Е. Б. ВАХОВСКИЙ
А. А. РЫБКИН
ЗАДАЧИ
по
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
щ
в
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1 96J

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .......... 5
Указания
Задачи I II и III Решения
Глава 1. Геометрические задачи
на плоскости 7 95 135 171
Г л а в а 2. Построения на плоскости 13 101 140 208
Г л а в а 3. Геометрические задачи в
пространстве 15 103 141 216
Глава 4. Геометрические задачи
на проекционном чертеже ... 21 109 148 257
Глава 5. Геометрические места 25 111 149 266
Глава 6. Свойства чисел.
Делимость 26 112 150 273
Глава 7. Алгебраические
преобразования 26 112 150 277
Глава 8. Делимость
многочленов. Теорема Безу. Целые
уравнения 30 113 151 285
Глава 9. Алгебраические
уравнения и системы 32 114 152 293
Глава 10. Алгебраические
неравенства 45 117 154 326
Глава 11. Логарифмические и
показательные уравнения и
системы 55 120 156 352
Глава 12. Тригонометрические
преобразования 58 121 158 367
Глава 13. Тригонометрические
уравнения и системы ..... 61 122 158 373

Глава 14. Тригонометрические
неравенства 67 125 162 410
Глава 15. Трансцендентные
неравенства 68 126 163 420
Глава 16. Трансцендентные урав-
нения . . . 69 126 163 426
Глава 17. Комплексные числа 70 127 164 433
Глава 18. Задачи на составление
уравнений 73 128 164 440
Глава 19. Последовательности и
прогрессии 82 130 166 454
Глава 20. Суммирование ... 85 131 167 463
Глава 21. Соединения и бином 87 132 168 469
Глава 22. Обратные
тригонометрические функции 90 132 169 475
Глава 23. Область определения.
Периодичность 91 133 169 485
Глава 24. Наибольшие и наи-
меньшие значения 93 134 169 490

ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние два года было издано почти одновременно
несколько новых пособии и задачников, предназначенных для
углубленного изучения элементарной математики. Появление в таких
условиях еще одной книги подобного плана должно быть оправдано.
С такого оправдания и будет Начато предисловие.
Нередко книги по элементарной математике написаны либо с
целью провести юного читателя за руку через все возникающие на
его пути преграды, либо с позиций того преподавателя плавания,
который руководствуется принципом—барахтайся, пока не наТучиШь-
ся. Авторы далеки от мысли критиковать те или иные конкретные
пособия и задачники только потому, что они принадлежат к первой
или второй группе. Здесь осуществлена лишь попытка предложить
некую третью альтернативу, основанную на убеждении, что
преподавание математики в средней школе выполнит свое назначение тблько
в том случае, если, помимо необходимого объема информации и
технических навыков, поможет своему воспитаннику овладеть
культурой математических рассуждений, т. е. научит его самостоятельно
пользоваться известными ему методами. Авторы надеялись
приблизиться к достижению поставленной перед собой пели, создав
полупрограммированный задачник, в котором обычную форму: условия
задачи—решение удалось бы видоизменить с тем, чтобы обеспечить
максимальную самостоятельность читателя. Так появилась идея
снабдить каждую задачу одним или двумя (а в исключительных случаях
и тремя) указаниями. Эти указания собраны отдельно и
предшествуют решениям, причем каждое третье указание помещено
непосредственно после второго и отделено от него пробелом. Если к задаче
дано только первое указание, то в конце его стоит знак |.
Вначале предполагалось сделать указания и решения единым
целым с тем, чтобы в решениях не повторялись соображения, уже
отраженные в указаниях. Однако интересы преподавателей средней
школы, которым также адресована эта книга, заставили нас сделать
решения достаточно самостоятельными для квалифицированного
читателя.
При написании указаний авторы стремились помочь читателю
адаптироваться к условиям конкретной задачи и прийти к ее решению
естественным путем. Таким образом, цель
указаний—продемонстрировать на примерах, как нужно приступать к решению задач, как
максимально использовать условие задачи и эффективный аппарат
аналогий.

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
Если в задачнике содержится более тысячи задач, то читателю
предстоит осуществить разумное планирование своих усилий с тем,
чтобы отобрать из этой массы задач те, решение которых
необходимо. Мы приняли эту заботу почти полностью на себя, избегая
включать в задачник однотипные задачи и ограничив количество
задач числом пятьсот, т. е. тем количеством, которое читатель в
состоянии решить в течение года самостоятельных занятий. Основу
задачника составили варианты письменных работ по математике,
предлагавшихся на вступительных экзаменах в ряде ведущих вузов
Москвы.
В задачник, как это видно из его названия, включены в
основном задачи повышенной трудности. Это определяет и пути его
использования. Нам представляется, что оп будет полезен при
организации в школе факультативных занятий математикой, а также
для самостоятельной подготовки к вступительным экзаменам в вузы
с повышенными требованиями по математике.
Некоторые главы задачника снабжены теоретическими
введениями. Это сделано в тех случаях, когда изложение
соответствующих разделов в школьном курсе либо отсутствует, либо не
удовлетворяет авторов. Наиболее подробные введения предпосланы
главам «Алгебраические уравнения и системы» и «Алгебраические
неравенства».
Следует предостеречь читателя от пользования теоретическими
введениями как справочным материалом, так как отдельные
определения не соответствуют подобным определениям в стабильных
учебниках. Каждое такое введение нужно либо прочесть от начала
до конца, либо не читать вовсе. Правда, тот, кто выберет второе,
будет испытывать дополнительные трудности при разборе задач.
В задачнике есть разделы, которые исключены в настоящее
время из программы средней школы: обратные тригонометрические
функции, комбинаторика. По мнению авторов исчезновение этих тем
из школьного курса существенно обеднило математический опыт
выпускников. Их изучение на факультативных занятиях смогло бы
отчасти устранить.образовавшийся пробел.
Некоторые главы задачника посвящены сравнительно новым
темам, проникшим на конкурсные экзамены в последние годы.
Авторы считают своим приятным долгом искренне поблагодарить
тех, кто помогал им в работе советами и дружеской критикой. Это
в первую очередь Н. X. Розов и А. 3. Рывкин, внимательно
прочитавшие рукопись и сделавшие ряд конструктивных замечаний по
ее улучшению, А Волынский и И. Ильина, предложившие более
рациональное решение нескольких задач, и, наконец, редактор
книги А. Д. Бершадский, который интерпретировал свои
обязанности более широко, чем это обычно принято, и прорешал все
задачи, обнаружив ошибки в ответах и нерациональность в решениях.
Мы будем признательны всем, кто найдет время, чтобы
высказать нам свое критическое отношение к этой книге.
Авторы

ЗАДАЧИ
Глава 1
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
Обозначения: а, Ъ, с—стороны треугольника; А, В, С —
углы, лежащие против этих сторон, соответственно; та—медиана
стороны а; /д—биссектриса угла A; ha—высота, опущенная на
сторону a; R—радиус описанной окружности; г—радиус вписанной
окружности; Р=2р—периметр многоугольника.
Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется
отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой
пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.
Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол,
равно отношению произведений сторон, заключающих этот обищЛ
угол.
Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника
через длины его сторон: та=-~- \^2Ь%-\-2с4—а*.
Если в многоугольник можно вписать окружность, то его
площадь S=pr.
Площадь четырехугольника: S=—dldisina, где dt a d2—длины
его диагоналей, а а—угол между ними.
При решении планиметрических задач приходится применять
производные пропорции.
_ ас та+пЬ mc4-nd
Если -j-—-r, то —'— '
Ь d pa+qb pc-\-qd '
Если
%._£». 2-L— вп = £,
bt bz b3 "■" b„ d'
то
gi ± as ± a3 ± ■ ■ ■ ^an_. Д
bi±h±b3±...±bn d'
где комбинация знаков берется любая, но одинаковая для числителя
и знаменателя.

8
ЗАДАЧИ
[1-1
1.1. Вокруг правильного треугольника ABC
описана окружность О радиуса R. Окружность Oj касается
двух сторон АВ и ВС треугольника и
окружности О. Найти расстояние от центра окружности Ог до
вершины А.
1.2. Высота равнобедренного треугольника с углом а
при основании больше радиуса вписанного в него круга
на т. Определить основание треугольника и радиус
описанной окружности.
1.3. Доказать, что радиус окружности, делящей пополам
стороны треугольника, вдвое меньше раднуса окружности",
описанной около этого треугольника.
1.4. В треугольнике соединены основания биссектрис.
Найти отношение площади данного треугольника к площади
образовавшегося треугольника, если стороны данного
треугольника относятся как р:д:1.
1.5. Даны внутренние углы А, В, С треугольника ABC.
Пусть окружность касается сторон ВС, АС и АВ
треугольника соответственно в точках Alt Bv C1. Найти
отношение площади треугольника А^^ к площади
треугольника ABC.
1.6. Дан треугольник ABC, углы В и С которого
относятся, как 1:3, а биссектриса угла А делит
площадь треугольника в отношении 2:1. Найти углы тре^
угольника.
1.7. Вычислить длину / биссектрисы внешнего угла А
треугольника, если даны его стороны Ъ и с и угол А между
ними (Ьфс).
1.8. В треугольнике площади S с острым углом а
при вершине А биссектриса угла А в р раз меньше
радиуса описанного и в q раз больше радиуса
вписанного круга. Найти сторону треугольника, лежащую против
угла А.
1.9. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AM и
BN. Пусть О—точка их пересечения. Известно, что АО
относится к ОМ, как Y~% к единице, а ВО к ОМ—как ■
единица к У"3—1. Найти углы треугольника.
1.10. Внутри угла а взята точка М. Ее проекции Я и Q
на стороны угла удалены от вершины О угла ка расстояния
ОР—р и OQ = q. Найти расстояния MP и MQ от точки М
до сторон угла.

1.20] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 9
1.11. В остроугольном треугольнике две высоты равны
3 см и 21/~2 см, а их точка пересечения делит третью
высоту в отношении 5:1, считая от вершины треугольника.
Найти площадь треугольника.
1.12. В треугольнике ABC разность углов В к С равна я/2.
Определить угол С, если известно, что сумма сторон b и с
равна k, а высота, опущенная из вершины Л, равна h.
1.13. В треугольнике ABC имеется точка О такая, что
углы ABO, BCO и САО равны а. Выразить ctga через
площадь треугольника и его стороны.
1.14. В треугольнике ABC дана разность ф углов А я В
(ф=-Л—В>0). Известно, что высота, опущенная из С
на АВ, равна ВС—АС. Найти углы треугольника.
1.16. Даны длины высот AAx = ha и BBt = hb
треугольника ABC и длина CD — 1 биссектрисы угла С. Найти
угол С.
1.16. В треугольник с основанием а и противоположным
углом а вписана окружность. Через центр этой окружности
и концы основания треугольника проведена вторая
окружность. Найти ее радиус.
1.17. Доказать, что если длины сторон треугольника
образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности,
вписанной в этот треугольник, и точка пересечения его
медиан лежат на прямой, параллельной средней по длине
стороне треугольника.
1.18. В тре} гольннке ЛВС радиус вписанной окружности
равен г, сторона ВС больше г в к раз, а высота,
опущенная на эту сторону, больше г в 4 раза. Найти полуперн-
. А
метр р, tg-g- и стороны о и с.
1.19. Углы С, А, В треугольника ABC образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Пусть О—центр
окружности, вписанной в треугольник ABC, К—центр вне-
вписанной окружности, касающейся стороны AC, L—центр
вневписанной окружности, касающейся стороны ВС.
Доказать, что треугольники ABC и OKL подобны.
1.20. В треугольнике ABC углы Л, В и С образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Доказать, что

10
ЗАДАЧИ
[1.21
1.21. Доказать, что если Р, Q, R—соответственно
точки пересечения каждой из сторон ВС, СА, АВ (или их
продолжений) треугольника ABC с некоторой прямой, то
BR-AQPC
ARQCBP~
(теорема Мен ел а я).
1.22. Точка D находится на стороне ВС
треугольника ABC. Доказать, что
AB*-DC + AC*.BD—ADU-BC = BC-DC-BD
(теорема Стюарта).
1.23. На сторонах треугольника ABC взя*ты точки Р, Q
и R так, что три прямые АР, BQ и CR пересекаются в
одной точке. Доказать, что
AR ВР_ CQ _
ИВ' PC' QA~
(т е о р е м а Ч е в ы).
1.24. Через произвольную точку О, взятую внутри
треугольника ABC, проведены прямые DE, FK, MN,
параллельные соответственно АВ, АС, ВС, причем F и М лежат на
.«46, Е и К—на ВС, N и D — на АС. Доказать, что
' ^Е.л.ёё.^Я^. — л
АВ~т~ВС ' СА '
1.25. Через центр О' правильного треугольника ABC
проведена произвольная прямая. Доказать, что сумма
квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой
не зависит от выбора прямой.
1.26. Вокруг треугольника ABC, в котором а = 2, 6s=3
и угол С=60°, описана окружность. Определить радиусы
окружностей, проходящих через две вершины треугольника
и центр описанной окружности.
1.27. Стороны треугольника связаны соотношением
a2 = e(6-f с). Доказать, что угол А вдвое болйше угла С%
1.28. Пусть О—центр окружности, вписанной в
треугольник ABC. Доказать, что если 0А2 = 0В-0С, тЪ
cos —2~ = 2 sm2 y+sm -j-.

1.38J ГЛ. 1- ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 11
1.29. Площадь S треугольника ABC удовлетворяет
соотношению S = a?—(b—с)2. Найти угол А.
1.30. На сторонах треугольника внешним образом
построены квадраты. Доказать, что расстояние между
центрами квадратов, построенных на боковых сторонах, равно
расстоянию от центра квадрата, построенного на основании,
до противоположной вершины треугольника.
1.31. В треугольнике ABC единичной площади проведен
отрезок ЛО, пересекающий медиану CF в точке М, причем
FM=-^CF. Найти площадь треугольника ABD.
1.32. Доказать, что произведение диагоналей вписанного
четырехугольника равно сумме произведений
противоположных сторон (теорема Птолемея).
1.33. Отрезок, соединяющий середины оснований
трапеции, равен их полуразности. Найти сумму углов при
большем основании трапеции.
1.34. Через центр квадрата ABCD проведена прямая,
пересекающая сторону АВ в точке N, причем AN:NB —1:2.
На этой прямой взята произвольная точка М, лежащая
внутри квадрата. Доказать, что расстояния от точки М до
сторон квадрата АВ, AD, ВС и CD, взятые в названном
порядке, образуют арифметическую прогрессию.
1.35. Квадрат и правильный треугольник, имеющие
общую вершину^ вписаны в окружность единичного
радиуса. Найти площадь, покрытую и квадратом и
треугольником.
1.36. В окружность вписаны равнобедренный
остроугольный треугольник площади 5 и трапеция так, что ее большее
основание совпадает с диаметром окружности, а боковые
стороны параллельны боковым сторонам треугольника. Средняя
линия трапеции равна /. Найти высоту трапеции.
1.37. Найти отношение площади трапеции ABCD к
площади треугольника AOD, где О—точка пересечения диаго-
ВС
налей трапеции, если известно, что -j?) =Р-
1.38. Два правильных многоугольника с периметрами а
и Ъ описаны около окружности, а третий правильный
многоугольник вписан в эту окружность. Второй и третий
многоугольники имеют каждый вдвое больше сторон, чем первый.
Найти периметр третьего многоугольника.

12
ЗАДАЧИ
(1.39
1.39. Внутри угла АОВ, меньшего я, дана точка Л/,
находящаяся на расстоянии а от вершины угла. Отрезок ОМ
образует со сторонами угла углы аир. Найти радиус R
окружности, проходящей через М и отсекающей на
сторонах угла хорды, равные 2а.
1.40. Из внешней точки А проведены две взаимно
перпендикулярные секущие ABD и АСЕ к кругу с центром О.
Площади треугольников ABC и ADE относятся, как пг.п.
Определить величины дуг ВС н DE, каждая из которых
меньше полуокружности.
1.41 .• Из точки А, лежащей на окружности радиуса г,
проведены две хорды АС и АВ. Эти хорды лежа!.но одну
сторону от диаметра окружности, проходящего через точку А.
Длина большей хорды равна Ь, а угол ВАС равен ос. Найти
радиус окружности, которая касается хорд АВ и АС и
дуги ВС.
1.42. Даны две концентрические окружности радиусов R
и г (R > г). Найти сторону квадрата, две вершины которого
лежат на одной окружности, а дне другие—на другой.
Найти, при каком соотношении между радиусами данных
окружностей решение задачи возможно и при каком
соотношении задача имеет единственное решение.
1.43. В сегмент, дуга которого содержит 120°, вписан
квадрат. Определить сторону квадрата, если радиус круга
равен 2 + 1/19.
1.44. У равнобочной трапеции с большим основанием а
высота вдвое меньше меньшего основания. На меньшем
основании, как на диаметре, построена окружность. Найти
радиус окружности, касающейся построенной • окружности,
большего основания и боковой стороны, если острый угол
трапеции равен а.
1.45. АВ и CD—два взаимно перпендикулярных диаметра
окружности Sx. С центром в точке D радиусом BD построена
окружность S2. Из точки D проведены две прямые,
пересекающие окружность Sx в точках Р и Q и дугу АВ
окружности S2, заключенную внутри окружности Sr, в точках М
и N. Точки Р и Q спроектированы на АВ; Pt и Qt
соответственно—их проекции. Доказать, что фигура PMNQ
равновелика треугольнику P&D.
1.46. Через точку Р, лежащую вне окружности с
центром О и радиусом Я, проходят две взаимно перпендикуляр-

2.4] гл. 2. построения на плоскости 13
ные секущие. Первая секущая пересекает окружность в
точках А к С (точка С лежит между Р и А), а вторая
секущая—в точках В и D (D лежит между Р и В). Пусть
Рх— проекция Р на АВ, а М—одна из точек пересечения АВ
с окружностью, центр которой Р1г а радиус РгО. Найти
длину MP.
1.47. Найти угол между двумя хордами, пересекающимися
внутри окружности, если точка их пересечения удалена от
3
центра окружности на -д- ее радиуса и делит одну хорду
пополам, а другую—в отношении 4:9.
1.48. Дан сектор ОАВ (О—центр) с центральным углом
в 90° н радиусом, равным R. На отрезке ОВ, как на
диаметре, построена полуокружность, лежащая внутри сектора.
Найти радиус окружности, касающейся этой полуокружности
и отрезков ОА и АВ.
1.49. В круге проведена хорда АВ, пересекающая
диаметр DE круга в точке М и наклоненная к нему под углом <р.
Дано, что jrz — — i где у? и q—известные числа. Из точки В
проведена хорда ВС, перпендикулярная к диаметру DE, и
точка С соединена с точкой А. Найти площадь
треугольника ABC, если радиус круга равен R.
Глава 2
ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Пункты А к В находятся по разные стороны от реки,
ширина которой известна, а берега прямолинейны. В каком
месте надо возвести мост через реку, чтобы путь от одного
пункта в другой был кратчайшим?
2.2. Построить равносторонний треугольник ABC, если
дана его сторона а и известно, что две стороны АВ, АС
и биссектриса AD (или их продолжения) проходят
соответственно через три данные точки М, N, Р, лежащие на одной
прямой.
2.3. Построить треугольник по стороне с, высоте ha н
разности углов В—С = <р.
2.4. Построить треугольник ABC по стороне Ь, радиусу
R описанной окружности и медиане тс.

14
ЗАДАЧИ
[2.5
2.5. Построить треугольник, зная центры вписанной,
описанной и вневписанной окружностей.
2.6. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC построить
соответственно точки D и Е так, чтобы AD = DE = EC.
2.7. Через точку, лежащую внутри угла, провести
прямую так, чтобы отсекаемый ею треугольник был
наименьшей площади.
2.8. Построить треугольник по A, ha и 2р.
2.9. Внутри данного треугольника ABC найти точку Р,
сумма расстояний которой от вершин А, В и С была бы
наименьшей.
2.10. Построить прямоугольный треугольник по данной
гипотенузе с и биссектрисе / прямого угла.
2.11. Построить четырехугольник, если известны три его
стороны и два внутренних острых угла, прилежащих к
четвертой стороне.
2.12. Из данной точки М, лежащей вне круга, провести
секущую так, чтобы внешняя ее часть равнялась внутренней.
2.13. Через точку пересечения двух окружностей
провести секущую так, чтобы отрезок ее, заключенный внутри
окружностей, имел данную длину а.
2.14. Через точку М внутри круга провести хорду так,
чтобы разность ее отрезков равнялась данному отрезку.
2.15. Даны: окружность с центром О, две ее точки А
и В и прямая CD, от которой окружность отсекает хорду
CD (точки А и В лежат по одну сторону от CD). На
окружности построить точку М так, чтобы отрезок PQ хорды
CD, заключенный между хордами AM и ВМ, был равен-
данному отрезку а.
2.16. Даны: окружность с центром О, две ее точки А к В,
прямая и ее точка М, лежащая внутри окружности. Найти
на окружности такую точку С, что прямые АС и ВС высекают
на данной прямой отрезок, делящийся в точке М пополам.
2.17. Построить окружность, проходящую через данные
точки А и В и касающуюся данной прямой PQ.
2.18. Пользуясь только линейкой, опустить
перпендикуляр из точки М, лежащей вне окружности, на данный
диаметр окружности (или на его продолжение).
2.19. Пользуясь только линейкой, опустить
перпендикуляр из точки, лежащей на окрз'жности, на данный диаметр
окружности.

ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 15
Глава 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
Прежде чем приступить к решению стереометрических задач,
обратите внимание на следующие определения и теоремы.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости и теорему о
трех перпендикулярах нужно формулировать так:
Прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна
к двум пересекающимся прямым этой плоскости.
Если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна к
прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная
перпендикулярна к атой прямой.
Требование, чтобы прямые, лежащие в плоскости, и прямая,
перпендикулярная к этим прямым, проходили через общую точку,
излишне. Точно так же не следует требовать, чтобы наклонная, о
которой идет речь в теореме о трех перпендикулярах, и прямая,
лежащая в плоскости, проходили через общую точку.
Расстоянием между двумя прямыми АВ и CD называется
наименьшее из расстояний между двумя точками, одна из которых
принадлежит АВ, а другая CD.
Две прямые называются параллельными, если через них можно
провести плоскость и они не пересекаются.
Две прямые называются скрещивающимися, если через них нельзя
провести плоскость.
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми является
длина отрезка, высекаемого ими на прямой, перпендикулярной к
обеим скрещивающимся прямым.
Последнее утверждение является теоремой, а не определением,
и может быть доказано.
Во всех последующих задачах рассматриваются только
выпуклые многогранники, т. е. такие, которые лежат по одну сторону от
любой из его граней. Грани рассматриваемых многогранников
являются выпуклыми многоугольниками.
Призмой называется многогранник, в котором две
грани—равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а
остальные грани пересекаются между собой по параллельным друг
другу прямым.
Второе требование в этом определении нельзя заменить
условием: «остальные грани—параллелограммы», так как иначе пришлось
бы отнести к призмам многогранник, составленный из двух равных
наклонных параллелепипедов, симметричных относительно плоскости
их общего основания, крест, образованный из пяти равных кубиков
и т. п.
Если боковые ребра (грани) пирамиды одинаково наклонены к
плоскости основания, то высота пирамиды проектируется в центр
описанной вокруг основания (вписанной в основание) окружности.
Если боковые ребра и грани пирамиды одинаково наклонены к
плоскости основания, то пирамида правильная.
Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под
углом a, TO SocHoeaHBH = S6okoboA поверхности "cosa-

16
ЗАДАЧИ
[3.1
Треугольную пирамиду называют тетраэдром.
Правильным тетраэдром называется тетраэдр, у которого все
ребра равны.
В задачах рассматриваются только прямые круговые конусы
и цилиндры.
Конус (цилиндр) называется равносторонним, если его осевое
сечение есть правильный треугольник (квадрат).
3.1. Через точку, лежащую на ребре двугранного угла а
(0<а<у|, проходят два луча, расположенных в
различных полуплоскостях его. Один из этих лучей
перпендикулярен к ребру, а другой образует с ребром острый угол
Р. Найти угол между данными лучами.
3.2. Гипотенуза прямоугольного треугольника . лежит в
некоторой плоскости Р, а катеты составляют с этой
плоскостью углы аир. Определить угол между плоскостью
Р и плоскостью треугольника.
3.3. Стороны угла а наклонены к плоскости Р под углами
Р и у. Найти косинус угла, который является проекцией
угла а на плоскость Р.
3.4. Даны четыре скрещивающиеся прямые: а, Ь, с и d.
Построить прямую, параллельную а и одинаково удаленную
от остальных трех прямых.
3.5. Равносторонний треугольник ABC со стороной,
равной а, лежит на плоскости Р. На перпендикуляре,
восставленном из точки А к плоскости Р, отложен отрезок
AS = а. Найти тангенс острого угла между прямыми АВ и SC.
3.6. В пространстве даны два луча Ах и By, не
лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол
•90°; АВ—их общий перпендикуляр. На лучах Ах и By
взяты точки: М на. Ах и Р на By, такие, что 2АМ-ВР =
= АВ2. Доказать, что расстояние от середины О отрезка
АВ до прямой MP равно -^АВ.
3.7. Доказать, что четырехгранный угол можно пересечь
плоскостью так, чтобы в сечении получился
параллелограмм.
3.8. На плоскости Р лежит правильный треугольник ABC
со стороной а. Из точек В к С восставлены
перпендикуляры к плоскости Р и на них отложены отрезки СЕ — ау 2
и BD — -^=z (с одной стороны от плоскости Р). Найти пло-

3.17] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 17
щадь треугольника DEA и косинус угла между плоскостью
Р и плоскостью этого треугольника.
3.9. Найти объем пирамиды, в основании которой лежит
правильный треугольник со стороной а, если двугранные
углы между плоскостью основания и боковыми гранями равны
а, Р и Y-
3.10. Основанием пирамиды DABC служит
равнобедренный треугольник ABC с площадью 5 и основанием АВ—а.
Две боковые грани пирамиды, опирающиеся на равные
стороны основания, имеют при вершине пирамиды прямые углы.
Найти угол, образованный третьей боковой гранью
пирамиды и плоскостью основания, если объем пирамиды
равен V.
3.11. В правильной треугольной пирамиде площадь
основания равна \^3, а угол бокового ребра с плоскостью
основания в четыре раза меньше плоского угла при вершине.
Найти площадь боковой поверхности.
3.12. В тетраэдр вписан другой тетраэдр так, что его
вершины лежат в точках пересечения медиан граней первого
тетраэдра. Найти отношение объемов тетраэдров.
3.13. В треугольную пирамиду вписана сфера радиуса г.
Точки касания сферы лежат в точках пересечения высот
граней. Сумма плоских углов при вершине пирамиды равна
а. Доказать, что пирамида правильная, и найти ее
боковое ребро.
3.14. Доказать, что в усеченной пирамиде сторона
квадрата, равновеликого площади сечения пирамиды,
проходящего через середину высоты пирамиды параллельно ее
основанию, равна среднему арифметическому сторон квадратов,
равновеликих основаниям пирамиды.
3.15. В пирамиде ABCD дано: ВС = а, СА — Ь, АВ = с,
DA = аъ DB = bv DC = сг. Найти косинус острого угла
между скрещивающимися ребрами AD и ВС этой пирамиды.
3.16. Плоскость, проходящая через одно из ребер
правильного тетраэдра, делит его объем в отношении 3:5.
Найти тангенсы углов а и р, на которые эта плоскость
делит двугранный угол тетраэдра.
3.17. В правильной четырехугольной пирамиде
двугранный угол при основании равен а. Через ребро основания
проведена внутри пирамиды плоскость, составляющая с
основанием угол р. В каком отношении она делит площади

18
ЗАДАЧИ
£3.18
-тех боковых граней, которые она рассекает на два
треугольника?
3.18. Высота треугольной пирамиды ABCD, опущенная
из вершины D, проходит через точку пересечения высот
треугольника ABC. Кроме того, известно, что DB=b,
DC—с, /_BDC=^90°. Найти отношение площадей граней
ADB и ADC.
3.19. В треугольной пирамиде SABC все плоские углы
трехгранных "углов с вершинами в точках А и В равны а,
АВ = а. Определить объем пирамиды.
3.20. Две грани треугольной пирамиды —
равнобедренные прямоугольные треугольники с общей гипотенузой АВ.
Двугранный угол при АВ равен а. Найти двугранный угол,
у которого ребро есть катет.
3.21. В треугольной пирамиде SABC два плоских угла
ASB и BSC при вершине 5 равны а, а третий плоский угол
ASC равен у. Ребро AS перпендикулярно к плоскости
основания ABC. Найти угол ВАС.
3.22. В тетраэдре ABCD _ребро АВ —6, ребро CD = 8,
а остальные ребра равны "J/^74. Найти радиус описанного
шара.
3.23. В правильной треугольной пирамиде двугранный
угол между боковыми гранями равен ее. Найти высоту
данной пирамиды, если расстояние от основания высоты до
бокового ребра равно а. Ответ привести к виду, удобному
для логарифмирования.
3.24. В основании треугольной пирамиды лежит
правильный треугольник со стороной а. Одна боковая грань
пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник с
боковой стороной b {p Ф а) и перпендикулярна к плоскости
основания. Найти площадь сечения, которое является
квадратом и пересекает эту грань по прямой, параллельной
основанию.
3.26. Боковые ребра треугольной пирамиды равны а, Ь, с.
Плоские углы при вершине прямые. В пирамиду вписан
куб так, что одна его вершина находится в вершине
пирамиды, а противоположная—лежит в плоскости основания
пирамиды. Найти ребро куба.
3.26. В правильную треугольную пирамиду с высотой h
вписан куб с ребром а. Найти объем пирамиды.

3.38] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 19
3.27. В правильной четырехугольной пирамиде сторона
основания равна а, а боковое ребро образует с плоскостью
основания угол а. В эту пирамиду вписан куб так, что его
вершины лежат на апофемах пирамиды. Найти ребро куба.
3.28. Найти объем тетраэдра ABCD, если BC=AD = a,
CA = DB=b, AB=DC = c.
3.29. В пирамиде ABCD объем К=48, АВ=\2, CD = 8.
Расстояние между АВ и CD равно 6. Найти угол между
ребрами АВ и CD.
3.30. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1
проведена плоскость АХВС. В образовавшуюся над этой
плоскостью часть призмы вписан шар радиуса R, Найти объем
призмы.
3.31. Ребро правильного тетраэдра равно а. Найти радиус
шара, касающегося всех ребер тетраэдра.
3.32. В прямоугольный параллелепипед с ребрами a, b и с
помещен куб так, что вершина О куба совпадает с вершиной
параллелепипеда. Найти угол между диагоналями куба и
параллелепипеда, проведенными через вершину О.
3.33. Сторона треугольника равна а. Разность
прилегающих к ней углов равна ф. На треугольнике, как на основании,
построена прямая призма. Через ребро призмы,
противоположное стороне а, проведено сечение площади S, которое делит
двугранный угол пополам. Найти объем призмы.
3.34. Найти расстояние между двумя непересекающимися
диагоналями смежных граней куба, ребро которого равно а.
3.35. Ребро куба равно а. Сфера с центром в точке О
делит три ребра куба, сходящихся в вершине А, пополам.
Из одной такой точки деления К опущен перпендикуляр на
диагональ куба, проходящую через вершину А. Угол между
этим перпендикуляром и радиусом сферы ОК делится ребром
куба пополам. Найти радиус сферы.
3.36. Около правильного тетраэдра описан цилиндр так,
что два противоположных ребра тетраэдра являются диамет»
рами оснований цилиндра. Найти отношение объема тетраэдра
к объему цилиндра.
3.37. Доказать, что объем правильной пирамиды меньше
куба ее бокового ребра.
3.38. Два шара, отношение радиусов которых равно р,
касаются друг друга внешним образом. Они помещены внутри
конуса так, .что центры их находятся на оси конуса; при

20
ЗАДАЧИ
[3.39
этом первый шар касается боковой поверхности конуса, а
«торой —боковой поверхности и основания конуса. Найти
отношение суммы площадей поверхностей этих шаров к
площади полной поверхности конуса.
3.39. Сфера вписана в прямой круговой конус с углом а
при вершине осевого сечения. 13 эту сферу вписан конус
с таким же углом при вершине осевого сечения. Найти
угол а, если ■ отношение объема первого конуса к объему
второго конуса равно а. При каких значениях а задача имеет
решение?
3.40. Около прямого кругового конуса, высота которого
равна радиусу основания, описана пирамида. Площадь полной
поверхности конуса равна половине площади полной
поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности конуса
равна я ] 2. Найти объем пирамиды.
3.41. В конус помещены пять равных шаров. Четыре из
них лежат на основании конуса, причем каждый из этих
четырех шаров касается двух других, лежащих на основании,
и боковой поверхности конуса. Пятый шар касается боковой
поверхности конуса и остальных четырех шаров. Найти
объем конуса, если радиусы шаров равны г.
3.42. В основании четырехугольной пирамиды SABCD
лежит квадрат ABCD со стороной д. Ребро SD = h
перпендикулярно к плоскости основания. Внутри пирамиды лежит
цилиндр так, что окружность одного, его основания вписана
в треугольник SCD, а окружность другого касается грани
SAB. 'Найти высоту цилиндра.
3.43. В конус вписан куб так, что одно его ребро лежит
на диаметре основания конуса, вершины куба, не
принадлежащие этому ребру, лежат на боковой поверхности конуса,
а центр куба лежит на высоте конуса. Найти отношение
объема конуса к объему куба.
3.44. В правильную усеченную треугольную пирамиду
вписан шар радиуса г. Боковое ребро пирамиды равно стороне
меньшего основания. Найти объем пирамиды.
3.45. Два шара радиуса г и один шар радиуса /?(/?> г)
лежат на плоскости, касаясь друг друга внешним образом.
Найти радиус шара, касающегося всех шаров и плоскости.
3.46. Две равные сферы касаются друг друга и граней
двугранного угла. Третья сфера меньшего радиуса также
касается граней этого двугранного угла и касается обеих

З.БО] ГЛ. 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЕКЦ.' ЧЕРТЕЖЕ 21
данных сфер. Дано отношение т радиуса меньшей сферы
к радиусу одной из равных сфер. Найти величину ее
двугранного угла. Каким должно быть т, чтобы задача имела
решение?
3.47. На плоскости Р стоит равносторонний конус, высота
которого 10 см. (Равносторонним называется прямой конус,
осевое сечение которого — правильный треугольник.) Каждый
из трех равных шаров, лежащих на плоскости Р вне конуса,
касается двух других шаров и боковой поверхности конуса.
Найти радиус шаров.
3.48. На плоскости уложены п равных прямых конусов,
имеющих общую вершину в точке, лежащей на этой
плоскости. Каждый конус касается двух других конусов. Найти
угол при вершине конуса в осевом сечении.
3.49. Ребро правильного тетраэдра ABCD равно а.
На ребре АВ как на диаметре построена сфера. Найти радиус
сферы, вписанной в трехгранный угол тетраэдра с вершиной
в точке А и касающейся построенной сферы.
3.50. Правильная пирамида, в основании которой лежит
квадрат со стороной а, вращается вокруг прямой, проходящей
через ее вершину и параллельной стороне основания.
Вычислить объем тела вращения, если
плоский угол при вершине
пирамиды равен а.
*V
Глава 4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ
Умение правильно построить
сечение по трем точкам облегчает решение
некоторых геометрических задач.
Прежде чем приступать к решению
задач этой главы, разберите несколько
примеров на построение сечении и теней.
Пример 1. Построить сечение куба, проходящее через точки
Р, Q и /?, расположенные так, как показано на рис. 4.1.
Точки Р и Q и точки Q и R можно соединить сразу, так как
они лежат в одной плоскости.
Чтобы построить прямую, по которой плоскость сечения пересечет
нижнее основание куба (эта прямая называется следом), нужно
знать две точки, принадлежащие этой прямой. Одна точка нам дана —

22
ЗАДАЧИ
это точка R. Другую точку найдем, если продолжим до пересечения
отрезки DC и PQ. Это можно сделать, так как указанные отрезки
лежат в одной плоскости и, как видно из рис. 4.1, не параллельны.
Полученная в результате точка S будет лежать в плоскости нижнего
основания, так как вся
прямая DC лежит в этой
плоскости.
Через точки R и S мы
теперь проведем след,
который плоскость сечения
оставит на плоскости нижнего
основания. В результате
-получим точку Т. После того
как точки Т и F соединены,
сечение построено.
Несколько усложним
задачу.
Пример 2. Построить
сечение куба, проходящее
через точки Р, Q и R,
расположенные так, как
показано на рис. 4.2.
В этом случае одной вспомогательной точки окажется
недостаточно. Хотя из рис. 4.2 видно, что сечение не пересечет плоскость
нижнего основания, нужно построить след плоскости сечения на
нижнем основании. Точку S мы построим так же, как в примере 1,
а вторую точку Т найдем, продолжив
отрезки RQ и AD. След ST пересечет
прямую ВС в точке U. Так как точки
U и Р лежат в плоскости сечения, то,
соединив их, найдем точку V,
принадлежащую сечению куба, которая
позволит завершить построение.
Пример 3. Построить сечение
куба, проходящее через точку R,
расположенную на передней грани куба, и точки
Р и Q—на ребрах задней его грани
(рис. 4.3).
И на этот раз нас выручит
построение следа плоскости сечения на
плоскости нижнего основания. Чтобы было
ясно, что точка R лежит на плоскости
передней грани куба, спроектируем ее
на основание. Проекция прямой PR и
Прямая PR пересекутся в точке S,
принадлежащей следу. Вторую точку V следа
мы получим, продолжив до пересечения
ВС и PQ. След US пересечет куб по отрезку VT. Продолжим TR
■ до пересечения с DDi в точке О. Чтобы закончить построение,
получим еще одну вспомогательную Точку F так, как это было сделано
в первом примере.
Рис. 4.3.

ГЛ. 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПРОЕКЦ. ЧЕРТЕЖЕ 23
Построение теней осуществляется с помощью тех же самых
приемов. При этом нужно в качестве вспомогательной точки
использовать проекцию источника света на плоскость, на которую падаеттевь.
_ Построим, например, тень, отбрасываемую вертикальной
спичкой АВ на плоскость Р (концом В спичка упирается в плоскость),
если источник света расположен в точке Q (рис. 4.4, а). Для этого
Рис. 4.4.
спроектируем точку Q на плоскость Р и проведем две прямые
AQ и BQu пересекающиеся в точке Av Отрезок АХВ и будет тенью
Спички АВ.
Если спичка АВ расположена между плоскостью Р и источником
света Q произвольным образом, то построение тени показано на
рис. 4.4, 6. Вместо того чтобы строить тень спички АВ, мы строим
тени А^С и B%D двух вертикальных спичек АС ч BD, а затем,
соединив точки С и D, получаем нужную тень.
..-f
Рис. 4.5.
Пример 4. Источник света расположен над плоскостью нижнего
основания куба в точке Q на высоте, вдвое превышающей ребро
куба (рис. 4.5). Построить тень, отбрасываемую кубом на плоскость
его нижнего основания.
Разумеется, можно было бы построить отдельно тени,
отбрасываемые каждым вертикальным ребром куба, а затем соединить
соответствующие вершины. Однако здесь Проще воспользоваться тем,

24
ЗАДАЧИ
[4.1
что ребра верхнего основания куба параллельны плоскости нижнего
основания. Следовательно, тенью, отбрасываемой верхним основанием
к\ба, будет квадрат. Поскольку QQX вдвое больше ребра куба, то
сторона этого квадрата будет 2а (докажите).
Если мы проведем в кубе линию центров оснований и построим
отбрасываемую ею тень, то не составит труда вычертить тень,
отбрасываемую всем верхним основанием, а затем н всем кубом (рис. 4.5).
4.1. Дан куб i4SCD.<41B1C1D1. Через вершину А, середину
ребра ВС и центр грани CC^fl проходит секущая плоскость.
Найти отношение, в котором она делит объем куба.
4.2. Дан куб ABCDAlB^lDl с ребром, равным единице.
Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через
вершину А и середины ребер В1С1 и ClD1.
4.3. В кубе ABCDAlB1CxDx проведена плоскость через
вершину Д центр верхнего основания AlBlC1Dl и центр
боковой грани BBjCjC. Пусть Е — точка пересечения секущей
плоскости с ребром ByCv Найти отношение BtE к £СХ.
4.4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD.
Сторона CD продолжена на расстояние MD — 2CD(MC=--?>CD).
Через точку М, вершину В и середину ребра SC проведена
плоскость. Найти отношение объемов частей пирамиды,
полученных при пересечении ее этой плоскостью.
4.5. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD
с вершиной 5. Через точки A, D и середину ребра SC
проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит
объем пирамиды?
4.6. Дан куб ABCDA^jCj^D^ На продолжении ребер
АВ, AAU AD отложены соответственно отрезки ВР, AXQ, DR
длины ],5АВ. Через точки Р, Q, R проведена плоскость.
В каком отношении эта плоскость делит объем куба?
4.7. Площадь боковой грани правильной шестиугольной
пирамиды равна S. Вычислить площадь сечения, проходящего
через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.
4.8. В треугольной призме ABCA^C-^ боковое ребро
равно /. В основании призмы лежит правильный треугольник
со стороной Ь, а прямая, проходящая через вершину Вх и
центр основания ABC, перпендикулярна к основаниям. Найти
площадь сечения, проходящего через ребро АВ и середину
ребра ССг.
4.9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAyByCfi^
(ABCD и Аф-fi^ — основания) даны длины ребер АВ — а,
AD — b, AAt = c. Пусть точка О —центр основания ABCD,

5.61 гл. 5. геометрические места 25
0Х— центр основания A^fi-fi^ F—точка, делящая
отрезок OfO в отношении 1:3. Найти площадь сечения данного
параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F
параллельно его диагонали АСХ и диагонали BD
основания.
4.10. В точке Е, находящейся на расстоянии 2k от
плоскости основания куба с ребром Л и на расстоянии R > 2/z
or прямой, соединяющей центры оснований куба, помещен
источник света. Докажите, что течь, отбрасываемая кубом
на плоскость основания, будет иметь наибольшую площадь,
когда плоскость, проходящая через центр куба, точку Е и
одну из вершин, перпендикулярна к плоскости основания.
Глава 5
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА
5.1. Найти геометрическое место оснований
перпендикуляров, опущенных из центра О круга на хорды, проходящие
через данную точку N внутри круга.
Б.2. На плоскости зафиксированы две различные
точки А и В. Найти геометрическое место точек М, для каж-
з
дой из которых AM-BMcos/_АМВ = -^АВг.
5.3. На плоскости зафиксированы две различные
точки А и В. Доказать, что геометрическое место точек М,
удовлетворяющих условию 2АМъ-\-МВг=АВ*, есть
окружность с диаметром АС, где точка С лежит на отрезке АВ,
АС
причем, g£ = 2.
6.4. Дан треугольник ABC. Найти геометрическое место
точек М таких, что площади треугольников АМВ и" ВМС
равны.
5.5. На плоскости даны два отрезка: АВ и CD. Найти
геометрическое место точек М плоскости, для которых
площади треугольников АВМ и CDM равны.
5.6. Дан куб с ребром а. Найти геометрическое место
середин отрезков длины I, один из концов которых лежит
на диагонали верхнего основания, а другой — на не
параллельной ей диагонали нижнего основания.

26 задачи [6.1
Глава б
СВОЙСТВА ЧИСЕЛ. ДЕЛИМОСТЬ
6.1. Доказать, что рг—1 делится на 24, если р —
простое число, большее трех.
6.2. Доказать, что ns-f 2л при любом натуральном л
делится на 3.
6.8. Доказать, что число 310а + 4105 делится на 49 и 181.
6.4. Сколько в числе 500! содержится множителей 2?
6.5. Делится ли число 10 10 10 ... 10 1 на 81?
80 раз
6.6. Определить, при каких целых значениях я
выражение л*+ 4 является простым числом.
6.7. Доказать, что Т2"г--§- + 9л является целым числом
при любом четном п. -
6.8. При каких значениях х дробь 5*1% сократима?
6.9. Найти все пятизначные числа вида 34лг5у (л;—цифра
сотен, у—цифра единиц), которые делятся на 36.
6.10. Найти трехзначное число abc (a, b и с—его цифры),
если четырехзначное число abc\ в три раза больше
четырехзначного числа 2abc.
Глава 7
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Следующие ниже замечания относятся не только к этой главе,
они имеют общий характер.
Множества точек х числовой оси, удовлетворяющих
неравенствам I. а < х < Ь; 2. a«S*<s£&; 3. ае£* < Ь; 4. а < х<6; 5. х > а}
6. х < а; 7. хЭ=а; 8. х<,а, где а < Ь, называются интервалами
и обозначаются соответственно (а, о); [а, о]; [я, Ь); {а, Ь]; (а, +со);
(—да, а); [а, +оо); (— оо, а]. Интервалы 1, 5 и 6 называются
открытыми; интервал 2 называется замкнутым; интервалы 3, 4, 7 и
8 называются полуоткрытыми. Иногда вместо терминов: открытый
интервал, замкнутый интервал, полуоткрытый" интервал употребляют
соответственно термины: промежуток (или интервал), отрезок (или
сегмент), полуотрезок.

ГЛ. 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 27
По определению
. . ( а, если аэ»0,
\ —а, если а < 0.
Для арифметического корня имеет место формула
У~а*=*\а\.
Иногда приходится пользоваться формулами куба суммы и раз-'
поста чисел в виде
(а+Ь)3=а*+Ь*+ЗаЬ(а+Ь); (а—Ь)*=а*—Ь3—Zab(a—Ь).
Следующая формула называется формулой сложного радикала:
(все подкоренные выражения должны быть неотрицательными).
По определению
т
а" = Уа?,
где о^О, т, п—натуральные и корень арифметический. Иа этого
определения следует, что степени с отрицательным основанием и
дробным показателем считаются не имеющими смысла. Напри-
_i_
мер (—8) 3 не имеет смысла, в то время как JJ/—8 =«—2.
По определению
а~"=— при афО, а>0.
По определению
в0 = 1 при а Ф О.
Действия с корнями вызывают обычно серьезные недоразумения,
преодолеть которые можно, введя понятие главного корня.
Главным корнем из положительного числа называется
арифметический корень из этого числа.
Главным корнем нечетной степени из отрицательного числа
называется действительный (следовательно, отрицательный) корень из
этого числа.
Главным корнем четной степени из отрицательного числа
называется тот из мнимых корней, который имеет наименьший главный
аргумент (см. стр. 71).
Удобно согласиться о том, что, как правило, знак корня из
действительного числа используется для обозначения главного корня. Это
соглашение не распространяется на действия с комплексными
числами, где знак корня я-й степени, используется для обозначения
алгебраического корня цз числа, т. е. корень имеет п различных
значений.

«° ЗАДАЧИ [7.1
Таким образом, f/I=27=—3; J/IC=2; ]/~=Т=/, так как
корней квадратных из —1 два: i н — i, но у t главный аргумент ра-
я . Зя
36,1 ijT > а У — • он равен -^-, т. е. i имеет меньший главный
аргумент.
Для главных корней из положительных чисел и главных корней
нечетной степени из отрицательных чисел справедливо правило
умножения и деления корней:
Для главных корней четной степени из отрицательных чисел эти
правила не справедливы. Действительно, если бы ати правила были
справедливы, то было бы У— 1 • \ — 1 = V(—\){— 1)= уТ=1,
но 7/"^П=/, и поэтому У^Т> ]/—1«=|./ = /* = —1.
Правило, заключающееся в том, что показатель корня и
показатель подкоренного выражения можно умножить на одно и то же
натуральное чнсло, справедливо для арифметических корней и не
справедливо для главных корней из отрицательных чисел.
Если один из перемножаемых корней !/а арифметический, то
справедливо правило умножения корней
V*- У*-Уш'
где Ь может быть отрицательным, а л—любое натуральное число.
7.1. Упростить выражение
^.п3—Зп + (я2— 1) У я»—4—2
„э_3/J + (л2— 1) /я2^4+2 '
7.2. Упростить выражение
_ / \—х х»+х—2 \ . / 1-f-x "1— х+х*\
А — \х*+х*—х* хй—х*—2х*—х)'\х3+х*+х» *о }'
7.3. Упростить выражение
( 63 v! _ 21 *-4_ JL И4-1 JC«4-- *10^ (1 +Х*)~* 4-
\Ш*г Ш* Шх +€Ох ^10* )^^х> -г
/ 63 _ 63 , 105 4_63 в _9 Л (1 , 2Л _
+ ^2§6—128 * +160 * 80 х -Гюх )\11-х >
• -|etl+*(l+*2) "^l[*+(i+**)Tr1.
После упрощения определить его знак в зависимости от х.

7.13] ГЛ. 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 29
7.4. Упростить выражение
« + 2/Д + » 2УЪ.
У^Г+З^Ь—2 *Дб
7.5. Упростить выражение
[хт + хп)* — 4а2хт " ,
где JC = (a+Vea— l)m-", «>1, тфп, тфО, пфО.
7.6. Вычислить значение выражения
у^Х + 2У'х— 1 + "|/~* — 2 У#—1 при1<*^2.
7.7. Преобразовать выражение
У 13 + 301/Г2+уЛЭ + 41/У
так, чтобы оно не содержало сложных радикалов.
7.8. Разложить на линейные относительно х, у, z, в
множители выражение
(ху + ги) (хг — f-\-z*—us) + (xz+yu) (х2-\-у2—z2 — и2).
7.9. Разложить в области комплексных чисел на
линейные множители выражение
(х+УГ + х'+У*.
7.10. Разложить в области комплексных чисел на
линейные множители выражение
{У ~ *)5 + (*—х)ъ + (х — yf.
7.11. Доказать, что
7.12. Доказать, что если а-\-Ь-{-с — 0, то
а* {Ь* + с«, + *• (а* + с») + е» (А« + я*) = (*+*Ч-*Н"Ч-*+С) .
7.13. Доказать, что при всех действительных
значениях х vi у имеет, место равенство
I* +У I +1х-у | = \х + Vx^fl + U-1/^=7|.

30 ЗАДАЧИ [7.14
7.14. Доказать, что
\Ч*-Щ+\х-р+уЩ=\х\+\у\
для любых действительных дг и у, имеющих одинаковые
знаки.
Глава 8
ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ.
ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ
г.
Многочлен S(x) называется частным, а многочлен
/?(х)—остатком от деления многочлена Р(х) на многочлен Q (х), если'
равенство
P(x) = Q(x)-S(x) + R(x)
является тождеством и степень многочлена R (х) меньше степени
многочлена Q (х).
Обобщенная теорема Виета. Для корней Хц хг х„
уравнения
о0х"+а,х»-1+...+а„_1х+ап=0
имеют место формулы'.
х%~\-хг+...+хп~ — -^- ,
*i**-r-*i*rb" +xlx„+xixs+x1xi+...-txsxn+...-t-xtt_lx„= -£-,
Х,Х2ХЯ...Х„ = (—1)"^.
"о
Для уравнения д0хп+а1хл*", +... -f в„=0 с целыми
коэффициентами а0, alt ... ,ап верна теорема: если уравнение имеет
рациональный корень —, то р является делителем свободного члена а„,
а q—делителем коэффициента а0.
В частности, если а0 = 1, то уравнение может иметь только такие
целые корни, которые являются делителями свободного члена ап.
8.1. Решить уравнение
(*—4,5)4 + (*-5,5)4 = 1.
8.2. Решить уравнение
(4* +1) (12*— 1) фх + 2) {х +1) = 4.

8.14] гл. 8. делимость многочленов, теорема везу 81
8.3. Доказать, что уравнение
jc*-3/ = 17
не имеет решений в целых числах.
8.4. Найти все целые решения уравнения
Xй—6ху+\Зу*=Ш.
8.5. Найти остаток от деления многочлена х" + ■** +
+ 10л: + 5 на многочлен х2+1.
8.6. Определить все такие целые числа а и Ь, для
которых один из корней уравнения Зхъ -{- ахъ -f bx -f-12 = О
равен 1+У~3.
8.7. В уравнении
х* + ах* + Ьх* + 6х+2 = 0
один из корней равен УН -\-1. Найти остальные корни
уравнения, если а и Ь—рациональные числа.
8.8. При каких значениях а оба корня уравнения
Xй—(а+1)х + а + 4г = 0
отрицательны?
8.9. Найти соотношение между а, Ь и с, если корни
уравнения
x* + ax* + bx + c = 0
образуют геометрическую прогрессию.
8.10. Известно, что уравнение x*-\-px-}-q=0 имеет
-корни 0^, ctg, Og. Выразить сумму а%-\-а%-\-а% через р и д.
8.11. При каких с и а трехчлен х3-\-ах+\ делится на
двучлен х — а без остатка и частное от деления при всех х
больше нуля.
8.12. Остаток' от деления многочлена относительно х
на *—2 равен пяти, а остаток от деления этого же
многочлена на х—3 равен семи. Найти остаток от деления
этого многочлена на (х—2){х—3).
8.13. Найти все действительные значения р и q, при
которых лг*+1 делится на х2 + рх+д.
8.14. Доказать, что многочлен
х*«+1—(2п+\)хп+1 + (2п+1)хп— 1,
где п натуральное, делится на {х— l)s.

39.
ЗАДАЧИ
8.15
8.15. Найти все натуральные значения п, при которых
мншочлен (je-f-l)"—хп— 1делится на х*-\-х-\-\,
8.16. Определить р и q так, чтобы многочлен
6х* — 7х* + рх2 + Зх + 2
делился без остатка на х*—x-\-q.
Глава 9
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
Равенства. Тождества. Два математических выражения,
соединенных знаком =, образуют равенство.
Примеры равенств:
a2 + &s=C2, 3 = 3, 3=5, nn«A- + cos2x=l,tgA: = -i-I sin*=3.
CtgJf
Числовог равенство может Сыть истинным (верным) или ложным
(неверным). Равенство 3 = 3 истинное, равенство 3=5 ложное.
Буквенног равенство при различных значениях входящих в него
б\ кв также принимает одно из двух значений: «истина» или «ложь».
Например, равенство а2-\-Ь2—с- при я=3, 6=4, с=5 истинно,
а при о=3, 6 = 4, с=6 ложно. Равенство sin5A- + cos2x = 1 истинно
при всех значениях д", а равенство sin* = 3 всегда ложно.
Если какая-либо часть равенства (или обе части одновременно)
перестает существовать, то равенство становится ложным. Равенство
tgx=-:—ложно при x=-k-, так как для четных k не существует
ctgx, а для нечетных k не существует tg д:. Равенство—гт- —
A7-J- 1
= дг—1 ложно при *=—], так как его левая часть теряет смысл при
этом значении х (обратите внимание, что правая часть существует
ьсегда). Обе части равенства sinx=3 всегда имеют смысл, однако
это равенство всегда ложно.
Для каждого математического выражения можно указать
множество значений входящей в него буквы (или нескольких букв),
при которых это выражение существует, т. е. принимает некоторое
числовое значение. Такое множество мы будем называть
{естественной) областью определения рассматриваемого математического
выражения.
х2 1
Для выражения — . • областью определения является числовая
ось с выколотой точкой х=—1.
Для выражения log„ \^х найти область определения уже
несколько сложнее. Во-первых, из числа х извлекается квадратный
корень. Эта операция возможна, если х^О. Чтобы затем можно

ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 33
было найтн логарифм от У~х, необходимо ~\fx > 0. Оба условия
выполняются при х > 0. В основании логарифма может стоять лишь
положительное -число, отличное от единицы. Таким образом,
получаем область определения: х>0, у > О, уф\.
Два математических выражения называются тождественными,
если
1) их области определения совпадают,
2) они принимают одинаковые числовые значения при
подстановке в каждое выражение одного и того же набора значений
входящих в него букв, произвольно выбранного из области
определения.
Равенство, в котором правая и левая части являются
тождественными выражениями, называется тождеством.
Для обозначения тождественного равенства используется
символ ss.
Примеры тождеств: (a—fc)2=a2—206+6*, sin2*+cos2*=l,
*<-"»-р=!5Г
Первые два тождества общеизвестны. Последнее равенство тоже
является тождеством. В самом деле, область определения левой
части не содержит ни одной точки, область определения правой
части тоже не содержит ни одной точки. Поскольку область
определения правой и левой частей—пустые множества, то требование
2) в определении тождественных выражений выполняется. Равенство
—тл~=*—*» как мы виДелн> истинно при всех х кроме х— — 1.
Оно не является тождеством, так как требование 1) не удовлетворено.
Введем понятие неабсолютного тождества.
Пусть в нашем распоряжении есть два математических
выражения, имеющих разные области определения. Обозначим через U
их общую часть. Если на множестве U значения обоих
математических выражений совпадают, то говорят, что они неабсолютно
тождественны, а соответствующее равенство называют неабсолютным
тождеством.
Характерным примером неабсолютного тождества является
соотношение
lgxy=lgx+\gy.
Область определения правой части: х > 0, у > 0, Область
определения левой части: х > 0, у > 0; х < 0, у < 0. Общая часть областей
определения: х > 0, у > 0. На этой общей части приведенное
соотношение превращается в истинное равенство.
Напомним определение тождества, которым обычно пользуются
в средней школе.
Тождеством называется равенство, справедливое при всех
значениях входящих в него букв, при которых обе его части имеют
смысл.
Нетрудно заметить, что это определение совпадает с приведенным
выше определением неабсолютного тождества. Чтобы подчеркнуть,
что мы пользуемся другим определением тождества, будем иногда

9Л
°* ЗАДАЧИ
Ж>. термина тождество употреблять термин абсолютное том-
аА, Упражнения»). Какие из следующих равенств являются
абсолютными тождествами, а какие - Жолюгаыми?Пвиве^те
доказательство сделанного вами вывода. °солюгаыми' Приведите
1. sinsx-bcos2x=l, g ctggir —1"~tg'*
S 2tg
2. tg*=5!H£, 10 f о 2tgx
cosx* 1U- ig^:-j_tgB
3- *6ГД:=^:, ii ctg*— 1+cos*
л;'
e.
2 sinx
12. ctgi.=. sin* , •
8 2 1-cos*'
13. |ctgf|=l/i±^H,
I 2 I У 1—cos*"
14. lgJW-lg{x|+|g|jr|,
I"l-Sx' 15. lgx*=21gx,
«•^T^1!^' 16. lgx*=2.g|x|.
Уравнение, корни уравнения, равносильность. Когда мы
говорим, что равенство
ах2+Ьх+с=0 (1)
является уравнением относительно буквы х, то подразумеваем, что
для фиксированных a, Ъ и с (эти буквы являются параметрами
уравнения) нужно отыскать значения х, обращающие (1) в истинное
числовое равенство.
Другими словами, предполагают, что для букв а, Ь и с выбраны
РОределенные, хотя и произвольные значения, в то время как
буква х, которой обозначено неизвестное, остается «свободной».
Вместо нее можно подставлять различные числа, в результате чего
возникнут либо истинные, либо ложные числовые равенства.
Равенство (1) выполняет роль «формы» (или «схемы») уравнений, которая
превращается в уравнение, как только мы остановим свой выбор на
конкретных значениях параметров. Если выбор значений параметров
уже сделан, то полученное уравнение можно рассматривать как
«форму» числовых равенств—ложных или истинных.
Часто представляют себе уравнение как равенство двух функций
(в частности, как равенство функции нулю), а не как форму. Такое
представление недостаточно точно, так как может привести к
потере корней.
*) Ответы к упражнениям 1—21 см. на стр. 293—295.

ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 35
Например, уравнение
х** = 1 (2)
имеет корни xt=l к х8 = — 1, в то время как функция х2*
определена только при положительных х. Подробнее об этом см. главу 12.
Если же уравнение (2) мы рассматриваем как форму,
порождающую числовые равенства, то при х = — 1 слева получим выражение
(—1)~а, которое имеет смысл и равно 1.
Приведем некоторые определения.
Пусть х, у, г, ...—неизвестные в уравнении
/(*, у, г, ...)=0. (3)
Набор значении неизвестных
( х=а,
называется решением уравнения (3), если
f (а, Ь, с, ...)=0 (3')
является истинным числовым равенством.
Решение уравнения с одним неизвестным называют также корнем
этого уравнения.
Корнем уравнения Зхг+2#—1=0 является число х= — 1,
решением уравнения 2у%—3л#+*я=0 является система чисел
Решить уравнение—значит найти все его решения или доказать,
что оно не имеет решений.
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно
и то же множество решений. Другими словами, любое решение
первого уравнения является также решением второго уравнения и,
обратно, любое решение второго уравнения является также решением
первого уравнения.
Вообще говоря, понятие равносильности тесно связано с
определенной областью чисел. Так, уравнения х— 1=0и(д:—1){х2-Ь1)=0
равносильны в области действительных чисел и неравносильны в
области комплексных чисел.
Говорят, что второе уравнение является следствием, первого
если каждый корень первого уравнения является корнем второго
уравнения.
В процессе решения уравнение можно заменить любым
равносильным ему уравнением. Легко убедиться в том, что замена
входящего в уравнение математического выражения тождествеиньш >)
приводит к равносильному уравнению.
х) Имеется в виду применение абсолютного тождества, см.
стр. 33-34.
2*

86
ЗАДАЧИ
Во многих случаях удобно заменить данное уравнение его
следствием. В результате такой замены могут появиться посторонние
корни, т. е. такие числа, которые являются корнями следствия, но
не удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы отсеять посторонние
корни, следует сделать проверку всех найденных значении
неизвестного.
Замена входящею в уравнение выражения неабсолютно
тождественным может нарушить равносильность. В результате у
уравнения, с одной стороны, могут появиться посторонние корни, а с
другой стороны, корни могут быть потеряны.
Например, применение неабсолютного тождества х)
\ogx+\ogy=logX{/
приводит к следствию, в то время как применение этого же
тождества справа налево
IogA-(/ = Iogx+Iog!/
может повлечь за собой потерю решений. В первом случае в
результате замены log дг -f- log у на \ogxy мы можем приобрести решения,
лежащие в области x<Q, i/<0. Во втором случае решения из той
же самой области могут быть потеряны.
При решении большинства уравнений угроза приобретения
посторонних корней не должна нас пугать, так как в наших руках
есть такое надежное средство, как проверка. Гораздо более опасной
является перспектива потерн решений.
Избежать потери корней можно, если вместо неабсолютных
тождеств, сужающих область определения, пользоваться неабсолютными
тождествами, расширяющими естественную область определения
уравнения.
Вернемся к рассмотренному только что примеру с суммой
логарифмов. Когда при решении уравнения приходится потенцировать,
то неабсолютное тождество
logA--|-logj/ = log.n/
не приводит к потере корней. Если же по ходу преобразований
возникла необходимость прологарифмировать произведение, то нужно
воспользоваться другим неабсолютным тождеством
logx# = logjx|+log|r/|,
применение которого может лишь расширить область определения
уравнения.
Есть второй прием, позволяющий избежать потери решений,
который мы поясним на примере уравнения; sin 2x-f-7 cos 2*-|-7=0.
Воспользуемся формулами, позволяющими выразить sin 2x и cos 2л;
через tgx. Получим
2tgx 7(l-tg°s)
l+tg**-"1" l-f-tg3* ^
x) Под применением тождества мы понимаем замену его левой
части на правую.

ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 37
Приведя-к общему знаменателю и отбросив знаменатель, который
всегда отличен от нуля, получим простое уравнение
tgx=—7,
откуда х=—arctg 7 + яА.
Хотя все произведенные преобразования кажутся законными,
УС
мы легко убедимся в том, что целая серия корней x=7j-+fot
потеряна. Достаточно подставить эти значения неизвестного в исходное
уравнение.
Корни были потеряны в результате применения неабсолютных
тождеств
, о 2tg* 1— tgs*
6[n2x = i+Wx И COs2*=r+f?*'
левые части которых существуют всегда, а правые теряют смысл
именно при x=-~-\-kn.
Если по каким-то причинам мы не могли избежать
применения неабсолютных тождеств, грозящих потерей корней, то нам не
остается ничего иного, как проверить те значения неизвестного,
которые оказались исключенными из области определения входящих
в уравнение выражений. В нашем примере, как и в большинстве
тригонометрических уравнений, это нетрудно сделать.
Наконец, отметим такой важный момент при решении уравнений,
как правильное использование условий.
Уравнение
lg(l+*)+31g(l-*)=lg(l-**)_2
удобнее всего решать, преобразовав lg(l—х2) в сумму логарифмов.
Чтобы оградить себя от возможной потери корней, мы должны
написать
lg(l-X*) = Ig|l+*] + lg|l-Ar].
Однако подобная осторожность в этом примере является излишней.
Поскольку в уравнение наряду с выражением Ig(l—*2) входят
Ig(l-|-x) и lg(l—х), то1+х и 1—х должны быть положительными,
чтобы левая часть уравнения имела смысл. Поэтому вместо Ig[ 1+*1
и lg| 1-х | можно написать Ig (1-f-x) и lg(l— x). Таким образом,
данное уравнение принимает вид
lg(l+*)+31g(l-*) = lg(l+*)+lg(l-*)-2.
Приведя подобные члены, получим
21g(l—х) = —2,
откуда *=0,9—единственный корень данного уравнения. .
На этом примере мы видим, что правильное использование
условия позволяет быстрее достигнуть цели, чем в случае чисто
формальных преобразований.
Однако достаточно ли обоснованным было приведенное выше
решение? Чтобы убедиться в этом, решите самостоятельно такое

38
ЗАДАЧИ
уравнение
I«(l+*)+31g(l-*)=lg(l-*»)-f-2.
Оно отличается от предыдущего лишь знаком последнего члена.
Поэтому, повторив все приведенные только что рассуждения, получим
21g(l_*)=2,
откуда х=—9. Подставив это значение * в исходное уравнение,
убеждаемся в том, что нами найден посторонний корень. Произошлб
это потому, что уравнения
lg О +х) +3 lg (1 -x) = lg (1 + x)+lg (1 -х)+2
и
21g(l—x)=2
неравносильны. Равносильность нарушилась в
результат:'уничтожения в правой и левой частях уравнения члена lg (1 -\-х), который
существенно ограничивал область определения уравнения. Таким
образом, проверка здесь является необходимой частью решения.
Разобранный пример нередко предлагают решать так. Найдем
область определения уравнения:
П+* >0,
{1-х >0, т. е. —1<дг<1.
U-*2>0,
Теперь будем применять к уравнению те преобразования,
которые не могут привести к потере корней:
lg(l+x)+l6<l-*)s = lgU-*a) + lgl00,
lg 1(1 +*) О -xf] = lg 100 (1 -л*),
(1 +х) (1 — х)3 = 100 (1 —х»).
Решая последнее уравнение, найдем *i=l, д-г=—1, *s =—9г
х4 = 11. Так как все четыре числа не-нопалив интервал —1<ж<1,
то исходное уравнение не имеет корней.
Для данного уравнения такой метод решения оказывается
верным, так как позволяет отбросить юсе найденные значения х. Однако
•основан он на ошибочном убеждении, что в процессе
преобразований могут быть приобретены лишь такие посторонние корни, кото-
рюе не попадают в область определения исходного уравнения.
Приведем два примера.
я , . х _
Вначале рассмотрим уравнение arcsinx=-»--T-arcsin-j-. Ыо
область определения—отрезок —1<х<1. Возьмем синусы от
правой и левой частей уравнения, в результате чего получим след-
- ," • ч ■ /" , ■ х\ -fb tf~T~& _l *
CTBHesm{arcsinx) = sinl ^-T-arcsms-J.T. е.х=—g— у -1—4"+"4 *
Решая последнее уравнение, получимд;1 = —l,xa=l. Оба значения*
принадлежат области определения исходного уравнения, однако
ха=—1—посторонний корень, в чем легко убедиться проверкой-

ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 39
Решим теперь в области действительных чисел уравнение
Областью определения этого уравнения является вся числовая ось.
Возведем данное уравнение в куб:
х+ l+3x+ l+3£/^v/3Fp(?A+'T+ УЗх~+1) =х-1.
В последнее уравнение входит выражение jj/x+l-f j/Sx-f-l.
являющееся левой частью данного уравнения. Заменяем его правой
частью этого уравнения. Получим
Возведя в куб, получим
(х+1) (Зх+D (*-l)=-(*+l)»,
откуда
*i=—1, ^2=0.
Проверка убеждает нас в том, что корень х2=0 является
посторонним. Он появился в результате замены левой части данного
уравнения на не равную ей тождественно правую часть.
Приведенные примеры свидетельствуют о том, что нахождение
области определения уравнения (или, как иногда говорят, области
допустимых значений—ОДЗ) не гарантирует нас от появления
посторонних корней, т. е. не избавляет от необходимости делать
проверку полученных в результате решения корней.
Это не означает, что находить область определения всегда
бессмысленно. Можно привести много примеров, когда знание области
определения существенно упрощает решение.
Что же касается проверки, то она оказывается излишней только
в тех случаях, когда исследована эквивалентность применявшихся
в процессе решения преобразований.
Для этого необходимо выяснить, при каких преобразованиях
получаем следствие данного уравнения, а в каких случаях над
нами нависает угроза потери корней.
Посмотрим на примере, как исследуется равносильность двух
уравнений. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если в уравнении произвести уничтожение двух
подобных членов, то получится следствие данного уравнения.
Другими словами, если уравнение
Д*)+ф(*)-<М*)=о (4)
заменить уравнением
f(*)=0, (5)
то потери корней не произойдет, а приобретение корней может
произойти.
Сначала докажем, что не произойдет потери корней, т. е. что
любой корень х=с уравнения (4) является корнем уравнения (5).

40 8АДАЧИ
Если х=с—корень уравнения (4), то
f(c)+«p(c)-9(c)=0 (4')
—истинное числовое равенство, которое не нарушится в результате
уничтожения члена ф(с).
Таким образом,
f(c)=0 (5')
—истинное числовое равенство, т. е. х=с является также и корнем
уравнения (5).
Остается убедиться в том, что уравнение (5) может иметь корни,
посторонние для уравнения (4). Чтобы доказать это, достаточно
привести пример. Уравнение
cosx + tgx— tgje=0 (4")
после уничтожения подобных членов принимает вид
cos*=0. (5")
Корнями уравнения (5*) будут числа x=-^ + kn. Но ни одно из
них не удовлетворяет уравнению (4*), так как tg х перестает
существовать, когда cosx = 0.
Итак, теорема доказана.
Несколько уравнений могут образовывать систему или
совокупность.
Говорят о системе уравнений, если требуется найти все решения,
общие для всех уравнений, входящих в систему.
Если же нужно найти все такие решения, которые
удовлетворяют хотя бы одному из нескольких уравнений, то говорят, что эти
уравнения образуют совокупность.
Систему уравнений обычно записывают в столбик и ставят сбоку
фигурную скобку —знак системы, совокупность уравнений, как
правило, записывается в строку.
Если мы рассмотрим совокупность двух уравнений:
х*-~х—2=0 и ха—2ж—3=0,
то корни первого: *i=2, #t=—1—нужно объединить с корнями
второго: х1=3, хе =—1. Получим решение совокупности!
^=2, хй = — 1, xs=3.
Если же мы рассмотрим систему
/ Xs— х— 2=0,
\ **—2х~ 3=0,
то из корней первого уравнения нужно выбрать те, которые удовлет-
воряют и второму уравнению системы. Получим только одно
решение системы» х=—Ь
Уравнение
*(*)¥М=° <6)
называется распадающимся.

ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 41
Те'орема 2. Уравнение (6) равносильно совокупности двух
систем:
\ /М = 0, Г Ф(х)=0, ,7)
\ ф(х) существует; \ f(x) существует. * '
Приведем доказательство. Если х=а—корень уравнения (6), то
/ (а) и ф (а) существуют и либо / (а)=0, либо <р (а)=0. Следдвательно,
одна из систем (7) удовлетворяется при х=а.
Пусть теперь х=а—корень совокупности (7). Если при х=а
удовлетворяется либо первая, либо вторая система, то и в том и
в другом случае /(о)ф(а) = 0, т. е. х=а—корень уравнения (6).
Упражнения. Докажите следующие теоремы о
равносильности уравнений.
17. Если к обеим частям уравнения
f (*)=*(*)
прибавить выражение i|> (at), то в случае, когда ф(х) имеет смысл
лри всяком х, получится равносильное уравнение, в противном
случае могут быть потеряны корни.
18. Уравнения
/W+4> (х)-* М = Ф(*)
и
в случае, когда 1J) (*) имеет смысл при всяком х, равносильны;
в противном случае второе уравнение является следствием первого.
19. Если в уравнении
Ф(*)_Ф~7Г) W
отбросить знаменатель, то получится уравнение
f(x)=■*(*),
являющееся следствием данного уравнения.
19а. Уравнение (8) равносильно системе
i н*)=Ч>(*).
< ф(х) существует,
К Ф(х)^0.
20. Если обе части уравнения /(х) = ф(х) возвести в квадрат,
то полученное уравнение
[f(x)J» «=№(*)]» (9)
является следствием данного уравнения. Уравнение (9) равносильно
совокупности двух уравнений:
/(*)=Ф(х); /(*) = -ф(*).
21. Чему равносильна система
\ ф(*Ж*)=0?

42 задачи [9.1
Найти действительные корни уравнений:
9.1. |*| — 2|а: + 1| + 3|л; + 2| = 0.
9.2. 1л:2 — 9| + |*е—41 = 5.
9.3. Решить уравнение х2-\- >34- )Д~^'
Найти действительные корни уравнений]
9.4. i/x + i/2x~3=£/12(jc—1).
9.5. £/629 — * + {/77+* = 8.
9.6. j/(*—2)(*—32) —jj/(* —1)(я —33)==1.
с» т (fl_*) У*—*> + (*—Ь) уа—х а—b , „
9.7. i i^/ ^,-Zj ^-Т" * а и 6_~Дейст-
ум-|-/);—b
вительные числа.
9.8. у а — \/"а+х = х, а—действительное число.
9.9. V\ х | +1 — V\ x | = а, а—действительное число.
9.10. Найти действительные решения уравнения
х 2 х 1
^ »-2
—л-2 —4дг + р
и определить, при каких значениях р" оно имеет
единственное1) действительное решение.
9.11. Решить систему
/ у-2\х\ + 3 = 0,
\ |jr| + *-3 = 0.
9.12. Найти все действительные значения k, при
которых решение системы
f x—2y = k,
\ Зх+у = 8
удовлетворяет условию: х > -^, у > 0.
*) Два совпадающих решения считается за одно.

9.23]
ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
43
9.13. Решить в области действительных чисел систему
I \х+у\=х—у + а,
\ \х—у\=х+у+Ь.
9.14. При каких значениях а система
\ х2+у* = а
имеет действительные решения? Найти эти решения.
Решить системы:
9.15.
9.16.
9.17.
f х*у-\-у-\-ху*-\-х = 18ху,
\ ху +у* + х2у* -f Jta = -208*у.
Ху~Х+у— Z,
xz — 2{x—y+z),
yz = S{y—x+z).
x+y + z = 0,
х*+у*—z2 = 20, 9.18.
*4+j/4—z4 = 560.
x+y+z=\,
xy+yz + zx= —4,
x3+ys-^-z3 = \.
9.19. Исключить х и у из системы
х+у^а,
х*+у*^Ь,
Xs +у* = с.
Решить системы:
9.20.
9.22.
^ = 2*
Х+у=е:1,
xz+yt = 2,
xz*+yt* = 5,
9.21.
9.23.
*—2у + 3г=9,
*а + 4уа + 9г2 = 189,
Злгг = 4/.

44
ЗАДАЧИ
[9.24
9.84. Найти все действительные решения системы
*s+/—z8 — xyz = —4,
j;8 _j,S _L z3 — XyZ = 8,
— Xs +y3 -j- z3 — xyz = — 2.
9.26. Найти одно решение системы
*i (*2 + a-3+ ... + *„) + 1.2(jf,4-*,+ ... +л-„)2 = 9а2,
*t (*i + *« + • • • +*e) + 2-8(x1 + xt+ ... +jc„)» = 25fla,
+л (я +1) (jc, + x2+ ... + *„)!ь= [2п+\)*а\
Решить системы:
9.26. 7х — 1 \у = j/* +.У = */* + 9у.
9.27.
9.28.
| Va—x — Vy—х = Vу,
Vx2— y + Vx*+y-l.
I дсУТ=р = в,
9.29. -,' ,
если a>b>0 и « + #< 1.
9.30. Найти все значения а и b, при которых система
xyz + z = a,
xyz* + z=b,
*»+.)'1 + *, = 4
имеет единственное решение (а,6,х,у—действительные числа).
9.31. Найти все значения о, при которых система
{
*»-a/= i («+1Л
ж" + ак,.у + жу1=1

9.34] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 45
имеет хотя бы одно решение и всякое ее решение
удовлетворяет уравнению х+у — 0 (a, x, j>—действительные
числа).
9.32. Найти все значения с, при которых система
[ (х*+1)а + (Ь* +1)' = 2,
\ а + Ьху + х*у=1
имеет хотя бы одно решение для любого значения Ь
(а, Ь, х, ^—действительные числа).
9.33. Найти все значения а, при которых система
I 2\^ + \х\=у + х* + а,
имеет только одно решение (а, х,у—действительные числа).
9.34. Решить систему
х+ г У +Va = 0
в области действительных чисел.
Глава 10
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
О доказательстве неравенств. Доказать неравенство можно
следующими способами, которые мы продемонстрируем на примере
неравенства
^i-Ss V^b, где а, 6э*0.
1)От противного. Предположим противное:
a+b
< V~ab.
2
Тогда
а~2 ^+* < 0, т. е. (1Аа-Ю)»<0,
2
что невозможно.

46 ЗАДАЧИ
2) По определению неравенства. Составим разность
левой-и правой частей и определим ее знак:
™ •£> Zr
3) Вывести из ранее доказанного или
очевидного неравенства. Мы знаем, что
(Ya— У~Ь)*£20, т. е. а—2УаЬ+Ь^0,
откуда
a+b^2VTb, £^5&/5Б.
Обратите внимание, что следующее «доказательство» неравенства
является логически некорректным: '
если —5-3= К ab, то ^ '—^ О,
и, следовательно,
2 *"'
что очевидно.
Некорректность приведенных рассужденпй состоит в том, что в
качестве исходного пункта взято доказываемое неравенство. Таким
образом установлено, что если —-5-Э* Yob, то (]/~а—]/~й)аЭ*0.
Однако верное следствие может быть получено из ложной
посылки. Если те же рассуждения провести в обратном порядке, то мы
получим корректное доказательство, аналогичное тому, которое
приведено выше под номером 3).
Решение неравенств. Систе'ма, совокупность. Решить
неравенство—значит найти все системы значений входящих в него
неизвестных, при которых неравенство истинно.
Если два или несколько неравенств должны удовлетворяться
одновременно, то говорят, что они образуют систему.
Если достаточно, чтобы удовлетворялось одно из двух или-
нескольких неравенств, то говорят, что эти неравенства образуют
совокупность.
Неравенства, образующие систему, записывают одно под
другим, а сбоку ставят фигурную скобку—знак системы.
Например,
f х> 3,
I х< 7.
Решение этой системы показано на рис. 10.1 двойной
штриховкой. Эта же система неравенств может быть записана так:
3 < х < 7.

ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
47
Совокупность неравенств записывают в строку, что позволяет
не путать" ее с системой. Запись
х < 3, х > 7
означает, что число х должно лежать на любом из
заштрихованных на рис. 10.2 интервалов.
22SL2M.
JTl^M
Рис. 10.1.
Рис. 10.2.
Решить систему, состоящую из нескольких совокупностей
неравенств,—значит найти все значения неизвестного,
удовлетворяющие всем входящим в систему совокупностям.
Пример 1- Решить систему совокупностей неравенств
г х<—2, 1^х==52,
I х<—3, 1,5<хй£3,
I —2,5 < *в£2; *3г2,7.
Решение первой совокупности изображено на рис. 10.3 с
помощью двух прямоугольников (четвертая сторона одного из них
-J -гд -г
нГЗЩ
/ У 2 2,1 J
Рис. 10.3.
бесконечно отодвинута влево), расположенных над точками,
удовлетворяющими этой совокупности. Аналогично изображены решения
второй и третьей совокупностей.
Чтобы избежать путаницы, мы для разных совокупностей строим
прямоугольники различной высоты. Особо внимательно нужно
следить за концами интервалов: если неравенство строгое, то будем
рисовать в конце интервала светлый кружок, а если нестрогое, то
черный кружок.
Точки числовой оси, над которыми расположены три
прямоугольника разной высоты (рис. 10.3), дают решение системы
1,6 < *s£2.
Упражнения1) 1. Что произойдет с совокупностью
неравенств, если к ней добавить неравенство, не имеющее решений?
2. Что произойдет с системой неравенств, если к ней добавить
неравенство, не имеющее решений?
1) Ответы к упражнениям см. на стр. 326.

48
ЗАДАЧИ
8. Решите систему двух совокупностей неравенств
/ —3-cxsssl, 3<x^7, x>8;
\ —1< х<2, х > 5.
Метод интервалов. Рассмотрим неравенства типа
£W->0 -Ш->0 Z£Uo P(*>^n m
Начнем предварительно с неравенства (х—2)(х—3) > 0. Его
нередко решают следующим образом. Произведение двух множителей
положительно тогда и только тогда, когда оба множителя
одного знака, т. .е. данное неравенство равносильно совокупности двух
систем
с—2 > 0,
-3>0.
Чтобы убедиться в нерациональности такого способа решения,
достаточно применить его к решению неравенства, левая часть
которого содержит, например, десять множителей
(ж— 1) (х—2) ... (л—10) > 0. (2)
Несложный подсчет показывает, что в этом случае пришлось бы
рассматривать совокупность, состоящую из 512 систем по 10
неравенств в каждой системе.
Решим неравенство (2) с помощью более рационального приема,
называемого методом интервалов. Отметим на числовой оси все корни
многочлена, стоящего в левой части неравенства (рис. 10.4). Когда х
( х—2 < 0, ( х~<<
\ х-Ъ < 0; \ х-с
расположен правее самого большого корня (х > 10), многочлен
будет положительным, так как каждый множитель положителен.
Если двигаться по оси в отрицательном направлении, то при
переходе через точку х = 10 множитель х—10 поменяет знак. В
произведении появится один отрицательный множитель, а девять останутся
положительными, в результате чего многочлен станет отрицательным.
При переходе через каждый следующий корень многочлен будет
менять знак, так как будет появляться дополнительный
отрицательный множитель. (Области, где многочлен положителен, отмечены на
рис. Ю.4 дугой сверху, а области, где он отрицателен, — дугой
снизу.) Теперь легко записать решение неравенства (2):
jc < I, 2 < х < 3, 4 < * < 5, 6 < * < 7. 8 < * < 9, х> 10.
Приемы, позволяющие решать более сложные неравенства типа (Г)
станут понятны, если вы разберете примеры 2 и 3 и следующие за
ними упражнения.

ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 49
Пример 2. Решить неравенство
(х+3) (2а;+2) (*—4)а (5—х) > 0.
Перепишем неравенство в виде
(*+3) (*+1) (r-4)» (*-5)< 0,
где в каждой скобке стоит двучлен с коэффициентом I при х.
Множитель (х—4)3 всегда неотрицателен и только в точке х=4
обращается в нуль. Поэтому его влияние на решение неравенства
Рис. 10.5.
ограничивается тем, что он исключает точку *=4 (рис. 10.5).
Остается проследить чередование знаков в неравенстве
(х + 3)(х+ !)(*—5)<0.
Ответ. а<— 3, — 1 < х < 4. 4 < х < 5.
Пример 3. Решить неравенство
(х+3)»(«+1)(*—S) ^-п
(*_4)i(*-2) ^U-
(3)
Данное неравенство не удовлетворяется в тех точках, где мн&;
жители, стоящие в знаменателе, обращаются в нуль (х=4, х=2).
Поэтому исключим эти точки из дальнейшего рассмотрения, обозначив
их на рис. 10.6 светлыми кружками.
-t г
Рис. 10.6.
В точках же, в которых обращается в нуль числитель (х =—3,
х=—I, х=5), неравенство превращается в равенство, т. е. эти
точки должны войти в решение неравенства (3). Отметим их на
рисунке черными кружками1).
Множители (х+3)2 и (х—4)2, не меняющие знака на всей
числовой оси, можно опустить, так как их влияние уже учтено. Во
всех остальных точках неравенство (3) равносильно такому:
(x+l)(*-5)(.v-2)<0.
Ответ. х==£ — 1, 2<х<4, 4<х==г5.
х) Если какая-то точка уже была отмечена светлым кружком,
то изменять обозначение не следует.

50
ЗАДАЧИ
Упражнения. Решите неравенства:
4. (5—2х) (3—х)з (х—4)а <0.
Б (*+3)а(*-Н)(*-5)
(х—4)2 (х—2)а ^ и"
Иррациональные неравенства. Решая уравнения, мы можем
получать следствия данного уравнения и закончить решение
проверкой, которая отсеивает посторонние корни. При решении же
неравенств обычно получаются целые интервалы решений, что сильно
усложняет проверку. Поэтому неравенства преобразовывают так,
чтобы не нарушалась равносильность.
Начнем с иррациональных неравенств.
Пример 4. Решить неравенство
Ух*—55х+250 < х—14. (4)
Нередко предлагают такое «решение»:
х*_55*+250 < (х—14)з,
— 55*+ 250 < — 28х+196,
х>2,
которое обосновывают следующим образом: «Левая часть меньше
правой, но неотрицательна, так как мы имеем дело с арифметическим
корнем. Следовательно, обе части данного неравенства
неотрицательны, н его можно возвести в квадрат, не нарушая
равносильности неравенства».
Чтобы убедиться, что неравенство решено неверно, подставим
в данное неравенство, например, х = 10.
Проанализируем ход приведенных здесь рассуждений. Они
доказывают, что если неравенство (4) удовлетворяется при некоторых х,
то обе части его можно возвести в квадрат, и тогда х > 2. Однако
отсюда не следует обратное, что исходное неравенство
удовлетворяется при всех х > 2.
Присутствие в неравенстве (4) квадратного корня накладывало
на неизвестное определенные ограничения, которые оказались
разрушенными после возведения (4) в квадрат.
Трехчлен ж2—55*4-250 вначале стоял под знаком квадратного
корня, а потому должен был быть неотрицательным. После
возведения неравенства (4) в квадрат это ограничение исчезло; теперь
ничто не мешает трехчлену стать отрицательным. Даже наоборот,
в этом случае неравенство ж2—55*+250 < (х— 14)а удовлетворяется
наверняка, так как справа стоит величина, которая не может стать
меньше нуля.
Чтобы подкоренное выражение оставалось неотрицательным, мы
должны добавить к полученному после возведения в квадрат
неравенству требование х2—55*+250SsO,t. е. Ж 5, *3s50. Из
полупрямой х > 2 оказались выделенными две ее «асти: 2 < ж 5, *3*50.
Но и теперь еще не все. Достаточно подставить в -исходное
неравенство значение х=4 и мы убедимся, что оно не удовлетворяется.
Дело в том, что при возведении в квадрат мы устранили еще одно
ограничение, которое присутствовало в неравенстве (4). В левой

ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 51
части первоначального неравенства стоит квадратный корень, т. е.
неотрицательное число. Чтобы это неравенство удовлетворялось,
правая его часть х—14 должна быть больше нуля. Итак, надо
добавить ограничение х—14 > 0, которое присутствовало в исходном
неравенстве и оказалось разрушенным после возведения в квадрат.
Таким образом, после возведения данного неравенства в
квадрат, мы должны позаботиться о сохранении всех ограничении,
которые присутствуют в данном неравенстве. Неравенство (4) нужно
было заменить системой
х*—ЬЬх+250 < (х—14)2,
X2_55.v+250ss0,
х—14 >0,
решая которую мы нашли бы, что
х>2,
Ж 5, х 3*50, т. е. xSs50,
х> 14.
Упражнения. В каждом из неравенств 6—9 освободиться от
иррациональности, не нарушая равносильности:
6. У~ах*+Ьх+с < 3.
7. Уах* + Ьх+с^з:3.
8. Vax*+bx+c<dx+e.
9. Уах*+bx+c > dx+e.
Показательные и логарифмические неравенства. При решении
показательных и логарифмических неравенств лользуются
следующими свойствами:
1. Неравенство fM'U)>l, где /(х)>0, равносильно
совокупности двух систем неравенств:
( /(*)>1, Г о</(*)<1,
\ <р(х)>0; \ <р(*)<0.
1а. Неравенство /(x)?(Jrt< 1, где f(x) > 0, равносильно
совокупности двух систем неравенств:
f f(*)>l, f 0<f(*)<l,
\ ф (x)< 0; ^ \ 9 (x) > 0.
2. Неравенство log* w «p (x) > 0 равносильно совокупности двух
систем неравенств:
f(x)>l, (0<f(x)<l,
ф(х) > 1; I 0<ф(х)< I.
2а. Неравенство logy {х) ф (х) < 0 равносильно совокупности двух
систем неравенств:
/(х)>1, <0</(*)<1,
0<ф(х)<1; \ф(х)>1.

52 ЗАДАЧИ [ЮЛ
Запомнить эти свойства можно следующим образом: степень
больше единицы, если основание и показатель степени одинаково
расположены по отношению к единице и нулю соответственно (т. е.
основание правее единицы и показатель правее нуля или основание
левее единицы и показатель левее нуля); логарифм больше нуля,
если основание и логарифмируемое выражение одинаково
расположены по отношению к единице. Если расположение элементов,
о которых шла речь, неодинаково, то степень меньше единицы, а
логарифм меньше нуля.
10.1. Доказать, что если а-\-Ь = 2, где & и
b—действительные числа, то а4-т-£*^2.
10.2. Доказать, что если x2+yz = l, то
10.3. Дано а-\-Ь = с, где а, Ь, с—положительные числа.
Доказать, что
10.4. Доказать, что —дг3 + я2<^-, если 0^лг^1.
10.5. Доказать неравенство
]/4а+1 +УЫ-{-\+У4:С + 1 <5
при условии, что а-\-Ь-\-с = \, а подкоренные выражения
неотрицательны.
10.6. Доказать неравенство
(а + 6)и<2"(о» + й"),
если й>0, *>0, л—натуральное число.
10.7. Доказать, что
(ат + Ьту'т < [ап + Ьпуе\
где а^0, b^Q, m^m, m и л—натуральные числа.
10.8. Доказать, что п\ < (^зр) при "^ *'
10.9. Доказать неравенство
где а, Ъ и с—положительные и не равные друг другу
числа, не пользуясь неравенствами между средним
арифметическим и средним геометрическим трех чисел.

10.18] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 53
10.10. Доказать, что при любых действительных х и у
имеет место неравенство
<c-2* + *-3J'+1)2<(4* + 9J'+1)(fia + Aa+1)-
10.11. Доказать, что
(х— 1) (х—3) (х- 4) (х-6)+ 10> 1
при всех действительных значениях х.
10.12. Доказать, что если действительные числа х, у, г,
не равные нулю, удовлетворяют равенствам: x-\-y-\-z=xyz
и x*=yz, то х2~^3.
10.13. Доказать, что если х,у, z—действительные числа,
удовлетворяющие равенствам
x+y + z=5, yz+zx + xy = S,
то
1<*<-д-, 1<.У<у. 1<*<у.
10.14. Решить неравенство
ах2 + х+\>0,
где афО — произвольное действительное число.
10.16. Найти все действительные значения т, при
которых квадратный трехчлен х2 + тх -\- (т2 + 6т) будет
отрицателен при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству
1 < х < 2.
10.16. Найти все действительные значения а, при
которых корни многочлена
х2 + х + а
будут действительными и оба корня будут больше а.
10.17. При каких значениях k корни многочлена
k*xu + kx—2
будут действительными и один корень по абсолютной
величине будет больше 1, а другой по абсолютной величине
будет меньше 1?
10.18. Найти все т, для которых неравенство
лис2 —4jc + 3m + l>0
удовлетворяется при всех положительных значениях х.

54 задачи [10.19
Решить неравенства:
10.19. \х* — 2х — 3|<3л:—3. 10.20. | *-3| > | х + 2\.
10.21. |-^=8>1. 10.22. IzJOE^ <3.
10.23. ]/лг—i_ |/"i-l>fE=i.
10.24. у==<|/Т+2^-1.
10.25. ^+УГЗс+Т+21/а-24-7д;<35-2аг.
10.26. г^ + ^а2 — *2>0.
10.27. 4* < 3 • 2V*+X + 4V*+».
10.28. 4x* + 3Г*+* + x-3vr <2x2-3v*' + 2x-\-6.
10.29. Найти положительные решения неравенства
je3-* <1.
Решить неравенства:
/ 1 \ix'-2x'+l)l/2 f \\\-x
10.30. (I) < (i.) .
10.31. лг10*'»**1 >а*х.
10.32. JC1***-3 'e *+'> 1000. 10.33. |/riog2~^<l.
10.34. ig|^r|<0- Ю.35. log,2.1og2jf2-log24A;>l.
10.36. log2(2*-l)logI/2(2*+1-2)> —2.
10.37. logo,. (*2 + 1) <logo,i (2*-5).
I0-38- т+т^** > l-
10.39. logfcx x + log, (foe2) > 0, где 0 < k < 1.
10.40. log,[log,(4*-6)]<1.
Ю.41. lou^l+^O.
10.42. 1о^«|~^|>у. Ю.43. ]ogx2x^yiogx(2x*).
10.44. logalog8^i[<log1/2logi/3 ~i-
10.45. log^-i (Злг— 1) < log*._t*2.
10.46. logS x - log?/2^— 20 log2 x + 148 < 0.

10.47] ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАГЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 55
10.47. При каких значениях у верно следующее
утверждение: «существует хотя бы одно значение х, при котором
выполняется неравенство
2 logo.63»2 —8-f 2* hgo.s/—к8 > 0я?
Глава 11
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
По определению logB N есть число, удовлетворяющее равенству
abgaN = Nt
где a > 0 и а ф 1.
Формулы
logo *+lo&j #=Iog0 W
logo*— l°goJ/-=l°go-£-;
n loga л = Iogfl x" (n—действительное число).
(и
называются формулами потенцирования. Первые две являются
неабсолютными тождествами (см. введение к главе 9); при четных п и
третья формула оказывается неабсолютным тождеством. Применение
этих формул при решении уравнений (под применением формулы мы
понимаем замену в уравнении выражения, стоящего в ее левой части,
на выражение, стоящее справа) может привести только к
приобретению посторонних решений.
Формулы (1), прочитанные справа налево, называются
формулами логарифмирования. Чтобы формулы логарифмирования не
приводили к потере решений, ими пользуются в виде
logo xy=\aga | х | + logB | У |;
logo y = logo 1 x |—loge 1 у |;
logo xik =2k logo IX 1 (ft—целое, k ?= 0).
Следующие формулы позволяют переходить от логарифма с одним
основанием к логарифму с другим основанием:
logb a ea logb a '
logn„iV = JL loga N; logo N = log^A™ (n?0)!
log0 W log6 M =logb ДГ loge M.

56 задачи [11.1
Если в третьей из этих формул n=2k, то в правой части нужно
писать вместо основания а основание \а\.
Формула
1о**"Пх)=Щ^) (2)
является неабсолютным тождеством, так как ее правая часть
перестает существовать при /(х) = 1, в то время как левая часть прн
соответствующих значениях х может существовать и обращаться в нуль.
Таким образом, применение формулы (2).может привести К по-,
тере решений, при которых f(x) = l.
При решении уравнений вида
ф(х)'<*> = ф(х^<*> (3)
нужно воспользоваться условием равенства оснований.
Если ф(х) Ф—1, 0, +1, то следствием уравнения (3) является
уравнение
/(*)=£(*)•
Стучаи, когда ф(х) равно —1, 0 или 1, нужно рассмотреть
отдельно.
Решая уравнение (3), следует иметь в виду, что выражепия
вида -тг- и 0° не имеют смысла.
11.1. Найти log66, если lg2 = c, Ig3 = &.
11.2. Найти lg 122,5, если lg5 = a, lg7 = *.
11.3. Решить уравнение
11.4. Для каждого действительного числа а решить
уравнение
Э-| дг-2 I —4-3-' *-21— С = 0.
11.6. Для каждого действительного числа а решить
уравнение
1441*1—2-121*1 + 0 = 0.
Решить уравнения:
11.6. 5**VP"=100.
П.7. (2+ЮГ-**1 +Ь-У*Г'-2х-х=Щ^у
11.9. logx2.1ogiW2 = logto2.

11.24] ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКЛЗЛТЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 57
11.10. log8(3*-l)log8(3*+1-3) = 6.
11.11. -log! x + log^-^logjy + log^—-\.
11.12. 3I°e»3x,<*»*=--9.
11.13. У 1+logx]/27log8Ar+1 =0.
11.14. 1+2log, 2-^(10-*)=^.
11.15. logo,5**a-14log,6xJc3 + 401og4jel/Je = 0.
1 , 21og0>M(4—x)
11.16.
= 1.
ioge(3+x) ^ 1(^(3+*)
n ,_ lg|*«+2*3+2s-l|__0
11ЛЛ lg|**+x-l| 2-
11.18. а°е^х~5х1оеьа+б = 0.
11.19. "j/~loge ^/c^+logx prax +
где с > 0, с т£ 1.
11.20. Найти неотрицательные решения системы
уравнений
\ 15'= 3*.
Решить системы уравнений:
ХУ =243, {xV*+Vir=yTt
. \уу =х3.
11.21. |
{/1024= (J-*)*.
П*2—2-5У =71,
ll*+2-5T =21«
JL 1с
Ц(*-1)г_|_дв = «О-
*24' \ 2*.22*+* + Зу.8 *+у = 1.
11.22.
U.23.
11

5^ ЗАДАЧИ [11.25
11.26 I l°g* iy~x)~~log* № ~ 5*> = °>
I x2 + y* =5.
11.26. J 20*10*'" + 7yl°g' * = 8l УЪ
I *y = 9j/1T
11.27 I llo&<Jf+J')l + lIoe.(*-J')| = S.
I xy = 3.
хй van
I lu6s
11.28.
I iog8*.iog2ev+i )*=.!.
1129 J loe0* + '°g0.* =
3
log0* + Iog0..* = l(
= 2fl.
7.3*+1_2.3*+г-*ч:1 = 9,
11.30. \ 2.3*+1 + ЗУ+*~* = 27,
lgix+y + z)—3\gx = lgyg + \g2.
Главе 12
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Сводка основных тригонометрических формул.
1. Зависимости между тригонометрическими
функциям «{
... „ , . sinx , cosx
Mn»* + cos«* = l. tB*=_. ctgx^^j^.
БеСХ==Ж« С05есХ=Ш1с- Ъ*"АВ*=1.
I+tg»x=sec,xI l+ctg2x=coseczx.
2. Тригонометрические функции суммы и
разности ар ьу ментов:
sin (х ± #) = slnx cos i/ ± sin г/ cos ж,
cos(x± i/)=cosxcos(/ T sinX s'my,

ГЛ. 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 59
3. Функции двойного и тройного аргумент;
2tg*
sin 2*=2 sin x cos *=
1+tgajc*
1— tg*x
cos 2x = cos2 x— sin8 *= 1 —2 sin8 x~2 cosa x— I — -.—n- --—,
tgSjf_ 2tgx ctK2x=l=tg«£
^^-l-tgaje* clS"«- 2tg* *
sin 3*=3 sin x—4 sin3 x, cos 3*= 4 cos3 x—3 cos x.
4. Формулы понижения степени для синуса и
косинуса:
. „ 1— cos2* „ 14-COS2*
sin2* = g » cosa* = —^-~2 .
5. Функции половинного аргумента:
sin
X , tf\—COS* X , i / 1 + COS*
mT=± у 2 , cos 2— ± у g •
. x __ -./^l—cos*_ sin* _1—cos*
gT~± r l+cos*— l-fcos*~~ sin* *
jc -./1 + coT* 1+cos x_ sin*
*2~ V 1—cosx~ sin* ~ I—cos*'
6. Преобразование суммы функции в
произведен» е:
1—cosx=2sin2-^-, " 1 +cos*—2 cos2-у,
, • о • х+у х—о . , „ . *—у х+у
sin у+-sin #=2 sin —„-^cos —~, sin*— sin у=2 sin—^ cos —^ ,
. _ х+у х—у
cosx+cosу=2cos —^-cos —~ ,
„ . х+у . у—* „ . х+у . х—у.
cos*—cos«/=2sm-^sin^— = — 2 sin—к-5 sin —^-*
*~ i i~ sin (*+«/) sin(x—u)
ctg*+ctg у=8!п(х+у). ctg «-d8f,-Blnte-x).
6 n &a sin* sin j/' 5 ** sin* sin у
7. Преобразование произведения функций в
с у м м у:
s'm*cosy=—[sin (*—») + sin (*+(/)],
cos*cos j/=-g. [cos (x—{fl+cos (*+«/)],
sin * sin у =y [cos (*—#)—cos (*+»)!•

GO
ЗАДАЧИ
[12.1
Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но
п «справа налево». Так, например, в записи sin —cos л:—cos-j- siax
нужно узнавать sin Г ——xj, а не принимать ошибочно за
/ п\ 1-f-cosx . х
sin (х —~j, а в записи ■ Л^ узнавать ctg-^-.
/1—cosx
1-i-cosx •
Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу
половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что
выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного
угла—знакопеременная функция. Таким образом,
/
1 — COSX |( _Х_
1 + cosx | Б 2
п не следует писать в этом случае ± tg -j. To же самое
рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где
испед корнем стоит±. Мы ставим±, чтобы «примирить» выражение,
стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с
неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную
функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого
фиксированного х мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости
от того в какой четверти тригонометрического круга оказывается
угот стоящий под знаком функции в левой части формулы.
12.1. Упростить выражение
4—[(2 cos* — sinA;)ctgJi; + 2sinA;+cos>;]x
XL +\2 cosx—sin x) J
1x [2 (1 — sin x cos x) -\-
(sin x+cos x)8 (1 —sin x cos x)
3sinx'
1 cos 2x [2(1 — sin x cos x) +(sin x+cosx)8]
12.2. Доказать тождество
te2atg(30°.—a) + tg2atg(60°-a) +
Ig/aIg^ ;т* +tg(60°-a) tg(30°-a) = 1.
12.3. Доказать тождество
ltg|-+itg|-+...+^tg^ = lctg^-Ctgx

12.12] гл. 13. тригонометрические уравнения и системы 61
12.4. Доказать, что tg (а + Р) = 2 tg а, если
siiiacos(a + p) = sinPii а + Р =^у(2/Ч-1), a^-~(2n-fl).
12.5. Вычислить без таблиц
я 2п 4я
COS у COS -=- COS -у- .
12.6. Вычислить без таблиц
<ВТ*ЧГ*Т"
._ _ _ sin (х—a) a cos (а-—а) А
12.7. Доказать, что если --^-J»- и ____ = __ ,
, „. аА + ЬВ
то со^а-Р)^^^.
12.8. Доказать, что если | sin х | = | к sin_y |, где
— l^ft^l, то произведение siu(х +y)sin(х—у)
неположительно.
12.9. Доказать, что если sina-j-sin P=a, cosa+cosP=6,
T0tg| + tg| = ga+fc4aa+2&.
12.10. Дано
2tg2atg2ptg2Y + tg2a^p + tg2ptg2T + tgsYtg2a=l.
Вычислить sin2 a + sin3 (3 + sin2 y.
12.11. Углы a, P, у образуют арифметическую
прогрессию с разностью -g-. Вычислить
/l = tgatgP + tgPtgv + tgatgv.
12.12. Сумма трех положительных чисел a, P и у равна
-я-. Вычислить произведение ctg a ctg -у, если известно, что
ctga, ctgp и ctg-у образуют арифметическую прогрессию.
Глава 13
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
Простейшие тригонометрические уравнения.
sinx=a, х=пп+{~l)"arcsino, |а|<1„
cosx=c, х=2пл ± arccosa, |а|<1,
tgje=«, x=nft-\-arctga,
ctgx=a, jc=nn4-arcctgo.

62
ЗАДАЧИ
Решения уравнения sin*=a часто удобно записывать в виде
двух серий корней:
*=2ri5i+arcsina, x=jt(2n+l)—arcsin a.
Хотя приведенные формулы верны при всех значениях а,
удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти
формулы дают неудобный ответ.
Так, например, если к уравнению sinx=l применить общую
формулу, то получим
xe|№+(_l)i.«..
При л =2k получим x—2kn + — , а при n=2fe+l х=2кл+л~-
5"г=2/!яН—g-. При четном и нечетном п мы пришли к
одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще,
если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что
sinx=l тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален
ц направлен вверх.
Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:
sinx=0, х=пп; sinx=l, 'х~~^- + 2пя1
л
sin*= — 1, х=—й-+2пл;
л
cosx=0, x=-z-+nn; cos*=l, дг==2лл;
cosx = —1, x=(2rt+l)n;
2
Однородные уравнения. Уравнение вида
во sin*x+ai sin к~1х cos x-f. • .-f-flft-i sin x cosft_1x+aft cos* x=0 (1)
называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют
одинаковую степень относительно sinx и cos ж.
При во Ф 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений
х, при которых casx=0. В самом деле, полагая cos х=0, мы
получаем из уравнения (1): a0sinftx=0, откуда sinft*=0, так
как а0 Ф 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких
значений х, при которых sin* н cosx одновременно обращаются
в нуль.
Аналогично при аь Ф 0 среди решении уравнения (1) не
содержится значений х, при которых sin x=Q.
Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.
1) а0 ф 0 и aft ф 0. В этом случае, разделив уравнение (1)
на cos**, мы получим (поскольку cosx?*0) равносильное ему
К
tgx=0, х=/ш; ctgx=0, x=-x- + nn.

ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 63
алгебраическое уравнение
аоУк+а1у*-1+...+счс-1У+Ч=0 (2)
относительно y=igx.
Можно также делить уравнение (1) на sinsJf. Тогда (поскольку
sin*?=0) мы получим'равносильное уравнению (1) алгебраическое
уравнение
«o+fli2+...+«*-iZft-1+flftZ*=0 (3)
относительно z=ctg>:.
Пример 1. Решить уравнение
sin8 х—2 sin* х cos x— sin x cos2 x-\-2 cos8 x=0. (4)
Разделив его на cos3 ж, получим алгебраическое уравнение
у*—2у'—у+2=0,
где i/ = tgx. Последнее уравнение легко решается путем разложения
его левой части на множители, и мы находим корни:
0i=— I. Sfc=l. й=2.
Теперь остается решить совокупность уравнений
tgx= — 1, tgx=l, tgx=2.
Мы получим следующие корни уравнения (1):
х=пя±-д-, x=/m+arctg2.
2) аа=0, илиаА=0,или a„=aft=0.Пусть, например,ай=ак — 0,
ав^Он aft_x ;£ 0. Тогда уравнение (1) примет вид
3t sin*-1* cos x+Oz sin*-2 дг cos2 x+,.. +«ft-t sin2 x cosfi~2 x-f-
+Oft_1sinA;cosft_1A;=0. (5)
В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно
(в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение
sin x cos х). В результате получим уравнение
sin х cos* (ax sinft_1x+aa sin*-2 x cos x+...
... +oA_asinA;cosft-ax+aft-iCOsft~1Jc)=0,
распадающееся на совокупность уравнений
sinx=0, cos x—0,
at sin*-1 ж+flj sin*-2 cos x+...
... +aft _г sin x cos*-2 х+ай_|. cos*_1x=0,
из которых первые два решаются просто (см. стр. 62), а пути
решения третьего уравнения показаны в случае 1).
Пример 2. Решить уравнение
sin4 х cos x—2 sin3 x cos2 x— sin2 x coss x+2 sin x cos* x—0.
Левую часть уравнения разлагаем на множители:
si» х cos x (sin3 x—2 sin2 x cos x—sin x cos8 x+2 cos* x) =0.

64
ЗАДАЧИ
Получаем совокупность уравнений
sin jc=0, cosдг=0, sin8 х—2 sin3 x cos x—sin x cos**-}-2 cos8 x=0.
решения первых двух уравнений даны на стр. 62. Третье уравнение
подробно рассмотрено в примере. 1.
Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что,
преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли
к системе
( sin (x+y)= О,
I sin(x—y) = l.
Если переписать эту систему в виде
х+у=пя.
{
-ff=-j-+2пя,
то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу,
я Зля
_ я ля
4'- 4~Т'
Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему —
значит найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое
Зя я .
очевидное решение, как х—-£, У~~Г (ни ПРИ .каком целом я из
я , Зля Зя\
выражения -jH—=— нельзя получить -т-1.
В чем же ошибка? Ошибка очень проста! переходя от
первоначальной системы к выражениям относительно х-\~У и х—у, мы
должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала
в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего
целочисленного переменного я.
Правильным было бы такое решение*.
х+у=пл,
г
\
х—y=-Y+2mn,
откуда
x=-|-+-g-(2m+n),
у=—_.—__(2т—л).
v.
Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с
введением к главе 9.

13.191 гл. 13. тригонометрические уравнения и системы 65
Решить уравнения:
13.1. 1+sin 2*-1-2 VT cos3xsln(x +-J-} =
—2 sin х-\- 2 cos 3x -f cos 2x.
13.2. tg Jf — 1_siri^- »3.8. tg ЛГ -1-а1п,^.
13.4. tg 2x tg 7x = t. 13.5. /J^l* — 2 sin *•
13.6. 2tg3jf—3tg2* = tg22jetg3jf.
13.7.sinsJf-|-cos8A;+-^=sin2jcsin f jf + ^ J = cos>:-}-sin3at.
13.8. 4tg4* — 4tg3* — tg2A: = tg2Artg3A:tg4J(r.
13.9. Найти решения уравнения
cos a; '
лежащие в интервале (0, 2л).
13.10. Решить уравнение
sin (х—а) = sin х— since.
13.11. Найти решения уравнения
| cos 2х | =: | sin* х—а\
(а—действительное число), удовлетворяющие неравенству
0<;*<2я.
Решить уравнения:
13.12. l/ri7secax+16f-i-tgArsecJc-l) =
=2tg>r(l+4sm>:).
13.13. (tgx + smx)l'a-\-(tgx—sin*)»/a = 2tg1/sjccos>;.
13.14. ctg 2x + 3 tg Злг = 2 tg x + ^-.
13.J 6. sec x* + cosec x2 4- sec x2 cosec x2 = 1.
13.16. 6sin*-2cos»* = 5si0n4*c0os*.
2 cos 2*
13.17. 4 sin x + 2cos x = 2 + 3tg x. 13.18. cos л: = cosa ^x.
13.19. sin4jc r2 + c^Ar-f-ctg(-i—дгМ =
=2 j/"2 (1 + sin 2x + cos 2jc).
3 В. Б. Ваковский, д. А Рывкпа

66
ЗАДАЧИ
[13.20
13.20. sin 4л; sin x—sin Ъх sin 2л: = ~ cos Здг+(1+cos xy*.
13.21. sln4x-emtgjt, где /и>0.
13.22. sin j (sin x + sin 2* + ... + sin 100л:) = 1 sln^.
13.23. sin8 x 4- sin 2x sin 4a: -f ... -f sin nx sin л8* = 1.
13.24. 4 cos л: — 2 cos 2x — cos 4л: = 1.
13.25. cos (nV~x) cos (я Va: —4) =* 1.
13.26. slnsx + cos3a: = I.
18.27. cos8 3* 4- -~ cos2 x = cos 3x cos* x.
13.28. При каких значениях о уравнение 1 -}- sin8 ax = cos x
имеет единственное решение?
Решить системы:
' cos (д:—_y)=2cos {х-\-у),
13.29.
13.31.
13.32.
18.33.
13.34.
13.36.
13.38.
'slnA:H-secjy=2,
1 13.30.
sin x stcy =* y • cos x cosy = -г.
\ cos8_yH-3sin A:sin-y = 0,
\ 21 cos 2л-—cos 2y = 10.
I 4tg3A; = 3tg2i)»,
\ 2 sin x cos (л:—у) =■= sin_y.
j У~Т slnx^slny,
\ V^"2"cos x =« V~b cosj/.
sln-g- =1,
13.35. j
f
| tgAT+ctg^^a,
I ctg*4-tg.y «=2.
A?4-,y = 2 arcsin Ы + yj •
tg^tg2 = 3,
tgj>tgz = 6,
+y+z=*n.
13.37
{Sin * -Ь Sin У ■
cos a: + cos^ =
° sin a,
'cos a.
a,
18.39. Найти все пары чисел #, ,у, которые
удовлетворяют уравнению
tg 4 * _[_ tg*^ 4.2 ctg* л: ctg8,y - 8 4- sin8 (* +у).

14.8] ГЛ. 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 67
13.40. Решить уравнение
sin2 х + -т sin2 Ъх = sin x sin2 Зх.
13.41. Решить уравнение
3
cos х 4- cos у — cos (х +у) = у,
13.42. Найти все пары чисел а и Ь, при которых для
любых х и у, удовлетворяющих условию х-\-у — а (где
хф-^ + лл, уф-^ + тп, а, да —0, ± 1, ±2,...), верно
равенство tg х + tgy + tg дг tg_y = b.
13.43. Найти все пары чисел х и _у, которые
удовлетворяют уравнению
(5,п^ + 5Тп^)а + (^^ + сж)а = 12 + Т5^-
13.44. Решить уравнение
sin X 4- 2 sin 2л: = 3 4- si" Зл*.
Главе 14
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Решить неравенства:
14.1. |sinjc|> | cos jc|. 14.2. 1—sin#4-cos* <0.
14.3. sin*—3cos* <0. 14.4. 2cos2x4-sin2x> tgx,
14.5. cosjctg2A;<0. 14.6. 54-2cos2*<3|2sin*— 11.
14.7. Найти решения неравенства
sin 2x > V~2~ sin2 x 4- (2 — ]/2~) cos2 *,
лежащие в интервале (0, 2я).
14.8. При каких значениях а, О^а^я, уравнение
2л2—2(2cosa~l)A?4-2cos2a—5cosa4-2 = 0
имеет различные действительные корни? Исследовать знаки
корней.
3*

68
ЗАДАЧИ [14.9
Решить неравенства:
14.9. V^nx+Ycosx > 1. 14.10. tgjq—^l.
.4..,. (!
3(sinx+cos^-]ATY/2 }
2 У~2— sin x— cos x )
14.12. tgjetg3x<— 1.
14.13. y.l.+ 2cosx+Vrcosje> j/^ — cos jf, если
0<х<2я.
14.14. Найти все значения х из интервала 0<д;<я,
удовлетворяющие неравенству
to — -■> s'n*~ 2cosx
™2^ sinx-f2cosx "
14.15. Доказать, что при любом а имеет место
неравенство
4 sin За ■+- 5 ^ 4 cos 2а -{- 5 sin а.
Глава 15
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Решить неравенства:
16.1. (lQgSi„*2)8<logsi„x(4sinsJ:).
16.2. (logtg* З)2 < logie x (8 tg2 x).
16.3. -Найти решения неравенства
lOgjC0SJC> 10ga tg ЛГ,
удовлетворяющие условию О^лг^я.
Решить неравенства:
15.4. 4 logie cos 2x + 2 log4 sin x + log, cos x + 3 < 0.
15.6. log|coix+rT«ta*l4>0' если 0^*^2я.
15.6. sln|lgx| + cos|lg*|>--__p.
15.8. arctg]/T>arccos(l~jf).

I6.12J ГЛ. 16. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 69
Глава 16
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
16.1. Доказать, что уравнение
2 sin» |-sin» £ = ■!■ + *•
не имеет корней.
Решить уравнения:
1
16.2. _4'б'*-|_2С03'*—80 = 0. 16.3. (tgJt)sln-c=(ctgJC)C0Sje.
16.4. sin (2*-* + 2х"а) cos (2*-^г*-2) =-^ .
16.5. lg sin лг-j- lgsin5A; = lgsec4A;.
16.6. !ga(sin>; + 4)4-2lg(smjc + 4)—1- = 0.
16.7. logsinje (sin*— -j-cosjcj=3.
16.8. logscos«* sin х = ^ ■
16.9. Найти положительные решения уравнения
16.10. Решить уравнение
lg2 cos x + 2 lg cos x + m2 + 2m — 3 = 0.
16.11. Для каждого действительного числа а решить
уравнение
lg2 sin л: — 2algsin>r —с2 -("2 = 0.
16.12. Решить систему уравнений
I 1с^(з*-4»-15)(2л;—у) = \,
\ log[x+2y) cos [it {х +у)] = 0.

70
ЗАДАЧИ
Глава 17
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Определение. Комплексными числами называются символы
вида a+bi, a+ib, а—Ы, a—ib, где о и Ь—действительные числа,
а I— новый символ, если для них приняты следующие условия:
1. a ± bi =a ± ib; a—6i=a-f (— b) L
2. e+0i=a.
3. a-\-bi—c-\-di тогда и только тогда, когда а=с и 6=rf.
4. Сложение и умножение определяются равенствами
{a+bi)+(c+di) = {a+c) + {b+d)i,
(о+Ы) (с+di) = {ac—bd)+(ad+bc) i.
Из п. 2 этого определения следует, что если в комплексном
числе e + W &=0, то это комплексное число является
действительным числом.
Комплексное число а-\-Ы называется мнимым, если b фО. Если
в мнимом числе о=0, то оно называется чисто мнимым. Чисто
мни\:ое число Q+Ы обозначают просто Ы. Чисто мнимое число
1-/ обозначают просто L
Из определения вытекает, что «'* = — 1. Действительно,
;» = /./=(0 + i)(0+/) = (0-0—]-I) + (0-H-l-0) t==— 1+0.« = — I.
В комплексном числе а-\-Ы число а называется ёействитгльной
его частью, b—мнимой частью, I—мнимой единицей.
В комплексном числе а-\-Ы знак плюс можно рассматривать
как знак сложения. Действительно,
(a) + (W)-(a+0/) + (0+6/) = (a+0)+(0+i)/=e+W-
Можно доказать, что Ы есть произведение чисел b и /.
Действительную часть комплексного числа г обозначают Re г,
а его мнимую часть Im г1).
Модулем комплексного числа г = а-\-Ы называется
неотрицательное число
Точка, изображающая комплексное число г на координатной
плоскости, называется аффиксом этого числа.
Числа а + Ы и а—Ы называются комплексно сопряженными.
Число, комплексно сопряженное числу г, обозначается г. Аффиксы
комплексно сопряженных чисел симметричны относительно
действительной оси.
Непосредственно проверяется, что
«=|z|», \г\ = \1\.
») Эти обозначения являются сокращениями французских слов
reel (действительный) и imaginaire (мнимый).

ГЛ. 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
71
Если 2= г, то г—действительное число.
Угол между положительным направлением оси Ох и радиусом-
вектором аффикса комплексного числа г называется аргументом
комплексного числа.
Если аргумент ф удовлетворяет неравенству 0 < ф < 2л, то он
называется главным аргументом.
Аргумент числа z обозначают кщг, а главный аргумент argz.
Всякое комплексное число г может быть представлено в виде
г=т (cos<p+£ sinep),
где г—некоторое неотрицательное число, а ф—некоторый угол.
Такая форма комплексного числа называется тригонометрической.
Для числа z=0 тригонометрическая форма не рассматривается, так
как считается, что его аргумент не существует. Можно доказать,
что если г представлено в тригонометрической форме, то г—модуль
комплексного числа г, а <р—один из его аргументов.
Действия над комплексными числами, представленными в
тригонометрической форме, выполняются по следующим правилам.
1. гх■ г2 = l/i (cos ф1+i sin фЛ [r2 (cos фг+1 sin фг)1 =
= /ys [cos (Фх+фЛ-»' sin (фх-т-ф»)].
л *i Г\ (cosffit+t sin ro,) r-i r , . . . . , .,
2- V=4 (cos Z+i sin £) =7T *» <*-*>+' м fa-ftM-
3. Из правил умножения и деления комплексных чисел
вытекает формула
г" = [г (cos ф +»' sin ф)]и = г" (cos иф+i sin пф),
г'де п—целое число ').
4. При п натуральном
j/l= ^г(сов9+(вШФ)- f> (cos Ц^+« sin£±p?Y О
Здесь А—любое целое число. Чтобы получить л различных корней
я-fi степени из числа г, надо k придать значения последовательных п
целых чисел. Например, положить k равным 0, 1, 2, ..., п—1.
Формулу (*} можно записать в виде
1
[т (cos (ф+2йя) +« sin (ф+2/Ы))] " =
-г" ^cos-^—Hsm^—J.
Поэтому можно считать, что правило возведения в степень верно
и для нецелых рациональных показателей.
Пусть ОМх и ОМъ—соответственно радиусы-векторы аффиксов
комплексных чисел ?!=*!+yYi и гг=х2+y^i. Пусть OAfx+OAl.=ОМ~.
Так как проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций
*) Эту формулу называют формулой Муавра.

'* ЗАДАЧИ [17.1
складываемых векторов, то
Пр0уОМ=*Т1р0уОМ1+Щ0уОМя=*у1 +ys.
Поэтому М является аффиксом числа гх+г8.
Итак, чтобы получить радиус-вектор аффикса суммы Zx+z^,
надо сложить радиусы-векторы аффиксов слагаемых гх и г».
Вектор МхМг=^ОМ^—OAIi, рисунки сделайте самостоятельно
Если провести вектор ОМ = М^Мв, то М будет аффиксом
числа г4—zx.
17.!. Доказать, что модуль суммы двух комплексных
чисел не превосходит суммы модулей этих чисел.
17.2. Дано, что z—комплексное число, не равное ±1.
Доказать, что число —р-г будет чисто мнимым тогда и только
тогда, когда |г|= 1.
17.3. Найти аргумент комплексного числа г*—г, если
r = cos9 + /sinq?4t Ь
17.4. Представить в тригонометрической форме
комплексное число
г = (1 — cos a -f / sin a)",
где п—целое число, не равное нулю.
17.6. Найти модуль и все аргументы мнимого числа z,
если гЛ— — а. где а—данное отрицательное число. При
2 ■
каких значениях а решение этой задачи возможно?
17.6. Вычислить значение выражения
для г, удовлетворяющего уравнению
^ г
17.7. Найти все комплексные числа z, удовлетворяющие
равенству
z—xn~l,
где J-«комплексное число, сопряженное числу z, a
n—натуральное.

17.12] ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 73
17.8. Решить при всех неотрицательных значениях а
уравнение
z\z\-\-az + i = 0.
17.9. Решить в комплексных числах систему уравнений
' zl3wu = },
z5w7 = 1,
г2 + таа = —2.
17.10. Найти геометрическое место точек z комплексной
плоскости, для которых
\z-\\ = \z-i\.
17.11. Найти геометрическое место точек z комплексной
плоскости, удовлетворяющих неравенству
|* + /|<1.
17.12. Найти геометрическое место точек z комплексной
плоскости, для которых Re ( z —- J = О,
Глава 18
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
При решении задач на составление уравнений основную трудность
представляет собой перевод условия задачи с обычного языка на
язык математических символов и уравнений. Наиболее ответственный
этап этого процесса—выбор неизвестных. Нельзя шаблонно выбирать
в качестве неизвестных величины, стоящие в вопросе задачи.
Основное требование, которому должны отвечать выбранные неизвестные,
состоит в том, чтобы с их помощью можно было прозрачно записать
сформулированные в условии задачи соотношения.
Разберем в качестве примера следующую задачу.
Пример 1. Трое рабочих должны изготовить некоторое
количество деталей. Сначала к работе приступил первый рабочий, а через
некоторое время к нему присоединился второй. Когда 1/6 часть
работы была выполнена, к работе приступил третий рабочий.
Работу они закончили одновременно. Сколько времени работал первый
рабочий, если каждый рабочий изготовил одинаковое количество
деталей, причем третий рабочий работал на два часа меньше второго?
Известно, что первый и второй рабочие, работая вместе, могут
изготовить требуемое количество деталей на 9 часов раньше, чем
третий рабочий, если бы он работал один.

74
ЗАДАЧИ
Известно, что каждый рабочий изготовил одинаковое количество
деталей, т. е. выполнил треть всей работы. С другой стороны, нет
никаких сведений о числе деталей, изготовленных кем-либо вкакон-либо
промежуток времени. Это означает, что речь идет о работе «вообще», о
том, что каждый выполнял какую-то часть этой работы, а потому всю
работу следует принять за единицу. Ту же мысль подтверждает и
условие, в силу которого третий рабочий приступил к работе, когда
1/6 часть работы (обратите внимание: 1/6 всей работы, а не 45 или
27 деталей) была уже выполнена.
Из условия следует, что рабочие работают по-разному, другими
словами, они изготовят разное количество деталей в одно и то же
время. Поэтому нужно ввести в рассмотрение производительность
каждого вз них. Однако через х, у п г мы обозначим не количество
деталей, изготовляемых в час первым, вторым и третьим рабочими
соответственно, а ту часть всей работы, которую каждый из них
выполняет за это время.
После всего сказанного должно быть очевидным, что мы легко
перепишем условие задачи в виде системы уравнений, если введем
и рассмотрение еще три неизвестных: tt — время, которое работал
первый рабочий, /2—второй, a ta—третий. Так как каждый из них
сделал за это время треть всей работы, то
/1х=/,у = *,г = ^. . (1)
Мы получили три уравнения ( можно было написать, что <1дс=— ,
/гу=—, <8г = -*-) . К ним нередко добавляют четвертое:
которое должно отражать то обстоятельство, что в итоге вся работа
была выполнена. Однако это уравнение не содержит никакой
самостоятельной информации: оно является следствием первых трех ц
получается в результате их сложения. Поэтому это уравнение, хотя
и верно составлено, но бесполезно для решения задачи.
Так как первый и второй рабочие вместе выполняют всю работу
за 1/(х+у) часов, а третьему на это потребуется 1/г часов, то еше
одно условие задачи можно записать так:
1 f-9 = l- (2)
х+у
Составим теперь уравнение, отражающее тот факт, что третий
рабочий приступил к работе, когда 1/6 часть ее была выполнена.
Другими словами, когда первый рабочий проработал tt—ia часов,
а второй <s— <s. °"н сделали 1/6 часть всей работы:
x(tl-t3) + y[t2-ts)=\l%. (3)
Добавляя к этим пяти уравнениям шестое:
/,-/, = 2. <*)
мы можем приступить к решению полученной системы уравнений.

ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 75
Решая систему уравнений, как правило, следует держать в поле
зрения два обстоятельства. Во-первых, систему уравнений нужно
воспринимать в целом, так, как вы воспринимали бы ее, решая вне
связи с задачей. Это позволит найти более рациональный ключ к ее
решению. Во-вторых, нельзя упустить из виду те неизвестные (ил-'
комбинации неизвестных), которые позволят ответить на вопрос
задачи. Благодаря этому можно обойтись без излишних вычислений.
В нашем примере второе обстоятельство должно побудить нас
использовать уравнение (4) для упрощения уравнения (3), в
результате чего из (3) будет исключено неизвестное <8, которое нас не
интересует. Однако после замены <*—<3 на 2 уравнение (3) потеряет
симметрию относительно txx и t«y, что затруднит использование
уравнений (1). Если же в уравнении (3) раскрыть скобки и
вспомнить, что xtx=l/3 и j//4=l/3, то получим уравнение
h (x+y) = 1/2.
С его помощью можно выразить х-\-у через г3, а из уравнения
zts=— можно выразить через t3 и неизвестное г. Подставляя эти
выражения в (2), получим
2*,+9 = 3/3,
откуда
<з=9.
Дальнейшее решение системы не представляет труда. Находим
последовательно: i4=U, г=1/27, у = 1/33. Из уравнения (2)
определяем х—5/198 и il=l/(3x;) = 66/5. Итак, первый рабочий работал
13 часов 12 минут.
Эту же задачу можно было бы решить с помощью меньшего
числа неизвестных, если ввести в рассмотрение, помимо величин х,
у к г, имеющих прежний смысл, величину г, обозначающую время,
в течение которого рабочие работали вместе, т. е. время работы
третьего рабочего. Это привело бы нас к системе
*'<*+{,+*)=5/6 (Г)
(за время / рабочие сделали вместе 5/6 всей работы)
tz=(t+2) у =1/3 (2')
(за время t третий рабочий сделал треть всей работы, а второму на
это потребовалось на 2 часа больше),
—т—+9=— (3')
х+у 'г v '
(первый и второй рабочие выполняют всю работу на 9 часов быстрее,
чем третий, работая один). "
Поскольку te = l/3, то из (Г) найдем
*+*=-2Т'

76
ЗАДАЧИ
Вместе с *=-щ- подставим в (3'). Получим
f=9.
Как и прежде, найдем последовательно г, у и х. На вопрос задачи
можно ответить, вспомнив, что первый работал столько, чтобы успеть
сделать 1/3 всей работы, т. е- 1/(Зх).
Конечно, второе решение выглядит более изящно, чем первое.
Однако признать его лучшим трудно, поскольку за те простые
уравнения, от которых мы отказались, пришлось уплатить некоторым
усложнением логики.
А теперь приведем арифметическое решение этой
задачи—решение, в котором удается обойтись вообще без составления
уравнений.
Так как рабочие совместно выполнили 1 —1/6=5/6 всей работы,
причем третий сделал 1/3, то "на долю первого и второго осталось
5/6—1/3=1/2 всей работы. Следовательно, если бы первый и второй
рабочие успели выполнить всю работу, то третий за то же самое
время сделал бы 2/3; ему останется 1—2/3=1/3, на что ему
потребовалось бы в силу последнего условия задачи 9 часов.
Так как каждый рабочий сделал одинаковое количество деталей,
т. е. 1/3 всей работы, то третий рабочий работал ровно 9 часов.
Тогда второй работал 9+2 = 11 часов. Так как он тоже сделал 1/3
всей работы то его производительность равна 1/33 части всей работы
в час. Мы знаем, что первый и второй рабочие тратят на 1/2 всей
работы столько же, сколько третий на 1/37 т. е. 9 часов. Второй
рабочий сделает за это время (1/33)-9=3/11 всей работы.
Следовательно, на долю первого приходится 1/2—3/11=5/22. Его
производительность (5/22):9 = 5/198 в час, свою треть работы он выполнил
1 5 I
за т'-Тао— 13-=- часов = 13 часов 12 минут.
Хотя решение выглядит намного красивее, чем первые два, его
тоже трудно назвать существенно лучшим. Взгляните внимательно
на уравнения второго решения, и вы заметите, что третье решение
получено почти «дословным» пересказом этих уравнений.
Таким образом, на пути к решению задачи вас не должно
останавливать большое количество неизвестных, которые, по вашему
мнению, следует ввести.
Однако старайтесь не вводить неизвестные, размерность которых
не встречается в условии и не может быть получена как комбинация
элементов условия. Введение таких неизвестных может усложнить
задачу.
Вот простой пример.
Пример 2. Расстояние между двумя пунктами пароход
проходит по течению реки на а часов быстрее, чем то же расстояние
в стоячей воде, и на Ъ часов быстрее, чем против течения (Ь>о>0).
За какое время пароход покрывает расстояние от А до В по
течению?
Если ввести в рассмотрение неизвестные: и—скорость парохода
в стоячей воде, w—скорость течения реки, х—расстояние, то

ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИИ 77
получим систему двух уравнений с тремя неизвестными:
х х
v v-\-w
X X .
v—w v-\-w
х
Найти из этой системы величину —:— можно, если сделать сле-
0 + ОД
дующие преобразования:
х 1 1
о—xv v—w v w
X XX
х _ I = 1
v-\-w v-\-w ~ v w '
X X "*" X
и обозначить —=у, —= z. Мы придем к системе относительно у
1
и г, решив которую, вычислим ———.
Однако такую систему можно было получить сразу, если бы
мы не ввели в качестве неизвестного х пройденное пароходом
расстояние.
В условии задачи не было чисел, выраженных в километрах,
однако расстояние между пунктами являлось существенным
связующим звеном. Это означает, что мы должны были принять его за
единицу, а скорости о и к» выражать в частях расстояния,
пройденных за один час. В результате мы пришли бы к системе
1 1
—а,
V V-\-W
1 1_
V—W V-\-W
:Ь,
которую не пришлось бы преобразовывать.
Разберем еще одну задачу, на примере которой видно, как
решаются задачи на движение.
Пример 3. Из пункта С в пункт D выехал товарный поезд.
Через 5 часов 5 минут навстречу ему из пункта D выехал
пассажирский поезд. Они встретились в каком-то пункте А. После этого
пассажирский поезд приехал в пункт С через 4 часа 6 минут, а
товарный—в пункт D через 12 часов 55 минут. Сколько времени
каждый поезд находился в пути.
Условия задачи можно отразить на схеме (рис. 18.1), где буквой В
обозначено положение товарного поезда в момент выхода
пассажирского из пункта D.

78
ЗАДАЧИ
[18.1
То обстоятельство, что оба поезда находились в точке А
одновременно, мы отразим на схеме с помощью вертикального отрезка,
связывающего оба пути. Схема подсказывает нам и выбор
неизвестных. На путь от В до А товарный поезд потратил столько же вре-
ыени, сколько пассажирский на путь от пункта D до А. Ьсли ооо-
значить это время через х, то на схеме не останется «белых пятен».
5-кчйе
1 ;
*
в- /1
Рис.
18.1
П&чвй
X
Пусть к,—скорость товарного поезда, а ^—скорость
пассажирского поезда. Каждый из отрезков пути: от пункта С до Л и от
пункта D до А позволяет составить уравнение
(б^+*)*1«4-й«..
Можно составить к уравнение для всего пути:
(5l+*+12J5)«1-(^+4)t'«
кетовое является следствием (точнее, суммой) первых двух
уравнений! Однако это уравнение проще второго. Поэтому мы будем ре-
шать систему
Разделив первое уравнение на второе, получим
12 И
U12 X
18+х х+4Д'
откуда х=5 часов 10 минут (второй корень отрицательный и не имеет
Зеског.смысла). Итак, товарный поезд пройдет весь путь за
g "аса 10 мивут, а пассажирский-за 9 часов 16 мянут.
18 1 Бассейн наполняется четырьмя трубами за 4 часа.
Первая,'вторая и четвертая заполняют бассейн за 6 часов.
Вторая третья и четвертая-за 5 часов. За сколько
времени заполняют бассейн первая и третья трубы?

18.8] гл. 18. задачи на составление уравнении 79
18.2. У продавца испортились весы (плечи весов
оказались неравными). Продавец отпустил покупателю два веса:
первый раз на одну чашку весов положил килограммовую
гирю, а во второй раз поменял гирю и товар местами.
Компенсировал ли продавец неточность весов?
18.3. Население страны ежегодно увеличивается на 1/80.
Через сколько лет население страны удвоится?
18.4. Одному буксиру нужно перевезти за наименьшее
время два понтона вниз по реке на / км. Было решено,
что один понтон будет отправлен по течению реки
самостоятельно, а другой будет некоторое время транспортироваться
буксиром, после чего буксир оставит его и вернется за
первым, отбуксировав его до конечного пункта. Сколько
километров должен транспортироваться второй понтон, чтобы оба
пришли к конечному пункту одновременно, и сколько
потребуется времени на всю перевозку, если собственная скорость
буксира v, а скорость течения реки и?
18.6. Некто родился в девятнадцатом веке. В 1901 году
сумма цифр числа, выражающего год его рождения,
равнялась сумме цифр числа, выражающего количество прожитых
лет. Определить, в каком году родился некто.
18.6. Цена брильянта пропорциональна квадрату его веса.
Брильянт весом в р карат был разбит на две части, после
чего его стоимость уменьшилась в k раз. Найти вес частей,
на которые был разбит брильянт1).
18.7. Некоторую часть маршрута туристам предстоит
совершить вверх по реке. В их распоряжении моторная
лодка, способная развивать две скорости с разным расходом
горючего. Если скорость течения реки окажется равной и км/ч,
то при движении на любой из собственных скоростей будет
затрачено одинаковое количество горючего. Если же
скорость течения в к раз больше (& > 1), то при движении
с собственной скоростью vx горючее будет израсходовано
полностью, а при движении с собственной скоростью v%
останется А кг горючего. Какое количество горючего будет
затрачено на весь путь?
18.8. У продавца мороженого есть по нескольку
десятков порций мороженого пяти сортов—за 7, 9, 11, 13 и 15
копеек. Общее число порций равно 180, а общая стоимость —
*) 1 карат=0,2 г.

80
8ЛЛЛЧИ
[18.9
18 руб. 40 коп. Порций мороженого по 7 и 9 копеек вместе
столько же, сколько по 11, 13 и 15 копеек вместе. Кроме
того, известно, что порций по 9 копеек вдвое больше, чем
по 15 копеек, и больше, чем по 13 копеек. Определить число
порций каждого сорта.
18.9. У школьника есть 1 рубль монетами достоинства
до 10 копеек включительно. Известно, что если отобрать по
одной монете каждого типа, имеющегося у школьника, то
в сумме получится 15 копеек. Сколько монет к?ждого
достоинства имеется, если монет самого большого достоинства
больше числа всех прочих монет на 4?
18.10. Плоты шли из пункта А до устья реки вниз по
течению. У устья реки их взял на буксир пароход п через
11,5 суток после выхода плотов из пункта А доставил их
по озеру в пункт В. Сколько времени пароход вел плоты от
устья реки по озеру до В, если известно, что пароход
тратит на рейс (без буксировки) от А до В 40 часов и от В
до А 48 часов, а скорость во время буксировки уменьшается
вдвое.
18.11. Три пловца должны проплыть из А в В и обратно.
Сначала стартует первый, через 5 секунд—второй, еще
через 5 секунд — третий. Некоторую точку С, находящуюся
между пунктами А к В, все пловцы миновали одновременно
(до этого времени ни один из них в В не побывал). Третий
пловец, доплыв до В и повернув назад, встречает второго
в 9 м от В, а первого—в 15 м от В. Найти скорость
третьего пловца, если расстояние АВ равно 55 ж.
18.12. Сосуд, содержащий р0/„-ный раствор кислоты,
долили доверху ^/0-Ным раствором кислоты и после
перемешивания отлили то же количество. Проделав эту
операцию k раз, получили г°/0-ный раствор. Какую часть объема
сосуда занимал первоначальный раствор1).
18.13. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль.
Одновременно из В навстречу ему выехал мотоцикл-. Через
некоторое время они встретились. В момент их встречи из В
в А выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени
встретился с автомобилем. Расстояние между пунктами
') Удельные веса всех растворов предполагаются одинаковыми;
при сливании двух растворов объем нового раствора равен сумме
объемов исходных растворов.

18.17] ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 81
первой и второй встреч равно -^АВ. Если бы скорость
автомобиля была на 20 км/ч меньше, то автомобиль встретился
бы с первым мотоциклом через 3 часа после их
выезда и расстояние между пунктами встреч было бы равно
60 км. Найти АВ, если скорости обоих мотоциклов
одинаковы.
18.14. Пассажир, опоздавший на поезд, сначала решил
догнать его на такси, однако через некоторое время пересел
на автобус, заплатив за билет А рублей, и прибыл на одну
из станций одновременно с поездом. Между тем он
обнаружил, что если бы продолжал ехать на такси, то догнал бы
поезд на т часов раньше, истратив при этом на В рублей
меньше. Какова скорость поезда, если скорость такси vt,
автобуса яа {v± > vz), а стоимость проезда 1 км на такси a
рублей?
18.15. Товарный поезд, шедший из А в В, прибыл в С
одновременно с пассажирским, шедшим из В в А со
скоростью в т раз большей, чем скорость товарного -поезда. Оба
состава простояли t часов в пункте С, затем продолжили
путь, причем каждый увеличил скорость на 25°/о. Товарный
поезд прибыл в В на t± часов позже, а пассажирский в А
на г2 часов позже, чем если бы они двигались без остановки
с первоначальной скоростью. Насколько раньше товарный
поезд вышел из А, чем пассажирский из Я?
18.16. Расстояние между пунктами А и В равно s км.
Из пункта А в пункт В вылетел вертолет, а через t часов
в том же направлении вылетел самолет. Самолет догнал
вертолет в d км от А, долетел до В и сразу повернул
обратно. В й км от В самолет встретил вертолет и вернулся
в А позднее, чем вертолет прибыл в В. Насколько раньше
вертолет прибыл в В, чем самолет вернулся в А?
18.17. В озеро впадают две реки. Пароход выходит из
порта М на первой реке и плывет вниз по течению, затем
через озеро (на озере течение отсутствует) и по второй
реке вверх по течению до порта N. Придя в Л/, пароход
отправляемся в обратный путь.
Известна собственная скорость парохода v и скорости
течения рек: v1 и ©2. На путь От М до Л/, равный по длине s,
и на обратный путь пароход тратит одинаковое время t.
Какое расстояние пароход проходит по озеру?

82
ЗАДАЧИ
Глава f9
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ
Рассмотрим функцию натурального аргумента а„=/(а), где либо
п=1, 2, 3, ..., к, либо п=1, 2, 3, ..,, k, ... Если при любых
натуральных i и / таких, что i < j, значение а/ считается последую-
.щим по отношению к в,-, то множество значений ап этой функции
образует последовательность.
Последовательность обозначают, записывая ее члены ап один за
другим в порядке возрастания номера п: alt ait o3, ...
Если номер п принимает значения и = 1, 2, 3, ,.., k, то
последовательность называется конечной. Если же я =1, 2, 3, ... (т. е.
п пробегает все натуральные числа), то последовательность
называется бесконечной.
a„~f (n) называется общим членом последовательности. Если
для любых i и / таких, что с < /, выполняется неравенство с,- < а/,
то последовательность называется возрастающей. Если при тех же
условиях будет а/ > а/, то последовательность называется убывающей.
Последовательность, в которой
при всех натуральных I, называется арифметической прогрессией.
Число d называется разностью арифметической прогрессии.
Имеют место формулы:
2а„ =
. л, <* о ох4-ап 2a,4-d(n—1)
где S„—сумма п первых членов прогрессия.
Последовательность, в которой
при всех натуральных /, причем, q Ф 0 и с,- Ф 0, называется
геометрической прогрессией, а число q называется ее знаменателем.
Для геометрической прогрессии имеют место формулы:
Вторая формула верна, если щф1. Бесконечная геометрическая
прогрессия, у которой \q\< 1, называется бесконечно убывающей.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно
является убывающей последовательностью. Она может быть
возрастающей, например, при ах=—1, ?=тг t а может быть
колеблющейся: Ci*:l, q=-—-^.
Если для бесконечной последовательности существует конечный
предел последовательности ее сумм Sn, т. е. существует Ига S„=S,

19.81 гл. 19. последовательности и прогрессии 83
то S называется суммой всех членов этой бесконечной
последовательности.
Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела
сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была
бесконечно убывающей. В этом случае
о- gl
nl 2"
19.1. Общий член последовательности и„ = ——. Яв-
лпется ли эта последовательность возрастающей или
убывающей?
19.2. Доказать, что если члены ар, ад, ап as
арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то
последовательность р—q, д—г, г—s является
геометрической прогрессией.
19.3. Доказать, что если положительные числа а, Ь, с —
соответственно m-й, л-й и р-й члены как арифметической, так
и геометрической прогрессии, то
аЬ-сЬс-аса-Ъ = 1_
19.4. Доказать, что есл» а, Ь, с образуют
геометрическую прогрессию, то
lOgfl X— iQgj, Х_ lQg„ X
logbx—\ogcx logcJc'
где x^>0, x^\, a, b, с — различные положительные числа,
отличные от единицы.
19.5. Найти сумму
5=7 + 77 + 777+... +777...7,
где последнее слагаемое содержит л цифр.
19.6. Доказать, что У П.. .1—22.. .2= 33 ... 3, где
цифра 1 повторяется 2л раз, а цифры 2 и 3 только л раз.
19.7. При каких значениях х и у последовательность
«uOg» as, где
Cl = 8*+1ов^, а2 = 2*_1°Е" у, as = 5у,
является одновременно арифметической и геометрической
прогрессией.
19.8. Пусть Х]^ и xz—корни уравнения хг—3>;+Л = 0,
а лг3 и л:4—корни уравнения л:2—12д; + В = 0. Известно, что

84
ЗАДАЧИ
[19.9
последовательность хх, xit xs, xt является возрастающей
геометрической прогрессией. Найти А и В.
19.9. Решить уравнение
х* + х* + 2х + а = 0,
зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
19.10. В бесконечно убывающей геометрической
прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых п
членов. Найти произведение первых я членов, если первый член
равен 1^2.
19.11. Найти трехзначное число, цифры которого
образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.
19.12. Найти трехзначное число по следующим условиям:
его цифры образуют геометрическую прогрессию; если из
него вычесть 594, то получится число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке; если цифры искомого
числа увеличить соответственно на 1, на 2 и на 1, то
получится арифметическая прогрессия.
19.13. Имеющиеся в совхозе комбайны, работая вместе,
могут убрать урожай за одни сутки. Однако по плану
комбайны возвращались с других полей и вступали в работу
последовательно: в первый час работал лишь один комбайн,
во второй—два, в третий—три и т. д. до тех пор, пока не
начали работать вес комбайны, после чего в течение
нескольких часов перед завершением уборки урожая действовали вес
комбайны. Время работы по плану можно было бы сократить
на 6 часов, если бы с самого начала уборки постоянно
работали все комбайны, за исключением пяти. Сколько было
комбайнов в совхозе?
19.14. Три брата, возраст которых образует
геометрическую прогрессию, делят между собой некую сумму денег
пропорционально своему возрасту. Если бы они это
проделали через 3 года, когда самый младший окажется вдвое
моложе самого старшего, то младший получил бы на 105, а
средний на 15 рублей больше, чем сейчас. Сколько лет
каждому из братьев?
19.15. Три отличных от нуля действительных числа
образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел,
взятые в том же порядке, образуют геометрическую
прогрессию. Найти всевозможные знаменатели этой геометрической
прогрессии.

20.1] гл. 20. суммирование 85
19.16. Даны два числа: a w b. Составим последователь'
ность
a, b, elt Ъх% о2, Ь2, ..., ап) Ьп, ...,
каждый член которой, начиная с третьего, равен среднему
арифметическому двух предшествующих. Доказать, что
«„ = « + -§-(*—a)(l—^).
и найти предел этой последовательности.
Глава 20
СУММИРОВАНИЕ
При решении задач, связанных с последовательностями,
приходятся доказывать утверждения такого типа: «Для любого целого
п^р (где р—целое) справедливо...».
Доказательство этих утверждений базируется ыа аксиоме
индукции.
Пусть для некоторого утверждения А доказаны две теоремы.
Теорема 1. Утверждение А справедливо для п = р.
Теорема 2. Из условия, что утверждение А справедливо для
всех рв^п«£,к, следует, что оно справедливо для я=Л+1.
Тогда в качестве аксиомы (она называется аксиомой индукции)
принимают, что утверждение А справедливо для всех п^р (л, р и
k — целые числа).
Метод доказательства, основанный на использовании аксиомы
индукции, называется методом математической индукции.
С помощью метода математической индукции можно доказать
формулы
Sn=l+2+3+...+n=<Z±^,
SS==l*+2»+3*+...+n*=n<n + 1>.(2n+1>,
SH= 18+23+38+... +а» -*'("+*>* ш
20.1. Доказать неравенство
■j2"T"25"~r . • • "т""^2 < *••

86
ЗАДАЧИ [20 2
20.2. В арифметической прогрессии аг, ай, .... ап
первый член равен разности прогрессии: al = d. Считая число п
данным, найти
S = -L + —+_L _i_ j L_
аЛ "гая а3аА ' ' "" '~an_1en"
20.3. Найти сумму
о 1 ' I , , 1
1-2-3 ' 2-3-4 i ■■■ • п(п + 1)(д+2)'
20.4. Найти зависимость между натуральными п и k, если
1+о + а»+...+о" = (1+*)(1+в')(1+««)...(l+a»*J,
где а=ф0, 1, —1.
20.5. Найти коэффициент при хп в разложении
(1+л: + 2лга+...+л*п)2.
20.6. Решить неравенство
| х—2xz + 4х*~ 8х< + ... + (—2)"-1х»+ .. .|< 1.
20.7. Найти сумму
5Я = Ы1+ 2-21+ 3-31+...+л-й!.
20.8. Найти сумму
S„ = x 4-4х3 + 7хБ 4- Ю*7 + ■ • ■ + (Зп—2) х2"-1.
20.9. Найти сумму
5* = 14 + 24+34+...+п*,
считая известными формулы для Sn, S*, SI (см. стр. 85).
20.10. Натуральные числа разбиты на группы
(1), (2, 4), (3, 5, 7), (6, 8, 10, 12), (9, 11, 13, 15, 17), ...
Найти сумму чисел в я-й группе.
20.11. Вычислить выражение
_ л . 2я . Зя , . „(л— 1)л
5„ = cos- + cos—+cos — +-..+c°sv n' .

ГЛ. 21. СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ
87
Глава 21
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ
Напомним, что по определению принимается, что Сп=1и0!=1.
Имеют место формулы
р _„. л"- "' Ck~ "'
"(n— ft)l' " (п—/г)!АГ
Правая часть последней формулы не меняется при подстановке
вместо к выражения п—к. Это означает, что C*_cJJ-*. В
приведенных выше трех формулах параметры п и к натуральные, причем
к<,п. В последних двух формулах k может равняться нулю.
Наряду с соединениями, в которые каждый из п различных
элементов некоторого фиксированного множества входит одни раз,
можно рассматривать соединения с повторениями, допускающие
появление одного и того же элемента более одного раза.
Если задан алфавит из п различных букв и поставлена задача
составить всевозможные слова по к букв в каждом, то речь идет
о размещениях с повторениями. Обратите внимание на то
обстоятельство, что слова могут быть любой длины, а потому нет
необходимости в выполнении ограничения к^п. Слова aba и baa считаются
различными (входящие в них элементы образуют разные
последовательности).
Число An всевозможных различных размещений с повторениями
из п различных элементов по k элементов в каждом находится по
формуле
АЛ = пК
Доказывается эта формула с помощью рекуррентного соотношения
Ап~пАп ■
которое устанавливается следующим рассуждением. Если первая
буква в слове из k букв фиксирована, то в оставшиеся k— 1 ячеек
можно разместить буквы An способами. Для каждого из этих
способов остается п возможностей для выбора буквы, стоящей на
первом месте. В результате мы получим все размещения с повторе
ниями из п по к-
Размещения с повторениями, образованные из п элементов аи
аг а„ так, что каждый из этих элементов входит в размещение
по крайней мере один раз, называются перестановками с повторениями.
Если известно, что элемент ах входит ах раз, элемент о» входит а*
раз, ..., элемент ап входит а„ раз, то число всевозможных таких
перестановок обозначают Я_ а ...-а^ и оно может быть найдено по
формуле
_(«i+«a+■■•+««)!
<*«■«* *п ссх! п,1 ... я„! '

8?
ЗАДАЧИ
121.1
Вывод этой формулы основан па следующем соображении. Если Сы
все элементы, входящие в перестановку, были различными, то мы
получили бы (а1+а4-Ь---+о:л)! перестановок. Возьмем теперь
любую из числа Ра „^ „перестановок с повторениями. Она не
изменится, если в ней осуществить всевозможные перестановки
элементов а1г что можно сделать сс^ способами, затем всевозможные
перестановки элементов а„, что можно сделать ос.1 способами, ... и,
"наконец, всевозможные перестановки элементов ап, что увеличит число
возможных вариантов в а„\ раз. В результате мы получим ах! otjl.. .а„!
перестановок, которые бы возникли из нашей перестановки с
повторениями! если бы появилась возможность как-то различать входящие
в нее одинаковые элементы, т. е.
aj oj! ... a„! Pai ^ ^ = («1+02 + ... +«„)!,
откуда и следует формула для Paim0Lt ^
Два сочетания с повторениями из п элементов по k в каждом
считаются различными тогда и только тогда, когда они отличаются
по крайней мере одним элементом или какой-нибудь элемент входит
в эти соединения различное число раз. Число всевозможных
сочетаний с повторениями определяется по формуле
Cn=Cn+fe-ii
вывод которой состоит в доказательстве того факта, что допущение
о возможности повторений элементов равносильно увеличению числа
элементов, из которых образуются сочетания, на ft—1.
Для любого натурального п справедливы разложения
(х+а)" = С%х« + С1пах" -»+ С%а*х» -»+•-■+ СЙ_1ап - 1х+(^а" =
ft=o
(*—а)» = С%х« —Ckaxn-i + Cla>x"-* + ... +( — l)"~^-1a"-1x+
+(—1)"Сйа"= 2 (—1)*СЙг»-АА
fc=o
Для биномиальных коэффициентов справедливы равенства:
с5+й+...+сЯ-1+сЙ=2".
сй-с^-т-...+(-1)»-1сй-1+(-1)псй=о.
21.1. Сколькими различными способами можно усадить за
круглый стол п человек, если два способа считаются
одинаковыми, когда каждый человек имеет тех же соседей (левый
и правый соседи не различаются). -
21.2. Имеется одна перестановка из пяти элементов: av
с2, а3, а4) ай. Найти число всех перестановок из этих эле-

21.12] гл. 21. соединения и бином 89
ментов, в каждой из которых на первом месте стоит
элемент, отличный от ct, а на втором—элемент, отличный от а2.
21.3. Сколько можно образовать семизначных чисел из
цифр 1, 2, 3, ..., 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое
число не меньше чем три раза?
21.4. Сколько восьмизначных чисел можно образовать из
цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, если в каждом числе цифра 1
содержится три раза, а остальные цифры по одному разу?
21.5. Экскурсанты заказали на пароходе 8
четырехместных кают. Все места в каждой из кают и все каюты
равноценны. Сколькими способами могут экскурсанты разместиться
в каютах, если их 32 человека?
21.6. Вычислить сумму
Ck + 2Ck+3Cl+...+nCl.
21.7. Найти сумму
cs-Q+c«-c«+... + (-i)*q*
где я— 1 ^.2k^n.
21.8. Найти все значения л, при которых какие-либо три
последовательных коэффициента разложения бинома (х-\-а)"
являются тремя последовательными членами арифметической
прогрессии.
21.9. Найти число неподобных между собой членов
разложения
(a + b+c + d)a.
21.10. Найти коэффициент при хк в разложении
(\+x + x2+...+xn-i)*.
21.11. Для бинома f-g-x-f-g^J найти натуральный
показатель п, если известно, что десятый член разложения этого
бинома имеет наибольший коэффициент.
21.12. Определить число отличных от нуля
коэффициентов в разложении
(1 + *» + *8)ао= в0 + «i* + агх* + • • • + а100*1вв.

90
ЗАДАЧИ
[21.13
21.13. Дана последовательность ах, а2, а3, ..., о10.
Сколькими способами ее можно разбить на группы,
сохраняя фиксированный порядок ее элементов, каждая из
которых состоит из одного элемента или двух рядом стоящих
элементов?
21.14. На плоскости проведены т параллельных друг
Другу прямых и п прямых, пересекающих их и друг друга.
Никакие три прямые не проходят через одну точку. На сколько
областей (частей) эти прямые разбивают плоскость?
Глава 22
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Определения обратных тригонометрических функций приводят
к следующим соотношениям.
г- ■ / . ..- Я Я
Если arcsin х — а. (где—1 <х< 1), то sinoc=x и—н-<а<:-~- .
Если хЗгО, то O^a^-н-; если xssO, то— -=-<а<°-
Если arccos х = а (где —1а^х<1), то cosa = x и 0<а«£я.
1 я
Если х~2*0, то 0^as£^-; если х=^0, то ~*Za*^zi.
Если arctg х=а, то tg-a = x и — -^ <а< -^.
Если х3=0, тоО^а < —; если х^О, то—=- < а«£0.
Если arcctgx=a, то ctga=x и 0 < а < я.
я я
Если х^О, тоО < а<-у; если х<0, то-=-<а < я.
Имеют место следующие соотношения:
я я
arcsin x-farccosx = у! arctg x-f-arcctgx = -^-,'
arcsin (—х)= —arcsin x; arctg (—x) = —arctg x;
arccos (—х) = я—arccos x; arcctg(—х) = я—arcctgx.
22.1. Доказать, что
2arctgT-f aictg23=5-.
22.2. Представить выражение
7 V~2
arctg — -\- arcctg 8 -f arcsin-1^-
в виде значения функции arcsin x.

22.13] ГЛ. 23. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЕРИОДИЧНОСТЬ 91
22.3. Представить выражение
arctg (—2) + arcsin -^ -f- arctg [ —■=-)
в виде значения лишь одной обратной тригонометрической
функции.
22.4. Вычислить сумму
arcsin У \ —х + arcsin]/^.
22.5. Найти
arccos (sin п (х2 -\~х —3)),
если 0 <L дг^ ^—н— .
22.6. Доказать, что если О^а-^1, то
. х— уТЗ^з п
arcsin д; — arcsin ■ -= = -г -
]/2 4
22.7. Доказать, что выражение
arcsin ,■ , „ + 2arctg x
не зависит от х, если дг < — 1, и упростить его в этом
случае.
Решить уравнения:
22.8. tg (3 arcsin x) = 1.
22.9. arcsin -=--f- arcsin-^- = arcsinx,
22.10. arcsin 2x -j- arcsin x = -^ .
22.11. arctg (2 +cos дг) — arctgf 2cos2-|A =-2-.
22.12. arcsin —== — arcsinV" 1 — x = arcsin -5-.
22.13. arctg (x — 1) + arctg дг -f- arctg (x +1) = arctg Зд.%
Глава 23
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Областью определения функции может быть вся числовая ось
(У=*а, #=sin x), луч с принадлежащей ему граничной точкой (у— ух~,
граничная точка х = 0 принадлежит области определения *^0) и с
не принадлежащей ему граничной точкой (j/=lg x), совокупность

92
ЗАДАЧИ
123.1
интервалов (замкнутых, открытых, полуоткрытых) н отдельных
точек.
Важной характеристикой функции является ее периодичность. С
помощью периодических функции можно описать явления,
повторяющиеся через равные промежутки времени. Часто определяют
периодическую функцию так, чтобы она была бесконечно продолжаема как
до +оэ, так и до —оо. Мы же дадим определение, которое позволит
нам рассматривать процессы, имеющие начало в некоторой точке х0
и периодически повторяющиеся до + оо , и процессы, выходящие
из — оо и обрывающиеся в точке ха. Точка хв является либо нижней
граничной точкой области определения функции, либо ее верхней
граничной точкой.
Функция / (х) называется периодической, если существует число
Т ?= 0 такое, что выполняются условия: 1) [ (*+ Т) = /М Для любого
значения аргумента х функции / (х); 2) для любого значения аргумента
х такого, чтох—Т:э=лг0, если Т > 0 (*0—нижняя граничная точка), и
а-—Г«г;лг0, если Т < 0 (х0— верхняя граничная точка), число х—Т
также является значением аргумента (т. е. принадлежит области
определения функции).
Если Т — период f [х) и х — значите аргумента, то х + пТ,
где п — натуральное число, также значение аргумента и пТ также
период. Если период Т>0, то область определения функции не
ограничена сверху; если же Т<0, то она не ограничена снизу.
Если Т — период, то нельзя утверждать, что и —Т будет
периодом, так как в точке х—Т функция может быть не определена.
Если период Т > 0 и область определения не ограничена снизу,
то—Г также период. Если период Т<0 и область определения не
ограничена сверху, то —Г также период.
Если функция имеет периоды Т и — Т, то пТ, где п — целое
число, отличное от нуля, также является ее периодом.
Например, нз того, что sin x имеет период 2я и область
определения этой функции не ограничена снизу, следует, что —2л; также
период и вообще я-2я— период [пфд). ~~
Наименьший положительный период называется основным
периодом. Если функция не имеет положительного периода, то основным
периодом называется период, наименьший по абсолютной величине.
23.1. Найти область определения функции
у = ]/log3 sin х-
23.2. Найти область определения функции
log3log,,Jx2— х — 1).
23.3. При каких значениях х выражение у logi/, —
принимает действительные значения?

'24.2] гл. 24. наибольшие и наименьшие значения 93
23.4. Найти область определения функции
arccos (х2 — Зх + 1) -f tg 2x.
23.5. Где расположены точки плоскости, для координат
которых выражение
принимает действительные значения?
23.6. Доказать, что функция
у — cos]/^St
не является периодической.
23.7. Доказать, что функция
у = cos Xй
не является периодической.
23.8. Доказать, что если функция
f(x) = sin x + cos ax
периодическая, то а — рациональное число.
23.9. Найти основной период функции
Зх . х
y=^cos-—sin-j .
Глава 24
НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
24.1. Найти все значения х, при которых функция
sin X — cosa x — 1
принимает наименьшее значение.
24.2. Найти наибольшее значение функции
у = sin 2x sin (2х — ^ J .
При каких значениях х оно достигается?

94
ЗАДАЧИ
124.3
24.3. Найти наибольшее значение функции
у = sin х cos3 x — sin3 x cos x.
24.4. При каких значениях х и у выражение
2х2 + 2ху+у2—2х + 2у + 2
имеет наименьшее значение. Найти это наименьшее значение.
24.5. Найти наименьшее значение выражения
у = \**-\\ + \я*-4\ + \х+2\ + \х+\\.
. 24.6. Найти минимум функции
^ = лг7 + £, где дг>0, й>0.
24.7. В круг радиуса R вписывается данный угол а.
Какими должны быть длины хорд, образующих этот угол,
чтобы их сумма была наибольшей.
24.8. В основании прямой призмы лежит прямоугольный
треугольник с площадью, равной 2л2, а высота призмы равна
гипотенузе основания. Какими должны быть стороны
основания, чтобы боковая поверхность призмы была наименьшей?
24.9. Найти сторону наибольшего из квадратов,
внутренние точки которых находятся внутри правильного
шестиугольника со стороной а.

УКАЗАНИЯ
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
1.1. Если через точку Dy касания окружностей провести их
общую касательную, то, пересекая продолжения сторон ВАх и ВСХ,
она образует треугольник AiBCx (рис. 1.1.1). Воспользуйтесь тем,
что 0D = DDj=«/2, a О^.^ВШЗ.
1.2. В треугольнике АОВ (О—центр вписанной окружности,
рис. 1.1.2) угол В АО равен а/2, а угол BOA равен сумме углов
ОАО н ODA, т. е. равен я/2-f-а/2. По условию ВО=т, так как
BD*=r-\-m. Поэтому решение удобно начать с определения АВ из
треугольника ВОЛ.
Рис. 1.1.1. Рис. 1.1.2.
1.3. Вначале нужно выяснить смысл выражения «окружность
делит сторону треугольника пополам». Если окружность имеет со
стороной треугольника две общие точки, то ни про одну мы не
сможем сказать, что она делит отрезок пополам, поскольку отрезок
разделится на три части.
1.4. Отношение площади треугольника AtBiCi к площади
треугольника ABC (рис. 1.1.4) можно записать так:
SAiB}Cl_ SABC— (SAlBxC + SA1BCl-^SABlCl) ^
SABC $АВС
__l /SAlBlC , SA1Bqt ■ Sj4BiCA ^
\ SABC SABC SABC J '

96
УКАЗАНИЯ
(1.5
Теперь нужно найти каждое из отношений, входящих в правую
часть.
"*"5" ^глы определяют треугольник лишь с точностью до
подобия. Если ввести в рассмотрение один линейный элемент и выра-
зить через него обе площади, то при подсчете отношения площадей
этот элемент сократится, В качестве
такого линейного элемента удобно
выбрать радиус г вписанной в
треугольник окружвости.
Рис. 1.1.6.
1.6. Так как В = ЗС (рис. 1.1.6), то сторона АВ меньше
стороны АС и можно доказать, что площадь треугольника ABD (AD—
биссектриса треугольника ABC) меньше площади треугольника ADC.
Таким образом, по условию, ^ос—2.
1.7. Применить метод сравнения площадей.
1.8. Все участвующие - в задаче величины связаны с площадью
треугольника, которая известна. Воспользоваться сравнением
площадей. '
1.9. В треугольнике даны две биссектрисы и отношение, в
котором эти биссектрисы делятся точкой их пересечения. Наряду с
данными отношениями естественно воспользоваться свойством отрезков,
на которые биссектриса делит противоположную сторону
треугольника. Поскольку требуется определить углы треугольника, то от
отношений линейных величин удобно перейти к отношению
тригонометрических функций искомых углов с помощью теоремы синусов.
1.10. Продолжить отрезок QM до пересечения в точке А с дру-
rofi стороной угла.
1.11. Известные высоты треугольника естественно связать между
собой с помощью его площади. При этом вместо сторон
треугольника удобнее ввести в рассмотрение его углы, выразив стороны
через третью высоту.
1.12. В соотношении fc+c=ft выразить бис через известную
высоту А и тригонометрические функции углов В и С.
1.13. Первый способ. Чтобы решить задачу, нужно
установить связь между углом а, сторонами треугольника и его
площадью. Однако установить эту связь непосредственно не удается.
Поэтому необходимо ввести н рассмотрение вспомогательные
элементы, например перпендикуляры длины х, у и г, опущенные из
точки О на стороны о, 6 и с соответственно.

1.25]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
97
Второй способ. Чтобы установить связь между углом а,
сторонами треугольника и его площадью, можно ввести в
рассмотрение длины отрезков: ОЛ = /, ОВ=т, ОС=п.
1.14. По условию CD = BC—AC (D—основание высоты). Однако
ВС и АС можно выразить через CD с помощью тригонометрических
функций углов треугольника ABC.
Это даст, нам уравнение,
связывающее углы треугольника ABC.
1.15. Если ввести в
рассмотрение длины сторон АС = Ь и ВС = а,
то все участвующие в задаче
геометрические величины будут связаны
С площадью треугольника ABC.
1.16. Чтобы геометрически
свивать окружность с центром О и
окружность с центром О,, нужно
провести отрезки СО и ВО (рис.
I.1.I6). Окружность Ох описана
около треугольника СОВ. Длина
хорды СВ известна. Следовательно,
для того, чтобы найти радиус,
достаточно определить угол СОВ.
1.17. Задачу удобно переформулировать иначе: проведем через
центр вписанной окружности прямую, параллельную средгей
стороне, и докажем, что она пройдет через точку пересечения медиан,
т. е. точка пересечения этой прямой с медианой, опущенной на
меньшую сторону, делит медиану в отношении 2:1.
1.18. Воспользоваться методом сравнения площадей.
1.19. Точки А, О и L лежат на одной прямой—биссектрисе угла
ВАС, аналогично точки В, О и К лежат на биссектрисе угла
ABC. Прямая KL делит угол АСМ пополам (СМ—продолжение ВС).
По условию, А = 2С, a fl=4C (рисунок сделайте самостоятельно).
1.20. Так как сумма углов в треугольнике равна п, то углы
А, В и С нетрудно вычислить.
1.21. Сделать несложное дополнительное построение, чтобы
получились подобные треугольники.
1.22. Поскольку отрезки, длины которых входят в правую часть
равенства, лежат на одной прямой, нужно выразить длины всех
отрезков, участвующих в левой части равенства, через длины
отрезков, лежащих на той же прямой. Тем самым мы «спрямим»
записанное соотношение и сделаем его доказательство простым.
1.23. В формулу входят отношения. Поэтому целесообразно
сделать дополнительные построения, в результате которых получатся
подобные треугольники.
1.24. При построении, описанном в условии, возникают
подобные треугольники. Нужно с их помощью заменить стоящие в левой
части отношения новыми отношениями с тем, чтобы в знаменателе
была одна и та_же сторона треугольника, а в числителе—отрезки
этой стороны. | ""
1.2Б. Положение прямой, проходящей через точку О, можно
определите с помощью угла а, который эта прямая составляет о
4 Е, Б BaxoBCRRft, А. А. Рыбкин

98
УКАЗАНИЯ
(1.26
некоторым фиксированным радиусом описанной окружности. Нужно
доказать, что величина, о которой говорится в условии, не зависит
от а.
1.26. Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно знать стороны
данного треугольника и радиус описанной около него окружности.
С вычисления этих величии и следует начать решение задачи.
1.27. Связать углы треугольника и его стороны можно либо с
помощью теоремы синусов, либо с помощью теоремы косинусов,
Данное в условии соотношение между сторонами треугольника
подсказывает, что теорема косинусов удобнее.
1.28. Если отрезки О А, ОВ и ОС, входящие в данное
соотношение ОАг=ОВ-ОС, выразить через радиус г вписанной окружности
и углы треугольника, то должно получиться соотношение между
тригонометрическими функциями этих углов, не содержащее г. I
1.2В. Применить формулу, выражающую площадь треугольника
через две стороны и синус угла, и теорему косинусов. \
1.30. Чтобы доказать равенство двух отрезков, о которых идет
речь в условии, можно ввести элементы, определяющие треугольник,
и выразить через них эти отрезки. То же самое можно сделать
геометрически: четырехугольник ОгЕ003 (рис. 1.1.30), построенный
на отрезке ОхОй, таков, что каждая из трех его остальных сторон равна
Воловине соответствующей
стороны треугольника. Остается
построить такой же четырех*
угольник-на отрезке В02-
F
Рис. 1.1.31.
1.31. Площадь треугольника АРМ (рис. 1.1.3I)'в восемь раз
меньше площади Треугольника ABC, так как AF=*=-~?АВ, а высота
Треугольника AFM в четыре раза меньше высоты треугольника
ABC (докажите), Если рассмотреть AM и AD как основания
треугольников АРМ и ABD, то соответствующие высоты этих
треугольников относятся, как 1i2. Если мы сможем выяснить, в каком
отношении точка М делит отрезок AD, то задача будет решена.
1.32. Так как четырехугольник вписанный, то кроме входящих
в задачу величин целесообразно ввести В рассмотрение радиу£
круга k и углы четырехугольника. Введя В рассмотрение углы, МЫ
сможем использовать свойство вписанного четырехугольника.

1.44J
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
Рис 1.1.35.
1.33. Вначале нужно использовать тот факт, что боковые
стороны трапеции и отрезок, соединяющий середины ее оснований,
лежат на прямых, пересекающихся в общей точке.
1.34. Если обозначить сторону квадрата через о, а расстояние
от точки М до самой ближней стороны (либо до АВ, либо до CD).
через х, то остальные расстояния можно выразить через ей*.
1.35. Фигура, площадь которой нужно определить, на рис. 1.1.35
заштрихована. Отрезок CD разбивает искомую площадь на
правильный треугольник и трапецию. Длина отрезка А? известна, она
равна 3/2. Если мы сможем определить
длину отрезка СЕ (обозначим ее х),
то задача будет решена.
1.36. Из параллельности сторон
трапеции и треугольника следует, что углы
при основании треугольника и при
нижнем основании трапеции равны. Если
обозначить эти углы через а, то можно
выразить через а и другие углы,
связанные с треугольником и трапецией.
1.37. Треугольники AOD и BOQ
подобны. Это позволяет из отношения
оснований трапеции получить отношение
высот треугольника AOD и трапеции.}
1.38. Нас интересует периметр третьего многоугольника.
Обозначим его через х. Введем также радиус окружности R и Число
сторон л первого многоугольника.
1.39. Окружность не может лежать между точками М я О
(докажите). Ее центр Ot лежит на биссектрисе угла АОЦ.
1.40. Из данного отношения площадей треугольников ABC и
ADE, записанного в виде отношения произведений Катетов, и из
свойства произведения секущей на ее
АВ
внешнюю часть найти отношение -j-£.
1.41. Пусть Ог—центр окружности,
радиус которой мы ищем, а О—центр
данной окружности. В качестве
связующего звена следует рассмотреть
треугольник А00х.
1.42.Нужно обозначить сторону
квадрата через а и составить с помощью
теоремы Пифагора биквадратное уравнение
для определения а через Й. и г.
1.43. Вписанный в сегмент квадрат не должен нарушать
симметрии сегмента. Поэтому он расположится так, как показано на
рис. 1.1.43. Обозначим половину стороны квадрата через х и
составим уравнение относительно х.
1.44. Чтобы использовать условия задачи, нужно провести
радиусы обеих окружностей в точке касания окружностей друг а
другом и с нижним основанием. Центр меньшей окружности лежит
на биссектрисе угла D.
4*

100
УКАЗАНИЯ
[1.4Б
1.45. Вначале для определенности удобно предположить, что
точки Р и Q лежат по разные стороны от CD. В этом случае диаметр
Ср разделит фигуры PQNM и PiQxD на две части (рис. 1.1.45).
Нужно доказать, что площадь фигуры CQNK равна площади
треугольника QxOD. При этом полезен будет следующий факт. Если
соединить точки Q и О, то,
во-первых, угол QOC вдвое больше угла
QDC, а во-вторых, треугольники
OQtD и OQD равновелики.
1.46. Соединим точки А и В, Р
и М и проведем радиусы из центра О
в точки А и В (рис. 1.1.46). Если
длины отрезков АВ, АР^ и OA=R
заданы и отрезок А В построен, то
прямоугольный треугольник АР В и
положение точки О определяются
однозначно. Следовательно, зная
длины этих отрезков, можно вычислить
длину интересующего нас отрезка РМ.
1.47. Отрезок, соединяющий центр
окружности с серединой хорды,
перпендикулярен к этой хорде. Зная,
что хорда удалена от центра на -=- R,
легко выразить ее длину через R.
1.48. Использовать геометрически касание окружности Ов с
окружностью Ot можно, соединив их центры (рис. I.I.48). Отрезок
OtOt пройдет через точку касания.
Рис. 1.1.45.
Рис. 1.1.46.
Так как окружность 02 касается сторон угла ОАВ, то ее центр
лежит на биссектрисе угла ОАВ.
1.49. Если провести высоту AN (рис. 1.1.49), то искомая
площадь будет равна •х-АЫ-ВС. Соединив точки М я С, разобьем

2.51
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
101
треугольник ABC на равнобедренный треугольник МСВ и
треугольник АМС, у которого угол АМС легко" выразить через fp.
2.1. Предположим, что мост где-то построен (рис. 1.2.1). В этом
случае путь из А в В будет ломаной, состоящей, из трех звеньев.
Среднее звено всегда остается
_В неизменным по длине и
направлению. Следовательно, нужно
«спрямить» первое и третье
звенья.
F\
м/
v р
F \
Ы J
Рис. 1.1.49.
Рис. 1.2.1-
2.2. Из точки А отрезки MP и PN видны под углом 30°
каждый. Следовательно, построить точку А можно как пересечение двух
сегментов, вмещающих угол в 30°.
2.3. Пусть треугольник ABC (рис 1.2.3) искомый. Чтобы на
чертеже появился угол д>, отразим треугольник ABC от
вертикальной оси, проходящей через
середину ВС. Обратите внимание
на треугольник СА^А. ^-~~~~--^А
2.4. В любом треугольнике
ABC центр описанной
окружности лежит на пересечении
перпендикуляров, восставленных
из середин сторон. Этот факт
можно использовать для того,
чтобы связать данные элементы
треугольника: Ь и тс.
2.5. Точки О (центр вписанной окружности) и 0^ (центр вневпи-
санной окружности) лежат на биссектрисе угла А
треугольника ЛВС (рис. 1.2.5). Отрезки ОС и ОгС, ОВ а О^В взаимно

102
УКАЗАНИЯ
[2.6
герпендикулярны как биссектрисы смежных углов. Поэтому точки
В, О С, 01 лежат на одной окружности с центром в точке Q.
2.6. Применить метод подобия, выбрав за центр подобия одну
из вершин треугольника, / или С.
2.7. Если Прямую FE (рис. 1.2.7) вращать около точки М, то
площади треугольников 0MF и ОМЕ будут изменяться так, что с
увеличением одйой уменьшается другая. Это
должно навести на мысль рассмотреть
некоторое среднее положение.
2.8. Чтобы использовать данный в
условии периметр треугольника, нужно
осуществить «спрямление», т. е. рассмотреть
треугольник, который получается из
искомого, если отложить на ВС отрезки А^В
и САг, равные АВ и АС соответственно,
так, как это показано на рис. 1.2.8.
2.9. Чтобы подойти к решению задачи, нужно построить из
отрезков АР, ВР и СР ломаную с закрепленными концами и
посмотреть, когда эта ломаная будет выпрямляться.
Рис. 1.2.7.
2.10. Зная гипотенузу, можно построить окружность, в которую
вписан искомый прямоугольный треугольник ABC. Если биссектрису
CD продолжить до пересечения с этой окружностью в точке Е, то
получим две равные дуги АЕ и ЕВ. Следовательно, отрезок ОЕ,
соединяющий точку Е с центром круга, перпендикулярен к АВ я
равен с\2. Теперь все данные в
условии элементы связаны между собой.
2.11. Пусть известны углы при
вершинах А и D четырехугольника
него стороны АВ — а, BC = b,CD=c.
Если угол BAD закреплен, то
положение точки С определяется с
помощью метода геометрических мест.
2.12. Пусть AM
(рис.1.2.12)—искомая секущая и АВ = ВМ. -Чтобы
связать ее с данной окружностью,
соединим точки О и В. Если отрезок
О В продолжим за точку В и отложим ВС=ОВ—Н, то точки О, А, О
и М можно рассматривать как вершины параллелограмма.
2 13. Пусть через точку М пересечения двух окружностей с
центрами О и Ох (рис. 1.2.13) проведена секущая АВ данной длины.
Чтобы саязать ее с каждой из окружностей, нужно провести к ней
Рис. 1.2.12.

3.3]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
103
перпендикуляры ОС и OyD. Отрезок CD вдвое меньше отрезка АВ,
так как точки С и D—середины хорд AM u MB-
2.14. Если хорда АВ искомая, то MB—АМ=а. Построим
отрезок BN, равный AM (рис. 1.2.14). Точки М и N лежат на
одинаковом расстоянии от точки О и MN = a.
Рис. 1.2.13.
Рис. 1.2.14.
2.15. Так как длина отрезка PQ и несущая его прямая известны,
то можно воспользоваться методом параллельного переноса.
2.16. Отрезок FD (рис. 1.2.16) должен делиться в точке М пополам.
Следовательно, его можно рассматривать как одну из диагоналей
параллелограмма. Другую диагональ нужно
выбрать так, чтобы с ее помощью можно
было восстановить весь параллелограмм.
2.17. Если через точки А и В провести
прямую, то она, вообще говоря, должна
пересечь прямую PQ в некоторой точке С.
Остается воспользоваться свойством секущей
и касательной, проходящих через общую
точку. Случай, когда АВ и PQ параллельны,
рассмотрите отдельно.
2.18. Соединить точку М с концами А
и В данного диаметра. Рассмотреть
получившиеся точки пересечения с окружностью.
2.19. Воспользоваться предыдущей
задачей и построить произвольный перпендикуляр к данному диаметру,
пересекающий окружность в точках С и D.
3.1. Чтобы связать участвующие в задаче элементы, нужно
отрезок ОА луча, перпендикулярного к ребру, спроектировать
на другую полуплоскость. Проекцию ОВ этого отрезка
спроектировать в отрезок ОС, лежащий на втором луче.
3.2. Чтобы связать данные углы с величиной угла, который
нужно найти, следует спроектировать катеты треугольника на
плоскость Р и построить искомый угол.
3.3. При проектировании угла а на плоскость Р возникает
четырехгранный угол, в котором три плоских угла даны, а два
двугравных угла прямые. Чтобы установить связь между плоскими
углами, нужно пересечь этот четырехгранный угол плоскостью Q,
перпендикулярной к плоскости Р.
С
Рис. 1.2.16.

104
УКАЗАНИЯ
[3.4
8.4. Если спроектировать искомую прямую, параллельную а,
на плоскость, перпендикулярную к а, то мы получим точку.
Спроектируйте на эту же плоскость три оставшиеся прямые.
8.5- Начать нужно с построения искомого угла. Для этого обе
прямые нужно перенести в одну точку. Если сместить прямую SC, то она
сповиснет в воздухе» и угол, который мы получим, не будет связан
с треугольником. Поэтому проведем
через точку С прямую CD.
параллельную АВ; угол SCD искомый.
3.6. Лучи Ах и by удобно
расположить так, как показано
на рис. 1.3.6. Утверждение, что
ОК = АО, равносильно
утверждению, что АМ = МК (рассмотрите
прямоугольные треугольники ОАМ
и ОКМ).
3.7. Если такое сечение четырехгранного угла существует, то
в результате параллельного сдвига плоскости этого сечения мы
получим новую плоскость,
пересечение которой с
четырехгранным углом—тоже
параллелограмм. Поэтому строить
сечение можно в любой точке
ребра четырехгранного угла.
3.8. Если продолжить
DE и ВС до пересечения
в точке F, то ВО—средняя
линия в треугольнике EFC
(рис. 1.3.8), Площадь
треугольника DEA равна
половине площади
треугольника FEA.
•3.9. Чтобы ответить на Рис. 1.3.8.
вопрос задачи, нужно
определить высоту Н пирамиды. Каждый из данных двугранных углов
можно измерить с помощью линейного угла, опирающегося на
высоту И. Остается использовать тот
факт, что в основании лежит
правильный треугольник.
3.10. Докажите, что высота,
проведенная в треугольнике ADB через
вершину D, проходит через середину
в Е основания АВ. Тогда интересующий
Рис. 1.3.11. нас двугранный угол измеряется
линейным углом DEC.
3.11. Условия задачи отражены на рис. 1.3.11. Сторона а
основания известна, так как известна площадь основания.
3.12. Аналогичное построение на плоскости приводит к
образованию треугольника, подобного данному, с коэффициентом подобия
1/2. Поэтому и здесь следует постараться выяснить, подобны ли
рассматриваемые тетраэдры.
Рис. 1.3.6.

3.21J
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
105
3.13. Чтобы доказать, что пирамида правильная, нужно
убедиться, что в основании лежит правильный треугольник н вершина
пирамиды проектируется в центр основания. Вначале удобнее
доказать второе утверждение, так как первое из него легко получить,
установив равенство треугольников, имеющих одним из катетов
высоту пирамиды, а гипотенузой—отрезок, проходящий через
вершину пирамиды и точку касания шара с боковой гранью.
3.14. Достроить усеченную пирамиду до полной и ввести в
рассмотрение высоты пирамид, имеющих три основания, о которых
идет речь в условии.
3.15. Построить угол между скрещивающимися прямыми можно,
если параллельно перенести их так, чтобы они проходили через
одну точку. В качестве такой точки удобно выбрать вершину А
основания пирамиды. Если мы достроим треугольник ABC, лежащий
в основании, до параллелограмма АВСЕ (рисунок сделайте
самостоятельно), то угол DAE будет искомым. Образовавшаяся в
результате четырехугольная пирамида будет состоять из ребер данной
длины, за исключением ребра DE.
3.16. Тетраэдр разбивается на две пирамиды с общим
основанием—плоскостью сечения. Данное отношение объемов позволяет
найти отношение высот этих пирамид и, следовательно, отношение
синусов искомых углов.
3.17. Условия задачи отражены на рис' 1.3.17. Нас интересует
отношение площадей треугольников DAM и DMS, в то время как
все известные элементы
сосредоточены в плоскости KSE.
Поэтому нужно связать
элементы треугольников DAM и
DMS с элементами
треугольника KSE.
3.18. Использовать
условие задачи, согласно которому
высота пирамиды, опущенная
из вершины D, проходит через
точку пересечения высот
основания ABC, с тем, чтобы
доказать, что треугольники ADB
и ADC прямоугольные.
3.19. В пирамиде SABC
(рис. 1.3.19) равнобедреннные Л D
треугольники ASB и АСВ
равны. Следовательно, проведенные Рис- 1.3.17.
в них высоты из вершин S и С
упадут в точку D—середину АВ.
3.20. Если верхний из двух равных треугольников, лежащих
один на другом в плоскости, начать вращать вокруг их общей
стороны, то образованный ими двугранный угол может быть
как острым, так и тупым. Поэтому придется рассмотреть два
случая.
3.21. Если в основании ABC пирамиды провести высоту fiD,
то отрезок SD разделит угол ASC пополам.

106
УКАЗАНИЯ
[3.22
3.22. Покажите, что отрезки АВ и CD взаимно
перпендикулярны. Центр описанного шара лежит ив их общем перпендикуляре
АЛ1, где л—середина CD, М—середина АВ.
3.28. Расстояние от основания высоты до бокового ребра изме-
Ряет?я отрезком перпендикуляра, опущенного на боковое ребро.
Чтобы связать участвующие в задаче величины, нужно измерить
Рис. 1.3.19.
двугранный угол а линейным углом, построенным в точке бокового
ребра, которая является основанием этого перпендикуляра.
Следовательно, придется построить сечение пирамиды, проходящее через
основание высоты и перпендикулярное к
боковому ребру пирамиды.
3.24. Чтобы в сечении получился
квадрат, плоскость сечения необходимо
провести так, чтобы она пересекала все четыре
грани пирамиды (иначе мы получили бы
в сечении треугольник). Докажите, что если
KLNM— квадрат (рис. 1.3.24), то
плоскость KLNM параллельна двум
скрещивающимся прямым А В и CD.
3.26. Для того чтобы найти наиболее
рациональное решение задачи, поставьте
пирамиду на одну из боковых граней (рве.
1.3.25), а затем примените сравнение
объемов.
3.26. Вписать в пирамиду куб значит
расположить его так, чтобы нижнее
основание куба лежало на основании
пирамиды, а верхнее основание куба было впи-
полученный в горизонтальном сечении пира-
3
Рис. 1.3.25.
сано в треугольник,
миды (рис. 1.3.26).
3.27. Условия задачи отражены на рис. 1.3.27.
3.28. По условию задачи попарно равны именно те ребра
тетраэдра, которые лежат на скрещивающихся прямых. Использовать
это условие можно, если расположить тетраэдр так, чтобы ребро

3.34]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
107
АВ лежало в горизонтальной плоскости Р, а ребро DC было
параллельно этой плоскости.
3.29. Нужно построить расстояние между прямыми АВ и CD.
Для этого через одни из отрезков, например через АВ, надо
провести плоскость Р, параллельную CD.
Рис. 1.3.26.
Рис. 1.3.27.
Решение естественно начать с построения плоскости Р,
проходящей через одно ребро {АВ) и параллельной другому (CD). УдобР
ный чертеж можно получить, повернув пирамиду вокруг АВ так, чтобы
плоскость Р стала горизонтальной.
Далее нужно построить угол
между скрещивающимися прямыми АВ и
CD. Напомним, что для этого
достаточно построить прямую,
пересекающую одну из них н параллельную
другой.
3.30. Плоскость АгВС отсекает
от призмы четырехугольную пирамиду.
Расположим ее так, как показано
на рис. 1.3.30. То, что в эту
пирамиду вписан шар радиуса R, означает,
что в треугольники B^A-fix и DA^E
вписаны окружности радиуса R.
3.31. В силу соображений симметрии центр шара, о котором
идет речь в задаче, совпадает с центром шара, вписанного в
правильный тетраэдр.
3.32. Если куб преобразовать подобно, выбрав в качестве центра
подобия точку О, то диагональ, проходящая через точку О,
сохранит свое направление в пространстве.
3.33. Составным элементом этой задачи является соотношение,
связывающее разность углов треугольника, прилегающих к
некоторой его стороне, с углом между этой стороной и биссектрисой
противоположного угла.
3.34. Диагонали, расстояние между которыми нужно найти,
бУДУт .лежать на скрещивающихся прямых. Расстояние между
Рис. 1.3.30.

108
УКАЗАНИЯ
[3.35
скрещивающимися прямыми равно расстоянию между определяемыми
ими параллельными плоскостями.
З.ЗБ. Так как сфера с центром в точке О расположена
симметрично относительно всех трех ребер, выходящих из А, то О должна
лежать на диагонали куба.
3.36. Два противоположных ребра тетраэдра лежат на
скрещивающихся прямых. Расстояние между этими скрещивающимися пря-
■^ мыми измеряется отрезком, соединяющим середины
л ребер (рис. 1.3.36). Этот же отрезок будет высотой
Gt/\ цилиндра.
А 1 3.37. Задачу можно свести к такой: доказать,
Cf I I что объем конуса меньше куба его образующей, j
/\' 1 3.38. Чтобы решить задачу, нужно ввести линей-
I V 1 ные элементы, характеризующие конус, например,
I \ 1 высоту Н п радиус основания р. Затем выразить через
I !\ 1 радиусы шаров Н, р и р.
^4^1 \ I 3.39. Чтобы использовать данное в условии от-
Я*чД1 ношение объемов двух конусов, нужно выразить ра-
0 ^"^. диус основания одного конуса через радиусоснопания
' другого. Для этого придется внутренний конус.
Рис. 1.3.36. свободно пращающннся в шаре, закрепить, чтобы
возникли подобные треугольники.
3.40. Записать выражение для Соковой поверхности конуса и
приравнять его я У~2. Это позволит найти радиус основания конуса.
3.41. Центры четырех шаров, касающихся оснозання конуса,
лежат п одной плоскости (рис. 1.3.41). Если мы проведем осевое
сеченио конуса через О, и 03, то сможем связать высоту N и радиус
оснопания /? конуса с радиусом г.
Рис. 1.3.41. Рис. 1.3.42.
3.42. Необходимые построения показаны на рис. 1.3.42.
Плоскость EMNF проходит через ось цилиндра и перпендикулярна
к основанию пирамиды; F—точка касания окружности основания
цилиндра со стороной DC; M—точка касания с гранью ASB.
Отрезки МК и EF взаимно перпендикулярны, KF—искомая величина.
3.43. Условия задачи отражены на рис. 1.3.43. Ввести линейные
элементы, определяющие конус, и выразить их через ребро куба.
3.44. Поскольку в усеченную пирамиду вписан шар, то объем
лирамиды можно представить в виде произведения одной трети

4.1J
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
109
Рис. 1.3.43.
радиуса шара ца полную поверхность пирамиды. Обозначим стороны
нижнего н верхнего оснований через а и b соответственно.
Воспользовавшись сравнением объемов,—в качестве второго выражения для
объема нужно взять обычную формулу V=-^H (Sx-\-Sz-{- У SiSg),—
выразим площадь боковой грани пирамиды
через а и Ь.
3.45. Нет необходимости изображать сами
шары. Достаточно изобразить их центры и
точки их касания с плоскостью.
5.46. Фигуры, о которых говорится в
условии задачи, расположены так, что у них
имеются две плоскости симметрии. Первая
плоскость симметрии пройдет через ребро данного
двугранного угла и через центр меньшего
шара. На этой плоскости окажутся центры
двух других шаров. Вторая плоскость
симметрии будет перпендикулярна к ребру
двугранного угла и тоже пройдет через центр меньшего
шара. Поэтому достаточно сделать каркасный
чертеж, на котором изобразить лишь одну из
четырех равных частей данной конфигурации,
3.47. У рассматриваемой фигуры будут три плоскости
симметрии, проходящие через ось конуса и центр одного нз шаров.
Проекции центров трех шаров на плоскость Р образуют
равносторонний треугольник, сторона которого равна 2R. Сделать каркасный
чертеж.
3.48. Чтобы использовать условие задачи, нужно рассмотреть
два соседних конуса. При этом нет необходимости рисовать их
целиком, достаточно изобразить оси, общую
образующую и образующие, по которым
конусы касаются плоскости.
3.49. По условию, сфера, радиус
которой нужно найти, вписана в
трехгранный угол А (рис. 1.3.49). Это
означает, что ее центр лежит на высоте АО.
Однако все точки высоты АО (кроме
концов) лежат внутри сферы,
построенной на АВ. Следовательно, касание двух
сфер может быть только внутренним.
З.БО. Искомое тело можно
представить себе как часть пространства,
заполненную в результате вращения вокруг
оси РР (рис. 1.3.50) треугольника SAB
и всех сечений пирамиды, проходящих
через вершину S параллельно АВ. Таким сечением является,
например, треугольник SEF, изображенный на рис. 1.3.50.
4.1. Построение сечения, о котором идет речь в задаче,
показано на рис. 1.4-1. Вначале найдена точка F сечения, лежащая
в плоскости нижнего оснопання на пересечении прямых АЕ и DC.
I
/'' i \
/'Aj \
Г/к ^d--zz~*
Рис. 1.3.49.

110 указания [4.2
4.2. Построение сечения показано на рис, 1.4.2, который
подсказывает и рациональный способ вычисления площади сечения.
4.3. Чтобы построить сечение, проведите прямую через вер»
шину А я центр верхнего основания и найдите точку пересечения
этой прямой с ребром ССг.
Рис. 1.3.50. Рис. 1.4.1.
4.4. Сечение BEFG (рис. 1.4.4) разбивает пирамиду на две
части. Удобнее найти объем той части пирамиды, которая лежит
под сечением, представив эту фигуру в виде разности двух
пирамид ЕВСМ и FGDM.
4.5. Сечение должно пройти через точки A, D и N (рис. 1.4.5).
Если соединить их, то получим пирамиду NACD, которую сечение
отрезает от половины данной пирамиды.
Рис. 1.4.2, Рис. 1.4.4.
4.6. Основную трудность в этой задаче представляет построение
сечения. Начните с построения вспомогательного треугольника PQR,
4.7. Связать сечение с перпендикулярной к нему плоскостью
ценгрального сечения пирамиды.

Б.З]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
m
4.8. Чтобы вычислить площадь треугольника АЕВ, достаточно
найти его высоту ЕМ (рис. 1.4.8). Высоту 5ц0 призмы нетрудно
вычислить, а высота ЁК пирамиды ЕАВС в два раза меньше ВхОш
Рис. 1.4.5.
4.9. Чтобы построить сечение, достаточно провести через точку F
два отрезка, лежащих внутри данного параллелепипеда: один
в одной диагональной плоскости параллельно BD, а второй-^в
другой диагональной плоскости параллельно АСг.
4.10. Построение тени, отбрасываемой кубом, показано на
рис. 1.4.10. Посмотрите, как будет изменяться тень при вращении
источника света.
Рис. 1.4.10.
5.1. Если точка М принадлежит геометрическому месту точек,
то отрезок N0 виден из Нее под прямым углом. |
5.2. Если к треугольнику АМВ применить теорему косинусов,
то получим еще одно соотношение, связывающее угол АМВ со
сторонами треугольника.
Б.З. Поскольку характеристики геометрического места точек
содержатся в условии задачи, вполне удобно доказать, что любая

112
УКАЗАНИЯ
[5.4
точка окружности обладает указанным свойством. Для этого
следует применить теорему косинусов к стороне MB треугольника АМВ.
Б.4. При любом выборе точки М треугольники АМВ и ВМС
имеют общую сторону ВМ. Использовать условие равновеликости
двух треугольников, имеющих общую сторону.
5.5. Пусть точка Л! зафиксирована. Площадь треугольника АВМ
не изменится, если отрезок АВ двигать по прямой АВ. То же самое
можно сказать о треугольнике CDM. Остается рассмотреть два
случая: 1) прямые АВ и CD пересекаются, 2) прямые АВ и CD
параллельны.
5.6. Выясните, какую роль играет в задаче куб Задачу можно
расчленить на две: вначале решить ту же задачу для прямых, на
которых расположены диагонали куба, а затем высечь часть
пространства, ограниченную' кубом, и проследить, какие при этом
произойдут изменения.
в.!. Представить р*—I =(р— 1)(р-Ь 1).
6.2. Первый способ. Воспользоваться методом
математической индукции. J
Второй способ. Разбить все числа на классы по модулю 3i
n=3fc. n = 3fc4-l, n — 3k — 1,
и проверить утверждение для каждого класса. |
в.З. Поскольку 105=35-7, то a'»5 = (osp = (a5)2, = (a7)18.
Воспользуйтесь этим для разложения данного числа на множители.
6.4. Среди чисел от I до 500 будет 250 четных, 125 делящихся
на 4 и т. д.
6.5. Чтобы данное число приняло более симметричный вид, его
удобно умножить на 10. При этом делимость его на 81 не изменится.
6.6. Дополнить выражение п4^-4 до полного квадрата и
разложить на множители.
6.7. Так как в условии сказано, что п четное, то нужно сделать
подстановку и = 2Л и привести данное выражение к общему
знаменателю.
2jf 4-3
6.8. Первый способ. Дробь w~rj сократима тогда и только
тогда, если ее числитель представим в виде рг, а знаменатель —
в виде qr, где р, q и г—целые числа вг^±|.
Второй сп особ. Если сократима дробь p/q, то сократима
и дробь q/p.
6.в Использовать сначала признак делимости на 4, а затем
признак делимости на 9. 4
6.10. Если условие, в силу которого число 2abc в три раза
меньше abcl, записать символически, то получим уравнение,
которое нужно будет решить в целых числах, каждое из .которых
расположено между 0 и 9.
7.1. Обе двойки представить как 3—1 и сгруппировать члены
так, чтобы в числителе можно было вынести за скобки я+1, а в
7.2. Прежде чем выполнять действия в скобках, следует
упростить дроби, разложив числители и знаменатели на множители.

8.31
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
113
7.3. Перед нами сумма из трех слагаемых. Если первые два
привести к общему знаменателю, то в числителе произойдут
существенные упрощения.
7.4. Прежде чем производить вычитание, следует упростить
дробь.
а
7.5. Если вынести за скобки х*, то в скобках останется х
в степени, содержащей множителями т—п и -ч-, Это упростит
дальнейшие преобразования. |
7.6. Каждое из подкоренных выражений является полным
квадратом.
7.7. Обратить внимание на то, что
9+4 уГ2"=8 + 4 уг2"+1 = (2^'2"+1)!>.
7.8. Каждую из вторых скобок разбить на два слагаемых жа—и2
и г2—i/2, после чего собрать все члены, содержащие множитель
х2—иа, и все члены, содержащие г2—уг. |
7.9. Возвести х+у в четвертую степень н вынести коэффициент 2
за скобки. Выражение в скобках представить в виде суммы
одночленов, взятых с коэффициентом единица, т. е. вместо 2х8у
написать х3у-\-х3у я т. п.
7.10. Первый способ. Если рассматривать данное
выражение как многочлен относительно х, то при х=у и при х=г оно
обращается в нуль, т. е. этот многочлен должен делиться на к—ц
и х—г.
Второй способ. Удобно обозначить: у—г=а, г—х=Ь,
х~у=с. Заметим, что а+6+с=0.
7.11. Если обозначить левую часть через г, то, освобождаясь
от радикалов, можно получить уравнение относительно г.
7.12. Равенство, которое нужно доказать, представляет собой
однородное выражение седьмой степени. Возвести в степень а~\-Ь+
+с=0 и а-\-Ь=—о.
7.13. Задача сводится к разбору случаев, позволяющих раскрыть
знаки абсолютной величины. Количество рассматриваемых случаев
можно уменьшить, если заметить, что равенство, о котором идет
речь, не меняется при замене х на —х.
7.14. Можно разобрать различные случаи взаимного
расположения чисел х, у и 0. Однако проще возвести каждую часть в
квадрат. Так как обе части неотрицательны, то мы получим равенство!
равносильное данному. J,
8.1. Поскольку выражения, стоящие в скобках, расположены
симметрично относительно значения х=5, удобно ввести новое
неизвестное у=*х—5. После того как мы раскроем скобки, произойдут
значительные упрощения. |
8.2. Можно перемножить скобки по две, чтобы получить
квадратные трехчлены, отличающиеся только свободным Членом.
8.3. Если записать уравнение в виде
х*_ 17 =3i/*,

114
указания [8.4
то возникает мысль доказать, что левая часть ни при каких целых х
не делится на 3.
8.4. Если целое у зафиксировать, то получим квадратное
уравнение относительно х. Поэтому естественно обратить внимание на
те ограничения, которые накладывает на у условие
неотрицательности дискриминанта этого уравнения. J.
8.5. Остаток следует искать в виде ах-\-Ь, а частное удобно
обозначить через Q (х). Следуя определению деления, записать тождество.
8.6. Противоречие между тем, что неизвестных в задаче два)
а и Ь, а данный корень один, становится кажущимся, если обратить
внимание иа то, что а и 6—целые, а данный корень состоит из
рационального и иррационального числа. Кроме того, все
иррациональности, получающиеся при возведении этого корня во вторую
и в третью степень, соизмеримы.
8.7. Если подставить известный корень в уравнение, найти
коэффициенты при рациональной и иррациональной частях, то
получим систему двух уравнений для определения а и 6.
6.8. Ответьте на вопрос; достаточно ли воспользоваться теоремой
Виета, в силу которой свободный член и второй коэффициент должны
Сыть положительными?
8.9. Если обозначить первый корень через xlt а знаменатель
прогрессии через q, то останется применить теорему Виета. \.
8.10. С помощью теоремы Виета получить зависимость между
av otj, а3 и коэффициентами данного уравнения. I
8.11. Разделить х*+ах+1 на х—а по правилу деления
многочлена иа двучлен.
8.12. Ясно, что остаток нужно искать в виде ах-\-Ь. Если
данный мпогочлен обозначить через Р (х), а частное от его деления на
(х—2) (дг—3)—через Q {х), то мы сможем воспользоваться
определением деления многочленов.
8. IS. Если многочлен х*+1 разделится иа x*-\-px-\-q, то в
частном мы получим многочлен второй степени, т. е х2+ах-\-Ь.
8.14. Если данный многочлен делится на (х—1J3, то после
замены х—1 =у получим многочлен, который должен делиться на у3.
8.16. Многочлен делится на x*-f-X+l, если его корнями яв-
1 . уТ- I ]/Т.
ляются комплексно сопряженные числа — -gH—g—i и — у--^-
8.16. Если многочлен четвертой степени с коэффициентом 6 при
старшем члене делится на х2—x+q без остатка, то в частном
обязательно получится многочлен 6х2-)-а* + 6, в котором а и Ъ
определяются одновременно с р и q.
9.1. Точки —2, —1, 0 делят числовую ось на четыре интервала,
в каждом из которых нужно решить данное уравнение. j.
9.2. Если рассматривать значения х, обращающие в нуль числа,
стоящие под знаками абсолютных величин, то придетсА разбить
числовую ось на пять частей.
Удобнее ввести новое неизвестное у=х*. I
9.3. Это уравнение четвертой степени. Следовательно, нужно
найти искусственный прием, приводящий к его решению. Удобно
воспользоваться тем, что слева стоит сумма квадратов.

9.18]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
115
9.4. Возвести в куб и сравнить полученное уравнение с данным.
0.5. Свести уравнение к симметрической системе, обозначив
первый корень через и, а второй—через v. |
9.6. Если под знаками корней раскрыть скобки, то получим
квадратные трехчлены, отличающиеся лишь свободным членом.
Поэтому удобно заменить уравнение системой, обозначив первый
корень через и, а второй—через v.
9.7. Поскольку неизвестное входит в уравнение либо в
сочетании х—Ь, либо в сочетании а—х, то удобно ввести обозначения
у а—jc=u, ух—6=ои получить систему алгебраических уравнений.
9.8. Ввести вспомогательное неизвестное у и свести решение
данного уравнения к решению системы уравнении относительно ж и у.
9.9. Перенести У | х | в правую часть уравнения и возвести обе
части в квадрат.
9.10. Чтобы избавиться от знаков абсолютной величины, можно
поступить двояко: либо потребовать, чтобы правая часть уравнения
была неотрицательной, и решить уравнения
*а—|- х— 1 =— хй—4* + р\ хг—'-|-х— 1 = л:г+4х— Р;
либо рассмотреть два случая i в первом выражение, стоящее под
знаком абсолютной величины, неотрицательно, а во
втором—отрицательно.
9.U. Рассмотреть различные случаи расположения х и у по
отношению к нулю (всего придется рассмотреть четыре случая). J.
9.12. Решить систему уравнений с параметром А, а затем решить
систему неравенств. \
9.13. Рассмотреть различные случаи взаимного расположения
чисел х и у и чисел х и —у. Это позволит раскрыть знаки
абсолютной величины. ■)•
9.14. Второе уравнение—уравнение окружности радиуса У~~а.
Нарисовать кривую, которая определяется первым уравнением.
9.15. Одно решение очевидно: х— у = 0- Если ху ?Ь 0, то можно
разделить первое уравнение на ху, а второе на х2у2,
9.16. Если бы во втором и третьем уравнениях не было
коэффициентов 2 и 3, то уравнения системы получались бы друг на
друга с помощью циклической перестановки неизвестных х, у и г.
Однако влияние коэффициентов оказывается столь сильным, что
попытка использовать это свойство системы не приводит к успеху.
Попытайтесь преобразовать систему в распадающуюся, для чего
потребуется отыскать алгебраическое выражение, общее для двух
уравнений, и исключить его.
9.17. Если первое уравнение записать в виде х-\-Ф=—г н
возвести в квадрат, то с помощью второго уравнения системы можно
найти ху.
9.18. Сопоставьте первое и последнее уравнения. Если записать
их в виде
x+j/ = l — г, х* + у* = 1—г",
то напрашивается способ, с помощью которого можно преобразовать
систему в распадающуюся.

"о указания [9.19
9.19. Левые части уравнений—многочлены, симметричные
относительно х и у. Мы знаем, что каждый такой многочлен можно
выразить через простейшие многочлены х-\-у и ху. Первый из них
равен а, а второй можно найти из первых двух уравнений.
9.20. Первые два уравнения системы симметричны относительно
* и у. Нужно использовать эту симметрию для того, чтобы получить
одинаковые правые части у этих двух уравнений.
9.21. Если второе уравнение возвести а квадрат, то можно
сравнить два выражения для {x-\-yf. J.
9.22. В первое уравнение входит у, в последующие yt, yl* wyP
соответственно. Эта закономерность позволяет исключить у.
9.23. Каждый элемент, стоящий в левой части второго
уравнения, получается из соответствующего элемента, стоящего в левой
части первого уравнения, возведением в квадрат. Нужно
использовать это свойство системы.
9.24. Левые части всех трех уравнений симметричны
относительно х, у, г. Поэтому, подвергнув какому-то преобразованию
любые два уравнения системы, разумно сделать то же самое и
с оставшимися двумя парами уравнений.
9.25. Если известна сумма s=x1-)-xs-|-... + х„. то из каждого
уравнения можно найти соответствующее х,-.
9.26. Чтобы избежать возведения двучлена в третью и, тем
более, в пятую степень, нужно ввести новые неизвестные так,
чтобы выражение 7х—Ну было одним из этих неизвестных.
9.27. Поскольку У у—х входит в оба уравнения с разными
знаками, а У у—с одинаковыми, то естественно сложить данные
уравнения и вычесть. При этом мы приходим к системе, у которой
слева стоят сумма и разность одинаковых радикалов, а справа —
разные радикалы.
9.28. Чтобы левые части уравнений стали однородными
относительно неизвестных, удобно ввести новое неизвестное z — ]Лу".
9.29. Если каждое из уравнений возвести в квадрат, то
получим систему отиосптельно и—х* и v=y*. Проверка здесь может
оказаться довольно сложной, поэтому целесообразно следить за
равносильностью в процессе решения. Чтобы в результате
возведения в квадрат не появились посторонние решения, достаточно
записать ограничения: х > 0, у > 0.
9.30. Все члены системы, содержащие х и у, однородны второй
степени относительно х и у. Пусть данная система имеет решения
*i. Уи г1- Укажите симметричное решение, которое наряду с этим
будет иметь система.
9.31. Поскольку вместе с условием х+у=0 мы получаем три
уравнения с двумя неизвестными, то имеет смысл воспользоваться
подстановкой у=—х.
9.32. Поскольку данная система должна иметь решение при
любом Ь, то, чтобы сузить область допустимых значений а, можно
рассмотреть эту систему при некотором фиксированном Ь.
9.33. Вначале нужно использовать условие, что система должна
иметь только одно решение. Если каждое уравнение рассматривать
как функцию х, то легко заметить, что обе функции четные. Это

10.11]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
117
значит, что наряду с решением х=хх, у=Ух система имеет решение
x=—xlt y=yv
9.34. Второе уравнение можно преобразовать к виду
х+у (]Пё+Т-х)+у*=0,
умножив числитель и знаменатель дроби на выргжение,
сопряженное знаменателю. Легко убедиться, что у Ф 0. Поэтому можно
полученное уравнение разделить на у, после чего нетрудно с
помощью первого уравнения системы исключить V^-f-l.
10.1. Из условия о+Ь = 2 следует, что числа а и Ъ
расположены симметрично относительно единицы. Использовать этот факт.
10.2. Первый способ. Так как xi-i-y2=l, то существ)ет
угол а такой, что x=sina, у=cos a.
Второй способ. Воспользуйтесь очевидным неравенстве!
10.3. Первый способ. Поделить данное равенство почленно
на с'^'.
Второй способ. Доказать эквивалентное неравенств»:
(т)%+(!-)"•>'•
10.4. Избавиться от дробей и использовать условие 0<лс<1.
Это условие обеспечивает выполнение таких неравенств, как
хи+1^хк, 1—хк^0 при любом натуральном k. J.
10.5. Оценить каждый корень с помощью неравенства между
средним геометрическим и средним арифметическим двух чисел,
взяв в качестве первого числа подкоренное выражение, а в
качестве второго—единицу.
10.6. Предположить, что Ь<,а, и оценить левую часть,
заменив Ь на а. \
10.7. Выражения, стоящие в правой и левой частях неравенства,
однородны относительно а и Ъ. Поэтому естественно выразить их
а . Ь .
через -г- , если a < Ь, или через — , если а > в.
10.8. Воспользоваться неравенством между средним
арифметическим и средним геометрическим двух чисел.
10.9. Первый способ. Если обозначить три
положительных слагаемых в левой части неравенства через и, v и а>, то
uvw=l. Следовательно, среди чисел и, v и и есть одно большее
единицы и одно меньшее единицы, например, и > I, u < 1. Тогда
(1-и)(о—1)>0.
Второй способ. Если u, u и w—положительные числа,
причем и—наименьшее, то и > w, v > w. Неравенство v > w можно
умножить на положительное число и—ш и полученное неравенство
разделить почленно на ш.
10.10. Поскольку, раскрыв скобки в правой и левой частях
неравенства, мы его существенно упростим, удобно вести
доказательство от противного.
10.11. Если перемножить крайние и средние скобки, то
получатся два трехчлена отличающихся только свободным членом. Этс

118
УКАЗАНИЯ [10.12
позволяет оценить левую часть, выделив квадрат трехчлена,
свободный член которого находится посередине между свободными
членами первого н второго трехчленов. |
10.12. Данные уравнения симметричны относительно у и г и
не симметричны (второе) относительно х. Если воспользоваться
вторым уравнением и из первого выразить y+z через х, то мы
получим простую систему относительно у к г, где х выступает
в роли свободного члена.
10.13. Данные уравнения можно переписать в виде
у+г=Ь~х, уг+х{г + у)=8,
после чего можно получить уравнение, корнями которого будут
у и г, а коэффициенты будут зависеть от х.
10.14. Нужно рассмотреть три случая, в зависимости от того,
положителеп, отрицателен или равен нулю дискриминант
трехчлена. Затем обратить внимание на знак старшего коэффициента. [
10.15. Так как коэффициент при *г положителен, то ветви
параболы направлены вверх. Рассмотреть возможное расположение
корней параболы относительно отрезка 1 < * < 2.
10.16. Воспользоваться теоремой Виета и рассмотреть случаи,
когда Х{ и а--, одного знака и разных знаков.
10.17. Определить направление ветвей параболы и
расположение ее корней относительно точек —1 и -Н> чтобы условия задачи
выполнялись.
10.18. Если тфй (случай т=0 следует рассмотреть отдельно),
то ветви параболы у=тхг—4а'+3/я + 1 должны быть направлены
вверх.
10.19. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки
абсолютной величины. Удобнее записать это неравенство как
совокупность двух систем: в первой выражение, стоящее под знаком
абсолютной величины, неотрицательно, а во втором системе оно
отрицательно. \
10.20. Чтобы избавиться от знаков абсолютных величин,
достаточно вспомнить о том, как они могли быть получены, например,
K(J=3p = |**-3|. |
10.21. Чтобы упростить данное неравенство, его нужно
умножить на Ах. Поскольку результат будет зависеть от знака х,
необходимо рассмотреть два случая: х < 0 и х > 0. |
10.22. Если перенести 3 в левую часть неравенства и привести
полученное выражение к общему знаменателю, то получим дробь,
которая должна быть отрицательной.
10.23. Неравенство можно упростить, если перенести все в одну
сторону, привести выражения, стоящие под радикалами, к общему
знаменателю и вынести за скобки неотрицательный множитель
10.24. Удобно рассмотреть два случая: х> 0 и х < 0 (при
*=0 сразу видно, что неравенство не выполняется).
10.26. В неравенство входит сумма двух выражений: ух,
Yx^T—v- их удвоенное произведение. Кроме этого, в правой

10.45]
• ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
119
части стоит член—2х, который после перенесения его в левую
часть можно использовать для образования суммы квадратов этих
выражений.
10.26. Поскольку второе слагаемое всегда неотрицательно,
целесообразно рассмотреть два случая: х > 0 и х<0.
10.27. Если привести обе части неравенства к оснсданию 2, то
можно заметить симметрию показателей.
10.28. Если перенести все влево и сгруппировать члены,
содержащие иррациональное выражение в показателе степени, то
это поможет разложить левую часть на множители. \.
10.29. Чтобы степень была меньше единицы, необходимо и
достаточно выполнение одного из двух условий: либо основание
больше единицы и показатель степени отрицателен, либо
положительное основание меньше единицы, а показатель положителен.
10.30. Воспользоваться свойством показательной функции
с основанием, меньшим единицы.
10.31. Так как обязательно х > 0, то можно упростить
неравенство, разделив обе части на х.
10.32. Прологарифмировать по основанию 10.
10.33. При возведении в квадрат нужно потребовать, чтобы
подкоренное выражение было неотрицательным. 4-
10.34. Выражение, стоящее под знаком логарифма, должно
быть положительным. Выражение, заключенное в знаках абсолют-
нон величины, неотрицательно. Как видите, это не совсем одно
и то же. |
10.35. Перейти к одному основанию логарифмов н выразить
левую часть через loga x. Нарушится ли при этом
равносильность?
10.36. Перейти к одному основанию и получить под знаками
логарифма одинаковое число. |
10.37. Основание логарифмов меньше единицы. При переходе
к неравенству, связывающему аргументы, нужно не забыть о
положительности величин, стоящих под знаками логарифма.
10.38. Если обозначить \ogax=y, то получим алгебраическое
неравенство относительно у.
10.39. Перейти к общему основанию к.
10.40. Вообще говоря, нужно рассмотреть случаи, когда
основание х больше единицы и когда оно находится между нулем и
единицей. Однако внимательное изучение условия неравенства
позволяет рассмотреть только один из этих случаев.
10.41. Поскольку основание логарифма больше единицы,
данное неравенство эквивалентно требованию, чтобы число, стоящее
под знаком логарифма, было не меньше единицы.
10.42. Прежде, чем рассматривать случаи х1 > 1 и 0 < хг < I,
нужно полностью использовать условие.
10.43. Перейти к основанию 2 и обозначить log2^=i/. J,
10.44. Нужно начать с приведения логарифмов к основаниям
10.45. Поскольку неизвестно, как расположено выражение,
стоящее в основании логарифма, относительно 1, то придется
рассмотреть два случая: 0 < х2— 1 < 1 и ж2—1 > 1. j

120
УКАЗАНИЯ
110.46
10.46. Преобразовать выражение log*/2 ~- с тем, чтобы в нем
не было дробей ни в основании, ни под знаком логарифма. J.
10.47. Если у ф 0 фиксировано, то данное неравенство является
о-ычным-квадратным неравенством относительно х. Остается
записать условие, при котором это квадратное неравенство имеет
решение.
11.1. С помощью формулы перехода к другому основанию можно
выразить искомое число через десятичные логарифмы.
11.2. Число 1225 нужно разложить на простые множители. J
П.З. Перенести степени с основанием 2 в правую часть
уравнения, а с основанием 3—в левую. Правую часть записать как 2
в некоторой степени, а левую—как степень числа 3.
11.4. Обозначить 3~~' *— * ' «=«/ и исследовать квадратное
уравнение.
11.5. Обозначить 12'*' — у. При исследовании учесть, что не
только дискриминант не должен быть отрицательным, но и
найденные значения у не могут стать меньше единицы. |
11.6. Уравнение можно переписать в виде
Зл
5*".2х+1=52-2а;
это позволяет угадать одно решение. Такую возможность упускать
не след>ет.
11.7. Использовать тот факт, что числа г+УТ и 2—У"з
взаимно обратны.
11.8. Уравнение примет более симметричный вид, если
разделить обе его части на 2х.
11.0 Для решения уравнения нужно перейти к общему осно
ванию логарифмов. Здесь удобнее выбрать в качестве основания
двойку.
11.10. Привести к одинаковому числу под знаком логарифма.
11.11. С помощью формулы log0 b = loga«.bfc можно добиться того,
что в уравнение будут входить только 1о^7 и log^.
11.12. Если уравнение прологарифмировать по основанию 3, то
мы получим уравнение третьей степени относительно logs*. I
11.13. Уравнение легко преобразовать в иррациональное с
помощью замены y = log*3. 4-
11.14. Так как 21о^2 = 1о&е4, то после умножения обеих
частей уравнения на log4* оно упростится. Нарушится ли при этом
равносильность?
11.16. Вид уравнения подсказывает, что для его решения
удобно перейти к логарифмам с общим основанием х. Равносильное ли
получится уравнение?
11.16. В уравнение входят логарифмы выражения 3+дс при
разных основаниях. Его можно упростить, если воспользоваться
формулой
w h togcb _\ogg с
1о8«6-То^-То&7-

12.2J
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
121
11.17. При решении удобнее следить за равносильностью, чем
делать в конце проверку, которая окажется здесь достаточно
громоздкой.
11.18. Если logy—х записать при основании а, то уравнение
упростится.
11.19. Если в каждом из подкоренных выражений произвести
логарифмирование с переходом к общему основанию а, то это
позволит выделить под корнями полные квадраты. Очевидно, такие же
ограничения, как на а, должны быть наложены и на х.
11.20. Система не может иметь решений, в которых хотя бы
одно неизвестное обращается в нуль (докажите). Следовательно,
каждое уравнение можно прологарифмировать.
11.21. Поскольку нам известно, чему равно хУ, то второе
уравнение целесообразно возвести в степень у.
11.22. Из вида системы следует, что х и у положительны. Так
как в левых частях уравнений одинаковые показатели степени, то
Целесообразно попытаться их найти.
11.23. Так как Пхг:11г = 111ж-1,г, то с помощью этого
соотношения можно получить уравнение относительно 5 '2-
11.24. Так как коэффициенты в левых частях уравнений
одинаковы (двойку во втором уравнении можно перебросить в показатель
степени), то целесообразно посмотреть, нет ли у левых частей
общего множителя.
11.26. Вначале нужно перейти к общему основанию у
логарифмов, а затем получить систему двух алгебраических
уравнений.
11.26. Систему можно решить подстановкой, выразив из
второго уравнения у через х.
11.27. Решение системы нужно начать с использования условий,
что позволит сократить число рассматриваемых случаев.
Из второго уравнения следует, что х и у—величины одного
знака. Поскольку должен существовать loga(je+«/), то х и у
положительны.
Сумму х-\-у легко сравнить с единицей.
11.28. Это—алгебраическая система относительно u = log8x н
B = l°g*(tf+1)- i
11.29. Оба уравнения можно упростить с помощью формулы
logakN = ±-\agaN (a>0, а ф 1).
11.30. Первые два уравнения можно, решить как систему
относительно соответствующих степеней тройки. Нетрудно заметить, что
это позволит найти х.
12.1. Выражения, стоящие в квадратных скобках,
существенно упростятся, если раскрыть скобки и выполнить возведение в
степень. \
12.2. Это тождество по структуре похоже на формулу тангенса
суммы. Чтобы заметить это, достаточно переписать его так:
tg 2a [tg (30°—а) + tg (60°—а)] = 1 — tg (60°—а) tg (30°—а).

122
УКАЗАНИЯ [12.3
12.3. Перенести ctgx в левую часть и преобразовать вместе о
TtgT'
12.4. Поскольку нам нужно получить соотношение, в котором
участвуют а+р и а, то вместо sin p удобно записать sin [(a+P)—a]
и воспользоваться формулой синуса разности. ^
12.5. Домножнть и разделить на 2 sin — и воспользоваться
формулой синуса двойного угла. J.
12.6. Вычислить произведение косинусов этих углов можно, '
если домножнть и разделить его на 2 sin -=-. После этого нужно
трижды последовательно воспользоваться формулой синуса двойного
угла (см. задачу 12.5).
12.7. Удобнее доказать, что правая часть равна левой. Для
этого стоящее в правой части выражение нужно преобразовать о
учетом данных равенств.
12.8. В произведении sin (x+y) sin (х—у) удобно раскрыть
синус суммы и синус разности.
12.9. Выразить дробь, стоящую в правой части последнего
равенства, через синусы и косинусы аир.
12.10. Данное выражение и выражение, которое нужно вычислить,
симметричны относительно a, p и у. Так как углы a, P и у
произвольны и независимы, то удобно записать оба выражения с помощью
одинаковых тригонометрических функций этих )глов.
я 2я
12.11. Подставить p=a+-^-, у = оН—--н записать данное
выражение через синусы и косинусы.
12.12. Так как ctga, ctg p н ctg -у образуют арифметическую
прогрессию, то ctg a+ctg у = 2 ctg р. Если теперь вспомнить, что
я
Р=-тг—(в+у), то можно получить соотношение, не зависящее от
ctga + ctgv. |
13.1. Множитель Y^2sm f x-|--^-] нужнозаменить на sinx-fcos*.
13.2. Левую часть можно преобразовать так, чтобы она
содержала множителем выражение, стоящее в правой части.
13.3. Выразить левую часть уравнения через sin x и cos* так,
чтобы оказалось возможным разложение ее на множители.
13.4. Если преобразовать в сумму произведение синусов двух
функций и произведение косинусов этих же функций, то полупим
сопряженные выражения. Поэтому целесообразно заменить тангенсы
через синусы и косинусы соответствующих аргументов.
13.5. Если записать т вместо ctg*, то после простых преоб-
tgx
разований (следите за их равносильностью) придем к распадающемуся
уравнению. , „
13.6. Прибавить к левой и правой частям уравнения tgdx.
Тогда слева можно вынести за скобки число 3, а справа tg«i

13.25J
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
123
13.7. Нетрудно заметить, что множитель sinlx-t-j-l можно
вынести в левой части уравнения за скобки, так как он получается
при преобразовании суммы sinx-f-cosx в произведение.
13.8. Перенести tg 2x в правую часть и привести обе чагги
уравнения к виду, удобному для логарифмирования.
13.9. Избавиться от иррациональностей с помощью перехода
под радикалами к функциям половинного аргумента. Использовать
условие, что 0 < % < 2rt, и постараться раскрыть знаки абсолютной
величины.
13.10. Перенести sin а в левую часть и привести полученную
сумму к виду, удобному для логарифмирования. Стоящий в правой
части sin* выразить через функции половинного аргумента.
13.11. Рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть знаки
абсолютной величины; задача сведется к решению двух уравнений и к
выбору тех значений х, которые попадают в указанный интервал.
13.12. Вначале следует посмотреть, не стоит ли под знаком
корня полный квадрат какого-то выражения. Число 16 нам, скорее
всего, не помешает, а вот 17—менее удобно для последующих
преобразований. Чтобы освободиться от его присутствия, удобно
вынести под радикалом sec-x за скобки, а оставшееся в скобках выра
жение записать через sinx.
13.13. Перенести все члены уравнения в левую часть и
разложить на множители с тем, чтобы появилась возможность избавиться
от большинства радикалов.
13.14. Выразить sin4x через tg2x. Это тождество условное,
поэтому нужно убедиться в равносильности полученного уравнения
данному.
13.16. Правую часть уравнения можно сократить на cos 2х,
добавив условие cos 2х Ф 0.
13.16. Перейти к функциям х и привести уравнение к
однородному, домножив sinx на тригонометрическую единицу.
13.17. С помощью универсальной подстановки (через тангенс
половинного угла) это уравнение может быть сведено к кубичному
уравнению относительно у = tg-^-. Равносильное ли получится уравнение?
13.18. Понизить степень.
13.19. Левую и правую части можно привести к виду, удобному
для логарифмирования.
13.20. Если каждое из произведений в левой части уравнения
преобразовать в сумму, то произойдут упрощения, .так как
4х+х=3х + 2х.
13.21. Выразить sin4x через sinx и cosx и вынести sinx за
скобки из обеих частей уравнения.
13.22. Раскрыть скобки и каждое из ста произведений
преобразовать в сумму. 4-
18.23. Каждое произведение преобразовать в разность косинусов.!
13.24. Выразить cos4x-fl через cos2x.
13-25. Произведение косинусов может равняться единице, если
либо оба косинуса равны единице, либо оба равны минус единице.

124
УКАЗАНИЯ [13.26
13.26. Представить единицу в виде sin2 х + cos* х.
13.27. Уравнение таково, что не остается надежд на
упрощения в результате тригонометрических преобразований. Поэтому
следует попытаться воспользоваться оценками. Во-первых,
выражение, стоящее в левой части, всегда неотрицательно, кроме
того, cos«xeiO; следовательно, и cos 3x^0. Во-вторых, слева
стоит сумма квадратов, которую разумно дополнить до полного
квадрата.
13.28. Обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть
уравнения не может стать меньше единицы, я,правая не может прев-
.зойти единицу.
13.20. Выражения sin* и secy являются корнями квадратного
уравнения, коэффициенты которого могут быть найдены с помощью
теоремы В нега.
13.30. Если левую часть второго уравнения преобразовать в
сумму косинусов, то мы получим простую линейную систему
относительно cos(x—у) и cos(x+i/). 4
13.31. Левые части первого и второго уравнений нетрудно
выразить через u —sinx и v = sinj/.
13.32. Второе уравнение существенно упростится, если его
левую часть преобразовать в сумму.
13.33. Из системы можно ' исключить х, если воспользоваться
основным тригонометрическим тождеством sin2q>-r-cos3<p=l.
13.34. Нужно вначале решить первое уравнение, решение
которою находится обычным путем. Найденное значение подставить
во второе уравнение.
13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим, что
tgf/ = 2tgx.
13.36. Удобно перейти к уравнениям относительно одной
тригонометрической функции. При этом нужно следить за
равносильностью.
13.37. Если возвести каждое уравнение в квадрат и полученные
уравнения сложить, то мы исключим а. Однако для нас важнее
исключить либо х, либо у. Как это сделать?
13.38. Левую часть первого уравнения можно преобразовать
в разность sin(x—у)—cos(x+y). Из второго уравнения
определяется cos (х+у).
13.39. Правая часть уравнения не может стать больше четырех.
Если ввести обозначения tg*x=u, tg*y=v, то нетрудно заметить,
что левая его часть не может стать меньше четырех.
13.40. Первый способ. Умножить sin2x на
тригонометрическую единицу sin23x+cos23x и сгруппировать члены,
содержащие sin2 Здг.
Второй способ. Перенести все члены в левую часть и
выделить полный квадрат разности 2sinx—sin23x. Оставшиеся
члены образуют неотрицательное выражение.
13.41. Первый способ. Преобразовать сумму
тригонометрических функций cosx+cosi/ в произведение, a cos(x-f-0)
выразить через косинус половинного аргумента.
Второй способ. Раскрыть cos(х+Урто Ф°РмУле косинуса
суммы-

14.10]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
125
13.42. Вопрос задачи естественно поставить следующим образом:
при каких а и Ь равенство
tg *+ tff (я—*) + tg x tg (a—x) =b
является тождеством?
13.43. Вначале следует попытаться оценить снизу левую часть
уравнения, так как верхняя оценка правой части очевидна:
12+у sin {,< 12,5.
13.44. Перенести sin Их в левую часть уравнения и
преобразовать sin ж—sin3x к виду, удобному для логарифмирования.
14.1. Если обе части неравенства возвести в квадрат, то
получим равносильное неравенство, j
14.2. Использовать тот же приед!, что и при решении
уравнения cosx—sinx=—1,—ввести вспомогательный угол. 1
14.3. Первый способ. Можно перейти к неравенству
относительно tgx. При этом придется рассмотреть различные случаи,
в зависимости от знака cos x. {
Второй способ. Если синус и косинус выразить через
X
tg -д-, то получим квадратное неравенство. Равносильно ли оно
данному?
Третий способ. Нужно начать с отыскания корней
уравнения sin*—3cosa-=0, что удобно сделать с помощью перехода к
■ * *
однородному уравнению относительно sm-д- и cos — .
14.4. Если cos 2х и sin 2х выразить через tg х и обозначить
igx=y, то получится простое алгебраическое неравенство.
Равносильно ли оно данному?
14.5. Первый способ. Можно перейти к совокупности
Двух систем: cos x и tg 2x должны быть нестрого (т. е. включая
нуль) разных знаков.
Вторрй способ. Воспользоваться формулой тангенса
двойного угла. Равносильное ли получится неравенство?
14.6. Разобрать два случая, позволяющих раскрыть знаки
абсолютной величины и решить две получающиеся при этом системы
тригонометрических неравенств. J.
14.7. Если записать sin 2x=2 sin x cos x и перенести все члены
неравенства в одну часть, то получим однородное выражение
относительно sin* и cos*. Разделив на cossx, получим
алгебраическое неравенство относительно y=tg x. Равносильно ли оно данному?!
14.8. Вычислить дискриминант и выяснить, когда он
положителен.
14.9. Неравенство может выполняться только при sinx^O и
cosх Si.O. Приняв во внимание эти ограничения, его можно
возвести в квадрат. \
14.10. Записать решение неравенства в предположении, что
jia—новое неизвестное.

128
УКАЗАНИЯ
[14.11
14.П. Привести к неравенству относительно одной тригономет.
рической функции.
14.12. Перенести единицу в левую часть, записать тангенс
через синусы и косинусы и выполнить сложение. В числителе по*
явится косинус разности.
14.13. Это—иррациональное неравенство относительно y = cosx.
Не следует забывать, что 1J/|^1. Благодаря этому решение можно
упростить.
14.14. Если выразить sin* и cos* через tg — , то получим
алгебраическое неравенство, которое решается методом
интервалов. 4-
14.15. Выразить все тригонометрические функции через sin а.
15.1. В правой части можно произвести логарифмирование, ив
нарушая равносильности.
15.2. Свести к квадратному неравенству относительно #=*logt 3.
Следить за равносильностью преобразований. |
15.3. Нетрудно заметить, что на самом деле интервал можно
«узить: 0 < х < -^-, так как при -*- < х < я функции, стоящие под
знаком логарифма, отрицательны.
15.4. Вначале нужно привести все логарифмы к общему
основанию с помощью формулы \ogayN=-r-\ogaN.
15.5. Неравенство эквивалентно условию, что основание
логарифмов лежит между 0 и 1.
16.6. Начать следует с приведения левой части к виду, удобному
для логарифмирования. Это позволит перейти к неравенствам, где
уже не будут участвовать тригонометрические функции.
15.7. Использовать тот факт, что arccosy3»0. Чему равносильно
данное в условии неравенство?
15.8. Область значений левой части неравенства—интервал от О
до -2., а область значений правой части—интервал от 0 до я. Тан
как левая часть должна быть больше правой, то аргумент
арккосинуса не может стать отрицательным.
16.1. Правая часть уравнения не может стать меньше двух.
Сравнить с оценкой левой части. \
16.2. Это уравнение легко привести к квадратному относитель»
по 2^*. |
16.3. Перейти к общему основанию. Не нарушится ли при этом
равносильность?
16.4. Поскольку в левой части уравнения стоит произведение
синуса и косинуса от одного аргумента, удобно воспЬльзоваться
формулой синуса двойного угла. Записать, чему равен аргумент.
16.6. Перейти к уравнению без логарифмов, позаботившись
о сохранении ограничений.
18.6. Ввести вспомогательное неизвестное и преобразовать данное
уравнение в квадратное- -I

17.8]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
127
16.7. От этого уравнения легко перейти к тригонометрическому.
При этом Нужно учесть все ограничения, которыми Логарифм
связывает число и основание.
16.8. Уравнение равносильно уравнению
sin х = У~8£ь&к
чри условии, что cos' х j* ■*-.
16.9. Перейти к уравйению
и найти все k, при которых это равенство возможно.
16.10. Вначале решить квадратное уравнение относительно IgcosJB
Затем найти cosx и на этом шаге провести исследование.
16.11. Решить квадратное уравнение и учесть все ограничения
на параметр а в связи с появлением радикала и синуса.
16.12. Данную систему нужно заменить системой без логарифмов.
Однако при этом следует помнить обо всех ограничениях, которые
Накладываются на число, стоящее под знаком логарифма, н на
основание логарифлга.
17.1. Первый способ. Если обозначить %ут*х-\-у1 и
fy=^U-\-vi, то придем к иррациональному неравенству, йоторбе
естественнее доказывать от противного (это позволяет меньше заботиться
о равносильности при преобразованиях). \
Второй способ. Воспользоваться геометрической
интерпретацией модуля комплексного числа как радиуса-вектора его аффикса
и воспользоваться неравенством треугольника
г 1
17.2. Записать г = а-\-Ы и домножить дробь ——— на число,
г-f-i
комплексно сопряженное знаменателю.
17.3. Применить формулу Моавра.
17.4. Записать комплексное число, стоящее в скобках, в виде
произведения действительного числа и комплексного числа,
записанного в тригонометрической форме.
17.5. Записать г-\ в тригонометрической форме, если
тригонометрическая форма г известна, и приравнять мнимую часть нулю.
17.6. Уравнение, которому удовлетворяет г, можно привести
к виду г2—z-f-l=0. Теперь нетрудно найти, чему равняется г3,
если разложить на множители z3-f-l-
17.7. Для комплексно сопряженных чисел гиг имеет место
равенство |г|=[г|. Остается записать по модулю равенство, данное
в условии. В результате получим систему двух уравнений
относительно ]г| и |г|, а следовательно, сможем найти эти величины.
17.8. Любое уравнение /(г)=0 с комплексным неизвестным
равносильно системе двух уравнений, к которой мы
придем,-Приравнивая нулю действительную и мнимую части f(z).

128
УКАЗАНИЯ
[17.9
17.9. Если второе уравнение возвести в третью степень и
разделить на первое, то получим гаш*=1. Решить это уравнение
совместно с третьим.
17 10. Заменить г=х+у1 и получить уравнение, связывающее
х п у. I
17.11. Первый способ. Если обозначить г = х-\-1у, то
сможем перейти к простому неравенству, связывающему действительные
переменные х я у
Второй способ. Воспользоваться геометрическим смыслом
модуля разности двух комплексных чисел. J.
17.12. Обозначить г=х-\-у1. Выделить действительную часть
выражения г и приравнять ее нулю, i
18.1. Если ввести в качестве неизвестных производительности
труб, то получим три уравнения с четырьмя неизвестными (объеы
бассейна следует принять за единицу).
18.2. Если плечи весов равны /, н 1г, то можно вычислить вес Р
товара, отпущенного покупателю.
18.3. Если населеиие страны равно х, то через год оно вырастет
до *('+-go") ■ Что бУАет чеРез п лет?
18.4. Путь буксира изображен на рис. 1. 18.4, где х—часть
лутн, которую прошел самостоятельно (т. е. без буксировки) первый
понтон, а у—часть пути, которую прошел без буксировки второй
понтон.
I
-o*i—х~р *о-
Рис. 1.18.4.
18.5. Так как некто родился в девятнадцатом веке, то неизвестны
две последние цифры его года рождения. Если мы обозначим и*
через х и у, то сможем записать условия задачи в виде уравнении.
18.6. Если одна часть весит х карат, то ее цена IA где
I—коэффициент пропорциональности.
18.7. Основная трудность—в выборе неизвестных, которые
позволили бы связать данные в условии величины. Здесь- эту роль могут
выполнить нормы расхода горючего при работе двигателя с фикси
рованной собственной скоростью- К чему удобнее отнести эти нормы,
к часу работы двигателя или к километру пути в стоячей воде.'
18.8- Выбор неизвестных подсказан условием задачи: х, у, г.»
и t-количество десятков порций соответствующих сортов^мороженого.
Выбрав в качестве неизвестных количество десятков порций а не коли
чесгвосамихпорций, изаметив, чтонеизвестяые-н^ральныечисла^
тек самым использовали условие, в силу которого у продавца ест»

18.15]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
129
по нескольку десятков порций мороженого. Последнее условие задачи
запишется в виде неравенства у > s. Это ограничение позволит нам
восполнить отсутствие пятого уравнения в системе с пятью неизвест-
18 9. Начать нужно с условия, что, отобрав по одной монете
каждого типа, мы получим 15 копеек.. Так как десятикопеечная
монета сюда входит обязательно, то оставшиеся монеты дают в сумме
18 10. Пусть С—устье реки. Время, израсходованное плотами
на весь путь от А до В, известно, а время, израсходованное на
путь СВ, обозначим через х. Если ввести в рассмотрение
расстояние АС, то скорость течения реки можно выразить из остальных
условий задачи.
Jjewjcw _
А •-
Шш 1 И;
6мЦ)
Зсен С
Рис. 1.18.11.
-я
*9м-
18.11. Условия задачи можно отразить на схеме (рис. 1.18.11).
С помощью схемы можно составить четыре уравнения: встреча в
точке С дает два уравнения и две оставшиеся встречи—по одному.
18.12. Вначале нужно проследить весь процесс за один цикл
в предположении, что объем сосуда принят за единицу, а часть его
объема, занимаемая раствором, обозначена через х.
18.13. В качестве неизвестных удобно выбрать: х—скорость
автомобиля, у—скорость мотоцикла и г—расстояние между пунктами
А и В. Первая встреча произошла через —■■, ■ часов после начала
движения на расстоянии ■ х^и километров от пункта В.
Теперь нетрудно подсчитать расстояние между пунктами первой
и второй встречи. .
18.14. В качестве неизвестных удобно выбрать расстояние (*),
которое пассажир проехал на такси и (у) на автобусе, скорость поезда
(«) и время, на которое пассажир опоздал на поезд (г).
18.15. Скорости поездов связаны со всеми величинами,
участвующими в задаче. Поэтому естественно ввести в качестве
неизвестного х скорость товарного поезда до остановки. Тогда ямс—скорость
пассажирского поезда до остановки.
Однако одного неизвестного здесь мало, так как поезда выходили
из своих пунктов в разное время. Чтобы связать скорости и времена,
нам нужно ввести в рассмотрение расстояния. Пусть расстояние
между А и В равно у, а расстояние М£жду А и С равно г.
5 Е. Б. Веховский, А. А. Рыбкин

130
УКАЗАНИЯ
П8.16
. 18.16. Вопрос задачи не имеет прямого отношения к ее решению.
Поэтому величину, о которой спрашивается в задаче, не следует
выбирать в качестве неизвестного, так как она сложно связана
с остальными компонентами. Наиболее удачно связать участвующие
в задаче величины—расстояния и промежутки времени—можно
с помощью скоростей самолета и вертолета.
18.17. Если обозначить устье реки, на которой стоит порт М,
буквой А, а устье второй реки буквой В, то для решения задачи
удобно ввести два неизвестных расстояния- Сразу же появляется
желание обозначить расстояние АВ, которое требуется определить,
буквой х, один из оставшихся отрезков, МА или NA,—буквой у,
а последний отрезок записать как s—(х-\-у)- Однако более
естественно не нарушать симметрию и обозначить буквами х и у отрезки
МА и BN соответственно. Тогда отрезок АВ будет равен s—(х-\-у).
Поскольку, нас интересует только отрезок АВ, то нужно определить
Х+У-
19.1. Записать выражения для и„ и u„+i и сравнить.
19.2. Поскольку первый член арифметической прогрессии входит
в качестве слагаемого в выражения для любого ее члена, удобнее
сразу записать aq—ар, аг—aq, as—аг. Это тем более удобно, что
нас интересуют разности р—q, q—г, г—s.
19.3. Если ввести at и их—соответственно первые члены
арифметической прогрессии с разностью d и геометрической прогрессии
со знаменателем q, то a, b и с придется выразить через ах, их, й и q.
19.4. В левой части удобно перейти к общему основанию х.
19.5. Если бы сумма состояла из одних девяток, то каждый
член можно было бы представить в виде 10"—1.
19.6. Выражение, стоящее под знаком квадратного кормя,
умножить и разделить на 9. Число, состоящее из k девяток, равно
10*—I.
19.7. Условия задачи можно записать в виде а1-\-а3 = 2аг,
а1а3'=а\. Из этой системы нетрудно исключить о.2.
19.8. Удобно ввести в рассмотрение знаменатель прогрессии д
и с его помощью записать теорему Виета для обоих уравнений. Это
позволит определить q и дгх. j
19.9. Так как корни уравнения образуют геометрическую
прогрессию, то *2=Xiv\ x3=x1qi. Воспользуйтесь теоремой Виета для
уравнения третьей степени.
19.10. Если приравнять выражения для удвоенной суммы п
членов прогрессии и суммы всех ее членов, то получим уравнение
относительно qn.
19.11. Так как число делится на 45, то оно может оканчиваться
либо нулем, либо пятью. Рассмотреть эти два случая.
19.12. Если обозначить через х цифру единиц, а через
q—знаменатель прогрессии, то легко составить два уравнения, отражающих
условия задачи. Однако можно пойти по другому пути: поскольку
цифры числа образуют геометрическую прогрессию и само число
больше 594, то в нашем распоряжении только три возможности:
931, 842 и 964. |
ig,13. Всю работу следует принять за единицу. Чтобы
использовать условия задачи, нужно знать производительность одного

20.Щ
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
131
комбайна. Однако нам неизвестно, сколько часов перед завершением
работы по плану все комбайны работали вместе. Поскольку
удобнее вводить одноименные неизвестные, то эту ветчину обозначим
через у, а через х обозначим количество часов, необходимых одному
комбайну, чтобы убрать весь урожай.. Тогда производительность
комбайна будет равна 1/х.
19.14. Пусть братьям a, aq и aq° лет. Если младший получит
.у рублей, то остальные дна получат xq и xq2 рублей. Условия
задачи позволяют составить три уравнения.
19.15. После того как числа, о которых говорится в задаче,
будут обозначены буквами а, Ъ и с и условия задачи будут
переведены на математический язык, мы получим два уравнения с тремя
неизвестными. Достаточно ли этого, чтобы решить задачу?
19.16. Воспользоваться методом математической индукции, что
позволит доказать формулы для ап и Ь„.
20.1. Данное неравенство эквивалентно такому!
Оценить каждое слагаемое так, чтобы легко было оценить всю
сумму, стоящую слева.
20.2. Домножить все члены на d.
20.3. Чтобы разложить дробь . . 0. на простейшие,
к (ft -(- 1) \к -\- /.)
можно начать с разложения дроби т-7ь~ГоТ' а РезУльтат умножить
на
ft-fl' y
20.4. Слева стоит сумма членов геометрической прогрессии.
20.5. Выписать все коэффициенты многочлена 1 -f- x-}-2xa -)-... +
+ пх" и под ними написать коэффициенты того же многочлена,
записанные в обратном порядке. Рассмотреть сумму произведений
стоящих друг под другом чисел.
20.6. В левой части неравенства стоит абсолютная величина
суммы членов бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем —2х.
20.7. Каждое слагаемое ft-ft! можно представить в виде
{*+l)ftl —ft (ft— 1)!. При этом следует иметь в виду, что 0! = 1. J.
20.8. Коэффициенты в правой части образуют арифметическую
прогрессию с разностью 3. Если домножить S„ на х2, то справа
получим сумму, все члены которой, кроме крайних, имеют
коэффициент, отличающийся от подобного коэффициента Sn на 3.
20.9. Рассмотреть тождество
(х+1)» =-** + 5х* +1 Охз +10х2 + 5* -f-1
и положить в нем последовательно х=1, 2, ..., п.
20.10. В п-й группе и членов. Рассмотрите отдельно случаи,
когда п четное и и нечетное.
20.11. Удобнее найти 2S„sin^-.
™ 2л
*•

132
УКАЗАНИЯ
[21.1
21.1. Если все, сидящие за круглым столом, одновременно
сдвинутся на один стул в одном направлении, то у каждого останутся
те же самые соседи.
21.2. Представить искомое число в виде разности числа всех
перестановок из пяти элементов и перестановок, не
удовлетворяющих условиям задачи.
21.3. Три разряда каждого числа должны быть заняты
двойками. В оставшиеся четыре разряда можно поместить любые из
восьми цифр, что даст 84 вариантов.
21.4. Задачу следует начать решать в предположении, что есть-
разные цифры I,, ls li 13, которые входят в каждое число, а
остальные пять цифр равноправны.
21.5. Легче найти число всевозможных размещении
экскурсантов по каютам в предположении, что каюты неравноценны. Пусть
таких размещений будет Л', а размещений, о которых идет речь
в задаче, К. Поскольку из каждого размещения экскурсантов по
равноценным каютам можно получить 8! размещений по
неравноценным каютам, то К-8!=Л'.
21.6. В записи Ае-го члена суммы произвести сокращение на к.
21.7. Воспользоваться разложением (!+')" по формуле бинома.
21.8. Нужно найти такие п. для которых равенство
выполняется при некотором к.
21.9. Представить a-\-b-\-c+d в виде (o + 6)+(c+d) и осу.
ществить возведение в п-ю степень по правилам возведения в степень
двучлена.
21.10. Коэффициент при я* будет равен числу членов,
содержащих хм при почленном перемножении двух одинаковых многочленов.
Придется различать случай, когда члены, содержащие **, могут
быть получены в результате умножения друг на друга членов суммы
1+ х+х" + ... + хк-1-\-хк (0<А<л — I), от случая, когда
и—1 < Л<2(л— 1).
21.11. Записать выражение для общего члена разложения н
сравнить с выражением для десятого члена разложения.
21.12. Сгруппировать члены внутри скобки и последовательно
дважды применить формулу бинома.
21.13. Если обозначить через Рп число способов, которыми
можно разбить на группы последовательность из п элементов, то
можно получить рекуррентную формулу для Р„.
21.14. Если на плоскости проведены т параллельных прямых,
то они разбивают плоскость на m-f-1 частей. Когда мы пересечем
их некоторой прямой, то каждая часть разобьется на две. Что
произойдет, если к уже приведенным к непараллельным прямым
добавить еще одну?
7
22.1. Перенести arctg^y в правую часть, после чего оценить
значения обеих частей с тем, чтобы они попали в интервал (0, -^). \

23,4]
ПЕРВЫЕ УКАЗАНИЯ
133
22.2. Каждое из двух первых слагаемых лежит в интервале
[О, -г- )• Это позволяет воспользоваться формулой тангенса судшы
и заменить два первых слагаемых одним.
22.3. Начать нужно с представления в виде значения одной
тригонометрической функции первого и третьего слагаемых. Чтобы
их сумма попала в область главных значений арккотангенса,
придется прибавить к ней я. J.
22.4. Если 0 < х «s 1, то сумма существует и лежит в
интервале [0, я], т. е. в интервале монотонности косинуса.
22.5. Начать нужно с выяснения, в каком интервале лежит
i/"3' 1
я(.*» + х—3), если 0<x<-i—д .
22.6. Убедившись в существовании арксинусов при 0<д:<^1,
Л
перенести — в левую часть, а вычитаемое—в правую часть, после
чего доказать, что левая часть равенства будет лежать в интервале
монотонности синуса. \
22.7. Так как х < — 1, то значение каждой функции, входящей
в правую часть, можно уточнить с тем, чтобы сумма попала в
интервал монотонности синуса и тангенса, i
22.8. Из данного уравнения можно найти значения arcsin x.
Из этих значений остается выбрать те, которые лежат в области
значений арксинуса. !
22.9. Поскольку arcsin x—нечетная функция, то одновременно
с корнем х уравнение имеет корень —х. Это позволяет искать лишь
неотрицательные корни.
22.10. Из условия следует, что х > 0. Левая часть заключена
в интервале [0, л], который является интервалом монотонности
косинуса.
22.11. Воспользовавшись тем, что 2-f cosx > 0 и 2cosa-=-SsO,
можно уточнить интервал значении левой части уравнения.
22.12. Левая и правая части лежат в интервале монотонности
синуса, i
22.13. Уточнение интервалов с тем, чтобы получить равносильное
уравнение, приведет к Нерациональному способу решения. Проще
перенести, например, arctg (х+1) в правую часть и взять котангенсы от
обеих частей, Каким образом может быть нарушена равносильность?
23.1. Поскольку sinxsgl, то Iog3sinx^0. J.
23.2. В указанной последовательности действий первое
ограничение накладывается на трехчлен хг—х—1, он должен быть
положительным. Следующее ограничение накладывается уже на
^,/i^—X—l). J.
23.3. Нужно пройти всю последовательность действий, начиная
с самого внутреннего, и записать все встречающиеся при этом
ограничения.
23.4. Найдя область определения функции arccos(x3—Злс+1),
исключить точки, в которых не существует tg 2х. |

184
УКАЗАНИЯ
[23.5
29.5. Решить систему неравенств, обеспечивающих
существование данного выражения, графически. J
23.6. Доказательство удобно вести от противного. Предположить,
что функция имеет период о, и подставить х=0, х=а.
23.7. Первый способ. Доказательство можно вести от
противного, предположив, что функция имеет период Т.
Второй способ. Найти корни функции и исследовать их
в предположении, что у функции имеется период.
23.8. Записать тождество, равносильное условию, что f{x) имеет
своим периодом число Т. Рассмотреть это юждество при х=0 и
* = ± Т. 4
23.9. Ясно, что любое общее кратное периодов cos -д- и sin -5-
& о
будет периодом данной функции. Доказать, что наименьшее общее
кратное будет основным периодом.
24.1- Заменить cos*.v на 1—sin2 jr. В результате получится
квадратный трехчлен относительно sin*.
24.2. Записать у как одну функцию другого аргумента.
24.3. Привести к одной тригонометрической функции другого
аргумента.
24.4. Выражение можно представить в виде А* + В*-\-С, где
С—константа.
24.5. Чтобы раскрыть знаки абсолютных величин, нужно
нанести на числовую ось точки ±1 и ±2, которые разобьют ее на
пять интервалов.
24.6. Воспользоваться неравенством между средним
арифметическим и средним геометрическим нескольких чисел.
24.7. Чтобы найти максимум АВ-\-ВС,
удобно ввести в рассмотрение углы лиц
(рис. I. 24.7), имея в виду, чтох + н = п—а,
и перейти с помощью теоремы синусов к
тригонометрическим соотношениям. J
24.8. Если обозначить катеты
основания через а н Ь, то боковая поверхность
призмы равна
{а + Ь+У^+¥) УсР + Р,
о 19л7 причем а6=4.
кис. 1.лл. 24.9. Квадрат должен быть вписан в
шестиугольник так, чтобы пе нарушалась
симметрия, т. е. центр квадрата должен совпадать с центром
шестиугольника.

ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ
1.1. Из треугольника AOJ) определить А0Х, если известен
радиус окружности 01 (рис. I. 1.1.).
1.2. Зная АВ, можно найти AD и радиус SOj описанной
окружности (рис. II. 1.2). Нужно лишь заметить, что угол ABD равен
л „_ АВ
т-а. а В£ = Х-
1.3. Возможны два случая взаимного расположения
треугольника и окружности. Либо окружность будет вписана в треугольник
так, что каждая точка касания делит соответствующую сторону
пополам, либо одна вершина треугольника окажется внутри
окружности, а две другие—вне.
Найдите решение, не зависящее от взаимного расположения
окружности и треугольника. Для этого достаточно рассмотреть
треугольник, который получится, если соединить середины сторон
данного треугольника.
Рис. П.1.2.
Рис. II.1.4.
1.4. Чтобы найти отношение площадей треугольников i4IB1C и
ЛВС, нужно применить теорему об отношении площадей
треугольников, имеющих равный угол.
В обозначениях, введенных на рис. П. 1.4, имеем
SAittiC _"Л Sa.BCi _alc2 SAn,Cl _bsPi
'ABC
ab
>ABC
be
Sabc te

136
УКАЗАНИЯ
[1.5
С помощью теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника
остается выразить ах, o4l blt bt, сь с2 через a, b и с.
1.6. Если центр вписанной в треугольник окружности
обозначить через О, то площадь треугольника ABC можно будет
вычислить как сумму площадей треугольников АОВ, ВОС и СОА. Прн
этом каждая т сторон АО, ВО-и СО может быть выражена через
радиус г вписанной окружности. Площадь треугольника А1В101
тоже разбивается на три площади. АуОВ,, ВхОСх н CfiAx- Остается
углы A-fiBy, B-fiC-i и CiOAi выразить через углы треугольника ABC.
1.6. Из данного соотношения между площадями треугольников
ADC и ABD. имеющих общую сторону AD и одинаковые углы прн
вершине А (поскольку AD—биссектриса треугольника ABC), можно
найги отношение сторон АС-.АВ. Далее применить теорему синусов.
1.7. Площадь треугольника CAD (D—точка пересечения
биссектрисы внешнего угла А треугольника ABC с продолжением
стороны СВ) можно вычислить двумя разными способами, используя
лишь элементы, участвующие в задаче.
1.8. Сумма двух сторон треугольника, не лежащих против
угла А, участвует в выражении площади через полупериметр и
радиус вписанной окружное™ п в выражении через биссектрису и
синус половинного угла. Из этих двух выражений сумму Ь-f-c нужно
Исключить.
1.9. Отношение отрезков АО к ОМ дано. Эти отрезки можно
рассматривать как отрезки, на которые сторона AM треугольника
АВМ разбита биссектрисой ВО. В результате мы перейдем к
отношению отрезков АВ и ВМ, которые более удобны для использования
теоремы синусов.
Аналогично щжно поступить с отношением отрезков ВО и ON.
1.10. Угол РМЛ ранен углу QOA (рис. 11.1.10). Чтобы найти
MP, нужно рассмотреть сначала треугольник РМА, а затем
треугольник О A Q.
9/ л
У
Л*
\м
"Л
Р РА
Рис. II 1.10.
1.11. С помощью первого указания можно получить одно
уравнение, связывающее углы данного треугольника. Ко второму
уравнению нас приведет условие, в силу Которого высота BQ
треугольника ABQ (рис. II.I II) в 6 раз больше высоты 00 треугольника
AOQ. Достаточно выразить AQ из треугольников ABQ и АОО,
заметив при этом, что угол OAQ является дополнительным для угл"а С.

1.18]
ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ
137
1.12. После того как получено соотношение
sinC^sinB
использовать условие, согласно которому В—С=-„-, с тем, чтобы
получить уравнение относительно одной тригонометрической функ-
ыш неизвестного угла С. Для достижения этой цели можно,
например, в написанное выше соотношение подставить В=-^-\-С. После
атого полученное соотношение удобно возвести в квадрат.
1.13. Первый способ. Через х, у и г можно выразить
площадь треугольника:
xa+yb+zc=2S.
Еще три соотношения, в которых участвуют х, у и г, получим,
если выразим каждый из отрезков АО, ВО и СО из двух
прилегающих к нему треугольников.
Второй способ. Связать отрезки I, т ч п удобно с
помощью теоремы косинусов для каждого из трех треугольников
ЛОВ, АОС и ВОС, сумма площадей которых равна площади
треугольника ABC.
1.14. Остается использовать условие, что А—В=ф. С помощью
формул преобразования произведения тригонометрических функций
В сумму придем к тригонометрическому уравнению относительно
2 '
1.15. Площадь треугольника ABC, которую мы временно
обозначим через S, равна
Q
Кроме того, S выражается через а. Ь, I и sin-^-, если треугольник
ABC разделить биссектрнссой CD на два треугольника.
1.16. Для нахождения угла СОВ следует использовать тот факт,
что центр вписанной в треугольник окружности лежит на
пересечении биссектрис. Для этого нужно выразить ^ СОЙ через сумму
£ОСВ-\-/ОВС.
1.17. Так как в условии сказано, что стороны треугольника
образуют арифметическую прогрессию, то обозначим их длины через
a, a-(-d, a-(-2d и постараемся связать радиус вписанной окружности
с длинами сторон. На рисунке треугольник удобно расположить
так, чтобы средняя по длине сторона оказалась его основанием.
С помощью сравнения площадей легко выразить высоту
треугольника через радиус вписанной окружности. Этот факт будет
полезен для исследования образовавшихся подобных треугольников.
1.18. Заметить, что проекция отрезка АО (О—центр вписанной
окружности) на сторону Ь равна р—а.

138
УКАЗАНИЯ
[1.19
1.19. Чтобы доказать, что треугольники ABC и ORL подобны,
достаточно установить равенство их углов. Так как углы
треугольника ABC легко выражаются через угол С, то м углы треугольника
OLK- тоже следует постараться выразить через тот же угол С.
Начать удобно с угла K.OL, который равен углу АОВ.
1.20. Чтобы связать стороны треугольника" и его углы, удобно
воспользоваться теоремой синусов; так как соотношение, которое
нужно доказать, однородно, линейные элементы сократятся.
1.21. Если через одну нз вершин треугольника ABC провести
отрезок, параллельный противоположной стороне треугольника до
пересечения с данной в условии прямой, то получим нужные
подобные треугольники.
1.22. Если провести в треугольнике ABC зысоту АЕ, то
получим три прямоугольных треугольника; с помощью теоремы Пифагора
АВ*, АС- и AD'1 можно выразить через АЕ и отрезки, лежащие
на ВС.
1.23. Если АС—основание треугольника, то дополнительное
построение удобно выполнить так: через вершины А и С провести
прямые, параллельные BQ, а отрезки CR и АР продолжить до
пересечения с этими прямыми. В результате возникнут все необходимые
для решения подобные треугольники.
1.25. В качестве неподвижного радиуса \добно выбрать АО.
С\мму квадратов расстояний выразить через радиус R описанной
около треугольника окружности и угол а.
1.26. Две стороны и угол между ними известны. Третью
сторону можно найти по теореме косинусов, а радиус описанной
окружности — но теореме синусов.
'!.27. Выразить cos A n cos С через стороны треугольника и
сравнить cos UC с cos Л, имея в виду данное в условии соотношение:
о* = с (* + <■')-
1.30. Сделать это можно так: BE будет стороной,
соответствующей ОхЕ, а через-точку Е нужно будет провести прямую,
параллельную КО2, и отложить на ней
отрезок, равный КО„.
1.31. Достроить треугольник ABC
до параллелограмма так, чтобы сторона
АВ была диагональю этого параллело- •
грамма, а через вершину В провести
BDii\AD. Рассматривая треугольник MDC
и подобный ему треугольник с
вершинами в точках В и С, найдем отношение,
в котором точка М делит отрезок AD.
1.32. Чтобы выразить все
участвующие в формулировке задачи величины
через R и синусы соответствующих углов,
Рис II 1 32 нужно ввести углы так, как это показан*
на рис. II. 1.32, и затем
воспользоваться теоремой синусов.
1.33. Треугольники, которые получаются при продолжении
боковых сторон трапеции до пересечения, подобны. К полученному
отношению сторон остается применить производную пропорцию.

I.47J ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 139
1.34. Чтобы использовать условие AN:NB —1:2, можно
отметить на рисунке топку пересечения прямой с продолжением одной
из сторон квадрата. Того же эффекта мы добьемся, если проведем
через точку N прямую, параллельную ВС.
1.35. Чтобы составить уравнение относительно х, удобно
выразить через х отрезок АЕ один раз с помощью квадрата, а другой
раз с помощью треугольника.
1.36. Чтобы связать треугольник и трапецию с окружностью,
естественно провести радиусы в вершины обеих фигур. К этим
радиусам прилегают прямоугольные
треугольники. Выясните, какие из них равны. *.
Углы NOE и ОАО (рис. II. 1.36)
можно выразить через угол а и убедиться
в том, что они равны.
1.38. Выразить через Run
периметры первого и второго
многоугольников и сравнить с периметром третьего
многоугольника.
1.39. Величину R можно будет
вычислить, если мы построим треугольник,
в котором все стороны выражаются через Рис. П. 1.36.
R и известные величины. В качестве
такого треугольника удобно выбрать треугольник OM0lt где Ot—центр
рассматриваемой в задаче окружности.
1.40. Ввести в рассмотрение угол ADC (обозначить его через q>)
и равный ему угол ВЕС Найти tg<p.
1.41. Чтобы применить к треугольнику AOOt теорему косинусов,
придется ввести в рассмотрение угол р между хордой АВ и
диаметром, исходящим из точки А- Косинус и синус этого угла легко
выразить через b и г.
1.42. Чтобы использовать условие задачи, нужно соединить центр
окружностей с концами и серединами хорд, являющихся сторонами
квадрата. При решении следует помнить, что возможны два
варианта взаимного расположения квадрата и центра окружностей: либо
центр лежит внутри квадрата, либо вне его.
1.43. Чтобы составить уравнение относительно х, рассмотрите
треугольник ОЕС, в котором все стороны можно выразить через R и х.
1.44. Ввести обозначения R, г и а-, где х—расстояние между
проекциями центров на нижнее основание. Составить уравнения,
используя условия задачи и теорему Пифагора.
1.45. Чтобы доказать, что фигуры CQNK и OQD равновелики,
достаточно доказать, что равновелики секторы COQ и KDN. Для
этого следует выяснить связь радиусов большей и меньшей
окружностей.
1.46. Пусть К—проекция точки О на АВ. Отрезок ОК можно
вычислить двумя способами: из треугольника OAK и из
треугольника ОКР\.
1.47. Так как хорды пересекаются внутри окружности, то
естественно воспользоваться равенством произведений отрезков, на
которые каждая хорда делится точкой пересечения.

140
УКАЗАНИЯ
[1.48
1.48. Чтобы связать х н /?, а именно это требуется в условии
задачи, нужно опустить из центра 02 перпендикуляры O^D и 02С на
радиусы ОЛ и ОВ соответственно.
Рассмотреть треугольник ОйСОх. Выразить 0%С через х и R,
используя тот факт, что угол ОАВ = 45°.
1.49. Угол АМС равен л—2ф. Если МВ = МС=р*, то АС можно
выразить из треугольников . АМС и i4BC. Приравняв эти
выражения, получим уравнение относительно х.
2.1. Осуществить параллельный перенос отрезка DC в точку В.
2.2. Сколько решениА имеет задача?
2.3. Мы знаем, что точки А и Ах лежат на прямой,
параллельной ВС и отстоящей от ВС на расстоянии ha. Нужно найти еще одно
свойство любой из этих точек; в этом должен помочь угол ср.
Отразим треугольник САХА от оси АхА и получим треугольник
СхАхА (рисунок сделайте самостоятельно). Фигура
СХАВАХ—параллелограмм, у которого вершины Сх и В фиксированы, углы известны,
а две другие вершины нужно построить.
2.4. Зная Rub (рис. II. 2.4), можно построить треугольник AOF.
Остается использовать медиану тг. Чтобы это сделать, нужно, после
того как построен треугольник AOF, построить середину отрезка АВ.
В
л^~ »а а не
Рис. II.2.4. Рис. П.2.6.
2.5. Докажите, что точка Q лежит на окружности, описанной
около треугольника ABC. Для этого достаточно вычислить угол ВОгС.
2.6. Предположим, что точки D и Е найдены (рис. П.2.6). Если
через любую точку F, лежащую на АВ, провести прямую FG,
параллельную DE, а через точку G—прямую GH, параллельную ЕС,
то получим четырехугольник AFGH, подобный ADEC, с центром
подобия в точке А.
2.7. «Средним» будет такое положение прямой FE, когда
FM = ME.
2.8. В треугольнике АхААг известны основание и высота.
Третий элемент этого треугольника можно найти, если использовать
данный в условии угол А треугольника ABC, через который легко
выразить угол АХАА2. •
2.9. Если взять любой из треугольников, образовавшихся при
вершине Р (рис. II 2.9), то начало для построения ломаной,
составленной нз АР, ВР и СР, уже есть. Однако просто пристроить недо-

3.3]
ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ
141
стающее звено нельзя, так как последняя вершина такой ломаной
не будет закреплена, а потому не позволит решить задачу.
На помощь приходит свойство правильного треугольника:
поверните треугольник АВР па 60° вокруг точки А и вы получите
ломаную BiP-iPC, равную сумме отрезков о,
АР ВР и СР. При этом точка Bt L
однозначно определяется видом
треугольника ABC.
2.10. Чтобы построить точку С,
достаточно знать длину отрезка СЕ
или длину отрезка DE=CE—/.
Задача сводится к вычислению и
построению отрезка DE.
2.11. Вершина С лежит, с одной
стороны, на окружности радиуса Ь
с центром в точке S, а с другой А
стороны, на прямой, параллельной Рис. II.2.9.
AD, которую нетрудно построить.
2.12. Остается построить треугольник ОМС по трем сторонам:
CM = AO — R, OC=2R, ОМ известно, так как точки О и М даны.
2.13. Треугольник ОО^Е, где ОхЕ || АВ, а точка Е лежит на ОС.
легко построить, зная OtE=-^-.
2.14. Точки М я N лежат на окружности, концентрической
данной.
2.15. Перенести параллельно отрезок PQ в отрезок ВХВ и
рассмотреть угол APBV
2.16. В качестве одной из вершин параллелограмма удобно
выбрать точку В. Отразив ее симметрично от точки М, получим
еще одну вершину—точку Е.
Чтобы построить параллелограмм FBDE на его диагонали,
нужно найти еще одну связь между вершинами F и D и данными
элементами. Заметим, что точка А еще никак не участвовала в
построениях. Если соединить ее с точкой F, то получим угол AFE,
который известен, так как выражается через угол АСВ.
2.18. Воспользоваться тем, что высоты в треугольнике
пересекаются в одной точке.
2.19. Провести прямую через точки С и М и найти точку ее
пересечения с данным диаметрам или его продолжением.
3.1. Выразить длину отрезка ОС через ОА.
3.2. Данный треугольник и все треугольники, образовавшиеся
при его проектировании на плоскость Я, определены с точностью
до подобия. Поэтому соотношение между углами можно получить,
введя в рассмотрение некоторый линейный элемент, зависящий от
всех участвующих в задаче углов.
В качестве линейного элемента взять расстояние от вершины
прямого угла треугольника до плоскости Р.
3.3. При построении плоскости Q мы можем произвольно
выбрать две величины: расстояние от точки О до этой плоскости и угол

142
УКАЗАНИЯ
[3.4
ABO (рис. П.3.3), чтобы пирамида ОААуВ^В имела наиболее
удобный вид. При изменении расстояния от точки О до плоскости Q
возникает фигура, подобная первоначально». Это не отражается на
рассматриваемых углах, а потому позволяет ввести линейный
элемент, через который впоследствии
мы выразим все стороны
треугольника О А В.
В качестве линейных элемен-
тов удобно выбрать отрезки AAX
или ВВи так как это позволяет
легко вычислить стороны
треугольника ОАВ и затем угол ЛОВ.
Однако мы должны выбрать лишь
один линейный элемент. Поэтому
расположим плоскость Q так,
чтобы ААХ = BBj,.
3.4. Точка, в которую спроек-
тнруется искомая прямая, должна
быть одинаково удалена от
проекций прямых Ь, с и d. Рассмотреть
различные случаи расположения проекций, которые могут
возникнуть.
3-5. Чтобы связать искомый угол с треугольником н отрезком
AS, построим в плоскости Р прямоугольник, две стороны которого
лежат на АВ и CD, а АС—его диагональ.
3.6. Отрезок О/С можно выразить из треугольников ОКМ и
ОКР и приравнять полученные выражения. Еще одно соотношение
между интересующими нас величинами получим с помощью отрезка
АР. Останется воспользоваться равенством, содержащимся в условии.
3.7. В двух противоположных гранях четырехгранного утла
должны лежать параллельные стороны параллелограмма. Однако
эти грани имеют общую точку—вершину угла, поэтому они
пересекаются но некоторой прямой. Противоположные стороны
параллелограмма должны быть параллельны этой прямой.
3.8. Рассмотреть треугольник FBA и убедиться, что угол CAP
прямой.
3.9. Если вершина пирамиды спроектируется в точку, лежащую
внутри основания, то с помощью сравнения площадей легко
сосчитать, чему равна сумма расстояний от этой точки до сторон
треугольника.
Расстояния от точки, в которую проектируется вершина
пирамиды, до сторон треугольника выражаются через высоту пирамиды
и данные углы. Пользуясь этим, можно вычислить высоту пирамиды.
Случай, когда вершина проектируется не внутрь основания, не
доставляет ничего нового.
3.10. Высота DO пирамиды будет лежать в плоскости EDC
(докажите). Ее можно выразить сначала через ED, а затем через ЕС
и искомый угол.

3.17] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ НЗ
3.11. Чтобы вычислить площадь боковой поверхности пирамиды,
нужно найти либо боковое ребро, либо тригонометрические функции
угла х. Второе сделать легче, так как углы х и 2х встречаются
в двух различных прямоугольных треугольниках с одинаковой
гипотенузой.
3.12. Начать нужно с определения коэффициента
пропорциональности длин параллельных ребер тетраэдров. Для этого придется
рассмотреть треугольник, образованный двумя медианами, которые
принадлежат разным треугольникам,
но опираются на одно ребро тетраэдра.
3.13. Если 0t (рис. Н.3.13)—
центр вписанного шара, а О и М—
точки касания с плоскостями ABC
и ASB соответственно, то совсем не
очевидно, что точки 0Х, М, D и О
лежат в одной плоскости (DM и DO —
касательные к сечению шара
плоскостью SDC). Тем более не очевидно,
что точки S, Ох и О лежат на одной
прямой.
Доказать, что три точки лежат
на одной прямой, можно, например, Рис Н.3.13.
установив, что они одновременно
принадлежат двум плоскостям, пересекающимся по этой прямой. Для
точек S, Ot и О удобно выбрать две плоскости, одна из которых
проходит через AS, а другая—через SC.
3.14. Достаточно ограничиться рассмотрением схематического
чертежа (рис. И.3.14), имея в виду, что Н—Лг=—^-^ . Это
соотношение соответствует условию, согласно
которому интересующее нас сечение проходит
через середину высоты усеченной пирамиды.
3.15. Если вычислить DE\ то косинус угла
DAE найдем с помощью теоремы косинусов
из треугольника ADE. Вычислить DE2 можно,
воспользовавшись тем, что DO—медиана
одновременно в двух треугольниках: ADC я BDE.
3.16. Углы а и р в сумме образуют угол,
все тригонометрические функции которого
известны. Взяв,' например, cos (а+Р), мы
получим еще одно уравнение.
3.17. Треугольники DAM и DMS имеют
общую сторону MD и смежные углы при
вершине М. Следовательно, отношение пз{
площадей равно отношению отрезков AM it MS.
Воспользоваться подобием треугольников, образовавшихся в
плоскости ASB.
Ввести линейный элемент, через который выразить длины
отрезков. Удобно выбрать сторону квадрата, лежащего в основании, так

144
УКАЗАНИЯ
[3.18
как равнын ей отрезок КЕ связывает с помощью углов а и В все
элементы в треугольнике KSE.
3.18. В треугольниках ADC и ADB прямые углы при
вершине D.
3.19. Плоскостью SDC пирамида SABC разбилась на две равные
пирамиды с общим основанием SDC. Для решения задачи нужно
найти площадь SDC. так как высоты пирамид известны.
3.20. Чтобы связать участвующие в задаче элементы, нужно
измерить данный двугранный угол а и искомый двугранный угол х.
Высота пирамиды свяжет эти два угла.
3.21. Рассмотрите треугольник ABD, стороны которого легко
выразить через SA и тригонометрические функции угла а.
Из треугольника ABD найдите косинус угла х.
5.22. Отрезок КМ можно, во-первых, вычислить непосредственно,
а no-вторых, выразить через R.
3.23. Построенное сечение пересечет основание пирамиды по
отрезку, параллельному одному из ребер основания.
Воспользоваться сравнением площадей для треугольника SO А.
3.24. На рис. 1.3.24 (см. стр. 106) спроектируйте DC на
плоскость основания. Докажите утверждение, обратное
сформулированному в первом указании: если проведена плоскость KLNM,
параллельная АВ и DC, то KLNM — прямоугольник. Выясните, когда он
будет квадратом, воспользовавшись подобием образовавшихся на
рисунке треугольников.
3.25. Из точки У?! на три грани пирамиды опущены
перпендикуляры одинаковой длины. Если соединить точку Ri со веши
вершинами пирамиды, ю этот факт можно будет использовать при
сравнении объемов.
3.26. Чтобы найти площадь основания пирамиды, нужно сначала
выразить площадь сечения AtBiCi (см. рнс. 1.3.26 на стр. 107) через
ребро куба, а затем воспользоваться
соотношением между площадями
подобных фигур.
3.27. Удобно обозначить ребро
куба через х к воспользоваться
подобием треугольников, лежащих в
диагональной плоскости куба.
3.28. Если ребро DC
спроектировать в отрезок EF на плоскость Р,
то концы отрезков А В и EF образуют
прямоугольник (докажите).
Рис. И.3.29.
Плоскость DCFE разобьет пирамиду ABCD Яа две равные
пирамиды с общим основанием, площадь которого легко вычислить, и
высотой, которую можно найти из прямоугольника AFBE.
3.20. Если вы правильно воспользовались первым указанием,
то получите рис. II.3.29.
Пусть MN— проекция CD на плоскость Р. Тогда CN = DM=6,
MN и АВ образуют искомый угол а. Применение метода сравнения

3.41J ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 145
объемов для тела ANBMCD позволяет получить уравнение
относительно sin а.
3.30. Если ввести в рассмотрение высоту Л призмы и сторону
ее основания а, то из правильного треугольника BlAlCl мы легко
выразим а через R, а с помощью треугольника DAtE выразим и Н
через R.
Для треугольника DAXE применить метод сравнения площадей.
3.31. Рассмотреть треугольник, образованный высотой тетраэдра,
одним из боковых ребер и проекцией этого ребра на плоскость
основания, а таюке подобный ему треугольник, в котором участвует
искомый радиус.
3.32. Из всех подобных кубов с центром в точке О удобно
выбрать тот, вершина которого,
противоположная точке О, лежит на грани
параллелепипеда.
3.33. Пусть разность между
углами Л и С равна ф, a
BD—биссектриса угла В (рис. П.3.33). Легко
показать, что
я . го
а=———
2^2
д
Рис. II.3.33
Затем удобно представить площадь треугольника ABC как сумму
площадей треугольников ADB и BDC.
3.34. Расстояние между диагоналями CJ) и В^С (рисунок
сделайте сами) равно расстоянию между плоскостями AjCiD и АВХС.
3.35. Основание перпендикуляра, опущенного из точки К. на
диагональ куба, обозначим через Ог. Для треугольника OK&l можно
воспользоваться свойством отрезков, на которые биссектриса делит
сторону основания.
3.36. Если ребро тетраэдра обозначить через а, то диаметр
цилиндра тоже раЕен а. Чтобы выразить через а высоту 001
цилиндра, нужно связать отрезок
OOt с вершинами тетраэдра.
Для этого удобно соединить
Oj и В.
3.38. Найти связь между
радиусами шаров и
величинами Я, р и р можно,
рассмотрев осевое сечение
конуса.
3.39. Если рассмотреть
осевое сечение обоих
конусов, то задача станет
плоской. Чтобы связать радиусы
оснований конусов, в качестве вспомогательной величины удобно
выбрать радиус сферы.
3.40. Определить полупериметр основания пирамиды.
3.41. В осевом сечении, проходящем через 0Х и Os, получим
картину, изображенную на рис. II.3.4I. Все стороны треугольника
Рис. И.3.41.

146
УКАЗАНИЯ
[3.42
РАО» нам известны (О^ легко найти из рпс. 1.3.41) (см. стр. 108).
Остается определить SD н AD.
. 3.42. Треугольники ASD и ЕМК подобны, т. е. углы SAD и
МЕК равны. Котангенс угла SAD нам известен, так как AD—a,
8D*=h.
Из треугольника SDC можно найти радиус основания цилиндра,
а затем из треугольника £МК определить £/(.
3.43. Рассмотреть подобные треугольники SO A n SOiB, где Ot —
центр куба, а В—одна из вершин диагонального сечения куба,
параллельного плоскости основания конуса.
Это позволит иайтн одну связь между
ребром куба о, высотой конуса И и радиусом
его основания R (рис. 11.3.43).
Вторую связь между И, R и а можно
будет найти, рассмотрев вторую пару
подобных треугольников: SOiB a SOX. Здесь
Ог—середина верхнего ребра куба, а С—
одна из вершин этого ребра. Имея в
распоряжении два уравнения, можно выразить
R и Н через а и тем самым решить задачу.
3.44. В предыдущих рассуждениях не
использовано условие, согласно которому три
стороны трапеции, являющейся боковой
гранью пирамиды, равны Ь. С помощью
этого условия можно найти. другое
выражение площади боковой грани через а н Ь и приравнять
первому.
И .3.43.
Решить порученное однородное уравнение относительно -г .
Остается . связать величину Ь с радиусом вписанного шара. Для
этого достаточно
рассмотреть треугольник,
получающийся при проектировании
одной вершины верхнего
основания на нижнее.
3.45. Обозначим через
Ov и 0„ центры меньших
шаров, через 03—центр
большего шара, через О—центр
шара, радиус которого
нужно найти (рис. 11.3.45); Ръ „
Pt, P-j, Р—точки касания v
у *р "-<-..
Рис. Н.3.45.
этих шаров с плоскостью.
Радиус искомого шара
обозначим через х. Тогда известны длины изображенных на рисунке
отрезков: 01P1 = OiP2 = r, 0sP3=R, ОР=х, 0102=2а, 0^ =
= 0t03=R+r, 00i=002 = r+x, OOs=R+x. Мы считаем
очевидным, что х < г.

3.47)
ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ
147
Нужно найти соотношение, связывающее величины R, г и х.
Для этого придется рассмотреть треугольник РХР^Р9 и вычислить
длины проекций отрезков, соединяющих центры шаров. Так как
шары 01 н 02 равны, то 0%03 = Ох03 и, следовательно, Р^Рз^Р^з-
Поэтому точка Р лежит на высоте и медиане равнобедренного
треугольника Р\РъР»'
3.46. Обозначим через 0г центр одного из двух равных шароз,
а через 03—центр меньшего шара. Пусть эти шары касаются
нижней грани двугранного угла (рис. П.3.46) в точках В a D
соответственно; тогда OtB и 03D—перпендикуляры. Прямоугольные
треугольники OiAB и 03CD имеют углы при вершинах А и С, равные
Рис. И.3.46.
—. Чтобы использовать факт касания шаров 0Х и 0Э и наличие
у них общей касательной плоскости П, нужно рассмотреть
треугольник 0,<V. в котором 0iP3 = R + r (Л—радиус большого шара, г—
радиус меньшего шара), OtF = /?—г (f—проекция точки 03 на
отрезок ОуВ). Если удастся выразить 03F через Л, г и о, то мы
получим соотношение, позволяющее определить угол а.
Отрезок 03F (см. рис.Н.3.46) равен BD, a BD можно
выразить через катеты
прямоугольного
треугольника BDE, где Е—проекция
точки D на отрезок АВ.
Чтобы найти ED, нужно
воспользоваться фактом
касания шаров, Ot и 08,
сделайте на рисунке
необходимые построения, рассмотрев
проекцию их линии центров
на плоскость П.
3.47. Так как каждый
из трех шаров с центрами
в точках 0lt 02l 03 касается
боковой поверхности конуса
и плоскости Р, то длина
перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость Р, равна
длине перпендикуляра, опущенного из центра на ближайшею к
нему образующую (рис. 11.3,47).

148
УКАЗАНИЯ
[3.48
3.48. Оси двух соседних конусов и их общая образующая лежат
в одной плоскости (докажите). Рисунок, сделанный в предположении,
что ось конуса и две образующие, по которым происходит касание
с соседними конусами, лежат в одной плоскостн, будет неверным.
При таком расположении конусов касание происходило бы по
диаметрально противоположным образующим, т. е. основание конуса
было бы перпендикулярно к плоскостн, и общая вершина конусов
не смогла бы лежать в этой плоскости.
Угол между осями соседних конусов—искомый.
3.49. Центр сферы, построенной на АВ, обозначим через 0Ь
а цеитр вписанной сферы—через 0«. Пусть F—точка касания сферы 04
с гранью CAD. Треугольники F6«A и ОКА подобны.
3.50. Плоскость, проведенная через ось РР и точку О—цеитр
основания пирамиды (обозначим ее через ГТ), разобьет пирамиду
SABCD на две равные части, расположенные симметрично
относительно этой плоскостн. Вместо всей пирамиды можно вращать
вокруг РР одну нз этих частей. Теперь нужно заменить пирамиду
плоской пластинкой, дающей при вращении то же тело, что и
пирамида. Для этого каждое из сечений SEF пирамиды нужно
перенести с помощью поворота в плоскость II.
В плоскости П образуется пятиугольник специального вида.
Такой пятиугольник можно получить, если па одно нз оснований
прямоугольника поставить
равнобедренный треугольник.
4.1. Если ребро куба Обозначить
через а, то объем фигуры, лежащей под
сечением, можно вычислить как разность
объемов двух треугольных пирамид:
NAFD и MEFC (рис. 1.4.1 на стр. ПО).
4.2. Площадь сечения удобно
вычислять как разность между площадью
треугольника AML{pnc. 1.4.2 на стр. ПО) и
удвоенной площадью треугольника KCL.
4.3. Построение сечения показано
на рис. 11.4.3. Обратите внимание
на то обстоятельство, что ECl=BF.
4.4. Объемы пирамид, о которых шла
речь в конце указания I (см. стр. 110),
нужно выразить через объем данной
пирамиды SABCD. Для этого придется найти
отношение их высот и оснований.
Сделайте отдельный чертеж плоскости, в
которой лежит грань SDC.
4.5. Чтобы сравнить объемы фигур, на которые разбивается
сечением вторая половина данной пирамиды, удобно в качестве
основания выбрать грань BSC.
4.6. Если продолжить ребра /41Dl и AiBx до пересечения с QR и QP
соответственно, то можно будет построить след сечения в плоскостн
верхнего основания куба.
Рис. Н.4-3.

5.5]
ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ
149
4.7. Обозначить сторону основания через а и выразить площадь
сечения через а и высоту боковой грани.
4.8. Нужно доказать, что точка D лежит на отрезке К,М (см.
рнс. I. 4.8 на стр. 111). Однако сделать это непосредственно трудно.
Удобнее изменить построение: ЕК—высота пирамиды ЕАВС,
D —середина АС. Проведем через К и D прямую, которая пересечет
АВ в точке М. Докажем, что ЕМ—высота в треугольнике ABE.
Если мы убедимся в том, что KCOD—параллелограмм, то
отрезок KD параллелен СО и, следовательно, перпендикулярен к АВ,
откуда ЕМ—высота треугольника ABE. ^
4.9. В сеченнн получается пятиугольник, в котором отрезок,
параллельный ACt, не является высотой, так как основания
параллелепипеда—не квадраты. Высоту нужно вычислить, чтобы найти
площадь пятиугольника.
4.10. Докажите, что при вращении точки £ тень, отбрасываемая
верхним основанием куба, перемещается, но не изменяется—это
квадрат со стороной 21г.
Тень при любом положении источника Е состоит из двух
квадратов ABCD и /48B2C2D2, стороны которых параллельны, сторона
второго вдвое больше стороны первого, а отрезок, соединяющий
центры, имеет постоянную длину R. Чтобы построить из этих
квадратов тень, нужно соединить соответствующие вершины квадратов
и получить выпуклую фигуру. Задача свелась к плоской.
5.2. В треугольнике АМВ ввести в рассмотрение медиану,
выразить ее квадрат через стороны треугольника, воспользоваться
полученными ранее соотношениями.
Доказать, что медиана МС равна АВ.
5.3. Косинус угла А, участвующий в теореме косинусов, можно
определить из треугольника АМО, где О — центр окружности, о
которой идет речь в условии задачи.
Обратное утверждение можно доказывать в такой форме: если
АС=2ВС и 2АМ*-\-МВ3 = АВ3, то АО=МО. Здесь тоже естественно
воспользоваться теоремой косинусов для треугольника АМВ.
Единственное осложнение возникает из-за необходимости выразить cos A
через линейные элементы. Можно поступить иначе: записать теорему
косинусов для треугольника АМО, имеющего с АМВ общий угол А,
и cos А исключить.
5.4. Два треугольника АМВ и ВМС, имеющие общую сторону ВМ,
равновелики тогда и только тогда, если их высоты, опущенные из
вершин Л и С на общую сторону ВМ, равны.
Задача свелась к построению прямой, проходящей через точку В
и равноудаленной от двух данных точек А и С.
Существуют две и только две прямые, проходящие через точку В
и равноудаленные от точек А к С: одна—параллельная АС, другая
проходит через середину АС.
5.5. Если прямые АВ и. CD пересекаются в точке N, то отрезки
АВ и CD следует перенести в эту точку, двигая каждый по своей
прямой. После этого задача сведется к предыдущей (см. задачу 5.4).

150
УКАЗАНИЯ
15.6
Если прямые АВ я CD параллельны, то отрезки АВ и CD
удобно расположить так, чтобы их центры лежали на общем перпеидн-
ь>ляре. Этот перпендикуляр остается разделить в отношении CD-.AB.
5.6. Пусть Л1ЛГ—отрезок длины /, Е—его середина, а длина
втрезка 00^ равна а (рис. П. 5.6). Если спроектировать точку Е на
плоскость нижнего основания, то легко
вычислить длину отрезка GO, равного
отрезку EF.
Поскольку длина отрезка GO,
разного отрезку EF, не зависит от
расположения отрезка MN, то точка £ лежит
на окружности радиуса EF с центром
в точке F. Остается установить
обратное предложение и вспомнить о том, что
отрезок MN не должен находиться вне
куба.
6.1. Воспользоваться тем, что р—I,
Рис. II.5.0. р, р + 1—три последовательных числа,
причем р—простое, большее трех.
•6.3. Если n—2k + l, то on+Ь'' = (я + Ь)(aл-, — ...+Ъ"-*).
6.4. Среди этих же чисел будет |-q-| =621), делящихся на
8 = 23 н т. д.
6.5. Так как сумма цифр числа делится на 81, то естественно
предположить, что оно делится на 81. Однако такой признак
делимости не был доказан в курсе арифметики, и поэтому придется
дважды воспользоваться признаком делимости на 9. Для этого удобно
разбить цифры числа на 9 групп, каждая из которых делится на 9.
6.6. Если многочлен n4-f-4 разложен на множители второй
степени, то он может быть простым числом только в том случае, если
один из множителей равен единице.
6.7. Чтобы убедиться, что числитель всегда делится на число,
стоящее в знаменателе, его придется разложить на множители.
6.8. Первый способ. Предположим, что данная дробь
сократима. Тогда
Ьх+7 — qr, 2лг+3=рг.
Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно х,
исключим х.
Второй способ. Рассмотреть вместо данной дроби обратную
и выделить целую часть.
6.10. Пример дальнейших рассуждений: при умножении цифры с
на 3 мы должны получить число, оканчивающееся на 1. Это возможно
лишь при с=7. .
7.1. Вынести в числителе Уп—2, а в знаменателе у п+2.
После этого дробь сократится.
7.2. Трехчлен 1+ж—хг является общим множителем
знаменателей дробей в первой скобке.
») [х]—целая часть числа х.

8.6]
ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ
151
7.3. Последнее слагаемое нужно преобразовать отдельно, после
чего его можно будет объединить с первыми двумя.
7.4. Поскольку степень каждого члена числителя вдвое больше
степени соответствующего члена знаменателя, то дробь целесообразно
умножить па выражение, сопряженное знаменателю.
7.6. Преобразовать подкоренные выражения, прибавив и вычтя
нз них единицу. При извлечении корня использовать условия задачи.
7.7. Можно воспользоваться формулой сложного радикала
/г±тг- yr*+*Y=rs± y — Vf=*.
7.9. В скобках образуется сумма из девяти одночленов.
Объединить их по три так, чтобы у каждой группы был множитель
х*+ху+уК
7.10. Первый способ. По тем же соображениям многочлен
будет делиться и на у—г. Частное от деления данного многочлена
на (х-—у) (х—г) {у—z) обозначим через М.
Второй способ. Так как о+6=—с, то (а+*)в+с*=0.
Разложив (а+6)6 по формуле бинома Ньютона, получим выражение
для вв+бв+с6. которое легко представить в виде произведения
линейных множителей и трехчлена a?-{-ab^-b2.
Первый способ. Убедитесь в том, что М—однородный
многочлен второй степени относительно х, у и z. Помимо этого М
симметричен относительно х, у и г. Это значит, что М нужно искать
в виде
А (х*+у*+гг) + В(ху-\-хг+уг).
Остается воспользоваться методом неопределенных коэффициентов.
Второй способ. Трехчлен а?-\-аЬ-\-№ раскладывается на
комплексные множители путем выделения полного квадрата (см.
задачу 7.9).
7.11. Возвести левую часть, равную г, в куб, воспользовавшись
формулой
(х+у)*=х»+у3+3ху (х+у),
где х+у=г.
7.12. Равенство а+6=—с возвести вкуб, а равенство д-)-Ь+с=0
дважды возвести в квадрат. Полученные таким образом соотношения
учесть при преобразовании левой части равенства, которое нужно
доказать.
7.13. Итак, можно безболезненно рассмотреть лишь случайх^О,
'У—любое. Его придется разбить на два случая:
Ы«£* и \у]>х.
В последнем случае Ух*—y2 — i У уг—х%.
8.2. Перемножить первую скобку с третьей, а вторую с четвертой.
8.5. Полученное тождество справедливо при всех значениях х,
в частности при x=i.
8.6. Подставить корень 1 + У~3 в данное уравнение н
воспользоваться тем, что сумма рационального в иррационального числа

152
УКАЗАНИЯ
[8.7
равна нулю тогда и только тогда, если (рациональные)
коэффициенты при рациональной и иррациональной частях равны нулю
одновременно.
8.7. Так как все коэффициенты уравнения—рациональные числа,
то наряду с корнем ."^3+1 должен существовать корень вида
Л(УЗ— 1), где к—рациональное число. Докажите, что k=—I.
8.8. Теоремы Внета недостаточно, так как уравнение в этом
случае может вовсе не иметь действительных корней.
8.11. Приравнять остаток нулю и потребовать, чтобы квадратный
трехчлен, получившийся в частном, был положителен, т. е. имел
отрицательный дискриминант.
8.12. В полученном тождестве следует выбрать х=2 и дс=3.
Получим два уравнения относительно а а Ь.
8.13. Записать a'^ + I в виде произведения квадратных
трехчленов с неопределенными коэффициентами, раскрыть скобки н
воспользоваться условием равенства двух многочленов.
8.14. Многочлен делится на y'J, если его свободный член и
коэффициенты при у н у- равны нулю.
8.15. Так как Л'=1 не является корнем данного многочлена, то
вместо трехчлена jc3 -|-дг-J-1 можно рассматривать двучлен х3—1.
Так как ( —^- ± ■ i ) =1, то для хп удобно рассмотреть
сл\чан н=3к, и. = 3fe-J- 1, н=Зй + 2.
8.16. Воспользоваться условием тождественного равенства двух
многочленов.
9.3. Один способ—дополнить левую часть до полного квадрата,
второй—обозначить второе слагаемое через и- и перейти к системе.
9.4. При возведен ни в куб воспользоваться формулой куба суммы
в виде (e-f Ь)3=а3~гЬя-\-ЗаЬ(а-{-Ь). Выражение а+6 заменить
правой частью данного уравнения.
9.6. Если ввести новое неизвестное р = и-\-v, то с помощью
уравнения и—ti=l можно будет через р выразить как и, так и v.
Это поможет решить второе уравнение системы.
9.7. Из системы, iio.ij чениой в результате замены, исключить
свободные члены. Это приведет к уравнению, левую часть которого
jiei ко разложить на множители.
9.8. В качестве вспомогательного неизвестного удобно выбрать
\/ а-\-х = у.
9.9. Найти х и сделать проверку. Обратить внимание на то
обстоятельство, что разность, стоящая в левой части данного урав-.
нения, всегда положительна.
9.10. Второй путь удобнее, так как не приходится решать
неравенство с параметром В, что значительно упрощает исследование.
9.14. Первое уравнение задает квадрат с центром в начале
координат и с диагоналями, равными по длине 2, расположенными
на координатных осях.
9.15. Ввести новые неизвестные: х+—=и, у-\—-=«•

9.30]
ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ
153
9.16. В первое и второе уравнения входит разность у—г. Ее-то
н следует исключить из этих уравнений.
9.17. Сумму х*-\-у* в третьем уравнении удобно выразить через
х- + у* и ху. В результате придем к уравнению относительно г.
9.18. Уравнение х~\-у=\—г позволит также упростить
выражение, оказавшееся в скобках после того, как в третьем уравнепии
был вынесен за скобку множитель I—г.
9.19. Зная х-\-у и ху, легко выразить через них х3-\-у3, что
и позволит ответить на вопрос задачи.
9.20. Умножить первое уравнение на xy-zs, а второе на x-yz2.
Будет ли нарушена при этом равносильность?
9.22. Умножить каждое из первых трех уравнений на г и
вычесть из последующего. Нарушится лн при этом равносильность?
9.23. Возвести первое уравнение в квадрат и вычесть его из
второго. Из полученного уравнения исключить г, воспользовавшись
сначала третьим, а затем первым уравнениями.
Чтобы осуществить эту операцию, первое уравнение нужно
предварительно умножить на у.
9.24. Почленно сложить каждые два уравнения: первое и второе,
первое и третье, второе к третье. Из найденной системы получить
уравнение относительно и=хуг.
Чтобы получить уравнение относительно u=xyz, достаточно
перемножить полученные уравнения.
9.25. Каждое уравнение—квадратное относительно
соответствующего л',-. Решив все эти квадратные уравнения и сложив их
решения, мы получим уравнение относительно s. Гарантировать
равносильность при этом нельзя, но в условии задачи требуется найти
только одно решение.
9.29. Если обозначить 1х—\\у = и, то отсюда можно выразить х
через и и у. Таким образом, мы получим снова систему двух
уравнений с двумя неизвестными. Из этой системы легко исключить у.
9.27. Из такой системы можно исключить у, одновременно
избавляясь от иррационзльностей: нужно возвести оба уравнения
в квадрат и вычесть второе из первого.
9.28. Выразить У &-\-хъ и Ух'1—z'1 через д; и сравнить
получающиеся в результате выражения для г-.
9.29. Полученная после возведения в квадрат система уравнений
позволяет легко определить и—v, а затем и и v.
При определении и и к и при последующем вычислении х и у
нужно провести исследование. В результате будут использованы
условия а > Ь > 0 иа+1<1, а также введенные при возведении
в квадрат ограничения х > 0, у > 0.
9.30. Наряду с решением хг, ylt г, у системы обязательно есть
решение —х,, —ylt zv Таким образом, для единственности решения
системы необходимо, чтобы эти два решения совпали.
Условие совпадения симметричных решений приведет к системе
относительно а и Ь. Каждое из полученных значений а и 6 нужно
проверить, так как мы воспользовались лишь необходимым
условием единственности решения системы.

1S4 указания .19.31
9.31. Подставив в первое и второе уравнения у=—х, мы
получим два линейных уравнения относительно х*. Выразить из
каждого уравнения х3 и приравнять эти два выражения.
Предыдущие рассуждения позволяют ограничить число
рассматриваемых значений параметра а. Остается проверить,
выполняются ли для каждого из-оставшихся значений остальные условия
задачи.
9.32. В качестве фиксированного значения Ь удобно выбрать
Ь=0. Мы придем к системе, нз которой легко определить все
возможные а.
Найденные значения а необходимо проверить.
9.33. Система имеет только одно решение лишь в том случае,
fciii х=0. Положив х=0, # = {/i, мы получим систему уравнений
относительно {/t н а.
Значения а, найденные в результате решения системы,
необходимо проверить.
9.34. После исключения У х'2 +1 получится уравнение
~-2~+У* + 2х-2у = 3.
го не следует преобразовывать в уравнение четвертой степени.
ели в качестве вспомогательного неизвестного г взять некоторое
выражение, содержащее х и у, то получится квадратное уравнение
относительно г.
10.1 Ввести обозначения a—1-j-k и 6=1—к.
10.2. Первый способ. Привести A"-ff/ к виду, удобному
для логарифмирования, и найти максимум и минимум.
Второй способ. Оценить 2ху, а затем, с помощью данного
равенства, и (х+уу.
10.3. Первый способ. Воспользоваться тем, что с>а и
Об, и оцеиить каждое слагаемое.
Второй способ. Применить свойство показательной функ»
иии. приняв во внимание, что а<с, Ь<с.
10.5, Использовать условие a + b-\-c=l, чтобы убедиться, что
неравенство будет обязательно строгим.
10.7. В предположении, что 0<а<Ь, разделить обе части
неравенства на Ь. Полечится эквивалентное неравенство, которое
легко вывести нз известного свойства показательной функции.
10.8. Применить неравенство между средним арифметическим
и средним геометрическим к произведению каждых двух чисел,
равноотстоящих от концов в выражении л!.
10.9. Первый способ. В неравенстве (1— u)(v—1)> 0 (см,
указание I на стр. 117J раскрыть скобки и воспользоваться нера*
венством между средним арифметическим и средним геометрическим
чисел uv и w.
и v „
Второй способ. Воспользоваться неравенством —|— > 2
(сложить его с полученным в указании I).

10.30] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 155
10.10. После упрощений перенести все члены в одну часть и
представить ее в виде суммы квадратов.
10.12. Зная выражения у-\-г и уг через х, можно записать
квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от х, корнями
которого будут у к г.
10.13. Выразив у-\-г и уг через х, придем к квадратному
уравнению, коэффициенты которого зависят от х. Поскольку в условии
•сказано, что х, у и г—действительные числа, дискриминант
полученного уравнения не должен быть отрицательным.
Найденные границы изменения х, в силу симметрии данных
уравнений, распространяются на у и г.
10.15. Чтобы данный трехчлен был отрицательным внутри
некоторого отрезка, необходимо и достаточно, чтобы на концах от-—-
резка он принимал неположительные значения.
10.16. Доказать, что условие а>0 несовместно с требованием,
п силу которого оба корня больше а.
10.17. Так как k?=Q (иначе данное уравнение теряет смысл), то
парабола должна иметь один корень в интервале (—1, +')>
а другой—вне этого интервала.
Такое расположение параболы имеет место тогда и только тогда,
кОГда значения трехчлена в точках —1 и 1 противоположны по знаку.
10.18. Если ветви параболы будут направлены вверх и, кроме
того, парабола не будет пересекать положительную полуось Ох,
то мы получим расположение параболы, необходимое и достаточное
для выполнения условия задачи.
10.22. Числитель и знаменатель полученной дроби должны
иметь разные знаки. Приходим к совокупности двух систем.
10.23. Неотрицательный множитель можно отбросить, исключив
точки, в которых он обращается в нуль. Оставшееся неравенство
удобно привести к виду, в котором правая и левая части
неотрицательны, и возвести в квадрат с учетом соответствующих ограничений.
10.24. При х > 0 данное неравенство можно возвести в квадрат
(учтя соответствующие ограничения), так как обе его части
положительны. При х'<0 неравенство исследуется аналогично.
10.25. Составить квадратное неравенство относительно
</= УТ+ УТр7.
10.26. Нельзя забывать о «ш, что под корнем должно стоять
неотрицательное число, в то время как само а может быть и
отрицательным.
10.27. Данное неравенство можно переписать в виде
УН 2 V~i
2**<3.2 -2х+±-2
VH
Поделив на 2 -2*, получим неравенство, сводящееся к квадратному.
10.29. Использовав свойство, сформулированное в указании I,
ваменим данное неравенство равносильной ему совокупностью двух
систем неравенств.
10.30. Обратить внимание на то, что Xs—2л-3+ 1—полный
квадрат.

156
УКАЗАНИЯ
[10.31
10.31. Нужно рассмотреть два случая, в зависимости от
расположения а относительно единицы.
10.32. Если обозначить \gx-y, то получим неравенство третьей
степени относительно у, левая часть которого делится на (/2+1.
10.35. Равносильность не нарушится, так как х останется
положительным и не сможет стать равным единице, поскольку log*.*
будет стоять множителем в знаменателе.
10.36. Обозначив log.(2A'—1)=у, можно привести это
неравенство к квадратному.
10.38. После решения алгебраического неравенства нужно
вернуться к прежним обозначениям. При этом приходится рассмотреть
различные случаи в зависимости от величины а.
10.39. Обозначить log^x через у, после чего получится
неравенство относительно у, которое решается методом интервалов.
10.40. Так как под знаком логарифма стоит число 4*— 6, то
х не может быть меньше единицы.
10.41. Разобрать случаи, позволяющие раскрыть знаки
абсолютных величин. Таких случаев будет четыре.
10.42. Если заметить, что х>-г-, то это избавляет от
необходимости рассматривать второй случай.
10.44. Перейти от неравенств между функциями к неравенству
между аргументами и учесть необходимые ограничения.
10.47. Известно, что при неположительном дискриминанте знак
квадратного трехчлена не может быть противоположен знаку
старшего коэффициента. Если же дискриминант положителен, то такие
точки всегда найдутся.
11.1. Остается заметить, что Ig2-|-lg5 = l.
11.3. Привести уравнение к равенству степеней с одинаковыми
показателями.
11.4. Обратить внимание на тотфакт, что поскольку н=3-!-г-2|,
то 0<у^ 1.
11.6. Если прологарифмировать данное уравнение по
основанию десять, то придем к квадратному уравнению относительно х.
Это уравнение будет иметь сложные коэффициенты, а потому
для его решения удобнее использовать корень х=2, который легко
угадать, _
11.7. Если обе части уравнения разделить на 2+>^3_, то
придем к квадратному уравнению относительно # = (2+ у 3)**_гА.
11.8. Совсем нетрудно найти один корень уравнения. Затем
нужно попытаться доказать, что других решений нет.
Корнем будет х = 2. Докажите, что других корней нет,
используя монотонность показательной функции.
11.10. Левую часть выразить через ff=log8(3*—1).
11.11. Можно обозначить 1о&7=у, но удобнее использовать
другое обозначение. Какое—станет ясно, если дополнить правую
часть до полного квадрата (суммы или разности?).
11.14. Когда мы заменим logx4-log1x единицей, получим
уравнение, которое может иметь посторонний корень х = 1. Поскольку

11.29] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 157
в дальнейшем нам' придется потенцировать, что снова может
повлечь приобретение посторонних корней, решение необходимо
закончить проверкой.
11.15. При переходе к логарифмам с основанием х мы можем
потерять корень. Какой?
11.16. Чтобы воспользоваться формулой модуля перехода, нужно
умножить обе части уравнения на log2(3+*).
11.17. Если умножить уравнение на выражение, стоящее
в знаменателе, то нужно потребовать, чтобы последнее не
обращалось в нуль, т. е. Jx-s-f.v—1\ф[. При потенцировании же
появится еще одно ограничение.
11.18. Теперь с помощью тождества, эквивалентного
определению логарифма, данное уравнение можно свести к квадратному
относительно х]ое1>".
11.19. Нужно помнить, что У!?=\с\, и разобрать несколько
случаев, предварительно оценив из условия logcjc и а. Для оценки
а удобно воспользоваться неравенством <-)-—^2 при t>0.
11.20. Первое из уравнений, полученных после
логарифмирования, разделить на второе и затем произвести потенцирование.
11.21. Нужно заметить, что 243=33, 1024 = 21в. Теперь из
второго уравнения системы с помощью первого нетрудно получить
уравнение относительно I -s- J •
11.22. Для того чтобы найти £/-*+ У~У'. можно второе
уравнение возвести в степень 3/2 и полученное выражение использовать
для подстановки в первое уравнение системы.
у_
11.23. Выразить П*'г, IF и Ц<*-1>* через 52 и подставить в
тождество, записанное в первом указании (см. стр. 121).
11.24. Если в левой части второго уравнения вынести за скобки
2ж-иу1 то в скобках останется выражение, аналогичное левой части
первого уравнения. Его можно заменить числом 2.
11.25. Здесь удобно не заботиться о равносильности, а каждый
раз получать следствия. Алгебраическая система, которая будет
получена, легко сводится к уравнению относительно и=у/х. Для
этого нужно будет почленно перемножить входящие в нее уравнения.
11.26. При преобразовании выражений, входящих в первое
уравнение (после подстановки), нужно будет воспользоваться
определением логарифма.
И.27. Так как ху = 3, то либо х, либо у больше единицы. Мы
убедились, что и х и у положительны. Следовательно, х-\-у>\ я
i logs (*+«/) | = 1о& (* + {/)•
Остается рассмотреть два случая в зависимости от знака
1°бг (*—У)-
11.29. Воспользоваться математической записью определения
логарифма:
alogub=6i

158
УКАЗАНИЯ J И.30
11.30. Определив *, следует использовать его для упрощения
третьего уравнения системы. Если третье уравнение преобразовать
в алгебраическое, то посмотрите, что при этом может произойти —
потеря или приобретение корней.
12.2. Доказательство следует начать с очевидного тождества
lg l(30°—a) -f (60°—а)] = ctg 2а.
12.3. Воспользоваться тем, что
В 2
12.6. Вычислить произведение синусов несколько труднее.
Удобнее найти квадрат этого произведения, записав 2sin2-=-
2я
как 1—cos-=- и т. д.
12.7. Разделить числитель и знаменатель выражения, стоящего
в правой части, на ВЬ.
12.8. Если заменить sin2* на ft* sin2 у, то sin2у можно вынести
за скобки.
а а
12.9. Выразить а2-}-Ь4 через cos——■.
12.10. Обозначить sin2a=o, sin2 (1=6, sin2v=<? и
преобразовав данное равенство, выполнив сложение.
12.11. Привести к общему знаменателю и все произведения
я: 2я
тригонометрических функции от а-|--=- и а^—=- преобразовать
о о
в с\ мм у.
13.1. Заменить l/"2sin (*+'т-) иа sin*+cos*. после чего
объединить' все одночлены, содержащие cos 3*, и все оставшиеся
одночлены уравнения. Эго поможет получить распадающееся
уравнение, у которого в правой части нуль, а левая разложена на
множители.
„ 1—cos2x
13.2. Если левую часть представить в виде . . ■, то
получим распадающееся уравнение, которое нужно решать, следя за
равносильностью.
1—cos8*
13.3 Левую часть уравнения записать в виде -.— . . ■ , пере-
J —"Sin X
1—COS* ,
нести все в одну часть и вынести -: :— за скобки.
1—sin*
Оставшееся в скобках выражение симметрично относительно
sin* и cos*. Если привести дроби к общему знаменателю, то
должно получиться достаточно простое выражение, поскольку все
подобные члены будут иметь разные знаки.

13.13] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 159
13.4. Найти такие решения уравнения sin2xsin7x=cos2xcos7x,
при которых cos 2x cos 7x э= 0.
13.5. Замена ctgx=T— приведет к появлению tgх множителем
в числителе. Однако tgx не может быть равным нулю.
13.6. Воспользоваться формулой разности тангенсов и заменить
полученное уравнение эквивалентной ему системой, состоящей из
нового уравнения и ограничений.
13.7. Множитель sin (*+-т-) входит в правую часть уравнения.
Чтобы обнаружить это, достаточно заменить cos х на sin ( ——х ]
и привести правую часть к виду, удобному для логарифмирования.
13.8. После приведения к виду, удобному для
логарифмирования, внимательно следить за равносильностью.
X X
13.9. Так как cos -^- на интервале 0 < -=■ < it меняет знак, то
, „ х ^ я я х
этот интервал придется разбить на два: 0<-^-eg-=-, -^- < -„- < я.
13.10. При решении получившегося уравнения нужно правильно
оценить роль параметра: если из соотношения исчезает неизвестное
и остается только параметр, то при данном значении параметра
неизвестное может принимать любое значение из области
определения данного уравнения.
13.11. Выбор значений х, попадающих в интервал 0<х<2я,
удобнее осуществить, если при решении мы постараемся
воспользоваться арккосинусами, областью значений которых является
указанный интервал.
13.12. Под радикалом стоит полный квадрат. Помните, что
Vlfi = \a\.
13.13. Остается заметить, что tgx-\-sinx=tgx(l +cosx), a
tgx—sinx=tgx(l— cosx). Оба эти выражения входят слагаемыми
в степени 1/2. Множитель tg-^x входит и в третье слагаемое. Этот
множитель можно вынести за скобки, так как l-f-cosx н 1—cosx
никогда не станут отрицательными, а следовательно, равносильность
в результате этого действия не нарушится.
Получаем уравнение вида
tg1/2X(p(x)=0,
где <р(х) имеет смысл всегда. Это уравнение равносильно
совокупности уравнения tgx=0 и системы
Г Ф(х)=0,
I tgx>0.
(В ограничении взято строгое неравенство, так как случаи tgx=0
учтен раньше).

160
УКАЗАНИЯ
[13.14
13.14. Чтобы произвести упрощения, придется воспользоваться
еще одним условным тождеством т—;j-=ctg2x. Провести анализ
равносильности и перейти в полученном уравнении к синусам и
косинусам.
13.16. Когда в уравнение входят только sinacosa и sina+cosa,
то одну из этих величин, например вторую, можно обозначить
через у, а другую выразить через у.
13.16. Перейтц .к функциям х н привести уравнение к
однородному, домножнв 6sinx па тригонометрическую единицу.
13.17. Воспользоваться теоремой о рациональных корнях
многочлена с целыми коэффициентами.
13.18. Выразить правую и левую части через y=cos~.
13.19. Выражение в квадратных скобках представить в виде
(l+ctgA-)+ i+clgf-l^—И i, воспользоваться формулой
суммы котангенсов. В правой части для cos2x нужно выбрать
выражение, которое позволит избавиться от стоящей в скобке
единицы.
13.20. Следует помнить о том, что \ГсР—\а\.
13.21. Относительно cos* получится биквадратное уравнение,
решения которого придется исследовать.
13.24. Воспользоваться этой формулой еще раз, предварительно
выделив выражение l+cos2x.
Вспомнить об условиях, при которых произведение двух
косинусов равно единице.
13.25. Записывая условие одновременного равенства двух
косинусов единице или минус единице, следует брать разные
обозначения для целочисленного переменного.
13.26. .Если перенести все в правую часть, то мы сможем
образовать сумму двух неотрицательных слагаемых.
13.27. Так как cos 3x^0, а при дополнении до полного
квадрата к обеим частям уравнения прибавляется ± cosхcos Зх, то знак
правой части зависит от знака cosx. Это означает, что целесообразно
рассмотреть три случая: cosx=0, cosx > 0, cosx < 0.
Если cos* > 0, то целесообразно привести левую часть к
квадрату разности, а если cosx < 0—к квадрату суммы.
13.28. Поскольку минимум левой части совпадает с максимумом
правой, то единственная возможность их уравнять —решить систему
J sin ax=0,
I cosx=l.
13.29. При решении системы тригонометрических уравнений
приходится вводить разные целочисленные переменные.
13.31. Относительно и и к получится система уравнений,
которую удобно решить заменой v=ut.

13.41] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 161
13.32. С помощью второго уравнения выразить у через х и
подставить в первое уравнение системы.
13.33. При решении системы нам придется оба уравнения
возводить в квадрат. Следовательно, в конце необходимо сделать
проверку.
13.34. Получив из второго уравнения после подстановки в него
найденного значения х выражение для \у\, нужно позаботиться
о том, чтобы \у |^0.
13.35. Из третьего уравнения х+у = я.—г. Следовательно,
tg г = — tg(я— z)=— tg(х+у).
По формуле тангенса суммы и с помощью уравнения tgy=2tgx
можно выразить tg z через tg x и подставить в первое уравнение.
13.36. Получить уравнения с одинаковыми левыми частями и
сравнить их. При решении квадратного уравнения обратить
внимание на исследование.
13.37. Прежде чем возводить уравнения в квадрат, оставим
в левой части первого уравнения sin;, ав левой части второго
уравнения оставим cosx
13.38. При решении уравнений возникнут арксинусы и
арккосинусы, которые будут накладывать ограничения на а. Следует ли
к этим ограничениям добавлять |а|<1, - '
а+т
< I, что вытекает
непосредственно из условия?
13.39. Оценив правую и левую части уравнения, обнаружим,
что равенство возможно лишь в случае, если обе равны четырем.
В результате уравнение сводится к системе. В частности, следует
обратить внимание на то обстоятельство, что левая часть равна 4
лишь при tg*=tgy=l.
13.40. Первый способ. Преобразовать уравнение в сумму
квадратов и заменить системой.
Второй способ- Уравнение преобразуется к сумме двух
неотрицательных выражений, которая равна нулю. В результате
получим систему
{2 sin x= sin2 За:,
sin2 3* = sin* 3*.
13.41. Первый способ. После преобразования данное
уравнение примет вид
. , х4-у , х—у х+у . , „
4 cos3 —к2— 4 cos—jpcos—^+1=0.
Первые два члена дополнить до полного квадрата и получить сумму
неотрицательных слагаемых, которая равна нулю.
Второй способ. Уравнение можно записать в виде
3
(1 — cos *) cos//-|-sinxsin#=-|r-—cos*
и рассмотреть левую часть как однородное выражение относительно
sin у и cosy. Остается оценить выражение A cos y-\- В sin у и
правую часть уравнения.
6 Е. Б. Вахопскцй. А. А. Рывкпн

162 указания [13.42
13.42. Первый способ. Обозначив tgjr»=2, tga=c, мы
придем к выражению, которое должно быть тождеством
относительно ж. Остается вспомнить условие тождественного равенства
двух многочленов.
Второй способ- Так как равенство
tg*+tg (a—x)+tg xtg (а— дг)=6
должно выполняться тождественно, т. е. при всех х, то оно должно
Ьапъ верным и для конкретных значепин х, например при jc=Tj и
х~-г. Найденные в результате значения а и b нуждаются в
проверке.
13.43. На первый взгляд кажется естественным воспользоваться
оценкой
sin^ + iinW^2' С058*+сУ^2-
Однако это очень грубая оценка. В самом деле, если для одного
из выражений достигается равенство, то другое обращается в
бесконечность.
Следовательно, нужно преобразовать левую часть уравнения
так, чтобы sins* и cos2* не были разъединены. С этой целью
удобно раскрыть скобки и заменить
Sin«x=i-(1 _cos2*)", cos«*=-^(l+cos2x)«.
13.44. Левую часть выражения
„ . „3
sin2x— sin ж cos 2x =-=-,
к которому приводится данное уравнение, удобно рассмотреть - как
Hsin2x-}-'Bcos2x, где Л=1, В=— sinx, и оценить.
14.4. Когда мы заменим sin 2х и cos 1х на их выражения
через tgx, могут быть потеряны те решения неравенства, при
которых sin 2x и cos 2х существуют, a tg x не существует. Однако tg x
входит в правую часть данного неравенства, а потому значения х,
при которых tgjc не существует, не могут быть решениями этого
неравенства.
14.5. Первый способ. Чтобы найти секторы круга, в
которых tg2xs£0, нужно вначале построить радиусы, соответствующие
углам, для которых tg2*=0 и tg2x не существует.
Второй способ. В результате применения формулы
тангенса двойного угла возможна потеря решений: из области
определения выпадают точки, в которых cosx=0.
14.8. Так как коэффициент при старшем члене положителен, то
знаки корней зависят от знака свободного члена.
14.10. Найти те значения ft, при которых полученное неравенство
осуществимо.

16.8] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 163
14.11. Воспользоваться тем, что slnx+cos*=]
/ я
и решить неравенство относительно j/=cos(x—-т-
14.12. Произведение cosxcos3x, стоящее в знаменателе,
выразить через cos 2*. Получится алгебраическое неравенство
относительно j/=cos2x.
14.13. При возведении неравенства в квадрат достаточно
потребовать, чтобы eos*SsO.
14.15. Обозначить sin а через у и разложить получившийся
многочлен третьей степени на множители, воспользовавшись
теоремой о делителях свободного члена и первого коэффициента.
15.1. Неравенство сводится к квадратному, если положить
'°§51плг2=(/. При этом необходимо следить за равносильностью
преобразований.
15.3. Поскольку основание логарифма больше единицы,
неравенство между логарифмами можно заменить таким же неравенством
между cos ж и tgx.
15.4. Остается перейти к системе тригонометрических
неравенств, равносильной логарифмическому неравенству. При этом
нужно помнить, что все функции, стоявшие в условии под знаками
логарифма, должны быть положительными.
15.5. Для дальнейшего нужно иметь в виду, что условие
О < | а | < 1 не равносильно неравенству — 1 < а < 1.
16.6. При дальнейшем решении мы столкнемся с выбором
целочисленного аргумента. Следует помнить, что мы имеем дело с |lgx],
а не с \gx.
15.7. Неравенство равносильно условию, что знаменатель
положителен, если при этом arccos^"2—Зх+2) существует и отличен
от нуля.
15.8. Если 1 —* > 0, то правая и левая части неравенства
попадают в интервал от 0 до — , который является общим
интервалом монотонности для тангенса и косинуса. Если взять косинус
от правой и левой частей неравенства, а знак неравенства изменить
на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.
16.3. При исследовании нужно помнить, что отрицательное
число в дробной степени не имеет для нас смысла.
16.4. Решив простейшее тригонометрическое уравнение, получим
показательное уравнение, которое нужно исследовать, в зависимости
от значений, принимаемых целочисленным аргументом.
16.5. Вспомнить, когда произведение синусов и косинусов может
равняться единице.
16.7. Полученное уравнение легко решить, если записать
sin3 ж=sin л: (1—cos*я). При решении распадающегося уравнения,
которое получится в результате такой замены, нужно постоянно
иметь в виду ограничения.
16.8. При решении удобно на время забыть о возникающих
ограничениях, а в конце проверить, для каких из найденных
значений неизвестного они выполняются.
6*
/""2cos
)•
м •

164 указания [16.9
16.9. Использовать тот факт, что х > 0.
16.10. При исследовании полезно иметь в виду, что cosx<l
и дискриминант квадратного уравнения не должен быть
отрицательным.
16.11. Удобно отдельно рассмотреть случаи й<—1, в^1,
когда данное уравнение имеет неотрицательный дискриминант.
16.12. Вы должны получить систему, состоящую из двух
уравнении, трех неравенств и двух ограничений ф.
17.2. Выделить действительную часть и приравнять нулю.
17.3. Записать г2—г в тригонометрической форме: г (cos a +
+ « sin а). Помнить, что г должно быть неотрицательным, а
выражения cosa—("since, sina—/cosa, sina+icosa и т. п. не
представляют собой трнгонометрнческон формы какого-либо комплексного
чиста.
17.4. Воспользоваться формулой Муавра, после чего разобрать
случаи, позволяющие определить знак числа, абсолютная величина
которого будет модулем комплексного числа г.
17.5. В условии сказано, что число г мнимое. Использовать этот
факт для дальнейших рассуждений.
17.6. Данное уравнение можно использовать, возведя обе его
части в любую нужную нам степень.
17.7. После того как найдена величина | г |, можно вспомнить,
что г■ г = I г I2. Вместе с равенством г = г"~г это позволяет найти г.
17.8. Полученная система оказывается распадающейся.
17.9. Найденные значения для г и ш взять во всевозможных
комбинациях и проверить.
18.1. Этих трех уравнений достаточно, чтобы ответить на вопрос
задачи, достаточно из первого уравнения вычесть поочередно второе
и третье.
18.2. Найти минимум Р.
18.4. Легко доказать, что х=у. В самом деле, первый и
второй понтоны потратили на весь путь равное время, т. е.
откуда
х , 1-х_1—у , У
и v+u и+н и
Да v+u) У\и v+u)
Так как t> Ф 0, то х=у.
18.5. При решении уравнений нужно помнить, что х и у—цифры,
а потому количество их возможных вариаций ограничено.
18.6. Цена второй части брильянта Цр—х)а- Остается сравнить
цену двух частей с ценой целого брильянта.
18.7. Удобнее ввести в рассмотрение нормы расхода горючего,
отнесенные к часу работы двигателя, так как нормы расхода на
километр пути в стоячей воде пришлось бы пересчитывать на нормы для
движения против течения.
18.8. Решать систему уравнений нужно методом исключения.
При этом последнее уравнение будет содержать два неизвестных.

18.14] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 165
одним из которых должно быть s. Использовать условие у > s и
решить это уравнение в натуральных числах.
18.9. Остается разобрать все возможные случаи получения 5
копеек с помощью наборов монет разного достоинства. Если учесть
ограничение, что десятикопеечных монет на 4 штуки больше, чем
всех остальных, то придем к выводу, что из медных монет у
школьника могут быть только пятаки.
х
18.10. На путь АС—вниз по течению пароход тратит 40—-^ ча-
х
сов, а на тот же путь вверх по течению у него уходит 48——
часов. Это позволяет найти скорость течения.
18.11. В качестве неизвестных удобно выбрать скорости
пловцов и растояние АС.
18.12. Если раствор занимал первоначально х-ю часть сосуда,
то чистой кислоты в нем было -—^, а долили (1 —х) -щ? чистой
кислоты. Концентрация полученного таким образом раствора равна
Pi = px + (l—x)q.
Мы получили рекуррентную формулу для pk—концентрации
после k циклов. Остается выразить pft через р.
18.13. Чтобы вычислить расстояние между пунктами первой и
второй встречи, нужно сначала определить время между этими двумя
встречами, т. е. разделить длину отрезка между пунктом первой
встречи и пунктом В на сумму скоростей. Полученное выражение
нужно умножить на скорость автомобиля. В результате получим
уравнение
гух _ 2
(х+ц)*-9
т. е.
ух. 5
г,
<*+2/)а 9'
Два уравнения, в которых используются оставшиеся условия
задачи, составить нетрудно. Одно из них будет линейным, а
другое—уравнением второй степени.
Решение системы трех уравнений рациональнее -начать с реше-
х
ния относительно — уравнения, полученного во втором указании.
18.14. Стоимость автобусного билета {А) может быть
использована только для того, чтобы определить расстояние до встречи с
поездом, которое пассажиру пришлось бы проехать на такси.
Эта поездка обошлась бы ему в А+ах—В рублей и пройденное
машиной расстояние составило бы ах"т"^ ' =х4——— кило-
а ' а
метров.

166
УКАЗАНИЯ
[18.15
Условие задачи позволяет составить три уравнения, приравнивая
различные выражения для одинаковых отрезков времени: а) время,
которое заняла поездка сначала на такси, а затем на автобусе, равно
времени, израсходованному поездом на тот же путь за вычетом t\
б) если бы пассажир догонял поезд на такси, то догнал бы его на
расстоянии х-\ километров; в) остается использовать разность
времен, которые входят в а) и б), н приравнять ее т.
18.15. Условия задачи позволяют составить два уравнения,
которые полечатся в результате сравнения времени, израсходованного
каждым поездом на весь'путь без остановки, с временем,
израсходованным на этот же путь с остановкой и последующим увеличением
скорости.
Прежде чем решать полученную систему двух уравнении с двумя
неизвестными, нужно выразить через введенные неизвестные и ту
величину которая нас интересует.
18.16. Для решения задачи нам понадобятся два уравнения,
которые мы получим, приравнивая промежутки времени до первой
и второй встреч. Тот факт, что самолет вернулся в Л, а вертолет
прилетел в В, мы используем после того, как определим их
скорости. Это позволит нам вычислить нужные отрезки времени для
ответа на вопрос задачи.
18.17. Составить два уравнения относительно х и у нетрудно.
Достаточно записать, чему равно время на путь от М до N и на
путь от N до /И, и вспомнить, что обе эти величины известны.
(л-4-1\"
—■—] и числа 2.
19.2. Нужно использовать условие, в силу которого e^, aq, а, и as
образуют геометрическую прогрессию. Это удобнее сделать так!
а\=араг и т. п.
Остается выразить р—q, q—г и г—s через ар, aq, ar a as и
убедиться, что (р—q)(r—s)=(?—a)2.
19.3. При составлении разностей a—b, b—с и с—а удобнее
пользоваться представлением чисел а, Ь и с с помощью
арифметической прогрессии.
Ь с
19.4. Воспользоваться тем, что log*— = logA--j- (числа а, Ь, с
образуют геометрическую прогрессию).
7
19.5. Вынести за скобки -g-.
19.6. Под знаком квадратного корня стоит полный квадрат
i-(10*"—2-10"+1).
19.7. После исключения Og получим уравнение
относительно at и вз. из которого следует, что at=as.

20.10] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 167
Так как 0^=03, то оа= 1~L 3=я1. Рассмотрите систему:
19.9. Теорема Виета, записанная для данного уравнения,
приведет к системе уравнений относительно Xj и д (уравнение, в
которое входит о, можно не рассматривать). Удобнее найти сначала q.
19.10. Записать произведение я первых членов и воспользоваться
тем, что «t = |^2 .
19.11. Если цифру сотен обозначить через а, а разность
прогрессии через d, то число делится на пять, когда либо a-\-2d = Q, либо
e-f&f=5; оно же делится на девять, если a-\-(a-\-d)-\-(a-\-2d)
делится на девять. Остается воспользоваться тем, что a, a-\-d и
а + 2d—цифры.
19.13. В задаче спрашивается, сколько комбайнов было в
совхозе. Эту величину мы обозначим через л. Условия задачи
позволяют составить три уравнения. При этом левая часть уравнения,
соответствующего работе по плану, представляет собой сумму
членов арифметической прогрессии.
При решении системы уравнений нужно исключить хну.
19.14. При решении уравнений нужно иметь в виду, что нас
интересуют только а и q.
19.15. Двух уравнений достаточно для решения задачи, так как
нас интересуют не сами числа а, Ь и с, а отношение каких-либо
двух из них. Поскольку полученные в результате использования
условий задачи уравнения однородны относительно а, Ь и с, то
определить интересующую нас величину нетрудно.
19.1G. Так как предел -^ при л-* ос равен нулю, то ап и Ъ„
имеют общий предел.
20.1. Воспользоваться оценкой
1 1
20.2. Воспользоваться тем, что = .
20.4. Умножить правую часть на а—1 и привести ее к виду
а*
20.5. Разбить полученную сумму на три алгебраических
слагаемых: 2л, произведение л на сумму-чисел от 1 до л—1 и сумму
квадратов этих же чисел.
20.6. Бесконечная геометрическая прогрессия имеет сумму, если
она бесконечно убывающая, т. е. | 2х | < 1.
20.8. Рассмотреть разность S„—Snx2, в которой выделить
геометрическую прогрессию.
20.9. Полученные равенства сложить и воспользоваться
известными формулами для S„, SJj, SJ.
20.10. Подсчитайте число четных (нечетных) членов, стоящих до
л-й группы.

168
УКАЗАНИЯ
[20.11
80.11. Каждое слагаемое после домножения на 2sin^—
представить в виде разности косинусов.
21.1. Так как сосед справа н сосед слева неразличимы, то можно
любого из сидящих оставить на месте, а остальных попросить
пересесть на место, симметричное относительно того, кто остался иа
своем месте.
21.2. Обратить внимание на то, что, вычитая перестановки, в
которых на первом месте стоит элемент а,, и перестановки, в
которых на втором месте стоит элемент аг, мы некоторые перестановки
вычтем дважды.
21.3. Поскольку в нашем распоряжении имеется семь разрядов,
то выбрать места для трех двоек можно С» способами.
21.4. Число не может начинаться с цифры 0. На сколько больше
чисел мы получим, если не учтем это обстоятельство?
21.5. Экскурсантов для заселения первой каюты можно
выбрать С*г способами, вторую каюту нужно заселить четырьмя из
оставшихся и т. д.
21.6. Доказать, что ftC*=nC*:J.
21.7. Возвести l-1-i в л-ю степень с помощью формулы Муавра.
21.8. После упрощений мы придем к квадратному уравнению
относительно п и ft, которое нужно решить в целых числах.
Удобнее решать это уравнение относительно к.
21.9. Все получившиеся после раскрытия скобок члены не будут
подобными. Остается сосчитать нх число.
21.10. Если п~~I < £<2{л — 1), то члены, содержащие хк,
могут быть получены лишь в результате перемножения членов
суммы л-*-п+1 +... +*"-1.
21.М. Мы приходим к неравенству С*2* < С»2», решить
которое можно, придавая различные значения параметру к- В качестве
таких значений удобно выбрать номера двух членов разложения,
стоящих рядоч с десятым членом.
21.12. Наиболее удобной является группировка
После того как мы применим формулу бинома и к (I-f-*8)*,
получим, что в общем члене содержится jcioo-ttt-ii»). Остается
выяснить, принимает ли 5Л—2т бее значения от 0 до 100, и если не
все, то сколько значений окажутся пропущенными. Следует- иметь
в виду, что т, k = 0, 1 20, но mss^k.
21.13. Для получения рекуррентной формулы достаточно
разобрать два случая: а) в первой группе один элемент (ах), б) в первой
группе два элемента (elt ae).
21.14. Чтобы получить рекуррентную формулу, связывающую
М„ и M„+i. где через М„ обозначен ответ задачи, нужно найти
число точек пересечения (д+1)-й прямой со всеми остальными. Как
с этим числом связано количество вновь образовавшихся областей?

24.1] ВТОРЫЕ И ТРЕТЬИ УКАЗАНИЯ 169
Рекуррентное соотношение будет иметь вид
Mn+i^Mn+m+n + l.
22.2. После того как найдена сумма двух первых слагаемых,
можно воспользоваться формулой синуса суммы, так как
я
третье слагаемое положительно, но меньше -j-, и вся сумма не
больше -я-.
, 22.4. Так как оба слагаемых расположены в интервале 0, -ту-1 ,
то все тригонометрические функции от них неотрицательны.
22.5. Воспользоваться формулами приведения с тем, чтобы под
знаком арккосинуса стоял косинус, а не синус.
22.9. Если перенести arcsin -^ в правую часть и взять синусы
от обеих частей, то в предположении, что х > 0, получим
уравнение, равносильное данному.
22.10. После взятия косинусов от обеих частей уравнения
получится иррациональное уравнение, при решении которого возможно
приобретение посторонних корней.
22.11. Так как обе части лежат в интервале [ —=-, 4у-) , то
от обеих частей данного уравнения можно взять тангенсы, что не
нарушит равносильности.
22.13. Ясно, что в результате взятия котангенсов от обеих
частей равенства мы можем получить посторонние корни, так как у
неравных углов могут быть равные котангенсы. Однако возможна и
потеря корней, если в интервал изменения углов попадает
значение kn.
23.7. Первый способ. _В тождестве cos (х+ Т)3 = cos х3
удобно выбрать х=0 и х= 1^2 Т. Вместо второго значения можно
выбрать другое иррациональное число.
Второй способ. Если у функции есть период Г, то
Xi+T=xm, а хг+Т=хк, где жу -— i-u положительный корень
функции. Исключив Т, получим равенство, которое нужно привести
к противоречию.
23.9. Предположить, что функция имеет меньший положительный
t Зх х
период, чем наименьшее общее кратное периодов cos -5- и sin -7- .
Записать тождество и привести его к противоречию, преобразовав
разность синусов и разность косинусов в произведения.
24.1. Получившийся квадратный трехчлен можно разложить на
множители. Однако такой прием исследования здесь не подойдет, так
как аргумент, от которого зависит квадратный трехчлен, сам
является функцией от х. Используйте другой прием для исследования
квадратного трехчлена.
Выделите полный квадрат.

170
УКАЗАНИЯ
[24.2
24.2. Данную функцию удобно записать в виде разности
косинусов, поскольку в аргумент каждого синуса входит
2х—единственное слагаемое, зависящее от х.
24.3. Для этого вынести -sin х cos х за скобки.
24.4. А=х+у+1.
24.5. Найдя наименьшее значение у в каждом из пяти
интервалов, мы сравним эти значения друг с другом.
24.6. Для функции у = х~\— мы можем неравенство применить
непосредственно и написать
х + — 5=2 У~а.
х
Для данной же функции нужно иметь семь слагаемых, содержащих
в знаменателе х, чтобы погасить влияние х".
Представить — в виде суммы семи одинаковых слагаемых =-.
24.8. Выразить боковую поверхность как функцию только а+Ь.
24.9. Удобно ввести в рассмотрение угол а между диагональю
шестиугольника и диагональю квадрата. Этот угол можно будет
найти из условия, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны
и должны" принимать наибольшую возможною величину.

РЕШЕНИЯ
Глава f
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
1.1. Треугольник А1ВС1 (рис. Р.1.1) правильный, так
как он подобен данному треугольнику ABC. Точки В, О, Сг
и £>х лежат на одной прямой. Чтобы найти АОг, нужно
вычислить 0,/Э. Но OlD~01Dl—DDl.
Отрезок ОгОг равен трети
отрезка BDj, как радиус окружности,
вписанной в правильный
треугольник АфС^ Таким образом,
2R
01D1=-j-. Отрезок DDt мы
найдем, если рассмотрим
треугольник ABC, как вписанный в
окружность с центром Q:
Отсюда ор = Ц—§■=-§-• Так как AD=YЛС=^-р"»
то AOL = У AD* + Ofi* = 5-P.
Ответ.
RVT
1.2. В треугольнике АОВ (рис. Р. 1.2) известны: /_ ВАО =
~Т' ^- АОВ = у + y » BO = m. По теореме синусов

172
РЕШЕНИЯ
[1.3
а
находим AB = mc\g-j. Теперь можно найти АС и /? = fi01:
в АС= 2AD = 2АВ sin ( ~ а) -
= 2ЛВ cos a = 2/» ctg -£cos а,
Л = -
ЛВ
«Ctgy
2 cos
Ответ
(f-)
2 sin а ... а
4sms—-
-<4C-=2/»ctg-icosa, /? =
4 sin
.. «
1.3. Условие задачи может бить геометрически
осуществлено и двух случаях (рис. Р. 1.3а).
В первом случае мы имеем дело с правильным
треугольником (докажите). Однако решить эту задачу можно сразу
"для обоих случаев. На рис.
Р. 1.36 изображены
треугольник ABC и треугольник -d^BjQ,
составленный из средних линий
первого треугольника.
Треугольник Аф-fii подобен тре- '
угольнику ABC с
коэффициентом подобия половина.
Следовательно, радиусы окружностей, описанных около этих
треугольников, относятся, как один к двум.
В,
Рис. Р.1.36.

1.41 ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 173
1.4. Если сторона а треугольника ABC биссектрисой ААг
разделена на отрезки аг и at, то можно записать следующие
соотношения (рис. Р. 1.4): ,
?! — £.
а2 b '
Решая эту систему уравнений
относительно at и а2, получим
ас __ ab A
Рис. Р. 1.4.
Вычислим аналогично отрезки, на
которые разделены стороны b и с треугольника ABC:
. _ ba . __ be _ сЪ '"
с+а' а с+а' *■ а+Ь' s a+b'
Так как отношение площадей треугольников, имеющих
общий угол, равно отношению произведений сторон, между
которыми лежит этот общий угол, то
SAB,C, _Ctfta _ Ьс
Sasc °b (a-\-b){a+c)'
Аналогично находим
SA1B£i _ ас sa1b1c __ ab
Sabc (а+Ь){Ь+с)1 SABC (a+c)[b+c)-
g
Теперь найдем отношение ^'в' ':
ьавс
jB,C, __ j /SA,B,C . SA,BCt , 5ИВ,сЛ^
Авс \ SABC SABC Sabc J
__ j f be ac ab \ __
\{a+b)(a+c)^~ (о+Ь)(Ь+с) + (a+c) (ft+c) J ^
2abc 2p<j'
"" (a+6)(o+c) (6 +c) - <p+4)(P+Q(f+0 *
Ответ Sabc -(P+<?)(P+0(9+0

174 решения J 1.5
1.6. Выразим площадь треугольника ABC через радиус г
вписанной окружности и углы А, В и С треугольника.
Вначале запишем
$АВС — $АОВ + $80С + $СОА
(рис. Р.1.5).
Так как
SA0B = ~ АО- ВО sin AOB,
где
sin-g- s,n"2"
ZA0B=«-(*+*)
н, следовательно,
то
sin AOB = sin ^-±-2 = cos -£-,
С
COS-s-
Sin-j SUl-jp
Аналогичио находим SB0C и 5С0Л и вычисляем искомую
площадь:
<> _ г2 sin^ + sinB + sinC
*авс- J . А . В . С '
sin — sin -у sin -j
Выразим теперь через г, А, В и С площадь треугольника
АХВХСХ. Разобьем и его на три треугольника:
^AiBlCl = SAiOBl -Г SBl0C, + Sc&At =
= j (sin ^OSi -f sin BxOCx + sin^OAJ.
Чтобы найти угол AxOBx, рассмотрим четырехугольник
АхОВхС. В этом четырехугольнике два угла прямых, а
потому два других: угол АхОВх и угол С—образуют в сумме
развернутый- угол, т. .е. угол АхОВх равен я —С.
Аналогично находим углы ВхОСх и СхОАх.

1.7J ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 175
Итак,
SAlBtct =yr8 (sin A + sin В+sin Q.
Остается найти отношение 5д,в,с,^у1яс-
л п . А . В . С
Ответ, 2 sin -jj- sin -g- sin -g-.
1.6. Так как В = ЗС, то из соотношения между
площадями мы получим
SAnc TAC-ADsiaT_2t
Sabd .1. Ав. AD sin jA_
AC n sin В 0
т- е. -г5 = 2, откуда, в силу теоремы синусов, . п = 2.
/го Sill Cj
Вспоминая, что по условию В = ЗС, придем к
тригонометрическому уравнению s!n3C=2 sin С Домножим обе части
уравнения на cos С, получим sin3CcosC=sin2C.
Преобразовав левую часть в сумму синусов, придем к уравнению
sin 4C+ sin 2С=2 sin 2C,
или
sin4C=sin2C.
Так как С—угол треугольника, меньший— (ведь ЗС и С —
углы одного треугольника), то последнее уравнение может
выполняться только в том
случае, если
4С=я-2С, т. е. С=~.
Находим остальные углы:
Огеет. $, £, SL.
1.7. С одной стороны,
площадь треугольника CDA (рис.
Р. 1.7) можно выразить через стороны Ь, I и угол между ними,
а с другой стороны,—как сумму площадей треугольников

176 решения 11.8
ABC н ABD:
$cad ~ sabc+ sabd ~ f bc sin A + S cl sin ("Г-т) ~
= -K-c(ftsinA + /cos-j-j.
Приравнивая эти два выражения, найдем
/ (Ь — с) cos -J- = ftc sin A,
или
/ (6 — с) cos ~ = 2Z>c sin 4 cos 4 •
A
Так как cos -^- в треугольнике не может быть равен пулю,
то на него можно сократить. Теперь найдем /.
2bc sin -7j-
Ответ. 1= —г
Ь—с
1.8. Воспользуемся сравнением площадей.. .С одной
стороны, S--pr = S-L-JL- r, где через а обозначена искомая
сторона. Находим отсюда, что 25 = аг -\- (Ь + с) г. С другой
стороны, если биссектрису угла А обозначить через 1а, то
S = \lJ> sin -Tj- + -j 'ec sin Y" = у ^ Ф + °)sfn -f- (Рисунок
сделайте самостоятельно). Из последнего равенства находим,
2S
что Ь-\-с = . Подставляем в выражение для 2S, по-
/„ sin -тг
а
2
лученное раньше
„„ . 2Sr , 2S
25 = а/Ч — = ar ■
la sin — q sin -g-
B последнем преобразовании мы учли условие задачи,
согласно которому 1а~гЯ- Осталось ввести в рассмотрение
радиус R описанной окружности. По условию R—pqr. По
теореме синусов
а = 2R sin a = 2pqr sin а,

1.9] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 177
откуда г = 7j =—з • Полученное соотношение позволяет
определить а из последнего выражения для 2S. В самом деле,
после подстановки получим
са , 2S
25 = ;
9sm-
Ipq sin a
откуда после несложных преобразований найдем а.
Ответ. а=у &pS cos ~ !q sin-2 1 V
1.9. В треугольнике ABC (рис. Р. 1.9) по условию имеем
АО t—
—— = |/3. Так как
ВО—биссектриса треугольника АВМ, то АВ:ВМ =
— АО: ОМ=УЪ. Аналогично
AB:AN=BO:ON=
1 . VT+1
Если к треугольникам АВМ и ABN применить теорему
синусов, то получим
АВ
ВМ
__ ™{т+в)
АВ
sin
sin-
AN
Ы)
sin-
Подставляя вместо АВ'.ВМ и AB\AN их отношения, придем
к системе уравнений
in(4+e)-V~3sin4.
sin т
или
sin — cos B-\- sin В cos -у = lA3 sin -^ (
В
sin A cos -=- + sin -^- cos A =
V^+l _. В
sm
2 '

178
РЕШЕНИЯ
[1.9
А В
Разделим первое уравнение на sin —, а второе—на sin-^-.
После этого найдем из первого уравнения ctg-„-, а из
второго ctg-f-:
ctg4=jq^, ctg
1^3+1
в
• cos A
2 sin В ' 6 2 sin ^4
Чтобы упростить эту систему, воспользуемся формулой
для котангенса половинного угла:
1-f-cos Л VT—cos В
<
sin А
1+cosB
sin В
VT-Ы
— cos A
sin В
sin A
sin В
Приравняем отношения ■ . ., найденные из первого и
второго уравнений:
Т^Э~—cos В 1+cosfi
1-f cos A
^3+1
-cos A
i/"3 I
т. е. cos/l + -fy- cosfi= у-
Второе уравнение последней системы преобразуется так:
l+cosB_ VT+3 l+cosi4
sin В — 2 sin A sin /4
Последнее слагаемое заменяется с помощью первого
уравнения этой системы. Получим после преобразований:
, _у-з+з j/T те slnA==VfsiaB.
sin В 2 sin A sin В '
Итак, мы пришли к системе
1 Уз
cosA--
cos В,
sin A=^y- sin В.

1.11] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
179
Возводя в квадрат и складывая, найдем, что cos 5=0.
2
Следовательно, В = -г. Так как sin 5=1, то sin A = —z- и
А=-^. На долю угла С остается тг-.
Ответ. Углы А, В и С равны я/3, я/2, я/6
соответственно.
1.10. Из треугольника МРА (рис. Р. 1.10) находим
MP = PA ctg а. Но РА = ОД — ОР = -^ /?.
^ cos а ^
Таким образом,
МР=.[-1 Hctga =
^cosa ^ / *
MP
ff — р COS»
Находим MQ:
MQ = AQ—AM=AQ
-qtga
sin a
q—p cos a
cos a " ^* sin a cos a
<y sin8 a—q -+-p cos a _ p cos a—q (1 —sin* a) _p—q cos a
sin a cos a sin a cos a sin a "
Полезно заметить, что MQ можно было не вычислять,
поскольку выражение для MQ должно получиться из выра*
жения для MP с помощью замены р на q, а q на р.
Ответ. ЖР^-?С05а, MQ = p-?cosa.
sin a ' ^ sin a
Р
Рис. Р.1.10.
1.11. Пусть АР=3, CR = 2 УТ (рис. Р.1Л1). Из
сравнения площадей треугольника ЛВС получим
За = 21/2с.
BQ
Так как а = -4Щ*
sin С
с =
-st-jsi то после сокращения на BQ

180 РЕШЕНИЯ (1.11
получим
sinC sin Л' I1'
По условию BQ — GOQ. Найдем отрезок AQ из
треугольников ABQ и AOQ соответственно:
AQ = 8QctgA = 60QcigA, AQ=OQ<Ag/.OAQ,
где j/_OAQ = -^—С. Приравнивая эти два выражения,
получим второе уравнение, связывающее углы треугольника:
6ctg/lctgC—1. (2)
Остается решить систему из уравнений (1) и (2). Для этого
возведем уравнение (1) в квадрат и воспользуемся формулой
^г^- = 1 + ctg2 а. Получим
9(t+ctg2C) = 8(l+ctgM). (Г)
Из уравнения (2) следует, что
подставляя значеине ctg2C в уравнение (Г), после
несложных преобразований придем к биквадратному уравнению
относительно ctg/1:
32ctgM — 4ctgM —1=0. (3)
Так как треугольник ABC по условию остроугольный,
то нас интересуют лишь положительные корни уравнения (3).
Легко убедиться, что оно имеет единственный
положительный корень
ctg<4 = i.
Подставляя в (2), найдем, что ctgC=-g-.
Теперь можно найти площадь данного треугольника:
ъавс— 2
SABC = -^AP-a,

1.12] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 181
где АР=3. Величину а найдем из треугольника BRC:
а = Ж-. = *¥L = 2/2 \ГТ+Щ*В;
sin В sin В г i -в >
ctgB = ctg[3t-H + C)]=-ctg(>l + C) = ;-=^^=l.
Ответ. 6 сма.
1.12. ПосколькуВ — С=у, угол В—тупой (рис. Р.1,12).
Так как
, ft ft ft
Ь = —г—7г И С =
sinC "— sin В — sin(»t/2+C) '
то соотношение b-\-c — k можно переписать так:
_*__!__* к
sinC ^ cos С '
откуда
h (sin С+ cos С) = й sin С cos С. л
Возведем последнее уравнение в
квадрат:
fca(l + sin2C)=:iL-sinz2C.
Получим квадратное уравнение относительно sin2C. Корни
этого уравнения
D,„ on_ 2(ft*± ytf+Wft») _ 2ft (ft ± VW+W)
sin^c p s .
Если мы возьмем перед корнем знак минус, то получим, что
sin 2C < 0, чего быть не может, так как угол С острый,
а следовательно, 0 < 2С < л.
Остается
,1пас-»»+У™.
В правой части стоит положительное число. Чтобы можно
было найти С, это число не должно превышать единицу, т. е.
2h(h+Vh* + k*)^k\
Неравенство можно переписать так:

182
РЕШЕНИЯ
[1.13
При возведении в квадрат необходимо добавить
ограничение А8—2A2^TJ. Получим систему
J8Aa<ft2,
\ AaSs2A2,
решением которой будет.. k ^ 2]^2 А, так как ft и А по
условию положительны.
Ответ. C=larcsin2A^±^±^.npHft>2/2A.
1.13. Первый способ. После того как из точки О
опущены перпендикуляры длины дг, у и z на стороны в,
Ьиссоответственно (рис.Р. 1.1 За),
можно записать
2S = ах-\-Ьу-\-сг.
С одной стороны, АО = —-■— ,
sin ос
а с другой стороны, АО —
=l/F+ЛС? = Vz*-\-{c—zctgaf.
Таким образом,
Рис. РЛЛЗа-
sin a
■Vz2 + (c—zctga)2.
После простых преобразований получим
(у2—22) cosec2 a = с2—2czctga,
(jc2—у2) cosec2 a = б2—26y ctg a,
(г2—jcz) cosec2 a = д2 — 2ax ctg oc,
где последние два уравнения выведены аналогично первому
из рассмотренных отрезков СО и ВО. Сложив все три
уравнения, получим в левой части нуль, а в правой — выражение,
в которое входит S:
О = (о2 + Ьг + с2)—2 {ax + by + cz)c\ga.
Таким образом,
c*«-*±s±*.
Второй способ. Так как площадь треугольника ABC
равна сумме площадей трех треугольников, на которые

]J4] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 183
треугольник ABC разбивается точкой О (рис. РЛЛЗб), то
5=
-*- sin a (an -f- Ы 4- cm).
Записав теорему косинусов для каждого из треугольников
А ОБ, БОС, СОА, получи»! в
2ап cos a = с2 -f- n2—те,
2bl cos a = b2 + l2—n\
2c/»cosa = ea-f>»2—*a- ^ / \«
Сложим три последних равенства)
2 cos a (яя + W + с/») = А
= аа + 6г + сг.
Рис. РЛЛЗб.
Используя полученное ранее выражение для S, исключим
ап-\-Ы-\-ст.
Ответ. ctga= 4S '•
1.14. По условию CD = ВС—АО
(рис. Р.1.14). Так какЛС^-^j-,
sin i4 *
дС= ._-„■, то
sin 5
GDI
1
I
Рис. Р.1.14.
sin £
sin Л
)-
CD
или sin Л—sin 5 = sin ^4 sin 5.
Последнее уравнение можно переписать так:
4 sin
А—В
cos
А+В _
cos (А — В) — cos (/I -f В).
2 — 2
Так как А—В = (д, то после замены
cos (А + В) = 2 cos8 ^Цр- — 1
приходим к уравнению относительно у = cos—в—
Иа его корней
iy2 + 2sin|-</-cos*-| = 0.
0г, s=±l — sin J

184 решения (1.15
годится только первый, т. е.
cos—g— = 1 — sin-i-.
Задача имеет решение при 0 < <р < я.
Остается решить систему
| 4 + B = 2arccos (l— sin-|-] ,
[А— В==ф.
Ответ. /4=arccos ( 1—sla— J +
+|,B=arccos(l-sinf)-|,
B С=л~А-В.
1.1Б. Площадь S
треугольника ABC (рис. Р. 1.15)
может быть записана с помощью биссектрисы / следующим
образом:
5=у (a + b)l sin -тр.
Таким образом, имеем три выражения для 2S:
Q
afia = Мь = (в + b) /sin -J-.
Исключая а, получим
Mb = A^±*5/sin-§-,
откуда C=2arcsinn^^-r
Задача имеет решение, если
В правой части стоит величина, называемая средним
гармоническим длин ha и hb.

1.17] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 185
Khb
Ответ. C*=2arcsin
если длина биссектрисы
больше среднего гармонического длин ha и hb.
1.16. Так как ОС и ОВ (рис. Р. 1.16) —биссектрисы
соответствующих углов треугольника ABC, то
/_СОВ^п~ (Z.OCB + ZOBQ = я—5±£.
Но В+С=л—/4=п—а. Следовательно, ^СОВ = я- + w-
Применяя теорему синусов,
получим
ПО а -
uui ~ 2 sin L СОВ '
а
~8"»(т+т)
Ответ. .
о а
2cosy
а
2 cos
а •
2
•4
1.17. Проведем через центр Рис. Р-1.16.
Ot (рис. Р. 1.17) вписанной
в треугольник ABC окружности прямую, параллельную АС
и пересекающую медиану АЕ в точке О. Докажем, что
О—точка пересечения медиан
треугольника ABC.
С помощью сравнения площадей
получим
(a + d)BD = rP,
где
P=?a + (a+d)+(a+2d) = 3(a+d),
откуда BD~3r.
Так как АЕ—медиана, то из
подобия треугольников BDC и EFC
3
следует, что EF—-^BD = у г. Из подобия треугольников
AOG и AEF получаем AO:AE = OG:EF=2;'S.

П6
РЕШЕНИЯ
{1.18
Следовательно, АО:ОЕ = 2:\ и О—точка пересечения
медиан.
1.18. Площадь треугольника ABC (рис. Р.1.18), с одной
стороны, равна -g-haa = 2kr^, а с другой стороны, равна рг,
Следовательно, р = 2kr.
Так как АВ1 — АС1 (касательные к одной окружности)
и аналогично ВСХ = ВА1У СВ1 = СА1, то СВ1 + ВС1 = СА1 +
+ ВА1 = а, АВх + СВ^-\-ВСх^р
и АВХ — р — с = 2kr — kr = kr.
Теперь можно вычислить tg-g- =
- L — A-
~ kr ~ k '
Чтобы найти стороны Ъ и с,
определим величины Ь-\-с и be.
'С Величина 6-j-с определяется
просто:
b+c = 2p — a = 3kr.
Чтобы найти be, вспомним, что площадь треугольника ABC,
равная 2kr2, может быть записана в виде у6с sin 4, где
sin/1— ,,bs (по формуле универсальной подстановки). Таким
образом, be = 2а2 (1 + А2).
Решая систему уравнений
/ b+c = 3kr,
\ Ьс = 2г2 (1 + &),
найдем
C = T(3A-1/F=8)
или, наоборот.
6,
Рис. Р.1.18.
* = Т(ЗЛ-У^Г=8),
Задача имеет решение при А > 2р 2.

1.20] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 187
Ответ. p~2kr, tg4=4> *> = ЦЗк-У¥^8),
е = 1-(ЗА-Ы/Ж^8), где к > 2]/^.
1.19. Так как углы С, А, В треугольника ABC образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем 2, то А — 1С,
В—АС (рис. Р. 1.19). Точка О —центр вписанной окружности,
т. е. ОК н OL являются
отрезками соответствующих биссектрис.
Вычислим углы треугольника
0LK. Угол KOL равен углу BOA
треугольника BOA, в котором два
угла уже известны: угол при
вершине А равен С, а угол при
вершине В равен 1С. Следовательно,
угол ВОА — п — ЗС. Но в силу
соотношений, приведенных в
условии, п=А-\-В-\-С — 7С, т. е.
угол BOA, а следовательно и угол
LOK, равен АС.
Рассмотрим далее
треугольник ЕКС. Угол при вершине Е
в этом треугольнике (равный углу
АЕО из треугольника АЕО) вместе
с углом ОАЕ, равным С,
образует угол LOK, равный АС. Таким образом, угол КЕС
равен ЗС Угол ЕСК равен половине угла ЕСМ, который вместе
с углом С образует л, т. е. 1С. Следовательно, угол ЕСК
равен ЗС. Найденные два угла, каждый из которых равен ЗС,
позволяют найти третий: угол OKL равен С.
Таким образом, подобие треугольников ABC и OLK
доказано.
1.20. Сумма всех углов треугольника равна ТА. Поэтому
В силу теоремы синусов
а = 2/? sin у,
b = 2Rsln
2п
e = 2/?sin
4я

188 решения [1.21
Соотношение, которое нужно доказать, эквивалентно
такому:
1 1.1
или
.я . 2я ' . 4я
sin-=- sin— sin-=-
. 2я . 4я . я . 4я , . я . 2я
sin -у sm — = sin у sin — -|- sin у sin y-.
Преобразуем левую часть:
. 2я . 4я „ . я я . 4я
sm у sin у- — 2 sm у cos -=- sin - - =
. я / . Зя . . 5я\ . я / . 4л , . 2я\
= sin у (sin у _[- sin у-J = sin у (sin у + stay) =
. я . 4я . . я . 2я
= sniy sm у -f- sm у sin — ,
чтко и доказывает наше соотношение.
п 1.21. Проведем AL параллельно
ВС (рис. Р. 1.21). Из подобия
треугольников RAL и RBP следует, что
_6К_ВР BRAL_.
AR~ AL' Т> e* AR-BP~ •
Из подобия треугольников AQL и
CQP:
AL_AQ .. AQPC
Рис. Р.1.21. PC~~QC' T* e" /U" —' QC '
Подставляя значение AL в отношение, полученное раньше,
придем к равенству
Bib AL^ _ BR ■ AQ- PC _ j
AR-BP AR-BP-QC'
что и требовалось доказать.
1.22. Пусть АЕ—высота, опущенная на ВС (рис. Р.1.22).
Тогда все участвующие в левой части равенства величины

1.23]
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
189
можно выразить через АЕ и длины отрезков, лежащих на
ВС. При этом следует стремиться связать каждый отрезок
с точкой D. Получим
АВ*=ВЕа + АЕ*= ■
=(BD + DE)2+AE2,
АО>=СЕ2 + АЕ2 =
=(СО~ОЕ)*+А£г,
AD2 = DE2 + AE2.
В4
Воспользовавшись
полученными соотношениями, составим сумму
АВ2 ■ DC+АС2 • BD—AD2 • ВС.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
(DE2 + АЕ2) (DC + BD — ВС) + DC ■ BD2 -f BDDC2.
Так как DC + BD=BC, то остается
DC-BD2 + BD-DC2 = {BD + DC)DC-BD = BC-DC-BD,
что и требовалось доказать.
1.23. Проведем СЕ и AD параллельно BQ, а отрезки
АР и CR продолжим до пересечения с ними (рис. Р.1.23).
Рассмотрим образовавшиеся в
результате подобные треугольники.
Так как отрезки AD и OQ парал-
£ СО СО .,
лельны, то о3 = 0п- Из
подобия треугольников ADO и ОЕС
СО СЕ „
следует, что q^ — j^- Итак,
CQ СЕ
QA~~ AD'
Воспользовавшись двумя парами подобных
треугольников: ЕРС и ОВР, ADR и RBO, мы можем записать
ЯР
PC'
Ё2.
''СЕ'
AR
RB
АР
ВО
Следовательно,
AR ВР CQ__AD_ ВО СЕ
RB' PC' QA~ ВО' СЕ' AD" '

190 решения [1.24
1.24. Треугольник ABC и три треугольника,
образовавшихся внутри него (рис. Р.1.24),.подобны. Поэтому
АВ АВ~~ ВС~ ВС'
ciH_qi<__EK
С А С А" ВС
Следовательно,
АВ + ВС'7' СА~ ВС "г ВС'1' ЕС ~ '
Л.
Рис. Р. 1.24. Рис. Р. 1.25.
1.25. Обозначим угол AOD (рис. Р. 1.25) через а. Так
как углы АОВ п-ВОС равны 120°, то углы BOF и СОЕ
равны соответственно 60°—а и 60° +а. Составим сумму
AJP + CEt + BF* =
= К8 sin* a + R8 sin8 (60° + а) + #a sin8 (60°—а).
После понижения степени получим
ADt + CEi + BF2 =
= ^.[l_cos 2а+ 1—cos(120° +2а)+ 1 — cos(120° — 2а)] =
=^ ^3 —cos2a-{-2 cos2a~) =-|/?2.
Тем самым доказано, что эта величина не зависит от
положения прямой иа плоскости.

1.27J ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 191
1.26. По теореме косинусов
откуда с = ]/7.
По теореме синусов
са = аа + *2 —2cftcosC = 7,
-vT
' 2 sin С
Угол АОВ (рис. Р. 1.26) центральный, а угол АСВ
вписанный. У них общая дуга, т. е. угол
АОВ равен 120°.
Применим теперь теорему
синусов к треугольнику АОВ:
/?
-/f
А0В 2 sin 120°
Оставшиеся величины RA0C и RB0C
можно найти по формуле
R
abc
Рис. Р.1.26.
Площади каждого из этих
треугольников проще вычислить, если найти их высоты,
опущенные из точки О:
ое*=p-(±Y=L-l=±
UC K \2J 3 4 15
OD* = R*-{±y = \
1
12'
-4.
OD
V3
Таким образом, площади треугольников АОС и ВОС равны
3 2
—у=. и соответственно, а радиусы окружностей, опи-
7 7
санных около этих треугольников, равны >_,._ и
соответственно
Огвег
]Аз 4уТ
/*■
УТ' 4/3" "
1.27. По теореме косинусов и в силу равенства а* = с (fc-f-c)
получим
! + с" — 2bc cos /1 = с ф + с),

192
РЕШЕНИЯ
11.28
откуда
. Ь—с
С05Л=-2Г-
Данное в условии равенство можно записать так: с* = ай~Ьс,
и сравнить его с теоремой косинусов для угла С. Получим
Нам нужно доказать, что угол А вдвое больше угла С.
Вычислим для этого cos 2С и сравним с cos A:
CQS2C = 2coS*C-l=2ci+b*f2bc - 1 ,^+y+ate-^ .
В выражение для cos А, которое мы получили раньше,
сторона с не входит. Поэтому заменим в правой части
полученной формулы а2 на be -f- с2. Получим
пг._ Ьг—сг _Ь—с
СО*^ 2с(Ь+с) ~~2Г-
ЬЛ-с
т. е. cos i4 = cos 2C. Так как cos С = ^Г > 0, то угол С
острый. Углы А и 2С лежат между 0 и я, т. е. в интервале
монотонности косинуса. Таким образом, из равенства
косинусов следует .равенство углов
Л = 2С.
1.28. Центр О вписанной окружности лежит на
пересечении биссектрис (рисунок сделайте самостоятельно). Поэтому
Ж>=—!-г, ВО = —V, СО =
. А * . В ' . С '
sm-g- s,n"2"' sin"2"
Подставляя в данное соотношение ОА2 = ОВ-ОС, получим
. 2 А . В . С
sinz-2-=sm-2-sm-2-
п2
Применив к правой части формулу преобразования
произведения синусов в сумму, приведем равенство к виду
2 sin2 у = cos ■ "~ — cos g .

1.31] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 193
Заметив, что В-\-С—п—А, получим
В—С „ _,_«, Л
2
cos—s— = 2 sin2 ^--j- sin-£,
2
что и требовалось доказать.
1.29. По условию S—cP — Ь2 — сг-\-2Ье. С другой
стороны, S — -y-bcsmA. Сравнивая эти выражения, получим
аг—b* — с*-\-2Ьс =~ be sin A.
Воспользуемся теоремой косинусов и заменим с2 на
№-\-cz—2bccosA. После приведения подобных и
сокращения на be останется тригонометрическое уравнение
~s\nA=— 2 cos/1 + 2,
которое можно переписать так:
А А
sin -у cos -g- =
■• 4 si»'
ir.S
Так как А — угол треугольника, то -я- лежит в первой чет-
А А I
верти и sin -jr-фО. Наше уравнение принимает вид *%гтг — 'т •
Ответ. ,<4 = arctg-£-.
1.30. Пусть 0lt 02, 03 —центры квадратов,
построенных на сторонах треугольника ABC (рис. Р.1.30). Опустим
из них перпендикуляры на сто- о,,
роны. Проведем средние линии
DE и КЕ. На отрезках ОгК и КЕ
построим параллелограмм KELO%.
Рассмотрим четырехугольники
OlEDOa и ВЕЮг. При -повороте
около точки Е одного из них
на 90° он совпадает с другим
(убедитесь в равенстве сторон
и углов самостоятельно).
Следовательно, отрезки ОхОа и ВОй
равны, что и, требовалось
доказать.
1.31. Достроим треугольник ABC до параллелограмма
так, чтобы сторона АВ была диагональю параллелограмма
' Е. Б. Вазовский. А. А. Рывкни
Рис. Р.1.30.

194
РЕШЕНИЯ
[1.32
(рис. Р.1.31). Проведем BDl\\AD и обозначим на чертеже
чочку Mv
Треугольники ЛЮС и MfiC подобны. Так как
MF=~CF, то МС:ЛШХ = 3:2. Следовательно, MD-.MjB^
= 3:5. Так как MtB~ AM, то AM:MD*=
= 5:3.
• Площадь треугольника AFM в восемь
раз меньше площади треугольника ABC,
т. е. равна 1/8. Высота треугольника
AFM(F— середина АВ), опущенная из
вершины F, в два раза меньше высоты
треугольника ABD, опущенной из вершины В.
Так как AM:AD = 5:8, то площадь
треугольника AFM относится к площади
треугольника ABD, как 5 относится к 2-8,
т. е. как 5:16.
Зная, что площадь треугольника AFM
равна 1/8, можно теперь найти и
площадь треугольника ABD.
Ответ. 2/5.
1.32. Пусть R — радиус окружности, а а, В и у
—вписанные углы, опирающиеся соответственно на стороны АВ,
ВС и AD (рис. Р. 1.32). Углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу,
равны, что отмечено на рисунке.
Углы DBC и DAC тоже равны, и их
нетрудно вычислить: я—(a+P + Y)-
По теореме синусов
АВ = 2Rsina,
ВС = 2R sin 6,
DC = 2Rsin(a. + $ + y),
AD = 2R sin у-
P. 1.31.
Рис. Р.1.32.
Таким образом
AB-DC+AD-ВС = 4#2[sinasin (a-f P + y) -f- sin p siny] =»
= 2/?2[cos(B + y)—cos(2a+B-fY)+cos(P—Y)—cosft+P)]^
= 2tf2 [cos (B—y) — cos (2a + В + у)].
Так как
AC=2Rsm{a. + P), BD = 2R sin (a + у),

1.34] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 195
ТО
ACBD = 4R2 sin (a + P) sin (а + у) =
= 2#и [cos (р - у) — cos (2а + р + Y)]-
Итак,
ABDC+ADBC = AC-BD.
1.33. Продолжим боковые стороны трапеции АВ и CD
(рис. Р. 1.33) до пересечения в точке S. Если через S и М
(где Ж—середина ВС) провести
прямую, то она пересечет AD
в точке N, которая является
серединой AD.
Из подобия треугольников
BSM и ASN имеем
А— а,
AN_=SN_ "
ВМ SM' Рис. Р.1.33.
откуда
AN—BM SNSM
ВМ
SM
т. е.
AN—BM MN
ВМ
SM
Так как по условию MN=AN—BM, то BM — SM и
треугольник SMB равнобедренный. То же самое можно
сказать и о треугольнике SMC. Следовательно, угол SMC равен
„ удвоенному углу А, а угол SMB —
удвоенному углу D (по свойству
внешнего угла треугольника). Но оба
эти угла SMB и SMC образуют
развернутый угол. Следовательно, сумма
углов А и D равна 90°.
1.34. Пусть АВ = а, MR = x
(рис.Р.1.34). Выразим через аил:
длины отрезков MQ, MS и MP.
Ясно, что для этого достаточно
найти длину отрезка QM, поскольку
MS = a — QM,zMP = a—x. Таккак
то вычислим СК и KR. По условию
(треугольники OLN и ОЬгК равны)
м
^0^"
--^—°
Рис. Р. 1.34.
QM=CR=*CK+KR
потому
AV=4J.
Ctf=-g-. Чтобы найти KR, рассмотрим подобные треугольники

196
РЕШЕНИЯ
[1.35
MKR и NKNji
MR
KR
KR
x
e. — =
a a
откуда KR=-g, a QM=-^-\--^. Остается убедиться в том,
л; образуют арифметическую
что числа а—х.
3 '
2х—а
Рис. Р.1.35.
прогрессию с разностью —*-
1.35. Пусть СЕ = х (рис.Р.1.35). Выразим через х
отрезок АЕ из треугольника АСЕ, в котором угол САЕ равен 30°:
АЕ = хУ~Ъ. С другой стороны, АЕ =
= АВ — ВЕ, а таккакВ£ = С£ = .г,
то АЕ = 2—х. Итак, 2—x = xV%,
откуда х — У1$ — 1.
Заметим, чтоKF—FB = -g;
площадь искомой фигуры рацпа
Ответ. 2]/"3—-J.
1.36. Углы при нижних основаниях трапеции и треугольника
равны. Обозначим их через а. Тогда угол В АО равен углу АВО,
т. е.равен 90° —а. Поэтому угол OAD
равен 2а —90°. Так как треугольник
MNO равнобедренный (МО = N0), то
угол MNO равен а, а угол ЛГОЕ равен
90° — (180° — 2а), т. е. 2а—90°.
Треугольники ONE и AOD равны
(по гипотенузе и острому углу).
Следовательно, OE — AD. Кроме того,
МО = ОВ, как два радиуса, и NE =
= OD, как стороны равных
треугольников. Это означает, что BD = l.
Следовательно, так как ADBD = S, то OE—AD = -j-.
S
Ответ, -j.
Рис. Р. 1.36.

1 -39] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 197
1.37. Из подобия треугольникоа AOD и БОС (рис.Р. 1.37)
МО MN
находим, что-щ}=р, т. е. -j^—p+1. Отношение
площадей трапеции и треугольника AOD
можно записать в виде
[bC-lrAD)MN _
AD-NO ~~
=(ж+')£г-е+'>а- А" *
Ответ. (р+ l)z.
1.38. Пусть R — радиус окружности, п—число сторон
первого многоугольника, X— периметр третьего.
Периметры первого и второго многоугольников равны
соответственно
fl = 2rt/?tg£ = 4/2tf ^1Г, b^i/iRtg^.
Периметр третьего равен
tg-
х = 4nR sin s- = 4nR
найдем, что I
Следовательно, 1 + tg2^- = g~ и x=by g °_b .
Сравнивая первые два выражения, найдем, что I—tg2кг^-^
Ответ, b
V 2а—Ь-
1.39. Точки О к М обязательно должны лежать по одну
сторону от окружности. Если они расположены так, как
показано на рис. Р. 1.39а, то ЛШ> KL, так как хорда NM
ближе к центру окружности. Но ЛШ < a, a KL = 2a.
Получаем а < 2а, что невозможно. Следовательно, фигуры
расположены так, как показано на рис. Р.1.396.
Центр рассматриваемой окружности лежит на
биссектрисе угла АОВ, так как точка Ог равноудалена от лучей
АО и ОБ.

198
РЕШЕНИЯ
П.39
Предположим для определенности, что угол а больше
угла р. Треугольник OM0lt в котором сторона ОМ равна а,
сторона МОх равна /?, а ООу легко выражается через /?,
Рис. Р.1.39а.
Рис. Р.1.396.
позволяет составить уравнение для определения R. В самом
деле, угол МООх равен а ~ =——-. Следовательно, по
теореме косинусов
R» = а2 + 00\ — 2а • OOt • cos <^£.
Из треугольника ОуОВ находим
00 = °lB
uui- . a+p '
а так как Ofi — Yu^ — a?, то
Vr*—а*
OOt-.
,-„а+Р
sin
После подстановки уравнение относительно R выглядит
следующим образом:
*>-«■ + *Г*,-2« ^=£ cos^P
sin
«ELhE ""«„«+Ё 2

1.40] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 199
Заменим г-г на ctga^i£+l и после несложных
упрощений получим
cos
а—р
sin-
откуда
У№-а* = 2а
cos
а—р
2 to2 «+P._g(sin«+sinP)
cos ' ^ cos2——=-
/-> п / , . (sina+sinB)a
Oreer. /? = «т/ 1 + 5 i-jp.
F cos4- ' ■■
1.40. Запишем отношение площадей данных прямоугольных
треугольников (рис. Р.1.40):
SADE=AD-AE^ n
SjfBC АВ-АС m
Кроме того, AD-AB = AE-AC. Найдем отсюда AD и
подставим в предыдущее равенство;
получим
ЛЕ» __ п
АВ*~ пг •
Обозначим углы ADC и ЛЕВ,
опирающиеся па дугу ВС,
через ф:
Следовательно, дуга ВС равна
2arctg |/"|Г.
Угол А прямой и измеряется полуразностью высекаемых
им на окружности дуг (2я—\jDE) и ВС:
л (2я—vDE)—^ВС я 1, n„, Di~
Рис. Р.1.40.

200 ркшепия [1.41
Отсюда найдем величину дуги DE, которая равна
n-2arctg ]/^" = 2 (f _arctg]/f) =2arcctg ]/f.
Ответ. 2arctg ]/ -^, .2arcctg "j/-^-.
1.41. Введем обозначения, указанные на рис.Р.1.41.
В треугольнике АОО±.
sin g-
Чтобы применить к этому треугольнику теорему
косинусов, обозначим угол BAD через р. Из треугольника
ABD
cosp = 27, smp = -?—Tf .
Следовательно, по теореме коси-
й нусов для треугольника АОО^
х2
(г-*)'
2 ^_.
sin2T
+ f._2-»_co.(f + p).
Рд1С. Р.1.41. sinY
Раскроем скобки н воспользуемся формулой косинуса суммы.
После упрощений получим искомый радиус.
Ответ. *= tg|-(*—2л tg-J—Y^-P tg-j) .
1.42. Обозначим сторону квадрата через а. Тогда
(рис.Р. 1.42)
СО
]Л*-4, до=й±/^~?
Перед корнем выбраны два знака, так как искомый квадрат
может бить расположен либо так, как показано на рис.Р. 1.42а,
либо так, как показано на рнс.Р.1.42б. В первом случае
нужно взять знак плюс, а во втором—минус.

1.42] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
201
G другой стороны, из треугольника OBD находим DO =
а*"
Я2—-г. Получаем уравнение
После простых преобразований и повторного возведения
'» квадрат получаем уравнение
2а* — 2йг (Я2 + га) + (Я2 — /-а)* = 0,
в котором исчезло различие между случаями, изображенными
Рис. Р. 1.42а.
Рис. Р. 1.426.
на рисунках а и б (см. рисунок). Из последнего уравнения
имеем
а* = 1 (га + Я2 ± У (Я2 + г2)2—2 (Я2—г2)2),
или
й2 = i- (г2 + Я2 ± К—Я4-г* + 6Я2/-2).
Из первого выражения для а2 видно, что оба значения
положительны, если неотрицательно подкоренное выражение.
Так как по условию Я>Л то получаем
или
и окончательно
к ■£- < |/з+уТ-1 + V*.

202
I1 ЕШЕННЯ
[1.48
Ответ. о=-~у^ + г^УбЯ8,-2—/?*—г*.
Задача имеет решение при 1<—^1+1^2. Если же
— = 1 + у2, то задача имеет единственное решение а =•
V
WTi
1.43. Так как 0£2 = #г —х2 и OF=4" (рис.Р.1.43), то
EF=V R2 — х2—s-. С другой стороны, EF~2x. Получаем
уравнение
л1-*,=(-§-+2*)>»
3
решая которое найдем половину стороны квадрата х = -к ■
Ответ. 3.
7?
^
А
Pi
с.
:/
М 3tfy
Р.1
.43.
В
/
/
0 О
R
F
^Ж
>>ЧА
и
е
Рис. Р.1.44.
1.44. Введем обозначения, указанные на рис.Р.1.44. Так
как меньшая окружность вписана в угол ADC, то ее центр Ot
лежит на биссектрисе этого угла.
Из треугольника OOrF имеем: 00\=OF* + FOl, т. е.
{R + r)* = (R—/f + *a. (1)
Из треугольника ABH: AH= BH ctg a =Rct% а, т. е.
a = 2fl + 2tfctga. (2)
Из треугольника O^GD:

1.44] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ 203
Из уравнения (1) находим
4Rr = х2, или 2 Vr V7= x,
и подставляем в уравнение (3). Получим
2л + 4 VR VFte I—atgy = 0,
или, проще,
2ctg-Jr + 4 V#V'r—a = 0.
Мы пока не будем выражать R через а к а, а, наоборот,
заменим а его выражением через R и а. Это разумно, так
как квадратное уравнение таково, что впоследствии у R
вынесется за скобки:
-2 Y~R± y4K+Sactg~
У7= 1— ?--
2ctBT
= VRtg% (-1 ± |/"l + cfef + dg f dga) .
Знак минус перед корнем не имеет геометрического смысла.
Если в подкоренном выражении воспользоваться формулой
котангенса двойного угла, то
2ctgy ч ' ч '
Следовательно,
-VJf*f.?!r(i-y5+««l).
Итак,
л = 4^(1-1/2+<)2 =
_ f ,. (l-^-+ctgf)a_a[(L-l^)tgf + l]3
~aXg 2' 4(l+ctga) — 4(l+ctga) '
er(i-^)tg|+i]a
°ГвеГ- 4(l+ctg«) ■

204
РЕШЕНИЯ
fl.45
1.45. Рассмотрим вначале случай, когда диаметр CD
разбивает фигуру PQNM на две части. Докажем, что фигуры
CQNK и OQxD равновелики (рис.Р. 1.45а). Площадь первой
фигуры представим как разность
7ckkq-
где
— SCDQ — 5
KDN>
SCDQ — SCOQ + SqoD-
Итак,
Если радиус меньшей
окружности равен г, то радиус большей
равен г]/2 . Углы CDQ и COQ
опираются на общую дугу CQ,
Рис Р 1 45а причем одни из них вписан в
окружность, а другой является
центральным. Следовательно, если угол CDQ равен р, то угол
COQ равен 2р. Теперь мы можем вычислить площади
секторов COQ и KDN:
>coq'
.r*-2ji
%
Таким образом, Sc0Q = SKDN.
Тем самым доказано, что SCKNq =
=Sqod- Поскольку треугольники
QOB и QtOD равновелики (у них
общее основание и общая
высота), то
$cknq — Sq,od-
Рис. Р.1.456.
Совершенно аналогично доказывается следующее равенство
что м завершает доказательство для случая, когда точки Р
и Q лежат по разные стороны от CD.
Если точки Р и Q лежат по одну сторону от
диаметра (рис. Р. 1.456), то решение не меняется. Только

1.47J
ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
205
в конце найденные площади придется не складывать, а
вычитать.
1.46. Из треугольника OAK (рис. Р. 1.46)
АВ
Так как КР1 = АР1—к-, то из треугольника ОКР1
OK* = OPf—^APi—^Y.
По условию ОР1 = АЛР1. Приравнивая два полученных
выражения для ОК} и заменяя ОРг на MPV
найдем, что
MPt-v-^y+fa-gy.
Нам нужно вычислить длину отрезка
MP. Чтобы воспользоваться
прямоугольным треугольником МРРг, в ко- Рис. Р.1.46.
тором мы знаем длину МРг, нужно
вычислить PPV Так как треугольник АРВ прямоугольный,
то РР\ = АР1-РгВ = АР1 {AB—APJ.
Теперь можно вычислить и MP:
MP*=zMP\ + PP\ =
_*_($)■+(„*-£)■+
+ АР1(АВ—АР1).
Раскрывая скобки и приводя
подобные члены, получим, что
ЛГРг = /?а.
Ответ. R.
1.47. Из треугольника ДОС (рис. Р.1.47) легко найти ЛС=
4
=-g-#. Так как
то
AC-CB=MC-CN,
16,
25
#2 = 36*a,
откуда * = igjR

206
РЕШЕНИЯ
[1.48
Проведем перпендикуляр OD к хорде MN. Так как
13
-ис-4*-|.
ЛШ = уДг, то CD = MD
-Косинус угла OCD равен синусу искомого угла NCB:
ОС ~ 3 : 5 ~ 9 *
5
Ответ, arcsin -5-.
1.48. Соединим центры 02 и Oj рассматриваемых окруж-
ностей. Отрезок Ог02 равен X + -J (рис. Р. 1.48). Центр 02
лежит на биссектрисе угла ОАВ,
равного 45°. Поэтому угол DAO-ц
45°
равен -я-. Это позволяет
выразить через R п X отрезок DO:
45°
DO = R—AD = R —xc\%~ =
Так как СО^-тр — х, ОйС =
=DO=R—x(VT+1), а 0^=
=д; + -9-, то по теореме Пифагора для треугольника 0^00t
получим
(«--xy + [R-x(V2+l)f=(± + x)\
или после преобразований
[R—x(VT+\)]i = 2Rxi
т. е.
я—*о/2"+1)=ущу~х~.
Получили квадратное уравнение относительно Ух. Решая
его, найдем
Vx™-VR 2(У2+1) •

1.49] ГЛ. 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
20?
Так как
= 2 + 1/2, то У~х-
-Yr=(Y2 —Wit. (Второе
yr+i
значение ~\f x не имеет смысла.)
Ответ. х = (3—2]/T)R.
1.49. Соединим точки М и С (рис. Р.1.49). Так как
диаметр ED перпендикулярен к ВС, то точка F делит хорду
'ВС пополам. Это означает, что треугольник МСВ
равнобедренный. Обозначим MB =
~МС = рх. Угол АМС равен
удвоенному углу МВС, т. е. л — 2ф.
Из треугольника АМС по теореме
косинусов имеем
АС* = АМ* + МС* —
— 2АМ-МС cos (я —2ф) =
= *2(9а + р2 + 2р?со52ф},
а из треугольника ABC по
теореме синусов
Рис. Р. 1.49.
АС = 2/?sin (-£■ — (И = 2/? соБф, т. е. АС3 = 4/?2 cos2ф.
Приравнивая найденные выражения для АС1, получим, что
г _ 4R* cos2 q>
93+Рг+2р</ cos 2ф '
Площадь треугольника ABC будем искать в виде S=
^AN-BC. Так как МВ = рх, аМА = дх, то АВ = (р + q) х.
Из треугольника ABN находим AN=AB cos ф = (р 4-9) л; cos ф.
Сторону ВС можно определить из треугольника MBF, в
котором сторона BF=-jtBC;
ВС = 2BF = 2MB sin ф = 2р* sinф.
Таким образом,
^ = Р[р + д)Х2 Б1Пф СОБф = -g-p (p~\-q) X2 5И12ф,

208
РЕШЕНИЯ
[2.1
откуда
Ответ.
__ 4R» cos2 ф
<7*+pa + 2pgcos2(p '
5 — 2Р ^Р+Я) R2 cos8 <p sin 2<p
q*+p2+2pQcos2<p
Глава 2
ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
2.1. Отрезок KL (рис. Р.2.1), равный ширине
реки,параллельно перенесем в точку В, чтобы точка L совпала с
точкой В. Получим отрезок ЕВ. Точку
Е соединим с точкой А, получим
точку D, которую выберем за начало
моста. Путь ADCB из А в В
кратчайший, так как величина отрезка
CD постоянна, а отрезки AD и СВ
спрямлены в АЕ.
Рнс. Р.2.1. 2.2. На отрезках MP и PN
(рис. Р.2.2) построим сегменты,
вмещающие угол 30°. В пересечении получим точку А. Соединим
точку А с М и N, на AM и AN отложим отрезки длины а.
Треугольник ABC искомый.
Рис. Р.2.2.
Задача имеет два решения. Одно изображено на рисунке;
второе получится симметричным отражением первого от
оси MN.

2.5] гл. 2. построения на плоскости 209
Рис. Р.2.3.
2.3. Отразим треугольник ~*А£С (рис. Р.2.3) от
вертикальной оси, проходящей через середину ВС. После этого
треугольник САхА отразим от оси АХА. В четырехугольнике
СхАВАх противоположные стороны АВ и CxAtt а также АХВ
и СХА равны, т. е. он—параллелограмм с углом ф при
вершине Сх и углом п—ф при вер- р
шине Ах.
Так как точка Сх отстоит от С
на расстоянии 2Ad, то треугольник
ССХВ легко построить. Остается найти
точку Ах как пересечение дуги сег- 2ha
мента, вмещающего угол я—ф и
построенного на отрезке СХВ, с прямой,
параллельной СВ н отстоящей от СВ
на расстоянии ha.
Задача имеет два симметричных
решения, так как дуга сегмента может
быть построена в любую сторону от СХВ. Построение
возможно при любом соотношении между с, ha и 0 < ф < я.
2.4. Если на отрезке ^40=^ (рнс. Р.2.4), как на диаметре,
построить окружность, то она пересечет стороны АС и АВ
в точках F и Е, являющихся
серединами АС и АВ соответственно.
Отсюда построение: на отрезке
AO = R строим, как на диаметре,
окружность. Из точки А раствором
6
циркуля, равным -g-, делаем засечку.
Продолжаем AF за точку F на рас-
стояние -я- и получаем точку С.
Из нее проводим дугу радиусом тс.
Задача имеет два решения:
треугольник ABC и треугольник АВ'С, если дуга ЕЕ' пересекает
окружность, построенную на АО; одно решение, если дуга касается
окружности, и не имеет решения, если общих точек у душ
и окружности нет.
2.6. Так как углы 0В0Х и 0С0Х (рис. Р.2.5) прямые,
то вершины В и С треугольника лежат на окружности,
построенной на отрезке 00х, как на диаметре. Центр этой
окружности обозначим буквой Q.
Рис. Р.2.4.

210
РЕШЕНИЯ
[2.6
Угол BQC—центральный в той окружности, в которую
угол ВОС вписан (см. рисунок). Дуга, на которую опирается
угол ВОС, равна Ъп—/_ВОС, а так как вписанный угол
измеряется половиной дуги, на
которую он опирается, то
/_ BQC = 2л—2 £ ВОС.
Остается найти угол ВОС:
/_ВОС=п-^±£.=
я—А __ п+А
~П Г" 2~«
следовательно,
/_ ВОС = 2я — (л + А) = я—А.
Углы ВАС и BQC дают в
сумме л; то же самое можно сказать
об углах QBA и QC4, так как
сумма всех углов
четырехугольника равна 2л. Тем самым мы
доказали, что точка Q лежит на окружности, описанной около
треугольника ABC.
Построение, можно провести следующим образом. Строим
на отрезке OOv как на диаметре, окружность с центром
в точке Q. Радиусом OzQ (Oa—центр описанной окружности)
проводим окружность с центром в точке 02. В пересечении
этих окружностей мы получим вер- в
шины В н С искомого треугольника.
Если точка Ог лежит вне
окружности радиуса, равного ~гООг,
с центром Q, то задача имеет
единственное решение. В противном
случае решения нет. д н ■ с
2.6. Отбросим на время условие, Рис. Р.2.6.
в силу которого точка £ лежит на ВС,
а остальные условия сохраним. Отложим на АВ
произвольный отрезок AF (рис. Р.2.6), а на ВС—отрезок CK=AF.
Через точку К проведем прямую, параллельную АС, и из точки
F раствором циркуля, равным AF, сделаем на этой прямой
засечку.
Рис. Р.2.5.

2.8] гл. 2. построения на плоскости 211
Фигура AFGH, где отрезок GH параллелен КС, будет
подобна искомой с центром подобия в точке А. Строим
вершину Е, которая должна лежать на прямых ВС и AG
одновременно. Проводим DE параллельно FG.
Четырехугольник ADEC искомый.
Задача всегда имеет единственное решение.
2.7. Проведем через точку М прямую АВ так, чтобы ее
отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке
М пополам. Для этого построим МС параллельно ОА
А " А Е
a) dj
Рис. Р.2.7.
(рис. Р.2.7, а) и отложим СВ = ОС. Так как СМ~ средняя
линия в треугольнике ОБА, то ВМ=МА.
Итак, пусть АМ=МВ (рис. Р.2.7, б). Проведем
произвольную прямую EF через точку М. Покажем, что площадь
треугольника ОАВ меньше площади треугольника OEF.
Проведем АК. параллельно ОВ (если FM < ЕМ).
Треугольники АМК и BMF равны. Следовательно,
SoEF — SoAMF + $АМК + $АЕК > $OAMF + $BMF = $OAB-
2.8. Вместо искомого треугольника ABC построим
вначале треугольник A1AAi, который получается из ABC так,
как показано на рис. Р.2.8 (А1В = ВА, А£ = СА). Угол
А\АА% этого треугольника равен es-J-P-f-A Однако 2а=В,
а 2р = С (по свойству
внешних углов). Поэтому
а+* + А=ЦС+А= Дг
2 ~1~Л — 2 * Рис. Р.2.8.
Теперь в треугольнике А1ААа известны основание АгА^~2р,
высота, равная ha, и угол при вершине, равный -5-4-4-•

212
РЕШЕНИЯ
[2.9
Рис Р.2.9.
Вершина А будет лежать на пересечении прямой,
параллельной АХАЪ н отстоящей от AXAZ на расстоянии Л„, и сегмента,
построенного на отрезке АХА2 и
вмещающего УГОЛ "о" + "о" ■
Вершины В и С лежат на
пересечении АХА2 и перпендикуляров,
проведенных через середины АХА
и A.LA.
Задача может иметь два
симметричных решения, если высота
меньше стрелки сегмента, одно
решение, если они равны, и не имеет
решений, если ha больше стрелки
сегмента.
2.9. Пусть Р—искомая точка.
Повернем треугольник АВР на 60°
вокруг точки А. При этом точка Р
перейдет в точку Рх, а точка В —
в точку Вх (рис. Р.2.9). Так как
уют РХАР равен 60° и АРХ — АР, то треугольник РХАР
правильный и АР=РХР. Таким образом, ВХРХРС^-ломаная,
составленная из отрезков длины ВР, АР и СР
соответственно. Так как эта ломаная имеет закрепленные концы
п точках Вх и С, то ее длина
будет наименьшей, если она
выпрямится в отрезок ВХС.
Итак, точка Р лежит па от-
решс ВХС. Аналогично можно
показать, что точка Р лежит на
отрезке СХВ, вершина Сх которого
получена поворотом АС вокруг А
на 60°.
Отсюда простое построение.
На отрезках АВ и АС строим
правильные треугольники АВХВ и
АСХС, лежащие вне треугольника
ABC. Искомая точка Р будет лежать на пересечении пря-
ичх Bf н СХВ,
2.10. Если треугольник ABC искомый (рис. Р.2.10), то
описанная около него окружность пересечется с биссектри-

2.11] ГЛ. 2. ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ 213
сой CD в точке Е, делящей дугу ЛЕВ пополам.
Следовательно, точку Е мы можем построить.
Вычислим отрезок DE. По свойству пересекающихся хорд
в круге имеем CD-DE=AD-DB, или
/ • DE = {АО -|- DO) {OB — OD),
т. е,
l-DE = (±-fD0) (±—DO)=^-OD*.
с2
Так как OD^ — DE2—j-, то получаем уравнение
относительно DE:
l.DE=^—DE*.
Решая его, найдем
ис -
(отрицательное значение для DE не имеет геометрического
смысла).
Полученная формула позволяет легко построить отрезок
DE, а следовательно, и СЕ.
Задача имеет два симметричных решения, если / < -у,
С С
одно решение, если /=-^-, и не имеет решений, если / > -д-
2.11. На прямой MN (рис. Р.2.11) строим углы BAN и
FEM равные а и (3, с вершинами в произвольно выбранных
Рис 2. и.
на MN точках А и £ соответственно. Откладываем АВ—а
» FE = c. Вершина С искомого четырехугольника
одновременно лежит на окружности радиуса b с центром в точке В
" на прямой CF параллельной MN. Если прямая пересекает
окружность в двух точках С и Сг (это происходит, когда

2Н
РЕШЕНИЯ
[2.12
6>|csinP — о sin а]), то задача имеет два различных
решения ABCD и ABCXDX {CD и СгОх\\ЕР), причем один
четырехугольник будет
самопересекающимся. При b = | с sin р —
—a sin а | решение
единственно, а при Ь < | с sin р — о sin а |
М искомый четырехугольник не
существует.
2.12. На отрезке ОМ (рис.
Р.2.12) строим треугольник
Рис. Р.2.12. ОСМ, сторона ОС которого
равна 2R, а сторона СМ равна R.
Точку пересечения ОС с окружностью обозначим через В.
Секущая AM искомая.
Задача имеет два решения, если ЖО<3/?, одно решение,
если MO = 3R, и не имеет решения, если MO~>ZR.
2.13. Соединим центры О и Ох данных окружностей и
построим на ООх, как на гипотенузе, прямоугольный
треугольник OEOv один из катетов
которого (ЕОь) равен -^. Через
точку М пересечения
окружностей, лежащую по ту же
сторону от OOv что и
построенный прямоугольный треугольник,
проводим прямую,
параллельную катету длины -~ . Отрезок Рис. Р.2.13.
АВ (рис. Р.2.13) будет искомым.
Задача имеет четыре решения, если -^ <OOv два
решения, если ~ = ООг, и не имеет решений, если -^>OOv
2.14. Построение. Проводим через точку М
окружность, концентрическую данной. На этой окружности строим
хорду длины а, проходящую через точку М. Задача может
иметь два или одно решение (я^2ЛЮ), а может и не
иметь решения вовсе (а>2ЖО).
2.16. Если отрезок PQ (рис. Р.2.15) перенести
параллельно в отрезок BtB, то из искомой точки Р отрезок АВХ
будет виден под углом, равным углу АМВ, величина которого
(3^

2.17] гл. 2. построения на плоскости 2,15
М
Рис. P.2.I5.
известна. Построение: строим отрезок В^В, равный а и
параллельный CD; на отрезке АВХ строим сегмент, вмещающий
угол ф, где ф — угол,
измеряемый дугой АтВ данной
окружности. Искомая точка Я есть точка
пересечения или касания дуги
этого сегмента с прямой CD.
* Задача может иметь два
решения (сегмент, опирающийся на ABt
пересекает хорду CD), одно
решение (этот сегмент касается хорды)
и может не иметь решений вовсе
(точек пересечения нет).
2.16. Пусть отрезок FD
делится точкой М пополам (рис. Р.2.16). Отразим точку В от
точки М. Получим точку Е. Отрезки FD и ЕВ можно
рассматривать как диагонали параллелограмма.
Заметим также, что угол АСВ известен, так как
точки Л к В зафиксированы на окружности; обозначим его
через ф. Угол AFE равен л~ф. Следовательно, точка F
обладает еще и тем свойством, что из нее отрезок АЕ
виден под данным углом я—ф.
Построение очевидно: строим точку Е, а на отрезке АЕ —
сегмент, вмещающий угол п—ф. На пересечении дуги этого
сегмента с данной прямой
получим точку F.
Задача имеет единственное
решение, если точки Л и В лежат
по одну сторону от данной
прямой, и не имеет решения в
остальных случаях.
2.17. Пусть прямая,
проведенная через точки А и В,
пересекает прямую PQ в точке С
(рис. Р.2.17) и пусть О—центр
искомой окружности. Тогда
CA-CB = CD*. Отрезки С А и СВ известны, отрезок CD —
их среднее геометрическое и строится стандартным образом.
Если точки Л и В лежат по одну сторону от PQ, то
задача имеет два решения (отрезок CD можно отложить
вправо я влево от точки С). Если АВ и PQ параллельны,
Рис. Р.2.16.

216
ГЕШЕНИЯ
[2.18
то задача имеет единственное решение, которое очевидно,
но не может быть получено описанным способом. Когда
точки А н Р лежат по разные стороны PQ, задача не имеет
решения.
м
А.
Рис. Р.2.18.
2.18. Отрезки MB и МА пересекают данную окружность
в точках С и D (рис. Р.2.18), которые являются
основаниями высот треугольника АМВХ опущенных из его
вершим А и В. Отрезок MP,
проведенный через точку Р
пересечения АС и BD, будет искомым
перпендикуляром.
Задача имеет решение, если
точка М не лежит на прямой АВ.
2.19. Предыдущая задача
позволяет построить некоторый
перпендикуляр к диаметру АВ,
пересекающий данную окружность
в точках, которые мы обозначим
буквами С и D (рис. Р.2.19). Проведем прямую СМ; она
пересечет диаметр АВ (или его продолжение) в точке Е.
Проведем ED. В пересечении ED и данной окружности
получим точку F; MF — искомый перпендикуляр.
D
Рнс. Р.2.19.
Глава 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. На луче, перпендикулярном к MN, возьмем
произвольную точку А (рис. Р.3.1). Спроектируем ОА на
плоскость Р, а полученный отрезок ОВ — на второй из данных

3.2] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 217
лучей. Треугольник АСО прямоугольный (по теореме о грех
перпендикулярах).
Рис. Р.3.1.
Косинус искомого угла АОС равен ^. Используя
построенные треугольники, можно выразить ОС через ОА:
ОС = OB sin р = ОА cos a sin 0.
Ответ, arccos (cos a sin |3).
3.2. Спроектируем данный треугольник ABC на плоскость
Р (рис. Р.3.2) и построим угол CED, равный х, между
плоскостью треугольника и
плоскостью Р. Введем в
рассмотрение линейный элемент
CD = a. Тогда
ЛС=йп1Г' BC=s£j> A
СЕ = а ■ . Рис. Р.3.2
sin*
Так как СЕ—высота в треугольнике ABC, опущенная на
гипотенузу, то (из сравнения площадей)
АС-ВС^СЕ-АВ,
или

218
РЕШЕНИЯ
[3.3
а
sin a
sin (i
sin j
а*
! ot "^ sin* p »
Подставляя вычисленные раньше значения АС, ВС а СЕ,
получим
inx r sin2 с
откуда
sin .v = |/"sin2 a -f- sin2 p.
Так как угол х по построению всегда острый, то он
определяется однозначно.
Ответ, arcstn "|/sin2 a -j- sin2 (5.
3.3. Из некоторой точки Вх стороны угла а опустим
перпендикуляр BBV на плоскость Р (рис. Р.3.3). Через Bt
проведем плоскость,
параллельную плоскости Р. Она
пересечет другую сторону угла
а в некоторой точке Av Через
ВВХ \\ А проведем плоскость,
которая будет перпендикулярна
к плоскости Р.
Отрезки ААХ и ВВ1 равны.
Обозначим АА1^ВВ1 = а.
Теперь можно вычислить все
стороны треугольника ОАВ и
воспользоваться теоремой
косинусов, чтобы найти угол х.
Стороны ОА н ОВ вычислить просто:
"OA = actgy, OS = actgp\
Сторона АВ равна АгВг в треугольнике ОАгВу. Так как
ОЛ =_£_, а ОВ,- а
1 sin y
то по теореме косинусов
а2
Рис. Р.3.3.
sinp~
АБг=АуВ\--
й«
— 2
а*
cos a.
sin2 p ~ sin2 y sin p sin y
Воспользуемся теоремой косинусов еще раз, но уже для
треугольника ОАВ:
АВ2 = ОА2 + ОВ2 — 20А ■ ОВ cos x.
Подставляя сюда найденные выше выражения для ОА,
ОВ и АВ, получим уравнение относительно cos*. Решая

3.4J ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 219
его, после несложных тригонометрических преобразований
найдем cos*.
cos а—sin p sin у
cos (3 cos у
Ответ.
4)
3.4. Построим плоскость Р, перпендикулярную к прямой а,
н спроектируем на нее прямые Ь, с и d. Искомая прямая
параллельна а, т. е. должна спроек-
тироваться в точку О на плоскости Р.
Точка О будет одинаково удалена
от проекций by, Cj и dt трех этих
прямых.
Поскольку прямые а, Ь, с и d
скрещивающиеся, ни одна из
прямых Ь, с и d не может спроектиро-
ваться в точку на плоскости Р,
так как иначе она оказалась бы
параллельной прямой а.
Проекции никаких двух прямых
из Ь, с, d не сольются, так как это
означало бы, что эти две прямые
лежат в одной плоскости. Поэтому
проекции blt cx и dx могут
расположиться на плоскости Р лишь одним
из четырех способов (рис. Р.3.4а).
В первом случае (проекции
образуют треугольник) мы получим
четыре точки, равноотстоящие от blt сг и dv Это—центры
вписанной и вневписанных окружностей. Проводя через
Рис. Р.3.46.

220
РЕШЕНИЯ
[3.5
каждио нз них прямую, перпендикулярную к плоскости Р,
придем к четырем решениям.
Во втором случае (две нз проекций параллельны), полу-
два решения (рис. Р.3.46).'
I) третьем случае (проекции пересекаются в одной
точке) будет единственное решение — прямая, проходящая
через общую для трех проекции
точку.
В последнем случае
(проекции Ьх, Су и rfx параллельны)
решения мет.
Так как все возможные
случаи исчерпаны, то задача
решена.
3.5. Проведем CD
параллельно АВ (рис. Р.3.5). Угол
.SC0 искомый. Построим CFLAB
и AD\_AB. В прямоугольнике
AF — ~, а сторона AD^CF =—^—.
ll.i треугольника SAD находим SD— у а2+ -4- = —^—.
Тангенс угла SCD равен SD.CD.
Ответ. V 7.
3.6. Если 0/(=у/Шг=ОЛ, то треугольник" ОАМ и ОКМ
(рис Р.3.6) равны. Таким образом, условие ОК= ОА равносильно
условию АМ=^КМи (совершенно
аналогично) условию ВР — КР.
Отрезок ОК входит в оба тре-
иольипка ОКМ и ОКР:
ОК2 --= ОМ2—т3, (Ж2 = ОР2—/2
Рис. Р.3.5.
AFCD сторона CD.
т е.
ONP — п?^ОРг — Р
Рис. Р.3.6.
(■(срез m я I обозначены длины отрезков МК и КР
соответственно).
Так как ОМ2 = а2 + АО2, a OP2 = fi2 + OB2 и АО = ОВ, то
a2 — m2 = bs — l2

3.81 гл- 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 221
1ГЛ11
.ma — lz = a* — b2. (1)
Точно так же приравняем выражения для отрезка АРг,
полученные из треугольников MAP и АВР:
(m + tf — a2 = b* + AB2.
Вспомнив, что по условию ABs = 2ab, получим (т-\-1)2 =
= а2-\-2аЬ-\-Ьъ, т. е.
m+t=a + b. (2)
Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), получим
m — l = a — b, (3)
а решая систему из уравнений (2) и (3), найдем т = а, Ь — 1,
что и требовалось доказать.
3.7. Обозначим через PQ (рис. Р.3.7) прямую, по
которой пересекаются грани AOD и ВОС, а через
J?S—прямую, по которой пересекаются
грани АОВ н DOC. Прямые PQ
н RS определяют плоскость Р.
Через произвольную точку М
на АО проведем плоскость,
параллельную плоскости Р.
Фигура MNKL, получившаяся
в сечении, будет
параллелограммом.
В самом деле, MN\\PQ и
LK\\PQ, a ML\\RS и NK\\RS,
как прямые, получившиеся в
результате пересечения двух
параллельных плоскостей третьей. Следовательно, MN\\LK
и ML\\NK, что и требовалось доказать.
3.8. Продолжим ED и СВ (рис. Р.3.8) до пересечения
в точке F и проведем AF—ребро двугранного угла,
косинус которого нужно найгн.
Так как EC = 2DB (по условию), то DB — средняя линия
в треугольнике EFC. Поэтому FB = ВС = а. Поскольку ВА — а,
то треугольник FBA равнобедренный. Сумма его углов,
прилежащих к FA, равна 60°, а угол BAF равен 30°.

222
РЕШЕНИЯ
[3.9
Мы убедились в том, что угол CAF прямой, а
следовательно, линейный угол ЕАС измеряет искомый двугранны!!
угол. Теперь остаются простые вычисления:
ЕА = V ЕС* + АС* = аУЗ, cos /ЕАС = -^= = —~ .
По теореме о трех перпендикулярах отрезки ЕА и FA
взаимно перпендикулярны; поэтому площадь треугольника EAF
Рис Р.3.8.
равна -^EAAF, где АЕ—а\ГЪ. Итак, площадь треуголь-
Зя2
ника EAF равна -=-, и вследствие того, что FD = DE,
площадь треугольника DEA в два раза меньше.
Ответ. За2/4, 1/ /3.
3.9, Обозначим высоту SO пирамиды через Н.
Предположим, что вершина пирамиды спроектируется в точку О,
лежащую внутри треугольника ABC, и пусть углы SDO,
SEO и SFO измеряют данные двугранные углы (рис. Р.3.9, а).

3.10] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 223
Рассмотрим отдельно треугольник ABC (рис. Р.3.9, б).
Площадь его, с одной стороны, равна сумме площадей
треугольников АОВ, ВОС и СО А, а с другой стороны, равна —^—.
Поэтому
т. е.
La(OF+OD+OE) = £%A.
OF + OD-\-OE=5L*pL
Каждый из отрезков OF, OD и ОЕ можно выразить
через Н:
OD = tfctgoc, 0£ = //ctgp\ OF=Hctgy.
Следовательно,
Н = -
2(ctga+ctgp+ctgY)
Если точка О лежит вне треугольника ABC, то один из
данных двугранных углов тупой (на рис. Р.3.9, б угол при
ВС, т. е. а). Следовательно, его котангенс будет
отрицательным. Это соответствует тому факту, что площадь
треугольника ABC равна сумме площадей треугольников АВО и
АОС за вычетом площади треугольника ВОС. Таким
образом, результат останется таким же, как в случае, когда О
лежит внутри треугольника ABC.
Наконец, как легко убедиться, полученная формула дает
верный результат и в том случае, когда точка О лежит на
стороне треугольника ABC или совпадает с его вершиной.
(Соответствующие котангенсы обращаются в нуль.)
Ответ. V •■
8(ctga+ctgp-|-ctgv) '
3.10. Так как АС = ВС по условию (рис. Р.3.10), то
прямоугольные треугольники ADC и BDC равны и,
следовательно, AD=*BD. Треугольник ADB — равнобедренный,
его медиана DE, проведенная из вершины D, будет
одновременно и высотой. Таким образом, мы доказали, что
двугранный угол при ребре АВ измеряется линейным углом
DEC, который обозначим через х.

224
ГВШЕНИЯ
13.11
Высота DO треугольника EDC будег висотой пирамиды,
В самом деле, ребро АВ перпендикулярно к ED и ЕО, т. е.
к плоскости EDO. Отрезок DO,
следовательно, перпендикулярен не
только к ЕС, но и к АВ, т. е.
перпендикулярен к плоскости ABC.
Заметим также, что CD
—перпендикуляр к плоскости ADR, a
поэтому треугольник EDC
прямоугольный с прямым углом при
вершине D.
Рнс. Р.ЗЛО.
Мы знаем, что
V=~S-OD.
Отрезок OD равен EDs'mx, а отрезок
2S
ED в свою очередь равен ЕС cos л;, т. е. -—cos л.
Итак,"
откуда sin 2л- -
3Va
2S
•cos лг sin x,
S3
Чтобы иаптн х, заметим, что угол X острый.
Ответ.
1 . 3eV
-5- arcsin -~j—
3.11. Так. как площадь основания равна V'&, то сторона
основания равна 2. Из треугольника AOS (рис. Р.З.И)
находим AO=b cos*; с другой сто- 5
роны,
AO-iAD-i-qL
Поэтому
ys
= b cos х.
Рис. Р.З.П.
Из треугольника CDS находим CD — -5- = Ь sin 2x.
Разделив .второе соотношение на первое, получим

3.13J ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 225
Так как SD =-к-ctg 2#, то нужно вычислить ctg2#:
ctg
* = Ксо5ес«*-1~ УЩ— ' = УЦ-'
**2х=ТШ'
Следовательно, SD =
3
равна -=- a-SD.
/39'
а площадь боковой поверхности
Ответ. ■■■ .
Рис. Р.3.12
15
Кзэ'
3.12. На рис. Р.3.12. треугольники ЛЕС и CjE/^
подобны, так как медианы АЕ и СЕ делятся точками Сх и Ах
в одинаковом отношении 2:1.
Поэтому СХАХ~-^АС.
Аналогично доказывается, что
ВХАХ = ~АВ и С^»у£С
и т. д., т. е. площади Sx и S
оснований пирамиды относятся,
как 1:9. Подобные
треугольники ABC и А1В1С1 лежат в
параллельных плоскостях, так как их
стороны параллельны. Следовательно, высоты DN и DXNX,
проведенные в тетраэдрах, параллельны и прямоугольные
треугольники DNC и DXNXCX подоб-
DXNX = у DN. Остается
V S-DN "
J_
27 -
Пусть Ох—центр шара,
а О, М и W—точки касания (рис.
Р.3.13). Проведем плоскость через
МОх и ООх. Эта плоскость
перпендикулярна к плоскости AS В и к
плоскости ABC. Следовательно, она
перпендикулярна к прямой АВ. Отсюда следует, что наша
плоскость пересечет ASB по прямой, перпендикулярной к АВ
и проходящей через точку М, которая по условию является
8 Е. Б. Вазовский, А. А. Рылкин
ны, т. е.
сравнить объемы
Ответ.
3.13.
Рис. Р.3.13.

226
РЕШЕНИЯ
[3.13
точкой пересечения высот грани ASB, т. е. по высоте
треугольника ASB. Аналогично доказывается, что пересечение
плоскости с плоскостью основания—тоже высота
треугольника ABC.
Итак, точки S, 0± и О лежат в плоскости DSC. Так же
можно показать, что эти точки лежат в плоскости ASE.
Так как две несовпадающие плоскости могут пересекаться
только по одной прямой, то точки S, Ох и О лежат
на одной прямой и отрезок SO является высотой
пирамиды.
Повернем треугольник SOD так, чтобы его плоскость
совпала с плоскостью треугольника SOE, Так как
треугольники SOj^M и SOiN равны (по катету н гипотенузе), то
равны углы DSO и ESO. Следовательно, треугольники SOD
и SOE равны (по катету и острому углу) и при повороте
совпадут. Тем самым мы установили, что точка О—центр
вписанного в треугольник ABC круга. По условию точка О
является также точкой пересечения высот треугольника ABC.
Следовательно, треугольник ABC правильный и пирамида
SABC правильная. Отсюда, в частности, следует, что плос-
кие углы при вершине л равны -=-.
Перейдем к вычислительной части задачи. Обозначим
угол SDO через р. Тогда чЗ-к^-лК^™—т=> где через а
обозначена сторона основания.
Выразим cos р через функции угла а. Из
треугольника ASD находим £Z) = -|-ctg-|-. Теперь из
треугольника SDO можно найти
„ OD аУз actsf 1 , а
C0SP="SD- = -e-:-2-=7rtg6-*
По формуле тангенса половинного угла имеем
tg-
rl= i/l -cos P _ ■. /" Уз -tg (ц/6) _ i / 5i"U б)
>2 V 1 + cosp У yT+tg(«/6) J/ „m («-+!)'
Сравнивая это выражение с предыдущим результатом

3.14] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 227
для tg—, найдем
6/- ^.
Из треугольника ASD находим
AS =
Ответ.
VJi
Sin-;
/sin
=
(ill)
U 6J
3.14. Достроим пирамиду до полной. Все параллельные
сечения пирамиды подобны. Составим схематический чертеж
(рис. Р.3.14), на котором Л и В—стороны квадратов,
равновеликих основаниям, М—сторона квадрата,
равновеликого сечению, проходящему через середину высоты данной
усеченной пирамиды. Последнее условие мы запишем
так:
т. е. Ag= , .
-.u=!L=h,
H—h
Из подобия треугольников, изображенных
на рис. Р.3.14, следует, что
откуда
Рис. Р.3.14.
Составим среднее арифметическое величин А и В:
А+В_ЪВ+В H+hln fta
2 2—ШГ lh Мг
что и требовалось доказать.
А Н
В ~ А, '
*=ъв>
М Аа
В ~ftj '
М=^-В
"1
8»

21V.
РЕШЕНИЯ
[3.15
3.15. Достроим треугольник ABC до
параллелограмма АВСЕ (рис. Р.3.15). Угол DAE равен углу между AD
к ВС. Обозначим его
через .V.
В треугольнике DAE
AD = av AE = a.
Вычислим DE. Так как в
дальнейшем мы
воспользуемся теоремой косинусов,
то удобнее находить DE1.
Отрезок DO является
медианой в треугольниках
ADC и BDE:
40О* = 2а1 + 2с1—Ь*,
AOD* = 1Ъ\ + 2DE* — BE1.
Чтобы найти ED2, достаточно вычислить BE*. Но BE—
диагональ параллелограмма АВСЕ, т. е.
ВЕ2 = 2а* + 2с* — Ь2.
Следовательно,
.DE? = a\-\-c\ — Ь\ + а? + с* — Ь*.
Применим к треугольнику ADE теорему косинусов:
DE? = а\ + о2 — 2аа^ cos х. J
Приравнивая два выражения
для DE?, найдем cos*. При этом
следует иметь в виду, что, по
определению угла между
скрещивающимися прямыми, х—острый
угол.
Ответ.
\Ъ-+Ъ\-с*-с\\
2qq,
3.16. Плоскость ABE (рис.
Р.З 16) делит тетраэдр на две пи- Рис. Р.3.16.
р а миды SABE и САВЕ с общим
основанием ABE. Так как отношение объемов дано, а
основание
у пирамиды общее, то -А = -о" ■ а в СИЛУ

3.17} ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 229
т. е. sin a = -=- sin p.
равенства SD и CD
sing 3
sin p — 5
Кроме того, так как тетраэдр правильный, углы аир
образуют угол SDO, косинус которого равен -^. Поэтому
cos a cos р- — sin а sin р = -=-.
Выразив в этом уравнении sin р и cos p через sin а (так как
пирамида правильная, углы аир острые), получим
/
1-Щ-уУГ-
1 , 5
где y = sinr a.
о
Возведем в квадрат н раскроем скобки; найдем у = —
и вычислим tget:
1 1 1 _уТ
tga =
ctga |/*cosec3a —1
Y%
Поскольку sin2 P =
Ответ. —=— i
25
I
50
sinaa = -дд-, то аналогично найдем tg p.
3 ■
3.17. Треугольники DAM
и DMS (рис. Р.3.17) имеют
общую высоту, проведенную
из вершины D. Поэтому
отношение их площадей равно
отношению оснований AM и MS.
Из подобия треугольников
MSF u ASK следует, что
AM:MS = KF:FS.
Отрезки KF и FS выразим через КЕ. По теореме
синусов для треугольника KFE имеем
sin P
Рис. Р.3.17.
KF^KE
sin(a+p) "

230
РЕШЕНИЯ
[3.18
Так как KS ■
^еоТоГ1 T0
FS = KS—kf--
КЕ
2 cos a
■КЕ
sin р
sin(ce-)-p) ~~
f(F.~^ sin(g—P)
^cosasin(a-f (У/
(впрочем, это можно установить и непосредственно из
треугольника EFS).
Остается найти Отношение KF-.FS.
~ 2sin P cos е>
Ответ. ■ . Г—-5.
sin (a—P) ■
3.18. По условна высота DO пирамиды проходит через
точку пересечения высот основания. Поэтому, соединив
точку О с вершиной С н
продолжив до пересечения с АВ,
получим отрезок СЕ, являющийся
высотой треугольника ABC,
опущенной на сторону АВ (рис. Р.3.18).
Прямая АВ перпендикулярна к DO
и ЕС, следовательно, прямые АВ
и CD тоже перпендикулярны друг
другу. Таким образом, прямая CD
перпендикулярна к двум прямым
BD и АВ плоскости ABD, а
потому перпендикулярна к прямой
AD. Мы доказали, что угол ADC
■тртлиА Лл-лютични- доказывается, что прямые SD к А&
тоже перпендикулярны.
Теперь нетрудно ответить на вопрос задачи: площадь
треугольника ADB раВна — Ь-AD, а площадь
треугольника ADC равна -g-c/jD. Отношение площадей равно
отношению неравных катьтов.
Ответ. —.
с
3.19. Объем пирамиды SABC (рис. Р.3.19) равен
удвоенному объему пирамида с основанием DSC и высотой AD,
Рис. Р.3.18.

3.20] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 231
Q
Так как AD— — , то этот объем равен -g—, а объем всей
пирамиды
Sa
, где через S
обозначена площадь SDC.
Проведем высоту DE и
вычислим ЕС и DE.
Треугольник CAS равнобедрен-
вый (AS —АС), поэтому
£С=ЛС sin ■£ =
а . а
■я sin тг •
2 cos a 2
Рис. Р.3.19.
Так как DC=-^-bga, то
/ sinafL
D£=VDC2—£С2 = 1/ *Lteaa— — -
■/ 4 * 4 cos2 a
= *-5— l/sina а- sin2 5- -
2 cos а г 2
-*-£— lAsta«£cos«£
2 cos а г 2 2
SIH2 -rr =
a sin
asm
a
2 cos
Остается вычислить объем
♦«■T-^i^lvi + acoia.
V = ^- = j.DE-EC.
Ответ.
a»
3.20. Рассмотрим два случая: а«^-^-, а>-^-.
Если угол ос не тупой, то (рис. Р.3.20, a)CD = SD=~ .
Пусть 50—высота пирамиды, SD и 5£—высоты в треуголь-

232
РЕШЕНИЯ
(3.20
никах ASB ii CSB. Из треугольника SOD
05 = 5Dsina=^ since, OD=4£cos а.
В треугольнике. СОЕ угол ОЕС прямой, а угол ОСЕ
равен 45°. Поэтому
OE-^^CD-OD^J^d-cosa.)
Теперь можно найти тангенс искомого угла:
OS
=?— I/ V ГГОР
tg* = #=K2ctg£.
Если угол а тупой, то (рпс. Р.3.20, б) снова получим,
S
S
Рис. Р.3.20.
AR
что CD = SD = ~. Высота 05 равна
05 = 5£> sin {n~a)^=~ sin a,
отрезок 0£> равен
/R
OD = 5£> cos (я—а) = — -^ cos а
(угол а тупой и cos а < 0). Треугольник СОЕ тоже
прямоугольный и равнобедренный. Поэтому
ОЕ=-££:=~ (СП + OD) = -$%= {1 _ cos a).
Так как для ОЕ и 05 получились такие же значения,
как в первом случае, то и окончательный результат не
изменится.
Ответ. -y^arctgfl/lJctgyJ.

3.22] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 233
3.21. Проведем в треугольнике ABC (рис. Р.3.21)
высоту BD и соединим точку D с вершиной S пирамиды.
Так как ребро SB образует равные углы
с ребрами SC и SA, то SD—биссектриса
угла ASC.
Рассмотрим прямоугольный
треугольник ABD. В нем
а
AD=SA-tg%, AB=SA-tga,
т. е.
COSJC =
AD
АВ
tga "
Рис. Р.3.21.
Так как a—угол прямоугольного треугольника, то 0<
< a < -5-, а потому tg ^ < tg a и правая часть уравнения
меньше единицы.
Ответ, х = arccos
tga '
8.22. Пусть М—середина АВ. Тогда медианы СМ и DM
(рис. Р.3.22) являются одновременно высотами в
равнобедренных треугольниках ABC и ABD.
Следовательно, прямая АВ перпендикулярна
к плоскости CMD, а потому и к прямой
CD, лежащей в этой плоскости.
Треугольник CMD равнобедренный, так как СМ
и MD—медианы", проведенные к общей
стороне в равных треугольниках.
Следовательно, его высота МК будет
одновременно медианой. Итак, отрезок КМ,
соединяющий середины АВ и CD, есть общий
перпендикуляр к этим ребрам. Поэтому
центр описанного около тетраэдра ABCD
шара должен лежать на этом отрезке.
Из треугольников MDB и MDK последовательно находим
MD~ VlJF, MK= 7. С другой стороны, из треугольников OKD
и АМО находим МК=КО+МО = VВ*—16 + 1//?а—9.
Рис Р.3.22.

284
РЕШЕНИЯ
53 23
Получаем уравнение
]/Яа^16 + |//?г—9 = 7.
Ответ. /? = 5.
3.28. Проведем через точку О (рис. Р.3.23) сечение В^С^
пирамиды, перпендикулярное к стороне SA. Тогда угол ВГЕСХ
равен a, a OE=a.
Так как пирамида правильная, то в силу симметрии тре«
угольник ВХЕСГ равнобедренный, а В1С1 и ВС параллельны,
Чтобы связать высоту SO с элементами треугольника
BJzCx, рассмотрим треугольник SOA, для которого восполь»
зуемся сравнением площадей:
SO^OA^OE-SA. (1)
Выразим все участвующие в этом
соотношении отрезки через а, а и А»
50=А; ОЕ=а;
О А = OCj. ctg 30° = У~Еа tg %;
AS = VS02+OA* =
= ]А2 + ЗаЧё2|.
Подставив в уравнение (1) и воз»
ведя затем обе части уравнения в квадрат, получим уравнений
3A4g»|— A* = 3a4g2f-,
откуда
А = -—-■ ==s •
j/3tg*f-l
Чтобы привести это выражение к виду, удобному для
логарифмирования, преобразуем выражение, стоящее в зна»
менателе под радикалом:
- (т-т)* (f+f) «-(т-т)-(т+т)
sin
= 3
COS*
«.СЕТ
0?)s
cos'f

3.24] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 235
Ответ.
г— Я
У 3 a sin у
*/""(т-*)*(т+т)
Рис. Р.3.24.
3.24. Если в сечении образуется квадрат, то плоскость
сечення пересекает все четыре грани пирамиды. Кроме
того, отрезок KL параллелен MN, т. е. параллелен
плоскости основания, а следователь- „
но, и ребру АВ.
Аналогично отрезки КМ и LN
параллельны ребру DC. Итак, если
в сечении пирамиды—квадрат,
то плоскость сечения должна быть
параллельной двум
скрещивающимся прямым, на которых лежат
ребра АВ и DC.
Докажем обратное: если
провести сечение пирамиды,
плоскость которого параллельна АВ
и DC, то в сечении получится прямоугольник. В самом
деле, то, что это будет параллелограмм, устанавливается
непосредственно. Спроектировав DC на плоскость основания
(рис. Р.3.24), мы убедимся в том, что MN и ЕС взаимно
перпендикулярны. Отсюда следует, что прямым будет угол
между DC и MN, а значит, и между LN и MN. Таким
образом, KLMN—прямоугольник.
Мы доказали, что в сечении можно получить
прямоугольник только с помощью плоскости, параллельной двум
скрещивающимся ребрам.
Этот прямоугольник будет квадратом, если MN=MK.
Из подобия треугольников ADC и АМК находим -qtj^-t^ •
причем CD = У ЕС* + DE2 = ]/V + -у, АМ = а—МС =
*=a—MN.
Подставляя в первоначальное отношение, получим
\МК a—MN
V
*•+-
Так как MK=MN, то получим уравнение относительно

236
РЕШЕНИЯ
[3.25
стороны квадрата, из которого
MN=
Ответ.
a V2b* + a2
3.26. Расположим пирамиду так, как показано на
рис. Р.3.25. Соединим вершину /?х куба с вершинами
пирамиды. Пирамида АВСР разобьется на
три пирамиды: RrABP, R^ACP, RrBCP,
у которых общая вершима /?х н
одинаковая высота х, равная по длине
ребру куба. Из сравнения объемов
получим
~аЬс-.
■7r(xab + xbc + xac),
откуда найдем х.
abc
Ответ.
ab+bc+ac'
3.26. Верхнее основание куба будет
вписано в равносторонний
треугольник i41B1Cl, подобный основанию ABC пирамиды (рис. Р.3.26).
Выразим сторону АхСг треугольника AxBjCx через сторону
вписанного квадрата:
А1С1 = 2А& -f a = 2a ctg 60° + а
Площадь треугольника AlBtCl тогда
равна ———' '— . Так как
треугольники ABC и А1В1С1 подобны и рас- PltCi р.з.26.
стояние первого от центра подобия
равно А, а расстояние второго равно А— с, то отношение
площадей равно
ft"
(ft-a)*'

3.27] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 237
Поэтому площадь треугольника ABC равна
Ответ.
4 V~3(h—a)*
fl2A8(7+4|/T)
12 |/"3(ft—а)з
3.27. Если РРг = х, то из подобия треугольников SOE
и РгРЕ (рис. Р.3.27) имеем
OS х_
ОЕ~ РЕ '
Выразим все входящие в последнее отношение отрезки
через х и известные величины. Поскольку ОС =
У~2 '
Рис. Р.3.27.
то OS=-~ tga. Отрезок 0£=у, а РЕ=ОЕ—ОР=
а х ]/~2 _, -
=-«• ^—. Таким образом, исходная пропорция
превращается в уравнение относительно х, решая которое находим
alga a sin a
VT(l+tga) 2Bin (■£+(»)'
Ответ.
asm а
2 sin
(т-)

238
РЕШЕНИЯ
[3.28
Рис. Р.3.28.
3.28. Осуществив построения, изображенные на рис.
Р.3.28, постараемся вычислить объем данной пирамиды как
удвоенный объем пирамиды AODC с вершиной в точке А
(равенство объемов AODC и BODC
станет очевидным из
дальнейшего). Докажем вначале, что
AFBE-~ прямоугольник. Из
равенства треугольников CFB и
DEA следует, что EA*=BF.
Аналогично BE—FA. Следовательно,
AFBE— параллелограмм. Но EF=
—АВ, а потому эта фигура —
прямоугольник. Чтобы найти
площадь треугольника DOC, нужно
вычислить его высоту CF, для
чего достаточно знать стороны
прямоугольника AFBE.
Отрезок CF может быть найден из двух прилегающих
к нему прямоугольных треугольников. С одной стороны,
CF2 = BC2 — BF2, с другой стороны, CF2 = AC2 —AF2, т.е.
BF2—AF2 = a2—b2.
Составим систему уравнений:
( BF2 + AF2 = c2,
\ BFz~AF2 = a2~b2,
из которой найдем
BF2 = ^(a2—bli-\-c\ AF2^±-{c2-a2 + P).
Теперь можно вычислить CF и АК:
CF2 = а2—~ {а2—Ь2 + с2) = ± (а2 + ft2—с2),
АК-
AE-AF V (а*—Ь'-г-с*) (<?—а*+Ь»)
EF 2с
Объем пирамиды ABCD равен
2\aK.(\dC.Cf).
1
Ответ.
вУ~2
Via2 + Ь2—с2) (с2 + а2 — Ъ2) (с2— а2 + й2).

3.29] гл. 3. геометрические задачи в пространстве 239
3.29. Расположим пирамиду ABCD так, как показано на
рис. Р.3.29, а. Воспользуемся методом сравнения объемов
по отношению к телу ANBMCD.
С одной стороны, его можно рассматривать как
составленное из двух пирамид с общим основанием MNCD и с
вершинами в точках А и В. Основание
MNCD—прямоугольник с известными сторонами. Высотами будут
перпендикуляры АК и BL, опущенные на MN (рис. Р.3.29, б). Так как
п В
о)
Рис. Р.3.29.
нам нужна сумма объемов двух пирамид с общим
основанием, то выразим AK+BL через АВ и since. Тогда объем
нашего тела будет выражен через а.
С ДРУГОЙ СТОРОНЫ, Vmbmcd^Vabcd+Vabmd+Vjuwc-
Проведем AQ\\KL (рис. Р.3.29, б). Тогда
AK+BL=OB = 12 since, SMNCD = 6 • 8 = 48,
vanbmcd = з" Smncd {AK+BL) = 4.48 sin a,
$MA№ ~YAB 'NAi S'n a ~ *8 SiD tt'
vabcd + Vabmd + VABNC = 48+-g- (SABM + SABN) =
= 48 + 2SMANB=48 + 2 - 48 sin a.
Таким образом,
48-f 2-48 s\aa = 4*48 sin a.
Отсюда
sina=-i-.
Ответ. a=4r.
о

240
РЕШЕНИЯ
[3.30
3.30. Поставим четырехугольную пирамиду AfiBjCfi,
в которую вписан шар, на основание BBfijC (рис. Р.3.30).
Пусть Н—высота призмы, а—сторона основания. Радиусы
окружностей с центрами О и Ог равны R. Так как
треугольник В1А1С1 правильный, то a=2]/r3R.
Рассмотрим треугольникам^.
Он прямоугольный и его
площадь, с одной стороны, равна
-nA.fi-DE, а с другой стороны,
■у (Afi+DE + Afi). Поскольку
DE = H, Afi = ^^,
Рис. Р.3.30.
V?- V™+H*'
получаем уравнение относительно Н, которое после
подстановки а = 2]/~3/? и возведения в квадрат принимает
вид
/у2=4л//г,
откуда Я=4/?.
Ответ. 12]ЛЗК3.
3.31. Центр шара, касающегося трех
ребер правильного тетраэдра, исходящих из
общей вершины, должен лежать на
биссектрисе соответствующего трехгранного угла,
которая совпадает с высотой тетраэдра,
опущенной из этой же вершины. Поскольку
вес четыре биссектрисы пересекаются в одной точке—центре
вписанного в тетраэдр шара, достаточно рассмотреть
треугольник SOA (рис. Р.3.31), где SO—высота тетраэдра,
SA—его ребро, а Оу—центр искомого шара и шара,
вписанного в тетраэдр.
Треугольники SAO и SOfi подобны. В первом известны все
Это позволяет вычислить R.
от
Рис. P.3.3I
__ a V~S
стороны, во втором SOl = —^—
Ответ.
4 "

3.33] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 241
/^>F
3.32. Если один куб расположен внутри другого, а
вершина О у них общая, то диагонали этих кубов, проходящие
через О, лежат на одной прямой. Поэтому из всех
подобных кубов, которые можно поместить в параллелепипед,
мы выберем максимальный.
Пусть с < а и с <.Ь. Тогда в параллелепипед можно
поместить куб с ребром с (рис. Р.3.32). Вычислим все
стороны треугольника АВО и
воспользуемся теоремой косинусов:
АВ3 = АО* + В02—ЧАО • ВО cos х,
Л02=а2 + 6г+с2, ВО^Зс2,
АВ2 = {а — c)z + {b—cf.
Для определения cos* получим
уравнение
]/~3]Aa2 + 62-f c2cosx = c + b + a,
которое симметрично относительно а, Ь и с, а потому
ь». зависит от соотношения между этими величинами.
Убедитесь сами в том, что cos x не будет
больше единицы при любых а, Ь и с.
а+Ь+с
Рис. Р.3.32.
Ответ, arccos-, —
3.33. Разность углов А а С
равна ф, BD—биссектриса угла В в
треугольнике ABC (рис. Р.3.33).
Вычислим угол а:
-А-С
В . п я-
я , С—А
2
л
-С=
Объем призмы равен произведению АА± на площадь
основания ABC, т. е.
А4Х (^ AD-DBsin a+^DCDB sin a) =
Ответ. ^ а$ cos "jr •
: i- ААг ■ DB ■ AC sin a = ^ cS cos -f .

242
РЕШЕНИЯ
[3.34
3.34. Пусть выбраны диагонали C-JD и ВгС (рис. Р.3.34).
Так как ВХС || AJ) и CXD \\ ВгА, то плоскости /11C1D и ABXC
параллельны. Расстояние между
ВХС и CjD равно расстоянию
между этими плоскостями.
Обе плоскости AXCXD и АВХС
перпендикулярны к диагонали BDX.
Поэтому искомое расстояние
равно разности между отрезком BDX
и удвоенной высотой пирамиды
DjAjCjD. Объем этой пирамиды
а8
равен -g-,
Рис. Р.3.34.
AjCjD равна
а площадь основания
агУ~Ъ

следовательно, высота А = -£=.. Так как BDX = а |/"3~, то искомое расстоя-
2а а
ние равно ау 3-
У~з У~з'
Ответ.
а
3.35. Из соображений симметрии ясно, что точка О лежит
на диагонали АСХ куба. Для доказательства достаточно
установить, что плоскость KMN (рис.
Р.3.35) перпендикулярна к АСХ
и что АСХ проходит через точку Ov
являющуюся центром
треугольника KMN.
По теореме о трех
перпендикулярах АСХ _[_ BD.
Следовательно, ACt _L КМ. Аналогично
прямая АСХ перпендикулярна к КМ
или ММ, т. е.
АСХ—перпендикуляр к плоскости KMN.
Треугольник KMN
равносторонний. Так как АК=АМ= AM,
то из равенства соответствующих треугольников, имеющих
общие вершины в точках А и Ov получаем К0Х = М0Х = M0V
Мы доказали, что центр О сферы лежит на продолжении
отрезка АСг.
Рис Р.3.35.

3.37] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 243
Так как АК—биссектриса в треугольнике ОКОг, то
ОА
Отсюда найдем OK=R, выразив остальные от-
ОК
резки через ребро куба:
АОх=УАК}—КО\-
КО _^KN ^ BD = а
1 УН 2 У~ъ У~ё'
ОА = ООг—АОг = УОК*—КО\=АОх= ]/ R2
У12'
Q2
* ]AJ2*
„ OK OA
Подставив все эти выражения в пропорцию -ттсГ = -^-,
получим уравнение относительно R. После простых
преобразований это уравнение запишется в виде
6Яг — 2 Y~QaR — За2 = 0.
Геометрический смысл имеет только
положительный корень.
Ответ. R ■-
Yb-
3.36. Пусть ребро тетраэдра равно а,
тогда для решения задачи нужно выразить
через а высоту цилиндра (рис. Р.3.36):
\=УО^— OB2 = Y
00
Объем цилиндра равен
За2
a V2
Яа*~\П.
8
; объем тетраэдра
о3 У~2
12
Остается найти отношение объемов.
Ответ, -х-.
3.37. Опишем около данной пирамиды конус с
образующей /, высотой И и радиусом нижнего основания R.
Объем конуса больше объема пирамиды. Если мы докажем,
что объем конуса меньше куба образующей, то задача тем
самым будет решена.
Введем в рассмотрение угол ос между Н и I. Тогда
#=/cosa, R = I since,

244
РЕШКННЯ
[3.38
а объем конуса равен
V
■g- R*H = у /3 sin2 a. cos a.
Составим отношение:
тг = -о- зх sin2 a cos а = -г- sin 2а sin а ^ -s- < 1,
/3 3 о ^ о
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
3.38. В осевом сечении конуса получим картину,
изображенную на рис. Р.3.38. По условию г =/?/?. Из подобия
треугольников ЕОВ и FOxB получим
г _я—2fl—г_
R ~ H—R '
т. с.
/?-г'
a n:i подобия треугольников /4DB и ОЕВ
(АВ — 1) найдем
/ //—Я
Я =
Рис. Р.3.38.
R
/=р
H—R
1 + Р
R ^\ — Р
Так как /2 — ра = /У2, по.чучаем уравнение относительно р,
а' Л2
решая которое находим pz = —
иуса равна
Полная поверхность ко-
l H—R
И ц . , а Н 2R
7' т-е- (/+р)р==р й=Яь=^'
яр (р + /).
С помощью производной пропорции из соотношения -г — —п-
получим
<+р.
р
Сумма поверхностей шаров равна
4я(Яа + га).
Составим искомое отношение:
я№-+у(Р-1),а(1+р.)р(1_р).
Огвег. 2/?(1 — Ж1+/>*)•

3.39] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ. ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 245
3.39. Обозначим радиус сферы через R и рассмотрим
осевое сечение каждого из конусов. Второй конус можно
расположить внутри сферы
произвольным образом. Мы
расположим его так, чтобы
образующие обоих конусов были
параллельны (рис. Р.3.39).
Выразим радиусы оснований
конусов через R.
В треугольнике FOK углы
OFK и OKF равны -|. Следо- '
вательно, угол ЕОК равен их
сумме, т. е. а. Из треугольника ЕОК находим ЕК—Rsina.
Далее,
EF=EO + OF= R (1 + cos a),
CD = CO+OD=R{\
Рис. Р.3.39.
DB = DC tg-£=#
a
= /?
1 + sin ■
cos-
Составим теперь отношение объемов и приравняем его к а.
После простых преобразований придем к уравнению
относительно а:
1 + sin ~=2 l/Tsm % cos2 ~,
или
1+sin-J = 2 j/a sinf (l-sin*|.) .
Так как 1 -f sfn у Ф 0 (иначе не существует конус), то
2 ^Tsin2 -J—2 l/^sin~ +1 = О,
откуда
-.-*[|(i±1/n^)].

246
РЕШЕНИЯ
[3.40
Так как а > О, то выражение, стоящее под знаком
арксинуса, как легко проверить, всегда расположено между 0 н 1.
Чтобы можно было осуществить извлечение корня,
необходимо взять а!>8.
Ответ, а = 2 arcsin
3.40. Боковая поверхность конуса равна nrl. Так как по
условию Н=г, то 1 = г\Г2. Получаем
яг8 У~2 = п У1,
откуда г = 1.
Полная поверхность конуса равна
пУ~2 + пг* = п(\ +У~2),
а площадь полной поверхности пирамиды в два раза больше:
2л (t +yii). Так как высота каждой грани пирамиды равна
1*=гУ~2=*У^, то полупериметр основания пирамиды равен
2я(1 + УТ).
1+г
= 2л.
Так как радиус вписанной в основание пирамиды окружности
равен единице, то площадь основания равна 2л.
Теперь определим объем пирамиды.
Ответ.
1 О,
\ *
V °'
2л
3
•
о)
-Л*
Рис.
<г)
Р.3.41.
S
1 N.
Л
в)
^v\
3.41. Расстояние между центрами Ot и Оа двух не
касающихся друг друга шаров равно 2гУ~2 (рис. Р.3.41, а).
На рис. Р.3.41, б изображено осевое сечение конуса, про-

8.42] ГЛ. 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 247
ходящее через Ох и 03. В этом же сечении будет лежать
и Оь. В треугольнике 05ОхЕ сторона ОхОъ = 2г, а ОгЕ =*
г~ О Е 1
wry 2, следовательно, ^-^- = -=, т. е. угол ОьОгЕ ра*
рен 45°. Треугольник ASD подобен треугольнику ОхОьЕ%
Поэтому # = /?. Найдем И:
H=SOb + 05E + ED = V2r + y= + r = r (2J/2 + 1).
Теперь можно найти и объем конуса:
Ответ. ^(22]/"2 + 25).
3.42. Так как ребро SD перпендикулярно к плоскости
основания, то треугольник SCD (рис. Р.3.42, а), в который
вписана окружность основания цилиндра, прямоугольный.
Рис. Р.3.42.
Радиус этой окружности равен площади треугольника SDG)
деленной на полупериметр, т. е.
ali
Угол МЕК равен углу SAD, так как треугольники МЕКъ SAD
подобны. Из треугольника SAD находим, ctg ^/&4D=-^-«
Следовательно, и ctg ^ ЛЯ:/(=-?-. Для дальнейших
рассуждений достаточно рассмотреть трапецию EMNF{pna. Р.3.42, б)»

248
РЕШЕНИЯ
[3.43
Отрезок МК=2г. Из треугольника МЕК находим
2га
2га __ a (h—2r)
EK=r MKz\g £ МЕК=~
Искомый отрезок
KF=EF—EK=a
Ответ. «(/3+* + *-^.
3.43. Пусть 0/4 = /?, SO=H, ребро куба равно а
(рис. Р.3.43). Из подобия треугольников SOA и 50ХВ
получим
R _ Ot6
Я Я—ОС?! '
Так как
OO^a-O-.O^ial/^,
то
/? _ а]Лз
Рис. Р.3.43.
0ХВ _ 08С
H—OOi ~~ И— 200,
И 2Н—а\Гй'
Из подобия треугольников SOtB
и SO.C
т. е.
в]/~3
И
2И~а У~2 2Н—2а У~2
Упростим последнюю пропорцию и найдем из нее Н:
a V~2{2V~i— l)
2 ^"3—2
С помощью первого соотношения определим теперь R:
2Я—a j/1 2V '
Остается сосчитать отношение объемов:
Ответ.
пУ~2(2}Гг-1)*{У~ъ+\)
48

3.44] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
249
■ад
щ
3.44. Обозначим через а сторону нижнего основания
пирамиды, через Ь — сторону ее верхнего основания, а
через 5 площадь боковой грани. Объем пирамиды можно
записать так:
i[(a*+b*)£*+3s].
С другой стороны, объем равен
yto + s. + vra-f [<«■+*»)!?-
Приравнивая эти два выражения, найдем
S = (a + b)*&.
Вспомним, что боковая грань—трапеция, боковые ребра
которой равны верхнему основанию. Площадь этой трапеции
легко найти, если вычислить ее высоту:
S = -^ {а + Ь)\/ 3b2 + 2ab — а*.
Сравнивая с предыдущим выражением для S, получим
уравнение относительно -г-. После сокращения на а-\-Ь (равенство
суммы а-\-Ь нулю не имеет геометрического смысла) и
возведении в квадрат придем к
выражению
2Ь* + аЬ — as = 0,
или
аТ-т-^о.
Так как а и Ь
а
величины, то -г
— положительные
= 2, или а = 2Ь.
Рис. Р.3.44.
Чтобы связать величины Ъ и
г, спроектируем точку Сг на
плоскость нижнего основания (рис. Р.3.44). Поскольку
радиус описанной окружности треугольника ABC в два раза

250
РЕШЕНИЯ
[3.45
больше радиуса описанной окружности треугольника A-fi-fi^,
то DC = ~.
По теореме Пифагора для треугольника C-fiC
откуда
Ь = гУ6, а = 2Ь = 2гУЪ.
Остается вычислить объем:
V =
2г
(аЧ-Ь*)¥1 + аЬ
-4-3]-^'
Ответ. 7]/^^.
3.45. Пусть Ох и Ог — центры меньших шаров, 03 —
центр большого шара, а О—центр шара, радиус которого
нужно определить. Спроектируем точки 0lt 02, 03 и О на
плоскость (рис. Р.3.45).
Треугольник Р-уР^Р^
,0- равнобедренный и
точка Р лежит на его
медиане и высоте.
Обозначил радиус
ОР = х. После этого
многие отрезки на рис.
Р.3.45 можно будет
выразить через R, г и
х. Отложим на OsP3 =
= R отрезок ВР3 = г,
Треугольники Ох02В и P\PiP3 равны, как основания призмы.
Перед нами задача — связать величины г = 01Р1 = 02Р2, R —
= 03Р3, х=ОР. Прямоугольные треугольники ООуЕк0О3С
позволяют вычислить отрезки РгР и Р3Р. Отрезок DP3 = AB
можно найти из прямоугольного треугольника 03АВ (ОдЛ
можно считать известной величиной). Полученные отрезки
образуют прямоугольный треугольник PtDP, для которого
будут вычислены все стороны. Теорема Пифагора для этого
треугольника и даст нужное нам соотношение между г, R и х%
Проведем теперь все вычисления.
Рис. Р.3.45.

3.46] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 251
Из треугольника 08AOs находим
АО! = 080! + АО\ = (R + г)2 - г2 » Р2 4- 2/?г;
из треугольника 08ЛВ находим
ЛЯ* = ,40* _ 0зВ2 e да + 2Рг - (Р — г)2 = 4#г - Га.
Следовательно, DPf = 4Pr —г2.
Вычисляем
Я3Р2 = СО2 =* (Р + л:)2 — (Р — xf = 4Р*
и
РХР2 = £02 = С^О2 — 0LE2 = (/* + л)2 — (г—*)2 = 4гх.
В треугольнике РгОР известна гипотенуза PtP. Катет Pfl^r,
a KafeT
DP=ДР5—Р8Р = V4^y-/-2 - J/4P*.
По теореме Пифагора Р^Рь^Р^рР-^ОР2, т. е.
4rx = r* + 4:Rr—r2~4:y4:R2r—r*RV~x + 4Rx,
или
(Р — г) лг—У*В*г _ г2/? У~х + Rr — 0.
Решая это уравнение, находим
/* =
V4RV— r*R± У^ЗДТа
2(/?-г)
Хотя правая часть в обоих случаях положительна, нужно
взять только знак минус, так как второе значение для У~£
оказывается больше У г, что невозможно.
Ответ Rr(2R+r-V(AR-r)3r)
3.46. Пусть Ох и 02—центры двух равных шаров с
радиусом R, а 08—центр третьего шара радиуса г (рис. Р.3.46).
Треугольник 0^0ЪР прямоугольный, т. е.
О^^О^ + ОзР2,

232 решения [3.46
Так как O^ — R + r, 01F=R — г, то остается вычислить
03F. Из треугольника BDE, в котором DB = 03F, имеем
DB" = DE- + EB\
Длину отрезка ЕВ можно найти как АВ — АЕ. Но
AB^Rztg — (из треугольника OxAB), а АЕ = CD = r ctg-
(из треугольника O^CD). Таким образом,
£S* = (/?ctg|-fCtg|)\
Отрезок D£ можно определить, если воспользоваться
условием, что шары Ох и О, касаются. Отрезок ОгОг равен 2/?
Рис. Р.3.46.
и параллелен плоскости П. Следовательно, KB = 2/? и
DE = LB = R.
Величина DB* теперь найдена:
ЛВ2 = /гг + стёг-|(/?-г)2,
и теорема Пифагора для треугольника OxOsF примет вид
(R + rf = (Я - г? + /?2 + ctg* | (R - г)2.
Раскрыв скобки в членах, не содержащих множителя
ctgz -jti найдем
■ , a ARr-R*
"* 2 (R—r)* •

3.47] ГЛ. 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ 253
По условию
■ да; разделим числитель и знаменатель
правой части почленно на /?*:
а
«*т-
'т
(-*)'
4w—1
Число т всегда меньше единицы, так как по условию г
меньше R. Кроме того, 4/я—1^=0, так как слева стоит
а
а
квадрат. Но clg -^- = 0, если -^ — -^ и а =
можно. Поэтому 4да ■— 1 >■ 0 и /»> -j- .
: я, что невоз-
Огеег. При -^-</»<1 ct = 2arcctg \Ит •
3.47. Обозначим центры шаров буквами Ог, Оа и 03,
а их проекции на плоскость Р через Д В и С.
Треугольник ABC (рис. Р.3.47) равносторонний со стороной 2R,
а точка О—проекция вершины 5 конуса будет центром
этого треугольника.
Рис. Р.3.47.
Образующую конуса, которой касается шар с центром
в точке Ov обозначим через SD, а точку
касания—буквой Е. Отрезок 0LE перпендикулярен SD и равен R. Так
как данный конус равносторонний, то угол между
образующей и ее проекцией на основание конуса равен 60°. По
условию 50=10, следовательно, £>0= 10 -ctg 60° = -=.

254
РЕШЕНИЯ
[3.48
Отрезок АО находим из треугольника ABC:
2Я
АО =
Г5%
2D in
Таким образом, AD= . Угол ADE равен 120°, а луч
Ofi делит его пополам. Из прямоугольного треугольника AOxD
2R —10,
R = ADbg60°, т. е. /? =
Г*
У%
откуда находим /?.
Ответ. \0см.
3.48. Пусть 50t и S02—оси соседних конусов
(рис. Р. 3.48). Тогда середина С отрезка ОгОй лежит па
общей образующей этих
конусов. Угол OiSOjj
равен углу в осевом
сечении конуса, обозначим
его через д:. Тогда углы
0х5/11 и 025Я2 равны -_- .
Проекции осей SOx и 50а
на плоскость Р лежат
на образующих, по
которым происходит
касание конусов с плоскостью
Р. Так как конусов п,
А О Л 2Я
то угол А1&А2 = — .
Отрезок SOt можно выразить через Аф двумя способами.
Рис. Р.3.48.
С одной стороны, SOx
__OjC__ jM?
X
s,nT
C другой стороны,
SOx
SAt
x '
C0SY
а так как
SA.
AiB
«nT
-, то S01==-
AXB
. n x
sin — cos -д-
n 2

3.49] гл. 8. геометрические задачи в пространстве 255
Приравнивая полученные для 50х выражения, получим
. X .Я
tgT=s.n-.
Ответ, х ™ 2arctgf sin — j .
3.49. Так как угол АОВ (рис. Р.3.49) прямой, то точки А и О
лежат на сфере, построенной на АВ, как на диаметре.
Следовательно, все внутренние точки отрезка АО лежат внутри
А
Рпс. Р.3.49.
этой сферы. Поскольку центр сферы, радиус которой мы
ищем, лежит на АО, то возможно лишь внутреннее касание
сфер.
Центр 02 вписанной сферы соединим с точкой F, в
которой происходит касание сферы с одной из граней. Из
подобия треугольников FO%A и ОКА имеем
АОа г
Уз уз '
т. е. АОе = Зг,
где г—искомый радиус.
Спроектируем точку Ох на АО и рассмотрим
прямоугольный треугольник OxE02. В нем OtOs равно разности радиу-
■к-—г; EOL равно половине ОВ, т. е.
сов
ЭД'
\АЕ—Л0,1. Знак абсолютной
Е0Х=^~. Отрезок 0%Е~,^— ™г1
величины означает, что точка 02 может оказаться ниже
точки Е, либо выше ее (см. рис. Р.3.49, на котором изображены оба

256
РЕШЕНИЯ
[3.50
случая).
Так как
Зг|.
АЕ = 4гАО =
У~ё'
а АО* = Зг, то
Гб
По теореме Пифагора 02Of = О^Е3 + £0?, т. е.
После простых преобразований получим уравнение
8^ + 11-1^6)0/- = О,
откуда
Так как ЛО, = Зг, то AOz
3(|Ае —1)
8 а'
в то время
как АЕ = -г==. Сравнивая АО, п /1£, мы видим, что /402
у б
больше. Следовательно, точка 02 на
располагаться ниже точки Е.
fG — 1
рис. Р.3.49 должна
Ответ.
■а.
3.50. Плоскость П, проходящая через ось РР и центр О
основания пирамиды, образует в сечении некоторый
треугольник SMN (рис. Р.3.50). Повернем треугольник SAB около
оси РР так, чтобы он лег в
плоскость П. Так как АВ = MN,
а высота SO меньше высоты
SK, то треугольники
расположатся так, как показано на
рис. Р.3.50. Любое другое
сечение SEF пирамиды попадет
внутрь пятиугольника SMABN,
а все сечения дважды покроют
этот пятиугольник.
Остается определить объем
тела, полученного от
вращения пятиугольника SMABN
вокруг оси PP. Половину искомого объема можно получить
в виде разности объемов цилиндра, полученного от враще-
Рис. Р.3.50.

4.11
ГЛ. 4. ЗАДАЧИ НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ
257
нпя прямоугольника SKBL, и конуса, полученного от
вращения треугольника SNL:
J VsMABN = VSKBL — VsNL =
= nSKi.BK~nLNi-BK=n-BK(sKi--~LN2\ .
Из соответствующих треугольников находим
5/C=|ctg|; LN* = SO* = SN*-NO* = ^c&%-£.
Таким образом,
VsMABv^nal^dg* T-TT ctg2 -2+12J «=-
<*иг. ?j|.(2ctg^+l).
Глава 4
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ
4.1. Проведем АЕ до пересечения с DC в точке F
(рис. Р.4.1, с). Точка F лежит в плоскости грани DDfifi,
в которой лежит еще одна
точка О, принадлежащая
сечению. Проведем FO до
пересечения с DtD в
точке N. Таким образом, сечение,
А
А
В,
Л *
1 %
\1о
А У
S
м
N
М
а)
*)
Рис. Р.4.1.
о котором идет речь в условии, построено; это AN ME
на рис. Р.4.1, а).
9 Е. Б. Ваковский, А. А. Рывкцн

258
РЕШЕНИЯ
[4.2
Обозначим ребро куба через а и вычислим объем фигуры,
лежащей под сечением, как разность объемов двух пирамид:
NAFD и MEFC.
Отрезок ЕС—средняя линия в треугольнике AFDt
следовательно, CF—CD — a.
Вычертим отдельно треугольник NFD и проведем OK\\ND
^рис. Р.4Л, б). Так как О—центр грани куба, то ОК~^,
DK=KC = ^. Из подобия образовавшихся треугольников
находим
M7*=f, ND = 2MC = %.
Так как треугольники EFC и ЕАВ равны (рис. Р.4-.1, а),
то площадь треугольника AFD равна а8, а площадь
треугольника EFC равна j. Теперь можно вычислить объем
фигуры, лежащей под сечением ANME\
4- лда. аа—4- ^с • х=-5- ■*- а2—-г- -=- т = -^,
3 3
3 3 4
36
и найти искомое отношение объемов.
Ответ. 29:7.
4.2. Проведем прямую FQ, которая пересечет АхВг и AtDt
в точках М и L соответственно (рис. Р.4.2). Соединив
точки М и А и точки L и. А, получим
еще две точки £ и /С,
принадлежащие сечению.
Площадь сечения AEFGK
вычислим как разность площади
треугольника AML и удвоенной площади
треугольника KGL.
Треугольники FBXM, FC^ и
GDtL равны. Следовательно, DXL =
=5^=1, MF=FG=GL. С
помощью треугольников MAyL и AAVL
можно найти стороны треугольника AML:
Рис. Р.4.2.
2
, AM^AL^rA^+A^^^

4.4] гл. 4. задачи на проекционном чертеже 259
его высоту
и его площадь
V-
AL*-
■(¥)"- Y4
з\П7
8
Треугольники AML и KGL подобны, так как GK и AM
параллельны (они получены в результате пересечения двух
параллельных граней куба плоскостью сечения), с
коэффициентом подобия 1/3 (мы доказали
раньше, что 3GL = ML).
Следовательно, площадь треугольника KGL
равна 1/8 площади треугольника
AML, а площадь сечения AEFGK
равна 7/э площади AML.
Ответ, -^—.
4.3. Пусть К—точка
пересечения ЛОх и СгС (рис. Р.4.3).
Соединим К с центром Q боковой грани
BBjCtC и получим сечение куба.
Так как Q—центр симметрии
квадрата BjCjCB, то B1E = FC.
Проведем ОгСг и АС. Отрезок
Очередная линия в треугольнике АКС,
и, следовательно, fCC1^=ClC.
Треугольники KFC и КЕСг подобны с коэффициентом
подобия 2. Поэтому FC=2EC1. Так как FC=BtE, то
отношение отрезков Вх£ к ЕС1 равно 2.
Ответ. 2.
4.4. Пусть высота данной пирамиды А, сторона
основания а. Найдем объем фигуры, лежащей под сечением BEFG
(рис. Р.4.4, а), как разность объемов пирамид ЕВСМ и
FGDM.
Объем первой пирамиды равен
1 h 3d* 3 / 1 . ,\ 3
где v—объем данной пирамиды.
9*

2G0
ГЕШЕННЯ
[4.4
Чтобы найти высоту пирамиды FGDM, сделаем чертеж-
плоскости, в которой лежит грань SDC (рнс. Р.4.4, б).
Проведем EL параллельно SD. Так как Е — середина SC,
S S
Рнс. Р.4.4.
то DL = — DC = -^. Из подобия треугольников MEL и MFD
найдем
FD MD
1а
EL ML 2,5а 5 '
Нетрудно проверить (сделайте это самостоятельно), что
4
высота пирамиды FGDM равна -=- высоты ЕВСМ,
4 .
т.е.гаА.
Из подобия треугольников MGD и МВС (см. рис.Р.4Л,о)
найдем GD~-~. Это означает, что объем пирамиды FGDM
равен
3 10 3 15 ^ 3 па J 15 ^
Таким образом, объем фигуры, лежащей под сечением,
равен
3 4 29
4 15 60
29
Ответ, ^j.

4.6) ГЛ. 4. ЗАДАЧИ НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ 261
4.5. Сечение AMND и диагональная плоскость ASC
разбивают данную пирамиду на четыре части. Так как высота
пирамиды NACD (рис. Р.4.5) вдвое меньше высоты данной
пирамиды, а площадь основания вдвое
меньше площади основания ABCD,
то ее объем равен ■£-, где v—объем
данной пирамиды.
Рассмотрим пирамиды ASBC и
ASMN с общей вершиной А. Их
высоты равны, а площадь основания
первой в четыре раза больше.
Следовательно, их объемы относятся,
как 4:1. Таким образом, на долю
3 Рис. Р.4.5.
пирамиды ABMNC приходится -=-©.
о
Теперь можно найти, каку,ю часть объема пирамиды
составляет фигура, расположенная под сечением:
1,3 5
Ответ. 5:3.
4.6. Соединим точки Р, Q и R с вершиной А (рис. Р.4.6),
после чего соединим их между собой. Продолжим А1В1 до
_й пересечения с QP в точке
Е п A1D1 до пересечения
с QR в точке F. Обе точки
Е и F лежат в плоскости
верхнего основания, a EF —
след сечения в этой
плоскости, который пересекает
верхнюю грань куба по
отрезку МК.
Продолжим DC до
пересечения с PR в точке G
и соединим К с G. На
ребре ССг получим
точку L, принадлежащую
сечению.
Из подобия треугольников QA^E и QAP следует, что
AlE = A1Q = -^-a, где а—ребро куба.
В
Рис. Р 4.6.

262
РЕШЕНИЯ
[4-7
Следовательно, В1£=-|. Аналогично £)ХР=-
. Объем
2
— -с[, откуда следует, что MC1 = KC1 = LC1 = ~
пирамиды MCJ.K равен ^.
Ответ. 1:47.
4.7. Пусть MN= а (рис. Р.4.7). Тогда a-SK=2S.
Выразим искомую площадь через а и SK. Отрезок АВ—средняя
линия трапеции IMNJ, а
отрезок DC—средняя линия
треугольника SIJ. Поэтому
ДВ-fo.
DC=a.
Из подобия треугольников SOK
и HOG следует, что HG =
= y SK. Осталось определить
HL и EF:
HL = GL — GH=
3
SK-
±.SK=±SK;
из подобных треугольников FSL и /?5Р
£F SL KG l
— sp —ftp— 4 > т' е>
EF=-
сг 4 .
Теперь можно подсчитать площадь сечения, которая равна
j (AB + CD) GH+-J (CD+FE)HL =
Так как aSK=2S, то площадь сечения можно выразить
через 5.
Ответ. тг-S.
16
4.8. Спроектируем СгС на плоскость основания призмы
(рис. Р.4.8). Отрезок ЕК—средняя линия в
треугольнике CjCF.

4.9] ГЛ. 4. ЗАДАЧИ НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ 263
Через точки К и D проведем прямую, которая
пересечет АВ в точке М. Докажем, что ЕМ—высота в
треугольнике ABE.
Поскольку KC = -jFC, a DO==~OB (ЛВС—правильный
треугольник) и FC=OB (треугольники CXFC и ВгОВ равны),
то КС=DO. Покажем, что КС \\ DO. В самой деле, так как
OBJ^AC, то и ВВг_\^АС. Следовательно, ССг\^АС,
а значит, и КС±^АС. Итак, КС и DO -параллельны, а
фигура KCOD — параллелограмм.
Теперь мы можем
воспользоваться тем, что отрезок КМ
параллелен СО, а потому
перпендикулярен к АВ. Отсюда следует, что
ЕМ—высота в треугольнике ABE.
Остаются простые вычисления:
КЕ=10Вг =
KD=CO-
3
Площадь треугольника ADB можно найти двумя способами:
-DM-AB^^DB'AD, т. е. Ь- DM^^-^-, откуда MD =
ьУз
Теперь найдем ЕМ:
ЕМ=УКЕ* + КАР = VKE* + {KD + DM? = i-j/ 4/2 + 156* .
Ответ. |-У4/а + 1562.
4.9. В- диагональной плоскости BBft-JD (рис. Р.4.9)
проведем через точку F отрезок EG, параллельный BD. В
другой диагональной плоскости АА^С проведем через точку F
отрезок КЩ АСг. В плоскости верхнего основания построим
отрезок MN\]B1D1 и проходящий через точку L. Точки К, G,

264
РЕШЕНИЯ
[4.9
N, М, Е являются вершинами сечения, площадь которого мы
должны вычислить. Это сечение—пятиугольник,
разбивающийся на треугольник EKG и трапецию EGNM. Если KR—
Рис Р.4.9.
высота треугольника, a Q—точка пересечения KR и EG, то
площадь пятиугольника равна
±KQ.EG + ±{EG+MN) QR.
Так как/а || Л?!, то LC^-J^A и MN = T BlDl = T Ш'
В свою очередь £G = "j/й8 + Ь2. Поэтому MN=-^Va* + Ьг .
Чтобы вычислить отрезки KQ и QR, спроектируе1« KR на
плоскость основания. Точка Q спроектируется в Р, а точка
Я—в Н. Обозначим через S п Т проекции точек К и Q на
отрезки QP и RH соответственно.
По теореме о трех перпендикулярах APJ^BD. Сравнивая
площадь треугольника ADB, получим
AP-BD = ab,
а так как BD = Vo.2 + b2, то
АР =
ab_

4.10] ГЛ. 4. ЗАДАЧИ НА ПРОЕКЦИОННОМ ЧЕРТЕЖЕ 263
Из подобия треугольников легко получим
AK=~ct RT=jC, <?S = yC.
Поскольку MN=-kB1D1, to QR — ^KQ. Из
треугольника KQS находим
-VI
am
iV
4aa6s-f-c2a?'-j-c2ba
+ №■ '4 2 V a*+b*
Теперь мы можем вычислить площадь фигуры:
S = ±KQ-EG+± . ^EG.±-KQ=~ EG-KQ.
Ответ. ^У4аЧ*-\-с*а2 + с2№.
4.10. Чтобы построить тень куба, достаточно построить
тень, отбрасываемую верхним основанием. По условию
источник света расположен на высоте 2А. Из подобия
треугольников, получающихся при построении тени, следует, что
тенью, отбрасываемой верхним основанием куба, будет
квадрат АгВ2С^>2 (рис. Р.4.10; см. также рис. 1.4.10). Каждая
сторона этого квадрата параллельна соответствующей
стороне основания куба и равна 2h. Отрезок 00%,
соединяющий центры квадратов ABCD и AjjB%CJ3v при вращении
источника света не изменяется и равен R. Чтобы получить

266
РЕШЕНИЯ
[5.1
тень куба, нужно на рис. Р.4.10, а построить «внешние»
отрезки, соединяющие соответственные вершины квадрата
Л2В2СаОа с вершинами нижнего основания куба.
Задача становится плоской. Нужно выяснить, когда
площадь полученного многоугольника будет максимальной, если
точка 02 вращается вокруг точки О, а стороны
квадрата А^„ѫ܄ остаются параллельными сторонам
квадрата ABCD.*
В двух случаях (рис. Р.4.10, бив) плошадь будет
достигать максимума по сравнению с близкими положениями
точки 02. В самом деле, если точка Оа немного сместится
из положения, изображенного на рис. Р.4.10, б, вправо или
влево по окружности радиуса /?, то площадь тени
уменьшится, так как уменьшится площадь трапеции ADD^A»:
у этой трапеции основания AD и ASD2 не изменятся, а
высота станет меньше. То же самое произойдет и в случае,
изображенном на рис. Р. 10.4, е. Здесь уменьшится площадь
трапеции BDDJi2.
Остается сравнить площади этих двух фигур.
Площадь первой равна
*+"(*-т).
площадь второй
При R > 2й вторая площадь больше, что и доказывает
сформулированное в условии утверждение.
Глава 5
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА
5.1. Из любой точки М (рис. Р.5.1) отрезок ON виден
под прямым углом. Следовательно, искомое геометрическое
место точек — окружность, построенная на отрезке ON, как
на диаметре.
6.2. Пусть точка М .принадлежит искомому
геометрическому месту точек. По теореме косинусов для
треугольника АМВ (рис. Р.5.2) имеем
АВ* = АЛР + ВЛР—2АМ- ВМ cos a.

5.3J
Так как
то
ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА
AM-BMcosa=4-AB*.
4
AMa + BJVP = -jAB*.
267
Положение точки М определяется медианой МС,
которая равна
4/WC2 = 2АМ* + 2ВЛР — АВ2.
Воспользуемся предыдущим соотношением и заменим
2(АЛР + ЯЛР) на 5АВ2:
ШСг = 5АВг— АВ*, т. е. МС=АВ.
Итак, искомое геометрическое место точек--окружность
радиуса АВ с центром в середине АВ.
Рис. Р.5.1.
Рис. Р.5.2.
5.3. Докажем вначале, что если точка М лежит на
рассматриваемой окружности, то выполняется сформулированное
в условии задачи соотношение. Обозначим центр окружности
буквой О и выберем на окружности
произвольную точку М,
отличную от Л и С (рис. Р.5.3).
Применим к стороне MB
треугольника АМВ теорему
косинусов:
= АМ2 + AS2— 2AM-AB cos Л.
Из треугольника АМО находим AM=2AOc0sA, откуда
COsA ^2Аб' По Условию AG==-£-' Подставляя cosA = JXB
Рис. Р.5.3.

-63 решения [5.3
и выражение для MB2, получим
MB2 = АМг + АВ2—ЗАМ2,
т. е.
2АМ2 + МВ* = АВ2,
что и требовалось проверить.
Простой проверкой легко убедиться, что это
соотношение справедливо, если М совпадает с А и если М
совпадает с С. В первом случае АМ = 0, а МВ = АВ и равенство
становится очевидным АВ2 = АВ2. Во втором случае AM —
= ЛС=-|лВ, МВ = СВ = ^АВ я
Перейдем к доказательству обратного утверждения.
Докажем, что если в треугольнике АМВ
ЗАОРАВ и 2 А М2 + MB* = АВ2,
то .40 = МО, т. е. точка М лежит на окружности
радиуса АО. Начнем со случая, когда М не лежит на АВ.
Предыдущие рассуждения подсказывают нам, что полезно
воспользоваться не толысо данным соотношением, но и теоремой
косинусов для.треугольника АМВ:
MB2 = AM2 + АВ2—2 AM • АВ cos A.
Так как мы не знаем, чему равен cos А, то постараемся его
исключить. Запишем теорему косинусов для стороны МО
треугольника АМО (учтем при этом, что ЗАО = АВ):
М02 = АМ2 + - АВ2 — ^ АМ-АВ cos A.
Умножив последнее равенство на —3 и сложив с
выражением для MB2, получим
MB2—ЗЛЮ3 = — 2АМ2 -I- -J АВ2.
Заменяя МВ2 + 2АМ2 на АВ2, придем к равенству
AB2 = 3M02 + -jAB2,
т. с.
АВ2 = 9М02,

5.4J ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА 269
откуда АВ = ЪМО и МО—АО, что и требовалось
показать.
Если теперь точка М лежит на прямой АВ, то она может
располагаться либо на отрезке АВ (включая его концы),
либо вне этого отрезка.
Пусть точка М расположена вне отрезка АВ. Тогда или
АМ + АВ — МВ, или MB + АВ — AM. В первом случае
получаем АВ — МВ—AM, а после возведения в квадрат:
АВ* = AMS + MB*—2AM- MB. Заменяя АВ* на 2AM* + MB2,
придем к равенству АМ = —2MB, которое абсурдно.
Аналогично рассматривается второй случай.
Пусть теперь точка М расположена на отрезке АВ.
Тогда AM -f- MB = АВ, что после возведения в квадрат п
замены АВ2 на 2АМ*■-}- MB* приводит к равенству
АМ* = 2МВ-АМ.
Из этого равенства следует, что либо АМ=0 (точки А
и М совпадают), либо АМ = 2МВ (точка Ж совпадает с
точкой С).
Тем самым доказательство полностью завершено.
5.4. Прямые, на которых лежат стороны АВ и ВС
треугольника ABC, разбивают плоскость на четыре угла
£
б) 8)
Рис. Р.5.4.
(рис. Р.5.4, а). Пусть точка М принадлежит нашему
геометрическому месту точек и лежит внутри одного из углов ABC
или DBE. Проведем прямую ВМ а обозначим через F точку
ее пересечения с АС. Так как точка М принадлежит
рассматриваемому геометрическому месту точек, то SAMB = SCMB.

270
РЕШЕНИЯ
[5.5
Поскольку MB—обш.ад сторона треугольников АМВъСМВ,
то Аа = Аг (рис. Я5.4, а). Следовательно, отрезок £/="делит
треугольник ABC на два равновеликих треугольника AFB
и CFB {BF— общая сторона, h^—h^). Если основаниями атах
треугольников считать соответственно AF и FC, то мы
придем к выводу, что AF^FC, поскольку треугольники AFB
и CFB имеют общую высоту. Итак, если точка М лежит
внутри одного из углов ЛВС или DBE, то она лежит "а
прямой BFt проходящей Мерез середину АС.
Пусть точка М лежит внутри одного из двух
оставшихся углов ABD или СВЕ (рис. Р.5.4, б). Треугольники /Шй
и СМВ снова имеют общую сторону MB, « поскольку оик
равновелики, то ЛХ = Ь2. Следовательно, прямая MB
параллельна АС.
Мы рассмотрели всевозможные случаи расположения точки
М на плоскости. Таким образом, доказано, что если точка М
принадлежит искомому геометрическому месту точек, то она
лежит либо на прямой ВР, проходящей через середину АС,
либо на прямой MB, параллельной АС.
Легко проверить, что каждая точка этих двух прямых
обладает необходимым свойством. Следовательно, прямые BF
и MB образуют искомое геометрическое место точек
(рис. Р.5.4, в).
Рис. P.S.5.
5,6. Рассмотрим вначале случай, когда прямые АВ и CD,
на которых лежат данные отрезки, пересекаются в
некоторой точке N (рис. Р.5.5, а). Пусть точка М принадлежит

5.6] ГЛ. 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА 271
искомому геометрическому месту. Площади
треугольников АВМ и CDM не изменятся, если каждый из отрезков АВ
и CD двигать по несущей его прямой. Переместим отрезки
так, чтобы они имели своим общим концом точку N.
Отрезок АВ перейдет в NB't а отрезок CD—в ND'. Поскольку
пары треугольников ABM, NB'M и CDM, ND'M
равновелики, то искомое геометрическое место точек можно
характеризовать тем свойством, что площади треугольников NB'M
и ND'M равны.
Итак, задача свелась к предыдущей (см. задачу 5.4): для
треугольника B'ND' найти геометрическое место точек М
таких, что площади треугольников NB'M и ND'M равны.
Мы уже доказали, что это—две прямые NK и NL, первая
пз которых проходит через середину B'D', а вторая
параллельна B'D'.
Рассмотрим теперь случай, когда прямые АВ и CD
параллельны. Сместим отрезок АВ по несущей его прямой так,
чтобы его центр совпал с центром CD (рис. Р.5.5, б). Если
точка М (на рисунке она не изображена) принадлежит
искомому геометрическому месту точек, то отношение ее
расстояний до прямых АВ и CD есть отношение высот в
треугольниках АВМ и CDM. Площади этих треугольников будут
равны тогда и только тогда, когда отношение расстояний
от точки М до АВ и CD будет равно отношению отрезков
CD и АВ. Таким образом, искомое геометрическое место
есть две параллельные прямые, расстояния которых до
CD и АВ относятся, как AB-.CD.
Чтобы построить это геометрическое место точек, сместим
отрезок АВ по несущей его прямой так, чтобы его центр
оказался на общем перпендикуляре к АВ и CD с центром Е
отрезка CD (рис. Р.5.5, б). Прямые DA' и СВ' пересекутся
в точке Р, которая делит EF в отношении PF:PE = AB\CD,
а прямые DB' и С А' пересекутся в точке Q, для которой
QF:QE = AB:CD. Остается на прямой EF (рис. Р.5.5, б)
построить отрезки EP' = FP и EQ' = FQ. Прямые Р'Кп Q'L,
проведенные через Р' и Q' параллельно АВ и CD, образуют
искомое геометрическое место точек.
5.6. Для данного куба с ребром а найдем сначала
геометрическое место середин отрезков длины /, один из концов
которых лежит на диагональной прямой верхнего основания,
а другой—на не параллельной ей диагональной прямой

272
PKUIFHIftt
|5.6
нижнего основания. Как мы увидим, замена диагоналей на
диагональные прямые позволяет упростить задачу.
Если MN—Отрезок длины /, о котором идет речь в
условии "задачи, а расгтоънне между плоскостями верхнего и
нижнего оснований равно а, то проекция МК отрезка MN
на плоскость нижнего основания равна ]//3 — а2 (рис. Р.5.6, а).
Рис. Р.5.6.
Проекция G середины Е отрезка -MN делит МК пополам,
поэтому /WG = -£-)/72—а-. Треугольник МКО
прямоугольный, а GO—его медиана. Следовательно, GO = -^ У 1%—а3 .
Тем самым мы установили, что для фиксированного / точка О
всегда отстоит от точки О на одинаковом расстоянии,
равном -£• у/2— а2, т. е. лежит на окружности радиуса
—]/72 — а2 с центром в точке О.
Итак, если точка £ принадлежит искомому
геометрическому месту, то она лежит в плоскости, параллельной
основаниям куба и проходящей через середину F отрезка OOv
и принадлежит окружности радиуса -кУР—°2 с Центром
в точке F.
Для той измененной задачи, которую мы рассматриваем,
верно н обратное утверждение: любую точку Е,
принадлежащую описанной выше окружности, можно спроектировать
в точку О плоскости нижнего основания и радиусом GO

6.2] ГЛ. 6. СВОЙСТВА ЧИСЕЛ. ДЕЛИМОСТЬ 273
сделать из точки G засечки М и К на диагональных прямых
нижнего основания. Построив перпендикуляр NK, мы сможем
найти и отрезок MN длины /, серединой которого является
точка Е.
Теперь остается учесть тот факт, что точка Е и
отрезок MN не должны покидать пределы куба.
Для этого нужно уловить тот момент, после которого
один конец отрезка MN, например М, покинет куб. Ясно,
что это произойдет, когда точка М совместится с одной из
вершин квадрата ABCD. Пусть точка М совпала с
вершиной А (рис. Р..5.6, б). В зависимости от длины /отрезка MN
проекция К точки N расположится на отрезке ОВ. При
изменении длины отрезка MN точка К пробегает весь
отрезок ВО, а середина G отрезка МК пробегает в это время
отрезок А2Р, являющийся средней линией треугольника АВО.
Теперь ясно, что проекция точки Е на плоскость
нижнего основания куба не может выйти из квадрата A2B2C2DS
(рис. Р.5.6, в).
Итак, искомое геометрическое место точек расположено
в горизонтальном сечении куба, проходящем через его центр.
Это — часть окружности с центром в центре куба, не
выходящая за пределы квадрата, проектирующегося в А2В2С%02.
Глава б
СВОЙСТВА ЧИСЕЛ. ДЕЛИМОСТЬ
6.1. Имеем /з3 —1 = (/>--1 )(р+1), а р — \,р,р+1—три
последовательных числа, из которых р > 3 простое.
Следовательно, р— 1 и р-\-1 —два последовательных четных числа,
т. е. одно из них обязательно делится на четыре, а
произведение делится на восемь. Известно, что из трех
последовательных целых чисел одно делится на три. Но р—простое,
следовательно, на три делится либо р — 1, либо р-\-1. Мы
доказали, что р2—1 делится на 8-3 ==24.
6.2. Первый способ. Предположим, что ns-\-2n
делится на 3 при л = А. (Если л=1, то это очевидно.) Тогда
при л = А-(-1 получим
(А+1)8 + 2(*+ 1)=А3-г-3£а + ЗА+1+(2А + 2) =
= (А3 + 2А) + ЗА3 + ЗА -f- 3.

274
РЕШЕНИЯ
[6.3
Так как ft3 + 2fc делится на 3, то и (ft +l)8 + 2(ft+1) тоже
делится на 3. В силу принципа индукции утверждение
доказано.
Второй способ. Так как я3 + 2л = л (я2+ 2), то при
л = ЗЛ делимость на 3 очевидна. Если же я=ЗА±1, то
л2 + 2 = (ЗЛ± l)a + 2 = 9fei!±6fe + 3 и также делится на 3.
6.3. Разложим данное число на множители друмя
способами:
ЗЮ5 _,_ 4"8 = (38)21 _)_ (4Б)21 _ 24321 + 1024й =
= (243 + 1024)(243ао — ... + 1024го) =
= 181-7 (243м — ... + 1024го);
3X05 _j_ 4юб = (37)15 _i_ (47)1б = 2187" +16 38418 =
= (2187+16 384)(2187"—...+16 384") =
= 18 571(2187"—... + 16 384") =
= 49-379(2187"— ...+16384")."
Таким образом, данное число делится на 49 и на 181.
6.4. Множитель 2 содержится один раз во всех четных
числах, два раза во всех числах, делящихся на 4, три раза
в числах, делящихся на 8, и т. д. Поэтому четные числа
мы должны сосчитать отдельно, прибавить к ним количество
чисел, делящихся на 4, к ним прибавить количество чисел,
делящихся на 8, и т. д. В результате получим
250 + 125+62 + 31 + 15 + 7 + 3+1=494.
В этой сумме каждое следующее слагаемое получено из
предыдущего как целая часть от деления его на два.
Ответ. 494.
6.5. Если умножить данное число на 10, то его свойство
быть кратным 81 не изменится. Получим число -~
10 10 10 ... 10.
81 раз
Сумма цифр этого числа делится на 9. Разобьем его на 9
одинаковых секций-
10 ... 10 10 ... 10
9 раз 9 раз

6.8] ГЛ. в. СВОЙСТВА ЧИСЕЛ. ДЕЛИМОСТЬ 275
н будем делить на 9. Так как сумма цифр в каждой секции
равна 9, то каждая секция делится на 9. Обозначим частное
от деления одной секции на 9 через А. В результате
деления на 9 всего числа получим
A-\Qlii + A-\0™ + A-\0loa+...+A-\0le + A =
= Л (1014*-f- 1012e+ ... + Ю18+ I).
9 слагаемых
Сумма цифр числа, стоящего в скобках, равна 9.
Следовательно, полученное частное делится на 9, а данное число —
на 81.
6.6. Дополним л*+ 4 до полного квадрата:
л*+4л2+4—4л2 = (лг+2)й —4л2 =
= (лг — 2л + 2)(лг 4-2л + 2).
Число л*+ 4 может быть простым только в том случае,
если либо ла — 2я-{~2 = 1, либо л2-}-2л+ 2 = 1. Решая эти
уравнения, получим я = 1, л =—1. При я = +1 данное
выражение равно 5, т. е. является простым числом.
Ответ. я= ± 1.
6.7. Подставим л = 2А, получим
12+ 8 + 24 — 6 "i"TT "т" 3 ~~ 6 6
Остается доказать, что числитель всегда делится на - 6.
Так как одно из двух последовательных целых чисел k
и ft-f 1 четное, то делимость на 2 очевидна. Если ни А, ни
k-j-1 не делятся на 3, то к = Ът-\-\, a k-\-\ =Ът-\-2.
Тогда 2fe+l = 2(3m + l) + l=6m + 3, т.е. 2fc-fl делится
на 3. Тем самым доказательство закончено.
6.8. Первый способ. Если дробь сократима, то
Ьх + 7—qr, 2х + Ъ=рг.
Исключая из этих равенств х, получим
\ = (Ър-2д)г,
или
±=5p-2q.

276
ГЕШГ.1ШЯ
[6.9
2х+3
Если дробь !• Т7 сократима на целое число г ф ± 1, то
в последнем равенстве справа стоит целое число, а
слева — не целое. Таким образом, это равенство противоречиво,
н данная дробь не сократима.
Второй способ. Если данная дробь сократима, то
сократима- и дробь
5*+7 = 2 , л-+1
2х+3 ' 2лг+3'
Таким образом, должна быть сократимой дробь, стоящая
в правой части н, следовательно, дробь
2Л-+3 I
х + \ ' х+1'
Дробь —j-7 не сократима ни при каких х, так как в
числителе стоит единица.
Итак, данная дробь не сократима пи при каких х.
6.9. Число 34л:5у должно делиться на 4 и 9. Это число
делится на 4, если две его последние цифры образуют число,
делящееся на 4, т. е. либо у = 2, либо у = 6.
Когда у = 2, то х определяется однозначно: так как
сумма цифр должна делиться па девять, то л: = 4.
Когда у = 6, то в качестве х можно взять либо О,
либо 9.
' Итак, получаем три числа.
Ответ. 34 452; 34 056; 34 956.
6.10. Условие можно записать так:
а ■ 103 + 6 -102 -!- с ■ 10 + I = 3 (2 -103 + а • 10я + & ■ 10 -f- с),
где а, Ь и с — цифры.
Так как число Зс должно оканчиваться единицей, то
с = 7. После этого равенство можно переписать в виде
д.103 + 6-102 + 7-10+1 = 6.103 + За-102+(36 + 2)10+1.
Поскольку b — цифра, О^й^Э, то
2<36 + 2<29.
Кроме того, 36 + 2 должно оканчиваться на 7, т. е. 36 + 2
равно одному из чисел 7, 17, 27. В результате найдем три

7.2] ГЛ. 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 277
значения Ь, из которых только Ь — 5 будет целым. После
этого равенство перепишется так:
а.103 + 5-102 + 7-10+1=6.103 + (За+1)Ю2 + 7-10+1.
Число За +1 заключено между I и 28 и должно
оканчиваться на 5, т. е. нужно рассмотреть три возможности:
За + 1 = 5; 15; 25. Только одно из этих уравнений, За -f 1 = 25,
имеет целое решение а = 8.
Убедившись, что при с —7, & = 5, а = 8 составленное
равенство выполняется, можем считать решение задачи
законченным.
Ответ. 857.
Глава 7
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
7 1 л_п3 + 1-3(п + 1) + (п°— 1) VliF^i
п8—1—3 (п—!) + («*—1) V п-—4'
^(я+1)(»г—п—2) + (»а— 1) У/i2—4_
(ft— 1)(я2-|-л—2) +(я2— 1) К"2 —4
^(я + ])3(я—2) + (яг— 1) Ун3—4_(п + 1) 7Л732
(я—1)г(я-(-2)+(я,!—1) Кяа—4 (я—1)|/я+2'
<п+1) Уя^2
(п_1)1/-„ + 2'
7.2. Перепишем данное выражение так:
Ответ.
/ 1-х л»-1+*-1 W
V*8 о+*-**) д-**4—ж2—2л-—1); Ч
1 +х 1—х+х*
^(l+x+x2) л"3 / •
.Числитель второй дроби теперь легко разложить на
множители. Со знаменателем дело обстоит несколько труднее.
Однако в первую очередь нас интересует, делится ли
знаменатель на 1 + а:—л:8. Проверяем с помощью деления углом
(проделайте это самостоятельно) и убеждаемся, что
л:4— *3 — 2х-~ 1 =(1 -j-лг— *г){— А'2— лг — 1).

278 решения (7.3
Таким образом,
Л^( 1-* (1-х)(х«+х+2) \ l+x-f(l+x«)«-x»j
Vx*(l+*-xS) х(1+х—x*)[x*+x+l)J ' ^(l+x+x2) ~~
(попутно мы преобразовали вторую скобку)
_(1 — х) [1 +х+ха—х (х'+х+2)] х3(1+х-Ьха) __
х* (I +ж— х!) (1 +х+х') " (—х<— x»-fx)
__ (—х3—х + 1)(1 — х) х—1
(1+х — х*)(—х3— х+1) — х«—х— 1 '
Ответ. * ~~—г.
ха—х—1
7.3. Приведем первые два слагаемых к общему
знаменателю. Получим
А+В(\+х*)
где А и В — соответственно многочлены, входящие
множителями в первое и во второе слагаемые.
Раскроем в числителе скобки и приведем подобные. После
этого останется
* +256
Преобразуем третье слагаемое:
63 /. х \ 1 • • _ 63 1
266 \ + уГТ+хг) х+ j/T+x* 256' }ГТ+х*'
Остается вычесть его из предыдущего результата.
X1"
• • Ответ. ■ , это выражение положительно при х ф 0.
V 1+х2
7.4. Домножим дробь на У~а -\-Ъ~\ГЕ-\-2 ^/аЬ.
(а+2 Vri+9b)(V~Z+3 VT+2 УТЬ) _
ty^+з VF-2 */5ь)(уТ+з КГ+2 */5&) ~
(fl+2/S+9b)(yj+3/F+2y5S) ^+яу¥+2уяш
а+9Ь+бУТЬ—4У~ЕЬ
Остается вычесть
1^0 + 2 уПь+УТ.
Ответ, (l/a-}- yb) •

7.7] ГЛ. 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 279
i
7.5. Вынесем за скобки хт и воспользуемся выражением
х через а:
JLlY m-n\a m-n"|
*m Lv +* mn / — 4аад; mn J =
s
= ^^(1 + ая+2а/^гТ+a2 — l)z—4az(fl+l/^=^T)2]-
= *« [4a2(c + Va«—l)2 —4аа(а + Ка2 —1)2] = 0.
Ответ. О.
7.6. Преобразуем данное выражение:
^Лс — 1 +2"|/лг —1 + 1 -{-у^л:— 1—2 J/*—1+~Т =
=/(/r=TTo"a+/(v^=T-i)!!=
=VJ=T+1 +1 VZ=T-11.
Так как 1 ^ лг ^ 2, то 0 <! x —1^1 и, следовательно,
Ух—1<1, т. е. Ух—\—\ <0. Поэтому
Ух~^Л + 1 +1 Ух=Т~ 1 f = VT^T + 1 +1 - Vx~^T= 2.
Ответ. 2.
7.7. Так как 9 + 41/*2 = (2ул2+l)2, то
]/Л2 + уЛ9 + 4)/1 =1/^2+2/2 + 1=1^2 + 1.
Остается преобразовать
-1/^13 + 30(1^2+1) =1/^43 + 30^
Если догадка, что
43 +301^2 = 25 +2-5-31/2"+18 = (5 +ЗУ^)2
кажется вам неестественной, то воспользуйтесь формулой
сложного радикала
У 43 + 30 "|Л2 = уГ43+1/ШЮ =
/^P+j/q^ = 5 + 3^
Ответ. 5 + 3i^2T

280 решения [7.8
7.8. Перепишем данное выражение в виде
(г2 ~у2)(ху+zu) + (л;2 - н2)(*у + ги) +
+ {у* - z-)(xz +уи) + (** - и2)(л:г +jre) -
= (?- ~У2)(ху + zu —хг —уи) + {хг — и-) {ху + zu -f хг +уи).
Так как
xy + zu—xz—yu = x[y—z)—u[y—z) = iy--z)(x — u),
ху + zu 4- xz +уи = (_у + г)(х + «),
то получим
(г -.у)(г -з»)^ - *)(*—и) + (х—и)(х + и)(у + z)(x + и) =
= (д: -и)(у + г)[ — О» -z? + {х + и)'].
Ответ, (х — u){y±z)(x + u— y-\-z)(x-\-u+y—z).
7.9. Раскроем скобки и вынесем коэффициент 2:
2 (л* + 2х*у + Зл-у + 2ху3 +/)■
Выражение в скобках разобьем на три группы:
{х* + х3у + х2у2) + (х3у + х-у3 + ху3) + (х2у* + ху3 +у*) =
= {х* + ху f-/)2.
Остается разложить на множители трехчлен х*-\-ху-\-уъ:
-(-+*)4JM-(*+!T!2')(«+I±i1^) •
7.10. Первый способ. Данное выражение обращается
в нуль при х=у, x = z и y=z. Следовательно, оно
делится на (x—y)(x—z)(y—z), т. е.
(у-г)5+(г-х)в+(*-У)в _ АЛ
(х-у)(х-г)(у-г) ~т>
где М—многочлен второй степени, однородный относительно
х, у и z. Поскольку левая часть не меняется при замене
х на у, а у на х, так же как и при любой другой
аналогичной замене переменных, то М—симметрический много-

7.10] ГЛ. 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 281
член относительно х, у и z. Поэтому
М=А (х* + / + z*) + В (ху +yz 4- xz),
где А и В — неопределенные коэффициенты. Чтобы найти
А и В в равенстве
l!"~^x-%\t-7y)i -А &+?+*+в & +У+**.
положим сначала х^О, y — l, z= — 1, а затем х = 0, у = 2,
2 = 1 (в выборе значений имеется большой произвол, лишь
бы обе части имели смысл и не обращались в очевидное
тождество). Получим систему
J 2Л—Я= —15,
\ 5Л + 2В==—15,
откуда А = — 5, 5 = 5.
Итак,
М= —5(A:a-T\ya-f-za—ху—xz—yz).
Чтобы стоящее в скобках выражение разложить на
лилейные множители, снова воспользуемся методом
неопределенных коэффициентов:
*2 +У+г2—лгу—xz —yz = (x + Ky + Nz)(x+Py+Qz) =
^x* + KPy*+NQz* + (P+K)xy+(Q+N)xz+(KQ+NP)yz.
Получаем для определения К, Р, N и Q две простые
системы:
m?=i,
N+Q= — 1
и равенство KQ + NP——1, связывающее решения этих
систем.
Из первой системы находим:
K=—j 2~i, P=—Y+~2~'
или наоборот. При выборе решения второй системы у нас
тоже появляются две возможности, однако условие
KQ-{-Np= —1 заставляет выбрать из них одну:
N--4+!?/, Q—I-*?*.
f №-1, I
\/С+Р=—1; \

282 решения [7.11
Второй способ. Обозначим у—z = a, z—x — b,
х~у = с. Заметим, что а-{-Ь + с — 0 и поэтому а-\-Ь — — с
и (с + Ь)ь -+- с5 = 0. После возведения двучлена а + Ь в пятую
степень получим
а8 Ч- 5а4* +10аяЬ* + \0а*Ь* + ЪаЬх ~ Ьъ + съ = 0,
или
аъ + Ъъ 4- сБ = — bob (as+2аЧ + 2 abz + b*).
Выражение в скобках преобразуем, имея в лиду
соотношение а + Ь = — с:
а3 + 2asb 4- 2а6* + #>,= (о3 4- *>3) + 2а26 4- 2аЬ2 =
= (о + 6)(йа — об + Ь2) + 2о6 (а 4- Ь) = (а 4- Ь)(а2 4- ofc + &s) =
= —с{а* + аЬ + 1г).
Трехчлен a2 4-ей 4-*8 раскладывается на множители
стандартным методом (см. задачу 7.9). Окончательно получаем
аб + йб + с8 = 5айс(а4-1~'2ТЛЗь)(а + 1+'2ТАЗ&).Теперь
осталось подставить вместо а, Ь, с их значения.
Ответ. 5 (х~у) (z-x) (y-z) \х — (~ + ^ l)y +
7.11. Обозначим
Возведем в куб (при этом равносильность не нарушится).
Получим
Произведение корней преобразуем так:

7.13] ГЛ. 7. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 283
выражение в скобках равно 2. Придем к уравнению
г8 — 5* —12 = 0.
Так как 2 = 3— корень этого уравнения, в чем убеждаемся
проверкой, то преобразуем уравнение к виду
2s — 9z + 4z— 12 = 0, или (z — 3)(z* + 3z + 4) = 0.
Уравнение zz + 3z+4 = 0 не имеет действительных корней.
Следовательно, 2 = 3, что и требовалось доказать.
7.12. По условию а+*=—с. Возведем в куб
а? + 1г*+ЗаЬ(а + Ь) = —с3
и заменим а-\-Ь на —с. Получим
а3 + #»+с8 = Зо&с.
Возведем а-{-6-J-с = 0 в квадрат
а2 + Ь2 + с2=—2(аЬ + ас + Ьс)
II еще раз возведем в квадрат
a* -f 6* + с4 + 2 (а2Ь2 + а2с2 + Ь2с2) =
= 4 [eafcs + а2с2 + ЬЧ2 + 2 (а26с + ^ас + с2аЩ].
Поскольку
а2Ьс + Ь2ас + с2аЬ = abc (а + Ь + с) = О,
то
а* + 6* + с* = 2 (a2fc2 + а?с2 + Ь2с2).
Преобразуем левую часть тождества, которое нужно доказать:
аь (Ь2 + с2) + Ъъ (а2 + с2) + сБ (а2 + Ь2) =
= а2^ (а8 + А3) + а2с2 (а3 + с3) + &с2 (ft8 + с3).
Заменим a'-j-fr3 на За&с— с3 и поступим аналогично с
остальными скобками:
аЧ2 (ЗаЬс — с8) + ozc2 {3abc—b3) -f Ь2с2 (Зобе — а8) =
= — е2*2с2 (с -f- й + а) + Забс (а2*2 + с2с2-(-62с2) =
~~ 2 '
что и требовалось доказать.
7.13. Если данное равенство доказано при х^О и
любом у, то оно верно для всех х и у. Действительно, пусть

284 решения [7.1}
х < 0. Тогда левую часть можно записать в виде
\-(х+У)\ + \-(х-у)\ = \(-х)-у\ + \{-х)+у],
а правую — в виде
\~(x + Vx^f)\ + \-(x-Vx^)\==
• '=\{-x)-V(-x)*-y2\ + \(-x)+V(T*)*-y*\ ■
Поскольку —а->0, то равенство стоящих справа
выражении доказано.
Итак, пусть лг^О. Рассмотрим два случая: |j>J^a и
\) а->0, \у\^х, т. е. — х<_у<х. Тогда х2— />0
и Х^х"—у-—неотрицательное действительное число. Кроме
того, а-^]Лк2—У2 и рзвенство примет вид
х-\ у -|- х —у = х + У'х2 —у2 -\-х—Ухг —у2, т. е. 2лг = 2л-.
2) л-^0, 1_у| > х, т. е. _у <—л- пли у > А". Левая часть
равенства в этом случае равна 2|_у| (случаи у <—х iij/> x
разберите самостоятельно). Таккак |,у|>*, то J/jc*—У2 =
—' КУ2—-К2! следовательно,
= | л- + / К/—*21 +1 д?—IУУ2— л-21 =
= Ух2-{-у2—х2-\-Ух2-\-у2—Xs = 2 |у |.
Тем самым доказательство тождества закончено.
7.14. Так как обе части равенства неотрицательны, то
можно каждую нз них возвести в квадрат:
(l-^-v^l+l^+v^l)*-
-{^--VTyy+(^.+vXyy+2\(^y-xy\.
Осуществим действия, указанные в скобках, и заметим, что
Ш^~У^ху. Получим
& + 2ху+у*.

8.3] гл. 8. делимость многочленов, теорема безу 285
Если возвести в квадрат правую часть, то получим
х* + 2\ху\+у*.
Так как по условию ху = \ху|, то равенство доказано.
Глава 8
ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ. ТЕОРЕМА БЕЗУ.
ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ.
8.1. Положив х—5 =у, приведем уравнение к виду
№+{>-!)•-*.
или
(2у+1)* + (2д,— 1)*= 16,
откуда после простых преобразований
16>*-f-24y2 — 7 = 0.
V~7
Ответ. xlii = 5±i-L2-; x3 = 4,5; *4 = 5,5.
8.2. Перемножим попарно первую и третью скобки и две
оставшиеся:
{\2х3 + 11х + 2) (\2х2 + Пх — 1) = 4.
Обозначим
получим
откуда
l2x*+Ux + ^ = y,
5 5
У1=—J. Л=Т
Остается решить два квадратных уравнения.
Ответ х ~"±'/Ю . х _-П±УШ
8.3. Запишем уравнение в виде
jc2 —17 = 3/

286 решения {8.4
и рассмотрим случаи х = ЗА, х = ЗА±1. В первом случае
левая часть примет вид 9й2—17 и не будет делиться па
три. В остальных двух случаях в левой части получим
.9ft2 ± 6ft—16,
что снова не делится на три. Поскольку правая часть всегда
делится на три, то уравнение не имеет целых решений.
8.4. Решим уравнение относительно х:
х = 3у± J/100—4у2 = Зу ± 2]/25— у*.
Так как уравнение имеет действительные корни лишь при
25—/>0, т. е. |у|<5,
то остается перебрать все значения,)', для которых ]/25—у2 —
целое число: у = 0, у = ±3, J» = ±4, .у — ± 5. Для каждого
значения у найдем два значения х.
Ответ. (10; 0), (-10; 0); (-1; —3), (-17; —3); (1; 3),
(17; 3); (-6, -4), (-18; -4); (6; 4), (18; 4); (-15, -5),
(15, 5).
8.5. По определению деления имеем тождество
х™ +ха + 10х + 5 = Q(x) {х* + I) + ах-{-Ь,
которое справедливо всюду в области комплексных чисел.
Так как частное Q(x) нам неизвестно и оно нас не
интересует, то в качестве значения X нужно выбрать один из
корней выражения х2+1, например x = i. Подставив x = i,
получим
,-о» -j. /8 + 10/ + 5 = ai + b,
т. е.
8i + 5 = ai + b,
откуда о = 8, 6 = 5.
Ответ. 8лг-Ь5.
8.6. Подставим корень 1 +1^3 в данное уравнение.
Получим
3(1 + V3)s+a(l + V3)a + b(l+V3)-\-12 = 0.
Раскроем скобки и соберем все члены, содержащие ^3i
42 + 4с + * + (18 -f 2а -f- Ь) ]/"3 = 0.

8.7] гл. 8. делимость многочленов, теорема везу 287
Это равенство может выполняться лишь в том случае, если
одновременно
42 + 4а + 6=0,
18 + 2а+& = 0.
Решая эту систему, найдем "а и Ь.
Ответ. а== —12, b = 6.
8.7. Подставим в данное уравнение # = ]/3 + 1. После
простых вычислений и преобразований получим
36 + 1 Оа + ЬЬ + (22 + 6а + 2Ь) "j/З = 0.
Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а
другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба
числа равны нулю:
36 + 10а + 4& = 0,
22 +6а + 26 = 0.
Решая эту систему, найдем а = — 4, 6 = 1. Поскольку
уравнение
**—4лН> + *2+6#+2 = 0
одним из своих корней имеет число l/3 + l, а все
коэффициенты уравнения — целые, то наряду с этим корнем должен
существовать и корень вида kQfb — 1), где k—целое.
Подставим это значение х в уравнение и соберем отдельно
рациональные и иррациональные члены. Получим систему двух
уравнений относительно k
14/s4 + 20fts + 2A!2—3fc + l=0,
16Л4 + 24fes+2fc2—6k = 0.
У первого уравнения в качестве целых корней могут
выступать только ± 1. Проверкой убеждаемся, что k = —1
удовлетворяет обоим уравнениям. Следовательно, д:=
1—\^3—второй корень данного в условии уравнения.
Разделив многочлен х*—4x3-{-xs-\-6x-{-2 на
(х— ]/3—1) (* + /3 — l)=jta—2x—2,
получим квадратный трехчлен х2—2х—1, корнями
которого являются числа 1 ± V%-
Ответ. *1)2 = 1 ± УЪ; хйЛ = 1 ± У 2.

288 решения I8.b
8.8. Из теоремы Внета получаем неравенства:
f fi + 4>0,
\ я + 1 <0.
Добавляем к ним условие неотрицательности
дискриминанта:
(а+1)2—4(я + 4)>0.
Приходим к системе неравенств
' о>-4,
• о< —1,
а*—2я —15^0.
Последнему неравенству удовлетворяют числа а, лежащие
вис промежутка между корнями: <7^—3, а ^5.
Ответ. —4 < а^ — 3.
8.9. Пусть д^ч x^i и л\<?2—корни данного уравнении.
По теореме Виета имеем систему
[*i +Х\<? +х1д2 =—а,
\х\ч + хЪ? + х\д* = Ь,
x*q3 = —с.
Из этих уравнений нужно исключить хг и q. Поскольку из
первого уравнения следует
*i0+? + **) = —«,
то второе примет вид
b=x\q{\ +q + q2)=X1q( — a)i
b
т. е. xtf = , откуда
а3 ~
Ответ. са^ — Ь%.
8.10. По теореме Виета
а1 + а2 + а3 = 0.
ед + ajOs + а.2аз =р,
a^Os^—q.

8.12] гл. 8. делимость многочленов, теорема безу 289
Возведем первое уравнение в квадрат:
а!+а?+<4+2 (а^ + а^ + aj%) = О,
откуда найдем aj-f-al + ai- Как видим, последнее уравнение
не понадобилось.
Ответ. «! Н-aJj + «!=—2р.
8.11. Разделив х3-\-ах-\-\ на х—а, получим в частном
.v2 4- ах + а 4- а2, а в остатке а3-\-аа+1. Условия задачи
будут выполняться тогда и только тогда, если
а? + аа+\=0,
Xs -{- ах -{- а + а? > О при всех х.
Чтобы выполнялось второе условие, дискриминант —За2—
— 4а должен быть отрицательным, т. е. За2 4- 4а > 0. Из
первого уравнения а = ^—. Поэтому должно быть
3a2_4i+^.>0.
ОС ^
Если а^> 0, то последнее неравенство эквивалентно такому:
За3—4(as+l)>0,
или —а* > 4, у которого нет решений.
Число а не может быть равно нулю, так как уравнение
а3-|-лес 4~ 1 = 0 не удовлетворяется при сс = 0.
Если a < 0, то получим
За3—4 (ос3 4-1 )< О,
или —а3 < 4, а > — 1^4.
Ответ. — j/4<a<0, а = —Ц^-
8.12. Пусть
Р{х) = {х—2) (х—3) Q (дг) 4- ax + b,
где ax-\-b— остаток, который надо найти.
По теореме Безу Р{2)=5, а Р(3) = 7. Подставим х — 2
н х = 3 в правую часть написанного выше тождества.
Получим систему относительно a w b
[2a + b = 5,
\3a4-^ = 7» откуда « = 2, 6 = 1.
Ответ. 2x4-1-
'О Е. Б. Ваковский, А. А. Рывкпи

290
РЕШЕНИЯ
[8.13
8.13. Многочлен jc*-f 1 делится на х2-\-рх+д тогда
и только тогда, если
х* +1 = (х- + ах + Ь) {Xs +рх+q).
Раскрывая в правой части скобки и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему
уравнений
р + а = 0,
Я+ ар + Ь = 0,
ад + Ьр = 0,
bg=>\.
Из первого и последнего уравнений находим а =—р, 6 = — .
Подставляя в оставшиеся два уравнения
' 9-Р* + ± = 0,
. -#v+f-o.
Второе уравнение можно переписать так: р( д ) = 0.
Если р = 0, то первое уравнение не имеет
действительных решений. Остается д = —, т. е. у=±1. Подставляя
найденные значения д в первое уравнение, увидим, что,
когда д=\, р^ — Ъ и p — ±V2, а когда д=— 1,/>*=-—2
н действительных решений нет. Итак, получаем две
возможности: либо р = ]/2 и ?==1, либо р = — ]/2" и ?=1.
Чтобы закончить решение, нужно сделать проверку. Можно
было бы разделить #* +1 поочередно на каждый из двух
трехчленов: Xй + V2x +1 и л:2—1/"2"а:+ 1. Однако проще
убедиться, что
**4-1 =(лг2 + 1/2 дг+ Щ*8—!/!*+1).
Ответ. рг = —У2, gt = \; P2 = V^, ?a = 1-
8.14. После замены х— 1=у получим многочлен
(д, + 1)2«+1_(2й-f 1) 0» + l)«+i + (2« +1) СУ +1)"—1.

8.16] ГЛ. 8. ДЕЛИМОСТЬ МНОГОЧЛЕНОВ. TEOP.EMA БЕЗУ 291
который должен делиться на у3. Вычислим его коэффициенты
при у0, у1 и у2.
Свободный член этого многочлена равен
1 —(2/2+1)+ (2я+1) —1=0;
коэффициент при у
2л+1 — (2/2+1)(л+1) + (2л+1)я = 0;
коэффициент при у*
(2n+l)2n_(2B+1)iM^+(2w+1)iLin-n==
= -^^-(2л—л2—я+яа—я) = 0.
Тем самым утверждение доказано.
8.16. Трехчлен хъ-{-х+\ имеет различные корни
—2 ± *'• Нужно найти такие я, когда эти числа
являются корнями данного многочлена, т. е.
-G±W-(-*±-£0"-1-*
Числа —-2-'^=2~ н ~2^^~1—К0РНИ двучленных
уравнений*8— 1=0ил3 + 1=0, т. е. Г—j±.^i) = 1,
(i±J?,)'--«.
Поэтому рассмотрим случаи я = 3й, я = Зй+1, я =
= 3fe + 2.
Если я = 3й, то
{i±t?i)--(-i±*?,)~-t-l-»-v-i+c.
Если « = ЗА+1, получим
.-ii'(^¥.)-(-i±?f..
10*

292 - решения [8.16
Когда ft = 2m, то
а когда fc = 2/»+l, то
Если л = 3ft + 2, приходим к выражению
-(-..•(-^'НЧ*-*?'-)-1-
Убедитесь сами, что для четных k = 2m это выражение не
обращается в нуль, а для ft = 2/w-+- 1 оно равно нулю. Итак,
n = 3ft-f 1, где k = 2m, и л —3ft-f2, где ft = 2/»+l.
Ответ. я = 6/» + 1| л = 6от-|-5, /» = 0, 1, 2, ...
8.16. Чтобы данный многочлен делился на x2 — x-\-q без
остатка, до'лжно выполняться тождество
6л-4—7х* +рх2 + Зх- Н- 2 = (*г—л; + д) (6х2 + ax + t>).
В правой части стоит многочлен
Ъх* + (а—6) ж3 -+- (6 — а+Qq) xi + (— &+qa) x + qb.
Так как многочлены равны тождественно, получаем систему
( в-6= 7,
1 b-a + 6q=p,
] -b + qa*=S,
( qb = 2.
Из первого уравнения я = -—I. Из третьего и четвертого
уравнений исключаем Ъ. Приходим к уравнению
^+39 + 2 = 0,
откуда
qt = —\, 92 = —2.
Сложив второе и третье уравнения, также исключим Ь:
5q—2=p.

ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 293
Следовательно,
Pi = —7, р2 = —12.
Итак, возможны два решения.
Ответ. (р1=— 7, Г/>2 = — 12,
Глава 9
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
Ответы к упражнениям
1. Абсолютное тождество, так как верно при всех без исключения
значениях х.
2. Абсолютное тождество. Верно при х ф-^ +Ая. Если же *=
=-=- + Ля, то обе части теряют смысл.
3. Неабсолютное тождество. Область определения левой части:
, я . . - » , кл
х ^ -д- -f-fot, область определения правой части: х ф -^-.
4—6. Тождество 4 является абсолютным, поскольку это
определение секанса. Тождества 5 и 6 неабсолютные, так как правые
части определены всегда, в то время как левые могут терять смысл.
7—8. Тождество 7 абсолютное. В самом деле, левая часть те-
ряет смысл при cos-n-=0. Правая часть может быть записана
sin х х
в виде — , т. е. тоже теряет смысл при cos-^-=0.
2 cos2 -=-
Тождество 8 иеабсолютное. Левая часть теряет смысл при
cos-jj-=0, а правая, которая может быть записана в виде
1 — cos*
1с х~'
2 sin у cos -2-
X X
перестает существовать как при cos-~-=0, так и при sin-^-=0.
9—JO. Левую часть равенства 9 можно преобразовать так:
cos 2x cos 2x
ctg2* =
sinfy 2 sin x cos x'

294
РЕШЕНИЯ
а правую записать в виде
- sinax
cos8*
2 sin x '
cos*
Обе части этого равенства перестают существовать одновременно,
если либо cosx=0, либо sinx=0, следовательно, тождество 9
абсолютное.
Тождество 10 является неабсолютным, поскольку при х=
=-=-(2л + 1) левая часть равна нулю, а правая теряет смысл.
11—13. Первое из этих трех тождеств неабсолютное, второе и
третье—абсолютные.
14—16. Первое и второе тождества неабсолютные,
третье—абсолютное.
В самом деле, для первого область определения левой части:
х > 0, у > 0; х < 0, у < 0, а область определения правой части:
* Ф 0; у Ф 0. Для второго область определения левой части х Ф 0,
а область определения правой части х > 0.
Наконец, для третьего х ф 0 для обеих частей тождества.
17. Пусть х=а—корень данного уравнения. Тогда
/(а)=(р(в).
Поскольку $>{х) существует при всех х, то яр (а)—число;
следовательно,
f(a)+4,(fl) = <p(o) + 4>(e). (*)
Таким образом, к=а—корень уравнения
/(ж)-М>(*)=Ф(*)+1М*). (**)
Обратно: если х = а—корень (*#), то имеет место равенство (*),
а потому х = а—корень уравнения / (х) = <р (х).
Вторую часть теоремы доказывает пример. В самом деле,
достаточно рассмотреть два уравнения:
х-1=0 и ж_1+_1т=_1т,
первое из которых имеет единственный корень х=1, а второе вовсе
не имеет корней, так как при х = 1 оно теряет смысл.
18. Доказательство аналогично 17. Даже пример можно взять
тот же самый.
19—19а. Для доказательства достаточно заметить, что
посторонними для данного уравнения могут быть те корни уравнения
f(x)=<j?W,
для которых ф(х) либо не существует, либо обращается в нуль.

9.2] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 295
\ g (*)> ^ (*) существуют; I g {х), <р (х)
(£(*)=Ф(*)=0, lg
\ f(*), ^ (*) существуют; J /<
20. Если /(о) = ф(а), то [/(a)]2=[<p(o)Js. Обратно: из второго
равенства следует, что либо /(а)=ф(с), либо f (о)=—ф(<0-
21. Система равносильна совокупности четырех систем:
7(*)=Ф(*)=0, ff(x)=q(x)=0,
существуют.
р{х), <р(ж) существуют.
9.1. При *<— 2 получим
—* + 2я + 2 — Здг — 6 = 0,
т. е. лг = — 2, что противоречит предположению. Таким
образом, при х < — 2 уравнение не имеет решений.
При —2^лс^ — 1 получим х — — 2.
При — 1 < х ^ 0 уравнение обращается в ложное
числовое равенство 4 = 0. На этом интервале нет решений.
Наконец, при X > 0 получаем X — — 2, что снова
противоречит ограничению.
Ответ: #= — 2.
9.2. Пусть х2 = у. Тогда
U-9| + |t/-4| = 5.
Точки у = 4 и у = 9 разбивают числовую ось на три
интервала.
Если у < 4, уравнение примет вид
9-0 + 4-0 = 5,
откуда 0 = 4. Это значение не принадлежит выбранному
интервалу.
Если 4^0^9, то знаки абсолютной величины следует
раскрыть так:
9—0+0 — 4 = 5, т. е. 5 = 5.
Так как уравнение обратилось в верное числовое
равенство, то все значения у из отрезка 4 ^0^9 являются
решениями.
При у > 9 получим
0-9 + 0-4 = 5,
т. е. # = 9. Здесь снова нет решений. Вспоминая, чтоу = х2,
запишем
4<*а<9,

296
РЕШЕНИЯ
[9.3
пли
2<|*|<3.
Ответ. — 3<jc<—2; 2<jc<3. .
9.3. Первый способ. Дополним стоящую слева сумму
квадратов до полного квадрата:
( Зх V
3+х
т. е.
-7 = 0,
Ш8+6зТ-,-7=°.
откуда получаем совокупность уравнений:
= — 7 ■-■■■ = 1
3+х ' 3+х
рво
I± УТЗ
Корни первого: Jc1)2 = _—*— ; корни второго:
~3,« — „ . Так как значения лг =— 3 среди корней нет,
то это и есть корни исходного уравнения.
Зх
Второй способ. Введем новое неизвестное: к-,— = ui
или Зх = 3и + хи.
Получим систему
I х2 + и2 = 7,
\хи = 3(х —и).
Вычитая из первого уравнения удвоенное второе, придем
к уравнению относительно х—и
(х—и)2 + 6 (х — и) — 7 = 0,
откуда следует совокупность двух уравнений:
х—и = — 7, х—и=1.
Решая первое, получим
- ~ _ а* _ 7 *- — —1±±V&>
~ 3+х
а решая второе, найдем
3* -1 *■ _1±_£Ш
3+х

9.5] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 297
Ответ.
_-7±f /SB. 1 ± УТЗ
*i,a 2 ' *3,4— 2
9.4. Возведем данное уравнение в куб:
Зх—3 + 33i/x(2x — 3)(Ух+1/2х~ 3) = 12(* — 1).
Стоящий в скобках двучлен заменим правой частью данного
уравнения и приведем подобные члены:
3 У х(2х—3) £/12 (*— 1) = 9(лг— 1).
Такая замена может привести к появлению посторонних
корней. В самом деле, при возведении а~\-Ь = с в куб мы
получаем равенство, справедливое при всех тех же значениях
а, Ь и с, что и данное равенство. После замены же мы
получим
a3 + b3 + 3abc = cB.
Это равенство удовлетворяется при а = й=1, с = —1, в то
время как исходное равенство а-\-Ь — с при этих значениях
букв ложно. Следовательно, мы должны завершить решение
проверкой.
Возведем последнее иррациональное уравнение в куб.
После сокращения получим
4х {2х—3) (дг — 1) = 9 (х— 1 )s.
Один корень этого уравнения xt=\; остается квадратное
уравнение
х2—6лг+9 = 0, лгг,з = 3.
Сделав проверку, убеждаемся, что найденные корни
подходят.
Ответ. Х1 = \\ Аг2|8=3.
9.6. Пусть у/629— x'=u, yn + x = v. Придем к
системе
ц* + «4 = 706,
и-\- w = 8.
Это — симметрическая система, ее обычно решают
подстановкой: u-$-v=s, uv=t. Поэтому преобразуем левую

298 решения [9.6
часть первого уравнения:
н* + г»4 = («" + ф2)2 — 2и V = [(и+vf — 2uvf—2uW =
= (64 — 2ff — 2r2 = 642—256* + 2i*.
Поскольку все это равно 706, получаем квадратное
уравнение
t* —128/ + 1695 = 0,
откуда
/1=1б, *, = ИЗ.
Остается решить совокупность двух систем:
u-f© = 8, ju + v = 8,
uv = \5, \ их» =113.
Решая первую, найдем vr = 3, г>а = 5, откуда дгх = 4, дг2 = 548.
Вторая не имеет действительных решений.
Проверкой убеждаемся^ что найденные корни
удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ. хх = 4\ д:2 = 548.
9.6. Введем новые неизвестные:
1/х* — 34дг + 64 = ц, Ух*—34л: + 83=т;.
Получим систему
( и —©=1,
\цБ—г/5 = 31.
Обозначим u + v=p. Так как, в силу первого уравнения
системы, в—«=1, то и = £±^, ©=£=!. Второе
уравнение системы примет вид
№'-№-«•
или после очевидных упрощений
pi + 2ps—99 = 0.
Это биквадратное уравнение имеет два действительных корня:
рг — — 3, ра = 3. Зная рх и р2, найдем иу*=—1, иг = 2,

9.8] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 299
откуда получим два уравнения для определения значений х:
Xй—34* + 65 = (ГГ л2—34лг + 32 = 0.
Решив эти уравнения, найдем четыре корня.
Ответ. л:1)2= 17 ±1/257; x3ii = U±V224.
9.7. Введем новые неизвестные:
• и= \/а—х, v=Yx—&>
т. е. и* + ©* = а—Ь.
Получаем систему
{и4 + 1)*=а—Ь,
о*и+ц*ц а—Ь
u+v ~ 2 *
Заменяя во втором уравнении а—Ъ на и4 + 0*, получим
u+v ~ 2 '
откуда
ub+vb—uvl— и*г> = 0, где u + v=^0,
т. е.
а4 (в—©)—«*(и—v) = 0,
а потому
(u—vf (и2+©2) (и+v) = 0.
Так как последние два множителя в нуль обратиться не
могут, то остается
u = v, т. е. а—х — х—Ь,
и, следовательно,
*——g-.
Проверкой убеждаемся, что это — корень исходного
уравнения, если a > Ь.
Ответ. При с>& jtr=^i—.
9.8. Обозначив ]/я -|- Jf =j>, получим систему уравнений
jV^+x=y, JG+*=j>a
Ъ лГ—!— или < „
I К « —J» = Jf, \a—y=x*.

300 решения [9.8
Вычитаем из первого уравнения второе:
х+У = {у—х)(х+у).
Если х + у = 0, то х = у = 0, поскольку и х, и у
неотрицательны. Так как у = ~\fa -f-х, топзх = у = 0 следует, что
о = 0. Проверкой убеждаемся, что найден корень данного
уравнения. •
Если х + у^1=0, то у—х — 1 =0., откуда l+x = Va-]-x
и х2-\-х-\- 1 — 0 = 0. Решая квадратное уравнение, найдем
— 1 ± У 4а—3 „
a1i2 = ^ . Остается исследовать, при каких
значениях а эти корни вещественны и удовлетворяют исходному
уравнению.
Во-первых, необходимо, чтобы дискриминант был неотри-
цательным, т. е. aZ^-j-.
Во-вторых, корень данного уравнения не должен быть отрн-
„ ,. — 1— УьГ^З _ 3
цательным. Один из корнейxz = —■ ^ при всех а^-т
отрицателен, а потому не подходит. Другой корень хх =
= п °~ больше или равен нулю, если ]/4а—3^=1,
т. е. а~^ 1.
« « —1-Ь]АЙГ^З
Проверкой убеждаемся, что хг= —к
удовлетворяет первоначальному уравнению. В самом деле,
подставляя хг в это уравнение, получим
V.
а — у а 4- A'i = xlt
что выполняется одновременно с равенством
а — V а -\- хг = х\,
так как xt ^ 0. Значение х1 было найдено из уравнения
У а-\- х = 1 -{-х. Поэтому можно осуществить в полученном
нами равенстве соответствующую замену:
а — 1 — х± = х\.
Так как в результате мы пришли к уравнению, из которого
определили xlt то проверку можно считать законченной.
Ответ. х = 0, если а = 0, и х=~~ „ °~ , еслио^!.

9.10] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 301
9.9. Перенесем У\х\ в правую часть уравнения:
У\^\ + Т=а+У\Г\,
и возведем обе части в квадрат. Получим
\=а? + 2аУ\х\,
откуда при афО
К 1*1— 2а ' 1*1- 4а* ' * —± 4а* *
Делаем проверку, подставляя найденное значение X в данное
уравнение. В левой части получим
l/V— l)a+4a3 -J /"(а*— I)8 _ д»+1 |аа—1|_
Г 4аг К 4а2 ~~ 21 а | 21 а |
а«+1 |(д+1) (а-1)|
~2|а| 2|в|
Чтобы вычислить это выражение, нужно рассмотреть
четыре различных случая, так как значения —1, 0, +1
параметра а разбивают числовую ось на четыре интервала.
Однако легко заметить, что а > 0, так как разность, стоящая
в левой части исходного уравнения, всегда положительна.
Следовательно, остается рассмотреть только два случая.
Если 0 < а ^ 1, то
а8+1ч |оа—1| _ д2+1 — t+tf» _
2|а| 2|а| ~~ 2я ~а'
Если же а > 1, то
о2+1 )а«— 1|_а»+1— aa+l_ 1
2\а\ 2|й| — 2а а '
Число — равно числу а только при а — ± 1, а по
предположению а > 1.
Ответ. х = ±
9.10. Рассмотрим два случая
Если 5
уравнение
Отвег. л; = ± * ^'", если 0 < а ^ 1.
. J Дв
Если 2х2—Ъх—2>0, т. е. лг<—J-, л; > 2, получим
4jta+5*—2(1 + Р) = 0.

302
РЕШЕНИЯ
[9.10
Корни этого уравнения xltS = =-^—~—£ должны ле-
ь вне интер
Неравенство
8
жать вне интервала (—"о-. 2).
—5—У57+32Р ^ J_
8 ^2
57
удовлетворяется пои р-^—-^-. Больше двух этот корень
никогда стать не может.
Для хг нужно решить два неравенства:
-5+V57+32R^ 1 -5+)/57+32р.^0
8 ^~"2~' 8 ^
57 7
Первое выполняется при —jg^P;^—-, а второе при
Р^ 12.
Пусть тепеоь 2х* — Ъх — 2<0, т. е. — -^ <х <2.
Данное уравнение станет линейным и мы найдем
Решим неравенство
и получим
57
Итак, при Р = — gg корни хг и хг совпадают, а корень хэ
не существует, т. е. уравнение имеет единственное решение
с с^ 7
jc = — -g-. Если —gs<p< — -г, то уравнение имеет два
7
решения: хх и *2; если — -j < р < 12, то ^ и л,; а если
Р ^t 12, то два решения: дгх и х2.
Остается проверить, что хх и хъ не равны при —^ <
< Р < 12, в чем легко убедиться непосредственно;
Ответ. Р = — од.
*3 11 •
2 ^ 11 <**
_1<Р<12.

9.12] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 303
9.И. Если х^О, у^О, то получим систему
(y-2x + S = 0, /*i = 2,
{ ,+*-3=0, °ТКУДЗ \У1 = 1.
>0, j><0, то
j y-2x+2=0, f*2 = 0,
\-у+х-з=о, откуда 1Л—j
Если х^О, у^.0, то
j y-2x+2=0,
\-у + х-3 = 0, °Т
Если х^.0, у^О, то
\ у+х-3 = 0 °ТКУДа {^==9.
Если дг^О, д>^0, то
{-, + ж-8 = 0| °ТКУДа b4 = -3.
Каждое из четырех решений 'удовлетворяет записанным
ограничениям.
Ответ. (2, 1); (0, —3); (—6, 9); (0, —3).
9.12. Исключая последовательно у и х, найдем
_fe+16 _8—3fe
х— ^ , у— у .
Остается решить систему неравенств
/Л+16. 1
7
8—3fe
т. е. 1 R
>0, [ *<-§-.
7
Первое неравенство равносильно такому:
(k+8+УП) (ft + 8—1/7Г) ft > 0.
Приходим к системе
-8—Vr7T<ft<0, A> —8+1^71
*<т-
Так как —e-J-j/^l <-о-, то условию задачи
удовлетворяют два интервала.
Ответ.. —8 —1^71 <ft<0; _8+l/7f <*<-j-.

304 решения [9.13
9.13. Если х^—у и х^у, то получим систему
х+У = х—у + а,
_ а
~~ 2
2 *
которая имеет решение
Jt>i
при условии а = — Ь.
Если х^—у, но х^.у, то
Г х-\-у = х— у + а,
\у—х = х+у-\-Ь,
т. е.
а
х = J--
Из условия А'^—у находим —-
-£-, а из второго \ с-
ловия: а"^Т" *"^a эт" неРавеиС7Ва соответствуют усло-
liho a^\b\.
Если jf^— j/, a a-^j^.to
J— л-— .у = лг — у + а,
I x—y=x-\-y + b,
т. е.
л;— 2 ,
Подставляя найденные значения х и у в ограничения,
получим Ъ~^\а\.
Наконец, если дг^—у, х<^.у, получим
— х—у=х—у-\-а,
l у — х*=х+у + Ь,
т. е.
X— 2 >
Это значит, что а — Ь. Так как_у^лг, но .у^—лг, то
— лг^О. Окончательно получим при а = Ь~^0
х— 2 ,
а ^ ^ а

9.14] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 305
Ответ. При а — — Ь, х~^
И
ъ
а
при
при
а.
при
■Ь>0,Х = -±,-±<у^а
2 ' 2 -^-г-*** 2 "
9.14. Уравнение хг -{-у2 = а при а < 0 не имеет решений.
Если а^О, то это — уравнение окружности радиуса у а.
Второе уравнение определяет стороны
квадрата, диагонали которого
равны 2 и расположены на осях
координат (рис. Р.9.14).
При увеличении а окружность
будет увеличиваться и сначала
окажется вписанной в квадрат,
затем пересечет его в восьми
точках и, наконец, будет описана
около квадрата.
Итак, если у а < -L^-, то
система не имеет решений.
Если |/а = ^-=-, т. е
1
пая:
__1_
X— 2 ■
Рис. Р.9 И.
а = -„-, получим четыре реше-
три симметричных: (—=-, -у! ■
(_1 _Г\ (1 -±)
V 2' 2 У ' V 2 ' 2 / "
Если -=-<п<1, то восемь решений. Мы найдем их,
возведя первое уравнение в квадрат и получив с помощью
второго уравнения, что |-*|-|_у| = —д—. В результате придем
к системе
{\х\-\У
2
1-е
2
1 = 1.
которая при положительных х и у имеет два решения:
'*1 = 1(1+уг2^ГГ)1 1^ = 1(1-1/2^11),
_Л = 4-(1-'^2^гТ), {^ = 1(1+1^^^)/
К этим решениям нужно добавить шесть симметричных.

306 решения [9.15
Если а = 1, то у системы четыре решения: хг = 1, у\ = 0;
*г=0, 3>2 = 1; *s = —l,3's = 0; *4 = 0,.у4 = —1. При в> 1
решении нет.
9.16. Если либо je = 0, либо у = 0, то второе неизвестное
тоже равно нулю. Получаем очевидное решение
Ьх = 0.
Если хуфО, то можно первое уравнение разделить на
лгу, а второе—на х2у2. Получим систему
{
*+|+.V+!=18,
^ + ^•+^+•7 = 208.
Введем обозначения:
Возводя каждое из этих равенств в квадрат, получим
х*+± = и*-2, / + ^ = г>*-2.
Система примет вид
( и+© = 18,
\ i^ + t^»212.
Решая ее, найдем: «! = 4, ^ = 14; иа = 14, г/4 = 4. (Если
первое уравнение возвести в квадрат и сравнить со вторым,
то получим uv=>56.)
Остается решить две системы:
>+} = 14. J >+} = *.
в результате чего получим восемь решений.
Ответ. (0, 0); (2+/3, 7 + 41^); (2 +\/~3, 7-41/3);
(2-1/3, 7+41/3); (2-1/3.7-41^3); (7+41/3, 2+1/3);
(7+41/3, 2-1/3); (7-4/3, 2+1/3); (7-41/3. 2-1/3).

9.1 в] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 307
9.16. Из первого уравнения находим
у —z=xy — х.
Подставляя во второе, получим
хг — 2 (х—ху + х),
т. е.
л* = 2* (г—;;).
Если х = 0, то система принимает вид
0=y-z,
0 = 2 (z—у), т. е. y=z и у2 = 6у.
yz = 3(y+z),
Получаем два решения системы:
*1 = °. Г *г = 0,
Л=°. { >2=6,
Если лг^О, то г = 2 (2—j»). Подставляем во второе и
третье уравнения
{# = лгу — Зу + 4,
7у —2/=—Здг+12.
Подставим х из первого уравнения во второе:
7у—2уа= —Злу + 9.у.
Если ^ = 0, то получаем еще одно решение:
*8 = 4,
= 4.
Если у фЪ, то 3*—2у = 2, откуда х = -^^^ .
Подставляем в первое уравнение последаей системы уравнений,
которое превращается в квадратное уравнейие
относительно у.
2уа—9^+10 = 0,
с
откуда у4 = 2, з»6 = у. Делаем проверку.
Ответ. (0, 0, 0); (0, 6, 6); (4, 0, 4); (2, 2, 0); (-J, -§-, —l) .
{

308 решения [9.17
9.17. Возведем уравнение х-{-у =—г в квадрат:
x2+y* + 2xy = z*,
и сравним со вторым уравнением системы; найдем ху = —10.
Преобразуем сумму х*-\-у* из третьего уравнения
следующим образом:
д:* +з»* = (х* +у*)2—2*У = (20 + *в)а—200,
где на последнем шаге были использованы второе уравнение
системы и найденное значение для ху. Подставив это
выражение в третье уравнение системы, получим
га = 9, т. е. z = ±3.
Остается решить каждую из систем:
( х+у^З, ( х+у=—3,
\ лгу =—10; \ ху ——Ю.
Производим проверку.
Ответ. (—2, 5, —3); (5, —2, —3); (2, —5, 3); (—5, 2, 3).
9.18.' Третье уравнение можно записать так:
(x+y)(x*-xy+y*) + (z-\)(z*+z+\) = 0.
Из первого уравнения мы знаем, что x-{-y — l—z. Поэтому
(1 — z) {х2—ху+у*—z2—z — 1) =» 0.
Если 2=1, то х+у = 0. Тогда из второго уравнения
получим ху = —4. В итоге—два решения:
(
х1 = 2,
Л =-2,
*! = !,
*,=—2,
Л =2,
г, = 1.
Если же 1—гфО, то
x*—xy+y*—z* —z—1=0. (1)
Чтобы упростить уравнение (1), снова воспользуемся
тем, что х-\-у = \—z, а потому
х* + 2ху+у*=1—2г + г*. (2)
Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получим
ху=—z.

9.19] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 309
Теперь второе уравнение исходной системы
xy+z(x+y)=— 4
можно переписать как уравнение относительно z
—z + z(l—z)=—4r.
Решая его, найдем, что либо z——2, либо z — 2. В первом
случае мы приходим к системе
лгу = 2, { *я=1'
Во втором случае получаем
f ху=— 2,
{ х+у = -1, 0ТКУда
После того как были найдены первые два решения,
решение системы можно было закончить следующим
рассуждением.
Данная система симметрична относительно а:, у и г.
Поэтому одно ее решение (2, —2, 1) порождает 3! = 6
решении, получающихся в результате всевозможных
перестановок. Таким образом, мы получим шесть различных
решений системы.
С другой стороны, система может иметь не больше
решений, чем произведение степеней ее уравнений: 1-2-3 = 6.
Поскольку все шесть решений найдены, решение системы
можно считать законченным, если проверить одно из
найденных решений.
Ответ. (2, -2, 1); (-2, 2, 1); (1, 2, —2); (2, 1, -2);
{-2, 1, 2); (1, -2, 2).
9.19. Возведя первое уравнение в квадрат, получим
х*+у2 + 2ху = а\
Так как хг-\-уг = Ь, то
а*—Ь
Возведем первое уравнение в куб:
х3 +У -г Злгу (х+у) = as.

310 решения [9.20
Заменяя д^+у8 на с, а ху и х-\-у соответственно на ° ~6-
и а, получим равенство
. 3(а«—М ,
не содержащее л: и .у.
CJreer. a3 = 3ab—2c.
9.20. Умножив первое уравнение на xy2z*, а второе —
на Jf^z2, получим у первых двух уравнений равные правые
части:
j 4x(y + z) = 3xY*P,
\ 4y(x+z) = 3xyz*.
При этом могут быть получены посторонние решения, у
которых одно из неизвестных обращается в нуль. Эти
решения можно сразу отбросить, так как система в этом
случае не удовлетворяется.
Сравним левые части полученных уравнений
4z(x — у) = 0.
Так как я=И=0, то х=у. Из третьего уравнения системы
получаем z = —5-. Подставим в первое уравнение
4** +1=0.
Уравнение имеет только мнимые решения. Чтобы найти их,
разложим левую часть последнего уравнения на множители:
4х* + 4х2 + 1 — 4х* = (2х*+ 1)2 — 4д;а =
= (2х*—2х +1) (2дг2 + 2д; + 1).
Получаем четыре значения х:
_ 1 ±i _ — 1 ±1
•*"i, a 2 ' xs,t— 2
Так как у = х, a z = —r, то находим четыре решения
системы. Производим проверку.
ответ, (ijt. 1+L, —2(i+o); (-Цп т1. я<'-,))!
(iz±, i=i, 2(1.„). (_l+i, _L+i, 2(i + 0>

9.22] ГЛ; 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 311
9.21. Возведя второе уравнение в квадрат, найдем
Подставим в первое уравнение
17
4
**+J4 = T*V«
т. е.
откуда
2
хй— уй = ±-^ху,
или, воспользовавшись вторым уравнением исходной системы,
получим
х2-у2 = ±3(х+у),
откуда
(х+у)(х-у±3) = 0.
Если х-\-у = 0, то и ху = 0, следовательно,
Если х—_у = 3, то, подставляя во второе уравнение данной
системы у = х—3, придем к уравнению х2 — 7jc-|- 6 = 0,
с помощью которого найдем два решения системы:
I *2=1, j ха = 6,
Если же х—у = —3, то аналогично получим
*8 = 3,
Уъ =6-
Г хА=— 2, J х8 = 3,
1^ = 1; \
Производим проверку.
Ответ. (0, 0); (1, -2); (6, 3); (—2, 1);"(3, 6).
9.22. Умножим первое уравнение на t
xt+yt = t

312 решения {9.22
и вычтем из второго. Аналогично поступим со вторым а
третьим уравнениями. Придем к системе, не содержащей у:
x(z — f) = 2 — t,
xz{z — i)=:5 — 2t,
xzi{z—f) = \4 — 5t.
В результате могут быть получены посторонние решения, в
которых / = 0. Однако решение нашей системы мы
закончим проверкой, благодаря которой все посторонние
решения будут отсеяны.
Повторим ту же операцию, которая была проделана
относительно f, для г: умножим первое и второе уравнения
последней системы на z и вычтем их соответственно из второго
и третьего. Тем самым мы исключим х:
( 2z—tz = 5—2t,
\ Ьг — 2Лг=14 —5г.
В этом случае z = 0 может дать посторонние решения.
Исключим из полученных уравнений tz и выразим z
через г:
z*=4 — t, т. е. z-\-t=b.
Второе уравнение последней системы можно записать
в виде
5 (г 4-0—2/^=14,
откуда tz = 3. У системы
* + / = *,
zt = S
есть два решения:
{
/ *1 = 3, Г «, = 1,
\ <i = i; \ 'а=з.
Из первоначальных первого и второго уравнений находим
х и у и делаем проверку.
Система имеет два решения.
Ответ, ^g-, -g-,3, lj; \-%, -%, 1, 3J.

9.24] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 313
9.23. Возведем первое уравнение в квадрат и вычтем из
второго уравнения. После упрощения получим
2ху—Ъхг+6yz = 54.
Третье уравнение позволяет заменить Ъхг на 4уг;
2ху—4уа + 6yz = 54,
или
*у—2у« + 3у* = 27. (1)
Вычтем из уравнения (1) первое уравнение системы,
умноженное на у1), получим
у = Ъ.
Подставим в первое и третье уравнения системы
je+3z = 15,
#z = 12.
Решая эту систему, найдем два решения:
хг — Ъ, zt = 4; хг = \2, z2 = l.
Производим проверку.
Ответ. (3, 3, 4); (12, 3, 1).
9.24. Сложив почленно первое уравнение со вторым,
первое с третьим и, наконец, второе с третьим, получим
систему
xa=xyz + 2,
y*=xyz—3,
z*=xyz+3.
Перемножим эти уравнения и обозначим xyz = u:
«з = (« + 2)(иг—9),
а после упрощения
2и2 —9и —18 = 0,
откуда % = 6, и9=—|.
') Такое преобразование системы, вдобще говоря, может
привести к приобретению постороннего решения, в котором #=0.

314 решения [9-25
Для первого значения и находим jc3 = 8, _ys = 3, г8 = 9,
аналогично поступаем с на. Производим проверку.
Ответ. (2, УЪ, УЪЬ (у=2 , - |/| • У!) '
9.25. Обозначим xt+xs+ ... + x„ — s. Тогда уравнение,
стоящее на месте с номером А, примет вид
xk(s — xk) + k(k+\)s* = (2k+\)za\
или
откуда
х%—sxk — k {k + 1) sa + (2k -f 1 )a a2 =* 0,
Возьмем для всех дгй знак минус и сложим выражения для
всех xh. Получим уравнение относительно s
s(n—2) = (n + 2)n"J/sa — 4a2,
откуда
._ 2п(п+2)\а\
1/"я2(п+2)«—(п—2)г •
Мы взяли перед корнем знак плюс, так как из уравнения
для s видно, что s"^0; знаменатель не обращается в нуль
ни при каких натуральных л.
Остается подставить найденное значение s в выражение
для хк и сделать проверку.
n(n+2)-(n-2)(2fe+l),
Ответ. хк=-ущ===-\а\.
9.26. Пусть 7лг — 11у = и, т.е. 7 (х-\-у) — Щ = Щ
откуда *+J> = ^^, a *+9v = (*+j») + 8y-5i±r&.
Приходим к системе
{
Из последней системы исключим у:
7и8—ц_7н«—и
18 — 74 '

9.27] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 315
Если ц = 0, то, как легко видеть, придем к очевидному
решению: х1=у1 = 0.
Если ифО, то получаем уравнение
Z^ = Z^1, т.е. 9^-37^ + 4 = 0,
откуда «i = -g-, иг=—J, и8 = 2, и4=—2.
Для каждого значения и составляем систему
J 7х — \\у = и,
\ х +_у = а3.
Делаем проверку.
Ответ. (0, 0); (^ , -Д) ;(-£.£); (5, 3);
(-5, -3).
9.27. Если сложить уравнения системы и вычесть из
первого второе, получим систему:
[ Va-x + Vb=X = 2Vy~,
У а— х—УЬ—x = 2Vy-
-х.
Возведем каждое из уравнений системы (1) в квадрат и
вычтем из первого полученного уравнения второе. Получим
V(a~x)(b-x) = x,
т. е.
(а — Х){Ь—х)=х&,
или
(a + b) x = ab.
Если a-\-b = 0, но аЬфО, то последнее уравнение, а
следовательно, и данная система не имеют решений.
Если а-\-Ь = 0 и аЬ = 0, то а = & = 0. Написанная в
начале решения система принимает вид
\ V^^Vy',
\ o=Vj^,
откуда у=—х и у = х одновременно, т. е. при a = b = Q
система имеет единственное решение х=у = 0.
Если а-\-ЬфО, то х==-~^г.

316
РЕШЕНИЯ
[9.28
Из уравнения ]'а—х-\-УЬ—л = 2]/у находим .у:
т. е. ifl+ibj = 2 V~ = (|£|±|*!£ .
У^+ь ; -^ 4(0+6)
Так как a-]-ft стоит в предпоследнем уравнении под
радикалом и а -у- й=#=0, то а -\- Ь > 0.
Преобразовывая систему, мы получили уравнение
У (а—х) (Ь—*) = .*. Следовательно, х^О, т.е. ab^O, a
значит, и а^О, 1)^0.
Теперь можно записать, что
а + 6
Делаем проверку. Первое уравнение системы после
подстановки примет вид
2я — \а — b\=a + b.
Мели о 3> Ь, то это уравнение удовлст ворястся, а если а< />,
то получим а = Ь, что противоречит предположению а<.Ь.
Второе уравнение системы после подстановки даст
равенство
2b-\-\a — b\ = a-\-b.
При а^Ь получаем тождество.
аЬ а-\-Ь
Ответ. Если а ^ b ^Oua-\-b> 0, 't0-^ = ^r^ > У~-~\~ '•
если а = Ь = 0, то х=з' = 0-
9.28. Обозначим \r~y—z. Тогда система перепишется
в виде
} j/jf-f-z —]/"*—£ = 1,
\ V'xn- — z* + Vx^T~z*=\.
Дважды возведем перЕое уравнение в квадрат: 2 J/ х2 — z- =
= 2х — 1, отсюда ]/х2 — г2 =х —g-; далее
4z- = 4x-\,
или

9.29] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 317
Заменив У~х*—za выражением х—гг, перепишем
второе уравнение системы так:
к
Из последнего уравнения находим г2:
и сравниваем с выражением для z", полученным из
первого уравнения:
19 „
X—"4* —f ах'
Отсюда х=-о, а y=!zzi=Y '
Проверяем найденные значения х и у. Левая часть
первого уравнения системы примет вид
-,/ 5 ,/У -,/".5 ЛГ& _ У5+Уй~УЪ-\ГЩ
V i+Ki-|/ т—Ут- у% =
Левая часть второго уравнения вычисляется проще:
V И 8+ V 64+8 _ 8 + 8 ~1'
Ответ. (-§-, 4).
9.29. Первый способ. Так как а и Ь положительны,
то из данных уравнений следует, что х ~> 0 и у > 0.
Возведем каждое из уравнений в квадрат:
Г x*(l-y*) = a\
\/(1-**) = #>.
В результате могут быть приобретены только такие
посторонние решения, при которых либо х < 0, либо у < 0.
Выражения 1—у* и 1—je2, как это видно из последней
системы, останутся положительными.

818 решения [9.29
Мы получили систему относительно х2 = и и у2 = г/:
ц(1— v)=a2,
v{\ — н)=йа.
Чтобы эта система была равносильна предыдущей (при замене
неизвестных равносильность может быть нарушена!),
достаточно потребовать выполнения неравенств
f «>0,
Раскрыв в последней системе уравнений скобки, получим
J u — uv — a2,
\ v — uv = b~.
Вычитая из первого уравнения второе, найдем
и—г» = о2 — Ь2,
т. е. u = v-\-a2— b2. Подставим в первое уравнение
последней системы, получим квадратное уравнение относительно v.
v2 + {a2 — Ь2— \)v + b2 = 0,
откуда
«i,i = T <! ~flZ + ** ± 1Л1-аг + &Т-4П
Вычисляем и:
«1,а=т<1+аг-йа±]/(1-а2+62)2~4йг)-
(У и и тт, входящих в одно решение, берутся одноименные
знаки.)
Подкоренное выражение можно преобразовать следующим
образом:
(1 - а2 + Ь2)* — 4Ь* = (1 - а2 + Ь2—2ft) (1 - а2 + Ъ2 + 2Ь) =
= \\-b-а) (I —* + а) (1 +Ь — а) (1 +6 + я).

9.29] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 319
Так как а > й > О и а -(- £ < 1, то каждый из четырех
множителей положителен и дискриминант тоже положителен.
Если перед корнем выбран знак плюс, то и и г»
положительны. Докажем, чтоv > 0.Имеем: az — b2 = (a—b)(a + 6)<
<я—й<с—b-\-2b — a-\-b<C I. Следовательно, 1—az+
+ 6а>0 и, обращаясь к выражению для v, находим, что
v>0. Так как а>6, то очевидно, что ив>0.
Если перед корнем выбран знак минус, то нужно
проверить, что и и v положительны. Так как а > Ь, то проверку
достаточно провести для v, которое меньше и.
Неравенство
1— а? + Ь2>У{1— аГ + Ь2)*—4йа
очевидно.
Нетрудно проследить, что в процессе решения системы
уравнений относительно и и v при условии, что и и v
положительны, мы не нарушали равносильности.
Второй способ. Эту систему естественно было бы
решать с помощью подстановки jc = sin<p, ^= sin Ч7» Где
0 < ф < я/2, 0 < тр < я/2. Такая подстановка возможна,
поскольку из имеющихся в условии ограничений легко
получить, что 0<лг<1, 0<з»<1. Получим систему
f sincp cos*]j = a,
\ sin tJj cos ф = b.
Складывая и вычитая уравнения этой системы, найдем
f sin fa-f^) = <* + &,
\ 8ш(ф—"ф) = а—Ь.
Так как по условию 0 < с + ft < 1 и 0 < а—b < 1, а на ф
и 1)) были наложены ограничения 0 < ф < я/2, 0 < я]з < я/2,
то можно написать
4> + il> = arcsin(G^-6), j ф + 1р = я—arcsin(c + *)»
Ф — ip = aicsin (а—Ь) \ ф—1]з = aresin (с—Ь).

320 решения [9.30
Из первой системы получим
Ф1 — ~2 [arcsin (я "Ь *) + arcsin (д—*)],
1
tj>i = -j [arcsin (a -f 6)—arcsin (а — й)].
Найдем sincr-j и sint^:
snxp^sin^^ |/^.fi-cos(a + P)J =
*"=-^= К 1 —cos a cosfJ-f-sinasitTp,
где a = arcsin [a-j- b), (} = arcsin (a— b). (При выборе энако»
перед корнями мы здесь и в дальнейшем принимаем во
внимание ограничении на ц> и 1р: 0 < ц> < я/2, 0 < г|) < я/2.)
Продолжим преобразования:
sin(p, =
= pU"jA _{/[Г^Ч^ГИ^^Й^'Н^о-г- «(a-ft) =
~ -'-? у^-а*-^-/р^(«Н-«8П1-(в-*)Ч.
Нетрудно убедиться в том, что
[1-(а + Й)2][1-(а-6)2]-(1-а2 + 6г)«-46г.
Аналогично наПдем sinip1, а также sinqpa и sinifs-
Отвст. Если д>й>0, a-j-£<l, то система имеет дса
pcuicnni:
xt - T/U у/Т+? - & ~ V{ I - a* + ^г^^б*
Vi
уг - -'= т/TZ72 + Л2 - /(1 - а* +- ^73 - 4ft2;
У 2 '
^ = -p-l/l4-a8-63 + ]/(l-a2 + 62)s-4^,
| Л —J^ ]/" 1W + *2 + К(1 - а3 + &г)г=^4р;
£.30. Наряду с решением х1г j>lf z1 система обязательно
имеет решение ~xv —Ух, zL. Поэтому у системы будет
единственное решение только в-том случае, когда х=у = 0.

9.30] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 321
Подставляя х=у^0 в исходную систему, получим
' z = a,
■ Z=b,
откуда либо а = Ь = 2, либо а = b = — 2.
Проверим, действительно ли при найденных значениях а
и Ь система имеет единственное решение.
Если а = Ь = 2, то из первого уравнения на*одим
xyz = 2—z.
Подставляя во второе, получим квадратное уравнение
относительно z:
■z8—Зг + 2 = 0,
корни которого z1 — \, z2 — 2.
При z=1 получим систему
ху=\,
х*+у*=3,
которая, как легко проверить, имеет четыре решения.
Таким образом, значения параметров о=6=^2 не
удовлетворяют условию задачи.
Если а = Ь — — 2, то из первого уравнения найдем
xyz — —2—z.
Подставляем во второе:
z2 + z—2 = 0,
откуда гг= —2, гг=\.
При z — — 2 приходим к системе
лгу = 0,
дгаЧ-У = 0,
имеющей единственное решение X =у = 0. При z—\
получаем систему
ху=— 3,
хг+у* = 3.
II В. Б. Ваковский, А. А. Рыбкин

322 решения [9.31
Подставляем во второе уравнение у== и убеждаемся,
что уравнение Jt4—За-2+ 9 = 0, которое получается в
результате, имеет только мнимые корни.
Ответ. а = Ь= —2.
9.31. По условию у——х. Данные уравнения примут
вид
|x-3(l + fl) = l(ai-l)S
I х3(2 — а) = \.
Если аф—1, то, найдя х8 из первого и второго
уравнений, приравняем полученные выражения
-2-(flH-1) = 2=S' т-е- а* —а = 0-
откуда а = 0 или а = 1.
Условию задачи могут удовлетворить только три значения
параметра а:
-1, 0, 1,
которые нужно проверить.
Если а= — 1, то из первого уравнения найдем у =—х,
а из второго уравнения найдем ха = -^ и х = %■ _, а
следовательно, у= — _ -..=1. Найденные значения неизвестных
* 1/3
удовлетворяют и условию х-[-у = 0.
Если с = 0, то из первого уравнения: х — 3/—, а из
второго: J» = ± 3,—. Это значит, что при a = 0 система
имеет два решения:
Г 1__
_ 1
1
По условию любое решение должно удовлетворять
требованию х+у — 0, между тем первое решение этому требованию
не удовлетворяет. Значение а = 0 мы должны отбросить.

9.32] ГЛ. 9. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 323
{
Осталось рассмотреть случай, когда в = 1. В этом
случае получим систему
хя~ / = 2,
д^+^ + дгу2= 1,
или
((х-у)(х* + ху+уй) = 2,
\ Лг(*2 + *у+/)=1.
Так как правые части =?М), то разделим первое уравнение на
второе, откуда х-\-у = 0. Поскольку условие х+у = 0 теперь
автоматически выполняется для любого решения системы,
то нужно убедиться, что у этой системы есть хотя бы одно
решение. Легко увидеть, что таким решением является
х=\, у= — 1.
Ответ. ± 1.
9.32. Так как -система должна иметь хотя бы одно
решение при любом Ь, то она должна иметь решение и при Ь — 0.
Положив Ьг=0, получим систему
f (*■ + !)*=».
\ а + х3у = \.
Первое уравнение удовлетворяется либо при о = 0 и
любом х, либо при дг = 0. Если л; = 0, то из второго уравнения
получаем а=\. Итак, возможны только два значения: а—О
и а— 1.
При й = 0 получаем систему
\ bxy + хгу = \.
Первое уравнение имеет решение при любом Ь, только
еслн_у = 0. Однако это значение у не удовлетворяет
второму уравнению.
Остается рассмотреть случай а = \. Система примет вид
f *> + (*■+1Р = 1,
\ bxy-\-x*y — Q.
При любом Ь эта система имеет решение х=у = 0.
Ответ. 1.
11»

324
РЕШЕНИЯ
[9.33
9.33. Наряду с решением x — xv у—у± система
обязательно имеет решение лг=—xv у=ух. Чтобы у системы
было только одно решение, эти два решения должны
совпасть, т.е. х1=—х1 = 0. Подставляя в данную систему
х = 0, у=уъ получим систему уравнений относительно j^
и а:
>! = ■!•
Исключив из нее ylt найдем (1 —в)2=1, т. е. а1 = 0, аа = 2.
Если а = 0, то приходим к системе
Г 21*1 + |*1=.У+*г,
\ х2+у*=*\.
Нужно выяснить, есть ли у этой системы решение,
отличное от х*=0, у = 1. Достаточно рассмотреть случай
х > 0, так как при х < 0 в силу «четности» ответ будет
аналогичным.
В силу уравнения х2-\-у2 = 1 неизвестные х и у не
превосходят единицы. Если х > 0, т.е. 0<дг^1, то дг2^л:
и —х* + х^0. Учитывая последнее соотношение для
первого уравнения
у = 2х —х* + х,
обнаружим, что у>\.
Так как раньше мы получили, что .y^l, то получаем
противоречие и, следовательно, дг>-0 не может входить в
решение системы.
Мы доказали, что при а = 0 данная система имеет
единственное решение.
Пусть теперь а = 2. При х^О получим систему
у = 2х—xz + x — 2,
х*+у*=1,
у которой наряду с решением х = 0, у = — 1 есть решение
дг=1, j/ = 0.
Следовательно, из двух значений, найденных для а,
подходит только одно.
Ответ. 0.

9.34J гл- 9- алгебраические уравнения и системы 325
9.34. Умножим числитель и знаменатель дроби из
второго уравнения на j/j^+l—х. Полученное уравнение
разделим на у, который тоже отличен от нуля, если входит
в решение системы. Получим
!+у^+т-*+>=<>.
Исключим У х%-\-1 с помощью первого уравнения системы:
|— 2± + у* + 2х-2у = 3.
Последнее уравнение перепишем в виде
£ + 2* + »»-2(|-+>)=3.
Если — -\-y = z, то
гг—2г—3 = 0, гх=—1, га = 3.
Первое уравнение данной системы можно записать в виде
(|1 + 2х +у*) - 2х + 2 V1F+1 = 3,
т. е.
\ г2—2х+2Ух*+\=3.
Если z——1, то У х2 + 1 = 1 + дг, откуда лг=0. Второе
уравнение системы дает тогда два значения: уг = 0, у% = —1,
где у = 0 не удовлетворяет первому уравнению. Если z = 3,
4
то x = -g-; второе уравнение системы после несложных
преобразований принимает вид Зуа -\-у + 4 = 0, т. е. не имеет'
действительных решений.
Проверка убеждает нас в том, что х = 0,у =—
1—единственное решение системы.
Ответ, (0, —).

826
РЕШЕНИЯ
Глава fO
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
Ответы к упражнениям
1. Получим совокупность неравенств, имеющую те же самые
решения.
1. Получим систему неравенств, не имеющую решетай.
3. Ответ: —1 < **£ 1, 5 < х«^7, х > 8.
4. Вначале нужно переписать неравенство в виде
(*~§")(*- 3)(*-4)**Е0,
Последний множитель говорит, что точка 4 обязательно должна
принадлежать множеству решений, этим его влияние ограничивается.
Ответ. -н-<*<3, **=4.
5. Поскольку неравенство строгое, то множители, стоящие
в знаменателе, и множители, стоящие в числителе, играют
одинаковую роль. Данное неравенство равносильно такому:
(jc+З)* (х+1) (л— 4)' (х-2) (*-5) < 0.
Достаточно решить неравенство
(х-Н) (*-2) (*-5)< 0
и исключить, если они попали в множество решений, точки х = —3,
дг«=4.
Ответ, х < — 3, —3 < ж < — 1, 2<х<4, 4 < х < 5.
6. 0<а*2+6л:+с<9.
7. a*a+foe-|-c3s9; здесь не нужно заботиться о знаке
подкоренного выражения, так как после возведения в квадрат получаем
неравенство, из которого следует, что это выражение положительно.
8. 't ax*+bx+c*sz(dx+e)*,
< ax*+bx+c^sO,
I dx+e^0
(см. пример 4 на стр. 50).
9. Нужно разобрать два случая в зависимости от знака правой
части: если правая часть отрицательна, но неравенство удовлетворяется
при всех х, при которых левая часть существует; если правая часть
неотрицательна, то обе части неравенства нужно возвести в квадрат
(подкоренное выражение при этом не может стать отрицательным):
\ ax*+bx+c£sO; \ ох*+Ьх+с>(е1х+е)К к

I€.4J ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 327
10.1. Обозначим a—1+k. Тогда из условия а+Ъ = 2
получим £ = 1—k. Вычислим а*-\-Ь*:
о4 + Ь4 = (1+А)4 + (1—A)4 = 2ft4+12Aa + 2 =
= 2(А« + 6А2+1)>2,
так как ft4 + 6A2^0 и, следовательно, й*+6А?-|-1 ^ 1.
10.2. Первый способ. Пусть х — ша, j» = cosa.
Тогда х + у =-sin a + cos a=j/2~cos (-j — a ]. Так как
— l<cos(-J—o)<J, то — J/T<*-fj><]/27
Второй способ. Сравнив данное равенство Jt2+
-|-^г = 1/с очевидным неравенством лР+уР^Ъху,
обнаружим, что 2-ffy^l. Сложна! последнее неравенство с
равенством JC2-(-_ya = l!
. (*+.у)2<2,
т.е. — ]/2<л;-|-у<У2:
10.3. Первый способ.
с '• с" а '* fc ''
Второй способ. Неравенству а'*1 + й1'»> с*'*
эквивалентно неравенство
(?)"•+(!)"■>..
Так как b < с и а < с, то основания показательных функций
(-£-] и (— J меньше единицы и эти функции убывают.
Следовательно,
(t)'"+(F'>tH->-
10.4. Данное неравенство можно переписать так:
4*»—4*г+1^0.
Оценим левую часть:
4*а {х— 1) +1 = — 4д;а (1 —jc) +1.

328 решения (10.5
Так как 0^лг<1, то х*^х и 1— х^О. Следовательно,
— 4xs (1 —х) -f 1 > —4* (1 — х) +1 = (2х— 1)г > 0,
что и доказывает наше неравенство.
10.5. Каждый из входящих в неравенство корней оценим
-следующим образом:
Складывая полученные неравенства, придем к выводу, что
У4а + 1+К4й+1+УГ4счРТ<2(с + Ь + с) + 3 = 5.
Теперь, чтобы доказать написанное в условии
неравенство, остается убедиться, что в последней оценке равенство
никогда не достигается. Равенство возможно лишь при
одновременном выполнении равенств 4а4-1=,Л,4й4-1 = 1>4с+1*=1,
т. е. при а = Ъ = с = 0, что противоречит условию а + Ъ + с = 1.
Итак,
У~4а + \+У4Ь + \+у4с + \ < 5.
10.6. Пусть Ь^а. Тогда
(а Н- Ь)" < (2д)в = 2П«В < 2" (в" + £").
10.7. Пусть а <1 & и Ь > 0. Тогда по свойству
показательной функции
(т)"<(т)'.
если т~^п. Прибавим к обеим частям неравенства по
единице и возведем в степень 1/да:
[(*)"+•]"<[(*)■+.]"
Так как т^п, то —<!— и по свойству показатель-
ной функции с основанием, большим единицы:
[(т)"+']""«[(!)"+ ']""•
Следовательно,

10.9J ГЛ- 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 329
Умножая обе части неравенства на число Ъ > 0, получим
Осталось рассмотреть случай £=0. В этом случае
неравенство обращается в очевидное равенство.
10.8. Имеем я очевидных неравенств:
Первое и последнее неравенства обязательно будут
строгими, так как по условию п > 1. Перемножая эти
неравенства, получим
10.9. Первый способ. Обозначим •?■=«. 7"=*'■
-■--»?». Тогда uvw=\, т.е. среди чисел и, v и w есть
;хотя бы одно, большее 1, и одно, меньшее 1 (и = « = щ>
невозможно, так как а, Ь и с не равны друг другу). Пусть
ы> 1, а 0<ф< 1, т. е.
(1— U)(V— 1)>0 ИЛИ — Ю7+ И + Ф— 1 >0.
С другой стороны, для чисел a, v я w выполняется
неравенство
^>-|/W=i,
т. е. uv-\-W^2. Складывая это неравенство с
неравенством— uv + u-\-v—1>0, получим
или

330
РЕШЕНИЯ
[10.10
Второй способ. Пусть и, v и w— положительные
числа, причем w—наименьшее из них: н>я», v>w. Так
как и—w—положительное число, то на него можно
умножить неравенство v > it/:
v(u—w) > w (и—«к»),-
т. е. ^
uv—гто + ги2 >ищ>."
Поделим последнее неравенство на lid:
ю и ' и "^
С другой стороны,
Складывая с предыдущим неравенством, получим
± + ± + SL>a.
Если с— наименьшее из чисел а, Ь и с, то полагаем w=c,
и = а, v — b и получаем неравенство, которое требовалось
доказать. Если а или b—наименьшее из чисел а, Ь и 6, то
обозначения соответственно изменятся.
10.10. Предположим противное, т. е, что
(а-2* + &.ЗУ+1)«>(4* +9» +1) («("+«•+1).
Раскроем скобки, перенесем все члены в правую часть и
приведем подобные:
4**г + 4* + 9Уа? + 9у + a2 + be — 2ab-2x- ЗУ — 2а-2*—
— 2*.3^<0,
или
(й • 2х— а • ЗУ)2 + (2*— af + (Р—»)■ < 0,
что невозможно.
10.11. Оценим левую часть неравенства:
(*_ 1) (л-—3) (*—4) (лг—6)+ 10 =
= (х2—7х + 6) (л:2— 7дг + 12) + 10 =
= [(**—7дг + 9)—3][(*2— 7* + 9) + 8] + 10=i
= (л2— 7* + 9)2—9+ 10 = (*2—7дг + 9)*+ 1 > 1.

10.13] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 331
10.12. Подставляя в первое уравнение х2 вместо yz,
преобразуем систему следующим образом:
jy+z = x3—x,
\ yz=xz.
Числа у и z являются корнями квадратного уравнения
относительно и:
и2-\-{х~х3)и-\-хг = 0.
По условию числа у и z действительны. Следовательно,
дискриминант D=(x—х3)2—4л-г = >;2(1 —Xs)2—4д:а =
= дс2[(1—Xs)2—4]. должен быть неотрицательным.
Так как по условию х=^=0, то
(1— х2)2>4.
Это неравенство может выполняться, если либо 1—х2^—2,
либо 1—х2 3^2. Второе неравенство не имеет решений, а
из первого получаем дс23>3, что и требовалось доказать.
10.13. Перепишем данные уравнения в виде
_у+г = 5—х,
yz + x{z+y) = &,
откуда
j>jz = 8—х(5—х).
Числа у и z будут корнями уравнения
и2—(5—х)и + х2^-5х + 8 = 0.
Так как у к z должны быть действительными числами, то
дискриминант этого уравнения не может стать
отрицательным ни при каких значениях х:
(5 — xf — 4 (х2 — 5* + 8) Z> 0,
т. е.
—3х* + \0х—7 3>0,
откуда
Так как уравнения, которым удовлетворяют дг, у
и z, симметричны, то аналогичные ограничения получим

332
для у и z\
РЕШЕНИЯ
l<J<-g-, Х*<у,
1Ю.14
что и требовалось доказать.
10.14. Дискриминант квадратного трехчлена равен 1 — 4а.
Если а < -g, то дискриминант положителен и уравнение
ах2 -\-x-\-1 = 0 имеет два различных'корня:
1—уТ=4а _ — 1 -|- |/Т=^45
Хп
2а ■ Ла— 2а
4
Когда а > 0, т. е. 0 < а < -j-1 то получим решения
неравенства:
X < Хи X > X,.
Когда а < 0, то легко проверить, что х2 < xv Поэтому
решения запишутся в виде
х2<х< хх.
Дискриминант отрицателен, когда а > -у-, а
следовательно, а>0. Неравенство удовлетворяется при всех х.
Если a = j, то решения неравенства запишутся в виде
хф— 2.
10.15. Условия задачи выполняются тогда и только
тогда, когда интервал 1 < х < 2 будет расположен между
корнями параболы, т. е. если
f/(l)<0,
1/(2X0.
Подставляя значения 1 и 2 в данный трехчлен, получим
систему двух квадратных неравенств
/ те2-Ь7/п+1<0,
\ /»2 + 8да + 4<0.
Решая первое неравенство, найдем
#-—<:от^ я •,

10.17] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 333
а решая второе, получим
— 4 — 2"1/Т<ти<—4+2VHT.
Ответ. — -^-(7 + 3]/1Г)<от< — 4 + 2J/T.
10.16. Пусть .*! и jc2— корни данного уравнения. Тогда
/ х1 + х1= — \,
I Х1Х2 = «•
Если корни Хг и дга действительны, то из первой
формулы следует, что они не могут быть оба положительными.
Если оба корня отрицательны, то из второй формулы
находим а > 0, а следовательно, корни х± и хг меньше а.
Если <2 = 0, то один из корней равен —1, и условие
задачи снова не выполняется. Таким образом, а < 0. При
а < 0, дискриминант 1—4а положителен и оба корня
действительные. Потребуем, чтобы меньший из них был
больше а, т. е.
2 >а-
Это неравенство эквивалентно такому:
1/1—4с< —2с —1.
Возведя обе части неравенства в квадрат, мы должны
позаботиться о сохранении связей, которые неявно
присутствуют в этом неравенстве:
1— 4a<(l+2a)z,
1 + 2a < 0,
1—4a>0.
Последнее неравенство выполняется, так как мы установили,
что а < 0.
Первые два преобразуются к виду
( a(a + 2)>0,
Ответ. а< — 2.
10.17. Так как k=^=0, то ветви параболы направлены
вверх. Внутри интервала от —1 до +1 парабола имеет

334 решения [10.18
только один корень тогда и только тогда, когда на концах
этого интервала трехчлен имеет разные знаки, т. е.
(ft*—ft — 2) (ft2 + ft—2) < 0.
Разлагая каждый из трехчленов на множители, получим
(ft — 2)(ft+l)(ft +2)(ft — 1)<0.
Ответ. — 2 < ft < — 1; 1 < ft < 2.
10.18. Условие, что ветви параболы направлены вверх,
означает, что /я > 0. Если парабола не пересекает ось Ох,
то получаем систему
f m>0,
\ D = 4 —/»(Зда+1)<0.
Если же данный квадратный трехчлен имеет действительные
корни, то больший корень не должен быть положительным!
/«>0,
2+V4-/n(3m+l) Q
Второе неравенство второй системы (а следовательно, и вся
система) не имеет решений, при m > 0, так как числитель
и знаменатель оказываются положительными.
Решая второе неравенство первой системы, найдем
m < — 1 -3-, m> I.
Принимая во внимание первое неравенство, находим решение
системы: /и > 1.
Пусть теперь m — Q. Правая часть данного неравенства
принимает вид —4лг+1>0, т. е. •*<-£-, и неравенетво
удовлетворяется не при всех положительных х.
Ответ. /я> 1.
10.19. Неравенство равносильно совокупности двух
систем
f *3 — 2х — 3>0, / х* — 2х — 3<0,
\ х*—2х—3<3* —3; \ — x* + 2x + &<Sx—8.

10.22] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 335
Решая каждое из четырех неравенств, придем к новой
совокупности двух систем:
( *<-l, *>3, f—1<*<з,
\ 0<*<5. \ *<-3, *>2.
Итак, 3<#<5, 2<*<3.
Ответ. 2 < д; < 5.
10.20. Неравенство можно переписать в в(Це
V(x--3)%>vix+w
или
(х-3)*>{х + 2)\
откуда после возведения в квадрат и приведения подобных
получим линейное неравенство.
Ответ. X < -к-.
10.21. При л\> 0 неравенство можно переписать в виде
1—1/8*— 3>4д? или ]/8лг—3<1 _4л\
Последнее неравенство равносильно системе
' 8дг — 3^(1-4*)*,
• 1—4дг>0,
. 8л: — 3>0,
которая несовместна, так как несовместны два последних
неравенства.
При д;^0 входящее в данное неравенству выражение
У 8л;—3 не существует.
Ответ. Неравенство не имеет решений.
.10.22. Данное неравенство можно переписать Так: -
х '
Получаем совокупность двух систем
| f>0, | х<0,
\ 1—3*-|/"1-4*Л!<0; \ 1—Здг-У1"34р>0.

336
РЕШЕНИЯ
[10.23
Решаем первую систему:
Г х>0,
\ V\ — 4*2> t—Злг.
Если правая часть второго неравенства отрицательна
(х > 1/3), то неравенству будут удовлетворять все х, при
которых подкоренное выражение неотрицательно (дг2^1/4,
|д: |<11/2). Получаем интервал решений 1/3 < JCs£l 1/2.
Если правая часть второго неравенства неотрицательна
(jf^l/З), то второе неравенство можно возвести в квадрат,
дополнив систему условием 1—4хг^0 или J x J ^1/2.
После простых преобразований получим
0<*<1/3, .
откуда 0<дг^1/3. Объединяя интервалы 0<л:^1/3 и
1/3 <ле^1/2, получим решение первой системы:
0<*<1/2.
Перейдем ко второй системе:
/ Х<°'
\ V\— 4л:2 < 1—8*.
Условие л: < 0 обеспечивает положительность правой части
второго неравенства. Возведем второе неравенство в квадрат,
учитывая, что |дг|^1/2. Получим
' *<0,
х(х—6/13) > 0, т. е. — 1/2<* <0,
— 1/2<*<1/2.
Ответ. — 1/2<*<0, 0<*<1/2.
10.23. Перепишем данное неравенство в виде
,/(*-!)(«+!) т/'Д* х-1 > 0
Так как в неравенство входит выражение у ——, то
^^>0, а потому ^~=f |/^=ij Г напишите для себя,

10.23]
ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
как выглядело бы это равенство при
множитель
1/ за скобки:
/£ЕГ(кягт-,-/^Г)>о.
Это неравенство равносильно системе
Хф\.
337
Вынесем
х-1
Возведем первое неравенство системы в квадрат. При этом
следует добавить условие, в силу которого выражение,
«освободившееся» от влияния радикала, должно быть
неотрицательным:
^>2/¥.
Хф\.
Так как х2—х-\-\>0 при всех х, то первому
неравенству системы могут удовлетворять только X > 0, ибо
выражение справа всегда положительно. Следовательно,
систему можно переписать в виде
' х2 —х+1>2Ух(х — 1),
■ *>0,
ь хф\.
Обозначим ~\fx (х — 1)=.у, тогда первое неравенство примет
вид у2—2у+1>0, т. е. {у—1)2>0, откуда уф 1. Итак,
х2—х— \ф0,
х(х—\)>0,
х>0.

338 решения [10.24
Последняя система равносильна такой:
I ■*>!■
Ответ. \<х<1-±р..ш х>!±£*.
10.24. При >;>0 правая часть неравенства
положительна, так как в этом случае уг1+2х> 1. Возведем обе
части неравенства в квадрат; получим систему
' *>0,
2а*
<\+х-УТ+2х,
2*+9
2* + 9> 0.
Последнее неравенство системы — следствие того, что х>0.
Перенесем во втором неравенстве 1 -f- x в левую часть и
произведем некоторые упрощения. Получим систему
( *>0,
Так как х > 0, то второе неравенство можно возвести
в квадрат, не добавляя при этом никаких ограничений
(убедитесь в этом самостоятельно):
Ш^Ч-198Н-81 . , 9
4**+36лг+81 ■> x-riX-
Умножим неравенство на знаменатель, который при
хф—9/2 положителен; после приведения подобных получим
систему
I *>0; , - (Х>Л
\ — 8л:8 + 45*2>0, | Х<Т'
Итак, в первом случае неравенство имеет решения:
о<х<%.
При х — 0 данное неравенство не удовлетворяется.

10.25] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 339
Если же х < 0, то, умножив обе части на —1, придем
к неравенству
У2х+9
Проделав с этим неравенством преобразования, анало-
45
гичные случаю, когда х > 0, придем к выводу, что х > -*-.
Это противоречит нашему предположению об
отрицательности х.
45
Ответ, 0<Х<^.
10.25. Перепишем данное неравенство в виде
Vx~ + V~x~+1 + х + 2 V JTVx+7 + (x + 7)< 42,
т. е.
(Ух + Vx+7У + (Ух~ + Vx~T7)-42 < 0.
Обозначив выражение, стоящее в скобках, через у,
получим квадратное неравенство
У+3»-42<0,
которое имеет решения: —7<j;<6. Итак,
— 7<Ух+Ух+7<Ь.
Поскольку сумма Ух + У* + 7 всегда положительна, то
достаточно решить лишь правое неравенство;
Ух + Ух+7 < 6.
После возведения в квадрат получим неравенство
2УхУх+7 < 29 — 2х,
равносильное исходному, так как корни Ух и Ух-\-7
здесь не устранены, (Заметьте, что заменив выражение

840
решения
[10.26
ух у л-+ 7 на У х (х -\- 7) мы могли нарушить
равносильность). После второго возведения в квадрат придем к системе
' 4*а + 28* < 841 —116* + 4ха,
I
29—2>:>0,
аг+7^0,
841
т. е.
Ответ. 0 ^ х < тут .
10.26. Неравенство удобно переписать в виде
У а2— х*>— 2х.
Оно равносильно совокупности двух систем
х <о,
Й-.П. < »«-*•> 4*-,
аа—*а>0.
Решая последнее неравенство каждой из систем, найдем
— |а|<*<|с|.
Так как в первой системе х > 0, то для нее получим
решения:
0<*<|а|, a=£Q.
Перейдем ко второй системе. Решая второе неравенство,
получим
Мы приходим к системе
*<0,
решениями которой будут значения из интервала ■
УБ
i<x<0
при а^=0. Остается объединить решения двух систем.

10.28] ГЛ.'10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 341
Ответ. При а Ф 0: —-ук < х ^ | а |; при с = 0
неравенство не имеет решений.
10.27. Приведем степени, входящие в данное неравенство,
к основанию 2 и поделим на 2*^2*:
2Х~ VT < 3 + 4 • 2VJ-X;
обозначив 2*-^ =у, получим
v<3+-,
а так как j/> 0, то
/ — Зу—4<0.
Корни трехчлена: —1, 4; так как меньший корень
отрицателен, то получаем
2*-^<4,
т. е. х — У^лг^г. Обозначим ]fx = z и найдем решения
неравенства
zz—z—2<0.
Получим — 1 ^ z <[ 2. Левое неравенство выполняется,
если только 1/jc существует. Остается У~х ^ 2, т. е.
0<*<4.
Ответ. 0^Jf^4.
10.28. Перепишем неравенство в виде
3Vx (3 + лг—2лг2)—2(— 2дг2 + лг + 3)<0,
или
(3^— 2) (— 2х* + х + 8)< 0.
Последнее неравенство1) равносильно совокупности систем
3*^—2<0,
2*a + * + 3>0.
f 3^-2 > 0, (
I — 2*г + л: + 3<0; \ _;
x) Хотя метод интервалов был изложен во введении
применительно к многочленам, им можно пользоваться при решении более
широкого класса неравенств. В частности, для этого неравенства

842 решрния 110.29
Решая первую систему, получим
Г 3^>2, | *>1ой2,
Так как —1 < logs 2 < logj 3=1 < -^ , то окончательно
получим X > -к- .
Вторая система дает нам следующее:
( 0<*<log*2,
3
— 1 < х < -g-, откуда 0 <; х < log| 2.
Ответ. О О < log* 2; *>|-.
10.29. Данное неравенство равносильно совокупности
двух систем
( х>\, ( 0<*<1,
1 S<o; { ё>»-
Решениями первой" системы будут: лт>3, а решениями
второй: — <*< 1.
Ответ. -^-<*<1; * > 3.
получаем
(з^-2)(х + 1)(х-{)>0.
Первый множитель обращается в нуль при x-=^\og^2, причем
он больше нуля при х > !og| 2 и меньше нуля при х < logjj 2. На-
3
несем точки —Т, log* 2 и -=- на числовую ось и воспользуемся тем
3
обстоятельством, что при х > -% все три скобки положительны.
Так как, кроме того, х^О, окончательно получим
3
0«£x<log*2, х>з".

10.31] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 343
10.S0. Так как основание степеней, входящих в
неравенство, меньше единицы, то
(лг°-2^3+1)1/2 >1-х,
или
[(*s-i)T/2>i-*,
\х3—1|>1— х.
Если 1 —х < 0, то неравенство справедливо. Получаем
первый интервал решений: jc>1. Если дг^1, то
1—ха>1 — х, т. е. ха—дг<0,
или
*(*-1)(*+1)<0.
Получаем еще два интервала решений!
х< — 1, 0<лг<1.
Ответ. х< — 1; 0<х<1; х> 1.
10.31. Так как х > 0, то вместо неравенства
можно написать
*1ов»*>а2.
Если a > 1, то при логарифмировании по основанию
а знак неравенства не изменится:
(l0go*)z>2,
откуда \ogax<-V^, \ogax>Y~2, т. е. 0<x<-yfl
x>aVT.
Если 0 < a < 1, то
(logaAf<2
и
— l/I<loga*<l/2,
т. е.

344 решения [10.32
Ответ. При 0<а<1, aVT<x<-JF=; при а> 1, 0<л:<
10.32. Прологарифмируем по основанию 10 и обозначим
lgx=y. Получим неравенство
У—ЗУ-т\у—3>0.
Левую часть разложим на множители:
у(у* + \)-3№ + \)±{у*+1){у-3).
Полученное произведение будет положительно, если у > 8,
т. е. lgjf>3.
Ответ, х > 1000.
10.33. Данное неравенство эквивалентно неравенству
0<log2^=J<l.
(Ограничение слева обеспечивает неотрицательность числа,
стоявшего под знаком квадратного корня.)
Поскольку 0 = log21,1= log2 2 и основание логарифмов
больше единицы, последнее неравенство можно записать так:
^ 1— х ^
д 2х
Требование положительности числа '. , которое могло
быть нарушено при таком преобразовании, выполняется здесь
автоматически.
Поскольку неравенство 1 ^j; < 2 эквивалентно
неравенству т~~о^®> получаем
у—*
3—2х .
1—л;
3—2х „
<0. т.е. ^ хфХ
\—х
Ответ. х^2.
10.34. Данное неравенство равносильно системе
х—1
0<
2ж+1| <1ш

10.35] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 345
Тем самым мы обеспечили положительность числа,
стоявшего в условии под знаком логарифма. Левое неравенство
можно заменить условием хФ1. Тогда получим систему
\хф\.
Эту систему можно преобразовать так:
|*-1|<|2*+1|,
хф-1/2,
хф\.
Входящее в эту систему неравенство можно возвести в
«квадрат,' не нарушая его равносильности:
{х-\)*<{2х+1)\
т.е. 3*а ■+- 6* > 0, откуда х <—2, д;>0. Итак,
х<—2, х>0,
Хф—1/2,
хф\.
Ответ. х<—2, 0<л:<1, х> 1.
10.36. Перейдем к основанию 2 и прологарифмируем
выражения 2х и 4лг:
log3x(l1+logax)^2 + lQg^)>1-
Обозначив \og2x=y, получим неравенство
^+1L>1> или 4=^>0.
Запишем последнее неравенство в более удобной форме
(у-УЖу+УТ)^п.
У (■/+!)
его решениями будут два интервала:
—У~2<У< — 1, 0<^<Т^2:
Вспомнив, что у = loga х, найдем х.
Ответ. -р=<*<4-, 1<*<2^.

346 решения [10.36
10.36. Так как \oglfiN=—logj/Z, то данное
неравенство перепишем в виде
log2 (2*_1) Iog2 (2*+1-2)< 2.
Преобразуем второй сомножитель:
logs(2*+i-2) = log2 [2 (2*-1)] = 1+ log2(2*- l).
Обозначив logg(2*—1)=у, получим квадратное неравенство
У(У + 1)<2, тку*+у — 2<0,
решения которого лежат в интервале
-2<^<1.
Вспоминая, чему равен у, получим
—2<log,(2*-I)<l,
т. с.
1/4 < 2*—1<2, 5/4<2*<3.
Ответ. Iog2 5—2 < х < log2 3.
10.37. Неравенство равносильно системе
хг+\ >2х — 5,
2х—5 > 0.
Первое неравенство хг—2х + 6>0 выполняется при
любом х, так как дискриминант квадратного трехчлена
отрицателен, а коэффициент при хг положителен. Второе,
неравенство также всегда справедливо. Остается последнее
неравенство, откуда х > 5/2.
Ответ. л;>5/2.
10.38. Обозначим logeje=.y. Неравенство примет вид
Так как 1 + У2 > 0, то и 1 +у > 0. Поэтому данное
неравенство равносильно системе
(1+У*>1+У>

10.40] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 347
/j(jr-i)>°. или <y<o,y>i,
\у>—и \у>—1.
Получаем два интервала решений:
— Ку<0, у>\.
Так как у = log„ Jfc, то нужно рассмотреть два случая.
Во-первых, если с>1, то logaAr—функция
возрастающая и мы получим два интервала решений:
— <*<1, х>а.
Если же 0 < а < 1, то получим другие два интервала
решений:
1<*<1, 0<#<а.
Ответ. При а> 1: — <лг<1, х>а; при 0<с<1:
0<х<а, 1<*<±.
10.39. Перейдем к основанию k:
logftfec"1- lag»* >U' T-e' »+l+ у >0-
где j/ = logft л:. Последнее неравенство можно переписать так
3y*+3y+l
Выражение, стоящее в числителе, всегда положительно.
Поэтому решением неравенства будут два интервала:
У< — 1,У>0.
Вспоминая, что у = logg х и 0 <^ k <^ 1, найдем соответ»
ствующие интервалы для х.
Ответ. 0<jc< 1, *>у-
10.40. Поскольку 4*—6 должно быть больше нуля, то
X > 1. Следовательно, приходим к системе неравенств
х>\,
log, (4*—6) > 0,
logs (4*—6)<лг.

348
РЕШЕНИЯ
[10.41
Решая второе неравенство системы, найдем х > log2 1^7.
Третье неравенство перепишем в виде системы
\4*— 6>0<
решением которой будет интервал log2]/~6< jr^log2S.
Так как loga j/~7 > loga |/~6, то получим решение данного
неравенства.
Ответ. log2 ]/~7 < х <1 log2 3.
10.41. Данное неравенство эквивалентно такому:
1*2-4*1+3 ^.
*Ч-|х_5| ==?l'
Знаменатель всегда положителен. Поэтому
\х2—4х\ + 3^х2 + \х — 5|,
остается раскрыть знаки абсолютной величины. Нанесем
точки 0, 4, 5 на числовую ось и рассмотрим четыре случая.
Если х < 0, то получаем систему
/ х < 0, Г * < 0,
\ хг—4at + 3>jc2 + 5—*, или \*<—2/3,
которой удовлетворяет полупрямая х^—2/3.
Если 0^дг^4, приходим к системе
| 2л;2—5х + 2<0,
i
решением которой будет отрезок 1/2^д:^2.
Если 4 < х ^ 5, то наше неравенство примет вид
л;2—4л + 3^дг2 + 5—лг, откуда *<—2/3. Это не
удовлетворяет условию 4 < х ^ 5, а потому в данном случае
решений нет.
Остается случай х > 5. Раскрывая знаки абсолютных
величин, получим д:^8/5. Здесь снова нет решений.
Ответ. *<— 2/3; 1/2<*<2.
10.42. Так как х > 5/4, то х* > 1 и данное неравенство
равносильно такому:
Ах—5 ^

10.43] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 349
Если 5/4<лг<2, то
4х—5>*(2—лг),
т. е.
х*-\-2х — 5>0.
Корни трехчлена: хх = — 1 —1/13J лг2 = — 1 +V1T
Второй корень лежит в интервале от 5/4 до 2, поэтому
получим интервал решений
У~6—1<д:<2.
Если х > 2, придем к неравенству
4*—5^*(лг—2),
т.е. х2—6л;-j-5^0, и получим второй интервал решений
2<лг<5.
Ответ. УТГ— l<je<2, 2<л;<5.
10.43. Перейдем в обеих частях неравенства к
основанию 2:
log»2*^- -./"log*^) _р Ш<--|/1Н
Ioga* *•* К toga* ' т,е- у «* V у •
где ^) = log2 jc. Чтобы решить последнее неравенство,
рассмотрим два случая. Если -^М. < 0, то достаточно, чтобы
подкоренное выражение не было отрицательным. Приходии
к системе
~<0, f — 1 <^<0,
Если —— 2>0, то иррациональное неравенство относительно
у нужно возвести в квадрат:
(
У '
у<—1, у>о,
2y2-f-' >о.

350 решения [10.44
Решения последней системы лежат в интервалах
3><-1, у>\.
Таким образом, мы получаем три интервала изменения у:
которые объединяются в два: у^—=•, у~^\.
Вспоминая, что у = log2 х, найдем интервалы изменения х.
Ответ. 0<д?^-гт==1 х^2.
10.44. Так как Iog1/flje =— log0Jf, то перепишем
неравенство следующим образом:
1og2bg3^x <-log3 (log, *±}).
Обозначив log3-3T=3f, получим
Iog^ < 0,
откуда
0<y<lt
т. е.
°<bg3*±}<l,
а потому
1 <£}<*■
Последнее неравенство можно записать так:
(йг-0(йг-»)<°
(если некоторое выражение заключено между двумя числами,
то разности между ним и каждым из этих чисел Имеют
разные знаки).
После выполнения действий в скобках и небольших
упрощений получим
*~2 >р
откуда дг > 2.
Ответ. х>2.

10.46] ГЛ. 10. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 851
:
10.45. Если 0-<лс2—1 < 1, то придем к системе
0<*2—1<1,
Злг—1 >лг2,
х2>0.
Так как последнее неравенство следует из первого, то
получаем такую систему:
м<*«<2, fi<i*i<V5;
i*--Jte+l<0, ИЛИ (8=^T[<Jf<8±^If
откуда 1 < х < V~2.
Если х2—1 > 1, т. е. лг2>2, то приходим ко второй
системе:
(x<—}T2,x>V%
x<tqit x>*±p.t
x*>2,
x2—Злг-f-l >0, или
x>h
откуда x > "*y .
Ответ. \ <x<\T2, x>^±pL.
10.46. Так как
l0£j/a x=<~ 5 loft x+2>2=251ое'х~20 '°& x+4,
то данное в условии неравенство примет вид
log!*—25 log? Jt +144 < О,
откуда
, . 9<loglJf<16, или 3<|log2Jf|<4.
Остается решить совокупность двух неравенств
—4<log2Jf<—3, 3<log8A:<4.
Ответ. 1<л<1; 8<ж<16.

352
РЕШЕНИЯ
[10.47
10.47. Данное неравенство может выполняться только
в том случае, если дискриминант стоящего в левой части
квадратного трехчлена относительно лг положителен, т. е.
log2.e/ + 2 log0,B^_3 > 0.
Решением этого неравенства будут
log0*y*<—3, logMjri>l.
В первом случае получим у2 > 8, во втором—0<^2<1/2.
Ответ. у<-УЪ, --±<у<0, о<у<^, y>V*:
Глава 11
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
ill log 6 lg6 Ieg+1e3 -°+b
11.2. Так как 1225 = 352, то
Igl22,5 = lg352—Igl0 = 2(lg5 + lg7)—l=2(a + £)-l.
11.3. Перепишем уравнение в виде
2. л.1.
З2* -\- з2*-1 = 2Х+ * + 2х 4,
i_
т. е., после того как вынесем З2*-1 и 2х*а за скобки,
32*-8_2*~2#
Из последнего уравнения следует, что
^-^(j/J)2*-»,
е. / 3 у*"3^!, откуда 2*—3 = 0.
3
Ответ. лг=y .
11.4. Обозначив 3-1*-*1=.у, придем к квадратному
уравнению
ys_4y—a = 0,
т.

11.6] ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗА ГЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 353
корни которого
Первый корень уг = 2 -f- J/4 -J- а приходится отбросить,
так как — \х—2|<0 и 3~'*-',1<1| а 2 + "|А + а не
может стать меньше двух.
Исследуем второй корень:
3-1 *—* I = 2—VT+a.
Чтобы это уравнение имело решение," необходимо выполнение
трех условий, которые сведены в систему неравенств:
4 + а>0,
2_|/Т+с>0,
2—1/4+с <1.
Решая эту систему, найдем —3^а<0.
Ответ. При —3^а<0 два решения:
*i, а = 2 ± log3 (2 —У 4 +а),
при остальных а решений нет.
11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12' *1,
найдем
121*1 = 1±уТ=а.
Первое ограничение: 1—я^&О, т.е. е^С1. Кроме того,
121х I не может стать меньше единицы. Если перед корнем
выбран знак плюс, то последнее требование выполняется,
если же взят знак минус, то 1 — J/1 — а ^ 1 лишь при
в = 1. Это значение а можно учесть при рассмотрении
уравнения 12l*l = l+J/T^fl.
Ответ. A: = ±logla(l -J-Kl—а) при а<|1; при
остальных а решений нет.
11.6. Уравнение можно записать так:
8*
5*.2х+* = 52-22;
один корень можно указать сразу: х = 2. Прологарифмируем
теперь уравнение по основанию 10:
12 Е. Б Ваховский, А. А. Рывшш

354 решения [11.7
т.е.
*slg5 + (lg5 + 81g2—2)*—2 = 0.
Так как х1>=2, то по теореме Виета
**=Ч—jp):2 = -jg5.
Сделайте проверку.
Ответ, х^2, xt=* — jL4
11.7. Так как (2 + fT)(2—\/T) = lt то 2 + VT и
2—1/3—взаимно обратные числа. Обозначим
(2 + КзГ-** = у.
Тогда данное уравнение можно записать так:
, 1 101
У + J—iO
(мы разделили обе части уравнения на 2-\-У~3).
Решая это уравнение, найдем
Л=ш' Ь = 10-
Покажем, что первый корень, который приводит к
уравнению
(2 + уТГ-" = Т5
посторонний.
Так как 2+1/Т>1, то лг3—2дс<0. Выражение
х*—2х достигает своего минимума в точке х=\. Этот
минимум равен —1. Поскольку 2+1/3 < 4, то в левой
части последнего уравнения стоит число, большее 1/4, а
следовательно, ни при каких х не равное 1/10.
Остается решить уравнение
(2+y~s)x'-sx=ю.
Прологарифмируем его по основанию
2+1/3"»
x*—2x~logi+Yirl0~Q,
в™г.*-1±-^1+^^.

11.10] ГЛ.11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЭАТЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 355
11.8. Перепишем уравнение так:
Сразу же видно, что х = 2—корень уравнения. Покажем,
что других корней нет.
Обозначим для удобства первое основание через а, а
второе через Ь. Оба эти основания меньше единицы. Поэтому
Ь<а<\;
если х < 2, то а" > а2, Ь" > Ьг, и следовательно,
если же х > 2, то а* < о2, Ь* < йа, и следовательно,
Ответ. х = 2.
11.9. Перепишем уравнение в виде
1 1 = 1
log2 х' logs 2х Iog2 4*'
откуда получаем следствие исходного уравнения:
log2 4дг = |og2 х loga 2x,
т. е.
2 + \og2x=teg2x(l + logzX), logl*=2,
откуда
log2x = ±V~2, x=2±v*.
Проверка показывает, что оба значения х—корни
исходного уравнения.
Ответ. jtlj2 = 2±VT.
11.10. Так как log3(3*+1—3} = 1 + log3(3*— 1), то
обозначив log3 (3*—1) через у, получим
y+J,_6=0,
откуда ^=—3, у2 = 2.
Если log3(3*— 1) = — 3, то 3х = Р и x^log^e—3.
Если log8(3*—1) = 2, то 3*=10 и Ar2 = log810.
Ответ. logs 28—3, logs Ю.
12»

356 решения [11.11
11.11. Перепишем уравнение в виде
log7 х + logA. 7 = log?* + log*7 —7T .
Дополним правую часть его до полного квадрата суммы
(заметим, что log7x-logJ(7 = l) и обозначим
ioi7x + logs7~y.
Получим уравнение:
5 3
4yz—4y — 15 = 0, откуда ух = у, у% — —§-.
Если logA. 7 -f log7 л: = у, то
21og;7 —51ogA.7 + 2 = 0, logA.7 = ^; ^ = 49, xt*=VT.
3
Если же logA. 7 + U>g7 x =—-=-, то получим уравнение
21og|7 + 31ogj(7 + 2 = 0,
у которого нет действительных корней.
Ответ. *х = 49, хг=У~7.
11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к
общему основанию логарифмов:
т^ Ь log? х = 2,
откуда следует уравнение
f—2у + 1 = 0,
где у = log8 х.
Так как у3—2у+\={у — \){уг+у — \), то
, -1± УТ
Л=1» Л,з = § '
Находим соответствующие х и проверяем их.
-1±УТ
Ответ. Jf1 = 3, Ла,з = 8 *
11.13. Если J' = logJf3, то придем к уравнению
/н^ + 1-о.

11.15] ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗЛТЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 357
V
из которого получается цепочка следствий
1+4-у=-у, 1+4^=/,
2у»-Зу-2 = 0, ^=-у,Ь = 2.
Проверкой убеждаемся, что второе значение у не
удовлетворяет исходному уравнению, так как у должен быть
отрицательным.
Ответ. дг = -д- .
11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и
отбросив его, получим следствие данного уравнения:
log4*+k>g4(10—Х) = 2,
откуда
х2— 1йж+16 = 0, хг = 2, лгг = 8.
Проверкой убеждаемся, что это—корни исходного
уравнения.
Ответ. хг — 2, д:2 = 8.
11.15. Перепишем данное уравнение так:
1 21 , 10
log,. 0,6* log* 16x log* 4x'
= 0.
При этом преобразовании мы могли потерять корень, так
как при х= 1 левая часть полученного уравнения теряет
смысл, в то время как обе части-исходного уравнения
существуют. Проверкой убеждаемся, чтодг=1—корень данного
уравнения *).
Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и
обозначим \ogx2=y:
1-у 4у+1^2у+1 7
Это уравнение равносильно системе
( 2yz + 3j>—2 = 0,
\ <1-.У)(4у+1)(2у+1)^0.
1) Заметим, что если бы мы перешли к основанию 2, то
получили бы уравнение, равносильное данному. Убедитесь в этом
самостоятельно.

3&
РЕШЕНИЯ [11.16
При у=*—2 иу = -^, являющихся корнями уравнения,
условие, входящее в систему, удовлетворяется.
Ответ. ^«.1, х9 = ~=, *„ = 4.
11.18. Перепишем уравнение в виде
4
Так как
log, (3+х) _ log(a+X)6 _. fi
log,(3+x)-logB+JC)2- ю«* °.
то придем к уравнению
log2 6—log8 (4—*) = log2 (3 + x),
откуда
x2—x—6 = 0, xx=— 2, дг2 = 3.
Все применявшиеся преобразования приводили к
следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке
отбрасываем, так как -.—.„ . при дг= —2 не существует.
Ответ. х = 3.
11.17. Уравнение равносильно системе
f \g\x* + 2x3 + 2x— 1| = 21g|x2 + *— 4.
I \х* + х— 1|=?М
или
f |je*4-2jc3 + 2jc— 1 j == | дга + jc— 112,
|**-M-1|^1,
x* + x—\=£0.
Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли
наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если
jc4 + 2х* + 2х—1 = (Л? + х— 1)а,
то, раскрывая скобки, получим
х* + 4х—2^0, х1)!8=—2±V~6.
Если же
**+2*s-f2*—1 = — (x2 + x—1)V

11.19]ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКЛЗЛТЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 359
ТО
*2(2*а + 4л:-1) = 0; xs = 0, xii6 = ~2±2 ^.
Остается проверить выполнение двух условий, входящих
в последнюю систему. Лишь при д: = 0 нарушается условие
|лг2 + лг—1|дМ. При остальных найденных значениях х
оба условия выполняются.
,_ 2 + Vb
Ответ. дг1>2=—2±У6; х8) 4 V^*
11.18. Преобразуем первое слагаемое:
а ^Vb * __ fla logbх—а 1<«ой_ (uloft,*) 2 '°ft а — хг logrjа%
При переходе к логарифмам с основанием а мы
наложили на а дополнительное ограничение: аф\. Однако при
а ~ 1 данное нам уравнение не имеет решений, и,
следовательно, такое ограничение несущественно. При замене
а1о«га * На х могут быть введены посторонние корни х < 0.
Мы получили уравнение относительно _у = дг,0вь°:
/—5у + 6 = 0; yt = 2, yz = 3,
откуда
лг1 = 2,°в«*, лг2==31овв*, где Ьф\.
Ответ. При о>0, Ь>0, аф\, Ьф\ дг1 = 21««»е,
jtz = 3loe«*.
11.19. Логарифмируя и заменяя \ogxa на s—~, получим
+ /lOog^-i)+^(T^-1)=fl'
т. е.
r!7fa=(V(log.Jir-r-l)»"+K(Jog.Jf-l)») = e.
2 К logo*
Отсюда видно, что если х удовлетворяет этому уравнению,
то logeje>0, а потому loge.v+l>0. Следовательно,

360 РЕШЕНИЯ {U.jJO
Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев,
оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно,
а. Так как
lOgaX + 1
2
а второе слагаемое неотрицательно, то в> 1 (значение в = 1
мы исключили, так как а—основание логарифма )> Остается
рассмотреть случач, позволяющие раскрыть символ
абсолютной величины.
При logex^l, т.е. при л;^а>1, получим уравнение
V\ogax = a, х^=аа\
Так как о > 1, то х > а.
При 0<logeAT<l, т.е. при х<С.а, получим второе
значение неизвестного:
1
Х = аа\
которое будет меньше а, так как а>1.
_t_
Ответ. При о>1 х1 = а°г, х^~аа*.
11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу
второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное.
Это привоцит к потере смысла в первом уравнении. Таким
образом, хну оба положительны.
Прологарифмируем оба уравнения:
jy\gx = x)gy,
\y)gl5 = x\gZ.
Так как х > 0 и у > 0, то разделим первое уравнение на
второе:
lgl5 lg3' ё 1**
а потому
xle з — yig i6f x==y\ga —yosr, is
Подставим найденное значение дг в первое из данных
уравнений:
vfofo 16 _ j,log, 15

11.22] ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 361
Если у = 1, то из первого уравнения системы получаем х = 1,
что не удовлетворяет второму уравнению.
Так как значения у = 0 иу = —1 исключены, то остается
у logs 15 =у°е.1Б, у°е. "-i = ]0ga 15.
Вспомнив, что log315= 1 -f-log35, получим
yOg06 = iog3i5i T. е. _y = (log315)loe»s,
и найдем х.
Ответ. * = (log315)loe»15, y = (\ogs\5)J°S'3.
11.21. Возведем второе уравнение в степень у
1024 =
/2 V
и воспользуемся тем, что ^ = 243. Так как 1024 = 210, а
243 = 35, то получим
210 =
(*)•■•"■
откуда
(4)10=(1Г
и j/ = 5. Остается найти л::
* = 3.
Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение
системы.
Ответ. (3, 5).
11.22. Из самого вида системы следует, что
*>о, j»>o.
Из второго уравнения имеем
а после подстановки в первое

362
РЕШЕНИЯ [11.23
Если уф\ (случаи у — 0 и у = — 1 уже исключены), то,
приравнивая показатели степеней, получим
т. е.
Подставляя в первое уравнение, найдем
Vy= У*.
Следовательно,
16 4
откуда получаем -*1 = оТ| 3*i = "q"' Проверкой убеждаемся,
что это—решение исходной системы.
Остается проверить, что произойдет при у=1. Легко
видеть, что тогда и х=\.
Ответ, (gp -g-J, (I, 1).
11.23. Так как
11* = 21—2-5' , ^р-«16—5*.
то
11**= (21—2-5») (l6—б"»").
Подставив в первое уравнение исходной системы и обозна-
чив 5* =и, получим
(21— 2и) (16—я) — 2иг = 71,
а после раскрытия скобок
и = 5, т. е. у = 2.
Остальные неизвестные находятся легко.
Ответ. (2, 2, 1).
11.24. Второе уравнение можно записать в виде
2Х+*У (Х'2*~У+1-\-Зу- 22х+У) = 1.'

11.25] ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 363
В силу первого уравнения системы выражение в скобках
равно 2. Поэтому
2*+Яу+1=1>
•откуда
х-\-2у + 1=0, т.е. х = —2у—\.
После подстановки в первое уравнение системы получим
2-з,-з = __L_i щи 230,+1> = — (4 + 5у).
Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение
неравенства
— (4 + 5у)>0, т. е.у<-±.
Рассмотрим следующие три случая.
а) 3(j»+l)<0, т. е. у <—1. В этом случае правая
часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е.
— (4 -(- 5у) < 1, откуда j/> — 1. Поскольку ограничения
у < — 1 и^> — 1 несовместны, при сделанном
предположении нет решений.
б) 3{_у+1)>0, т. е. _у>— 1. Тогда правая часть
уравнения должна превзойти единицу, а потому у < — 1.
И на этот раз ограничения несовместны.
в) Остается посмотреть, что будет при 3(_у-(-1) = 0,
т. е. у = —1. Легко проверить, что уравнение
удовлетворяется. Найденному значению у соответствует * = 1.
Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.
Ответ. (1,—1).
11.25. Первое уравнение системы можно переписать в виде
log8 (у — х)а = log8 (Sy — 5х).
Следствием данной системы является система
[ (у — х)3 = 3у — 5х,
\ 5 = х*+у*.
Перемножив входящие в нее уравнения, получим
однородное уравнение относительно х и у:
5 (у—х)3 = (Зу—5х) {х2 +/).
Если лг^О, то разделим последнее уравнение почленно на

364
РЕШЕНИЯ
[11.26
хь n обозначим .—=*= и. Получим уравнение относительно щ
и3—5иа + 6и = 0,
которое имеет корни: «! = 0, ка = 2, «8 = 3.
Если и = 0, то у = 0, а из второго уравнения исходной
системы а-=±]/5.
При подстановке в первое уравнение исходной системы
х =—У5 и j-4=0 это уравнение удовлетворяется, а при
х = 1^5 и у = 0 уравнение не удовлетворяется. Если а = 3,
1 13
то^ = Здг, а потому хг==— , откуда A' = ±y=i У = ± г^=
(jc и ^, в силу равенства у = 3х, имеют одинаковые знаки).
Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением
< > 3
системы будет х = ~7~, У = у= •
Если и = 2, toj>»=2.v. Из двух систем значений (—1, —2),
(1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.
Осталось рассмотреть случай дг = 0. Он не дает новых
решений, так как система превращается в два
несовместных уравнения.
Ответ. (-1/5, 0); (J=, ^);(1, 2).
11.26. Из второго уравнения
_8_
у = х-г.З*.
Подставляем в первое:
20jp-ta«."+T+ 7Х-Ъ.*-3^К = В\УЗ.
Так как
вТ1ое'х = (ЗЬе>*)~а=хт,
то получим уравнение
20ХТ-Хое'х+7ХТ-^Х = Ъ1УЗ,
откуда
8.4

11.27] ГЛ. 11. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗЛТЕЛЬН. УРАВНЕНИЯ 365
Прологарифмируем по основанию 3:
3\og23x~ 81og3* + 4 = 0,
откуда хг = 33 , ха = 9.
Находим соответствующие у и делаем проверку.
Ответ. (1/9, 9), (9, f/9).
11.27. Так как хну одного знака (это следует из
второго уравнения) и лс+.у>0 (из первого), то х и у
положительны, причем либо х, либо у обязательно больше 1
(так как ху = 3). Следовательно, лг+jr > 1 и данная система
может быть переписана так:
J log, (*+j0+ | l°ft (*-.у) | = 3,
\ ху = 3.
Если 0<л:—^<1| то получим систему
( log2 (х+у)—log2 (х—у) = 3,
\ *У = 3,
следствием которой является система
{ х-±У-=ъ.
\ х—у
{ ху = 3.
Из первого уравнения получим 7лг = 9у. Подставляя сюда
27
7
д:=3 ]f\ (*>°). y=Vi'
3 27
j» = —, найдем х* = т, откуда
Убеждаемся, что при этих значениях хну неравенство
О < х—у < 1 выполняется.
Если х—_у> 1, то получим систему
( log2(AT+>) + log2(^—>) = 3,
\ ху^
следствием которой является система
| х*—/ = 8,
\ *у = 3.

366 решения 111.28
q
Подставляя в первое уравнение j» = —, получим уравнение
х1 — 8ха—9 = 0.
Так как хг=£— 1, то остается дс2==9, откуда х = 3, aj>=l,
(Ограничение дг— у~>\ удовлетворяется.)
Равносильность могла быть нарушена только при
потенцировании; поэтому достаточно проверить, что х—у > 0,
что уже сделано*.
Ответ. (3j/f, Yi)> <3>1)'
11.28. Прологарифмируем и обозначим log2x~a,
log2(j»+l) = i/:
иг> = 2, ' * \ ««=-2,
откуда
| «i=-l» J "а = у »
I «» = 2j \ wa = 4.
Находим соответствующие х и у; проверка не обязательна,
'так как равносильность не была нарушена.
Ответ. (J/2, 15); (2, 3).
11.29. Так как \oga'X = -^\ogax (обратите внимание на
то, почему мы не пишем здесь logj01 jc), a logyjV~y = logby,
то систему можно переписать следующим образом:
f 2logax+\ogax = 2,
\ у + х2 = 2а.
Это—следствие первоначальной системы; если же добавить
условия у > 0, £>0, *=7^=1, то получим равносильную систему.
Из первого уравнения
х=\Ла?, где а>0, аф\.
Подставляем во второе и находим
у = 2а — У&.

12.1] ГЛ. 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 367
Условие 2а > \/а*, т. е. 8а3 > в4, приводит к
дополнительному ограничению на а:
в<8.
Ответ. При 0<а<1, 1<а<8 и при *>0, Ьф\
x=l/tf, у = 2а—Уат.
11.30. Пусть 3*+1 = и, 3y+z~* = v, тогда первые два
уравнения примут вид
7и —6г> = 9,
2а+г? =27,
откуда и = 9, в = 9. Следовательно, x~l, a y-\-z—х = 2,
т. е. y + z = 3.
Последнее уравнение данной системы примет теперь
простой вид
lgj>z = lg2,
следствием которого будет
yz = 2.
Решаем систему
iy + Z = l' откуда |Л = 1. Ь.-2.
\ j«r = 2, \ г1==2; \ г2=1.
Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной
системы уравнений.
Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).
Глава 12
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
12.1. В первых квадратных скобках после упрощений
2
получим -:—, вторые квадратные скобки заключают в себе
выражение
4 (1—sin х cos x)
3sinax
Таким образом, первое слагаемое принимает вид
I
2(1—sin х cos х) *

368 решения [12.2
Второе слагаемое легко приводится к виду
cos*—sin*
2(]—sinA'cosx) (sin jc+cosx) '
--, sin -v
Ответ.
sin3Jt-f cos3* "
12.2. Так как сумма углов 30°—а и 60°—а равна
90° —2а, то
tg [(30°-а) + (60°-а)] = ctg 2а,
НЛП
tg(30°—q) + tg(60° —а) = 1
1 — tg(30c— «)tg(60°—«) tg 2а '
откуда следует наше тождество.
12.3. Рассмотрим выражение
Ctg* +4-tg ^+~ tg-J+ • ■ ■ + ^ё& .
Так как ctgjc^y f ctg |—tgy V то
Ctg^+ytg-g-^yCtg-g.
Аналогичные преобразования можно продолжить и дальше:
yCtg-2+^-tg-p-^^ctg^,
2«-i c* 2n_1 "■" 2" ^ 2" 2й 2" '
что и доказывает тождество.
12.4. Перепишем равенство
sin a cos (а + Р) = sin p
в виде
sin а cos (а-f Р) = sin [(а+ Р) —а],
т. е.
sin a cos (а + Р) = sin (а + Р) cos а— sin a cos (а + Р)>
или
2 sin a cos (а + р) = sin (а + Р) cos a.

12.61 ГЛ. 12. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 369
Из условия следует, что cos (а+ 6)^=0 и cosa^O.
Разделим последнее равенство на cos(a-{-B)cosa. Получим
2tga-fg(a + B).
12.5.
„ . я я 2я An
я 2я 4я 2sinTcosTcos^cos^
cos -=- cos -=- cos -=- = ,
l.l 7 . . Я
2sm-y
Применяя последовательно формулу синуса двойного
1 . 8я 1 . я
угла, приведем числитель к виду -j- sin -=- = — -j sin — .
Ответ. —-г-.
12.6. Вычислим вначале произведение косинусов:
я 2я Зя 1 _ . я я 2я Зя
cos -^- cos-=- cos-=- = 2sin-=- cos-=- cos-=-cos-=-=
I l I „ . П I I I I
2sm-y
1 о . 2я 2я Зя 1 „ . 4я Зя
• 2sin-=-cos-=-cos-=- = — • 2 sin -=- cos -=- =
' . Я 7 7 7 0 . я 7 7
4 sin -=- 8 sin -у
1 0 . Зя „ Зя 1
• 2 sin -=- cos -=- = -5-.
я -—* 77 8
8sm-y-
Теперь вычислим произведение квадратов синусов,
умноженное на 8:
8. о я .о. 2я . « Зя
sm2 -=- sin2 -=- sin2 -=- =
= (l-cos^)(l-cos^)(l-cos-^)
Раскроем скобки и преобразуем каждое произведение двух
косинусов в сумму косинусов. После приведения подобных
получим
о . , Я . „ 2я . « ЗЯ , 2я „^ 4Я „„„ 6я
8 sm2-=-sin2-=-sma-=-=l— cos-у- cos-у- cos-^- =
2я Зя „ я 7
== 1 — cos -=- cos -j- cos -у- = -g-.

370 решения
[12.7
Теперь можно найти произведение тангенсов.
Ответ. YT.
12.7. Преобразуем правую часть равенства, которое
нужно доказать:
аА + ЬВ Ь ' fl"1"1
аВ + ЬА а . А
и воспользуемся условием. Получим
sin (х—а) соз(х—а) .
аА+ЬВ _ sin (х—Р)' cos (х~Р) + _
аВ+ЬА sin(x—а) cos(x—а)
sin(x—Р) + cos(x—р)
sin (х—а) cos (х—a)+sin (х—P) cos (х—-fl)
sin (x—а) cos (x—p) + sin (x—p) cos [х-^Щ ~
уЫп2(х—o) + sin2(x—Р)1
e sin(2x—а—Р) =
sin (2х—а—р) cos (а—Р)
1=5 sin(2x-a-p) =cos(a —P).
12.8. Доказательство представляет собой цепочку
преобразований
sin (х+у) sin (х—у) = sin2 х cos2 у—cos2 лт sin*ji =
= ft2 sin2у cos2 j/—cos2 x sin1 у = sin1 у (ft2 coss^ _ cos2 x).
Так как cos2jc=1—Azsin2^, то выражение в скобках равно
ft2—1. По условию — 1<А<1, т. е. А2 —1^0, и,
следовательно,
sin (я +у) sin (х—у) < 0.
12.9. Вычислим a2 + fc2:
а? _j_ 1,2 _ 2 + 2 (cos a cos p -f sin a sin |J) =
- 2 +2 cos (a-p) - 4 cos2 ^ ♦

12.11] ГЛ. 12, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 371
Теперь преобразуем правую часть равенства, которое нужно
доказать:
4а 4 (sin ос-f sin P)
а*+Ь*+2Ь=* . в а—в =
' ' 4 cos2 ^-r- + 2 (cos a -f- cos P)
„ . а + p a—p . a+P
2sin—P^cos—2-£ .sm^-^
,«=P|
. ( «—P , «+P\~ 'a P "
cos n '- ( cos—7j-£ + cos—~ 1 cos-s-cos-y
. a P , • P a
sl„_cos_jl+sln_cos_ a
= a P =*Т + *ТГ»
cos ~y cos -^-
что н требовалось доказать.
12.10. Обозначим sin8 a = a, s\n2$ = b, sinsy=c. Тогда
данное в условии соотношение примет вид
(1 _0) (1 _ь) (1 - с) + (1 -а) (1 -Ь)+
, 6с , ее
1.
т(1_Ь)(1_с)-г(1_в)(1_с)-
т. е.
2abc+ab{\— c) + bc{\— a) + ac(l— 6) —
— (1 —a)(l—*)(1 —с) = 0.
После того как будут раскрыты скобки и приведены
подобные члены, получим
— 1 + с + & + а = 0,
что в первоначальных обозначениях соответствует равенству
sin2 a -j- sina P -j- sin2 у = 1.
12.11.
sin
asinfa+-g-j sinfa+-g-j sin f a+-5-j
cosacos («+-§-) cos'(a+-g-J cos f oH—s-j
sin a sin I a -\—g-1
~* / , 2я\
cos a cos I a H—5- J

372
РЕШЕНИЯ
[12.12
sin
cos
asin(a+-g-)coS(g+2f)
acoS(a+i)cos(a+^)
+
i f a -f- ■% J sin (a +-£-) cos a
COS(
i a cos f a +-£ j cos ( a +^-J
sin a sin fa H—^-J cos («+-?-)
cos a cos («-b-^-J cos (a+-^-j
sin a — sin-^--}-sin (л + 2a) -f cosa cos-j- —cos (я+2а)]
cosa cos-^-+cos (я+2а)
я
sin—-f-sin (я+2а)
+
cosa
cos -5- + cos (я -f- 2a)
— sin a sin 2a-{--=-cos a-j-(cos a-cos 2a—sin a-sin 2a)
-=- cos a—cos a cos 2a
—-=-(cosa—cos 3a) -\--^- cos a -f- cos 3a
-cos 3a
-я- cos a — — (cos a + cos 3a)
1
cos 3a
При преобразованиях мы пользовались формулами
преобразования произведения тригонометрических функций
в сумму.
Ответ. —3.
12.12. Так как
ctga + ctgv = 2ctgp и р = -^—(a + Y)>
ctga+ctgY = 2tg(a + Y),
то
или

13.21 гл. 13. тригонометрические уравнения и системы 373
Углы а и у острые. Поэтому ctga> 0 и ctg-p> 0 и на
их сумму можно сократить:
1= ?
ctgactgY—1 '
откуда легко найти произведение котангенсов.
Ответ. 3.
Глава 13
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
13.1. Так как ]f2 sin (x-{--j) =s'mx-\-cosх, то
1 -f- sin 2x+2 cos 3x sinx-\- 2 cos 3x cosx =
= 2 sin x+2 cos 3jc + cos 2лг.
Объединим одночлены, содержащие cos 2>x и все оставшиеся
одночлены:
2 cos За; (sin jc + cos x—1) -f 2 sin л; (sin x + cos at — 1) = 0.
Получим уравнение
(sin x -\- cos x— 1) (cos Ъх+sin x) — 0.
Если sinAr + cosji: = 1, т. е. cosfjc—-7-)=-^=, то
г» . Л 1 П
дг = 2ля±т + т.
Если cos 3* + sin x = 0, т. е. cos3at = cos (у+дг), то
ля л i я
ЛГ=±~- И Х = ПП + -£.
Ответ. 2пл; 2яя + у; -g—-g-; ля + -^-.
13.2. Данное уравнение можно преобразовать так:
sin*x _ 1—cos* 1—cos2x_l —cos*
cosax — 1—sin ж' 1—sin2 *— I—sin x'
или
1—cos л: /1 + cosx 1 \ — n
1—sin*\l + sinx J

374 решения [13.3
Последнее уравнение равносильно системе
f (1—cos л;) (cos*—sinjt) = 0,
\ sin2хф\.
Решая уравнение этой системы, найдем
cos х = 1, откуда х = 2kn,
cos дг = sin лг, tgjt=l, откуда x=-j+fm.
Так как при л; = 2£л и x = -j--\-kn условие sin'Ar^l
выполняется, то найденные значения х являются корнями
данного уравнения.
Ответ. дг = 2Ал
13.3. Поскольку
Ответ. лг = 2Ал; x — -r + kn.
. „ sin8* 1—cos'x
тег- X := ———— =
ь cos8* 1 — sin8* '
мы приходим к уравнению
t —cos8* _ 1 —cos3*
1— sin8x — 1—sin3* *
Левая и правая части этого уравнения содержат общий
множитель ,~ . . Поэтому уравнение можно записать в виде
I—sinx
1—cosx П+cos* 1+cos x+cos8x\ _0
1—sinx \I-f-sinx 1 -f- sin * -f- sina x /
Первые корни получаем из уравнения cos x=1, откуда
лг = 2Ая.
Остальные корни найдем, приведя к общему знаменателю
дроби, стоящие в скобке, и выполнив вычитание. Получим
уравнение
sin8 х+cos x sin8 *—cos8 *— sin x cos3 x _ ~.
(1—sin8*)(l+sin*+sin8*) ~" "
Числитель легко разложить на множители, если
сгруппировать однородные члены:
(sin8 х—cos2 x) -f- sin x cos x (sin x—cos x) =
= (sin x—cos x) (sin x + sin x cos x + cos x).

13.4] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 375
Знаменатель можно отбросить, так как при cos х = 0 ни одна
из скобок в разложении числителя не обращается в нуль.
Заботиться о том, чтобы 1+sinx+sin2A: не обращалось
в нуль, не нужно, так как это выражение всегда
положительно.
Если sin*—cosat = 0, то tgje = l, откуда x — ^-+kn.
Остается решить уравнение
sin х -+- sin x cos x -f- cos x = 0.
Мы знаем, что (sin x -+- cos x)2 — 1 + 2 sin x cos x. Отсюда
SinXCOSA: = - !—s— .
Сделав такую замену в оставшемся уравнении, получим
квадратное уравнение -относительно у = sin x -J- cos x
у2 + 2у—1=0.
Корни этого уравнения
Записав sinjc + cosje в виде j/^cosfje—-^-J, мы
убедимся, что корень ух =— 1—}/2 является посторонним.
Остается
откуда
х = 2Ая ± arccos М — -^ j -f-|-.
Ответ. 2kn; ^--\-kn; 2 А л ± arc cos (1 -^=]4--7-.
13.4. Данное уравнение эквивалентно системе
J sin 2x sin 7x = cos 2x cos 7x,
\ cos 2x cos 7х Ф 0.
Преобразуя левую и правую части уравнения в сумму

376 решения (13.5
тригонометрических функций, мы получим уравнение
cos 9х = О,
откуда х = ^{2п + \).
Из найденных значений х нужно выбрать те, при которых
cts 2х cos 7x Ф О,
т. е. cosЪх-J-cos9хФО.
Так как речь идет о значениях неизвестного, при
которых cos 9л: = О, то остается потребовать, чтобы
cos 5x Ф О,
т. е. 5.jg(2fl + l)=jfcy(2A + l), откуда Ъ(*\+Х) ф2к + \.
., 5(2л + 1) л
Число ——^—- не может быть четным, так как в его
числителе лишь нечетные множители.
Оно будет целым, когда —~- = 2/я-|-1, т. е. при
п — 9т.+ 4.
Следовательно, корнями уравнения являются числа
jc = ~(2«+l) при пф9т + 4.
Ответ. £(18/» ±1); £(18да±3); ^(18/»±5);
_/1Я* _L. 7\
18
те (18л ±7).
13.5. Если запишем данное уравнение в виде
1+1^ = 2 sin*,
то получим равносильное уравнение. Однако дальнейшие
преобразования заставляют нас ввести ограничения:
(
(l+tg*)tg*
1 + tgJC '
+ tg*
tgx&0

43.6) ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 377
Далее
(tg л; = 2 sin jc,
tg* + l¥=0,
tg*^0.
Когда tgAr^O, то и sinje^O. Это означает, что первое
уравнение можно переписать в виде = 2, откуда
cosji; = y> что обеспечивает выполнение всех ограничений.
Ответ. 2пп ± тг.
13.6. Прибавив к обеим частям уравнения tg3;c, получим
3 (tg Зх—tg 2х) = tg Ъх (1 + tg2 2х),
или
3sinx sin 3jc
cos 3x cos 2x ~~ cos 3x cos2 2*"
Последнее уравнение эквивалентно системе
' 3 sin л: cos 2x—sin Зх = О,
cos Здг 9^ О,
cos 2лг Ф 0.
Решим первое уравнение. Для этого представим
произведение sin x cos 2x в виде разности синусов. После приведения
подобных членов получим
sin Ьх = 3 sin х.
Воспользовавшись формулой синуса тройного угла, придем
к уравнению
sin л; (3—4 sin2 х) = 3 sin x,
или
sin8 х = 0,
откуда л: = лА.
Легко проверить, что при # = яй ни cos2jc, ни cos3at
в нуль не обращаются.
Ответ, nk.

378 решения [13.8
13.7. Преобразуем уравнение следующим образом:
(sin л: + cos х) (1 — sin х cos x) -\- ~= sin 2x sin (х+-£) =
= sin (-£-—х J + sin Здг,
Так как sinx + cos x= }/2sin [~r + х ], то придем к
уравнению
sin (т + Л) =V^sin (-J + x) cos (f —2дг) .
Если sin (т+■*) = °> то ■ЛГ1 = х(4л — !)• Остается
Vr2cos(-J-2x) = l>
откуда
*■_ = ЯТГ V- —.
ха = лл, ■«з = т(4л + 1)-
Серии чисел хх = -^(4п—1) и x3=-j(4n-{-\) можно
объединить: хх — -^ (2я -|- 1).
Ответ. £(2л+1); ля.
13.8. Перепишем уравнение следующим образом:
4 (tg 4лг— tg Зх) = tg 2x (1 + tg Зх tg 4*).
Приведем выражения в скобках к виду, удобному для
логарифмирования:
4SinX :tg2* C0SX
cos Ax cos Зх 6 cos 4x cos 3x
Уравнение равносильно системе
' 4 sin x = cos jt tg 2x,
casZx=f=0,
cos4.*=^0.

13.9] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 379
Так как cos а-= 0 не удовлетворяет уравнению, то его
можно переписать так:
4tg* = tg2jff,
или
Мы воспользовались неабсолютным тождеством, которое
исключает из области определения те значения х, при
которых tgx не существует. Однако tg* входил в предыдущее
уравнение, а потому существует, и потеря корней произойти
не может. Из последнего уравнения, если tgx = 0,
получаем х = пп.
Если tgje^O, то 2 — 2tg2jr = l, tgx = ±-^z=. Так как
собЗдг и cos 4л; не обращаются при этом в нуль, то можно
написать ответ.
Ответ, яя; nn±arctg-^=.
13.9. Уравнение можно переписать так:
У"2|в1п-|-| + У"2|сов|-|
■ ! ' ■ = 4 sin х.
cosx
Поскольку 0 < х < 2я, то 0 < ^~ < я и sin— > 0. Однако
cos -н- в этом интервале меняет знак, и нам придется разбить
интервал на два: Q< лг ^ п и я<дг< 2п.
Если 0 < х ^ я, получим уравнение
-tg- sin у + "V cos у = sin 2x>
у которого может появиться лишь один посторонний корень
при cosjc = 0.
Перепишем последнее уравнение так!
sm(! + £)=sm2*,
и найдем его корни из интервала 0<д;^яг #1=-дч

380 РЕШЕНИЯ ИЗ. 10
х* — 1о" * tLcnn n < ■* < 2я, придем к уравнению
У"2 . л: 1/"2 х
~2~ S1" ~2~^~ cos "2"= sin 2лг
ИЛИ
*f~2 4 ) = sln ^"*«
которое даст нам еще два корня: х3=~, at4 = J|k.
Очевидно, что для полученных углов cosjc^O.
Ответ — • Зя- 7я- 13л
итвет- Т' То"' Т' То"-
13.10. Перенеся sina в левую часть, запишем уравнение
а виде
2sin|cos^^2sin|-cos|-,
или
Sin|(cos^_cos|) = 0.
Если sin-g- = °, то дг = 2ля при любом а. Если cos^^
= cos —, то либо -
• = 2ля,
2
х — 2а , х
откуда л: = 2ля-)-а, либо
х— 2а ж „
—§ Т = 2ля,
откуда а = 2ля.
Ответ. При любом а: 2лл; 2/m-j-a; при a = 2nit
х—любое.
13.11. Уравнение равносильно совокупности двух
уравнений
cos 2* = sin2 лс—a, cos2jt = a—sin2jc
Понизим степень в правой части каждого уравнения и найдем
cos2>: = —к—, cos2Ar = 2a—1.

'13.12] ГЛ.13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 381
Первое уравнение имеет решение, если
— 1<-Ц^<1, т.е. —1<я<2.
Второе уравнение имеет решение, если —1^2с—1^1,
т. е. O^a^l. Данное в условии уравнение при —1^а^2
имеет решения
1 1—2а
х = я/z ± ~2 arccos —к—,
а при 0^а<[1 решения
х = пп ± -g- arccos (2а—1).
Так как
0^-g-arccos—g—^-9" и O^y arccos (2a —l)^^!
то легко найти решения нашего уравнения, которые попадут
в интервал 0^л:^2я.
Ответ, у arccos ~ ; я ± у arccos-~Т ;
о 1 1—2а
2я — у arccos —^—
(существуют при — 1 ^ а ^ 2);
-2-arccos(2a — 1), я'±-д-arccos (2 a— 1); 2я—g-arccos(2a—1)
(существуют при O^a^l).
13.12. Преобразуем подкоренное выражение следующим
образом:
sec2Jc(17 + 8sinA:— 16cos2*) = sec2*(l + 8 sin*4- 16sin2*)=i
= sec2 x (1 + 4 sin x)2.
Данное уравнение принимает вид
|1+«Ч°«1=2 (1+48ta*).
I cos ж I -ъ \ 1 '
Если 1 + 4 sin jc = О, то дг = ля + (—l)n+1 arcsin ^-. Это—
корни нашего уравнения, так как cosje=5£0 и tgJf существует.
Если 1 + 4 sin х Ф О, то придется рассмотреть два
случая, зависящих от знака этого выражения.

382
РЕШЕНИЯ 113.13
Пусть 1 +4sinx>0, т.е. sin*>—~. Тогда мы при-
дем к уравнению
|T5j7y = 2tg*. или 2tg*|cos*| = l,
которое равносильно совокупности систем
sin at = -j, ! sin* = — -j,
k cosjf>0; •( cosa:<0.
Вторая система не имеет решений при sin х > — -у.
Решение первой: # = —- + 2ля.
Пусть, наконец, 1-}-4sinдг<0, т. е. sin#< — -у.
Уравнение
2tgx\ cosjc| = —1,
к которому мы приходим в этом случае, равносильно такой
совокупности систем:
( ■ 1 (
s\nx = —-7£, I
cos#>0; (
1^
2
cosje<0.
sin x = -j>
Вторая система не имеет решений при sinjc<;—-у, а
первая дает нам х = — ^--J-2/ш.
1 я
Ответ. ля-)-(—l)n+1atcsin-y; ±-g--f-2ля.
13.13. Поскольку tg д; -Ь sin лг = tg д: (1 -)-cosjt) =
= 2 tg x cos2 (дг/2), a tg x— sin# = 2tg*sin2(Jf/2), данное
уравнение можно записать в виде
/2tgVs*(|cos|-j-|--|sin|- — j/lcosje^O.
Первые решения получим при tgje = 0; x — kn. Остальные
решения нам доставят корни уравнения
I cos ~ | +1 sin -j I = j/"2 cos x,

13.14] ГЛ. 13, ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 383
при которых tgAr>0 (случай tgje = 0 уже исследован).
Решим вначале последнее уравнение, а затем исключим те
решения, которые не удовлетворяют неравенству tgjt>0.
Возведем это уравнение в квадрат и, чтобы не нарушить
равносильности, добавим ограничение cosJt^O. Получим
систему
[ 1 +1 sin х | = 2 cos* x,
\ cos x ^ 0.
Так как 2cos*jc —2 — 2 sin*je = 2 — 2 [ sin л: | ^
то придем к уравнению
2 [ sin л; Iа +1 sin * | — 1=0.
Решая его, найдем
Так как | sin х \ ^ 0, то остается решить уравнение
| sin л; | = -g-, т. е. sin*=±y,
корнями которого будут
x = kn±~.
Если £ = 2л, то cosx = cos f ±-g-J > 0; если же к — 2и 4-!»
то cos х = cos (п ± у J < 0.
Остается вспомнить, что tgje>0.
Ответ, Ait, -^- + 2йл,
о
1 I-f-tg22x
13.14. При замене •-. g на 2tg2x можно ожидать по*
тери корней, при которых tg2jc не существует, или, что
то же самое, cos2jc = 0. Однако при cos 2x = 0 обращается
в нуль и sin 4л:, т. е. потери корней не произойдет.

384
РЕШЕНИЯ
113.14
Так как в левую часть уравнения
ctg2*+3tg3* = 2tgA.- + (l-r.tg*2*) ^
входит ctg2.v, то, заменив j—-^- на ctg2jf и раскрыв скобки,
мы уничтожим в правой и левой частях ctg 2*. Замена
щ-jk = cig 2л; грозит л>циь приобретением корней, при
которых tg2x не существует, т. е. безопасна, так как tg2.v
остается в уравнении. Когда происходит уничтожение
одинаковых слагаемых ctg2.v, то нужно добавить к уравнению
3tg3x = 2tgje + tg2Ar,
условие
ctg 2л: существует.
Мы воспользовались попутно неабсолютным тождеством
tg 2х ctg 2х = 1, которое не приводит к приобретению
посторонних корней, так как tg2jc и ctg 2л; остались в системе.
Преобразуем уравнение следующим образом:
2 (tg 3* - tg x) + tg Зх - tg 2х = О,
т. е.
2 sin Ъх . sin л; fi
cos Зх cos x ' cos Зд: cos 2x
Теперь систему можно переписать так:
2 sin 2x cos 2x -f- sin x cos x =■ О,
sin 2x Ф О,
cos Зх фО,
cos 2x Ф О,
cos хфО.
Так как sin 2хф0, то на него можно сократить.
Получим уравнение
cos 2х = — -т-,
откуда х = ± -Q- arccos (— -Л-\-кп. Поскольку при этих
х все ограничения выполняются, найденные значения
являются решениями данного уравнения.
Ответ. ± -=- arc cos (— X J + *я-

13.16] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 385
13.15. Данное уравнение равносильно системе
sin х2 +~"cos х2 -j-1 = sin х2 cos х2,
sin x2 ф О,
cos х2 ф 0.
Пусть sin X2 + cos x2 =у. Возведем это соотношение
в квадрат:
1+2 sin jt2 cos x2 =y2,
откуда
sin х2 cos х2 = г ГТ- .
После подстановки и простых преобразований уравнение
примет вид
у2 — 2у—3 = 0,
откуда уг——1, у2 = 3. Второй корень посторонний, так
как sin х2 -{- cos x2 всегда меньше двух.
Если
sin х2 + cos х2 = — 1,
то
«■(*■--?)=- у?
и
*« = 2ля±х + Т-
Взяв знак плюс, получим л;2 = л(2я+1). Этот корень
посторонний, так как sin х2 Ф 0.
Для знака минус получим, что jc2= g-\-2nn. Это
тоже посторонний корень, так как cos х2 Ф 0.
Ответ. Нет решений.
13.16. Данное уравнение равносильно системе
J 6sinx—2 cos3 x = 5 sin 2x cos x,
\ cos 2*^0.
Уравнение можно привести к однородному, домйожив 6 sin л:
на sin2je-|-cosajt:
3 sin3*—cos8*—2 sin x cos2 x = 0.
'3 E. Б. Веховский. А. А. Рыбкин

386 решения [13.17
Обозначим tg x через у, получим
3/—2у—1=0,
пли
(y-i)(3ys+3y+i)=o,
где квадратный трехчлен не имеет вещественных корней.
Остается >=»1,т. е. tg.* = l, х = ~ + пп. Однако cos2*
при х = ^~\-пп обращается в нуль.
Ответ. Нет решений.
13.17. С помощью формул универсальной подстановки
придем к уравнению относительно у = tg -~ :
у(2у3 — 7уа—2у+1) = 0.
13 результате такой замены могли быть потеряны корни, так
как tg-д- теряет смысл при х = п (2k -)-1), в то время как
sinx-, cos л: и tgjc при этих значениях х имеют смысл. Про-
керкой убеждаемся, что эти значения неизвестного не
являются корнями исходного уравнения.
Один корень полученного алгебраического уравнения
очевиден: у = 0. Втррой мы найдем на основании теоремы
о рациональных корнях многочлена, испытав у = ±1; dry •
Убеждаемся, что у = — -я-—второй корень уравнения.
Разделив многочлен 2у3—7у2—Чу +1 на 2у + 1, получим уравнение
/—4у+1=0,
которое даст еще два корня: у = 2-\-уЪ, у = 2—уЪ.
Если tg| = 2 + Vr3; то sinх = Щ*р^=Ъ; тоже
самое мы получим-и при tg-g- = 2—КЗ.
Итак, x=^+2kn, x = ^r- + 2kn. Последние два
значения неизвестных нуждаются в проверке, так как при

13.19] ГЛ. 18. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 387
2tg|
использовании формулы = sinx возможно лриобре-
1 + tga-J
тение корней.
Ответ. 2nk; |-+2Ая; ^ + 2Ая; 2nk—2arctg-^-.
13.18. Понижением степени данное уравнение приводится
к виду
3
2 cos х = 1 -|- cos -к х.
С помощью формул для косинуса двойного и тройного
угла приходим к уравнению относительно у = cos -jj- :
4у»_ 4у8—3,y-f 3 = 0.
Левую часть легко разложить на множители»
4/0,_1)_3 0'_1) = 0,
tV-l)(4/-3) = 0.
у V
Если cos-2-=l, то лг1 = 4ял. Если 4cos2 -^=3, TO
cosAr = -2" и дс2 = 2ял±-д-.
Ответ. 4я«; 2ял ± у.
13.19. Преобразуем выражение, стоящее в квадратных
скобках:
2 + ctg*+ctg (il_j»;) = <l+ agx)+ [i+c*e(j-x)} =
sin f-?-+x ] _
= ]/2_Д* ^+/2-
sin
cos (^-—xjsin f-^-—xj + sinxcos
= у 2 ■
V7. cos2*4-sin2* sin(r+2*J
sin x sin
13*
sin [ -;—x 1 sinx
sin
z cosiat-j-sinzx _
(-?-—x] sinxsin \-^—x)

388 решения [13.19
Теперь приведем к виду, удобному для логарифмирования,
правую часть уравнения:
2 УТ( 1 + sin 2х + cos 2х) = 41/"2 cos x (sin x + cos x) =.
= 8 cos* sin ( ■£■ + *).
В итоге получаем уравнение '.
sin 4x sin (-£+2*) .
\± f = 8cos*sin (£+*).
sin д: sin I -g—x) ч '
которое равносильно системе
f sin 4* sin Г ~-f 2 И =8 sin* cos л: sin Л*— x\ С05Л*__Х\ (
sin x sin f —-—д: J =j&0.
Условие sin * sin f-2.—лм^О подсказывает, что удобнее
в левой части уравнения заменить sin 4» на его разложение,
стоящее справа, чем наоборот. Сокращая после этого обе
части уравнения на 8sinxsin 1-j-—х\фО, получим
уравнение
cos*cos (~—*J sin (-J+ 2*]— 1 =0.
Среди корней уравнений cos* = 0 и cosf-^-—*J=0 не
может быть таких, при которых slnjrsinf-j-—*J«=0.
Остается проверить корни уравнения sin (-|--г- 2х\ ■»!.
Преобразуем вначале условие, которому они должны
удовлетворять: sin* sin (-j-—х\ф0, или с°М-~—2*J — cos^-фО,
т. е. cos (т"~ 2лг) ^ W' ИЛИ Sin (т + 2х) фЩ * Тепврь

13.20] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 389
ясно, что в уравнение sf п (-j-+ 2лм = 1 не попали
посторонние корни.
Ответ. -^-Ц-ля; —-^- + ля; -^-\-пп.
13.20. Данное уравнение можно записать в виде
•я- cos Зх—я" cos ^-* — ~о cos * + Т cos «>■* =
= i-cos3jr + ]/2jcos-|-|.
После приведения подобных получим
—i cosx = l/^l cosу J,
т. е.
-l(2cos^-l) = K2|cos||.
Обозначив cos-н'—З'» придем к квадратному уравнению
2j/2-b2j/2>—1=0,
корни которого j>1|2 = ~ g . Один из корней
отрицательный, а потому посторонний. Остается
х I 2—VI
т. е. cos^ = ±—Х^.
Хотя можно было бы уже написать решения этих
простейших уравнений, мы перейдем к синусу, что позволит
объединить оба ответа:
2—^2
sin
откуда
X
'°(*-т)-*:
= 2ля+7я+2(—l)"arcsio (=F2 /^) =
= 2 ля
2—^2
= 2ля + 7я± 2aresin2 5 -■
Ответ. 2 яя-)-7я ± 2 arcsin -

390 решения [13.21
13.21. Так как sin 4л: = 4 sin х cos х (2 cos8 х—1), то
данное уравнение можно переписать в виде
sin* |4 cos л: (2 cos2 je— 1) —1 *=0.
Если sinjf = 0, то дг = Ал. Это—корни данного
уравнения, так как cosfeit=?fcO,
Если выражение в квадратных скобках равно нулю, то
приходим к биквадратному уравнению
8 cos4.*—4 cos2 л;—/и = 0,
среди корней которого не должно быть cosat = 0.
Решая это биквадратное уравнение, получим
cos**,-1±*/',+2m
С2 *• = .!
4
Так как т > 0, то перед корнем берем знак плюс.
(Очевидно, что при этом cos л =5^0). Воспользуемся формулой
a l+cos2*
cosa х = ——s
и преобразуем уравнение к виду
Правая часть этого уравнения положительна. Поэтому,
чтобы уравнение имело решение, достаточно
-1+^Г^"<1, т.е. VT+2^3,
откуда го ^4.
Ответ. При го>0 уравнение имеет решение лг = /ш; при
0</я<4: .
■* = ±|arccos-1 + f+^+/m-
13.22. Раскроем скобки и применим формулу
преобразования произведения синусов в разность косинусов:
(COs|_coSJ) + (cosf-«4) + ...
, / 199д: л 201х\ . 101*
.. . + (cos -g cos -^-I =sm -^-.

13.24] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ЗЭД
Приведя подобные члены, получим
х „„ 201* . 101* _ . 101* , с- „: 101* п
cos у—cos-5- = sm-y, или 2 sin -=- sin 50л:—sin-^- = 0,
откуда
. 101* п Ъхл
s!n-2- = 0' *i=JoT'
Ответ —4-/— n»JL- 2пя
итвет' Б0+{ '' 300* ТОТ"
13.23. Так как
sin kx sin k2x=y {cos [(ft — 1) fox] — cos [k (k -\-1) x]},
то уравнение можно переписать в виде
1—cos 2.*-}-cos2л:—cos 6л: 4-cos 6л:—cos 12л; + ...
...-)- cos [(л—2) (л— 1) х]~cos [(л— 1) пх] +
+ cos [(л — 1) пх] — cos [л (л +1) ■*] = 2,
откуда
cos [л (л + 1) х] = — 1,
2ft-I-1
л(л+1)лг=(2А+1)я, х=,п{п^1)п.
2ft 4-1
Ответ. , , ,. я, где л = 0, ± 1, ±2, ..., а натуральное
П(П-|-1)
л фиксировано.
13.24. Перенесем единицу в левую часть и запишем
уравнение в виде
.2 cos х—cos 2x—cos2 2x = 0,
или
2 cos х—cos 2x (1 + cos 2x) == 0.
Выражение в скобках равно 2cos2*:. Поэтому
cos х (1 — cos x cos 2x) = 0.
Если cosjc = 0, то х = -~--\-птс.

392 решения [13.25
Если cos jt cos 2дг= 1, то
лнб° {Z<>T\' либо (cov=~!'
(cos2.*=1, J cos2je = — 1.
Второе уравнение первой системы преобразуется к виду
2cos* л'—1 = 1, т. е. cos2 х — 1. Следовательно, cos х = 1
и ;с = 2ля.
Для второй системы аналогично получим cos2 x = 0, что
несовместно с первым уравнением cosa: =—1.
Ответ. —-Ц-ля; 2ля.
13.25. Данное уравнение эквивалентно совокупности двух
систем
[ cos(nVrJe) = l, f cos(nVrje) = —1,
l cos (я]/ х— 4)= 1; \ cos (я Ух—4) =—1.
Первая система может быть переписана так:
}пУх = 2лк, |ш1 \ Vx = 2k,
\nVx- 4 = 2ял, \Vx — 4 = 2л,
откуда
{J-S + 4. *.*-0. 1.2. .-
(Для Аил берутся только неотрицательные значения.)
Приравнивая различные выражения для х, получим ft2 = ла -}-1,
откуда (к—я)(А + й) = 1. Так как к и л—целые и
неотрицательные, то А=1, л = 0.
Теперь л: определяется однозначно: лг*=-4.
Решаем вторую систему:
JV5~2A> + 1, ix=(2k+\)*,
\Vx^i**2n + \; \х = (2п+Ц* + 4,
где к, л = 0, 1, 2, ...
Приравнивая правые части последней системы, получим
(2А+1)2—(2л + 1)2 = 4,
т. е., разлагая на множители и сокращая на 4,
{к—л)(А + л+1)=1.

13.27] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 393
Так как л и k—целые и неотрицательные числа, то
последнее уравнение равносильно системе
k—я= 1,
которая не имеет целых решений.
Ответ. 4.
13.26. Данное уравнение можно переписать в виде
sin3 х + cos8 x = sin8 x -f cos2 x,
откуда
sin2 x (1 — sin x) + cos8 x (1 — cos x) = 0.
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда
и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
/ sin8 л: (1 — sin х) = О,
\ COS2 X (1 — COSX) = 0.
Если в первом уравнении sinjc = 0, то cosjc^feO. Получаем
систему
{sinAr==0,
cos х = 1,
решения которой: x = 2kn.
Если в первом уравнении 1 — sin х = 0, т. е. sin х = 1,
то cos х Ф 1. Приходим к системе
sin х = 1,
cos x = 0,
решения которой: х = -к- (4ft + 1).
Ответ. 2kn; -|(4Л+1).
13.27. Дополним левую часть данного уравнения до полного
квадрата. Для этого придется ввести еще одно слагаемое:
cosxcos3Ar, знак которого зависит от знака cosx.
Рассмотрим три случая.
а) Если cos х > 0, то перепишем данное уравнение в виде
cos8 Зх+-г cos8 х—cos x cos Зх = cos Зх cos* x—cos3at cos x.

394
РЕШЕНИЯ
[13.28
или
Г «газ*—у cos х J + cos х cos Здг (1 — cos8 x) = 0.
В левой части стоит сумма неотрицательных выражений,
следовательно,
f cos Ъх=^ cos x,
I cos x cos 3x (1 — cdss x) = 0.
По предположению cos x > 0. Из первого уравнения
последней системы следует, что тогда cos Зд; > 0. Заметим, что
1 — cos3 х = (1 — cos x) (1 4- cos х + cos2 х), причем всегда
1 -f- cos x + cos2 x > 0. В итоге приходим к системе
f cos x = 2 cos Зд:,
I cosje=l,
которая несовместна, так как при cosjc=1 мы получим, что
cos3jc=1, а не у.
б) Если cosjc = 0, то cos Ъх = 4 cos3 х—3cos;e=0, и
данное уравнение удовлетворяется. Получаем совокупность
корней: д: = -5- + ля.
в) Если cos х < 0, то преобразуем уравнение к виду
( собЗдг+-<г cos * ) + cos 3-»? cos дг (—1 — cos8 x) = 0,
в котором снова оба слагаемых неотрицательны. Аналогично
случаю а), это приводит нас к несовместной системе
(закончить исследование самостоятельно).
Ответ, -я- + пп.
13.28. Данное уравнение равносильно системе
[ sin ах = 0,
I cosje=1,
решая которую найдем ax = kn и х — 2пл. Приравнивая
значения неизвестного, найденные из каждого уравнения,
получим
** = 2яя, т. е. — = 2л.

13.30] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 395
Это в том случае, если афО. Но если а = 0, данное
уравнение примет вид cos х = 1 и, следовательно, имеет
бесконечное множество корней.
Итак, k = 2na.
Если а = ——рациональное число, то k-
■■ ^-. Это зна-
чит, что при всех л, кратных q, мы будем получать корень
данного уравнения лг = 2лл, т. е. уравнение имеет
бесконечное множество корней.
Пусть теперь а—иррациональное число. Тогда при всех л,
кроме л = 0, k не будет целым, а уравнение будет иметь
единственное решение jr = 0.
Ответ, а—иррациональное.
13.29. Составим квадратное уравнение
корни которого гу =
то
2—У~2
sin# = £—-
z2-2z + -i = 0,
2—Y~2 _2+V~2
Так как г2 > 1,
secy =
2+Т^2
и cos^
= 2—J/2".
Ответ.
х = пл-\-(—l)Barcsin/l -=■ ] ,
у = 2kn ±arccos (2— V^)-
13.30. Перепишем систему в виде
cos (х—у) —2cos (х +у) = 0,
cos (x—у) + cos (х +у) = -|,
откуда
cos (л:—у) = 1,
cos(x+y)=Y<
т. е. <
х—у = 2пп,
x+y = 2kn±%.
(Обратите внимание, что в решениях разных уравнений
целочисленное переменное обозначено разными буквами. Объясните,
почему нельзя использовать общее целочисленное переменное.)

396 РЕШЕНИЯ [13.31
Ответ.
x = (n + k)n±^,
y = {k—n)n±~^,
причем берутся или только верхние, или только нижние знаки.
13.31. Перепишем систему в виде
{1 —sin2jr + 3sin>rsmjr = 0,
21 (1 —2sinaJC) — (1 —2sin2y) = 10.
Введем обозначения: sinx = u, sinj» = c Получим систему
\ &—3uv=\,
)21й2—^ = 5.
Воспользуемся заменой v=*ut:
)иг(21— /*) = 5,
откуда
т. е.
5(/«—3<) = 21— Р,
2Р—5t—7 = 0, 'i = y. <i—1.
Если ' = 4-, то из первого уравнения последней системы
мы получим
что невозможно, так как v = siny.
Если же < =—1, то и2 = -^-, ц = ±у
Приходим к совокупности двух систем

13.33] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 397
Tl_t/.-TIBIii лг = -£(-1)*+1 + *П,
Огвег.
13.32. Второе уравнение можно преобразовать так:
siay -f- sin (2x—у) — sin у,
т. е. sin (2л:—у) —0, откуда у = 2х -f- nn. Подставим в первое
уравнение системы
4tg3* = 3tg4A:.
При условии, что cos Злг ф^ 0 и cos 4л: =^= 0, это уравнение
3 sir
равносильно такому
или
4 sin 3jc cos 4л:—3 sin 4л: cos Зл: = О,
sin Зл: cos 4л:—3 (sin 4л: cos Зл:—sin Зл: cos 4л:) = О,
sin Зл: cos 4л:—3 sin x = 0.
Так как sin Зл: cos 4л: = -х- (sin 7л:—sin л:), то придем к
уравнению
7 sin х = sin 7л:.
По индукции можно доказать, что
sin пх =£^ п | sin х |,
причем равенство достигается лишь при x = fai.
Следовательно, уравнение 7 sin х = sin 7л? имеет решения х = кл.
При этом cos Зх- =?«= 0 и cos 4л: =f= 0.
Подставляя в выражение для у, получим
y = rm.
Ответ. х = ка, y = im.
13.33. Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:
2 = sin* у+ 5 cos2у,
< 1 I
откуда cosa^ = -j-, т. е. cos^ —±-5--

398
РЕШЕНИЯ
[13.34
Учитывая второе уравнение исходной системы, приходим
к совокупности двух систем
cos х = -Ц—
f cosy = — ±,
COSJC = — Z—r—
Возводя при решении оба уравнения в квадрат, мы могли
приобрести посторонние решения. Отсеять их можно просто:
достаточно выбрать sin л; и sinv так, чтобы они имели
одинаковый знак (для cos а- и cosj> мы это уже обеспечили).
Оба эти требования означают, что хну должны лежать
в одной четверти.
Решая первую систему, получим
'у = 2пп±~,
х ~ 2rcfc -+- arccos ■L-r-.
— 4
Значения х и у будут лежать в одной четверти, если мы
одновременно возьмем только верхние или только нижние
знаки.
Аналогично поступаем со второй системой.
Ответ.
х — Ink ± arccos 1~-, (х = 2nk ± (п—arccos ^~~),
^у = 2пп±.~; \у = 2пп±^-,
где одновременно берут либо только верхние, либо только
нижние знаки.
13.34. Так как sin -g— = 1, то
31x2 Я 1 О^»
откуда дг2 = 4лЧ-1 и х = ±У4п + 1, л^О.
Подставив во второе уравнение, найдем, что

13.36] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 399
Чтобы это равенство выполнялось, необходимо
3—]/4n-f 1>0, т. е. 92s 4л-И,
откуда л ^ 2.
Ответ.
1у = 3 — ]/4л + 1; y = V4n+l—3,
где л = 0, 1, 2. Всего 12 решений (10 не совпадающих).
13.35. Разделив второе уравнение на первое, получим
tgy = 2tgx. Так как х + у = п—г, то tgz =— tg(jx—z) =
= -tg(*+J>).
По формуле тангенса суммы получаем
tg^i-Л— lwtgxtgy 2tg** —1'
Применение неабсолютного тождества не приводит к потере
решений, так как tgjf и tgy входят в данную систему.
Подставляем в первое уравнение
3tg**
2tg*x—1— °'
откуда tg8х = I, je = kn ± я/4. Найти у кг теперь не
составляет труда.
Производя вычисления отдельно для x = kn-\-n/4 и для
х = кп—л/4, после проверки получим решение системы.
Ответ.
x = kn + %,
ly=rm + arctg2,
3it
г = -j—arctg 2—n[k-\-n);
x = kn—T,
у =nn—arctg 2,
5 it
l 2=-^- +arctg2—я(А-г-л).
13.36. Так как в уравнения системы входят одновременно
tgjc и ctgjc, tgjf и dgy, то неизвестные не могут принимать
кл „
значения -s-. С учетом этого данную систему можно записать
сначала так:

4°0 решения [13.37
а затем так:
Jtg*tgy + l=etgy,
ltg*tgy-H=2tgj;,
откуда aigy~2tgx.
Если д = 0, то tg* = 0, a clgjf не существует. Поэтому
афО и tgy = — tgлг. Подставляем в первое уравнение
системы
т.
Р(
и
с.
гшаем
последнее
находим tgy
2tg2*-
уравне
tgx =
to u —
-2otgAT-h
нне:
e± ]/fl2-
2
D± ]/fl'«-
c =
2a
>
2o
0.
Дискриминант стоящего слева квадратного трехчлена равен
а2—2а. Он неотрицателен, если а^О или а^2. Значение
а = 0 нужно исключить.
При остальных а ни tg x, ни tgy не обращаются в нуль
н существуют. Остается сделать проверку.
Ответ. Если а < 0 или а ^ 2, то
. e± j/a2— 2а ,
дг= arctg 2 Ь лл,
^ у = arctg ^ Ь Ая,
где одновременно берутся либо верхние, либо нижние знаки.
13.37. Перенесем siny и cosy в правую часть:
j sin # = sin a—siny,
\ cos л: = cos а—cosy.
Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим:
1 = 2—2 (sin a siny + cos a cosy),

13.37] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 401
1 т
т. е. zos(y—а) = у. Таким образом, у—а=2лп±-^
Аналогично найдем, что х—а=2Ал±-^.
Система еще не решена, так как при возведении в
квадрат могли" быть приобретены посторонние корни. Чтобы
сделать проверку, подставим x = a-\-2ksi± —■ и у = а-\-
Н- 2пп ± у в данную систему:
sin (a-\-2kn±:~J-j-sm(а + 2/т±у1 =sina,
cos ( a -f- 2&rt ± у J + cos (а + 2ля ± -у J = cosa.
Обратим внимание на то, что в этой записи не исключается
возможность выбора произвольных комбинаций знаков плюс
и минус для х и у.
Если в выражениях для х и у взять одинаковые знаки,
например плюс, то получим систему
2 sin f a-f- -5- J = sin a,
2cos(a-f-g-J = cosa,
откуда следует
tgfa+-f-J=tga или ctg(a + |-J = ctga,
что неверно при всех a.
Если взять разные знаки, то
sin (a -f- -jr) + sin ( a—у) — 2 sin a cos -5- = sin a,
cos (а + тг) +cos fa—-g-j = 2cosacos-g- = cosa,
т. е. каждое уравнение системы превращается в тождество.
Ответ.
* = 2Ая±у+а,
у = 2/ш 4= -j + а,
где берутся или только верхние, или только нижние знаки.

402
РЕШЕНИЯ
[13.38
Замечание. Найдя у = а + 2лл ± ~, можно было
искать х с помощью подстановки. Однако это не избавило бы
нас от необходимости делать проверку, так как в процессе
решения уравнения возводились в квадрат.
13.38. Первое уравнение перепишем в виде
sin (х—у) —cos Qx -\~y) = 2а.
Из второго найдем
cos (х -\-у) = cos 2arcsin ( a -f у) 1 =
= 1—2sin2 farcsin(c + -i-)l=l— 2(e + -J-V«.-J-—2aa—2a.
Следовательно,
sin {x—y) = 2c -\- cos (д: -\-y) = -=■—2a2= —к—.
Прежде чем решать систему
х+у = 2 arcsin (с + -jj .
sin (л:—_у) =—g—•
0)
выясним, при каких а она имеет решение.
Первоначальная система накладывает на параметр а такие
ограничения: | а\ ^ 1, а-)- у ^1, где первое—следствие
того, что в левой части первого уравнения стоит
произведение синуса и косинуса, а второе — следствие определения
арксинуса.
Поскольку при преобразованиях исходной системы
равносильность не нарушалась, то нет необходимости учитывать
первоначальные ограничения, так как они будут содержаться
в ограничениях системы (1):

13.39] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 40'i
1А3 j
Итак, если параметр а лежит на интервале —-^-^в^-^-
то систему (1) можно переписать в виде
х +у — 2arcsin[а + -^) ,
х—у = ля+(—l)"arcsin—5— •
Решая эту систему, найдем хну. Остается сделать проверку.
VTT 1
Ответ. При —-^g-s^cs^y
*=^ + (-l)"yarcsm!^+arcsin(a + l) ?
j»= -f + (-i)n+1|arcsinL:#'a+arcsin(a+T)'
13.39. Обозначим tg2je = K, tg2j> —ф. Тогда в левой части
2
уравнения получим и2 + г»8+—. Это выражение не может
стать меньше, чем 2uv-\—, так как «2 + г^^2ыг/. Выраже-
2
ние 2uv-\— тоже легко оценить:
2(uv+±j)>4,
причем равенство достигается лишь при ю=гг=1.
Таким образом, сумма, стоящая в левой части равенства,
не может стать меньше 4, в то время как правая часть
этого равенства не может превзойти 4. Остается
единственная возможность: обе части равенства одновременно равны 4.
Получаем систему
J sin2(jf+^) = l,
Второму уравнению удовлетворяют значения х = -±~ -\- кя,
У = ±-т-+пп, где знаки берутся в произвольных
сочетаниях. Однако первое уравнение будет удовлетворяться только
в том случае, когда в выражениях для X и у взяты
одинаковые знаки.

404
Ответ.
ч
РЕШЕНИЯ
x=^ + kn,
г
X —
,У =
—J+**
—~+пл.
113.40
13.40. Первый способ. Умножив sitPx на sina3jf-f
+ cos23a:=1 и сгруппировав члены, содержащие sin2 За:,
получим
sin2 х cos2 Зд: + sin2 Зх (sin2x—sin x + -i- J = 0,
пли
sin2 x cos2 Зд; -f- sin2 Зд: (sin дг —-i-V =? 0.
Последнее уравнение эквивалентно системе
г sin д; cos Зд: = 0,
^ sin Зле ( sin.v—-^Л=0.
Корни первого уравнения найти нетрудно:
Подставляя хх во второе уравнение, убеждаемся, что оно
удовлетворяется при этих значениях неизвестного.
Подставляя во второе уравнение х2, получим
«.(*+»)[-(*+¥)-!] -о.
Так как первый сомножитель никогда не обращается в
нуль, то последнее равенство можно записать так:
-»(£+¥)--*■
Воспользовавшись условием равенства синусов (если sina =
= sinp\ то либо a—j}=2fcn, либо а+Р — (2k + \)n,
получим
^-r-^* = (2A5-f-1) я, откуда л = 6А + 2,
тг = 2Ая, откуда л = 6Л.

13.411 гл. 13. тригонометрические уравнения и системы 408
Таким образом,
*1
**
Х3:
= лл,
= £ + 2Ая,
= ~ + 2ka
Второй способ. Перепишем уравнение в виде
4 sin2х — 4 sin x sin2 Зх + sin2 Зх = О,
т. е
(2 sin х—sin2 З*)2 + (sin8 Злг—sin* 3*) = 0.
Так как оба слагаемых неотрицательны, то
J 2 sin X = sin2 Злг,
1 sin23Je=I sin Злг|.
Из второго уравнения получим: либо sin3.*: = 0 и * = -=-,
либо \sin3x\=l и -*"—"е' + 'з-- OcTaeTCS отобрать яз этих
решений те, которые удовлетворяют первому уравнению,
что делается так же, как и в первом способе решения.
Ответ, ля; ^--\-2kn\ -g- + 2An. ■
13.41. Первый способ. Преобразовав данное урав-
нение к функциям от —^ и —=-=■ и дополнив полученное
таким образом выражение до полного квадрата, придем к
уравнению вида
2 cos—~ — cos—тНЧ -+• sin-—5^=0.
Это уравнение эквивалентно системе
( о Х+У х—у л
2 cos —jp — cos ~~ = 0,
. х—у л
sin —к-2 = 0.
Решая второе уравнение системы, найдем
*—У
откуда х—у = 2пя, а х=у + 2пп.

406
РЕШЕНИЯ
(13.41
Подставляя найденное выражение для х в первое
уравнение, получим
2 cos {у -|- пп) — cos ля. = 0.
Число л может быть либо четным, либо нечетным. Если
n=2k, то уравнение примет вид
2cosjj —1 =0,
откуда cosy = Y-
Если л = 2Л + 1, то уравнение запишется так:
— 2cos^ + l=0,
1
откуда снова cosy = у.
Таким образом,
у = 2л/» ± у,
а х =у -f- 2ля = 2л (л Ч- от) ± "о- ■ В этом случае л + т можно
рассматривать как новое целочисленное переменное и
записать ответ следующим образом:
■ х = 2ял ± у,
у = 2пт ± у.
Второй способ. Преобразовав уравнение к виду
Aco3y-{-Bsiny = -tr—cosat, где А — \—cosa*, В— sin*
(причем А и В не равны нулю одновременно), оценим его
левую часть
A cosy+B siny = |/лМ^(-р^=со5у +-p=^sinj>)<
^УЖ+W = ]/"(! — cosa;)2 Ч- sina дг-
Чтобы данное уравнение имело решение, необходимо
(1— cos #)2 4-sin2 л; > (j — cosjm".
Раскрыв скобки, получим
cos8 х—cos х + -г ^ 0i

13.42] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 407
т. е. (cosx—-я-) ^0. Так как квадрат некоторого
выражения не может быть отрицательным, то
cos* = i-,
откуда л: = 2ля ±-г •
Чтобы найти-у, можно подставить найденные значения х
в исходное уравнение. Однако достаточно заметить, что
исходное уравнение симметрично относительно х и у.
Следовательно, для второго неизвестного мы тоже получим
у = 2/ия ± у .
Остается установить соответствие между найденными
значениями х и у, что легко сделать проверкой, так как здесь
нужно рассмотреть всего четыре различные возможности.
Убеждаемся, что из четырех возможностей уравнению
удовлетворяют только две, когда для х и у выбраны
одинаковые знаки.
Ответ, х = 2ля ± -д-, у = 2ят :£ -д- j гДе берутся либо
только верхние, либо только нижние знаки.
13.42. Первый способ. Задача сводится к
отысканию таких а и Ь, при которых равенство
tgx + tg(a—x) + tgxtg(a—x) = b
является неабсолютным тождеством. Обозначив tgx = z п
tga = c (в предположении, что a =?£=-—(2/z+l)), получим
.. , с—г , с—г __ .
"M-f-cz ' "1+сг'
Перенеся все в левую часть и приведя к общему
знаменателю, получим в числителе выражение
га (с— 1) + 2 (с—be) + с—Ь,
которое должно обращаться в нуль при бесконечном
множестве различных значений г, что равносильно
тождественному равенству нулю многочлена. Так как условием
тождественного равенства многочлена нулю является равенство

408 решения f 13.43
нулю всех его коэффициентов,то получаем с=1, *=1, т.е.
6 = 1, а =» я/4 -\- ка. Убеждаемся, что при этом знаменатель
1+сг^=0. Случай а — -^@п-\-1) приводит к равенству
чЗ •* + ctg А" = #—1, которое не является тождеством.
Второй способ. Равенство
tg х +"tg (a — х) + tg x tg (a—х) = Ь
должно выполняться тождественно по отношению к а-.
Положим а- = 0 и x — -f. Получим систему, которой должны
удовлетворять а и Ь:
Заменив во втором уравнении b — \ga и преобразовав
левую часть, получим
tgq—l_tgq—l
l + tge— 2 •
откуда получим tga = l. Таким образом, 0=1, а=-2- + Ая.
Проверкой убеждаемся, что при найденных значениях а п b
написанное в начале решения равенство выполняется
тождественно.
Ответ, Ь = \, а=-£■-{-кп.
13.43. Оценим левую часть уравнения:
(8in^+iiH^)2+(cos8-v+c-5k)a=
=4(l-cos2>r)« + (1_cW +
*G I 2И:'"У|| 4 (2+2 cos'2x)
- 4 1^ + ^cos ^)-f-(1 __cog^s(1+ cosъср-т-*
л . 1 /i i яо ч . 8(l + cosa2*)
=4 +T(i+coS«2*)+ ({j;os^/.

13.44] ГЛ. 13. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 409
С увеличением cos8 2л: это выражение растет. Поэтому оно
будет достигать своего минимума, когда cos22jc = 0.
Таким образом, левая часть уравнения не может стать
меньше 12,5.
Поскольку правая часть не может превзойти 12,5, то
получаем систему
cos 2x = 0,
slny = 1.
Ответ.
(я , пк
y = Y + 2nn-
13.44. Представив данное уравнение в виде
з
sin 2л:—sin x cos2*: = — ,
оценим левую часть. Чтобы оценить выражение
A sin 2x + В cos 2x,
его нормируют, т. е. представляют в виде
VA* + BZ ( _ А sin 2х Н—. В cos 2x \ ,
Выражение, стоящее в скобках, можно записать как sin(2AT-f-a),
т. е. оно не превосходит по абсолютной величине единицу.
В нашем случае Л=1, В=—sinAr. Поэтому
sin 2х—sin х cos 2x =
= l/l + sin2JC[-^ sin 2л: sin * _ cos 2x ) «£Г
\V l + sin2* V^l+sinax /
<|/"l-f-sinaA:<VT
Так как левая часть рассматриваемого уравнения не
превосходит 1/2, а правая часть равна -<г\ что больше ]^2,
то данное уравнение не имеет корней.
Ответ. Нет решений.

410
РЕШЕНИЯ
[14.1
Глава 14
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
14.1* Неравенство равносильно такому:
sin8 х > cosa х,
т. е.
откуда
Ответ.
cos2 х—sina x < 0, cos 2дг < 0,
■5-+2ля<2*<2р + 2ля.
14.2. Перепишем неравенство в виде
-т= cos*-
• -4= sin* < jL,
откуда
т. е.
cos
(*+*)<-*■
3-£ + 2пп<х + -%<^ + 2пп.
п
Ответ, -j + 2лл <х < я + 2лл.
1i*aett
14-3. Первый способ. Неравенство s*m.*r<3cosx
равносильно совокупности трех систем
j cosat>0, J cosjc<0, i cos* = 0,
\ tgx<3; \ tgA: >3; \ sinAr<0.
Решение каждой из чих изображено на рис. Р.14.3.

14.4] ГЛ. 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 411
Второй способ. Запишем данное неравенство так:
2tgi 3(1—tga-f)
i -L< 0.
При использовании этих формул мы исключили из
области существования левой части неравенства точки, в кото-
рых tg-н- не существует. Поэтому нужно подставить в
исходное неравенство х = п{2п-\-\). Убеждаемся, что
sin it (2л + 1) —3 cos л (2л +1) = 3,
т. е. эти точки не являются корнями неравенства.
Приходим к квадратному неравенству
3tg2f+ 2tg|-3<0,
откуда
3 ^ щ 2 ^- 3
Третий способ. Найдем корни уравнения
sinjt—3cos je = 0,
или
2sin-|- cos -^—3(cos2-|-—sin2-^-j =0.
Это — однородное уравнение. Оно равносильно уравнению
относительно tg -„-:
3tg*^-+2tg|—3 = 0.
Дальше решение аналогично второму способу.
Наиболее компактный ответ получается при решении
неравенства первым способом.
Ответ, arctg 3 -\- п (2л— 1) < х < arctg 3 + 2лл.
14.4. Поскольку igx входит в правую часть данного
неравенства, замена sin 2л; и cos 2.x; их выражениями через tga:
приведет к равносильному неравенству. Обозначив (gx=y,

412
РЕШЕНИЯ
Ц4.5
получим
2(1-у») Jg_
i-i-tf» м+и*^'
Так как 1 4-у* > 0, то это неравенство равносильно такому:
/ + 2/—у — 2<0.
Сгруппировав первый член с третьим, а второй—с
четвертым, разложим левую часть на множители:
(V + 2){y+\\(y-l)<0.'
Решения этого неравенства будут лежать в интервалах
У<~2, —l<jr<l,
т. е.
tg*<-2, -l<tg*<l.
Ответ. ^--т-ля<л;< — arctg2-f ля; —т- 4-ля <
14-5. Первый способ. Неравенство равносильно
совокупности двух систем
j cosjc^Q, ( cos х <10,
\ tg2*<0; \ tg2je>0.
Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем
нам понадобятся радиусы, на которых tg2„v = 0 и tg 2jtr не
существует, так как только в этих точках может произойти
перемена знака. Эти радиусы нанесены на рис. Р.14.5, а
и б, причем на первом горизонтальной штриховкой
заштрихованы те секторы, где tg2je<0, а на втором — остальные
секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы,
в которых cos х 5* 0, а во втором — cos х ^ 0.
Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж
(рис. Р.14.5, в), после чего можно записать ответ.
Второй способ. Воспользуемся формулой тангенса
двойного угла и перепишем неравенство в виде
2 cos х tg x ^ „

' 14.5] ГЛ. 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 413
Формула, которую мы применили, является неабсолютным
тождеством, так как в результате ее использования из
области определения левой части неравенства исчезают
значения х, при которых cosjf = 0. Непосредственной подста-
новкой в исходное неравенство убеждаемся, что х = •=■ + kn—
его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже
(рис. Р. 14.5, г), можем считать, что созхфО, и решать
неравенство
sin х ^ а
Когда sinjc^sO, получим, что tgjr< — 1, tg Jc > 1
(рис. P.14.S, д), а когда siax^.0, то —l<tg>r<l
(рис. Р.14.5, е). Объединяя все решения на одном чертеже
(не забывайте про рис. Р. 14.5, г), запишем окончательный
ответ (см. рис. Р. 14.5, в).
Ответ. ■~ + 2пл<х<^+2пщ л + 2пл^х<~ +
+ 2пл;1^ + 2пл<х^2{п+1)п; jc =-5-(4я + 3).

414
РЕШЕНИЯ [14.fi
14.6. Данное неравенство равносильно совокупности двух
систем
5 + 2 cos 2х < 3 (2 sin x— 1),
' * 2sinje—1>0:
{
f 5 + 2cos2x<3(l— 2sin*),
1 ' \ 2 sin* —1<0.
Вначале решим первое неравенство первой системы. Выразим
cos 2 л; через sinajc, получим неравенство
2 sin2 х -f 3 sin x—5 ^ О,
откуда
5
sin*^—-j» sinjt^l.
Поскольку первое неравенство не имеет решений, а
второе выполняется только при sin л: = 1, первая система
преобразуется к виду
sm х ^ -у,
sin х = \.
Решения этой системы совпадают с решениями
уравнения sinjf= 1, т. е.
* = -5—\-2tm.
Перейдем ко второй системе и решим ее первое
неравенство. Его можно записать в виде
2 sin2 х—3 sin x—2 > О,
откуда
sin д:^—2", sin* 5* 2.
Так как второе из этой совокупности неравенств не имеет
решений, то вторая система принимает вид
^ 1
Sin Jf^ -it i
Sin AT < у .

14.8] ГЛ. 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 4-15
Она эквивалентна неравенству
sln*<— -j,
т. е.
5 л
—g- п + 2пп ^ х ^ g- + 2лл.
Ответ, х = —-f-2ля; —-^п + 2пп^.х^—^--{-2пп.
14.7. Если cosjc = 0, то sinzJc = l и неравенство не
удовлетворяется.
Поделим обе части неравенства на cos2* и обозначим
tgx=y. Получим алгебраическое неравенство
V^f—Ь + 2—УТ< 0.
Разделив на \^2 , получим неравенство
/->''2> + 1/2"-1<0)
откуда
]/Y-\<tgx<\.
Из интервалов, в которых лежит х:
arctg (]/F — 1) -f- лл < х < -5- + яя;,
выбираем решения, лежащие в (0, 2я).
Ответ, arctg (1/2"— l)<x<^-;
n-farctg(l/2-l)<*<^.
14.8. Дискриминант трехчлена равен
(2 cos а— I)2—4 cos2 a-f-10 cos a—4 = 6 cos a—3.
Чтобы уравнение имело различные действительные корни,
нужно потребовать
6 cos a—3>0, т.е. cosa>Y-
откуда 0^a<-^- (в условии сказано, что O^a^st).

416 решения [14.9
Свободный член сравним с нулем:
2 cos8 a—5 cos a+2 V 0.
Так как корнями трехчлена 2у*—5y-f-2 будут числа 1/2
и 2, то свободный член будет положителен при cos a < -к-
и отрицателен при cos a > у. Мы уже выяснили, что должно
иметь место второе неравенство; таким образом, исходное
уравнение имеет корни разных знаков.
Поскольку хх -J- хг = 2 cos а—1, что при cos a > -^
больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолют-
нуга величину.
Ответ. Данное уравнение имеет два различных
действительных корня при 0^а<-5-. Эти корни имеют разные
О
знаки, причем положительный корень больше по абсолютной
величине.
14.9. Если sin л: ^ 0 и «клг^О, то данное
неравенство равносильно такому:
sin х -f- cos x -\- 2 У sin x cos х > 1, (1)
Так как при. sin x ^0 и cosjc^O имеем
sin х -f- cos x ^ 1,
а при sin х > 0 и cos x > 0 это неравенство становится
строгим, то отсюда следует, что неравенство (1)
равносильно системе
J sin x > 0,
I cos x > 0.
Ответ. 2пп<х<-?~- + 2пп.
14.10. Данное неравенство означает, что
Если k > 0, то левое неравенство не имеет решений,
поскольку ., - не превосходит единицы. Если fc<0.

14.12] ГЛ. 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 417
то не имеет решений правое неравенство, так как •■.,—* —
величина положительная при всех х. Остается случай й = 0.
При k = 0 правое неравенство удовлетворяется всегда. Решим
левое неравенство.
Ответ. -Y^T<X< Y^IT'
14.11. Так как sinje-f cosx = j/2 cosfx—^-],
то,обозначив cosf-T—х)=у, получим неравенство
(р^Г>>. - в=*Г».
Это неравенство равносильно такому:
-7? > 1, или -j* > 0.
2—у ^ ' 2—у ^
Q
Так как у не превосходит 1, то 2—у > 0. Поэтому у>-г -
Решением неравенства cos [ х—j-J > -j будут значения
rt 3 3
х—j-, лежащие между 2kn — arccos-j- и 2Ая -J- arccos -jr.
Ответ. 2ftit-f--2—arccos -з-<л:< 2tot-J--r-barccos-у.
14.12. Перепишем неравенство в виде
sin х sin Зх+cos x cos 3* ^- » cos 2x ^ fi
cos л; cos 3x ' cos ж cos 3x
Преобразуем знаменатель
cos x cos Здг = -j (cos 2л: + cos 4 x) — -j {cos 2л: + 2 cosa 2л: — 1)
и введем обозначение cos2a; = i/. Получим
* ™ 0/+l)[l/—2 J
откуда ,у< — 1, 0<_))<-^-и, наконец, 0 < cos 2* <-к-.
'4 е. Б. Ваховский, А. А. Рыбкин

418 решения [14.13
Ответ. —-£-+ля<*<— ~ + пп;
-g-H-nn<*<T-f-/m.
14.13. Пусть > = cos х, где |.у |< 1. Выражение у—cos*
всегда положительно. Поэтому обе части данного
неравенства можно возвести в квадрат; получим равносильное
неравенство
VT+2J, Уу>^~Ь-
Когда правая часть отрицательна, придем к системе
| *.-2,<0>
решением которой будут значения у > j?.
Когда правая часть неотрицательна, то получим другую
систему:
у-2у >0,
(1+2^>(~-;2у)\
У>0.
Второе неравенство этой системы можно переписать в виде
2-49/—7-27у + 25<0,
откуда
I 25 1
т<у<и'т*е- у>Т' так как>'=со8Д?-
Решения всей системы будут лежать в интервале
^ б ^ 1
Объединяя его с интервалом у> д, получим .у>у.,
Oi вет. — arccos у + 2/ш < х < arccos у Н- 2/ш.

.14.15] ГЛ. 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА 419
14.14. Выразим sin л; и cos* через tg-д- и обозначим
tg -z =у. Придем к неравенству
которое равносильно исходному. В самом деле, замена sin jc
в cos л; их выражениями через tg-^ может привести к потере
решений, так как tg-^- перестает существовать в тех
точках, в которых sin л: н cos л: существуют. Однако tg-=-
входит в первоначальное неравенство, а потому эти точки
исключены с самого начала. Сокращение числителя и знаменателя
на у* + 1, очевидно, не приводит ни к потере, ни к
приобретению корней, так как у*-\-\ фО и у не исчез полностью
из неравенства.
Неравенство относительно у перепишем в виде
у + £±М=\>0, т. е. -J£=L.1>0.
У—0—1 ^—«/—1
После разложения левой части на множители получим
(у-1)(У2+У+1) > Q>
откуда —JL_<^—<i, tg->—Z-g—.
Находим интервалы изменения х:
— 2arctg ^~l 4-2ля <x < |-+ 2/ш,
2 arctg—iy )-2/m < x <C n + 2nn.
Остается выделить решения, лежащие в интервале 0 < х < я.
Cheer. 0<дг<-у, 2 arctg *^+1 <лг<я.
14.15. Выразив sin За и cos 2а через sin а и обозначив
s'ma=y, получим
4(3у —4у3) + 5^4-8уа + 5у,
14*

420
РЕШЕНИЯ
U5.1
или
16у3 — 8уя — Ту — 1^0.
Нетрудно заметить, что у=*\—корень многочлена; стоящего
в левой части неравенства. Теперь можно разложить этот
многочлен на множители:
16/-8/--Ту — 1 = {у—1) (4у+ 1)*.-
Так как j»=»sina, то у—1^0, а следовательно, н
многочлен \Gys—Sys— Ту — 1 неположителен, что доказывает
неравенство.
Главе 15
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
15.1. Данное неравенство равносильно такому:
(и^,т*2)г<2^3(П*2Н-3.
Обозначив logafnJC2=j>, получим
у"--2у-3<0,
откуда
-K.V<3,
или
—l<logsm*2<3.
Последнее неравенство эквивалентно системе
-г^— > 2 > sin3 х,
sin* ^
sin x > 0,
sin х Ф 1.
Первое из неравенств системы можно переписать так:
0 < sin х < ^ ■
Ответ. 2пп<х<^г- + 2пп) ^-j-2пп < х < п + 2пп.
15.2. Данное неравенство равносильно такому:
{^.вхЗ)г<1ое,8хЗ + 2,

15.4] ГЛ. 15. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА .421
т. е.
—l<logfgJCS<2
Последнее неравенство равносильно совокупности систем
tg*>.l,
1
( 0<tgx<l,
К tgx
< 3 < tg2*;
{&>*>*•*•
Каждая из этих систем после несложных преобразований
принимает вид
( 0<tg*<l,
tgx<l/3,
lg*<l/3.
{ tg*>l,
. tgx^l/3,
k tgx^VS;
Первая система равносильна неравенству tgл:^ 1/^3, а
вторая— неравенству 0<tgje^l/3.
Ответ, пя < х < arctg -g-+пп; 4-+ля ^ х < ~-\-пп.
15.3. Так как выражения, стоящие под знаками
логарифмов, должны быть положительными, то указанный в условии
интервал можно сузить: 0<je<-2-. Данное неравенство
равносильно системе
1 или
0<лг<-у,
cos? х > sin x.
cos х > tg x,
Второе неравенство перепишем в виде
sin2 х + sin Хт— 1 < О,
откуда
—1 — У1Г . . . — 1+V15
т— < sin дг < ^—
2
Учитывая, что в
sin х > 0, получим
О < sin,* <
интервале 0 < х <-^- должно быть
-X+VW
Ответ. О < х < arcsin iJ-—.
15.4. Данное неравенство можно переписать так:
log2 cos 2x + loga sin jc+log2 cos x -j- loga 8 < 0,

422
т. е.
РЕШЕНИЯ
[15.4
8 cos 2х sin х cos х < 1,
cos 2x > О,
sin х > О,
cos х > 0.
Первое неравенство можно переписать в виде
•
sin 4л- < -к- ■
Два последних неравенства требуют, чтобы подвижный
радиус угла дг лежал в первой четверти, а неравенство
a) S)
Рис. Р. 15.4.
cos 2дг > 0 сужает эту область до первой половины первой
четверти (на рис. Р.15.4,а— заштрихованный сектор).
Остается выбрать решения неравенства sin 4jt < -g- ,
лежащие в этнх промежутках. Все решения неравенства
sin 4rX < ^ можно записать в виде
т. е.
—2г- + 2пп < 4дг < -|- + 2ил,
24-Г 2 ^ * ^ 24 ^ 2
(рис. Р.15.4,а). В интересующий нас интервал 0<д;<я/4
из этой серии частично попадут лишь два интервала:
— 7л/24 <а-< 13я/24 (рис. Р. 15.4, б). Теперь нетрудно
написать окончательный ответ.
СИвет. 2лл<л:<24-
-2/ш; U + 2ля < д; < -J+ 2я«.

15.6J
ГЛ. 15. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
423
15.5. Вместо данного неравенства можно написать
О < | cos*+VTsin* [ < 1,
что равносильно системе
f—1 < cos jsr+l/3"sin лг < 1,
I cos x -f- j/3~'s/n а- Ф 0.
Так как cosx + VS s\nx = 2cos(x—-%), то получим
f-*<-(-*) <т- г*-йЬ
1 cosfj;——J Ф0.
В условии сказано, что 0^л-^2л,
поэтому х—■д- нужно искать в интервале '%|зГ%
Я п^--0 Я ,_, £> ,е е Рис. Р.15.5.
—-д-^х—о-^2зх —у. На рис. Р.15.5
изображено расположение на тригонометрическом круге зна-
я
чении у — х—-д- , удовлетворяющих последней системе, т. е.
4я . £ - Зя
2 ^** 3
Зя л - 5я
т <-х~т<-т
Л 2я^- ^-5л 5я.„^
Ответ, -g- < jc < -g-, -g- < # < я,
3
5л
3 ^™ ^ 6 ' 6
15.6. Неравенство можно переписать так:
- ^ 11л 11я - „ _
откуда
т. е.
«*(|»«*1-т)>т-
_«.+2ля<|1Вж]—^<«.+2яя,
.£ + 2iMi<|lg*|<^ + 2iiii.
12 I -"« ^|-Б-|^ ]2
При л < 0 не удовлетворяется правое неравенство.

*24 решения [16.7
При Я = 0: \\gx\<Q, т.е. _*1 <igJe < *L, a по.
тому 10~" < х < 10,я.
При л=1, 2, 3 ...: — ±+2nn<lgx <?£ + 2гт и
— -j|— 2лл < lg* < 1|—2ял.
Ответ, 10"» < дг < 10" , КГ»* < д: < 10»
7Я Я
10 »* <д:<10» , л=1, 2, 3, ...
15.7. Так как arc cos (а8 —За-4-2)^ 0, то данное
неравенство равносильно системе
8дгг — Юдг + 3>0,
arccos (д:2 — За: + 2) ф 0,
arccos (a-2 — Заг + 2) существует.
Другими словами,
J 8a-2 — 10аг + 3>0,
I — 1<а-2 — Злг-|-2<1.
Решаем каждое из трех неравенств системы:
8ats— 10аг + 3>0,
аг'-Здг + З^О,
а:2—Злг+1 <0.
Дискриминант второго неравенства отрицателен, а потому
оно удовлетворяется при всех дг. Остаются первое и третье:
1 ,3
з- У"5 з+УТ
2 ^^^ 2 *
3— УТ ^ ^ 1 3 . ,3+уТ
Ответ. 1— <А<у, -4<х< Y .

16.8] ГЛ. 16. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 425
15.8. Если 1 —Je^O, то неравенство не удовлетворяется,
так как
arccos(l—x)~^Y< еслн 1—^^Oi
в то время как arctg J/jST всегда меньше -=-. При 1—лг>0
обе части неравенства оказываются в интервале от 0 до -к-,
где все тригонометрические функции монотонны. Так как
косинус в интервале от 0 до у убывает, то данное
неравенство равносильно такому:
cos (arctg У1с) < cos (arccos (1 —x))
(большему углу соответствует меньший косинус). Чтобы
arc cos (1—х) существовал, необходимо 1—лг^С1.
Вспоминая, что 1—х > 0, получим, что 0^л;<1.
Вычислим cos (arctg ^/Гх~):
cos (arctg\Гх) ——. = у. .
V 1 +tg* (arctg УТ) V 1 +х
Получаем систему неравенств
-Д=<1— х,
0<*<1.
Так как 0^лг<1, то система равносильна такой:
1<(\-х)Ц\+х),
0<;.v<l.
Раскрыв скобки, запишем первое неравенство так: Xs—
— хъ—jc>0, или х(х2—х—1)>0. При лг=0 это
неравенство не удовлетворяется, а прил:>0 — равносильно
неравенству Jta—х—1 > 0. Трехчлен, стоящий в левой части,
можно записать так: х(х—1) — 1. Поскольку jc>0, a
х— 1 < 0, то этот трехчлен отрицателен.
Ответ. Нет решений.

♦26 РЕШЕНИЯ [16,1
Глава 16
ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
16.1. Из неравенства между средним арифметическим и
средним геометрическим немедленно следует, что
Однако левая часть уравнения чв может стать больше двух.
Поэтому остается лишь одна возможность:
2 sin2-J sin2-J = 2,
J-+x2 = 2.
Последнее равенство достигается лишь при хг=\, т. е.
лг = ±1. Подставляя эти значения в левую часть первого
уравнения, получим
2 sin2-i sin2 ^< 2.
Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.
16.2. Так как —s-=atg2je+1« то уравнение можно
переписать в виде
22i8* х^-2-2**'х—80 = 0,
откуда
2*8' * = 8, tg** = 3, tgx = ±V~S, x = nn±%
(второе уравнение 2,«**=—10 не имеет решений).
jt
Ответ, «л + -д-.
16.3. Так как в условие одновременно входят tg* и
dg х, то мы можем воспользоваться неабсолютным тождеством
не опасаясь нарушения равносильности. Получим уравнение
(tgJt)»in* = (tg*)-'°*'*.

16;5| ГЛ. 16. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 427
Если tgjf<0, то sin л* и cos л:—дробные числа, и обе
части равенства теряют смысл. При tgje = 0 и sin л;
обращается в нуль, т. е. левая часть теряет смысл.
Если tg х > 0, но Ф 1, то sin х — — cos x, откуда
tg х < О, что противоречит сделанному предположению.
Остается tgjf = l, Ar = -j-(4A-|-l).
Ответ. -J(4A+1).
16.4. Данное уравнение можно записать так:
вщ2х+2х-1)^^-,
откуда
2х + 2х-1 = пп + (— 1)п~,
или
2*=4яя + (-1)-£.
Какое бы положительное число ни стояло в правой части,
уравнение будет иметь решение.
Неравенство
Tnn + i-l)aT >°
выполняется при я^О.
Ответ. logg 1-д-ля4-{—^"тг > где л^°-
16.5. Уравнение можно переписать так:
\g sin x + \g sin 5x + Ig cos 4лг = 0,
или в виде системы
sin x sin 5х cos 4л; = 1,
J sinJirX),
J sin bx > 0,
cos 4# > 0.
Из первого уравнения следует, что |sinx| = l, | sin5лг] =s= 1,
J cos4л; J = 1 одновременно. .С учетом ограничений придем

428
к системе
РЕШЕНИЯ
1 sin лг = 1,
sin5jf=l,
cos 4* = 1.
[16.6
л
2
Из первого уравнения лг = -д- + 2ял. Подставляем во второе
и третье уравнения:
sin
cos
Ответ. -к + 2пп.
16.6. Обозначив lg (sin х + 4) =у, получим уравнение
5 I
у которого два корня: yt = g-, уг= -j.
Для первого корня получим
откуда
lg(sinx + 4)=—f,
sin дг= 10 * —4.
Так как 10~ * — 4 <—1, то соответствующих значений
х нет.
Для второго корня получим
1
lg(sinjf + 4)=T,
откуда
sin
* = |/Т0 —4.
Так как —1 <]/Ю — 4<1, то можем найти х.
Ответ. яА + (— l)sarcsin(KT0— 4).

16.7] ГЛ. 16. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 429
16.7. Данное уравнение эквивалентно системе
I sin x—-j-cosx>0,
I sin x > О,
I sin x Ф 1.
Уравнение можно преобразовать, если- сгруппировать
sinjf(l—sin8jr) — -j-cosji; = 0,
sin Л" и sinajc:
или
sin х cos8 x—-г cos x = 0.
4
Так как sin x > 0, то cos2 x < 1, и любое решение
уравнения
sin л: cos2 л;—t-cosjc = 0
4
удовлетворяет неравенству .
suije—-7-cos*>0.
Запишем уравнение в виде
cos х (sin 2jc—g- J = 0.
Так как sinjt^M и sinjt>0, то cos лг =7^=0. Остается
1
sin2,v = -„
откуда
дг1 = яя + ^,
ха = ± (2я+ !)-£.
Из всех ограничений осталось удовлетворить только одному:
sin4c>0. Чтобы добиться этого, нужно для хх и дг2 взять
й = 2А.
Ответ. 2nk -}- т|; 2яА -f -та-.

430
РЕШЕНИЯ
Ц6.8
16.8. Данное уравнение равносильно системе-
„- ,1 или 1 , i
cos*jc=£-g-, Icos2*^-^.
COS AM
Условие, что sin х > 0, входит в уравнение, так как справа
стоит всегда неотрицательное *чнсло, а если cosa; = 0, to
sin хфО.
Рассмотрим следствие исходного уравнении
sin х = ± Ys cos х,
а в конце проверим выполнение условий: sin х > 0 н
8
соъ*хф-х-. Получим
\gx—±V8, * = ял ± arctg yT.
Если tgx=dz УТ, то tg*x f / = 9 и cos3x=±-^j.
Чтобы проверить выполнение условия sin л: > 0, рассмотрим
два случая.
Если n = 2k, то х = '2kn ± arctg )/1Г Это-w-углы,
лежащие в первой и четвертой четвертях; условие sin л: > 0
выполняете» лишь для тех из них, которые лежат в первой
четверти: хг = 2kn -\- arctg ]/W.
Если п — 2k -f-1, то х = 2kn + я db arctg ]/*Г Здесь нужно
выбрать знак минус, так как только тогда мы получаем
угол, лежащий во второй четверти.
Ответ. 2кп + arctgV*i (2k-\-\)n—&TclgVT.
16.9. Данное уравнение эквивалентно такому:
(т)'-
4&+1
20
Так как х > 0, т0(у) заключено между нулем и
единицей. Следовательно,
^ 20 ^ '
откуда 0^А^4.

16.11] ГЛ. 16. ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 431
Для каждого из этих k находим соответствующее
значение л\
20
Ответ. log2 4fe+T* где * = 0, 1, 2, 3, 4.
16.10. Решаем квадратное уравнение
lgcos* = —1± У —/я3—2т + 4.
Стоящее под корнем выражение неотрицательно, если
— 1 — ]/!}</»<—1 +VK
Делаем следующий шаг:
cos*=10-1±v-m,-j"n+4
Когда перед корнем взят минус, то стоящее справа
положительное выражение не превзойдет единицы, а потому
может быть косинусом. Когда перед корнем поставлен плюс,
нужно, чтобы
— 1 +У — т% — 2/я+4<0, т.е. У — т%—2/в + 4<1.
После возведения в квадрат это даст нам систему
f __ma_2m4-3<0,
у которой два интервала решений:
— 1—]/"5<т< —3, 1</и<— 1+VK
Ответ .При — 1 —1/^5^ я» ^—1 + УШ, х = 2/m±atccosA,
при — 1 — ]/!<«<—3 и l<i»^—l+.VT
л- = 2пп ± arccos 5, где
л=ю-1-к-т'-гт+4, в=ю-
16.11. Решаем квадратное уравнение относительно \g sin x:
lgsfnAr = a±K2a2—2.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
2а2—2>0, т. е. а<— 1, а>1.
Поскольку
SinAT= 10 х ,
то правая часть не должна превосходить единицу, а потому

432 решения [16.12
Когда o^l, нужно рассмотреть лишь неравенство
а—]/ 2«а—2<0,
откуда (с учетом ограничения а>1) получаем о >]/"§!
Если же а^—1, то д —]/2я2-^2" всегда отрицательное
число, а чтобы и число о-\-У'2а2—2 было
неположительно, должно быть также а!>—]/?.
Ответ. При о*£—]/'2 лг = ял + (— 1)" aicsin 10° ± Vao*~s ,
при — ]/"2<а<— 1 н при а^У~2
дг = ял Ч-(—l)"arcsin 10fl-1/jo'-2,
при — 1 < я < У2 решений нет.
6.12. Данная система равносильна такой:
I" 2х—у=--3х—4у—15,
2дс— у > 0,
Зх—4у—15 > 0,
Зх—4у—15^1,
cos[n(x+>)] = l,
* + 2у>0,
* + 2ygtl.
Решая входящие сюда два уравнения, получим
f ж+_у = 2л,
\ х — Зу=1б,
Из первого уравнения большой системы следует, что второе
и третье неравенства выполняются одновременно. Поэтому
достаточно потребовать
т. е. х =
бп+15
»(*$*)-
2л —15
>0,
т. е. п>—~
или
я>—4.
Аналогично убеждаемся, что условие Зх—4у—15^=1 вы-
41
полняется при л^=—у*, т. е. всегда, ибо п—целое.

17.1] ГЛ. 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 433
Неравенство х + 2у > 0 справедливо при всех п > 1,5,
т. е. п^2, а условие х-{-2уф! выполняется при пф\,9,
т. е. всегда.
Ответ.
/ 6и + 15
■*= 5 '
2п-15 Где Л = 2' 3' 4' '••
Глава 77
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
17.1. Первый способ. Пусть .?], = .*;+j>/ и хг — и-\-Ы.
Нужно доказать, что
\(x + u) + i(y + v)\<^\x+yi\ + \u + vi\
при любых д:, _у, ы, ®.
Предположим противное:
После возведения обеих частей неравенства в квадрат
(заметим, что обе части неравенства неотрицательны) и
приведения подобных получим
хи +yv > У(**+,у8)(а2 + «*).
Если это неравенство верно, то его
левая часть положительна, а потому его
можно повторно возвести в квадрат. Получим
х*чР+у2и*—2хиуо < О,
т. е.
(xv—у и)2 < О,
что невозможно. Полученное противоре- в
чие доказывает сформулированное утверж- Рис. Р.17.1.
дение.
Второй способ. Пусть гх и z2 (на рис. Р.17.1
числу zx соответствует точка А, а числу z% — точка В) два
произвольных комплексных числа. В силу неравенства
треугольника ОСг^ОА + АС=ОА-1-ОВ, т. е. 1^+^,1^
ft

434
РЕШЕНИЯ [17.2
17.2. Пусть z = c + W. Тогда
z— l_(g— 1)+Ы
г+1 (0+l)+W
У множим числитель и знаменатель на число, комплексно
сопряженное знаменателю:
г-1 _((я-1)+м)((а+о-ы)
г+1~" (a+I)*+bs
Действительная 'часть числа ^рт будет равна ° ~... ■ ... .
г + 1 г (e+ll^+t8'
26 гт г—1 ,
j мнимая часть , . ^а . &а. Поэтому, ^-ру будет чисто
мнимым числом тогда и только тогда, когда о2—l-j-03 = O,
'2г>т&0, (а + \)* + Ь*Ф0. Третье из этих условий
является следствием второго. Если й = 0 и a2—»1+&2 = 0, то
г = а = ±1, что противоречит условию. Поэтому остается
только одно требование: ва+#2=1, т. е. |г| = 1.
17.8. Применим формулу Муавра
гг — z = cos 2ф -4- i sin 2ф—cos ф —/ sin ф =
= (cos 2ф—cos ф) -+■ I (sin 2ф—sin ф).
Преобразуем действительную и мнимую части в произведение
£ sin *U-2£ «info» § =
= 2sin|-(-sin^+*cosf).
Так как sin2-^+cos2^p = 1, то 2sin-|- будет модулем
числа z%—z. Рассмотрим два случая, позволяющих опреде-
лнт.ь знак sln-^..
Если 4/ш < ф < 2я + 4лл, то sin -^ = sin -|-. Тогда
г2—* = 2sin-|-
-г= — 2 sin-^ sin ^- + 2i sin-£ cos-
В этом случае аргумент числа гъ—z равен i-f ^г 4-2Лл.
= 2sinf
2
I
Если 2л + 4/от < ф < 4я + 4йя, то
f sin -2- = —siri-|-.

17.4] гл. 17. комплексные числа 435
Таким, образом,
я2—z = — 2 sin \ ( sin ——i cos 4$ j =
—»*f [»(¥+*)+'*(¥+*)].
н аргумент 2s—z равен -^-|--5?-f-2fcri.
Ответ. / ^.+^Р+2*я,если4ля<ф<ая + 4яя,
arg(*»—z) = l
I f-t-y+2*n.»2n+4/iii<(p<4ji + 4/ffl.
17.4. Преобразуем выражение, стоящее в скобках:
1 — cos a -f- i sin a = 2 sin2 -5-+/ • 2 sin у cos -5- =
= 2smy I suiy-f-jcosy^
_,„.-[„(!_-)+,*(«_-)].
В квадратных скобках стоит комплексное число, записанное
в тригонометрической форме. Поэтому
* = 2»sin»f [сов(Я5=2) + «ап(Л^)].
Так как нуль не может быть представлен в
тригонометрической форме, то аф 2шв.
Еслил = 2А, то 2"sin"-g->0, и тригонометрическая
форма числа z получена.
Если л = 2А +1, то нужно рассмотреть случаи,
позволяющие определить знак sin^-. Когда sinY>0, т. е. 4го»<а<
< 2я(2/»+l)i то найденное выражение снова есть
тригонометрическая форма числа z. Когда sin -5- <0,т. е. 2л (2/я—1)<
< а < 4ят, придется сделать дальнейшие преобразования:
cos ( п ^-~ j —i sin ( п ^-g-^)] =
"с*(„ + !,«=«)+<«in (« + „«)],
что уже .является тригонометрической формой числа z.
— 2"sin"|-
—2" sin" y

*36 решения [17.5
Ответ,
2»sin»f[cos(«^«)+/si„(„«^)]I
если либо п = 2к, а=/=2пт
либо л = 2А+1, 4п/«<а<2я(2«-|-1);
-2-iln-f[c«(n+«5=S)+/dn(rt + «=^5)],
; если n~2k-\-\, 2л(2т—1) <а<4лж
17.6. Пусть z = r (cosq)-j-/sinip). Тогда
2 -\- — = Г (С05ф-|-'5Н1ф) + [г(С05ф + /5!пф)]"1 =
/ , • • v I cos ф — £ sin ш
==г(С05ф + '5Шф)-{ ^ i =
= (г+т) COS(p+ (г—г)' sin<p-
Это выражение равно действительному числу а.
Следовательно,
(г——jsh^ = 0.
Однако в условии сказано, что z—число мнимое. Поэтому
"вилф^О. Остается
г = 0, откуда г2=1, г=1.
Условие z-\— — а теперь упростилось и приняло вид
простого тригонометрического уравнения
2 созф = а,
откуда находим ф и ограничения на а.
Ответ. г=1, ф = ±агссо5-д- + 2яА при —2^!я<0.
17.6. По условию z удовлетворяет уравнению г?—z-f-1 = 0,
т. е. z% = — 1. Поскольку
то нужно вычислить значение выражения
-*■-? — (* + ?)•

17.8J
ГЛ. 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
437
Возведем уравнение z-\-——\ в квадрат и найдем, что
Ответ. 1.
17.7. Мы знаем, что |z| = |z|, а данное в условии
равенство дает нам еще одно соотношение
|*Н*"-1|.
Так как |z"'1 \ = \zI""1, то |z| = |zJ"-1, откуда либо \z\ = О,
(если пф\), и тогда _г = 0, либо \z\ = l.
В последнем случае умножим данное в условии равенство
на z: _
z-z~z".
Так как г-г = |г[а=,1, то
zn = \, z = Уcos2JtFf7sin^t& = cos~-J-/ sin —.
Ответ. 2 = 0 (если пф l),z = cos—+ isin22* t £ = О,
1. 2, .... л—1.
17.8. Положим z—x-Yyi, тогда | я | = \Гх^ +у*, а
уравнение примет вид
(* +yi) VxiJrf + a {x+yi) + /=0.
Приравнивая нулю действительную и мнимую части, придем
к системе
( хУх2+уг + ах = 0,
\ yVx*+y* + ay + \=0.
Первое уравнение можно записать в виде х {у Xs +д»2-)- а) = 0.
Если х = 0, то второе уравнение будет таким:
у\у\ + ау+\=0.
Когда у^О, получим уравнение
—О ± Ко8—4
оба решения которого ylt 2 = к л,1б° не суще-

438
РЕШЕНИЯ [17.9
стиуют, либо, отрицательны, uic как по условию а^О.
Это противоречит предположению, что у^О.
Следовательно, при у ^ 0 решении нет.
Когда у <С О, получим уравнение
v- — ау — 1 =- О
с корнями у412 = х ,} ^ .
Так как а ^ 0, то условию у < 0 удовлетворяет голыш
один корень у у — L;> -^0
Получаем решение данного уравнении
г — ——!— I.
Осталось рассмотреть случай, когда уХ2-\-уй + а = 0.
Поскольку а^О, то это равенство возможно лишь при
.V— у — а = 0. Однако при этом второе уравнение системы
yVx?+y* + ay-\-l~0
пе удовлетворяется.
Ответ, г — -^—!—I.
17.9. Второе уравнение после возведения в третью
степень примет вид
Сравнивая это уравнение с первым уравнением системы,
получим
ггто2=1.
Остается решить систему
\ г2+ «/-=—2,
откуда находим, что г"= — 1, wl——1.
Проверяем, какие из систем
I z = i, I z = i, j z=—i, f z=—i,
\ w = i, | w=—i, \ «» = /, 1 <»=— i
являются решениями. Получаем два решения.

17.12] ГЛ. 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Ответ.
( *ч = 1' \ *8= — /,
17.10. Пусть z = x-\-yi. Тогда
\x-\+yi\ = \x + (y-l)i\,
т. е.
(х—1 )2 +У* = л;2 + (у — 1 )*.
Раскроем скобки, получим х=у.
Ответ. Биссектриса первого и третьего координатных
углов.
17.11. Первый способ. Пусть z — x-j-yi. Тогда
|* + (У+1>'|<1, V^ + (^ + l)2<l.
Слева записано расстояние между точкой с координатами
(х, у) и точкой с координатами (0, —1). Следовательно,
геометрическое место точек есть круг с центром в точке
(0, —1) и радиусом, равным единице (круг взят вместе с
ограничивающей его окружностью).
Второй способ. Перепишем неравенство в виде
|*-(-»)|<1. "
Мы знаем, что модуль разности двух комплексных чисел z
и — i равен длине отрезка, соединяющего точки z и —i.
Следовательно, длина этого отрезка не должна быть больше
единицы, т. е. геометрическое место точек—круг радиуса
единица с центром в точке —i, взятый вместе с границей.
17.12. Пусть z — x-\-yi. Тогда
■of 1 \ г. ( ~* \ * х(**+«/а—1)
Приравняв Re ( z——] нулю, получим
| х(х*+у*-\) = 0,
Если А' = 0, то ^=^0. Это — мнимая ось с выколотой точкой
в начале координат. Вторам возможность дся-)-_у2 = 1, т. е.

440
РЕШЕНИЯ
[18.1
окружность с центром в начале координат и радиусом,
равным единице.
Ответ. Окружность единичного радиуса с центром в
начале координат и мнимая ось с выколотым началом
координат.
Глава 18
ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
18.1. Пусть x,y,z,u—производительности первой,
второй, третьей и четвертой труб соответственно. Примем
объем бассейна за единицу. Тогда получим систему
уравнений
х-\-у+г-\-и = ~,
■ х+у-]-а^~,
y+z + u = ~.
Вычитая из первого уравнения второе, найдем, что z=-^,
а вычитая из первого уравнения третье, —что х = =д.
Следовательно, общая производительность первой и треть-
2
ей .труб равна z-f дг = т^.
Ответ. 7,5 часов.
18.2. Пусть плечи весов равны 1Х и 1% соответственно.
Тогда первый раз продавец отпустил ^ кг товара, а во
второй раз он отпустил т* кг. Таким образом, он отпустил
покупателю товар в количестве
В силу неравенства между средним арифметическим и
средним геометрическим

18.4] ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 441
где равенство достигается лишь при /t = /2. Таким образом,
продавец отпустил больше товара, чем следовало.
18.3. Предположим, что в стране живет х человек. Ее
население через год составит х1 = х(\-\--^Л, через два
года ■ve = *i(1+8o)=!*(1+8oj". a чеРез л лет
х„ = х( 1+5п) . Получаем уравнение
откуда
18.4. Поскольку понтоны находились в пути одинаковое
время и в одинаковых условиях, то каждый из них проплыл
одно и то же расстояние без буксира (см. второе указание
«а стр. 164). Обозначим это расстояние через х. Каждый
понтон находился в пути
- + ^ 0)
и 'о+н v'
часов. Буксир, в свою очередь, помимо пути в I км вниз
по течению, дважды преодолел расстояние /—2х: один раз
вниз по течению, другой раз вверх по течению. На весь
путь у него ушло
v-\-u ' v-\-u ' v—и * '
часов. Приравниваем выражения (1) и (2) (буксир был в
пути столько же времени, сколько каждый понтон) и решим
получившееся уравнение.
Получим: х = -^.
Следовательно, второй понтон должен транспортироваться
на расстояние в

442
РЕШЕНИЯ
[18.5
километров, а на всю ■ перевозку уйдет
х | *—* = 21 | Г. = 31
и ' v+u и+Зи^и+Зи и+Зи
часов.
18.5. Пусть некто родился в 18.vy году, где х—число
доснтьов, а у —число единиц. В 1901 году ему было
Г.Ш1 —18*у лет.
Если у>\, то произведя вычитание, получим число
(9 — л-)(11—у), где 9—х и 11 —у — цифры.
По условию сумма цифр числа 18ху равна сумме цифр
числа (9—jc)(1 I —у)
\+8 + х+у = [9-х) + {1\-у),
т. е. jc -t-_y = 5,5, что невозможно, так как д; и у—целые.
IZcjiu^^I (дто значит, что либо _у = 0, либо у = \),
после вычитания получим число (10—х)(\—у). Когда хфО,
это число состоит из двух цифр, а когда х = 0 — из трех,
причем первые дне цифры 1 и 0. Пусть х Ф 0. Запишем
сумму цифр и для этого числа:
1+8+х+^ = (10-дг) + (1--у)1
т, е.
х+у = \.
Так как х=^=0, то у = 0, а лг=1. Это означает, что
некто родился в 1810 году.
Пусть теперь л- = 0. Тогда получим уравнение
l+8+y=l+(l-y),
откуда у=—3,5, что невозможно.
Ответ. В 1810 году.
18.6. Пусть одна часть весит х карат, тогда другая
весит р—х карат. Цена этих частей равна 1хг и l(p—xf
соответственно, где /—коэффициент пропорциональности.
Так как цена целого брильянта была равна 1р%, то получим
уравнение
lp* = k\lx*\l\p-x?\

1&71 ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 443
которое после упрощений примет вид
2kx2—2kpx +р* (А— Г) = О,
x1>2 = ±{kp±Vkp*{2-k)).
Проведем исследование.
По смыслу задачи А>1, р>0. Следовательно,
подкоренное выражение будет неотрицательным, если k ^2, т. е,
1<А<2.
Так как
У kp*(2—k) =YkY—Mpu(k — \) < кр
(мы знаем, что &>1), то оба значения х неотрицательны.
Легко проверить, что р—х1 = хъ.
Ответ.
18.7. Примем расстояние, которое туристам нужно пройти
на моторной лодке, за единицу. Через х кг/ч обозначим
расход горючего в течение часа работы двигателя в режиме,
обеспечивающем собственную скорость лодки vv а через
у кг/ч—расход горючего при работе двигателя во втором
режиме (w2). Весь путь лодка пройдет за ——- и ——-
часов при работе двигателя в первом и во втором режимах
соответственно. Так как расход горючего будет
одинаковым, то
Vi—U 02—U
Если скорость течения реки будет равна ku, то из условия
получим второе уравнение
у
О,—ku l*a—ku
Найдя из первого уравнения х, подставим во второе.
Получи»» :
„ \ ■ °i—н , ' -\=л
У [(Щ~и) (о,-to) oa-toj Л«

444 РЕШЕНИЯ [18.8
откуда
_ А (уг—и) jvy—ku) (vt—ku)
7 u(k-l)(vt-vt)
Так какА>1, то у>0 только при г»а> ъг и ku < vv
Общий расход горючего равен ~£—.
Ответ.
«(*-1 )(*-»!) ' ku<vi< *з-
18.8. Обозначим через х, у, z, s и / количества
десятков порций стоимостью по 7, 9, 11, 13 и 15 копеек за
порцию.
Условия задачи можно переписать в виде системы
7х + 9у + 1 \г + 13s -f-15/ = 184,
x+y+z + s + t=l8,
x+y = z + s + t,
y=2t,
{ y>s.
Вычитая из первого уравнения второе, умноженное на 7,
получим
y + 2z + 3s + 4t = 29
или (так как у = 2/)
2z-\- 3s + 6* = 29.
В результате сравнения второго и третьего уравнений
найдем
z + s + t = 9.
Умножим его на два и вычтем из предыдущего
уравнения:
s-f 4*=П.
Поскольку s и t—натуральные, t может принимать лишь
два значения: t=\ н * = 2, иначе уравнение s + 4^=11 не
выполняется. Если г=1, то s = 7, а у = 2. Это
противоречит требованию у > s. Следовательно, t = 2, s = 3, у = 4.
Нетрудно найти, что лг = 5, г = 4.
Ответ. 50 порций мороженого по 7 копеек, 40 порций
по 9 копеек, 40 порций по 11 копеек, 30 порций по 13
копеек, 20 порций по 15 копеек..

18.10] ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 445
18.9. Задачу можно было бы решить формально. Однако
проще воспользоваться тем, что, взяв по одной монете
каждого достоинства, мы получим 15 копеек.
Поскольку десятикопеечная монета сюда обязательно
входит, то, взяв по одной из имеющихся у школьника медных
монет, мы получим 5 копеек. Если у школьника есть
однокопеечные монеты, то оставшиеся 4 копейки можно
получить либо как 2 + 2, либо как 1 -f3. И тот и другой способ
не годятся, так как в наборе, составляющем 5 копеек, будут
две одинаковые монеты.
Для медных монет остаются две возможности: либо у
школьника только пятикопеечные монеты, либо монеты
достоинством в 2 к 3 копейки.
Во втором варианте медных монет может быть либо 4,
либо 8, иначе десятикопеечных монет будет меньше, чем
медных. Оба случая не годятся, так как в первом
десятикопеечных монет будет 9, а во втором 8.
Следовательно, у школьника есть только
десятикопеечные и пятикопеечные монеты.
Ответ. 8 десятикопеечных и 4 пятикопеечные монеты.
18.10. Обозначим время, израсходованное плотами на
путь по озеру, через х. Так как на весь путь ушло
11,5 суток, т. е. 276 часов, то на путь АС (буквой С
обозначено устье реки) ушло 276—х часов, а скорость
течения реки равна ДС/(276—х).
Выразим скорость течения реки с помощью остальных
условий задачи. Если пароход тратит на путь от Л до Б
40 часов, а на путь от С до В тратит дг/2 часов (идет в два
раза быстрее, чем с плотами), то скорость парохода вниз
АС .
по течению реки равна . Аналогично его скорость
40-1-
АС с
вверх по течению равна . Если вычесть из первой
48-т
скорости вторую, то получим удвоенную скорость течения
реки. Мы пришли к уравнению
АС АС __ ЧАС
40-т -«—г

44€
РЕШЕНИЯ
[lfi.ll
решая которое найдем: лг1 = 24, л:г=13.6. Второй корень
посторонний, так как 40—■=■ и 48—-=• становятся
отрицательными, что не имеет физического смысла.
Ответ. 24 часа.
- See* 5сек
Ав-
ж*-
S*
Sew
tebL
-*в
ЧА*
Рис. P. J 8J1.
18.11. Пусть vlt v2 и v3—скорости пловцов, а
х—расстояние АС (рис. Р. 18.11). Приравниваем времена,
затраченные пловцами на путь АС:
JL.l_10 = — -f5= — .
Р)
Из условия встречи в точке D третьего и второго пловцов
получим
?+в-?. (2)
а в точке Е третьего и первого:
?+ю-£. (3)
Так как в уравнение <2) входят v% и гг8, а в уравнение (3)
vt и vs, то уравнения (1) перепишем в виде
1 1 5
v3
X
10
w
Преобразуем теперь уравнения (2) и (3):

18.13] ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 447
и воспользуемся заменой (4). Получим систему
4бА = ^+5,
х о8 '
4* = А+1,
из которой проще исключить ©8. Найдем л; =10.
Следовательно, vs = 1.
Ответ. 1 м/сек.
18.12. Обозначим через х часть сосуда, занимаемую
раствором кислоты, а объем всего сосуда примем за единицу.
После того как сосуд долили 9°/„-ным раствором, количество
концентрированной кислоты стало
рх ■ ?(1— х)
100 ~*~ 100 '
а новая концентрация
px=px+q(l—x) = (j>—q)x + q.
Если вместо р подставить pv то получим рг, аналогично
можно получить р3 и т. д. Приходим к рекуррентному-
соотношению
Вычислим рг:
Pi = X(p1~q)+q=>x*(p~q)-t-q.
По индукции легко доказать, что
Pk = x"(p~q)+q.
Так как рк = г, то получим уравнение
г = хк(р—q)+q,
откуда
Ответ, у —-i, где либо r>q,_.p>qt либо r<q,
P<q.
18.13. Пусть х и у—скорости автомобиля и мотоцикла
соответственно, a z—длина пути АВ. Тогда первая встреча

4*8
РЕШЕНИЯ
Г18.13
произойдет через ~- часов после начала движения па
расстоянии j^- от пункта В. Те же рассуждения,
примененные к отрезку длиной в ~г~> позволят найти
расстояние между первым и вторым пунктами встречи. По условию
2
это расстояние равно -^z, т. е.
гух 2 ух 2
£+уТ*=~Т*> или &+и?~Т-
Это уравнение можно переписать так:
2х3 —5ху + 2у* = 0,
т. е.
2(|)'-5f + 2 = 0,
откуда
либо — = 2, либо — = 4-. (1)
у у 2 w
Очевидно, что эти отношения дают симметричные решения.
Если предположить, 'что скорость автомобиля больше
скорости мотоцикла, то х = 2у.
Используем оставшиеся условия задачи. Если бы
скорость автомобиля была на 20 км/ч меньше, т. е. равнялась
бы (х—20) км/ч, то первая встреча произошла бы через
3 часа после начала движения. Получаем уравнение
(2)
х+у—20
Мотоцикл до встречи преодолел бы в этом случае
расстояние в Зу км, а расстояние между пунктами первой и второй
встреч составило бы у^_^. Получаем третье уравнение:
- Зу* =60. (3)
Подставим в это уравнение х = 2у. Получим квадратное
уравнение, корнями которого являются уг ==■ 20, у2 = \0.
Второе значение не подходит, так как тогда jra = 20 и

18.14] ГЛ. 18. ЗАДАЧИ ИЛ СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 449
*—20 = 0, что не имеет для нашей задачи физического
смысла.
Итак, у = 20 км/ч, х = 40 км/ч, а из уравнения (2)
найдем," что г— 120 км.
Ответ. 120 км.
18.14. Пусть пассажир опоздал на поезд на / часов,
проехал на такси х км, а на автобусе у км. Скорость
поезда обозначим через и. Тогда на путь до встречи с
поездом пассажир израсходует f-— часов, а поезд прой-
х -\- и
дет этот путь за —— часов. Учтя опоздание пассажира,
получим
i + A = ^_,. (1)
о, vt и у
Поездка на такси и автобусе обошлась пассажиру в
ах + А рублей. Если бы он ехал все время на такси, то это
стоило бы ах + А—В рублей и он догнал бы поезд
ах 4- А — В г,
проехав —■ км. Приравнивая времена, затраченные
на этот путь поездом и догонявшим его пассажиром,
получим второе уравнение:
ах+А — В _ах-\-А — В
avy au
Третье уравнение очевидно:
(2)
■JL+JL- Х = °* + А-В (3)
о, о2 да, w
Записав его в виде
в, ц, «1 ' avl
найдем.
, (A—B)vt
Приравниваем выражения для t из уравнений (1) и (2).
Получим
х . А—В х А—В jc_ , g_ jc_ j/_
и au t»i av^ и "*" и щ, о^ '
>5 Е. Б. Веховский. Д. А. Рывкны

450
РЕШЕНИЯ
[18.15
т. е.
А—В А—В _ у у
аи at'i ~ и 7£" *
Поскольку у уже найден, можно вычислить и:
* xavt
Чтобы задача 'имела решение, скорость поезда должна
быть положительной. Так как v1>vi и А > В, то из
неравенств
(A-BUVI-V1)
* той. -^
следует, что -2£*- > ^—5
i'j—vt ах
Ответ, v (A-BH^-vJ _с^
Л-В
ах
18.15. Обозначим скорость товарного поезда до
остановки через дг, расстояние АВ через ^г, а расстояние АС
через z. Тогда пассажирский поезд шел вначале со
скоростью тх, а после остановки оба поезда шли
соответственно со скоростями 5л:/4 и 5/илг/4. На весь путь без
остановки товарный поезд потратил бы у/х часов. Поскольку
ин сделал остановку на / часов в z км от А, а затем
прошел оставшиеся у—z км со скоростью 5д74, то он
израсходовал на весь путь
т+**£*+*часов-
Следовательно,
х ■ 1 х Ьх '
Аналогичное уравнение составляем для пассажирского
поезда, который шел в обратном направлении:
тх^Т* тх ^5тх^1'
Чтобы ответить на вопрос задачи, нужно из времени,
которое понадобилось товарному поезду, чтобы преодолеть
отрезок АС, вычесть время, которое понадобилось
пассажирскому поезду, чтобы пройти расстояние ВС. В наших

18.161 ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 451
обозначениях эта разность запишется так:
г_ у—г
х тх '
Именно это выражение нам нужно определить с помощью
полученных выше уравнений. Мы можем добиться этого,
* У
X
образований система примет вид
решив уравнения относительно — и —. После простых пре-
4|— 5|» 5» (*,-/).
Умножив первое уравнение на —4 и сложив со вторым,
найдем —, а умножив его на —5 и сложив со вторым,
найдем — :
i- = 25(/-^)-5/7j(/2-0, y = 20(/— /,)—5я(*я —f).
Остается подставить найденные значения в выражение
(т+\)~ -2-.
х ' ' тх тх
Ответ. А[(4/я— \)(t — f^ —«*(*, — *)].
18.16. Обозначим скорость самолета через х, а
скорость вертолета через у. До первой встречи вертолет летел
d d _,
— часов, а самолет — часов. Так как самолет вылетел на
у ' х
t часов позднее, то
у х '
Второе уравнение мы получим из условия второй встречи.
Вертолет к этому моменту находился в d км от В и
пробыл в полете s-=- часов. Самолет преодолел расстояние
у
s-hd
s+d и пробыл в полете -1— часов. Следовательно,
х
s—d s+d
х +*-
15*

452 решения (18.16
Хотя полученную систему уравнений можно решить, а затем
ответить на вопрос задачи, мы сначала вычислим
интересующую нас величину в предположении, что * и у известны.
Вертолет прилетел в В через — часов после вылета. Само-
2s
лет вернулся в А через t-\— часов после того, как
вертолет вылетел из А. Нас интересует величина
х у
— на столько часов самолет вернулся в А позднее, чем
вертолет прилетел в В, Таким образом, из полученных
уравнений нужно определить — и — . Умножив первое урав-
* У
нение на d—s, а второе на d и сложив, найдем
= i[s-2d),
т. е.
2d*
х
откуда
1 _<(s—2d)
х ~ 2d» '
Из первого уравнения определяем —:
У
j \_л.1 А
у х ~т~ d ~2d*'
Следовательно,
ri~* y ~ri" 2d* 2сР — *^ 2d* •
Задача имеет решение, если все участвующие
компоненты положительны. Чтобы величина — имела смысл, не-
х
обходимо s > 2d.
По условию вертолет прилетел в В раньше, чем
самолет вернулся в А. Поэтому
sUs-id)
^ 2d» «^ •

18.17] ГЛ. 18. ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 453
т. е.
л8—4sd + 2d*>0.
Получаем квадратное неравенство относительно
отношения -т \
откуда
(•г)а-4т+2>°-
<2—У2 или 4 > 2 + 1/2.
Первое решение придется отбросить, так как тогда
s<2d—V~2d, а это противоречит условию, что s>2d.
Ответ, f+^y0, * > (2 + V~2)d.
18.17. Устье реки, на которой стоит порт Ж, обозначим
через А, а устье второй реки—через В. Расстояние МА
обозначим буквой х, а расстояние BN—буквой у. Искомое
расстояние тогда будет равно s—(х-\-у). На путь от М
до N пароход потратил: часов на путь по первой реке
(по течению), i-"t"W часов на путь по озеру и —-—
часов на путь по второй реке (против течения). Так как на
весь путь ушло t часов, то получаем уравнение
s—Qf+y)
■=t.
V-\-Vx ' О ' V—На
Аналогично для пути от N до М получим уравнение
_У ■ s—(х+у) ■ х
и+иа ' в ""в—их
Приравнивая левые части этих уравнений, получим
/ 1 1 \_ / 1 1 \
\о—v± o+Oi/ * \V—«» о-г-0яУ*
т. е.

454
РЕШЕНИЯ [19.1
Подставим найденное выражение для х в первое уравнение
и найдем
__ (fo-s) (pt-B;)
следовательно,
x_{tv-s){v*-v*)
Остается найти s—(х-\-у).
и2
Ответ, {s — tv) \-tv.
Глава 19
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ
19.1. Сравним п-й и (л-|-1)-й члены последовательности:
п!2" (n + l)12"+i
или после упрощений:
Так как
где многоточиями обозначены некоторые положительные
члены, то
(=±1)">2 прня>1.
Следовательно, последовательность убывающая, начиная со
второго члена.
19.2. Так как а'р, ад, аг и as—члены арифметической
прогрессии, то
av—ap = d(q—p),
ar — aq=d{r—q),
as—ar = d(s—r).
Кроме того, арат = а\, адая = а*, apas = agan что
отражает условие, в силу которого ар, ад, аг и as образуют

19.4] гл. 19. последовательности и прогрессии 455
геометрическую прогрессию. Из первой группы формул имеем
ад—а» аг—ад as—аг
Составим произведение [р—q) [г—s) и воспользуемся
второй группой формул:
.. . iPq—ap)(as— ar) agas—agar—apas+apar
(p—q)(r—s)=- ^ = ^ =
a)—2ara„-\-a,
^-(Ч*)'-»-*
что и доказывает сформулированное в условии утверждение.
19.3. По условию
а = аг + d {т — 1) = игдт~х,
b = al + d{n—\) = u1q"-\
c = al-\-d{p — 1) = uxqP ~ х.
Составим разности:
b—c = d(n—р), c—a = d(p—т), a—b — d(m—л).
Подставим в левую часть равенства, которое нужно
доказать:
a"~cbc~aca~b = {utqm~1)d '""J" (Hl9n-1)dlp~ral [и^дР'1)* ,m~n> =
ydin—pi+d<p-m>+dun-n> Лim-U (/i-pi+dcn-u (p~m)+dlp-i> im-ni.
После несложных преобразований получим в обоих
показателях нули, что и доказывает равенство произведения
единице.
19.4. Перейдем в левой части равенства к общему
основанию х и сделаем некоторые упрощения:
1 1
\щх а \щхЬ ^ (logx Ь—logxa) log, с ^ ' °* a log^x. = log^
logx 6 log, о
log* —
'ogx
n последнем равенстве мы воспользовались тем, что "Х = "Т"=
= q — знаменателю прогрессии.

*56 решения [19.5
19.5. Имеем
S = -g- (9 + 99 + 999+... + 99... 9-
л цифр
=-J (W-1 +10в-1 + 10*-1 + ... +Ю»-1}~
—д-(П^10-я).
я цифр
Ответ. |(1-2=^--)-|(П^0-«,.
и цифр
19.6. Преобразуем выражение, стоящее под корнем:
11... 1 — 22.. .2 = -g-(99.. .9—2-99.. .9)==
2л цифр л цифр 2л цифр л цифр
= 1[102»—1— 2(10» — 1)] = у(Юап—2.10"+1) =
= -§-(Ю"-1)а.
После извлечения квадратного корня получим
4-(Ю»—1) = 4-(99...9) = 33...3.
л цифр R цифр
19.7. Из условия следует, что
{
«1 + аа =*= 2e«» Л»1+ДзУ „ „
. т. е. I—я—7 — °i°8
а следовательно, (а*—а8)г = 0, с1 = а8. Поскольку а2 =
«_.fiL±£Lf то c2 = ai. Таким образом, aL = a2 = aa. Решим
теперь систему уравнений
{Qx+log, у __ 2'-Io«i»,
Первое уравнение можно последовательно преобразовать:
2s*+8 log,» = 2х- 1о«'", * = — 2 log2 J'-

19.9] ГЛ. 19. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ 457
Подставив найденное значение х во второе уравнение
системы, получим
2-»«*.»-5у, т. е. 1 = 5у, У = ~*д-
Теперь можно найти х:
х=—2 \og2y = ^ bga 5.
Ответ. -g-logs5. ~.
19.8. Пусть f—знаменатель прогрессии. Тогда по теореме
Виета
*i(l+?) = 3,
х^{1+д) = 12,
x\q = A,
х\дъ=*В.
Из первых двух уравнений (подстановкой первого во второе)
находим, что ^2 = 4.
Так как последовательность по условию является
возрастающей, то д = 2, откуда #j = l, что не противоречит
тому, что прогрессия возрастающая.
Из двух вторых уравнений определяем А и В.
Ответ. Л = 2, 5 = 32.
19.9. Пусть х2 = ххд, Xg^Xj/f. Тогда по теореме Виета,
примененной к данному уравнению, имеем
*i+*i0-f-.*rf8=— 1,
Xlq + Xlq* + xft»_2.
Из первого уравнения получим х1(1-\-д+д1) —— 1. Это
позволяет следующим образом преобразовать левую часть
второго уравнения:
*1?(1 +? + ?*) = — ■*!?,
2
откуда xt = . Подставим выражение для xt в первое
уравнение, получим
2(1+;+*'> = 1, т.е. V + ff + 8-O.

458
РЕШЕНИЯ
[19.10
откуда
VI, 2
Теперь можно найти хг;
г _ 2 __ -8
я -i±iV
-1±«V
4
15 l:
Т5
"
8
FiVT!
иыутв
; 2
(обратите внимание, что для q и х^ нужно брать либо
в обоих случаях верхние, либо в обоих случаях нижние
знаки).
Остается найти x9 = qxlt Ха — Ч*х1"
При q = qx и q = q^ получаем одно и то же множество
корней (jct и х3 меняются местами).
19.10. Из условия следует, что
тз^=2 7-1 ' откуда ч т-
Произведение п первых членов прогрессии равно
_Я_ Я(Я-1)
аПд1+2+...+{П-1) —2 2 ? а =
Ответ. У~2.
19.11. Пусть с—цифра сотен, d—разность прогрессии.
Искомое число делится на пять, если его последняя цифра
либо 0, либо 5, т. е. либо c + 2d = 0, либо a-\-2d = 5.
Чтобы число делилось на девять, сумма его цифр должна
делиться на девять. Но поскольку сумма трех цифр может
изменяться от нуля до двадцати семи, имеются три
возможности:
a + (a + d) + (a + 2d)=*9; 18; 27.
Последнюю возможность отбрасываем, так как число 999
не делится на пять. /
Пусть e + 2d = 0. Если a + d = 3, то d = — 3, а = 6.
Получим число 630. Если a + d — б, то d =— 6, а =12,
что невозможно.

19.13] ГЛ. 19. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ 459
Пусть теперь a + 2d = 5. Когда a-\-d = 3, получим </ = 2,
в=1, что даст число 135. Когда e-f-d = 6, получим й = — 1,
а = 7, что приводит к числу 765. Поскольку все
возможности исчерпаны, задача решена.
Ответ. 630; 135; 765.
19.12. Задачу можно решить, обозначив через х цифру
единиц, а через q—знаменатель прогрессии. Используя
условия задачи, мы придем к двум уравнениям:
100л:?а + 1 Oxq+х—594 = 100л; + 1 Oxq + xq\
(x+\) + (xq*+\) = 2(xq + 2).
Первое уравнение можно переписать в виде
*(?s-l) = 6,
а второе — в виде
x{q*—2q+\) = 2, т. е. x{q— l)a = 2.
Деля первое уравнение на второе, получим
q—1 ' *
Следовательно, х = 2.
Задачу можно решить перебором, если воспользоваться
тем, что цифры числа образуют геометрическую прогрессию,
причем цифра сотен больше пяти (так как число больше 594).
Можно доказать, что имеются лишь три возможности: 842,
931 и 964. Второе и третье из этих чисел нужно отбросить,
так как 931—594=^139 и 964—594=^=469. Остается
убедиться, что для числа 842 все условия задачи выполнены.
Требование, чтобы числа х-\-1, xq-\-2, xq%-\-1
образовывали арифметическую прогрессию при таком решении
оказывается лишним.
Ответ. 842.
19.13. Пусть в совхозе было я комбайнов, один смог
бьг убрать весь урожай за X часов непрерывной работы и
при работе по плану все комбайны одновременно находились
в поле у часов. Так как все комбайны могут справиться с
уборкой за 24 часа, а производительность одного комбайна
1/х, то
24
— л = 1, т. е. 24л — х.

460
РЕШЕНИЯ [19.14
Если комбайны работают по плану, то, работая вместе, они
сделали л— у часть всей работы. Кроме этого, первый
комбайн работал л—1 часов, второй л—2, а (л—1)-й работал
один час. Учитывая все это, получим уравнение
я —1 , я—2 . ,1,1 ,
или
п~\ .
—g—л-f лу = *.
Так как х = 24л, то из этого уравнения можно выразить у
через л:
.. я—1
.У = 24 —■
Наконец, последнее условие задачи можно записать в
виде уравнения
(л+у-7)(л-5)4 = 1.
Подставляя вместо jc и у их выражения через л, придем
к квадратному уравнению
(я + 17_Л=±) (л-5) - 24л,
т. е. л2—18л—175 = 0.
Решая это уравнение, найдем, что ла»»:25, п2 — — 7.
Второй корень не имеет смысла.
Ответ. 25.
19.14. Пусть братьям a, aq и аф лет. Тогда они получат
соответственно х, xq и xq* рублей.
Через 3 года им будет а + 3, aq + 3 и aq* + 3 лет,
причем старшему окажется вдвое больше лет, чем младшему:
д$* + 3 = 2(а + 3). (1)
При дележе через 3 года младший брат получит лг-4-105,
средний xq-$-\5. Чтобы узнать, сколько получит старший
брат, вычтем эти деньги из всей суммы:
X + xq + Х<?-(*+ ЮЗ) -(**+15) = *?2-120.

19.15] ГЛ. 19. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОГРЕССИИ 461
Так как братья делят деньги пропорционально их возрасту, то
получим еще два уравнения:
jc+105 _ хд + 1Ъ х+105 *<?»—120 (2)
а+Ъ aq+3 ' а+3 = aq* + 3 ' {
Уравнение (1) позволяет записать второе из уравнений (2) так:
2(X+W5) = xq*—12,0,
т. е.
* fa*—2) = 330. (3)
Если в (1) раскрыть скобки, а затем вынести за скобки а, то
afa'-2) = 3. (Г)
Сравним с уравнением (3):
х=П0а.
Первое из уравнений (2) можно переписать так:
(ПОа-f l05)(aq + 3) = [l\0aq+l5){a + S).
Раскроем скобки и решим систему, состоящую из
уравнении, полученного в результате, и из уравнения (1'):
f 5aq—7a = 6,
\a(q*-2) = 3.
Из первого'уравнения а = -g . Подставим во второе. После
преобразований получим квадратное уравнение
6?а—15<7+9 = 0,
откуда qx=-2, ft=l-
Второй корень посторонний, так как тогда всем братьям
одинаковое количество лет и никто из них не может через
3 года стать вдвое старше другого.
Ответ, 12, 18, 27.
19.16. Пусть -i-a,b, с и-H-a8, Ь2, с2. Другими словами,
2Ь = а + с и Ь* = с2с2. Если первое уравнение возвести в

462 решения [19.16
квадрат
4fca = os + 2cc + ca,
а второе записать в виде *2 = |вс|, то, сравнивая левые
части этих равенств, найдем, что
аа + 2ас + с2 = 4|ас|.
Если вис одного знака, получаем уравнение
вг--2ас+с2 = 0, т. е. (а—с)а = 0,
откуда а = с. Следовательно, аг = с2 и знаменатель
прогрессии -Н- а2, Ь2, с* равен 1. Если а и с разных знаков, получаем
уравнение
е2 + 6сс + с2 = 0.
Разделим на а2 (по условию a =jfc 0) и решим уравнение
(i)'+ei+i-e
относительно с/а:
Так как -5- —9*. то
^ = (-3±/8)2.
Числа a2, ft2 и с2, образующие геометрическую прогрессию,
положительны. Следовательно, q > 0. Таким образом, из
последнего уравнения
?2,8 = 3±УГ8.
Ответ. 1, 3+у1Г, 3 — 1^8.
19.16. При л = 1 формулы верны:
*1 = а+|(А_а) (l +i) ee+4(*-o)—2±^ =

20.1] гл. 20. суммирование 463
Предположим, что эти формулы верны для п = к, и докажем,
что они верны для n — k-{-\:
Так как lim —^0, то предел последовательности равен
, 2 ., . а+26
Л а+26
Огвег. -^—.
Главе 20
СУММИРОВАНИЕ
20.1. Докажем, что
Так как
(l+ft)* *-Л (!+*)'
то
5<Ь2+2ТЗ+- •■+ (л — l)n =
-(•4)+(W)+-+ter4)-
-i<1-

464 решения |20.2
I
При доказательстве мы воспользовались тем, что , -„
(л—\)п
-д—1—■—. Такой прием часто применяется и называется
разложением дроби на простейшие.
20.2. Так как
J ! Дц-i—о*
ак а*+1 й*°*+1 Otflt+, »
то
Л_ Л_ * /7- Л- * Л- Л. ' ' * * '
°1 °» °» «Э <»3 °* 0/I-I «••
1 1 ап—ах п— ■
Ответ. d3n .
20.3. Представим k-e слагаемое в виде
' =_J_.±(± L.U
-_i Г ' ' 1
2 L*(*+l) (fe+l)(ft+2)J'
Тогда
„ 1 Г 1 1,1 1,1 J_ ,
*-'2lF2'~~T3~t2b~ ЗГ1"^ 4-Б"1"'"'
_L__! 1 1„
n(/i+D (ft+l)(n+2)J
1 Г1 1 1 n(n+3)
"T L2 (n+l)(n+2)J " 4(n + l)(n+2) '
^^ 4,(n+l)(n + 2)-
20.4. Левую часть данного равенства перепишем в виде
а"+*—1
воспользовавшись для этого формулой суммы членов
геометрической прогрессии. Тогда (поскольку аф\)
с"4* — 1 = (а — 1) (1 + а) (1 + аа).. .(1 + а**).
Правая часть может быть записана так:
(в9~1)(1 + са)...(1+а8*) = (с4-1)...(1 + «*') = с»*+1-1.

20.61 гл. 20. суммирование 465
Итак,
По условию а Ф 0, 1, — 1. Это позволяет найти нужную
нам зависимость.
Ответ, л + 1 = 2ft+l.
20.5. Выписав коэффициенты данного многочлена слева
направо и написав под ними коэффициенты того же
многочлена, расположенные в обратном порядке, получим
1, 1» 2, 3, ..., я—1, л,
л, л—1, л—2, л—3, .... 1, I.
Теперь можно выписать коэффициент при х":
1-я-Н (л— 1)4-2 (л—2)+ 3(л—3)+.. .+(л— Щ+л-1.
Эту сумму можно преобразовать так:
2л+1(я— 1)4-2 (л—2) + ...+(л— 1)[я—(л— 1)] =
-2я + я[1 + 2+...+(«—1)]—[1в4-2*4-... + (л— П8].
Каждую из сумм, стоящих в скобках, легко подсчитать.
14-2+...4-(я-1) = -^1,
1*4-2» 4-... + (л-1)'~я<*~1).(2в~~|).
6
Таким образом, искомый коэффициент равен
(2Д-1)
_о- ■ я(я—1)(я+1) _ n(n»4-il)
2л 4- "'fo-1) n(n-l)(2«-l)
ore», «fi^hlll.
20.6. Неравенство равносильно системе
TfW|<!-
1 |2*|<1.
Из второго неравенства следует, что —1<2дс<1, т. е.
1 4- 2л > 0._ Поэтому первое неравенство можно переписать

466
РЕШЕНИЯ
[20.7
в виде
1+2* <1, или \х\<\-^2х.
Таким образом, приходим к системе
, |*|<1+2*,
\-j<*<Y'
которая равносильна совокупности двух систем
х>0,
лг<Ц-2лг,
—5-<лг<-;Г;
' *<0,
-*<l+2*.
1 ^ ^ I
Ответ. _1<д;<1.
20.7. Так как k-k\ = {k+\)k\ — k(k—\)\, то
Sn = 2-U —1-01+ 3.2!—2-1! + 4-3!—3-21+...
...+(я + 1)л! —л (я—1)1
После приведения подобных получим
5п = (л + 1)л!—0! = (л+1)! —1.
Ответ. (я+1)1 —1.
20.8. Домножим Sn на л:2:
X*S„ = х* + 4лгв + 7х7 + . • • + (Зл—2) xin+i,
и вычтем полученное выражение из S„:
S„(l — х*)~х+3х3 + 3хь+ ... +3лг2я_1—(Зя—2)лг2п+1=
О,*,. 5^^^1^+J^ip.
20.9. Рассмотрим тождество1)
(дг-f !)*== *ь + 5*4 + 10*» + 10лгеЧ- 5дг+ 1.
J) Формулы для S*. S* и т. п. доказываются аналогично с помощью
тождеств: (* + 1)»=**+3*2+Злг-{-1, (*+1)«=*«+4*»+6*»+4*+1.

20.10] гл. 20. суммирование 467
Положим в нем последовательно х = 1, 2, ..., л и сложим
я полученных равенств:
2в + Зв+...+<л+1)5 = 1+28 + 35+...+л5 +
+ 5(1* + 2* + ...+л*)+10(13 + 2з+...+л3) +
+ 10(1в + 22+...+л2) + 5(1+2+...+л) + л.
После приведения подобных получим
(л +1)« = 1+55* + Ю5» + 105* + 55л + я,
откуда
55£ = (л+1)6—Ю5Д—105*—55„—я— 1.
Так как
оа д* (п+1)» рг п(п+1)(2п+1) _ (1+п)п
°я— а » °я g ' °в— 2 *
55* = (n +1}" (6л3 + 9л' + л — 1).
4 ' ~я— 6
то
Многочлен третьей степени имеет корень л =—-^- и поэтому
делится на 2л + 1.
Ответ. ^л(л+1)(2л+1)(3лг+3л—1).
20.10. В л-й группе содержится л членов.
Пусть л четное. Подсчитаем число четных чисел,
встречающихся во всех группах до л-й. Это число равно
2+4 + 6+...+(л-2)=?("-2)-
Следовательно, последнее четное число, встречающееся до
пп(п~ 2) п(п—2)
л-й группы, равно 2 ^—'- — 5—> а первое четное
число, входящее в л-ю группу, равно
2 *~*-
Теперь можно найти сумму л последовательных четных чи-
сел, начинающихся с——^—- + 2. Эта сумма равна
2[«^+2-|+2(л_„
J ? _J л=|(„* + 2).

468 решения [20.11
Пусть теперь я нечетное. Число нечетных членов,
встречающихся до я-fl группы, равно
1+3 + 5+...+(я-2)*=<"~^' .
Последним нечетным числом, стоящим до я-Й группы, будет
(л—1)* ,
-—д"-* If a первым числом, входящим в я-ю группу,—
число -5—~--{-\,
Следовательно, сумме я последовательных нечетных чи-
сел, начиная с fc=I£+i'. равна
2 [<«=*£+ll+2(„.-l) n
—I—i rJ „«^.(„2+i,.
Ответы можно объединить.
Ответ. -jL|n*+-!-+(-l)n4-]-
20.11. Домножим S„ на 2stn-^-:
25„sin^- = 2sln^Cosi + 2sin^-coS^-+...
...4-2s«n^cosi-jrL- + 2sIn^cos-i_i_==
. Зя . я , , 5л . Зя .
= s{ni«—sin^r+sin-&r-s,n^r+-•■
, . (2п—3)л . (2п —5) я , _,_(2п-1)я . (2д—3)я
... +sfni—^ sin1 2n> +sm—-g; sin at '
После приведения подобных получим
л„ . я . я . . (2и— 1)я
= _sin|_+si„(„-A.)=0.
Так как sin-^-^0 ПРИ натуральных л, то S„ = 0.
Ответ. 0.

21.4] ГЛ. 21. СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ 469
Глава 21
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ
21.1. Присвоим каждому из сидящих за круглым столом
номер: ах, а2, ..., а„. Образовывая циклические
перестановки: а„, Oj, о2 an_L; а„_и а„, ах, а , ап_2
и т. дм мы будем получать тот же способ размещения за
столом. Таких циклических перестановок можно составить л.
Кроме этого, нужно учесть, что сосед слева и сосед
справа неразличимы, т. е. перестановки а1, с2, ..., й„ и
ai> °i» an-v • ■ • > a2 дают одно и то же размещение за
столом. Так как всего возможно л! перестановок, из которых
каждые 2л одинаковы, то искомое число равно
Ответ. -я-(л—1)!.
21.2. Всего из пяти элементов можно составить Рь
перестановок. Среди них будет Р4, у которых на первом месте
°и и ^4» У которых на первом месте а2. Однако перестановки,
у которых на первом месте alt а на втором месте с2) попали
и в первую, и во вторую группу. Таких перестановок Ра.
Поэтому искомое число перестановок равно
/V-(2P4-/V) = 78.
Ответ. 78.
21.3. Из семи разрядов три должны быть заняты
двойками, что дает С| вариантов. На каждое из оставшихся мест
можно поместить любую из восьми цифр, благодаря чему
каждый из предыдущих вариантов даст еще 84 возможностей.
Ответ. 8*-С? = 143360.
21.4. Предположим, что в каждое число входят три
различные единицы: \lt 1а, 18, а остальные цифры 0, 2, 3, 4
и 5 равноправны. Тогда можно получить р8 различных чисел.
Отсюда нужно исключить Р7 чисел, начинающихся с нуля.
На самом деле разные единицы неразличимы. Другими
словами, вместо одного числа мы получим Рь одинаковых
чисел, отличающихся лишь взаимными перестановками единиц.
Ответ. РвГР,>=5880.

470 решения [21.5
21.6. Предположим, что каюты неравноценны. Это дает
в 8! раз больше вариантов, чем в случае равноценных кают,
что мы учтем позднее.
В первую каюту можно заселить любых четыре из 32
экскурсантов, что можно сделать С$г способами, во вторую —
любых четырех из 28 оставшихся и т. д. В итоге получим
С* гч. г*г*
способов. Это число остается разделить на 81 и произвести
упрощения.
Л 32!
0теет- WeT-
21.6. Рассмотрим k-й член суммы
к(* h п! _ я! -а я (п~1)! п(*-}
R^n~K(n—k)\k\ (п—ft)l(fc—1)1 п (n—ft)! (ft—1)1 -ли«-1-
Данную сумму можно переписать в виде
п («3U + CU +...+ q}z{) = п ■ 2»-*.
Ответ. л-2"~1.
21.7. Из разложения
(1+0»=сл + су + са*« + <з*» + ся*«+...+С!!*" =
= С%+Cki-Cf,-Cani + С* + ... + CSt"
выделим действительную часть и приравняем действительной
части комплексного числа (1 + /)". В самом деле,
т. е.
С»п-С%+ ... + (— 1)*С?- ^2-coe -f,
где л—1 ^2А^л.
Последнее ограничение означает, что через 2k
обозначено то из чисел л—1 и л, которое является четным.
Ответ. j/2"cos -г.
21.8. Условию задачи удовлетворяют такие л, для
которых равенство
C*-i + C*«-=2C{i 0)

21.8] ГЛ. 21. СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ 471
выполняется хотя бы для одного k. Заметим, что 1 ^ k ^
^л—1; л ^2. Равенство (1) перепишем в виде
(n—k+\)\(k— l)l + (/i-ft+l)l(ft + l)!~Z (n—k)\k\ '
что после простых преобразований даст
4ft2—4nk + n2 — n — 2 = 0,
откуда
ь_п±УК+2
Л- j .
Чтобы выражение в правой части было целым, нужно
сначала потребовать
п-\-2 — т?, т. е. я = /и8—2.
Поскольку п ^ 2, то га2 ^ 4 и /и ^ 2. Тогда
|,_т»—2± w
А— 2
Если взять знак минус, получим
_m«-m-2__(m+I)(w-2) ,„
«1 g 2 * ^'
Число стоящее в числителе, четное при всех яг. Значение
т = 2 нужно исключить, так как тогда А1 = 0, что
невозможно. Если же /и^З, то т-\-\^4, а /в—2^1.
Следовательно, ^23*2. Потребуем теперь, чтобы выполнялось
второе условие: «j^«—1, т. е. ^—— ^Гяг—3, что
равносильно неравенству /я8 + /я—4^0. Последнее
неравенство справедливо при всех т^З.
Остается исследовать
_д«-2+т._.(д+2)(я1-1)
"2 —' 2 7 — 2 * '
Так как условие л ^2=2, из которого следует, что т^2,
должно выполняться и для А2, то формула (3) по
сравнению с (2) может дать лишь одно дополнительное значение:
т = 2. Однако при т = 2 получим, что k2 = 2 м л = 2. Это
противоречит требованию k^.n—1. Таким образом,
формула (3) не дает новых значений т, а следовательно, и л.
Ответ. л = /иа—2, где /и = 3, 4, 5, ...

472
решения [21.9
21.9. Так как
{а + Ь + c + d)»=^ [(а + й) + (с + </)]" =
= (fl + *)n + Q(u4-*)n-1(c + flT)+...+(c + d)n,
то после раскрытия скобок получим все неподобные члены.
Их число будет равно
(л + 1).1+л.2-Нл— 1).3 + ...4-2л + 1.(л + 1),
где для симметрии к крайним членам приписаны
множителями единицы. Чтобы вычислить эту сумму, запишем ее А-й
член: (л+ 2—ft) ft = (л + 2) ft—ft3. Тогда наша сумма примет
вид -
(л + 2)[1 +2+ ... +{п+ 1)]-[1= + 2*-Ь ... 4-(л + 1)*] =
= (л + 2) (" + 2)(п + 1) (n + l)(n + 2)(2n-!-3) =
Ответ. Й + 0С + а)С+8),
6
{п+Щп + 2)[Ц1-^±)
21.10. Предположим, что О^й^л — I. Запишем
данное выражение в виде
(1 -\-х + хъ + ... +хк~1 + хк + хк+1+... +хп~1)*.
Члены, содержащие х", могут быть получены только в
результате почленного перемножения членов суммы 1+-* +
-{-х2-{-...-\-хк~г-\-хк с членами той же суммы,
записанной в обратном порядке, т. е.
\-хк, ххк~х хк~1х, хк\.
Так как слагаемых будет k-\-l, то и коэффициент при хк
будет равен ft -\-1.
Предположим теперь, что л—1<й^2(л—1). Тогда
нужно почленно перемножить суммы
**-«+! + ... +Х"-1, хп-г+ ... +Jeft-"+1,
в результате чего получим 2л—ft— 1 членов, содержащих хк.
Ответ, ft 4-1, если О^к^п — 1;
2л — ft— 1, если л— 1<А<2л—2.
21.11. Сравним коэффициент члена разложения с
номером ft 4-1 с коэффициентом десятого члена разложения:
рк 2* ^- с9 -

21.12] гл. 21. соединения и бином 473
Так как знаменатели одинаковы, то
С*2* < С*2».
Поскольку десятый член разложения имеет наибольший
коэффициент, то он больше девятого и больше
одиннадцатого:
С*28 <С« 2\ С™210 < С»29.
и! 9я.|
Из первого неравенства следует, что -.—g^-gr < •
(л—8)! 81 "" (п—9)19! •
т. е. «>12,S. Из второго (я Jg, 1M < fc^jTgi' т- «•
л < 14.
Ответ, п = 13.
21.12. Преобразуем выражение, стоящее в левой части,
следующим образом:
so
(1 + х2 + хъ)*> = [хъ + (1 + -*2)]20 = 2 С£о*5 (2°-» (1 + л:2)* =-
го А го k
= Set,,*100-5* 2 ср**»- Sct0S срдлоо-с»-««.
Дао m=o k=o m=o
Вопрос состоит в следующем: если k, m = 1, 2, .... 20,
причем m^k, то какие значения от 0 до 100 принимает
выражение 5k—2m.
Если /»=0, 1, 2, 3, 4, то получим соответственно 5А,
5k—2, 5k—4. 5А—6, 5k—8. Если бы k не было связано
ограничениями, то мы получили бы все числа, так как в эти
пять выражений вошли числа, дающие при делении на 5 в
остатке 0, 3, 1, 4 и 2 соответственно. Однако k = 0, 1,
..., 20 и, кроме того, k^m. Так как 5k получено при /» = 0,
то k может принимать все свои 21 значение, в результате
чего получим все числа, кратные 5 от 0 до 100.
Рассмотрим теперь числа, которые при делении на 5 дают в остатке
1. У нас они записаны в виде 5k—4 и получились при /» = 2,
в силу чего k — 2, 3, ..., 20. В результате мы получим
19 чисел, дающих при делении на 5 в остатке 1. В эту
группу не войдет лишь число 1. Числа, дающие в остатке
2, записаны в виде 5k—8, где А^4. Следовательно,
5А—8=12, 17 92, т. е. выпадают числа 2, 7 и 97.
Для чисел вида 5k—2 переменное k = l, 2, ..., 20 н

474
РЕШЕНИЯ
[21.13
5ft—2 = 3, 8, ..., 98, куда вошли все числа, дающие в
остатке 3. Среди чисел вида 5ft—6, где ft = 3, .... 20,
мы не встретим 4 и 99.
Числа 1, 2, 4, 7, 97 и 99 не могут быть получены из
выражения 5ft—2т и при т > 4. В самом деле, с одной
стороны, 5ft—2m>5m—2т = 3т> 12, а с другой стороны,
5А—2т <5ft — 8< 100—8 = 92,
т. е.
12 < 5ft—2m < 92.
Итак, выпали 6 чисел 1, 2, 4, 7, 97 и 99, т. е. будут
отсутствовать члены с показателями 99, 98, 96, 93, 3, 1.
Ответ. 95.
21.13. Пусть Р„ — ответ на вопрос задачи для
последовательности, состоящей из п элементов. В первой группе
может оказаться либо один элемент (да), либо два элемента
(а,, а2). Разбиений, содержащих в первой группе один
элемент (ах), будет столько, сколько разбиений можно
образовать из п—1 оставшихся членов последовательности аг,
«si ■■■! ап' т- е- Pn-i' Разбиений же, содержащих в
первой группе два элемента, будет Р„_2, так как после
образования группы (а1? сг) останется п—2 элементов с8, ..., ап.
Итак,
Такая формула называется рекуррентной, потому что,
зная Pt и Я, и применяя ее последовательно, мы получим
Р3, затем Я4 и т. д. Поскольку Р1 = 1, а Р2 = 2, то Я8 = 3,
/>4 = 5, Я6 = 8, />в=13, Я7 = 21, Р8 = 34, Я8=55, Яго = 89.
Ответ. 89.
21.14. Пусть на плоскости проведены ти параллельных
прямых. Они разобьют ее на т-\-1 областей. Если провести
еще одну непараллельную прямую, то областей станет
2(/»+1). Предположим, что ft непараллельных прямых
образуют, пересекаясь с т параллельными прямыми, Мк
областей. Если добавить еще одну прямую, пересекающую все
имеющиеся, но не проходящую ни через одну из старых
точек пересечения, то на этой прямой будет m + k точек
пересечения с остальными прямыми, в результате чего
образуется /w+ft+i новых областей.

22.1] ГЛ. 22. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 475
Таким образом,
Mk+l = Mk + m + k + \.
Так как М0 = т+1, то М1 = (т+ 1) + («+1),
Мг = {т + 1) + (т+\) + {т+2),
Ma = (m + \) + (m + l) + {m + 2) + {m + S), ...,
М„ = (т+1) + (т + 1) + (т + 2)-{-...+(т+п) =
= ffl+l+/wn+iH^ = ("+l)(2m+n)+L
Остается доказать эту формулу методом математической
индукции, что сводится к элементарным выкладкам, которые
мы оставляем читателю.
Ответ. ln + l)(2m+n) + l
Главе 22
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
22.1. Введем обозначения:
arctgT = a, tga=T, 0<а<-^;
0<2a<-J.
arctg^=p, tgp = ^, 0<P<^;
о<т-Р<т-
В этих обозначениях равенство примет вид
2a = -J-P.
причем правая и левая части лежат в интервале (О, ^Л.
Возьмем тангенсы от обеих частей:
^9« 2tgtt 8 (я R\_l-tgp 8
Так как тангенс является монотонной функцией в интервале
то равенство доказано.
(«•*)•

*76 решения (22.2
22.2. Пусть
aictgl=a, tga = -I, 0<a<-J,
arcctg8=p, ctgp = 8, 0<p<-J.
Так как 0 < <x+ p" < ~ и
<g<«+P) Ц-Ц—1. xoa + p = -J.
'-'9"T
Наше выражение принимает теперь вид
-f + arcsm-t-—.
4 4
Поскольку arcsin ~—~ < arcsin -~- = ~, то
0<-J + Y<f,
где y — arcsin ~— и slny —-L4—. Найдем
sin (•£ + y) =-^Г (cos Т + sin у) = i^±i .
Остается воспользоваться определением арксинуса.
i/"7J-'i
Ответ, arcsin ■ . .
22.3. Рассмотрим вначале первое и третье слагаемые:
arctg(—2) = a, tga=—2, —-J<a<0;
arctg(—|-) = р, tgp = 1, _«.<р<0.
Таким образом, —я <ос + Р < 0, что не является областью
главных значений какой-нибудь обратной
тригонометрической функции. Поэтому прибавим ко всем частям
неравенства я: 0<я+а+Р <я. Теперь я+а+Р попадает в
область значений арккотангенса, что обеспечивает взаимно

22.4] гл. 22. обратные тригонометрические функции 477
однозначный переход к обратным функциям. Найдем
dg^ + a + W-dgta + W-^W--^-—f.
3
t_ l-tgoctgp 3
— •■■6 V"» ~Г P;
Следовательно,
я+ a-f-P = arcctg (—-=-J, т. е. a-j-P =—arcctg
Наше выражение равно
arcsln у—arcctg у.
Пусть
arcsin-j = v, sinv = -3", 0<7<£;
arcctgi = 6, ctg6=T, 0<6<|-.
Так как —'o'<CV—6<"o"i что является интервалом
значений арксинуса, то вычислим синус от у—б:
sin (у—б) = sin у cos 6— cos у sin б.
Так как
cosY = ^-, «в-^, йв-^,
то
. . о. 1 — 14 УТ У2—28
Ответ, arcsln ■-gg-— •
22.4.' Сумма существует при 0^лг^1. Введем
обозначения и используем определение арксинуса:
arcsln ]/l—х=а, sina = ]/l—х, 0^a^"y«
arcsin \Пс=* Р, sinP=-j/"*, 0<р<|-.

+78 решения [22.5
Так как сумма a-f p лежит в интервале [0, я], который
является интервалом монотонности косинуса, то имеется
взаимно однозначное соответствие между а + Р и cos(a+P) при
условии, что 0а^д:<1. Так как
cos(a + P) = cosacosP—sin a sin p =
= У~х УГ^х—УТ=хУ~х = О,
то a + p = i.
Ответ. ~ при 0<л:<1.
22.5. Оценим ф = л (лг2 + лг—3), если 0<л;< ^~Х- •
Имеем
0<л:г<2~2|ЛЗ , O^jc' + jc^-j-
— Зяг^ф^ 2"
или
я^4я + ф<-^.
Следовательно,
arccos sin ф = arccos sin (4 я 4: ф) =
= arccos sin -^ — (-^—4я—ф) =
=arccos Г—cos Г-^—4я—ф j =я—arccoscos I~— 4я—ф^ ,
где
0<~2 4я—ф^у.
Окончательно получаем
Зл , , , 7л , _
arccos sin ф = я—g- + 4я + ф = -g- -+- ф.
Ответ. Ц- + п(х% + х—3).

22.7] гл. 22. обратные тригонометрические функции 479
22.6. При 0 ^ х ^ 1 оба арксинуса существуют. Для
первого это очевидно, а для второго имеем
<)<*■< 1, —1<—Jta<0, 0<1/T^jc2<1.
Следовательно,
и, тем более,
Введем обозначение
arcsin х = а, sin a = jt, О^а^-^-*
аГС5Ш уТ =Р' sinP = —yf • --2"<Р<Т-
Нужно доказать, что а—Р = -г. или а—-т-=р\ Так как
— -т-^а—Т^Т' то a—Т и Р лежат в интервале
монотонности синуса. Поэтому, если мы докажем, что синусы
этих аргументов равны, то тем самым будет доказано и
равенство самих аргументов. Поскольку
sin [a—-т") = sin a cos-^— cosasin-j-=——{x—]/ 1 —x*)
(перед корнем взят знак плюс, так как cos a ^ 0 при
Итак, доказано, что sin (a—-j-j = sinp\ откуда следует
справедливость нашего равенства.
22.7. Так как х < — 1, то — 1 < у-^- < 0. Введем обо-
2х
1+х-
значения
arcsinTq^r = a, sina = T-j-^-t _—<a<0;
л
arctgjf = p, tgP = >r, —2"<P<—4-
n
т. е. -л<2Р<-^-,

480 решения 122.Я
Следовательно,
-^<«+2П<-|,
т. е. данное выражение лежит в интервале монотонности
синуса. Найдем
sin (a -f 2P) = sin а cos 2р + sin 2p cos а;
cos
После подстановки получим
sin (а+2Р) = тт—.т-^5 + 1Т^-5+^ = 0,
т. е. а 4-2?> = — я.
Ответ. —я.
22.8. Из уравнения следует, что
Поскольку
arcsln ■*r=n="i2+-y-
rt _ . _. я
—y^arcsfn x^L -j,
то возможны лишь три значения л = 0, —1, I.
Если л=0, то arcsln лг = ^,
1—cos -=-
jf1 = einl2=:K 2 =Y^2 Kd-
Если л=-—1, то arcsln х ——-^,

22.101 гл. 22. обратные тригонометрические функции 481
Если л = 1, то arcsin х = ук-,
12
= sin
= С08ё==т/зг + *'гЗ.
Ответ. ~У 2±/3,
V2-
22.9. Если л;—корень данного уравнения, to и —х
будет его корнем. Поэтому достаточно найти лишь
неотрицательные корни. Если х ^ 0, то
. Зх . Зх п~ - л
arcsin -^- — а, - sin а ~ -^ , О^а^-д--
arcsin 5"=P, sin'P = -^, 0<Р<^;
arcsin х = у, sin у = х, О ^ y ^ "5" •
Если перенести а в правую часть уравнения, то получим,
что P = Y—а. причем О^р^^ н —T^V—as^"jf ■
Поскольку обе части уравнения находятся в интервале
монотонности синуса, то данное уравнение равносильно такому:
sin P =sin (у—a).
Последнее уравнение можно записать в.виде
Ах -,/". Эх1- Зх-,/-. ;
т=*У l-ns~-wVl-x-
добавив к нему условие -g- ^ 1, являющееся в данном
случае следствием уравнения. Получаем ^ = 0.
Остается 4 + З/П^д-5 = /25 — 9хг, а после возведения
в квадрат ]/\—х* = 0, х=\.
Делаем проверку иррационального уравнения.
Ответ. ± 1, 0.
22.10. Из условия следует, что дг>0. В таком случае
я
arcsin 2х = a, sina==2j:1 0<a^-~-;
arcsin x = P, sinP=JCI 0<P-
16 Е. Б. ВаховскнЛ, А. А. Рывкпн
2
Л

482 решения (22.11
Уравнение примет вид a -f- Р = ■«■. н обе его части
окажутся в интервале (О, л], который является интервалом
монотонности косинуса. Следовательно, уравнение
cos (ос-}-Р) = со$-5-..
равносильно данному. Раскрывая скобки и заменяя
тригонометрические функции аир их выражениями через х,
придем к уравнению
V\ — 4*s Y 1 — *2 = 2*« + у .
После возведения в квадрат получим
4(1— 4*а) (1 —Агг) = (4ж4 + 1 )е.
При переходе к последнему уравнению могут появиться
посторонние корни из-за того, что обе левые скобки могут
стать отрицательными. Чтобы избежать этого, добавим
условие |2х|^ 1.
Уравнение 28л;в — 3 = 0, к которому сводится последне'6,
имеет корни xli8 = ± -^ у у. Из них следует выбрать
первый, так как он положителен и так как 2—^ у у <■ t.
Ответ, у у у.
22.11. Обозначим
atctg (2 + cos x) =a, arctg (2-cos2 ^ J =р..
Так как
2 + cosjc>0 и 2cos* ■£>(),
то 0<а<у. и, 0<р<т.
Уравнение принимает вид а—Р—^,-причем'
Я ^ а ^ Я i Я ^ Я Я
~т<«-Р<т * "-2*<т<т-

22.12] гл. 22. обратные тригонометрические функции 483
Так как. (—j-, ~J — интервал монотонности
тангенса, то уравнение а—$—>-г равносильно уравнению
lg(a-P) = tg-J-.
Переходя к уравнению
tea-tgP .
Ц-iBatgp"-1''
мы можем потерять те корни, для которых tg а или tg р не
существует. В нашем случае этого не произойдет, поскольку
tga=2 + cosjc, tgP = 2cos*-|-,
а правые части существуют, всегда... Получаем уравнение
2+cosjc—2cos*-^
f_ = 1
l-4-<2-fco&^2cns*-i
которое после преобразований принимает вид
2cos*i + cos*y=0.
Так как уравнение 2 cos8 -^ + 1=0 не имеет решений, то
остается cos-2=0.
Ответ. я(2я-|-1).
-22.12. Пусть
arcsin3?7=Ct' sina==3W 0<tf<2">
arcsin |ЛТ^х= р, sinp = Vl— х, 0<Р<-|-,
arcsiiiy = Yi 8!П7 = -д-, 0<у<-£-.
Так как -^-|-<а—Р<^, то обе части уравнения
лежат в интервале монотонности синуса. Поэтому уравнение
равносильно такому:
sin (а—=Р)==вт?.
16*

484
или
2
*еш*ния [22.13
/,_а, _.,)>_/.-(_|t)Vt^4,
3 У~х
После упрощений получим уравнение
\Пе = У\Ъх —4—9л2,
9
имеющее единственный корень -* = -д-. Делаем проверку
9
и убеждаемся, что -s^-jr является корнем предыдущего
уравнения и, следовательно, корнем исходного уравнения.
Ответ, -j ,
22.13. Введем обозначения
arctg (*— \) = a,
arctgA: = P,
arctg (jt + l) = v,
arctg 3* = б,
Наше уравнение принимает вид а-|-р-|-у = б или
а-ЬР = б—у. Обе части уравнения лежат в интервале
(—я, я). Если мы возьмем котангенсы от обеих частей
уравнения, то можем потерять лишь корень, которому
соответствует значение углов, равное 0, так как это —
единственное значение из интервала (— п, л), в котором
котангенс не существует. Проверим, будет ли выполняться
равенство а-}- р = б—у = °- Если а-|-(} = О, то arctg(l—*)=
= arctg х, откуда 1— х = х и х = -^. При х = у получим,
3 3 1
что б—7 = arctg-у—arctg-я-= О.- Таким образом, Jc^-g
корень уравнения.
tga = *— 1,
tgP = -*,
*gy = x-i-1.
tg 6 = Зд;,
я .я
—Y<a<-¥'
—5-<Р<т,
я я
—2-<т<-2--;
-T<°<f<

23.2] гл. 23. область определения, периодичность 485
Если <х-\-$фО, то от обеих частей уравнения можно
взять котангенсы:
ctg(«|-P) = ctg(6-v),
что приведет к следствию исходного уравнения. Раскрыв
скобки и подставив выражения тригонометрических
функций а, Р, у и о* через х, получим уравнение
1—(л—1)a-^1+(*+1)3jc
я—1-1-х з*—х— 1 '
которое равносильно системе
' \—x2 + x^l-\-3xi + 3x,
Получаем два значения неизвестного: xt — 0, xs=— -^.
Проверкой убеждаемся, что оба значения удовлетворяют
данному уравнению.
Ответ. О, ± y ■
Г л в я a 23
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПЕРИОДИЧНОСТЬ
23.1. С одной стороны, log8sinjc^0, так как sinje^Tl,
а с другой стороны, loggSitue^O, так как стоит под
знаком квадратного корня. Остается одна возможность:
log, sin x = 0, sin jc = 1, je = -^-{4/i-j-1).
Ответ. -у(4л+1).
23.2. Чтобы найти область определения данной функции,
нужно решить систему
х*—х— 1 >0,
iogl/a(x*-x-l)>0,
которая эквивалентна неравенству
0<д:2—х~ 1<1,

48^ РЕШЕНИЯ (23.3
или
(х*—х— 1) (х"—лг—2) < О,
т. е.
or«r.-t<x<i=p-. '-±p.<x<2:
23.3. Данное выражение принимает действительные
значения, если х удовлетворяет неравенству
которое равносильно неравенству
Его. можно заменить системой
х+1 U+I V**0' т. е. ^ (J+Tji <0'
1 2.г—3=?fc0, „ . 3
I
-*¥=^.
Oreer. -|<лг«5^4.
2
23.4. Чтобы существовал арккосинус, необходимо и
достаточно
— 1<jc»—3jc+1<1,
т. е.
или
откуда
(х*—Зх + 2) (*а—Злг) < О,
л: (дг— 1) (х—2) (*—3)< О,
0<*<1, 2<*<3.
■Из найденных, интервалов нужно исключить точки, в
которых tgU'x не существует, т. е. числа вида х = -j-(2n+l).

23.7] гл. 23. область определения, периодичность 4В7
Два из этих чисел: х=-
и дг = -5 лежат в найденных
4
Х<*<!.
2<х<
Зя
интервалах.
Ответ. О < д: < ~
23.5. Данное выражение принимает действительные
значения, если удовлетворяется система неравенств
У'<2,
У>х*.
2—у > О, т. eJ.
y>JCz,
Решением этой системы будет часть плоскости, лежащая
внутри параболы у — х*, вне круга лгг-(г_уг=1 и ниже
прямой ^»= 2, причем точки, лежащие на границе и
принадлежащие или прямой, или параболе, не входят в область,
а точки, лежащие на окружности
(кроме точек А и С— рис. Р.23.5),
входят в область определения.
23.6.- Предположим, что
cos У х + а = cosVT»
для всех Х^О, где а>0.
Тогда при х = 0 получим, что
cos Ya — 1. V~n = 2rm,
а при х=а получим
cos ~\f2a = cos У а = zos-2rm = 1,,
т. е. ]/2я = 2Ал.
Так как ]/<г = 2лл, а \/г2а = 2кп, то, разделив второе
равенство на первое, получим
где k и и—целые, что невозможно. Следовательно,
функция у = cos ]/л не является периодической.
- 23.7. Первый- способ. Пусть Т—период' функции.
Тогда
cos(jc + r)2 = cos.*a
Рис. Р.23.5.

488 РЕШЕНИЯ [23.8
при всех х. Если лг = 0,_то получим, что cosT2^l, откуда
Т* = 2пл. Если х = ТУ2, то cos (l/2 + l)2T2 = cos278,
откуда или (У2+\УТ + 2Т*=>2кп, или 0/2+l)272 —
— 2Та = 2йт, т. е. либо (б + 2 j/2) T*=*2kn, либо
(1+21/2) Га •=2/яя. Подставляя в оба выражения 7"8 = 2ля,
получим соответственно
5 + 2]/2 = 1 или 1+21/2 =-£,
что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа,
а справа — рациональные.
Второй способ. Найдем корни функции cosjea:
л-а=-5-(2я + 1), jf==±l/Sy/r?!^i, л = о, 1, 2, ...
Рассмотрим положительные корни
Предположим, что 7>0— период функции. Тогда, если при
х~хг функция равна нулю, то и при x = xt + T она тоже
равна нулю. Другим» словами, х1-\-Т=х11Г Аналогично
xi-\-T=xfl. Вычитая одно равенство из другого, получим
Vi ( /4 _ /4). /5 (/5+Г_ /КЕГ),
т. е.
]/5 — ]/3 =У"2А + 1 -1/2/»+1.
Возведем в квадрат:
1/Т5 + А + /и-3 = 1/(2А+1)(2/в+1).
После вторичного возведения в квадрат получим
(A + m_3)*+15 + 2(ft + /»-3)l/T5 = (2fc+l)(2/w + l).
Это равенство возможно лишь при l/15(6+w—3) = 0, так
как все остальные его элементы — целые. Однако числа А
и m выбраны так, что А^З и m^2, т. е. А + /я>3.
23.8. Если /(дг)—периодическая функция с периодом Т,
то при всех х должно выполняться тождество
sin (х + Т) + cos [с (х + Г)] = sin x + cos в*.

23.9] гл. 23. область определения, периодичность 4R9
Положив в этом тождестве х = 0, х =— Т и х = Т,
получим
sinT-{-coscr=l,
— sin 7+ cos c7'= 1,
sin 27-f cos 2u7 = sin 7-f cos a7\
Из первого и второго равенств найдем, что cos аТ= I п
Т— . Подставим найденное значение Т в последнее урав-
а
псине:
т. е.
sin \- cos 4/ш — sin \- cos 2rat,-
. 4ия . 2пя
sin = sin ,,
а а '
Ann 2пп 0, 4пя , 2пя ,п. . ,.
откуда или- ~2кя, или ——| = (2«-}-1)я, т. е.
ih<Vi а = -г-, или а~Ь~ьЦП' ^ в том и в ДРУГ0М слУчае
а—рациональное число.
23.9. Период функции cos-5- равен Т1 = 2я:-д-=~з"> апе"
рнод функции sin -5- равен 6я.
Наименьшее общее кратное этих периодов будет 12я.
Очевидно, что 12я—период данной функции. Докажем, что
это—основной период.
Пусть существует период т такой, что 0<т<12я;'.
Тогда имеем тождество
cos-^-(jf + T)—sin—5 ■cos-2--^ + sm-g- = 0,
или
sin ~ x sin ~ (2x + г) + sin ~ cos ~ (2х + т) = 0.
Так как т<12я, а4"т="4^я и 1Г~бяя' то одно и9
Зг т
чисел ~ или -г— не является целым, т. е. по крайней мере
4л on '

490
РЕШЕНИЯ
[24.1
3 . т „
одно из чисел sin-^-x и sin-g- не равно нугио. Пусть, на-
• 3 ^.п
пример, sm-^хфО.
Тогда имеем тождество
з1п-т-(2х+т) sin"6"
" I /в , '•=-* . з -
COS-g-(2x + T) Sin-т-Т
что невозможно, так как в правой частн стоит постоянная
величина. Легко убедиться, что это тождество ложно,
выбрав, например, х = 0 н а" = 6я и сравнив для этих х левые
— . Зт
части. Получим sin-7- = 0, что противоречит предположению.
Ответ. 12я.
Глава 24
НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
24.1. Так как
sinх— cos2лг— t = sin8x + sin-*—2ч= (sinx + ^\ -2-y,
то функция достигает своего минимума при sinx-f--£-=0.
Ответ. * = (— l)*+1|+Jife-
24.2. Воспользуемся формулой преобразования
произведения синусов в разность косинусов
Чтобы функция у достигла своего наибольшего значения,
нужно положить
cosf4jt—-jr- J =— 1,
откуда * = gj + f-(**+ 1)=^+^. Наибольшее значение

24.5] ГЛ. 24. НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ -491
функции равно
./max 4 г 2 '
Ответ. При *=?+?£ W*?+±-
24.8. Данную функцию можно записать в виде
j> = sin х cos л; (cos2 x—sin8 x),
после чего она легко преобразуется дальше:
у=у.sin 2.V cos 2а: = -г- sm4je.
Ответ, -j-
24.4. Запишем данное выражение в виде
(х+у+1)* + (х—2)а—3.
Оно будет иметь наименьшее значение, если
/ *_2=0,
\x+y-f\=0,
т. е. х = 2, у = — 3.
Ответ. —3 при х = 2, у = — 3.
24.Б. Точки ± 1 и ЧЬ 2 разбивают числовую ось на пять
интервалов, в каждом из которых нетрудно найти
наименьшее значение у.
а) Если jc^—2, то
у = х*—1+х*—4—х—2—х—\=2ха—2х—Ъ.
Абсцисса вершины параболы у = 2х*—2дг—8 равна
х ——=-= -=-, т. е. при д:<1—2 мы находимся левее
вершины, функция у на этом участке убывает, а потому
наименьшее значение она принимает в самой правой точке
интервала: х =—2, у — 4.
б) Если1) —2^лг^—1, то легко проверить, что
> = 4.
1) Во всех случаях- удобно граничную" точку относить к обоим
интервалам, чтобы не столкнуться с ситуацией; когда наименьшее
значение не достигается.

492
РЕШЕНИЯ
[24.6
в) Если — 1 ^ .v ^ 1, то
>== — 2.v2-L2a: + 8.
Так как ветви параболы направлены вниз, то наименьшее
значение нужно искать на концах интервала: при х ——1 мы
уже видели, что у = 4; при х = 1, у = 8.
г) Если 1 ^ х ^ 2, то у = 2х -f- 6. Наименьшим будет
значение в точке х=\.
л) Если х^2, то
>-2лг2 + 2дг—2.
Абсцисса вершины этой параболы х = — -д-; она лежит
левее точки х = 2. Следовательно, наименьшее значение
достигается при д?=»2, т. е. у = \0.
Ответ. ymin = 4 при —2^.v^—1.
24.6. Заменим — на сумму из семи одинаковых
слагаемых, каждое из которых равно =-. К функции
7 J а _3_'а _1_в_1_°_|_° ' ° ' Л
Х' Г7к + 7х + ^с + 7ж"+'7^"|"7х'т"7л
применим неравенство между средним арифметическим и
средним геометрическим. Получим
Равенство достигается, когда
Ответ.
>min = 8 Yi npH *~ V Т"
24.7. Если ввести углы х а у (рис. Р. 24.7), то по
теореме синусов
АВ + ВС = 2R (sin х + sin у) = 4ft sin (£ —j) cos"
Рис. Р.24.7.
.*—У
2 '
Максимум этого выражения достигается при cos—гр—Ь
л а
т. е. при х—у = 0. Таккаклт+.у = п—а, то лт = у—^

24.9] гл. 24. наибольшие и наименьшие значения 493
Следовательно,
AB=BC=2R sin x=2R cos -J.
Ответ. 2/? cos ^'
24.8. Если катеты основания обозначить через в и ft, то
боковая поверхность призмы равна
(а -I- Ь + У аг + Ь*)Уа* + Ьг = (« + *)]/"«* + Ьг + а* + ЬК
Нам известна площадь основания. Поэтому ab = 4.
Преобразуем выражение для боковой поверхности так,
чтобы участвовали только аЬ и а-\-Ь:
(я + Ь) У(а + Ь)*—2аЬ + («+bj*—2ab =
= {а + Ь)У{а + Ъ?—* + {а + ЬГ—8.
А1ы получили монотонную функцию от а-\-Ь. Минимум
ее достигается одновременно с минимумом а-\-Ь. Поскольку
a-\-b^2]/rab = 4, то равенство
достигается, если а = Ь—-2.
Ответ. 2.
24.9. Так как правильный
шестиугольник и квадрат—фигуры
центрально-симметричные, то центр
вписанного в шестиугольник квадрата
должен совпадать с центром
шестиугольника. Пусть К (рис. Р.24.9)—
одна из вершин квадрата, а М—
центрально-симметричная ей точка
многоугольника. Обозначим через а
угол АОК (рис. Р.24.9). Тогда КО-—Ааа
реме синусов
OQ АО
к в
. KR УЗа „
>=^=гщ5 Потео-
откуда
sin 60° — sin [180°—(150°—а)]'
OQ=
2 sin (30°+а)"

494
РЕШЕНИЯ
[24.9
Чтобы задача имела решение, должно быть OQ^OK, т. е.
tin (30°+а) ^ sin а. Так как угол а больше угла BOA, то
о ^60°. Кроме того, можно считать, что а ^90°, т. е.
<50°<;а^90о. Чтобы для этих углов выполнялось условие
sin (30° + а)^ sin а,
необходимо и достаточно выполнение условия
75°<а<90°.
Из формул для КО и OQ видно, что с_ увеличением а
диагональ квадрата уменьшается. Следовательно, а нужно
выбрать минимальным из возможных, т. е. а=75°. Тогда
Л^~2со5 15"
а сторона квадрата равна КО у 2.

Евгений Борисович Веховский.
Альберт Анатольевич Рыякин
Задачи по элементарное математике
повышенной трудности
М._ 1969 г.. 496 стр с иля.
Редактор А. Д. Бершаоскаи
Техн. -редактор К. Ф. Брудно
Корректоры Т. С. Вайсберг,
С. И. Емельянова
Сдало в набор 7/V1IJ 1968 г.
Подписано к печати 12/XII 1966 г.
Бумага 84X108/,,.
Физ. печ. л. 15,5.
У слови, печ. л. 26,0*.
Уч.-изд. л. 24,58.
Тираж 250 000 экз.
Т-16178. Цена книги 79 кол. Заказ 3018.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва. В-71, Ленинский проспект. IS
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имеки А. А. Жданова
Главполпграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Москва, Ж-54, ВаловаЯ|28

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, В-71. Ленинский проспект, 15
ВЫХОДЯТ ИЗ ПЕЧАТИ в 1969 г.
книги по математике:
Антонов Н. П. и др., Сборник задач по
элементарной математике (для самообразования), изд.
14-е, стереотипное.
Борель Э., Вероятность и достоверность, перев. с
франц.
Васильев Н.> Б.,' Гутенмахер В.. Л., Прямые и
кривые. (Серия: «Библиотечка
физико-математической школы».)
Виленкии Н. Я», Рассказы о множествах, изд. 2-е,
дополн.
Дубнов Я. С, Ошибки в геометрических
доказательствах, изд. 4-е. (Серия: «Популярные
лекции по математике».)
Калужнин Л. А., Основная теорема арифметики.
(Серия: «Популярные лекции по математике».)
Солодовников А. С, Системы линейных неравенств.
(Серия: «Популярные лекции по математике»:)

22
УДК 510 (023)
Книга предназначена для углубленного
изучения программы средней школы. В ней содержится
около 500 задач (с указаниями и решениями),
среди которых нет однотипных. В задачнике
помимо трардиционных представлены такие разделы,
как стереометрические задачи, решаемые на
проекционном чертеже, иррациональные,
логарифмические и трансцендентные неравенства, отыскание
периодов тригонометрических функций и др.
Некоторые главы снабжены небольшими
теоретическими введениями, дополняющими школьные
учебники.
Книга рассчитана на учащихся, которые
готовятся к поступлению в вузы с расширенной
программой по математике. Она может быть
использована также для организации факультативных
занятий, для работы в школьных математических
кружках и для занятий в физико-математических
школах.