Текст
                    Я.БЕРНУЛЛИ
О ЗАКОНЕ
БОЛЬШИХ
ЧИСЕЛ


Я.БЕРНУЛЛИ О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Перевод с латинского Я. В. Успенского Под редакцией н с предисловием А. А. Маркова С приложением юбилейной речн Л. Л. МАРКОВА, предисловия Л. И. КОЛМОГОРОВА и комментариев Под общей редакцией Ю. В. ПРОХОРОВА МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1986
ББК 22.171 Б 51 УДК 519.21@91) Бернулли Я- О законе больших чисел: Пер. с лат.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.—176 с. Якобу Бернулли A654—1705) принадлежит первая асимптотиче- асимптотическая теорема теории вероятностей—закон больших чисел. Настоящее издание факсимильного типа, приуроченное к Первому Всемирному Конгрессу Общества математической статистики и теории вероят- вероятностей им. Бернулли (Ташкент, 1986 г.), воспроизводит четвертую часть сочинения Я- Бернулли «Искусство предположений» A713 г.), где был впервые изложен закон больших чисел. Текст приводится в переводе Я. В. Успенского по русскому изданию 1913 г., снаб- снабженному предисловием А. А. Маркова. Значение закона больших чисел раскрывается в юбилейной речи А. А. Маркова по поводу двухсотлетия закона больших чисел, предисловии А. Н. Колмого- Колмогорова, статьях Ю. В. Прохорова, О. Б. Шейнина и А. П. Юш- Юшкевича. Для математиков, философов, экономистов и историков науки. Ил. 4. Библиогр. 74 назв. © Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1702050000-067 Перевод на русский язык. Б пео /поч ос 3-86 С приложением юбилейной речи, i.cj/i. u^ предисловия и комментариев, 1986
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие. А.И.Колмогоров 4 Двухсотлетне закона больших чисел. А. А. Марков . . 9 Предисловие к изданию 1913 года. А. А. Марков 19 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. Часть четвертая Глава I. Некоторый предварительный понятия о до- достоверности, вероятности, необходимости и случайности вещей 23 Глава II. О знании и предположении. Об искусстве делать предположения. Об основаниях для предположений. Некоторый общия положе- положения, сюда относящийся 27 Глава III. О разных родах доводов и о том, как оцени- оцениваются их веса для вычисления вероятностей вещей 32 Глава IV. О двояком способе определения числа слу- случаев. Что следует думать о том способе, кото- который опирается на опыт. Особенная задача, представляющаяся по этому поводу. И про- прочнее) 40 Глава V. Решение предыдущей задачи 46 ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ I. Примечания к речи А. А. Маркова «Двухсотлетне за- закона больших чисел» 63 II. Примечания к предисловию А. А. Маркова к изданию 1913 года 72 Ш. Примечания к части четвертой сочинения Я. Бернуллн «Искусство предположений» 74 Комментарий I. Якоб Бернуллн и начало теории вероят- ностей. О. Б. Шейнин 83 Комментарий II. Закон больших чисел и опенки вероят- ностей больших уклонений. Ю. В. Прохоров 116 Список литературы 151 ПРИЛОЖЕНИЯ Хронологическая таблица 156 Биография Я. Бернулли. А. П. Юшкевич ....... 157 Предисловие к «Искусству предположений» A713 год). и И. Бернулли 162 имена, встречающиеся в основном тексте и примечаниях к нему 165 • аолнца биномиальных коэффициентов . ....... 168
ПРЕДИСЛОВИЕ Познавательная ценность теории вероятностей обу- обусловлена тем, что массовые случайные явления в своем совокупном действии создают строгие закономерности. Само понятие математической вероятности было бы бес- бесплодно, если бы не находило своего осуществления в виде частоты появления какого-либо результата при многократном повторении однородных условий. Поэтому работы Паскаля и Ферма можно рассматривать лишь как предысторию теории вероятностей, а настоящая ее история начинается с закона больших чисел Я- Бериулли и найденного вскоре после этого Муавром нормального приближения к биномиальному распределению. Якоб Бернулли A654—1705) был первым из членов знаменитой семьи ученых, чье имя вошло в историю математики. Основной труд Я. Бернулли по теории вероятностей Ars Conjectandi («Искусство предположе- предположений») был напечатан в Базеле в 1713 году на латинском языке. В четвертой части этой книги доказана теорема, которая под названием «теорема Бернулли» входит во все руководства по теории вероятностей. Теорема Бер- Бериулли представляет первую точно доказанную, хотя и частную, формулировку закона больших чисел. Бернулли смотрел на теорию вероятностей значи- значительно шире, чем его предшественники; об этом говорит и само название четвертой части «Искусства предполо- предположений» — «использование и применение предшествую- предшествующего учения в гражданских, моральных и экономиче- экономических делах». Бернулли отмечает естественность общего представления о том, что частота появления какого-либо случайного события при неограниченно увеличивающем- увеличивающемся числе независимых наблюдений, производимых в оди-
ПРЕДИСЛОВИЕ 5 наковых условиях, сближается с его вероятностью. Это представление должно быть, однако, уточнено. Следует сознавать известную деликатность этой за- задачи. Например, каково бы ни было число испытаний N, нельзя утверждать с полной достоверностью, что будет выполнено, скажем, неравенство (|i—число появлений события, р— его вероятность). Так, при N бросаниях симметричной монеты вероят- вероятность /^-кратного появления герба (или надписи) равна jf > 0; таким образом, частота появления герба при- принимает крайние значения 1 и 0 с положительной вероят- вероятностью. Во всех подобных задачах любая нетривиальная оценка близости между частотой и вероятностью дей- действует не с полной достоверностью, а лишь с некоторой меньшей единицы вероятностью. Бернулли доказал совершенно строго неравенство, дающее оценку сверху для вероятности события I*-. @0 — заданное число); эта оценка выражается вели- величиною, убывающей быстрее, чем в геометрической про- прогрессии со знаменателем, способ вычисления которого по р и е указан. Совокупность обобщений теоремы Бернулли в теории вероятностей называют «законом больших чисел». Каж- Каждое из этих обобщений указывает условия, при выполне- выполнении которых сумма большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин «предельно по- постоянна». После 1713 года первое (полное) переиздание «Искус- «Искусства предположений» появилось в 1899 году (в переводе на немецкий язык). По поручению Петербургской акаде- академии наук в 1913 году, ровно двести лет спустя после вы- выхода в свет, была переведена на русский язык и напеча- напечатана «Часть четвертая сочинения Я. Бернулли».
6 A. H КОЛМОГОРОВ В настоящем издании факсимильного типа воспроиз- воспроизведен текст издания 1913 года с присоединением к нему прочитанной в Академии наук юбилейной речи А. А. Мар- Маркова. В текстах 1913 года сохранены характерные осо- особенности речи того времени. Допущенные при перево- переводе пропуски восстановлены, сокращения устрандны, в некоторых местах сделаны необходимые уточнения; все эти редакторские изменения помещены в угловых скобках <...>. В состав специально подготовленных дополнений входят обширные примечания к каждому тексту, комментарий Ю. В. Прохорова, исторический комментарий О. Б. Шейнина, биография Я. Бернулли, написанная А. П. Юшкевичем, а также перевод пре- предисловия Н. Бернулли к оригинальному изданию «Искусства предположений». Основной список литера- литературы подготовлен О. Б. Шейниным. Приложены также хронологическая таблица и таблица биномиальных ко- коэффициентов. При подготовке дополнений было учтено немецкое издание 1899 года и, в особенности, вышедший в 1975 году в Базеле под редакцией Б. Л. ван дер Вардена третий том собрания сочинений Я. Бернулли, где воспроизведен латинский текст «Искусства предположений» и (впервые) напечатаны отрывки из математического дневника Я. Бер- Бернулли, которые хорошо разъясняют, каким образом Якоб Бернулли пришел к формулировке и доказатель- доказательству своего, как он его назвал, Главного предложения (Propositio Principalis). Инициатива издания и составления настоящей книги принадлежит Ю. В. Прохорову. В создание дополнений большой вклад внес редактор книги А. В. Прохоров. В работе над хронологической таблицей и рядом при- примечаний принимал участие Н. Г. Гамкрелидзе. Неоце- Неоценимую помощь в прочтении и интерпретации латинско- латинского текста оказали А. В. Лебедев и А. А. Россиус. Со- Совершенствованию текста содействовал А. П. Юшкевич. Октябрь 1985 г. А. Н. Колмогоров
в, к ЗАКОНА БОЛЬШИртЬ ЧИСЕПЪ %*№, «рй»******»^ ? ГО Титульный лист издания речи академика А. А. Маркова на празд- праздновании в 1913 году 200-летия закона больших чисел Якоба Бер- нулли ^
Многоуважаемое собрание! С математической точки зрения законом больших чи- чисел, в широком смысле, можно назвать совокупность предельных теорем исчисления вероятностей, которая разделяется на две группы теорем или, если хотите, на две теоремы, но с изменяемыми условиями. Первая груп- группа, которая образует закон больших чисел в тесном смысле и которой, главным образом, посвящена моя речь, указывает нам вероятности, сколь-угодно близкий к до- достоверности, выражаемой числом единица. Во второй группе пределом вероятности является известный ин- интеграл Лапласа *). О теоремах второй группы я также скажу несколько слов, имея в виду сочетание их с теоре- теоремой Якова Бернулли, которая, как простейшая, дала начало всей совокупности теорем, объединенных назва- названием «закон больших чисел», и среди них занимает, мож- можно сказать, главное место по своим приложениям. Тео- Теорема Я. Бернулли опубликована в 1713 году в Ars Con- jectandi '). Но найдена им она была, конечно, гораздо раньше *). Яков Бернулли скончался в августе 1705 года, и труд его Ars Conjectandi был издан через 8 лет после его смерти племянником его Николаем Бернулли *). Но еще в письмах к Лейбницу от 3 октября 1703 года и 20 апреля 1704 года он говорит о своей теореме, что 12 лет тому назад он показывал доказательство ея брату своему Ивану, и что тот нашел доказательство правильным: «Dixi autem in istis me posse demonstrare; viditque de- monstrationem jam ante duodecennium Frater et appro- bavit» •). Наконец, в Ars Conjectandi он отодвигает на Двадцать лет назад от времени выполнения этого труда то время, когда он, если не доказал, то начал доказывать
]0 А. А. МАРКОВ свою теорему. Вот его слова: «Hoc igitur est illud Prob- lema, quod evulgandum hoc loco proposui, postquam jam per vicennium pressi»'). Установить год,, когда Бернулли пришел к своей теореме, мы не можем, и не с этим годом связываем мы сегодняшнее торжество. А связываем мы его с годом опубликования теоремы, т. е. с годом выхода в свет Ars Conjectandi. Этот год — 1713 — указан на самой книге и подтверждается двумя письмами Николая Бериулли к Монморту, помещенными во втором издании труда Монморта «Essay d'analyse sur les jeux de hazard», кото- которое появилось в конце того же 1713 года 8). В письме от 23 января 1713 года Николай Бернулли упоминает, что Ars Conjectandi печатается, и что там содержится особая теорема, которую он по справедливости сближает со сво- своими вычислениями, не имеющими силы настоящаго до- доказательства *). В письме от 9 сентября того же года Николай Бернулли сообщает уже, что этот труд только- что вышел в свет. (Тем же числом помечены письма Ивана и Николая Бернулли к Лейбницу, содержащий извеще- извещения о выходе в свет Ars Conjectandi.) Он прибавляет, что Монморт ие найдет там ничего новаго. Но такое мнение Н. Бернулли не доказывает, что Монморт вполне знал уже теорему Бернулли. Оно объясняется тем, что Н. Бер- Бернулли не придавал ей большого значения или считал для Монморта достаточными указания, данный им по памяти в предыдущем письме, где теорема была наме- намечена 10). Теорему Я. Бернулли можно формулировать так: «Если производится неограниченный ряд испытаний и при всех этих испытаниях некоторое событие имеет одну и ту же вероятность, то при достаточно большом числе их можно утверждать с вероятностью, сколь угодно близкой к достоверности, что отношение числа появлений собы- события к числу испытаний отклонится от вероятности собы- события менее, чем иа данное число, как бы мало оно ни было». Теорема эта и ея доказательство находятся в конце 4-й части Ars Conjectandi, русский перевод которой ныне выпущен в свет Академией "). Из разсуждений Я. Бер- Бернулли, предшествующих доказательству теоремы, видно, что он придавал ей большое значение, разсматривая ее
ЮБИЛЕЙНАЯ РЕЧЬ || как фундамент при разыскании вероятностей по наблю- наблюдениям — a posteriori "). Свою теорему он поясняет таким примером. В сосуде перемешаны белые и черные шары. Отношение числа белых шаров к числу всех шаров в сосуде равно -=•, а для з черных подобное же отношение ¦=•, так что вероятность 2 3 вынуть из него белый шар равна -=•, а черный -g-. Поло- Положим теперь, что нам эти отношения — иначе сказать, эти вероятности — неизвестны, а мы можем только про- производить в неограниченном числе испытания, состоящий в вынимании одного шара. Цвета вынутых шаров запи- записываются для памяти и подсчета вынутых белых и чер- черных шаров, а сами шары постоянно возвращаются об- обратно в сосуд, чтобы сохранялось неизменным как число белых, так и число черных шаров в сосуде. Спрашивается, можем ли мы разсчитывать по этим записям, составляя отношение числа вынутых белых шаров к числу всех вынутых шаров, подойти сколь угодно близко к неизвест- неизвестной нам вероятности белаго шара? Утвердительный ответ на этот вопрос дается теоремой Бернулли. В частности, согласно вычислениям Бернулли, тот, кто знает, что белые шары составляют -г всех шаров в сосуде, может с вероятностью, отличающеюся от достоверности менее, чем на 1(jQjj, утверждать, что при 25550 записях, т. е. когда будет вынуто н отмечено столько шаров, отноше- отношение числа вынутых белых шаров к числу всех вынутых 19 21 шаров будет лежать между §б и 50~ иначе сказать, Л I Судет отклоняться от -g- менее, чем на ^. Если же уве- увеличивать число записей, то можно вероятность утверж. дения приблизить сколь угодно к достоверности, т. е. ВМесто Ш взять Шюо« ТШОО' и в то же время сколь угодно приблизить к нулю допускаемое отклоне- 2 I ИИе т Т' т" е* заменить §о лю^ым меньшим числом ").
12 А. А. МАРКОВ Доказательство Я. Бернулли элементарно и строго, но соединено с одним ограничительным условием относи- относительно числа испытаний 14). С теоремой Якова Бернулли тесно связан вопрос о вы- вычислении вероятности, что разность между отношением числа появлений события к числу испытаний и вероят- вероятностью события не выходит из определенных границ. Нетрудно представить эту вероятность точною формулою. Вычисления по точной формуле сводятся к простым ариф- арифметическим действиям. Но в случае большого числа испы- испытаний эти действия оказываются весьма обременитель- обременительными и, можно сказать, даже невыполнимыми. Поэтому приходится тогда обратиться к приближенным формулам, которыя упрощают вычисление, сокращая его. Попытку упростить пользование точною формулою, заменяя ее приближенною, мы встречаем уже в упомянутом письме Николая Бернулли к Монморту от 23-го января 1713 года 16). Она относится к интересному вопросу об устойчивости распределения новорожденных по полу. Но ей нельзя придавать большого значения, если не считать только, что она привлекла к вопросу о вычислении веро- вероятности внимание Моавра, с именем котораго связана известная общая тригонометрическая формула1в). Моавру при содействии Стирлинга ") удалось полу- получить для разсматриваемой вероятности (по крайней мере, в простейшем случае, когда вероятность события равна половине) приближенное выражение в виде того интегра- интеграла, который ныне мы называем интегралом Лапласа. Выводы Моавра можно найти в труде его «Miscellanea anal у t tea» 1730 года 18). Разработкой методов приближеннаго вычисления ве- вероятностей вообще особенно много и с успехом занима- занимались Лаплас и Пуассон, деятельность которых относится уже к концу XVIII и первой половине XIX века. На- Напомню, что классический труд Лапласа «Theorie analyti- que des probabilites» появился первым изданием в 1812 и вторым в 1814 годах; a «Recherches sur la probabilite des jugements, en matiere criminelle et en .matiere civile» Пуассона — в 1837 году "). Вопрос о приближенном вычислении вероятности не составляет цели моей речи; я коснулся его только по-
ЮБИЛЕЙНАЯ РЕЧЬ 13 тому, что приближенное вычисление при надлежащей оценке погрешности может вести к предельным теоремам. Так, оно дает для теоремы Бернулли доказательство Лапласа, соединенное с выводом простейшаго случая второй предельной теоремы 20). Этот простейший случай относится к той же разности, как и теорема Бернулли, и также речь идет о вероятности, что эта разность лежит в определенных границах. Но в теореме Бернулли раз- сматрнваются постоянныя границы, во второй же пре дельной теореме оне берутся пропорциональными еди- единице, деленной на корень квадратный из числа испыта- испытаний, которое попрежнему предполагается возрастающим безгранично. Теорема гласит, что при достаточно боль- большом числе испытаний вероятность ненарушения наме- намеченных границ будет сколь угодно близка к интегралу Лапласа. Сочетая вторую теорему с теоремой Бернулли, можно придти, так сказать, ко второй ступени теоремы Бернул- Бернулли. Я не стану формулировать ее, но приведу указания, иа основании которых это нетрудно сделать. Замените каждое отдельное испытание целою совокупностью испы- испытаний, число которых можно увеличивать безгранично. Затем разсматривайте неограниченный ряд таких сово- совокупностей. Наконец, вместо первоначальнаго события разсматривайте новое, состоящее в том, что результаты определенной совокупности не нарушат указанных гра- границ. Тогда теорема Бернулли приведет ко второй ея ступени, при чем вероятность первоначальнаго события заменится предельною величиною вероятности новаго события, т. е. интегралом Лапласа 21). Пуассон воспользовался приближенным вычислением Для другой цели: для обобщения теоремы Бернулли. Ему принадлежит и название «закон больших чисел». Я не буду говорить о том, какой смысл придавал этому назва- названию сам Пуассон и какое значение его изследования имеют для статистики, а остановлюсь только на теореме, которую в настоящее время математики называют тео- теоремой Пуассона и законом больших чисел и). От теоремы Бернулли она отличается тем, что вероятность события Не предполагается в ней одинаковой для всех испытаний, а может иметь свою особую величину для каждаго испы-
14 А. А. МАРКОВ тания. При таком изменении основного условия, для перехода от теоремы Бернулли к теореме Пуассона, сле- следует только в заключительных словах теоремы вместо постоянной общей вероятности события взять среднюю арифметическую вероятностей. Пуассон не доказал своей теоремы, так как он ограничился приближенным вы- вычислением, не оценивая надлежащим образом погреш- погрешности его. Первое доказательство теоремы Пуассона было дано в 1846 году незабвенным Пафнутием Львовичем Чебыше- вым в краткой, но примечательной заметке «Demonstra- «Demonstration elementaire d'une proposition generate de la theorie des probabilites», помещенной в 33-м томе журнала Крел- ле 23). Заметка эта названа «extrait d'un memoire russe sur l'analyse elementaire de la theorie des probabilites» 24). Но ни в каком другом труде Чебышева мы не находим такого доказательства. Остается только предположить, что оно извлечено из мемуара, который не был напечатан, или из магистерской диссертации Чебышева «Опыт эле- ментарнаго анализа теории вероятностей»25), но так,что там его не осталось. Кстати упомяну, что в том же 1846 году появился прекрасный труд другого покойнаго академика Виктора Яковлевича Буняковскаго «Основания математической теории вероятностей». Через двадцать лет после перваго Чебышев дал вто- второе доказательство теоремы Пуассона. Оно помещено на русском языке в «Математическом Сборнике» за 1866 год под заглавием «О средних величинах» и на французском языке в журнале Лиувилля за 1867 год 26). Это второе доказательство, основанное на разсмотрении математи- ческаго ожидания одного квадрата, отличается порази- поразительной простотой и дает теорему более общую, чем тео- теорема Пуассона, так как здесь речь идет уже не о числе появлений события, а о сумме различных величин. Надо, однако, заметить, что основные его пункты были указаны еще в 1853 году французским математиком Бьенэмэ в мемуаре «Considerations a l'appui de la decouverte de Laplace sur la loi de probabilite dans la methode des moin- dres carres», который был написан по поводу спора Бьенэмэ с Коши о преимуществах метода наименьших
ЮБИЛЕЙНАЯ РЕЧЬ ]5 квадратов *'). Мемуар этот в свое время был помещен в «Comptes-Rendus» (том 37) и затем перепечатан в журнале Лиувилля за 1867 год м) как раз перед мемуаром Чебы- шева, без указания, однако, на существующую между ними связь. Впоследствии Чебышев в краткой заметке, которая была прочитана им в августе 1873 года на съезде в Лионе и напечатана также в журнале Лиувилля за 1874 год *ф), отмечая эту связь, сам назвал свое второе доказательство одним из результатов новаго метода, который дал Бьенэ- Бьенэмэ в упомянутом мемуаре. Этот метод — метод моментов или математических ожиданий — можно охарактеризовать так: разсматри- ваются математическия ожидания различных функций некоторой величины и по ним делаются заключения от- относительно вероятности тех или иных предположений о ией. Хотя Чебышев приписал этот метод Бьенэмэ, но я считаю более правильным называть его методом Бьенэ- Бьенэмэ — Чебышева, а иногда называю и просто методом Чебышева, так как в мемуаре Бьенэмэ находятся только зачатки его, а значение он приобрел благодаря трудам Чебышева. Во-первых, Чебышев связал этот метод с осо- баго рода задачами на maxima и minima, подобными задачам вариационнаго исчисления, но с заменой условия непрерывности функций требованием неизменности их знака, согласно тому, что массы и вероятности не могут быть отрицательными. Во-вторых, Чебышев показал, что метод математических ожиданий может вести не только к первой, но и ко второй предельной теореме. Замечу еще следующее: Бьенэмэ скончался в 1878 году 82 лет от роду. В «Comptes-Rendus» за 1878 год мы находим заметку Гурнери 30), посвященную его памяти. В ней приведены слова Лямэ*1), который в 1851 г. назы- называл Бьенэмэ почти единственным представителем теории вероятностей во Франции; упомянуто об его споре с Кош и и о том, что относящийся к этому спору мемуар Бьенэмэ помещен в «Comptes-Rendus» за 1853 год и в журнале Лиувилля за 1867 год; упомянуто даже о том, что Бьенэ- Бьенэмэ знал разные языки и что в 1858 г. он перевел на фран- французский язык один мемуар Чебышева '*). Но ни слова нет о том, чтобы он дал какой-то новый метод.
16 А. А. МАРКОВ Дальнейшее развитие закона больших чисел я отно- отношу уже к настоящему времени. Распространяться о нем я не буду; скажу только, что оно состоит в расширении области применимости предельных теорем и, в особен- особенности, в распространении их на связанный испытания и связанный величины, при чем с успехом применяется не только метод Лапласа и его последователей, но и метод Чебышева33). Заканчивая речь, возвращаюсь к Якову Бернулли. В биографиях его упоминается, что, следуя примеру Архимеда, он завещал начертить на его памятнике лога- логарифмическую спираль и сделать надпись «Eadem mutata resunjo» M). Надпись эта, конечно, указывает на найден - ныя им свойства кривой. Но она имеет и другой смысл. В ней выражается надежда Бернулли на воскресение и вечную жизнь. Мы можем сказать, что надежда его осу- осуществляется. Со времени смерти Бернулли прошло более 200 лет; однако, он живет и будет жить в своей теореме.
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ООЧИНКШЯ ЯКОВА БЕРНУЛЛИ „Ars conjectandi"». , Я, В, Уепенскаго. Пят Титульный лист русского перевода части четвертой Ars Conjectandi издания 1913 года 2 Я. Бернулли
ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИЮ 1913 ГОДА В 1913 году исполняется двести лет со времени появления в свет труда Якова Бернулли Ars Con- jectandi, где впервые была опубликована и доказана знаменитая его теорема, положившая начало за- закону больших чисел. Желая отметить этот юбилей, Академия поста- постановила издать в русском переводе главнейшую часть указаннаго труда, а именно четвертую часть, ко- которая посвящена упомянутой теореме и содержит также ряд интересных разсуждений о практиче- практических приложениях исчисления вероятностей вооб- вообще и его теоремы в частности. Конечно, некоторый из этих разсуждений и свя- связанный с ними формулы можно оспаривать х); но свою теорему Я. Бернулли высказал точно и дока- доказал с полною строгостью, хотя и при ограничитель- ограничительном условии, которое не трудно устранить 2). В трактатах по исчислению вероятностей но- вейшаго времени, доказательство Я. Бернулли обыкновенно не излагается, а заменяется доказа- доказательствами Моавра — Лапласа и Бьенэмэ — Чебы- шева. Эти новыя доказательства, в известных от- отношениях, следует предпочесть доказательству са- самого Я. Бернулли, которое, однако, имеет свои достоинства и до сих пор не потеряло интереса 3). Заметим, что на русском языке оно появляется, повидимому, впервые. Перевод исполнен приват-доцентом С.-Петер- бургскаго университета Я. В. Успенским 4) и пе- пересмотрен мною; кроме латинскаго оригинала был
20 ПРЕДИСЛОВИЕ К ИЗДАНИЮ 1913 ГОДА принят во внимание и немецкий его перевод (Ost- wald's Klassiker Nr. 108), насколько он согласу- согласуется с оригиналом 6), отступать от котораго, хотя бы для упрощения изложения, мы не находили возможным. К переводу приложен портрет Якова Бернулли, воспроизведенный по портрету масляными краска- красками, который находится в актовом зале (аи 1а) ¦) Базельскаго музея. Эта фотография прислана мне библиотекой Базельскаго Университета, за что я выражаю ей глубочайшую благодарность в лице ея обер-библиотекаря доктора Карла Христофа Бернулли. А, Марков Май 1913 г.
JACOB! BERNOULLI, i»rofeft. Baft!. & urriuftpie Societ Reg. Sdeatar, Otfl, & PrufE Soda). ARS CONJECTANDI, OPUS POSTHUMUM. T R А С T A T U.S DE SERIEBUS INFfNITIS, D E L V D О PIL? К E T I с U L A R 1 & BASILE?, ImpenfisTHURN ISIORUM, Fratmm. cb Ьсс )ан, Титульный лист книги Якоба Бернулли Ars Conjectandi, изданной в 1713 году в Базеле на латинском языке (русский перевод титула см. в примечании III.1)
ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ') ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ Г л А в А I Некоторый предварительный понятия о достоверности, вероятности, необходимости и случайности вещей Достоверность какой-либо вещи 2) разсматривается или объективно и сама по себе, и обозначает ничто иное, как действительное ея существование в настоящем или будущем; или субъективно, в зависимости от нас, и за- заключается в степени нашего знания об этом существова- существовании. Все, что иод Солнцем существует или возникает,— прошедшее, настоящее или будущее —, само по себе и объективно всегда имеет высшую степень достоверности. Относительно событий настоящего или прошедшаго это ясно; ибо тем самым, что они существуют или существо- существовали, они не могут быть несуществующими или несуще- ствовавшими. Но нельзя сомневаться и относительно событий будущего, которыя, равным образом, если и не по некоторой неизбежной необходимости, то в силу бо- жественнаго предвидения или предопределения не могут не осуществиться в будущем; ибо, если не наверное слу- случится то, чему определено случиться, то непонятно, как может остаться непоколебленной хвала всеведению и всемогуществу величайшаго Творца. Каким образом, однако, эта достоверность будущего может быть согла- согласована со случайностью или свободой вторичных при- причин,— об этом пусть спорят другие; мы же не будем касаться чуждаго нашим целям 8).
24 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ Достоверность, разсматриваемая по отношению к нам, не для всего одна и та же, но многообразно изменяется, бывая то большей, то меньшей. То, о чем по откровению, разуму, чувственным восприятиям, опыту, непосред- непосредственному наблюдению (auxoifta) *) или иначе известно, что в его существовании или осуществлении в будущем никак нельзя сомневаться, обладает высшей и безуслов- безусловной достоверностью. Все другое получает в нашем уме менее совершенную оценку достоверности, большую или меньшую в зависимости от того, более или менее вероят- вероятностей, благоприятствующих чему-либо быть в настоя- настоящем, будущем или прошедшем. Вероятность же есть степень достоверности и отли- отличается от нея, как часть от целаго. Именно, если полная и безусловная достоверность, обозначаемая нами буквой а или единицей 1, будет, для примера, предположена состоящей из пяти вероятностей, как бы частей, из ко- которых три благоприятствуют существованию или осу- осуществлению какого-либо события, остальныя же не бла- благоприятствуют, то будет говориться, что это событие 3 3 имеет -=-а или -?- достоверности 5). Поэтому из событий называется более вероятным то, которое имеет большую степень достоверности, хотя на самом деле, по обычному словоупотреблению, вероятным называется только то, чего вероятность заметно превос- превосходит половину достоверности. Я говорю заметно, ибо вещь, вероятность которой приблизительно равна по- половине достоверности, называется сомнительной или неопределенной. Так, вероятнее то, что имеет -=- досто- верности, чем то, что имеет -г= , хотя, на самом деле, ни то, ни другое не вероятно. Возможно то, что имеет хоть какую-нибудь степень достоверности; невозможно же то, что не имеет никакой или безконечно малую •). Так, возможно то, что имеет й« или ~ достоверности. Нравственно достоверно то, чего вероятность почти равна полной достоверности, так что разница неощутима.
ГЛАВА I. О ДОСТОВЕРНОСТИ И ВЕРОЯТНОСТИ 25 Наоборот, нравственно невозможно то, что имеет лишь столько вероятности, сколько нравственно достоверному не достает до полной достоверности. Так, если за нрав- 999 ственно достоверное считается то, что имеет -г^ до- достоверности, то будет нравственно невозможным имею- имеющее только tqqq Достоверности. Необходимое есть то, что не может не быть в настоя- настоящем, будущем или прошедшем и именно по необходи- необходимости или физической (так, огонь необходимо должен жечь, треугольник — иметь три угла, равных в сумме двум прямым, полнолуние — сопровождаться (лунным) затмением, когда луна находится в узле), или гипотети- гипотетической, по которой все, что есть, или было, или таковым предполагается, не может не быть (в этом смысле необ- необходимо, что Петр, о котором я знаю и принимаю, что он пишет, и в самом деле пишет), или, наконец, по необхо- необходимости условия или соглашения (так игрок, выбросив- выбросивший на кости шесть, необходимо считается выигравшим, если раньше между участниками игры было условлено, что выигрыш соединяется с выбрасыванием шестерки). Случайное (как свободное, зависящее от произвола разумнаго создания, так и случайное, зависящее от судь- судьбы или случая) есть то, что может быть или не быть в на- настоящем, прошедшем или будущем,— понятно, вслед- вследствие сил скрытых, не ближайших. Ибо и случайность не всегда исключает всякую необходимость до причин вторичных. Это я объясню примерами. Совершенно не- несомненно, что, при данном положении кости, скорости и разстоянии от доски, в тот момент, когда кость остав- оставляет руку бросающаго, она не может иначе падать, чем падает на самом деле. Равным образом, при данном соста- составе воздуха и данных массах, положениях, направлениях, скоростях ветров, паров и облаков, а также механиче- механических законах, по которым все это взаимодействует, завт- завтрашняя погода не может быть иной, чем та, которая на самом деле должна быть. Так что эти явления из своих ближайших причин следуют с неменьшей необходимо- необходимостью, чем затмения — из движения светил. И, однако, обычно только затмения причисляются к явлениям не-
26 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ обходимым, падение же кости и будущая погода — к слу- случайным. Причина этого исключительно та, что предпо- предполагаемое данным для определения последующих дей- действий и таковое на самом деле в природе нам недостаточ- недостаточно известно. И если бы даже это было известно, то недо- недостаточно развиты математический и физнческия знания, чтобы, исходя из данных причин, подвергнуть такия явления вычислению, подобно тому как из совершенных принципов Астрономии могут быть предвычисляемы и предсказываемы затмения. Да и сами затмения, прежде чем Астрономия достигла такого совершенства, в немень- неменьшей степени, чем два других явления, должны были причисляться к случайным. Отсюда следует, что кажу- кажущееся одному и в одно время случайным, другому (и даже тому же самому) и в другое время, после познания причин, представляется необходимым. Так что случай- случайность, главным образом, зависит от нашего знания, по- поскольку мы не видим никакого противоречия к небытию события теперь или в будущем, хотя здесь и теперь, в силу ближайшей причины, нам неизвестной, оно или осу- осуществляется с необходимостью или должно осущест- осуществиться. Счастьем или несчастьем называется не все, что нам приносит благо или зло, но только то, что с большей или, по крайней мере, с равной вероятностью могло бы тако- таковых не принести. И потому счастье или несчастье тем больше, чем менее было вероятным случившееся благо или зло 7). Так, исключительно счастлив тот, кто, рас- раскапывая землю, найдет клад, ибо даже при тысячах раскопок этого не случается. Если двадцать дезертиров, из которых один в пример другим должен быть казнен через повешение, бросают жребий, кому остаться в жи- живых, то собственно счастливыми не называются те девят- девятнадцать, которым выпал более благоприятный жребий, но тот двадцатый несчастнейшим, которому выпал чер- черный жребии. Равным образом, не должен называться счастливым твой друг, который ушел невредимым из сражения, где погибла малая часть сражавшихся, если, может быть, ты не сочтешь нужным так назвать его вследствие особенности блага, состоящаго в сохранении жизни.
Глава II О знании и предположении. Об искусстве делать предположения. Об основаниях для предположений. Некоторыя общия положения, сюда относящаяся Относительно того, что твердо известно и не подле- подлежит сомнению, мы говорим, что знаем или понимаем, относительно всего прочаго — что только догадываемся или предполагаем. Делать о какой-либо вещи предположения — все равно, что измерять ея вероятность. Поэтому, искусство предположений (Ars conjectandi (sive stochastice))y нас определяется (мы определяем) как искусство возможно точнее измерять вероятности вещей затем, чтобы в на- наших суждениях или действиях мы могли всегда выби- выбирать или следовать тому, что будет найдено лучшим, более удовлетворительным, спокойным и разумным '). В этом единственно заключается вся мудрость философа и благоразумие политика. Вероятности оцениваются одновременно и по числу и по весу доводов, которые как-нибудь указывают или доказывают, что некоторая вещь есть, будет или была. Под весом же я понимаю силу доводов. Самые доводы бывают или внутренние, обычно назы- называемые искусственными, извлекаемые из общих сообра- соображений причины, действия, лица, связи, признака или иных обстоятельств, которыя кажутся имеющими какое- либо отношение к доказываемому предмету; или внешние или неискусственные, извлекаемые из авторитета и свидетельства людей. Пример: Тит найден убитым на улице. Мевий обвиняется в совершении убийства. До-
28 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ воды обвинения следующие: 1) известно, что он питал ненависть к Титу (довод от причины, ибо эта самая не- ненависть могла толкнуть на убийство), 2) при допросе побледнел и отвечал робко (вот довод по действию, ибо возможно, что бледность и страх вытекали из сознания совершеннаго злодеяния), 3) в доме Мевия найден меч, обагренный кровью (вот признак), 4) в тот же день, как по дороге был убит Тит, там проходил Мевий (вот об- обстоятельство места и времени), 5) наконец, Кай утверж- утверждает, что накануне убийства Тита у него была ссора с Мевием (вот свидетельство). Однако, прежде чем при- приступить ближе к нашей задаче — указать, как следует пользоваться этими доводами для предположений при измерении вероятностей,— полезно предпослать неко- торыя общия правила или аксиомы, которыя всякому здравомыслящему человеку подсказывает простая смет- сметка и которыя в общежитии всегда соблюдаются более разумными. 1) Догадкам не место в тех вещах, где можно достиг- достигнуть полной достоверности. Поэтому пустой был бы Астроном, который, зная, что ежегодно случается от двух до трех (лунных) затмений, на этом основании пожелал бы предсказать о каком-либо полнолунии, будет ли затмение или нет, потому что верность того или дру- другого он мог бы узнать с помощью точнаго вычисления. Так же, если вор на допросе ответит, что украденную вещь продал Семпронию, то глупо поступит судья, ко- который по лицу и тону говорящаго или по качеству укра- украденной вором вещи или по каким другим обстоятельствам кражи пожелает убедиться в правильности утвержде- утверждения, когда на лицо Семпроний, от котораго все можно верно и легко узнать. 2) Не достаточно взвешивать один или другой довод; но нужно добыть все, которые могут дойти до нашего сведения и которые покажутся годными в каком-либо отношении для доказательства предположения. Три корабля, напр(имер), выходят из порта. Через некоторое время сообщают, что один из них при кораблекрушении погиб; делаются предположения: какой именно? Если я обращу внимание только на число кораблей, то сооб- соображу, что несчастье одинаково могло случиться с каж-
ГЛАВА II. О ЗНАНИИ И ПРЕДПОЛОЖЕНИИ 29 дым из них. Но так как я помню, что один из них в срав- сравнении с другими был стар и гнил, плохо снаряжен мач- мачтами и парусами, а также направлялся молодым и не- неопытным кормчим, то я считаю, что, по всей вероятности, погиб этот корабль, а не другие '). 3) Следует не только разсматривать доводы, приво- приводящие к утверждению, но и все те, которые могут при- привести к противоположному заключению, дабы после должного обсуждения тех и других стало ясно, которые перевешивают. О друге, очень долго отсутствующем из отечества, спрашивается, можно ли его объявить мерт- мертвым? За утвердительный ответ говорят следующие до- доводы: что, вопреки всем стараниям, о нем в течение целых двадцати лет ничего не удалось узнать; что путешествен- путешественники подвергаются очень многим опасностям для жизни, которыя не угрожают остающимся дома; поэтому, быть может, он кончил жизнь в волнах; быть может, был убит в дороге; быть может — в сражении; быть может, умер от болезни или какого другого случая на месте, где не был известен никому; что, если бы находился в живых, то был бы уже такого возраста, котораго и на родине немногие достигают; что написал бы, хотя бы находясь на самых далеких берегах Индии, так как знал, что его на родине ожидает наследство. И в таком же роде даль- дальше. Однако, не следует успокаиваться на этих доводах, но противополагать им другие, доказывающие обратное. Известно, что это человек был легкомысленный, с неохо- неохотой брался за перо, друзей не ценил; может быть, он взят в плен варварами, так что не мог писать; а, может быть, и написал когда-нибудь из Индии, но письмо про- пропало или по небрежности везших или при кораблекру- кораблекрушении. В довершение всего известно, что многие и доль- дольше отсутствовали, а, однако, наконец вернулись невре- невредимыми. 4) Для суждения о вещах общих достаточны доводы отдаленные и общие; но для суждения о частных вещах следует присоединять также доводы более близкие и специальные, если только такие имеются. Так, если вообще спрашивается, насколько вероятнее юноше 20-ти лет пережить старца 60-ти лет, чем последнему — пер- ваго, то, кроме разницы возраста и лет, нет ничего, что
30 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ можно принять в расчет. Но когда речь специально идет об определенных юноше Петре и старце Павле, следует сверх того обращать внимание на состояние их здоровья и на заботы каждаго из них о своем здоровье. Ибо если Петр слаб здоровьем, одержим страстями, живет неуме- неумеренно, то возможно, что Павел, хоть и старше годами, с полным основанием может надеяться на более продол- продолжительную жизнь. 5) В обстоятельствах неясных и сомнительных наши действия должны приостанавливаться, пока не прольется больший свет; но если необходимость действия не терпит отлагательства, из двух исходов нужно всегда избирать тот, который кажется более подходящим, безопасным, разумным или надежным, хотя бы ни один таковым на деле не был. Так, при возникшем пожаре, от котораго нельзя иначе спастись, как бросившись с вершины кры- крыши или с какого-нибудь менее высокаго этажа, следует избрать последнее, как менее опасное, хотя ни то, ни другое не является вполне надежным или свободным от опасности получить повреждения 10). 6) Что в некотором случае полезно, но ни в каком не вредно, следует предпочитать тому, что никогда не приносит ни пользы, ни вреда. С этим согласуется не- немецкая поговорка «Hilft es nicht, so schadet es nicht!» "). Последняя аксиома вытекает из предыдущего; ибо то, что может быть полезным, при прочих равных усло- условиях, удовлетворительнее, надежнее, желательнее того, что не может. 7) Не следует оценивать поступки людей по их ре- результатам. Ибо иногда самые безразсудные поступки сопровождаются наилучшим успехом, разумнейшие же, наоборот,— наихудшим. В согласии с этим говорит поэт: «я бы хотел, чтобы всякий, полагающий необхо- необходимым оценивать поступки по результатам, не имел успеха». Так, если кто-нибудь собирается тремя костями с перваго же раза выбросить три шестерки, то, хотя бы он и выиграл, однако должен считаться безразсудным. Напротив, следует отметить превратное суждение тол- толпы, которая считает кого-либо тем более выдающимся, чем он счастливее, и у которой даже удачное и счастли- счастливое преступление большей частью называется доброде-
ГЛАВА II. О ЗНАНИИ И ПРЕДПОЛОЖЕНИИ 31 телью. Об этом опять прекрасно говорит Оуен: «Дока- «Доказывают, что Анк мудр, потому что плохо задуманное оказалось удачным, хотя он только что считался глуп- глупцом. Если разумно предусмотренное имеет неудачный исход, то и сам Катон во мнении толпы будет глупцом» 1а). 8) В суждениях наших следует остерегаться, чтобы не приписывать вещам более, чем следует, и не считать самим, а равно и не навязывать другим, за безусловно достоверное нечто такое, что только вероятнее другого. Ибо необходимо, чтобы придаваемая вещам вера сооб- сообразовалась со степенью достоверности, которую имеет каждая вещь, и была в том же отношении меньше, в ка- каком меньше сама вероятность ея. Это выражается немец- немецкой поговоркой «Man muss ein jedes in seinem Werth und Unwerth beruhen lassen» 13). 9) Однако, так как только в редких случаях можно достичь полной достоверности, то необходимость и обы- обычай требуют, чтобы нравственно лишь достоверное счи- считалось безусловно достоверным. Было бы поэтому по- полезно, если бы властью Правительства были установле- установлены для нравственной достоверности известные преде- пределы,— например, если было бы определено, достаточно 99 Л 999 ли для достижения ея щ или требуется -г^ досто- достоверности, чтобы Судья не оказывал какого-либо при- пристрастия сторонам, но имел твердый указания, с которы- которыми постоянно согласовался бы при вынесении приговора. Много других подобнаго рода положений каждый, наученный житейским опытом, может составить сам для себя; всех их мы едва ли даже можем помнить вне под- ходящаго случая.
Глава III О разных родах доводов и о том, как оцениваются их веса для вычисления вероятностей вещей Кто разсматривает различные доводы, при помощи которых составляются наши мнения или предположения, тот заметит в них троякое различие: ибо некоторые из них обязательно существуют, но не обязательно доказы- доказывают; другие не обязательно существуют, но обязатель- обязательно доказывают; наконец, третьи одновременно не обяза- обязательно существуют и не обязательно доказывают. Раз- Различие поясняю примерами. Мой брат давно мне ничего не пишет. Сомневаюсь, виновны ли в этом его леность или занятия. Опасаюсь, не умер ли даже он. Здесь до- доводы для объяснения прекращения переписки троякие: леность, смерть, занятия. Из них первый существует обязательно (по необходимости гипотетической, ибо я знаю и полагаю, что брат ленив), но не обязательно дока- доказывает, ибо эта леность могла бы и не помешать писать. Второй не обязательно существует (ибо брат может быть и до сих пор жив), но обязательно доказывает, ибо мерт- мертвый не может написать. Третий и не обязательно суще- существует и не обязательно доказывает, ибо брат может иметь занятия, а может и не иметь, и если имеет, то они могут быть не такими, чтобы удержать его от писанья. Другой пример: предполагаю игрока, который по условиям игры выигрывает, если на двух костях он выбросит семь очков, и желаю угадать, какую надежду выиграть имеет такой игрок. Здесь довод для выигрыша состоит в выбра- выбрасывании семи очков. Этот довод указывает на выигрыш обязательно (именно в силу соглашения между игрока-
ГЛАВА III. О РАЗНЫХ РОДАХ ДОВОДОВ 33 ми), но существует только случайно, так как кроме семи могут выпасть и другия числа очков. Кроме этой разницы между доводами в них следует отметить также и другое отличие, так как некоторые из них чистые, другие смешанные. Я называю чистыми такие, которые в некоторых случаях так доказывают вещь, что в других ничего не доказывают положительно; смешанными же — такие, которые в известных случаях так доказывают вещь, что в других доказывают против- противное. Примером пусть будет следующее: если в толпе спо- спорящих некто был изранен мечом и, по свидетельству достойных веры людей, наблюдавших издали, достовер- достоверно, что совершивший преступление был в черной одежде, и если среди споривших находился Гракх с тремя дру- другими, одетыми в одежду того же цвета, то эта одежда будет некоторым доводом в пользу того, что убийство совершил Гракх, но смешанным; ибо в одном случае этот довод доказывает его вину, а в трех других невиновность,— потому именно, что преступление было совершено или им, или одним из трех других, и не могло быть совершено последними без того, чтобы Гракх был невиновным. Если же на последующем допросе Гракх побледнел, то эта бледность лица является доводом чистым, ибо дока- доказывает вину Гракха, если исходить от смущенной со- совести; но, обратно, не доказывает его невиновность, если имеет другое происхождение, так как возможно, что Гракх побледнел по другой причине, и, однако, сам был виновником убийства. Из сказаннаго до сих пор ясно, что сила доказатель- доказательности, свойственная какому-либо доводу, зависит от числа случаев, при которых он может существовать или не существовать, доказывать или не доказывать или даже доказывать противное. Поэтому, и степень достоверности или вероятность, обусловливаемая этим доводом, может быть выведена из тех случаев по правилам первой части совершенно так же, как высчитывается судьба игроков в играх, зависящих от случая. Чтобы показать это, при- примем число случаев, при которых некоторый довод может существовать, равным Ь; число случаев, при которых может не существовать, равным с; число тех и других а=Ь+с. Примем также число случаев, при которых до- 3 Я- Бернулля
34 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ вод может доказывать, равным р4; при которых не дока- доказывает или доказывает противное — равным у; число тех и других а=р+у. Я предполагаю, что все случаи одинаково возможны или могут иметь место одинаково легко. Иначе необходимо уравнять их и вместо каждаго легче встречающагося случая считать столько других, насколько он легче имеет место, чем прочие; напр(имер), вместо втрое легчайшаго случая я считаю три случая, которые могут иметь место с той же легкостью, как другие. 1) Итак, пусть, во-первых, довод необязательно су- существует, но обязательно доказывает. Из только что нечисленных случаев будут b случаев, когда довод мо- может существовать и потому доказывать вещь (или 1); и с случаев, когда он может не существовать и потому ни- ничего не доказывать; что в силу следствия I, предложения III, первой части 14), дает вес ЪА+С'О _ Ъ так что такой довод доказывает —вещи или такую часть ея достоверности. 2) Пусть, затем, довод необходимо существует, но необязательно доказывает. По предположению, будет р4 случаев, когда он может доказывать вещь, и у случаев, когда он не доказывает или доказывает противное, что в данном случае для силы доказательности довода дает а Потому, такой довод доказывает •?• достоверности вещи; если же, сверх того, он смешанный, то им доказы- доказывается (что получается таким же образом) V а достоверности противнаго. 3) Если какой-нибудь довод необязательно существу- существует и необязательно доказывает, то на время я полагаю его существующим, в каковом случае, по только-что
ГЛАВА III. О РАЗНЫХ РОДАХ ДОВОДОВ 35 объясненному, он считается доказывающим — вещи и, сверх того, если довод смешанный, -L противнаго. От- Откуда, так как имеется Ь случаев, при которых он может существовать, и с случаев, при которых он может не существовать и потому ничего не доказывать, сила дока- доказательности довода составит аа и если довод смешанный, то сила его для доказательства противнаго будет а _ by а аа ' 4) Далее, если собираются несколько доводов для доказательства одного и того же и будут обозначены числа случаев для довода: 1-го 2-го 3-го 4-го 5-го и т. д. всех ad g P s » » » доказывающих b e h q t » » » недоказывающих или \ f i r и ¦» » » доказ(ывающих) противное/' * ' то сила доказательности, вытекающая из совокупности всех доводов, оценивается так. Пусть, во-первых, все доводы — чистые; вес перваго довода, разсматриваемаго в отдельности, будет, как мы видели, — = 2Ш?(Надо а а написать — , если довод необязательно доказывает, или —*-, если вместе с тем и необязательно существует). Пусть теперь присоединяется другой довод, который в е или d—f случаях доказывает вещь или 1 и в / случаях ничего не доказывает и потому оставляет в силе только вес перваго довода, который, как показано, есть ^^; сила доказательности совокупности обоих доводов
36 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ составит а < cf d У~"Ш% Пусть присоединяется и третий довод. Будут h или g—/ случаев, которые доказывают вещь, и i случаев, когда третий довод ничего не доказывает, и только два первых сохраняют свою силу, оцениваемую дробью —-^-, откуда сила всех трех будет считаться равной cfi adg И таким же образом дальше, если имеется большее число доводов. Отсюда ясно, что все доводы в совокуп- совокупности дают вероятность, которая от полной достовер- достоверности вещи отличается на часть единицы, происшедшую от разделения ((частное от деления)) произведения числа недоказывающих случаев на произведение числа всех случаев для всех доводов "). 5) Пусть, во-вторых, все доводы смешанные. Так как число доказывающих случаев для перваго довода Ь, для второго е, для третьяго Л и т. д. и число случаев, дока- доказывающих противное, есть с, f, i и т. д., то вероятность вещи относится к вероятности противнаго, в силу одного перваго довода, как b к с, в силу одного второго — как е к /, в силу одного третьяго — как h к i и т. д., откуда достаточно очевидно, что полная доказательная сила, происходящая от совокупности всех доводов, составля- составляется из сил всех отдельных доводов, т. е. что вероятность вещи относится к вероятности противоположнаго, как beh . . . к cfi ... , так что сама вероятность вещи будет1в) beh beh+cfi и вероятность противоположнаго cfi beh+cfi '
ГЛАВА III. О РАЗНЫХ РОДАХ ДОВОДОВ 37 6) Пусть опять некоторые доводы будут чистыми (напр(имер), три первых) и некоторые смешанными, (напр(имер), два остающихся). Разсматриваю, во-первых, одни чистые доводы, которые по § 4 доказывают adg—cfi adg достоверности вещи, при чем эта дробь разнится от 1 на —J-,— следовательно, как бы имеется adg — cfi слу- случаев, когда эти три довода, вместе взятые, доказывают вещь или 1,— и cfi случаев, когда они ничего не доказы- доказывают и потому оставляют доказательство за одними лишь смешанными доводами. Но эти два, по предложению) § 5, доказывают -^-— вещи и —тх— противополож- наго. Вследствие чего вероятность вещи, вытекающая из всех доводов, есть adg adg(qt-\-ru) ' которая от полной достоверности или 1 отличается про- произведением дроби —j- (на которую от единицы разнится вероятность, происходящая, по § 4, от одних только чис- чистых доводов) на дробь г" , выражающую абсолют- абсолютную вероятность противоположнаго, извлеченную, по § 5, из смешанных доводов "). 7) Если, кроме доводов, приводящих к доказатель- доказательству вещи, представляются другие чистые доводы в поль- пользу противнаго, то доводы обоего рода по предыду- предыдущим) правилам должны быть взвешиваемы в отдельности, так чтобы отсюда можно было узнать отношение, в кото- котором находятся вероятность вещи и вероятность противо- противоположнаго. При этом следует заметить, что абсолютная вероятность того и другого может заметно превзойти половину достоверности, если доводы, приводимые за и против, достаточно сильны, т. е. из двух противополож- противоположных ответов каждый будет вероятным, хотя относительно один будет менее вероятным, чем другой. Так, может
38 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ 2 случиться, что нечто имеет -j достоверности, между тем 3 как ему противоположное — -г-, почему каждая из про- противоположных возможностей будет вероятной, и, од- однако, первая — менее вероятной, чем противоположная, 2 3 и именно в отношении -*¦ к -.- или 8 к 9. 3 4 Здесь я не могу скрыть, что при применении этих правил к частным случаям я предвижу многое, что может часто послужить причиной постыдных ошибок, если при различении доводов не соблюдать предосторожностей. Ибо иногда такие доводы могут казаться различными, которые на самом деле составляют один и тот же довод, и — обратно: различные доводы могут быть приняты за один. Иногда в доводе имеются такия предпосылки, которыя совершенно опровергают довод в пользу про- тивнаго и т. д. Для пояснения этого привожу только два примера. В приведенном выше примере Гракха пред- предполагаю, что те достойные веры люди, которые видели споривших, заметили сверх всего на убийце рыжие во- волосы, при чем таким цветом волос отличался Гракх вместе с двумя другими, из которых, однако, ни на одном не было черной одежды. В этом случае, если бы кто-либо из тех указаний, что кроме Гракха трое одеты в черное и кроме него же двое отличаются рыжим цветом волос, высчитал, по § 5, что отношение между вероятностями вины и невиновности Гракха равно отношению 1 : 6, и потому, будто бы, гораздо правдоподобнее, что Гракх невиновен, чем виновен в убийстве, то он высчитал бы нелепо. Ибо здесь собственно нет двух доводов, но только один, извлеченный из двух обстоятельств: цвета одежды и волос. Так как эти обстоятельства соединяются только в лице Гракха, то они доказывают, что убийцей никто другой не мог быть, кроме него. Другой пример "). О некотором писанном договоре возникает сомнение, не поставлен ли на документе обманным образом более ран- ранний срок, чем нужно? Доводом в пользу противнаго может быть то, что документ подписан рукою нотариуса, т. е. лица официальна™ и присяжнаго, относительно котораго мало вероятно, чтобы он мог допустить какой-
ГЛАВА III. О РАЗНЫХ РОДАХ ДОВОДОВ 39 либо обман, так как он не мог бы этого сделать без вели* чайшей опасности для своей чести и благостояния, и, сверх того, даже из 50 нотариусов едва-ли найдется один, который дерзнул бы совершить такую гнусность. Дово- Доводами в пользу утвердительнаго ответа могут быть следую- следующие: что об этом нотариусе идет очень худая слава, что от обмана он мог ожидать величайшую выгоду; в осо- особенности же, что он засвидетельствовал не имеющее никакой вероятности, в роде того, как если б написал, что некто дал другому в долг 10 000 золотых в то время, как, по мнению всех, все его состояние составляло едва-ли 100. Здесь, если разсматривать в отдельности довод от общественнаго положения подписавшего лица, то можно оценить вероятность правильности документа прибли- приблизительно в 5q достоверности. Если взвешивать доводы в пользу противнаго, то придется заключить, что едва-ли возможно, чтобы в документе не было подлога, так что допущенный в нем обман имеет моральную достоверность, 999 т. е. около ущ достоверности. Но отсюда не следует выводить, что вероятности правильности и подложности, •с- 49 999 по § 7, находятся в отношении ^ к -^щ, т. е. почти в отношении равенства. Ибо если я полагаю нотариуса безчестным, то тем самым полагаю, что он не находится в числе 49 честных нотариусов, ненавидящих обман, а есть именно тот пятидесятый, который не совестится безчестно исполнять свои обязанности; что вполне унич- уничтожает всю силу того довода, который в других случаях мог бы доказать правильность документа.
Глава IV О двояком способе определения числа случаев. Что следует думать о том способе, который опирается на опыт. Особенная задача, представляющаяся по этому поводу. И проч <ее> В предыдущей главе показано, как по числу случаев, в которых доводы для каких-либо вещей могут существо- существовать или не существовать, доказывать или не доказы- доказывать или даже доказывать противное, могут быть под- подвергнуты вычислению и измерены доказательный силы их и соответствующия вероятности. Все дело сводится к тому, чтобы для правильнаго составления предполо- предположений о какой-либо вещи были точно исчислены как числа тех случаев, так равно было бы определено, на- насколько одни могут легче встретиться, чем другие. Но здесь мы, повидимому, встречаем препятствие, так как только крайне редко это возможно сделать и почти нигде не удается, кроме игр, зависящих от случая, которыя первые изобретатели, постаравшись сделать безобидны- безобидными, устроили так, чтобы были совершенно известны числа случаев, влекущих выигрыш или проигрыш, а сами случаи могли бы встретиться одинаково легко. В боль- большинстве же других явлений, зависящих или от действий сил естественных, или от свободной воли людей, не имеет места ни то, ни другое. Так, напр(имер), известно число случаев при игре в кости. Для каждой кости их, очевид- очевидно, столько, сколько граней, и все они равновозмож- ны "), так как вследствие подобия ((конгруэнтности)) граней и равномерной плотности кости нет никакого основания, почему одна грань могла бы легче открыться,
ГЛАВА IV. ОСОБЕННАЯ ЗАДАЧА 41 чем другая. Так было бы, если бы грани были различной формы или кость в одной части состояла из более тяже- лаго материала, чем в другой. Так, равным образом, известно число случаев при извлечении из урны билетика белаго или чернаго, и известно, что все они одинаково возможны; именно потому, что определено и известно число билетов обеих категорий и не видно никакого основания выйти одному из них легче, чем всякому дру- другому. Но спрашивается, кто из смертных когда-либо определит, как такое же число случаев {назовет извест- известным) число, напр(имер), болезней, которыя во всяком возрасте поражают безчисленное множество частей че- человеческаго тела и могут нам причинить смерть; и на- насколько одна болезнь легче погубит человека, чем дру- другая: напр(имер), чума, чем водобоязнь (бешенство), водобоязнь, чем лихорадка, чтобы отсюда можно было составить предположение о жизни или смерти в будущем? Кто также сочтет безчисленные случаи перемен, которым ежедневно подвергается воздух, чтобы отсюда можно было сделать предположение, каково будет его состояние через месяц или, тем паче, через год? Опять, кто доста- достаточно знает природу человеческаго ума или удивительное устройство нашего тела, чтобы в играх, зависящих вполне или отчасти от остроты ума или ловкости тела, дерзнуть определить случаи, когда тот или другой из участников игры может одержать победу или потерпеть поражение? Так как это и подобное зависит от причин совершенно скрытых и сверх того, вследствие безконечнаго разнооб- разнообразия их сочетаний, всегда ускользающих от нашего познания, то было бы совершенно безумно желать что- либо узнать таким путем. Но здесь нам открывается другая дорога для достижения искомаго. И что не дано вывести a priori, то, по крайней мере, можно получить a posteriori, т. е. из многократнаго наблюдения резуль- результатов в подобных примерах. Потому что должно предпо- предполагать, что некоторое явление впоследствии в стольких же случаях может случиться или не случиться, в сколь- скольких при подобном же положении вещей раньше оно было отмечено случившимся или неслучившимся. Ибо, если, напр(имер), при наблюдениях, сделанных некогда над тремя стами людей того же возраста и сложения, как
42 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ теперь Тит, было замечено, что из них двести до истече- истечения десяти лет умерли, а остальные остались в живых и дольше, то можно заключить с достаточным основанием, что вдвое больше случаев и Титу умереть в течение бли- жайшаго десятилетия, чем остаться в живых по истече- истечении этого срока. Также, если кто-либо будет разсматри- вать состояние погоды за очень большое число истекших годов и будет отмечать, сколько раз она была ясной или дождливой, или кто-либо очень часто будет присутство- присутствовать при игре двоих и наблюдать, сколько раз тот или другой оказывается в игре победителем, то тем самым откроет отношение, в котором вероятно находятся числа случаев, когда то же событие при обстоятельствах, по- подобных прежним, и в будущем может случиться или не случиться. Этот опытный способ определения числа слу- случаев по наблюдениям не нов и не необычен. Ибо и знаме- знаменитый автор «L'art de penser», муж большого ума и проницательности 20), в главе 12 и следующих главах) последней части предписывает подобное же, и то же все постоянно соблюдают в повседневной практике. Далее, всякому ясно и то, что для такого разсуждения о каком- либо явлении не достаточно взять одно или другое наблю- наблюдение, но требуется большой запас наблюдений. Потому- то даже самый ограниченный человек по какому-то при- природному инстинкту сам собой и без всякаго предвари- тельнаго обучения (что очень удивительно) знает, что чем больше принято во внимание таких наблюдений, тем менее опасность не достичь цели. Хотя это естественным образом всем известно, однако, доказательство, извле- извлекаемое из научных оснований, вовсе не так обычно, и потому нам предстоит его здесь изложить. Причем я счел бы для себя малой заслугой, если бы остановился на доказательстве только того, что все знают. Здесь для разсмотрения остается нечто, о чем до сих пор, может быть, никто и не подумал. Именно, остается изследовать, будет ли при таком увеличении числа наблюдений вероят- вероятность достичь действительнаго отношения между чис- числами случаев, при которых какое-либо событие может случиться, или не случиться, постоянно возрастать так, чтобы, наконец, превзойти всякую степень достоверности, или же задача, так сказать, имеет свою асимптоту, т. е.
ГЛАВА IV. ОСОБЕННАЯ ЗАДАЧА 43 имеется такая степень достоверности, которую никогда нельзя превзойти, как бы ни умножались наблюдения; так что, напр(имер), никогда нельзя иметь уверенность 2 3 более половины, или у, или -j- достоверности в том, что мы нашли истинное отношение случаев. Чтобы на при- примере было ясно, чего я хочу, я предполагаю, что в не- некоторой урне, без твоего ведома, скрыты три тысячи белых и две тысячи черных камешков и что ты, для опре- определения числа их опытом, извлекаешь один камешек за другим (однако, каждый раз кладя обратно извлеченный до вынутия следующего, дабы не уменьшалось число камешков в урне) и замечаешь, сколько раз выходит белый и сколько раз — черный. Требуется узнать, мо- можешь ли ты это проделать столько раз, чтобы в десять, в сто, в тысячу раз и т. д. было вероятнее (т. е. оказа- оказалось бы, наконец, нравственно достоверным), что числа появлений белых и черных будут находиться в том же отношении 3 к 2, в каком находятся самыя числа камеш- камешков, чем в каком-либо другом отношении, от этого от- отличном? Если бы этого не случилось, то, признаюсь, следовало бы усомниться в нашей попытке определять числа случаев из опытов. Но если это достигается и таким путем, наконец, получается нравственная досто- достоверность (а что это на самом деле так,— я покажу в сле- следующей главе), то находим числа случаев a posteriori почти с тою же точностью, как если бы они были нам известны a priori; что в общественной жизни, где нрав- нравственно достоверное принимается за вполне достоверное, по полож(ению) 9 главы II,без сомнения, вполне доста- достаточно, дабы направить наши предположения в каком угодно предмете случайном не менее научно, чем в играх. Ибо если мы урну заменим воздухом, напр(имер), или человеческим телом, которые содержат в себе источники разных перемен или болезней, подобно тому как урна — камешки, то мы будем в состоянии совершенно так же наблюдениями определить, насколько легче в этих вещах может получиться то или другое явление. Чтобы не по- понимать этого превратно, следует заметить, что отноше- отношение между числами случаев, которые мы желаем опреде- определить опытом, понимается не в смысле точна го отношения
44 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ (ибо при таком воззрении случилось бы как раз обрат- обратное, и вероятность найти истинное отношение была бы тем меньше, чем более было взято наблюденийJ1), но до известной степени приближеннаго, т. е. заключеннаго в двух границах, которыя можно взять сколь угодно тесными. Именно, если в только что приведенном при- 301 299 мере камешков возьмем два отношения обо и 2бб или 3001 2999 ,, 2000 и 2000 и т- д» из которых одно весьма близко, но больше, а другое весьма близко, но меньше отношения -j , то будет показано, что, задав какую угодно вероятность, можно сделать более вероятным, что найденное из мно- многих наблюдений отношение будет заключено в этих пре- пределах полуторнаго отношения, а не вне их. Вот, следовательно, какова задача, которую я здесь решил обнародовать, после того как уже в течение двад- двадцати лет владел ея решением 22). Новизна этой задачи и величайшая польза, сопряженная с такою же трудно- трудностью, может придать вес и цену всем другим главам этого учения. Но прежде изложения ея решения я в ко- коротких словах защищусь от возражений, которыя вы- выставили некоторые ученые мужи против этих положе- положений м). 1) Во-первых, возражают, что одно — отношение ка- камешков, а другое — отношение болезней или перемен воздуха. Именно, число первых определенное, а вто- вторых — неопределенное. На это я возражаю, что и то, и другое в отношении к нашему познанию одинаково может считаться неопределенным и неясным. Но все, что само по себе и по своей природе таково, мы можем представить себе не лучше, чем вещь, одновременно созданную Творцом природы и не созданную; ибо все сотворенное Богом определяется уже при самом творе- творении. 2) Во-вторых, возражают, что число камешков ко- конечно, а болезней и проч. безконечно. Отв{ет). Скорее невообразимо большое, чем безконечное. Но допустим, что на самом деле — безконечно большое. Известно, что даже между двумя безконечностями может существовать
ГЛАВА IV. ОСОБЕННАЯ ЗАДАЧА 45 определенное отношение, выразимое конечными числами или точно, или, по крайней мере, с каким угодно при- приближением. Так, отношение каждой окружности к диа- диаметру определенное, которое, правда, точно не выража- выражается иначе, как круговым числом Лудольфа, безконечно продолженным; однако, Архимедом, Мецием и самим Лудольфом заключено в пределы, весьма удовлетвори- удовлетворительно близкие для практики м). Поэтому, ничто не препятствует, чтобы отношение двух безконечностей, приближенно выраженное конечными числами, также могло быть определено конечным числом опытов. 3) Говорят, в-третьих, что число болезней не остается постоянным, но каждый день возникают новыя. Отв(ет). Что с течением времени болезни могут умножаться,— этого мы не можем отвергать; и несомненно, что тот, кто пожелает из теперешних наблюдений сделать заключе- заключения о временах до-дилювианских предков и), весьма сильно отклонится от истины. Но отсюда ничего не сле- следует, кроме того, что иногда нужно возобновлять наблю- наблюдения, подобно тому, как следовало бы возобновлять наблюдения и с камешками, если бы предполагать число их в урне изменяющимся.
Глава V Решение предыдущей задачи Чтобы изложить длинное доказательство с возможною краткостью и ясностью, я попытаюсь свести все к чистой математике, извлекая из нея следующия леммы, после доказательства которых все остальное сведется только к их применению. Лемма 1. Пусть дан ряд скольких угодно чисел 0, 1, 2, 3, 4 и т. д., следующих, начиная от нуля, в естествен- естественном порядке, из которых крайнее н наибольшее пусть будет r+s, какое-либо среднее г и два ближайших к нему числа с обеих сторон г+1 и г—1. Пусть, далее, этот ряд будет продолжен до тех пор, пока крайний член не сде- сделается равным какому-нибудь кратному числа r+s, т. е. пока не сделается равным nr+ns. В том же отношении увеличатся среднее число г и рядом с ним стоящия г+1 и г—1, так что вместо них получатся пг, nr+п, пг—п, и первоначальный ряд О, 1, 2, 3, 4, .... г—\, г, г+1, .... r+s обратится в такой: О, 1, 2, 3, 4,... , пг—п, ... , лг,. . . , nr+п, . . . .. . , nr+ns. С возрастанием п таким образом будет увеличиваться как число членов, которые лежат между средним пг и одним из предельных nr+п или пг—п, так и число тех, которые идут от этих пределов до крайних членов nr+ns или 0. Но, однако, никогда (как бы велико ни было взя- взято п) число членов за большим пределом nr+п не будет более, чем в s— 1 раз, и число членов перед меньшим
ГЛАВА V. РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ 47 пределом пг—п не будет более, чем в г—1 раз, превышать число заключенных между средним пг и одним из пре- пределов nr+п или nr—п. Ибо после вычитания ясно, что между большим пределом и крайним членом nr+ns имеется ns—л промежуточных членов, и между мень- меньшим пределом и крайним 0 имеется пг—п промежуточ- промежуточных членов, между средним и каждым из пределов п промежуточных членов. Но всегда (ns—n): n=(s— 1): 1 и (nr—п): п—(г—1): 1. Откуда следует и т. д. Лемма 2. Всякая целая степень какого-либо двучлена r-\-s выражается числом членов, на единицу большим числа единиц в показателе степени. Ибо квадрат содер- содержит 3 члена, куб 4, биквадрат 5 и т. д., как известно. Лемма 3. В любой степени этого двучлена (по крайней мере, такой, которой показатель равен двучлену r-\-s=t или его кратному,— напр<имер>, nr+ns=nt) *•) некото- некоторый член М будет наибольшим, если числа предшествую- предшествующих ему и следующих за ним членов находятся в отно- отношении s к г или, что то же, если в этом члене показатели букв г и 5 находятся в отношении самих количеств г и s; более близкий к нему член с той и с другой стороны боль- больше более удаленнаго с той же стороны; но тот же член М имеет к более близкому меньшее отношение, чем более близкий к более удаленному при равном числе промежу- промежуточных членов 47). Доказательство) 1. Геометрам хорошо известно, что степень nt двучлена r+s, т. е. (r+s)ni, выражается таким рядом nt{nt-\)(nt-2) t 1-2-3 5-J-... В этом ряду степени г постепенно уменьшаются, а сте- степени s увеличиваются, причем коэффициенты второго и предпоследнего членов у, 3-го с начала и 3-го с конца 2Ц^-\ 4-го с начала и 4-го с конца "'("'->> f-2) и т. д. Так как число всех членов кроме М, по лемме 2, есть nt=nr+ns, а, по предположению, числа членов,
48 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ предшествующих этому и за ним следующих, относятся, как s к г, то число тех членов, которые предшествуют М, будет ns, а тех, которые за ним следуют,— пг. Откуда, по закону образования ряда, член М будет nt(nt — \). илн nt(nt-l)...(ns+\) 1-2...ЯГ r s и подобным же образом ближайший к нему член слева nt(nt-l)...(nr+2) , , 1-2...(ns— 1) справа nt(nt-l)...(ns+2) 1-2...(пг— 1) и равным образом следующий слева nt(nt-l)...(nr+3) +, 4 1-2...(ns—2) s справа 1Г_2 , 1-2...(пг—2) Откуда, после предварительнаго сокращения общих множителей, станет ясным, что член М относится к бли- ближайшему слева, как (nr+1) s к nr-s, этот к следующему, как (nr-f-2) s к (ns—1) г, и проч.; и также, что член М относится к ближайшему справа, как (ns+l) г к nrs, а этот к следующему, как (ns+2) г к (пг—1) s, и проч. Но (nr+1) s>nrs и (nr+2) s>nsr—r и проч. Также (ns-f-1) r>nsr и (ns+2) r>nrs—s и проч.
ГЛАВА V. РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ 49 Следовательно, член М больше ближайшаго с обеих сторон, а этот — больше более удаленнаго с той же сто- стороны и проч. Ч. т. д. {что требовалось доказать). 2) Отношение ^—- меньше отношения ^| что ясно; поэтому, после умножения на одно и то же от- отношение — будет (nr+l)s (nr+2)s nsr («s—1) г " Подобно этому отношение 2?±_ < ??±*; следо- следовательно, по умножении на отношение — также {ns+l)r ^ (ns+2)r nrs ^ (nr—l)s • Но отношение (nr+l)s nsr равно отношению члена М к ближайшему слева, и от- отношение (*r+2)s (ns-l)r равно отношению этого члена к следующему. Также от- отношение (ns+l)r nrs равно отношению члена М к ближайшему справа, и (ns+2)r (nr-l)s равно отношению этого члена к следующему. То, что только что показано, можно равным образом применить и ко всем прочим членам. Вследствие этого наибольший член М имеет меньшее отношение к более близким членам с обеих сторон, чем (при равном числе промежуточных членов) более близ- близкий к более удаленному с той же стороны. Ч. т. д. (что требовалось доказать). 4 Я' Бериулли
50 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ Лемма 4. В степени двучлена с показателем nt число п может быть взято столь большим, чтобы отношение наибольшаго члена М к двум другим (к любому из двух других) L и Л, отстоящим от него налево и направо на п членов, превзошло всякое данное отношение. Доказательство). Так как в предыдущей лемме наибольший член М был найден равным или nt(nt-l)...(nr+l) 1.2.../И Г S nt(nt-\)...{ns+\) то по закону образования ряда члены L и Л будут L слева nt(nt-l)...(nr+n+l) +п „ Ь2... (ns—n) * Л справа nt(n(-l)...(ns+n+l) „,.„„,+„ 1-2. ..(пг—п) ' откуда получается после приличных (надлежащих) со- сокращений на общие множители М =(nr+n)(nr+n—l)...(nr+l)-!P L (ns—n+l) (ns—n+2)...nsT" M __ (ns+n)(ns+n+l)...(ns+l)-r* Л (nr—n+l)(nr—n+2)...nr-sP или _Л? (nrs + ns) (nrs-\-ns—s)... (ws-J-s) L (nrs—nr-\-r)(nrs—nr+2r) ...nrs M _(nrs-\-nr)(nrs-\-nr—r)...(nrs-\-r) Л ~~(nrs—ns+s)(nrs—ns-{-2s)...nrs' Но эти отношения будут безконечно большими, когда п полагается безконечным: ибо тогда исчезают числа I, 2, 3 и проч. по сравнению ел, и сами числа пг±пТ-1, nr±n^p2, nr±n^3 и проч., и ns±nq=l, ns±n=p2, ns± ±ЛТЗ и проч. будут иметь то же значение, как пг±п и ns±n, так что по разделении на п получится м) М _ (rs+s)(rs+s)...rs M _ (rs+r)(rs-]-r)...rs L {rs—r)(rs—r)...rs ' Л ~~ (rs—s)(rs—s)...rs
ГЛАВА V. РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ 51 Эти отношения составляются, как ясно, из стольких отношений И±1 или 2i?, сколько есть множителей; а их число л, т. е. безконечное, так как между пер- первыми множителями пг+п или ns+n и последними пг+1 и ns+l разность есть п—1. Вследствие чего эти отно- отношения будут безконечными степенями ^i^ и ^i^ и потому безконечно большими. Если ты сомневаешься в этом заключении, то представь себе безконечное число чисел в непрерывной пропорции с отношением rs+s к rs—г или rs+r к rs—s ••). Отношение перваго числа к третьему будет квадратом, перваго к 4-му — кубом, перваго к 5-му — четвертой степенью н т. д.; наконец, перваго к последнему — безконечной степенью отноше- ння —^- или —^-; но известно, что отношение пер- перваго члена к последнему безконечно большое, так как последний член = 0 (см. следств(ие> предложения) 6-го Трактата о безконечных рядах).30) Поэтому, ясно, что безконечная степени отношения ?х? или HiL без- rs—г rs—s конечно велики. Таким образом, показано, что в без- безконечно высокой степени двучлена отношение наиболь- наибольшего члена к двум другим (к любому из двух других) L и Л превосходит всякое заданное отношение. Ч. т. д. (что требовалось доказать). Лемма 5. Предположив то же, что выше, можно пред- представить такое большое число л, чтобы сумма всех членов от средняго и наибольшего М до обоих членов (до лю- любого из членов) L и Л включительно имела к сумме всех других вне пределов L н Л, взятых в каком угодно числе, отношение, большее всякаго заданнаго (числа). Доказательство). Члены между наибольшим М и предельным слева L пусть обозначаются: второй от наи- наибольшего— F, третий — G, четвертый — Н и т.д., и за пределом L: второй от него — Р, третий — Q, чет- четвертый — R, и т. д.31) Так как по второй части леммы 3 отношения У<Т' '0"<Т> ~F<R ит-д- 4*
>2 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ го также будет *<?<«<»„. д. Так как, по лемме 4, при л безконечно большом отно- отношение -j- безконечно, то тем более будут безконечными Р С ff отношения -р, -q , -g, ..., и потому отношение F+G+H+... P+Q+R+... также безконечно, т. е. сумма членов между наибольшим М и пределом L безконечно больше суммы такого же числа членов за пределом L и наиболее к нему близких. И так как число всех членов за пределом L превышает, по лемме 1, не более чем в s—1 раз (т. е. конечное число раз) число членов между этим пределом и наибольшим членом М, а сами члены делаются тем меньше, чем даль- дальше они отстоят от предела, по 1-й части 3-й леммы, то сумма всех членов между М и L (даже не считая М) будет безконечно больше суммы всех членов за пределом L. С другой стороны, подобным же образом доказывается, что сумма всех членов между Af и А безконечно больше суммы всех членов за пределом Л (число которых пре- превышает число первых не более чем в г—1 раз по лемме 1). Поэтому, наконец, сумма всех членов, заключенных между пределами L и Л (за исключением наибольшего), будет безконечно больше суммы всех членов, располо- расположенных за этими пределами; и тем паче, следовательно, вместе с наибольшим. Ч. т. д. (что требовалось доказать). Пояснение. Теми, кто не привык к разсуждениям с без- конечным, может быть сделано против 4-й и 5-й лемм возражение, что хотя в случае безконечнаго п множи- м м зг\ тели количеств, выражающих отношения т" и "л" ' т. е. nr±n=Fl, nr±n=F2, . . . н ns±n=Fl, ns±n^2, . . . имеют то же значение, как пг±п и ns±n, так как числа 1,2,3, ... исчезают по сравнении с каждым из множи- множителей; однако, возможно, что, собранныя вместе н пере- множенныя между собою (вследствне безконечнаго числа
ГЛАВА V. РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ 53 их), эти числа безконечно уменьшат, т. е. сделают ко- конечными, безконечныя степени отношений ^i! или rs—г г-^-. Этому сомнению я не могу лучше удовлетворить, как показав теперь способ на самом деле найти конечное число п или конечную степень двучлена, в которой сумма членов между пределами L и Л имеет к сумме членов вне их отношение, большее какого угодно большого даннаго отношения, которое обозначу буквою с. Когда это будет показано, возражение необходимо падет. Для этого я беру какое-либо отношение, большее единицы, но, однако, меньшее отношения г—^. (для членов слева), напр(имер), отношение CLtl или "^ Т t г-^—, и умножаю его на самого себя столько раз (т раз), пока произведение не будет равно или не превзойдет отношения c(s— 1) к 1; т. е. пока не будет Когда это должно случиться, можно быстро высчитать по логарифмам; ибо, взяв логарифмы, получим mLog(r+ 1)—m Logr ^ Log(c(s—1)) и по разделении сразу найдем _LogH?-l))_ m>Log(r+l)-Logr* Найдя это, я продолжаю так. Относительно ряда дро- дробей или множителей nrs-\-ns nrs+ns—s nrs-\-ns—2s nrs+s nrs—nr+r ' nrs—nr + 2r' nrs—яг+Зг' *"' nrs • через умножение которых, по лемме 4, получается от- отношение -г-, следует заметить, что отдельный дроби меньше дроби rIltl t однако, тем более к ней приблн- жаются, чем большее берется п. Поэтому, какая-либо из них когда-нибудь станет равной самому отношению
54 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ ~7~* Ввиду этого следует посмотреть, какое надлежит взять п, чтобы дробь, порядок которой есть т ss), стала равной Щ-. Но (что явствует из закона составления ряда) дробь порядка m такая: nrs+ns—ms+s . nrs—nr-\-mr ' приравнивая ее ?i- , получаем и отсюда „4 „4 , mst—st л* = /ш -t- . | . Я утверждаю, что при таком показателе степени дву- двучлена r+s наибольший член будет более, чем в c(s— 1) раз превосходить предел L. Ибо так как дробь порядка m при таком значении л будет равна ^Ь умноженная на себя пг раз, т. е. ^-^—, равна или больше c(s—1) (по положению), то эта дробь (порядка т), умноженная на все предыдущий, тем более превзой- превзойдет c(s— 1), в силу того, что все предыдущий дроби боль- больше Щ-. Следовательно, произведение после умножения на все последующий, еще более превзойдет c(s— 1), ибо все последующий дроби по крайней мере больше едини- единицы. Но произведение всех дробей выражает отношение члена М к L; поэтому, совершенно достоверно, что член М превосходит L более, чем в c(s—1) раз. Но как показано; отсюда следует, что второй член за М превзойдет второй член за L более, чем в с (s—1) раз, и т. д. Поэтому, наконец, сумма всех членов между наиболь- наибольшим М и пределом L превзойдет более, чем в с (s—1) раз, сумму такого же числа наибольших членов за этим пре- пределом, и более, чем в с раз, эту сумму, взятую s—1 раз.
ГЛАВА V. РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ 55 Следовательно, тем очевиднее она превзойдет более, чем в с раз, сумму всех членов за пределом L, число коих превосходит не более, чем в s—1 раз число членов между М и L. Относительно членов справа поступаю подобным же образом. Беру отношение ^- < !LkL t полагаю %п >c(r—О И нахожу Log (с (г-1» т> Log(s+1)—Logs - Затем, в ряду дробей nrs+nr nrs-\-nr—r nrs+nr—2г nrs—ns+s ' nrs—ns+2s ' nrs—ns+3s входящих в отношение -г-, полагаю дробь порядка т, именно nrs+nr—mr+r nrs—ns-\-ms ' равной отсюда извлекаю и потому После чего подобным же образом, как раньше, будет доказано, что в двучлене r+s, возвышенном в эту сте- степень, наибольший член М превзойдет предел Л более, чем в с{г— 1) раз; и, следовательно, также, что сумма членов между наибольшим М и пределом L превзойдет сумму всех членов вне этого предела (число которых превосходит число членов между М и Л не более, чем в г—1 раз) более, чем в с раз. Итак, наконец, заключаем, что по возведении двучлена r+s в степень, показатель которой равен большему из двух чисел м4 , mst—st „, , mrt—rt
56 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ сумма всех членов, заключенных между пределами L и Л, более, чем в с раз, превзойдет сумму всех остальных, расположенных по обе стороны от этих пределов. Най- Найдена, следовательно, конечная степень, имеющая желае- желаемое свойство. Ч. т. д. (что требовалось доказать). Главное предложение **). Наконец следует само пред- предложение, ради котораго сказано все предыдущее и кото- раго доказательство вытекает из одного лишь примене- применения предварительных лемм к настоящей цели. Чтобы избежать утомительного многословия, я назову случаи, когда какое-либо событие появляется, плодовитыми (благоприятными); а безплодными (неблагоприятными) те, когда то же событие не появляется. Равным образом назову те опыты благоприятными, когда обнаруживается один из благоприятных случаев, и неблагоприятными те, когда наблюдается один из неблагоприятных случаев. Пусть число благоприятных случаев относится к числу неблагоприятных точно или приближенно, как г к s, или к числу всех случаев — как г к r+s или г к /, како- вое отношение заключается в пределах ^— и ^—j-. Требуется доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (с раз) было веро- вероятнее, что число благоприятных наблюдений попадет в эти пределы, а не вне их, т. е. что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех будет не более, чем ^-—, и не менее, чем '—^—. Доказательство). Положим число необходимых на- наблюдений равным nt; требуется определить, каково будет ожидание или вероятность, что все они будут благопри- благоприятными, без исключения, затем за исключением 1, 2, 3, 4 и т. д. неблагоприятных. Так как при каждом наблю- наблюдении имеется, по положению, t случаев, из них г бла- благоприятных и s неблагоприятных, и отдельные случаи одного наблюдения могут сочетаться с отдельными слу- случаями другого, после чего опять сочетаться с отдельными случаями 3-го, 4-го и т. д., то легко видеть, что для этого годится правило, присоединенное к примечаниям пред-
ГЛАВА V. РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ 57 лож(ения) XIII первой части и его второе следствие, содержащее общую формулу **), с помощью коей нахо- находится вероятность отсутствия неблагоприятных наблю- наблюдений вероятность одного неблагоприятнаго наблюдения -у Г"' hit" , двух tit (lit — I) „<-...,,., 1 о т а .* , трех 1 •& и т д Поэтому (по отбрасывании общаго делителя tht) ясно, что степени вероятностей или числа случаев, при кото- которых может статься, что все опыты благоприятны или все, за исключением одного, двух, трех, четырех и т. д. неблагоприятных, по порядку, выражаются через r»t !}Lr«l-lS nt(nt-\)(fit-2) t.^ TF3 s° и т. д., т. е. как раз теми самыми членами степени nt двучлена, которые только что изследованы в наших леммах; от- откуда уже все остальное ясно. Именно, из природы ряда явствует, что число случаев, которые с ns неблагоприят- неблагоприятными наблюдениями дают пг благоприятных, есть сам наибольший член (соответствует наибольшему члену) М, так как ему предшествует ns членов, а за ним следует пг, по лемме 3. Равным образом, ясно, что числа случаев, при которых оказалось или nr+п или пг—п благопри- благоприятных наблюдений, при чем остальныя неблагоприятны, выражаются членами L и Л, отстоящими на п членов по обе стороны от наибольшего. Следовательно, также ясно, что общее число случаев, при которых оказывается не более nr+п и не менее пг—п благоприятных наблюдений, выражается суммою членов, заключенных между пре-
58 ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ. ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ делами L н Л; общее число остальных случаев, при кото- которых оказывается или больше или меньше благоприятных наблюдений, выражается суммой остальных членов вне пределов L и Л. Так как степень двучлена может быть взята столь большою, чтобы сумма членов, заключенных между обоими пределами L и Л, превосходила более, чем в с раз, сумму всех остальных, из этих пределов вы- выходящих, по леммам 4-й и 5-й, то, следовательно, можно взять столь большое число наблюдений, чтобы число случаев, при которых отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех оказывается не выходящим из пределов яг^"я и "¦""" или г-^— и ^-, превышало бо- более, чем в с раз, число остальных случаев; т. е. сдела- сделалось более, чем в с раз, вероятнее, что отношение числа благоприятных наблюдений к числу всех заключается в пределах г-^ и ^-, а не вне этих пределов. Что нужно было доказать. В применении этого к отдельным численным приме- примерам достаточно ясно само собою, что чем большия берут- берутся в одном и том же отношении числа г, s и t, тем уже могут быть сделаны границы '—^- и т-^т- отношения у-. На этом основании, если отношение числа случаев — , которое должно определить из наблюдений, есть, напр (и- мер), полуторное, т. е. у, то за г и s я не беру 3 и 2, но 30 и 20 или 300 и 200 и проч. Достаточно положить r=30, s=20 н <=50, чтобы пределы оказались Щ- = ^ г—\ 29 и—p=5Q. Пусть, сверх того, положено с=1000. Тогда, по предписанному (написанному ранее) в разъ- разъяснении (в пояснении) будет для членов слева
ГЛАВА V РЕШЕНИЕ ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧИ 59 справа Log(c(r-1)) _44623980 ^olt т -> Log(s+1)—Logs "~ 211893 <*ZM nt = mt + m*7{* = 25550 Откуда, по доказанному там, выводится заключение, что при 25 550 опытах будет более, чем в тысячу раз ве- вероятнее, что отношение числа благоприятных наблюде- . - 31 29 нии к числу всех будет заключено в пределах go и §б' а не вне их. И таким же образом, положив с=10 000 или с= 100 000 и т. д., найдем, что то же будет более, чем в 10 000 раз, вероятнее, если будет сделано 31 258 опытов; и более, чем в 100 000 раз, вероятнее, если будет взято 36 966 опытов; и так далее до безконечности, прибавляя именно постоянно к 25 550 опытам 5708 других. Откуда, наконец, вытекает то удивительное, повидимому, след- следствие, что, если бы наблюдения над всеми событиями продолжать всю вечность (при чем вероятность, наконец, перешла бы в полную достоверность), то было бы заме- замечено, что все в мире управляется точными отношениями и постоянным законом изменений, так что даже в вещах, в высшей степени случайных, мы принуждены были бы признать как бы некоторую необходимость и, скажу я, рок **). Не знаю, не это ли имел в виду уже сам Платон в своем учении о возстановлении всех вещей, согласно которому все по истечении несметнаго числа веков воз- возвратится в прежнее состояние «).
' ' 'и, /^11" памятная ДОС"» Якоба Бернулли в Базельском соборе (фотография из личного архива доктора Э. Фелльманна в Базеле- передана А. П. Юшкевичем с разрешения рлалельца).
ПРИМЕЧАНИЯ И КОММЕНТАРИИ
I. ПРИМЕЧАНИЯ К РЕЧИ А. А. МАРКОВА «ДВУХСОТЛЕТИЕ ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ» 1. История подготовки юбилейного заседания Ака- Академии наук, посвященного 200-летию закона больших чисел, отражена в следующих извлечениях из протоколов заседания Общего собрания Академии (Изв. Имп. А. Н., VI серия, 1913, т. VII, с. 336, 337, 885): Заседание 12 января 1913 года: «Академик А. А. Марков обратился в Общее Собрание с нижеследующим заявлением: „Считаю своим долгом обратить внимание Общего Собрания на то, что в текущем году исполняется двухсот- двухсотлетний юбилей закона больших чисел. Начало этому закону положено знаменитой теоремой Якова Бернулли, которая опубликована в его сочинении Ars conjectandi, помеченном 1713 годом. „Полагаю, что Академии Наук следует так или иначе ознаменовать этот юбилей, который непосредственно касается не только 1-го Отделения, но и II 1-го, ибо закон больших чисел играет важную роль в статистике. „Предлагаю выбрать Комиссию для обсуждения фор- формы торжества". Положено для обсуждения вопроса об ознаменовании Академией 200-летнего юбилея закона больших чисел образовать Комиссию из академиков К. Г. Залемана, A. А. Маркова, И. И. Янжула, А. М. Ляпунова и B. А. Стеклова.» Заседание 9 февраля 1913 года: «Читан подписанный академиками К- Г. Залеманом, A. А. Марковым, И. И. Янжулом, А. М. Ляпуновым и B. А. Стекловым нижеследующий доклад Комиссии по вопросу об ознаменовании 200-летнего юбилея закона больших чисел.
64 ПРИМЕЧАНИЯ „Обсудив вопрос, Комиссия пришла к заключению, что ознаменовать юбилей можно следующим образом. „Во-первых, устроить особое торжественное заседа- заседание Академии, при чем к деятельному участию в этом заседании желательно из посторонних ученых привлечь члена Государственного Совета А. В. Васильева и про- профессора С.-Петербургского Политехнического Института А. А. Чупрова. „Во-вторых, издать перевод на русский язык четвер- четвертой части Ars conjectandi; такой перевод, под редакци- редакцией академика А. А. Маркова, с успехом может выпол- выполнить приват-доцент С.-Петербургского Университета Я. В. Успенский. „Наконец, академик А. А. Марков предлагает сделать Академическим изданием приготовленный им перевод на французский язык дополнительных статей третьего изда- издания его «Исчисления вероятностей», которое печатается и должно появиться в текущем году".» Заседание 20 октября 1913 года: «От имени академика А. А. Маркова представлено 2 экземпляра (из коих один — веленевый, в кожаном переплете) 3-го издания A913 г.) труда «Исчисление ве- вероятностей», выпущенного в свет к 200-летнему юбилею закона больших чисел. Издание это снабжено портретом Якова Бернулли.» Речь А. А. Маркова, произнесенная на заседании Академии наук 1 декабря 1913 года, посвященном 200-летию закона больших чисел, опубликована впер- впервые в 1914 году в журнале «Вестник Опытной физики и Элементарной математики», № 3, Одесса, с. 59—64, и повторно в 1977 году в книге: О теории вероятнос- вероятностей и математической статистике (переписка А. А. Мар- Маркова и А. А. Чупрова).— М.: Наука (см. Приложение 3). 2. Ко второй группе теорем Марков отнес теоремы о сходимости к нормальному распределению, в настоящее время объединяемые общим названием «центральная предельная теорема» (в частности, сюда относится и инте- интегральная теорема Муавра — Лапласа). Интегралом Лап- X ласа обычно называют интеграл L(x) = -^=- \ e-u'du, У п х
1. ПРИМЕЧАНИЯ К РЕЧИ А. А. МАРКОВА 65 который связан с функцией распределения стандартно- х 1 Г го нормального распределения Ф (х) = . \ e-ut/idu — 09 формулой 1(л:) = 2Ф(|/г2х) —1. 3. Относительно названия сочинения Я- Бернулли см. примечание III, 8 и сноску на с. 83 Комментария I. 4. Здесь и ниже Марков высказывает соображения о годе доказательства закона больших чисел. Судя по дневникам, Бернулли доказал свою теорему в 1687— 1689 гг.; см. §2 Комментария I и с. 161. 5. Николай Бернулли — племянник Якоба и Иоган- Иоганна Бернулли, математик. О Н. Бернулли и его участии в издании сочинений Я- Бернулли см. § 1.4 Коммен- Комментария I и с. 161, 162, а также [Д12]. 6. Переписка Я- Бернулли с Г. В. Лейбницем нача- началась в 1687 году и продолжалась с перерывом в 1697— 1702 годы до смерти Бернулли (последнее письмо Лейб- Лейбницу датировано 3 июня 1705 года). С 1703 года перепис- переписка была частично посвящена теории вероятностей. Эта переписка опубликована в одном из томов собрания со- сочинений Лейбница (Math. Schriften, Bd. 3, Halle, 1856; перепечатка: Hildesheim, 1966, на латинском языке. Выдержки из переписки в немецком переводе см. [48]). Иваном по принятой в те времена традиции Марков называет младшего брата Якоба — Иоганна Бернулли (так же, как Яковом называет Якоба). Иоганн Бернул- Бернулли — знаменитый математик, профессор Гронингенского (Голландия) и Базельского университетов. Перевод ла- латинской фразы из письма Лейбницу 20 апреля 1704 года: «И вот я говорю, что способен доказать эти положения; мой брат уже 12 лет назад познакомился с доказатель- доказательством и одобрил его». 7. Перевод латинской фразы из четвертой части «Ис- «Искусства предположений» (ср. с переводом Я • В. Успенского на с. 44): «Вот, следовательно, какова проблема, кото- которую я здесь решился обнародовать, после того как уже двадцать лет таил в себе решение». 8. Современное русское написание фамилии коррес- корреспондента Н. Бернулли — Монмор. П. де Монмор — 5 Я. Бернулли
66 ПРИМЕЧАНИЯ французский математик. Упоминаемое Марковым его сочинение «Опыт анализа азартных игр» вышло двумя изданиями: 1-е издание—в 1708, 2-е издание 151] — в 1713 году. Во 2-м издании опубликованы письма Н. Бернулли Монмору. 9. Русский перевод письма от 23 января 1713 года см. в 1Д12]. Об исследованиях Н. Бернулли см. при- примечание 1,15 и §4.3 Комментария I. 10. Монмору было известно содержание сочинения Якоба Бернулли еще до опубликования последнего в 1713 году. Например, Монмор в книге «Опыт анализа азартных игр» (см. примечание 8) ссылается на по- похвальное слово Якобу Бернулли, произнесенное в собрании Парижской академии наук 14 ноября 1705 года непременным секретарем Фонтенелем (Fontenelle В. de. Note: J. Bernoulli.— Histoire de L'Acad. Royale des Sciences, Paris, 1705 A706), p. 139—150) и статью члена Парижской академии наук Сорена (Saurin J. Eloge de М. Bernoulli, cy-devant Professeur de Mathematique a Bale.— J. de Scavans, Amsterdam, 1706, p. 81—89), которые посвящены научным заслугам Я- Бернулли. Однако Монмор еще больше знал от Н. Бернулли (см. [Д12]). 11. Приведенная в предыдущей фразе формулировка теоремы Бернулли принадлежит Маркову и практически совпадает с формулировкой, принятой в современных руководствах по теории вероятностей. Оригинальная формулировка теоремы, принадлежащая Бернулли, по- помещается в главе V части четвертой «Искусства пред- предположений» под названием Главное предложение (см. с. 56 и 105). 12. См. с. 41—43 «Искусства предположений» и § 3.4 и 3.5 Комментария I. 13. Несколько совершенствуя первоначальное рас- рассуждение Бернулли, можно указанное им число испыта- испытаний B5 550) заметно уменьшить, см. Комментарий II. 14. Марков говорит об ограничительном условии теоремы Я. Бернулли и в своем предисловии к переводу четвертой части «Искусства предположений» (см. с. 19, а также примечание 11.2, §4.2 Комментария I и § 5 Ком- Комментария II).
1. ПРИМЕЧАНИЯ К РЕЧИ А. А. МАРКОВА 67 15. Результат Николая Бернулли продолжает вызы- вызывать споры среди специалистов. А. Хальд в недавней статье [Д13] высказывает мнение, что вклад Н. Бер- Бернулли был недостаточно оценен, и рассматривает его теорему как звено, связующее теорему Якоба Бернулли с найденной Муавром нормальной аппроксимацией бино- биномиального распределения. Подробнее о теореме Н. Бер- Бернулли см. §4.3 Комментария I и [Д12]. 16. Современное русское написание фамилии — Муавр. А. де Муавр — английский математик (по на- национальности француз). В 1707 году нашел формулу для возведения в степень комплексного числа (формула Му- авра). Основные сочинения Муавра по теории вероятно- вероятностей следующие: «О мере случая» (De Mensura Sortis, 1712), «Доктрина шансов» (Doctrine of Chances, 1718, 1738, 1756; возможен перевод «Учение о случае»), «Ана- «Аналитические этюды» (Miscellanea Analytica, 1730) с допол- дополнением (Supplement) 1733 года, которое в литературе называется сокращенно «Аппроксимированием». В 1738 году Муавр перевел это дополнение на английский язык: A Method of approximating the Sum of the Terms of the Binomial (a+b)". . . В пятой книге «Аналитических этюдов» Муавр описывает и комментирует письмо Н. Бер- Бернулли Монмору от 23 января 1713 года (примечание 1.8). См. §4.4 Комментария I и [26, с. 206—210J. 17. Дж. Стерлинг — шотландский математик. В своих расчетах Муавр использует приближенную формулу для л! (см. § 6 Комментария II): л! « Bnae-nVn, В (знак.« означает, что отношение правой и левой частей стремится к 1 при л -*• оо), которая обычно называется формулой Стирлинга. Марков [14, с. 53] называет эту формулу формулой Муавра — Стерлинга, добавляя: «Обычно ее называют формулой Стирлинга, что я счи- считаю несправедливым, так как первый пришел к ней Муавр, не установив только точной величины постоян- постоянного, а Стирлинг выразил это последнее через л». В «Ап- «Аппроксимировании» Муавр пишет: «Мой достопочтенный и ученый друг г. Джеймс Стирлинг... нашел, что величи- величина В равна квадратному корню из длины окружности
68 ПРИМЕЧАНИЯ радиуса 1». Об участии Муавра и Стирлинга в нахож- нахождении асимптотической формулы для факториалов и вы- вычислениях, связанных с рядом Стирлинга, см. также [26]. 18. Основные результаты Муавра о нормальном приближении для биномиального распределения сосредо- сосредоточены в пятой книге «Аналитических этюдов» и в «Ап- «Аппроксимировании». Муавр доказал свою теорему в об- общем виде. Замечание Маркова о простейшем (симметрич- (симметричном) случае не совсем верно, но в своем более позднем сочинении он его уточнил [14, с. 53]. См. также § 4.4 Ком- Комментария I. 19. Об упомянутых здесь работах «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа (на русском языке в 1908 году издано введение к этой работе под названием «Опыт философии теории вероятностей») и «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах» Пуассона см. § 4.4 и 4.5 Комментария I и, на- например, [4]. 20. Второй предельной теоремой Марков называет центральную предельную теорему в варианте П. Л. Че- бышева [14, с. 487]. Под простейшим случаем указанной теоремы понимается интегральная теорема Муавра — Лапласа. 21. Речь идет о следующем. Рассмотрим схему серий независимых событий Л 21, • . • , ASn A№i, . . . , Аяп, где все события взаимно независимы и имеют одну и ту же вероятность р, где п велико, но фиксировано, а N -*- -»оо. Рассмотрим те серии, в которых частота (tfttn со- событий А удовлетворяет при некотором и > 0 нера- неравенствам И*,» —Р и Приближенно вероятность этого неравенства дается ин- интегралом Лапласа 1( . " ==-)• Обозначим эту ве-
1. ПРИМЕЧАНИЯ К РЕЧИ А. А. МАРКОВА 69 личину аи. Тогда отношение числа серий, где неравен- неравенство (*) выполнено, к числу всех серий будет примерно равно оси. См. также гл. XI сборника «Математика, ее содержание, методы и значение» (т. 2.— М., 1956). 22. В настоящее время в учебной литературе назва- название «теорема Пуассона» сохранилось за теоремой о схо- сходимости биномиального распределения к распределению Пуассона. Во времена Маркова теоремой Пуассона обыч- обычно называли и упоминаемую Марковым форму зако- закона больших чисел (см. статью «Пуассона теорема» в чет- четвертом томе «Математической энциклопедии» (М., 23. П. Л. Чебышев — русский математик, создатель Петербургской математической школы. Речь идет о за- заметке, опубликованной в «Журнале чистой и прикладной математики» (J. reine und angew. Math., 1846, Bd. 33, S. 259—267), издававшемся в Берлине — Лейпциге с 1826 года под редакцией немецкого математика А. Л. Крелле и известным под названием «журнал Крел- ле». Русское издание: Чебышев П. Л. Элементар- Элементарное доказательство одного общего предложения теории вероятностей.— Поли. собр. соч., М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1947, т. 2, с. 14—22. Доказательство Чебыше- ва, основанное на экстремальных соображениях, пред- представляет большой интерес (см. Комментарий II). 24. Заметка названа «Извлечением из одного русского мемуара, посвященного элементарному анализу теории вероятностей». 25. Ч е б ы ш е в П. Л. Опыт элементарного анализа теории вероятностей.— Поли. собр. соч. М.—Л.: Изд-во АН СССР, 1951, т. 5, с. 26—87. (Магистерск. дис, 1845; она же — пособие для студентов Демидовского лицея в Ярославле). 26. Работу П. Л. Чебышева «О средних величинах» см. в Поли. собр. соч., т. 2, с. 431—437. Французский текст «Des valeurs moyennes» напечатан в «Журнале чис- чистой и прикладной математики» (J. Math, pures at appl., 1867, t. 12, p. 177—184), издававшемся французским математиком Ж. Лиувиллем в Париже с 1836 года. Здесь доказательство основано на «неравенстве Чебышева» и правиле сложения дисперсий.
70 ПРИМЕЧАНИЯ 27. И. Бьенеме — французский математик. Речь идет о мемуаре, опубликованном в С. г. Acad. Sci. Paris, 1853, t. 37, p. 309—324 и перепечатанном в J. Math, pures et appl., 1867, t. 12, p. 158—176. О роли Бьенеме в создании метода моментов и доказательстве неравен- неравенства Бьенеме — Чебышева см. [4, с. 224]. См. также Heyde С. С, Seneta E. A historical note on I. J. Bie- nayme.— Biometrika, 1972, v. 59, N 3, p. 680—683. О. Коши — французский математик. Работы Коши относятся ко многим областям математики: математиче- математическому анализу, математической физике, геометрии, тео- теории чисел, алгебре, теории вероятностей и др. Спор Бьенеме с Коши касался применения метода наименьших квадратов для решения различных задач интерполяции {4, с. 205]. 28. «Comptes rendus» или точнее «Comptes rendus de PAcademie des sciences» — это Доклады Парижской ака- академии наук (выпускаются с 1835 года). 29. Имеется в виду заметка «Sur les valeurs limites des integrates».— J. Math, pures et appl., 1874, t. 19, p. 157— 160. В собрании сочинений П. Л. Чебышева, изданном под редакцией А. А. Маркова и Н. Я- Сонина в 1907 году, эта заметка была напечатана в русском переводе А. М. Ля- Ляпунова. Там, в частности, сказано о первом ее появлении: сЧитано 27 августа 1873 г. в Лионе на конгрессе француз- французской ассоциации для преуспеяния наук». См. также: ЧебышевП. Л. О предельных величинах интегра- интегралов.—Поли, собр. соч., М.—Л.:Изд-во АН СССР, 1948, т. 3, с. 63—65. 30. Гурнери — французский математик. Речь идет о заметке: Gouraerie J. de la. Lecture... sur les travaux de M. [I. J.] Bienayme.—C. r. Acad. sci. Paris, 1878, t. 87, p. 617—619. 31. Г. Ламе (Лямэ) — французский математик. 32. Марков имеет в виду мемуар «Sur les fractions continues».— J. Math, pures et appl., 1858, t. 3, p. 289— 323. См. также: Чебышев П. Л. О непрерывных дробях, 1855.—Поли. собр. соч.,М.—Л.:Изд-во АН СССР, 1947, т. 2, с. 103—126. 33. См. статью «Больших чисел закон» в «Математи- «Математической энциклопедии» (М., 1977, т. 1).
I. ПРИМЕЧАНИЯ К РЕЧИ А. А. МАРКОВА 71 34. Могила Архимеда не сохранилась. Цицерон, ви- видевший ее в 75 г. до н. э., сообщил в «Тускуланских бе- беседах» (Ciceronis М. Т. Tusc. Disp., V. 23; см. Цицерон М. Т. Избр. соч.—М.: Худ. лит., 1975, с. 342), что на памятнике были изображены цилиндр и шар. По сви- свидетельству Плутарха (Плутарх. Сравнительные жизне- жизнеописания.— М.: Наука, 1961, т. 1, с. 450) Архимед про- просил своих родных и друзей, чтобы после смерти на его надгробии были изображены шар и описанный около шара цилиндр и было бы упомянуто отношение 3 : 2 объема цилиндра к объему шара (это открытие Архимед особенно ценил). Якоб Бернулли завещал изобразить на его надгробии логарифмическую спираль. Пожелание видеть на памят- памятнике логарифмическую спираль было высказано им еще в 1692 году в статье «Lineae cycloidales, evolutae, ante- volutae, causticae, anticausticae, pericausticae. Earum usus et simplex relatio ad se invicem. Spira mirabilis» (Acta erud. Mai 1692), где были изложены найденные им свойства этой кривой. Соответствующий отрывок начи- начинается словами: «Cum аи tern ob proprietatem tarn singu- larem tamque admirabilem mire mini placeat spira haec mirabilis, sic ut ejus contemplatione satiari vix queam, cogitavi illam ad varias res symbolice repraesentandas non inconcinne adhiberi posse» («И поскольку, вследствие та- таких замечательных и необычных свойств, эта удивитель- удивительная спираль стала столь мне любезна, что я едва мог насытиться ее созерцанием, я подумал, что не будет не- нелепостью применить ее для символического представле- представления разных предметов...») и заканчивается: «Aut, si ma- mavis, quia curva nostra mirabilis in ipsa mutatione semper sibi constantissime manet similis et numero, eadem poterit esse vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus; vel etiam earn is nostrae post varias alterationes, et tandem ipsam quoque mortem ejusdem numero resurecturae sym- bolum; adeo quidem, ut si Arhimedem imitandi hodiernum consuetudo obtineret, libenter Spiram hanc tumulo jube- rem incidi cum epigrapho: Eadem tnutata resurgo» (Юна могла бы быть символом либо мужества и стойкости в бед- бедствиях, либо даже символом нашей плоти, которая вос- воскресает той же самой после различных изменений и,
72 ПРИМЕЧАНИЯ наконец, смерти; так что, если бы до сих пор было в обык- обыкновении подражать Архимеду, то я охотно повелел бы высечь на моей могиле Спираль с эпиграфом: Изменив- Изменившись, воскресаю той оке»). Логарифмическая спираль — это плоская кривая, уравнение которой в полярных координатах (р, 6) имеет вид р=аетВ. ЯкобБернулли, в частности, установил, что эволюты и каустики логарифмической спирали снова яв- являются логарифмическими спиралями, конгруэнтными исходной. Именно это свойство логарифмической спи- спирали воспроизводить себя при многих преобразованиях вызывало восхищение Бернулли. Он называл спираль «удивительной спиралью» — «spira mirabilis» (это отра- отражено и в заголовке цитированной выше статьи Бернулли). Название «логарифмическая спираль» имеет более позд- позднее происхождение и принадлежит, по-видимому, Ва- риньону A704). О латинской надписи на памятнике Бернулли см. также с. 34 и примечание 3 на с. 170 в книге: Ни- кифоровский В. А. Великие математики Бернулли.— М.: Наука, 1984. На памятной доске, висящей в Базельском соборе (Munster), где похоронен Я. Бернулли, изображена не логарифмическая, а другая спираль (см. фотографию на с. 60, а также Hohenberg F. Kommentar zur Spirale im Epitaph des alteren Jakob Bernoulli.— Prax. Math., 1984, Bd. 26, S. 373—374). II. ПРИМЕЧАНИЯ К ПРЕДИСЛОВИЮ А. А. МАРКОВА К ИЗДАНИЮ 1913 ГОДА 1. Это замечание относится, в частности, к некоторым формулам главы 3 четвертой части «Искусства предпо- предположений» (с. 37). См. также §3.3 Комментария I. 2. Якоб Бернулли рассматривал бином (r+s)nt, где t=r+s, и, таким образом, молчаливо допускал, что показатель степени бинома делится на r+s. Марков устранил это ограничительное условие (см. §4.2 Комментария I,§ 5 Комментария II, а также [14, с. 46]).
И. ПРИМЕЧАНИЯ К ПРЕДИСЛОВИЮ А. А. МАРКОВА 73 3. Все три доказательства приведены в книге А. А.Маркова [14] на с. 44, 63 и 98,соответственно. См. Комментарий II. 4. Успенский Яков Викторович — русский матема- математик, академик Российской Академии наук с 1921 года. Подписанная академиками А. А. Марковым, В. А. Стек- ловым и А. Н. Крыловым «Записка об ученых трудах профессора Петроградского Университета Якова Вик- Викторовича Успенского» опубликована в Известиях Рос- сийской Академии наук, VI серия, т. XV, 1921, с. 4, 5. После смерти А. А. Маркова в 1922 году и В. А. Стек- лова в 1926 году оставался единственным академиком- математиком вплоть до выборов 1929 года. Его исследо- исследования относятся к теории чисел и математическому ана- анализу. Я. В. Успенский получил замечательные оценки погрешности в интегральной теореме Муавра — Лапласа (гл. VII его книги 169]). 5. Немецкий перевод «Искусства предположений» под редакцией и с комментариями Р. Хаусснера был опубликован в 1899 году в двух книгах под номерами 107, 108 в серии «Классики точных наук», выпускавшей- выпускавшейся немецким физико-химиком и философом В. Ф. Ост- Оствальдом (Ostwalds Klassiker der ex act en Wissenschaften). Указанная серия выпускалась с 1889 года. См. [30] и § 2 Комментария I. Этот перевод содержит ряд отступлений от оригинала; например, отсутствует предисловие Н. Бернулли; в гл. V части четвертой рассуждения Я. Бернулли заменены (с целью облегчить чтение) формулами, введенными издате- издателем. Следует иметь в виду, что в промежутке между 1713 и 1899 годами сочинение Я. Бернулли не переиздавалось, за исключением французского перевода первой части в 1801 году и английского перевода второй части в 1795 году. Это, конечно, увеличивает ценность издания 1899 года. 6. Слово Aula имеет греческое происхождение (cci>M|— двор, жилище, дворец и т. д.). В латинском языке имело много значений. В России в XIX в. употреблялось в зна- значении «актовый зал» или «аудитория»; ср. с немецким: die Aula — актовый зал (большей частью в универси- университетах).
74 ПРИМЕЧАНИЯ III. ПРИМЕЧАНИЯ К ЧАСТИ ЧЕТВЕРТОЙ СОЧИНЕНИЯ Я. БЕРНУЛЛИ «ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ» 1. Полный перевод надписи на титульном листе пер- первого издания «Искусства предположений» A713 г.) таков: ЯКОБА БЕРНУЛЛИ, профессора Базельского университета и члена обоих Королевских научных обществ Франции и Пруссии, знаменитого математика, ИСКУССТВО ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ, посмертное сочинение. С добавлением Трактата о бесконечных рядах и написанного по-французски послания Об игре в мяч ракеткой. В Базеле на средства братьев Турнэйзен 1713 На гербе (издательской марке) надпись «Торопись медленно» (латинская калька известной греческой по- пословицы). О названии Ars Conjectandi см. примечание III.8 и сноску на с. 83. Воспроизводимая здесь в русском пе- переводе часть четвертая «Искусства предположений» (Artis Conjectandi Pars quarto) имеет собственное назва- название (см. об этом в Комментарии I на с. 92). Данное заглавие сочинения Бернулли, отсутствующее в издании 1913 года, принадлежит редактору. 2. Латинское слово res имеет много значений. Это ие только «вещь» (как написано в русском переводе здесь и ниже), но, среди прочего, и случай, событие, явление, факт.
П. ПРИМЕЧАНИЯ К СОЧИНЕНИЮ Я- БЕРНУЛЛИ 75 3. Бернулли отказывается обсуждать согласование «достоверности будущего» со «случайностью или свобо- свободой вторичных причин». Возможно, он, как и Кеплер F2, с. 1261, не хотел вторгаться в область теологии. Подробно о случайности Я- Бернулли говорит ниже (см. с. 25). В начале гл. IV он снова, хотя и в менее яв- явной форме, упоминает о случайных событиях: о явле- явлениях, зависящих «или от действий сил естественных, или от свободной воли людей» и, далее, о «причинах со- совершенно скрытых». 4. аотофса (греч.) — действие по глаголу видеть в значении «видеть что-либо собственными глазами или воспринимать зрением». 5. В этом абзаце дано классическое определение ве- вероятности (см. §3.2 Комментария I). 6. В рамках конечной вероятностной модели невоз- невозможное событие и событие, имеющее нулевую вероят- вероятность, совпадают. Интересно то, что Бернулли объеди- объединяет невозможное событие и событие, степень достовер- достоверности которого бесконечно мала. Это последнее, «прак- «практически» невозможное событие Бернулли называет ниже нравственно невозможным; событие, степень достовер- достоверности которого очень близка к 1, он называет нравственно достоверным. Эти события дополняют друг друга. 7. Аристотель считал находку клада случайностью (см. §3.1 Комментария I); для Бериулли это не просто случайность, а пример счастья — случайного события, имеющего малую вероятность (в данном случае опреде- определяемую апостериорно). В следующем примере о дезерти- дезертирах Бернулли характеризует несчастливое событие, происходящее с малой (априорной) вероятностью. 8. Здесь восстановлено пропущенное в переводе 1913 года выражение. Должно быть: Ars conjectandi sive stochastice. Греческое словосочетание отохаопх^ (tsxvt}) (второе слово часто подразумевается) переводится как искусство предположений или искусство угадывания (эквивалент латинского выражения ars conjectandi), происходит от от6%аоцс$— догадка, предположение (ср. отброс, — цель, догадка; orox<x?ea6ai — попадать в цель, делать догадки). Неизвестно, насколько часто и в каком точном смысле употреблялись выражения ars conjectandi
76 ПРИМЕЧАНИЯ и ото%а<пщ в научной литературе до Я- Бернулли. Сам Бернулли объясняет это выражение достаточно опреде- определенно — искусство предположений — это «искусство воз- возможно точнее измерять вероятности вещей...» (...ideoque Ars conjectandi sive Stochastice nob is def initur ars metiendi quam fieri potest exactissime probabilitates rerum, eo fine, ut in judiciis & actionibus nostris semper eligere vel sequi possimus id, quod melius, satius, tutius aut consul- tius fuerit deprehensum...). В 1685 году, т. е. в те же вре- времена, термин, возникший от основы ат6%аац6д, приме- применил Валлис [73, с. 254]: «...подобный стохастический процесс,— писал он, имея в виду итерации, например, при делении одного числа на другое,— является...» Терминология, использующая производные слова «сто- «стохастика», в теории вероятностей возникла, по-видимому, по инициативе Борткевича в начале XX века. На стра- странице X своей книги [37] он пояснил, что заимствовал это слово у Я. Бернулли и употребляет в том же смысле. Борткевич назвал третью главу своей книги «Стохастика итераций», имея в виду серии появления или непоявле- непоявления случайного события. В современной теории вероят- вероятностей говорят о стохастическом процессе, стохастиче- стохастических уравнениях, стохастическом интеграле и т. п. (фак- (фактически, «стохастический» воспринимается как синоним слова «случайный»). 9. Этим правилом Бернулли указывает, что нужно учитывать все доводы при определении вероятности собы- событий. Пример к правилу 2) заканчивается фразой, в ко- которой можно усмотреть следующее дополнительное ут- утверждение: если имеется конечное число событий, исклю- исключающих друг друга, и одно из них, А, обладает сравни- сравнительно большей вероятностью, и если, далее, известно, что произошло одно из рассматриваемых событий, то следует считать, что произошло именно А. Уточнение этого рассуждения известно как теорема Бейеса. Отме- Отметим, что рассуждение подобного типа имеется в одном древнекитайском трактате [62, с. 101]. 10. Правило 5) встречается в седьмой главе четвертой части книги Арно и Николя «Логика Пор-Рояля» A29], см. § 1.1 Комментария I) в таком виде: «...лучшее, что можно сделать ... это принять более вероятное предпо-
III. ПРИМЕЧАНИЯ К СОЧИНЕНИЮ Я. БЕРНУЛЛИ 77 ложение, поскольку предпочтение менее вероятного противно разуму». 11. Перевод с немецкого: «Если не поможет, то и не повредит». 12. Имеется в виду Джон Оуэн — английский поэт, писавший на латинском языке; современники называли его «Британским Марциалом». Оуэн опубликовал не^ сколько сборников эпиграмм; Бернулли приводит стих из сборника, который озаглавлен «Epigrammatum liber singularis» A607): Qudd male consultum cecidit feliciter, Ancus Arguitur sapiens, qui modo stultus erat; Quod prudenter erat provisum, si male vortrat, Ipse Cato populo judice stultus erit. 13. Перевод с немецкого: «Пусть каждая вещь опре- определяется своей ценностью или бесполезностью». 14. Предложение III в первой части «Искусства пред- предположений» посвящено подсчету математического ожи- ожидания выигрыша в игре с двумя возможными исходами. 15. Пусть довод i доказывает исследуемое предполо- предположение с вероятностью pt, i=l, .. ., п. Тогда основ- основная формула п. 4) означает, что все доводы, взятые сов- совместно, доказывают предположение с вероятностью 1[A)A) A)] (Р)(р) (р„) 16. В тех же обозначениях формулы п. 5) означают, что вероятность исследуемого предположения равна PlP»---Pn (qi=l—Pt, *=1» 2, . . . , л). Формула такого же типа позднее встречалась у Лапласа [63, с. 171]. 17. Основная формула пункта 6) неточна. В самом деле, при сочетании одного чистого довода с соответ- соответствующей вероятностью pi с одним смешанным, имеющим вероятность ра, Pi+O-Pi) P*=l-[A-Pi)(l-P*)]. Как указывает Хаусснер [301, Ламберт заметил, что таким образом вероятность исследуемого предположения оказывается больше чем рг даже в том случае, когда смешанный довод по существу свидетельствует против предположения. См. также [69, с. 71].
78 ПРИМЕЧАНИЯ 18. Аналогичный пример с подложным документом имеется в «Логике Пор-Рояля» [29, ч. 4, гл. 15). См. при- примечание III, 20 и § 1.1 Комментария I. 19. Принцип равновозможности был принят уже в глубокой древности как в практической деятельности людей (например, распределение благ, повинностей, об- общественных должностей и т. п. по жребию), так и в фи- философии 17, с. 207, 208). 20. Бернулли имеет в виду Антуана Арно. А. Арно (A. Arnauld, 1612—1694) — аббат общины монастыря Пор-Рояль (Port-Royal), религиозный деятель и философ- картезианец, известен во Франции под именем «Великого Арно». Одна из его книг «Искусство мыслить» (L'art de penser), написанная в содружестве с П. Николем (P. Ni- Nicole) и опубликованная в Париже в 1662 году, известна более под названием «Логика Пор-Рояля» (La Logique de Port-Royal) ([29], см. §1.1 Комментария I). 21. «Вероятность найти истинное отношение» — это вероятность получить ожидаемое (наиболее вероятное) значение или отношение, иными словами, максимальное значение биномиальной вероятности. Бернулли говорит о том, что для большого числа наблюдений п максималь- максимальная вероятность весьма мала. Действительно, при не- неограниченном возрастании п она убывает как \lV п- 22. На это место «Искусства предположений» ссылал- ссылался Марков (см. примечание 1,4). Бернулли доказал свою теорему в период 1686—1690 годов (см. § 2 коммен- комментария I). 23. Эта фраза имеет отношение к Лейбницу (см. § 2 Комментария I). 24. Круговое число Лудольфа или лудольфово чис- число — это приближенное значение числа п с 32 верны- верными десятичными знаками, найденное голландским ма- математиком Лудольфом ван Цейленом A540—1610): 3,14159265358979323846264338327950. Иногда ошибочно не различают число я и лудольфово число. Под «круго- «круговым числом Лудольфа, бесконечно продолженным», Бер- Бернулли понимает само число п. Еще в древности из-за необходимости практических расчетов стали искать для л удовлетворительное приближение. Бернулли упоми-
III. ПРИМЕЧАНИЯ К СОЧИНЕНИЮ Я. БЕРНУЛЛИ 79 нает математиков, которые вычисляли л. Архимед в III в. до н. э. нашел, что л заключено между числами 3^ и Зу. Адриан Меций A571—1635), голландский инженер, - 355 нашел для я приближенное значение -щ, превосходя- превосходящее я не более чем на три единицы седьмого десятичного знака (это же приближение было получено в Китае еще во 2-й половине V в. математиком Цзу чун-чжи). См. [21]. 25. «Додилювианские предки» — предки, которые жили до библейского всемирного потопа. Потоп — по-ла- тыни «diluvium», додилювианские — калька с латин- латинского antediluvian. 26. Это и есть ограничительное, по словам Маркова, условие (см. примечание 11,2 и §4.2 Комментария I). 27. Это выражение повторено в самом конце доказа- доказательства леммы 3. В более простом виде оно сформули- сформулировано в начале доказательства леммы 5. 28. Последующие рассуждения н самому Бернулли кажутся недостаточно убедительными. Несколько позже они заменяются точными неравенствами (см. на с. 53 в пояснении, начиная со слов: «Этому сомнению я не могу лучше удовлетворить, как...»). 29. Бернулли вводит непрерывную пропорцию вида а _ ь _ с _ rs+s T~T~"d Fi=7- 30. «Трактат о бесконечных рядах» («Tractatus de Seriebus Infinitis») Якоба Бернулли выходил в свет отдельными частями в 1689—1704 годах. Впервые он был опубликован как единое сочинение в 1713 году в одном томе с «Искусством предположений» и его назва- название вынесено на титульный лист этого издания (см. при- примечание III, 1). Предложение 6 относится к первой части трактата. 31. Буквами М, L, F, G и т. д. обозначены величины соответствующих вероятностей. 32. Имеются в виду множители дробей, которыми вы- выражаются отношения MIL и М/А. 33. Бернулли рассматривает т-ю по порядку дробь.
SO ПРИМЕЧАНИЯ 34. Под этим названием здесь содержится собственно теорема Бернулли — закон больших чисел. 35. Ссылка Бернулли на предложение XIII первой части «Искусства предположений» ошибочна. Следовало упомянуть предложение XII. Эта ошибка была исправ- исправлена в немецком переводе сочинения Бернулли [30]. «Правило, присоединенное к примечаниям» есть не что иное, как правило перемножения вероятностей. Из него выведены две формулы: а) вероятность получить т удач в определенной по- последовательности при п испытаниях равна / Ь\т[ с / Ь с \ < вероятность удачи, вероятность неудачи); б) вероятность получить т удач в любой последова- последовательности при п испытаниях равна я (я—1) (я—2).. .(я—т+1) 1-2-3-4.../Я а" ИЛИ я (я— 1 1 -2-3... (п—т) о" 36. В этой фразе, по существу, содержится мысль о том, что в законе больших чисел проявляется связь между случайным и необходимым. Это высказывание Бернулли близко к современному пониманию закона больших чисел как общего принципа, «в силу кото- которого совокупное действие большого числа случайных факторов приводит, при некоторых весьма общих усло- условиях, к результату, почти не зависящему от случая» 4см. статью «Больших чисел закон» в БСЭ (изд. 3-е.— М.: Советская энциклопедия, 1970, с. 539); см. также F, с. 73-74]). 37. В непосредственном виде учения о восстановле- восстановлении вещей у Платона мы не находим. Лишь в диалоге «Тимей», излагающем космологические взгляды Платона, имеются отдельные высказывания, которые могли дать повод к подобным истолкованиям. Устами пифагорейца Тимея Платон говорит: «...Однако же возможно усмот-
111. ПРИМЕЧАНИЯ К СОЧИНЕНИЮ Я. БЕРНУЛЛИ 81 реть, что полное число времени полного года завершится тогда, когда все восемь кругов, различных по скорости, единовременно придут к своей исходной точке, соотно- соотносясь с мерой единообразно бегущего круга тождествен- тождественного. Вот как и ради чего рождены все звезды, которые блуждают по небу и снова возвращаются на свои пути...» (Тимей, 39d; см. Платон, Сочинения.—М.: Мысль, 1971). По мнению виднейших исследователей (см. например, Cornford F. M. Plato's Cosmology. The Timaeus of Plato translated with a running commentary.—London; New York, 1971) Платон опирается здесь на архаическое пред- представление о Великом Годе, восходящее к попыткам при- привести в соответствие лунный и солнечный календари. Представляется вероятным, что Я- Бернулли пользо- пользовался распространенным латинским переводом и ком- комментарием Калкидия (IV в. н. э., in Frg. philos. graeco- rum / Ed. Fr. Guil. Aug. Mullachius.—Parisiis, 1881, p. 208). К этому следует добавить, что долгое время представ- представление о Платоне по преимуществу было связано с «Ти- меем» (см. ст. «Платон» в Философском энциклопедиче- энциклопедическом словаре.— М.: Сов. энциклопедия, 1983). Калкидий пишет: «...Полным количеством времени, за которое совершается полный год, (Платон) называет то, за которое как семь планет, так и прочие звезды, име- именуемые неподвижными, вновь являются на своих изна- изначальных местах и достигают того же взаимного располо- расположения, которое они занимали при рождении мира, в на- начале его... Срок этот заключает бесконечный ряд лет, в особенности потому, что круговые пути блуждающих звезд (планет) неравны, и, следовательно, они неизбеж- неизбежно завершают периоды своего обращения в разное вре- время... Не следует, однако, думать, что это движение и это устроение несут миру разрушение и рассеяние; напротив, гораздо скорее восстановление и как бы новую юность, находящуюся во власти нового круга движения...» Этот комментарий мог быть созвучен мыслям Я. Бер- Бернулли: за внешне хаотическими движениями светил — простая определенная закономерность, выявляющая- выявляющаяся, однако, лишь с огромным возрастанием времени наблюдения. Калкидий, говоря о «бесконечной веренице 6 Я. Бервулли
82 ПРИМЕЧАНИЯ лет» (annorum innumerabilem seriem), пользуется об- образом Горация (Carm. Ill, 30, 4—5): «...innumerabilis / annorum series...»; этот же образ, можно думать, близок Бернулли. Интересно сравнить цитату из «Тимея» с Пифагором: «...и наконец, что все рожденное вновь рождается через промежуток времени...» (см. Порфирий. Жизнь Пифаго- Пифагора, гл. 19, в кн.: Диоген Лаэртский.— М.: Мысль, 1979, с. 449—461). См. также рассуждение Кеплера о конце света в §3.2 Комментария I. ОТ СОСТАВИТЕЛЯ Примечания I, 4, 7, 14, 24, 25; II, 1, 2; III, 2, 3, 7, 10, 11, 13—19, 22, 26, 27, 29—33 написаны О. Б. Шейниным. Примечания I, 2, 6, 8, 12, 18, 23, 26, 30, 32; II, 5; III, 6, 8, 9, 12, 35 написаны О. Б. Шейниным совместно с А. В. Прохоро- Прохоровым. Примечания I. 1, 3, 5, 9—13, 15—17, 19—22, 27—29, 31, 33, 34; II, 3, 4, 6; III, 1, 4, 5, 20, 21, 23-25, 28, 34, 36, 37 написа- написаны А. В. Прохоровым. В подготовке примечаний I. 7, 23, 24, 27, 31; II, 4, 5, 6; III, 4, 6, 11, 12 принял участие Н. Г. Гамкрелидзе.
Комментарий I ЯКОБ БЕРНУЛЛИ И НАЧАЛО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ О. Б. ШЕЙНИН Якоб Бернулли A654—1705) был крупнейшим уче- ученым своего времени — математиком, механиком и физи- физиком. В теории вероятностей Якоб Бернулли более всего известен своей теоремой, получившей впоследствие на- название «закон больших чисел». С открытием этого закона теория вероятностей стала полноправной научной дис- дисциплиной, применимой к широкому кругу статистиче- статистических проблем. Наш комментарий в основном посвящен четвертой части сочинения «Ars conjectandi», в русском переводе известного как «Искусство предположений»,— по суще- существу, единственного теоретико-вероятностного наследия Якоба Бернулли, и ссылки на отдельные главы «Искус- «Искусства предположений» относятся именно к его четвертой части *). Вместе с тем комментарий отражает мысли и замечания А. А. Маркова о законе больших чисел и смежных проблемах (составлять к юбилейной речи Мар- *) Латинское слово ars имеет много значений: искусство, ре- ремесло, мастерство, руководство, способ и др. Использование слова ars в заглавии соответствует античной традиции по аналогии с гре- греческим Tty.vT|. He обошли эту традицию и математики. Так, например, Кардано в 1545 году опубликовал книгу под названием «Artis magnae sive de regulis Algeorae liber unus». Виета в 1591 году назвал свою книгу «Isagoge in artem analyticam». Лейбниц дал название «Disser- tatio de arte combinatorial своему сочинению 1666 года. По существу такое же название («De arte combinatoria») дал Якоб Бернулли своей рукописи 1692 года (не опубликована; хранится в библиотеке Ба- зельского университета). 6*
84 О. Б. ШЕЙНИН кова отдельный комментарий оказалось нецелесообраз- нецелесообразно). Для общей ориентировки мы кратко описываем со- состояние теории вероятностей до Я- Бернулли, а наш по- последний параграф освещает историко-математическую сторону научной деятельности А. А. Маркова. Общая литература о Я. Бернулли бедна, и мы ука- укажем лишь три работы: 1) Б о б ы н и н В. В. Яков I Бернулли и теория вероятностей.— «Математическое образование», 1914, №4, с. 161—168; 2) Никифоровский В. А. Великие матема- математики Бернулли.— М.: Наука, 1984; 3) Fleckenstein J. О. Johann und Jacob Ber- Bernoulli.—Basel, 1949. Двухтомное собрание сочинений Якоба Бернулли вышло в свет в Женеве в 1744 г. и было переиздано в Брюсселе в 1968 г. Новое и, как можно надеяться, полное собрание трудов Бернулли начало издаваться в Базеле. Первый том был опубликован в 1969 г., а тре- третий — в 1975 г. Содержание третьего тома, который и будет нас интересовать, описано в § 2. Мы обсуждали Комментарий с М. В. Чириковым, который высказал ряд ценных советов. § 1. Теория вероятностей и ее приложения до 1713 г. 1.1. Паскаль, Ферма и Гюйгенс. В своей переписке 1654 г. Паскаль и Ферма ([41]; 18, с. 86—88); [64, с. 231— 2391) исследовали некоторые азартные игры. И Паскаль, и Ферма применяли комбинаторные методы. Они ввели понятие математического ожидания случайного события (выигрыша в игре) и использовали это понятие для реше- решения ряда задач, в том числе весьма старинной задачи (ставшей с тех пор классической) о разделе ставки в не- неоконченной игре. Исследование азартных игр крупнейшими учеными Франции привлекло к этой теме внимание Гюйгенса, который в 1657 г. опубликовал первое сочинение по тео- теории вгроятностей — «О расчетах в азартной игре» ([47];
КОММЕНТАРИЙ 1 85 [8, с. 89—90]; [64, с. 239—241]). Как и его предшествен- предшественники, Гюйгенс использовал понятие математического ожидания выигрыша. Он, правда, ие применял особых аналитических методов, а непосредственно подсчитывал ожидаемые выигрыши. Трактат Гюйгенса послужил основой для первой части «Искусства предположений» Я- Бернулли. Рукописное наследие Гюйгенса [64, §4.2] содержало его теоретико-вероятностные исследования 1656—1688 гг. В эти годы он ввел понятия о среднем и вероятном сроках жизни, вычислил математические ожидания порядковых статистик для одного эмпирического распределения, построил и методически использовал график функции y=\-F(x) cF(x) — функцией распределения. Вероятностная часть рукописей Гюйгенса была опубликована лишь в 1888— 1920 гг. [64, с. 241—250]. 1.2. Расширение области приложения теории вероят- вероятностей. Азартные игры сыграли важную роль в зарож- зарождении и развитии теории вероятностей. Уже Паскаль и Ферма понимали, что стоят на пороге новой математиче- математической дисциплины. Гюйгенс же прямо заявил, что азарт- азартные игры помогают заложить начала глубокой теории. Исследование азартных игр продолжил Я. Бернулли в первой и третьей частях «Искусства предположе- предположений». Вместе с тем еще до Якоба Бернулли появилась новая область приложения теории вероятностей — статистика народонаселения и основанное на ней страхование жиз- жизни. Юриспруденция (и, в частности, гражданское право) не ставила тогда еще серьезных задач перед теорией вероятностей (см. § 1.4), но она стимулировала интерес к этой науке. В дальнейшем, начиная с Лапласа [63, с. 171, 172], многие ученые занимались исследованием судебной статистики. Первоначальное развитие теории вероятностей нахо- находилось под большим влиянием следующих сочинений. Дж. Г р а у н т. Естественные и политические на- наблюдения над бюллетенями смертности A662) [43].
86 О. Б. ШЕЙНИН Граунт и экономист У. Петти были сооснователями так называемой политической арифметики и ее важней- важнейшей ветви — статистики народонаселения. Сочинение Граунта положило начало количественным демографиче- демографическим исследованиям. Оно содержало выводы о населе- населении Лондона и Англии и о степени влияния различных заболеваний на смертность. В книге Граунта находилась первая таблица смертности ([8, с. 90, 91]; F4, с. 217— 222]). Рукописные исследования Гюйгенса (см. § 1.1) были иавеяны книгой Граунта. Якоб Бернулли узнал о работе Граунта, кажется, лишь в 1686 г. [32, с. 461 из одной рецензии 1666 г. А. Арно и П. Никол ь. Логика Пор-Рояля, или искусство мыслить A662) [29]. Книга была издана анонимно. (См. примечание 111,10 и 20.) Часть 4 этого сочинения содержит рассуждения о мо- моральной достоверности и примеры применения апосте- апостериорных вероятностей. Я. Бернулли ссылался на «Ло- «Логику» и заимствовал из нее некоторые соображения. Я. де В и т т. Стоимость пожизненных рент в от- отношении к обычным рентам A671) [74]. Де Витт был первым, применившим теоретико-вероят- теоретико-вероятностные рассуждения к страхованию жизни. Приняв определенный вероятностный закон для смертности на- населения, он подсчитал стоимость пожизненной ренты *) на основе ожидаемого срока жизни. Его трактат (объяс- (объяснительная записка для членов правительства Нидерлан- *) Пожизненные ренты, которые известны по крайней мере с XIII века, были особой формой страхования жизни. Страхующийся уплачивал определенную сумму А страховому обществу, общество же ежегодно выплачивало ему ренту а(а < А) в течение всей его жизни. Иногда договор ренты заключался с группой лиц (особо — с мужем н с женой) н предусматривал выплату ренты вплоть до смерти последнего оставшегося в живых члена группы. Учреждались также и общества взаимного страхования нли пенсионные кассы: члены общества уплачивали в кассу ежегодные взносы, за счет которых впоследствии получали пенсии. Также за счет взносов выдавались пособия семьям умерших членов. В 1858 году организация пенсион- пенсионной кассы Морского ведомства России послужила темой специальной заметки М. В. Остроградского Ц4], с. 214).
КОММЕНТАРИЯ I 87 дов) стал доступен для научного мира [70, с. 130, 1311; однако Я. Бернулли так и не успел его прочесть [48]. В переписке того же года де.Витт дал методический пример, в котором он отыскал распределение максималь- максимального члена вариационного ряда для эмпирического за- закона смертности [64, с. 216, 217]. Э. Г а л л е й. Оценка степени смертности челове- человечества и т. д. A694) [45]. Галлей составил таблицу смертности для стационар- стационарного населения и решил с ее помощью ряд важных задач. В частности, он определил относительное (на каждую тысячу новорожденных) количество населения. Хотя понятия «вероятности» у Галлея нет, он фактически оты- отыскал вероятность того, что через какое-то время два че- человека различного возраста умрут; останутся в живых; в живых останется только один. Я. Бернулли вряд ли знал о мемуаре Галлея. На основе статистических данных Галлея Муавр при- пришел к выводу, что смертность взрослого населения под- подчиняется непрерывному равномерному распределению ([27, с. 130]; [64, с. 227—229]). Дж. Арбутнот. Довод в пользу божественного провидения, взятый из постоянной закономерности, наблюдаемой в рождении обоих полов A712) [28]. Арбутнот [27, с. 131, 132] заметил, что ежегодно, в те- течение 82 лет, в Лондоне крестили больше мальчиков, чем девочек. Божественное провидение, проявлявшееся, по Арбутноту, в практически детерминированном преобла- преобладании мужских рождений над женскими, уравновешивало большие опасности в жизни мужчин. Прибегая, к современной терминологии, можно ска- сказать, что Арбутнот проверял гипотезу о равенстве пара- параметров биномиального распределения р и q (p и q— вероятности новорожденному оказаться соответственно мальчиком и девочкой) и принял, что p>q. Заслуга Арбутиота в истории идей математической статистики очевидна [42]; его статистические данные по- послужили отправным пунктом исключительно важных ис- исследований Н. Бернулли и, особенно, Муавра (см. § 4.3).
88 О. Б. ШЕЙНИН 1.3. Лейбниц. Лейбниц был поистине всесторонним ученым, в частности, он интересовался и теорией вероят- вероятностей. Лейбниц помышлял о применении моральной достоверности в теологии и различал в суждениях степе- степени уверенности F4, с. 205]. Он исследовал ряд азартных игр *), с которыми связывал свои надежды на создание вероятностной логики. По его мысли теорию вероятно- вероятностей следовало бы включить во всеобъемлющую систему логики [62, с. 115]. Лейбниц заметил, что по крайней мере практически и в юриспруденции, и в медицине применяется некото- некоторая шкала вероятностей [62, с. 109]. В своих рукописях периода 1680—1690 гг. (опубликованных лишь в 1866 г.), основываясь на предположении о равномерном законе смертности, Лейбниц пришел к важным демографическим выводам. В частности, еще до Галлея (см. § 1.2) он понял, что по таблице смертности можно определять относитель- относительное количество населения 164, с. 224—227]. В 1703—1705 гг., переписываясь с Якобом Бернулли, Лейбниц высказал свои соображения о применении ста- статистических вероятностей и Бернулли, безусловно, ис- использовал эту переписку (см. § 2). В частности, в 1703 г. Лейбниц [48, с. 509] сообщил, что ему стало известно о работе Якоба Бернулли над рукописью «Искусства предположений» и что он, Лейбниц, надеется, что какой- нибудь крупный математик (например, сам Бернулли) продолжит исследование азартных игр. Уже в 1714 году в письме к другому корреспонденту, Лейбниц [48, с. 513] почему-то указал, что «покойный г. Бернулли занимался этим предметом» **) по его, Лейб- Лейбница, увещеваниям. Лейбница мы будем упоминать и в дальнейшем, особенно в § 2 и 3. 1.4. Николай Бернулли. «Духовным отцом» Николая Бернулли был его родной дядя Якоб. Это усматривается из диссертации Николая «Опыт применения искусства *) Несколько заметок по этому поводу опубликовал К--Р- Вир- май. См. обширную библиографию, приложенную к книге Хакнн- га [44]. **) Имеется в виду теория вероятностей.
КОММЕНТАРИЯ 1 89 предположений к вопросам права» [35]. Автор соответст- соответствующего комментария, Коли [49, с. 541) прямо говорит, что Николай не только подхватил намеки, содержавшие- содержавшиеся в рукописи «Искусства предположений», но также дословно перенес в свою диссертацию отдельные куски из этого сочинения и даже из дневника Якоба Бернулли [32], который вообще не предназначался для публика- публикации. Вряд ли можно считать, что многочисленные об- общие упоминания «Искусства предположений» в диссер- диссертации исправляют положение. Диссертация Николая Бернулли содержит: 1) подсчет средней продолжительности жизни для человека данного возраста по таблице смертности Гра- унта (см. § 1.2); 2) рекомендацию применять среднюю продолжитель- продолжительность жизни для вычисления стоимости пожизненной ренты и для суждений о вероятности смерти безвестно отсутствующих (см. также § 3.3); 3) методические подсчеты ожидаемых убытков в мор- морском страховании; 4) вычисление ожидаемого выигрыша в классической генуэзской лотерее, зародившейся в XVI веке. В связи с задачей о вымирании группы из п человек Н. Бернулли A35, с. 296, 297]; [68, с. 195, 196]) рас- рассмотрел непрерывное равномерное распределение и опре- определил математическое ожидание наибольшего элемен- элемента выборки из этого распределения. Соответствующие результаты Гюйгенса и де Витта (см. §1.1, 1.2) оста- оставались в момент публикации этого результата неиз- неизвестными. § 2. История написания и издания сочинения Якоба Бернулли «Искусство предположений» В 1703 году в ответном письме Лейбницу Якоб Бер- Бернулли [48, с. 509] упомянул о своей работе над трактатом по «учению об оценке вероятностей». Он писал, что ввиду своей «врожденной медлительности» и слабого здоровья «частенько откладывал работу на целый год». И все-таки, продолжал Бернулли, большая часть книги уже готова, не хватает, однако, «главного» — не показано, «как
90 О. Б. ШЕЙНИН применять принципы искусства предположений к граж- гражданским, моральным и экономическим вопросам». Якоб Бернулли так и не закончил своего «Искусства предположений», и оно было опубликовано посмертно в 1713 г. в том виде, в каком его оставил автор. Это сочи- нение, написанное на латинском языке, состоит из четы- четырех частей. Николай Бериулли написал короткое преди- предисловие, указав, что часть четвертая осталась незавершен- незавершенной в связи со смертью автора и что издатели просили его как автора диссертации о применениях искусства пред- предположений докончить труд Я. Бернулли, но что он не счел возможным что-либо изменять или добавлять*). В качестве приложений к сочинению издатели доба- добавили трактат Я. Бернулли о бесконечных рядах и напи- написанное им по-французски «Послание к другу об игре в мяч» [31]. В «Послании» Бернулли подсчитал мате- математические ожидания выигрыша игроков в различных ситуациях старинной разновидности тенниса, увекове- увековеченной в названии неоконченной картины Ж- Л. Давида «Клятва в Зале для игры в мяч» **). *) См. «Предисловие Н. Бернулли», с. 162, а также (Д12]. * *) Le jeu de paume — старинная игра в мяч, перебиваемый через сетку ладонью (буквально по-фраицузски — игра ладонью), а впос- впоследствии ракеткой, в закрытом зале (корте). Эта игра первоначально зародилась в Италии и Франции. Расцвет ее пришелся на средние века во Франции: в XI веке в нее играли в монастырях, в XIII— XIV веках — при французском королевском дворе н в аристокра- аристократических домах. В XII—XIV веках игра распространилась в Евро- Европе, особенно в Англии и Германии (в России игра была известна под «азваннем «жё-де-пом»). К началу XVII века в Париже было не- несколько сотеи залов для jeu de paume. Один из них наиболее изве- известен — историческое заседание Национального собрания Франции состоялось в 1789 году в Версале в зале для игры в мяч. Находя- Находящаяся в Лувре композиция французского живописца Ж- Л. Да- Давида «Клятва в зале jeu de paume» изображает это событие. Игра jeu de paume явилась прообразом современного тенниса. Известны две разновидности тенниса: наиболее популярны лауи- тенннс (от англ. lawn — луг, лужайка) и так называемый настоя- настоящий нли королевский теииис (real tennis или royal tennis), в который играют в закрытых залах. Эта последняя разновидность тенниса по своим характерным особенностям н правилам является прямым потомком старинной игры jeu de paume; во Франции эта игра в на- настоящее время сохранила свое историческое название (см. также комментарий Хаусснера [30, с. 160—166]).— Примеч. ред.
КОММЕНТАРИЙ I 9| Отдельные части «Искусства предположений» впо- впоследствии переводились на живые европейские языки, а в 1899 г. вся книга в целом (включая «Послание к дру- другу») была издана в немецком переводе *). В 1975 г. Б. Л. ван дер Варден опубликовал в третьем томе со- сочинений Я- Бернулли [34J латинский текст «Искусства предположений» вместе с «Посланием другу об игре в мяч» [31], а также впервые издал теоретико-вероятно- теоретико-вероятностную часть дневника Бернулли [32] и две задачи на азартные игры [33], которые Якоб предложил в 1685 г. (в 1690 г. Бернулли опубликовал их решение, а затем включил в первую часть «Искусства предположе- предположений»). Помимо сочинений Я- Бернулли в указанный том [34] входят диссертация Николая Бернулли [35] (см. § 1.4), трактат де Витта [74] (см. § 1.2), обширные комментарии самого ван дер Вардена и еще нескольких авторов, опи- описание переписки Я. Бернулли и Лейбница за 1703— 1705 годы D81 и несколько статей о ранней истории тео- теории вероятностей. Дневник Якоба Бернулли посвящен исследованию азартных игр и вероятностному аспекту гражданского права. Он также включает первоначальный вариант «Послания к другу» [3D. В дневнике, кроме того, наме- намечено приложение вероятностных представлений в есте- естествознании. Так, Бернулли [32, с. 47) утверждает, что средней высотой ртутного столба барометра следует счи- считать соответствующее среднее арифметическое, а не полу- полусумму крайних наблюдений. В этом же месте автор опре- определяет вероятность появления чумы в очередном году как отношение количества «чумных» лет за длительный промежуток времени к общему числу лет в этом проме- промежутке. Этот пример интересен тем, что в нем Бернулли пользовался определением вероятности события (притом статистической вероятности), а не шансами «за» и «про- «против» события. Другой подобный пример см. в §3.2 и 3.4. *) Кинга была издана Р. Хаусснером в серии «Ostwalds Klassi- ker der exacten Wissenschaften» (сы. примечание 11.5).
92 О. Б. ШЕЙНИН Наконец, и это самое важное, дневник Якоба Бер- нулли заканчивается двумя записями, содержащими наброски доказательства теоремы Бернулли. Ван дер Варден G1, с. 388] относит записи в дневнике к трем пе- периодам, к 1684—1685, 1685—1686 и 1687—1689 (или, во всяком случае, к 1686—1690) годам, и таким образом ока- оказывается, что Бернулли доказал свою теорему не позже чем в 1690 году. Этот вывод вполне согласуется с утверждением Якоба Бернуллн [48, с. 509], которое он высказал в письме Лей< - ницу в 1703 году. Более 12 лет назад, писал Якоб, он показывал своему брату (Иоганну) решение «един- «единственной в своем роде задачи». По контексту письма ясно, что речь шла именно о законе больших чи- чисел *). «Искусство предположений» состоит из четырех час- частей. Вот перевод их названий: «Искусства предположений часть первая, содержащая трактат Гюйгенса о подсчете шансов при игре в кости с примечаниями Якоба Бериулли»; «Искусства предположении часть вторая, содержащая учение о перестановках и сочетаниях»; «Искусства предположений часть третья, объясняю- объясняющая применение вышеизложенного учения при различ- различных жеребьевках и различных играх в кости»; «Искусства предположений часть четвертая, излагаю- излагающая использование и применение предшествующего учения в гражданских, моральных и экономических делах». Таким образом, первая часть «Искусства предполо- предположений» представляет собой существенно комментирован- комментированную перепечатку трактата Гюйгенса (см. § 1.1). Вторая часть книги посвящена комбинаторике (именно здесь *) О значении, какое придавал Я. Бернулли своей теореме, можно судить по замечанию из дневника C2, с. 881, что он пенит доказательство этой теоремы выше, чем квадратуру круга: «NB. Hoc invention pluris facio quam si ipsam circuit quadraturam dedissem, quod si maxime reperiretur, exigui usfls esset» (иа это обратил внима- внимание ваи дер Варден C4, с. 17]). Это мнение, впрочем, было известно и из письма Н. Бериулли к Мовмору E1, с. 314].
КОММЕНТАРИЙ I 93 автор ввел и применил «числа Бернулли») и не имеет непосредственного отношения к теории вероятностей, третья — приложению комбинаторики к исследованию азартных игр. В первой и третьей частях «Искусства предположений» мы находим решение ряда интересных вероятностных задач, в том числе: исследование случайных сумм для дискретного равномерного и биномиального распреде- распределений, аналогичное изучение суммы случайного числа слагаемых для одного дискретного распределения, отыс- отыскание распределения первой порядковой статистики для равномерного дискретного распределения и вычисление вероятностей безвозвратных выборок. Методы Бернулли включали комбинаторный анализ и вычисление ожидае- ожидаемых выигрышей игроков в каждой партии конечной или бесконечной игры с последующим суммированием мате- математических ожиданий. Последняя, четвертая часть «Искусства предположе- предположений» содержит классическое и статистическое определе- определения вероятности, элементы исчисления предположений и основную теорему — закон больших чисел. Больше половины гл. 4 этой части, по существу, совпадает с со- соответствующими местами из писем Якоба Бернулли Лейбницу 1703—1705 гг. 1481. Трудно даже сказать, что именно было написано раньше — эта глава или письма,— но по крайней мере два отрывка гл. 4 (в том числе ответ на возражения «ученых мужей») не могли попасть в руко- рукопись независимо от переписки. Судя по названию четвертой части «Искусства пред- предположений», Бернулли хотел приложить полученные здесь результаты к гражданским, моральным и экономи- экономическим вопросам и придавал этому особое значение *). Перейдем к непосредственному обсуждению содер- содержания четвертой части «Искусства предположений». *) См. описание одного из писем автора Лейбницу в начале этого параграфа. В названии четвертой части нет упоминания о законе больших чисел. Мы склонны полагать, что именно поэтому никто, кроме Н. Бериулли, не подозревал об истинном значении этой части вплоть до публикации книги Монмора [51].
94 О. Б. ШЕЙНИН § 3. Четвертая часть «Искусства предположений» 3.1. Случайность. Уже Аристотель [62, с. 98, 99] предложил несколько истолкований понятия случайного. Случайное ои понимал как возможное, как уклонение от законов природы (например, рождение урода) и как не- нечто происшедшее непреднамеренно (например, находка клада). Естествоиспытатели нового времени либо признавали случайность как уклонение от законов природы или как нечто происходящее без всякой цели, либо отрицали случайность, объясняя ее действием неизвестных (или, во всяком случае, слишком сложных) причин, но неиз- неизменно отводя ей определенное место в своих объяснениях мира. Один пример: Ньютон отрицал случайность E9, с. 232, 2351, но утверждал (там же, с. 225), что накопле- накопление (случайных) возмущений в системе мира уничтожа- уничтожается актом божественной реформации. Якоб Бернулли также отрицал случайность, объяс- объясняя ее действием неизвестных причин. Ои так и писал в гл. 1 (с. 26): «Случайность главным образом зависит от нашего знания». Бериулли, кроме того, заметил, что знания причин недостаточно: для предсказания будущих событий нужно еще уметь вычислять. Он тем самым пред- предвосхитил знаменитое изречение Лапласа [6, с. 91: «Ум, которому были бы известны для какого-нибудь данного момента все силы, одушевляющие природу, и относи- относительное положение всех ее составных частей, если вдо- вдобавок он оказался достаточно обширным, чтобы подчи- подчинить эти данные анализу, обнял бы в одной формуле дви- движения величайших тел вселенной наравне с движениями легчайших атомов ... и будущее, как и прошедшее, предстало бы перед его взором». Но уже Максвелл [66, § 3.5] понял, что в принципе движение данной молекулы непредсказуемо. Пуанкаре [19, с. 323] заметил, что малое изменение начальных усло- условий, которые известны лишь приближенно, может при- привести к существенным изменениям в будущем. По Пуан- Пуанкаре схема «малые причины — большие последствия» и составляла суть понятия случайного.
КОММЕНТАРИЙ I 95 К сказанному можно добавить мнение Лейбница из рукописи 1686 года 150, с. 288]: «Случайные вещи — это те, полное доказательство которых превосходит всякий человеческий разум». 3.2. Классическое определение вероятности. В соот- соответствии с классическим определением вероят- вероятность случайного события есть отношение числа благо- благоприятных появлению события случаев (т) к числу всех «равновозможных» случаев («): р= т/п. A) Это определение неоднократно критиковалось. На- Например, Реиьи B0, с. 187] разъяснял, что недостаток определения A) состоит даже не в том, что ему свойствен порочный круг, «а в том, что оно не является определе- определением» и лишь обеспечивает возможность вычисления вероятностей для классических вероятностных полей. Итак, определение A) позволяло вычислять вероят- вероятности. Возможно, что уже Ферма в одном из своих писем Паскалю (см. § 1.1) пользовался формулой A), а не обыч- обычным для того времени соотношением шансов «за» и «про- «против»; более того, математическое ожидание выигрыша, которое служило основным понятием у Паскаля и Ферма (и чуть позднее — у Гюйгенса) в простейшем случае сводилось к вероятности A). Идею, лежащую в основе классической вероятности, использовали еще Кеплер н даже Орем — математик и естествоиспытатель XIV в. 162, с. 131J. Два числа, выбранных наудачу, утверждал послед- последний, «вероятно» окажутся несоизмеримыми, а потому взаимное положение небесных тел Солнечной системы * данный момент времени «вероятно» никогда не имело места в прошлом и не повторится в будущем. То же самое обоснование привел Кеплер, заявив, что планеты «вероятно» никогда не вернутся в свое положе- положение, существовавшее в момент творения, н конец света вряд ли поэтому наступит. В явном виде определение A) появилось только у Я. Бернулли в первой главе «Искусства предположе- предположений» (см. с. 24). «Вероятность же есть степень достовер- достоверности (probabilitas enim est gradus certitudinis) и отли-
96 О. Б. ШЕЙНИН чается от нее, как часть от целого»,— утверждал он *). Прямого указания на равновозможность случаев здесь нет, но оно, несомненно, есть в примере: если «полная и безусловная достоверность ... будет для примера пред- предположена состоящей из пяти вероятностей, как бы час- частей, из которых три благоприятствуют существованию или осуществлению какого-либо события, остальные же не благоприятствуют, то будет говориться, что это со- событие имеет ... 3/5 достоверности». Гнеденко и Перес [3] придают большое значение это- этому определению, точнее, появлению классического и статистического определений вероятностей у Якоба Бер- Бернулли. С этого момента, как они полагают, началась теория вероятностей. Отметим, что Якоб Бернулли не применил своего опре- определения ни при доказательстве закона больших чисел, ни в своем учении о доводах (см. §3.5) **). Многие комментаторы (D4, с. 143]; [55, с. 311]) назы- называют Якоба Бернулли основателем субъективного пред- представления о вероятности. Так, в гл. 2 Бернулли указы- указывает: «Делать о какой-либо вещи предположения — все равно, что измерять ее вероятность». Стоит напомнить (см. § 3.1), что и случайность у Бернулли носила субъек- субъективный характер. Все же можно заметить, что уже в 1685 или 1686 году в своем дневнике [32, с. 43] он упоминал о вероятности как о доле уверенности в контексте задачи о вероятности одному человеку пережить другого, т. е. в связи с объективными вероятностями (правда, стати- статистическими, см. также § 3.4). Колмогоров [5] указывает, что если событие рассматривается «при тех или иных осу- осуществимых неограниченное число раз условиях», то субъективная вероятность его наступления может при- приобретать объективный смысл. *) Ср. с определением, которое сформулировал Лейбниц в одной из своих рукописей 1678 года [36):«Probabilitas est gradus possibi- litatis» (вероятность есть степень возможного). Рукопись была опубликована в 1901 году, однако Лейбниц описывал ее содержание в своих письмах [44, с. 1451. **) Это обстоятельство, видимо, означает, что Бернулли не успел закончить свой трактат не только по существу, но и в мето- методологическом смысле. О том же свидетельствует н форма изложения первой части «Искусства предположений» (см. § 2).
КОММЕНТАРИЙ I 97 Приверженцем субъективной вероятности был Лам- Ламберт 160, с. 245]. У Лапласа [63, с. 176], если судить по его высказы- высказываниям, вся теория вероятностей имела субъективный характер; во всяком случае он опирался на субъектив- субъективное знание для отыскания соответствующих оценок пер- первого приближения. 3.3. Вероятностные предположения. Бернулли по- посвятил две главы (гл. 2 и 3) своего труда учению о дово- доводах. В самом начале гл. 3 он говорит о доводах, «при помощи которых составляются наши мнения и предпо- предположения». Поскольку он озаглавил свое сочинение «Ис- «Искусство предположений», позволительно думать, что учению о доводах Бернулли придавал весьма большое значение. Заметим, что правила сочетания доводов, если вос- воспользоваться при их выводе классическим определением вероятности, сведутся к применению теорем сложения и умножения вероятностей (в явном виде этих теорем у него нет). Возможно, что Якоб Бернулли хотел применять свою теорему к «исчислению предположений». Это мнение высказал Шафер [55, с. 340], статью которого мы суще- существенно используем в данном подпараграфе и в соответ- соответствующих примечаниях, но и Бернулли, как отме- отмечалось, сказал, что «делать о какой-либо вещи пред- предположения — все равно, что измерять ее вероятность». Более того, он утверждал, что искусство предположений состоит в том, чтобы «возможно точнее измерять вероят- вероятности вещей» и тем самым обеспечить возможность «в суж- суждениях или действиях» следовать лучшему. В правиле 5 гл. 2 он повторил последнюю мысль: принимая то или иное решение, следует основываться на более подходя- подходящем, более надежном и т. п. исходе. Точка зрения Бернулли на теорию вероятностей более современна, чем позиция Лапласа, который относил эту дисциплину к естествознанию в целом F3, с. 179—183]. Заметим еще, что применение вероятностных представ- представлений для принятия однократного решения соответ- соответствует современному подходу. Аналогичную рекоменда- рекомендацию можно найти и у Ньютона [56]. 7 Я- Беряулля
98 О. Б. ШЕЙНИН Учение о доводах представляет еще и особый интерес, поскольку Якоб Бернулли пользуется в нем неаддитив- неаддитивными вероятностями. Рассмотрим прежде всего его пер- первый пример: от брата давно нет известии, и, может быть (вот довод), он даже умер. Этот довод, по терминологии Бернуллн, чистый; он частично объясняет молчание бра- брата, о других же возможных соображениях он ничего не говорит. Существуют н смешанные доводы, которые иног- иногда свидетельствуют об одном, в других же случаях гово- говорят в пользу противоположного. В данном примере Бернулли принимает, что брат умер в Ъ случаях из Ь+с (равновозможиых) случаев, и вес довода, т. е. математическое ожидание смерти без- безвестно отсутствующего, оказывается равным b/(b+c). Объяснение «брат не пишет потому, что умер» получило вероятность b/[b+c), а все другие объяснения — вероят- вероятность, равную нулю; сумма этих вероятностей меньше единицы. Правда, довод о смерти брата не может пол- полностью объяснить его молчание, но вот другой пример Бернулли (самый последний): сочетание доводов придает какому-то предположению 2/3 достоверности, и в то же время противоположное предположение оказывается до- достоверным на 3/4. Бернулли так и говорит: «...абсолют- «...абсолютная вероятность того и другого может заметно превзойти половину достоверности...» Эти доли достоверности (т. е. вероятности) уже неаддитивны. Ни в «Искусстве предположений», ни в дневнике Бер- Бернулли нет никакого исчисления неаддитивных вероят- вероятностей. Усилия Ламберта углубить учение о доводах при сохранении неаддитивных вероятностей не имели успеха; однако, начиная с Б. О. Купмена A940), эти вероятности вновь стали изучаться, хотя и в более осторожной форме [55, с. 362—366]. Учение о доводах, которое, с иной точки зрения, за- заключает в себе элементы вероятностной логики, нашло некоторое продолжение в попытках Кондорсе [68, с. 400—409) и Лапласа [63, с. 171,172) изучать свидетель- свидетельские показания вероятностными методами. Рассуждение Якоба Бернулли о безвестно отсут- отсутствующем подхватил Николай Бернулли [35], который предложил считать безвестно отсутствующего умершим
КОММЕНТАРИЙ I 99 лишь после того, как вероятность его смерти вдвое пре- превысит вероятность его нахождения в живых; см. также § 1.4. Кондорсе [64, с. 205] рассматривал раздел имуще- имущества безвестно отсутствующего с точки зрения сравнения рисков наследников и самого отсутствующего. Простей- Простейшие вероятностные соображения предусматривались по поводу безвестно отсутствующих и во французском граж- гражданском кодексе конца XIX в. Уместно добавить, что в свое время вопрос о жизни или смерти отсутствующего не представлял большого интереса и Кеплер [62, с. 126], ссылаясь на моральные и религиозные причины, просто отказался на него отвечать. Будучи не только астроно- астрономом, но и астрологом, Кеплер тем не менее вообще не считал возможным отвечать на подобные вопросы. Он считал себя основателем научной астрологии, дисцип- дисциплины об общем влиянии небесных светил на жизнь госу- государств, народов и отдельных людей. 3.4. Статистическая вероятность. Помимо определе- определения A) со второй половины XVII века в демографических исследованиях фактически начало применяться ста- статистическое (апостериорное) определение веро- вероятности как отношения числа ц появлений случайного события при v испытаниях к v: Р=?- B) По необходимости статистические вероятности сразу же нашли себе применение в статистике народонаселения. Их также употребляли с методической целью авторы «Ло- «Логики Пор-Рояля» [291; см. § 1.2. Добавим, что в рукописи периода 1664—1666 гг. Ньютон [59, с. 218—219] заметил, Что «относительная легкость» выпадения отдельных гра- граней неправильной игральной кости может быть опреде- определена из опыта. Рассуждение о неправильной кости впо- впоследствии использовал Мизес с целью показать преиму- преимущество определения B) перед классической вероятностью 0) (Хинчин [24, с. 95] в этой связи упомянул «знамени- «знаменитой пример Мизеса, непревзойденный по силе и простоте •ргументации»). Обсуждение понятия статистической вероятности со- сосредоточено в гл. 4 «Искусства предположений».
100 О. В. ШЕЙНИН Можно спросить: откуда все-таки Я. Бериулли взял понятие статистической вероятности? По-видимому, из статистики народонаселения и из «Логики Пор-Рояля». Но непосредственный повод для его введения предоста- предоставила Бернулли задача о том, насколько вероятнее юно- юноше 20 лет пережить 60-летнего старика, чем старику пере- пережить юношу. Вот что он писал по этому поводу Лейбни- Лейбницу [48, с. 510]: «Исходя из описанного примера, я начал спрашивать себя, нельзя ли будет узнать то, что нам не известно априорно, хотя бы апостериорно, по исходу большого числа сходных наблюдений...» Та же задача встречалась в дневнике Бернулли (см. §3.2), а также (усложненная, впрочем, дополнительными соображе- соображениями) и в «Искусстве предположений» в гл. 2, правило 4. В дневнике Бернулли имеется и задача о статистиче- статистической вероятности «чумного» года (см. § 2), но ни в пись- письмах Лейбницу, ни в «Искусстве предположений» она не повторяется. 3.5. Соотношение между классической и статисти- статистической вероятностями. Теорема Бернулли из гл. 5 «Ис- «Искусства предположений» устанавливает отношение между классической и статистической вероятностями. Чтобы понять всю глубину доказанного Якобом Бернуллн ре- результата, необходимо обратить внимание на его былые сомнения. Не может ли так случиться, спрашивал он себя (гл. 4, с. 42), что с возрастанием количества наблю- наблюдений наше знание останется все же ограниченным не- некоторой степенью достоверности? Пусть рир соответственно классическая и статисти- статистическая вероятности некоторого события. Тогда вопрос Бернулли может быть записан следующим образом: не существует ли таких положительных чисел р* и б, что предел при v-*-oo вероятности Р(|р—р|<Р) меньше или равен 1—6? С помощью своей теоремы Бернулли отвечает на этот вопрос отрицательно: нет, таких р* и б не существует. Таким образом, он показал равноправие статистической и классической вероятностей и установил в рамках веро- вероятностной теории познания соответствие между индук- индуктивными и дедуктивными методами, показав, как ста-
КОММЕНТАРИЙ I 101 тистические наблюдения постепенно приводят к обосно- обоснованному убеждению (или, иначе, к моральной достовер- достоверности). Предваряя доказательство своей теоремы, Бернулли в гл. 4 обещал показать, что при большом числе наблю- наблюдений статистическая вероятность р становится нрав- нравственно (морально) достоверной оценкой вероятности р *). В гл. 2 он высказался в пользу официального уста- установления того или иного значения моральной достовер- достоверности в судах. Понятие моральной достоверности ввел в науку Декарт [64, с. 204], оно обсуждалось авторами «Логики Пор-Рояля» [29, ч. 4, гл. 15], Лейбницем (см. § 1.3) и Гюйгенсом [64, с. 251—252]. В XVIII веке поня- понятие моральной достоверности рекомендовал применять Бюффон [63, с. 146], а в наше время это понятие перешло в математическую статистику, формулирование ряда задач в рамках которой предполагает установление опре- определенных доверительных вероятностей. Уже в середине XIX в. на тех или иных доверительных вероятностях основывалась отбраковка наблюдений в теории ошибок. В переписке с Якобом Бернулли Лейбниц [48, с. 510) так и ие согласился с принципом равноправия классиче- классической и статистической вероятностей, быть может потому, что отдавал решительное предпочтение дедуктивному ме- методу познания перед индуктивным [22, с. 226]. Вообще говоря, вероятностные методы не могут полиостью под- подтвердить статистическую гипотезу, и в этом смысле Лейб- Лейбниц был прав. Одно из возражений Лейбница сводилось к тому, что статистические вероятности определяются лишь по конеч- конечному числу наблюдений. Заметим по этому поводу, что авторы «Логики Пор-Рояля» [29, ч. 4, гл. 12) утверждали, что конечное (разум) не всегда может постигнуть беско- бесконечное (бога). Бериулли [48, с. 5111 ответил на это возражение Лейб- Лейбница: отношение между двумя бесконечностями (оче- (очевидно, между числом появления события и количеством испытаний), заявил он, можно определить из конечного числа опытов. *) р является состоятельной оценкой р.
102 О. В. ШЕЙНИН В дальнейшей переписке Лейбниц приводил новые аргументы, и следы этой дискуссии видны в гл. 4 «Ис- «Искусства предположений». В частности, Бернулли ссыла- ссылается там (как и в одном из своих писем Лейбницу) на то, что в XVI веке удалось значительно уточнить число я, ио по существу это соображение уже не относилось к делу. О вычислении л первым упомянул Лейбниц, утверждая, что и в геометрии отиошение между бесконечностями не всегда определяется по конечному числу шагов. Бернулли мог бы напомнить Лейбницу свой пример устойчивости статистической вероятности [48, с. 510J, но не сделал этого. В той же гл. 4 четвертой части «Ис- «Искусства предположений» за несколько страниц до своего ответа «ученым мужам» (Лейбницу) он- привел уже ряд примеров подобного рода. В самом первом приближении устойчивость частот адекватно описывается законом больших чисел (теоре- (теоремой Бернулли), а более определенно — усиленным зако- законом больших чисел. Соответствующее допущение ле- лежит в основе применения статистических данных са- самого различного характера. Неудивительно, что в своей частотной теории Мизес [17, с. 20) сформули- сформулировал аналогичное положение. Одно из свойств «ста- «статистического коллектива», утверждал он, состоит в том, что относительные частоты появления события стремятся к определенному предельному значению — К статистической вероятности. § 4. Закон больших чисел В соответствии с обычным современным определением последовательность случайных величин bit felt • • • » 6nt • • • \Ч подчиняется закону больших чисел, если существует такая числовая последовательность аи а%, .. . , а„,. .., для которой при любом еХ) выполняется равенство л-»-в B)
КОММЕНТАРИЙ I 103 4.1. Предыстория. Еще до публикации «Искусства предположений» высказывались утверждения, которые можно отнести к предыстории закона больших чисел. Кардано принимал, что число ц появлений случайного события в п независимых испытаниях равно пр, где р — вероятность его появления в каждом испытании, и это мнение приводило его к ошибочным результатам. Например, Кардано E2, с. 196] утверждал, что при бро- бросании трех костей выпадение хотя бы одной шестерки происходит в 108 случаях из 216 (в последующем изло- изложении он исправил свою ошибку). Оре [52, с. 152—154] разумно полагает, что Кардано здесь и в нескольких дру- других местах руководствовался «рассуждением о среднем». Кеплер [61, с. 120] заметил, что общий вес *) большого числа монет одной и той же чеканки почти не зависит от неточностей в весе отдельных монет. Упомянув практику «оптовой» покупки пожизнен- пожизненных рент на имя многих молодых (и, очевидно, здоровых) людей сразу, де Витт [64, с. 214] указал, что покупатель мог рассчитывать на прибыль «без случайностей и риска». Поясним (там же, с. 210), что в те времена стоимость по- пожизненных рент не всегда зависела от возраста застра- застрахованных (а если и зависела, то, возможно, в недостаточ- недостаточной степени). Составляя свою таблицу смертности по данным за пять лет, Галлей (см. § 1.2) заметил, что смертность в воз- растной группе 14—17 лет была примерно вдвое меньше, чем в группах 9—13 н 18—25 лет. Галлей заключил, что это обстоятельство, «равно как и другие нерегулярности» в исходных данных, «видимо, вызвано случаем» и ис- исчезло бы при «намного большем» числе лет наблюдений 164, с. 227]. В окончательной таблице Галлея таких не- неправильностей нет; иными словами, он их как-то вы- выровнял. Галлей исходил из мысли о закономерности, прояв- проявляющейся при суммировании случайных величин, но можно предположить, что выявленные им неправильно- неправильности были вызваны какими-то систематическими причи- причинами или ошибками. *) Точнее говорить о среднем весе.— Примеч. ред.
104 О. В. ШЕЙНИН В конце XVII в. астрономы, участвовавшие в градус- градусных измерениях, признавали среднее арифметическое из ряда наблюдений неизвестной константы «истинным» результатом или во всяком случае полагали, что в этом среднем исключаются погрешности наблюдений [61, с. 122—123]. Труды Аристотеля прямо или косвенно влияли на развитие науки, по крайней мере вплоть до XVII века. Неформализованная и подчас интуитивная идея об опти- оптимальных свойствах средних также исходила от Аристо- Аристотеля — от его учения о достоинствах среднего поведе- поведения, средней умеренности и т. д. [62, с. 102] *). Даже в математике древних, а именно у Никомаха (примерно 100 г. и. э.) (Nichomachus. Introduction to arithmetic.— Great books of Western world, Chicago, 1952, v. 11, p. 811—848), мы встречаем рассуждение о средних в применении к числам. Никомах (с. 820) называ- называет совершенные числа средними между теми, у которых сумма делителей меньше и больше самого числа. Сред- Средние же величины, продолжает Никомах, «умеренны» (оп- (оптимальны в смысле Аристотеля) и, в частности, нахо- находятся «в тоне» сравнительно со слишком высокими и слишком низкими звуками. Влияние Аристотеля безусловно сказалось и иа бель- бельгийском статистике XIX века Кетле [4, с. 210], который ввел понятие о среднем человеке и утверждал, что это фиктивное существо идеально и в физическом, и в мо- моральном смысле. Своего рода среднее, но только из наиболее красивых людей, стремились отыскать скульптор и художник Альберти A404—1472) и, несколько позднее, Леонардо да Виичи [62, с. НО, 111]. Римский врач и естествоиспытатель II века Гален [62, с. 119, 120] не очень, правда, определенно полагал, что «среднее состояние» и «средняя конституция» явля- являются наилучшими для человека. Его среднее, кажется, соответствовало полусумме крайних членов вариацион- вариационного ряда. *) Аналогичные высказывания встречаются и в древнекитайской философии (см. там же).
КОММЕНТАРИЯ I 105 4.2. Якоб Бернулли. Доказанная Якобом Бериулли в гл. 5 «Искусства предположений» теорема может быть записана в виде B). Вот, однако, ее формулировка. Пусть число благоприятных случаев относится к числу неблаго- неблагоприятных точно или приближенно, как г к s, или к числу всех случаев — как г к r+s или г к t, каковое отношение заключается в пределах ^~— и Т-=т- ¦ Требуется дока- доказать, что можно взять столько опытов, чтобы в какое угодно данное число раз (с раз) было вероятнее, что число благоприятных наблюдений попадет в эти пределы, а не вне их, т. е. что отношение числа благоприятных наблю- наблюдений к числу всех будет не более чем г-~— и не менее чем Т-^~. В общих чертах ход доказательства таков. Вначале Бернулли показал, что при достаточно боль- большом nt сумма 2п средних членов разложения бинома (r+s)ai, где t=r+s, г и s — натуральные числа, an — большое натуральное число, даже исключая средний член, окажется более чем в заранее заданное число раз больше суммы остальных членов разложения. Затем он применил этот формальный факт для вероятностного рассуждения: пусть rl(r+s) — постоянная вероятность (этого термина у Бериулли нет) появления события в единичном испытании, v=nt — количество испытаний. Тогда при достаточно большом v вероятность количеству появлений события находиться в пределах л(г±1) может быть доведена до величины, более чем в с раз превышаю- превышающей вероятность противоположного события. Иными словами, при произвольном с >0 и достаточно боль- большом v Н*} C) Причем достаточное для выполнения неравенства C) число испытаний v линейно возрастает с логарифмом с: v=nt=t(k\ogc+v,). D) Здесь |i — количество появлений события в v испы- испытаниях, k и v«— возрастающие функции г и s; при воз-
106 О. Б. ШЕЙНИН растании г и s величина v увеличивается не только вместе с t, но и вместе с п. (Нн Бернулли, ни другие ученые вплоть до Пуассона не различали вероятностей вида Р{|<*} и Р{?<*}, и мы не будем более оговари- оговаривать это обстоятельство.) Более точно Бернулли предло- предложил для v оценку v=max(v1; v2), rt(m-\) logic(r-l)] Формулы D) у Бернулли нет, но она выводится из этих оценок *). Формулы C) и D), вместе взятые, и являются записью закона больших чисел в форме Бернулли **), который, впрочем, обычно записывается в более слабом виде, а именно в виде Ига р| — — Бернулли, далее, обратил свою задачу и без особого доказательства заявил, что если по результатам испыта- испытаний получена статистическая вероятность появления события в единичном испытании р, то вероятность зна- значению -?- находиться в пределах р± —-г— также мо- жег быть сделана в с раз больше вероятности противо- противоположного события. В рамках математической стати- статистики утверждение Бернуллн можно обосновать по Фишеру. *) Речь идет здесь о наименьшем значении, получаемом при использовании метода Бериулли (если полученное v не является целым, то нужно брать ближайшее к нему целое число). Явный внд формулы для определения v указан в (Д13, формула D)]. — Примеч. ред. **) На языке математической статистики ц/v является состоя- состоятельной оценкой вероятности r/t.
КОММЕНТАРИЯ I 107 Свою теорему Бернулли дополнил численными оцен- оценками, впрочем, заметно завышенными. Эти оценки улуч- улучшил Марков [14, с. 44—52] (см. Комментарий II, § 5). Еще лучшие результаты получил К. Пирсон *) ([53]; B6, с. 200—201]), добившись при помощи формулы Стир- линга практически точного совпадения своей оценки с оценкой, использующей нормальное распределение как предельное для биномиального. Пирсон вообще считал, что теорема Бернулли неудовлетворительна. Решение Бернулли, писал Пирсон, «с практической точки зрения негодно; будь оно принято, оно разорило бы либо стра- страховую компанию, либо ее клиентов». И далее: Бернулли «потерпел полную неудачу в определении надлежащего числа наблюдений... Определение этого числа было пол- полностью открытием Муавра». И вот его окончательный вывод: «Часть четвертая «Искусства предположений» не имеет того значения, которое ей часто придавалось». Пирсон слишком требовательно отнесся к теореме Бернулли (см. Комментарий II). Б действительности вся история теории вероятностей до наших дней показывает большое значение закона больших чисел Бернулли (см. также § 3.4). Другое дело, что вплоть до рубежа XIX— XX веков заслуги Муавра явно недооценивались. 4.3. Николай Бернулли. В 1713 году, еще до выхода в свет «Искусства предположений» **) Якоба Бернулли, Монмор A51, с. 388—393]; [26, с. 201—203]) опубликовал письмо Николая Бернулли от 23 января 1713 года, по- посвященное исследованию соотношения мужских и жен- женских рождений и содержащее предельную теорему. Приняв биномиальное распределение, Николай опре- определил вероятность ежегодному чнслу мужских рождений ц находиться в заданных пределах, полагая, что общее ежегодное количество рождений равно п, и используя статистические данные Арбутнота (см. § 1.2). В соответ- соответствии с этими данными соотношение мужских и женских *) Впрочем, ия результаты по существу имелись уже у Чебышева (см. Комментарий II § 7, 8). **) По соображениям, которые будут понятны далее, мы поме- помешаем параграф о Н. Бериулли носле рассмотрения теоремы Якоба Бернуллн.
108 О. Б. ШЕЙНИН рождений в среднем составляло т ; /=18 : 17, причем п=14 000 (на самом деле т:/= 16:15; см. [Д12]). Н. Бернулли оценивал частные от деления члена бинома (tn+j)" с номером (/Н-1) на члены с номерами (fr=fl+ I), r=n/(m+f). Он решил эту задачу, приняв одно произвольное допу- допущение, и перешел к вероятностным рассуждениям. Его результат можно представить в следующем виде: Р{|ц—/та К/} = -^-, где / = min(s, s). При 1=о(Уп) можно считать, что Пусть т тогда и™ * " |_ 2рцпJ т. е. «1-е-''/2. F) Несколько раз Николай Бернулли употреблял тер- термин «вероятность», например ([Д12]) вероятность, что число мальчиков будет заключено в некоторые преде- пределы, и т. д. Письмо Николая заканчивалось ссылкой на «Искус- «Искусство предположений»: «Когда эта книга появится, мы увидим ... нашел ли я такое же хорошее приближение, как он (Якоб)». И все-таки Николай Бернулли уже тогда знал основную теорему своего дяди (см. § 1.4 и [Д12]). 4.4. Муавр, Даниил Бернулли и Лаплас В 1733 г. Муавр доказал теоремы, которые сейчас называются ло- локальной и интегральной предельными теоремами Муав-
КОММЕНТАРИЙ I 109 pa — Лапласа. В случае интегральной теоремы Муавр показал, что ь lira pifl<?^<&l = -4=fe-*V2dz. G) Здесь приняты те же предпосылки, что и в теореме Я. Бер- нулли, 9=1—р. Таким образом, Муавр явно ввел нормальное распре- распределение в теорию вероятностей (ср. формулу F) Н. Бер- нулли в § 4.3). Многие авторы полагают, что Муавр до- доказал «теорему Муавра — Лапласа» лишь для частного случая р=1/2, но это просто недоразумение, которое притом никак не вяжется ни с математической прозор- прозорливостью Муавра, ни с названием его соответствующего сочинения («Метод аппроксимирования суммы членов... бинома (а+Ь)п.. .»). Начало этому неверному мнению положил Тодхантер F8, с. 192] — автор, вообще говоря, исключительно добросовестный. При выводе своих теорем Муавр использовал «фор- «формулу Стерлинга», которая была известна и ему самому. Стирлинг лишь сообщил Муавру, что константа в этой формуле равна V2n. Марков A4, с. 55], как, впрочем, и Пирсон B6, с. 208], считал, что название «формула Стир- линга» не соответствует существу дела. Можно добавить, что Муавр опубликовал первую таблицу логарифма п! для «=10A0)900 (с 14-ю знаками). Непосредственным поводом для исследования Муавра послужило его желание исследовать задачу о мужских и женских рождениях (см. § 4.3), а в более широкой перс- перспективе — установить критерий для отличия необходи- необходимого (установленного провидением) от случайного. «Аппроксимирование», написанное на латинском язы- языке, ныне известно в шести экземплярах, пять из которых переплетены вместе с книгами Муавра «Аналитические этюды» A730) [39]. Сам автор перевел «Аппроксимирова- «Аппроксимирование» на английский язык и включил перевод во второе издание своего «Учения о случае» *) A738). Это сочинение *) Другой перевод названия — «Доктрина шансов».— При- Примеч. ред.
ПО О. Б. ШЕЙНИН было переиздано посмертно в 1756 г., а в 1967 г., в трех- трехсотую годовщину рождения Муавра, издания 1738 и 1756 гг. еще раз вышли в свет в Лондоне и Нью-Йорке соответственно. В 1770—1771 годах Даниил Бернулли опубликовал мемуар, в котором, очевидно, не зная о результатах Му- Муавра, независимо вывел локальную предельную теорему Муавра — Лапласа и составил первую небольшую таб- таблицу нормального распределения. Интегральную теоре- теорему он не доказывал, поскольку ограничился суммирова- суммированием отдельных значений экспоненциальной функции при помощи своей таблицы. Как и Муавр, Даниил Бер- Бернулли исследовал соотношение мужских и женских рож- рождений (использовав более новые статистические данные) и даже отыскивал его «истинное» значение ([57]; [27, с. 143—144]). Лаплас [4, с. 187] доказал «теорему Муавра — Лапла- Лапласа» заново, уже пользуясь формулой суммирования Эй- Эйлера — Маклорена и именно его вывод стал широко из- известен. Интегральную предельную теорему Лаплас полу- получил в виде i—пр—2^/} = Ра = 2 f e- где z — число, по модулю меньшее единицы, х=пр-\-г и х'=щ—г. Эта формула дает хорошую оценку приближения для вероятности неравенства, стоящего в левой части. Ее можно считать исходным пунктом исследований, нашед- нашедших определенное завершение в работе Бернштейна [1] (см. также Феллер [401 и Успенский [69]). 4.5. Пуассон. Термин «закон больших чисел» предло- предложил Пуассон в 1835 г. Свое определение он повторил через два года в «Исследованиях о вероятности пригово- приговоров в уголовных и гражданских делах» [65, с. 270]: «Явления всего мира подчинены универсальному зако- закону, который можно назвать законом больших чисел. Он
КОММЕНТАРИЙ I HI состоит в том, что если наблюдают весьма значительные количества событий одной и той же природы, зависящих и от постоянных причин, и от причин, изменяющихся иррегулярно .... то между этими количествами обнару- обнаружатся почти постоянные соотношения». Переменные причины, уточнил Пуассон, не должны действовать односторонне, и добавил, что в пределе ука- указанные соотношения будут выполнены точно. Переходя к математическому описанию своего закона, Пуассон обосновал его в чересчур общей форме, посколь- поскольку исходил из доказанной им при слишком общих усло- условиях предельной теоремы о сходимости к нормальному распределению [4, с. 203]. Несколько вариантов этой теоремы было известно Лапласу, хотя он также доказал их нестрого [4, с. 194, 195]. Кроме того, Пуассон [65, с. 271] рассмотрел независи- независимые испытания с переменными вероятностями ри ..., рп,... появления события, доказывая, что *=i Это утверждение соответствует духу его словесной форму- формулировки закона больших чисел, но оно, конечно же, не совпадает с той формой, которую ему обычно придают: 1 (8) (здесь е — произвольно малое положительное число). Схему испытаний с переменными вероятностями на- называют по имени Пуассона, но впервые ее ввел Лаплас 163, с. 168], который доказывал для нее некоторый ва- вариант центральной предельной теоремы. Наконец, Пуассон [4, с. 202] изучил случай схемы независимых испытаний с постоянной вероятностью р появления события, в предположении, что q = 1 — р ма- мало. Для вероятности появления события не менее чем ц раз в этом случае он получил
112 О. В. ШЕЙНИН Аппроксимации вида для вероятности появления события в точности |х раз, т. е. собственно «пуассоновской» аппроксимации бино- биномиальных вероятностей, у Пуассона нет. 4.6. Чебышев. Важнейшую теорему вида B) доказал в 1867 г. Чебышев [4, с. 221]: для попарно независимых величин Бх, ?,, . . ., 1п, ... с математическими ожида- ожиданиями Egh, и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной, D|ft^c, k—l, 2, . . . n, . .. , '=1. (9) Из теоремы Чебышева следуют теоремы Я. Бернулли E) и Пуассона (8). От Якоба Бернулли до Чебышева и далее до наших дней (см. Комментарий II) формулировки закона боль- больших чисел все более и более обобщались, отражая услож- усложнение природы изучаемых случайных величин. Теорема Чебышева, как и многие более современные теоремы, характеризует поведение суммы случайных слагаемых. Это справедливо и для теорем Бернулли и Муавра — Лапласа, что непосредственно усматривается, если пред- представить случайную величину ц как сумму п независимых слагаемых, каждое из которых с вероят- вероятностями р и q принимает в соответствующем испытании значения 1 и 0. Чебышев доказал свою теорему, исходя из неравен- неравенства справедливого, как он выяснил, для любой случайной величины ? с математическим ожиданием Е| и с конеч- конечной дисперсией D|. Это неравенство впервые встре- встретилось в мемуаре Бьенеме 1853 г. (см. примечание I, 27), который, однако, не обратил на него должного вни-
КОММЕНТАРИЯ I 113 мания. В роли g в неравенстве A0) у Бьенеме выступало среднее арифметическое одинаково распределенных величин [4, с. 224—2251. Приложение. А. А. Марков как историк математики В 1913 г. Марков подготовил и провел в Петербург- Петербургской академии наук специальное заседание, посвященное 200-й годовщине публикации сИскусства предположений» Якоба Бернулли, а также выступил инициатором и ре- редактором перевода части четвертой этого сочинения на русский язык. Наконец, Марков посвятил памяти Бер- Бернулли третье издание своего «Исчисления вероятностей», которое вышло в свет как раз в 1913 г. С докладами на заседании в Академии иаук выступили трое ученых: сам Марков, профессор Казанского университета А. В. Ва- Васильев и будущий член-корреспондент Российской Академии иаук статистик А. А. Чупров. Доклады Маркова [124 и Чупрова [251 вышли в свет в 1914 г., и в том же году Васильев [72] описал все три сообщения. Интерес Маркова к истории математики не был слу- случайным эпизодом его жизни. В своих теоретико-число- теоретико-числовых сочинениях [151 и в монографии по исчислению ко- конечных разностей [10] он приводит точные ссылки ие только на Гаусса и позднейших ученых, но и на Лагран- жа, Эйлера, Иогаина Бернуллн, Муавра, Ньютона. В одном случае он ссылается на вторую часть «Ис- «Искусства предположений» Якоба Бернулли. В 1899 г. Марков опубликовал исследование о методе наименьших квадратов 19]. В нем он первым решительно высказался за обоснование этого метода на основе прин- принципа наименьшей дисперсии, а не постулата Гаусса A809) о совпадении среднего арифметического из серии наблюдений неизвестной константы с ее «вероятнейшим значением» для случая одновершинных дифференцируе- дифференцируемых распределений *). Марков исходил из зрелых мыс- *) Марков ссылался на Чубера C8, с. 289], который, однако, неудачно описал свои соображения о методе наименьших квадратов: в начале книга (с. 51) Чубер рассуждает о постулате Гаусса и пере- переходят к принципу наименьшей дисперсии только на с. 288, да и то почему-то сравнивает этот подход лишь с работами Лапласа. в Я. Бервулля
I U О. Б. ШЕЙНИН лей Гаусса 1823—1828 годов и, в частности, цитировал одно письмо Гаусса Бесселю 1839 г. В 1934 г. Ю. Нейман (Neyman J. On two different aspects of the representative method.—J. Roy. Stat. Soc., 1934, v. 97, p. 558—525), а затем, в 1938 г., Флоренс Дей- вид и Ю. Нейман (David F. N.. Neyman J. Extension of the Markoff theorem on least squares.— Stat. res. memoirs, 1938, v. 2, p. 105—117) ошибочно приписали Маркову второе гауссовское обоснование метода наименьших квад- квадратов, а последующие авторы (например, Kruskal W. The coordinate-free approach to Gauss— Markov estimation.— Proc. 4th Berkeley symp. math. stat. and prob. 1960.— Berkeley —Los Angeles, 1961, p. 435—451) ввели в ли- литературу термин «оценки Гаусса — Маркова». И все же, как мы только что показали, это выражение имеет определенный смысл и его можно сохранить. В 1915 г.Марков A3) рассмотрел одну урновую зада- задачу Лапласа [63, с. 149, 150], несколько обобщив ее и ви- видоизменив ее решение. Лаплас ие упомянул, что эту за- задачу поставил и решил Даниил Бернулли, и поэтому Марков ссылался только на Лапласа. Марков мог бы, правда, добавить, что в 1907 г. урновую схему Д. Бер- Бернулли — Лапласа рассмотрели П. и Т. Эренфесты, что- чтобы иллюстрировать статистический характер второго закона термодинамики, но это упущение извинительно: в то время математики только еще начинали интересо- интересоваться кинетической теорией газов. Вот выдержка из письма Маркова Чупрову 1913 г. [18, с. 75] по поводу предстоявшего тогда заседания Ака- Академии наук: «На вопросе о значении закона больших чисел для физики я не останавливался. Придется по- поговорить об этом с князем Голициным». Можно предпо- предположить, что о физике упомянул в утерянном ныне письме Чупров, хорошо знавший историю статистики и прило- приложения статистического метода в естествознании и отра- отразивший эту тему в своем докладе [25]. У нас нет никаких сведений о разговоре Маркова с Б. Б. Голицыным. Упомянем еще раз (см. §4.2), что Марков описал принадлежащее Бернулли доказательство закона боль- больших чисел и улучшил его. В той же работе Маркова содержится решение классических примеров, а литера-
КОММЕНТАРИЯ 1 U5 тура к отдельным главам включает основные классиче- классические сочинения, начиная с Ферма и Паскаля. В 1914 г. Марков опубликовал исследование погреш- погрешности интегральной предельной теоремы Муавра — Лапласа (см. § 4.4), неизбежно происходящее от замены суммы вероятностей интегралом. Свою работу Марков назвал «О задаче Якова Бернулли» [11], что было вряд ли удачно, тем более, что он не привел никаких разъяс- разъяснений по этому поводу. Можно, впрочем, заметить, что в то время предельные теоремы еще не имели чет- четких общепринятых названий. Так, термин «централь- «центральная предельная теорема» появился, кажется, лишь в 1920 г. 154).
Комментарий И ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ И ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ Ю. В. ПРОХОРОВ В настоящем комментарии я старался, во-первых, подобрать материал, наиболее близкий к задаче Якоба Бернулли, и, во-вторых, сделать изложение возможно более простым. Пропущены лишь те выкладки, которые читатель легко восстановит. Полезным дополнением к настоящему комментарию могут служить статья А. Хальда [Д13], посвященная теоремам Якоба и Николая Бернулли, и статья А. П. Юшкевича (Д12], содержащая, в частности, из- известное письмо Николая Бернулли к Монмору. Номера в квадратных скобках использованы для ссылок на основной список литературы. Буква Д рядом с номером означает ссылку на дополнительный список, помещенный после основного списка литературы. В первых пяти параграфах обсуждается доказатель- доказательство Бернулли и его усовершенствования, полученные без привлечения формулы Стирлинга (открытой в 1730 году). Несомненно, что применение этой формулы приводит к результатам, допускающим лишь незначительные улуч- улучшения. Доказательство Бернулли, как видно из его матема- математических дневников, возникло из внимательного рас- рассмотрения простейших (непосредственно наблюдаемых) свойств биномиальных коэффициентов. Сравнительно обширная таблица этих коэффициентов приведена в кон- конце книги для удобства читателей, желающих провести небольшие опыты с ними.
ARTIS CONJECTANDI PARS QUART A, tr*?mt Ofiim 6c applicatbncm praece- .. > dmkDo&rinfcm CfriUbus, Мою*-* Chut I. quondam dt Citmuimt% Nectfiimtt f$ Centmgmtta Ж U Mb* «яж йШ % &*, фкт if&m Jfbftkia Начальный лист части четвертой Ars Coniectandi издания 1713 года
118 ю. в. Прохоров § 1. Биномиальные коэффициенты При последовательном возведении двучлена (бинома) а+b в первую, вторую, третью,... степени получаем а+Ь =1 а+1 Ь (а+Ь)я=1 -аг+2-аЬ+1 -Ь* (а+йK=1 'О?+3-а*Ь+3-аЬ*+1 -Ь3 (а+Ь)*=1 -'Ь и т. д. В л-й строке слагаемые образуются путем умноже- умножения выражений а", а"-^, ап~Ч)%, ..., ab"-1, Ьп на подходящие числовые коэффициенты. Эти биномиаль- биномиальные коэффициенты можно выписать, строка за строкой, по правилу так называемого «арифметического треуголь- треугольника»: 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 1 4 10 20 1 5 1 15 6 1 и т. д. По краям каждой строки стоят единицы; каждое число, отличное от крайних, получается сложением двух чисел предшествующей строки, а именно числа, располо- расположенного в том же столбце, и числа, расположенного в со- соседнем слева столбце. Так, например, 1+5=6, 5+10=15, 10+10=20 и т. д. Число коэффициентов в любой строке превышает на единицу номер я этой строки, а их сумма равна двум в степени п (так, 1+3+3+1=A+1K=23). Передвигаясь с левого края какой-либо строки на ее правый край, мы видим, что в левой половине строки биномиальные коэффициенты возрастают, а в правой они убывают. В четных строках имеется один наибольший коэффициент, в нечетных их два. (См. таблицу биномиальных коэффи- коэффициентов на с. 168; во второй части Ars Conjectandi при- приведена таблица, оканчивающаяся строкой коэффициентов
t», qasz tamen & miner «attane ~~t* ( ptvimmttis id paHs*» &- wlfom ) | t ~» t».»-»»& dm * io ( ijjig IjLL Мг-его I; vkfbs*. bkm yw* fiaftss f»d<t!» <» js«r bane ^ ±2^' Фрагмент доказательства теоремы Бернулли (издание Ars Conjectandi 1713 года) иллюстрирует систему математических знаков начала XVIII в.
120 Ю. В. ПРОХОРОВ одиннадцатой степени бинома.) Биномиальные коэф- коэффициенты, расположенные в n-й строке, равны соответ- соответственно , п^ п (я—1) п{п—1)(я—2) . '• 1 ' 1.2 ' 1-2-3 Коэффициент я (я— 1) (я—2).. .(я—т+1) 1-2-3-...-т совпадает с числом сочетаний (combinationum) по т эле-' ментов, которые можно образовать из данных п элемен- элементов (например, из элементов а, Ь, с, d можно образовать 4-3 у-^ = 6 сочетаний по два элемента (ab, ас, ad, be, bd, cd). Замена т на п—m не меняет величины коэффициента; так, при /i=8, /п=3, п—т=Ъ 8-7-6-5-4_8-7-6 1-2-3-4-5"~1-2-3" С возрастанием пят биномиальные коэффициенты за- заметно возрастают. Бернулли приводит пример: при «=100 и /п=20 число сочетаний равно 5 35983 37040 38096 82970 (см. также упомянутую таблицу). Никакого сокращен- сокращенного обозначения для числа сочетаний из п элементов по т Бернулли не вводит (так же, как и для числа 1-2-3-4-. . .-/г перестановок п элементов; так, он пишет 2-3 «4-5-6 «7= =5040). Ниже, в необходимых случаях, мы будем ис- использовать современные обозначения CJ и л! соответ- соответственно. § 2. Биномиальные коэффициенты и вероятности, частный случай Допустим, что в некоторой игре игроки А и В имеют равные шансы на выигрыш. Выигрыш В соответствует проигрышу А, и наоборот. Результат последовательно сыгранных п партий можно представить в виде А. В. В. А В
КОММЕНТАРИЙ II 121 (первую партию выиграл А, вторую—В, третью — В, четвертую — Лит. д., n-ю выиграл В). Число всех ис- исходов будет 2", а число исходов, благоприятствующих событию «Л выиграл ровно т партий», будет совпадать с числом способов выбрать т номеров из номеров 1, 2, 3, . . . , п. Вероятность вышеуказанного события выра- выражается, следовательно, формулой я(п—1)(я—2)...(n— l-2-З-...-т ' 2» (при данном п эти вероятности пропорциональны бино- биномиальным коэффициентам и сравнение по величине пер- первых можно заменить сравнением вторых). § 3. Первое упоминание о Главном предложении В математическом дневнике Я- Бернулли имеется крат- краткая запись (Meditationes — Art ike I 133a, [34], с. 75—76, 377—378), начинающаяся словами «Я могу менее откло- отклониться от истинного отношения, если я наблюдаю боль- большее число раз, чем если я наблюдаю меньшее число раз» («Minus a vera proportione aberrare possum, si saepius quam si varius observem»). После этого Бернулли рас- рассматривает возможный выигрыш игрока Л при 3, 6,9, 12 партиях в игре, описанной в § 2. «Какова,— спраши- спрашивает Бернулли, отождествляя себя с одним из игроков,— вероятность того, что я выиграю более 2/3 (или менее 1/3) общего числа партий?» Из трех партий А выигрывает 3, 2, 1, О с вероятностями соответственно J_ _3_ _3_ 1 8 * 8 ' 8 ' 8 * Вероятность вышеупомянутого события равна -„-. Из шести партий А выигрывает 6 5 4 3 2 10 с вероятностями соответственно 1 1 15 ?? 15 1 1 64' 64' 64* 64' 64* 64' 641
122 Ю. В. ПРОХОРОВ Вероятность, что А выиграет более 2/3 (или менее 1/3) всех партий, будет 1А1 Из девяти партий А выигрывает 9876543210 с вероятностями j_ _9_ j_6 j? Ш 126 J4 36 9 1 512 512 512 512 512 512 512 512 512 512' Более 2/3 (или менее 1/3) партий А выигрывает с вероят- вероятностью J_J--1 , 36 _ 46 512"т'512~|~512~512* Наконец, при двенадцати партиях аналогичная вероят- вероятность равна 1 12_ _66_ . 220 _ 299 4096 + 4096+ 4096 "•" 4096 ~~4096 * Итак: вероятность, что А выиграет более 2/3 (или менее 1/3) всех партий, равна при трех партиях -g-, 7 при шести партиях ^ , 46 при девяти партиях 512 . 294 при двенадцати партиях Т/^ . 4096 Эти вероятности убывают, более того, отношение после- последующей к предыдущей не превосходит -^ '• I.<rL l ^^*®—L L J??_ ^ 322 _7 ii 64^= 8 *"8 ' 512^512" 8 * 64 ' 4096*^4096— 8 * 512 (кстати, с помощью приложенной таблицы биномиаль- биномиальных коэффициентов можно установить аналогичные не- неравенства и для «=15, 18, ...). Бернулли заканчивает отрывок вопросом: «Каково должно быть число партий,
КОММЕНТАРИЙ II 123 чтобы отношение числа партий, выигранных А, к числу партий, им проигранных, лежало в пределах w и -од" с вероятностью, в 100 000 раз превосходящей вероят- вероятность противоположного события?».*) Обозначим буквой (д, число партий, выигранных А, а буквой п — общее число партий. Подсчеты Бернулли делают весьма правдоподобным заключение, что вероят- вероятность каждого из неравенств ~~~ \ "о" » *J~ -^ ~О* I По по а вместе с тем н вероятность неравенства JL_± л 2 стремится к нулю при неограниченном возрастании п, и притом не медленнее, чем в геометрической прогрессии. § 4. Доказательство Главного предложения в частном случае Обратимся снова к математическому дневнику Я- Бер- Бернулли. Другая запись (Meditationes— Artikel 151a, [34], с. 76—88, 37.8—383) также относится к игре двух лиц, причем сначала их шансы на выигрыш считаются оди- одинаковыми. Для этого случая установлена справедливость Главного предложения (рассуждения Бернулли содержат при этом все существенные черты общего доказательства, приведенного в главе V части четвертой Ars Confectandi, см. с. 46—58). Доказательство поясняется примером. Пусть а — некоторое натуральное число, большее единицы. Рассматривается отношение числа партий, вы- выигранных А, к числу партий, выигранных В. Вероят- Вероятность того, что это отношение лежит в пределах **) *) См. рассуждения Бернулли в конце главы IV части четвер- четвертой (с. 43 и далее). **) Как легко видеть,упомянутое отношение лежит в данных пре- пределах тогда и только тогда, когда отношение числа партий, выигран- выигранных А, к общему числу партий лежит в пределах -^—^- и -к- -j- к- .
124 Ю- В. ПРОХОРОВ „+1 и ^зт» сравнивается с вероятностью противопо- противоположного события. При вычислениях число партий п полагается кратным 2а. В примере Бернулли выбирает а=10, полагая соот- соответственно число наблюдений п равным 20, 40, 60, 80, 100 и т. д. Число партий, выигранных Л, может прини-. мать значения при п=1 -20=20 20, .... 11, 10, 9 . . . , 0, при /1=2-20=40 40, . . . , 22, 21, 20, 19, 18, .... 0, при /1=3-20=60 60 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27 0 и т. д. Выделенные в середине каждой строки значения т (и только они) удовлетворяют неравенству Вероятность подобного неравенства для ц при /г=20-&, k=\, 2,3, . . ., представляется суммой вероятностей вы- выделенных значений й-й строки, а вероятность нарушения этого неравенства, т. е. вероятность неравенства I я 2 I > 20 • w — суммой вероятностей остальных значений. Заметим, что число выделенных значений в k-fi строке равно 2JH-1, а число остальных — 2k {а—1). Все значения ft-й строки (если исключить среднее) можно разбить на 2а после- последовательных групп (по k значений в каждой). Из них а групп располагаются слева от среднего значения ч а групп — справа. Ниже мы рассмотрим только правые группы. При а=10, k=2, л=40эти 10 групп выглядят следующим образом: . . .20 | 19,18 | 17,16 | 15,14 | I 13,12 | 11,10 | 9,8 | 7,6 | 5,4 | 3,2 | 1,0 |.
КОММЕНТАРИЯ II |25 Первая группа (и только она) будет состоять из выделен- выделенных значений. Вместо вероятностей выпишем теперь про- пропорциональные им биномиальные коэффициенты С81СЦ. Представленные в этой строке биномиальные коэф- коэффициенты убывают. Поэтому сумма тех из них, которые входят во вторую группу, умноженная на 9, будет боль- больше суммы всех биномиальных коэффициентов второй, третьей, . . . , десятой групп, т. е. суммы всех этих коэф- коэффициентов, кроме входящих в первую группу. Обозначая суммы по группам Su St, .... Sw, получим Si ^ l Si ^ 9 *ss (в случае произвольного а слева в знаменателе будет стоять Sj-f-S,-K . .+Sa, а коэффициент в правой части Сравнение сумм Sx и S2 производится почленно: рас- рассматривается отношение первых членов, затем вторых, —-I третьих и т. д. Отношение первого члена Slt т. е. С* , к первому члену S», т. е. к С* , после подстановки вместо биномиальных коэффициентов их выражений и очевидных сокращений представится в виде произведе- произведения k дробей (больших единицы каждая): 4- а-»») к Числители этих дробей убывают, а знаменатели возрас- возрастают, поэтому сами дроби убывают. Рассмотрим первую дробь =ak+k+l ak—k
]2б Ю. В. ПРОХОРОВ При неограниченном возрастании п (а вместе с тем и к) она имеет пределом величину а—\ " Точно такой же предел имеют вторая, третья,... дроби. Принимая это во внимание, мы поступим следующим об- образом. Выберем какое-либо большое число Ь F=1000, 10 000, ...), какую-либо дробь, меньшую ^Ц (напри- мер, -1--), и целое число с, которое удовлетворяет не- неравенству (•±1)'>(«- или неравенству „^ log (а-1N При достаточно больших значениях п с-я по порядку дробь в правой части C) может быть сделана большей или равной ?i-. Одновременно с этим первая, вторая, .... (с—1)-я дроби будут больше ^— , а все произве- произведение — больше ( —— У , т. е. больше (а—1) ft. Соот- Соответствующие значения п могут быть найдены из нера- неравенства *-*-•+• которое приводит к неравенству —6д«—2а Итак, если при данных а и Ъ мы сначала выберем с по формуле D), а затем п по формуле E), то придем к
КОММЕНТАРИЙ II ]27 неравенству nT- для отношения первых членов суммы Sx и St. Отношение вторых, третьих, . . . , последних (Л-х) членов этих сумм нет необходимости оценивать отдельно в силу следую- следующего обстоятельства. Вернемся к таблице биномиальных коэффициентов. Возьмем какую-либо ее строку (ска- (скажем, восьмую) и выпишем коэффициенты, стоящие справа от максимального (включая и этот последний), т. е. числа 70, 56, 28, 8, 1. Тогда, очевидно, отношение соседних членов возрастает 56^28^ 8^1' отношение членов, расположенных через один, возра- возрастает: 70 56 28 28^ 8 ^ 1 ' отношение членов, расположенных через два, также воз- возрастает: 70 .56 т<т- Легко проверить, что и в общем случае отношение -J до п-к *). при данных п и К^\ возрастает при возрастании т от На основании сказанного заключаем, что отношение Si к S, будет не менее отношения первых членов этих сумм, т. е. будет не менее (а—1) b, a отношение Si к я Si+S,-f-.. .+Sa будет не менее Ь. Заметим, 4to2S1-\-C* *) Ср. это утверждение с утверждением леммы 3 на с. 47.
128 Ю. В. ПРОХОРОВ равно числу исходов п партий, благоприятствующих не- неравенству :2а! F) a 2(S2+Sa+. . .+Sa) равно числу исходов, благоприят- благоприятствующих неравенству 1 Из предыдущих вычислений следует, что для значений п, определяемых формулой E), вероятность неравенства F) превосходит вероятность неравенства G) в Ь или более раз, что и требовалось доказать. В примере Бернулли а=10, 6=1000; при этом можно взять с=96, a rt (с учетом требования делимости п на 2а) можно взять равным 3620. (Бернулли указывает зна- значение «=3610, не делящееся на 20; подобное же несоот- несоответствие есть и в конце главы V части четвертой Ars Conjectandi; см. с. 59). Далее в тексте дневника следует доказательство Глав- Главного предложения для случая неравных шансов А я В на выигрыш отдельной партии. В переработанном виде оно вошло в Ars Conjectandi. Заканчивается эта запись пометкой NB, за которой следует известное сопоставление рассмотренной задачи с задачей о квадратуре круга (см. сноску на с. 92). Замечание 1. Сохраняя вышеприведенный план доказательства, можно улучшить встречающиеся в нем оценки, если учесть, что не только но и ^ > К, ^ > л и т. д. Тогда 1
КОММЕНТАРИЙ II 129 (в то время как прежде правая часть имела вид -—=• А,). Это соображение было известно, согласно [Д13], Нико- Николаю Бернулли. Оно использовано Марковым при изло- изложении доказательства теоремы Бернулли в [14]. Замечание 2. В комментарии к этой дневнико- дневниковой записи ([34], с. 382) отмечено, что, переставляя в C} знаменатели в убывающем порядке (при сохранении порядка числителей), т. е. используя представление мы приходим к следующему выводу. Справа перемно- перемножаются «неправильные» дроби, которые получаются из последней прибавлением к числителю и знаменателю одного и того же числа (равного 1 для предпоследней дроби, 2 для второй от конца, k—1 для первой). Первая из этих дробей является наименьшей, и в то же время ее величина ak + k+l ak+k_a+l aft— 1 ak a ' Поэтому к > f -^— j , что упрощает дальнейшие рас- рассуждения. Замечание 3. Допустим, что при некотором А/>0 установлено неравенство Тогда Следовательно, вероятность неравенства 1 Е-1 п 2 9 Я- Бернулли
130 Ю. В. ПРОХОРОВ меньше 1+Л/ ^ V В предшествующих рассуждениях величина А,' возраста- возрастала с ростом п в геометрической прогрессии. Соответствен- Соответственно вероятность неравенства G) убывает с ростом п не медленнее, чем в геометрической прогрессии. Впрочем, «наилучшую» прогрессию такого рода можно построить с помощью формулы Стирлинга (см. ниже). § 5. Доказательство теоремы Бернулли в Ars Conjectandi. Усовершенствование его Марковым и Успенским Ограничительные предположения Бернулли, сделан- сделанные им при оценке вероятности события а именно предположение, что г где г и s — натуральные числа, где f=r+s и Л=1, 2, 3, . . . , позволяют ему сохранить описанный в § 4 план доказательства. Единственное от- отличие состоит в том, что асимметрия биномиальных ве- вероятностей р , Y Р Ч* U2 Р ?'•••• yW • Я < \°) при рфц приводит к необходимости рассматривать по отдельности члены строки (8), лежащие вправо и влево от наибольшего члена. Совокупность тех и других разбивается на группы равной численности. Напри- Например, при r=4, s=2, /=6, k=5, /i=*/=30, e=-g- *) То есть здесь k играет роль л у Бернулли, ал — роль л/.
КОММЕНТАРИЙ II 131 наивероятнейшим значением ц будет группы слева от пр имеют вид 30, 29, 28, 27, 26 | 25, 24, 23, 22, 21 |, а справа от пр имеют вид I 19, 18, 17, 16, 15 | 14, 13, 12, 11, 10 | 9, 8, 7, 6, 5 | |4, 3, 2, 1, 0. В общем случае произвольных п, р, е, который рассмот- рассмотрел Марков, за точку «отсчета» снова принимается ве- величина пр, которая не обязана быть целым числом. Первая правая группа образуется из тех целых т, ко- которые лежат на полузамкнутом отрезке [пр—/ге, пр). Обозначим их число А. Все остальные правые группы имеют по h членов каждая, кроме, быть может, послед- последней. Первая левая группа образуется из тех целых т, которые лежат на отрезке [пр, яр+яе]. Обозначим число таких т буквой g. Остальные левые группы имеют по g членов, кроме, быть может, последней. Пусть, например, я=30, р=.-j + B^fg- е = §5- ТогДа "р = 20 + -|, 13 1 пе=-д-, пр + пе = 25, пр—ле = 16 + -^-. Группы слева от пр имеют прежний вид (g=5) 30 29 28 27 26 | 25 24 23 29 21 |, однако группы справа от пр иные, чем были раньше (Л=4): | 20, 19, 18, 17 | 16, 15, 14, 13 | ... | 4, 3, 2, 1 | 0. Обозначим рт вероятность события |i=m. Правые суммы сравниваются с первой правой, а ле- левые — с первой (считая справа налево) левой. При этом основную роль играют отношения — (для правых групп) и — (для левых).
132 ю. в. Прохоров Сами эти отношения сравниваются с надлежащими сте- степенями дробей (для правых групп) и ^^ (для левых). Эти дроби заменяют дробь ^- § 4 (и совпадают со- соответственно с дробями ^— и ^i_, которые рассмат- ривает Бернулли, см. с. 53 — 54). Сравнение происходит путем представления, скажем, _ 14 р \3р_ 12? \\_p_ ~~ 17 Ч ' 18 Я ' !9 Я ' 20 q и посредством выделения в произведении справа дробей, больших ^i-?, и т. д. я Сделанных замечаний вполне достаточно, чтобы чита- читатель либо восстановил доказательство Маркова, либо прочитал соответствующий раздел книги [14] с легкостью. Успенский ([69] с. 99—102), несколько переменив окончание доказательства Маркова, дал следующую яв- явную формулу: вероятность неравенства меньше тр>0 для га, удовлетворяющих неравенству Принимая после простых выкладок отсюда можно вывести, что ве- вероятность неравенства (9) всегда меньше величины убывающей с ростом п в геометрической прогрессии.
КОММЕНТАРИЙ II 133 § 6. Формула Стирлинга. Ее применение к биномиальным коэффициентам В современных руководствах «формулой Стирлинга» называют несколько незначительно отличающихся друг от друга формул, предназначенных для приближенного вычисления произведения 1.2.3-4.. . ..п=п\ или его логарифма Iog2+log3+. . .+log n при больших значениях п. Точнее всего первоначальный результат Стирлинга (если использовать натуральные логарифмы) можно пе- передать следующей формулой: 1 731 127 128-1680 (п+y У Для многих вероятностных расчетов достаточную точ- точность дает выражение ^, A0) где 8 — некоторое (зависящее от п) число, причем при всех \ Придавая 6 крайние значения 0 или 1, мы получим про- простые неравенства для In n\ Большую точность дают, например, следующие фор- формулы (Феллер [40]): при ^4 In n\= ( + |)( + 4)( + т) + ^ ' 7I46\ (И)
134 Ю. В. ПРОХОРОВ или S + Iij-^.), A2) причем Замечание 1. Неравенства для 9t и 62 допус- допускают уточнение. Например, во второй из этих формул при всех п^\ —g- < в* < О, а при И Доказательство соотношений A0), (И) и A2) элементар- элементарно. Формулы, содержащие любое количество членов ряда Стирлинга, выводятся много сложнее (см., например, [Д111, том II, с. 819). Применение формулы Стирлинга в любом из ее ва- вариантов к оценке биномиальных коэффициентов s>m_n(n— 1)...(я—т+1)_ я! С" ГХ^ ml (n-m)\ приводит к полезным неравенствам для последних, про- простейшие из которых легко найти, используя формулу A0): п" пт) У 2ят (я — где Марков ([14, с. 72, 73]) несложным рассуждением, допол- дополняющим вывод формулы A0), получил более тесные гра- границы в формуле A4), определяемые заменой А и Б на i4'_el2«"l2«"l2(B-m)> В'—\ A5)
КОММЕНТАРИЙ II 135 соответственно. Для биномиальных вероятностей имеем, таким образом, при всех п^\, т^\, п—\ V 2пт(п-т)\т) \1Г п-т)\т) \п-т) ' 2пт(п § 7. Сравнение биномиальных вероятностей с геометрическим рядом. Работа Чебышева 1846 года Рассмотрим сначала последовательность п независи- независимых испытаний с вероятностью р «удачи» в каждом ис- испытании. Обозначим ц число «удач» в этих п испытаниях. Вероятность Ет неравенства получается сложением вероятностей отдельных значе- значений \i 11 + " -\ + Яп = При т>пр отсюда следует неравенство и тем более В работе 1Д9] Чебышев установил последнее неравенство в предположениях, что вероятность события ц^т (т>пр+1) вычислена при изменяющихся шансах на удачу: вероятность «удачи» в первом испытании рав- равна ри во втором — рл, в третьем — /»,ит. д., а среднее
136 К). В. ПРОХОРОВ арифметическое этих вероятностей совпадает с р: Р1+р*+п--+р" = р*). Рассуждение Чебышева весьма замечательно и состоит в общих чертах в следующем. Первое утверждение Чебышева состоит в том, что если среди вероятностей plt р2, . . . , рп имеются две, например, pt и pf, не равные друг другу и отличные от О и 1, то вероятность Ет можно увеличить, несколько изменив Р| и pj, но так, что их сумма останется прежней. Вследствие этого наибольшая величина вероятности Ет достигается в случае, когда, скажем, Ра+1 — Ра+2— • ¦ ' =Ра+Ь= 1 И пр—Ъ Ра + Ь + 1 — Ра+Ь+2— ••• —Рп — п_а_ьш В этом случае число \i «удач», уменьшенное на Ь, совпадает с числом «удач» в п—а—b испытаниях с ве- вероятностью «удачи» "^~_h в каждом из них. Следова- Следовательно, по A7) пр—Ь \т-Ь Г nq—a \n-m-a+i т—Ь т—пр A8) при условии, что mb>(rtaft)^, т. е. что т>пр. Чебышев утверждает, что при т>пр+\ величина в правой части A8) увеличивается от уменьшения целых чисел а и Ь. Оставляя сначала а неизменным, он прове- *) Б. А. Севастьянов [Д8] усилил утверждение Чебышева. Он показал, что при т^пр+1 точная верхняя грань по всем ръ р2,. . . ..., р„ с Pi+Pi-\-. . .-\-р„=пр вероятности события ц^т достига- достигается в случае р%=рг=. . .=р„=р.
КОММЕНТАРИЙ II 13? ряет несложным вычислением, что замена b на b—1 уве- увеличивает рассматриваемое выражение. То же самое про- происходит при замене а на а—1 при неизменном Ь. Таким образом, верхняя граница для Ет при заданной «средней» вероятности «удачи» и т>пр+1 не превосходит Для оценки биномиального коэффициента в A9) Чебышев применяет неравенства: при всех п^\ л+те-я < п\ <2,53-пп+~е~п+п* (эти неравенства он попутно весьма просто доказывает). Окончательному неравенству для Ет Чебышев при- придает форму теоремы. Теорема. Если вероятности события Е в п последовательных испытаниях суть ри pt, pa, . . . , рп и их сумма равна пр, то величина выражения 1 ¦t/rm(n—m)fnp\ntf nq y-nV (m-np)*\H) \И= при т, большем чем пр-\-1, превзойдет всегда вероятность того, что Е случится в эти п испытаний по меньшей мере т раз. Замечание 1. С помощью формулы A6) мы можем множитель -^ уменьшить до -7^ = 0,3989422... У 2л (при этом дальнейшее уменьшение невозможно). Замечание 2. В формуле B0) предлагается верхняя граница для вероятности события ц^т. Из этой формулы и соотношений пН Ч щ—пр mq
138 ю. в. Прохоров определяется верхняя граница для Ет+1: Е <-—^— l i/~m(n—m) (n—m)p (пр\т ^»+i^ |/-2л у-- У (т—пр)* щ \ИГ) х пч \п-т+1_ 1 1 я -,fn=m п—т) У^}ГЦрт-пр' V т nq \п-т =т) Замечание 3. Рассмотрим функцию непрерыв- ного переменного т +(n—m)ln^_, np<m<n. Ее производная отрицательна, т. к. p(/i—m)<jqm. Отсюда следует, что при m^rap+ne, e>0 Из последнего замечания легко вывести, что выраже- выражение B0) не превосходит </— B3) Эту же величину не превосходит и вероятность нера- неравенства Сходным приемом Чебышев оценивает вероятность события n<^Lrt(/?—е). Эта вероятность не превосходит B4) где (Г(^Г <25» Чебышев заканчивает работу следующим выводом: ка- каково бы ни было положительное число г\, вероятность
КОММЕНТАРИЙ II 139 неравенства будет ^1—т|, если только п больше чем p+ej \ ' р In Я ]пНх § 8. Пример Бернулли; сравнение оценки Бернулли с другими оценками. Статья К- Пирсона 1925 года [53] Рассмотрим снова вероятность события |?-р|<е. B6) Придадим р и е какие-либо числовые значения, например 3 I Р = Т' Е = 50' и обозначим вероятность события B6) при выбранных рие буквой 5*. По заданному числу с требуется опреде- определить такое п, при котором или же c+l- Для с=1000, 10000, 100000 Бернулли указывает зна- значения п (в его обозначениях nt) 25550, 31258 и 36966, из которых второе получается прибавлением 5708 к пер- первому, а третье подобным же способом получается из второго (следовало бы, учитывая требование делимости на 50, прибавлять 5750). Марков ([14, с. 49]) в качестве применения усовер- усовершенствованных им оценок Бернулли указывает следую- следующий способ определения необходимого числа испытаний
140 Ю. В. ПРОХОРОВ по данным р, е и г\ =гт7 • Сначала следует выбрать два любых целых числа аир, удовлетворяющих неравен- неравенствам log— log— log log Для всех значений п, не меньших наибольшего из чисел вероятность неравенства B6) будет больше 1—т). При jo = y, е = ^, т]= ущ следует выбирать аир из условий Полагая а—211, 0=142, легко находим неравенства для п: л> 17324, л> 17243. Таким образом, найденное Бернулли число наблюдений 25550 понижается до 17324 (строго говоря, для возмож- возможности сравнения следовало бы взять т] = щу, а не = -Щ); это не изменило бы значений а, Р и п, ука- указанных выше). Марков добавляет к сказанному, что зна- значение п можно еще уменьшить (например, до 16666) + + если, сохраняя метод, заменить дроби —'—и ——, со степенями которых сравниваются отношения биноми- биномиальных вероятностей, двумя другими, надлежаще по- подобранными. Метод Бернулли (во всех его разновидностях) обла- обладает несомненным достоинством: сопоставляя данным р, е, т] число п, он позволяет быть уверенным, что в п испытаниях вероятность неравенства B6) будет больше чем 1—т). Примеры, вычисления в которых проводились обычно с использованием формулы Стирлинга, показывают, что
КОММЕНТАРИЯ II 141 п, определенное методом Бернулли, может в 2—3 раза превосходить необходимое число испытаний. Марков [14, с. 109—114], нашел, что уже при л=6520 вероят- вероятность неравенства п 5 | ^ 50 лежит между 0,999028 и 0,999044. Более или менее удовлетворительное приближение к необходимому числу испытаний (при заданных р, е, г\) получают из формулы Муавра — Лапласа. Неравенство заменяют равносильным а вероятность последнего принимают равной значению при и = е у — интеграла 2л J е 2 dx. о По заданному т] определяют величину un верхнего пре- предела, при которой интеграл обращается в 1—1\, после чего за п можно принять наименьшее целое, для которого У рз или Границы, в которых лежит и^ при т] =0,001, 0,0001 и 0,00001, даны в первом, втором и третьем столбцах соот- соответственно: 3,28946 3,89050 4,41658 3,29088 3,89192 4,41801
142 ю- в- Прохоров 3 1 Отсюда легко находятся границы для я при jo = -g-, е = Eg : 6493 9082 11704 6497 9088 11711 Таковы приближенные границы для необходимого числа наблюдений в примере Бернулли. Мы еще вернемся к об- обсуждению этого результата ниже. Отметим только, что вычисленное Марковым значение 6520, заведомо пригод- пригодное прип=0,001, весьма близко к числам, стоящим в первом столбце последней таблички. В статье [53] К. Пирсон воспроизводит первоначаль- первоначальное доказательство Бернулли, предполагая, что р = -?-, S 1 q = у, е = -j (r, s — натуральные числа), и число наблю- наблюдений кратно t, n=n1t. После этого вероятность нера- неравенств \л—пр>пг, |1—лр<—ле (или равносильных нм неравенств n() ц^ ^ях(г—1)—1) оценивается по формуле B1) с. 138, которую он выводит заново и которая после очевидных преобразо- преобразований дает следующие оценки сверху: 111 iA11"!* (( г \г*\ ( s y- B7) для вероятности события \i—пр>пг и B8) для вероятности события ц—лр<—пг. Обозначим, следуя Пирсону, выражения, возводимые в степень пг в этих формулах, ра и Pj соответственно (Нг и Я у Чебышева). Для заданного с Пирсон ищет наименьшее значение п, для которого каждая из величин B7) и B8) будет меньше 2 (сV1) (тогДа ^ сУмма буда1" меньше т] = ^-р-).
КОММЕНТАРИЙ II 143 Рассмотрим, например, величину B8). Переписывая ее в несколько измененном виде, приходим к неравенству 1 1 V Pi лГ t r s + 1 ^2(c+t)* Возводя обе части последнего неравенства в квадрат и полагая получим 1 1,1s* т-\ _,, 1 я-^-1прТ*Т'йТе ^TFR? или, окончательно, ггег'>4(с+1)а''In^'y -j=± . B9) Сходное неравенство получается и в случае, когда вместо B8) мы берем величину B7): г* .^ 4 (с+1K . 1 г2 s—1 ,чпч " п ра Г г+1 ' где za = 2n1 In g- , za > 0. Приравнивая левые части в B9) и C0) к правым и решая образующиеся уравнения, на- находим сначала их решения z\ и г\, а затем и границы для tii и па из неравенств *) C1) i 21n^- Р1 Ра 3 1 В примере испытаний Бернулли ср = т прн е = ?л и с=1000 (в этом случае f=50, r=30, s=20) по Пирсону *) Вместо z-i и Za Пирсон рассматривает в качестве неизвест- неизвестных ?i=—zl и Sa=—га-
144 ю. в. Прохоров должно быть *) 2* = 10, 905205, л = л1*>6470, г\= 10, 898971, я = я1*^6502. В конечном счете для примера Бернулли Пирсон состав- составляет таблицу следующего типа: в каждой колонке ука- указаны значения п для с=1000, 10 000, 100 000 (т. е. для 1вШ ТбооТ' ТШот)' пРичем в пеРвой они вычис- ) лены «по Бернулли», во второй — исходя (как описано выше) из формул C1) и в третьей — по формуле Муав- ра — Лапласа; 25 550, 6502, 6498, 31 258, 9050, 9082, 36 966, 11647, 11704. Несмотря на необходимость (как это уже было отмечено) небольших исправлений в этой таблице, сохраняются выводы Пирсона о надежности формулы Муавра — Лап- Лапласа как основы для определения необходимого числа наблюдений и о возможности значительного (в приме- примерах — почти в три раза) уменьшения значений, указы- указываемых Бернулли. Кроме того, дается хорошая оценка методу, сводящему задачу определения к решению урав- уравнений типа ze? = const. Пирсон называет его методом геометрического ряда — geometric series method — и отмечает, что его применение стало бы менее трудоемким при наличии таблицы функ- функции е~Щ\, охватывающей подходящую область измене- изменения аргумента. Несколько острых полемических замечаний К. Пир- Пирсона (см., например, выше, с. 107) было вызвано тем, что ряд авторов вольно или невольно приписывали Бернулли выводы, по существу вытекающие из исследований Му- Муавра (воплотившихся в то, что сейчас называют формулой или теоремой Муавра — Лапласа). *) С. X. Сираждинов обратил мое внимание на то, что указан- указанное Пирсоном значение г[ следует заменить на 10,8901275, что дает яз=6568. Точно также при с= 10000 и с= 100000 по Сираждинову должно быть л>9142, я>11709.
КОММЕНТАРИЯ II 145 § 9. Отношение предыдущего к более общим теориям Естественные обобщения теоремы Бернулли возни- возникают, если заметить, что случайную величину \i (мы придадим ей теперь индекс п, |А=ц„) можно представить в виде суммы . . .+Хп независимых случайных величин, где Хь=1, если k-e испытание заканчивается «удачей», и Xh=0 в противном случае. Тогда математические ожидания Xk равны EXh= =O-q+l'P=p и разность представляет собой с этой точки зрения разность между средним арифметическим независимых случайных вели- величин и средним арифметическим их математических ожи- ожиданий X1 + Xt+...+Xa - Обозначим среднее арифметическое случайных величин К„, а средние арифметические их математических ожи- ожиданий Сп. В работе Чебышева 1867 года [Д10] было установлено, что для последовательности независимых случайных ве- величин Хи X,, .... Хп, . . . соотношение (при любом ?>0 и п ->- сю) верно при весьма общих допу- допущениях. Чебышев предполагал, что математические ожи- ожидания ЕХ% ограничены одно» и той же постоянной, хотя из его доказательства видно, что достаточно требования ограниченности дисперсий DXk или даже требования В\ = DXX.+ DXt + ... + DXa = о (я*). Указанное утверждение, или закон больших чисел в фор- форме Чебышева, означает, как принято говорить, что сред- средние арифметические случайных величин предельно по- 10 Я- Бернулли
146 К». В. ПРОХОРОВ у стоянны. Полагая Ха% *= —-, l^fc^n, можно предста- представить среднее арифметическое У„ случайных величин Хи X , Хп как сумму «малых» случайных величин *п—ХПщ1-{-Хп%1-\-. . .тлВ1П. Соответственно наиболее широкое обобщение вопроса о законе больших чисел для независимых случайных ве- величин имеет следующий вид. Рассматривают «серии» случайных величин (первый индекс — номер серии, второй — номер величины внутри данной серии). Слу- Случайные величины каждой отдельной серии предполагают- предполагаются взаимно независимыми. Пусть У Вопрос состоит в отыскании условий, при которых слу- случайные величины Yn «предельно постоянны» или «устой- «устойчивы» в том смысле, что найдется последовательность Сх, С2 Сп, . . . постоянных, для которой при любом еХ) и п -*- оо. Необходимые и достаточные условия «устойчивости» сумм Y, как она была определена выше, дал А. Н. Кол- Колмогоров в 1928 году (см. [ДЗ]). Задача о наилучшей, в том или ином смысле, оценке вероятности событий \Yn—Cn|>e, C2) как мы видим, при этом подходе не ставится и не реша- решается. В дальнейшем изложении мы вернемся от схемы серий к схеме последовательности Xlt Xt, . . , Хп, . . .— независимых случайных величин. Более того, мы примем, для простоты изложения, что эти случайные величины имеют одинаковые распределения вероятностей. Так
КОММЕНТАРИЙ II 147 как при оценке вероятностей событий типа C2) неизбеж- неизбежно обращение к старшим моментам случайных величин Xk, т. е. к математическим ожиданиям EXlk, 1—3, 4, 5, . . . , то мы предположим дополнительно, что все слу- случайные величины Xh ограничены одной и той же постоян- постоянной. Последнее условие обеспечивает существование всех моментов Xh. Пусть ЕХк=а, тогда в силу сказанного существует такая постоянная L, что при всех ?1 Рассмотрим вероятность По известному неравенству Чебышева она не превосхо- превосходит DXi+DX*+^-+DXn ш при такой оценке исполь- используется не взаимная независимость Х-ов, а лишь их по- попарная независимость. Более полное использование пред- предположения о независимости Х-ов приводит к более силь- сильным неравенствам. Если Xi, Xit . . . , Хп взаимно независимы, то и фун- функции от них ehxtf ehX;,.., также взаимно независимы, и потому по известному свойству математических ожиданий независимых слу- случайных величин (А — некоторое число) Считая, что Л>0, имеем Р {Хг + Х2+ ... +Хп _ р Jgft (X.+X.+... +Х„ что по лемме Чебышева не превосходит . C3) Выберем теперь h—he>0, так чтобы минимизировать правую часть последнего соотношения. Тогда получим Р {*! + *,+ ... + Хп > па+пе} <(е-"« <«+«) Eeh>x*)n. C4) 10*
148 Ю- В. ПРОХОРОВ Для вероятности подобное неравенство получают, рассматривая значения А<0. Посмотрим, что дает неравенство C4) для случая, когда Xlt Xt, . . . , Хп принимают только значения 0 и 1 с вероятностями q и р соответственно. Тогда Условие для отыскания Ло получаем, приравнивай к нулю производную логарифма правой части C3) C5) Если Ао— корень последнего уравнения, то р q — a ч и q — e' и после подстановки этих выражений в правую часть C4) получим где Н — введенная Чебышевым величина (см. выше B2) и B3)). Точно так же устанавливаем, что (см. B4) и B5)) .^. C7) В общем случае для упрощения формы ответа заме- заменяют -a) несколько большей величиной и минимизируют по А произведение «главной части» этой последней на е~Нг (см. С. Н. Бернштейн [Д1], [Д2], А. Н. Колмогоров [Д4]). Последовательность действий при этом можно представить себе следующим образом. В разложении
Последний лист Ars Conjectandi издания 1713 года
150 Ю. В. ПРОХОРОВ увеличим все члены, начиная с четвертого: {(Х.-ау | < | Xt-a | '-• (Х.-аГ < U~\Xy-a)\ Беря после этого математические ожидания правой и левой части, приходим к неравенству причем последний переход сделан в предположении AL<1. C8) Учитывая, что ln(l+z)<z, z>—1, имеем In |e-h (a+e) EehX,} _ Jn {g-fte Eg» (*,-<»>} ^ <__Ле + ^*1+ *.!?*?. C9) Обозначим <T2=DXi. Считая е столь малым, что eL^o\ D0) выберем h =-5. Наименьшие значения левой части при fc>0 не превосходят ее значения при h =\ , а это по- последнее в свою очередь не превосходит о* + 4(а*)а~ 2а* Из всего сказанного заключаем, что при выполнении условия D0) (ср. с неравенством Успенского (§ 5), которое легко от- отсюда вывести). Вернемся к неравенству C4). В теории вероятностей больших уклонений при довольно общих условиях это неравенство может быть дополнено неко- некоторой асимптотической формулой, которая получается умножением правой части этого неравенства на некото- некоторую функцию от Л<> и на -^= (см., например, книгу В. В. Петрова 1Д5], гл. VIII, § 4), но здесь нет возмож- возможности на этом останавливаться.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Бернштейв С. Н. Возврат к вопросу о точности предельной формулы Лапласа.— Изв. АН СССР. Сер. мат., 1943, т. 7, № 1, с. 3—16. То же. Собр. соч.—М.: Наука, 1964, т. 4, с. 396—408. 2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.— М.: Наука, 1969. 3. Гнеденко Б. В., Перес М.-Т. К истории понятия веро- вероятности случайного события.— Вопр. истории естествозн. и техн., 1984, № I.e. 71—75. См. также Перес М.-Т. Из исто- истории понятия вероятности: Канд. дисс.— М., 1984. 4. Г н е д е н к о Б. В., Ш е й н и н О. Б. Теория вероятностей. — В кн.: Математика XIX века / Ред. А. Н. Колмогоров, А.П.Юшкевич.—М.: Наука, 1978, с. 184—240. 5. КолмогоровА. Н. Вероятность.— БСЭ, 1971, т. 4, с. 544. 6. Лаплас П. С. Опыт философии теории вероятностей.— М., 1908. (Первоначально опубликовано на французском языке в 1814 г.) 7. Л у р ь е С. Я. Демокрит.— Л.: Наука, 1970. 8. Майстров Л. Е., Розенфельд Б. А., Шейнин О.Б. Комбинаторика и теория вероятностей.— В кн.: История мате- математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Ред. А. П. Юшкевич.— М.: Наука, 1970, т. 2, с. 81—97. Э.Марков А. А. Закон больших чисел и способ наименьших квадратов A899) (см. [15, с. 231—251]). 10. М а р к о в А. А. Исчисление конечных разностей.— 2-е изд.— Одесса, 1910. П. М ар ков А. А. О задаче Якова Бернулли A914) (см. [15, с. 509—521]). 12. Марков А. А. Двухсотлетие закона больших чисел A914) (см. [18, с. 171—177]). 13. М а р к о в А. А. Об одной задаче Лапласа A915) (см. [15, с. 549—571]). 14. М а р к о в А. А. Исчисление вероятностей.— 4-е изд.— М.: Госиздат, 1924 (посмертное издание). Последнее прижизненное издание — в 1913 г. 15. Марков А. А. Избранные труды / Ред. Ю. В. Линник.— М.: Изд-во АН СССР, 1951. 16. М а р к о в А. А. (младший). Биография А. А. Маркова (см. [15, с. 599-613]).
152 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 17. М и з е с Р. Вероятность и статистика / Ред. А. Я- Хинчин.— М.; Л.: Госиздат, 1930. (Первоначально опубликовано на немец- немецком языке в 1928 г.) 18. О теории вероятностей и математической статистике. (Переписка А. А. Маркова и А. А. Чупрова) / Ред. X. О. Ондар.— М.: Нау- Наука, 1977. (Книга содержит переписку Маркова и Чупрова 1910— 1917 гг. и некоторые статьи обоих ученых.) 19. Пуанкаре А. Наука и метод A908).— В сб.: Пуанка- Пуанкаре А. О науке / Ред. Л. С. Понтрягин.— М.: Наука, 1983, с. 285—403. (Первоначально опубликовано на французском языке.) 20. Р е н ь и А. Письма о вероятности A969).— В сб.: Р е н ь и А. Трилогия о математике/ Ред. Б. В. Гнеденко.— М.: Мир, 1980, с. 121—198. (Первоначально опубликовано на венгерском языке.) 21. Р у д и о Ф. Обзор истории задачи о квадратуре круга от древ- древности до наших дней.— В сб.: О квадратуре круга: Пер. с нем./ Ред. С. Н. Бериштейн.—М.; Л.: ОНТИ, 1936, с. 17—91. 22. С т я ж к и н Н. И. Формирование математической логики.— М.: Наука. 1967. 23. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее применения: Пер. с англ.— М.: Мир, 1984. 24. X и н ч и н А. Я- Частотная теория Р. Мизеса и современные идеи теории вероятностей.— Вопр. философии, 1961, № 1, с. 92— 102; № 2, с. 77—89 (опубликовано посмертно). 25. Ч у п р о в А. А. Закон больших чисел в современной науке A914) (см. [18, с. 178—197]). 26. Шейнин О. Б. К истории предельных теорем Муавра — Лапласа.— В кн.: История и методология естественных наук.— М.: Изд-во МГУ, 1970, вып. 9, с. 199—211. 27. Шейнин О. Б., М а й с т р о в Л. Е. Теория вероятностей.— В кн.: История математики с древнейших времен до начала XIX столетия.—М.: Наука, 1972, т. 3, с. 126—152. 28. Arbuthnot J. An argument for Divine Providence, taken from the constant regularity observed in the births of both sexes.— Philos. Trans. Roy Soc., 1710 A712), v. 27, N 328, p. 186—190. Reprinted in Studies in the history of statistics and probability/Eds M. G. Kendall and R. L. Plackett.— London, 1977, v. 2, p. 30—34. 29. A r n a u 1 d A., N i с о 1 e P. Logique de Port-Royal A662).— Paris, J877. Англ. перевод: London, 1850. 30. Bernoulli.!.Are conjectandi A713) (см. [35, p. 107—259]). Нем. перевод под ред. Р. Хаусснера.— Leipzig, 1899. (Ostwalds Klassiker der exacten Wissenschaften, № 107—108.) Англ. пере- перевод части четвертой.— Techn. Rept, № 2. Dept of statistics, Harvard Univ., 1966. 31. Bernoulli J. Lettre a un amy sur les parties du jeu de paume A713) (cm. [34], p. 260—286). 32. В е г n о u 11 i J. [Aus den MediUtiones] (см. [34], p. 21—89). 33. Bernoulli J. [Weitere Vorarbeiten] (см. [34], p. 91—106). 34. Bernoulli J. Werke/ Ред. ван дер Варден— Basel, 1975, Bd. 3.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 153 35. В е г п о и 111 N. Dissertatio inauguralis mathematico-juridica de usu artis conjectandi in jure A709) (см. [34], p. 289—326). 36. Biermann K.-R., Faak Margot. G. W. Leibniz' «De incerti aestimatione».— Forschungen und Fortschritte, 1957, Bd. 31, N 2, S. 45—50. 37. В о г t k i e w i с z L. von. Die Iterationen.— Berlin, 1917. 38. CzuberE. Theorie der Beobachtungsfehler.—Leipzig, 1891. 39. D a w R. H., P e а г s о n E. S. A. de Moivre's 1733 derivation of the normal curve: a bibliographical note.— Biometrika, 1972, v. 59, p. 677—680. Reprint: Studies in the history of statistics and probability, v. 2, p. 63—66. 40. F e 11 e г W. On the normal approximation to the binomial distri- distribution.— Ann. Math. Statistics, 1945, v. 16, p. 319—329. 41.Fermat P. [Correspondence with Pascal on probability theory A654).] Oeuvres, Paris, 1894, t. 2, p. 288—298, 300—307, 310— 314. 42. Freudenthal H. 250 years of mathematical statistics.— In: Quantitative methods in pharmacology. Proc. symp. Leyden 1960. Amsterdam — New York, 1961, p. XI—XX. 43. Graunt J. Natural and political observations made upon the bills of mortality A662).—Baltimore, 1939. 44. Hacking I. The emergence of probability.—Cambridge, 1975. 45. Hal ley E. An estimate of the degree of mortality of mankind.— Philos. Trans. Roy. Soc., 1692—1693 A694), v. 17, № 196, p. 596—610, 654—656. Reprinted in Two papers on the degrees of mortality of mankind/Ed. L. J. Reed.—Baltimore, 1942. 46. Hartley D. Observations on man.— London, 1749. 47. HuygensC. De calcul dans les jeux de hasard A657). Oeuvr. compl., La Haye, 1920, t. 14, p. 49—91. 48. К о h 1 i K. Aus dem Briefwechsel zwischen Leibniz und J. Ber- Bernoulli ([34], 509—513). 49. К о h I i K. Kommentar zur Dissertation von N. Bernoulli (см. [34], 541—556). 50. Leibniz G. W. Allgemeine Untersuchungen uber die Analyse der Begriffe und wahren Satze (MS 1686).— In: Fragmente zur Logik.— Berlin, 1960, S. 241-303. 51. Montmort P. R. Essay d'analyse sur les jeux de hazard. Paris, 1713 Bnd ed.).— Publ. anonymously. Reprint: New York, 1980. 52. Ore O. Cardano, the gambling scholar.— Princeton, 1963. (Вклю- (Включает английский перевод сочинения Кардано «Книга об азартных играх», написанного в 1526 г., но опубликованного посмертно в 1663 г.) 53. Pearson К. James Bernoulli's theorem.— Biometrika, 1925, v. 17, № 3^-4, p. 201—210. 54. P о 1 у a G. Uber den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlich- keitsrechnung und das Momentenproblem.—Math. Z., 1920, Bd. 8, S. 171—181. 55. S h a f e г G. Non-additive probabilities in the work of [J.] Ber- Bernoulli and Lambert.— Arch. hist. ex. sci., 1978, v. 19, № 4, p. 309—370.
154 список литературы 56. S h е 11 Е. D., S. Р е р у s, I. Newton and probability.— Amer. statistician, 1960, v. 14, N 4, p. 27—30. 57. S h e у п i n O. B. D. Bernoulli on the normal law.— Biometri- ka, 1970, v. 57, N 1, p. 199—202. Reprint: Studies in the history of statistics and probability, y. 2, p. 101—104. 58. S h e у n i n О. В. On the history of some statistical laws of distribution.— Biometrika, 1971, v. 58, p. 234—236. Reprint: Studies in the history of statistics and probability, v. 2, p. 328— 330. 59. S h e у n i n О. В. Newton and the classical theory of probabili- probability—Arch, hist. ex. sci., 1971, v. 7, № 3, p. 217—243. 60. S h e у n i n O. B. J. H. Lambert's work on probability.— Ibid., p. 244—256. 61. Sheynin О. В. Mathematical treatment of astronomical ob- observations (a historical essay). Ibid., 1973, v. 11,№2—3, p.97—126. 62. S h e у n i n O. B. On the prehistory of the theory of probabili- probability.—Ibid., 1974, v. 12, № 2, p. 97—141. 63. Sheynin O. B. P. S. Laplace's work on probability.— Ibid., 1976, v. 16, № 2, p. 137—187. 64. S h e у n i n О. В. Eearly history of the theory of probability.— Ibid., 1977, v. 17, № 3, p. 201—259. 65. S h e у n i n O. B. S. D. Poisson's work in probability.— Ibid., 1978, v. 18, № 3, p. 245—300. 66. S h e у n i n О. В. On the history of the statistical method in phy- physics.— Ibid, 1985, v. 33, № 4, p. 351-382. 67. S t i g 1 e r S. M. Poisson on the Poisson distribution.— Statistics and probability letters, 1982, v. 1, № 1, p. 33—35. 68. Todhunter I. History of the mathematical theory of pro- probability A865).—N. Y.: Chelsea, 1949. 69. Uspensky J. V. Introduction to Mathematical Probability.— New York; London: Me Graw—Hill, 1937. 70. van В r a k e I J. Some remarks on the prehistory of the concept of statistical probability.— Arch. hist. ex. sci., 1976, v. 16, № 2, p. 119—136. 71. van der W a e r d e n B. L. Die gedruckten Vorarbeiten zur Ars conjectandi und die Datierung der Meditationes (см. [34], 385—389). 72. V a s s i 1 i e v A. V. Le bicentenaire de la loi des grands nomb- res.— Enseign. math., 1914, t. 16, № 2, p. 92—100. 73. W a 11 i s J. A treatise in algebra.— London, 1685. 74. W i 11 J. de. Waerdye van lyf-renten naer proportie van los-ren- ten A671) (cm. [34] 327—350). Дополнительный список литературы [Д1] Бернштейн С. Н. Теория вероятностей.— изд., М.— Л.: Гостехиздат, 1946. [Д2] Б ер н ште й н С. Н. Собрание сочинений, т. IV.—М.: Наука, 1964. [ДЗ] Гнеденко Б. В., КолмогрровА. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин.— М.—Л.: Гостехиздат, 1949.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 155 [Д4] Колмогоров А. Н. (Kolmogoroff A.) Cber das Gesetz des Iterierten Logarithmus.—Math. Ann., 1929, Bd. 101, S. 126—135. [Д5] Петров В. В. Суммы независимых случайных величин.— М.: Наука, 1972. [Д6] Прохоров Ю. В. Больших чисел закон.— Матем. энц., т. I. [Д7] П р о х о р о в Ю. В. Больших чисел закон усиленный.— Матем. энц., т. 1. [Д8] Севастьянов Б. А. Доверительные пределы для средней вероятности в схеме Пуассона.— Теор. вероят. и ее примен., 1961, т. VI, № 2, с. 242—244. [Д9] Чебышев П. Л. Элементарное доказательство одного общего предложения теории вероятностей.— Поли. собр. соч., т. 2.—М.—Л., 1947. [Д10] Ч е бы ше в П. Л. О средних величинах.— Поли. собр. соч., т. 2, М.—Л., 1947. [Д11] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и ин- интегрального исчисления, т. II.— М.: ОГИЗ, 1948. [Д12] Юшкевич А. П. Николай Бернулли и издание «Искус- «Искусства предположений».— Теор. вероятн. и ее примен., 1986, т. XXXI, № 2. 1Д13] Н а 1 d A. Nicholas Bernoulli's theorem.— Int. Stat. Rev., 1984, v. 52, № 1, p. 93—99.
Хронологическая таблица 1616 Валлис 1703 1752 Лежандр 1833 1856 Стилтьес 1834 1601 Ферма 1665 1678 Монмор 1719 1749 -Лаплас 1827 1871 Борель 1956 1623 Паскаль -1662 -1667 Муавр -1754 1768 Фурье 1830 -I854 Пуанкаре 1912 1540 Лудольф 1610 1646 Лейбниц 1716 1717 д'Аламбер 1783 1789 Коши 1857 1862 Гильберт 1943 1643 Ньютон 1727 , 1804 Буняковский 1889 1596 Декарт 1650 ^ 1692 СтирлИНТ 1770 ( { 1777 Гаусс 1855 [ ¦«¦-A501 Кардано 1576 ) д 1707 Эйлер 1783 [ 1815 Вейерштрасс 1897 | 1654 Якоб Бернулли ,1705 1736 ЛагранЖ 1813 1822 Бертран 1900 1667 Иоганн Бернулли 1748 1781 Пуассон 1840 1856 Марков 1922 1700 Даниил Бернулли 1782 1801 Остроградский 1861 ....Oil 1695 Николай Бернулли 1726 1792 Лобачевский 1856 1857 Ляпунов 1Э18 1821 Чебышев 1894 i i i i i i i 1600 1650 1700 1750 1800 1850 1900
приложения БИОГРАФИЯ ЯКОБА БЕРНУЛЛИ А. П. ЮШКЕВИЧ Биографические сведения о Якобе Бернулли (Базель, 27 декаб- декабря 1654 — Базель, 16 августа 1705) в сочинениях на русском языке были до недавнего времени весьма неполными, а порой неточными. Довольно обширная статья о Я. Бернулли, помещенная в 17-томном «Энциклопедическом лексиконе» издателя А. А. Плюшара, вышед- вышедшем в 1833—1841 годах, хотя и содержит некоторые любопытные био- биографические подробности, страдает неполнотой научной характери- характеристики и даже ошибками. Нижеследующая биография не претендует на полноту и представляет собой лишь обзор жизни и творчества Я- Бернулли. Более подробные биографические сведения можно найти в изданиях: Wolf R. Biographien zur Kulturgeschichte der Schweiz. Erster Cyclus (Zurich, 1858); Hofmann J. E. Bernoulli Jacob (Jacques) (Dictionary of Scientific Biography/Ed. byC. С Gi- llispie.— New York, 1970, v. II, p. 46—51); Никифоровский В. А. Великие математики Бернулли (М.: Наука, 1984), а историческую оценку его основных математических открытий — в книге: История математики с древиейших времен до иачала XIX столетия/ Под ред. А.П.Юшкевича (Т. 2, Математика XVII столетия.— М.: Наука, 1970). Я. Бернулли, сын купца и советника магистрата г. Базеля Ни- Николая Бернулли и Маргариты Шенауер, дочери банкира и также го- городского советника, получил образование в Базельском университе- университете. В 1671 году ему была присвоена степень «магистра искусств» по философии и в 1676 году — лиценциата богословия. Однако, вопре- вопреки желанию отца, он всего усерднее изучал математику и астроно- астрономию. В 1676—1682 годах он совершил ряд поездок в Женеву, Фран- Францию (где прожил два года), Голландию и Англию, заведя при этом знакомство с такими выдающимися учеными, как Я. Гудде, Р. Бойль и Р. Гук, а также познакомившись с философскими воззрениями и н аучными концепциями Р. Декарта и идейно близкого к нему
158 А.П.ЮШКЕВИЧ Н. Мальбранша, сыгравшего впоследствии важную роль в распро- распространении во Франции математического анализа Лейбница. С 1677 года Я- Бернулли начал вести научный дневник «Размышления» (Meditationes), в который заносил свои мысли н открытия (см. Hof- mann J. E. Uber Jacob Bernoullis Beitrage zur Infinitesimal-Mathe- matik.— Extrait de l'Enseignement Mathematique, Ser. II, 1956, t. II, Geneve). По возвращении в Базель он приступил к чтению лек- лекций по механике, включая гидромеханику, а в 1687 году получил кафедру математики в местном университете, которую занимал до кон- конца своей недолгой жизни. В 1691 году он выступил против различ- различных нарушений правопорядка в университетской жизни и вызвал тем самым неудовольствие многих своих коллег; это выступление свиде- свидетельствует о его высоких нравственных качествах и гражданской мужестве. Первые научные публикации Бернулли по теории комет и теории тяготения A682—1683) были неудачными. После того он обратился почти исключительно к математике. В его математическом образова- образовании большую роль сыграли сочинения многих выдающихся ученых, и особенно — знаменитая «Геометрия» Декарта A637) в ее втором ла- латинском издании Ф. ван Схутена A659—1661), содержавшем полез- полезные дополнения и пояснения переводчика, а также несколько статей по актуальным вопросам математического анализа. В 1695 году Я- Бернулли выпустил в свет еще одно (четвертое) латинское изда- издание этого труда, дополненное некоторыми его собственными исследо- исследованиями по геометрии. Он изучил также фундаментальные труды таких предшественников И. Ньютона и Г. В. Лейбница, как Дж. Вал- лис, И. Барроу, X. Гюйгенс и др. В августе 1684 года, как известно, был опубликован первый ме- муар Лейбница по дифференциальному исчислению, где на несколь- нескольких страницах были изложены начала новой отрасли математики (бо- (более ранние работы И. Ньютона в той же области оставались тогда на континенте Европы неизвестными, за исключением отдельных ре- результатов в учении о рядах и других частных вопросов). Я- Бернулли первоначально не смог разобраться в содержании чрезмерио краткого мемуара и в 1687 году обратился за разъяснениями к автору. Лейб- Лейбниц был, однако, в отъезде, и Я- Бернулли в конце концов самостоя- самостоятельно овладел принципами нового математического анализа, после чего тотчас же приступил к оригинальным исследованиям в этой об- области. Лишь в 1690 году Лейбниц смог ответить Бернулли, и между ними завязалась важная для развития дифференциального и ин- интегрального исчисления переписка, охватившая обширный круг воп-
БИОГРАФИЯ ЯКОБА БЕРНУЛЛИ 159 ресов математического анализа и его приложений к механике. В это же время Я. Бернулли привлек к изучению дифференциального и ин- интегрального исчисления своего младшего брата Иоганна A667—1748), который в дальнейшем превзошел его в научной активности. В тесном сотрудничестве с Лейбницем посредством регулярной переписки братья Бернулли положили начало ведущей школе математического анализа XVIII века, к которой принадлежали их племянник и уче- ученик Николай I Бернулли, сыновья Иоганна — Николай II, Даниил и Иоганн II, Л. Эйлер (все — ученики И. Бернулли), во Франции — Г. Ф. де Лопиталь (ученик И. Бернулли), П. Вариньон, затем А. Клеро, Ж- Даламбер, П. С. Лаплас и многие другие, как тогда выражались, геометры XVIII века. Современники высоко ценили научные открытия Я. Бернулли. В 1669 году он был избран иностранным членом Парижской академии наук, в 1702 году — Прусского научного общества, основанного Лейб- вицем. Аналитические открытия Бериулли помещены частью в его статьях, частью в переписке с Лейбницем, занимающей 100 страниц печатного текста в издании математических сочинений последнего (добавим, что переписка И. Бернулли с Лейбницем занимает 860 страниц). Значение всей этой огромной переписки для прогресса математических наук было тем значительнее, что она служила основ- основным средством быстрой и надежной взаимной научной информации (см. примечание 1.6). Среди различных исследований по анализу от- отметим несколько особенно ярких: исследование свойств цепной ли- линии, упругой линии, параболической спирали, логарифмической спи- спирали, решение некоторых классов обыкновенных дифференциальных уравнений 1 -го порядка (одно из них до сих пор носит его имя), а также нескольких изопериметрических проблем, в том числе отличных от тех, которые впервые поставил его младший брат. Эти проблемы и приемы их решения положили начало вариационному исчислению. Логарифмическую спираль с ее своеобразными свойствами Я- Бер- Бернулли называл «удивительной» или «чудесной», и по его желанию изображение этой кривой (правда, искажеиное) помещеио иа памятной доске в Базельском соборе — Мюнстере (см. примечание 1.34 и с. 60). Соперничество в решении ряда задач явилось причиной разлада меж- между братьями Бернулли — разлада, перешедшего в прямую вражду и публичные обвинения в вопросах, касающихся приоритета тех или иных открытий, в отдельных ошибках и т. д. Эта вражда отра- отравила последние годы жизни Я. Бернулли. С 1689 по 1704 г. вышли из печати 5 частей его труда о бесконеч- бесконечных рядах и их приложениях к отдельным квадратурам и спрямле-
[60 А. П. ЮШКЕВИЧ ниям (Bernoulli Jac. Positiones de seriebus inifnitis earumque summa finita.— Basileae, 1689—1704); переизданы вместе с «Искусством предположений» в 1713 г. и затем в 1744 г. (Bernoulli Jac. Opera om- nia, I—II.— Genevae; нем. перевод под названием «Unendliche Rei- hen».— Leipzig, 1909). Некоторые результаты здесь элементарны или непосредственно примыкают к работам других авторов. В пред- предложении XVI даны два доказательства расходимости гармонического ряда, из которых одно принадлежит Иогаииу Бериуллн; оба брата не зиалн, что это ранее доказал итальянец П. Меиголи A650), одна- однако задолго до них (около 1350 года) то же доказал француз Н. Орем. Однако известность это свойство получило благодаря труду Я. Бер- нулли. В предложении XXIV Я. Бериулли положил начало иссле» 00 1 доваииюсумм вида s^^ p » где натуральное число п>>2. Он без труда доказал, что аналогичная сумма для одних нечетных чисел а„= ¦А 1 2"—1 = > -2. , ..„ связана с sn равенством а„= sn, но не смог най- ft=0 ти замкнутого выражения даже для s2- Сочинение Я. Бериулли при- привлекло к этой проблеме внимание Эйлера, который установил, что в случае четных показателей sin=kinnan, где k2n — рациональное число, а затем выразил коэффициеиты kin через так называемые «числа Бериулли», введенные последним в «Искусстве предположений». Эйлер просуммировал некоторые классы родственных рядов, однако арифметическая природа рядов с нечетными показателями s2n+i до снх пор неизвестна. Разложив в предложении XXXVII дробь . I In , In* посредством деления в бесконечный ряд ; А—-—... и поло- жнвт=я, Бериуллн пришел к «не лишенному изящества» парадоксу: в этом случае значение дроби равно д— , между тем как сумма ряда 1 +... равна нулю, если взять частную сумму с чет- т tn m m J I ным числом членов, и равна — при нечетном числе слагаемых. /п Объяснение парадокса Бериулли видел в том, что на каждом шагу деления имеется остаток ± ~—, который всегда надлежит учиты- учитывать. В начале XVIII в. вопрос о суммировании расходящегося бес-
БИОГРАФИЯ ЯКОБА БЕРНУЛЛИ 161 конечного ряда 1—1+1—1+... вызвал оживленные споры, в кото- которых приняли участие Г. Гранди, Лейбниц, Вариньон, Николай I Бернулли и др. Важнейшим трудом Я. Бернулли явилось его знаменитое «Ис- «Искусство предположений», в четвертой части которого сформулирова- сформулирована и доказана первая из предельных теорем теории вероятностей — закон больших чисел. Это сочинение он готовил около 20 лет почти до самой смерти, а вышло оно из печати посмертно в августе 1713 года (согласно опубликованным ныне дневникам, Бериулли доказал свою теорему еще в 1687— 1689 годах). До сих пор неизменно утверждалось, что издателем этого труда был Николай I Бернулли,— впервые об этом заявил философ и математик Вольф в 1716 году (Wolff Chr. Mathematisches Lexicon.—Leipzig, 1716, p. 1328—1329). Это неверно. Наследники Я- Бернулли, его вдова и сын, долгое время откладывали издание хранившейся у них рукописи и передали его издателям бра- братьям Турнэйзен только летом 1712 г., когда Н. Бернулли находился в Лондоне. Весной 1713 г. Н. Бернулли вернулся в Базель, но в это времи книга была уже почти полностью напечатана, и он смог толь- только, по специальной просьбе сына покойного, написать краткое предис- предисловие и составить список опечаток, пропущенных неквалифициро- неквалифицированными корректорами (см. помещенное ниже предисловие Н. Бер- Бернулли). Впрочем, известия о содержании «Искусства предположе- предположений» стали распространяться в печати и устно гораздо раньше (см. Юшкевич А. П. Николай Бернулли и издание «Искусства пред- предположений» Якоба Бернулли.— Теория вероятностей и ее примене- применения, 1986, т. 31, вып. 2. 11 Я. Беряулли
ПРЕДИСЛОВИЕ К «ИСКУССТВУ ПРЕДПОЛОЖЕНИЙ» A713) Н. БЕРНУЛЛИ Николай Бериулли приветствует читателя! Наконец стараниями братьев Туриэйзен выходит в свет (посмерт- (посмертно) долгожданный трактат моего дяди об искусстве предположений. Издатели, исполняя свой долг перед публикой, позаботились об из- издании авторской рукописи, предоставленной наследниками покой- покойного. Цель автора состояла в том, чтобы показать исключительную пользу для гражданской жизни той до сих пор лишь немногими изу- изучавшейся части математики, предмет которой есть измерение вероят- вероятностей. Каким образом н в какой мере автор исполнил свою задачу, уже было рассмотрено в «Записка» Французской королевской акаде- академии иаук за 1705 год и в парижском «Журнале ученых» за 1706 год1). Данное сочинение автор разделил на четыре части. Первая из них содержит комментированный трактат знаменитого Гюйгенса о расчетах в азартных играх, который автор счел нужным предпослать своему сочинению как первооснову искусства предположений *). Вто- Вторая часть объемлет учение о перестановках и сочетаниях, необходи- необходимых для измерения вероятностей. Применение этого учения в разного рода жеребьевках и азартных играх поясняется в третьей части. Чет- Четвертую часть сочинения, в которой автор намеревался рассказать об использовании всего изложенного выше в гражданских, мораль- моральных и экономических вопросах, он из-за продолжительной болезни и безвременно наступившей смерти оставил незавершенной. Издатели хотели бы, чтобы незавершенность работы восполнил брат покойного, как человек в наибольшей степени для этого под- подходящий; однако они не сочли возможным обременять его такой прось- просьбой из-за его чрезвычайной занятости. Тогда они вознамерились вве- вверить это дело мне, зная, что некогда в своей инавгурационной диссер- диссертации я дал некоторые образцы применения искусства предположе- предположений в области права 3). Но в то время я находился в путешествии н
ПРЕДИСЛОВИЕ К «ИСКУССТВУ ПРЕДПОЛОЖЕНИИ» 163 не смог выполнить это дело. После возвращения на родину будучи вновь встречен этой просьбой, я отклонил ее, чувствуя, что слишком молод и не обладаю достаточным опытом для того, чтобы занять- заняться данным предметом. Я полагал, что добавлением общеизвестного и банального не только не удовлетворю читателя, но и могу обесце- обесценить основное содержание. Поэтому я посоветовал выпустить сочи- сочинение, большая часть которого была уже напечатана, в том виде, в ка- каком его оставил автор. Но чтобы полезнейшее дело, а именно прило- приложение исчисления вероятностей к политике и экономике, не осталось в полном небрежении, мы просили бы почтеннейшего г. автора фран- французской книги «Опыт анализа азартных игр», а также досточтимого г. Муавра, которые недавно опубликовали прекрасные образцы этого искусства, чтобы они взяли на себя эту задачу и со временем сообщили публике свои выдающиеся открытия 4). Мы надеемся в то же время, что общие положения, развитые автором в пяти главах последней части, будут полезны ревностному читателю, занимающе- занимающемуся специальными вопросами. Вот то, что мы считали нужным ска- сказать в предисловии о самом сочинении. Издатели присоединили к рукописи положения автора о бесконеч- бесконечных рядах, изложенные некогда им самим в виде пяти диссерта- диссертаций ь); поскольку экземпляры этих работ невозможно найти у наших книготорговцев, их напечатали здесь же. Добавлено также родст- родственное по теме «Послание к другу», написанное автором по-француз- по-французски •). Также следует обратить внимание читателя на то, что коррек- корректор для развлечения любопытных вставил в верстку найденные среди бумаг автора вариации стиха Баухузия 7): «Столько даров у тебя, сколько звезд на небе, о дева». Нужно по- поэтому опустить при чтении то, что следует в книге за страницей 78. Немногие другие ошибки, пропущенные корректором, мы отметили на последней странице книги, так что просим благосклонного чита- читателя их исправить. ПРИМЕЧАНИЯ Предисловие Николая Бернулли, помещенное в самом начале «Искусства предположений», имеет большой исторический интерес. Отметим, что на русском языке оно публикуется впервые (следует сказать, что предисловие не приведено в известном немецком изда- издании 1899 года [30]). Перевод выполнен Ю. X. Копелевич и отредакти- отредактирован А. П. Юшкевичем и А. А. Россиусом. Нижеследующие при- примечания принадлежат А. П. Юшкевичу и Ю. X. Копелевич. 1. Речь идет о публикации похвального слова Я. Бериулли, произнесенного непременным секретарем Парижской академии наук 11»
164 Н. БЕРНУЛЛИ де Фоитеиелем в собрании 14 ноября 1705 года, н о аатье академика Сорена (см. примечание 1.6 к основному тексту). Фоитенель, не бу- будучи математиком, не сумел адекватно выразить идеи Я- Бернулли, хотя и опирался на описание рукописи «Искусства предположений», присланное ему Я. Германом. В противоположность ему, Сореи более ясно охарактеризовал основное содержание «Искусства предполо- предположений», включая его четвертую часть и основную теорему. Обшир- Обширные цитаты из речи Фонтеиеля н статьи Сорена приведены в коммен- комментарии Коли [49] (см. [34]). 2. Сочинение X. Гюйгенса, написанное на голландском языке, впервые увидело свет в латинском переводе Ф. ван Схутена в 1657 году под названием «De ratiociniis in ludo aleae»; см. с. 84, 85 Ком- Комментария I. Трактат X. Гюйгенса с комментариями Я- Бернулли перепечатан в современном издании: Dupont P. e Roero С. S. II trat- tato «De ratiocjniis in ludo aleae» di C. Huygens con le «Annotationes» de J. Bernoulli («Ars conjectandi», Parte I) presentati in traduzione italiano con commento storico-critico e risoluzioni moderne (Memorie della Accademia della Scienze di Torino. Serie V.— Torino, Accade- mia della Scienze, 1984, v. 8). 3. Диссертация Н. Бернулли на степень доктора обоих прав (римского и общегражданского) «Инавгурациоииая математико-юри- дическая диссертация о применении искусства предположений в воп- вопросах права» (Dissertatio inauguralis mathematico-juridica de usu Artis conjectandi in jure.— Basileae, 1709) была публично защищена автором в июне 1709 года. Она перепечатана в [34] (см. [35]). 4. Автор французской книги «Опыт анализа азартных игр» — П.де Моимор. Его имя здесь не названо, так как книга была издана анонимно. О соответствующих трудах де Монмора и де Муавра см. в примечаниях II.8 и 1.16. 5. См. об этой работе Я. Бернулли примечания III.1 и III.30, а также с. 159—161. 6. См. об этом примечание **) редактора на с. 90, 91 Коммента- Комментария I. 7. Баухузий (Bauhusius) — латниизированиое имя автора ла- латинских эпиграмм Бериара Боюи (Bernard Bauhuis, 1575—1629). Имеется в виду его стнх: Tot tibi sunt dotes, Virgo, quot sidera coe- li. Я. Бернулли с помощью перестановок составил 3312 анаграмм, которые, однако, не предназначал для опубликования. По недоразу- недоразумению эти анаграммы помещены в издании 1713 года иа с. 79—81.
ИМЕНА, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ОСНОВНОМ ТЕКСТЕ И ПРИМЕЧАНИЯХ К НЕМУ*) АРБУТНОТ (Arbuthnot John, 1667 (?) — 1735). Шотландский врач, ма- математик и памфлетист, член Короле- Королевского общества A704). АРИСТОТЕЛЬ (ApiOTOTiblS. 384— 322 до и. э.). Древнегреческий фило- философ и ученый. АРНО (Arnauld Antoine, 1612—1694) Французский философ. АРХИМЕД (АрХ1Л^втM, ок. 287—212 до и. э.).. Древнегреческий ученый, математик и механик. БЕЙЕС (Bayes Thomas, 1702—1763). Английский математик, член Коро- Королевского общества A742). БЕРНУЛЛИ ДАНИИЛ (Bernoulli Daniel, 1700—1782). Сын Иоганна Б., математик и механик, член Петер- Петербургской АН A725), профессор Ба« зельского университета по физиоло- физиологии A733), по механике A750). БЕРНУЛЛИ ИОГАНН (Bernoul- (Bernoulli Johann, 1667—1748). Брат Яко- Якоба Б., математик и механик, член Парижской АН A699) и Петербург- Петербургской АН A725), профессор матема- математики Грониигеиского A695) и Ба- зельского A705) университетов. БЕРНУЛЛИ КАРЛ ХРИСТОФ (Bernoulli Karl Chrlstoph Rudolf. 1861—1923). Доктор философии, Ди- Директор библиотеки (обер-библиоте- карь) Базельского университета. БЕРНУЛЛИ НИКОЛАЙ I (Ber- (Bernoulli Nik[o]laus, 1687—1759). Пле- Племянник Якоба и Иоганна Б., мате- математик и юрист, профессор математи- математики Падуанского A716) университета и профессор логики, а затем права A732) Базельского университета. БбРТКЕВИЧ В. И. (von Bortkie- wicz Ladislaus, 1868—1931). Стати- Статистик и экономист, работавший в Рос* сии и затем в Германии, член Швед- Шведской АН. БУНЯКОВСКИЙ В. Я. A804 — 1889). Математик и статистик, член Петербургской АН A830) и ее вице- президент в 1864—1889 гг. БЬЕНЕМЕ (Blenayme Irenee-Jules, 1796—1878). Французский статистик и математик, член АН Института Франции A85?), иностранный члеи- корреспоидент Петербургской АН A874). БЮФФОН (Buffon George-Louis Leclercde, 1707—1788). Французский естествоиспытатель, член Париж- Парижской АН A733), почетный член Пе- Петербургской АН A776). ВАЛЛИС (Wallis John, 1616—1703). Английский математик, члеи-осио- ватель Королевского общества. ВАН дер ВАРДЕН (van der Waer- den Bartel Leendert, род. 1903). Математик и историк математики, профессор университета > Цюрихе; издатель 3-го тома Собрания сочинений Я. Бериулли, содержа- содержащего «Искусство предположений» A975). ™ ВАРИНЬОН (Varignon Pierre. 1654—1722). Французский механик и математик, член Парижской АН A688). ВАСИЛЬЕВ А. В. A853—1929). Русский математик, историк матема- математики, профессор Казанского универ- университета A887), член-корреспондент Международной академии истории наук A929). де ВИТТ (Witt Jan de, 1625—1672). Нидерландский государственный деятель и математик. *) Здесь дай сокращенный вариант подготовленного к печатц О. Б. Шейниным полного указателя имен. Сокращение вызвано недостатком места.— Примеч. ред.
166 ИМЕНА, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ТЕКСТЕ ГАЛЛЕЙ (Halley Edmund, 1656— 1742). Английский астроном н геофи- геофизик, член Королевского общества П678), член Парижской АН A729). ГАУСС (Gauss Karl Friedrich, 1777— 18551. Немецкий математик, астро- астроном, геодезист и физик, профессор Геттингенского университета A807), почетный член Петербургской АН <1824). ГРАУНТ (Graunt John, 1620—1674). Английский статистик, член Коро- Королевского общества A662). ГУРНЕРИ (Gournerie Jules-Antoi- ne Rene-Malllard, 1814—1883). Фран- Французский инженер, член АН Инсти- Института Франции. ГЮЙГЕНС (Huygens Christian, 1629—1695). Нидерландский меха- механик, физик, математик и астроном, член Парижской АН A666) и Коро- Королевского общества A663). ДЕКАРТ (Descartes Rene, 1596— 1650). Французский философ и ма- математик. КАРДАНО (Cardano Girolamo, 1501 —1576). Итальянский философ, врач и математик, профессор мате- математики и медицины в уинверситетах Милана и Болоньи. КЕПЛЕР (Kepler Johann, 1571 — 1630). Немецкий астроном, астролег я математик. КОШИ (Cauchy Augustin-Louis, 1789 — 1857). Французский матема- математик и механик, член АН Института Франции A816), почетный член Пе- Петербургской АН A831). КРЕЛЛЕ (Crelle August Leopold, 1780—1855). Немецкий математик и инженер, член Берлинской АН A827). КРЫЛОВ А. Н. A863—1945). Со- Советский кораблестроитель, механик, математик и историк науки, член Петербургской АН A916), Россий- Российской АН и АН СССР. ЛАГРАНЖ (Lagrange Joseph-Louis de, 1736—1813). Французский матема- математик и механик, член Берлинской A759) в Парижской A772) АН, почетный член Петербургской АН <1776). ЛАМБЕРТ (Lambert Johann Hein- rich, 1728—1777). Эльзасский уче- иыйи философ, член Берлинской АН A765). ЛАМЕ (Lam* Gabriel, 1795—1870). Французский математик и инженер, член АН Института Франции A843), иностранный члеи-корреспоидеит Петербургской АН A829). ЛАПЛАС (Laplace Pierre-Simon de, 1749—1827). Французский матема- математик, астроном н физик, член Париж- Парижской АН A785), почетный член Пе- Петербургской АН A802). ЛЕЙБНИЦ (Leibniz Gottfried Wil- helm, 1646 1716). Немецкий уче- иый и философ, основатель и первый президент Прусского (берлинского) научного общества. ЛИУВИЛЛЬ (Liouvllle Joseph, 1809 — 1882). Французский матема- математик и механик, член АН Института Франции A839), иностранный члеи- корреспондеит Петербургской АН A840). ЛУДОЛЬФ ван ЦЕЙЛЕН (Ludolph van Ceulen, 1540—1610). Голланд- Голландский математик. ЛЯПУНОВ А. М. A857—1918). Рус- Русский математик и механик, член Пе- Петербургской АН A901). МЕЦИЙ (Metius; настоящее имя — Adriaen Anthonicz, ок. 1571 — 1635). Нидерландский математик, астро- иом, инженер и картограф. МОНМОР (Montmort Pierre Ray- Raymond, 1678—1719). Французский ма- математик, член Королевского общест- общества A715) и Парижской АН A716). МУАВР (Moivre Abraham de* 1667—1754). Английский математик, член Королевского общества A697), Парижской A754) и Берлинской АН. НИКОЛЬ (Nicole Pierre, 1625—1695). Французский философ. НЬЮТОН (Newton Isaac, 1643— 1727). Английский физик и матема- математик, член Королевского общества A672) и его президент в 1703— 1727 гг., член Парижской АН A699). ОРЕМ (Oresme Nicole d", ок. 1323— 1382). Французский математик, фи- физик, астроном и 9коиомист. ОСТВАЛЬД (Ostwald Wilhelm, Friedrich 1853—1932). Немецкий фи- зико-хнник и философ, иностранный член-корреспоидеит Петербургской АН A896). ОСТРОГРАДСКИЙ М. В. A801 — 1861). Русский математик и меха- механик, член Петербургской АН A830). ОУЭН (Owen John, 1560—1622). Английский поэт, писавший на ла- тниском языке. ПАСКАЛЬ (Pascal Blaise. 1623— 1662). Французский философ, мате- математик, физик. ПЕТТИ (Petty William, 1623—1687). Английский экономист и статистик, член-основатель Королевского об- общества.
ИМЕНА. ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В ТЕКСТЕ 167 ПЛАТОН AШТОЛ>, 428 или 427— 348 или 347 до и. э.)- Древнегрече- Древнегреческий философ. ПУАНКАРЕ (Poincare Jueles-Henri, 1854—1912). Французский матема- математик и философ, член АН Института Франции A887), иностранный член- корреспондент Петербургской АН A895). ПУАССОН (Poisson Simeon-Denis, 1781 — 1840). Французский матема- математик, механик и физик, член АН Ин- Института Франции A812), почетный член Петербургской АН A826). СОРЕН (Saurin Joseph, 1659—1737). Французский математик, член Па- Парижской АН A707). СТЕКЛОВ В. А. A864—1926). Со- Советский математик и механик, член Петербургской АН A912), вице-пре- вице-президент Российской АН в АН СССР A919—1926). СТИРЛИНГ (Stirling James, 1692— 1770). Шотландский математик, член Королевского общества A729). УСПЕНСКИЙ Я. В. A883—1947). Русский математик, член Российс- Российской АН A920), с 1939 г. работал в США. ФЕРМА (Fermat Pierre de, 1601 — 1665). Французский математик и физик, юрист по профессии, де ФОНТЕНЕЛЬ (Fonteneile Ber- Bernard le Bovier, de, 1657—1757). Французский ученый, член и непре- непременный секретарь Парижской АН A691). ХАУССНЕР (Haussner Robert, 1863—1948). Немецкий математик, профессор Йенского университета. Переводчик и комментатор «Искус- «Искусства предположений» Я. Бериулли издания 1899 года. ЧЕБЫШЕВ П. Л. A821—1894). Русский математик и механик, член Петербургской АН A859). ЧУПРОВ А. А. A874—1926). Рус- Русский статистик, члеи-корреспондент Российской АН A917), член Королев- Королевского общества. ЭЙЛЕР (Euler Leonhard, 1707— 1783). Математик, механик и физик; урежеиец Швейцарии; член Петер- Петербургской A727—1783) и Берлинской A741-1766) АН.
8 2 00 CO —• о о 00 у *» над *" *н OV30 ft НОД CVNO Q гч *Л -^ \O HGO О *"* ^ Г«-Л0СО hvOOO О »-< о isnnO -i OnnO Q no ~* !Г?.оо IT -Mg* -* ft и0О0О\О О r« глгл н«О1ло>л *4 «ло О »л н ^-nO 4f-* о no r* ^ *^ nt* с во моо «s -* Г-О w *ч М VN|V NO NO П V \s\irsOO ** OOOO *h r*- во no во О ОО Is» ^t* ^н nO M On t^ оо оо О О p^O -^-oo во"— -^во о О 2002 IT 220 5 M M О »^ »л \O nO C"inO 1Л r» OO C""> \OQO0O я NO -* - 2 - О -• OO N III оо поо ОО f'V М О Г4* ** OO NO ОО О О ¦^- t-»oo во во оо оо О ч© О г*ч оо -«*- О чО О ?\ _ >^- О гъ NO ОС \О П NO -ч - - о о о 32- — ^--< ГГ - 1ЛОО -ч nO On -ч CO -ч NO Г"» -Ч 1^40^00 ао OnO ?°" Ono
ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 169 I о. oa i> с ю о TZ ОО-ГН1Л О «-Н О" сЛ СО см ел «а- г- о о...о r-t r- «а- «тсо еЛ <Л чО иЛ «—1 СО i-t 1Л СМ 1Л оонч-о ,-i сЛ Ш Г^ СЭ СМ СМ СМ СМ *Л р-1 СМ сЛ ^" ил см см см см см см <м см см см ил to in ю tn (МО 0OOJCM Ш СМ г-4 СМ СО О О О О О иЛ 00 СО чО СЛ г-) 1-Н СМ ило оооосм о о ил f-t tn ил ил г-ило ОиЛчО^ГО СМ СМ сЛ С\ чГ ил t-Ч СО vD ил см ил г- о (*> СМ СМ СМ СМ сЛ СМ СМ СМГМ ГЛ 1ЛОО<ГО оо ил оо 1-й ил ннигд ил >D CO чО О СМ чО С— Р— СМ О4 еЛ (Л СМ чО О4 «-* Г- СО «Г f-i СМ СМ СМ СЛ ило о vD о ило-гия-ил ^-^илилчо ил чО со 1-1 ил чО О4 СМ ч0 (У4 гН СМ ГЛ <чГ Ш гнем ел4* ил
170 ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 2 I оо t~ e - Б/ /a оо см со in CM *Q СМП O4 ON^NO COO CM mCO r-t r-tr-4 ¦-« СООсЛСМгН OOsOO-O >ONffl9-0 «of-rocr о in in t*\ r*-in COO CO CM СЛ 1ПО ОСМ1П inooini^-in t-t rH (-H (SJ О ГО Ч" Ф О ч-см нФсм <* (Т> СМ»Л»Л СМ \О СМ ОО 1П со оо in in о s^ s° ° ч-in^r-co ao со со со a» 4- in vO оо см r-t (-« ¦НН1П1ЛСО HH f-4rHr-t OO H4-O 00 GO C^ ^^^ C^ ¦-ItMl^O-Ul imnq-oo ГМГ-- 00 00 CO 680 499 072 1584 400 1П CO >D O4 CO HSHnO CO 1П 1Л ОО Г"» a* ocm ли! 1-tHHH ч-с^ ч-ч- о HiHHHM ООчООЭГ^О C\ CO Ч"НО О1Л ^О 4J- О *ЛЮ<М Г^СМ СЭ^ i-4 гНСм (Н ,-4 г-1 ft r-4 <Oh-CO(TO «о г-со о* о
ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 171 б. с; CO т-( т-1 1-t т-1 О Ti 0} б/ / fc OO-OtO О" СМ *О ^" СЭ ост- чг о** о OJ Ч" i—• «X СМ О «X) СО чОО С>ООН(Л о4 ^- m о о гНСМ Ш socgco^r о *н ел г~-¦* о Г-~ ^- О гЧ *Г U1 О 1Л О4 ЬП 2716 6646 4066 1256 8760 СИ t~* *Л <*MVJtT>O Г- СМ^-сосло гмг«|сдсмгм ООО1ЛО О CD чО (—< 1П О 1Л Ч >D Ш 1-1 Сч1 (Л V0 1-Н о о in m in 1^. ОО Г* О4 (М m со ГМО1" о4 ^-)СЛ1ЛСО О1ЛООО „0 0-00 0*0 *—1 СО t—1 СМ (Л СМ СЛГ^-О" СМ I--O чЯ- in vO #-|<\JC*\ 1О in moo m fn, 00 ^-4 ,-( rH f-н чОсЛ О in ,-ICM (Л ЮГ4ОО1Л in со о4 о ^н Oil» О г-4О Л9 <009 г-<гН чО Г*-СО О- О CNJ СМ ГМ СМ (Л шоооо Г-СЭ «г ^О О 1П Г~ чО СО гЛ (\i ГЛ I—t О14 ГЛ СМ СЛ Lf)O ^Г IDOODO 1П 00 (ЛО СО CM CT4 rH in 1Г> г-ЧГ\*Т CD*T *т гм «л ч- ел г-4 СМ ГЛ ШШ 1ПО О ОО г-*00Гч|*0О (Л »Г 1^- Г-в1* Г- CSJ сЛСТ>СМ чоо m о гм 00 OJ СТ- CD г—( гЧг-<СМ чГ ил о сэ о чо ¦ОчГ*чТО> ГУ СМ г-н 00 СТ^ Ч" «Г CM f-1 СЛ *Г чО О СЛ 00 »Н r-f Г*. О С* in *О О СО ,-Н CNJ ЧчГ чО ч- vO то t-t О in чг чО О СО 00 СМ О см см гл. in, I4* rH CM ГЛча-tf* сЛ гл *л *Л Л
172 ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ О с. ОО'СО'О ?Ро?с5 |--<Т(ТчтГМ СМ РМЛ СО СМ иЛ сЛ иГ> О*1 СМ СОсЛСЧ-* ^O ч- оосм шр- о о о см о со см<г «<чоо «fie *?> f-00 О- О с^с^с^^^ о ocotMtn «X) i-ч да чО <т- О f-Ю 1Л СМ r-fCM CAinf-» со со со о о ¦-irHCJCM О f4- СО Г~- СО С>Ч-СЛ1ПСО rtHH СМЛ 1Л0 1ПС01Л 4Л СО О4 1П(-1 IIIII г-4 ГМ <*\ ЧГ ЬЛ ч-ч-ч-ч-ч- С СО (Т* (^СО \О ОСООО ГЧОСМСМ.*Г СМ Ш О сЛ Г- OvOtnCMCO U>vOf-l СМГ— *Л со о г- см Т LTt чО СО О (*\ f-н чО vD Г— гН^гН(МСМ
ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 3 OOlTl«*-O OlTlOOO CM LA CO lit r-4 fflO»OW г-юосмг— r-Очоаг- ¦fl" Г- 1Л(МО(Л(Ч О гЧ^ЧГОГ г4 (Л СО i-l гН № СМ Ш -гН 1Л 1Л1Л1Л1П1Л ШОООО СМ Г4-О (Л С4 1П ОЧ1 ШОСОСМГ 1* OOsOOin l OONO чгч-ч-'в-о ооооо uioooo <C4tiO4i ¦&-о •& *о еы с см см cvj «о Nt/lmUlS rH CO r-t Г--lTt НГЧЛ1ЛН fQOr-Ш *O f\ CM CO I*- noo ooooin moooo ООО0Г (МООФО СМСМГМСМСМ СМ (М CM CM t* 173
ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 3 I 05 QO т-i r- Ф о ч—) r/ 96600 ) 31900 > 63800 64410 1 08400 !^c\itn <<\<\i СОГ-1Л CO t-H OOOOO 90751 76726 35780 23591 33802 rH OOOOO CO OOOOO 79 02560 41 99760 12 86560 08 40660 53 45056 m «*\*i-(cm motnmo iiiii : 70200 i 10800 1 31850 1 80056 L 77020 «r -oo m oo 21126 36971 83590 95306 58844 O^COjCO SRSSS nD CM CO ЧТО Hill oooooo CM 0*0 CO 4f OO CO 1П tH CMOO<*NO* CO з 71960 7 70790 3 96480 3 97584 Ь 8Э200 4" СЛ I-* t-l IT» 00«>0(Л B9530 86481 98370 42584 35288 00ШСМЛО CM * Г*. r-l CO rH r-* 1ЛСОНОО'' iBIE rH CM СЛ ЧГ 87 60544 63 04549 00 79344 07 02584 95 75120 i-4 fH CM g?OjOO СО «О СЛСМСО CM 1ЛЧ- *OCT»
ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 175 N N тН О IN б/ / / к t-i r-IJQ г-с* о "? (М ГЧ см см гмсм оппгчло слемг-чп 1ЛЩ1Л 1Л 1Л ооооо СМ ОООО >П 1Л€*\^-0ОС*1 ч-о^оосм г^ Ш 1"» ^в U1 ООО1ЛО г-а eisss CJCOr-lOO (ЛОО ем 00 гЧ(м«*\ 1ЛОООО sss5S tnoooo NO^sOO NOOOr-00 ООСОгНГ-iH Г4СО moooo P* "* IM ^ О о сиг-ода О СМ *О V I"» 9-\ 1П 1Л f*\(*\ r-lin^r шоооо ГУ 1П («MM
Якоб Бернулли О ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Редакторы А. В. Прохоров, В. В. Абгарян Художественный редактор Т. Н. Кольченко Технический редактор И. Ш. Аксельрод Корректоры И. Я-Кришталь, О.М. Березина ИБ Л". 32255 Сдано Б набор 29.10.85. Подписано к печати 26.03.86. Формат 84X108/32. Бумага для глубокой печати. Гарнитура ли. тературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 9.35. Усл. кр.-отт. 9.5. Уч.-изд. л. 8.44. Тираж 8600 экз. Заказ №¦ 1794. Цена 90 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР гс делам издательств, полиграфии и княжной торговли. 113054, Москва, Валовая, 28 Отпечатано во 2-ii типографии издательства «Наука» 121099 Москва Г-99, Шубииский пер., 6