МАТЕМАТИКА
В ШКОЛЕ
НОЯБРЬ
ДЕКАБРЬ
6 *1971
СОДЕРЖАНИЕ
Современная математика и математика в современной школе 2
НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
Ориентация в пространстве 4
Длина дуги окружности 9
МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
Из нового учебного пособия по геометрии для VI класса 13
О задачах по готовым чертежам 21
Об одном типе задач на логарифмы 25
Заметки с уроков
Координатная плоскость 26
Технические средства обучения.
Наглядные пособия
Применение кодоскопа на уроках математики 27
Универсальное пособие по геометрии 32
Элементы программированного контроля в IV классе 37
В помощь начинающему учителю
Контрольные работы по математике на II полугодие 37
Материалы для факультативных занятий
Матрицы и преобразования в средней школе 45
Проблемы и суждения
О методической подготовке современного учителя математики в педагогическом институте 52
Внеклассная работа
О замечательном квадратном трехчлене Эйлера 12
Материалы для кружковой работы в IV классе 56
О внеклассной работе по математике в IV классе 57
Метрические соотношения элементов четырехугольника, вписанного в окружность 59
Алгебраической метод решения задач на построение 62
Аналог парадокса Бертрана в случае правильного «-угольника 63
Республиканские телевизионные передачи для юных математиков 85
XIII Международная 65
Задачи 71
УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
Академик Иван Матвеевич Виноградов 79
Математический календарь на 1971/72 учебный год 80
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
Издание новых учебников и учебных пособий по математике для средней
школы 81
Таким ли должен быть школьный курс геометрии? 82
О пособии для факультативных занятий в X классе 84
ЗА РУБЕЖОМ
К вопросам обучения математике в общеобразовательных политехнических
средних школах ГДР 86
НЕКРОЛОГИ
Александр Геннадиевич Куродп 89
Иосиф Венедиктович Погребысский 31
Тематический указатель статей, помещенных в журнале за 1971 г. 93
А. Н. Колмогоров
А. И. Фетисов С. Г. Гиндикин
А. Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, Ф. Ф. Нагибин,
Р. С. Черкасов Я. И. Груденов Н. А. Заборонков
В. Н. Руденко
В. Г. Болтянский В. С. Проценко В. В. Попов
В. И. Мишин
Ю. М. Колягин
М. С. Гельфанд А. Н. Югринова М. В. Паюл
A. К. Кетлер
B. М. Медведев, Л. И. Прокопьев В. Лютикас
Л. В. Кованцова, Г. Н. Скобелев, В. П. Берман И. С. Петраков, В. А. Скворцов
В. И. Нечаев А. И. Бородин
С. В. Пазельский
Н. Н. Шоластер
Б. Н. Белый, 3. Г. Шефтель
К. X. Вебер
О. Н. Головин Б. В. Гнеденко


А. 	Н. КОЛМОГОРОВ (Москва)
Современная математика и математика в современной школе
Хотя существует много популярных книг, кот.орые/ставят своей задачей разъяснение самым широким кругам читателей особенности «современной математики» *, сам термин, естественно, не обладает достаточной определенностью. Когда говорят о «модернизации» школьного курса математики, обычно имеют в виду две по существу различные тенденции:
1. Иногда дело идет о систематическом построении школьного курса на основе элементарных понятий теории множеств с подчинением конкретных классов функций (например, числовых функций числового переменного) общему понятию отображения, изучении общих свойств бинарных отношений (рефлексивность, симметричность и антисимметричность, транзитивность), выдвижении на первый план понятия группы и т. д.
2. В других случаях центр тяжести переносится на внедрение в школьное преподавание элементов дискретной математики, которые и в самой науке выдвинулись на первый план в связи с задачами переработки информации и развитием машинной вычислительной техники (математическая логика в ее прикладном аспекте, графы, дискретная теория вероятностей и т. д.).
Часто, впрочем, вторая тенденция служит скорее для украшения первой и придания ей видимости неизбежного следствия из настоятельных требований практики. В действительности школьник на уроках черчения, физики и других школьных предметов обучения, как и на трудовых практикумах, или в кружках технического творчества пока чаще всего имеет дело с вполне традиционным математическим аппаратом. И все-таки, глядя в будущее, необходимо уже сейчас строить школьный курс так, чтобы учащиеся были подготовлены к восприятию новых аспектов прикладной математики. В частности, надо думать, что овладение языками типа «алгол» или «фортран», позволяющими формулиро¬
1 Кажется, всего богаче такая литература во Франции. Например: L. Felix, L’aspect moderne de mathe- matiques: A. Revuz, Mathematique moderne, mathema- tique vivante.
вать задачи для машин, перерабатывающих информацию, может стать действительно массовой потребностью. Пока же общеобразовательной школе важнее создать надлежащие навыки мысли, чем тратить большое время на изучение конкретных «машинных языков».
Машина не может поправлять данный ей заказ при помощи здравого смысла и интуиции. С ней надо разговаривать на языке, обладающем полной формальной определенностью и ясностью. Таким образом, перспективные практические потребности смыкаются со стремлением к более строгому с логической стороны построению школьного курса математики в духе первой из отмеченных выше тенденций. ,
Возвращаясь к этой первой тенденции, надо сказать, что не вызывает сомнений общее положение: в целом последовательно современное изложение математики, начинающееся с весьма общих понятий множества, отображения, группы, упрощает ее. Открывая в разнообразных частных фактах общую их основу, мы делаем изложение более кратким и в ко- печном счете более простым и доходчивым.
Но оговорка «в конечном счете» весьма существенна. Например, введение общего понятия группы оправдывает себя лишь, если число его применений будет достаточно большим. Так как понятие группы преобразований для своего усвоения требует меньше усилий, то заслуживает внимания и мнение, что в школе надо ограничиться им или ввести его ранее, чем абстрактное понятие группы. Введение же понятия группы только для того, чтобы объяснить групповые свойства обычного сложения и умножения чисел, кажется, вообще является роскошью. По возможности в каждого типа школе надо избегать абстракций, которые не получат полного оправдания в рамках курса этой же школы.
Введение нового общего понятия должно получать некоторое, достаточно убедительное оправдание уже в эвристическом введении, предшествующем формальнохму определению, или же непосредственно после его появления.
Совершенно необходимо точное согласова¬
2


ние модернизации школьного курса математики со стилем употребления математики в преподавании смежных предметов, особенно физики. Задача эта не легка, так как физики, задающие в наше время тон, сами обучены математике, в некоторых отношениях далеко не современной.
В виде примера рассмотрим взаимоотношение между понятиями числа и скалярной величины. Второе из этих понятий обычно вообще не появляется в ясном виде в курсе математики, но играет основную роль в представлениях физиков. Математики могут построить полную систему действительных чисел путем последовательного расширения первоначального запаса натуральных чисел и объяснить естественность такого расширения, исходя из «внутренних потребностей математической теории». Но в реальной жизни действительные числа служат для выражения скалярных величин (площадей, объемов, масс, скоростей и т. п.). Старая система изучения скалярных величин под названием «именованных чисел» изживает себя и справедливо не нравится современно настроенным математикам. Но новой системы еще не создано. Вместо этого усилия математиков часто оказываются направленными на то, чтобы по возможности поскорее избавиться от этих докучливых вопросов, объявив, например, в геометрии сразу (уже при формулировке аксиом) расстояние или меру угла числом.
В соответствии с этим из курсов геометрии исчезает тема «Однородность геометрических формул», которая, наоборот, должна была бы быть усилена и служить введением в столь важную в применениях теорию размерности величин. К сожалению, сейчас чем «современнее» и на более «высоком логическом уровне» строится курс математики, тем менее учащиеся имеют возможность подчинить этим логическим требованиям понимание записей типа
/=5 см /сек2
ИТ. д.
К сожалению, «модернизация» школьного курса математики часто практически производится без надлежащего контакта с преподаванием физики.
Современный подход к построению математических понятий, по существу, ведет и к более корректному логически и в то же время простому подходу к проблемам из самых различных областей применений. Но, не доведен¬
ный до логического конца, он может затруднить доступ к этим применениям. Рассмотрим еще один пример. В традиционном изложении геометрии равными назывались фигуры, наложимые друг на друга. «Фигура» могла оставаться самой собой, перемещаясь с места на место. В современных учебниках чаще всего фигура есть множество точек. Как известно, два множества равны только тогда, когда они состоят из тех же самых точек. Две различные фигуры не могут быть равными. Вместо равенства появилось понятие конгруэнтности. Конгруэнтны фигуры, если одну из них можно изометрически (с сохранением расстояний) отобразить на другую. Пользуясь нерасшиф- ровываемой до конца аналогией, математики называют изометрические отображения «движениями». Это понятие «движения» в курсе геометрии остается связанным с тем, что говорится о движении в курсе физики, лишь довольно смутным образом.
Между тем достигнуть здесь полной ясности совсем нетрудно. В механике представляют себе тело состоящим из «материальных точек». В каждый момент времени t каждая материальная точка М тела Ф занимает определенное положение в пространстве Mt. Мы имеем дело с отображением
(*, М)— Mt
пары (t, М) в точку пространства Mt. Если фиксировать положения тела в два момента времени t=О и t= 1, то получаем еще отображение
Afo—WWi.
Если наше тело «твердое», то это отображение изометрично. Мы видим, что изометрию на физическом языке более естественно называть перемещением, а не движением (движение есть процесс, а перемещение — его результат). Но и для движений находится вполне естественное место в расширенном в сторону кинематики современном курсе геометрии.
Задача состоит в том, чтобы уже в школе убедительно показать, что «современная математика» позволяет строить математические модели реальных ситуаций и процессов, изучаемых в применениях, не только не хуже, но логически последовательнее и проще, чем традиционная. Только в этом случае методисты математики сумеют предупредить уже намечающийся в некоторых странах бунт прикладников против проводимых нами преобразований школьного курса математики.
1*


НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ
А. 	И. ФЕТИСОВ (Москва)
Ориентация в пространстве
Отношение порядка и понятие ориентации играют очень важную роль в различных разделах современной математики, а также в механике, физике, астрономии, химии, биологии и в их разнообразных практических применениях. В то же время приходится, к сожалению, констатировать, что проблемы порядка и ориентации нашли очень слабое отражение и в школьных программах по математике и в учебниках. Что касается научной литературы, то и здесь внимание авторов по преимуществу останавливается на вопросах ориентации на прямой и на плоскости (см. нижеуказанную литературу), тогда как наиболее важные со всех точек зрения проблемы ориентации в пространстве освещены менее подробно. Поэтому мы сочли целесообразным дать некоторое представление о принципах и методах определения направления и ориентации в пространстве.
Для ориентации пространства мы должны иметь в нем по крайней мере одну ориентированную плоскость, а для того чтобы ориентировать плоскость, мы должны иметь в этой плоскости по крайней мере одну ориентированную прямую. Это обстоятельство заставляет нас дать сначала понятие об ориентации прямой и плоскости.
В основу ориентации прямой положены аксиомы порядка, которые излагаются в курсе оснований геометрии. Важнейшим выводом из них является то, что множество точек прямой
есть линейно упорядоченное плотное множество, не имеющее ни первой, ни последней точки.
Отсюда же получается и предложение, которое мы назовем первым постулатом разделения (Pi), так как аналогичные предложения о разделении для плоскости (Р2) и для пространства (Р3) являются почти тождественными с ним по своей логической структуре.
Рь Каждая точка данной прямой разделяет все остальные точки этой прямой на два не- пересекающихся подмножества. При этом две точки, принадлежащие одному и тому же подмножеству, являются концами отрезка, не содержащего разделяющую точку, а две точки, принадлежащие разным подмножествам, являются концами отрезка, содержащего разделяющую точку.
Каждое из полученных подмножеств называется полупрямой или лучом, разделяющая точка — их общей вершиной.
Чтобы ориентировать прямую, назовем одну из полупрямых положительным лучом, другую — отрицательным лучом.
Луч вполне определен, если дана его вершина и одна из принадлежащих ему точек.
Луч с вершиной Л, идущий к В, обозначим символом АВ.
Чтобы установить знаки лучей, идущих от любой точки той же прямой, будем пользоваться основным правилом:
Если В принадлежит положительному лучу с вершиной А, то точка А принадлежит отрицательному лучу с вершиной В.
Символически это запишется гак:
ВА 2= — АВ.
Знак « = » обозначает тождественность направлений.
Прямая, на которой установлены знаки лучей для любой ее точки, называется направленной прямой или осью.
Для ориентации плоскости будем опираться на второй постулат разделения.
Р2- Каждая прямая в плоскости разделяет все не принадлежащие ей точки этой плоскости на два непересекающихся подмножества. При этом две точки, принадлежащие одному и тому же подмножеству, являются концами отрезка, не пересекающего разделяющую прямую, а две точки, принадлежащие разным подмножествам, являются концами отрезка, пересекающего разделяющую прямую.
Подмножества, полученные от разделения, называются полуплоскостями, разделяющая прямая—их ребром. Полуплоскость, опреде¬
4


ляемую направлением ВС и точкой Л, обозначим символом ВС • А.
Чтобы ориентировать плоскость, разделим ее на две полуплоскости ориентированной прямой и будем считать одну из этих полуплоскостей положительной, другую — отрицательной. Для того, чтобы установить знаки полуплоскостей для любой другой направленной прямой, пользуемся основными правилами'.
1) Если направление данной оси изменить на противоположное, то и знаки определяемых ею полуплоскостей меняются на обратные:
■ ВС-А = — СВ-А.
2) Если луч АС находится в положи- . тельной полуплоскости, определяемой
направлением АВ, то луя АВ находится в отрицательной полуплоскости, определяемой направлением АС:
АВС^=—АСВ( рис. 1).
Эти два правила дают возможность однозначно определить знаки полуплоскостей для любой ориентированной прямой данной плоскости, ■если эти знаки установлены для одной прямой.
Например, если на прямой задано направление АВ и точка С лежит в положительной полуплоскости, то, применяя последовательно наши правила, получим знаки полуплоскостей, определяемых прямыми
АС и ВС: АВ • С = — В А • С == ВС. А ==
^-СЪ-А~САВ = --АСВ~АВС.
Мы видим, что установив для полуплоскости АВ-С положительный знак и произведя ряд определений знаков для других полуплоскостей, мы вернемся к тому же знаку для
полуплоскости АВ-С.
Интересно при этом обратить внимание на следующее обстоятельство. Три буквы А, В, С допускают шесть перестановок. Назовем алфавитный порядок ABC нормальным, а всякое нарушение этого порядка — инверсией. Перестановки, имеющие четное число инверсий/называются четными, а нечетное — нечетными.
Тогда перестановки ABC, ВСА, САВ четные, а перестановки ВАС, СВ А, АСВ нечетные. А так как каждая перемена мест двух букв меняет четность перестановки, то нетрудно видеть, что четные перестановки соответствуют положительному знаку полупло¬
скостей АВ .С, ВС .А, С А. В у а нечетные —отрицательному знаку полуплоскостей В А. С,
СВ.А, АС.В.
Плоскость, в которой однозначно определены знаки полуплоскостей для любой ориентированной прямой, называетсяориентированной.
Для параллельных прямых даем определение сонаправленности.
Две ориентированные параллельные прямые называются сонаправленными, если при пересечении их третьей прямой положительные лучи параллельных попадают в одну и ту же полуплоскость, определяемую секущей. Это определение сонаправленности не может привести к противоречию, так как данным признаком сонаправленность определяется -.однозначно независимо от выбора секущей.
Совершенно аналогичный метод мы применим для ориентации пространства. В основу положим третий постулат разделения.
Р3. Каждая плоскость в пространстве разделяет все не принадлежащие ей точки пространства на два непересекающихс^ -подмножества. При этом две точки, принадлежащие одному и тому же подмножеству, являются концами отрезка, не пересекающего разделяющую плоскость, а две точки, принадлежащие разным подмножествам, являются концами отрезка, пересекающего разделяющую плоскость. Подмножества точек, получаемые этим разделением, называются полупространствами, а разделяющая плоскость — гранью.
Подобно тому как при ориентации плоскости мы присваивали положительные и отрицательные знаки двум полуплоскостям, определяемым ориентированной прямой, для ориентации пространства мы берем некоторую ориентированную плоскость и одно из определяемых ею- полупространств принимаем за положительное, другое — за отрицательное.
Остается показать, как ориентацию, установленную для одной плоскости, распространить на остальные плоскости пространства. Для этого служат правила, аналогичные, тем, которыми мы пользовались для ориентации плоскости.
Правило 1. Если ориентацию плоскости изменить на обратную, то нужно заменить
Рис. 1
5


обратными и знаки определяемых ею полупространств.
Прав и л о 2. Если ориентированные плоскости а и р пересекаются по оси I и если положительная полуплоскость плоскости а находится в положительном полупространстве относительно |3, то положительная полуплоскость плоскости р находится в отрицательном полупространстве относительно а.
Чтобы наглядно представить себе эти пра* вила и записать их символически, рассмотрим четыре некомпланарные точки Л, В, С и D
(рис. 2). Обозначим через ABC плоскость, ориентированную направлением АВ и точкой С, и положим, что полуплоскость АВ.С положительна. Обозначим через ABC.D полупространство, отделяемое плоскостью ABC и точкой />, и положим, что это полупространство тоже положительно.
Тогда наши правила запишутся так:
1. ABC.D~^-~BAC.D9
2. ABC.D==--~ABD.C.
Установив знаки полупространств для одной ориентированной плоскости, мы однозначно определяем знаки полупространств для любой ориентированной плоскости.
Покажем, что наши правила, примененные к четырем точкам А, В, С, D и к четырем плоскостям, проходящим через каждую тройку из них, не приводят к противоречию. Это значит, что, последовательно определяя знаки полупространств для каждой плоскости и обратно вернувшись к исходной плоскости, мы получим те же самые знаки.
Рассмотрим опять, как и в случае плоскости, «нормальный» порядок букв ABCD. Каждое изменение порядка, вызванное перестановкой букв, согласно 1-му и 2-му правилам изменит четность перестановки и вместе с тем знак соответствующего полупространства. Из 4! = 24 перестановок четырех букв 12 будут четными — полупространства положительны и
12 — нечетными — полупространства отрицательны. Чтобы перейти от одной перестановки к другой, одинаковой с нею четности, нужно произвести, четное число перестановок двух букв и соответственно — четное число перемен знака полупространства.
Для двух перестановок разной четности потребуется нечетное число таких перемен. Возьмем, например, три перестановки: ABC.О,
DCA.B,CBD.A. Предполагая, что ориентация ABC.Dположительна, получим:
Ш.О^Ш.О=-Ш.В = -ОСА . В;
-ЪСА.В-ОСВ.А^ — СВВ.А;
-CBD.A = CBD.A^-CBA.D ~ ABC.D.
Понятие сонапраеленности параллельных ориентированных прямых определяется по аналогии с сонаправленностью в плоскости.
Две параллельные ориентированные прямые в пространстве называются сонаправленными, если при пересечении их плоскостью положительные лучи цх попадают в одно и то же полупространство относительно секущей плоскости.
Ввиду того что секущая плоскость пересекает плоскость параллельных прямых по секущей прямой, доказательство непротиворечивости этого определения (независимость от выбора секущей плоскости) остается таким же, как и для параллельных в плоскости. Отсюда также следует, что сонаправленность в пространстве есть отношение эквивалентности.
Отсюда далее следует, что отношением эквивалентности будет и равенство векторов в пространстве.
Две ориентированные параллельные плоскости называются сонаправленными, если одна из них находится в положительном полупространстве относительно другой, а вторая— в отрицательном полупространстве по отноше^ нию к первой.
Для того чтобы ориентировать систему координат в пространстве, рассмотрим репер прямоугольной системы, определяемый единичными векторами (ортами): ОХ, OY, OZ (рис. 3).
Принимая за положительное полупространство OXY.Z, получим, что положительными будут также полупространства OYZ.X и OZX.Y. Принимается, что полуплоскость
OX .Y положительна, если для наблюдателя, находящегося, над этой плоскостью, поворот
6


вектора ОХ около начала О на 90° против
движения стрелки часов приводит его к сов-
— —^
мещению с OY. Тогда положительным будет то полупространство, в котором находится наблюдатель, т. е. полупространство, содержащее вектор OZ, как это и представлено на рис. 3.
Если представим себе движение тела, связанного с данной системой координат и совершающего вращательное движение около OZ в направлении от ОХ к OY при одновременном поступательном движении по оси и , то получим право винт о вое движение. Именно это движение совершает обычно применяемый винт при ввинчивании его в дерево.
Установив знак полупространства для любой плоскости, мы пользуемся этим при определении расположения элементов в механике, физике, астрономии и т. д. ^
Например, векторное произведение [ОХ, OY]
есть вектор OZ, удовлетворяющий условию,
что полупространство OXY .Z положительно,
а модуль вектора OZ равен мере площади параллелограмма, сторонами которого служат
векторы ОХ и OY.
Рассмотрим теперь, как изменяется ориентация пространства при различных преобразованиях его. Начнем с симметрии относительно плоскости отражения.
При отражении от плоскости ABC (рис. 4) точка D, находящаяся в положительном полупространстве относительно плоскости АВ. С, переходит в другое полупространство й преобразуется в точку DОтсюда получаем:
если положим ABC = о и a (D) = D\ то
ABC.D^-ABC.D'.
Итак, преобразование отражения изменяет ориентацию всего пространства на обратную. Поэтому композиция четного числа отражений не изменяет ориентацию пространства, а композиция нечетного числа отражений эту ориентацию изменяет.
Перемену ориентации мы очень наглядно воспринимаем, сравнивая предмет с его отражением в зеркале, правую руку с левой, одну перчатку с ее парой и т. д.
Преобразование, являющееся результатом композиции отражений, называется изометрией. При этом между точками двух изометрич- ных фигур можно установить взаимно однозначное соответствие, и притом такое, что от¬
резок, соединяющий точки А и В первой фигуры, равен отрезку, соединяющему соответ; ствующие точки А' и В' второй фигуры.
Изометрия обусловливает геометрическре равенство (конгруэнтность) фигур.
Однако при этом приходится рассматривать два вида конгруэнтности — собственную, когда фигуры одинаково ориентированы, и несобственную, когда фигуры противоположно ориентированы.
Собственно конгруэнтные фигуры можно совместить друг с другом при помощи собственного движения, не меняющего ориентаций (композиция четного числа отражений). К собственным движениям принадлежат параллельный перенос, поворот около оси и винтовое движение.
Каждое физическое движение твердого тела может быть представлено как один из видов этих движений.
С другой стороны, несобственно конгруэнтные фигуры никаким физическим движением нельзя совместить друг с другом (припомним попытки надеть правый ботинок на левую ногу!).
Для совмещения двух плоских несобственно конгруэнтных фигур одну из них необходимо вывести из двумерного пространства плоскости, перевернуть ее и потом обратно вернуть в плоскость.
Мы лишены возможности перевести тело из трехмерного мира в четырехмерный и потому несовместимость противоположно ориентированных тел оказывается неизбежным фактом, имеющим очень серьезные следствия. Приведем несколько примеров.
D
7


Рис. 5
Рис. 6
Прежде всего, в самой геометрии свойство порядка и ориентации используются в ряде специальных разделов. Такова, например, теория дискретных групп преобразований на плоскости и в пространстве, непосредственно связанная с проблемой правильных точечных систем, Изучаемых в кристаллографии. Решение этой проблемы было дано выдающимся русским ученым Е. С. Федоровым, которым было доказано существование 17 правильных точечных решеток на плоскости и 230 в пространстве.
: Напомним также о свойствах конфигураций плоских и пространственных, о кручении кривых в пространстве, об ориентации различных систем координат и т. д.
Следует, однако, заметить, что рассмотренные нами аксиомы и правила ориентации относятся к евклидовым плоскости и простран- ству, тогда как, например, в проективной плоскости и в проективном пространстве эти аксиомы приходится заменять другими.
Вопросы ориентации возникают в механике, физике, астрономии при изучении свойств и взаимодействий полей гравитационного, электрического, магнитного. Припомним, например, что если электрический ток течет по окружности, лежащей в плоскости ХО Y с центром в точке О и в положительном направлении,
то магнитные силовые линии идут в направ-
—■-*>
лении OZ (рис. 5).
С вопросами пространственной ориентации приходится встречаться также и в геометрической оптике.
В химии очень большое значение имеет разрешение проблемы о пространственной структуре молекулы. Известно, что органические вещества, являющиеся основой жизни, представляют собой соединения, в молекулах которых обязательно присутствуют атомы углерода. Одной из основных особенностей углеродного атома служит его четырехвалентность. 3tb значй^ каждый атом углерода обла¬
дает четырьмя связями, каждая из которых
%
Рис. 7
может быть занята определенным атомом или молекулой. Пространственное расположение этих связей можно наглядно представить себе, если расположить атом углерода в центре правильного тетраэдра, а связи направить к его вершинам.
Таким образом, структура молекулы, например, простейшего углеводорода — метана С//4 может быть изображена моделью, приведенной на рис. 6. В этой модели атом углерода является симметричным: при повороте молекулы около одной из осей симметрии тетраэдра (на 120° около высоты или на 180° около оси, соединяющей середины противоположных ребер) она совмещается сама с собой.
Если же окажется, что все четыре связи углеродного атома удерживают различные атомы или группы атомов, то такой атом называется асимметричным, что служит причиной очень интересного явления. Оказывается, что вещества, состоящие из молекул с асимметричным атомом углерода, в кристаллах, э растворе или в парообразном состоянии способны поворачивать плоскость поляризации проходящего через них поляризованного света. Одни из таких веществ поворачивают плоскость поляризации влево, другие — вправо. Примером вещества такого рода является молочная кислота СН3СН(ОН)СООН. Здесь центральный атом углерода С связан с четырьмя различными группами атомов: С7/3, Н, Off и СООН (рис. 7). Левовращающий изомер этой кислоты получается в результате молочнокислого брожения сахара. Многие органические вещества: яблочная кислота, глюкоза,
фруктоза, тростниковый сахар и т. д. обладают асимметрическими атомами углерода, вследствие чего они обнаруживают оптическую активность.
Не нужно думать, что разница в пространственной ориентации атома не оказывает влияния на характер функций, выполняемых данным веществом в живом организме. Современные исследования структуры белковых веществ, принадлежащих живой клетке, пока¬


зывают, что весьма сложная архитектура отдельных молекул подчинена законам пространственной ориентации, нарушение которых может оказаться гибельным для организма.
Объемы статьи не позволяют привести еще много примеров из биологии, генетики, техники, где ориентация играет очень важную роль, но и приведенные уже ясно подчеркивают, что идея порядка, направления, ориентаций является одной из важнейших идей в современной науке.
Заметим в заключение, что в этом же порядке идей, опираясь на аналогичные посту¬
латы разделения, можно было бы осуществить ориентацию четырехмерного, пятимерного и вообще я-мерного евклидова пространства.
Литература
1. Д. Гильберт. Основания геометрии. Пер. с немецкого И. С. Градштейна. Под ред. П. К. Ращевского. ОГИЗ, 1948 (примеч., стр. 456).
2. 3. Крыговская. Геометрия. М., «Просвещение», 1971, стр. 24; 54.
3. Люсьенн Феликс. Элементарная математика в современном изложении. М., «Просвещение», 1967;
4. В. Шван. Элементарная геометрия, т. I. М., Учпедгиз, 1937, стр. 17—23.
5. Г. Шоке. Геометрия. М., «Мир», 1970, стр. 26.
С. Г. гиндикин
(Москва]
Длина дуги окружности
1. 	Дать достаточно полное и замкнутое изложение теории длин дуг окружности на базе «школьной» теории пределов не очень просто. Если определить длину окружности как предел полной последовательности периметров правильных вписанных многоугольников, то трудно доказать существование предела и его обычно приходится постулировать. Поэтому часто ограничиваются некоторыми подпоследовательностями: обычно подпоследовательностью, в которой каждый следующий многоугольник получается удвоением числа сторон Тгредыдущего. В этом случае существование предела последовательности периметров доказывается легко (при помощи теоремы о существовании предела монотонной ограниченной последовательности), но бросается в глаза произвол в выборе последовательности: с какого многоугольника начинать удвоение. В результате при таком изложении обычно без доказательства принимается теорема о независимости предела последовательности от выбора начального многоугольника. Как правило, не обсуждается менее заметный произвол: ведь число сторон можно не удваивать, а, например, утраивать, причем по тем же причинам предел будет существовать.
Ситуация еще более усложняется при переходе от длины окружности к длине дуги. Если здесь в определении длины ограничиться правильными ломаными, то трудно доказать следующее утверждение: если точка С лежит на к^АВ, то длина \уАВ равна сумме длин ^уАС и kjCB, Причина трудности в том, что если
\^АС и kjCB не соизмеримы, то нельзя вписать правильные ломаные в kjAC и kjCB так, чтобы в результате получилась правильная ломаная, вписанная в к^АВ, а потому трудно сравнить три предела, являющиеся по определению длинами дуг. Поскольку при традиционном изложении теория измерения углов опирается на измерение длин дуг, то без сформулированного утверждения об аддитивности длины дуги теория измерения углов повисает в воздухе. Итак, при определении длины дуги окружности даже требование . правильности ломаной является обременительным. Мы хотим предложить один способ изложения, при котором перечисленные затруднения не возникают и который тем не менее использует лишь элементарные факты из теории пределов.
2. Л е м м а 1. Если выпуклый многоугольник Р1 содержится в выпуклом многоугольнике Р2, то периметр Рх не превосходит периметра Рг.
Следствие. Периметр всякого 1 вписанное го в окружность многоугольника не превосходит периметра любого описанного около этой окружности многоугольника.
Лемма 1 доказывается в учебнике А. П, Киселева. Следствие при некоторых (обычно недостаточно полных) изложениях формулируется лишь для одноименных правильных многоугольников; тогда его можно доказать несколько проще. Нам следствие понадобится в полном объеме.
3. Мы начнем с вопроса о длине окружности, а потом укажем, какие изменения нужно внести, переходя к произвольным дугам.
Определение 1. Пусть Рг и Р2 (рис. 1)— вписанные в окружность С многоугольники. Будем говорить, что Р2 старше Ри если все вершины Я] являются вершинами Р2 (обозна-
1 Мы рассматриваем всюду только выпуклые многоугольники, не оговаривая это в дальнейшем.


Многоугольник
\iA^A3A^AsA%AiAsA9Ai0A\i
старше многоугольника А\А^А%А%А^»
Рис. 1
вательность описанных многоугольна- ков {QvJ, периметры которых также сходятся к pi lim qn = /?.
Л-> ОО
Доказательство. Пусть Рп (рис. 3) вписаны в окружность С радиуса г с центром О. Преобразуем каждый Рп при помощи гомотетии е центром в точке О и коэффициентом у-. Полученные многоугольники Sn
будут содержать внутри данную окружность, так как Ь„ — наименьшее из расстояний сторон Рп от О, а потому для сторон S„ наименьшее расстояние от О равно г. Пусть 5 —
периметр Sn, тогда Проведем для
Рп
всех сторон многоугольников Sn ближайшие параллельные им касательные к окружности. Они порождают описанный многоугольник Q„, содержащийся в S„. Имеем (по лемме 1): Pn<<In<sn (Яп~ периметр Q„), т. е.
Рис. 2
чается Р1^.Р2); это равносильно тому, что Р2 содержит Р\.
В частности, Р Р для всякого Р\ если Рх^Р2, Pi^P\< т0 Р\ и Рг совпадают.
Ясно, что отношение -^определено не для любых пар вписаннных многоугольников.
Определение 2. Последовательность вписанных многоугольников Ри ..., Рп...,называется монотонной, если для любых
Лемма 2. Для любой монотонной последовательности вписанных многоугольников {Р„} последовательность их периметров {рп} сходится.
Доказательство. По лемме 1 последовательность {рп}—неубывающая, ограниченная сверху периметром любого описанного многоугольника.
Для вписанного многоугольника Рп обозначим через ап наибольшую из длин его сторон, через Ьп — ее расстояние до центра окружности (рис. 2).
Лемма 3. Пусть {Р„} —такая монотонная последовательность вписанных многоугольников, что lima„ = 0. Пусть
П—>оо
\1трп = р. Тогда существует последо-
1 ^ Яп ^ Sn г
^ Рп^ Рп ьп-
Поскольку
имеем lim bn = г, т. е.
К
4
lim-15=1, lim qn = p.
П-* oo rtl п~> оо
Многоугольники
AxA<i...Ab—Pm
CiCa...Ce-Q п Рис. 3
2 Отношение «старше» можно ввести для любых (не обязательно вписанных в одну окружность) многоугольников, но отношения «старше» и «содержит» не будут совпадать.
Многоугольники CiCs.. .CeCe—Р т
Ломаная
ADxDiD^Q
Рис. 4
10


Лемма 4. Пусть {Рп}, {Qn} —последовательности соответственно вписанных и описанных многоугольников, для которых существуют пределы периметров: lim рп = р, Иш qn = q. Тогда p-^q.
Я—>°° П~> оо
Доказательство. По лемме 1 p„-^q„- Переходя к пределу, получаем p-*Cq- Предложение 1. Для всех монотонных последовательностей вписанных многоугольников {Рп\, для которых liman = 0,
П-+оо
пределы последовательностей периметров (limp,,) совпадают.
Доказательство. Пусть {Я'} и {Я"}— две таких последовательности. Пусть lim р'п=
Л—>оо
= р\ lim р"п — р". Рассмотрим соответствую-
щие последовательности {Q'), {Q"| описанных многоугольников, существующих по лемме 3, т. е. для их периметров \\mq'n=p', lim q"n=p"-
П—>оо п->оо
Применяя лемму 4 к паре последовательностей \Р'п), JQ"), получаем, что р' < р", а к паре
|р«|> ^-получаем р"<р', т. е. />'=/?".
Определение 3. Длиной окружности называется предел периметров вписанных многоугольников из любой монотонной последовательности {Рп}, для которой длина наибольшей стороны стремится к нулю ( lim ап = 0).
Л —> оо
В силу предложения 1 определение 3 корректно. Полезно заметить, что любая монотонная последовательность правильных вписанных многоугольников удовлетворяет условиям определения, если только число сторон их увеличивается (в частности, можно число сторон удваивать, утраивать; вообще нужно, чтобы число сторон на каждом следующем шаге делилось на число сторон на предыдущем). Для обоснования этого факта достаточно заметить, что если сп — длина стороны правильного вписанного я-угольника, то limcn = 0. Доказательство этого факта хоро-
Л -> оо
шо известно (например, псп ^ с, где с — периметр любого описанного многоугольника). Заметим, однако, что иногда при доказательстве принимается за очевидное утверждение, что для любого угла ср > 0 существует такое 360° ~ ,
/г, что Зтот факт отнюдь не является
более простым.
Теорема 1. Отношение длин окружностей равно отношению их радиусов.
Для доказательства достаточно рассмотреть последовательности попарно подобных многоугольников, удовлетворяющие условиям опре¬
деления 3, в частности можно рассматривать, как это обычно делается, правильные многоугольники.
4. 	Понятие длины дуги окружности вводится почти дословным повторением пунктк 3. Монотонность последовательности вписанных ломаных определяется так же. Главные дополнения относятся к доказательству леммы 3.
Пусть {Рп} — монотонная последовательность ломаных, вписанных в kjAB, причем наибольшая длина звена ап стремится к нулю при /г—>оо. Каждую ломаную Рп дополним до вписанного в окружность многоугольника РПУ у которого наибольшая сторона также равна ап.
Многоугольники Рп выберем так, чтобы они образовывали монотонную последовательность. Ясно, что такой выбор возможен.
Далее, рассмотрим (рис. 4) такую монотонную последовательность вписанных многоугольников {Я„}, Иш ап = 0, что среди сторон мно-
П—>оо
гоугольника Рп имеются стороны, параллельные касательным в точках А и В. Это также
всегда можно сделать. Пусть Qn — соответствующие описанные многоугольники, построенные при доказательстве леммы 3. По построению Qn проходят через точки А и В.
Обозначим через Qn ту часть Q„, которая является описанной около ^jAB ломаной. Пусть
теперь рп, qn — периметры Рпч Qn соответственно; рПУ qn -- длины ломаных Рп, Qn соответственно. Из леммы 1 непосредственно следует, что длина описанной ломаной больше длины любой вписанной (достаточно дополнить их хордой АВ до многоугольников).
Тогда 0<qn — — Рп• Последнее сле¬
дует из того, что разность qn — рп можно разбить на два неотрицательных слагаемых, отвечающих двум парам ломаных с концами Л, В, одно из которых равно qn — рп. Поскольку по лемме 3 и предложению 1
lim <7Л = lim рп (он совпадает с длиной окруж-
Л-> ОО Л“> ОО
ности), то lim (qn — рп) = 0, т. е. lim (qn —
Я—>00 п->оо
— /0 = 0 и аналог леммы 3 доказан.
Аналоги леммы 4 и предложения 1 доказываются, как и в случае всей окружности. Впрочем, можно заметить, что построенная выше последовательность описанных ломаных {Q„} не зависит от исходной последовательности вписанных ломаных {Рп}, а потому


прэдэлы последовательностей периметров {рп} для всех этих последовательностей должны совпадать. В результате является корректным следующее определение.
Определение 4. Длиной дуги называется предел длин вписанных в нее ломаных из любой монотонной последовательности {Рп}, для которой длина наибольшего звена стремится к нулю. Будем обозначать через l(^uAB) длину 'иАВ.
Теорема 2. Если С£^АВ, mol(^AB) = = 1(^AC) + 1(^jCB).
Доказательство. Для ^АС и \jCB рассмотрим последовательности \Р'п\, {Р"п) ло- хманых, удовлетворяющих определению 4. Объединяя эти ломаные для каждого /г, мы получим для kjAB последовательность ломаных {Рп}, также удовлетворяющую определению 4. Замечая, что длина Рп равна сумме длин Р'п, Я", и переходя к пределу при п—>оо, мы получаем нужное соотношение.
Наконец, отметим, что те же соображения позволяют рассмотреть вопрос о площади круга и его частей, об объеме и площади поверхности круглых тел.
Сделаем некоторые выводы.
1. Для монотонных последовательностей многоугольников (ломаных) существование предела последовательности периметров доказывается столь же просто; как и для последовательностей правильных многоугольников (ломаных) с удваивающимся числом сторон. При этом условие монотонности представляется достаточно естественным.
2. Последовательности описанных многоугольников (ломаных) используются не только для доказательства существования предела последовательности периметров вписанных многоугольников (ломаных), но и для доказательства совпадения пределов у различных последовательностей. Для доказательства существования предела достаточно рассмотреть один фиксированный описанный многоугольник (ломаную). . •
3. При определении длины окружности можно было бы ограничиться монотонными последовательностями правильных вписанных многоугольников. Это сужение привело бы к упрощению только в одном месте — доказательстве леммы 3. Однако рассмотрение произвольных монотонных последовательностей позволяет построить достаточно полно теорию измерения длин дуг окружности.
О ЗАМЕЧАТЕЛЬНОМ КВАДРАТНОМ ТРЕХЧЛЕНЕ ЭЙЛЕРА
Леонард Эйлер писал \ что последовательность, об^ щий член которой есть 41 —х 4- лл, весьма.замечательна, («est cTautant plus, remarquable») тем, что сорок первых ее членов суть различные простые' числа.
Трехчлен Эйлера f (х) — х2 — * + 41 интересен еще и тем, что сам является «производителем» аналогичных трехчленов. Так, заменив х на 2л— 40, получим трехчлен g(x) = 4х2 — 162л 4- 1681, дающий при 1 ^ х ^ 40 те же самые 40 простых чисел. Это удивительно, так как на интервале or 1 до 40 f(x) строго возрастает, тогда как g(x) внутри этого интервала имеет минимум.
При замене х на 3л— 81 получим трехчлен h(x) = = 9х2 — 489л 4- 6683, также дающий подряд 40 различных простых чисел при 1 ^ х ^ 40. Но трехчлены f(x) и h(x) имеют уже только 27 общих простых чисел.
В. А. Голубев 2 ‘ нашел трехчлен 9л2 — 231л 4- 1523, дающий' 40 различных простых чисел при 0 ^ х ^ 39.
1 L. Euler, Opera omnia, сер. I, т. 3, 1917, стр. 335.
2 См.: . В Н., Серед и некий, и Б. А. Корде м- ский, К 80-летию со дня рождения В. А. Голубева. «Математиков ?шк<5ле>>, 1971, № 1, стр. 92, п. 7,
Легко убедиться, что и этот трехчлен получается из /(л) заменой л на 3л — 38.
Аналогия дальше не простирается: трехчлен /(4л) =; = 16л2 — 4л 4-41 дает уже только 31 простое число.
Еще одной интересной особенностью обладают трех^ члены / (х) и /(Зх). При умножении на п2 они порождают подряд много простых чисел при /2-х долях аргумента. Так, трехчлен 4(х2 — * + 41) при х = —худает простые числа для 0 < п < 19; 9 (х2 — х 41) при 3/2 4~ 1
* =—0— дает простые числа для —12 < п < 12;
2п -J- 1
4(9*2— 3* 4-41) при х =—г}— дает простые числа
2/2 4- 1
для —-6 <*<19; 16 (9л:2—3*4-41) при *=—^— дает простые числа для —5 < /2 < 20..
Хотя имеется большое число квадратных трехчленов, дающих подряд много простых чисел, но ни один из них не дает больше подряд идущих простых чисел, чем замечательный трехчлен Эйлера 41—л 4-лл.
М. С. ГЕЛЬФАНД (Москва]


МЕТОДИЧЕСКИЙ ОТДЕЛ
А. Н. КОЛМОГОРОВ, А. Ф. СЕМЕНОВИЧ, Ф. Ф. НАГИБИН, Р. С. ЧЕРКАСОВ
Из нового учебного пособия по геометрии для VI класса
Содержание параграфа «Геометрические построения» группируется вокруг трех вопросов: пересечение прямой и окружности, пересечение двух окружностей, свойства серединного перпендикуляра к отрезку и биссектрисы угла.
В связи с тем что в VI классе признаки конгруэнтности треугольников не доказываются, весь материал на построение треугольников также включен в этот параграф. Следует отметить некоторые особенности в изложении этих вопросов. Стороны и углы треугольника — фигуры. Однако при выполнении построений мы имеем дело с величинами — длинами отрезков и величинами углов. Для краткости речи сторонами треугольника называют и их длины. Аналогично величины углов треугольника также называют и углами треугольника. Шесть величин — длины трех сторон и величины трех углов треугольника называются основными элементами треугольника. Любой элемент треугольника может быть задан как своим числовым значением, так и геометрически.
В обозначения фигур и величин этих фигур вводятся следующие различия:
[АВ 1 — отрезок АВУ
\АВI —длина отрезка АВ,
Z-ЛОВ — угол АО В,
/\
АОВ — величина угла АОВ.
две общие точки. Укажем признаки каждого из этих трех случаев.
1. Если радиус окружности меньше расстояния от ее центра до прямой (рис. 73), то окружность и прямая не имеют общих точек (объясните почему).
2. Если радиус окружности равен расстоянию от ее центра до прямой (рис. 74), то окружность и прямая имеют одну общую точку — основание перпендикуляра, опущенного из центра окружности на прямую (объясните почему).
3. Если радиус окружности больше расстояния от ее центра до прямой, то окружность и прямая имеют две общие точки (рис. 75).
По поводу третьего случая сейчас вам не ставится вопрос «почему?». Мы принимаем предложение 3 без доказательства.
Теорема. Пусть из точки О проведены к прямой а две наклонные ОА и ОВ и перпендикуляр ОМ. Тогда
1) если \ОА \ = \ОВ\, то и \МА \ = |ЛПЗ| (рис. 76);
2) если \ОА\ > |05|, то и \МА\ > \МВ\ (рис. 77).
Рассмотрим доказательство каждого из случаев отдельно.
1) Так как \ОА \ = |ОВ|, то точки А и В принадлежат окружности радиуса \ОА\ с центром О. Эта окружность симметрична относительно прямой ОМ. Так как {АВ) _]_(ОМ), то точки А и В окружности симметричны относительно (ОМ). Следовательно, отрезки МА и MB симметричны относительно (ОМ) и поэтому \МА\ = \МВ\, что и требовалось доказать в первой части теоремы.
Рис. 74
Рис. 75
Рис. 76
Рис. 77
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ1 21. Пересечение прямой и окружности
Вы уже знаете из V класса, что прямая и окружность могут не иметь общих точек, могут иметь одну общую точку и могут иметь
’ § 1, 2 учебного пособия см. в № 4, 5 нашего журнала.
13'


2) 	Рассмотрим круги с центром О радиусов \ОА\ и | ОБ |. Так как \ОА \ > \ ОВ\, то круг с центром О радиуса \ОВ\ лежит внутри круга с центром О радиуса \ОА\. Поэтому отрезок ВВ\, высекаемый на прямой а первым кругом, лежит внутри отрезка АА\, высекаемого вторым кругом. Значит, |у4^4i| > \ВВ\\, откуда следует, что \МА \ ]> |МВ|. Теорема доказана.
Вопросы и задачи
1°. Сколько отрезков наклонных, имеющих данную длину т, можно провести к данной прямой из данной вне этой прямой точки? Всегда ли задача возможна?
2. Постройте прямую, расстояние которой от данной точки равно длине данного отрезка. Сколько таких прямых можно построить?
3. На данной прямой найти точки, находящиеся на данном расстоянии от данной точки. Сколько решений может иметь эта задача?
4. Дана окружность радиуса г. Провести прямую так, чтобы отрезок ее, заключенный внутри этой окружности, имел длину а. Сколько решений имеет эта задача? При каких значениях г и а задача возможна? Выполнить построение при г = 3 сж и й = 2 см.
5. На двух данных пересекающихся прямых найти точки, находящиеся на данном расстоянии от данной вне этих прямых точки. Сколько таких точек может быть?
6. Доказать, что в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, меньше каждого из катетов.
22. 	Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету
Задача. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету.
Дано: отрезки длины сна (рис. 78, а).
Построить: A ABC, в котором \АВ\ = с, /\
\ВС\ = а, АСВ = 90°.
Рис. 78 Рис. 79
Чтобы найти способ решения задачи, бывает полезно вычертить (можно от руки) фигуру, аналогичную искомой (в нашем примере— прямоугольный треугольник). Затем по выполненному чертежу посмотреть, что достаточно построить для построения искомой фигуры. Сделаем это (рис. 78,6). Отметим на полученном чертеже те элементы, которые даны в задаче (коротко говорят — отметим данные). Теперь нам ясно, что две вершины — В и С можно построить, отложив отрезок ВС заданной длины а. Третья вершина — А обладает двумя свойствами: 1) лежит на перпендикуляре к прямой ВС, проведенном через точку С, и 2) находится от точки В на расстоянии, равном данной длине отрезка А В, т. е. лежит на окружности с центром В радиуса с. Отсюда следует, что решение задачи сводится к выполнению таких построений:
1) взять отрезок ВС длины а;
2) построить к прямой ВС через точку С перпендикуляр р;
3) построить окружность с центром в точке В радиуса с\
4) из двух точек пересечения окружности с прямой р выбрать одну в качестве точки А\
5) вычертить треугольник А ВС (рис. 79).
Ясно, что построение удастся только при
условии с > а (объясните почему). При этом условии построение можно выполнить многими способами, так как многими способами можно выбрать отрезок ВС длины а.
Но при всех способах построения получатся конгруэнтные друг другу треугольники. Построив одно решение, можно получить все другие, перемещая построенный треугольник.
В задачах на построение фигур, обладающих теми или иными свойствами, принято не различать решения, отличающиеся лишь расположением построенной фигуры. В этом смысле можно сказать, что наша задача имеет только одно решение.
Вопросы и задачи
1. Постройте прямоугольный треугольник:
а) 	по двум катетам; б) по катету и прилежащему к нему острому углу; в) по катету и высоте, опущенной на гипотенузу; г) по гипотенузе и острому углу.
2. Дано: [ВВ,] ± [АВ], [АА{] J_ [АВ],
[ВС] ^ [СА]. Доказать: АСВВ{ ^
^ Л СААх (рис. 80).
3. Для измерения длины озера на местности выполнили построение, показанное на рис. 81 [AC] J_ [BD], [CD] ^ [ВС]. Какое расстояние нужно измерить на местности, чтобы узнать длину озера?.
14


Рис. 80
Рис. 81
4. Как с помощью эккера и рулетки может быть найдена ширина реки?
5. Докажите, что две высоты, проведенные из вершин при основании равнобедренного треугольника, конгруэнтны. Верно ли аналогичное свойство для медиан и для биссектрис?
23. 	Свойства равнобедренного треугольника
В треугольнике ABC сторону ВС называют противолежащей вершине Л, сторону С А — вершине В, сторону АВ — вершине С. Длины этих сторон обозначают соответственно а, b, с:
а = |ВС|, Ь = \СА\, с= \АВ\.
Для краткости сами эти длины а, bf с иногда называют просто сторонами треугольника. Стороны треугольника можно задать геометрически, начертив в произвольном расположении отрезки длины а, Ъ и с.
Два луча АВ и АС определяют два угла. Тот из этих углов, которому принадлежит треугольник ABC, называется его внутренним углом ВАС (рис. 82, а). Аналогично определяются внутренние углы ABC и АСВ треугольника ABC (рис. 82, б, в). Для краткости величины углов ВАС, ABC и АСВ иногда называют и просто углами треугольника ABC. Напомним, что величины углов треугольника ABC обозначаются знаками:
/\ /\ /\
ВАС, ABC и АСВ
А А А
(или А, В, С). Величину угла можно задать геометрически, начертив этот угол в произвольном расположении.
Отрезок биссектрисы угла треугольника от его вершины до противолежащей стороны называется биссектрисой треугольника (рис. 83, а).
Рис. 82
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника (рис. 83,6).
Отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины треугольника к противолежащей стороне или ее продолжению, называется высотой треугольника (рис. 83, в, г).
Теорема 10. В равнобедренном треугольнике:
1) углы при основании конгруэнтны;
2) высота, проведенная из вершины, являет• ся также биссектрисой и медианой.
Доказательство: Пусть дан равнобедренный треугольник ABC; \АВ\ — \ВЩ (рис. 84). Проведем высоту BD из его вершины В. \AD\ = |ЪС|, так как \ВА\ = |ВС| (теорема 9). Поэтому треугольники ABD и CBD симметричны относительно оси (BD)* Из йх симметрии следует:
1) 	Z BAD ^ Z ВС А, т. е. углы при основании данного треугольника конгруэнтны.
2) Z ABD ^ Z CBD, т. е. [BD] — биссектриса угла треугольника при вершине В;
3) \DA\ = \CD\, т. е. \BD\ — медиана, проведенная из вершины В. Теорема доказана.
Следствие. Мы видим, что в равнобедренном треугольнике ABC один и тот же отрезок BD (рис. 84) обладает несколькими свойствами: отрезок BD является высотой,
проведенной к основанию, биссектрисой угла треугольнйка при вершине и медианой, провё-
Рис. 83
а)
6)
б)
Рис, 84
15


денной к основанию. Так как каждое из этих свойств вполне определяет положение отрезка BD, то из выполнения какого-либо одного из них следует выполнение двух других. Например, биссектриса угла, при вершине равнобедренного треугольника является его высотой и медианой, проведенной к основанию.
Вопросы и задачи
1°. В равнобедренном треугольнике построены все его биссектрисы, медианы и высоты. Сколько различных отрезков может получиться при этом построении?
2. Постройте равнобедренный треугольник:
а) 	по боковой стороне и высоте, опущенной на основание; б) по основанию и углу при основании.
3. Сколько осей симметрии имеет равносторонний треугольник? Постройте равносторонний треугольник по его высоте.
24. 	Пересечение двух окружностей
Задача. Построить точки, лежащие на расстоянии гх от точки Ох и на расстоянии г2 от точки 02 ф 0{.
Для решения задачи строим две окружности: окр. (Оь гх) и окр. (02, гг).‘Точки их пересечения и будут искомыми.
Обозначим искомую точку через X (рис. 85, а), а расстояния между точками Оь 02 и X следующим образом: 10Х021 = К l^i^l = гь
| ОчХ | = Г2.
Мы знаем свойства расстояний для трех точек (п. 4). В них одно расстояние сравнивает-
Рис. 85
ft J \ °г
у в f
ся с суммой или разностью двух других. Поэтому сравним h с гх + г2 и Г\ — г2, считая для определенности, что г\ ^ г2.
Перечислим все возможные случаи, которые могут встретиться при задании точек Оь 02 и расстояний г\ и г2:
1) h < п — г2,
2) h = г\ — г2,
3) Г\ — г2 < h Г\ + Го,
4) h = п + г2,
5) h > гх + г2.
В случае 1 искомой точки X не существует, так как для любых трех точек расстояние между двумя из них не меньше разности расстояний между оставшимися двумя парами точек (п. 4). Рассмотрите рис. 85,6.
Не существует искомой точки и в случае 5, так как для любых трех точек расстояние между двумя из них не превосходит суммы двух других расстояний (п. 4). Рассмотрите рис. 85, в.
В случае 2 и 4 точки Оь 02 и ! должны лежать на одной прямой (п. 5). Тогда искомая точка X единственная; задача имеет единственное решение (рис. 85, г, д).
В случае 3 решений будет два (рис. 85, а), т. е. будет две искомых точки. Это мы примем без доказательства.
Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности, то окружности пересекаются в двух, и только в двух, точках:
Вопросы и задачи
1. 	Покажите на чертежах различные случаи взаимного расположения двух окружностей. Назовите условия, при которых эти расположения имеют место.
2°. Будут ли две окружности пересекаться, если расстояние между их центрами 4 см, а
радиусы соответственно равны: а) 1 см и 3 см;
б) 3 см и 5 см\ в) 2 см и 2 см\ г) 2 см и 7 см\
д) 	1 см и 4 см; е) 4 см и 4 см?
3. 	На данной окружности найти точки, удаленные на данное расстояние от данной вне этой окружности точки. Сколько решений мо* жет иметь эта задача?
Рис. 86


4. Постройте то^ки, находящиеся на расстоянии а от точки А и на расстоянии b от точки В. Всегда ли задача имеет решение?
5. Даны две пересекающиеся окружности. Сколько осей симметрии имеет эта фигура, если данные окружности имеют: а) равные радиусы; б) различные радиусы?
6. Даны три окружности (Oi, Г\), (О2, г2), (Оз, г3), расположенные так, как показано на рис. 86, а, б, в. Выразить расстояния (O1O2), (O1O3), (0203) через радиусы ru r2i гъ.
25. Построение треугольников
Если дан треугольник ЛВС, то мы можехм измерить длины его сторон а= |ВС|, Ь = = |СЛ|, с=|ЛВ| и величины его углов /\ /'Ч /X
а = ВАС, р = СВ/4, у = ВСЛ. Эти шесть величин называют основными элементами треугольника. Сейчас мы будем заниматься задачами на построение треугольников по заданным их элементам.
1. Пусть длины сторон а, b, с заданы геометрически отрезками (рис. 87, а). Как построить треугольник со сторонами такой длины при помощи циркуля и линейки?
Через любую точку А можно при помощи линейки провести прямую и на ней отложить циркулем отрезок ДВ, чтобы \АВ\ = с. Дальнейшее построение вам известно из курса V класса (рис. 87,6).
Чтобы треугольник можно было построить, необходимо соблюдение неравенств: а + b > и |а — Ь\<^с. Если оба неравенства выполняются, то будут построены два треугольника ЛВС и ЛВС1 с заданными сторонами. Они симметричны друг другу относительно оси АВ и, значит, конгруэнтны.
Можно было бы выбрать другие точки Л и В на расстоянии с. При каждом таком выборе мы могли бы построить еще по два треугольника с заданными сторонами. Но все эти треугольники конгруэнтны между собой2. Принято говорить, что задача на построение треугольников по трем сторонам имеет одноединственное решение. Говоря так, «не различают между собой» решения, приводящие к конгруэнтным треугольникам. То же самое можно сформулировать в виде признака конгруэнтности треугольников по трем сторонам:
Если три стороны одного треугольника со- ответственно конгруэнтны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
а)
Рис. 87
б)
/-"Л- Л- ,Л
л А <9 А £
Со
й)
Aq J6q д)
Со
В)
Рис. 88
Со
г)
д)
2 Это вытекает из сформулированных в п. 20 основных свойств перемещений.
2. Решим при помощи циркуля и’ линейки задачу:
Отложить от данного луча AqX угол заданной величины, меньшей 180° (рис. 88).
Даны угол Л и луч А0Х (рис. 88, а).
Построим окружность с центром Л произвольного радиуса (рис. 88,6). Обозначим точки пересечения ее со сторонами угла Л — точки В и С. Тем же радиусом проведем окружность с центром в начале заданного луча Л0. Она пересекает луч А0Х в точке В0. Строим окружность радиуса г = | ВС| с центром в точке В0 (рис. 88, в). Через точки пересечения С0 и С0' построенных окружностей проводим лучи Л0С0 и Л0С0'.
Получаем два угла — Z ВоА0С0 и Z ВоЛ0С0', каждый из которых конгруэнтен данному (рис. 88, г). Для доказательства этого достаточно заметить, что треугольники Л0В0С0 и AqBqCq конгруэнтны треугольнику ЛВС по трем сторонам (рис. 88, д).
3. В V классе вы научились строить треугольник по стороне а и прилежащим к ней углам р и у (рис. 89, а). Выбрав точки В и С на расстоянии а, мы построим два симметричных относительно оси АВ треугольника (рис. 89,6). Располагая сторону ВС иначе, получим еще бесконечное число треугольников. Но, как и при построении треугольника по трем сторонам, все эти треугольники конгруэнтны друг другу. Говорят, что задача на построение треугольника по стороне и двум прилегающим углам имеет одно-единственное решение. Имеет место признак конгруэнтности тре-
17


угольников по стороне и двум прилежащим к ней углам:
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно конгруэнтны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
На рис. 90, а, б построен известным вам способом треугольник по двум сторонам и углу между ними. Эта задача на построение, как и предыдущая, имеет одно решение. Имеет место признак конгруэнтности треугольников по двум сторонам и углу между ними:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно конгруэнтны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
Обратим внимание на то, что из конгруэнтности треугольников следует равенство их соответственных элементов.
Вопросы и задачи
1°. Сформулируйте следствие из признака конгруэнтности треугольника по трем сторонам: а) для равнобедренных треугольников; б) для равносторонних треугольников.
2°. Сформулируйте следствие из признака конгруэнтности треугольников по двум сторонам и углу между ними: а) для прямоугольных треугольников; б) для равнобедренных треугольников.
3°. Сформулируйте следствие из признака конгруэнтности треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам для прямоугольных треугольников,
,А>.
Рис. 91 Рис. 92 Рис. 93
4°. Можно ли построить треугольник, длины сторон которого будут равны: а) 3 см, 1 дм, 8 см; б) 1 м, 1 м, 0,5 см; в) 45 см, 45 см, 1 м;
г) 	1 дм, 5 см, 5 см?
5°. Даны три отрезка т, п и I. При каком условии можно построить треугольник, стороны которого будуг конгруэнтны этим отрезкам?
6. Данный отрезок разделить на три неконгруэнтных отрезка и построить треугольник, стороны которого соответственно конгруэнтны этим отрезкам.
7. Из металлического прутика нужно согнуть треугольник, одна из сторон которого имела бы длину 250 мм. Какой должна быть длина прутика, чтобы это можно было сделать?
8. Известно, что длины всех сторон некоторого треугольника равны целому числу сантиметров. Две стороны этого треугольника имеют длину 4 см и 7 см. Какую длину может иметь третья сторона этого треугольника?
9. Сколько можно построить треугольников, конгруэнтных данному разностороннему треугольнику ABC, при условии, что отрезок А В будет их общей стороной?
10. Какое множество точек образуют вершины всех прямоугольных треугольников, для которых данный отрезок служит катетом?
11. Д а н о: | АВ | = | ВС |3; | AD | = | DC | (рис. 91).
Доказать: /\ABD^/\CDB.
12. Дан о: | АВ [ = | ВС ]; | AD | = \CD | (рис. 92).
/\ '
Доказать: BAD = BCD, [BD] делит углы ABC й ADC пополам.
13. При помощи циркуля и линейки постройте: а) угол, конгруэнтный разности двух данных углов; б) угол в три раза больший данного угла.
14. Д а н о: [AD] п [ВС] = Е, | BE \ = | ЕС |, | АЕ | - “ IED|.
Доказать: д АВЕ ™ Д CED (рис. 93).
15. Дано: [BC]~[AD], .^1=^2.
Доказать: Л АСВ ~ Д CAD (рис. 94).
16. Дано: [AD] — биссектриса ^ ВАС, [АВ] ~ [ЛС].
Доказать: [DC[^[£D] (рис. 95).
17. Дано: [Л£]~[;Ш], [£C]~fDC].
Доказать: [AC] i_ [BD] (рис. 96).
3 Два отрезка конгруэнтны тогда, и только тогда, когда их длины равны (п. 14). Поэтому в записях вместо И£]^[£С] можно писать; \ АВ \ — |ВС|.
18


Рис. 94
Рис. 95
Рис. 96
18. Дано: О g [Л£], ' [ЛО] ~ [ОЯ], [СО] ~ [OD], [AC]“[BD].
Доказать: ^.COD — развернутый (рис. 97).
19. Дано: [Л£]~[£С], ^1~^:2.
Доказать: [ЛЩ^[£С] (рис. 98).
20. Дано: [АБ]~[/)С], [DA]™[EC].
Доказать: 1 ~ ^ 2 (рис. 98).
21. Дано: [DA]™[EC], ^1-^:2.
Доказать: [Л£]~[£С] (рис. 98).
22. Дано: [АВ] п [АгВг] = С, [ВС]~[СА],
™^В.
Док аза ть: ACBBt™& СААХ (рис. 99).
26. Теорема о серединном перпендикуляре к отрезку
Прямая, перпендикулярная к отрезку и проходящая через его середину, называется сере- данным перпендикуляром к этому отрезку. . , Серединный перпендикуляр к отрезку является одной из двух осей симметрии этого отрезка (второй осью симметрии отрезка является прямая, на которой лежит этот отрезок).
Каким свойством обладает каждая точка серединного перпендикуляра р к отрезку АВ (рис. 100)?
Рис. 100
Так как точки А и В симметричны относительно прямой р> то [ХА] [ХВ]. Значит, имеет место предложение;
Теорема А. Если тонка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от его концов.
Посмотрим, верна ли следующая теорема.
Теорема Б. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Дано: \ХА\ = \ХВ\, \АО\ = [ОВ\.
Доказать: (ХО) J_ (АВ).
Доказательство. Треугольник АХВ равнобедренный (рис. 100). Поэтому его медиана ХО является и высотой, т. е. (ХО) JJ J_ (АВ). Теорема доказана.
Эти две теоремы можно сформулировать в одном предложении:
Теорема 11 (о серединном перпендикуляре к отрезку). Множество всех точек, каждая из которых равноудалена от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Вопросы и задачи
1. При помощи циркуля и линейки: а) разделите данный отрезок пополам; б) к данному отрезку постройте серединный перпендикуляр; в) постройте серединные перпендикуляры к сторонам данного треугольника (остроугольного, прямоугольного и тупоугольного); где расположены точки пересечения?
2. Какую фигуру образует множество вершин всех равнобедренных треугольников с данным основанием? Выполните построение.
3. Даны прямая MN и не принадлежащие ей точки Л и В. Постройте на этой прямой точку, равноудаленную от точек Л и В. Рассмотрите различные возможные случаи.
4. Даны окружность (О, г) и две точки: Л и В. Постройте точки, лежащие на этой окружности и равноудаленные от концов отрезка АВ.
5. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте точку, равноудаленную от этих точек.
6. При помощи циркуля и линейки проведите к данной прямой перпендикуляр, проходящий через: а) данную на этой прямой точку; б) данную вне этой прямой точку.
7. Постройте центр данной окружности, если на чертеже этот центр не отмечен.
8. Даны точки Л и В. Сколько различных окружностей, проходящих через эти точки, можно построить? Какое множество точек образуют все центры таких окружностей?
9. Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку, выполняя все построения только в одной полуплоскости.
19


10. 	На местности проведена прямая и на ней отмечена точка. Как при помощи одной рулетки наметить перпендикуляр к этой прямой, проходящий через отмеченную точку.
27. 	Свойство биссектрисы угла
Постройте угол /40В, меньший 180°, и его биссектрису ОС. Возьмите произвольную точку М на ней. Проведите через М перпендикуляры к сторонам угла и сравните расстояния от точки М до сторон угла.
Вы пришли к предположению, что множеством всех точек угла, каждая из которых равноудалена от его сторон, является биссектриса угла (говорится об угле, меньшем 180°).
Чтобы доказать правильность этого предположения, следует доказать две теоремы.
Теорема А. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла.
Дано: [ОС)—биссектриса угла АОВ
(рис. 101), М е [ОС).
Доказать: точка М равноудалена от сторон угла АОВ.
Доказательство. Проведем перпендикуляр [ME] к стороне [ОА). Рассмотрим осевую симметрию с осью [ОС). Угол АОС перейдет при этой симметрии в конгруэнтный ему угол, расположенный по другую сторону от оси ОС, т. е. в угол БОС. Следовательно, луч ОА перейдет в луч ОВ, а прямоугольный треугольник ОМЕ — в прямоугольный же треугольник ОМК с вершиной К на луче ОВ. Поэтому расстояния \МЕ\ и \МК\ от точки М до сторон угла АОВ равны между собой.
Теорема Б. Если точка угла равноудалена от его сторон, то она лежит на биссектрисе этого угла.
Дано: точка М равноудалена от сторон
угла АОВ (рис. 102).
Доказать: точка М лежит на биссектрисе угла АОВ.
Доказательство. Проведем через точку М перпендикуляры к сторонам угла АОВ. [ML] JL [ОА); [MD] _L [ОВ).
Рис. 101 Рис. 102
По условию теоремы \ML\ = \MD\. Тогда прямоугольные треугольники MLO и MDO конгруэнтны по гипотенузе и катету.
Поэтому Z LOM ^ Z DOM, т. е. луч ОМ является биссектрисой угла АОВ. Теорема доказана.
Из теорем А и Б следует, что предположение, которое вы сделали вначале, верно.
Теорема 12 (о точках биссектрисы угла). Множеством всех течек угла, равноудаленных от его сторон, является биссектриса этого угла.
Вопросы и задачи
1. При помощи циркуля и линейки постройте: а) биссектрисы углов данного треугольника, б) биссектрисы двух смежных углов. Под каким углом пере.секаются биссектрисы смежных углов?
2. На прямой, пересекающей стороны данного угла, найдите точку, лежащую внутри угла и равноудаленную от сторон его.
3. Какое множество точек образуют все точки, каждая из которых равноудалена от двух пересекающихся прямых?
4. На стороне треугольника постройте точку, равноудаленную от двух других его сторон.
5. Внутри угла дана точка D. Постройте внутри угла точку, равноудаленную от сторон угла и отстоящую от точки D на заданное расстояние.
6. Двор имеет треугольную форму. Где нужно вкопать столб для подвески светильника, чтобы одинаково были освещены: а) вершины углов двора; б) ближайшие к столбу точки сторон треугольника?
7. Докажите, что если точки А и А\ В и В' симметричны относительно прямой (MN), то они лежат на одной окружности. Как найти центр этой окружности?
8. Даны угол ABC и отрезок EF. Постройте точки, каждая из которых равноудалена от сторон угла и от концов отрезка.
28. 	Понятие о взаимно обратных теоремах
Мы уже доказали в нашем курсе геометрии несколько теорем. С теоремами мы встречались и в арифметике, и в алгебре. Часто тео- < ремы формулируют в виде условных предложений (если..., то...). Так были сформулированы, например, признаки конгруэнтности треугольников.
Если теорема высказана в форме условного предложения, то первая ее часть (после слова «если» до слова «то») выражает условие теоремы, а вторая часть (после слова «то») — заключение теоремы.
20


В условии теоремы говорится о том, что дано. В заключении теоремы говорится о том, что требуется доказать.
Если теорема сформулирована в виде условного предложения, то для нее можно сформулировать обратное предложение: для этого условие и заключение данной теоремы следует поменять местами. Полученные при этом предложения называют взаимно обратными.
Если имеются два взаимно обратных предложения, то любое из них можно считать обратным по отношению к другому.
Предложение
1. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.
2. Если углы смежные, то их сумма равна 180°.
3. Если углы вертикальные, то они конгруэнтны между собой.
4. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
Обратное предложение
1. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от концов его.
2. Если сумма двух углов равна 180°, то они смежные.
3. Если углы конгруэнтны между собой, то они вертикальные.
4. Если число делится на 9, то и сумма цифр его делится на 9.
Если верно некоторое предложение, то это не значит, что будет верно и обратное ему предложение. В приведенных примерах пред¬
ложения, обратные первому й четвёртому, верны, а предложения, обратные второму и третьему, неверны.
Для доказательства ложности математического предложения достаточно указать пример, в котором это предложение не выполняется.
Вопросы и задачи
Сформулируйте предложения, обратные следующим теоремам, и выясните, верны ли они.
1. Если каждое из двух слагаемых делится на данное число, то и сумма их делится на это число.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника конгруэнтны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно конгруэнтны трем сторонам другого, то эти. треугольники конгруэнтны.
4. Если наклонные, проведенные из одной точки к одной и той же прямой, конгруэнтны, то конгруэнтны и их проекции.
5. Симметричные фигуры конгруэнтны.
6. Если два угла вертикальные, то они конгруэнтны.
7. Если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то она равноудалена от концов отрезка. . .
8. Если точка лежит на биссектрисе угла, то она одинаково удалена от сторон угла.
Я. И. ГРУДЕНОВ (г. Таганрог)
О задачах по готовым чертежам
На уроках геометрии в восьмилетней школе учителя широко используют задачи по готовым чертежам, которые являются хорошим средством усвоения и закрепления теоретического материала и обучения учащихся решению более сложных задач. В связи с тем, что геометрию по новой программе начинают изучать в IV—V классах, значение таких задач, по нашему мнению, возрастает. Приведем примеры некоторых упражнений и задач по готовым чертежам, которые позволили нам в своей практике разнообразить работу в классе. Заметим, что чертежи можно изготовить силами самих учащихся на небольших плакатах; комплекты таких чертежей будут слу^ИЕЬ хорошим дидактическим материалом при изучении геометрии в различных классах.
Чтобы научить учащихся проводить анализ при решении более сложных задач, целесообразно с самого начала изучения геометрии и в дальнейшем вводить упражнения вида 1—3.
1. В треугольнике ABC Z А = 40° (черт. 1), стороны АС и ВС продолжены за вершину С Что еще надо знать, чтобы вычислить Z В?
Ученик отвечает, что достаточно дополнительно знать ..величину либо Z АСВ, либо Z ОСК, либо Z ОСА. Ученик составляет соответствующие задачи, которые тут же в классе решаются.
2. В треугольниках АКС и ВКС (черт. 2) АК = ВС. Что еще надо знать, чтобы доказать равенство углов А и 5?
3. Прямые МК и ВН (черт. 3)_пересекают- ся в точке О, ОА = ОТ. Что еще надо знать, чтобы доказать равенство отрезков AM и ВТ*
Такие упражнения (1—3) приучают учащихся к аналитико-синтетическому методу решения задач, к составлению новых задач и одновременно могут служить подготовительными упражнениями к решению других задач.
21


Черт. 1
Черт. 2
М
Черт. 5
Следующие упражнения (4—10) приучают учащихся пользоваться различными инструментами: циркулем, транспортиром, линей¬
кой,— практически применять полученные знания. Эти упражнения обычно вызывают большой интерес.
При изучении свойств осевой симметрии можно предложить учащимся упражнение 4, при изучении центральной симметрии — упражнение 5.
4. Проводя измерения с помощью только одного циркуля, проверьте, можно л*и считать точки А и К, В и С, Е и Р симметричными относительно оси ОМ (черт. 4).
Измерив циркулем расстояние от концов отрезка А К до двух произвольных точек прямой ОМ, ученики делают необходимый вывод. К этому же выводу они могут прийти, измеряя транспортиром Z КТМ и отрезки Г/Си АТ, если текст упражнения соответственно изменить.
5. Путем необходимых измерений проверьте, можно ли считать точки А и М симметричными относительно центра В (черт. 5).
Убедившись с помощью линейки и циркуля, что точки Л, В и М лежат на одной прямой и что АВ = ВМ, ученики на основе известного определения делают вывод: . «Точки А и М можно считать симметричными относительно центра В».
В упражнениях 4 и 5 учитель употребляет слова «можно ли считать» вместо слов «являются ли». В IV—V классах он не разъясняет подробно различие между этими словами. В VI классе в связи с большей логической строгостью изучения курса геометрии учитель подчеркивает, что результаты измерений всегда неточны, поэтому нельзя с уверенностью утверждать, что точки А и М (черт. 5) являются симметричными относительно центра В, они могут и не быть таковыми. А вот если в задаче сказано, что точки А, В и М лежат на одной прямой и что АВ = ВМ, то эти данные в отличие от результатов измерений мы считаем точными и тогда по определению А и М симметричны относительно центра В.
В связи с рассмотрением, прямых и обратных теорем учащимся предлагается упражнение 6 и ряд последующих.
6. Нельзя ли сравнить по величине отрезки АС и ВС (черт. 6), если пользоваться одним только транспортиром?
Измерив углы САВ и ABC, учащиеся говорят, что отрезки АС и ВС можно считать равными. Это утверждение свое они, как правило, ошибочно обосновывают ссылкой на свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Ошибка тут же анализируется: учащимся объясняют, что прямую теорему нельзя применять вместо обратной. После этого они уже, как правило, безошибочно выполняют упражнение 7, объясняя, почему здесь нужно применять теорему о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника, а не ей обратную.
7. Сравните по величине углы А и В (черт. 6), не измеряя эти углы, а пользуясь только циркулем или только масштабной линейкой.
При изучении свойств и признаков параллелограмма можно предложить учащимся упражнения вида 8—10.
8. Нельзя ли сравнить по величине отрезки ОК и ВС (черт. 7), если проводить измерения одним только транспортиром?
Измерив три любых угла четырехугольника и обнаружив, что Z В + Z С = 180° и Z В = Z К, учащиеся утверждают, что противоположные стороны его можно считать параллельными, а поэтому ОВСК—параллелограмм и ОК = ВС. Непосредственным измерением циркулем или масштабной линейкой этот вывод тут же проверяется. Обычно за подобной проверкой ребята следят с большим
Черт. 7
22


Черт. 8
Черт. 9
вниманием. Учащиеся на личном опыте убеждаются в практическом значении приобретенных ими знаний.
9. Пользуясь одним только циркулем или масштабной линейкой, нельзя ли сравнить по величине Z А и Z Е (черт. 8)?
Ученики сравнивают длины противоположных сторон четырехугольника и делают вывод, что его можно считать параллелограммом, а следовательно, Z А и Z Е можно считать равными.
10. Пользуясь одним только циркулем, проверьте, можно ли четырехугольник АЕКМ (черт. 9) считать прямоугольником.
Ученики измеряют отрезки ОА, 0£, ОКУ ОМ и делают вывод: 1) так как в четырехугольнике диагонали в точке пересечения делятся пополам, то четырехугольник АЕКМ можно считать параллелограммом и 2) так как в этом
параллелограмме диагонали равны, то это— прямоугольник.
Подобные задачи можно предложить, используя также свойства ромба, квадрата, трапеции, равнобедренной трапеции.
Такие задачи будут хорошими упражнениями при изучении обратных теорем.
С целью повторения и проверки усвоения учащимися учебного материала мы использовали задачи 11—16 и аналогичные им. На чертежах к этим задачам равные углы и отрезки отмечаются одинаковыми знаками, прямые углы обозначаются заштрихованным квадратиком.
Такой способ обозначений на чертежах помогает учащимся быстрее ориентироваться в условии задачи, а иногда и составлять обратные задачи.
11. Укажите, какие из треугольников на чертеже 10 равны между собой.
12. Укажите параллельные прямые на чертеже 12.
13. Какие фигуры изображены на чертеже 13?
14. В фигурах на чертеже 14 укажите все равные отрезки.
15. Перечислите свойства, которыми обладают отрезки С К и АВ на чертеже 15.
Черт. 10
Черт. 11 М А
№
* 0 с
Черт. 12
м
N В
Черт. 13
23


о К М . . ... А О к -а М
д д. -ф. т. т ш
Черт. 14
М
Черт. 15
В
Черт. 16
16. 	Какие из треугольников на черт. 16 подобны?
Характерной особенностью приведенных в статье упражнений является то, что многие из них позволяют выявить и проанализировать имеющиеся у учащихся заблуждения. Если, например, ученик заявляет, что треугольники МОК и ABC (черт. 10) равны, то сразу обращается внимание на черт. 11, где по аналогичным данным треугольники оказываются неравными. Устанавливается также, почему на том же чертеже 10 достаточно данных, чтобы утверждать, что Л РОМ = Л AFK.
По данным чертежа 13 учащиеся выясняют, почему MANP — ромб, а относительно четырехугольника АМВК можно лишь утверждать, что это параллелограмм, хотя он похож на ромб; откуда следует, что АОЕС — ромб, а ВКОМ — квадрат, хотя, основываясь на расположении этих фигур, некоторые учащиеся
придерживаются противоположного мнения.
На чертеже 16 учащиеся находят подобные треугольники и записывают равенство отношений сходственных сторон.
Задачи по готовым чертежам решаются уча! щимися, как правило, устно; они эффективно помогают учителю проводить фронтальный опрос. Учащиеся относятся к этим задачам с большим интересом. Конечно, заранее приготовленные чертежи могут служить и, материалом для контрольных работ, особенно тех, которые даются на 20—25 минут.
В этой статье не дается распределения задач по классам. В настоящее время школы постепенно переходят на новые программы, в которых геометрический материал как самостоятельный включается уже с IV класса, поэтому в ближайшие годы некоторые из рассмотренных примеров могут быть предложены в различных классах.
24


Н. 	А. ЗАБОРОНКОВ (г. Горький)
Об одном типе задач на логарифмы
Задача 1. Дано: logjv, Мх = а. Вычислить logjv, М.2, где каждое из чисел Мг, М2, Nlt N2 представляет собой произведение степеней положительных чисел а и Ь, не равных един i це, т. е. Мх = атФп■, М2 = атгЬп\ TV, = ар‘ b<\ N2 = а^Мк Решение. Одно из чисел а или Ь примем за основание логарифмов. Перейдем, например к логарифмам с основанием а:
= loga М. = loga (ат'Ьп■) = loga^, logo (ар'Ь4') т, + л, loga b = а .
Pi + Ч\ loga b
logAT.VW,
Пусть logаЬ = х, получим уравнение т, 4- л,х
Pi + Ч\Х
Решив его, найдем корень х = х{, т. е. logаЬ = хх. Далее находим log^,A/,.
lOgAfj Л12 —
loga Мг = loga (ат,Ьп') loga-Ni . log а(аР^)
Щ + пг logo Ь
Рг + Яг loga*
Заменив \ogab его значением хи вычислим lOgA', М2.
Пример. Дано\ log9856 = a. Вычислить log714.
Решение. Разложим числа 56, 98, 7, 14 на множители: 56 = 23-7, 98 = 2-72, 7 = 7,
14 = 2-7. Каждое число представляет собой произведение степеней чисел 2 и 7. Одно из них, например, 2 примем за основание логарифмов. Перейдем к логарифмам с основанием 2^ logg 56 _ logs (2*-7) = з -г log; 7 log,(2-7*) 1+2 log27
Пусть log2 7 = jc, получим уравнение
3 -f- х
logos56 — log, 98
1 4- 2x
= a.
Корень уравнения
a —3 1— 2a
т. e.
f 7 a — 3
log27 = nr=^r
Далее
log714=
loga 14 = 1 + loga 7
lOga 7 loga 7
a.
Заменяя log27 его значением, получим
i i/I 2 ~f* a
l°g7l4 = 3Z^*
Задача 2. Дано: logjy, = a, log//, M2 = = p. Вычислить logyv3VW3, где каждое из чисел Ми Nu М2, N2, Мг, N3 представляет собой произведение степеней трех положительных чисел а, Ь и с, не равных единице, т. е. = ат'Ьп*ск', М2 = атФп’ск\ М3 = am*bn*ck\ Nx = арФ9'сг», N2 = aPiM’cr\ N3 = ap‘b9‘cr‘.
Решение. Из трех чисел a, b и с одно примем за основание логарифмов, например а. Перейдем к логарифмам с основанием а.
log^M
logo Mt
loga AT,
= Щ + nt l0ga6 + fe, lQggC Pi + 4i loga b + Г, loga С
togai,am'bn‘ ск%) •oga (ap'b4lcr*)
= «,
Incr» M loggia loga (am'bn4k')
gJV’ 2 loga^j ioga (apW*cr')
= m* + пг 1о&» b + кг logg С e
Pa + ?a loga b + rs 10ga С
Пусть . l,og0 b = x и log a c== У, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
т{ 4- П\Х -f k,y
Pi + 4ix + r,y тг -f пгх -К k2y Pi + Чгх + r2y
-P.
Предположим, что она имеет решение х ■■ и y==yi, т. е. logo 6 = л, и !oga £ = )>!. Далее находим log/v3 М3.
logyv3 М
logo М3 _ logo (аШгЬПгск*) loga N, iog0 (аРзЬ9зсГз)
= тг + Пг loga ь + k3 loga С Pt + qг logo b + r3 logo С
Заменяя logab и logec их значениями хг и уи окончательно найдем logw, Мг.
Пример. Дано: log663==a, log2118 = {3. Вычислить log42 147.
Решение. Разложим числа на множители: 6 = 2-3, 63 = 32-7, 21 =3-7, 18 = 2-32, 42 = = 2-3-7, 147 = 3-72. Каждое число представляет собой произведение степеней трех чисел 2, 3 и 7. Одно из них, например, 2 примем за основание логарифмов. Перейдем к логариф-
25


мам с основанием 2.
Iog2 (32-7)
loge 63
log,(2-3)
2 log2 3 + log2 7 1 + log2 3
log2118
loga(2-32) 1+2 log2 3 Q
logs (3-7) log2 3 -+- log2 7 p-
Пусть log23 = .x;, log27 = y. Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
( 2х 4- у
1 + х
1+2х
{ х + У
Решив ее, найдем, что
а,
■р.
l0g23 =
«Р+1
Зр—еф —2’ оф — а — 2
У = l°g2 7 = ар_2 •
Теперь вычислим log42 147.
\па и? 1о^(3~72) lpg,3 + 2l.og27 Wg4J log2 (2-3-7) 1 + log2 3 + log, 7 •
Заменяя log23 и log27 найденными значениями, получим, что
Зсф— 2а — 3
log42 147:
“Ь зр OL 3
Аналогично решается задача, когда даны три логарифма и надо найти четвертый логарифм, причем числа и основания логарифмов представляют произведение степеней четырех положительных чисел а, Ь, с и d, не равных единице. Решение задачи приведет к системе трех уравнений с тремя неизвестными.
Вообще может быть дано п логарифмов:
logw, Мх = аи logN,M2 = a2 l0gNnMn =
— лп — и требуется вычислить logArn+i-Mn+i, где каждое из чисел Ми М2,..Мп, Мп+1; Ni, TV2,Nn, Nn+l представляет собой произведение степеней п +1 положительных чисел, не равных единице. Задача сведется к решению системы п уравнений с п неизвестными и потом к вычислению logyvn+iVW„+1.
Заметки с уроков
Координатная плоскость
б) Первая координата одинакова, в) Точки расположены на расстоянии трех единиц от прямой ОУ.)
При обсуждении результатов выполнения этого упражнения учащиеся подводились к догадке, что точки,, у которых первая координата одна и та же, лежат на прямой, параллельной прямой OY и отстоящей от нее на расстоянии трех единиц.
Для закрепления и углубления знаний учащихся V класса по теме «Координатная плоскость» мы широко использовали таблицу с точками, отмеченными на координатной плоскости (см. рис.).
Вопросы и ответы по таблице сначала носили устный характер. Например: а) найдите координаты точек: Л6> А%, Съ Сз, Еъ Е5, /С9, Вь Вь Къ б) назовите точки плоскости, имеющие следующие координаты: (3; —3); (—1; —4); (-5; 2); (0; 1); (6; -1); (1; -5); (-5; 0) и т. п. Если упражнения предлагались в форме диктанта или письменной самостоятельной работы, то задания формулировались таким образом:
1. 	а) Запишите координаты точек B3f ЬЛЪ С2.
б) 	Какую особенность имеют координаты этих точек? в) Как расположены на координатной плоскости эти точки? (Ответы учащихся.
Y
Вд
В7
Кб
А,
В5
S*
At
в6
,в8
,вз
*5,
Л
,л*
A3
Вг
Аз
В,
Ат
Mt
Мг
М3
'А*
М5
ме
Cs
Сд
а
р5
De
Ия
fi
•Кз
Се
С г
*г
р?
,Д»
Сз
с?
А
Сч
Cs
Оа
Р*
26


2. 	а) Запишите координаты точек, обозначенных буквой К. б) Какую особенность имеют координаты этих точек? в) Где расположены точки, у которых первая координата равна нулю? (Ответы учащихся, б) Первая координата равна нулю, в) Точки расположены на прямой OY.)
Аналогичное задание давалось для точек, расположенных на прямых, параллельных прямой ОХ, и на прямой ОХ.
3* а) Запишите координаты точек: Aif Аъ
А3, Аь Сь Съ С3, С4. б) Какую особенность имеют координаты этих точек? в) Как расположены на плоскости эти точки? (Ответы учащихся. Первая и вторая координаты точек одинаковы.)
Предвидя различные ответы учащихся на второй вопрос этой задачи, мы проводили такие рассуждения: точки Aif Аъ ..., С3, С4 лежат на одной прямой Л1С4*, лучи OAi и ОС4 являются соответственно биссектрисами угла YOX и угла вертикального с ним.
4. 	Назовите точки, симметричные точкам Dit А2, В2 относительно прямой ОХ; прямой О У.
По данной таблице возможны разнообразные задания для фронтальной, индивидуальной и самостоятельной работы с учащимися.
В. Н. РУДЕНКО (Москва)
Технические средства обучения. Наглядные пособия
В. Г. БОЛТЯНСКИЙ {Москва)
Применение кодоскопа на уроках математики
Слово «кодоскоп» — сокращение от словосочетания классная оптическая доска. Оно возникло как русский эквивалент немецкого слова Schreibprojektor и английского overhead- projector. И несмотря на то что многие считают слово «кодоскоп» неудачным, оно вошло в употребление.
Наша промышленность уже выпускает ко- доскопы (время от времени они появляются в учколлекторах и магазинах учебного оборудования), а в ближайшем будущем будет выпускать новую, усовершенствованную и значительно облегченную модель кодоскопа, оснащенную мощной галогенной лампой. Кроме того, в № 4 журнала «Математика в школе» за этот год была помещена заметка В. Н. Т о- л яров а, в которой описано, каким образом школьный эпидиаскоп (находящий малое применение из-за незначительности создаваемогоWm светового потока) может быть пере¬
оборудован в самодельный кодоскоп. Если к этому добавить, что предприятия Учтехпрома уже приступают к массовому выпуску учебных материалов по математике для кодоскопа, то станет ясно: наступило время ознакомить учителя с устройством кодоскопа и теми возможностями, которые создает применение этого прибора на уроках математики. Кстати отметим, что до сих пор не установилось определенного названия для учебных материалов, используемых с помощью кодоскопа: их называют «масками», «диапозитивами», «диапозитивами большого формата» и т. п. Мы здесь будем использовать термин кодопозитивы, который нам кажется коротким и удобным.
Прежде всего остановимся на принципе работы кодоскопа. Оптическая схема лучей кодоскопа показана на рис. 1. Свет от источника И (лампы) преломляется конденсорной линзой Л. Создаваемый конденсором пучок лучей (почти параллельный) проходит через кодопозитив К и фиксируется объективом Оь а затем (после отражения от зеркала 3) — объективом Ог. В результате на экране Э получается увеличенное изображение рисунка (или чертежа), нанесенного на кодопозити- ве К. Общий вид кодоскопа показан на рис. 2.
Рассмотрим возможности, появляющиеся при применении кодоскопа на уроках математики.
1. 	Преимуществом кодоскопа перед диапроектором (и тем более эпископом) является то, что он при той же мощности лампы создает значительно более яркое изображение. Объясняется это тем, что конденсорная линза кодоскопа имеет значительно большую рабочую площадь, чем, па-пример? в случае диапроектора. Так, с:л ;; размер" кадра стандартного диа-
27


Рис. 1
позитива 24 X 36 мм, то кодопозитивы, выпускаемые отечественной промышленностью, имеют размер кадра 100 X 140 мм, т. е. рабочая площадь кодопозитива почти в 17 раз больше площади кадра диапозитива. Поэтому (даже если учесть подсветку в виде отражающего зеркала, применяемую в осветительной системе диапроектора) кодоскоп создает примерно в 10 раз большую освещенность экрана, чем диапроектор (при одинаковых размерах изображения на экране и примерно одинаковой мощности источника света). Из сказанного вытекает важное свойство кодоскопа: он
позволяет вести работу в классе без затемнения (-или при легких белых шторах в яркий, солнечный день).
Приведем пример. Э. Ю. Крассом разработана серия кодопозитивов «Измерения на местности». На экране появляется карта небольшого района: видны несколько населен¬
ных пунктов, железная дорога, сеть шоссейных дорог и масштаб. Учащиеся измеряют с помощью циркуля длины отдельных участков шоссейных дорог и, пользуясь масштабом, определяют их длину на местности. Благодаря кодоскопу эта работа хорошо видна всему классу. После такой работы класс получает самостоятельные задания (по вариантам): найти расстояние по шоссейной дороге между двумя данными (далеко расположенными) пунктами; определить, какой из двух путей, ведущих из одного данного пункта в другой, короче; бензиновые колонки расположены в трех заданных пунктах — какая из них ближе всего к данному четвертому пункту; и т. п. Эти задания учащиеся выполняют в тетрадях, и потому для нормальной работы необходимо, чтобы класс не был затемнен. В то же время учащиеся должны видеть перед собой карту местности. Кодоскоп позволяет иметь на экране требуемую карту, хорошо видную всем учащимся в обычном (незатемненном) классном помещении.
2. Как следствие большой освещенности экрана мы получаем другую важную особенность кодоскопа: он позволяет проецировать
изображение прямо на доску, на которой можно мелом достраивать изображение, дополнять его и т. д. Такую работу мы рекомендуем проводить даже при использовании диапроектора 1, однако для того чтобы изображение на темном фоне доски было достаточно ярким, диапроектор должен стоять близко к доске и размеры изображения должны быть небольшими (порядка 35 X 50 см). Кодоскоп же благодаря создаваемому им мощному световому потоку позволяет воспроизводить на темном фоне доски достаточно яркое изображение больших размеров.
Приведем пример. В серии кодопозитивов «Изображение прямоугольного параллелепипеда», также разработанной Э. Ю. Крессом, имеются кодопозитивы, на которых Доказаны отдельные элементы изображения прямоугольного параллелепипеда (рис. 3). Проецируя, например, второй из этих кодопозитивов на доску, можно предложить учащимся достроить имеющиеся линии до изображения прямоугольного параллелепипеда.
3. Отметим, что кодопозитивы, предназначаемые для показа с помощью кодоскопа, накладываются лицом, проводящим показ (учителем), прямо на конденсорную линзу кодоскопа (рис. 2). А так как кодопозитивы по математике представляют собой рисунки (как правило; штриховые) или чертежи, нанесен-
1 См. статью «Диафильмы и диапозитивы на уроках математики», «Математика , в школе», 1971, № 4,
28


о •
• •
5
Рис. 3
Рис. 4
пленке, то появляется возможность наложения нескольких кодопозитивов (до 4—5 штук) друг на друга для совмещения на экране нанесенных на ко- допозитивах изображений. Для более точного совмещения изображений на верхней части кодоскопа имеются установочные штифты, а на кодопозитивах — пробивки (рис. 4). Например, на первом кодопозитиве учитель может иметь запись формулировки теоремы, на втором — чертеж к теореме, на третьем — вспомогательные линии, на четвертом — запись начала доказательства и на пятом — запись заключительной части доказательства теоремы. Имея такой набор кодопозитивов, учитель может сначала наложить на конденсорную линзу первый из них и обсудить с учащимися формулировку теоремы. Затем он может наложить сверху второй кодопозитив, и на экране рядом с записью теоремы появится чертеж. Теперь учитель имеет возможность обсудить возможные пути доказательства теоремы. При этом, если изображение проецируется на доску, можно попросить учащихся наметить на доске (мелом) те вспомогательные линии, которые потребуются для проведения доказательства. Если линии проведены неверно, их можно стереть, а чертеж, создаваемый на доске кодоскопом, останется. После обсуждения можно стереть все записи на доске и наложить третий кодопозитив с нанесенными на
ные на тонкой прозрачной
нем вспомогательными линиями. Когда учащиеся перенесут в свои тетради чертеж (дополненный вспомогательным построением), учитель накладывает четвертый лист с записью начала доказательства. Наконец, после того как эта часть доказательства обсуждена и перенесена учащимися в тетради, учитель накладывает последний, пятый кодопозитив и обсуждает конец доказательства. Для того, чтобы «стереть» все написанное, достаточно снять кодопозитивы с кодоскопа. При желании учитель может бегло повторить все доказательство, накладывая еще раз один за другим кодопозитивы. В этом большое преимущество преподавания с применением кодоскопа.
В качестве другого примера обратимся снова к серии кодопозитивов «Изображение прямоугольного параллелепипеда» (рис. 3). Накладывая на линзу кодоскопа первый и третий из этих кодопозитивов или третий и пятый, мы получаем новые задачи на достраивание изображения прямоугольного параллелепипеда. Совмещение же всех кодопозитивов, изображенных на рис. 3, дает полное изображение прямоугольного параллелепипеда.
Ни диапозитивы, ни какое-либо иное средство обучения не дает возможности такого многократного наложения изображений. Такую возможность (с множеством вытекающих отсюда методических приемов преподавания) создает только кодоскоп 2.
4. 	Весьма существенно, что при работе с кодоскопом (например, при объяснении новой теоремы, как это было описано выше) учитель все время стоит лицом к классу и может наблюдать за его работой (рис. 2). Это создает ряд преимуществ по сравнению с традиционным методом работы на доске. Учителю незачем смотреть на экран (или на доску), так как на ярко освещенной конденсорной линзе он хорошо видит нанесенное на кодопозитивах изображение и может маленькой указкой отмечать нужное место чертежа. Точно такое же изображение будут видеть (в увеличенном виде) учащиеся на экране (или на доске). А так как учитель стоит лицом к классу и освобожден от необходимости делать записи на доске, то он может наблюдать за классом и более эффективно руководить его работой.
2 Частичное наложение изображений (а именно, совмещение изображений, нанесенных на двух кадрах диафильма или двух диапозитивах) может быть осуществлено с помощью магнитной приставки к диапроектору, разработанной преподавателем математики школы № 706 Москвы С. М. Кушу л ем. Эту приставку мы опишем в одном из следующих номеров нашего жур нала.
29


Щ LAZ
Рис. 5 Рис. 6
Рис. 7
5. 	Следующая существенная черта кодоскопа— возможность смещения двух (или большего числа) кодопозитивов друг относительно друга при их совместном показе. Это еще одна форма работы с кодоскопом. Для того чтобы ее проиллюстрировать, рассмотрим следующий пример. Учитель имеет два кодопозитива, на одном из которых изображена координатная система с единичной (или более густой) сеткой линий (рис. 5), а на другом — график функции у = х2, но без системы координат (рис. 6). Первый из этих кодопозитивов (рис. 5) имеет пробивку, позволяющую неподвижно установить его на штифтах, а второй пробивки не имеет и может при наложении на первый кодопозитив свободно смещаться по нему3. Имея два таких кодопозитива, учитель может: а) по-разному накладывая второй кодопозитив (рис. 7), задавать вопросы о знаке коэффициентов р, q трехчлена у = ± х2 + + рх + q, соответствующего полученному графику, о знаке дискриминанта трехчлена и о характере его корней, о координатах вершины параболы и т. д.; б) иллюстрировать сдвиги графиков, т. е. переход от графика y = f(x) к графику у = f(x + с) + а на примере функции у = х2 (еще лучше для этого иметь два кодопозитива с графиком у = х2 — один черный и один красный, чтобы можно было показать вместе исходный график и сдвинутый); в) задавать учащимся вопросы типа «Как выглядит график трехчлена, у которого а < 0, а корни оба действительны и отрицательны» и предлагать им отвечать на эти вопросы, перемещая кодопозитив с параболой на кодоскопе; г) иллюстрировать решение квадратичных неравенств и т. п. Более того, имея кроме кодопозитивов, изображенных на
3 Такие кодопозитивы имеются в серии «Квадратичная функция», разработанной Г. Г. Леви т а с о м и автором статьи.
рис. 5 и 6, еще один кодопозитив, на котором нанесена прямая линия, можно, по-разному накладывая кодопозитивы с прямой и параболой на координатную сетку, иллюстрировать графическое решение системы уравнений вида Г у = х2 + рх + qy \ ах + by + с = 0.
Возможность сдвига кодопозитивов относительно друг друга важна не только для алгебры, но и для многих разделов курса геометрии (симметрия фигур, поворот, параллельный перенос, равенство фигур и т. п.).
6. 	Учитель может не только пользоваться заранее подготовленными кодопозитивами, но и показывать при помощи кодоскопа записи, непосредственно выполняемые на уроке. С этой целью можно использовать любой лист прозрачного материала (целлофана, целлулоида и т. п.), который накладывается на конден- сорную линзу и на котором шариковой ручкой, фламастером, пастельным карандашом или иным пишущим средством учитель пишет формулы, изготовляет чертежи и т. п. На экране учащиеся сразу же видят все записи, выполняемые учителем. Можно также часть записей заранее подготовить дома, а в классе лишь дополнить их. Кодоскоп снабжен также и специальной подвижной лентой (рис. 8), так что, исписав формулами рабочее поле, учитель имеет возможность передвинуть ленту и писать снова. При необходимости можно вернуть ленту назад и вспомнить ранее сделанные записи (что выгодно отличает кодоскоп от классной доски). Если к этому добавить, что надписи на ленте кодоскопа легко стираются тряпкой, то становится ясным, что кодоскоп вполне может заменить функции классной доски. Футурологи-школоведы считают,
Рис. 8
30


что в недалеком будущем (через 10—15 лет) классная доска с мелом и тряпкой, создающая в классе пыль и антисанитарию, начнет сдавать свои позиции и уступит место классной оптической доске (т. е. кодоскопу). Кстати, дополнение чертежа учащимися (о чем мы говорили выше при обсуждении доказательства теоремы с помощью кодоскопа) можно проводить не мелом на доске, а прямо на линзе кодоскопа (на листе целлофана, наложенном сверху на кодопозитив с доказательством теоремы). Это еще раз показывает, что кодоскоп действительно может заменить все функции классной доски.
7. Возникает естественный вопрос: нет ли таких функций классной доски, которые не может заменить кодоскоп? Например, как быть с опросом учащихся (ведь именно в связи с этим учителя математики стремятся увеличить площадь классной доски)? Легко понять, что именно в этом отношении кодоскоп создает особенно богатые возможности. В самом деле, достаточно раздать опрашиваемым учащимся листки целлофана и предложить им написать на них доказательство теоремы, вывод формулы, решение задачи и т. п. Для опроса достаточно вызвать учащегося «к кодоскопу» (вместо того чтобы вызвать «к доске») и предложить ему отвечать, наложив листок целлофана на конденсор кодоскопа. Работа ученика будет видна всему классу, ее можно обсудить, а в случае ошибки можно посадить отвечающего на место, предложив исправить ошибку, а на его место вызвать «к кодоскопу» другого ученика. Можно вести опрос одновременно любого числа учащихся (посадив их, скажем, на первых партах и предложив выполнить задание на листках целлофана) —лимитируют опрос здесь не размеры доски, которая просто станет в будущем ненужной, а время урока.
8. Существует несложный способ самодельного изготовления кодопозитивов, широко применяемый в школьной практике учителем В. Н. Мораньковым. Способ этот заключается в том, что используется фотопленка (или рентгеновская пленка) размером 13 X X 18 см, которую нужно, вынув из пакета (прямо на свету), отфиксировать, т. е. выдержать 10—15 мин. в растворе гипосульфита, а затем хорошо промыть (до получаса) и высушить. На обработанной таким способом пленке можно писать пером (или рейсфедером), используя обычные чернила или тушь. Имея элементарные навыки черчения, учитель может изготовить на этом материале необходимые диапозитивы. Этим способом учитель может создавать и самодельные кодопозитивы, д о-
Рис. 9
Рис. 10
полняющие серии кодопозитивов, выпускаемых промышленностью.
9. 	Наконец, отметим еще один прием использования кодопозитивов с целью создания удобных средств обучения. Речь идет о соединении нескольких кодопозитивов при помощи липкой ленты, которую в городских условиях можно купить в магазинах канцелярских товаров. При помощи такой ленты можно соединять кодопозитивы, как показано на рис. 9. В результате создается возможность, поворачивая второй кодопозитив, накладывать его в нужный момент на первый, причем при наложении произойдет точное совмещение изображений. Можно также соединять липкой лентой и большее число кодопозитивов (до пяти, рис. 10), причем, помещая основной кодопозитив (помеченный цифрой 1) на конденсор кодоскопа, можно в любой момент и в любой комбинации добавлять к нему изображения других подклеенных с помощью ленты кодопозитивов. Например, пять кодопозитивов, изображенных на рис. 3, можно склеить лентой по схеме, показанной на рис. 10.
Несомненно, отмеченные выше приемы работы с ко доскопом далеко не исчерпывают все педагогические возможности, создаваемые этим замечательным прибором, и практика работы учителей значительно обогатит в будущем наши представления о дидактических функциях и методических рекомендациях использования кодоскопа.
31


В. 	С. ПРОЦЕНКО (г. Хвалынск Саратовской обл.)
Универсальное пособие по геометрии
Рекомендуемое пособие можно сделать силами учащихся и учителей, оно отличается простотой изготовления и обеспечивает наглядное преподавание почти всего теоретического курса планиметрии и стереометрии, а также практической части курса геометрии.
Пособие позволяет конструировать геометрические фигуры и тела различных размеров, быстро составлять необходимую фигуру в нужный момент урока, для чего плоские элементы пособия имеют на обратной стороне разметку, помогающую учителю и ученикам быстро ориентироваться при монтаже. Можно составлять комбинированные тела и строить модели сечений тел плоскостями. Пособие компактно, умещается в небольшом ящике, и его легко можно переносить из класса в класс. Крышка ящика съемная и используется как основа для простейших моделей из первой части стереометрии.
Содержание пособия
1. Металлические прутики — спицы различной длины: 3 см, 4 см, 5 см, 6 см, 8 см, 10 см, 15 см, 20 см, 25 см. Каждому размеру должно соответствовать 12—18 спиц. Для изготовления икосаэдра, додекаэдра требуется 30 спиц длиной 6 см или 8 см. В процессе составления фигур могут потребоваться спицы других размеров; поэтому надо иметь запасные прутики и плоскогубцы. На одном конце некоторых спиц нужно припаять крючки из тонкой проволоки или сточить и загнуть конец.
2. Шарики из воска или пластилина диаметра 8—12 мм — 40 шт. Применяются шарики для соединения спиц.
3. Резинки круглые (диаметр поперечного сечения 2—3 мм) разной длины и разного цвета с крючками на концах: 2—4 см — 4 шт., 6—8 см — 4, 8—10 см —4, 12—14 см —10, 16—18 см— 10, 20—22 см— 10, 24—26 см — 6, 30—32 см— 6. Резинками, с помощью крючков, соединяют петли плоских фигур.
4. Набор плоских геометрических фигур из фанеры с металлическими петлями (в виде колечек диаметра 4—5 мм) в характерных точках: вершинах многоугольников, серединах сторон, основаниях высот, точках касания вписанных окружностей со сторонами и т. д.
Плоские фигуры многоугольников делаются в трех экземплярах: два — одинаковых, третий— меньшего размера. В центрах вписанных и описанных окружностей многоугольники просверлены по диаметру 5 мм.
Приведем перечень плоских фигур.
а) Круги радиуса /? = 150 мм — 2. В плоскости одного круга изображены многоугольники (правильные и неправильные), вписанные в него, и круги, вписанные в многоугольники, с отверстиями в центре (рис. 1). Оба круга имеют прорези, равцые толщине фанеры.
б) Правильные треугольники (AEL) со сторонами а3 ~ 260 мм; а3' ~ 150 мм. '
в) Равнобедренные прямоугольные тре¬
угольники (DNP) с катетами а = b ~ 212 мм\ а' = Ь' ~ 147 мм.
г) Разносторонние прямоугольные треугольники (AEN) с катетами а ^150 мм и Ь~ я^260 мм; а' « 96 мм и Ь' ~ 167 мм.
д) Остроугольные равнобедренные тре¬
угольники (BNU) со сторонами а = Ь ^ 280 мм и с ^ 200 мм\ а' = Ь' « 174 мм и с' ~ 126 мм.
е) Тупоугольные равнобедренные треугольники (ENL) со сторонами а = Ь « 150 мм и с ^ 260 мм; а' = У « 100 мм и с' ~ 173 мм.
ж) Остроугольные разносторонние тре¬
угольники (BMU) со сторонами 298 мм, 6^200 мм и с^250лш; а'^ 191 мм, й'^130лш и с' ~ 161 мм.
з) Тупоугольные разносторонние треугольники (BEN) со сторонами а ~ 150 мм,
Рис. 1
л/
А
32


Ь«280 жж и с^190мм; ^*121 м; 6'«230мм и с' ^ 157 мм.
и) Квадраты (ADNP) со сторонами а4 ~ я^212 мм\ а4 ~ 150 мм.
к) Правильные шестиугольники (ACENLT) со сторонами а6 ~ 150 жж; ^ 89 мм.
л) Прямоугольники (CELT) со сторонами а « 150 мм и b ~ 260 мм; а'~ 90 жж и 6' ^ 156 жж.
м) Равнобедренные трапеции (EFKL) с центром описанной окружности, лежащим по одну сторону от оснований: а ^ 260 мм, b ^ ~ 150 мм и h ~ 56 мм.
н) Равнобедренные трапеции (DFKP) с центром описанной окружности, лежащим на .стороне основания: а ^ 300 мм, b ^ 150 мм, h ~ 130 мм.
о) Равнобедренные трапеции (CFKT) с центром описанной окружности, лежащим между сторонами оснований: 280 мм,
b — 160 жж и 202 жж; а'я^144 жж, 6'« ^ 87 жж и Л' « 1 Ю жж.
п) Дельтоиды (ACNT) со смежными сторонами а ~ 150 мм, b ^ 258 мм и радиусом вписанной окружности 95 мм.
р) Ромбы со сторонами и острым углом: а « 172 мм и а ^ 60°; а' ^ 125 жж и а ~ 60°.
с) Параллелограммы со сторонами и высотами: а~ 221 лш, Ья^144 жж и /г ~ 129 мм; а' ж 90 мм, Ъг « 156 жж и h' ^ 82 жж.
т) Прямоугольные трапеции с основаниями и высотами: ая^260 жж, Ь~ 168 мм и /1^224 мм; а' ~ 144 жж, Ь' ^ 94 жж и ft' ~ 112 жж.
у) Круги, вписанные в многоугольники, в двух экземплярах радиуса г~ 130 жж, 106 жж, 75 жж и 43 жж; в одном экземпляре радиуса г« 102 жж, 101 жж, 69 жж, 66 жж, 62 жж, 56 жж, 55 жж, 35 жж.
В двух кругах радиуса г ~ 130 жж сделать прорези по радиусу. Эти круги через прорези с кругами радиуса R ~ 150 жж соединяют
Рис. 2
N'
перпендикулярно для получений сечений шара (рис. 2, а, б) , а также для получения многогранников и круглых тел, вписанных в шар.
5. Полые шары (из пластмассы или целлулоида) радиуса 50—80 жж, 80—120 жж,
120—150 мм. Сферу полого шара просверлить в полюсах по толщине трубки. От сферы отрезать сферический сегмент параллельно диаметру шара, проходящему через полюс. Это дает возможность фиксировать центр шара и проводить радиусы шара в точку касания его поверхности с гранями многогранников и с круглыми телами.
6. Металлические стержни с резьбой на концах.
а) Прямые стержни длиной 320 жж, 205 жж, 120 жж. Диаметр поперечного сечения стержней— 4 жж. На концах стержней сделать резьбу длиной в 20 жж, а на самом длинном — с одного конца резьбу сделать до середины стержня (рис. 3).
б) Прямые стержни длиной 275 жж, 185 жж, изогнутые на одном конце (начиная с резьбы) под углом 150° (рис. 4).
в) Прямые стержни, изогнутые на двух концах (изгиб начинается с резьбы) под углом 150° (рис. 5). Изгибы делать строго параллельно. Можно изгиб делать под услом 135° или 120°. Длина таких стержней (без изогнутой части) — 255 жж и. 160 жж.
г) Стержень с полной резьбой и петлями в обоих концах длиной 18—20 жж.
7. Металлические трубки с продольной прорезью длины: 190 жж — 2 шт., 80 жж — 2 шт. Внутренний диаметр трубки берется таким, чтобы в нее входил прямой стержень. Прорезь на одном конце трубки запаять (рис. 6).
8. Гайки с резьбой, соответствующей резьбе стержней,— 20 шт. В одну грань каждой из четырех гаек впаять петли.
9. Шайбы —20 шт. В цилиндрические поверхности четырех шайб впаять петли. Внутренний диаметр шайб — 5 жж.
й)
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
2 Математика в школе МЪ 6
33


М4
10. Муфты с винтом упора — 2 шт. Внутренний диаметр муфты равен внешнему диаметру трубки с прорезью. Муфта одевается на трубку так, чтобы винт упора располагался над прорезью. В боковую поверхность муфты, против винта упора, впаять петлю (рис. 7).
11. Гайки с ребром 8 мм— 2 шт. В каждую грань гайки впаять петли. Резьба гайки соответствует резьбе стержней. Петли в гранях располагаются в одной плоскости (рис. 8).
12. Зажимы — лапки для крепления стержней к плоскости фигуры в вершинах или на сторонах — 2 шт. Прорези в лапках соответствуют толщине фанеры. В лапках зажимов, в середине прорези, сделать отверстия с резьбой для крепления стержней (рис. 9).
13. Ящик для размещения пособия. Размеры внутренней части ящика: ширина—310 мм, длина — 350 мм, высота — 320 мм. Крышка ящика высотой 20 мм соединяется с корпусом посредством двух съемных петель и внутреннего замка, вмонтированного в переднюю боковую грань. Внутренняя сторона крышки заливается воском толщиной в 10—15 мм. Ящик имеет перегородки. В одну часть ящика помещаются большие плоские фигуры, в другую — меньшие, а в третью помещается пенал с резинками, гайками, спицами и стержнями. Размеры пенала: ширина—180 мм, длина — 300 мм, высота — 55 мм. Внутренняя часть пенала имеет перегородки. Плоские фигуры в ящике лежат в вертикальном положении и плотно друг к другу, чтобы не коробились. Над малыми плоскими фигурами помещаются шары. В передней части ящика делается ручка для переноса пособия.
Некоторые советы при изготовлении пособия
Процесс изготовления деталей пособия прост. Знаний, полученных учащимися в школьных мастерских по столярному и слесарному делу, вполне достаточно, чтобы приготовить пособие.
Перед изготовлением плоских фигур из фанеры следует сделать образцы из бумаги (выкройки) по указанным размерам. Эту работу следует выполнить преподавателю математики. Фанеру для выпиливания плоских фигур надо выбирать лучшего качества (из бука или березы), без сучков, одинаковой толщины.
Размеры плоских фигур, указанные в описании, можно изменять и дополнять. Следует только помнить, что определенные плоские фигуры надо делать такими, чтобы их можно было вписать в круг и описать около круга. На рисунке 1 даны расположения вписываемых и описываемых фигур в масштабе 1 :4 для указанных размеров. Итак, все расчеты для других размеров плоских фигур надо начинать с большого круга. Другие фигуры, например, ромб, надо делать таким, чтобы в него можно было вписать круг, вписываемый одновременно в правильный треугольник AEL.
Как следует из содержания пособия, каждая плоская фигура делается в трех экземплярах: две — одинаковые, а третья — меныцего размера. Размеры меньшей фигуры желательно брать такими, чтобы при составлении усеченного конуса или усеченной пирамиды в них можно было вписать шар.
На одной стороне каждой плоской фигуры многоугольника изображаются вписанные круги с радиусами, проведенными в точки касания, проводятся высоты, медианы, биссектрисы, диагонали. Соответствующие точки (вершины, центры, основания высот и др.) обозначаются буквами. Следы окружности и других линий, а также буквенные обозначения лучше всего делать в виде углубления на поверхности фанеры с помощью кронциркуля. Поверхность фанеры нужно очистить мелкой нождачной бумагой, затем покрыть лаком. Следы углублений следует очистить от лака тем же кронциркулем, затем поверхность слегка протереть мелкозернистым нождаком и заполнить все углубления линий и букв тушью через рейсфедер.
В центре вписанной окружности, в центре описанной окружности, в точках пересечения диагоналей, высот, медиан, биссектрис и других характерных точках плоских фигур надо с помощью дрели (диаметр сверла 4 мм) сделать отверстия для крепления стержней.
Затруднения могут встретиться при закреплении металлических булавок с петлями в «вершину» или «ребро» фигуры. (Лучше всего использовать портняжные булавки с петлями.) Булавки с петлями закрепляются в «ребре» при вершинах фигуры, середине сторон, в точках касания вписанных окружностей со сторонами, в точках основания высот и т. д. Процесс этой работы может быть облегчен так: вершину плоской фигуры нужно поместить между двумя плоскостями фанеры или дощечек и зажать в тисках, а затем острием шила путем легкого постукивания по нему молотком сделать в фанере при вершине углубление в 10—12 мм. В отверстие вста¬


вить булавку, зажать ее головку плоскогубцами и путем постукивания молотком по плоскогубцам загнать ее в фанеру до шейки петли. Головку булавки надо располагать перпендикулярно плоскости фигуры. После всей этой работы поверхность фигуры вновь покрывается лаком.
Крючки, которые крепятся на концах резинок, лучше всего делать из булавок с петлями. Булавки предварительно надо прокалить на огне (чтобы сделать их мягкими).
Металлические стержни с резьбой, трубки, муфты, гайки, лапки можно изготовить в школьных мастерских. Описания для их изготовления не требуется, к ним даны чертежи.
Для темы «Вписанные шары» потребуется по крайней мере 3—4 полых целлулоидных шара. Срезы сферических шаровых сегментов нужно делать такими, чтобы они могли вмещаться один в другой.
Изготовление моделей и их использование
Рассмотрим изготовление некоторых моделей и применение их при решении задач.
1. 	призмы
Правильная треугольная призма может быть получена так: два равных треугольника ^правильных) соединить через их центры прямым стержнем с помощью четырех гаек, четырех шайб и трех резинок или трех раздвижных спиц. Стороны треугольников расположить параллельно. Эта же призма может быть получена из спиц и шариков из воска. Для этого достаточно вершины двух равных правильных треугольников соединить тремя раздвижными спицами, расположив их перпендикулярно основанию. Если же использовать для двух плоских равных правильных треугольников стержень с двусторонней кривизной при параллельном расположении сторон, то получим наклонную призму. Перемещая зерхнюю плоскость параллельно нижнему основанию, с сохранением параллельности сторон, можем получать различные наклонные треугольные призмы. Аналогично могут быть получены другие правильные, прямые и наклонные призмы. В призмах можно получать различного вида сечения при использовании резинок. Следует помнить только, что резинки надо подбирать такой длины, чтобы не было сильной натянутости, так как это может приводить к изгибу плоских фигур и спиц.
Рассмотрим в качестве примера задачу, которая вызывает у учащихся затруднение при построении чертежа: «Основание прямой
призмы — тупоугольный треугольник со сторонами а, b и с. Плоскость сечения призмы,, про¬
ходящая через меньшую сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания, образует с нижним основанием двугранный угол в 45°. Найти площадь сечения».
На рис. 10 дан чертеж модели, для изготовления которой потребовалось два равных тупоугольных треугольника, прямой стержень, 4 гайки, 4 шайбы, спица и семь резинок. Плоскости двух треугольников BEN и BXEXNX с помощью стержня, гаек и шайб крепятся через центры вписанных окружностей. Равные стороны треугольников располагаются параллельно, а соответствующие вершины соединяются посредством резинок. В боковых гранях ВЕЕХВХ и BNNXBX проводятся с помощью резинок диагонали ВХЕ и BXN. К меньшей стороне EN нижнего основания прикрепляется спица в точках Е и N, на которую опускается из точки В перпендикуляр В К (резинка). Основание К перпендикуляра соединяют резинкой с вершиной Вх. Учащиеся наглядно убеждаются, что искомое сечение EBXN есть тупоугольный треугольник с высотой В\К и что Z ВКВ\ — линейный угол искомого сечения с основанием,
2. ПИРАМИДЫ
Пирамиды, как правильные, так и неправильные, могут изготовляться из тех же деталей, что и призмы.
Рассмотрим одну из задач на построение сечения пирамиды плоскостью: «В треугольной пирамиде основание — тупоугольный треугольник, боковые ребра образуют с основанием равные углы. Построить сечение пирамиды плоскостью, которая проходила бы через основание высоты пирамиды перпендикулярно боковой грани, наименее удаленной от основания высоты пирамиды и которая была бы параллельна большей стороне ее основания».
На рис. 11 дан чертеж модели пирамиды и ее сечения плоскостью, удовлетворяющей условию.
3. 	ПИРАМИДА С ВПИСАННОЙ ПРИЗМОЙ
Пусть, например, требуется в правильную треугольную пирамиду вписать правильную
2*
35


Рис. 11
Ряс. 12
треугольную призму так, чтобы нижнее ее основание лежало в плоскости основания пирамиды, а вершины верхнего основания лежали на боковых ребрах (или апофемах).
Модель правильной треугольной призмы делается из спиц и шариков из воска. Затем к плоскости правильного треугольника надо прикрепить вертикально (через центр) прямой стержень и надеть на него трубку с" муфтой. Основание призмы поместить на основание пирамиды так, чтобы центры оснований совпалй и вершины основания призмы лежали на биссектрисах внутренних углов (или на апофемах) основания пирамиды. Петли при вершинах треугольника и середины его сторон соединить резинками с верхней частью трубки. Высоту пирамиды, с помощью передвижения трубки по стержню, сделать такой, чтобы ребра — резинки (или апофемы) касались вершин верхнего основания призмы (шариков). Выбранное положение трубки фиксируется винтом упора муфты.
Если потребуется пирамида с боковым ребром (или боковой гранью), перпендикулярным основанию, то вертикальный стержень крепится при вершине (или какой-то точке стороны) плоского многоугольника с помощью лапки. Вершину угла продеть в прорезь лапки, и через отверстие (посредством резьбы) крепится вертикально стержень до упора в плоскость многоугольника. Затем используются трубка с муфтой и резинки.
4. 	ШАР, ВПИСАННЫЙ В ПИРАМИДУ
Рассмотрим модель, когда шар вписан в пирамиду, в основании которой лежит ромб, а
высота проходит через точку пересечения диагоналей (рис. 12).
Прямой стержень укрепить перпендикулярно к плоскости основания пирамиды. Через отверстие полюса шара продеть трубку, а через срез шара внутри его на трубку надеть муфту и продеть трубку через второй полюс. Трубку с шаром надеть на стержень так, чтобы шар касался основания высоты пирамиды. Петли вершин ромба и оснований высот боковых граней соединить резинками с верхним концом трубки. Трубку поднять вверх или опустить вниз до положения, когда высоты боковых граней (резинки) будут касаться поверхности шара. Перед тем как зафиксировать положение трубки винтом упора муфты, надо муфту расположить в центре шара. Шар повернуть вокруг высоты так, чтобы высота боковой грани (резинка) расположилась над, прорезью шара. Точку касания шара с боковой гранью (через прорезь шара) соединить резинкой с петлей муфты.
5. 	ШАР, ОПИСАННЫЙ ОКОЛО МНОГОГРАННИКА
Для данного раздела потребуется четыре круга (два равных больших R = 150 мм и два равных малых г = 130 мм), являющиеся сечениями шара. В плоскости двух малых кругов вписать многоугольники (как на рис.' 1), а затем при вершинах многоугольников прикрепить петли.
Изображение модели к задаче «В шар вписана прямая треугольная призма, основание которой — тупоугольный треугольник» дано на рис. 2.


в. в. ПОПОВ |г» Баку)
Элементы программированного контроля в IV классе
Во II четверти 1970/71 учебного года в школах № 23 и 160 г. Баку мы проводили эксперимент по применению программированного контроля знаний учащихся четвертых классов по математике. Для проведения эксперимента были выделены по одному классу в каждой школе: 4„б” класс школы № 23 (преподаватель С. В. Та л л ер) и 4„а” класс школы № 160 (преподаватель Е. П. Мирзаджа- н о в а).
В данной заметке мы расскажем о проведении контрольных работ в тетрадях с прозрачными листами. Мы использовали четырехли- стовЫе тетради, сделанные из кальки.
Учащимся предлагался отпечатанный текст контрольной работы, который вкладывался ими в тетрадь таким образом, чтобы он мог читаться сквозь первый тетрадный лист. Текст работы представлял из себя записанные в две колонки задания и ответы к ним. Учащиеся с помощью линейки и мягкого карандаша соединяли каждое задание с соответствующим ответом. Проверка качества выполненной работы проводилась преподавателем либо с помощью дешифраторной схемы путем подкладывания ее под листы с записями учащихся, либо с помощью той же схемы путем визуального сравнения ее с ответами учащихся.
Приводим один из вариантов такой работы с решением.
1. Какие из точек принадлежат прямой АВ? Прямой CD? Какие из точек не принадлежат ни прямой А В, ни прямой CD ?
Принадлежат прямой AQ
Принадлежат прямой CD
Не принадлежит ни пря - мой А В, ни прямой CD
2. Пересекаются ли данные фигуры? Л)
А)
В)
не равны Равны
Такая форма контроля позволяет за короткий промежуток времени выяснить достаточно объективную картину состояния знаний учащихся, вызывает у них определенный интерес, " повышает их активность.
В помощь начинающему учителю
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ НА II ПОЛУГОДИЕ 1971/72 УЧЕБНОГО ГОДА ДЛЯ VI—X КЛАССОВ
От редакции. Настоящие работы составлены как продолжение работ ка I полугодие (см. № 4 за 1971 г.), поэтому все примечания к работам и рекомендации к пользованию ими остаются в силе.
В своей практической работе в школе учитель может пользоваться также текстами контрольных работ, ранее опубликованными в нашем журнале (1967, № 6, 1968,
№ 6 и 1969, № 6), так как они составлены в соответствии с теми же программами, по которым преподается математика в VI—X классах и в 1971/72 учебном году.
Работы для IV—V классов помещены в соответствующих «Дидактических материалах» и в книгах для учителя.
Работы для VI—VII классов составлены Т. Л. Сытиной (Москва), для VIII класса— К. П. С.икорским (Москва) и для IX—X классов — А. В. Соколовой, Г. А. Я с т р е б и н е ц к и м (Москва).
VI КЛАСС АЛГЕБРА № 1 (на 20—25 мин.)
1. 	Составить формулу для решения задачи.
Ширина участка прямоугольной формы 12,5 м, длина 21,2 м. На сколько площадь данного участка больше
37


площади второго участка, имеющего форму квадрата со стороной 14,4 м?
2. 	Записать решение задачи в виде формулы.
Из двух пунктов навстречу друг другу вышли два туриста. Первый шел со скоростью 4 км/ч, второй — со скоростью 5 км/ч. Через t часов туристы встретились. Определить расстояние между пунктами.
, 2
1-3-; t.
>3,5; U
Найти числовые значения при t = 5.
3. 	Записать сумму числа а и частного чисел тип. № 2
1. Найти значение выражения
2т
3(/тг -f- п) — 5д при т = 1,8; л = 1,2.
2. Заполнить таблицу:
а
5,2
0,4
6
b
2,7
0,8
5
2а — Ь
10
1
3. 	Написать а) сумму произведения чисел а и с и разности чисел а и Ь\ б) общую формулу чисел, дающих при делении на 7 в остатке 2; в) формулу четырехзначного числа, содержащего а тысяч, b сотен, с десятков, если известно, что оно кратно 10; указать, какие значения могут принимать а, Ь, с.
№ 3 (на 20—25 мин.)
1. Отметить на числовой оси:
а) числа, противоположные числам —7; 0,3; 0;
б) все целые числа, большие —12 и меньшие —7,8;
в) числа, абсолютная величина которых равна 5.
2. Сравнить числа: —1,7 и 2; —5 и —2,8; |—1,31 и I—8 ]; |—5) и |-4-11,3 |; | —6,2 | и | +6,2 |.
3. Показать на числовой оси, где расположены числа: а)| дг | < 2; б) | л: | > 5.
№ 4 (на 20—25 мин.)
1. 	Выполнить действия:
а) (-8) - (+8) - (+11) + (-3) - (-11) + (+19);
б) ( + 6)-(-29)-[( + 17)-( + 19)+ ( — 29)J;
в) (-14,7) + [(— 12,6)-( + 4.16)] _(_9,36);
г) (-12 й) + (-41) - [(-6 4-) _ (+«>!)].
3. 	Вычислить |т|4-|л| — \z\ при т = —3; п = 2; z = —5.
3. 	Заполнить таблицу;
а
—3
4-5
I +5,3
— 11,4
b
+7
—8
+ 6,3
— 7,82
с
4-4
—9
— 9,7
4- 4,97
а — Ь + с
| |
№ 5 (на 20—25 мин.)
1. Выполнить действия:
а) ( —2)3 —( 4- 3): —-j-^ ( ““”48’) * ( — X
X (— 12);
б) [( — 12,8) : (— 3,2) — (4- 1,6) .( —0,05)1-( —2,5).
тт 4т2 — 3 тп — 6 п2
2. Наити значение выражения
при т = — 3, п = Д-.
№ 6
1. Книга, альбом и ручка стоят вместе 2,3 руб. Книга дороже альбома в 2 раза, ручка на 0,1 руб. дешевле альбома. Сколько стоят в отдельности, альбом, книга и ручка?
2. Решить уравнения:
а) Зх + 1,7 = —16,3; б) 2,8лг -Ь 0,2 =* 1,8-( — 3);
в) 	3-л:: 8 == 3*5 — и показать их корни точками на числовой прямой, обозначив соответственно буквами Л, В, С.
4*. Найти хотя бы по одному значению а, х, при котором — а4 > 4а; х* > Зл:.
№ 7 (на 20—25 мин.)
1. Раскрыть скобки и упростить (4а2 — ЗЬЪ — 2Ьс) —
— (12Ьг — 2Ьс) -+- (— 4а2 + 3затем вычислить при Ъ = —0,5.
2. Решить уравнение (За4 — 5а 4- 7) — (11а + За4,—
— 12) =11.
3. Вычислить у = —2х2 + х при следующих значениях х:
X
—2 j —1 j 0 | 0,5
1,5
У
1 1 1
№ 8
1. Найти произведения:
а) 8а2Ьс3-( — 0,25а63с2)*( — 0,5а2#2);
б) 512-215-212*58-28;
в) (а4 — 2аг Н- 10a2)-( — 0,1а2).
2. Выполнить деление:
а) (— \&x1y11z21)\{ — 6дг6у”г25);
б) (3-728-214):(10-727-212);
в) (а4 — 2я3 + Зя2):( — 0,1а2).
3. Выполнить действия (4а5л:6 — 8а3дг4 4- 1)-0,5а2дг — (6а10*8 4- 12а8л:6 4- 1,5а5лг2):3а8л\
4*. Найти частное (а2П — 2ап+1 4-3ап~1):ап~~1.
№ 9
- 3 (т -f 7п - -15£2).
■5) — 13;
1. Выполнить действия:
а) 5 {т — 2п) — 2 (3т 4- п) — 3 (т -f In — 1);
б) (а — ЗЬ) (2а 4- Ы) — (2а2 - ~
2. Решить уравнения:
а) (у + 3) (у — 4) — (у + 3) (у -
б) 1,7(13 + 3*) — 0,3 = 1,4.
3. Доказать тождество о (2х 4-3) — (х — 2) (Зх 4- 5) 4- 4- Зл:2 = Пх + 25.
4. Какое произведение больше и на сколько: (х—1,2) (0,5* 4- 3,2) или *(2,6 4- 0,5лг)?
5*. Выполнить умножение ап (а*~п 4- 2а).


Nt 10
1. Выполнить действия:
а) (2х + 3) (2jt — 3) — (0,2 — х) {х + 0,2);
б) (За + ЬЬУ — (За — Ь) (За + Ь):
в) (0,36 — 2) (2 + 0,36) — (0,26 — 5)2;
г) (-г x~3J -(4--+1-5)2 •
2. Длина данного прямоугольника в 1,5 раза больше его ширины; стороны другого прямоугольника соответственно на 2 м больше сторон данного. Определить стороны первого прямоугольника, если его площадь на 9 м2 меньше площади второго прямоугольника.
3*. Возвести в квадрат 0,5а3~п + аг-гп.
№ 11
1. Бригада коммунистического труда должна была выполнить задание по изготовлению приборов за 12 дней. Изготовляя в день на 2 прибора больше, чем намечалось по заданию, бригада уже через 10 дней не только выполнила задание, но даже изготовила на 10 приборов больше. Сколько приборов в день изготовляла бригада?
2. Найти х с точностью до 0,1
б** — (2х — 18) (х -f- 3) — (2х — I)2 = 218.
3. Упростить (а — 2)3 -f (а + 2)3.
ГЕОМЕТРИЯ № 7 (на 20—25 мин.)
1. К отрезку АВ из его концов восставлены по разные стороны перпендикуляры AM и BN.
Через точку М и середину отрезка АВ проведена прямая, пересекающая BN в точке К.
Найти длину В К, если AM — 3 см.
2. Построить прямоугольный треугольник по катету b = 4,7 см и прилежащему к нему острому углу, равному 37°. Измерить гипотенузу Построенного треугольника (с точностью до 1 мм) и второй острый угол.
№ 8 (на 15—20 мин.)
1. В треугольнике ABC через середины сторон А В и ВС проведены к ним перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. О А — 5 см. Определить ОВ и ОС.
2. Отрезок MN разделить на 4 равные части.
№ 9
1. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) высота BD и биссектриса угла при основании пересекаются в точке К. Расстояние точки К от боковой стороны треугольника равно 6 см. Найти расстояние точки К от вершины треугольника В. если BD = 21 см.
2. В прямоугольном треугольнике найти построением на гипотенузе точку, равноудаленную от катетов.
№ 10
1. Дано: AB\\CD, MN — секущая, КР — биссектриса ZD/Ш, ZDKP = 53° (рис. 1). Определить ZAFK.
2. Дано: АВ || FK, DC — секущая, СМ — биссектриса Z.DC/C, DC = 4 см (рис. 2). Определить DM.
Примечание. Чертежи к задачам учитель дает или на карточках, или выполняет на доске.
№ 11
1. 	В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) Z-B = 48°. Найти внешний угол при вершине С.
A D MB
С
Рис. 1 Рис. 2
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 110°. Чему равен угол, образованный высотой, проведенной в боковой стороне, и основанием треугольника?
3. В A ABC проведена медиана ААХ к стороне ВС; она образует со стороной АС, равной 18 см, угол в 30°. Найти расстояние от точки С До прямой АА\.
№ 12
1. Высота ААВС, проведенная к стороне АВ, делит Z.C на углы, равные 25° и 43°. Определить углы A ABC.
2. В равнобедренном треугольнике проведены медиана к основанию и высота на боковую сторону. Указать углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
3. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 62°. Определить внутренние углы равнобедренного треугольника.
VII КЛАСС АЛГЕБРА
№ 9
1. Выполнить действия
Ьх — 2 2-f3x 1 — х х — 5
9х 6х х^ Зх
2. Выполнить действия
4 т2 т 1 1
8т — 2т3 т2 — 4 2 — пг т 2
и найти значение результата при а) т = —0,3; б) т=*0;
в) 	т = 3.
3. Решить уравнение
3(дг + 2) 3 — 2х 5х + 2
7 2 “ 5
4*. Если а и b — натуральные числа, то при каких
значениях сумма их кубов — простое число, составное число?
№ 10
1. Выполнить действия
2 Г1 + т 2 т ^ vm3 — \^~ т — 1
1 Л ^ т3. + т2 Н- 2т
m2 4- m + 1 / ' 1 — т2
2. Решить уравнение относительно 1) t, 2) vv 3) vQ
3. 	Существуют ли такие значения у, при которых 17 —Зу 2у — 13 45 —5у
сумма —^— и g— равна ?
39


^ х8 — 2х -f 1 4*. При каких целых х значения дроби —gT'ZTjifa——
положительные числа?
№ 11
3 4
1. 	Равносильны ли уравнения: х g- — х g- =
- 2 и 5 (2л: — 3) — 3 (л: — 4) = 32?
2. 	Решить уравнение относительно 1) h, 2) а, 3) b
_ д -f- ^
S «
3. 	Трамвай двигается от начальной до конечной остановок со скоростью 12 ot/*. На обратный путь трамвай затрачивает на 30 мин. меньше, так как увеличивает скорость на 3 км/ч. Определить расстояние от начальной до конечной остановок.
№ 12 (на 20—25 мин.)
1. 	Заполнить, пользуясь четырехзначной таблицей «Длина окружности диаметра d»:
3. Решить систему
0.5^ + -f-)-e.2r(x+ 2)-1,1.
х — 2у 4 = 0,25 ^2х + 3^у — 1г)]*
4*. Доказать: сумма кубов трех последовательных
целых чисел кратна 3.
№ 15
1. Теплоход «Ракета» прибыл из А и В в назначенное время, двигаясь с определенной скоростью. Если бы теплоход увеличил эту скорость на 8 км/ч, то прибыл бы на место на 48 мин. раньше срока. А если бы скорость его была меньше на 2 км/ч, чем в действительности, то он опоздал бы на 15 мин. Определить расстояние от А до В. (Решить задачу с объяснением).
2. Вычислить кратчайшим путем
3,672 — 3,67.2,13 + 1,54-6,33 5,772 — 4,232
3*. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками уравнений 4х — Зг/ = 20» х + у = 5 и у = 4.
4,90
84,45
20,577
2024
2. Определить координаты точки пересечения графиков
у — 2х — 6 и у = 3 — х.
3. Вычислить
6,362 — 6,36-3,16
8,2® — 1,82 N° 13
1. Решить систему графически:
* -f 5у — 2(у —3) 4- 3(у4-1),
а)
\2х <
б)
[х. + Зу - 6,
■ у — 5; |4(у -f- 0,5;с) *» 2х +• 4.
2. Решить систему способом подстановки
(х — Ау - 7,
I 2лг = 13 -f- 9у.
3. Решить систему способом алгебраического сложения
( 2х — Зу - 12,
\ дг -f 5у =» — 7.
4. Разность двух чисел равна 20. Найти эти числа, если 12% одного числа равны 4% другого.
№ 14
1. Выполнить действия 9х* -Ь 1
/ 9х*
[ 9*2 — (
1
1: 27хг±1 ) Х
• 6х + 1 27 хг—9xs—Зх +
X (27дг* — 18sc* + Зх).
2. Решить уравнение относительно 1) т, 2) t2, 3) t\ Q = cm(ti ~ /4).
ГЕОМЕТРИЯ № 7
1. Вычислить площадь поверхности прямой призмы. В ее основании лежит прямоугольник, меньшая сторона которого равна 8,4 см, угол между его диагоналями равен 120°, высота призмы 6,3 см.
2. Построить развертку прямой призмы, в основании которой лежит треугольник со сторонами 5 см, 2 см, 4 см и высота которой 2 см.
№ 8
1. В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция, меньшее основание которой равно 6,3 см, высота 4,2 см и один из углов 135°. Найти объем призмы, если ее высота равна 11,3 см.
2. Ребро одного куба в 4 раза больше ребра другого. Сравнить а) площади их поверхностей и б) их объемы.
№ 9 (на 20—25 мин.)
1. Катеты прямоугольного треугольника 8 см и 10 см. Описать окружность около этого треугольника; найти ее радиус.
2. Можно ли провести окружность, проходящую а) через все вершины квадрата, б) через все вершины ромба, в) через вершины треугольника со сторонами 9 см, 4 см, 6 см. Каждый случай иллюстрировать чертежом.
№ 10 (на 15—20 мин.)
1. Из точки окружности проведены две равные хорды по а см, угол между ними 120°. Найти диаметр окружности.
2. В круг вписана трапеция, боковая сторона которой 11,3 см. Определить другую ее боковую сторону.
№ 11
1. Из точки, удаленной от центра окружности на 14 см, проведены к окружности две касательные. Найти угол между ними и их длину, если радиус окружности 7 см.
2. В круг вписана трапеция ABCD, АС — диагональ трапеции, * Z.CAD = 30°, \^ВС = 80°. Определить углы трапеции.
40


№ 12
2. Сколько решений имеет система
1. 	По одной данной величине найти остальные (с помощью четырехзначных таблиц «Длина окружности» и «Площадь круга»).
г
3,71
d
0,954
с
220,95
S
0,6379
2. 	Цилиндрическое ведро имеет внутренний диаметр 2,5 дм и высоту 4,1 дм. Ведро заполнено водой на 75% своего объема. Сколько литров воды в ведре?
NS 13
1. 	В прямоугольный треугольник с углом в 60° вписан ромб со стороной, равной 6,4 см, так, что угол в 60° у них общий, а все вершины ромба находятся на сторонах треугольника. Найти гипотенузу и катеты.
7 2. Построить параллелограмм по его основанию а, высоте ha и диагонали d.
VIII КЛАСС АЛГЕБРА
№ 8
1. Решить систему х2 -{- Зху — 4у2 = 9,
х — 2у + 5 = 0.
2. Периметр равнобедренной трапеции равен 36 см, а площадь— 52 кв. см. Одно ее основание в 2 раза больше боковой стороны; другое в 4 раза больше высоты трапеции. Найти стороны трапеции.
3*. Решить уравнение \х2 — 4х\ =3.
№ 9
1. а) Исследовать функцию у — —0,4* + 2 и построить ее график.
б) 	Как расположен график этой функции относительно графика уравнения 2х + Ъу= 15?
2. Учитель вычерчивает на доске какие-либо 2—3 непрерывных графика, указывая точки пересечения с осью абсцисс, предлагает учащимся начертить аналогичный одному из них и, считая функцию заданной этим графиком, исследовать ее.
3*. Показать аналитически и графически, что уравнения 2х -f- у -{- 1 — 0, Зх -|- 2у — 1 = 0 и 4х -}- 3у — 3 = 0 имеют общее решение.
№ 10
1. 	Построить график функции и ответить на вопросы:
У - хг — 2х + 3
а) 	при каком значении х функция имеет наименьшее значение и чему оно равно: б) при каких значениях х у < 0, у — 0, у > 0; в) при каких значениях х у убывает, у возрастает; г) как изменяется у при изменении х от 0 до 5?
у 0,5-** + 1*
X + J--0?
Ответ дать, построив (приближенно) графики соответствующих функций.
3.'Вычислить (4-2510-86+50-49-519— 17* 1019) : (5 1009).
4* .Чем отличаются графики функций
У = 4х 4х + 2+ 1 ;И У = /■** + ■* + °*25?
N8 11
1. Упростить
1 1
2х2 — Зх — 5 ~ 2х* + 3х — 5 +
4 \ 2х‘ — 7х + 5
+ 4хг — 25.)' 2х* + 3х — 2 в
результат вычислить при х — —0,9.
2. Найти (с точностью до 0,01) значение выражения 2у2х + ху — х2у2 при х = 5 — 2 / б, у — \ 3 -f V 2 (вычисления производить или с помощью счетной линейки или с помощью таблиц).
3. При каком значении с отношение корней уравнения 4х2 — 5х + с = 0 равно —0,375?
4*. Сколько решений имеет система
J х2 | у2 = 25,
\ ху= U № 12 (на 2 урока)
1. Чтобы попасть на легковой машине из пункта А в пункт В, туристы должны были проехать 63 км по шоссе и 40 км по грунтовой дороге. На путь по шоссе туристы затратили времени лишь на f5 мин. больше, хотя
на пути по грунтовой дороге скорость машины была на Ю км/ч меньше. Найти скорость машины на пути по шоссе и на пути по грунтовой дороге.
2. Построить графики функций у = —0,5х2 — х -Ь 4 и у = х2 — 2х. а) Найти координаты точек их пересечения,
б) 	При каких значениях х обе функции принимают одновременно положительные значения?
3. Вычислить
ГЛ. 4 3 8 8 \ 5
Цб 5 —3,4 • 1 4 + 2"2J-: 13 9 J -5^з X
X 0,1 —432,377:25,3 + 56,25-0,32 — 0,03J.7.
4*. Доказать: сумма кубов двух положительных чисел, из которых одно при делении на 3 дает в остатке 1, а другое — в остатке 2, кратна 9.
ГЕОМЕТРИЯ № 6 (на 20—25 мин.)
1. Построить трапецию, подобную данной, приняв за коэффициент подобия k — 1,5.
2. Построить равнобедренный треугольник по углу при его вершине и биссектрисе угла при основании (использовать метод подобия).
41


MS 7
1. Катет прямоугольного треугольника и высота, проведенная к гипотенузе, пропорциональны числам 2,500 и 1,243. Найти углы этого треугольника.
2. Диагональ ромба равна 5,76 дм; один из его углов 54°32'. Найти периметр ромба и его площадь.
3*. Вершины треугольника ЛВС лежат на окружности. Его сторона В>С = 12,4 см, jLA = 38°19'. Найти длину окружности.
№ 8
1. Вершины трапеции принадлежат окружности, диаметр которой служит одним основанием трапеции, другое основание равно 18,6 см\ один из углов трапеции равен 103°22'. Найти площадь трапеции.
2. В треугольнике ABC ZC = 90°, Z.A = 55°36'. Найти, в каком отношении биссектриса прямого угла делит гипотенузу этого треугольника.
3*. Вершины равнобедренного треугольника ABC (АВ — ВС, ZB = а) лежат на окружности. Доказать, что ее диаметр равен
hb
cos2
№ 9
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 12,5 см и 30 см. Найти радиусы кругов — описанного около этого треугольника и вписанного в него.
2. Доказать, что в трапецию, меньшее основание которой равно 4 см, большая боковая сторона равна 25 см, высота — 7 см и один из углов трапеции прямой, можно вписать круг. Вписать в нее этот круг.
3*. Равнобедренный треугольник ABC (АВ — ВС = 2) и равносторонний ACD имеют общее основание АС — = 2 V 3. Их вершины В и D расположены по разные стороны от основания. Можно ли описать окружность около четырехугольника ABCD?
№ 10
1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если его внешний и внутренний углы относятся, как 2:7?
2. В круг, диаметр которого равен 20 см, вписан правильный десятиугольник. Найти его площадь. (Воспользоваться таблицами тригонометрических функций.)
3 Взяв какой-либо отрезок за__1, построить треугольник со сторонами 2, У 6 и У10.
№ 11 (на 20—25 мин.)
1. Из бетона изготовлена колонна в форме прямой призмы. В ее основании правильный пятиугольник, сторона которого 20 см, высота колонны 6 м. Найти вес колонны, если 1 смъ бетона весит 2,5 г. Найти вес с точностью до 1 кг.
2. Чему равен внутренний угол правильного /г-угольника, если п — 3, 6, 9, 12, 24, 48?
№ 12
1. В равносторонний треугольник, сторона которого равна 1, вписан квадрат так, что две его вершины лежат на одной стороне, а две другие — на других сторонах треугольника. Найти сторону квадрата.
2. В круг вписан правильный 20-угольник. Найти отношение его периметра к диаметру круга.
3*. Доказать: отрезок, заключенный между боковыми сторонами трапеции и проходящий через точку пере¬
сечения ее диагоналей, равен 2
где а и
b — основания трапеции.
Как модую формулировать это предложение, если а = 6?
IX КЛАСС АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ № 9
1. 	Упростить
а — b
У а + УЪ'
а У а + b Уb
а — ь
75,69, Ъ
и затем найти значение при а
2. 	Решить уравнения:
а) 	У2х2 — 4х — Ух2 4~ Ьх = У х
б)
х+ Ух2 — 1 ^ X — Ух2 — 1
У йЬ = 1,69.
— 7х.
X— Ух2—1 "И* X УX* — 1
3*. Не решая уравнений, выяснить, имеют ли они решения. (Ответ обосновать.)
а) 2— УТТЗ =_7. _
б) Ух + 1 + У 2х -f- У Зх = 0.
в) Ух + 2 —Ух — 2 = 0.
№ 10
1. 	Упростить выражение
| (а 3 +Ь 3)а3 Ьг
\ Ь — а и найти его значение при
+
\ —2
Ь -1 -f а0
657
2. 	Упростить выражение J_ _1_ _1_ \ -4
а * Ь 4 — b 2
.1 — — 2 - а « Ь 4
: (а + Ь)-г (а-' + Ь~‘).
а
3. 	Решить графически неравенство х2 -f- 1 < дг~2 — 2.
4*. Сравнить а~2 и а~~? при различных допустимых значениях а.
№ 11
1. Вычислить угловую скорость в радцанах в час часовой, минутной и секундной стрелок. Найти отношение угловой скорости секундной стрелки к угловой скорости часовой и минутной.
2. Упростить
a3 tg -j- + a2 b tg2 + 9 аЬ2 ctg2 -у- -f 2 b* cos .
3. Не производя вычислений, определить знак раз* ности:
те 2 те
a) sin -о- — sin -я-;


б) tg 2 — tg 3;
в) sin 1,2 — cos 1,2.
4*. При каких значениях а и b
а — b ~Ъ'
sin х =
№ 12
1. Вычислить sin 2 а и cos 2 а, если известно, что
7
tg 2 а = —-gj* и 0,75 те < а < те.
2. Упростить
cos а-ctg а — cosec а (1 — 2 sin2 а).
3. Доказать тождество
j/1 + COS* т/1 г 1 — cos .г ~ г 1
— cos X
+ COS X
= 2 1 cosec x I
и указать допустимые значения х.
4. Определить знаки чисел а и Ь: а = sin 3,13 4- cos 3,13, b = sin 3,15 -j- cos 3,15. (Ответы объяснить.)
5*. Выразить sin a-cos a через tg a
№ 13
1. Упростить выражение
cos (180° — a)*sin (— a) -f- cos (180° -j- a)-cos (a — 90°) + cos (90° + a)-sin (180° + a) —
— tg (90° -f a).ctg (270Q 4- a).
2. Пользуясь таблицами, найти значение:
а) cos ( — 3301°);
б) sin (— 2005°);
В) tg( — 2,35).
3. Вычислить
COS ( — 7,9 те) • tg ( — 1,1 те) — sin 5,6т:* ctg 4,4 тс. 4*. Найти tg jc, если sin x 4- cos x = 0,2.
№ 14
1. Доказать тождество
2 sin ( — a) sin (3 те 4- a) cos 2 те
' + /3 ТГ \ +*
+
COS (2 те 4- a) ~r /3 те \
Sin(—+ a)
/те \ /3 те N 3 те
Sin (6 те — a) tg y—— 4- a J ctg — a j cosec
= 0.
COS (4 те 4- a) COS те
2. Решить уравнения:
а) 3 sin л: cos д: = cos2 х\
б) 2 cos2 х — 2 sin2 х — 4 cos л: = 1.
3. Вычислить
arccos 1 4- arctg (—у^З ) 4- arccos (—0,5 уТ) —
— arcctg 0 4-arcsin 1.
4*. Вычислить:
а) arcsin х 4- arcsin (— х)\
б) arccos х 4- arccos( — х), где | х | <1.
№ 15
1. Найти х, если лет 4- 1, j/З л: 4- 1 , V бд*4-1 представляют собой три последовательных члена арифметической прогрессии.
2. Сумма первых трех членов убывающей арифметической прогрессии равна 21. Если первый ее член увеличить на 8, второй уменьшить на 1 и третий уменьшить на 2, то получатся первые три члена геометрической прогрессии. Найти сумму первых шести членов этой геометрической прогрессии.
3*. Доказать, что последовательность, сумма п первых членов которой равна 3п2 — 2п, является арифметической прогрессией.
№ 16 (на 2 урока)
1. а) Решить уравнение относительно х
2ах -
а — 2
б) Найти значения а, при каждом из которых данное уравнение имеет решение, удовлетворяющее условию л: < 0.
2. Найти действительные корни уравнения ‘
пх2 — 2(л + \)х 4- п = 0.
3. Найти область определения функции
У = •
■/" Ъх — х2 — 4
4. Упростить
Л а3 -Ь2 {-.
11 - 1 2-T-V
+ а
i_
364
+ Ь
О-
4- а
5. Доказать тождество
(1 — cos4- а — sin4 а) : 2 sin4 а = ctg2 а.
6. При каких значениях га прямые, заданные уравнениями системы
{2х — ту = Зт, х + Зу = 5,
будут параллельны?
7*. При каких значениях где 0<л:<2л:,
a) sin х > cos х, б) sin х > tg я?
ГЕОМЕТРИЯ № 5
1. В основании прямоугольного параллелепипеда Лежит квадрат, его высота вдвое больше стороны квадрата. Найти величину угла, образованного диагональю параллелепипеда а) с его основанием, б) с боковой гранью.
2. Из данной точки проведены к данной плоскости две равные наклонные, угол между которыми 60°, а угол между их проекциями прямой.
Доказать, что каждая из этих наклонных образует с плоскостью угол 45°.
№ 6
1. Острый угол прямоугольной трапеции равен 30°, ее большая боковая сторона равна 12 см. На каком расстоянии от плоскости трапеции находится точка М, если от каждой из ее сторон она отстоит на 5 см?
2. Доказать, что в правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро перпендикулярно к одной из диагоналей основания.
43


№7
1. Плоскость квадрата составляет с плоскостью, проведенной через одну из его сторон, угол в 45°. Какой угол составит с той же плоскостью диагональ этого квадрата?
: 2. В основании одной пирамиды лежит прямоугольник, в основании другой — ромб. Высоты каждой из этих пирамид проходят через точку пересечения диагоналей основания. Равны ли двугранные углы при смежных сторонах оснований каждой из этих пирамид? (Ответ обосновать.)
№ 8
1. Меньшая диагоиаль параллелограмма образует со сторонами углы а и р, а высота, опущенная на большее основание, равна h. Определить площадь параллелограмма. Вычислить площадь, если /г== 18,3 сму а=48°30', Р = 52°38'.
2. Плоские углы трехгранного угла равны 45°, 45°, 60°. Найти двугранный угол между гранями равных плоских углов.,
№ 9
• '1. В круге из конца диаметра, равного d, по обе стороны от него проведены две хорды, образующие с ним углы аир. Найти длину хорды, соединяющей концы этих хорд. Вычислить длину при d= 18,4 см, а=37°16', р - 22°23'.
2. В прямоугольном треугольнике катет равем а, а прилежащий к нему угол равен р. Найти а) медиану, проведенную к гипотенузе, и б) угол между ними.
3. Из точки М, взятой вне плоскости, проведены две ^наклонные, одна из которых больше другой на 2 см.
Проекций и* на плоскость'9 см и 5 см. Определить рас- ' стояйие от точки М до плоскости.
X КЛАСС
АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ № 8
1. Найти область определения и область изменения функции у = 3~х — 2. Построить график этой функции.
2. Найти х:
3 — 1 log, /100 + —
а) х = 8 ;
5
б) log* 1^16 = — 1,6;
в) log3 х = 10,5.
уТ
3. Решить неравенство
logo,2 (*2 — х)> log0(2 (х + 15).
4*. Чем отличаются функции у = х и у — aXoga х ? Покажите это различие на графике.
№ 9
1. Прологарифмировать выражение
5
(аг — 9) a1 j^cos3 2 а х= — .
\г{а -}- 9)2 cos 2 а
2. Решить уравнение
log2 (Зх — 1) — log2 (х — 2) = 2 + Iog2 (х — 1).
3. Найти область определения функции
Ух + 4 у ~ 1 — log, ( — X) •
4*. Решить неравенство
№ 10
1. Вычислить с помощью таблиц логарифмов.
^ 2 2 sin2 a sin р
л3 cos a j/cos2 р — cos 2 а
при а = 0,3319, а = 40° 32', р - 24° 10'.
2. Доказать, что loga х = \oganxn, и указать допустимые значения а, ху п.
3. Решить уравнение
cos(5,5тс -|- х) sin(7*-x) + tg (3 д + дг) — 2~sTn~(275~Tt + х)'
4*. Решить неравенство
|/ 2
Jsin х | > -гр.
№ 11
1. Решить графически уравнение
1
log2 л: — — (1,5* + 4).
2. На чертеже к предыдущему упражнению построить график функции у = 2х. При каких значениях х
‘2х > log2x, log2*> -у-(1,5 л: -j- 4)?
3. Решить неравенство
^ig3 х — з ig jr +1 ^ Ю00.
4*. Решить уравнение
lo^cos^sln *- logsln ж с°5 -С.
№ 12
1. а) При каких действительных значениях а комплексное число (a-\- 2i)z(a — 2/) является чисто мни-
2 /53
мым? б) Вычислить 2*, если г =»
2. Решить систему уравнений
Г2Х.3~У = 576, llog2 (д: + у) = 2
3. Решить уравнение 272x~l—2-33х ~ 1,5 — 3.
4. Вычислить
sin 30° -f- sin а — 2 sin — 15°) cos (-тр -f 15° j.
5*. Существуют ли такие значения х и у, при которых оказывается верным loga (х -f- у) =* loge х -f ioge у? Если существуют, привести примеры.
№ 13 (на 2 урока]
1. а) Решить уравнение относительно х 2 ах — 3 а + 3 2,а -— 1
jc2 -}- х — 2 х — 1 5 х -\-2 •
б) 	Найти значения а, при которых данное уравнение имеет — 2 < х < 0.
1. Найти область определения функции
у х— 1 log, (2*»-7 .* + 6) •
44


3. Решить графически неравенство 2* <1,5 л:-f 1.
4. Вычислить без таблиц 0,00112 2 2.
5. Решить уравнение
cos 7 х cos3 х -J- sin2 5 x = 0,5 yr3 sin 4 x.
6*. Найти область определения функции
>-V (w)-
ГЕОМЕТРИЯ № 5
1. 	Найти углы ромба, зная, что объемы тел, полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг его стороны, равны.
2*. В прямую призму, основанием которой является трапеция, вписан цилиндр. Доказать, что объем этой призмы равен половине произведения площади ее боковой поверхности на радиус основания цилиндра.
№ 6 (на 2 урока)
1. 	В конус вписана правильная треугольная пирамида. Расстояние от вершины основания пирамиды до проти¬
воположной боковой грани равно а\ двугранный угол при основании равен а. Найти площадь боковой поверхности конуса и его объем.
2. 	Из шара, диаметр которого равен 100 см, вырезан шаровой слой. Диаметры его оснований 80 см и 96 см. Центр шара находится вне шарового слоя. Найти полную поверхность шарового слоя (с точностью до 1 кв. см).
№ 7 (на 2 урока)
1. В правильную четырехугольную пирамиду, двугранный угол при основании которой равен а, вписан шар. Через точку пересечения высоты пирамиды с шаровой поверхностью проведена плоскость, касательная к шару. Плоскость сечения пирамиды этой плоскостью равна Q. Найти площадь поверхности шара и его объем.
2. Около конуса, радиус основания которого равен г, описан шар радиуса /?. Найти угол при вершине осевого сечения конуса.
3*. В кубе с ребром а проведены сечения плоскостями, проходящими через середины каждой тройки ребер, выходящих из одной вершины. Найти объем части куба, ограниченной проведенными плоскостями и гранями куба.
Материалы для факультативных занятий
В. 	И. МИШИН (Москва)
Матрицы и преобразования в средней школе
1°. Понятие о матрице
При решении различного рода задач числовые данные удобно записывать в виде таблицы со столбцами и строками. Например, на кондитерской фабрике при упаковке печенья составляется такая таблица:
Вид упаковки
шоколад¬
ное
Сорт
<L>
О
X
ё;
X,
X
<я
ю
печенья
СУ
о
X
X
о
%
S
сливоч¬
ное
Рисунок «Медведи» . . .
8
ю ,
10
12
Рисунок «Колокольчики»
18
0
10
12
Рисунок «Роща*
16
7
7
10
Если отвлечься от конкретной задачи, эти же числовые данные можно записать в более компактную таблицу:
8
10
10
12
18
0
10
12
16
7
7
10
(
или
8
18
16-
10
0
7
10
10
7
12
12
10
Такая упорядоченная таблица называется матрицей. Обе эти матрицы «рассказывают» нам об одном и том же, хотя по виду они различны.
Рассмотрим еще два примера.
Будем составлять таблицу и матрицу по следующему закону: если вершина треугольника (рис. 1) лежит на стороне треугольника, то на пересечении соответствующих строки и
в
А
В
с
ВС
0
1
1
СА
1
О
/
АВ
1
1
0
столбца ставим число 1; в противном случае ставим число 0.
Мы получим матрицу
45


которая носит название матрицы инцидентности.
Составим таблицу и соответствующую ей матрицу из координат точек пересечения прямой у = 2х — 2 с осями координат:
порядка 2 X 2 в дальнейшем будем обозначать /2, т. е.
И
У = 2х - 2
Ох
Оу
—2
Соответственно едйнйчную матрицу порядка р X р будем обозначать 1Р.
Если все элементы матрицы нули, то матрица называется нулевой. Например, матрицы
( J (° °\ „ /° °0 °)
\о о/ и \о о о оу
Числа, йа которых составлена матрица, называются элементами матрицы. Если матрица имеет, например, 2 строки и 3 столбца, то говорят, что она имеет порядок 2X3 (два на три).
Матрица с m строками и п столбцами имеет порядок m X п. Матрица с одинаковым количеством строк и столбцов называется квадратной.
Упражнения
1. Составить матрицы инцидентности и определить их порядок.
а)
б)
2. Составить матрицу из координат точек пересечения прямой у = х — 1 с прямыми у = 1 — 2х й
5
у - — д: -f- 2.
2°. Единичная и нулевая матрицы
Квадратная матрица с единицами по диагонали, идущей из верхнего левого угла в правый нижний угол, и с остальными нулями называется единичной матрицей. Единичную матрицу
CD-
являются нулевыми.
Упражнения
1. Составьте матрицы из координа! концов диагонали ОВ и из координат концов диагонали С А единичного квадрата (рис. 2). Выделите единичную матрицу.
2. Составьте матрицу из координат точек пересечения параболы у — х2 с осями координат. Что это будет за матрица?
3. Составьте матрицу инцидентности соответственно рис. 3. Какую матрицу вы получите?
4. Составьте матрйЦЫ, элементы которых суть: а) число точек пересечения ребер МР и MQ куба (рйс. 4) с осями координат; б) число точек пересечения ребер МР и MQ с плоскостями координат. Какие матрицы вы получите?
А
В
С
AF
BF
CF
Рис. 3
г
0
м
/
/
X
Рис. 4
46


3°. Умножение матриц
Возьмем матрицу* составленную из данных кондитерской фабрики, а именно:
/ 8 10 10 12\
18 0 10 12
\16 7 7 10;
Допустим, что покупатель приобретает 2 коробки печенья «Медведи», 3 коробки «Колокольчик» и 1 коробку «Роща» и интересуется, сколько печенья каждого сорта он купит. Составим еще одну матрицу, которая показывает число купленных коробок, а именно (2 3 1); эта матрица порядка 1 X 3. Сначала подсчитаем количество шоколадного печенья, купленного Покупателем:
2-8 + 3- 18+ 1 • 16 = 86.
Таким же образом сосчитаем количество остальных сортов печенья:
2-10 + 3-0+ 1-7 = 27;
2-10 + 3-104-1.7 = 57;
2-12 + 3-12+ 1 -10 = 70.
Результаты запишем также в виде матрицы (86 27 57 70), которую будем называть матрицей-произведением. Проделанную операцию назовем умножением матрицы (2 3 1) на
/ 8 10 10 12\
матрицу [ 18 0 10 12 ], т. е. (2 3 1) X
\ 16 7 7 10/
/ 8 10 10 12\
XI 18 0 10 12 1 — (86 27 57 70).
\ 16 7 7 10/
Каждый элемент матрицы-произведения мы получили как сумму произведений элементов строки первой матрицы на соответствующие элементы каждого столбца второй матрицы.
Чтобы узнать стоимость каждой коробки, надо составить матрицу из цен каждого сорта печенья, например,
(0,8 0,3 0,7 1,2)
и умножить ее на матрицу, элементами которой являются количества каждого сорта печенья, т. е.
(0,8 0,3 0,7 1,2)
В рассмотренных нами случаях умножения матриц число столбцов первой матрицы было равно числу строк второй. Такие матрицы можно умножать, и только в указанном порядке.
Квадратные матрицы одинакового порядка можно умножать в любом порядке.
Итак, умножение матрицы М на матрицу Р возможно в том случае, если число столбцов М равно числу строк Я.
Приведем образец умножения матриц:
'а Ь'
с d
2 а + &Ь 2 с + 6 d 2e + 6f
3 а + 7b Зс + 7d 3e + 7 f
4 a + Sb\
4c+ 8d 4e +- 8/y
Надо заметить, что матрица-произведение имеет то же число строк* что и матрица-мно-
В
A-В
s
s
Рис. 5
жимое, и то же число столбцов, что и матрица-множитель (см. рис. 5).
Упражнения
1. 	Найти произведения:
с °>-(i s); <« 4>-Ё /);
G 1К _?)•
(30,8 35,8 31,8).
2. 	Какие матрицы умножаемы в данном порядке
(2 1)"(з) J (5 -1 0).(2);
(3) • (2 —1 0)?
47


3. 	Найти произведения:
П 0 0\ /4 1 2\
О 1 0 )• ( 1 5 3
^0 О 1/ \2 3 6/
С о) (в Ю)* «' 0 -»•(' -;;):
4. Записать левую матрицу из соотношения:
5. Найти произведения:
/4 2\ /1 2 —3 v /1
GI D- *
6. 	Найти х и у, если
(х у)-(о ?) = (6 10)*
7. 	Найти произведения:
аНЗ , 2у(1 о): 6)(1 •}(?) =
в) умножить результат а) на ^ j ;
г) умножить (3 1 2) на результат в);
д) что вы заметили при решении в) и г)?
Сравните А (ВС) и (АВ)С.
9. 	Сравните П 0 0\ /4 1 2\ /4 1 2\ /1 0 0\
О 1 о). 1 5 3 j и ( 1 5 3 ) - (О 1 0).
{О О 1/ \2 3 6/ \2 3 6/ \0 О 1/
10. 	Всегда ли Л 0 и О -А нулевые матрицы?
11. 	Если А • В = 0, то необходимо ли, чтобы или А или В были нулевыми матрицами? (Символом 0 обозначается нулевая матрица.)
4°. Матрицы и движения на координатной плоскости
Оказывается, движения на плоскости можно характеризовать некоторыми матрицами.
Найдем их.
Симметрия относительно оси абсцисс
Для нахождения матрицы, определяющей симметрию относительно оси абсцисс, используем теорему: две точки М(х, у)
и М'(х', у') симметричны относительно оси абсцисс тогда и только тогда, когда их координаты связаны соотношением х' —ху у' — — у•
Составим по матрице из координат соответствующих точек
/)»(;)•
Попытаемся получить матрицу ^ из матрицы умножением последней на некоторую матрицу А. При этом надо рассмотреть два случая, отличающиеся один от другого порядком сомножителей
*■(;) ■ о
у/ \у,
В первом случае матрица А, чтобы быть умно¬
жаемой на матрицу должна иметь два
столбца; кроме того, матрица А должна иметь и две строки, так как результирующая матрица ^ имеет две строки.
Таким образом, матрица А должна быть квадратной матрицей размера 2x2, т. е.
Элементы а, с, d находим из соотношения
( *)-(“ *)■(*) или ( +
\— 3;/ \с d1 \у) [—y = cx+dy.
Эти равенства должны выполняться при любых х и у. Положив л: = 1, у=»0, получим
а 1, с — 0. Положив х — 0, у 1, получим
48


6 = 0, d = — 1. Следовательно, матрица А =
В итоге можно записать соотношение
Во втором случае задача решения не имеет (доказательство предоставляется читателю).
Итак, матрица ^ определяет пре¬
образование симметрии относительно оси абсцисс.
Симметрия относительно оси ординат
Воспользуемся теоремой: две точки,
М(х; у) и М\х'\ у') симметричны относительно оси ординат тогда и только тогда, когда их координаты связаны соотношением х' = — X, у' = у.
По аналогии с предыдущим получим матрицу
о (~х °\
В = ( q j), которая определяет симметрию относительно оси ординат. Действительно
Найдем матрицу D = д)’
щую симметрию относительно прямой у = — х%
Четверть оборота вокруг начала координат
Будем рассматривать вращения вокруг начала координат только в положительном направлении.
Воспользуемся теоремой: точка М' (х'\ у') может быть получена из точки М (х\ у) вращением вокруг начала координат на четверть оборота тогда и тоЛъко тЬгда, когда координаты точек связаны соотношением х' = — у, у' = х.
Справедливость теоремы вытекает из равенства треугольников OFM и OQM' (рис. 6).
Симметрия относительно прямой у—х
Для нахождения соответствующей матрицы используем теорему: две точки М {х\ у) и М'(х'; у') симметричны относительно прямой у = х тогда и только тогда, когда их координаты связаны соотношением х( = у, у' = х. Аналогично предыдущему по- ' /0 \\
лучим матрицу С =|^ которая определяет симметрию относительно прямой у = х, или
(Я-С
*1.
У'
Предварительно необходимо выяснить, что соответствующие точки всегда будут располагаться в смежных четвертях (координатных углах).
Аналогично предыдущему найдем, что матрица Е = ^ ^ определяет четверть обо¬
рота вокруг начала координат и называется матрицей четверть-оборота.
Окончательно мы можем записать:
Симметрия относительно прямой у——х
Рассмотрим теорему: две точки М' (х'\ у') и М (х; у) симметричны относительно прямой у = — х тогда и только тогда, когда их координаты связаны соотношением х'*-—у, у'^—х.
Полуоборот вокруг начала координат
(Центральная симметрия)
Для нахождения соответствующей матрицы используем теорему: точка М'(х';у') может быть получена из точки М (х; у) в результате полуоборота вокруг начала координат тогда и .только тогда


когда координаты точек связаны соотношением X' = — X, у' = — у.
В результате рассуждений, аналогичных предыдущим, получим матрицу F ■■
рассмотреть соотношение
-Ci-!)-
определяющую полуоборот вокруг начала координат (симметрию относительно начала координат), или
(я-г:-:) о
Вращение вокруг начала координат на -4— оборота
Рассмотрим теорему: точка М^х'; у') может быть получена из точки М(х;у) вращением вокруг начала координат на
~ оборота тогда и только тогда, когда
координаты точек связаны соотношением
х' = у, у' = — X.
Справедливость теоремы следует из равенства Д MFO и Д М'РО (рис. 7). Предварительно необходимо выяснить, что соответствующие точки всегда будут располагаться в смежных координатных углах.
Рассуждения, аналогичные предыдущим, приведут к матрице G ■■
определяю¬
щей оборота вокруг начала координат, или
гл-им;)-
Найдем матрицу, определяющую тождественное преобразование, которое оставляет все точки плоскости на месте. Для этого надо
о-РС)
Матрица, удовлетворяющая этому соотноше- /1 0\
нию, есть I )
\0 1/ ’
Все рассмотренные выше преобразования (движения) определяются квадратными матрицами размера 2x2. Если в любое из соотношений ( , j = Ж • ^ ^ ^ , где буквой М обозначена любая из рассмотренных матриц, вме¬
сто матрицы
С)
поставить матрицу
оп-
■ - (о!
ределяющую начало координат, то и в резуль-
(°\
тате мы получим матрицу I n I, т. е. начало
координат. Это значит, что начало координат в результате преобразования, определяемого квадратной матрицей размера 2x2, отображается опять-таки в начало координат, т. е. остается неизменным.
Стало быть, квадратные матрицы размера 2 х2 определяют преобразования, которые не изменяют начала координат.
Упражнения
1. Написать уравнение прямой, симметричной прямой у — 2х — 1 относительно оси абсцисс.
2. Составить матрицу, определяющую симметрию относительно: а) прямой х = 1; б) прямой X — — 1.
3. Доказать, что прямые у = — х + 3 и у = х + 3 симметричны относительно оси ординат.
4. Точку М (2; — 1) отразили симметрично от прямой у = — х, полученную точку отразили симметрично относительно оси абсцисс; затем проделали те же операции с точкой М, но в обратном порядке. Сравните координаты результирующих точек в обоих случаях.
5. Прямая у — — х + 2 повернута на четверть оборота вокруг начала координат. Найти уравнение полученной прямой.
6. Точку М(— 1; 3) повернули на оборота вокруг начала координат, а затем полу-
50


ченную точку симметрично отобразили относительно оси ординат. Найти координаты полученной точки. Найти матрицу результирующего преобразования.
7. Точка Р (х\ у) отображена в точку Р'(х'\ у') с помощью правила
(Я = (оз)С)-
X
У J VU 3/ \ у Опишите это преобразование.
8. Преобразование с матрицей Ж = ^
смещает квадрат О ABC, где 0(0; 0), Л (1; 0), В( 1; 1), С (0; 1), в новое положение ОА'В'С'. Определите координаты точек А', В', С
9. Что будет собой представлять преобразование, которое является результатом последовательного выполнения двух преобразований: а) сначала А, а затем С; б) сначала С, а затем Л?
ш .(-j _?)•(_?-*)-е д.
Проверьте это равенство. Какой геометрический факт оно выражает?
11. Найдите произведение матриц
с sn;)-
(I 0\
Опишите преобразование с матрицей ( q gу ‘
12. Для определения преобразования про- странства используются матрицы размера 3x3:
х'\ / х
*)-м{уж
Опишите каждое из преобразований* если /1 0 0\ а) М=Л 0 1 О \0 0 1,
б) М.—
13. Даны 8 матриц:
в-(
D-(
- 1 О
с =
,0
0
1
-1 о
;)=
~1Ь
и
■ч?
-?)= »-(-? 3-
Заполните следующую таблицу умножения:
Л
А
В
С
D
Е
F
G
/2
А
В
С
D
В
F
G


Проблемы и суждения
ю. м. колягин
(Москва)
О методической подготовке современного учителя математики в педагогическом институте
XXIV съезд КПСС поставил перед работниками просвещения новую важную задачу — завершить в 1975 г. введение в нашей стране всеобщего среднего образования.
Понятно, что проблема подготовки учителя, в частности проблема подготовки учителя математики, способного успешно участвовать в реализации этих задач, приобретает сейчас первостепенное значение.
Современному учителю математики необходимо не только в совершенстве владеть предметом своей специальности, но и глубоко понимать основные идеи намеченной реформы преподавания математики, отраженные в новых программах и учебниках, владеть современными эффективными методами преподавания, быть в курсе новых идей и результатов экспериментальных исследований, проводимых в нашей и зарубежной школах, знать о достижениях передового опыта в преподавании математики. Но главное — он должен быть способным творчески участвовать в процессе модернизации школьного математического образования. В современных условиях учителю математики уже недостаточно хорошо проводить уроки, ему необходимо умение ставить «методический эксперимент», оценивать его результаты и выявлять те формы и методы обучения, которые будут наиболее эффективными в тех или иных условиях, на том или ином этапе обучения.
В своем выступлении на XXIV съезде КПСС
А. 	Н. Косыгин указал на большое социальное и политическое значение дальнейшего совершенствования системы среднего и высшего образования. «Тот, кто в эти годы поступит в школы,— сказал А. Н. Косыгин — будет развивать экономику и культуру страны в девяностых годах нашего столетия и в начале два¬
дцать первого века. Программы и методы обучения в школах, техникумах, вузах должны уже сейчас все больше учитывать перспективы развития науки и техники».
В соответствии с этими требованиями и задачами сейчас начата перестройка и в системе высшего педагогического образования, в частности в системе подготовки учителя математики.
Рассмотрим некоторые принципиальные положения, характеризующие систему методической подготовки учителя математики в МОПИ имени Н. К. Крупской.
1. 	Прежде всего, для курса методики математики в МОПИ характерно усиленное внимание к освещению основных идей школьного курса математики, к установлению связей современной математики с ее основами, отраженными в учебном предмете. Та или иная ведущая идея школьного курса математики получает сквозное освещение в соответствующем цикле лекций, с учетом специфики ее проявления на той или иной ступени школьного обучения.
Так, например, в цикле лекций под общим названием «Учение о функции в школьном курсе математики» (8 часов) рассматриваются следующие вопросы:
Эволюция понятия функции в математике и в школьном курсе математики. Значение и место этого раздела на различных ступенях обучения в школе. Функциональная пропедевтика. Содержание и методы изучения элементарных функций в школьном курсе математики. Возможная структура урока, посвященного изучению функции (на примере методики изучения линейной функции). Методика проведения исследования функций, рассматриваемых в школьном курсе математики. Множества, соответствия и функции; геометрическая фигура как непустое точечное множество. Функции, определенные на точечных множествах; геометрические преобразования. Различные методические подходы к изучению геометрических преобразований в школе; возможная методическая канва изучения преобразования осевой симметрии.
Уже из содержания данного цикла лекций видно, что отдельные вопросы, относящиеся к той или иной теме, получают конкретную методическую разработку, которая на первых порах может служить молодому учителю образцом построения урока по данной теме. Понятно, что основная работа по конкретизации вопросов, рассмотренных в лекционном курсе, проводится на практических и семинарских занятиях. Иногда под руководством преподавателя студенты детально разрабатывают не¬
52


сколько вариантов методики изложения одной и той же темы.
2. В процессе методической подготовки будущего учителя математики обращено особое внимание на связь методики математики и педагогической психологии, на проблему целенаправленного развития математического мышления. В связи с этим на лекциях и семинарских занятиях студенты знакомятся с основными идеями советских психологов С. Л. Р у бинштейна, В. В. Д а в ы д о в а, А. М. Леу шиной, В. А. Крутецкогои других, с идеями зарубежных психологов Ж. П и- аже, Д. Брунера. При этом внимание студентов акцентируется на тех положениях педагогической психологии, которые уже имеют непосредственный «выход в методику математики», с помощью которых можно пояснить целесообразность того или иного положения методики.
Проблеме развития математического мышления учащихся в процессе обучения математике посвящены две двухчасовые лекции.
3. В процессе методической подготовки будущие учителя математики знакомятся с основными идеями реформы школьного математического образования, имеющими место как в нашей стране, так и за рубежом, с прогрессивными экспериментальными исследованиями, «направленными в будущее». В процессе преподавания курса методики математики мы широко используем пробные учебники математики, материал, опубликованный за последние годы в журнале «Математика в школе», а также зарубежные методико-математические журналы и учебные руководства.
4. В лекциях и на семинарских занятиях особое внимание обращается на изучение новых форм и методов преподавания, таких, например, как: а) метод активного обучения (отраженный в публикациях о Наффилдов- ском проекте — «Математика в школе», 1967, № 2; 1968, № 6 — и работах Э. Касте льну о во — «Математика в школе», 1966, № 6); б) метод открытий как дальнейшее развитие известного эвристического метода обучения (отраженный в работах Д. П о й а, в статьях о Наффилдовском проекте, в работах Ж. П а- пи— «Математика в школе», 1969, № 5; 1967, № 1, 6); в) комбинационный метод (отраженный в работах известного педагога-математи- ка Н. А. Извольского, например в книге «Методика геометрии», Пг., 1924); г) метод программированного обучения; д) проблемное обучение (отраженное, например, в книге
В. 	Оконь «Основы проблемного обучения». М., «Просвещение», 1968) : е) алгоритмизация обучения (отраженная в книге Л. Н. Ланда
«Алгоритмизация в обучении». М., «Просвещение», 1966, а также в работах А. А. Столя- р а, например в его книге «Педагогика математики». Минск, «Высшая школа», 1969).
5. В процессе методической подготовки учителя мы придаем большое значение целенаправленному ознакомлению студентов с проблемой постановки задач в школьном курсе хматематики, при рассмотрении которой устанавливается тесная связь между психологией мышления, методикой обучения математике и некоторыми разделами кибернетики. Этой проблеме посвящена четырехчасовая лекция следующего содержания:
Эволюция места и значения задач в школьном курсе математики. Современные представления о роли задач при изучении математики. Обучающая специфика задач школьного курса математики. Процессы актуализации и применения знаний при решении задач. Обучение учащихся эвристической деятельности в процессе решения задач. Типология учебных математических задач школьного курса математики. Постановка нестандартных задач и задач-проблем в школьном курсе математики. Составление задач учащимися и подбор задач к данной теме учителем. Оформление решений математических задача
6. Мы стараемся максимально привлечь студентов к самостоятельному изучению конкретных вопросов программного материала с широким использованием дополнительной литературы. Мы требуем от студентов знакомства с пробными учебниками математики, с основными статьями из журнала «Математика в школе» за последние 2—3 года и умения использовать этот материал в процессе прё- подавания во время педпрактики. В прошлом учебнохМ году на курсовом экзамене по методике студентам разрешалось пользоваться конспектами отдельных статей из журнала или разделов пробных учебников математики (после экзамена в каждой группе конспекты временно передавались преподавателю).
7. В 1965/66 и 1966/67 учебных годах мы предприняли попытку по-новому организовать педагогическую практику на III курсе. Педпрактика проходила один день в неделю в течение всего учебного года. Такая форма организации педпрактики давала возможность увязать занятия в институте по предметам профессиональной подготовки с наблюдением и непосредственным участием студента в работе школы; студенты имели возможность изучить работу учителя (и воспитателя) с данным составом класса в течение всего учебного года, видеть работу каждого из учащихся, активно участвовать в проведении внекласс¬
53


ных занятий, в проведении занятий с отстающими и т. п. Однако, как показал опыт, такая форма организации педагогической практики оправдывала себя лишь для отдельных сту- дентов-энтузиастов или для тех студенческих групп, которые вел преподаватель, сам работающий учителем той школы, где проходила педпрактика. Главное же—-слишком велика оказалась учебная нагрузка как у студентов (совмещающих занятия в институте с активной работой в школе), так и у преподавателей методики, педагогики и психологии. От этой формы педпрактики пришлось отказаться, и в настоящее время она проводится обычным порядком.
8. 	На основе опыта работы последних лет у нас возникло глубокое убеждение в возможности и необходимости достаточно широкого вовлечения студентов в научно-исследовательскую работу по методике математики в рамках Научного студенческого общества (НСО). Если раньше участие студента в работе НСО рассматривалось как первичная форма подготовки его к профессии научного работника, то теперь, в период реформы школьного математического образования, эту работу следует рассматривать как одну из важных форм подготовки творчески работающего учителя математики. Именно здесь студенты приобретают навыки исследовательской работы, умение экспериментировать, более глубокие знания по тому или иному разделу математики или методики, творческий интерес к педагогике математики. Поэтому мы поощряем широкое участие в работе НСО студентов математического факультета; в работе секции методики математики, как правило, участвуют 20—30 человек.
Отметим, что сказанное выше о роли науч- но-исследовательской работы студентов в сисг теме методической подготовки современного учителя математики полностью относится и к специально математическим секциям общества. Нам представляется, что, в идеале, в той или иной секции НСО должен состоять каждый студент-математик пединститута,
Опыт организации научно-исследовательской работы студентов по методике математики в нашем институте показал, что работе студентов целесообразно как можно раньше придавать характер самостоятельного творчества, быстрее проходить стадию ознакомительного характера. На наш взгляд, новые идеи и методы могут быть понятыми по существу лишь тогда, когда предпринимается попытка их реализации в самостоятельном исследовании (пусть порой и не совсем удачная!). Поэтому мы начинаем привлекать студентов к
участию в работе НСО уже со второго года обучения.
Самые активные студенты обычно проходят следующие стадии этого вида работы: изучение литературы, самостоятельное исследование курсовая работа; доклад на студенческой научно-практической конференции; продолжение исследований и экспериментальная работа в школе (во время педпрактики); вторичный доклад на научно-практической конференции и дипломная работа; продолжение самостоятельных исследований в школе (после окончания института) и прикрепление к кафедре для сдачи экзаменов кандидатского минимума, Каждая из названных стадий может служить концом работы или перерастать в следующую,
Укажем, для примера, тематику нескольких исследований студентов, доведенных до дипломной работы: Элементы математической
логики в школьном курсе математики (факультативный курс для учащихся VIII—IX классов), Введение понятия интеграла в средней школе. Аксиоматический метод и идея математической структуры на факультативных занятиях в средней школе. Простейшие понятия топологии на кружковых и факультативных занятиях в средней школе. Развитие творческого мышления учащихся в процессе решения математических задач. Развитие интуитивного мышления школьников в процессе обучения математике, Об экспериментальном учебнике математики для VI класса французской школы. Эвристический метод обучения в экспериментальном учебном руководстве по математике для школы СШД. Первое знакомство с дифференциальными уравнениями (факультативный курс для учащихся X класса средней школы). Изучение трудов классиков математики на внеклассных занятиях в средней школе.
Понятно, что наиболее массовой формой отчетности по проведенной студентами самостоятельной работе является курсовая работа, Поэтому МЫ обратили особое внимание на тематику курсовых работ студентов по методике математики. Помимо известных узловых вопросов современного школьного курса математики студентам предлагаются темы, связанные с изучением и сравнительным анализам пробных учебников математики, с переводом и методическим анализом наиболее интересных статей из зарубежных методикоматематических журналов или переводом и анализом отдельных глав из новых учебников математики.
При этом защита подобных курсовых работ, как правило, проводится в присутствии груп¬
54


пы из 5—10 студентов, что дает возможность помимо прослушивания студентами содержания работы организовать ее обсуждение. Опыт показал, что такого рода курсовые работы (и их защита) вызывают у студентов большой интерес.
9. В системе методической подготовки будущего учителя на факультете большое значение придается постановке спецкурсов и спецсеминаров по методике математики. Как правило, такие спецкурсы (как, впрочем, и математические спецкурсы) ставятся на 5, 6 и 7-м семестрах. В течение последних трех лет на всех трех семестрах мы ставили серию спецкурсов и спецсеминаров, объединенных общим названием «Новые идеи в преподавании математики»:
Часть I. Всемирное движение за реформу преподавания математики в средней школе.
Часть II. Реформа преподавания математики в советской школе.
Часть III. Эвристика и развитие математического мышления учащихся в процессе преподавания математики.
Параллельно с первой и второй частями спецкурса проводился спецсеминар по теме «Опыт модернизации школьного курса математики в СССР и некоторых зарубежных странах».
В процессе работы данного семинара в первую очередь использовались материалы, опубликованные в журналах «Математика в школе», «Народное образование» и «Советская педагогика».
Параллельно со второй частью спецкурса на семинарских занятиях изучались педагогические взгляды прогрессивных русских педаго- гов-математиков Н. А. Извольского, К. Ф. Лебединцева, С. И. Шохо р-Т р о ц- кого, Ф. А. Эрна и других, а также экспериментальные учебные пособия для школ.
К третьей части данного спецкурса непосредственно примыкает факультативный курс «Решение нестандартных математических задач», предназначенный для учащихся VIII— IX классов средней школы (18—20 часов), который был составлен автором данной статьи при участии группы студентов—членов НСО
в 1968/69 учебном году и явился предметом изучения на спецсеминаре (с последующим проведением его в школе студентами во время педпрактики). Приведем его содержание: ‘
1. Какие задачи мы не умеем решать?
2. 	Учись на задаче. 3. Как начинать решение задачи? 4. Решай вместо данной задачи другую задачу! 5. Догадывайся и рассуждай при решении задачи! 6. Составляй свои задачи!
7. 	Почему важно уметь четко оформлять запись решения задачи? 8. Изучай самого себя.
9. 	Как же мы думаем, решая трудную задачу? 10. Задачи-проблемы. И. Задачи-ситуации.
12. Ответы на вопрос «Как решать задачу?».
13. Попробуй-ка решить эту задачу! 14. Когда возникли задачи? 15. Варианты зачетной работы.
Возвращаясь к содержанию спецкурсов и спецсеминаров, отметим, что некоторые рассматриваемые в них вопросы являются дальнейшим развитием соответствующих разделов основного курса методики математики, другие— дополнением к нему. Это нам представляется вполне естественным, так как в рамках программы и того учебного времени, которое отведено на изучение программного материала, невозможно осветить тот или иной (даже весьма интересный) вопрос с достаточной полнотой; в этом отношении постановка спецкурсов и спецсеминаров по методике предоставляет и преподавателю и студенту дополнительные возможности.
Отметим также, что ряд вопросов, составляющих содержание любой части этого спецкурса, вполне может быть расширен и вынесен на семинарские занятия. Например, нетрудно увязать тот или иной вопрос из второй части спецкурса с постановкой в школе соответствующего факультатива. В практике своей работы мы это делали неоднократно.
Предлагая вниманию читателя описание нашего опыта работы, мы надеемся, что он окажется в какой-то мере полезным как отдельным преподавателям, ведущим курс методики математики, так и коллективам методистов- математиков, решающим проблему модернизации курса методики математики пединститута в целом..


Внеклассная работа
А. 	Н. ЮГРИНОВА |г. Тюмень]
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ КРУЖКОВОЙ РАБОТЫ В IV КЛАССЕ
Для кружковой работы в IV классе мы использовали не только задачи повышенной трудности из стабильного учебника по математике (стр. 240—247), но также и ряд других, часть которых ниже публикуется. Предлагая эти упражнения, мы стремились: углубить знания учащихся о множестве натуральных чисел с введением понятия числового луча; закрепить простейшие теоретико-множественные понятия на арифметико-алгебраическом и геометрическом материале; осуществить пропедевтику понятия подмножества.
Часть упражнений была использована непосредственно на уроках, особенно в связи с повторением изученного материала.
1. На прямой (рис. 1) не отмечено начало числового луча.
а) 	Установите по рисунку, сколько делений содержит единичный отрезок числового луча; б) отметьте точку, соответствующую числу 0 (начало луча); в) отметьте числа, соответствующие точкам А, В и D.
2. Отметьте на луче числа по порядку так, чтобы число 13 было наибольшим.
Найдите затем, на сколько единиц (единичных отрезков) удалены друг от друга точки, изображающие числа: 1) 9 и 3; 2) 6 и 12; 3) 13 и 12.
3; Назовите числа, которые надо поставить в пустых клетках таблицы.
задания
Данное
число
Число, предшествующее данному
Число. следующее за данным
Число, удаленное на луче от данного на 200 единиц
1
215
2
3305
3
195
4
1
5
1C04 и 1404
4. Запишите множество значений переменной а, если соседним с ним на числовом луче будет число: а) 20;
б) 	2G0; в) 100 000.
5. Сравните число 42 199 с числом, которое расположено на луче левее его и удалено от него на jc единиц, если а) х — 1; б) х — 42 109.
6. Запишите множество чисел числового луча, которые расположены правее числа 31 835 и удалены от него на у единиц, если а) у < 2; б) ус 4.
7. Сколько решений имеет каждое из неравенств: х < 5, 2 > т, 7 <С у ^ 10? Запишите неравенства в порядке возрастания числа элементов в множествах их решений.
Рис. I
8. На прямой отметьте три точки. Запишите с помощью фигурных скобок множество образовавшихся лучей. Сколько элементов в этом множестве? Как изменить рисунок, чтобы число элементов множества лучей увеличить на 4?
9. Внутри тупого угла ЛВС из его вершины проведите лучи ВМ, BN и В К так, чтобы угол разделился на неравные между собой части. Сравните на глаз получившиеся углы и запишите их в порядке возрастания.
10. Начертите в тетради множество из четырех многоугольников так, чтобы каждый следующий многоугольник имел на две стороны больше предыдущего. Назовите каждый многоугольник.
И. Подметьте признаки, по которым из точек на рисунке 2 можно образовать два разных множества так,
Рис. 2
чтобы каждая точка попала только в одно из них. Принадлежат ли на основании этих признаков одному множеству точки а) В и С; б) О и F?
12. а) По какому признаку составлено множество чисел
А = {2, 4, 6. 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}?
б) Какие номера соответствуют числам 10 и 14? Какие числа стоят под номерами 3 и 8?
в) Запишите выражение для числа с переменным номером п и найдите его значение, если п — 9, п — 173, п = 8397.
13. Сколько элементов содержит множество всех отрезков на прямой MN (рис. 3)? С помощью циркуля выделите из множества всех отрезков на прямой MN множество неравных между собой отрезков. Выпишите неравные между собой отрезки.
Рис. 3
14. Сколько элементов содержит множество всех углов, изображенных, на рисунке 4? Выделите из этого множества множество тупых углов. Сколько их?
15. Старшеклассники школы составляют часть множества всех учащихся школы. Назовите другие части множества учащихся школы. По каким признакам вы выделяли эти части?
В
Рис. 4


16. Из числового множества
выделите множество натуральных чисел. 17. Из числового множества
А = {8,14% "Г- 3~Т’ Ц ел.
Г _1_ il 1 22 _3_ 36 _4_ 83 171 N = \2 3 ’ 12’ 13» 4 • 18 * 4 ’ 84* 8J ^правильных j
{4- -и
• Ч4-. 4- 4- -f. -
выделите множество а) неправильных дробей; б) правильных дробей.
18. Является ли множество М
стью множества К
ча-
5
9 ’
_6^
9
19. Из множества углов с общей вершиной в точке С (рис. 5) выделите вертикальные углы. Сколько пар вертикальных углов содержит множество углов на рисун- ке? Измените рисунок так, чтобы множество из пар вертикальных углов а) уменьшилось на одну пару углов; б) увеличилось на три пары углов.
Г 9 2
20. Установите, будет ли множество М = 2-g-,
9 1 Г 3 162
41 т>трг частью множества N = 0,45; 41,38; -уф’
2,4|.
Рис. 5
21. К = {5,4; 7,32; 18,355; 83,6}. Составьте числовое множество Р, если каждый его элемент на 11,035 больше соответствующего элемента множества /(. Имеют ли множества К и Р общие элементы?
22. D = {11,749; 14,69; 18,08; 22,506; 89,4132}. Со¬
ставьте числовое множество X так, чтобы каждый его элемент был на 3,9658 меньше соответствующего элемента множества D. Между какими натуральными числами находится каждый элемент множества X?
23. Каждый элемент множества N — {0,114 0,054; 678,06; 608,43} в 6 раз больше соответствующего элемента множества М. Составьте числовое множество М и установите, сколько натуральных чисел на числовом луче находится между двумя последними элементами множества М.
24. Составьте числовое множество А так, чтобы множество В — {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001} было его частью.
М. В ПЛЮЯ (г. Киев)
О ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИКЕ В IV КЛАССЕ
С самого начала работы в IV классе по новой программе мы поставили задачу воспитывать у детей желание и потребность заниматься математикой, возбуждать, поддерживать и развивать у учащихся интерес к математике. Переход на предметное обучение по новым программам благоприятствует решению этой задачи. И здесь очень многое зависит от учителя, от его мастерства, от его таланта учить детей, вводить их в мир новых понятий.
На внеклассных мероприятиях учителю представляется возможность показать на ярких примерах, как прекрасна наука математика, удовлетворить зарождающееся детское любопытство. Но как нельзя строить все изучение программного материала на одной только привлекательности и занимательности, а надо систематически упражнять усилие и волю учеников, чтобы приучить их к настойчивому труду в усвоении новых вопросов, в решении новых задач, так и во внеклассной работе надо решать не только занимательные задачи, надо рассматривать вопросы и задачи повышенной трудности, для решения которых необходима работа над дополнительной литературой.
Во внеклассной работе по математике в IV классе мы стремились выявлять способных к математике
учеников, способствовать их математическому развитию, подтягивать среднего ученика к уровню лучшего.
На первых занятиях математического кружка мы решали занимательные задачи, ребусы, задачи, составленные самими учениками; проводили математические игры. Очень осторожно, после систематической подготовки и решения задач, содержащих элементы теории множеств, на кружковых занятиях начали рассматривать операцию пересечения множеств, а позже и объединения множеств. Кружковцы составляли задачи на пересечение и объединение множеств, часто оригинальные, интересные и в то же время занимательные. Среди примеров множеств были рассмотрены задачи с геометрическим содержанием — достаточно простые и бо- ,лее сложные, например: записать множество треугольников, получившихся в результате проведения диагоналей в правильных 5-, 6-, 8-угсльниках.
В конце каждого занятия мы предоставляли право членам кружка предлагать своим товарищам вопросы или задачи. Часто это были вопросы и задачи занимательного характера, взятые из рекомендованной литературы. Член кружка, который хочет предложить вопрос или задачу, обязан был правильно и точно сформулировать задание, уметь дать на него ответ, заранее сделать чертежи или другие пособия, если это требуется по характеру задания. Сам ученик дает ответ на по-, ставленный им вопрос только в том случае, если из кружковцев никто не смог ответить. Иногда такие вопросы и задачи предлагались для домашнего задания, чтобы привлечь учащихся к самостоятельной работе с математической литературой.
57


Решая задачи повышенной трудности, мы одновременно вели подготовку к математической олимпиаде, о проведении которой учащиеся были предупреждены с самого начала занятий математического кружка. Олимпиада для учащихся четвертых классов была проведена в два тура. После ее проведения начали вести тщательную подготовку к математическому вечеру, в котором должны были принять участие все ученики класса.
Каждый ученик, получив задание, готовился к вечеру; кружковцы отвечали за основные этапы вечера, вели его подготовку. Перед вечером была выпущена математическая газета «В мире математики», в которой отражалась проделанная внеклассная работа. В ней были помещены также вопросы и задачи математической олимпиады и работы учеников, занявших призовые места на олимпиаде. О предстоящем математическом вечере сообщало красочно оформленное объявление с кратким указанием программы вечера. Для подготовки и проведения вечера в четвертых классах были привлечены учащиеся — кружковцы из VI класса.
Подготовка и проведение математического вечера потребовали упорной и кропотливой работы учителей математики, кружковцев и всех участников вечера, которые на вечер должны были при Гни со своим номером художественной самодеятельности, по возможности связанным по своему содержанию с математикой или с интересной математической задачей. Вечер был посвящен замечательному советскому математику Льву Семеновичу Понтрягину, жизнь и деятельность которого являются ярким примером мужества, стойкости, силы воли, преданности науке, своему любимому делу, Родине.
Целью вечера было повысить интерес и стремление учащихся к более глубокому и всестороннему изучению математики и подвести итоги нашей внеклассной работы за полугодие.
В начале вечера было избрано жюри в составе учителя математики старших классов (председатель жюри), учителей математики, работающих в классах, учащихся, которые принимали участие на вечере, завуча и члена родительского комитета.
Вечер был открыт докладом ученицы VI класса о жизни и деятельности JI. С. Понтрягина.
Задачи и вопросы, предложенные на вечере, требовали для своего решения смекалки, находчивости, сообразительности. На вечере были проведены математические игры, викторина. Во время перерыва участники вечера решали задачи, ребусы, содержание которых было дано на плакатах, вывешенных в зале. Для викторины заранее было подготовлено много различных задач, не требующих для своего решения громоздких выкладок, преобразований. Для участия в викторине ученик подходил к киоску и получал задачу, записанную на специальной карточке, на обороте которой было записано время, отведенное на решение этой задачи, и количество очков, установленное за ее решение. Если ученик решил задачу верно и не превысил установленное время, то он имел право на вторую задачу и т. д. В киоске работали два «контролера»: один из них выдавал задачи, второй проверял решение задач по заранее подготовленному решению. Те ученики, которые набрали больше всего очков, становились победителями викторины.
Среди задач, предложенных на вечере, было много задач на отгадывание задуманных чисел; были задачи и в стихотворной форме. Часть задач была составлена самими учащимися, часть взята из математической литературы.
В конце вечера по решению жюри победители были награждены призами. Закрыли вечер песней «Математика» на слова ученика IV класса, музыка ученика VI класса.
В четвертой четверти было проведено еще одно внеклассное мероприятие массового характера — математический диспут. В нем приняли учстие все учащиеся четвертых классов, это своего рода игра между учащимися параллельных классов. (Если в школе нет параллельных классов, то можно провести диспут между учащимися IV и V классов, V и VI классов и т. п. Деление класса на две группы, по нашему мнению, снизит эффективность диспута.)
Вопрос о материале диспута решается в зависимости от целей, которые поставлены перед диспутом.
За месяц до диспута вывесили хорошо оформленное объявление, в котором кроме времени и места проведения диспута указали, что готовить к диспуту.
Мы поставили перед учащимися задачу: повторить самостоятельно материал, пройденный в IV классе. Учащиеся должны были знать определения, правила, формулы, уметь решать примеры и задачи, а также умело ставить вопросы. Готовясь к диспуту, учащиеся должны были записать не только свои вопросы, но и полные ожидаемые ответы на них, таким образом, учебный материал повторялся основательно.
Во время подготовки к диспуту учителя математики проводили в своих классах беседы, в которых подробнее знакомили с порядком подготовки и проведения диспута. Учащиеся готовились самостоятельно, но учитель время от времени спрашивал учащихся и проверял, что успели повторить, какие вопросы подобрали, консультировал учеников.
Знакомясь с вопросами, подобранными самими учащимися, мы исправляли формулировки отдельных вопросов, рекомендовали объединить некоторые из них. Но все же мы не навязывали свои вопросы, стремясь не стеснять инициативы учащихся в их подготовке к диспуту. Главную цель своего руководства подготовкой к диспуту мы видели в организации самостоятельной работы учащихся над учебным материалом, в повышении интереса к изучаемому материалу.
В четвертых классах мы проводили диспут следующим образом: учащиеся обоих классов были размещены в одной классной комнате. На передних партах сели четыре представителя математического кружка старшего класса, они вели запись всех вопросов и ответов, а затем оригинальные ответы и вопросы записывали в специальный журнал математического кружка. Руководил диспутом учитель, работающий в соревнующихся классах.
Вопросы задавали учащиеся по очереди: то из одного класса, то из другого, причем без заглядывания в свою тетрадь. За полный и правильный ответ ученика классу начисляется очко; за неполный ответ засчитывали полочка; но если другой ученик этого же класса дополнял ответ, классу добавлялось пол-очка.
Во время диспута жюри учитывало, кто именно из учеников дал точный, правильный ответ, таким образом, вместе с соревнованием классов определялось личное первенство учащихся. Жюри учитывало также количество участников диспута от каждого класса. Классу, в котором количество участников больше, начисляется добавочно по одному очку за трех учеников. Это дало возможность привлечь к диспуту как можно больше учеников и избежать того, что класс, в котором два-три хорошо подготовленных ученика, может занять первое место, хотя остальные учащиеся совсем не принимали участия в диспуте.
Диспут заканчивался объявлением и награждением победителей. Результаты диспута были занесены в специальную заранее подготовленную таблицу. В ней записывались очки классам, указывались учащиеся, занявшие призовые места.
Учащиеся побежденного класса попросили провести новый диспут, просьбу их мы удовлетворили. Повтор¬
58


ный диспут мы готовили еще более усиленно. Приведем несколько вопросов, которые ставили учащиеся на математическом диспуте в четвертых классах.
1) 	Назовите множество планет Солнечной системы.
2) 	Что вы понимаете под словами «переменная» и «значение переменной»? 3) Что называется уравнением, корнем уравнения? Приведите пример. 4) Найдите множество решений неравенства: л:+4^25-(160—25).
5) 	Как читается распределительный закон умножения относительно сложения, вычитания; где и как мы его применяем? Приведите пример.
Проведя диспут, мы пришли к следующим выводам:
а) Математические диспуты выявляют недостатки в знаниях учащихся, корректируют работу учителя.
б) В диспуте важно и очень ценно то, что для такого важнейшего педагогического момента, как повторение, используется внеклассная работа с учащимися, повторение материала происходит в виде игры.
в) Диспуты между классами дают для повторения
то, чего не может дать, по нашему мнению, другая
классная форма повторения. Если на каком-либо уроке при тематическом опросе повторяется лишь отдельная тема, то в диспуте имеется возможность для повторения, обзора и сопоставления материала большего объема; обеспечивается также и более глубокое изучение программного материала. Желание найти необычный, оригинальный вопрос приводит учащихся к творческой работе над учебным материалом и дополнительной литературой.
г) 	Одновременно с решением образовательных задач мы решаем и воспитательные. Во время подготовки к диспуту мы воспитываем чувства коллективизма, товарищества. Учащиеся вместе обсуждают свои вопросы, сообща отвечают на них и выясняют непонятное, они болеют за класс, готовятся во всеоружии встретить соперника и честно бороться с ним за звание победителя. Воспитываются также сила воли, выдержка, настойчивость, честность, правдивость.
А. 	К. КЕТЛЕР (Москва)
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В ОКРУЖНОСТЬ
Четырехугольники, вписанные в окружность, представляют собой замечательные фигуры* которые имеют ряд интересных метрических соотношений элементов. Они обладают более высокой структурной симметрией, чем сходные соотношения между элементами треугольников
1. 	Определение. Теорема Птолемея
Четыре точки на окружности определяют шесть отрезков, которые образуют вписанные четырехугольники двух видов: выпуклый (рис. 1) и звездчатый
(рис. 2).
Справедлива теорема Птолемея: ac-{-bd=ef или а\С\—b\di — ei{i — для звездчатого четырехугольника.
Доказательство. Рассмотрим выпуклый четырехугольник (рис. 3):
$abcd e ~2-AC*BD s\n М, т. е.
$abcd = ”2~* ef sin М. (1)
Выберем точку А', так что A'B=AD и A'D=AB. Тогда площади четырехугольников ABCD и A'BCD равны.
Имеем Зд/всо “ ^А' вс ^A'CD 2 А'В'ВС X X sin А'ВС + ~2~ A'D» DC sin ^ A'DC, или
Sa'BCD = ”2“ са sin^ Л'ВС + -i^dbsm ^A'DC. (2)
Из (1) и (2) следует, что ас sin^ А'ВС + 4- bd sin A'DC = ef sin M, но ^ A'BC -f- A'DC — — те, следовательно,
(ас -f bd) sin A*BC = efsin M. (3)
Так как угол A'BC измеряется полусуммой дуг A'D и CD, а угол М полусуммой дуг А В и CD и по построению дуги A'D и АВ равны, то ^.А'ВС =
Тогда из (3) получим ас -f- bd = ef.
Приведенное доказательство конструктивное. Назовем A'BCD переставленным четырехугольником. Как равносоставленный, он имеет периметр и площадь четырехугольника ABCD, диагонали А*С *=* g и BD «=» е. Таких преобразованных неконгруэнтных четырехугольников из данного можно получить два (рис. 4), в чем нетрудно убедиться непосредственной проверкой.
Напишем теорему Птолемея для основного и переставленных четырехугольников:
ef — ас + bd, eg = ad + be, fg =* ab + cd. (4)
59


Рис. 4
Решая эту систему, получим
2 (ас -f- bd) (ad + be) (ab -f cd) (ac -f bd)
e ~ ab + cd * * ad -r be
(ab -f cd) (ad -j- be)
g*
ac -j- bd
(5)
2. 	Соотношения сторон, диагоналей четырехугольника и радиуса описанной окружности
Из (4), попарно складывая и вычитая почленно равенства, найдем е (/ g) = ас -f bd -j- ad t be = = (a + b) (c + d), e (f — g) = (a — b)(c — d) и т. д., или
(a + b) {с + £f)
(a — b)(c — d)
f + g ~
f — g
{a -\- d)(b c)
1
1
e + g ~
e — g
(a + c){b + d)
(a — c)(d — b)
e + f
e-f
(6)
с2) (d8 - b2).
(7)
/ =
g “
Из (6) имеем, например,
g2(e2-P) = (a2-
Найдем отрезок, соединяющий точку М пересечения диагоналей с одной из вершин, например В (рис. 3). Из равенств ^ ВА'С — ^ ВАС и ^ ВМА = А' ВС
я ВМ ВС
следует, что Л АВМ оэ Д А'ВС, откуда ~j[B==~AfC
АВ-ВС и ВМ = —» т- е-
ВМ =
Аналогично имеем MD =
ad
V
be
~g~
* ABCD
= 5. Так как St:S2 = ab:cd, то St =
и, учитывая (4),
аЬ о
'”7?
3. Тригонометрические соотношения.
Формула площади
Теорема синусов. Из д ABD, Д ABC и Д А'ВС (рис. 3) имеем
* / g
sin A sin В
sin М
2R.
(10)
Теорема косинусов. Из Д ABD и д BCD (рис. 3) е2 = с2 + d2 — 2cd cos А, е2 = а2 + Ь2 — 2ab cos С.
Так как cos С = — cos А, то a2 -f b2 ^ с2 -j- d2 — — 2 (а£ -f- cd) cos А и a2 -j- b2 = c2 -f d2 — 2f g cos A. Из д ЛВС и д ADC b2 f с2 = a2 + tf2 — 2^ cos 5. Из Д Л'ВС и Д A'DC b■■ -f dl = a2 + e2 — 2ef cos M.
Частные случаи:
^ A = С = ~ a2 + b2 = c2 4- d2 = e2 = 4/^2;
Ьг + f2 = 4Д2-
a2 + c2 = b2 + d2 = g2 = 4#2.
Такие четырехугольники можно называть прямоугольными. Приведенные выражения обобщают теорему Пифагора.
Теорема тангенсов. Воспользовавшись тождеством
Л + д А — В
(,sin Л -Ь sin £):(sin Л — sin В) = tg—г,—:tg—2— и подставив значения синусов из (10), получим
А + В А — В tg —2—:tg 2 = .(* + f)'.(e—f).
Учитывая (4),
(a -f с) (d -f b)
(в + /):(*-/) = {eg + fg):(eg — откуда
А + В А-
■■■
В (a -j~ с) (d + b)
~ (а — c)(d — b) *
Формула площади. Подставляя (10) в (1), имеем S = 2R2 sin A sin Я sin М., Другое выражение, площадд может быть получено так:
(8)
Произведение отрез-
S = ^-ef /1
ков диагоналей четырехугольника: Н2 = АМ МС =
_ ad be abed
= BM-MD. Согласно (8), И2 = ——— = -2~.
Проведем диаметр через О и М. Пусть ОМ = Е. Точка М разобьет этот диаметр на отрезки R -f- £ и R — Е. Тогда
(R 4- Е) (R — Е) = Н2 и £2 = R2 — Я2.
Найдем R. Обозначим SA BCD = S„ SA ABD = S2,
cb
cos Af =
a2 + c2
- cos2 M b2-d2
2*/
тогда
- d2 l2
) J -
(9)
Радиус окружности, описанной около Д BCDt abc_ efg
~ 4St • или ^ 45 *
= у 4 (ас + Ы)2 — (а2 — Ь2 -\- с2 — d2)2 =
= /(а-Н с + Ю(« + Н^-Ю X
х (а + — с + d) (b 4- С + d — а).
Обозначив 2р = a + b + с + d, получим
S = /(р — а)(р — Ь) (р — с) (р — d). Некоторые другие зависимости:
-j- ab sin С ■+• cd sin А =» S,
60


отсюда
Так как
2S
sin А = 2S:(ab -f cd) ^
A sin А ^ 2 “ 1 + cos А
-1 +
с2 + d* — а2 — Ь2
ш
2(р-а)(р -Ь)
2 (ab + ей) “ /£
1 -f cos Л == 1 Ч- с* ~h d2 — а2
то
tg
Из тождества
Xp — c)(p — d)
(Р-а)(р-Ь) '
А 1 А
sin2 -у- = -д- sin Л tg -П-
получа ем
sin
Из тождества
имеем
А. л/(р С)(Р d)
2 " Г + cd
Л 1 .Л
cos2-^- = "у sin Л ctg -g-
cos
4-К
(/» — a)(P — b)
ab -f- cd
4. 	Вписанные и вневлисанные окружности
В выпуклый произвольный четырехугольник может быть вписана окружность при условии, что a+c=b + d (рис. 5). Невыполнение этого условия выражается в касании окружности только трех сторон четырехугольника (рис. 6) или одной стороны и продолжений двух других сторон. Очевидно, площадь четырехугольника при касании вписанной окружности четырех сторон выразится формулой S — p-r, где p=a+c=b-\-d. Если во вписанный в окружность четырехугольник можно, в свою очередь, вписать окружность (рис. 7), то
S — V (p-a)(p — b)(p—c)(p — d) = у abed = gH.
Из подобия треугольников ADN2 и BCN2 (рис. 6) находим
ра : гс = а : с = га : рс или рарс = гагс. Аналогично
PbPd :=rf ъГd И раРбрср</ = '’а/'ьГс/,(|.
Приведем еще некоторые интересные метрические соотношения элементов вписанного в окружность выпуклого четырехугольника, справедливость которых предоставляется проверить читателю.
ef = (р—а) (p—c)+(p—b) (p—d), eg = (p—a)(p—d)+(p—b)(p—c), fg = (p—a)(p—b)+(p—c)(p—d).
g
OOl=R'-2Rrc a + c
(случай вырождения четырехугольника) переходит в OOg ** R2—2Rr (формула Эйлера для треугольника).
g
ОО ' - Я* + 2R?e
5. 	Соотношения в звездчатом четырехугольнике
Вернемся к рис. 1 и 2 и выясним различие между выпуклым и звездчатым четырехугольниками, вписанными в окружность. Обход вершин по окружности A-+B-+C-+D и A\-+B\-+D{-+C\ показывает наличие инверсии в порядке их следования. Эта же инверсия наблюдается и в углах поворота при обходе сторон вписанных фигур AB-+BC->CD-+DA и A\B\-+BiC\—*.C\Dx-+ -+D\A\. При переходе к стороне C\DX поворот меняется на левый. В записи теоремы Птолемея это выразилось заменой знака у стороны Ь\. Нетрудно проверить, что все выведенные выше соотношения для выпуклого четырехугольника будут справедливы и для звездчатого четырехугольника при замене стороны b на —Ь\.
6. 	Заключение
Рассмотрим определитель
а е b
п -1
/ с х х d /
= 0.
; последнее при а = 0, g == с
При *1=0 определитель представляет собой запись теоремы Птолемея П = (ef—ас—bd)f = 0. При х2 = g определитель обобщает более глубоко связь сторон и диагоналей во вписанном в окружность четырехугольнике.
Если в рассмотренных выше метрических соотношениях положить одну из сторон равной нулю (случай вырождения четырехугольника), то получим известные зависимости геометрии треугольника.
Отметим, что основным приемом выводов было рассмотрение переставленных четырехугольников, полученных из заданного. Этот прием вскрывает существо геометрической структуры вписанного четырехугольника. Рассмотрение переставленных фигур не только дает полезный конструктивный прием доказательства теоремы Птолемея, но оно продуктивно и введением нового производного элемента g — диагонали переставленной фигуры, которая не только имеет конкретный геометрический смысл, но и упрощает запись выражений для метрических соотношений. Рассмотрение выпуклого и звездчатого четырехугольников позволяет унифицировать их метрические соотношения.
61


В. М. МЕДВЕДЕВ, Л. И. ПРОКОПЬЕВ
(г. Куйбышев)
АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Геометрические задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности; на изучение этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.
В данной заметке рассмотрим задачи на построение, при решении которых применяется алгебраический метод, называемый иногда методом алгебраического анализа. Решение задач этим методом опирается на умение учащихся VIII класса строить отрезки, выраженные формулами
ab a2 j— —
х = —, х = т , х = у ab, х = у а2 + Ь2.
Рис. I
Если К — точка пересечения данной прямой / с пря мой АВ, а С — точка касания искомой окружности с прямой / (рис. 1), то КС2 = АКВК, или КС = = у АК'ВК. Так как три точки А, В, С определяют положение искомой окружности, то достаточно знать положение точки С на прямой /, т. е. найти длину отрезка КС.
2. В данный треугольник ABC (углы А и С — острые) вписать квадрат, две вершины которого лежат на основании АС, а две другие — на боковых сто ронах.
Пусть DEFM — искомый квадрат (рис. 2). Высота BN пересечет сторону квадрата в точке /С. Если бы положение точки К на высоте BN было известно (для этого достаточно было бы знать длину отрезка NK), то построение квадрата DEFM было бы легко осуществить. Из подобия треугольников EBF и ABC EF ВК
следует, что -д£ = . Обозначив NK = х, АС = Ьу
bh
BN = Л, найдем х = .
3. В данный ромб вписать прямоугольник, сто¬
роны которого были бы параллельны диагоналям
ромба, а площадь равнялась бы -тр площади ромба
(Н. Рыбкин. Сборник задач по геометрии, ч. I, § 16, № 28).
Пусть MNKP — искомый прямоугольник (рис. 3). Задача сводится к нахождению положения точки К на стороне ВС, а для этого надо найти длину х отрезка ВК. Из подобия треугольников NBK и ABC следует: NK ВК
— ВС * ВС = а, то
NK
АС
х
а
(1)
Так как КР \\ BD, то AKCPun&BCD. Тогда КР КС
или
BD “ ВС*
КР а—х BD ~ а
(2)
Эффективность алгебраического метода решения задач на построение можно проиллюстрировать на некоторых примерах. Не доводя решения задач до конца, проведем лишь анализ их решения.
1. 	Построить окружность, касающуюся данной прямой I и проходящую через две данные точка А, В, расположенные по одну сторону от прямой I и на разном расстоянии от нее.
Перемножив почленно равенства (1) и (2), получим NK-КР х(а — х)
АС-BD в а2 ’
Но NK'KP — Sjyкрм* AC• BD — 2SabcD' Так как по Snkpm 1 1
условию ~s~cd ** "З"’ 10 полУчаем УРавнение ~б"
х (а — х)
из которого находим
a IГ а2 а2 а V 3а2
Xi = ~T+V Т—ТГ = !Г+ 6
/За5
Итак, задача имеет два решения; построение обоих прямоугольников не представляет труда.
В
Рис. 2
62


В заключение приведем задачи для самостоятельного решения алгебраическим методом.
1. Построить треугольник по трем его высотам.
2. Разделить площадь треугольника в среднем и крайнем отношении прямой, параллельной основанию.
2
3. Построить квадрат, равновеликий данного
квадрата (прямоугольника, трапеции, ромба).
4. Данный треугольник преобразовать в равновеликий равносторонний треугольник.
5. В данный круг вписать прямоугольник с данной
площадью т2.
6. В данный треугольник вписать прямоугольник с данной площадью т2.
7. В Д ЛВС провести прямую MN, параллельную АС и пересекающую стороны треугольника так, чтобы разность отрезков MB и NC была равна данйому отрезку d.
8. Через точки А и В, не лежащие на данной прямой т, провести окружность, отсекающую от прямой т хорду данной длины.
9. Прямая I касается данной окружности в точке В. На прямой I найти точку С такую, чтобы внешняя часть секущей АС (АВ — диаметр окружности) была равна отрезку данной длины.
Б. ЛЮТИКАС (г. Вильнюс)
АНАЛОГ ПАРАДОКСА БЕРТРАНА В СЛУЧАЕ ПРАВИЛЬНОГО я-УГОЛЬНИКА
В истории математики широко известен парадокс Бертрана, который некоторое время «компрометировал» теорию вероятностей. Суть парадокса такова.
При решении задачи «Какая вероятность того, что длина случайной хорды окружности превосходит длину стороны правильного вписанного треугольника?» в зависимости от способа решения получаются три раз- 1 1 1 ных ответа: и
Суть парадокса раскрыта во многих учебниках по теории вероятностей (см., например, Б. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1965, стр. 36—38).
Оказывается, что довольно интересный аналог этого парадокса можно легко получить в отношении правильного вписанного «-угольника.
Решим следующую задачу: «Какая вероятность того, что длина случайной хорды окружности превосходит длину стороны правильного вписанного п-угольника?»
Решение. I способ. Рассмотрим множество хорд, которые параллельны стороне АВ заданного /2-угольника (рис. 1).
Ясно, что больше АВ будут те параллельные ей (и перпендикулярные к диаметру MN) хорды, середины которых находятся на отрезке CD. Условимся каждую такую хорду характеризовать точкой ее пересечения с диаметром MN. Если за меру числа точек на отрезке, содержащемся на диаметре MN, будем считать длину
Рис. 1
Рис. 2
М
этого отрезка и эту же меру перенесем на рассматриваемые хорды, то тогда вероятность того, что параллель-
CD
ная стороне АВ случайная хорда больше ее, равна
То же можно сказать и о других сторонах правильного /г-угольника, откуда получается вывод, что искомая вероятность
CD р ~ MN '
Обозначим радиус окружности через R. Тогда MN = 2/?, CD ~ 2JR соз и р = cos -~щ
При л=3 получаем первый ответ Бертрана: тс 1
Р = cos ~з~ “ ~2~ •
II способ. Рассмотрим множество хорд, проходящих через точку А (рис. 2).
Если АВ и АС — две стороны правильного вписанного /г-угольника, то из всех хорд, проходящих через точку А, больше АВ будут те, которые находятся внутри угла ВАС. Условимся считать, что плотность хорд, проходящих через точку А, всюду одинакова. Если за меру числа хорд, проходящих через точку А, будем считать угол, внутри которого эти хорды находятся, то вероятность того, что хорда, проходящая через точ¬
ку А, больше АВ, равна что и искомая вероятность
. Отсюда получаем,
ВАС
Так как ^ ВАС
ТО
>-4-
При п*=3 получаем второй известный результат Бертрана;
' JL _L Р"~ 1— з “ з •
III способ. Положение хорды можно определить местом ее середины. Ясно, что длину стороны правильного вписанного /г-угольника будут превосходить длины тех хорд, середины которых находятся внутри вписанного круга (рис. 3).
Если за меру множества внутренних точек замкнутой геометрической фигуры будем считать ее площадь, то
63


м
Рис. 3
искомая вероятность
тс • ОС2 р = К • О А*
Рис. 4
_ОС2 О А2 *
Так как
ОС = О A cos jp = cos2
то
При п=3 получаем третий результат Бертрана:
тс 1 р = cos2 — = -J-.
Таким образом, аналогично парадоксу Бертрана, получаем такой парадокс:
Вероятность того, что длина случайной хорды окружности превосходит длину стороны правильного вписанного п-угольника, в зависимости от спо-
тс 2 тс
соба решения равна: cos —, 1— —, cos2—.
Подбирая конкретные значения п, учитель может получить серию «бертрановских» задач, которые можно успешно использовать для развития творческого математического мышления учащихся, а для раскрытия сути парадокса можно воспользоваться следующим объяснением, которое для случая п — 3 изложено в упомянутой книге Б. В. Гнеденко.
Дело в том, что за решение одной и той же, казалось бы, задачи выдаются решения трех различных задач.
В случае первого способа решения мы как бы катим круглый цилиндрический стержень вдоль одного кз диаметров. За .множество равновозможных мест остановки стержня мы считаем множество точек диаметра MN, а за множество точек, через которые, скатываясь, длина стержня остается больше длины АВ,— множество точек отрезка CD. Причем мерой этих множеств считаем длину соответствующего отрезка.
Во втором случае стержень, закрепленный в точке А, заставляем совершать колебания размером не более угла я. За множество равновозможных положений стержня принимаем множество всевозможных прямых, проходящих через точку А, а за меру множества прямых— величину соответствующего угла.
Наконец, в третьем случае мы бросаем наудачу точку внутрь круга и вычисляем вероятность попадания
этой точки внутрь другого, концентрического первому
круга меньшего радиуса. За множество равновозможных мест попадания случайно брошенной точки принимаем замкнутое множество точек круга, а за меру множества точек — площадь соответствующего круга.
Таким образом, мы имеем дело с тремя разными задачами, с неэквивалентными множествами, с разными мерами этих множеств, поэтому и ответы разные.
Особенно интересное обобщение парадокса получается в такой конструкции задачи:
Пусть стержень, закрепленный в точке М, случайно бросается на окружность, центр которой О находится на расстоянии а от точки М (рис. 4). %акая вероятность того, что длина отсекаемого окружностью отрезка случайно брошенного стержня будет больше стороны правильного п-угольника?
Если АВ — сторона правильного вписанного я-уголь- ника, то подобно уже изученному нами второму способу решения ранее сформулированной задачи вероятность интересующего нас события
AM А' р = ^ DMD' ■
R cos —
Так как AM А' = 2 arcsin , a <^DMDr
= 2 arcsin —, то
R cos
R ’ arcsin —
т. е. вероятность того, что длина отсекаемого окружностью отрезка стержня больше длины стороны п-угольника зависит не только от п, но и от расстояния а.
Нетрудно показать, что последняя задача является обобщением первых двух ранее сформулированных задач.
Именно если а->оо, то, применяя правило Лопиталя, находим
R cos
arcsin
тс
п
р = Иш
а-> со
arcsin
а
= cos -
Это, как видно, первый результат «бертрановской» задачи. Кстати, в случае а->оо это очевидно и геометрически.
При a = R, разумеется, получаем второй результат.
Таким образом, в зависимости от величины а мы можем получить множество с первого взгляда похожих, но по существу разных задач, решение которых и приводит к разным ответам.


И. С. ПЕТРАКОВ, В. А. СКВОРЦОВ
(Москва)
XIII МЕЖДУНАРОДНАЯ
По договоренности между министерствами школ Словацкой и Чешской социалистических республик XIII Международную математическую олимпиаду учащихся средних школ организовало Министерство школ Словацкой Социалистической Республики. ^
В XIII Международной математической олимпиаде участвовали 15 стран — наибольшее число участников за всю историю международных математических олимпиад. Дебютантом соревнований была Куба. Второй раз в соревнованиях участвовала Австрия; Остальные страны—Болгария, Великобритания, Венгрия, ГДР, Голландия, Монголия, Польша, Румыния, Советский Союз, Франция, Чехословакия, Швеция-, Югославия—^ являются уже традиционными членами этого математического клуба. - ••••••
В состав каждой делегации, как обычно, входило 8 учащихся, руководитель и его заместитель—.педагогический руководитель (Куба была представлена лишь четырьмя участниками и одним руководителем; в команде Швеции было 7 учащихся).
Олимпиада проходила с 10 по 21 июля 1971 г. . в г. Братиславе и Жилине. Председателем оргкомитет и жюри был академик Словацкого отделения Академии наук Чехословакии Штефан Шварц, заместителем председателя — академик Йожеф Новак, секретарем жюри и оргкомитета был профессор Транспортного института г. Жилины Ладислав Бергер.
В международное жюри вошли руководители команд стран — участниц олимпиады: от Австрии — преподаватель реальной гимназии Айзенштадта Томас Мюльгасс- нер, от Болгарии — заведующий кафедрой высшей алгебры ’Софийского университета доцент Кирил Дочев, от Великобритании — заведующий отделением математики • королевской, грамматической гимназии в Ньюкастле Фрэнк Баден, от Венгрии — преподаватель Педагогического института Будапешта Эндре Ходи, от ГДР —профессор Института математики Академии наук ГДР доктор Хельмут Бауш, от Голландии — профессор педагогической школы г. Гааги Ари Ван Тоорен, от Ку~ бы —сотрудник Министерства просвещения Кубы Луис Давидсон, от Монголии — доцент кафедры алгебры и геометрии университета Уржинцэрэн Санжимятав, от Польши — преподаватель Математического института Варшавского университета Андрей Монковский, от Румынии — преподаватель Бухарестского университета Николае Михайлеану, от СССР —доцент Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова В. А. Скворцов, от Франции — профессор лицея при Сорбонне Андре Варусфель, от Чехословакии — заведую¬
щий кафедрой Транспортного института в г. Жилине Профессор Ежеф Моравчик, от Швеции — профессор университета Келл-Оув Видман, от Югославии — магистр Владимир Мичич.
В каждой стране отбор участников олимпиады проводился, как правило, на основе результатов различного рода национальных конкурсов, соревнований, олимпиад.
Для нашей страны международные олимпиады являются естественным продолжением всесоюзных олимпиад. Так, в этом году команда СССР на XIII Международную математическую олимпиаду формировалась на основе итогоб V Всесоюзной' математической олимпиады 1971 г., состоявшейся в апреле этого года в Риге.
В состав советской команды на XIII Международную математическую олимпиаду вошли: Александров
Алексей — ученик X класса школы-интерната № 45 при ЛГУ, Гашков Сергей — ученик X класса школы-интерната № 18 при МГУ (ранее обучался в средней школе пос. Свободный г. Дзержинска Горьковской обл.), Ерохин Василий — ученик X класса школы № 30 Ленинграда, Логачев Дмитрий — ученик
X класса школы № 2 Москвы, Л я ш к о Олег — ученик X кдасса школы № 27 г. Харькова, Саллинен Евгений — ученик X класса школы-интерната № 45 при ЛГУ (ранее обучался в средней школе пос. Калевала Карельской АССР}, Ц ф а с м.а н Михаил — ученик X. класса школы № 2 Москвы, Ч й с т о в Александр — учецик X класса школы № 239 Ленинграда.
В. большинстве стран-участниц обучение в средних общеобразовательных школах продолжается 12—13 лет (с. 6—7 до 18^19 лет.), В этих странах имеется возможность, включать в команду на международные олимпиады одних и тех же участников 3—4 раза (с IX по XII класс). В этих странах возникает проблема работы с высококвалифицированными «олимпиадными профессионалами». Интересный опыт, в этом отношении имеется в Венгрии, в ГДР. Однако, его трудно перенести в страны с меньшей продолжительностью сроков обучения. Кроме того, по мнению представителей многих стран, ежегодная смена состава команд более соответствует целям проведения международных олимпиад.
Различие точек зрения на вопросы содержания и порядка проведения -международных олимпиад вызвано кроме указанной - ра-зницы в сроках обучения также связанным с ним различием в объеме школьных программ.- & программу по математике для старших классов во • многих странах включена аналитическая геометрия, элементы математического анализа, теория вероятностей, вопросы современной алгебры (теория групп, колец). Это отражается на содержании национальных школьных олимпиад. Например, в школьных соревнованиях во Франции широко представлены задачи из современной алгебры. На национальной олимпиаде в Великобритании в 1971 г. среди прочих были пред- ■ ложены -такие задачи:
х
1* Пусть f {х) = \ ctg у sin (х sin у) dy. Доказать, что
- (•) ;•'
2. 	Найти вероятность того, что две случайно выбранные точки на отрезке длины h окажутся друг от друга на расстоянии, меньшем k, где 0 < k < к. .
В связи с тем что в ряде стран указанные темы еще не изучаются, в работе международного жюри возникала сложность при выборе задач, приемлемых для всех стран-участниц. До настоящего времени сохранялась традиция включать в международные соревнова¬
3 Математика в школе № 6
65


Слева направо в первом ряду — В. Ерохин, Д. Логачев, О. J1 яихко, И. С. Петраков, А. Александров; во втором —С. Гашков, Е. Саллинен, А. Чистов, М. Цфасман.
Фото С. Болдина,
ния лишь задачи, которые принято относить к курсу элементарной математики. С каждым годом все более настойчиво звучат пожелания со стороны представителей некоторых стран видеть среди задач международной олимпиады задачи на различные разделы современной математики.
Из задач, присланных большинством стран-участниц, чехословацкие математики отобрали 12. Затем уже из них жюри оуобрало 6 задач, по 3 задачи на каждый день соревнований. Задачи были отредактированы, переведены на родные языки стран — участниц олимпиады и отпечатаны для каждого участника.
В первый день соревнований в течение четырех часов участники олимпиады должны были решить такие задачи:
1. 	Доказать, что утверждение «Для любых действительных чисел а1у а2ап выполняется неравенство
(ах — а2) (я, — az).. .{ах — ап) +
+ (#2 #i) (#2 аз)‘ • *(а2 ап) +
4* (ап ai) (ап я2).. .(Яд ап—0 О»
справедливо при п= 3 и /г = 5 и несправедливо ни при какбй другом натуралыгом п > 2.
(Венгрия, 5 очков.)
2. Пусть имеется выпуклый многогранник Рх с девятью вершинами А19 А9. Обозначим через Р2,
P3f... многогранники, полученные из Pt параллельными переносами, которые перемещают точку Ах соответственно в точки А2, А*,..., А9. Доказать, что по крайней мере два из многогранников Я„ Р2,...,Р9 имеют хотя бы одну общую внутреннюю точку.
(СССР, автор Г. Гальперин, 7 очков.)
3. Доказать, что последовательность {2Л — 3} (п =* = 2; 3; 4;...) содержит бесконечное множество чисел, каждые два из которых взаимно просты.
(Польша. 9 очков.)
Во второй день соревнований также на четыре часа было предложено решить задачи:
4. Каждая грань тетраэдра ABCD — остроугольный треугольник. Рассмотрим все замкнутые ломаные линии XYZTX, определенные следующим образом: X — точка на ребре л Я, отличная от А и Я. Аналогично YtZ,T—внутренние точки ребер ЯС, CD, DA соответственно. Доказать, что:
а) если ^DAB -f- г'ВСОф^ ABC + ^CDA, то среди этих ломаных нет ни одной кратчайшей;
б) если ^ DAB -f BCD = ^ ABC + ^ CD А, то существует бесконечно много ломаных минимальной
66


(X
длины и эта длина равна 2ЛС sin -тр, где а=^ВАС + + <^CAD + ^lDAB.
(Голландия, б очков.)
5. Доказать, что для любого натурального числа т существует непустое конечное множество S точек плоскости такое, что для любой точки А из S имеется ровно т точек из S, которые находятся на единичном расстоянии от Л.
(Болгария, 7 очков.)
6. Рассмотрим квадратную таблицу
ип а12 • • • #iп
а2\ а22 • • * а2П
Я П1аП2• • 'аППt
состоящую из неотрицательных целых чисел и удовлетворяющую следующему условию: как только я//=0, так справедливо неравенство 4- + ... + atn 4-
Н~ ^1/ + a2j + ... + anj > п. Доказать, что сумма всех
элементов таблицы не меньше чем -ту п2.
(Швеция, 8 очков.)
Странами-участницами были предложены и другие задачи, многие из которых представляют интерес и в значительной степени отражают стиль и уровень национальных олимпиад.
Приведем некоторые из них.
1. Пусть а, b и с — действительные положительные числа, такие, что а^Ь^с. Доказать, что для любых действительных чисел х, у и z имеет место соотношение
х v
(ах + by + cz) ^ а + 'ь + J <
(« х cf
< {х + V + Z)- 4ас—.
(Австрия.)
2. Пусть дана последовательность полиномов Р0(х), Р, (х), Р2 (.*),Рп (л:),..., где Р„ (л:) — 2, Pt(x) = х
и для любого /г^1 имеет место равенство
Рп + 1 (•*) + Я„_, (х) = хРп (х).
Доказать, что существуют три вещественных числа а, Ь, с, таких, что для всех п > 1 имеет место
(х2 — 4)[р2 (д.) — 4] = [aPn+l (x)+bPn(x)+cP„_t (х)]2.
(Болгария.)
3. Доказать, что если разность между кубами двух последовательных натуральных чисел есть квадрат натурального числа, то это натуральное число представимо в виде суммы квадратов двух последовательных натуральных чисел.
(Великобритания.)
4. Зная, что система х 4- у + z = 3, х* + у* + г3 = 15,
х4 + у4 + г4 — 35
обладает вещественным решением х, у, «г, удовлетворяющим неравенству х2 4- у2 4- г2 < 10, найти значение хь + У5 + Для этого решения.
(ГДР.)
5. Исследовать вопрос существования вещественных чисел а, Ьу с, t, для которых уравнение ах2 4- btx 4- 4- с = 0 имеет два различных вещественных корня хъ х2, уравнение Ьх2 4- ctx 4- cl = 0 имеет два различных вещественных корня х2, х3 и уравнение сх2 4- atx 4- 4- b = 0 имеет два различных вещественных корня х3, xv
(Голландия.)
6. В ромб вписан круг. В каждый угол ромба вписан еще один круг так, что он касается двух сторон ромба и круга, вписанного в ромб. Эти круги имеют радиусы г1 и г2, а радиус круга, вписанного в ромб, равен г. Дано, что г, и г2 выражаются натуральными числами и что г = гхг2. Вычислить rlt г2 и г.
(Г олландия.)
7. Система п чисел хи х2,..., ^определяется соотношениями Хх = 1о%хп__хХп, Х2 = logxnXti ... ,хп =
п
■= |о§л-„_2 Xfi— j • Доказать, что J~| xk = 1.
А = 1
(Куба.)
8. Дана последовательность действительных чисел xlt х2,...,хп. Известно, что х1 = 0 и xi + г = xi 4-
4- зоqqq~ VГ1 — х], i = 1; 2;... . Может ли быть п
равно 50 000, если известно, что хп < 1?
(СССР.)
9. Доказать, что полином х4 4- Я*3 4- V*2 + v* + 1 не имеет действительных корней, если X, ц, v — действительные числа, ^удовлетворяющие неравенству
W + И + М </27
(Югославия.)
Соревнования участников олимпиады состоялись 13 и 14 июля в г. Жилине. Здесь же проходила и дальнейшая работа жюри. Участники соревнований размещались по аудиториям в порядке, принятом на X Международной математической олимпиаде, проходившей в Москве, т. е. в каждую из 8 аудиторий направлялось по одному участнику от каждой делегации.
Следует отметить, что олимпиада местным оргкомитетом в целом была организована четко, квалифицированно работали выделенные для координации оценок математики из г. Братиславы, Кошице, Праги и При- видца.
По итогам соревнования международное жюри присудило 48 премий, из них 7 первых, 12 вторых, 29 третьих.
Как правило, на международных математических олимпиадах диплом I степени и первая премия присуждались участникам, решившим не менее 5 задач из 6, вторые — участникам, набравшим число очков, соответствующее полному решению от 4 до 5 задач, третьи — участникам, набравшим число очков, соответствующее правильному решению не менее 3 задач.
По мнению большинства членов жюри, задачи XIII Международной математической олимпиады были труднее задач предыдущих олимпиад, хотя задачи 5 и 6, как выяснилось впоследствии, и были опубликованы ранее.
3*
67


Ввиду сложности предложенных задач нижние границы очков для получения дипломов II и III степеней а были снижены. Было решено диплом II степени выдавать участникам, набравшим от 23 до 34 очков, диплом III степени — участникам, набравшим от 11 до 22 очков. Диплом I степени, как обычно, вручался участникам, набравшим от 35 до 42 очков.
Диплом I степени и первую премию получили: Ружа Имре (Венгрия)—42 очка, Гондош Ференц (Венгрия) — 39 очков, Бурмайстер Вольфганг (ГДР)—38 очков, Комят Петер (Венгрия)—38 очков, Шарек Станислав (Польша)—38 очков, Франкл Петер (Венгрия)—37 очков, Гашков Сергей (СССР)—35 очков.
Диплом II степени и вторую премию получили: Логачев Дмитрий (СССР)—32 очка, Ляшко Олег (СССР) — 31 очко, Баймоци Эрвин (Венгрия) — 27 очков, Димка Александру (Румыния) — 27 очков, Ерохин Василий (СССР)—27 очков, Александров Алексей (СССР) — 26 очков, Давид Янсон (Великобритания)—25 очков, Мори Томаш (Венгрия) — 25 очков, Фюреди Золтан (Венгрия)—24 очка, Цфасман Михаил (СССР) — 24 очка, Энглиш Харальд (ГДР)—23 очка, Наги Андраш (Венгрия) — 23 очка.
Диплом III степени и третью премию получили: Мартин Мирка (Румыния)—21 очко, Милин Лазар (Югославия)—21 очко, Мёбиус Арнулф (ГДР) — 21 очко, Христофер Хиле (Великобритания)—20 очков, Хрис Якобс (Голландия)—20 очков, Хакл Йохан (Австрия)—19 очков, Енч Томаш (ГДР)—18 очков, Пшитицки Юзеф (Польша)— 18 очков, Чистов Александр (СССР)— 18 очков, Анжус Роджерс (Великобритания)— 17 очков, Давид Альчиж (Великобритания) — 17 очков, Отвиновски Здислав (Польша)— 17 очков, Вобст Рейнхард (ГДР)—16 очков, Тимотин Дан Гри- горе (Румыния)— 16 очков, Ралеску Стефан Сергиу (Румыния)—15 очков, Усташевски Александр (Польша)— 15 очков, Пробст Отто (Австрия)— 14 очков, Герард Р. Репардель де Лавалетте (Голландия) — 13 очков, Гологан Раду Николае (Румыния) — 13 очков, Ролечек Хайнрих (Австрия) — 13 очков, Андермо Пер-Горан (Швеция)— 12 очков, Готлиб Йоган Эрик Христиан (Швеция) — 12 очков, Завалевски Александар (Югославия)— 12 очков, Колин Воут (Великобритания)— 12 очков, Саллинен Евгений (СССР)— 12 очков, Брихта Ян (Австрия)—11 очков, Енгл Хайнц (Австрия)— 11 очков, Спенс Герхард (ГДР)—11 очков, Тра- зик Павел (Польша)—11 очков.
Особо следует отметить успех венгерского школьника Ружа Имре, набравшего максимально возможное число очков. Он уже третий раз является участником этого международного форума. Старейшим ветераном олимпиады является уже известный читателям журнала немедкий школьник Вольфганг Бурмайстер, в пятый раз участвующий в международных математических олимпиадах.
По традиции на международных математических олимпиадах школьников подводятся итоги только личного первенства участников. Однако всегда вызывают большой интерес неофициальные результаты командного первенства по сумме очков, набранных командами различных стран. На XIII Международной математической олимпиаде лучшие результаты показали команды Венгрии — 255 очков (из 336 возможных), СССР — 205 очков, ГДР — 142 очка.
Результаты решения задач советскими участниками олимпиады приведены в таблице 1, общие результаты — в таблицах 2 и 3.
Пока жюри проверяло работы и обсуждало итоги соревнований участники олимпиады совершили экскурсии по г. Жилине и его окрестностям. Незабываемое впечатление осталось от экскурсии в Высокие Татры.
68
Таблица 1
Фамилия, имя участника
Номера задач и число полученных очко» (в скобках — максимально возможное)
1(5)
2(7)
3(9)
4(6)
5(7)
6(3.
Александров Алексей
5
0
0
6
7
8
Гашков Сергей ....
3
7
9
1
7
8
Ерохин Василий . ...
5
0
7
4
7
4
Логачев Дмитрий . . .
5
7
0
5
7
.8
Ляшко Олег
5
0
9
3
6
8
Саллинен Евгений . . .
3
0
2
4
3
и
Цфасман Михаил . . .
3
7
0
6
7
1
Чистов Александр . . .
5
0
0
5
7
1
Таблица 2
№ задачи и максимально возможное число очков (в скобках)
Число участии указанное
:сов, получивших число очков
Число очков за решение задачи всеми участниками
9
8
7
б
5
4
■ 3
2
1
0
максимально
возможное
полученное
1(5)
19
10
21
31
26
8
575
286
2(7)
—
—
12
8
4
6
5
8
15
57
805
222
3(9)
18
0
1
0
0
0
2
4
И
79
1035
194
4(6)
—
—
—
9
18
14
11
10
16
37
690
269
5(7)
—
—
25
3
0
1
3
2
15
66
805
225
6(8)
—
12
0
1
2
4
1
3
20
72
920
157
Таблица 3
Номера участников и число набранных ими очков
со
О
*
S' '
о
Число полученных дипломов
Страны
1
2
3
4
5
6
7
8
о
«=:
о
. X
3-
О)
си
3
ю
О
I степени 1
11 степени
I III степени
Австрия
4
11
19
5
14
13
6
10
82
_
4
Болгария
3
10
3
6
8
1
4
4
39
—
■—
Великобри¬
17
6
6
20
25
7
17
12
110
—
1
4
тания
Венгрия
27
37
24
39
38
25
23
42
255
4
4
ГДР
7
38
23
8
18
21
11
16
142
1
1
4
Голландия
4
1
2
1
20
13
. 2
5
48
—
—
2
Куба
4
1
3
1
—
—
—
—
9
—
—
—
Монголия
3
9
1
2
5
3
0
3
26
—
—
—
Польша
6
9
4
17
18
38
11
15
118
1
—
4
Румыния
2
27
13
21
7
9
15
16
110
—
1
4
СССР
26
35
27
32
31
12
24
18
205
1
5
2
Франция
7
1
9
5
1
6
6
3
38
—
—
—
Чехослова¬
11
8
9
6
4
7
8
2
55
—
—
1
кия
Швеция
0
12
12
3
8
3
5
_
43
2
Югославия
3
2
9
21
10
4
10
12
71
—>
2


Закрытие XIII Международной математической олимпиады состоялось 19 июля в Братиславе в университете имени Яна Амоса Коменского. Заместитель министра школ Словацкой Социалистической Республики профессор Михал Грегош поздравил участников с завершением соревнования, пожелал всем участникам успехов в науке, служащей делу мира и прогресса. Призерам олимпиады были вручены дипломы I, II и III степеней и соответствующие премии, а остальным—дипломы участников олимпиады. Словацкие организаторы подготовили много разнообразных сувениров и призов.
Нет сомнений, что для многих юных математиков — участников олимпиады эта международная математическая встреча является лишь началом большой и интересной жизни в современной математике.
Международное жюри одобрило предложение Польской Народной Республики о проведении XIV Международной математической олимпиады в Польше.
Решения задач XIII Международной математической олимпиады
1. Докажем справедливость утверждения при п = 3. Преобразуем левую часть неравенства
(«1 — а2) (я, — а3) + (а2 — а,) (а2 — а3) +
+ (aj — а,) (а3 — а2) = а\ — аха3 — а,а2 + а2а3 + а\ —
2
— а2аг — (1^2 -f- ахаг -}- — #2^з — #1#з а\&2, ^
= a j — ахаг — ала2 + — а2аг -f а\ =
= \ [(^1 — я2)2 + (^2 — аг)2 + (а3 — ал)2].
Полученное выражение при любых аг, а2, аг неотрицательно. Таким образом, при п = 3 утверждение справедливо.
При п = 5 применим следующее рассуждение. В силу симметричности левой части относительно ai и aj (/ ф у), можно, не ограничивая общности, считать, что ах > а2 > я 3 > я4 > аь. В таком случае ах — а2 > О, аг — аъ > а2 —- а3 > 0, аг — а4 > а2 — <24 > 0, аг — а5 > > а2 — аь > 0; так что {аА — а2) (аг — а3) (я, — а4) (ах — — а5) (а2 — аг) (а2 — а3) (а2 а±) (а2 — а*) >. 0. Анало¬
гично (я4 — аг) (а4 — а2) (а4 — аг) (а4 — а5) + (аь — аг) X X (я5 “ ^2) (я5 — «з) («5 — Д4) > 0. Наконец, (аг — а,) X X (я3 — а2) (аз — а±) (аг — аь) ^ 0 как произведение двух неотрицательных и двух неположительных сомножителей. Из этого следует справедливость неравенства в целом Для /г = 5.
В несправедливости неравенства при других п > 2 убеждаемся путем построения примера.
При /1 = 4 такой пример дают числа аг = 0, а2 = аг = #4 = 1, а при п > 5 — числа = ... =
= лл_4 = 0, dfi—3 = ап—2 — &п~\ ~ — 1*
Отметим, что первая задача наиболее легкая и с ней справилось значительное число участников. Более трудным для многих оказался случай /7 = 5, так как он потребовал помимо алгебраических преобразований предварительного упорядочения чисел аи а2, «з, «4, a5l без которого решение становится крайне громоздким. Многие школьники отдельно рассмотрели случаи четного и нечетного п. Это связано с тем, что пример для четного п ^ 4 найти проще, по аналогии со случаем п — 4.
У некоторых школьников вызвала затруднение расшифровка условия задачи, требующая построения логического отрицания к утверждению, взятому в кавычки.
2. Обозначим через Р многогранник, полученный из Рх гомотетией с центром Ах и коэффициентом 2. Легко
заметить, что все многогранники Р\,...,Р9 содержатся в Р. В самом деле, пусть, например, X е Р2. Тогда существует точка Y ^Р1 такая, что X является образом точки Y при переносе А\-+А2. Рассмотрев параллелограмм А\А2ХУ (рис. 1), убеждаемся, что точка пересечения его диагоналей Z е Р\, так как А2 ^ Pi, Y ^ Рi и Pi выпуклый. Но точка X получается из Z гомотетией с центром А\ и коэффициентом 2. Значит, IgP.
Итак, многогранник Р, объем которого V(P), очевидно, равен 8V(P\), содержит внутри себя 9 многогранников объема V(P\). Значит, по крайней мере два из них должны иметь пересечение, объем которого положителен. Тем самым утверждение доказано.
• Большинство среди решивших задачу привели именно этот способ решения, который совпадает с авторским. Были попытки решить задачу и другими способами, без использования гомотетии и рассмотрения объемов. Однако лишь один участник олимпиады — венгерский школьник Петер Франкл сумел довести такое решение до конца. Мы не будем излагать здесь это решение, так как оно длиннее приведенного. Отметим только идею этого доказательства. Предположим противное, т. е. что существует многогранник, для которого все полученные в результате переноса многогранники попарно не пересекаются по внутренним точкам. Затем доказываем, что у такого многогранника вершины каждой грани лежат не более чем на двух параллельных прямых, а все вершины многогранника лежат не более чем на двух параллельных плоскостях. Отсюда получаем, что многогранник может иметь не более восьми вершин, что приводит нас к противоречию.
3. 	Докажем утверждение задачи методом математической индукции. Пусть имеется k чисел:
a1 = 2tti — 3, а2 = 2"2 — 3, а* = 2'”* —3,
каждые два из которых взаимно просты, причем
2 = пх < п2 < ... < rify. Построим число j = 2 k+1— — 3, взаимно простое с любым из этих чисел. Положим l = ata2.-.a^. Среди I -f 1 чисел 2°, 21, найдутся по крайней мере два, дающих при делении на I одинаковый остаток. Пусть это будут числа 2Г и 2s (г > s). Тогда найдется натуральное число р такое, что /?/= 2Г — 2^ = (2r~s— 1) 2s. Поскольку I нечетно, отсюда следует, что 2r~s—1 делится на /, т. е. для некоторого q 2r~s—1 = ql. Тогда 2r~s+2—3 = = 4-2r~6 — 3 = 4 (qI -f- 1) — 3 = 4ql + 1, ’ и его можно взять в качестве числа так как оно, очевидно,
Рис. 1
X
Ai
69


не имеет общих делителей с /, а значит, и ни с одним из чисел av а2, ...,#£. Кроме того, Таким
образом, можно построить сколь угодно много чисел, удовлетворяющих требованиям задачи.
Заметим в заключение, что вместо рассмотренного произведения мы могли бы использовать произведение всех простых делителей чисел а2, . Однако
многим удалось доказать лишь взаимную простоту отдельных пар чисел рассматриваемого вида. Были случаи и неправильного понимания формулировки задачи, когда учащиеся считали, что требуется доказать существование бесконечного множества пар взаимно простых чисел указанного вида.
4. 	а) Допустим противное, т. е. предположим существование кратчайшей ломаной XYZTX (рис. 2). Развернем грани ABC и BCD так, чтобы они лежали в одной плоскости. Получим выпуклый четырехугольник ABDC (рис. 3). Тогда из того, что ломаная имеет минимальную длину, следует, что ^.XYВ = ^.ZYC, ибо иначе мы могли бы получить меньшую длину изменением положения точки Y. Аналогичные рассуждения показывают, что
^ YZC = ^.TZD,
^ZTD = ^XTA,
/ ТХА = ^ YXB.
Отсюда получаем
DAB + ^.BCD = 180° — ^ ТХА — г'ХТА +
+ 180° — ^YZC — .t'ZYC *= 180° — ^ YXB —
— ^XYB + №° — ^ZTD — ^TZD =
= <^ABC + ^iADC,
что противоречит условию пункта а).
б) 	Пусть теперь
^ DAB + BCD - ^ ABC + ^ADC. (1)
Фигурирующий в условии угол а представляет собой сумму всех плоских углов при вершине А. Обозначим соответственно через р, Ь сумму плоских углов при вершинах В, С, D.
Так как ^ BAD + ^ ВАС + ^ CAD — а, ^АСВ + + ^ ACD ^ BCD =» 7, то учитывая (1), получим
а + Т = ^ BAD + ^ ВАС + *dCAD + ^ АС В •+
+ ^ ACD + BCD * ABC + ADC + ^ ВАС + + ^:CAD + ^АСВ + ^ACD = (^:АВС 4- .^ВАС +
4- ^ АС В) 4- (^ADC + CAD 4- ^ ACD) - 360°,
т. е. а 4- 7 = 360е. Аналогично и (3 4- Ъ ЗШ*. Отсюда хотя бы один из углов а, 7 и один из углов р, 5 не превосходит 180°. Пусть таковыми будут углы а и (S. Разрежем поверхность тетраэдра A BCD вдоль ребер AC, CD и О В и развернем ее. (Если бы не превосходящими 180° были другие углы, мы делали бы разрез вдоль других ребер, добиваясь каждый раз, чтобы ломаная, вдоль которой делается разрез, имела конечные точки в вершинах этих углов.) Получим развертку AC'D' BDC, сложенную из треугольников AC'D', ABD'у ABC Vi BCD (рис. 4). Из равенства (1) получаем, что отрезки CD и C'D' параллельны и одинаково ориентированы. Тогда CDD'C' — параллелограмм, причем. из рассмотрения равнобедренного треугольника
АСС' следует, что СС' = 2АС sin Поскольку
углы а и 8 предполагаются не превосходящими 180°, то параллелограмм CDD'C' целиком содержится в фи^ гуре AC'D'BDC и каждому отрезку ZZ' (см. рис. 4), параллельному и равному СС', соответствует ломаная XYZTX минимальной длины.
Заметим, что в очень немногих работах приведены полные рассуждения, доказывающие, что в случае б) для некоторой развертки бесконечно много отрезков вида ZZ' целиком лежат внутри развертки.
5. 	Искомое множество построим по индукции. При m = 1 таким множеством является пара точек на единичном расстоянии друг от друга.
Пусть для tn = k требуемое множество построено. Обозначим его через Sh. Используя его, построим множество для m = k 4- 1. Очевидно, задача будет решена, если мы найдем такой сдвиг множества Sk на единичный вектор, что полученное в результате сдвига множество S'h не имеет общих точек с Sk и любая точка из 5 л находится на единичном расстоянии только от одной точки множества Sk, а именно той, из которой она получена в результате сдвига. Тогда искомым множеством будет объединение множеств Sk и З'ц. Покажем, что такой сдвиг можно найти. Построим единичные окружности с центрами в каждой точке множества Sb. Для каждой точки X g 5^ окружность, центром которой она является, имеет лишь конечное число точек пересечения с другими окружностями. Рассмотрим множество единичных векторов, исходящих из точки X и оканчивающихся в этих точках пересечения с другими окружностями, а также в других точках множества од, лежащих от X на единичном расстоянии. Такие множества векторов образуем для каждой точки из Sk. Очевидно, все такие векторы для всех точек из Sk образуют конечное множество. Поэтому можно найти такой единичный вектор, который не является параллельным ни одному из векторов этого конечного множества.
Рис. 2 D
Рис. 3
Рис. 4 А
70


Нетрудно проверить, что так найденный вектор осуществляет искомый сдвиг.
При решении этой задачи многие учащиеся ограничивались лишь указанием на то, что указанный выше сдвиг множества S& можно найти, не приводя необходимых доказательств. В этом случае оценка снижалась на два очка.
6. 	Рассмотрим всевозможные суммы элементов по строкам, а также суммы по столбцам. Пусть р— наименьшее значение из всех таких сумм. Если р ^ п, то утверждение задачи очевидно. Пусть теперь р < п. Поскольку перестановка строк и столбцов таблицы, очевидно, не меняет рассматриваемых здесь сумм, то мы можем считать, что сумма элементов первой строки равна р и что в этой строке вначале следуют элементы, равные нулю, а затем ненулевые элементы. Так как р <пу то в первой строке стоит по крайней мере п — р нулей. Тогда, в силу неравенства из условия задачи, сумма элементов в каждом из первых п—р столбцов не меньше, чем п — р, а сумма всех элементов в этих
столбцах не меньше, чем (п — р)2. В последних р столбцах общая сумма всех элементов не меньше р2. Следовательно, общая сумма S всех элементов таблицы удовлетворяет неравенству
п2 (п — 2 р)2
>
п*
~т
что и требовалось доказать.
Наиболее распространенной ошибкой при решении этой задачи была попытка доказать, что строки и столбцы таблицы можно переставить так, что все нули разместятся в некотором квадрате, который расположен в левом верхнем углу и у которого все элементы на главной диагонали — нули. Этот факт, вообще говоря, не верен. Однако расположение максимально возможного числа нулей на главной диагонали и рассмотрение положения других нулей дают возможность прийти к решению, отличному от изложенного.
Задачи
ЗАДАЧИ ДЛЯ IV—V КЛАССОВ
981. В соревнованиях по гимнастике 2 команды имели одинаковое число участников. В итоге общая сумма баллов, полученных всеми участниками, равна 156. Сколько было участников в соревновании, если каждый из них получил только оценки в 8 или 9 баллов?
982. Имеются 9 палочек различной длины от 1 до 9 см. Квадраты с какими сторонами и сколькими способами можно составить из этих палочек? (Не обязательно использовать все палочки; способы составления одного квадрата считаются разными, если использованы разные палочки.)
983. Новосел, решив выложить пол в квадратной кухне площадью 7,29 кв. м квадратными разноцветными плитками, купил такой набор: 2 плитки со стороной 120 см, 3 со стороной 90 см, 9 со стороной 60 см и 2 со стороной 30 см. Другой новосел для точно такой же кухни купил меньше на 1 плитку со стороной 90 см и на 1 плитку со стороной 60 см. Кто из них поступил белее разумно?
984. Среди чисел от 1 до 1000, сколько таких, которые делятся на 4, но не имеют цифры 4 в своей записи?
985. В магазине спортивных товаров туристы покупали снаряжение. Первый купил топорик и спальный мешок, заплатив 18 руб. Второй купил два спальных мешка и рюкзак, заплатив 35 руб. Третий купил топорик, спальный мешок и палатку, заплатив 68 руб. Четвертый купил рюкзак, два спальных мешка и две палатки. Сколько заплатил четвертый турист?
(МГУ, филологический факультет, вступительные экзамены 1971 г.)
ЗАДАЧИ ДЛЯ VI—VIII КЛАССОВ
986. Доказать, что число п — 1 + а -f a2 -J- а3, где а — натуральное число, является степенью числа 3 только при а = 0.
Р. П. Шейнцвит (г. Киев)
987. Можно ли выбрать 300 натуральных чисел так, чтобы никакая сумма нескольких из этих чисел не была полным квадратом? А миллион таких чисел?
(Из задач, рекомендованных для областных олимпиад 1971 г.)
988. Дан выпуклый четырехугольник с тремя равными сторонами. Найти угол между биссектрисами углов, прилежащих к четвертой стороне, если угол между диагоналями четырехугольника равен а.
Э. 	Г. Готман (г. Арзамас)
989. Даны две пары точек: А, В и А\, В\. Провести через эти точки четыре параллельные прямые а, b и а\, Ьх так, чтобы отношение ширины полосы (а, Ь) к ширине полосы (аь Ьх) было равно заданному числу.
Э. 	М. Фалькенштейн (г. Рига)
990. В прямоугольной системе координат рассматривается прямая с уравнением Ах + By + С = 0. Доказать, что расстояние от начала координат до этой прямой равно
|С|
/А‘ + В2
Г. Б. Кузнецова (г. Ярославль)
ЗАДАЧИ ДЛЯ IX—X КЛАССОВ
991. При каких п верно следующее утверждение: если п-значное число делится на 101, то и число, полученное из него круговой перестановкой цифр, делится на 101?
О. С. Дубровская (г. Кострома)
992. Доказать, что если геометрическая прогрессия, состоящая из различных натуральных чисел, имеет более двух членов, то ее сумма не является степенью числа 3.
П. Р. Плотников (Москва)
71


993. Доказать, что если число 1 ООО ООО является членом бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, то эта прогрессия содержит бесконечно много шестых степеней целых чисел.
994. «Некто оставил завещание, согласно которому первый сын должен получить в наследство 1000 руб. и 7ю часть остатка, второй должен получить 2000 руб. и Ую нового остатка, третий — 3000 руб. и Ую третьего остатка и т. д., пока не будет разделено все наследство. Оказалось, что все получили поровну. Сколько было детей и сколько получил каждый?» — эту задачу часто называют задачей Эйлера. Решить ее без предположения, что все сыновья получили поровну.
В. П. Бешкарев (г. Горький)
995. Пусть даны две арифметические прогрессии. Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы члены обеих прогрессий, расположенные в порядке возрастания, также составили арифметическую прогрессию.
996. На сторонах АВ, ВС, CD и DA четырехугольника ABCD даны соответственно точки F, М, N и Е, а внутри четырехугольника FMNE дана точка О. Отрезки ОА, ОВ, ОС и OD пересекают отрезки EF, FM, ММ и NE соответственно в точках L, К, Н и Р. Доказать, что
AF ВМ CN DE FK МН NP EL FВ ‘ МС * ND ' ЕЛ ' КМ ' HN ' ‘ LF “ L
Б. И. Кашин (Калининская обл., г. Осташков)
997. Лучи а, Ь, с лежат в одной плоскости и исходят из одной точки М. Лучи а и b образуют острый угол, внутри которого лежит луч с. Точка О плоскости, расположенная вне угла, образованного лучами а и Ь, спроектирована на эти три луча; А, В, С — ее проекции на лучи а, Ь, с соответственно. Доказать, что
ОС • АВ — О А • ВС + ОВ • АС.
А. 	Ю. Сойфер, Jl. М. Столяр (Москва)
998. Решить уравнение
3
COS2 X -f cos2ll° = + COS .г-COS 11°.
999. Последовательности действительных чисел {ап} и {Ьп} задаются следующим образом:
1 <«!<*!, ап = "д"т1". ьп ” Г (я>2).
ап—1 an~i 1
При каких ах и Ъ\ обе эти последовательности сходятся?
Математический кружок 173-й школы г. Киева (рук. Р. П. Шейнцвит)
1000. Верно ли следующее рассуждение: «Пусть G, Н — графики, F — функциональный график (см. задачу 850) и F © G = F о Н. Докажем, что G — Н. В самом деле, возьмем пару (х, у) е G и рассмотрим такой элемент г, что (г, jc) е F. Тогда (z, у) <= F °G , т. е. (г, у) е F о Н, и, следовательно, найдется элемент t такой, что (z, t) е F и (t, у) е Н. Так как график F функционален, то t — х, так что (х, у) еЯ. Таким образом G а Н, а обратное включение доказывается аналогично».
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ
Трансцендентные уравнения
1001. Внутри окружности построена криволинейная звезда, образованная дугами п одинаковых попарно касающихся окружностей с центрами на данной окружно¬
сти. Найти все значения п, при которых периметр этой звезды равен длине окружности.
Ю. В. Калиниченко (г. Запорожье) Ряды
1002. Доказать равенство
оо оо 1
У V !
^ *■> п (л + 1). . .<» + *) J *
k-Л п-\ О
Ю. В. Калиниченко (г. Запорожье)
Конечные геометрии
1003. Пусть F2 — плоскость над полем F вычетов по модулю р (см. задачи 803, 903, 928, 953, 978). Определим в F2 сложение следующим правилом:
(X, У) + (*', у') = (X + х', у + у').
Будем говорить, что треугольник ABC «равен» треугольнику А'В'С', если точки А', В' и С' получаются из А, В и С соответственно прибавлением некоторой фиксированной точки (а, Ь). Доказать, что введенное отношение «равенства» рефлексивно, симметрично и транзитивной Всегда ли равны треугольники ABC, ВАС и ВС А?
Построение циркулем и линейкой
1004. На продолжении стороны ОМ угла MON дана точка С. Построить окружность с центром С, чтобы ее точки пересечения со сторонами угла были концами отрезка, равного данному отрезку а.
Построение выполнить циркулем и линейкой, на которой отмечены две точк/i (линейка с эталоном). При проведении прямых посредством такой линейки с эталоном разрешается перемещать ее в плоскости так, чтобы отмеченные на ней две точки оказались на двух данных линиях, а край линейки прилегал к данной произвольной точке.
А. 	П. Поздняков (г. Краснодар)
Геометрические преобразования
1005. В плоскости треугольника ABC дана точка М. Прямые МА, MB и МС пересекают стороны треугольника соответственно в точках Аи В\ и С\. Через произвольную точку Р прямой АВ проведена прямая, параллельная С\А\ и пересекающая ВС в точке Рх; через точку Р\ проведена прямая, параллельная А\ВХ и пересекающая СА в точке Р2; через точку Р2 проведена прямая, параллельная ВХС\ и пересекающая АВ в точке Р3. Точка Р3 таким же образом переводится последовательно в точки Р4, Р$ и Pq. Доказать, что точки Р и Р& совпадают.
3. 	А. Скопец (г. Ярославль)
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ПОМЕЩЕННЫХ В № 2 ЗА 1971 г.
881. 	В некотором месяце три субботы пришлись на четные числа. Какой день недели был 25-го числа этого месяца?
Решение. Пусть первая «четная» суббота пришлась на число, которое мы обозначим буквой х (х — четное число). Следующая «четная» суббота будет только через две недели, т. е. (х + 14)-го числа, а третья «четная» суббота— (х + 28)-го числа. Но в месяце не больше 31 дня, поэтому х может быть равен только 2. Отсюда следует, что 30-го числа была суббота, а 25-го — понедельник.
72


882. Автопоезд длиной 20 м проезжает мимо километрового столба за 10 сек. Сколько времени ему понадобится, чтобы проехать мост длиной 40 м?
Решение. То, что автопоезд длиной 20 м проезжает мимо километрового столба за 10 сек., означает, что этот автопоезд проезжает 20 ж за 10 сек. Для того чтобы начало автопоезда прошло путь от одного конца моста до другого, потребуется 20 сек. и еще 10 сек., чтобы автопоезд выехал с моста. Всего для проезда через мост автопоезду потребуется 30 сек.
883. Есть ли в вашей школе ученики, которым в этом году исполнится столько лет, какова сумма цифр их года рождения?
Р е щен и е. Учащиеся, которые учились в школе в 1971 г., родились, очевидно, позднее 1950 г. У тех учащихся, которые родились не раньше I960 г., сумма цифр года рождения больше 15, а им в 1971 г. исполнилось не больше 11 лет. Поэтому среди них нет таких, которые удовлетворяют условию задачи.
Последнюю цифру года рождения тех учеников, которые родились в 1950—1959 гг., обозначим через х; тогда им в 1971 г. исполнилось 1971 — (1950 4- х) — 21 —х лет и сумма цифр их года рождения равна 1 4- 9 4- 5 4- х — — 15 4 х. По условию задачи 21 — х — 15 4 х, откуда х-=3. Следовательно, ученикам, родившимся в 1953 г., исполнилось в 1971 г. столько лет (18 лет), какова сумма цифр их года рождения.
884. Верно ли равенство
1127...173 • 1017...565 = 1126...745?
(Многоточие стоит вместо пропущенных цифр.)
Решение. Если произвести умножение двух данных сомножителей «столбиком», то последние две строчки «столбика» будут иметь вид
1127...173 1127...173
После сложения этих строчек третья цифра суммы будет 3, а если учесть и все предыдущие строчки (не выписанные нами), то она может стать только больше.
Итак, третья цифра произведения не меньше 3, и, следовательно, данное равенство неверно.
885. Напишем предложение «Четыре усталых молчаливых путника долго пережидали внезапно разразившуюся грозу» и будем вычеркивать из него слова, но так, чтобы всякий раз получалось правильное предложение (например, нельзя вычеркнуть слово «четыре», но можно вычеркнуть «усталых»). Вычеркивать слова можно в разном порядке одно за другим. Спрашивается, сколькими способами мы можем прийти к предложению, из которого уже нельзя вычеркнуть ни одного слова?
Решение. Конечное предложение, из которого уже нельзя вычеркнуть ни одного слова, — это «четыре путника пережидали грозу», и, следовательно, из исходного предложения надо вычеркнуть 5 слов. Легко видеть при этом, что вычеркивать эти слова можно в любом порядке, за исключением одного ограничения: слово «разразившуюся» нельзя вычеркнуть раньше слова «внезапно».
Таким образом, задача сводится к следующей: сколькими способами можно поставить в ряд 5 различных предметов так, чтобы первый предмет был всегда раньше второго? Эта задача решается просто: число способов расстановки пяти предметов в ряд равно 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120, и из них ровно половина, т. е. 60, удовлетворяют требуемому условию.
Итак, к конечному предложению можно прийти 60 способами.
886. Рассмотрим произведения:
1-2-3-...-10, 2 • 3 • 4 •• 11, ..., 90-91 -92 •... *99,
91 - 92 - 93 -... -100.
Какое из этих произведений содержит множитель 6 в наибольшей степени?
Решение. Среди десяти последовательных чисел либо 3, либо 4 числа делятся на 3, причем последний случай имеет место тогда и только тогда, когда первый сомножитель делится на 3.
Рассмотрим произведение вида 3k (3k + 1) (3k 4- 4- 2) ... (3k + 9). Все множители 3 из этого произведения содержатся в произведении 3k(3k 4- 3) (3k 4- 6) (36 4- 4 9) — 3Ak(k + \)(k + 2)(k + 3), k=l, 2, ..., 30, и надо, следовательно, подобрать такое число k, чтобы произведение k(k 4- 1) (k + 2) (k 4- 3) имело наибольшее число множителей 3. Нетрудно видеть, что таких значений k два — 24 и 27, и при этих значениях k произве- ние k(k 4- 1) (k 4- 2) (k + 3) делится на З4, а соответствующее произведение десяти чисел делится на З8.
Если же произведение десяти чисел начинается с числа, не делящегося на 3, то, рассуждая таким же образом, получаем, что число множителей 3 в нем не больше 6.
Для окончания решения достаточно убедиться, что произведения
72 • 73 • 74 •... • 81 и 81 • 82 • 83 •... • 90,
соответствующие значениям k = 24 и k = 27, делятся на 28, и таким образом, эти произведения содержат 8 множителей 6.
Заметим, что в большинстве присланных решений правильный ответ недостаточно обоснован.
887. В какие годы текущего десятилетия не будет людей, возраст которых в этот год равен сумме цифр их года рождения?
Решение. Легко видеть, что человек, которому в году 197с исполняется столько лет, какова сумма цифр года его рождения, не мог родиться в прошлом веке. Поэтому наша задача может быть сформулирована следующим образом: при каких целых с от 0 до 9 уравнение
19Ту 4- Ю + х 4 у = 197с
не имеет целых решений х и у, лежащих в промежутке от 0 до 9? Это уравнение сразу же приводится к виду
1 \х 4- 2у — 60 = с. (1)
Поставленную задачу мы будем решать перебором. Ясно, что если х = 0, 1, 2, 3, то ни при каком с от 0 до 9 нельзя найти у от 0 до 9, для которого уравнение (1) выполняется. При х = 4 уравнение принимает вид с = 2у — 16 и имеет решение при с = 0 и при с = 2 (соответствующие значения у — это 8 и 9). Точно так же получаем, что при х — 5 уравнение (1) имеет решение при с— 1, 3, 5, 7, 9, при * = 6 — при с = 6 и при с = 8. Если же х = 7, 8, 9, то уравнение (1) не имеет решений ни при каких с от 0 до 9. В результате получаем, что уравнение (1) не имеет решений только при с = 4, так что единственным годом, удовлетворяющим условию задачи, является 1974.
888. Медиана CD треугольника ABC, в котором АС > ВС, касается окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, соответственно в точках Е и F. Доказать, что 2EF — АС — ВС.
Решение. Имеем 2EF — 2DF — 2DE = (BD 4- CD — — ВС) — (AD + CD —АС).
Так как AD — BD, то 2EF — AC— ВС.
889. Дан параллелограмм ABCD. В треугольники ABC, ACD, ABD, BCD вписаны окружности. Доказать, что точки касания этих окружностей и диагоналей параллелограмма являются вершинами прямоугольника.
Решение. Пусть АВ ^ ВС; К, L, М, N — точки касания диагоналей с окружностями, вписанными в треугольники ABC, ACD, ABD, BCD соответственно; О — точка пересечения диагоналей параллелограмма.


Имеем
1 AC
OK = AK — AO = — (AB -f ЛС —BC) —=
= — BC).
Аналогично
OL=OM = ON = OK = -5- (ЛВ — BC).
Следовательно, четырехугольник KMLN является пря* моугольником.
890. 	В плоскости параллелограмма ABCD найти все прямые I, обладающие следующим свойством: сумма расстояний от вершин А и С до прямой I равна сумме расстояний от вершин В и D до этой прямой.
Решение. Пусть расстояния от вершин параллелограмма ABCD и точки М пересечения его диагоналей до прямой I равны соответственно а, Ь, с, d и т. Рассмотрим три случая расположения прямой относительно параллелограмма.
1) Прямая I не пересекает сторон параллелограмма или проходит только через одну из его вершин. В этом случае (рис. 1)
a + c = b+ d — 2m.
Это следует из свойства средней линии трапеции (треугольника).
2) Прямая I пересекает смежные стороны АВ и AD и не проходит через вершину А. В этом случае (рис. 2)
с — а = b + d = 2m.
Следовательно, равенство а 4* с = b + d не выполняется ни для одной такой прямой.
3) Прямая I пересекает противоположные стороны АВ и DC параллелограмма. Докажем, что в этом случае
a + d = b + c9 (1)
С
где АА\ = а, ВВ{ = b, СС\ = с, DD\ — d (рис. 3). Через точки В и D проведем прямые BE и DF, параллельные прямой /. Легко видеть, что СЕ = AF, откуда следует равенство (1). По условию задачи
а + с = b + d. (2)
Равенства (1) и (2) одновременно выполняются только в том случае, когда а = b и с = d.
Итак, множество пряхмых, удовлетворяющих условию задачи, состоит из всех прямых, параллельных сторонам параллелограмма, всех прямых, не пересекающих сторон параллелограмма, и прямых, проходящих только через одну из его вершин.
891. Пусть числа,m и п взаимно просты. Найти наибольший общий делитель чисел
а = 2mn — т2, b = п2 — т2, с — т2 + п2 — тп.
Решение. Приведем решение, присланное участниками математического кружка 178-й школы г. Киева (рук. И. А. Кушнир).
Наибольший общий делитель d чисел, а, Ьу с совпадает, очевидно, с наибольшим общим делителем чисел а, Ьу су a + b + 2c — 3n2, а — 2Ь + 2с = Зт2. Так как тип взаимно просты, то отсюда сразу же следует, что d может быть равен либо 3, либо 1. Первая возможность имеет место, например, при т = 4, п = 5, а вторая — при т = 2, п = 3.
Это решение полностью отвечает на вопрос, поставленный в задаче, однако его недостатком является то, что в нем не получены явно условия для тип, при которых осуществлялась бы первая или вторая возможность. Дополним это решение, выяснив, при каких же условиях числа а, Ьу с все делятся на 3.
Представим данные числа в виде
а = 2т(т + п) — 3т2, b — (п — т) (п + т), с = (т + п)2 — Зтп.
Отсюда видно, что если т + п делится на 3, то а, 6, с делятся на 3. Если же т + п не делится на 3, то с не делится на 3.
Итак, если т + п делится на 3, то наибольший общий делитель чисел а, Ьу с равен 3, если т + п не делится на 3, то числа а, b, с взаимно просты.
892. Во множестве всех лет рассмотрим подмножества А, В, С, определенные следующим образом: включим год в множество А, если есть люди, которым в этот год исполняется столько лет, какова сумма цифр их года рождения; включим его в множество В, если таких людей нет, и в множество С, если такие люди есть и не все они ровесники. Какие из оставшихся лет XX в. входят в эти подмножества?
Решение. Год 19ab входит в множество Л, В или С в зависимости от того, сколько решений имеет уравнение
19л# + 10 + х + у = 19 ab (1)
74


с неизвестными х, у и с параметрами а, 6, где 10а ■+• -4-6^71. Это уравнение можно рассмотреть так же, как при решении задачи 887. Однако проще воспользоваться уже полученными в этой задаче результатами и следующим соображением: если некоторый год (19ab) принадлежит множеству А, то год, наступающий через 11 лет _ после него, также принадлежит А (если, конечно, он не «выходит» в XXI век, т. е. если исходный год 19аЬ соответствует х^ Н)—достаточно взять х на 1 больше, чем для года 19ab\ таким же свойством обладает множество В.
Из этих соображений получаем сразу, что достаточно рассмотреть какую-нибудь группу из 11 идущих подряд лет. Но в решении задачи 887 уже рассмотрены годы с 1970 по 1979. Нам остается еще рассмотреть год 1980; он принадлежит множеству А — в этот год родившимся в 1962 г. исполнится 18 лет. Таким образом, множество В состоит только из годов 1974, 1985, 1996 и года 2000, не учтенного в предыдущих рассуждениях; множество А — дополнение к этому множеству — из всех оставшихся лет.
Для нахождения множества С перепишем уравнение (1) в виде
Их + 2у = 10а + b — 10
(2)
(5 / 2 - с2 — 2d2
7)2« _ c_d/2, ~ 1.
Отсюда следует, что
(5У2 — 7)2* = /2d2 + 1 — /2d2 = yrA+~1 - V~A,
где А — целое положительное число.
894. 	Доказать, что если аг — b3 < 1 < а — b, то
0 < а < 1, — 1 < 6 < 0.
Решение. Из условия следует, что a3 <b3 + 1, a>b+ 1,
откуда
Ь3 Н- 1 > (b + I)3, Ъ(Ь + 1) < 0, т. е. — 1 < b < 0.
Аналогично из условия следует, что
откуда
Ьг > а3 — 1, b < а — 1,
-1 <(а — I)3, а (а— 1) < 0,
т. е. 0 < а < 1.
895. 	Доказать неравенство
и заметим, что при различных парах значений х, у выражение 11* + 2у принимает различные значения: в самом деле, если 1 \х + 2у = 1 \хх 4- 2у\% то 2(у — У\) = = 11 (xj — л:), а тогда у — ух делится на И, чего не может быть, так как у и у\ лежат в пределах первого десятка. Это означает, что множеству С не принадлежит ни один год, т. е. множество С пусто.
893. 	Доказать, что любую целую положительную степень числа Ъ^2'—7 можно представить в виде V А -f- 1 — У А, где А — целое число.
Решение. Докажем, что для любого целого положительного п можно найти целые положительные а и Ь, удовлетворяющие следующим условиям:
| (5 /2 — 7)2"-1 = а/2 — ЬУ \ 2а2 — b2 = I.
Доказательство проведем индукцией по п. Для /2 = 1 утверждение очевидно. Пусть утверждение справедливо для /2 = k, тогда
(5 /2 — 7)2*+1 = (5 -/2 — 7)2fc—1 (5 -/2 — 7)2 = = (а У2— Ь) (99 — 70 /2) = (99а + 706) /2 - — (140а -j- 99 Ь);
при этом
2 (99а + 70 bf — (140а + 996)2 = 2а2 — b2 = 1. Утверждение доказано. Отсюда следует, что (5 /2—7)2"-1 = /2^-/2а2—1 = /Х+Т— YА,
где А — целое положительное число.
Аналогично доказывается, что для любого целого положительного п можно найти целые положительные cud, удовлетворяющие следующим условиям :
i=1
i = l
i = 1
где а/> 0, 0, /я >2.
Решение. Ограничения на числа а/, bi и m в первоначальной формулировке задачи не были указаны (не по вине автора). Однако во всех присланных решениях эти ограничения, кроме последнего, подразумевались. Это связано, естественно, с тем, что доказываемое неравенство имеет вполне «классическую» формулировку и, как все подобные неравенства, справедливо при неотрицательных числах а/ и Ь[.
Что касается ограничения m >2, то оно также существенно, хотя большинством читателей это не отмечено; в самом деле, при m = 1 неравенство не выполняется, например при п = 2, a1=^b1== 1, а2 = Ь2 = 2.
Для доказательства неравенства при введенных ограничениях воспользуемся неравенством между средними; так как /я >. 2, то
>
af+ ... + а2п
и аналогичное неравенство справедливо для чисел hi. Поэтому левая часть данного неравенства не меньше,
чем
/ п п
■rV 2 4 2
/.=1 i-\
С другой сторон ы, по неравенству Коши-Буняковского
V
п
2 а\ 2 bi > 2 aibi-
/=1 i=l i—1
Отсюда и следует справедливость данного неравенства.
896. 	Найти необходимое и достаточное условие равносильности уравнений
з з з
VА-*) + Vg (•*) = Vh (*) a f(x)-\-g (х) = h (х).
75


Решение. Возводя обе части первого уравнения вг куб, нетрудно убедиться, что данные уравнения равносильны тогда и только тогда, когда все корни первого уравнения и все корни второго уравнения удовлетворяют уравнению
/ (х) g (х) h (х) = 0.
Этот критерий, однако, не является удачным. В некоторых решениях утверждается, что критерием равносильности данных уравнений является лишь «вторая половина» приведенного выше критерия, а именно то, что все корни второго уравнения удовлетворяют уравнению / (х) g (х) h (х) = 0. В то же время ни в одном из этих решений не приведено убедительного доказательства.
897. 	Из вершины С треугольника ABC проведены высота, медиана и биссектриса. Найти угол С, если биссектриса образует с высотой и медианой соответственно углы а и р.
Решение. Заметим, прежде всего, что если один из. углов а, р равен 0, то угол С может принимать любые значения между 0 и тс, поэтому далее будем считать, что углы а, р отличаются от 0.
Пусть в треугольнике ЛВС (рис. 4) АС > ВС, CD — высота, СЕ — биссектриса, CF — медиана; тогда AD — BD = 2FD, т. е.
С \ _ / С
CDtg\ — +a\ — CDtg
2
= 2CD tg (о + |
sin 2a
cos С 4- cos 2a ~ ^ (a "Ь P)»
откуда
С = arccos
sin (a — p)
4
Поэтому
S <(/г-
3R2 /3 -2) Sm< T—in-2),
откуда
4/3 0
R2> rirJ-—S.
9(n — 2)
899. 	Биссектрисы Z„ /2, /3 и медианы mv m2, mb треугольника ABC продолжены до пересечения с описанной окружностью и образуют при этом отрезки, соответственно равные 1г> 12> 1г и тх, т2, тг (считая от вершины до точки пересечения). Доказать, что
Vh i\ +Vi2i'2 +Vh i'z <p<
< Vmlm[ +V'm2m2 +\^m3m'z ,
где P — периметр треугольника ABC.
Решение. Пусть AD = lx и ADX = lx. Треугольники ABD и ACDX подобны (рис. 5), откуда lx с
или lx l[ = be
(a, by с — стороны треугольника ABC); аналогично
l2l2 = ac и /3 /3 = ab.
Следовательно,
sin (a + p) *
898. Доказать, что если п-угольник площади S
4/3
вписан в окружность радиуса R, то 2)
Решение. Разобьем л-угольник на п — 2 треугольника диагоналями, выходящими из одной вершины. Пусть Sm — наибольшая из площадей полученных треугольников. Известно, что Sm не больше площади правильного треугольника, вписанного в ту же окружность, т. е.
3Я2 /з
b 4- с а 4- с а <-2- + — +-
Р.
Для доказательства второго неравенства положим AM = тх и АМХ = т[. Известно, что AM2 =* (262-j-
4- 2r2 — а2); кроме того,
а2
АМ-ММХ - ВМ-МС = -4- (рис. 6).
Имеем
тх т[ = AM • АМХ = AM (AM -f ММХ) =
1 а2
: AM2 + AM• ЛШ, = -4-(2b2 4- 2с2 — д2)4-/4-
b 4- с
Ь2 4- с2 2
. Но
■>
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
76


поэтому
1 f У Ь -\- с V т1т1 >—2—»
аналогично
я 4-с •,/ а-\-Ь
V т2 т2 >—2— и К m3m3 > —2—•
Отсюда и вытекает требуемое неравенство.
900. Пусть F, G, Н — графики (определения см. в задачах 825 и 850) и выполняется равенство F°G = FoH. Верно ли, что G ** Я?
Решение. Самый простой пример, опровергающий предложенное утверждение, — следующий: пусть F — пустое множество (.0), a G и Н—любые два различные графика. Тогда, очевидно, F°G = F°H=*Q)r но G=^H (см. задачу 1000).
901. Прямая I параллельна медиане CD треугольника ABC. Вершины А, В, С спроектированы на прямую I из некоторой точки М, и А0, В0, С0— их проекции. Найти геометрическое место точек М, для которых С0 — середина отрезка А0В0.
Решение. Можно считать, что прямая I проходит через вершину С треугольника и содержит медиану CD. Примем за оси координат направленные прямые АВ и DC с единичными точками Б(1; 0) и С(0; 1).
Пусть точка М имеет координаты аир. Уравнения прямых МА и MB имеют вид:
X — а у — Р X — а у — Р
— 1 —а — 0 —Р ’ 1—а 0—р*
Пересекая их осью у, получим
а у — Р а у — Р
1.4- ® = _ Р ’ 1 —а ~ ~ Р. *
Отсюда
Р Р
УвТ+Т’ У“Т=Т-.
Итак, А ( 0; во (' Со № D- Но
1/8 р \
С0 — середина А0В0, так что 1 = -тр ( -у~г- g -f Y~a)»
или
Р- 1 — а2.
Получили уравнение параболы в аффинной системе координат. Парабола проходит через вершины данного треугольника, а ось у—ее диаметр.
902. Многоугольники Ах Л2 ... Ап и Вг В2... Вп с центрами тяжести G и К лежат в параллельных плоскостях Р и Q соответственно. Через каждую вершину A-t проведена прямая, параллельная GBi и пересекающая плоскость Q в точке С/. Доказать, что центр тяжести многоугольника С, С2...Сп лежит в точке К.
Решение. По условию
= 0, IKBi^O и GAi^BiCi.
Имеем
-7чС7 = Z (KBj +%Ci) + ZqaT_ 0,
что и требовалось доказать.
903. 	Пусть F2 — плоскость над полем вычетов по модулю 7 (см. задачу 803); назовем прямой на этой плоскости всякое подмножество, состоящее из точек, коор¬
динаты х, у которых удовлетворяют уравнению вида ах 4- by 4- с — 0, где а, Ь, с е F и элементы а, b не равны одновременно нулю. Сколько всего прямых имеет- ся в плоскости F2?
Решение. Подсчитаем сначала количество прямых, у которых а Ф 0. Каждая такая прямая единственным образом может быть записана в виде х 4- ру 4- q — 0,: и следовательно, задается парой элементов р, q <= F.
Нетрудно доказать, что установленное соответствие между множеством рассматриваемых прямых и множеством пар р, q элементов из F взаимно однозначно, и следовательно, таких прямых будет 7 • 7 = 49.
С другой стороны, всякая прямая с коэффициентом а — 0 однозначно записывается в виде у = mt и поэтому таких прямых 7. Очевидно также, что ни одна из
этих прямых не входит в число прямых, рассмотренных в первой части решения. В результате получаем, что искомых прямых 56.
904. 	Доказать, что если функция вида
ах2 4- Ьх 4- с У = рх2 + qx + г ’
имеет локальный максимум А и локальный минимум В,
то А < В.
Решение. Приведем сначала данную функцию к более простому виду. Из геометрических соображений ясно, что задача не изменится, если аргумент л: заменить на новый аргумент х' по формуле х' = ах 4- р. Точно так же можно заменить у на у' по формулам у' = у 4- Y и У' = б > 0: при первой замене локальные экстремумы функции изменяются на одно и то же число у, з при второй замене умножаются на одно и то же число 6 > 0, и поэтому неравенство между ними не изменяется. Кроме того, оказывается, что задача не меняется, если мы заменим у на —у. в самом деле, функция —у имеет локальный минимум —А и локальный максимум —В, и поэтому если мы докажем, что ~В < —А, то будет доказано и требуемое неравенство А < В.
Таким образом, мы можем упрощать данную функцию, применяя сдвиги вдоль осей координат, сжатия (или растяжения) в направлении осей координат и отражения в осях координат. Деля числитель на знаменатель с остатком и сдвигая функцию на выделившуюся целую часть (константу) вдоль оси ординат, мы приведем функцию к виду
Ьх 4- с
У ~~ рх2 4- qx 4- г
(разумеется, коэффициенты после каждого преобразования, вообще говоря, новые, однако ради упрощения записи мы будем сохранять старые обозначения, не вводя никаких дополнительных штрихов, индексов и т. п.).
Вводя новый аргумент х' по формуле х' — Ьх 4- с (если b ф 0; случай 6 = 0 рассматривается аналогично), мы можем привести функцию к виду
х
У ^ рх2 4- qx 4- г
(мы сохраняем старое обозначение аргумента), а затем, деля функцию на р, т. е. применяя растяжение по направлению оси ординат (и, быть может, отражение в этой оси — при р < 0), приводим функцию к виду
X
У = х2 4- qx 4- г ‘
Производная этой функции равна
Г— X2
у = (х- -Ь qx + г)2 •
77


По условию наша функция имеет локальные экстремумы, так что производная ее имеет корни; это означает, что г > 0 и корни производной *1,2 == + V г. Заметим также, что знак производной совпадает со знаком ее числителя, и поэтому в окрестности х2 производная меняет знак с — на + , а в окрестности Х\ — с + на—. Следовательно, х2 — точка локального минимума функции у, а х\ —точка локального максимума, т. е. у2 = у(х2) = В, У\ = y(xi) =А-
С другой стороны, легко подсчитать, что 1 1
У1 = Ч-2уГ’ yi~q + 2-/7’
Для сравнения этих чисел заметим, что q + 2f/~r боль- me q — 2 v гу и следовательно, у\ < у2__ всегда, кроме случая, когда q — 2 У г < 0 <i q + 2 V г. Этот случай осуществляется, как легко убедиться, тогда и только тогда, когда трехчлен х2 + qx + г имеет отрицательный дискриминант. В то же время очевидно, что проделанные нами преобразования не изменяли знака дискриминанта знаменателя исходной функции, так что доказываемое неравенство справедливо в том и только в том случае, когда дискриминант знаменателя положителен. Интересно отметить, что это автоматически следует из условия задачи, если придавать термину «локальный» узкий смысл — локальный, но не глобальный: если дискриминант знаменателя отрицателен, то локальные экстремумы являются глобальными.
905. 	Как выяснилось при решении задачи 756 (№ 3
за 1970 г.), из двух учеников первый прав в любом случае, а второй, вообще говоря, не прав. Найти вероятность того, что второй ученик действительно не прав.
Решение. Напомним, что в задаче 756 класс, состоящий из 41 ученика, разделился на 6 групп и второй ученик утверждал, что по крайней мере в одной из этих групп не меньше 8 человек. Это утверждение, вообще говоря, неверно, но имеется всего 6 распределений учеников по 6 группам, при которых оно действительно неверно: именно, когда одна группа содержит 6 человек, а остальные — по 7 человек.
Таким образом, надо найти вероятность того, что при распределении 41 ученика по 6 группам осуществится одна из этих возможностей. Очевидно, для этого достаточно найти общее число таких распределений.
Будем считать, что группы занумерованы. Тогда каждый способ распределения состоит в том, что из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} номеров групп мы набираем 41 число — число взятых при этом единиц соответствует числу учеников в первой группе и т. д. Другими словами, число способов распределения — это в точности число сочетаний с повторениями из 6 по 41, которое равно £(54-41-1в ^46- Поэтому искомая вероятность равна
6 __ 1 Съ0 228459 *
46
Такое решение прислано участниками математического кружка девятых классов 10-й школы г, Ангарска (рук. В. А. Васильева).
СВОДКА РЕШЕНИЙ ПО № 2 ЗА 1971 г.
Акдаулетов Н. А. (КазССР, Актюбинская обл.) — 881—884, 886, 888, 891, 893—895, 898. Аляев А. В. (Пензенская обл.) — 881—883, 885, 888, 889, 891, 893, 894,897. Ахматов М. А. (Краснодарский край, г. Ейск) —881— 884, 888, 894, 898, 899. Багдасарян Н. (АзССР, пос. Гад- рут)— 881—884, 886—889, 894, 899. Багдасарян С. С. (АзССР, пос. Гадрут) — 881—884, 886—889, 891—894,
897, 899. Байрамов С. (АзССР, Джебраильский р-н) —
881—883, 886—889, 891, 894, 897—899. Богомолов А. П. (КазССР, г. Петропавловск)—881—889, 891, 892, 894,
898, 899, 904, 905. Ветров К. В. (г. Братск)—881—884, 886—889, 891, 894, 897, 899. Владимиров А. С. (Свердловская обл., г. Асбест) —881—889, 893, 894, 897—899,
902. 	Владимиров Г. А. (Марийская АССР) —881—884, 886—888, 892—895, 898. Головачев Е. А. (Белгородская обл.)—881, 883—889, 891—895, 897—902, 904. Гот-
лер М. Ш. (г. Вильнюс)—881—889, 891—895, 897—905. Давыдов У. С. (г. Гомель)—881, 883, 886—889, 891, 893, 894, 897—899, 902, 904. Джамгарян С. Р. (АзССР, пос. Гадрут)—881—884, 888. Зубилин Н. И. (Орловская обл.)—881—883, 888, 894, 895. Исеркипов Б. К. (Астраханская обл.) — 881—884, 886, 888, 889, 894, 898. Крылова О. В. (Мурманская обл.) —881—889, 891—894,
898. 	Куправа В. Л. (г. Сухуми)—881, 888, 894, 895, 898, 904. Мелкумян А. (АзССР, пос. Гадрут) —881—884, 886, 888, 889. Нагаев Н. Д. (Ленинградская обл., г. Ки- ровск) — 886—894, 897, 899—904. Народицкий В. А.
(г. Киев)-881-884, 887-889, 892, 894, 897, 899. Нер-
сесян П. Н. (АзССР, пос. Гадрут) —881—884, 886—889,
891, 892, 894, 897, 899. Никитин В. В. (Рязанская обл.) —
882—884, 886, 888—890, 893, 894, 897—899. Осинян Л. О. (АзССР, пос. Гадрут) —881—884, 888, 889. Пекач Л. В. (Хмельницкая обл., г. Староконстантинов)—881—884, 886, 888, 891, 893,894. Повелий В. И. (Ровенская обл.) — 881—884, 888, 889, 891, 893—895, 897—899. Полхов- скии Н. Н. (УзССР, г. Фергана) — 881—884, 886—890,
892, 894, 897—899. Сефибеков С. Р. (Дагестанская АССР)—881, 882, 888, 894, 898, 899. Симеонов А. А. (Болгария, г. Бов) —887—890, 892—895, 897—902, 904. Суконник Я. Н. (г. Киев)—881—883, 887—889, 891, 892, 894, 895, 897—899. Хачатурян Ш. О. (АрмССР, г. Раздан)—881, 882, 886, 888, 891, 894. Хребет Н. Ф. (г. Днепропетровск) —881—884, 886, 888, 893, 894, 897—
899. 	Шигапов Р. А. (Московская обл., г. Люберцы) — 881—888, 891, 893, 894, 897—899.
Математические кружки: Гадрутской средней школы АзССР (рук. Багдасарян С. С.)—881—884, 886—889; 2гй школы г. Петропавловска КазССР (рук. Богомолов А. П.)—881—889,891, 892; 10-й школы г. Ангарска (рук. Васильева В. А.)—881—884, 886—889, 891, 892, 894, 895, 897—900, 905; 145-й школы г. Киева (рук. Га- бович И. Г.) —886—894, 897—899; школы-интерната при Ханойском пединституте ДРВ (рук. Нгуен Конг Кви) — 881—883, 887—892, 894, 901, 902, 904; 178-й школы г. Киева (рук. Кушнир И. А.) —881—884, 886, 888—891, 892, 894, 897; 173-й школы г. Киева (рук. Шейн-
цвит Р. П.)—881—889, 891—900, 904; 53-й школы
г. Краснодара (рук. Ким Г. И.)—881—892.
78


УЧЕНЫЕ-МАТЕМАТИКИ
АКАДЕМИК ИВАН МАТВЕЕВИЧ ВИНОГРАДОВ
Создание общего метода, пригодного для решения большого класса задач, всегда являлось большим событием в математике. В XX в. таким событием бесспорно является создание и разработка метода тригонометрических сумм И. М. Виноградовым.
Периодичность появления целых чисел в ряду действительных позволяет в описании свойств целых чисел 2 ж ix
применить функцию е . Таким путем удается свести многие теоретико-числовые вопросы к оценке тригонометрических сумм. И. М. Виноградов указал эффективный способ, дающий возможность использовать свойства двойных сумм для оценки тригонометрических сумм.
Соображения, кажущиеся удивительно простыми, привели его к решению проблемы, не поддававшейся в
течение двух столетий усилиям крупнейших математиков,— проблемы Гольдбаха. Свой метод Иван Матвеевич впервые в 1934 г. с успехом применил к другой знаменитой проблеме — проблеме Варинга и сразу же существенным образом улучшил результат, полученный в 1917 г. английскими математиками Харди и Литльвудом. В дальнейшем он не раз возвращался к этой проблеме и в 1959 г. доказал, что всякое достаточно большое число можно представить в виде суммы не более чем
п(2 In п + 4 In In п + 2 In In In n + 13)
n-x степеней неотрицательных целых чисел. Этот результат остается до сих пор непревзойденным.
Метод И. М. Виноградова позволил также получить сильнейшие результаты в вопросе о распределении простых чисел и ряде других. Нет возможности перечислить все задачи, в решении которых Иван Матвеевич и другие советские и зарубежные математики применили этот метод. Но без всякого преувеличения можно сказать, что метод И. М. Виноградова — основной в аналитической теории чисел.
И. М. Виноградов расширил круг задач, рассматриваемых в теории чисел. Он впервые начал решать задачи о распределении значений различных теоретико-числовых последовательностей (квадратичных вычетов и невычетов, первообразных корней и др.) в натуральном ряду.
Теорией чисел не ограничивается сфера применения метода И. М. Виноградова. Этот метод нашел применение в теории функций, теории вероятностей и приближенных вычислениях.
И в настоящее время И. М. Виноградов совершенствует свой метод и находит новые его применения. Монографии И. М. Виноградова — настольные книги каждого специалиста по теории чисел. В минувшем году издана его новая монография — «Метод тригонометрических сумм в теории чисел», в которой дано систематическое изложение метода И. М. Виноградова.
Иван Матвеевич известен как автор учебника «Основы теории чисел». В нашей литературе нет учебника меньшего по объему и большего по содержанию. Читатель, изучая этот учебник и решая задачи, начинает с азоз и приобретает навыки научного работника. Иван Матвеевич поистине педагог высшей квалификации.
В продолжение вот уже почти сорока лет И. М. Виноградов возглавляет Математический институт имени В. А. Стеклова АН СССР, являющийся крупнейшим центром математических исследований. Создание всех условий для успешной работы сотрудников института всегда в поле внимания И. М. Виноградова.
Общеизвестна доброжелательность, с которой Иван Матвеевич встречает каждого молодого ученого и его новые результаты.
Многие академические институты, и в частности, Институт прикладной математики АН СССР, выросли из отделов Математического института. В 1967 г. Математический институт имени В. А. Стеклова награжден орденом Ленина.
Иван Матвеевич Виноградов — член многих академий и научных обществ мира. Его деятельность отмечена самыми высокими правительственными наградами.
С 14 по 18 сентября 1971 г. в Москве под председательством И. М. Виноградова состоялась Международная конференция по теории чисел. Содержание многих докладов было связано с развитием его идей.
За выдающиеся заслуги в развитии и организации советской математической науки и в связи с восьми* десятилетием со дня рождения Герой Социалистического труда академик Виноградов Иван Матвеевич награжден второй золотой медалью «Серп и Молот».
В. 	И. НЕЧАЕВ (Москва)
79


Математический календарь на 1971 /72 учебный год
Январь
1 января — 60 лет со дня рождения советского математика, академика АН УССР Бориса Владимировича Г неденко (см.: «Математика в школе», 1962, № 1).
2 января — 75 лет со дня рождения советского математика Валерия Ивановича Гливенко (см.: «Математика в школе», 1966, № 6).
5 я н в а р я — 60 лет со дня рождения советского математика Михаила Григорьевича Слободянско- г о. Он родился в м. Комсомольское Винницкой области, окончил Московский университет (1936), доктор физико-математических наук (1940), профессор (1946). С 1940 г. работает . в Московском энергетическом институте.
Основные работы Слободянского относятся к численным и приближенным. методам. В частности, им в 1939 г. впервые в нашей стране был. применен метод прямых (гиперплоскостей) для численного решения прикладных задач (см.: «История
отечественной математики», т. 4. Киев, 1970).
17 января— 125 лет со дня рождения знаменитого русского ученого, основоположника современной гид- ро- и аэромеханики Николая Егоровича Жуковского (см.: «Математика в школе», 1962, Nq 1).
19 января —60 лет со дня рождения советского математика Леонида Витальевича Канторович а. Он родился в Ленинграде, окончил Ленинградский университет (1930), доктор физико-математических наук (1935), академик АН СССР (1964). С 1932 г. Л. В. Канторович преподавал в Ленинградском университете, с 1940 г. работал в Ленинградском отделении Математического института АН СССР. С 1941 г. по 1948 г. состоял в кадрах флота в должности начальника кафедры,. с 1958 г. работал в Сибирском отделении АН СССР, теперь работает в ЦЭМИ.
Основные труды Л. В. Канторовича посвящены теории функций действительного переменного, приближенным методам анализа, функциональному анализу, вопросам использования быстродействующих электронно-вычислительных машин. В 1949 г. за цикл работ по функциональному анализу.Л. В. Канторовичу была присуждена Государственная премия. В 1965 г. за участие в научной разработке: метода линейного программирования и экономических моделей — Ленинская премия. Работы Л. В. Канторовича широко известны не только у нас, но и за рубежом (см.: «Успехи математических наук», 1962, 17, № 4; «Сибирский математический журнал», 1962, т. 3, № 1; «История отечественной математики», т. 3, Киев, 1968; т. 4. Киев, 1970). ....
26 я н в а р я ^ 275 лет со дня смерти датского геометра Георга Мора (см.: «Математика в школе», 1970, - № 1).
Февраль
2 февра л я — 450 лет со дня
рождения итальянского математика Людовико Феррари (см.: «Математика в школе», 1966, Л® 6).
5 февраля—175 лет со дня
рождения французского математика, члена Парижской АН Жана Мари Констана Д ю гаме ля (см.: «Математика в школе», 1966, № 6).
16 февраля — 80 лет со дня
рождения советского педагога-мате- матика, заслуженного учителя школы РСФСР (1947), члена-корреспонден- та АПН РСФСР (1950) Павла Афанасьевича Ларичева (см.: «Математика в школе», 1952, № 3; 1962, No 2; 1963, № 3).
19 февраля — 75 лет со дня
смерти знаменитого немецкого математика Карла Теодора Вильгельма Вейерштрасса (см.: «Математика в школе», 1962, № 1; 1966,
№3).
27 февраля — 70 лет со дня рождения советского механика и математика Леонида Николаевича С р е т е н с к о г о. Он родился в Москве, окончил Московский университет (1923), доктор физико-математи- ческих наук (1936), профессор (1934), член-корреепондё^т АН СССР (1939), В 1931—1941 гг. Сретенский работал в Центральном аэро- гидродинамическом институте, с 1951 г. работает в Морском гидрофизическом институте АН СССР.
Математические работы Сретенского относятся к отдельным вопросам теории уравнений математической Физики, интегральных уравнений, к дифференциальной геометрии (см.: «Успехи математических наук», 1963, 18, № 1; «История отечественной математики», т. 4. Киев, 1970).
28 февраля — 60 лет со дня рождения советского математика Ибрагима Ибишевича Ибрагимова. Он родился в селении Гаргаба- зар Азербайджанской. ССР, окончил Азербайджанский (Баку) педагогический институт (1935). В 1939 г. он первый в Азербайджане защищает кандидатскую диссертацию; доктор физико-математических наук (1948), член-корреспондент АН Азербайджанской ССР. С 1947 г. работает в Азербайджанском пединституте и институте математики и механики АН Азербайджанской ССР. Основные работы И. И. Ибрагимова относятся к теории аналитических функций, конструктивной теории функций действительного переменного, теории приближений и др. (см.: «Успехи математических наук», 1963, 18, № I; «Известия АН АзССР. Серия физико-математических и технических наук, 1962, № 5; История отечественной математики, т. 3. Киев, 1968; т. 4. Киев, 1970).
А. 	И. БОРОДИН (г. Донецк)


КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
С В. ПАЗЕЛЬСКИЙ
(Москва)
ИЗДАНИЕ НОВЫХ УЧЕБНИКОВ И УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
В связи с переходом школ на новую программу по математике перед издательством «Просвещение» поставлена задача — своевременно обеспечить школы новыми учебниками. Новая программа по математике предусматривает коренное изменение содержания математического образования в школе, а потому возникает необходимость обеспечения учителей математики, одновременно с изданием новых учебников, некоторыми дополнительными учебными пособиями.
Издательство совместно с Министерством просвещения СССР разработало комплекс учебных и методических пособий, обеспечивающий нормальную работу учителя по новым программам.
: В данной статье сообщается о выпуске новых учебников по математике и дополнительных учебно-методических пособий для учителей IV—X классов. Министерство просвещения СССР в целях создания высококачественных учебников сочло необходимым по всем математическим предметам издавать вначале пробные учебники для тщательной проверки их в школе.
Учебник математики для IV класса Н. Я. Виленкина, К. С. Нешкова, С. И. Шварцбурда,
А. 	Д. С е м у ш и н а, А. С. Ч е с н о к о в а и Т. Ф. Нечаевой под редакцией А. И. М а р к у ш е в и ч а, по которому в 1970/71 учебном году занимались учащиеся, прошел экспериментальную проверку во многих школах в течение 3 лет. Такую же экспериментальную проверку прошел и учебник по математике для V класса тех же авторов, и он введен в школу с 1971/72 учебного года. Начиная с VI класса для учащихся будут издаваться два учебника: учебник алгебры и учебник геометрии. В приводимой ниже таблице указаны сроки издания пробных и стабильных учебников.
Проверку пробных учебников Министерство просвещения СССР поручило Институту содержания и методов обучения АПН СССР.
К созданию новых учебников по математике Министерство просвещения СССР совместно с издательством «Просвещение» привлекло видных ученых-математи- ков: академика Колмогорова А. Н., проф. Мар-, кушевича А. И., проф. Виленкина Н. Я., проф. Скопец а 3. А. Широко представлены работники педагогических институтов, занимающиеся вопросами методики математики и элементарной математики: доценты Клопский В. М. и Ягодовский М. И. (Курский пединститут), доценты Вейц И. В. и Деми- дов И. Т. (Мурманский пединститут), доц. Семенович А. Ф. (Черкасский институт), проф. Нагибин Ф. Ф. (Пермский институт), проф. Черкасов Р. С. (Московский пединститут имени В. И. Ленина), доц. Барыбин К. С., кандидат пед. наук Мура- вин К. С. Деятельное участие принимают в создании учебников по математике для IV—V классов и по алгебре для VI—VIII классов научные сотрудники лаборатории математики Института содержания и методов обучения АПН СССР: Макар ычев Ю. Н., Мин дюк Н. Г., Нешков К. И., Се му шин А. Д., Суворова С. Б., Ч е с н о к о в А. С., Шварц- б у р д С. И. Все они ведут занятия в школе. И, наконец, в создании нового учебника по алгебре и началам анализа (IX—X кл.) участвуют авторы ныне действующего учебника по алгебре и элементарным функциям кандидат физико-математических наук Кочетков Е. С. и учительница московской школы Кочеткова Е. С.
Чтобы обеспечить нормальную работу по новым программам, издательство выпускает одновременно с новым учебником дополнительную литературу для учителей: методическое руководство к учебнику и дидактический материал.
Уже изданы такие пособия для учителей IV и V классов. Аналогичные пособия будут изданы для всех классов.
Указанные выше пособия — это тот минимум, который крайне необходим учителю для работы по новым программам сейчас, одновременно с выходом первого издания учебника. Естественно, в методическом руководстве к учебнику авторы не могли дать в полном объеме как теоретический материал, раскрывающий новые вопросы программы на более высоком научном уровне (для учителей), так и методику преподавания данного предмета. Теоретический курс для учителя может быть написан только тогда, когда будет утверждена программа, но последняя утверждается одновременно с учебником. Следовательно, такие курсы могут быть созданы несколько позже. В книге по методике математики, во-первых, должны быть изложены принципиальные во-
Класс
Предмет
Проб¬
ный
Массо¬
вый
VI
Алгебра
1970
1972
Геометрия
1970
1972
VII
Алгебра
1971
1973
Геометрия
1971
1973
VIII
Алгебра
1972
1974
Геометрия
1972
1974
IX
Алгебра
1973
1975
Геометрия
1973
1975
X
Алгебра
1974
1976
Геометрия
1974
1976


проеы, относящиеся к содержанию новой школьной программы и к методам обучения, совершенствование и развитие которых неразрывно связаны с введением новых программ, и, во-вторых, должен быть обобщен опыт работы учителей по новым программам. Следовательно, и для создания этой книги нужно некоторое время.
Издательство «Просвещение» в своем перспективном плане на 1971 —1975 гг. предусматривает издание следующих пособий для учителя: методика преподавания математики и книга для учителя. Книга для учителя будет представлять собой теоретический курс, напи- санпый по программе соответствующих классов (например, математика IV—V кл. или алгебра VI— VIII кл.), но на более высоком научном уровне с полным обоснованием всех теоретических вопросов, имеющихся в программе. В книге будут даны советы методического характера по изучению некоторых более сложных вопросов программы, а также некоторое число упражнений. Короче, в этой книге учитель должен найти ответы на вопросы, которые у него могут возникнуть при работе по новому учебнику. Как известно, учебник и задачник по новым программам издаются в одной книге. Естественно, это ограничивает автора в количестве упражнений, включаемых в учебник. Поэто¬
му издательство планирует выпуск дополнительных сборников задач для учителя по классам, например в текущем году для учителей IV—V классов издается «Сборник задач по математике» С. А. Пономаре в а, П. В. Стратилатова и Н. И. Сырнева.
Таким образом, для учителя будет издана библиотечка, состоящая из книг:
Методика, книга для учителя (теоретический курс) и сборник задач.
Издательство также предполагает издание работ, освещающих передовой опыт работы учителя по новым программам.
Несомненно, такие пособия помогут учителю, особенно начинающему, быстрее преодолеть трудности, неизбежно возникающие при работе по новым программам.
В издательство часто поступают письма, в которых авторы сетуют на то, что многие пособия не доходят до них, особенно в отдаленные районы. Книги, о которых было сказано выше, необходимы каждому учителю математики. Но тираж такого рода книг устанавливает Союзкнига на основании заявок, получаемых с мест.
Поэтому учителям необходимо своевременно сделать заявку по тематическому плану издательства «Просвещение» в местный книготорг.
Н. 	Н. ШОЛАСТЕР
(г. Коломна)
ТАКИМ ЛИ ДОЛЖЕН БЫТЬ ШКОЛЬНЫЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ!
(О книге «Элементарная геометрия» А. В. Погорелова, «Наука», 1969)
Как видно из новой программы по математике для IV—X классов средней школы и многочисленных комментариев к ней, наиболее невыясненной частью содержания будущего школьного курса математики является аксиоматическая основа геометрического материала этого курса. Можно считать, что до середины 1969 г. мы смогли только поставить проблему школьного курса геометрии и наметить некоторые желательные пути решения ее. Так можно коротко охарактеризовать положение дел с будущим школьным курсом геометрии, которое предшествовало выходу в свет в издательстве «Наука» интересного по содержанию курса элементарной геометрии (планиметрия) А. В. Погорелова.
Как следует из аннотации, автором найдена «простая, компактная и естественная аксиоматика», не обременяющая изложение; на основе ее дается «строгое изложение школьного курса геометрии», которое «не нарушает традиционного порядка в изложении школьного курса геометрии и сохраняет традиционные доказательства теорем», но «делает эти доказательства совершенно безупречными». Книга предназначается учителям средней школы и студентам педагогических институтов, но написана в виде учебника для учащихся VI—VIII классов, по которому автор рекомендует обучать их геометрии. Для учителей же, кроме того, дается предисловие и подстрочное замечание на стр. 38. В силу этого данную книгу необходимо прежде всего оценить с точки зрения возможности применения ее как основы для школьного учебника.
Каковы же основные особенности предлагаемого школьного курса геометрии? Их можно распределить примерно по следующим группам: особенности, связанные со стремлением автора к сохранению традиционного порядка; особенности, связанные с принятой системой основных геометрических понятий; недооценка возможностей восприятия предлагаемого материала учениками младших классов средней школы.
Автор нигде не указывает, что он понимает под «традиционным порядком в изложении школьного курса геометрии», и ничем не обосновывает, почему этот порядок следует сохранить, хотя считает, видимо, это необходимым.
На стр. 4 утверждается, что «настоящая геометрия» начинается после того как произнесены «три слова — аксиома, теорема, доказательство». После того как эти слова впервые произнесены на стр. 15, на всех остальных страницах даются последовательно определения, теоремы и их доказательства; все аксиомы даны в § 1 и предшествуют теоремам. Всюду видно стремление излагать материал в духе «Начал» Евклида и этим самым сохранить традиции старых учебников геометрии и существующих курсов по основаниям геометрии. Всюду автор убеждает, что высказанная теорема справедлива, но нигде не разъясняет, почему эта теорема нужна и каким образом мы приходим именно к данному доказательству.
На стр. 16—20 даны первые теоремы. По стилю и трудности изложения эти страницы полностью соответствуют первым страницам учебников по основаниям геометрии, рассчитанных на подготовленного читателя. Было бы совершенно неоправданным пытаться излагать этот материал в школе ученикам, только приступившим к систематическому курсу геометрии. Это же можно сказать о значительной части последующего материала книги.
Тот традиционный порядок, которого придерживается автор, является, по-видимому, также причиной полного отсутствия в этой книге понятий вектора и ориентированного угла, построений с помощью инструментов, отличных от циркуля и линейки, и другого материала, введение которого в школьный курс геометрии давно
82


уже признано необходимым и предусматривается новой программой. Забвение требований перестройки преподавания геометрии в средней школе можно объяснить только тем, что автор представляет будущий школьный курс геометрии в своей основной части таким, каким он был много лет назад.
Перейдем теперь к аксиоматике, положенной автором в основу предложенного им школьного курса геометрии. Среди различных аксиоматических построений курса геометрии, как известно, особое предпочтение было отдано системе аксиом Д. Гильберта. Однако, исходя из методических соображений, в последнее время была усмотрена необходимость в курсах оснований геометрии для педагогических институтов в эту систему аксиом внести некоторые изменения. Автором одного из таких распространенных и пользующихся заслуженным успехом курсов является А. В. Погорелов («Основания геометрии», «Наука», 1968). В этой книге
А. 	В. Погорелов предлагает:
а) Ввести вместо аксиом порядка Гильберта систему аксиом, основанную на отношении следования для пар точек, так как последняя «отличается от нее простотой, близостью к привычным представлениям...».
б) Вместо аксиом конгруэнтности ввести аксиомы движения. «Именно на аксиомах движения,— утверждает автор,— основано изложение в школьном курсе геометрии. Вводить аксиомы конгруэнтности, основанные на отношении для фигур, которое можно представить себе только с помощью движения, для того чтобы потом доказать существование этого самого движения, вряд ли целесообразно».
Такая точка зрения давно уже завоевала прочную позицию в методике, и ее придерживаются многие авторы пособий по геометрии для средней и высшей школы. Однако в «Элементарной геометрии» А. В. Погорелов отошел от высказанных выше им вполне обоснованных соображений. Здесь в числе основных понятий геометрии остается «лежать между» (стр. 15), а на основе представления о движении (стр. 13) вводится гильбертовская аксиома равенства треугольников (стр. 14) с тем, чтобы в последующем на базе этой аксиомы ввести понятие движения (стр. 61). Изложение из-за этого получилось весьма далеким от школы, что полностью подтвердило высказанную выше точку зрения А. В. Погорёлова, автора учебника по основа- нияхМ геометрии, о нецелесообразности именно такого построения школьного курса геометрии.
Существенным нововведением является замена понятия «конгруэнтный» понятием «мера» (длина для отрезка, градусная мера для углов) (стр. 5 и 15). Автор при этом считает, что изучающему уже хорошо известны свойства вещественных чисел и операций над ними (стр. 5) и поэтому его нововведение является законным. Для студентов, овладевших теорией действительного числа, такая предпосылка, конечно, законна, но такое предположение для школьника, только приступающего к изучению геометрии, совершенно неприемлемо. Сначала необходимо показать, как можно такого ученика познакомить с действительными числами и действиями над ними, не прибегая при этом к помощи геометрии, а уже потом делать такие предпосылки. Пока это не сделано, такая предпосылка является незаконной, а все дальнейшие построения, основанные на ней, оказываются для ученика лишенными смысла. Если же эта предпосылка относится к учителям, а не к их ученикам, то тем более нельзя считать, что данная книга может служить учебником для школьника.
Коснемся самого нововведения. Длина — основное понятие. Это обозначает, что смысл его раскрывается аксиоматически. Но длина всегда больше нуля (стр. 10). Очевидно, что «больше» и «нуль» автор уже не считает основными понятиями. Но тогда нуль — число, а поэтому и «длина» является тоже числом. Следовательно,
аксиома IIIi (стр. 10) может быть прочитана так: каждый отрезок имеет определенное число, большее нуля; это число называется длиной данного отрезка. Все отрезки оказываются уже раз навсегда измеренными так, что выполняется требование аддитивности меры отрезков (аксиома НЬ). Видимо, включение в число основных понятий геометрии понятия «длина» не является удачным. По существу, в аксиомах IIIь II12 и IV1 постулируется существование особого отображения множества отрезков на множество положительных действительных чисел. Отсутствие же указания на необходимость при этом выбора единичного отрезка постулирует существование некоторой абсолютной единицы измерения отрезков. С этим, понятно, нельзя согласиться и для вузовского курса элементарной геометрии. Однако вернемся к ученикам VI—VIII классов.
К свойствам измерения отрезков школьники приходят на основе реального процесса измерения отрезков, основанного на понятии движения, сравнения отрезков и суммы отрезков. Но, по идее автора, они должны об этом забыть с тем, чтобы затем с других позиций опять сравнивать отрезки, находить их сумму и определить само движение. Все более и более становится непонятным, почему именно так надо строить школьный курс геометрии.
Как показано выше, из аксиом, связанных с понятием длины, следует, что мы не можем по своему выбору принять произвольный отрезок в качестве единичного. Существование же такой «абсолютной единицы измерения» устанавливается позднее в аксиоме IVi, в которой утверждается существование для любого положительного числа m отрезка, равного ^?) этому числу т. Противоречие предложений автора реальным процессам измерения отрезков, проводимых школьниками еще в начальных классах, делает эти предложения неприемлемыми для школы.
Коснемся отдельных деталей § 1. Из стр. 8 следует, что прямая — фигура, т. е. составлена из точек. Как это совместить с тем, что прямая — основное понятие? Что понимать под «частями прямой», которые фигурируют в определениях отрезка и луча (стр. 9 и 11)? Считать ли это еще одним основным понятием? На стр. 8— 10 употребляются понятия «плоскость» и «разбиение плоскости на две полуплоскости». Опять неизвестно, имеем ли мы здесь новые основные понятия или же они должны каким-то образом быть определены через другие основные понятия, перечисленные в § 2. Заметим, что из определения отрезка на стр. 9 еще не следует, что каждый отрезок имеет внутренние точки, так как еще нет аксиомы IVi, на основе которой это можно доказать. Это следовало бы оговорить, так как наличие внутренних точек отрезка требуется для определения понятия «полупрямая проходит между сторонами угла».
Остановимся на последнем понятии. Не может ли случиться так, что кроме отрезка АВ (стр. 11, рис. 13) существует другой отрезок А'В' с концами на сторонах угла, но пересекающий не луч с, а дополнительный луч с'? Очевидно, что, прежде чем переходить к аксиоме Ш4, надо доказать, что так не может быть. Это же доказывается только на стр. 20. Па стр. 11 дано определение: если луч с проходит между сторонами a, b угла (а, Ь), то он равен сумме углов (а, с) и (Ь, с). На следующей же странице это определение возводится в ранг аксиомы. Можно согласиться, что здесь допущена неточность и надо понимать, что речь идет не о самих углах, а об их градусных мерах. Можно также согласиться, что допущена оговорка в аксиоме IVi (стр. 14) и надо читать: «...отрезок, длина которого равна т». Но не много ли оговорок и неточностей только в § 1? К сожалению, и в дальнейшем такого рода нестрогости встречаются довольно часто.
Проследим для примера, как в книге развивается понятие угла. На стр. 11 угол определяется как одномер¬
83


ная фигура с оговоркой: полупрямые, его образующие, не\лежат на одной прямой. Вводится основное понятие — градусная мера, которая больше нуля, но меньше 180°. Хотя градусная мера и основное понятие, но для него некоторым, неизвестным нам способом определены отношения «больше» и «меньле» и операция сложения градусных мер. Дается определение суммы углов для весьма частного случая, в котором сумма углов является фигурой. В дальнейшем это определение не расширяется и не используется. На стр. 13 дается определение равных углов как таких, которые имеют равные градусные меры. На стр. 19 без всякого определения говорится о двух углах, из которых один меньше другого, а на стр. 24 угол делится на равные части также без разъяснения, что это значит. Если дело идет не о самих углах, а о их градусных мерах, то в. последнем случае для основного понятия «градусная мера» вводится еще одна операция — деление на число. На стр. 26 читаем: «Возьмем число п.„ Отложим угол, равный п...». Угол (фигура) равен числу (?!). На стр. 26“29 говорится о сумме углов и при этом оказывается, что сумма углов может быть равна двум прямым., т. е. 180° (стр. 27). Что же такое тогда сумма углов?
Можно ли угол называть центральным по отношению к окружности, если его вершина совпадает с центром окружности? Нет, так как под центральным углом понимается уже двумерная фигура, для которой вводится градусная мера в пределах от 0 до 360° (стр. 69— 70). Далее на стр. 70—71 неоднократно говорится о равенстве обычного утла (одномерного) центральному углу (двумерному). На стр. 13 было дано определение равенства обычных углов (равенство в первом смысле). После § 9 появилось равенство углов во втором смысле (в соответствии с определением равенства произвольных фигур). Теперь,: видимо, надо понимать равенство углов в некотором ином-смысле. На стр. 71- централь¬
ный угол может быть меньше или больше полуокружности. В каком же смысле надо понимать это? В дальнейшем такое понятие центрального угла не используется, Введение его оказывается лишним.
Можно ли говорить о других мерах угла (например, градах или «тысячных») в том же смысле, в котором' применяется градусная мера? Этот важный вопрос остается невыясненным.
Автор часто нарушает установившуюся полезную традицию в школьных учебниках по геометрии — не от: рывать определение понятия от доказательства его существования и не делать ссылок на то, что будет изложено позднее. Так, определение параллельных дано на стр. 14, а доказательство существования их только на стр. 47. Определение окружности дано на стр. 67, :а применяется оно уже на стр. 38. На стр. 22 дано определение равностороннего треугольника, а существование его обосновано только на стр. 38. В § 10 применяется^ теорема, которая будет доказана только в § 13. Законность этого обусловливается тем, что в тех теоремах, - которые идут от теоремы 10.7 к теореме 13,1, не произ-- носится термин «окружность». С точки зрения школьного курса геометрии такое изложение материала явно неудачно.
Оценить данную книгу следует с разных позиций. Прежде всего автор предлагает изменить систему основных понятий и соответственно с этим систему аксиом геометрии и показывает, как на этой основе можно построить курс элементарной геометрии. Включение этого материала в виде особой главы в курс геометрии для студентов пединститутов и университетов было бы полезно, но, конечно, в несколько исправленном виде. Построение же школьного курса геометрии на предлагаемой. автором основе в таком изложении нам представляется неприемлемым.
О ПОСОБИИ ДЛЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ В X КЛАССЕ
Издательство «Радяньска школа» выпустило в свет книгу на украинском языке «Математика. Пособие для факультативных занятий в X классе» под редакцией профессора И. Е. Шиманского. Редакция получила два отзыва на эту книгу. Публикуем их.
Первые две главы (автор 3. И. Слеп кань) посвящены элементам комбинаторики и начальным сведениям из теории вероятностей. Здесь изложены такие вопросы, как соединения и их виды, соединения с повторениями, формула бинома Ньютона и ее обобщение — полиномиальная формула. Начальные сведения из теории вероятностей ограничиваются теоремами сложения (для несовместных событий) и умножения (для независимых событий), рассмотрением повторных независимых испытаний по схеме Бернулли. Заканчивается изложение краткой беседой о законе больших чисел (в форме теоремы Бернулли).
Глава «Начальные сведения об электронных вычислительных машинах (ЭВМ)» (автор Н. Я. Ляще.н- ко) охватывает такие вопросы: двоичная и восьмеричная системы счисления, основные устройства ЭВМ и выполняемые ими логические операции, понятие команды, принцип адресности, расписывание формул по коман¬
дам. Проработав эт.у главу, учащиеся получат правильное и достаточно полное представление о принципах устройства и работы ЭВМ и о принципах программирования.
Следующая глава — «Вычислительный практикум» (автор А. В. С у т к о в а я) — знакомит с приближенными вычислениями, основными принципами построения математических таблиц, линейной интерполяцией, общими правилами составления таблиц функций.
Значительно расширят математический кругозор учащихся сведения, изложенные в главе «Алгебраические уравнения произвольной степени» (автор Е. А. Ч е н а- кал): теория делимости многочленов, вычислеиие рациональных корней уравнений с целыми коэффициентами, основная теорема алгебры.
Основные этапы развития геометрии как науки, аксиоматический метод ее построения, интерпретация системы аксиом, невозможность доказательства аксиомы
‘4


параллельности, некоторые основные факты геометрии Лобачевского, элементы сферической геометрии содержит глава «Итоговый обзор курса геометрии» (авторы
О. 	П. Сергунова и 3. А. Резниченко).
Каждая из рассмотренных глав содержит упражнения для самостоятельного решения. Кроме того, пособие завершается отдельной темой «Задачи из всех разделов общего курса» (автор Г. П. Бевз), где помещено 128 задач.
Изданное пособие встретило положительную оценку со стороны учителей.
Б. Н. БЕЛЫЙ
(г. Киев)
Содержание пособия соответствует программе факультативных занятий по математике для средней школы, утвержденной Министерством просвещения УССР в 1967 г.
Теоретические сведения в пособии даны, в основном, в доступной для учащихся форме. Приводятся вопросы для самопроверки и упражнения на закрепление теоретических сведений.
Сделаем несколько замечаний по содержанию отдельных глав.
В главе II — «Начала теории вероятностей» на стр. 38
дается определение: «События совокупности п образуют полную группу событий, если в результате каждого идпы-^ тания хоть одно из этих событий обязательно наступит». «Хоть одно»—неверно. Должно быть: «одно, и. только одно». В ошибочном смысле употребляется термин «элементарное событие». Неверно формулируется, теорема Бернулли (стр. 71): «...с достоверностью можно, утверждать, что при большом числе испытаний частота сколь угодно мало отличается от вероятности». На самом деле с достоверностью этого утверждать нельзя, а. можно лишь утверждать, что вероятность этого велика.
В главе VI, посвященной, в основном, аксиоматическому построению геометрии, неточно сформулирована аксиома 1з (стр. 202): «Существуют по меньшей мере три разные точки А, В, С, не принадлежащие данной прямой а». На самом деле достаточно потребовать существования всего трех точек, не лежащих на прямой. В теореме Кантора о вложенных отрезках (стр. 218) пропущено условие, что длины отрезков стремятся к нулю (очень грубая ошибка). Неверно доказана неза- висимбсть аксиомы I; (стр. 223).
Несмотря на отдельные недостатки, пособие окажет помощь учителям в проведении факультативных занятий.
3. 	Г. ШЕФТЕЛЬ (г. Чернигов)
Л. В. КОВАНЦОВА,
Г Н. СКОБЕЛЕВ,
В. 	П. БЕРМАН
РЕСПУБЛИКАНСКИЕ ТЕЛЕВИЗИОННЫЕ ПЕРЕДАЧИ ДЛЯ ЮНЫХ МАТЕМАТИКОВ
В 1967 г. при Украинской студии учебного телевидения была создана Республиканская телевизионная, щкр-. ла юных математиков. Она позволила тысячам люби-. телей математики регулярно, два раза в месяц,, слушать получасовые лекции опытных преподавателей, ученых- математиков.
В 1969 г. телевизионная школа стала составной частью Республиканской заочной физико-математической школы (РЗФМШ).
При составлении плана телевизионных передач на год учитывается то обстоятельство, что курс обучения в РЗФМШ рассчитан на три года, что слушатели ее имеют разный уровень подготовки, разную способность к восприятию материала. Поэтому каждая лекция, каждая передача перед тем, как выйти на экран, внимательно обсуждается членами редакционно-методического совета, в состав которого входят профессора и преподаватели Киевского университета, редакторы и режиссеры студии учебного телевидения.
Большой интерес вызвали у учащихся выступления ученых, познакомивших школьников со многими вопросами современной математики, с элементами теории информации, комбинаторикой, элементами теории вероятностей, геометрическими преобразованиями, с практическим применением производной и интеграла и т. п. Несколько выступлений по телевидению было посвяще¬
но : итогам вступительных экзаменов по математике и физике в Киевском университете.
Конечно, такой способ обучения не лишен неудобств: учащиеся не имеют возможности сразу же выяснить то или иное непонятное место, получить ответ на возникший в ходе занятия вопрос. Учитывая это, школа в дополнение к телевизионным передачам рассылает каждому из своих учащихся, которых сейчас более 2500, отпечатанный на ротапринте теоретический материал, часто шире и глубже отражающий существо рассматриваемого в передаче вопроса. Таким образом, учащиеся РЗФМШ получают возможность сначала прослушать лекцию, а затем самостоятельно проработать материал, рассмотренный в лекций. Как показал опыт, ■такой способ занятий'очень эффективен. Почти все учащиеся- полностью усваивают излагаемый материал, хотя зачастую он бывает довольно сложным. '
Предлагаемые по телевидению передачи не дублируют школьных уроков. Тематика их разнообразна, они способствуют повышению общей математической культуры учащихся, накоплению прочного запаса математических знаний. . •
Телевизионные передачи по математике и физике пользуются широкой популярностью среди учащихся и учителей Украины. Слушателей этих передач можно встретить в самых отдаленных уголках республики.
В республиканских телевизионных передачах начали принимать участие и периферийные телестудии. Одно из таких занятий — «Математическое рисование»,— под-, готовленное преподавателями кафедры математики Херсонского пединститута, было проведено Херсонской студией.
Передачи, проводимые учебным телевидением, сопровождались показом видеоматериала, демонстрацией динамических моделей. Специфика телевидения дает возможность применять такие приемы, как двойная экспозиция, световая заставка, спецэффекты; использовать .мультипликационные фрагменты.
85


ЗА РУБЕЖОМ
К. X. ВЕБЕР (Берлин)
К ВОПРОСАМ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИХ СРЕДНИХ ШКОЛАХ ГДР
В Германской Демократической Республике, как в Советском Союзе и в других социалистических странах, за последние годы были введены во все классы средней школы новые учебные программы и новые учебники математики.
Работа по совершенствованию математического образования проводилась на основе постановления Политбюро ЦК Социалистической единой партии Германии и Совета Министров ГДР «Об улучшении и дальнейшем развитии обучения математике в общеобразовательных политехнических средних школах ГДР» (декабрь 1962 г.) и «Закона о единой социалистической системе образования», принятого Народной палатой ГДР в 1965 г.
Разработка новых учебных программ по математике для школ ГДР была поручена отделу математики Центрального немецкого института педагогики в Берлине, ныне Академии педагогических наук ГДР, она проводилась в тесном сотрудничестве с учеными-математика- ми, методистами, опытными учителями, работниками народного образования. Большая работа была проделана Центральной государственной кохмиссией по математике Министерства просвещения под руководством профессора X э р т и г а.
Первым шагом в улучшении математического образования в школах ГДР было усовершенствование действовавших с 1959 г. программ для IV—X классов, начавшееся непосредственно после принятия указанного выше постановления. Эти программы получили название «уточненных учебных программ», по ним школа начала работать с 1963/64 учебного года. В принятые программы и в написанные на их основе учебники были включены некоторые элементы современной математики, что
значительно облегчило следующие шаги в перестройке математического образования.
На основе международного опыта и собственных исследований были разработаны и введены с 1964/65, 1965/66 и 1966/67 учебных годов принципиально новые программы По математике для I—III классов, построенные на теоретико-множественной и логической основах.
Для обеспечения преемственности между существенно измененными программами I—III классов, отличающимися повышенным уровнем математической подготовки учащихся начальной школы, и содержанием курса математики VI класса программы IV и V классов были еще раз переработаны и введены в школу в 1967 и 1968 гг. соответственно.
Вначале предполагалось в основном сохранить программы 1963 г. в VI—X классах. Однако усовершенствование программ по другим предметам, достижения педагогики и дидактики потребовали изменения программ и по математике. Поэтому Министерство ^просвещения решило ввести новые программы с 1965 г. для VI VIII классов, с 1970 г. для IX и с 1971 г. для X классов. Одновременное введение новых программ для VI—VIII классов было необходимо для обеспечения синхронного введения новых программ для предметов естественно-математического цикла.
Новые учебные программы для VI—X классов обеспечивают более глубокую математическую подготовку всей молодежи школьного возраста.
Значительные успехи были достигнуты уже в начальной школе. Программы этой школы в 1969—1970 гг. были вновь пересмотрены и усовершенствованы.
Учащиеся ГДР после окончания X класса еще не получают права на поступление в вузы. Основной путь получения аттестата зрелости — окончание XI и XII классов так называемой развернутой средней школы. Новые учебные программы и учебники были введены в этих классах в 1969/70 и 1970/71 учебных годах.
С 1971/72 учебного года учебный план выделяет на изучениё математики следующее число часов в неделю:
Классы
I
II
ш
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
XI
XII
Число
часов
5
6
6
6
6
6
6
4
5
4
5
5
Изучаются следующие темы:
I класс
Натуральные числа от 1 до 10 (сложение и вычитание).
Натуральные числа от 0 до 20 (сложение, вычитание, умножение и деление).
Натуральные числа до 100 (сложение и вычитание без перехода через десяток).
Вопросы пропедевтической геометрии.
II к л а с с
Сложение и вычитание чисел в пределах первой сотни.
Умножение и деление (умножение на 2, 10, 5, 4, 8, 3, 6, 9, 7 и деление на 2, ..., 10).
Измерение.
Пропедевтический курс геометрии.
III класс
Натуральные числа до 1000; сложение, вычитание, умножение и деление в письменной и устной форме.
86


Натуральные числа до 10 000; сложение, вычитание, умножение и деление в письменной и устной форме.
Измерение.
Пропедевтический курс геометрии.
IV класс
Построение последовательности натуральных чисел. Действия . над натуральными числами, приближенное значение, округление чисел.
Четыре арифметических действия (включая некоторые вопросы делимости).
Основные понятия геометрии (точка и прямая, движение).
V класс
Натуральные числа (включая повторение законов действий).
Измерения, единицы измерения.
Понятие дроби.
Основные геометрические понятия.
VI класс
Делимость натуральных чисел.
Дробные числа (как классы эквивалентности в множестве всех дробей).
а
Уравнения вида ах — b и = Ъ\ пропорциональность и пропорции (как уравнения, составленные из отношений).
Планиметрия (понятие «движение» как основное понятие; конгруэнтность; треугольники, четырехугольники, многоугольники).
VII класс
Логарифмическая линейка, применение пропорций к решению задач на проценты.
Рациональные числа.
Уравнения (продолжение).
Квадраты и квадратный корень (включая понятие иррационального числа как бесконечной непериодической дроби).
Начертательная геометрия (военная перспектива; методы проектирования на одну плоскость и на две плоскости) .
Круг и окружность.
Стереометрия (призма, круговой цилиндр).
VIII класс
Переменные (систематизация сведений).
Подобие (как произведение движения и гомотетии) и группа пифагорийских теорем.
Линейные функции (функция как множество упорядоченных пар).
Стереометрия (вычисление объемов пирамиды, кругового конуса, шара).
IX к л а с с
Вещественные числа (как бесконечная десятичная дробь); переменные.
Неравенства и системы уравнений.
Степени и степенная функция.
Квадратная функция и квадратное уравнение.
Показательная и логарифмическая функции; вспомогательные средства для вычислений (обоснование действий на логарифмической линейке; значение ЭВМ).
X класс
Тригонометрические функции и их применения.
Стереометрия и начертательная геометрия (усеченная пирамида и усеченный круговой конус).
Повторение и решеиие задач.
XI класс
Метод математической индукции; последовательности. Предел.
Введение в дифференциальное исчисление.
Введение в интегральное исчисление.
Векторное исчисление и аналитическая геометрия (часть I).
XII класс
Векторное исчисление и аналитическая геометрия (часть II).
Конические сечения.
Иррациональные функции и уравнения.
Дифференциальное и интегральное исчисление (дифференцирование и интегрирование иррациональных функций, применение к задачам на экстремум и к вычислению площадей и объемов).
Подготовка к экзамену на аттестат зрелости.
В рассматриваемых программах можно выделить следующие особенности:
1. Новые учебные программы по математике, как и программы по всем учебным предметам средней школы, решают и общую задачу — формирование активного участника строительства социалистического общества.
2. Определение нового содержания математического образования как части общего образования молодежи — строителей социалистического общества проводилось на основе анализа требований школьного образования и науки математики. В центре внимания с первого дня обучения ребенка в школе находится сознательное усвоение детьми знаний, систематическое использование важнейших математических понятий (множество, переменная, уравнение, функция) и обучение детей характерным для математики способам мышления.
3. Новая программа по математике, как и по другим предметам, выделяет следующий материал обучения: определенные факты, понятия, определения, высказывания и т. д.; некоторые важные методы, приемы умственной деятельности и действий (например, общие методы доказательств, метод различения всех возможных случаев, прием сведения новой проблемы к уже решенной и т. д.); некоторые связанные с математикой философско-мировоззренческие, идейно-политические и моральные факторы и формы поведения (значение математики для практики социалистического строительства, взаимосвязь практики и процесса развития математики, специфические возможности математики для познания и изменения человеком мира; развитие некоторых черт личности, таких, как умение организовать работу, сила воли, целеустремленность, понимание роли контроля и самоконтроля и возможных последствий поспешных обобщений и необдуманных заключений по аналогии; значение математики для развития и укрепления социалистической родины).
В курсе математики можно выделить следующие линии: теоретико-множественную, уравнений и неравенств, функциональную (отображение и функция), расширения понятня числа.
Большое внимание уделяется формированию у учащихся понятий определения, доказательства, использованию математической терминологии и символики, обучению учащихся элементарным эвристическим приемам, ознакомлению их со вспомогательными средствами умственной работы.
Рассмотрим несколько подробнее последовательность формирования в курсе математики понятий уравнения и неравенства, а также обучение учащихся дедуктивным доказательствам.
87


Уравнения и неравенства
Уже в I классе вводятся отношения «меньше», «больше», «равно» и соответствующие символы: <, >, = , а затем на этой основе — уравнения и неравенства. Работа над уравнениями и неравенствами (числовыми и с переменными) позволяет в I и в последующих классах разнообразить упражнения на развитие вычислительных навыков. Очень важно, что уже с I класса под решением уравнения (неравенства) понимают в принципе то же самое, что и в старших классах — множество всех чисел, которые удовлетворяют данному уравнению или неравенству. Определение этому понятию, конечно, в начальной школе не дается.
В I—V классах уравнения и неравенства решаются на основе выученных наизусть таблиц сложения и вычитания (1+3 = 4; 7 + 5=12; 13 — 7 = 6 —до 20); использованием понятия обратной операции; методом проб; на основе определения и т. д. Эти методы используются для решения некоторых видов уравнений и неравенств вплоть до XII класса. Постепенно вводится алгоритм решения уравнений и неравенств. Этот процесс начинается в VI классе, где дается чисто синтаксически определение понятий «уравнение» и «неравенство» с помощью неявно вводимого в этом же классе понятия «терм». В VI классе учащиеся решают уравнения видов ах = Ъ а
и = Ь. Изучение полной системы правил о преобразовании линейных уравнений проводится в VII классе (после введения рациональных чисел).
Исследование линейных уравнений рассматриваетя в VIII классе. В отличие от пробного учебника VI класса под редакцией А. И. Маркушев ич а (М., «Просвещение», 1970, стр. 73) решение пропорций в VI и VII классах рассматривается как решение уравнений (с помощью соответствующих правил и при использовании соответствующей терминологии). Это должно учитываться учителями физики, химии и других предметов. В VII классе параллельно с решением линейных уравнений решаются также «по соображению» простейшие линейные неравенства и уравнения вида \х\\-a-b и \x-\~a\ — Ь. В программе обращается внимание на то, чтобы при решении уравнений рассматривались бы различные области значения переменных. Таким образом, учащиеся подводятся к пониманию того факта, что вопрос о существовании и числе корней уравнения зависит от области значения переменных.
В IX классе учащиеся изучают алгоритмы решения линейных неравенств, систем линейных уравнений с двумя переменными и квадратных уравнений. Кроме того, они решают «по соображению» простейшие показательные уравнения (3х = 27, 2х ="4", 7х = 1), уравнения
вида logs* = 2. В X классе «по соображению» реша-
3
ются и уравнения вида 2smjt=l, cos2 *=-4-, нако¬
нец, в XI и XII классах изучаются приемы решения иррациональных и тригонометрических уравнений и решаются «по соображению» простейшие дифференциальные уравнения (f'(x) = 2х, f'(x) = sin х).
Обучение учащихся умению проводить доказательство
Традиционно обучение доказательствам математических предложений в старших классах средней школы ГДР ограничивалось в большинстве случаев тем, что учитель «показывал» доказательства.
В новых программах уделяется большое внимание воспитанию у учащихся умения доказывать теоремы. Подготовка к эТому начинается уже с I класса, где дети поясняют свои выводы, обосновывают решения задач. Например, отношение «меньше чем» (и «больше чем») они обосновывают с помощью сложения: «3 < 7, потому что 3 + 4 = 7»; или «11—4 = 7, потому что 7 + 4 = 11». С I класса используются понятие переменной, предложения вида «если ... то ...».
Изучение высказываний (при этом различаются случаи: «для всех , ..», «для некоторых ...») начинается с III класса (в связи с формулировкой законов арифметических действий).
В I—V классах систематически рассматриваются упражнения на выяснение истинности или ложности тех или иных высказываний. Такая работа способствует возникновению у детей потребности в обосновании, объяснении. В VI ;классе учащиеся впервые знакомятся с «прямым» доказательством (вначале идет работа над тем, чтобы дети понимали доказательство, умели повторить; позже — с VII класса — учащимся предлагают несложные задачи на доказательство, число таких задач постепенно увеличивается). Систематически обращается внимание на то, какие предложения принимаются без доказательства. Постепенно при помощи системы упражнений школьники начинают понимать, что нельзя проводить доказательство предложения с помощью исследования только некоторых факторов, не исчерпывающих множества всех возможных случаев, и вместе с тем для опровержения теоремы достаточно привести хотя бы один опровергающий факт.
Доказательство, от противного впервые вводится в VIII классе. Этот метод прежде всего употребляется для доказательства обратных теорем. В IX и X классах ведется обучение учащихся понимать и повторять более сложные доказательства и самостоятельно проводить все большее число относительно простых доказательств.
Метод математической индукции является предметом обучения XI класса. Им, собственно, и завершается линия обучения учащихся доказательствам.


НЕКРОЛОГИ
АЛЕКСАНДР ГЕННАДИЕВИЧ КУРОШ
18 мая 1971 г. скончался один из крупнейших мате- матиков-алгебраистов нашего времени, глава Московской школы общей алгебры Александр Геннадиевич Курош.
Биография Александра Геннадиевича, как и многих других ученых-математиков, проста и скудна внешними обстоятельствами жизни.
Александр Геннадиевич родился 19(6) января 1908 г. в маленьком городке Ярцево Смоленской губернии. Его отец, Геннадий Дмитриевич, работал конторщиком на Ярцевской хлопчато-бумажной мануфактуре, а мать, Анастасия Леонтьевна, была школьным работником. В семье родителей было двое детей: старший сын Шура и его сестра-погодка Вера. Краткое безоблачное детство... Вера Геннадиевна вспоминает детские игры, в которых ее брат, как правило, легко обыгрывал своих товарищей-сверстникэв (конечно, к их большому неудовольствию).
Наступает 1914 год. С самого начала первой мировой войны шестилетний Шура изо дня в день следит, по газетам за ходом военных событий. А в 1916 г. он поступает сразу в 3-й класс школы. Затем революция, гражданская война... В 1920 г. умирает отец. Рушится основа материального благополучия семьи. 13—15-летний Шура вынужден совмещать учебу с работой (в том числе копированием чертежей).
В 1923 г. Шура Курош оканчивает Ярцевскую советскую единую трудовую школу II ступени. И оканчивает столь успешно, что его со специальной путевкой направляют в Москву для поступления в Текстильный институт. Он блестяще сдает вступительные экзамены, но (к счастью!) в приеме в институт ему отказывают по малолетству. Шура возвращается в Ярцево.
После года работы и одновременной учебы на годичных Ярцевских вечерних профессионально-технических курсах при фабрике, окончив эти курсы по специальности «паровая машина», Александр Геннадиевич осенью 1924 г. по командировке отдела народного образования
поступает на физико-техническое отделение педагогического факультета Смоленского университета. Позднее, вспоминая о своих студенческих годах, Александр Геннадиевич рассказывает: «Лекции, читавшиеся на первом курсе, носили наименования: «Математическое введение в технику» (элементы анализа и аналитической геометрии) и, аналогично,— физическое, химическое и (даже) биологическое введение в технику. Впрочем, «технический» уклон выражался только в таких названиях. Тогда существовали «предметные комиссии» с представителями студенчества. Мне хотелось попасть в физическую комиссию — ближе к технике,— но меня направили в математическую.
Работники факультета были в основном из наиболее культурных преподавателей смоленских средних школ; например, математик Арсений Андреевич Ребиков (учитель Л. А. Люстерника по средней школе), это был культурный математик, и из бесед с ним я узнал о теории множеств, теории функций. Физику читал Богдан Адольфович Г е р н, автор хорошего учебника по физике для средней школы (...). Астроном Борис Васильевич Базилевский организовал небольшую обсерваторию, на которой я с интересом провел ряд вечеров. Биолог Владимир Владимирович Стан чин ски.й прочел интересный курс введения в биологию с элементами генетики. Из преподавателей гуманитарного отделения педфака я ценил историка Вальтера Фердинандо- вича Ми ллера (...).
С 1926 г. в университете стал читать лекции Павел Сергеевич Александров, который в своё время учился в одной из смоленских средних школ. Я посещал его лекции по теории множеств, теории функций и топологии. В 1928 г. я был оставлен при университете П. С. Александровым в качестве аспиранта. В то время в Москву приехала Э. Нетер и читала в МГУ курс абстрактной алгебры, который слушал и П. С. Александров. Под свежим впечатлением от этих лекций он Читал в Смоленске курс современной алгебры. Тогда-то и сложились мои научные интересы».
Но для того чтобы эти научные интересы получили наиболее благодатную почву для своего развития, должно было произойти и действительно произошло еще одно решающее для всей последующей жизни А. Г. Куроша событие: П. С. Александров добивается прикомандирования Александра Геннадиевича с осени следующего, 1929/30 учебного года к Научно-исследовательскому институту математики и механики Московского университета для продолжения аспирантуры.
Вез' всякого преувеличения можно сказать, что вся последующая жизнь Александра Геннадиевича проходит в стенах Московского университета. Этому не противоречат ни чтение им многих курсов и отдельных лекций в разных институтах Москвы и других городов, ни многочисленные зарубежные поездки А. Г. Куроша в последние 15 лет его жизни.
А каким счастьем было работать (или учиться) на механико-математическом факультете Московскою университета в 30-е и 40-е годы, может знать только тот, кто в это время там находился или хотя бы имел возможность там иногда бывать.
Как мы уже знаем, Александр Геннадиевич был пленен алгеброй еще в 1928/29 учебном году в Смоленске. В Москве он сразу оказывается у истоков формирования новой Московской теоретико-групповой школы (впоследствии превратившейся стараниями самого Александра Геннадиевича в школу общей алгебры). С осени 1929/30 учебного года будущий знаменитый академик, полярник, создатель новой космогонической теории Отто Юльевич Шмидт читает в Московском университете повторно курс теории групп (этот курс слушает, конечно, и Александр Геннадиевич), а весной 1930 г. начинает работать организуемый О. Ю. Шмидтом семинар по
69


теории групп, в который вошли ученики О. Ю. Шмидта
А. 	А. Кулаков, А. П. Дицман, В. К- Туркин, С. А. Чу- нихин, а также и А. Г. Курош.
Александр Геннадиевич становится сразу активнейшим участником этого семинара (а впоследствии и его руководителем, и тогда этот семинар превращается в известный далеко за пределами Москвы и Советского Союза научно-исследовательский семинар по общей алгебре, являвшийся на протяжении многих лет основным в нашей стране центром общей алгебры). Мне выпало счастье тоже быть участником этого семинара, и притом начиная еще с той поры, когда его заседания проходили в кабинете О. Ю. Шмидта на его квартире на улице Грановского. Я был свидетелем страстей, разгоравшихся на этих заседаниях, был свидетелем, в частности, и того, как страстно участвовал в обсуждении возникавших там проблем А. Г. Курош.
Но О. Ю. Шмидт назначается в том же 1930 г. директором основанного по его же инициативе Всесоюзного арктического института (а с 1932 г. и начальником Главсевморпути). Эти и многие другие (как правило, государственного масштаба) обязанности, естественно, приводят к свертыванию активной работы О. Ю. Шмидта в МГУ: он уходит с поста директора Института математики и механики и почти полностью прекращает свою лекторскую деятельность. И эти обстоятельства по-своему благоприятствуют быстрому расцвету педагогической работы Александра Геннадиевича в Московском университете. Два года он работает ассистентом, а с 1932/33 учебного года (первого года, когда в университете была восстановлена после недавней ломки учебного процесса старая система чтения лекций и отдельного ведения упражнений) А. Г. Курош начинает читать курс высшей алгебры (в первые годы одновременно руководя и упражнениями в нескольких группах потока).
И с тех пор весь облик алгебраического обучения в МГУ на многие годы лепится Александром Геннадиевичем. За 22 года (с 1932/33 по 1953/54 учебный год) он читает курс высшей алгебры 17 раз! Только в последующие годы все чаще и чаще чтение этого основного курса поручается более молодым членам кафедры алгебры (заведующим которой А. Г. Курош был утвержден в 1949 г., хотя практически руководить кафедрой ему пришлось много раньше).
Но Александр Геннадиевич никогда не был только преподавателем, лектором. С того же 1930 г. начинается его бурная творческая работа в области (как тогда говорили) современной алгебры. Да, алгебра взяла у него окончательно верх над топологией (к которой относится его первая научная работа). Следуют одна за другой его работы по теории групп. В 1934 г. публикуется статья А. Г. Куроша, приносящая ему сразу мировую известность. В ней доказывается знаменитая теорема о подгруппах свободного произведения групп — теорема, вошедшая в мировую математику под именем теоремы Куроша. Здесь нет возможности говорить подробно о других алгебраических работах А. Г. Куроша. Сперва это, как правило, теоретико-групповые работы. Затем его интересы расширяются и начинают появляться его статьи по теории колец, алгебр, структур; можно даже сказать, что он постепенно отходит от творческой работы в теории групп (где работа и так уже идет полным ходом!).
Думается, что вообще самым замечательным в Александре Геннадиевиче было его удивительное чутье на нахождение заслуживающих большого внимания новых направлений в алгебре. Как быстро, в частности, он понял громадное значение теории категорий, как страстно стал ее пропагандировать, увлекая на творческие поиски в этой области за собой молодежь. Затем универсальные алгебры, мультиоператорные алгебры и группы.
Александр Геннадиевич никогда не был «кабинетным ученым». Он никогда не мог работать, отгородись от молодежи. Каждое его научное увлечение облекалось всегда в «плоть и кровь» спецкурсов (им прочитываемых) и спецсеминаров (им руководимых, единолично или с кем-нибудь из других математиков). Он был страшно щедр на раздачу перспективных тем, работа по которым могла базироваться на читаемых им курсах или на журнальных статьях по тематике руководимых им семинаров. А как он умел, вовлекая в научную работу своего нового ученика, помогать ему делать первые шаги! Когда нужно, он звал его к себе домой, усаживал за стол и показывал, как же фактически проделывать эти первые, порой такие трудные шаги. Недаром более 50 его аспирантов благополучно окончили аспирантуру, защитив кандидатские диссертации. А многие из них впоследствии стали докторами, профессорами, а некоторые и членами академий. По-видимому, вообще большинство советских алгебраистов является либо учениками Александра Геннадиевича, либо его научными «внуками» или «правнуками».
При поверхностном взгляде кажется, что со средней школой А. Г. Курош был связан слабо. Он никогда не преподавал в средней школе, не вел кружков для школьников. Но влияние его на преподавание математики в средней школе шло по многим каналам. И главным мне представляется вовсе не то, что иногда он читал лекции для школьников, не в выходе в серии «Популярные лекции по математике» его книжки «Алгебраические уравнения произвольных степеней», не то, что он дважды (в 1937 г. в Москве и в 1942 г. в Ашхабаде) руководил проведением школьных математических олимпиад при МГУ, и даже не то, что имел прямое отношение к отбору нового школьного учебника «Алгебра и элементарные функции». Воздействие А. Г. Куроша на преподавание математики в средней школе происходило прежде всего через обучение на самом высоком и современном уровне алгебре (и просто — безукоризненному логическому мышлению!) многих тысяч студентов- слушателей его лекций в Московском университете и в ряде других вузов страны, в том числе в Педагогичен ском институте имени К. Либкнехта, Саратовском университете, Московском областном и Гомельском пединститутах. Еще большее значение имел и имеет его «Курс высшей алгебры», вышедший в свет первым изданием в 1946 г. и сделавшийся вскоре основным учебником по алгебре для университетов и пединститутов. В нынешнем 1971 году эта книга вышла десятым изданием тиражом 170 тысяч экземпляров. А суммарный тираж этого учебника за 25 лет превысил полмиллиона экземпляров. Кроме того, эта книга переведена на испанский, французский, английский, болгарский и молдавский языки.
Педагогическая работа Александра Геннадиевича, начавшись в 1930 г.* не прерывалась ни на год и шла до самого конца его жизни. Уже после перенесенного тяжелого инфаркта, выйдя на работу осенью 1969 г., он сразу же приступает к чтению основного на кафедре специального курса по общей алгебре. Физическое состояние его продолжало оставаться столь тяжелым, что ему было трудно читать лекцию два часа подряд. Поэтому он переходит на чтение лекций по одному часу в два соседних дня недели... И подобно тому как он когда-то готовился в молодости к своим первым лекциям и как он готовился к каждой лекции, будучи уже знаменитым лектором и ученым с мировым именем, так и теперь он самым тщательным образом готовился к этому своему последнему курсу, который так до конца и не успел прочитать, попав вторично в больницу 1 марта 1970 г. (Честь дочитывать этот курс выпала на его молодого ученика В. А. Артамонова.)
На этот раз Александр Геннадиевич не только не ослабил требовательности к себе в смысле подготовки
90


курса, но и подготовил литературно отработанный текёт рукописи значительной части своего курса заранее. Возможно, он уже тогда не был уверен, что судьба даст ему возможность лично дочитать этот курс до конца. ...Как же он был рад, когда смог позднее, уже зимой 1970/71 учебного года, взять в руки ротапринтное издание этого своего последнего курса. «Общая алгебра (лекции 1969/70 учебного года)» — так называется эта последняя книга А. Г. Куроша. В ней автор, в отличие от своей более ранней книги «Лекции по общей алгебре», (1962), в основу основ кладет понятие универсальной алгебры. В введении автор говорит: «В нашем курсе мы хотим дать, опираясь на основы теории универсальных алгебр, обзор основных типов алгебр, как классических, т. е. изучаемых давно, так и ожидающих еще детального изучения, но уже вполне хорошо оправданных». И далее: «Теория универсальных алгебр уже оказывает и, нужно ожидать, в ближайшие десятилетия будет оказывать все возрастающее влияние на развитие всей общей алгебры. Вообще, сейчас ученые всех специальностей занимаются прогнозами на конец нашего века, появляются даже книги о науке в 2000 году. Попытаемся и мы сформулировать некоторые прогнозы развития общей алгебры в ближайшие десятилетия». К сожалению, и чтение курса, и его написание так и не были доведены до конца...
В 1971 г. ушел от нас Александр Геннадиевич. Кое- кто из учеников опередил своего учителя. Ушли и некоторые из его соратников, которые хоть и не были его учениками, но от общения с ним многое получили. Но и через десятилетия, когда уйдут из жизни люди, непосредственно общавшиеся с А. Г. Курошем, его имя не будет забыто. И основную роль в этом сыграют три алгебраические монографии Александра Геннадиевича,
и среди них (как мне думается) прежде всего главный литературный труд его жизни «Теория групп», над третьим изданием которого (совершенно уникальной структуры!) еще так недавно работал автор...
Когда-то А. Г. Курош писал об О. Ю. Шмидте: «Иные с сожалением и даже с некоторым осуждением говорили: «Как много мог бы сделать Отто Юльевич для математики, если бы он целиком отдал себя ей!», т. е., хочу я добавить, если бы он перестал быть Отто Юльевичем Шмидтом...».
Многим из нас, близко общавшимся с Александром Геннадиевичем, было безумно страшно и обидно, когда, несмотря на все наши уговоры, он осенью 1969 г. возобновил чтение лекций. Сколько мы знаем «благоразумных» людей, которые в аналогичной ситуации на протяжении многих лет снимают с себя эту физически и психически тяжелую обязанность. Теперь, после трагического конца, вместо того чтобы повторять про себя: «Как много мог бы еще сделать Александр Геннадиевич для алгебры», нужно находить утешение в одном: Александр Геннадиевич перестал бы быть Александром Геннадиевичем, если бы он принял тогда иное решение. Александр Геннадиевич не признавал «полужизни». Он не мог «наполовину» работать, он был последователен, целен и страстен во всем — в своем участии в общественной жизни университета и Московского математического общества, в своем общении с искусством, литературой, музыкой.
О. Н. ГОЛОВИН (Москва{
ИОСИФ БЕНЕДИКТОВИЧ ПОГРЕБЫССКИЙ
Советские история науки и математическое просвещение понесли тяжелую утрату — 20 мая 1971 г. в Ленинграде скончался в расцвете творческих сил и замыслов доктор физико-математических наук, член-корреспондент Международной Академии истории науки И. Б. Погребысский. Иосиф Бенедиктович был математиком высокой культуры, он активно работал в области алгебры, теории дифференциальных уравнений, прибли¬
женного анализа, теории функций и гидродинамики; в каждой из этих областей исследований он оставил после себя хорошие результаты. Буквально накануне войны он завершил работу над докторской диссертацией по гидродинамике, но не успел передать ее для защиты, поскольку на несколько лет война призвала его защищать Отечество от врага. Он был храбрым и умелым воином, недаром правительство наградило его 11 боевыми орденами и медалями. Диссертация погибла во время оккупации. Иосиф Бенедиктович не стал ее восстанавливать, увлекшись новыми научными и организационными идеями — проблемами математического образования, организацией вычислительных работ и вычислительного центра АН УССР и историей науки. Последняя страсть поглощала все время и всю энергию этого разностороннего ученого в течение последних 20 лет его жизни.
Иосиф Бенедиктович родился в г. Умани в семье врача. Он с большой благодарностью вспоминал педагогический коллектив Уманской гимназии, где ему посчастливилось получить общее образование. Преподаватели были увлечены вопросами воспитания и образования молодежи, прекрасно владели своим предметом, большое внимание уделяли языкам. Особенное влияние на формирование характера Иосифа Бенедиктовича имел его преподаватель истории М. О. Д и б р о в а. Именно он привил Иосифу Бенедиктовичу любовь и интерес к истории куямуры, философии, безукоризненному владению языками, шахматам. Несомненно, что общественные идеалы, а также нравственные качества Иосифа Бенедиктовича складывалась под воздействием вдохновляющих устремлений эпохи Великой Октябрьской революции. Только труд облагораживает человека;
91


~ило*о сделанное или не доведенное до конца дело не приносит обществу пользы; нет труда, которого можно было бы стыдиться — стыдиться можно только безделья и нечестных поступков; только тот, кто знает, умеет и " делает, имеет право называться человеком нашей эпохи; ; умеешь сам — помоги другому. Вот те простые и благородные правила, которыми всю жизнь руководствовался Иосиф Бенедиктович.
В 1924 г. И. Б. Погребысский поступил на физико- математическое отделение Киевского института народного образования (так в ту пору назывался Киевский университет), где его непосредственными учителями были Д. А. Граве, Н. Ф. К р а в ч у к, Б. Н. Д е- л о н е, Г. В. Г1 ф е й ф е р, Н. М. Крылов. За четыре года обучения в университете Иосиф Бенедиктович •приобрел авторитет и уважение как среди товарищей, так и среди профессоров факультета. В результате в 1928 г. он был рекомендован в аспирантуру и окончил ее через 3 года. Окончание аспирантуры совпало с • периодом бурного развития высшего образования в нашей стране, и И. Б. Погребысскому пришлось сразу же окунуться в гущу преподавания как в университете, так и в ряде киевских институтов.
С 1935 г. Иосиф Бенедиктович начал работать в Институте математики Академии наук Украинской ССР. К этому времени он уже имел ряд печатных' работ по алгебре, теории рядов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теории колебаний, фильтрации грунтовых вод. В 1939 г. в Киев переехал М. А. Лаврентьев. Под его влиянием Иосиф Бенедиктович занялся вопросами гидродинамики — обтеканием погруженных в жидкость тел со срывом струй.
Увлечение наукой не снижало стремления И. Б. По- гребысского знакомиться со множеством иных сторон жизни — шахматами (в 1936 г. он получил звание мастера спорта по шахматам), альпинизмом, литературой, стенографией, спортивными соревнованиями, иностранными языками. Замечу, что Иосиф Бенедиктович свободно владел английским, немецким, французским, итальянским, латинским, чешским, польским, украинским, русским и его знание их не ограничивалось чтением журнальных статей со словарем ■— он свободно читал, писал и разговаривал без акцента на каждом из этих языков. Он приступил также к изучению арабского языка, но в полной мере осуществить это ему помешала война.
Сейчас мне хотелось бы отметить одну характерную черту Иосифа Бенедиктовича — он не гнался за внешним успехом, его интересовало само дело, сам творческий процесс. Именно поэтому кандидатскую диссертацию он защитил только в 1940 г., а закончив в 1941 г. докторскую диссертацию, он не торопился ее сдать в Ученый совет. В результате рукопись погибла. Когда в 1945 г. Иосиф Бенедиктович был демобилизован, он не стал по крупицам восстанавливать сделанное. И только спустя 20 лет он стал доктором физико-математических ;наук,- защитив работу по истории науки, избрав для этого один из принципиальных й- неразработанных вопросов истории механики.
Война принесла не только разрушения и смерть, но также уничтожение библиотек и отрыв миллионов молодых людей от нормального школьного обучения. Приобщение граждан к знаниям превратилось на Украине в задачу государственной важности. По поручению Президиума Академии наук УССР И. Б. Погребысский вместе с П. Ф. Фильчаковым принялись за написание книги по математике из серии «Университет на дому».
Первая часть этой' книги была написана очень скоро и уже в 1947 г. увидела свет сразу в двух изданиях — русском и украинском. Книга была высоко оценена как педагогами, так и обучающимися. В последующие годы при непосредственном участии Иосифа Бенедиктовича как автора или редактора был издан ряд ценных учебников и учебных пособий по математике.
Однако его педагогические замыслы были гораздо шире. К сожалению, их не удалось осуществить. Я хотел бы сказать здесь о неоднократно проводившихся нами обсуждениях у меня и у него дома идей написания ряда работ: а) серии биографий замечательных математиков прошлого с хорошими портретами и изложением (доступным для педагога или для школьника — два разных варианта) разрабатывавшихся ими идей, а также с указанием на возможные выходы этих результатов для практики; б) книги или нескольких статей на тему об изменении идеалов математического образования на протяжении истории; в) книг и статей о практической мощи теоретической математики, об использовании телевидения для более наглядного и предметного изложения идей школьного и втузовского курса математики.
До моего отъезда кз Киева нам удалось написать ряд совместных работ по истории математики. Позднее мы подготовили совместные доклады по различным вопросам истории математики для Всесоюзного математического съезда, статью о Л. Магницком для «Математики в школе», большую монографию о М. В. Остроградском.
Начиная с 1950 г. история математики сделалась основным направлением научных интересов И. Б. По- гребысского, и он сделал исключительно много как для организации республиканского семинара по истории математики, по осуществлению издания трудов и исследованию творчества Г. Ф. Вороного, М. В. Остроградского, Н. М. Крылоза, так и для написания коллективного фундаментального труда «История отечественной математики».
Пожалуй, в полной мере талант И. Б. Погребысского как историка науки развернулся после его переезда в .Москву в 1962 г. и начала его работы в Институте истории естествознания и техники АН СССР. Иосиф Бенедиктович сразу же взял на себя огромную долю не только, научной, но и организационной деятельности. С работой ему удавалось справляться не только за счет его исключительной работоспособности, но и благодаря умению организовать труд, обширным знаниям истории, философии, самой науки, умению систематически и четко мыслить, а также в силу его гражданской И научной принципиальности.
В середине мая Иосиф Бенедиктович был в командировке в Ленинграде: работал в архивах и библиотеках, принимал участие в торжественном заседании АН СССР, посвященном 150-летию со дня рождения П> Л. Чебышева. 18-го мая мы собрались у М. Н. Боголюбова — известного специалиста по восточным языкам— и обсуждали наши планы работы, в том числе и совместной. Иосиф Бенедиктович был бодр и полон энергии. Каков же был ужас, когда через два дня я узнал, что его уже нет в живых. История науки потеряла одного из блестящих своих представителей, а я — близкого друга и верного товарища по работе.
Б. В. ГНЕДЕНКО (Москва)


Передовые
XXIV съезду КПСС — достойную встречу, № 2, стр. 4.
Б. В. Гнеденко, Фридрих Энгельс о философских проблемах математики, № 1, стр. 4.
За прочные и глубокие знания учащихся, № 1, стр. 2.
Имени Ломоносова, № 2, стр. 10.
B. Кириллин, М. Миллионщиков, А. Несмеянов, Выдающийся ученый и организатор науки, № 2, стр. 8.
К новым рубежам строительства коммунизма, № 2, стр. 2.
А. 	Н. Колмогоров, Современная математика и математика в современной школе, № 6, стр. 2.
Ленинским курсом — к коммунизму, № 3, стр. 2.
Научно-техническая революция и школа, № 5, стр. 2.
Об ознакомлении учащихся общеобразовательных школ с материалами XXIV съезда КПСС, № 4, стр. 2.
Научно-популярный отдел
Б. И. Аргунов, Фигуры и уравнения, № 2, стр. 11.
C. Г. Гиндикин, Длина дуги окружности, № 6, стр. 9.
Б. В. Гнеденко, О роли математики в ускорении темпов научно-технического прогресса, № 5, стр. 4.
А.  Я. Маргулис, Б. А. Радунский, Познакомимся с линейным программированием, № 4, стр. 8.
П. М. Олоничев, К двум лекциям А. Н. Колмогорова из цикла «Научные основы школьной математики», №5, стр. 11.
А. 	И. Фетисов, Ориентация в пространстве, № 6, стр. 4.
Методический отдел В помощь учителям IV—VII классов
Л. С. Булычева, Индивидуальный подход к учащимся IV класса при обучении по новой программе, № 1, стр. 18.
Н. Я. Виленкин, К. И. Нешков. С. И. Шварцбурд, А. Д. Семушин, А. С. Чесноков, Глава IV. Геометрические построения, № 1, стр. 25.
Н. Я. Виленкин, К. И. Нешков, С. И. Шварцбурд,
А. 	С. Чесноков, В. Н. Рудницкая, К преподаванию математики в V классе по новой программе, № 2, стр. 22.
А. 	Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, Ф. Ф. Нагибин, Р. С. Черкасов, Из пробного учебника геометрии для VII класса, № 3, стр. 9.
А. 	Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, Ф. Ф. Нагибин, Р. С. Черкасов, О новом издании пробного учебника геометрии для VI класса, № 4, стр. 23; № 5, стр. 25.
А. 	Н. Колмогоров, А. Ф. Семенович, Ф. Ф. Нагибин, Р. С. Черкасов, Геометрические построения, №6, стр. 13.
Г. Г. Левитас, Таблицы по математике для IV класса, № 2, стр. 35.
К. И. Нешков, А. Д. Семушин, Функции задач в обучении, № 3, стр. 4.
К. И. Нешков, А. Д. Семушин, С. И. Шварцбурд, Оформление записей в тетрадях, № 1, стр. 41.
К. И. Нешков, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд, Тематический план изучения математики в V классе по новой программе, № 3, стр. 8.
О преподавании математики в V классе по новой программе, № 5, стр. 15.
Программа по математике для IV—V классов средней школы, № 1, стр. 12.
А. 	Д. Семушин, Обучение геометрии в V классе, № 4, стр. 13.
С. 	И. Шварцбурд, Учебное пособие по математике для V класса, № 1, стр. 21.
В.  Г. Болтянский, Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений, № 3, стр. 42.
А. 	Д. Ботвинников, Уровень и особенности графической подготовки учащихся VI и VII классов, № 3, стр. 46.
Я. И. Груденов, Задачи по готовым чертежам, № 6, стр. 21.
С. Г. Губа, О первых доказательствах, № 5, стр. 39.
Н. А. Ермолаева, Г. Г. Маслова, О переходе IX—X классов на новые программы по математике, № 4, стр. 49.
Н. А. Заборонков, Об одном типе задач на логарифмы, № 6, стр. 25.
Б. Г. Зив, Из опыта проведения устных контрольных работ в старших классах, № 4, стр. 45.
Е. С. Канин, Уроки на тему «Числовой луч», № 5, стр. 44.
A. Н. Колмогоров, О системе основных понятий и обозначений для школьного курса математики, № 2, стр. 17.
З.  Н. Костина, К доказательству теорем о равенстве треугольников, № 5, стр. 41.
Д. С. Людмилов, Использование пропорциональной зависимости величин при решении задач, № 2, стр. 42.
Г. Г. Маслова, К решению одной задачи, № 2, стр. 56.
Г. Г. Маслова, Н. А. Копытов, О согласованной работе учителей физики и математики в VIII классе, № 4, стр. 36.
B. М. Монахов, Профориентационные аспекты в обучении математике, № 3, стр. 17.
Ф. Ф. Нагибин, О самостоятельных работах, № 2, стр. 38.
Т. Н. Полякова, Нужна ли «проверка» при решении текстовых задач на составление уравнений?, № 1, стр. 45.
П. М. Рыбаков, Из опыта воспитательной работы на уроках математики, № 4, стр. 42.
А. 	П. Семенов, Геометрические задачи на составление тригонометрических уравнений, № 1, стр. 44.
Е. А. Сидорчук, Опыт профессиональной ориентации в сельской школе, № 3, стр. 21.
К. П. Сикорский, О проверке решения задач на составление уравнений (обзор статей), № 4, стр. 40.
А. 	В. Соколова, Итоги контрольных работ за 1969/70 учебный год, № 2, стр. 52.
А. 	М.  Тов, О двух задачах из «Сборника задач по геометрии для 6—8 классов» Н. Н. Никитина к Г. Г. Масловой, № 4, стр. 49.
Из писем и заметок
Д. Ф. Изаак, Об ортогональной проекции угла, № 1, стр. 47.
А. 	И. Иоффе, О доказательстве свойств десятичных логарифмов, № 1, стр. 46.
Заметки с уроков
И. Г. Вишняцкая, Из дневника учителя, № 3, стр. 54.
В. Н. Руденко, Координатная плоскость, № 6, стр. 26.
Е. Н. Тюлькина, Ф. Ф. Евтушенко, К. П. Сикорский, Мы это с успехом применяли!, № 4, стр. 62.
О. С. Шрамко, С. М. Петров, К. П. Сикорский, Мы это с успехом применяли!, № 3, стр. 53.
Г. А. Ястребинецкий, Повторение основных свойств тригонометрических функций на первых уроках в X классе, № 5, стр. 48.
Т. С. Яценко, К методике формирования геометрических понятий у учащихся младших классов, №  5, стр. 46.
93
ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ СТАТЕЙ, ПОМЕЩЕННЫХ В ЖУРНАЛЕ ЗА 1971
Э. Г. Якуба, К работе по новому учебнику в IV .классе, № 1, стр. 16.


В помощь начинающему учителю
Контрольные работы на I полугодие 1971/72 учебного года для VI—X классов, № 4, стр. 51.
Контрольные работы на II полугодие 1971/72 учебного года для VI—X классов, № 6, стр. 37.
В помощь учителям вечерних (сменных) школ
Г. Д. Глейзер, С. А. Пономарев, С. М. Саакян, Контрольные работы по арифметике и началам алгебры в V классе вечерней школы, № 4, стр. 58.
Г. Д. Глейзер, С. М. Саакян, Опыт применения зачетной системы проверки знаний учащихся вечерней школы, № 2, стр. 47.
Г. Д. Глейзер, С. М. Саакян, Планирование уроков математики в VI—XI классах вечерней (сменной) школы на I полугодие 1971/72 учебного года, № 3, стр. 31.
Г. Д. Глейзер, С. М. Саакян, Планирование уроков математики в VI—XI классах вечерней (сменной) школы на II полугодие 1971/72 учебного года, № 5, стр. 50.
С. 	А. Пономарев, О преподавании арифметики и начал алгебры в V классе вечерней школы по новой программе в 1971/72 учебном году, № 3, стр. 24; План изучения арифметики и начал алгебры в V классе вечерней школы по новой программе, № 3, стр. 29.
О вступительных экзаменах в высшие и средние специальные учебные заведения в 1970 г.
Ш. А. Алимов, В. П. Моденов, Факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ, № 1, стр. 55.
Б. В. Гнеденко, Естественные факультеты МГУ, № 1, стр. 50.
С. 	М. Ермаков, В. С. Сабанеев, Ленинградский университет, № 2, стр. 57.
Л. В. Жукова, А. З. Насыров, Брянский институт транспортного машиностроения, № 2, стр. 65.
В. 	И. Крупич, Е. А. Щегольков, Математический факультет МГПИ имени В. И. Ленина, № 2, стр. 61.
Л. П. Муравьев, Средние специальные учебные заведения, № 1, стр. 59.
И. С. Петраков, Итоги приемных экзаменов по математике, № 1, стр. 49.
Н. П. Раззадорин, Бирский педагогический институт, № 1, стр. 58.
Наглядные пособия.
Технические средства обучения
A. О. Антонов, Набор «Доли и дроби», № 5, обложка.
М. Я. Антоновский, Простота восприятия — важнейшая часть понятия наглядности, № 4, стр. 64.
B. Г. Болтянский Г. Г. Левитас, Диафильмы и диапозитивы на уроках математики, № 3, стр. 59.
В.  Г. Болтянский, Об итогах Всесоюзного конкурса на лучшие учебно-наглядные пособия и учебное оборудование по математике, № 5, стр. 68.
В. 	Г. Болтянский, Применение кодоскопа на уроках математики, № 6, стр. 27.
М. Б. Волович, Г. Г. Левитас, Таблицы для V класса, № 5, стр. 58.
Э. 	Ю. Красс, Прибор «Углы и их виды», № 3, обложка.
В. 	В. Попов, Элементы программированного контроля в IV классе, № 6, стр. 37.
B. С. Проценко, Универсальное пособие по геометрии, № 6, стр. 32.
C. М. Саакян, Школьный шаблон, № 2, обложка.
В. 	Н. Толяров, Самодельный универсальный проектор, № 4, обложка.
Факультативные занятия и опыт их проведения
И. С. Беляева, Из опыта проведения факультативного курса «Комбинаторика» в VII—VIII классах, № 1, стр. 70.
Ю. И. Ионин, Приложения понятия интеграла, № 3, стр. 66.
Ш. X. Михелович, Прямая на клетчатой бумаге, № 1, стр. 66.
В. 	И. Мишин, Матрицы и преобразования в средней школе, № 6, стр. 45.
З. 	И. Турлакова, Множества и операции над ними, № 1, стр. 68.
В. 	Ф. Хрусталевский, Основы кораблевождения, № 1, стр. 72.
А. 	А. Шершевский, Э. Г. Якуба, Факультативные занятия в Ростовской области, № 4, стр. 69.
И. Б. Юдина, О факультативных занятиях в восьмилетней школе (обзор статей), № 1, стр. 60.
Эксперимент
B. И. Седаков, Об экспериментальной работе в школах г. Севастополя, № 4, стр. 72.
Проблемы и суждения
Ф. А. Бартенев, К проверке знаний учащихся по математике, № 3, стр. 57.
Ю. М. Колягин, О методической подготовке современного учителя математики в педагогическом институте, № 6, стр. 52.
Консультация
Г. В. Дорофеев, Число 0 — действительное или чисто мнимое?, № 3, стр. 56.
A. В. Соколова, О переводном экзамене в девятых классах массовых школ РСФСР в 1970/71 учебном году, № 2, стр. 70.
Внеклассная работа
Д. И. Байнов, Четыре года работы группы «Коллективный ученик» ЗМШ, № 1, стр. 74.
Н. Б. Васильев, О задачах, предлагавшихся на Всесоюзной олимпиаде 1971 г., № 5, стр. 72.
Н. Б. Васильев, Е. Г. Глаголева, В. Л. Гутенмахер, Новый прием в ЗМШ, № 1, стр. 73.
C. И. Зетель, Об одном свойстве скалярного произведения двух сторон треугольника, № 4, стр. 79.
B. Н. Касаткин, Алгоритмическая система Э. Поста и обучение программированию в средней школе, № 1, стр. 59.
A. К. Кетлер, Метрические соотношения элементов четырехугольника, вписанного в окружность, № 6, стр. 59.
Л. В. Кованцова и др., Республиканские телевизионные передачи для юных математиков, № 6, стр. 85.
И. А. Кушнир, Некоторые свойства треугольника и использование их при решении задач, № 3. стр. 71.
B. Лютикас, Аналог парадокса Бертрана в случае правильного n-угольника, № 6, стр. 63.
И. А. Марнянский, О представлении функции одной формулой, № 2, стр. 71.
В.  М. Медведев, Л. И. Прокопьев. Алгебраический метод решения задач на построение, № 6, стр. 62.
Л. М. Пашкова, V Всесоюзная математическая олимпиада, № 5, стр. 70.
М. В. Паюл, О внеклассной работе по математике в IV классе, № 6, стр. 57.
91


М. М. Рассудовская, Решение уравнений методом последовательных приближений, № 5, стр. 77.
Г. И. Саранцев, Изучение осевой и центральной симметрий на внеклассных занятиях, № 1, стр. 75.
Г. И. Саранцев, Изучение параллельного переноса и поворота, № 4, стр. 75.
В.  А. Скворцов, И. С. Петраков, XIII Международная, № 6, стр. 65.
В.  М. Терехин, Внеклассная работа по математике в сельской школе, № 1, стр. 79.
В.  Д. Чайковский, Графики функций, не заданных формулами, № 3, стр. 70.
Е. А. Шестакова, Об одной интересной задаче по арифметике, № 3, стр. 73.
А.  Н. Югринова, Материалы для кружковой работы в IV классе, № 6, стр. 56.
А. 	П. Южаков, Об одном неравенстве, № 3, стр. 71.
Занимательная страница
М. С. Гельфанд, О замечательном квадратном трехчлене Эйлера, № 6, стр. 12.
В.  А. Голубев, Магические квадраты из простых чисел, №3, стр. 82.
Ключ к угадыванию цифры, № 3, стр. 82.
Б. А. Кордемский, Удивительное рядом с нами, № 2, стр. 80.
Б. А. Кордемский, Улучшения, дополнения, находки, № 4, стр. 81.
Удивительный «кросс» из простых чисел, № 3, стр. 82.
Задачи
Задачи для учащихся IV—X классов, № 1, стр. 81; № 2, стр. 73; № 3, стр. 74; № 4, стр. 82; № 5, стр. 81; № 6, стр. 71.
Избранные задачи, № 1, стр. 82; № 2, стр. 74; № 3,
стр. 75; № 4, стр. 83; № 5, стр. 82; № 6, стр. 72.
Решения задач, помещенных в № 3 за 1970 г., № 1, стр. 83 в № 4 за 1970 г., № 2, стр. 74; в № 5 за 1970 г., № 3, стр. 75; в № 6 за 1970 г., № 4, стр. 83; в № 1 за
1971 г., № 5, стр. 82; в № 2 за 1971 г., № 6, стр. 72.
Сводка решений задач по № 3 за 1970 г., № 1, стр. 89; по № 4 за 1970 г., № 2, стр. 79,89; по № 5 за 1970 г., № 3, стр. 81; по № 6 за 1970 г., № 4, стр. 88; по № 1 за 1971 г., № 5, стр. 88; по № 2 за 1961 г., № 6, стр. 78.
Ученые-математики. Педагоги-математики
A. М. Алиев, Сергей Арушанович Хачиян, № 3, стр. 88.
B. Д. Белоусов, Я. И. Нягу, Иван Константинович Парно, № 1, стр. 93.
Б. Н, Белый, О. П. Сергунова, Александр Степанович Смогоржевский, № 2, стр. 87.
Б. В. Болгарский, В. В. Ветров, Владимир Львович Минковский, № 5, стр. 91.
Б. Н. Делоне, Великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, № 3, стр. 83.
B. И. Нечаев, Академик Иван Матвеевич Виноградов, № 6, стр. 79.
C. И. Новоселов, Дмитрий Федорович Егоров, № 2, стр. 82.
Я. И. Нягу, Борис Павлович Бычков, № 1, стр. 94.
В.  И. Паркалаба, И. И. Волгин, Чествование братьев- ветеранов Б. П. и В. П. Бычковых, № 3, стр. 88.
В. 	Я. Саннинский, П. С. Попов, Петр Алексеевич Бу- данцев, № 4, стр. 89.
A. Д. Семушин, Николай Федорович Четверухин, № 5, стр. 90.
B. Н. Серединский, Б. А. Кордемский, Василий Антонович Голубев, № 1, стр. 91.
Математический календарь
Математический календарь на 1970/71 учебный год, март — апрель, № 1, стр. 90; май — июнь, № 2, стр. 81; июль—август, № 3, стр. 86; на 1971/72 учебный год, сентябрь — октябрь, № 4, стр. 90; ноябрь — декабрь, № 5, стр. 92; январь — февраль, № 6, стр. 80.
Критика и библиография
Б. Н. Белый, З. Г. Шефтель, О пособии для факультативных занятий в X классе, № 6, стр. 84.
Вниманию преподавателей математики и студентов пединститутов, № 6, обложка.
В. 	К. Зарецкий, «Квант» в арсенале учителя, № 2, стр. 69.
Книги, вышедшие в издательстве «Просвещение» в 1970 г., № 1, обложка.
Книги издательства «Педагогика», выпускаемые в I полугодии 1971 г., № 1, стр. 94.
B. Л. Минковский, В. В. Ветров, Специальное пособие для школьников по началам анализа, № 3, стр. 89.
C. В. Пазельский, Издание новых учебников и учебных пособий по математике для средней школы, № 6, стр. 81.
План выпуска литературы издательством «Педагогика» в 1972 г., № 6, обложка.
В.  В. Попов, С. Садыхов, О книге И. X. Сивашинско- го «Задачи по математике для внеклассных занятий (IX—X классы)», № 2, стр. 88.
Н. Н. Шоластер, Об учебнике А. В. Погорелова «Элементарная геометрия», № 6, стр. 82.
Н. И. Шушанский, Новые книги главной редакции физико-математической литературы издательства «Наука», № 1, обложка.
За рубежом
Б. П. Бычков, Модернизация программ преподавания математики в румынской средней школе, № 4, стр. 91.
Карл Хейнц Вебер, К вопросам обучения математике в общеобразовательных политехнических средних школах ГДР, № 6, стр. 86.
X. Дугэр, Н. Г. Килина, Школьному математическому образованию МНР 50 лет, № 5, стр. 95.
Золтан Залабаи, О преподавании математики в школах ГДР, № 6, стр. 86.
Нгуен Као Тханг, Чан Фук Чинь, К реформе программы по математике для общеобразовательной школы ДРВ, № 2, стр. 93.
X. О. Поллак, Как мы можем научить приложениям математики?, № 2, стр. 90.
Хроника
И. К Андронов, В. Н. Шапкина, К 100-летию Математической ассоциации английских педагогов-математи- ков, № 3, стр. 94.
Е. М. Белоногова, Семинар методистов-математиков, № 3, стр. 93.
Б. П. Бычков, Всесоюзная конференция по истории физико-математических наук, № 3, стр. 94.
В комиссии по математике при Ученом методическом совете Министерства просвещения СССР, № 3, стр. 91.
В. 	Ю. Гуревич, О работе научно-практического семинара «Методы преподавания геометрических и графических дисциплин», № 5, стр. 89.
А. 	Я. Маргулис, В секции средней школы Московского математического общества, № 4, стр. 95.
Г. Г. Маслова, Л. М. Пашкова, В комиссии по математике УМСа Министерства просвещения СССР, № 2, стр. 95.
95


Л. М. Пашкова, В комиссии по математике Ученого методического совета Министерства просвещения СССР, № 5, стр. 49.
Первые итоги предметного преподавания математики в четвертых классах, № 2, стр. 95.
В.  Н. Руденко, А. В. Соколова, Всероссийское научно- практическое совещание, № 1, стр. 95.
Г. Н. Скобелев и др. Областная заочная математическая школа для сельских учащихся, № 3, стр. 94.
В. 	В. Фирсов, Всесоюзная конференция по факультативным занятиям, № 5, стр. 96.
З. 	В. Шепелева, О работе редакционного совета журнала «Математика в школе», № 3, стр. 93.
Некрологи
Н. М. Бескин, Полина Яковлевна Великина, № 4, стр. 96.
Б. В. Гнеденко, Иосиф Бенедиктович Погребысский, № 6, стр. 91.
О. Н. Головин, Александр Геннадиевич Курош, № 6, стр. 89.
А. 	Г. Конфорович, Н. И. Бородин, Николай Андреевич Чайковский, № 1, стр. 96.
Ольга Петровна Орешина, № 3, стр. 96.
С.  В. Пазельский, С. А. Пономарев, Венедикт Антонович Игнатьев, № 3, стр. 95.
ВНИМАНИЮ УЧИТЕЛЕЙ
В Москве открылся новый специализированный магазин «Диапозитивы. Диафильмы» торговой фирмы «Весна».
Здесь можно за наличный расчет пополнить свои диатеки учебными диафильмами и диапозитивами. Цветные диафильмы стоят 30 коп., черно-белые — 20 коп. На учебные диапозитивы установлена цена 6 коп. за один цветной кадр и 5 коп. за один черно-белый кадр.
Серии учебных диапозитивов состоят из 10, 15 или 20 кадров. К каждой серии прилагается брошюра с методическими указаниями по использованию диапозитивов этой серии на уроке.
Школам магазин отпускает диафильмы и диапозитивы по безналичному расчету. Для этого работник школы представляет в магазин письмо-заявку с указанием требующегося количества цветных и черно-белых диафильмов и диапозитивов. По этой заявке магазин выписывает счет, срок оплаты которого 6 дней, включая день выписки счета. По лимитным книжкам магазин не торгует.
Все школы могут приобрести учебные диафильмы и диапозитивы по безналичному или за наличный расчет в магазинах учебно-наглядных пособий Главснабпроса.
Адрес магазина «Диапозитивы. Диафильмы»: Столешников пер.г д. 5, телефон для справок 229-01-00.
Ежемесячно каждый первый понедельник с 17 до 20 час. в торговом зале магазина будут проходить встречи с авторами учебных диафильмов и диапозитивов по математике, научными сотрудниками лаборатории учебного оборудования по математике НИИ школьного оборудования и технических средств обучения АПН СССР.
Ре д а к ц ио-н ная коллегия:
Главный редактор Р. С. Черкасов Зам. главного редактора С. А. Пономарев
Члены редакционной коллегии: И. К. Андронов, в. Г. Болтянский, Н. Ф. Власик,
Б. В. Гнеденко, Н. А. Ермолаева, А. С. Ильин, А. Н. Колмогоров, Г. Г. Маслова, И. С. Петраков, А. Д. Семушин, К. П. Сикорский, 3. А. СКопец, А. В. Соколова, Л. В. Стратилатов, з. С. Сухотина, И. Ф. Тесленко, Н. Ф. Четверухин
Зав. редакцией 3. В. Шепелева Художественный редактор Б. Ф. Рябов
Технический редактор Н. И. Васильева Корректор Г. П. Зайцева
Адрес издательства: Москва, Г-117, Погодинская ул., 8. Телефон редакции 247-03-74 Издательство «Педагогика» Академии педагогических наук СССР и Комитета по печати при Совете Министров СССР
Сдано в набор 22/Х 1971 г. Объем 6(10,08) п. л. Учетно-изд. л. 12,00
Подп. к печати 23/XI 1971 г. Тираж 375 350 экз. Бумага 84 х 108Vi6 Цена 45 коп. Заказ 552
Московская типография JVe 13 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва, ул. Баумана, Денисовский пер., д. 30.


т
ПЛАН ВЫПУСКА ЛИТЕРАТУРЫ ИЗДАТЕЛЬСТВОМ «ПЕДАГОГИКА» В 1972 г.
В октябре 1969 г. организовано издательство «Педагогйка» Академии педагогических наук СССР и Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Издательство выпускает научно-педагогическую литературу, собрания сочинений и избранные труды виднейших представителей отечественной и зарубежной педагогической науки, экспериментальные учебники, словарно-энциклопедические издания, научно-популярную литературу для учителей и родителей по вопросам воспитания и обучения подрастающего поколения. ‘
Читателями литературы, издаваемой издательством «Педагогика», являются учителя различных типов школ, воспитатели детских учреждений, научные работники, преподаватели, аспиранты и студенты педагогических учебных заведений, учащиеся школ и родители.
В данной статье редакция журнала публикует перечень названий той литературы, выпускаемой издательством «Педагогика» в 1971 г., которая представляет интерес для учителя математики.
Читатели журнала, желающие приобрести перечисленные книги, должны дать заявку в ближайший магазин Книготорга или книжный отдел Потребкооперации, а также заказать через магазины «Книга — почтой» (список таких магазинов и их адреса опубликованы в № 3 нашего журнала за 1968 г.).
Научно-педагогическая литература
Гамоннай В. В. Народное образование в Венгрии. 15 л. Цена 1 р. Срок выхода II кв.
Лихачев Б. Т. Эстетика воспитания. 14 л. Цена 96 к. Срок зыхода III кв.
«Литература по педагогическим наукам и народному образованию». Вып. II. Библиографический указатель. 12 л. Цена 50 к. Срок выхода I кв.
«Литература по педагогическим наукам и народному образованию». Вып. III. Библиографический указатель. 12 л. Цена 50 к. Срок выхода II кв.
«Литература по педагогическим наукам и народному образованию». Вып. IV. Библиографический указатель. 12 л. Цена 50 коп. Срок выхода III кв.
«Литература по педагогическим наукам и народному образованию». Вып. I. Библиографический указатель. 12 л. Цена 50 к. Срок выхода IV кв.
«Новые исследования в педагогических науках». Вып. 1 (XVIII). 10 л. Цена 1 р. Срок выхода И кв.
«Новые исследования в педагогических науках». Вып. 2 (XIX). 10 л. Цена 1 р. Срок выхода .V кв.
«Нравственное воспитание дошкольников». Под ред.
В. 	Г. Нечаевой. 17 л. Цена 90 к. Срок выхода I кв.
«Очерки истории школы и педагогической мысли народов СССР. XVIII — первая половина XIX в.». Под ред. М. Ф. Шабаевой. 60 л. Цена 3 р. 20 к. Соок выхода IV кв.
«Педагогика и школа за рубежом». Критйко-рефера- тивный сборник. Вып. 11. 12 л. Цена 72 к. Срок выхода II кв.
«Педагогика и школа за рубежом». Критичо-рефера- тивный сборник. Вып. 12. 12 л. Цена 72 к. Срок выхода IV кв.
Пидкасистый П. И. Самостоятельная деятельность учащихся. 12 л. Цена 85 к. Срок выхода I <*.
Раченко И. П. Научная организация педагогического труда. 15 л. Цена 1 р. Срок выхода I кв.
«Трудовое политехническое обучение в школе». Под ред. К. А. Ивановича, Д. А. Эпштейна. 13 л. Цена 1 р. 32 к. Срок выхода III кв.
«Умственное восг.-тание дошкольников». Под ред. Н. Н. Поддъякова. 18 л. Цена 1 р. Срок выхода III кв.
Психология и возрастная физиология
Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. 25 л. Цена 1 р. 30 к. Срок выхода II кв.
«Новые исследования в психологии и возрастной физиологии». Вып. 5. 10 л. Цена 1 р. Срок выхода II кв.
«Новые исследования в психологии и возрастной физиологии». Вып. 6. 10 л. Цена 1 р. Срок выхода IV кв.
«Очерки развития и современного состояния психологической науки. (Основы психологии)». Под ред. А. А. Смирнова. 50 л. Цена 3 р. 40 к. Срок выхода III кв.
«Проблемы дифференциальной психофизиологии». Вып. VII. Под ред. В. Д. Небылицына. 25 л. Цена 2 р. 74 к. Срок выхода I кв.
«Развитие психофизиологических функций взрослых людей». Под ред. Б. Г. Ананьева, Е. И. Степановой. 18 л. Цена 1 р. 24 к. Срок выхода IV кв.
«Сенсорные и сенсомоторные процессы». Под ред, Б. Ф. Ломова. 20 л. Цена 86 к. Срок выхода \ кв.
Цветкова Л. С. Психологические основы восстановительного обучения. 18 л. Цена 1 р. 40 к. Срок выходе III кв.
Литература для учителей
«Кабинет математики». Под ред. В. Г. Болтянского 14 л. Цена 50 к. Срок выхода III кв.
Книга содержит научно обоснованные рекомендации по оформлению, комплектованию и использованию кабинета математики средней школы. 6 ней вскрыть