Текст
Ю.А.Митропольский, А.К.Лопатин
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД В АСИМПТОТИЧЕСКИХ
МЕТОДАХ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
Книга посвящена развитию метода усреднения Н. Н. Боголюбова на основе
использования аппарата непрерывных групп преобразований. Доказываются
новые теоремы об асимптотической декомпозиции систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Рассматриваются новые классы задач. Основные
алгоритмы носят конструктивный характер и сводятся к простейшим задачам
линейной алгебры.
Рассчитана на широкий круг инженерно-технических и научных работников,
интересующихся современными методами исследования систем
дифференциальных уравнений и их приложениями.
Содержание
Предисловия 5
Введение 6
Глава 1. Векторные поля, алгебры и группы, порождаемые системой 12
§ 1. Система дифференциальных уравнений и ее обертывающая алгебра 12
Ли
§ 2. Ряд Ли как решение системы обыкновенных дифференциальных 16
уравнений и его свойства. Обертывающая группа системы
§ 3. Замена переменных в дифференциальной системе. Формула 32
Кэмпбелла — Хаусдорфа
§ 4. Теория Ли систем обыкновенных дифференциальных уравнений, 34
допускающих группу преобразований
Глава 2. Декомпозиция систем обыкновенных дифференциальных 44
уравнений
§ 1. Алгебраическая приводимость систем линейных обыкновенных 44
дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
§ 2. Декомпозиция систем линейных уравнений с постоянными 62
коэффициентами по нильпотентной составляющей
§ 3. Алгебраическая приводимость систем линейных дифференциальных 65
уравнений с переменными коэффициентами, матрица которых
коммутирует со своим интегралом
§ 4. Декомпозиция систем нелинейных дифференциальных уравнений 69
§ 5. Понижение числа переменных в системе обыкновенных 79
дифференциальных уравнений
§ 6. Алгебраически приводимые системы 83
Глава 3. Асимптотическая декомпозиция систем обыкновенных 92
дифференциальных уравнений с малым параметром
§ 1. Общая схема алгоритма асимптотической декомпозиции 92
§ 2. Основные теоремы об интегрировании централизованной системы 98
§ 3. Сведение операторных уравнений к дифференциальным 105
§ 4. Реализация алгоритма асимптотической декомпозиции в области 108
существования первых интегралов " системы нулевого приближения
§ 5. Обоснование алгоритма асимптотической декомпозиции для 118
конечного числа приближений
§ 6. Алгоритм асимптотической декомпозиции в случае, когда нулевое 125
приближение является декомпозируемым
§ 7. Почти инвариантные системы дифференциальных уравнений 134
Глава 4. Асимптотическая декомпозиция линейных систем 142
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
и малым параметром
§ 1. Обертывающие алгебры Ли исходной системы 142
§ 2. Сведение решения операторных уравнений к решению системы ал- 145
§ 3. Построение централизованной системы и нахождение приводящих 149
преобразований
§ 4. Структура централизованной системы. Основные теоремы о 157
декомпозируемое™ и разделении движений
§ 5. Асимптотическая декомпозиция почти алгебраически приводимых 164
линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами и малым параметром
§ 6. Общий случай структуры матрицы системы нулевого приближения 178
Глава 5. Асимптотическая декомпозиция почти линейных систем 183
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
и возмущениями в виде полиномов
§ 1. Обертывающие алгебры Ж и® исходной системы 183
§ 2. Сведение решения операторных уравнений к решению системы 186
алгебраических уравнений
§ 3. Построение централизованной системы и нахождение приводящих 190
преобразований
§ 4. Структура централизованной системы. Основные теоремы о 196
декомпозиции и разделении движений
§ 5. Примеры: классическая система В. Вольтерра «хищник — жертва» и 210
система Ван-дер-Поля
Глава 6. Асимптотическая декомпозиция дифференциальных систем 234
с малым параметром в пространстве представлений
конечномерной группы Ли
§ 1. Почти инвариантные системы дифференциальных уравнений с 234
компактной группой Ли инвариантности
§ 2. Алгоритм асимптотической декомпозиции в пространстве 245
представлений конечномерной группы Ли
Глава 7. Обобщение алгоритма асимптотической декомпозиции на 254
пфаффовы системы
§ 1. Постановка задачи. Формулировка основных теорем 254
§ 2. Метод локальной асимптотической декомпозиции 26U
Литературные комментарии 264
Список литературы 267
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является итогом многолетнего исследования авторов по
развитию метода усреднения Н. Н. Боголюбова на основе использования аппара-
та непрерывных групп преобразований, заложенного в основополагающих тру-
дах С. Ли и его учеников. Соединение двух конструктивных методов, имеющих
широкое применение в современной математике и ее приложениях, с одной сторо-
ны, расширяет возможности методов теории возмущений, а с другой — может
оказаться интересным и для теории непрерывных групп преобразований, так
как позволяет рассматривать новые задачи, например почти инвариантные си-
стемы.
По нашему мнению, в данной работе впервые сделана попытка обобщить и
описать указанные вопросы в монографии. Поэтому мы не стремились к возмож-
но более полному охвату темы, а поставили цель ввести читателя в круг идей под-
хода, находящегося на стыке нескольких математических направлений. Цент-
ральное место в книге занимают разделы, в которых развивается метод усредне-
ния Н. Н. Боголюбова. В главе 1 приведены необходимые сведения из теории
групп Ли и рядов Ли. Более детальное знакомство с этими фундаментальными по-
нятиями требует, безусловно, обращения к специальным источникам. В главе,
посвященной теории декомпозиции систем обыкновенных дифференциальных урав-
нений, в известной степени демонстрируется возможность теоретико-группового
подхода. Все приведенные в книге основные теоретические положения иллюст-
рированы примерами. Список библиографии ни в коей мере не претендует на
полноту. В основном это работы, в той или иной мере связанные с развиваемым
нами направлением.
Считаем своим приятным долгом отметить, что неоднократное общение и об-
суждение разрабатываемой темы с членом-корреспондентом АН СССР Л. В. Овсян-
никовым служило дополнительным стимулом в работе. Искреннюю благодарность
выражаем доктору физико-математических наук В. И. Фущичу за постоянное вни-
мание к работе и ряд полезных замечаний, которые были учтены при подготовке
рукописи. Мы признательны кандидатам физико-математических наук А. Н. Т1и-
китину и Ю. Н. Сегеде, подвергших на различных этапах работы отдельные гла-
вы книги критическому разбору, а также коллегам, принимавшим участие в под-
готовке рукописи, среди которых особенно хочется отметить В. К. Крайневу.
Ю, А. МИТРОПОЛЬСКИЙ, А. К. ЛОПАТИН
ВВЕДЕНИЕ
Асимптотические методы нелинейной механики, развитые в рабо-
тах Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова, положили начало новому
большому направлению в теории возмущений. Они глубоко проник-
ли в различные прикладные области (теоретическую физику, меха-
нику, прикладную астрономию, динамику космических полетов и
др.) и послужили основой для многочисленных обобщений и создания
разнообразных вариантов этих методов. Существует большое число
подходов и методик, при этом рассматриваются различные классы
математических объектов (обыкновенные дифференциальные урав-
нения, уравнения в частных производных, уравнения с запаздыва-
нием и др.). Состояние затронутых вопросов освещается в обзорных
монографиях и оригинальных работах [9, 11, 12, 17, 19, 21, 22, 37,
38, 46, 68, 69, 70, 86, 87, 89, 90, 93, 106, 111].
В последние два десятилетия возникли новые обобщения асимпто-
тических методов нелинейной механики, имеющие тенденцию к вы-
работке общих концепций развития данных методов. Это прежде
всего направление, названное методом усреднения с использованием
рядов и преобразований Ли (см., например, работу [93]). Впервые
ряды Ли в теории возмущений были применены Г. Хори [126] для
канонических систем и распространены далее самим Г. Хори [127]
и А. Кэмелом [128] на неканонические системы. Теория возмущений,
основанная на рядах и преобразованиях Ли, имеет ряд преимуществ
по сравнению с существующими методами. Одним из них является
простота алгоритмов. С сутью этих методов и библиографией можно
подробно ознакомиться в монографиях [27, 93, 129].
Другой подход, использующий в качестве преобразований ряды
Ли по параметру, был предложен А. Я. Повзнером [134]. В этой ра-
боте, в отличие от упомянутых выше, в основу метода положена из-
вестная формула Кэмпбелла — Хаусдорфа. Специальные предполо-
жения о спектральных свойствах оператора, ассоциированного с
системой нулевого приближения, позволили дать конструктивный
алгоритм, сформулировать ряд тонких теорем о разделении пере-
менных на быстрые и медленные в преобразованной системе и полу-
чить ряд других результатов [7, 119, 134]. Отметим работы
В. Ф. Журавлева [31, 32] по развитию метода усреднения с исполь-
зованием рядов Ли.
Связь между методом усреднения и теорией нормальных форм
рассмотрена в работах А. Д. Брюно [14, 15].
Аксиоматический подход, характеризующий общие свойства
асимптотических методов, описан в работе Ю. А. Митропольского
и А. М. Самойленко [88].
В предлагаемой читателю книге излагается новый метод исследо-
вания систем дифференциальных уравнений с малым параметром,
являющийся дальнейшим развитием метода усреднения Н. Н. Бо-
голюбова и названный авторами методом асимптотической декомпо-
зиции. Идея нового подхода заложена в самом методе усреднения
Н. Н. Боголюбова, однако ее реализация потребовала привлечения
существенно нового аппарата — теории непрерывных групп преоб-
разований.
Поясним суть нового подхода. Как известно, отправным пунктом
исследования по методу усреднения является система стандартного
вида
х = еХ (ж, t, е), (0.1)
где х — colon ||«x, ..., жп||, X (х, t, е) —n-мерный вектор Ч Система
(0.1) с помощью операции усреднения
def л
Хо (Н) = lim -=т-
Т-+ОО 1
и специальных замен переменных приводится к усредненной системе
= 4’(*) + М’й) + •••, (0.2)
не содержащей явно аргумента t. Перепишем исходную систему (0.1)
в эквивалентном виде
£—X(W>. 4=1 М
и усредненную систему (0.2) соответственно в виде
4-Л.Й, 4 = 1, (0.4)
где Хо (х) = Хо1'(ж) + еХ® (ж) + ... Интегрирование системы
(0.4) проще интегрирования системы (0.3), так как в ней переменные
разделены: система для медленных переменных х не содержит быстрой
переменной у и интегрируется независимо от нее.
Сказанное выше позволяет интерпретировать метод усреднения
следующим образом: метод усреднения преобразует систему (0.3)
с неразделенными переменными в систему (0.4) с разделенными
медленными и быстрыми переменными.
Описанное свойство асимптотического разделения движений в
методе усреднения носит ярко выраженный теоретико-групповой ха-
т
JX(g, t)dt
б
1 На функции Xj (х, t, в), j = 1, п, налагается ряд специальных требований,
которые мы опускаем ввиду их несущественности для проводимых рассуждений.
7
рактер. Действительно, положим в системах (0.3) и (0.4) е = 0 и за-
пишем исходные невозмущенные системы (системы нулевого прибли-
жения) в виде
<°-5>
и соответственно
-f- = °. # = 1- (0.6)
Системы (0.5) и (0.6) совпадают с точностью до обозначений. Пусть
векторы X и Хо в системах (0.3) и (0.4) имеют компоненты
Х = colon [|ХИ ... ж Хп[|, Хо = colon || Х10, ... t ХпоЦ.
Поставим в соответствие системе (0.3) линейный дифференциальный
оператор в частных производных первого порядка
Wo = W 4- eW, (0.7)
где w= + •••
а системе (0.4) — соответственно оператор Uo = U + Д (0.8)
где u=X,u = x0 " + ••• +Х0П-4-. Sy Sxt dxn
Операторы (0.7) и (0.8) называются ассоциированными соответствен-
но с системами (0.3) и (0.4). Если положить в формулах (0.7) и (0.8)
в = 0, то оператор (0.7) перейдет в оператор
(0.9>
ассоциированный с системой нулевого приближения (0.5), а опера-
тор (0.8) перейдет в оператор
(о.ю)
ассоциированный с системой нулевого приближения (0.6). Непо-
средственной проверкой легко убедиться, что скобка Пуассона от опе-
раторов U и U тождественно равна нулю:
[U, U] = UU — биэО. (0.11)
Рассмотрим однопараметрическую группу преобразований, опре-
деляемую оператором U и задаваемую рядами Ли
*4 — е Х10>
8
(0.12)
-=eeUM-t
где ж10, ..., хпо, у0 — новые переменные; U (х0, у0) dldy0', s —
параметр, характеризующие группу. Тождество (0.11), как известно
из теории непрерывных групп преобразований, означает, что система
дифференциальных уравнений (0.4) является инвариантной относи-
тельно группы (0.12), т. е. после замены переменных (0.12) перехо-
дит в систему
-^- = ЕХ0(ж()), -^ = 1,
совпадающую с точностью до обозначений с исходной системой (0.4).
Факт инвариантности системы (0.4) относительно преобразова-
ний (0.12) в рассматриваемом случае легко установить непосред-
ственной проверкой, так как соотношения (0.12) в конечном виде
задаются формулами
= Xiffi • • • « “ XnQt у = Уо S.
В то же время также легко убедиться непосредственной провер-
кой, что в общем случае для операторов Wf W возмущенной системы
тождество, аналогичное (0.11), не имеет места! [W, W] = VVW —
— WW 0, откуда следует, что система (0.3) не является инва-
риантной относительно однопараметрической группы:
„ _ „«W(Ko.l/o>„
•Ч. — с л101
^п = е8Жж«’^и0, (0.13)
,V = esW(^«>j/0J
где ж10, ..., а?по, Уо — новые переменные; W (ж0, у0) — д1ду0 — пара-
метр, характеризующий группу, порождаемую оператором W,
ассоциированным с системой нулевого приближения.
Действительно, как и выше, соотношения (0.13) легко предста-
вить в конечном виде
«л = ж10, ... , хп = жпОл у = Уо + s. (0.14)
Под действием преобразования (0.14) система (0.3) переходит в си-
стему
£—еХЦ,Л + ».«>. -£--1,
не совпадающую с точностью до обозначений с исходной системой.
Сказанное выше позволяет дать следующую теоретико-групповую
интерпретацию метода усреднения: метод усреднения преобразует
систему (0.3), не являющуюся инвариантной относительно однопара-
метрической группы преобразований, порожденной оператором W
9
(0.9), ассоциированным с системой нулевого приближения (0.5),
в усредненную систему (0.7), которая инвариантна относительно
однопараметрической группы преобразований, порожденной опера-
тором U (0.10), ассоциированным с системой нулевого приближе-
ния (0.6).
В основу метода асимптотической декомпозиции положена ука-
занная теоретико-групповая интерпретация метода усреднения.
Рассматривается система обыкновенных дифференциальных урав-
нений
-^- = со (ж) + есо (х), (0.15)
где
со (ж) = colon Р со, (ж), ... t соп (ж) ||; со (ж) = || со, (ж), ..., со„ (ж) ||.
Дифференциальный оператор, ассоциированный с возмущенной
системой (0.15), представим таким образом:
Uo = U + еВ,
где
тт 8 । । 8 fт ~ 5 । , ~ s
U = —+ U = t°i^r+ ”
С помощью некоторой замены переменных в виде ряда по е
ж = ср (ж, е) (0.16)
система (0.15) преобразуется к новой системе
® Й + Д evb(v) Й, (0.17)
названной централизованной системой. Для этой системы оператор
Uo = U + eU, где
С = со, (ж) -4- + • • • + со„ (ж) -4- 9
()х, 8xv
0 = У evNv, Nv = (ж) -4- + ... + ь™ (ж) Л-.
£1 дх„
Выбор преобразований (0.16) подчиним условию, согласно которому
централизованная система (0.17) должна быть инвариантна относи-
тельно однопараметрической группы преобразований
х = е8С(^ж0, (0.18)
где ж0 — вектор новых переменных. Следовательно, после замены
переменных (0.18) система (0.17) переходит в систему
— оо
= со (ж0) + 2 ev5(v (жо)>
v=1
совпадающую с исходной с точностью до обозначений. Это означает,
что для операторов U, Nv, v = 1, 2, ..., имеют место тождества IU,
NJ = 0.
10
Существенным моментом в реализации указанной схемы алго-
ритма асимптотической декомпозиции является то, что преобразова-
ние (0.16) выбирается в виде ряда Ли.
Оставляя подробное обсуждение метода до соответствующей
главы в книге, отметим ряд характерных особенностей, обусловлен-
ных привлечением аппарата теории непрерывных групп.
1. Централизованная система обнаруживает прежде всего струк-
турные свойства, т. е. свойства, которые не зависят от выбора
системы координат. К таковым относятся возможность разделения
переменных на быстрые и медленные, возможность декомпозируе-
мости централизованной системы на независимо интегрируемые под-
системы и др.
2. Структурные и аналитические свойства централизованной
системы учитываются при исследовании алгебр Ли, порождаемых
системой нулевого приближения и возмущенной системой. Это обсто-
ятельство позволяет расширить диапазон рассматриваемых задач по
сравнению с методом усреднения, ориентированным на исследование
колебательных процессов. Например, рассматривается задача о
возмущении системы, допускающей некоторую группу Ли преобра-
зований.
3. Привлечение аппарата теории представлений непрерывных
групп Ли преобразований там, где это возможно, существенно упро-
щает алгоритм асимптотической декомпозиции, сводя его к простей-
шим задачам линейной алгебры.
4. Метод асимптотической декомпозиции легко переносится на
исследование пфаффовых систем дифференциальных уравнений, ин-
тегрированье которых, как известно, равносильно интегрированию
систем дифференциальных уравнений в частных производных общего
вида.
Первыми публикациями авторов по методу асимптотической де-
композиции являются работы [51—53, 132], которые появились после
знакомства с работой А. Я. Повзнера [134].
Сделаем замечание по поводу используемого аппарата теории
непрерывных групп. В настоящее время классическая теория непре-
рывных групп Ли получила существенное развитие как в теорети-
ческом, так и в прикладном отношениях (см. работы [35, 67, 94, 96,
98, 106, 112]). Среди немногочисленных книг отметим монографии
Л. В. Овсянникова [94, 96], которые можно без преувеличения наз-
вать настольными книгами всех, кто начинает заниматься групповым
анализом дифференциальных уравнений. Эти работы, а также моно-
графия Кэмпбелла [120] стали основными источниками по теории
групп Ли, использованными в настоящей работе.
Часть ссылок на литературные источники дается по ходу изло-
жения. Краткий библиографический обзор приводится в разделе
«Литературные комментарии».
Основные результаты монографии, помимо журнальных статей,
цитируемых в тексте, были опубликованы в виде серии препринтов
11
ГЛАВА 1
ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ, АЛГЕБРЫ И ГРУППЫ,
ПОРОЖДАЕМЫЕ СИСТЕМОЙ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,
И ИХ СВОЙСТВА
§ 1. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
И ЕЕ ОБЕРТЫВАЮЩАЯ АЛГЕБРА ЛИ
Рассмотрим в области G = I X G, G g R”, существования и
единственности решения автономной системы1
(11)
алгебру £) (Р, G) функций £) = {<рх, (ж), <р2 (ж), ...}.
Алгебру функций £) определим как такую совокупность функций
над полем Р, которая вместе с каждой функцией содержит ее произ-
ведение на любое число а £ Р и вместе с каждыми двумя функция-
ми содержит их сумму и произведение. Эта алгебра коммутативна,
ассоциативна и обладает единицей. Функции £) могут быть вещест-
венными или комплекснозначными, аналитическими, гладкими
(т. е. бесконечно дифференцируемыми) или просто принадлежать
классу Ch, к < 4-оо. Открытое множество G вместе с дифферен-
цируемой структурой £) (G) называется дифференцируемым много-
образием. В том случае, когда алгебра £) (G) образована всевозмож-
ными аналитическими (вещественными или комплексными) функци-
ями, многообразие A? (G) называется аналитическим (вещественным
или комплексным). Чтобы подчеркнуть, над каким полем рассмат-
ривается многообразие, будем писать £) (К, G) для комплексного
случая и (R, G) - для вещественного. Эти формы записи можно
объединить в единую форму £) (Р, G). Всюду в дальнейшем, если не
оговорено противное, будем рассматривать аналитические много-
образия.
Произвольное линейное отображение многообразия £) (G), удов-
летворяющее условию
x(/g) = /xg4-x/g, /,^ей(сх
называется векторным полем. Во множестве (G) векторных полей
на многообразии £) (G) определены операции
(X 4- Y) g = Xg 4- Yg,
(fx)g = fxg, х^е^чс), fige£)(G)t '•'
т. e. ДЭ1 (G) есть ДЗ (С)-модуль относительно операции (1.2).
1 Общий случай зависимости правой части от t легко сводится к рассматривае-
мому случаю введением новой переменной t = и дополнительного уравне-
ния жп+1 = 1.
12
Базисом модуля Й1 (G) над Й (G) являются [101] частные произ-
водные Xj — д!дхг, ..., Хп = д!дхп, а произвольное поле X выража-
ется через них следующим образом:
1=1 1
где (ж), ип (ж) — некоторые функции из многообразия Й (G).
Эти функции однозначно определены векторным полем X и называ-
ются его компонентами в базисе Хх, Хп.
Согласно определению векторного поля (что тоже можно устано-
вить непосредственной проверкой, учитывая выражения (1.3)) скоб-
ка Пуассона [X, Y] — XY — YX двух векторных полей X, Y g
€ (Г) (G) также является векторным полем, т. е.
[X, Y] = £ Wi (ж) е Й1 (G); (1.4)
w г
кроме того, справедливы тождества
[X, Y] = - [Y, X], X, Y 6 Й1 (G); (1.5)
[X, Y] Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X] Y] =0, X, Y, Z £ Й1 (G). (1.6)
Последнее соотношение называется тождеством Якоби.
По определению алгебра Й (G) содержит единичную функцию,
и поэтому соотношение (1.2) можно представить следующим образом:
(ajX -{- oc2Y) / = oc2Y/, (ocX) f = осХ/, oc2, a £ P.
Другими словами, множество векторных полей на многообразии
Й (G) является линейным пространством. Совокупность векторных
полей Й1 (G), рассматриваемая как векторное пространство Й1 (G)
над Р с определенным на нем правилом умножения (1.4), при помощи
скобок Пуассона, для которых выполняются тождества (1.5), (1.6),
образует алгебру Ли. Если это векторное пространство конечномерно
над полем Р, то алгебра называется конечномерной, в противном слу-
чае — бесконечномерной.
В конечномерном случае в Й1 (G) найдется базис из т элементов
Хц ..., Хт такой, что любой X £ Й1 (G) представим как линей-
т
ная комбинация X = с<Х{, с, £ Р, с постоянными коэффициен-
1=1
тами; соответственно скобка Пуассона двух элементов X, Y g Й1 (G)
т
также выражается через этот базис: [X, Y] = £ /{Х{, lt £ Р.
г=1
Перейдем к описанию алгебры Ли, порождаемой дифференциальной
системой (1.1).
Рассмотрим некоторую произвольную функцию <р (ж) f й (G)
на траекториях ж, (f), i = 1, п, системы (1.1). Вычислим дифферен-
циал от этой функции
-ад а.?»
г=1 1 i=>l *
13
где
А я
х = Х'<х- (1-8)
1=1
Поставим в соответствие системе (1.1) оператор X. Как только
что было показано, оператор по этой системе строится однозначно.
Справедливо и обратное: если дан оператор (1.8), то по нему может
быть воспроизведена дифференциальная система. С этой целью в
тождестве (1.7) вместо функции <р следует поочередно подставить
функции х1г ..., х„. Между решением системы дифференциальных
уравнений (1.1) и решением уравнения в частных производных пер-
вого порядка dfldj X/ = 0 существует глубокая связь. Оператор
(1.8) будем называть ассоциированным дифференциальным операто-
ром исходной системы (1.1).
Коэффициенты системы (1.1), как правило, зависят от вектора
параметров ос = || ап ... а/||, ос, g Р. Придавая этим параметрам
произвольные значения из Р, получаем некоторую бесконечную
совокупность дифференциальных операторов {Хп Ха, ...}, которую
обозначим о. Далее, введем рекуррентные последовательности мно-
жеств о1 = о (J [о, о], о2 = о1 (J [о1, о1], ..., о6 = oZi—1 (J [о/:~4,
ah~Ч. Здесь
[а4, а41 = [Z, Z = [X, Y], X, Yeo4-1}.
Ясно, что построенная совокупность образует алгебру Ли 53 над
полем Р. Очевидно, что 53 (G). Эту алгебру будем называть
обертывающей алгеброй Ли исходной системы (1.1). Таким образом,
ассоциированный оператор X системы является элементом оберты-
вающей алгебры 53. В ряде важных случаев, например линейных
систем с постоянными коэффициентами, структура алгебры S3
может быть определена по жордановой структуре матрицы коэффи-
циентов. Проиллюстрируем сказанное на примерах.
Пример 1.1. Имеется система линейных уравнений с постоянными коэф-
фициентами
Здесь Д (х) = ахг + Ьх2, /2 (х) = —taj -ф- ах2, следовательно, ассоциированный
с системой! линейный оператор
•V I д \ / д д )
х = ф ~^Г + Х2~^ГГ
Очевидно, что при любыг специализации параметров а, Ъ структура обертываю-
щей алгебры 5В системы (1.9) определяется операторами
v , д д д
Xl~X1~8^"VXi'8^' ' Х1 дх.г "
Эти операторы коммутативны, так как [Х15 Х2] = 0, и составляют
баэис конечномерной коммутативной алгебры Ли 53 системы (1.9).
14
Пример 1.2. При исследовании уравнения Ван-дер-Поля возникает
вспомогательная нелинейная система [113, с. 3451
= (1 - г2) XI - Ох2, ----+ (1 - г!) Х2, (1.10)
где г3 = #1 + а?!» ° “ const« Ассоциированный с системой (1.10) оператор пред-
ставим в виде
X = ((1 — Г«) — ог2) + (GZf 4- (1 — г!) ж2) -2— .
Перегруппировывая слагаемые и вводя обозначения
Xf=(l — -^-+«2-5^-) > Х2 = х2-^
получаем X = Xt — оХ2. Обертывающая алгебра ® системы (1.10) порождена
базисными операторами Хх, Х2, которые, как легко проверить, коммутируют
между собой. Следовательно, 5В конечномерна и коммутативна.
Пример 1.3. Рассмотрим систему линейных уравнений с постоянными
коэффициентами
Л = II4lb h j = л1>
В этом случае
/х(*) = 4ат + +ainxw
• • • •
/п (*) = ап1х1 + + аппхп
и
х=S а‘л + + S
1=1 1=1
Оператор X можно представить как результат произведения векторов X = fT&
(Т — знак транспонирования), где
( = colon|]/f, ... , /„]], S=colon|-A-.....
В свою очередь, вектор fT, как нетрудно видеть, можно записать в виде произве-
дения fT = xJ$.
Если ввести новые обозначения xm = хт, Jl = то ассоциированный
с системой (1.11) оператор X можно записать в компактной форме X = хт £д.
Предположим теперь, что матрица имеет простую структуру. Ив теории ма-
т
триц известно, что в этом случае она представима суммой [44, с. 64] Л
7=1
где — характеристические числа матрицы кратностей г-, + ... + гт =
тп
— п, 0< — сопутствующие матрицы, обладающие свойствами 5’,- = <s (1),
____________________________________ i=i
0-^ = 0, i Ф / (2) и 0^ = 0., 1, т (3).
Введем дифференциальные операторы, используя приведенную выше запись
Х7=^Л (1-12)
Непосредственным вычислением можно убедиться, что [Х{, Х-] s 0, i,
j = 1, т. Следовательно, обертывающей алгеброй ® системы (1.11) можно счи-
тать алгебру, порожденную операторами (1.12).
15
Имея в виду зависимость этой алгебры от жордановой структуры матрицы
коэффициентов jl0 исходной системы, будем отмечать атот факт индексом g, т. е.
писать
Заметим, что сопоставление системе (1.11) обертывающей алгебры всегда
возможно, но не является единственным вариантом.
Вернемся к исследованию алгебры 83. Операторы Xlf Xn £
€ С1’ (G) называются линейно независимыми в некоторой открытой
области Gj (х), содержащей точку х, Gr (х) cz G, если они линейно не-
зависимы над полем Р как элементы алгебры (G), рассматри-
ваемой как линейное пространство. Естественно, что они линейно
независимы в алгебре S8, если {х) == G. Операторы Xlf ...,X„g
€ (С1 (G) называются линейно несвязными в G, (х), если из тождества
cXjXj + • • • + ослХй s 0, а1г ... , «л € £) (G),
следует 04 — ... = ап = 0. Обозначим через Хп ..., X, линейно
несвязные операторы порождающей совокупности о и через Xlf Х2,...
..., Xr, Xr-j-i, ..., Хг+р, — линейно несвязные операторы совокуп-
ности о1 в Gj (ж). Совершенно ясно, что Хг+1, ..., Xr_f.P1 получены
из Xj, ..., Хг вычислением скобок Пуассона. Если имеет место тож-
дество
[Xu XJ = S aii (х) I, j = V~r, ala (ж) £ £> (G),
z=i
то Xr+i = ... = Xr+Pl ss О и система операторов Хх, ..., Хг на-
зывается полной. Бесконечномерная алгебра S3 строится в этом слу-
чае как обычно, однако все новые элементы, будучи линейно неза-
висимыми над полем Р, линейно связаны с операторами Х1Т ..., Хг.
Если на некотором шаге построения совокупности о’ не получатся
новые элементы, линейно несвязные с операторами из о1, ..., oi—1,
то нетрудно показать, что они не появятся и во всех последующих
совокупностях оЖ, п»+2. Таким образом, после конечного числа
шагов придем к полной системе операторов
.../-ГХ (1.13)
Число h линейно несвязных операторов, естественно, не превышает
числа переменных п, h п. Несвязные операторы (1.13) во всей
области G назовем базисными операторами обертывающей алгеб-
ры $8.
§ 2. РЯД ЛИ КАК РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕГО СВОЙСТВА.
ОБЕРТЫВАЮЩАЯ ГРУППА СИСТЕМЫ
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
/ (ж), ж (s0) = ж0, (2.1)
где ж = colon ||Ж1, ..., хп|| g Rn, / = colon ||/п .... /эт||. В отличие от
§ 1 здесь в качестве независимой переменной выбрано не время, а
16
некоторый параметр s. Будем считать, что s изменяется в промежут-
ке Z = (а, Ь) с включенными или невключенными концами. Через
G обозначим открытую область из Rn, в которой определены функ-
ции / (х). Пусть область G такова, что G = I X G g Rn+i является
областью существования и единственности решения уравнения (2.1).
Всюду в дальнейшем предполагаем, что правые части системы
(2.1) — аналитические функции из £) (G) (см. § 1). Рассмотрим некото-
рую замкнутую область V, V g G, определенную неравенствами
Р I | S — 601 | X} Xqi | • • • 1 | *^n Я-On | ^п- (2.2)
Будем предполагать, что в области V правые части системы (2.1)
представимы сходящимися рядами
/i (ж) = 5| ...,тп (%1 ^01) * (Яп %0п) Па 1=1, П. (2.3)
ГП1»...,7ПП
Коэффициенты а^,„.,тп рядов (2.3) являются функциями точки
•^о ~ II ^"01 > • • • > ^Оп ||«
Решение задачи Коши для системы (2.1) будем искать в виде ряда
Тейлора
Определение коэффициентов выписанного ряда производится после-
довательным нахождением производных из уравно-
ний (2.1) и вычислением их значений в точке х = х0.
Факт существования решения в виде ряда (2.4) устанавливается
известной теоремой Коши.
Теорема 2.1 (Коши) [65, с. 365]. Если правые части системы (2.1)
аналитические в области V, то система имеет единственное решение
задачи Коши, аналитическое в окрестности точки s=s0 и предста-
вимое рядами
оо __—
Xi = Xqi -J- Ср ($ $о) 1 i = Я.
Р=1
Эти ряды сходятся в области
| s — s01 < а < б0, а = б0 (1 — е~р/пат), (2.5)
где 0 < а < б0, 0 < 0 < 6it i = 1, n, М = шах {М±, ..., Мп},
Ми .... Мп — максимальные значения функций /, (ж), i= 1, п, когда
х изменяется в области V.
Если ф — произвольная функция вектора х, то согласно форму-
ле (1.7)
= Хф, (2.6)
п
где X = У, fidldxi — оператор, ассоциированный с системой (2.1).
Производная с/ф/^сама является функцией х, и поэтому справедливы
2 7—1641
И
формулы
-§L-(X)4, .... <2.7)
Подставляя в ряд (2.4) значения производных, выражаемых форму-
лами (2.6), (2.7) (предварительно вычислив их в точке s = s0), полу-
чаем для ряда (2.4) выражение
ж, = 4- -~s° X (х0) xOi-~2| ~~ X2 (хо) ха + • • •« i = fTn- (2.8)
n
Здесь X (x0) = S Л (xo) dldxQi, т. e. оператор X (x0) получается из
i=i
оператора X (x) заменой x на x0. Степени оператора X (x0) опреде-
ляются равенствами
Х° (х0) / (х0) = / (х0), .... X* (х0) / (х0) = X (х0) (Xh~l (х0)) / (х0), к £ Z+,
Введем для ряда, стоящего в правой части равенств (2.8), сокра-
щенное обозначение
е^^^х». + х (Хо) + (Цг*>)2.X2(х0) + ..• )ХМ. (2.9)
Так как ряд (2.8) (соответственно (2.9)) является видоизмененной
записью ряда (2.4), который сходится согласно теореме Коши в об-
ласти (2.5), то ряд (2.8) также сходится в этой области. Следователь-
но, решение системы (2.1) можно записать сокращенно в виде
Xi = еи8~е’>ХЫ)хш, t = T~ri, (2.10)
где правая часть соотношений (2.10) представляется рядом (2.9).
Запись решения системы (2.1) в виде ряда (2.10) называется представ-
лением этого решения с помощью рядов Ли. Приведем точное опре-
деление.
Определение 2.1. Пусть X £ (6) — производный ли-
нейный дифференциальный оператор первого порядка, тогда рядом
Ли называется ряд
ОО
е(зх(х))/ {х) = у Xi (х) f {x)f f е £ {G)i (2.11)
i=0
где s — некоторый параметр.
Нашей ближайшей целью является изучение основных свойств
рядов Ли и в первую очередь — выяснение условий их сходимости.
Далее будут рассмотрены те преимущества, которые дает запись
решения системы (2.1) в виде ряда Ли (2.10) по сравнению с обыч-
ной записью в виде ряда Тейлора (2.4). Важнейшее из них состоит
в возможности по обертывающей алгебре Ли 53 исходной системы
(2.1) ввести еще один алгебраический объект—порождаемые этими
алгебрами группы.
Запись решения нелинейного уравнения в виде экспоненты (2.10)
оператора X (ж0) напоминает запись решения линейного уравнения
1В
JEL = (Ах, х (s0) = х0 в виде матричной экспоненты
х = е««—»о^хо. (2.12)
Указанная аналогия не случайна, так как ряды Ли (2.10) в дей-
ствительности обладают набором алгебраических свойств, хорошо
известных для матричных рядов (2.12). Прежде чем приступить к
дальнейшему изложению материала, приведем простой пример на-
хождения решения в виде рядов Ли.
П риыер 2.1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
-$- = у, = — х, X (0) = х0, у (0) = у0. (2.13)
По 1*0
Ассоциированный оператор атой системы X = у —-------х Легко проверить,
что результатом последовательного действия оператора на переменные х, у яв-
ляется:
К8Х =
Х«у =
s । v2 s
‘flxo || "Г л(1-со 2|
(-I)”"1 У,
.(-I)”*,
(-l)nx,
g = 2n-i,
g = 2n, n = i, 2, ,. ,}
g = 2n —1,
g — 2n, n = 1, 2, ...
8 8
, получаем
Тогда, вводя обозначения X (х0) = ув--------хв----
8х„ ду,
X
s s2 s3
~ xo “b ц Уо 21 Уо + * *
. I s S3 , s& \ ,
+ I-Jj--------3j- + + • • • ) =*0 cos s + Ув sm s.
Совершенно аналогично получим у = —х0 sin s + ув cos s. Следовательно, ре-
шение задачи Коши для исходной системы (2.13) имеет вид
х = e(sX^x0 = хв cos s 4- ув sin s;
у — e(sXo)yB = — хв sin s + cos s.
Ряды Ли (2.14) сходятся при всех s( R. Решение (2.14) в действительности явля-
ется общим. В самом деле, уравнения (2.14) легко разрешаются относительно на-
чальных значений хв, ув с помощью операции вычисления «обратной экспоненты»
(по аналогии с матричными рядами):
хв ~ е(—sX)x = х cos s — у sin s;
/ .XI (2.15)
ув ' е' 'у = г sin s-|-у cos s,
8 8
где X = у—------.
дх 8у
Функции в правых частях формул (2.15) являются первыми интегралами
исходной системы (2.13).
Приведем ряд утверждений о сходимости ряда Ли (2.11).
Теорема 2.2. Пусть функции f0 (х), (х), ..., /п (х) — аналитиче-
ские в области V, V g G:
V11 s — s01 60, | X, — xi01 <5j, i = 1, пг
2'
19
и представимы в ней сходящимися рядами
ji(x) = Zj am,,...,mn (^1 жо1) 1 ••• {хп— xOnf>>ni t — П‘, (2.16)
т,,...,тп
тогда ряд Ли
e(iX(x)7o (*) = S 4" Х" /о И. (2.17)
,-=о
П д
где X = Д /i (х) -, является аналитической функцией в области
I * so I <'- min |х, дг 1 ji | xi — xw | X ос, (2.18)
где
____ п
а — min (60, ... s бп), Mj = max fa, j = 1, n, N = J] Mj.
xgV ' j=n
Доказательство теоремы 2.1 проводится методом мажорантных
функций Коши. Предпошлем доказательству необходимые определе-
ния и сформулируем ряд вспомогательных утверждений.
Так как ряды (2.16), представляющие функции /,-, г = 0, п, схо-
дятся в области V, то, как известно, они сходятся в этой области
абсолютно, т. е.
оо
S 1 тп | рГ*, • • - ( р”и = ЛЛ, (2.19)
где 0 < pi 6<, М Mi, i = 0, п. Следовательно^ для коэф-
фициентов ряда (2.19) справедлива оценка
|а«) к Mi____________________jli)
I ы,тпи...,тп । ^77lj — °тпи...
1 * * * п
Введем вещественные переменные Х1( ..., Хп, определяемые нера-
венствами — £oi|^#i<Ca1 где а = min {60t 6U ...j 6n}.
Функции
Д/. ОО
--- —____________Г-Г’ S <............тпХГ*...Х”п (2.20)
I i --------------------------------------) I , -п ] т„...,тп
V 6п ) ____
будут мажорантами соответственно для функций /01 fiti — 1г п. Оче-
видно выполнение неравенств
1—1 —Х/а ’ <2,21)
где |х< — Xio | ^Xj <Х < а. С учетом неравенства (2.21) из ма-
жорант (2.20) легко получить новые можоранты
р (X) ==--, Ф1 (X) =--------------—-
{ ’ (1— X/a)n ’ (1—Х/а)п
20
соответственно для функций /0 (ж) и Д (ж), i — 1, п. Для введенных
мажорантных функций справедливы соотношения
1/oK^W.
1 dmf dmF d7m ’
дх™1 . .. дхтп 1 ' И
IАI < Ф« (X),
dmfi сГ’Фх <• 1
dxf' . .. дхтп 1 п dxm
(2.22)
п
Если обозначить N = S то
1=1
можно ввести общую мажоранту1
Ф(Х) =
ТУ
(1-Х/а)п ’
справедливую для всех функций Д (ж), i = 1, п. Введем дифферен-
циальный оператор
п; def TV d
(1 — %/a)n
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 2.1. При | ж, — X <; ос, i = 1, п, справедливо не-
равенство
I Хт/0 (ж) | < WmF (X), т = 0, 1, 2, ...
(2.23)
Доказательство. При т = 0 неравенство (2.23) оче-
видно. В силу неравенств (2.22) при т = 1 получаем
Mj dF
(1—X/cc)n м
N d
(1 — Х/сс)" м
F (X) = WE (X).
Далее доказательство проводится методом математической индук-
ции. Предположим, что оно справедливо при некотором т > 1,
тогда
|Xm+7| =|X(Xm/)| =
2, 8Xmf
'l дх,
i=l г
=W™+<F(Xp
Совершенно аналогично доказывается следующая рекуррентная
формула.
1 В качестве N можно выбрать также число TV = max {ЛД} (ПО).
21
Лемма 2.2. При т = 1, 2, ...
WmF (X)
Мт!
п
т
jvm П
h=l
к
у \m(n-f-l)
а
Доказательство те
о p e м ы 2.2. На основании лемм
2.1 и 2.2 ряд Ли (2.17) можно оценить следующим образом:
m=f)
I TH
М
(1—%/а)п
|7П
1— WmF =
М
(1—Х/а)т
т~1
П (n + 1 - i/k)
S — |™ М fe=l_______________________
wt= 1
(1 — %/а) а™ (1 _ х/а)т(п+»
М
(1 — Х/а)"
/ | s — sB | N (п -}- 1) \т
\ а (1 — X/a)”+1 /
Последний ряд сходится при | s — s01 < , (1 — Х/а)п+1-
7V (П -f- I)
Если учесть, что |s — s0| % < а, то получим условия абсолют-
ной сходимости ряда Ли в виде неравенства (2.18). ~
Обозначим через G = G X (|s — s0|^7j) конечную замкнутую
область пространства R”+1, G С Rn, в которой коэффициенты оператора
X и функция / (х) аналитичны. Справедливо следующее утверждение
о сходимости ряда Ли (2.11) во всей области G.
Теорема 2.3. В замкнутой области G найдется такое число h (h >
> 0), что ряд Ли
оо
e((S-Sc)X(x))/ _ хт/ (ж) (2.24)
т—О
при | s — $01 h будет сходиться абсолютно и равномерно во всей
области G X {|s— s0| h} и представляться там аналитиче-
ской функцией переменных s, х. Ряд Ли внутри области G X {| s —
— s0| h} можно дифференцировать почленно произвольное число
раз. Справедливы равенства
(х) = х {х}(а.); (2.25)
S (X1 — S^m ____ V — Sf|)m /9 9R\
dXi I 2j ml X ’ | 2j ml dx{ •
\тп=0 J m=^i
Доказательство. По теореме 2.2 ряд Ли (2.24) абсолют-
но сходится в области, определяемой неравенствами (2.18). Зафик-
сируем в (2.18) число X и введем параметр 0 < 0 <; 1.
22
В области
|s — s0 Kfy»< min {ба, * -} , | ж{ — ж<н | < а9,
которую будем обозначать как Vn, ряд (2.24) сходится абсолютно
и равномерно и является аналитической функцией от переменных
s, х. Точка (s0, ж0) g G — произвольная. Следовательно, множество
областей типа представляет собой некоторое покрытие области G.
По теореме Бореля из этого покрытия можно выделить конечное под-
покрытие. Каждому элементу этого покрытия соответствует свое чис-
ло б0. Обозначив через h наименьшее из них, получим, что при | s —
— «о| < й РЯД (2-24) сходится абсолютно и равномерно во всей об-
ласти G.
Сходимость ряда (2.25) следует из теоремы 2.2. Доказательство
формул (2.26) приведено в работе [НО, с. 15].
Следующая теорема имеет исключительно важное значение в
дальнейшем изложении.
Теорема 2.4. Пусть ряд Ли (2.11) используется в качестве замены
переменных
x't = e((s~So))X(’:))a:1, ... , х'п = е((в’во)Х(ж>)жп. (2.27)
Тогда преобразования (2.27) являются точечными} т. е. для любой
функции ф (ж) £ © (G) имеет место тождество
Ф (e«a~So)*x»xlf ... в e<<s_s<,)XW^n) ss (д;^ ... 9 Хп), (2.28)
или
Ф (х\, ..., х^ = е«*-в»)Х(зс))ф (xlt ... , хп).
Доказательство. Запишем левую часть соотношений
(2.28) в развернутом виде:
Ф(х') = ф(xi.....хп) = ф(е^^^х^ ...„ е((8-в")Х(ж))жп)
и разложим функцию ф (а/) в ряд по s — s0 в окрестности точки s0:
Ф(и=Ф(^и+ + ••• <2-29)
Is—So
Ясно, что ф (ж') |s=So = ф (ж). Далее, для производных ^ф (x')lds1,
k = 1, 2, ..., справедливы выведенные выше формулы (2.7)
и (dh<p (x')/dsh)l 8=вй = Хйф (ж). Следовательно, для разложения (2.29)
окончательно получаем доказываемую формулу (2.28):
ф (ж') = (ф (ж) + х (ж) ф (ж) + -(-~s°)2 Xй (Ж) ф (ж) +
==е««-в»)Х(Ж))(р(жК
Пусть ряд Ли (2.11) рассматривается в области V, задаваемой
неравенствами (2.2). Подставим в него вместо переменных ж перемен-
ные ж0, а вместо функции / (ж) — поочередно функции жо,, i = 1, п.
23
В результате получим п функций е(<*~*»)Х(эс»))жм, которые сог-
ласно теореме 2.2 сходятся абсолютно и равномерно в замкнутой об-
ласти
। . - , • ( а (1 — И)”4
|e —s0|<fc = min|pa, ]у(иу1}
(ж, — Ж(ц) 0 < р < 1.
Обозначим эту область V. Как следует из изложенного выше,
функции ____
Ж, (s) = e(s—®’>)Х(Хо)Жог, г = 1, п, (2.31)
являются аналитическими решениями системы (2.1) в замкнутой
области V, обращающимися в х0 при s = s0. Наряду с рядами (2.31)
введем ряды Ли
жо; = е-(<_в,,)Х(ж)жъ i = £~п. (2.32)
Эти ряды также представляют собой аналитические функции в об-
ласти V, т. к. имеют те же мажорантные функции, что и ряды (2.31).
Для упрощения записей введем следующие обозначения для функ-
ций (2.31) и (2.32):
<р{ (ж0) = е(8~8")Х(х,,)жм, Tj (х) = i = Ста.
Тогда xi = <р, (ж0) и хцо = Т, (х).
Теорема 2.5. Функции хц> = Т\ (х) (2.32) являются обратными
по отношению к функциям х, = <р$ (х0) (2.31), т. е.
Xi = <pi(4Tj(х), ..., Ти(ж)) = ж;, г = 1, п, (2.33)
и представляют п независимых аналитических первых интегралов си-
стемы (2.1) в области V.
Доказательство. Подставим в функции (2.33) значения
Го, = Tj (х):
ЧЧ (¥, (ж), ... э (ж)) = цц (e-f<~s«)X<’X,: ..., е^*~°°™х}хп). (2.34)
Воспользуемся результатами теоремы 2.4 о точечности преобразова-
ний (2.32):
<р4 (Т„ ... , Т„) = е-(s—s<>)X<3c)<pi (х) = е~(s—в,)Х(ж)/*—8<|>Х(ж>Ж1.
Но из элементарных алгебраических вычислений следует, что
е'~(в—s„)X(x)e«s—вс)х(х)) = j. Поэтому из (2.34) немедленно получаем дока-
зываемые тождества (2.33).
Чтобы показать, что функции Т$ (ж) являются первыми интегра-
лами системы (2.1), нужно убедиться, что они обращают уравнение
df/ds + X (ж) / = О в тождество. Действительно, согласно формулам
(2.25), (2.26)
_$L = — X (ж) е-(8-5»)Х(х)Ж1
OS
И
+ X (ж) «Pi = — X (ж) e^—’^Xi 4- X (ж) е-(,_8’>Х(ж)жг s 0.
Остается доказать независимость этих интегралов. Пусть! например,
функция (ж) = »о)Х(х))Ж1 . является комбинацией остальных
интегралов:
So)X(x) ЦТ«о)Х(х) —(s—s0)X(x) ,
с «x-j — х • • • а с •хп/г
где ¥ — некоторая аналитическая функция. Используя формулы
(2.27), найдем е<-<«-'1Ж*))(г1 — ijr (д;2> х )) == 0. Это тождест-
во справедливо при любых s из области сходимости и, в частности,
при s = s0. В зтом случае хг — Т (ж2, ..., хп) s 0, что невозможно,
так как переменные х независимы.
Переходим к изучению важной связи, которую устанавливает
ряд Ли (2.11) между обертывающими алгебрами Ли системы (1.1),
введенными в § 1, и некоторыми группами.
Выделим в области V (2.30) некоторую подобласть Wt определяе-
мую неравенствами
—s0|<a,
i = nt
где
а = h, Ъ = , М — max {Mt, ... ъ Мп}.
Теорема 2.6, На отрезке Пеано | s — s^^-h, h — min {h, b/M} f
ряды Ли (2.31) представляют аналитическое решение задачи Коши
системы (2.1); не выходящее из области W.
Доказательство. Фактически нужно убедиться, что ряд
(2.31) представляет единственное аналитическое решение задачи
Коши. Применение метода последовательных приближений на от-
резке Пеано к системе 2.1 приводит к аналитическому решению
(см. [104, с. 106]). В силу единственности это решение совпадает с
рядами Ли (2.31).
Перенесем на аналитические решения в виде рядов Ли (2.31) сле-
дующий результат, известный из общей теории дифференциальных
уравнений.
Теорема 2.7 [65, с. 307]. Пусть система (2.1) определение области
W и удовлетворяет там условиям Липшица по х в области G локаль-
но; тогда решение задачи Коши xi = <р (s, s0, ж01, ..., хрп), опреде-
ленное на отрезке Пеано |s — s0| h, h = min {h, b/M}, в области
Wo; |s— s0|^/i/4, \Xi — xei}^b/4, i = 1, n,
(2.35)
дает общее решение.
При доказательстве теоремы используется тот факт, что решение
на отрезке Пеано не выходит из области W. Далее, существен факт
непрерывной зависимости решений от начальных данных в области 1
I s — s01 h/2, | x*i — хм | b/2, i = n. 1
(2.36)
1 Здесь варьируются лишь фазовые переменные х0.
25
Но оба эти свойства также присущи и системе (2.1) в случае анали-
тических коэффициентов. Из теоремы 2.6 следует выполнимость пер-
вого условия. Вывод неравенств (2.36) для систем с аналитическими
коэффициентами можно найти в упоминаемой выше работе [104,
с. 109]. _
Следствие 2.1. В области Wo (2.35) ряды Ли (2.31) задают общее
решение системы (2.1).
Следовательно, если в формулах (2.31) зафиксировать параметр
на некоторой точке s', s’ g |s — s0| ^/4, то точка ж', полученная
в результате преобразования
= е«*-дао))Ж0й i = T~nt (2.37)
принадлежит области Wo. Справедливо также и обратное утвержде-
ние. Если ж* g Wo, то решив уравнения (2.37) относительно
= е(^»’г»)Х(ж,))жъ г = 1Г7г, (2.38)
получим точку ж0 £ Wo. Формулы (2.37) можно интерпретировать
как некоторое определяемое параметром Д[ = s' — s0 преобразование
Т точек ж области Wo в себя, Wo g R”. Тогда соотношения (2.37)
сокращенно можно представить в виде
а'=х0Т(^. (2.39)
Формулы (2.38) показывают, что для преобразования Т (Дх) сущест-
вует обратное, причем Т~1 (Дх) = Т (—Д^, следовательно,
ж0 = хТ~' (Дх) = хТ (— Дх). (2.40)
Очевидно, что любой ряд Ли
е<АХ(х))ж, ж61Ё0, (2.41)
определяет некоторое преобразование Т (Д) области Wo в себя, если
параметр Д удовлетворяет следующему условию малости:
| Д К Л/4. (2.42)
Обозначим множество преобразований Т (Д) при выполнении
условий (2.42) буквой @. Преобразования (2.39) и (2.40) взаимно
однозначны и аналитичны и, следовательно, являются локальными
аналитическими диффеоморфизмами области Wo в себя Т: Wo -> Wo.
Определим произведение двух последовательных преобразований
ж" = е^х'»х’s Ф1 (ж') = ж'Г (Д2) (2.43)
и
х, = s фо (Жо) = XqT (Д1), (2.44)
Подставим значение ж' из (2.44) в (2.43):
х" = Ф1 (е^^Хы, ... , е^^х^}
_ е(Л*Х(х0))ф1 а Жоп) s J,
26
(Здесь использованы результаты теоремы (2.5)). Элементарные алгеб-
раические вычисления дают
^Д1Х(Хо)^д2х(хо) __ ^(Д1+д2)Х(х0)^, ^2 4.5)
Чтобы преобразование (2.45) принадлежало совокупности @, до-
статочно выполнения дополнительного условия | А, + Д2| 7г/4.
Соотношения (2.45) представим в символической форме
еД1Х(Жо)еД,Х(хо)Жо = ЖоГ(Д1) Г(Д2) = ЖоГ(Д1 Д2).
Используя свойство (2.45), легко убедиться, что преобразования
совокупности (S обладают свойством ассоциативности, т. е.
х0 (Т (АД Т (Д2)) Т (Д3) = х0Т (АД ((7 (Д2) Т (Д3)). (2.46)
Очевидно, что конечное число преобразований х0Т (Дх) Т (Д2)...
...Т (Дт) = х0Т (А, ... Дт) приводит к преобразованию из
совокупности (Q, когда выполняется дополнительное условие
|A,+ ••• +Дт|<й/4. (2.47)
Рассмотренные свойства преобразований из множества (S пока-
зывают, что совокупность @ является локальной однопараметричес-
ской группой Ли. Чтобы пояснить это понятие, приведем необходи-
мые определения.
Определение 2.2 [36, с. 14] (абстрактная группа). Мно-
жество IX с бинарной операцией умножения называется группой,
если:
1) операция ассоциативна, т. е. (ab) с — a (be), а, Ь, с g И;
2) в 11 существует единичный элемент е, т. е. еа = ае, а £ 11;
3) для любого элемента а £ 11 существует обратный а—1 С 11 та-
кой, что а ‘ а-1 = е.
Очевидно, что в множестве ($ выполняются все групповые ак-
сиомы. В качестве единичного элемента выступает тождественное
преобразование Т (0) = 1. Для любого элемента Т (A) g ($ сущест-
вует обратный Т (—Д): Т (Д) Т (—Д) = 1. Наконец, выполняется
условие ассоциативности (2.46).
Единственная оговорка, которую следует сделать, состоит в том,
что нельзя производить неограниченное число умножений, не учи-
тывая условий (2.47). То, что элементами множества (У являются
диффеоморфизмы, позволяет конкретизировать введенное абстракт-
ное определение группы. Так как функции (2.41) зависят от перемен-
ных х, Д непрерывно, то группа (SJ называется непрерывной. Груп-
повые свойства для преобразований множества (S выполняются при
дополнительном ограничении (2.47), т. е. если они не выводят преоб-
разуемую точку из окрестности Wo, и тем самым выполняются ло-
кально. Наконец, существенно то, что каждое преобразование Т
(2.41) параметризуется числом А. Как следует из (2.45), произведение
двух преобразований Т (Дх) и Т (Д2) можно записать в виде
хо7’(Д1)7’(Д2)=Жо7’((р(Д1, Д2)),
где <р (Дп Д2) = Дх + Д2.
27
Пусть £) обозначает интервал изменения параметра A: S (a f
€ iC: | а | 7г/4}. Функция ф (Дх, Д2), как легко проверить, удов-
летворяет следующим аксиомам:
1) а Е £)=> <р (О, а) = ф (а, О) = а;
2) а, Ъ, с 6 ©; ЧР («, Ь), ф (Ь, с) £ £),
Ф(а, ф(Ь, с)) Ё Д?,ф(ф(а, Ь), с)С£) =>ф(а, tp(b, с)) = ф(ф(а, Ь), с);
3) ф€Со(£ X £) (2.48)
и называется законом умножения в группе
Множество преобразований (S с законом умножения ф (a, ft),
а, Ъ 6 удовлетворяющим аксиомам (2.48), образует локальную
однопараметрическую группу Ли преобразований.
Введенное понятие однопараметрической группы допускает ес-
тественное обобщение на r-параметрические группы преобразований.
Пусть имеется множество локальных диффеоморфизмов, определен-
ных в некоторой окрестности V точки х0 g Rn, заданных функциями
х" = h(x', а2), х' = /г(х0, ах), h = ||ЛХ, ... , /г„||. (2.49)
Не теряя общности можно считать, что hi £ £) (F), i = 1, п. Функ-
ции (2.49) зависят от векторов параметров а2 = ||а21, ..., «2г ||,
ах = II ani «1г II- Вектор а изменяется в некоторой окрестности
нуля в пространстве Вг, т. е. £)<г> 6 Вг, ||0, ..., О || £
Г
Произведение двух преобразований (2.49) дает х” = h (h (х0, ax)f
аа) = h (х0, а3), где а3 = ¥ (ах, а2), Т = || ..., ¥г|.
Функция Т (ах, а2) удовлетворяет следующим аксиомам:
1) ае>С(г)^>Ч/(О, а) = Т(а, О) = а;
2) а, Ь, се£)т; Т(а, b), T(fe, с), Т (a, W(b, с)); (2.50)
W (W (а, Ь), с) е £)(r) V (а, Т (Ь, с)) = Т (Т (а, Ь), с);
3) х £<г))
и называется законом умножения r-параметрической группы. Мно-
жество преобразований (§г, определяемых формулами (2.49) с
законом умножения (2.50), называется локальной г-параметрической
группой Ли.
r-Параметрические группы дают пример конечномерных групп,
в отличие от бесконечномерных групп, параметризуемых бесконеч-
ным числом параметров, или «произвольными функциями».
Конечномерные группы Ли достаточно хорошо изучены, однако
представляют слишком узкий класс систем дифференциальных урав-
нений. Поэтому введем определение более общего объекта — псевдо-
группы (бесконечномерной группы).
Пусть 9? обозначает множество локальных диффеоморфизмов
Т: X -* %, х — область, % £ Вп, Т £ С°° (Rn) и S3 — некоторое
подмножество множества 9?. Вектор Е € С°° (Нп), § =/= 0, называ-
ется касательным к SB, если существуют последовательности {T’n} cz
28
c. Si и {^n} cz R, для которых
n -> oo :> Kn(TnX — x) g (x).
В дальнейшем ($ будет обозначать однопараметрическую группу,
порожденную вектором 2.
Определение 2.3 [95, с. 31]. Множество Si локальных
С°°-диффеоморфизмов Т : % —> х называется псевдогруппой, если
существует подмножество SB с Si такое, что выполнены аксиомы
1) v tv г2е яв=> с: ав, тт1 е в;
2) для всякого вектора, касательного к Si, группа (8 (2) =
= {/(Д)} локально содержится в SB в том смысле, что
аб>о vд€{IдI<б] Удеas.
Конечная непрерывная группа (§г является псевдогруппой.
Псевдогруппа, которая параметризуется бесконечным числом пара-
метров, называется бесконечной группой. Существуют широкие клас-
сы бесконечномерных групп: С. Ли, Э. Картана, аналитические груп-
пы Г. Биркгофа и др. (см., например, [95]).
Исходным пунктом построения псевдогруппы в рассматриваемом
случае является обертывающая алгебра S5 для системы дифферен-
циальных уравнений (1.1). Пусть эта алгебра порождена элемента-
ми {Хх, Х2, ... }. Будем считать, что в области Wo (2.35) каждый эле-
мент алгебры X,, i = 1, 2, ..., порождает однопараметрическую
группу преобразований, которую будем обозначать Q? (Xi), т. е.
элементы этой группы Г(1) (Д) образованы рядами Ли:
х' = хТ™ (Д) = е<АХ*(х))ж, х 6 WOi | Д | М. (2.51)
Таким образом, в качестве элементов псевдогруппы следует выбрать
набор преобразований У**) (Д) (2.51), 1—1,2, ... В силу введенного
определения выполняется аксиома 2 определения 2.3. Очевидно так-
же существование для каждого преобразования Г(,) (Д) обратного
ему.
Остается определить произведение двух произвольных преобразо-
ваний — Тх и
х" =sx"T?=s е<А*у<х'))ж', х' s хТ\ = е(А'вд,ж.
Пользуясь свойством точечности преобразований (2.51), легко пока-
зать, что преобразования Т^Т\ определяются формулами
х" = хТх7\ = е^х»е{^х»х. (2.52)
Заметим, что в общем случае операторы Y (х) и X (ж) не коммутатив-
ны, т. е. YX — XY =/= 0, и поэтому
(Д,Х(х))(Д,¥(х)) , ДД,Х(х)+Д1У(х))
с с =7t= •
29
(2.55)
Введем обозначения Y = A, Y (ж) и X = Д2 X (х). Тогда имеет место
формула
оо
eXeY= S w-XPY’- (2-53>
Р.9=‘
Чтобы убедиться, что результат преобразования принадлежит
к обсуждаемой псевдогруппе, следует рассмотреть ряд
In (eV) = f Z„(X, Y), (2.54)
n=i
где Zn (X, Y) — некоторые многочлены в общем случае от некомму-
тирующих переменных. Этот ряд называется рядом Кэмпбелла —
Хаусдорфа. Примечательным является то, что многочлены Zn (X,
Y) могут быть выражены через скобки Пуассона для операторов X,
Y. Например,
Zx (X, Y) = X + Y; Z2 (X, Y) = -L [X, Y];
Z3 (X, Y) = -А_ [X [X, Y]] + -A- [Y [Y, Х]]Л ...
Последние называются лиевыми многочленами. Ниже будет доказано,
что при соответствующем выборе значений параметров Дх, Д2 ряд
(2.53) сходится. Следовательно, выполняется первая аксиома опре-
деления 2.3. Из структуры лиевых многочленов (2.54) следует, что
Zx (X, Y) е 88, Z2 (X, Y) е 83, так как X, = [X, Y] £ 83,
Z3 (X, Y) е 23, так как -А_ [X, XJ-A- [Y, YJ £ 23 и т. д.
По предположению ряд (2.54) сходится, и элемент Z = in exev £ 93.
Таким образом, доказано, что в алгебре 83 всегда существует такой
элемент Z, что exeY = ez, X, Y, Z £ 93.
Псевдогруппу, порожденную элементами алгебры 88, назовем
обертывающей группой системы и будем обозначать (£ (83) или
(S (Хх, Х2, ..., Хт), явно указывая порождающие элементы алгеб-
ры 8$.
Полученный результат о связи обертывающей алгебры Ли 83
и порождаемой ею псевдогруппы сформулируем в виде теоремы.
Теорема 2.8. Существует однозначное (локальное) соответствие
между элементами алгебры 88 и группы (S (^8) в том смысле, что
любое конечное множество преобразований ..., £ (S ($8)/
порожденное операторами Хх, ..., Хт £ 83, можно сопоставить с
единственным преобразованием т<т+1'>~ порожденным элементом
Xm+i £ 88 таким, что имеет место тождество
... e^*^x^e^m+l*m+i}x, х, xr £W0. (2.56)
Доказательство. Тождество для случая т — 2 было
доказано выше. Не представляет труда по индукции провести дока-
зательство для произвольного конечного т. Пусть, кроме оператора 30
30
Xm+i, осуществляющего преобразование
s' = е(Дт+1Хт+1)ж, (2.57)
существует другой оператор осуществляющий это же преоб-
разование
ж' = е(Л’"+1£’«+1)ж. (2.58)
Вычитая из соотношения (2.57) соотношение (2.58)f получаем
(£<Лт+1 __е<Лт+1 хтп+1>) r = О (2.59)
Так как ряд (2.59) представляет собой аналитическую функцию в
окрестности точки Дт-и = 0, то он тождественно равен нулю, отку-
да следует, что Xm+i == Xm+i. Все рассуждения носят локальный ха-
рактер, так как справедливы в достаточно малой окрестности Д = 0.
Покажем теперь, что ряд, определяемый произведением конечного
числа преобразований (2.56), сходится. Достаточно рассмотреть
случай т = 2 (см. формулы (2.52)). Воспользуемся результатом тео-
ремы 2.2. По предположению коэффициенты операторов X (х) и Y (ж)
являются аналитическими функциями в области (см. (2.35))
ГГ0?|ДКМ, | Xi — хп |< bfi.
По теореме 2.2 функция гр, (ж) = е^^^х является аналитической
в области
__ ( „ / у \«+Ц
Ж01 i | Д | < Til == min |Хх, |а
|ж,— xi0| Xj <ах, ах = min {fe/4, fe/4},
п
где Nl = J] MijS Мц = max (x), fi; (x) — коэффициенты оператора
j=<> __
Y (ж). Очевидно, что H/ol s Wo. В свою очередь функция (ж)
также является аналитической (по теореме 2.2) в области
— ( п 7 Y Х’Н-1)
W02: | Д | h2 = min ]Х2, , 2. (1----—) ? ,
02 1 1 2 V 2’ Л\ (п +1) \ а2 1 J
| Xi — хю | ^Х2^ а2, а2 = min {fej, XJ,
п
где TV2 — J] Л/г;, Mi, = max /2) (ж) —коэффициенты оператора X (ж).
Очевидно, что W02 S Ж01 S 1У0. Таким образом, для каждого
конечного числа т можно указать область Wom S Wo, в которой ряды
(2.56), полученные в результате применения конечного числа преоб-
разований из @ (23), сходятся.-
31
§ 3. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ.
ФОРМУЛА КЭМПБЕЛЛА — ХАУСДОРФА
Предположим, что в системе уравнений
-^-/(ж')9 ж‘(О)=жо (3.1)
необходимо произвести замену переменных
х = <р (ж'), х' = ф-1 (ж)4 (3.2)
где ф (х'), ф—1 (ж) — аналитические (или класса Ch) функции, опре-
деленные в некоторой подобласти Н S G, ф = colon || фх, фп ||j
ф-1 = СО1ОП || ф?1, фп‘ ||.
Воспользовавшись установленной выше взаимосвязью уравнений
(3.1) и ассоциированного с ними линейного оператора в частных
, ' 8
производных X = >, fi я ' , преобразуем последний и далее перей-
i=1
дем к системе дифференциальных уравнений в новых переменных.
Найдем выражения производных по старым переменным через новые.
Условимся о следующих обозначениях. Всюду в дальнейшем пере-
менные ж' будут преобразовываться в переменные ж. Для произволь-
ных функций / (ж') и / (ж) примем обозначения f и /, имея в виду за-
висимость /’от а? или от х, т. е. f = / (ж'), / = / (ж).
Если V — некоторая функция ж*, то с учетом формул (3.2)
Й’Р _ gy 5фх (а/) , , , Ф , gy ftPn (И
8x'h &Х1 8x'h &хп 8xh
Подставим значения найденных производных в функцию
...
S 8xh 1 8х*
84 " , <tyn (х') 84 84
• * ‘ + аГ- S — х ч5! ) дхл + ’ ‘ ‘ + х <Рп (ж) 8хп •
Д=1
Если обозначить через Fj (ж) = Х'ф, (ж'), j = 1, п, результат под-
становки в эти функции значений ж' = ф-1 (ж), то окончательно
получим
х'^х-хгт7(?)-А-+ ... +х~фД?)^—
= + * * ’ + (я) 8хп •
Система уравнений (3.1) в новых переменных согласно формулам
(1.7) имеет вид
-ф- = Fr ...1^=Fn(x)} Fi (ж) s Х^ (ж').
32
Центральное место в дальнейших рассуждениях занимает преоб-
разование системы (3.1) с помощью замен в виде рядов Ли
xk = exp (— eY') xk, xk = exp (eY) xkSl к = 1, n. (3.3)
Здесь e — некоторый параметр; оператор
Y = I?! (x) ----(- • • • + vn (x) щ (ж) € s (G).
Очевидно, переменные Xk можно интерпретировать как решения си-
стемы обыкновенных дифференциальных уравнений
= V1(x), ..., = vn (х ), х |Е=о = х.
Найдем явный вид ассоциированного с системой (3.1) оператора
п
X' = в новых переменных х при замене (3.3). Воздействуем
дх-
i=l ’
оператором X' на переменные хъ‘ Х'а;^ = X' ехр (—sY') Xk, и, пользу-
ясь тем, что X' ехр (—sY')a:ft есть функция переменных х', которые
подвергаются точечным преобразованиям (3.3), получим
X'xk = eeVXe~eyxk. (3.4)
Раскладывая e<EY)Xe(—EV) по степеням е, найдем коэффициент
при ег:
YrX Yr“ JXY Yr-2XY2 Yr-3XY3
r! (r—1)1 ' (r —2)12! (r—3)13! +
Докажем, что это выражение равно (—1)г Х(г>, где
Х(1) = XY — YX, Х(2) = X(1)Y — YX(1),; .... X(r) = Х^Х - YX^1’.
Доказательство проводим методом индукции. Полагая, что
.г-1 X(r—1> Y(r-nX Y(r-2)XY Y(7'—3)XY2
( ' (г—1)! “ (г—1)! (г — 2)! 1! + (г —3)!2! 1
имеем
(— I)7 (Xf?,-nY — YX(r~1J) Y2X .
-----------------------= V-l)! ~(r “ 1}
Y(r-2)XY2
(г—2)12!
(г-1)!
, г_ ox Y<r-2)XY*
+ (г —2)! 2!
J___ = Y2X
(г—I)2
Y(r- 1)XY
(г —1)11!
Y(r~1)XY
— (г —1)! 1! +
Y(r~ 1)ху ( Vr—2>XY2
(г—1)11! (г —2)! 2!
hs следовательно, получаем требуемый результат:
r x(r) Y^X Y(r- 1}XY Y(7—2)XY2
1 r! “ rl (r —1)!11 + (r— 2)! 2!
3 7—1641
33
Итак,
e(sv>Xe(-^ = х - еХ + 4- X®----4 Х<3) + • • •
Оператор ^eY)X^—eY) является линейным и может быть представлен
в стандартной форме
(3.5)
или, если учесть равенство (3.4),
x'->vx^-4-. (3.6)
г=1 1
Сопоставляя формулы (3.5) и (3.6), приходим к выводу, что исходный
оператор X' в новых переменных имеет вид
X' => X - -£- Х(1) + 4 х(2)—4Х<31+ •••
II Zil о!
Эта формула и называется формулой Кэмпбелла — Хаусдорфа.
§ 4. ТЕОРИЯ ЛИ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, ДОПУСКАЮЩИХ ГРУППУ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
<41>
где ж = colon || , жп||,. со = со1оп||со1(ж1), ...д соп (хп) ||, со{(ж)6
€ Й (G), G = I xGczRn+1, GgR”,— область существования и един-
ственности решения задачи Коши системы.
Система (4.1) называется инвариантной относительно преобразо-
вания 1 х' = <р (х), х = <р—1 (х'), определенного в области G, если в
результате преобразования она остается неизменной, т. е. перехо-
дит в систему 4 = со (х). Изучим вопрос об инвариантных преобра-
зованиях в виде однопараметрических подгрупп из (3?, т. е.
Xj = exp (sX) iCj, х; — exp (— sX') Xj, j = 1, n, (4.2)
действующих loc G. Здесь X — некоторый оператор из алгебры $3.
Обозначим, как и выше, через U оператор, ассоциированный с си-
стемой (4.1):
и=с°иж)^г+ ••• (4.3)
Теорема 4.1. Для того чтобы уравнение (4.1) было инвариантно
относительно однопараметрической группы преобразований (4.2),
1 Общий случай зависимости преобразований от t легко сводится к рассмат-
риваемому введением новой переменной t = и дополнительного уравнения
4+1 = !•
34
необходимо и достаточно, чтобы оператор X был коммутативен с
оператором U, т. е. выполнялось тождество [U, X] == 0.
Доказательство. Обозначим независимую переменную
t через хп^-1, т. е. £ == xn^i. Пусть Uo = д/дхп+i + U и вместо пре-
образования (4.2) введено новое
Xj = exp (sX0) Xj, Xj = exp (— sXo) Xj, j — 1, n, (4.4)
где Xo — д/дхп-^i + X, X — некоторый оператор из алгебры 33,
фигурирующий в формулах (4.2).
Это преобразование учитывает то обстоятельство, что независимая
переменная t (обозначенная через xn+i) при замене (4.2) переходит
в себя. Поэтому преобразование (4.4) эквивалентно преобразованию
(4.2) при дополнительном условии xn+i = xn+i, или t — t'.
По оператору Uq дифференциальное уравнение (4.1) восстанавли-
вается однозначно, и поэтому после замены (4.2) оператор Uo перей-
дет в оператор а (х) Uq, где а (х) — некоторая функция. Если учесть
формулу Кэмпбелла — Хаусдорфа (3.19), то в результате преобразо-
вания получим тождество
(ио---П" lU«’ + 4- lU<” 1ио> Х0П - • • •) и0 (х),
справедливое при всех значениях параметра s. Как нетрудно заме-
тить, выписанное тождество выполняется тогда и только тогда, ког-
да а (х) = 1 и
[Uo, Хо] = 0. (4.5)
Операторы U и X не содержат переменной хп±1 == t и поэтому пере-
становочны с оператором d/dt. Подстановка значений Uo и Хо в (4.5)
с учетом сделанного замечания приводит к доказываемому тождест-
ву (4.3).
Совершенно ясно, что если в формулах (4.2) положить X = U,
то получим однопараметрическую группу, относительно которой урав-
нения (4.1) инвариантны. Этот случай считается тривиальным и
всюду в дальнейшем предполагается, что X U.
Знание преобразования (4.2) облегчает интегрирование исходной
системы. Структура оператора X может оказаться проще, чем U,
и поэтому уравнение X/ = 0 будет допускать некоторые решения
= {фг (ж), ..., фт, (ж)}. Эти решения могут быть «размноже-
ны» при помощи оператора U. Действительно, из тождества ХИф^ es
в иХф, следует ХИф^ = 0, т. е. Ui|‘j — также интегралы. Если
среди них имеются функционально независимые от совокупности
то ее можно расширить до совокупности Q2 — {Фи > Фшц ФХ+ь •••
фт2}. Применяя к совокупности Q2 те же рассуждения, придем
к совокупности Qs и т. д. Ясно, что после конечного числа шагов
получим совокупность Q = {ф^, ..., фт}, не расширяемую далее
по указанному алгоритму. Такую совокупность интегралов назовем
полной относительно оператора U.
Теорема 4.2. Если имеется совокупность интегралов Q = {ф1>;...
...,, фт), полная относительно оператора U,_ то можно указать
3‘
35
замену переменных х' = (х), х = 1 (х'), которая, по крайней
мере loc G, приводит систему к квазитреуголъной
— Fi (х11 • • • 4 xm)i I ~ ^.г тг
dx. ________ (4.6)
= Fj (xv хп), 7 = т+ 1, п.
Доказательство. Выше предполагалось, что интегралы
совокупности Q определены во всей области G. Функции (х), ...
..., фт (х) всегда можно loc G дополнить до системы п обратимых
функций, например приняв фт+1 = xm-^it ..., фп = хп. Тогда,;
совершив замену переменных, получим для ассоциированного опера-
тора выражение
U (ж) — Fr (xv ..., х^ F • • • + Fm (xlt ... a xm) F
+ Fm+l (x) --F Fn (x) .
oxm-rl oxn
Система (4.1) соответственно перейдет в систему (4.6). Следователь-
но, возможность преобразования системы во всей области G зависит
от того, удастся ли подобрать такие функции фт+1, ..., фп, которые
вместе с совокупностью Q образовали бы функционально незави-
симую систему во всей области G.
В общей ситуации для нахождения интегралов уравнения X/ =
= 0 требуется решение системы уравнений более низкого порядка,
чем исходная. Приведем необходимое в дальнейшем определение.
Говорят, что оператор U допускает оператор X, если скобка Пуас-
сона [U, X] линейно связна с оператором U, т. е.
[Ui X] = соо (х) U, (4.7)
где со0 (ж) — некоторая известная функция.
Теорема 4.3 (С. Ли). Если уравнение (4.1) допускает однопарамет-
рическую группу (4.2), то порядок системы уравнений loc G может
быть понижен на единицу. Для нахождения приводящего преобразо-
вания требуется решение системы дифференциальных уравнений
порядка п — 1.
Доказательство. Разрешим уравнение U/ = О относи-
тельно какой-либо производной д!дх,, отдавая предпочтение той,
при которой коэффициент оц (ж) 0 ни в одной точке области G.
По крайней мере, это можно сделать loc G. Будем считать, что соп(ж) #=
#= 0. Тогда U = (оп U, где
U = -°— + -А_ 4- ••• -F -0)-— —-
дхп «п дх1 “п дхп-\
Непосредственной проверкой легко убедиться, что оператор U
допускает оператор X и имеет место тождество (4.7), где соо (х) =
1 — —
= — (X—п)соп. Но оператор U всегда допускает оператор а (х) U, где
36
a (x) — некоторая произвольная функция, и поэтому допускает сум.
му операторов а (х) U + X. Выберем коэффициент а (х) = —/п (ж)
так, чтобы в X исчезла производная д/дхп, и обозначим X —
= —(х) U + X. Построенный таким образом оператор коммутирует с
tj, т. е. [U, X] = 0. Оператор X называется приведенным и имеет вид
x = ai(*)-^- + +
со- (z) ---
где аг (х) = ft (х) — fn (х) } , i = 1, п.
Интегрирование уравнения X/ = 0 сводится к нахождению
общего решения системы дифференциальных уравнений порядка п —1
-^- = ... = dx^Tl = dt.
«1 (ж) °n—1 (х)
Переменную хп следует считать параметром. Пусть и2 (х), ...
..., izn—1 (ж), ип (х) = хп — независимые loc G решения уравнения
X/ = 0. Дополнив их независимой функцией иг (х), совершим в X
замену переменных у; — щ (ж), j = 1, п. Оператор X перейдет в
оператор X = и (у) д!дуъ где v (у) — Хи± (х) (см. § 3). Пусть w (у) —
решение уравнения и (у) (dwldy^) — 1. Обозначим уг — w (у) =
=w(iiy (х), ..., ип(х)). В переменных у1г у2, Уп оператор Х-д/ду^.
Запишем оператор U в этих переменных:
u = ••• + ^G/)-^.
Из тождества —, U = 0 следует, что дау^;ду1 = 0, и коэффи-
L дУ1 J
циенты coj (у) не зависят от переменной уг. Вследствие этого исход-
ная система (4.1) распадается на две подсистемы
= “1 (^2> • •« Уп);
d - dvn ~ (4‘8)
dt — (z/г» • • • « УпЬ • • • » ~ ®п (z/г» • • • ж Уп)"
Система (4.8) порядка п — 1 интегрируется независимо. После ее
интегрирования переменная у1 находится в квадратурах.
Если имеются две однопараметрические подгруппы с оператора-
ми Xj, Х2, относительно которых система (4.1) инвариантна, т. е.
выполняются соотношения [U, Х3] = 0, /= 1, 2, то из тождества
Якоби (см. формулу (1.6)) следует, что однопараметрическая под-
группа с оператором [Хг, Х2] также оставляет систему (4.1) инвариант-
37
ной. Последовательно выполняя операции вычисления скобок Пуас-
сона, придем к некоторой полной системе операторов {Х1г ..., X?п}
т
[Хъ Х3] = S
П=1
коммутирующей с U. Эта система порождает алгебру Ли 93г € 95*
которой соответствует подгруппа @ группы (93). Число линейно
несвязных операторов в алгебре 93, не превышает п — 1. Более
точный результат устанавливается следующей теоремой.
Теорема 4.4. В области Но G существования первых интегра-
лов системы (4.1) имеется п — 1 линейно несвязных операторов,
коммутирующих с U.
Доказательство. Пусть х = <p (t, у) (здесь t = t — t011
у = colon || yt, ..., yn_j || — произвольные постоянные) — общее ре-
шение системы (4.1). В области Но функции <p (t, у) = ж разрешимы
относительно переменных ..., yn—i, I'
у; = Vj (х), /=1, п — 1, t = w (х).
Применяя их в качестве новых переменных, находим, что оператор
U принимает особенно простой вид: U == d/dt. С этим оператором ком-
мутируют несвязные операторы д!ду1, ..., didyn^t.
Обозначим через S3 (U) максимальную подалгебру коммутирую-
щих с U операторов, порожденную п — 1 несвязными операторами
Xj, ..., Xn_j. Знание некоторой подалгебры 93, £ S3 (U) с базисом
Xj, ..., Xm (т <Z п) облегчает интегрирование исходной системы.
Будем считать, что операторы Х„ ..., Хт уже приведены:
Xj = а1} (х) ап-и (х) / = 1, т.
т
Скобка Пуассона двух операторов [Xj, ХЛ = с<3- (х) Xh также ком-
_ h=1 _ _ _
мутирует с U. Подстановка этой скобки в тождество [U, [Х<, Х,П = О
приводит к равенствам Ucjj (х) = 0. Таким образом, коэффициенты
су (х), i, j, h = 1, т, которые определяются чисто алгебраическими
действиями, являются либо постоянными, либо интегралами уравне-
ния U/ = 0. Предположим, что среди этих функций имеется q неза-
висимых интегралов: ф, (х), ..., ф9 (х). Эти интегралы можно раз-
множить при помощи операторов Х<, т. е. функции Х<ф, (х) —
также интегралы уравнения U/ = 0. Будем считать, что совокупность
ф (ж) = {ф, (ж), ..., ф9 (ж)} полна относительно операторов из
93,. Выбирая интегралы совокупности ф (ж) в качестве новых пере-
менных и дополняя их независимыми функциями до п функционально
независимых, приведем, как нетрудно заметить, операторы U, Ху
к виду (для упрощения записи используем те же обозначения пере-
менных)
й = -^- + М*)-^+ ••• +Ьп^(х)^—
ОЖП °Х' 0Xn-q-l
— д д . ---- (4'9)
= СЦ (X)~Q^ F • • • + СП—l,j (X) ~g^ , ] = 1, m-
Операторы U, X3- по-прежнему коммутативны, и из тождеств [U,
Xj] = 0 легко получается, что
Ucn-gj (х) S 0, ..., Uc„_i J (х) = 0.
Таким образом, функции cn_9j (х),..., cn—i,j (х) — либо интегралы,
либо постоянные. Если среди них имеются независимые от совокуп-
ности ф (ж), то указанную процедуру следует повторить. Предполо-
жим, что данный алгоритм применен нужное число раз и дальней-
шие операции не приводят к появлению новых интегралов в совокуп-
ности ф (х). Тогда коэффициенты операторов (4.9) — функции ин-
ТвГраЛОВ Хп—q^ •
Введем новые операторы Z = colon || Zn Zm ||t определяемые
из уравнений
Z = И, X = colon || Xj, ..., Xm J. (4.10)
Здесь матрица & = || ру ||, t, j = 1, zn, имеет размерность т X т.
Вектор X представим в виде
Хт
С11 • • • <2—1 g • • • й,п—1
(4.11)
• • • Ст,Т1—д—1 ^mtn—q • • • —1
где дг — colon || d!dxlt ...„ d!dxn_i ||.
Выражение (4.11) подставим в соотношение (4.10) и определим
матрицу из условия
Р11 • • • Р1ЭТ1 С1,П—q • • • ^4*71—1
== 0, det 0.
(4.12)
pml • • - ртт C?n,n—q • • • Стп.п—1
Если указанный выбор матрицы f? возможен, то в операторах Zj
коэффициенты при производных d/dxn_q, д/дхп—t равны тожде-
ственно нулю и запись этих операторов соответственно упростится:
г» , . д . . , . д
^3 Qli ~qZ F ’ “Ь 9—1,3 (Х) •
oxl oxn—q—l
Остальные коэффициенты — это функции от интегралов xn—Qfl ...
..., жп_1, и поэтому они по-прежнему перестановочны с U. Так как опе-
раторы Zj получены иэ Ху чисто алгебраической операцией, то будем
называть их алгебраически приведенными.
Замечательной особенностью приведенных операторов Z,, 7 = 1, zns
является то, что они образуют конечномерную алгебру Ли 83/. Коэффи-
циенты этих операторов не содержат переменных xt, xn—q—i, и
39
поэтому в тождестве
7П
[Z{, Z;] = S h'ifa
1=1
коэффициенты h\j — функции xn_q, xn—t, т. e. постоянные. По-
лученный результат можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 4.5 (С. Ли). Если уравнение (4.1) допускает группу
преобразований @i € (S, которой соответствует алгебра 33х,
порожденная операторами Хп ..., Хт, то чисто алгебраическими
операциями может быть найдено 0 интегралов уравнения
U/ = 0, и изучение структуры оператора U сведется при выполнении
условий (4.12) к исследованию структуры конечномерной алгебры
Ли 83/, порожденной алгебраически приведенными операторами Z,,...
...» Zm.
Значение сформулированной теоремы состоит в том, что исследо-
вание вопроса о выделении в конечномерной алгебре 83/ идеалов
и, следовательно, выяснение возможности расщепления уравнений
(4.1) может быть проведено чисто алгебраическим путем.
Рассмотрим полную систему дифференциальных уравнений в част-
ных производных первого порядка U/ = О, Z;/ = 0, 7 = 1, т.
Эта система содержит т 4- 1 уравнений от п — q переменных. Если
т -J- 1 < п — <7, то можно найти (п — q) — (т -j- 1) — п — (т -)-
+ q 1) ее интегралов. Причем придется интегрировать системы
обыкновенных дифференциальных уравнений порядка не выше п —
— (т 4- q + 1).
Пример 4.1. Рассмотрим однопараметрическую группу вращения
ж, = exp (sW) art; х2 = exp (sW) хг
(4.13)
w 8 8
где W = ж„ —------х. —----
2 дхг 1 дхг
мы второго порядка
и установим общий вид дифференциальной систе-
= Л to, = to- (4.14)
инвариантной относительно групп преобразований (4.13). Согласно теореме
4.1 оператор
U — Fl to- Х%) b Fz to- Х2> ’
ассоциированный с системой (4.14), должен удовлетворять соотношению
[U, W] = 0. (4.15)
После подстановки значений W и U в уравнение (4.15), выполнения всех
вычислений и приравнивания коэффициентов при производных д/дх^ д!дх2 при-
ходим к системе дифференциальных уравнений в частных производных
UF, = Fg, UF2 = -Fi. (4.16)
Найдем вначале частное решение системы (4.16) в классе линейных функций,
полагая
/"г = 4- alzxa, F2 = a2ixi 4- ^22^2* (4-17)
40
||®ii W12|lj 0 * |1
l®2i ®22llll—1 °И
Подстановка значений (4.17) в уравнения (4.16), как нетрудно убедиться, при-
водит к матричному уравнению
О 1 |11 аи а12
— 1 ОIII а21 я2а
Это уравнение имеет два независимых решения:
II1 °|| II 0 1II
л==||о 1И’ —II—1 о|г
которым соответствуют дифференциальные операторы
Определитель, составленный из коэффициентов операторов (4.18), имеет вид
х, х, I . о
= -(*( + *2),
х2 I
и, следовательно, в области G, не содержащей точки xt == х2 = 0, эти операторы
линейно несвязны. Поэтому общее решение уравнения (4.15) будем искать в виде
U = а,Е + a2W. (4.19)
Подставим сумму (4.19) в уравнение (4.15). В результате получим
[U, W] = — WaJ- — WaaW — a, [W, E] — a2 [W, W]=0. (4.20)
В силу тождеств [W, EJ г 0, [W, W| = 0 и линейной несвязности операторов
Е, W из соотношения (4.20) следует
Wa,=0, Wa2 = 0. (4.21)
Так как уравнение W/ = 0 имеет частное решение р = х| -|- х|, т0 на осно-
вании (4.21) а, и а2 — произвольные функции xj + xj. Таким образом, установ-
лен общий вид оператора, коммутирующего с оператором W:
U = а, (х, -j- xj) Е + аа (xj + xj) W.
Этот оператор также можно представить в виде
U = Е + F (xj -J- х|) W, (4.22)
где F — произвольная функция из D (G).
Восстанавливая по оператору U систему обыкновенных дифференциальных
уравнений, для которой он является ассоциированным оператором, получаем
общий вид системы (4.14):
= Х1 + x2F <xi + = + х2 — xiF <xi + г2)> (4.23)
инвариантной относительно группы вращений (4.13).
Обратимся теперь к упрощению системы (4.23), достигаемому за счет знания
группы инвариантности. Во-первых, известно решение (>, = xj + xj уравнения
W/ = 0. Чтобы найти вторую функцию для замены переменных, решим неод-
нородное уравнение
Wp = 1. (4.24)
Функция v обладает тем замечательным свойством, что оператором U она
переводится в функцию от р = xj + xj. Действительно, рассмотрим тождество
UW = WU и воздействуем на функцию v (х) операторами, стоящими справа и
слева: UWo (х) == WUp (х); так как Wu(x) = 1, то левая часть тождества
равна нулю и, значит, WUp (х) se 0, откуда следует доказываемое утверждение.
В качестве решения уравнения (4.24) примем функцию v — arctg (xj/x^. Совершим
41
в системе (4.23) замену переменных уг = И + х2, ys = arctg (xjx^. За-
пишем оператор (4.22) в новых переменных:
(4-25)
По оператору (4.25) легко восстанавливается система (4.23) в новых переменных:
dVi ... dV*
~dT = Vi' ~dT = F^-
Таким образом, система распалась на две последовательно интегрируемые
подсистемы.
Теория С. Ли инвариантности дифференциальных уравнений,
построенная на основе теории инвариантов продолженных операто-
ров (см., например, работы [1, 96]), позволяет находить операторы
X, допустимые для оператора U, т. е. для которых выполняется со-
отношение (см. формулу (4.7))
[U,; X] = XU. (4.26)
Если коэффициенты оператора U не обращаются в нуль одновре-
менно в некоторой точке х из области G, то, по крайней мере локально,
в окрестности V (х) £ G этой точки по оператору X всегда можно
построить оператор Хо, коммутирующий с U, т. е. для которого спра-
ведливо тождество [U, Хо] == 0. Действительно, представим оператор
Хо в виде суммы Хо = X + а (х) U. Подставляя значение Хо в урав-
нение [U, Хо] = 0, получаем
[U,; X0]= [U, X] + U«U + a [U, U] = W 4- UaU = (X + U«)U = 0.
Следовательно, функция а (х) подбирается в виде решения неод-
нородного уравнения Ua (ж) = —X (ж). Это уравнение при сделанных
предположениях всегда разрешимо в области V (х).
Пример 4.2. Система уравнений
dxi _ г( xi . ^а _ 4 м 27)
dt \ х2 J* dt
где F (U) — однородная функция от [7, не является инвариантной относительно
группы перспективных преобразований
xl = ехр (sX) х±, х2 = ехр (sX) ж2,
где
V д д
Однако оператор
ассоциированный с системой (4.27), допускает оператор X. Как легко проверить,
имеет место тождество [U, X] = Uo. Найдем решение неоднородного уравнения
Un = 1. Это уравнение, как известно, можно заменить уравнением
F ( xi \ df । в{ 8i -.0.
\ х2 / dxt "г" дх2 dv
42
Оно имеет частное решение / = х2 + v, и, следовательно v = —xt. Оператор
Хо представим в виде суммы:
Следовательно, исходная система (4.27) инвариантна относительно группы пре-
образований
xl = exp (sX0) Xi; х2 — exp (sX0) х2,
где оператор Хо выражается формулой (4.28).
Нахождение операторов X, перестановочных с U, является в об-
щем случае задачей, по сложности сопоставимой с интегрированием
исходной системы дифференциальных уравнений (4.1). Поэтому ап-
парат теории алгебр и групп Ли становится эффективным, когда
допустимые операторы найдены из дополнительных условий, напри-
мер геометрических. Тем не менее указанный аппарат дает эффектив-
ное средство для исследования в общей теории дифференциальных
уравнений. Теория групп и алгебр Ли стала самостоятельной тео-
рией и находит широкое применение в физике^ механике и других
дисциплинах.
ГЛАВА 2
ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРИВОДИМОСТЬ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ обыкновенных дифференциальных уравнений
С ПЕРЕМЕННЫМИ коэффициентами
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение, представ-
ленное в матричной форме:
где Y — искомая матрица фундаментальных решений; Л (t) — мат.
рица, элементами которой являются действительные функции ац (£)
= 1, п, непрерывные на сегменте действительной оси [t0, tj. При-
мем, что Y (t0) = Л.
Найдем условия, при которых существует постоянная неособен-
ная матрица S с элементами из поля комплексных чисел К такая,
что после замены переменной Y = SZ система (1.1) принима-
ет вид
-f- (1.2)
где матрица коэффициентов (t) S имеет либо квазитреугольную
(треугольную) структуру
c/Zll (0 е/?12 (0 • • • e/Zlm (0 g— • • • (0 • • • t/tZm (^) в (1-3)
• •• ••• ••• Лтт (^) либо квазидиагональную (диагональную) структуру Ли (0 0
о
Лтт (t)
(Ла (i)> i = it m,— блоки размерностей ...» пто). Систему (1.1)
назовем в этом случае соответственно алгебраически приводимой
или вполне приводимой.
44
Частным случаем полной приводимости является тот, когда в
матрице один из приведенных блоков — нулевой:
s-MWs-|-V> 0°|,
где (t) — матрица размерности к X к. Будем говорить, что в этом
случае система (1.1) допускает уменьшение числа переменных на
п — к единиц.
Образуем совокупность о = [Да | Да = Л («), а € 1^о> М} по-
стоянных матриц. Пусть среди них имеется линейно независимых
над полем Р: о0 = {Ли • ••> Ль,}- Ясно, что hx ограничено сверху
числом п2. Далее, вычислим всевозможные попарные произведения
совокупности о0: Ль Ль г, 7 = 1> и дополним совокупность о0
новыми линейно независимыми матрицами, если таковые имеются.
Пусть, например, Л^+ь ..., Лл2 линейно независимы от совокупнос-
ти о0 и между собой. Образуем совокупность о1 = (Л1> •••> Лл,> «7?л,+1, •••
..., Лй2) и применим к ней те же вычисления. После конечного чис-
ла шагов придем к некоторой максимальной системе линейно неза-
висимых матриц
Л1,....«Лд, (1.4)
которую уже нельзя расширить за счет вычисления различных конеч-
ных произведений. Совокупность элементов вида
U — а1Л?‘ • • - Лй + • • • + плЛ^1 • • • Лл >
где аг, ..., аь С Р, «1 ...» ah, ..., цг, ..., С Z+, образует конеч-
номерную ассоциативную алгебру над полем Р. Будем обозначать
эту алгебру Й и называть обертывающей алгеброй для системы (1.1).
Приведем точное определение таких алгебр и необходимые для
дальнейшего сведения.
Определение 1.1. Множество элементов Q, в котором для
любых двух элементов a, fe g Q однозначно определены сумма а +
+ b £ Q и произведение а • b g Q, называется кольцом, если вы-
полняются следующие аксиомы:
I. Ассоциативность сложения: а -|- (Ь 4- е) = (а -|- b) -|- с (1);
коммутативность сложения: а b — b а (2) и разрешимость урав-
нения а -р х = Ъ для всех а, Ъ £ Q, х Е Й (3).
II. Ассоциативность умножения: a (be) = (ab) с.
III. Дистрибутивность: а (Ь -{- с) — аЪ + ас (1) и (Ь + с) а =
— Ьа + са (2).
Определение 1.2. Если кольцо Q наряду с элементом а
содержит также все элементы а • а, где а — произвольный элемент
поля Р, то оно называется алгеброй.
Таким образом, элементы алгебры Q могут быть представлены
суммами (в общем случае бесконечными)
« = ••• 4-аЛ«Л (1.5)
и по сложению образуют линейное пространство. Если число линей-
но независимых элементов в алгебре Q конечно и, например, базис
45
составлен из элементов ап ...ж ад, то формула (1.5) представляет об-
щий элемент алгебры Q. Число h элементов базиса будем называть
рангом обертывающей алгебры для системы (1.1).
Пр и м е р 1.1. Рассмотрим полную матричную алгебру Яп. Обозначим
через матрицу n-го порядка, у которой на пересечении i-й строки и j-й колон-
ки стоит единица, а на остальных местах — нули. Легко проверяются соотно-
шения ^i^ik = О, 7 ¥= I- Следовательно, имеется п2 линейно
независимых над Р элементов i, j = 1, п, которые образуют базис алгеб-
ры Общий элемент этой алгебры представим матрицей Jh = V где
i,fe
aik — произвольные элементы поля Р.
Проверку выполнимости аксиом I—III определения 1.1 легко осуществить
несложными вычислениями. Алгебра называется полной матричной алгеб-
рой. Ее ранг равен п2.
Введенная выше алгебра Й либо совпадает с либо составля-
ет ее правильную часть: Я' с йп, т. е. является подалгеброй полной
матричной алгебры. Ниже изучаются главным образом алгебры,
элементами которых являются матрицы или матричные алгебры.
Определение 1.3. Матричную алгебру St назовем вполне
приводимой, если существует постоянная неособая матрица S, ко-
торая одновременно приводит все базисные элементы Л1г ..., <Ан
алгебры St ранга h к квазидиагональному виду
«4? о
j = 1, h.
(1.6)
О
v c/inwi
Алгебру $ назовем приводимой, если имеет место приведение ба-
зиса к квазитреугольному виду
(1-7)
здесь е • • -, dL € v, + • • • + vm = h’
Частным случаем вполне приводимых матричных алгебр будет
тот, когда матрицы можно представить в виде
s~\A;S =
Л ° |
о о 1
(1.8)
где Л-- — матрица размерности к X к.
Будем говорить, что в этом случае алгебра Й допускает пред-
ставление матрицами к X к, к <Z п.
Сделаем следующее замечание. Если все матрицы совокупности
46
а0 одновременно приводятся к квазитреугольному (квазидиагональ-
ному) виду, то и базисные матрицы (1.4) также приводятся к анало-
гичному виду. Действительно, если две матрицы и алгебраиче-
ски приводимы, т. е. и имеют одинаковую квазитре-
угольную (квазидиагональную) структуру, то и их произведение
8~1Л\В • имеет ту же структуру. Окончатель-
ное утверждение следует из описанного выше способа получения мат-
рицы (1.4).
Теперь легко сформулировать условия алгебраической приводи-
мости исходной системы (1.1) в терминах алгебры Я.
Теорема 1.1. Для того чтобы система линейных дифференциаль-
ных уравнений с переменными коэффициентами (1.1) была вполне
приводима (приводима), необходимо и достаточно, чтобы была
вполне приводима (приводима) обертывающая матричная алгебра
Я системы (1.1).
Доказательство. Пользуясь линейной независимостью
элементов базиса (1.4) алгебры Я, можно представить матрицу ко-
эффициентов Л (t) в виде суммы Д («) = ах («) Л\ + ... + ab, (t)
где (£), ..., аь, (i) — известные скалярные функции.
Если алгебра Я приводима, то приводима и матрица Л (б), т. е.
имеют место соотношения (1.2), (1.3). Справедливо также и обратное
утверждение.
Всюду в дальнейшем будем (для краткости) говорить просто об
алгебраической приводимости, подразумевая под этим либо квази-
треугольную,; либо квазидиагональную структуру приведенных
матриц.
Докажем следующую основную теорему об алгебраической при-
водимости.
Теорема 1.2. Для того чтобы система линейных дифференциаль-
ных уравнений с переменными коэффициентами (1.1) была алгебраи-
чески приводима, необходимо и достаточно, чтобы ранг h обертываю-
щей алгебры Я системы был меньше п2, т. е. выполнялось строгое
неравенство h < п2.
Необходимость условий теоремы сразу следует из структуры при-
веденных матриц (1.6) или (1.7). Так как сумма и произведение таких
матриц также являются матрицами аналогичной структуры, то
линейно независимых элементов в алгебре Я будет меньше п2. Для
доказательства достаточности потребуется ряд вспомогательных
определений и утверждений из теории конечномерных ассоциативных
алгебр. Метод доказательства будет состоять, по существу, в указа-
нии алгоритма построения приводящей матрицы S.
Следует установить таких два фундаментальных факта:
1) полная приводимость системы (1.1) имеет место тогда и только
тогда, когда обертывающая алгебра Я полупроста;
2) система (1.1) приводима тогда и только тогда, когда обертыва-
ющая алгебра Я содержит некоторую подалгебру, называемую ра-
дикалом.
Если даны два множества и Я2 и элементы «j Е Ях и a2 Е
Е Я21 то множество всех элементов аха2 будем обозначать ЯХЯ2.
47
Определение 1.4. Если часть Ях элементов Я (Я\ с: Я)
сама составляет алгебру^ то она называется подалгеброй ал-
гебры Я.
Таким образом, условие, заключающееся в том, что подмножест-
во образует подалгебру, можно сокращенно записать как
5?!®! CZ Я,.
Определение 1.5. Если подалгебра Яг обладает тем свой-
ством, что элементы из Ях, умножаемые справа (слева) на элементы
из Я, дают опять элементы из, • fic®! (Я • Я, с Ях), то
подалгебра называется (левым) идеалом алгебры Я. Если же соб-
людаются оба условия, то Я, называется двусторонним идеалом.
Рассмотрим множество элементов из St, перестановочных со
всеми элементами алгебры Я? : ЛХ = ХД, Л g Я. Очевидно, что для
двух матриц 95 г и 582, перестановочных с элементами Я, также выпол-
няются соотношения
Л(^1±®2) = (^1±^2)Л, =
Множество перестановочных элементов будем обозначать буквой 3-
Это множество образует подалгебру (но в общем случае не идеал)
подалгебры Я, называемую ее центром.
Любой элемент центра € 3 может быть разложен по базису:
Зв ~ aicA + ••• + ah<Ah- Если Й?, £3» то 339/\^= так как =
s 1 = 1, h. Следовательно, элементы центра перестановочны
между собой. Другими словами, центр 3 — коммутативная алгебра.
Пример 1.2. Рассмотрим полную матричную алгебру из примера 1.1.
Совокупность элементов (строка матрицы общего элемента) Ri = {У;1, ^i2, ...
..., ^in}, i — I, п, образует, как легко проверить, правый идеал. А совокупность
элементов (столбец матрицы общего элемента) Lj — (®;), ^2» •••» i = 1.
образует левый идеал. Эти идеалы простые, так как не содержат никаких
подидеалов. Вместе с тем, полная матричная алгебра Яп не содержит двусторон-
них идеалов, не совпадающих с самой алгеброй. Действительно, допустим про-
тивное: существует двусторонний идеал Я, Обозначим через М общий элемент
этого идеала: М = V С К. Предположим, что хотя бы один коэффи-
ьэ
циент в этой сумме, например отличен от нуля. Тогда в Я будет содержать-
ся также элемент
1 1
-----1 = ^fts,
i'i‘-i'j' i,i
где к и s — значения индексов. Это показывает, что Я совпадает с Яп.
Единственными элементами центра полной матричной алгебры Яп являются
матрицы, кратные единичной, т. е. Кё, а £ К. Действительно, если предполо-
жить, что существует матрица % = перестановочная с любым элемен-
йз
том алгебры Яп, то получим
п п
= Xi = X aiv^n’
3=1 7=1
48
Приравнивая эти два соотношения, находим avv = ацц, = 0, / =# р, a-v sa
s 0, j =# v, v, р = 1, п. Следовательно, % = №.
Перейдем к рассмотрению важнейших подалгебр алгебры й.
Матрица Л называется нильпотентной, если существует показатель
а £ Z+, такой, что Ла s 0. Как известно из курса алгебры, а п.
Легко доказывается следующее утверждение.
Теорема 1.3. Матрица Л нильпотентна в том и только в том слу-
чае, когда все ее характеристические числа равны нулю.
Определение 1.6. Алгебра Й называется нильпотентной,
если произведение ее любых а элементов равно нулю.
Если все элементы алгебры й нильпотентны, то она называется
слабо нильпотентной. Для конечномерных алгебр понятия слабо
нильпотентная алгебра и нильпотентная алгебра совпадают в силу
следующего утверждения.
Теорема 1.4 [116, с. 25]. Всякая слабо нильпотентная алгебра
конечного ранга нильпотентна.
Определение!.7. Элемент Л £ S3 называется идемпотентом^
если выполняется условие S2 = Л.
Приведем без доказательства следующую теорему.
Теорема 1.5 [116, с. 27]. Если алгебра й не нильпотентна, то она
содержит идемпотент.
Пусть матрица Л задана элементами «,3-, I, j = 1, п. Тогда следом
матрицы Л называется сумма элементов, стоящих на главной диаго-
нали tr Л == аи + «22 + ••• + а™. След матрицы Л равен сумме
ее характеристических чисел, т. е. tr Л — + ••• + "б-п, и обладает
следующими свойствами: tr (Л + S3) = tr Л + tr S3, tr ЛЗЗ = tr ЗЗЛ.
Пользуясь понятием следа, можно доказать следующее утверждение.
Теорема 1.6 [116, с. 29]. Для того чтобы алгебра й была ниль-
потентна, необходимо и достаточно, чтобы для элементов ее ба-
зиса Ли Ль имело место равенство
1гЛ1 = °, •••• ПЛл = 0. (1.9)
Определение 1.8. Назовем собственно нильпотентными
нильпотентные матрицы X, для которых матрицы ХЛ и ЛХ при
всяком Л из Я’ нильпотентны.
Теорема 1.7 [116, с. 31]. Чтобы матрица Л, Л1 € была соб-
ственно нильпотентна, необходимо и достаточно соблюдение для всех
элементов Л, базиса равенств
1Г(ЛЛ^<\ j=^h. (1.10)
Если условия (1.10) выполняются для матриц Л и S3, то они выпол-
няются и для матрицы Л ± S3. Рассмотрим произведение произ-
вольной матрицы X С Я на собственно нильпотентный элемент Л-
Пусть ХЛ1 раскладывается по базису ХЛ1 — (Зц Л1 + ••• + ^ньЛь,
тогда tr (ЛХЛ^ = Ри tr ЛЛ1 + •••+ Рю tr ЛЛь s 0. Аналогич-
но убеждаемся, что tr (ДЪХЛ) ss 0. Следовательно, совокупность
всех собственно нильпотентных элементов алгебры й образует ее
двусторонний идеал. Его нильпотентность следует из теоремы 1.4.
4 7—1641
49
Этот идеал носит название радикала алгебры ft. Будем обозначать
его ЗГ. Полученный результат сформулируем в виде утверждения.
Теорема 1.8. Совокупность собственно нильпотентных элементов
алгебры ft образует нильпотентную подалгебру, являющуюся дву-
сторонним идеалом алгебры ft.
Существует эффективный алгоритм нахождения элементов ради-
кала. Пусть для матрицы Л имеет место разложение
Л = + • • ’ + ^ьЛю (1.11)
Подчиним элемент матрицы Л условиям (1.10). Получим следующую
систему линейных однородных алгебраических уравнений:
1г(Л1Л1)а1 + 1г(Л2Л1)«2 + ••• +1г(<ЛлЛ1)ал = °:
1Г (e/Zlc/Za) а1 + tr (e/Zac/Zs) а2 + 4“ tr (ЛьЛз) ah = (1.12)
• ••«•••• • « ••••«•#••••••••••••
tr (ЛиАь) <Х1 4- tr (ЛзЛь) «2 + ' • • 4- tr (ЛьЛь) Uh = 0.
Всевозможные решения зтой системы дают собственно нильпотент-
ные матрицы Л алгебры ft. Система имеет отличные от нуля решения
тогда и только тогда, когда ее определитель (дискриминант ал-
гебры ft)
1г(Л1Л1) trUa^) ... trU/^i)
г._ ^(Л1Лг) tf (Л2Л2) ••• lr(e/ZhcZZ2)
К(Л1Ль) ШМ ...
равен нулю.
Определение 1.9. Если алгебра не содержит отличного от
нуля радикала, то она называется полупростой алгеброй.
Приведенные выше результаты сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1.9. Чтобы алгебра ft была полупростой, необходимо и
достаточно, чтобы ее дискриминант был отличен от нуля.
Приведем основной результат об алгебраической приводимости
обертывающей алгебры ft.
Теорема 1.10. Если обертывающая алгебра ft ранга h <Zn2 не
является полупростой, то она приводима к квазитреу вольному виду
(1.7). Справедливо также обратное утверждение.
Доказательство. Достаточность. Предположим, что ал-
гебра ft сама не является нильпотентной, т. е. ее радикал 2Г не сов-
падает с ft, а составляет ее правильную часть: € ft . Наличие ра-
дикала означает, что дискриминант D алгебры равен нулю. Пусть
общее решение системы (1.12) зависит от т произвольных постоянных,
например а1г..., аот. Тогда
== 4- * * • 4-
CCh — ah,lai 4- ••• 4" dh,mam-
Подставим значения ат+1, ..., ац в формулу (1.11) и перегруппируем
слагаемые?
Л ~ I 4- *•* 4"am/Vm. (1.13)
50
Матрицы ...,, Лт являются базисными для радикала и извест-
ным образом выражаются через базис Ли ..., Ль- Матрица Л (1.13)
при произвольном выборе коэффициентов cq, ..., является соб-
ственно нильпотентной. Обозначим через Lx подпространство из
R", аннулируемое общим элементом радикала ?Г: = (%1Л£ — О»,
g g R", ап ..., ат g Р). В подпространство Lt входят те векто-
ры, которые являются решениями системы уравнений =0, ...
...3 #та?= 0.
Далее, вводим подпространство L2 — {£ | Л2% — Q, £ € R*\
(Xj, ..., ат £ Р). В подпространство L2 входят те векторы, которые
являются решениями системы уравнений = 0, I, j = 1, т.
Очевидно, что cz L2. По индукции определим подпространство
Lj = U = 0» £ €Rn, «1> ат€Р}. В подпространство Lj
входят те векторы, которые являются решениями системы уравнений
#i’... = о, Pi + ...+ pm = 7, р1; ...Л pm е z+ Так как ал-
гебра 2Г нильпотентна, то существует число а п такое, что Л? s
= 0 и, следовательно, La = R”. Примем Lo == 0. В итоге построена
цепочка подпространств 0 s= Lo cz Lt cz L2 cz ... az La = R”, при-
чем .NiLj az Lj—i, i = 1, m, j = 1, a.
Те элементы алгебры ft, которые не входят в радикал <Г, пере-
водят подпространства Lj, у = 1, а, в себя. Действительно, если
S Cft, 2Г, то ЛiS3 , i = 1, т. Разложим по базису 2Г:
= an#! + • • • + UlrnNm- (114)
Воздействуем на векторы подпространства Lj матрицей (1.14). В ре-
зультате получим
ffiSSLj=Q) (mod Lj_i), i = i, m. (1.15)
Из тождеств (1.15) следует доказываемое утверждение Lj.
Приведение матриц Ли •••, Ль базиса к квазитреугольному виду мож-
но осуществить поэтапно. Выберем базисные векторы ^г, ..., под-
пространства в качестве первых столбцов матрицы Su det 7^
0. В итоге получим
Лз$1 л '(,•) .1 ] — 1» "ST #iS-L —
II 0 Л22 II * * * * * * * *
II о || -___
= , i=l, т. (1.16)
|| о
Здесь Лл\ — матрица размерности X vv В силу (1.15) для послед-
них п — координат векторов rj' = <S’i-1T] £ STlL2, линейно незави-
симых над и матриц Л^г j — 1., h, получаем тождества
#22)с/?22)т)/ 33 Qf i = i, mf j = 1, h. Следовательно, верны все рас-
суждения, приведенные выше. После конечного числа шагов мат-
рица Л (I) преобразуется к квазитреугольной матрице (1.7).
4* 51
Если теперь предположить, что радикал совпадает с алгеброй
ft, то базис ft будет состоять только из матриц i = 1, h. Но толь-
ко что было показано, что эти матрицы также приводятся к квази-
треугольному виду (1.16).
Необходимость. Матрицы
о д®
оо А
оо о ... ^_1>т
0 0 о ... о
полученные иэ приведенных матриц (1.7) подстановкой в них на ква-
зидиагонали нулей, дадут часть собственно нильпотентных элемен-
тов радикала. Вычислением произведений по ним можно построить
радикал алгебры ft1 и найти базисные элементы Д\, ..., Д"т.
Перейдем к изучению вопроса о полной приводимости алгебры
ft. В силу теоремы 1.10 следует считать, что эта алгебра полу-
проста. -
Теорема 1.11 [116, с. 34]. Полу простая алгебра $ всегда содержит
главную единицу <§0, обладающую свойством Л'&о — Л, ^ОсД = Л
для всех Л gft.
Главная единица обладает свойством = So, т. е. является идем-
потентной матрицей. Эта матрица имеет характеристическое число
1 кратности к и характеристическое число 0 кратности п — к. Глав-
ная единица <§0 является также матрицей простой структуры, т. е.
приводится преобразованием подобия к чисто диагональному виду.
Используя понятие главной единицы, докажем следующее ут-
верждение.
Теорема 1.12. Полупростая матричная алгебра ft с элементами
в виде матриц п-го порядка допускает представление матрицами
k-го порядка, к <2п, тогда и только тогда, когда главная единица
$0, представимая матрицей п-го порядка, имеет ранг к.
Доказательство. Достаточность. Матрица обладает
к собственными векторами = Ц/, j — 1, к, и п — к собственными
векторами ^огц = 0, i = к + 1, п. В силу перестановочности элемен-
та £0 с любым элементом Л алгебры ft указанные корневые подпро-
странства матрицы <§0 инвариантны относительно матрицы Л- Вы-
бирая векторы г)], ..., Цп в качестве столбцов преобразования S, при-
ведем элементы алгебры ft к виду (1.8). Необходимость легко следует
из вида матриц (1.8).
Введем понятие прямой суммы двух (и более) подалгебр. Пусть
ftx и ft2 — Два взаимно простых двусторонних идеала алгебры
ft. Совокупность элементов 58 + С, где 33 пробегает ftt и С пробегает
ft2, называется прямой суммой ftj 4- ft2. Легко доказать, что ftj 4-
4- ft2 составляет алгебру. Всякое произведение ЗЗС в силу двусто-
роннее™ идеалов ftx, ft2 содержится и в ftp и в ft2, а потому из-за их
52
взаимной простоты равно нулю. Точно так же СЗЗ = 0. В силу этого
произведение (33 + С) (331 + Сг) = 3333г + СС1, 33t 33х £ ftlf С,
Сг £ ft2, входит в 4- ft2» так как 3333^ £ ftlt СС\ С fta.
Теорема 1.13 [116, с. 36]. Если алгебра ft содержит двусторонний
идеал, ft, имеющий главную единицу, то ft распадается в прямую
сумму идеала ft и некоторого другого двустороннего идеала.
On ределение 1.10. Алгебра называется простой, если она
не содержит отличных от самой себя двусторонних идеалов.
Из этого определения следует, что простая алгебра может только
тогда иметь отличный от нуля радикал, когда она с ним совпадает,
т. е. когда она сама нильпотентна: ft = 2Г. В последнем случае су-
ществует число a g Z+ такое, что <Г“ = 0. Но 1 является двусто-
ронним идеалом алгебры 2Г. В силу предполагаемой простоты 2Г
следует потребовать = 2Г, откуда следует а — 2. Алгебра со
свойством 2Га = 0 называется нулевой. Если {1У\, ..., J\r п} — ее
базис, то линейная система {jV'1} порождает ее двусторонний идеал.
Так что нулевая алгебра может быть простой только в случае h = 1.
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 1.14. Всякая простая алгебра полупроста, за исключе-
нием нулевой алгебры ранга 1.
В дальнейшем изложении нулевые алгебры порядка 1 будем из
рассмотрения исключать.
Теорема 1.15 [116, с. 37]. Всякий двусторонний идеал полупростой
алгебры есть также полупростая алгебра.
Из сформулированных теорем следует такой важный результат
для полупростых алгебр.
Теорема 1.16 [116, с. 38]. Всякая полупростая алгебра ft может
быть разложена в прямую сумму простых алгебр. Это разложение
однозначно.
Ограничимся доказательством первой части теоремы. Если ал-
гебра ft не проста, то она содержит двусторонний идеал ftu кото-
рый по теореме 1.13 является полупростой алгеброй. Следовательно,
в ней согласно теореме 1.11 содержится главная единица и согласно
теореме 1.13 она разлагается в прямую сумму ftj и другого двусто-
роннего идеала ft2 : ft = ftt 4- ft2.
Если алгебры ft\ и fta не просты, то применяем к ним те же рас-
суждения. В итоге получаем разложение
ft = ft14-ft24- ••• +ftm, (1.17)
где ftlr..., ftm суть простые алгебры и ft, ft/ = 0 при i =# у.
Теорема 1.16 допускает обращение.
Теорема 1.17. Всякая прямая сумма простых алгебр, из которых
ни одна не нильпотентна, полупроста.
Пусть алгебра ft вполне приводима и имеет место разложение
(1.27). Разложим единицу алгебры ft по компонентам ft/:
8 = 8j + 82 + i — 1», т-
Из равенства 82 = 8, так как 8{8у = 0, i =# j, следует
Si -f- 82 + • • • + 8m = + 8а + • • • + 8m. (1.18)
53
Так как SfgSJjj то в силу однозначности разложения (1.18) долж-
но иметь место тождество = Sj, т. е. Я; являются идемпотентами.
Докажем, что являются главными единицами в алгебрах Й;, j —
= 1, т. В самом деле, пусть X С тогда ЗУ&. =s 0 j =£= j. Но —
(₽ /у» луэ
= Gut = ut, откуда
Д? + 1^2 + • • • + %т) = + ^2 + • • • + ^т) $ в
__ £ пр
— Gj * uV — uv .
Таким образом, доказано, что — главная единица в алгебре
Установим теперь связь между полной приводимостью матричной
алгебры й в смысле определения 1.3 и разложением алгебры Я в
прямую сумму идеалов.
Обозначим через п, ранг матрицы <§;, представляющей идемпотент-
единицу в алгебре Будем считать, что пг -j- п2 + • • • + пт = п.
Пусть Ti^g ...4 т|п'?, / = 1, т,— собственные векторы матрицы в
числе nj. Из условия следует, что столбцы и строки матри-
цы Л, составлены из ее собственных нулевых векторов. Эти векторы
аннулируются любой матрицей IФ j, Sirius 0, ..., 2Цт$?==О.
Теорема 1.18. Если полупростая матричная алгебра й ранга
п раскладывается в прямую сумму т простых алгебр ® 4-
4- 4- 4- то ее элементы неособым преобразованием S
приводятся к квазидиагоналъному виду
> л^ <1Л9)
Лтт
где Ли, Лж, •••> Лтт — квадратные матрицы размерностей nr X nlf...
..., пт X пт; nlt ..., пт — ранги матриц представляющих единицы
в подалгебрах столбцы матриц S составлены из последователь-
ности независимых столбцов матриц <§2, ...,
Справедливо также обратное утверждение.
Доказательство. Пусть Л — произвольный элемент алгебры
$ и имеет место разложение Л = Лх + Лг + • • • + Л™, Л? €
/ = 1, т. Тогда из тождества Л$з = &i<Ai следует тождество
%зЛз№ = Лз^к ЛЯй’» где nV’, & = 1» П; — собственные векторы
матрицы Другими словами, вектор Лз'№ также является собственным
вектором матрицы
Л Ял = Ям1]! "Г ••• + аЬп Дп;-
Запишем теперь тождество Л (^i + ••• + %т) = + Sm) Л 33
s Л1 + ••• + Лт и умножим его справа на вектор т]^:
Л (^1 + • • • + Tift s ЛМйJ s Л^'Пй \
54
т. е. вектор Л^ь является собственным вектором матрицы Дока-
зано, что линейное пространство, натянутое на векторы ...» Лп],
переводится матрицей Л в себя. Выбирая указанные п независимых
векторов в качестве столбцов матрицы преобразования >!?, получим
то, что требовалось доказать.
Докажем справедливость обратного утверждения. Пусть полу-
цростая алгебра ft составлена из квазидиагональных матриц (1.19).
По-прежнему, базис ft образуют матрицы Ли •••, <Ah- Рассмотрим
совокупность матриц
Лл = <Hag||0, ..., О, Лн» °,: ••• j °||( г = 1»
где Ллг, 1 — 1, h — квадратные матрицы размерностей щ X п{.
Эта совокупность матриц порождает подалгебру ft, алгебры ft,
являющуюся, как легко заметить, ее двусторонним идеалом. На ос-
новании теоремы 1.13 этот идеал является полупростой алгеброй.
Следовательно, ft распадается в прямую сумму (1.19).
Существует глубокая связь между структурой алгебры ft и ее
центра 3. Выясним сначала структуру матричной простой алгебры.
Теорема 1.19. Пусть простая матричная алгебра ft над полем
К имеет в качестве базиса матрицы
..., 33h (1.20)
размерности п X п, тогда единственным ее элементом центра яв-
ляется элемент Z = где — главная единица алгебры.
Доказательство. Если h = и8, то ft совпадает с полной
матричной алгеброй и g0 = g, где — единичная матрица размер-
ности п. Как показано в примере 1.2, в этом случае Z = 2Х
Пусть h < п2. Если главная единица то ее ранг к меньше
и и согласно теореме 1.12 матрицы 33j, j = i,h, приводятся к квази-
диагональному виду
— II о II
° — Q о ||«
где 33-} — матрицы порядка к X к.
Следовательно, не теряя общности рассуждений, можно сразу
положить, что элементы базиса (1.20) не допускают представления
матрицами меньшего порядка. В этом случае = g. Покажем, что
не существует элементов центра $ алгебры ft, отличных от Х& Пред-
положим противное: существует элемент Z = аг33 + ... + «л^л.
перестановочный с базисом (1.62):
.^Z = Z53;, j=TTh. (1.21)
Покажем, что матрица Z не может обладать различными характе-
ристическими числами. Предположим, что имеется два различных
характеристических числа Х2, Л Х2. Тогда наряду с тождеством
(1.21) имеют место тождества 5Bj(Z — 2.х^) = (Z — Х^) 33$, j = l,h,
и 33, (Z — l2g) = (Z — X1<§) 33j, j = 1, h. Корневое подпространство
55
Zj матрицы Z, образованное решениями %, т]й, уравнения (Z —
— ?i<§) т] = 0 остается инвариантным под действием преобразования
93$ : 93$ (Z — ^g) Lv = 93$(Z — XjS) Lx =з 0. Аналогично корневое под-
пространство L2 матрицы Z, образованное решениями Ss,
уравнения (Z — X2f|) g — 0, остается инвариантным под действием
преобразований 93$ : 93j (Z — X2S) L2 = 93$ (Z — X2S) L2 == 0. Сумма
подпространств Lx и L2 прямая и + k2 = n. Выбирая в качестве
столбцов матрицы преобразования векторы т^, т|й1, ...
..., для матриц базиса (1.20) получаем в новых координатах
93'$ О
0 93”$
STx93^Sl =
(1.22)
где 93$ и 93$ — матрицы размерностей соответственно кг X кА и
&2 X к2.
Представление матриц 93$ базиса алгебры Я в виде (1.22) озна-
чает, что алгебра Я не является простой. Следовательно, получилось
противоречие.
Остается рассмотреть случай, когда Z имеет единственное харак-
теристическое число X. Матрица ZL= Z — также входит в центр
3- Предположим, что Zt 0, т. е. является нильпотентной матрицей:
93$Zr = Zy93$, 7 = 1, 7i, Z“ у= 0, a g Z+. Как показано в теореме 2.2
(см. ниже), каждая из матриц 93$ может быть в этом случае приведена
к квазитреугольному виду
33$
S~l93$S =
/ = 1, h.
0
В этом случае по теореме 1.10 алгебра Я содержит радикал <ЗГ =0= 0,
что противоречит ее предполагаемой простоте. Единственное остав-
шееся предположение о том, что Zj = 0, т. е. Z = XS, приводит к
требуемому результату.
Определение 1.11. Простая алгебра Я, центр которой
состоит только из элементов Х^о, где 0% — главная единица алгебры
X £ К, называется нормальной.
Таким образом, доказано, что простая матричная алгебра является
нормальной. Приведем без доказательства следующий фундаменталь-
ный результат о структуре простых нормальных алгебр.
Теорема 1.20. [116, с. 55]. Всякая простая нормальная алгебра
над полем К является полной матричной алгеброй и ее ранг равен
квадрату целого числа. ___
Из приведенной теоремы следует, что блоки 93$, j = 1, h, размер-
ности к в соотношениях (1.22) порождают полную матричную алгеб-
ру Я и что ее ранг h — кй.
Докажем теорему о структуре полупростой алгебры.
66
Теорема 1.21. Для того чтобы полупростая матричная алгебра
ft над полем К распадалась в прямую сумму т простых подалгебр ,
необходимо и достаточно, чтобы общий элемент Z центра алгебры
3 зависел от т^2 произвольных постоянных и был представим в виде
Z = a1g1+ + ат8т, (1.23)
где j = 1, т,— идемпотентная матрица ранга п$, пг + ... 4~
+ пт = П, $ = Sj, = 0, i j.
Доказательство. Необходимость указанных в теореме
условий следует из теорем 1.18 и 1.19. Докажем достаточность. Пусть
базис центра алгебры Д содержит т элементов Zu Z2, ..., Zm, ком-
мутирующих со всеми элементами алгебры ft и, следовательно, между
собой. Общий элемент Z представим в виде суммы Z = ct1Z1 4*
4- a2Z2 4- ... + <xmZm и зависит от т произвольных постоянных.
Как следует из теоремы 2.2 (см. ниже), ни одна изматриц центра
Дне может быть нильпотентной. Отсюда, как нетрудно показать, мат-
рицы Z £Д являются матрицами простой структуры. Если Z — мат-
рица простой структуры, то она может быть представлена в виде
суммы
Z = 4- М2 4- ••• + *Л, (1-24)
где — идемпотентные матрицы, = 0, == ..., —
характеристические числа кратностей г1( ..., гт, т\ 4- г2 4- ... 4~
4- гт = п.
Идемпотентные матрицы являются проекторами на корневые
подпространства Р (к3), соответствующими корню к3. Они могут быть,
как известно из линейной алгебры, построены по формуле
s, = gj(Z)—
(Z — Х-S’) ’
где gj (к) — составляющие в разложении характеристического много-
члена g (к) матрицы Z на элементарные дроби
1 _ ™ g- (Л)
?(Х) £ (к-к^ ’
Идемпотенты являясь многочленами от матрицы Z, принад-
лежат центру Д алгебры ft. Очевидно, разложение (1.24) можно за-
писать для любого базисного элемента Zg.
WW ••• +Л (1.25)
где т зависит от выбора индекса /.
Выберем среди возможных идемпотентов •••» линейно
независимых в качестве нового базиса. Обозначим элементы этого
базиса glt Имеют место соотношения
4“ 0*12^2 4” • • • —
Z2 = СХ21^1 4~ ^22^2 4~ * * • 4~
4“
— CX?nl^i 4~ ^т2^2 4“
v-
57
Очевидно, что v не превосходит т, v т, так как это означало
бы, что ранг подалгебры Q больше т. С другой стороны, тождество
p1Z1 + p2Z2 + ... + PmZm = 0 может выполняться только при Pt =
= Р2 = ... = pm= 0. Из соотношений (1.25) следует, что вектор
|| Р1; ..., рт || является в таком случае единственным решением од-
нородной системы
К1 iPi + а21Рг 4~ • • • + ^miPJn = 0;
a12Pi + а22р2 + • • • + атгРт = °;
OClvPi + a2vP2 + ’ ' ' + amvPm =
и поэтому ее ранг в точности равен т, т. е. v = т.
Доказано, что ..., можно выбрать в качестве базиса ал-
гебры 3 и ее общий элемент представить в виде суммы (1.23). Разло-
жение алгебры Я в прямую сумму т подалгебр может быть осуществ-
лено при помощи идемпотентов, как это показано при доказательстве
теоремы 1.18.
Приведем теперь доказательство теоремы 1.2.
Достаточность условий теоремы 1.2. Если алгебра й не полу-
проста, то по теореме 1.10 она приводима. Если алгебра полупрос-
та и имеет центр размерности т 2, то согласно теореме 1.21 она
приводима к квазидиагональному виду.
Если алгебра й проста и имеет главную единицу то со-
гласно теореме 1.12 она имеет представление матрицами меньшей раз-
мерности, т. е. в конечном счете является вполне приводимой.
Теперь рассмотрим случай, когда й — простая алгебра и Z =
— Алгебра й является в этом случае нормальной и согласно
теореме 1.20 полной матричной алгеброй. Ее ранг 1п равен квадрату
целого числа Zc, т. е. h = Zc2. Покажем, что к = п. В самом деле, пол-
ная алгебра й содержит к идемпотентов Sn, ..., Обозначим через
T]j собственный вектор матрицы ^т|/ = т|г-. Он существует, так
как в качестве такого вектора можно выбрать ненулевой
столбец. В силу независимости матриц gu, ..., Sju найдется к
независимых векторов T]lt ..., т]й. Элементы полной матричной алгеб-
ры /, v = 1, /г, удовлетворяют соотношениям 'fejj'&jv = и»
следовательно, их столбцы состоят из собственных векторов матрицы
Выберем векторы ..., в качестве первых столбцов матрицы
преобразования S и дополним их произвольной независимой систе-
мой. В результате замены переменных получим для базиса алгебры
^1м=||оу :||* (1.26)
где Sfj — квадратные матрицы к X к с единицей на пересечении г-й
строки и /-го столбца.
Из структуры матриц (1.26) и теоремы 1.10 следует, что алгебра
содержит радикал, а это противоречит ее простоте. Противоречие
снимается, если положить, что к = п и, следовательно, h = п2.И
88
В заключение опишем алгоритм алгебраического приведения си-
стемы (1.1), основанный на доказанных выше теоремах.
Первый шаг. Строится базис обертывающей алгебры St: ...
— ч Дк-
Второй шаг. Если h < и2, то система алгебраически приводима.
Вычисляем дискриминант D алгебры й.
Третий шаг. Если D = 0, то применяем теорему 1.10.
Четвертый шаг. Если D 0, то находим общий элемент Z =
— + ... + а-ьДк алгебры центра из систем линейных алгебраи-
ческих уравнений
ЯЛ; = Д&, 7 = о. (1.27)
Вычисляя следы матриц от обеих частей, систему (1.27) представля-
ем в виде
ai tr (Л1 Лг — Л1Л1) + «2 tr (ЛЛ1 — Л1Л2) 4- • • •
• • • + ah tr (ЛлЛг —<AuAh) = °;
а1 tr (Л1Лг -Л2Л1) 4" а2 tr (Л2Л2 -Л2Л2) + ' ‘ ‘
... Ч-алНЛлЛг —ЛгЛл) =°;
«1 tr (ЛгЛл — ЛлЛх) + «2 tr (ЛгЛл — ЛлЛг) + • • •
... Cf-r, tr (ДьДк----------lAhtAh) ~ 0.
Далее применяем теорему 1.21.
Пример 1.3. Пусть система (1.1) имеет вид
У1
Уз
Уз
2t3 + «а — t
— 2i3 — 2t2 -J- 2t
2t
t2-H2— t
— F — 2t2 4-2i
t
(1.28)
Матрицу коэффициентов этой системы
= 4~ 4- 4" jit» гДе
можно представить суммой Jk (() =
Следовательно, совокупность с° = {Jli, Непосредственным вычис-
лением легко получить максимальную систему линейно независимых матриц
О — {г$1, J^2> г4з> Jtfa
(1-29)
где
— 1
Л= 2
1 о
2 0
о о
0
Таким образом, базис матричной алгебры Я составлен из пяти матриц (1.29).
Основное условие теоремы 1.2 Л < пг выполняется, так как Л = 5, п2 = 9. Си-
стема (1.28) является алгебраически приводимой. Легко вычислить матрицу коэф-
59
фициентов системы (1.12) и ее определитель:
Р =
1
о
о
о
о
О
1
О
о
— 1
о
о
1
о
1
О
О
О
1
о
о
— 1
1
о
1
= 1.
Установлено, что алгебра R —
и, как следствие, система (1.28)
Установлено, что алгебра х — полупростая, и, как следствие, система (1.28)
вполне приводима. Общий элемент алгебры центра 3 разыскивается в виде Л —
~ aiJli + а2.^2 + Из условий коммутативности матрицы
Z с элементами базиса (1.29) находим
Z = а.
2
— 2
О
1
— 1
О
О
О
1
•Б
— 1
2
О
Положим поочередно а5 = —cq, ав = 2cq. В
независимых элемента алгебры центра
О
О
— 1
базисных.
— 1
2
О
результате
О
О .
о
получим два линейно
— 2
3
О
которые можно принять в качестве
г,
— 3
4
О
Z2
О
2
О
— 1
3
О
о
о
1
Матрица Zx имеет характеристические числа X, = Х2 = —1, = 1. Рас-
кладывая характеристический многочлен ф (Z) = (X + I)2 (/. — 1) на элементар-
ные дроби, получаем два проектора на корневые подпространства:
-^) ~4- (Z-<$) =
1
^2 = ^ (Z1+^)2 =
— 1
2
о
— 1
2
О
2
— 2
О
О
О
О
1
— 1
о
О
о ,
1
Аналогично, для матрицы Z2 с
Лд = 2 получаем
характеристическими числами Z] = = 1 и
II 2
^; = — Z2(Z2 — 2S0 = —2
О
1
— 1
О
О
о
1
>2 = (Z2-^'-
— 1
2
О
— 1
2
О
о
о
о
Таким образом, 5sJ = = ^2 и в качестве базисных элементов алгебры 3
примем матрицы Матрицу преобразования S составим из линейно неза-
висимых столбцов этих матриц. После преобразования у =
t3
О
t2
1
О
О
О
— t3 — t2 4- t
2 1
О О
1 1
S =
1
— 1
о
Sz
О
О
1
получаем
— 1 II
2 ,
О
S'
о
1
о
Следовательно, система (1.28)
ге находим
вполне алгебраически приводима
и
для нее в ито-
«i
z<
«а = (— — *2 + 0 гз*
60
Таким образом, исходная система распалась на две независимо интегрируе-
мые подсистемы порядков 2 и 1.
Пример 1.4. Пусть система (1.1) имеет вид
Ui
V-2
Уз
«3 — «2 + 2« — 1
— 2<3 + 2«2 — 2t + 1
2t2 — t
F — t2 + t — 1 ts
— 2i8 + 2t2— «4-1 t8
t2 — t 1
II Vi II
02
II ?/3 II
Матрица коэффициентов может быть представлена суммой (t) = t8^ -f- i2^
+ йз + Д где
1 1 1 II — 1 — 1 0 ||
Л = — 2 — 2 — 1 1 г$2 = 2 2 0
0 0 0 2 1 0
2 1 0 II -1 — 1 0 ||
<5^3 ~ — 2 — 1 0 ’ = | 1 1 0 .
— 1 — 1 о II 0 о 1 II
Выписанные матрицы образуют совокупность о°. Непосредственным вычисле-
нием легко получить максимальную систему линейно независимых образующих
базис алгебры Я матриц о = гДе
II 2 1 0 II II 0 0 0 II || — 1 —1 0 ||
Л= 1-2 -1 О], Л = Ь 0 0 , ^,= 2 2 0 .
|| О 0 0 || || 0 0 1 || || 0 0 0 ||
Основные условия теоремы 1.2 выполняются, так как h — 7, п2 == 9. Выпишем
систему алгебраических уравнений (1.12) для вектора коэффициентов а = || ах, ...
а, || общего элемента Jf = ccjjtj + ... + а7г#7 радикала:
1 0 0 0 0 0 —1
0 1 0 0 0 0 1
0 0 10 10 О
0 0 0 1 0 1 О
0 0 10 10 О
0 0 0 1 0 1 о
—110000 1
“1
«2
а3
«4
«в
а,
= 0.
Определитель этой системы (дискриминант алгебры Я) равен нулю. Система
имеет нетривиальное решение а = || 0,0, а3, а4, — а3, — а4, 0 || и, следовательно,
нетривиальный радикал с общим элементом Jf = + «4.#2, гДе
N1 — $3 Jh —
О 0 0 ||
О 0 0
— 1 — 1 О II
ТКг — jt4 —
— 1 — 1 ОЦ
1 1 0 |
О О О II
Векторы подпространства образованы совместным решением системы уравне-
ний = 0, = 0. При вычислении находим = || —1, 1, 0 ||, = II 0.
О, 1 ||. Так как s= 0, J/\J!2 == О, == 0, то L2 — В8. Дополним базис под-
пространства Lx вектором g3 = || 0, 1, 0 || до полной системы линейно независи-
мых векторов из В8. Образуем из этих векторов матрицу преобразования S:
II — 1 о 0 || || _ 1 0 0 ||
I 10 1, S-1 = О 0 1 .
о 1 О II || 1 1 О II
61
Произведя в исходной системе замену переменных у = Sz, для матрицы коэффи-
циентов получаем
It — Р — Р -j- Р — t -J- 1
— Р 1 Р — t
О 0 — Р + Р
Следовательно, исходная система распадается на две последовательно интегри-
руемые подсистемы первого и второго порядков:
гз = (—f3 + /2) z3-
§ 2. ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
ПО НИЛЬПОТЕНТНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ
Пусть дана линейная система с постоянными коэффициентами
Л = const. (2.1)
Рассмотрим задачу декомпозиции системы (2.1) на подсистемы мень-
шей размерности без использования непосредственной информации
о характеристических числах матрицы Л- При этом могут предста-
виться три случая.
1. Матрица Л — простой структуры, т. е. найдется матрица с
коэффициентами из поля К, которая преобразует матрицу к диаго-
нальному виду. Такая матрица имеет минимальный многочлен, рав-
ный произведению различных неприводимых многочленов. Матрицы
простой структуры будем называть полупростыми. 2. Матрица Л —
нильпотентная, т. е. Л™ = 0, Z+. В этом случае матрица фун-
даментальных решений имеет особенно простой вид:
т ь
й=(1
3. Наконец, матрица Л не является ни полупростой, ни нильпотент-
ной. Назовем ее матрицей непростой структуры. Относительно таких
матриц известен следующий результат.
Теорема 2.1 [28, с. 112]. Пусть Л — матрица размерности X
X и над полем К. Тогда имеет место разложение
Л = Ле + Лт (2.2)
где
Лв = g<№ + guA + • * * + gm^m\. Лп = g$ + S'lc/Z + • • •
••• +gmJlmt,
mv m2£7+ — некоторые многочлены от матрицы Л, причем Ла —
полупростая, а Лп — нильпотентная матрицы.
62
Если Л = л'я + где Л» — полупростая, а Лп — нильпо-
тентная составляющие, причем Л» и Лп коммутируют с Л,то Л& =
1—1 * е/?8, Лп 1—“ е/?п*
Именно этот случай рассмотрим в дальнейшем и получим следую-
щие результаты.
По матрице общей структуры Л построим нильпотентную матрицу
33, ЗУ1 = О, а е Z+, коммутирующую с Л, и осуществим с ее помощью
приведение матрицы Л к квазитреугольному виду. Укажем простой
алгебраический критерий полупростоты матрицы Л.
Докажем следующее утверждение.
Теорема 2.2. Матрица 33 — агЕ а2Л + ••• + «nc/Z” где
вектор а = colon || alt ..., ап ||, определяется как решение системы
линейных однородных алгебраических уравнений
ctjCj 4- 4~апеп = 0, (2.3)
где_щ_= colon || tr Е • ЛГ\ tr Л • Л'~\ tr ЛП~* • Л3~1 IL j =
= 1, п, является нильпотентной матрицей.
Если 33 0, то цепочка подпространств 0 = Но а: Нг а ...
... cz с Н = R”, образованная решениями систем линейных
однородных алгебраических уравнений Н, = {£ g Hi | 33% = О,
5 С Rn}, i = 1, Л инвариантна относительно Л и> следовательно,
приводит матрицу Л к квазитреугольному виду с квадратными блока-
ми размерностей mlf т2 — mlt ..., пц — mi—i на главной диагонали
(mi — размерность подпространства Н,, 0 =т0 <^тг <... < niz—i <
< mi = п).
Прежде чем доказывать теорему, сделаем несколько замечаний.
Значение сформулированной теоремы состоит в том, что она не исполь-
зует непосредственной информации о характеристических числах
матрицы Л или характеристическом (минимальном) многочлене \
Если 33 = 0, то Hr = R”, матрица Л — полупростая и указанный
алгоритм непригоден. Следовательно, основной результат теоремы
базируется на информации, которую несет в себе нильпотентная со-
ставляющая матрицы.
Доказательство теоремы 2.2, Пусть матрица Л имеет
характеристические числа Xj кратностей r^, j = 1, т, щ + ... 4- гт =
= п. Тогда, вводя векторы Лу = colon ||1 • ’,..., 11|, / = 1, п,
г = 1, т, матрицу системы (2.3) можно записать в виде суммы:
Л = П || Лу, Л{2, • . • , Ajn||.
г=1
Умножая матрицу Л на вектор а справа и приравнивая результат к
нулю, придем к системе вида (2.3)
Ла = S П (а1Ли 4- • • • + anAin) = 0. (2.4)
i>=i
1 Знание характеристических чисел матрицы позволяет привести ее к жор-
дановой нормальной форме и тем самым расщепить систему
_ 63
Примем во внимание структуру векторов Ли, Лщ, г = 1, т, и
преобразуем систему (2.4):
т
S 4“ XjfZg 4" * • • -|- Яп) Л,1 = 0.
j=l
Векторы Лп, Ami линейно независимы, так как их первые т ком-
понент образуют определитель Вандермонда
1 1 ... 1
X2 ... s П (Xx_^)^0, (2.5)
л m—-1 Al 1 >-b S3 1
который не равен нулю в силу сделанных предположений о том, что
характеристические числа Х15 ..., различны. Следовательно, ко-
эффициенты alt ..., ап определяются из системы уравнений
4” 4- - • 4- X,- = С, i = 1, п. (2.6)
Но выписанные суммы как раз и совпадают с характеристическими
числами матрицы 58.
Система (2.6) имеет ранг т в силу неравенства нулю определителя
(2.5). Таким образом, если не все характеристические числа матрицы
Л различны, то система уравнений (2.3) всегда имеет нетривиальное
решение.
Пусть 58 0. Подпространство Нг инвариантно относительно
Л вследствие тождеств Л35 = 95Л и Л35^ = 0, £ g Нг, а подпро-
странство Hj инвариантно относительно Л вследствие тождеств ЛЗУ s
s= ЗУЛ, -АЗУЪ = 0, £ £ Hj (которые вытекают из коммутативности
Л и $)• Обозначим через — И, совокупность mi+l —m, неза-
висимых векторов подпространства Н,^, которые не входят в Н,.
Тогда матрица преобразования Q составляется из этих векторов:
Q = ||Hlt Н2 - Нг, Н, - ||.
Следствие 2.1. Если 35 = 0, то матрица Л полупростая. Справед-
ливо также обратное утверждение.
Пример
2.1. Рассмотрим
— 2
матрицу
— 1 —1
1 —1
1 0
— 2 — 1
3 2
3 2
— 3 —2
5 1
4 1 1—3 0
Проведем расщепление матрицы £ по нильпотентной матрице, коммутирующей
с ней. Для нахождения последней в виде + а2Д + ... + а^4 * составим
уравнения
at tr gr + eg tr Jt 4- a3 tr jj2 -|- a4 tr Jj3 -|- tr jj4 = 0;
tr & 4- °2 tr Jf2 4- “з tr jfc3 4- “4 tr J:4 4- a, tr J:6 = 0;
«1 tr J:2 4- a2 tr £> 4- a3 tr J:4 -|- at tr J? 4- ae tr J:® = 0;
«1 tr jj:3 4- Oj tr J:4 4- a3 tr J:6 -J- a4 tr J:® 4- ae tr = 0;
«1 tr Jj4 4- ag tr 4- Qj, tr jJ® 4- a4 tr 4- at tr jf® = 0.
«4
Приведем матрицу коэффициентов этой системы:
5 4 14 22 50
4 14 22 50 94
14 22 50 94 194
22 50 94 194 382
50 94 194 382 770
Вектор решения а равен [| 2, 1, —1, 0,0 ||. Следовательно,
ца выражается суммой:
— 3 3 — 3 0
— 3 3 — 3 0
3 — 3 3 0
— 3 6 — 3 0
3 — 3 3 0
нильпотентная матри-
3
3
— 3
6
— 3
Непосредственным вычислением убеждаемся, что = 0.
। Базис подпространства определяемый максимальным числом линейно
независимых решений уравнения = 0, состоит из трех векторов: Z, =
= colon 1| 10—100 ||, Z2 — colon || 0100—1 ||, Z3 = colon || 00010 ||. Дополним этот
базис векторами из Л2 = Z?5 Z4 = colon II 00100 II и Z6 = colon || 00001 ||. Выпишем
матрицы преобразования Q и Q *:
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 10 0 0 0 10 0 0
<2 = —10010 , Q~i== 0 0 0 1 0
0 0 10 0 10 10 0
0 10 0 1 0 10 0 1
Матрица в результате приводится к кваз «треугольном у виду
-о 1 -о II — 1 —3 3—12 —3 —13—12 —3 —35—11 0 0 0 —1 0 0 0 0 0 2
§ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРИВОДИМОСТЬ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, МАТРИЦА КОТОРЫХ
КОММУТИРУЕТ СО СВОИМ ИНТЕГРАЛОМ
Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных
уравнений
x = Q(t)x, (3.1)
где Q (£) = || qtj (t) ||, i, j — 1, n, — квадратная матрица размер-
ности п X п. В некоторых случаях система (3.1) допускает решение
в замкнутой форме вида
t
J Q(s)ds
к = е*° xQ. (8,2)
5 7—1641
№
Именно для этого достаточно, чтобы матрица УС (£) = J Q (s) ds ком-
мутировала (при любом t) со своей производной
[УС, УС]=УСУС — УСУС = 0. (3.3)
Возможность решения системы (3.1) в замкнутом виде (3.2) при
выполнении условия (3.3) получила в теории дифференциальных
уравнений название «случай интегрируемости Лаппо — Данилев-
ского» (см., например, работу [65]). Такие системы в дальнейшем бу-
дем называть системами Лаппо — Данилевского.
Как оказалось, системы Лаппо — Данилевского являются в дей-
ствительности алгебраически приводимыми, что было показано в
ряде работ. В настоящем параграфе рассматривается задача об ал-
гебраической приводимости систем Лаппо — Данилевского. Для вы-
полнения условий (3.3) достаточно, чтобы матрица УС (t) (или, что рав-
носильно, матрица УС (t) = Q (t)) была функционально-коммутатив-
на, т. е. чтобы ее значения при любых значениях аргумента из
области определения матриц коммутировали между собой: [УС (f1),
УС (f2)] = 0.
Для функционально-коммутативных матриц справедлив следую-
щий результат.
Теорема 3.1 [91]. Каждая функционально-коммутативная мат-
рица может быть представлена в виде
Q (0 ~ (0 Qi 4~ 4" bm (t) Qm, (3.4)
где Ьг (t), ..., bm (t) — линейно независимые функции и Qj = const,
7 = 1, т, — линейно независимые коммутативные матрицы с по-
стоянными элементами; обратно: каждая матрица вида (3.4) (где
Qj, / = 1, т, — коммутативные матрицы) — функционально-ком-
мутативна.
Функционально-коммутативная матрица (3.4) посредством
постоянной неособой матрицы S приводится к треугольному виду
Xj (0 *
МО
S~lQ (t) S =
(3.5)
0 (0
где Xj (t), ..., (t) — известные функции, т. е. система (3.1) явля-
ется алгебраически приводимой и интегрируемой в квадратурах.
В общем случае матрица, коммутирующая со своей производной,
не обязательно должна быть функционально-коммутативной, как
1 Для того чтобы формула (3.2) давала решение системы (3.1), необходимо
d ЖИ)
и достаточно, чтобы выполнялось тождество (е ' ') = е ' '. Условия
выполнимости этого соотношения рассматриваются в работе [8].
66
показывает следующий пример [8]:
С(0 =
Jht2 при о,
Д^2 при «>0,
где c/Zu с/?2 — постоянные некоммутирующие матрицы.
В работе 18] показано, что в том случае, когда коэффициенты мат-
рицы Q (t) не являются аналитическими, условие коммутативности
УС (t) и УС (t) при каждом значении t по существу локально и слабо
связывает значения матриц на всем интервале. В дальнейшем имеет
существенное значение дополнительное требование о консерватив-
ности матриц УС (t).
Определение 3.1. Матрица УС (t) называется консервативной
в интервале t £ (а, Ъ), если она сохраняет в этом интервалежорда-
нову нормальную форму, т. е. имеет в каждой точке интервала одну
и ту же характеристику Сегре.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.2 [8]. Матрица УС (£), консервативная и коммутирую-
щая со своей производной в интервале (а, Ъ), имеющая всюду диффе-
ренцируемые (или абсолютно-непрерывные) коэффициенты в этом
интервале, постоянным преобразованием S приводится к блочно-
диагональной форме
^n(t)
УС 22 (t)
s~1yc (t) s =
где каждый блок имеет единственное собственное значение, причем
yCjj (t) yCjj (t) = yCjj (t) yCjj (t), j — 1, m.
Таким образом, теорема 3.2 утверждает, что система (3.1) явля-
ется алгебраически вполне приводимой. При некоторых дополни-
тельных предположениях о структуре матрицы УС (t) оказывается,
что она функционально-коммутативна.
Критерий Лаппо — Данилевского (3.4) был обобщен в работе
[109], а дальнейшее его обобщение проведено в работах [48, 49].
Теорема 3.3 [49]. Пусть матрица УС (t) консервативна в интерва-
ле (а, Ъ), имеет всюду дифференцируемые (или абсолютно непрерыв-
ные) коэффициенты и выполняются следующие условия:
1) матрица УС (t) УС (t) — УС (t) УС (t) N (t) нильпотентна, т. е.
существует целое число к п такое, что /fk =s 0;
2) корневые подпространства Lj = {£ | №Е = 0}, / = 1, т,
удовлетворяют условию
J^yCLji = 0mod(1/х, ...,£j_i), j = 1, m, I/o = 0;
(3.6)
5’
67
тогда существует постоянная матрица S} которая приводит мат~
рицу Ж (t) к квазитреуголъному виду
S~lK (t) S =
4^11 (t) 2^12 (0 • • • (0
О ^22 (0 • • • ^2m (0
о о ...
(3.7)
где каждый блок имеет единственное собственное значение и коммути-
рует со своей производной: (I) (0 = Жц (0 (0, / « 1, т.
Сравнивая теорему 3.3 с теоремой 3.2, видим, что она действитель-
но является ее обобщением. Если выполняется условие (3.3), то
зто значит, что Л' (0 = 0 и все подпространства Lj сливаются с про-
странством L, в котором действует матрица Ж (0.
Пример 3. 1. Рассмотрим систему (3.1) с матрицей
(0 = Л (0+ Л (О
где
я-1= 0 0 1 0 0 0 0 —1 1 0 0 0 0—10 0 , ^2 = 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0
Здесь ^^2 =# и поэтому матрица не является функционально-коммута-
тивной; для матрицы^? (!) также не выполняется критерий Лаппо — Данилев-
ского, так как Жй? =/= Проверим выполняемость условий теоремы 3.3. Под-
пространство Ьг = { tj | т] = 0}, натянутое на векторы щ =
= colon || Yj (!), 0, 0, 01|, i]2 = colon || 0, у2 (!), 0, 0 ||, инвариантно относительно
(<), так как J/SV (t) == 0, JfSW (t) т)2 sa 0. Условия теоремы 3.3 выполняют-
ся, и подпространство Lr имеет неподвижный базис щ0 = colon || 1, 0, 0, 0 ||,
т]20 = colon I] 0, 0, 1, 0 |). Тогда, например, матрица
10 0 0
0 0 10
51 = 0 1 о о
0 0 0 1
приводит (/) к квазитреугольному виду
0 fl 0 2f2
(t) Sj = fl 0 0 0 11 II ^11 •^12
0 0 2fs -fi II 0 22
0 0 -fi 0
причем = А || J о
ora
11== л»
является функционально-коммутативной матрицей!
68
§ 4. ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим условия декомпозируемое™ нелинейной системы
в области G = I X G, t £ I, х £G, Z £ R, G £ R". Пусть системе
(4.1) соответствует обертывающая алгебра 25 с п базисными операто-
рами
п
Х1? ... , Хп, х i = V~n. (4.2)
Предполагается также, что система (4.1) и ее обертывающая алгебра
рассматриваются на многообразии <£) (G).
Разобьем вектор переменных х = colon || хх, ..., || на группы
векторов следующим образом:
х = colon||xVi, xV1, , xVgJ,
ГДе Ху^ — Colon || ...., ^''Vj'V, ||, *••., " Colon || || в ВЫ-
ПОЛНЯЮТСЯ равенства v2 -f- • • • = тг.
Определение 4.1. Система (4.1) называется вполне при-
водимой (декомпозируемой) в области G (loc G), если существует об-
ратимая замена переменных
z = •ф (х), х = ip-1 (z), if, if“’ e © (G), (4.3)
где z = colon || z15 zn ||, if == colon ||ifn ..., ifn ||, которая преоб-
разует исходную систему к совокупности независимых подсистем
по новым переменным
dZlv3
~ИГ~ = fivj (Ztvp ...ц zv.v.);
......................................... (4-4)
dzv.v. . _____. . ----
~ fvjVj (Zlvjl • • • » ®V,-Vj)s = 4, V, 7 = 1,; g.
Частным случаем вполне приводимых систем является диагонали-
зируемая система
= A (Zi), i = 1, п,
т. е. распадающаяся на п независимо интегрируемых подсистем.
Определение 4.2. Система (4.2) называется приводимой
(агрегируемой) в области G(locG), если существует обратимая замена
(4.3), преобразующая исходную систему к совокупности g последо-
вательно интегрируемых подсистем
dz„
= /v, (zV1);
69
az„
~ fvs (zv,> zvs); (4.5)
^zVg
~di~ = fvg (Zv»’ • • • ’ Zvg>’
где fv. - colon 11/^, ..., /V;VJ|, zVj = colon ||z1Vj, ..., zVjV. ||.
Частным случаем приводимой (агрегируемой) системы является
триангулизируемая
“di- = /1 (zi), = /2 (zi, гг), • • • , = fn (zi, zn)-
Системы, диагонализируемые и триангулизируемые, интегрируются
в квадратурах. Такие системы будем называть разрешимыми.
Прежде чем перейти к формулировке условий приводимости (впол-
не приводимости), введем некоторые необходимые понятия. Будем
рассматривать действие обертывающей группы (8 на элементах мно-
гообразия tC (G). Если h (х) — функция из (G) и х' = ехр (sX) х —
некоторая однопараметрическая подгруппа из (X), то результат
действия группы на h, т. е. функция Txh, Тх£(8 (X), принад-
лежит (С (G) (см. § 2 гл. 1). Или, если использовать прямую подста-
новку, h (ехр (sX) х) = ехр (sX) h (х) £ £) (G).
Таким образом, множество злементов, где действует группа
(X), — функции многообразия £) (G). Функция q (х') называется не-
подвижной точкой множества £) (G) относительно однопараметриче-
ской группы ехр (хХ), если имеет место тождество q (ехр (хХ) х)
и q (х).
Теорема 4.1. Для того чтобы элемент q (ж) был неподвижной точкой
однопараметрической подгруппы (8 (X) с оператором X £ 23, необ-
ходимо и достаточно выполнение тождества
Xq (х) ss 0. (4.6)
Доказательство. Воспользуемся свойством точечности
преобразований из (8 (X) и представим оператор ехр (sX) в виде
ряда:
ехр (sX) g (х) = g (х) + 4rXg (х) -f- -J- X2g (x) + •. .
Это равенство должно выполняться при всех значениях параметра
и, следовательно, всегда выполняется тождество (4.6).
Решения уравнения X/ = 0 будем называть инвариантами одно-
параметрической подгруппы (8 (X) с оператором X. Если функция
q (х) — инвариант групп (8 (X) и (8 (Y) одновременно, то она удов-
летворяет уравнениям Xq (х) = 0, Yg (ж) = 0 и, как следует из тож-
дества Якоби (1.6) гл. 1, уравнению [X, Y] q (ж) = 0. Операторы X,
Y порождают некоторую подалгебру 28j 28. Этой подалгебре со-
ответствует подгруппа ?= (8- Если Хь Х2, ..., Хг — базисные
операторы этой группы, то, очевидно, X, q (ж) =з 0, 7 = 1, г, и соот-
ветственно q (ж) — инвариант всех однопараметрических подгрупп
И8 (8Х.
70
Группа называется транзитивной группой преобразования
множества £) (G), если для любых двух элементов h(x),q (х) g £) (G)
найдется такой элемент Тг g (§, что Tz h (х) — q (х). Группу,
не являющуюся транзитивной, называют интранзитивной. Множество
(в рассматриваемом случае многообразие) £) (G), в котором действует
транзитивная группа преобразований ($, называется однородным
пространством с группой преобразований Приведем условие тран-
зитивности группы ($.
Теорема 4.2. Группа (£ на многообразии Й (G), (Й (Zoe G)) тран-
зитивно тогда и только тогда, когда базис обертывающей алгебры
Ж содержит п линейно несвязных операторов.
Доказательство. Необходимость. Пусть dim Ж = г. Тог-
да система Х3/ = 0, 7 = 1, г, имеет, по крайней мере loc G, п — г
независимых решений иг (ж), ..., un_r (х). Если функция v (х) 0
не является инвариантом группы (§, то, например, функция и± (х)
не может быть преобразована в v (х). Действительно, любой оператор
Z из S может быть представлен суммой Z = ЁцХ] + ... -f- £ГХГ,
где ..., — произвольные функции из £) (G). Но тогда Z иг (х) =э
э 0 и г? (я) == 0.
Достаточность. Пусть dim 38 = тг. Тогда система уравнений
XiP (х) = hx (х), ..., Хпр (х) = hn (ж) всегда имеет решение при произ-
вольном векторе h (х) = || hx (х), ..., hn (х ||. Действительно, эту си-
стему легко превратить в нормальную, если разрешить ее относитель-
но др/дхг, ..., др!дхп. Предположим, что и (х), и (х) — произвольные
функции из Й (G). Требуется подобрать оператор Z = S1X1 + ...
— + £nXn, удовлетворяющий условию Z и (х) = v (х). Не теряя об-
щности можно считать, что XjU (х) 0 для всех х £ G. Обозначим
через pj (х) функцию, удовлетворяющую условию || Х1р;, ..., Xnpj || =
= || 00..., 1, ..., 0, 01|, тогда операторы Xj аннулируют pj (ж) при
3 ___
всех i — 1, п, г =И= j, и Xjpj = 1.
Рассмотрим линейную алгебраическую систему уравнений
Zu (х) = v (х), Zpj (х) = 0 относительно вектора переменных j = || ...
..., ||. При этом индекс / будет изменяться от 2 до п. Нетрудно убе-
диться, что определитель данной системы равен Ххи (х) и она одно-
значно разрешима. Компоненты вектора £ принадлежат (G).
Следствием доказанной теоремы является следующий результат.
Теорема 4.3. Группа (£, действующая на многообразии £) (G)
(£(loc G)), интранзитивна тогда и только тогда, когда выполняется
одно из следующих эквивалентных условий:
1) базис обертывающей алгебры 38 содержит г <Z п несвязных
операторов (dim 58 < п);
2) группа (£ имеет нетривиальные инварианты в £) (G).
Пусть в обертывающей алгебре 58 существует подалгебра 58<г) =
— 58(Г| {Yx, ..., Yr}, порожденная г линейно несвязными операто-
рами над £)(G). Эта алгебра порождает некоторую подгруппу ($<г) с
с: (?• Подгруппа (g(r) называется нормальным делителем группы
(или инвариантной подгруппой), если для любого преобразования
71
7х (* ($ и любого преобразования Ту £ имеет место соотношение
WxW- (4.7)
Другими словами, нормальный делитель (в целом, а не его элементы)
остается неизменным при преобразованиях типа (4.7). Формула Кэмп-
белла — Хаусдорфа позволяет выразить этот факт на языке алгебры
Ли 58. Запишем преобразование (4.7) подробнее:
Л,- s / = 1^г.
Преобразование Ту s e(sY) определяется своим оператором Y.
Поэтому достаточно рассмотреть тождество Yx. s e(sX)Ye(~sX)x,-.
Согласно формуле Кэмпбелла — Хаусдорфа (см. § 3 гл. 1) справед-
ливо тождество
__ у 8 у(1) , у(2) 88 у(3) .
ц 1 -г 21 3! 1 ' * * *
Для того чтобы Y' £ 58<г), необходимо и достаточно, чтобы оператор
[Y, X] был связан с базисом алгебры 58(г), т. е.
[Y, X] = аДх + . • • + аЛг, (4.8)
где ccj, ..., — некоторые функции переменных х. Подалгебра 58(г) cz
cz 38 называется идеалом алгебры 58, если при всех X g 58 и любом
Y £ 58(г) скобка Пуассона [X, Y] линейно связна с базисом 58(г),
т. е. имеет место равенство (4.8). Это тождество можно также запи-
сать сокращенно в виде [58(г), 58] = 58(г).
Очевидно, что справедливо также обратное утверждение: любому
идеалу в 58(г) cz 58 соответствует нормальный делитель @(г) cz
Если воспользоваться введенной в § 4 гл. 1 терминологией, то можно
сказать, что идеал допускает операторы из алгебры 58. Подытожим
полученный результат в виде теоремы.
Теорема 4.4. Любому идеалу 58(г) cz 58 соответствует нормаль-
ный делитель группы @ и наоборот.
Выше было показано, что если группа @ транзитивно действует
на множестве й (G), то не существует функций, инвариантных от-
носительно всех элементов группы <35. Однако может случиться^
что имеется некоторый набор функций 9)?! = {t^ (ж), ..., ut (ж)},
который переводится элементами группы @ в себя:
нг- (е(8Х)ж) = (s, Ut (х), ... t щ (ж)), J = 1, I,
(4.9)
F;€£)(G), XgSS.
Множество “ЭО?! носит название системы импримитивности, а сама
группа @ называется импримитивной на множестве Й (G).
Лемма 4.1. Условие (4.9) эквивалентно условию Хн,- (х) g
7 = гт
Доказательство. Достаточность очевидна. Для дока-
зательства необходимости разложим правую часть равенства (4.9) 72
72
в ряд ПО SJ
•••’ (4Л0)
где Fo = F(O, Ui ..., пг), Fik = d'Fj/ds1 |s=0 — функции uit ...t щ. Это
возможно, так как ряд и (е(£Х)ж) = e(sX)uj (ж) сходится в С п принад-
лежит £)(G). Подставляя ряд (4.10) и ряд е(лХ)и, (х) = и, (ж) +
+ Хи, (ж) 4- • • в тождества (4.9) и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях s, получаем Fo — F (0, иг, ..., uf) = и-, (ж),
Fjk (wi> •••> wz) = Хки, (ж).
Выясним условия импримитивности группы ® на AJ (G).
Теорема 4.5. Для того чтобы группа в, действующая на Й (G),
была импримитивна, необходимо и достаточно, чтобы она имела
собственный нормальный делитель @(г) с г #= п.
Доказательство. Необходимость. Пусть их (ж), ...s ut (ж) —
максимальное число независимых функций из Дополним их
п — I независимыми функциями u;+i (ж),, ..., ип (ж) из £) (б?) и сде-
лаем в 33 замену переменных у, — щ (ж), j = 1, п. В результате
базисные операторы © примут вид
X, = фи (Уц ... , у{) + • • • + (pij (У1,. • • • s. yi) +
+ M1J (.У) ' ' + * • ‘ + фю (У) i j = 1.». П.
Операторы •
Y; = <pij (yi, ... 9 yt) F • • • + <pg (У1г • • • j yi) ду^ s 7 = 1.» n.i,
(4.11)
порождают подалгебру 83 (Y) cz 83 размерности I. В самом деле,
если бы в 33 (Y) имелось Г < / несвязных операторов Ylf ..., Yp,
то это означало бы, что система Yj/ = 0, j — 1, I', имеет нетривиаль-
ные решения ир (уг, ..., yi) = ср, р = I — V. Но тогда функции уг =
= щ (ж), / = 1, I, не могут быть независимыми. Следовательно^ Z* =
= I. Будем считать, что первые I операторов (4.11) — линейно не-
связные.
Операторы
Z =Х — Y,- =(рг+1.3-(у)-^----F ••• +<РпД^)-^-, 7 = 1?^
порождают подалгебру 53 (Z) £ 53. Нетрудно показать, что среди
них имеется ровно п — I линейно несвязных. Предположим, что это
операторы Zi^ ...а Zn. Непосредственной проверкой убеждаемся,
что
[Zj, Yj] s £ c^Zh.
n—г+1
73
Тем самым доказано, что 83 (Z) — идеал в 83 и подгруппа ® (Z) £ @,
порожденная этим идеалом, — нормальный делитель.
Достаточность. Пусть операторы Zn ..., Zr £ 83, г = п — I,
образуют некоторую подалгебру 83(г) £ 83, являющуюся идеалом в
83. Тогда
[Zj>, Zj»] = Cj'/Z/i, i , j = 1, r;
'1=1 (4.12)
[X,, Zj] = £ CijZh] i = 1, n, j = 1, r.
Л=1
Обозначим через иг (х), ..., щ (х) I независимых решений полной
системы Z}/ = 0, i = 1, г, на многообразии (G). Из тождеств
(4.12) следует, что ZjX{ufe (х) — 0, к — 1, I, и Хщ^ (х) — Fih (ии ...
..., щ). Тем самым доказано, что функции щ, ..., щ порождают сис-
тему импримитивности SKj.
Перейдем к доказательству основных теорем о приводимости.
Теорема 4.6. Пусть обертывающая группа в системы (4.1) инт-
ранзитивна над ДЗ (G). Система (4.1) вполне приводима (декомпо-
зируема) тогда и только тогда, когда выполняется одно из следую-
ющих эквивалентных условий:
1. Обертывающая алгебра 83 системы может быть представлена
в виде прямой суммы идеалов:
83 = 83(1) + + 83(g), [83(i), 83°} = 0,
[83(i), 83(i)] e 33(i), dim 83(i) = Vi, v, + • • • + vg = n.
2. Обертывающая группа в системы имеет g систем имприми-
тивности ‘ЗЯу, определяемых функциями
= \uiV.(x)....uv.Vi(x)}, 7 = 1, g’, (4.14)
Txuiv (x) = <DXiv.(ulv..uv.Vj), i = V7 V X6У1; T*€ &. (4.15)
3. Обертывающая группа в обладает композиционным рядом
®, ®(1)9 .... 1, (4.16)
составленным из нормальных делителей, и рядом фактор-групп
81, ^ ... 81^, 81 = ®(;)/®(Ж),
причем dim = vj, и все члены ряда являются нормальными дели-
телями, коммутирующими между собой. Замена переменных
21V; = UlVj (X), ... , Zv}vj = UvjVj (х), j = 14 g, (4.17)
преобразуют систему (4.1) к приведенной (4.4).
Доказательство. Рассмотрим условие 2. Докажем дос-
таточность. Обозначим uv. = || Ujv., ..., uVj.vJ|. Операторы Xlt...
..., Хп« составляющие базис, переводят функции (4.14) в функции
74
от utv., i, f = 1, g:
XpUiv. (x) = F. । XpUv^v. (x) = ^”v-Vj (^v;)> P ~ 1» n-
В правых частях выписанных соотношений стоят либо нули, либо
функции от uv., но найдется по меньшей мере одна функция из Fi?], ...
F^jvp не равная тождественно нулю. В новых переменных опе-
ратор примет вид
% f \
х₽ = I \Р^} -JL- + ... + F™,. (S)J = <4-18>
Оператор U £ Ж и в новых переменных имеет идентичную струк-
туру:
s / \
U S ( W,vi (Zv’) ~fa---1" ” W,vp’; (ZVj) ~z---- I- (4-19)
,=i \ lv\ 'v;vj /
С помощью оператора (4.19) переходим к приведенной системе (4.4).
Необходимость условий 2 следует из вида операторов U, Хр,
так как системы импримитивности порождаются функциями
Э)2 = {zlv., .... zv.v.}, ] = 1, g.
Перейдем к доказательству эквивалентности условий 1 и 2. Пока-
жем, что при выполнении соотношений (4.13) можно построить си-
стемы импримитивности (4.14). Пусть базис идеала образован
Vj несвязными операторами Xlvj, ..., XVj.Vj.. Рассмотрим систему ли-
нейных однородных дифференциальных уравнений
X1Vl/ = 0, ..., Xv,v,/ = 9, (Хх);
Хщ2/ = 0, .... XV,VJ =0, (Sa);
xlv/ = 0,.... х^/ = о, (2g).
Эта система образована набором полных систем (2Х), (Sa), ..., (2g)
и содержит п линейно несвязных операторов. Следовательно, ее
единственное решение / = const тривиально. В то же время, система,
составленная из подсистем
X1Vty = о, ... , XVlVJ = о, (SJ;
X-ivgf — 9j • • • j XVgVgf — 9,
Xivi-J = 0, ..., xVi_1Vi_j = о, (Si-i);
XiV1+1/ = 0, ..., XVi+)Vi+1/ = 0, (2,4-1);
(Ss).
78
имеет п — (vx -f- ... + + Ч+i + ... + vg) = Vi независимых ре-
шений, которые обозначим
WiVi (ж), ... , uV{Vj. (я), i = 1, g. (4.20)
Так как операторы XiVp ..., XV{Vi и X1V;a ..., XVj.Vj при ком-
мутативны: [Xr, Хд = 0, г'С{1гь ..., VjVi}, 7'€{14, •••» то
для функций (4.20) получим тождества
X+X^'Uiv- (ж) = 0, ... , X^X^v.Vi (ж) = 0,
из которых немедленно следует, что X,-uiV; (ж), ..., X^uVjVi (ж) —
функции uVj:
XyUlv. (х) = Olvj (wVj), ...» Xj'UViVi (ж) = CDvjvj (ЩД-
Полученные формулы доказывают, что функции (4.20) оператора-
ми из 33(i) переводятся в себя, а операторами из ЭЗ1^, i -=fc j аннули-
руются. Замена переменных (4.17), где в качестве uiv. (х), ..., uVjVj(x)
следует выбрать функции (4.20), преобразует операторы Хр к виду
(4.18). Следовательно, функции (4.20) порождают системы импри-
митивности группы со свойствами (4.15). Получение условий 2 из ус-
ловий 1 очевидно, если воспользоваться приведенным видом (4.18)
операторов Хр. Докажем, что из условий 1 следуют условия 3. Обо-
значим через 33Vj+...+Vg е= 33(,) + ... 4- 83(б), j = 1, g, идеал в S3 и
через — соответствующую ему подгруппу в в, которая согла-
сно теореме 4.4 является нормальным делителем в В получен-
ном таким образом композиционном ряде (4.16) фактор-алгебрам
33Vj.+1+...+Vg/83Vj.+...+vg = 83(5) соответствуют подгруппы ® (33(Л), яв-
ляющиеся его фактор-группами 30?+ Обратный переход от условий 3
к условиям 1 также базируется на теореме 4.4, устанавливающей
взаимно однозначное соответствие между идеалами в 33 и нормаль-
ными делителями в @.
Следствие 4.1. Для того чтобы система (4.1) была диагонализи-
руема, необходимо и достаточно, чтобы в условиях теоремы 4.6 ал-
гебры 33(1), ..., 83(б> были одномерный их базисные элементы Хх, ...
..., Хп коммутировали между собой: [X,, XJsO, г, у = 1, п.
Сформулируем утверждение о приводимости (агрегируемости)
исходной системы.
Теорема 4.7. Пусть обертывающая группа ® системы (4.1)
транзитивна над £) (G). Система (4.1) приводима (агрегируема)
тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквива-
лентных условий:
1. Обертывающая алгебра 33 системы имеет цепочку идеалов
33 = 33О, 33х, ... , 33g_i;
Я30=>831=> ••• =>53g_b [33;, 33г+р] с 33,-_р, р>1,
в которой факта р-алгёбры 33w = 33j_i/33, имеют размерности Vjfi
4 + ... + vs = п.
76
2. Обертывающая группа @ системы имеет g систем импримитив-
ности определяемых функциями
= {«1V, • • • > uvtvt (х), ..u1V} (ж), ..., uVjV. (ж)}, / = 1, g,
таких, что для всех Т’х Е ® имеют место соотношения
ТXUlVj (•О = • • • s MV,V„ • • • »
T'xUv-vj (ж) = (DxvjVj (K1v,i • • • > wViVi» • • , wlVj> • • » wvjVj)> j = 1» S’
3. Обертывающая группа в обладает композиционным рядом
, в<₽—1>, 1, составленным из нормальных делителей, и
рядом фактор-групп 91, 91х, ..., 91g—i, 9Ig; 91, = dim9Ij ==
= Vj, причем 9Ij9Ij+p cz 9lj_}_p, p^l.
Замена переменных
Zlv,- = U\v; (ж), . . . 4 Zv.v. = uvjVj С2-).» 7 ~ Si (4.21)
преобразует систему (4.1) к приведенной (4.5).
Доказательство. Рассмотрим условие 2. Замена перемен-
ных (4.21) преобразует базисные операторы Хп, ..., Хп алгебры S3
к виду
g г -I
ХР = Z • • • ’ М ~д^- + • • • + (zV1, . •. zv.) .
5=1 L lv5 V5V5 J
(4.22)
Оператор U E 23 и в новых переменных имеет идентичную структуру!
g г -1
U = X “iv; (zV1! ... Л ZVj.) + • • • + (0v-v3- (zVli: . . . а zv.) .
5=1 L ? vi vi J
(4.23)
По оператору (4.23) легко найти вид приведенной системы (4.5).
Необходимость условия 2 сразу следует из вида приведенных опера-
торов (4.22) базиса.
Покажем, как при выполнении условия 1 найти системы импри-
митивности (4.21). Обозначим базисные элементы фактор-алгебр
23(,) через Xiv., ..., XVjVj.. Очевидно, что подалгебра 23х может быть
образована элементами из 23<Z),, ..., 2?(е).
Рассмотрим полную систему уравнений в частных производных
Xlv,/ = Qi . . . , H.VsVsf — 0» • • • ii Xlvg/ = Qs ••• a XVgVgf = 0.
Эта система замкнута и имеет vx независимых решений^и^, (ж)4 ...
••• > Wv.v, Операторы из 23х допускают операторы 23(1):
£
[X, Y] = X clvX1Vj + ... + С v.XVjV V X еИ Y G Ж(1>.
5=2
Как видно из выписанных равенств, функции uiVl, ..., uVtVt перево-
дятся операторами из 23(1) в функции от uiV1! ..., uVtV1, а следова-
тельно, и любым оператором X £ 23 в функции от ujVtl ..., uVtV1.
77
Далее, рассмотрим систему
XivJ = 0, ... , XVaVJ =0, ... , X1Vg/ = 0, ..., xVgVgf = о,
образованную из базисных операторов подалгебры 232. В качестве
ее решений можно выбрать Vj функций uiV1, uVlVt, дополнив
их еще v2 независимыми функциями wiv21 ...» Система функций
•^2 “ 1 • • • ♦ ^V2V2}
образует систему импримитивности. Действительно, так как —
идеал в 23, то для всех X С 23(1), Y £ 23<2) имеем
[X, 23(1)] £ 232, [Y, 23(2)] € 23,
и, как следствие, функции из ЭД2 переводятся в функции от wiV1,...
.^lv2» •••> ^v2V2*
После конечного числа шагов получим систему уравнений
x1Vg/ = o, ..., xVgVg/ = 0,
образованную из базисных операторов алгебры 23g_i = 23(ё).
В качестве ее решений можно выбрать п — функций '
1 ~ • • • 1 Mlvg_p • • • 5 ^Vg_jVg_j}-
Операторы XJVg, ..., XVgVg допускают полную систему операторов
XiV1, ..., XV1V1, ..., XtVg_p ..., XVg_lv j и, как следствие, функции
£№g_i переводятся элементами группы в в функции от элементов
ь Тем самым доказано, что i — система импримитивности.
Наконец, последнюю систему импримитивности можно получить,
дополнив множество функций независимыми функциями
uivg, •••, uvgvg До полной системы п независимых функций в G. Ос-
тальные пункты теоремы доказываются аналогично тому, как это
сделано при доказательстве теоремы 4.6.
Следствие 4.2. Для того чтобы система (4.1) была триангулизи-
руемой, необходимо и достаточно, чтобы в условиях теоремы 4.7
алгебры 23(1), ..., 23<п) были одномерны и их базисные элементы Х^
Хг, ..., Хп удовлетворяли условиям
[Xj, Х2] = Х12Х2, [Xj, Xg] = ZjgXg, . . . g [Xj, Xn_j] =
= ^i.n—iXn—i, [Xj, Xn] - XjnXn;
[X2, Xg] = X2gXg, . . . , [Xg, Xn_j] — 1ХП—1, [Xg, Xn] = ^nXjjJ
[Xn—21 X„-j] — ^n-e2,n—lXn—i [Xn—2, Xn] —
~ ^“n~ 2,n—-lXnJ
[X„—1, Xn] = —l,nXn.
Проиллюстрируем теорию примером.
Пр и мер 4.1. Как было установлено выше (см. пример 1.2
гл. 1), система дифференциальных уравнений имеет обертывающую
78
алгебру Ли ’23, порожденную коммутативными операторами
X, = (1 — г2) х, —---f- х2 —— , Х2 — х2 —------хг -%—.
1 ' ' \ 1 дх! 1 2 дх2 /1 * ‘ SXi 1 5ха
Найдем систему импримитивности SCRT, решив уравнение Х2/ = 0:
= {ui= xi 4- xi}. Аналогично находим систему импримитив-
ности 9Л2, решив уравнение Хх/ = 0: <ЗЛ2 ={11^ = х^х^. Не-
трудно проверить, что для функций и2 справедливы соотноше-
ния
X2
Х1и1 = uj (1 — щ), X1u2 = 0, Х2иг = 0, Х2и2 =14-----.
Произведем в системе (4.16) замену переменных zx = V xl 4- х^. z2 =
= xjx2. В результате ассоциированный с системой (4.16) оператор
(4.17) принимает вид
U = Zj (1 — zi) с (1 4- Z2) g ,
а приведенная система распадается на две подсистемы
-%- = 21 (1 - zb и = - 0(1 4- zi). (4.24)
Если вместо функций хг/х2 в качестве новой переменной выбрать
функцию z2 = arctg (xjx^ (угловую переменную), то второе урав-
нение системы (4.24) упростится: dz2/dt = —о.
§ 5. ПОНИЖЕНИЕ ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ
В СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
== Ди ОЦ? ^Х, • • • J Щпг 0 ф1, (зд» ... 1 ^n)i
at i=i
................... . ................... (5.1)
z
== Ди <Хпз • - « л ty фп/ • • • » ^п)>
где (Xi’j» (ах, ..., ат, t), i' = 1, п, f = 1, I — непрерывные функции
параметров аГ1 ат и независимой переменной t, £ © (G).
Выясним условия, при которых существует замена переменных
х — ф (z), z = ф—1 (х), (5.2)
преобразующая систему к меньшему числу переменных р < п, т. е.
к виду
dz П
37 — 5j Pi/ (®1> * • • ’ 0 (%19 •••«'» Яр? Яр-^i, • • • 5 Zn),
79
Jt — 5j Ppi • • • s Omi t) Чг5 (z1» • • • zp> zp+h • • • л zn)> (5.3)
“r 5=1
dz ——_____—
—= О, к = 1, n — p. (5.4)
Системы такого рода нередко встречаются в приложениях. Суть
подобной приводимости состоит в существовании в системе (5.1)
интегралов, не зависящих явным образом от параметров alt ...;, ат
и независимой переменной.
Обертывающая алгебра 33 для системы (5.2) строится просто.
Представим оператор U, ассоциированный с системой, в форме
= Р1 (а11 • • 0 Xj 4* • • • 4~ Р/1 (йц . • • a Um, t) Х/ц
где операторы Хг, ..., Хд получены в результате перегруппировки
слагаемых и имеют вид
Xj = fjl (ж*, . • .j Жп) —- 4" • • • 4- fin (Жц • • • s жп) ,, j =1, h.
dxt охп
По операторам Хх, ...4 ХЛ строим обертывающую алгебру 83 (см.
§ 2 гл. 1). Пусть базис этой алгебры содержит р несвязных операто-
ров Xi, ..., X^Xft-f-ij..., Хр.
Теорема 5.1. Для того чтобы система (5.1) допускала пониже-
ние числа переменных в системе с помощью обратимого loc G преобра-
зования (5.2), не зависящего явно от параметров at, ..., ап, t, необ-
ходимо и достаточно, чтобы обертывающая группа S3 была интран-
зитивна и имела п — р инвариантов. Нахождение приводящих пре-
образований сводится к нахождению общих решений систем обыкно-
венных дифференциальных уравнений порядка не выше п — р.
Доказательство. Достаточность. Число линейно не-
связных операторов в алгебре 83 меньше п, и, следовательно^ полная
система ХД = 0, j = 1, р, имеет, по крайней мере loc G, п — р неза-
висимых решений фр+1, ..., фп. Дополняя их р функциями до сис-
темы п независимых функций, получим необходимую замену пере-
менных. Отыскание функций ф₽+1, ..., может быть осуществлено
одним из методов [26,; 127], сводящихся по существу к решению пос-
ледовательности систем обыкновенных дифференциальных уравнений
порядка не выше п — р. Необходимость очевидна.
Проиллюстрируем теорию примером.
Уравнения динамических маневров спутника с учетом возмущаю-
щих факторов. Эта задача рассматривалась в ряде работ (см., напри-
мер8 [23]) и здесь приводится в несколько измененном виде.
Пусть движение спутника происходит относительно неподвиж-
ной системы координат XOYZ и описывается с помощью подвижного
трехгранника xoyz, причем всегда г = ri.
80
Направляющие косинусы осей xoyz с осями XOYZ задаются сле-
дующей таблицей:
X Y Z
X tx ty tz
У Пх Пу Пг
z bx by bz
Уравнение движения точки А [23, с. 616] можно представить
после перехода от уравнений для векторов i, j, к к уравнениям для их
проекций в виде
, _ 1 /л Sy du \ с£/И ____ Sy
dv2 ‘ U М2 \ u u3 dv / ’ dv и ’
dt:
— = П,,
dv
~dv~ = М2а3 i = ‘C’ Z* (5*^)
=______?£_n.
dv M2u2 ”
где и = г-1; M = югг2; юг — угловая скорость; v — угол, опре-
деляемый дифференциальным уравнением = юг = M/r2-, gx, gy,
gz — проекции действующих на точку А сил на оси координат.
Вычислим проекцию gz. Ее можно представить в виде суммы:
gz — a, A- g'z, гДе а — управляющее ускорение, под воздействием
которого плоскость орбиты спутника поворачивается в направлении
вектора к; gz — возмущения, вызванные различными факторами.
Ограничимся здесь лишь влиянием нецентральности поля притя-
жения Земли.
При сделанных предположениях вектор возмущающих сил можно
записать в виде
F = — grad R,
где
R = вк —-------------, к = }тогд, е — 0,00108.
Тогда
р дИ т* . дП -j, ек / 15 г2 1 \ т* о ек г
F==-dTl + -srk =— \ — -2----------г)1~3 — — к*
где к1 — единичный вектор оси oz. Замечаем далее, что
-у- = (к • i) = tz; (к1 • j) = nz; (к' • к) = bz;
F = gxi -J- gyj -J- gzk\ gz (fi k) ~r*~
6 7—1641
81
При наличии постоянного управления а = const окончательно полу-
Зе* . ,
чим gz = а----tzbz.
Выпишем теперь систему (5.5) при i = z:
dtz к .. dbz Sz _ /К
dv dv M2as °z tz' dv — W Пг' ’°'D'
К системе (5.6) применим приведенные выше рассуждения. Ассоци-
ированным с системой (5.6) является оператор
Операторы
XI/ . U 7 </
1 dt7 z dnz 9 2 ®пг dbz
образуют замкнутую систему5 так как
[Х15 Х2] = —^Хх—^Х2.
Следовательно, система уравнений
nz
5<р
Ж"
Z-J2--0- Ь-^- — п-^-0
tz dnz -U’ bz дп7 Пг дЪ, ~
(5.7)
(5-8)
(5.9)
имеет 3 — 2 = 1 независимый интеграл. Легко определить общий
интеграл системы (5.9): nz bz + tz = const.
Вводим дополнительные функции w2 = tZ} ws = bz и производим
в (5.8) замену wY = /г, -}- bl tzi — tzi w3 = bz. В результате по-
лучаем для операторов Хх, Х2 в новых переменных w следующие вы-
ражения, которые мы обозначим Ylt Y2:
V 8 1 / 2 2 5
v 8 l/" 2 2 д
Из выражения (5.7) в результате замены с учетом вида операторов
Yx, Y2 получаем
д , 1/ 2 2 д а — Зека4 д
+ V W1—W2—W3 --------W2ws .
Исходная же система (5.6) преобразуется к виду
dw2 1/ 2 2 dw, n
awv Г a , 3e.lt 11/ ?2 2
-37- = ~ |— MW + V Wl - »2~ W3
82
и содержит уже две переменные w2 и wa. Переменная и\ входит в эти
уравнения в виде параметра и\ = wl0 = const.
Выясним условия, при которых преобразованная система (5.3)
не будет зависеть от переменных Zp+t, ..., zm.
Теорема 5.2. Для того чтобы переменные в преобразованной систе-
ме (5.3), (5.4) полностью разделялись, необходимо и достаточно,
чтобы существовали п — р несвязных операторов Xp+i, ...а Хп,
коммутативных с базисными операторами Х1; ..., Хр:
[Хц Xj == О, i = 1, р, j = р + 1, п.
Доказательство. Достаточность. Если существуют та-
кие операторы, то они составляют полную систему и их независимые
решения (х), ..., фр (х) переводятся операторами Хг, ..., Хр сно-
ва в функции от фи ..., фр. Поэтому в уравнениях (5.3) функции
не будут зависеть от переменных zp+i, ..., zn.
Необходимость очевидна.
Следствие 5.1. Если известна полная система операторов Xp+i,...
..., Хг, г < п, коммутирующих с Хп ..., Хр, то в преобразованной
системе выделяется подсистема, зависящая от г переменных:
dz ___
Рю' 0 'Пц/ (zl, • • - zr)> — 1» г-
;=1
dz .5, --------
P₽i(а’ *) 'Hpj (21’ ’ - • ’ z«)’ Р = Г + 11 Р'
§ 6. АЛГЕБРАИЧЕСКИ ПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ
Результаты § 1 могут быть распространены на широкий класс
уравнений. Рассмотрим операторное уравнение
(а, у)Ьгх+ • • • + Jlh (а, у) Lhx = (6.1)
где Lu ..., Ьь — некоторые линейные операторы, зависящие от
переменных!/ = \у1г ..., ут||и действующие на вектора; = colon||«п ...
•••> #n||; c/Zo, c/Zi> •••> Ль — квадратные матрицы п-ro порядка, завися-
щие в общем случае от параметров а = ||ап ..., аг || и переменных х.
Операторы Li — перестановочные с матрицами Ль т- е- Лл^х =
s ЬгЛзх, h j — l j Переменные х, у, а изменяются в некоторых
областях соответственно £2Ж, (2У, (2а (Ох б R”, € R”, б Rr)-
К уравнениям могут быть добавлены матричные соотношения для
граничных и начальных условий.
Под алгебраической приводимостью системы (6.1) будем понимать
возможность ее разбиения на подсистемы меньшей размерности (в
совокупности эквивалентные (6.1)) с помощью замены х = Sz3 где
5 — постоянная матрица размерности п X п, z = colon jzj, ...
..., Zn || — вектор новых переменных.
6* 83
Таким образом, в новых переменных система (6.1) распадается
на подсистемы меньшего порядка в соответствии со структурой мат-
рицы коэффициентов
+ ’ • + = JIqZ, (6.2)
где Jli = S^S = diag {..., i = 0, Zc, — квазидиагональ-
ная (диагональная) матрица либо
* \
........1, 1=0, кг, (6.3)
0 t/lvni /
— квазитреугольная (треугольная) матрица, причем v, + ... -j- vn —
== п.
В случае полного распадения системы (6.1) (структура матриц
задается уравнениями (6.2)) будем ее называть алгебраически вполне
приводимой либо алгебраически приводимой, если имеют место соот-
ношения (6.3).
Примерами систем вида (6.1) могут служить обыкновенные диф-
ференциальные уравнения
. dx । dkSL .
.с заданными начальными условиями
х (*о) = ж0> я™ (to) - 41’, ...» Ж(й) («0) = Жо;
системы дифференциально-разностных уравнений
А А
S (AiX (t —hi) = 2 ^iX (t — hi)
с начальными условиями
ж(0 = ^(0» О^г^Лй, О<Ло<Л1< ...
Можно привести и многие другие примеры.
Исследование приводимости общей системы вида (6.1) принци-
пиально не отличается от исследования систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с переменными коэффициентами (см. § 1)
и сводится к построению порождающей совокупности матриц (3 ((\, ...
..., Qm}> а по ним — обертывающей матричной алгебры й’. Поэтому
при исследовании полной приводимости системы (6.1) остановимся
еще на одном подходе, отличном от описанного в предыдущих пара-
графах.
Согласно теореме 1.21 в случае полной приводимости алгебры
система алгебраических уравнений
(?,€₽. (6.4)
имеет нетривиальное решение X =/= 2.S. Будем называть матрицу
2.S, det 0, удовлетворяющую равенствам (6.4), нетривиаль-
84
ным коммутантом и обозначать множество таких матриц символом
fp. Если cz fp, то и € fp. Следова-
тельно, совокупность fp является в действительности группой.
В свете сказанного любая замена переменных х = 3izi 32. Е fp» остав-
ляет систему (6.1) инвариантной (см. § 4 гл. 1). Та часть теоремы 1.21,
которая касается полной приводимости, может быть переформулиро-
вана следующим образом.
Теорема 6.1. Система (6.1) алгебраически вполне приводима
в том и только в том случае, когда она инвариантна относительно
преобразований из группы 1fp.
Группа fp является в общем случае конечномерной группой Ли.
При ее исследовании полезно перейти к групповой алгебре 3₽» об-
разованной элементами
a\3ii + • * • + #1» • • • > Е к, ^1, 32т € fpj
и их всевозможными конечными произведениями.
Второй подход, указанный выше, состоит в исследовании группы
fp, допускаемой системой (6.1), или ее алгебры 3₽- Между двумя
указанными подходами существует полная однозначность. Так,
если общий элемент 30 ® приводится к виду
зс =
c/Zv, ... 0 0 ... о 0 ...
0 • • • t/lv. 0 ... 0 0 ...
0 ... о t/lv-j ... 0 0 ...
0 ... 0 0 • • • (Av-, 0 ...
0 ... 0 # 4 « • • 0 • • • ... о • » « » • e/Zv8 • • •
(6.5)
то любой элемент $ £ Зр будет иметь (в силу
kuSv, ... MvA О
коммутативности) вид
О
& =
Mv, - • • 4v»£v. о ... о
о ... О • • • ^2vsSv,
О
О ^V,l^Vr • . • • •
В первом блоке матрицы (6.5) есть кг одинаковых квадратных матриц
c/lVt, во втором блоке — к2 одинаковых квадратных матриц и
т. д.; так как — произвольный элемент из й, то Jlv,f ... уже
далее неприводимы.
Применение каждого из рассмотренных подходов зависит от кон-
кретных условий задачи и сложности реализации получаемых алго-
ритмов. При этом необходимо учитывать такое общее замечание.
1 Тривиальный случай, когда группа fp содержит лишь единичный элемент,
исключается.
80
К достоинству метода алгебраической приводимости следует от-
нести принципиальную простоту его реализации, так как матрица
•S’ не зависит от параметров и ее вычисление даже для систем высокого
порядка окупается достигаемыми преимуществами от редукции ис-
ходной системы (6.1).
Недостатком же данного метода является узость класса приводи-
мых в указанном выше смысле систем. Поэтому достоинства метода
могут в известной степени компенсировать его недостатки лишь в
том случае, когда будут существовать достаточно просто проверяе-
мые априорные критерии приводимости (см. теорему 1.2).
Случай конечности допускаемой группы. Пусть установлена ка-
ким-либо способом нетривиальная группа f всех коммутантов систе-
мы равенств (6.4). Наиболее полно исследован случай, когда f — ко-
нечная группа т, т. е. число элементов в группе конечно. Метод при-
ведения матричных конечных групп давно используется в квантовой
механике, в частности в теории колебаний молекул [66].
Такой подход оказался плодотворным при решении ряда задач
механики [34], а также в теории автоматического управления [41 —
43].
Остановимся вкратце на идее приведения групповых алгебр f₽.
Конечность группы позволяет полностью установить ее тип. Пусть
группа содержит к элементов, которые будем записывать в виде мат-
риц ..., $/t. Тогда общий элемент алгебры можно представить
как + ... + «йЙ'й, где ..., од — произвольные постоянные
из К.
Знание типа группы позволяет определить (обычно с помощью
заранее составленных таблиц) все возможные матрицы — блоки JlVl,
t/lv„ •••» входящие в приведенное представление элемента (6.5). Мат-
рицы e/Zva, ... отнесены к некоторому стандартному базису и,
следовательно, имеют вполне определенные числовые значения.
Поэтому задача приведения принципиально сводится к решению
следующих матричных уравнений относительно матрицы приведе-
ниям
&i5 = 5diag{»V?, f = (6.6)
где $, пробегают все элементы группы; S'v,, ...,, — известные
квадратные матрицы.
В действительности можно не решать системы (6.6), а из элемен-
тов iS'v!, ••• и i = 1, к, построить матрицы-проек-
торы ..., с помощью которых разложить пространство V
в прямую сумму инвариантных подпространств Vv<, VVj, ... Мат-
рица S, составленная из базисных векторов этих подпространств,
и будет искомой приводящей для й и fp.
Замечание 6.1 Совершенно очевидна связь результатов
теоремы 6.1 с результатами § 1. Поэтому не представляет принципи-
альных трудностей переформулировка теорем 1.10, 1.21 в терми-
нах допускаемых групп и соответствующих им алгебр.
1 Обычно здесь используется симметрия изучаемого объекта.
8в
Рис. 1
В заключение приведем ряд примеров из механики, которые слу-
жат иллюстрацией возможностей описанного подхода.
Пример 6. 1. Уравнение движения редуктора, кинематическая схема ко-
торого изображена на рис. 1, можно представить в виде
_ da<p „
(6.7)
где с? = diag {Jlt ..., У8} — матрица моментов инерции соответствующих при-
веденных масс, изображенных на рис. 1; <р = (<рх, ..., <р8) — вектор углов пово-
ротов соответствующих связей; Q — матрица упругостей соответствующих свя-
вей, имеющая вид
— ci2 C12 0 0 0 0 0 0
C12 Pl c23 C24 0 0 0 0
0 C23 P2 0 C35 0 C37 0
0 C24 0 Ps 0 C48 0 c48
v — 0 0 c№ 0 C3S 0 0 0 t
0 0 0 C46 0 — C46 0 0
0 0 c37 0 0 0 C35 0
0 0 0 c48 0 0 0 — C4S
Pi — C12 C23 C24> P2 = — C23 C33 C37’ Рз = c24 c48 — c48
Составим для системы (6.7) соответствующую систему (6.4):
QSi = &tQ.
(6.8)
Если моменты инерции , ..., Js разные, то система (6.8) не имеет решения,
кроме тривиального Я = так как коммутантом д являются лишь диагональ-
ные матрицы.
Вместе с тем попробуем выяснить, при каких значениях параметров система
(6.7) будет алгебраически приводимой. Обратимся к рис. 1. Совершенно ясно,
ЧТО при Уд = J4, Jg - Уд, У? = Уд, Сдд = Сдд, Сдд — СЗТ = Сдд Граф НЯ РИС. 1,
изображающий кинематическую схему редуктора, допускает отображение на
себя: Уд -* Jt, -t- Je, Ji Js, -* Ух, У2 J2, что соответствует в системе
87
(0.7) замене переменных»
<Р1 10000000 Ф1
Ф2 0 1 000000 ф2
Фз 00010000 Фз
ф = <Р4 — 001 00000 Ф4 = Яф.
% 00000100 ф»
Фв 00001000 Фз
Ф7 00000001 ф?
Фз 0 0 0 0 0 0 1 0 Фе
Непосредственной проверкой можно убедиться, что матрица <71 из (6.8) ком-
мутирует с матрицами
&—(74, ^2’ ^3 Ап Л>» А» А)
— С12 Ci2 0 0 0 0 0 0
С12 Pl- С23 С23 0 0 0 0
0 C2i Р2 0 С35 0 ®37 0
6 — 0 с23 0 Рз 0 в35 0 С37
0 0 С35 0 С35 0 0 0
0 0 0 С35 0 С35 0 0
0 0 с37 0 0 0 — С37 0
0 0 0 с37 0 0 0 — с37
где
Pl----С12 С23 С24! ₽2-----С23--С35 С37> Рз — С23 СЗВ С37‘
Следовательно, 5? =# М? и система (6.1) алгебраически приводима.
Матрица Si обладает свойством Si2 = <^, т. е. порождает конечную коммута-
тивную группу, состоящую из двух элементов {^, Si}.
Используем теорему 1.21. Характеристический многочлен матрицы Si имеет
вид
ф (Л) = (Л + I)5 (Л - 1)8. (6.9)
Можно построить операторы проектирования на подпространство ИБ размер-
ности 5 и на подпространство Va размерности 3 в соответствии с кратностью
корней (6.9). Однако проще определить базисные векторы ИБ из системы
(SI — св = (Si — ^)б ы = О
и базисные векторы Иа из системы
(Si — Z,2^)s и = (Si + ^)8 © = 0.
(6.10)
(6.Н)
Решая (6.10) и (6.11), получаем соответственно базисные векторы
CBj = colon || 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 01|,
сва = со1о ||0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0(|,
свБ = colon || 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 11|,
св, = colon || О, 0, 0, 0, —1, 1, 0, 01|,
сва = colon || 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 01|,
со4 = colon || 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 01|
свв = colon || 0, 0, —1, 1, 0, 0, 0, 01|,
(ва = colon || 0, 0, 0, 0, 0, 0, — 1,11|.
Таким образом, S = || ®х, со2, сва, ы4, <вБ, сов, со7, <в8 ||; легко также вычислить
обратную матрицу: = || elf е2, еа, е4, ев, ев, е7, еа ||, где
е4 = colon |]1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 01|, е2 = colon || 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 01],
88
е3 = colon || 0, 0, 1/2, 0, 0, — х/2, 0, 0, ||,
е4 = colon И О, О, х/2, О, О, х/2, 0, 01|,
e8 = colon||0, 0, 0, х/2, О, О, - х/2, О||,
ев = colon || О, О, О, х/2, О, О, х/2, О ||,
e, = colon||0, О, О, О, х/2, О, О, — х/а(|,
е8 = colon || О. О, О, О, х/2, О, О, */2||,
При этом
где S имеет следующую квазидиагональную
структуру:
s-^s = С12 С12 0 в 0 с12 Pi 2c2S 0 0 0 с23 Рг с35 esi 0 0 Cgg Сдр О 0 6 С85 4 С3; 0
1) fJ2 С3? С37 С35 С35 с9? 0 с3.
Таким образом, исходная система порядка 16 распалась на две независимые под-
системы 1С и 6-го порядков
п ример 6.2. Рассмотрим уравнения движения механическои си стемы ,
представленной на рис. 2:
3 Кз Кз
Ул 2 в1 0 0 2 °' 2 Ул
3 1 1
Уч 0 2 — а, 2 1 2 1 Уч
d2 dt2 Уч + 0 — ai ач + аз 0 Уз = 0.
Г’з 1 а2 *Ь а3
yt 2 «2 — «2 0 0 Уь
Кз 1
Уз а<2 0 0 а2 4- as Уз (6.12)
Здесь ах = kjmx, а2 = kjn^, а3 = kjM', klt к2 — жесткости пружин; ти т2 —
массы колебающихся тел.
Система (6.12) рассматривалась в работе [41], где было показано, что она
допускает конечную группу преобразований, на основе чего выполнена де-
композиция системы на подсистемы меньшей размерности. Декомпозируем си-
стемы в соответствии с результатами § 6. Матрицу системы (6.12), которую обо-
значим через в, представим в виде суммы:
"1“ °^2 -j-
89
где
3 0 0 /з Уз
2 U 2 2
3 1 1
0 T - 1 T 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 — 110 0 Ss = 0 0 10 0
<?t = Гз 1
2 -2-010 0 0 0 1 0
Из 1
2 — 0 0 1 0 0 0 0 1
Из матричного уравнения iSffi = / = 1, 3, находим общий элемент груп-
повой алгебры -Зр, соответствующей системе (6.12), в виде
% = Мв + ь2^1 + ья%2, 62,
0 0 0 0 0 — 1 0 0 0 0
0 — 2 0 0 0 0 10 0 0
<ar = о Л1 — 0—111 . %* = 0 0 10 0
0 0 10 0 0 0 0 0 1
0 0 10 0 0 0 0 10
Выполним приведение системы нулевого приближения по матрице Ха-
рактеристические числа этой матрицы таковы: Zj = О, 2^ = О, 2.3 = —2, Х4 =
= —2, Хв = 1. В качестве матрицы преобразования выберем матрицу
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 ;j о о 1 i
0 0 10 0 Г 2
II 7 Co 4^ CO 1 о о о II Oj 0 1 0 0 0
0—10 1 1 0 0 1 i 1
з" "e" 6
0 10 11
1 i 1
0 0
3 IF *3~
Столбцы матрицы S — независимые векторы из корневых подпространств & (0),
.^'(—2), & (1) матрицы %!. Тогда преобразованная система (6.12) в результатб
замены
у = Sz, z = colon || • • • • z6 II
90
распадается на три независимо интегрируемые подсистемы порядков 4, 4 и 2:
d2 dt2 zi Z2 z3 + 3 2 /з 2 “2 /3 а, а2 + а.ч 0 0 3 0 0 0 0 zf г2 23 = 0.
Z4 Z5 0 0 0 0 i «у 2 2 За, а2 4* а3 0 0 z4 z5
0 0 0 0 а2 + аз
ГЛАВА 3
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
$ 1. ОБЩАЯ СХЕМА АЛГОРИТМА
АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
& ~ ® (•*•)» х (^о) = хо> (1Д)
где х = colon || xv ... g хп ||; ® = colon || coj (х), ... со„ (ж) ||; «ч (х) С © (G)t
i — 1, п; G0 = I х G£Rn+1, G£ Rn, t£ I, — область существова-
ния и единственности решения задачи Коши системы (1.1); £) (G) —
многообразие аналитических функций, определенных в G.
Пусть £)(1) (G) обозначает множество линейных дифференциаль-
ных операторов в частных производных первого порядка (в дальней-
шем просто операторов) с коэффициентами из © (G).
В основу изучения системы (1.1) под действием малых возмущений
положим структурные свойства, характеризуемые некоторой группой
инвариантности. Система (1.1) инвариантна относительно локальной
однопараметрической группы Ли преобразований, имеющей вид ряда
х = exp (pZ (ж)) х (1.2)
(ц — параметр, характеризующий группу; Z — некоторый оператор
из (G), если под действием этого преобразования она перехо-
дит в систему dx/dt = со (ж), совпадающую с исходной с точностью
до обозначений). Как известно, для того чтобы система (1.1) была
инвариантной относительно преобразования вида (1.2), необходимо
и достаточно, чтобы оператор Z был решением уравнения (см., на-
пример, § 4 гл. 1)
[С7, 5] = О,
(1.3)
где V = (х) —|- • • • соп (х) -£ линейный дифференциаль-
ный оператор, ассоциированный с системой (1.1); [,] — скобка Пуас-
сона.
Если ZT, Z2 — какие-либо решения уравнения (1.3), то их реше-
нием также является скобка Пуассона [Z1, Z2], как это следует из
тождества Якоби
[U, [Zn Za]J + [Za, [U, Zj]] + [Zx [Z2, UUe0.
02
Множество всех решений уравнения (1.3) образует алгебру Ли
23О, которая вполне характеризует исходную систему (1.1). Заметим,
что алгебра 23О не пуста, так как содержит элемент S = U. Совер-
шенно ясно, что для любого элемента Z £ 23О преобразование (1.2)
оставляет инвариантной систему (1.1).
Совокупность преобразований (1.2), где Z £ 2?0, порождает не-
которую псевдогруппу @ (2%). Однако во всех дальнейших рассуж-
дениях достаточно рассматривать лишь алгебру 2%, порождающую
эту псевдогруппу. Алгебру Ли 2?0 будем называть алгеброй центра-
лизатора элемента U (более подробно этот вопрос рассматривается
ниже).
Замечание 1.1. Существование псевдогруппы инвариант-
ности (или, что одно и то же, алгебры, определяемой решением опе-
раторного уравнения (1.3)) не является каким-либо существенным
ограничением, накладываемым на систему нулевого приближения.
Например, если система (1.1) обладает общим решением в некоторой
подобласти V из G, то можно показать, что существует п линейно не-
связных решений уравнения (1.3) в V. Справедливо также обратное
утверждение. В процессе обоснования алгоритма асимптотической
декомпозиции обнаруживается, что существование псевдогруппы
инвариантности связано с наличием интегралов системы дифферен-
циальных уравнений, сохраняющих точку покоя, и рядом других
фундаментальных понятий.
Подвергнем систему (1.1), которую в дальнейшем будем называть
системой нулевого приближения, малым возмущениям ею (х'):
= (х’) 4- ею (ж'), х‘ (t0) = ж0, (1.4)
где ю (ж') == colon || coj (ж!), ...,, юп(ж')||, ю, (ж') £ £) (G), i = 1, п, е —
малый положительный параметр. Через Goe = J X Je X G £ Rn+2,
Je = [0, 1], обозначим область существования и единственности ре-
шения задачи Коши системы (1.4), которую назовем возмущенной
системой. В соответствии с общей идеей, высказанной во введении,
сопоставим систему (1.4) с некоторой эталонной системой. С этой
целью произведем в системе (1.4) замену переменных в виде ряда Ли
ж, = ехр (eS) ж,4 / = 1, nt (1.5)
где
ехр (eS) = 1 -j- S 4- -^-S2 4- ... |
S = S14-eS24-...; S4 = TiJ (ж) . - 4- у1п (ж) । (1.6)
S{ е П1’ (G), I =ТГп.
Легко выписать обратное к (1.5) преобразование: ж; = ехр (—eSr)xj.
Используя тесную связь системы (1.4) с ассоциированным с ней
93
дифференциальным оператором
Uo = U' + ей', (1.7)
где
U' = (ж') —д-г- 4- • . • 4- (On (ж') -4- ,
ох, дхп
подвергнем этот оператор преобразованию (1.5) и затем перейдем
к преобразованной системе обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Вид оператора Uo после преобразований (1.5) дает формула
Кэмпбелла — Хаусдорфа (подробнее см. в § 3 гл. 1)
Uo и0-------гг [U«’ S1 + 4г [[и0’ S]-------FT [[U°> Sb Sb S] + • • •
Подставляя в эту формулу значения операторов Sh Uo, задаваемые
соотношениями (1.6) и (1.7), после несложных выкладок для опера-
тора Uo в новых переменных получаем
Uo -> Uo= U 4- е (— [U, St] 4*4* • • • 4~e'v (— [U, Sv] 4-^v) + • •.» (1-8)
где Fj = U; Fa = — [U, Sj 4—[U, [U, Sj],...; Fv — известная
функция от операторов U, U, S15 ... Sv_i, явный вид которой можно
найти, выполнив соответствующие вычисления Ч
Вид преобразованного оператора Uo, а следовательно, и соответ-
ствующей ему системы дифференциальных уравнений зависит от
способа выбора последовательности операторов
S„ S2,.... (1.9)
которые пока не определены. Для нахождения этих операторов об-
разуем последовательность операторных уравнений
[U, S;] = Fj, / = 1, 2,... (1.10)
Образованная бесконечная последовательность имеет рекуррентный
характер, как это следует из структуры правых частей Fx, F2, ...
Решив первые уравнения системы, определим правую часть F2 второй
системы и т. д. Так как уравнения системы (1.10) имеют одну и ту же
однородную часть, то для исследования вопроса о ее разрешимости
достаточно рассмотреть одно уравнение
[U, S] = F, (1.11)
которое будем называть уравнением-представителем системы (1.10).
В правой части уравнения (1.11) может стоять, вообще говоря, про-
извольный оператор F 6 £)(1> (Q- Разрешимость операторного урав-
нения (1.11) определяется структурой решения однородного уравне-
* Здесь для упрощения записи использованы принятые в § 3 гл, I обозна-
чения функций / (?) ее/' и / (х) = /.
84
ния (1.3), которое в свою очередь порождает алгебру централиза-
тора 12%.
Неоднородное уравнение (1.11) должно иметь решения с опре-
деленными аналитическими свойствами. Например, оно не должно
содержать секулярных членов на траекториях системы нулевого при-
ближения, сохранять точку покоя и т. д. Это возможно лишь в том
случае, если правая часть уравнения (1.11) не содержит элементов
из 2%.
Реализация нужных свойств решения операторных уравнений
осуществляется заменой системы (1.10) системой
[U, S,] = F, — prF,, ) = 1, 2,..., (1.12)
где pr Fj обозначает проекцию оператора F, на алгебру 2?0 (точное
определение этого понятия приводится ниже). Пусть последователь-
ность операторов (1.9) определена из системы уравнений (1.12),
тогда преобразованный оператор (1.8) Uo примет вид
Uo = U J-eNx... 4-evNv4-...e (1.13)
где введено обозначение
Nv^prFv^f , v=l, 2f... (1.14)
7=J
По оператору (1.13) восстановим преобразованную систему!
щ (ж) 4- eN (ж) ж,а j = 1, п, (1.15)
где N (ж) = Nx (ж) 4- ... + ev—*NV (ж) 4- ...» или, учитывая структуру
операторов (1.14), запишем ее с помощью известных коэффициентов:
dx °° -
= СО, (Ж) 4- £ Evbvjo (X), j = 1, п. (1.16)
V=1
Обертывающей алгеброй Ли полученной системы (1.15) (или (1.16))
является алгебра централизатора 23О. Чтобы подчеркнуть эту связь
системы (1.15) с алгеброй централизатора 2%, будем называть систему
(1.15) централизованной. В теоретических выкладках будем отдавать
предпочтение операторной форме (1.15) записи централизованной
системы.
Таким образом, эталонной системой для исходной возмущенной
системы (1.4) является централизованная система (1.15). Эта система
получается из возмущенной с помощью преобразования в виде рядов
(1.6), где операторы Sb S2, ... являются решениями системы уравне-
ний (1.12).
Централизованная система (1.15) обладает следующими свойст-
вами: ее нулевое приближение совпадает с системой нулевого
1 Централизатором множества Р из алгебры Ли L называется совокупность
элементов из L, перестановочных с этим множеством Р. Централизатор множест-
ва Р является подалгеброй в L (см. например, [16]). В рассматриваемом случае
алгебра централизатора обозначает централизатор элемента U в 58.
95
приближения (1.1) и она инвариантна относительно однопараметриче-
ской группы преобразований:
х — ехр (pU (ж)) х, (1.17)
где х = colon || xlt ..., Жп||, U — оператор, ассоциированный с си-
стемой (1.1) нулевого приближения.
Описанный алгоритм перехода от возмущенной системы (1.4)
к централизованной (1.12) назовем алгоритмом асимптотической де-
композиции.
Инвариантность централизованной системы относительно одно-
параметрической группы (1.17) можно принять в качестве ее опреде-
ления и сформулировать полученный результат следующим образом:
алгоритм асимптотической декомпозиции ставит в соответствие воз-
мущенной системе (1.4) в качестве эталонной системы централизован-
ную (1.15); централизованная система инвариантна относительно
однопараметрической группы преобразований (1.17), в то время как
возмущенная система инвариантна относительно этой группы лишь
в нулевом приближении.
Интегрирование централизованной системы (1.15) проще, чем ис-
ходной возмущенной системы (1.4). Соответствующие теоремы при-
водятся ниже.
Проведенные рассуждения поясняют суть алгоритма асимптоти-
ческой декомпозиции, носят описательный характер и, естественно,
нуждаются в строгом обосновании. Введем некоторые уточнения и
вспомогательные понятия, которые были опущены при первом обсуж-
дении проблемы.
Выше была указана определяющая роль в построении алгоритма
асимптотической декомпозиции решений однородного уравнения
(1.3). Эти решения будем искать в обертывающей алгебре Ли $8 воз-
мущенной системы. Она порождается операторами U, U и содержит
элементы U, U, [U, U], (U, [U, U]], ..., полученные путем вычисления
скобок Пуассона от этих операторов. Очевидно, Я30 с ® s £)(1) (G).
Наряду с уравнением (1.3) на алгебре 53 можно рассмотреть также
уравнение
[U, [U, Y]] = 0. (1.18)
Нетрудно показать, что все решения уравнения (1.18) ив $8 также
образуют алгебру Ли 53(1‘, причем 1 53,, <= 53(1). Алгебру 53(1) бу-
дем называть алгеброй централизатора второй степени (по числу
скобок Пуассона в уравнении (1.18)). По индукции можно опре-
делить алгебру централизатора произвольной степени к. Всюду в
дальнейшем, если не оговорено противное, ограничимся рассмотре-
1 Действительно, пусть Y — решение уравнения (1.18) и Y Я80, Z f Я30.
Необходимо убедиться, что |Y, Z| удовлетворяет уравнению (1.18). Иа тождест-
ва Якоби [U, [Y, Z)1 + [Z, 'U, Y]| + [Y, |Z, U|| ^0 следует, что оператор [U,
| Y. ZJ] принадлежит 83О, так как [Y, [Z, UJ] кв 0 и [Z, [U, Y]] £ Я30.
86
нием алгебр централизатора первой степени, т. е. предполагаем вы-
полнение тождества 23(1) =э 28О. Именно этот случай имеет наиболь-
шее практическое значение. Рассмотрение же сразу общей ситуации,
не внося принципиальных изменений в рассуждения, сильно услож-
няет выкладки.
Другой важнейшей подалгеброй наряду с 28О является подалгеб-
ра 23„ s 8?, допускаемая оператором U. Ее элементы удовлетворяют
соотношению [U, 23п1 = 23п.
Определим линейное отображение Lv, действующее на алгебре
Ж, формулой LVX = [U, X], X £ 23. Таким образом, алгебра цент-
рализатора 2% является ядром отображения Lu, а алгебра 23?1 — его
образом.
Возвращаясь к неоднородному уравнению (1.11), отметим, что
выбор оператора pr F и нахождение оператора S из уравнения [U,
S] = F — pr F опирается на следующее основное свойство разложи-
мости обертывающей алгебры Ли 23: любой элемент F £ 28 однознач-
но представим в виде суммы:
F = Foa + FOn, F0a£ 230, FonCSSn- (1.19)
Определение 1.1. В предположении о выполнении свой-
ства разложимости (1.19) в качестве проекции оператора F примем
PtF-SFoa.
Свойство разложимости (1.19) является определяющим при выборе
систем, к которым применим алгоритм асимптотической декомпози-
ции, и будет доказываться в каждом отдельном случае. Остановимся
на решении операторного уравнения (1.3), определяющего алгебру
23О. Могут представиться два принципиальных случая.
В первом случае система (1.1) нулевого приближения в рассмат-
риваемой области не имеет точек покоя. Используя классические тео-
ремы о существовании и единственности решения систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений, можно показать, что решения-
ми операторного уравнения (1.3) являются, по крайней мере локаль-
но (в окрестности каждой точки), п линейно несвязных операторов
из £)(1) (G). Обоснование алгоритма в этом случае проводится особен-
но просто для систем нулевого приближения общего вида (1.1).
Во втором случае система (1.1) нулевого приближения содержит
в рассматриваемой области точку покоя х = 0. Обозначим подмно-
жество функций из £) (G), обращающихся в ноль при х = 0, через
£)0 (G), соответственно дифференциальные операторы, определенные
на ДЭ0 (G),— через £)о1) (G). Так как по предположению U, U £ fOo1J (G),
то и 23 £ ©о1* (G). Здесь классические теоремы теории дифферен-
циальных уравнений непригодны, а используется аппарат теории
представлений групп и алгебр Ли в подходящих гильбертовых про-
странствах. Обоснование алгоритма асимптотической декомпозиции
требует в этом случае, вообще говоря, знания более тонкой структуры
системы нулевого приближения.
7 7—1641
97
Чтобы различать два описанных случая, будем говорить, что 9? S
s £)(1) (G), если область G не содержит точку покоя, и 93 s £)оП (G),
если область G содержит точку покоя.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИНТЕГРИРОВАНИИ
ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Остановимся подробно на тех преимуществах, которые дает ме-
тод асимптотической декомпозиции, сводя интегрирование исходной
возмущенной системы (1.4) к интегрированию централизованной
системы
-^2-== ец (ж)eN (ж) ж,-, j = 1, п, ж(#0)=ж0, (2.1)
где N (ж) = Ni (ж) + eNa (ж) J- ..., а операторы Nv (ж), v = 1,
2, ... задаются формулами (1.14).
Замечательной особенностью централизованной системы является
возможность свести ее интегрирование к интегрированию системы
нулевого приближения (1.1). Обозначим через G замкнутую подоб-
ласть из G, соответственно Goe = Т X 1ое X G, Т = [а, Ь]. Следую-
щее утвержение о структуре централизованной системы справедливо
для обертывающих алгебр как над (G), так и над Йо* (G).
Теорема 2.1. Пусть в централизованной системе (2.1) коэффи-
циенты оператора N (ж) являются аналитическими функциями
в области GOe — 1 X Ie X G £ Нп+2, е g 1е = [0, 1], t g I — [а,
Ы; тогда можно указать такое число То > 0, что решение систе-
мы (2.1) может быть представлено рядом Ли
х3;= exp (т (N (z)) Zj, T = e(t —10), j — 1, n, (2.2)
где z — colon ||z1, ..., zn|| — решение системы нулевого приближения
rip
= ® (z).> z (^o) ~ zo~ xo- (2.3)
Ряд Ли (2.2) сходится абсолютно и равномерно в области Gdst ~
~ Н X Ie X G.
Следствие 2.1. Пусть решение z (Z, t0, ж0) системы (2.3) нулевого
приближения может быть продолжено на интервал [£0, t0 J- L], L <
< -|-оо; тогда существует такой интервал /8 (i0, ж0) £ 1е, что при всех
е g Ie (i0, ж0) решение централизованной системы (2.1) можно пред-
ставить в виде сходящегося на интервале [Zo, i0 + L] ряда Ли
Xj (t) = exp {tN (z(t, t0, z0)]} Zj (t, t0, z0).
Следствие 2.2. Пусть решение системы (2.3) нулевого приближе-
ния представляется сходящимся рядом Ли
z (I) = ехр [(/ —10) U (ж0)] ж01 t С Uo, t0 4- £]; (2.4)
98
тогда можно указать такой интервал Ie (toxo) £ 1е, что при всех
е £ Je (t0, ж0) решение централизованной системы (2.1) можно пред-
ставить в виде сходящегося на интервале [i0, t0 + L\ ряда Ли
Xj (0 = ехр ((/ — i0) U (ж0)) ехр (tN (ж0)) х0. (2.5)
Доказательство. В централизованной системе (2.1) сде-
лаем замену переменных в виде ряда Ли
х — ехр (tN (z)) zt т=е(( — Zo). (2.6)
Обратное преобразование задается формулой z = ехр (— tN (ж)) х.
Преобразуем вначале соответствующий централизованной системе
(2.1) оператор U(1> = d/dt -J- U (ж) J- eN (ж). В новых переменных
для оператора U(1> (ж) получим выражение
S u<1)zi ~£~ = S (и<1> 1ехр—ezN =
г=1 1 г=1 *
п
= J] (ехр [— eZN (ж)] ж4) + U (ж) ехр I— eZN (ж)] ж, +
г*=1
4- eN (ж) ехр [— eZN (ж)] ж{| =
п
е= {— eN (ж) ехр [—eZN (ж)] Жг -j- U (ж) ехр [— eiN (ж)] Ж{
г=1
п
+ eN (ж) ехр [— efN (ж)] ж{} [U (ж)] ехр [— etN (ж) ж{]
1 i=i *
Коэффициенты полученного оператора являются функциями пере-
менных ж, которые подвергнуты точечным преобразованиям (2.6).
Используя свойства этих преобразований, находим
U (ж) ехр [— etN (ж)] ж4 = ехр [eiN (z)] U (z) exp I— eiN (z)] z, =
== U (z) Zj = CO £ (2).
При выводе последнего тождества следует принять во внимание ком-
мутативность операторов U nN. Итак, в новых переменных z оператор
U(1) принимает вид U(1> (z) = d/dt + U (z), и ему соответствует си-
стема (2.3), с точностью до обозначений совпадающая с системой ну-
левого приближения исходной системы (2.1).
Обратимся к ряду Ли (2.6). В теореме 2.2 гл. 1 показано, что ряд
Ли (2.6) сходится абсолютно при
| т | < min |х, (a/к (п -j- 2)) ^1-jn+2| 5 т = е (t —10),
где постоянная к находится по коэффициентам оператора, а постоян-
ные X, а определяют параллелепипед из G
|zJ<X<a, (2.7)
7'
99
Примем в неравенстве (2.7) X = 6а, 0 <; 6 <; 1, тогда ряд
(2.6) при
ii^, . . L а(1— 6)п+2 |
|т| <т0<min (6а, )
в области Q, определяемой неравенствами | Zj | аб, будет сходить-
ся абсолютно и равномерно (см. теорему 2.3 в гл. 1) и представлять
в ней аналитическую функцию переменных т, z1, ..., zn. Приведен-
ные рассуждения для окрестности точки т — z = 0 можно повторить
для любой точки из GoB. Тем самым любой точке z области можно
поставить в соответствие число т0 (z) и область Q (z) такие, что внутри
этой области ряд (2.6) будет сходиться абсолютно и равномерно. Мно-
жество областей типа Q (z) образует некоторое покрытие области Gfle,
из которого согласно теореме Бореля можно выделить конечное под-
покрытие. В этом конечном множестве областей каждой подобласти
соответствует свое число т0 (г). Выберем среди этих чисел наимень-
Т
шее и обозначим его То. Тогда при |т| То, или t0 t t0 4—
ряд (2.6) будет сходиться абсолютно и равномерно во всей обла-
сти GOe.
Для доказательства следствия 2.1 необходимо найти параметр
ех из уравнения Т01ъ = L, тогда искомым интервалом I (t0, х0) яв-
ляется [0, еД.
Для доказательства следствия 2.2 решение (2.4) в виде ряда Ли
подставим в исходный ряд (2.2). Далее, примем во внимание точеч-
ность преобразований и найдем интервал I (t0, ж0) согласно следствию
2.1. В результате приходим к формулам (2.5).
Замечание 2.1. Для оператора N = У evNv, представимо-
V—1
го бесконечной суммой операторов, требуются, вообще говоря, до-
полнительные условия для аналитичности коэффициентов. В ряде
случаев она будет отсутствовать. Однако, если принять во внимание,
что будут исследоваться асимптотические свойства применяемых
степенных рядов по е при е —> 0 и решение точной системы будет
сравниваться с решением укороченной системы, когда в операторе N
оставляют конечное число первых m слагаемых, то вопрос об анали-
тичности коэффициентов отпадает. Подробно эти вопросы обсужда-
ются в § 5 настоящей главы.
Укажем еще один путь интегрирования централизованной си-
стемы, открываемый следующими теоремами.
Теорема 2.2. Пусть в централизованной системе (2.1) решение
системы нулевого приближения
dx . .
может быть представлено сходящимся на интервале Ио/0 4* -G] ря-
дом Ли
х} = exp [(< —10) U («)] xjf j = i, ц, x £ Goe; (2.8)
100
тогда, принимая в качестве новых переменных вектор х — ||a:lf ...
жп|| и производя в централизованной системе (2.1) замену перемен-
ных (2.8), приводим ее к виду
= N (х) xh 7 = 1, п, х (t0) = х0,
где N (ж) = Nx (х) -}- eNa (х) , т = е (I —10).
Теорема 2.3. Пусть в централизованной системе (2.1) известно
общее решение системы нулевого приближения
х = <p(t, t0, с), с = colon||cv ..., сп||, (2.9)
определенное в области 6'о8; тогда, принимая в качестве новых пере-
менных вектор с и производя в централизованной системе замену
переменных (2.9), приводим ее к системе с медленным временем
rtf'
= Фх (с) 4- еФа (с) + ..., т = е (t —10).
Доказательство сформулированных теорем 2.2 и 2.3 проводится
аналогично доказательству теоремы 1.1.
Одним из важнейших вопросов асимптотических методов нели-
нейной механики и метода усреднения является возможность разде-
ления переменных в эталонной системе на быстрые и медленные. Ис-
следуем условия такого разделения для централизованной системы
(2.1) при помощи замены переменных
У1 = pi (*)> •. •, yk = pfe («);
Zj • • • .9 ~~ фг Л- "4“ (2.10)
Существенным обстоятельством, которое следует принять во внима-
ние, является принадлежность преобразующих функций (2.10) к
классу £% (С), т. е. эти функции должны обращаться в нуль в точке
х = 0, являющейся точкой покоя централизованной системы (2.1).
Будем говорить, что централизованная система (2.1) допускает раз-
деление переменных над £)0 (G) на быстрые и медленные, если с по-
мощью замены переменных (2.10) она преобразуется в совокупность
двух последовательно интегрируемых подсистем порядков кип — к.
Причем система порядка к содержит медленные переменные и име-
ет вид
du- 00 —__
—== е',Ф,и 0/ц • • У}), j — 1» к. (2.11)
•v=l
Соответственно система порядка п — к содержит быстрые переменные
z1, ..., zr:
dz °°
-^- = Fl(z)+'£i ^evX^(y)^(.z). (2.12)
V=1 %==1
Здесь у — colon ||г/п ..., i/ft||, z = colon ||zt, ...» zn||. Коэффициенты
систем (2.11) и (2.12) принадлежат £)0 (G), что означает, что точка
покоя х = 0 централизованной системы (2.1) переходит в точку покоя
у = 0, z = 0 преобразованных систем (2.11), (2.12).
101
Для формулировки основного результата о разделении перемен-
ных в централизованной системе потребуются некоторые вспомога-
тельные понятия. Для уравнения в частных производных вида
U/ = 0, (2.13)
где U — оператор, ассоциированный с системой нулевого прибли-
жения, рассмотрим множество функций Р = {pi (ж), р2 (ат), ...}
из (G), являющихся его решениями. Может случиться, что в мно-
жестве Р найдется конечное число независимых в G функций Р/ =>
— {Pi (‘г)> •••, Р' (ж)), такое, что любой элемент р (ж) из Р может быть
выражен через функции Р(: р (ж) = а (рг (ж), ..., pz (ж)) с помощью
функций из Д2>0 (G), т. е. а (0, ...,()) = 0. Если указанное множество
Р/ существует, то будем называть его базисным для множества реше-
ний Р.
Остановимся на структуре алгебры централизатора 3%. Мно-
жество элементов 230и с: 2% вида р (ж) U, р (ж) £ Р, является идеа-
лом алгебры 2%. Действительно, пусть Z g 25О, Z р (ж) U, тогда
[р (ж) U, Z] = —Zp (ж) U. В силу коммутативности элементов 2% с U
любой интеграл р (ж) f Р переводится оператором Z £ 2% в интег-
ралы совокупности Р. Следовательно, элемент Zp (ж) U £ 2%и- Так
как 2%и является линейным подпространством в алгебре 2%,
рассматриваемой как линейное пространство, то произвольный эле-
мент Z алгебры централизатора можно представить суммой:
Z, = N; + р. (ж) и, 7 = 1, 2,... (2.14)
По алгебре централизатора можно построить фактор-алгебру
®0/®ои, образованную комплексами {N,- + SBou}, j — 1, 2, ..., где
N; — представители классов, являющиеся составляющими в разло-
жении (2.14).
Образуем множество, составленное из представителей классов
смежности
$ = {Nb N2, ...}.
Множество элементов S?, как нетрудно заметить, само образует под-
алгебру алгебры централизатора 28О, не являющуюся, однако,
идеалом. Если N £ то и оператор р (ж) N £ р (ж) £ Р. Обо-
значим через подмножество элементов из $:
$0 = {М1, М2, ...},
которые нельзя представить в виде произведения интеграла р (ж) £
fP на некоторый элемент из $: М; р (ж) N3-, р(ж)£Р. Мно-
жество Фо образует подалгебру алгебры и, как следует
из определения $0, подалгебра $ получается из элементов умно-
жением на интегралы из совокупности Р. Подалгебру будем
называть определяющей подалгеброй алгебры централизатора.
Предположим, что в подалгебре имеется идеал S^1’, т. е. [ЗГ0,
Фо15! = $оП. Например, в качестве идеала может быть выбрана
сама подалгебра £0. Обозначим элементы идеала Sq1* через Mj0»
/ = 1, 2,...:
stf’ = {М^, М^,...}.
102
Пусть бесконечная совокупность дифференциальных уравнений в част-
ных производных первого порядка, образованная элементами Фо:
М;1' / — 0, j — 1, 2, имеет нетривиальные решения из Со (Q-
Обозначим множество таких решений через Т = {фх (ж), <р2 (х),...}.
Может случиться, что в множестве Т найдется конечное число
функций Тг = {<рх (ж), фг (ж)}, независимых в G, такое, что
любой элемент ф (ж) из Т может быть выражен через функции Тг:
ф (ж) = Ь (фх (ж), фг (х)) С ПОМОЩЬЮ функций ИЗ (Со (Qj т. е> & (0, ...
..., 0) =0. Если указанное множество Тг существует, то будем на-
зывать его базисным для множества решений Т.
Обозначим через @ (U) локальную однопараметрическую группу
преобразований х' = exp (s U) х, действующую на множестве функ-
ций Со (G) и определенную в области Д.; X G, s £ Д8. Тогда множе-
ство решений Р уравнения (2.13) образует систему неподвижных точек
многообразия Со (G), т. е. р (exp (&П)ж) sp (ж), р (ж) £ Р. Совокуп-
ность же функций Т образует систему импримитивности группы @ (U),
т. е. ф (exp (sU) х) g Т. Этот факт легко доказывается. Действи-
тельно, из тождеств [U, М^1'] = 0, j — 1, 2, ..., следует, что любое
решение ф (х) g Т удовлетворяет соотношению М^Пф (х) = 0, т. е.
функция Сф (х) является решением системы M*-f)/ = 0, j = 1, 2, ...,
и, следовательно, принадлежит множеству Т. В том случае, когда
Т имеет базисное конечное множество, для любой функции ф^- (х) £
С Тг имеют место тождества Пф,- (х) = (фх (ж), ..., фг (ж)), j = 1, г,
где Ф; — функция из Со (G), т. е. Ф; (0, ..., 0) = 0.
Докажем основное утверждение о разделении переменных на быст-
рые и медленные в централизованной системе.
Теорема 2.4. Пусть для однопараметрической группы @ (U),
порожденной оператором U, ассоциированным с системой нулевого
приближения, выполняются следующие условия:
1) e^0(G) имеется система инвариантов с базисным множеством
Рй = (Pi (ж), "ч Рь определяемым как решения уравнения
U/ = 0;
2) в Со (G) имеется система импримитивности с базисным
множеством Тг = {фх (ж), ф, (ж)}, определяемым как решение
системы уравнений = 0, / = 1, 2, ..., где М;П являются обра-
зующими некоторого идеала = {М^}, 7 = 1» 2, ..., входящего в
определяющую алгебру Фо, Sq1' Фо;
3) функции определяющих множеств Р/г и Тг образуют совместно
систему к г — п независимых функций в G.
Тогда замена переменных
У1 = Pi (^), • • •yk=ph И;
Zi = фх (ж)г..., zr = фг (ж)
преобразует централизованную систему
dx- 1--
= coj (ж) + еКж,- у = 1, nf
(2.15)
(2.16)
юз
где
N = Nj + eN2 4- ..Nv£(G), [U, Nv]^Ot v = 1, 2,..
в dee последовательно интегрируемые подсистемы порядков kun — k
для медленных и быстрых переменных.
Система для к медленных переменных
= £ ev £ (у) [4rO)v (г/) + т<7) (у)], (2Л7)
V=1 Х=1
где
Oxv(y), А (у), 4$G/)G£o(G),
интегрируется независимо и содержит медленное время х — ei. Си-
стема для г — п — к быстрых переменных
dz- 00 mV ...
= Fi (z) + £ ev £ [(DOv (у) Fi (2) + Txv (у) (2)]г (2.18)
v=l Z=1
где
®0v(i/)> F, (z), Q’X.vly'it Фхг (z) € (G)f
интегрируется после того, как проинтегрирована система для медлен-
ных переменных. Условия 1—3 являются не только достаточными, но
и необходимыми для разделения переменных на быстрые и медленные
в централизованной системе.
Доказательство. Достаточность. Выпишем явный вид
операторов U, Nv, v = 1, 2, ..., после выполнения преобразований
(2.15). Так как Upj (х) == 0, Пф, (2) = Ft (фх, ..., ф&), j = 1, k, i —
= 1, г, то оператор U имеет вид
U = (2) djdz1 4- • • • 4- Fr (z) d/dzr. (2.19)
Согласно структуре алгебры S3 операторы Nv, входящие в централи-
зованную систему, представимы суммой
Nv = TOv (р) U 4- £ TXv (р) (М$ 4- MXv), v = 1, 2, ... Л
Х=1
где Tov (р), (р) — известные функции из множества Р и MXV £
£ Mxv £ $0. Примем во внимание соотношения
МЙр; (х) = Т&, (р) Ж (у);
Mxvp.(«) = 4^(p) = T^(i/),
следующие из коммутативности операторов алгебры 25О с U. Так как
является по условию идеалом в $0, т. е. [$о \ == то мно*
жество функций Тг, аннулируемых операторами переводится опе-
раторами из $ снова в себя, как это следует из тождеств
(х) s (х) == 0, ф (х) С Тг.
104
Следовательно, выполняются соотношения
Mzv<Pt (х) S 04 1 = 1, г;
Mxv<p. (х) = Ф$ (фх, ..., <pr) s ФФ (z), <р. (х) £ Т,
Используя формулы (2.20) и (2.21), перепишем оператор Nv в новых
переменных:
(2.21)
Nv = t WOv(y)Fl^^~ +
i=l ’
Д [ M (У) + (У)] +
т r7ri”v . 1 я
+ 2 2 ^(г/)ФЙ(2) К
i=i Lx=1 J
(2.22)
Восстанавливая по операторам (2.19), (2.22) систему централизато-
ра, приходим к системе (2.17) для медленных и системе (2.18) для
быстрых переменных.
Необходимость. Пусть в централизованной системе переменные
разделены и она имеет вид систем (2.11) и (2.12). Тогда,, как следует
из структуры этой системы, операторU = Ft (2) —h... + Тг(г)-—
OZ-^ OZ?
и множество функций Р состоят из всех функций F (у) g £)0 (G).
Так как эти функции обращаются в ноль при у г = ... = № = 0,
то в качестве базисного множества Pfe можно выбрать функции ух,...
..., yh. Подалгебра $0 порождается операторами
h а
YV = S Фад(у)-^-, v = 1#24..., (2.23)
,=1 °«з
и операторами
— X Bvx (z) “а?— » 5С — 1, mv, v — 1, 2,...
i=l ozi
Как легко заметить, операторы Yv (2.23) порождают идеал в ал-
гебре $0. Решениями системы уравнений Yv/ = 0, v = 1, 2, ...,
являются функции / (гх, ..., 2Г) £ £)0 (G), а базисным множеством
этой системы — функции гх, ..., zr.
По предположению централизованная система, образованная под-
системами (2.11) и (2.12), не может быть сведена к меньшему, чем п,
числу переменных, и, следовательно, система функций ух, ..., yht,
21, ..., 2г, к + г = п, образует независимую систему функций в G.
§ 3. СВЕДЕНИЕ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
Как было показано в предыдущих параграфах, реализация алго-
ритма асимптотической декомпозиции сводится к решению опера-
торных уравнений вида
[U* S] = F, (3.1)
105
где
u = ^w + ••• +^(х f = m^ + •••
“ + bn ~д^ •
Приведенные операторы принадлежат к многообразиям £)(1) (G)
или £)nf) (G) в зависимости от рассматриваемой задачи.
Отыскивая неизвестный оператор S в виде суммы
s = Ti (*) -37- 4- ••• + Ь(ж) (3.2)
где Yj (х). уп (х) £ £) (G) (£)0 (G)), можно свести операторное урав-
нение к дифференциальному. В самом деле, вычислим левую часть
уравнения (3.1). Подставим в скобку Пуассона оператор S, выражае-
мый формулой (3.2):
Гтт 9 t । 8 1
[и* +''’"^7]-
Далее примем во внимание правило раскрытия скобок Пуассона
[А, рВ] = А₽ • В + р [А, В], (3.3)
где А, В — операторы, р — скалярная функция. В результате от
уравнения (3.1) перейдем к уравнению
иТ1(х)-^-+ ... +иТп-А- + Т1(Ж) [и, -Д-]+ ...
+Ци, -Д-] = М*)-£-+ ••• +М*)-5^-. (3.4)
Принимая во внимание вид оператора U и используя формулы (3.3),
легко выписать скобки Пуассона:
Ги 9 1 — / Э(°1 8 । ... I 9 \.
’ дх, ( fix, дх, 4“ 4" qx fa. I ’
L 1 J \ 1 1 п / /ог.
Гтт d 1 ( 8<”1 8 , ___
[ ’ дхп j у дхп дх, ' ' 8хп 8x-r: J
После подстановки значений (3.5) в уравнение (3.4) и приравнивания
коэффициентов при производных получим систему дифференциаль-
ных уравнений в частных производных первого порядка
иь = -^-?14- ••• 4--^-ь4-М*);
......................?................ (3.6)
= вх^ Ti 4- • 4—Тп 4- Ъп (х).
106
Если обозначить а,3- = d^JdXj, i, j = 1, п, то систему (3.6) можно
представить следующим образом:
Uy. = ац (ж) Yi + ... + ajn (х) yn 4- bj (х), j = 1* п.
Введем в рассмотрение матрицу Л —|| ац ||, i, j = 1, п, векторы у —
= 00100117!,..., 7П||, b(x) = colon || Ьх (ж), ...t Мя)|| и оператор
W = U0&— Л, где U ® £ = diag||U, ..., U||, Л—единичная мат-
п раз
рица п X п. Тогда систему (3.1) можно представить в компактном
виде Wy = Ъ. Частным видом системы (3.6) является. система
uYi = &i (ж), • •, = Ьп (х). (3.7)
Систему вида (3.6) или (3.7) будем называть системой Якоби. Наряду
с неоднородной системой (3.6) будем также рассматривать однород-
ную систему Wy = 0. Очевидно, что к однородному уравнению при-
водит решение по описанному способу однородного операторного
уравнения
[U, S] = 0. (3.8)
Как легко убедиться, справедливо также обратное утверждение.
Если у = || ..., || — решение уравнения (3.6)х то оператор
а Я , , в
s = bW+ ••• + ь-^-
является решением операторного уравнения (3.1). Таким образом,
доказано, что задача решения операторного уравнения (3.1) эквива-
лентна задаче интегрирования системы Якоби (3.6).
За счет выбора специального базиса можно существенно упрос-
тить интегрирование операторного уравнения (3.1) и соответствующей
ему системы Якоби (3.6). Подробно этот вопрос излагается в § 6
настоящей главы. Здесь же рассмотрим задачу сведения системы урав-
нений (3.6) к системе уравнений (3.7).
Пусть имеется п линейно несвязных решений Zx, ..., Zn однород-
ного операторного уравнения (3.8) и правые части уравнения (3.1)
раскладываются по этому базису:
F = Ьх (ж) Zx 4“ • • • -|- b-n (х) Z„.
Решение S операторного уравнения (3.1) будем также искать в виде
суммы
S = 71 (ж) Zx -|- • • • + 7г, (ж) Zn.
Для скобки Пуассона [U, S] получим выражение
[U, 7iZx 4- • • 4- TnZn] = Uy^! -f- • • • + U7nZ„ 4-
+ 7i [U, Zx) 4- • • • 4- 7n [U, Znl = U7XZX + • • • + U7nZn,
107
так как [U, Zj] = 0, j = 1, п. Следовательно, соотношения (3.4)
принимают вид
UtA 4" ~Ь ’ “Ь bnZn.
Приравнивая коэффициенты при базисных операторах, приходим
к уравнениям Якоби в виде (3.7).
Интегрирование системы (3.6), как будет показано ниже, сводится
к интегрированию системы обыкновенных линейных дифферен-
циальных уравнений, а системы (3.7) — к квадратурам.
§ 4. РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ
В ОБЛАСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПЕРВЫХ ИНТЕГРАЛОВ
СИСТЕМЫ НУЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Рассмотрим вопрос о реализации алгоритма асимптотической де-
композиции применительно к возмущенной системе
= © (Х') 4- его (х')
в том случае, когда в системе нулевого приближения1
"ЗГ = <>(*) (4.1)
положение равновесия в некоторой замкнутой подобласти G, G с Gf
отсутствует. Это значитл что
S го? (ж)у= 0 (4.2)
i=±l
выполняется во всех точках области G,
Подобласть Но (х) области G, Но (х) Gf в которой существуют
п — 1 независимых аналитических первых интегралов
(х), ..., гп_1 (х), V; (ж) С © (Яо), 7 = 1, п — 1, (4.3)
системы нулевого приближения (4.1), будем называть областью
существования первых интегралов.
Таким образом, в области Но (ж) уравнение в частных производ-
ных
и/=го1(ж)-^-+ + юп(ж)-Д- = 0 (4.4)
имеет независимые аналитические решения (4.3), и любое решение
v (ж) С О (Но) этого уравнения может быть выражено через эти реше-
ния: и (ж) = <р (vr (ж), ..., пп_1 (ж)), где <р (пх, ..., i>n—t) —аналитические
в Но (ж) функции. Выполнение условия (4.2) гарантирует наличие
некоторой области Но (ж) существования первых интегралов. В этой
области алгоритм асимптотической декомпозиции может быть кон-
1 Для упрощения ааписи штрих опускаем.
108
структивно реализован на основе классических теорем существования
решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Этому
вопросу будет посвящен настоящий параграф.
Прежде чем приступить к изложению основного материала^
вкратце остановимся на построении области Но (ж). Обозначим через
Gi подобласть G, в которой коэффициент со, (ж) =# 0, Не исключено^
что область Gi совпадает с G при некотором г. Зафиксируем один из
коэффициентов со, (ж), отдавая предпочтение тому из них, для кото-
рого область Gi максимальна. Для упрощения выкладок примем,
что это коэффициент <вп (ж). Введем новые функции Д (ж) = —
ып~1
/п—1 (х) ~~—и ыовые неременные уг= i=
Тогда уравнение (4.4) можно представить в виде
df/ds + Д (s, у) (д//дуг) + • • • + fn-i (s, у) (df/dy^) = О,
гДе У — |1 Ун •••! Уп II- Запишем соответствующую систему для харак-
теристик
dyjds = fa (s, у), ... ut dyn^/ds = /п_] (s, y).
Обозначим через H?,n область Нцп = [ап, Ь„] X Gn, для которой
любое аналитическое решение
У = У(в, s0, у0) (4.5)
задачи Коши продолжается на весь интервал [ап, Ьп]. Очевидно, что
этот интервал принадлежит максимальному интервалу существова-
ния решения задачи Коши для выбранных начальных условий
(ко> Уо)-
Решение (4.5) является общим решением в форме Коши и одно-
значно разрешимо относительно переменных у0 (см., например, [6,
с. 135]):
У01 = У1 (s0> S, у) == (ж), Уоп-1 = Уп-i («о, У) = Vn-1 (х). (4.6)
Функции (4.6) являются первыми интегралами системы нулевого
приближения, независимыми в Н(\п.
Так как в окрестности любой точки ж £ G всегда в силу условий
(4.2) можно найти коэффициент, не равный нулю, то по указанному ал-
горитму можно построить соответствующую область существования
первых интегралов. Поэтому, не теряя общности рассуждений, будем
считать, что Но (ж) == G.
Другой способ построения области Но (ж) базируется на знании
общего решения системы нулевого приближения (4.1), которое в фор-
ме Коши имеет вид
Ж; = фг (t, t0, Жо), г = 1, п.
Пусть в точке ж0 <вэт (ж0) 0. Тогда решением уравнения (4.1), про-
ходящим через точку у = || ух, ..., yn—i, жОп||, близкую к ж0, и обра-
щающимся в у при t = 0, является
Хг = фг (Д У1> • • • » Уп—1)- (4.7)
109
Теорема 4.1 [99, с. 193]. Существует такая окрестность Но
точки х0, что при х £ Но система уравнений (4.7) разрешима отно-
сительно неизвестных уи ..., t и ее решение имеет вид
У1 = (я), - -, Уп-i = (х), t = ш (х), (4.8)
где I?! (ж), vn (х)— независимые первые интегралы системы (4.1)
в области Но.
Доказательство сформулированного утверждения осно-
вывается на использовании теоремы о неявных функциях. В качестве
точки х0 согласно неравенству (4.2) может быть выбрана произволь-
ная точка области G. Значит, последовательным продолжением мож-
но получить всю однозначную ветвь функции (4.8). Утверждение
теоремы 4.1 легко переносится на случай аналитических дифферен-
циальных систем, когда функции (4.8) являются аналитическими
в области Но.
Перейдем непосредственно к исследованию алгоритма асимптоти-
ческой декомпозиции в области Но существования первых интегра-
лов. Определяющее значение при этом, как показано в § 1, имеет
структура алгебры централизатора 93О, порождаемой всевозмож-
ными решениями операторного уравнения
[U, Z] = О, Z f 93, (4.9)
и алгебры 93n 93, допускаемой оператором U: [U, 93nJ = 93п.
Множество функций Риз й (/Zo), являющееся решением уравне-
ния U/ = 0, где U — оператор, ассоциированный с системой нулево-
го приближения (4.1), обладает базисным множеством Pn_i =
= {14 (ж), ..., 1 (ж)}, составленным из первых интегралов (4.3).
Сформулируем основную теорему о структуре алгебр 9% и ®„.
Теорема 4.2. В области Но существования первых интегралов
операторное уравнение [Ut S] = О, S £ 33, имеет п линейно несвяз-
ных решений Z1; ..., Zn, Zj g £}(1) (Яо). Алгебра централизатора
образована элементами вида
Pi (ж) Zi-{- ••• рп (ж) Zn, (4.10)
где р; (ж) fP, j = 1, п. Алгебра 93эт, допускаемая оператором U,
образована элементами вида
<Pi (ж) Zj -j- <рп (ж) Zn,
где <pj (ж) — произвольные функции из £) (Но)- Произвольный элемент
F £ 93 однозначно представим в виде суммы:
F=FOA + FOn, F0a€930, FOne93n. (4.11)
Теорема 4.2 открывает путь к построению централизованной си-
стемы. Для этого в системе операторных уравнений вида (1.16)
[U, Sv] = Fv, v = 1, 2,... (4.12)
110
правые части представим в виде суммы: Fv = FvtlA -f- Fvte, где Fv0A,
Fv(ln — известные дифференциальные операторы, описываемые фор-
мулами
FvOa — У SvjO ("Г) Fvoa £ 53О;
(4.13)
FvOn — Svj (х) Zj, Fv0n с ®п-
;=1
Определим проекцию рг Fv оператора Fv в правой части уравне-
ния (4.12) по формуле
prFv = Fv0A. (4.14)
Выбор оператора проектирования в виде (4.14) основывается на сле-
дующем утверждении.
Лемма 4.1. Решение неоднородного уравнения
[U,S]=F0, F0G«0, (4.15)
правая часть которого принадлежит алгебре централизатора
Я30, имеет вид
S = w (х) Fo 4- Z, (4.16)
где w (х) — решение неоднородного уравнения Uu> (ж)= 1, Z — не-
который элемент алгебры Я30.
Доказательство проводится непосредственной подстанов-
кой оператора (4.16) в уравнение (4.15),
Ниже будет показано, что если х (/) — решение системы (4.1)
нулевого приближения, то имеет место тождество w (х (<)) = t — to,
т. е. на траекториях системы нулевого приближения коэффициенты
оператора (4.16) будут содержать члены, пропорциональные незави-
симой переменной и называемые в нелинейной механике секуляр-
ными.
Следовательно, выбор оператора проектирования согласно соот-
ношениям (4.14) гарантирует отсутствие в коэффициентах операто-
ров преобразований Sv секулярных членов на траекториях системы
нулевого приближения.
Введя обозначение Nv = рг Fv = Fv()A., представим централизо-
ванную систему (1.15) в виде
= (»i (®) + eNxk j = 1, п, (4.17)
где
N = Nt -j- eN2 + • • •
Учитывая определение операторов Nv и формулы (4.13), централизо-
ванную систему можно записать более подробно:
вХ; ОО ____
(х) + £ ev^v.n (х), i = 1, п. (4.18)
*v=i
Для завершения построения алгоритма декомпозиции в области Но
существования первых интегралов остается доказать существование
ill
решения последовательности операторных уравнений
[U, Sv] = Fv — prFv = Fv(in, v=l, 2,..., (4.19)
определяющих коэффициенты операторов преобразования Sv.
Доказательству теоремы 4.2 и решению системы (4.19) будет
посвящена оставшаяся часть параграфа. Однако, прежде чем перейти
к изложению этого материала, рассмотрим свойства централизованной
системы (4.18),
К системе (4.18) применимы основные теоремы § 2 настоящей гла-
вы. Формулировка теоремы 2.1 остается без изменений, поэтому нет
необходимости ее повторять. В вопросе разделения переменных
в централизованной системе на быстрые и медленные приходим к та-
кому результату.
Используем в качестве новых переменных первые интегралы
(4,3), а также функцию w (х), являющуюся решением уравнения
Иш (х) = 1, (4.20)
т, е, введем новые переменные по формулам
у-i = vx (ж),..., yn_Y = Pn-i (ж), s — w (ж). (4.21)
(Существование функции w (ж), аналитической в области /70, а также
обратимость преобразований (4.21) в Но будет доказана ниже.)
В результате замены (4.21) централизованная система (4.17)
распадается на две подсистемы п — 1-го и первого порядков. Система
порядка п — 1 содержит медленные переменные у = || уг,
du- 00 --------
“йГ = 2 (ух,..., уп-1), 7 = 1, п — 1, (4.22)
ч>=1
а система первого порядка содержит быструю переменную s:
Л со
-f-=l+ (?/!,..., yn_J (4.23)
V=1
и решается в квадратурах после интегрирования системы (4.22), за-
висящей от медленного времени т = zt.
Нетрудно определить явный вид функций, входящих в правые
части уравнений (4.22) и (4.23). Действительно, Un, (ж) = 0, j =
= 1, п — 1, и Ню (ж) = 1. Далее,
Nvfj (ж) = (i/x, ..., уп_'),
так как операторы Nv и U коммутативны. Функция w (ж) переводит-
ся оператором Nv в некоторую функцию от уг, ..., yn—t, как это сле-
дует из тождества
(UNV — NVU) w (ж) UNvu? (ж) = 0, v = 1, 2,... Л
т, е,
Nvw (ж) — Av (ух,. .., yn_j).
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 3.2, найдем
явный вид функции w (ж), являющейся решением уравнения (4,21),
112
Произведем в уравнении (4.20) замену переменных, используя в ка-
честве новых переменных первые интегралы vt (х), vn-t («):
Z1 = V1 (Я'Ц • • • 1 хп—11 З-п)»
zn—1 = I’n—1 (з-и • • • ® з:п_1, жп){ (4.24)
== Хп.
Система функций (4.24) обратима в Но (см. формулы (4.6))i
3-1 = Ф1 (Зц • • • 1 zn—Il zn)i
з?п_1 = фп—1 (zu • • 1 zn—1» zn); (4.25)
“ %п
В новых переменных уравнение (4.20) существенно упрощается:
Wn(«Pl(2)« <Pn-i(z), z„)-^- = l, (4.26)
где принято z = || zn zn_i, zn ||. Проинтегрируем уравнение
(4.26):
zn
idz
con(<Pi(z),..., <₽„_!(«), zn)' S F <4*27)
zn0
Уравнение (4.26) в новых переменных
Zi = zx;
zn—i = zn—j; (4.28)
zn == P (Зц. • • • i Zn—i, zn)
принимает особенно простои вид: = 1 и легко интегрируется:
dzn
/ = z„ + Zno. Чтобы вернуться к исходным переменным^ следует
показать разрешимость в Но уравнения
Zn = Р (2ц • • • 1 Zn—ii zn). (4.29)
Уравнение (4,29) имеет очевидное решение zn = Zno при z„ = zn.
Кроме Toroj
dzn an (<р ..., Zn)
когда zlf ,..х zn—I» zn находятся в области Но. Согласно теореме о не-
явных функциях существует аналитическое однозначное решение
8 7—1641
113
в окрестности каждой точки из Но, которое можно продолжить на
всю область Но.
Приведем обратную к замене (4,28) систему функций;
г1 == г1!
2n—1 %П—19
(Яц . . . 5 Zn—1, Zn).
Так как каждое из преобразований (4.24), (4.25) обратимо, то и компо-
зиция преобразований
Zi = ь\ {xv ... j хп~и жп);
—1 — Vn.—j • • • а &П—1д М;
zn = F (v1 (х), . (pn_! (х) ,Xn)=W (х)
обратима в Но и представима функциями
= *Pi (^и • • • л zn— 1, ф (z))j
Хп—1 — (рп—1 (%ц • • •, ^п—1> Ф (з));
Хп = ф (Zj, • • a Zn—1, Zn).
Таким образом, решение исходного уравнения (4.20) представимо
функцией w (х) = F (t\(x), ..., vn—i (х), хп) + v (х), где v (х) — про-
извольное решение однородного уравнения U/ = 0. Решение w (х)
неоднородного уравнения (4.20) обладает рядом интересных свойств.
Лемма 4.2. Для функции w (х) (4.27) на траекториях системы
нулевого приближения имеет место тождество
w(x(t)) = t— /0. (4.30)
Доказательство. Продифференцируем левую часть тож-
дества (4.30):
div 8iv dx, , , div dxn , . dw
-Д-=-7^Д1г+ "• +
• • • + (»n (X) -g— .
da:; (Z) ----
Здесь использованы тождества —~— = ац (,x(t)), / = 1, n. Согласно
определению функции w (х) при любом х С Но для нее справедливо
тождество Uw (х) = 1 в, следовательно, dwldt = 1 или w (х (t)) s
114
== t — t0, t0 = w (x0). Для доказательства обратного утверждения
продифференцируем обе части тождества по t:
dw __ dw dx1 (t) . 6w dxn (0 __л
dt дхг dt ' dxn dt
Заменим производные dxjldt функциями co; (x (/)), / — 1, n, и поло-
жим t — i0. В результате тождества (4.30) можно представить в виде
••• « 0Л>
^10 ОХп(}
Точка х0 может быть выбрана в Но произвольно и поэтому в (4.31) хь
можно заменить на х. Следовательно, Vw (х) = !.
Следствие 4.1. Функция t = w (х), фигурирующая в формулиров-
ке теоремы 4.1, является решением неоднородного уравнения (4.20).
Доказательство теоремы 4.2. Будем искать оператор
в уравнении (4.9) в виде S = у^д/дх^ 4* ... 4- упд!дхп. Согласно ре-
зультатам § 3 от уравнения (4.9) можно перейти к системе Якоби
UY1 = fln (х) Tj 4- • • • 4- 1’4
(4.32)
Ut„ = an1 (x) Tj 4- • • • ann (x) yn.
Произведем в системе (4.32) замену переменных по формулам (4.21).
При этом оператор U в новых переменных примет особо простой вид:
U = dtds, а система Якоби перейдет в систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с переменными коэффициентами
-5-= ац(х)Т14- ••• 4-«1п(*)тп;
............................................... (4.33)
= аП1 (х) Ti 4- • • • 4- Опп (х) Т„.
Здесь ai; (х) = ац (фг (у, ф (у, х)), ..., <pn_i (у, ф (у, х))), i,j = 1, п. Вы-
пишем матрицу фундаментальных решений системы (4.33):
Г(х, у) =
Ты (s, у) • • • т1п (х, у)
К, А У) Тп„(*, у)
Г(х0)=£; (4.34)
ее коэффициенты являются аналитическими функциями переменной
х и параметров у ~ || ..., у„_} || в Но. Каждый столбец матрицы
(4.34) определяет дифференциальный оператор
Z; = Ti; (v (х), w (х)) 4- ... 4- уп. (v (х), w (х)) , (4.35)
где v — || vlt ..., i>n_j ||, / — 1, п. Эти операторы линейно несвязны
в Но, так как det || Г (s, р)|| 0,
8‘
115
Пусть Z — некоторые решения уравнения (4.8), Z f (Но).
Тогда, раскладывая Zno базису (4.35): Z = Р1 (х) Zj + ... + pn (х) Z,,
и подставляя в формулу (4.9), получаем тождество
Upa^Z^ ... + иРи (х) Zn = 0. (4.36)
В силу линейной несвязности базисных операторов из тождества
(4.36) следуют тождества C'pj (х) = 0, / = 1, п. Таким образом,
Р? (ж) € Р и тем самым доказано утверждение (4.10).
Перейдем к доказательству формулы (4.11). С этой целью рассмот-
рим произвольный линейный оператор
F = g1(x)Z1-|- ... -i-gn(x)Zn, gt(x),..., gn(x)$£)(H0). (4.37)
Для скобки Пуассона [U, F] получаем выражение
[U, F] = Ug, (х) Zj -|- ••• Ugn (ж) Zn.
Следовательно, совокупность операторов вида (4.37) переводится
оператором U в операторы того же вида и порождает алгебру 33„,
допускаемую оператором U. Очевидно, что любой из операторов
Г € ©(1) (Но) может быть записан в виде (4.37). Выделим в операторе
(4.37) составляющую из алгебры централизатора Со- С этой целью
покажем, что коэффициенты g,- (ж) единственным образом могут быть
представлены в виде суммы двух функций:
g. (ж) = g.„(ж) + g.(ж), у = ТГп, (4.38)
где g;o (%) — решение уравнения (4.4), т. е. Ug,0 (ж)== 0. Действитель-
но, перейдем в коэффициентах gj (ж) к переменным (4,21):
gs(x) = gj (Ф1 (У, Ф (уК *)).... о фп_1 (у, Ф (у, «)))• (4-39)
Функции (4.39) аналитичны по переменным у и s. Разложим их в ряд
по s:
- de- (s, и) I
gj (<Pi, • • •., q>n-i, Ф) = g3-o (У) + “Ji--Lo + ' ’ • (4’40)
Первый член этого разложения g,o (у) является решением уравнения
df/ds = 0 или в прежних переменных ж — решением уравнения
U/ = 0, т. е. Ugju (у (ж)) == 0. Возвращаясь к переменным ж, получа-
ем требуемое разложение (4.38). Из однозначности разложения (4.40)
следует однозначность разложения (4.38). Следовательно, оператор
F (4.37) может быть единственным образом представлен суммой F =
== Год + Fonj где
Год = S ^0 (*) Z^ Fon = Е gj (*) Zb Год € Fon € »„• (4.41)
7=1 7=1
Тем самым доказано последнее утверждение теоремы 4.2,
Замечание 4.1. Матрица фундаментальных решений (4.34)
может быть определена без интегрирования системы уравнений
(4.33). Действительно, операторное уравнение (4.9) в переменных у, s
116
имеет вид [dldst Y] = 0; при атом легко указать базисную систему
операторов алгебры 53О, коммутирующих между собой:
Y,--^-,....Yw-^_, (4.42)
где принято уп => s. Пусть в прежних переменных х каждый из опе-
раторов (4.22) имеет вид
Y> =v*)^+•••> = <4-43>
Операторы Y; являются решениями уравнения (4.8), а векторы их
коэффициентов ц, (х) = col on || ц.;; (х), ..., f\jn (ж)|| — решениями
системы Якоби (4.32). Следовательно, матрица фундаментальных
решений (4.34) может быть образована из векторов rjj (ср (у, s), ф (у,
s)), j = 1, п.
Перейдем к последнему этапу обоснования алгоритма асимпто-
тической декомпозиции в Но — нахождению операторов преобразова-
ния Sv из последовательности неоднородных операторных уравне-
ний (4.2).
Согласно доказанной теореме 4.2 правые части уравнений (4.19)
определены и записываются в виде суммы (см. формулы (4.41)) Fvon =
п
= S Svj (ж) Zj. Как следует из изложенного выше, коэффициенты
j=i
Tv = || Tvi, •••> Tvn || оператора Sv определяются из неоднородной
системы Якоби
U?vl = «к (х) yvl + ••• + а1п (х) 4- gvl (х);
Uyvn = a„i (х) Yvl 4- ... 4- апп (х) учп 4- gvn (х).
После перехода к переменным yt s (по формулам (4.21)) решение выпи-
санной системы сводится к более простой задаче — нахождению част-
ного решения системы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами
= «и (s) TV1 + ••• 4- «ш (s) yvn 4- gvi («);
............................................ (4.44)
=«ni(s)Tvl 4- ••• 4-«nn(«)Tvn + ivn(s)-
Так как фундаментальная матрица (4.34) соответствующей однород-
ной системы известна, то нахождение частного решения системы
(4.44) сводится к квадратурам и последующему переходу к перемен-
ным х.
Замечание 4.2. Если в качестве базиса алгебры 58 вместо
операторов (4.35) выбрать систему коммутирующих между собой
операторов (4.43), то интегрирование системы (4.44) приводится
117
непосредственным квадратурам (см. § 3):
<41
6s
= ivl(«);
^V<vn
ds
§ 5. ОБОСНОВАНИЕ АЛГОРИТМА АСИМПТОТИЧЕСКОЙ
ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ПРИБЛИЖЕНИЙ
Основная идея метода асимптотической декомпозиции, рассмот-
ренного в предыдущих параграфах, состояла в сопоставлении исход-
ной возмущенной системы
= со (х') + есо (х') (5.1)
с централизованной системой
= “j (х) 4- eN (х) xh j = ТГЙ, (5.2)
где
N (х) = N, (х) eN2 (х) 4- ..., [U, Nv]==0, v = 1, 2,..,, (5.3)
получаемой из исходной с помощью замены переменных в виде рядов
Ли
Xj — exp (eS) Xj, j — 1, n. (5.4)
Здесь
S = S, + eS2 4-e2Ss + • (5.5)
Вопросы обоснования алгоритма не затрагивались, так как для
этого потребовалось бы доказывать аналитичность функций в правой
части соотношений (5.2) и аналитичность функций преобразований
(5.4), что в случае бесконечного числа слагаемых в суммах (5.3)
и (5.5) представляет значительные трудности. Более того, в некото-
рых случаях она просто может отсутствовать.
Задача обоснования существенно упрощается, если ограничить-
ся конечным числом слагаемых в суммах (5.3) и (5.5). Заметим, что
в практических вычислениях ввиду их сложности именно так и по-
ступают.
Поэтому будем сопоставлять возмущенную систему (5.1) с уко-
роченной централизованной системой
_________________________________
= “i + eN(m) (rc<™)) 4m) + em+1 ФГ+1) (а*т>* e), / = 1, n,
(5.6)
где Г^т) (x<m>) = Nj (a*m)) 4- eN2 (a<m>) 4- ... 4- (x<m));
ф<т+1> — известные аналитические функции.
118
Укороченная централизованная система (5.6) совпадает до членов
порядка Ет с централизованной системой. Индекс т в новых перемен-
ных х(™\ ] = 1, п, подчеркивает этот факт.
Для получения системы (5.6) вместо замены переменных (5,3)
вводим укороченное преобразование
^ = exp(ES(m)(x<m)))4m), / = (5.7)
где S(m) обозначает сумму т первых членов ряда (5.2):
S(m) = S1 + eS2+ ••• 4-е—‘Sm. (5.8)
Не представляет труда установить точный вид укороченной системы
(5.6), т. е. функций ф(™+1), так как оператор Uo = U 4* eU', ассоции-
рованный с системой (5.1), после укороченного преобразования при-
нимает вид
Uo = U 4- eNx 4- • • • 4- emNm 4- em+! J e*—(U, U, Slt ..., Sm).
Здесь первые m 4- 1 слагаемых полностью совпадают с таковыми
в операторе (1.18) централизованной системы (5.2). Функции Fv
легко определить, если в формуле Кэмпбелла — Хаусдорфа
U0 = U4-e(-[U, S1]4-Fi)4- ••• 4- (- [U, Sm] 4- Fm) 4-
4- em+l [U} Sm+i ] 4- Fm+1),...
положить = Sm+2 = ... = 0. Таким образом,
фСт+П = ( £ Ev-m-iFv j Xj) j = 1, n.
\ г=?п4-1 /
Так как сумма (5.8) состоит из конечного числа слагаемых, то преоб-
разование (5.7) является аналитическим. Следовательно, возмущен-
ная система (5.1) преобразуется в систему (5.6), правые части которой
также являются аналитическими функциями.
Систему (5.6) легко проинтегрировать приближенно с достаточно
высокой (порядка е"^1) степенью точности, если рассмотреть вместо
нее систему
лДт)
—= <о,- (7т)) 4- (5.9)
где = colon || ..., ||, полученную из системы (5.6) отбра-
сыванием слагаемых порядка em+1.
Систему (5.9) будем называть централизованной системой пг-го
приближения. К ней применимы основные теоремы 2.1 и 2.2, упро-
щающие интегрирование централизованной системы. Например,;
применяя к системе (5.9) теорему 2.1, можно ее решение представить
в виде ряда Ли
-expfrN™^’))^ т= 8(t-i0), (5.10)
119
где вектор z(m) = colon || zf"\ ..., Znm)|| является решением системы
-T- = to(z(m)), (5.11)
совпадающей с точностью до обозначений с системой нулевого при-
ближения
= (5.12)
исходной возмущенной системы (5.1).
Подстановка в формулы (5.7) вместо точного решения ж(т> (t)
укороченной централизованной системы (5,6) решения a;(m) (Z) центра-
лизованной системы m-го приближения (5.9) даст некоторое прибли-
женное значение решения х' (£) исходной возмущенной системы
Xj (t) ~ ж;т) = exp [eS(m) (ж(т))] х^™\ j = 1, п.
Нахождение точной оценки для модулей разностей | Xj (t) —
— х{™} |, / = 1, п, является главной задачей настоящего параграфа.
Прежде чем сформулировать основной результат, введем некоторые
дополнительные понятия.
Будем рассматривать систему (5.1) в области GOe = I X /е X
X Но (х), t(I9I = [а, Ь], 7е € [0, е], где Но (х) — область сущест-
вования первых интегралов системы нулевого приближения (5.12).
Рассмотрим решение системы нулевого приближения (5.12) х' =
= х' (t, t0, х0), являющееся аналитической функцией t, t0, х0 в обла-
сти задания Ь = {(/, t0, х0): t g I (t0, х0), tOf х0 £ GOe}., где / (tot
х0) — максимальный интервал существования решения. Так как
правые части возмущенной системы (5.1) являются аналитическими
функциями х', е в области GOe, то к ней применима теорема Пуанкаре
[20, 24], Следовательно, можно указать область изменения параметра
е /ел = {0 О< е0} такую, что решение возмущенного уравнения
х' = х' (t, t0, х0, е), X (t0) = х0, где t, t0 g la, 6], [a, b] £1 (t0, x0)f
e (t0, x0) g /Ео, представляет собой аналитическую функцию перемен-
ных (t, t0, х0, е), обращающуюся в решение системы нулевого прибли-
жения при е = 0: х’ (/, <0, хй, 0) == х’ (/, Zo, а:0). Область 1Ео будем на-
зывать областью Пуанкаре. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5.1. Пусть возмущенная система с вещественно-аналити-
ческими коэффициентами (5.1) рассматривается в области
Gob — I X 7ео X //0 (х), где Но (х) — область существования пер-
вых интегралов системы нулевого приближения, Iso — область Пуан-
каре изменения параметра е, I = [а, Ы — интервал, входящий
в максимальный интервал I (t0, х0) существования аналитического
решения х' (t) = х' (Z, t0, х0), (t0, х0) g Goe, системы нулевого прибли-
жения (5.12); функция х' (t, е) = х' (t, t0, х0, е), х' (t0) х0, где t,
t0 £ [a, b], е g /Ео, является аналитическим решением системы (5.1),
совпадающим с решением системы нулевого приближения при е = 0:
(11 ^01 ^01 Q) === (Л ^01 *£())•
120
Тогда для произвольного 6 > 0 можно указать такое к (6), что при
всех 8 g [О, 8 (6)] для решения х' (t) исходной системы (5.1) и решения
(t) централизованной системы т-го приближения
x^Y th ъ) = exp [rN(m) (z(m))] exp [eS(m) (z(m>)j zjm>3 j = 1“^ (5.13)
еде z^& x' (ts t0, x0), ч = z(t —10), имеют место неравенства
| x} (t, e) — x/my (t, 8) | < 6, ] = 1, n4 (5.14)
а также соотношения
| a:'(f, 8) — x)m} (/., 8)|=sO(em+1)J j = 1, n, для всех Z, £0G[a, &].
(5.15)
Следствие 5.1. Пусть любое решение х’ (/, t0, х0) системы нулевого
приближения (5.12) в области Go — (Tlf Т2) X Яо (х) продолжимо
на весь интервал (Тъ Т2), тогда можно указать такой интервал Ieot—
= [0, Бот] € что соотношения (5,14), (5,15) имеют место для про-
извольной точки
(/, t0, х0, е)£ [а, 6] х la, fe] X Но X [О, вот], [а, fe] Е(7\, Tt).
Следствие 5.2. Пусть решение х' (t, t0, х0) системы нулевого при-
ближения (5.12), проходящее через точку х0 £ Но (х), продолжимо
на весь интервал [0, оо), ограничено при всех t £ [0, оо) и не выходит
за пределы компакта V (х0) g HOt т» е*
V (•*-())s {(^а ^о> •*") > ^а € IQs °0)* х ~ х (£, t0, a:0) £ V (ж0) £H0],
и ряд Ли
exp UN(m) («)] Xfo j = 1, п, (5.16)
сходится при всех значениях t С [0, оо), х £ V (ж0); тогда для любого
сколь угодно малого 6 > 0 и сколь угодно большого числа L > О
можно указать такой интервал изменения е, I^L — [04 е(1ь1, что
соотношение (5.14) имеет место для произвольной точки
toi е)€ ^0» to + gm+i j X po> t0 H-^m+T’j X ^e0L> tt *o€[°8 co).
(5.17)
Д о к а в а т e л ь с т в о. Произведем в укороченной централи-
зованной системе (5.6) замену переменных
х^ = exp [zN(m) (z^))] z^m), / = T7n, (5.18)
где z<m> = colon || z{m\ ..., || — вектор переменных* выбрав за
основу вид преобразования (5.10), приводящего централизованную
систему т-го приближения к системе (5.11) нулевого приближения,
Дословно повторяя несложные выкладки, применяемые при дока-
121
зательстве теоремы 2.1, приведем систему (5.6) к виду
—= ©j (z<m>) 4- еи+' T<m+‘) (z<m>, e), / = lt n, (5.19)
где (z(m), e) — известные аналитические функции.
Система (5.19) является возмущенной по отношению к системе
dz<m> / (т«
—М~ = ®(2(т)).
(5.20)
совпадающей с точностью до обозначений с системой нулевого прибли-
жения (5.12). Будем рассматривать поведение решения возмущенной
системы (5.19) в окрестности решения z(m) (t) = х' (t, t0, x0)f
(to) = xo системы (5.20). С этой целью применим метод малого
параметра Пуанкаре (см. [20, 24]). Произведем в системе (5.19) за-
мену переменных z(rn} = у + z(m), где у = colon || уг, уп || —
вектор новых переменных. В результате система (5,19) перейдет
в систему
Л- = (0 (у + Z(m>) _ ю (>)) _j_ em+l ^+0 у, e), (5.21)
где W+D = colon || Ф(Г+1), 4*m+1)|| — известные аналитические
функции.
Решение системы (5.21) будем искать в виде ряда
y = Ey^(t) + ^(t)+ ... (5.22)
Опуская все выкладки, связанные с записью уравнений для опреде-
ления функций у(Л (t), (t0) = 0, j = 1, 2, отметим, что ряд
(5.22) будет начинаться с членов порядка е"^1, так как в правой
части системы (5.21) разложения по е также начинаются со степени
в’п+1. Таким образом,
у = em+l^(m+l) ф Ет+2у(т+2) Щ ... (5.23)
Пусть М обозначает верхнюю границу модуля функций, стоящих
в правых частях уравнений (5.21), когда t, t0 изменяются в интервале
]а, Ь] и переменные у и е достаточно малы: | yj | р, j — 1, п,
| е | р, где р — некоторое малое фиксированное число; тогда ряд
(5.23) сходится при условии, что е удовлетворяет неравенству (см.
[20, с. 159])
м
е ₽ <4-’ Ьь <5-24)
Таким образом, решение исходной системы (5,19) можно предста-
вить в виде суммы:
& е) = (t) + Ет+1у (tt e)t (5.25)
где zW(f) = ?(Mo, *o)t y(f, e)=y^+‘)(04-ei/<™+2) (t) + ••• -
ряд, полученный из соотношений (5.23). В силу сходимости ряда
122
(5.23) найдется постоянная такая, что имеет место неравенство
I У (** е)| М^т\ Поэтому для модуля разности | z*jm) (Z, е) — z^ (Z)|
справедлива оценка
I zjm) (Z, е) — z<T (Z) | C £m+1 (5.26)
Как видно из оценки (5.26), разность |zjm> (t, е) — (t, e)| как
функция е эквивалентна бесконечно малой величине ет+*, т. е.
|zjm)(t, е) — Zjm> (t) | = О (em+1). Из неравенств (5.26) следуют нера-
венства
(t) _ е™+1 Л/<m> z<m> z<™> (Z) 4- 8m+Mm).
Итак, за счет выбора параметра е можно добиться, чтобы решение
z(m’ (t, е) находилось в сколь угодно малой окрестности решения систе-
мы нулевого приближения и не выходило из области Но (х).
Запишем последовательную композицию преобразований (5.7),
(5.18) в виде одного выражения
Xj (Z, е) = exp [TN(m> (z(m)) exp (eS<m) (z<m>)] zjm> (Z, e). (5.27)
Как следует из теоремы 2.3 гл. 1, за счет выбора достаточно малых
значений т = е (Ь — а) а е можно добиться, чтобы ряд Ли в правой
части соотношений (5.27) сходился в любой замкнутой подобласти
Но (х) и значения ряда не выходили из нее. Пусть этот факт имеет
место при 0 е < ег. Аналитической функцией при изменении 8
в указанном интервале будет также преобразование, обратное (5.27),
и его значения не будут выходить из области Но (х).
Таким образом, если выбрать 8 из условия 8 £ (0 8 <Z е,) Р
П (0^8^ 80), то все проводимые выше преобразования делаются
правомерными.
Для получения оценки решений в исходных переменных подста-
вим решение (5.25) укороченной централизованной системы в форму-
лы (5.27). В итоге получим
Xj(tt 8) — X^(t, 8)4- Ет+1У}т} (t, е), / = 1, п, (5.28)
где a?/m> (Z, 8) = exp [TN(m) (z<m>)] exp [eS(m> (z<m>)] zjm) (Z, 8) — решение
централизованной системы m-го приближения, t//m> (Z, 8) — извест-
ная аналитическая функция.
В силу абсолютной сходимости рядов в правой и левой частях
равенств (5.28) и свойств их перестановочности из (5.28) следует
оценка | х' (t, е) — Xjm> (Z, е)| < dm+1Af?n), где Мо^ — констан-
та, ограничивающая сверху сходящийся ряд у™ (Z, 8), j = 1, п.
Выбирая 8 из условия ет+1Л/<™> < 6, получаем доказываемые оцен-
ки (5.14), (5.15).
Следствие 5.1 очевидно, так как все рассуждения можно повто-
рить для произвольной точки (Zo, х0) £ GOe. Для доказательства след-
ствия 4.2 обратимся к укороченной централизованной системе
(5.19). Точка х0 не является положением равновесия, и в некоторой
123
ее окрестности W (х0) выражения
ж = ж (<в Zo, ж0), (5.29)
являющиеся решениями системы нулевого приближения, можно раз-
решить относительно переменных хй и получить п интегралов: xoj =
= q>j (t, t0, x), j = i, n.
Так как решение системы (5.20), являющейся системой нулевого
приближения для (5.19), также ищем в виде (5.29), то в системе
(5.19) произведем замену переменных z(CT) = х' (tf t0, с),; с = ф (t,
t0, z(m)), считая с = colon || clt ..., сп || новыми переменными. В ре-
зультате система (5.19) переходит в новую систему
-g-== 8™+W,. е, 8), (5.30)
где £2 (t, с, 8) = colon || £2lr ...4 £2П || — известные аналитические
функции t, с, е.
Особенностью системы (5.30) является пропорциональность ее
правых частей параметру 8m+1. Система нулевого приближения
dddt — 0, полученная из (5.30) при 8 = 0, имеет решение с = .г0,
I = t0.
Совершим в системе (5.30) замену переменных с = в — х01 в ре-
зультате получим систему
-|-=8’n+lQ(t,ca8), с=зО при t = t0. (5.31)
Функции О5 (t, с, 8), у = 1, п, в правых частях системы (5.35)
ограничены в силу сделанных предположений: | Qj (t, с, 8)| <
tOr I € Ю». °°)i когда с, 8 достаточно малы и не выходят из области
| с К р, 8 < р.
Применяя к системе (5.31) метод малого параметра Пуанкаре,
можно представить ее решение сходящимся по 8 рядом
с « e»4-i?m+1) + em+2?m+2> + ...(5.32)
если параметр 8 достаточно мал и удовлетворяет неравенству
n^-e^+i (/-./„) ер 1
(Р + е)2 4 •
Пусть интервал изменения независимой переменной t ограничен
числом tr и пусть 8 удовлетворяет неравенству (5.33). Тогда, обозна-
чая 8т+1 (tr — t0) = L, получаем = i0 + Ь/ет+1. Возвращаясь
к переменным z(m), находим
z(m> = x(t, t0, х0 + с), (5.34)
где вектор с представляется сходящимся рядом (5.32). Выбирая
р, 8 достаточно малыми, можем добиться, чтобы значение с находи-
лось в области W (х0). Раскладывая (5.34) по степеням параметра е,
124
(5.33)
получаем сходящийся ряд
оо
z(m) — х> t0, х0) 4- em+4 S ev-’n“-1T]v (t, e)t (5.35)
v==m4-l
где T]v (t, e) — известные функции.
Ряд (5.35) подставим в формулу (5.27). За счет выбора
достаточно малого 8 можно добиться, чтобы значения ряда
exp (eS(m) (z(m))) z(m) (t, в), где z<m) (t, 8) выражается формулами
(5.35), принадлежали V (х0). Согласно сделанным предположениям
сходится также ряд (5.16). Дальнейшие рассуждения повторяют
доказательство теоремы 5.1 и в итоге приходим к оценкам (5.17).
Рассмотрим теперь уравнение (5.1) в некоторой замкнутой под-
области Vo <= Но. На основании теоремы 2.3 гл. 1 можно указать та-
кой замкнутый интервал изменения независимой переменной 111
Т, что решение системы нулевого приближения (5.12) будет пред-
ставляться в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда Ли
х' = exp (t U (гс0)) х0 (5.36)
по всей области [| 11 Т} X Ро и представлять там аналитическую
функцию переменных t, х0. Тогда, принимая в формуле (5.13) zjra> =
= exp (rtJ (х0)) xoj, j = 1, n, и учитывая свойство точечности преоб-
разований (5.37) для решения централизованной системы тга-го при-
ближепиЯ;, находим
xfm} (t, е) = exp (ZU (ж0)) exp (тЛ^т> (х0)) exp (eS<ni) (х0)) х^, / = 1, п.
Применяя теорему 5.1 к указанному случаю, получаем следующий
результат.
Следствие 5.3. Пусть решение системы нулевого приближения
(5.12) представляется рядом Ли (5.36) в замкнутой области [Z Т\ X
X Vo; тогда для любого сколь угодно малого 6 > 0 можно указать
такой интервал /вм = [0, е01], что при всех 8 £ 1Вм выполняются
неравенства _ ___
I Xj (te 8) — x}m} (Z4 8) I < 6 (8), 7 = 1, n,
для всех точек
& t0, x0, 8)e[|t|<T] X X VoU)X[0, sol],
причем модуль разности | х$ (t3j 8) — x$m} (t, 8)| как функция 8
есть величина порядка малости sm+4.
§ 6. АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ В СЛУЧАЕ,
КОГДА НУЛЕВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ ДЕКОМПОЗИРУЕМЫМ
Предположим, что система нулевого приближения
тг=“(*) <6.1)
декомпозируема в области G (см. § 4 гл. 2). Это значит, что если век-
тор z = colon ||z15 ..., zn|| разбить на группы z = colon ||zvi4 zV2S ..., zvg||,
125
где zV1 = colon|]ziV1, zV1Vl||, zVg = ||z1Vg, ..., zVgVg||, то существует
обратимая замена переменных
г = 1р(ж), ж = 1р-1(г)1 яр, яр-1 в(б?), ip = colon || % ipn||, (6.2)
которая преобразует исходную систему к совокупности независимых
по новым переменным подсистемам
rfz,,
dzv
~-=fve^Vg) Vj + +v? = nf
где fVj = colon||/iv? fv.v.\\, Для этого необходимо и до-
статочно, чтобы обертывающая алгебра Ли 83 системы (6.1) была
представлена в виде прямой суммы идеалов
ЯЗ = ЯЗ(,,+ ••• +^, P8(i>,
[83(j), 83(П] С 83(Л, dim 83(Л = Vh vr + • • • + vg = п. ’ '
Пусть базис идеала 83<г) образован v, несвязными операторами
xlvis ... , -XviVi» i = 1, g. (6.4)
Выберем в качестве базиса S3 операторы (6.4) и разложим правую
часть уравнения (3.1) по этому базису:
g
F = X (b1ViXlv. -р bVjV.XViV.).
i=l
Оператор S также ищем в виде суммы:
g
Ь = Xi (Tlv^lVj 4* • • • +
i=i
Примем во внимание, что оператор U представим суммой
и = и14- ... 4-Ug, и,еж0), 7 = 177. (6.5)
Теорема 6.1. Если нулевое приближение (6.1) возмущенной си-
стемы вполне декомпозируемо в соответствии со структурой обер-
тывающей алгебры 83, задаваемой соотношениями (6.3), то, выбирая
в качестве базиса 83 операторы (6.4), составляющие базис ЭЗ^1,
1 = 1, g, систему Якоби можно привести к g независимо интегри-
126
руемым подсистемам
UlTlv.
• • • UiTVtVl U2TlVl • • • ^aYvsVs +
a e «> ’do • . Э ’ • OQ
а^, ... aft*> 0 ... О ... О ... О
......................................... О ... О
0 ••• 0 ••• 0 ••• 0
О ... О ай, ... ... О ... О
О ... О а*1’ ... а^ ... О ... О
VgVg v2»2
/jlv,
^X\V;
Yiv,
• • •
Yv,Vt
Yiv,
^V2vs
Vlvg
Yvffvg
(6.6)
Доказательство. При подстановке F и S в уравнение (3.1)
получаем
g
S (UyiVjXivj -f. . • . 4* UVvjVjXviVj + TlVj [U, X1VJ + • • •
1=1
g
• • • + TviVj [U4 XV1Vi]) — (^IVjXlvj + • • • bv-VjXvjvj). (6.7)
С учетом разложения (6.5) находим
[Uf XivJ fUj, Xlv.] = aiv.Xiv. -J- • • • 4- ttvjVjXvivj»
....................................................... (6-8)
[Ц1 XvjVj] = fUi, XViV|] = aiv* Xiv; 4- • • • 4" aViVjXVjVi.
127
Подставляя (6.7) в (6.8), приходим к системе векторных тождеств
)| XlvjJ
Vivi
• • •
bviVi
из которых немедленно следует система Якоби (6.6).
Обратимся к интегрированию каждого блока в системе (6.6)s
UjTivj + aJ^Tivj + • • • + «ivfbjvj = bivi;
Ц/TvjVj + ^VjVjVlVj + • • * 4" ^VjVjVvjVj - bv.v:.
Если обозначить через Нщ область существования п — 1-го незави-
симого интеграла уравнения Uj/ = О, то к системе (6.8) применимы
результаты § 3 с той лишь разницей, что система (6.8) сводится к си-
стеме обыкновенных дифференциальных уравнений размерности V;
(меньшей п).
Интегрирование (6.8) существенно упростится, если перейти к пе-
ременным z по формулам (6.2). В этом случае
и>=Л^(^.)-^—4- (zVj) >z~" »
и правая часть уравнения (3.1) представима суммой F = Fx 4- ... 4-
+ Fgt в которой
Система уравнений (6.8) будет содержать V; уравнений от V; пере-
менных.
Из доказательства теоремы 6.1 следует, что декомпозируемость
системы нулевого приближения существенно упрощает алгоритм.
Однако пока не ясно, сохраняет ли свойства декомпозируемое™
централизованная система
= И; (х) 4- eNzjj 7 = 1, ga (6.9)
где N = N, 4- eN2 -}-..., под воздействием того же преобразования
(6.2), которое декомпозирует систему нулевого приближения.
Рассмотрим этот вопрос подробно. Так как операторы Nlt N2, ...
удовлетворяют операторному уравнению (см. § 1) [U, Nj] s О,
j — 1, 2, ..., а их коэффициенты — однородной системе Якоби,
полученной из (6.6) отбрасыванием правых частей, то легко найти
разложения этих операторов по базису (6.4):
g
N,- = S <Xlvi + • • • + $Х().
128
Замена переменных (6.2) составлена из набора функций
= {wjV1 (ж), .j Uvjv, G^)}»
............................................ (6.10)
= ® (^)}j
являющихся системами импримитивности для подалгебр Я3(1), ...,
(подробнее см. теорему 4.6 гл. 2)
XjWpvj (ж) — Ф^р (uivj • • •« u-vjvj (•*')).» / € {1Уй • • • ,> VZYi}»
Р = !, Vh j = 1, g.
Поэтому вопрос о декомпозиции централизованной системы (6.9)
под действием преобразований (6.2) сводится к изучению поведения
систем импримитивности (6.10) под действием оператора Nj.
Лемма 6.1. Для того чтобы система функций
9Л2, ... , 9Лр, p<g, (6.11)
являлась системой импримитивности оператора необходимо
и достаточно, чтобы операторы
Xivp+1t • • • j XVp+1Vp+1, ... , X1Vgl ..., XVgVg (6.12)
допускали оператор1 N;, т. е. выполнялись соотношения
[Ujj Xivg)
[U?j x1Vp+j
[Ujj xVp+1Vp+j
[Ujj XVgVg]
1 Полная система операторов AIf ..., Ap допускает систему операторов
р
Xlt ...» Xr, если выполняется условие [Ха, Ag] — Ос^рАу (см., например, [118,
v=i
с. 105], а также § 4 гл. 1),
в 7—1641
129
Доказательство. Достаточность. Функции, входящие
в систему (6.1 1), являются независимыми решениями полной системы
ХКу-ц/ = Qj . . . s ^Vp-i.iVp^.1/ = Qj • • • ® XiVg/ = 0s . . . a XVgVg/ ~ 6-
(6.14)
Если f — решение системы (6.14), то из соотношений (6.18) следуют
тождества
1Цд X1Vp+1]/ES0, ... e [Uj, xVp+1Vp+1]/ «О, .... [UJ#X1Vg]/0. ...
• • • a [Ujj Xv^tVg] / s 0.
X1Vp+1U/sO( ..., Xv^U/sO, .... ци^о,
...„ XV,VU^O.
Следовательно, оператор Nj переводит систему функций (6.11) снова
в некоторые функции от этой системы. Другими словами, система
(6.11) является системой импримитивности для Uj. Необходимость
легко доказывается, если в операторах (6.12) осуществить фактиче-
ское приведение, т. е. перейти к переменным z.
Введем новое понятие, существенно упрощающее выкладки. Пусть
вектор X = colon || Хп ..., Хп || является базисом в S3. Составим
вектор из скобок Пуассона || [Uj, XJ, ..., [Uj, Хп]||. Его компоненты
принадлежат алгебре 58, и, следовательно, выполняется векторное
равенство
[U XJ
[Uj Х„]
р^ ... Р1Й
рй ... Р&
X,
х„
(6.15)
Здесь матрица коэффициентов —|| Pr}' ||, Г, 1' = 1, п, имеет размер-
ность п х и и коэффициенты из © (G). Введенная матрица 5J01 назы-
вается матрицей представления оператора Uj в базисе S3. Разобьем
группы операторов XV1 = colon ||X1V1, ..., XV1VJ|, ...,, XVg = colon ||X1Vgl ...
...s XVgVg||, составляющих базис 58, на новые подгруппы:
Хш*’ = colon||XVt, ...а XVri||;
Х(^> = colon || Хг. i+1, ... , XVri+rJ|5 (6.16)
X т) = Со1оп 11Х*г1+.. -+гт_1+1 ® Х^,+ - -
где
V1 4* * • • 4" Vr1 = Ри • • . ч Vri4---+ • • • ~h vn-l-------------Rm = Pm»
Pl 4* • * • 4* P»» ~ n‘
130
В новом базисе || X(Pl\ Х<р’\ ...3 Х<ц,,п> Ц векторное соотношение (6.15)
примет вид
[N5 Х(р,)1
[N3 X<tXm)]
...
Ш ... Л
(Мтп)
3
где — матрицы размерностей X p;>, I', f = 1, т. Следо-
вательно, матрица представления оператора U3 в ЯЗ $0) = ||58$' и,
i'f f = 1, т, является блочной.
Переформулируем лемму 6.1 в терминах матриц представления
оператора N3- в базисе ЯЗ. С этой целью определим два вектора:
Х(Р1) = colon || XV11 ... а XVp|], V1+ ••• +Vp = p1;
Х(Рг) = colon || XVp+1, ..., Xv?||, vp+1 4- ••• 4* vn—Pai (6-17)
Pi + Pa = n-
Лемма 6.2. Для того чтобы система функций (6.11) являлась
системой импримитивности оператора N3, необходимо и достаточ-
но, чтобы его представление в базисе (6.17) осуществлялось квази-
треугольной матрицей, т. е. выполнялось равенство
[Nj Х(р,)]
[N3 Х(р2)]
Х(р1)
О
где — матрица размерности X р2, Фъ'* — матрица размер-
ности р2 X р2.
Доказательство очевидно, если сопоставить фигурирую-
щие в лемме 6.2 соотношения с равенствами (6.13). Матрица
совпадает с матрицей системы векторных равенств (6.13).
Переход к матричному представлению оператора N3- в ЯЗ позволя-
ет глубже уяснить структуру операторов N3, входящих в алгебру
централизатора.
Лемма 6.3. Для того чтобы матрица представления оператора
N3 в базисе (6.17) имела квазитреугольную структуру
II 0
(6.18)
необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты (х), ..., Ь^,. (х)^
j = 1Л рл в разложении оператора N3 по векторам Х(р,\ Х<Ре)
N; = S (^,Xivr 4- •• • 4- ^%,,XvW) +
j'=l ' ’ 1111
4- S (frlViXlvj + • • • + ^VjVjXvjvj)
i=P+l
e’
131
являлись интегралами полной системы уравнений = 0, ...
XViVj/ = 0, i = р + 1, g.
Доказательство. С целью упрощения выкладок прове-
дем доказательство для v2 = 2, v2 = 2, vs = 2, р = vr -f- v2 — 4.
Разложение N,- в этом случае примет вид
Nj = blv?XiVi -j- + ^lv^XiVl -J- + blVjX1Va b^vjXgv,.
Введем векторы
г<м = I®?, 5g>, I'S. 8g;, sg|;
X = colon || X1V1, X2V1, Xb,2, X2Vi, X)Vj, X2V„[|.
С учетом этих формул оператор N; можно представить в виде
N; = b(Oj)X. (6.19)
Вычислим скобку Пуассона от оператора Хо и операторов в левой
и правой частях соотношений (6.19):
[N;, Х„] = Ь(0Л [X, Хо] - Х^Х. (6.20)
Пусть индекс а пробегает множество {lvn 2vn lv2, 2v2, lvs, 2v.J.
Нетрудно показать, что первое слагаемое в тождествах (6.20) даст
в матрице представления оператора квазидиагональную составля-
ющую
0
ш в 0
D 0 ш
0 0 ш
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
ж 0 0
0 0
0 ш
0 iM ш
а второе слагаемое — составляющую
Xlv,C XIV,< X1v,C Xjv/C
W(2v? X2v,C X2v,C W'lv] X2v.C
Х1Л XlvC X<V.< Х1Л
X2v,^ ^2v,^2v^ X2v?^
Х1Д Xlv,<’ XlvJ^ Х1Л Xlva< Х1Л
X2vsC X2v,C X2v,^ X2v.^’ X2v,C X2V.C
(6.22)
132
Сопоставляя матрицы (6.21) и (6.22), видим, что для того чтобы мат-
рица представления имела требуемую квазидиагональную структуру,
необходимо и достаточно, чтобы элементы в матрице (6.22), находя-
щиеся на пересечении последних двух строк и первых четырех столб-
цов2 были тождественно равны нулю:
Xlv$M Xlv$$>0; XiV3C = 0;
X2Vs< = 0; X2Vsfe2v,=0; X2v,C = 0; X2Vj<M.
Для общего случая доказательство аналогично.
Приступим к непосредственной формулировке и доказательству
теорем о декомпозиции централизованной системы. Разобьем груп-
пы переменных
Я-v, = Colon || .'Г Iv,, . • . , ^v,v, ||i • • • i ^vg = Colon || ^-IVgi • • • i "^vgvgll
на подгруппы
a;^*) = colon II xVt, ... a xVp ||;
^(|J2> = colon||A.pi+1, ...» *vpl+p!l|;
ж<Цт) ~colon И Xvpi+- +pm-i+i’ • • • ’ ®vp.+- • -+pm4'
Аналогичное разбиение на подгруппы примем для новых переменных:
zv, = colon Ц ziVll ..-i zV1VJ|; ...; zv^ = colon || ziVg, ..., zVgVg||:
z(M,) = colon||zVi, ..., zVpJ|;
z(Ml) = colon||zVpt+i, .... zVpi+pJ|;
z(ftm’ = colon И zvP1+. • -+pm_1+i.41+.. .+Pm ll-
где
vi + " • • + vPi ~ Pi- vPi+i + • • • + vp,+p2 = Иг!
'vPi+---+Pm-l+l + ••• + VPd--+pm ~ Pm’ Pl + Pm=«-
Справедливо следующее утверждение о декомпоэируемости центра-
лизованной системы.
Теорема 6.2. Пусть операторы N;, 7 = 1, 2, ..., входящие в
централизованную систему
= со (х) -|- eNj + 82N2 • • •) xi, i = 1, тг,
имеют в базисе (6.16) Х(Ц1), Х(Мг>, ..., Х(Цгп) алгебры 83 квазидиаго-
нальные матрицы представления
[Nj [Nj в £ И “ 1 0 0 ... о ... 0 Х(Р.) Х(Рг)
[N; x(Um)] 0 0 • • •
133
где — матрицы размерностей щ- X це, г = 1, m; тогда
замена переменных z = ф (аД х = “ф-1 (z), осуществляющая декомпо-
зицию системы нулевого приближения на подсистемы dzv./dt =
= <aVj (zv;)> 1 = l,i g> приводит централизованную систему к т не-
зависимо интегрируемым подсистемам
Jz 00
-^- = coV1(zV1)+ S eW)(z(Ui))4
al V=1
..............:” <e-28>
-£=%M +
♦ » «••*«**••••»»•••»••
VP1-|-bPwi—1+1 , \ ,
dt vPi+* • •+P?n*-l"b3 vPi4” • • ’
V=1
• (6.24)
dzn,
гР1+- • 4-Pm _ / ч .
dt vPt4~* • '^vPi+* • ”i~Pm
+ Ее^й+’"+Рт,(^
V=s=l
порядков соответственно p1? ..., цт, 4- ... + цт = п.
Доказательство. Согласно леммам 6.1 и 6.2 системы функ-
ций
SW(Ml) = {щ., (х), ... а uVpi (ж)};
9Л(М,!> = {WVP1+1 (^)j - • • a UVP1+P! (я)}!
• ««••«•• ••••••«•••••а
9Л т = {UVP1+.. ,+рт_]+1 (^).> ...a uvPi+...+Pm(a;)}
составляют системы импримитивности оператора Ц3, / = 1, 2f ...
Выбирая их в качестве новых переменных, согласованных с системой
обозначений (6.13), приведем централизованную систему к виду
(6.23), (6.24).
§ 7. ПОЧТИ ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Применим алгоритм асимптотической декомпозиции к возмущен-
ной системе вида (1.4)
= (»(»') 4- есо (»')> (7.1)
134
в которой система нулевого приближения
4=“^ (7-2)
инвариантна относительно некоторой псевдогруппы преобразований
у, представленной рядами Ли
У1 = ехр (sX3) х1г ... в уп = ехр (sX,) хп, j = 1. т. (7.3)
Здесь
Хь Х2, ..„Х, (7.4)
— известные дифференциальные операторы, образующие полную си-
стему, s — параметр, характеризующий псевдогруппу.
Согласно определению, приведенному в § 4 гл. 1, система (7.2)
под воздействием преобразований (7.3) переходит в систему =
= со (у), с точностью до обозначений совпадающую с исходной си-
стемой (7.2). Как показано в теореме 4.1 гл. 1, операторы Xj, / =
= 1, т, должны быть коммутативны с оператором U, т. е.
[U.XJ^O* 7 = 17^. (7.5)
Полнота системы операторов (7.4) означает, что среди них найдется
к п линейно несвязных операторов, например
Xb....Xte (7.6)
так что справедливы тождества
h ____
[Xj\, Xj = сц (а:) Хщ i, j = 1,
Ц=1
где cjj (х) — известные функции.
Возмущенную систему (7.1), полученную из системы (7.2) добав-
лением малых возмущений есо (х'), будем называть почти инвариант-
ной системой. Подробно вопрос об интегрировании системы (7.2),
инвариантной относительно некоторой группы преобразований, был
рассмотрен в § 4 гл. 1. Здесь остановимся на тех упрощениях, ко-
торые вносит знание группы инвариантности системы (7.2) нулевого
приближения при реализации алгоритма асимптотической декомпо-
зиции применительно к возмущенной системе (7.1).
Согласно алгоритму асимптотической декомпозиции произве-
дем в системе (7.1) замену переменных в виде рядов Ли (см. § 1)
х} = ехр (eS) x}i j = 1, п,
где S = Si + eSjj+a^g 4- ..., S{ g £)(1>(G). Операторы Sj, Z = 1, 2, ...,
определяются из системы операторных уравнений
(U,S<l»Ffa i = 1. 2, ... , (7.7)
где Fj — известные операторы, получаемые из формул (1.8).
133
Так как операторы (7.4) перестановочны с оператором Ц,
т. е. выполняются тождества (7.5), то алгебра операторов Я^т\, порож-
денная операторами (7.4), является подалгеброй централизатора:
83(т) с= «Во.
Предположим, что известны все п — 1 операторов, несвязных
и перестановочных с U. Следовательно, операторы Xt, ..., Хи_1,
Х„ s I можно принять в качестве базисных. Тогда правые части
уравнений (7.7) могут быть представлены в виде
F{ = Ьг1Хг + ... + Ь1пХп> i = l,2, ... (7.8)
Операторы преобразования S также ищем в виде разложения
= YilXj +•••-}- YinXn.
Проекция рг Fj от оператора F, согласно § 4 определяется по форму-
ле
п
рг Fi == £ ЬуоХй (7.9)
3=1
где Ьцо (х) — составляющая в разложении
Ь1} (х) = Ьуо (х) + (ж), (7.10)
являющаяся интегралом уравнения U/ = 0. Однозначность разложе-
ния (7.10) доказана в § 4. Оператор S, определяется из уравнения
fU,Si] = Fi-prFi. (7.11)
Подстановка значений Sy Fi и pr F, в уравнение (7.11) приводит
к системе п независимых однородных уравнений
Uyii = Ьц (х), ..., Uyin = bm G4 (7.12)
Используя операторы pr F,, i = 1, 2, ..., в форме (7.9), предста-
вим централизованную систему, соответствующую возмущенной
системе (7.1), в виде
-^- — <о(х) + ^(Х) + esN2(x)+ ... (7.13)
Как указывалось в § 1, централизованная система (7.13) инва-
риантна относительно однопараметрической группы преобразований:
у = exp (sU (х)) х, где U (х) — оператор, ассоциированный с систе-
мой нулевого приближения (7.2). Система нулевого приближения
(7.2) инвариантна относительно псевдогруппы @, однако централи-
зованная система (7.13) в общем случае не является инвариантной
относительно этой псевдогруппы. Таким образом, предположение
об инвариантности системы нулевого приближения (7.2) отно-
сительно псевдогруппы @, существенно используется лишь при
реализации алгоритма асимптотической декомпозиции.
Теорема 7.1. Пусть в почти инвариантной системе обыкновенных
дифференциальных уравнений
= «> (*') + есо (х')
136
система нулевого приближения dxldt = со (х) инвариантна относи-
тельно некоторой псевдогруппы преобразований представлен-
ной рядами Ли
У1 = exp (sXj xlt ... а уп = exp (sXj) хп, j = 1, щ
где среди т дифференциальных операторов Xj, Хт имеется п
линейно несвязных Х1г Xn—i, Хп = U; тогда преобразование исход-
ной возмущенной системы к соответствующей централизованной
— = (й(х) + eNx (X) й e2N2 (х) + ...
путем замены переменных х' = exp (eS) хц, j = 1, п, S = Sx"4-
+ eS2 + ... сводится к нахождению коэффициентов операторов
преобразований
Sj - ttyjXj -ttjnXK
из системы п независимых неоднородных уравнений
= Ьц (^г), • • • 0 ПуХп = bin (x)t
а операторы N, (х) имеют вид
N{ (х) = Ьц„ (х) Хх + ... + bino (х) Хп,
где bijo (x)s Ъц (х) — составляющие в разложении (7.10).
Если в совокупности (7.4) имеется меньше, чем п, линейно несвяз-
ных операторов, то система уравнений (7.12) будет иметь более слож-
ный вид. Предположим, что среди операторов (7.4) имеется k < п
линейно несвязных операторов
Xj, ..., Xft_j, Xft = и. (7.14)
Дополним эти операторы до полной системы п несвязных операторов
произвольными операторами X^i, ...а Хп и примем систему операто-
ров Xj, ..., Xft_tl Xft = U, Xft+i, ..., Хп в качестве базисной. Полагая
п п
Si = S и Fi = S № сведем операторное уравнение (7.7)
7=1 7=1
к системе Якоби от п — к переменных
Uyi.fe-f-i + afc+i^Yi.fc+i + • • • + ak+iYin =
............................................. (7.15)
UYin -}-••• j- On ^in = bin
и системе к независимо интегрируемых неоднородных уравнений
Ifyil + a?+l\i,k-l-l + • • • + Ol"'Yin =
. ........................................ (7.16)
U?iA + + ••• + а^Угп = bint
решение которых можно свести к квадратурам после нахождения ре-
шений системы (7.15). Коэффициенты в уравнениях (7.15) и (7.16)
137
определяются тождествами
Iu.xft+1]ES<4,*1)x1+ ... +4ft+1)x„?
[U,lXn] = ^n)X1+ ... +e(”’xn.
Следствие 7»1. Если среди операторов (7.4), порождающих псев-
догруппу @, имеется к линейно несвязных операторов, то реализа-
ция алгоритма асимптотической декомпозиции сводится к последова-
тельному интегрированию системы Якоби (7.15) от п — А: переменных
и системе к независимо интегрируемых уравнений (7.16). (Подробно
вопросы построения проекторов рг Fj от операторов Fj и решения
систем (7.15), (7.16) были рассмотрены в § 3,4.)
Резюмируя сказанное, отметим, что знание априори элементов
(7.4), определяющих псевдогруппу инвариантности и входящих
в алгебру централизатора Я30, существенно упрощает реализацию
алгоритма асимптотической декомпозиции, так как сводит вопросы
построения операторов рг Fj, Si к системам уравнений вида (7.12)
или (7.16), интегрируемых в квадратурах, либо к системам уравнений
Якоби вида (7.15) с числом переменных h <Z п. Как отмечалось
в|1§ 4 гл. 1, с помощью теории инвариантности Ли, базирующейся
на нахождении инвариантов продолженных операторов, можно по-
лучить операторы
Xft+1, ... „ Хг, (7.17)
которые допускает уравнение U/ = 0, т. е. для которых выполняются
тождества
[Ц, Х5] = к} (х) U* / =- А: 4-1, I. (7.18)
Система операторов (7.17) является также полной. В § 4 гл. 1 пока-
зано, что по операторам (7.17) могут быть построены операторы
Хо,/<+1, ..., Хоп перестановочные с U. Следовательно, система опе-
раторов (7.14) может быть расширена за счет присоединения этих
операторов. Однако нахождение XOift+i, ..., Хог требует интегри-
рования неоднородного уравнения U/ = к (х).
Составим базисную систему из операторов
Хц ... а Х^ = U, Х^_|-1, • • ® Х(,, Xj.pi, ... в Х„,
где ___ _________________________________
[U, Xi] э 0, i = 1, к; [U, Х7] = kj (х) U, j = к -]- 1, Z;
[U, Хг+1] = «</+% + .. • + 4г+1)Хп;
[U, хп] = нГх, + ... +4п)хп.
п п
Полагая в уравнениях (7.7) S, = £ TijXj, F{ = £ 6yXj, получаем
гт i=1 ’=1
следующие три системы Якоби:
Uyi.fe-pi = a'i+i’yi'i+i -|- ... 4-а(г”лТ1п + Ьщ-ц
.............................................. (7.19)
138
UYin — 4+ ~Ь • • • a(n \in bin!
UYm+i = afiffyii+i + • • • + «Й-iTin + bi,fc+ii
................................................... (7.20)
Uy,; = + • • • + <4"\in + Ьц;
Ifyii = ai + + • • • + di ’yin 4~ Ъцг
............................................... (7.21)
Uyift = \i,z+l + • • 4~ flfe \in + bih 4~ Tfe4-l^fe+l ~b •••-]- уД/.
Система (7.19) интегрируется независимо. Решение системы (7.20)
сводится к квадратурам после решения системы (7.19). Решение си-
стемы (7.21) сводится к квадратурам после решения систем (7.19)
и (7.20).
Полученный результат можно сформулировать в виде следующего
утверждения.
Следствие 7.2. Если известны к линейно несвязных операторов,
входящих в псевдогруппу Х1Т ..., Xft, а также I — к операторов
Xfeu-i, ..., Xj, допускаемых оператором U (см. соотношения (7.18)),
то реализация алгоритма асимптотической декомпозиции сводится
к последовательному интегрированию системы Якоби (7.19) от п —
— (I + к) переменных и подсистем уравнений (7.20) и (7.21), решение
которых может быть сведено к квадратурам.
В заключение приведем пример почти инвариантной системы.
Пример 7.1. Рассмотрим систему вида (4.23) в гл. 1
-^~ = У^У2^ + уЬ’ -^- = У2-У1(У,+Уг)’ (7.22)
at at
инвариантную относительно группы вращения х± = exp (sYJj/j, ж2 = exp (sY)j/2»
v д д
где ^ = у2--У1—.
Подвергнем систему (7.22) малым возмущениям и перейдем к почти инвари-
антной системе
— 4/1 + 4/2 (У1 “Н J/г2) + e^i (Vi'
(7.23)
^2 . , 'П ,п
= У2 — У\ (У\ + У2 ) + (У1, У2>,
где Fj (pj, у'2), Ё2 (pj, j/2) — известные функции из D (G).
Так как система нулевого приближения (7.22) возмущенной системы (7.23)
допускает разделение переменных благодаря известной группе инвариантности,
то перейдем в системе (7.23) к новым переменным (см. § 4 гл. 1)
= Иу'12+ у'/1 = arctS ~г~ • (7 -24)
В результате система (7.23) примет вид
dri t r , dx2 ; .
——— = -|-eFj (Жр а:2); ——— = + bF2 (жр xz). (7.25)
139
д
При замене (7.24) оператор Y переходит в оператор X' = —т, а оператор U, ас-
^х2
социированный с системой нулевого приближения (7.22),— в оператор
.8 , ,9 8
U = Ж]-----— -f- -----
dij дх.^
Свойство коммутативности этих операторов [X', U'] s 0 сохраняется.
Проведем все вычисления для алгоритма асимптотической декомпозиции для
первого приближения. Рассмотрим уравнение (7.7) при 1=1
[U, SJ = Fj, (7.26)
8 8
где Fj = Fj (xlt х2)----)- F2 (хл, х2)-. Так как известны два оператора, пере-
дху дх2
становочных с U, то примем их в качестве базиса: X =-------, U. В этом базисе
Fj = — U + (/2 — j/j/j) X. Полагая Sj = ?iU + у2Х и подставляя St и Fj в урав-
xi
нение (7.26), вместо системы (7.26) получаем систему из двух независимых инте-
грируемых уравнений
Uy1 = — , Uy2 = /2 — «j/j. (7.27)
Чтобы найти оператор pr Flt необходимо в правых частях уравнений (7.27) вы-
делить составляющие, являющиеся решением однородного уравнения. С этой
целью в системе (7.27) сделаем замену переменных
1 9
Ч = х:2 — xlt z2 — In х^, (7.28)
где х2----g — интеграл уравнения U/ = 0, In х2 — решение уравнения U/ = 1.
Легко выписать обратную к (7.28) систему функций:
1
хх=ег\ x2 = z1-j- — е
После замены (7.28) система (7.27) примет вид
ду2
—— = <pi (Zj, z2); —— = <р2 (Zj, zg),
Sz2 dz2
где
Zj+-^-e2^
<Pi («1. z2) ------------------- !
eZs
Ч>2 (zn z2) = f2 zt e2Zz j — ez‘fi (e* zt -L eZz^ .
Разложим функции <plt <p2 в ряды no z2 в окрестности точки z2 = О:
<Р1 («1. z2) = <Р1 (Zj, 0)4------ «2 + • • •)
I
<₽2 (zl. 22) = <Р2 (21. 0) + —--- Z2 + ”•
az2 |zi=o
140
Здесь
<Pi (zi- 0) = /i (1. г1 +-у-
Фг (Z1, 0) = /2 /1, z, + 2-) —fl (1, Zj 4 -L
Согласно результатам § 4 гл. 3 оператор рг (в переменных zn может быть
представлен в виде
РГ/?1 = Ф1 (2Г °) ~----Ь ф2 (21> °) -Г— •
UZ-j
Таким образом, централизованная система, соответствующая возмущенной сис-
теме (7.25) в переменных z^ z2, в первом приближении принимает вид
-^-=е(Ч1’г1+-г)-Ч1’г‘+4-)):
rfz, / 1 \
= + е^> I zi “Ь ~х~ ) •
dt \ 2 /
(7.29)
Преобразование (1.5), переводящее возмущенную систему (7.25) в централизован-
ную систему (7.29), в первом приближении имеет вид
1
+ еу, (zn z2); г' = 21 4- — + еу2 (zp z2),
где функции
Yi (2i, 2z)
j z2
atpi z2
dz2 z2=o 2!
?2 (2i, 22)
^Фг
dz2
являются решениями уравнений
Sz2
<*Ф1
dz2
dz2
^Фг
dz2
г£=0
ГЛАВА 4
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
§ 1. ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим систему линейных однородных дифференциальных
уравнений
(1.1)
где х' = colon || Ж1, ..., Хп ||; <Л0, S30 — постоянные матрицы размер-
ности п X п. Системе (1.1) соответствует линейный дифференциаль-
ный оператор в частных производных
Uo = = U' + eU,
где
U' = со?' (х'} + • • • + со<‘> СИ -Д-1
дхп
и'= и(2)(ж')4- ... 4-
дх1 дхп
векторы коэффициентов со (х')(г> = || o>i (х')(г\ ..., con (x')w||, t ~ 1г 2,
определяются следующими матричными равенствами: со (а/)(1> = <А(,х',
со {x’f} = 9i0x*.
Будем считать, что матрица e/Z0 в системе нулевого приближения
х' = <Аох' (1.2)
имеет простую структуру, т. е. в некотором базисе принимает диаго-
нальный вид. Случай общей структуры матрицы будет рассмотрен
ниже.
Прежде чем перейти к построению обертывающих алгебр Ли си-
стемы нулевого приближения (1.2) и возмущенной системы (1.1),
напомним некоторые известные положения из теории линейных
пространств. Существует глубокая связь между свойствами операто-
ров U' и U' и соответствующих им матриц <А0 и $0.
Рассмотрим два линейных пространства и V2 размерностей
тип над полем Р. Векторам базиса 11г ..., 1т пространства поста-
вим в соответствие какие-либо векторы /1( ..., /га пространства Va.
142
Пусть имеется линейный оператор X, действующий из Уг в Var
т. е. для любых и, v £ Fj и чисел а, 0 £ Р справедливо соотношение
X (аи + 0н) = аХи -J- 0ХнЛ Хи, Хи £ Fa-
Имеет место следующее утверждение (см., например, работу [18]).
Теорема 1.1. Линейный оператор X, действующий из простран-
ства Fx в пространство F2, полностью определяется совокупностью
образов Xllt..., Х1т любого фиксированного базиса ..., 1т простран-
ства Fj.
Разложим векторы XZ1S ...s Х1т по базису/j, ...s /п пространства
F2:
XZ = /T8
где Z = ||Zj, ..., Zm||, / = ||/1, ...а /4, Г =||Ту II, i = iTh, 7 = 1, щ,—
прямоугольная матрица размерности п X т. Матрица Г называется
матрицей оператора X в выбранных базисах, причем любую наперед
заданную матрицу размерности п X т можно единственным обра-
зом сопоставить с некоторым линейным оператором.
Теорема 1.2 [18, с. 206]. Между линейными операторами и прямо-
угольными матрицами устанавливается взаимно однозначное соот-
ветствие при любых фиксированных базисах.
Применительно к рассматриваемой системе (1.1) введем линейное
пространство F над Р, базис которого образован переменными хг, ...
..., хп, т. е. общим элементом F является некоторая линейная функ-
ция
»(ж') = aj«i + ••• 4- ОпХ-пл «г, ап^Р. (1-3)
Предположим, что Fj s= F2 s F. В качестве линейных операторов
выберем линейные дифференциальные операторы в частных произ-
водных вида
x = fli-^r+ ••• + ап~£^ М)
где
а{ = ацх1-}- ... + OinX-n (: V, i = 1, п. (1.5)
Легко убедиться непосредственным вычислением, что векторы и
(1.3) переводятся линейными операторами (1.4) снова в векторы
F, т. е. Xv £ F. Вычислим образы базисных векторов хи ...4 хп при
действии оператора X:
X&J —- aj, • • • д Ххп ::= ап.
Для элементов а11 ..., ап имеет место разложение по базису F2 (F2 s
F):
1^11 • • • &ni
I • • • dran.
Квадратная матрица 4 = || ay ||, г, j =|1, nx и будет матрицей опе-
ратора X в базисе хъ ..., хп. В дальнейшем будем просто говорить,
что 4 — матрица оператора Хг так как базис считаем неизменным.
143
Заметим, что матрицами операторов U, U являются транспониро-
ванные из исходной системы матрицы Л, 53(1.1), т. е. Л = Ло,
58 = 58т.
Если имеются два оператора Х1} Х2 вида (1.4), то очевидно, что
и оператор а1Х1 а2Х2, ах, а2 £ Р имеет аналогичную структуру.
Следовательно, совокупность дифференциальных операторов вида
(1.4) образует линейное пространство, которое будем обозначать
53 (У). Совокупность всех квадратных матриц размерности п X п
образует конечномерное векторное пространство над Р размерности
п2. Будем обозначать его (и, п).
Теорема 1.3. Отображение <р : X -> Л, ставящее в соответствие
оператору X его матрицу Л, т. е. tp (X) = Л, является изоморфиз-
мом линейных пространств 53 (У) и
Линейные пространства S3 (F) и 83("’п> можно превратить в ко-
нечномерные алгебры Ли, если ввести умножение Ли. Для Лу и Л2 €
£ определим скобку Пуассона: [Ль Л21 = ^1Л2 — Л2Лг Оче-
видно, 1ЛГ> Л21 € 9t<n’n>. Алгебра Ли, полученная таким образом из
9(<п’п), называется полной линейной алгеброй и обозначается
gl (n, Р) (п — размерность матриц, Р — поле коэффициентов). Для
элементов Хг, Х2 £ S3 (F) введем умножение
[Х1,Х2] = Х1Х2-Х2Х1. (1.6)
Докажем, что оператор [Xn Х2] С S3 (F) и выясним его структуру.
Теорема 1.4. Скобка Пуассона двух линейных дифференциальных
операторов Х1Т Х2 £ S3 (F) с матрицами является линейным
дифференциальным оператором с матрицей Л1Л2 — ЛгЛг
Доказательство. Пусть
V __ f(l) I । f-(l) V ___ f-(2> I I >-(2)
-д^+ •••+&> *2-0 ••• +С" -^7
/ = 1,2, C(i) || ЙД ... . ||г
д = Colon II .‘-j д || •
|| ' дхп ||
Вычислим скобку Пуассона:
[Хх, х2] = (X^2)-Х2й1})-J-+ ... + (Хге-Х2ОР)
03г j . 03-^
Вектор коэффициентов выписанного оператора можно представить
как разность двух векторов:
|| ХхЙ2) - Х2ЙД .... х£? - х^п" II = II Ххй2) II - II Х2С(1) |.
Но
II ХхЙ2) II = II хл, ... , Х^ || Л2 = С(1)А = хТЛгЛ2;
|]x2g(1)n = ||хл, ...„ x^Mj -й2)л2 =/ЧЛр
Следовательно, [Хи Х2] = хт (ЛХЛ 2 — Л2ЛХ) д £ S3 (F).
144
Таким образом, доказано, что введение в линейном пространстве
53 (У) умножения (1.16) превращает его в алгебру. Будем обозначать
зту алгебру тем же символом 23 (У), что и порождающее ее линейное
пространство.
Определение 1.1. Пусть р15 02 — алгебры Ли над Р. Линейное
отображение g: -> р2 называется гомоморфизмом, если для Хх,
x2ePi
g [Хх, x2j = [g (X!), g (X2)J = g (XJ g (X2) -g (X2) g (XJ. (1.7)
Справедливо следующее утверждение о связи алгебр 23 (У) и gl (п, Р).
Теорама 1.5. Отображение ср: X -> Л> ставящее в соответствие
оператору X его матрицу Л (т. е. ср (X) = Л)» является изоморфиз-
мом алгебр Ли 23 (V) и gl (п, Р).
Перейдем к построению обертывающей алгебры Ли 23 исходной
системы (1.1). Обозначим через о совокупность матриц {Л, и
определим совокупности рекуррентной последовательностью
о1 = [о, о], о2 = [о1, о1], ... , — [oft-1, oft~*].
Здесь o’ = {% : % = [X, У}, X, У £ о’-1,} [,] — скобка Пуассона,
Обозначим через Vh линейное пространство над Р с базисом, состав-
ленным из линейно независимых матриц, входящих в совокупности
(о, о1, ..., о'1}. Запись yft+1 с Vk будет означать, что все элементы У?,+1
можно линейно выразить через базис Vh, т. е. расширение Vk за
счет множества о^1 невозможно, так как в последнем нет линейно не-
зависимых от У,! векторов.
Теорема 1.6. Если на некотором шаге Уй+1 cz Vh, то и для всех
последующих шагов имеет место включение 1/Л cz V,! для i к + 2.
Пусть Уй — максимальное линейное пространство размерности пг
при указанном расширении. Ясно, что т и2. Из способа построения
простанства Vh видно, что оно порождает некоторую подалгебру пол-
ной линейной алгебры gl (п, Р). Обозначим эту алгебру тем же сим-
волом Vh, Vh S От алгебры Vh легко перейти к соответ-
ствующей алгебре 23 (УА) линейных дифференциальных операторов
(для этого следует транспонировать матрицы У^ и воспользоваться
формулами (1.4), (1.5)).
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что V!' совпадаете
и, следовательно, 23 (Vh) совпадает с 23 (У). Противное предположе-
ние обозначало бы декомпозируемость исходной системы (1.1). При-
мер обертывающей алгебры 23О системы нулевого приближения рас-
смотрен в § 1 гл. 1.
§ 2. СВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
К РЕШЕНИЮ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В соответствии с общим алгоритмом асимптотической декомпози-
ции (см. § 1 гл. 3) произведем в системе (1.1) замену переменных
xh = exp (—eS) Xh, x'h exp (eS) xn, к = 1, n,
7—1641
145
где S = Sr + eS2 4- ... Учитывая специфику линейной системы (1.1),
выберем операторы S, из алгебры S3 (F), т. е.
с. _ v(i) д I . . I ,,(*) д
где вектор '/1)^-||,р(1г), •••, Тп> || определяется равенством y(i) = «ТГ1{
Г»— постоянная матрица размера п X п с неопределенными пока коэф-
фициентами.
Как показано в гл. 3, приходим к необходимости решения системы
операторных уравнений
[U, SV]=FV, v = l, 2, ... (2.1)
Правая часть Fv уравнений (2.1) получена вычислением скобок Пуас-
сона от операторов U, U и Sv и, следовательно (см. теорему 1.4)»
принадлежит пространству S3 (V).
Теорема 2.1. Пусть Л, Гг, .9JV — матрицы операторов U, Sv, Fv,
тогда решение системы операторных уравнений [U, Sv] = Fv равно-
сильно решению системы матричных уравнений
[Л, rv] = $v, v = 1, 2, ... (2.2)
Доказательство. Используя результаты теоремы 1.3
и формулы (1.16) представления дифференциальных операторов,
приведем систему уравнений (2.1) к виду
гт д = ж’Жд. (2.3)
Если имеет место тождество (2.3), то из него следуют соотношения
(2.2) и обратно.
Приведем еще одну полезную в дальнейшем интерпретацию опе-
раторных уравнений (2.1). Напомним, что всякий гомоморфизм /
из алгебры Ли $8 в алгебру gl (к, Р) называется представлением
алгебры Ли $8. Пусть S3 — конечномерная алгебра Ли ранга к
и U — некоторый фиксированный ее элемент. Скобка Пуассона
[И, S], S £ 33, является линейным оператором на алгебре 83, рассмат-
риваемой как конечномерное линейное пространство размерности к
(по свойству скобки Пуассона [U, «Д + cc2S2] = ах [U, SJ -f-
4- а2 [U, S2], а2 £ Р, Slt S2 £83, см. § 1 гл. 1). Обозначим этот
def
оператор ad Uo. Это означает, что ad Uo (S) = [U, S] = US — SU.
Обозначим через Ult ..., Uh базис алгебры 83 и воздействуем операто-
ром ad U на этот базис:
|| ad U (их)л ....,, ad U (Uft) || = || [U, UJ, ... . [U, Uft] || =
= |Ult .... Uft||Gu. (2.4)
А
Если ввести вектор U == || Ux, ..., Uft ||, то соотношения (2.4) можно
представить в матричном виде:
А А А
adU(U) = [LjJj]=U£u.
. Матрица = || gij ||, i, j = 1, к, является матрицей линейного
оператора ad U, действующего из линейного пространства 83 в себя.
Будем отождествлять операторы ad U и &и- Отображение g: 53 ->
-> gl (п, Р), осуществляемое формулой g (U) = ad U = gv, будет
представлением алгебры Ли 83, если докажем соотношение
ad [X, Y] = [ad X, ad Y] = ad X ad Y — ad Y ad X. (2.5)
Это представление называется присоединенным представлением ал-
гебры Ли S3. Перейдем к доказательству соотношений (2.5). Пусть
6(i) colon || 6(Д .... № II, 6^ е Р, i = Гз, 7 = 0;
и = colon||Ui, ... , Uft||;
X = U6(1), Y = U6(2), Z = U6(3) — произвольные элементы алгебры Ли.
Перепишем для них тождество Якоби (см. § 1 гл. 1) следующим
образом:
[[X, Y], Z] = [Xf [Y, Z]] - [Y, [X, Z][. (2.6)
С помощью выражений для элементов X, Y, Z скобки Пуассона
[X, Z], [Y, Z] примут вид
[X, Z] = [X, U6(3)] = [X, U] 6(3) = U(M(3)J
[Y, Z] = [Y, U6(3)] = [Y, U] 6(3) = UJM(3)«
где &y — матрицы операторов X, Y, определяемые равенствами
ad X [U] = [X,. UJ = ad Y [U] = [Y, U] = U»y.
Далее,
[X, [Yt Z]] = [X, Шу6(3)] = [X, U] <M(3> = БЗДуб(3);
[Y, [X, Zj] = [Y, Ш(3)] = [Y, Б] (&x6(3) = U$YiM3).
Для левой части соотношения (2.6) получаем
ad [X, Y] (Z) = [[X, Y], Z] = [[X, Y], U] 6(3) = Ш(Х,УД(3).
Подставим выведенные выражения в равенства (2.6):
W,Y]6(3) = и (адг - 6(3) (2.7)
и приравняем матрицы в билинейных формах (2.7):
$[х,У] = &х&у — (2.8)
Так как по определению $[х,У| = ad [X, Y], &х =* ad X, $у =
= ad Y, то из тождеств (2.8) следуют доказываемые соотношения
(2.5).
Вернемся к исходным уравнениям (2.1). Обозначим через
матрицу, соответствующую оператору U в присоединенном представ-
А
лении g: S3 -> gl (к, Р). Если, как и выше, через U обозначим вектор-
строку, составленную из базисных элементов Ux, Uft (к == и2),
10* 147
то уравнение (2.1) можно преобразовать к виду
А А А А
US'uYv = U/v, (2.9)
где Tv, fv — векторы коэффициентов в разложении по базису опера-
торов Sv:
k fi
Sv = TvjUj, Fv = /vjUj.,
3=1 7=1
A A
t. e. Tv = colon || Tv,, Tv/J, fv = colon J/v,, ...» fV;J|. Обозначим через
матрицу, соответствующую оператору А в присоединенном пред-
ставлении g: 9i(n’"’->gl (/с, Р) (к = и2) матричной алгебры 5Н(П,П), изо-
морфной 58 (или 58 (F)).
Теорема 2.2. Матрицы $и и &д операторов U и А в присоединен-
ных представлениях алгебр 58 и 9i<n,nl совпадают, т. е. = $л-
Доказательство немедленно следует из изоморфизма
алгебр 58 ей 58 (У) и 5R(ri’n>, устанавливаемого теоремой 1.5. Приме-
няя линейное отображение к равенству (2.9), получаем
<p(U&uTv) = ф (ОД),
или
ф (U) S’uTv = Ф (U) fv.
Базисные элементы U; алгебры Ж при отображении ф переходят
в базисные элементы алгебры : <р (U;) = Лл Обозначим через
А
А вектор ИсДц ..., Ль^ Следовательно,
A^uyv = АД- (2.Ю)
С другой стороны, уравнения (2.2) можно представить в виде, анало-
гичном (2.9):
А&аЪ = АД. (2.11)
Сопоставляя выражения (2.10) и (2.11), получаем, что $и==$л.И
Установим структуру матрицы $д. Для этой цели понадобится
определение прямого произведения матриц. Пусть имеются две мат-
рицы Л и 33 размерностей п X п и т X т соответственно. Таким
образом, Л £ 5Л<П’'1), S3 С Прямое произведение <4 и 33 (Л ® S3)
определяется как блочная матрица:
Л®33 =
С12'^ • * •
а2133 а22'S3 ... aim53
£ ^(пт,тп)
Свойства прямых произведений приведены в работе [44].
Наряду с линейным пространством д,1И,я) над Р всех матриц
порядка п введем изоморфное ему линейное пространство 5Н(П'"’,
148
составленное из векторов, образованных из строк матриц. Таким
образом, если матрица Л £ 8t("'n), Л = || ац ||, г, j = 1, тп, то ей
соответствует в 3t("’n) вектор <^ == colon || au, ..., ani,...1ann ||.
Теорема 2.3.
‘А А -=Л®)'& — %®ЛТ.
Доказательство. Введем в fR(n,n) базис Вейля, выбирая
в качестве базисных элементов матрицы Sy размерности п X п,
в которых на пересечении j-й строки и /-го столбца находится единица,
а на всех остальных местах — нули. Матрицы 5)v, Tv в уравнении (2.2)
представим суммами:
rv= £ Tvi^y, Я = £ bvij^. (2.12)
i.j=l i,j=t
Подстановка (2.12) в уравнения (2.2) приводит к равенствам
= К; (2.13)
где
г! Л
S = ||SU, ..., 81„; s21, ..., S2n, Snlt ...» М;
yv = Colon || Yvii, • • • j Tvlni Tv21i • • • i Tv2n! Tvnli • • • 4 Tvnn||»
А Це£
bv — Colon || • - » .j ^v2i> • • • a ^V'2ni ^vnlt • • • ч bynn ||«
Приравнивая векторы при S, из (2.13) получаем векторное уравнение
Й'лТг — by. (2.14)
Однако матричные уравнения (2.2) в пространстве gt(n,n) можно
представить в виде (см. [44])
(Л ®Ъ — S®</T)fv = $v, (2.15)
где S3V, Tv — вектор-столбцы, составленные из строк матриц 33v, Tv.
Из определения векторов Д, yv следуют тождества = rv, bv =
Составляя разность уравнений (2.14) и (2.15), находим ($А — (Л ®
® S — S ® Лт)) Tv = 0, откуда немедленно следует доказывае-
мое утверждение.
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ
И НАХОЖДЕНИЕ ПРИВОДЯЩИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
В предыдущем параграфе рассматривалось сведениеДсистемы опе-
раторных уравнений к решению системы линейных алгебраических
уравнений. Займемся решением этой системы
»Arv = (3.1)
149
где f&A = (<А ® Л—Я®е/?т), v = 1, 2, ... Наряду с неоднородной
системой (3.1) рассмотрим системы однородных уравнений
&Afv = 0., &Afv = 0.
Здесь %А — комплексно-сопряженная матрица по отношению к $А.
При решении уравнений (3.1) будем опираться на следующее основ-
ное положение о разрешимости линейных алгебраических уравнений.
Теорема 3.1 [18, с. 291J. Для того чтобы неоднородная система
(3.1) была совместнаj необходимо и достаточно, чтобы ее правая
часть была ортогональна ядру матрицы $а.
Обозначим через TVA, TVA. ядра операторов $А, $А (т. е. линейные
подпространства в образованные решениями уравнений
$а X = 0 и &*А X = 0 соответственно) и через ТА, Т Л, образы этих
операторов (т. е. линейные подпространства в 9v’n>, порожденные
векторами &аХ или &аХ, X £ 91(”'п)).
Пространство может быть разложено единственным образом
в прямую сумму подпространств
Й(П>П) = е f л
Следовательно, правая часть системы уравнений (3.1) может быть
однозначно представлена в виде суммы
S3V = -f- SivTi S)v!s6Xai v = 1, 2, ... (3.2)
Векторам 3>vt в пространстве SR(n’n) соответствуют матрицы
3)vN, которые можно в свою очередь сопоставить с дифференци-
альными операторами
Nv = bvNldldxr + • • • + bvNnd/dxn-,
Qv = bvrid!dx1 4- bvTnd/dxn,
где векторы bvN = \\bvNi, ..., bvNn||, bvT = ||bvTi, ..., bvrn|| определяются
равенствами bvN — х^З)^, bvT = a?T5?vT.
С учетом сказанного правую часть операторного уравнения
[U, Sv] = Fv, эквивалентного матричному уравнению (3.1), можно
записать в виде Fv = Nv 4* Qv- Операторы Nv перестановочны с опе-
ратором U, т. е.
[U, Nv] = 0. (3.4)
Согласно утверждениям § 1 гл. 3, для того чтобы в коэффициентах
оператора S не появились секулярные члены, на решениях системы
нулевого приближения следует в качестве проекции pr Fv принять
prFv=Nv. (3.5)
Как было показано там же, все решения операторного уравнения
(3.4) образуют алгебру централизатора Я30. Следовательно, Nv £
е v = 1, 2, ...
160
В рассматриваемом случае линейных систем алгебра Жо11 конечно-
мерна. Действительно, если оператору U соответствует матрица jl,
а оператору X — матрица X, то операторному уравнению UX —
- XU = 0 соответствует вследствие изоморфизма алгебры S3 (У)
операторов и матричной алгебры gl (и, Р) (см. § 2) матричное урав-
нение
Л# —ЯМ=0. (3.6)
Но все решения уравнения (3.6) образуют конечномерную алгебру
Ли, которую будем обозначать 3q\ В самом деле, еслии^, Хй —
матрицы из удовлетворяющие уравнению (3.6), то и матрицы
й1^1 + ау, а2 £ Р, — Х2Хи удовлетворяют
этому уравнению. Следовательно, До1 с: gl (и, Р) и является конеч-
номерной алгеброй.
После точного определения вида проектора рг Fv от оператора
Fv в форме равенств (3.5) можно составить централизованную систе-
му, соответствующую исходной системе (1.1).
Оператор Uo (1.2) после преобразований (2.1) с учетом выражений
для Nv примет вид
Uo = U + eNx + e2N2 + (3.7)
где операторы Nv, v = 1, 2, ..., задаются формулами (3.3).
По оператору (3.7) легко восстанавливается централизованная
система
= (U 4- eNj -f-e2N2 -J- • • •) x^ I = 1, n,
пли с учетом того, что операторам Nv, v — 1, 2, ..., соответствуют
матрицы $vJV,
= (Ло + e^ijv + е2^2к + • • •) х. (3.8)
Здесь принято обозначение 53vn- Матрицы коммутируют
с матрицей Ло, т. е. — 33°vNdl = 0. Воспользуемся теоремой 3.1
для фактического нахождения составляющей в разложении (3.2).
Введем обычным образом скалярное произведение для элементов С =
= ||С1, ст||, <3 = 11^, ..., dm||, С, М9Г’П):
(С, ,0) - Cjdj 4* •• • 4~ cmdm,
где черта над буквой — знак комплексного сопряжения в случае,
когда fR<n’n> рассматривается над комплексным полем. Для веще-
ственного поля
(С, .0) = Cxdx 4~ • ' • 4“ Cmdm,
где сх, ..., ст, dlt ...,dm — векторы, являющиеся строками матриц
С и
151
Обозначим через Zj, Zm базис пространства Na и через Z1M ...
л л m л
Zm. базис пространства Na— Пусть 33vN = J] ocviZj. Разность
t=i
— ^vn = $vt принадлежит TA и, следовательно, ортогональна
пространству
(3.9)
Тождества (3.9) с учетом линейности операции скалярного произве-
дения (,) можно представить в виде системы линейных неоднород-
ных алгебраических уравнений для определения коэффициентов avj
т Л Л л л _____
S “vi (Zi, Zj») = ($v, Zj.)t 7 = 1, m.
i=l
(З.Ю)
Определитель Грама
(Zj Zj») . . . (ZTO Zj»)
(3.11)
t
(Zj Zm*) ... (Zm Zm*)
соответствующий матрице коэффициентов системы (3.10), не равен
7П
нулю. Действительно, если допустить противное, то элемент У, ajvZj
i—1
был бы ортогонален N А, и, следовательно, принадлежал бы Та,
что противоречило бы его принадлежности N л (Na Г) ? а = 0).
Если не содержит составляющих ядра (т. е. S3V g Т А), то (33Vt
Zjt) = 0 и avi = 0.
Найдем аналог уравнений (3.10) в пространстве 8t(n,n). Введем
на как линейном пространстве билинейную форму Вп (С,
Sb) — tr С Sb, С, Sb Е 9t(n’n>, где tr — след матрицы. На основании свойст-
ва следа произведений матриц tr СSb = tr SbC легко доказать симмет-
ричность формы Вп (С, 0) = Вп (Sb, С). Симметричная билинейная
форма на алгебре $8 называется инвариантной, если w ([X, У], Z) ==
= w (X, [У, Z]). Покажем инвариантность формы Вп на алгебре
fR(n,n>. действительН01
Вп ([С, sb], М) = tr [С, Sb] М = tr (CSbM — SbCM) = tr CSbM —
— tr SbCM = tr CSbM — tr CMSb = tr C (SbM] = Bn (C, [0, M]).
Свойство инвариантности формы Bn на алгебре 9t(n,n> будет использо-
вано в дальнейшем.
Докажем следующее вспомогательное утверждение.
Теорема 3.2. Пусть векторам С = colon || с1Х, ..., cin; ...; cni,
• *., С-лп ||» Sb ж= Colon || •••» ^nn|| в соот-
152
ветствуют матрицы С = Ц су ||, ,0 == || dy ||, i, j — 1, п, тогда
а) (С, ^) = Вп(С, #*) при Р = К;
б) (С, = Вп (С, $Т при Р = R,
где .0* = || dy |т — комплексно-сопряженная матрица относительно ЗУ-
Доказательство. Рассмотрим случай комплексного поля
(Р = К). По определению
{С, 3>) = У (Cjidit 4~ • • • + Cindin). (ЗЛ2}
i=l
С другой стороны, учитывая, что элементы || dji || матрицы ЗУ* полу-
чаются из матрицы || da || при транспонировании и переходе к комп-
лексно-сопряженным числам, получаем
tr С$)* = £ (cndn + • • • + сМ. (3.13)
i=i
Сопоставляя правые части равенств (3.12) и (3.13), приходим к дока-
зываемому утверждению. Случай Р = R доказывается аналогично. И
Следствие 3.1. Система уравнений
£ avi {Zi, Z^) = {93v, Zj*), j = 1, m, (3.14)
i=i
в пространстве 31(п’п) эквивалентна системе уравнений
У aVi trZjZ; = tr93vZj, Zj^NA1 (3.15)
i=l
в пространстве 9t<n'n>.
Доказательство. Пусть векторам Z{, Zj» в 9t(n’n)соответству-
ют матрицы Z,, Zj* в 9?(n,n). По определению матрицы Z, удовлетво-
ряют матричному уравнению
j[Zi — Z^^ i = 1?^. (3.16)
Матрицы Z{« удовлетворяют уравнению
Л *^j. — Z{.^ * = 0, i = 1^, (3.17)
т. e. — (<A®E— E®AT)* = A*®E—Е®(Л*)Т(сы. свойства
прямых произведений в работе [44]). Если вычислить комплексно-
сопряженные матрицы от обеих частей уравнения (3.16), то получим
Jl*Zi —Zi Л* = 0. Сопоставление этого уравнения с (3.17) позволяет
сделать выводг что Z,» = Zj. По теореме 3.2 (Zj, Zj»> = trZ.;Zj» =
= tr Zi (Zj)* = tr ZjZj. Аналогично (fflvZj*) = tr ^vZj« = trS3V (Zj)* =
= tr^vZj. Переход от уравнений (3.14) к (3.15) теперь очевиден.
153
Определитель матрицы коэффициентов системы (3.15)
tr ZtZt ... tr ZmZ±
tr Z-^Zrri ... tr ZmZm
легко получается из определителя (3.11) и также не равен нулю.
Полученные результаты подытожим в теореме.
Теорема 3.3. Нахождение проекции оператора pr Fv от правых
частей уравнений (2.5) сводится к решению систем линейных неод-
нородных алгебраических уравнений вида (3.14) или (3.15). Решение
этих уравнений существует и единственно.
Решение уравнения
5)vT,
или эквивалентного ему в пространстве уравнения
= 33vt (3.18)
необходимо на этапе построения замены переменных. По доказан-
ному выше эти уравнения имеют единственные решения.
Обозначим базис образа пространства Та через Тг, ..., Tt (Р=
— т). Этот базис можно найти, например, из условия ортого-
нальности подпространств ТА и Nд„т. е. из уравнений <517, Zit) s=s
s 0, € Na»- Представим неизвестный вектор Tv в виде раз-
ложения по базису Та'.
== Ч~ • • Ч~ i}viTi — Т 'Hv,
где Т — матрица размерности п2 х Л составленная из столбцов
Т\, ... Ti, T]v===colon|| 1]vl, . ..s 7]vZ||.
Подставим вектор Tv = Zi]v в уравнение (3.18):
ЪаТ^ = &чт. (3.19)
Полученная для вектора коэффициентов T]v система переопределена,
так как имеет и2 уравнений от неизвестных t]v, v = 1, I. Чтобы из-
бавиться от лишних уравнений и получить только I (I = и2 = т)
уравнений, умножим обе части равенств (3.19) на матрицу T*GA,
сопряженную с GAT. В результате получаем
T*%a$aT^=T*%a&vT, Т*$а$аТ (3.20)
Окончательно оператор Sv как решение уравнения
[U, Sv] = Fv — pr Fv (3.21)
можно записать в виде
^ = ^’-^-4- ••• +№-£-а (3.22)
154
где y(v = || y(iv), YnV) || определяется равенством y(v) = ттГу,
а матрица Г\, — решение уравнений (3.20). Чтобы подчеркнуть роль
выбора проекции рг Fv, приведем доказательство следующего
утверждения, не зависящее от доказательства § 1 гл. 3. (В силу линей-
ности исходной системы (1.1) в этом случае становится особенно яс-
ным смысл проводимых преобразований.)
Теорема 3.4. Выбор проекции рг Fv от оператора Fv в виде (3.5)
обеспечивает отсутствие в коэффициентах преобразования Sv
(2.1) секулярных членов (пропорциональных независимой переменной
t —10) на решениях системы нулевого приближения (1.6) X = Л0Х.
Доказательство. Представим уравнение (2.5) следующим
образом:
[U, Sv] = Nv + Qv, (3.23)
где операторам Nv, Qv соответствуют матрицы S3vt в разложе-
нии (3.2).
Как показано выше, оператор (3.22) находится как решение урав-
нения (3.21). Обратимся теперь к разрешимости уравнения (3.23).
Наличие в правой части составляющей Nv делает неразрешимой
соответствующую уравнению (3.23) алгебраическую систему (3.1).
Следовательно, в этом случае не существует решения в виде линейного
дифференциального оператора с коэффициентами в форме линейных
функций по х, т. е. Sv S3 (F). Будем искать решение (3.23) в виде
суммы S® + Sv, где Sv удовлетворяет тождеству [U, SV1 = Fv —
— рг Fv = Qv. Подстановка этой суммы в (3.23) приводит к уравне-
ниям
[U, S"] = Nv. (3.24)
Пусть
+ ••• +Tvn-^-И Nv - bvM-^-+ ••• + bvNn-^~ ,
где вектор bvN — || bv^t, ..., bv^n || определяется выражением
— х?53 vN • (3.25)
После подстановки S° и Nv в уравнение (3.24) получаем соотношения
«Л-4-+ - +«л-4г-<^,>-«-Д-+
••• (3.26)
Приравняем в (3.26) коэффициенты при одинаковых производных:
Uyvl = Sv®!*’ — • • • ,> U^vn = SvCOn^ — bvxn-
Полученная система линейных уравнений в частных производных
первого порядка с одинаковыми главными частями может быть заме-
нена интегрированием одного линейного уравнения в частных произ-
155
водных
+ ••• +4»A + (sW»-W^-+ ...
... +ts%n-(>,,,«)-^ = 0. (3.27)
dTvn
В свою очередь интегрирование этого уравнения можно заменить
интегрированием системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (см. § 3 гл. 3)
(1) / к — т(1) (т\-
= .... — -ш" <*>•
_ SW» - .... -SW? - ь,„п.
Если учесть значения коэффициентов coV5 (х), задаваемых соотноше-
ниями (1.5), а также формулы (3,25), данную систему можно предста-
вить в матричном виде
-^-=мЛ+^. т;-|й. •••.<!. <3-28>
Подставим решение первой системы (3.28) х — ехр (t — £0), с, с =
= const во вторую:
-%- = Ло< + Mn ехр Ло (t —10) с. (3.29)
Отыскивая частное решение системы (3.29) в виде = ехр jl0 (t —
— t0) D (t), для вектора D (t) получаем уравнение
= ехр (— X (t — to)) ®vn ехр X (t —t0)c = (3.30)
гДе e/Zo^vw — S3vnJIo по условию выбора
Уравнение (3.30) легко проинтегрировать: D (t) = (t — t0) Зэ^с.
Общее решение системы линейных уравнений (3.28) для определения
переменных будет содержать составляющую
(Ь)Г = ехр До (t —10) ЗЗ^с (t —t0). (3.31)
Следовательно, если в правых частях операторного уравнения
(3.24) имеется составляющая Nv^ 0, то коэффициенты (3.31) содер-
жат секулярные члены. При введении проекции оператора pr Fv ==
= Nv в соответствии с определением (3,5) секулярные члены в коэф-
фициентах (3.31) исчезают.
156
§ 4. СТРУКТУРА ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДЕКОМПОЗИРУЕМОСТИ
И РАЗДЕЛЕНИЙ ДВИЖЕНИЙ
Исследуем детально структуру централизованной системы
= Uo + Л + (4.1)
в которой матрицы ^0, 5>vn, v = lj 2, ..., коммутируют:
= (4.2)
В предыдущем параграфе была введена конечномерная алгебра
Ли Зо*\ определяемая как всевозможные решения уравнения
лх - х.л = о, х е &п'п). (4.3)
Если учесть, что , 3jvn = (53^)Г, то тождества (4.2) в дейст-
вительности эквивалентны тождествам — 0.
Следовательно, S3vN £ Зо* • Чтобы избежать громоздких обозна-
чений, будем исследовать структуру алгебры ЗсЛ, порожденную ре-
шениями уравнения (4.3). Все выводы можно будет перенести автома-
тически на систему (4.1), если транспонировать ее, т. е. представить
в виде
-^- = «rU + E®i-v + e2S2N+ ••), (4.4)
где хг = || ..., хп ||.
В случае необходимости легко операцией транспонирования пе-
рейти к исходной системе (4.1).
Введенная в § 3 инвариантная форма Вп (С, = tr (70, С, <0 £
£ 3?<п’п’, на алгебре Я}(п,п) важна тем, что ее можно использовать для
разложения алгебры централизатора на простые подалгебры. Напом-
ним что подалгебра ф ассоциативной алгебры проста, если 92 =#= 0,
и единственными ее идеалами являются 0 и ‘ф?. Рассматривая алгебру
централизатора Зо'* € 9((п'”'как ассоциативную подалгебру ассоциатив-
ной алгебры ’р, можно применить к ней следующую теорему.
Теорема 4.1 (Э. Артина). Пусть — алгебра, не имеющая нену-
левых идеалов 3, для которых З2 = 0. Если она обладает невырож-
денной инвариантной симметричной билинейной формой, то ее мож-
но представить в виде прямой суммы простых идеалов: It = -|-
+ + фЗл, где = 0, I Л j. Это разложение единственно с точ-
ностью до порядка слагаемых.
В § 3 показано, что определитель (3.25) матрицы системы уравне-
ний (3.23) не равен нулю и, следовательно, инвариантная билинейная
форма Вп на алгебре S3,, является невырожденной. Сформулирован-
ная теорема дает теоретическую предпосылку для разложимости ал-
гебры централизатора на подалгебры.
Приведем метод выделения в алгебре централизатора S3,, ее иде-
алов и сформулируем ряд теорем о декомпозируемое™ централизо-
ванной системы. Вначале сформулируем следующее определение.
157
Элемент X пространства 9ttn,n) назовем правым собственным век-
тором матрицы Л, если он удовлетворяет соотношению ЛХ = кХе
Z, £ Р( и левым собственным вектором, если он удовлетворяет соотно-
шению ХЛ = кХ,
Теорема 4.2. Пусть кг, ..., кт — кратности собственных чисел
кт матрицы Л; тогда решения системы уравнений
ЛХ^иХ, X<A = kiX, i = TJn>. (4.5)
порождают идеал алгебры централизатора £ (?д) размерности ki
и алгебра До1* раскладывается в прямую сумму идеалов:
£о 1 — В Р-1) ® ' ® В (Мп).
Докажем предварительно два вспомогательных утверждения.
Лемма 4.1. Если X — правый собственный вектор матрицы Л
с собственным числом k^, i = 1, т, то он одновременно является левым
собственным вектором матрицы Л с собственным числом'К--, j = 1, т,.
и наоборот. Равенство i = j не обязательно.
Доказательство. Операторы ЛХ, ХЛ в пространстве
примут ВИд $А?Х, где $А1 = Л ® ^пц, &А2 — Яп ® ЛТ*
Так как по предположению матрица Л имеет простую структуру,
то в некотором базисе она примет диагональный вид и матрицы
$а2 также будут диагональными. Тогда из равенства <&aiX = k;X
следует равенство ^азХ = kjX (напомним, что $ai и ^аз имеют одни
и те же собственные числа). Возвращаясь в пространство
получим, что из равенства ЛХ — к{Х следует равенство ХЛ — кХ,
Очевидно, что любая замена базиса не изменяет полученных соотно-
шений. Доказательство обратного утверждения аналогично,
Лемма 4.2. Решениями уравнения
ЛХ—ХЛ=Ъ (4.6)
являютоя те и только те векторы X g 3t(n'n), которые удовлетворяют
системе уравнений
ЛХ = иХ,. ХЛ=кгХ, 1 = 1^. (4.7)
Доказательство. Если матрица X удовлетворяет системе
(4,7), то, образовав разность уравнений, входящих в систему, убеж-
даемся, что X удовлетворяет уравнению (4.6). В качестве базиса 3t(n,n)
можно выбрать п2 собственных правых векторов матрицы Л : Xlt,
Х2, ..., Хпг, Пусть X удовлетворяет уравнению (4,6), Разложим X
по указанному базису:
X = £ а$<. (4.8)
i—1
Умножая (4,8) справа на матрицу Лъ находим
п2 п2
(АХ = У CLit/lXi = У OCiD-iXij
i=l i=l
158
где (Uj — одно из п характеристических чисел матрицы Л- Далее,
вычисляя элемент ХЛ и пользуясь результатами леммы (4.1), полу-
П2
чаем б£Л = У В разности ЛХ— ЗОЛ только те слагаемые не
г=1
равны тождественно нулю, в которых щ —тц = 0. Разность щ —гр,
равную нулю, можно получить А; способами для р.; == г], = Xj. Сле-
довательно, размерность алгебры централизатора 33о1> равна к\ 4-
~Ь ... + А?„. Далее, очевидно, что, выделив в разложении те слагае-
мые, которые принадлежат SB (А,), можно разложить элемент X в сум-
му:
X ~ У Хщ, £ SB (А,).
i=l
Слагаемые Хщ удовлетворяют системе (4.5). и
Доказательство теоремы 4.2. В леммах 4.1 и 4.2
показано, что подпространства SB (Aj) имеют размерности А? и алгебра
SBo1’ разлагается как линейное пространство в прямую сумму этих
подпространств. Докажем, что подпространство SB (А;) является ал-
геброй Ли. Действительно, если Х1г Х2 — решения системы (4.5),
то произведение элементов ХГХ2 также является ее решением, так
как лХгХ2 = KiXrX2 и ХгХ2Л = "кгХхХ^. Таким образом, наряду
с Хг, Х2 скобка Пуассона [XltX2] также удовлетворяет системе (4.5).
Чтобы показать, что SB (А,) являются идеалами, нужно убедиться,
что для X, £ SB (А,) и Xj £ SB (Aj) [Xi, Xj] = 0, По лемме 4.2 элемент
IXj, Xj] должен быть одновременно правым и левым собственными
векторами. Выпишем их:
л ]ХгЛ Xj] = kiXjXj — kjXjXi-, ]Xi, Xj] Л = fyXiXj — KiXjXi.
Вычитая из первого тождества второе, получаем
Л ]Х,, Xj] — ]Xi, Xj]л = (А, — 'hj)XiXj 4- (A, — 'kj)XjXit (4.9)
Левая часть соотношения (4.9) тождественно равна нулю, следо-
вательно, (Ai—Aj) XjXj + (Aj—Aj) XjXi = 0. Так как Aj У= A?, to
XjXj = 0, XjXj = 0. (Можно показать, что равенство XjXj +
+ ==s 0 также невозможно.)
Теорема 4.2 доказана, И
Приведем еще один алгоритм разложения обертывающей алгебры
Ли SBo1’ на идеалы, существенно использующий алгебру проекторов.
Теорема 4.3. Пусть SBi ’1 — алгебра централизатора и SPm —
проекторы на корневые подпространства (А^), i = 1, т, матрицы
Л; тогда алгебра централизатора распадается на прямую сумму идеа-
лов:
S&1’ == SB (АД ф ©SB (Am), [SB (А{)4 SB (A,)] 08 i /8 (4.10)
где идеалы определяются соотношениями
SB (А{) = SB^A = i = 1?^.
15»
При доказательстве сформулированной теоремы понадобится не-
сколько вспомогательных утверждений.
Лемма 4.3. Проекторы^, i = 1, т, принадлежат алгебрам S3 (Х,)>.
i = 1, т
Доказательство. Убедимся, что матрица 74 удовлетворя-
ет системе уравнений (4.5). Для этого воспользуемся разложением
(1.27) матрицы по проекторам и представим указанную систему
в виде
т
(Л - х = £ (К, - х{) р}х-,
i=1 4.11)
т
Х(Д~ = X £ (X; - Xi) 7>,-.
i—t
Подставляя в эти уравнения X = 54, получаем (Л — X,S) J?'» = О,
i?i — X,S) 0, так как , == 0 при /=#/,
Лемма 4.4. Если g 3^’» то
‘PJV'Wi =0 при z=^=7- (4.12)
Доказательство. Так как Т5,, N £ Зп1', то скобка Пуас-
сона [ST-’i, #1 принадлежит SSo ’ и, как следствие, должна быть решени-
ем уравнений (4.11). Подстановка вместо X во второе из этих уравне-
ний выражения (4.11) приводит к тождеству
2 (К — к) ЪЕ М I = тт,
7=1
•;=-/=>
или
A#(fti-Wi+ ••• + (Xi_i - Xi) +(Xi+) -454 4- ...
• • • 4- (Xm — Xj) 0, i = 1, m,
откуда следует справедливость формулы (4.12).
Лемма 4.5. Элемент i — 1, т, перестановочен с элементами
алгебры ЗЗо1’»
Доказательство. Воспользуемся разложением единицы
& = ^>х ... -{- и запишем элемент N двумя способами:
N = 5\# + • • + t7>i# + . • • +
= ./га + • • + #а + • • • + №т, # езо1’.
Первое из этих соотношений умножим на S70,- справа, а второе слева,
По лемме 4.5, учитывая, что = 0 при i j, находим
#А = ^iW^i,
откуда сразу следует, что 174# = #^г.И
Доказательст во теоремы 4.3. Если то элемент
fT’i# (^i# = JfiX'i) удовлетворяет системе уравнений (4.11), Все эле-
160
менты {i/5!#} = {i/W : # СЗо1’} образуют подалгебру которую бу-
дем обозначать {'piJV'}. Действительно, сумма элементов +
4- a., P € P> Nit € Bo1’, и произведения =
= € Во1’- Следовательно, {^i#} £ В (М- Убедимся в обратном,
т. е. что 3 (К?) € {-A# }. Пусть # 6 В (М, тогда N удовлетворяет системе
(4.11). Из первого уравнения этой системы получаем (у/ —K.S) .М =
т
= \ < /. —Kj) откуда следует, что =s= О, J =#= i. В разло-
жении # = + ... + остается только член fftyi, т. е. N =
= JT'Pi и # £ {f?,#}. Итак, доказано, что алгебры {.ЛЛ;74} и 3 (Ко) сов-
падают. В действительности {JV't/5,} — идеалы, так как для любого
Q t ' имеем Q = + ... + Q^m и {f?,#}. Кроме того,
{^iAr\ = 0. Пересечение алгебр {S^iJV"} П {^j#} = 0 и, сле-
довательно, сумма алгебр (4.10) — прямые.* _
Покажем теперь, что интегрирование централизованной системы
(4.4) проще по сравнению с исходной возмущенной системой (1.1)
(которую для удобства сравнения предварительно транспонируем):
Л-.'Г
-^_ = жт(л + Е^ (4.13)
где хт = II хг, ..., хп ||.
Сформулируем основной результат о декомпозиции.
Теорема 4.4. Пусть Кп ..., Хт — характеристические числа крат-
ностей щ, гт матрицы jl; тогда централизованная система
—— хТ (сА + с^Зцу + E2^2N + ’ ’") (4.14)
преобразуется к квазидиагоналъному виду
0 ... o Qv\ 0 ... 0
dz di 0 K2K2 ... о OO z + £ EV 0 <2v2 - - • 0 z, (4.15)
0 0 • • • V=1 0 0 ... Qvm
где матрицы Qvi, Qvz, Qvm, v = 1, 2, ..., расположенные на ква-
зидиагонали, имеют размерности соответственно т\ X rlt r2 X г2, ...
..., rm X гт. Вектор новых переменных z — Циц ..., zm|| связан со ста-
рыми переменными с помощью матрицы приводящего преобразования
И, det у= 0, х = z££. Матрица составлена из базисных векторов
корневых подпространств (К,) матрицы Л.
Прежде чем привести доказательство сформулированной теоре-
мы, сделаем некоторые замечания. Упрощение решения системы (4.15)
по сравнению с решением исходной возмущенной системы (4.13)
происходит за счет расщепления подсистемы на т подсистем меньшей
размерности. Для приведения централизованной системы (4.14)
к квазидиагоналъному виду (4.15) используется лишь информация
о характеристических числах матрицы Л системы нулевого прибли-
жения = х7Л, так как вычисление матриц ^>2v, ... не
И 7—1641
161
требует, вообще говоря, знания указанных характеристических чисел
(см. § 3).
Доказательство теоремы 4.4. Из тождества ЛЯ\>м —
— Я^хпЛ s 0, v = 1, 2, ..., следует тождество (Л — ^г<§) $>wv —
— $vn (Л — А{<Д 0. Если г] = II Th, ...» г]п II — вектор корневого
подпространства (Aj), определяемого уравнением у (Л — №>) = 0,
то очевидно соотношение
T]^VN {Л — М) =о, г = 1, т.
Следовательно, 53vh переводит векторы Ф (А,) в себя и подпространст-
во (Аг) инвариантно относительно матриц ffivN.
В качестве строк матрицы преобразования ££ могут быть выбраны
п линейно независимых строк матриц проектирования .,.лфт.
Следствие 4.1. Если матрица Л имеет нулевой корень кратности,
например г1, то в централизованной системе (4.15) первые^ координат
пропорциональны параметру е, т. е. являются медленными перемен-
ными. Централизованная система (4.15) в этом случае имеет мед-
ленных и п—щ быстрых переменных.
В практических вычислениях применение теоремы 4.4 может
оказаться затруднительным. Нахождение матриц S3 in , ..., 33vn, ...
централизованной системы, вообще говоря, не требует знания соб-
ственных чисел, в то время как при приведении централизованной
системы (4.20) к квазидиагональному виду предполагается согласно
теореме 4.4, что они известны. Следующее утверждение может ока-
заться в ряде случаев полезным.
Теорема 4.5. Пусть матрица Л, действующая в пространстве
В", обладает инвариантным подпространством cz Rn размернос-
ти к1г тогда в пространстве Rn можно указать подпространство
L2 s Lr s La, размерности k2 (k2 k\), которое инвариантно
относительно матриц Л и v = 1, 2, ...: С^Л — L2, L2S3vN =
— L2. Используя базис этого подпространства в качестве новых ко-
ординатных векторов, централизованную систему (4.14) можно при-
вести к квазитреуголъному виду с квадратными блоками размер-
ностей k2 X к2 и (и — к2) X (п — к2) на главной диагонали
V
911
V
Qiht
0
0
о
V
dz
dt
V
V=0
Qk2k, о
Qk,+i,h, 9fe2+i.fe2+i
z. (4.16)
v
q-ni
Qn,ke+t
V
Qnn
V
чы
V
Доказательство. В силу простоты матрицы Л базис
пространства В” можно составить из п собственных векторов матрицы
Л- Обозначим этот базис £г, ..., £п. Если ..., Ць, — базис инвари-
антного подпространства то он может быть линейно выражен
через кг векторов из числа базисных ..., £п, например ...,
Предположим, что вектор из числа ..., Is, принадлежит корнево-
162
му подпространству (A.J корня A.j кратности rt. Тогда из тождест-
ва (Л — (А — М) следует ^vN {А ~ =
= 0. Значит, любой вектор может перейти лишь в один из векто-
ров корневого подпространства (X ). Алгоритм вычисления состоит
в следующем. Дополняем систему векторов т)п т^, линейно неза-
висимыми из числа Tj^viv, •••» v = 1» 2, ... Пусть это будут
векторы Tjfej+i, ..., т)й2. Далее повторяем процедуру: вычисляем
векторы Tjft)+i5Bvjv, ..., и дополняем линейно независимыми
из их числа совокупность векторов т)!, ..., т^,, .... Щ
Ясно, что на каждом шаге либо найдется новый вектор, линейно не-
зависимый от предыдущих, либо процесс прекратится. После конеч-
ного числа шагов получим максимально возможное число линейно
независимых векторов т^, ..., т)й1+1, ..., T]ft2. Обозначим через
L2 линейное подпространство, натянутое на зти векторы. Размерность
пространства в пределе может равняться сумме размерностей корне-
вых подпространств J? (X.,), j = 1, къ в которые входят векторы ...
...»
Если размерность к2 подпространства L2 меньше п, то выбираем
в качестве первых к2 строк матрицы преобразования Ч базис Ъ2 и в ка-
честве остальных — п — к2 строк, дополняющих базис пространства
R" до полного. При помощи замены переменных хт = z4 преобра-
зуем матрицы А и ^viv к квазидиагональному виду (4.26).
Введем обозначения
Qvi —
V V
qu • si*,
Qv2 =
5М-1А+1 • • • 5м-1,п
V V
V V
• • • Qnn
Qv2i —
Ok.A • • • ?M-t,ft2 Qvt
• •••••• ,, Qv =
Qni • • • q-nh., Qv2A
v = 0, 1, 2Ж
Сформулируем следствие из теоремы 4.5.
Следствие 4.2. Пусть матрицы ()01 и (?02 не имеют общих характе-
ристических чисел, тогда система (4.16) может быть преобразована
к квазидиагональному виду.
Действительно, рассмотрим матричное уравнение
К
X
о
Яп—ft,
(4)1
(4)21
(4)1
0
о
(4)2
II
III#
о
Л,
где и 'fen-h, — единичные матрицы размерностей к2 и п — к2,
X — неизвестная матрица размерности к2 X (п — к2). Выполнив ум-
ножение, для матрицы X получим уравнение Q02X — #C*oi = + Coan
которое разрешимо при любом виде правой части. Обозначая через S
матрицу
11
II
II#
0
^П-Й2
я.
183
находим, что матрица Л матрицей 53JZ приводится к квазидиагональ-
ному виду
= diag || Coi, <?о2 Il-
Но тогда и все матрицы Qvn, v = 1, 2, ..., также приводятся матри-
цей к квазидиагональному виду. Если предположить противное,
то из условий коммутативности матриц Qo = .Д£г^££—1.Д—1 и QV1
v = 1, 2, ...,
| См |||l^vl о _lICvi о |||^01 о I
II 0 Со2 IIII Cv21 Qv2 II Cv21 Qv2 III o C021
будет следовать тождество Co2Cv2i — Cv2iCoi 0- Но из этого
тождества при сделанных предположениях о том, что матрицы
и Cos не имеют общих характеристических чисел, следует Cv2i 0.
Критерием отсутствия общих корней у матриц @01, ()02 является
одно из следующих утверждений:
а) матричное уравнение Ql0%? — 3CQO2 = 0 имеет лишь нулевое
решение;
б) определитель матрицы $ == <?ю ® fen-k, — %k, ® Сго не ра-
вен нулю.
В ряде случаев матрицы 5)vjv, входящие в централизованную си-
стему, могут стать удобным средством для построения инвариантных
подпространств матрицы Л и дальнейшей декомпозиции централизо-
ванной системы.
Теорема 4.6. Пусть матрица .Д;д' имеет нулевой корень кратнос-
ти к, тогда подпространство L cz В”, определяемое решениями урав-
нения г)33== 0, т] С В", инвариантно относительно матрицы Л-
Доказательство. Из условия коммутативности матриц
Л^}П — ®}ыЛ = 0 следует, что ц.П',Л 0.
Если с помощью указанной теоремы найдено подпространство L,
инвариантное относительно матрицы Л, то для дальнейшей декомпо-
зиции централизованной системы можно применить теорему 4.5.
§ 5. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
ПОЧТИ АЛГЕБРАИЧЕСКИ ПРИВОДИМЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
Рассмотрим случай возмущенной линейной системы (1.1), когда
в нулевом приближении
-5-=^' <51)
находится алгебраически приводимая система. Такие системы были
подробно изучены в § 6 гл. 2. Не теряя общности рассуждений можно
считать, что система (5.1) уже приведена к квазидиагональному виду.
Рассмотрим наиболее общий случай структуры матрицы Ло* Будем
164
считать, что имеет блочный квазидиагональный вид:
о
о
</?о —
c/Zoii О
О </?022
(5.2)
О О * • • e/Zomm
Блоки c/Z011, Л0221 Льпт размерностей q X г,
rm X гт имеют в свою очередь также
r2 X г2,
блочную структуру:
ЛоИ —
t/loi
О
о
ЛОг
i — 1, т.
(5-3)
О
о
О
о
Здесь блоки e/7oi, i — i, т, имеют размерность kt X kit так что крат-
ность вхождения блока Лг в матрицу Лмг определяется как
= Ti/A:,, i = 1, т. (5.4)
Теперь предположим, что система нулевого приближения (5.1) с мат-
рицей Ло> задаваемой формулами (5.2) и (5.3), подвержена малому
возмущению матрицей 5)0 общей структуры. В рассматриваемом слу-
чае возмущенную систему представим следующим образом;
где х' = colon (| ад, ..., а?„ ||. Матрица ->30 размерности п х п имеет
произвольную структуру, что обозначено сплошной штриховкой.
Наличие возмущении в виде матрицы .®0 в правой части системы
(5.5) нарушает, вообще говоря, возможность приведения этой систе-
мы к квазидиагональному виду, аналогичному виду системы нулево-
го приближения (5.1). Докажем теорему, устанавливающую возмож-
ность декомпозиции возмущенной системы (5.5) к квазидиагональ-
ному виду.
Чтобы не употреблять везде индекс нуль, вместо матриц Ло> -®о
введем матрицы Л = Л'1, Зэ == 33% и транспонируем возмущенную
систему (5.5), представив ее в виде (см. также § 4)
-^- = ^(Л + е^). (5.6)
Теорема 5.1. Если блоки Лги i = i, т, в матрице (5.3) системы
нулевого приближения не имеют общих характеристических чисел, то
165
централизованная система, соответствующая возмущенной системе
(5.6), имеет квазидиагональную структуру
dx‘
dt
= ХТ
Лп 0 ... О
О Л%2 • • • О
о о ... Апп
оо
+ Хт У eY
V=1
о ... о
О $£>... О
О О ’...
(5.7)
где блочные матрицы размерностей rt X щ, i = i1mi
rp(vi) rrlyi) Tfvi) '11 1 12 . . . 1 1ц4 (5.8)
7>(vi) rp(yi) rp(vi) 2 •* u$2 • • • 1
составлены из квадратных матриц f, f — 1, р.;, размер-
ностей kt X ki. Матрицы входящие в матрицу (5,8), пере-
становочны с матрицей
Л^гР = т^, f, f = мЦ, i = Т^.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 5.1, сделаем сле-
дующее замечание. Интегрирование централизованной системы (5.7)
существенно проще, чем интегрирование исходной возмущенной си-
стемы (5.6), так как она так же, как и система нулевого приближе-
ния, распадается на т независимо интегрируемых подсистем размер-
ностей гх, ..., гт. Докажем два вспомогательных утверждения, кото-
рые будут использованы при доказательстве теоремы 5.1. Они имеют
и самостоятельный интерес, так как показывают, что за счет де-
композируемое™ системы нулевого приближения все вычисления су-
щественно упрощаются.
Лемма 5.1. Нахождение элементов алгебры централизатора из
уравнения порядка т
= 0, (5.9)
г<?е = c/Z ® S ® сводится к решению т независимых между
собой алгебраических уравнений порядка /4
= 0, i = (5.10)
еде &Ai — Л!® & — %® Л1-
Доказательство. Представим систему (5.9) в виде экви-
валентного матричного уравнения
лос—ОСЛ — 0.
(5.И)
166
Так как матрица Л имеет блочно-диагональный вид (5,2)х то матрицу
30 также будем искать в виде блочной матрицы
пр гр пр
^11 *^12 •••
/уэ /уэ /у»
gl vv 22 • • • w 2тп
/уэ /уэ /у»
wTTil w m2 • • Жтт
в которой элемент Л?у имеет размерность г, X г,, г, / = 1, т.
Подстановка значений матриц Л и 30 в уравнение (5.11) приводит
к системе т2 независимых матричных уравнений
Лн^а — ЭСцЛи = °> t,j=l,m. (5.12)
Ввиду сделанного предположения о том, что матрицы Лг и Лз при I =/“
=# / не имеют общих характеристических чисел, матрицы Ли и Лзз
также не будут иметь общих характеристических чисел.
Следовательно, при i #= j единственным решением однородной
системы (5.12) является тривиальное иСу в 0. Из т2 уравнений ос-
танутся лишь
c/Zn'3'и — '3'iit/2u = 0» • • » mm ^^ттс/1тт -— 0. (5.13)
За счет квазидиагональности матриц Лиз i = 1. т, (5.3) возмож-
но дальнейшее упрощение систем (5.13). Так как матрица Ли имеет
щ (см. (5.4)) блоков Лг на квазидиагонали, то матрицу 30 и отыски-
ваем в виде блочной матрицы
bv И ьС 12 • • • 1|Л{ qo(i) /у»(г) /У»(г) w21 VV22 •••
/у»(1) nr»d) ПГКг) 1Л/ Ujl LAZ Ц-2 • . . LAZ ц{ц.
где блок f — 1,; имеет размерность ki X ki, i — 1, zn.
Подстановка значений Ли> ^и в уравнения (5.13) с индексом i
2 **
приводит к системе щ независимых матричных уравнении
ЛгЗО™?' = ЗСу^’Лг, f, f = 1, Цг-
Решение этих уравнений сводится к нахождению общего решения од-
ного уравнения
ЛгОС^^ЗО^Лг, (5-14)
где иС(г) — квадратная матрица порядка А,. Переходя от уравнений
(5.14) к эквивалентной системе (5.10),, получаем доказываемое
утверждение.
Следствие 5.1. Размерность к алгебры централизатора $оЦ опреде-
ляется по формуле
т 2
= У, HifTia
i=l
167
где gi — число линейно независимых решений системы алгеб-
раических уравнений (5.14).
Пусть решениями уравнений (5.13) являются линейно независи-
мые квадратные матрицы
размерностей r$ X rif где — pigi. Тогда, обозначая через О'г) мат-
рицу размерности rt X г$, состоящую только из нулевых элементов^
базис алгебры Зо ’ можно представить следующим образом:
0(1‘ ... 0 0 0 ... о
0 ... o(i-n 0 0 ... о
Z^ = 0 ... 0 0 ... 0 1 j = 13 ffil i = 11 m.
0 ... 0 0 O(i+D ... 0
0 ... 0 0 0 Q<’>0
(5.15)
Квазидиагональная структура матрицы Л нулевого приближения
также существенно упрощает задачу нахождения проекции pr Fv
от правых частей операторного уравнения (1.12) из гл. 3. Как показа-
но в § 2, 3 настоящей главы, нахождение этой проекции сводится к ре-
шению системы алгебраических уравнений (3.1), которую с учетом
выражений (5.15) для базисных операторов приведем к соответствую-
щему виду. Запишем для матрицы соответствующей оператору
pr Fv, разложение по базису Z^:
т ?г
= I S '
г=1 ?=1
Коэффициенты определяются из системы неоднородных линей-
ных алгебраических уравнений
fj I at? tr ZfZp = tr S3VZ^'\ i' = f = 1?^. (5.16)
i=i ;=i
Лемма 5.2. Система алгебраических уравнений (5.16) для определе-
ния матрицы оператора проекции pr Fv распадается на т неза-
висимо интегрируемых подсистем порядков q\
Qi
£ a# tr = tr ^vZ^;
5=1
........................................... (5.17)
£ tr Z^Z^ = tr ^vZ‘% i = ijn.
5=1
168
Доказательство. Из структуры матриц (5.17) сле-
дует, что = 0, если I =/= i', и, значит^ tr Zjl)Z;? ’ =0. Система
(5.16) распадается на т подсистем вида (5.17)?
Обратимая теперь к доказательству исходной теоремы 5,1. Цент-
рализованную систему, соответствующую возмущенной системе (5.6)s
можно записать в виде (см. § 3)
(А 4" 4" E2$2JV 4* • •' )i
где матрицы 33iN, tBzu, ... перестановочны с матрицей А*
Из леммы 5.2 следует, что множество матриц iBw, •••
в общем случае не пусто. Кроме того, матрицы имеют структуру,
о которой говорится в лемме 5.1/
Докажем еще два утверждения о структуре решения централизо-
ванной системы (5.7). Введем векторы
а;(1) = colonIIхГ11, ..., Хг,Г1 II, .... a4m) = colon||xlrml ...^^„41;
вектор переменных х выражается через эти векторы следующим об-
разом: х — || ж(1), ..., хт ||.
Интегрирование системы (5.7) можно заменить интегрированием т
независимых подсистем, i = 1, т,
Аг 0 ... о лЧтг) / и /Hvi) 1 12 mCvi) 1 • • • 1 Щ
dx(i)T dt = 0 Аг ... 0 OQ + х^Т 2 eV 7<vi) 1 22 •••
0 0 • • ' Аг V=1 гМуг) 1 7Ui2 T(vi) • • • 1 UjUi ||
(5.18)
(5.7) может
» (5.19)
Теорема 5.2. Решение централизованной системы
быть представлено в виде
gA г^
о ... о
(т)
0 ег4г«-'о) 0
0 0 ... ег/?г(г—
где вектор T](i) (т) = colon ||т]1г. (т), ..., (т) || является функцией
медленных переменных т = е1 и определяется интегрированием си-
стемы уравнений с медленным временем
^2L = T1(i)T/g ev-i^(vA (5 20)
\v=l /
Таким образом, интегрирование централизованной системы (5.7)
сводится к интегрированию т независимых подсистем
р.21)
порядков ki, i = 1, т, и т независимых подсистем порядков rit
t = 1, т (см. (5.20)), зависящих от медленного времени т.
169
Доказательство. Представим соотношения (5.19) в сокра-
щенном виде
(5.22)
Если считать вектор r)(i)T постоянным, то формулы (5.22) представ-
ляют собой решение системы нулевого приближения
dxW
Считая в формулах (5,22) r](i)7 новыми переменными, произведем
замену в системе (5,18). После несложных вычислений получим урав-
нения
со
v=1
Так как матрицы Ли и ЗАи коммутируют, то систему (5.23) можно
преобразовать к виду
-^^ = П(ОГ( f eWV
\v—1 /
dTlU)3 = n(i)r
dt !l I
е-Ли»-^\. (5.23)
Вводя медленное время т = et, приходим к системе (5.23), что завер-
шает доказательство.
Замечание 5,1, Выражение фигурирующее в фор-
мулах (5,19), можно заменить нормированной фундаментальной мат-
рицей Х(г) (t) системы (5.21).
До сих пор нигде не предполагалось, что известны характеристи-
ческие числа матриц Ли t = входящих в систему нулевого при-
ближения. Если они действительно известны, то можно сформулиро-
вать еще один результат о декомпозиции централизованной системы
(5.18). Поскольку в систему (5.18) входят идентичные по структуре
подсистемы, то для упрощения формулировок рассмотрим систему-
представитель в виде
dxT ~т
~зг~х
л 0 ... о
о Л ••• 0
О о ... л
7’Cv) iriv) гг<У)
1 11 -* 12 • • • * 1ц
74V) 7,(v)
*21 I 22 . . • Л 2ц
<r(v) qity) ГТ1(У)
2 ц1 * ц.2 • - • цц
t (5.24)
где Л — матрица размерности к X к с кратностью вхождения р
в матрицу коэффициентов; Т^1 — квадратные матрицы размерностей
к X к; х = colon || а:10, ..., xs s = /ср.
Здесь матрицы Л* = diag {Л. • -» Л] и Qv = {ЛГЬ h j = К. Р-»
предполагаются коммутативными, т. е.
QvAw v = 2, ... (5.25)
Теорема 5.3. Пусть матрица Л 6 системе (5.24) имеет характе-
ристические числа ..., кратностей mlt ..., тр; тогда можно
170
указать такую замену переменных хТ = zT = которая расщепля-
ет эту систему на р независимо интегрируемых систем размерностей
т^, .„, тру. ([тг + + тр) ц = Ар.)
А 0 ... О
dzT _ ~т О ... О
dt Z ........................
О О ... $р
Д'” о ... о
о Зф ... о
о о ...
где
£)i = diag{Xb ..., Х4},
.7?iV) — квадратные матрицы размерное-
тщ,
mu pip х pip, I ~ 1, р.
Доказательство. Обозначим через Р (X,) корневое под-
пространство матрицы Д*, определяемое как всевозможные решения
уравнения g (Л* — Xsg) =0, £ = || .... £s Ц, s = Ар. Из тождест-
ва (5.25) следует тождество
LA* ^i^) Cv = Qv (A* ^i&).
Умножая обе части матричного тождества на вектор £ £ Р (Хг)4
получаем %QV (Д* — Х^) = 0. Это означает, что подпространство
Р (X,) инвариантно относительно матриц Qv, v = 1, 2 ... Приводя-
щая матрица ££ составляется из векторов корневых подпространств
Р (Х{), i = l, р.
у\
Уг
у\
Уь
Пример 5.1. Вернемся к примеру 6.2 гл. 2. Предположим, что колеб-
лющиеся массы рассмотренной механической системы подвергнуты малым воз-
мущениям eAn еЛ2 (рис. 3). В этом случае в матрице системы (6.12) гл. 2 появятся
дополнительные слагаемые, пропорциональные параметру е и характеризующие
наличие возмущающих факторов:
«Г 1 о о СО G4 1 “1“ о » £ 0 — “1 а2 + а3 Гз 2 1 1 ~ai 0 1 S ICO 1 о <М тм |СЧ +
1 о а2 4“ а3 о
а 2 2 2 а“
/з 3
2 “2 0 0 °а “Ь °з
0 0 0 0 0 У1
0 0 0 0 0 У2
4-е 0 0 0 0 0 + Уз = 0,
С31 С32 0 с34 C3S У1
С41 С42 0 0 с44
Уъ
(5.26)
171
В системе (5.26) выписана лишь матрица возмущений при первой степени пара-
метра е. В результате замены переменных у = Sy', уг = colon || у.^ Уз> У к' Уъ ii
(явный вид матрицы S см. в § 6. гл. 2) система (5.26) примет вид
ООО
ООО
-у- “1 Зах 0
1
а2 а2 + а3 0
О 0 а2 4- а3
0 0 0 0
?23 ?24
0 0
о ?42 ?43 ?44
%| ?52 ?54
(5.27)
где
Чц
Я2 (At + А2) .
------------7-------- 722
_____ (а2 Н~ аз) (At + А2) _
2т ’
Уча
«2 (At — А2) .
— f— * I
4 р о т
„ («2 + яз) (Aj — А2) . „ Кз а2 (А1 — А2) .
®24 “ ’26 ~ 2У^ ' ’
/з (а2 + а3) (А, — А2) я2 (Д, _|_ д2)
««---------------------6^ ; 943----------------12^ ;
?44 — ?45 —
(а2 -j- а3) (Л, А2) .
‘ Вт ’
Г3й2 (Л, - А2) .
еи - 6^ ’
КЗ(а2 + Яз)(А1-А2) . „ я2(А, +А2) ,
=-----------; 6™
5б4 — Чьи —
__ (й2 ~Ь аз) (Aj + А2)
Зт
172
Перейдем от системы второго порядка (5.27) к нормальной системе дифферен-
циальных уравнений, вводя новые переменные
y'i=xv у'г=х2, у\=х3, у2 = х^ !/'3 = х'5, у\~Х^, Vi = XV Vlt — г8> I/5 = ^5» 1/5 =
xi X.> X . i < ♦ О О £ 0 r 5 3 0 0 co 3 a — 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 '! 1 i; ~ a2 — (a2 + 03, li
1Г| 1 X; X1 j! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 3 а, — За, 0 0 2 1 1 1 Y а2 — (°2 + Оз) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 —
: z10 (
( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 721 ?22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7гз ?24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ?2Б 0 0 0 0 0 0 0 ?4Б 0 0 0 0 0 1 0 1 — («2 + ^3) о х2 х^ хь
E 0 0 и 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ООО kQ ООО О ООО О ООО Хз . (5.28) ®б Х1 xs ч *10
?Б1 762 0 </5Я ?и 0 0 0 00 00 00 00 ?ББ 0 0 0
Обозначим через матрицу нулевого приближения и через матрицу возму-
щения. Если ввести обозначения
0 0 1 0
3 0 0 0 1
2 1 1 3
•А1 ~ ’ JbOI — а, 2 1 — За} 0 0
а2 (а2 + а3) 1
2 ' ’ " ' dn 2 2 — («2 + аз) 0 0
4&02 —
О 1
— (02 + О3) О
(5.29)
173
то матрицу нулевого приближения можно записать следующим образом:
Al
О
I О
fio —
о о
А1 О
о Аг
Л = л^.
Пользуясь изложенной в настоящем параграфе теорией, для системы (5.28)
найдем централизованную систему в первом приближении. Вводя обозначения
и = Jipj, А = Ай> матричное уравнение для определения элементов
алгебры централизатора 3^ представим в виде
Аг
-®^22
-&32
-«'’21
А1
А2
^22
^32
^13
Аз
«зз
Аз
21
"31
•«"’аз
&зз
fit
о
о
, (5.30)
^21, .^22 € (Л(<’4),
где Аг» ш _
Это уравнение распадается на
A-Ai= А1А»
, Аз G «(2,2)> А8. Аз 6 К(4’2),
девять независимых матричных
ААз = -Аз-А»
Л32 € К(2’4,<
А1. .
уравнении
A-^si — -®siA
.ААз-----®зз.А-
А о
° А
о
0
О
О
А
и
О
о
О
о
А Аг = -Аг-А»
jti-Аг — АгА>
= Аг А »
В силу сделанных предположений о том, что матрицы и А не имеют об-
щих характеристических чисел, матрицы ^13, ^2з> -®зп ^зг равны тождественно
нулевым. Оставшиеся пять уравнений можно разбить на две группы. Уравнения
для >₽12, ^21, >₽22 равносильны решению одного уравнения
А^ = ^А. ^G5H(4,4).
Вторая группа состоит из одного уравнения
г/^2-^33 = -^ззг/^2* (5.32)
Найдем общее решение уравнения (5.31) в предположении, что матрица Л
имеет различные характеристические числа. Учитывая структуру матрицы jfj
(см. формулы (5.29)), уравнение (5.31) представим в виде
0 Л11
Е2 0 Г
(5-31)
А
2
(5.33)
’3
где Z\, JP2, .^з, е 51(2>2), Е2 — единичная матрица. Система (5.33) распадается
на четыре матричных уравнения
&2 = &3Л, j&t = JSV, ЛЛХ = 3£цЛ, ЛЛ3 = Л2.
Система этих уравнений сводится к нахождению матриц jSj, j₽s из идентичных
уравнений
'4
ЛЛХ = ЛгЛ, Л^3 = £3Л. (5.34)
Так как мы предположили, что матрица Л имеет различные характеристические
числа, то легко найти общее решение системы (5.34):
А = |11А + Цг-А А = 113^2 + Pl-A Рт» |12» Рз» Pl € R»
Аналогично общее решение уравнения (5.32) имеет вид
Аз = а1А + а2.А, а1» а2 € Р-
Таким образом, общее решение 2S уравнения (5.31) зависит от четырех произволь-
fibix параметров и может быть представлено матрицей
Pi Е \12Л Рз^2 4" Ра-^2 II
ц^Е + ^Л ц^+^Л ||
£ =
174
Возвращаясь к уравнению (5.30) и учитывая структуру матриц ^83 и jgr
общий элемент алгебры централизатора 3^ можем записать таким образом:
)l1^2 + I12^ Рз®2 + |1д^Л 4" |4^2 4“ kl2*^ Мг + Ио-^ 1H1-* + 612^ 141^2 + )4г*^ + Pio-^ 0 0
Щ-^2 + )1в^ \^л 4- Pe^f2 )4зЕ2 + H14-^ I4^4-I4e^ 0
ll7^2 + 1*8-^ Рб^2 4* Me-^ m.^2 4- (4e-^ 142^2 4” )44-^ 0
0 0 0 0 P17^2 4- )483$2
Полагая р{ = 1, = 0, i j, где i, j пробегают значения от 1 до 18, по-
лучаем 18 независимых элементов алгебры централизатора 3^\ которые обо-
значим %г, .... gg18.
Проекцию матрицы на ядро оператора GA (см. § 3) ищем в виде суммы
18
3§0Л' = S (5.35)
Коэффициенты а01, ..., а018 определяются из системы уравнений вида (3.16)
18 _____
£ aoi tr %{= tr j = 1,18. (5.36)
Опуская промежуточные выкладки, приведем окончательный вид уравнений
2тп1а03 2?n2cc04 = р^; 4a01 4- 2т1а02 = 0;
2Т712^03 4“ ^^3^04 ~ ?1» 2/TIjCXqj 4“ 2t712<Xq2 = 0}
2m1a011 4- 2m2a012 = p2; 4a09 4- йт^аою = 0)
2m2ctgu + 2mgaQ£2 — 4z\ 4“ ~
2тга015 4- 2771206010 = p3; 4ctp13 4~ 2т1сб014 — 0;
2m2«01a + 2теза016 = 9з! “013 + 2m2a014 = °}
2а017 = ЙИ> 2 4" K018 = 0’
где
1 1
Pi 2 аз?21 ?22 (ai 4~ аг)> Ра 1 Рз g- а2?43 — ?44 («1 + °2); mi = tr Л-, тг 1 / 3 \ / 1 5i = —— <4 1 —r- <4521 — 3ai?22 1 4- («2 + a3) 1 z \ z / \ * 1/3 \ /1 52 = ~ a2 1 — а1?23 + 3al?24 ) + (a2 4" аз) ( ~ 5s = <4 “1943 + 3a1944 j 4- («2 4- <4) ( y- a2923 924 (“1 4“ “2)! ; = tr Л2, m3 = tr Л3', ’ “2921 + 922 (“1 4” “2) j > “2923 4* 924 (“1 4“ “2) » “2943 4“ 944 (“1 4” “2) j •
175
Решить систему алгебраических уравнений (5.37) нетрудно:
1m., 1 т„
аоз — ~п 1 Т’г 5 2~
тр»,, — тпт; тгт3 —
1 т2 1 mj
^04 9 5" ’ ~~Ъ
т1т3 — е mpm, —
Аналогичные выражения получим для а011, а012 и а015, а01в:
1
“(117 — ~ 7№ а018 — °-
Остальные коэффициенты равны тождественно нулю. Зная коэффициенты в раз-
ложении (5.35), легко составить централизованную систему в первом приближе-
нии:
dz'1
dt
0 £, л 0 и 0 0 0 0
0 0 0 л 0
0 0 £2 (1 0
0 0 и 0 Аг
1 0
। '7-03^2 +
i' о
0
О
+ '7о4..У/2 0 «011* + «OlH^ 0
0 “о11^2 + ао!2-^ 0 0
0 0 “ois-^ + aole^2 0
0 а01Б^2 “Ь а01в*^ 0 ° 1
0 0 0 а017^£ J
(5.38)
Здесь с использованием формул записи § 4 применена запись централизованной
системы в транспонированном виде. Сравнивая систему (5.38) с исходной возму-
щенной (5.28), видим, что централизованная система распадается на две незави-
симые подсистемы порядков 8 X 8 и 2 X 2. Система порядка 8 X 8 в свою оче-
редь распадается на две последовательно интегрируемые подсистемы порядков
4 х 4 и 4 X 4.
Система (5.38) допускает дальнейшую декомпозицию на независимо инте-
грируемые подспстемы, если предположить, что известны характеристические чис-
ла Xj, Х2, X,, X, матрицы (см. формулы (5.29)). В самом деле, пусть — (|
Пз\ ЧЧ 7 = — собственные векторы матрицы Введем обозначе-
ния = || 1|, = || ||, тогда справедливо соотношение
й7)и|
О ^Z’ll
е2 о II
которое можно заменить двумя эквивалентными формулами
или одной
Для упрощения расчетов будем считать, что характеристические числа мат-
рицы Л различны, тогда различны и характеристические числа Хг, Х2, Х3, Х4 мат-
риЦЫ-А-
176
Введем матрицу
TjW П24) мп м4) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 7)® 7,(1) 42 М4) м4) 0 0
7]® „(2) *12 М2) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 7,(2) 41 422> М2> М2) 0 0
s = е 7,(3) ^2 М3) М3) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 е 7,(3) 42 М3) М3) 0 0
ц<4) „(4) *12 М<4) М4) 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 7)® № М4) М4) 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Замена переменных хт = yTS декомпозирует централизованную систему (5.38)
на пять независимс интегрируемых подсистем второго порядка
^ = у7
dt v
( Xj 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 о 0 0 0 0
0 0 Х2 0 0 о 0 0 0 0
0 0 0 к2 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ;) х3 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 14 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 х4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 (а2 + аз)
1 0 0 0 0 0 0 0 с 1 0
6ц Ь12 0 0 0 0 0 0 0 0
о ь22 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 ^33 ^34 0 0 0 0 0 0
0 0 0 fe44 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ^55 ^36 0 0 0 0
0 0 0 0 0 Ъвв 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 &7, 6,в 0 0
0 0 0 0 0 0 0 bss 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 a0i7 0
0 0 0 0 0 0 0 0 ^'017
где
&ii = Xia03 +
bfg — + ^a0i2, b2z — ^iaois 4“ ^'iO!oie>
bus ~ ^-е^оз + Мао4» Ьз4 = ^'2aoil + Maoi2>
^44 ^“2®ai5 "Ь ^2a016’
12 7—1641
177
&Б5 — ^3a03 + ^3К04> — ^За011 + ^За012> Ьвв — ^за015 + ^3®01в>
&7, = 4- XjtZ04, &78 = ^4<Х011 + ?-4&012’ t>SS ~ ^-4®01Б "Ь ^«OIS*
Каждая подсистема в свою очередь сводится к квадратурам. Остается определить
матрицу коэффициентов оператора S. Эта процедура также сводится к решению
системы линейных неоднородных алгебраических уравнений (подробнее см § 2).
Ввиду громоздкости записей эти результаты не приводим.
§ 6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СТРУКТУРЫ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ
НУЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Рассмотрим теперь случай, когда матрица имеет некоторую нор-
мальную жорданову форму общего вида, что скажется прежде всего
при решении операторных уравнений
[U, Sv] = Fv, v = ls 2, ... a (6.1)
и эквивалентных им матричных уравнений 7
Жг—1\Л = Ж, (6.2)
или
= <&А = 'A®En — En®JT.
Матрица также не будет иметь простую структуру. Вследствие
этого ядро Na матрицы ^А, определяемое как решение однородного
уравнения ^АЗС = 0, не будет совпадать с ядром NA матрицы
определяемым как решение однородного уравнения ^аОС = 0. Для
симметрии записи для ядра Na матрицы примем обозначение N'a>
Таким образом, N(a N^a.
Очевидно, можно рассматривать и дальше цепочку подпространств
N%, j = 177,
<&#=о. (6.3)
Из линейной алгебры известно, что цепочка подпространств
N^a <= N<a с= ... с N^a с TV2+1)
обрывается, когда выполняется равенство Ет<а =Лг(1+1>, причем число/
не превышает кратности нулевого корня матрицы &а-
Высотой вектора (Z? называется наименьший показатель степени /
уравнения (6.3), решением которого является этот вектор. Для про-
странства цепочку уравнений (6.3) можно представить в виде
u,.a?i = o, и и, = о, • • д и, • • • = о- (6.4)
?
Если у — высота вектора ОС, то очевидно, что j — 1 — высота
вектора &аОС. На языке алгебр Ли это будет означать следующее!
176
если элемент ОС С Na , то элемент [Д, X] Е ТУд п. Далее, легко по-
казать, что если ОС' Е Na\ <97"ЕЛбР>то[<97', X"] Е Ма~1\ где /0 =
= max {j'; /"}. Действительно, из тождества Якоби 1Д]Х', ОС"]] +
+ IX" и, + iX’ IX", ли о видно, что юс" и, хг],
[•Г' [X", Л11 € Ма°~2> и. следовательно, IX', X"] Е A^o).
Обозначим максимальную высоту векторов матрицы &а через г
и число независимых решений уравнения Ч&аХ = 0 через к.
Полученный результат сформулируем в виде следующего утвер-
ждения.
Теорема 6.1. Пусть оператору U в пространстве ‘$-п'п'1 соответству-
ет матрица &а с максимальной высотой векторов г и размерность ядра
равна к; тогда все операторы X Е^ ( удовлетворяющие урав-
нению
[U[U ... [U; X] ...] = 0,
порождают конечномерную алгебру Ли ранга к.
Построение централизованной системы производится аналогично
правилу, описанному в § 3 настоящей главы. Правая часть уравне-
ния (6.2) раскладывается в прямую сумму подпространств Na
в Та\
= ШеА^’, Д^еЬг). (6.5)
Согласно определению в качестве проекции от правой части (6.1)
примем
prFv = Nv, (6.6)
где Nv = д. Из введенного определения следует, что матрица
удовлетворяет тождеству
[Л, • • •, (Л, Ш] •. - но,
а оператор Nv — соответственно тождеству
[U, ..., [U, Nv]...] sO.
Фактическое нахождение составляющей в (6.5) и решения Tv
уравнения
»Arv = ^v —Ш (6.7)
принципиально не отличается от аналогичного случая матрицы прос-
той структуры. Обозначим через ..., базис пространства Na*
и через .... — базис пространства Представим Oj-On
„ h
в виде суммы: = £ avi%i и коэффициенты avi найдем из ус-
i=l
ловия ортогональности вектора03 х — ЗЗ1^ подпространству Na. Из
этого условия получаем систему линейных алгебраических уравне-
121
179
ний вида
£ avi <%i, = (SJV, %j»>, 7 = T/k.
i=i
Определим базис пространства T<a из условия ортогональности
к №а, т. е. из системы уравнений
<^Д?>=0, 7=ТГ1.
Л Z4
Если этот базис составляют векторы 2/х, 2/,, I = и2 — к, то, раз-
лагая вектор Tv по этому базису: Tv = + ... + т]^2/г и под-
ставляя результат в уравнение (6.7), получаем
»л2/ц = &г-Ж (6.8)
—»• Z\ Z4
где ц = colon || r]vi, ...» flvz [[, 2/ = [| 2/х, yt (| — матрица раз-
мерности nr X I. Чтобы избавиться от переопределенности системы
(6.8) и получить ровно I уравнений, умножим обе части системы на
матрицу (g-A2/) *:
У*&а&а&1} = У*&А ($v — Ж-
Централизованная система с матрицей непростой структуры в зна-
чительной степени сохраняет все свойства централизованной системы
с матрицей Д простой структуры благодаря установленному факту
о представимости матрицы Д в виде суммы (см. теорему 2.1 в гл. 2):
+ (6.9)
где Д&, Дп — полупростая и нильпотентная составляющие, представ-
ляемые в виде полиномов от матрицы Д.
Как следствие формулы (6.9) оператор U также представим в виде
суммы: U = U. + Un, где
2 ~ Л'
Us - ДЛ] Un = ^ГПхД-П^ Д.8 = 3
7=0
Л"
к, к"ег+
?=0
Оператор Us назовем полупростой составляющей, a Un — нильпо-
тентной составляющей оператора U. В отношении оператора U8
справедливо следующее важное для дальнейшего утверждение. ;
Теорема 6.2. Полупростая составляющая оператора U коммути-
рует с операторами Nx, ..., Nv, входящими в ассоциированный с цент-
рализованной системой оператор Uo = U + eNx + ... + evNv:
(Us, NVJ==O, v = l, 2,,..., (6.10)
где операторы Nv определяются равенствами (6.6).
Доказательство. Представим тождество (6.10) в виде
эквивалентного матричного тождества
иЛ1 = о, (6.11)
180
Проведем доказательство последовательно для элементов подпрост-
ранств N(a, N(a, •••» определяемых последовательностью урав-
нений (6.4). Пусть С N(a и определяется как решение уравнения
U, Д?] = 0. Это значит, что матрица X перестановочна с Л, т. е.
ЛХ = ХЛ- Но тогда Л2Х = ЛХЛ — ОСЛ2, и матрица X переста-
новочна с матрицей Л2. Отсюда сразу следует, что любая целая по-
ложительная степень ЛР перестановочна с X и сумма щЛ?' + Щ,Л?\
Pit Р2 € Z+, также перестановочна с X: [с^Л?1 + aae/ZP,> — ai L/lP,t
X] + сс2 1ЛР\ S3 0. Значит,
[л„ а?] в Is С}л}, #1 S3 о, х е М1>.
и=“0 J
Далее применим метод индукции. Пусть для элементов пространст-
ва Na\ определяемых как решения уравнения
и,и, #]...]=о, эсем£\ (6.12)
Э
теорема выполняется и имеет место доказываемое тождество (6.11)
при г — /: [Л», X] = 0, X Е Для элементов пространства опре-
деляющее уравнение имеет вид
и......л \л, ос...] = о, х е д1+1). (6.13)
?+1
Если для X выполняется условие (6.13), то для У = [Л, X] выполня-
ется условие (6.12) и по предположению [Ля, У] ss 1Л^Л> = 0.
Покажем, что тогда и для ЛР> гДе Р — произвольное положительное
число, имеет место тождество
Us, #IM, FGZ+, (6.14)
Для скобки Пуассона 1ЛР> используем формулу
р—1
1ЛР. Лр-^1Л, У\л\ (6.15)
?=0
справедливость которой проверяется непосредственной подстановкой
[ЛР> ОС] ~ ЛР0С — ХлР, 1Л0С] ~лХ — ХЛ- Умножим обе части
(6.15) на ЛР и воспользуемся индуктивным предположением о том, что
Ля 1Л, ОС] = [Л, ОС] Ля-
р—1 р—1
Ля \ЛР, #1 SB s ЛяЛр~'~11Ля, Х]Л}^У, Лр~^' U, ОС] л’Ля =
5=0 ,=0
= 1АР, X] Ля.
Из доказанного тождества (6.14) немедленно следует тождество
1Ля1Лз, Х]]^0. (6.16)
Обозначая через &Аа матрицу уравнения [Ля, X] = 0 в простран-
стве Я1(п,п>, запишем тождество (6.16), эквивалентное &asX = 0.
181
Вследствие простой структуры матрицы &as уравнения “Qa^C = О
и ^2asX === 0 эквивалентны уравнению [Ле, 00] = 0, а; С Nli+1}.
Оператор U централизованной системы теперь можно представить
следующим образом:
и0 = us -|- Un -|- eNj -|- • • • + evNv
а саму централизованную систему — соответственно в виде
— (t^os + Лоп 4- e^vi -|- e2^V2 И- • • •) (6.17)
где ЛОг = Л?, Лип = Л„, 53vn = (33vn)T, Т — знак транспонирова-
ния.
Учитывая доказанный факт о куммутативности операторов Ls
и Un с операторами Uv, v = 1, 2, ..., можно автоматически применять
теоремы § 4 настоящей главы о структуре централизованной системы
(6.17), отнеся Un к алгебре централизатора.
Сформулируем теперь теорему 4.4 для рассматриваемого в на-
стоящем параграфе случая матрицы Л общей структуры на основании
доказанной теоремы 6.2.
Теорема 6.3. Пустьматрица Ло (Ло = <АТ) неособой матрицей
(6 приводится к нормальной жордановой форме
(£~1Л0(£ = diag {<£х, <^2,..., <^т}’
где gx, <£2, ..., <£га — жордановы блоки размерностей rr X гг, r2 X
X г2, ..., rm X гт соответственно. Тогда замена переменных х =
= (£z преобразует централизованную систему к квазидиагоналъному
виду
где Qvi, QV2,..., Qvm — квадратные блоки размерностей гг х гх,
Г2 X Г2, . . . , I'm X Гni-
Следующее утверждение учитывает то, что Л является матрицей
непростой структуры.
Теорема 6.4. Решение централизованной системы (6.17) может
быть представлено как произведение:
*(о = (6.18)
где р — наименьшее целое число такое, что Лоп = 0, и вектор ц (т) =
= colon || (т), ..., т]п (т) || является решением системы уравнений
-J- = (^1 + Л+ ••Jib т](0) = ®(0), тэе/. (6.19)
MS
ГЛАВА 5
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
ПОЧТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И ВОЗМУЩЕНИЯМИ В ВИДЕ полиномов
§ 1. ОБЕРТЫВАЮЩИЕ АЛГЕБРЫ ®
И & ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим систему почти линейных обыкновенных дифференци-
альных уравнений
х' — Л(]х' + ею (ж'), х' (t0) = х0, (1.1)
где со (ж') — вектор-столбец, составленный из полиномов степени не
выше к от п переменных х\, хп.
Будем считать, что матрица Л коэффициентов системы нулевого
приближения, соответствующей системе (1.1), имеет простую струк-
туру (см. § 2 гл. 2). Такое ограничение на матрицу Ло не является
принципиальным, поскольку система (1.1) размерности п с матрицей
непростой структуры может быть преобразована к системе размернос-
ти п + 1 с матрицей простой структуры. Для указанного преобразо-
вания следует разложить матрицу Л одним из известных способов на
полупростую и нильпотентную составляющие (см. § 2 гл. 2):
еДо ~ (Aos + <А(УП, 'Aos'Aon = (А(УпЛов1 <А(Уп = О, к п.
Подставив выписанные тождества в исходную систему и заменив
/ i t"
переменные х' = ехр Лип Д —10) у = £ Лип —у', получим систему
г=0
у' = Лову' + ей (f, у'), где Q (у') = ехр [— Лоп (t —10)] со [ехр Лип (t —
— to) У'] — однородный многочлен конечной степени. Вводя дополни-
тельную переменную yn-\-i == t, yn+i == 1, приходим к системе п + 1
уравнений с матрицей простой структуры.
Наряду с векторным пространством V над Р, порожденным эле-
ментами х17 ..., Хп, будем рассматривать векторное подпространство
над Р, равное прямому произведению пространства V, взятого
v раз: F®v = F (х) ... ® V.
Базис подпространства F®v образован всеми возможными моно-
мами вида х™' ... х™п, ггц + ... + тп = v. Его размерность будем
А
обозначать через mv. Через xv будем обозначать вектор-столбец,
составленный из базисных элементов пространства F®v.
183
A
Очевидно, nij — n и хг — colon || xlt ..., жп||. Обозначим черев
§ (F) бесконечномерное пространство, равное прямой сумме подпро-
странств F,gv:
$(F) =Р © V © (V ® Г) © ©(F® ... ® F) ф ...
С пространством $ (F) тесно связана бесконечномерная алгебра Ли,
к построению которой мы сейчас переходим.
Пусть S3 — постоянная матрица размерности иц, X п с элемента-
ми bij g Р, i = 1, mv, j = 1, п, и Ьг, ..., Ьп — элементы строки в ра-
венстве
« def
b=xvS3, b = \\b1,...„ М- (1.2)
Совокупность дифференциальных операторов
Х = ~д^~ + ''" + Ьп ~д^ ’ bi £
при произвольной матрице 5В порождает линейное пространство над
Р, которое будем обозначать через Ж (F®v).
Ясно, что оператор X отображает подпространство F в F®v и его
матрица при этом отображении равна S3. С другой стороны, как лег-
ко проверить непосредственным вычислением, оператор X переводит
все векторы из подпространств V^i в подпространство Дей-
ствуя оператором X на базис F®i, получим выражение
X^m( = _(S /-|-v—1, (1-4)
где Sf (+v—i — прямоугольная матрица размерности m/+v—i X mv,
которая является матрицей оператора X в пространстве F^;.
Определение 1.1. Матрицу 5Tz-|-v—i действующего из под-
пространства $8 (F®;) в подпространство Ж (F8v) оператора X,
определяемую соотношением (1.4), назовем матрицей представления
оператора X в пространстве V®i.
Таким образом, матрица S3 в выражении (1.2) является матрицей
представления оператора X в подпространстве F.
Пусть Y — дифференциальный оператор из $8 (F®r):
+ ” Si€F0rt
g = xr$, g = ki.---. £nll> ^est(m-n).
Докажем следующее утверждение.
Лемма 1.1. Пусть операторы X, Y принадлежат подпростран-
ствам S3 (F®v) и 53 (F®r) и S3, — матрицы представления этих
операторов в подпространстве V; тогда скобка Пуассона
А
[X, Y] = сг -}- ••• -|- сп , с = xr-]_v—i 6, с — || Cj, ..., сп ||,
184
принадлежит подпространству S3 (Fgr+v—i) и ее матрицей представ-
ления является
С = ^v+r-1 & -#\+г-1Я (4-5>
где J?v+r—i 6 8?<V+r ^'mr\ ^v+r_r £ sy{('v+r~1’m'v) _ матрицы представ-
ления onepamopoeX, Y соответственно в подпространствах V®r и F®v-
Доказательство. Проведем непосредственные вычисле-
ния. Скобку Пуассона [X, Y] можно записать следующим образом!
[X, Y]=(Xg1-Yb1)^- + ... + (Xgn-Ybn)-^-.
Но, как легко заметить, справедливы соотношения
II • • • a ^Jl ~ ХХщг & = Xm^r^Rv+r—l^’
KYbj,..., Ybn|| = Yxmv.?3 = xmv+r_^v+r-!^.
Здесь ^v+r_lf 1 — матрицы размерностей соответственно
(mv+r_!) X mr и (mv+r—i) X mv, матрица Sb имеет размерность
mv X n и матрица S3 — размерность mT X п. Значит,
||Xg, - Vbv..., Xg„ - Yb„ || = imv+r_t (£v+,^0 - v+r-tf),
откуда следует доказываемое соотношение (1.5).
Теорема 1.1. Пространство 33 (S (F)) порождает бесконечномер-
ную алгебру Ли.
Доказательство является прямым следствием леммы 1.1,
так как (33 (F^v), 33 (F^,)! с 33 (I’^.v+r—i) и бесконечномерное про-
странство 33 (§ (V)) замкнуто относительно обычной операции взя-
тия скобки Пуассона от двух произвольных операторов из 33 (F)).H
Вернемся к исходной системе (1.1). Выпишем ассоциированный
с ней дифференциальный оператор
Uo = U + ей,
где
U = cof’ (ж) 4- ... 4-(0<,1)(ж)-3^-, й = 42) (ж)-ё|-+ •'*
• • • + 42) (х) ,
ихп
е — малый параметр. Вектор коэффициентов со(1> = || и?5, ...» ®п 6
определяется, как и в § 1 гл. 4, матричным равенством со(1) (х) =
= хТЛ, Л Ло, т. е. U С 33 (F®i). Вектор со(2) (х) = || cof’ (ж), ...
..., Оп\х) || можно представить таким образом:
f л
Ci/ (ж) = Xmt^3ml ~Ь " • • ~Ь ^т^Хщ^,
где ЗЗп^, ..., S3mk — прямоугольные постоянные матрицы размерно-
стей тг X п, ..., /пь X п.
185
Векторы xmi3im. принадлежат пространству V^i, i = 1, к. Сле-
довательно, оператор U представим суммой:
U = и®1 4- • • • 4* Ugj £ SB i = 1, k.
Перейдем к рассмотрению обертывающих алгебр йои й. Алгебра
53О системы нулевого приближения построена в § 3 гл. 1. Построим
обертывающую алгебру Ли Ж. Обозначим через о совокупность опе-
раторов {U, U}. Далее, введем рекуррентную последовательность
множеств о1 = [о, о], о2 = [о1, о1], ..., oft = [oh—1, oft—*], где о’ =
= {Z г Z = [X, Y], X, Y £ oft~*}; [,] — скобка Пуассона. Ясно, что
построенная совокупность образует алгебру Ли $8 над Р и 33
S 33 (S (V)). Так как алгебра 53 (S (V)) как векторное пространство
равна прямой сумме подпространств 33 (P®V)J v = 1, 2, ..., а каждое
подпространство 33 (P®v) конечномерно и имеет размерность тх,
то ясно, что после конечного числа шагов получим подпространство
53' (^®v) S 53 (V®v). Доказательство этого факта аналогично приве-
денному в теореме 1.6 гл. 4 для линейных систем. Не теряя общности
рассуждений можно считать, что 53' (F®v) = S3 (F®v) и 53 = 33 (S (7)).
Эффективным средством исследования структуры алгебры 33
является изучение ее гомоморфизмов в алгебру матриц. Для линей-
ного случая такой алгеброй является полная матричная алгебра
gl (n, Р), а для рассматриваемого случая бесконечномерной алгебры
Ли — бесконечномерные матрицы специальной структуры.
§ 2. СВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
К РЕШЕНИЮ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Дальнейшее развитие алгоритма асимптотической декомпозиции
связано с решением операторных уравнений (см. § 1 гл. 3)
[U, Sv] = Fv, v = 1, 2,... (2.1)
Правые части Fv уравнений (2.1) получены вычислением скобок Пуас-
сона от операторов U, U и Sv конечное число раз и, следовательно,
Fv£53(F®i) 4- 33(Р®г) 4- ••• 4-53(V®gv), (2.2)
т. e. Fv имеет в своих коэффициентах полиномы максимальной степе-
ни gv. Обозначим через F®iV, i — 1, gv, составляющие оператора
в сумме подпространств (2.2):
Fv = F(giv 4- F(g2v 4~ • • • 4- F0gvV,
причем матрицей представления в V оператора F®jV является прямо-
угольная матрица размерности m8v X п. Данный оператор можно
186
представить в векторном виде!
F®IV = д = | — в . . . J —|s I == lt gv> (2.3)
Оператор Sv также будем искать в виде суммы:
Sv = Sgiiv 4* " 4* ®0gvvj
где
л
t — 1» gv«
Теорема 2.1. Пусть SA = Л, ..., ^&v — матрицы представ-
лений оператора U в подпространствах F®i, Р®2, •••» F®gv размерно-
стей mx X тл, ..., mgv X mgv. Тогда решение уравнения (2.1)
сводится к решению gv независимых матричных уравнений
rvi</ 1 -
Гг2^ 2 — с//Г^2 = -®х>2; (2.4)
gv cAXvgv — '&vgv‘
Доказательство. Оператор U переводит Ж (У®<) в себя,
т. е. [U, $8 (V®j)l = 3S (V®,). Следовательно, подставляя значения
Fv, Sv в исходное уравнение (2.1), получаем gv независимых
уравнений
[U, S^v] = F®iV, i = 1, gv. (2.5)
Непосредственным вычислением легко проверить, что
[С, ~ vi (2.6)
Здесь U = х^Лд, U^-nij ~ хт^1 г, Xm^vti следовательно^
(2.6) принимает вид
[U, 3®iv] = Xmi (S' il\i — (2-7)
Подставим выражения (2.3) и (2.7) в уравнение (2.5) и приравняем
А
матрицы коэффициентов билинейной формы относительно xmv д;
в результате получим матричную систему (2.4).И
Наряду с линейным пространством над полем Р прямоуголь-
ных матриц размерности к х п введем изоморфное ему линейное про-
странство 3?(ft,n), составленное из вектор-столбцов, образованных из
строк матриц, входящих в 9ri’”). Таким образом, если матрица Q
Q = II Ча 1> * = 1, к, j = 1, п, то ей соответствует в вектор
Q = colon || qllt ..., qln; ..., qkl, ..., qkn ||.
187
Обозначим Фа = 3’i® — 8mj ® ^та I = 1, gv, где Sm., 8n —
единичные матрицы размерностей m, X тя, п X п. Эта матрица
м m (п)
имеет размерность пцп х пип и действует в пространстве Ж
Теорема 2.2. Система матричных уравнений (2А) эквивалентна
системе алгебраических уравнений
V1 = &Vt,.... vgv = %vgv.
Доказательство основывается на свойствах прямых произведений
матриц (см., например, работу [44]).
Приведем теперь другую интерпретацию уравнений (2.1). Так
как эти уравнения имеют одну и ту же структуру, то с целью упроще-
ния записей рассмотрим представителей этой системы
[U, SV] = FV, Sv, Fvew®v). (2.8)
Операторы Sv, Fv запишем в виде произведений:
Sv = ятгГ д, Fv = ХтудЗдь
где Г = || уц ||> $ = || Ьц II» i = 1, 1 = 1, п,— прямоугольные
постоянные матрицы.
А
Обозначим компоненты вектора xmv через xlt ..., хт^ Тогда
операторы Sv, Fv можно представить в виде суммы:
п д mv п сх
8v= п w -£-> Fv=s s w -4-. <2-9)
,-=1 i=i » ,=i i=i »
Операторы X,, = я,- , i = 1, mv, j = 1, n, в общем количе-
стве mvn можно принять в качестве базисных в подпространстве
38 (F®v). Подставляя Sv и Fv, определяемые формулами (2.9), в урав-
нения (2.8), получаем
?nv п mv п
2 S тя[и4 ХЯ] = £ £ ЬрХя. (2.10)
J=1 i=l j=l i=l
Вводя векторы
Г = colon || Уц, . . . 5 Tmv,l i • • • , Tjnv,n El
X = j Xu,...,, Xiin,..., Хт^(1, • •. s Xmvin||e
= colon Ц&Ц, - . • J bl,n> • • 1 bmv,li ••• ct ^пц,,п|1
приведем уравнение (2.10) к виду
[U, X] Г = Х^. (2.11)
Оператор U переводит подпространство 88 (V®v) в себя, поэтому
[U, X] = ХФ$\ (2.12)
188
где g(J} — квадратная матрица размерности mvn X mvn. Подставим
значение [U, X] (2.12) в уравнение (2.11) и приравняем матрицы при
векторе X; тогда
(2.13)
Используя результаты теорем 2.1 и 2.2, можем переписать уравнения
(2.8) в виде либо матричного уравнения
либо эквивалентного ему матричного уравнения
g(AV)f = $. (2.14)
С одной стороны, уравнение (2.8) эквивалентно матричному уравне-
нию (2.13), с другой —уравнению(2.14). Подпространство^”^’ \ где
действуют операторы gy’, можно разложить в прямую сумму
подпространств — ядро и образ операторов g^JP или g^. Если вычесть
из уравнения (2.13) уравнение (2.14), то получим однородное уравне-
ние
(g^-g^fsO, (2.15)
которому удовлетворяют обе компоненты разложения пространства
St , т. е. все векторы пространства ?л . Следовательно, матрица
в уравнении (2.15) тождественно равна нулю: gp° — g'/’ ез 0, и по-
этому имеет место тождество g t?’* =s
Если в скобку Пуассона [X, S], X С 38 ($ (У)), в качестве элемен-
та S подставить базис 88 ($ (У)), то получим некоторое отображение
этого пространства в себя:
[XrL] = £g£, (2.16)
А л
где L'— вектор, составленный из базисных операторов 88 ($ (У)),
gt — бесконечномерная матрица над полем Р квазитреугольной
структуры.
Отображение <р : X -> gx является присоединенным представле-
нием алгебры 88 ($ (У)) в gl (оо, У).
В частном случае, когда в соотношениях (2.16) вместо X подста-
вить U, для gu получим квазидиагональную матрицу^
gn = diag{($’, (&%...},
составленную из блоков go*, v = 1, 2, ...
Основной результат, полученный выше, можно сформулировать
в виде теоремы.
Теорема 2.3. Блочные матрицы в присоединенном представлении
оператора U имеют структуру
(S'U* = («^ V ® — &mv ® с/2 )i v = lj 2j ...
189
Таким образом, теорема 2.3 устанавливает эквивалентность двух
описанных выше подходов — операторного и подхода с использова-
нием присоединенных представлений при решении исходного уравне-
ния (2.1).
§ 3. ПОСТРОЕНИЕ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ
И НАХОЖДЕНИЕ ПРИВОДЯЩИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Исследуем условия разрешимости основных уравнений
^rvl = $vl;
............................... (3.1)
iS'A ^vgv =
где (g) — %mi ® i = 1, gv, v = 1, 2f... Уравнения
системы (3.1) решаются независимо друг от друга и поэтому достаточ-
но рассмотреть одно из них:
»(4r)fvr = ®vr. (3.2)
Системе (3.2) соответствует однородное уравнение
&2rvr = 0 (3.3)
и сопряженное уравнение
Й’Т,, = 0,- (3.4)
где = Fr* — &тг ® (сА*)Т — комплексно-сопряженная по от-
ношению к матрица.
Обозначим через Na\ Na\ ядра операторов &а\ и через
1а, 1А образы этих операторов.
Пространство St г’ может быть разложено единственным обра-
зом в прямую сумму подпространств N(a , T(&i
sT’"’4 =^®hr).
Правую часть уравнения (3.2) представим в виде суммы
3^vr = “Ь С Е • (3.5)
(7ПГ i'll)
Вектору 5Svjvr в пространстве гл соответствует прямоугольная
матрица S3VNr, которая в свою очередь определяет дифференциальный
оператор
Nvr = Xmr^vNT^3 3 ~ Colon | S • • • i || •
190
Построенные операторы Nvr, г = 1, gv, v = 1, 2, коммутируют
с оператором Us
[Ц, NOT] = 0.
Согласно теореме 1.2 гл. 3 операторные уравнения (2.1) будут
иметь на решениях системы (1.2) гл. 3 нулевого приближения секу-
лярные члены. Чтобы избежать этого, необходимо в соответствии
с определением 1.1 гл. 3 принять в качестве проекции от оператора Fv
выражение
det def
prFv = Nv = Nvl+ ... +Nvgv. (3.6)
Таким образом, оператор Uo (1.14) после преобразований (1.6)
гл. 3, где Sv определяются соотношениями (2.5), перейдет в опера-
тор
U0 = U + eN1 + e2N2+ ...,; (3.7)
Sv
где Nv = S Nvj- Централизованной системой, ассоциированной
7=1
с оператором (3.7), будет
dx- ____
—£~ = (U + eNj + e2N2 + • • •)«« j = 1, пг
или
= CO; (ж) + efei; (ж) + e2fc2; (ж) 4- ... + еЧ\.; (ж),
где bvi,...., bvn — компоненты вектора bVi определяемого равенством
Л Sv
bv — ^mv J] ^vlVr.
r—1 ____
Переходим к фактическому нахождению матриц SivNi, t = 1, gv,
в разложении (3.5) и построению pr Fv.
Введем скалярное произведение в пространстве SV г’ . Пусть
С = IIСИ й» Q — II Qij II» 2 = 1а иЪч 7 = Ц п.г — произвольные прямо-
угольные матрицы из пространства гл . В пространстве гл
им соответствуют векторы С, Q, составленные из строк этих матриц?
Ь = colonIIcm...;,,, Cin;...; cmr>h..,t cmrtn| и (? = colon || #n, .. .
• • •» 4in’ • • • ’ ® Чтг.п И- Скалярное произведение вводится
обычным образом:
Q) = Сц?ц + • • • + clnqin + • • • + Cmriqmrl 4- • • • + Cmrnqmrn
при Р = К
И Q} = Си?!! + . . . + Cmrngmrn при Р = R
(черта над буквой — знак комплексного сопряжения). Произведение
прямоугольной матрицы С размерности тт X п на прямоугольную
191
матрицу QT размерности п (х) тг даст квадратную матрицу размер-
ности тг (х) тг. Непосредственным вычислением можно убедиться,
что
(С, Q) = tr CQT при Р = К (3.8)
и
(С, Q) — \xCQT при Р =R. (3.9)
Рассмотрим уравнение (3.3), определяющее ядро N<a преобразо-
вания &А . Только при г = 1 эта система всегда имеет по меньшей ме-
ре к независимых решений (напомним, что Л является матрицей
простой структуры).
Если система (3.3) решений не имеет, то в разложении правой
части (3.5) составляющая .53va’z всегда тождественно равна нулю и,
следовательно, оператор NVr, входящий в сумму (3.6), также тождест-
венно равен нулю.
Предположим, что система (3.3) имеет линейно независимые ре-
шения %1Г ..., %krr (базис N(a)- Тогда уравнение (3.4) также
имеет кг 'линейно независимых решений %ir», ..., так как раз-
мерности ядра оператора й^и сопряженного оператора совпа-
дают.
Разложим составляющую в правой части (3.5) по базису
& 5?.
^1Г9 •••» С^НГ,Г*
&Г л
ffiyNr ~ У,
г=1
Разность 33vr — ^vNr — 3$vTr принадлежит образу Та и, следователь-
но, как известно из линейной алгебры, ортогональна подпространству
✓ Zx /X /X X
f -К — j] avri%ir, \ = 0.
\ i=l /
Из приведенных тождеств получается система линейных алгебраиче-
ских уравнений для определения коэффициентов
У, OCvrj (%jr, %ir*) — (^w, %;?•»)• (3*t0)
Определитель этой системы (определитель Грама) не равен нулю,
и, следовательно, система (3.20) имеет единственное решение.
Если воспользоваться формулами (3.8), (3.9), то уравнения (3.10)
(тг,п)
можно в пространстве щ записать через следы произведения
матриц:
£ awl tr %>ir = tr Я, (%ir.)T. (3.11)
i=i
Полученный результат подытожим в виде теоремы. ;
192
Теорема 3.1. Нахождение проекции оператора prFv=Nvi +
+ ••• + Nvgv от правых частей уравнений (2.1) сводится к решению
последовательности gv независимых между собой систем неоднород-
ных алгебраических уравнений вида (3.10) или (3.11). Решение этих
уравнений всегда существует и единственно. Оператор pr Fv не содер-
жит составляющей Nvr, если однородное уравнение — О
для определения матрицы коэффициентов имеет лишь тривиальное
решение.
Оператор Sv определяется матрицей которая находится
как решение уравнения
&5)fvr=^vTr. (3.12)
Система (3.12) совместна, и ее решение определяется однозначно
с точностью до составляющей из ядра УУд5. Более того, она содержит
т X п уравнений от р, = тг X п — к, переменных (к? — размер-
ность ядра Л^Р). Чтобы избежать неоднозначности в решении и из-
бавиться от лишних уравнений, можно поступить следующим обра-
зом. Пусть У\Рг, ..., У— базис пространства /д', тогда вектор fvr
можно разложить по этому базису:
fw = T^u+ ••• +С^рг-
С помощью вектора yVr = colon |j .,, || и матрицы Qvr, об-
разованной векторами У и, •. • a. У Prprs представим уравнение (3.12)
в матричном виде ^aQ^vt = 3)vTr. Это уравнение умножим на ма-
трицу Q*&a\ сопряженную с ^aQt. В результате получаем си-
стему
= QrG^vrr, (3.13)
эквивалентную исходной и содержащую ровно рг уравнений. Реше-
ние системы (3.13) однозначно и не содержит составляющих решения
соответствующей однородной системы.
В заключение заметим, что базис подпространств Т4” может быть
легко найден как рг независимых решений однородной алгебраиче-
ской системы
(У, %;г.)=0, 7 = 1, кг,
где У — искомый вектор, %,т» — базис ядра Na», который был
определен выше.
А
Если вернуться к операторной записи Sw = xm^vrd, то оператор
Sv, фигурирующий в уравнениях (2.1), может быть представлен сум-
мой: S, = svl + ... + SVgv.
Перейдем к выяснению условий разрешимости однородных урав-
нений (3.3) и (3.4). С этой целью рассмотрим структуру матрицы
13 7—1641
193
в уравнениях (3.3) и определим условия, при которых она имеет ну-
левые характеристические числа. Обозначим через av = colon || Ovi, ...
л
...» aVmv|| > a-vj € Р» вектор размерности mv. Элемент v — xmvav из
векторного подпространства называется собственным элементом
оператора U, если он удовлетворяет условию
Up = Xvp, g P. (344)
Используя матрицу (fv представления оператора U в подпростран-
А А
стве Hgv, определяемую соотношением Uxmv = xm^v, для координат
собственного вектора av из (3.14) получаем уравнения
= Xav. (3.15)
Таким образом, число собственных векторов оператора U в прост-
ранстве V@v определяется структурой матрицы представления
Теорема 3.2. Для выполнения одного из следующих эквивалентных
условий: 1) уравнение [U, Sr| = 0 имеет нетривиальное решение из
пространства 83 (F®v)> %) матрица коэффициентов g/Д в уравнении
ййДт == 0 имеет нулевые характеристические числа необходимо и до-
статочно выполнения условия: матрица представления имеет
хотя бы одно собственное значение, совпадающее с собственным зна-
чением матрицы Л-
Прежде чем переходить к доказательству сформулированной
теоремы, докажем одно вспомогательное утверждение.
Лемма 3.1. Матрица представления оператора U в подпрост-
ранстве 1Z0V (рассматриваемом над полем К) имеет простую струк-
туру и ее собственные значения X определяются как Л. = К±тг + ... +
+ где ..., — характеристические числа матрицы (среди
них могут быть и кратные), т1г ..., тп — целые положительные
числа, для которых выполняется соотношение тх + ... + тп = v
(v — степень многочленов из подпространства F®v).
Доказательство. Пусть S — матрица, приводящая мат-
рицу Л к Диагональному виду. Тогда, произведя в операторе U за-
мену переменных х = Sy, приведем его к виду
U(y) = A,iJ/i-^—h ••• . (346)
А
Переход к переменным у индуцирует преобразование базиса хт^ в но-
вый базис ymvi j
£mv —- Угах С Ji •
Установим структуру матрицы v в новых переменных. Подста-
Л
новка х = Sy и Xmv = ymJS® в уравнение (3.14) приводит эти ура-
внения к виду
и (у) y-mv S^pCv =
194
Обозначая S&av — t]v, находим ут^V®11 = К>Ут^\ч1 или» приравни-
вая коэффициент при векторе ymv,
& v®T]v = Mv (3.17)
Здесь — диагональная матрица размерности mv X mv, так как
оператор U (у) переводит моном у™1 ... у™п в моном (Х1т1 4- —
••• + ^ntnn) У™1 ••• У™п- Если подставить в (3.17) значение t]v =
= S^av, то получим ®vS®av — kvS^av, или, умножая это равен-
ство слева на матрицу S®1, обратную к 5®,
S^ ' ^-v^v- (3.18)
Сопоставляя уравнения (3.15) и (3.18), находим, что матрицы и
подобны: 3Из доказанного подобия матриц и
следует, что — матрица простой структуры с характеристиче-
скими числами, выражаемыми формулами (3.15).
Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения лем-
мы, положим в операторе U(y) Xj = ... = Кп = 1, тогда rt.xmi ...
... + кптп = 771^ + ... + тп = V.
Доказательство теоремы 3.2. Эквивалентность ус-
ловий 1 и 2 теоремы была показана выше при доказательстве леммы
3.1. Из структуры матрицы г ® &п — ^>mr ® известно,
что ее характеристические числа равны всевозможным разностям
Pi — Aj, i = 1, mr, ] = 1, n, где pij — характеристические числа мат-
рицы $ Т, удовлетворяющие соотношениям (3.15), — характери-
стические числа матрицы^. Следовательно, для существования нуле-
вых корней р.»— к, = 0 матрицы g-д’ необходимо и достаточно выпол"
нения условия det Фа = 0, которое приводит к соотношениям
-f- • ’ ' Н- kn77lnj ~ 1711.) -)- " • ’ “Ь T7lnj = I"* Я
Следствие 3.1. Если ии ..., V^v — собственные векторы опе-
ратора U с собственными значениями Zj, где Zj — характеристические
числа кратности г, матрицы Л, то можно указать I = krj линейно не-
зависимых операторов JVlt ..., Wi, которые коммутируют с операто-
ром U.
Доказательство. Будем считать, что оператор U приве-
ден к простейшему виду U (у) (см. формулу (3.16)). Не теряя общности
рассуждений положим 7 = 1, тогда U (у) представим таким образом:
U (у) = [У1 ~д^~ + ••• +УГ]
Собственные функции Vj (х), / = 1, к, оператора U (у) перейдут
в функции Wj (у) = Vj (Sy) (напомним, что х = Sy). Определим опе-
13* 195
д
dVrt+i
раторы Wyj соотношениями
7 = 0, Х = О (3.19)
"X
Вычислим скобку Пуассона от операторов U и W^:
[U, Wzj] = U (у) WZJ - WxjU (у). = U (у) Wj (у) -±- -
— (у) — (у)] s °-
Итак, доказано, что существует I = кг, коммутирующих с U опера-
торов.
§ 4. СТРУКТУРА ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДЕКОМПОЗИЦИИ
И РАЗДЕЛЕНИИ ДВИЖЕНИЙ
Интегрирование централизованной системы (см. § 3)
dx- -----
~зг- = 2j анхг + еЬъ (х) + ... + еЧд,, (z) + ...j = 1, п, (4.1)
а[ j=i
как будет показано ниже, проще, чем интегрирование исходной возму-
щенной системы (1.1). Докажем несколько важных теорем, упрощаю-
щих интегрирование системы (4.1). Первый результат связан с ком-
мутативностью операторов U и Nj, входящих в ассоциированный
с системой (4.1) оператор:
Uo = U + eN, N = N, + eN2 + • • •
Чтобы подчеркнуть зависимость этих операторов от новых пере-
менных при переходе к последним, например z, будем их записывать
в виде U (z), N (г).
Теорема 4.1. Пусть матрица Л системы нулевого приближения
простой структуры имеет р = 2г комплексных собственных чисел
~ Р> i г<вл 7 = 1, Г, и п — Р действительных собственных чисел
Xp+i, ..., Кп (среди корней могут быть кратные). Тогда, разбив век-
тор х на группы переменных
X = colon|гп, ЗДз, *^21, 3*22, • • *9 3^*2, Яр-}-!} • • • , З'рЦ,
п—р
решение централизованной системы (4.1) при начальных условиях
х (70) = х0 можно представить в виде векторных равенств
= ехрр1(7 —70)
cos од (t — ta), sin <0j (t —70)
— sin од (7 — 70), cos од (t —10)
IT|”
I 912
(4.2)
xrt II cos<or(7— 70), sin <or (7 — 70) II | т]н II
Xr21 ~ ex₽ Pr — — sin cor (7 —70), cos <0, (7 — 70) ||| цг2 IT ’3
aip-pi = exp (^p+1 (7 70)) Др-|-11.. • t xn ~ exp (Xn (7 — 70)) T]nt (4.4)
196
где т]ц(т)т]21(т),..., T)ri (т), т]г2(т), т]₽+1 СО, Пп (т) — функции мед-
ленного времени т = et. Компоненты Цц (т),... Л т]г1 (t)j; г]р+1 (т)(...
..., т]п (т) определяются рядами Ли
Пи (т)|
И12 (т)|
ехр (tN (ж0)) хОц
ехр (tN (я0)) ж012
|Иг1 (т)|
’ I Пг2 (т) II
ехр (tN (ж0)) хм
ехр (tN (х0)) xor2
£
Tlp+1 = ехр (tN (z0)) гсор+ь, .. ., Пп = ехр (tN (х0)) Хоп,
являющимися решением системы дифференциальных уравнений
= Ьц (ц) + Ebrj (л) + • • • + Ev~lbv; (г]), ть (0) = я01(
в области G £ Rn, х0 g G, полученной из исходной системы уравнений
(4.1) опусканием линейной составляющей в правых частях и введением
медленного времени т.
Доказательство. Рассмотрим систему нулевого прибли-
жения
дх- п
= S ajiXi, (4.5)
получаемую из централизованной системы при е = 0. Решение этой
системы при начальных условиях х (t0) = z можно представить рядом
Ли (см. § 3, гл. 1)
х = ехр [(Z—10) U (z)j z, z = colon (j zlt...Zn ||. (4.6)
Заметим, что в рассматриваемом случае линейной системы с постоян-
ными коэффициентами ряд Ли (4.6) эквивалентен матричному ряду
х = ехр [(t —10) U (z)] z = ехр [(Z — Zo) Л] z- (4.7)
Считая в решениях (4.7) z новыми переменными, произведем в исход-
ной системе (4.1) замену переменных
х = ехр [(Z — Zo) U (z)] z, t = t', (4.8)
или
z = ехр [— (t —10) U (a:)] x, t' = t. (4.9)
Чтобы выписать систему (4.1) в новых переменных z, найдем выра-
жения в этих переменных для ассоциированного с ней оператора
4- U (z) + eN (х).
(4.10)
В результате замены (4.9) оператор (4.10) перейдет в оператор
+ S Nr+и (*) +eN <*)] ех₽ I— М U •
j=l L J *
Для коэффициентов выписанного оператора справедливы соотно-
+ U (х) + eN (ж)] ехр [— (Z —10) U (а:)] х =
= ехр [— (Z — Zo) U (а:)] х + U {х) ехр [— (Z —10) U (а:)] х +
197
+ eN (a:) exp [— (Z — Zo) U (ж)] x = — U (x) exp [— (t —10) U (ж)] x +
+ U (x) exp [— (t —10) U (a;)] x + eN (x) exp [— (t —10) U (a:)] x.
Согласно результатам § 3 гл. 1 для точечного преобразования (4.8)
имеют место тождества
eN (х) ехр [— (t — Zo) U (ж)] х = ехр [(Z — Zo) U (z) N (z)] X
oo
n—0
так как в силу коммутативности операторов N (z), U (z) все скобки
Пуассона тождественно равны нулю. Следовательно, в переменных z
оператор (4.10) принимает вид
+ eN (z),
а исходная система (4.1) переходит в систему уравнений
= еЬ1} (z) Ч- (z) + • • • + svbvj (z) + • • • (4.11)
Правые части системы (4.11) пропорциональны параметру е, и поэто-
му можно ввести медленное время т = е (Z — Zo):
= bi} (z) + eb2; (z) + • • • + ev-1bv; (z) + ... (4.12)
Решение системы (4.12) вследствие наличия медленного времени,
естественно, проще решения исходной системы (4.1). Запишем реше-
ние системы (4.12) при начальных условиях z (0) = х0, х0 =
= colon || ж01, ..., хоп || в виде ряда Ли
z = ехр [tN (а?0)] х0. (4.13)
Чтобы получить решение исходной системы (4.1) через решение си-
стем (4.5) и (4.11), необходимо подставить значение z, выражаемое
формулой (4.13), в выражения (4.6). На основании свойства точечного
преобразования (3.28) гл. 1 имеем
х = ехр [tN (rc0)] ехр [(Z — Zo) U (а?0)] z0.
С помощью формул (4.7) получаем
х = ехр [TN (х0)] ехр (Л (t — Zo)] ж0 = ехр (Z — Zo)] ехр [tN (z0)J ж0.
(4.14)
Выписанным формулам для решения централизованной системы
можно придать специальный вид. Так как по предположению Л —
матрица простой структуры, то над полем действительных чисел ее
можно привести к квазидиагоналъному виду
Л$ = diag || Л (^i)» • • •» Л (^р)> ^р+1» • • • s ||>, (4.15)
где
II Р/ || ------
л-
198
Не теряя общности рассуждений можно считать, что в уравнениях
(4.1) матрица коэффициентов Л уже преобразована к квазидиаго-
нальному виду (4.15). Но известно, что экспоненту от квазидиаго-
нальной матрицы можно представить в виде
ехр (t —10)] = diag || ехр [(£ — i0) Л (%j)],...
..., ехр [(£ — t0) Л (4)L • • •, ехр [Xp+i (t — Zo)],... t exp [Xn (t —10)] ||;
(4.16)
тогда для блоков на квазидиагонали соответственно получаем
ехр [(/-Uc/?(M] = ePj(i~*o)
cos (Oj (t — i0),
— sin ©j (t —10),
sin co; (t —10)
COS И; (t —10)
Из формул (4.14), (4.16) следуют доказываемые соотношения (4.2) —
(4.6).
Следствие 4.1. Формулы решений (4.2), (4.3) можно представить
в виде
||*u|l Mi W sin (О)! (« — i0) + Ф1 (т))||
II *12 ~еХрР1( Ml (т) COS (COj (Z — i0) + <Pi (т)) ||
|*rl _ Mr (T)sin(cor (t —10) + фг (т))|
Il*r2 ~ exPPr(i ^|лг (T)cos(cor (i —10) + фг (т))|
Медленные амплитуды Aj (т) и фазы ф, (т) определяются формулами
Aj = + Ф; (т) = arctg .
Перейдем к выяснению условий разделения переменных на быст-
рые и медленные. В предыдущем параграфе показано, что собствен-
ный вектор v (v £ F®v) удовлетворяет условию Un = Kv, К £ Р»
А
v = xmva^vk Вектор коэффициентов a(v) = colon•••» avmv|| на-
ходится из матричного уравнения
= Wv). (4.17)
Рассмотрим выписанные соотношения при v = 1, т. е. Л а(1) =
= Лос. По предположению Л — матрица простой структуры и, сле-
довательно, имеет п собственных векторов а(1), ..., <7.(п) и им в про-
странстве соответствуют п собственных векторов
<Pi = ...» 4>п = *m„a(n). (4.18)
Рассмотрим элемент из подпространства
р = Ф?...ф“", (4.19)
где а = I at, On || — вектор, компонентами которого являются
целые неотрицательные числа.
199
Если в выражение (4.19) подставить значения <рп из
(4.18), то получим эквивалентную запись элемента v через базис
А
£ (E®v): V — х^а^, v = + ... + an.
Определяя произведение двух элементов Р = ф1‘...ф°пи w = ф?*...
... <рЬ” на множестве Ф {фх, ... х фп) естественным образом)
vw = ср"»... • • • Ф„" = <р"1+ь‘ .. • Ф°и+Ч
можно ввести структуру свободной коммутативной полугруппы
которую будем также обозначать буквой ф.
Отображение
<р“п-> а = || ..., «nil* (4-20)
ставящее в соответствие элементу ф1*...фпП вектор Ц п15 ..., anf,
определяет изоморфизм полугруппы ф в свободную коммутативную
группу всех последовательностей || аг, ..., ап || с целыми неотрица-
тельными элементами. Единицей зтой полугруппы является нулевой
вектор || 0...0 ||. Будем обозначать такую полугруппу 5? (п, ф).
Элемент v (4.19) является собственным вектором оператора U
(в чем можно убедиться непосредственной проверкой) с собственным
числом X:
Up = ... -|— -j— —|— ctfi —— v. (4.21)
Тождество (4.21) может быть представлено в виде эквивалентного мат-
ричного соотношения (см. § 1)
= Xa<v\ К = + • • • + апКп, аг -|- • • • + ап = v.
Обозначим через *, представление оператора U в бесконечно-
мерном пространстве Ф (F). Легко показать, что матрица имеет
квазидиагональную структуру.
Нахождение векторов из £ (У) с собственным числом Z. сво-
дится к решению бесконечной последовательности алгебраических
уравнений
= ХаФ, 2сс(2) = Za(2), ..., сГvcz(v) = Xa(v).
В первую очередь будем рассматривать случаи, когда Z = О
или К = Z;, где \ — характеристическое число матрицы Л- Все
собственные векторы v с нулевым собственным числом — будем на-
зывать их интегралами — являются решениями уравнения U/ = 0.
Совокупность интегралов в £(F) определяется всеми возможными
решениями системы уравнений
= 0, = 0,..., &vx\W = 0,:.... (4.22)
Все собственные векторы v с собственным числом %; определяются ре-
шениями системы уравнений
= = <4-23>
4 Все используемые сведения по полугруппам можно найти в работе [64].
200
Важность выделения собственных векторов с собственными числа-
ми Z,; зависит от следующих факторов. Операторы в 23 (£ (V)), пере-
становочные с U, определяются соотношениями (см. § 2)
К7 (^®v) = v = 1, 2.,...(4.24)
где матрица Tv размерности mv X п является решением системы ли-
нейных однородных алгебраических уравнений
^vrv-r^=O, (4.25)
или эквивалентных им матричных уравнений
f&v)fv = 0. (4.26)
В теореме 3.2 показано, что столбцы матрицы Г\, в решениях
уравнений (4.25) или (4.26) представляют собой всевозможные соб-
ственные векторы матрицы представления
= Х,т], 7 = 1, п. (4.27)
Следовательно, если v-e уравнение (4.23) имеет к решений £iv), • ••,
то собственные векторы Vi = xmv^i\ i = 1, к, являются коэффициен-
тами оператора (4.24).
Этот результат можно сформулировать следующим образом.
Лемма 4.1. Пусть Fv — решение уравнения — 0, соответст-
вующее нулевому характеристическому числу матрицы опреде-
ляемому соотношением = aj^ + ... + апХ„; тогда коэффициенты,
covi, ..., ©vn оператора
(C(%v) - (- • • • -|- t£>vn—^ = э>туГуд
являются собственными векторами оператора U с собственным
ЧиСЛОМ kj • • • > Ul4\-n — kjU^yYi*
Доказательство. Действуя на вектор || wvi, ..., wvn J
оператором U и принимая во внимание соотношения (4.27), полу-
чаем
А А А
" • л U?Z\,n|| = vFv =77 =
= kj У С0-у1, • • • j <&vn ||- Н
Вернемся к системам уравнений (4.22) и (4.23). Как показано
в теореме 3.2, решение однородного уравнения = 0 существу-
ет тогда и только тогда, когда для характеристических чисел ...,кп
матрицы Л выполняется конечное число rv тождеств (напомним, что
среди характеристических чисел могут быть и кратные)
тн^ -|- mtfyn = 0;
............................... (4-28)
+ ' * * — 0;
201
здесь вектор = ||ти*,..., составлен из целых неотрицатель-
ных чисел, удовлетворяющих соотношению + • ••-}- т^п — у,
i = 1, rv.
Аналогично, для существования решений уравнений =
~ ^1£1V), • ••» — Х1^> необходимо и достаточно, чтобы выполня-
лось конечное число тождеств
К = g^i + • • • + •.. Xn = g^ + • • • + g<^n;
.............................................. (4.29)
Xi = g^i + • • • + g<lv>X„;... X„ = g^’X, + .. • + g^Xn,
Цдм Ц\;/£
где g(^ + • • • + g^v) = v,..., g<Jn> + ... 4- g^*> = V; коэффициен-
ты g(&\ i = 1, [Tv, Д f =1, n, являются целыми неотрицатель-
ными числами.
Тождества вида (4.28) будем называть резонансными соотноше-
ниями первого рода, а вида (4.29) — резонансными соотношениями
второго рода.
Совокупность векторов {т^* = || mffl, ..., m)n||}, v = 1, 2, ...»
i = 1, rv, удовлетворяющих системе (4.28), образует полугруп-
пу по сложению с нулевым элементом |] О, ..., О |). Будем обозначать
зту полугруппу SR (0). Если векторы пг15 т2 £ ЭД (0), то вектор +
+ т2 £ ЭД (0) также и является решением уравнений (4.28). ЭД (0) —
подполугруппа $ (и, Р), т. е. ЭД (0) cz $ (n, Р).
Рассмотрим множество целочисленных векторов из тождеств
(4.29), зафиксировав индекс / (т. е. рассматривая все тождества для
собственного числа Z,,):
(Xj) = {g°v) = |jg™, g«V) II}’ 1 = v = 1, 2,... (4.30)
Складывая векторы этого множества произвольным образом, получа-
ем свободную полугруппу, которую будем обозначать ЭД (Х;). В общем
случае число таких полугрупп равно числу различных характеристи-
ческих чисел Z,,. Полугруппа ЭД (X,) cz ^3 (n, Р) и является подполу-
группой (n, Р). Полугруппу ЭД (0) можно рассматривать как соот-
ветствующую нулевому корню матрицы
Определение 4.1. Полугруппа ЭД (0) называется конечно-
порожденной множеством U {а, = || ац, ..., а$п||}, i = 1, к, цело-
численных неотрицательных векторов, если произвольный элемент
fc = || ...» Ьп || С ЭД (0) может быть получен из элементов множества
И конечным числом сложений: Ъ — п1а1 + ... 4- nhah, где ...
..., nk — целые положительные числа.
Определение 4.2. Множество U называется минимальным
(неприводимым), если никакое его собственное подмножество не явля-
ется порождающим для ЭД (0).
Всюду в дальнейшем под порождающим множеством U будем под-
разумевать минимальное множество.
Число элементов к множества 11 будем называть размерностью
полугруппы ЭД (0) и обозначать к = dim ЭД (0). Для того чтобы
202
подчеркнуть, что полугруппа SOT (0) является конечно-порожденной,
будем выражать ее явную зависимость от U в виде SOT (О, U), или
(О {Я1, ..., ай}).
Рассмотрим полугруппу SOT (АД. Ее порождающее множество ® (Aj)
задается равенствами (4.30). Будем говорить, что два элемента gj =
'= II gn.. gm || и g2 = || g21, ..., g2„ ||, gi, g2e^ (M> принадлежат
одному классу, если их разность gt — g2 знакоопределена (т. е. все
компоненты либо неположительны, либо неотрицательны) и | gt —
— g2 I € SOT (0)- В этом случае будем писать gA = g2 (mod SOT (0)). По-
следнее выражение будет означать справедливость одного из тож-
деств
gi = gi + gi = gi + b, a, b £ SOT (0).
Обозначим различные классы множеств ® (Z7) через (АД,
Ф2 (АД, ••• Два различных класса (X) и (АД не могут иметь
общих элементов, т. е. (АД П (Аг) = 0. Действительно, если
бы существовал общий элемент v в пересечении этих классов, то каж-
дый класс можно было бы получить из v: (АД = v + SOT (0),
(АД = v SOT (0), т. e. два класса (АД и (АД совпали бы.
Из сказанного следует, что ® (АД = (АД (J ®2 (АД (J + ...
Определение 4.3. Полугруппа SOT (АД называется конечно-
порожденной, если ее порождающее множество равно объединению
конечного числа классов ® {SOT! (АД, ..., SOTr (Л,;)}.
Число классов г в порождающем множестве ® (АД конечно-по-
рожденной полугруппы SOT (А7) назовем размерностью полугруппы
SOT (А;). Обозначая г — dim SOT (АД, каждый класс (АД можно оха-
ректеризовать некоторым элементом /у — представителем класса.
Элемент Zy £ ® (АД будем считать элементарным, т. е. непредстави-
мым в виде суммы /у + а, где /у удовлетворяет тождествам (4.29),
а а 6 SOT (0).
Так как каждая компонента вектора 1ц — неотрицательное целое
число и, следовательно, может быть представлена в виде суммы целых
положительных чисел конечным числом способов, то составляющая
SOT (0) в любом векторе из SOT, (hj) может быть выделена в результате
конечного числа шагов. Таким образом, задача нахождения элемен-
тарных элементов может быть проведена за конечное число шагов.
Пусть полугруппа SOT (АД является конечно-порожденной и имеет
размерность г, т. е. ® = {®j (АД, ..., ®r (АД), и Zy, ..., lir — элемен-
тарные элементы полугруппы SOT (АД, представляющие различные
классы ®. Чтобы подчеркнуть этот факт, будем указывать явную зави-
симость полугруппы SOT (АД от ® и писать SOT (А,, ®), или SOT {А;,
®! (АД, ..., ®г (АД).
Для элементарных элементов 1ц, ..., 1$т, ... справедливо следую-
щее утверждение.
Лемма 4.2. Элементарные элементы lj, 1ц, ...» полугруппы
SOT (АД независимы между собой, т. е. тождество
lj = 1 4- + •••.» (4.31)
гДеП1> Чг» ••• — целые положительные числаневыполнимо.
203
Доказательство. Предположим, что тождество (4.31)
выполняется. Тогда, транспонируя векторы в его правой и левой час-
тях и умножая их на вектор Л = || Хх, ..., Хп ||, получаем
Z, • lj = т]jZ, • Zyi -f- т]2Х • lj2 -|- ... j
или
X; =s Xj (nt + п2 + • • • ), (4.32)
так как X • /f = Xj, X • Zfi =s Xj, X • Zj2 = Xj,... Тождество (4.32) мо-
жет иметь место лишь в том случае, когда элемет7, совпадает с одним
из элементов Z,i, Zj2, ...
Описанные полугруппы ЭД (0), ЭД (Xj) индуцируются некоторыми
подполугруппами полугруппы Ф {фх, ..., <рп}. Прежде чем приступить
к их описанию, сделаем следующее замечание. Резонансные соотно-
шения первого рода (4.28) можно рассматривать как систему алгеб-
раических уравнений относительно Хх, ..., Хг, над полем рациональ-
ных чисел. В этом случае найдется самое большое X <z п век-
торов || Ojj, ..., ajn ||, / = 1, X, через которые могут быть выражены
все остальные векторы иэ выписанных тождеств. В общем случае все
коэффициенты в этих тождествах — рациональные, но не обязатель-
но целые и неотрицательные числа. Следовательно, изучение структу-
ры полугруппы ЭД (0), в частности ее размерности, не является в общей
постановке тривиальной задачей. Сказанное также справедливо и по
отношению к резонансным соотношениям второго рода (4.29) и струк-
туре полугруппы ЭД (Х,).
Определим в полугруппе ф две подполугруппы, которые
изоморфны описанным выше полугруппам. Сопоставим совокупность
векторов ЭД = = || т^1, ..., ||}, v = 1, 2, ..., i = 1, rv,
порождающих полугруппу ЭД (0), с векторами из ф, причем для век-
тора v СФ примем обозначение v (а) = ф1*...д)пп, если а = || aL, ...
..., ап || € ЭД (0)- Очевидно, vn (а) = v (па).
Полугруппу, порожденную элементами р (mj), v = 1, 2, ..., i —
= 1, rv, будем обозначать Ж (0). Все элементы полугруппы X (0)
являются всевозможными целыми положительными степенями эле-
ментов v (т;), v = 1, 2, ..., t = 1, rv, и, как легко заметить, реше-
ниями уравнения U/ = 0, т. е. интегралами. Полугруппа X (0) —
подполугруппа полугруппы ф, X (0) с ф.
Отображение (4.20), представляющее собой изоморфизм полу-
групп ф и 5? (п, Р), приводит к изоморфизму полугрупп Ж (0) и ЭД (0).
Если полугруппа ЭД (0) является конечно-порожденной множест-
вом U { ai = || ац, ..., atn ||}, Z = 1, к, то X (0) представляет собой
полугруппу, конечно-порожденную множеством U {и (ах), ..., v (а^)}.
Совершенно аналогично, сопоставляя вектор Ь — || &х, ..., Ьп ||
из порождающего множества (4.30) полугруппы ЭД (X,) с элементом
из Ф: v (Ь) = получаем порождающее множество
v (g<iv)), j = 1, pv, v = 1, 2, ..., некоторой полугруппы ЭД (Xj).
204
Полугруппа SOT (kj) является подполугруппой полугруппы ф,
т. е. SOT (kj) cz Ф. При отображении (4.20) полугруппа SOT (kj) изо-
морфна полугруппе X (kj). Произвольный элемент под
действием оператора U переходит в элемент kj (nt + п2 + ... +
+ Пг) Vj tV2S...Vr :
у т Tlo Tty. л / г а а \ Tl. Tin Tly.
... V/ = kj («! + n2 4- ••• -(-Пг) ... V/.
Если Ijt, ..., ljr. —представители классов (Xt),..., ®r. (kj) по-
рождающего множества ® полугруппы SOT (kj), то в полугруппе
Ж (kj) элементы v(lji),..., v(l.r) являются представителями классов
®i(Xj), ... , ®r.. (kj) порождающего множества ® полугруппы 3£(Xj)j
причем элементы (kj), i = 1, г3-, получаются умножением v(lji)
на произвольные элементы из 3£ (0):
(к ) = {/ с ®i (А): I = V (Iji) р, р € ж (0)}.
Условимся обозначать через ker множество решений системы
бесконечных алгебраических уравнений (4.22) и через ker множест-
во решений уравнений (QaTz — 0, ФаГз = 0, ..., = 0, ••• для
определения матрицы Tv коэффициентов оператора, коммутирую-
щего с U. Отметим, что уравнение
S^f^O (4.33)
всегда имеет решение в силу эквивалентности с матричным уравнени-
ем лг, — Г1е/г = о (см. § 2 гл. 4).
Введенный выше аппарат позволяет сформулировать следующий
основной результат о разделении переменных на быстрые и медлен-
ные в централизованной системе.
Теорема 4.2. Пусть Л матрица — простой структуры с харак-
теристическими числами klt ..., km кратностей г1? ..., гт и выполня-
ются следующие условия:
а) подпространства ker ker не пусты, т. е. ker <*, ф 0,
ker $те 0; ____
б) полугруппы X (0), Ж (X,), j — 1, т, являются конечно-порожден-
ными и их порождающими элементами являются функции р± (ж), ...
..., р„ (х) е Ж (0), (х), ..., (х) е X (ki), i = 17ш;
в) для некоторого набора индексов Д = {Хп ..., X/} g {1, ..., т)
выполняется тождество
dim SOT (0) -J- S dim s п' (4.34)
иед
Тогда замена переменных
У1 = Pi (х),.... yh (х) = р* (х)\ (4.35)
zl%t (х) = (ж)’ • - • a zXiXi = Цс,х, (x)t
205
ZiXj (ж) = vUl («), ...» гХ(Х( = pX/Xj (х), (4.36)
^+^1+ + ^1=П, A = {Xn . . . г %l},
расщепляет централизованную систему
= £ apXi + efec (х) + ••• + evbvj (х) Д- • • • (4.37)
i—i
на две подсистемы для к медленных
Qi = е/и (У) + е2/12 (У) + • • •;
йу.
= e/fti (у) + е2Д2 (г/) + • •
и п — к быстрых переменных
оо %i
-аг = + S sV S h^i(г/) г^
V=1 ц=1
— Ч,г1Хг 4* У, е У ^цх\хг (</) zuZ{t
v=l |1--1
где fv}, (у), i' = 1, к, f = 1, 2, ..., ..., . 4 И = 1, Х{(
v = 1, 2, ...,— известные полиномы от компонент вектора у —
= ki, •••> Уь\\-
Замена переменных (4.35) и (4.36) сохраняет неподвижную точку
х == 0 централизованной системы (4.37).
Доказательство. Рассмотрим преобразованный опе-
ратор Uo (3.10), соответствующий централизованной системе
(4.37): Uo = U + eNj + ... + evNv + ..., где Nv = У Nv.. Условие
i=i 3
ker ^оо 0, ker =£= 0 обеспечивает существование нетривиаль-
ных полугрупп Ж (0), Ж (XJ. В силу коммутативности операторов U
и Nv функции pj (х), ..., pk (х) переводятся операторами Nv в эле-
менты Ж (0), как это следует из тождества
(UNV — NVU) р. s UNvp — NVUP =е UNvp = 0.
Функции ..., i?XiX. переводятся операторами снова в функции
порождающего множества ® (X,) полугруппы 9Л (X,). Действительно,
из тождества , ч .
(UNV — NVU) z?jX{ ss UNvz?iXi — NvUz?jXj. =s UNvpjx. — Х{Г%ц,х. s 0
следует, что N^jXi — собственная функция оператора U с собствен-
ным числом Xj и поэтому принадлежит ® (X,).
Вид расщепленной системы теперь очевиден в силу сделанных
замечаний. Выполнение условий (4.34) весьма важно, так как гаран-
206
тирует отсутствие в правых частях расщепленных уравнений дробно-
рациональных выражений от новых переменных и, тем самым, сохра-
нение точки покоя х = 0 исходной возмущенной системы (1.1) и цент-
рализованной системы (4.1).
Замечание 4.1. Выбор вида замены неоднозначен в том слу-
чае, когда соотношение (4.34) выполняется не единственным образом.
Замечание 4.2. Как видно из структуры системы уравнений
размерности к для медленных переменных ..., yh, она интегрирует-
ся независимо. Система размерности п — к для быстрых переменных
ziZi, ..., zx.Xi, i = 1, т, является нелинейной системой по перемен-
ным у, а переменные z входят в нее линейно. Поэтому после нахожде-
ния медленных переменных уг, у/. как функций медленного вре-
мени т для переменных z получаем линейную систему с медленно ме-
няющимися коэффициентами.
Приведем несколько теорем, уточняющих в ряде важных случаев
структуру расщепленной системы. Для этого в теоремах делается
ряд дополнительных предположений о структуре матриц </'оо, g^.
Теорема 4.3. Если ker Д = 0 и ker = 0, то централизован-
ная система линеаризуется и имеет вид
~^р~ = (cZZo + + е1 2^02 + • • •) х, (4.38)
где матрицы 9)01, ЖС2 являются транспонированными по отноше-
нию к матрицам Л, Ж2, ... (см. § 1 гл. 4).
Матрицы 5>2, ... являются матрицами операторов из S3 (P®i),
входящих в Nt, N2, ... (т. е. их линейными составляющими).
Доказательство. При сделанных предположениях о том,
что ker =е= 0 и ker g», = 0, интегралы не существуют и единствен-
ные коммутирующие с U операторы — это операторы с линейными
коэффициентами, так как уравнение (4.33) всегда разрешимо.
Структура линейной системы (4.17) подробно изучена в гл. 4.
Результаты теоремы 4.3 согласуются с известными. Приведем клас-
сический результат А. Пуанкаре по теории нормальных форм (см.,
например, [107]).
Теорема А. Пуанкаре. Дана система
= hpcv 4- Фг (ж), v = 1, п, (4.39)
где Фу (ж) — аналитические в некоторой окрестности нуля функции*
разложения которых начинаются с членов не ниже второго порядка;
..., kn — либо вещественные* либо комплексно-сопряженные вели-
чины и выполняются следующие условия:
п ____
1) =/= У Pfip v ~ га’ пРи любых целых неотрицательных
7=1
р., для которых + • • • -]- рп 2;
2) на комплексной плоскости все точки ..., кп расположены
по одну сторону от мнимой оси.
207
Тогда существует единственное обратимое аналитическое в нуле
преобразование, переводящее исходную систему (4.39) к системе
Выполнение условий теоремы Пуанкаре применительно к воз-
мущенной системе (1.1) приводит к автоматическому выполнению
условий теоремы 4.3 по отношению к централизованной системе (4.37).
Действительно, как показано выше, условие 1 теоремы Пуанкаре
эквивалентно условию ker = 0. Из условия 2 немедленно следует,
что между характеристическими числами не существует резонансных
соотношений первого рода
~Ь ^птп О»
так как все знаки действительных частей корней одинаковы, и, сле-
довательно, условие (4.40) может выполняться только при тг = ...
... = т-п = 0.
Наконец, если нелинейные части исходной системы начинаются
с членов не ниже второго порядка малости, то в централизованной
системе (4.38) $0J = $J02 = ... = 0 и она совпадает с системой нуле-
вого приближения.
Теорема 4.4. Пусть Л — матрица простой структуры с харак-
теристическими числами ..., кратностей г..., гт и ker
0, ker $оо == 0; тогда централизованная система (4.1) имеет вид
(4.40)
xs (4.41)
где g2. —s — единичные матрицы размерностей rt х гп
r2 X r2, rm X rm, (x), Q$ (x), ..., Q^ (x) — квадратные ма-
трицы размерностей г, х ri>72 X r2, rm X rm, элементы которых —
элементы алгебры 9JJP (0).
Прежде чем приступить к доказательству теоремы, сделаем сле-
дующее замечание. По виду система (4.41) — блочно-диагональная
линейная. Однако элементы матриц Qty (ж) являются либо постоянны-
ми, либо интегралами уравнения U/ = 0. Следовательно, система
(4.41) нелинейна, однако имеет специфичную блочную структуру.
Доказательство теоремы 4.4. Для упрощения рас-
суждений будем считать, что матрица системы нулевого приближения
208
уже приведена к диагональному виду
== diag {Xjjoj, X2g2, • ••»
Установим вид операторов Nit входящих в ассоциированный с цент-
рализованной системой оператор (3.7) из гл. 5. Обозначим через
$$ матрицу с единственным ненулевым элементом на пересечении i-й
строки и J-го столбца (базис Вейля алгебры ЗоП (см- § 4 гл. 4)). Ма-
трицам в пространстве 53 (Fgn) линейных операторов соответству-
ют операторы
и(ц = Xmfefldj I, j = 1, Г„ 8 = 1, та
где gy — квазидиагональная матрица:
S$=diag{0,..., О, g$,..., 0}.
S=1
Так как по предположению теоремы ker ф 0 и ker S'oo = 0, то
все операторы Nj перестановочны с U и имеют вид
т rs
N4 = £ £ ръ (ж) U#, (4.42)
S=1 i,;
где pij (х) £ SOTP (0), т. е. ру (х) являются решениями уравнения U/ =
= 0 и среди них найдется хотя бы один не равный тождественно
постоянной.
Совершенно очевидно, что структура операторов (4.42) обеспечи-
вает структуру централизованной системы (4.41).
Частным случаем только что доказанной теоремы является сле-
дующее утверждение.
Теорема 4f5. Пусть ker 0, ker г 0, полугруппа SOT (0)
является конечно-порожденной и матрица Л не имеет кратных харак-
теристических чисел; тогда централигованная система распадается
на две подсистемы: для к медленных переменных
= е/ы (У) + е2/12 (у) + •••'»
&иъ
~~ЦГ = еЛ1 + e2/fe2 (У) + • ’5
для п — к быстрых переменных
= ^xizi 4" f S ev/iiv (у)} zx;
ac \v=l /
--- — ^n—h Zn—k 4* f Ev^n—ft,v (У) ) zn—ftj
\v=l /
здесь в качестве замены переменных используются к порождающих
элементов полугруппы SOTp (0) и п — к произвольных элементарных
14 7—1641 209
собственных функций <рХ1, <Рхп„л оператора U с собственными
значениями ХХ1,
Доказательство вытекает из теоремы 4.4, так как един-
ственными элементарными собственными функциями оператора явля-
А _
ются элементы Vj = xmirjj, j = 1, п, где — собственные векторы
матрицы Л : = Лщ,-. Следовательно, полугруппа Ж (ZJ являет-
ся конечно-порожденной элементом Vj (х).
§ 5. ПРИМЕРЫ: КЛАССИЧЕСКАЯ СИСТЕМА В. ВОЛЬТЕРРА
«ХИЩНИК — ЖЕРТВА» И СИСТЕМА ВАН-ДЕР-ПОЛЯ
Проиллюстрируем применение изложенной выше теории к конк-
ретным примерам.
Пример 5.1. Рассмотрим модель сообщества «хищник — жертва», опи-
сываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго поряд-
ка [105, с. 94]
dx dy
—— = ax—V (х)у, —— — — ту -f- kyV (а:). (5.1)
at dt
Здесь x (f) и у (t) — численность жертв и хищников соответственно. Модель со-
ставлена в предположении, что численность жертв и отсутствие хищников растет
экспоненциально с относительной скоростью а. Хищники в отсутствие жертв экс-
поненциально вымирают с относительной скоростью т. Функция V = V (х) —
количество (или биомасса) жертв, потребляемая одним хищником за единицу
времени. Функцию V (х) обычно называют трофической функцией хищника или
функциональным откликом хищника на плотность популяции жертвы.
Будем искать решение системы (5.1) в окрестности нуля, т. е. при малых х
и у- Функцию V (х) можно считать линейной, т. е. V (х) = by:. При k = const
система принимает вид
dx dy
—-— = clx — byy —— = kbyy — my. (5.2)
dt dt
Эта система называется классической моделью Вольтерра «хищник —
жертва».
В настоящем исследовании примем трофическую функцию в виде многочле-
на на второй степени
V (х) = by Ь2х2 (5.3)
и будем считать, что введены безразмерные переменные и система содержит ма-
лый параметр е (0 < е < 1):
dx’i , , , ,2 ,
— = 0^ — 6 {by^x2 -f- Ь^ ж2);
^2 ’ ' '2 '
= — тх2 + ък (Ьуцх2 4- Ьу1 ж2).
Введение этого параметра может быть осуществлено, например, заменой х =
= ехр у = ех2. В этом случае решение системы (5.4) изучается в окрестности по-
ложения равновесия х = 0, у = 0 (т. е. при малых xi и ж2).
Более общий вид трофической функции (5.3) по сравнению с классической
моделью выбран для того, чтобы более четко проявились некоторые особеннос-
ти предлагаемого метода. В дальнейших выкладках параметры Ъх, bt на конкрет-
ных числовых значениях не фиксируются.
210
Применим к системе (5.4) метод, описанный в предыдущих параграфах. Пред-
варительно сделаем следующее замечание. Общим решением системы нулевого
приближения
dxt dx2
dt 11 dt *
являются экспоненциальные функции
xt = exp atclt x2 = exp (— mt) c2,
где cx, c2 — произвольные постоянные.
Ввиду экспоненциального характера решения системы нулевого приближе-
ния к возмущенной системе (5.4) нельзя применять асимптотический метод [12].
Воспользуемся указанным общим решением для приведения возмущенной систе-
мы (5.4) к стандартному виду. Замена переменных
гс1 — ехр [at) сх, = ехр (— mt) с2
переводит систему (5.4) в систему
de. _ de, „
- = + e-Fj (i), —— = — eF2 (t),
dt dt
где
(t) — fcxcxc2e—ml + fc2e^“~m)tcxc2, F2 (t) — + b2e2a<c1c2.
Как легко установить непосредственным вычислением
т
j F, (0 dfs -1 Ьхсхс2 (е~тГ — 1)4- ~-[т Ь2схс2 (е<“-™>г - 1);
Т
[ F2 (t) dt^ + ^- Ь1С1С2 _ 1) + -J- 62cxe2 (е2аГ - 1);
(1
соответственно
т т
1г 1г
lim — \ Fx (t) dt = со; lim -=- \ F2 (t) dt = co.
‘ J T-»oo * J
Таким образом, не существует среднего значения от правых частей выписанной
системы в стандартной форме и к ней не может быть применен метод усредне-
ния [12].
Согласно общей методике настоящей главы выпишем для системы (5.4) ассо-
циированный с ней дифференциальный оператор 1
Uo = U 4- ей,
где
д в ~ I д д \
U = ax-i —------mx2 —— ; U = (6хжхж2 -]- 62ж|ж2) — —---[- к —— .
дхг ох2 \ дхг дх2 /
Коэффициенты нелинейной части исходной системы можно в соответствии с
формулами (1.15) представить в виде
|| — 6Х ххх2 — b^x2, kbix1x2 + кх^[х21| = xmefomz -f-
Здесь векторы
= xl3:2t •rill: xm, = l)a:i> x1x2, ж|||
1 Для упрощения записей штрих\шускаем (см. § 3 гл. 1),
14'
211 .
составлены из базисов пространств V®2, матрицы и определяют-
ся как
Этим матрицам соответствуют дифференциальные операторы U2, U3, принадле-
жащие алгебрам 33 (У®2), 33 (Р®3):
А д д
^2 = s в ^1Х1Х2 ~7~ Ь 5
-А д 9 д
Us = = Ь2ж1ж2 —- |- kbixlx2 ,
, II д а II
где д = colon ---, --- . Таким образом,
II 8х1 ^2 II
U = U2 + U3, UiGSS^,), 1=2Гз1
Остановимся на двух приближениях в преобразованном операторе (см. фор-
мулу (1.26) гл. 3), т. е. оставим в сумме члены сев степени не выше двух:
Uo = U + eNj + e2N2. (5.6)
В замене переменных (1.6) из гл. 3 вычислим операторы Slf S2. Найдем их из
уравнений
[U, Sj] = U — pr U; [U, S2] = {- [U, St] - [U [U, St]]} - pr {-..}. (5.7)
В соответствии с теорией настоящей главы (см. § 2) решение этих уравнений про-
изводится последовательно и сводится к решению систем линейных алгебраиче-
ских уравнений, причем Si G 33 (lzg3), S2 G S3 (V^). Решение первого уравнения
ищем в виде
s S®21 + 5®31> (5.8)
А
где == I = 2, 3, Гн — прямоугольные матрицы размерностей mi X
X п, являющиеся решениями системы независимых алгебраических уравнений
^irH - ГнЛ = - рг Ям’ 1 = 2- 3- <5-9)
Теперь решаем второе уравнение.“Как нетрудно заметить, его правые части
принадлежат пространству 33 (Vg^), поэтому решение ищем в виде суммы: S2 =
А ----
= S®22 + S®32 + S®42 + S®52> ГДе S®i2 = « = 2« 5’ Г2г ” Решение
системы независимых алгебраических уравнений
^i^2i ^2i-Л = S3m;2 ‘ Pr ^m;2’ * = 2,5. (5.10)
От систем уравнений (5.9), (5.10) переходим к системам
*=2ГЗ, (5.11)
Е
^2)r2i = ^mi2 - рт SLi2. « =~б (5.12)
212
где = gr. ® &s — <ёт. ® i = 2, 5. Прежде чем решать уравнения (5.9),
(5.10) или (5.11), (5.12), необходимо определить проектор рг что связано о ре-
шением однородной системы З^аГ в 0.
Представим элементы, входящие в приведенные соотношения, в явном виде.
Характеристическими числами матрицы
-°J
являются А, в %, А^ в —/я. Матрица Л = diag || А,, А2 || есть матрица опера-
тора U.
Матрицы ^"2, ..., — представления оператора U в подпространствах
^®2> •••» ~ определяются тождествами
* = 2Гб. (5.13)
Приведем явный вид этих матриц:
^2 = diag || 2А,, А, + А2, 2Аа ||;
= diag || ЗА,, 2А, + А2, А, + 2А2, ЗА21|; (5.14)
^4 == diag || 4А,, ЗА, -f- А2, 2А, 4* 2А2, А, ЗА2, 4А2||;
^"в = diag 15А,, 4А, 4“ А2, ЗА, -f- 2А2, 2А, 4- ЗА2, А, 4А2, 5А21|.
Векторы xms, ..., составляем из базисных элементов подпространств
Р03, Приводим явный вид этих векторов:
А „ „
Ж1Ж2’ Ж2И;
=Н. ж1ж2> ж211!
хт4=\\х1’ xix& Х1Х2, Ж1Ж2- *2^
xmf = II xix2, Х^2, X^2, х2 II*
Приведем теперь в явном виде матрицы ..., 3^. По определению
^2 ® ^2 = diag || 2Aj, 2Aj, Aj + А2, Aj + A2, 2Aa, 2A2 ||j
^3 ® $ — diag || Aj, A2, Aj, A2, Aj, A2 ||*
Следовательно,
= ^2 ® ^2 “ ^3 ® = diag II А,, 2A, A2, A2, A,, 2A2 — Ai, A21|.
Аналогично получаем
= diag || 2Af, 3Aj A2, (2Aj + Л2) — Aj, (2Aj + A2) Aae
(A^ -|- 2A2) —a Aj, (Aj -|- 2A2) — Ag, 3A2 —* Aj, 2A2 J|j
= diag || 3Alt 4At — A2, (3A1 + A2) — Ab (3Aj + A2) — A2,
(2A2 -j- 2A2) — Aj, (2Aj -j- 2A2) — A2, (Aj —1~ 3A2) Aj, (5.15)
(Aj + 3A2) — A2, 4A2 —• Aj, 3A2II;
= diag || 4Aj, 5Aj — A2, (4Aj -j- A2) —1 Aj, (4Aj -f~ A2) *— Ag,
(ЗА, -j- 2A2) — А,, (ЗА, -f- 2A2) —»A2, (2A, 4- 3A2) —< A,,
(2A, + 3A2) — A2, (A, 4-4A2) — A„ (A, 4_4A2)—A2, 5A2—'A,, 4A2||.
213
Исследуем возможности применения теорем о разделении движений в рассматри-
ваемом случае. Оператор U = ах-, -------пи. имеет в подпространстве V~..
их-^ их^
две собственные функции — <pt = хг и <р2 = х2 с собственными числами а и т
соответственно. Общим элементом полугруппы Ф, определенной на множестве
*₽{*₽!> %}> является выражение
v = xflx^‘,
(5.16)
где alt а2 — целые неотрицательные числа.
Каждый элемент вида (5.16) отображается в вектор а — || alt а2 ||, т. е.
/ : х^х^2 -> а = || alt а2 ||. Следовательно, общим элементом полугруппы 43 (2, Ф)
являются всевозможные векторы а — || alt а2 ||, G z+, с неотрицательными це-
лыми коэффициентами.
Согласно анализу элементов диагональных матриц представлений &~2 —
(5.14) следует, что существование нетривиального подпространства ker
обеспечивается обращением в нуль хотя бы одного из выписанных ниже соотно-
шений (напомним, что Xt = a, Х2 == —т, а > 0, т > 0):
•^2 • 4* ^2> • 2Xj + Х2, i: 3Z.J + Х2, -^б • 4Xt 4*
Xi 4- 2Х2; 2Xt -f- 2X2, 3Xt -f- 2X2,
Zj 4" 3X2; 2Xt -f- 3X2, (5.17)
Xi -|- 4X2.
Аналогично существование нетривиального ядра матрицы будет обес-
печиваться при обращении в нуль хотя бы одного из следующих соотношений,
полученных с помощью формул (5.15):
: (2Х, + М - Xt, : (3Xt + Х2) - Xt,
(Zj -p 2Z2) Z2j (2Zj -p 2Z2) '— Zj,
(2Zj 4~ 2Z2) — Z2,
(Zj -I- 3Z2) — Z2j
^>:(4X1+M-Z1,
(3Zi 4- 2X2) — Xi,
(3Xi + 2X2) X2, (5.18)
(2Xi 4~ 3X2) — Xj,
(2Xi 4- 3X2) — X2,
(Xi + 4X2) X2.
Рассмотрим принципиально возможные реализации вариантов (5.17) и (5.18),
осуществляемых при определенных числах матрицы jk.
Первый случай. Xi = —Х2, т. е. а в= т, а > 0, т > 0. Резонансные
соотношения первого рода имеют вид тождеств, полученных из (5.17):
Xj 4-X2 = a-f-(—a)==0; : 2Xt 4-2Х2 == 2a 4-2 (—a) = 0. (5.19)
Резонансные соотношения второго рода представляются тождествами, получен-
ными из (5.18):
: 2X14-Х2 = Xi, ^:ЗХ14-2Х2 = Х1,
Xi 4~ 2Х2 Х2; 2X1 4~ ЗХ2 - Х2.
Эти тождества легко проверяются подстановкой Xi = а, Х2 = —а.
Совокупность векторов (mj = || 1, 1 ||, т2 = || 2, 2 ||) из (5.19) порождает по-
лугруппу по сложению ЯЛ[5] (0) с единичным элементом || 0, 0 ||. Вектор т2 по-
лучается из вектора т1 : т2 = т1 4- т^. Поэтому минимальным множеством
полугруппы ЯЛ (0) является множество 11= = || 1, 11|} с общим элементом
т = IIР. PGZ+.
В пространстве X (V) полугруппа ЯП (0) изоморфна полугруппе Ж (0) с общим
элементом
v (т) = ж”ж2, п £ Z+. (5.20)
214
Из изложенного следует, что размерность полугруппы бгтЖ(0) = 1, так как
она порождена элемейтом XjX2. Ясно, что любой элемент (5.20) из X (0) является
д \
1 f = 0. Полугруппа Ж (0) в свою оче-
8X1--------&С2 /
редь порождает полугрупповую алгебру X (0) с общим элементом в виде суммы
N Р
У *х2 q £ р. q e z+.
i=l
Рассмотрим теперь полугруппы SOT (XJ и ЭЛ (Х2). Их порождающими множе-
ствами являются
$ (М = {щ = ||2, 1||, п3 = |]3, 2II);
$(M = {ra2 = ||l, 2||, п4 = |2, 3||}.
Так как выполняются равенства
n3 —nis||i, 1цезл(0), п4 —п2 = и 1, 1 цезл(0),
то можно сделать заключение, что п3 и щ, гцв п2 принадлежат соответственно к
одному классу. Другими словами, порождающие множества ЭЛ (Z4), ЭЛ (Х2) со-
держат по одному классу. Согласно определению 4.3 полугруппы ЭЛ (ZJ и
ЭЛ (Z2) являются конечно-порожденными с размерностями dim ЭЛ (Х4) = 1 и
dim ЭЛ (Z2) = 1.
Легко также выделить элементарные элементы из $ (Х4) и © (Х2). Согласно
тождествам для элементов пя, щ и п4, п2
газ=И> 0|| + ||2, 2II, ОЦ-Н1, 1||;
«4 = 110, 1I-HI2, 2||, п2 = ||0, 111 + 110, 1||
делаем заключение, что Z, = || 1, 0 || и 12 = || 0, 1 || — элементарные элементы со-
ответственно множеств © (Z[) и © (Х2).
В пространстве X (7) полугруппы ЭЛ (Х4) и ЭЛ (Х2) изоморфны полугруппам
X (Zj) и Ж (Z2). Элементы полугруппы Ж (Z4) имеют вид
w = v (т) xf, где v (т) = ж”ж” 6 Ж (0), р, п£ Z"*".
Соответственно для полугруппы ЭЛ (Z2) общим элементом является
w — v(m)x%, где € Ж (0), р, ngz+.
Полугрупповые алгебры Хр (Z4), Жр (Х2) порождаются суммами
f f = ^2- nf Piеz+, Ci6p.
1=1
Подводя итог, можно сделать заключение, что выполняются условия «а»
и «б» теоремы 4.2. Выполняется также и условие «в», так как
dim ЭЛ (0) + dim ЭЛ (Zj) = 2, /=1, 2. (5.21)
Следовательно, в централизованной системе можно выделить одну медлен-
ную и одну быструю переменные.
Вычислим составляющие N4 и N2 в операторе (5.61), порождающем централи-
зованную систему, и произведем замену переменных, осуществляющую их разделе-
ние. Рассмотрим уравнение (5.11) для определения матрицы коэффициентов Г12,
Г13 преобразования S4. Матрицы имеют вид
3^ = diag |] а, За, — а, а, — За, — а ||;
= diag || 2а, 4а, 0, 2а, — 2а, 0, — 4а, — 2а ||.
Пространство определяется как решения однородного уравнения З^Г = 0.
Матрица 3^ неособая, и поэтому == 0. Следовательно, pr^mj = 0 и урав-
215
нение
^А^12 ^п»1»
где = eolt® 110, 0,^ bt, kblt 0, 0|, имеет однозначное решение ®1
= colon II0, 0, —, -^-- , 0, О
|| а а
Пространство определяется как решения однородного уравнения &АГ =
= 0. В качестве базиса примем
%й = со1оп||0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0||;
(5.22)
^2s = colon || О, О, О, О, О, 1, О, 0||.
Легко заметить, что проекция вектора = colon || О, 0,— Ь2, kb2, О, О, О, 01|
равна:
Рг Яп,,1 = colon II °- °> — ь2> °» °» °> °» 011-
Уравнение для определения матрицы Г13
^А^13 S§ma, 1 PrS§ms,l
однозначно разрешимо:
Г и = colon
„ „ „ kb2
о, о, о, —-
2а
О, О, О, О
Переходя к операторной записи, получаем
А 8
NX = *т, Рг ^mi<l9 = - b2xfx2 — J (5.23)
si = S021 + S0S1>
где
A bi Г 8 8 \
Sxzoi = Г,28 =------хлх2 I---1- к----11
021 т, 12 а 1 Ц т Qg* ] ’
А кЪ2 8
S031 = ,IW = "27 А ~д^ •
Таким образом, оператор Uo (5.6) в первом приближении определяется как
/ 8 8 \ 8
Uo = а I • х2 ——— 11 -~— (5.24)
\ dXi дх2 / dXi
а централизованная система в первом приближении приобретает вид
^Xi — dx2
----- axi —• еб2ж1®2; -----= — 0и2- (5.25)
Принимая в качестве новых переменных порождающий элемент «1Х2 полу-
группы Ж (0) и порождающий элемент хг полугруппы Ж (Х(), т. е.
У1 = ®1®2» Уг = ®1» (5.26)
1 Вектор-столбцы Г и как было определено в § 2 гл. 4, образованы стро-
ками матриц Г и
216
перейдем от оператора Uo (5.24) к оператору
д 8
Uo (у) = — eb^i —----h (aVi — еМ1&) “Г-
0У1 fyt
и соответственно от системы (5.25) к системе
ЙУ1 dy2
—— = — eb^f; —— = ays — гЬ2у^ул.
at at
Переменная yj является медленной, а переменная p2 •*- быстрой. Уравнение для
Vi интегрируется независимо от уравнения для у2:
<5-27>
Подставляя значения Pi (5.27) во второе уравнение, получаем линейное уравне-
ние первого порядка о переменными коэффициентами, которое легко интегрирует-
ся в квадратурах:
t
Vz (t) = у0 ехр J (а <— (Z)) dt.
to
Тождество (5.21) выполняется также для полугруппы Ж (Х2). Поэтому в ка-
честве замены переменных можно использовать базисный элемент я2 полугруппы
Ж (Х2), т. е.
z^ xc^i3?2, z2 х^. (5.28)
Оператор Uo (5.24) перейдет при этом в оператор
„ д 8
Ц) (2) = — ------az2 —— ,
OZj oz2
а централизованная система (5.25) примет соответственно вид
Эта система распадается на два независимых уравнения и легко интегрируется:
„__________!1о________. _ _ — и((—10) ,
1- 1 + ez10b2 (i — i0) ' 22-S
Применим теперь к централизованной системе (5.25) в первом приближении
теорему 4.1. Решением этой системы является
х = ехр [Л (t — Zo)] ехр [TNt (ж0)] х0. (5.29)
Здесь
Il ea(t-t0) 0 р
expU(z-t0)) = | о
ехр -rNj (я0) = colon || ехр [-rNj (а>0)] х10, ехр [tNj (®о)] ж20 [[.
Легко вычислить компоненты разложения ехр [tNj (ж0)] ®10:
Ni (®о) ®1о= • • •» (жо) жй = (~* 1)р р!
Следовательно,
(т \
ХЮ + “П‘Р,1*Ю +“2Г N2®20 + • • ’ ) =
^*10 (1 ' ^2а'1Оя'2О*^ ~Ь (^,2"СЮ-С2о"^)2 “Ь • • • ~Ь (-* 1)^ (^2а!10а'20*’')^ (5.30)
217
Если допустить, что в геометрической прогрессии, находящейся в правой части
равенства (5.30), знаменатель q = Ь2а:10х20т удовлетворяет неравенству | q | =
= | 62z10z20t | < 1, т = et, то выражение (5.30) можно записать таким образом:
ехр [tNj (ж0)] ®1о = - • (5'31)
1 O2x10‘r20fc \1
Оператор Nj (ж0) не содержит производной по ж20, и поэтому
ехр (rNj (ж0)) ж20 = ж20. (5.32
Итак, с учетом формул (5.31), (5.32) решение (5.29) централизованной систе-
мы (5.25) в первом приближении можно представить в виде
II «1 ^11 = e<x(t—10) 0 II *10 *10 ea(t—te)
1 — 5 1 — q
II хг (0 II 0 е—a(t—f0) j *20 x20 a(t—I»)
Перейдем теперь к нахождению оператора N2 и второго приближения центра-
лизованной системы. Для этого необходимо вычислить правую часть уравнения
(5.7)
[S, U]+-|-[U, [И, SJJ,
(5.33)
где оператор Sj найден на предыдущем этапе: согласно формуле (5.23)
6, { д д \ kb2 - д
Si = — я.ж,--------1- к-- -4- —— х4х„------.
а \ дхг дх2 / 2а дх2
Как отмечалось в § 2, оператор Sj определяется неоднозначно, так как в него
может войти составляющая из алгебр S3 (И®2) и ® являющаяся решением
однородного уравнения [U, S) = 0. Так как det 3^ ф 0, то однородная состав-
ляющая 53 (Уф2) отсутствует. Для S3 (Уф3) общее решение однородного уравне-
ния можно записать в виде
A A d j 9 C. P
°10 i C2Xm3w23C' clxlx2 dx± 1 c2 t
где
0 0 0 0
10 0 0
Л13 0 0 ’ Sb23 = 0 1
0 0 0 0
— матрицы, соответствующие базисным векторам (5.22) пространства 7V^.
Постоянные сп с2 выбираются из дополнительных условий. Положим сг = с2 == 0.
В дальнейшем в операторе преобразования S2 также будем полагать составляю-
щую однородного уравнения тождественно равной нулю.
1
Приведем окончательный вид операторов [St, UJ, [U, [U, Sx]], опуская про-
межуточные выкладки:
[St, U]=-
а ‘•а.
2A*1 „ „2 , z
— ^2 + 4-^-
22 fc25ib2 < ,
Ж1Ж2-------2a— "Г
fcb2 4
"гГ^2
fc62 r3 2
— *1*2
д
дх^
д
дх2
2fcb| „
— 4
1 а.Ь. д / kab± \ д
— [U, [U, SJ] = -у- —у + акЬ2ж|ж2 j —
218
Используя введенные выше обозначения, оператор (5.33) представим в виде
суммы:
1
[S, U] + — [U [U, SJ] = Рф22 + F®2 + Fe24 + Fg25,
где
8
*1^2 о — I
^2
F®23
abi
v_________j.
r®22— g
8
dXf
d kab,
------1-----J
dx^ 2
/ 2kbi .. 2
+ I —x^ + акЬ2ж4ж2
F _ _ {
Г®24 -
4fcb1i>2 22
~ г1ж2
.2^2 5 kblb2 3
2 ~ I2
k2brb.
2а
I ^’**'1
8
dx2
2
—-^2
8
йг2
fc62 4
” ХлХл
2сс 1 z дх.
д
F®25
a. 12 dx2
Повторяя
N2 = рг Fe23*» где
проведенные выше вычисления.
получаем следующий
результат:
Рг F®23
2kb\
... " X-iXn
Cf x z
8_____d
dxt dx2
Ж1
Далее для оператора Sa находим выражение
S2 = s®22 + S®23 + S®24 4* S®25’
где
bi 9 bi 9
S®22 = ГХЛ~д^+ ~ X1X2 ~d^ ’
S®24 —
S ~^x2x 9
b®23- 2
я biba 9,
x^x2 --— x^x2
аг ,
5 кЪл Ъс
2
.2
S®25
A26jlt>2
6a2
х3х
4kbtb2 2 2 |_____
3a2 *1*2) av
W)2
4а2 Ж1Ж2
d
T-4
OX-£
d
J_____। 3_2 9
dxi ‘ 2a2 1 2 dx2
Оператор Uo (5.6) во втором приближении определяется как
жт / 9 9 \ 2 9
Uo = a I х1 —----х2------1 — е62ж7®2----—
\ dxt 2 дх2) 212 dxi
2fcf>? I ( д 9 1 9
с, | С1 '9Ч Хг дх2 J 1 дх2
(5.34)
а централизованная система соответственно принимает вид
219
dxt 2 2 2
= ахг — e^xfa — е2 —— x&i
dxt „ 2fe&i 2
Л =~<И2-е —
(5.35)
Выделим в централизованной системе второго приближения медленные и
быстрые переменные, произведя замену (5.26). Оператор Uo (5.34) перейдет в
оператор
2 0 ( 2fcbj \ q
Uo (у) = — гЪ2у\ + I ау2 — гЬ^у2 — е2 —— у±у2 I ,
централизованная система соответственно примет вид
-^- = — 66^; -^- = ау2 — еЬг^Уа — е2——-y^t- (5-36)
ат ат. сс
При замене переменных (5.28) оператор Uo (z) определяется как
2 д ( \ q
и0 (2) = - еь2г1 — - ^2 - е2 — 2Аj ,
а централизованная система принимает вид
dzi . 2 dz 2kb%
ST =~ еЪ2ч -£- = -ач + #— z1z2. (5.37)
t
(О dt
-е2
МО = 1/20 ехр
Системы (5.36), (5.37) легко интегрируются аналогично тому, как это сделано
выше;
V1 (0 = l+ebJlut-to) !
2кЬ\
а
и
в С Г 2ЛЬ? 1
«1 (О = / , pft I20,,—ГТ! z2(t) = «20 exp U — a + e2 ц (t) dt.
1 । fcO2z10 И —' C0/ JI |
Применим теорему 4.1 к централизованной системе второго приближения
(5.35). Решение выпишем с точностью до е2:
где
т I 2Zct? \ 9 т2 / 2fc&| \
а1 (т) — ®io ~Ь "jy I —' ^2 —'е —~— ] хюхио 2Г \ ^2 е a )
( . 2кЬ1\ ч 9
X I 2Ь2 + е ——— I хjo#2(jl
2кЬ% „ ^2 2АЬj / 2A6j \ о ч
(т) = xto + "ууе ~Ь ”2Ге а \ °2 ' е 2 1 ж10ж20"
220
Второй случай. Не выполняется ни одно из резонансных соотно-
шений (5.17) или (5.18). Этот случай имеет место, когда справедливы неравенства
афт, 2аф т, аф 2т, За Ф т, 4а Ф т, За Ф 2т, 2а Ф Зт, а Ф 4т. Со-
гласно теореме 4.5 централизованная система линеаризуется и система нулевого
приближения имеет вид
dxx dx„
~т- = —™ж2.
dt dt
Остановимся теперь подробно на вычислении преобразующего оператора Sx
для первого приближения. Согласно формулам (5.8)
si = S®21 + S031»
где
A
®®21 = ~ ~ Х1Х*
A bi
S®31 = xmfi3d =
д bt д
------I- к---ж,®»------1
dXi а Лж2
2 д Ь2 2
х\х2 ~7 Н ~7— ж1г2 “7
т 0X1 2а дх2
Матрицы Г12, Г13 — это решения системы уравнений ^1ГН-^Н^= Япи,
i = 1, 2, или эквивалентной ей системы уравнений , 1=1, 2.
Входящие сюда величины таковы:
= diag||а, 2а+ т, —>т, а, —а —2m, — m||;
3^ = diag||2а, За + т, и. — т, 2а, —,2т, а^т, а—>3m, — 2m ||;
~ II bi
Г12 = со1оп 0, 0, —, к—, 0, 0 ;
12 II т а ’ Г
f j, = colon II0, 0,------—, к О, О, О, О
|| а — т 2а
Матрицы j, ( определены ранее (см. формулы (5.5)).
Из анализа резонансных соотношений (5.17), (5.18) следует, что, кроме ра-
зобранных двух случаев, не могут реализоваться никакие другие принципиально
новые и фигурирующие в теоремах 4.2—4.5.
Пример 5. 2. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля
х\ — — x’i + е (1 — х<?)
Обозначая = х2, представим это уравнение в виде системы двух уравнений пер-
вого порядка
Х1 — х2’ х2 — " Ж1 “Ь е (1 ~1 ) ж2'
(5.38)
Ассоциированным с системой
Uo = Uz + eU', где
(5.38) дифференциальным оператором
является
, д , д
и' =ж2—7“ —Г!
dx,f дх2
д ’ д
U — «2^2 г «2" «2^2 ,
дх2 дх2
Опуская для упрощения записей
А ]| О
раторы в виде \J = x^Jld, =
штрих
-1
О '
(см. § 3 гл. 1), запишем эти опе-
Оператор U представим в виде
суммы:
U = U<81 + U<83. U0i6S(Vei), i=l, 3,
(5.39)
221
где
— А — А
U®1 = Ч®3 —
О О
Остановимся на вычислении двух приближений в преобразованном опера-
торе (4.2):
Uo = U + eN, + 8«N2. (5.40)
В замене переменных (1.5) из гл. 3 вычислим операторы S, и 82, которые находим
из уравнений
[U, S,J = U — prU;
[Ui. S2] = {_[U, S,| +fU [U, S,]]|-pr {...}.
Решаем эти уравнения в два этапа. На первом находим S,:
si = S®11 + S®31> s®ii€ ® (^®i)> 3,
(5.41)
(5.42)
A
гдейфц s 1 ~ 1» 3; Г1; — прямоугольные матрицы размерностей mt X
X n, являющиеся решениями системы независимых алгебраических уравнений
= i=l,3. (5.43)
На втором этапе находим S2. Как нетрудно заметить из структуры правых
частей уравнения (5.41), S2 £ S3 (Р^5), и поэтому решение ищем в виде суммы:
S2 = s®i2> S®i2 = хт^21д’ г = 1 > 5,
i—1
где Г2; — решения системы независимых алгебраических уравнений
^i^2i — Г2г^ = ^>mit2 ~ Рг ^т,,2> ‘ = 2’ 5- (5.44)
Проведем соответствующие вычисления.
Первое приближение. Рассмотрим уравнения (5.43). Матрицы ^1, ^2,
представления оператора U в подпространствах V<g2, соответственно равны.
Матрицы определены равенствами (5.39).
Перейдем от уравнений (5.43) к уравнениям в пространствах
^Г41=^,1-Рг^1,> (5-45)
где
^ = ^1 ® ^2-% ® * = 1, 3;
222
о
1
3
о
о
о
о
о
— 1
о
о
3
о
о
о
о
Гн, — вектор-столбцьт
Для нахождения рг^„.
1
1
0
1
о
о
1
2
0
0
о
— 1
о
о
1
о
— 1
— 1
о
о
2
о
о
— 1
о
о
1
о
о
— 2
о
о
1
1
о
составленные
необходимо
из
о
— 1
— 1
о
о
о
о
— 2
— 1
о
о
1
о
о
о
о
— 3
о
о
1
строк
найти базисы
о
о
о
о
О ’
— 3
— 1
о
® ^1,4
подпространств МО*
К7^’—ядер операторов S^-1, 8^, образованных независимыми решениями урав-
нений 3^ = 0, 1 = 1, 3, а также базисы подпространств Л7^*, N'^1* — ядер
операторов &дТ, образованных независимыми решениями уравнений
% = 0, i = 1, 3. Приведем результаты вычислений:
1%ц = со1оп||0, 1, —1, ОЦ; < ^S1 = colon ||1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 111;
%i2 = colon ||1, О, 0, 11|; i82 = colon || 0, —1, 1, 0, 0, —1, 1, 01|;
Х{А* ’ ill* = colon |] 0, - 1, 1, 0||; N&>': %31. = colon||3, 0, 0,1,1, 0, 0, 31|;
%1W = colon || 1, О, 0, 11|; = colon || 0, 3, -1, 0, 0, 1, -3, 01|.
Найдем проекцию от вектора l = colon || 0, 0, 0, 11|. Обозначая через
проекцию pr^miil:
= ali3oii + а12^12
и учитывая, что разность j —принадлежит образу оператора
3^’ и, следовательно, ортогональна пространству для коэффициентов allt
а12 получаем систему линейных алгебраических уравнений
(SSii> %ii*) аы + (^i2> SSu*) а12 ~ (S§m,,i’ %П*)>
SS12*) а11 4-l(^12> SS12*) «12 = (SSm,,!’ il2*>-
Здесь значения скалярных произведений равны:
Н. iii*> = - 2; (i12, ^12#) = 0; (%„, %l2,) = 0; {%i2, %12ф) = 2j
<^n„i> in) = 0; il2,)=i.
В результате простых вычислений находим, что аи = 0, а12 = х/2. Следователь-
но,
Pr^>n1,ls^m1,l№colon||x/2, 0, 0, х/2||. (5.46)
22»
Тем самым определена правая часть первого ив уравнений (5.45):
= ^rai>1T| =^mi,i“Pr^roi,i= colon ||0,0, Ча II- (5-47)
Так как матрица 3^ особенная, то система (5.47) содержит зависимые уравне-
ния. Чтобы избавиться от переопределенности, будем искать решение ГХ1 в виде
суммы: ГХ1 = y11F11 + Vi2^i2« гДе ^in ^12 — базисные векторы пространства
Эти векторы можно найти как решение системы уравнений
<гиег) = о, (4„у> = о.
В результате вычислений находим Уц = colon || —1, 0, 0,11|, У1а = || 0,1,1, 0 ||.
Подстановка значений Гх1, приводит
о
1
1
о
— 1
о
о
1
О
— 1
— 1
О
— 1
О
О
1
равнялось
Чтобы число уравнений
уравнений (5.48) на транспонированную
тов. Тогда
к системе уравнений
0
1
1
0
1
о
о
1
числу неизвестных, умножим обе части
। матрицу этой же системы коэффициен-
11г
О
О
Ч2
(5.48)
откуда находим, что уп = 0, у12 = V4. Следовательно,
fu = colon || 0, !/4, */4, 01|. (5.49)
Перейдем к решению второго уравнения системы (5.45). Проекцию от век-
тора = colon || 0, 0, 0,— 1, 0, 0, 0, 0 || будем искать в виде
Рг $%т„1 s = a3iZ3i + a32Z32
из условия ортогональности разности j — рг 1 подпространству IV^*,
из которого в свою очередь получаем систему линейных алгебраических уравне-
ний
asi (§(зп §(з1*) + asi (%з2» Й>з1*) —
«й (§5311 %32*) + а32 (§532> %32*}.= ($3та,1> %32*)'
(5.50)
Здесь (%зЬ Хч1.) — 8; %>зз*У — 0! (%з2» SS32*} — 0; (^32, ^32*) —1 ‘8;
^31*>=—^32*> = О. В результате решения системы (5.50)
находим азх = 1/8, ам = 0 и, следовательно,
Pr^m„lB,^m„l№coloilll — Чз, 0, 0, —1/8, — х/8, 0, 0, Veil- (5.51)
Для правой части х — pr S§mS1i второго уравнения системы (5.43)
получаем
= 0, 0, — г/в, %, 0, 0, 1/8||.
Базис пространства 7^, определяемый как решение системы уравнений
= °> (§532.1 = ®i содержит шесть векторов:
У21 = colon||1, 0, 0, —3, 0, 0, 0, 01|; Ум = colon Ц0, 1, 3, 0, 0, 0, 0, 01|;
224
У22 = colon||О, О, О, — I, 1, О, О, ОЦ; Y№ = colon|]0, 0, 1, 0, 0, 1, О, ОД]
Уаз = colonДО, О, О, —*3, О, О, О, 11|; У2в = colon||0, О, —3, О, О, О, 1, ОД.
Решение уравнения S^)r18 = ^ms_1T =s будем искать в виде
л 6 л
разложения по базису подпространства Г13 = У у2»^21 • При подстановке
* л i»=d
Г13, 1Т в приведенные выше уравнения получаем систему восьми уравнений
в шестью переменными
0 0 0 — 4 — 1 3 %
4 1 3 0 0 0 ?21 0
6 — 1 3 0 0 0 722 0
0 0 0 6 — 1 — 3 ?23 _ -%
0 0 0 6 1 (1 ?24 1/в
— 6 — 1 — 9 0 0 0 ?2Б 0
0 0 1 0 — 1 0 0 0 0 1 0 1 ?2в 0 */8
Умножая обе части данного уравнения на транспонированную матрицу коэф-
фициентов этого же уравнения,' получаем систему, содержащую ровно шесть
уравнений: —
88 4 84 0 0 0 ?21 0
4 4 8 0 0 0 ?22 0
84 8 100 0 0 0 ?23 0
0 0 0 88 4 —84 ?24 — 5 •
000 4 4—8 ?26 1
0 0 0 —84 — 8 100 Тгв 2
Решение ее находим без труда: у21 = у22 = Т2333 0, ?24 = —-•-/за» V28 = г/з2»
?2в —_ /аг-
Итак, окончательно имеем
Г1з = colon || 0, -»/32, 1/й, 0, 0, -3/32, 0||. (5.52)
Подведем итог изложенному. С учетом формул (5.46) и (5.51) для матриц
рг и рг 1 выпишем оператор Uo в первом приближении:
где
и0 = П + вК1,
(5.53)
Nt — рг U — N(^11 + N^13?
А 1 / д д \
N®n = ~ (^ '
N®31 = ----Q- ((^ + Xl) ®i I- (®1 + х2> х2 „ ) •
С учетом формул (5.49), (5.52) для матриц Г1Х, Гг3 оператор преобразования
Первого приближения (5.42) определяется как St = где
А 1 / а 0 \
s®ii = ^,ги5 = — (^ + ®г ;
А I 1 *) / «Sq 7 л\ я
8®31 = хт№ = (-32-х\х2 32" яг) + (----------32" *1 + -зГ *1*2) ~s^~'
15 7—1641
225
Централизованная система первого приближения принимает вид
dx, , ( 1 1 , 2 , 2З
"Э- - *2 + е |-2 8" <*1 + ЪН
. . (5.54)
dx2 , II 1 , 2 . 5>J
~Ц Xi + 6 Г2 8* а*
Воспользуемся результатами теоремы 4.1 для представления решения системы
(5.54) в виде
|| 1 = || C0SZ sin* |||| 41 СО | (5 55)
Il х2 II II — sin г cos 1 IIII Ч2 (т) II'
где вектор ц (т) = colon || т)] (т), г)2 (т) || является решением системы дифферен-
циальных уравнений
Т = е{4—4 (41 + 1)!)}^; (5.56)
-^Г=е ----1-(41 + 4г)} 42> T)i(0) = ^o, 1=1,2,
представляемого рядом Ли
4™ = *io + «ю*10 4г + М1Огго "4 + ’1 • ’ т s ег’ i = !> 2-
Здесь
N1° — (~2 8* + 4° "^7 + ®20 ~д£~) *
Система (5.56), как нетрудно заметить, получается из централизованной отбрасы-
ванием слагаемых при е в нулевой степени.
Используя элементарный прием введения вспомогательного аргумента, ре-
шение (5.55) можно также представить формулами
х, — А (т) sin [г + <р (т)); х2 = + А (т) cos (г 4- <р (т)], (5.57)
в которых амплитуда А (т) и фаза <р (т) определяются как
А (т) = Кц|(т) + Т)| (т) и <р (т) = arctg — . (5.58)
4г (1)
Исследуем возможность разделения переменных в централизованной систе-
ме (5.54). Из трех уравнений = 0, Х2а2 = 0, ^"3а3 = 0 (см. § 4) только вто-
рое имеет нетривиальное решение ю2 = colon || 1, 0, 1 ||, и, как легко убедиться
непосредственным вычислением, имеется единственный интеграл р (х) = хта2 =
= xj + xj. Операторы N^, N®31 переводят интегралы оператора U в его же
интегралы:
N®nP (*)s*1 + х1> ^®3iР (*)э-------+ ^г)’
они принадлежат полугруппе ЭЛ (0, р(ж)), порожденной элементом xj-j-xj. Опе-
ратор U над полем R не имеет собственных функций в и поэтому в ка-
честве второй переменной можно выбрать произвольный интеграл уравнения
8f Sf
х, —----1- х2--= 0. Легко проверить, что общим интегралом этого уравнения
дх, дх2
является v(x) = F (—— | , где F — произвольная непрерывно дифференцируемая
\ *^2 /
функция.
226
Произведем в операторе (5.53) замену переменных
У1 = Vеу2 = arctg . (5.59)
В результате получим
тт , 8,(1 1 8
откуда можно выделить соответственно медленную и быструю переменные:
4—i-(’-4-й)-. <»“>
Выбор функции F в виде арктангенса в замене (5.59) обусловлен тем, что об-
ратными к ним являются функции
хг — у, sin у2, х2 = У1 cos у2. (5.61)
Этот факт можно установить либо подстановкой (5.61) в равенства (5.59), либо
следующим элементарным выводом:
sin" у2
Sin2 ys = -^-я-----г-----я----
sin" у2 + cos" у2
tg2 У 2
tg2y24-i *
Подставляя значение tg у2 — — из (5.59), получаем
а?2
sin2 у =
откуда находим sin у2. Аналогично находим х2 = у( cos у2.
Таким образом, если будут получены решения у, (Z), у2 (/) системы (5.60),
то решения централизованной системы (5.54) можно представить в виде
(0 = .'/i (т) sin у2 («); х2 = yt (т) cos у2 (Z). (5.62)
Система (5.60) легко интегрируется в квадратурах:
l/t (0 —— г 10— • Уг — < + Уао»
и поэтому формулам (5.62) можно придать законченный вид
(0 =
V1+-4 (еЕ< -
sin (Z + у20);
(«) = —г--- Х10 'е — COS (t 4- У2О). (5.63)
V '+-^-^(^-1)
Аналогично можно проинтегрировать систему (5.56), если предварительно
произвести замену переменных
h= + Лг? & = arctg • <5.64)
Ча
15'
227
В новых переменных система расщепляется:
чс—S1P*’
ho — V ж10 + x20> ho = srctg
xiO
и элементарно интегрируется:
4 el
h=— 7==- — -, £2 = ho.
V i+—
После обращения функций (5,64) найдем явные выражения для функций
41 W. Ч2 (*):
у et 4 8/
41 (0 = —— = sin h0; 42 W = —r gi°e - cos e20.
у i+4-u(ee,-i) у 1+4-йо(е8<-1)
Подстановка найденных значений щ (£), т)2 (О в формулы (5.58), как нетрудно за-
метить, приводит к следующему результату:
АЁ(
4 (Т) ЕЗ 51 (т) --у -10—; <р (т) = g2 (1) £3 5го.
У
а решение централизованной системы (5.57) принимает вид
Е. ет/2
Ч (<) = г --------=- sin (1 + ?20),
У 1+-н»(«г-1)
=-----г— — — cos(i + e20). (5.65)
У i+4^(eT_1)
Подведем итог изложенному выше. Выражения для замены переменных (1.5)
из гл. 3 в первом приближении (т. е. выписанные с точностью до е) таковы:
х\ = (1 + eSi) xit 1 = 1, 2,
или с учетом тождества Si в + S®31
, I 1 ,1 2 3 3\
Xt — Х1 + 8 Х2 4----Х1Х2 32~ ’
' । ( 1 5 з . 7 г\
= а-2 4-е х2------— xt 4- — .
Здесь Xi (t), xs (t) — решение централизованной системы. В качестве формы ре-
шений можно использовать либо формулы (5.63), полученные расщеплением цент-
рализованной системы, либо формулы (5.65), полученные расщеплением системы
(5.56) на быстрые и медленные переменные.
Приведенные результаты согласуются с известными. В асимптотическом ме-
тоде решение уравнения Ван-дер-Поля [12, с. 81]
d2x it а, ^х 1 п
_ + a:=0
228
в первом приближении найдено в виде
х = a cos ф,
где переменные а, ф находятся ив вспомогательных уравнений
da еа [ а2 \ . йф л
~ЗГ 2~\ 4/ ’ "dt
(5.66)
(5.67)
Заметим, что уравнения (5.67) полностью совпадают с полученными выше урав-
нениями (5.60) (при s а, у2 ф); совпадает также вид решения х2 — у, cos у2
централизованной системы с видом решения (5.66).
В заключение сделаем следующее замечание. Форма замен (5.59) получена
из общих теоретических положений, изложенных в предыдущих параграфах. Ее
можно было бы получить и из традиционных рассуждений. Приведем общее ре-
шение системы нулевого приближения централизованной системы (5.54):
х1 II П cos t sin t
x2 || || — sin t cos t
Illi II
Illi Ч2 II
(5.68)
(0) = ®i0-
Будем считать т]г, т]2 новыми переменными. После несложных выкладок для цент-
рализованной системы находим
^--‘|4-4<’М’* -^-‘{4-4‘•М» (5-Ю)
Данная система совпадает с системой (5.56). Представим далее решение (5.68) в
эквивалентной форме
xt = sin (t + g2), х2 = — cos (t -J- ga), (5.70)
где
g, = Кт), + £2 = arctg -Hl_.
Ч2
Поскольку формулы (5.70) совпадают с формулами (5.64), то дальнейшее инте-
грирование системы (5.69) полностью производится аналогично тому, как это
сделано для системы (5.56), если принять g2 в качестве новых переменных.
Второе приближение. Приведем выражение для оператора в правой части
уравнения (5.41):
-[U, Sd+^-lU, [11,8,]] =
[ 3 , 23 2 , 9 3 , 1 4 9 _2jA 9 ,
~ — Х2 + ~зГ х1г2 + ~32~ + “зГ х^2 ~ "зГ ^2/ ~8^~ +
. / 1 ,3з 55 9,5 s 5q9.6 ь\ д
+ ( — — Xl + —зз"^ + "ЗГ + 32*^2 + “зГ ^2j -q^-
Видим, что правая часть уравнения (5.41) принадлежит пространству SB (X (И^5)).
Представим этот оператор суммой:
- [U, S,] + 2. [U, [U, 8,]] s w®214- W@23 + W025f
где
^®12 = ^®32 = хт^тг,2^’ '^®35 =
229
О
3
4
4
tiftnii ,2
S§ms,2
О
23
32
О
9
32
3
32
О
55
32
О
Только в трех уравнениях (5.44) для нахождения преобразования Г2г, i = 1, 5,
правые части не равны нулю:
^1^21 ^3 Раз — r2sJi — $%та,2' — ^m6,2’ (5*71)
Матрицы представлений^, ^3 выписаны ранее, а
0 — 1 0 0 0 0
5 0—2 0 0 0
0 4 0—3 0 0
^В = 0 0 3 0 — 4 0 •
0 0 0 2 0 - -5
0 ООО 1 0
Проекции рг 2, рг 0 находятся так же. как и выше.
Поэтому приведем окончательный результат:
Рг^.гли«> --Ч. 0II;
РГЖг,2^™3,2Л’М|0, -3/8, %, О, О, -3/8, 3/8, о ||.
Этим векторам соответствуют операторы
w Л11 0 l/»L_ 1 I 8 8
prW®2i~a;|| _1Л 0 IIs- 4 (*2-^
Л
PrW023 = xms
О -3/8
3/8 О
О -3/8
3/е О
s g* (я^я + хз) 8~ ”1” Х1Х^
д
дх2
230
Уравнения (5.71) для пространства Л^,п) принимают вид
^дГбз == %mii2; = ^Б ® ^2 - ®
0 —1—1 01 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 —11 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0—1—2 0 0 0 0 0 0 0
0 5 100—2 0 0 0 0 0 0
0 0 4 0 0 —1 — 3 0 0 0 0 0
<$) - 0 0 0 4 1 0 0 —3 0 0 0 0
™А 0 0 0 0 3 0 0 —1 — 4 0 0 0
0 0 0 0 0 3 1 0 0 — 4 0 0
0 0 0 0 0 0 2 0 0 — 1 — 5 0
0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 — 5
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 — 1
(Все неза 0 0 0 0 0 полненные места в матрице 0 0 0 1 0 равны нулю.) 1 1 0
Базисные векторы центров N<^ и %и = colon II1, 0, 0, 1 ^Б2 = colon || 0, 1, — 1, 0 Йб1. = colon || 0, 5, —1, 0, ^5) , 2 о, о, * соответственно , 0, 0, 2. 1, 0, 2, —2, 0, 0, 1 1, —1, 0, 0, 1 равны 0, 1||, , —1 — 5, o.ll; о ||,
= colon || 5, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, О, О, 5 ||.
Проекции рг ищем в виде суммы: S§mE>2N =aijgfii+«2%52, в
которой коэффициенты alf a2 находятся из условия ортогональности вектора
^тв,2 ~ к подпространству N$*. В результате получаем систему урав-
нений
а1 (%Б1> %51»} “Ь^аОзБа, %51»} =
а2 (^Б1>%52*} + а2 (%Б2» %52») — ^52»)’
В КОТОРОЙ (%81, ^51,> = 0, (%в2, ^51ф> = 16, (%и, ^) = 16, (%й, £52.) =
= °> %51»> = U/S’ <Хг6,2« %52.> = О- В итоге находим 0^ = 0, а2 =
= u/is и соответственно
^m,,2№ colon |0, 11 128 ’ И 128 , 0, 0, - 22 128 22 ’ 128 11 128 ’ м
0 11 о 22 0 И т
₽r W®25 = *4 И 128 128 0 22 128 128 0 11 128 128 0 д =
231
= — “128" (Х'Х? + 2х2х2 + ~д^~ + 'Тй' + + ~дх^ ~~
11 , 2 I 2\2 ( 8 х, д
“ 128 + ^2 дхг дх2 / ‘
Итак, оператор Uo (5.40), ассоциированный с централизованной системой,
во втором приближении определяется как
U0 = U + e(4-—L (xl+xl)j^x1-^- + x2-l-) +
+ В2 (-|- + -у (^ + 4) - “S' (®1 + Х1у) (*2 *1 -^-)-
Соответствующая ему централизованная система имеет вид
-§- = ^ + е(-^-(xf + 4)) Xi + в2 (-+ <*1 + ®!) —
—(5*72>
-^- = “‘1+в(1---------Г (®1 + ®2))а:2 —е2(—4“ + '|"(а:‘ + а:2) —
---(Х1 + Ж2)2) Х*'
Здесь нет необходимости повторять все рассуждения по выбору замены перемен-
ных (5.59) для разделения переменных в системе (5.72), изложенные выше.
В результате преобразований переменных по формулам (5.59) оператор Uo опи-
сывается формулой
тт 8 , ( 1 1 8 , 2/ 1 1 3 8
U°~ ду2 +Ч 2 8 дуг +е \ 4 + 8 1/1J ду2 ’
а централизованная система соответственно принимает вид
Система для переменных у19 у2 легко интегрируется в квадратурах!
4- _________
У1 Ws г~ У1° = ! Ую = + ж2о!
у i+4-yf0(^-i)
V2 (0 J (1 — е2 (-------1- У1 (0 + у\ (г)] * + У20. Узо =arctg .
Чтобы получить решение системы (5.72), нужно подставить найденные зна-
чения функций yi (г), у2 (г) в формулы (5.61):
xi(f) = У1 (*) sin у2 (г), х2 (t) = г/, (t) cos у2 (г). (5.74)
Далее, переход к решению исходных уравнений (5.38) во втором приближении
требует знания оператора S2. Вычисление S2 производится аналогично вычисле-
232
нию Slt Окончательный результат таков:
®i = S®12 + s®32 + S®52«
где
S®12 = — °>25г1 + °’25a:s ’
.. о д
S®32 = (— 0,00764rj + 0,0558x^2)
+ (— 0,4775я|в2 + 0,1482х|)
^2
s®52 = (0,02511«| + 0,02195a|»| + 0,05265»^)
д
дх1
— (0,03785^»2 + 0,03765»j»2 + 0,02493zf) 8 - .
дх^
Для нахождения решений централизованной системы второго приближения
(5.72) можно также воспользоваться представлением решения в виде (см. теоре-
му (4.1))
llajjll Ц cost sin i IIII TJi (т) II
||aj И —sint cost||i)2(T)||’
где вектор (т) = colon || (т), т]2 (т) || является решением дифференциальной
системы
_^1_= е[_|--------l_(n2 + n2)n 1 + е2Г-------l_ + _3.(tJ2 + tJ2)_
-^-(^ + ^)2]п2; (5.75)
= е [ ------1- (п? + Пг) П2 ] — е« [ — (т]| + nf) —
----------------------jST (Т]1 + П2)8] ТИ’ (0) = *«>’ i=1> 2‘
представляемым рядами Ли.
Далее, по аналогии с тем, как это сделано выше для соответствующей си-
стемы первого приближения,
«1 = Ь sin (t + g2); »2 = gf cos (t 4- g2),
где £i = Vi) j +g2 = arctg -|1— . Считая новыми переменными, преоб-
Ь2
разуем уравнения (5,75) к системе с разделенными переменными
d&i __________1_ е2^ е ^2 ____j___е2 ( 1___3 >2
dt ~ \ 2 g Si/Si’ dt 1 \ 4 8 128
совпадающей с точностью до обозначений с системой (5.73).
233
ГЛАВА 6
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ДЕКОМПОЗИЦИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНОМЕРНОЙ ГРУППЫ ЛИ
§ 1. ПОЧТИ ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С КОМПАКТНОЙ ГРУППОЙ ЛИ ИНВАРИАНТНОСТИ
Рассмотрим почти инвариантную систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений
= со (хг) 4- ею (х'), (1.1)
введенную в § 7 гл. 3. Будем предполагать, что система нулевого при-
ближения
T = ’W (1.2)
инвариантна относительно r-параметрической группы Ли преобра-
зований, имеющей алгебру Ли 23(О), порожденную системой базис-
ных операторов
Yn Y2, ... , Yr. (1.3)
Система (1.3) замкнута, т. е. выполняются тождества
[Yi, Y,J = i с^Хь.
n=l
Коэффициенты с у в силу предположения о конечномерности алгебры
Ли 53(О> являются постоянными числами из поля Р. Таким образом,
согласно сделанным предположениям система (1.2) остается инвари-
антной относительно любого преобразования в виде ряда Ли
rr = exp(Y)y, (1.4)
где Y = SjYj + ... + srYr — произвольный элемент алгебры Ли
S3(0>; s„ ..., Sr — параметры, характеризующие группу @0, т. е. (1.2)
переходит в систему = со (у).
Согласно теореме 4.1 гл. 1 операторы Y £ 53(О) перестановочны
с оператором 11 = ®! (х) + ... + соп (х) , ассоциированным
с системой нулевого приближения (1.2), т. е. выполняются тождества
[U, Y,-] == 0, у = 1Г7.
В дальнейшем существенно используется свойство компактности
введенной группы @0. Предположение о компактности этой группы
234
Ли, как известно, позволяет определить операцию усреднения на
группе для любой непрерывной на ней функции / (g), g g ®0:
w=-j£rf/fe)*> <‘-5>
где | @01 обозначает конечный объем на группе, существующий
в силу сделанных предположений. Среднее значение (1.5) на группе
@0 позволяет ввести гильбертово пространство SJ) = L2 (@0) со ска-
лярным произведением (/, g) = J / (g) ср (g) dg, где /, ср — произволь-
ные функции из З), и построить ряды Фурье на группе @0.
Более точно: для компактных групп Ли справедлив следующий
результат, известный под названием «глобальная теорема». Приве-
дем его формулировку, следуя работе [30, с. 114].
Теорема 1.1. Компактная группа Ли 3)0 обладает следующими
свойствами.
1. Имеет точное линейное представление.
2. Все неприводимые представления группы имеют конечную
размерность и содержатся в классе тензоров (над тем линейным
пространством, где @0 имеет точное представление).
3. Все конечномерные представления группы эквивалентны
унитарным и обладают свойством полной приводимости.
4. Число неприводимых представлений группы конечно или
счетно, причем конечно только в случае, когда группа @0 конечна.
5. Всякая непрерывная функция f (g) на группе @0 может быть рав-
номерно, с любой степенью точности, аппроксимирована линейными
комбинациями матричных элементов ту (g), где индекс I означает
нумерацию всевозможных неприводимых представлений, а индексы
i, j — обычные матричные индексы относительно произвольного ба-
зиса.
6. Если матрица Т, (g) = || ту (g) || записана в базисе, относитель-
но которого она унитарна, то система матричных элементов Тц (g)
представляет собой полную ортогональную систему в гильбертовом
пространстве ~ L2 (@0). Все элементы х1ц (g) при фиксированном
I имеют одинаковую норму, равную п~~'1г, где п — п (I) — размер-
ность представления тг.
7. Если функция / (g) содержится в L2 (@0), то ее рядом Фурье
является
/te)~ ScU,(g), (i.6)
l,id
где су = п (J, ту) сходится к этой функции в среднем квадратичном.
Замечание 1.1. В рассматриваемом случае принадлежности
функций / к классу аналитических (/ ^ Й (G)) указанные ряды Фурье
сходятся равномерно (см. [30, с. 116]).
Пусть алгебра централизатора Я30 системы (1.1) (см. § 1 гл. 3)
порождается совокупностью операторов
Z2, ..., (1.7)
235
причем эта совокупность полная и среди них имеется р линейно не-
связных операторов
Zj, z2, ... а Zipf р п. (1-8)
По определению алгебры 23О ее элементы перестановочны с операто-
ром U, т. е. [U, ZJ = 0, 7 = 1, 2, ... Таким образом, алгебра ин-
вариантности 23(О) является подалгеброй алгебры централизатора
83О j ЯЗ(0) с Я30. Не теряя общности рассуждений можно считать, что
Zj = Yj, i = 1, г. В операторе Uo = U + eU
•••
является оператором возмущения, ассоциированным с возмущенной
системой.
Введем некоторые дополнительные предположения о характере
возмущений в системе (1.1).
Определение 1.1. Будем говорить, что почти инвариант-
ная система (1.1) является правильно возмущенной, если выполняют-
ся следующие условия:
1) оператор возмущения U (х) разлагается по базису (1.7) алгебры
централизатора Я30:
и И = Sbti(x)Zh Z, e»0; (1.9)
2) коэффициенты Ьц- (х) в разложении (1.9), рассматриваемые как
функции на группе (1.4), являются элементами гильбертова простран-
ства 3) — L2 (@0), т. е. выполняется условие
У |Ь;(^)|2^<°°а (1Л0)
и, следовательно, для них имеет место разложение в ряд Фурье на
группе @0.
В дальнейшем будем считать, что система (1.1) является правильно
возмущенной.
Применим к почти инвариантной системе (1.1) алгоритм асимп-
тотической декомпозиции (см. § 1 гл. 3), произведя замену перемен-
ных
х' = ехр е (Sj + eS2 + — + ev- 4SV + •••)«, (1.11)
где операторы Si, i = 1, 2, ... определяются из рекуррентной системы
операторных уравнений
[U, Si] = Fi. (1.12)
Здесь Fx = U, F{, i > 2,— известная функция от операторов U, U,
Sx, ..., Si_i (см. § 1 гл. 3).
Операторы Si будем искать в виде разложения
Si — TilZi -]-•••+ TipZpi (1.13)
где Zj, ..., Zp — система линейно несвязных операторов из сово-
купности (1.8), являющаяся базисом алгебры централизатора Я30.
236
Рассмотрим уравнение (1.12) при г = 1:
[U,S1]=F1. (1.14)
По предположению для оператора U (х) справедливо разложение
(1.9). Подставим в уравнение (1.14) значения U, Sn задаваемые фор-
мулами (1.9) и (1.12):
[Ц, Tii^i • • • + YipZp] = b11Z1 • • -f- t>ipZp. (1.15)
Выполняя в левой части этого выражения операцию раскрытия ско-
бок Пуассона (1.14) и принимая во внимание коммутативность опера-
торов Z15 ..., Z/ с оператором U, получаем систему независимо ин-
тегрируемых линейных неоднородных уравнений
Пун = Ьц, ... , UTip = t>ip. (1.16)
При решении этой системы воспользуемся результатами теоремы 1.1.
Обозначим через 3); инвариантное подпространство из §), образован-
ное элементами || ту (g) || матрицы представления Т((g) при фикси-
рованном значении I. Индексы г, j принимают значения от 1 до п (Z)
(п (I) — размерность матрицы тг (g)). Подпространство ?)/ инвари-
антно относительно преобразований из группы G50, и, следовательно,
операторы (1.3) алгебры ЯЗ(0) переводят это подпространство в себя:
Y;3)( = 3)z, J = 1, г. Из коммутативности операторов Y и U сле-
дует, что этим свойством также обладает оператор U:
(1.17)
Согласно предположению о том, что система (1.1) является правильно
возмущенной, коэффициенты fein ..., bip в правой части уравнений
(1.16) можно разложить в ряды Фурье на группе :
Ьн ~ S са (^ii) Т'И (&).
1,г,з
............. (1.18)
bip = X са (bip) Xij (g).
1,г,з
Решение каждого из уравнений системы (1.15) также будем искать
в виде рядов на группе
Til ~ X сгз (?11) (.s)i
1,1,3
................................... (1.19)
Tip = S cij (?1р) 'г17 (§)•
l,i,i
Пусть тг,) обозначает вектор-строку, составленную из базисных эле-
ментов подпространства 3)/. Тогда в силу соотношений (1.17)
(1.20)
где Л> — квадратная матрица размерности na (Z) X na (Z). Матрицу
Лл будем называть матрицей представления оператора U в подпрост-
237
ранстве Для сокращения записей условимся о следующих обо-
значениях. Выпишем часть ряда Фурье (1.6) на группе ®0 при фикси-
рованном Z:
24$ &)€?),. (1.21)
Обозначим через вектор-столбец координат выписанного элемента
в базисе т*0. Тогда выражение (1.21) можно переписать тождественно
в виде произведения векторов т/г) и :
£с[4(Я) = т(1)?г>.
i.i
Используя введенные обозначения и подставляя выражения (1.18)
и (1.19) в систему уравнений (1.15), для последней находим
2 (Ит(1)с(г) (Y11) 4- т<г)И?г) (уп)) = £ т( V0 (fen);
I I
S fHV (Vi.) (t<.)> - 2 Л"’ (Ы-
I I
Далее воспользуемся тождеством (1.20):
2 W^Tu) = 2
I I
I I
Приравнивая коэффициенты при базисных векторах т(/), получаем
систему дифференциальных уравнений
^с< ' (Ты) + е/?гс< ) (Til) == °(l)
................... (1.22)
Uc<n (-yip) + (yip) = c(n (feip),
где индекс I пробегает значения всевозможных неприводимых пред-
ставлений.
В дальнейшем будем считать, что справедливы тождества
Ucli) (Y11) = 0, ... , Uc(Z) (Tlp) = 0. (1.23)
Это предположение эквивалентно условию, при котором оператор U
содержит производные лишь по переменным, характеризующим груп-
пу (й0-
Кроме того, оно позволяет вместо дифференциальной системы
(1.22) рассмотреть систему неоднородных алгебраических уравнений
(Тп) = с(0 (Ьц);
................................ (1.24)
(Tip) =с (£>ip)i
решаемых независимо друг от друга.
238
Для решения системы (1.24) воспользуемся альтернативой Фред-
гольма (см. также § 3 гл. 4 и § 3 гл. 5). Так как все уравнения систе-
мы (1.24) решаются независимо и имеют идентичную структуру, то
достаточно рассмотреть одно из них, которое представим в виде
^1С(1)(Т)=с(1)(Ь), (4-25)
гДе гАл — квадратная матрица размерности n2 (Z), c(Z) (b) — извест-
ный вектор-столбец размерности п (Z), (у) — искомый вектор-
столбец размерности п (Z).
Обозначим через N (Jli) базис линейного пространства, образован-
ного решениями
(1.26а)
однородного линейного уравнения Jh (у) = 0, и через N* (Jh) ба-
зис линейного пространства, образованного решениями
gi’b (1-266)
однородного линейного уравнения (у) = 0 (jfi — матрица,
сопряженная с^ф). Таким образом .^подпространства N (t/fa) и N* (Jh)
являются ядрами матриц Jh и Д*; Т (Jh) и Т* (Jh) — их образы.
Правая часть уравнения (1.25) может быть единственным образом
представлена в виде суммы:
с(П (&) = с$ (Ь) + с(гг) (&), с$ (b) еN Ui), ст’ (6) € Т* Ш-
Выпишем разложение составляющей c(w (Ъ) по базису (1.26а):
ri
c»’(fe) =2агг^. (1.27)
Разность c(Z)(Z>) — c$(Z>) —c^(b) принадлежит подпространству Т (Дь)
и, следовательно, ортогональна подпространству N*
<rl к ____,
o(I) (b) - g aulu; lit/ 0, / = 1, rt.
В результате получаем систему линейных неоднородных алгебраи-
ческих уравнений для определения составляющей с$ (fe)
ri
S ед>=<с(г’(Ь)Ля>-
г=2
В соответствии с общей теорией (см. гл. 3) определим проекцию
отправой части операторного уравнения (1.14) в виде
р
Pr F[ I (х) (1.28)
з~^
239
где bjN (ж) — составляющие, описываемые рядами
bllN = (Ьц) Ту (g)"t
1,1,3
bipN ~ (^1р) T|j (g).
1,1,3
Здесь коэффициенты с$ (Ьп), ..., с$ (fclp) определяются формулой
(1.27).
Как легко заметить, при определении проекции рг Рг в соответст-
вии с (1.28) решение операторного уравнения
lUjSj = Fx—prFj (1.29)
сводится по описанной выше методике к системе линейных неодно-
родных алгебраических уравнений вида
e/lic^J (Тп) = СР (^11)?
Л1ст(ЪР)=<$(Ь1Р)г
которая, в отличие от системы (1.24), не содержит в правых частях
составляющих из N (Jh) и, следовательно, разрешима.
Итак, полностью исследована структура операторного уравнения
(1.14), определена проекция рг Fj и установлена разрешимость урав-
нения (1.29) для определения оператора Sx, входящего в преобразо-
вания переменных (1.11). Следовательно, полностью решена задача
асимптотической декомпозиции для первого приближения.
Описанная методика будет верна для второго и высших приближе-
ний, если правые части Fj уравнений (1.29) при I 2 удовлетворяют
условию 1 определения 1.1.
Покажем, что это условие действительно выполняется. Оператор
F, (при г 2) является известной функцией от скобок Пуассона,
взятых от операторов U, U, Sn S2, ..., Si—1. Воспользуемся методом
математической индукции. Для t = 1 утверждение доказано. Пусть
оно верно для I — 1. Чтобы убедиться в его справедливости для г,
достаточно убедиться, что скобка Пуассона от двух операторов А
и D, для которых имеет место разложение вида (1.9), т. е.
р р
А = I щ (х) Tia D = S d, {х) Z* (1.30)
также может быть представлена в виде суммы!
р
[A, Dl-XcjWZi. (1.31)
7=1
Для нахождения коэффициентов с, (х) в правых частях формул (1.31)
подставим выражения (1.30) в левую часть (1.31) и воспользуемся
свойством коммутативности операторов Zi, Zj, i, j = 1, p. В резуль-
240
тате несложных вычислений получаем
р
[А, В] == £ [Adj (х) —\)а, (z)] Zj.
5=1
Так как на каждом шаге выполняется конечное число операций вы-
числения скобок Пуассона, то условие (1.10) принадлежности коэф-
фициентов с, (х) в (1.31) гильбертову пространству ^) также выполня-
ется.
Операторы S4, i 2, в уравнениях (1.12) будем искать в виде
разложения S{ = TiiZj + ... + TiPZp, где коэффициенты ..., Tip
Ьредставляются рядами на группе @0
Ти = X СЬ (Til) 4 (g);
I,IJ
Tip = X cij (Tip) ^ij (g)‘
Повторяя все рассуждения, проведенные выше для проекции опера-
тора pr Fj, находим
р
Nj^prF^S bi}N(x)Zj, (1.32)
где l>ijh (х) — составляющие, определяемые рядами
biiw == X CN (fcil) Tij te);
7,i,j
biprf — У Cjf (t*ip) Ту (g)-
l,l,j
Решение операторного уравнения [U, SJ = Fj — pr F, сводится
по описанной методике к системе линейных неоднородных алгебраи-
ческих уравнений вида
^(ти) =с(т)(М;
с/11С(1) (Tip) = с(т (biP).
По операторам (1.32) легко составляется централизованная си-
стема
dx. 00 ______
-4- = (О, (х) + X evNvXj, 7 = 13 и3 (1.33)
—1
к которой, естественно, применимы теоремы 2.1 и 2.2 гл. 3, упроща-
ющие ее интегрирование. Здесь этот вопрос подробно не обсуждается.
Пример 1.1. Рассмотрим почти инвариантную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
= 4/ + 4’) + eFi (*1> хг>'' = — x'il (x'i +х’г) + ef2 («J. хг)- (1Л4)
16 7—1441
241
Здесь Flt F2 — некоторые функции иа D (G); / — произвольная аналитическая
функция от + «|.
Система нулевого приближения
= + = — xj (з% + в|)
инвариантна относительно группы вращения на плоскости (см. $ б гл. 1) SO (2):
*1 = esXVi, х2 = e‘Yys, Y = у2 ------yt , (1-35)
oi/i оу2
где s —- параметр, характеризующий группу.
Легко убедиться, что эта группа компактна, если воспользоваться рядом Ли
(1.85) и записать конечные уравнения группы (см. § 3 гл. 1):
Ж1 = И cos * + V2 s = Р sin (s + 6);
x2 = — i/j sin s + y2 cos s == p cos (s + 6),
где p = VyJ + y|» 6 = arctg . Чтобы пространство представления группы
SO (2) имело обычиое описание в виде рядов Ферье по тригонометрическим функ-
циям, удобнее в системе (1.34) перейти к переменным р и <р:
р = У х? + <р = s + arctg -i- . (1.86)
«^2
В этих преобразованиях можно положить s = 0. Система (1.34) в новых пере-
менных примет вид
-Ф- = eFt (р', ф'); = f (р') + eF2 (р', ф'). (1.37)
ext иь
Здесь для функций возмущения условно приняты те же обозначения, что и в ис-
ходной системе. Оператор Y группы (1.34) в новых переменных имеет особенно
простую форму Y ~ д/дср. Как показано в работе [30], неприводимые представ-
ления группы SO (2) имеют вид / (<р) = eln<₽, п t Z, а разложение по группе SO (2)
представляет собой разложение в обычный ряд Фурье по тригонометрическим
функциям. Как нетрудно проверить непосредственными вычислениями, общим эле-
ментом алгебры централизатора ®0, соответствующей системе (1.37), является опе-
ратор Z = F (р) -Ш.. ф -JL, где F (р) — произвольная
тическая функция.
Базис алгебры 58О можно составить из операторов
2; =ПР)
д
бр
F (р) g/(p)
/ (Р) бр
ф и Z, s U / (р) ,
тйф 2 ' бф
анали-
(1.38)
где U — оператор, ассоциированный с системой нулевого приближения.
Применим к возмущенной системе (1.37) алгоритм асимптотической декомпо-
зиции и ограничимся вычислением первого приближения. Разложим оператор
С 5 д
= Fi (Р» ф) + F2 (р, ф)^ по базису (1.38):
U = djZj
где bi — Ft (р, q)/F (р); Ъ2 = F2 (р, ф)// (р) — (Л (р, Ф)//2 (р)) (df/бр) <р.
Согласно предположению о том, что исходная система является правильно
возмущенной, коэффициенты (р, <р), Ь2 (р, <р) разлагаются в ряды Фурье по <р.
оо
bl (Р. ф) = 610 (р) + S И1п (р) сое Иф + Й1П (р) sin п<р);
6s (Р. ф) = 6ао (Р) + 2 (^2п (Р)608 "Ф + £2п (Р) sIn ПФ)-
П“=1
242
Оператор St преобразования отыскиваем в виде суммы:
Si = ViZi + YsZjj, (1.40)
где коэффициенты ух, Ya согласно общей теории должны удовлетворять уравнени-
ям
U?i = bi; Uy2 = Z>2. (1.41)
Подпространство представления группы SO (2) в действительной области
образовано двумя функциями: = cos Z<p и -d-P = sin 1<р. Легко составить мат-
рицу представления оператора U в подпространстве
Коэффициенты ylt у2 в операторе (1.40) также будем искать в виде рядов Фурье
по <р
% (Р» ф) = Yio (Р) + S (Сш<р>cos п<₽ + (Р)sin n<₽>:
n=l
оо
Vi (Р. Ф) e Yao (Р) + S (C2n (Р) cos ПФ + D2n (Р)sin ПФ)-
71=1
Система дифференциальных уравнений (1.41) заменяется системой
ских уравнений
алгебраиче-
0 z/(p) I 1М=||
° IKI II
Ajl
1 = 1, 2, Z = 1, 2, ...
Данная система однозначно разрешима при любом целом Z. При Z = 0 =з 0.
Таким образом, для разрешимости уравнений (1.41) нужно, чтобы правые части
в разложениях (1.39) не содержали свободных членов. Этого можно достичь,
если ввести оператор проектирования рг Fa = b1Q (р) Zj + bw (р) Z2. Таким об-
разом, централизованная система в первом приближении, получаемая из возму-
щенной системы (1.37), принимает вид
= eZ>10 (р) F (р);
J'SL = / (р) 4- е Lo (р) zig- <р + 6ЙО (р) f (р)].
П ример 1.2. Положив в системе (1.34) f ss 1, получим классический
нелинейный осциллятор, широко используемый в асимптотических методах не-
линейной механики [12]:
dx dx
= xz "Ь (ж1> жг)> — — xi + е^2 (ж1> хг)>
В переменных (1.36) эта система имеет вид
-%- = eFt (р\ <₽’); = 1 + 6f2 (р', <р'). (I-42)
144 UL
Базис алгебры централизатора й0 составляется из операторов
Предположение о правильности возмущения системы (1.42) сводится к предпо-
ложению о периодической зависимости функций Fr (р, <р,), F2 (р, <р) от перемен-
ной <р.
16'
243
Централизованная система в первом приближении, как это следует после
повторения всех рассуждений, приведенных в примере 1,1, принимает вид
-^-=еЛо(Р); -$- = 1 + ^so(p).
2л 2л
где Flo (р) = J Fx (р, ф) йф, F20 (р) = j* F2 (р, ф) йф — первые члены
о о
разложения функций F2 (р, <р), F2 (р, <р) в ряды Фурье.
Следовательно, метод асимптотической декомпозиции в рассматриваемом
случае приводит к системе, получаемой по методу усреднения Н. Н Бого-
любова.
Пример 1.3. Рассмотрим самый общий вид почти инвариантной си-
стемы относительно группы SO (2) (см. § 5 гл. 1):
= х\ + x'.J (x't + 4 ) + е7?1 (ЖР х2>’
dx2 , ,
= Х2 — X2f (Xt 4- Х2) + &F2 (Xj, Х2).
(1-43)
В переменных (1.36) эта система представляется таким образом:
= р' + еЛ (р', <p'); = / (р') + е/2 (р', ф').
Базис алгебры Я30 можно составить из операторов
Za = U = p~+/(p)-^-,
5ф бр бф
где U — оператор, ассоциированный с системой нулевого приближения.
Применим к системе (1.43) алгоритм асимптотической декомпозиции, огра-
ничиваясь вычислением первого приближения. Разложим оператор
U = (р, ф) д/др -f- F2 (р, ф) д/д(р по базису Zn Z2:
U — -|- 62Z2,
где = F2 (р, ф) — Fx (р, ф) } ; 62 = AlBdfL .
р р
Согласно предположению о том, что исходная система является правильно
возмущенной, коэффициенты Ьг (р, ф), Ь2 (р, ф) разлагаются в ряды Фурье (1.39).
Оператор pj преобразования ищем в виде ряда (1.40). Как и в примере 1.1, коэф-
фициенты уи у2 определяются из системы уравнений (1.41). Однако в рассматри-
ваемом случае вместо алгебраической системы получаем дифференциальную
uyjo (р) = ьзо (р);
|ися|| Il 0 Z/(p)|| с-
ирл1 -V(P) 0 1Р
/ = 1, 2, 1=1,2,... (1.44)
Все искомые функции в системе (1.44) зависят лишь от переменной р, и поэтому
она заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений
р >
5р
Р др
(1.45)
244
Система (1.45) является алгебраически приводимой (см. гл. 2) и может быть лег-
ро проинтегрирована. Проекция pr Fj a pr U а 0 и, следовательно, централи-
зованная система совпадают с системой нулевого приближения
dp dtp
§ 2. АЛГОРИТМ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ
, В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОНЕЧНОМЕРНОЙ ГРУППЫ ЛИ
В настоящем параграфе метод асимптотической декомпозиции при-
меняется к дифференциальным системам, нулевое приближение ко-
торых порождает конечномерную группу Ли. Использование прост-
ранства представления этой группы позволяет свести все алгоритмы
метода к простейшим задачам линейной алгебры.
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
= со (х); x(t0) = х0, (2.1)
где х = colon || хг, ..., хп ||; со = colon || coj (х), ..., con (х) ||; со, С
6 ДЭ (G), i — 1, n',G0 = I X G £ Rn+2, G(Bn, t g I,— область сущест-
вования и единственности задачи Коши системы (2.1); Й (G) — много-
образие аналитических функций, определенное на G. Предположим,
что обертывающей алгеброй Ли ЯЗд системы (см. гл. 3) является ко-
нечномерная алгебра с базисными операторами
X; =5д(х)-Л-+ ... +^(Х)-^-,. 7=0. (2.2)
Это значит, что для элементов (2.2) выполняются соотношения
h
lx,, xj = S с£хц,
Ц=1
где Cij — постоянная, принадлежащая полю Р (Р — поле действи-
тельных R или комплексных К чисел), и оператор
и (х) = СО! (х) 4- • •• 4-С0и(х)-^-, (2.3)
ассоциированный с системой (2.1), принадлежит и, следователь-
но, может быть выражен через базис (2.2):
и = с1Х1+ ... +слХл,-с,еР, /=О- (2-4)
Алгебра Ли ЯЗд определяет конечную группу Ли ® (ЯЗл), элементы
которой можно задать сходящимися рядами Ли (см. гл. 1)
х' = е(8«х*+-+8лхл>а:> (2.5)
где « = !!«!,..., sh || — параметры группы, изменяющиеся в неко-
торой окрестности точки х = 0.
Воспользуемся разложением (2.4) и запишем решение системы (2.1)
в виде ряда Ли
х = (2.6)
245
Следовательно, решение (2.6) системы (2.1) является элементом груп-
пы @ (ЯЗл) при достаточно малом t — t0. Это свойство решения системы
(2.1) можно принять в качестве общей характеристики данной систе-
мы при изучении влияния возмущающих факторов на ее поведение.
Далее будем предполагать, что группе @ (ЯЗл) можно поставить
в соответствие гильбертово пространство 9) представления, равное
прямой ортогональной сумме линейных подпространств S)v: ?)=
ро
= S ® ?)v- Каждое линейное подпространство V)v над Р размерности
v=l
т? с базисом, состоящим из mv функций:
(2-7)
является инвариантным относительно преобразований группы, т. е.
если / (х') £ 9)v., то после замены переменной х' согласно формулам
(2.5) / (е<Р’х*+-+Рлхл> Х) g ^v.
Предположим, что пространство ?) содержит подпространство
9)v размерности — п. Необходимым и достаточным условием ин-
вариантности подпространства S)v относительно группы @ (ЯЗл) яв-
ляется инвариантность подпространства 3)v относительно базисных
операторов (2.2) алгебры ЯЗд, т. е. выполнение условий
X;/lmv = 4“ ’ * ’ Ч- cjiX4/mvmv’
............................................. (2.8)
= Cjmvmvfimv 4~ • • • +
Эти соотношения можно представить в компактном виде X;f<v> =
» , где — квадратная матрица размерности mv х mv.
Матрицу будем называть представлением оператора j = 1, h*
в инвариантном подпространстве ^)v.
Пусть система (2.1), которую в дальнейшем будем называть систе-
мой нулевого приближения, подвергнута малым возмущениям:
= со (х') + ею (х'); х' (t0) = х0, (2.9)
где со (z') = colonЦ ©! (х'), ..., соп(я')11> (ж') € Й (G), 1 = 1, п; е—ма-
лый положительный параметр. Через = I х /е X G £ R("+2), /е =
== [О, 1], е £ 1е, обозначим область существования и единственности
решения задачи Коши системы (2.9), которую в дальнейшем будем
называть возмущенной системой.
Относительно свойств коэффициентов возмущенной системы сде-
лаем следующее предположение. Пусть базис подпространства ^)г
задан независимыми в G функциями
Pj (х), ... я vn (х) (2.10)
Обозначим через Llt ..., Ln дифференциальные операторы d/dv±, ...
..., dldvn, представленные в переменных х. Как легко заметить, опе-
246
ратор U, входящий в оператор
Uo = U 4- еб (х\ (2.11)
(здесь U (х) = (х) 8/дх1 4- • • • 4- <оп (х) д/дхп)} ассоциированный с
системой (2.9), представим в виде
U = g1(x)L1+ ... 4-gn(a;)Ln,
гДе ...® (#) € 9)1- Будем предполагать, что для U(a:) справед-
ливо разложение U = (х) L, • • • -f- qn (х) L„, где коэффициенты
(x)t ...j 9п (®) представимы в виде рядов по базису S)t qi (х) =
оа
v=l
Обозначим через S3 (9)v) линейное пространство операторов вида
L(v> = giv,(a:)L1+ ••• 4-^v)(*)Ln, (2.12)
у которого коэффициенты giv),..., g 9)v; будем в этом случае также
писать
L(v)€83@v). (2.13)
Основная идея алгоритма асимптотической декомпозиции состоит
в преобразовании возмущенной системы (2.9) к некоторой эталонной
системе
(х) + £ evbvi0 (ж), / = Сй, (2.14)
“г V=1
получившей название централизованной (см. гл. 3). Переход от систе-
мы (2.9) к системе (2.10) осуществляется при помощи замены пере-
менных в виде рядов Ли
X} = ехр (eS) / »1, п, (2.15)
где S = Sx-J-eS2 + . S4 = уцд/дху 4- ••• + yin8ldxn. Интегриро-
вание централизованной системы (2.14) проще по сравнению с ин-
тегрированием исходной возмущенной системы (2.9) благодаря тому,
что в ней в максимальной степени используются свойства систе-
мы нулевого приближения. С вводом дифференциальных операторов
Nv («) = S Nft (х), где Nh = £ bvj0 (х)
fe=i oxi
централизованная система принимает вид
= <*>; (х) 4- N (х) xjt / = 1, га. (2-46)
Связь между системами (2.9) и (2.16) легко устанавливается, если
оператор (2.11), ассоциированный с возмущенной системой в новых
переменных после замены (2.15), представить в виде
U0=U 4-e(_[uiS1J4-F1)4- ... 4-ev(_[UtSvJ4-Fv)4- •••«
247
где F] = U, F2 = — [U, SJ 4- -1- [U [U, SJ], ...t Fv — известная фун-
кция от операторов U, U, Sn Sv_i.
Операторы Sx, S2, входящие в преобразование (2.16), определя-
ются из системы операторных уравнений
ГО» Sy] = Fv — рг Fv, v = lJ2J...1 (2.17)
где pr Fv — проекция оператора Fv на алгебру централизатора,
определяемую решениями однородного уравнения 1 [U, S] = 0.
Если положить
prFv = Nv, v = l, 2, ...,t (2.18)
то после выбора операторов Sv как решений неоднородных оператор-
ных уравнений (2.17) оператор Uo примет вид
Uo = U + eNx (х) + e2N2 (х) + ••• (2.19)
Оператору Uo (2.19) соответствует централизованная система (2.16),
причем [U, NJ = 0, v = 1, 2, ...
Перейдем к решению системы операторных уравнений (2.17) и на-
хождению рг Fv на основе использования пространства представле-
ния 3) группы ® (ЯЗЛ). В силу сделанных предположений и с учетом
обозначений (2.12), (2.13) представим операторы Fv в правых частях
уравнений (2.17) в виде суммы:
оо
Fv = E^>^6«®j). (2.20)
3=1
Решения Sv уравнений (2.17) будем также искать в виде разложений
оо
sv= XsV>, sh®(» (2-2i)
3=1
Оператор F$J) можно представить следующим образом»
(2-22)
где L = colon || Llt ..., Ln||, 33Vj — известная матрица размерности
rrij X п, — базисный вектор подпространства 3); (см. гл. 4 и 5).
Аналогично оператор S(,j) можно представить в виде = /(5)rvjL,
где постоянная Гу,- — матрица размерности X га.
Обозначим через , матрицу представления оператора U в S)j,
определяемую тождеством
и/й = (2.23)
Для введем отдельное обозначение = Л, тогда для оператора U
справедлива векторная запись
и = /(1Ж = II(х), .... рв(ж)1|. (2.24)
Теорема 2.1. Решение операторного уравнения
[UtSv]=Fv (2.25)
1 Здесь и везде дальше рассматриваются алгебры централизатора первой
степени.
248
равносильно решению системы независимых линейных матричных
уравнений
&jA? I'vje/t ~ 33vjl f ~ ... (2.26)
Доказательство. Подставим выражения (2.20), (2.21)
в уравнение (2.25):
сю сю
£ [U* s£>] = Е (2.27)
7=1 7=1
Вычислим скобку Пуассона [U, S^l, приняв во внимание соотношения
(2.22), (2.24): [U, SV’l = U/0)rvjL — Далее, используя
тождество (2.23) и тождество SVY0 = окончательно находим
[U, SV’l - /АЛ - /ЯГ^Ь. (2.28)
Подставим выражения (2.22) и (2.28) в (2.27):
оо оо
£ (Л’А1\Л _/j)rv3^L) = S /МЛ
j=4 j=l
и приравняем коэффициенты при векторах и L. В результате полу-
чим доказываемый результат (2.26). (3
Обозначим ф£ = (Г, ® — £mj- ® ЛТ, где gm.., gn — единичные
матрицы размерностей m; х m;, п X п. Так как рассматриваются ал-
гебры централизатора первой степени, Л является матрицей простой
структуры и, как следствие, матрицы А и — также матрицы
простой структуры.
Как известно из линейной алгебры, матричное уравнение (2.26)
равносильно системе линейных алгебраических уравнений
(2.29)
Таким образом, установлено следующее утверждение.
Следствие 2.1. Решение операторного уравнения (2.25) равносиль-
но решению линейной алгебраической системы (2.29).
Перейдем к построению проектора рг Fv. Рассмотрим соответ-
ствующее системе (2.29) однородное уравнение
^fv;=0 (2.30)
и сопряженное уравнение
(2.31)
где Фа* = ® ® (^)г — матрица, комплексно-сопряжен-
ная с Фа.
Обозначим через Ад, Ад. ядра матриц Фа* и через T{At
2д. образы этих матриц. Пространство может быть разложе-
но единственным образом в прямую сумму подпространств
= frg ф (2.32)
249
В соответствии с этим правую часть уравнения (2.29) также предста-
вим в виде суммы:
e 4“ ^vT}t ^vNj € #vt3 € (2.33)
Вектору §3vn} в пространстве соответствует прямоугольная
матрица которая в свою очередь определяет дифференциальный
оператор! Nvj = /j)53vn/L. Построенные операторы Nw- коммутируют
с оператором Ui [U* Nvj] s 0.
On p e д e л e ни e 2.1.
pr Fv = Nvj«
7=1
Таким образом, после нахождения в явном виде операторов рг Fv,
V = 1, 2, определяется централизованная система (см. формулы
(2.18), (2.19)).
Остановимся на фактическом нахождении матриц Пусть С =
= || cir ||, Q =« || qir ||, I — 1, mj, г = 1, n,— произвольные матри-
цы из пространства В пространстве S(Wij,n) введем скалярное
произведение обычным образом:
— suQn 4- • • • + Cmqint
i=i
где черта над буквой — знак комплексного сопряжения. Непосред-
ственным вычислением можно убедиться, что
(£(5) = tr(tf V)* (2.34)
где tr — след матрицы. Предположим, что система (2.30) имеет kj
линейно независимых решений %ij, ..., которые можно принять
в качестве базиса Тогда уравнение (2.31) также имеет kj линей-
но независимых решений ..., которые можно принять
в качестве базиса ТУд». Разложим составляющую S3v^j в сумме (2.33)
по базису Nai
А А
i=l
Разность S3Vj — — 3$vTj принадлежит образу и» следователь-
но, как известно из линейной алгебры, ортогональна подпространству
'— J] э 0» / = 1* Aj.
' i=l '
250
Из приведенных тождеств получается система линейных алгебраиче-
ских уравнений для определения коэффициентов avp ,
2 ®vji (SSife = (^vji = I4 &j. (2.35)
i=4
Определитель этой системы (определитель Грама) не равен нулю, и,
следовательно, система (2.35) имеет единственное решение.
Систему уравнений (2.35) можно представить в виде матричной
системы в пространстве воспользовавшись тождеством
(2.34):
щ _ _
Y awl tr = tr (53У;%Г;.), I = 1“^. '2.361
i=l
Полученный результат подытожим в виде теоремы.
Теорема 2.2. Нахождение проекции оператора от правых ча-
стей уравнений (2.25) сводится к решению последовательности
независимых между собой систем неоднородных алгебраических урав-
нений вида (2.35) или (2.36). Решение этих уравнений существует
и единственно.
Оператор Sv определяется совокупностью матриц Г^, 7 = 1, 2, ...,
которые являются решениями уравнений
(2.37)
Система (2.37) совместна и содержит mj X п уравнений от р; == т, X
X п — kj переменных (к, — размерность ядра Мд). Чтобы изба-
виться от лишних уравнений и исключить из решения составляющие,
входящие в ядро №а, можно поступить следующим образом. Пусть
У ip.,..., У pfj — базис пространства , тогда вектор мож-
но разложить по этому базису таким образом:
Гад = У(\р-У ipj + • • • + р-р..
Вводя вектор = colon [| •"* и матрицу Qv-n столбцы
которой образованы векторами ?Лр1( ...» У ppp представим уравнение
(2.37) в матричном виде
Умножим полученное уравнение на матрицу сопряженную
с В результате получим систему
Qvj&A K&A^vjTvj = Qvj&JL SivTjt
эквивалентную по отношению к исходной, но содержащую ровно р;
уравнений.
Применим к централизованной системе (2.16) общие теоремы
гл. 3, упрощающие ее интегрирование.
251
Теорема 2.3., Если в централизованной системе (2.16) коэффициен-
ты оператора N (х) являются аналитическими функциями е области
Gqs = I X Zoe X G£ Rn+2, Ie = [0, 1], e £ Ze, t £ I = [a, fe], mo
можно указать такое положительное число То, при котором решение
системы представимо рядом Ли
X] = ехр [tN (z)] z;, т = е (t —10), / = 1, га, (2.38)
где z = colon || гъ zn || — решение системы нулевого приближения
-^- = ®(г), z(t0)=x0. (2.39)
Ряд Л и сходится абсолютно и равномерно в области GoeT = ^о> Ч
т 1 — —
+ I X Ze X G.
Замечание 2.1. В силу сделанных предположений о свой-
ствах системы нулевого приближения (2.1) система (2.39) может быть
эффективно проинтегрирована и, следовательно, формулы для реше-
ния системы (2.39) приобретают законченный аналитический вид.
Действительно, используем в качестве замены переменных в системе
(2.39) функции
Ух = иг (z), ... , уп = vn (z). (2.40)
Эта система функций предполагается обратимой в рассматриваемой
области G: zL = грг (у), ..., zn = <ри (у)- Замена (2.40) сводит систему
(2.39) к системе линейных уравнений с постоянными коэффициента-
ми dy/dt — ЛоУ, у (t0) = у0, где Ло = Лт, Л — матрица оператора
(2.24).
Выясним условия, при которых в централизованной системе вы-
деляются медленные и быстрые переменные. Рассмотрим уравнение
для определения интегралов системы нулевого приближения
Up = 0, (2.41)
где U — оператор (2.3). Интегралы будем искать в подпространствах
9) в виде векторного произведения
Р = (2.42)
где Д—базис а(й = colon||аД ..., а^.Ц — вектор коэффициентов.
При подстановке соотношений (2.42) в уравнения (2.41) получается
матричное уравнение (Г = 0, где &, — матрица представления
оператора U в
Аналогично, уравнение для собственных векторов оператора
Ug = kg, k = const, (2.43)
где g = /0)рД = colon || р(Д ..., р^Ц, приводит к матричному урав-
нению
O(j) = лр(Л.
По предположению — матрица простой структуры и, следова-
тельно, имеет в ^рпу собственных векторов gV\ gmit соответст-
252
вующих корню X, кратности тгц, I = 1, к, т, 4- • • • 4- тщ = п, т. е.
Ug)’’ = ..., Ugm; = Wmr Как легко заметить, функции
Prfft РжА (2.44)
где рп рт. — произвольные интегралы из S) уравнения (2.43),
также являются собственными функциями:
и (Р1^4>) = к (Р^Г’), • • •, U = К (pmig^).
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. собственный
вектор g Е с собственным числом л, не обязательно представим
в виде (2.44). Обозначим множество функций (2.44) буквой у,, а его
размерность — буквой т,. Сформулируем достаточный признак
разделения переменных на быстрые и медленные в системе централи-
затора (2.16).
Теорема 2.4. Пусть для системы централизатора (2.16) выполня-
ются следующие условия:
1) любой интеграл р (х) £ системы нулевого приближения,
определяемый уравнением (2.41), выражается через конечную совокуп-
ность независимых интегралов
Р1(ж), Pm(z)E?), (2.45)
т. е. р (х) = w (pj (х), ..., рт (х)), где w (рп ..., рт) — аналитическая
функция, обращающаяся в нуль при pj = ... = рт 0;
2) собственные функции с собственными числами A,, i = i,k, имеют
вид (2.44);
3) функции (2.45) можно дополнить собственными функциями из
системы функций у2, ..., уг до полной системы п независимых
функций в G, т. е. т 4- тг + ... 4- тг — п.
Тогда централизованная система с помощью замены переменных
%1 = Р1 О-)» •••> zm ~ Рт (x)'i gl ) “ gl О)» = gnij 0-)> & = 7"»
преобразуется к разделенной системе для т медленных
== ефп (z) 4- е2ф12 (z) 4- • • •;
• = еФт1 (z) 4* е2Фт2 О) 4" ’ " •
и п — т быстрых переменных
dy^ _ щф I У Л'*1),/*) I I л<Н) М n(i)-
Л — * 1 (2) ~г е p-vi у} -f- • • • -j- \Z) ym^t
°° _________________________________________
Система для быстрых переменных интегрируется после системы
для медленных переменных и в свою очередь распадается на г независимо
интегрируемых подсистем порядков т1г ..., тг.
Доказательство теоремы 2.4 проводится аналогично доказатель-
ству соответствующей более общей теоремы из гл. 3.
253
ГЛАВА 7
ОБОБЩЕНИЕ АЛГОРИТМА
АСИМПТОТИЧЕСКОЙ ДЕКОМПОЗИЦИИ
НА ПФАФФОВЫ СИСТЕМЫ
§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ФОРМУЛИРОВКА
ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ
Рассмотрим пфаффову систему вида
^zi = 9п г» и)йхг+ • • • + qlm (х, z, и) dxm;
............................................ (1.1)
dzt, =qM(x. z,u)dx± + ••• + qkm (x, z, u) dxm,
где коэффициенты q^ (x, z, u), i = 1, k, / = 1, m, являются функция-
ми вектора z = || Z[t z& || зависимых переменных, вектора x —
= || Xi, xm || независимых переменных и вектора и — || ...
..., ut || параметрических переменных. Функции (х, z, и) — анали-
тические в области G, G = Rm X Rh X Rl.
Основная задача при изучении пфаффовой системы (1.1) — отыска-
ние пг-мерных интегральных поверхностей 9Дт, отнесенных к парамет-
рам х1, ..., Хт1
Zj — Zi (xlt . . . f Xjji)t Uj — Uj (xt, • • , *Г?гг), f — 1, kf J — 1, /,
и определение степени произвола в их построении. Эта задача равно-
сильна аналогичной в исследовании произвольной дифференциаль-
ной системы.
Рассмотрим для простоты систему уравнений первого порядка
(^i? • • • 5 • • • а ... ; dzj'fdxu • • •) 1=2 Qj оь 1? 3. (1*2)
Чтобы доказать равносильность указанных задач, предполагаем,
что данная система не приводит к конечным зависимостям между
...» и zn ..., zh, и решаем ее относительно наибольшего воз-
можного числа производных. Пусть, например, это производные
dz. / dz \ az. I dz \
“tel ^ll(®sza •••« -Qi—— (я* ZJ-ftH»
......................................................... (13)
I ~д7 • • • • ~6i ~~ ghv* Zf ~бГ/ * т‘
Вектор производных, которые не фигурируют в левых частях
соотношений (1.3), обозначим через dzldx. Компоненты этого вектора
254
примем за параметрические переменные
dzj дц
**1«т+1 — ~aZ ~ s • • • 4 uim — J
ожц,+1 oxm
6zk _ 8zk
uk,nk+i — g i • • • л ukm — "=7 •
° Hft+! Oxm
Вводя вектор и ...s ulm; ; «ЧцА+ц —а **ьпЦ, представим
пфаффову систему в виде
dzi = ён tea za u)dxt+ ... 4- g1|X1 (xt z, u) dx^ +
~F 4~ * * * 4“ Utmdxm,
........................... (14)
dzk = gfei (x, z, u)dxt+ ... + gkillk (x, z, u) dxv,k 4-
4" 4“ • • • 4- u^fij^idxm.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.1. Отыскание т-мерных интегральных поверхностей
пфаффовой системы (1.4)
= <pi te)a • • • s %h — фй te); (1.5)
te) ~ ФЛи,’+1 te)« • • • 4 ujm te) — ф/m te)j j — 1«, hi
равносильно интегрированию дифференциальной системы (1.2).
Доказательство. Пусть найдена интегральная поверх-
ность '50? m пфаффовой системы (1.4). Тогда подстановка соотношений
(1.5) в эту систему приводит к тождествам
6z-
’ gXi э gjl Ф1 te)j • • • а фл te). ...» ФЛВ^+1 te)- • • • 4 Фж te)i • • •)>
.........................................................(16)
<?Z;
ginj (^, Ф1 te). . • •, фл (ж); .. •; фл^+1 te)» • • • „. ф> te)* • • •);
Sz'/fa^+l э ф?,ц;+1 te), • • • , dZ’IdXm = ф3-т (x).
В свою очередь подстановка тождеств (1.6) в уравнения (1.2) обра-
щает их в тождества.
Справедливо обратное утверждение.
Теорема 1.2. Если известно решение
zi = Ф1 te)a • • • a Zfe = фй te) (1-7>
дифференциальной системы (1.2), то, определив функции и по фор-
мулам
ui.lij+l (х) s дх 4 ...| изгп (%) S ~8х^~ 'г = (1-8)
получим уравнения интегральной поверхности 9Лт пфаффовой системы
(1.4).
255
Доказательство. Интегрирование пфаффовой системы
можно заменить интегрированием системы уравнений в частных про-
изводных
5Z; 8Z
— gjl zr u)f • • • * ~ Sinj z, u)',
1 Uj
8z} , bz _ (M
-д-2---= Wj.Hi+l 2> u)> • • • 8 -яГ- = ujm (x, z, u), j = 1, k.
Согласно определению функций gjlt gjll/ как решений системы
уравнений (1.2) подстановка значений функций z и параметрических
переменных и из формул (1.7), (1.8) обращает уравнения (1.9) в тож-
дества.
В дальнейшем будем рассматривать автономные пфаффовы систе-
мы вида (1.1)
dzj — con (z, и) dx1 + • • • 4- coim (z, и) dxm;
.......................................... (1.Ю)
dzk = сой1 (z, u)dxt + • • • + coftm (z, u) dxm,
коэффициенты которой не содержат в явном виде независимые пере-
менные xlt ..., хт.
Легко перейти от системы (1.1) к автономной. С помощью новых
переменных уг = z1; ..., yt> ~ zh, yh+l = хи ..., yk+m = х™ систему
(1.1) представим в виде
dVi = £и (!/i “)<^i + * *' + £im(у, и) dxm;
dyh = Qu (У, u)dx2+ • • • 4- Яьт (У1 и) dxm;
dyk-\-\ — dxt;
dyk-i-m dxm.
Параметрические переменные и являются функциями части перемен-
ных у.
Введем некоторые вспомогательные понятия, необходимые для
дальнейшего изложения.
Пусть произвольная аналитическая функция / (z) от переменных
х определена в области G. Вычислим полный дифференциал от этой
функции в силу уравнений (1.10):
= ••• +~^dz, = V1fdx1+ ... +Umfdxmi (1.11)
где
ГТ 8 I 1 8
и1=®и-ё^-+ •••
..................................... (1-12)
TT 8 I 1 8
— (01m 4- ... 4- C0ftm 8z^ .
256
Операторы (1.12) порождают обертывающую алгебру Ли пфаффовой
системы (1.10). Обозначим эту алгебру £8. Операторы (1.13) будем
называть ассоциированными с системой (1.10).
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.3. Любое преобразование пфаффовой системы (1.10) при
помощи замены переменных
z = <р (z'), zz = ф-1 (z)t (1.13)
не содержащей независимых переменных х< сводится к преобразованию
системы операторов ип .... Um, порождающих алгебру Ли S3.
Доказательство. Произведем замену переменных (1.13)
в формулах (1.11):
df = U'ifdxj^ 4- ... +Vmfdxm. (1.14)
Через Uj, ..., Um обозначим операторы (1.12) в новых переменных.
Подставляя в формулу (1.14) вместо /' последовательно функции
Zi, ..., Zfe, приходим к пфаффовой системе (1.10) в новых переменных
z'.
Дополним систему операторов (1.12) до полной системы операто-
ров за счет элементов алгебры S3: Ub ..., Um, ...» Ur. Система
уравнений
IV = 0,. ... , Ur/= О (1.15)
является вполне интегрируемой и называется характеристической
для исходной пфаффовой системы (1.10). Если число переменных к
в системе (1.15) меньше числа г уравнений, то имеется к—г нетриви-
альных (т. е. не являющихся тождественными константами) решений
р! (z), ..., р% (г), х == к — г. Функции pj (z), .... рх (z) называются ин-
тегралами пфаффовой системы (1.10).
Предположим далее, что система пфаффовых уравнений (1.10)
подвергнута малым возмущениям
dzi = (соц есоц) dxi 4- . • • 4- (coim 4- ecolm) dxm-,
............................................ (1.16)
d%h = (сом 4- бесы) dxi + • • + (co^m 4~ c®fem) dx^
где coy, coy, i = 1, k, j = 1, m,— функции z' и и'.
Совершенно ясно, что задача о возмущении пфаффовой системы
(1.10) в силу теорем 1.2 и 1.3 равносильна задаче о возмущении диф-
ференциальной системы (1.2). Однако рассмотрение пфаффовой си-
стемы дает то преимущество, что, как следует из теоремы 1.3, она
вполне характеризуется набором ассоциированных с ней дифферен-
циальных операторов
Ui + eUx = (соц 4- есоц) —(соы 4- есом) , ;
Szj ozh
...................................................(1.17)
um i- eUm a (coin, 4- ecojm) 4- • • • 4- (он 4- ewfon) -Л- •
5zi
17 7—1641
257
Операторы (1.17) порождают обертывающую алгебру Ли возмущен-
ной пфаффовой системы (1.16). Обозначим эту алгебру 23.
Систему операторов (1.17) дополним до полной системы за счет
элементов алгебры 23:
Uio s Ui -f- eUij ... 4 Um0 s Um -f- eUm>
Um-I-1,0 S Um+1 + eUm_[4, ...J Uq()sUq4~eUq (1.18)
Далее достаточно рассматривать задачу о возмущении вполне интег-
рируемой пфаффовой системы
(U'i+eU1)/ = 01...1(U'1+eU;)/ = 0. (1.19)
При этом будем считать, что выполняются следующие условия: си-
стема (1.19) не подвергается алгебраическим преобразованиям и яв-
ляется вполне интегрируемой при любом значении параметра е.
Применим к системе (1.19) алгоритм асимптотической декомпо-
зиции, произведя в операторах (1.18) замену переменных в виде ря-
дов Ли
zk = ехр (— eS') Zft, z’h = ехр (eS) zhl (1-20)
где
expeS = 1 +-^-S 4--|j-S2 + • ••;
S = Sj 4- eS2 4- ул -g----1- • • • 4- yik~g:— s = 1* 2. (1.21)
С/Zj и fl
Коэффициенты операторов S,, i — 1, 2, ...,— неопределенные пока
функции. Операторы (1.18) под действием преобразования (1.20)
перейдут в соответствии с формулой Кэмпбелла — Хаусдорфа в сле-
дующие:
и» -> Ui0 = Ui 4- е (- [Ui, SJ 4- F«) 4- • • • 4- (- [Utt Sv] 4-
4~ Fvi) • • •»
где Fh = Ui, Fvi — известные функции от Uj, Ui, Si, ..., Sv_i.
Обозначим через N s pr F проекцию оператора F £ 23 на алгебру
централизатора 23О, образованную решениями системы операторных
уравнений
[Un S] = 0, ... м [UM S] =04 Se& (1.22)
Операторы S1? S2, ..., входящие в преобразование (1.21), определяют-
ся как решения рекуррентной последовательности операторных урав-
нений
[Uu Svl = Fiv рг Flv, • • • ® [Uqi Sv] == Fvq — рг Fvgj v = 24 3, ...
Введем обозначение N; — рг Fy 4- ••• + ev—1 рг Fv? -f- j =a
в= 1, q. Преобразованная полная система (1.19) может быть записана
в виде
(U14-eN1)/ = 0; (Ug 4- eNg) / = 0. (1.23)
258
Систему (1.23) назовем централизованной полной системой. По опе-
раторам Ui + eNj, ..., Um + eNm легко восстанавливается преобра-
зованная пфаффова система
dzi = (соп 4- eNjZj) dxr 4- •. • 4- (coim eNmZj) dxn-,
.................................................. (1-24)
dzft = (cofti 4- eN1zfe) dxj+ - • • 4- (cofem 4- eNmz/<) dxm.
Систему (1.24) назовем централизованной пфаффовой системой. Ин-
тегрирование системы (1.24) проще, чем интегрирование исходной
возмущенной системы (1.16). Здесь можно сформулировать аналоги
теорем § 2 гл. 3. В качестве примера приведем теорему о разделении
переменных на быстрые и медленные в централизованной пфаффовой
системе.
Теорема 1.4. Пусть характеристическая система (1.15) системы
нулевого приближения образована коммутирующими операторами
Ult ..., Um и G является областью существования общего решения
р3 (z), рх (z), х = к—т. Тогда алгебра централизатора 33О1 опре-
деляемая решениями операторных уравнений
[Un S] = 0, ..., [Um S] = 0г
содержит к несвязных операторов
Zj = Uj, . . - j Zm = Uyrt, Zm_pi = Um_pi, * • J Zfc = Ufc>
Проекция pr F оператора F g 33 на алгебру 3% имеет вид
h
pr F = £ pjZjj
7=1
где pj — решения характеристической системы. Замена переменных
У1 = Pi, Ух = Рх, X = к — т;
“ Wj, . . . , Sm =
где / == 1, m,— решения неоднородных систем
Uj/ = о, ... 4 Uj_j/ = О, Ц/ = 1, Uj+1/ = 0, ит/ = о,
преобразует централизованную пфаффову систему (1.24) к % уравне-
ниям для медленных переменных ylt ...,
= e<pjjda;i 4- . • • 4- ecpimd^;
dy% — E(fxidx1 • • • 4- Etp^mdXm,
и к m уравнениям для быстрых переменных
dsr = (1 4- eipjj) dxr 4- • • • 4- eipimd^;
dsm = ••• 4“ (1 4“ бфтт) dxmt
где <pji, ..., <pjm, Фи, ...» ipim, j — 1. X, i = 1, т,— известные функции
от у, и, 8.
17'
259
Если положить в исходной пфаффовой системе (1.1) число незави-
симых переменных равным единице, т. е. msl, а число параметри-
ческих переменных равным нулю, т. е. I = 0, то придем к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Следовательно, распространение алгоритма асимптотической
декомпозиции на пфаффовы системы является прямым обобщением
результатов, полученных в предыдущих главах. Следует отметить
качественный скачок в методике обоснования алгоритма асимптоти-
ческой декомпозиции, обусловленный переходом от одного оператор-
ного уравнения в системе (1.22) в случае обыкновенных дифферен-
циальных уравнений к системе операторных уравнений в случае
пфаффовой системы. В первом случае решение одного операторного
уравнения сводится к решению системы обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, во втором исследование системы операторных
уравнений приводит к необходимости решения вполне интегрируе-
мых систем и систем в инволюции.
§ 2. МЕТОД ЛОКАЛЬНОЙ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ
ДЕКОМПОЗИЦИИ
Остановимся на одном специальном случае выбора оператора про-
ектирования Р на алгебру 85 системы нулевого приближения (1.10)
в предположении, что она декомпозируема (см. § 4 гл. II). В этом слу-
чае в операторах Un..., Ura (1-12), ассоциированных с системой нуле-
вого приближения, переменные разделяются. Например, в случае пол-
ной декомпозируемости вектор переменных х = 11^..., хпЦ можно раз-
бить на подгруппы xv. = || x^vi = 1, g, vx -}-•••+ vg = n
так, что операторы Ux,..., Ur характеристической системы могут быть
представлены в виде
= £ COlvj (^) + • • • + “v/vj- (ZVj) д г 1 = 1^3, ] = 1, g.
j=l lv> ГЗ
(2.1)
Тогда операция проектирования произвольного оператора F на
алгебру 85 будет заключаться в том, что в разложении коэффициентов
оставляются лишь переменные из той группы, по которым берутся
производные в операторе (2.1). В результате в преобразованной си-
стеме (1.24) переменные разделяются так же, как и в операто-
рах (2.1)
Как следствие интегрирование исходной возмущенной системы
заменяется интегрированием последовательности подсистем с разде-
ленными переменными. Поскольку теорема о разрешимости оператор-
ных уравнений
[Ux, S] = Fx - PF„ ... . [Urj S] = F, - PF
носит локальный характер (см. [77]), то и сам метод будем называть
методом локальной асимптотической декомпозиции. Напомним, что
вопрос обоснования алгоритма в этом случае остается открытым и,
следовательно, все выкладки носят формальный характер.
260
Приведем несколько примеров, решение которых основано на ме-
тоде локальной асимптотической декомпозиции.
Рассмотрим задачу об асимптотическом расщеплении возмущенно-
го движения летательного аппарата. Предположим, что летательный
аппарат самолетного типа имеет вертикальную плоскость симметрии
хОуг. Неподвижную систему координат обозначим Ax%yszs. Систему
координат, связанную с летательным аппаратом, обозначим Ox^yfa,
полускоростную систему — Ox*y*z*. Уравнения движения относи-
тельно полускоростной системы координат содержат 13 переменных.
Продольные переменные: V — скорость центра тяжести; 0 — угол
наклона траектории к горизонту; coz — проекция вектора угловой
скорости на ось Oz; у — угол тангажа; х — координата центра тяжес-
ти вдоль оси Охг; Н — высота полета; т — масса аппарата. Боковые
переменные: Т — угол поворота траектории; сох — проекция век-
тора угловой скорости на ось Охг; (оу — проекция вектора угловой
скорости на ось Oyt‘, ip — угол рыскания; у — угол крена летатель-
ного аппарата; z — координата центра тяжести вдоль оси Ozr.
Продольное движение летательного аппарата складывается из
поступательного движения центра тяжести вдоль осей Охг и Оуг
(т. е. в плоскости симметрии Ох^) и вращательного движения отно-
сительно оси Ozj. Боковое движение состоит из поступательного дви-
жения центра тяжести летательного аппарата вдоль оси Oz3 и враща-
тельного движения относительно осей Охг и Оуг. Общее движение
летательного аппарата складывается из указанных двух движений.
С учетом приведенных выше обозначений уравнения движения
летательного аппарата принимают следующий вид (см., например,
работу [45]).
Уравнения, характеризующие продольное движение:
= Fy (V, 0, F, Н, т, УР, чр, у);
-J- = Fe (У, 0,0, Н, т, V, чр, т);
= Fa (У, 0, &, сог, Н, т, Чг, сох, соу, чр, у); (2.2)
= К (со,, сош у), -g- = Fx (У, 0., Y);
~ = FH (У, 0), = Fm (У, Н, t).
UL CLL
Уравнения, характеризующие боковое движение:
= Fv (У, 0, Н, т, чр, у);
—у- = Fa (У, 0, coz, &, Н, Чг, гох, соу, чр, у);
X (2-3)
= F^ (У, 0, coz, 0, II, V, чр, у);
-jj5 = (coz, •&, coy, у); = Ff (coz, сож, е>у, у);
261
^- = fz(v, e, т).
Явные выражения для правых частей уравнений (2.2) и (2.3) не при-
водим, их можно найти в работе [45].
В дальнейшем для системы уравнений (2.2), (2.3) будем использо-
вать векторную форму dvjdt = F (t, ц), где ц = (т)1? т)2, ..., т]13);
F = (Ft, F2, ..., F1S) — переменные и функции, находящиеся в пра-
вых частях уравнений движения в том же порядке, в котором они
приведены выше.
Пусть т) = т)* — некоторое программное движение летательного
аппарата и di\*ldt = F (t, ц*). Рассмотрим движение в окрестности
этого программного движения ц = ц* 4- еДт), где малый параметр
е >» 0 характеризует малость возмущенного движения.
Если в основном программном движении скольжение отсутствует
(Р = 0), то, учитывая симметрию летательного аппарата, систему
уравнений возмущенного движения можно представить в сокращен-
ном виде:
^t = (Sn444r)''>+-r(S4’l^-)’F<+'’' 24
(^ч 4г)'' +1 (2дч 4г)" F> + * • • • ₽ 1
i = о, 7 = 8~!з.
Здесь для упрощения принято
13
(2Ат] -£“)Fi = S Атн
7=1
ft. n*)
51);
индексами и и б обозначены аналогичные суммы, но содержащие
только параметры продольного или соответственно бокового движе-
ния. При е = 0 система уравнений возмущенного движения (2.4)
распадается на две независимые системы.
Применяя изложенный метод, после ряда выкладок находим выра-
жение для оператора Sn и преобразование (с точностью до величин
порядка е включительно) имеет вид
(13 \
4— elj 7=1,13.
и=1 и )
После этого исходная система уравнений возмущенного движения
(2.4) расщепляется на две независимые системы (с точностью до вели-
чин порядка е включительно)
—±- = (2nAT)_^)Fi + e(S„AT)^) Л, 7 = 1,7;
ш \ ОТ) / \ ОТ) /
'~87й-
262
Рассмотрим уравнения, описывающие изоэнтропическое течение
политропного газа [103]:
* + (as + = vfr-W.-#-,
dt ' r ' дх ix
dr - . . о \ Sr v(y—1) (r2— s2)
+ (ar -f- 6s) -%— =-—---
dt ' 1 r ' dx
(2.5)
Здесь введены обозначения
4х
a =
Y-l .
4 ’
переменные s, r — инварианты Римана s = и — <p (p), r — и + <p (p),
выраженные через параметры движения; и — скорость течения;
р — плотность; -у — показатель, характеризующий давление поли-
тропного газа; параметр v характеризует симметрию течения газа.
Полагая в уравнениях (2.5) v = 0, получаем плоскосимметричные
уравнения движения
+ + = 4- + (ar + ₽s)-g-«0. (2.6)
При у = 3 уравнения (2.6) разделяются на два независимых квази-
линейных уравнения
ds । ds n dr . dr n .«
-5г + *-ёГ = °; -ёг + г-эг = °- (2-7>
Рассмотрим уравнения движения, близкие к уравнениям (2.7) —
плоскосимметричным и разделенным. Для этого положим
v — е, у = 3 + еДу, 0 < е < 1. (2.8)
Подставляя v и у согласно формулам (2.8) в уравнения (2.5), получаем
систему
-g- + «4=eFx(^r1S); ^ + г^=ЕРй(*,г,8}1 (2.9)
где
„ . , г2 — s2 Дг , , ds . А rZ s2
Fl К, G s) = —-------(s — г) + еДу ;
Рй (х, rs s) =
Г2 — S2
Ду , . дг . г2 — в2
-r^r~S^—x-----
При е = 0 система (2.9) расщепляется на два независимых квазили-
нейных уравнения типа (2.7). При е += 0 после ряда выкладок, кото-
рые здесь не приводим, получаем следующую разделенную систему
(с точностью до величин порядка е включительно) для новых перемен-
ных zx, za, связанных формулами найденной нами замены перемен-
ных:
gzt . 6zt ___________ / zt I Дт 8zi
dxt Z1 dxa у 2xz ' i Z1 dxz
0Z2 I -
дхг ”1 8 дха
Л? „ 8z2
4 2 дха j *
ЛИТЕРАТУРНЫЕ КОММЕНТАРИИ
К главе 1
§ 1. В основу изложения положены работы авторов настоящей монографии
[47, 71, 75], в которых при изучении систем дифференциальных уравнений осу
ществляется переход к векторным полям и алгебрам Ли, порождаемым этой си-
стемой. Общие вопросы теории гладких многообразий, векторных полей и алгебр
Ли можно найти в работах [4, 92, 101]. Алгебры формальных векторных полей
и исследования на их основе структуры дифференциальных уравнений описаны
в работах [122, 135]. В работе [3] развивается метод исчисления, основанный на
экспоненциальном представлении потоков, определяемых нестационарными обык-
новенными дифференциальными уравнениями, и отражающий наиболее общие
теоретико-групповые свойства потоков. Рассмотрены различные прикладные
аспекты такого подхода, в особенности в применении к задачам теории управле-
ния и оптимизации.
§ 2. Классическое определение 2.1 рядов Ли было дано самим С. Ли [130].
Наиболее полно теорию рядов Ли развил В. Гребнер [125]. А. Н. Филатов обоб-
щил понятие ряда Ли [НО]. Теоремы 2.2, 2.3 приведены для удобства изложе-
ния, при их доказательстве использована работа [110]. Классическая теория групп
Ли разработана для конечномерных групп и алгебр Ли. Фундаментальным ре-
зультатом теории локальных конечномерных групп Ли является установление
факта соответствия между группами и алгебрами Ли. Алгоритм соответствия
реализуется в так называемых трех теоремах Ли. По классической теории Ли
существует обширная монографическая литература (см., например, работы [30,
96, 100, 102, 114, 115, 117, 118]). Указанное соответствие между конечномерными
группами и алгебрами Ли осуществляется интегрированием дифференциальных
уравнений. Этот подход был предложен С. Ли. Другой метод, основанный на
рассмотрении однопараметрических групп, связан с идеями Кэмпбелла — Хаус-
дорфа [115, 118, 120]. В нем также используются ряды Ли, что позволяет полу-
чить ряд существенных обобщений [33]. Для поставленных в данной книге задач
аппарат теории конечномерных непрерывных групп и алгебр Ли оказался явно
недостаточным. Это потребовало рассмотрения более общего объекта — псевдо-
группы. Примером псевдогрупп являются бесконечномерные группы С. Ли и
Е. Картана, для которых существует хорошо разработанная теория [121, 130].
Представляет интерес перенесение ряда результатов из классической теории
групп Ли на псевдогруппы. Подробно эти вопросы освещаются в монографии
Л. В. Овсянникова [95]. В частности, показано, что фундаментальный результат
о соответствии между группами и алгебрами Ли и Картана справедлив.
Введение обертывающей псевдогруппы G (ЯЗ), порождаемой алгеброй Ли S3,
является дальнейшим развитием работ [47, 71, 73].
Представление элементов псевдогруппы Сб (S3) в виде рядов Ли и доказа-
тельство теоремы 2.8 о локальном соответствии между алгебрами и псевдогруп-
пой в приведенном контексте щшнадлежат авторам и ранее не публиковались.
§ 3. Вывод формулы Кэмпбелла — Хаусдорфа заимствован из работы [120].
§ 4. Теория С. Ли применительно к системам обыкновенных дифференци-
альных уравнений излагается в сравнительно небольшом числе работ. Элемен-
тарное введение приведено в книгах [1, 25]. Работа [123] посвящена обыкновен-
ным дифференциальным уравнениям высокого порядка. Вопрос понижения
264
порядка дифференциальных уравнений на основе нахождения однопараметричес-
ких допустимых групп преобразований изложен в небольшой главе работы [40].
Здесь же рассмотрены различные приложения в астрофизике. В основных руко-
водствах по теории групп Лп [94, 96, 115, 118], базирующихся на теории про-
долженных операторов, как правило, изучаются более общие объекты — си-
стемы полных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с одной
зависимой переменной.
Материал данного параграфа основывается на результатах работы [120].
Однако в ней изучается главным образом вопрос о том, как можно найти инте-
гралы полной системы уравнений в частных производных первого порядка, если
известна некоторая группа преобразований, допустимая этой системой. Задача
считается положительно решенной, если в процессе нахождения интегралов ис-
пользуются либо алгебраические операции, либо операции по интегрированию
систем обыкновенных дифференциальных уравнений более низкого порядка по
сравнению с теми, которые получаются из исходной системы.
Цельное изложение теории Ли, приведенное в параграфе применительно к
системам обыкновенных дифференциальных уравнений, является оригинальным
и публикуется впервые. Наряду с воспроизведением теорем 4.3, 4.4, вскрываю-
щих суть теоретико-группового подхода С. Ли, доказаны новые теоремы 4.1, 4.2.
Основной результат цитированной выше книги [40] повторяет теорему 4.3, однако
приведенное там доказательство — достаточно сложное.
К главе 2
§ 1. Теория ассоциативных конечномерных алгебр была применена для
исследования алгебраической приводимости систем линейных обыкновенных диф-
ференциальных уравнений с переменными коэффициентами в работе [46]. В ней
был предложен термин «алгебраически приводимые дифференциальные системы».
Изложение данного параграфа следует этой работе.
Специфика исследуемых алгебр состоит в том, что они являются матричны-
ми. Поэтому необходимость перехода к регулярным представлениям отпадает.
Теоремы 1.1, 1.2, 1.10, 1.12, 1.18, 1.19 и 1.21 принадлежат авторам. Остальные
теоремы, приведенные для полноты изложения, заимствованы из работ [29, 116].
Другой подход к задачам алгебраической приводимости, основанный на при-
менении групповой симметрии, давно используется в теории колебаний молекул
(см., например, [66]), в механике [34J. Плодотворным этот подход оказался и в
задачах теории управления [41—43].
§ 2. Содержание данного параграфа следует работам [63, 81].
§ 3. Чтобы дать более полное представление о теории матриц, коммутирую-
щих со своей производной, приводятся результаты других авторов. Основопо-
лагающей в этом вопросе является работа [8]. Теорема 3.3 была доказана после
знакомства с этой работой (см. также [48, 49]).
§ 4. Развиваются результаты наших работ [71, 73]. Центральное место среди
них занимают теоремы 4.6, 4.7, обобщающие условия декомпозируемости (агре-
гируемости). Эти теоремы публикуются впервые. Наряду с ними доказаны вспо-
могательные теоремы 4.1—4.5 и лемма 4.1. Эти теоремы также доказаны нами и в
данном контексте являются новыми. С современным состоянием теории декомпо-
зиции и ее приложениями можно ознакомиться по обзорным работам [2, 13]. Тер-
мин «агрегирование», заимствованный из работы [97], используется как синоним
приводимости.
§ 5. Содержание параграфа следует работе [50].
§ 6. Результаты § 1 распространяются на широкий класс линейных систем.
Содержание параграфа следует работе [72].
К гл аве 8
§ 1. В основу изложения положены работы авторов [51—63, 70, 131, 132,
71—85], использующие в качестве преобразований ряды Ли по малому парамет-
ру. В настоящей работе вместо термина «система централизатора», введенного в
работе [78], используется термин «централизованная система».
265
§ 2. Частичные варианты теоремы 2.1 опубликованы в работах [78, 79, 85].
Теорема 2.2 была анонсирована в работе [60].
§ 3. Изложение следует нашей работе [78]. Системы (3.6) (или (3.7)) получили
в литературе название систем дифференциальных уравнений с одинаковыми глав-
ными частями (см., например, работу [39, с. 146]). Системы вида (3.7) изучались
Якоби (см. [124, с. 381]). Наряду с ними он рассматривал и более общие системы,
получившие название обобщенных систем Якоби. По существу, принципиальной
разницы в интегрировании систем вида (3.6) или (3.7) нет. Более того, система
(3.6) может быть приведена к системе (3.7). Этим, на наш взгляд, оправдывается
название «система Якоби» вместо более длинного «система уравнений в частных
производных с одинаковыми главными частями» (см., например, работу [39]).
§ 4. Содержание параграфа является развернутым доказательством резуль-
татов работы [78].
§ 5. Материал полностью оригинален.
§ 6. Проведено развернутое доказательство результатов работ [78, 85].
§ 7. Содержание параграфа полностью оригинально. Задача рассматрива-
лась ранее в работе [54].
К главе 4
§ 1. Приводятся известные результаты из теории линейных операторов и
представлений алгебр Ли. Изложение в данном контексте оригинально и принад-
лежит авторам.
§ 2—6. Материал полностью оригинален и является конкретным примене-
нием результатов гл. 3 к линейным системам с постоянными коэффициентами.
Обертывающие алгебры как нулевого приближения, так и возмущенной системы
являются конечномерными. Импримитивные множества в этом случае — это ли-
нейные пространства. Вследствие перехода в этих пространствах к представлению
операторов матрицами все основные задачи сводятся к задачам линейной алгеб-
ры. Неожиданными и, на наш взгляд, изящными являются результаты теоремы
3.2 и следствия 3.1, которые устанавливают связь обычного скалярного произ-
ведения в пространстве И(п,п) с формой Пиллинга: (JK, S') = tr (ad ad S'),
где jS, 3/ — элементы алгебры Ли, определяющей скалярное произведение в
алгебре Ли. Материал главы опубликован в виде препринта [83].
К главе 5
§ 1—5 являются полностью оригинальными. Благодаря матричным представ-
лениям операторов все вычисления сводятся к простейшим уравнениям линейной
алгебры. Материал § 1—4 опубликован в препринте [84].
К главе 6
Содержание § 1, 2 является оригинальным и иллюстрирует возможности,
представляемые привлечением аппарата теории представлений алгебр Ли. Ма-
териал § 1 опубликован в препринте [84]. Другой подход использован в работах
авторов [74, 75, 133]. По теории представлений алгебр Ли см. работы [5, 10, 30,
Й2].
К главе 7
§ 1 носит характер введения в метод асимптотической декомпозиции на
пфаффовых формах. Изложение следует работе [77]. Более подробно см. работы
[57, 58, 77].
§ 2 иллюстрирует возможности локального подхода в методе асимптотиче-
ской декомпозиции. Изложение следует работе [70].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Харьков :
ДНТВУ, 1938,— 720 с.
2. Андреев Ю. Н. Дифференциально-геометрические методы в теории уп-
равления // Автоматика и телемеханика.— 1982.— № 10.— С. 5—46.
3. Аргачев А. А., Гамкерлидзе Р. В. Экспоненциальное представление по-
токов и хронологическое исчисление И Мат. сб.— 1978.— 107, № 4.— С. 467—
532.
4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики.— М. :
Наука, 1974.— 431 с.
5. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения:
В 2 т,— М. : Мир, 1980.— Т. 1—2.
6. Бибиков Ю. Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравне-
ний.— Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1981.— 232 с.
7. Богаевский В. Н., Повзнер А. Я. Линейные методы в нелинейной теории
возмущений дифференпиальных уравнений // IX Междунар. конф, по нелинейн.
колебаниям.— Киев : Наук, думка, 1984.— С. 9Э—93.
8. Богданов Ю. С., Чеботарев Г. Н. О матрицах, коммутирующих со своей
производной И Изв. вузов. Сер. Математика.— 1959.— 11, № 4, С. 27—37.
9. Боголюбов Н. И. О некоторых статистических методах в математической
физике.— Киев : Изд-во АН УССР, 1945.— 137 с.
10. Боголюбов Н. Н. Лекции по теории симметрии элементарных частиц.—
М. : Изд-во Моск, ун-та, 1986.— 210 с.
11. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ус-
коренной сходимости в нелинейной механике.— Киев : Наук, думка, 1969.—
440 с.
12. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео-
рии нелинейных колебаний.— М. : Наука, 1974.— 504 с.
13. Богоявленский А. А., Емельянова И. С., Мархашов Л. Н. и др. Группо-
вые методы исследований уравнений механики систем конечного числа степеней
свободы // Устойчивость движения, аналитическая механика, управление дви-
жением.— М. : Наука, 1981.— С. 69—93.
14. Брюно А. Д. Нормальные формы и методы осреднения// Докл.
АН СССР.— 1976.— 240, № 2,- С. 257—260.
15. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциаль-
ных уравнений.— М. : Наука, 1979.— 254 с.
16. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли.— М. : Мир, 1976.— 496 с.
17. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений
сингулярно возмущенных уравнений.— М. : Наука, 1973.— 272 с.
18. Воеводин В. В. Линейная алгебра.— М. : Наука, 1974.— 336 с.
19. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных
колебаний систем.— М. : Изд-во Моск, ун-та, 1971.— 506 с.
20. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных урав-
нений.— М. ; Л. : Гостехиздат, 1950.— 436 с.
21. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа не-
линейных систем.— М. : Наука, 1979.— 432 с.
267
22. Гребенников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах.— М. :
Наука, 1986.— 256 с.
23. Гроздовский Г. Л., Иванов Ю. И., Токарев В. В. Механика космического
полета с малой тягой.— М. : Наука, 1966.— 679 с.
24. Гурса Э. Курс математического анализа.— М. ; Л. : Гостехиздат,
1933.— Т. 3, ч. 1.— 276 с.
25. Гурса Э. Курс математического анализа.— М. ; Л. : Гостехиздат,
1936,— Т. 2.— 564 с.
26. Гюнтер И. М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных
производных.— М. ; Л. : ГТТИ, 1934.— 360 с.
27. Джакалъя Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем.—
М. : Наука, 1979,— 320 с.
28. Джекобсон И. Алгебры Ли.— М. : Изд-во иностр, лит. 1964.— 356 с.
29. Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры.— Киев : Ви-
ща шк., 1980.— 190 с.
30. Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представления.— М. :
Наука, 1970.— 664 с.
31. Журавлев В. Ф. Метод рядов Ли в проблеме разделения движений в не-
линейной механике И Прикл. математика и механика,— 1983.— 47, № 4.—
С. 559—565.
32. Журавлев В. Ф. О применении одночленных групп Ли к проблеме асимп-
тотического интегрирования уравнений механики // X Междунар. конф, по не-
линейн. колебаниям : Докл.— София : Изд-во БАН, 1985.— С. 77—80.
33. Зайцев Г. А. Алгебраические проблемы математической и теоретиче-
ской физики.— М. : Наука, 1974.— 192 с.
34. Злокович Дж. Теория групп и G-векторных пространств в колебаниях,
устойчивости и статике.— М. : Стройиздат, 1977.— 164 с.
35. Ибрагимов И. X. Группы преобразований в математической физике.—
М. : Наука, 1983.— 280 с.
36. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.— М. : Нау-
ка, 1978.— 240 с.
37. Крылов И. М., Бозолюбов Н. И. Приложения методов нелинейной меха-
ники к теории стационарных колебаний.— Киев : Изд-во АН УССР, 1934.—
112 с.
38. Крылов И. М., Боголюбов И. И. Введение в нелинейную механику.—
Киев : Изд-во АН УССР, 1937.— 363 с.
39. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М. : Мир, 1964.—
830 с.
40. Курт Р. Анализ размерностей в астрофизике.— М. : Мир, 1975.— 230 с.
41. Кухтенко А. И. Основные направления развития теории управления
сложными системами//Кибернетика и вычисл. техника.— 1968.— Вып. 4.—
С. 3-15.
42. Кухтенко А. И., Удилов В. В. Применение теории представлений групп
для решения задач стабилизации упругих космических объектов//Там же,—
1971,— Вып. 8,— С. 4-17.
43. Кухтенко А. И., Семенов В. Н., Удилов В. В. Геометрические и абст-
рактно-алгебраические методы в теории автоматического управления И Там
же,— 1975.— Вып. 27.— С. 3—20.
44. Ланкастер П. Теория матриц.— М. : Наука, 1978.— 280 с.
45. Лебедев А. А., Чернобровкин Л. С. Динамика полета беспилотных ле-
тательных аппаратов.— М. : Оборонгиз, 1962.— 548 с.
46. Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.—
М. : Наука, 1981.— 400 с.
47. Лопатин А. К. Об алгебраической приводимости систем линейных
дифференциальных уравнений И Дифференц. уравнения.— 1968.— 4, № 3.—
С. 439—445.
48. Лопатин А. К. О критерии Лаппо-Данилевского И Тр. семинара по мат.
физике.— Киев : Ии-т математики АН УССР, 1968.— Вып. 2.— С. 148—167.
49. Лопатин А. К. О критерии Лаппо-Данилевского И Докл. АН БССР.—
1969.— 13, № 2.— С. 107—109.
50. Лопатин А. К. Условия полноты порождающей линейной оболочки си-
стемы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их приводи-
268
мость И Метод интегральных многообразий в нелинейных дифференциальных
уравнениях.— Киев : Ин-т математики АН УССР, 1972.— С. 146—154.
51. Лопатин А. К. Асимптотическое расщепление систем нелинейных диф-
ференциальных уравнений И Всесоюз. конф. «Инвариантность, автономность,
устойчивость» : Тез. докл.— Киев : Ин-т кибернетики АН УССР, 1976.— С. 8.
52. Лопатин А. К. Исследования асимптотического взаимодействия коле-
бательных составляющих в методе гармонического баланса. // Проблемы асимп-
тотической теории нелинейных колебаний.— Киев : Ин-т математики АН УССР,
1977,— С. 138—143.
53. Лопатин А. К. Асимптотическое расщепление систем нелинейных обык-
новенных дифференциальных уравнений высокой размерности // Кибернетика
и вычисл. техника.— 1978.—Вып. 39.— С. 39—45.
54. Лопатин А. К. Асимптотическое расщепление почти инвариантных
систем И Теоретико-групповые методы в физике : Междунар. симпоз., Звениго-
род.— М. : Наука, 1980,— Т. 2,— С. 342—347.
55. Лопатин А. К. Асимптотическое расщепление почти линейных си-
стем И Аналитические методы нелинейной механики.— Киев : Ин-т математики
АН УССР, 1981,— С. 67—80.
56. Лопатин А. К. Метод асимптотической декомпозиции в задачах динами-
ки систем И Теоретическая и прикладная механика : IV наук, конгр, по теорет.
и прикл. механика (Варна, 14—18 сент. 1981 г.) — София : Изд-во БАН, 1982.—
С. 149—157.
57. Лопатин А. К. Асимптотическое расщепление вполне интегрируемых
пфаффовых систем.— // Методы нелинейной механики и их применение.— Киев :
Ин-т математики АН УССР,— 1982.— С. 47—59.
58. Лопатин А. К. К вопросу построения интегрального многообразия
пфаффовой системы в инволюции.— Там же.— С. 59—70.
59. Лопатин А. К. Асимптотическая декомпозиция систем дифференциаль-
ных уравнений высокой размерности и ее приложения И IX Междунар. конф,
по нелинейн. колебаниям.— Киев : Наук, думка, 1984.— Т. 1.— С. 235—242.
60. Лопатин А. К. Теоретико-групповые критерии декомпозиции систем
обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром // Тез. докл.
II Всесоюз. конф. «Лаврентьевские чтения по математике, механике, физике».—
Киев : Ин-т математики АН УССР, 1985.— С. 145—147.
61. Лопатин А. К. Декомпозиция систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с полиномиальными коэффициентами // Мат. физика и нелинейн. ме-
ханика.— 1985.— Вып. 3.— С. 33—37.
62. Лопатин А. К. Асимптотическое разделение движений на быстрые и
медленные в системах обыкновенных дифференциальных уравнений с малым
параметром и полиномиальными коэффициентами // Там же.— Вып. 4.—
С. 48—53.
63. Лопатин А. К. Декомпозиция систем линейных обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами по нильпотентной со-
ставляющей // Дифференц. уравнения.— 1986.— 22, № 8, С. 1449—1451.
64. Ляпин Е. С. Полугруппы.— М. : Физматгиз, 1960.— 592 с.
65. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений.— Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1955.— 656 с.
66. Маянц Л. С. Теория и расчет колебаний молекул.— М. : Изд-во
АН СССР, I960,— 528 с.
67. Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных.— М. : Мир, 1981.—
342 с.
68. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.—
Киев : Наук, думка, 1971.— 440 с.
69. Митропольский Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационар-
ных колебаний.— М. : Наука, 1964.— 431 с.
70. Митропольский Ю. А. Развитие метода усреднения И IX Междунар.
конф, по нелинейн. колебаниям,— Киев : Наук, думка, 1984.— Т. 1.— С. 23—
34.
71. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. О декомпозиции нелинейных
систем И Докл. АН УССР. Сер. А.— 1972.— № 12.— С. 1078—1081.
72. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Понижение порядка линейных
систем на основе алгебраического приведения и некоторые приложения к зада-
269
чам механики электротехники И Метод интегральных многообразий в нелиней-
ных дифференциальных уравнениях.— Киев : Ин-т математики АН УССР.
1972,— С. 32—59.
73. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. О преобразовании систем не-
линейных дифференциальных уравнений к нормальной форме И Мат. физика,—
1973.— Вып. 14.— С. 125—140.
74. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Развитие асимптотического ме-
тода применительно к исследованию колебательных и волновых процессов //
VII Intern. Konf. uber Nichtlinear Schwingung.— Berlin : Akad. Verl. 1977.—
Bd Va-— C. 95—106.
75. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Обобщение асимптотического ме-
тода на основе операции «погружения» в теории колебаний систем с сосредото-
ченными параметрами И Там же.— С. 117—123.
76. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Асимптотическое расщепление
дифференциальных систем И Тр. VIII Междунар. конф, по теории нелинейн.
колебаний.— Прага, 1978.— С. 959—964.
77. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Асимптотическое расщепле-
ние систем дифференциальных уравнений.— Киев, 1979.— 68 с.— (Препр. /
АН УССР. Ин-т математики ; 79.2).
78. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Асимптотическая декомпози-
ция систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений И Укр.
мат. журн.— 1984.— 36, № 1,— С. 35—44.
79. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Теоретико-групповой подход
в асимптотических методах нелинейной механики И X Междунар. конф, по не-
линейн. колебаниям : Докл.— София : Изд-во БАН, 1985.— С. 103—106.
80. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Векторные поля, алгебры и
группы, порождаемые системой обыкновенных дифференциальных уравнений,
и их свойств...— Киев, 1985.— 63 с.— (Препр. / АН УССР. Ин-т математики ;
85.73).
81. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Декомпозиция систем обык-
новенных дифференциальных уравнений.— Киев, 1985.— 64 с.— (Препр. /
АН УССР. Ин-т математики ; 85.74).
82. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Асимптотическая декомпози-
ция обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром.— Киев,
1986.— 56 с.— (Препр. / АН УССР. Ин-т математики ; 86, 71).
83. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Асимптотическая декомпози-
ция линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами и малым параметром.— Киев, 1986.— 56 с.— (Препр. / АН УССР. Ин-т
математики ; 86, 72).
84. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Асимптотическая декомпози-
ция дифференциальных систем с малым параметром в пространстве представле-
ний конечномерной группы Ли.— Киев, 1986.— 56 с.— (Препр. / АН УССР.
Ин-т математики; 86.73).
85. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Теоретико-групповые аспекты
асимптотических методов линейной механики // Мат. физика и нелинейн. меха-
пика. 1986.— Вып. 5.— С. 34—45.
86. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в
нелинейной механике.— М. : Наука, 1973.— 512 с.
87. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б. И. Асимптотические решения
уравнений в частных производных.— Киев : Вища гпк., 1976.— 592 с.
88. Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. К вопросу об асимптотиче-
ских разложениях нелинейной механики И Укр. мат. журн.— 1976.— 31, № 1.—
С. 42—53.
89. Мищенко Е. Ф., Розов Б. X. Дифференциальные уравнения с малым па-
раметром и релаксационные колебания.— М. : Наука, 1975.— 247 с.
90. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики.— М. :
Наука, 1981.— 400 с.
91. Морозов В. В. О коммутативных матрицах // Учен. зап. Казан, ун-та,—
1952,— 112, № 9,— С. 17—20.
92. Наймарк М. А. Теория представлений групп.—М. : Наука, 1976.—
560 с.
93. Найфе А. X. Методы возмущений.— М. : Мир, 1976.— 456 с.
270
94. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений.—
Новосибирск : Б. И., 1962.— 130 с.
95. Овсянников Л. В. Аналитические группы.— Новосибирск : Новосиб.
ун-т, 1972,— 238 с.
96. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.—
М. : Наука, 1978.— 400 с.
97. Павловский Ю. Н. К вопросу об интегрировании и построении иерархи-
ческих управляющих структур для одного класса сложных систем // Журн. вы-
числ. математики и мат. физики.— 1971.— 11, № 6, С. 1510—1520.
98. Поммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдо-
группы Ли.— М. : Мир, 1983.— 400 с.
99. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М. :
Физматгиз, 1961.— 312 с.
100. Понтрягин Л. С. Непрерывные группы.— М. : Наука, 1973.— 519 о.
101. Постников М. Н. Введение в теорию Морса.— М. : Наука, 1971.—
568 с.
102. Постников М. Н. Группы и алгебры Ли.— М. : Наука, 1982,— 448 с.
103. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравне-
ний.— М. : Наука, 1978.— 592 с.
104. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М. :
Изд-во иностр, лит., 1953.— Т. 2.— 346 о.
105. Свирижев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сооб-
ществ.— М. : Наука, 1978.— 352 с.
106. Сибирский К. С. Введение в алгебраическую теорию инвариантов диф-
ференциальных уравнений.— Кишинев : Штиинца, 1982.— 168 с.
107. Старжинский В. М. Прикладные методы нелинейных колебаний.—
М. : Наука, 1977.— 256 с.
108. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. И. Вычислительные методы линейной алгеб-
ры.— М. : Физматгиз, 1963.— 734 с.
109. Федоров Ф. И. Об одном обобщении критерия Лаппо-Данилевского И
Докл. АН БССР.— I960.— 4, № 11.— С. 454—455.
110. Филатов А. Н. Обобщенные ряды Ли и их приложение.— Ташкент:
Изд-во АН УзССР, 1963.— 108 с.
111. Филатов А. И. Асимптотические методы в теории дифференциальных
и интегродифференциальных уравнений.— Ташкент : Фан, 1974.— 214 с.
112. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла.—
Киев : Наук, думка, 1983.— 200 с.
113. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах.— М. : Мир,
1968,— 432 с.
114. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические простран-
ства.— М. : Мир, 1964.— 534 с.
115. Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли.— М. ; Л. : Гостехиздат, 1940.—
336 с.
116. Чеботарев Н. Г. Введение в теорию алгебр.— М. ; Л. : Гостехиздат,
1949,— 88 с.
117. Шевалле К. Теория групп Ли: В 3 т.— М. : Изд-во иностр, лит., 1948.—
Т. 1,— 312 с.
118. Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований.— М. : Изд-во
иностр, лит., 1947.— 360 с.
119. Bogaevsky V. N.. Povzner A. Ya. Linear methods in nonlinear problems
with a small parameter//Leet. Notes Math., Asympt. anal.— 1983.—N 985.—
P. 441—448.
120. Campbell I. E. Introductory treatise on Lie’s theory of finite continuous
transformations of groups.— Oxford : Clarendon press, 1903 — 412 p.
121. Cartan E. Sur la structure des groups infinis de transformations.
OEUVRES.— Paris, 1953.— Pt 2, vol. 2.— 794 p.
122. Chen К. T. Equivalence and decomposition of vector fields about an ele-
mentary critical points//Amer. J. Math.— 1963.—85, N 4.—P. 693—722.
123. Dickson L. E. Differential equations from the group stand point // Ann.
Math.— 1924,— 25, N 2,— P. 287—378.
124. Coursat E. Lecons sur 1’entegration des equations aux derivees partiel-
les du premier ordre, Deuxieme edition revul et augmentee.— Paris, 1921.= To же.
271
Гурса Е. Интегрирование уравнений с частными производными первого поряд-
ка.— Киев : Рад. шк., 1941.— 404 с.
125. Grbbner W. Die Lie-Reihen und ihre Anwendungen.— Berlin : Dtsch.
Verl. Wise., I960.— 176 S.
126. ffori G. Theory of general perturbations with unspecified canonical va-
riables // J. Japan. Astron. Soc.— 1966.— 18, N 4.— P. 287—296.
127. Hori G. Lie transformations in nonhamiltonian systems 11 Lecture no-
tes, Summer Institute in Orbital Mechanics.— Austin : Univ. Texas, 1970.
128. Kamel A. A perturbations methods in the theory of nonlinear oscilla-
tions//Celest. Meeh.— 1970.— 3, N 1.— P. 90—106.
129. Kirchgraber U., Stiefel E. Methoden der analytischen storungsrechnung
und Anwedungen.— Stuttgart : Teubner, 1978.— 294 S.
130. Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen.—• Leipzig : Teub-
ner, 1888—1893.—Bd 1—3.
131. Lopatin A. K. Asymptotische Zerlegung von systemen nichtlinearer
gewonlicher Differentialgleichungen H Schriftenreiche Zentralinst. Math. und
Meeh.— 1978.— N 26.— P. 17—22.
132. Mitropolsky Yu. A. Sur la decompositions asymptotique des systemes
differentiels fondee sur des transformations de Lie // Nonlinear differential equa-
tions, invariance, stability and bifurcation I Eds de Mottoni, L. Salvador!.— New
York} London : Acad, press, 1981.— P. 283—326.
133. Mitropolsky Yu. A., Lopatin A. K. La methode asymptotique dans la
theorie des progressus nonlineaires ondulatoires et oscillatoires // Boll. Unione
math. ital.— 1975.— 4, N 11.— P. 413—429.
134. Povzner A. Linear methods in problems of nonlinear differential equations
with a small parameter // Int. J. Non-Linear Meeh.— 1974.— 9, N 4.— P. 279—
323.
135. Sternberg S. Infinite Lie groups and formal aspects of dynamical systems ll
J. Math, and Meeh.— 1961.— 10, N 3.— P. 451—471.
Монография
Юрий Алексеевич Митропольский
Алексей Константинович Лопатин
ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ПОДХОД
В АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ
НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИКИ
Утверждено к печати ученым советом Института математики АН УССР
Редактор С. Д. Кошцс. Художественный редактор И. П. Антонюк.
Технический редактор Н, И, Лукашенко, Корректоры Л, И, Лем6акл
7. В. Пантелеймонова
ИБ № 9316
Сдано в набор 05.06.87. Подп. к печ. 22.10.87. БФ 25673, Формат 60x90/16. Бум. кн. журц.
Обыкн. нов. гарн. Выс. печ. Усл. печ. л. 17,0. Усл. кр.-отт. 17,0. Уч.-нзд. л. 21,03. Тираж 1150.
зкз. Заказ 7—1641. Цена 4 р. 50 к.
Издательство «Наукова думка>, 2Б2601 Киев 4, ул. Репина, 3.
Отпечатано с матриц Головного предприятия республиканского производственного объедине-
ния «Полиграфкннга», 252057 Киев 67, ул. Д вженко, 3 в Киевской книжной типографии
научной книги. 252004, Киев 4, ул. Репина, 4. Зак. 7—850.