в А П В вместе со своей окрестностью О£о. Определим
отображение
т : А В, т(0) = 0, т(х) = х / 0,
PBW
где рл(я),рв(я) — функции Минковского множеств А и В. Нетрудно
проверить, что
т *(у)
рв(у)
Ра(у)У
- отображение, обратное к т. Поскольку функции рд(я),рв(я) непре-
рывны, отображение т(х) непрерывно при х / 0. Проверим непрерыв-
ность т(х) в нуле. Множество В ограничено и поэтому найдется такое
число а, что для всех х Е В |ж| а. Поскольку ^^у Е В, ^^у а.
Для любого вектора х Е O£Q выполнено неравенство рд(ж) (см.
выше доказательство непрерывности функции рд(ж)). Следовательно,
для всякого х Е О£о
|т(х)| =
Рл(®)и| <? “И
S)w * V
Приложение
249
П4. Симплексы и теоремы о неподвижной точке
Пусть {х1,...,хп+1} - множество векторов из Ет(п тп), выпук-
лая оболочка которого
п+1 п+1
К = {х е I X = £ ^Ai = l, А< > 0, » = 1,...,п +1}
1=1 »=1
имеет размерность п. Тогда множество К называется симплексом, по-
рожденным вершинами х1,..., хп+1. Для симплекса К будем также
использовать обозначение К = х1 • • • хп+1. Размерность п означает ли-
нейную независимость векторов xn+1 — x1,...,xn+1 — хп. Отсюда вы-
текает, что для всякого х € К коэффициенты А<(х), i = 1, ...,п + 1, в
разложении х по х' определены однозначно и являются непрерывными
функциями на К.
Всякое множество, содержащее г п+1 вершин, порождает (г—1)-
мерный симплекс, называемый гранью симплекса К. Вершины сим-
плекса ж1,...,хп+1 являются нульмерными гранями, n-мерная грань
совпадает с К. Одномерные грани х*х*, i / j, называются ребрами
симплекса К. Диаметр симплекса К определяется как максимальная
длина его ребер. Подмножество KQ симплекса К вида
п+1 п+1
К° = {хеЕт\х = ^Xix\ £а< = 1, Xi>0, i = l,...,n + l]
i=l t=l
называется открытым симплексом, порожденным вершинами х1,...,
Д.П+! для открытого симплекса будем также использовать обозначе-
ние KQ = х1 •••xn+1. Нульмерные симплексы являются открытыми.
Открытые ребра будем обозначать через х*х<
Пусть симплекс К таким образом разбит на открытые попарно
непересекающиеся симплексы Ki,...,Kp , что любая открытая грань
каждого симплекса Kj принадлежит разбиению. Такое разбиение на-
зывается симплициалъным. Симплексы Kj, принадлежащие KQ, обра-
зуют разбиение открытого симплекса.
На рис. П.1 приведен пример симплициального разбиения двумер-
ного симплекса К на два двумерных, пять одномерных и четыре нуль-
мерных открытых симплекса.
250
Приложение
Рис. П.1
Соответствующий открытый симплекс KQ разбит на два двумерных
и один одномерный открытых симплекса. Если удалить из разбиения
нульмерный симплекс у, а ребра х2у и ух3 заменить на ребро ж2®3, то
получим пример несимплициального разбиения. Для симплициального
разбиения тг через <$(тг) обозначим максимальный диаметр симплексов,
входящих В 7Г.
1 n+1 •
Точка 22 называется барицентром симплекса К. Опреде-
лим симплициальное разбиение, называемое барицентрическим, каж-
дое ребро которого соединяет барицентры грани и некоторой ее под-
грани симплекса К. Для симплекса ж1®2 оно состоит из вершин ж1,®2,
его барицентра b = ^(х1 +х2) и двух открытых ребер хгЬ и Ьх2. Предпо-
ложим, что барицентрическое разбиение определено для любого сим-
плекса размерности k п - 1.
Определим его для симплекса К размерности п с барицентром Ь.
Пусть тг7 - семейство открытых симплексов, входящих в барицентри-
ческие разбиения всех (п - 1)-мерных граней симплекса К. Возьмем
произвольный симплекс К1 = у1 ---у1, I п из тг'. Предположим по
индукции, что каждое его ребро у'у! соединяет барицентры некоторой
грани и ее подграни симплекса К. Нетрудно видеть, что аналогичным
свойством обладает и симплекс у1 • • • у1 Ь. Совокупность всех таких сим-
плексов у1 • • • у1Ь и барицентр b добавим к семейству тг'. В результате
получим барицентрическое разбиение tti симплекса К.
Покажем, что <5(tfi) где d “ диаметр симплекса К. Дей-
ствительно, возьмем любое ребро Ь'Ь" разбиения tti, где без потери
общности
, s+i 7 г+1
= Ух\ Ь" = ——Ух’, г < з п.
s + г + 14?
»=1 j=i
Приложение
251
Тогда
1 e+i
|ь'-и = tttEi*1-»") =
О Т 1 . ,
1=1
= _1_____L_ р у'м _ xj\ < s(r + ХМ < nd
s 4-1 г + 1 " “ (s + l)(r + 1) п 4- Г
Итак, <5(тг1) Если каждый симплекс, принадлежащий разби-
ению 7Г1, подвергнуть барицентрическому разбиению, получим сим-
плициальное разбиение тг2, для которого ^(тгг) (^у)2^- Повторяя
аналогичную процедуру к раз, получим симплициальное разбиение тг*
Теорема П.З (лемма Шпернера). Пусть тг - симплициальное
разбиение n-мерного симплекса К — х1 • • •жп+1, а функция у : К ->
{ж1, ...,жп+1} удовлетворяет условию
у(х)е{х*\Ух€К Xi(x)>0}.
Тогда найдется такой n-мерный симплекс у1 • • • j/n+1 разбиения тг,
что у(у1) = ж*, i = 1, ...,n + 1. Число таких симплексов нечетно.
Доказательство. Для п = 0 утверждение теоремы очевидно. Пред-
положим, что она справедлива для (п - 1)-мерных симплексов. Пусть
...,КР — n-мерные открытые симплексы, входящие в разбиение тг.
Будем говорить, что (п — 1)-мерная грань у1 • • • уп симплекса Kj =
У1 • • -уп+1 отмечена, если у(у') = х', i = 1, ...,п.
Если симплекс Kj удовлетворяет утверждению теоремы, то, ввиду
равенств у(у') = я*, i = 1,...,п 4- 1, он имеет ровно одну отмечен-
ную грань. Действительно, любая другая (п - 1)-мерная грань сим-
плекса Kj содержит вершину уп+1. Но y(yn+1) = ®n+1 и эта грань
не является отмеченной. Пусть симплекс Kj не удовлетворяет утвер-
ждению теоремы и имеет отмеченную грань у1 • • • уп. Тогда он име-
ет ровно две отмеченные грани. Действительно, по предположению
у(у') = ж1, i = 1,...,п и без потери общности p(j/n+1) = х1. Тогда
(п - 1)-мерные грани у1 • • • уп и у2 • • • упуп+х являются отмеченными.
Пусть Oj — число отмеченных граней симплекса Kj. По доказан-
ному Oj Е {0,1,2} и Oj = 1 только в том случае, когда симплекс Kj
удовлетворяет утверждению теоремы. Поэтому осталось доказать, что
р
общее число отмеченных граней х = 12 нечетно. В этом случае
7=1
обязательно найдется симплекс Kj, удовлетворяющий утверждению
теоремы.
252
Приложение
Пусть V = у1 ---уп — какая-либо (п — 1)-мерная отмеченная от-
крытая грань симплекса Kj. Если V С K\KQt то V принадлежит
некоторой (п — 1)-мерной грани симплекса К и является гранью един-
ственного n-мерного симплекса разбиения тг. При этом из равенств
def —:----------------------------------------------
р(у*) = ж*, i = 1,п, следует, что V С W = х1--хп. Действительно,
если бы грань V принадлежала другой грани симплекса К, скажем,
х2 .. .хп+1, т0 п0 определению функции у равенство у {у1) = х1 было
бы невозможно. Пусть V (jL К\К°. Тогда V является общей гранью
ровно двух n-мерных симплексов, входящих в разбиение тг и в сумме
X она учитывается дважды. Следовательно, число х сравнимо по мо-
дулю 2 с числом (п — 1)-мерных симплексов V = у1 ---уп с W, для
которых у(у') = ж*, i = 1,...,п. По предположению индукции, приме-
ненному к (п — 1)-мерному симплексу W, это число нечетно. Поэтому
число х также нечетно.
Теорема П-4 (Кнастер, Куратовский, Мазуркевич). Пусть
замкнутые подмножества Ci,...,Cn+i симплекса К — х1 •••жп+1 удо-
влетворяют условию
V 1 5$ Л < 32 < ... < л П + 1 х« • • • С U Cjr.
Г=1
Тогда множества Ci, ...,Cn+i имеют непустое пересечение.
Доказательство. Рассмотрим последовательность {я>} построен-
ных ранее симплициальных разбиений симплекса К, для которой
lim J(TFfc) = 0.
fc->oo
Определим отображение у : К -> {ж1,...,а;п+1} следующим образом.
Для любого х Е К пусть
{а? | А/х) > 0} = ji < j2 < ... < j,.
8
Тогда по условию х Е U Cjr. Положим у(х) = xjt, где t - мини-
Г=1
t t-1
мальное число, для которого х 6 U Cjr. Отметим, что х ф |J
Г=1 Г=1
и, следовательно, х Е Cjt. По предыдущей теореме существует сим-
плекс !/1(fc)---t/n+1(fc) разбиения для которого у (у1 (k)) = х', i =
l,...,n + 1. Заметим, что для каждого вектора у1(к) по определению
отображения у jt = i и поэтому у'(к) Е G, i = 1, ...,n + 1. Поскольку
Приложение
253
К — компакт, без потери общности можно считать, что последова-
тельности {з/*(Яг)} сходятся. Но lim <5(тг^) = 0. Поэтому при к -+ оо
Л-4ОО
диаметр симплекса у1 (к) • • -j/n+1(fc) стремится к нулю. Следователь-
но, lim у'(к) = у*> i = 1, ...,n + 1. Поскольку при всех i у'(к) Е С», а
fc->oo
п+1
множества С» замкнуты, имеем у* Е Q С».
Уточним формулировку теоремы 8.1. Пусть Z — выпуклый ком-
пакт в Ет и у1 • • • уп+г — содержащийся в нем симплекс максималь-
ной размерности. Тогда число п т называется размерностью мно-
жества Z. Выпуклый компакт Z максимальной размерности т име-
ет внутреннюю точку (например, барицентр симплекса у1 •••ут+1).
Обратно, если Z имеет внутреннюю точку, то его размерность макси-
мальна. Предположим, что Z имеет размерность п < т и содержит
нуль. Тогда можно считать, что j/n+1 = 0. При этом Z является под-
множеством евклидова пространства Еп с базисом у1,..., уп.
Из сказанного вытекает, что в теореме 8.1 без потери общности
можно предположить, что выпуклый компакт Z имеет максимальную
размерность т.
Доказательство теоремы 8.1 (Брауэра). Пусть
К = х1 • • -xm+1 - тп-мерный симплекс в Ет. По теореме П.2 (см. ПЗ)
найдется гомеоморфизм г : Z -+ К. Отображение то/от-1 переводит
точку у Е К в точку т(/(т-1(у))) Е К и является непрерывным. Если
yQ Е К - неподвижная точка отображения г о f о т“х, то х° = т-1 (у0)
— неподвижная точка отображения f : Z -+ Z. Поэтому без потери
общности можно считать, что Z = К,
Положим Ci = {х е К | А<(/(я:)) АДж)}, i = 1, ...,тп + 1. Посколь-
ку отображение f и функции А* (ж) непрерывны на К, множества С»
замкнуты. Покажем, что множества Cj удовлетворяют условию пре-
дыдущей теоремы. Пусть х Е х^1 • • • xJ*. Тогда
V j $ {х\...» АДх) = 0 => £а,„(х) = 1 > £а,г(/(х)).
Г=1 Г=1
Следовательно, найдется номер г, при котором AJr (х) Xjr (/(х)) и
х Е Cjr. По предыдущей теореме найдется
т+1
X* 6 Pl Ci => Aj(x*) Aj(/(x*)), i = 1, ...,m + 1.
»=1
254
Приложение
m+1 m+1
Ho E M®*) = E Ai(/(®*)) = 1. Поэтому Xi(x*) = АД/(х*)), i =
t=l i=l
1,m + 1 => x* = /(x*).
Доказательство теоремы 11.1 (Какутани). Как и при доказа-
тельстве теоремы Брауэра, без потери общности можно считать, что
выпуклый компакт Z имеет максимальную размерность т.
Пусть К = х1 • • • — тп-мерный симплекс в Ет. По теореме
П.2 (см. ПЗ) найдется гомеоморфизм <р : К -+ Z. Рассмотрим после-
довательность {тг*} симплициальных разбиений тг* симплекса К, для
которой lim J(tt*) = 0. Для произвольного к определим следующее
Л->оо
непрерывное отображение Ф* : К -+ Z. Для любой вершины х из
тг* выберем точку Фк(х) Е Ф(^(ж)) и затем продолжим отображение
линейно на каждый из симплексов, входящих в тг*, т.е. если
т+1 т+1
х = 52 где 12 = А> ^ °> ^ = ->т+х>
J=1 Т=1
- точка симплекса ж1 • • • жт+1 Е тг*, то полагаем
т+1
$‘(х) = j; а,ф*(^).
Т=1
Очевидно, что последнее равенство определяет непрерывное отображе-
ние Ф* : К -+ Z. Тогда /* = у?-1 о Фк : К -+ К является непрерывным
отображением и имеет неподвижную точку хк. Пусть хк принадлежит
симплексу х1к • • • xm+lik Е тг*, т.е.
т+1 т+1
хк = 52 А*^*> 52А* = А* > °> j=1-
J=1 j=l
Не умаляя общности, можно считать, что последовательности {ж*},
{х*к},{Aj },{Ф*(ж-**)}, j = 1, ...,тп +1, сходятся при к -+ оо. Поскольку
диаметры симплексов х1к • • • xm+lik стремятся к нулю, последователь-
ности {я*} и {ж-7*} должны иметь общий предел ж* Е К. Пусть
lim X1- = AJ, lim $k(xjk) = rf, j = 1, ...,m + 1.
fc->OO J J k-¥OO
Имеем
m+l
^(x*) = $‘(3*) = 52 А£ф‘(а^) (П.2)
>=i
Приложение
255
и lim = <р(ш*), lim <p(xk) = <p(x*) в силу непрерывности отоб-
fc->oo fc->oo
ражения Переходя в равенстве (П.2) к пределу при к -+ оо, получим
т+1 т+1
= £ л#, 22 л; = 1, л; > о, j = i, ...,т +1.
J=1 J=1
Из замкнутости отображения Ф вытекает, что гр Е Ф(</?(х*)), j =
1, ...,m + 1. Поскольку множество Ф(у>(ш*)) выпукло, точка <р(х*) ему
принадлежит и является искомой.
П5. Об итерационном процессе Брауна
Доказательство теоремы 4.3
Для доказательства сходимости последовательностей {v/(fc)}, I =
1,2, к значению игры v нам потребуется обобщенный итерационный
процесс. Определим его. Пусть с(0) Е Ет, d(0) Е Еп — два вектора,
удовлетворяющие условию max с,(0) = min dj(O). Возьмем
l^t^m l^J^n
ii € Arg max с<(0), ji € Arg min d,(0).
l^t^m
Пусть определены стратегии ij, ji, —,jk и векторы
c(0),c(l),...,c(fc), d(O),d(l),Возьмем
i*+i 6 Arg max Ci(k), jk+i E Arg min d,(k)
l^i^m l^j^n
и положим для всех г, j Cj(fc+1) = Ci(k)+aijhi dj(k + l) = dj(k) + aihj.
Итак, вектор c(k 4- 1) есть сумма вектора с(0) и столбцов матрицы А
с номерами д,..., jk. Аналогично, вектор d(k 4-1) есть сумма вектора
d(0) и строк матрицы А с номерами ii, Нетрудно видеть, что
k п
а(к) = а(0) + 22 “О'. = <*(0) + 52 + кА(*> «(*))>
t=l j=l
dj(fc) = dj(O) + M(p(fc),J).
При нулевых векторах с(0) и d(0) построенный итерационный процесс
совпадает с процессом Брауна. Поскольку множества Arg max Ci(k)
l^i^m
и Arg i min dj(k) могут содержать более одного элемента, последова-
тельности {c(fc)}, {d(k)} определяются в ходе итерационного процесса
неоднозначно.
256
Приложение
Определим, как и ранее, последовательности величин
Vx(fc) = max v2(k) = min к = 1,2,....
Далее будет доказана их сходимость к значению игры v для любых
векторов c(0),d(0).
Из неравенств (см. доказательство неравенства (4.7))
max A(i,q(fc))>v> min A(p(k),j), k = l,2,...,
следует, что
lim vi (fc) = lim max
fc->OO fc->OO
^ + A(i,q(k))
К
> lim min + A(p(k),j) = limt^fc).
k—too l^j^n К k—^oo
Отсюда
lim (yi(k) - v2(k)) 0. (П.З)
k-+OQ
Покажем, что _____
lim (t>i(fc) - v2(k)) 0. (П.4)
fc->oo
Будем использовать обозначение
Д(Л) = max Ci(k) - min dj(k).
С помощью него условие max с*(0) = min d, (0) можно записать в
виде Д(0) = 0.
Определение. Будем говорить, что г-я строка (J-й столбец) матри-
цы А существенна (существенен) на отрезке шагов [s, s +1], если для
некоторого шага f Е [s, з +1] i? = i (jr = J).
Лемма П.1. Пусть все строки и столбцы матрицы А существенны
на отрезке шагов [з, з 4- £]. Тогда
max cds +1) - min dj(s + t) 4at, (П.5)
где a = max max |ан|.
Приложение
257
Доказательство. Покажем сначала, что в условиях леммы спра-
ведливы неравенства
max Ci(s +1) - min Ci(s +1) 2at, (П.6)
max dj(s +1) - min d, (a +1) Sj 2at. (П.7)
Докажем (П.6). Пусть для Z-й строки выполнено равенство
min c*(s + t) = ci(s + t). Из условия леммы вытекает, что найдется
такой номер шага f Е [s, з + fl, что max с<(^) = ci(t‘). Тогда
1<»<7П
max c>(s-bt)- min a(s + t) =
= max cds +1) — max с<(<') + ci(t') — ci(s +1)
max (cj(a +1) — Cj(t')) + cj(t') — cj(s +1) 2at,
поскольку все последние разности на превосходят at. Неравенство (П.7)
доказывается аналогично. Покажем также, что справедливо неравен-
ство
min а(з 4-1) - max dj(s 4-1) 0. (П.8)
Пусть vT — значение игры с матрицей Ат, транспонированной к А.
Тогда
min A(i,q(s +1)) max min A(i,q) = vT =
g€Q l^i^m
= min max A(p,j) max A(p(s + i), j).
p€P
Отсюда
.JR? 7Г7+Л(*»9(в + 0) < max 7^+ mm A(i,q(s + t))^
TZ7 + A&(a + 0>J)) m^c
^^ + A(p(s + t),J))
3 “Г с
Домножая это неравенство на s 4-1, выводим (П.8). Неравенство (П.5)
получается сложением неравенств (П.6)-(П.8).
Лемма П.2. Для произвольной матрицы А и произвольного е > 0
найдется такой номер шага fco, что для любых последовательностей
c(fc),d(fc), к = 0,1,... итерационного процесса Д(Аг) ек при к ко.
258
Приложение
Доказательство. Утверждение леммы верно для 1 х 1-матриц А,
поскольку тогда c(fc) = d(k) для всех k 1. Примем, что лемма верна
для всех подматриц матрицы А и докажем, что она верна и для А.
Выберем к± таким образом, чтобы для любых последовательностей
c1(fc),d1(fc), к = 0,1,... итерационного процесса, соответствующего
подматрице А1 = полученной из А вычеркиванием стро-
ки или столбца, было выполнено неравенство
^(к)*— maxc*(fc) - mindj(fc) к ki-
iei jeJ J 2
Докажем, что если для матрицы А некоторая строка (столбец) несу-
щественна (несущественен) на отрезке [з, з 4- fci], то справедливо нера-
венство
Д(з4-*п)^ A(s) + |efci. (П.9)
Предположим, например, что подматрица А1 получается вычеркива-
нием из А несущественной /-й строки. Положим I = {1,
4(0) = d,(s) + Д(з), j = 1,с|(0) = Cj(s), г е I.
Поскольку l-я строка матрицы А несущественна, Дх(0) = 0 и в итера-
ционном процессе можно взять = is+k, jl ~ is+k, к = 1,..., fci. Сле-
довательно, dj(k) = dj(s + к) + Д(з), j = 1,...,n, cx(fc) = (с*(з + fc),i 6
/), к = l,...,fci. Итерационный процесс для матрицы А1 можно про-
должать и при к > fci.
На основании выбора fci A1 (fci) jefci. Поэтому
Д(а + *0 = ДХ(М + Д(«) Д(з) + Jefci
и неравенство (П.9) доказано.
Мы можем теперь показать, что для любых последовательностей
c(fc),d(fc), к = 0,1,..., итерационного процесса A(fc) ек при к
8aki/e.
Рассмотрим целое к > fci и представим его в виде к = (0 + t)k±, где
0 0 < 1, a t > 0 — целое (9ki — остаток от деления к на fci).
Случай 1. Найдется такое целое положительное число h t, что
все строки и столбцы матрицы А на отрезке [(0 -f- h - l)fci, (0 4- h)ki]
существенны. Беря наибольшее из таких Л, имеем
Д(Л) Д((0 + h)ki) + - h)ki. (П.10)
Приложение
259
Это неравенство получено повторным применением неравенства (П.9),
поскольку на каждом из отрезков
[(0 + г - l)Ai, (в + г = h + 1,t,
некоторая строка или столбец матрицы А несущественны. Из лем-
мы П.1 на основании выбора h имеем
Д((0 + Л)Л1) ^4аЛ1. (П.11)
Из (П.10) и (П.11) получаем
Д(£) 4afci + ^е(< — h)ki (4а + ^et)fci.
Случай 2. В каждом отрезке [(0 + Л - l)fci, (0 + ft)fcj], h = 1, ...,t,
некоторая строка или столбец несущественны. Следовательно, как и
при выводе (П.10),
Д(&) Д(0&1) + (2а0 + ±£t)ki.
At i
В обоих случаях, используя неравенство tk\ fc, получим
A(fc) (4а + 4afci + ек при к Зак\/е.
Из леммы П.2 вытекает неравенство (П.4) и сходимость последова-
тельностей vi(fc), V2(fc), к = 0,1,к значению игры v.
Пусть р° — любая предельная точка последовательности {p(fc)}.
Покажем, что р° — оптимальная смешанная стратегия первого иг-
рока. Действительно, поскольку последовательность {р(Л)} принад-
лежит компакту Р, без потери общности (выделяя соответствующую
подпоследовательность) можно считать, что она сходится к р°. Тогда
min A(p(k),j)^v-€k, А: = 1,2,...,
где вк -> 0 + . Переходя в этих неравенствах к пределу при к -» оо,
получим неравенство min Л(р°, J) v, что означает оптимальность
стратегии р°. Аналогично доказывается оптимальность для второго
игрока любой предельной точки qQ последовательности {g(Ar)J.
Оценим скорость сходимости последовательностей {vi (fc)} и {^(А:)}
к значению игры v.
Пусть А1, 1^0 — подматрица, полученная из матрицы А вычер-
киванием каких-либо I строк или столбцов, a {vJ(Ar)}, {^(Л)} - по-
следовательности обобщенного итерационного процесса, соответству-
ющего подматрице А1. Обозначим через ki число повторений игры,
260
Приложение
при котором для любой подматрицы А1 и любых начальных векторов
<У(0),rf1 (0) выполнено неравенство V к ki v{(k) - v|(fc) 2~1е. Про-
сматривая доказательство леммы П.2, замечаем, что km+n_i = 1
и ко вакхе""1. Аналогичным неравенством связаны к/ и к/+х :
ki 2/8ak/+ie“"1,1 = 0,1,..., тп + п - 2. Отсюда
/ \2
ко — ki > | ) 2кг >
е \ е I
к тп+п—1 ✓ \ m-f-n—1
21+2+-+т+п-2А:т+п-1 = | — | 2(™+n-»)j™+n-i)
Таким образом, при любом к ко выполнены неравенства
/ \ -тЛ
/ 1 \ т •п
.. . ... de/ _ т+п—a f 1 I
Vi(k) — гг(к) е = 2"* 8a( - I
\ к /
Список литературы
[1] Activity analysis of production and allocation (Cowles
Commission Monograph № 13, ed. Koopmans T.C.). N.Y.:
J.Wiley, 1951.
[2] Allen B., Hellwig M. Bertrand-Edgeworth oligopoly in large
markets//Review of Eicon. Studies. 1986. V. 53. P. 175—204.
[3] Amir R. Cournot oligopoly and the theory of supermodular
games//Games and Economic Behavior. 1996. V. 15. P. 132—148.
[4] Atkinson A.B., Stiglitz J.E. Lectures on public economics.
London: McGraw-Hill, 1980.
[5] Ашманов C.A. Линейное программирование. M.: Наука, 1981.
[6] Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах
и упражнениях. М.: Наука, 1991.
[7] Aumann R.J. The core of a cooperative game without side
payments//Trans. Amer. Math. Soc. 1961. V. 98. № 3.
P. 539-552.
Список литературы
261
[8] Беленький В.З., Волконский В.А., Иванков С.А., Поман-
ский А.Б., Шапиро А.Д. Итеративные методы в теории игр
и программировании. М.: Наука, 1974.
[9] Бесконечные антагонистические игры. Сб. статей под ред.
Н.Н.Воробьева. М.: Физматгиз, 1963.
[10] Bertrand J. Review de theorie mathematique de la richesse
sociale. Recherches sur les principes mathematique de la theorie
des richesses//J. des Savants. 1883. P. 499-508.
[11] Блекуэл Д., Гиршик M. Теория игр и статистических реше-
ний. М.: Иностранная литература, 1958.
[12] Боненбласт Х.Ф., Карлин С., Шепли Л.С. Игры с непрерыв-
ной функцией выигрыша. В сб. [9]. С. 337—352.
[13] Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного
программирования к теории кооперативных игр//Проблемы
кибернетики. 1963. Вып.10. С. 119—140.
[14] Borges Т. Iterated elimination of dominated strategies in a
Bertrand-Edgeworth model//Review of Econ. Studies. 1992.
V. 59. P. 163-176.
[15] Borel E. 1) The theory of play and integral equations with skew
symmetric kernels. 2) On games that involve chance and skill
of the players. 3) On system of linear forms of skew symmetric
determinants and the general theory of play//Econometrica. 1953.
V. 21. № 1. P. 97-117.
[16] Borel E. Application aux jeux de hasard. Traitd du calcul des
probabilites et des ses applications//Applications des jeux hasard,
E.Borel et collab. Paris: Gauthier - Villars, 1938. V. IV, fasc. 2.
P. 122.
[17] Brown G.W. Iterative solutions of games by fictitious play. In
collected book [1]. P. 374-376.
[18] Brouwer L.E.J. On continuous vector distributions of surfaces.
Amsterdam Proc. 1909. V. 11, continued in 1910. V. 12,13.
[19] Walras L. Elements d’economie politique pure. Lausanne, 1874.
262
Список литературы
[20] Wald A. Contributions to the theory of statistical estimation
and testing hypotheses//Ann. Math. Stat. 1939. V. 10. № 4.
P. 299-326.
[21] Вальд А. Статистические решающие функции. В сб. [65]. С.
300-522.
[22] Васин А.А. Модели процессов с несколькими участниками.
М.: Изд-во Моск, ун-та, 1983.
[23] Васин А.А. Модели динамики коллективного поведения. М.:
Изд-во Моск, ун-та, 1989.
[24] Васин А.А., Панова Е.И. Собираемость налогов и коррупция в
налоговых органах. М.: Российская программа экономических
исследований, 2000. Сер. <научные доклады». № 99/10.
[25] Васин А.А., Агапова О.Б. Математическая модель опти-
мальной организации налоговой инспекции//Программно-
аппаратные средства и математическое обеспечение вычисли-
тельных систем. М.: Изд-во Моск, ун-та, 1993. С. 167—186.
[26] Васин А.А., Васина П.А. Оптимизация налоговой системы в
условиях уклонения от налогов. Роль ограничений на штраф.
М.: Российская программа экономических исследований, 2002.
Сер. <научные доклады». № 01/09.
[27] Васин А.А., Васина П.А., Мархуэнда Ф.Х. Налоговое прину-
ждение для неоднородных фирм./ Препринт № 2001/025. М.:
Российская экономическая школа, 2001.
[28] Ватель И.А., Ерешко Ф.И. Математика конфликта и сотруд-
ничества. М.: Знание, 1974.
[29] Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио,
1981.
[30] Ville J. Sur la theorie g&idrale des jeux ou intervient Pabilite
7 des jeueurs, Traite du calcul des probabilites et des ses
applications//Applications des jeux hasard, E.Borel et collab.
Paris: Gauthier - Villars, 1938. V. IV, fasc. 2. P. 105-113.
[31] Вилкас Э.Й. Оптимальность в играх и решениях. М.: Наука,
1990.
Список литературы
263
[32] Vives X. Rationing rules and Bertrand-Edgeworth equilibria in
large markets//Economic Letters. 1986. V. 21. P. 113-116.
[33] Wolfovitz J. Minimax estimates of the mean of normal
distribution with known variance//Ann. Math. Stat. 1950. V. 21.
№ 2. P. 218-230.
[34] Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры.
М.: Наука, 1984.
[35] Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: Ино-
странная литература,1963.
[36] Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций.
М.: Наука, 1971.
[37] Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.:
Наука, 1976.
[38] Гермейер Ю.Б. Об играх двух лиц с фиксированной по-
следовательностью ходов//ДАН СССР. 1971. V. 198. № 5.
С. 1001-1004.
[39] Горелик В.А. Теория игр и исследование операций. М: Изд-во
МИНГП, 1978.
[40] Грень Е. Статистические игры и их применение. М.: Стати-
стика, 1975.
[41] Давыдов Э.Г. Исследование операций. М.: Высшая школа,
1990.
[42] Данцер Л., Грюнбаум Б., Кли В. Теорема Хелли. М.: Мир,
1968.
[43] Dantzig G.B. A proof of the equivalence of the programming
problem and the problem. In collected book [1]. P. 330-335.
[44] Gilles D.B. Solutions to general non-zero-sum games.
Contributions to the theory of games. IV (Kuhn H.W., Tucker
A.W. eds.). Ann. Math. Studies. № 40. Princeton: Princeton
Univ. Press, 1959. P. 47—86.
[45] Дрешер M. Стратегические игры. Теория и приложения. М.:
Советское радио, 1964.
264
Список литературы
[46] Дюбин Г.Н., Суздаль В.Г. Введение в прикладную теорию игр.
М.: Наука, 1981.
[47] Kakutani S. A generalization of Brower’s fixed point
theorem//Duke Math. J. 1941. V. 8. № 3. P. 457-459.
[48] Карлин С. Математические методы в теории игр, программи-
ровании и экономике. М.: Мир, 1964.
[49] Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих крите-
риях. Предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981.
[50] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: Наука, 1972.
[51] Cowell F., Gordon G.F. Auditing with <ghosts>. In book <The
Economics of Organized Crime». 1995. P. 184-198.
[52] Кононенко А.Ф., Новикова H.M. Обзор развития игр
Гермейера//Программное оборудование и вопросы принятия
решений. М.: Изд-во Моск, ун-та, 1989. С. 201—210.
[53] Knaster В., Kuratowski С., Masurkievicz S. Ein Beweis des
Fixpunktsatzes fffr n-dimensionale Simplexe//Fund. Math. 1929.
B. 14. S. 132-137.
[54] Kreps D., Scheinkman J. Quantity precommitment and Bertrand
competition yield Cournot outcomes//The Bell J. of Economics.
1983. V. 14. P. 326-337.
[55] Кукушкин H.C., Морозов B.B. Теория неантагонистических
игр. М.: Изд-во Моск, ун-та, 1984.
[56] Kukushkin N. A fixed point theorem for decreasing
mappings//Economic Letters. 1999. V. 46. P. 23-26.
[57] Кукушкин H.C. Роль взаимной информированно-
сти сторон в играх двух лиц с непротивоположными
интересами//ЖВМиМФ. 1972. Т. 12. № 4. С. 1029-1034.
[58] Кун Г.У. Позиционные игры и проблема информации. В сб.
[82]. С. 13-40.
[59] Cournot А.А. Recherches sur les principes mathematic de la
thdorie des riches. Paris, 1838.
Список литературы
265
[60] Lemke С.Е., Howson J.J.,Jr. Equilibrium points of bimatrix
games//Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1961. V. 47. P. 1657-1662.
[61] Льюс P. и Райфа X. Игры и решения. Введение и критический
обзор. М.: Иностранная литература, 1961.
[62] Myles G. Public economics. Cambridge, 1996.
[63] Мак-Кинси Дж. Введение в теорию игр. М.: Физматгиз, 1960.
[64] МакКоннелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс. М.: ИНФРА-М, 2003.
[65] Матричные игры. Сб. статей под ред. Н.Н.Воробьева. М.: Физ-
матгиз, 1961.
[66] Мовшович С.М., Богданова М.С., Крупенина Г.А. Рациона-
лизация структуры налогов в переходной экономике России.
М.: Российская экономическая школа, 1997.
[67] Морозов В.В., Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование опе-
раций в задачах и упражнениях. М.: Высшая школа, 1986.
[68] Морозов В.В., Аъзамхужаев М.Х. О поиске дележей дис-
кретной кооперативной игры//Применение вычислительных
средств в научных исследованиях и учебном процессе. М.:
Изд-во Моск, ун-та, 1992. С. 49-62.
[69] Moreno D., Ubeda L. Capacity precommitment and price
competition yield Cournot outcomes//Universudad Crlos 3 de
Madrid, Economic Series. 2001. 08 WP 01-44.
[70] Моцкин T.C.,Райфа X., Томпсон Дж.Л., Тролл Р.М. Метод
двойного описания. В сб. [65]. С. 81—109.
[71] Мулен Э. Теория игр. С примерами из математической эко-
номики. М.: Мир, 1985.
[72] Нейман Дж. фон., Моргенштерн О. Теория игр и экономиче-
ское поведение. М.: Наука, 1970.
[73] Нейман Дж. фон. К теории стратегических игр. В сб. [65].
С. 174-204.
[74] Neumann J. von. Uber ein okonomisches Gleichungssystem und
eine Verallgemeinerung des Browerschen Fixpunktsatzes//Erg.
Math. Kolloqu., 1937. B. 8. S. 73-83.
266
Список литературы
[75] Никайдо X., Исода К. Заметка о бескоалиционных выпуклых
играх, В сб. [9]. С. 449-458.
[76] Нэш Дж. Бескоалиционные игры. В сб. [65]. С. 205-221.
[77] Novchek W. On the existence of Cournot equilibrium//Review of
Econ. Studies. 1985. V. 52. P. 85-98.
[78] Оуэн Г. Теория игр. М.: Мир, 1971.
[79] Партхасаратхи Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр
двух лиц. М.: Мир, 1974.
[80] Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт матема-
тического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат,
1996.
[81] Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.:
Высшая школа, 1998.
[82] Позиционные игры. Сб. статей под ред. Н.Н. Воробьева. М.:
Наука, 1967.
[83] Radon J. Mengen konvexer Korper, die einen gemeinsam Punkt
enthalten//Math. Ann. 1921. B. 83. S. 113-115.
[84] Робинсон Дж. Итеративный метод решения игр. В сб. [65].
С. 110-118.
[85] Розенмюллер Н. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974.
[86] Sanchez I., Sobel J. Hierarchical design and enforcement of
income tax polices//J. of Public Economics. 1985. V. 26. P. 1-18.
[87] Соколовский Л.Е. Подоходный налог и экономическое поведе-
ние. Экономика и математические методы. 1989. Т. 25. Выл. 4.
[88] Стронгин Р.Г. Исследование операций. Модели экономическо-
го поведения. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородск. ун-та,
2002.
[89] Теория игр. Аннотированный указатель публикаций по 1968 г.
Л.: Наука, 1976.
[90] Теория игр. Аннотированный указатель публикаций отече-
ственной и зарубежной литературы за 1969-1974 гг. Л.: Нау-
ка, 1980.
Список литературы
267
[91] Friedman J. On the strategic importance of prices versus
quantities//Rand J. of Economics. 1986. № 4. P. 607-622.
[92] Fundenberg D., Tirole J. Game Theory. Cambridge, Mass.: The
MIT Press, 1996.
[93] Harsanyi J.C. Games with incomplete information played by
Bayesian players//Manag. Sci. 1968-69. V. 14. P. 159-182,
320-334, 486-502.
[94] Handbook of Game Theory with economic applications. V. I and
П. ( R.J. Aumann and S. Hart eds.). Amsterdam - Lausanne -
New York — Oxford — Shannon — Tokyo: Elsevier, 1994.
[95] Хелли Э. О совокупности выпуклых тел с общими точками.
УМН. 1936. Вып. 2. С. 80-81.
[96] Но Y., Luh Р., Muralindharan R. Information structure.
Stackelberg games and incentive controllability//IEEE Trans.
Autom. Contr. 1981. V. 26. № 2. P. 454-460.
[97] Hodges J.L., Lehmanm E.L. Some problems in Minimax Point
Estimation//Ann. Math. Stat. 1950. V. 21. № 2. P. 182-192.
[98] Цермело Э. О применении теории множеств к теории шахмат-
ной игры. В сб. [65]. С. 167—172.
[99] Selten R. Spieltheoretische Behandlung eines Oligopolmodells
mit Nachfragetragheit//Zeitschrift fur die gesamte
Staatswissenschaft. 1965. № 12. S. 301-324.
[100] Selten R. Reexamination of the perfectness concept for
equilibrium points in extensive games//Intern. J. Game Theory.
1975. № 4. P. 25-55.
[101] Шапиро Г.Н. Замечание о вычислительном методе в теории
игр. В сб. [65]. С. 118-127.
[102] Shapley L.S., Snow R.N. Basic solutions of discrete
games//Contributions to the theory of games. I (Kuhn H.W.,
Tucker A.W. eds.). Ann. Math. Studies. № 24. Princeton:
Princeton Univ. Press, 1953. P. 51—73.
268
Список литературы
[103] Shapley L.S. A value for n-person games//Contributions to the
theory of games. П (Kuhn H.W., Tucker A.W. eds.). Ann.
Math. Studies. № 28. Princeton: Princeton Univ. Press, 1953.
P. 307-317.
[104] Shapley L.S. Some topics in two-person games//Advances in game
theory (Dresher M., Shapley L.S., Tucker A.W. eds.). Ann. Math.
Studies. № 52. Princeton, 1964.
[105] Shiftman M. On the equality of minmax=maxmin, and the theory
of games, the RAND Corporation, RM—243. 1949.
[106] Шикни E.B. От игр к играм. М.: Эдиториал, 1997.
[107] Шнирельман Л.Г. О равномерных приближениях//Изв. АН
СССР. Сер. матем., 1938. М 1. С. 53-60.
[108] Spemer Е. Neuer Beweis fur die Invarianz der Dimensionzahl und
Gebietes//Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1928. B. 6. № 3/4.
S. 265-272.
[109] Chandler P., Wilde L. A general characterization of optimal
income tax enforcement//Review of Economics Studies. 1987.
V. 65. P. 165-189.
[HO] Chames A., Kortanek K. On balanced sets, cores and
programming//Cah. Centre etudes rech. operat. 1967. V. 9. № 1.
P. 32-43.
[Ill] Edgeworth E.Y. The pure theory of monopoly//Edgeworth
Papers Relating to Political Economy. N.Y.: Brut Franklin, 1925.
V. 1, P. 111-142.
Предметный указатель
Антагонистической игры
- решение 9
— оптимальные стратегии 9
- значение 9
— нижнее значение 10
— верхнее значение 10
- смешанное расширение 19
- решение в смешанных
стратегиях 19
— партия 69
- дерево 73
Аукцион односторонний первой це-
ны 193
Игра антагонистическая 8
матричная 9
непрерывная 15
«орлянка» 9
— — «мешок, камень, ножницы»
29
«стрельба по цели» 32
«нападение-оборона» 61
дуэль шумная 65
дуэль бесшумная 66
шахматная 72
телешоу 76
покер 78
с диагональной матрицей 36
----полковника Блотто 39
-----с выпуклой функцией
выигрыша 51
-----с вогнутой функцией
выигрыша 51
-----статистическая 55
-----с полной информацией 69
-----с полной информацией о
предыдущих шагах 75
- в нормальной форме 8 83 125
— байесовская 93
- биматричная 84
- перестрахования 121
- иерархическая 113
— «технический контроль» 100
- «продавец-покупатель» 85
— «семейный спор» 86
- на координацию 86
- «дилемма заключенного» 87
— дуополии 92
— экологическая 128
- разрешимая по доминированию
131
- позиционная с полной информа-
цией 137
- позиционная с полной памятью
150
— позиционная общего вида 144
- экологического контроля 141
— с партнером 149
— с постоянной суммой 155
- кооперативная 155
— кооперативная несущественная
156
- кооперативная в (0-1)-редуци-
рованной форме 157
- кооперативная симметричная 160
- «джаз-оркестр» 154
Вектор Шепли 160
Дележ 156
Доминирование слабое 37 104 130
- строгое 37 104 130
Коалиция 154
Комбинация выпуклая 37
270
Предметный указатель
Лотерея 25
Матрица в общем положении 97
Множество выпуклое 15
— информационное 77
- информационное существенное
147
Налог с продаж 202
— акцизный 203
— с прибыли 203
— на добавленную стоимость 204
- подоходный 205
Олигополия 185 186
Оценка 55
— несмещенная 56
Память игрового процесса 133
План оптимальный 183
Плотность априорная 56
- апостериорная 56
Правило прогнозирования 133
-- адаптивное 133
Процесс детерминированный игро-
вой 132
Поведение адаптивное 132
Позиция случая 78
- возможная 146
Покрытие сбалансированное 158
Правило рационирования 194
Равновесие по Нэшу 125
-----смешанное 94
— по Штакельбергу 122
— совершенное подыгровое 140
- по Вальрасу 171
Распределение биномиальное 57
- бета 58
— Пуассона 59
- нормальное 61
Себестоимость удельная 164
Семейство коалиций сбалансиро-
ванное 158
Свойство дополняющей
нежесткости 34 43 95
Ситуация равновесия 125
--байесовская 93
--в смешанных стратегиях 94
--вполне смешанная 103
Спектр смешанной стратегии 34
Спрос в денежном выражении 177
Стратегия максиминная 10
- оптимальная 9
- минимаксная 10
- е-максиминная 13
— с-минимаксная 13
- смешанная 17 145
- чистая 19 145
- оптимальная смешанная 19
— выравнивающая 32
- наказания 117
— поведения 146
- монополии 174
Теорема о вогнуто-выпуклой
функции 15
— основная матричных игр 20
- основная непрерывных игр 23
- о доминировании строк 37
- о доминировании столбцов 38
— о пересечении выпуклых
множеств 51
— о неподвижной точке 89 126
Точка седловая 8
- е-седловая 13
— крайняя 44
- вершина многогранника 44
— Траектория процесса 132
Функция выпуклая 15
- строго выпуклая 15
— вогнутая 15
— строго вогнутая 15
Предметный указатель 271
— полезности 25
— выигрыша 8
- решающая 55
— решающая байесовская 55
— риска 55
- потерь 55
— бета 58
— Веллмана 70
— наилучшего ответа 90
— характеристическая 154
— предложения 164
— прибыли 164
— издержек 165
- спроса 169
- спроса медленно убывающая 177
- остаточного спроса 194
— Минковского 169
Цена резервная 180
- конкурентного равновесия 171
- максимальная продажная 195
Эластичность спроса 170
Ядро 157
Подписано в печать 05.08.05. Формат 60x88 1/16.
Печать офсетная. Бумага офсетная № 1. Печ. л. 17,0.
Тираж 3000 экз. Заказ 1229.
Отпечатано в ООО «МАКС Пресс».
105066, г. Москва, Елоховский пр., д. 3. стр. 2.
Тел. 939-38-90,939-38-91. Телефакс 939-38-91.
Васин Александр
Алексеевич
Родился в Москве (1952).
Кандидат физико-
математических наук (1978).
Доктор физико-математических
наук (1991).
Профессор (1994).
Академик РАЕН (2004).
Профессор кафедры
исследования операций
факультета
вычислительной математики
и кибернетики МГУ
им. М.В. Ломоносова.
Профессор Российской
Экономической Школы.
Область научных интересов:
теория игр, математическое
моделирование экономики,
теория несовершенной
конкуренции,задачи
оптимизации налоговой системы
и модели
математической
экономики
Морозов Владимир
Викторович
Родился в Уссурийске (1945).
Кандидат физико-
математических наук (1972).
Доцент (1974).
Доцент кафедры исследования
операций факультета
вычислительной математики
и кибернетики МГУ
им. М.В. Ломоносова.
Область научных интересов:
теория игр, исследование
операций, теория оптимального
проектирования, методы оценки
инвестиционных проектов.