Проф. Л. Е. ЛЕВИНСОН
ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Под редакцией доктора технических наук А. Е. Кобринского
Одобрено
Ученым советом Государственного комитета Совета Министров СССР по профессионально-техническому образованию в качестве учебного пособия для профессионально-технических училищ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» Москва 1966
6.05 Л36
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
В книге излагаются элементы теоретической механики, машиноведения и сопротивления материалов.
В первой части книги разбираются основные положения статики, кинематики и динамики.
Во второй части приводятся основные сведения о передачах вращательного движения и механизмах, преобразующих вращательное движение в возвратно-поступательное; дается понятие об основных видах деформации материалов и расчете на прочность.
Важнейшие положения рассматриваемого материала иллюстрируются практическими примерами, задачами и упражнениями.
Простота и доходчивость излагаемого материала делают эту книгу доступной широкому кругу читателей, интересующихся вопросами технической механики.
Четвертое, посмертное издание учебного пособия переработано и дополнено титульным редактором книги д-ром техн, наук Кобринским А. Е. применительно к программе курса «Техническая механика» для городских профессионально-технических училищ с двухгодичным сроком обучения.
Все отзывы о книге просим направлять по адресу: Москва, И-51, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа».
2—4—2
42—66
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.	Механическое движение
Движение имеет самые различные формы. Бесчисленное множество тел совершает движение относительно Земли, которая в свою очередь вращается вокруг собственной оси и движется вокруг Солнца. Солнце вместе с планетами солнечной системы движется относительно звезд, которые находятся в движении в мировом пространстве. Во всех этих случаях происходит движение тел в целом. Наука установила множество других форм движения, как, например, теплота, химические процессы, электричество, свет и др. Формой движения является и жизнь во всех ее проявлениях.
Таким образом, вечное движение материи создает все бесконечное многообразие мира, все совершающиеся в нем явления.
Движение происходит в пространстве и во времени. Поэтому пространство и время неотделимы от движущейся материи.
О движении тел мы судим по их перемещению относительно других тел. Перемещение тела относительно другого тела называется механическим движением.
Наука, изучающая законы механического движения, называется механикой.
§ 2.	Относительность понятия покоя
В механике часто приходится пользоваться понятием покоя тел. Так, проектируя, например, железнодорожный мост, его рассчитывают на устойчивость и прочность, т. е. обеспечивают его неподвижность. Говоря, что мост неподвижен, мы под этим понимаем его неподвижность относительно Земли. В действительности же мост находится в движении, участвуя во вращении Земля вокруг ее оси и вокруг Солнца, в движении всей солнечной системы и т. д.
Абсолютного покоя нет. Когда в механике говорят о неподвижном теле, то при этом подразумевают относительный покой, т. е. неподвижность рассматриваемого тела относительно другого тела, чаще всего относительно Земли. Так, например,
3
когда говорят о неподвижности передней бабки токарного станка, то имеют в виду, что бабка закреплена неподвижно на станине, условно принимаемой нами за неподвижную.
Тело, условно принимаемое за неподвижное, называется скс-новной системой.
§ 3.	Содержание технической механики
Дома и на улице, в цехах заводов и фабрик, в шахтах и на полях — повсюду человека окружают верные помощники: машины, автоматы, приборы. Машины помогают человеку добывать уголь и руду, пахать поля и убирать урожай. Машины изготовляют карандаши и электролампочки, гвозди и кирпич, печатают книги и шьют одежду. Машины переносят человека из одного края земли в другой, дают ему возможность заглянуть в глубь земли и океана, подняться в космическое пространство.
Но машины хорошо служат только тому, кто знает, как они устроены и действуют. Это должно быть известно станочнику и трактористу, крановщику и ткачихе, машинисту и швее. Иначе они не сумеют использовать все возможности машины, не сумеют обеспечить ее длительную безаварийную работу.
В зависимости от назначения машины устроены по-разному. Автомобиль не похож на врубовую машину, ткацкий станок — на строительный кран, ручные часы — на электросчетчик. Вместе с тем в разных машинах и приборах есть нечто общее. Это общее заключается прежде всего в том, что отдельные части любой машины, прибора, автомата движутся одна относительно другой, выполняя ту или иную работу, — они совершают механическое движение.
Чтобы понимать, как действует машина, надо, следовательно, знать законы, управляющие ее движением. Эти законы освещены в разделах, излагающих элементы теоретической механики.
Самые разные машины похожи одна на другую не только тем, что их части движутся в процессе работы. Сходство их заключается еще в том, что в различных машинах применяют одни и те же механизмы. Зубчатые, рычажные, кулачковые, винтовые и другие механизмы в разных сочетаниях используются й любой машине. Конечно, их абсолютные размеры могут отличаться в сотни и тысячи раз, как отличаются, например, зубчатый колеса механизма наручных часов от зубчатых колес гигантского прокатного стана. Но вместе с тем механизмы одного и того Же вида проектируются, движутся и передают движение и энергию от одних частей машины другим по одинаковым законам и правилам.
Расчет движения различных механизмов также излагается в разделах технической механики, где даются основные понятия о механизмах и машинах.
4
Однако чтобы обеспечить надежную, долговечную работу машины, мало рассчитать движения, которые совершают ее механизмы. Необходимо так выбрать размеры звеньев этих механизмов, чтобы они были достаточно прочными и, вместе с тем, по возможности более легкими, они не должны ломаться при работе машины в течение длительного времени под действием самых различных нагрузок. Этим вопросам посвящен раздел технической механики, в котором излагаются основы сопротивления материалов.
Наконец, в самых различных машинах применяется много одинаковых деталей. Болты, гайки, шайбы, валы, оси, шарикоподшипники, заклепки можно встретить в любой машине, любом приборе и автомате. Они могут отличаться размерами, качеством отделки, даже конструкцией. Но каждая группа деталей машины имеет свое специальное назначение, рассчитывается и выбирается по определенным правилам. О них рассказывается в разделе технической механики, где дается понятие о деталях машин.
§ 4.	Основные этапы развития механики
Понадобились тысячелетия для того, чтобы человек начал научно объяснять механические явления. Первые известные по
пытки такого рода относятся примерно к четвертому столетию до нашей эры. Орудия и механические приспособления того времени были крайне просты. Соответственно этому и требования, предъявлявшиеся к механике, были скромные. Известные в то время приспособления: рычаг, блок, ворот и др., изучались учеными главным образом с точки зрения равновесия сил, т. е. вопросов статики.
Одно из первых мест среди этих ученых занимает Архимед (287— 212 гг. до н. е.), которому принадлежит ряд исследований в области статики (закон рычага, учение о центре тяжести и др.).
Интенсивно механика
М. В. Ломоносов
5
П. Л. Чебышев
начинает развиваться лишь с XV в. в связи с пе-реходом от примитивного ремесленного труда к более совершенным способам производства. Развитие механики в этот период связано с именами крупнейших ученых: Лео-нардо-да-Винчи (1452— 1519), сделавшего ряд открытий в различных областях механики, Стевина (1548—1620), углубившего многие положения статики Архимеда, а также исследовавшего механические свойства наклонной плоскости.
В XVII в. механика обогатилась открытиями» области динамики благодаря трудам Галилео Галилея (1564—1642).
Работы Галилея в области механики были продолжены Исааком Нью-
тоном (1642—1727), углубившим формулировки некоторых законов, открытых Галилеем, и развившим динамику до уровня науки. Механика Галилея — Ньютона, которую принято называть классической, послужила основным фундаментом для дальнейшего интенсивного развития этой науки.
XVIII в. отмечен созданием новой науки, называемой аналитической механикой, основателем которой был русский академик Л. Эйлер (1707—1783) — выдающийся математик и механик.
В XVIII в. жил великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711—1765), прославившийся выдающимися открытиями в различных областях науки, в том числе и в области механики. Им был открыт закон сохранения вещества и движения, имеющий первостепенное значение в науке.
Из первых русских ученых, работавших в области механики, следует отметить академика С. Котельникова, труд которого «Книга, содержащая в себе учение о равновесии и движении тел» был издан в 1774 г.
Начиная с XIX в., развитие механики становится особенно быстрым и всесторонним. Выводы механики находят все большее применение при решении различных практических задач.
6
Русский ученый П. Л. Чебышев (1821—1894) своими многочисленными научными трудами создал основы науки, выделившейся из теоретической механики и носящей название «Теория механизмов и машин». Огромный вклад внесли русские ученые в механику жидких и газообразных тел. Одно из первых мест среди них принадлежит Н. Е. Жуковскому (1847—1921) — основоположнику русской школы в области теории авиации. Трудами «отца русской авиации» Н. Е. Жуковского были заложены основы аэродинамики и авиационной науки в целом. Одним из выдающихся учеников Н. Е. Жуковского — академиком Героем Социалистического Труда С. А. Чаплыгиным (1869—1942) был разрешен ряд важнейших проблем из области сверхскоростной авиации и других вопросов механики, имеющих большое теоретическое и практическое значение.
§ 5.	Содержание теоретической механики
В теоретической механике решаются различные вопросы. Однако при всем их разнообразии каждый из них можно отнести к одному из следующих разделов: 1) статика, 2) кинематика, 3) динамика.
На Земле мы на
блюдаем тела, находящиеся в покое или, как говорят, в состоянии равновесия; поэтому в задачи механики должно входить определение уело-вий, при которых силы, действующие на тело, уравновешиваются. Пользуясь этими условиями равновесия, обеспечивают равновесие и устойчивость различного рода сооружений.
Раздел механики, исследующий условия равновесия сил, а следовательно, и условия равновесия тела, к которому они приложены, называется статикой.
Н. Е. Жуковский
Обширный круг вопросов механики
связан с определением траекторий точек движущегося тела, положением той или иной точки тела на ее траектории, определением скоростей движения, ускорений и т. д., другими словами, с решением вопросов, характеризующих движение тела или его отдельных точек не-
зависимо от действующих сил.
Раздел механики, рассматривающий эти вопросы, называется кинематикой. Таким образом, в кинематике изучаются зависимости только между геометрическими элементами движения и временем вне связи с силами, которые действуют на тело, находящееся в движении.
Рассмотрение же вопросов, относящихся к движению тела, совершающемуся под действием приложенных к нему сил, составляет содержание третьего
раздела механики — динамики.
С. А. Чаплыгин
Таково содержание науки, называемой теоретической механикой. Основы этой науки будут рассмотрены в первой части настоящего курса в такой последовательности: статика, кинема
тика, динамика.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА
Глава первая
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О СИЛАХ. НАЧАЛА СТАТИКИ
§ 6.	Содержание статики
Как указано было выше, статика рассматривает равновесие сил. Для ответа на вопросы, находится ли заданная система сил в равновесии или при каких условиях равновесие будет сохраняться, приходится производить либо сложение сил, т. е. заменять все силы более простой системой сил или одной силой, либо производить разложение силы. Поэтому в статике прежде всего устанавливаются правила сложения и разложения сил.
Среди сил, действующих на тело, всегда имеется сила, выражающая притяжение его к центру земного шара, т. е. вес тела.
Представим себе, что мы хотим сдвинуть с места какой-нибудь предмет, свободно лежащий на земле. Опыт показывает, что не всегда удается выполнить это намерение. Результат будет зависеть от ряда обстоятельств и прежде всего от величины сопротивления, которое оказывает земная поверхность перемещению тела, т. е. от силы трения, которая при одних и тех же условиях тем больше, чем тяжелее сдвигаемое тело.
Силы тяжести тел и силы трения играют важную роль при решении самых различных технических задач. Вопросы, относящиеся к определению этих сил, также будут рассмотрены в настоящем разделе курса.
§ 7.	Материальная точка и твердое тело
Тела, движения которых изучаются в теоретической механике, рассматриваются как состоящие из очень большого количества материальных частиц ничтожно малых размеров. Объем каждой частицы мыслится столь малым, что он приближается к геометрической точке. Каждая такая частица называется м а-териальной точкой.
11
Таким образом, тело представляет собой совокупность (систему) материальных точек.
При решении ряда задач механики тело часто заменяют одной материальной точкой. Так, например, движение парохода часто может рассматриваться как движение одной материальной точки. Как движущуюся материальную точку можно рассматривать шарик, качающийся на длинной нити.
Итак, понятие «материальная точка» означает либо очень малую частицу тела, либо тело, рассматриваемое как точка.
Материальной точкой называется тело, размерами которого можно пренебречь ввиду их малости сравнительно с другими геометрическими величинами, участвующими в данной задаче.
Под телом в теоретической механике подразумевается абсолютно твердое тело, т. е. такое, которое не изменяет своей формы и размеров под действием других тел.
§ 8.	О силах
Рассмотрим несколько примеров различных механических явлений.
Камень падает на землю.
Вагон трамвая переходит с прямолинейного на криволинейный участок пути благодаря тому, что боковое давление рельсов на колеса изменяет движение колес и вагона в целом.
Взвешиваемое тело, положенное на чашку пружинных весов, вызывает деформацию пружины и опускание чашки.
Во всех этих явлениях изменение механического движения (или, как говорят, механического состояния тела) произошло в результате воздействия на рассматриваемое тело другого тела: в первом и третьем случаях — со стороны Земли, во втором — со стороны рельсов.
Мера действия одного тела на другое называется в механике силой.
Обратим внимание на то, что в рассмотренных явлениях взаимодействуют два тела (Земля и камень, рельс и колесо, взвешиваемое тело и пружина). При действии тела А на тело В с определенной силой тело В действует на тело А с такой же силой в обратном направлении.
§ 9.	Два класса сил
В примерах, приведенных в предыдущем параграфе, мы встретились с двумя классами сил: 1) силы, возникающие только при непосредственном соприкосновении тел, и 2) силы, могущие действовать при отсутствии непосредственного контакта между телами.
12
К первому классу относятся силы взаимодействия трамвайного колеса и рельса, силы трения, препятствующие относительному движению тел.
Пример с камнем, падающим на землю, иллюстрирует проявление сил второго класса, которые могут действовать на расстоянии, т. е. без непосредственного соприкосновения тел. Наша Земля создает в окружающем ее пространстве поле сил тяготения, или, как его называют, гравитационное поле. Подобное поле образует в окружающем его пространстве любое тело. Наличие таких полей обусловливает возникновение сил тяготения, действующих на расстоянии.
Электрически заряженное тело создает вокруг себя электрическое поле. Если в электрическое поле одного тела поместить электрически заряженное тело, то между этими телами возникнут силы электрического взаимодействия.
Магнит создает в окружающем пространстве магнитное поле; силы, развиваемые магнитным полем, притягивают и удерживают в притянутом к магниту состоянии железные предметы.
Между силами, возникающими при непосредственном соприкосновении тел, и силами, действующими на расстоянии, нет никакого принципиального различия. Законы механики справедливы и применимы при рассмотрении действия сил того и другого классов.
§ 10.	Элементы, определяющие силу
Воздействие, испытываемое рассматриваемым телом со стороны другого тела и измеряемое в механике силой, может иметь различное направление. Соответственно этому сила определяется прежде всего ее направлением. Так, например, сила тяжести, действующая на окружающие нас тела, направлена к центру земного шара, т. е. вертикально.
Однако недостаточно знать только направление силы, чтобы определить действие, которое она оказывает на тело: очевидно, при неизменном направлении большая сила окажет и большее действие.
Таким образом, вторым элементом, определяющим силу, является ее величина.
Чтобы выразить величину силы, ее надо измерить некоторой силой, принятой за единицу. Удобнее всего силы, рассматриваемые в механике, сравнивать с силой тяжести. Поэтому в качестве основной единицы для измерения сил в механике принята единица веса, т. е. килограмм (кГ), равный весу 1 дм3 воды.
Приборы, служащие для измерения сил, называются силомерами, или динамометрами.
Простейший динамометр можно получить следующим образом. Подвесим к неподвижному крюку В (рис. 1) винтовую пру-
13
жину А, на нижнем конце которой имеется указатель D. Указатель займет определенное положение. Отметим на пластинке С, скрепленной с верхним концом пружины, это положение цифрой О (рис. 1, а). Подвесим затем к нижнему крючку пружины какой-нибудь груз G, например 5 кг
(рис. 1, б). Под действием веса этого груза пружина растянется и указатель займет новое положение, которое отметим цифрой 5. Таким образом, сила тяжести груза вызвала деформацию пружины за счет удлинения ее на определенную величину. Если теперь снять груз с пружины и растягивать ее рукой, то, доведя указатель до цифры 5, можно сказать, что мы действовали на пружину с силой 5 кГ. Если пружину нагрузить гирей в 1 кг, то указатель переместится на величину, в пять раз меньшую. Расстояние между цифрами 0 и 5 можно разделить на пять равных частей и
измерять силы с точностью до 1 кГ\
Рис. 1	разделив это же расстояние на де-
сять равных частей, можно измерять силы с точностью до 0,5 кГ.
Динамометры, действие которых основано на деформации пружин, носят название пружинных. На рис. 2 показан пружинный динамометр, служащий для измерения сил значительной
Рис. 2
величины (2—5 Г). Под действием растягивающих сил, приложенных к крюкам А, упругие пластины В сближаются, в результате чего поворачивается одна из стрелок. Если поместить такой динамометр между паровозом и составом поезда, то можно измерить силу тяги паровоза.
Рассмотрим, наконец, третий элемент, определяющий силу, а именно точку приложения силы, 14
какои-
Представим себе, что при помощи рычага (рис. 3) поднимают груз G. Как известно, величина силы, которая потребуется для подъема груза, зависит от расстояния силы до точки опоры В. Например, сила, приложенная в точке должна быть больше силы, приложенной в точке Л. Значит, чтобы судить о действии силы на тело, надо знать точку ее приложения к этому телу.
Фактически тела соприкасаются не в точке, а по некоторой поверхности.
Поэтому точку приложения силы мы условно относим нибудь точке, лежащей на поверхностях касания тел.
Итак, сила определяется направлением, величиной приложения.
точкои
эти силы
и
§ 11. Графический способ изображения сил
Действия над силами значительно упрощаются, если изображать графически.
Рассмотрим простой пример.
Требуется изобразить тываемое горизонтально
силу, выражающую давление, испы-расположенной плитой со стороны шара весом G=2,25 кг, лежащего на поверхности этой плиты на расстоянии а мм от ее переднего края и b мм от левого края.
Точка приложения заданной силы G находится в месте касания шарика и плиты. Проведя прямую КВ (рис. 4) на расстоянии а от переднего края плиты и прямую MN на расстоянии b от левого края, мы получим в их пересечении точку приложения А силы G. В этой точке действует на плиту сила, равная весу шара. Так как сила тяжести направлена вертикально, то проводим через точку А вертикальную прямую ВС, по которой действует задан-йая сила. Остается теперь отложить на этой прямой изображаемую силу, для чего предварительно нужно выбрать масштаб. Выбрав масштаб, например 1 кГ в 10 мм, откладываем по прямой ВС от точки А вниз отрезок AG = 22,5 мм и отмечаем его нижний конец D стрелкой, показывающей, что изображаемая сила направлена вниз.
15
Прямая, на которой лежит отрезок, изображающий силу (в рассмотренном случае прямая ВС), называется линией действия силы. В дальнейшем с этим понятием нам придется встречаться очень часто.
Сила, как мы видим, является направленной величиной. В механике применяют и другие величины, имеющие направление (скорость, ускорение и др.). Такие величины называются векторными, или векторами, в отличие от величин, не имеющих направления (например, площадь, объем и др.) и называемых скалярными.
Вектор изображают прямолинейным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна численному значению векторной величины, а направление указывает направление этой величины.
Для указания направления вектора на изображающем его отрезке ставят стрелку.
Обозначается вектор теми же буквами, что и изображающий его отрезок, но над этими буквами ставят черту, например, вектор, изображенный отрезком AD (рис. 4), обозначается через AD.
Векторы можно обозначать одной буквой, той же, какой обозначено их численное значение, но набранной жирным шрифтом. Так, если вектор AD имеет численную величину G, то его можно обозначить через О.
Точка А называется началом вектора, точка D — концом вектора. При обозначении вектора на первом месте пишется буква, поставленная у начала вектора, а на втором—буква, поставленная у конца вектора.
Если бы вектор G имел направление от точки D к точке А, то его нужно было бы обозначить через DA.
§ 12.	Система сил и равнодействующая
Пусть к телу приложены в точках А, В, С силы Ри Р2> Рз (рис. 5). Совокупность сил, одновременно действующих на тело, называется системой сил.
Если найти силу /?, которая оказывает такое же действие на рассматриваемое тело, как и заданная система сил, то этой силой можно заменить всю заданную систему сил.
Сила, оказывающая на тело такое же действие, что и заданная система сил, называется равнодействующей этой системы.
Силы, совместное действие которых может быть заменено равнодействующей, называются составляющими.
Нахождение равнодействующей производится путем сложения сил.
16
§ 13.	Две равные силы, направленные в противоположные стороны по прямой, соединяющей их точки приложения, уравновешиваются
Два человека тянут стержень в противоположные стороны. Если стержень начнет перемещаться в сторону первого, то говорят, что этот человек действует с большей силой, чем второй; если стержень будет оставаться в покое, то значит оба человека
действуют с одинаковой силой. Таким образом, если к двум
Рис. 5
точкам А и В тела (рис. 6) приложены силы Рг и Р2, равные по величине и направленные по прямой АВ в противоположные стороны, то эти силы уравновешиваются и никакого изменения в
А	В
*0*— "	™ ****^)«
Рис. 6
в механическом состоянии тела не вызывают при условии, если тело является абсолютно жестким (недеформирующимся). В частности, силы Р\ и Р2 можно приложить в одной точке.
Отсюда следует, что если к телу, находящемуся под действием системы сил, приложить еще две силы, равные по величине и направленные по одной прямой в противоположные стороны, то механическое состояние тела от этого не изменится.
§ 14.	Точку приложения можно перенести по линии действия силы
Пусть к телу приложена в точке А сила Р (рис. 7). Приложим в какой-либо точке В, лежащей на линии действия этой
жилы, две силы Рг и Р2> по-рознь равные по величине силе Р и направленные по линии ее действия в противоположные
Рис. 8
Рис. 7
О
стороны; согласно сказанному в предыдущем параграфе механическое состояние тела от этого не изменится. В результате получим систему из трех сил Р, Рх и Р2) направленных по одной
17
прямой. Но силы Р и Р2 взаимно уравновешиваются, следовательно, механическое состояние тела зависит от одной силы Р19. равной по величине силе Р и одинаково с ней направленной, — другими словами, мы получили ту же силу Р, перенесенную по линии ее действия в точку В.
Этим свойством силы приходится часто пользоваться в механике *.
§ 15.	Уравновешивающая сила
Вернемся к сказанному в § 12 (рис. 5). Там было выяснено, что силы Ръ Р2 и Р3 могут быть заменены их равнодействующей /?.
Приложим в точке О силу 7?j, равную по величине силе /? и направленную в прямо противоположную сторону. На основании сказанного в § 13 силы R и уравновешиваются, а это означает, что силы Рр Р2, Р3 и Rx также уравновешиваются, и значит тело под действием этой системы сил будет в равновесии. Сила/?1, равная по величине равнодействующей R системы сил, приложенных к телу, и направленная по одной прямой с этой равнодействующей в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой этой системы сил. Продолжим наше рассуждение. Представим себе, что мы имели бы систему, состоящую из сил Р2, Рз и /?1, тогда их равнодействующая равнялась бы по величине силе Р\ и была бы направлена прямо противоположно ей, а сила Рг явилась бы уравновешивающей. Это значит, что в системе сил, находящейся в равновесии, любая из этих сил уравновешивает все остальные силы.
Вопрос
Какая разница между равнодействующей и уравновешивающей силами?
§ 16.	Сложение сил, направленных по одной прямой
Пусть к телу приложены в точках А и В две силы Рх и Р2 направленные по одной прямой в одну и ту же сторону (рис. 9, а). Требуется сложить эти две силы, т. е. найти их равнодействующую.
* Сказанное требует следующего пояснения. Представим себе, что к том кому стержню в точках А и В приложены две равные и противоположно направленные силы Р\ и Р2 (рис. 8, а). Сила Р\ может быть перенесена в точ ку В, а сила Р2 — в точку А (рис. 8, б). Как видим, в первом случае стержень растягивается, а во втором случае сжимается, соответственно чему он может принять форму, показанную на чертеже. Таким образом, с точки зрения физической не безразлично положение точки приложения силы на линии ее действия. Вот почему теоретическая механика, как было сказано в § 7, строит свои основные выводы на допущении, что тело, иа которое действуют силы, является абсолютно твердым, неизменяемым.
18
Опыт показывает, что действие двух таких сил на механическое состояние тела будет одинаковым с действием одной силы, равной по величине их сумме и одинаково с ними направленной. Графически мы найдем эту сумму, если совместим точку приложения силы Р2 с концом С вектора силы Рг, как
Рис. 9
это показано на чертеже.
Тогда равнодействующая выразится вектором AD. Тот же
результат можно получить, если перенести конец вектора силы Рг в точку В. Итак, равнодействующая равна
Р - Л + Р2-
Рассмотрим другой случай, когда силы направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 9, б). Требуется сложить силы Рг *=АС и Р2 =BDy причем вторая сила больше первой, т. е. Pz>Pi. Представим силу Р2 как сумму двух сил, направленных в одну сторону: силы, выражаемой вектором BE, равной по величине и направленной противоположно силе Рь и второй силы, выражаемой вектором ED. Силы АС и BE, как равные по величине и противоположно направленные, уравновешиваются. В результате обе заданные силы Pi и Р2 сведутся к одной равнодействующей силе ED, равной по величине их разности и направленной в сторону большей силы, т. е.
Р — Р2 — Р1 •
Если надо найти равнодействующую не двух, а большего количества сил с общей линией действия, следует предварительно просуммировать все силы, направленные в одну сторону, затем поступить так же с силами, направленными в противоположную сторону, и только после этого по указанному способу найти равнодействующую этих двух сил.
Условимся силы, направленные в одну сторону, считать положительными, а направленные в противоположную сторону— отрицательными*. Тогда равнодействующая выразится их алгебраической суммой.
Итак, равнодействующая двух ила нескольких сил, направленных по одной прямой, равна по величине их алгебраической сумме.
♦ Выбор положительного направления в каждом отдельном случае зависит от условий задачи и на окончательный результат не влияет.
19
©
Пример 1. Определить равнодействующую пяти одной прямой, если Pi=400 кГ, Ръ=—200 кГ, Рзя Р5~ —175 кГ.
Величина равнодействующей равна:
сил, направленных по
—350 кГ, Ю0 кГ и
/? =	+ Р3 + Р3 + А +	= 400 — 200 — 350 + 100 — 175 = — 225 кГ.
Направлена равнодействующая в сторону, противоположную силам Р* и Р4.
Пример 2. Человек весом 82 кг, стоящий на весах, установленных на полу, тянет вниз вертикально подвешенный к потолку канат.
Чему равна сила, с которой человек тянет канат, если весы показывают 45 кг?
Показание весов выражает силу, с которой человек давит на их чашку, и представляет собой равнодействующую веса человека и силы, с которой канат действует на человека и которую обозначим Р. Будем считать силы, направленные вертикально вниз, положительными, тогда силу Р мы должны считать отрицательной (человек подтягивается кверху). Соответственно этому получим уравнение:
82 — Р—-45, откуда Р=37 кГ.
§ 17. Связи и реакции связей
Движение тел под действием приложенных к ним сил может совершаться различным образом. Ракета или снаряд, выпущенный из орудия, в процессе полета представляет собой свободное тело и совершает свободное движение.
Рис. 10
Иначе происходит движение электровоза по рельсам, которые ограничивают свободу его движения и заставляют двигаться по вполне определенной траектории. Электровоз в этом случае представляет собой несвободное тело; соответственно движение, которое он совершает, называют несвободным.
Ограничения в свободе перемещения называются связями, а действия тел, осуществляющих связи, измеряются силами, которые называют реакциями связи.
Шарик, скатывающийся по наклонной плоскости под действием силы тяжести, испытывает реакцию со стороны этой плоскости (рис. 10, а), которая служит для него связью. Реакция этой связи выражается силой ЛГ, перпендикулярной плоскости КМ.
Во всех случаях, когда тело движется или лежит на некоторой опорной поверхности, считают, что реакции направлены 20
перпендикулярно к этой поверхности в точках ее касания с
телом.
Представим себе балку, свободно лежащую на двух опорах
(рис. 10, б). Она своим весом оказывает давление на каждую из-опор. Реакции опор при этом выражаются силами Qx и
Q2. Ниже мы познакомимся с правилами, позволяющими определять величины этих реакций.
Связи могут осуществляться не только жесткими телами. Нерастяжимая нить, к которой подвешено тело, также представляет собой связь, ограничивающую свободу его движения. Такую связь называют гибкой.
Представим, что к потолку подвешено на нерастяжимой нити ОА тело К весом G (рис. 11). Реакция N=AB, действующая на тело со стороны нити, препятствует силе тяжести G перемещать тело вниз. Обе силы G и N направлены по одной прямой в противоположные стороны; чтобы тело оставалось в равновесии, они должны быть равны по величине. В этом случае сила тяжести уравновешивается реакцией связи.
Таким образом, реакции связей, которые испытывает тело, возникают в результате воздействия на него внешних сил. Как мы увидим из дальнейшего изложения, величина и направле-
ние. 11
ние реакции всегда зависят от величины и направления внешних сил и вида связей.
Поэтому реакции связей называют пассивными силами в отличие от внешних сил, способных вызвать движение и назы-
ваемых поэтому активными.
Опыт показывает, что несвободное тело действует на связи с силами, равными по величине и прямо противоположными по направлению силам реакции этих связей. Например, груз, подвешенный на нити, действует на нее с силой, равной по величине реакции N.
При этом следует помнить, что точки приложения этих двух сил принадлежат различным телам: реакция связи приложена к телу, находящемуся под действием активных сил, а сила со стороны тела, направленная на связь, приложена к последней.
Так, в приведенных примерах давление шарика на наклонную плоскость приложено к точке, принадлежащей этой плоскости, а реакция приложена к точке поверхности шарика; точно так же точки приложения давлений балки на опоры лежат на опорах, а точки приложений реакций опор — на балке.
21
Вопрос
Шар, лежащий на горизонтальной плите, весит 2 кг. Как направлена реакция со стороны плиты? Где находится точка приложения реакции и чему она равна?
§ 18.	Вопросы для повторения
1.	Что называется в механике силой и в чем сказывается ее действие?
2.	Одинаковы ли понятия «линия действия силы» и «направление силы»?
3.	В какой последовательности нужно наносить на чертеж элементы, определяющие силу?
4.	Какие величины называются векторными?
5.	Чем отличается равнодействующая системы сил от уравновешивающей силы?
6.	Что означает выражение «алгебраическая сумма сил»?
7.	Чем отличается несвободное тело от свободного?
Рис. 12
8.	Чем отличается сила, с которой тело действует на связь, от реакции связи?
9.	Как направлены реакции, испытываемые колесами паровоза, стоящего на рельсах?
10.	Почему реакции связей называют пассивными силами?
§ 19.	Упражнения
1.	Груз В весом 3,5 кг (рис. 12), подвешенный при помощи шнурка к динамометру Л, медленно опущен на стол так, что шнурок остается в натянутом состоянии. Указатель динамометра показывает 1,5 кг. К чему приложена реакция со стороны стола, как она направлена и чему равна?
2.	Человек стоит на платформе весов и натягивает шнур, вертикально подвешенный к динамометру, висящему на крюке, закрепленном в потолке. Динамометр показывает 15 кг, весы, на платформе которых стоит человек, показывают 65 кг. Определить: 1) вес человека, 2) величину и направление реакций, испытываемых человеком со стороны платформы и шнура.
Глава вторая
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
§ 20.	Сложение двух сил, направленных под углом
В рассмотренных выше случаях силы были направлены по одной прямой, соответственно чему и их равнодействующая совпадала с той же прямой. Перейдем теперь к сложению двух сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, образуя между собой некоторый угол.
22
Простейший случай сложения сил, направленных под углом друг к другу, имеет место при равенстве их по величине, как это показано на рис. 13, где силы Рг и Р2 равны по величине и образуют некоторый угол а. Так как при этом нет оснований, чтобы линия действия равнодействующей была направлена ближе к одной из сил, чем к другой, то она должна разделить этот угол пополам. В общем случае равнодействующая, оставаясь в плоскости сил, разделит угол, образуемый линиями действия сил, как-то иначе.	_____
Проделаем следующий опыт.
Подвесим два пружинных динамометра А и
В (рис. 14, а) к крючкам, закрепленным в неподвижном горизонтальном бруске, и, привязав	ЙС*
к крючкам динамометров концы двух шнурков произвольной длины, прикрепим их другими концами к кольцу О, к которому на третьем шнурке подвешен груз весом G. Наблюдая эту систему, мы увидим, что шнурки натянутся, указатели динамометров начнут перемещаться, груз также будет переме-
Рис. 14
щаться. Спустя некоторое время динамометры со шнурками и груз займут определенное положение, и вся система тел придет в состояние равновесия.
Рассмотрим теперь, под действием каких сил находится кольцо О. Слева на него действует сила со стороны пружины динамометра А, справа — аналогичная сила со стороны пружины динамометра В, вертикально вниз — вес G груза. Таким образом, мы приходим к заключению, что эти три силы уравновешиваются.
Возьмем лист картона и, поместив его сзади этой установки, отметим на нем карандашом три точки: а и b — точки подвеса
23
динамометров А и В — и центр О кольца, а также прямую линию Ос, изображающую положение шнурка, на котором висит груз.
Теперь мы можем изобразить на листе все силы, действующие на кольцо и сходящиеся в его центре. Прежде всего нанесем линии действия Оа, ОЬ и Ос сил, приложенных к кольцу (рис. 14, б). Вес груза нам известен, а величины двух других сил определим по показаниям динамометров. Выбрав определенный масштаб, отложим от точки приложения О отрезки соответствующей длины и нанесем стрелки, указывающие направления действия сил. В результате получим три силы Р], Р2 и О, выражаемые соответственно векторами OAi, ОВ\ и ОС\.
Эти три силы уравновешиваются. Рассматривая силу G как силу, уравновешивающую силы Рг и Р2, отложим силу R =ОС2, равную по величине силе G и прямо противоположно ей направленную. В соответствии со сказанным в §12 сила R представляет собой равнодействующую сил Р^ и Р2.
Проведя из конца Ai вектора силы Рг прямую, параллельную вектору силы Р2, а из конца В\ вектора силы Р2 прямую, параллельную вектору силы Pi увидим, что обе эти прямые пересекутся в точке С2, т. е. в конце вектора равнодействующей R. Построив, следовательно, на векторах OAi и OBt сил Рх и Р2 параллелограмм, мы получили их равнодействующую R, выражаемую по величине и направлению диагональю ОС2 этого параллелограмма.
Полученный параллелограмм называют параллелограммом сил (силовым параллелограммом), а равнодействующую называют геометрической (или векторной) суммой составляющих сил.
Итак, правило сложения двух сил, направленных под углом друг к другу, формулируется следующим образом: равнодействующая двух сил, имеющих общую точку приложения и действующих под углом друг к другу, равна по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.
В рассмотренном случае составляющие силы имели общую точку приложения (на рис. 14, а центр кольца). Если силы приложены в различных точках, то, перенеся их в точку пересечения их линий действия, построим затем на векторах этих сил параллелограмм, как это показано на рис. 14, в.
Правило параллелограмма применяется для сложения и других векторных величин, направленных под углом друг к другу.
Как известно из геометрии, любая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других сторон. Применяя это положение к равнодействующей (рис. 14, б), можно написать:
а+/>2>я>л-р2-
24
С изменением угла между силами величина равнодействующей также изменяется: при уменьшении угла она увеличивается, а с увеличением его она уменьшается. При угле, равном нулю, обе составляющие направлены по одной прямой в одну сторону и равнодействующая равна Л+Лг» а при угле, равном 180°, равнодействующая равна Р[ — Р2. При этих крайних значениях угла между составляющими силами их геометрическая сумма обращается в алгебраическую сумму. Таким образом, правило сложения двух сил, направленных по одной прямой, является частным случаем правила параллелограмма.
Нахождение равнодействующей двух сил, направленных под углом, можно несколько упростить, заменяя построение силового параллелограмма силовым треугольником.
Рассматривая параллелограмм	(рис. 14, б), видим,
что его сторона Л1С2 по величине равна стороне ОВЬ изображающей силу Р2. Значит, вместо того, чтобы строить при точке О параллелограмм, можно построить ЛСМ1С2, сначала проведя ОА1—Р1, а затем из точки Л] — отрезок Л^, равный по величине и параллельный вектору Р2 Соединив точки О и С2 отрезком ОС2 и направив его от О к С2, получим равнодействующую Я = ОС2.
Полученный треугольник называют силовым треугольником, или треугольником сил. Сторона силового треугольника, изображающая равнодействующую, носит название замыкающей стороны.
Следовательно, равнодействующая двух сходящихся сил выражается по абсолютной величине и направлению замыкающей стороной силового треугольника и проходит через точку пересечения линий действия обеих сил.
Пример 3- Две равные по величине силы Рд и Р2 направлены друг к другу под углом, равным 120°. Определить равнодействующую (рис. 15).
Построив на этих силах параллело
грамм, увидим, что он представляет собой ромб. Поэтому диагональ ОС делит углы АОВ и АСВ пополам. Следовательно, ZAOC= гСОВ=в&>= ZACO-~ Z ОС В. Таким образом, равнодействующая образует с каждой составляющей угол, равный 60°. Далее, нетрудно видеть, что треугольники ОАС и ОВС равносторонние, откуда следует, что ОС= = ОА = ОВ, т. е. равнодействующая в этом случае равна каждой из составляющих.
Рис. 15	Рис. 16
Пример 4. На токарном станке в обрабатываемой детали прорезается канавка (рис. 16). Динамометром определено усилие, действующее в радиальном направлении, Ру ~АВ=55 кГ и вертикальное усилие Рг=ЛС=93 кГ. Определить величину и направление равнодействующей R =AD.
Так как обе составляющие взаимно перпендикулярны, то параллелограмм,
25
построенный на них, представляет собой прямоугольник, а диагональ его определится по теореме Пифагора:
/? = )<552 + 932 «108 кГ.
Из д ADC имеем: DC — ЛС tgследовательно,
tg Ф =	= ~| = 0,592 и угол Ф = 30°36'.
ДС Уо
§21.	Разложение силы на две составляющие, приложенные в одной точке и направленные под углом
\Л/
Рис. 17
Действие, обратное сложению сил, называется разложением силы на составляющие. Разложить силу на две составляющие— это значит найти такие две силы, действие которых дает тот же эффект, что и действие данной силы, другими словами, найти такие две силы, равнодействующая которых равна данной силе. Нетрудно убедиться, что при произвольных направлениях и величинах составляющих сил такая задача может иметь бесчисленное множество решений. В самом деле, пусть требуется разложить силу Q = ОА на две составляющие (рис. 17). Проведя через точку приложения О две прямые ОК и OL, построим из точки А отрезки АС и АВ, соответственно параллельные этим прямым, в результате чего получим параллелограмм ОВАС, из которого видно, что силы ОВ и ОС являются составляющими силами Q. Но мы можем выбрать два других направления составляющих сил, например ОМ и ON, тогда получим другой параллелограмм ODAE, из которого видно, что та же сила Q представляет собой равнодействующую других двух сил, а именно, сил OD и ОЁ
Таким образом, задача становится неопределенной. Чтобы получить единственное решение, надо иметь какие-то дополнительные условия, уточняющие задачу в каждом конкретном случае, как будет показано в нижеследующих примерах.
1. Разложить силу Q (рис. 18, а) на две составляющие Pi и Р2, заданные линии действия которых MN и ST пересекаются с линией действия силы Q в некоторой точке О.
Перенеся точку приложения силы Q в точку О, получим вектор OC=Q. Затем построим на этом векторе параллелограмм ОАСВ, проведя из точки С отрезок СВ, параллельный прямой 26
MN, и отрезок СА, параллельный прямой ST. Полученные векторы ОА и ОВ выражают искомые силы Рг и
2. Разложить силу Q (рис. 18, б) на две составляющие, из которых одна Рг задана по величине и направлению.
Рис. 18
Отметив точку О пересечения линий действия обеих заданных сил, отложим от нее векторы ОА—Рх и OB=Q. Соединив отрезком АВ точки А и В, проведем затем ОСЦЛВ и ВС||МЛ\ в результате чего получим искомую вторую составляющую силу ОС.
Вопрос
Можно ли разложить заданную силу на две составляющие, каждая из которых образует с ней прямой угол?
Пример 5. К кронштейну АВС приложена сила Р=1200 кГ. Определить усилия, действующие на элементы АВ и ВС кронштейна, если ЛВ = 600 мм иЛС=800 мм (рис. 19).
Рис. 19
Рис. 20
Усилия, испытываемые указанными элементами, представляют собой составляющие силы Р, направленные по этим элементам. Построив на векторе BD, выражающем силу Р, параллелограмм BEDF, получим обе составляющие Р\ и Р %. Первая, как мы видим, направлена от точки В к точке Е, т. е. от точки А закрепления стержня АВ, и растягивает его; вторая составляющая BF направлена к узлу С, т. е. к точке закрепления стержня ВС; она, следовательно, сжимает его.
27
Измерив обе эти составляющие в том же масштабе, в котором изображена сила Р, получим величину каждого усилия.
Можно найти величину каждого из них и вычислением. Как нетрудно видеть, треугольники АВС и BED подобны, следовательно,
BE А	600	3
BD ~ Р ~ АС ”800“ 4 ’
откуда
3	3
Pi = — Р = — • 1200 = 900 кГ.
4	4
Далее имеем:
ED Pi _ ВС _ V6002 + 8002 _ 1Q00 _ 5
BD = ~Р ~ АС ~	800	— 800 “ 4
И
Р2 = — Р= —.1200 = 1500 кГ.
Пример 6. По прямолинейным горизонтальным направляющим АВ (рис. 20) равномерно перемещается ползун К, к которому приложена сила Р. Определить реакцию, испытываемую ползуном со стороны направляющих.
Искомая реакция направлена по перпендикуляру к направляющим, т. е. вертикально снизу вверх. Разложим силу Р на две составляющие: СЕ и CF, из которых одна перпендикулярна АВ, а вторая параллельна АВ. Параллелограмм сил обращается в прямоугольник CEDF, сторона СЕ которого выражает искомое давление ползуна на направляющие, а сторона CF — силу, направленную в сторону движения ползуна ♦.
Пусть сила Р~ 80 кГ, а угол а, образуемый ею с направляющими, равен 60°, следовательно, Z.DCE—90°—а=30°.
Из прямоугольного треугольника DCE имеем:
CE=CD cos 30°=80 • 0,866=69,3 кГ,
следовательно, искомая реакция равна 69,3 кГ и направлена в сторону, прямо противоположную силе N.
Пример 7. На рис. 21 прямая АВ представляет собой ось поперечного се-
Рис. 21
чения крыла самолета, перемещающегося по горизонтальному направлению ННь Давление N воздуха на крыло по перпендикулярному к нему направлению выражается вектором ОС. Определить, какую подъемную силу сообщает воздух самолету.
* Эта сила уравновешивается силой трения между ползуном и направляющими. Только при таком условии ползун будет двигаться равномерно.
28
Разложим силу N на две составляющие — вертикальную P^OD и горизонтальную Pz=OE. Сила Рь дающая величину вертикальной составляющей давления воздуха, представляет собой подъемную силу крыла самолета.
§ 22. Сложение нескольких сил, сходящихся в одной точке и лежащих в одной плоскости
Правило параллелограмма сил применимо и в тех случаях, когда число составляющих сил больше двух. Перенеся какие-нибудь две силы по линиям их действия в общую точку приложения, найдем из параллелограмма первую частную равнодействующую 2?i. Затем перенесем в ту же точку еще какую-нибудь силу, сложим ее с первой равнодействующей /?! и получим вторую частную равнодействующую /?2 и т. д. Сложив, наконец, последнюю частную равнодействующую с последней составляющей, получим равнодействующую заданной системы сил. Порядок, в котором производится сложение сил, на окончательный результат не влияет, но частные равнодействующие при различном порядке будут, естественно, различны.
На рис. 22, а показана система, состоящая из четырех сил Pv Ръ Р3 и линии действия которых пересекаются в одной точке О. Перенеся в эту точку силы Рг и Р2 и построив на них параллелограмм OBiKFi, найдем первую частную равнодействующую	сложим JRi с силой Р3, перенесенной в ту же
точку О, и получим, таким образом, вторую частную равнодействующую /?2 =OL. Построив, наконец, параллелограмм OLMHX на векторах OL и ОН{ сил /?2 и Р4, получим равнодействующую R ~ОМ всей заданной системы сил.
Такой порядок сложения сил не является обязательным. Если бы мы, например, сложили раньше силы Рг и Р2, их равнодействующую с Р4 и т. д., то в конечном счете получили бы тот же результат.
Можно произвести сложение сходящихся сил способом силового треугольника, изложенным в § 20.
Пусть заданы четыре силы Рр Р2, Р3, Р4 (рис. 22, б).____
Выбрав произвольную точку проведем из нее вектор ОИ, равный и параллельный силе Р^ а из точки А — вектор АВ, равный- и параллельный силе Р2. Соединив точки и В вектором О1В, направленным от Oi к В, видим, что он служит замыкающей стороной силового треугольника О\АВ и представляет равнодействующую 7?! сил Рх и Р2. Проведя из точки В вектор ВС, равный и параллельный силе Р3, и соединив точки Oi и С, получим следующий силовой треугольник, замыкающая сторона которого OiC=‘R2 является равнодействующей сил и Р3. Проведя, наконец, вектор CD, равный и параллельный силе Р^9
29
и соединив точки О] и D, получим вектор 0{D= /?, представляющий собой равнодействующую всей заданной системы сил.
Нетрудно убедиться, что для получения равнодействующей Л нет надобности проводить векторы О^В и OiC, нужно лишь получить последнюю точку D, как показано на рис. 22, в. Полученный многоугольник OiABCD называют силовым многоугольником или многоугольником сил.
L
Рис. 22
Легко убедиться, что величины частных равнодействующих зависят от последовательности сложения векторов. Однако при любой последовательности результат, т. е. величина и направление равнодействующей R останутся одними и теми же.
Итак, равнодействующая плоской системы сходящихся сил представляет собой замыкающий вектор силового многогранника, стороны которого изображают векторы сил заданной системы.
§ 23. Проекция силы на ось
Многие вопросы механики очень удобно разрешаются путем применения метода проекции сил. Сущность этого метода заключается в следующем.
30
Пусть задана в пространстве прямая неограниченной длины
хх, имеющая определенное направление, и как угодно расположенная сила Р, изображаемая по величине и направлению вектором АВ (рис. 23). Проведем через концы этого вектора две плоскости, перпендикулярные к прямой хх. Эти плоскости в пересечении с последней дадут точки а и 6. Отрезок Рх, отсекаемый таким образом на прямой хх, называется проекцией вектора, а сама прямая — осью проекций. Отрезку, выражающему проекцию, мы даем на-
правление, одинаковое с на-	Рис. 23
правлением вектора (от а к Ь).
Если направление это совпада-
ет с выбранным положительным направлением оси (как на рис. 23), то проекция считается положительной, в противном случае— отрицательной. Проекция вектора на ось — величина ска-
лярная.	__
На рис. 24, а показаны проекции силы Р ~АВ на две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, лежащие в одной плоскости с заданной силой. Обозначив проекцию силы Р на ось Ох через
а )
Рис. 24
Рх=аЬ, а проекцию той же силы на ось Оу через Ру—а'Ь', можно написать:
Рд-^Pcosa,	(1)
откуда Рх cos a =	;
Jr далее
Ру = Р sin a,	(2)
откуда ру sin a = —.
Р
31
Из прямоугольного треугольника AAiB следует: Ру = Рх tg а;
tga = -7r-;
Р = КРх + Ру.	(3)
На рис. 24, б показан другой с положительным направлением
случай, когда сила Р образует оси Ох тупой угол а. Так как косинус этого угла отрицателен, то проекция вектора силы на ось Ох отрицательна.
Пользуясь изложенным методом, можно спроектировать на ось систему сил и ее равнодействующую. Пусть требуется спроектировать плоскую систему сходящихся сил Ръ P2i Р3 и Pi на ось х (рис. 25), направленную слева направо. Построив на заданных силах силовой многоугольник O^ABCD, замкнем его век-
Рис. 25
результате чего
тором равнодействующей 0}D. Опустим из вершин многоугольника перпендикуляры на ось проекций, в получим проекции сил на эту ось:
Р1х ' ^1*^1 —'	COS а] ’
Рзх
Р.х == Х3Х4 = Pi COS а4-
Как было указано, проекция силы на ось берется с алгебраическим знаком. В данном случае проекции сил Р2 и Р3, направленные в сторону, противоположную направлению оси проекций х, отрицательны. Взяв алгебраическую сумму проекций, получим:
Рх cos at + Р2 cos a2 + Р3 cos a3 + P4 cos a4 = И OjXi XiX2 • XoXq + XX, = O\Xa.
32
Как видим из чертежа, отрезок Oix4 представляет собой проекцию равнодействующей 7? = 0}D на ту же ось х.
Таким образом, проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на ту же ось.
Сказанное можем в общем виде выразить следующей формулой:
Ал + Ал + Р3х + • • • + Рпх = A COS 04 + Р2 COS а2 +
+ Acosa3 4- . . . 4- Рп COSa„ = Rx.
Короче эту формулу пишут так:
п	п
R„= V Р,г = V Р, COS а,.
/=1	/=1
п
Знак 2 (греческая буква «сигма») обозначает сумму всех слагаемых, взятых с порядковыми индексами от 1 до п, т. е. сумму слагаемых, в которой надо подставлять для i все значения от 1 до м, где п — число сил, составляющих систему. Например: 4
2 Pi COS az = Pi cos ai + Р2 COS а2 + Л COS а3 + Р± COS а4. /=1
Пользуясь методом проекций, можно определить равнодействующую аналитически.
Проектируя силы Р19 Р2, Р$ и Р4 на оси координат и сложив алгебраически все эти проекции по каждой оси, найдем проекции равнодействующей, а затем получим искомую равнодействующую.
Проекция равнодействующей Р на ось Ох равна алгебраической сумме проекций составляющих:
п	п
=^picos ai = 2 Pix’
i-l	1 = 1
Проекция равнодействующей на ось Оу:
п	п
Ру=” ^Pi sin а1 = 2 Р‘У i=l	Z-i
Абсолютная величина равнодействующей
2—1599
33
Угол, образуемый ею и осью абсцисс, определяется зависимостью
Яу tgaJ?= —•
Вопросы
1.	Покажите, что формулы (1) — (3) применимы К случаю, изображенному на рис. 24, б.
2.	Примените эти формулы, когда: а) сила Р направлена параллельно оси Ох вправо; б) сила направлена так же, но влево; в) сила Р перпендикулярна к оси Ох. Чему равны и как направлены проекции силы Р?
3.	Чему равна абсолютная величина равнодействующей /? плоской системы сходящихся сил, если сумма проекций этих сил па ось Ох равна нулю, и какой угол а в этом случае образует равнодействующая с осью Ох?
4.	Как расположена равнодействующая, если Ry-№
§ 24.	Равновесие плоской системы сил, сходящихся в одной точке
Как выяснено было выше, система сил находится в равновесии, если любая сила этой системы уравновешивает все остальные силы, т. е. равна равнодействующей остальных сил и прямо противоположно направлена ей. Таким образом, если бы мы, складывая силы по способу, показанному на рис. 22, а, получили равнодействующую OL—P\-\-P2+P^ равную по величине и прямо противоположно направленную силе т0 общая равнодействующая обратилась бы в нуль, т. е. система сил была бы уравновешенной.
Таким образом, чтобы система сходящихся сил уравновешивалась, их равнодействующая должна равняться нулю.
Рассмотрим, при каком условии это требование будет выполняться.
Мы видели (§ 23), что равнодействующая R может быть определена как геометрическая сумма Rx И Ry, каждая из которых представляет собой алгебраическую сумму проекции составляющих заданной системы сил на оси координат. Следовательно, чтобы система сил уравновесилась, должно соблюдаться условие:	+ ^ = 0. Так как R* и Ry — величины всегда по-
ложительные, то это условие может соблюдаться только в том случае, если R х и Ry порознь равны нулю.
Таким образом, получим следующие условия равновесия плоской системы сил, сходящихся в одной точке:
п
Rx cos а, = Pi cos 04 4- P2 cos a2 + »=i
+ P3 COS a3 4- ... + pn cos an = 0.	(4)
34
Ру = V Pt Sin sin ax + P2 sin a2 4-i=l
+ P3 sin a3 + ... + Pn sin an = 0.	(5)
Для равновесия плоской системы сил, сходящихся в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы составляющих этих сил по двум взаимно перпендикулярным направлениям порознь равнялись нулю.
Пример 8. Задана плоская система сходящихся сил (рис. 26, а): Р{—23кГ; />2—27,5 кГ; Рэ=21,3 кГ; Р4=30 кГ и Р5=30 кГ. Углы, образуемые направлениями этих сил с осью, проходящей через точку их пересечения, соответственно равны: 01=26°, о2=68°, аз=13°, а4=59° и а5=31°. Определить, является ли эта система уравновешивающейся.
Рис. 26
Подставляя числовые значения величин в уравнения (4)
и (5), получим:
Рх = Р\ cos 26° — Р2 cos 68° — Р3 cos 15° — Р± cos 59° 4- Рь cos 31° — = 23-0,899 — 27,5-0,375 — 21,3-0,966 — 30-0,515 4-30-0,857 = = 20,68—10,31—20,58 — 15,45 4- 25,71 - 46,39 — 46,34 = 0,05 кГ » 0.
= Р\ sin 26° 4- Р2 sin 68° 4- Р* *з sin 15° — Р4 sin 59° — Р5 sin 31° =
= 23*0,438 4- 27,5-0,927 4- 21,3-0,259 — 30-0,857 — 30-0,515 = 10,07 4
4- 25,49 4-5,52 — 25,71— 15,45 = 41,16 — 41,00 = 0,08 кГ » 0.
Таким образом, заданную систему сил можно считать уравновешиваю-
На рис. 26, б задача решена графически (.масштаб сил принят 1 кР в 1 мм).
Как можно убедиться из чертежа, Рж=0 и R у =0.
* Так как вычисления производились нами приближенно, то мы можем отбросить малые по сравнению с заданными силами величины 0,05 и 0,08 к/\
*	35
§ 25.	Вопросы для повторения
1.	Какая система сил называется сходящейся?
2,	Единственное ли решение имеет задача разложения силы на две составляющие, если одна из них задана по величине или направлению?
3.	Ответить на предыдущий вопрос, если одна из составляющих задана по величине и направлению.
4.	То же, если заданы величина одной составляющей и линия действия второй составляющей.
5.	Будет ли система сил уравновешиваться, если удовлетворяется только одно из уравнений (4) и (5) ?
§ 26.	Упражнения
3.	Изобразить пять сил Ри Р2, Р3, и Р5, имеющих общую точку приложения, по следующим данным: углы, образуемые линиями действия сил с горизонтальной прямой, соответст-
венно равны 30, 120, 270, 300 и 330° (углы откладывать против направления движения часовой стрелки). Величины сил (в кГ) равны: Pi = 150; ^2 = = 200; Рз==120; Р4=180 и Р5==30.
Рис. 27
Рис. 28
4.	Определить равнодействующую двух сил Рх и Р2, каждая из которых равна 100 кГ, если линии их действия пересекаются под прямым углом.
5.	В точках Л и В (рис. 27) закреплен канат, к которому в середине подвешен груз К весом G. Вычислить усилия Р, растягивающие каждую ветвь каната, если L — b м, а = 600 мм, вес груза G —100 кг.
6.	На токарном станке обтачивается в продольном направлении резцом В деталь А (рис. 28). Усилие ОС= N, испытываемое режущей кромкой по направлению, перпендикулярному к ней, равно 427 кГ. Определить усилия Рх и Р испытываемые резцом в направлении оси детали и в перпендикулярном к ней направлении, если угол ср (называемый главным углом в плане) равен 35°.
7.	Определить усилия в элементах АВ и ВС кронштейна (рис. 29), если АВ = 800 мм, АС=1200 мм и Р = 900 кГ.
8.	Груз Q весом 200 кг (рис. 30) подвешен к узлу В, обра
36
зованному двумя стержнями, закрепленными на шарнирах А и С, Определить величину и направление усилий в этих стержнях.
9.	К телу в точке О (рис. 31) приложены пять сил: Pi=20 кГ;
Рис. 29
Рис. 30
Рис. 31
р2=40 к1\ Р3=ЗО кГ, Р4 = 33,3 кГ и Р5 = 54,3 кГ. Линии действия сил Рх и Р4 совпадают и направлены горизонтально, сила Р5 направлена вертикально, ai=45°, a2=60°. Найти равнодействующую.
Глава третья
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ. МОМЕНТ СИЛЫ
§ 27.	Сложение параллельных сил, направленных в одну сторону
При сложении параллельных сил, точка пересечения которых лежит в бесконечности, правило параллелограмма, очевидно, применить нельзя. Поэтому, чтобы вывести правило сложения параллельных сил, заменим их такими двумя пересекающимися силами, действие которых одинаково с действием заданных.
Итак, пусть заданы две параллельные силы /\ и Р2, равнодействующую которых требуется найти (рис. 32).
Соединим точки приложения А и В обеих сил отрезком прямой АВ. Разложим силу Pt на две произвольные составляющие АЕ и AF, из которых первая направлена по линии АВ\ затем разложим силу Р2 так, чтобы ее составляющая BG была направлена по той же прямой АВ и была бы равна по величине силе АЕ, тогда вторая составляющая ВН будет вполне определенной. Составляющие АЕ и BG согласно построению равны по величине и направлены в противоположные стороны, поэтому
37
они уравновешиваются. Следовательно, силы Р, и Р2 могут быть заменены силами АР и ВН, направленными под углом друг
к другу.
Перенесем обе эти силы в их точку пересечения т. е. от-
ложим O\K,—AF и O\L — BH, Разложим теперь каждую из этих сил по двум направлениям: UD, параллельному Л В, и OiZ, параллельному линиям действия заданных сил Рх и Р2. В ре
зультате получим четыре силы: ОХМ и 0{N, OXS и OxTt
Нетрудно видеть, что треугольники ОХМК и ВЛ С равны между собой, как имею-
щие равные стороны OjA = ~AF и равные прилежащие углы, откуда следует, что МК=АС, а так как МК~ = OiS, то OjS—Л С, т. е. OiS= Рр Из равенства этих же треугольников следует также, что ОХМ=АЕ.
Точно так же докажем, что О\Т= Р2 и BG. Таким образом, мы получим, что составляющие ОХМ и OiTV, как равные и прямо противоположно направленные, уравновешиваются; следовательно, равнодействую-
щая сил OXK=AF и О\Ь — ВН
_____________	__ выражается алгебраической суммой сил OiS и OjT, а так как эти две силы порознь равны по величине заданным силам Рх и Р2) то равнодействующая сил AF и ВН выражается суммой Pi + Рг- Но действие сил AF и ВН
одинаково с действием сил Р} и P2f поэтому мы приходим к
заключению, что равнодействующая сил Рх и Р2 равна их сумме. Итак, величина равнодействующей нами определена. Остает-
ся найти положение точки О, лежащей в пересечении линии действия O\Z равнодействующей с прямой АВ. Из подобия треугольников О\АО и OxKS следует, что — =	, или, принимая
во внимание, что OXS выражает величину силы Рх , получим ОА _ 0,0
KS Р,
Так же мы получим пропорцию
ОВ
TL
38
Разделив первую пропорцию на вторую и приняв во внимание, что KS — TL, получим:
О А	Р2
ОВ Р. '
Если обозначим длину отрезка ОА, прилегающего к точке приложения силы через аь а длину отрезка ОВ — через то эту пропорцию напишем так:
__ А
Проведем через точку О прямую перпендикулярную к линиям действия заданных сил, и обозначим отрезок ОАХ через а и отрезок ОВХ через Ь, Из подобия треугольников ОААХ и ОВВ\ получим ~ откуда
f следовательно,
Итак, равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, равна их сумме, параллельна этим силам и направлена в ту же сторону,
R = Л + Р2-	(6)
Точка приложения равнодействующей делит отрезок прямой, соединяющей точки приложения этих сил, в отношении, обратно пропорциональном их величинам.
Иначе можно сказать, что линия действия равнодействующей проходит между расстояниях, обратно
линиями действия составляющих сил на пропорциональных величинам этих сил,
by а
пропорциях произведение крайних членов
Приравняв в этих произведению средних, получим
Р1(21 — Р2Й|,	(7)
Р^а = Р2Ь.	(8)
Формуле (8) можно придать другой вид, более удобный для решения некоторых задач. Образовав из нее производную про-аД-b Р9 4- А порцию, получим-------= —-------1 •
b
Переставим средние члены: ---------==• — .
39
Перестановка средних членов в пропорции (8) дает: а 4- b b
b
следовательно
а так как сумма ^1 + ^2 пред-2	fa
ставляет равнодействующую /?, то — = — = — .

Вопросы
1. Зависит ли вывод формул (6), (8) от величин сил АЕ и BG (рис. 32)?
2. Как расположится точка О, через которую проходит линия действия равнодействующей (рис. 32), если составляющие силы Р\ и Рг равны по величине?
§ 28.	Сложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны
Требуется найти равнодействующую двух параллельных сил и Р2 (рис. 33), направленных в противоположные стороны, причем Pi>P2- Заменим силу Рх двумя силами: силой Р2,
Рис. 33
приложенной в точке В и равной по величине силе Р2> но направленной в противоположную ей сторону, и силой R, равной по величине разности Р} — Р2 ' и приложенной в точке, определяемой От4 Pg _ «
соотношением —=—При этих АВ Р г
условиях мы можем рассматривать си* лу Р} как равнодействующую двух параллельных сил Р[—Р2 и Р2'- Но сила Р2 уравновешивается силой Р2, сле-
довательно, заданная система сил свелась к одной силе Р~Р[—Р2, а это значит, что эта сила представляет собой искомую равнодействующую. Итак, величина равнодействующей найдена:
Р — Р\	Р2>
Точку приложения силы R мы выбрали так, чтобы расстояния ОА и АВ отвечали условию:
ОА . Ръ
АВ R
Преобразуем это выражение в производную пропорцию:
ОА = Р2
АВ А-О A	RA-P2*
40
Обозначив ОА через «ь ОВ через Ь\ и имея в виду, что сила Р/ равна по величине силе Р2> а Л— разности Р\—Pz, получим:
-----или	.
Р\ Рч~\-Р^ Ьг Pi
Опустив из точек А и В перпендикуляры АА\ = а и ВВХ~Ь на линию действия равнодействующей /?, мы из подобия тре-
угольников АА}0 и ВВ\О получим может быть написана так:
—- = — , и формула (7) b
а
b
откуда Рха = Р2Ь.
Итак, равнодействующая двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны, равна их разности, параллельна им и направлена в сторону большей силы.
Линия ее действия расположена за большей силой и отстоит от линий действия составляющих сил на расстояниях, обратно пропорциональных этим силам.
Если требуется найти равнодействующую системы параллельных сил, из которых одни направлены в одну сторону, а другие в противоположную сторону, то проще сначала сложить первые, затем вторые, после чего сложить обе полученные равнодействующие, направленные в противоположные стороны.
Вопрос
Куда перемещается точка О (рис. 33), через которую проходит линия действия равнодействующей Р, по мере приближения величины силы Р2 к величине силы Р\ (при тех же точках их приложения)?
§ 29.	Разложение силы на параллельные составляющие
Разложение силы на две параллельные составляющие так же, как и разложение силы на составляющие, направленные под углом, является задачей неопределенной. В каждом отдельном случае необходимо иметь дополнительные данные, вытекающие из условий задачи. Так, если, например, заданы точки приложения (или линии действия) обеих составляющих, или точка приложения (или линия действия) и величина одной из составляющих, или точка приложения одной из составляющих и отношение их величин, тогда задача становится определенной и решается по формулам, приведенным в предыдущих двух параграфах.
Пусть, например, требуется разложить силу Р (рис. 34) на две направленные в одну сторону составляющие Рг и Р2 при
41
заданной величине силы ; расстояние между линиями действия сил Р и Р] равно а. Величина силы Р2 определится из формулы (6):
Расстояние х ее линии действия от силы Р определим по формуле (8), по которой Р{а=Р2х, откуда х= а.
ГТ	r-Т	^2
Пример 9. По балке, лежащей на двух опорах А и В (рис. 35), перемещается груз весом С?=1200 кг. Определить давления Pi и Рд, оказываемые этим грузом на каждую опору, если он расположен на расстоянии а—1500 мм от левой опоры; длина балки L=4500 мм.
Рис. 34
Рис. 35
При движении груза давления на опоры не остаются постоянными; если груз находится в крайнем левом положении над опорой А, то весь его вес воспринимается этой опорой. По мере перемещения груза слева направо давление на левую опору уменьшается, а на правую увеличивается; в правом крайнем положении вес груза воспринимается опорой В.
Таким образом, сила G является равнодействующей составляющих Pi и Р2, направленных в одну сторону; применив поэтому формулу (8), получим для заданного положения тали
Ga
1200Л500
4500
— 400 кГ и
Pi = 1200 — 400 = 800 кГ.
Реакции опор по величине равны силам Pi и Р 2 и направлены в противоположную сторону.
§ 30.	Центр плоской системы параллельных сил
Пусть задана плоская система параллельных сил Рх, Р2, Рз и Pt (рис. 36). Сложив силы Р, и Р2, приложенные в точках А и В, получим первую частную равнодействующую /?, прило-женную в точке Оь Соединив точку Ох с точкой С приложения силы Р3, сложим эту силу с /?], в результате чего получим вторую частную равнодействующую R2. Поступив так же с этой силой и последней составляющей Pt , получим полную равнодействующую R, приложенную в точке О.
Представим себе теперь, что все заданные силы повернуты около их точек приложения на один и тот же произвольный 42
угол а, как это показано пунктиром. Так как силы Рх и Р2 по
величине не изменились и их точки приложения остались те же, то и точка приложения Oj равнодействующей 7?i останется прежней. Останется также прежней и точка приложения С силы Р3, откуда следует, что оста-
нется неизменной и точка приложения О2 их равнодействующей /?2-Рассуждая так дальше, мы приходим к заключению, что и точка приложения О равнодействующей /? всех заданных сил останется неизменной.
Как видим, в результате поворота всех сил на один и тот же угол, равнодействующая отклонится на тот же угол, а ее величина и точка приложения останутся без изменения.
Точка О приложения равнодействующей называется центром параллельных сил.
Центр параллельных сил остается неизменным при любом направле-
ние. 36
нии параллельных сил, сохраняющих свою величину и точки приложения.
§ 31.	Момент силы относительно точки
Из опыта мы знаем, что гораздо легче зажать в тисках деталь (рис. 37, а), если нажимать на рукоятку возможно дальше
а)
Рис. 37
от оси О вращения винта. Для того чтобы деталь была одинаково важата как при действии силы в точке Л, так и в точке Ль во втором случае придется приложить большую силу. Таким образом, вращающее действие силы относительно оси вращения О зависит не только от величины и направления силы, но и от расстояния линии действия силы Р от этой оси.
43
Мерой вращающего действия силы в механике служит величина, называемая моментом силы.
Пусть к телу приложена сила Р (рис. 37, б). Возьмем произвольную точку О и опустим из нее перпендикуляр ОА на линию действия силы. Произведение силы на длину этого перпендикуляра называют моментом силы Р относительно точки О. Обозначив величину момента буквой М, можем написать:
М = Рр,	(9)
где Р — величина приложенной силы, а р— длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.
Точка О, относительно которой берется момент силы, называется центром момента; расстояние р центра момента от линии действия силы называется плечом силы относительно этой точки. Итак, момент силы относительно точки — это произведение силы на ее плечо.
Так как сила измеряется в килограммах, а плечо — в единицах длины (м, см), то момент силы выражается соответственно в килограммометрах (кГм) или килограммосантиметрах (кГсм).
Как вытекает из сказанного, вращающее действие силы относительно данного центра момента тем больше, чем больше величина силы и чем больше ее плечо. Если центр момента находится на линии действия силы, то момент этой силы обращается в нуль, так как плечо ее равно нулю.
Пусть сила Рт при плече р\ дает момент Мь а другая сила Р2 дает относительно той же точки при плече р2 момент М2. Тогда М\~Р\р\ и Af2=jP2P2- Пусть далее оба эти момента равны между собой, т. е. Р\Р\^=Р2Р2- Отсюда получим пропорцию
Pi
Следовательно, при равенстве моментов, взятых относительно одной и той же точки, величины сил обратно пропорциональны плечам.
Чтобы действие силы на тело было полностью определено, следует учитывать не только величину момента, но и направление его вращающего действия. Так, при показанном на рис. 37 взаимном расположении силы и центра момента вращение направлено по ходу часовой стрелки; если бы сила Р была направлена в прямо противоположную сторону или если бы точка О была расположена с другой стороны линии действия силы, то вращение было бы направлено против хода часовой стрелки.
Условимся считать момент, вызывающий вращение по часовой стрелке, положительным, а момент, вызывающий вращение в противоположную сторону, отрицательным.
44
Вопросы
1.	Изменится ли момент силы относительно заданного центра момента, если перенести силу вдоль ее линии действия?
2.	На какой линии расположены точки, относительно которых моменты силы равны нулю?
3.	Могут ли силы различной величины давать относительно одного и того же центра равные по величине моменты? При каком условии?
Пример 10. На токарном станке обтачивается деталь резцом А (рис. 38).
Рис. 38
Рис. 39

Вылет резца /=60 мм, вертикальная составляющая давления, испытываемого головкой резца со стороны обрабатываемой детали, равна Pz =900 кГ. Определить момент силы Pz относительно крайней точки В закрепления резца в
суппорте.
Момент, изгибающий резец (так называемый изгибающий момент), равен M—Pz */=900 • 60=54 000 кГлш=5400 кГсм. Как видим, с увеличением плеча
/, т. е. вылета резца, изгибающий момент увеличивается.
Пример 11. В предыдущем примере сила Pz выражает действие детали на резец в вертикальном направлении. Эта сила вызывает реакцию Pz, направленную со стороны резца на деталь и приложенную к последней. Реакция эта равна и направлена прямо противоположно силе Pz. Определим момент этой силы относительно точки О, лежащей на оси обрабатываемой детали, если диаметр детали Z)=80 мм.
D
В данном случае плечо искомого момента равно
и момент
pD
М = —у— =900-40 = 36 000 кГмм = 3600 кГсм.
Под действием этого момента деталь (а вместе с ней и шпиндель, с которым она жестко связана) будет скручиваться, поэтому он называется крутящим.
§ 32.	Момент равнодействующей
Пусть имеются две параллельные силы Р} и Р2, направленные в одну сторону, и найдена их равнодействующая Р (рис. 39). Возьмем произвольную точку С в качестве центра моментов. Момент равнодействующей Р относительной этой точки равен:
= Pc =	Р2)с.
45
Напишем выражения для моментов составляющих относительно той же точки С:
ТИр, = — рх (а — с) — — Рга + Рхс
Мр2 = Р2(Ь 4- с) = Р2Ь + Р2с.
Сложив почленно левые и правые части обоих этих уравнений, получим:
+ Л/р2 = Р2Ь — Рха + (Pt + Р2) с.
Из выведенной в § 27 формулы (8) получим, что
Таким образом, сумма моментов составляющих сил равна (Л+Рг)с- Из сопоставления этого выражения с написанным вы-
ше выражением для момента равнодействующей видим, что момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих, причем моменты мы взяли с их алгебраическими знаками.
Рис. 40
Нетрудно убедиться, что тот же вывод получился бы, если бы взяли центр моментов в любой другой точке плоскости сил (например, в точках Ci, С2, С3 и т. д.).
Если бы параллельных сил было больше двух, то, суммируя эти силы
последовательно и применяя полученный только что вывод к каждой частной равнодействующей, мы в конечном счете пришли бы к заключению, что момент общей равнодействующей также равен алгебраической сумме моментов всех составляющих.
Мы доказали эту важную зависимость для моментов сил, в частном случае параллельных сил, направленных в одну сторону. В подробных курсах теоретической механики доказывается, что эта зависимость верна для любого расположения сил в плоскости.
Итак, момент равнодействующей плоской системы сил равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно одного и того же центра моментов.
Это можно выразить для п сил следующим уравнением:
Мр = Мрх + Мр2 + МрЛ + • • • + ^рп*
(10)
При пользовании этим уравнением необходимо помнить, что момент каждой силы следует подставлять с его алгебраическим знаком.
46
Пример 12* Определить равнодействующую параллельных сил ^1=30 кГ, />г=53 кГ и Рз=70 кГ, пользуясь уравнением моментов (10), если расстояния между линиями действия сил равны: ^1=80 мм и а2~250 мм (рис. 40).
Величина равнодействующей R равна: Р1 + Р3—^2=30+70—53 «47 кГ и, следовательно, направлена вверх.
Центр моментов возьмем на линии действия силы Р\. Напишем уравнение моментов, обозначив неизвестное плечо равнодействующей через х: —Rx— =PiPi—Рл (Д1+02)» откуда после подстановки числовых значений получим х—40) мм.
§ 33.	Пара сил
Вернемся к сложению двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Как было доказано (§ 28), равнодействующая двух таких сил равна их разности. Представим себе теперь, что обе составляющие силы по величине равны между собой, как это показано на рис. 41, а. В этом случае, опре
а)
Рис. 41
деляя по формуле равнодействующую, получим, что она равна нулю. Однако тело, находящееся под действием таких двух сил, не будет в равновесии. Как мы знаем из опыта, силы будут сообщать телу вращательное движение.
Примером подобной системы сил могут служить усилия наших рук, приложенные к воротку при развертывании отверстия (рис. 41, б).
Систему двух равных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны, называют парой сил и обычно обозначают так: Plf Р2 •
Пара сил не имеет равнодействующей.
Пара сил характеризуется величиной образующих ее сил и кратчайшим расстоянием между линиями их действия, называемым плечом пары. Плечо пары измеряется по перпендикуляру к линиям действия составляющих ее сил.
Действие пары сил на тело, к которому она приложена, тем больше, чем больше величина сил, образующих пару, и чем больше ее плечо. Действие это измеряется моментом пары, который равен произведению величины одной из сил на плечо пары.
47
Так, обозначив плечо пары (рис. 41, а) через а и момент ее через М, получим величину момента пары М = Р[а = Р2а, или в общем виде:
М = Ра.	(11)
Момент пары, как и момент силы, выражается в кГм, кГсм и т. д. Для определенности действия пары необходимо, кроме величины ее момента, задать еще направление вращения, которое она сообщает телу, к которому приложена. Момент пары, так же как и момент силы, будем считать положительным, если она сообщает телу вращение по направлению движения часовой стрелки; в противном случае момент пары будем считать отрицательным.
Пусть задана пара сил Р} и Р2 с плечом а (рис. 42). Момент этой пары равен М = Р\а = Р2а. Напишем теперь моменты составляющих эту пару сил относительно произвольной точки О, лежащей в плоскости пары:
MPl = — Рхах и
Сложив оба эти момента, мы получим
М Л + М	+Л (#i + а) = — Рха^ + Р2ах + Р2а.
Так как силы Рх и Р2 равны по величине, то
Р2ах — Рхах = О и
Мр^ + Мр2 = Р2а.
Как видим, сумма моментов сил Рх и Р2 (взятая с их алгебраическими знаками) относительно точки О равна моменту пары.
Итак, момент пары равен по величине и знаку алгебраической сумме моментов сил, образующих эту пару, относительно любой точки, лежащей в плоскости пары.
Пара сил может быть уравновешена парой, имеющей момент, равный по величине и обратный по знаку моменту данной пары, и не может быть уравновешена одной силой.
Любой паре сил присущи три важных свойства, которые мы сообщим, не приводя подробных доказательств.
1.	Пару можно повернуть в плоскости составляющих сил, не изменяя результата ее воздействия на тело.
2.	Пару можно перемещать параллельно самой себе в плоскости составляющих сил, не изменяя результата ее воздействия на тело.
48
Учитывая эти свойства, видим, что пару сил, не изменяя результата ее воздействия на тело, можно перемещать в любое положение в плоскости действия составляющих ее сил.
Мы уже знаем, что действие пары сил на тело измеряется ее моментом. Отсюда вытекает третье важное свойство пар.
Рис. 42
2
Рис. 43
3.	Пару сил, не изменяя результата ее воздействия на тело, можно заменить другой парой с другим плечом и другими силами, но с тем же моментом,
§ 34.	Условия равновесия пар
Пусть на одной плоскости даны две пары (рис. 43), моменты которых Mi и М2 равны по величине и противоположны по знаку, так что М2 = —Mi, и пусть для определенности моментMi положителен.
Если эти пары приведены к общему плечу а, то у обеих пар силы будут иметь одну и ту же величину Р= — . Но так как знаки моментов противоположны, то и силы пар, приложенные к одной и той же точке, будут направлены в противоположные стороны, а потому, как равные по величине, уравновесятся. Следовательно, обе пары (Рь Pi) с моментом Мх и {Р2, Р2) с моментом М2, действуя совместно, взаимно уравновесятся.
Так как условие М2= —М\ можно написать в виде М1+М2=: = 0, то условие взаимной уравновешенности двух пар состоит в том, что сумма их моментов равна нулю.
Пусть далее на одной плоскости даны три пары (Ро Р/), (Р2> Р2'), (Рз, с моментами МьМ2,Л1з такими, что
Mi + М2 + М3 = 0. 1	1	£	о
Сложив пары (Pn Pi) и (P2i Р2), заменим их парой (Р, Р'), момент которой
Mf = Ml + м2.
Следовательно, 7H'+Af3 = O, а потому, по только что доказанному, пары (Р, Р') и (Р3, Р/) взаимно уравновешиваются.
49
Но так как пара (Р, Р') заменяет обе пары (РЪР/) и (Р2, Р2), то уравновешиваются и все три данные пары (Рь Р/), (Р2, Р2) и з, ^з )•
Подобное рассуждение, очевидно, можно последовательно продолжать для случая четырех, пяти и т. д. пар на одной плоскости, у которых сумма моментов равна нулю, а потому вообще:
система пар, расположенных в одной плоскости, уравновешивается, если алгебраическая сумма моментов этих пар равна нулю. Это условие равновесия пар может быть выражено в общем виде равенством:
п
= °*
<=1
где Mi — алгебраическая величина момента пары.
Вопросы
1.	Плечо одной пары сил меньше плеча другой пары в 5 раз. Как должны относиться по величине силы, составляющие эти пары, чтобы моменты обеих пар были равны по величине?
2.	Плечо одной пары меньше плеча другой пары в m раз; величина сил, составляющих первую пару, в п раз больше величины сил, составляющих вторую пару. Как относятся друг к другу по величине моменты этих пар?
3.	В одной плоскости действует на тело три пары с моментами 200, 3500 и 1500 кГсм. Чему равен момент равнодействующей пары?
§ 35.	Равновесие плоской системы параллельных сил
Рассмотрим, каким условиям должна удовлетворять плоская система параллельных сил, чтобы тело, к которому они приложены, было в равновесии.
Пусть задана система параллельных сил Pl9 Р2, Р3, Р^ Р& (рис. 44, а). Сложив силы P2i Р3 и Р5, получим равнодействующую, величина которой, как это было доказано выше, равна сумме этих сил. Складывая эти силы последовательно, найдем линию действия равнодействующей Сложив затем силы Рх и Р4, направленные в противоположную сторону, получим вторую частную равнодействующую Пусть R2 равна по величине первой равнодействующей и направлена в прямо противоположную сторону. При этом система сводится к двум равным и противоположно направленным силам так, что равнодействующая системы сил равна нулю, значит система уравновешена. Если бы сумма сил, направленных в одну сторону, не равнялась сумме сил, направленных в противоположную сторону, или, иначе говоря, если бы алгебраическая сумма всех сил не равнялась нулю, то система не была бы в равновесии.
50
На рис. 44, б показана другая система сил. Поступая по-прежнему, мы получим одну равнодействующую Z?i сил Р19 Р3 и и вторую частную равнодействующую Р2 сил Р2, Р& и Рб. Обе эти равнодействующие и в этом случае равны по величине, но линии действия у них различные, т. е. обе равнодействующие образуют пару сил.
Как видим, одного условия равенства нулю алгебраической суммы сил, являющегося необходимым для того, чтобы система
4	S) /
Рис. 44
сил была уравновешена, недостаточно, нужно второе условие — чтобы система не приводилась к паре сил, т. е. чтобы момент пары равнялся нулю.
Как же мы можем судить о том, что второе условие удовлетворяется?
Вспомним вывод, который мы получили в предыдущем параграфе, а именно: момент пары равен алгебраической сумме моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости. Это означает, что момент полученной в рассматриваемом случае пары равен алгебраической сумме моментов сил и Но представляет собой равнодействующую группы сил Ръ Р3 и Pi9 а /?2 — равнодействующую второй группы сил Р2} Р5 и Р6, а в § 32 было доказано, что момент равнодействующей равен алгебраической сумме моментов составляющих сил. Следовательно, момент равнодействующей Рг равен алгебраической сумме моментов сил Р19 Р3 и Р4, а момент равнодействующей /?2 равен алгебраической сумме моментов сил P2i Р5 и PG.
51
Таким образом, мы приходим к заключению, что момент пары, к которой может свестись рассматриваемая система сил, будет равен нулю в том случае, если алгебраическая сумма моментов всех сил Ръ Р2, Р^ Р^ Р$ и будет равна нулю.
Итак, плоская система п параллельных сил является уравновешивающейся, если:
1) алгебраическая сумма всех сил равна нулю, т. е.
2Л = Л + ^2 + Л + ..- + Рл = 0;	(12)
4 = 1
2) алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой точки плоскости сил равна нулю, т. е.
4~ Мрз 4" • • • 4~ А4р п "О*	(13)
Таким образом, для равновесия параллельных сил должны удовлетворяться одновременно оба условия.
Пусть рычаг АВ с точкой опоры О (рис. 45, а) нагружен на левом конце силами Qi и а на правом конце — силой Р. Для того чтобы он находился в равновесии, должны удовлетворяться условия, выраженные уравнениями (12) и (13). К рычагу приложены силы Р) Qi и Q2 и реакция опоры Р. Считая силы, направленные вниз, положительными, получим уравнение (12) в таком виде:
Р + Qi + Q2 — Я = 0, откуда /? = Р + Qi + Q2.
Таким образом, реакция опоры определена.
Найдем теперь величину силы Р, воспользовавшись вторым условием равновесия. В качестве центра моментов возьмем точку О, тогда уравнение (13) дает:
Р& — Q^i — Q2a2 = 0, откуда Р = О-1-1 +	.
ь
Если бы все силы были приложены по одну сторону от точки опоры (рис. 45, б), то мы бы получили:
Qi + 0.2 — Р — R ~ 0, откуда Р + R — Qi + Q2.
Чтобы в этом случае определить силу Р, напишем уравнение моментов относительно точки О:
+ Q2#2 ~ РЬ = 0, откуда Р =	-1 * -2^2’ и реакция
Ь
опоры /? = Q, + Q2-P=Q, + Q2-
b
Рассмотрим еще пример.
52
На двух опорах А и В (рис. 46) лежит свободно горизонтальная балка со свешивающимся концом, к которой приложены вертикальные силы Л, Р2, Р3, Р4. Требуется определить реакции опор RA и Rв.
Из уравнения (12) получим одно уравнение с двумя неизвестными:
Ra + Rb = Л + Р2 + Р3 + Л-
Определим реакцию RB, взяв алгебраическую сумму моментов относительно точки А:
А
4
R
а)
Рис. 47
А
Рис. 46
Решив это уравнение и подставив значение RB в первое уравнение, получим величину второй реакции RA.
Пример 13. Балка свободно лежит на двух опорах А и В (рис. 47) и нагружена силами Р1 = 200кГ; Р2 = 300кГ и Р3 = 250кГ. Определить реакции опор RA и Rb> если Д1 = 1 м\ о2=1,5 м; о3=2 м; расстояние между опорами L=5 я; вес 1 м балки равен 20 кг; длина балки 5,5 м.
Балка находится в равновесии под действием приложенных к ней вертикальных сил Рь Р%, Р3, собственного веса и реакций опор. Определим раньше реакции RA и RB, вызываемые силами Ри Р2, Р3.
Так как реакции направлены вертикально вверх, то уравнение (12) напишем так: Л +	—RA—Rb*=®, т. е. RA +R в =200+300+250=750 кГ.
Второе уравнение мы получим, приравняв к нулю алгебраическую сумму моментов, взятых относительно любой точки плоскости оси. Для упрощения вычислений примем центр моментов в точке А, относительно которой момент реакции RA обращается в нуль:
Т5jd?! + Р2 (^1 + а2) + Р3 (#i +	+ #з) R&L = 0»
53
что после подстановки дает: 200* 14-300 *2,5+250* 4,5=0, откуда Яд = 415 кГ и Ra =750—415=335 кГ.
Если бы взяли центр моментов на линии действия силы то мы бы написали уравнение моментов так:
/?д.1 4-300-1,5 +250.3,5-4Яд = 0, откуда 4^ — /?^ = 1325.
Решая это уравнение совместно с уравнением RA +/?в —750, мы бы получили тот же результат.
Собственный вес балки, равный 20*5,5 = 110 кг, распределяется на обе опоры поровну; следовательно, полная реакция Рд опоры А равна :335+~ = = 390
кГ и реакция Кв опоры В равна: 415+55=470 кГ.
§ 36.	Вопросы для повторения
1.	Что называется моментом силы относительно точки?
2.	Можно ли выбрать такую точку, относительно которой момент силы равен нулю? Единственная ли это точка?
3.	В какой зависимости находятся моменты равнодействующей системы параллельных сил и моменты составляющих?
4.	Каким условиям должна удовлетворять уравновешивающая системы параллельных сил?
§ 37.	Упражнения
10.	Балка, свободно лежащая на двух опорах А и В (рис. 48), нагружена вертикальными силами Р] = 300 кГ, Р2 = 300 кГ, Р3 = = 150 кГ и Р4 = 240 кГ. Определить реакции опор, вызываемые
Рис. 48
Рис. 49
этими силами, если ai = l,8 м\ 02=О,9 м\ 03 = О,9 м\ /=4,5 м и L = = 6 м.
11.	Рычаг АВ опирается в точке О (рис. 49) и находится под действием сил Pi = 120 кГ и Р2=|60 кГ, расстояния между линиями действия этих сил и точкой опоры 01 = 360 мм и 02=375 мм. Какой величины должна быть сила Р3, приложенная в конце рычага, чтобы он оставался в равновесии, если длина его /= =960 мм? Чему будет равна при этом реакция 7? опоры? (Собственным весом рычага пренебречь).
54
Глава четвертая
СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ
в плоскости
§ 38.	Приведение силы к данной точке
Силу, как мы знаем, можно перенести в любую точку, лежащую на линии ее действия. Рассмотрим теперь, изменится ли дей
ствие силы на тело, если перенести ее в точку, не лежащую на ли
нии ее действия.
Пусть задана сила Р—АВ с точкой приложения А (рис. 50). Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в точку О.
Приложим в этой точке две силы ОС и OD, направленные в противоположные стороны, равные по абсолютной величине силе Р и парал-лельные ей. Рассматривая силы ОС и АВ, видим, что они образуют пару сил. Таким образом, перенеся силу Р параллельно самой себе в точку приложения О, не лежащую на линии действия этой силы, мы получили еще пару сил (АВ, ОС), которую нужно приложить к телу, чтобы сила OD оказывала вместе с этой парой воздействие, равное воздействию первоначаль
кВ
Рис. 50
ной силы Р —АВ,
Следует отметить, что чем больше расстояние между первоначальной и новой линиями действия силы, тем больше плечо присоединяемой пары, а следовательно, и ее момент.
Обозначив через р величину плеча пары, можем написать, что абсолютная величина ее момента равна Рр.
Абсолютная величина момента силы Р относительно точки О
также равна Рр,
Направления вращения, вызываемого парой (АВ, ОС) и силой Р относительно центра моментов О, также совпадают. Отсюда можем сделать вывод, что момент пары, присоединяемой в связи с переносом силы Р в точку О, равен моменту силы Р относительно этой точки.
§ 39.	Приведение плоской системы сил к одному центру
Только что выполненное действие приведения силы к данной
точке может быть применено к совокупности какого угодно числа сил. Так, если задана плоская система сил Рг =АВ, Р2~ = CD, Р3 —EF и Р4 =GH (рис. 51), то, поступив, как было ука-
зано в предыдущем параграфе, получим систему сходящихся
55
в одной точке сил OAh OCh OElf OGt и систему, состоящую из четырех пар (ОВЬАВ), (ООь“СО), (OFbEF) и (OHb~GH). Сложив отдельно получившиеся таким образом четыре сходящиеся в одной точке силы и четыре пары, получим одну силу и одну пару.
Четыре сходящиеся силы мы можем сложить, построив при точке О силовой многоугольник OXiC/E/G/O, в результате чего получим их равнодействующую в виде замыкающей стороны OG\. Однако сила эта не является равнодействующей заданной
Рис. 51
системе сил	^3> Р так как она представляет собой
геометрическую сумму сил ОЛЬ ОСЬ ОЕ\, OG\, приложенных в точке О. Полученную таким образом силу OG/ называют главным в е кто р о м или р е з у л ь т и р у ю щ е й силой заданной системы сил.
Точку О, к которой мы привели все силы заданной системы, называют центром приведения.
Мы можем, следовательно, сказать, что главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех заданных сил, перенесенных параллельно самим себе в центр приведения.
Очевидно, размерность главного вектора та же, что и составляющих сил.
Центр приведения мы произвольно взяли в точке О плоскости. Если взять в качестве центра приведения какую угодно другую точку плоскости (01, О2 и т. д.), то, как нетрудно видеть, абсолютная величина и направление главного вектора будут те же, что и для центра приведения О, поскольку он является геометрической суммой такой же системы сил, но сходящихся в но-56
вом центре приведения. Итак, абсолютная величина и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения.
Перейдем теперь к силам ОВЬ OD}, OF{ и ОН\, Рассматривая их в совокупности с заданными силами Ри Р2, Р3 и Р4, получим четыре пары. Найдя равнодействующую системы сходящих-ся в точке О сил ОВЬ ODb OF{ и О/Л, получим силу ONb равную главному вектору OG/ по абсолютной величине и прямо противоположную ему по направлению.
Пара, полученная в результате приведения всех добавленных пар, называется результирующей парой, а ее момент называется главным моментом заданной системы сил. Он равен сумме моментов добавленных пар.
Если за одну из сил результирующей пары принять силу ON\, то по вычисленному главному моменту найдем плечо этой пары и построим ее вторую силу в виде вектора MN, который равен главному вектору OG/. Тогда вся данная система сил Ръ Р2, Р3, приведется к силе OG/ и паре (OAfb MN). Но силы OG/ и ONi уравновешиваются, и потому вся система приводится к одной равнодействующей силе MN. Таким образом, если главный вектор плоской системы сил не равняется нулю, то эта система приводится к одной равнодействующей силе.
Но в соответствии с ранее доказанным момент пары (АВ, ОВ\) равен моменту силы Рг относительно точки О, момент пары (CD, ODi) равен моменту силы Р2 относительно той же точки О и т. д. Отсюда следует, что момент результирующей пары (ONX, MN) равен алгебраической сумме моментов всех сил Ръ Р2, Р3, Р± относительно точки О.
Следовательно, можно сказать, что главный момент плоской системы сил равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно ее центра приведения.
Рассмотрим частный случай. Пусть задана система сил Рх — =АВ, Р2 — CD, Р3 — EF и Р4 = GH (рис. 52). Перенеся эти силы^ в центр приведения О, получим четыре силы: ОЛЬ ОСЬ ОЕХ, OG\ и четыре пары: (ОВ\, АВ), (ODX, CD), (OFX, EF), (О/7Ь GH}.
Чтобы найти главный вектор, построим при точке О силовой многоугольник ОА\С\НхО. Как видим, он оказывается замкнутым. Таким образом, главный вектор равен нулю. Система сил Рр Р2, Р3, Р4 в этом случае может либо иметь равнодействующую, равную нулю, либо приводиться к паре сил.
Сложив по закону параллелограмма силы Рх и Р2, Р3 и Р4, получим две частные равнодействующие Pi и Р2, равные по абсолютной величине и с параллельными между собой ли-
57
ниями их действия. Таким образом, данная система сил приводится к паре с моментом	Если произвести сложение в
другом порядке, то получим пару других сил /?/ и /?2' с другим плечом, но с таким же моментом. Абсолютная величина момента в рассматриваемом нами случае, как видим, не зависит от положения центра приведения.
Рис. 52
Следовательно, если главный вектор равен нулю, то система заданных сил приводится к паре сил. Абсолютная величина главного момента в этом случае не зависит от положения центра приведения. Если главный вектор не равен нулю, то главный момент (как по абсолютному значению, так и по знаку) определяется положением центра приведения.
Вопросы
1.	Что такое главный вектор и какова его размерность?
2.	Что такое главный момент и какова его размерность?
3.	Какая разница между главным вектором и равнодействующей?
4.	Влияет ли выбор центра приведения на величину главного момента?
§ 40. Условия равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости
В предыдущем параграфе мы показали, что всякая плоская система сил может быть приведена к одной результирующей силе и одной результирующей паре сил. Так как сила и пара взаимно не уравновешиваются, то для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы порознь равнялись нулю.
Поскольку главный вектор R представляет собой геометрическую сумму всех сил системы, перенесенных в центр приведения, абсолютную величину главного вектора можно выразить через проекции сил системы на координатные оси.
58
Так как согласно § 23
то для того, чтобы равнодействующая /? была равна нулю, должны выполняться два условия:
п
1=1
« п
1=1
Поскольку главный момент М плоской системы сил представляет собой алгебраическую сумму моментов всех сил относительно центра приведения, то его величина будет равна нулю в случае, если
п = о.
i=l
Итак, для равновесия тела, находящегося под действием системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно соблюдение следующих трех условий:
п
/= 1
п
1=1
= о,
1-1
т. е. чтобы:
1)	алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось Ох равнялась нулю;
2)	алгебраическая сумма проекций всех сил системы на ось Оу равнялась нулю;
3)	алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно какой-нибудь точки, лежащей в плоскости сил, равнялась нулю.
59
Пример 14. Литейный кран АВС (рис. 53) вращается около оси MV; расстояние AN—5 я, АС—5 я; вес крана равен 2 т; его центр тяжести D находится на расстоянии 2 я от оси вращения; вес груза, подвешенного в точке С, составляет 3 т. Найти реакции подшипника М и подпятника N.
Алгебраическая сумма проекций на горизонталь равна:
“ О,
Рис. 53
откуда
Алгебраическая сумма проекций на вертикаль равна:
2 + 3 — 7?; = О,
откуда
= 5 Т .
Алгебраическая сумма моментов относительно точки N равна:
—/?2-5 4-3-5 + 2-2 = О,
откуда
7?3 = 3,8 Т.
Итак, реакция в подшипнике М направлена справа налево и равна 3,8 Г; реакция в подпятнике представляет собой геометрическую сумму составляющих: =3,8 Т, направленной горизонтально слева направо, и 7^ = 5 7\ направленной вертикально снизу вверх. Следовательно,
Ri = ]/з,82 + 52 =6,28 Т.
Реакция R\ направлена, как показано на чертеже, под углом а к горизонту, определяемым из соотношения:
= 1,31578,
откуда
а 52°45'.
§ 41.	Понятие о пространственной системе сил и ее равновесии
До сих пор мы рассматривали только такие случаи, когда все силы, действующие на тело, лежат в одной плоскости. Зачастую детали машин и сооружений бывают нагружены значительно более сложным образом и силы, измеряющие эти нагрузки, уже не лежат в одной плоскости, а образуют пространственную систему.
Рассмотрим в качестве примера случай обточки вала на токарном станке (рис. 54). Опыт показывает, что в процессе работы резца на его режущую кромку со стороны обрабатываемого 60
изделия действует сопротивление в направлении оси изделия, противоположном направлению подачи резца, а также сопротивления в радиальном и вертикальном направлениях. Величину каждого из этих сопротивлений можно измерить динамометром, а силы, измеряющие эти сопротивления, обычно обозначают через Рх, Ру и Pz, т. е. так, как показано на рис. 54, где они направлены по трем взаимно перпендикулярным координатным осям.
Эти три силы образуют пространственную, а не плоскую систему, так как вектор любой из них не лежит в плоскости, образованной векторами двух других сил. Однако для такой простран- -ственной системы, так же как для ...	—--	/ | X
плоской системы, можно отыскать равнодействующую.
Для этого следует поступить
так. Сложим по уже известному
нам правилу параллелограмма /у /	*
две из трех сил, например, Рх и	I/zPAt-/
Ру. Частная равнодействующая	/fcz IZ 1/
Рг будет располагаться в той же плоскости, в которой располага-	Рис- 54
ются ее составляющие. Так как составляющие Рх и Ру направ-
лены по взаимно перпендикулярным осям, то величина Pf определяется, как обычно, по формуле.
Теперь, чтобы найти равнодействующую пространственной системы сил Рх, Ру и Рг, остается сложить векторы Рг и Pz, направленные под прямым углом один к другому. Вектор искомой равнодействующей силы Р лежит в плоскости, проходящей через векторы составляющих, а по величине равен:
р = УР'^ + р} = У р} + р2у + р2.
Другими словами, равнодействующая пространственной системы трех сходящихся сил, направленных по трем взаимно перпендикулярным координатным осям, равна корню квадратному из суммы квадратов этих сил.
Как следует из нашего примера, равнодействующую пространственной системы сходящихся сил можно найти по способу, очень похожему на тот, что был нами использован для отыскания равнодействующей плоской системы сил.
В подробных курсах механики рассказывается о том, как найти главный вектор и главный момент пространственной си-
стемы сил, формулируются условия равновесия пространствен nuii системы сил и другие сведения по статике твердого тела, пользуясь которыми можно произвести расчет усилий, действующих на все части самой сложной машины или большого сооружения.
Глава пятая
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ. УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛ
§ 42.	Центр тяжести как центр параллельных сил
На каждую частицу тела действует сила притяжения Земли, т. е. сила тяжести. Силы тяжести всех частиц направлены к центру земного шара, следовательно, являются сходящимися. Однако угол отклонения этих сил от параллельного направления ничтожно мал, составляя, например, для двух пунктов земной поверхности, расположенных по меридиану на расстоянии 30 всего лишь Г'. Так как размеры тел, рассматриваемых в технической механике, ничтожно малы по сравнению с радиусом земного шара, то силы тяжести их частиц рассматривают как параллельные.
Складывая мысленно все элементарные силы тяжести, приложенные ко всем частицам тела, получим некоторую равнодействующую. Равнодействующая сил тяжести, действующих на все частицы тела, называется весом тела. Точка приложения этой равнодействующей называется центром тяжести тела.
Как видим, центр тяжести представляет собой центр параллельных сил. Выше было выяснено, что эта точка остается неизменной независимо от направления сил, ♦ если они остаются параллельными. Отсюда следует, что центр тяжести тела остается неизменным при любом положении тела относительно земной поверхности.
§ 43.	Центр тяжести некоторых тел простейшей формы
Во многих технических расчетах, связанных с учетом веса тел, необходимо точно знать положение их центра тяжести. В ряде случаев определение центра тяжести производится весьма просто. Рассмотрим некоторые тела простейшей геометрической формы.
1.	Центр тяжести шара лежит в его геометрическом центре. Справедливость этого утверждения вытекает из того, что равнодействующая всех элементарных сил тяжести, действующих на частицы, расположенные на одном диаметре, проходит через его середину, т. е. через центр шара. 62
а)	б)
Рис. 55
2.	Центр тяжести прямого круглого цилиндра (рис. 55, а). Проведем в произвольной точке О сечение, перпендикулярное к оси О[О2 цилиндра. Взяв в этом сечении частицу Afi, мы найдем другую частицу Л42, лежащую на одном диаметре с ЛЦ и одинаково удаленную от центра О сечения. Следовательно, равнодействующая элементарных сил тяжести, приложенных к этим двум частицам, проходит через центр сечения. Рассуждая так же в отношении любой точки цилиндра, мы приходим к заключению, что центр тяжести всего цилиндра лежит на его оси О{О2 в середине его высоты, (точка С на рис. 55, а).
3.	Центр тяжести прямой правильной призмы (рис. 55, б).
Рассуждая, как в предыдущем случае, мы придем к аналогичному заключению, а именно: центр тяжести прямой правильной призмы лежит на ее оси в середине ее высоты.
Подчеркнем одно важное обстоятельство. Как видно из изложенного, мы исходим из того, что элементарные силы тяжести, приложенные к частицам тела, равны по величине. А это значит, что удельный вес тела по всему его объему один и тот же. Такое тело называется однородным*. Если это условие однородности не удовлетворено,то задача нахождения центра тяжести усложняется; покажем это на следующем примере.
Рис. 56
Пример 15. Цилиндрический стержень АВ (рис. 56) длиной £=1000 мм
состоит из двух материалов различного удельного веса: на длине
=500 мм — из алюминия с удельным весом yi=2,6 г/см*, а в остальной части DB — из стали с удельным весом уг=7,85 г/см3. Найти положение центра тяжести стержня.
Если бы стержень был однородный, то его центр тяжести находился бы
* В дальнейшем, если неоднородность тела не будет оговорена, мы всегда будем подразумевать однородное тело.
63
на оси в середине длины, т. е. в сечении D на расстоянии /=500 льи от его конца. Чтобы определить положение центра тяжести при данных условиях, вычислим вес каждой части стержня.
Обозначив площадь поперечного сечения стержня через Г, мы получим вес алюминиевой части AD, равным	= 2,6/7 г, а вес части DB, равным
G2—Fly?—7,85/7 г. Первая сила Си приложена в середине части AD в точке Сь а вторая — в середине части DB в точке С2. Расстояние между точками Ci и С2 равно 500 мм. Чтобы найти центр тяжести С всего стержня, мы должны найти точку приложения равнодействующей обеих полученных па
раллельных сил:
а 7,№Fl
~Г~ Л ~3, откуда а=3б, а так как а+&=500 мм, то а=375 мм и
о 2tvFl
“=125 мм.
Следовательно, искомый центр тяжести С находится на расстоянии с— = “+^=250+375=625 мм от левого конца.
§ 44.	Центр тяжести площадей плоских фигур
Представим себе однородную круглую пластинку одинаковой толщины (рис. 57), т. е. цилиндр, имеющий небольшую высоту по сравнению с диаметром. Как вытекает из сказанного выше,
Рис. 57
Рис. 58
в
центр тяжести пластинки лежит в среднем сечении MN, делящем ее толщину пополам. Мы можем рассматривать не пластинку, а ее среднее сечение, в котором как бы сосредоточен весь материал, из которого она изготовлена. Тогда центр этого среднего сечения представляет собой центр тяжести материальной площади круга. Точно так же центр тяжести треугольной пластинки ABD (рис. 58) можно рассматривать как центр тяжести ее среднего сечения, т. е. как центр тяжести площади треугольника и т. п.
Перейдем к определению центра тяжести площадей некоторых простейших фигур.
1.	Центр тяжести площади круга лежит в его геометрическом центре.
2.	Центр тяжести площади треугольника (рис. 58).
Дан треугольник ABD. Проведем в нем медиану BE, соединяющую вершину В с серединой Е стороны AD. Проведем далее 64
В
Рис. 59
в произвольном месте отрезок KL, параллельный основанию AD. Так как полученный треугольник BKL подобен треугольнику BAD, то ЛС1 = С1£. Отсюда следует, что равнодействующая всех элементарных сил тяжести, приложенных ко всем частицам, лежащим на отрезке KL, находится в точке С\ пересечения медианы с этим отрезком.
Рассуждая таким же образом в отношении любого другого отрезка, параллельного стороне AD, придем к заключению, что искомый центр тяжести треугольника лежит на медиане BE.
Проведем теперь другую медиану AF к стороне BD. По только что доказанному, центр тяжести треугольника должен лежать и на этой медиане. Отсюда мы делаем вывод, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан.
В геометрии доказывается, что медианы треугольника в точке пересече- д ния делятся в отношении 1:2, т. е. СЕ — х/2 ВС и CF=1/2 АС; отсюда следует, что центр тяжести С находится на
расстоянии CE—x/z BE или CF=X!3 AF, т. е. на расстоянии одной трети от той стороны, к которой проведена медиана.
3.	Центр тяжести площади параллелограмма (рис. 59).
Проведем в параллелограмме диагонали AD и BE. Диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам, следовательно, отрезок АС диагонали AD является медианой треугольника АВЕ, а отрезок CD той же диагонали представляет собой медиану треугольника BDE, поэтому центры тяжести С\ и С2 обоих этих треугольников лежат на диагонали AD. вытекает, что и центр тяжести всего параллелограмма лежит на этой диагонали. Точно так же докажем, что искомый центр тяжести лежит и на второй диагонали BE.
Следовательно, центр тяжести площади параллелограмма лежит в точке пересечения его диагоналей.
Этот вывод, очевидно, относится также к ромбу, прямоугольнику и квадрату, как к разновидностям параллелограмма.
4.	Зная положение центра тяжести площади треугольника, параллелограмма и его разновидностей, мы можем найти центр тяжести площади любой фигуры, которую можно разбить на элементы таких форм.
Пусть, например, требуется определить центр тяжести площади четырехугольника произвольной формы (рис. 60).
Разобьем этот четырехугольник диагональю AD на два треугольника ABD и ADE. Проведя в них медианы к середине стороны AD, наметим на этих медианах центры тяжести С\ и С2 3-1599	65
площадей обоих треугольников, соединив их отрезком С{С2. Затем разобьем заданную фигуру диагональю BE на два треугольника АВЕ и BDE. Поступив, как только что было сказано, получим отрезок С3С4. Искомый центр тяжести находится в пересечении этого отрезка с отрезком CiC2-
Рис. 60
Рис. 61
Пример 16. Определить центр тяжести разметочного угольника, размеры которого указаны на чертеже (рис. 61).
Центр тяжести планки I лежит в пересечении диагоналей АЕ и BZ), центр тяжести основания II — в пересечении диагоналей DL и КМ, а центр тяжести С угольника в целом находится на отрезке C^Cz. Чтобы найти положение точки С, мы должны разделить этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном весам обеих частей угольника, или, вследствие однородности угольника, обратно пропорционально их объемам. Объем части I равен: (300—40) • 30 • 5=39 000 мм3, а объем части II равен: 120-40-15=72 000 мм3.
Разделив отрезок CiC2 так, чтобы удовлетворялось условие —- =	полу-
СС2 оУ
чим искомый центр тяжести С.
§ 45.	Экспериментальный способ определения центра тяжести плоских фигур
Пусть требуется найти центр тяжести пластинки произвольной формы. Подвесив ее вершиной А к нити КА (рис. 62), увидим, что она займет определенное положение, соответствующее ее устойчивому равновесию. Вес пластинки уравновешивается реакцией со стороны нити в точке А. Обе эти силы имеют общую линию действия, совпадающую с вертикальной прямой AD, на которой, следовательно, лежит искомый центр тяжести; поэтому проведем эту прямую, а затем подвесим пластинку в какой-нибудь другой точке, например в точке В. Рассуждая так же, про-66
водим на пластинке прямую BE. Так как искомый центр тяжести должен лежать одновременно на прямых AD и BE, мы приходим к заключению, что он находится в точке С пересечения обеих этих прямых.
§ 46.	Устойчивость тела, имеющего точку или ось опоры
Проделаем такой опыт: возьмем какой-нибудь заостренный, симметричный относительно его продольной оси, предмет, например кернер, и, уперев его острием в горизонтальную плоскость
MN, поставим в вертикальное положение (рис. 63, а). При таком положении кернера его вес <?, приложенный в центре тяжести С, уравновешивается реакцией со стороны плоскости. Опыт показывает, что если нам и удастся поставить кернер в
а) б)
Рис. 63
Рис. 62
вертикальное положение, то, как только его отпустим, он начнет падать. Объясняется это тем, что при отклонении оси кернера от вертикального положения (рис. 63, б) возникает момент силы тяжести G, поворачивающий кернер вокруг точки опоры А.
Такое положение тела, при котором ничтожная сила, приложенная к нему, выводит его из состояния равновесия, называется положением неустойчивого равновесия.
Положение неустойчивого равновесия характеризуется тем, что при отклонении тела от положения равновесия его центр тяжести понижается.
Рассмотрим другой пример. Представим себе шар (рис. 64), изготовленный из двух материалов с различным удельным весом. Пусть материал сегмента К имеет больший удельный вес, соответственно чему центр тяжести всего шара будет лежать не в его геометрическом центре О, а в некоторой точке С, лежащей на радиусе OD, перпендикулярном к плоскости раздела АВ (рис. 64, а). При указанном на чертеже положении вес всего шара G будет уравновешиваться реакцией со стороны опоры, приложенной к шару в точке D.
з*	67
Повернем теперь шар в положение, показанное на рис. 64, б. Как видим, вес шара О дает в этом случае относительно точки опоры D\ момент, равный по величине Ga и направленный так, что центр тяжести, после того как мы убрали руку, начнет опускаться, шар будет поворачиваться в обратную сторону до тех пор,
а)	0	6)
Рис. 64
пока он не вернется в исходное положение (рис. 64, а) *, в котором он находится в состоянии равновесия. Такое положение тела,
к которому оно возвращается по прекращении действия силы,
Рис. 65
нарушившей это положение равновесия, называется положением устойчивого равновесия.
Положение устойчивого равновесия характеризуется тем, что под действием силы, нарушающей равновесие тела, его центр тяжести поднимается.
Поставим шар в положение, показанное на рис. 64, в. Как видим, этот случай аналогичен примеру с кернером (рис. 63, а), т. е. шар будет в состоянии неустойчивого равновесия.
Наконец, если тело опереть в центре тяжести, то в любом положении вес его будет уравновешиваться реакцией опоры. Так, например, если подвесить кольцо (рис. 65) в
месте пересечения двух нитей, лежащих в его среднем сечении, то оно будет сохранять состояние равновесия в любом положе-
нии, которое мы ему придадим, при неизменном положении центра тяжести С.
Точно так же однородный шар будет сохранять состояние равновесия в любом его положении на плоскости.
Такое положение тела, в котором оно остается в равновесии
* В действительности шар займет это положение после нескольких колебаний.
68
при любом положении относительно опоры, называется положением безразличного равновесия.
Положение безразличного равновесия характеризуется тем, что центр тяжести остается при всех положениях тела на одной и той же высоте.
Описанные виды равновесия имеют место при опоре тела в одной точке.
Рассмотрим теперь случай, когда тело опирается на неподвижную ось, вокруг которой оно может свободно вращаться. Пусть планка (рис. 66, а) закреплена на валу, свободно лежа-
С
а)	б)	г)
Рис. 66
щем в подшипниках *. Если мы выведем ее из этого положения (рис. 66, б), то центр тяжести С поднимется; под действием момента силы тяжести G*a планка, предоставленная самой себе, начнет вращаться в обратном направлении и после нескольких качаний займет исходное положение (рис. 66, а), которое, следовательно, является устойчивым. Если мы поставим планку в положение, показанное на рис. 66, в, то она под действием незначительного усилия начнет вращаться, центр тяжести будет опускаться и в конце концов планка опять займет положение устойчивого равновесия. Следовательно, положение, которое планка занимает на рис. 66, в, является неустойчивым.
Наконец, если бы мы закрепили планку на валу так, чтобы ее центр тяжести лежал на оси вращения вала (рис. 66, г), то она оказалась бы в состоянии безразличного равновесия.
Как увидим в дальнейшем, к деталям, вращающимся вокруг неподвижной оси, часто предъявляется требование, чтобы они были в состоянии безразличного равновесия, или, как говорят, чтобы они были уравновешены.
* Подшипники на чертеже не показаны.
69
Пример 17. На оси О подвешен легкий стержень, на котором закреплен диск К весом G—5 кг. После того как диск приведен в указанное на чертеже положение (рис. 67), он предоставлен самому себе. Определить, под действием какой силы этот маятник начнет вращаться по направлению к устойчивому положению, если центр диска отстоит от вертикали на расстоянии я—200 мм, а ОС = /=340 мм.
Пренебрегая весом стержня, считаем, что центр тяжести маятника нахо-дится в центре диска С. Разложим силу веса на две составляющие СВ, на
правленную вдоль
Рис. 67
стержня, и CD — по направлению, перпендикулярному к нему. Как видно из чертежа, первая составляющая не может вызвать вращения стержня, вторая же составляющая, касательная к дуге, описываемой радиусом ОС, вызовет перемещение центра тяжести диска по направлению к Ci — положению равновесия.
Так как ZC4D= = ZEOC, то ДСДО - ДСЕО, откуда CD : СЕ = СА : ОС. Отсюда искомая составляющая:
СА-СЕ
5 >200
340
— 2,94 кГ.
Если бы вместо расстояния а был задан угол отклонения а, то мы определили бы величину а—ЕС из прямоугольного треугольника ОЕС как катет ЕС = = ОС sin а.
Задачу можно решить проще, если применить вывод, данный в § 31. Момент силы G относительно точки О равен Ga, момент составляющей СВ равен нулю (ее линия
действия пересекает точку, Ga
тельно, Ga—Pl, откуда Р —	Таким образом,
V
плечо равно нулю); следова-мы получили тот же резуль-
тат.
§ 47.	Устойчивость тела на плоскости
Пусть тело К опирается своим основанием на горизонтальную плоскость MN (рис. 68). Будем его поворачивать вокруг ребра Е. Центр тяжести С тела будет при этом подниматься, описывая дугу СС\. Если предоставить тело самому себе, то оно, поворачиваясь вокруг того же ребра Е, вернется в исходное положение ABDE, которое, следовательно, является устойчивым. В этом положении вес тела уравновешивается реакцией со стороны плоскости.
Такое явление будет иметь место до тех пор, пока тело не заняло положение AXB\D\E, показанное пунктиром, когда центр тяжести окажется в вертикальной плоскости, проходящей через ребро Е. Если оставить тело в этом положении, то оно начнет поворачиваться влево или вправо, центр тяжести будет понижаться до тех пор, пока он не займет низшее возможное положение. Таким образом, положение A\BXD\E соответствует неустойчивому равновесию.
Выясним, при каких условиях тело сохраняет положение устойчивого равновесия. Представим себе параллелепипед весом 70
G, стоящий основанием KLMN на горизонтальной плоскости (рис. 69).
Приложим к нему силу Р, линия действия которой лежит в его средней плоскости ABDE. Эта сила дает относительно ребра NM момент Р*а, где а — EF представляет собой плечо силы А Опрокидывающему действию этого момента вокруг ребра NM препятствует момент силы тяжести G относительно того же
Рис. 68
Рис. 69
ребра. Плечо этого момента Ь=ЕН получим, опустив из точки Е перпендикуляр на линию действия силы тяжести. Условие равновесия параллелепипеда определяется тем, что алгебраическая сумма обоих этих моментов относительно точки Е должна равняться нулю, т. е.
Pa — Gb~ 0.
Момент силы Р называется опрокидывающим моментом^ момент силы G — удерживающим моментом (моментом устойчивости). Если Pa>Gb, то тело будет поворачиваться вокруг ребра MN. Если Pa<Gb, то тело будет оставаться в устойчивом положении на плоскости.
Gb
Из последнего неравенства получим: Р< ,т. е. тело будет тем устойчивее, чем больше удерживающий момент Gb и чем меньше плечо силы Р относительно оси NM.
При создании машин и сооружений (например, подъемного крана, плотины, подпорной стены, дымовой трубы и т. п.) должен быть обеспечен определенный запас устойчивости, который выражается отношением:
Мр
где MG — удерживающий, а МР — опрокидывающий моменты. Отношение это называется коэффициентом устойчив о-
71
ст и по опрокидыванию. Как вытекает из сказанного» этот коэффициент всегда должен быть больше единицы.
Из изложенного не следует делать вывод, что собственный вес тела всегда содействует увеличению устойчивости тела. Как показано на рис. 70, а, тело ABDE опрокинется вокруг ребра Е под действием собственного веса G, который дает опрокидывающий момент Ga, и для удержания тела в этом положении к нему придется приложить соответствующую силу, которая даст
Рис. 70
Рис. 71
равный по величине момент, направленный в обратную сторону. Как видим, опрокидывание тела произойдет потому, что сила тяжести пересекает плоскость опоры вне контура основания.
Как видно на рис. 70, б, сила тяжести пересекает площадь опоры внутри ее контура при той же высоте тела, и равновесие тела устойчивое; центр тяжести тела, показанного на рис. 70, в, при той площади опоры, что и тела на рис. 70, а, расположен ниже, и равновесие тела устойчивое.
Итак, тело находится на плоскости в устойчивом равновесии, если равнодействующая всех приложенных к нему сил пересекает площадь опоры внутри контура основания.
Тело тем устойчивее, чем больше площадь основания и чем ниже расположен центр тяжести.
Пример 18. Вес G стены, имеющей в поперечном сечении форму прямоугольника ABDE (рис. 71), выражается в выбранном масштабе вектором CF, а наибольшее давление ветра в том же масштабе — вектором KL. Проверить стену на устойчивость.
Перенеся силу давления ветра по линии ее действия в центр тяжести С, строим на силах Р и G параллелограмм сил (в данном случае прямоугольник). Как видим, линия действия равнодействующей Р пересекает плоскость опоры АЕ внутри контура основания, следовательно, стена сохранит состояние устойчивого равновесия.
72
§ 48.	Вопросы для повторения
1.	Два однородных тела одинаковых размеров и формы изготовлены из материалов различного удельного веса. Будет ли центр тяжести занимать одно и то же положение в обоих телах?
2.	Два цилиндра одинаковых размеров; один из них однороден, а второй составлен по высоте из материалов различного удельного веса. Будет ли занимать центр тяжести одно и то же положение в обоих телах?
3.	В рамке ABCD, имеющей форму прямоугольника, стороны AD и ВС изготовлены из одного и того же материала, а стороны АВ и CD — из материала с другим удельным весом. Одинаково ли расположен центр тяжести в этой рамке и в рамке, изготовленной целиком из однородного материала?
4.	Сохранит ли кольцо (рис. 65) состояние безразличного равновесия, если точка пересечения нитей, в которой оно подвешено, не лежит в среднем сечении по толщине кольца?
5.	Будет ли планка (рис. 66, г) в состоянии безразличного равновесия, если геометрическая ось валика, на которой она насажена, не проходит посредине ее ширины?
§ 49.	Упражнения
12.	Найти центр тяжести площади треугольника АВС со сторонами АВ = 120 мм, BC — Q0 мм и ЛС = 150 мм,
13.	Треугольник, указанный в предыдущей задаче, выполнен из проволоки в виде рамки, стороны которой имеют одинаковое
Рис. 72
Рис. 73
сечение и изготовлены из однородного материала. Найти центр тяжести этой рамки.
Указание: приложить в центрах тяжести сторон векторы, пропорциональные их длинам, а затем найти центр этих параллельных сил.
14.	Найти центр тяжести пластинки, имеющей форму трапеции ABCD (рис. 72) со следующими размерами: а = 60 мм, Ь = — 20 мм, с= 10 мм *.
* Задачи 14—16 решить методом, указанным в п. 4 § 44.
73
15.	То же, рис. 73, размеры: а = 60 мм, Ь = 20 мм, мм, d = 10 мм.
16.	То же, рис. 74, размеры: а = 60 мм, 6 = 20 мм, с=20 мм, d=10 мм.
17.	Диск имеет с обеих сторон две пары приливов одинаковой толщины (рис. 75). Найти центр тяжести.
18.	Чугунный диск имеет прилив (рис. 76), центр тяжести которого расположен на расстоянии а=290 мм от оси диска. Какого веса груз К надо закрепить на диске на расстоянии 6 = 420 мм от той же оси (на том же диаметре), чтобы диск
оставался относительно своей оси в состоянии безразличного равновесия, если размеры прилива d = 80 мм; с =100 мм, а удельный вес у=7,25 г/см3?
Рис. 75
в
Рис. 74
19.	К вершине колонны (рис. 77) прикреплен стержень, образующий с горизонтом угол а=30° и растягиваемый силой Р = 200 кГ. Колонна в сечении имеет форму квадрата со стороной а = 0,5 м, а высота ее /г=4 м, с=200 мм. Определить
Рис. 76
Рис. 77
опрокидывающий момент относительно ребра К и коэффициент устойчивости, если вес 1 м3 колонны составляет 2200 кг.
Указание: разложить силу Р на горизонтальную и вертикальную составляющие.
74
Глава шестая
О ТРЕНИИ
§ 50.	Вредные сопротивления
Из опыта мы знаем, что для перемещения одного и того же груза по горизонтальной поверхности при различных условиях требуется различное усилие. Так, например, гораздо легче везти санки с грузом по плотному снегу, чем по земле, или тележку с грузом по асфальтовой дороге, чем по мостовой, и т. п. Объясняется это тем, что при перемещении одного тела относительно другого возникает особая сила сопротивления, называемая силой трения.
Сопротивление относительному движению двух соприкасающихся тел измеряется силой трения.
Пусть на токарном станке производится продольное обтачивание детали. Если бы отсутствовало трение между кареткой суппорта и направляющими станины, то сила, передаваемая каретке механизмом подачи, расходовалась бы целиком на осуществление процесса резания. Наличие же трения приводит к тому, что часть этой силы расходуется не по прямому назначению, требуя затраты двигателем станка дополнительной энергии. Поэтому трение принято называть вредным сопротивлением.
Если какое-нибудь тело перемещается, то оно встречает сопротивление воздуха или жидкости, т. е. сопротивление среды, которое, следовательно, также можно назвать вредным сопротивлением. Это сопротивление тем больше, чем больше скорость движения тела. Существуют и другие виды вредных сопротивлений. Поэтому очень важно знать, какими мерами можно уменьшить их действие — в первую очередь действие трения.
Отметим тут же, что понятие о трении как о «вредном сопротивлении» является условным. Как мы увидим в дальнейшем, трение часто оказывается необходимым.
§ 51.	Трение скольжения и трение качения
Трение бывает различных видов.
Представим себе какую-нибудь точку стола станка, лежащую на поверхности соприкосновения его с направляющими станины. При движении стола эта точка будет последовательно совпадать с бесчисленным множеством точек станины, лежащих на прямой линии, по которой эта точка перемещается. Такое движение называется скольжением, а возникающее при этом движении трение на поверхности касания — трением скольжения.
75
Совершенно иначе происходит движение, например, колеса по рельсу. Пусть в какой-то момент времени (рис. 78) точка Ki колеса совпадает с точкой К2 рельса. Спустя некоторый промежуток времени будут совпадать какие-то две другие точки L\ и А2, затем — точки Mi и М2 и т. д. Если длины дуг TGLi, LiMt и т. д. оказываются при этом соответственно равными длинам отрезков /<2^2, L2M2 и т. д., то такое движение называется качением. Оно, следовательно, характеризуется тем, что каждая точка одного тела совпадает с определенной точкой соприкасающегося с ним другого тела. Сопротивление, возникающее при качении тела, представляет собой тре-ние качения.
Если отрезки дуг KiM, ЦМХ и т. д. не равны соответствующим отрезкам Х2^2, L2M2 и т. д., то значит скольжением, следовательно, и
Трение скольжения иногда называют трением первого рода, трение качения — трением второго рода.
Как видим, сущность явлений скольжения и качения совершенно различна, различны поэтому и сопротивления движению одного тела относительно другого.
Вопросы.
1. Какого рода трение имеет место в следующих случаях:
а) при вращении вала во вкладышах подшипника, б) при вращении шпинделя станка в роликовых или шариковых подшипниках, в) при вращении обрабатываемой детали на неподвижном заднем центре?
2. Колеса автомобиля буксуют при трогании с места так, что автомобиль остается неподвижным. Какого рода трение имеет место между колесами и поверхностью земли?
§ 52. Основные законы трения скольжения. Коэффициент трения скольжения
Трение представляет собой сложное физическое явление. Величина трения в каждом отдельном случае зависит от ряда факторов. Рассмотрим некоторые из них и выясним, как они влияют на трение скольжения.
Проделаем следующий простой опыт. Нагрузим плитку, лежащую на горизонтальной плоскости (рис. 79), гирей определенного веса и будем тянуть привязанный к плитке шнурок, поместив между ней и пальцем пружинные весы (динамометр). Для равномерного перемещения плитки потребуется определенная сила, величину которой укажет динамометр. Сила эта будет
76
равна и прямо противоположна силе трения скольжения. При этом заметим, что в начальный момент, непосредственно предшествующий движению, показание динамометра будет больше, чем в дальнейшем, когда плитка будет двигаться равномерно.
Как видим, трение вызывается давлением, оказываемым плиткой на опорную плоскость, т. е. весом гири и плитки, направленным перпендикулярно к этой плоскости и называемым нор
мальным давлением.
Рис. 79
Опытным путем были установлены следующие законы трения скольжения.
1.	Величина силы трения пропорциональна нормальному давлению. Опыт показывает, что при изменении суммарного веса Q гири и плитки соответственно изменяется величина силы трения F. Это значит, что сила трения скольжения составляет какую-то долю от нормального давления, что может быть выражено зависимостью
~ = / или F = fQ.	(14)
Множитель f называется коэффициентом трения скольжения или коэффициентом трения первого рода. Можно, следовательно, сказать, что сила трения скольжения равна по величине нормальному давлению, умноженному на коэффициент трения скольжения.
Так как силы Q и F выражаются в одинаковых единицах, то коэффициент трения скольжения представляет собой отвлеченное число.
2.	Представим себе, что мы увеличили опорную поверхность плитки. Если подберем гирю так, чтобы вес ее вместе с плиткой остался прежним, то, повторив этот опыт, не заметим изменения движущей силы. Следовательно, сила трения осталась прежняя. Значит сила трения не зависит от величины поверхности соприкосновения. Мы можем это выразить иначе. Пусть в первом случае поверхность соприкосновения имела площадь Si см2, а во втором она составляла S2 см2, соответственно чему давление на 1 см2, называемое удельным давлением, в
Q	Q
первом случае равнялось = а во втором случае —
с>1
77
Следовательно, можно сказать, что сила трения скольжения не зависит от удельного давления.
3.	Изменив материалы, из которых изготовлены плитка или опорная плита, по которой она перемещается, заметим, что величина силы трения изменится. Далее, пусть в одном случае опорная поверхность плитки прострогана, а в другом случае отшлифована. Во втором случае сила трения будет меньше. Сила трения будет меньше при наличии смазки по сравнению с трением между сухими поверхностями.
Итак, величина силы трения при одном и том же нормальном давлении зависит от материала трущихся тел, способа обработки их поверхностей, характера смазки и рода ее.
4.	Наконец, величина силы трения не зависит от скорости скольжения, но в начальный момент движения трение больше, чем при установившемся движении, как об этом было сказано в начале этого параграфа. Соответственно этому различают так называемое тр е н и е покоя и трение движения.
В приложении I даются примерные числовые значения коэффициента трения скольжения для различных материалов и условий.
Вопросы
1. Можно ли судить о величине силы трения, зная только нормальное давление?
2. Что должно быть известно, чтобы определить силу трения?
Пример 19. Какое усилие потребуется для перемещения деревянного ящика с грузом общим весом 1200 кг по горизонтальным сосновым доскам, если коэффициент трения f—0,30?
По формуле (14) сила трения F—0,3 • 1200=360 кГ. Требуемое усилие должно быть не менее этой величины. В момент трогания ящика с места потребуется несколько большая сила.
Пример 20. К чугунной призме весом G=20 кг, равномерно движущейся по горизонтальным направляющим, приложена по направлению движения сила Р—2 кГ. Определить коэффициент трения .
По формуле (14) получим:
Пример 21. Чугунная призма весом G=12 кг равномерно перемещается под действием силы Р=23 кГ (рис. 80) по горизонтальной чугунной плите. Определить коэффициент трения, если сила Р образует с вертикалью угол «=14°.
Сила трения возникает под действием нормального давления, которое складывается из веса призмы G и вертикальной составляющей силы Р. Определим эту составляющую. Из ДАВС получим: Q = Pcos а.
Полное нормальное давление Qj = Q+G=Pcos a+G.
Следовательно, сила трения	(Pcos a+G)f. При равномерном дви-
жении движущая сила 7==Z)sina равна силе трения, т. е.
(P-COS a + G)/= Р-Sin а,
78
откуда
Р sin а	23 sin 14°	23 • 0,242
f = Рcos а + G 23 cos 14° + 12	23*0,97 + 12 = ’
Пример 22. По наклонной плоскости ABD (рис. 81) равномерно перемещается вниз призма К под действием собственного веса G. Определить коэффициент трения, если а=400 мм и Л = 100 мм.
Разложим силу G на две составляющие — одну Q, перпендикулярную к длине AD наклонной плоскости, и вторую составляющую Р, параллельную
Н
Рис. 80	Рис. 81
AD. Сила трения F=fQ уравновешивается составляющей Р. Определим последнюю.
Р Q	h
Из подобия треугольников ЕНС и ABD имеем: — == —, откуда P—Q — • h г
Приравняв эту составляющую силе трения, получим: Q—~fQ, откуда коэффи-
h 100
циент трения f= — = ттг = 0,25*
а 400
§ 53. Понятие о сухом и жидкостном трении
Сила трения Т зависит от состояния трущихся поверхностей. Если поверхности сухие, то они касаются непосредственно, как
0
Рис. 82
Рис. 83
это показано схематически на рис. 82. Как бы тщательно ни были обработаны поверхности обоих тел К и L, на них всегда имеются большие или меньшие неровности, величина которых определяется чистотой обработки. Под давлением силы Q эти неровности будут деформироваться, выступы одной поверхности будут вдавливаться во впадины, имеющиеся на поверхности второго
79
тела; между частицами, лежащими на обеих поверхностях, будут действовать силы сцепления. В результате этого возникнет сопротивление относительному движению обоих соприкасающихся тел. Это сопротивление называется сухим трением.
Представим себе теперь, что между сопрягаемыми поверхностями имеется слой смазки (рис. 83). При достаточной толщине а этого слоя он будет полностью разделять поверхности АВ и CD и их неровности не будут вступать в соприкосновение друг с другом. Благодаря этому при относительном движении трущихся тел сопротивление движению будут оказывать не неровности их поверхностей, а взаимодействие частиц смазочной жидкости. Трение этого вида называется жидкостным. Как нетрудно понять, в этом случае сопротивление движению будет меньше, чем при сухом трении. Очевидно также, что при жидкостном трении будет меньше и износ трущихся деталей и их нагрев. Вот почему строгое соблюдение правил, относящихся к смазке сопряженных взаимно движущихся деталей, является обязательным.
Как показывают опыты, толщина смазочного слоя колеблется в пределах от 0,005 до 0,05 мм.
Иногда имеет место трение промежуточного характера между сухим и жидкостным, когда смазочный слой только частично покрывает неровности трущихся поверхностей. В этом случае трение носит название полусухого или по лужи д-костного в зависимости от того, к какому основному виду трения оно ближе.
§ 54. Коэффициент трения качения
При качении имеет значение одна особенность, отличающая качение от скольжения. Так как теоретически цилиндр и плоскость касаются по прямой линии, шар и плоскость касаются в одной точке и т. п., то в месте касания таких поверхностей под
Ps> М
действием нормального давления возникают большие давления. В результате этого оба тела в этом месте деформируются. Как схематически показано на рис. 84, при качении цилиндра по плоскости он сплющивается по поверхности, соответствующей дуге аЬ> вдавливаясь вместе с тем в опорную поверхность и образуя впереди себя гребешок, препятствующий качению. Сопротивление качению вызывается и другими явления
Рис. 84
80
ми, в частности неровностями, имеющимися на поверхностях обоих тел; чем больше величины этих неровностей, тем больше величина сопротивления.
Рассмотрим, как определяется величина сопротивления качению. Пусть к катку, находящемуся под действием нагрузки Q (в которую включен и вес катка), на высоте h над опорной поверхностью (рис. 84) приложена горизонтально направленная сила Р-Перенеся обе эти силы в точку А пересечения их линий действия, сложим их по закону параллелограмма, в результате чего получим их равнодействующую /?, выражаемую вектором AD. Для того чтобы каток был в равновесии, эта сила должна уравновешиваться другой силой. Такой уравновешивающей силой является реакция АГ, приложенная к катку со стороны опорной поверхности и направленная по нормали к поверхностям касания (т. е. перпендикулярно к прямой, касательной к ним) в точке £. Для того чтобы силы /? и jV уравновешивались, они должны быть равны по величине и направлены в прямо противоположные стороны. Итак, силы 7? и TVno величине равны.
Разложим силу ./Уна две составляющие EF и EG по горизонтальному и вертикальному направлениям. Нетрудно видеть, что треугольники EHG и ACD равны между собой, откуда следует, что EF по величине равна силе Р, a EG — силе Q. Таким образом, мы получили две пары сил: Р и EF, Q и EG. Эти пары должны уравновешиваться, их моменты должны быть равны и иметь противоположные знаки. Момент первой пары равен Ph и положителен по знаку, момент второй пары равен по величине Qk, где к—расстояние точки приложения реакции N от вертикальной плоскости, проходящей через ось катка, и отрицателен. Приравняв друг к другу величины этих моментов, получим Ph = Q&, откуда найдем величину силы Р, необходимой для преодоления сопротивления движению катка:
Р=/с-^.	(15)
h
Величина плеча к пары зависит в первую очередь от твердости материалов обоих соприкасающихся тел и от тщательности отделки поверхностей. Поэтому величиной отрезка к принято измерять коэффициент трения качения. Как видим, в отличие от коэффициента трения скольжения коэффициент трения качения выражается именованным числом в единицах длины (см, мм).
Если сила Р приложена на уровне центра О, то, подставив в формулу (15) значение h, равное радиусу R катка, получим:
<16)
81
Если же сила Р приложена в точке М на высоте Л, равной диаметру D катка, то
Pd = к .	(17)
Из сказанного выше вытекает, что коэффициент трения качения тем меньше, чем больше твердость тел, катящихся друг относительно друга, и чем тщательнее обработаны их поверхности.
В приложении II даны для некоторых случаев значения величин коэффициентов трения качения.
При определении силы, необходимой для перемещения транспортных машин, кроме трения качения между колесами и полотном дороги или рельсами, надо учесть еще трение скольжения на осях. При решении подобных задач пользуются формулой, выражающей зависимость силы тяги Р от давления N на ось и учитывающей оба вида трения:
P = fN.	(18)
Коэффициент f называется общим коэффициентом трения.
Вопросы
1. В чем основное отличие коэффициента трения качения от коэффициента трения скольжения?
2. Как выгоднее прикладывать движущую силу Р при качении (дальше или ближе к опорной поверхности)?
Пример 23. Деревянный барабан вместе с содержащимся в нем грузом весит 1,2 т. Какую силу Р надо приложить к нему на высоте оси в случае рав-
Рис. 85
номерного качения по горизонтальному деревянному настилу, если диаметр барабана D= = 1,5 м.
Задав вес барабана в килограммах, радиус его в сантиметрах и приняв коэффициент тре-1200 ния равным 0,08 см, получим: Р=0,08-—- = 75
= 1,3 кГ.
Если тот же груз тащить в деревянном ящике по деревянному настилу, то при коэффициенте трения скольжения дерева по дереву f^0,5 получим необходимую силу:
Р = 1200-0,5 = 600 кГ.
Пример 24. Как известно, размеры тел при колебаниях температуры изменяются. Это приходится учитывать, в частности, при проектировании металлических мостов. Если мост имеет, например, две опоры, то одну из них делают подвижной. Подобная опора схематически показана на рис. 85, где между нижней неподвижной подушкой А и верхней подушкой В, связанной с мостовой фермой, помещаются цилиндрические катки.
Пусть давление со стороны моста на опору Q = 200 Т, диаметр катков </=150 мм, все части опоры изготовлены из стали. Требуется определить силу сопротивления, которую опора оказывает при удлинении фермы летом или сокращении — зимой.
82
В данном случае имеет место качение каждого катка по двум плоскостям ab и cd. Так как обе подушки изготовлены из одного и того же материала, то коэффициент трения также один и тот же. Искомая сила сопротивления равна: F1+F2, где Fi — трение качения по плоскости ab, a F2— по плоскости cd. Применив формулу (17), получим:
Л + F2 — к ~ + к -	— к -----,
d	d	d
где G — вес катка.
Пренебрегая незначительным весом катков по сравнению с силой Q и приняв к=0,006 см, получим искомую силу, направленную вдоль моста, равную:
0,006-
2 - 200 000
15
- 160 кГ.
§ 55. Роль трения в природе и технике
Выше было указано, что трение только условно можно считать вредным сопротивлением. Нетрудно представить себе, что, если бы отсутствовала сила трения, невозможны были бы ходьба по ровной поверхности и движение паровоза по рельсам, ни один предмет не удержался бы на наклонной поверхности, гвоздь не удержался бы в скрепляемых деталях и т. п.
Трение в технике играет двоякую роль. Создавая добавочное сопротивление движению деталей в машинах, трение требует для его преодоления затраты определенного количества энергии, которая могла бы быть использована по прямому назначению машины. В этом смысле оно играет вредную роль. Но с другой стороны только благодаря трению возможно применение болта и гайки, использование ремней для передачи вращательного движения и т. п.
Таким образом, мы принимаем меры для максимального уменьшения силы трения между движущимися деталями и одновременно добиваемся того, чтобы эта сила была возможно большей в тех элементах машины, в которых трение играет положительную роль.
§ 56. Вопросы для повторения
1. На плите А (рис. 86) лежат призмы В и С. Сила трения между В и А равна Fb сила трения между В и С равна F2. К призме С приложена сила Р.
Как будут двигаться эти призмы в следующих трех случаях: а) если сила Р меньше ше силы Fj;
б) если сила Р меньше ше силы F2;
в) если сила Р меньше
силы
но боль-
силы F1( но боль-
каждой в отдель-
-Q
2. Возможно ли под действием силы Р (рис. 84) не качение, а скольжение катка? При
каком условии может иметь место это явление?
Рис. 86
83
§ 57.	Упражнения
20.	Для равномерного передвижения по горизонтальной плоскости груза весом 120 кг потребовалась сила, действующая в том же направлении и равная 15 кГ. Определить коэффициент трения скольжения.
21.	Во сколько раз больше было бы усилие Р (пример 24, рис. 85), если бы между подушками А и В не было катков (при коэффициенте трения стали по стали всухую f=0,15)?
Рис. 87

Рис. 89
Рис. 91
22.	к призме весом G = 20 кг приложена сила Р, направленная в одном случае под углом а—35° к горизонтали вверх (рис. 87), а в другом случае — вниз (рис. 88). Чему в каждом из этих случаев должна равняться величина силы, чтобы призма перемещалась равномерно, если коэффициент трения f = 0,25?
23.	В вертикальных чугунных направляющих (рис. 89) равномерно поднимается стальной ползун весом 6=10 кг под действием силы Р, образующей с вертикалью угол а = 30°. Определить величину этой силы, если направляющие смазаны (f = 0,08).
24.	Как изменится решение задачи при условии, что ползун равномерно опускается?
25.	Груз, лежащий на стальной плите, перемещают по деревянному настилу при помощи стальных катков диаметром 100 лш (рис. 90). Определить необходимую для этого силу Р, если вес груза с плитой G = 300 кг, коэффициент трения между плитой и катками к—0,005 см, а между катками и настилогд Ki = 0,25 см (весом катков пренебрегаем).
26.	Чему должен равняться угол а подъема наклонной плоскости, чтобы цилиндр радиуса R равномерно скатывался по ней под действием собственного веса, если коэффициент трения качения равен к (рис. 91)?
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕМАТИКА
Глава седьмая
ТРАЕКТОРИЯ ТОЧКИ. ПУТЬ И ВРЕМЯ
§ 58.	Содержание кинематики
Пусть требуется настроить токарный станок на операцию продольного обтачивания валика. Значит, надо выполнить настройку станка так, чтобы обеспечить при заданной глубине резания необходимые скорость резания и подачу, т. е. сообщить обрабатываемому валику соответствующее число оборотов, а резцу — заданное перемещение в осевом направлении в течение одного оборота детали. Это осуществляется настройкой механизмов, передающих движение от электродвигателя шпинделю и суппорту станка. При этом никаких расчетов, относящихся к определению сил, действующих на детали станка, не делается.
Таким образом, задача решается только со стороны кинематики, т. е. на основе выводов того раздела механики, который исследует движение вне зависимости от обусловливающих его сил. В кинематике пользуются только не отделимыми от движения понятиями пространства и времени.
Чтобы определить положение твердого тела, движущегося в пространстве, надо знать, как найти положение любой его точки в определенный момент времени. Поэтому, чтобы изучить движение тела в целом, необходимо сначала установить кинематические зависимости между элементами движения одной его точки. Соответственно этому кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела.
Как увидим в дальнейшем, во многих случаях для решения задач о движении тела в целом достаточно знать движение одной его точки.
§ 59.	Основные понятия кинематики
Движущаяся точка в различные моменты времени занимает различные положения в пространстве. Непрерывная линия, описываемая точкой в процессе ее движения, называется траек-85
торией точки. Форма траектории служит одним из признаков, характеризующих движение.
Если траектория представляет собой линию, которую можно совместить с плоскостью, то движение называется плоским, как, например, движение точки колеса, катящегося по прямолинейным рельсам, движение любой точки резца токарного станка и т. п. Если движение не отвечает этому условию, то оно является пространственным, как, например, движение точки гайки, навинчиваемой на болт, движение точки, лежащей на режущей кромке сверла (при работе сверлильного станка), и т. п.
Если траектория имеет форму прямой линии, то движение называется прямолинейным — в отличие от криволинейного движения, когда точка движется по траектории, имеющей криволинейную форму. Криволинейное движение тоже может быть различным в зависимости от формы кривой, по которой точка движется, — оно может быть круговым (если траектория представляет собой окружность или дугу окружности), эллиптическим, винтовым и т. д.
Вопросы,
1.	Укажите виды движения точек следующих предметов:
а)	шпинделя станка при его вращении;
б)	токарного резца при продольной подаче;
в)	токарного резца при фасонном обтачивании (при помощи копира);
г)	сверла, установленного в задней бабке токарного станка, при сверлении.
2.	Приведите примеры других видов движения.
Пример 25. Представим себе, что по
Рис. 92	Рис. 93
Пусть в начальный момент прямая касается окружности в точке 0. Через некоторый промежуток времени будет совпадать какая-нибудь точка а прямой с точкой 1 окружности. Затем будут совпадать точки b и 2 и т. д. Отсюда следует, что при отсутствии скольжения отрезок 0а должен равняться дуге 01» отрезок ab — дуге 12 и т. д.
86
Отложим дуги 01, 12, 23 и т. д. по окружности. Так как касательная перпендикулярна к радиусу в точке касания, то, проведя в точках 1, 2, 3 и т. д. перпендикуляры к радиусам и отложив отрезки l/nb 2т2, Зт3 и т. д., равные соответственно дугам 01, 01 + 12, 01 + 12+23 и т. д., получим ряд точек m2t тэ и т. д., которые лежат на искомой траектории. Для облегчения построения удобно разделить окружность на несколько равных частей и затем откладывать одну часть соответствующее число раз на касательных.
Так как циркулем можно измерить не дугу, а хорду, то чем на большее число равных частей мы разделим окружность, тем точнее получится построение. Полученная кривая называется эвольвентой, или разверткой круга.
Таким образом, если стержень будет катиться без скольжения по боковой поверхности диска, то его точки описывают траектории, представляющие собой эвольвенты круга.
Вычертить эвольвенту можно так. Возьмем плоскую круглую пластинку О (рис. 93) и прикрепим к ней одним концом тонкую гибкую нить. Намотав на пластинку эту нить, привяжем второй ее конец к карандашу. Натягивая нить, будем ее сматывать с пластинки, одновременно ведя острие карандаша по неподвижной бумаге. В результате получим на бумаге эвольвенту круга. В положении, изображенном на рисунке, карандаш вычертил отрезок АК эвольвенты, причем отрезок МК нити, смотанный с пластинки, равняется длине дуги МА,
Эвольвентные кривые имеют широкое применение в машиностроении, в особенности в зубчатых колесах, где профили зубцов очерчиваются чаще всего по этой кривой.
§ 60. Нахождение пути, пройденного точкой, по ее положениям на траектории
Одной траектории недостаточно для полного определения положения на ней движущейся точки, так как надо еще знать, насколько точка переместилась за тот или иной промежуток
времени и в каком направлении.
Пусть кривая АВ — траектория движущейся точки М (рис. 94).
Будем отсчитывать расстояние
точки в различные моменты вре-	О м
мени от произвольно взятой точ-	---- °-----—
ки О, называемой началом	tQ
отсчета.
Допустим, что в момент tQ дви
Рис. 94
жущаяся точка занимает поло-
жение Mq на расстоянии а0 от начала отсчета О, а в момент двигаясь справа налево, она занимает положение Mi на рас
стоянии ai от того же начала отсчета.
Пусть, далее, точка меняет направление своего движения, двигаясь слева направо, и в момент t2 оказывается в точке О. Следовательно, за весь рассматриваемый промежуток времени точка М прошла путь, равный сумме дуг:
а0 + ai + ai = ао +
Так как точка может занимать два положения (с одной и другой стороны от начала отсчета), находящиеся на одном 87
расстоянии от начала отсчета, то расстоянию приписывается алгебраический знак: если, например, считать расстояния, отсчитываемые вправо, положительными, то расстояния, отсчитываемые в противоположную сторону, следует считать отрицательными.
Пример 26. Точка М движется по прямолинейной траектории так, что расстояние ее $ от начала отсчета в любой момент времени удовлетворяет уравнению: s—25+7/—4/2, где s — расстояние от начала отсчета в сантиметрах, a t — время в секундах. Найти положения точки на траектории в моменты времени /0—О сек, /1=1 сек, t2—2 сек, t3—3 сек, /4 —4 сек и ^=5 сек (рис. 95).
Пусть начало отсчета взято в точке О. В начале рассматриваемого промежутка времени /о=О; подставив /=0 в заданное уравнение движения, по-
Рис. 95
лучим So—25 см, т. е. в начальный момент точка М находится в положении Мо на расстоянии s0=25 см от точки О. Подставляя последовательно в заданное уравнение вместо t значения 1, 2, 3, 4 и 5 сек, получим соответственно расстояния: Si=28 см, $2=23 см, s3=10 см, s4— —11 см и s5= —40 см. Нанесем положения Afi, М2, М3, Л14 и М5 движущейся точки в эти моменты. Положительные расстояния отложим вправо от точки О, а отрицательные — влево. Путь, пройденный точкой за все пять секунд, составит в данном случае MgAfi+Л41Л15=$1—Sq+Sj+s5=28—25+28+40=71 см.
§61. Построение траектории по заданным координатам
Итак, чтобы найти положение движущейся точки в любой момент времени, нужно отложить на траектории соответствующее этому моменту расстояние этой точки от начала отсчета.
Какие же данные нужны для построения самой траектории?
Пусть плоская траектория изображается линией АВ (рис. 96). Проведем две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу. В какой-то момент времени to движущаяся точка находится в начальном положении А, затем в момент Л она оказывается в положении Mi, в момент времени t2— в положении М2 и т. д. Опустим из точек А, М2 и т. д. перпендикуляры Аа0, М2а2 и т. д. на ось Ох и перпендикуляры ЛЬ0, М2Ь2 и т. д. на ось Оу. Как видим, длины этих отрезков определяют положение движущейся точки в соответствующий момент времени.
88
Следовательно, такие две взаимно перпендикулярные оси позволяют построить траекторию по заданным длинам перпендикуляров. Напомним, что отрезки этих перпендикуляров, дающие расстояния точки от осей Ох и Оу, называются координатами, а оси Ох и Оу называются координатными. Отрезки
Оа2 и т. д., представляющие собой расстояния точек от оси Оу, называются абсциссами, а прямая Ох — осью абсцисс, отрезки же ObQ, ОЬЬ ОЬ2 и т. д., дающие расстояния точек от оси Ох, называются ординатами, а прямая Оу — осью ординат.
Теперь можно сказать короче: отложив абсциссу и ординату движущейся точки для рассматриваемого момента и восставив
Рис. 96
Рис. 97
перпендикуляры, мы в пересечении этих перпендикуляров получим положение точки на траектории в рассматриваемый момент времени.
Проведя затем через полученные точки плавную линию, получим в соответствующем масштабе траекторию движущейся точки.
Пример 27. Движение точки происходит по траектории, точки которой определяются координатами из следующих уравнений:
х — 2^2 и у = 5 + 3t, где координаты х и у даны в сантиметрах, а время t—в секундах. Построить траекторию движения точки для первых пяти секунд.
Проводим координатные оси Ох и Оу (рис. 97). Вычисляем координаты для начального момента t~Q и для моментов в конце первой, второй и т. д. секунд. Подставив в данные уравнения /—О, получим х=0 и у=5 см. Приняв масштаб 1 : 10, откладываем на оси Оу от точки О отрезок ОМо=5 мм. Подставив /=1 сек, получим Х[ —2 см и yi = 8 см, соответственно чему отложим в выбранном масштабе абсциссу Oai — 2 мм и затем на перпендикуляре, восставленном в точке й], отложим ординату ^1^ = 8 мм, в результате чего получим вторую точку траектории. Поступая так же дальше, получим шесть точек, принадлежащих вычерчиваемой траектории. Затем проведем через все полу
89
ченные точки плавную кривую линию, которая и представит собой всю требуемую траекторию *.
Заметим, что, имея траекторию, можно найти на ней положение движущейся точки для любого времени в промежутке от /=0 до /=5 сек. Так, если бы потребовалось найти положение точки в момент Z=4,5 сек, то мы бы вычислили абсциссу х=2 • 4,52=40,5 см, отложили бы ее в масштабе (отрезок Оа 4 5= 40,5 мм) и восставили бы перпендикуляр в точке а45. Точка М45 и дает искомое положение движущейся точки.
§ 62. График движения и уравнение движения
Расстояния движущейся точки от начала отсчета в зависимости от времени во многих случаях удобно изображать в прямоугольной системе координат.
А $
Рис. 98
Пусть траектория точки М изображается в определенном масштабе кривой АВ (рис. 98, а), на которой точки Л1Ь Л12, Af3 и т. д. представляют собой положения точки М в моменты Л,
* Если бы точки на каком-нибудь участке расположились редко, что затруднило бы проведение кривой, то следовало бы взять промежуточное значение времени (например, /=2,5 или 3,5 сек и т. д.).
90
/3 и т. д. Начальное положение точки — Л10, начало отсчета — точка О.
Построим прямоугольную систему координат Ot и Os (рис. 98, б), в которой по оси абсцисс Ot будем откладывать в выбранном масштабе время движения точки М, а по оси ординат Os — ее расстояния от начала отсчета. Восставив в точках Л, t2 и т. д. перпендикуляры, будем откладывать на них отрезки, выражающие в выбранном масштабе расстояния движущейся точки от начала отсчета О, соответствующие этим моментам времени, причем расстояния, расположенные справа от точки О, будем считать положительными, а расположенные слева — отрицательными. Первые будем откладывать вверх, вторые — вниз. Соединив все полученные таким образом точки /По, пг2 и т. д., получим кривую, позволяющую сразу найти расстояние движущейся точки от начала отсчета О (рис. 98, а) в любой момент времени в пределах от /=/о = О до /~/9.
Полученную таким образом кривую (рис. 98, б) можно, следовательно, назвать кривой расстояний. Она наглядно показывает, как изменялось расстояние движущейся точки от начала отсчета. Так, мы видим, что в начальный момент при / = 0 это расстояние выражалось ординатой От0, равной в выбранном масштабе дуге ОМ0 на рис. 98, а; затем это расстояние увеличивалось до момента t2, когда оно равнялось в выбранном масштабе ординате t2m2\ далее оно уменьшалось, обратившись в нуль в момент t$ (на рис. 98, а точка Л15 совпадает с О, т. е. точка М проходит через точку О, двигаясь справа налево); после этого точка, продолжая двигаться в том же направлении, перешла в область отрицательных расстояний, удалившись к моменту t7 на наибольшее расстояние t7m7, равное длине дуги ОМ7 на рис. 98, а. В этот момент точка меняет направление своего движения, приближается к началу отсчета и в момент /9 ее положение совпадает с точкой О.
Как видим, ординаты, соответствующие положительным расстояниям, отложены вверх от оси абсцисс, а ординаты, соответствующие отрицательным расстояниям, — вниз от этой оси.
По кривой расстояний можно определить расстояние точки от начала отсчета в любой момент времени; так, например, в момент времени оно будет выражаться ординатой
Эта же кривая дает возможность определить перемещение, или, иначе, путь, пройденный точкой за тот или иной промежуток времени. Поэтому ее можно назвать кривой перемещений или графиком движения (пути).
В процессе движения точки ее абсцисса и ордината изменяются с течением времени. Уравнения	и y = h(t), выражаю-
щие координаты точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения.
91
§ 63.	Вопросы для повторения
1.	Какое движение — плоское или пространственное — совершает точка, принадлежащая: а) патрону токарного станка, б) патрону сверлильного станка, в) приводному шкиву станка, г) клуппу при нарезании резьбы вручную?
2.	Какое движение — прямолинейное или криволинейное — совершает точка, принадлежащая: а) подрезному резцу на токарном станке, б) ползуну поперечно-строгального станка, в) ходовому винту токарного станка и сопряженной с ним гайке?
3.	Чему равно расстояние движущейся точки от начала отсчета для момента времени, когда кривая расстояний пересекает ось абсцисс?
§ 64.	Упражнения
27.	Вычертить эвольвенту для одного полного оборота прямой, обкатывающей окружность диаметром 40 мм.
28.	Точка движется по прямолинейной траектории так, что расстояние ее s от начала отсчета удовлетворяет уравнению s = “20 + 7/—З/2, где s выражено в сантиметрах, a t — в секундах. Задавшись масштабом, нанести на траекторию положения точки в моменты /) = 1 сек, /г=2 сек, /З=3 сек, сек, t5=5 сек.
29.	Траектория движущейся точки определяется координатами: х=10/ и у =10 + 9/, где / — время в секундах. Вычертить траекторию.
30.	Описать движение точки по кривым расстояний, показанным на рис. 99 и 100, указав: а) движется ли точка без остановок или в течение некоторых промежутков времени находится в неподвижном состоянии относительно начала отсчета, б) в какие отрезки времени она приближается к началу отсчета в области положительных расстояний, в) то же — в области отрицательных расстояний, г) проходит ли точка через начало отсчета и в какой момент, д) в какой момент времени точка удаляется на наибольшее расстояние от начала отсчета.
92
Глава восьмая
ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 65.	Равномерное движение
Простейшим видом движения точки является прямолинейное, когда траектория представляет собой прямую линию. Но, как выше было показано, одна траектория еще не определяет движения точки полностью, нужно еще знать, как меняется расстояние точки от начала отсчета, т. е. точки, принятой за неподвижную.
Пусть точка, движущаяся по прямолинейной траектории АВ (рис. 101), в начальный момент занимала положение Мо на рас-
м2
Рис. 101
стоянии OAlo = So от начала отсчета О. Перемещаясь вправо, точка в момент времени t\ заняла положение М\, отстоящее от точки О на расстоянии ОМ\ —а в момент /2 она заняла положение М2 на расстоянии OM2 — s2. Таким образом, за промежуток времени t\—/о точка переместилась на величину $1—s0, а за промежуток времени t2—6 — на величину s2—Разделив пройденный точкой путь на соответствующий промежуток времени, получим —--и
h —
Пусть эти отношения равны между собой, т. е.
S] — So __ $2 —
Это означает, что отношение путей, проходимых точкой, к соответствующим промежуткам времени есть величина постоянная. Если это условие удовлетворяется, то движение называется равномерным. При этом движении путь, проходимый точкой, увеличивается во столько раз, во сколько увеличивается время. Короче можно сказать, что при равномерном движении точки проходимый ею путь пропорционален времени.
Если t2—t\ — t\—то и $2—$i=$i—$о, т. е. при равномерном движении пути, проходимые точкой в равные промежутки времени, равны между собой.
93
§ 66. Скорость и путь при равномерном движении
Обозначим в общем виде перемещение точки при равномерном движении за промежуток времени t через $. Чем больше пройденный путь s и чем меньше время, затраченное на это перемещение, тем быстрее происходит это движение, или, короче, тем больше его скорость. Обозначив ее через v, получим:
* = <19) 1г
т. е. скорость равномерного движения измеряется частным от деления пути, пройденного точкой, на соответствующий промежуток времени.
Если в начальный момент точка находилась на расстоянии «о от начала отсчета, а по истечении времени t она занимает положение на расстоянии s от того же начала, то скорость выражается отношением
V =	(20)
Отсюда получим уравнение равномерного движе-н и я:
s — s0 + vt,	(21)
где So — расстояние точки от начала отсчета в начальный момент. Если за начало отсчета принять положение точки в начальный момент рассматриваемого движения, то расстояние s0 обращается в нуль и уравнение движения имеет следующий вид:
s - <vt.	(22)
Путь, пройденный точкой в равномерном движении, равен скорости, умноженной на время, в течение которого этот путь пройден.
Так как путь измеряется в единицах длины, то скорость вы-ед. длины ражается в ------------.
ед. времени
Если в качестве единицы длины принят метр, а единицы вре-м
мени — секунда, то скорость оудет выражаться в —; если дли-сек
на выражена в километрах, а время — в часах, то скорость выра-км
зится в — и т. д.
ч
Скорость, выраженную в другие единицы, например:
одних единицах, легко перевести в
, км 1000 м 1000 м*
1 — —-------- = -------- и т< Де
ч 60 мин 60 • 60 сек
_1
* Как известно из алгебры, — ^ab , поэтому иногда пишут размерность b
скорости и так: м • сек 1, м - мин 1 и т. д.
94
Скорость определяется не только ее числовым значением, но и направлением. Поэтому скорость представляет собой векторную величину*. При прямолинейном движении скорость направлена по траектории в сторону движения.
Пример 28. На токарном станке обтачивается валик на длину 1000 мм. Определить продолжительность одного прохода резца, если шпиндель делает 800 об!мин, а подача резца на один оборот равна 0,2 мм.
Определим скорость движения резца. При 800 об!мин резец перемещается мм
на 0,2 * 800=160 мм, т. е. скорость резца v= 160~—. Для выполнения всей опе-мин
рации резец должен переместиться вдоль станины на *5=1000 мм, следова-s 1000
тельно, искомое время t = — = —— = 6,25 мин = 6 мин 15 сек.
v 160
§ 67. Графики пути и скорости при равномерном движении
Рассмотрим, как выражается графически зависимость между
пройденным путем и временем при равномерном движении.
Возьмем прямоугольную систему координат с осью времени
Ot и осью расстояний Os (рис. 102, а). Отложим по оси ординат отрезок ОА, выражающий в определенном масштабе расстояние движущейся точки в начальный момент от начала отсчета. Вычислив затем по уравнению (21) расстояния s этой точки в моменты /2, и т. д. и построив, как это было сделано выше, график
пути, убедимся, что линия, проходящая через точки Д, пг2 ит. д., представляет собой прямую линию. Отсюда следует, что для построения прямой АВ достаточно отложить отрезок ОА, выражающий начальное расстояние и другую ординату, соответствующую какому-нибудь моменту. Проведя через обе полученные точки прямую АВ, получим в графиче-
а)
V - const ---------------ь
6)
Рис. 102
ской форме зависимость, выраженную уравнением (21).
Полученный график дает возможность определить для любо-
го момента времени расстояние движущейся точки от начала отсчета и пройденный ею путь; так, например, это расстояние в момент t2 выражается ординатой t2m2, а путь, пройденный точкой
а
Вектор скорости обозначается так же, как и вектор силы.
95
за промежуток времени /2—^о, выразится в том же масштабе отрезком tz'niz.
Возьмем другую прямоугольную систему координат (рис. 102, б), где по оси Ot будем откладывать время, а по оси ординат— скорость в выбранном нами масштабе (ордината Оа).
Так как скорость постоянна, то, проведя из точки а прямую ab, параллельную оси Ot, получим график скорости.
Построенные нами графики относятся к случаю, когда движение точки происходит в том же направлении, в котором отложено начальное расстояние $о от начала отсчета и которое принято за положительное. В этом случае расстояние точки от начала отсчета увеличивается. Если движение происходит в обратном направлении, то скорость будет отрицательна и уравнение (21) примет вид:
s = sQ — vt.
(23)

и А
и* const
Рис. 103
Рис. 104
Соответственно этому расстояние движущейся точки от начала отсчета будет с течением времени уменьшаться (рис. 103), а скорость, оставаясь постоянной по величине, будет отрицательна, поэтому соответствующий ей отрезок должен быть отложен вниз от оси Ot (рис. 104).
Так как зависимость пути от времени выражается прямой линией, то говорят, что равномерное движение происходит по закону прямой линии.
Вопросы
Для двух точек, движущихся равномерно, вычерчены кривые перемещений в одинаковых масштабах времени и расстояний. Прямая АВ для одной точки образует с горизонтальной прямой АС (рис. 102, а) больший угол, чем для другой точки. Что можно сказать о скоростях движения этих точек?
Пример 29. На продольно-строгальном станке обрабатывается деталь длиной 2800 мм со скоростью резания vp=21 м/мин, скорость холостого хода Ох=30 м/мин. Вычертить графики перемещения и скорости.
При указанных скоростях продолжительность рабочего хода составит:
96
и продолжительность холостого хода
= — мин = — -60 сек — 5,6 сек.
х 30	75	75
Проведем оси Ot, Os и Ot, Ov (рис. 105). На осях Ot откладываем время в масштабе 1 сек в 5 мм. На оси Os откладываем расстояния в масштабе 1 в 100, а на оси Ov откладываем скорости в масштабе 20 мм!сек в 1 мм.
в
S мм
3000-
&мм
12 3 4 5 6 7	8 9 10 11 12 13 1й
Рис. 105
В конце восьмой секунды расстояние любой точки детали от начального положения составляет 2800 мм (точка В на рис. 105, а), после чего деталь перемещается в обратном направлении и спустя 13,6 сек возвращается в на чальное положение s=0.
Скорость у = 21 м/мин—350 мм/сек остается постоянной до конца восьмой секунды (точка b на рис. 105, б), после чего скорость меняет свой знак (стол перемещается в обратном направлении).
§ 68. Неравномерное движение. Средняя скорость и среднее ускорение
Неравномерным, или переменным, называется такое движение, при котором точка в равные промежутки времени проходит неравные пути.
Пусть в момент t\ расстояние точки от начала отсчета равно si, в момент /2 это расстояние $2- Следовательно, путь, пройденный за промежуток времени t2—Л, равен s2—Разделив этот путь на соответствующий промежуток времени, получим не-4—1599	97
которую скорость 0Ср, называемую средней скоростью за данный промежуток времени, т. е.
^==7^.	(24)
В действительности точка двигалась в течение этого времени не с одной и той же скоростью. Средняя скорость имеет лишь тот смысл, что, двигаясь со скоростью иСр равномерно, точка прошла бы за тот же промежуток времени t2—тот же путь s2—Si, который она в действительности проходит с переменной скоростью. Таким образом, средняя скорость не дает представления о скоростях, которые точка в действительности имела в различные моменты времени.
Однако во многих случаях в технике приходится пользоваться понятием средней скорости.
В отличие от средней скорости скорость при переменном движении относится к очень малому промежутку времени; истинная скорость переменного движения является мгновенной скоростью в данный момент времени. Если бы с рассматриваемого момента времени t движение продолжалось равномерно, то мгновенная скорость в этот момент равнялась бы скорости дальнейшего равномерного движения.
Из сказанного вытекает, что, чем меньше будет взят промежуток времени в формуле (24), тем ближе будет числовое значение средней скорости к значению мгновенной скорости.
Так как скорость переменного движения не постоянна, то в каждый момент времени она получает некоторое приращение, которое может быть положительным или отрицательным: в первом случае скорость будет увеличиваться, а во втором случае—• уменьшаться.
Пусть в момент величина скорости равна гл, а в момент Г2 она равна v2.
Отношение приращения v2—V\ скорости к соответствующему промежутку времени t2—Л представляет собой среднее ускорение аср за этот промежуток времени, т. е.
Чем меньше взят промежуток времени t2—Л, тем ближе величина среднего ускорения к значению ускорения для данного момента.
Ускорение, так же как и скорость, представляет собой векторную величину.
Если ускорение имеет одинаковый знак со скоростью, то оно направлено в сторону движения; в противном случае оно направлено в сторону, противоположную движению.
98
Как видим из формулы (25), ускорение выражается в
ед. длины ,	ч ед. длины
—-----------: (ед. времени) = —-----------.
ед. времени	(ед. времени)2
Так, например, если скорость выражена в м/сек, то размерность ускорения будет м!сек2 = мсек~2.
Пример 30. Ползун поперечно-строгального станка, двигаясь неравномерно, совершает рабочий ход 400 мм в течение 1,25 сек. Если этот интервал времени разделить на 8 равных промежутков, то окажется, что в течение первого промежутка резец переместился на $1=22 мм, в течение второго промежутка на s2—$1 = 71—22=49 мм, в течение третьего промежутка на $з—$г= «134—71=63 мм, в течение четвертого промежутка на $♦—$з~200—134= «66 мм.
Определить среднюю скорость ползуна за время рабочего хода, а затем ва четыре указанных равных промежутка времени, в течение которых ползун проходит половину рабочего хода.
Определим среднюю скорость за весь ход ползуна, т. е. за 1,25 сек:
и
ср —
400
1,25
= 320 мм/сек — 19,2 м)мин.
Далее найдем среднюю скорость за первый промежуток времени —/&:
22*8
Vcpl - 1,25
141 мм1сек = 8,45 м/мин.
Для других промежутков времени получим:
49-8
мм/сек — 18,82 м/мин;
^Ср2 —
«314
мм! сек = 24,19 mImuh;
66*8
^ср< — 1 л.- ~ 422 1 t
мм'сек = 25,34 м)мин.
Как видим, средние скорости за отдельные равные промежутки времени вначительно отличаются друг от друга и от средней скорости за полный ход ползуна.
§ 69. Равнопеременное движение. Скорость и ускорение
Простейшим видом переменного движения является равнопеременное, при котором скорость в равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Другими словами можно сказать, что переменное движение, при котором ускорение является постоянным, называется равнопеременным.
Рассмотрим, как определяется скорость равнопеременного движения для заданного момента времени.
Пусть величина скорости движущейся точки в начальный момент равна Vo. Если ускорение равно а, то приращение скорости 4*	99
по прошествии промежутка времени t будет at, следовательно, скорость в конце этого промежутка будет:
vt = + at.	(28)
Если начальная скорость точки t>o=O, то конечная скорость vt = at.	(27)
При этом следует помнить, что ускорение может быть поло; жительным или отрицательным: в первом случае оно направлено в сторону движения, и движение называется равноускорен-н ы м, во втором случае ускорение направлено в сторону, противоположную движению, соответственно чему движение называется равнозамедленным. В последнем случае в формулу (26) ускорение подставляется со знаком минус.
Вопросы
1. Как 'изменяется скорость движущейся точки при равнопеременном движении, если ускорение положительно?
2. То же, если ускорение отрицательно?
Пример 31. В некоторый момент времени поезд, имея скорость 45 /си/ч, пошел под уклон и приобрел по прошествии 1,5 мин скорость ^1=54 км/ч. Определить ускорение.
Применим формулу (26). Начальная скорость о0—45 кл</ч=12,5 м/сек, промежуток времени f—1,5 лшн=90 сек и соответствующая этому моменту скорость v/=c?9o~54 /сл/ч=15 м/сек. Сделав подстановку, получим:
15 — 12,5 + а-90, откуда а =
15 — 12,5
90
= 0,028 м/сек?.
§ 70. Путь, пройденный в равнопеременном движении
Зная, как найти скорость равнопеременно движущейся точки, перейдем к определению пройденного ею пути.
Выразим графически полученное выше уравнение (26), связывающее скорость, ускорение и время.
Возьмем прямоугольную систему координат Ot и Ov (рис. 106), в которой по оси абсцисс будем откладывать время, а по оси ординат — соответствующую выбранному моменту времени скорость. При равномерном движении график скоростей (см. рис. 102, б) представляет собой прямую линию, параллельную оси времени Ot. При равнопеременном движении эта прямая пойдет наклонно, образуя некоторый угол с осью Ot.
В начальный момент t = 0 скорость точки равна и0, поэтому отложим на оси Ov отрезок ОА, выражающий в выбранном масштабе величину этой скорости. При равнопеременном движении приращение скорости пропорционально времени. Поэтому, вычислив скорость для какого-нибудь момента времени, восставим перпендикуляр в соответствующей точке оси абсцисс и отложим 100
на нем в выбранном масштабе эту скорость. Проведя через точку А и через полученную точку прямую линию, выразим закон
на несколько
изменения скорости, т. е. график скорости.
Для определения пути s, который пройден движущейся точкой за промежуток времени t, поступим следующим образом. Разобьем промежуток времени t (Od—de^ef = ...). На каждом отрезке времени заменим равнопеременное движение равномерным, происходящим со средней скоростью, равной полусумме начальной и конечной скоростей для этого промежутка. Таким образом, получим, что в течение времени Od происходит равномерное движение со скоростью, выражаемой ординатой — на отрезке de — со ско-
равных частей
времени
ростью, величина ко-v	dD 4“ #
торой выражается ординатой п2^2=------- , и т. д.
Проведем через точку тх прямую, параллельную оси Ot. В полученном прямоугольнике основание Od выражает отрезок
времени, в течение которого происходит движение, а высота П1/И1 — величину скорости. Следовательно, площадь прямоугольника, измеренная в соответствующем масштабе, выражает путь, пройденный точкой, равномерно движущейся в течение промежутка времени Od. Но площадь эта равна площади трапеции OADd, ибо отрезок щпц является ее средней линией. Следовательно, путь, пройденный точкой в течение времени Od, выражается площадью трапеции OADd. Точно таким же образом докажем, что путь, пройденный в течение отрезка времени de, выразится площадью трапеции dDEe и т. д.
Следовательно, путь, пройденный точкой в равнопеременном движении в течение промежутка времени, выражаемого отрезком ОС, представляет собой в соответствующем масштабе площадь трапеции ОАВС, ограниченной ординатами, выражающими начальную и конечную скорости, кривой скоростей (при равнопеременном движении — прямой АВ) и осью времени.
На основании этого можем написать, что путь
Уо + Щ
101
подставив = получим уравнение равнопеременного движения:
S = Vot + 42 •	(28)
Из рис. 106 видим, что слагаемое vot выражается площадью прямоугольника ОАА^С, а слагаемое —- —площадью треуголь-
ника АВАЬ ибо катет AJ3 представляет собой приращение скорости at, а второй катет АА^ выражает время /.
Итак, путь, пройденный точкой в равнопеременном движении, равен сумме произведения начальной скорости на время и поло-вины произведения ускорения на квадрат времени.
Иногда удобнее для определения пути пользоваться другой формулой, которая получается из уравнения (28) следующим образом.
Определим из уравнения (26) время t:
Vf — Vq
а
Подставим это значение t в уравнение (28):
s —
Vf —
а в (у/ — Уо)2
2 о2
а
что после упрощения дает:
2а
(29)
т. е. путь, пройденный точкой, равен полу разности квадратов конечной и начальной скоростей, разделенной на ускорение.
Как вытекает из сказанного выше, величину ускорения надо подставлять в написанные формулы с соответствующим знаком, а именно: со знаком + (плюс) в случае равноускоренного движения и со знаком — (минус) в случае равнозамедленного движения.
Если в начальный момент, от которого ведется отсчет времени, точка начала двигаться с начальной скоростью, равной ну-/j и (29) следует принять а0=О, соответ-
лю, то в уравнениях (28) ственно чему получим:
aZ2
2а
(30)
и
(31)
Если точка, двигаясь в течение определенного промежутка времени равнозамедленно, остановилась в конце /-й секунды, то в формулах (26) и (29) следует принять о^=0. 102
Вопросы
1. Как будет направлена прямая АВ (рис. 106) в случае равнозамедленного движения?
2. Проверьте размерность формулы (29).
Пример 32. Двигаясь со скоростью 45 км/ч, поезд пошел под уклон. Определить, с каким ускорением поезд шел на уклоне и какую скорость он имел при переходе на горизонтальный участок, если уклон длиной 2500 м он прошел за 2 мин.
Величина начальной скорости Оо=45 /си/ч=12,5 м/сек. Применив уравнение (28), получим:
а*1202
2500= 12,5-120 + —-—, откуда а = 0,139 м/сек^.
Итак, поезд шел с ускорением а =0,139 м/сек2.
Величина скорости, которую он приобрел в конце уклона:
V120 = 12,5 + 0,139-120 = 29,18 м/сек — 105,1 км/ч.
Пример 33. Поезд, двигавшийся со скоростью 72 км/ч, стали тормозить, е результате чего он продолжал двигаться равнозамедленно до остановки в течение 3 мин. Определить путь, пройденный поездом от начала торможения до полной остановки.
Применив уравнение (26), в котором конечная скорость определим ускорение а. Подставив Vo=72 км/ч—2^ м/сек и /=180 сек, получим 0=20+
180, откуда а— — -—м/сек2.
У
Теперь можем определить из уравнения (28) искомый путь:
1802
s = 20-180 — —— = 1800 м ~ 1 км 800 м.
Пример 34. Поезд, двигающийся со скоростью 54 км/ч, стали тормозить, в результате чего он прошел равнозамедленно до полной остановки 900 м. Определить время, в течение которого поезд тормозил.
Определим из формулы (29) ускорение:
2	2
Vf - ^0 а —----------.
2s
Подставив v^=0, и0=54 /сд«/ч=15 м/сек, s=900 м, получим
•=—0,125 м/сек2. Применив уравнение (26), в котором у/ =0, tr0= 15 м/сек « а— —0,125 м/сек\ получим /=120 сек—2 мин.
§ 71. Движение тела по вертикали под действием силы тяжести
Примером равнопеременного прямолинейного движения является движение тела * в вертикальном направлении под действием силы тяжести. Если тело брошено вверх с некоторой начальной скоростью, то движение будет замедленным, т. е. скорость будет убывать. Поднявшись на некоторую высоту, тело на мгновение остановится, после чего начнет падать с постоянно возрастающей скоростью.
* Говоря о движении тела, мы подразумеваем движение его центра тяжести, т. е. рассматриваем его как материальную точку.
103
Ускорение, сообщаемое силой тяжести, принимают постоянным, равным 9,81 м/сек2, и обозначают буквой g.
Чтобы применить полученные выше уравнения (26—31) равнопеременного движения, следует в них заменить ускорение а ускорением силы тяжести g, взяв его с соответствующим знаком.
Движение тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью Уо, будет равнозамедленным, так как ускорение силы тяжести направлено прямо противоположно направлению движения. В этом случае ускорение g берут со знаком минус. Уравнение (26) примет следующий вид:
= “Vo - gt.	(32)
Высота взлета тела от начального положения, которую обозначим через h, определится из уравнения (28):
(33)
а уравнение (29) дает:
или
(34)
При достижении телом наивысшего положения скорость его обращается в нуль, т. е. = соответственно чему уравнение (32) дает:
откуда t =	,	(35)
g
т. е. продолжительность подъема тела в наивысшее положение равна начальной скорости, разделенной на ускорение силы тяжести.
Уравнение (34) примет для этого случая вид:
2g откуда
vl = 2 g h, ИЛИ
-у0 = V%gk
(36)
(37)
т. е. начальная скорость равна корню квадратному из удвоенного произведения ускорения силы тяжести на полную высоту подъема.
104
При свободном падении тела направление ускорения силы тяжести совпадает с направлением движения, поэтому тело движется равноускоренно, соответственно чему ускорение g следует брать со знаком плюс.
Если величина начальной скорости падающего тела равна нулю, то ио=О и уравнения (27), (30) и (31) примут вид:
(38)
(39)
(40)
Из уравнения (40) получим:
v} = 2gh, или	____
vt = V2gh, (41)
т. е. скорость в конце падения равна корню квадратному из удвоенного произведения ускорения силы тяжести на высоту падения.
Из сопоставления формул (37) и (41) видим, что vt = vQ, т. е. скорость тела при падении в конечный момент равна по величине (но направлена в прямо противоположную сторону) скорости, которую тело имело в начальный момент подъема.
й)
Рис. 107
На рис. 107, а показан график перемещений для свободно падающего тела с начальной скоростью vo = O. По оси Ot отложены равные отрезки, каждый из которых выражает 0,5 сек; а по оси Os — расстояния в метрах. Применив формулу (39) и подставляя в нее последовательно значения t, равные 0,5 сек, 1 сек, 1,5 сек и т. д. и g = 9,81 м!сек\ получим путь, пройденный падающим телом от начального положения в течение этих промежутков времени, а именно: в течение 0,5 сек путь этот равен 1,226 м, в течение 1 сек — 4,905 м, в течение 1,5 сек— 11,036 м, в течение 2 сек— 19,62 м и т. д. Построив для этих моментов ординаты, получим ряд точек и соединим их плавной кривой линией О А, которая представляет собой кривую перемещений. Если потребуется определить, какой путь прошло падающее тело в течение, ска
105
жем, 1,75 сек от начала падения, то, восставив перпендикуляр в точке оси абсцисс, соответствующей этому моменту, получим величину пройденного пути.
На рис. 107, б показан график скоростей. Как видно из уравнения (38), скорость изменяется прямо пропорционально времени, т. е. зависимость скорости от времени выражается прямой линией. Поэтому вычислим по уравнению (38) скорость для какого-нибудь момента (например, для конца первой секунды скорость О] —9,81 • 1 =0,81 м/сек) и отложим ее в соответствующем масштабе. Так как в начальный момент скорость равна нулю, то проводим прямую ОВ через полученную точку и начало координат и строим график скоростей.
Пример 35. С какой высоты тело упало на землю, если падение продолжалось 10 сек, и какой скоростью оно обладало в конечный момент?
9,81-102
По формуле (39) получим: h =-------= 490,5 м.
По формуле (38) получим: V/= 9,81-10 = 98,1 м/сек.
§ 72.	Вопросы для повторения
1.	Чем отличается неравномерное движение от равномерного?
2.	По какому закону изменяется расстояние движущейся точки от начального положения при равномерном движении?
3.	По какому закону изменяется скорость равнопеременного движения точки при начальной скорости, равной нулю?
4.	В каких случаях следует считать ускорение положительным, отрицательным?
5.	Какое движение совершает тело, брошенное вертикально вверх?
6.	То же, при свободном падении тела?
§ 73.	Упражнения
31.	На продольно-строгальном станке обрабатывается деталь при длине хода стола 1500 мм. Продолжительность двойного хода (рабочего и холостого, вместе взятых) равна 9 сек. Определить скорость Up рабочего хода и скорость vx холостого хода„ зная, что вторая в два раза больше первой.
32.	Спустя минуту после отхода поезд, пройдя 450 м равноускоренно, развил скорость и. Определить ускорение а и скорость V.
33.	Поезд движется от А к D по пути, профиль которого схематически показан на рис. 108. Из А он вышел с начальной скоростью, равной нулю. Горизонтальный участок АВ длиной 2250 м поезд прошел в 5 мин, уклон ВС длиной 3000 м — & 2,5 мин. При переходе в С на горизонталь поезд стал тормозить и остановился в D на расстоянии CD = 2500 м от начала торможения. Определить ускорение на участке CD, время движения t поезда от А до D и его среднюю скорость на всем протяжении.
106
34.	На какую высоту поднимется камень и сколько времени будет продолжаться его полный полет (вверх и вниз), если он был брошен вертикально вверх с начальной скоростью vQ=* «=39,24 м/сек?
2250*
Дб—		(5k
ix—O	в

2SSHBL
Рис. 108
35.	Вычертить графики перемещений и скоростей для движения тела, брошенного снизу вертикально вверх с начальной скоростью ^о= 19,62 м/сек.
Глава девятая
СЛОЖЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ ТОЧКИ
§ 74.	Сложное движение. Абсолютное и относительное движение
Представим себе, что по цеху перемещают груз при помощи мостового крана, схематически показанного на рис. 109. Кран перемещается вдоль цеха по направлению, показанному стрелкой А. Пусть одновременно с этим тележка крана вместе с подвешенным к ней крюком перемещается вдоль балок крана, т. е. по направлению стрелки В. Как видим, движение подвешенного к тележке груза складывается из двух движений, совершающихся по двум взаимно перпендикулярным направлениям: из движения балок крана относительно Земли и движения тележки относительно балок. Таким образом, движение груза является сложным, характер этого движения зависит от того, как совершаются движения балок и тележки, т. е. его составляющие движения. Первое, т. е. движение балок крана относительно Земли, называется п е-р е н о с н ы м, а второе — относительным.
Если в течение определенного промежутка времени кран переместился на величину КА, а крюк — относительно крана за тот же промежуток времени на величину КВ, то можно сказать, что перемещение переносного движения равно КА и перемещение относительного движения равно КВ.
Так как все тела всегда находятся в движении, то все виды движения тел, которые мы рассматриваем в механике, являются относительными и в каждом отдельном случае мы условно счита
107
ем то или иное тело неподвижным. Чаще всего мы рассматриваем движение тела относительно Земли и называем это движение абсолютным. Таким образом, в приведенном примере движение груза относительно крана является относительным, а переносное движение самого крана и движение груза по цеху мы считаем абсолютными.
В приведенном примере абсолютное движение груза обусловлено движениями переносным и относительным. С такого рода
Рис. 109
движениями приходится чаще всего иметь дело в машинах. Но в механике приходится рассматривать относительное движение тел и не связанных одно с другим. Так, например, представим себе, что со станции вышел поезд. Очевидно, что по тому же пути спустя определенный промежуток времени может быть отправлен в том же направлении следующий поезд с таким расчетом, чтобы расстояние между обоими движущимися поездами в любой момент времени было не менее допустимого. При решении такой задачи нас интересует прежде всего относительная скорость движения обоих поездов и расстояние, разделяющее их.
§ 75.	Сложение равномерных движений, направленных по одной прямой
Простейший вид сложного движения мы имеем в том случае, когда составляющие движения направлены по одной прямой — в одну сторону или противоположные стороны.
Представим себе два тела С и D, соприкасающиеся по плоскости АВ (рис. ПО). Отметим на теле D точку M2f совпадающую 108
в начальный момент с точкой М\, принадлежащей телу С. Пусть оба тела одновременно перемещаются так, что точка Mi к моменту t переместится по отношению к неподвижной поверхности слева направо на величину si, а точка М2 переместится относительно точки М[ справа налево на величину s2. Иначе можно сказать, что перемещение точки М2 в переносном движении рав
но 51 слева направо, а в относительном движении — 52 справа налево. Чему равно абсолютное перемещение точки М2?
Для ответа на поставленный вопрос рассуждаем так. Допустим, что точка М2 не перемещалась относительно точки Mt. При этом условии ее абсолютное перемещение равнялось бы также Si и направлено было бы слева направо. А так как в действительности точка М2 переместилась относительно Mi справа налево на
s2, то перемещение ее относительно неподвижной плоскости, т. е. ее абсолютное перемещение слева направо, составит:
Рис. по
Очевидно, что если бы оба движения были направлены слева направо, то абсолютное перемещение точки М2 также было бы направлено слева направо и равнялось бы:
Будем считать перемещения, направленные слева направо, положительными, а направленные в обратную сторону — отрица-* тельными. Тогда, если оба движения направлены справа налево, абсолютное перемещение будет равно:
— 5 = — 5j + ( — S2) = ~ (Sj + 52).
Рассуждая так же в применении к какому угодно количеству составляющих движений, приходим к выводу, что абсолютное перемещение точки при ее сложном прямолинейном движении равно алгебраической сумме составляющих перемещений.
Это может быть выражено уравнением:
s = S] 4- s2 + «3 + ... + s„,	(42)
в котором каждое составляющее перемещение должно быть взято с соответствующим знаком.
Пусть все составляющие перемещения совершаются равномерно в течение некоторого промежутка времени Л Обозначим скоро-
109
сти составляющих движений соответственно через v2t о3,vn; тогда =	s2=y2^ s3 = v3t, sn = vnt. Подставив эти значения
перемещений в уравнение (42), получим:
S = Vit + v2t + ^4-.. . + Vnt = (г>! + v2 4-г>3 + ...  + 'U„)t,
откуда

Но ~ = т. е. скорости сложного движения, которое также является равномерным. Итак,
v = v1 + v2 + v3 + --. +®л-	(43)
Следовательно, при равномерных составляющих движениях, со* вершающихся по одной прямой, скорость сложного движения рав-на алгебраической сумме скоростей составляющих движений.
Вопросы
1. Точка участвует в двух движениях. Возможен ли случай, когда ее абсолютное перемещение равно нулю? При каком условии?
2. В некоторый момент точка ЛЬ тела D (рис. ПО) совпадала с точкой ЛЬ тела С, после чего точка ЛЬ переместилась слева направо на величину а точка М2 за тот же промежуток времени переместилась относительно точки Mi справа налево на величину s2. Чему равно абсолютное перемещение точки М3 и в какую сторону оно направлено в каждом из следующих четырех случаев: а) б) $i<s2, в) = г) $1~0?
Пример 36. На реке расположены два города А и В на расстоянии 22,5 км друг от друга; город В расположен ниже по течению. Рейс из А в В пароход совершает в 1,5 ч, а из В в А — в 2,5 ч. Считая движение равномерным, определить скорость течения реки t>i и скорость движения парохода относительно воды и2.
Скорость v2 представляет собой скорость движения парохода относительно воды независимо от того, течет ли вода или она находится в неподвижном состоянии. Следовательно, при движении вниз по течению пароход движется с абсолютной скоростью (т. е. относительно берегов), равной + При движении парохода вверх по течению абсолютная его скорость равна v2—vle Соответственно этому получим систему двух уравнений:
(Vi 4- v2)-1.5 = 22,5 и (v2 — vJ-2,5 = 22,5.
Решив эту систему уравнений, получим км/ч и и2= 12 км/ч,
§ 76. Сложение прямолинейных и равномерных движений, направленных под углом
Рассмотрим теперь случай сложения прямолинейных и равномерных движений, направленных под углом друг к другу.
Представим себе, что при помощи механизма продольной автоматической подачи мы сообщаем суппорту токарного станка перемещение АВ в осевом направлении (рис. 111). Одновременно
110

в относительном движе-
Рис. 111
с этим будем равномерно перемещать резец, вращая рукоятку винта поперечной подачи. Таким образом, любая точка резца участвует в двух движениях: в движении каретки суппорта в продольном направлении (переносное движение) и в относительном движении нижних салазок суппорта в поперечном направлении. Будем рассматривать движение вершины А резца. Пусть в течение какого-то промежутка времени она вместе с кареткой суппорта переместилась в положение Л4Ь а нии вместе с нижними салазками — в положение Представим себе, что оба движения совершаются последовательно: сначала точка А перемещается на величину AMi в осевом направлении, а затем на величину AhAi — ANt — в поперечном направлении. В результате этих двух движений вершина резца окажется в точке Ai.
Таким образом, вершина резца переместилась в точку Ai, представляющую собой вершину параллелограмма (в данном случае прямоугольника) AMiAfli.
Точно так же найдем, что в течение следующего промежутка времени вершина А переместится в точку А2, т. е. в вершину параллелограмма A[M'2A2N'2 и т. д.
Докажем, что перемещение вершины резца из положения А в положение А2 совершается прямолинейно, другими словами, что диагонали AAi и AjA2 лежат на одной прямой. Пусть перемещения AM lt AN у и М[М2, N\N2 совершаются в равные промежутки времени; тогда М1М2=АМ1 и NiN2—AiN2'- Так как АУМ2 =М]М2 и M2 A2=NiN2i то треугольники А17И2'А2 и АЛ1И1 равны между собой, следовательно, ЛА2А^М2 — ^АГАМЬ т. е. отрезки AtA2 и АА} лежат на одной прямой. Из равенства тех же треугольников вытекает также, что эти отрезки равны между собой, а это означает, что точка А в равные промежутки времени проходит в своем сложном движении равные пути, т. е. сложное движение совершается, как и составляющие движения, также равномерно.
Разделив перемещения на один и тот же промежуток времени, в течение которого они происходят, получим скорость каждого из них. Следовательно, если AMi представляет собой скорость переносного движения, a AJVj—скорость относительного движения, то диагональ АА\ — величину и направление скорости абсолютного движения.
Абсолютное движение точки, участвующей в двух прямолинейных и равномерных движениях, является прямолинейным и равномерным. Абсолютное перемещение точки равно по величине и направлению диагонали параллелограмма, построенного на co
in
ставляющих перемещениях точки. Абсолютная скорость равна диагонали параллелограмма, построенного на составляющих скоростях.
Можно доказать, что при прямолинейных и равнопеременных составляющих движениях с начальной скоростью, равной нулю, сложное движение также является прямолинейным и равнопеременным.
Пример 37. Как должны относиться друг к другу величины скоростей продольной и поперечной 2 подачи резца, чтобы выточить усеченный конус АВСЕ (рис. 112, а) с размерами: D—80 мм, мм и /=100 мм?
Рис. 112
6)
Рис. 113
продольного
перемещения резца, складываясь со скоростью по-
Скорость перечного его перемещения, должна дать скорость сложного движения, направленную по образующей конуса, т. е. по диагонали параллелограмма AxFiEiE2, построенного на составляющих скоростях и АХЕ2 (рис. 112, б).
Из подобия треугольников и AFE следует:
EF
что после подстановки числовых значений AF=100 мм и EF = 80—60
= ------- — 1Q мм дает;
Vi и2	Vi 100
— — —, откуда — ~ — — 10,
100	10 J v2 10
т. е. скорость продольной подачи должна быть в 10 раз больше скорости поперечной подачи.
Пример 38. Планка К, приводимая тягой L (рис. 113, а), движется поочередно то вправо, то влево (совершает возвратно-поступательное движение) в неподвижных направляющих со скоростью О]= 60 мм)сек,. В вырез АВ этой планки входит ролик, сидящий на конце ползуна М, скользящего в неподвижных направляющих. Определить скорость движения ползуна М, если вырез АВ сделан под углом АВС к направлению движения планки, определяемым размерами ВС=а =120 мм и ЛС=/? = 30 мм.
112
Абсолютное движение ползуна М может рассматриваться как сложное движение, состоящее из движения планки, совершающегося в рассматриваемый момент в направлении слева направо (переносное движение), и относительного движения ролика в вырезе планки. Поэтому строим на скоростях этих составляющих движений параллелограмм скоростей (рис. 113, б): взяв произвольную точку Аь откладываем вектор АИ2, выражающий в выбранном масштабе скорость® ! планки, и из той же точки Ai проводим прямую, параллельную скорости ®2 ползуна Л1, до пересечения в точке С] с прямой АгС], параллельной оси выреза АВ, и заканчиваем построение параллелограмма А}А2С\В\, Как видим, составляющая А]ВЬ дающая скорость движения центра ролика относительно планки, направлена справа налево, как и должно быть: если планка движется слева направо, то ролик относительно нее движется в обратном направлении. Измерив диагональ AiCj параллелограмма и умножив длину ее на принятый масштаб скоростей, получим величину искомой скорости® 2-
Эту величину можно найти и вычислением. Приняв во внимание, что треугольники АВС и подобны, можно написать:
откуда
b	30
= и, ♦ — = 60- — — 15 мм/сек. а	120
§ 77.	Разложение скорости на составляющие
Часто в механике приходится производить действие, обратное сложению скоростей, а именно — разложение скорости на две составляющие. В общем виде эта задача, так же как и задача разложения силы, является неопределенной, но в каждом отдельном случае она решается в соответствии с дополнительными данными (направлением составляющих скоростей, величиной и направлением одной из них и т. д.), как это видно из следующего примера.
Пример 39. На боковых оконных стеклах вагона, движущегося со скоростью ®ь капли дождя оставляют след, образующий с вертикалью угол в 30° (рис. 114). Найти скорость ®2 капли относительно Земли.
I
Рис. 114
Рис. 115
По отношению к окну капля движется вертикально со скоростью ®2 и горизонтально со скоростью® 1, направленной противоположно движению вагона. Теперь можем построить параллелограмм ACBD (рис. 115); отложив вектор AD, выражающий скорость®!, проводим прямую под углом а = 30° к вертикали, а из точки D — вертикальную прямую; обе эти прямые пересекаются в
ИЗ
точке В. Затем заканчиваем построение параллелограмма, сторона АС которого дает искомую скорость в том же масштабе, в котором мы построили сторону AD. Вычислением находим: o2=p]Ctga.
§ 78.	Вопросы для повторения
1.	Суппорт токарного станка перемещается с некоторой скоростью справа налево; верхнюю часть суппорта, направляющие которой установлены параллельно оси станка, перемещают слева направо с такой же по величине скоростью. Чему равна абсолютная скорость движения резца?
2.	Ответить на предыдущий вопрос для случая, когда верхняя часть суппорта установлена под углом к оси станка.
3.	Лента эскалатора метро перемещается вверх с некоторой скоростью th; человек, находящийся на эскалаторе, идет по нему в обратном направлении со скоростью Ф2- Чему равна абсолютная скорость движения человека в каждом из следующих трех случаев: а) и2>уг» б) o2<vf, в) О2=^ь
§ 79.	Упражнения
36.	По реке, скорость течения которой равна 4 км/ч, плывет пароход вверх по течению со скоростью, равной 10 км/ч. Чему равна абсолютная скорость парохода и чему она была бы равна при отсутствии течения воды?
Рис. 116
37.	Пароход проплыл вниз по течению 30 км в течение 2 Зная, что при неподвижной воде он развивает скорость 12 км/ч, определить расстояние, которое он пройдет за то же время вверх по течению.
38.	В неподвижных плоских направляющих скользит ползун А, приводимый тягой В в возвратно-поступательное движение,, т. е. попеременно в ту и другую сторону (рис. 116).
К наклонной плоскости ползуна под действием пружины прижимается своим концом стержень С, скользящий в неподвижных направляющих D, Определить, с какой скоростью V будет двигаться этот стержень при скорости ползуна, равной 600 мм/мин, если а = 300 мм и 6 = 50 мм, Определить также скорость с которой конец стержня будет перемещаться по наклонной плоскости ползуна.
114
Глава десятая
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
$ 80. Равномерное и неравномерное криволинейное движение точки
Выше мы познакомились с прямолинейным движением точки. Рассмотрим теперь более сложный вид движения, когда траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую линию.
Пусть такая траектория изображается кривой линией (рис. 117). В некоторый момент времени движущаяся точка занимает положение Мх, а в момент времени /2 — положение М2.	д_____
Соответственно этому в течение промежутка времени /2—t\ точка прошла путь, измеряемый криво- д линейным отрезком МХМ2. Если	р .-7
движение происходит таким об-	нс‘
разом, что в любые равные, сколь угодно малые, промежутки времени пути, пройденные точкой, также равны, то движение является равномерным, в противном случае оно будет неравномерным. Отличие рассматриваемого движения от прямолинейного заключается прежде всего в том, что пути, проходимые точкой, измеряются не отрезками прямых, а криволинейными отрезками.
§ 81.	Скорость точки, движущейся криволинейно
Величина скорости точки, движущейся криволинейно, определяется так же, как и при прямолинейном движении, с тем лишь отличием, что она измеряется частным от деления криволинейных отрезков пути на соответствующие промежутки времени. Так, если точка переместилась из положения (рис. 117) в положение Л42, двигаясь равномерно, то величина скорости этого движения определяется как частное от деления длины дуги МХМ2 на промежуток времени, в течение которого совершалось это перемещение. Если движение происходило неравномерно, то частное это будет выражать величину средней скорости движения, которая тем ближе к истинной величине скорости (т. е. мгновенной скорости), чем меньше длина дуги MiAf2.
Рассмотрим теперь, как определяется направление скорости при криволинейном движении точки.
При прямолинейном движении направление, в котором точка перемещается, остается постоянным, между тем как при криволинейной траектории направление движения непрерывно меняется
115
в соответствии с кривизной этой траектории. Отсюда приходим к заключению, что меняется и направление скорости.
Как же определяется направление скорости?
Представим себе, что в момент времени, когда движущаяся точка находилась в положении (рис. 117), была устранена причина, которая заставляла ее отклоняться от прямолинейного направления движения. Очевидно, что точка продолжала бы далее двигаться прямолинейно, а именно — по прямой, касательной к траектории в точке М{. Отсюда следует, что и скорость будет направлена по этой касательной в сторону движения и выражаться в определенном масштабе вектором^ . Точно так же скорость точки в положении М2 выражается вектором v2, направленным по касательной к траектории в этой точке. Итак, скорость криволинейно движущейся точки направлена по касательной к траектории в точке, соответствующей рассматриваемому моменту времени, в сторону движения.
Сказанное можно иллюстрировать следующим примером. Представим себе, что мы вращаем в горизонтальной плоскости нить с привязанным к ней небольшим грузом. При некоторой скорости вращения нить оборвется, а движение груза из криволинейного (кругового) перейдет в прямолинейное, направленное по касательной к траектории, со скоростью, равной по величине скорости, которую груз имел в момент, непосредственно предшествовавший обрыву нити.
§ 82.	Ускорение точки, движущейся криволинейно
Пусть точка движется по криволинейной траектории АВ (рис. 118, а) так, что в некоторый момент она занимает положе-
Рис. 118
ние Л11, а спустя какой-то малый промежуток времени А/* — положение М2. Пусть далее скорость^ точки в положении Мi выражается вектором М[С, а в положении М2— вектором M2D„ Определим теперь, чему равно изменение скорости за рассматри
* Знак Д (греческая буква «дельта») применяется обычно для обозначения малых величин.
116
ваемый промежуток времени At Для этого поступим следующим образом. Построив при точке Мх (рис. 118, б) вектор MiDh равный вектору M2D скорости v2 (т. е. равный по длине, параллельный и направленный в ту же сторону), разложим по закону параллелограмма скорость ф2 на две составляющие, из которых одна, а именно^ , задана по величине и направлению. В полученном таким образом параллелограмме MiCD^E сторона М\Е представляет собой некоторую скорость v' , которая выражает изменение скорости движущейся точки за промежуток времени At в течение которого точка переместилась из положения в положение М2. Разделив затем эту скорость *ог на промежуток А/ времени, получим среднее ускорение аср, т. е.
«ср = ~ •	(44)
Чем меньше будет взят промежуток времени At тем ближе будет значение аср к значению ускорения точки в момент времени, соответствующий ее положению М\ на траектории.
Как видим, ускорение при криволинейном движении в отличие от скорости направлено не по касательной, а образует с ней некоторый угол, расположенный на вогнутой стороне кривой, изображающей траекторию (внутри траектории).
§ 83.	Касательное и нормальное ускорения
Таким образом, ускорение при криволинейном движении характеризует изменение скорости как по ее величине, так и по на-
правлению, поэтому оно называется полным ускорением. Как мы увидим в дальнейшем, при решении задач, относящихся к криволинейному движению, необходимо учитывать отдельно ускорение, связанное с изменением величины скорости, и ускорение, связанное с изменением направления скорости, обусловленным кривизной траектории.
Представление об этих ускорениях дает рис. 118, б. Отложим на векторе скорости Л11£>1 отрезок AfiF, равный по величине век
/т
Рис. 119
тору —М\С. Как видим, отрезок FD{ выражает изменение скорости точки по величине, а отрезок CF— изменение скорости по
направлению.
Пусть ускорение а точки в положении М (рис. 119) выражается вектором МС. Разложим это ускорение по закону параллелограмма на две составляющие ускорения, направленные од
117
на по направлению касательной МТ к траектории в точке М и вторая —по направлению MN, перпендикулярному к этой касательной.
В результате получим прямоугольник MDCE, в котором вектор MD выражает ускорение at , а вектор ME — ускорение
Ускорение, направленное по касательной, по которой направлена также и скорость, выражает изменение скорости по величине и называется касательным или тангенциальным — at, а ускорение, направленное по перпендикуляру к касательной, характеризует изменение скорости по направлению и называется нормальным* или центростремительным—ап.
Отсюда вытекает, что если касательное ускорение направлено в одну сторону со скоростью, то точка движется ускоренно, если оно направлено в сторону, противоположную скорости, то движение точки замедленное, если же оно равно нулю, то движение является равномерным.
Таким образом, возможные случаи движения точки в плоскости могут быть представлены в виде следующей таблицы:
Ускорение
Скорость изменяется
Движение
1. Оба ускорения Uf и ап
по величине и направлению
криволинейное неравномерное
2. Одно ускорение «я
по направлению
криволинейное равномерное
3. Одно ускорение
по величине
прямолинейное неравномерное
Если же отсутствуют оба вида ускорения, то движение является прямолинейным и равномерным.
Полное ускорение точки и его составляющие связаны простыми зависимостями. Из рассмотрения прямоугольного треугольника MCD (рис. 119) следует, что CD = MD -tg а, где а — угол, образуемый полным ускорением с касательной; следовательно,
Яя = Mg а-	(45)
Исходя из того что катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла, получим:
ап = a sin а,	(46)
at = a cos а.	(47)
* Название это объясняется тем, что перпендикуляр к касательной, проведенный в точке касания, называется нормалью.
П8
Наконец, по теореме Пифагора полное ускорение через его составляющие выражается так:
(48)
§ 84. Нормальное ускорение при равномерном движении точки по окружности
Рассмотрим подробнее один частный случай криволинейного
движения, а именно тот, когда точка движется
траектории, представляющей собой окружность радиуса Е (рис. 120). При этих условиях имеется лишь одно нормальное ускорение ад, а тангенциальное ускорение a,t —0 (случай 2 в приведенной вы
ше таблице).
Поступив так же, как сказано в § 82, получим составляющую скорости vr, выражающую
равномерно по
изменение скорости за про-
межуток времени Д/, в течение которого точка прошла дугу А так как точка движется равномерно, то векторы AfiC и
M2Di по величине равны между собой, поэтому, в отличие от об
щего случая, рассмотренного выше, вектор М^Е выражает изме
нение скорости по направлению.
Как видим, при заданных условиях треугольник M^DC является равнобедренным (ибо М =М] С), точно так же равнобедренным является и треугольник Af]O7M2, так как OAfi и ОМ2— радиусы одной и той же окружности. Кроме того, оба эти треугольника подобны, так как ЛМ{0М2= ZM{DE как углы с взаимно перпендикулярными сторонами (следовательно, и остальные углы одного треугольника равны углам другого треугольника).
Из этого следует, что
_ МгР
~ ОМ9 ’
откуда
М.Е=^-М,М
1 ОМ2 1
(48а)
Скорости и v2 точки в положениях Afj и М2, выражаемые соответственно векторами М\С и по величине равны между собой; обозначив эту величину через а, имеем M2DX == v2 = v.
119
Приняв далее во внимание, что OM2=R, подставим эти значения в (48а) и получим:
М,Е = ~ М,М2.
1 R 1
Разделив обе части этого уравнения на промежуток времени Д/, в течение которого точка переместилась из Л41 в Л12, получим:
М}Е v
bt R М
(486)
Выражение в левой части этого уравнения представляет собой среднее ускорение за рассматриваемый промежуток времени. По мере уменьшения рассматриваемого промежутка времени среднее ускорение будет приближаться к нормальному ускорению ап\ при этом условии хорда М\М2 может быть приравнена Л/1М2	о
дуге, которую она стягивает, а частное ~ - представит собой скорость v. Сделав эти подстановки в уравнение (486), получим окончательно:
V2
л ~ ,7
(49)
Таким образом, мы получили следующую важную зависимость: нормальное ускорение точки, движущейся по окружности, равно квадрату скорости, разделенному на радиус окружности.
Посмотрим, в каких единицах выражается это ускорение. Чи-
/ ед. длины V (ед. длины)2 слитель выражается в ----------- = ------------— , следова-
\ед. времени/ (ед. времени)2 тельно, размерность ап будет:
(ед. ДлиНы)2. (ад длины) =  едд длины,,,
(ед. времени)2	(ед. времени)2
т. е. та же размерность, что и для ускорения при прямолинейном движении (§ 68).
Направлено это ускорение к центру окружности, по которой точка движется (поэтому его также называют центростремительным).
§ 85. Полное ускорение при круговом движении
Мы рассмотрели случай, когда точка движется по окружности равномерно. Если движение происходит неравномерно, то, кроме нормального ускорения, величина которого определяется по формуле (49), имеется еще касательное ускорение, направленное в ту или другую сторону по касательной. Если величина последнего ускорения постоянна, то движение является равнопеременным. 120
Путь, пройденный точкой за тот или иной промежуток времени, определится по формулам, выведенным выше для равнопеременного прямолинейного движения (§ 70), и будет измеряться длиной дуги.
Полное ускорение при равномерном круговом движении равно нормальному ускорению. При неравномерном круговом движении полное ускорение определится по формуле (48) как корень квадратный из суммы квадратов касательного и нормального ускорений, а угол, образуемый ими с касательной, — по любой из формул (46) или (47).
Пример 40. Точка движется по окружности радиусом /?=1 м с постоянным касательным ускорением, равным 0,2 м!сек2. В начальный момент скорость ио=0. Найти скорость и ускорение точки спустя Z=3 сек от начала движения и путь, пройденный точкой за этот промежуток времени.
Определим по формуле (27) скорость в конце третьей секунды:
v3 = a^t = 0,2*3 = 0,6 м/сек.
Нормальное ускорение по формуле (49) равно:
0,36 Л п
— — —- = 0,36 м/сек?.
Полное ускорение в конце третьей секунды определится по формуле (48)
а = j/’af + а2п = т/"0,04 + 0,129 = 0,412 л/се«2;
тангенс угла, образуемого им с касательной, равен по формуле (45):
ап
0,36
+	0,2
соответственно чему а=61°.
Путь, пройденный точкой
за первые 3 сек, определим по формуле
(30)
s =
0,2*9 Л Л —т— = 0,9 м.
§ 86. Вопросы для повторения
1.	Как направлена скорость криволинейно движущейся точки по отношению к траектории?
2.	Что выражают в отдельности касательное и нормальное ускорения и как они направлены?
3.	Возможно ли криволинейное движение точки без касательного ускорения, без нормального ускорения?
4.	Какое вы знаете равномерное движение с ускорением?
121
§ 87. Упражнения
39. Точка при начальной скорости, равной нулю, двигалась равноускоренно по окружности радиусом 2 м в течение 5 сек, пройдя путь, равный 3 м. Определить скорость и полное ускорение в конце пятой секунды.
40. Из начального положения А (рис. 121) точка вышла со скоростью, равной нулю, и, двигаясь равноускоренно, пришла че-4	в рез 3 сек в положение В, отстоящее от А на
1	расстоянии, равном 0,45 м, после чего она
/	’ А	перешла на окружность радиусом 0,5 м, дви-
I	I# )	гаясь далее равномерно. Определить ско-
\	рость v и ускорение точки в диаметрально
с противоположном положении С. Прямая Рис. 121	АВ — касательная к окружности.
Глава одиннадцатая
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 88. Отличие движения твердого тела от движения точки
До сих пор мы рассматривали движение одной материальной точки. Перейдем к рассмотрению простейших движений твердого тела. При движении тела в целом отдельные его точки двигаются различно, т. е. по различным траекториям, с различными скоростями и ускорениями.
В качестве примера рассмотрим кривошипно-шатунный механизм (рис. 122). Закрепленный на валу О кривошип I вращается вместе с этим валом. С кривошипом при помощи шарнира А сочленен шатун 2, другой конец которого также шарнирно, при помощи пальца В, связан с ползуном 3, движущимся в неподвижных направляющих KL. Таким образом, все точки кривошипа при его вращении описывают окружности различных радиусов, соответственно чему различны и скорости этих точек. Все точки ползуна двигаются по одинаковым прямолинейным траекториям с одинаковыми скоростями. Наконец, шатун движется особым образом, отличным от движений кривошипа и ползуна: правый его конец, совпадающий с центром в шарнире А, описывает окружность, а левый конец (центр шарнира В)—прямую линию. Траектории всех остальных его точек представляют собой разные сложные кривые.
В этой главе мы познакомимся с тем, как решаются задачи, относящиеся к простым видам движения твердого тела. При этом будем предполагать, что движение тела плоское, характеризующееся тем, что все точки тела описывают траектории, лежащие 122
в плоскостях, параллельных одной и той же неизменной плоскости. Такое движение совершают все звенья только что рассмотренного механизма: точки этих звеньев все время двигаются по траекториям, лежащим в плоскостях, параллельных одной и той же вертикальной плоскости.
§ 89. Поступательное движение тела
Начнем рассматривать движение твердого тела с наиболее простого случая.
Представим себе поезд, движущийся по прямолинейным рельсам. Все точки поезда (за исключением осей с колесами и других
элементов, которые движутся относительно корпуса паровоза и вагонов) перемещаются по одинаковым траекториям. Эти траектории параллельны рель
Рис. 123
Рис. 122
сам и, следовательно, параллельны между собой. Такое же движение совершают все точки ползуна 3 (рис. 122) кривошипношатунного механизма с плоскими направляющими KL и т. п.
Рассмотрим более сложный пример.
По горизонтальным и неподвижным плоским направляющим А (рис. 123) может перемещаться влево и вправо (стрелка 1) плита В. Плита эта имеет в верхней своей части направляющие, по которым может скользить в направлении, перпендикулярном к нижней плите А (стрелка 2), планка С, связанная жестко со стержнем D, оканчивающимся роликом Е. Последний входит в криволинейный паз GH в плите F, составляющей одно целое с А.
Пусть плите В сообщено продольное перемещение по направляющим А. Очевидно, что планка С под действием криволинейных направляющих Gtf будет совершать по плите В относительное движение, которое будет складываться с движением самой плиты В, совершающимся по направлению стрелки 1. В результате этих двух движений траектории любой точки как планки С, так и стержня D будут совершенно одинаковы и параллельны кривой GH. Так, например, какая-нибудь точка К будет двигаться по траектории ЛоЛо\ другая точка L — по траектории Lo£o' и т. д. Как видим, движение планки С таково, что все точки, свя
123
занные с ней, описывают совершенно одинаковые и параллельные траектории *.
При движении планки С отрезок KL, как и всякий другой отрезок, соединяющий любые две точки этой планки, остается
параллельным самому себе. То
Рис. 124
же самое можно, очевидно, сказать об отрезке, соединяющем любые две точки поезда, о движении которого говорилось выше, любые две точки каретки суппорта токарного станка, параллельных тисков и т. п.
Движение тела, при котором отрезок прямой, соединяющий любые две его точки, перемещается параллельно самому себе, называется поступательным.
При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории, имея в любой момент времени равные по величине и параллельно направленные скорости и ускорения.
На основании этого мы приходим к следующему важному выводу; для решения задач, относящихся к поступательному
движению тела, применимы выведенные выше зависимости для движущейся точки.
Если траектория любой точки поступательно движущегося тела представляет собой прямую линию, то движение тела в целом является прямолинейным поступательным. Если же траектории криволинейные, то такое движение будет криволинейным поступательным. Таким является движение планки С в рассмотренном примере.
Рассмотрим частный случай криволинейного поступательного движения тела, а именно, круговое поступательное
движение, при котором все точки тела описывают окружности одного и того же радиуса. Подобный пример показан на рис. 124. На валике О закреплен кривошип А, на другом конце которого шарнирно подвешена планка В (центр тяжести которой расположен ниже оси шарнира OJ, занимающая под действием собствен
* Такого рода движение применяется довольно широко, например, в токарных станках для обработки по шаблону тел вращения с криволинейным профилем или конических поверхностей.
124
ного веса вертикальное положение. Таким образом, при вращении кривошипа вокруг оси О планка будет двигаться так, что любой отрезок KL, соединяющий две ее точки, будет перемещаться параллельно самому себе, а точки Д, L и т. д. будут описывать окружности одного радиуса. Следовательно, движение планки В является круговым поступательным.
Вопросы
1. Какое движение совершает ползун поперечно-строгального станка, стол продольно-строгального станка?
2. Каково движение резца, рассмотренное в § 76 (рис. 111)?
§ 90.	Вращение тела вокруг неподвижной оси. Угловое перемещение
Переходим к изучению вращательного движения тела, совер-
шающегося вокруг оси, занимающей неизменное положение.
Представим себе тело А (рис. 125), вращающееся вокруг оси О, перпендикулярной к плоскости чертежа. Пусть в какой-нибудь момент времени точка К тела занимает положение Ко. При вращении тела эта точка будет описывать окружность радиусом ОД0, равным длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось вращения и называемого радиусом вращения.
Проведем через точку Ди ось вра
Рис. 125
щения плоскость, перпендикулярную чертежу. Эта плоскость будет вращаться вместе с телом. Пусть в начальный момент эта плоскость занимала положение ОДо, а спустя некоторый промежуток времени она по
вернулась в положение ОДь образовав с начальным положением некоторый угол ф = Д0ОДь Этот угол образован начальным и повернутым положениями радиуса вращения. Точно так же плоскость, проходящая через любую другую точку L и ось вращения, повернется на тот же угол <р, измеряемый линейным углом между начальным OL0 и повернутым OL\ положениями радиуса вращения OL. Таким образом, угол поворота радиуса вращения
для всех точек тела за один и тот же промежуток времени один и тот же. Он служит мерой поворота для всего тела в целом и называется угловым перемещением тела за данный промежуток времени.
125
§ 91.	Угловая скорость и угловое ускорение
Если в равные промежутки времени тело поворачивается на равные углы, то вращение тела является равномерным, в противном случае оно неравномерное.
Пусть к концу промежутка времени t\ угловое перемещение тела составляет фЬ а к концу промежутка времени t2 оно равно величине фг, отсчитываемой от того же начального положения. Соответственно этому за промежуток времени t2—угловое перемещение равно ф2—Фь Взяв отношение второй величины к первой, получим среднюю угловую скорость за этот промежуток времени:
ш
ср “
(50)
Здесь можно повторить сказанное о средней скорости неравномерного движения точки (§ 68). Чем меньше взят промежуток времени t2—А, тем ближе значение средней угловой скорости к ее значению для момента времени Итак, угловая скорость вращательного движения непостоянна. Пусть в момент времени угловая скорость равна coi, а в момент t2 эта скорость равна <о2; следовательно, за промежуток времени t2—tx угловая скорость изменилась на величину сог—соь Отношение приращения угловой скорости к соответствующему промежутку времени называется средним угловым ускорением, т. е.
е — ^2 ~ tOl еср — ~,
(51)
Если ускорение имеет одинаковый знак с угловой скоростью, то вращение тела будет ускоренное, в противном случае тело вращается замедленно.
Так как угловое перемещение выражается в единицах угла, ед. угла
то угловая скорость имеет размерность ----------, а угловое ус-*
J	r	г ед. времени	J
ед. угла ,	ч ед. угла
корение выражается в-----------: (ед. времени) —-------------
ед. времени	(ед. времени)2
§ 92.	Линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Как мы видели, при вращении тела все его точки, расположенные на том или ином расстоянии от оси вращения, описывают окружности. Как известно из геометрии, длина дуги окружности тем больше, чем больше радиус дуги и центральный угол, на который она опирается. А так как при вращении тела все радиусы вращения поворачиваются на один и тот же угол, то пути, про-126
холимые точками тела, расположенными на различных расстояниях от оси вращения, будут различны, а именно, эти пути пропорциональны радиусам вращения. Так, например, путь описываемый точкой К (рис. 125), измеряемый длиной дуги ХоЛь во столько раз больше пути точки L, измеряемого дугой LoAh во сколько раз радиус вращения О/( больше радиуса вращения OL.
Как видим, различные точки вращающегося тела проходят за один и тот же промежуток времени различные пути. Отсюда следует, что и скорость, с которой каждая точка перемещается, также зависит от величины радиуса вращения, а именно, скорости точек вращающегося тела также пропорциональны радиусам вращения.
Скорость движения точки вращающегося тела называется л и-» о	ед. длины
ней н о и скоростью и выражается в--------—.
ед. времени
Итак, угловая скорость является мерой вращения всего тела в целом и для всех радиусов вращения одна и та же; линейная же скорость различных точек, расположенных на различных расстояниях от оси вращения, различна. Отсюда вытекает, что различны также и ускорения для этих точек.
§ 93.	Равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси
Если угловое перемещение тела в равные промежутки времени одно и то же, то такое движение называется равномерным вращательным движением. Очевидно, что в этом случае угловая скорость сохраняет постоянную величину.
Пусть тело вращается равномерно так, что в течение промежутка времени t оно получает угловое перемещение. Тогда угловая скорость будет:
(О =	.	(52)
Размерность скорости зависит от того, в каких единицах выражены числитель и знаменатель правой части этой формулы: если угловое перемещение выражено в градусах, а время — в град секундах, то скорость выражается в ~; если время выра-сек
жается в минутах, то угловая скорость получится и т. д. мин
Формулу (52) можно представить в другом виде. В качестве единицы измерения углов часто используется единица, называемая радианом. Радиан представляет собой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу. Обозначив величину радиана в градусном измерении через х> а радиус дуги, соответствующей ему, через г, получим по этому определению: 2 г. г	180°
~ ~~~~ х =г , откуда х = -= 57°17 44".
)	к
127
Тогда угловое перемещение, выраженное в радианах, составит:
а угловая скорость
Рис. 126
180° '
t сек'
В подавляющем большинстве случаев в технике характеризуют равномерное вращательное движение числом оборотов в минуту (например, число оборотов в минуту ротора электродвигателя, шпинделя станка и т. п.), обозначаемым буквой п. В этих случаях угловую скорость вращения мож-
но выразить следующим образом. При одном обороте тело поворачивается на 360° в одну минуту, при п оборотах— на 360 п граду-360 п сов, а в одну секунду — на----==
60
= 6п градусов. Следовательно, если, например, вал вращается со скоростью п оборотов в минуту, то это значит, что его угловая скорость
(О — 6п
град  ~п 1
сек	30 сек
(53)
Рассмотрим движение отдельных точек равномерно вращаю
щегося тела.
Пусть вокруг геометрической оси О вращается шкив (рис. 126). Шкив делает п оборотов в минуту. Возьмем на поверхности шкива точку /(. Если обозначим диаметр шкива через D, то при одном его обороте эта точка опишет окружность диаметра D, и,
значит, путь, пройденный ею, будет равняться jtjD, где л представляет собой отношение длины окружности к диаметру; при п оборотах в минуту путь, пройденный точкой, составит nDn, а в тЪп —
одну секунду Так как диаметр шкива выражается в милли
метрах, то линейная скорость точки К:
60-1000
м,)сек.
(54)
Такую же линейную скорость будут иметь все другие точки шкива, лежащие на наружной поверхности его обода, т. е. наи-128
более удаленные от оси вращения. Скорость эта называется окружной скоростью шкива.
Возьмем теперь какую-нибудь точку L, лежащую не на ободе
шкива, а на некотором расстоянии г от оси вращения.
Рассуждая так же, как в отношении точки К, получим линей-
ную скорость точки L: =
2 urn
60*1000
м/сек.
Разделив v на vLi получим:
у	D
vL	2г ’
т. е. отношение линейных скоростей равно отношению диаметров, или, что то же, радиусов окружностей, описываемых точками вращающегося тела.
Формула (54) выражает окружную скорость тела (или линейную скорость его точки) в зависимости от диаметра и числа оборотов в минуту. Если заданы диаметр и окружная скорость, а требуется определить число оборотов, то та же формула примет такой вид:
60- 1000в
п =---------об/мин.	(55)
При заданных окружной скорости и числе оборотов в минуту диаметр в миллиметрах определится по формуле:
60-ЮООв	/С-£Х
D —--------- мм.	(56)
тел
В формулах (55) и (56) скорость выражена в м/сек.
Вопросы
1. На одном радиусе вращающегося тела лежат две точки, из которых одна удалена от оси на расстояние вдвое большее, чем вторая. Как относятся скорости этих двух точек?
2. Как относятся величины нормальных ускорений этих двух точек?
Пример 41. Шкив диаметром /)=2000 мм, закрепленный на валу, диаметр d которого равен 125 мм, вращается равномерно с числом оборотов =240 об/мин. Определить окружные скорости 14 и в2 шкива и вала и нормальное ускорение точки, лежащей на ободе шкива.
Применив формулу (54), получим окружную скорость шкива:
TzDn 3,14.2000*240
°* =	= “боЛоот— =25112 м1сек-
Окружная скорость вала может быть определена так же или исходя из того, что линейные скорости пропорциональны диаметрам:
~ - -уу, откуда v2 = Vt у- = 25,12-	= 1,57 м/сек.
Vi D	D	2000
5-1599
129
Нормальное ускорение точки, лежащей на ободе шкива, определим по формуле (49), причем диаметр должен быть выражен в метрах (так как скорость дана в м/сек):
2vj 2-25,122
ап = Ж = ~Б =-----------2----= 631 м1сек2-
Пример 42. Сколько оборотов в минуту следует сообщить сверлу из быстрорежущей стали диаметром 14 мм при сверлении мягкого чугуна, если скорость резания должна быть 50 м/мин?
Скорость резания при сверлении представляет собой окружную скорость сверла.
Искомое число оборотов определится по формуле (55):
1000 у kD
1000*50
3,14-14
= 1137 об/мин.
Пример 43. Какого диаметра должен быть взят шкив, чтобы при 1500 об/мин он давал окружную скорость, равную 22 м/сек?
Применив формулу (56), получим:
60-1000v
60-1000-22
3,14-1500
= 280 мм.
-п
§ 94.	Графики, связывающие окружную скорость, диаметр и число
оборотов
Несмотря на простоту приведенных в предыдущем параграфе
л
ормул, пользование ими усложняется громоздкими вычисления-
ми. Между тем эти вычисления приходится часто производить в
цеховых условиях (например, при определении требуемого числа оборотов шпинделя станка для заданной скорости резания).
Поэтому для решения практических задач удобнее пользоваться готовыми графиками, позволяющими найти требуемые величины быстро и с достаточной для поставленной цели точностью.
Графики, связывающие окружную
скорость вращающегося тела с его диаметром и числом оборотов, носят название номограмм. С их
помощью можно, задавшись двумя величинами, например диаметром (0 = 800 мм) и числом оборотов (п=300 об/мин), определить окружную скорость о=12,5 м/сек) (рис. 127).
В практике широко используются два типа номограмм — лучевая и логарифмическая. Понятие о построении номограмм и об
их использовании для практических расчетов дается в курсе специальной технологии.
130
§ 95.	Равнопеременное вращение тела вокруг неподвижной оси
Если при вращении тела приращение угловой скорости за равные промежутки времени оказывается постоянным, то вращение является равнопеременным; если угловая скорость с течением времени увеличивается, то вращение равноускоренное, в противном случае оно равнозамедленное.
Сопоставляя вращательное движение тела с прямолинейным движением точки, мы видим, что угловое перемещение в первом случае аналогично пути во втором случае; точно так же угловая скорость и угловое ускорение, характеризующие вращательное движение, соответствуют скорости и ускорению прямолинейного движения точки. Поэтому формулы, связывающие угловое перемещение, угловую скорость и угловое ускорение при равнопеременном вращении, могут быть выведены аналогично тому, как мы делали это для определения пути, скорости и ускорения при равнопеременном прямолинейном движении точки (§ 69 и 70).
При этом получим следующие формулы.
Угловая скорость в момент t равна:
(57)
где wo — начальная угловая скорость и е — угловое ускорение, которое при равнопеременном вращении имеет постоянное значение. Если начальная угловая скорость wq = 0, то
Аналогично формуле (28) получим угловое перемещение за время t:
а соответственно формуле (29):
2	°
~~ wo
<р =——
(60)
Наконец, при начальной угловой скорости, равной нулю,
(61)
и
со 7
(62)
Пример 44. Шкив начинает вращаться равноускоренно, сделав а первые 5 сек 12,5 оборота. Чему равна его угловая и окружная скорости в конце этого промежутка времени, если его диаметр £=2000 лии?
5*
131
Определим угловое перемещение, приняв во внимание, что один оборот соответствует повороту на 360°:
? = 360-12,5 = 4500°.
Исходя из того, что начальная угловая скорость равна нулю, применим для определения углового ускорения формулу (61):
9000
= 360 град/сек?.
к е = —
Угловая скорость в конце пятой секунды составит по формуле (58): со5 = zt ~ 360-5 = 1800 град) сек.
_	1800
Эта угловая скорость соответствует " ,	= 5 об/сек. Следовательно,
360
ружная скорость составит в этот момент:
f2000-5 л , fз = —77^— = 31,4 Ml сек. lUvv
ок-
Пример 45. Шкив диаметром 1200 мм вращался с числом оборотов п= =400 обIмин. В некоторый момент вал был выключен, после чего шкив с валом продолжали вращаться равнозамедлеино, в результате чего вращение прекратилось через 2 мин 30 сек. Определить число оборотов, которое сделал шкив до полной остановки, и тангенциальное ускорение точек обода за этот промежуток времени.
Угловая скорость шкива при переходе с равномерного движения на равнозамедленное составляла по формуле (53):
ю0 = 6л = 6-400 = 2400 град!сек.
Для определения углового ускорения замедления применим формулу (58), в которой вместо конечной угловой скорости возьмем начальную:
ю0 2400	_	_
е = -у- = -j^j- = 16 град1сек'^.
Теперь можно найти угловое перемещение по формуле (61):
16-1502
2
= 180000°.
Так как одному обороту соответствует 360°, то до остановки шкив сделал 180000
---------- =500 оборотов.
360
Чтобы определить касательное ускорение на ободе шкива, вычислим длину дуги, соответствующей угловому ускорению е=16 epadfceK2. При диаметре окружности £>=1200 льи=1,2 м длина дуги, опирающейся на центральный угол 16°, равна:
zD-16 тс1,2-16 4f
360 =	360 М = *75
132
Следовательно, искомое касательное ускорение равно;
4-3,14
75
я 0,17 м1сек2.
§ 96.	Плоскопараллельное движение твердого тела
Проведем в движущемся теле плоскостью какое-нибудь сечение. Далее вообразим неподвижную плоскость, параллельную полученному сечению. Если тело движется так, что все его точки
перемещаются в плоскостях, ной плоскости, то такое движение называется плоским или плоскопараллельным движением тела.
Представим себе призму, стоящую на неподвижной плоскости MN и изображенную в проекциях на рис. 128. Далее вообразим, что ее переместили по плоскости из положения / в положение //. Фигура ABCD, лежащая в сечении KL, оставаясь все время в одной и той же плоскости MN, заняла положение
Как видим,дви-
параллельных некоторой неподвиж-*
/7сложение!
Положением
Рис. 128
жение призмы плоское.
Так как движение всякого другого сечения призмы, параллельного выбранному нами сечению КА, будет такое же, то нетрудно
видеть, что движение призмы в целом вполне определяется движением сечения КА.
Выясним теперь, что нужно знать, чтобы определить движение этого сечения, а следовательно, и всей призмы в целом. Пусть известны в положении / призмы положения двух произвольных точек А и С рассматриваемого сечения. Если взять какую-нибудь третью точку Е этого сечения, то, измерив расстояния ЕА и ЕС от точек А и С, можно построить на отрезке AiCi треугольник AiErCh равный треугольнику АЕС, и таким образом найти положение точки Е{ сечения КА в положении II призмы. Этим способом можно определить положение любой точки сечения КА для любого положения призмы. Следовательно, положение сечения КА для любого момента времени вполне определяется положением в этот момент времени отрезка, соединяющего любые две точки этого сечения.
133
Итак, плоское движение твердого тела вполне определяется движением отрезка, соединяющего любые две точки сечения, перемещающегося в своей плоскости.
Из сказанного ясно, что движение одной точки твердого тела в общем случае не определяет еще плоского движения этого тела. Этим отличается общий случай плоского движения твердого тела от частного случая плоского движения — вращения тела вокруг неподвижной оси.
Рис. 129
Мысленно соединим точки А и А\ на рис. 128 прямой линией. Если переместить призму поступательно вдоль этой прямой линии, то при совпадении точек А и А[ линии АВ и ВС и BiCi и т. д. не будут совпадать. Чтобы добиться такого совпадения, надо, кроме поступательного перемещения, сообщить телу еще и угловое перемещение вокруг точки А.
Таким образом, плоскопараллельное движение твердого тела складывается из его поступательных и вращательных движений.
Пусть отрезок АВ перемещается в плоскости так, что он в определенные моменты времени последовательно занимает положения Д1В], А2В2ч А$В3 (рис. 129). Как видно, движение отрезка не является поступательным, ибо последовательные его положения не параллельны между собой.
Докажем, что этот отрезок можно перевести из положения в положение А2В2 поворотом его около одной вполне определенной точки.
Соединим последовательные положения А} и Л2, В} и В2 концов отрезка прямыми линиями Л]Л2 и ВХВ2 и в середине полученных отрезков, т. е. в точках С! и Dx восставим перпендикуляры, которые продолжим до их пересечения в точке Р\. Соединим точку Р\ с точками А\ и Л2, В\ и В2 и сравним полученные таким образом треугольники AJij\ и Л2В2Р1. Стороны А\Р^ и 134
Д2Л равны между собой как наклонные, равноудаленные от основания перпендикуляра BiA; точно так же равны между собой стороны В\Р\ и В2РХ как равноудаленные от основания перпендикуляра C\PY. Наконец, в рассматриваемых треугольниках стороны Д1В1 и А2В2, изображающие перемещающийся отрезок, также равны между собой. Таким образом, треугольники 4iBj.Pi и А2В2Р\ равны между собой, откуда следует, что AA^PiBi — ЛА2Р\В2. Прибавим к обоим этим равным углам по одному и тому же углу В\Р\А2^ в результате чего получим, что Z4I/\42=ZB1P1B2=Z01.
Найдя только что примененным способом точку Рь видим, что, повернув одновременно вокруг этой точки радиусы РИ1 и Р[ВЛ на угол 01, переведем отрезок АВ из положения Д1В1 в заданное положение А2В2.
Точно так же найдем и следующую точку Р2, вокруг которой следует повернуть на угол 02 данный отрезок, чтобы он из положения А2В2 перешел в положение Д3В3; Для этого соединим точки Д2 и Д3, В2 и В3 прямыми линиями и в середине полученных отрезков Д2Д3 и В2В3 восставим перпендикуляры до их пересечения в точке Р2. Повернув плоскость, в которой лежит отрезок ДВ, на угол 02, переведем этот отрезок из положения Д2В2 в Д3В3 и т. д.
Точки Рь Р2, P3i около которых последовательно происходит вращение нашей подвижной системы с отрезком ДВ, называются полюсами вращения или центрами вращения. Следует при этом иметь в виду, что траектории точек Д и В при движении отрезка через положения Д1ВЬ Д2В2 и т. д. могут быть самые различные. Если же переход отрезка через положения Д1В1, Д2В2 и т. д. совершается вращением около полюсов Рь Р2 и т. д., то эти точки двигаются по дугам, описанным из соответствующего полюса. Так, при переходе отрезка из
положения Д1В1 в Д2В2 точки Д и В двигаются по дугам АХА2 и
BjB2, описанным из полюса Р\. При переходе из Д2В2 в Д3В3 эти же точки двигаются по дугам А2А3 и В2В3, описанным из полюса Ль и т. д.
Представим себе, что мы рассматриваем положение отрезка ДВ через малые промежутки времени Д/; в течение этих промежутков времени тело успевает повернуться на малые углы ДО. Чем меньший промежуток времени возьмем, тем больше центров вращения придется определять, но зато тем точнее этот набор центров вращения будет отражать действительную картину движения тела. Еще, уменьшая промежутки времени, мы придем к понятию о мгновенном центре вращения твердого тела.
135
§ 97.	Вопросы для повторения
1.	Какое движение тела называется поступательным и каковы виды этого движения?
2.	Вагон перешел с прямолинейного горизонтального участка пути на прямолинейный наклонный участок. Продолжает ли движение вагона оставаться поступательным?
3.	Какое движение совершает педальная планка велосипеда при его движении?
4.	Зависит ли величина угловой скорости от величины радиуса вращения?
5.	Зависит ли величина линейной скорости от величины радиуса вращения?
6.	Два тела цилиндрической формы различных диаметров вращаются вокруг их геометрических осей. Какому условию должны отвечать их числа оборотов в одну и ту же единицу времени, чтобы окружная скорость обоих тел была одна и та же?
7.	Два шкива различных диаметров вращаются с одним и тем же числом оборотов. Что можно сказать об их угловых и окружных скоростях?
§ 98.	Упражнения
41.	Сколько оборотов в минуту должен делать при равномерном движении шкив, чтобы при диаметре 460 мм он имел окружную скорость 24 м/сек>
42.	Какого диаметра должен быть шкив, чтобы при 1500 об/мин его окружная скорость составляла 22 м/сек?
43.	С какой скоростью резания (т. е. окружной скоростью) обрабатывается на токарном станке резцом из быстрорежущей стали стальная деталь диаметром 60 мм, если она делает 1140 об/мин?
44.	Сколько оборотов в минуту должна делать латунная деталь диаметром 50 мм при обработке на токарном станке резцом из быстрорежущей стали со скоростью резания 430 м/мин?
45.	Шкив диаметром 1400 мм в определенный момент времени / = 0 имел окружную скорость 9 м/сек, а спустя 2,5 мин — окружную скорость 12 м/сек. Считая вращение шкива равноускоренным, определить угловое и касательное ускорения на ободе, а также угловую и окружную скорости спустя 1,5 мин после момента t~ 0.
46.	Маховик двигателя диаметром 1500 мм сделал в течение 45 сек от момента пуска 60 оборотов. Считая движение равноускоренным, определить угловое и касательное ускорения, угловую и окружную скорости в момент / = 60 сек.
М. Маховик вращался с угловой скоростью, соответствующей 210 об/мин. По прекращении действия силы маховик продолжал вращаться равнозамедленно и остановился через 4 мин 24 сек. Найти величину углового ускорения вращения маховика и число его оборотов до полной остановки.
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИНАМИКА
Глава двенадцатая
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИНАМИКИ
§ 99.	Содержание динамики
В предыдущем разделе механики, в кинематике, мы занимались установлением зависимостей между элементами, характеризующими движение твердого тела и отдельных его точек. Но изменение характера движения тела не может происходить самопроизвольно, без воздействия на него другого тела, т. е. без воздействия силы. Таким образом, чтобы получить полную картину движения тела, мы должны знать, как связано то или иное движение тела с силами, которые действуют на него. Разрешением этой задачи занимается часть механики, называемая динамикой. Можем, следовательно, сказать, что динамика занимается исследованием движения тела в связи с действием приложенных к нему сил.
Задачи, рассматриваемые в динамике, могут быть двоякого рода: в одних случаях, исходя из кинематических зависимостей, характеризующих движение тела, определяются силы, обусловливающие это движение; в других случаях определяется движение тела в зависимости от приложенных к нему сил.
§ 100.	Первый закон механики (первый закон Ньютона)
Из опыта мы знаем, что тело, находящееся в состоянии покоя, не может без действия на него другого тела изменить это состояние и будет сохранять его сколько угодно долго. С другой стороны, известно, что если тело находится в прямолинейном равномерном движении, то для изменения этого движения также требуется воздействие какого-нибудь другого тела.
Представим себе, что мы толкнули лежащий на полу шарик. Наблюдая его движение, видим, что оно является прямолинейным. Чем тверже материал, из которого шарик сделан, чем
137
глаже его поверхность и поверхность пола, тем дольше он будет двигаться прямолинейно, т. е. тем меньше будет изменяться скорость движения. Если бы движение происходило в безвоздушном пространстве, то движение продолжалось бы еще дольше. Как видим, действие пола и воздуха сказывается в том, что движение, которое мы рассматриваем, происходит неравномерно, т. е. с отрицательным ускорением.
Из сказанного следует, что предоставленный самому себе, свободный от воздействия других тел шарик двигался бы равномерно и прямолинейно, т. е. со скоростью, постоянной по величине и направлению.
Свойство тел сохранять свою скорость (следовательно, и состояние покоя) называется инерцией.
Мы пришли, таким образом, к выводу, который представляет собой содержание закона инерции, или первого закона Ньютона: всякое тело остается в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока какое-нибудь другое тело не заставит его изменить это состояние. Как уже говорилось, воздействие одного тела на другое необязательно должно осуществляться путем непосредственного касания. Так, например, тело, брошенное горизонтально, движется не прямолинейно, а криволинейно под действием притяжения Земли.
§ 101.	Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона)
Проделаем следующий опыт.
В направляющих А скользит ползун В (рис. 130), который отжимается вправо винтовой пружиной D. Сдвинув ползун вле-
Рис. 130
во, закрепим его в этом положении, зажав стержень С при помощи винта /С Положим вплотную к ползуну два шарика Е и Г, имеющих один и тот же диаметр, но изготовленных из материалов различного удельного веса, соответственно чему шарики имеют различный вес. Освободим теперь стержень С. Ползун, сместившись вправо, сообщит одновременно толчок обоим шарикам, ко-
торые покатятся вправо. Наблюдая движение этих шариков, увидим, что они оба движутся прямоли
нейно, но пути, которые они проходят в течение одного и того же промежутка времени, различные, а именно — более легкий шарик опережает более тяжелый, т. е. он движется с большей скоростью. Если бы оба шарика были одного и того же удельного веса, то они, конечно, двигались бы с одинаковой скоростью и
остановились бы вследствие испытываемых ими сопротивлений
138
движению на одном и том же расстоянии от начального положения.
Повторив этот опыт при более сильно сжатой пружине (т. е. поставив ползун левее, чем при первом опыте), увидим, что оба щарика будут двигаться с большими скоростями, но по-прежнему скорость более тяжелого шарика будет в каждый момент времени меньше скорости другого шарика.
На основании этих опытов приходим к следующему выводу. Шарики в начальный момент находились в состоянии покоя.
г
Под действием пружины, т. е. одинаковых сил, действующих на них со стороны ползуна, они начали двигаться — каждый из них с определенной скоростью. Иначе можем сказать, что под действием равных сил оба тела получили разные ускорения, а именно, более тяжелому из них сообщено меньшее ускорение. Кроме того, из сопоставления второго опыта с первым видим, что большая сила сообщает одному и тому же телу большее ускорение.
Отсюда вытекает, что между силой и ускорением, которое она сообщает телу, существует какая-то зависимость.
Чтобы выяснить эту зависимость, проделаем еще один опыт. К тележке 1 (рис. 131), установленной на прямолинейных и горизонтальных рельсах, прикрепим динамометр 2, а к последнему привяжем шнурок 3, перекинутый через направляющий ролик 4; к нижнему концу шнура привяжем груз Gi. Предоста вив тележке двигаться под действием натяжения нити, вызываемого грузом G], отметим величину силы Рг , показываемую динамометром. Наблюдая движение тележки (например, отсчитывая пути, проходимые какой-нибудь ее точкой в равные промежутки времени), убедимся, что оно является равноускоренным.
139
По пройденному тележкой пути и соответствующему промежутку времени определим величину ускорения аь с которым тележка двигалась.
Заменив груз другим грузом G2, повторим опыт, в результате которого найдем, что при новом значении силы Р>, показываемом динамометром, тележка двигалась с ускорением а2. Если тележка сконструирована так, что трение очень мало, то в результате этого опыта найдем, что отношение сил Рг и Р2 очень мало отличается от отношения сообщаемых ими ускорений.
Таким образом, мы установим прямую пропорциональность между величинами сил и величинами сообщаемых этими силами ускорений:
А
Рг а2
или, иначе, после перестановки средних членов
Р\ Р2	«
— = — = постоянной величине.
^2
Повторяя этот опыт для различных значений величины груза, убедимся, что для каждого из них отношение величины силы к ускорению, которое она сообщает одному и тому же телу, остается одним и тем же.
Как видим, отношение силы к сообщаемому ею ускорению представляет собой для каждого тела постоянную величину. Обозначив эту величину через т, получим:
— — /;г, или
р — та.	(63)
Из этого равенства следует, что чем больше т, тем большая сила требуется для сообщения телу одного и того же ускорения а. Величина т называется мерой массы тела, или, для краткости, просто массой тела.
Так как по закону инерции тело должно оставаться в покое или сохранять равномерное и прямолинейное движение, то при сообщении ему определенного ускорения оно оказывает сопротивление, которое тем больше, чем больше его масса. Поэтому массу считают мерой инертности тела.
Равенство (63) выражает второй закон Ньютона и представляет собой основное уравнение динамики, которое может быть сформулировано следующим образом: сила равна массе, умноженной на ускорение. При этом ускорение направлено в ту же сторону, что и сила, сообщающая это ускорение.
140
Вопросы
1. Как изменится ускорение тела, если величина силы, действующей на него, увеличится в п раз?
2. Масса материальной точки А в п раз больше массы точки В; ускорение, сообщаемое первой точке, также в п раз больше ускорения второй. Во сколько раз сила, приложенная к точке А, больше силы, приложенной к точке В?
§ 102. Закон независимости действия сил
Пусть материальная точка, находясь под действием силы Ръ движется с ускорением аг (рис. 132); в некоторый момент времени на ту же точку начинает действовать еще одна сила Р%-Если бы точка находилась под действием одной силы Р2, то она получила бы по направлению этой силы ускорение	, где
т
т — масса этой материальной точки.
Опыт показывает, что, находясь под одновременным действием обеих указанных сил Рх и Р2, материальная точка будет двигаться с ускорением а = ОС, изображаемым диагональю параллелограмма ОАСВ, построенного на обоих ускорениях = 04 иа2 = ОВ как на сторонах. Иначе можем сказать, что ускорение движения материальной точки равно геометрической сумме
Рис. 132
обоих ускорений.
Умножив ускорения аг и а2 на массу тела, получим силы Рх и Р2. Таким образом, можно одновременно считать, что параллелограмм ОАСВ построен на векторах сил Рг и Р2 (в
соответствующем масштабе), а вектор ОС изображает в том же масштабе равнодействующую обеих составляющих сил Р1 и Р2.
Отсюда приходим к следующему заключению: если движущаяся материальная точка находится под совместным действием нескольких сил, то ускорение, получаемое точкой, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых каждой силой в отдельности.
Представим себе, что материальная точка движется по инерции, т. е. прямолинейно и равномерно, и в какой-то момент времени на нее начинает действовать сила Р , имеющая постоянное направление. В соответствии с этим точке будет сообщаться по направлению этой силы определенное ускорение. Если бы точка находилась в покое, то под действием этой силы она получила бы определенную скорость по направлению силы. Если же точка движется одновременно по инерции, то в результате этого ее движение будет складываться из равномерного движения по инерции и неравномерного движения, которое она получает под
141
действием силы Р. Это неравномерное движение будет точно таким же, как если бы сила Р была приложена к рассматриваемой точке, находящейся в покое.
Сказанное может быть сформулировано так: действие силы на материальную точку не зависит от того, находится ли точка в покое или в движении, и от того, действует ли сила одна или совместно с другими силами.
Отсюда также вытекает, что если материальная точка движется по инерции и к ней приложена уравновешивающаяся система сил, то это движение совершается равномерно и прямолинейно.
Сказанное составляет содержание закона механики, называемого законом независимости действия сил (или иначе — закона совместного действия сил).
§ 103, Следствия из рассмотренных законов механики
Из только что рассмотренных законов механики вытекают следующие положения, подтверждаемые опытом.
1.	Пусть прямолинейно движущаяся материальная точка находится под действием силы. Движение это, согласно второму закону, будет переменное. Если в некоторый момент действие силы прекратится, то дальнейшее движение будет совершаться по инерции прямолинейно и равномерно. Скорость движения будет равна той скорости, которую точка приобрела под действием силы, к тому моменту, когда это действие прекратилось. Так двигался бы электропоезд по прямолинейным и горизонтальным рельсам после выключения тока, если бы отсутствовали сопротивления движению. Чем меньше силы сопротивления, тем дольше будет продолжаться движение поезда по инерции, тем ближе движение будет к равномерному.
2.	Пусть материальная точка движется криволинейно. Как вытекает из первых двух законов, движение это может происходить только под действием силы. Если сила прекратила свое действие, то точка в дальнейшем будет двигаться по прямой, касательной к траектории в той точке, которая соответствует моменту прекращения действия силы. В качестве примера может служить движение груза, привязанного к нити и вращающегося вокруг руки, держащей конец нити. При обрыве нити груз устремится по касательной к окружности, которую он описывал под действием силы натяжения нити. Так же будет двигаться частица, оторвавшаяся от вращающегося заточного круга.
3.	Рассмотрим движение поезда, движущегося по прямолинейным горизонтальным рельсам. Чтобы поддерживать равномерное движение поезда, электровоз должен развивать определенную силу тяги, расходуемую на преодоление вредных сопро-142
тивлений, направленных в сторону, противоположную движению. Если бы сила тяги превышала силы сопротивления, то ее избыток шел бы на сообщение поезду соответствующего положительного ускорения, т. е. движение было бы ускоренное; если бы силы сопротивления превышали силу тяги, то их избыток пошел бы на сообщение ускорения, направленного в сторону, прямо противоположную движению, соответственно чему движение поезда было бы замедленным.
Из только что сказанного вытекает следующий важный вывод.
Так как равномерное движение поезда происходит под действием, с одной стороны, силы тяги электровоза и, с другой стороны, сил сопротивления, которые по величине в точности равны между собой, то силы эти уравновешиваются.
Итак, если материальная точка движется прямолинейно и равномерно, находясь под действием сил, то силы эти уравновешиваются, не оказывая никакого влияния на ее движение, г. е. точка движется по инерции, и обратно, если внешние силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются, то она либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается в покое.
Это положение является одним из важнейших в технической механике. В соответствии с ним решение всех задач, относящихся к прямолинейному и равномерному движению, упрощается, так как его можно производить, пользуясь положениями статики.
Выпишем все полученные выводы:
Если движение материальной точки, первоначально находившейся в покое, происходит под действием
1)	силы, постоянной по величине и направлению
2)	силы, постоянной по направлению и переменной по величине
3)	силы, сообщавшей ей криволинейное переменное движение и в определенный момент прекратившей свое действие
4)	силы, сообщавшей ей прямолинейное переменное движение и в определенный момент прекратившей свое действие
То движение точки
прямолинейное равнопеременное
прямолинейное неравномерное
прямолинейное равномерное по касательной к траектории
прямолинейное равномерное (с момента прекращения действия силы)
Вопросы
1. На материальную точку, движущуюся по инерции, начинает действовать постоянная сила, направленная в сторону, прямо противоположную движению. Каково будет дальнейшее движение точки?
143
2. На материальную точку, движущуюся по инерции, начинают действовать две силы, равные по величине и направленные в противоположные стороны. Изменится ли характер движения точки?
§ 104.	Системы механических единиц
В уравнении (63) связаны между собой три величины: сила, ед. длины т масса и ускорение. Ускорение выражается в Времёни)2 ’ laR как в технике приняты в качестве основной единицы длины — метр (л<), а единицы времени — секунда (сек), то ускорение будет выражаться в м/сек2~м • сек~2.
Что касается остальных величин, входящих в это уравнение, то можно выбрать в качестве основной единицы либо силу, либо массу; этим самым в первом случае определится размерность массы, во втором случае — размерность силы.
Примем в качестве основной единицы силу, а именно, как было указано в статике, — килограмм. Определим, как будет выражаться масса.
Выше мы установили следующую зависимость: т= — .
Подставив вместо силы 1 кГ, а вместо ускорения 1 м/сек2, получим единицу массы, выражающуюся через эти величины следующим образом:
п м	кГ-сек2	т 9
кГ:------= --------=кГ
сек?	м
Выбранная таким образом система единиц (кГ, м и сек), в которой единица массы выражается через эти единицы, принята в технике и называется технической системой единиц. Этой системой мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Существуют другие системы единиц, в основу которых положены другие основные величины. В 1960 г. на Международной конференции по мерам и весам принята единая Международная система единиц (СИ), которая должна применяться как предпочтительная во всех областях науки, техники и народного хозяйства. В этой системе приняты в качестве основной единицы длины — метр (лс), единицы времени — секунда (сек), единицы массы — килограмм (кг). Значит в этой системе единиц уравнение (63) даст для единицы силы следующее выражение:
ед. силы = (ед. массы) • (ед. ускор.) = кг-м* сек~2.
Эту единицу силы называют ньютон.
В качестве образцов (эталонов) принятых единиц служат: эталон длины — линейка, длина которой принята за 1 м, и эталон массы — гиря, масса которой принята за 1 кг (эталоны длины и массы хранятся в Парижской палате мер и весов, а тщательно сделанные копии с них — в других странах).
144
За эталон промежутка времени в Международной системе единиц принята та продолжительность среднего тропического года, которую он имел в 1900 г. Соответственно секунда — 1/31556925,9747 часть этого тропического года.
§ 105.	Зависимость между массой и весом тела
Пусть тело свободно падает, не встречая сопротивлений в безвоздушном пространстве. Падение тела, как известно, происходит под действием силы тяжести, или, иначе говоря, — его веса. Находясь под действием постоянной по величине и направлению силы, тело падает с постоянным ускорением.
Очевидно, что основное уравнение динамики (63) применимо и к случаю действия силы тяжести. В этом случае в уравнение (63) вместо силы Р мы должны подставить вес тела G, а вместо а — ускорение силы тяжести g, соответственно чему получим уравнение:
G = mg.	(64)
Так как масса тела постоянна, а ускорение может быть различным, то вес G одного и того же тела в пунктах с различной широтой имеет различное числовое значение, что подтверждается при взвешивании тела на пружинных весах. Это показывает, что масса тела и его вес существенно отличны друг от друга. Масса является неотъемлемым свойством всякого тела и для каждого тела, рассматриваемого в механике, неизменна. Вес тела обусловлен притяжением Земли и изменяется по величине в различных ее пунктах в зависимости от величины ускорения силы тяжести.
Пример 46. Определить вес тела, если оно, имея начальную скорость 10 м/сек, под действием силы в 20 кГ проходит за 5 сек путь, равный 200 м. Величину ускорения считать 9,81 м/сек2.
Так как движение тела равноускоренное, то определим ускорение по формуле (28):
S = Vat 4- —
откуда, подставляя числовые значения, получим а=П2 м/сек2. Масса тела
Следовательно, искомый вес тела
G =ОТ£- = -|-.9,81 = 16,35 кГ.
Пример 47. Тело весом 6=29,43 кг движется по инерции со скоростью v0=10 м/сек. В некоторый момент к нему прикладывается сила Р = 2 кГ, направленная в сторону, противоположную движению. Определить скорость тела по прошествии 3 сек от момента приложения силы Р.
Так как сила действует в направлении, противоположном движению, то сообщаемое ею ускорение отрицательное и движение равнозамедленное. Применив формулу (26), получим:
с'3 = Vq — at = 10 — Зя.
145
Ускорение а ~	, масса т —
т
9,81
•сек^, следова-
тельно, ускорение а — — м/сек!; искомая скорость v3 = 10—3-— = О	о
= 8 м/сек.
§ 106.	Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона)
Если какое-либо тело А получает под действием силы определенное ускорение, то это означает, что на тело А действует с этой силой какое-то другое тело В. Тело В может действовать
Г77777777777777777777777777777777777Т7777777777Г7777777777777У77777777777777777Т7Т7
Рис. 133
на тело А либо непосредственным соприкосновением, либо на расстоянии (так действуют, например, силы всемирного тяготения).
Проделаем следующий опыт. Установим на рельсах на некотором расстоянии друг от друга две тележки 1 и 3 (рис. 133), связанные между собой растянутой пружиной 2. Освободив одновременно обе тележки, предоставим их самим себе. Под действием пружины они начнут двигаться навстречу одна другой. Сделав отсчет пути, пройденного каждой тележкой, вычислим ускорение, с которым каждая тележка двигалась в течение соответствующего промежутка времени. Пусть ускорение тележки 1 равно Hi, а тележки 3 — а2.
Вычислив массы тележек и сопоставив их с ускорениями, убедимся, что при тщательной постановке опыта достаточно точно оправдывается равенство:
ея 77^2^2*
Но согласно второму закону произведение массы на ускорение равно силе, сообщающей это ускорение.
Таким образом, мы получаем, что на тележку А действует сила слева направо, а на тележку В действует такая же по величине сила, направленная в прямо противоположную сторону, т. е. справа налево.
Этот результат подтверждает третий закон механики (третий закон Ньютона), который в краткой формулировке гласит: действие равно противодействию.
Взаимодействие двух тел сказывается в наличии двух сил, равных между собой и направленных прямо противоположно 146
одна другой. Силы, следовательно, действуют попарно, будучи приложены к обоим взаимодействующим телам.
Этим законом в применении к равновесию тел мы уже пользовались в статике, считая, что давление тела на опору вызывает равную и прямо противоположно направленную реакцию.
§ 107.	Вопросы для повторения
1.	В чем заключается закон инерции?
2.	Сила, действующая на тело А, в п раз больше силы, действующей на тело В; масса второго тела в п раз больше массы первого тела. Как относятся ускорения, сообщаемые обоим телам?
3.	Какова размерность массы в технической и физической системах единиц?
4.	В каких случаях материальная точка, к которой приложена система сил, движется прямолинейно и равномерно?
§ 108.	Упражнения
48.	Определить массу тела, вес которого равен 1963 кг.
49.	Сила тяги электровоза, равная за вычетом всех сопротивлений движению 12 000 кГ, сообщает поезду ускорение <2 = 0,1 м/сек2. Чему равен вес поезда и какую скорость он будет иметь спустя 45 сек от начала движения?
50.	При какой полной силе тяги (включая и силу, потребную для преодоления сопротивлений) поезд весом 2000 т получит ускорение 0,05 м/сек. если сопротивление движению составляет 0,005 его веса?
51.	За сколько времени и на каком расстоянии может быть остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью 35 км/ч. если силы сопротивления движению, включая и сопротивление, создаваемое торможением, составляют 200 кГ на 1 т веса вагона?
Глава тринадцатая
ОСНОВЫ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 109.	Содержание понятия динамики материальной точки
Изучая кинематику, мы видели, что при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси его точки описывают окружности различных радиусов с разными скоростями и ускорениями.
Но при поступательном движении элементы, характеризующие движение, совершенно одинаковы для всех точек тела. Поэтому, рассматривая поступательное движение тела под действием приложенных к нему сил, можно отвлечься от его размеров и рассматривать движение любой его точки (обычно центра тяжести), в которой считаем сосредоточенной всю массу тела.
147
Такую точку, заменяющую тело в целом, как было указано в начале курса, называют материальной точкой.
Однако этими случаями не ограничивается применение понятия материальной точки. Оно оказывается полезным и при более сложных видах движения. Представим себе, что по какой-нибудь поверхности катится шарик. При этом движении центр шарика описывает какую-то линию (прямую или кривую), траектории же остальных его точек представляют собой различные сложные кривые линии.
Если при решении задачи нас интересует перемещение лишь центра шарика, то мы будем рассматривать этот шарик как материальную точку, расположенную в его центре и содержащую всю его массу.
В соответствии с этим условимся, что, говоря в дальнейшем о движении тела, мы будем понимать это тело как материальную точку с массой, равной массе всего тела.
§ ПО. Движение тела по вертикали под действием силы тяжести
Пусть тело брошено вертикально вверх. Если бы тело не притягивалось Землей, то оно бы двигалось по инерции прямолинейно и равномерно со скоростью, которая ему была сообщена в начальный момент. Но при наличии притяжения Земли на тело действует сила тяжести; величина силы тяжести определяется ускорением g, которое она сообщает телу, и его массой.
Таким образом, скорость тела в любой момент времени при движении вверх будет равна разности между постоянной скоростью и0, с которой тело двигалось бы по инерции, и скоростью gt, которую оно приобрело бы к моменту t под действием силы тяжести. Отсюда получим формулу (32), указанную выше в разделе кинематики:
«f =
Когда скорость gt, сообщаемая телу силой тяжести, по вели-чине станет равной скорости движения по инерции, скорость тела обратится в нуль. В этот момент тело достигнет наивысшего положения и в дальнейшем начнет падать под действием только силы тяжести (если не учитывать силы сопротивления воздуха); движение тела будет совершаться равноускоренно, скорость в момент t будет равняться gt.
§ 111. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Рассмотрим теперь более сложный случай движения тела под действием силы тяжести, а именно, когда тело брошено вверх не вертикально, а наклонно, или, как принято говорить, под углом к горизонту (рис. 134).
Итак, пусть тело брошено из начального положения по на
148
правлению M0N, образующему угол а с горизонталью, со скоростью г>0. Если бы на тело не действовала сила тяжести, то оно бы двигалось равномерно и прямолинейно по направлению M0N с постоянной скоростью . Действие силы тяжести сказывается в том, что тело непрерывно отклоняется от прямолинейного направления, в результате чего в какой-то момент времени оно упадет на землю в некоторой точке М на расстоянии L~M0M от начального положения.
Разложим скорость v(), выражаемую в выбранном масштабе вектором Л10Л, на две составляющие: ^огор по горизонтальному направлению и ©оверт— по вертикальному направлению. Какова бы ни была траектория движения тела *, в горизонтальном направлении оно будет двигаться равномерно, так как по этому направлению на него не действуют никакие силы. Что же касается скорости, с которой тело будет перемещаться в вертикальном направлении, то она не будет постоянной, а именно, в каждый момент времени она будет выражаться разностью между начальной скоростью ^оверт и скоростью gt, которая будет обусловлена ускорением силы тяжести. Скорость г'верт, с которой тело будет перемещаться в вертикальном направлении, определяется по формуле (32), которая для нашего случая примет вид:
^верт ^Оверт
Как видим, в вертикальном направлении тело движется равнозамедленно и в некоторый момент времени, когда gt станет
N
Рис. 134
* Напомним, что мы рассматриваем это тело как материальную точку.
149
равным ^оверт, вертикальная составляющая скорости движения тела обратится в нуль; в этот момент тело займет наивысшее положение. Затем тело начнет двигаться ускоренно, ибо вертикальная составляющая будет возрастать. В некоторый момент времени тело упадет на землю.
Какова же будет траектория тела?
Из опыта мы знаем, что в подобных случаях траектория имеет криволинейную форму. Мы можем найти эту траекторию следующим образом. Пусть продолжительность полета тела составляет Т. Разобьем это время на несколько равных промежутков времени моментами Л, t2, /3 и т. д. Нанесем на прямой M0N точки М/, М2, М3 и т. д., соответствующие положениям тела в моменты времени Л, t2, 4 и т. д., если бы движение происходило по инерции. Так как это движение совершалось бы равномерно, то	MQM2 =vot2, MoM3'=Uot3 и т. д. и
высота тела над землей измерялась бы отрезками M/Ai *, М2А2, М3'А3 и т. д. Но двигаясь равноускоренно под действием силы
тяжести, тело сместится вниз в течение промежутка времени
6 на величину =	, в течение промежутка времени
^2 = 2/1 — на величину 7И2/Л42= —-
в течение промежутка вре-
мени Т3 — 3/1 — на величину М3М3 =
и т. д. Таким образом,
отрезки М2М2, М3М3 и т. д. относятся друг к другу, как
gTl 2'2*2
и т. д. Но 7,2 = 2Л, Тз = ЗЛ и т. д., следовательно,
M1fMi:M2'M2:M3'M3 и т. д. -Л2:4Л2:9Л2 и т. д. = 1 : 4 : 9 и т. д. Отложив поэтому отрезки М2М2==4М\М\, М3М3^ = по вертикали вниз от точек М/, М2. М3 и т. д., получим ряд точек, лежащих на траектории движущегося тела. В подробных курсах доказывается, что эта траектория представляет собой кривую, называемую параболой.
Определим продолжительность Т полета тела из положения Af0 в положение М, наибольшую высоту полета Н и дальность полета L.
Как только что было выяснено, полет вверх совершается равнозамедленно и в наивысшем положении тела вертикальная составляющая скорости обращается в нуль, соответственно чему иВерт = о верт —gT'—Ot откуда ™ верт	„ 'г/	ч-г
Т = ------, где 1 —продолжительность полета вверх. Принимая во вни-
g
мание, что и0 верт ==^osin а, получим продолжительность полета из начального в наивысшее положение:
r == vo sln g
g
* Отрезок M/Ai во избежание усложнения схемы на рис. 134 не показан.
150
Нетрудно убедиться, что продолжительность полета из наивысшего положения в положение М будет такая же, следовательно, продолжительность полного полета тела из ЛГ0 в М будет:
2г0 sin а
Теперь можем найти высоту полета Н. Применив выведенную выше формулу (29), мы должны в ней принять ^/=0 (так как конечная скорость в вертикальном направлении в наивысшем положении равна нулю), начальная скорость в данном случае равна ооверт — vosin а и ускорение а представляет собой ускорение силы тяжести в результате получим высоту подъема:
О 5 sin2a
(66)
Определим, наконец, дальность полета £.
Принимая во внимание, что движение в горизонтальном направлении происходит равномерно, мы можем написать:
L = Vq Гор Т.
Скорость Vq гор выразится как катет прямоугольного треугольника по заданным гипотенузе v0 и прилежащему острому углу а:
гор = v0 cos а.
После подстановки этого значения v0rop и замены времени полета Т найденным выше выражением получим:
2
— -2 Sin a COS а.
2о0 sin а L =VQ COS а • ------
Выражение 2 sin а cos а, как доказывается в тригонометрии, представляет собой синус удвоенного угла а, т. е. 2 sin а cos а —sin 2а, и окончательно имеем:
.2
0	• о
— Sin 2а.
Так как наибольшего значения, равного единице, синус угла достигает при значении угла, равном 90°, то дальность полета будет наибольшей при 2а—90° или а=45°.
Движение тела по вертикали представляет частный случай рассмотренного вида движения.
В самом деле, при движении по вертикали угол а=90° и 2а=180°, sin 180°=0, следовательно, £=0, т. е. после падения тело вернется в исходное
положение. Далее, при а=90° получим: sin 90°— 1 и Н— —, т. е. то же вы
ражение, которое мы получили выше в разделе кинематики.
Пример 48. Снаряд выпущен из орудия под углом а = 30° к горизонту с начальной скоростью Уо==5ОО м/сек. Через сколько времени и на каком расстоянии упал бы снаряд, если бы отсутствовало сопротивление воздуха?
Продолжительность полета определится по формуле (65):
2-500 sin 30°
Г =------—------51 сек.
Дальность полета по формуле (67) составит:
vo	5002
£ ------- sin 2а — ---sin 60° ~ 22 км / 0 м.
£	9,81
151
§ 112. Касательная и нормальная силы при движении материальной точки по окружности
в
Рис. 135
к
Представим себе, что стержень К, на конце которого закреплен шарик С, вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси
О (рис. 135). Если центр шарика движется по окружности неравномерно, то изменение скорости по величине характеризуется касательным ускорением at. Изменение скорости по направлению определяется по формуле (49) центростремительным ускорением: и2
Умножим каждое из этих ускорений на массу т шарика. Произведение mat массы шарика на касательное ускорение at даст величину силы Т =CD, направленной по касательной к окружности, описываемой центром шарика. Сила эта называется касательной (тангенциальной). Произведение тап= = N=CB
В представляет собой величину силы, направленной к центру, и называется нормальной (це силой.
Итак, касательная сила
Т — mat.
(68)
Нормальная сила

(69)
Обе эти силы являются составляющими силы Р —СА, которая выражается диагональю прямоугольника ABCD:
(70)
Если движение происходит равномерно, то ^ = 0, соответственно чему касательная сила Т~0.
§ ИЗ. Силы инерции
Пусть на тело Л, находящееся в состоянии покоя, в какой-то момент времени начинает действовать другое тело В с некоторой силой. Мы уже знаем, что это действие скажется в сообщении телу А соответствующего ускорения. Но по закону инерции тело А стремится сохранить состояние покоя, следовательно, оно оказывает определенное сопротивление изменению своего состоя-£52
ния иокоя. Это сопротивление проявится в виде некоторой силы, действующей со стороны тела А на тело В.
Реакция, испытываемая телом со стороны другого движущегося тела, которому оно и только оно сообщает ускорение, называется сило й инерции.
Ри L
Рис. 136
Рис. 137
Из сказанного вытекает следующий важный вывод. Если тело А получает ускорение под действием тела В, то сила, выражающая это действие, приложена к телу А; сила инерции, равная и прямо противоположно направленная, приложена к телу В. Таким образом, обе эти силы приложены к различным взаимодействующим телам.
Подчеркнем, наконец, что сила инерции не возникает, если нет силы, сообщающей телу ускорение. Следовательно, эти обе силы действуют одновременно.
Представим себе, что ползун К движется в прямолинейных направляющих под действием стержня L (рис. 136). Обозначив силу, действующую на ползун со стороны стержня, через Р, мы имеем Р = та, где а—ускорение движения ползуна. Эта сила вызывает со стороны ползуна реакцию ОЛЬ приложенную к стержню. По третьему закону механики эта реакция равна и прямо противоположна силе Р\ она, следовательно, направлена в сторону, противоположную ускорению ползуна. Обозначив ее через Ри, получимРи = —Р =—та.
Эт® будет сила инерции, развиваемая ползуном и приложенная к стержню.
Пример 49. Платформа подъемника весом G—300 кг (рис. 137) опускается в шахту с ускорением, равным 2 м!сек\ Какое натяжение испытывает канат в месте его прикрепления к платформе?
На канат действует в направлении сверху вниз сила, равная весу платформы 0—300 кГ. Опускаясь с ускорением а—2 платформа развивает
300 • 2
силу инерции Q и *= —та= —	— —61,2 кГ, приложенную к канату и на-
правленную снизу вверх.
Следовательно, канат будет растягиваться силой, равной:
/?= О —= 300 — 61,2 = 238,8 кГ.
Если бы платформа не опускалась, а поднималась с таким же ускорением, то канат растягивался бы силой
R = G + QH = 361,2 кГ.
153
§ 114. Силы инерции при движении материальной точки по окружности
Выше мы видели, что в общем случае сила, приложенная к материальной точке, при движении последней по окружности может быть разложена на две составляющие: одну силу Г, направленную по касательной к окружности, по которой совершается движение, и вторую N— по радиусу этой окружности. Касательная сила Т сообщает движущейся материальной точке ускорение, определяющее изменение скорости по величине, а нормальная сила N изменяет скорость по направлению.
Как вытекает из сказанного выше, на тело, сообщающее рассматриваемому телу касательное и нормальное ускорения, одновременно действуют две силы инерции: касательная сила инерции Ги =—Т=—mat и сила инерции равная по величине и направленная противоположно центростремительной
силе.
Рассмотрим вторую силу инерции подробнее.
Пусть центр шарика С движется по окружности под действием легкого стержня, равномерно вращающегося вокруг оси О (рис. 138, а). Так как касательное ускорение в этом случае равно нулю, то на шарик действует одна нормальная сила , заставляющая его двигаться криволинейно. Сила эта приложена к шарику в точке Ci и направлена к центру О.
Одновременно с силой N действует сила инерции, равная по
Рис. 138
величине силе N и направленная прямо противоположно ей, т. е. сила 7Vn, которая выражает сопротивление шарика изменению направления скорости, которую он имел бы по инерции. Эта сила приложена к стержню в точке направлена по радиусу ОС от центра и называется центробежной силой.
Так как шарик рассматривается нами в данном случае как материальная точка, распо-
ложенная в его центре тяжести С, в котором сосредоточена вся масса шарика, то обе силы N и NK условно могут быть перенесены по линии их действия в точку С, как это показано на рис. 138, б. Следует, однако, помнить,
что эти силы приложены к различным телам и уравновешивать
ся поэтому не могут.
Итак, сила, с которой равномерно движущаяся по окружно
154
сти материальная точка действует вследствие инерции на удерживающее тело, называется центробежной силой.
Величина центробежной силы определяется соответственно
(69) по формуле
^и = -^-2,	(71)
а величина касательной силы инерции
7И = mat
(72)
Воспользовавшись формулой (54), можем формулу (71) представить в таком виде:
_ т / ~Rn \2_
*71 30 7 ~ 900
(73)
где т — масса материальной точки;
п — число оборотов в минуту;
R — расстояние точки от оси вращения в м.
Можно, наконец, представить эту формулу еще и в другом виде, если выразить массу в зависимости от веса G:
~WR
и 9,81
900
- 0,001 V2GRn\
(74)
Вопросы
I. При каком условии касательная сила инерции движущейся материальной точки имеет постоянное по величине значение?
2. Ответить на предыдущий вопрос применительно к центробежной силе.
Пример 50. На центрах токарного станка установлена для обработки круглая заготовка диаметром 60 мм; скорость резания выбрана 425 м/мин. Какая центробежная сила возникает при вращении заготовки, если центр тяжести заготовки смещен на R—1,5 мм от оси вращения*, а вес ее 6=1,6 кг?
Чтобы применить формулу (74), необходимо определить число оборотов, которое нужно сообщить обрабатываемой детали.
По формуле (55) получим:
1000 v 1000.425
л —-------= —----------— 2257- об I мин.
3,14-60	'
tzD
Допустим, что ближайшее число оборотов шпинделя равно 2250 об/лшм.
Вычислим величину центробежной силы по формуле (74), в которой эксцентриситет должен быть взят в метрах, т. е. ^?=1,5 л«л<== 0,0015 м:
= 0,00112-1,6-0,0015-22502- 13,6 кГ.
Как видим, центробежная сила в этом случае превышает вес самой детали 13,6
в ~— =8,5 раза.
Вредное действие этого явления скажется на работе центров станка и в износе подшипников шпинделя.
* Это смещение называется эксцентриситетом.
155
§ 115. Роль сил инерции в технике
Силы инерции играют очень большую роль в современной технике, характеризующейся большими скоростями и ускорениями.
Трудно представить себе машину, в которой отсутствовали бы вращающиеся детали. При тех числах оборотов в минуту, с которыми детали вращаются в современных машинах и которые достигают нескольких десятков тысяч, особое значение приобретает центробежная сила. Из разобранного выше примера мы видели, что величина ее может превосходить вес тела в несколько раз. Пусть центр тяжести вращающегося тела смещен относительно оси вращения на величину р. Центробежная сила по формуле (74) при п=20 000 об!мин будет в этом случае равна ?/и=448 000 Gp. Если вес тела G=1 кг. а эксцентриситет р всего лишь 0,5 мм~ 0,0005 ж, то величина центробежной силы составит ЛГи==224 кГ. Как видим, эта сила получается в 224 раза больше веса самого тела. Сила эта будет вызывать большой износ подшипников и шеек валика, а также удары, что может привести к поломке. Поэтому центрированию быстро вращающихся деталей уделяют большое внимание, добиваясь того, чтобы центр тяжести лежал на оси вращения; для этого применяют специальные противовесы или удаляют лишний материал, т. е. производят так называемое уравновешивание, иначе, ба-
Рис. 139
Рис. 140
лансировку детали. Так, например, если центр тяжести шкива расположен не на его геометрической оси О (рис. 139), а в какой-то точке С, отстоящей от нее на расстоянии ОС, то нужно переместить центр тяжести так, чтобы он оказался на оси. Для этого либо в диаметрально противоположной точке А прикрепляют дополнительный груз, либо в точке В, лежащей на том же диаметре, удаляют лишний материал (например, высверливают в ободе отверстие определенного диаметра). Уравновеши» 156
вание деталей производится на специальных станках, называв* мых балансировочными.
Пусть на угольнике В, установленном на планшайбе, растачивается подшипник А (рис. 140). Если центр тяжести планшайбы лежит на оси О шпинделя, то после установки на ней угольника В с обрабатываемой деталью он сместится и займет некоторое положение С, т. е. вся система этих деталей окажется неуравновешенной. Для того чтобы опоры шпинделя не испытывали действия центробежной силы, систему надо уравновесить. Это достигается тем, что на диаметре, проходящем через точки О и С, помещают противовес Л. Если обозначить вес угольника с обрабатываемой деталью через G , а вес груза К — через О19 то моменты этих двух сил относительно оси О должны быть по величине равны, т. е. должно удовлетворяться условие G*OC = == Gi • OD,
§ 116. Вопросы для повторения
1.	Поезд трогается со станции, постепенно набирая скорость до какого-то момента, после которого он продолжает идти равномерно по горизонтальному прямолинейному пути. Ответить на следующие вопросы:
Какие силы действуют на паровозную сцепку и на сцепки между отдельными вагонами и как эти силы направлены?
Одинаковы ли эти силы по величине?
Ответы дать отдельно для периода разгона и для периода установившегося движения.
2.	В вагоне движущегося поезда сидят друг против друга два пассажира А и В, откинувшись к стенкам купе; пассажир А сидит лицом по направлению движения, а пассажир В — спиной. Какие силы действуют на каждого из пассажиров в случаях: а) увеличения скорости движения поезда и б) его торможения?
3.	Конькобежец бежал прямолинейно; при переходе на закругление его «занесло». Как объяснить это явление?
4.	В вертикальной плоскости вращается легкий стержень (массой которого можно пренебречь), к концу которого прикреплен груз. Одинаково ли натянут стержень при верхнем и нижнем положении груза?
§117. Упражнения
52.	В вагоне, движущемся прямолинейно по горизонтальным рельсам с ускорением а = 0,1 м/сек2, подвешен у задней стены шар весом G—10 кг (рис. 141). Определить давление N, оказы*
ваемое шаром на стену.
53.	Держа конец нити, к другому концу которой привязан груз весом 0,25 кг, ей сообщают вращательное движение в вертикальной плоскости. Скорость в наи-низшем положении 9,6 м/сек. Длина нити равна 0,8 м. Определить, с какой силой натянута нить при наивысшем и самом низком положениях груза.
Рис. 141
157
54.	В криволинейном пазу (рис. 142) перемещается по часовой стрелке ползун С весом G = 2 кг. Определить касательную и
нормальную силы инерции и их направления, если расстояние центра тяжести ползуна от центра дуги, которую он описывает, Я = 800 мм, скорость
Рис. 143
Рис. 142
ползуна в рассматриваемый момент соответствует 250 об/мин, а касательное ускорение равно 1,2 м/сек2.
55.	Велосипедист (рис. 143) описывает кривую радиусом 7? = 20 м со скоростью v = 5 м/сек. Какой угол а должна образовать средняя плоскость велосипеда с вертикалью, чтобы положение велосипеда было устойчиво?
Указание. Для устойчивости велосипеда реакция со стороны Земли должна находиться в плоскости велосипеда. Нормальная сила должна представлять собой равнодействующую этой реакции и веса велосипедиста с велосипедом.
Глава четырнадцатая
РАБОТА И МОЩНОСТЬ
§ 118.	Понятие о работе
Представим себе, что мы подняли груз на некоторую высоту. Совершая это действие, мы преодолевали силу тяжести, т. е. вес тела. Точно так же, перемещая какой-нибудь груз по горизонтальной плоскости, мы должны преодолевать сопротивление движению тела — главным образом трение между соприкасающимися поверхностями.
Опиливая какую-нибудь поверхность заготовки, мы прилагаем силу, необходимую для снятия с металла стружки, т. е. преодолеваем силу сопротивления, создаваемую силами сцепления между его частицами. Те же силы преодолеваются при механической обработке металлов, например, на строгальном станке.
Во всех этих случаях имеется сила, действующая на тело, и перемещение тела под действием этой силы. В результате этого совершается механическая работа.
Таким образом, для совершения механической работы требуется наличие силы и перемещения.
158
§ 119.	Измерение работы
Как вытекает из только что сказанного, о величине совершенной работы можно судить по величине движущей силы и величине перемещения. Сообщая напильнику вдвое больший ход, мы при том же нажиме совершим вдвое большую работу. Таким образом, с увеличением перемещения соответственно увеличивается совершаемая работа. То же можно сказать и о силе. Если поднимать на одну и ту же высоту груз, вес которого в одном случае вдвое больше, чем в другом, то и совершаемая работа также вдвое больше. Короче можем сказать, что работа пропорциональна силе и перемещению.
Если обозначим величину силы через Р, а перемещение тела по направлению линии действия этой силы через s, то получим выражение для работы W в виде формулы
W = Ps.	(75)
Так как в технической системе единиц сила измеряется в килограммах, а путь в метрах, то работа выражается в килограммометрах; если путь выразить в сантиметрах, то ра-
Рис. 144

бота будет измеряться в кил огр а м мосанти метрах и т. д.
При пользовании уравнением (75) следует помнить, что оно соответствует случаю, когда линия действия силы и направление движения совпадают. Рассмотрим более сложный случай, когда это условие не соблюдается.
Пусть материальная точка переместилась по прямолинейной траектории из положения М в положение Afi (рис. 144) под действием постоянной по величине и направлению силы Р , образующей с траекторией угол а. В этом случае, работой силы называется произведение величины силы на перемещение и на косинус угла а, т. е.
W = Pscosa.
(76)
Так как с уменьшением угла косинус его увеличивается, то работа силы тем больше, чем меньший угол образует ее линия действия с направлением движения. Если угол а=0°, то cos а— 1 и формула (76) будет такой же, как и формула (75).
159
Если линия действия силы перпендикулярна к направлению движения, то угол а=90° и cos а = 0, соответственно чему формула (76) примет вид:	— 0, т. е. в этом случае сила Р ра-
боты не совершает. Это вполне понятно, так как никакого перемещения по направлению этой силы нет.
Так, например, при движении какого-нибудь тела по горизонтальной поверхности работа его силы веса равна нулю, так как сила тяжести перпендикулярна к направлению движения.
Итак, работа постоянной силы, приложенной к прямолинейно движущейся материальной точке, равна произведению силы на перемещение точки и на косинус угла между ними.
Так как сила сопротивления направлена в сторону, противоположную направлению движения, то работа ее берется со знаком «минус», т. е. оказывается отрицательной. Так, работа силы Р, образующей с направлением движения тупой угол а, отрицательна (рис. 145).
Пример 51. Насос подает в течение минуты 100 л воды на высоту 20 -и. Какую работу совершает насос в течение часа?
Работа насоса расходуется на преодоление силы тяжести. При поднятии
Рис. 146
воды вес ее уравновешивается силой, сообщаемой насосом. Путь, совершаемый водой, составляет 20 м, сила, прилагаемая к ней, равна и прямо противоположна ее весу. Поэтому работа, совершаемая насосом в 1 мин, равна ЮОХ X 20=2000 кГм, а в час 2000 - 60 = = 120 000 кГм.
Пример 52. Шарик, предоставленный самому себе, скатывается по наклонной плоскости
(рис. 146) из положения О в положение Оь Определить работу, совершаемую силой тяжести на протяжении пути I.
___ Шарик скатывается под действием своего веса G, выражаемого вектором О А, образующим угол 0104 с направлением движения. Следовательно, работа этой силы на протяжении пути OOf.
W = О/cos ^АООХ.
Обозначив угол подъема MKL наклонной плоскости через а, мы видим, что Z4OOi==90°—а и работа силы G равна W=Gl cos (90°—a) = G/slna. Из прямоугольного треугольника ООГВ мы видим, что OB — Z sin а. Обозначив ОВ, т. е. высоту, на которую центр тяжести шарика опустился при перемещении из О в 01, через Л, получим: UZ=G/ sina=G/i, т. е. работа силы тяжести равна весу шарика, умноженному на разность уровней его центра тяжести в начальном и конечном положениях.
§ 120.	Работа равнодействующей силы
Рассмотрим случай, когда на материальную точку одновременно действуют несколько постоянных сил. Пусть в точке Л1, перемещающейся по прямолинейной траектории ММ} (рис. 147),
160
приложены силы Рх и Р2. Разложим каждую из них на две со-ставляющих: по направлению движения (векторы МА{ и MBi) и по перпендикулярному направлению (векторы МА2 и МВ2). Построив на обеих силах параллелограмм МАСВ, получим равнодействующую R , которую также разложим на указанные два направления (векторы MCt и МС2). Обращаясь к составляющим МА2, МВ2 и МС2, мы приходим к заключению, что работа каждой из них равна нулю, ибо они образуют с направлением движения угол, равный 90°. Таким образом, работа сил Р1г Р2 и R измеряется произведением горизонтальной составляющей каждой силы на перемещение MMi=s.
Итак, работа силы Pi равна Wpi = MAiS = Pifs и работа силы Р2 равна WP2=MBiS — P2's.
Сложив почленно эти два равенства, получим:
Wpi	Wp2 = Pis -f- P2s = {Pt P2}s.
Работа равнодействующей R равна = MCiS — =R's. Как видим из черте* жа, AfCi = MBt + BiCt = = MBt 4- BD. Но из равенства прямоугольных треугольников BCD и MAAi следует, что BD = MAlt поэтому MCi = MBi + MAi и работа равнодействующей R равна WR = (Р/ + Р2) s.
Рис. 147
Сопоставляя это равенство с предыдущим, получим, что =« Wpi + Wpi.
Если бы мы имели не две, а сколько угодно сил, то, складывая их последовательно, пришли бы к тому же выводу, причем следует помнить, что в случае, когда какая-нибудь сила производит отрицательную работу, эта работа войдет в сумму со знаком «минус».
Итак, работа равнодействующей какого угодно количества постоянных сил на некотором перемещении ее точки приложения равна алгебраической сумме работ слагаемых сил на том же перемещении.
§ 121.	Графическое выражение работы
Вычисление работы, совершаемой силой, облегчится, если применить графический метод. Рассмотрим сначала простейший случай, когда сила остается постоянной по величине и направлению.
6-1599
161
Проведем две взаимно перпендикулярные оси Os и ОР (рис. 148) и отложим в выбранных масштабах на первой оси отрезок ОА, выражающий перемещение s тела, а на второй оси — отрезок ОВ, выражающий силу Р , действовавшую на тело на этом перемещении по направлению движения. Построив на обоих этих отрезках прямоугольник ОВСА, получим, что пло-щадь его, равная ОВ-ОЛ, выражает в определенном масштабе работу силы Р на пути s.
Теперь представим себе, что сила не остается постоянной на протяжении пути s, а меняет свою величину и направление (рис. 149).
Пусть в начальный момент величина силы равна Р$ и направ-лена под углом а0 к направлению движения; спустя небольшой
Рис. 149
Рис. 148
промежуток времени, в течение которого тело переместилось на величину Si в точку Ль величина силы равна Р\ и образует она с направлением движения угол си; в какой-то следующий момент сила равна по величине Р2 и направлена она под углом «2 к направлению движения, а тело переместилось за этот промежуток времени на величину s2 в точку Л2 и т. д.
Отложив отрезок ОВ, выражающий по величине в выбранном масштабе силу P0cos а0, проводим прямую ВВХ', параллельную оси абсцисс, до пересечения с перпендикуляром, восстановленным в точке Л г, затем откладывая на этом перпендикуляре отрезок Л1ВЬ выражающий силу Picosai, проводим прямую ВХВ2 до пересечения с перпендикуляром, восставленным в точке А2, и т. д.
Если бы на протяжении перемещений sb s2, s3 силы оставались постоянными, то работа, совершаемая ими на этих путях, выражалась бы площадями прямоугольников OBB/Ai, AiBiB2'A2, А2В2В3'Аз и т. д. Но эти силы непрерывно изменяют свою величину, следовательно, истинная работа будет меньше. Чем меньше будут перемещения sb s2, s3 и т. д., тем меньше будет отличаться площадь каждого прямоугольника от площади, выражающей истинную работу на каждом перемещении, т. е. точка В/ будет приближаться к Вь точка В2—к точке В2, точка В3'— к 162
точке Вз и т. д. Поэтому, проведя через точки В, Вь В2, В3 и т. д.
плавную кривую линию, приходим к заключению, что работа силы на протяжении $! выражается площадью фигуры ОВВ1Л1, работа на протяжении s2 — площадью фигуры А\В\В2А2 и т. д.» а работа, совершенная на всем пути s, выражаемом отрезком ОАп, выразится площадью всей фигуры ОВСАп.
При вычислении, очевидно, следует учитывать масштабы, в которых наносились перемещения и силы* Пусть перемещения откладывались в масштабе (т м в 1 мм), а силы — в масштабе (п кГ в 1 мм), тогда площадь F мм2 полученной фигуры надо умножить на тп и искомая работа W=Fmn кГм.
Как указано было выше, работа силы может быть отрицательной, как, например, работа сил сопротивлений, направленных в сторону, противоположную движению. Поэтому принято положительные значения сил (направленных в сторону движения) откладывать вверх от оси абс
Рис. 150
цисс, а отрицательные — вниз, как показано на рис. 150. При
таком построении площадь фигу-
ры, расположенной над осью, выражает положительную работу,
под осью — отрицательную.
Разделив площадь фигуры ОВСАп (рис. 149) на основание ОАп, получим отрезок OD, дающий высоту прямоугольника ODEAn. равновеликого этой фигуре. Этот отрезок выражает ве-личину некоторой средней силы Рср= — > которая, оста-ваясь постоянной, совершила бы ту же работу, что и действи-
;льная переменная сила.
§ 122.	Работа силы постоянной величины во вращательном движении
Рис. 151
Пусть к стержню К (рис. 151), вращающемуся вокруг оси О, приложена в точке А постоянная по ве* личине сила Р, лежащая в плоскости вращения и образующая с продольной осью стержня ОА постоянный угол ОАВ. Разложим эту силу на две взаимно пер* пендикулярные составляющие: нормаль* ную 2V, направленную к оси вращения, и касательную Т, направленную по касательной к окружности, описываемой точкой приложения Л. Составляющая Af
6*	163
вращающего действия не оказывает, так как она пересекает ось вращения. Таким образом, вращение будет совершаться под действием составляющей Т. Пусть стержень повернулся вокруг оси О из положения ОА в положение ОЛЬ получив угловое перемещение ф (выраженное в градусах). Соответственно этому перемещение точки приложения А силы Т будет равно длине ду* ги AAi радиусом OA=R между сторонами центрального угла ф< Длина этой дуги:
с да	П
360	180
Так как сила Т все время перпендикулярна к радиусу вращения и составляет с направлением движения точки А угол, равный нулю, то в формуле (76) cos а= 1 и работа этой силы на протяжении дуги s равна:
180
(76а)
Вернемся теперь к заданной силе Р , выражаемой вектором АВ, Напишем выражение для момента этой силы относительно оси О; чтобы его определить, опустим из точки О перпендикуляр ОЕ на линию действия этой силы, тогда отрезок ОЕ=р представит собой плечо момента, численно равного
Мр Рр.
Этот момент называется вращающим моментом.
Учитывая, что прямоугольные треугольники ABD и АОЕ подобны (как имеющие равные острые углы BAD и АОЕ с взаимно перпендикулярными сторонами), можем написать;
откуда TR = Pp.
Сделав подстановку в равенство (76а), получим работу, совершенную силой Р на протяжении пути s точки ее приложения:
w=3^Pp или w=
(77)
т. е. работа постоянной по величине силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна вращающему моменту, умноженному на угловое перемещение, выраженное в
градусах, и на коэффициент
тс
180’
* Если угловое перемещение выражено в радианах, то формула примет вид:	р ф.
164
Как видно из вывода, если к телу приложено несколько сил, то под вращающим моментом следует понимать алгебраическую
сумму моментов всех сил относительно оси вращения.
Пример 53. Шкив, закрепленный на валу, приводится во вращение по направлению, показанному стрелкой (рис. 152), ремнем, охватывающим второй, ведущий шкив (не показанный на чертеже). Сбегающая ветвь АВ ремня, являющаяся ведущей, действует с силой Pi ==Г50 кГ? а набегающая ветвь ремня СО натянута с силой Р2=80 кГ. Определить работу* совершенную этими сила-МП на протяжении одного оборота шкива, если его диаметр равен 800 мм.
При одном обороте шкива угловое перемещение ф == 360°. Взяв моменты сил Рг И Pt относительно оси вращения, получим по формуле (77):
W=~(PtR'-PaR)-3G0 =
==2тс(150—- 80)«0,4 = 176 кГм.
§ 123. Мощность и единицы ее измерения
Говоря о работе силы, мы не учитывали время, в течение которого совершалась работа. Отсюда вытекает, что работа сама по себе еще не характеризует эффективности действия силы. Меньшая сила, действуя более длительное время, может совершить большую работу
Л
Рис. 152
по сравнению с большей силой, дей-
ствующей в течение меньшего промежутка времени. При работе всякой машины нас интересует ее способность совершать опре-
деленную работу в единицу времени, например в одну секунду; чем эта работа больше, тем производительнее машина работает;
по величине этой секундной работы мы можем сравнивать маши-
ны с точки зрения развиваемого ими механического эффекта. Поэтому в механике, помимо понятия о работе, применяется понятие о мощности. Мощность измеряется работой, отнесенной к единице времени. Если сила совершила в течение t секунд работу, равную 1F кГм, то мощность равна частному от деления произведенной работы на соответствующий ей промежуток времени, W т. е. — . t
Представим себе, что работа, совершаемая силой в равные промежутки времени, не постоянна. Очевидно, что в этом случае и мощность в различные моменты не будет одинакова; част-IT ное — представит тогда среднюю мощность за проме-
жуток времени t.
165
Чем меньший промежуток времени взят, тем ближе значение средней мощности к мгновенной мощности в данный момент.
Единицей работы, как мы видели, является килограммометр, следовательно, единицей мощности будет----= кГм*сек~х.
сек
В технике принята более крупная единица мощности, назы-к Г*м
ваемая лошадиной силой (л. с.) * и равная 75—.Таким сек
образом, для того чтобы выразить мощность в лошадиных силах, следует мощность, выраженную в кГм • сект1, разделить на 75.
Зачастую мощность выражают в киловаттах (кет). Вычисления дают следующие соотношения: 1 квт=1,36 л. с. и 1 л. с.~ = 0,736 кет.
Вопросы
1. В чем разница между мощностью и работой?
2. Влияет ли на величину мощности скорость перемещения точки приложения силы?
§ 124. Мощность при равномерном поступательном движении тела
Если тело движется равномерно и поступательно и находится под действием системы сил, то система эта уравновешивается. Пусть тело переместилось на величину 5. Тогда работа, совершенная одной из сил Р этой системы, равна №=Pscosa.
Чтобы определить мощность, соответствующую этой работе, последнюю надо разделить на время, выраженное в секундах. Обозначив мощность через /V, получим:
д г =	_ Ps cos а ,
t	t
Так как — представляет собой скорость, то при s, выражен-t
ном в метрах, получим:
N ~ Pv cos а кГм!сек,	(78)
т. е. мощность е любой момент времени равна произведению силы на скорость и на косинус угла, образуемого силой с направлением движения.
Выразив мощность в лошадиных силах, получим:
W	л. с,	(79)
* Мощность в Международной системе единиц (СИ) выражается в ваттах. 1 л. с. ==735,499 вт.
166
Пример 54. Определить мощность, затрачиваемую на рабочий ход стола продольно-строгального станка, если сопротивление резанию составляет Р=> м
=800 кГ, а скорость движения стола v =24---•
мин
Применим формулу (79), в которой cos а следует принять равным 1, так как линия действия силы совпадает с направлением скорости:
800•24 ю^=4’3 л
В знаменателе поставлен множитель 60 потому, что скорость должна быть азята в м!сек, а задана она в м/мин.
§ 125. Мощность при равномерном вращательном движении тела
Если тело совершает вращательное движение, то мощность выражают в зависимости от угловой скорости — так же как работа в этом случае выражается в зависимости от углового перемещения.
Пусть тело, вращающееся равномерно, получило в течение промежутка времени t сек угловое перемещение ср. При равномерном вращении моменты сил, приложенных к телу, уравновешиваются. Если вращающий момент одной из сил равен AfB, то работа, совершенная ею в 1 сек, равна:
Так как вращение совершается равномерно, то левая часть этого равенства выражает мощность, а величина-^4—угловую скорость вращения о. Таким образом, получим искомую мощность 2V:
N = — М вш.
180 в
(80)
Выясним, в каких единицах она выражается. Если, как эго принято, сила выражена в килограммах, а радиус вращения в метрах, то вращающий момент получится в килограммометрах; размерность угловой скорости (оь как известно, число 180 имеет размерность градус; следовательно, мощность имеет размерность
к Г м град	кГм
__ . 9 град	сек	сек
т. е. ту же размерность, что и при поступательном движении.
167
Если выразить мощность в лошадиных силах, получим:
180
75
л. с.
(81)
Наконец, мощность вращающей силы, направленной по касательной к окружности, описываемой точкой ее приложения, равна:
N = Pv кГя)сек =
Pv*
75
Л. С.,
(82)
причем скорость v должна быть выражена в м/сек.
Пример 55. Определить мощность, передаваемую ремнем шкиву по ным примера 54, если шкив делает 180 об/мин.
В указанном примере было найдено, что на шкив передается работа
дан-
W-
= 176 кГм при одном его обороте, что соответствует — мин=
180
сек.
Следовательно, развиваемая при этом мощность
176 т-
«7,1 л. с.
Пример 56. Какое окружное усилие передается шкиву диаметром D=* = 600 мм, если при получаемой мощности 2V=6 л. с. он делает л—240 об/мин**
Определим из формулы (81) вращающий момент:
180-75^
* ТС (О
тс1440
При 240 об/мин угловая скорость по формуле (53) равна со=6л=6*240= град	_	180.75.6
1440----. Следовательно, вращающий момент М3 = —7777— « 17,91 кГм
сек 2М3	17,91
откуда Р = — — =  -	- = 59,7 кГ.
и,0	и,о
§ 126. Зависимость между вращающим моментом, передаваемой мощностью и числом оборотов
В расчетах, связанных с определением мощности по вращающему моменту, удобнее пользоваться видоизмененной формулой (81), в которой вместо угловой скорости фигурирует число оборотов в минуту.
* Эта формула может быть получена и из формулы (81), а именно: л Ма я PR Р тс R <а	P-v
180 75 “ = 180 ’ 75 “ = 75 ' 180 = ~7Ъ ’
где R — расстояние точки приложения силы Р от оси вращения; v — линейная скорость этой точки.
168
Подставив в формулу (81) вместо угловой скорости ® ее вначение по формуле (53), т. е. ш=6 п, получим #= Мв=
яа~-Мв, откуда Мв=—.— . Приняв л=3,1416, получим
2250	7t /3
окончательно:
ЛГВ = 716,2 — кГм.	(83)
п
Подчеркнем, что, как видно из всего предшествующего изложения, полученный по этой формуле вращающий момент выражается в килограммометрах. Если вращающий момент выразить в килограммосантиметрах, то эта формула примет такой вид:
7ИВ = 71 620 — к Гем.	(84)
Зная две из трех связанных в этой формуле величин, можно определить третью.
Так, если известны вращающий момент и число оборотов в минуту, можно определить расходуемую мощность:
, г М^п N =-------л. с,
716,2
(85)
Зная передаваемую мощность и вращающий момент, можно найти число оборотов в минуту:
716.2Л7
(86)
причем в обеих формулах Мв должен быть выражен в кГм.
Силу, прилагаемую к поверхности вращающейся круглой детали (например, шкива) и создающую вращающий момент, обычно называют окружным усилием.
Вопросы
1.	Какой вид примет формула (83), если момент выражен в кГмм?
2.	При постоянном вращающем моменте мощность увеличилась в т раз. Как изменилось число оборотов в минуту?
3.	При постоянной мощности число оборотов увеличилось в т раз. Как изменился вращающий момент?
Пример 57. На токарном станке обтачивается валик (рис. 153) диаметром </«=80 мм. Шпиндель / приводится во вращение закрепленным на нем зубчатым колесом А, приводимым во вращение другим колесом В, сидящим на валу П, Усилие резания (т. е. окружное усилие на обрабатываемой детали), испытываемое резцом, Pz=600 кГ, а скорость резания (т. е. окружная скорость обрабатываемой детали) равна 90 м/мин. Определить:
169
1) мощность, расходуемую на процесс резания, 2) вращающий момент на Шпинделе станка и 3) окружное усилие на зубчатом колесе А, если диаметр его Р=240 мм.
Мощность, расходуемая на процесс резания, определится по формуле (82>> 90
куда вместо v следует поставить скорость в м/сек, т. е. о» — =1,5 м/сек.
60
Рис. 153
Вращающий момент на шпинделе тот же, что на обрабатываемой детали, так как оба они в кинематическом отношении составляют в процессе работы одно целое.
Этот момент определим как произведение окружного усилия Рг на радиус обрабатываемой детали:
Мв = 600-0,04 = 24 к Гм,
а окружное усилие Q на колесе А равно вращающему моменту, разделенному на его радиус:
Л1В
R
24 0,12
= 200 кГ.
§ 127.	Вопросы для повторения
1.	Чему равна работа силы, образующей с направлением движения угол а =90°?
2.	Две силы, приложенные к движущемуся телу, равны по величине и направлены в прямо противопбложные стороны под углом к направлению движения. Чему равна сумма работ этих двух сил?
3.	Чему равна работа равнодействующей двух сил, из которых одна совпадает с направлением движения, а вторая перпендикулярна к нему?
4.	Диаграмма работы силы вычерчена в масштабах: т см в 1 мм и п кГ в 1 мм. На что надо умножить площадь диаграммы, измеренную в мм2, чтобы получить вычисляемую работу в кГм1
5.	Можно ли по величине работы судить о величине силы, совершившей эту работу?
6.	Как изменяется вращающий момент при увеличении угловой скорости вращения при той же мощности?
7.	Вращающий момент увеличился в т раз. Как изменится угловая скорость при той же мощности?
§ 128.	Упражнения
56.	К точке, перемещающейся прямолинейно, приложены сила Рг, линия действия которой совпадает с направлением движения, и сила ^2 = 2^1, образующая с направлением движе* ния угол а=60°. Чему равна работа равнодействующей этих двух сил при перемещении s?
170
Ы. Сопротивление резанию при обработке детали на продольно-строгальном станке составляет 400 кГ, ход стола равен 1,8 м. Чему равны работа усилия резания на протяжении одного рабочего хода и расходуемая при этой работе мощность, если продолжительность хода стола составляет 3,6 сек?
58.	Человек весом 60 кг поднимается по лестнице на высоту 5 м в течение 10 сек. Определить затраченную мощность.
59.	Какую силу тяги Р и мощность ДО должен развивать электровоз, чтобы поезд весом в 2000 т при сопротивлении движению, равном 0,005 его веса, двигался по горизонтали равномерно со скоростью 48 км/ч?
60.	К шкиву диаметром 0=1200 мм, совершающему 200 об/мин, приложено окружное усилие Р=180 кГ. Определить мощность и вращающий момент.
61.	Передаваемый на шпиндель токарного станка вращающий момент при обтачивании детали диаметром В 150 мм равен Мв—60 кГм. Обработка ведется со скоростью резания (т. е. с окружной скоростью) v = 75 м/мин. Определить расходуемую на процесс резания мощность N и усилие резания Р (см. пример 55).
62.	На барабан лебедки, имеющий диаметр D — 500 мм, наматывается канат, к которому подвешен груз G=l,5 т. Определить скорость, с которой груз поднимается, если мощность на барабане ДО=6,75 л. с.
Указание. Скорость подъема груза равна окружной скорости барабана.
Глава пятнадцатая
МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
§ 129.	Понятие о кинетической энергии
Изучая различные понятия механики, мы неоднократно рассматривали движение железнодорожного поезда. Обратимся снова к этому примеру и рассмотрим его с новой точки зрения.
Пусть поезд, тронувшись с места, стал набирать скорость. Мы уже знаем, что на протяжении движения сила тяги электровоза совершает работу. Поставим теперь перед собой вопрос: на что тратилась эта работа, израсходована ли она бесследно?
На этот вопрос мы должны ответить следующим образом. Так как поезд шел с возрастающей скоростью, то значит сила тяги в течение рассматриваемого промежутка времени превышала сопротивление движению. Таким образом, работа движущей силы, представляющей собой разность силы тяги и сил сопротивления, израсходована на увеличение скорости движения.
171
Представим себе теперь, что ток выключен. Поезд будет продолжать двигаться с убывающей скоростью, преодолевая силы сопротивления, направленные в сторону, противоположную движению.
Таким образом, работа, затраченная на сообщение телу определенной скорости, не пропадает бесследно: она создаег возможность совершения телом работы в дальнейшем без приложения новой движущей силы.
Величина работы, которую может совершить движущееся тело, называется кинетической энергией тела (энергией движения).
§ 130.	Кинетическая энергия поступательно движущегося тела
Так как при поступательном движении тела все его точки; движутся одинаково, то его можно рассматривать как материальную точку, в которой сосредоточена вся масса тела и которая расположена в его центре тяжести.
Кинетическая энергия тела в каждом отдельном случае различна. Ёсли движущая сила действовала на тело дольше, то и* работа, затраченная на сообщение телу соответствующей скорости, sтакже больше. Таким образом, кинетическая энергия измеряется работой, затраченной силами, приложенными к телу.
Выведем формулу для определения кинетической энергия поступательно движущегося тела.
Пусть тело массы /п, находившееся в покое, начинает перемещаться под действием силы Рлиния действия которой совпадает с направлением движения. Это движение, как мы знаем,, будет равноускоренное. Записав основное уравнение динамики* Р—та, умножим обе его части на путь s, на протяжении которого действовала сила:
Ps = mas.
Левая часть этого равенства выражает работу, совершенную силой Р ; в правую часть подставим вместо пути s его значение из формулы (31), в результате чего получим:
V*	HVUf
Ps — ma — — — 2a 2
или в общем виде
Ps = —
(87)
где v — скорость тела массы т в рассматриваемый момент вре-
мени.
Выражение
mv*
У
принято считать мерой кинетической*
энергии. 172
Таким образом, кинетическая энергия поступательно движущегося тела измеряется половиной произведения массы тела на квадрат скорости в рассматриваемый момент времени.
Формула (87) получена для случая, когда начальная скорость тела равна нулю. Если в начальный момент рассматриваемого промежутка времени i скорость равнялась »о, то, применив формулу (29), получим:
Ps =
mvj mvQ
~~2------Г'
(88)
Первый член правой части полученного равенства выражает, следовательно, кинетическую энергию, которой тело обладает в конечный момент Л а второй член — кинетическую энергию в начальный момент t0. Соответственно этому равейфтво (88) словами можно выразить так: работа движущей силы на данном пути равна приращению кинетической энергии на 'том же пути. Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Тело находится под действием силы Р, направленной в сторону движения, и силы сопротивления Р , направленной в противоположную сторону; тогда работа, совершенная равнодействующей этих двух сил, равна (Р—F)s и равенство (88) при*
нимает вид:
или
(89)
т. е. работа движущей силы равна сумме величины работы силы сопротивления на том же пути и приращения кинетической энер
гии тела.
2.	Тело движется равномерно, соответственно чему vt — Vo, mv2t
тогда в правой части уравнения (89) разность—— — —— =0, и
оно принимает вид: Ps = Ps,
(90)
т. е. при равномерном поступательном движении работа движущей силы равна работе силы сопротивления; кинетическая энергия при этом остается постоянной.
3.	Тело в начальный момент находилось в покое, т. е. Оо=0. В этом случае при наличии силы сопротивления равенство {89) будет написано так:
Ps = Fs +
(91)
173
т. е. работа движущей силы при начальной скорости движения* равной нулю, равна сумме величины работы силы сопротивления и приобретенной на том же пути кинетической энергии.
Этот случай соответствует первому этапу движения поезда, рассмотренному в предыдущем параграфе (в период действия силы тяги).
4.	Тело, имея определенную скорость, в дальнейшем движется под действием силы сопротивления. Соответственно этому Ps = 0 и равенство (89) дает:
откуда
(92)
т, е. начальная кинетическая энергия (в момент прекращения действия движущей силы) равна сумме величины работы силы сопротивления за рассматриваемый промежуток времени и ки-нетической энергии, которой оно обладает в конце этого проме-
жутка времени.
Из равенства (92) видно, что
откуда vt<v0, т. е.
тело движется замедленно. Когда вся кинетическая энергия бу* /ИО/2 Л	Л
дет израсходована, то —- =0, соответственно чему и vt = 0, т. е.
конечная скорость тела обратится в нуль, тело остановится. Тогда равенство (92) дает ~Fs, т. е. вся начальная кине
тическая энергия израсходована на преодоление силы сопротивления.
Как видно из левой части уравнения (87), кинетическая энергия должна выражаться в единицах работы, т. е. в килограммометрах.
Кинетическая энергия играет в технике громадную роль. Некоторые примеры ее использования будут рассмотрены дальше.
Вопросы
1. Могут ли два тела разной массы обладать одной и той же кинетической энергией и при каком условии?
2. Скорость поступательно движущегося тела увеличилась в п раз. Как изменилась кинетическая энергия?
Пример 58. Определить, на каком расстоянии s произойдет остановка поезда при полном торможении, если в начале торможения он имеет скорость Vo-174
В момент начала торможения поезд обладает кинетической энергией Т tnv$
—— или, обозначив вес всего состава поезда через G, получим:
Лк
G	G«o
т = — и
Обозначив силу трения через F и коэффициент трения через f, получим Gv$
из равенства (92): Fs = ——.
Gv$
А так как F~fG, то fGs~ —— , что по сокращении на G дает:
v0
Рис. 154
Как видим, расстояние s, на котором поезд может быть заторможен, не зависит от массы или веса поезда, а зависит лишь от скорости и коэффициента трения.
Пример 59. Тело, скользя под действием силы тяжести по наклонной плоскости АВ (рис. 154), перешло на горизонталь и остановилось в точке С на расстоянии s от В. Определить коэффициент трения f, если движение началось в точке А без начальной скорости на расстоянии АВ—1 от В.
Скорость тела в положениях А и С равна нулю, соответственно этому равна нулю и кинетическая энергия в обоих этих положениях. На участке АВ тело находится под действием силы тяжести, т. е. веса G и силы трения F; на участке ВС на тело действует одна сила трения.
Определим кинетическую энергию, которую тело приобрело, придя в точку В. Работа силы G на пути I равна: PZ==G/sina, а работа силы трения /’равна: ТГ2=—FI——fQl=—f Geos al. Следовательно, сумма работы движущей силы и силы сопротивления W\4-IF2=G/ sin a—Gfl cos а. Приравняв эту сумму работ кинетической энергии в точке В, получим:
Gl sin a — Gfl cos a = —-— .
Так как дальнейшее движение происходило за счет этой кинетической энергии, полностью израсходованной на пути s, то имеем fGs= —-— и полу
чим окончательно уравнение:
Gl sin а — Gfl cos a = fGs, откуда по сокращении на G:
I sin а
I COS а -Ь $ *
§ 131. Энергия тела, движущегося под действием силы тяжести. Потенциальная энергия
Бросая камень вверх, мы сообщаем ему определенную скорость, а следовательно, и кинетическую энергию, соответствующую этой начальной скорости; эта энергия при отсутствии сопро
175
тивления воздуха расходуется на поднятие камня на определенную высоту, т. е. на работу, которую совершает сила тяжести. Взлетев до конечной точки подъема, камень теряет всю кинетическую энергию, скорость его обращается в нуль. Затем камень
начинает падать, его кинетическая энергия по мере увеличения скорости возрастает, и камень падает на землю, как это было выяснено в кинематике, с той же скоростью,
Prit. 155
какую он имел в начале движения вверх.
Применив уравнение (88) и приняв в нем для движения вверх Vt~ 0 (скорость подъема в наивысшем положении), а для движения вниз Оо=0 (начальная скорость падения), получим два уравнения
Ph~-------при подъеме
и
2 mvt Ph =----- при падении,
2
(93)
где h — высота подъема, a P=G — вес камня.
Движение вверх сходно с движением поезда без силы тяги, расходующего свою кинетическую энергию на преодоление сопротивлений.
Движение вниз подобно движению поезда, идущего с избытком силы тяги над сопротивлениями и приобретающего вследствие этого ки-
нетическую энергию.
Пусть тело весом G и массой m падает с определенной высоты на землю. Отметим два положения Oj и О2 центра тяжести этого тела (рис. 155); высоту центра над уровнем земли в положении 01 обозначим через hb а в положении 02— через й2-Если скорость падающего тела в положении О] равна а в положении 02 она равна v2, то для положения 02 уравнение кинетической энергии (88) напишется так:
или
О (й( — Л2) =
2	2
mv%
"2	Т
(94)
(95)
т. е. при падении тела под действием силы тяжести сумма произведения из веса тела на высоту над уровнем земли и кинетической энергии, которой тело обладает на этой высоте, есть величина постоянная.
176
Первое слагаемое, представляющее собой величину работы, затраченной на поднятие тела на данную высоту, называется потенциальной энергией тела. Величина потенциальной энергии обусловлена высотой, поэтому ее можно еще назвать энергией положения; величина кинетической энергии определяется скоростью, поэтому ойа является энергией движения.
Итак, сумма потенциальной и кинетической энергий тела для любого его положения по высоте постоянне й не зависит от фор-мы траектории, по которой оно движется.
Из уравнения (95) видно, что в момент начала поднятия тела вся энергия его находится в форме кинетической (Л1 = 0), к моменту поднятия на наибольшую высоту (и2йО) она целиком переходит в потенциальную, которая в процессе падения тела на землю опять переходит в кинетическую.
Таким образом, энергия тела, движущегося ярерх и падающего обратно, оставаясь постоянной, изменяет сйрю форму, переходя из кинетической в потенциальную и Обратно. Этот переход механической энергии из одной формы в другую представляет собой проявление закона сохранения энергии.
Закон этот является частным случаем общего закона сохранения энергии, открытого великим русским ученым М. В. Ломоносовым.
Кинетическую энергию движущегося тела широко используют, например, при забивке свай, при ковке металлов и других подобных работах. В одних случаях работа совершаемся за счет кинетической энергии, приобретенной телом при свободном падении (ручной бабой, бабой фрикционного молота м т. п.); в других случаях, помимо этой энергии, используется дополнительная кинетическая энергия, сообщенная телу п£и падении (например, в паровом молоте, при работе ручным молотком и т. п.).
Переход кинетической энергии в потенциальную и обратно имеет место не только при падении тел. Затратив работу на деформацию пружины, мы сообщаем ей определенную потенциальную энергию (за счет внутренних сил упругости), которая возвращается в виде кинетической энергии в процессе восстановления формы пружины.
Вопросы
1.	Чем отличаются друг от друга потенциальная и кинетическая энергии?
2.	Два тела одной и той же массы лежат на разной высоте: h и nh. Какое из них обладает большей потенциальной энергией и во сколько раз?
3.	Скорость одного тела при падении на землю в п раз больше скорости другого. Во сколько раз кинетическая энергия первого тела больше второго?
Пример 60. Вода поступает в гидравлический двигатель со скоростью Vi = =4 м)сек, а выходит со скоростью и2==1 м!сек на уровне, лежащем ниже на ft=l,8 ж уровня, на котором вода поступает в двигатель. Секундный расход воды составляет Q=6 ж3. Определить мощность, используемую двигателем.
177
Двигатель работает, во-первых, за счет потенциальной энергии воды во-вторых, за счет кинетической энергии. Первая равна 1000 Qh, а втораж равна:
mvj mv2 юоо Q 9	„
-----------------------— v-2),
2	2	2?
следовательно, энергия, используемая двигателем в 1 сек, равна:
(	Vl Т- f 2 \	/	42 — 12 \
N = 1000 Q I /г 4- — ------1 = 1000-6 11,8 + " ---- — I к Г м/сек
\	/	\	£ * J )О 1 /
или в лошадиных силах
1000-6 № —
42—12
2-9,81
§ 132.	Понятие о кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Пусть тело, к которому приложены одна или несколько сил, движется не поступательно, а вращается вокруг неподвижной оси. Рассмотрим, как в этом случае можно применить уравнение (88), выведенное для материальной точки: Ps= _ ££^1.
Так как при поступательном движении тела все точки его движутся одинаково, то это уравнение применимо и к движению тела массы m в целом. При вращательном движении явление усложняется тем, что различные точки тела движутся неодинаково, описывая различные пути и обладая в один и тот же момент различными скоростями и ускорениями.
Левая часть уравнения (88) означает работу силы на протяжении пути s. В применении к вращательному движению эта работа будет выражаться формулой (77), в которой работа определяется в зависимости от вращающего момента и углового перемещения. Что же касается правой части этого уравнения^ то скорости vt и Уо в конечный и начальный моменты, равно как и масса ш, должны быть взяты для каждой частицы тела в отдельности. А так как скорость точки, как мы видели в кинематике, пропорциональна радиусу вращения, то в правой части будет сумма произведений из массы частицы на квадрат ее расстояния от оси вращения — сумма, распространенная на все частицы тела. Эта сумма называется моментом инерции тела относительно оси вращения. Как следует из сказанного^ единица момента инерции выражается произведением единицы массы на квадрат единицы длины, т. е. в кГм~} • сек2 >м2= = кГм • сек2.
Чтобы понять физический смысл момента инерции, разберем следующий пример. Представим себе, что на двух одинаковых 178
валах закреплены два цилиндра одинакового веса и изготовленные из одного и того же материала, но различных диаметров. Сообщим обоим валам одну и ту же угловую скорость. По прекращении действия вращающего момента каждый вал будет продолжать вращаться за счет кинетической энергии, сообщенной ему и закрепленному на нем цилиндру. Наблюдая время (или число оборотов) вращения каждого вала до полной остановки, убедимся, что при равных сопротивлениях вращению вал, на котором сидит цилиндр большего диаметра, будет вращаться дольше, а это значит, что в этом случае накопленная кинетическая энергия больше, между тем как масса в обоих случаях одна и та же. Объясняется это тем, что момент инерции цилиндра большего диаметра больше. Если его изготовить в форме тонкого диска, то он будет вращаться еще дольше.
Момент инерции цилиндра, вращающего вокруг своей геометрической оси, равен 1=	, где — радиус цилиндра *. Отсю-
да мы видим, что с увеличением радиуса вращающегося цилиндра в я раз кинетическая энергия увеличивается в п2 раз.
Из всего сказанного вытекает также, что для сообщения цилиндру большего диаметра той же угловой скорости, что и меньшему, потребуется больший вращающий момент или более длительное действие равного в обоих случаях вращающего момента.
§ 133.	Понятие о регулировании двигателей. Роль махового колеса
Кинетическая энергия играет большую роль в работе машин.
Как мы видели выше, чем меньше работа сил сопротивления, тем большую кинетическую энергию тело приобретает под действием движущей силы. Это в равной степени относится и к процессу работы машины в целом, состоящей из связанных между собой движущихся звеньев. Представим себе тепловой двигатель, сообщающий движение динамомашине, вырабатывающей электрическую энергию. Пусть расход этой энергии уменьшился, тогда нагрузка на двигатель также уменьшится. Следовательно, при том же вращающем моменте на коренном валу этого двигателя получится избыток работы движущей силы над работой сил сопротивления; соответственно будут расти скорости и кинетическая энергия звеньев. Отсюда следует, что двигатель должен быть снабжен таким устройством, которое позволяло бы поддерживать установленное заранее число оборотов постоянным. Это достигается при помощи приспособления, называемого р е-гулятором.
* Момент инерции принято обозначать буквой /.
179
Регуляторы бывают различных видов. В качестве примера на рис. 156 показана схема одного из видов центробежного регулятора. Со шпинделем А, получающим вращение от вала двигателя, скреплена поперечная планка В, шарнирно сочлененная с тягами С, С, на концах которых закреплены грузы D,D. С тягами С,С сочленены шарнирами две другие тяги Е,Е, связанные на других концах шарнирами с муфтой F, свободно сидящей на шпинделе. Обе тяги С,С связаны растянутой винтовой пружиной К. Как видим, каждая тяга находится под действием следующих сил: собственного веса и веса других звеньев (тяги Е и др.), веса
Рис. 156
Рис. 157
шарика, силы натяжения пружины и центробежной силы, развиваемой шариком. Пружину К можно отрегулировать так, чтобы при определенном числе оборотов шпинделя тяга была в равновесии, тогда муфта F будет неподвижна относительно шпинделя. Пусть чисЛо оборотов шпинделя увеличилось. Соответственно этому увеличатся центробежные силы, развиваемые шариками, тяги С,С разойдутся и через посредство тяг Е,Е подтянут муфту F, которая связана особым механизмом с органом, ведающим впус
ком пара иди горючего в цилиндр двигателя. Таким образом, перемещение муфты F повлечет за собой изменение впуска пара
или горючего и приведет скорость вращения вала двигателя к требуемой.
В поршневых двигателях (паровых машинах, двигателях внутреннего сгорания) применяется кривошипно-шатунный механизм (см. рис. 122), где ползуном является поршень. Как будет выяснено во второй части курса, передача движения в кри* вошипно-шатунном механизме от ползуна кривошипу отличается той особенностью, что вращение кривошипа совершается не с постоянной угловой скоростью, причем колебания угловой скорости происходят на протяжении каждого двойного хода ползуна, т. е. периодически. Чтобы устранить это отрицательное явление, на главный вал двигателя насаживается маховое
180
/
колесо, которое, накопляя механическую энергию в одни периоды, отдает ее в другие, благодаря чему вращение главного вала приближается к равномерному.
Маховое колесо применяется и тогда, когда требуется в течение непродолжительного промежутка времени произвести большую работу, которая потребовала бы значительного повышения мощности двигателя (например, в прессах, крупных ножницах для разрезания металла и т. п.). Как вШекает из сказанного выше, величина кинетической энергии, котирую маховик может накопить, зависит от величины его момента Инерции, т. е. от его массы и диаметра и того, как материал распределен, ибо чем дальше одна и та же масса расположена от дси вращения, тем момент инерции больше. Поэтому обод махоййка в отличие от обычного шкива делают тяжелым.
Приближенно, рассматривая маховик как коДьцо (рис. 157),. его момент инерции рассчитывают по формуле:
— (Я2 4- г2).
§ 134.	Механический коэффициент полезного действия
Всякая машина предназначена для преодоления полезных сопротивлений (сопротивление металла резанию, сопротивление" груза его перемещению и т. п.). Обозначим работу полезного* сопротивления через №пол. Одновременно в машине имеются-вредные сопротивления (трение, сопротивление воздуха), работу которых обозначим через №вр. Чтобы машина работала равномерно, работа движущей силы №дв должна равняться сумме величин работ всех сопротивлений, т. е.
^дв « WnM +Гвр.	(96)
Такое движение машины, когда скорости ее частей после каждого оборота вала одни и те же, называется установившимся движением машины.
Если Гдв>1ГпоД+Гвр, то избыток работы расходуется на приращение кинетической энергии, соответственно чему скорость, увеличивается, что, например, имеет место в период пуска двигателя, когда №пол=0, т. е. отсутствует полезное сопротивление.
Если же движущая сила выключается, то дальнейшее движение совершается за счет накопленной машиной кинетической энергии; если при этом выключено и полезное сопротивление, то эта энергия поглощается работой вредных сопротивлений; по истечении некоторого времени машина останавливается.
Итак, при установившемся движении машины должно удовлетворяться уравнение (96).
18Ь
Разделим обе части этого уравнения на 1ГДВ: Гпрл  ^вр j ГдВ ГдВ
(96а)
Первое слагаемое, стоящее в левой части, указывает, какая доля всей работы машины использована для совершения полезной работы, т. е. по прямому назначению. Это выражение называется коэффициентом полезного действия*, являющимся, следовательно, мерой полезного использования механической энергии.
Обозначив его, как принято, буквой т], имеем:
И^пол
Гдв *
(97)
Второе слагаемое показывает долю всей произведенной работы, израсходованной на преодоление вредных сопротивлений. Следовательно, написанное равенство (96а) может быть пред
ставлено так:
^вр
^дв ’
(98)
Как видим, к. п. д. всегда меньше единицы.
Вопросы
Рис. 158
1. В каком случае работа машины совершалась бы по уравнению ^Д8 = Чему равнялся бы к. п. д.?
2. Может ли машина совершать полезную работу, если 1Гвр = ТГдв? Чему в этом случае равен к. п. д.?
Пример 61. Под действием силы тело весом G переместилось с постоянной скоростью по наклонной плоскости из положения А в В (рис. 158). Определить к. п. д., если коэффициент трения f—0,1, а угол подъема а=27°.
Для равномерного движения должно соблюдаться условие ТГпол+ \ГВр. Полезная работа по преодолению силы тяжести Гпол =Pl~GsinaZ. Величина работы силы трения W Bp = Qfl—G cos afl, следовательно,
ЦТдв = GZ sin a + Gfl cos a
tn
Gl sin a (7Z(sin a 4- f cos a)
Sin a
Sin a+/COS a
Разделив числитель и знаменатель правой части на cos а, получим:
0,51
0,51 +0,1
0,84.
* Сокращенно к. п. д.
1182
§ 135.	Невозможность «вечного двигателя»
На протяжении многих веков делались бесплодные попытки изобрести машину (так называемый «вечный двигатель»), которая, будучи раз запущена, продолжала бы в дальнейшем работать без притока энергии, т. е. без приложения движущих сил. В соответствии с этим условием уравнение (96) принимает вид:
^ДВ - ^пол + ^вр = 0.
что такая машина могла бы если
неопределенно* бы ^пол = 0 и
Отсюда следует долго работать с постоянной скоростью
ТГвр=0, т. е. при отсутствии сопротивлений. Допустим, что машина полезной работы совершать не будет (П^пол^О), при этом'
и Гвр=0, т. е. работа вредных сопротивлений должна отсутствовать. А это невозможно: вредные сопротивления в форме*
трения сопутствуют всякому относительному движению соприкасающихся тел. Следовательно, как бы малы этй> сопротивления ни были, двигатель, расходуя сообщенную ему при пуске-
кинетическую энергию, должен раньше или позже остановиться.
Как видим, невозможно создать двигатель, который бы неопределенно долго совершал не только полезную работу, но* даже работу по преодолению одних только вредных сопротивлений.
§ 136.	Понятие об ударе тел
Если тело в своем движении внезапно входит в соприкосновение с другим телом (движущимся или покоящимся), то получающееся при этом взаимодействие между обоими телами» называется ударом.
Опыт показывает, что удар сопровождается изменением формы соударяющихся тел, т. е. их деформацией. Величина деформации зависит от физических свойств тела. После прекращения’ действия удара одни тела восстанавливают свою форму, другие остаются деформированными. Способность деформированного тела принимать свою первоначальную форму называется упругостью. Надо сказать, что нет совершенно упругих материалов, как и совершенно неупругих. Однако одни материалы* можно считать упругими (как, например, слоновая кость, закаленная сталь), а другие — неупругими (например, глина). В соответствии с этим различают упругий и неупругий удар, в зависимости от материала соударяющихся тел.
Представим себе свободно падающий шарик массы пт (рис. 159). Коснувшись неподвижной горизонтальной плиты, он* в течение очень короткого промежутка времени деформируется. Если бы плита и шарик были абсолютно неупругими, шарик остался бы неподвижным. Если шарик в момент падения на
183
•плиту имел бы скорость t>i, то он обладал бы кинетической энергией —- , которая затем была бы израсходована на работу
деформации.
Пусть шарик и плита изготовлены из совершенно упругих 'материалов. В этом случае, в течение очень короткого проме-
жутка времени, кинетическая энергия шарика расходуется на преодоление внутренних сил упругости, т. е. на деформацию; кинетическая энергия переходит в потенциальную энергию деформированных тел. Затем происходит обратное явление, оба тела восстанавливают свою форму под действием сил упругости, потенциальная энергия вновь переходит в кинетиче-
скую, величина которой	, шарик
начинает двигаться в обратном направлении со скоростью равной по величине той скорости которую он имел в момент падения. В случае совершенно упругого удара скорость отражения равна скорости падения. Если два упругих шарика одной массы двигаются навстречу друг другу с равными скоростями, то после удара они будут двигаться в обратных направлениях с такими же по величине скоростями.
Представим себе теперь, что удар не вполне упругий. Это тхл
означает, что кинетическая энергия —-, которой шарик обла-&
дал в момент падения, не будет восстановлена полностью в ЯЮ?
конце удара, т. е.	, откуда следует, что v2<vi и ша
рик отразится с меньшей скоростью. Отношение — =k, назы
ваемое коэ ффициент ом восстановления, характеризует упругие свойства материалов. Так, например, для 7
деревянных шариков &=0,5, для стальных шаров k=— и т. д. У
§ 137.	Удар при работе свободно падающего молота
Явлением удара широко пользуются в технике, так как он позволяет даже при небольшой массе одного из ударяющих тел, обладающего большой скоростью, произвести большую работу на малом перемещении. Этим пользуются при работе ручным молотком, при забивке свай и т. п.
184
Рассмотрим работу молота, баба D которого с бойком Е (рис. 160) свободно падает под действием силы тяжести. Пусть вес падающих частей равен G, а высота их падения — Н. Скорость Vi, которой они обладают при падении, равна по формуле-1 (37) Vj — ]/ 2gH~ соответственно чему они приобрели кинети-mvi
ческую энергию
Как выяснено было в предыдущем параграфе, при неупругом ударе скорость отражения mvl соответственно чему ----<
^2 меньше скорости падения mvl
, т. е. при таком ударе часть ки-
нетической энергии затрачивается на деформацию соударяющихся тел. А так как
процесс ковки ставит своей целью получе-
ние возможно большей деформации заго
товки, то он будет осуществлен тем эффек-
тивнее, чем большая часть кинетической
энергии падающей бабы будет использована для этой цели.
При ковке заготовка К лежит на наковальне В, укрепленной на массивном стальном шаботе С, покоящемся, в свою очередь, на фундаменте. При ударе бойка о заготовку происходит не только деформация поков
ки, но и сотрясение всего поддерживающего ее устройства, т. е. часть кинетической энергии расходуется еще на работу по перемещению всех этих частей молота. Очевидно,
Рис. 160
использование энергии бабы будет выше, если перемещение будет меньше. Отсюда следует, что поддерживающие части должны быть возможно более тяжелыми. В подробных курсах механики доказывается,
что коэффициент полезного действия молота выражается формулой
(99)
где G — вес падающих частей молота, Go — вес поковки с поддерживающими ее частями, a k—'Коэффициент восстановления.
Как видим, чем больше Go, тем меньше знаменатель, тем больше коэффициент полезного действия молота. Обычно вес шабота в молотах со свободно падающей бабой берется в 10— 15 раз (а в некоторых случаях в 20 раз) больше веса бабы.
Пример 62. Ковка детали произведена за 10 ударов на молоте с весом падающих частей G=2250 кг при высоте падения //=1500 лии=1,5 м.
185
Вычислить полезно израсходованную механическую энергию W, если вес шабота Go=45 т, коэффициент восстановления 6=0,4, а потеря энергии на трение составляет 5%,
mv%
Кинетическая энергия одного удара равна: Fi=0,95 —— =0,95 GH
= 3206 кГм. Следовательно, за 10 ударов израсходовано W — 3206*10 = = 32 060 кГм. Определим по формуле (99) к. п. д. молота:
2250
45 000 +
0,42) = 0,8,
^следовательно, непосредственно на процесс ковки израсходовано
1ГПОЛ^32 060-0,8 « 25 650 кГм.
§ 138, Вопросы для повторения
1.	Объясните, зачем вагоны поезда и электровоз оборудованы буферами.
2.	В движущемся поезде несколько хвостовых вагонов не оборудованы тормозами. Разберите, какие явления будут иметь место при торможении поез-,да. Одинаково ли будут деформироваться буферные пружины между этими вагонами?
3.	Тело весом G упало с высоты hi в положение, находящееся на высоте h2. Как изменилась его потенциальная энергия?
4.	Целесообразно ли снабжать вал машины, который должен через короткие промежутки времени менять направление вращения, маховиком?
5.	Какое движение машины будет осуществляться, если с некоторого момента 1ГДВ< 1ГПОЛ+ 1Гвр?
6.	Возможен ли к. п. д. 1?
7.	Тело при ударе в неподвижную преграду осталось неподвижным. На что израсходована его кинетическая энергия?
8.	Объясните, почему выгоднее рубить в более массивных тисках и на более тяжелом верстаке.
9.	В одном из двух молотов вес наковальни и поддерживающих ее частей больше, чем в другом. Какой молот работает с большей производительностью?
§ 139.	Упражнения
63.	Поезд весом в 1500 т двигался по горизонтали при силе тяги паровоза в 15 000 кГ. Зная, что сопротивление движению составляло 0,005 веса поезда, определить кинетическую энергию, которую он приобрел спустя 2 мин после начала движения, и работу, совершенную на этом пути (считая силу тяги постоянной).
64.	Тот же поезд по истечении 6 мин перешел на подъем, двигаясь при сопротивлении движению, равном 0,075 от его веса. Через сколько времени и на каком расстоянии от начала подъема он остановился бы, если бы в указанный момент пар был закрыт?
65.	Вес падающих частей молота 6 = 3 т, наковальня вместе с поковкой и поддерживающим устройством весит 40 т. Определить коэффициент полезного действия молота, если коэффициент восстановления &=0,4.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ МАШИНОВЕДЕНИЯ
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О МЕХАНИЗМАХ И МАШИНАХ
Глава шестнадцатая
ОСНОВНЫЕ понятия КИНЕМАТИКИ МЕХАНИЗМОВ
§ 140.	Машина и механизм
Представим себе, что на токарно-винторезном станке выполняется нарезание резьбы. Вращательное движение» электродвигателя передается шпинделю станка и далее ходовому винту. Вращение винта преобразуется в поступательное движение суппорта. Настроив должным образом станок, мы получаем необходимые скорости вращения шпинделя и поступательного движения суппорта.
Система подвижно связанных между собой тел, совершающих заранее заданные движения, называется механизмом.
Тела, входящие в состав механизма и находящиеся в относительном движении, называются его звеньями.
Звено механизма, сообщающее движение остальным его звеньям, называется ведущим; звенья, получающие движение от ведущего звена, называются ведомыми.
Металлорежущий станок приводится в движение электродвигателем. Этот двигатель, получая из электросети электрическую энергию, преобразует ее в механическую энергию, которая расходуется станком на совершение механической работы по преодолению сил полезного сопротивления, т. е. сил сопротивления резанию. Электродвигатель в свою очередь получает электроэнергию, вырабатываемую динамомашиной, которая приводится в движение своим двигателем (например, гидротурбиной, двигателем внутреннего сгорания и т. п.), работающим за счет подводимой к нему энергии (механической энергии в гидравлическом двигателе, тепловой энергии топлива в двигателе внутреннего сгорания и т. д.).
Во всех этих случаях машина либо получает механическую энергию и преобразует ее в другой вид (динамомашина), либо, получая какой-либо вид энергии, преобразует ее в механическую энергию (электродвигатель, двигатель внутреннего сгорания,
189
паровая турбина), либо, наконец, совершает полезную механическую работу за счет подводимой к ней механической энергии (гидротурбина, металлорежущий станок).
Совокупность механизмов, предназначаемых для целесообразного преобразования энергии и использования ее для выполнения полезной работы, называется машиной.
Механизмы применяются не только в машинах, но и в качестве самостоятельных/ устройств. Так, например, часы не являются машиной, так ' как их назначение не состоит ни в преобразовании энергии, ни в преодолении полезного сопротив* ления.
§ 141.	Кинематические пары
Мы уже знаем, что отдельные тела, составляющие механизм* должны быть связаны между собой таким образом, чтобы он» могли совершать одно движение относительно другого, т. е. они должны быть связаны определенными подвижными соединениями. Соединение двух тел, допускающее их относительную подвижность, называется кинематической парой. Каждое из тел* составляющих кинематическую пару, называется звеном.
Представим себе цилиндрический валик 1 (рис. 161, а), на котором свободно сидит втулка 2. При таком соединении оба тела могут совершать одно относительно другого вращательное и поступательное движения; втулка 2 может вращаться на валике 1 в том или ином направлении по стрелкам 7, может перемещаться вдоль валика по направлению стрелок П, может* наконец, совершать одновременно оба этих движения. Так же может двигаться валик 1 во втулке 2; возможны случаи, когда вращательному движению подвергается одно звено, а поступательному— второе звено. Таким образом, звенья рассматриваемой кинематической пары могут совершать вращательное движение относительно оси 00 и поступательное движение вдоль этой оси. В таких случаях говорят, что кинематическая пара обладает двумя степенями свободы. Из этой пары можно получить различные виды кинематических пар, обладающих одной степенью свободы, введением дополнительных связей* ограничивающих подвижность звеньев, образующих пару.
Конструктивное выполнение таких пар может быть различное. Так, закрепив на валике 1 два кольца 3 (рис. 161, б), касающихся втулки 2 по обеим ее торцовым поверхностям, получим' новую кинематическую пару, допускающую лишь относительное вращение ее звеньев. Такая пара называется вращательной или шарниром.
Пусть требуется лишить элементы пары, изображенной на рис. 161, а, возможности совершать относительное вращательное движение, т. е. сконструировать поступательную кинема-190
тическую пару. Эту задачу можно разрешить, применив так называемую скользящую шпонку (рис. 161, в): вдоль валика 1 по образующей прорезается канавка, в которую закладывается шпонка, скрепленная с втулкой 2. Если звено 2 должно двигаться поступательно по неподвижному звену то кинематическая пара выполняется конструктивно так, как это показано на рис. 162, а и б: в первом случае ползун 2 охватывается неподвижными направляющими /, во втором случае ползун 2 охватывает направляющие /; кинематическая пара подобного типа приме-
няется, например, в сочленениях частей суппорта токарного станка и в сочленении каретки суппорта и станины того же станка.
Рис. 162
6) 2
Рис. 161
Вернемся к рис. 161, а. Можно ограничить подвижность звеньев, помимо рассмотренных способов, еще следующим образом. Представим себе, что мы сделаем на валике винтовую нарезку и такую же нарезку сделаем внутри втулки. Тогда получим винтовую пару, состоящую из винта 1 и гайки 2, вращательное и поступательное движения которых связаны в каждом конкретном случае определенным законом, соответственно чему она будет располагать одной степенью свободы. Эти движения могут распределяться между звеньями различным образом: так например, если лишить винт поступательного движения, а гайку вращательного движения, то при вращении винта гайка будет совершать поступательное движение, как мы это видим в механизме продольной подачи суппорта токарно-винторезного станка; если лишить винт вращательного движения, а гайку поступательного движения, то при вращении гайки винт будет двигаться поступательно и т. д.
В рассмотренных выше кинематических парах составляющие их звенья касаются по поверхностям. Такие пары называются
191
низшими. В отличие от них часто применяют высшие пары, звенья которых касаются по линиям или в отдельных точках. Примерами таких пар могут служить два движущихся один относительно другого цилиндра, касающихся по образующим: шар, движущийся по какой-нибудь поверхности другого тела, и т. п. Это относительное движение может представлять собой либо качение, либо скольжение, либо качение с одновременным скольжением.
В качестве примеров высших пар можно привести шариковые и роликовые подшипники.
Вопросы
1.	К какому типу кинематических пар относится сопряжение шпинделя задней бабки токарного станка и ее корпуса? Является ли эта пара низшей или высшей?
2.	Ответьте на те же вопросы для шпинделя передней бабки и его подшипников.
3.	Ответьте на те же вопросы, разобрав все кинематические пары, имеющиеся в параллельных тисках.
§ 142.	Кинематическая цепь
Представим себе два звена I и II (рис. 163), образующих вращательную пару с шарниром 1. Присоединим к звену II при помощи шарнира 2 звено III, с звеном I свяжем шарниром 5 звено IV; к последнему присоединим шарниром 4 звено V и поступательной парой 3 ползун VI и т. д. Таким образом можно получить сколько угодно звеньев, связанных кинематическими парами в одну систему. Совокупность звеньев, соединенных между собой кинематическими парами, называется кинематической цепью.
Если в кинематической цепи имеется хотя бы одно звено, входящее более чем в две кинематические пары, то такая цепь называется сложной в отличие от простой цепи, в которой ни одно звено не входит более чем в две кинематические пары. Итак, кинематическая цепь, изображенная на рис. 163, является сложной, так как звено IV входит в три пары: 5, 4 и 3; если бы в этой цепи не было звена V, присоединенного к звену IV, то эта цепь была бы простой.
Далее обратим внимание, что в этой кинематической цепи каждое из звеньев III, V и VI входит лишь в одну кинематическую пару, соответственно чему такая цепь называется незамкнутой (открытой). Если каждое звено входит в две (или более) кинематические пары, то кинематическая цепь называется замкнутой.
Так, кинематическая цепь с четырьмя вращательными парами А, В, С и D (рис. 164) является простой замкнутой цепью. 192
Если кинематическая цепь сконструирована таким образом, что звенья двигаются параллельно одной и той же плоскости, то она называется плоской. Кинематическая цепь, показанная на рис. 164, будет плоской, если оси шарниров Л, Bf С и D па-раллельны между собой. Если движение звеньев цепи не удовлетворяет указанному условию, то цепь является пространственной. В этом случае точ* ки различных звеньев описывают либо плоские кривые, лежащие в различных непараллельных плоскостях, либо про-* странственные кривые.
в
Рис. 163
Рис. 164
§ 143.	Механизм и его свойства
Пусть на токарно-винторезном станке производится обтачивание детали. Включив настроенную соответствующим образом автоматическую подачу, мы заставляем двигаться резец. Это движение строго определенное: оно совершается по прямой, совпадающей с образующей обтачиваемого цилиндра, с заданной скоростью, соответствующей величине подачи на один оборот обрабатываемой детали. Для осуществления движения подачи применена кинематическая цепь, связывающая шпиндель и суппорт станка. Шпиндель станка вращается в подшипниках передней бабки, а суппорт скользит по направляющим станины станка. В рассматриваемом случае станина (с бабкой) входит в две кинематические пары: вращательную и поступательную; рассматриваемая кинематическая цепь является замкнутой. Но передняя бабка жестко связана со станиной, образуя одно неподвижное звено.
Таким образом, во всяком механизме можно найти неподвижное звено, относительно которого рассматривается движение интересующих нас звеньев. Это неподвижное звено называется стойкой.
Соответственно этому механизм можно определить так: механизмом называется замкнутая кинематическая цепь с одним неподвижным звеном, предназначенная для совершения вполне определенных целесообразных движений. Следует оговориться, что стойка не должна быть обязательно связана с Землей; так, 7-1599	1 93
например, движение звеньев двигателя самолета рассматривают так же, как если бы этот двигатель был установлен на неподвижном фундаменте.
Во всяком механизме можно выделить ведущее звено, движение которого задано. Так, в обычном токарно-винторезном станке ведущим звеном является шпиндель передней бабки, от которого заимствуют движение следующие звенья механизма. Звено, движение которого при данной кинематической цепи определяется законами движения ведущего звена, называется ведомым. Механизм может иметь и несколько ведомых звеньев; в качестве примера укажем на механизм сообщения подач и нарезания резьбы в токарно-винторезном станке, работающий от одного ведущего звена и передающий движение либо на ходовой валик, либо на ходовой винт.
§ 144.	Кинематическая схема механизма и ее условные обозначения
Для исследования механизма обычае используется его упрощенное изображение. Такого рода изображение механизма называется его кинематической схемой.
Рассмотрим, как изображаются кинематические схемы механизмов.
На рис. 165, а показана вращательная кинематическая пара, представляющая собой сочленение двух звеньев при помощи шарнира. Если одно из звеньев этой пары неподвижно, то пара изображается так, как показано на рис. 165, б. Три различных способа изображения поступательной кинематической пары, состоящей из звеньев 1 и 2, показаны на рис. 166, а, б и в.
При неподвижных направляющих те же кинематические пары изображаются схемами, приведенными на рис. 167, а, б, в. Винтовые пары показаны на рис. 168, а, б, в, где винт 1 охватывается гайкой 2.
Как известно из кинематики, плоское движение твердого тела вполне определяется движением двух любых его точек или, что то же самое, движением отрезка прямой, соединяющего эти две точки. Поэтому звено может быть изображено независимо от действительной его формы отрезком, выражающим в выбранном масштабе расстояние между осями шарниров, в которые это звено входит (рис. 169, а). Если звено;имеет три шарнира, оси которых лежат в одной плоскости, то промежуточный шарнир С изображается так, как показано на рис. 169, б. В тех случаях, когда оси шарниров не лежат на одной прямой, звено изображается треугольником АВС (рис. 169, в).
Пусть механизм образован четырьмя звеньями 1, 2, 3 и 4, сочлененными шарнирами А, В, С и D (рис. 170). Если звено AD неподвижно (является стойкой), то оно изображается, /94
Рис. 165
8
f
8)
8)
Рис. 166
Рис. 167
Рис. 168	Рис. 169
Рис. 170	Рис. 171
7*
как показано на чертеже. Рассмотрим кинематическую схему механизма, показанную на рис. 171. Этот механизм имеет шесть звеньев, среди которых два ползуна 4 и 6, одно звено 2, входящее в три вращательные пары, два звена 3 и 5, каждое из которых входит в две вращательные пары, и, наконец, одно неподвижное звено 7, т. е. стойка, на которой расположены направляющие поступательных пар D и G и неподвижный элемент вращательной пары Л. Не изображая неподвижного звена /, условно обозначают штриховкой элементы кинематических пар, в которые оно входит.
С кинематическими схемами других видов механизмов мы познакомимся ниже, при их рассмотрении.
Вопросы
1. Перечислите все кинематические пары, входящие в состав только что рассмотренного механизма.
2. Кинематическая цепь, изображенная на рис. 164, принадлежит механизму, стойкой которого является звено CD, Изобразите кинематическую схему этого механизма.
Глава семнадцатая
НАКЛОННАЯ ПЛОСКОСТЬ, КЛИН, РЫЧАГ
Наклонная плоскость, клин и рычаг еще на заре техники получили самое широкое распространение. Они и до сих пор применяются в качестве составных частей различных машин и механизмов.
§ 145. Наклонная плоскость
Пусть на наклонной плоскости КМ (рис. 172, а) лежит тело весом G. Разложим силу тяжести 67, выражаемую вектором СЙ, на составляющие СР, перпендикулярную к длине КМ наклонной плоскости, и СВ, параллельную КМ. Сила CD уравновешивается противоположно направленной реакцией N; следовательно, движение тела по наклонной плоскости будет происходить под действием силы СВ. При отсутствии силы трения между телом и наклонной плоскостью тело должно было бы скользить вниз с некоторым ускорением. Для того чтобы тело оставалось в равновесии (т. е. чтобы оно было в покое или перемещалось бы по плоскости равномерно), к нему должна быть приложена некоторая сила Р, выражаемая вектором СЕ, равным по величине и направленным противоположно вектору СВ. Таким образом, тело будет в состоянии равновесия под действием трех сил: 6, N и Р.
196
Определим величину силы Р.
Обозначив длину КМ наклонной плоскости через /, а высоту ее LM через /г, из подобия прямоугольных треугольников KLM и АВС получим:
СВ С А	pd гл ML s-у л h
ИГЪ' °™У™СВ = СА~~СА-
Так как искомая сила Р выражается вектором СЕ, по величине равным вектору СВ, то
Р=Оу.	(100)
It
Рис. 172
Эту формулу можно представить в другом виде. Обозначив угол подъема LKM наклонной плоскости через а, получим из A KLM\
fl = / sin а, откуда
h
— = sin а,
I
Р = Osin а.
(101)
Рассмотрим случай, когда сила Р направлена параллельно не длине наклонной плоскости, а ее основанию KL (рис. 172, б).
Разложим силу G на одну составляющую CD, перпендикулярную к длине наклонной плоскости, и вторую составляющую СВ, параллельную ее основанию KL. Из подобия треугольника АСВ и KLM найдем:
СВ СА
ML KL
откуда СВ = СА
ML
KL
197
следовательно,
Р = Q — ,	(102)
а
где а — основание наклонной плоскости.
Из Д KLM имеем:
h = a tg а, откуда — = tg а и, значит, а
P=G\gz.	(103)
Йз сопоставления формул (100) и (102) видим, что первый способ приложения движущей силы Р выгоднее, так как величина ее меньше, то же видно из сопоставления формул (101) и (103), так как sin a<tg a.
Представим себе, что тело равномерно перемещается вверх по наклонной плоскости; в этом случае вес G тела представляет собой полезное сопротивление, преодолеваемое движущей силой Р. Пусть сила эта направлена параллельно длине плоскости (рис. 172, а). Так как синус угла не может быть больше единицы, то из формулы (101) вытекает, что при а<90° всегда будет P<G, т. е. при силе Р, направленной параллельно длине,, наклонная плоскость дает выигрыш в силе. Этот выигрыш определяется отношением величины силы сопротивления G к величине движущей силы Р, которое по формуле (100) равно:
_2-===
Р h
Итак, чтобы поднять тело на высоту h—ML, сила Р должна действовать на протяжении пути 1=КМ. На ту же высоту 1т можно бы было поднять тело без помощи наклонной плоскости» если бы приложили к нему вертикальную силу, равную и противоположную весу G тела.
Йз этой пропорции получаем, что во сколько раз мы выигрываем в силе, во столько же раз мы теряем в перемещении, и наоборот.
В этом заключается так называемое золотое правило* механики.
Вывод, который мы получили, применим и ко второму случаю, рассмотренному выше, когда сила Р параллельна основанию наклонной плоскости. При этом следует лишь иметь в виду, что так как tg 45°= 1, то, как видно из формулы (ЮЗ), сила Р будет меньше силы G при а<45°; при а—45° обе эти силы равны .между собой, а при значениях сс>45° сила P>G.
Допоставим теперь работы, совершаемые силами, приложенными к телу, при его равномерном движении по наклонной плоскости. Как мы видели выше, тело движется под действием сил 198
G, P и N. Из рис. 172, а видно, что сила О образует с наклонной плоскостью угол АСВ = 90°—а. Применив формулу (76), определим работу WG, совершенную этой силой на пути I:
Wq = Gl cos (90° — а) = Gl sin а. f
Работа силы Р равна:
Wp = Pl = G sin а/ « Gl sin a.
Работа силы N, направленной перпендикулярно к направлению движения, равна 0. Как видим, wG~Wp, т. е. работа ови-
жу щей силы равна работе силы сопротивления.
Мы до сих пор говорили о равномерном движении тела вверх по наклонной плоскости, не учитывая имеющегося между ними трения. В действительности же наличие трения уменьшает выигрыш в силе. Если коэффициент трения равен f, то в сторону, противоположную движению, будет направлена, кроме силы СВ, еще сила трения F=fN.
В случае, когда сила Р направлена параллельно наклонной плоскости, сила равна G eos а и, значит, сила трения В = = Gf cos a.
Для того чтобы тело двигалось равномерно вверх, сила Р
должна равняться сумме сил сопротивления, т. е.
Р— G sin a + Gf cos a == G(sin a Ц- f cos a).	(104)
Пример 63. По двум параллельным наклонным балкам длиной 5 м нужно поднять груз 6=400 кг на высоту 0,5 м. Определить силу, потребную для выполнения этой работы, если коэффициент трения f=0,15.
При Л=0,5 м и /=5 м (рис. 172, а) имеем 0,5=5 sin а, откуда sina=0,l; <z=5°45', cos a=0,995 и искомая сила
Р—400(0,1 4- 0,15-0,995) « 100 кГ.
§ 146. Клин
Клин представляет собой разновидность наклонной плоскости и имеет форму треугольной призмы (рис. 173, а). В продольном сечении призмы угол a—Z/QWL значительно меньше каждого из двух остальных углов треугольника КМЦ грань KL называется обухом клина, а боковые грани КМ и LM называются щеками.
Пусть клин под действием силы Р равномерно перемещается, углубляясь в другое тело. Это тело оказывает сопротивление движению клина, выражающееся в реакциях и М» направленных перпендикулярно к щекам, если не учитывать трение. Рассматривая равновесие клина без учета сил трения, будем считать, что силы Р, Nx и N2 взаимно уравновешиваются. Отложим при произвольной точке О эти три силы и построим на векторах ОС\ и ODX параллелограмм ОС\ЕХО{ (рис. 173, б).
199
В случае равновесия диагональ ОЕХ должна равняться по величине и быть направлена в прямо противоположную сторону вектору ОЕ, выражающему силу Р. Из сравнения треугольников ОС\Е\ и KML видим, что они подобны, так как углы их образованы взаимно перпендикулярными сторонами, откуда получим, что
P'.NC.N2=KL : ML-.KM.
(Ю5)
Если клин, как это показано на чертеже, равнобочный (т. е. КМ — ML), то
N_== КМ
Р KL
(106)
Рис. 173
т. е. выигрыш, в силе равен отношению длины щеки к толщине обуха. Так как толщина обуха тем меньше, чем меньше угол заострения а, то с уменьшением этого угла эффект, даваемый клином, больше.
Это свойство клина используется в различных раскалывающих и режу
щих инструментах. Ниже мы познакомимся с применением клина для скрепления деталей.
Следует подчеркнуть, что влияние силы трения с уменьшением угла заострения увеличивается. Так, например, известно, что легче колоть дрова топором с толстым обухом (так называемым колуном) не только потому, что он, обладая большей массой, в момент удара имеет большую кинетическую энергию, но также и потому, что его легче вытащить из образовавшейся трещины, чем, например, плотничий топор.
Пример 64. Определить, чему равны силыЛГ1 и ПРИ равномерном перемещении клина KLM (рис. 174), в котором толщина обуха KL==25 мм, а длина щеки LM—200 мм, при действии силы Р = 50 кГ, если бы отсутствовала сила трения.
200
Из формулы (105) получим:
Р KL 21 _ JL
“ LM “200“ 8 ’
откуда —
<₽=8Р=400 кГ.
Из этой же формулы имеем:
КМ	V252 + 2002
----= 50---------—’
KL	25
§ 147. Рычаг
Рассмотрим простейший случай, когда к прямолинейному рычагу (рис. 175) приложены две параллельные силы Р и Q, пер-
пендикулярные к продольной оси АВ рычага; точка О, называемая точкой опоры, расположена на расстояниях а и b отточек приложения сил Р и Q .
Для того чтобы рычаг находился в равновесии, должны соб-
людаться два уже известные условия, а именно: а) алгебраиче-
ская сумма всех сил должна быть равна нулю — формула (12)
и б) алгебраическая сумма моментов всех сил также должна равняться нулю— формула (13).
Первое условие можно записать так:
Р + Q — = 0, откуда Р + Q = Я,
где Я — реакция опоры * *.
Подсчитав алгебраическую сумму моментов всех сил относительно точки О, получим:
или
(Ю7)
т. е. силы обратно пропорциональны плечам рычага.
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда силы Р и Q «направлены не перпендикулярно к оси рычага (рис. 176).
Разложим силу Р на две составляющие: одну BL вдоль оси рычага и вторую ВК по направлению, перпендикулярному к этой оси; поступив так же с силой Q, получим силы АЕ и AF. Если опора сконструирована так, что ось рычага не может перемещать-ся в горизонтальном направлении, то равнодействующая сил BL и АЕ уравновесится горизонтальной составляющей реакции R опоры; следовательно, рычаг будет оставаться в равновесии в том случае, если алгебраическая сумма моментов остальных сил относительно любой точки будет равняться нулю. Взяв в качестве центра моментов точку О, получим:
	Pxb = Qj а.	(107а)
* Собственным весом рычага здесь пренебрегаем.
201
Опустим из точки О перпендикуляры ОМ — а^ и ON—b[ на линии действия сил Q и Р. Сопоставляя прямоугольные треугольники ОМА и AFC, а также ONB и BRD, найдем, что они попарно подобны как имеющие острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами: £±OMAw£±AFC и &ONB /\BKD, от* куда следует:
О А	ОМ
АС " AF
или
откуда
Qitz = QaP
Точно так же получим: P\b~Pb}.
Рис. 175
Рис. 176
Подставив эти выражения РХЬ и Q^a в вышенаписанное уравнение (107а), получим:
Pb. = Qa,, или -2- = А..	(108)
Р Оу
Как видим, мы получили выражение, аналогичное уравнению (107), с тем лишь отличием, что вместо плеч рычага а и Ь в нем фигурируют плечи моментов сил Р и Q относительно точки опоры.
Рассмотрим теперь общий случай, когда рычаг не прямолинейный (рис. 177).	___ ___
Разложив каждую из сил Р и Q на составляющие BL, ВК » AF, АЕ, из которых BKLOB и AFLOА, и, рассуждая по-прежнему, придем к тому же выражению (108) *.
В рассмотренных случаях точка опоры О расположена между точками приложения сил. Такой рычаг называется рычагом
* Реакция опоры может быть определена следующим образом. Как была доказано в статике, линии действия сил Р, Q и 2? пересекаются в одной точке U, следовательно, линия действия реакции известна. Построив в стороне на силах Р и Q параллелограмм, получим равнодействующую. Реакция OS будет ей равна и направлена прямо противоположно.
202
первого рода в отличие от рычага второго рода, в котором точка опоры О расположена по одну сторону от приложенных сил (рис. 178). Применив в этом случае формулу (12), определим реакцию опоры R из равенства:
Q — P—Р==0, откуда	R = Q — Р.	(109)
Рис. 177	Рис. 178
Взяв затем алгебраическую сумму моментов сил относительно точки О> получим: Qa — Р6=0, откуда
Pb = Qa.	(110)
Если бы линии действия сил не были перпендикулярны к оси рычага или ось рычага не была бы прямолинейна, то мы бы пришли к тому же выводу, что и для рычага первого рода.
Итак, во всех случаях при равновесии рычага приложенные к нему силы Р и Q обратно пропорциональны расстояниям их линий действия от точки опоры.
Отсюда мы видим, что рычаг дает возможность меньшей силой уравновесить большую, т. е. получить выигрыш в силе. Одновременно, как нетрудно убедиться, путь, описываемый точкой приложения меньшей силы Р, во столько раз больше пути, описываемого точкой приложения силы Q, во сколько раз сила Q больше силы Р, т. е. и здесь соблюдается «золотое правило механики».
Имея в виду, что ось рычага испытывает трение в опоре, мы приходим к заключению, что полезная работа получается несколько меньше работы движущей силы.
Рычаг употребляется не только для выигрыша в силе, но и для выигрыша в перемещении; так, например, переместив точку А (рис. 178) на некоторую величину; получим перемещение точки В, увеличенное во столько раз, во сколько плечо b больше плеча а. Этим свойством рычага часто пользуются, например, в измерительных приборах.
203
Рычаги широко применяются в машинах, механизмах, различного рода приспособлениях и т. п.
Пример 65. В коленчатом рычаге АО В (рис. 179) плечо а=80 мм, &= = 300 мм. Чему должна равняться сила Р , направленная под углом 0=90° к> плечу ОВ, чтобы уравновесить силу Q= 120 кГ, направленную под углом а= = 30° к плечу ОД?
В
Рис. 179
Применив формулу (108), примем Ь} — Ь—300 мм; a sin а=80 sin 30°= =80-0,5=40 мм и Q=120 кГ\ после подстановки этих величин получим:
Qai 120-40	_
Р=-^~ = 	- = 16 кГ.
300
§ 148. Система рычагов. Дифференциальный рычаг
Механический эффект, получаемый с помощью рычага, может быть значительно увеличен путем применения системы нескольких рычагов, связанных между собой.
Возьмем два рычага, образующих систему (рис. 180). К концу В рычага АВ с опорой Oi подвешен при помощи серьги ВС конец С второго рычага с опорой О2. Приложив на конце А силу Р, получим на конце В силу Q ь равную .
Эта сила передается на конец С рычага СО2, на котором действующие силы будут связаны соотношением Q\b2=Q2a2, откуда сила Q2, приложенная к точке D, равна:
^2
Подставив в это выражение только что найденное значение Qi, определим:

Если взять систему, состоящую из трех рычагов, то
Q3 = p. -J--1 . -А Ит. Д.
Таким образом, выигрыш в силе, получаемый в системе рычагов в целом, равен произведению чисел, выражающих выиг-204
рыш в силе, даваемый каждым рычагом, входящим в состав этой системы.
Ь	и
Для двух рычагов с отношением плеч —=~ =10 общий выигрыш в силе составил бы = 102=100. Соответственно этому, переместив точку D на 0,1 мм, мы сообщили бы точке А перемещение, равное 0,1 • 100= 10 мм.
Однако подобная система рычагов оказывается чрезвычайно громоздкой. От этого недостатка избавлена система рычагов, называемая дифференциальным рычагом.
Пусть к рычагу АС (рис. 181) с точкой опоры D на двух серьгах АЕ и BF подвешена поперечина EF, в середине которой в точке К приложена сила Q, а уравновешивающая ее сила Р приложена к длинному плечу рычага в точке С.
Рис. 180
Рис. 181
Выведем зависимость между этими двумя силами. Так как сила Q действует в середине поперечины EF, то на каждую серьгу приходится сила—. Напишем условие равновесия рыча-га, применив уравнение (12), так как все силы параллельны:
--5-a+-^-(Z-a) + ^ = 0)
или
a =
откуда
Обозначив расстояние линии действия силы
, л I
через а, т. е. а = а--, получим окончательно:
Q от точки опоры
(112)
205
Как видим, выигрыш в силе будет равен отношению большего плеча CD рычага к расстоянию между вертикальными прямыми, проведенными через середину К поперечины и точку опоры. Так как это расстояние может быть сделано сколь угодно малым, то теоретически с помощью дифференциального рычага можно получить какой угодно большой выигрыш в силе.
Системы дифференциальных рычагов находят, в частности, применение в десятичных и сотенных весах.
Пример 66. В дифференциальном рычаге плечо 6=1000 мм, плечо а — 500
=251 мм и /=500 мм; тогда £/=251— — =1 мм. Подставив эти значения в формулу (112), получим Q = 1000A
§ 149. Блок неподвижный и подвижный
Блок — разновидность рычага, представляет собой диск, на ободе которого делается желоб для каната (или желоб с гнезда-
ми для цепи). Простейшим видом блока является неподвижный блок, геометрическая ось которого при его работе остается неподвижной (рис. 182).
Рис. 183
Рис. 182
Пусть канат (или цепь) нагружен с одной стороны силой Q, например весом какого-нибудь поднимаемого груза. Чтобы определить силуР , необходимую для уравновешивания силы Q, можем рассматривать блок как коленчатый рычаг ЛОВ, который является равноплечим, ибо AO = OB — R, где R— радиус блока. Написав условие равновесия этого рычага относительно его точки подвеса О, получим PR = QR, откуда
Как видим, неподвижный блок не дает выигрыша ни в силе, ни в перемещении; изменяется лишь направление действия силы.
Это во многих случаях выгодно. Так, например, вместо того чтобы непосредственно поднимать какой-нибудь груз вертикаль-206
но вверх, гораздо удобнее применить неподвижный блок, что позволяет выполнить ту же работу, приложив к канату силу, направленную вниз.
Вследствие вредных сопротивлений к. п. д. блока обычно равен 0,8—0,9.
Блок, схематически изображенный на рис. 183, ось которого при его работе перемещается, называется подвижным.
Канат, один конец которого прикреплен к неподвижному крюку К огибает блок L снизу; на его второй конец* действует движущая сила Р. Сила сопротивления (например, вес поднимаемого груза) Q приложена к обойме подвижного блока, в которой вращается его ось.
Выведем зависимость между движущей силой Р и силой сопротивления Q. Рассматривая блок как рычаг второго рода, который под действием силы Р поворачивается вокруг точки Д, применим формулу (110), в которую вместо Ь следует подставить диаметр АВ, а вместо а — радиус АО, после чего получим: — = - £ ’ откуда
Р = 4-	(ИЗ)
£
т. е. потребная движущая сила равна половине силы сопротивления.
Очевидно, что и в данном случае, во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз теряем в перемещении. И в самом деле: для того чтобы поднять центр блока на высоту OO\ = h, придется свободный конец каната протянуть на длину, равную AAi+BB{ = 2h, т. е. точка приложения силы Q опишет путь, вдвое меньший пути, описываемого точкой приложения силы Р. Одновременно видим, что работа силы Q равна Qh = 2P*h, а работа силы Р составит т. е. работа движущей силы равна работе силы сопротивления, как и должно быть.
§ 150.	Система блоков. Дифференциальный блок
Для увеличения механического эффекта блоки, как и рычаги, соединяются в систему.
На рис. 184 показана схема одной из таких систем. Как видим из этой схемы, система состоит из нескольких (в данном случае из трех) неподвижных блоков, вращающихся в неподвижной обойме В, и такого же количества подвижных блоков, вращающихся во второй обойме С. Канат, прикрепленный своим концом
* Так как обычно подвижный блок применяется для подъема тяжести при действии силы, направленной вниз, то на схеме показан еще неподвижный блок ЛТ
207
к крюку неподвижной обоймы, обходит последовательно все блоки, оканчиваясь свободным концом А, к которому прилагается движущая сила Р. В данном случае сила Q распределяется на 6 ветвей одного и того же каната, который, очевидно, должен
быть во всех своих частях одинаково натянут, поэтому на каждую Q
ветвь приходится нагрузка — , и усилие, которое 6
быть приложено к свободному концу для уравновешивания
должно каната равно:
Рис. 184
системы, будет
Если
бы в системе было 4
пары блоков, то
^^2
Рис. 186
Рис. 185
6
сила Р составляла бы Р = -2_=--2. . Таким образом, мы ви-
8	2*4
дим, что выигрыш в силе равен удвоенному числу подвижных блоков: если в подвижной обойме имеется п блоков, то движущая сила
2п
(И4)
Но зато, согласно известному нам правилу, величина перемещения точки приложения силы Р должна быть в 2п раз больше перемещения точки приложения силы сопротивления Q.
Вместо того чтобы располагать блоки на отдельных осях в
208
вертикальном направлении, их обычно помещают на одной горизонтальной оси в каждой обойме (рис. 185).
Системы блоков (подвижных и неподвижных), группируемых в обоймах и огибаемых канатом или цепью, называются поли
спастами.
Аналогично дифференциальному рычагу применяется дифференциальный блок (рис. 186). Верхний неподвижный блок двойной, имеющий две ступеньки радиусов R и г. Как видно из схемы, этот блок и нижний подвижный блок обхватываются бесконечной
цепью, идущей с нижнего блока на большую ступень верхнего, затем снова вниз, образуя свободную петлю М, одну из ветвей которой тянут руками. Затем цепь огибает малую ступень верхнего блока и, спускаясь вниз, огибает подвижный блок.
Для определения зависимости между движущей силой Р и силой сопротивления Q рассмотрим, какие силы действуют на
верхний блок.
Под действием силы Q в каждой из ветвей I и II цепи возникают силы Р1=Р2=— - Рассматривая верхний блок, представим 2
себе, что он сделал один оборот. Работа движущей силы Р за это время составит W—P2nR. За тот же период сила Pi совершит работу ТГ1 = Р12лг= — 2nr = Qnr. Наконец, работа силы Р2 рав-2
на Г2=Р22л/? = -5-2n/? = Qn/?.
2
Первые две силы являются движущими, а последняя — силой сопротивления. Работа движущих сил должна равняться работе сил сопротивления и, значит,
2itPR + rcQr = -Q/?, или 2 PR + Qr = QR,
откуда получим силу, действующую на ветвь А, равную:
P=Q
R — г
2R
(115)
где R и г — соответственно радиусы большой и малой ступеней неподвижного блока, a D — диаметр большой ступени последнего.
Так как разность R — г может быть взята сколько угодно малой, то рассматриваемый блок может дать большой выигрыш в силе.
Пример 67. Какого диаметра должна быть взята малая ступень ^неподвижного блока, чтобы дифференциальный блок давал выигрыш в силе ^"=8, если диаметр большой ступени D — 200 мм, а к. п. д. т]=0,8.
Q D
, а с учетом вредных сопро-
Р R — г
Q D
тивлений выигрыш в силе составит: —= -------iq. После подстановки
Из формулы (115) получим:
о 200-0,8
числовых значении получим: 8 ==	, откуда г == 80 мм и диаметр
малой ступени должен равняться 160 мм.
§ 151.	Ворот простой и дифференциальный
Простым устройством, использующим принцип рычага и дающим выигрыш в силе, является ворот (рис. 187). На валу, вращающемся в двух подшипниках, закреплен барабан С (рис. 187, а). Валу сообщается вращательное движение при по-
Рис. 187
мощи закрепленной на нем рукоятки В. При этом канат А, прикрепленный одним концом к поверхности барабана, будет наматываться, преодолевая сопротивление Q. Пусть диаметр барабана равен D, а длина рукоятки, на конце которой приложена движущая сила Р, равна а (рис. 187, б). Чтобы определить зависимость между силами Р и Q, приравняем величины работ, совершаемых каждой из них в течение одного оборота вала. Работа силы Р будет составлять №Р = Р2ла, а работа силы Q равна Wq — QiiD, где D—диаметр барабана. Соответственно этому получим: P2na = QjiDt откуда
Большой выигрыш в силе по сравнению с простым воротом дает дифференциальный ворот (рис. 188). В отличие от простого ворота барабан в этом вороте двухступенчатый.
Обозначим диаметр большей ступени через D, а меньшей ступени через d.
При вращении рукоятки по часовой стрелке канат будет наматываться на большую ступень и сматываться с меньшей. Пренебрегая непараллельностью ветвей каната, охватывающего подвижный блок, будем считать, что каждая из них нагружена силой 210
Q
2 ’
Pi=p2=
Приравняем
работу движущей силы работе сил
сопротивления. При одном обороте ворота работа силы Pi равна Wi — PinD= •— itD; работа силы Р2, приложенной к меньшей ступени, W2=P2nd= -у nd и работа силы Р, приложенной к рукоятке, №=Р2ла, следовательно,
2кРа = 2
r-QD
Рис. 188
откуда получим:
(117)
где 7? и г — соответственно радиусы большой и малой ступеней барабана. Как видим, мы получили то же выражение, что и для дифференциального блока.
Пример 68. Какой длины следует сделать рукоятку дифференциального ворота, диаметры ступеней барабана которого равны /2 = 350 мм и если требуется поднять груз Q=200 кг силой Р=16 кГ при к. п. д. ворота 4=0,6?
С учетом силы трения формула (117) принимает такой вид:
Pr^^Q
2а
где Р— 16 кГ, п = 0,6, Q = 200 кг, /? = 175 мм и г—150 мм.
Определив отсюда длину а рукоятки и сделав подстановки, получим:
Q(/? —г) 200-25 2^4	= 2-16-0,6
х 260 мм.
211
§ 152.	Вопросы для повторения
1.	Как изменяется величина силы Р (рис. 172, а) при равномерном движении тела вверх по наклонной плоскости с увеличением длины наклонной плоскости при постоянной высоте подъема Л?
2.	Как изменяется величина силы Р (рис. 173) при равномерном движении клина с уменьшением толщины его обуха при той же длине щек?
3.	Как выгоднее приложить движущую силу Р к рычагу: перпендикулярно или наклонно к его плечу?
4.	Изменится ли величина силы Р, необходимой для уравновешивания коленчатого рычага АОВ (рис. 177), если плечи его увеличить в одинаковое число раз?
5.	В системе, состоящей из трех рычагов, один из них дает выигрыш в силе в 3 раза, второй в 5 раз, третий в 7 раз. Чему равен общий выигрыш в силе?
6.	Какими преимуществами обладает дифференциальный рычаг?
7.	Расскажите, чем отличаются друг от друга в смысле механического эффекта неподвижный и подвижный блоки?
8.	Что называется полиспастом?
9.	В чем заключаются преимущества дифференциального блока, дифференциального ворота?
§ 153.	Упражнения
66.	По наклонной плоскости с углом подъема а—30° равномерно перемещается вверх груз G = 200 кг. Определить движущую силу Р, направленную параллельно длине наклонной плоскости, если коэффициент трения /=0,10.
67.	Определить к. п. д. наклонной плоскости по данным предыдущей задачи.
68.	На двух наклонных плоскостях (рис. 189), образующих с горизонтом углы «1 и аг, лежат два груза весом GL = 10 кг и G2=15 кг, связанных между собой нитью, перекинутой через неподвижный блок. Определить угол а2 при условии равновесия обоих грузов, если си = 30° и если пренебречь силой трения.
Указание. Учесть, что силы PY и по величине равны между собой.
69.	Углы щ и аг, образуемые наклонными плоскостями с горизонтом (рис. 189), соответственно равны 30 и 45°. Как должны относиться между собой веса Gt и G2 грузов, связанных нитью, чтобы они оставались в равновесии? Силой трения пренебречь.
70.	Для определения расстояния х от конца А до центра тяжести С (рис. 190) неоднородного бруска АВ конец его А подвесили к неподвижной точке Е и затем положили брусок на чашку весов, на которую он опирается в точке D. Определить расстояние х, если а=300 мм, вес бруска G—1,5 кг, а вес гири, уравновешивающий давление бруска на чашку весов, равен Gi = = 1 кг.
71.	Вывести формулу (108) для прямолинейного рычага второго рода.
212
72.	Ту же формулу (108) вывести для коленчатого рычага второго рода.
73.	Чему должна равняться сила Р в дифференциальном рычаге (рис. 181) для уравновешивания силы б? =1 Т, еслиЛ£> = = DB = 250, £К=249, KF = 251 и £)С = 1000 мм.
74.	Полиспаст (рис. 185) имеет 5 подвижных блоков. Чему должна быть равна сила Р, если требуется поднять груз весом 200 кг?
Рис. 189	Рис. 190
75.	В дифференциальном блоке (рис. 186) диаметры ступеней £> = 360 мм и rf=320 мм. Какой выигрыш в силе он дает?
76.	Какая сила Р потребуется в дифференциальном вороте (рис. 188) для поднятия груза весом 500 кг, если £> = 300 мм, d~ = 250 мм, а = 400 мм и к. п. д. т] = 0,7?
Глава восемнадцатая
ПЕРЕДАЧИ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ВАЛАМИ
§ 154.	Общее понятие о передачах
Для сообщения движения органам машины требуется затратить механическую энергию. Эта энергия может подводиться к машине различными способами. Обычно движение сообщается специальным электродвигателем, установленным непосредственно у машины, тогда говорят, что такая машина снабжена индивидуальным приводом. Значительно реже механическая энергия передается нескольким машинам от одного вала, получающего вращение от двигателя и называемого трансмиссионным валом. Тогда привод называется групповым. Часто одна машина обслуживается несколькими электродвигателями, например в крупных металлорежущих станках и других машинах *. При индивидуальном и групповом приводе иногда
* Так, например, шагающий экскаватор ЭШ-14/65 снабжен 48 электродвигателями (общей мощностью 5200 кет).
213
применяются специальные устройства между электродвигателем и машиной, позволяющие сообщить приводному валу машины различную угловую скорость (различные числа оборотов в минуту).
Таким образом, для передачи механической энергии как машине в целом, так и отдельным ее звеньям применяют различного рода механические устройства, которые носят общее название передач.
Наиболее распространенным видом передач является передача вращательного движения от одного вала к другому.
Взаимное расположение валов в пространстве может быть различным: оси их могут лежать в одной плоскости или же они могут скрещиваться в пространстве; если оси валов расположены в одной плоскости, то они могут пересекаться или располагаться параллельно друг другу. Эти виды передач начнем рассматривать с простейшего вида, а именно, когда оси валов взаимно параллельны.
§ 155.	Передача движения гибкой связью
Большим распространением пользуется передача вращения между параллельными валами посредством плоских ремней (иногда канатов), охватывающих колеса, закрепленные на обоих валах и называемые шкивами. Пусть требуется передать вращение от вала О] валу О2 (рис. 191). Закрепим на них друг против друга два шкива, на которые наденем бесконечный ремень ABDFECA так, чтобы он был натянут и плотно их облегал. Если между ремнем и шкивами будет действовать сила трения достаточной величины, то будет обеспечена передача вращения от одного вала другому. Вал (шкив) О19 от которого заимствуется движение, называется ведущим, а вал (шкив) О2, получающий вращение от ведущего вала (шкива), называется ведомым.
Углы AOiE и BO2F, соответствующие дугам АСЕ и BDF, по которым происходит касание ремня и обода шкива, называются углами обхвата. Чем больше угол обхвата, тем надежнее осуществляется передача вращения, так как тем больше дуга касания шкива и ремня. Поэтому ременную передачу осуществляют таким образом, чтобы угол обхвата был возможно большим.
Пусть вал I (рис. 192, а) ведущий, а вал II — ведомый. При указанном направлении вращения верхняя ветвь ремня натянута сильнее нижней, так как она передает силу, вращающую ведомый шкив. Поэтому она будет иметь форму, близкую к прямолинейной, нижняя же ветвь будет провисать под действием собственного веса. При направлении вращения, показанном на рис. 192, б, получится обратная картина, а именно, провисать будет верхняя ветвь. Из сопоставления углов обхвата на ведущем 214
и ведомом шкивах видим, что во втором случае они больше, поэтому передача вращения будет осуществляться лучше. Отсюда следует, что передача должна выполняться так, чтобы ведущая ветвь ленты была расположена внизу.
Ремень, связывающий оба шкива, должен быть возможно более гибким, поэтому этот вид передачи называется передачей гибкой связью.
Рис. 191
б)
Рис. 192
§ 156. Передаточное отношение и передаточное число передачи гибкой связью
При расчетах передач вращательного движения принято пользоваться величиной, показывающей, во сколько раз угловая скорость, или иначе, число оборотов в минуту одного вала, больше или меньше угловой скорости, или числа оборотов в минуту второго вала, связанного с ним. Отношение чисел оборотов в минуту (или угловых скоростей) двух валов, между которыми осуществляется передача вращения, называется передаточным отношением и обозначается буквой i.
Из двух связанных между собой валов один является ведущим, а второй — ведомым, поэтому передаточное отношение должно одновременно указывать, в каком порядке эти валы взяты. Для этого при букве, обозначающей передаточное отношение, ставится соответствующий индекс. Если передаточное отношение взято как частное от деления числа оборотов в минуту ведомого вала II к числу оборотов ведущего вала Л то его записывают так:
(И8)
215
Если же передаточное отношение взято как отношение числа оборотов ведущего вала / к числу оборотов ведомого вала II, то
^12 —
о)2 Л2
(И9)
Второе отношение, т. е. отношение числа оборотов ведущего вала к числу оборотов ведомого вала, называется передаточным числом.
Как видим из формулы (118), при — \ получим /21=^2; мы можем, следовательно, сказать, что i2i показывает число оборотов ведомого вала при одном обороте ведущего.
Отметим, наконец, как это вытекает из сопоставления формул (118) и (119), следующую зависимость:
откуда
. . л2 и, ^21^12 = — ' ~
. __ 1 ^21------»
*12
(120)
т. е. передаточные отношения от ведущего вала к ведомому и от ведомого вала к ведущему обратны друг другу.
Вопросы
1. Какой вал вращается с большей угловой скоростью: если *2i>l; если *21 <1; если *21 — 1?
2. Чему равно передаточное число, если *2i —1?
§ 157. Кинематика передачи одной парой шкивов
Вернемся к рис. 192. Будем считать, что ремень, огибающий оба шкива, не вытягивается и не проскальзывает по ним. При этом условии скорость движения ремня во всех его точках одна и та же и будет равна скорости любой точки на ободе каждого из шкивов. Короче можно сказать, что окружная скорость шкива II равна окружной скорости ведущего шкива I, откуда следует равенство;
TtDfl}   73jD2H2
~60	6(Г
или D{nr = D2n2i
(121)
т. е. произведение диаметра ведущего шкива на его число оборотов равно произведению диаметра ведомого шкива на его число оборотов*. Отсюда можно определить передаточное отношение i2i, т. е. отношение числа оборотов п2 ведомого шкива к числу оборотов «1 ведущего:
* Говоря для краткости «число оборотов», мы подразумеваем число оборотов в минуту.
216
£1 А
л2
«1
(122)
т. е. передаточное отношение между двумя шкивами равно обратному отношению их диаметров.
Как видим из чертежа на рис. 191, ведомый шкив вращается в одном направлении с ведущим. Такая передача называется открытой в отличие от перекрестной передачи, когда ремень охватывает оба шкива, скрещиваясь в форме восьмерки (рис. 193). В этом случае ведомый шкив вращается в направлении, обратном ведущему.
Рис. 193
Формула (122) объединяет четыре величины: диаметры D{ и D2 двух связанных между собой шкивов и их числа оборотов. Зная три из них, можно определить четвертую.
Пример 69. Шкив электродвигателя диаметром 180 мм делает 1000 об!мин. Какого диаметра должен быть взят ведомый шкив, если требуется сообщить, ему П2—320 об!мин?
По формуле (122) получим:
п.	1000
£>2 —	— = 180 —- 560 мм.
Ид	320
§ 158, Кинематика передачи несколькими парами шкивов
Переходя последовательно от одного вала к следующему, можем получить передаточное отношение какого угодно количества шкивов.
Пусть от вала О] (рис. 194) вращение передается валу О4 при помощи шкивов D\ и Z?2, D3 и D4, D$ и Dq. Как видим из схемы, шкивы D3 и D5 являются ведущими, а шкивы D2, D4 и Dq — ведомыми. Передаточное отношение между валами О2 и Oi равно: /21= — и число оборотов п2 вала О2 равно: П2=п^21 = ^2
. Точно так же найдем передаточное отношение между ^2
валами О3 и О2, равное i32~ — , и число оборотов п3 вала О3:
П3 == n2i32 ~ /21^32 “	—
^2
217
Наконец, передаточное отношение между валами последней
пары шкивов равно /43 =
и число оборотов п4 последнего ве-
домого вала О4:
ZZ-4 — ^3^'43 — ^1^*21^32^43 — ^1 _1
^2
. ^5
Z>4 Dq
Рис. 194
Обозначив передаточное отношение между этим валом и ведущим валом О1 через i4i, получим:
Итак, полное передаточное отношение равно произведению всех частных передаточных отношений (т. е. передаточных отношений между соседними валами). Число оборотов ведомого вала равно числу оборотов ведущего вала, умноженному на отношение произведения диаметров всех ведущих шкивов к произведению диаметров всех ведомых шкивов.
Пример 70. От электродвигателя со шкивом D\ диаметром 180 мм, делающего гм = 1500 об!мин, посредством шкивов £>2=540, D3=160 и Z\=400 мм передается вращение валу О3. Определить полное передаточное отношение i3i и число оборотов вала О3.
180 160	2
По формулам (123) и (124) имеем: izi = — • — = — и ^3 = ^/3! = 540 400	15
2
= 1500- —- = 200 об) мин.
15
218
§ 159.	Статика передачи шкивами
Рассмотрев кинематику передачи вращательного движения шкивами, обратимся теперь к статике этой передачи, т. е. к определению зависимости между движущими силами и силами сопротивления.
Вернемся к рис. 191. Чтобы обеспечить необходимые силы т.рения между ободом шкива и ремнем, последний надевают на оба шкива с определенным натяжением. После того как шкивы получили вращательное движение, натяжение ведущей ветви ремня К увеличивается, а натяжение ведомой ветви L уменьшается. Пусть первая сила равна Sn а вторая — S2; обе эти силы действуют на ведомый шкив, следовательно, такие же по величине две силы, но направленные в обратную сторону, действуют на ведущий шкив.
Вращающий момент, сообщающий вращение валу О2, будет равен:
М2 = S1 - S2 = (S1 - So) . 2	2	2	2
Разность натяжений Si—S2 называется окружным усилие м и обозначается буквой Р.
Итак, момент М2 на ведомом валу равен:
М2 = Р-^.	(125)
Из формулы (122) имеем:
D2 = Di = А — и М2 = Р . 7^2	^21
Как было сказано, на шкив Oi действуют такие же две силы Si и S2, следовательно, момент на ведущем валу равен:
Mt = P-^.	(126>
Сравнив выражения для Mi и ТИ2, получим:
М2 = -^-,	(127)
*21
т. е. момент на ведомом валу равен моменту на ведущем валу, разделенному на передаточное отношение i21 между ними.
Нетрудно доказать, что формула (127) в равной степени применима к какому угодно количеству пар шкивов.
Пусть первый ведущий шкив диаметром Dx (рис. 194) повернулся на один оборот; за это время последний ведомый шкив диаметром /)6, сидящий на валу О4, как это вытекает из формулы (124), сделал Ц1=*21 ^’зг-Чз оборотов. Работа сил Sj и S2 на ведущем шкиве равна: ITi== (Si—S2)jtDi = PinZ>i.
219
Работа сил и S'2 на ведомом шкиве D6 за тот же промежуток времени составит: ТГ4 = (S',—S'2 )л^бй1 = PtftDe,i2{ i32ii2.
А так как И74 = Wi, то получим: PiDx=PiD6iii, откуда,
=	,	(128)
<41	<21<32<*43
т. е. момент на последнем ведомом валу равен моменту на первом ведущем валу, разделенному на полное передаточное отношение между ними, или, иначе, разделенному на произведение >всех частных передаточных отношений.
Формулы (127) и (128) не учитывают потерь на вредные сопротивления в передаче. Наличие этих сопротивлений уменьшает передаваемую на ведомый вал механическую энергию, а следовательно, и вращающий момент и окружное усилие. С учетом этих потерь, например, формула (127) примет такой вид:
М2=^,	(129)
<21 где г) — к. п. д. передачи.
Для ременной передачи значение т] колеблется в пределах от 0,94 до 0,985.
Вопросы
1.	Передаточное отношение i2i<l. Что можно Сказать о моменте на ведомом валу — больше или меньше он момента на ведущем валу?
2.	Ответить на предыдущий вопрос, если 41 = 1.
Пример 71. Определить по данным примера 70 момент на валу Оз и окружное усилие на шкиве Di, если электродвигатель передает мощность — 7,4 кет.
При мощности Л/=7,4 кет=7,4 • 1,36—10 л. с. и п=1500 об/мин момент на ведущем валу по формуле (83) равен:
Л11=716>2, гй;=4>775 кГм-
1500
Применив формулу (128), получим вращающийся момент на валу О3:
ЛГ3 = —=4,775: — = 35,812^ <31	15
и окружное усилие на шкиве De
2М3	2-35 812
~	400
= 179 кГ.
§ 160.	Передача с натяжным роликом
Часто с целью уменьшения общих размеров машины расстояние между ведущим и ведомым шкивами стремятся предельно уменьшить. Однако это неблагоприятно влияет на работу ременной передачи, поскольку с уменьшением межосевого расстояния уменьшается угол обхвата на малом (обычно ведущем) шкиве, что ведет к проскальзыванию ремня.
220
Угол обхвата малого шкива уменьшается также вследствие увеличения передаточного числа.
Для удовлетворительной работы обычной ременной передачи необходимо, чтобы передаточное число было не более 3 (лишь в виде исключения 5), между тем часто приходится замедлять вращение более чем в 3 раза.
В связи с этими требованиями нашли применение передачи с натяжными роликами. Пусть вал Oi является ведущим, а вал О2 — ведомым (рис. 195). При указанных направлениях вращения обоих шкивов ветвь /С ремня является ведущей, а ветвь L — ведомой. На одном конце А коленчатого рычага свободно вращается ролик Af, а на другом плече В этого рычага устанавли-
Рис. 195
вается неподвижно груз N; рычаг может поворачиваться относительно своей оси О. Так как его центр тяжести расположен справа от оси О, то рычаг повернется по часовой стрелке, и ролик поднимет ветвь L ремня, сообщив ей дополнительное натяжение.
Как видим, действие натяжного ролика скажется в увеличении углов обхвата на обоих шкивах и в уменьшении проскальзывания ремня. Груз N можно установить в том или ином положении на плече рычага и тем самым регулировать натяжение ремня. В процессе работы ремень вытягивается, поэтому его время от времени приходится перешивать, укорачивая длину. При применении натяжного ролика, очевидно, надобность в частой перешивке ремня отпадает. Натяжение ремня остается постоянным.
Основное же преимущество передачи с натяжным роликом по сравнению с обычной ременной передачей заключается в том, что она дает возможность осуществлять большие передаточные числа (до 10, а в отдельных случаях и больше) и вместе с тем отличается компактностью устройства. Передача с натяжным роликом конструктивно выполняется различным образом. Ось О рычага часто устанавливается по геометрической оси вала Оь что является в некоторых отношениях более выгодным. В передачах небольшой мощности вместо груза N часто применяется пружина.
221
§ 161.	Понятие о цепной передаче
Особой разновидностью передачи гибкой связью является цепная передача, в которой ремень заменен цепью. Так как звенья цепи сцепляются с зубьями на ободе колеса, то в этой передаче исключается возможность проскальзывания ленты, что обеспечивает постоянство передаточного отношения.
Рис. 196
Рис. 197
Передача этого вида применяется при больших передаточных числах (до 15). Передаваемая мощность в выполненных передачах достигает 5000 л. ,с. Чаще всего цепная передача применяется
при небольшом расстоянии между валами, но применима она и при расстояниях, доходящих до 8 м.
Цепи изготовляют различных конструкций в зависимости от их назначения. На рис. 196 показана одна из разновидностей пластинчатых роликовых цепей. Как
Рис. 198	видно из рисунка, цепи эти состоят
из пластин 1, связанных между собой шарнирами, и роликов 2. Ролики свободно сидят на втулках и при работе передачи входят во впадины между зубьями цепного колеса, называемого звездочкой (рис. 197). Такие же цепи двух- и многорядные применяются для передачи больших мощностей.
Более усовершенствованными являются зубчатые цепи (рис. 198), работающие плавно, без толчков и допускающие большие скорости движения. Они называются такж-е бесшумными.
В цепных передачах предусматривается возможность регулирования натяжения цепи (натяжные ролики и др.).
222
§ 162.	Фрикционная передача между параллельными валами
Рассмотренная выше ременная передача, как мы видели, работает на принципе использования силы трения, возникающей между ремнем и ободом шкива. Но можно воспользоваться силой трения и непосредственно, без гибкой связи, если поверхности касания деталей будут прижаты друг к другу с определенной силой. Такие передачи называются фрикционными.
Представим себе два гладких цилиндрических катка, закрепленных на параллельных валах Oj и О2 (рис. 199). Приложив к валам этих катков по ли-
нии центров две равные по величине и противоположно направленные силы Q и Q', мы вызовем между поверхностями катков силу трения, величина которой будет зависеть от величины нажатия, материала катков и характера их обработки. Эта сила трения заставит ведомый вал вращаться. Если же сила трения окажется недостаточной для
Рис. 199
преодоления сопротивле-
ния вращению ведомого катка, то они будут скользить друг по Другу. Таким образом, для обеспечения удовлетворительной работы передачи следует подбирать такие условия, при которых между поверхностями возникает возможно большая сила трения. Катки изготовляют из различных материалов — оба из чугуна, один из стали или чугуна, а другой из текстолита и т. п.
При отсутствии скольжения окружные скорости обоих катков равны между собой. Поэтому здесь полностью применимы формулы (121) и (122), выведенные для передачи гибкой
связью.
Применима также и формула (129), в которой ЛЬ обозначает момент на ведущем валу, a t’21 — передаточное отношение между обоими валами.
§ 163.	Цилиндрические зубчатые колеса
Прорежем на боковой поверхности круглого цилиндра канавки определенного профиля, расположенные на равном расстоянии друг от друга, и тогда получим цилиндрическое зубчатое колесо.
223
Если установить два зубчатых колеса так, чтобы зубья одного колеса входили во впадины между зубьями второго колеса, и закрепить колеса на валах Oi и О2 (рис. 200), вращающихся в

Рис. 200
называемое веду-называемое ведо-наружных цилинд-поверхностях; та-
Рис. 201
неподвижных подшипниках, то одно из них, щим, будет приводить во вращение второе, мым. В этом случае зубья расположены на рических кое зубчатое зацепление на-
зывается внешним в отличие от внутреннего зацепления, показанного на рис. 201, где зубья колеса 1 сцепляются с зубьями колеса II, расположенными по внутренней цилиндрической поверхности.
При вращении обоих колес можно представить себе две окружности, описанные из центров Oi и О2, катящиеся одна по другой без скольжения и касающиеся в точке, совпадающей с некоторой постоянной точкой, лежащей на линии центров
224
0\02. Поэтому эти окружности называются начальными. Они аналогичны окружностям фрикционных колес (рис. 199). Разница заключается лишь в том, что у фрикционных колес возможно их взаимное скольжение, между тем как у цилиндрических зубчатых колес скольжение начальных окружностей исключено в результате взаимодействия между зубьями. Отсюда следует, что зубчатая передача оказывается более надежней при больших крутящих моментах и при необходимости точного передаточного отношения.
§ 164. Передаточное отношение и передаточное число зубчатой передачи
Исходя из того, что при вращении сопряженных зубчатых колес их начальные окружности катятся друг по другу без скольжения, для определения передаточного отношений можно рассуждать так же, как при выводе передаточного отношения для ременной или для фрикционной передач, в результате чего получим ту же формулу (122):
где Z>i и £>2 в данном случае обозначают соответственно диаметры начальных окружностей ведущего и ведомого колес.
Как видим, для определения передаточного отношения нужно знать диаметры D\ и D2. Но начальные окружности на зубчатом колесе не показаны и измерение их диаметров весьма затруднительно. Поэтому эту формулу применяют в другом виде.
Все зубья колеса располагаются по окружности колеса на равном расстоянии один от другого, которое измеряется дугой начальной окружности от начала одного зуба до начала следующего (или, что то же, от середины или конца одного до середины или конца следующего). Расстояние это называется шагом зацепления и обозначается буквой t (см. рис. 200). Очевидно, что зубчатые колеса, сцепляющиеся друг с другом, должны иметь один и тот же шаг. Если обозначим число зубьев колеса через г, то шаг равен длине начальной окружности, разделенной на число зубьев, т. е.
Приравняв шаг ведущего колеса шагу ведомого колеса, получим:

ИЛИ
2
8-1599
225
и теперь формулу (122) можно переписать в таком виде: «21=-^ = -^ = -^,	(130)
т. е. передаточное отношение зубчатой передачи равно обратному отношению чисел зубьев, или, что то же, обратному отношению диаметров начальных окружностей зубчатых колес.
Этот вывод относится как к внешнему, так и к внутреннему зацеплению с той- лишь разницей, что в первом случае ведомое колесо вращается в сторону, обратную направлению вращения ведущего колеса, а во втором случае оба колеса вращаются в одном направлении.
Величину, обратную передаточному отношению обозначают i*i2 и называют передаточным числом:
1
Z12 = — .
Z21
Следовательно, передаточное число зубчатой передачи выра^ жается так:
=	(131)
л3 zv Di
В дальнейшем будем пользоваться понятием — передаточное отношение.
§ 165. Кинематика передачи несколькими парами зубчатых колес
Условимся изображать зубчатое колесо окружностью, соответствующей начальной окружности. Под буквой, обозначающей колесо, будем одновременно подразумевать число его зубьев. Колесо, сидящее на валу неподвижно, будем отмечать на виде сбоку крестиком, как показано на рис. 202, а. Часто применяется другой способ установки колеса на валу: колесо можно перемещать на валу вместе со шпонкой, скользящей в шпоночном пазу, вынутом вдоль вала, или переме
щать колесо по удлиненной шпонке, укрепленной на валу. В этих случаях колесо вращается вместе с валом, занимая то или иное положение вдоль него*. Такое сопряжение колеса с валом обозначается, как показано на рис. 202, б.
* Такая установка зубчатых колес часто встречается в узлах металлорежущих станков.
226
Пусть имеется система попарно сцепляющихся колес Zi— ze (рис. 203), в которой колесо 2\ является ведущим.
Условимся в дальнейшем изложении для краткости ставить между обозначениями сцепляющихся зубчатых колес знак X, а между обозначениями колес, закрепленных на одному валу (или на общей втулке), знак —. Соответственно этому изображенная
Рис. 203
на рис. 203 цепь колес может быть представлена такой схематической записью:
Zi X z2 — z3 X z4 — z5 X z6.
Пусть ведущее колесо Zi, закрепленное на валу Оь делает п4 оборотов в минуту; требуется определить число «в оборотов в минуту последнего ведомого колеса ze.
По формуле (130) получим число оборотов вала О2:
• nxZx п2 = «1Z21 =	.
*2
Переходя к валу Оз, видим, что он получает вращение посредством зубчатых колес z3 и z4, из которых первое является ведущим, соответственно чему передаточное отношение 1*32= — и число оборотов вала Оз равно:
п3 = n2i32 = nihii32 = n.i~ 	.
«2	«4
8»
227
Колесо zG получает вращение от колеса г5, и передаточное отношение /43= — , а число оборотов вала О4 равно:
— ^1^*21^32^43 —	” *
(132)
Частное от деления числа оборотов п4 последнего ведомого вала О4 на число оборотов П\ первого ведущего вала назовем полным переЛаточным отношением £41 и, как видим, оно равно
^41 — ^21^32^43*
(133)
(132) и
Из хода наших рассуждений видно, что формулы (133) можно распространить на какое угодно число пар колес.
Итак, полное передаточное отноше* ние равно произведению частных пере* даточных отношений всех пар зубчатых колес, составляющих данную систему.
Подчеркнем при этом, что надо учитывать направление вращения последнего ведомого колеса. Нетрудно убедиться, что если число промежуточных пар колес между ведущим и ведомым колесами четное, то ведомое вращается в сторону, противоположную ведущему, при нечетном числе промежуточных пар оба эти колеса вращаются в одном направлении.
В рассмотренном случае имеются пары (z2—г3 и г4—z5), соответственно чему в направлении, обратном вращению веду-
две промежуточные колесо z6 вращается щего колеса
Из сопоставления
(124) видим, что кинематика зубчатой передачи и передачи гиб^ кой связью одна и та же.
полученных формул с формулами (123) и
Во ПрОСЫ
1. Изменится ли число оборотов вала Оз (рис. 203), если поменять местами колеса 2\ и z3? Изменится ли при этом число оборотов вала О2?
2. Изменится ли число оборотов вала О4, если увеличить порознь Zi и в m раз; если увеличить Zi в m раз, a z5 уменьшить во столько же раз; если увеличить порознь г3 и z6 в m раз?
Пример 72. На ведущем валу О] (рис. 203) сидит шестерня с числом зубьев Zi = 20, число зубьев остальных колес z2=50, г3=ЗО, z4=60, z6=25, z6—100. Сколько оборотов в минуту делают валы О3 и О4, если П1==1500 об)мин?
Zi Z3	20 • 30
п3 =	= 1500. —- = 300 обj мин
z2z4	50-60	'
228
к
^1^5	.слл
л4 = щ----- = 1500-
20-30-25
50-60-100
= 75 об1мин.
Пример 73. Ведущая шестерня, сидящая на валу /, имеет 21=14 зубьев (рис. 204). Числа зубьев z2—70, z3=15 и 24=45. Определить число оборотов вала III, если ведущий вал делает 750 об/мин:
=750.И±5 = 50 об1мин.
70-45
§ 166. Статика передачи цилиндрическими зубчатыми колесами
Перейдем теперь к определению зависимости между вращающими моментами и окружными усилиями в зубчатой передаче
между параллельными валами аналогично тому, как это делали
для передачи гибкой связью.
Пусть от вала О\ вращение передается валу О3 (рис. 205)' по схеме ZiX^s— Z3XZ4. Опре-’ делим момент на валу О3, если момент на валу О< равен М\. Обозначив диаметр начальной окружности колеса, сидящего на этом валу, через £>ь получим усилие Рх на этой окруж ности равным:
Рис. 205
Р\ =
*1
2Мх Di
Это окружное усилие будет передаваться на зубья ведомого колеса z2. Следовательно, момент на валу О2 равен:
а окружное усилие Р2 на начальной окружности второго ведущего колеса z3 равно моменту Af2, разделенному на радиус этого колеса, т. е.
Р2
2М, />з
£>з
Такое же окружное усилие передается колесу z4 диаметра D4. Поэтому момент на валу О3 равен:
Мз = 2Ж1	----.
Dv 2D3	Di D3
Из полученной выше формулы (130) следует, что диаметры двух сцепляющихся зубчатых колес пропорциональны числам их
229
зубьев, т. е. получим:
— — — и —- — — , следовательно, окончательно
мз = Mi
(134)
Но - представляет собой величину, обратную передаточ-21-г3
ному отношению г'зь поэтому
Ж3=Л,	(135)
Z31
где All — момент на первом ведущем валу, ЛГ3 — момент на последнем ведомом валу, a I31 — передаточное отношение.
Итак, момент на ведомом валу зубчатой передачи равен моменту на ведущем валу, разделенному на передаточное отношение. При учете вредных сопротивлений мы должны ввести в выведенную формулу коэффициент полезного действия, соответственно чему она примет такой вид:
Л43=^-7].	(136)
Z31
Величина к. п. д. зависит от качества обработки зубьев, валов и опор, в которых вращаются валы. Потеря на трение между зубьями для хорошо выполненного зацепления не превышает 1%.
/2з г, I
Рис. 206
Пример 74. На рис. 206 дана кинематическая схема лебедки с ручным приводом. Вал I приводится во вращение вручную рукояткой А. На этом валу закреплены две шестерни 21 = 12 и z3= =22. На валу II сидит на скользящей шпонке блок из двух зубчатых колес 22=36 и 24=28, из которых первое может сцепляться с zb а второе — с 23. Шестерня 25=12 сцепляется с большим зубчатым колесом z6=72, сидящим на одном валу III с барабаном В, на который наматывается канат. Таким образом, барабан можно приводить во вращение либо по схеме: вал I — 2iXz2 — ZsXz6 — В, либо по схеме: / — z3Xz4 — г5Хгб— В.
Определить при работе по первой схеме: 1) усилие Р, которое надо приложить к рукоятке А при подъеме (с помощью неподвижного блока) груза 6=0,6 т; 2) скорость vt с которой груз будет перемещаться, если вращать рукоятку с zii=25 об/мин; 3) мощность, расходуемую на рукоятке. Плечо рукоятки а=300 мм, диаметр барабана d=200 мм, к. п. д. лебедки т] = 0,9.
230
1.	По формуле (136) момент на валу III равен:
Л1з = -7х 1),
Z31
*2
и у] = 0,9. Сделав подстановки
где момент на валу I равен Afi=Р • а=Р • 0,3=0,3/’ кГм;
zb __ 12 12_2
" 36 * 72 “ 18
ж 0,ЗР Л Л
получим: ж3 =—*0,9. С другой сто-
18
а d 0,2
роны, М3 = G — = 600 • — = 60л:Лм. Следовательно, 60 = 0,3-18-0,9-Р,
*
откуда требуемое усилие Р=12,3 кГ.
2.	Если рукоятка делает П1=25 об/мин, то вал /// получает n3=7iii3I±=a 25
— ~ об/мин, а скорость перемещения груза равна окружной скорости бара-1о
бана, т. е.
ndn^	л 0,2*25
v = -х^-- м/сек ~	— й; 0,015 м/сек & 15 мм/сек.
60	60-18
Pv
3.	Расходуемую мощность определим по формуле (82) N— — , где Р— 75
усилие на рукоятке, a v — линейная скорость точки рукоятки радиуса а, равная:
2папг	тс0,3-25
60-1000	30
12,3%-0,3-25
тогда W =-----« 0,13 л. с.
§ 167. Паразитные зубчатые колеса
Пусть даны три сцепляющихся зубчатых колеса zb z2 и г3 (рис. 207), из которых Zi является ведущим. Определим передаточное отношение между валами О3 и Оь
Передаточное отношение между валами О2 и Oj:
^21 — - •
Переходя от вала О2 к валу О3, видим, что в паре z2 и z3 колесо z2 является ведущим и передаточное отношение
следовательно, полное передаточное отношение
^31 — ^21  —— * "j —  ,
^2	^3 Z3
Таким образом, величина передаточного отношения между валами О3 и не зависит от числа зубьев z2 колеса, сидящего
231
на промежуточном валу О2. Колесо это называется паразит-н ы м. Оно одновременно является ведомым по отношению к колесу Z\ и ведущим по отношению к колесу Z3. В этом и заключается отличительная особенность паразитного колеса. Является ли зубчатое колесо паразитным или рабочим, зависит, следовательно, от роли, которую оно играет в данной системе зубчатых колес.
Паразитные колеса применяют в двух случаях.
Представим себе, что расстояние между осями двух сцепляющихся зубчатых колес значительное, это потребовало бы применения колес больших диаметров. Введя между ними одно или несколько паразитных колес, мы можем передавать вращение на каком угодно расстоянии, не зависящем от диаметров рабочих колес. Кроме того, при непосредственном
Рис. 207
Рис. 208
сцеплении колес Z\ и z3 они вращались бы в противоположных направлениях. Введением одного паразитного колеса мы сообщаем ведомому колесу вращение в одном направлении с ведущим. Таким образом, паразитные колеса применяют и в тех случаях, когда нужно изменить направление вращения ведомого колеса.
Из всего сказанного следует, что паразитным зубчатым колесом называется такое колесо, которое одновременно сцепляется с двумя другими колесами, являясь по отношению к одному из них ведомым, а по отношению к другому — ведущим. Паразитное колесо не меняет передаточного отношения между этими колесами, но изменяет направление вращения ведомого колеса на обратное.
Вопросы
1.	От вала Oi (рис. 207) требуется передать вращение валу О3 так, чтобы он вращался в направлении, обратном направлению вращения вала Колеса Zi и z3 между собой не сцепляются. Сколько паразитных колес следует ввести?
232
2.	Изменится ли передаточное отношение 1’31 (рис. 207), если поменять местами колеса Z\ и z2 или z2 и z3?
Пример 75. От ведущего вала О\ (рис. 208) передается вращение валу следующим образом. На валу О4 свободно сидит планка с рукояткой А, На пальцах О2 и Оз» закрепленных своимр концами в этой планке, свободно сидят шестерни г2 и z3, находящиеся в постоянном сцеплении. Шестерня находится, кроме того, в постоянном сцеплении с зубчатым колесом z4, закрепленным на валу О4. При положении механизма, изображенном на чертеже, вращение от вала Ot далее не передается, ибо шестерня zt не сцепляется ни 4* одной шестерней механизма. Повернем рукоятку А' по направлению стрелки Л в результате чего шестерня г2 вступит в зацепление с ведущей шестерней и механизм будет работать по схеме	вращение ведомой шестер-
ки будет происходить по направлению стрелки Г.
Повернем теперь рукоятку А по направлению стр ежи 2; в зацеплении ^кажутся ведущая шестерня z\ и шестерня z3; в этом случае механизм будет работать по схеме Z1XZ3XZ2XZ4 и шестерня z4 будет вращаться по направлению стрелки 2', т. е. в обратном направлении. Как видим, в первом случае-«три одной паразитной шестерне передаточное отношение z41 =	> во втором
*4
Z1
случае при двух паразитных шестернях — i4i — —, но направление вращения ^4
Обратное. Подобный механизм, называемый трензелем, применяется в токарно-винторезном станке для изменения направления (реверсирования) подачи суппорта и его выключения.
§ 168. Понятие о дифференциальных зубчатых механизмах с цилиндрическими колесами
В рассмотренных выше зубчатых передачах все колеса вращались вокруг неподвижных осей, причем движение заимствовалось от одного ведущего колеса. Разберем более сложный случай передачи вращательного движения зубчатыми колесами.
Пусть имеется пара зубчатых колес / и 2 (рис. 209), установленных следующим образом. Первое колесо вращается вокруг неподвижной оси Оь Вокруг оси независимо от колеса 1 вращается в том же или в обратном направлении планка 3, называемая водилом. На пальце, закреплённом в этой планке, свободно вращается вокруг оси О2 колесо 2, сцепляющееся с колесом /.
Таким образом, вращение колеса 2 складывается из двух движений: вращения его вместе с водилом и вращения относительно водила. Подбирая числа оборотов колеса 1 и водила, направление вращения каждого из них и числа зубьев обоих зубчатых колес, можно получить то или иное число оборотов и направление вращения ведомого колеса 2. Подобные механизмы, складывающие несколько независимых друг от друга движений, называются дифференциалами.
Приведенный механизм является простейшим. В качестве примера более сложного механизма этого рода на рис. 210 схематически показан другой дифференциал. Колесо 1 составляет
233
одно целое со втулкой 8 и получает вращение от одного источника движения. Сквозь эту втулку с колесом свободно проходит вал 9, получающий вращение от другого источника. На левом конце этого вала закреплен кривошип 7, являющийся водилом; на конце его имеется втулка, в которой вращается валик 6 с закрепленными на нем зубчатыми колесами 5 и 4: первое сцепляется с колесом Л а второе — с колесом 2, закрепленным на отдельном валу 3, соосном с валом 9. При вращении вала 9 колесо 5 обкатывает колесо 1, а затем посредством колес 4 и 2 вращение передается валу 5 с заданным числом оборотов и в заданном направлении. Промежуточные колеса 5 и 4 называют сателлитами.
Рис. 209	Рис. 210
Колеса 1 и 2, обкатываемые сателлитами, называют солнечными, или центральными. Можно видоизменить этот механизм, например, таким образом, чтобы колесо 1 было неподвижно. Тогда вращение на вал 3 будет передаваться от одного вала 9. Такая передача называется планетарной.
Механизмы этого вида благодаря ряду их достоинств (передача вращения от различных источников, возможность получения сколь угодно малого передаточного отношения, того или иного направления вращения, компактность устройства и др.) широко применяют, в частности, в металлорежущих станках.
В приведенных примерах зацепление между сателлитами и центральными колесами внешнее, но передача может осуществляться и внутренним зацеплением.
§ 169. Геометрические элементы зубчатого зацепления
Выразим диаметр начальной окружности D в зависимости от шага /:
J T-D t —--- ,
z
откуда
D=~z.	(137)
234
Следовательно, межцентровое расстояние А, т. е. расстояние между осями Oi и О2 двух сопряженных зубчатых колес (рис. 200), равно
А = O1O2 =
(138)
Как видим, это расстояние, выраженное через несоизмеримое число л, не может быть вычислено точно и получается в виде неудобной для практического применения дроби. Между тем, этот размер приходится выдерживать с большой точностью при сборке зубчатого механизма. Поэтому введена величина, представляющая собой отношение шага к л, называемое мо
дулем зацепления. Так как шаг выражается в миллиметрах, а л — число отвлеченное, то модуль имеет ту же размерность, что и шаг. Обозначается модуль буквой т. Итак, модуль
t т = — м м
шаг t = пт мм.
Рис. 211
(139)
(140)
Введя эту величину, мы получим для диаметра начальной окружности следующее выражение из формулы (137):
D — mz,
(141)
т. е. диаметр начальной окружности зубчатого колеса, выражен* ный в миллиметрах, равен модулю, умноженному на число зубьев колеса.
Соответственно этому получается простое выражение и для межцентрового расстояния:
д =	(142)
2
т. е. межцентровое расстояние в миллиметрах равно модулю, умноженному на полусумму чисел зубьев сцепляющихся колес.
Часть efgh зуба (рис. 211), расположенная вне начальной окружности, называется головкой, а часть его fklg, находящаяся внутри этой окружности, называется ножкой зуба. Соответственно этому различают высоту головки hf и высоту
235
ножки h", измеренные по радиусу колеса. Величина их берется в зависимости от модуля:
hr == zn,	(143)
Л"= 1,2 т.	(144)
Следовательно, высота зуба й=й'+Л"—2,2 т.	(145)
Зная высоту головки зуба, можно выразить диаметр Dc окружности, на которой лежат вершины всех зубьев и которая называется окружностью выступов:
De = D + 2Л', что после подстановки значений D и h' из выражений (141) и (143) дает:
De ~ mz + 2т == m(z + 2),	(146)
т. е. диаметр окружности выступов равен модулю, умноженному на число зубъев, увеличенное на 2.
Точно так же найдем диаметр Di окружности впадин: D^D—^h^ — mz — 2,4 m — m(z— 2,4).	(147)
Как нетрудно представить себе, для внутреннего зацепления будем иметь такие зависимости:
De « D — 2hr == mz — 2m — m(z — 2)	(148)
и
Z). = 2Zez/ mz + 2,4 m = m(z + 2,4).	(149)
Шаг зацепления t складывается из толщины зуба s и ширины впадины sB, которые, следовательно, измеряются по начальной окружности. Толщина зуба берется равной ширине впадины, т. е.
s = 5В = 0,51 == 0,5 к/п.	(150)
Кроме указанных элементов зацепления, различают еще длину зуба b (т. е. ширину венца зубчатого колеса). Этот размер не стандартизован и определяется в каждом отдельном случае в зависимости от нагрузки, приходящейся на зуб.
В СССР утвержден стандарт нормальных модулей (см. приложение III).
В США и Англии вместо модуля применяется питч, иначе — диаметральный шаг, представляющий собой частное от деления числа зубьев на диаметр начальной окружности, выраженный в дюймах *. Иначе можно сказать, что питч выражает число зубьев, приходящееся на один дюйм диаметра начальной окружности колеса.
Обозначив питч через р, имеем, следовательно,
р = — (дюймы).
(151)
* В США и Англии дюйм является основной единицей длины.
236
Выразив в равенстве 2= — в дюймах D и t, подставим это равенство £
в только что написанную формулу (151). Тогда получим:
tzD	те	„
р = z —- = — (дюймы), tD	t
(152)
т. е. питч равен л, разделенному на шаг зацепления, выраженный в дюймах.
Найдем зависимость между питчем и модулем.
Подставив из формулы (141) D=mz (мм) и приняв во внимание, что Г'"1-=25,4 мм, получим:
mz 25,4 р = z: -.
Р 25,4 m
(153)
Как видим, модуль и питч обратно пропорциональны Друг другу: чем больше один из них, тем меньше второй. Можно также сказать, что с увеличением модуля шаг зацепления увеличивается, а с увеличением питча шаг уменьшается.
Вопросы
1. Вычислите устно шаг зацепления, если модуль равен 2; 5; 10 мм,
2. Шаг зацепления получился по расчету равным /—15 ММ. Какое ближайшее значение модуля подходит к этому шагу (см. приложение III)?
Пример 76. Из расчета получено, что шаг зубчатого колеей, имеющего z=60 зубьев, должен быть около 15 мм, но не меньше. Вычислить основные
геометрические элементы зацепления.
15
Модуль зацепления m л;4,7764. Примем ближайший больший нор
мальный модуль т=5 мм; тогда высота головки h'~5 мм, высота ножки Л"« «1,2 -5=6 мм, высота зуба й=11 мм, толщина зуба и ширина впадины порознь равны s—sB = 0,5шп«7,85 мм. Диаметр окружности выступов De= 5 (60+2) ==310 мм.
Пример 77. Измеряя зубчатое колесо, определить его модуль.
Измеряем диаметр окружности выступов, в результате чего получим, допустим, 126 мм. Сосчитав число зубьев, получим, например, 36. Тогда модуль 126 Л т— — = 3,5 мм. 36
Пример 78. Требуется обработать зубчатое колесо с числом зубьев z= =45 и модулем 4 мм. Чему должен быть равен диаметр заготовки и какова должна быть глубина резания при фрезеровании, чтобы получить колесо с нормальным зубом?
Токарь должен обточить заготовку по диаметру окружности выступов, т. е. чтобы получить De=4 (45+2) = 188 мм.
Фрезеровщик должен профрезеровать впадины на глубину, равную высоте зуба, т. е. на глубину Л=2,2 • 4=8,8 мм.
§ 170.	Основные формы зубьев цилиндрических колес
Сопряженная пара зубчатых колес будет работать удовлетворительно, если боковой поверхности зубьев обоих колес придается одна и та же определенная форма. Кривая линия, по которой очерчена боковая поверхность зуба, называется профилем зу-б а (рис. 211). Профили зубьев работающих друг с другом колес строят, исходя из условия постоянства передаточного отношения
237
&ля каждого момента времени. Наибольшим распространением пользуется так называемый эвольвентный зуб, у которого профиль очерчен по эвольвенте.
Зубчатые колеса различают также по форме, которую зуб имеет по длине. Чаще всего применяют колеса, у которых зубья направлены по образующей ци-
Рис. 212
линдра, соответственно чему они называются прямозубыми (рис. 212, а). Если зубья направлены под углом к образующей, то колеса называются косозубыми (рис. 212, б). Часто косозубые колеса изготовляются, как показано на рис. 212, в, где зуб образован по длине
из двух косых участков, пересекающихся под углом. В этом случае колеса получают название шевронных. Косозубые и шевронные колеса обеспечивают более спокойный ход передачи, а зубья последних обладают большей прочностью.
§ 171.	Прерывистая передача вращательного движения
Передачу вращательного движения иногда приходится осуществлять так, чтобы при непрерывном вращении ведущего вала ведомый вал вращался с перерывами, делая полный оборот в несколько приемов, отделенных друг от друга паузами, в течение которых он остается неподвижным. Одним из механизмов, применяемых для этой цели, является так называемый мальтийский крест.
Простейший вариант такого механизма показан на рис. 213.
Наглухо закрепленный на валике Oi кривошип А несет на другом конце палец D, диаметр которого равен ширине радиальных пазов С, сделанных в диске В, наглухо сидящем на валике О2. Войдя в любой из этих пазов, палец D при непрерывном вращении кривошипа будет заставлять диск В вращаться до тех пор, пока палец не выйдет из этого паза. В этот момент диск В остановится и будет оставаться в покое в течение всего времени дальнейшего вращения кривошипа до тех пор, пока кривошип не войдет в следующий паз диска и вращение диска повторится в том же порядке, и т. д. Таким образом, ось пальца D, описывая вокруг оси Oi цилиндрическую поверхность, перемещается в пазу диска в радиальном направлении, то приближаясь к его оси вращения 02, то удаляясь от нее. Количество остановок, которые диск В сделает, зависит от числа пазов. Если в диске, сделано три паза, то диск будет поворачиваться в каждый прием на угол 238
р = 360- =120°, при четырех пазах — на угол
360°
= 90°
и т. д.
При равномерном вращении кривошипа А диск вращается неравномерно: в момент вступления пальца в паз скорость центра пальца направлена к центру диска, следовательно, скорость
Рис. 213
последнего равна нулю, далее скорость вращения диска возрастает и достигает наибольшей величины, когда кривошип находится на линии центров О]Ог, а затем она уменьшается и обращает-* ся в нуль, когда кривошип при выходе из паза занимает положение O\F (рис. 213).
Однако рассмотренный простейший вариант не обеспечивает надежной работы механизма. Представим себе, что после выхода пальца из паза диск по той или иной причине повернулся на
небольшой угол. В этом случае	Рис. 214
палец, придя в исходное положение, не попадет в следующий паз, в результате чего произойдет поломка механизма. Для устранения этого механизм сконструирован так, чтобы в периоды покоя он был бы строго зафиксирован.
Подобный механизм, сообщающий валику О2 в шесть приемов один полный оборот за шесть оборотов валика Oi, показан схематически на рис. 214. На одном валике Oi с кривошипом наглухо закреплен диск 1. В диске 2, кроме радиальных пазов, сделано шесть вырезов, очерченных дугами cd, описанными радиусами, равными радиусу диска /. В диске 1 сделан вырез по
239
дуге ab так, чтобы он позволял диску 2 проворачиваться в период работы кривошипа, как это показано'на чертеже. В момент выхода пальца из паза диска 2 диск 1 входит в соответствующий вырез cd, в результате чего диск 2 оказывается замкнутым, а диску 1 ничто не мешает вращаться, так как он скользит своей боковой поверхностью в этом вырезе. Механизмы этого типа применяются в киноаппаратах, поворотных устройствах станков
И т, д.
Рис. 215
В качестве другого примера передачи прерывистого вращательного движения рассмотрим храповой механизм.
На валик Л который должен вращаться с перерывами (рис. 215), насаживается наглухо колесо 2 с нарезанными на нем зубьями,называемое храповым колесом или храповиком. Деталь 3, называемая собачкой, сидит свободно на пальце 5, закрепленном в рычаге 4, и прижимается к колесу 2 под действием пружины (не показанной на чертеже) . Рычаг 4 сочленен шарниром 6 с шатуном 7, другой конец которого так-
же связан шарниром 9 с кривошипом 8, вращающимся непрерывно вокруг неподвижной оси 10. При очертании зубьев храповика, показанном на чертеже, собачка будет упираться в зуб при вращении рычага 4 против часовой стрелки, и, в зависимости от
угла качения, она повернет храповик на соответствующий угол. При вращении рычага в обратном направлении собачка будет проскальзывать по зубьям храповика, не приводя его во вращение. Во избежание возможного проворачивания валика 1 в этот период ставится вторая собачка 11 с неподвижной осью вращения. Палец шарнира 9 можно устанавливать в различных положениях в пазу кривошипа 8 и тем регулировать величину качания рычага 4.
Храповые механизмы широко применяются в различных ма-
шинах, в частности в строгальных и некоторых других металлорежущих станках.
§ 172.	Вопросы для повторения
1.	Чем отличаются друг от друга передаточные отношения 1*21 и ч2?
2.	Передаточное отношение 121 =	. Чему равно передаточное число?
5
3.	Число оборотов ведомого вала в передаче гибкой связью требуется увеличить в т раз. Как следует изменить диаметр ведущего шкива? Как изменить диаметр ведомого шкива?
240
4.	В ременной передаче (рис. 194) требуется сообщить валу О4 вращение в обратном направлении при том же направлении вращения ведущего вала 01. Как это осуществить?
5.	Одинакова ли скорость ремней (рис. 194) между валами Ot и 02, 02 я Оз, Оз и О4 (если не учитывать их скольжения) при различных диаметрах шкивов?
6.	Одинаковы ли моменты и мощность на валах Оь 02, Оз и 04 (рис. 194) без учета вредных сопротивлений?
7.	Имеются две пары зубчатых колес: одна пара — с внешним зацеплением, вторая —• с внутренним. Числа зубьев ведущего и ведомого колес первой пары порознь равны числам зубьев соответствующих колес второй пары. Чем отличается вращение ведомых валов?
8.	Какие перестановки можно делать в зубчатой передаче, состоящей из нескольких пар, не изменяя полного передаточного отношения?
9.	Как отличить в системе зубчатых колес паразитные колеса от рабочих? В каких случаях применяют паразитные колеса?
§ 173.	Упражнения
77.	На рис. 216 показана ременная передача между валами 01 и 03. Между этими валами расположен вал 0% на котором сидит шкив диаметром D2, связанный одним ремйем с веду-
щим шкивом Di, а другим ремнем — с ведомым шкивом О3. Чему равно число оборотов ведомого вала, если число оборотов ведущего равно Hi?
78.	Вал 01 (см. рис. 194) делает 1500 об/мин. Определить число оборотов в минуту вала О4 и момент на этом валу при следующих данных: передаваемая мощность #=22,5 кет, диаметры шкивов Di=300, О2= = 450, Оз = 200, 04=800, О5 = = 200 и О6=250 мм.
Рис. 216
79.	От валика I (рис. 217) передается вращение валику /Л на котором закреплены зубчатые колеса Z\—z7. На валике I помещается на скользящей шпонке шестерня z0, с которой нахо
дится в постоянном зацеплении шестерня Zq9 вращающаяся на оси в обойме А, Установив эту обойму вдоль оси Oi против любого из колес 21—z7 и введя в зацепление с ним шестерню zQ> можно передать вращение от валика / валику I/ с соответствующим передаточным отношением. Написать все передаточные отношения, которые можно получить при такой ступенчатой зубчатой передаче.
80.	Система зубчатых колес (рис. 218) передает вращение от вала Оь делающего /4 = 150 об/мин, валам О2, О3 и О4. Вычислить числа оборотов п2, п3 и п4 в минуту этих валов при следую-
241
Рис. 217
Рис. 218
Рис. 219
щих числах зубьев колес: Zi = 30, z2=50, z3=20, z4=50, z5=25, z6=50, z7 = 20 и z8~45.
81.	Для данных предыдущей задачи определить крутящий момент на валу О4, если передаваемая мощность N—1,5 л. с.
82.	Вычислить числа оборотов валов О2, Оз и О4 механизма, схематически показанного на рис. 219, если вал Oi делает #1 = =300 об/мин.
Глава девятнадцатая
ПЕРЕДАЧИ МЕЖДУ НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ВАЛАМИ
§ 174.	Передача вращения гибкой связью
Зная основные виды передачи вращательного движения меж-» ду параллельными валами, перейдем к рассмотрению передачи вращения между валами, оси которых либо расположены в од
ной плоскости и пересекаются между собой, либо скрещиваются в пространстве.
На рис. 220 показана передача ремнем между двумя валами, образующими в пространстве угол 90°. При этом средние линии набегающих на шкивы 1 и 2 частей ремня должны лежать приблизительно в средних плоскостях соответствующих шкивов. Такая передача называется полупере-крестной. Опыт показывает, что по-луперекрестная передача работает удовлетворительно, если сбегающая с ведущего шкива часть ремня образует со средней плоскостью шкива угол а, не превышающий примерно 25°. Передача подобного вида осуществляется между валами, скрещивающимися в пространстве и не под прямым углом. В этих случаях иногда применяются направляющие ролики.
§ 175.	Фрикционная передача
Непараллельные валы можно также связать фрикционной передачей.
Ведомый
Рис. 220
243
На рис. 221 показан один из таких видов передачи, называемый конической фрикционной передачей. На концах обоих валов / и II, оси которых лежат в одной плоскости и пересекаются в точке О под некоторым углом а, сидят два катка, имеющие форму усеченного конуса. Если под действием осевых сил Qi и 02 между поверхностями катков возникает необходимая сила трения, то катки будут вращаться без взаимного скольжения.
Рассмотрим, как определить при этом условии передаточное отношение.
Пусть оба катка касаются в рассматриваемый момент по образующей Аа. Возьмем на этой линии касания произвольнуюточ-
Рис. 221
Рис. 222
ку В (рис. 222), с которой совпадают две точки, лежащие на поверхностях обоих конусов. Точка, принадлежащая ведущему катку С, отстоит от оси вращения его на расстоянии радиуса вращения В£ь
Если этот каток делает п\ оборотов в минуту, то скорость этой точки по формуле (54) равна:
^1 = 2
Точно так же скорость точки, принадлежащей поверхности ведомого катка G, равна:
<v2 == 2ъВЕ2п2.
244
При отсутствии скольжения скорости обеих точек равны между собой, т. е. 2яВЕ}П1 = 2лВЕ2п2, откуда передаточное отношение
л2 2t.BE} BE, ^21 = - = ----- ------ •
Применив те же рассуждения для рассмотрения движения точек Л и а обеих конусов, окончательно получим:
*2! =-^=4'	О54)
т. е. передаточное отношение двух фрикционных конических катков равно обратному отношению диаметров больших или малых оснований.
Фрикционная передача между непараллельными валами может осуществляться с переменным передаточным отношением. Пусть от ведущего вала / (рис. 223), вращающегося с постояв-
шие. 223
ной скоростью, требуется передавать вращение валу II, причем в зависимости от надобности ведомый вал должен вращаться с той или иной угловой скоростью. Закрепим на ведущем валу конический барабан А, верхняя образующая которого параллельна валу II, на котором сидит на скользящей шпонке цилиндрический каток В. Каток этот, следовательно, можно перемещать вдоль вала и устанавливать в требуемом положении. Обозначив диаметр конического барабана в сечении, соответствующем среднему сечению катка В, через Dx, получим передаточное отношение между этими валами:
*21
(155)
245
Такйм образом, при п\ оборотах в минуту вала / можно сообщать валу II различные числа оборотов в пределах от наименьшего П1 • — до наибольшего числа оборотов в минуту
пх---- .
На (рхеме, показанной на рис. 224, фрикционная передача с переменным передаточным отношением применена между валами, оси которых пересекаются под прямым углом. Диск А, закрепленный на ведущем валу I, прижат к цилиндрическому катку В, который сидит на скользящей шпонке и может быть установлен в требуемом положении вдоль вала II. Соответственно
Рис. 224
этому прлучается тот или иной радиус Rx окружности, по которой происходит касание диска и катка. Для положения катка, изображенного на чертеже, передаточное отношение равно:
/21 = %- .	(156)
Ко
Как нетрудно видеть, при перемещении катка вправо передаточное отношение уменьшается; если установить среднее сечение катка против оси вала I, передаточное отношение обратится в нуль, т. е. ведомый вал вращаться не будет. Если установить каток еще правее, за центром диска, то направление вращения ведомого вала будет обратное, и передаточное отношение будет тем больше, чем дальше каток будет расположен от этого центра. Таким образом, при ii\ об/мин ведущего вала и2 будет изме-
R
няться в пределах от 0 до «1 — в обоих направлениях.
Пример 79- На рис. 225 дан общий вид винтового фрикционного пресса. Два фрикционных диска 1 и 3 сидят на приводном валу 2, который можно перемещать в осевом направлении на небольшую величину. На винте 4 закреплено фрикционное колесо 5, обод которого обтянут кожей. Винт вращает
246
ся в гайке, закрепленной в станине пресса, а нижним концом он связан с ползуном 6; связь эта допускает вращение винта вокруг своей оси. Ползун скользит в направляющих станины. Пусть колесо 5 касается диска 1 с нажимом. При направлении вращения обоих дисков, показанном стрелками, и правой нарезке винта он ввинчивается в гайку и будет сообщать ползуну поступательное движение вниз с возрастающей скоростью, ибо расстояние колеса 5 от центра диска 1 будет увеличиваться. После выполнения операции штамповки вал 2 при помощи особого механизма перемещают в осевом направлении и в работу вступает диск <?, винт начнет вращаться в обратном направлении, и ползун будет подниматься с убывающей скоростью.
§ 176. Передача коническими зубчатыми колесами
Представим себе, что мы на фрикционных конических катках нарежем зубья так, чтобы поверхности, ограничивающие их, сходились в вершине О конуса (рис. 226). Тогда мы получим коническое зубча
тое колесо. Оси 01 и 02 обоих зубчатых колес (рис. 227) пересекаются при этом под некоторым углом 6.
Рис. 226
Рис. 227
Чаще всего передача коническими зубчатыми колесами применяется между взаимно перпендикулярными валами.
Пусть зубчатое колесо, сидящее на' ведущем валу I, имеет Z\ зубьев, а колесо, сидящее на ведомом валу II, имеет z2 зубьев.
247
Предположим, что ведущее колесо сделает в одну минуту z2 оборотов, т. е. rti—z2, тогда через неподвижную точку касания колес пройдет z2 • zx зубьев, а следовательно, ведомое колесо сделает =zi=(/i2 оборотов; из сказанного очевидно, что ^2
(157)
Итак, передаточное отношение t2i конических зубчатых колес, как и цилиндрических зубчатых колес, равно отношению числа зубьев ведущего колеса к числу зубьев ведомого колеса.
Говоря о направлении вращения конических зубчатых колес,
мы должны определять его, рассматривая леса либо со стороны больших оснований, либо со стороны малых оснований.
При наружном зацеплении конических колес направление вращения ведомого колеса обратно направлению вращения ведущего.
все вращающиеся ко-
Рис. 229
Рис. 228
Коническая зубчатая передача может быть выполнена и с внутренним зацеплением (рис. 228). В этом случае ведущее и ведомое колеса вращаются в одном направлении. Этот вид передачи редко применяется вследствие трудности изготовления конического колеса с внутренним зубом.
На рис. 229 показана другая разновидность конической передачи, в которой коническое колесо 1 сцепляется с зубчатым диском 2.
Из конических колес, аналогично цилиндрическим, конструи
руются дифференциальные механизмы. Схема простейшего ко-
нического дифференциала изображена на рис. 230. Сквозь втулку колеса 1 свободно проходит вал I, составляющий одно целое с водилом 2, на котором свободно сидит колесо 4,
248
сцепляющееся одновременно с колесами 1 и 3. Последнее закреплено на валу II. При вращении колеса 1 и вала I с водилом оба эти движения складываются, в результате чего колесо 3 вращается вместе с валом II. Если колесо 1 застопорить, то вал II будет получать вращение от одного источника движения, а именно, от вала I. Колесо 4 является сателлитом.
Г
Рис. 230
Рис. 231
Пример 80. На рис. 231 показана коническая зубчатая передача, позволяющая изменить направление вращения ведомого вала. На ведущем валу I сидит на скользящей шпонке блок, состоящий из двух одинаковых конических колес Л1 и Д2» обращенных друг к другу своими вершинами. На ведомом валу II, перпендикулярном ведущему валу, насажено колесо В. 0 положении
Рис. 232
Рис. 233
блока, показанном на схеме, сцепляются колеса и В. Если переместить блок в крайнее левое положение, эти колеса выйдут из зацепления, а в зацепление с колесом В вступит колесо Л2. Как нетрудно видеть, в этом случае вал II при том же направлении вращения ведущего вала будет вращаться в обратную сторону.
Величина передаточного отношения в обоих случаях будет одна и та же, а именно —. При среднем положении блока вал II вращаться не будет.
Пример 81, На рис. 232 показана схема конической передачи, дающая возможность при постоянной скорости вращения ведущего вала I получить на ведомом валу II две различные по величине и направлению угловые скорости.
249
Блок состоит из двух шестерен Aj и Л2 с различными числами зубьев гг и z3 (в отличие от примера 80), а на ведомом валу сидят два колеса В» и В2 с соответствующими числами зубьев z2 и z4. При положении блока, показан-ном на чертеже, передаточное отношение z2i ~	, при крайнем левом его
^2
Z3
положении t*2i== — • В последнем случае вал II будет вращаться в противопо* ^4
ложном направлении. При среднем положении блока вал // выключен.
Пример 82. На рис. 233 показан механизм с паразитным коническим колесом. От ведущего вала I вращение передается валу III через посредство колес А и В, из которых второе сцепляется внутренним зацеплением с коническим колесом С, закрепленным на валу III, Валы / и III соосны.
Как видим, колесо В является паразитным, следовательно, передаточное отношение /31 = —Цвращение вала III направлено противоположно вращению ^2 ведущего вала.
§ 177. Основные понятия о винте
Вырежем из бумаги прямоугольный треугольник АВС (рис. 234), катет АВ которого равен длине окружности поперечного сечения круглого цилиндра диаметром ^изображенного в
Рис. 234
двух проекциях на рис. 234, а. Навернем этот треугольник на цилиндр так, чтобы его вершина А совпала с произвольной точкой К основания цилиндра, перпендикулярного к его высоте, а катет АВ расположился в плоскости основания. Так как катет этот равен длине окружности основания, то точка В совпадет с начальной точкой К, в которой лежит точка А, а гипотенуза АС расположится на боковой поверхности цилиндра по некоторой пространственной кривой, называемой винтовой линией. 250
Угол ВАС треугольника представляет собой угол, образуемый касательной к винтовой линии с плоскостью поперечного сечения цилиндра, и называется углом подъема а винтовой линии. Катет ВС расположится по образующей цилиндра и займет положение КС'. Как видим, расстояние между двумя витками винтовой линии, измеренное по образующей, есть величина
постоянная и равна s. Расстояние это называется шагом винтовой линии.
Из треугольника АВС получим зависимость
$ = irtZtga,	(158)
т. е. шаг винтовой линии равен длине
Рис. 236
Рис. 235
окружности поперечного сечения цилиндра, умноженной на тангенс угла подъема винтовой линии.
Как видим из треугольников АВС и АВХСХ (рис. 234, б), при одном и том же шаге угол подъема си винтовой линии тем больше, чем меньше диаметр.
Прорезав на цилиндре по винтовой линии канавку того или иного профиля, получим деталь, называемую винтом. В зависимости от профиля резьбы винт может быть с треугольной резьбой, прямоугольной, квадратной и т. п. Различают наружный диаметр винта t/0 и внутренний d\ (рис. 235). Как вытекает из только что сказанного, угол подъема винтовой линии при данном шаге s будет различным на наружном и внутреннем цилиндрах,
251
поэтому его относят к среднему диаметру, который обозначается буквой d.
Представим себе, что после того как образована одна винтовая линия ^1Л2ЛзЛ4..., мы нанесем вторую винтовую линию LB1B2B3B4... с тем же углом подъема (рис. 236). Если вторую винтовую линию мы начнем наносить с диаметрально противоположной точки поперечного сечения (точка L\ на виде сверху), те она расположился посредине между витками первой винтовой линии, разделив ее ход пополам. Винт, нарезанный таким образом,
Рис. 237
Рис. 238
т. е. имеющий, как говорят, две нитки, называется двухходовым (двухзаходным). Подобный винт показан на рис. 237. Точно так же может быть образован трехходовой винт, в котором между витками одной и той же нитки расположатся на
равных расстояниях две другие нитки, смещенные одна относи-360
тельно другой на — =120°, четырехходовой винт — с 3
360
нитками, смещенными одна относительно другой на — =90°, 4
и т. д.
В многозаходном винте шагом называется расстояние s между соответствующими точками двух соседних ниток, а расстояние между такими двумя точками одной и той же нитки называется ходом винта. Следовательно, обозначив последний буквой h, а число заходов через z> можем написать:
h = sz.	(159)
Соответственно этому формула (158) примет для многозаход-ного винта такой вид:
h — nd tg а
(160)
252
и шаг
nd tg а
(161)
В рассмотренных случаях винтовая линия поднималась слева направо. Резьба винта, соответствующая этому направлению винтовой линии, называется правой. Если винтовая линия поднимается справа налево (рис. 238), то винт с таким направлением нарезки называется левым.
Вопросы
1. Угол подъема винтовой линии на двух цилиндрах различных диаметров один и тот же. Что можно сказать о шаге?
2. Две винтовые линии с одним и тем же углом подъема имеют на двух цилиндрах различный шаг. Что можно сказать о диаметрах этих цилиндров?
§ 178. Передача винтовыми колесами и червячная передача
Перейдем к рассмотрению передачи при помощи зубчатых колес между валами, оси которых скрещиваются в пространстве. В подобной передаче применяют винтовые колеса (рис. 239). Винтовое колесо представляет собой многоходовой винт
Рис. 239
осо-
Рис. 240
бым (эвольвентным) профилем
нарезки, у которого число захо
дов равно числу зубьев колеса (рис. 240). Чаще всего такие передачи используются, когда оси скрещивающихся валов образуют в пространстве угол 90°.
Рассуждая так же, как при рассмотрении конических колес, мы придем к тому же заключению, что при одном обороте веду-
щего колеса ведомое колесо повернется на —2- оборотов, где z{ — *2
число зубьев ведущего, a z%— число зубьев ведомого колеса.
253
Таким образом, передаточное отношение для винтовых колес равно:
4i = —
В винтовом колесе следует различать нормальный и торцовый шаги. Пусть АВ и CF (рис. 241) представляют собой средние линии двух соседних зубьев колеса. Расстояние между ними tn = BD> измеренное по направлению, перпендикулярному к их длине, называется нормальным шагом. Расстояние же ts=BF, измеряемое по торцовой поверхности, называется торцовым шагом. Обозначив по-прежнему, как в обычном вин
Рис. 241
Рис. 242
те, угол подъема винтовой линии через а, получим из треугольника BDF зависимость между этими двумя шагами:
tn ~ ^sina.	(162)
Разновидностью передачи винтовыми колесами является широко применяемая червячная передача. Червяк 1 (рис. 242), закрепленный на ведущем валу, передает вращение червячному колесу 2t установленному неподвижно на ведомом валу. Как видно из рисунка, червяк представляет собой цилиндр с винтовой резьбой, витки которой располагаются во впадинах колеса. Червяк может быть выполнен одноходовым или многоходовым, с правой или левой нарезкой. Шаг червяка и сопряженного с ним червячного колеса, очевидно, должен быть один и тот же.
Обозначим число заходов червяка через гч, а число зубьев колеса через zK. Если гч=1, т. е. червяк однозаходный, то при одном его обороте колесо повернется на 1 зуб, т. е. на —
254
часть одного оборота, и передаточное отношение будет равно:
^КЧ - •
Если червяк многозаходный, то при одном его обороте колесо повернется на z4 зубьев, или на — полного оборота, следовали
тельно, передаточное отношение
£к
(163)
т. е. отношение числа оборотов червячного колеса к числу оборо-тов червяка равно отношению числа заходов червяка к числу зубьев червячного колеса.
Как видим, передаточное отношение червячного механизма выражается аналогично передаточному отношению зубчатого
механизма, если заменить число зубьев ведущего колеса числом заходов червяка. Особенностью червячной передачи является то, что она позволяет получать очень малое передаточное отношение.
Направление вращения колеса зависит от направления вращения червяка и от того, какая у него резьба — правая или левая. Пере-
дача движения от червячного ко-	Рис. 243
леса червяку не всегда возможна.
Возможность передавать враще-
ние от колеса к червяку зависит от величины угла подъема нитки на червяке и величины коэффициента трения между его витками и зубьями колеса, а именно: чем больше этот коэффициент, тем больше должен быть угол подъема.
На рис. 243 показано зацепление между червяком и колесом; видно, что винтовая нитка червяка имеет в сечении форму равнобочной трапеции.
§ 179.	Универсальный шарнир
Для передачи вращения между непараллельными валами служит также механизм, называемый универсальным шарниром.
Пусть концы обоих валов I и II вращаются в подшипниках 1 и 2 (рис. 244, а).
Насадим на эти концы вилки 5 и 3, в которых оси IV и III отверстий перпендикулярны к осям валов. Вставив в эти отверстия концы крестовины 4, получим универсальный шарнир.
255
При вращении вала / с вилкой 5 вращается и крестовина, поворачиваясь одновременно своими концами в вилках вокруг осей III и /V и приводя в движение вилку 3 с валом II. На рис. 244, б показано условное обозначение этого механизма в кинематических схемах. При одном оборо-
те ведущего вала ведомый вал делает также один оборот.
Но на протяжении одного оборота угловая скорость ведомого вала непостоянна, т. е. при равномерном вращении ведущего вала ведомый вал вращается неравномерно.
Для передачи вращения между непараллельными и непере-секающимися валами иногда используют (в автомобилях, станках и др.) двойной универсальный шарнир (рис. 245), в котором оба вала
Рис. 244
I и II связаны промежуточным валом III при помощи двух шарниров 1, 2, 3 и 1', 2', 3'. При этом необходимо, чтобы оси вилок 1 и Г лежали в одной плоскости, а оси валов I и II были па-
раллельны.
Рис. 245
Рис. 246
Часто приходится передавать вращение ведомому валику, положение которого не остается постоянным. На рис. 246 схематически показан применяемый в таких случаях механизм. Представим себе, что ведомый валик II при работе механизма меняет свое положение относительно ведущего валика Л следовательно, расстояние между обоими шарнирами не остается постоянным. Поэтому звено III должно быть переменной длины. Валик IV, несущий на одном конце вилку шарнира 1, может скользить в 256
осевом направлении в трубке 2, скрепленной с вилкой второго шарнира 3. По образующей этого валика прорезана шпоночная канавка, в которую свободно входит шпонка, закрепленная в трубке. При такой конструкции валик II может перемещаться, получая вращение через звено III переменной длины, называемое телескопической трубкой.
Подобный механизм двойного шарнира с телескопической трубкой применяют в некоторых металлорежущих станках, а также в приводе задних колес автомобиля.
§ 180.	Вопросы для повторения
1.	Какой из механизмов, схематически показанных на рис. 223 и 224, дает возможность изменять направление вращения ведомого вала при постоянном направлении вращения ведущего вала?
2.	Остается ли постоянным шаг зацепления конических зубчатых колее в различных сечениях по длине зуба?
3.	Какой шаг винтового колеса больше: торцовый или нормальный?
4.	Как изменится нормальный шаг винтового колеса при увеличении угла подъема (при том же торцовом шаге)? Чему он равен при а==90°?
5.	В одной червячной передаче червяк одноходовой, во второй двухходовой. В какой из этих передач ведомый вал вращается быстрее и во сколько раз, если число оборотов обоих червяков и числа зубьев колес одни и те же?
§ 181.	Упражнения
83.	Диаметр малого основания фрикционного барабана (рис. 223) Z?i =.<280 мм, а большого основания £)2 = 400 мм, диа-
Рис. 247

метр катка Dq ~300 мм. Ведущий вал делает 350 об/мин. Какие наименьшее и наибольшее числа оборотов в минуту можно получить на ведомом валу?
84.	Наибольшее расстояние R катка В от оси диска А фрикционной передачи (рис. 224) равно 250 мм, диаметр катка равен 9-1599	257
125 мм. Какое наибольшее число оборотов ведомого вала II может давать эта передача, если вал / делает 800 об/мин?
85.	Рукоятку 1 ворота (рис. 247) вращают с окружной скоростью ^0=== 0,785 м/сек. Вычислить скорость перемещения груза, прикрепленного к канату, наматывающемуся на барабан 2, если а—250 мм, zi = 15, г2=45 и d—180 мм.
86.	Одноходовой червяк, совершающий 900 об/мин, сопряжен с червячным колесом, имеющим 45 зубьев. Определить число оборотов колеса в минуту. Решить эту задачу для случая трехходового червяка.
Глава двадцатая
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ В ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ОБРАТНО
§ 182.	Преобразование вращательного движения в поступательное
Одним вращательным движением не ограничиваются все те виды движения, которыми приходится пользоваться в технике. В металлорежущих станках вращательное движение является основным, исходным, от которого заимствуются все другие необходимые виды движения. Так, например, вращательное движение приводного вала винторезно-токарного станка преобразуется в поступательное движение суппорта при помощи системы зубчатых колес и рейки (при продольном точении) или винта и гайки (при нарезании винтов); вращение шкива в конечном итоге сообщает поступательное движение столу продольнострогального станка или резцу поперечно-строгального станка и т. д. Реже приходится преобразовывать поступательное движение во вращательное, как, например, в поршневых двигателях.
В машинах детали часто совершают и более сложные виды движения. В настоящей главе рассмотрим основные виды преобразования вращательного движения в прямолинейное поступательное и обратно — преобразования поступательного во вращательное движение.
§ 183.	Фрикционный механизм для получения поступательного движения
В качестве примера подобного механизма рассмотрим механизм, сообщающий движение бабе штамповочного фрикционного молота с доской (рис. 248). Баба 1 молота подвешена к доске 2 258
(из твердой породы — обычно из граба или бука), зажатой между вращающимися роликами, и скользит в направляющих станины. Если между роликами и доской действует сила трения, превышающая вес бабы с доской, то при направлениях вращения роликов, показанных на схеме, доска будет перемещаться вверх. Скорость <и движения доски при отсутствии скольжения равна окружной скорости роликов и, следовательно, выражается зависимостью
__ г.Рп ~ 60-1000
где D — диаметр ролика в мм\
п — число его оборотов в минуту;
v — скорость бабы в м!сек.
Движение бабы вниз происходит под действием собственного веса. При этом ролики разводятся особым механизмом, не показанным на чертеже.
На том же принципе основано поступательное движение заготовки между валками прокатного стана, бревна в лесопильной раме и т. п.
Рис. 248
§ 184.	Передача зубчатой рейкой
В передаче, рассмотренной в предыдущем параграфе, движение осуществлялось под действием силы трения. Представим себе, что на поверхностях доски и ролика мы нарежем зубья. Тогда получим зубчатый механизм, состоящий из цилиндриче-
Рис. 249
ского зубчатого колеса 1 (рис. 249) и зубчатой рейки 2. Такая передача применяется, например, для сообщения движения столу продольно-строгального станка, для сообщения подачи шпинделю сверлильного станка и т. п.
Скорость движения рейки, очевидно, равна окружной скорости на начальной окружности колеса, поэтому эта скорость выражается той же формулой (164), что и для фрикционной передачи. Эту фор
9*
259
мулу удобно применять в другом виде. Имея в виду, что диаметр начальной окружности зубчатого колеса D = mz, получим скорость рейки:
itDn ктгп ,,	\ nmzn. / , ч
и —	= —i  (мм сек) =------------(м сек)
60	60	1	7	60-1000
(165)
где т — модуль зацепления;
z— число зубьев колеса;
п — число оборотов колеса в минуту.
Нетрудно выразить усилие Р, сообщающее поступательное движение рейке. Если обозначим вращающий момент на валу О через ЛГВ, то окружное усилие на начальной окружности колеса будет — , где R — радиус этой окружности. Следовательно,
2МВ
(166)
Мы предполагали, что колесо приводит в движение рейку. Возможен обратный случай, когда рейка, перемещаясь поступательно, сообщает вращательное движение колесу. Очевидно, только что полученные зависимости остаются в силе: зная скорость движения рейки, мы по формуле (165) вычислим число оборотов в минуту колеса, а по формуле (166) по заданной силе, приложенной к рейке, найдем окружное усилие на колесе.
В обоих рассмотренных случаях колесо вращается вокруг неподвижной оси О. Представим себе колесо Л которое катится по неподвижной рейке 2 (рис. 250). Такая передача аналогична качению колеса по неподвижной плоскости. Как нетрудно видеть, при одном обороте колеса ось его переместится на расстояние l=nD, т. е. на расстояние, равное длине его начальной окружности, а при п оборотах (где п — целое или дробное число) — на расстояние l=vtDn. Подобная передача применяется, например, в механизме автоматической продольной подачи в токарном станке: с неподвижной рейкой, прикрепленной к станине станка, сцепляется шестерня, закрепленная на валике, помещающемся в фартуке суппорта; получая вращение от механизма подачи, шестерня катится по рейке и тем самым сообщает поступательное движение суппорту.
Отметим, наконец, что иногда применяется червячно-реечная передача, в которой ведущим звеном вместо шестерни служит червяк.
Пример 83. На рис. 251 дана кинематическая схема реечного домкрата. При вращении рукоятки А вращается валик Oi с шестерней zh от которой передается движение рейке В по схеме- ZiX?2—^3Xz4—z5x рейка В, Определить время которое потребуется на перемещение груза в вертикальном направлении на высоту Л=220 мм, если окружная скорость рукоятки ио=0,8 м/сек, длина рукоятки а=250 мм, 5, z2=20, z3=5, z4=20, z5=5} модуль за-260
цепления т реечной шестерни и рейки равен 14 мм. Определить также грузоподъемность Q домкрата, если усилие рабочего на рукоятке Р=ЗэкГ, а к. п. д. Я = 0,75.
При окружной скорости vQ ~ 0,8 м/сек рукоятка совершает	=
= 30,5 об/мин. Передаточное отношение от вала через О2 к валу О3 •	5*51
hi— on со “ 17 ’ следовательно, при пх оборотах в минуту рукоятки С
шестерня zb делает n3 = ni • z3] = 30,5 • оборота. Соответственно
этому рейка 14-5*30,5
16
перемещается в минуту на величину Л1 = я;т;г5Пз =
~ 420 мм, а время, необходимое для подъема на высоту
h = 220 мм, составит:
220
£ ~ 777?= 0,525 мин = 31,5 сек.
Рис. 251
Рис. 250

Для определения грузоподъемности Q применим формулу (136), откуда получим вращающий момент на валу О3:
,, Мг	35*250
М3= — т) =------------0,75 = 35-250*16-0,75 кГмм.
z3i	J_
16
Диаметр шестерни г5 равен: D3=mzb—14 * 5 мм и по формуле (166):
2-35*250-16*0,75 14-5
= 3000 кГ = 3 Т.
§ 185.	Кинематика передачи винтом и гайкой
Для преобразования вращательного движения в поступательное широко применяется винтовой механизм, состоящий из винта и гайки.
Пусть в неподвижном подшипнике (рис. 252) вращается одноходовой винт 2, на котором сидит гайка 1, причем гайка лишена возможности вращаться. При этом, если шаг винта равен s, то за один оборот винта гайка переместится в направляющих на ве
261
личину этого шага, при половине оборота винта гайка переместится на 0,5 s, при четверти оборота — на 0,25 s и т. д. В общем виде можно сказать, что при оборота винта гайка переместится на величину 5:
S=—s.	(167)
Я
Такая передача встречается, например, в механизме сообщения движения суппорту токарно-винторезного станка при наре-
Рис. 252
зании винтов, где вращательное движение ходового винта преобразуется в поступательное движение гайки, связанной с фартуком суппорта.
Этот способ преобразования вращательного движения в по-
ступательное при помощи винта и гайки не единственный. Так, например, обращаясь к принципу работы параллельных тисков (рис. 253), мы видим, что при вращении винта 2 в неподвижной гайке /, закрепленной в основании 5, он сообщает подвижной части 3 поступательное движение, зажимая изделие между неподвижной 4 и подвижной 3 губками.
Рис. 253
Рис. 254
В рассмотренных примерах ведущим звеном является винт. Возможны и обратные случаи, когда движение сообщается гайкой. Подобный пример приведен на рис. 254, где схематически показана одна из разновидностей винтового домкрата. В стойке 1 может свободно вращаться гайка 3 (не перемещаясь в осевом направлении). Сквозь гайку проходит винт 2, лишенный возможности вращаться. В этих условиях при повороте гайка будет сообщать винту поступательное движение. Совершенно понятно, 262
что во всех этих случаях применима формула (167), в которой — обозначает поворот винта в гайке или поворот гайки по винту в долях полного оборота. Направление перемещения винта или гайки зависит, очевидно, от того, является ли нарезка правой или левой и в каком направлении происходит вращение винта или гайки.
Передача винтом и гайкой позволяет также преобразовывать поступательное движение во вращательное; так, например, перемещая в осевом направлении гайку, при достаточно большом
3
Рис. 255
угле подъема нарезки мы сообщим винту вращательное движение.
На этом принципе работает ручная дрель (рис. 255), винт 2 которой вращается (вместе с патроном 1) при перемещении гайки 3. Следует, впрочем, отметить, что подобная передача от
а


Рис. 256
гайки винту неосуществима при малом угле подъема винтовой резьбы. Винтовой механизм, в котором винт не может вращаться под давлением гайки, называется самотормозящимся.
На рис. 256 показана схема механизма, винт 1 которого на участке а имеет резьбу с шагом sa, а на участке Ь — резьбу с шагом Участок а винта вращается в неподвижной гайке 2, а участок Ь — в гайке 3, лишенной возможности вращаться. Пусть направление резьб а и b одинаковое. Сообщив винту один оборот, получим осевое перемещение его в гайке 2 на величину шага sa- Если бы гайка 3 вращалась вместе с винтом, то она также переместилась бы в осевом направлении на величину sa. Но так как гайка вращаться не может, то она переместится по винту в обратном направлении на величину шага $ь. Следовательно, абсолютное перемещение гайки относительно неподвиж
263
ных направляющих составит sa—sb. Если же направление резьб а и b различное, то перемещение гайки 3 будет равно $а
Отсюда получаем, что при повороте винта на — полного Я
оборота перемещение гайки составит:
(168)
(знак минус относится к случаю, когда резьбы а и b одинаково направлены, и знак плюс — когда они направлены в противоположные стороны).
Как видим, при одинаковом направлении обеих резьб можно получить очень малое перемещение гайки, так как оно при одном полном обороте равно разности шагов; такой винтовой механизм называется дифференциальным.
Из рассмотренных простейших винтовых механизмов можно получить всевозможные разновидности.
9-1
Рис. 257
Так, например, сделав на винте 1 (рис. 257), удерживаемом от осевых перемещений подшипником 2, на участках а и b винтовые резьбы одинакового шага, но направленные в противоположные стороны, получим механизм, в котором при вращении винта гайки 3 и 4, лишенные вращательного движения, будут либо сближаться, либо удаляться одна от другой с равными скоростями.
Рис. 259
Рис. 258
Подобный механизм применяют в двухкулачковом сверлильном патроне.
На этом же принципе работает стяжка (рис. 258): при вращении винта 1, имеющего на обоих концах правую и левую резьбы, будут сближаться хомуты 2 и 3 и связанные с ними тяги (или канаты).
Стяжка, показанная на рис. 259, отличается другим расположением элементов.
264
направо
Пример 84. Винт 1 (рис. 260) шага $=2,5 мм с правой резьбой вращается в неподвижной гайке 2, а другим концом свободно вращается в ползуне 3, скользящем в неподвижных направляющих. Сколько оборотов и в каком направлении надо сообщить винту, чтобы перемещение ползуна слева составляло 5 = 81 мм. 81 = — =— оборота = 32,4 оборота = 32 полных оборота
и 144°
q s z,o («на нас»).
Пример 85. Винтовой механизм (рис. 256) имеет на участке а резьбу с шагом sa=4 а на участке b резьбу того же направления $$=3,5 мм. Винту сообщен по направлению часовой стрелки поворот На какую величину и в каком направлении переместится гайка 5?
правую с шагом на 45°.
-аУЖш\ЛА/\Лл

Рис. 260
Применяя формулу (168) со знаком минус (так как резьбы одного на* правления), получим:
5 = —(4 — 3,5) = 0,0625 мм.
360	'
При указанном направлении вращения винта («на нас») ползун переместится слева направо.
§ 186.	Статика передачи винтом и гайкой
Q
Пусть к рукоятке 3 (рис. 261), закрепленной на винте Л приложена к плечу а в точке А сила Р. Под действием этой силы винт, вращаясь в неподвижной гайке 2, перемещается вверх, преодолевая полезное сопротивление Q. Выведем зависимость между силами Р и Q.
Как неоднократно отмечалось выше, работа движущей силы должна равняться сумме работ сил сопротивления. Будем пока исходить из того, что вредные сопротивления незначительны и поэтому ими можно пренебречь.
Теперь приравняем работу движущей силы Р работе силы полезного сопротивления за один оборот винта.
При одном обороте винта точка А приложения силы Р опишет путь, равный 2ла, следовательно, работа, совершенная силой Р, составит:
Wp = 2пРа.
За время одного оборота винта он переместится
А
Рис. 261
в осевом направлении на величину его шага, соответственно че* му работа силы сопротивления фравна: Wq=Qs.
Приравняв величины работ, получим:
2-Ра — Qs, откуда
Q = 2« — Р.	(169)
S
Отсюда мы видим, что выигрыш в силе тем больше, чем больше плечо приложения движущей силы и чем меньше шаг винта.
Чтобы выразить фактически получаемую силу Q, мы должны умножить правую часть этого равенства на к. п. д. передачи т]:
Q = 2«—Рт].	(170)
S
Формулу (169) можно представить в другом виде. Выразим шаг винта через средний диаметр dCp по формуле (158):
5 = z<Zcp tg а.
Подставив это выражение в формулу (169), получим:
т. е. выигрыш в силе тем больше, чем больше плечо приложения движущей силы и чем меньше средний диаметр винта и тангенс угла подъема винтовой нарезки на среднем цилиндре.
Соответственно, при учете силы трения формула (171) дает:
Q=—Рт).	(172)
^Ср tg а
Наконец, можно получить интересующую нас зависимость еще в другом виде. Заметив, что Ра представляет собой момент силы Р относительно оси винта, т. е. вращающий момент на винте, можно написать:
Q = -^-rh	(ИЗ)
^ср tg а
т. е. величина силы на винте в осевом направлении равна удвоенному вращающему моменту, умноженному на коэффициент полезного действия и разделенному на средний диаметр винтовой резьбы и на тангенс угла подъема, соответствующего этому среднему диаметру.
Так как угол подъема винтовой резьбы может быть взят достаточно малым, то при использовании винтовой передачи можно получить очень большой выигрыш в силе. При помощи винта и гайки мы небольшим усилием стягиваем с большой силой скрепляемые между собой детали, зажимаем обрабатываемое 266
изделие в тисках; эта передача применяется в винтовых домкратах, винтовых прессах и т. п.
Коэффициент полезного действия вычисляют в каждом конкретном случае в зависимости от угла подъема винтовой нарезки и коэффициента трения.
Пример 86. Определить усилие Р , которое требуется для равномерного поднятия груза Q=3 т винтовым домкратом, работающим по схеме, данной на рис. 261, если шаг винта s—8 мм, плечо а=800 мм, к. п. д. т)~0,4*.
Из формулы (170) получим:
Qs	3000.8
2явт) “ 2к-800-0,4 ~ 12 КГ'
§ 187.	Профили резьб основных видов передаточных винтов
Разрезав винт вдоль плоскостью, совпадающей с его осью, разрежем и его винтовые нитки. В зависимости от профиля резьбы, т. е. от того, какая фигура получится в сечении нитки, резьба имеет то или иное название. Профили резьб применяют различные. Выбор того или иного профиля зависит от назначения винта.
Рис. 262
Рис. 263
Если винт предназначен для передачи движения, то, очевидно, нас интересует наибольший к. п. д., для получения которого необходимо свести к минимуму механические потери в передаче; если же винт предназначен для скрепления каких-либо деталей, то, наоборот, следует сконструировать винт и гайку таким образом, чтобы на их поверхностях соприкосновения действовала возможно большая сила трения, которая препятствовала бы само-отвинчиванию гайки.
Как доказывается в подробных курсах технической механики, при одних и тех же геометрических элементах наименьшую потерю на трение дает прямоугольная резьба (рис. 262),
* Винтовые домкраты должны быть самотормозящимися, т. е. винт не должен ввинчиваться под действием осевой нагрузки.
267
выполняемая обычно так, чтобы глубина резьбы Л была равна половине шага, т. е. и = ~ •
Такая прямоугольная резьба называется квадратной.
Прямоугольная резьба вместе с тем обладает некоторыми недостатками, из которых наиболее существенным является затруднительность точного ее изготовления. Поэтому она вытесняется другим видом резьбы, называемой трапецеидальной
(рис. 263). Виток этой резьбы имеет в сечении форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой наклонены друг к другу под углом, равным 30°.
Наименование остальных элементов резьбы см. § 242, рис. 319,
§ 188.	Кривошипно-шатунный механизм
Для преобразования вращательного движения в поступательное служит также кривошипно-шатунный механизм, схематически показанный на рис. 264.
Кривошип 2, составляющий одно целое с валом А, вращающимся в неподвижных подшипниках станины 1, связан шарни-
Рис. 264
ром В с шатуном 3. Другой конец шатуна сочленен при помощи шарнира С с ползуном 4, скользящим в неподвижных прямолинейных направляющих. Как видим, при непрерывном вращении кривошипа ползун будет совер-
шать возвратно-поступательное движение, т. е. в конце хода он меняет направление своего движения. Таким образом, в течение одного оборота кривошипа ползун совершает два хода — сначала в одном направлении, а затем в обратном. В этом заключается первое отличие этого механизма от других механизмов, рассмотренных в этой главе.
Кривошипно-шатунный механизм применяется и для преобразования возвратно-поступательного движения во вращательное, например, в паровых машинах и двигателях внутреннего сгорания, где ведущим звеном является поршень, заставляющий посредством шатуна вращать коленчатый вал двигателя. При такой схеме работы механизма проявляется еще одна свойственная ему особенность. Пусть ползун 4 движется слева направо, соответственно чему кривошип будет вращаться по направлению часовой стрелки. Когда ползун придет в крайнее правое положение, кривошип займет положение АВ$У после чего ползун начнет двигаться в обратном направлении. Это положение кривошипа так же. как положение Во называется мертвым (предельным).
268
Чтобы обеспечить переход кривошипа, когда он является ведомым звеном механизма, через мертвые положения, применяют маховик — колесо с тяжелым ободом, насаженное на кривошипный вал.
Кинетическая энергия маховика поддерживает непрерывное движение механизма.
§ 189.	Кинематика кривошипно-шатунного механизма
Рассмотрим теперь, как перемещается ползун при равномер
ном вращении кривошипа.
Пусть кривошип вращается равномерно по направлению часовой стрелки (рис. 265, а). Будем считать положение кривошипа ABq начальным. Произведя из точки BQ засечку радиусом, равным длине шатуна, на прямой, по которой движется центр шарнира С, получим точку Со, в которой в рассматриваемый момент находится центр этого шарнира. Эта точка соответствует крайнему левому положению ползуна. Чтобы найти положение центра шарнира С в другие моменты, разделим окружность, описываемую центром шарнира В, на несколько, например 12, равных
частей, соответственно чему при равномерном вращении криво-
шипа он через равные промежутки времени, соответствующие
1
12
одного оборота, будет занимать положения ЛВЬ AB2j АВ3, ЛВи и, наконец, вернется в начальное положение ЛВ0. Радиусом, равным длине шатуна ВС, будем делать засечки из точек Bh В2,
В3,... на прямой, по которой движется центр шарнира С, в результате чего найдем, что спустя — оборота кривошипа точка С
12
займет положение Сь переместившись от начального положения на величину Si = C0Cr, спустя два таких промежутка перемещение точки С составит S2— С0С2; спустя три таких промежутка перемещение S3 = C0C3 и т. д. При положении кривошипа АВ6 точка С займет положение Се, находящееся на расстоянии, равном длине шатуна от точки В6, и соответствующее крайнему правому положению ползуна. Далее ползун начнет двигаться в обратном направлении (т. е. справа налево), расстояние его от начального положения непрерывно будет уменьшаться; так положению АВ7 кривошипа соответствует положение центра шарнира С в точке С7, совпадающей с точкой С5; положению кривошипа АВ3 соответствует положение центра шарнира С в точке С8 и т. д.
В момент, когда кривошип вернется в начальное положение, точка С окажется в Со-
Как видим из этого построения, отрезок С0С6 равен отрезку BqBq, т. е. диаметру окружности, описываемой центром шарнира В, а диаметр этот равен удвоенной длине кривошипа.
269
»S
Рис. 265
Обозначив длину кривошипа через г, а ход ползуна через Н, можно, следовательно, написать:
Н~2г.	(1^4)
Итак, в кривошипно-шатунном механизме ход ползуна равен удвоенной длине кривошипа.
Из изложенного следует, что для нахождения положения ползуна в любой момент времени следует нанести для этого момента положение кривошипа и из центра шарнира, связывающего его с шатуном, радиусом, равным длине последнего, произвести засечку на траектории движения центра ползуна. И, обратно, если задано положение ползуна, то из центра шарнира, связывающего его с шатуном, надо провести тем же радиусом засечку на соответствующей половине окружности, описываемой центром " шарнира, в котором сочленены кривошип с шатуном, а затем соединить полученную точку с центром этой окружности.
Имея положения центра шарнира ползуна С, можно теперь построить кривую его расстояний от начального положения CQ методом, изложенным в кинематике. Взяв прямоугольную систему координат (рис. 265, б), отложим по оси Ot равные отрезки, каждый из которых выражает в выбранном масштабе время, в течение которого кривошип поворачивается на -у часть полного оборота. Восставив в точках 1, 2, 3 и т. д. перпендикуляры и отложив на них отрезки 1 — Sb 2— S2, 3 — S3 и т. д., выражающие расстояния СоСь CQC2t С0С3 и т. д. от начального положения, получим ряд точек Si, S2, S3 и т. д., которые соединим плавной кривой линией. Таким образом получим диаграмму расстояний S центра шарнира С ползуна и сможем найти его положение для любого момента времени.
Как видно из диаграммы, при равномерном вращении кривошипа ползун в равные промежутки времени проходит различные пути. Так, например, при повороте кривошипа на угол В$АВ\ ползун перемещается на величину 1 — Si, при повороте кривошипа на следующий угол В\АВ2 перемещение ползуна выразится отрезком а\—S2, при повороте на угол В2ЛВ3 перемещение измеряется отрезком а2 — S3 и т. д. Следовательно, отрезки эти увеличиваются, а затем уменьшаются.
Отсюда делаем вывод, что при равномерном вращении кривошипа ползун перемещается неравномерно и, обратно, если ведущим звеном является ползун, то при равномерном его движении вращение кривошипа является неравномерным.
Это обстоятельство является важной особенностью кривошипно-шатунного механизма.
Имея кривую расстояний, можем построить кривую скоростей, которая дает возможность определить скорость ползуна для любого момента времени. Как мы видели, за время поворота
271
кривошипа на угол (рис. 265, а) ползун переместился на величину, выражаемую отрезком 1—Si (рис. 265, б). Разделив это перемещение на время, в течение которого оно совершилось, получим среднюю скорость ползуна на этом пути; точно так же, разделив перемещение а\—S2 на такой же промежуток времени (ибо мы разделили оборот кривошипа на равные части), получим среднюю скорость на этом пути и т. д. Таким образом вычислим средние скорости на протяжении поворота кривошипа на 180*.
Теперь нанесем прямоугольную систему координат, в которой по оси Ot будем откладывать время, а по оси Ov (рис. 265, в) в выбранном масштабе — средние скорости точки С ползуна. Эти средние скорости будем откладывать на перпендикулярах, восставленных к оси времени Ot в точках Л, 2Ь 3\ и т. д., лежащих в середине отрезков 0—1, 1—2, 2—3 и т. д. (рис. 265, б). В результате получим точки v/t v2, v3' и т. д. (рис. 265, в), через которые проведем плавную кривую линию Ovx'v2fv3v4v3v^v6. Эта линия представит собой кривую скоростей движения ползуна на протяжении первой половины оборота кривошипа (т. е. время его поворота из положения ABq в положение АВ6).
С этого момента ползун движется в обратном направлении — справа налево, скорость направлена в обратную сторону, поэтому мы строим вторую ветвь кривой, симметричную первой и расположенную под осью времени.
Анализируя полученную кривую скоростей, видим, что при левом мертвом положении ABq кривошипа скорость ползуна равна нулю (точка О на рис. 265, в). При дальнейшем его вращении скорость ползуна растет и в некоторый момент времени, соответствующий положению кривошипа между АВ3 и АВ4 (рис. 265, а), достигает наибольшего значения. Затем скорость убывает, обращаясь снова в нуль при правом мертвом положении АВ6 кривошипа, после чего на протяжении второй половины его оборота кривая скоростей повторяется в обратном порядке.
Вопросы
1.	Чему равна сумма отрезков (рис. 265, б) 1—Sb ах—S2, а2—Зз, а3—S4, СЦ—S5, &5—«$б?
2.	Покажите сумму этих слагаемых на рис. 265, а на левой и правой частях чертежа.
3.	Покажите на рис. 265, а положение кривошипа, соответствующее точке уб на оси времени по рис. 265, в.
§ 190. Эксцентриковый механизм
Представим себе, что мы увеличили размеры шарнира В (рис. 264), в котором сочленяются кривошип 2 и шатун 3, до размеров, показанных на рис. 266, причем палец Вх составляет одно 272
целое с кривошипом, а обхватывающая его втулка В2— с шату-
ном. Как видим, этот механизм будет оставаться кривошипношатунным, в котором длина кривошипа 2 равна АО, а длина шатуна 3 равна ОС, где О по-прежнему представляет собой центр шарнира. Увеличивая далее диаметр шарнира, получим механизм, схематически показанный на рис. 267. Вокруг оси А вращается круглый диск Вь охватываемый свободно сидящим
на нем хомутом B2i составляющим одно целое с шатуном 3. Этот механизм будет двигаться подобно кривошипно-шатун ному механизму, у которого длина кривошипа 2 равна расстоянию АО между осью А вращения диска
Bi и геометрической осью	рис 2б6
О диска, а длина шатуна
3 равна ОС, т. е. расстоя-
нию между осью О и осью шарнира С, которым шатун 3 сочленен с ползуном 4. Такой механизм называется эксцентриков ы м, диск Bi — эксцентриком, шатун 3 — эксцентриковой тягой, а отрезок О А — эксцентриситетом
эксцентрика.
Рис. 267
Как вытекает из сказанного, эксцентриковый механизм работает так же, как кривошипно-шатунный, в котором длина кривошипа равна эксцентриситету, а длина шатуна равна расстоянию между осями О и С эксцентриковой тяги.
Рассмотренный механизм обладает тем достоинством, что он позволяет получить малый ход ползуна при значительных диаметрах пальца кривошипа, требуемых при больших давлениях. Эксцентриковые механизмы широко применяются, в частности, в штамповочных и ковочных прессах и др.
10-1599	273
§ 191. Механизм с качающейся кулисой
268
Рис.
Представим себе кривошип 1 (рис. 268), вращающийся вокруг неподвижной оси О. На конце его имеется палец с осью А, на котором свободно сидит ползун 2, скользящий в продольном прямолинейном пазу, прорезанном в рычаге 3. Этот рычаг, называемый кулисой, может поворачиваться вих;руг неподвижной оси Оь При вращении кривошипа ползун 2, называемый кулисным камнем, будет сколь зить в пазу кулисы, поворачивая ее вокруг оси качания Оь Пусть кривошип вращается по направлению, показанному стрелкой. Спустя некоторый промежуток времени ось ОХВ кулисы займет положение OXL, касательное к окружности AiAqA2Aq, описываемой центром пальца А кривошипа. В этот момент кривошип ОА2 как радиус этой окружности будет перпендикулярен к оси кулисы. Очевидно это положение кулисы будет крайним правым, ибо при дальнейшем вращении кривошипа в прежнем направлении кулиса начнет поворачиваться в обратном направлении, т. е. справа налево, и, когда кривошип повернется на крайнее левое положение
перпендикулярное к кривошипу ОА\. Дальше кулиса будет поворачиваться слева направо и после поворота кривошипа на угол Д1ОЛ2=)а она опять придет в положение OXL.
Таким образом, при непрерывном вращении кривошипа кулиса совершает качательное движение вокруг оси переходя при одном обороте кривошипа из крайнего левого положения в крайнее правое и обратно.
Пусть на верхнем конце кулисы имеется палец В, вокруг которого свободно поворачивается ползушка 5, скользящая в прямолинейных направляющих, составляющих одно целое с ползуном 6t который, в свою очередь, скользит в неподвижных направляющих 4. При качании кулисы ползушка 5, скользя в направляющих, сообщает движение ползуну 6. Ползун перемещается из одного крайнего положения в другое и обратно.
Как видим, вращательное движение кривошипа преобразуется в возвратно-поступательное движение ползуна при помощи ку-274
А 9.0 А1 =
лиса
м
займет
лисы. Кривошип выполняется обычно таким образом, что можно изменять его длину, а следовательно, и величину хода ползуна. Схема рассмотренного нами кулисного механизма применяется, например, в поперечно-строгальных станках.
§ 192. Кинематика механизма с качающейся кулисой
Итак, кулисный механизм преобразует вращательное движение в возвратно-поступательное. В этом отношении он схож с рас
смотренным выше кривошипно-шатунным механизмом. Вместе с тем эти механизма существенно отличаются друг от Друга.
Прежде ьсе^о выясним, как определяется ход ползуна 2 в зави-
симости от геометрических элементов механизма. Обозначим длину кривошипа ОА через г, длину кулисы OiB = O1K=O1L через I, а расстояние ОО\ между осьхс ноащения кривошипа и
осью качания кулисы — через а (рис. 268).
Прямоугольные треугольники О\СК и О^О как имеющие
О К КС
общий острый угол подобны, откуда следует, что —— — —- или
О] О ОАг
I	н	н
— = —, где — ~ КС представляет собой половину хода пол-а	2г	2
зуна.
Отсюда получим величину хода, равной
(175)
Как видим, ход ползуна прямо пропорционален длине кривошипа и длине кулисы и обратно пропорционален расстоянию между их осями вращения.
В поперечно-строгальных станках длина кривошипа регулируется *. Следовательно, для определения расстояния г=ОА по заданному ходу получим зависимость:
На
21
(176)
Итак, ход слева направо ползун совершает за промежуток времени, в течение которого кривошип описывает угол а, а обратный ход — за промежуток времени, в течение которого кривошип поворачивается на угол р.
Обозначим продолжительность поворота кривошипа на угол а через 4, а продолжительность поворота на угол 0 — через fp. Тогда средняя скорость движения ползуна слева направо равна
* Это достигается перемещением пальца А в радиальном пазу диска зубчатого колеса, сидящего на валу О и представляющего собой плечо кривошипа.
ю*
275
C’cpz= — , а при движении его справа налево яср/,==
а отношение этих скоростей выразится так:
„ гср
(177)
Так как кривошип вращается равномерно, то продолжительность поворота его на угол а и угол 0 прямо пропорциональна этим углам, т. е.
что по подстановке в (177) дает:
(178)
Назвав ход ползуна слева направо, соответствующий углу поворота кривошипа а, прямым, а ход ползуна справа налево (при повороте кривошипа на угол 0) обратным, можно на основании формулы (178) сказать, что средние скорости прямого и обратного хода ползуна обратно пропорциональны соответствующим углам поворота кривошипа. Как видим, продолжительность обратного хода меньше продолжительности прямого хода именно во столько раз, во сколько угол а больше угла 0.
В этом и заключается основное отличие рассматриваемого механизма от кривошипно-шатунного. Этой особенностью кулисного механизма объясняется его применение в поперечно-строгальном станке, в котором скорость прямого (рабочего) хода ограничена допускаемой скоростью резания, а скорость обратного (холостого) хода должна быть возможно большей во избежание непроизводительной потери времени.
У нас речь шла о средних скоростях движения ползуна. Истинные скорости не остаются постоянными. В крайних положениях ползуна его скорость равна нулю. При переходе ползуна из одного крайнего положения в другое скорость возрастает до момента, когда он занимает среднее положение, а затем скорость падает, и во втором крайнем положении она опять обращается в нуль. Таким образом, в кулисном механизме движение ползуна при равномерном вращении кривошипа неравномерное, как и в кривошипно-шатунном механизме.
Существуют кулисные механизмы, в которых кулиса не качается, а вращается (механизмы с вращающейся кулисой).
Пример 87. Резцу поперечно-строгального станка требуется сообщить длину хода Я = 400 мм (рис. 268). Определить: а) на каком расстоянии ОЛ=»г от оси вращения кривошипа следует установить центр кулисного камня 2; 276
б) среднюю скорость рабочего и холостого хода ор и ох» если /=900 мм, =540 мм, кривошип делает п=40 об)мин.
Требуемую длину г кривошипа найдем по формуле (176):
На	400-540
г =-----=----------~ =120 мм.
2/	2.900
Определим углы аир.
Из ДД1010 имеем O/^ — OOjCOs — , откуда
₽ ОА.
cos — = —— 2 ОО.
120	8
— = 0,222 и — = 77°10',
540	2
₽ = 154°20' и а = 360° — 154°20' = 205°40'
При 40 об1мин продолжительность одного оборота кривошипа равна
1	60
—-мин — — = 1,5 сек, а продолжительность поворота на угол а = 40	40
1,5-205°40'
= 205°40' равна: =------——------= 0,857 сек, следовательно, /о = 1,5 —
ооО
400
Средняя скорость рабочего хода vcpp =	= 467 мм/сек =
467-60
- юдо mImuh = 28,02 mImuh. Средняя скорость холостого хода vcpx = 400	622•60
д — = 622 мм! сек = ——— м/мин = 37,32 mImuh, 0.643	'	1000	1
§193. Кулачковые механизмы
Пусть ползун 1 (рис. 269) совершает возвратно-поступательное движение в неподвижных направляющих. К ползуну прикреплена накладка 2, называемая кулачком. В этот кулачок под действием пружины 4 упирается своим концом стержень 3, называемый толкателем, скользящий в неподвижных направляющих. Предположим, что кулачок находится в положении, изображенном пунктиром, а толкатель касается своим концом поверхности ползуна 1.
При движении последнего слева направо наступит момент,, когда торец толкателя вступит на участок пт профиля кулачка, затем толкатель будет подниматься до того момента, когда под. его торец подойдет точка т, после чего при дальнейшем движении кулачка толкатель будет оставаться неподвижным (если участок ml профиля параллелен оси ползуна) в течение всего времени прохождения участка ml. При переходе на участок Ik толкатель начнет опускаться, и это движение будет продолжаться, пока весь кулачок пройдет под толкателем. Если бы профиль кулачка не имел горизонтального участка ml, то в верхнем по-10**—1599	277
ложении толкателя не было бы периода выстаивания: после поднятия он сразу стал бы опускаться. При движении кулачка в обратном направлении толкатель будет двигаться в обратном порядке. Характер движения (скорость и ускорение) толкателя при равномерном движении ползуна будет зависеть, очевидно, от профиля кулачка и скорости ползуна.
При скольжении толкателя непосредственно по профилю кулачка возникает сила трения скольжения, в результате действия которой обе трущиеся поверхности могут сильно изнашиваться. Во избежание этого конец толкателя обычно снабжают роликом, который катится по поверхности кулачка.
Г7777Ъ

Рис. 269
Если придать толкателю форму рычага, один конец которого под действием пружины прижимается к кулачку, то толкатель будет совершать качательное движение вокруг своей оси вращения.
В описанных случаях поступательное движение одного направления преобразуется в поступательное движение другого направления или в качательное движение.
На рис. 270 изображена схема преобразования вращательного движения в поступательное. Кулачок 1, вращаясь вокруг оси О, сообщает толкателю 2 возвратно-поступательное движение, характер которого определяется очертанием кулачка. Если профиль его на участке klm очерчен дугой окружности, описанной из центра О, то при прохождении этого участка под роликом толкатель 2 будет оставаться неподвижным. На рис. 271 показана схема преобразования вращательного движения кулачка 1 в качательное движение толкателя 2.
В приведенных примерах кривая, образующая профиль кулачка, и траектории различных точек толкателя лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, соответственно этому такой кулачковый механизм называется плоским в отличие от пространственного кулачкового механизма, не удовлет-278
воряющего этому условию. В качестве примера на рис. 272 показан схематически подобный механизм. В цилиндре /, выполняющем функцию кулачка, вынута замкнутая канавка (называемая пазом), не параллельная поперечному сеченшо цилиндра. В паз входит ролик 2, вращающийся на осщ закрепленной в ползуне 3, скользящем в неподвижных направляющих параллельно оси вращения кулачка. При вращении последнего ползун совершает возвратно-поступательное движение.
Рис. 270 Рис. 271	Рис. 272
Как вытекает из вышеизложенного, движение ведомого звена кулачкового механизма определяется профилем кулачка. Следовательно, кулачковые механизмы позволяют осуществлять весьма разнообразные законы движения толкателя. Этим объясняется их широкое применение, в особенности в различного рода автоматах, в частности в автоматических металлорежущих станках.
§ 194. Построение профиля плоского
кулачка
Для нахождения профиля кулачка нужно, чтобы был задан характер, или, как говорят, закон движения толкателя. Познакомимся на примере, как выполняется такое построение.
Пусть закон движения толкателя задан кривой, изображенной на рис. 273, б, где по оси абсцисс Оа отложены углы а поворота кулачка, а по оси ординат OS — соответствующие расстояния конца толкателя от оси О\ вращения кулачка. Задано также, что кулачок вращается равномерно и ось толкателя пересекает его ось вращения (рис. 273, а). Отрезок, соответствующий одному обороту кулачка, разделен, как показано на рисунке, на 16 равных частей.
Из графика движения (рис. 273, б) видно, что в течение поворота кулачка на 2Лб оборота расстояние конца толкателя от оси вращения остается постоянным, выражаясь равными отрезками О — a$=l—a\~2— затем расстояние это увеличивается: при 10***	279
повороте на 3/i6 оборота оно равно отрезку 3 — a3i при повороте на */16 и б/1б оно соответственно равно отрезкам 4 — а4 и 5 — а3. Затем толкатель в течение поворота на две части оборота опять остается неподвижным, после чего расстояние снова увеличивается до момента, соответствующего делению 10. На протяжении поворота Ю—11 происходит опять остановка толкателя, после которой, начиная с момента 11, расстояние уменьшается, т. е. толкатель движется в обратном направлении и в момент, соответствующий полному обороту кулачка, расстояние конца

а)
Рис. 273
толкателя от оси вращения выражается отрезком 16 — равным начальному расстоянию О — а0. Это означает, что толкатель вернулся в исходное положение; при дальнейшем вращении кулачка движение толкателя повторится в той же последовательности, или, как принято говорить, повторится тот же цикл.
Теперь перейдем к построению профиля кулачка (рис. 273,а). Продолжив ось Оа влево, наметим на этой прямой произвольную точку Оь которую будем считать осью вращения кулачка. Пусть толкатель движется в вертикальном направлении. Так как по заданию ось его пересекает ось вращения кулачка, то проведем через точку Oi вертикальную прямую. Отложив на ней отрезок 01Л0 = Оао, т. е. равный начальному расстоянию конца толкателя от оси вращения Оь получим начальное положение Ло этого конца. В момент 3 конец А толкателя будет удален от оси вращения на расстояние 3 — а3, что будет соответствовать положению этого конца Лз. Перенося таким образом и остальные точки графика движения а$ и т. д. на ось толкателя, получим ряд положений торца толкателя Л4, А5 (с которым совпадают 280
положения Лб и А7), Л8, Л9, Лю (с которым совпадает положение Ли) и т. д. *.
Опишем теперь из точки О] окружность радиусом, равным наименьшему расстоянию О]Л0, и разделив ее, соответственно шестнадцати поворотам кулачка, также на 16 равных частей, проведем через точки /ь 2Ь Зь 4i, 5i и т. д. радиальные прямые.
Когда кулачок повернется на угол, равный 22,5’2—45°, конец толкателя будет оставаться в исходном положении Ло, к концу
следующего поворота на угол 21013], равный 22,5°, конец толкателя окажется в положении Л3, следовательно, чтобы найти точку профиля кулачка, совпадающую с точкой Л3 толкателя, проведем из центра Oi дугу радиусом, равным 01Л3, до пересечения с радиальной прямой Oi 3f, точно так же
кулачка
Рис. 274
положение конца Л4 толкателя будет совпадать с точкой 4Х профиля и т. д. Поступая таким же образом для всех остальных положений толкателя, получим остальные точки профиля, а проведя через них кривые линии, получим искомый профиль кулачка, причем между точками 51 и 7Ь 10\ и 11\ (как между До и 21)
он будет очерчен дугами окружностей.
Если толкатель снабжен роликом, то мы нашли бы раньше
кривую, соответствующую движению оси ролика, а затем из разных точек этой кривой провели ряд окружностей радиусом, равным радиусу ролика, после чего провели бы профиль кулачка, касательный ко всем этим окружностям (или дугам) (рис. 274).
§ 195.	Вопросы для повторения
1.	Два винта различных диаметров имеют нарезки одинакового шага. Что можно сказать об углах подъема этих нарезок?
2.	В двух винтах одинакового диаметра расстояние между двумя соседними витками одно и то же, но один из них одноходовой, а второй — многоходовой. Что можно сказать об их углах подъема нарезки?
3.	В механизме, схема которого дана на рис. 256, нарезки на участках а и b одинакового направления и имеют один и тот же шаг. Чему равно абсолютное перемещение гайки 3 при вращении винта /?
4.	Ответить на предыдущий вопрос, если нарезки на участках а и b различного направления.
5.	Как изменяется выигрыш в силе, создаваемый винтом и гайкой, с уменьшением угла подъема?
6.	Какие кинематические особенности имеет механизм с качающейся кулисой по сравнению с кривошипно-шатунным механизмом? Почему второй из них выгодно применять в поперечно-строгальном станке?
* Во избежание усложнения чертежа положения А :2, Л13, Ли и Л1Б на нем не показаны.
281
§ 196.	Упражнения
87.	При помощи домкрата, характеризуемого данными, приведенными в примере 86 (см. рис. 261), груз весом <2= 1,5 т поднят на высоту Л=180 мм в течение 25 сек. Вычислить усилие Р на рукоятке и израсходованную мощность, если к. п. д. домкрата т]=0Л
88.	От шестерни Zj через системы зубчатых колес z2, z3 и z4 приводится в движение рейка (рис. 275). Мощность на валу Oi составляет N= 12 л. с. Определить усилие, передаваемое на рейку, и скорость ее движения, если ведущий вал делает nt = =i900 об/мин, zi = 24, z2=60, z3=25, z4=75, модуль последнего колеса т = Ъ мм, к. п. д. передачи т] = 0,85.
Рейка
Рис. 275
Рис. 276

, 89. На рис. 276 дана схема кривошипно-кулисного механизма, принцип работы которого заключается в следующем. На конце кривошипа 2, вращающегося вокруг неподвижной оси О, закреплен палец, на котором сидит свободно ползушка 3. Последняя при вращении кривошипа совершает относительное возвратно-поступательное движение в пазу кулисы 4, скользящей в неподвижных направляющих стойки /. Вычертить графики перемещений и скоростей для механизма, у которого длина кривошипа 04=120 мм, а число его оборотов в минуту равно 180.
РАЗДЕЛ ПЯТЫЙ
ОСНОВЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Глава двадцать первая
ОСНОВНЫЕ понятия
§ 197.	Деформация тела под действием внешних сил
Представим себе прямолинейный стержень, лежащий своими концами на двух опорах. Приложим в какой-либо точке между опорами силу (например, подвесив в ней груз определенного веса). Под действием этой силы стержень прогнется и примет криволинейную форму. Повторяя этот опыт с силами различной величины, прилагаемыми в том же сечении стержня, увидим, что с увеличением силы прогиб стержня увеличивается. Изменение формы тела, его размеров под действием приложенных к нему сил (или, как иначе говорят, нагрузок) называется деформацией тела.
Наблюдая форму стержня после его разгрузки, т. е. по прекращении действия силы, вызвавшей его деформацию, мы можем встретиться с двумя случаями: либо стержень выпрямится, приняв первоначальную форму, либо форма его восстановится лишь частично; в первом случае деформация, полученная стержнем, является упругой, во втором случае стержень остается частично деформированным, причем эта деформация называется остаточной (пластической). В процессе нагружения тела, как видим, упругие деформации при определенных условиях могут сопровождаться остаточными. Если увеличивать нагрузку дальше, то деформация примет столь большую величину, что стержень разрушится.
Деформации вызываются не только непосредственным действием одного тела на соприкасающееся с ним другое тело, но и его собственным весом. Так, например, положив на две опоры длинный металлический стержень небольшого по сравнению с его длиной сечения, увидим, что, находясь под действием собственного веса и вызванных им реакций опор, он примет криволинейную форму.
283
В приведенных примерах деформации столь значительны, что мы их наблюдаем непосредственно. Такие деформации в сооружениях и машинах недопустимы, за исключением лишь тех случаев, когда специально применяют детали, используемые для получения значительных упругих деформаций (например, различного рода пружины). Однако любая деталь сооружения или машины под действием приложенных к ней внешних сил деформируется, причем величины деформаций могут быть измерены точными приборами.
Наука, изучающая прочность и деформируемость материалов и элементов конструкции машин и сооружений, называется сопротивлением материалов.
§ 198.	Внешние и внутренние силы. Метод сечений
Из опыта известно, что для сообщения твердому телу деформации требуется тем большая сила, чем больше деформация. Так, в приведенном выше примере с изгибаемым стержнем про-
Рис. 277
гиб, который он получает, зависит от величины силы, прилагаемой в данном сечении. Во всех случаях, когда внешние силы вызывают деформацию какой-нибудь детали, в ней возникают внутренние усилия соответствующей величины и направления, сопротивляющиеся действию этих
внешних сил.
Как же можно определить величину внутренних усилий, возникающих под действием внешних сил?
Пусть брусок ABCD (рис. 277) находится под действием уравновешивающей системы сил Ръ Р2) Р3, Pit Р3. Определим внутреннее усилие, действующее в поперечном сечении тп. Чтобы решить эту задачу, рассуждаем следующим образом. Если брусок как целое находится в равновесии, то это означает,, что и любая его часть также находится в равновесии. Рассмотрим, под действием каких сил находится, например, часть mCDn бруска. Во-первых, к ней приложены внешние силы и Р5, затем, очевидно, к ней приложены какие-то силы взаимодействия со стороны части ВтпА бруска. Разрежем мысленно рассматриваемый брусок по сечению тп и отбросим часть ВтпА. Если обозначить равнодействующую всех элементарных сил, действующих со стороны этой отброшенной части на оставшуюся часть, через R, то можно сказать, что эта оставшаяся часть mCDn находится в равновесии под действием сил Р^ Р^ 284
и 7?. Эта сила R и есть внутреннее усилие, уравновешивающее силы Pi и Р5. Как было выяснено в статике, в системе сил, находящихся в равновесии, любая сила уравновешивает все остальные. Отсюда следует, что сила/? равна равнодействующей сил Pi и Р5 и направлена ей прямо противоположно.
Рассуждая совершенно так же в отношении части ВтпА (т. е. отбросив мысленно часть mCDn бруска) придем к заключению, что она находится под действием внутреннего усилия /?', равного равнодействующей сил Pt и Р5, или, что то же, силы /?', уравновешивающей внешние силы Р2> Рз и Р4, приложенные к части ВтпА.
Таким образом, внутреннее усилие получается одинаковым по величине как для правой, так и для левой части (как оно и должно быть по закону равенства действия и противодействия), но направление этого усилия зависит от того, какую из этих частей мы рассматриваем. Как увидим в дальнейшем, направление внутреннего усилия определяет характер испытываемой телом деформации.
В рассматриваемом случае система внешних сил такова, что равнодействующая R внутренних усилий не перпендикулярна к выбранному сечению тп. Разложив ее на две составляющие: N —перпендикулярную этому сечению и Т — лежащую в нем, можно заменить силу /? этими двумя составляющими. Первая называется нормальным усилием, а вторая — касательным.
Ответим теперь на вопрос: будет ли внутреннее усилие одно и то же в любом сечении бруска? Представим себе, что мы мысленно разрезали брусок по сечению Ш\П\, параллельному тп. и отбросили левую часть Вт\П\А. При данном расположении сил мы видим, что теперь на оставшуюся часть действуют уже не две, а три силы Рх, Р$ и Р±. Отсюда следует, что уравновешивающая их сила, равная равнодействующей отброшенных сил Р2 и Р3, будет другая, поэтому и внутреннее усилие в этом сечении будет другое.
Далее, если взять вместо поперечного сечения, перпендикулярного к оси бруска, другое сечение, расположенное как-нибудь иначе, то сила R была бы направлена к новому сечению под другим углом, следовательно, составляющие N и Т получились бы другие.
Мысленно рассекая брусок различными сечениями и составляя по правилам статики условия равновесия для рассматриваемой его части, можно определять действующие в этом сечении внутренние силы.
Изложенный способ определения внутренних усилий в деформированном теле называется методом сечений; при решении задач, относящихся к деформациям тел, этим методом приходится широко пользоваться.
285
Рис. 278
Пример 88. Стропильная ферма покоится на двух опорах А и В (рис. 278, а). К узлу С приложена вертикальная сила Р. Так как ферма симметрична относительно стержня CD, то реакции опор по-
рознь
равны —
т. е. Ra=Rb ==0,5Р.
Определить внутренние усилия в стержнях АС и AD.
Выделим мысленно сечением тп узел А. Он находится в равновесии под действием реакции Рд и внутренних усилий в обоих стержнях. Из произвольной точки Ai (рис. 278, б) построим вектор силы /?д, разложив ее на две составляющие Л11>1 и AiCi по направлениям стержней AD и Л С. Чтобы эти д ве силы уравновешивались силой/?д, они должны быть направлены в противоположные стороны. Таким образом, получим уравновешивающуюся систему сил: /?д , A{D' и AiC', Отсюда видно, что стержень AD растягивается, а стержень АС
сжимается.
§ 199.	Внутренние силы упругости
При деформации тела под действием внешних сил точки приложения этих сил получают те или иные перемещения; в результате на деформацию затрачивается определенная работа, совершаемая этими силами. Эта работа равна отрицательной работе внутренних сил, сопротивляющихся деформированию тела. Если деформация упругая, то работа внутренних сил равна потенциальной энергии, накопленной деформированным телом. Эта энергия может быть возвращена при восстановлении им первоначальной формы под действием внутренних сил упругости.
Этим свойством упругих деформаций часто пользуются в технике, в частности в работе машин и приборов, применяя различного рода пружины, мембраны и т. п. детали.
§
200. Напряжения в деформированном
теле
Внутренние силы и R' (§ 198) представляют собой равнодействующие элементарных сил взаимодействия между частицами двух рассматриваемых частей деформированного тела. Таким образом, если мысленно разрежем деформированное тело (рис. 279), то мы должны представить себе, что в каждой материальной частице приложена такая элементарная сила.
Пусть на какую-нибудь очень малую площадку AF части / тела действует элементарная сила Д Р. Очевидно, что чем боль-286
ше эта сила, тем более напряжен материал. Мерой степени на-груженности материала в данном месте сечения является величина, называемая напряжением и представляющая собой частное от деления элементарной силы ДР на площадку АЛ Обозначив напряжение буквой о, имеем:
др а ==--- .
ДР
(179)
В общем случае напряжения различны в различных сечениях деформированного тела.
Рис. 279
Выражая силу в килограммах, площадь в квадратных сантиметрах или миллиметрах, получим напряжение, выраженное в кПсм2 или кГ/мм2.
Если внутренние усилия распределяются по рассматриваемому сечению равномерно, то напряжение во всех его точках одно и то же и оно будет определяться, как частное от деления этого усилия Р на всю площадь сечения F, т. е.
(5 ES3 -ZL е	(180)
§ 201.	Понятие о расчете на прочность и допускаемом напряжении
Две стальные проволоки одинаковой длины, но различных диаметров подвесим вертикально и к ним подвесим грузы одинакового веса. Измеряя удлинение, которое получила каждая из проволок, увидим, что проволока меньшего диаметра удлинилась на большую величину. Таким образом, деформации, полученные проволоками под действием одной и той же нагрузки, различны. Нагружая далее испытываемые проволоки, будем наблюдать при определенном весе груза наличие остаточных деформаций более тонкой проволоки, которая после снятия нагрузки не восстановит своей начальной длины; между тем
287
деформация второй, более толстой проволоки, останется упругой. Наконец, при какой-то нагрузке первая проволока разорвется, а вторая под действием такого же груза останется целой.
Как видим, деформации обеих проволок под действием одной и той же нагрузки различны. Причина заключается в том, что напряжение в поперечном сечении более толстой проволоки меньше, так как площадь этого сечения больше.
Отсюда следует, что основной величиной, определяющей характер деформации, является не величина силы, а величина напряжения. Однако одно напряжение не может еще определять характер деформации. И в самом деле, представим себе, что наряду с описанным опытом будем растягивать такими же
грузами медную проволоку и увидим, что при тех же размерах и нагрузках ее удлинение больше, чем удлинение стальной проволоки, а разрывается она при меньшей нагрузке. Значит, характер и величина деформации зависят еще от рода материала, от его физико-механических свойств.
В технике приходится иметь дело с деформациями различного вида. Так, например, при прокатке или ковке металла ему сообщают пластические, остаточные деформации, дающие возможность придать материалу требуемую форму; при обработке металлов резанием действуют силы, необходимые для отделения стружки, и т. п. Во всех подобных случаях в металле создают напряжения, которые соответствуют осуществляемым деформа
циям.
Совершенно иная задача решается при изготовлении машины или сооружения. В этих случаях, очевидно, деталь не должна получать остаточных деформаций, ибо они привели бы к значительному искажению ее формы, нарушению нормальной работы и поломке. Поэтому детали машин и сооружений должны испытывать лишь упругие деформации, которые исчезают по прекращении действия нагрузки.
Соответственно этому требованию детали машин рассчитывают так, чтобы их деформации не выходили за допустимые пределы, а отсюда следует, что напряжения, возникающие в них под нагрузкой, должны обеспечивать выполнение этого требования. Таким образом, при расчете деталей исходят из некоторого допускаемого напряжения, составляющего определенную долю от того напряжения, при котором деталь разрушилась бы. Очевидно, что величина допускаемого напряжения в первую очередь зависит от материала, из которого деталь должна быть изготовлена.
Все эти вопросы, относящиеся к определению деформаций и
напряжений под действием внешних сил и к расчету на проч-
ность элементов машин и сооружений, рассматриваются в науке, называемой сопротивлением материалов.
288
§ 202.	Статическое и динамическое действия нагрузки
Характер действия нагрузки на конструкцию может быть различным.
Представив себе условия работы пешеходного моста, мы приходим к заключению, что нагрузка его колеблется в узких пределах. Собственный вес его постоянен, а нагрузка, создаваемая весом передвигающихся по нему людей, изменяется постепенно в течение сравнительно длительных промежутков времени. Примерно так же меняется нагрузка междуэтажного перекрытия жилого дома, давление, испытываемое плотиной со стороны сдерживаемой ею воды, и т. п.
Такого рода нагрузки, которые возрастают постепенно и затем остаются постоянными или изменяются сравнительно незначительно, называются статическими.
В других случаях внешние силы, приложенные к телу, не увеличиваются постепенно, а начинают действовать на него сразу всей своей величиной; наконец, действие силы может продолжаться очень короткое время, в результате чего получается удар. Такие нагрузки называются динамическими; им, например, подвергаются вагонные сцепки при трогании с места поезда; они возникают при работе молота, при обтачивании на станке плохо центрированной заготовки и т. п.
При динамической нагрузке деформации и напряжения получаются большими, чем при статическом действии силы, поэтому при проектировании и эксплуатации машин и сооружений их стремятся избегать за исключением тех случаев, когда удар создается специально для получения большего эффекта (удар молотом, бабой для забивки свай и т. п.).
§ 203.	Основные виды деформаций
Детали различных конструкций взаимодействуют друг с другом различным образом, соответственно этому и силы, действующие со стороны одной детали на другую, вызывают в них деформации различных видов. Так, например, канат подъемника растягивается, фундамент сооружения сжимается, горизонтально уложенная балка изгибается и т. д.
Различают следующие виды деформаций (рис. 280).
1.	Растяжение и сжатие (рис. 280, а и б). Такие деформации испытывают элементы мостовых ферм, наковальня молота (сжатие), стержень болта, затянутого гайкой, и т. п.
2.	Сдвиг, или срез (рис. 280, в). Под действием равных и противоположно направленных сил заклепка может срезаться по поперечному сечению тп; при чрезмерной затяжке болта гайкой резьба может срезаться по цилиндрической поверхности его стержня (по внутреннему диаметру резьбы) и т. п,
289
3.	Кручение (рис. 280, г). Деформация кручения происходит во всех деталях, нагруженных вращающими моментами. Наиболее распространенными деталями такого рода являются валы.
4.	Изгиб (рис. 280, (3). Наличием изгиба характеризуется работа всякого рода балок. Деформацию изгиба испытываетесь
Рис. 280
под действием собственного веса и веса установленных на ней деталей, а также приложенных к ней усилий и т. п.
Перечисленные виды деформаций называются простыми. Очень часто детали машин подвергаются одновременно нескольким видам деформаций, как, например, валы, которые одновременно испытывают деформацию кручения и изгиба. Такие деформации деталей называются сложными.
§ 204.	Вопросы для повторения
1.	Что называется деформацией и от каких факторов зависит ее величина?
2.	Можно ли судить о величине деформации только по величине нагрузки, действующей на деталь?
3.	В каких случаях необходимо сообщать материалу остаточные деформации?
4.	Для чего применяется метод сечений и в чем его сущность?
5.	Какие виды деформации испытывают:
а)	обыкновенный проходной резец при наружном обтачивании;
б)	сверло в процессе работы;
в)	ходовой винт токарно-винторезного станка при нарезании резьбы;
г)	кулачки патрона токарного станка при закреплении детали по наружной поверхности;
д)	винт параллельных тисков, зажимающих детали;
е)	стержень заклепки в сечениях, лежащих в плоскостях касания скрепляемых деталей и обеих накладок?
290
Глава двадцать вторая
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
§ 205.	Растяжение. Удлинение абсолютное и относительное
Представим себе неподвижно закрепленный призматический брусок (рис. 281), к нижнему концу которого приложена постоянная по величине сила Р , направленная по его оси.
Брусок находится в равновесии под действием двух равных по величине и прямо противоположно направленных сил Р и реакции Р'*. Проведем в произвольном ме-
сте сечение тп, перпендикулярное к оси бруска. Отбросив мысленно, например, нижнюю часть бруска, мы приходим к заключению, что верхняя часть находится в равновесии под действием силы Р' и равного ей по величине и противоположно направленного внутреннего усилия Р. Таким образом, брусок будет растягиваться по всей длине силой Р. Если площадь поперечного сечения бруска равна F, то напряжение в его поперечном сечении составит:
откуда

Изменяя величину силы Р, заметим, что по мере ее увеличения длина бруска увеличивается. Пусть при некотором значении силы Р длина бруска равна: 1\ — Z+А/, где I — первоначальная длина, а Д/ — ее прираще-
(181)
Рис. 281
ние, полученное в процессе деформации. Это приращение длины называется абсолютным удлинением.
Но абсолютное удлинение еще не полностью характеризует деформацию. Чтобы убедиться в этом, достаточно проделать следующий простой опыт. Разрезав резиновый шнурок на две части различной длины и растягивая каждую из них одной и той же силой (подвесив, например, грузы одного веса), увидим, что удлинения, полученные ими, отличаются по величине. Следовательно, абсолютное удлинение не может служить показа
телем для суждения о величине деформации при растяжении под действием заданной силы. Если же сравним в этом опыте
* Собственный вес бруска в данном примере учитывать не будем.
291
удлинения, отнесенные к единице длины каждого из этих шнурков, то увидим, что они одинаковы.
Удлинение, отнесенное к единице длины, называется относительным удлинением, представляющим собой отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине. Обозначив его буквой е, можем написать:
А/
I *
(182)
Так как числитель и знаменатель этой дроби выражаются в единицах длины, то она представляет собой отвлеченное число. Обычно относительное удлинение выражают в процентах, тогда
е% == — 100. I
(183)
Итак, мерой продольной деформации при растяжении является относительное удлинение.
§ 206.	Поперечная деформация при растяжении
Как показывает опыт, деформация растяжения сопровождается одновременным уменьшением поперечных размеров, т. е. сокращением размеров сечения, перпендикулярного к линии действия растягивающей нагрузки. Пусть брусок, растягиваемый двумя равными и прямо противоположными силами Р и Рг имеет квадратное поперечное сечение со стороной, равной а (рис. 281). При удлинении бруска на величину Д/ размер а сечения уменьшится до величины аь соответственно чему разность между первоначальным размером а и последующим ai представит собой величину абсолютной поперечной деформации Да, т. е.
Да = а — а\.
(184)
Мерой поперечной деформации стержня является величина относительной поперечной деформации:
(185)
Относительная поперечная деформация в' связана с относительным продольным удлинением е зависимостью:
= [IS,
(186)
т. е. поперечная деформация изменяется пропорционально продольной деформации. Коэффициент ц, называемый коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона, для каждого материала имеет постоянное 292
числовое значение, определяемое опытным путем. Так, например, этот коэффициент для углеродистых сталей равен 0,24—0,28, для меди 0,31—0,34, для алюминия 0,32—0,36 и т. п. Для большинства материалов он менее 0,5, а для резины он составляет приблизительно 0,5. Для большинства материалов относительное удлинение в 3—4 раза больше относительного поперечного сжатия.
§ 207. Диаграмма напряжений при растяжении
При изучении свойств металла в курсе материаловедения было выяснено, как изменяется удлинение, получаемое телом при растяжении на разрывной машине. На диаграмме растяжения нагрузки откладывают по вертикальной оси, а по горизонтальной оси — соответствующие им абсолютные удлинения. До нагрузки Рп удлинения пропорциональны нагрузкам, при больших нагрузках удлинения растут быстрее их и при некоторой нагрузке Рт растягиваемое тело продолжает удлиняться при одной и той же силе — материал «течет». Затем сопротивление материала деформации возрастает до точки, соответствующей некоторой наибольшей нагрузке, при которой на образце образуется заметное утонение в каком-нибудь месте по его длине (так называемая «шейка»), что является началом разрушения образца. В дальнейшем поперечное сечение образца в этом месте продолжает интенсивно уменьшаться даже при меньших нагрузках и, наконец, образец разрывается.
4мея для данного материала диаграмму растяжения, можно получить диаграмму напряжений, связывающую напряжения с относительными деформациями.
Нанесем прямоугольную систему координат, в которой по оси абсцисс будем откладывать относительные удлинения е в процентах (е%) а по оси ординат — соответствующие им напряжения о (рис. 282). По форме эта диаграмма аналогична диаграмме растяжения. Точка А диаграммы соответствует наибольшему напряжению, при котором сохраняется пропорциональность между напряжением и относительным удлинением. Называется это напряжение пределом пропорциональности и обозначается сгп. Точка В диаграммы означает напряжение ат, называемое пределом текучести. Точка С ука* зывает напряжение ов, соответствующее моменту начала образования шейки на испытуемом образце, т. е. моменту начала разрушения его, и называется пределом прочности*. Точка D соответствует моменту разрыва образца.
Заметим еще, что несколько выше точки А лежит точка, соответствующая наибольшему напряжению, при переходе через которое упругие деформации становятся остаточными; поэтому
• Иногда это напряжение называют <временным сопротивлением».
293
оно называется пределом упругости, но так как это напряжение очень близко к пределу пропорциональности, то практически можно считать напряжения, выражающие предел упругости и предел пропорциональности, одинаковыми.
Величины напряжения ов, сгт» Оп характеризуют механические свойства материала, т. е. его способность сопротивляться действию внешних сил, вызывающих деформацию и разрушение тела. Так, например, углеродистая сталь с содержанием углерода 0,15% имеет ов=35—45 кПмм2 и от—>20 кГ/лш2, сталь с сод ер* жанием углерода 0,6% имеет ов — 61—87 кГ/мм2 и от —50 кГ1м,м\ а для хромоникелевой стали ов = 90 кПмм2 и сгт=>75 кПмм2,
Отсюда видим, что прочность стали повышается с увеличением содержания углерода и с введением легирующих специальных примесей. Относительное удлинение, которое испытывает материал при растяжении до разрыва, обозначается буквой б и выражается в процентах. Оно характеризует пластичность материала — чем оно меньше, тем материал
Рис. 282
более хрупкий. В качестве примера может служить серый чугун, который разрушается, почти не получая относительного удлинения и сужения в поперечном сечении. Предел прочности чугуна значительно ниже, чем для стали, а именно для серого чугуна Ов= 18—27 кГ/мм2. Таким образом, диаграмма напряжений для хрупких материалов существенно отличается от рассмотренной диаграммы.
§ 208. Зависимость между напряжением и относительным удлинением. Модуль продольной упругости
Итак, до предела пропорциональности оп удлинения, получаемые испытуемым образцом, растут пропорционально напряжению, как это видно из диаграммы (рис. 282), где участок ОА прямолинейный. Таким образом, в этих пределах, если при напряжении oi образец получает относительное удлинение ci, при напряжении 02 — удлинение ег и т. д., то можно выразить зависимость
= ... и т. д.
294
Это означает, что отношение напряжения к соответствующему относительному удлинению имеет постоянную величину. Обозначив ее через Е, можем написать в общем виде:
или
о = гЕ.	(187)
Из этой зависимости видно, что при одной и той же деформации напряжение тем больше, чем больше коэффициент Е, называемый модулем продольной упругости.
Так как напряжение выражается в кГ1см2 (или в кГ/лш2), а относительное удлинение — число отвлеченное, то модуль упругости выражается в тех же единицах, что и напряжение, т. е. в кГ)см2.
Выше было указано, что предел пропорциональности можно считать одинаковым с пределом упругости, поэтому формула (187) служит для определения величины упругой деформации при данном напряжении и, обратно, для определения напряжения по данной деформации. Числовая величина модуля упругости определяется опытным путем для различных материалов по полученным деформациям и соответствующим им напряжениям (т. е. по формуле Е= —). £
В качестве примеров приведем значения модуля продольной упругости Е для некоторых материалов (в кГ/см2): углеродистые стали 2 000 000—2 200 000, стальное литье 1 750 000, латунь холоднотянутая 910 000—990 000, дерево вдоль волокон 90 000— 120 000, дерево поперек волокон 4000—10 000, ремни кожаные 2000—6000.
Пример 89. Стальной образец с площадью поперечного сечения 181,2 леи2 под действием нагрузки Р=500 кГ получил на разрывной машине упругое удлинение Д/—0,0272 мм при ной упругости Е.
Вычислим
длине /=200 мм. Определить модуль продоль-
500 кГ1мм2, относительное удли-
’	а	Р1 500-200
формулы (187) Е = — —------—-----------— =
* 1 J 4	7	с	F\l	181,2-0,0272
= 20 250 кГ>мм^ = 2 025 000 kFIcm?.
Пример 90. Насколько удлинится площадью поперечного сечения 7?=2 см2,
Из формулы (187) относительное
Р	Р	М
— , следовательно, е=— = — , г	EF	I
некие:
напряжение:
0,0272
—	— и из
200
стальной стержень длиной /=2 лс с растягиваемый нагрузкой Р~3 Т?
напряжение
удлинение в — 
Р/ откуда Д/ =----. Приняв
EF
— 2 000 000 кЕ)см2 и сделав подстановку, получим:
3000- 200
= 0,15 см =1,5 мм.
а —

2 000000-2
295
Пример 91. Вал лежит в подшипниках (рис. 283). Для устранения продольного перемещения на его концах закреплены установочные кольца 1 и 2. Пусть кольца были закреплены на валу летом при температуре 30° С, причем они установлены вплотную к подшипникам. Определим, с каким усилием кольца будут давить в осевом направлении на подшипники зимой, если температура в помещении упадет до 10° С. Длина вала / — 20 м, диаметр его d=50 жл.
Коэффициент линейного расширения стали равен 0,0000125. Так как температура в помещении упала на 30°—10°=20°С, то вал должен был бы укоротиться на 0,0000125 - 20 = 0,00025 своей длины. Соответственно этому в материале возникает напряжение растяжения, которое определится по формуле
У///Л
Г///Л
Г7777Л
Рис. 283
(187), в которой примем модуль упругости £=2 000 000 кГ/см2 и 8=0,00025. Сделав подстановку, получим:
а = 2 000 000 - 0,00025 - 500 кГ1см2.
Чтобы определить усилие Р, действующее вдоль вала, умножим это ;:52 напряжение на площадь его поперечного сечения:	= — —
— 19,6 см2, и искомое усилие Р = 500-19,6 = 9800 кГ.
Если бы валу ничто не мешало, то он сократился бы на величину абсолютной деформации, равную по формуле (182):
А/ — е/ = 0,00025-20 — 0,005 м = 5 мм.
Как видим, кольца будут давить на подшипники с большой силой. Нормальная установка и работа трансмиссии будет нарушена.
Пример 92. Пусть брусок (рис. 281), подвешенный вертикально, не несет никакой внешней нагрузки Р. При таком условии он находился только под действием собственного веса. В любом сечении тп действует внутреннее усилие, равное весу части бруска, расположенной ниже этого сечения. Очевидно, что внутреннее усилие будет тем больше, чем выше находится рассматриваемое сечение. Наибольшим это усилие будет в верхнем сечении, где брусок закреплен. Соответственно этому наибольшим будет в этом сечении и напря
жение, равное: <т= где G—вес бруска, a F — площадь поперечного сече-
ния; обозначив удельный вес через у, имеем: и — Fly и а =---= /у.
F
Как видим, в рассмотренном примере напряжение не зависит от площади поперечного сечения.
§ 209.	Сжатие
Деформация сжатия обратна деформации растяжения. Все зависимости, приведенные выше для растяжения, применимы и к сжатию. Так, если брусок находится под действием сжимающих его сил Р и Р' (рис. 284), то в любом его сечении, перпен-296
дикулярном к направлению действия нагрузки, возникает напряжение сжатия о= — , где Р—нагрузка, a F— площадь попе-
речного сечения. По направлению нагрузки образец получает относительную продольную деформацию, выражающуюся в укорочении его длины — , или в процентах е%=	• 100.
Напряжение сжатия пропорционально относительной продольной деформации, т. е. а=£&.
Модуль продольной упругости Е при сжатии для большинства материалов имеет то же числовое значение, что и при растяжении.
При сжатии в отличие от растяжения поперечные размеры бруска получают удлинения, величина которых связывается с продольной деформацией зависимостью, выражаемой формулой (186).
Рис. 284
§ 210.	Расчетное уравнение и допускаемое напряжение при растяжении и сжатии
Напряжение, возникающее при растяжении или сжатии в направлении действия нагрузки, определяется выведенной выше формулой (181) P — gF,
Как было выяснено в § 201, при проектировании различных деталей исходят из того, что возникающие в них напряжения не должны выходить за пределы допускаемых. Подставив в формулу (181) вместо напряжения о величину допускаемого напряжения на растяжение или сжатие, по заданной нагрузке можем определить требуемую площадь поперечного сечения, обеспечивающую прочность рассчитываемой детали.
Допускаемое напряжение на растяжение обозначается через ар. Соответственно этому формула (181) примет такой вид:
(188)
Заменив в той же формуле напряжение а допускаемым напряжением на сжатие оСж, получим:
р = аслЛ	(189)
Формулы (188) и (189) называются расчетными уравнениями на растяжение и сжатие.
Таким образом, при определении размеров поперечного сечения проектируемой детали нужно знать величину растягивающей или сжимающей нагрузки и допускаемое напряжение.
11 -1599
297
Выше указывалось, что допускаемое напряжение берется как некоторая доля от предела прочности, что может быть выражено такой формулой:
где а — допускаемое напряжение на (<ур или Сеж); ав —предел прочности;
Рис. 285
(190)
растяжение или сжатие п — число, показывающее, во сколько раз первое меньше второго, и называемое запасом прочности.
Запас прочности не имеет постоянного числового значения, он должен обеспечивать работу детали в области упругих деформаций и зависит от ряда факторов. Так, например, для хрупких материалов запас прочности берется больше, чем для пластичных; при динамической нагрузке больше, чем при статической, и т. п.
Пример 93. Сквозь деревянную балку 1 (рис. 285) свободно пропущен болт 2, к проушине которого подвешена на пальце 4 тяга 3, нагруженная растягивающей силой Р. Рассчитать элементы этого соединения на растяжение, обозначив внутренний диаметр болта через di.
Применив формулу (188), получим:
р nd?	/ ~р~
F —— =	, откуда йГ1 = 21/ -----*
Зр 4	“?р
Подставив величину допускаемого напряжения, получим внутренний диаметр болта, после чего подберем по таблицам ОСТ подходящий наружный диаметр болта.
Далее рассчитаем проушину болта. Как видим, разрыв может произойти по сечению kl, площадь которого для обеих проушин составит: 2 (D — d2) с, где d$—'Диаметр отверстия для пальца, а с — толщина щеки проушины. Следовательно, расчетное уравнение напишем так:
P = 2(D-d2)c^.
Наконец рассчитаем тягу 5. При толщине ее а и ширине b площадь, сопротивляющаяся разрыву, F\*=ba\ расчетное уравнение Ьас^ — Р, откуда, задавшись одним из размеров b или а, получим второй размер поперечного сечения Так как в сечении kl тяга ослаблена отверстием для пальца 4, то должно удовлетворяться уравнение:
(Z? d2)	Р .
298
§ 211.	Сжатие и продольный изгиб
Проделаем следующий опыт (рис. 286). Поставим вертикально на чашку пружинных чашечных весов тонкий стальной стер
жень. Будем нажимать рукой на верхний конец стержня в осевом направлении, постепенно увеличивая силу натяжения Р и следя
за тем, чтобы стержень сохранял вертикальное положение. Наблюдая за стрелкой весов, увидим, что сила Р увеличивается, ось же бруска остается прямолинейной. Продолжая этот опыт, заметим, что при некотором значении силы нажатия стержень несколько искривится, при ослаблении нажима он примет первоначальную форму. Если же увеличить силу нажатия, при которой стержень начал изгибаться, то деформация его будет увеличиваться; при дальнейшем увеличении силы появятся остаточные деформации стержня, а затем он сломается.
Проделав такой опыт со стержнями различной длины при той же форме и размерах поперечного сечения и том же материале, увидим, что величина сжимающего усилия, при котором деформация стержня перестает быть упругой, зависит
Рис. 286
от его длины, а именно, с увеличением длины величина силы уменьшается. Сила
эта называется критической и обозна-
чается Ркр.
Таким образом, разрушение сжатого стержня может произойти не потому, что напряжение сжатия вышло за преде
лы допустимого, а по причине искривления его в продольном направлении, или, как говорят, потери устойчивости. Такое явление обычно называется продольным изгибом.
Впервые явление продольного изгиба было исследовано знаменитым русским ученым, академиком Л. Эйлером. Формула, относящаяся к расчету стержней, испытывающих эту деформацию, носит его имя.
На продольный изгиб работают колонны, сжатые стержни различных ферм (мостовых, стропильных, подъемных кранов и других конструкций), шатуны поршневых двигателей, элементы сооружений стержневого типа. Чтобы обеспечить устойчивость на продольный изгиб, допускаемые напряжения при их расчете снижаются в зависимости от длины и размеров поперечного сечения.
299
§ 212.	Вопросы для повторения
1.	Два стержня, изготовленные из одинакового материала и одного и того же поперечного сечения, под действием одинаковых нагрузок получили раз* личные абсолютные удлинения. Как объяснить это? Что можно сказать об относительных удлинениях?
2.	Можно ли утверждать, что чем больше абсолютные удлинения деформируемых тел, тем больше и относительные удлинения?
3.	Почему недопустимы в деталях машин деформации, выходящие за пределы упругих?
4.	Можно ли судить о величине напряжения в материале только по нагрузке? Только по абсолютной деформации?
5.	Что можно сказать о модулях продольной упругости материалов, дающих при одинаковых напряжениях различные относительные удлинения?
6.	При каком условии вертикально подвешенный стержень разорвется под действием собственного веса? По какому сечению произойдет разрыв?
§ 213.	Упражнения
90.	К цепи, звенья которой изготовлены из круглого стального прутка диаметром 16 мм, подвешен груз весом 2 т. Определить напряжение растяжения в звеньях цепи.
91.	Какое абсолютное удлинение получит стальная круглая штанга диаметром 60 мм и длиной 8 м под действием растягивающей нагрузки Р = 30 Г? Модуль упругости £ = 2 000 000 кГ)см2.
92.	Какое напряжение возникло в стальном стержне диаметром 25 мм и длиной 6 м, если при растяжении его абсолютное удлинение оказалось равным 3 мм при модуле упругости £ = 2 000 000 кПсм2.
93.	Между двумя стенками плотно вставлен при температуре 15° С медный стержень диаметром 100 мм. Какое напряжение возникнет в стержне и какое давление он будет оказывать на стенки при температуре 50° С? Коэффициент линейного расширения меди 0,0000167, £= 1 000 000 кПсм2.
94.	При какой длине оборвался бы стержень из мягкой стали, предел прочности которой равен 4000 кПсм2, под действием собственного веса? Удельный вес у=7,85 г)см3.
95.	При испытании на разрывной машине цилиндрического образца из красной меди первоначальное расстояние между двумя метками /=200 мм под нагрузкой £ = 500 кГ увеличилось на 0,032 мм. Вычислить модуль упругости, если диаметр образца 20 мм.
96.	К цепи подъемника подвешен груз G = 500 кг. Определить напряжение растяжения в звеньях цепи, если они изготовлены из стали диаметром 8 мм.
Указание. Учесть, что нагрузка распределяется на два сечения.
300
Глава двадцать третья
СДВИГ И КРУЧЕНИЕ
§ 214.	Понятие о деформации сдвига (среза)
На валу, вращающемся по направлению, указанному стрелкой (рис. 287, а), закреплен при помощи призматической шпонки шкив, передающий вращение ведомому шкиву, сидящему на параллельном валу. При этих условиях на нижнюю часть шпонки действует со стороны вала (справа налево) сила Р, а к части шпонки, входящей в паз сту
пицы шкива, приложена сила Р', равная ей и противоположно направленная. Если шпонка окажется недостаточно прочной, то она может срезаться по сечению тп, разделяющему обе части шпонки, как это показано на рис. 287, б. Отсюда следует, что в результате воздействия этих сил в сечении тп возникнут внутренние усилия, сопротивляющиеся сдвигу одной части шпонки относи
Рис. 287
тельно другой.
Разделив внутреннее усилие, равное силе Р , на площадь F сечения тп, получим напряжение, которое обозначают греческой буквой т (тау):
(191)
или, обозначив ширину шпонки через Ь, а длину ее через /,
Ы
Напряжение т называется напряжением сдвига (среза) и выражается в кПсм2 или кГ1мм2. Эти напряжения направлены по плоскости деформации тп и называются касательными. В зависимости от величины касательного напряжения деформация может быть упругой или остаточной или, наконец, может завершиться разрушением тела.
301
§ 215.	Мера деформации сдвига. Модуль сдвига
Выясним, как и для растяжения, какой величиной можно измерять величину деформации сдвига.
Пусть к брусу (рис. 288, а) в смежных сечениях АС и BD приложены две равные и противоположно направленные силы Р и Р'. Под действием этих сил параллелепипед ABDC (показанный в увеличенном размере на рис. 288, б) перекосится и примет форму параллелограмма AB\D\C (рис. 288, в). Соответственно этому точки В и D, как и любая другая точка, лежащая в сечении BD, переместятся относительно сечения Л С на величину BBi = DDi = s.
fi)
Рис. 288
можно рассматривать как абсолютную де-

Эту величину s
формацию сдвига данного элемента бруса. Но как по абсолютному удлинению нельзя полностью судить о степени деформирования тела, так и абсолютная деформация сдвига не характеризует сдвиг, ибо величина ее зависит от размеров рас
сматриваемого элемента.
Абсолютная деформация в сечении B'D' на расстоянии хг от АС будет: B'Bi'~D'Di'~Si. Из подобия треугольников АВВ{ и АВ'В/ получим:
— ==— или - — — — некоторой величине 7.
Как видим, отношение абсолютной деформации к расстоянию между сечениями есть величина постоянная, почему она и принята в качестве меры сдвига.
Величина у называется относительным сдвигом (углом сдвига).
Итак, относительный сдвиг равен абсолютной деформации сдвига, разделенной на расстояние между плоскостями сдвига.
При рассмотрении деформации растяжения мы видели, что напряжение о в пределах упругих деформаций прямо пропор-302
ционально относительному удлинению. Исследования, подтверждаемые опытом, показывают, что такая же зависимость происходит и при сдвиге, а именно:
г=Сгг,	(192)
где т — напряжение сдвига, у — относительный сдвиг, a G — коэффициент пропорциональности, называемый модулем сдвига. Как видим, эта зависимость аналогична зависимости, выражаемой формулой (187). Так как т выражается в кГ/смг (или кПмм2), а у — отвлеченное число, то модуль сдвига имеет ту же размерность, что и напряжение (обычно он дается в кГ/см2).
Модуль G имеет следующие числовые значения для некоторых материалов (в кПсм2)-. для углеродистой стали 810000, для алюминия 260 000—270 000, для меди 400 000 и т. д.
§ 216.	Допускаемое напряжение на срез
Обозначим напряжение сдвига, которое можно допустить при условии безопасной работы детали, через тсд.
Это напряжение принято называть допускаемым напряжением на срез. Сделав допущение, что напряжения распределяются равномерно по всему сечению, получим расчетное уравнение на срез в следующем виде:
P = ^F,	(193)
откуда по заданной силе Р и выбранному допускаемому напряжению тСд можем определить площадь поперечного сечения, обеспечивающую необходимую прочность детали. Величина допускаемого напряжения тсд берется в каждом отдельном случае, как и при расчете на растяжение и сжатие, для данного материала в зависимости от конкретных условий работы. Допускаемое напряжение на срез меньше допускаемого напряжения на растяжение ор. Ориентировочно можно считать, что для пластичных материалов тсд составляет от 0,55 сгр до 0,7 ар, а для хрупких — от 0,8 ор до ар.
Пример 94. Палец 4 соединения, рассмотренного в примере 93 (см, рис. 285), имеет диаметр ^2=15 мм. Какую наибольшую нагрузку Р он может выдержать на срез при допускаемом напряжении т Сд =900 кГ/см2?
Под действием нагрузки Р палец может срезаться по двум сечениям Ш\П\ и т2п2, соответствующим плоскостям касания проушины и тяги 3. Таким образом, деформации среза сопротивляются два сечения площадью - каж-
4
дое. Следовательно, па формуле (193) получим:
Р = .goo 3200 кГ.
4
303
Пример 95. Вал передает крутящий момент Л7К<=29 кГм. Определить на-пряжение среза, испытываемое призматической шпонкой в сечении тп (рис. 287), если диаметр вала d—45 мм, ширина шпонки 6 = 14 мм, а ее длина _ yQ MJH*
Площадь среза F —Ы — 14-70 = 980 мм2 — 9,8 см2, Усилие в сечении d 2900*
тп равно: Р = Л4К :	= 9 кГ и искомое напряжение
£ у
Р 2900
т = — — -	= 132 кГ/см2.
Si
Рис. 289
§ 217.	Пробивание металлов и резание ножницами
Деформация среза используется при резании металлов штампами и ножницами. В отличие от деформации при работе детали в различного рода конструкциях, где деформация должна оставаться упругой, при резании она доводится до разрушения обрабатываемого материала по плоскости среза.
На рис. 289 схематически показана деформация металла при пробивке отверстия на штампе. Под давлением Р пуансона 1 металл сначала прогибается внутрь матрицы 2 (рис. 289, а), подвергаясь одновременно деформации смятия. При дальнейшем вдавливании пуансона в металл напряжения достигают такой величины, при которых металл начинает срезаться, что выражается образованием трещин в заготовке по контуру пуансона и матрицы (рис. 289, б). То же происходит при резании ножницами.
Усилие Р определяется по формуле:
P~vF,	(194)
где Z7 — площадь среза (произведение длины среза I на толщин ну металла д); о — напряжение металла срезу, которое находят опытным путем.
Так, например, из опытов вычислено, что для стали
л — 1 1 _L Н п tr Г* I ы
где ав — предел прочности.
§ 218.	Понятие о деформации кручения
Представим себе цилиндр, на боковой поверхности которого проведена образующая Л0В9 и две окружности, лежащие в
* Выражаем крутящий момент в кГсм, а диаметр в си.
304
смежных поперечных сечениях тп и т\П\ (рис. 290, а). Пусть цилиндр закреплен левым концом неподвижно, а к его правому
концу приложен момент М3, который, следовательно, уравновешивается равным по величине и противоположно направленным
п	п
4
S)
Рис. 290
моментом, действующим на закрепленный конец. В результате этого цилиндр получит некоторую деформацию.
Деформация эта выразится в том, что сечения тп и т\Щ повернутся одно относительно другого вокруг оси цилиндра 00 прямая А0Во, которая до деформации была перпендикулярна к поперечному сечению, обратится в винтовую линию, касательная к которой будет наклонена к поперечному сечению.
305
Две точки Ло и Во, лежавшие до деформации на одной образующей в крайних сечениях цилиндра, переместятся одна относительно другой на длину дуги В0В, соответствующей центральному углу В0О1В = ф. Этот угол называется углом закручивания и выражает абсолютную деформацию при кручении. Разделив этот угол на длину I скручиваемого цилиндра, получим относительный угол закручивания, т. е. отнесенный к единице длины. Обозначив его буквой 0, найдем:
(195)
Если угол ф взять в градусах, то относительная деформация при кручении выразится в градусах, деленных на единицу длины (метр, сантиметр). Зная относительный угол 0, можно определить угловое перемещение одного сечения относительно другого при заданном расстоянии между ними. Так, поворот сечения пгуг\ относительно сечения тп будет равен фж — 0х, а относительно крайнего левого сечения он равен 0(/j +х).
§ 219.	Кручение как разновидность сдвига
Пусть на том же цилиндре между двумя сечениями тп и тхп\ др деформации намечены две образующие ао&о и cotZo (рис. 290, б). В развернутом виде полученная таким образом фигура аъЬ^Сц будет представлять собой прямоугольник. Как нетрудно видеть, после деформации прямоугольник этот обратится в параллелограмм	Отрезок «о^о, который перпендикулярен
к сечению тп. отклонится при этом на некоторый угол b^aobo . точка &0 переместится в 60z, отрезок с0^о отклонится на Zdo04o/ = ^boaobo7. а точка do переместится на длину dodo~ = bobo'. Сопоставляя эту деформацию с рассмотренной выше деформацией сдвига (рис. 288, в), видим одну и ту же картину с той лишь разницей, что в данном случае перемещение точки сечения туъ происходит по дуге окружности, а в рассмотренном ранее случае точка В, как и любая другая точка сечения BD, перемещается прямолинейно.
Таким образом, можно сделать заключение, что кручение представляет собой разновидность сдвига.
§ 220.	Распределение напряжений кручения по поперечному сечению
Если деформация кручения характеризуется сдвигом одного сечения относительно другого, то к ней применима та же зависимость между напряжением и относительной упругой деформацией, выраженная выше формулой (192), а именно:
т ~ Gcp,	(196)
где G — модуль сдвига.
306
Остается лишь выяснить, одинаково ли касательное напряжение во всех точках поперечного сечения или оно изменяется по какому-либо закону. Чтобы ответить на этот вопрос, надо рассмотреть, является ли относительная деформация <р постоянной во всех точках этого сечения.
Пусть по-прежнему при некотором малом расстоянии х между сечениями тп и /TZi/Zi (рис. 290, в) абсолютная деформация выражается дугой Ь^'. Длина этой дуги 5 связывается с углом ^ойо^о', выраженным в градусах, и расстоянием х зависимостью
5 —	=*
2тсх ~.хч-
360~ _ "180
Подставив вместо
яа
180
относительный сдвиг у, получим:
(197)
Вместе с тем можем найти длину этой дуги из сечения т\П\, в котором она соответствует центральному углу Ь^О/Ьо', а этот угол (как выяснено было в § 218) выражает угол закручивания фх на длине х, равный 0х:
2-г Ox	Ttr л
S = „----- =----
360	180
где г — радиус сечения.
Приравняв правые части этого равенства и равенства (197), получим:
откуда
- (к
180
ггб
“ 180 ’
(197а)
Возьмем на радиусе O\bQ сечения т]П\ точку f на расстоянии р от оси и найдем для нее абсолютный сдвиг, выражаемый длиной дуги ff'. Длина этой дуги равна по формуле (197)
Sp = V>	(1976)
где ур —относительный сдвиг в этой точке, отличный от у (ибо $р не равно 5, а длина х та же). С другой стороны,
sp 5= Ох = — Ьх.
?	360	180
Приравняв правые части этого равенства и равенства (1976), получим:
~р6
7 = — •
*₽	180
307
Разделив почленно это равенство на равенство (197а), получим интересующую нас зависимость:
__ Р
Т" г ,
(198)
т. е. относительные деформации в различных точках поперечного сечения пропорциональны расстояниям этих точек от оси скручиваемого цилиндра.
Обозначив напряжение сдвига в точке, лежащей на боковой поверхности цилиндра, через т, а в точке, лежащей в том же сечении на расстоянии р от оси, через тр, можно написать по формуле (192):
(199)
= GTp;	(200)
(201)
Итак, напряжение в различных точках поперечного сечения цилиндра не является постоянным при данном крутящем моменте: оно пропорционально расстоянию точки от оси цилиндра.
Наибольшее напряжение имеет
Рис. 291
место в точках, наиболее удаленных от этой оси, т. е. на поверхности цилиндра. Как видно из изложенного, в точках, расположенных на оси цилиндра, деформация сдвига равна нулю, соответственно чему в этих точках и напряжение обращается в нуль. Сказанное можно вы-
разить графически, как показано на рис. 291. Представив себе сечение состоящие из ничтожно узких колец, мы получим закон изменения напряжения в виде треугольника АВС. Оно больше на периферии цилиндра и уменьшается по мере уменьшения диаметра колец.
§ 221. Основное уравнение кручения
Во всех предыдущих случаях мы установили зависимость между напряжениями в деформированном теле и вызвавшими эти напряжения внешними силами. Деформация кручения возникает под действием моментов внешних сил. Познакомимся с тем, как могут быть определены напряжения при кручении, если эти моменты известны.
308
Применим обычный метод сечений. Пусть цилиндр скручивается приложенными к обоим концам двумя равными по величине и противоположно направленными моментами Мв и Мв' внешних сил (рис. 292). Разрежем его мысленно сечением тп и, отбросив правую часть, рассмотрим, под действием каких сил или моментов находится в равновесии оставшаяся часть.
С одной стороны к этой части цилиндра приложен момент Мъ. В рассматриваемом сечении тп действуют элементарные силы сдвига, лежащие в этом сечении и направленные в сторону, противоположную действию момента Л4В.
т
п
Рис. 292
Для равновесия рассматриваемой части цилиндра сумма моментов элементарных сил сдвига должна равняться моменту внешних сил Л1в.
Выделим в произвольной точке К ничтожно малую площадку f на расстоянии р от оси цилиндра. Обозначив напряжение сдвига в этой точке через тр> получим элементарное усилие сдвига в этой площадке, равное тр f, а момент этого усилия относительно оси цилиндра, равным тр fp. Таких моментов будет столько, сколько площадок будет в сечении тп; сумма этих площадок равна всей площади этого сечения. Таким образом, занумеровав все эти площадки, их расстояния от оси и соответствующие напряжения, получим следующее уравнение равновесия рассматриваемой части цилиндра:
v/ipi +	2Р2 ^рзУзРз . . . и т. д, (202)
Обозначив по-прежнему напряжения на окружности сечения радиуса г через т, на основании формулы (201) найдем:
_	* П" — , fr Р^ * /W _  /г Рз уг гр т»
Тр1 — Т » Тр2 — Т *— > ТрЗ — Т И Т» Д>,
Г	г	г
что после подстановки в формулу (202) дает:
Мв = т
—/1Р1 + Т — /2Р2 + * —/зРз + • • - И Т. Д. Г	Г	Г
309
или
Л4В =(/ipj +/2Р2 +/3Р3 + * • • и т- Д)-	(203)
Выражение, стоящее в скобках, представляет собой сумму произведений всех элементарных площадок на квадраты их расстояний от оси цилиндра, называется полярным моментом инерции площади сечения относительно этой оси и обозначается /р.
Таким образом, равенство (203) примет следующий вид:
Л1В ~ т.	(204)
Это выражение, представляющее собой основное уравнение кручения, как видим, связывает внешний момент с наибольшим напряжением т на поверхности скручиваемого цилиндра в рассматриваемом сечении через полярный момент инерции и радиус этого сечения.
Частное от деления полярного момента инерции на радиус сечения называется моментом сопротивления цилиндра при кручении и обозначается 1FP, т. е.
1^0 = —	(205)
г г
И
Ввиду сложности вывода формулы для вычисления величины /р цилиндра, приведем ее в окончательном виде, а именно:
j
р “ ~ ~ "зГ ’
где г — радиус, a d — диаметр сечения.
Подставив это значение в формулу (205), получим:
W   пг*   т.Г3  T.d3
₽	2г" ~ ~2	16
И
< = ~	(206)
Нетрудно убедиться, что обе части этого равенства выражаются в одних и тех же единицах. Если d взять в сл, а т—• в кПсм2, то правая часть имеет размерность: см3 • кГ1см?~кГсм, соответственно и левая часть выражается в кГсм. 310
Зная зависимость между напряжением т и крутящим моментом, можем определить угол закручивания ф цилиндра. Из формулы (204) получим:
Л4вг т = ------
/р
С другой стороны, по формуле (199) имеем: т = G7.
_	М3г	Мвг
Следовательно, 07 — —-—, откуда 7= ------. Подставив сюда значение
/р	GJp
7 из равенства (197а) § 220, получим:
кгб Мвг	180 Л4В
1» - S7; • 0TKy" " = Т • ~аГ
Угол 0 представляет собой угол закручивания, выраженный в градусах и отнесенный к единице длины. Следовательно, полный угол закручивания цилиндра на длине Z составит:
180 МВ1
7L GJp
Как видим, этот угол больше при большем внешнем моменте и большей длине и меньше при большем модуле сдвига и большем диаметре, что вполне понятно.
§ 222.	Вопросы для повторения
I.	Как измеряется величина деформации сдвига?
2.	Как изменится напряжение т при увеличении диаметра сечения и при неизменной величине внешнего момента?
3.	Изложите содержание формулы 198. Можно ли ее применять при наличии остаточных деформаций?
4.	Почему кручение можно рассматривать как разновидность сдвига?
5.	В чем отличие кручения от простого сдвига?
6.	Механическая энергия, получаемая посредством шкива 1 (рис. 293), передается на Другой
вал шкивом 2. На какой длине (Z или 1\) скручи-	рнс_ 293
вается вал?
§ 223.	Упражнения
97.	Шкив диаметром 0 = 800 мм вращается равномерно под действием окружного усилия Р=50 кГ. Определить напряжение среза, испытываемое закладной призматической шпонкой (см. рис. 287), если диаметр вала d=50 мм, ширина шпонки Ь = 16 мм и длина шпонки 1~ 80 мм.
98.	Найти наибольшее напряжение т в сечении вала, указанного в предыдущей задаче.
99.	Вычислить наибольшее напряжение, испытываемое валом диаметром d=45 мм, передающим мощность 7V=18 л. с. при л = 180 об!мин.
311
Глава двадцать четвертая
ИЗГИБ
§ 224.	Понятие о деформации изгиба
В призматическом деревянном бруске сделаем несколько пропилов ab, cd, ef и т. д. перпендикулярно к его оси до половины высоты поперечного сечения. Положив его на опоры А и В пропилами книзу (рис. 294, а), приложим к нему силу Р.
Рис. 294
показано на том же чертеже
Рис. 295
Под действием этой силы брусок изогнется, пропилы ab, cd, ef и т. д. расширятся, т. е. примут трапециевидную форму, как это справа. По сравнению с целым бруском тех же размеров 1 рассматриваемый брусок под действием одной и той Ш же силы испытывает гораз-2 до больший прогиб и скорее разрушается.
Характер изменения формы пропилов указывает на то, что волокна, расположенные в нижней, т. е. выпуклой части бруска, растягиваются; пропилы, имеющие-
ся в этой части, ослабляют прочность бруска.
Повторим теперь тот же опыт, положив испытуемый брусок пропилами кверху (рис. 294, б). Приложив к нему опять некоторую силу Р , заметим, что наружные кромки пропилов сближаются, как это показано справа, а при некотором значении этой силы они придут в соприкосновение, после чего брусок начнет сильнее сопротивляться дальнейшему изгибанию. Разгрузив брусок, заложим в пропилы аккуратно пригнанные по толщине
312
пластинки. При этом убедимся, что брусок сопротивляется действию силы Р так же, как целый брусок, не имеющий пропилов, а пластинки крепко зажаты.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что в месте бруска, расположенном у вогнутой части, его волокна * испытывают сжатие.
Чтобы лучше уяснить себе сущность описываемого явления, проведем еще один опыт с другим деревянным бруском. Представим себе, что мы прорезали в двух противоположных гранях бруска (рис. 295, а) два продольных паза сечением в форме ласточкина хвоста, в которые вдвинули такого же сечения две планки одинаковой длины с бруском. В недеформированном состоянии торцовые поверхности бруска и планок совпадают. После того как брусок под действием силы Р согнется (рис. 295, б), увидим, что концы планки 1 выступят из пазов бруска, а концы планки 2 втянутся внутрь пазов. Из этого опять следует сделать вывод, что у вогнутой стороны бруска волокна укорачиваются, а у выпуклой — удлиняются.
Следовательно, в изогнутом бруске волокна, расположенные у выпуклой его части, испытывают деформацию растяжения, а расположенные у вогнутой части — деформацию сжатия.
§ 225.	Распределение нормальных напряжений при изгибе. Нейтральный слой
Итак, опыт показывает, что изгиб сопровождается удлинением одних волокон и сокращением других. Отсюда следует, что в изгибаемом брусе возникают напряжения растяжения и сжатия, соответствующие этим деформациям. Чтобы ответить на вопрос, какова величина этих напряжений в различных точках поперечного сечения, необходимо выяснить, как изменяется деформация различных волокон бруса, расположенных по высоте его поперечного сечения.
Пусть прямолинейный брус, заделанный одним концом неподвижно, нагружен на другом конце силой Р> лежащей в его плоскости симметрии zz (рис. 296, а). Под действием этой силы брус согнется, ось его обратится в кривую линию, лежащую в той же плоскости симметрии. Для опыта на боковой грани бруса предварительно нанесем на произвольном расстоянии одна от другой две прямые тп и т^п^ перпендикулярные к его оси. После деформации отрезки эти останутся прямолинейными, но не будут параллельны один другому. Это означает, что попереч-
* Волокнами называют продольные элементы (бруска, вала и^т. д.), поперечное сечение которых чрезвычайно мало по сравнению с линейными размерами.
313
a
о
б)
Рис. 296
ные сечения остаются после деформации плоскими и поворачиваются относительно друг друга на некоторый угол.
Два сечения тп и т'п' (рис. 296, б), расположенные на очень малом расстоянии одно от другого, после деформации образуют между собой соответственно малый угол тАт'=а.
Как вытекает из сказанного выше, волокна, расположенные в выпуклой части (например, волокна, лежащие в одной горизонтальной плоскости с mmf, ааг и т. д.), растянуты, а расположенные в одной плоскости с пп\ bb' и т. д., сжаты, причем, чем дальше волокно находится от выпуклой поверхности, тем оно менее растянуто, а чем дальше от вогнутой поверхности, тем оно менее сжато. Отсюда следует, что в брусе должны быть волокна, не испытывающие ни растяжения, ни сжатия. Они лежат в плоскости уу (рис. 296, а, поперечный разрез), в которой ось 00 проходит через центр тяжести С поперечного сечения *. Плоскость, в которой лежат эти недеформированные волокна, называется нейтральным слоем.
все волокна, расположенные в сторону выпуклости от нейтрального слоя, растянуты, а в сторону вогнутости — сжаты.
Выясняем, как изменяется деформация волокон, лежащих в различных плоскостях, параллельных нейтральному слою. Возьмем в деформированном отрезке бруса тт'п'п (рис. 296, б) волокно аа', расположенное на расстоянии г от нейтрального слоя оо'. Так как нейтральный слой не получает ни растяжения, ни сжатия, то длина очень малого отрезка аа' этого волокна между сечениями тп и т'п' деформации равнялась оо', следовательно, абсолютное удлинение, которое этот отрезок получил, равно аа!—оо'.
Теперь можно сказать, что
—	_	- V
* Как видим, плоскость эта перпендикулярна к плоскости симметрии гг.
314
Обозначив угол тАт' между этими сечениями через а, получим:
аа! — оог —
(р + Z) а 2кра_____ яа
360	360 ~ 180 ’
где р —радиус очень малой дуги оо'.
Следовательно, относительное удлинение этого отрезка составит:
аа' — оо'	тл	тл	z
---------= — z: —р = — .
оо'	180	180г	р
(207)
Проделав такие же выкладки для очень малого отрезка bbf сжатого волокна, находящегося на расстоянии г' от нейтрального слоя, получим относительное укорочение этого отрезка:
оог — bb'____ z'
оо' р
(208)
Радиус р в пределах очень малого угла а можно считать постоянным, поэтому приходим к заключению, что относительные удлинения и укорочения пропорциональны расстоянию волокон от нейтрального слоя. Формулы (207) и (208) можно объединить в одну:
Z S — ---- ,
р
(209)
Так как в пределах упругих деформаций напряжения пропорциональны относительным деформациям, то получим:
а = Ег = Е — ,	(210)
Р
где Е — модуль продольной упругости, который считаем одинаковым при деформациях растяжения или сжатия.
Отсюда видно, что для данного сечения напряжение пропорционально расстоянию волокна от нейтрального слоя. Наибольшее напряжение, следовательно, испытывают наиболее удаленные волокна, лежащие на выпуклой и вогнутой поверхностях деформированного бруса. Графически нормальные напряжения в сечении тп, если мысленно отбросить правую часть бруса, изобразятся, как показано на рис. 296, в.
Отметим, наконец, одно важное обстоятельство. Так как волокна, лежащие в нейтральной плоскости, при изгибе бруса не изменяют своей длины, то из этого следует, что поперечные сечения поворачиваются вокруг оси oof и т. д., т. е. вокруг прямых, по которым эти сечения пересекаются с нейтральным слоем. Каждая такая прямая называется нейтральной осью рассматриваемого сечения; она перпендикулярна к плоскости симметрии (ось уу на поперечном разрезе на рис. 296, а).
315
§ 226.	Понятие об основном уравнении изгиба
Для определения по формуле (210) нормального напряжения в какой-нибудь точке поперечного сечения изогнутого бруса необходимо знать, кроме модуля упругости Е для данного мате-
риала и расстояния z этой радиус р малого отрезка оог
Рис. 297
точки от нейтрального слоя, еще изогнутой продольной оси, проходящей через центр тяжести сечения, а величина этого радиуса нам неизвестна. Поэтому эту формулу следует представить в таком виде, чтобы вместо радиуса р в ней фигурировали силы, изгибающие брус. Продолжим рассмотрение деформации того же бруса, применив известный уже метод сечений.
Проведя в брусе сечение тп (рис. 297, а) на расстоянии х от плоскости заделки, отбросим мысленно левую часть. Оставшаяся правая часть находится в равновесии с одной стороны под действием внешней силы Р, а с другой стороны — внутренних нормальных усилий, направленных перпендикулярно к рассматриваемому сечению тп. Мы получим, таким образом, схему трехплечего рычага тпоО' (рис. 297, б).
Как было выяснено в предыду-
щем параграфе, сечение тп при деформации поворачивается вокруг нейтральной оси, которая проходит через точку о. Чтобы написать условие равновесия та-
кого рычага, следует приравнять алгебраическую сумму моментов внутренних усилий относительно нейтральной оси моменту силы Р относительно той же оси. Взяв в сечении тп очень ма-
лую площадку fx на расстоянии Z\ от нейтрального слоя, получим момент усилия, действующего на эту площадку, равным
а алгебраическая сумма всех моментов будет равна О1Лг1 + + 02/2^2*!“ Оз/з^З и т. д.
Момент внешней силы относительно нейтральной оси рассматриваемого сечения называется изгибающим моментом в этом сечении. Обозначив его буквой Л4, получим:
М = 31/^! 4-	4- Зз/з^з + .. . и т. д.
316
Воспользовавшись формулой (210), можем это равенство переписать так:
М = — Az? + — Azl + — f,zl + . . . И Т. Д. = — (flZi +
Сумма, стоящая в скобках, называется моментом инерции сечения относительно нейтральной оси и обозначается буквой тогда
ЛТ = —
(210а)
а
Из формулы (210) имеем:
Сделав подстановку в формулу (210а), получим оконча тельно:
7И = — а
(211)
откуда
Mz а = --
(212)
Таким образом, зная изгибающий момент и момент инерции сечения бруса, можно определить нормальное напряжение в любой точке этого сечения, находящейся на расстоянии z от нейтральной оси. Как видим, напряжение тем больше, чем больше момент М и расстояние z. Это напряжение в каждом сечении достигает наибольшего значения при наибольшем z, т. е. в точках, наиболее удаленных от этой оси; при z = 0 напряжение о обращается в нуль, как и должно быть, ибо в нейтральном слое деформации отсутствуют.
Формулы (211) и (212) можно представить в другом виде. Частное от деления момента инерции на расстояние наиболее удаленного волокна называется моментом сопротивления изгибу W. Тогда формула (211) напишется так:
(213)
а формула (212) дает:
М а = —
(214)
Величина момента инерции, как и момента сопротивления, зависит от формы и размеров поперечного сечения *.
* В технических справочниках приводятся формулы для вычисления моментов сопротивления изгибу и кручению при различных формах поперечного сечения.
317
Так, например, при прямоугольном сечении с основанием b и высотой h (рис. 298) момент инерции относительно оси уу ра-r bh3 вен /= — , соответственно чему
ТО
и W=b-£: ~ =	(215)
Для круглого сечения г л Г4	Ttfif4	d
J =---=-----, так как z = г = — ,
4	64	2
(216)
Подставив значение W в формулу (214), получим наибольшее напряжение ст в рассматриваемом сечении, причем изгибающий момент выражается в кГсм, размеры поперечного сечения в см; тогда напряжение а получится в кГсм1см2 = кГ1см2, как и должно быть.
§ 227.	Понятие об изгибающем моменте
Для определения напряжения в любом поперечном сечении изогнутого бруса нужно еще знать изгибающий момент, т. е. моменты внешних сил относительно нейтральной оси рассматриваемого сечения.
Поясним это несколькими простейшими примерами.
Обозначив расстояние сечения от плоскости заделки бруса через х (см. рис. 297, а), получим момент силы Р относительно оси о, лежащей в сечении тп, равным М = Р(1—х). В сечениях, расположенных левее тп, плечо I—х увеличивается, соответственно чему увеличивается изгибающий момент, который, очевидно, достигает наибольшего значения в плоскости заделки О при х = 0. Таким образом, как вытекает из сказанного выше, в крайнем левом сечении бруса напряжения будут наибольшие и определяются по формуле (214):
= м = Л_
W ~ W
Если сечение бруса прямоугольное, то напряжение изгиба равно:
Ъ№ 6Р1 о = pi ---=-----
6 Ь№
Сечение, в котором нормальные напряжения достигают наибольшего значения, называется опасным.
318
(217)
опорах (рис. 299). Возьмем
Рис. 299
Пусть к тому же брусу, кроме прежней силы Р, приложена еще одна сила Р} на расстоянии t\ от плоскости заделки (см. рис. 297, в). В этом случае изгибающий момент относительно того же сечения тп будет равен, как известно из статики, сумме моментов обеих сил, т. е. М = Р(1—х)+Р1(/1—х).
Опять, чем ближе сечение к плоскости заделки, тем момент больше.
Определим теперь изгибающие моменты для различных сечений балки, лежащей на двух опорах (рис. 299). Возьмем сечение, расположенное на расстоянии Xi от левой опоры. Отбросив часть балки, расположенную справа от этого сечения, получим изгибающий момент Afxi=/?iXi, где /?1 — левая реакция. При %i=0 этот момент равен нулю, т. е. в сечении, лежащем на левой опоре, никаких изгибающих моментов нет. По мере увеличения расстояния Xi момент также увеличивается и при %i = a он равен:
R.
Ма = Ria.
Так как реакция Pi = P—R2, мы можем написать:
Ма = (Р — Т?2) а = Ра — R2a.
Возьмем теперь сечение, расположенное правее точки приложения силы Р на расстоянии х%>а. Изгибающий момент в этом сечении будет равен:
МХ2 = Р1Х2 - - Р(х2 — а) = Р1Х2 — Рх2 + Ра =
= Ра — (Р — Pi) х2 = Ра — R2x2.
Сопоставляя это равенство с предыдущим равенством, мы видим, что Л1х2<А1а. Таким образом, начиная от сечения, в котором приложена сила Р, изгибающий момент уменьшается, а на правой опоре, т. е. при Х2 — Ц он равен Mi~Pa- R2l=Qy ибо при равновесии балки алгебраическая сумма моментов относительно левой опоры (как и всякой точки) равна нулю.
Итак, изгибающие моменты рассматриваемой балки на опорах равны нулю, в сечениях между опорами они увеличиваются по мере приближения к сечению, в котором действует внешняя сила Р, где момент имеет наибольшее значение.
Следовательно, это сечение является опасным, в нем нормальные напряжения наибольшие.
319
(218)
Если балка прямоугольного сечения, то наибольшие напряжения растяжения и сжатия (на нижней выпуклой и верхней вогнутой поверхностях) определяются по формуле (214):
п 6Л2	6/?i«	6(/э—/?2)а
а =	- —------—------------
6 bh2	b№
Отметим, что все вышесказанное относится к изгибу, вызываемому внешними силами, приложенными в различных сечениях балки, без учета ее собственного веса.
Подобными методами рассчитываются на изгиб детали машин такие, как оси, валы и др.
Пример 96. Деревянная балка, лежащая на двух опорах (рис. 299), имеет по всей длине прямоугольное сечение с размерами 6—140 мм и h=200 мм. Определить наибольшее напряжение в опасном сечении, если балка нагружена силой Р=1 Т на расстоянии а —1,5 м от левой опоры, а расстояние между опорами /=4 м.
Вычислим реакцию опоры 2? ь приравняв нулю алгебраическую сумму моментов внешних сил относительно правой опоры:
Р(1 — а)	1000(400—150)
= откуда	-----^ = 625 кГ.
I	4vv
Сделав подстановки в формулу (218), получим:
6*625-150 <лл г п
~ 100,5 кГ см2.
14-202	’	1
§ 228.	Понятие о построении эпюры изгибающих моментов
Как было видно в предыдущем параграфе, величина изгибающего момента принимает разные значения в различных сечениях детали (вала, бруса, балки и др.), подвергающейся изгибу.
Значит, приступая к расчету детали на изгиб, прежде всего следует найти ее опасное сечение, для которого отношение MfW имеет максимальную величину. Если речь идет о расчете такой детали, площадь поперечного сечения которой остается постоянной на всей ее длине (например, балка постоянного сечения), то тогда опасным будет сечение, в котором действует максимальный изгибающий момент.
Очень полезными при решении задач, связанных с выявлением опасных сечений, являются специальные графики, называемые эпюрами изгибающих моментов. Эпюра изгибающего момента показывает, как изменяется величина изгибающего момента вдоль по длине детали, подвергающейся изгибу.
На рис. 300 в качестве примера показаны две такие эпюры.
На рис. 300, а показана эпюра изгибающего момента, построенная для балки, изображенной на рис. 299. Величину изгибающего момента в том или ином сечении обычно изображают вертикальным отрезочком, величина которого пропорциональна величине изгибающего момента.
320
опоры, где величина отрезочка

Тогда, согласно сказанному в предыдущем параграфе, на левой опоре величина такого отрезка должна быть равна нулю. По мере увеличения расстояния xi отрезочки пропорционально длине увеличиваются, достигая максимальной величины в сечении, совпадающем с точкой приложения силы Р > а затем начинают убывать вплоть до правой вновь становится равной нулю. Соединив свободные концы отрезочков прямыми линиями, получим эпюру изгибающих моментов для балки, лежащей на двух опорах и нагруженной одной силой. Эта эпюра имеет вид неравнобедренного треугольника.
На рис. 300, б показана эпюра изгибающих моментов для балки, один конец которой свободен, а второй наглухо заделан в стену или в другой элемент сооружения, машины, узла.
Нетрудно видеть, что на краю свободного конца балки в сечении, где приложена сила Р, изгибающий момент равен нулю. Затем его величина возрастает пропорционально расстоянию хь достигая максимума в сечении заделки. Соответственно эпюра изгибающих моментов для консольной балки, нагруженной одной силой, будет иметь вид прямоугольного треугольника.
б)
Рис. 300
§ 229.	Вопросы для повторения
1.	Как направлены нормальные напряжения в изогнутом брусе по отношению к сечению, перпендикулярному его продольной оси?
2.	Как направлены нормальные напряжения в сечении тп (рис. 296, а), если рассматривать правую часть бруса, мысленно отбросив левую?
3.	Одинаковы ли напряжения в сечениях тп и тхпх изогнутого бруса, показанного на рис. 296, а?
4.	Что называется нейтральным слоем и нейтральной осью? Как они расположены в сечении?
5.	К брусу (рис. 297, в) вместо силы Р i (показанной пунктиром) приложена сила, равная и прямо противоположно направленная ей. Как изменятся наибольшие напряжения в опасном сечении?
6.	Брус имеет прямоугольное сечение (рис. 298). В каком случае он будет лучше сопротивляться изгибу: если положить его на опоры широкой гранью (h) или узкой (6)?
7.	Почему резец следует устанавливать на станке с возможно малым вылетом?
8.	Какой вид примет эпюра изгибающих моментов, представленная на рис. 300, а, если а=//2.
321
Глава двадцать пятая
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О СЛОЖНЫХ ДЕФОРМАЦИЯХ
§ 230.	Простые и сложные деформации
Мы рассмотрели основные виды так называемых простых деформаций: растяжение и сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.
Не следует, однако, думать, что детали различных конструкций испытывают в каждом отдельном случае только одну из этих деформаций. Очень часто детали подвергаются действию сил, приложенных таким образом, что одновременно возникает несколько деформаций, сопровождающихся соответствующими определенными напряжениями, которые приходится учитывать при расчете деталей на прочность. Такие деформации в отличие от простых называются сложными.
Рассмотрим некоторые случаи таких деформаций. Пусть к брусу приложена в центре тяжести сила Р (рис. 301). Проведем сечение тп\ под некоторым углом к поперечному сечению тп. Отбросив мысленно верхнюю часть, получим внутреннее усилие Р', равное и прямо противоположно направленное силе Р. Разложив силу Р' на составляющую Рп, перпендикулярную к сечению тп\, и составляющую Pt, лежащую в этом сечении, мы видим, что, кроме деформации растяжения, брус испытывает в сечениях, не перпендикулярных к оси бруса, деформацию сдвига.
Представим себе деревянную балку прямоугольного сечения, лежащую на двух опорах (рис. 302, а). Под действием силы Р она прогнется, ее торцовые поверхности А и В повернутся одна относительно другой. Пусть балка распилена вдоль по всей ширине, например на три доски. Положив их на те же опоры и приложив ту же силу Р (рис. 302, б), увидим, что прогиб стал больше, а торцовые поверхности досок у А и В не лежат уже в одной плоскости, а стали ступенчатыми. Из этого делаем вывод, что доски, изгибаясь под нагрузкой, скользят одна относительно другой по поверхности касания и хуже сопротивляются изгибу под действием той же силы. Прорежем в них в поперечном направлении канавки и плотно вставим в эти канавки шпонки, как это схематически показано на рис. 302, в. Наблюдая поведение балки под действием той же силы Р, убедимся, что прогиб в этом случае будет тот же, что и целой балки (рис. 302, а), торцовые поверхности всех досок будут лежать в одной плоскости. Из этого делаем заключение, что в изогнутой балке возникают напряжения сдвига. Если шпонки окажутся недостаточно прочными, то они срежутся по поверхностям агЬ[ и а2Ь2. А.теперь представим себе, что балка образована по высоте h поперечного сечения из нескольких металлических полос, скрепленных заклепками; м*ы придем к заключению, что заклепки эти будут испытывать де-322

формацию среза в сечениях, лежащих в плоскостях касания этих полос. Таким образом, изгиб обычно сводится к растяжению, сжатию и сдвигу.
Рис. 301
Рис. 302

§ 231.	Растяжение (сжатие) и изгиб
На рис. 303 показан болт с так называемой костыльной головкой. Если с помощью этого болта соединение затянуто с силой Р, то стержень болта растягивается этой силой. Вместе с тем, головка болта испытывает со стороны поверхности скрепляемой детали реакцию Р', равную по величине силе Ри направленную в противоположную сторону. Таким образом, болт одновременно испытывает изгиб под действием момента пары сил Р и Р', равного Р'е> где е — эксцентриситет, т. е. расстояние точки приложения равнодействующей Р' элементарных сил, действующей со стороны скрепляемой детали на головку болта. Одновременное действие растяжения и изгиба приводит к значительному увеличению растягивающих напряжений в стержне болта, которые будут тем больше, чем больше плечо е момента. Отсюда видим, что при эксцентричном растяжении, когда одна из растягивающих сил не совпадает с продольной осью, проходящей через центры тяжести сечений прямолинейного стержня, напряжение растяжения больше, чем при простом растяжении.
Представим себе столб прямоугольного сечения высотой h, к верхнему сечению которого приложена сила Р, лежащая в его плоскости симметрии (рис. 304). Каю видим, столб под действием силы Р испытывает изгиб. Изгибающий момент достигает в сечении тп наибольшей величины, равной Ph. В этом сечении между 323
нейтральной осью уу и ребром пхп2 имеются растягивающие напряжения, а в части между уу и ребром тхт2 — напряжения сжатия. Кроме того, в этом сечении действуют равномерно распределенные напряжения сжатия от собственного веса столба, равные весу столба, разделенному на площадь этого сечения. Как видим, здесь имеет место сложная деформация сжатия и изгиба. В части сечения, расположенной между линиями уу и тхт2, напряжения обоих видов будут скла-
р
Рис. 303
Рис. 304
дываться, а в части сечения между нейтральной осью и ребром суммарное напряжение в различных точках будет равно их разности и в зависимости от того, какое из них больше, окажется растягивающим или сжимающим.
Чтобы исключить возможность возникновения растягивающих напряжений (это необходимо, например, при расчете кирпичной кладки, которая плохо сопротивляется растяжению), нужно рассчитать размеры сечения столба таким образом, чтобы напряжение растяжения от изгиба на ребре было не больше напряжения сжатия от собственного веса.
§ 232.	Кручение и изгиб
Этот вид сложной деформации встречается очень часто. Испытывая деформацию кручения, вал вместе с тем подвергается деформации изгиба под действием собственного веса, веса сидящих на нем шкивов или зубчатых колес, натяжения ремней или передаваемого зубчатыми колесами окружного усилия.
В качестве примера рассмотрим работу вала II (рис. 305, а), на котором закреплены два зубчатых колеса 2 и 3, из которых первое получает вращение от колеса /, сидящего на валу I, а второе передает вращение колесу 4, закрепленному на валу III,
Пусть окружное усилие, действующее на колесо 2, выра
324
О)
Рис. 305
жается вектором Pi , а окружное усилие, испытываемое ведущим колесом 3 со стороны ведомого колеса 4,— вектором . Приложим в центре О2 колеса 2 две противоположно направленные силы Р2 и Р2, порознь равные по величине силе Рх и параллельные ей. В результате получим три силы— Ръ Р2 и Р2 , из которых первые две дают пару сил с плечом, равным радиусу г2 начальной окружности колеса 2. Момент этой пары равен />/2, г. е. вращающему моменту, передаваемому на вал //. Что же касается третьей силы Р2 , то она действует в осевой плоскости вала.
Переходим к колесу 3. Со стороны ведомого колеса 4 к нему
приложена сила Р4, величина которой равна вращающему моменту на валу II, разделенному на радиус г3 колеса 3, т. е. .
Гз
Приложим теперь в центре О3 этого колеса две противоположно направленные силы Р3 и Р3', порознь равные силе Р4 и параллельные ей, и мы опять получим пару сил и Р3 с моментом, равным моменту Р\г2 и направленным в противоположную ему сторону. Сила же/V приложена к валу в сечении, проходящем через точку О3. Таким образом, мы выяснили, что вал II находится под действием вращающего момента Мв = Р1Г2~Р4г3 на участке между сечениями, проходящими через точки О2 и О3, и двух сил Р2 и Р3 , приложенных в этих сечениях. В данном случае обе эти силы параллельны.
На рис. 305, б показана схематически система сил, приложенных к валу: сил Р2 и Р3 и реакций RA и /?л подшипников. Под действием этой системы вал будет изгибаться по всей своей длине между обоими подшипниками, а кроме того, скручиваться на длине О2О3.
В подробных курсах сопротивления материалов и деталей машин даются методы расчета тяжело нагруженных валов, в которых учитываются напряжения, возникающие под действием вращающих и изгибающих моментов. В тех же случаях, когда изгибающие моменты незначительны по сравнению с вращающими моментами (например, в трансмиссионных валах), изгибающими моментами пренебрегают, и расчет ведут только на деформацию кручения, задаваясь меньшим допускаемым напряжением.
РАЗДЕЛ ШЕСТОЙ
ПОНЯТИЕ О ДЕТАЛЯХ МАШИН
Глава двадцать шестая
ДЕТАЛИ ПЕРЕДАЧ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 233.	Виды деталей машин
Любая машина состоит из соединенных между собой отдельных частей. Эти части называют деталями машин. Некоторые детали машин встречаются только в отдельных видах машин, например, лопасти турбин, лемехи плугов и пр. Такие детали называются деталями специального назначения.
Однако многие детали встречаются в самых различных машинах. Их называют деталями машин общего назначения.
К ним относятся: 1) детали передачи вращательного движения; 2) детали разъемных соединений; 3) детали неразъемных соединений.
В учебных курсах деталей машин изучают также принцип действия, конструкцию и элементы расчетов не только отдельных деталей, но и узлов машин, представляющих собой соединение — разъемное или неразъемное — нескольких деталей. Такими узлами, которые широко применяются в различных машинах, являются шариковые и роликовые подшипники, редукторы, коробки скоростей и др.
§ 234.	Общие понятия об осях и валах и их элементах
Звенья машин, осуществляющие вращательное движение (шкивы, зубчатые колеса, кулачки и т. п. элементы), насаживаются на детали, называемые валами и осями. Пусть шкив 1
(рис. 306) получает при помощи ремня вращательное движение, которое передается дальше шкивом 2, Вращение передается окружным усилием создающим вращающий момент Afj = ~Р\ —, где Dj —диаметр шкива 1. Этому моменту противодей
ствует равный ему по величине и обратный по направлению мо
326
мент М2=Р2 — > где Р2 — усилие, передающееся на шкив, свя-занный ремнем со шкивом 2, a D2 — диаметр шкива 2. Таким образом, участок вала 5, расположенный между шкивом 1, получающим механическую энергию, и шкивом 2, отдающим ее, скручивается двумя равными по величине и противоположно направленными моментами. Кроме того, вал, находящийся под действием собственного веса, веса шкивов и сил натяжения ремней, изгибается. Поэтому можно сказать, что вал во время работы подвергается кручению и изгибу.
Рис. 306
Теперь представим себе блок состоящий из двух зубчатых колес и свободно вращающийся на цилиндрическом стержне 2 (рис. 307). Как видим, в этом случае стержень 2 подвергается только изгибу, вращающий же момент передается от одного колеса второму через связывающую их втулку 3. Такого рода деталь, геометрическая ось которой совпадает с осью вращающихся на ней деталей, называется осью. Таким образом, основное отличие оси от вала заключается в том, что ось подвергается только изгибу, между тем как вал, кроме изгиба, испытывает еще кручение. В только что приведенном примере для осуществления требуемого движения не требуется вращения оси. В других случаях ось обязательно должна вращаться. Подобным примером может служить вагонная ось, которая при качении закрепленных на ней колес также вращается, но не подвергается действию вращающих моментов.
Вал или ось поддерживается соответствующим образом выполненными опорами. Так, вал 3 передачи, схематически показанный на рис. 306, установлен на трех опорах, в трех подшипниках скольжения. Участки вала, лежащие в подшипниках, называются цапфами. Таким образом, вал 3 имеет три цапфы: 4, 5 и 6. Цапфы 4 и 6, расположенные на концах вала или оси, называются шипами, промежуточные цапфы оси или вала называются шейками. При наличии значительных сил, действующих на вал в продольном направлении (рис. 308), шип получает
327
название пяты, соответственно чему опора называется подпятником.
Вал и опоры должны сопрягаться таким образом, чтобы исключить возможность перемещения вала в осевом направлении. Это осуществляется различными способами. Так, выточив на конце вала или оси цилиндрическую поверхность меньшего по сравнению с валом или осью диаметра, получим шип с двумя заплечиками (/ и 3 на рис. 309, а), которые, как видим, препятствуют продольному перемещению.
Рис. 308
6)
Рис. 309
Проще конструкция шипа с одним заплечиком (рис. 309, б). Переход от поверхности большего диаметра к поверхности меньшего диаметра (2 на рис. 309, а и б), называемый галтелью, делается по дуге окружности определенного радиуса для каждого диаметра. Галтель необходима для обеспечения долговечной работы вала или оси.
Часто для предохранения вала от осевого перемещения применяются установочные кольца (4 на рис. 309, в), закрепляемые на валу при помощи винтов. Эти же кольца в необходимых случаях ставятся у шеек вала или оси.
§ 235.	Понятие о расчете валов на кручение
Чтобы обеспечить прочность осей и валов, подвергающихся в процессе работы машины воздействию больших нагрузок, необходимо выполнить ряд расчетов. Эти расчеты называют расче-328
тами на прочность. В разделе «Основы сопротивления материалов» мы познакомились с тем, как такие расчеты выполняют и, в частности, как рассчитывают на изгиб балки, оси и валы (см. § 227). В дополнение к этому познакомимся с методикой расчета валов на кручение.
Как было показано в § 221, напряжение т представляет собой наибольшее напряжение сдвига, возникающее в цилиндре под действием вращающего момента 7ИВ. Если подставить в формулу (206) вместо т допускаемое напряжение на сдвиг (срез) осд, то она может служить для расчета на прочность вала, передающего крутящий момент ЛГВ. Тогда формула эта примет такой вид:
Осд о,2б?3асд,
10
откуда можно определить требуемый диаметр
Можно выразить мой им мощности и
значение Мв — 71 620
диаметр вала в зависимости от передавае-числа оборотов, подставив в эту формулу — кГсм: п
(219)
Что касается допускаемого напряжения оСд, то величина его берется в зависимости от материала и условий работы и колеблется для стали в пределах от 200 до 1200 кГ/см2. Так, например, для стальных трансмиссионных валов при обычных условиях работы применяют огсд=42О кПсм2, для коротких, не сильно нагруженных валов оСд=|600 кПсм2, а при работе вала, сопровождающейся ударами, асд=280 кПсм2 и т. д. Произведенный таким образом расчет обеспечивает прочность вала; однако часто валы, рассчитанные на прочность, кроме того проверяют специальным расчетом на относительный угол закручивания вала, допускаемую величину которого принимают обычно от 74 до V2° на 1 м длины.
Расчет тяжело нагруженных валов (например, валов паровых и газовых турбин, двигателей внутреннего сгорания и т. п.) значительно усложняется, так как, кроме деформаций кручения, они испытывают еще значительные деформации изгиба. При расчетах ответственных конструкций приходится еще учитывать ослабление сечения вала шпоночной канавкой, наличие переходов от сечения одного диаметра к сечению другого диаметра, динамическое действие нагрузки и другие факторы.
12-1599
329
Пример 97. Шкив 1, сидящий на валу (рис. 310), получает при п=» =200 об/мин, мощность Afi = 18 л. с., которая отдается двумя шкивами: шкив 2 передает на второй вал #2=12 л. с., а шкив 3 передает на третий вал оСд «400 кГ/см??
=6 л. с. Какого диаметра должен быть вал, если допускаемое напряжение Как видим из схемы, участок 1 вала нагружен мощностью Иц—12 л. с., соответственно чему диаметр на этом участке равен по формуле (219):
Рис. 310
- / 71 620	12 п о
^1=1/ —--------• — ~ 3,8 см ~
у 0,2-400 200
= 38 мм.
Так как ОСТ не предусматривает такого диаметра, то берем ближайший больший di = 40 мм.
Так же вычисляем диаметр вала на участке II:
71 620-6 0,2*400-200
~ 3 см = 30 мм.
§ 236. Основные типы подшипников скольжения
Опора, в которой вращается вал или ось, называется подшипником. В одних подшипниках силы со стороны вала направлены перпендикулярно к их оси (см. рис. 306), соответственно чему они называются радиальными; в других силы направлены вдоль оси или вала, тогда подшипники называются упорными, или подпятниками. Подшипники, наконец, могут быть радиально-упорными.
Подшипники вращающихся осей транспортных устройств (например, вагонных осей) называются буксами.
Выбор типа подшипника зависит от условий, в которых он должен работать, и от предъявляемых к нему требований — в первую очередь от нагрузки, которую он воспринимает, и от скорости вращения оси или вала.
В подшипнике скольжения цапфа оси или вала, соприкасаясь с внутренней поверхностью подшипника, скользит по ней, т. е. такой подшипник работает при наличии трения первого рода.
§ 237. Подшипники качения
Как было выяснено выше (§ 54), потери на трение качения значительно меньше потерь при скольжении, чем объясняется широкое применение подшипников качения.
Подшипники качения бывают различных типов в зависимости от направления действующих на них сил. На рис. 311 и 312 показан один из типов шарикоподшипника и его детали (на обоих рисунках каждая деталь обозначена одной и той же цифрой). 330
На цапфу надевается разрезная втулка 1, наружная поверхность которой выполнена конической с небольшим уклоном. На втулку насаживается внутреннее кольцо 2, с ним концентрически расположено наружное кольцо 4, а между ними находятся сталь-
Рис. 311
4
Рис. 312
ные шарики. При навинчивании круглой гайки 5 на втулку 1 последняя втягивается в кольцо2 и таким образом оно закрепляется на цапфе. При вращении одного кольца относительно другого шарики катятся в желобках, сделанных на наружной поверхности внутреннего кольца и внутренней поверхности наружного кольца. Для сохранения постоянного расстояния между шариками они помещаются в гнезда так называемого сепаратора 3.
Закрепив наружное кольцо в корпусе (рис.
313) *, мы получим под-	Рис. 313
шипник, который может служить опорой для вращающейся оси или вала. На рис. 314 показан шкив, в ступицу которого вставлен шарикоподшипник.
В рассмотренном подшипнике шарики расположены в один ряд, поэтому он называется однорядным. На рис. 315 показан в разрезе двухрядный шарикоподшипник.
В подшипниках качения вместо шариков применяют также ролики, соответственно чему они получают название роликовых.
Кроме радиальных шариковых и роликовых подшипников, широко применяют упорные и радиально-упорные подшипники. На рис. 316 в разрезе показан один из видов
* Корпус показан со снятой крышкой, которая лежит рядом.
12*
331
упорных шарикоподшипников. Вал 1 опирается своими заплечиками на туго сидящее на его шипе кольцо 2; кольцо 3 неподвижно.
По круговым желобкам колец катятся шарики, воспринимая осевую нагрузку, действующую на вал.
Рис. 314
Рис. 315
Рис. 316
Подшипники качения имеют ряд преимуществ по сравнению с подшипниками скольжения, как-то: меньшие потери на трение, меньший расход смазочного материала, меньшие размеры в осевом направлении и др. Вместе с тем они не лишены некоторых недостатков, например они имеют большие размеры по диаметру, в некоторых случаях их сборка затруднена и др.
§ 238. Общие понятия о муфтах
Для соединения соосных валов служат устройства, называемые муфтами*.
Простейшей является муфта для жесткого соединения по длине двух отрезков вала в одно целое. Муфты этого рода называются глухими. На рис. 317 представлена поперечно-сверт-ная глухая муфта. На концы обоих соединяемых валов насаживаются с натягом ** два диска 1 и 3, которые затем стягиваются болтами. Для того чтобы оба вала после сборки были соосными, на одном из дисков делается центрирующий выступ 2, который входит в выточку на торце второго диска.
Другой тип муфты, называемой продольно-свертной, показан на рис. 318. Муфта состоит по длине из двух половин / и 2, накладываемых на скрепляемые концы обоих валов и стягиваемых болтами 3, Для исключения возможности проворачивания валов в муфте конец каждого связывается с ней шпонкой.
* Муфтами называют также устройства, служащие для соединения труб, штанг, тяг и других деталей.
•* При соединении с натягом диаметр отверстия должен быть несколько меньше, чем диаметр вала. Соединение осуществляется либо путем нагрева детали, содержащей отверстие, либо с помощью напрессовывания.
332
Часто приходится во время работы разъединять два совместно вращающихся соосных вала или, наоборот, сцеплять их. Для этой цели служат сцепные муфты.
Рис. 317
Рис. 318
§ 239.	Вопросы для повторения
1.	В чем заключается основное отличие осей от валов?
2.	Чем отличается шейка вала от шипа?
3.	В каких случаях опора называется подпятником?
4.	Для чего служат установочные кольца?
5.	Как классифицируются подшипники по характеру действующих на них сил и по виду трения, сопровождающего вращение?
§ 240.	Упражнения
100.	Шкив 1 (пример 97, рис. 310), принимающий ту же мощность —18 л. с., поменяли местами со шкивом 2, отдающим мощность N= 12 л. с. Вычислить необходимые диаметры вала на участках I и II при том же допускаемом напряжении 400 кГ/см2 и ответить на вопрос, какой из обоих вариантов расположения шкивов выгоднее.
101.	Решить предыдущую задачу при условии, что вместо шкива 2 установлен шкив 1 (Afi=il8 л. с.), вместо шкива / — шкив 3 (N3 = 6 л. с.), а шкив 2 установлен вместо шкива 5.
Глава двадцать седьмая
РАЗЪЕМНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
§ 241.	Резьбовые соединения
Отдельные детали, образующие узел, в одних случаях перемещаются одна относительно другой, в других случаях составляют одно целое, не изменяя своего относительного положения, т. е. соединены неподвижно.
333
При этом скрепляемые детали часто соединяют так, чтобы в случае надобности (например, при ремонте) их можно было разобрать, не повреждая соединения; тогда соединение называется разъемным в отличие от неразъемных, при разборке которых приходится разрушить некоторые элементы.
Наиболее распространенным видом разъемных соединений являются резьбовые. Конструкция их определяется прежде всего конструкцией скрепляемых деталей и характером нагрузок, действующих на них. Резьбовые соединения осуществляются посредством винтовых резьб, которыми снабжаются либо сами соединяемые части, либо особые так называемые крепежные детали (винты, болты, гайки, шпильки и т. п.), соединяющие скрепляемые части.
К неразъемным соединениям относятся заклепочные и сварные; их разборка может быть произведена после разрушения основных элементов, образующих заклепочный или сварной швы.
§ 242.	Крепежные резьбы
Основным элементом резьбовых соединений является винтовая резьба, определяемая ее диаметром, шагом и профилем. На все эти элементы в СССР установлены Государственные стан*
Рис. 319
дарты, соблюдение которых (как и других ОСТ и ГОСТ) строго обязательно.
Надежность резьбового соединения зависит от величины силы трения, действующей в элементах соединения; чем эта сила больше, тем надежнее соединение. Так как наибольшая сила трения получается на треугольной резьбе, то профилю крепежной резьбы придается форма треугольника. На рис. 319 показана резьба метрическая основная, предназначенная для диаметров резьбы от 1 до 600 мм. Как видно из чертежа, она имеет угол при 334
вершине, равный 60°; так как боковые стороны профиля одинаково наклонены к оси болта, то фигура, очерчивающая его, представляет собой равносторонний треугольник. Высота этого тре-
угольника равна:
tQ = 0,866s,
где s — шаг резьбы.
Резьба у вершины и основания треугольника на болте срезана на величину — , соответственно чему действительная высота 8
профиля получается равной;
о
Далее мы видим, что между впадиной резьбы болта (диаметр d\) и вершиной профиля резьбы гайки оставлен в радиальном направлении зазор, величина которого
Рис. 320
где tz— глубина рабочей части профиля. В таблицах ОСТ для каждого наружного диаметра dQ даны значения среднего диаметра dcp и внутреннего диаметра di,
а также шаг резьбы $, высота профиля t2 и величина зазора по диаметру, т. е. е\
Метрическая резьба этого вида обозначается буквой М с указанием наружного диаметра и шага; так, например, М 30X3,5 обозначает, что резьба метрическая, наружный диаметр которой равен 30 мм, а шаг 3,5 мм. Кроме метрической, в СССР применяют и дюймовую резьбу, наружный диаметр которой выражается в дюймах. На рис. 320 показана дюймовая резьба с углом профиля 55° для диаметров от 3Дб до 4".
Как видим, исходной фигурой профиля является равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным 55°.
Высота этого треугольника
/о=0,96049s, где s — шаг резьбы.
Треугольник этот срезан на расстоянии — от вершины, отку
да получим:
t0 = 0,6403 s.
335
Эта резьба отличается от метрической еще тем, что в ней пре-с'
дусмотрены два зазора — и — между болтом и гайкой у основания и у вершины профиля. Остальные обозначения на рис. 320 те же, что и у метрической резьбы.
Число ниток на 1" изменяется в зависимости от диаметра резьбы от 24 (для диаметра 3/i6/z) до 3 (для диаметра 4"). Дюймовую резьбу запрещено применять при изготовлении новых изделий. Из других крепежных резьб предусмотрена ГОСТ 6357—52 трубная цилиндрическая резьба для диаметров от Vs до 18".
§ 243.	Понятие о клиновых соединениях
В качестве элемента разъемных соединений иногда применяется клин, соответственно чему такие соединения носят назва-
а)	б)
Рис. 321
Рис. 322
ние клиновых. Пусть требуется соединить две детали 1 и 2 (рис. 321, а). Сделав в обеих деталях продолговатые отверстия, по форме соответствующие сечению клина (рис. 321, б), вставим его в эти отверстия и будем стягивать обе детали ударами молотка или давлением пресса. Под действием клина 3 конец детали 2 будет втягиваться в гнездо, сделанное в детали / (рис. 336
321, б). При наличии буртика 4 и при достаточной затяжке клина получится прочное соединение, которое вместе с тем можно без затруднений разобрать, выбив клин в обратном направлении.
Можно образовать клиновое соединение так, как показано на рис. 322, а\ концы обеих деталей охватываются общей втулкой, скрепление с деталями производится двумя клиньями.
Клин удерживается в соединяемых деталях силой трения, а она тем больше, чем больше силы Nx и М (см. рис. 173). Как выяснено было выше (§ 146), эти силы увеличиваются с уменьшением угла а между щеками клина. Поэтому угол а делается малым, а отношение — (рис. 322, б), называемое уклоном кли-
If
на, делается равным
и редко больше.
1 100’
40“ ИЛИ
§ 244.
стали резьбовых соединений
г)
Рис. 323
337
Деталями резьбовых соединений служат болты (рис. 323,а)„ шпильки (рис. 323, б), винты (рис. 323, в, г), гайки (рис. 324, а), шайбы различной конструкции (рис. 324, б).
Рис. 324
На всех этих рисунках указаны размеры, которые даются в ГОСТе на детали резьбовых соединений.
Болт снабжен метрической
Рис. 325
или дюймовой резьбой, посредством которой он вместе с гайкой образует разъемное соединение. Со стороны, противоположной резьбе, болт заканчивается головкой. Головки бол-
тов могут иметь различное число граней (обычно 4 или б), а головки винтов — различную
Рис. 326
конфигурацию — цилиндрическую, сферическую и др. В головках винтов имеются прорези для отверток.
Шпильки снабжаются резьбой с двух концов. Одним концом шпилька вворачивается в одну из соединяемых деталей. Вторая деталь притягивается к первой с помощью гайки, которая вместе со шпилькой образует разъемное соединение.
Детали соединяются винтом путем ввертывания его в резьбу, выполненную в одной из соединяемых деталей.
Способы соединения деталей посредством болтов, шпилек и винтов показаны на рис. 325, а, б, в.
Чтобы предохранить резьбовое соединение от самоотвинчива-ния, применяют стопорные шайбы, снабженные одной лапкой (рис. 326), а иногда двумя лапками. В процессе сборки резьбового соединения лапка загибается на одну из соединяемых деталей, а выступающие участки шайбы загибаются на гайку, предохраняя ее от самоотвертывания.
§ 245.	Шпоночные соединения
Шпоночные, а также шлицевые соединения используют при соединении шкивов, дисков, зубчатых колес и других деталей ма-
Рис. 327
шин с валами. Шпонки и шлицы исключают возможность относи тельного вращения соединяемых деталей. В зависимости от вида
соединения и нагруженности, а также от того, насколько часто
приходится его разбирать и собирать, применяют различные конструкции шпонок.
На рис. 327 изображены обыкновенная призматическая (рис. 327, а) и сегментная (рис. 327, б) шпонки. Шпонки этого типа используют для неподвижного соединения деталей в
Рис. 328
продольном направлении, а также
для их подвижного соединения, т. е. такого, при котором одна деталь может скользить вдоль другой.
Для тяжело нагруженных соединений зачастую применяют клиновые врезные шпонки (рис. 327, в), которые запрессовываются в пазы вала и сопрягаемой с ним детали, повышая таким образом надежность соединения.
Для надежного и точного сопряжения высоконагруженных деталей машин (например, в автомобилях, тракторах) служат шлицевые соединения (рис. 328). Шлицевый валик и шлицевое
339
отверстие имеют ряд выступов — зубьев, которые могут быть различного профиля.
В зависимости от назначения соединения применяют прямо-бочные (рис. 328), эвольвентные, треугольные шлицевые соединения.
Глава двадцать восьмая
НЕРАЗЪЕМНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
§ 246.	Виды неразъемных соединений
Во всех отраслях техники применяют два вида неразъемных соединений — заклепочные и сварные. Заклепочные соединения необходимы тогда, когда металлы, из которых изготовлены соединяемые детали машин, не поддаются сварке, а также в тех случаях, когда соединение подвергается воздействию вибрации. Так, заклепочные соединения широко используются в самолетостроении, при изготовлении металлических конструкций из легких сплавов и пр. Там, где это возможно, стремятся заменить заклепочные соединения сварными. Применение сварки вместо клепки имеет ряд преимуществ. Главные из них — уменьшение трудоемкости и экономия металла.
При замене клепки сваркой отпадает необходимость изготовлять заклепки, размечать, пробивать или сверлить отверстия в соединяемых деталях.
Экономия металла достигается за счет того, что нет отверстий, ослабляющих прочность конструкции, а также за счет меньшего веса соединительных элементов. Вес металла, образующего сварной шов, в 2—3 раза меньше веса заклепок, образующих шов, эквивалентный по прочности сварному.
§ 247.	Понятие о заклепочном соединении
Основным элементом заклепочного соединения служит заклепка (рис. 329), которая состоит из стержня 1 и сферической головки 2, называемой закладной.
Стержень заклепки вставляют в отверстие соединяемых деталей. Из выступающей части стержня клепкой образуют вторую замыкающую головку, изображенную пунк-
тиром.
Различают горячую клепку, когда перед образованием замыкающей головки заклепку разогревают до необходимой температуры, и холодную, когда замыкаю* щая головка образуется без разогрева за*
Рис. 329	клепки.
Вместе с соединяемыми деталями заклеп*
340
ки образуют заклепочные швы, которые выполняются самы-ми различными способами в зависимости от назначения конструкции.
Все заклепочные соединения делят на прочные и прочно-плотные. Прочные соединения обеспечивают надежную и долговечную передачу усилий от одной из склепанных деталей к другой. Соединения прочно-плотные должны обеспечить непроницаемость для жидкостей и газов.
6)
Рис. 330
По типу стыка склепываемых деталей различают швы внахлестку (рис. 330, а) и швы в стык, где используется одна или две накладки (рис. 330, б, в), по расположению заклепок — рядовые (рис. 330, а, в) и шахматные (рис. 330, б).
§ 248.	Расчет однорядного заклепочного соединения
Рис. 331
Заклепочное соединение рассчитывают на срез заклепок. В зависимости от числа сечений заклепки, испытывающих перерезывающие усилия, различаются односрезные (рис. 330, а) и двухсрезные (рис. 330, в) швы; последние являются в этом отношении более прочными.
Рассмотрим заклепочное соединение, образованное двумя стальными полосами, склепанными внахлестку несколькими заклепками, образующими однорядный шов. Эти полосы растягиваются силами Р и Р', как показано на рис. 331. Срез заклепок может произойти по пеперечным сечениям стержней заклепок в плоскости касания обеих склепанных полос.
Площадь среза заклепок составляет: г- тсб/2
где п — число заклепок.
341
Следовательно, искомое напряжение среза определится так:
4Л п~с12
Помимо напряжения среза т, в стержне заклепки проверяют напряжение растяжения о в скрепляемых элементах, в нашем случае в соединяемых полосах. Если обозначить толщину каждой из полос через д, ширину через Ъ, то с учетом ослабления отверстиями для заклепок поперечного сечения полосы получим:
в (Ь —nd)
Рис. 332
Пример 98. В заклепочном соединении (рис. 332) толщина склепываемых элементов ] и 2 равна 8 мм, а их ширина fr^lOO мм, диаметр заклепок d*=* в13 мм. Определить напряжение среза т в стержне заклепки и напряжение растяжения о в скрепляемых элементах, считая, что все заклепки нагружены одинаково, а внешние силы Р==Р'=4000 кГ. Зная, что шов двухсрезный, получим следующую величину напряжения среза:
44000
2-Зтг- 1,69
« 500 кГ/см^.
Учитывая наибольшее ослабление поперечного сечения двумя отверстиями для заклепок, получим:
4000 0,8(10-2-1,3)
« 675 кГ/см2.
§ 249.	Понятие о сварном соединении
Широко применяют два основных способа сварки: контактную (электромеханическую) и дуговую (электрическую). При контактной сварке соединяемые детали (обычно небольшой 342
толщины, порядка нескольких мм) спрессовываются и подвергаются местному нагреву до сварочной температуры.
При дуговой сварке соединение нагретых до сварочной температуры деталей образуется путем использования металла — расплавляемого стального прутка — электрода. Этот металл вместе с расплавляемым металлом соединяемых деталей образуют сварной шов.
Дуговая сварка широко применяется в машиностроении, при строительных и ремонтных работах. С ее помощью изготовляют самые разнообразные детали машин (котлы, станины и корпуса машин, баки и др.) и сооружения (фермы, опоры, трубопроводы и др.).
0) г) д)
Рис. 333
В зависимости от назначения сварных соединений они, так же как заклепочные соединения, делятся на прочные и прочно-стойкие.
Основными видами сварных соединений являются: встык, внахлестку, втавр и угловое.
На рис. 333 показаны типы сварных швов, применяемых в различных соединениях.
Для соединения деталей, расположенных в одной плоскости, применяют стыковой шов. Стыковые швы различаются по способу подготовки стыкуемых ребер свариваемых деталей.
На рис. 333, а показан односторонний, бесскосный стыковой шов, на рис. 333, б — V-образный стыковой шов. Могут быть и другие типы стыковых швов в зависимости от толщины свариваемых деталей и ответственности соединения.
Широко используют сварку внахлестку, когда свариваемые детали перекрывают одна другую на отдельных участках, реже соединяют детали при помощи специальных накладок, привариваемых к соединяемым деталям.
Два типа сварных швов внахлестку показаны на рис. 333, в (фланговый) и на рис. 333, г (лобовой). Наконец, если свариваемые элементы расположены в разных плоскостях, то применяют угловые швы (рис. 333, д).
343
§ 250.	Понятие о расчете сварных швов
Швы встык рассчитываются на растяжение по обычной формуле:
где Р — усилие, растягивающее сварное соединение; F — площадь поперечного сечения сварного шва.
Рис. 334
Швы внахлестку рассчитывают на срез по формуле
При этом площадь среза F определяют по наименьшей величине поперечного сечения сварного шва, как показано на рис. 334. Наименьшую величину поперечное сечение шва имеет в плоскости, расположенной под углом 45° к боковой грани привариваемой детали. Высоту h сечения шва на-
ходят, следовательно, так:
h ~ 8 cos 45°.
При этом расчетная площадь сечения для сварного шва на рис.333 будет:
F = 2/8 cos 45°.
Аналогичным образом ведется расчет на прочность других швов — стыковых и внахлестку.
Глава двадцать девятая
РЕДУКТОРЫ,КОРОБКИ СКОРОСТЕЙ, ГРУЗОПОДЪЕМНЫЕ УСТРОЙСТВА
§ 251.	Редукторы чисел оборотов
В § 140 говорилось, что рабочие и транспортные машины (станки, автомобили, грузоподъемные, текстильные, строительные и другие машины) приводятся в движение двигателями (электродвигателями, турбинами, двигателями внутреннего сгорания). Однако непосредственно соединять валы рабочих машин и машин-двигателей, как правило, не удается потому, что по ус-» 344
ловиям работы они должны вращаться с разными числами оборотов. Обычно числа оборотов двигателей превышают числа оборотов валов рабочих машин. Паровые турбины вращаются со скоростью в десятки тысяч оборотов в минуту, двигатели внутреннего сгорания, например автомобильные, совершают 3—5 тысяч оборотов, электродвигатели — 1—3 тысячи оборотов, а валы большинства рабочих машин и автоматов совершают десятки, сотни оборотов в минуту.
Для передачи мощности с вала двигателя на вал рабочей машины, вращающихся с разной угловой скоростью, служат редукторы чисел оборотов.
Редуктором называют механизм, предназначенный для уменьшения числа оборотов с одновременным увеличением вращающего момента при передаче вращения от одного вала- к другому.
В зависимости от вида передачи, которая используется в конструкции редуктора, различают зубчатые, червячные, фрикционные и другие редукторы. Степень снижения оборотов, обеспечиваемая редуктором, характеризуется передаточным отношением или передаточным числом (см. § 164). В зависимости от величины передаточного отношения в редукторе может быть одна или несколько ступеней (т. е. зубчатых или червячных пар). При сочетании нескольких видов передач в одном редукторе его называют комбинированным, например червячно-зубчатым. Наиболее широкое применение получили зубчатые редукторы с прямозубыми и косозубыми цилиндрическими, реже коническими колесами.
На рис. 335 в качестве примера представлен одноступенчатый редуктор конструкции Ново-Краматорского машиностроительно-
Рис. 335
345
го завода. Характерной особенностью любого редуктора являет* ся наличие закрытого корпуса, защищающего зацепление от пы* ли и грязи и позволяющего осуществить надежную смазку передаточного механизма. В конструкции редуктора, представленного* на рис. 335, предусмотрен сварной корпус, что обеспечивает era легкость и простоту изготовления. Этот редуктор предназначен для крановых механизмов.
Передаточный механизм состоит из двух зубчатых косозубых колес 1 и 2. Использование косозубых колес обеспечивает большую плавность работы передачи по сравнению с обычными прямозубыми колесами. Вал меньшего колеса 1 (это колесо обычна называют шестерней) соединяется с валом электродвигателя^ а вал колеса 2 — с механизмами, приводимыми в движение-Обороты ведомого вала меньше оборотов ведущего, зато враща* ющий момент на нем больший. Соответственно ведомый вал редуктора всегда делают большего диаметра. В корпус редуктора заливается масло до уровня, обеспечивающего смазку передачи.
§ 252.	Коробки скоростей
Часто (например, при конструировании станков, автомобк^ лей) возникает необходимость менять скорость вращения механизмов машины при постоянной скорости вращения двигателя.. Для этих целей применяют коробки скоростей, представляющие собой передаточный механизм с переменным передаточным отношением. Изменение передаточного отношения достигается в результате того, что в зацепление вводятся то один, тс другие зубчатые колеса. Чтобы получить представление о том, как работает коробка скоростей, лучше всего обратиться к примеру. На рис. 336 представлена одна из конструкций автомобильной коробки скоростей.
От двигателя приводится во вращение вал 1, жестко связанный с зубчатым колесом 2, На ведомом валу 8 выполнены шлицы, по которым может скользить блок соединенных между собой зубчатых колес 6 и 7. С валом 8 жестко связана втулка 5, несу* щая шлицы, вдоль которых может скользить втулка 4. Перемещая втулку 4 влево или вправо, ее можно соединить с наружными шлицами, выполненными заодно с колесом 2 или 5.
Сдвигая втулку 4 влево, получим непосредственное соединение валов 1 и 8. При этом вал 8 будет вращаться с максимальной скоростью, равной скорости вала /.
При перемещении втулки 4 вправо передача вращения от вала 1 к валу 8 происходит через зубчатые колеса 2 и 13, вал & 346
ж зубчатые колеса 12 и 5. Еще две скорости можно получить, -если втулку 4 вывести в нейтральное положение и перемещать влево или вправо блок колес 6 и 7. Перемещая их влево, введем •в зацепление колеса 6 и 11, перемещая вправо — введем в зацепление колеса 10 и 7.
Следовательно, конструкция коробки скоростей, представленная на рис. 336, обеспечивает возможность получить четыре скорости выходного вала 8 при одной скорости входного вала 1> перемещая втулку 4 и блок колес 6—7. По правилам, о которых <5ыло рассказано в § 164, нетрудно определить передаточные отношения, которые обеспечивает эта коробка скоростей, если известны числа зубьев колес.
Рис. 336
Втулка 4 и блок колес 6—7 перемещаются посредством рьь важного механизма, не показанного на чертеже. У современных .автомобилей («Волга», «Москвич») рычаг этого механизма выведен на рулевую колонку так, что водитель в нужный момент может легко регулировать скорость движения автомобиля и движущий момент на ведущей оси.
С другим типом коробок скоростей, нашедшим применение в конструкции станков, можно ознакомиться, вернувшись к упраж-гиению 79 на стр. 241.
347
§ 253.	Понятие о грузоподъемных машинах
Изучая элементы машиноведения, мы попутно познакомились с несколькими грузоподъемными устройствами. Так, в §.150, рас* сматривая элементы теории системы блоков, мы разобрали устройство полиспаста, широко применяющегося в различных грузоподъемных устройствах в качестве приспособления, дающего выигрыш в силе.
В примере 74 § 166 мы рассмотрели и произвели расчет др у* гого грузоподъемного устройства — лебедки (см. рис. 206) с ручным приводом. Широкое применение находят также лебедки с электрическим приводом.
Наконец в § 185 быт описан винтовой домкрат (см. рис. 254), предназначенный для подъема груза на небольшую высоту.
Рис. 337	Рис. 338
Домкраты — винтовые и реечные — используют обычно при выполнении ремонтных и монтажных работ.
В отличие от домкрата лебедка, которая широко применяется, например, в строительстве, может поднять груз на значительную высоту (рис. 337).
Для перемещения грузов в вертикальном и горизонтальном направлениях применяют грузоподъемные машины — краны самых различных конструкций, грузоподъемности, назначения.
Различают краны мостового типа и поворотные. В мостовых кранах горизонтальное перемещение груза осуществляется посредством двух поступательных движений (см. рис. 109), а у поворотных кранов, как показывает их наименование, — в основном путем вращательного движения.
На рис. 338 представлен нормальный мостовой кран, пред-
348
назначенный для обслуживания закрытого помещения. Он состоит из кранового моста 1, имеющего возможность перемещаться на колесах вдоль здания (перпендикулярно плоскости рисунка) по подкрановым путям 2, и перемещающейся на колесах помосту тележки 3 с подвешенным к ней грузом; на тележке устанавливают механизмы для подъема груза и передвижения самой тележки.

Рис. 339

Верхнее расположение мостового крана, не занимающего полезной площади помещения, и возможность обслуживать им все-помещение сделали его самой распространенной в промышленности грузоподъемной машиной.
Наряду с мостовыми кранами широко применяют поворотные краны. На рис. 339 показаны три типа поворотных кранов. Простейшим из них является кран с вращающейся колонной. В большинстве случаев колонну устанавливают у стенки, к которой
349
крепится верхний подшипник крана, вследствие чего такие кра< ны часто называют стенными. Подобный кран с переменной -величиной вылета представлен на рис. 339, а. По верхней балке крановой фермы перемещается тележка, благодаря чему зона обслуживания измеряется площадью, ограниченной радиусами Ямакс И Ямин в пределах возможного поворота крана.
Для обслуживания открытых площадок строительных работ широко используют передвижные поворотные краны, устанавливаемые на специальных тележках (рис. 339, б) или на шасси автомобилей (рис. 339, в). При проектировании таких кранов тщательно проверяют их устойчивость.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Статика
4. 141 /сТ. 5. Р = 429 кГ. 6. Рх = 245 кВ; Ру — 350 кР. 7. Стержень АВ сжимается силой 600 кР; стержень ВС растягивается силой 1082 кР. 8. Стержень растягивается силой 150 кР; стержень растянут силой 250 кР. 9. Система уравновешивается. 10. R\~ 190 кР и/?в —800 кР, обе реакции направлены вверх. 11. Р3 = 34,5 кР; R — 214,5 л:Г. 18. 2,515 кг. 19. Опрокидывающий момент 727,4 кРм; коэффициент восстановления 1,73. 21. В 187,5 раза. 22. Р= 5,2и 7,5 кР. 23. Р = 12,1 кР.24. Р = 11 кР.
k
25. Р= 7,65 кР. 26. tga = _ .
Кинематика
31. Up = 15 м/мин; vx = 30 м/мин. 32. а = 0,25 м/сек2; и — 54 км/ч. 33. а — 0,125 м/сек2; Т — 10 мин 50 сек; vcp = 55,8 км/ч. 34. h — 78,48м;; Т — 8 сек. 37. 18 км. 38. v= 100 мм/мин; ^ = 608 мм/мин. 39.	—
= 1,2 м/сек; at — 0,24 м/сек2; ап = 0,72 м/сек12; аъ *= 0,76 м/сек2. 41. ж 1000 об/мин. 42. 72 — 280 мм. 43. v — 215 м/мин. 44.	2740 об/мин...
45. е — 1,64 град/сек2; at — 0,02 м/сек2; <о = 884 град/сек; v ~ 10,8 м/сек.. 46. е —21,33 град/сек2; at — 0,238 м/сек2; v=16,7 м/сек. 47. е = = 4,8 град/сек2; п « 460 оборотов.
Динамика
48. 200кг * м~~ * сек2. 49. 0 = 1177,2т ; и = 6,75м/сек. 50. Р = 20 194кГ.. 51. 5 = 26,5 м. 52. ДГ =0,102x7"*. 53. В наивысшем положении 1,67 кГ; в. наинизшем 3,17/сГ. 54. Гн = 0,245 кГ; Nn = 112 кГ. 55. а = 7°20'. 56. W = =2Р5. 57. 2,67 л. с. 58. 30кгм/сек. 59. 2V = 1778л.с. 60. ДГ=30,2л. с.; М2= = 108л7>. 61. 7У = 13,3 л. с.; Pz = 899 кР. 62. v к 0,34м/сек; 63. 2 648 700 кГм; 5 297 400 кГм. 64. 4 мин; S =2119 м. 65. = 0,78.
Элементы машиноведения
66. Р=117,ЗкЛ 67. т] = 0,85. 68. 19°28'. 69.	70. х=299 мм-
73. Р=1л-Л 75. В 18 раз. 76. Р«21,9 кГ. 77.п2 = п1 — Л8. nt = D3
=200об/мин; ЛГ4 = 109,5лЛи. 79. — , —	. 80. п2=36; п3=450;
zt z2 z3 z,
л4 = 100об/мин. 81. Л44 = 10,74кГм. 82. л2 = 6; л?3 = 50; и4 = 450об/мин-83. 327 и 467 об/мин. 84.	3299 об/мин. 85. 0,094 м/сек. 86. 20 об/мин;
60 об/мин. 87. Р^бкГ; N = 0,036 л. с. 88. Р= 324 кГ; v = 141,8 м/мин.
Основы сопротивления материалов
90. а=497 кГ/см2. 91. Д/=4,24 мм. 92. о=1000 кГ/см2. 93. а=584,5 кГ/см2;; Р=45 900 кГ. 94. 5 км 96 м. 95. 1 000 000 кГ/см2. 97. т=62,5 кГ/см2. 98. =81,5 кГ/см2. 99. т=393 кГ/см2.
Понятие о деталях машин
100. б1^45мм; d2 = 30мм; первый вариант выгоднее. 101. di^45мм~ d2 ~ 40лг.и4— наименее выгодный вариант.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение I
Коэффициент трения скольжения f (для сухих тел)
Трущиеся тела
Трущиеся тела
Мягкая сталь по мягкой стали ................
Чугун по чугуну . . . Бронза по бронзе . . . Мягкая сталь по бронзе Чугун по бронзе . . .
>	> дубу . . . .
Дерево по дереву . . .
Дуб по дубу вдоль волокон обоих тел .
0,14-0,19 0,16 0,20 0,18 0,21 0,49
0,32-0,60
0,48
Дуб по дубу вдоль волокон одного тела и поперек волокон другого тела..............
Кожа по чугуну . . . >	» дубу . . . .
Сталь по льду (коньки)
Стальные полозья по гладкому деревянному или каменному полу .
Деревянные полозья по снегу и льду . . . .
То же, но полозья, обитые железом
0,34
0,56
0,37—0,48
0,02-0,03
0,4
0,035
0,02
Приложение //
Коэффициент трения качения к
Трущиеся тела
Трущиеся тела
Д ер ев о по д ер ев у Сталь по стали Стальной шарик по стали ..............
0,05-0,08 0,005
0,0005-0,001
Стальные железнодорожные колеса по рельсам . . . .
0,05
Приложение III
Модули зубчатых колес
0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25; 2,5; (2,75); 3; (3,25); 3,5; (3,75); 4; (4,25); 4,5; 5,5; 6; 6,5; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 18; 20; 22; 26; 28; 30; 33; 36; 39; 42; 45; 50.
Модули, поставленные в скобки, по возможности не применять.
Для конических зубчатых колес модуль определяется по большому диаметру.
352
Приложение IV
Латинский и греческий алфавиты
Латинский
Г реческий
1J -	Названия Ьуквы	букв	Буквы Названия букв	Буквы	Названия букв	Буквы
Названия бук&-
N п
М т
ь с d е
а бэ цэ лэ
э
гэ аш
и йот ка эль эм
эн
ПЭ ку эр эс тэ
ве дубль-ве икс
игрек зет
альфа бэта
гамма дельта эпсилон
дзета эта тэта йота каппа ламбда
ми
НИ КСИ омикрон пи ро сигма тау ипсилон фи хи пси омега
Q
S
и и V и W w
а
£
Стр.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ......................................................  ,	3
§	1.	Механическое движение ...............  .	............. 3
§	2.	Относительность понятия покоя .................. 3
§	3.	Содержание технической механики.................. 4
§	4.	Основные этапы развития механики................   5
§	5.	Содержание теоретической механики . .................. 7
Часть первая. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Раздел первый. Статика
Глава первая. Основные понятия о силах. Начала статики..............11
§	6.	Содержание статики .................................. 11
§	7.	Материальная точка и твердое тело	. ...................И
§	8.	О силах...............................................12
§	9.	Два класса сил......................................  12
§	10.	Элементы, определяющие силу ..........................13
§	И.	Графический способ изображения	сил . . . .............15
§	12.	Система сил и равнодействующая........................16
§ 13.	Две равные силы, направленные в противоположные стороны по прямой, соединяющей их точки приложения, уравновешиваются ......................................................17
§	44.	Точку приложения можно	перенести	по	линии	действия силы 17
§	15.	Уравновешивающая сила....................................18
§	16.	Сложение сил, направленных	по одной	прямой	. ..18
§	17.	Связи и реакции связей ..................................20
§	18.	Вопросы для повторения	..............................22
§	19.	Упражнения . ..........................................  22
Глава вторая. Плоская система сходящихся сил .......................22
§ 20.	Сложение двух сил, направленных под углом ....... . 22
§ 21.	Разложение силы на две составляющие, приложенные в одной точке и направленные под углом ..........................26
§ 22.	Сложение нескольких сил, сходящихся в одной точке и лежащих в одной плоскости ... . .... . ..........................29
§ 23.	Проекция силы на ось . ...........................  .	30
§ 24.	Равновесие плоской системы сил, сходящихся в одной точке 34
§ 25.	Вопросы для повторения . . . . . . .... . ................36
§ 26.	Упражнения ....................................... . . 36
Глава третья. Плоская система параллельных сил. Момент силы ... 37
§ 27.	Сложение параллельных сил, направленных в одну сторону 37
§ 28.	Сложение параллельных сил, направленных в противоположные стороны .............................................   40
<354
Стр-
§ 29.	Разложение силы на параллельные составляющие..........41
§ 30.	Центр плоской системы параллельных сил................42
§ 31.	Момент силы относительно точки .......................43
§ 32.	Момент равнодействующей ..............................45
§ 33.	Пара сил . . . .,. . . . . . ........  .	............47
§ 34.	Условия равновесия лар............................... 49
§ 35.	Равновесие плоской системы параллельных сил...........50
§ 36.	Вопросы для повторения ...............................54
§ 37.	Упражнения .........................................  54
Глава четвертая. Система сил, произвольно расположенных в плоскости 55
§ 38.	Приведение силы к данной точке  ......................55
§ 39.	Приведение плоской системы сил к одному центру........55
§ 40.	Условия равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости . .............................................  .	58
§	41.	Понятие о пространственной системе сил и ее	равновесии . 50
Глава	пятая. Центр тяжести. Устойчивость тел ...................62
§	42.	Центр тяжести как центр параллельных сил..............62
§	43.	Центр тяжести некоторых тел простейшей формы..........62
§	44.	Центр тяжести площадей плоских фигур .................64
§ 45.	Экспериментальный способ определения центра тяжести плоских фигур ................................................    66
§	46.	Устойчивость	тела, имеющего	точку или ось опоры.......67
§	47.	Устойчивость	тела на плоскости........................70
§	48.	Вопросы для	повторения...............................73
§	49.	Упражнения .......................................... 73
Глава шестая. О трении.........................................  75
§ 50.	Вредные сопротивления .,..........................    75
§ 51.	Трение скольжения и трение качения....................75
§ 52.	Основные законы трения скольжения. Коэффициент трения
скольжения . ... . . . ... ..... ... ... . . . -........76
§ 53.	Понятие о сухом и жидкостном трении...................79
§ 54.	Коэффициент трения качения............................80
§ 55.	Роль трения в природе и технике.......................83
§ 56.	Вопросы для повторения................................83
§ 57.	Упражнения .......................................    84
Раздел второй. Кинематика
Глава седьмая. Траектория точки. Путь и время.................  .	85
§	58.	Содержание кинематики .. . . . .......................85
§	59.	Основные понятия кинематики...........................85
§ 60.	Нахождение пути, пройденного точкой, по ее положениям на траектории................................................... 87
§	61.	Построение траектории по заданным координатам.........88
§	62.	График движения и уравнение движения..................90
§	63.	Вопросы для повторения................................92
§	64.	Упражнения ...........................................92
Глава	восьмая. Прямолинейное движение точки.....................93
§	65.	Равномерное движение .................................93
§	66.	Скорость и путь при равномерном движении..............94
§	67.	Графики пути и скорости при равномерном движении ... 95
§ 68.	Неравномерное движение. Средняя скорость и среднее ускорение	.............................................   97
§ 69.	Равнопеременное движение. Скорость и ускорение.......99
§ 70.	Путь, пройденный в равнопеременном движении..........100
§ 71.	Движение тела по вертикали под действием силы тяжести . ЮЗ
355
Стр.
§ 72.	Вопросы для повторения ........................... . . 106
§ 73.	Упражнения ..............................................106
'Глава девятая. Сложение простейших движений точки..................107
§ 74.	Сложное движение. Абсолютное и относительное движение . 107
§ 75.	Сложение равномерных движений, направленных по одной прямой . ... . . ..................  .	....................108
§ 76.	Сложение прямолинейных и равномерных движений, направленных под углом................. . . . ’.........  .	.... .110
§	77.	Разложение скорости на составляющие..................ИЗ
§	78.	Вопросы для повторения ;.............................114
§	79.	Упражнения ...........................................  .114
Глава	десятая. Криволинейное движение точки ...................115
§	80.	Равномерное и неравномерное криволинейное	движение точки	115
§	81.	Скорость точки, движущейся криволинейно..............115
§	82.	Ускорение точки, движущейся криволинейно.............116
§	83.	Касательное и нормальное ускорения...................117
§ 84.	Нормальное ускорение при равномерном движении точки по окружности ...............................................  119
§	85.	Полное ускорение при круговом движении...............120
§	86.	Вопросы для повторения.................................  121
§	87.	Упражнения . . . . . .............. . .	........122
Глава	одиннадцатая. Простейшие движения твердого тела..........122
§	88.	Отличие движения твердого тела от движения	точки ....	122
§	89.	Поступательное движение тела.........................123
§ 90.	Вращение тела вокруг неподвижной оси. Угловое перемеще-
ние . ... . . ... . ... . .............  .	.. ............125
§ 91.	Угловая скорость и угловое ускорение...........  .....	126
§ 92.	Линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг непод-
§ 93.	Равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси .... 127
§ 94.	Графики, связывающие окружную скорость, диаметр и число оборотов . . ....... . ... .... . . . . . . . 7. 130
§ 95.	Равнопеременное вращение тела вокруг неподвижной оси . , 131
§ 96.	Плоскопараллельное движение твердого тела ...............133
§ 97.	Вопросы для повторения ..................................136
§ 98.	Упражнения ... . . ..... ... . . ... ... . .... - . 136
Раздел третий. Динамика
Глава двенадцатая. Основные положения динамики .....................137
§ 99.	Содержание динамики ............................. . 137
§ 100.	Первый закон механики (первый закон Ньютона).............137
§ 101.	Основное уравнение динамики (второй закон Ньютона) ,. . 138
§ 102.	Закон независимости действия сил . ............  .	. . 141
§ 103.	Следствия из рассмотренных законов механики	 .......142
§ 104.	Системы механических единиц..............................144
§ 105.	Зависимость между массой и весом тела ...................145
§ 106.	Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона)...................................................  146
§ 107.	Вопросы для повторения ..................................147
§ 108.	Упражнения ............................................  147
Глава тринадцатая. Основы динамики материальной точки............147
§ 109.	Содержание понятия динамики материальной точки	....	147
§ НО.	Движение тела по вертикали под действием силы	тяжести	..	148
§ 111.	Движение тела, брошенного под углом к горизонту	.	.	.	148
§ 112.	Касательная и нормальная силы при движении материальной точки по окружности..................  .	. . ............. . 152
356
Стр.
§ 113.	Силы инерции.........................................152
§ 114.	Силы инерции при движении материальной точки по окружности . . ..............................................    154
§ 115.	Роль сил инерции в технике  .........................156
§ 116.	Вопросы для повторения...............................157
§ 117.	Упражнения ....................... . ................157
Глава четырнадцатая. Работа и мощность ........................158
§ 118.	Понятие о работе.....................................158
§ 119.	Измерение работы.....................................159
§ 120.	Работа равнодействующей силы.........................160
§ 121.	Графическое выражение работы ........................161
$ 122.	Работа силы постоянной величины во вращательном движении ...................................................     163
§ 123.	Мощность и единицы ее измерения....................  165
§ 124.	Мощность при равномерном поступательном движении тела 166
§ 125.	Мощность при равномерном вращательном движении тела . 167
§ 126.	Зависимость между вращающим моментом, передаваемой мощностью и числом оборотов.................................168
§ 127.	Вопросы для повторения........................ . 170
§	128.	Упражнения .........................................170
Глава	пятнадцатая. Механическая энергия........................171
§	129.	Понятие о кинетической энергии......................171
§	130.	Кинетическая энергия поступательно движущегося тела . . 172
§ 131.	Энергия тела, движущегося под действием силы тяжести. Потенциальная энергия ........................................175
§ 132.	Понятие о кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси........................ . 178
§ 133.	Понятие о регулировании двигателей. Роль махового колеса 179
§ 134.	Механический коэффициент полезного действия..........181
§ 135.	Невозможность «вечного двигателя» ...................183
§ 136.	Понятие об ударе тел ................................183
§ 137.	Удар при работе свободно падающего молота............184
§ 138.	Вопросы для повторения ............................  186
§ 139.	Упражнения ......................................... 186
Часть вторая. ЭЛЕМЕНТЫ МАШИНОВЕДЕНИЯ
Раздел четвертый. Основные понятия о механизмах и машинах
Глава шестнадцатая. Основные понятия кинематики механизмов . . . 189
§ 140.	Машина и механизм............................... . 189
§	141.	Кинематические	пары................................ 190
§	142.	Кинематическая	цепь................................ 192
§	143.	Механизм и его	свойства ............................193
§	144.	Кинематическая	схема	механизма и ее условные обозначения 194
Глава семнадцатая. Наклонная плоскость, клин, рычаг.......  .	. 196
§ 145.	Наклонная плоскость..................................196
§ 146.	Клин..............................................   199
§ 147.	Рычаг .............................................. 201
§ 148.	Система рычагов. Дифференциальный	рычаг..............204
§ 149.	Блок неподвижный и подвижный.........................206
§ 150.	Система блоков. Дифференциальный	блок...............207
§ 151.	Ворот простой и дифференциальный	. ................210
§ 152.	Вопросы для повторения...............................212
§ 153.	Упражнения ......................................... 212
Глава восемнадцатая. Передачи между параллельными валами . . в . 213
357
Стр
<; 154. Общее понятие о передачах................................213
§ 155.	Передача движения гибкой связью.................... . 214
§ 156.	Передаточное отношение и передаточное число передачи гибкой связью..................................................215
§ 157.	Кинематика передачи одной парой шкивов...................216
§ 158.	Кинематика передачи несколькими парами шкивов............217
§ 159.	Статика передачи шкивами.................................219
§ 160.	Передача с натяжным роликом..............................220
§ 161.	Понятие о цепной передаче................................222
§ 162.	Фрикционная передача между параллельными валами . . . 223
§ 163.	Цилиндрические зубчатые колеса ..........................223
§ 164.	Передаточное отношение и передаточное число зубчатой передачи .......................................................225
§ 165.	Кинематика передачи несколькими парами зубчатых колес . 226
§ 166.	Статика передачи цилиндрическими зубчатыми колесами . . 229
§ 167.	Паразитные зубчатые колеса.............................  231
§ 168.	Понятие о дифференциальных зубчатых механизмах с цилиндрическими колесами .....................................233
§ 169.	Геометрические элементы зубчатого зацепления.............234
§ 170.	Основные формы зубьев цилиндрических колес...............237
§ 171.	Прерывистая передача вращательного движения..............238
§ 172.	Вопросы для повторения...................................240
§ 173.	Упражнения ............................- . . 241
Глава девятнадцатая. Передачи между непараллельными валами . . . 243
§ 174.	Передача вращения гибкой связью.................... . 243
§ 175.	Фрикционная передача............................-	- • 243
§ 176.	Передача коническими зубчатыми	колесами................247
§ 177.	Основные понятия о винте.........................	-	.	250
§ 178.	Передача винтовыми колесами	и	червячная	передача . .	.	.	253
§ 179.	Универсальный шарнир.............................. . . 255
§ 180.	Вопросы для повторения.................................257
§ 181.	Упражнения ..............................................257
Глава двадцатая. Преобразование вращательного движения в поступательное и обратно ............................................. 258
§ 182.	Преобразование вращательного движения в поступательное . 258
§ 183.	Фрикционный механизм для получения поступательного дви-жен ия .....................................................258
§ 184.	Передача зубчатой рейкой .......................... . 259
§ 185.	Кинематика передачи винтом и гайкой............... . . 261
§ 186.	Статика передачи винтом и гайкой................... . 265
§ 187.	Профили резьб основных видов передаточных винтов . - . 267
§ 188.	Кривошипно-шатунный механизм.............................268
§ 189.	Кинематика кривошипно-шатунного механизма................269
§ 190.	Эксцентриковый механизм .................................272
§ 191.	Механизм с качающейся кулисой............................274
§ 192.	Кинематика механизма с качающейся кулисой................275
§ 193.	Кулачковые механизмы.....................................277
§ 194.	Построение профиля плоского кулачка.................., 279
§ 195.	Вопросы для повторения...................................281
§ 196.	Упражнения ........................................... 282
Раздел пятый. Основы сопротивления материалов
Глава двадцать первая. Основные понятия..........................283
§ 197, Деформация тела под действием внешних сил.............283
§ 198.	Внешние и внутренние силы. Метод сечений..............284
358
Стр.
§ 199.	Внутренние силы упругости.............................286
§ 200.	Напряжения в деформированном теле.....................286
§ 201.	Понятие о расчете на прочность и допускаемом напряжении 287
§ 202.	Статическое и динамическое действия нагрузки..........289
§ 203.	Основные виды деформаций..............................289
§ 204.	Вопросы для повторения................................290
Глава двадцать вторая. Растяжение и сжатие......................291
§ 205.	Растяжение. Удлинение абсолютное и относительное . . . .291
§ 206.	Поперечная деформация при растяжении..................292
§ 207.	Диаграмма напряжений при растяжении...................293
§ 208.	Зависимость между напряжением и относительным удлинением. Модуль продольной упругости.............................294
§ 209.	Сжатие................................................296
§ 210.	Расчетное уравнение и допускаемое напряжение при растяжении и сжатии.................................................297
§ 211.	Сжатие и продольный изгиб.............................299
§ 212.	Вопросы для повторения................................300
§ 213.	Упражнения ...........................................300
Глава двадцать третья. Сдвиг и кручение.........................301
§ 214.	Понятие о деформации сдвига (среза)...................301
§ 215.	Мера деформации сдвига. Модуль сдвига.................302
§ 216.	Допускаемое напряжение на срез........................303
§ 217.	Пробивание металлов и резание ножницами...............304
§ 218.	Понятие о деформации кручения . . . ..................304
§ 219.	Кручение как разновидность сдвига.....................306
§ 220.	Распределение напряжений кручения по поперечному сечению 306
§ 221.	Основное уравнение кручения...........................308
§ 222.	Вопросы для повторения................................311
§ 223.	Упражнения .........................................  311
Глава двадцать четвертая. Изгиб...............................  312
§ 224.	Понятие	о деформации изгиба...........................312
§ 225.	Распределение нормальных напряжений при изгибе. Нейтральный слой....................................................313
§ 226.	Понятие	об основном уравнении изгиба..................316
§ 227.	Понятие	об изгибающем моменте.........................318
§ 228.	Понятие	о построении эпюры изгибающих моментов .... 320
§ 229.	Вопросы	для повторения................................321
Глава двадцать пятая.	Общие понятия о	сложных деформациях .... 322
§ 230.	Простые и сложные деформации..........................322
§ 231.	Растяжение	(сжатие) и изгиб..........................323
§ 232.	Кручение и изгиб......................................324
Раздел шестой. Понятие о деталях машин
Глава двадцать шестая. Детали передач вращательного движения . . . 326
§ 233.	Виды деталей машин...................................326
§ 234.	Общие понятия об осях и	валах	и	их элементах.........326
§ 235.	Понятие о расчете валов на кручение..................328
§ 236.	Основные типы подшипников	скольжения.................330
§ 237.	Подшипники качения...................................330
§ 238.	Общие понятия о муфтах...............................332
§ 239.	Вопросы для повторения...............................333
§ 240.	Упражнения ..........................................333
Глава двадцать седьмая. Разъемные соединения...................333
§ 241.	Резьбовые соединения.................................333
§ 242,	Крепежные резьбы.....................................334
359
Стр.
§ 243.	Понятие о клиновых соединениях........................336
§ 244.	Детали резьбовых соединений...........................337
§ 245.	Шпоночные соединения..................................339
Глава двадцать восьмая. Неразъемные соединения...................340
§ 246.	Виды неразъемных соединений.................... . 340
§ 247.	Понятие о заклепочном соединении......................340
§ 248.	Расчет однорядного заклепочного соединения............341
§ 249.	Понятие о сварном соединении......................	. . 342
§ 250.	Понятие о расчете сварных швов........................344
Глава двадцать девятая. Редукторы, коробки скоростей, грузоподъемные устройства....................................................  .344
§ 251.	Редукторы чисел оборотов..............................344
§ 252.	Коробки скоростей.....................................346
§ 253.	Понятие о грузоподъемных машинах......................348
Ответы к упражнениям.............................................351
Приложения ......................................................352
Левинсон Лев Ефимович
ОСНОВЫ ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. Учеб, пособие для проф.-техн. училищ. Под ред. А. Е. Кобринского. Изд. 4-е, переработ. и доп. М., «Высш, школа», 1966.
360 с. с илл.	6.05
Редактор Г. А. Сильвестрович Художник А. К. Зефиров Технический редактор Н. А. Битюкова Корректор Р. К. Иванова
Т-05259 Сдано в набор 29/VII—65 г. Подп. к печати 3/V—66 г.
Формат 60X90Vi6	Объем 22,5 печ. л.	Уч.-изд. л. 20,21
Изд. № ЭГ—6596	Тираж 75 000 экз.	Цена 57 коп.
Тематический план издательства «Высшая школа» (профтехобразование) на 1966 г. Позиция № 42
Москва, И-51, Неглинная ул., 29/14, Издательство «Высшая школа»
Комитета по печати при Совете Министров СССР, Хохловский пер., 7. Зак. 1599