ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 19
Л. А. ЛЮСТЕРНИК
КРАТЧАЙШИЕ ЛИНИИ
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
tt ft -j • ¦ ¦¦ '. i ¦ : ,-'„
Ц ft T -: ¦-: ¦. '¦¦(";-*•• if
rirt Is. : •; = : 'i '.'.1 i. j'i
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1965

11-3-1

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение		5
ЛЕКЦИЯ 1
Глава I. Кратчайшие линии на простейших поверхностях	7
§ 1. Кратчайшие линии на многогранных поверхностях . .	7
§ 2. Кратчайшие линии на поверхности цилиндра		12
§ 3. Кратчайшие линии на конической поверхности		20
§ 4. Кратчайшие линии на поверхности шара		28
Глава II. Некоторые свойства плоских и пространствен-
пространственных кривых и относящиеся к ним задачи ....	36
§ 5. Касательная и нормали к плоским кривым и связан-
связанные с ними задачи		36
§ 6. Некоторые сведения из теории плоских и простран-
пространственных кривых		41
§ 7. Некоторые сведения из теории поверхностей		45
Глава III. Геодезические линии 		47
§ 8. Теорема И. Бернулли о геодезических линиях		47
§ 9. Дополнительные замечания о геодезических линиях.	52
§ 10. Геодезические линии на поверхностях вращения ...	57
лекция 2
Глава IV. Задачи, связанные с потенциальной энергией на-
натянутой нити	«		60
§ 11. Движения линий, не меняющие их длин		60
§ 12. Эволюты и эвольвенты		66
§ 13. Задачи на равновесие системы упругих нитей		67
Глава V. Изопериметрическая задача		72
§ 14. Кривизна и геодезическая кривизна		72
§ 15. Изопериметрическая задача		75
!•	3

Глава VI. Принцип Ферма и его следствия		81
§ 16. Принцип Ферма		81
§ 17. Кривая рефракции		83
§ 18. Задача о брахистохроне		87
§ 19. Цепная линия и задача о наименьшей поверхности
вращения		90
§ 20. Связь между механикой и оптикой 		99

ВВЕДЕНИЕ
В настоящей книжке исследуется с элементарной точки
зрения ряд так называемых вариационных задач. В этих за-
задачах рассматриваются величины, зависящие от кривой, и
ищется кривая, для которой эта величина достигает своего
наибольшего или наименьшего значения. Таковы, например,
задачи: среди всех кривых, соединяющих две точки на не-
некоторой поверхности, найти кратчайшую; на плоскости среди
всех замкнутых кривых заданной длины найти ту, которая
ограничивает наибольшую площадь, и т. д.
Материал этой книги в основном излагался автором на
лекциях в школьном математическом кружке МГУ. Содер-
Содержание первой лекции (§§ 1—10) в основном совпадает
с содержанием вышедшей в 1940 г. брошюры автора «Гео-
«Геодезические линии».
У читателя предполагается только знакомство с курсом эле-
элементарной математики. При этом первые главы носят со-
совершенно элементарный характер, другие же, не требуя
специальных знаний, требуют несколько большего навыка
к математическому чтению и размышлению.
Весь материал книжки можно рассматривать как элемен-
элементарное введение в вариационное исчисление (так называется
тот раздел математики, в котором систематически изучаются
задачи на отыскание минимума или максимума функционалов).
Вариационное исчисление не входит в первый концентр курса
«высшей математики», изучающегося, например, в техниче-
технических вузах. Однако мы считаем, что для человека, присту-
приступающего к изучению курса «высшей математики», не бес-
бесполезно заглянуть подальше вперед.
Для читателя, знакомого с элементами математического
анализа, не представит труда сделать некоторые определения
и рассуждения, излагаемые в книжке не строго, совершенно

строгими (поясняющие соображения для этого он часто най-
найдет в тексте, данном мелким шрифтом); нужно, например,
говорить не о малых величинах и их приближенном равен-
равенстве, а о бесконечно малых величинах и их эквивалентности.
Если более взыскательный читатель останется все же неудов-
неудовлетворенным допущенным здесь уровнем строгости и логи-
логической законченности рассмотрений, то пусть это послужит
для него объяснением необходимости той логической шли-
шлифовки основных понятий математического анализа, с которой
он столкнется, например, в университетских курсах анализа.
Без этой шлифовки невозможно строгое и систематическое
изложение таких глав анализа, как вариационное исчисление.
Математический анализ выработал мощный аналитический
аппарат, решающий иногда автоматически многие трудные
задачи. Однако на всех этапах овладения математикой
исключительно важно видеть простой геометрический или
физический смысл решаемой задачи. Нужно уметь решать
задачи «на пальцах», как говорят математики, т. е. находить
пусть нестрогое, но простое и наглядное доказательство.
Если эта небольшая книжка хоть в некоторой мере будет
способствовать развитию у читателей этих элементов мате-
математической культуры, то автор будет считать, что труд, за-
затраченный им на ее написание, оказался не бесполезным.

ЛЕКЦИЯ 1
Г Л А В А I. КРАТЧАЙШИЕ ЛИНИИ НА ПРОСТЕЙШИХ
ПОВЕРХНОСТЯХ
§ 1. Кратчайшие линии на многогранных поверхностях
1. Кратчайшая линия на двугранном угле.
Читателю, конечно, известно, что прямолинейный отрезок
является кратчайшей из всех линий, соединяющих на пло-
плоскости две точки.
Рассмотрим теперь две точки А и В на произвольной
поверхности; их можно соединить бесчисленным множеством
различных линий, лежащих на этой поверх-
поверхности. Но какая из этих линий является
кратчайшей? Иначе говоря, как следует
двигаться по поверхности, чтобы кратчай-
кратчайшим путем попасть из точки А в точку В?
Мы решим эту задачу сначала для не-
некоторых поверхностей простейшего вида.
Начнем с такой задачи: дан двугранный
угол') с гранями Qt и Q2 и ребром MN;
на этих гранях заданы две точки: точка А
на Qi и точка В на Q2 (черт. 1). Точки А
и В можно соединить бесчисленным множеством различных
линий, расположенных на гранях Qt и Q2 двугранного угла.
Найти кратчайшую из этих линий.
Если двугранный угол равен двум прямым углам A80°),
то грани Qj и Q2 составляют продолжение одна другой (т. е.
"N
Черт. 1.
') На черт. 1 дана лишь часто этого бесконечного двугран-
двугранного угла.

Черт. 2.
составляют одну плоскость) и искомой кратчайшей линией
является прямолинейный отрезок АВ, соединяющий точки А
и В. Если же двугранный угол не равен двум прямым углам, то
грани Qi и <?2 не составляют одна продолжение другой и
прямолинейный отрезок АВ не лежит на этих гранях. По-
Повернем одну из граней вокруг прямой MN так, чтобы обе
грани сделались продолжением одна другой, иначе говоря,
развернем двугранный угол на плоскость (черт. 2). Грани Qt
и Ра перейдут в полуплоскости Q[ и Q'z. Прямая MN пе-
перейдет в прямую M'N', отделяющую Q[ и Q'2; точки А и В
перейдут в точки А' и В' (А' расположена на Q\, В' — на Q'z);
каждая линия, лежащая на гранях двугран-
двугранного угла и соединяющая точки А и В,
перейдет в линию той же длины, соединя-
соединяющую точки А' и В' на нашей плоскости.
Кратчайшая из линий на гранях двугран-
двугранного угла, соединяющая точки А я В,
перейдет в кратчайшую из линий, соеди-
соединяющих на плоскости точки А' и В', т. е.
в прямолинейный отрезок А'В'. Этот отре-
отрезок пересекает прямую M'N' в некоторой
точке С, причем углы А'СЛ'Г и N'CB1
равны как вертикальные (черт. 2). Величину каждого из
них обозначим буквой а.
Повернем теперь Q[ и Q'% вокруг M'N' так, чтобы вновь
получить первоначальный двугранный угол. Полуплоскости Q\
и Q'% обратятся опять в грани Qt и Qa этого двугран-
двугранного угла, M'N' — в его ребро MN, а точки А' и В' — в
точки А (на грани Qt) и В (на грани Q2), прямолинейный
отрезок А'В' перейдет в кратчайшую линию, лежащую на
гранях двугранного угла и соединяющую точки А и В. Эта
кратчайшая линия есть, очевидно, ломаная АСВ, у которой
звено АС расположено на грани Qlt a CB — на грани Q2.
Очевидно, углы АСМ и NCB, в которые перешли равные
между собой углы А'С'М' и N'CB', попрежнему равны а и,
значит, равны между собой. Итак, кратчайшая из линий,
лежащих на гранях двугранного угла и соединяющих две
его точки А и В {находящиеся на различных его гранях),
есть ломаная АСВ, имеющая вершину С на ребре MN,
причем углы АСМ и NCB, образованные звеньями лома-
ломаной с ребром, равны между собой.
Рассмотренной задаче придают иногда полушутливый
характер. Муха хочет переползти из точки А, лежащей на

одной стене, в точку В, лежащую на соседней стене. Как
она должна двигаться по стенам, чтобы кратчайшим путем
попасть из точки А в точку В. Теперь уже ке составляет
труда найти решение.
2. Кратчайшая линия на многогранной по-
поверхности. Перейдем к рассмотрению несколько более
сложного случая. Дана многогранная поверхность (черт. 3),
состоящая из нескольких граней Qu Q2, Qs, Q4, ... , Qn
с ребрами MtNu M2N2, MSN3, ... , 7Hra_1jVra_1 (на черт. З
я —4). На двух разных гранях этой многогранной поверх-
Черт. 3.
ности (например, иа Qt и Q4) даны точки А к В. Найти на
этой многогранной поверхности кратчайшую линию, соеди-
соединяющую точки А и В.
Пусть кратчайшей будет линия АВ и пусть она проходит
по граням Qj, Pa, Q3, Q4. Развернем часть многогранной
поверхности, состоящую из этих граней, на плоскость (черт. 4).
При этом грани перейдут в многоугольники этой плоско-
плоскости Q'u Q'2, Q'3, Q\, а ребра MtNlt M2N$, M3N3, по которым
прилегали друг к другу грани Qu Q3, Q8, Q4, перейдут в
стороны M\N\, M'iN'i, M'^N'z многоугольников Q[, Q'%, Q'3, Q'if
по которым эти последние прилегают друг к другу. Точ-
Точки Л и В перейдут в точки А' и В' плоскости, а линии, со-
соединяющие их на развертываемой части многогранной по-
поверхности, перейдут в линии на плоскости, соединяющие
точки А' и В'. Кратчайшая из линий, соединяющих А
и В, перейдет в кратчайшую плоскую линию, соединяющую
9

точки А' и В', т. е. в прямолинейный отрезок А'В''). Здесь пол-
полностью повторяются предыдущие рассуждения: вертикальные
углы К] и Cls образованные прямой А'В' со стороной M'\N\,
равны между собой; точно так же равны попарно между
Черт. 4.
образованные
собой вертикальные углы а.2 и j32, a3 и
прямой А'В' со сторонами М'^Ы'ч, M'sNs (черт. 4).
Если снова согнуть часть плоскости, составленную из на-
наших многоугольников, в многогранную поверхность так,
чтобы многоугольник Q[ вновь превра-
превратился в грань Qj, многоугольник Q'i —¦
в грань Q2, многоугольник Q'g — в грань Qa
и, наконец, QI — в грань Qg, то
точки А' и В' перейдут в точки А и В
а отрезок А'В' превратится в линию АВ>
в кратчайшую из линий на многогран-
многогранной поверхности, соединяющих точки А
и В. Этой кратчайшей линией будет
ломаная, вершины которой расположены
на ребрах MlN1, M2N2, M3NS много-
многогранной поверхности. Углы оц и pt
(а также а2 и j32, a3 и р3), которые
образуют с ребром поверхности два смежных звена лома-
ломаной, равны между собой.
3. Кратчайшая линия на боковой поверх-
поверхности призмы. На черт. 5 изображены призма2) и крат-
Черт. 5.
') Случай, когда А'В' пересекает другие стороны этих много-
многоугольников, здесь не рассматривается.
2) Грани призмы надо мыслить неограниченно продолженными.
(О

чаИшая из всех линий на ее поверхности, соединяющих две
точки А и В, лежащие на разных гранях призмы. Этой
кратчайшей линией является ломаная с вершинами С1; С2,
С3 на ребрах призмы, причем углы двух ее смежных звеньев
с ребром призмы, на котором лежит их общая вершина,
в силу предыдущего равны между собой:
Но, кроме того, мы имеем р1 = а3.
В самом деле, эти углы являются внутренними накрест
лежащими при параллельных прямых M^N^ и M%N% и секу-
секущей QCa. Точно так же р2 = а3.
Итак, мы имеем
Иначе говоря, углы, образован-
образованные звеньями кратчайшей ло-
ломаной линии АВ на поверхности
призмы со всеми ее ребрами,
равны между собой.
4. Кратчайшая линия
на поверхности пира-
пирамид ы. Пусть на двух боковых
гранях пирамиды ') с вершиной О
заданы две точки А и В
(черт. 6). Эти точки можно со-
соединить на поверхности пирамиды бесчисленным множе-
множеством линий, среди которых есть кратчайшая АВ. На осно-
основании предыдущего линия АВ есть ломаная линия, вершины
которой Съ Са, С3, ... лежат на ребрах пирамиды, а углы оц
и р1( а2 и ра, а3 и рз, ..., образованные звеньями этой лома-
ломаной с ребрами пирамиды, попарно равны:
Черт. 6.
Рассмотрим грань Р^ОР^, на которой лежит звено СгС^
если у! означает угол Р]ОРЪ то в треугольнике С^ОС^ угол <х2
является внешним, а углы ^ и "^ —¦ внутренними. Внешний
угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не
смежных, следовательно,
или a2— Pj ==Ti-
Грани пирамиды мыслятся неограниченно продолженными.
11

Но так как [31 = <х1, то а2 — at = yl.
Аналогично а3 — <х2 = Уг> где Т2 — Угол ПРИ вершине О
между соседними боковыми ребрами ОРг и ОР3, и т. д.
Таким образом, разность углов, под которыми крат-
кратчайшая линия пересекает какие-либо два ребра пирамиды,
равна сумме соответствующих плоских углов при вершине.
§ 2. Кратчайшие линии на поверхности цилиндра
1. Кратчайшая линия на поверхности ци-
цилиндра. Перейдем теперь к разысканию кратчайших линий
на некоторых простейших кривых поверхностях. Начнем
с поверхности круглого цилиндра 1).
Напомним предварительно, что поверхность цилиндра
можно покрыть системой прямых линий, параллельных оси
цилиндра, а следовательно, и друг другу. Эти прямые назы-
называются образующими цилиндра.
а, пг
Черт. 7.
Черт. 8.
Зададим на поверхности цилиндра две точки Л и В
(черт. 7). Будем искать среди кривых, расположенных на
цилиндре и соединяющих точки А и В, ту, которая обла-
обладает наименьшей длиной. Обозначим эту кратчайшую кривую,
соединяющую точки Л и В, через АВ. Сначала рассмотрим
случай, когда Л и В не лежат на одной образующей.
Разрежем боковую поверхность цилиндра по некоторой
образующей PQ (не пересекающей АВ) и развернем ее на
плоскость; получим некоторый прямоугольник (черт. 8) (одна
пара сторон прямоугольника, РР" и Q'Q", получилась от
развертывания окружностей, ограничивающих боковую по-
') Рассматриваемая сейчас поверхность конечного цилиндра
(черт. 7) есть часть поверхности бесконечного цилиндра.
12

верхность цилиндра; другая пара, PQ' и P'Q", образовалась
из двух краев разреза PQ). Образующие цилиндра перейдут
в прямые, параллельные стороне PQ' прямоугольника. Точ-
Точки Л и В перейдут в точки А' и В', лежащие внутри прямо-
прямоугольника. Линии, соединяющие на цилиндре точки А и В,
перейдут в плоские линии, соединяющие точки А' и В' внутри
прямоугольника. Дуга АВ — кратчайшая из линий на ци-
цилиндре, соединяющих точки А и В, — перейдет в кратчай-
кратчайшую из плоских линий, соединяющих точки А' и В', т. е.
в прямолинейный отрезок А'В'. Таким образом, после раз-
развертывания боковой поверхности цилиндра в плоский прямо-
прямоугольник кратчайшая дуга АВ на поверхности цилиндра
переходит в прямолинейный отрезок А'В'. Образующие
цилиндра PtQi, P2Q2, ... переходят в прямые P\Q[, P2Q2
параллельные сторонам P'Q, P'Q" прямоугольника PQ'Q"P'.
Углы, которые образует отрезок А'В' с этими прямыми, рав-
равны как соответственные углы при параллельных линиях.
Обозначим величину каждого из них через а.
Теперь свернем прямоугольник P'Q'Q"P' (склеив его
противоположные стороны P'Q1 и P'Q") так, чтобы он
вновь принял первоначальную форму цилиндра. Точки А' и
В' перейдут вновь в точки А и В цилиндра, а прямолиней-
прямолинейный отрезок А'В', их соединяющий, — в кратчайшую дугу АВ
на поверхности цилиндра; углы отрезка А'В' с прямыми PiQl,
P2Q2 перейдут в равные им углы между дугой АВ и обра-
образующими PiQi, P4Q4, ... цилиндра. Так как прямая А'В'
пересекла все прямые, параллельные PQ', под равными угла-
углами а, то кратчайшая дуга АВ, в
которую переходит А'В', пересекает
все образующие цилиндра под рав-
равными углами а (черт. 7).
Рассмотрим особый случай, когда
точки А и В лежат на одной обра-
образующей (черт. 9). В этом случае,
очевидно, отрезок АВ образующей
будет кратчайшим расстоянием
между точками А и В на поверх- Черт. 9.	Черт. 10.
ности цилиндра.
Выделим еще случай, когда точки А и В лежат на одном
круговом сечении цилиндра (черт. 10). Луга АВ этого сечения
13

перпендикулярна ко всем образующим. Она служит крат-
кратчайшей дугой, соединяющей точки А и В.
Если разрезать цилиндр по образующей, не пересекаю-
пересекающей дуги АВ, и развернуть его в плоский прямоугольник,
то в двух особо рассмотренных случаях кратчайшая дуга
перейдет в отрезок, параллельный сторонам прямоугольника.
Во всех остальных случаях кратчайшая линия пересекает
образующие под углом, отличным от прямого (и не равным
нулюI).
2. Винтовые линии. Винтовой линией называется ли-
линия на поверхности цилиндра, которая пересекает все обра-
образующие цилиндра под равными углами, отличными от прямого.
Будем обозначать угол между винтовой линией и обра-
образующей через а. Линия, пересекающая образующие цилиндра
под прямым углом, есть круговое сечение. Можно рассматри-
рассматривать круговое сечение как предельный случай вин-
винтовой линии, когда а обращается в прямой угол.
Точно так же образующую цилиндра можно
рассматривать как другой предельный случай,
когда а обращается в нуль.
Рассмотрим два движения по поверхности ци-
цилиндра: движение параллельное оси (по образую-
образующей), и вращение вокруг оси (по круговому се-
сечению) с постоянными скоростями.
Черт. 11. Каждое из этих движений можно вести в
двух противоположных направлениях. Будем счи-
считать на вертикальном цилиндре движение вверх поло-
положительным, движение вниз отрицательным. Будем считать
положительным вращением вращение на вертикальном ци-
цилиндре справа налево (для того, кто стоит вдоль оси головой
вверх), или против движения часовой стрелки. Будем считать
отрицательным вращением вращение слева направо — по
движению часовой стрелки.
Движение по винтовой линии получается в результате
складывания двух движений: движения, параллельного оси
цилиндра, и вращения вокруг оси. Винтовая линия назы-
называется правой, если по ней движение вверх сочетается
с положительным вращением — справа налево (черт. 11),
') Интересно сравнить нашу задачу отыскания кратчайшей
линии на поверхности цилиндра с рассмотренной на стр. 10 зада-
задачей отыскания кратчайшей ломаной на поверхности призмы (для
которой наша задача является предельной).
14

левой, если по ней движение вверх сопровождается отри-
отрицательным вращением (слева направо).
Большинство вьющихся растений (вьюнок, фасоль),
завиваясь вокруг вертикальной опоры, принимает форму
правых винтовых линий (черт. 12). С другой стороны,
хмель, например, принимает форму левой винтовой линии
(черт. 13).
Пусть, двигаясь по винтовой линии, точка пересечет не-
некоторую образующую в точке М, а при продолжении дви-
движения по винтовой линии
она вновь пересечет эту же
образующую в точке N;
когда точка прошла ду-
дугу MN винтовой линии, она
совершила полный оборот
вокруг оси цилиндра; в это
Черт. 12.
Черт. 13.
же время она прошла вверх расстояние, равное длине от-
отрезка MN (черт. 11). Если скорость вращательного движе-
движения равна нулю и точка перемещается только параллельно
оси цилиндра по образующей, наступает первый предельный
случай; другой предельный случай наступит, если скорость
перемещения, параллельного оси цилиндра, равна нулю и
точка только вращается вокруг оси по окружности.
Из того, что было сказано выше, следует
Теорема. Кратчайшая, дуга АВ на поверхности ци-
цилиндра, соединяющая две заданные точки А и В, есть
дуга винтовой линии.
15

3. Винтовые дуги, соединяющие две задан-
заданные точки. Две точки на поверхности цилиндра можно
соединить различными винтовыми дугами. В самом деле,
пусть две точки на поверхности цилиндра соединены крат-
кратчайшей дугой АВ; эта дуга — дуга винтовой линии, и
при развертывании поверхности цилиндра (разрезанной
вдоль образующей, не пересекающей дуги АВ) в плоский
прямоугольник она перейдет в прямоугольный отрезок
(черт. 7 и 8).
Разрежем теперь цилиндр вдоль образующей Р&и пе-
пересекающей кратчайшую дугу АВ в точке С (черт. 7). Ли-
Линия АВ окажется разрезанной на две части АС и СВ; если
Черт. 14.
Черт. 15.
развернуть поверхность цилиндра в плоский прямоугольник,
то точки А я В перейдут в точки А" и В" прямоугольника
(черт. 14), а части АС и СВ дуги АВ перейдут соответ-
соответственно в прямолинейные отрезки А"С" и В"С. Но точ-
точки А" и В" можно соединить прямолинейным отрезком А"В",
лежащим внутри прямоугольника P\Q'\Q"\P'{. Очевидно, А"В"
короче всякой другой линии, лежащей внутри этого прямо-
прямоугольника и соединяющей точки А" и В".
Свернем снова наш прямоугольник в цилиндр, склеив
боковые стороны P\Q\ и P[Q"\ так, чтобы точка С слилась
с точкой С" и заняла положение С; тогда точки А" и В"
вновь перейдут в точки Л и В на поверхности цилиндра,
а отрезки А"С и В"С перейдут в дугу АВ, кратчайшую
из всех линий на поверхности цилиндра, соединяющую точ-
точки А и В. Отрезок же А"В" перейдет в дугу винтовой ли-
линии АВ, соединяющей те же точки А а В. На черт. 15
16

АВ есть дуга правой, а АВ — левой винтовой линии, про-
проходящей через точки А и В.
Линии, не пересекающие стороны прямоугольника, после
того как он будет свернут в цилиндр, перейдут в линии,
не пересекающие образующей PyQ^ (так как по этой прямой
склеились стороны P\Q\ и P{Q'{ нашего прямоугольника).
Среди этих линий кратчайшей будет дуга АВ = АтВ
(черт. 15). Но она может не оказаться самой короткой из
всех линий на поверхности цилиндра, соединяющих точки А
и В, ибо, если АВ короче, чем АВ, то тем самым АВ не
является кратчайшей среди кривых, лежа-
лежащих на поверхности цилиндра и со-
соединяющих точки А и В.
Проведем через точку. А и ось
цилиндра полуплоскость Ru а через
точку В и ось цилиндра полуплоскость /?2
(черт. 15).
Эти полуплоскости образуют два дву-
гранных угла. В одном из них заключена
дуга АВ, а в другом — дуга АВ. Из этих
дуг короче та, которая лежит внутри
меньшего двугранного угла.
Если же полуплоскости Rt и /?2	Черт. 16.
образуют продолжение одна другой
(т. е. угол между ними равен двум прямым углам), то обе
дуги АВ и АВ равны по длине. В этом случае на поверх-
поверхности цилиндра существуют две кратчайшие дуги
(одинаковой длины), соединяющие точки А и В
(черт. 16).
Обе рассмотренные нами винтовые дуги АВ и
АВ, соединяющие точки Л и В, обладают общим
свойством: двигаясь по одной из них из точки А
в точку В, мы не совершаем полного оборота
Черт. 17. вокруг оси цилиндра.
Пусть теперь вокруг цилиндра многократно обернут
длинный прямоугольный лист бумаги (ширина его пусть
совпадает с высотой цилиндра (черт. 17)). Проткнем этот
лист иголкой в точках Л и В, затем развернем его в пло-
17

ский прямоугольник. В нескольких местах листа будут на-
находиться следы прокола точки Л; на черт. 18 они обозна-
обозначены буквами А{, А'ъ А'з, ... Эти следы лежат на одной
горизонтальной прямой, параллельной горизонтальным сто-
сторонам нашего прямоугольника. Если провести через точ-
точки А[, А'ъ, А'з, ... прямые P[Q\ и P'tQ'i, P3Q3, ¦ • -, параллельные
другой паре сторон прямоугольника, то отделится прямо-
л'
Черт. 18.
угольник PlQ'iQiP'b дающий один оборот листа вокруг ци-
цилиндра; при навертывании листа на цилиндр отрезки P[Q\ и
P2Q2 лягут на образующую PQ цилиндра, проходящую
через точку Л; при этом слившиеся точки А\,А'ч попадут на
точку Л цилиндра.
Следами прокола в точке В цилиндра будут точки В\,
В'% В'з, ... нашего листа. Их расположение совершенно
аналогично расположению точек А[, А'ъ Ag, ¦..
Соединим точку А[ прямыми линиями с точками В\, В'ъ
В'з, ¦.. Навернем снова наш лист на цилиндр так, чтобы
точки А'ъ Аъ, А'з, ••• вновь легли на точку Л, а точки В\,
В'ч, В'з, ... — на точку В цилиндра. Прямолинейный отре-
отрезок А\В\ перейдет в дугу АВ винтовой линии (черт. 17), с ко-
которой мы уже имели дело выше.
Будем для краткости говорить: «кривая АВ реализует
я целых положительных (отрицательных) оборотов вокруг
оси цилиндра», если, двигаясь по этой кривой на поверх-
поверхности цилиндра от точки Л до точки В, мы совершим более
чем п и менее чем (л-)-1) полных положительных (отрица-
(отрицательных) оборотов вокруг оси цилиндра или точно п целых
оборотов.
При наворачивании плоскости на цилиндр отрезок A\B'i
тоже перейдет в дугу винтовой линии (АВ\, соединяющей
18

точки Л и В (черт. 19); точно так же отрезки A\B'z,
А\В\, ... перейдут в дуги винтовых линий (АВ)} (черт. 20),
(АВK, ... , соединяющих эти точки. Дуга (АВI реализует
один целый положительный оборот вокруг оси цилиндра,
дуги (ЛВK, (ЛВK — соответственно два, три, ... таких целых
оборота.
Дуга (АВ)^ есть кратчайшая среди дуг, соединяющих
точки Л и В и реализующих один целый положительный
оборот вокруг оси. Аналогично {АВ\, (АВ)а и т. д. суть
Черт. 21.
кратчайшие из дуг, реализующих соответственно два, три
и т. д. таких целых оборота.
Рассмотренные дуги были дугами правых винтовых линий.
Точно так же можно получить дуги левых винтовых линий,
соединяющих точки Л и В и реализующих один, два, три, ...
целых отрицательных оборота вокруг оси цилиндра (черт. 21).
Каждая из этих дуг есть кратчайшая из линий, соединяющих
точки Л и В и реализующих соответственное число целых
отрицательных оборотов вокруг оси цилиндра.
Выясним, как расположится на поверхности цилиндра
туго натянутая резиновая нить, закрепленная в точках Л
и В. Натягиваясь, эта нить расположится по одной из
кратчайших линий, т. е. по одной из винтовых линий, соеди-
соединяющих точки Л и В. Если, например, накрутить нить на
цилиндр так, что, двигаясь по ней, придется совершать
положительное вращение вокруг оси (справа налево), то
нить примет положение одной из винтовых линий АВ,
(AB)lt (АВJ, .. • Именно, она примет положение АВ, если
нить не делает ни одного целого оборота вокруг оси
19

цилиндра; положение {AB)lt если она делает один целый
оборот; положение (АВJ, если она делает два целых обо-
оборота, и т. д.
В самом деле, на плоском прямоугольнике нить, натяну-
натянутая между точкой А\ и одной из точек В\, В'ч, В'3, ... ,
расположится по одному из отрезков А\В{, A'\B'i, А\В'3, ...
Если навернуть этот лист на поверхность цилиндра так,
чтобы А\ попала в точку А, а точки В[, В'ъ В'3 — в точку В,
то натянутая нить примет соответственно форму одной из
винтовых дуг АВ, (АВ)и (АВ)%, ...
§ 3. Кратчайшие линии на конической поверхности
1. Кратчайшая линия на конической поверх-
н о с т и. Пусть из точки О выходят два бесконечных луча О А
и ON. Будем вращать луч О А вокруг луча ON. Поверх-
Поверхность, описанная при этом лучом О А, называется конической
поверхностью {поверхностью ко-
конуса) (черт. 22), ON называется осью
конуса. Лучи, выходящие из точки О
Черт. 22.
Черт. 23.
и лежащие на конической поверхности, называются обра-
образующими конуса 1).
Если плоскость, проходящая через образующие ОА и
ОС, проходит также через ось конуса, то эти образующие
называются противоположными. Две противоположные обра-
образующие делят конус на две равные (конгруэнтные) части.
Разрежем коническую поверхность вдоль образующей ОА;
после этого коническую поверхность можно развернуть на
плоскость. Вершина О конуса перейдет в точку О' плоскости;
') На черт. 22 изображена лишь часть бесконечного конуса.
20

образующие конуса — в лучи на плоскости, выходящие из
О'. Вся коническая поверхность перейдет в некоторый
угол A[O'A'i плоскости (черт. 23). Величина этого угла назы-
называется развернутым углом конуса. Она всегда меньше 360°.
Стороны угла О'А[ и О'А'^ образовались из той образую-
образующей ОА, по которой был произведен разрез конической
поверхности. Образующая ОС, противоположная образую-
образующей ОА, перейдет в биссектрису О'С угла А\О''А'ч. В самом
деле, обе образующие, ОА и ОС, делят разрезанную по ОА
коническую поверхность на две равные части S я Т. Когда
эта поверхность развертывается в плоский угол А[О'А^,
то каждая из частей S а Т конуса переходит в половины
S1 и Т этого угла и образующая ОС — в биссектрису О'С
этого угла.
Мы развертывали разрезанную коническую поверхность
на плоскость. Произведем теперь обратную операцию —
свертывание угла АУО'А% в конус. При этом точка О' перейдет
в вершину конуса О, а стороны О'А{ и О'А% угла перейдут
в одну и ту же образующую.
Надрежем плоскость по стороне О'А[ нашего угла. Будем
наворачивать надрезанную плоскость на конус. При этом
плоскость, вообще говоря, покроет конус несколько раз.
Например, если развернутый угол конуса равен 90°, то
плоскость четыре раза покроет коническую поверхность;
именно, если провести из точки О' лучи О А'ъ О'А'3, О' А\ под
углами 90, 180 и 270° к О' А[, то при наворачивании надре-
надрезанной плоскости на конус каждый из углов А[О''А'ч, А^О'А'з,
A^O'A'i, A\O'A[ покроет полностью поверхность конуса. Всего
мы будем иметь четырехкратное покрытие конуса надрезан-
надрезанной плоскостью. Лучи О'А\, О'А'ъ О'А'3, О А\ плоскости
перейдут в одну и ту же образующую конуса.
Если же развернутый угол равен, например, 100°, то
надрезанная плоскость трехкратно полностью покроет кони-
коническую поверхность и, кроме того, часть конуса покроет
в четвертый раз (плоскость состоит из трех прилегающих
друг к другу углов в 100° с вершиной в О', каждый из
которых покроет один раз всю коническую поверхность,
и еще из угла в 60°, который дополнительно покроет часть
этой поверхности).
2. Геодезические линии на конической по-
поверхности. Рассмотрим на плоскости произвольную пря-
прямую /'. Пусть прямая /' проходит через точку О'. Она состоит,
следовательно, из двух лучей O'D' и О'Е' (фиг. 24). При
21

наворачивании плоскости на конус (когда точка О' попадает
в вершину О конуса) каждый из лучей O'D' и О'Е' пере-
переходит в образующую, конуса. Наша прямая переходит в
две образующие *).
Пусть теперь прямая /' не проходит через точку О'
(фиг. 25). Сделаем надрез плоскости по лучу О'А', парал-
параллельному /', и навернем надрезанную плоскость на коническую
поверхность. При этом прямая V перейдет в некоторую
кривую / на конической поверхности (фиг. 26). Эта кривая /
называется геодезической линией на поверх-
ности конуса. Каждый отрезок прямой V
перейдет в дугу кривой /. Наоборот, всякая
о
Черт. 26.
дуга кривой / при развертывании конической поверхности
на плоскость перейдет в отрезок прямой Л
Получаемые кривые на поверхности конуса играют роль,
аналогичную винтовым линиям на поверхности цилиндра.
Соединим точки А и В конической поверхности всевоз-
всевозможными линиями, лежащими на поверхности, и пусть одна
из них, дуга АВ, имеет наименьшую длину. При разверты-
развертывании конической поверхности на плоскость дуга АВ перей-
перейдет в плоскую дугу А'В'; поскольку дуга АВ есть крат-
кратчайшая среди линий, лежащих на конической поверхности
и соединяющих А и В, то А'В' есть кратчайшая среди
линий на плоскости, соединяющих А' и В'. Значит, А'В'
есть прямолинейный отрезок. Дуга АВ, которая при развер-
') Две образующие могут слиться в одну. Это случится, если
численное значение развернутого угла конуса, выраженное в граду-
градусах, есть делитель числа 180, т. е. если этот угол равен 180°, 90°,
1 Я0°
60°, ... , вообще —г—, где k — целое число,
/2

тывании конической поверхности на плоскость переходит
в прямолинейный отрезок, есть дуга геодезической.
Мы увидим сейчас, что форма геодезической существен-
существенным образом зависит от развернутого угла конуса.
3. Двойные точки геодезических линий.
Введем предварительно следующее определение. Пусть, дви-
двигаясь вдоль некоторой линии q, мы
дважды пройдем через одну и ту же
точку А. Точка А называется двой-
двойной точкой линии q *). На черт. 27
точка В есть двойная точка линии /:
двигаясь по линии / по направ-
направлениям, указанным стрелками, мы
дважды пройдем через точку В.
Теорема 1. Если разверну-
развернутый угол конуса больше или ра-
равен 180°, то
180°, то геодезические на нем
не имеют двойных точек. Если же
развернутый угол конуса менъ-
Черт. 27.
ше 180°, то всякая геодезическая имеет хотя бы одну
двойную точку.
Рассмотрим на плоскости точку О' и прямую /', не про-
проходящую через О' (черт. 28). Если навернуть плоскость на
конус так, чтобы О' попала в вершину конуса О, то пря-
прямая /' перейдет в геодезическую /.
Пусть С — основание перпендикуляра, опущенного из О'
на /'. При наворачивании плоскости на конус луч О'С перей-
перейдет в образующую ОС конуса.
Точку С иногда называют вер-
вершиной геодезической на кониче-
-*- ской поверхности. Обозначим
Д через ОА противоположную об-
образующую конуса; О А и ОС делят
поверхность конуса на две равные
части 5 и Т. Надрежем коническую поверхность по образу-
образующей ОА и развернем ее на плоскость так, чтобы вершина О
конуса перешла снова в точку О', а образующая ОС —
в луч О'С. При этом геодезическая / снова развернется
в прямую V. Вся коническая поверхность перейдет в
угол А'О'А". Обе половины ее, 5 и Г, перейдут в половины S'
и Т этого угла; прямая О'С есть биссектриса этого угла.
Черт. 28.
1) Иногда двойные точки называются узлами.
23

Рассмотрим два случая.
1)	Угол А'О'А" (развернутый угол конуса) больше или
равен 180° (черт. 29). Прямая /' лежит целиком внутри этого
угла. Если снова навернуть угол на коническую поверхность
так, что обе стороны угла О'А' и О'А" совпадут с образую-
образующей О А, то прямая /' перейдет снова в геодезическую / на
поверхности конуса; разные точки прямой /' перейдут в раз-
разные точки конуса; следовательно, в этом случае / не имеет
двойных точек.
2)	Угол А'О'А" меньше 180°. Прямая /', перпендикуляр-
перпендикулярная к биссектрисе О'С, пересекает стороны угла в точках,
которые мы обозначим через В' и В" (черт. 28).
Треугольник В'О'В" равнобедренный, так как его высо-
высота О'С совпадает с биссектрисой. Навернем угол А'О'А" снова
на поверхность конуса так,
чтобы О' перешла в вершину
конуса, а обе стороны (УА',
О'А" угла — в образующую О А.
Точки В' и В" вследствие ра-
равенства отрезков О'В' и О'В"
•с	попадут в одну точку В этой
образующей (черт. 27). Пря-
Черт. 29.	мая I' перейдет в геодезиче-
геодезическую /, отрезок В'О прямой /',
лежащей в половине S' угла В'О'В", перейдет в дугу ВС
линии /, соединяющую точки В а С а лежащую в половине 5
конической поверхности; аналогично отрезок В"С, лежащий
в половине Т угла В'О'В", перейдет в дугу ВС линии /,
соединяющую точки В а С ш лежащую в половине Т кони-
конической поверхности. Точка В — двойная точка кривой /.
Отрезок В'В" прямой /' перейдет в дугу ВСВ, имеющую
форму петли с совпадающими концами.
Выясним, сколько двойных точек имеет геодезическая?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, уточняющая
предыдущую теорему.
Теорема 2. Пусть развернутый угол конуса равен
а (а — мера угла в градусах), тогда
1)	Если 180° не делятся нацело на а, то число двойных
180
точек геодезической равно целой части дроби —.
2)	Если 180° делится нацело на а, то число двойных
180 ,
точек равно	1.

Если а^>180, то целая часть дроби
180
180
равна нулю, если
а =180, то
1=0. Следовательно, по нашей теореме
в этих случаях число двойных точек должно равняться нулю;
это есть перефразировка первой части предыдущей теоремы.
Остается рассмотреть случай а<^180. Сохраним обозна-
обозначения предыдущей теоремы. Угол А'СУА" (черт. 30) есть
развернутый угол конуса. Проведем через точку О' перпен-
перпендикуляр О'С к прямой /' и прямую KL, параллельную пря-
прямой Г. KL делит плоскость на две полуплоскости. Мы будем
рассматривать только ту полуплоскость, в которой лежит
прямая V. Проведем из точки О' в этой по-
луплоскости лучи, образующие с лучом О'С
углы, кратные 4-. Это будут лучи О'В',
4' f /в" с' s\ f" в,
Черт. 30.
д
Черт. 31.
О'В", О'В{, О'В\, ... , пересекающие прямую /' в точ-
точках В', В",В[, В\... Заметим, что О'В' = О'В",О'В{ = О'В\,...
Будем теперь навертывать нашу полуплоскость на конус так,
чтобы точка О' попала в вершину конуса О, а луч О'С
пошел по образующей ОС (черт. 31). Углы нашей полу-
полуплоскости, равные -~-, заключенные между соседними луча-
лучами О'В'и О'В', О'С, О'В", О'В\,..., покроют при этом несколько
раз обе половины конической поверхности 5 и Т. Именно,
угол S' ляжет на половину 5 конуса; смежные с ним углы
Т\ и V — на другую половину Т конуса, и т. д. Поскольку
луч О'С пойдет по образующей ОС, то лучи О'В', О'В"
пойдут по противоположной образующей ОА, лучи О'В[,
О'В\ — снова по ОС, и т. д.
Так как отрезки О'В' = О'В", О'В\ = О'В\, то пары то-
точек В' и В", В\ и В] ,..., попав на одну образующую, попарно
совпадут: точка В' совпадет с В" и попадет в В образую-
образующей ОА; В[ и В\ попадут в точку Ву образующей ОС, и т. д.
Следовательно, точки В, В1г ... суть двойные точки /> в кото-
25

рую перешла прямая /j при наворачивании полуплоскости на
конус. Число этих точек равно числу луней О'В', О'В[, ...
внутри прямого угла КО'С. Так как эти лучи образуют
с О'С углы, кратные -у, притом меньшие 90°, то их число
равно числу чисел, кратных ~ и меньших 90 (т. е. крат-
кратных а и меньших 180). Иначе говоря, если 180 не делится
нацело на а, то число этих лучей равно целой части дроби
180 „ 1СП 180 ,
—. Если же 180 делится на а, то их число равно	1.
Для полного доказательства теоремы осталось показать,
что все двойные точки геодезической суть как раз те, кото-
которые получаются от слияния точек В\ и В'[ прямой Л
В самом деле, двойная точка геодезической / получается,
если две точки нашей прямой /' при наворачивании полу-
полуплоскости на конус перейдут в одну и ту же точку конуса.
Для этого необходимо, чтобы обе точки были одинаково
удалены от О' и лежали на /'. Значит, эти две точки должны
располагаться на /' симметрично относительно С. Пусть одна
из них, назовем ее F (см. черт. 30), лежит слева от С,
а другая F" — справа. Если точка F не совпадет ни с одной
из точек В', В", В'и В", ... , то она должна лежать внутри
одного из углов СО'В', СО'В", В'О'В'и В"О'В'{, ..., отме-
отмеченных на черт. 30 соответственно буквами 5J и Т\. Если
точка F лежит внутри угла S\, то симметричная ей точка F'
лежит внутри угла Т/, т. е. при наворачивании полуплоскости
на конус точка F перейдет в точку, расположенную внутри
полуконуса 5, а точка F" — в точку, лежащую внутри полу-
полуконуса Т; наоборот, если точка F перейдет в точку, лежа-
лежащую внутри полуконуса Т, то точка F" перейдет в точку,
лежащую внутри полуконуса 5. В обоих случаях F и F"
перейдут в раз-ные точки конуса. Следовательно, новых
двойных точек, кроме полученных от слияния пар В' и В",
В\, и В", ... , на геодезической / нет. Теорема доказана.
Обратим внимание на полосу, расположенную между
параллельными прямыми KL и V. Мы предлагаем читателю
самому рассмотреть, каким образом наложится эта полоса на
коническую поверхность при разных значениях развернутого
угла а конуса (при а>180°; а =180°; 180°>а>90°;
а = 90°; 90°>а>60°; и т. д.).
Повторяя рассуждения конца предыдущего параграфа, мы
убедимся, что натянутая упругая нить ляжет на поверхности
конуса по геодезической линии.
26

Примечание. На поверхности конуса также можно рас-
рассматривать винтовые линии, т. е. линии, пересекающие все образую-
образующие конуса под равными углами а (черт. 32). При а = 0 и а = 90°
винтовые линии на конусе вырождаются соответственно в образую-
образующие и круговые сечения. При афО винто-
винтовые линии на конусе не являются геоде-	О
зическими. В этом их отличие от винтовых
линий на поверхности цилиндра.
4. Теорема Клеро для слу-
случая геодезических на конусе.
Пусть С—вершина геодезической s
на поверхности конуса, отстоящая от
вершины конуса на отрезок ОС=с,
а от оси конуса — на расстояние г0
(черт. 33). Тогда геодезическая в точ-
точке С перпендикулярна к образующей ОС.	Черт. 32.
Далее, пусть А — произвольная точка
геодезической, г — расстояние точки А от оси конуса,
а — угол между геодезической s и образующей О А, I —
длина отрезка ОА. Имеет место соотношение
A)
Для доказательства формулы A) развернем на плоскость
поверхность конуса (черт. 34). При этом ОС и ОА перейдут
Черт. 33.
Черт. 34.
в О'С и О'А' (длины с и /при этом сохраняются), дуга АС
геодезической s перейдет в отрезок А'С прямой, при этом
О'С будет перпендикулярен к прямой А'С; угол при
27

вершине А1 в треугольнике А'О'С равен а. Из треугольни-
треугольника А'О'С получим:
/ sin a = с,
что и требовалось доказать.
Заметим, что если 8 есть угол между образующей конуса
и его осью (см. черт. 33), то r = /sin8. Умножая обе части
равенства A) на sin 8, получим:
/sin 8 • sin а = с sin 8
или
rsina = Cj,	B)
где су = с sin 8 — постоянная величина для геодезической.
Последнее равенство доказывает следующее предложение.
Теорема 3. Для всех точек А геодезической s на
конической поверхности выражение г sin a, где г — расстоя-
расстояние точки А от оси конуса, a—угол между образую-
образующей О А и геодезической s, есть величина постоянная:
г sin a = const.	C)
Эта теорема является частным случаем теоремы Клеро
(см. § 10).
Цилиндр можно рассматривать как предельный случай
конуса (когда вершина конуса уходит в бесконечность).
Геодезической на конусе отвечает винтовая линия на ци-
цилиндре. Формула C), очевидно, остается справедливой и
для цилиндра: расстояние г всех точек цилиндра от оси
одинаково, угол а между винтовой линией и образующими
цилиндра также одинаков для всех точек винтовой линии.
§ 4. Кратчайшие линии на поверхности шара
1. Длина линии. При исследовании кратчайших ли-
линий на поверхности цилиндра и конуса мы пользовались
тем обстоятельством, что цилиндрическую и коническую
поверхности можно развернуть на часть плоскости. Но этот
способ не годится при исследовании кратчайших линий на
поверхности шара, которую нельзя развернуть на часть
плоскости.
Мы вспомним сейчас, как устанавливается в элементар-
элементарной геометрии свойство отрезка прямой давать наименьшую
длину среди всех линий, имеющих те же концы. Это свой-
28

ство вытекает из теоремы о том, что одна сторона тре-
треугольника меньше суммы двух других. Именно, на основа-
основании этой теоремы доказывается, что отрезок прямой АВ
короче всякой ломаной А$ AVA% ... An__v An, имеющей те
же концы Ао = А и Ап = В (черт. 35). В самом деле, мы
только укоротим ломаную, если два ее смежных звена AvAt
и AVA% заменим отрезком АЛА% (ибо сторона АйАг
треугольника АйАхА^ короче суммы сторон АОАУ и АуА^)').
При этом мы заменяем ломаную A^AVA% ... Ап_хАп лома-
ломаной АйАг... Ап_уАп, имеющей одной стороной меньше. Анало-
Аналогично в этой ломаной два смежных звена А0А% и А%Аа
можно заменить одной сторо-
стороной АлАа, -отчего длина ломаной не
увеличится. Мы придем к лома-
ломаной АьАг ... An_i Ап, у которой число
звеньев меньше еще на одно звено.
Так мы можем последовательно умень-
уменьшать число звеньев ломаной, пока не /Ml» h
сведем ее к единственному звену—	Черт. 35.
отрезку А(,Ап = АВ. При этом при
каждом переходе от одной ломаной к другой ее длина
могла только уменьшаться (иногда эта длина оставалась
без изменения; оставаться без изменения при каждом пере-
переходе она не могла, так как это возможно лишь в случае,
если все точки Ал, At, ..., Ап расположены на одной
прямой АВ, что у нас исключено). Отсюда и вытекает, что
исходная ломаная была длиннее отрезка АВ. В элементарной
геометрии доказывают только, что отрезок АВ прямой
короче всякой ломаной, соединяющей те же точки А и В.
Чтобы вывести аналогичное утверждение для произволь-
произвольной ушнии, соединяющей точки А я В, нужно прежде всего
точно определить длину кривой. В элементарной геометрии
определяется длина окружности как предел длин вписанных
многоугольников, когда число сторон многоугольника стре-
стремится к бесконечности, а длина наибольшей стороны стре-
стремится к нулю.
Аналогично можно определить и длину произвольной
линии. Пусть дана линия q, соединяющая точки А и В
1) Если точки Ао, Аи Аа лежат на одной прямой, то сумма
длин двух звеньев A0Ai и AiAa равна длине звена Л0Л2. Так что,
заменяя два звена A0Ai и ЛИ2 одним звеном А0Аа, мы длину ло-
ломаной не увеличим. Это замечание относится и к дальнейшему
рассмотрению
29

(черт. 36). Будем двигаться по этой линии по направлению
от Л к Л и отметим последовательно (и-j- 1) точек: Ло = Л,
Л], Л.2, ..., Ап = В. Соединим эти точки последовательно
отрезками. Получим ломаную А$АхАг ... Ап, которую будем
называть ломаной, вписанной в нашу кривую. Будем теперь
строить вписанные в кривую q ломаные с неограниченноh
растущим числом сторон. При этом будем строить эти
ломаные так, чтобы при неограниченном росте числа сто-
сторон длина наибольшей стороны стремилась к нулю.
Можно показать, что длины вписанных многоугольников
стремятся при этих условиях
к пределу, который и прини-
принимается за длину линии.
Поскольку отрезок АВ ко-
короче длины любой' ломаной, со-
соединяющей точки А и В, а длины
Черт. 36.	кривых, соединяющих эти точки,
суть пределы длин лома'ных, их
соединяющих, то отсюда выводят, что отрезок прямой
является кратчайшей линией и среди всех кривых, соеди-
соединяющих А а В.
2. Кратчайшие линии на поверхности шара.
Перейдем теперь к отысканию кратчайших линий на поверх-
поверхности шара. Заметим, что через две точки Л и Л на по-
поверхности шара, если они не лежат на противоположных
концах одного и того же диаметра, можно провести един-
единственный большой круг шара. Через две точки, лежащие на
концах одного и того же диаметра, можно провести бес-
бесчисленное множество больших кругов. Последний случай мы
пока будем исключать без специальных оговорок: говоря о двух
точках на шаровой поверхности, мы будем молча предпола-
предполагать, что эти две точки., не лежат на одном диаметре
шара.
Проведем большой круг, проходящий через данные две
точки Л и В шаровой поверхности. Точки А а В (поскольку
они не лежат на концах одного и того же диаметра) делят
большой круг на две неравные дуги. Мы будем обозначать
через АВ меньшую из этих дуг.
Пусть нам даны три точки шаровой поверхности: Л, В,
С, соединенные дугами больших кругов АВ, ВС, СА. Эти
три дуги образуют так называемый сферический треуголь-
треугольник ABC; дуги АВ, ВС, СА называются его сторонами.
30

Оказывается, что для сферических треугольников имеет
место теорема, аналогичная основной теореме о длинах сто-
сторон обычного (плоского) треугольника.
Теорема. Каждая сторона сферического треуголь-
треугольника меньше суммы двух других сторон.
Рассмотрим сферический треугольник ABC на поверх-
поверхности шара с центром в точке О (черт. 37). Сторона АВ
этого треугольника есть дуга большого круга, т. е. круга
с центром в О; в плоскости этого круга дуге АВ отвечает
Черт. 37.
Черт. 38.
центральный угол АОВ. Аналогично в плоскостях, в кото-
которых лежат стороны ВС и СА, им отвечают центральные
углы ВОС и СОА. Длины сторон АВ, ВС, СА как дуги
больших кругов, иметощих равные радиусы, пропорциональны
центральным углам АОВ, ВОС, СОА.
Три плоскости наших больших кругов образуют трех-
трехгранный угол с вершиной в точке О и с плоскими угла-
углами АОВ, ВОС, СОА. Длины сторон нашего сферического тре-
треугольника пропорциональны соответственным плоским углам
нашего трехгранного угла. А так как в трехгранном угле
каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских
углов, то аналогичное неравенство имеет место и для про-
пропорциональных им сторон сферического треугольника. Это
доказывает нашу теорему.
Дана последовательность точек Ло, Ах, А$,А3, ..., Ап на
сфере, соединенных дугами больших кругов АОАХ, АхАа,
А%А3, ..., Ап_хАп. Совокупность этих дуг называется сфе-
сферической ломаной, соединяющей точки Ао и Ап (черт. 38).
Для плоскости из того, что сторона треугольника мень-
меньше суммы двух других сторон, следовала теорема, что
31

отрезок АВ прямой короче ломаной, соединяющей те же
точки Ли В. Для шаровой поверхности аналогично из того, что
одна сторона сферического треугольника меньше суммы
двух других, следует, что дуга АВ большого круга меньше
всякой ломаной, соединяющей те же точки. Далее, для шаро-
шаровой поверхности, как и для плоскости, длины кривых, со-
соединяющих точки А и В, получаются как пределы длин
сферических ломаных, соединяющих эти точки. Поскольку
дуга АВ большого круга короче всех сферических ломаных,
соединяющих А и В, то она короче и всех кривых, соеди-
соединяющих эти точки.
Доказательство того, что дуга АВ короче любой лома-
ломаной, соединяющей точки А и В, в основном повторяет до-
доказательство аналогичной теоремы для ломаной, распо-
расположенной на плоскости. Пусть дана дуга АВ и лома-
ломаная АцАгАзАз ... Ап, гдеЛ0 = Л, Ап = В. ,
В сферическом треугольнике АйАхА% сторона А0А% меньше
суммы сторон A0At и АхАа1). Заменим два звена Л0Л1
и Л1Л3 дугой Л0Л3. Получим новую линию АйА%А3 ... Ап,
может быть, более короткую, чем первоначальная, и содер-
содержащую на одно звено меньше. Далее ваменим две сторо-
стороны А0А% и А$А3 одной стороной ЛоЛ3; от этого длина ло-
ломаной может лишь уменьшиться или остаться без изменения.
Аналогичные преобразования (замена двух соседних звеньев
ломаной одним) будем продолжать и дальше. При каждом
уменьшении числа сторон длина ломаной может лишь
уменьшиться или остаться без изменения. Тогда мы
будем получать все новые ломаные, соединяющие Л и В,
все с меньшим числом сторон и, наконец, придем к
ломаной из одного звена, т. е. к самой дуге АВ.
При этом процессе длина ломаной всякий раз или
') Если точки Ао, At и Аг лежат на одном большом круге, то
сторона А0Аг или равна сумме сторон A0Ai и AiAs, если эта сумма
меньше полуокружности, или меньше ее, если эта сумма больше
полуокружности. Так что всегда при замене двух сторон А0Аг и
AiAs одной АоА3 длина ломаной может лишь уменьшиться или
остаться без изменения. Это замечание относится и к дальнейшему
рассмотрению.
32

убывала или иногда оставалась без изменения. Но длина
ломаной оставаться без изменения при каждом шаге не
может, так как это означало бы, что точки Ао, А1г ..., Ап
лежат на одном большом круге на дуге АВ, что у нас
исключается. Поэтому длина исходной ломаной A0Ai ... А„
больше длины АВ.
Рассмотрим теперь случай, когда точки А и В лежат
на концах одного и того же диаметра шара. В этом слу-
случае имеется бесчисленное множество дуг больших кругов,
соединяющих А и В и имеющих АВ в качестве диаметра.
Все они имеют равную длину. С другой стороны, всякая
другая кривая q, соединяющая те же точки А я В, имеет
длину, ббльшую длины полуокружности большого круга.
В самом деле, пусть точка С (отличная от Л и В) лежит
на q и разбивает эту линию на две линии (АС) и (СВ).
Проведем полуокружность большого круга АСВ; она со-
состоит из двух дуг АС и СВ. Каждая из этих дуг короче
любой другой кривой на поверхности шара, соединяющей
те же точки А и В. Так как наша кривая q не есть полу-
полуокружность, то по крайней мере одна из ее частей (АС)
или (СВ) не совпадает с соответствующей дугой АС или
СВ. Пусть, например, (АС) не совпадает с АС Тогда длина
(АС) больше длины АС. Далее, длина (СВ) или больше
длины СВ (если они не совпадают) или равна ей (если (СВ)
совпадает с СВ). Отсюда следует, что общая длина q
больше длины АСВ.
Для двух диаметрально противоположных точек А и
В существует бесчисленное множество кратчайших кри-
кривых, соединяющих эти точки; именно этими кривыми
являются все полуокружности больших кругов, соединяю-
соединяющие А и В.
3. Дополнительное замечание. Поверхность шара
нельзя развернуть на часть плоскости, не деформируя ее, т. е. не
изменяя длины расположенных на ней линий. Однако очень узкую
полоску, расположенную на поверхности шара вдоль некоторой
линии <7, можно развернуть на плоскость, допуская лишь ничтожно
малые искажения длин линий, лежащих на полоске. Притом, чем
уже полоска, взятая на шаре, тем меньше эти искажения, тем
с большей точностью можно развернуть эту полоску на плоскость.
Выражаясь языком теории пределов, искажение длины линий на
2 Л. А. Люстернив	33

полоске есть величина высшего порядка малости по сравнению
с шириной полоски.
Если узкая полоска, лежащая на поверхности шара, развер-
развернута на плоскость, то дуга большого круга, заключенная в этой
полоске, переходит в прямолинейный отрезок (и обратно).
В самом деле, дуга АВ большого круга на шаровой полоске
есть кратчайшая среди других дуг, лежащих на полоске и соеди-
соединяющих А и В. Если при развертывании
полоски на плоскость точки А и В перей-
перейдут в Л' и В\ то дуга АВ перейдет в дугу,
соединяющую на плоскости А' и В', при-
притом более короткую, чем соседние пло-
плоские дуги, соединяющие эти же точки;
следовательно, АВ перейдет в отрезок А'В'.
Следствие. Вырежем на шаровой
поверхности узкую полоску вокруг боль-
Черт. 39.
шого круга и, разрезав, развернем ее на плоскость. Эта полоска
перейдет в плоскую прямую полоску; в среднюю линию полоски
перейдет большой круг. Обратно, если узкую плоскую прямую
полоску (ленту) навернуть на поверхность шара, то она ляжет на
эту поверхность по большому кругу (черт. 39).
Черт. 40.
Черт. 41.
Посмотрим теперь, во что перейдет узкая полоска, содержа-
содержащая дугу малого круга q (т. е. окружности на поверхности шара,
отличной от большого круга).
Отметим предварительно следующее обстоятельство. Рассечем
коническую поверхность плоскостью, перпендикулярной к оси ко-
конуса. Эта плоскость пересечет коническую поверхность по окруж-
окружности </. Отрезки образующих от вершины О конуса до окружности q
равны (например, на черт. 40 ОА = ОВ = ОС). Если разрезать ко-
коническую поверхность по образующей ОС и развернуть эту по-
поверхность на плоскость, то окружность q перейдет в дугу окруж-
34

ности q' радиуса, равного ОС. Узкая полоска на поверхности
конуса, имеющая своей средней линией окружность q, развернется
на плоскости в полоску, имеющую средней линией дугу д'
(черт. 41).
Вернемся к шаровой поверхности (черт. 42). Проведем диаметр
АВ через центр Oi малого круга pt и центр О шара; проведем боль-
большой круг р с диаметром АВ, пересекающий малый круг/?! в точке С.
Пусть г — радиус plt R— радиус шара, а — угол OiCO. Имеем
Проведем касательную CD к р в точке С до пересечения
в точке D с продолжением диаметра АВ. Имеем: 2. CDO —
= L. OiCO=>a (вследствие перпендикулярности сторон этих углов).
Из треугольника OCD имеем:
CD — R ctg a = R
COS а
1/1—COS2 а
rR
Будем вращать чертеж вокруг оси АВ. Прямая CD при этом
образует коническую поверхность; окружность р опишет шар ра-
радиуса R. Эти коническая и шаро-
шаровая поверхности касаются по окруж-
окружности рг.
Маленькую дугу CiC8 круга р,
содержащую точку С, можно счи-
считать совпадающей с маленьким от-
отрезком касательной '). При враще-
вращении этой дуги вокруг АВ она опи-
опишет шаровую полоску, содержащую
малый круг Pi. Эту полоску можно
считать совпадающей с полоской
на конусе2), касающемся нашего
шара вдоль окружности Р\ (эта
полоска на конической поверхности
образована вращением отрезка ка-
касательной, с которым мы считаем
совпадающей дугу CiC2). Если над-
надрезать эту полоску по CiC8 и раз-
развернуть на плоскость, то окруж-
окружность р1 перейдет в дугу окружности радиуса,
т. е. радиуса
Rr
Черт. 42.
равного CD,
1 =
l) Совпадающей, если пренебречь величинами высшего порядка
малости сравнительно с длиной CiC%.
s) Совпадающей в том же смысле.
35

а узкая полоска на шаровой поверхности, имеющая своей средней
линией окружность рь развернется в плоскую полоску, окружаю-
окружающую дугу окружности радиуса /.
Обратно, будем наворачивать на поверхность шара радиуса R
узкую плоскую полоску, имеющую средней линией дугу окружно-
окружности радиуса /. Она ляжет на шаровую поверхность вдоль малого
круга. Радиус этого круга определится из уравнения
' — Г2
Нетрудно найти, что
ГЛАВА II. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ПЛОСКИХ
И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ И ОТНОСЯЩИЕСЯ
К НИМ ЗАДАЧИ
§ 5. Касательная и нормали к плоским кривым
и связанные с ними задачи
1. Касательная к кривой. Пусть дана некоторая
кривая q на плоскости или в пространстве и на ней точка А
(черт. 43). Рассмотрим другую точку В на той же кривой.
Черт. 43.
Соединим точки А и В прямой п. Эта прямая называется
секущей. Будем приближать точку В к точке А, двигая ее
по кривой q; при этом секущая п будет вращаться вокруг
точки А. Именно в то время как точка В будет занимать
36

положения точек Вг, В2, В3, ... , секущая п будет занимать
положения прямых ABlt АВг, ABS, ... Когда точка В
стремится к точке А, секущая п стремится к предельному
положению'—к некоторой прямой л0. Это предельное поло-
положение секущей — прямая л0 -— называется касательной к кри-
кривой q в точке А.
Представим себе, что по кривой q движется материаль-
материальная точка, которая срывается с кривой в точке А. Сорвав-
Сорвавшись, она по инерции начнет двигаться по касательной я0
к нашей кривой в точке А.
2. Нормаль. Теперь предположим, что кривая q рас-
расположена в некоторой плоскости (такую кривую будем на-
называть плоской кривой). Нормалью к кривой q в точке А
М
N
Черт. 44.
Черт. 45.
будем называть прямую MN, проходящую через точку А и
перпендикулярную к касательной п0 к кривой q в этой точке
(черт. 44).
3. Кратчайшее расстояние между двумя
кривыми. Рассмотрим точку А, способную перемещаться
только по кривой q; пусть Р~ равнодействующая сил, дей-
действующих на точку А (черт. 45). Разложим силу Р на две
компоненты — касательную компоненту Р1 (направленную
по касательной к кривой q в точке Л) и нормальную ком-
компоненту Р3 (направленную по нормали к кривой q в точке Л).
Касательная компонента смещает точку Л по кривой q.
Точка А находится поэтому в равновесии, если касатель-
касательная компонента /^ отсутствует, т. е. если Р совпадает
с Р3, и, значит, сила Р направлена по нормали к кривой q
в точке А.
Рассмотрим две кривые q и q{, будем искать кратчайшую
из линий г, один конец Л которых находится на кривой q,
а другой В — на кривой qt (черт. 46). Будем считать линии
37

q и #! неподвижными и жесткими; будем рассматривать
упругую нить г, один конец А которой скользит по кривой q,
другой конец В — по qx (можно себе представить, например,
что в точке А имеется маленькое колечко, в которое про-
продета кривая q, в точке В — другое колечко, в которое про-
продета qlt к этим колечкам прикреплены концы нити). Нить г
стремится принять положение, при котором длина ее наи-
наименьшая. Пусть Л050-—такое положение нити, в этом поло-
положении нить находится в равновесии. Очевидно, А0В0 есть
прямолинейный отрезок, соединяющий точки Ай на q и Btt
на <7i (если бы эта линия не была прямолинейаым отрезком,
Черт. 46.
то, сохранив положения ее концов, можно было бы эту
линию укоротить). Так как нить в положении АйВ0 нахо-
находится в равновесии, то ее конец Ай находится в равновесии.
На точку Ао действует сила натяжения, направленная по
отрезку А0В0. В силу выведенного выше условия равновесия
точки на кривой отрезок А0В0 есть нормаль к кривой q
в точке Ай. Аналогично показывается, что этот отрезок есть
нормаль к кривой q1 в точке Вй.
Итак, кратчайшая из линий, соединяющих точки двух
кривых, есть общая нормаль к этим кривым.
Точно так же, кратчайшая из линий, соединяющих
точку А с кривой q, есть нормаль к кривой q, проведен-
проведенная из точки А.
4. Задача об отражении. Пусть q — фиксирован-
фиксированная кривая. Будем рассматривать всевозможные кривые АСВ,
соединяющие две заданные точки А и В и имеющие общую
38

точку С с кривой q, или, как говорят, кривые соединяют
точки А и В, отражаясь о кривую q.
Рассмотрим нить АСВ, закрепленную в концах А и В,
у которой точка С смещается по кривой q (черт. 47).
Пусть АС0В есть кратчайшая из линий, соединяющих
точки А я В, отражаясь о кривую q (Со — точка кривой q).
Нить в положении АС0В находится в состоянии равновесия.
Очевидно, обе части АС0 и С0В кратчайшей кривой суть
прямолинейные отрезки. Точка Со нити на кривой находится
в равновесии; на эту точку действуют силы натяжения, рав-
равные по величине *): сила Tv направленная по отрезку С0А,
сила Та — по отрезку С0В, их равнодействующая То напра-
Черт. 47.
влена по биссектрисе угла АС0В. В силу условия равнове-
равновесия То направлена по нормали к кривой q в точке Со. Зна-
Значит, биссектриса угла АСйВ есть нормаль к кривой q
в точке Со.
Кратчайшая из кривых линий, которые соединяют
точки А и В, отражаясь о кривую q, есть ломаная АС0В
с вершиной Со на кривой q, в которой нормаль к этой
кривой совпадает с биссектрисой угла АСйВ.
5. Кратчайшие расстояния в области. Будем
рассматривать области на плоскости, ограниченные некото-
некоторыми линиями. Области могут быть конечными (область /
на черт. 48) или бесконечными (например область II на
этом же чертеже, получаемая выкидыванием из плоскости
области Г).
Будем искать кратчайшую из линий, соединяющих
в области / две ее точки А и В этой области. Эта линия
Сила натяжения во всех точках нити одинакова.
39

АВ есть положение равновесия гибкой нити, находящейся
в I, закрепленной в точках А и В, причем границу области
будем считать огороженной. Нить может содержать части
границы q области /.
Пусть so = AD^EiD^E^ ... DnEnB есть кратчайшая из
линий s. Она состоит из частей EXDX, Е^О,г	EnDn гра-
границы (на черт. 48 я = 3) и из линий ADV EXD2, ... , ЕпВ,
лежащих целиком (кроме концов) внутри /. Очевидно, каж-
каждая из линий ADX, EXD2, ... , ЕпВ есть прямолинейный
отрезок.
Каждая часть границы DXEX, D2Eit ... , DnEn, входящая
в s0, направлена выпуклостью в сторону /. В самом деле,
для каждого, достаточно малого участка СС границы q,
направленной выпуклостью в сторону //, хорда СС лежит
Черт. 49.
в /; эта хорда короче дуги СС; поэтому, если линия su со-
содержала бы такую дугу СС границы, мы могли бы укоро-
укоротить s0, заменив дугу СС хордой СС, лежащей в /.
Итак, кратчайшая линия может содержать лишь части
границы, направленные выпуклостью в сторону /.
Отрезки ADX, EXD%, ..., En_xDn, ЕпВ, входящие в состав s0,
касаются кривой q в точках соответственно ОХ,ЕХ,О%,
Ev ... , Dn, En (черт. 48).
В самом деле, в точке, например, Dx сходятся две части
нити: отрезок ADX и часть DXEX кривой q. Натяжение Тх
части ADX направлено по отрезку DXA (черт. 49), натяже-
натяжение Г4 части DXEX направлено по касательной к q в точке Dx.
40

Если угол между направлениями Тх и Г2 отличен от 180°,
то равнодействующая Тй сил Ту и 72 будет смещать точку
?>! (черт. 49), т. е. нить не будет находиться в положении
равновесия. Этот угол равен 180°, т. е. отрезок ADX ка-
касается q в точке Dx.
Итак, кратчайшая линия в области /, соединяющая точки
А и В состоит из отрезков касательных ADV EXD%, ..., ЕпВ
и кусков границы D^, D^E^, ... , DnEn, обращенных вы-
выпуклостью в сторону /.
При рассмотрении кратчайших линий на многогранно^ поверх-
поверхности на стр. 10 была сделана оговорка относительно расположения
прямой на развертке. На основе изложенного в этом пункте мате-
материала от сделанного ранее ограничения можно отказаться,
§ 6. Некоторые сведения из теории плоских
и пространственных кривых
1. Соприкасающаяся окружность. Пусть дана
плоская кривая q (черт. 50). В точке А этой кривой про-
проведем касательную KL и нормаль MN; проведем также все-
всевозможные окружности, касаю-
касающиеся прямой KL в точке А
(т. е. имеющие с кривой q общую
касательную в точке А); очеви-
очевидно, их центры лежат на нор-
нормали MN.
Среди всех этих окружно-
окружностей имеется одна, наиболее
близко прилегающая к кривой q
в точке А. На нашем чер-
чертеже— это окружность г. Эта
окружность называется сопри-
соприкасающейся окружностью. Ма-	церт 5о.
лую дугу ВС кривой q, заклю-
заключающую точку А, приближенно можно считать дугой
соприкасающейся окружности г. Чем меньше дуга ВС, тем
с большей точностью мы можем заменять ее дугой круга г.
Точка О — центр круга г — называется иногда центром
кривизны. Итак, маленькую дугу ВС кривой q, содержащую
точку А, приближенно можно считать дугой окружности,
имеющей центр в центре кривизны — в точке О.

Центр круга лежит на пересечении двух его радиусов,
а так как радиусы суть нормали круга, то мы можем ска-
сказать, что центр круга лежит на пересечении его нормалей.
Рассмотрим теперь произвольную кривую q, на ней
точку А и маленькую дугу ВС, заключающую эту точ-
точку (черт. 51). Эту дугу можно приближенно считать ду-
дугой соприкасающейся окружности в точке О. Как найти
центр этой окружности (центр кривизны)?
Так как мы считаем при-
приближенно дугу ВС соприкасаю-
соприкасающейся окружностью, то мы мо-
можем указать следующий прием
построения центра кривизны.
Проведем нормаль к кривой q
в точке Айв какой-нибудь
близкой к ней точке Ах кривой.
Эти нормали пересекутся в
точке Oj. Если мы считаем нашу
дугу ВС дугой соприкасаю-
соприкасающейся окружности, то точка Ох по предыдущему и будет
центром соприкасающейся окружности (центром кривизны).
Примечание. Наше построение центра соприкасающейся
окружности будет приближенным. Чем меньше дуга ВС, тем точнее
наше построение. Мы можем (точно) определить центр кривизны
кривой q в точке А как предельное положение, к которому стре-
стремится точка пересечения нормали в точке А с нормалью в соседней
точке Alt когда точка Ai стремится к точке А. Чем ближе к точке А
точка Ai, в которой берем вторую нормаль, тем ближе точка пере-
пересечения этих нормалей — точка Oi к предельному положению —
к точке О. Соприкасающуюся окружность можно определить как
окружность радиуса IDA с центром в О.
Пример. На черт. 52 построены предыдущим прибли-
приближенным методом центры кривизны и соприкасающиеся окруж-
окружности в вершинах В и А эллипса.
2. Пространственные кривые. До сих пор мы
рассматривали кривые на плоскости. Перейдем теперь к изу-
изучению кривых в пространстве. Обратим внимание на то, что
существуют кривые, которые не могут быть помещены на
плоскости. Таковы, например, винтовые линии.
Пусть, в самом деле, нам задана винтовая линия q на поверх-
поверхности цилиндра; если бы линия q была расположена в некоторой
плоскости Q, то она была бы линией пересечения этой плоскости

с цилиндром. Возможны два случая: или плоскость Q пересекается
с осью цилиндра, или она параллельна оси цилиндра. Если плоскость
пересекается с осью цилиндра, то она пересекает цилиндр по зам-
замкнутой кривой (по эллипсу, черт. 53), а не по винтовой линии,
которая является незамкнутой кривой. Если же плоскость парал-
параллельна оси цилиндра, то она или пересекает его поверхность по
двум прямым, или, касаясь поверхности цилиндра, имеет с ней одну
общую прямую, или же, наконец, совсем не пересекает цилиндра.
Во всяком случае винтовая линия не может быть линией пере-
пересечения плоскости с поверхностью цилиндра.
Черт. 52.
Черт. 53.
Касательная к пространственной кривой определяется
так же, как и для случая плоской кривой. Будем называть
нормалью к пространственной кривой q в ее точке А вся-
всякую прямую, проходящую через точ-
точку А и перпендикулярную к касатель-
касательной в точке А. Но к прямой в лю-
любой ее точке можно провести в про-
пространстве бесчисленное множество
перпендикуляров. Поэтому нормалей
к кривой q в точке А существует
бесконечное множество: они запол-
заполняют целую плоскость, перпендику-
перпендикулярную к касательной в точке А
(черт. 54).
3. Соприкасающаяся плоскость. Возьмем на
кривой q точку А и прямую MN, касательную в этой точке
к кривой q (черт. 55). Пусть At — точка на кривой, очень
близкая к точке А. Маленький кусочек AAt пространствен-
пространственной кривой q приближенно можно считать дугой плоской
кривой. Плоскость Q, проходящую через касательную MN
и через точку Ах, приближенно можно считать плоскостью,
Черт. 54.
43

в которой лежит маленькая дуга ААх нашей кривой. Пло-
Плоскость Q называется соприкасающейся плоскостью к кри-
кривой q в точке А.
Примечание. Дадим точное определение соприкасающейся ,
плоскости. Проведем плоскость Q', проходящую через касатель-
касательную MN к нашей кривой в точке А и через другую точку Ai
той же кривой. Пусть точка At стремится к точке А, двигаясь по
кривой q; при этом плоскость Q' будет поворачиваться вокруг ММ
и стремиться к предельной плоскости Q. Эта предельная плоскость
называется соприкасающейся плоскостью. Если точка Аг очень
близка к точке А, то плоскость Q', проходящая через MN и точку Ai,
будет очень близка к предельной плоскости Q. Мы поэтому мо-
можем приближенно считать такую плоскость Q' соприкасающейся
плоскостью.
4. Главная нормаль. Главной нормалью к кри-
кривой q в точке А называется нормаль AT, расположенная
в соприкасающейся плоскости (черт. 55).
Если кривая q лежит цели-
целиком в плоскости Q (т. е. если
кривая q — плоская), то пло-
плоскость Q есть соприкасающаяся
плоскость для всех точек кри-
кривой q, а нормали к q, лежа-
лежащие в этой плоскости, являются
главными ее нормалями.
5. Соприкасающаяся
окружность для про-
пространственной кривой.
Маленькую дугу пространствен-
пространственной кривой, содержащую точ-
точку А, можно приближенно рас-
рассматривать, как плоскую дугу, расположенную в пло-
плоскости Q, соприкасающейся с кривой q в точке А. Но каж-
каждую плоскую дугу в свою очередь можно приближенно
рассматривать как дугу соприкасающейся окружности (рас-
(расположенной в той же плоскости и имеющей с кривой общую
касательную). Значит, маленькую дугу кривой q, содержа-
содержащую точку А, можно приближенно рассматривать как дугу
некоторой окружности в соприкасающейся плоскости
(черт. 55). Эту окружность называют соприкасающейся
окружностью пространственной кривой. Ее центр О нахо-
находится на главной нормали к кривой. Итак, маленькие уча-
участки плоских и пространственных кривых можно прибли-
приближенно рассматривать как дуги соприкасающихся окружно-
Черт. 55.
44

стей. Чем меньше дуга кривой, тем с большей точностью
можно заменять дуги кривой дугами соприкасающихся
окружностей.
Все эти сведения из теории кривых нужны для даль-
дальнейшего.
§ 7. Некоторые сведения из теории поверхностей
1. Касательная плоскость и нормаль к по-
поверхности. Рассмотрим поверхность 5 и точку Л на ней
(черт. 56); маленький кусочек поверхности вокруг точки А
можно приближенно рассматривать как кусочек плоскости Q,
так называемой касательной плоскости к поверхности 5
в точке А. Касательная плоскость Q есть плоскость,
в которой лежат каса-
касательные прямые в точ-
точке А к кривым, лежащим
на поверхности 5 и про-
проходящим через точку А.
Если провести на 5
две кривые q и qlt
проходящие через точ-
точку А, с несовпадающими
касательными LLX и ММХ
в точке А, то каса-
касательная плоскость Q
есть плоскость, опреде-
определяемая прямыми LLi и
„	Черт. 56.
Нормалью к поверх-
поверхности 5 в точке А на-
называется прямая, проходящая через А и перпендикулярная
к касательной плоскости Q в точке А поверхности 5.
Нормаль AN к поверхности служит нормалью ко всем
кривым, лежащим на этой поверхности и проходящим
через точку А (она, вообще говоря, не будет их главной
нормалью в этой точке).
Примеры. Нормалью к поверхности шара в некоторой
ее точке является радиус шара в этой точке.
Нормалью к поверхности цилиндра в некоторой ее точке
является радиус кругового сечения цилиндра в этой точке.
Примечание. Кривая необязательно имеет касательную
в каждой своей точке. Возьмем, например, ломаную линию; нельзя
45

определить для нее касательную в ее вершине. Точно так же не-
необязательно пространственная кривая имеет соприкасающуюся пло-
плоскость, а поверхность — касательную плоскость и нормаль и т. д.
Например, коническая поверхность не имеет касательной плоскости
и нормали к вершине конуса.
Мы во всем дальнейшем ограничимся только «гладкими» кри-
кривыми, т. е. кривыми, имеющими в каждой точке касательную, со-
соприкасающуюся плоскость, центр кривизны, и «гладкими» поверх-
поверхностями, т. е. поверхностями, имеющими в каждой точке нормаль.
На поверхности мы рассматриваем только «гладкие» кривые.
2. Условие равновесия точки на поверх-
поверхности. Рассмотрим точку А, способную перемещаться только
по поверхности 5. Пусть Р есть равнодействующая сил,
действующих на эту точку (черт. 57). Обозначим через Рг
касательную составляющую си-
силы Р (т. е. составляющую,
расположенную в плоскости Q,
касательной к 5 в точке А)
и через Р2 нормальную со-
составляющую, направленную по
нормали к поверхности 5 в
точке А. Касательная составляю-
составляющая Рх смещает точку А
по поверхности, поэтому для
равновесия точки А на по-
поверхности необходимо равенство
нулю касательной составляю-
составляющей Pj; это означает: сила Р
Черт. 57.
совпадает с ее нормальной составляющей Р%. Итак, для
равновесия точки А на поверхности необходимо, чтобы,
равнодействующая Р сил, действующих на точку А, была
направлена по нормали к поверхности в этой точке.
3. Некоторые задачи на кратчайшие линии
в пространстве. Найти кратчайшую линию, соединяющую
точки двух пространственных кривых.
Повторяя рассуждения п. 3 § 5 мы убедимся, что крат-
кратчайшей линией, соединяющей точки двух кривых, является
отрезок их общей нормали.
В частности, линия, дающая кратчайшее расстояние между
точками двух непересекающихся прямых в пространстве, есть
отрезок их общего перпендикуляра.
Наконец, аналогично можно показать, что кратчайшее
расстояние между двумя поверхностями есть отрезок их
общей нормали.
46

ГЛАВА III. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
Черт. 58.
§ 8. Теорема И. Бернулли о геодезических линиях
1. Равновесие упругой нити на поверхности.
На некоторой поверхности 5 заданы две точки А и В. Эти
точки можно соединить бесчисленным множеством линий,
лежащих на поверхности. Среди этих линий найдется крат-
кратчайшая линия q. Нашей задачей является исследование свойств
этой кратчайшей линии.
Представим себе натянутую на поверхности резиновую
нить, закрепленную в точках А и В (черт. 58). Эта линия
находится в состоянии равно-
равновесия, если она приняла форму
кратчайшей линии q. В самом
деле, если выведем ее из поло-
положения q, изменив несколько
ее форму, то мы удлиним
ее и, стремясь сократиться,
она вновь придет в положение q. Следовательно, нить,
расположенная по кратчайшей линии q, будет нахо-
находиться в положении равновесия и притом устойчивого.
Мы начнем с исследования
линии равновесия упругой ни-
нити на поверхности.
Рассмотрим сначала нить
АВ, имеющую форму дуги
окружности (черт. 59). На ку-
кусочек CD нашей нити дей-
действуют натяжения остальных
частей нити; именно в точке С
действует натяжение части СА
нити, в точке D — натяже-
натяжение части DB. Эти натяже-
натяжения направлены по касатель-
касательным в точках С и D. Обо-
Обозначим их через Рх и Р2. Силы Рх и Р2 равны по вели-
величине, иначе часть CD нашей нити не осталась бы в со-
состоянии равновесия. Найдем теперь равнодействующую
сил Р1 и Р2.
Пусть точка М есть точка пересечения касательных
в точках С и D (по этим касательным направлены силы Рх
Черт. 59.
47

и Я2). Перенесем силы Р1 и Р% в точку Ж. Легко видеть,
что равнодействующая будет направлена к центру О окруж-
окружности (на которой расположена нить АВ). Обозначим через
Е середину дуги CD. Равнодействующая сил натяжения, дей-
действующих на дугу CD, проходит через середину Е этой
дуги и направлена по радиусу ЕО. Так как радиус ЕО
есть нормаль к дуге АВ в точке Е, то получаем оконча-
окончательно: равнодействующая сил натяжения, действующих
на дугу окружности CD, проходит через середину Е
этой дуги и направлена по нормали к окружности
в точке Е.
Рассмотрим теперь общий случай. На поверхности натя-
натянута резиновая нить, закрепленная в точках А и В и имеющая
форму кривой q.
Выделим маленький кусочек CD этой нити '). На CD
действуют силы натяжения Р1 и Р2, приложенные в точках
С и D и направленные по касательным к q в этих точках.
Мы можем рассматривать маленькую дугу нашей кривой как
дугу соприкасающейся окружности в середине Е этой дуги.
Радиус ЕО этой окружности направлен по главной нормали
к кривой q в точке Е. Равнодействующая сил натяжения,
действующих на дугу окружности, пойдет по радиусу, про-
проходящему через середину этой дуги, в данном случае по
радиусу ЕО. Итак, равнодействующая сил натяжения, дей-
действующих на маленькую дугу CD нашей нити, проходит
через ее середину Е и направлена по главной нормали ЕО
в точке Е.
Теперь уже нетрудно найти те условия, при которых
нить находится в равновесии. Если нить находится в состоя-
состоянии равновесия, то каждая ее малая часть CD тоже нахо-
находится в состоянии равновесия. Для того" чтобы дуга CD
находилась в равновесии, нужно, чтобы эта равнодействую-
равнодействующая была направлена по нормали к поверхности. Силы на-
натяжения, действующие на CD, имеют равнодействующую,
направленную по главной нормали ЕО к кривой q. Значит,
одна и та же прямая ЕО должна быть в одно и то же время
') Ввиду малости CD мы можем считать ее дугой окружности
и использовать тот же черт'. 59,

главной, нормалью к кривой q в точке Е и нормалью к по-
поверхности 5 в этой точке.
Получаем теорему: для того чтобы натянутая на по-
поверхности S упругая нить q находилась в состоянии равно-
равновесия, необходимо, чтобы в любой ее точке А главная
нормаль в ней совпадала с нормалью к поверхности.
2. Геодезические линии. Линия q называется
геодезической на поверхности S, если в каждой ее точке
главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности.
Геодезическую линию можно определить так же как
линию на поверхности, у которой соприкасающаяся пло-
плоскость в каждой ее точке проходит через нормаль к по-
поверхности в этой точке. В самом деле, пусть А ¦— точка
на кривой q, лежащей на поверхности 5. Нормаль к поверх-
поверхности в точке Е есть в то же время нормаль к кривой q
в этой точке; эта нормаль будет главной нормалью, если
она расположена в плоскости, соприкасающейся с q
в точке А.
Доказанную выше теорему можно формулировать так:
Натянутая нить на поверхности будет находиться
в состоянии равновесия, если она расположена по геодези-
геодезической линии этой поверхности.
Пример 1. На поверхности цилиндра натянутые нити
расположатся, как мы убедились выше, вдоль винтовых ли-
линий. Винтовые линии поэтому суть геодезические линии
на поверхности цилиндра. Главные нормали к винтовым
линиям совпадают с нормалями к поверхности цилиндра, а
нормали к поверхности цилиндра суть радиусы круговых
сечений. Итак, главные нормали винтовых линий суть
радиусы круговых сечений.
П р и м е р 2. Рассмотрим, в каком случае плоская кривая q
может быть геодезической линией на некоторой поверх-
поверхности 5. Обозначим через <5 плоскость, в которой лежит
линия q. Для плоской кривой q соприкасающейся плоско-
плоскостью в любой ее точке будет сама плоскость Q.
В силу второго определения геодезической линии, если
кривая q является геодезической линией, то нормали к по-
поверхности 5 в точках кривой q должны лежать в ее сопри-
соприкасающейся плоскости, т. е. нормали к поверхности 5 в точ-
точках кривой q должны лежать в плоскости Q.
Пример 3. Рассмотрим поверхность шара. Рассечем эту
поверхность плоскостью Q, проходящей через центр шара.
Получим так называемый большой круг на поверхности
49

шара. Большой круг есть геодезическая линия на поверх-
поверхности шара.
В самом деле, нормалями к поверхности шара в ее точ-
точках являются радиусы шара. Радиусы в точках большого
круга лежат в плоскости этого круга. Мы имеем случай
плоской кривой на поверхности, в точках которой нормали
к поверхности лежат в плоскости этой кривой. А мы только
что убедились, что такая плоская кривая есть геодезическая.
Если мы рассечем шар плоскостью Qv не проходящей
через центр шара, то получим малый круг на поверхности
шара. Так как нормали к поверхности шара (т. е. радиусы
шара) в точках малого круга не лежат в плоскости малого
круга, то малый круг не является геодезической линией на
поверхности шара.
Резиновая нить, туго натянутая по дуге большого круга,
будет находиться в состоянии равновесия. Если же ее натя-
натянуть по дуге малого круга, то она соскользнет с этой
дуги, так как не будет находиться в ней в состоянии рав-
равновесия.
Теорема Иоганна Бернулли. Кратчайшая из
всех линий, соединяющих две точки на поверхности, есть
дуга геодезической линии.
Мы уже обладаем доказательством теоремы Бернулли.
В самом деле, с одной стороны, мы доказали, что линии,
по которым располагаются натянутые на поверхности нити,
находящиеся в состоянии равновесия, суть геодезические.
С другой стороны, мы знаем, что резиновая нить на поверх-
поверхности, закрепленная в точках А к В на ней и расположен-
расположенная по кратчайшей линии, соединяющей эти точки, нахо-
находится в состоянии равновесия (ряд других элементарных
доказательств этой теоремы приведен в книге М. Я. Выгод-
Выгодского, Дифференциальная геометрия, М.—Л., Гостех-
издат, 1949).
Примечание. Проведем через две точки А и В на поверх-
поверхности шара большой круг д. Точки А и В делят его на две дуги
(черт. 60): дугу АМВ и дугу AN3. Обе эти дуги—геодезические,
соединяющие точки А и В. Пусть дуга АМВ короче дуги АНВ.
Тогда, очевидно, АМВ есть кратчайшая дуга на поверхности шара,
соединяющая точки А к В, дуга же ANB, хотя и является геоде-
геодезической, все же не будет кратчайшей дугой на поверхности шара,
соединяющей точки А и В. Резиновая нить, натянутая на поверх-
поверхности шара по любой из этих дуг, будет находиться в состоянии
.60

д
Черт. 60.
равновесия. Но в то время как нить, натянутая по дуге АМВ, нахо-
находится в состоянии устойчивого равновесия, нить, натянутая по
дуге ANB, находится в состоянии неустойчивого равновесия. Если
мы выведем нить из положения ANB так, чтобы она приняла форму
кривой ANiB (черт. 60), близкой к ANB, но более короткой, то она
будет скользить по поверхности
шара, удаляясь от положения ANB.
Итак, мы видим, что свойство
быть геодезической — необходимое,
но не достаточное условие для
того, чтобы линия была крат-
кратчайшей.
Можно, однако, показать, что
достаточно малая дуга геодези-
геодезической всегда является кратчайшей.
Геодезическая линия может быть
определена как линия, достаточно
малые дуги которой являются крат-
кратчайшими.
3. «Построение» геодезической линии. Будем
водить острием ножа по некоторой поверхности S; в каждый момент
острие ножа будет касаться по-
поверхности в какой-нибудь точке А
(черт. 61). При этом будем дер-
¦ жать нож так, чтобы все время
нормаль к поверхности в точке
Черт. 61.	ее прикосновения с острием ножа
проходила^через плоскость ножа.
Линия д, которую нацарапает
при этом острие ножа на поверхности S, будет геодезической.
В самом деле, рассмотрим маленькую дугу ВС, кривой д, нацара-
нацарапанной ножом, и точку А на ней. Можно считать приближенно,
что дуга ВС находится в плоскости ножа в тот момент, когда он
своим острием касается поверхности в точке А. Таким обра-
образом, плоскость ножа в момент прикосновения его острого края
к поверхности в точке А есть соприкасающаяся плоскость
кривой д в точке А. Но нам
известно из предыдущего, что
если соприкасающаяся плоскость
кривой q проходит постоянно
через нормаль к поверхности, i	1
кривая q— геодезическая. Следо-
Следовательно, кривая q — геодезиче-	Черт. 62.
екая на нашей поверхности.
Можно рассмотреть для произвольной поверхности еще одну
задачу: развернуть узкую полоску, вырезанную из поверхности, на
плоскость и, обратно, навернуть плоскую полоску на поверхность.
Необходимо определить точнее, что мы под этим понимаем.
Пусть дана кривая q на поверхности. Окружим ее узкой поло-
полоской (черт. 62). Эту полоску, вообще говоря, нельзя развернуть
51

на плоскость так, чтобы длины кривых, расположенных в полоске,
не искажались. Однако, чем уже полоска, тем относительно меньше
будут эти искажения*).
Если мы навернули узкую полоску поверхности на плоскость, то
кратчайшая линия полоски, соединяющая две точки, перейдет в дугу,
обладающую аналогичным свойством на плоской полоске, т. е. в от-
отрезок прямой. Обратно, прямолинейный отрезок на плоской полос-
полоске, которую наворачивают на поверхность, перейдет в кратчайшую
дугу на поверхности — в геодезическую дугу. Поэтому узкая поло-
полоска (лента, ширина которой очень мала по сравнению с длиной), окру-
окружающая прямолинейный отрезок, ляжет на поверхность так, что
отрезок прямой перейдет в геодезическую дугу. Наша узкая лента
ляжет на поверхность вдоль геодезической линии. Поэтому, накла-
накладывая на поверхность длинные узкие ленты, можно составить пред-
представление о ходе геодезических линий на поверхности.
§ 9. Дополнительные замечания о геодезических линиях
1. Плоскость симметрии. Мы сейчас приведем
несколько примеров геодезических линий. Напомним пред-
предварительно читателю одно определение: две точки А и
А' называются симметричными относительно плоскости Q,
если они лежат с разных сторон от плоскости Q, нахо-
находятся от нее на равных расстояниях и лежат на одном
к ней перпендикуляре (черт. 63).
Черт. 63.
Черт. 64.
Две фигуры q и q' называются симметричными отно-
относительно плоскости Q, если каждой точке А фигуры q
отвечает симметричная ей относительно Q точка А'
фигуры q', и обратно (черт. 64).
Плоскость Q называется плоскостью симметрии поверх-
поверхности 5, если она делит 5 на две симметричные относи-
относительно Q части.
*) Выражаясь языком анализа бесконечно малых, изменения
длины кривых будут величинами бесконечно малыми высшего по-
порядка по сравнению с шириной полоски.
52

Примеры. Для поверхности шара плоскостью симме-
симметрии будет любая плоскость, проходящая через центр шара.
Для поверхности круглого конуса и цилиндра плоско-
плоскостями симметрии будут плоскости, проходящие через их оси.
Для ограниченного круглого цилиндра плоскостью сим-
симметрии будет плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра,
делящая высоту на две равные части.
Для бесконечно длинного цилиндра (т. е. цилиндра,
образующие которого — бесконечные прямые) любая пло-
плоскость, перпендикулярная к оси, будет плоскостью симметрии.
Теорема. Пусть поверхность S имеет плоскость сим-
симметрии Q, пересекающую S по линии q. Линия q есть
геодезическая линия поверхности 1).
По предположению линия q лежит в плоскости Q. Пло-
Плоская линия q (см. пример 2 предыдущего параграфа) будет
геодезической, если нормаль к поверхности 5 во всякой
точке кривой q лежит в плоскости Q.
Пусть точка А — произвольная
точка кривой q (черт. 65). Мы дока-
докажем, что нормаль к поверхности 5
в точке А лежит в плоскости Q.
Предположим обратное: нормаль АВ
к поверхности 5 в точке А не
лежит в плоскости Q. Обозначим
через АВ' прямую, симметричную
с АВ относительно Q. Так как АВ
не лежит сама в Q, то АВ отлич-
отлична от АВ'. Но плоскость Q
есть плоскость симметрии для
поверхности, и если АВ есть нормаль к 5 в точке А, то
симметричная ей прямая АВ' есть также нормаль к 5
в точке А. Итак, поверхность 5 обладает в точке А двумя
нормалями, что невозможно. Мы пришли к противоречию;
тем самым мы доказали, что нормаль к 5 во всякой точке А
кривой лежит в плоскости Q. Наша теорема полностью
доказана.
2. Замкнутые геодезические. Если натянуть на
поверхность 5 петлю из резиновой нити так, чтобы послед-
последняя оказалась в положении равновесия, то она примет фор-
форму некоторой замкнутой линии q. Эта линия q есть геодези-
геодезическая линия и притом замкнутая. Так, резиновая петля на
Черт. 65.
1). Напомним, что мы рассматриваем лишь гладкие поверхности.
53

поверхности шара, если ей придать форму большого круга,
будет находиться в состоянии равновесия. Большие круги
на поверхности шара, а также эллипсы — меридианы на
поверхности эллипсоида вращения — суть замкнутые геоде-
геодезические линии (о поверхностях вращения см. § 10).
Если замкнутая поверхность 5 имеет несколько плоско-
плоскостей симметрии, то каждая плоскость симметрии (в силу
доказанной выше теоремы) пересекает поверхность по замкну-
замкнутой геодезической.
Эллипсоид с тремя различными по величине осями АА\
ВВ', СС (черт. 66) имеет три плоскости симметрии, каждая
из которых проходит через две оси эллипсоида. Эти три
плоскости пересекаются с эллипсоидом по трем эллип-
эллипсам Ev Е2, Еъ — трем замкнутым геодезическим.
Черт. 66.
Можно доказать, что на всякой замкнутой поверхно-
поверхности имеется по крайней мере три замкнутые геодези-
геодезические линии 1).
3. Принцип Герца. Точка, движущаяся на плоскости
по инерции, движется по прямой линии (первый закон Ньютона).
Точка же, которая движется по поверхности и на
которую не действуют внешние силы, движется по геоде-
геодезической линии.
В этом заключается принцип Герца. Например, точка
на поверхности шара, если на нее не действуют внешние
силы, движется по большому кругу, на поверхности цилин-
цилиндра— по винтовой линии.
1) Доказательство этой не элементарной теоремы приведено
в статье Л. А. Люстерника и Л." Шнирельмана, Топологические
методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциаль-
дифференциальной геометрии поверхностей, УМН II, вып. 1 A7), A947).
54

В самом деле, ускорение, которое испытывает точка,
движущаяся по кривой q, можно разложить на тангенциаль-
тангенциальное (направленное по касательной к q) и нормальное (на-
(направленное по главной нормали к кривой q). Но если точка
движется без воздействия внешних сил по кривой q, распо-
расположенной на поверхности 5, то на точку действует только
реакция поверхности; сила реакции поверхности направлена
по нормали к поверхности. Так как направление силы сов-
совпадает с направлением ускорения, то направление ускорения
нашей точки в каждый момент должно совпадать с напра-
направлением нормали к поверхности. Нормаль к поверхности
в некоторой точке кривой перпендикулярна к касательной
к кривой q в этой же точке. Так как ускорение направлено
по нормали к поверхности, т. е. перпендикулярно к каса-
касательной к q, то тангенциальное ускорение равно нулю.
Следовательно, наша точка обладает только нормальным
ускорением, направленным по главной нормали к q. Напра-
Направление ускорения есть в одно и то же время направление
главной нормали к кривой q и нормали к поверхности 5.
Значит, эти направления совпадают во всякой точке кривой q,
откуда следует, что кривая q есть геодезическая линия на
поверхности 5.
4. Геодезические линии на поверхности
с ребром. Рассмотрим поверхность 5, состоящую из двух
Черт. 67.
гладких поверхностей St и S3, прилегающих друг к другу
по кривой s, которую будем называть ребром поверхности 5
(примером такой поверхности может служить поверхность
двугранного угла). Пусть на поверхности S взяты две точки А
и В, лежащие соответственно на St и 52 (черт. 67), и пусть

qo	есть положение равновесия упругой нити на
поверхности 5. При этом точка С принадлежит ребру s,
а дуги АС и СВ кривой qQ —- соответственно частям St и 52.
Очевидно АС есть геодезическая на Sv а СВ — геодезиче-
геодезическая на 52. Найдем условие равновесия в точке перелома С
методом, которым мы пользовались в § 8. Кривая q0 есть
положение равновесия гибкой нити на поверхности 5, за-
закрепленной в точках А а В.
Обозначим через а угол между дугой АС и частью СС
ребра s, через [3 — угол между частью СС" ребра 5 и дугой СВ
(т. е. между их касательными). На точку С действуют силы
натяжения: Ри направленная по касательной к дуге СА, и
Р2. направленная по касательной к дуге СВ. Каждая из этих
сил равна Т. Проекции этих сил на касательную LLl к ребру.?
в точке С равны соответственно Tcosot и TcosjB и напра-
направлены в противоположные стороны. Условие равновесия
Г cos а = Г cos ^
дает нам
а = р.	A)
Углы, которые образуют с ребром .? в точке перелома
дуги АС и СВ, равны между собой.
Линию <7о естественно называть геодезической на поверх-
поверхности 5.
Если поверхность 5 состоит из нескольких гладких частей,
разделенных ребрами
5i> s2, • • • > sn>
то геодезические линии (линии равновесия упругой нити)
на таких поверхностях состоят из дуг геодезических, смы-
смыкающихся на ребрах
причем в каждой точке стыка выполняется условие A).
Кратчайшие линии на поверхности 5 являются геодези-
геодезическими. Выведенное в § 1 свойство кратчайших на много-
многогранных поверхностях является частным случаем свойства
геодезических (и кратчайших) на поверхностях с ребрами.
Означенное свойство геодезических на таких поверхностях
можно вывести также из принципа Герца.
56

§ 10. Геодезические линии на поверхностях
вращения
1.	Поверхность вращения. Будем вращать плоскую
кривую q вокруг прямой АВ, расположенной в одной пло-
плоскости с q (черт. 68). При вращении q вокруг АВ обра-
образуется некоторая поверхность 5, которая называется поверх-
поверхностью вращения. Всякая плоскость Q, проходящая через
ось вращения АВ, пересекает 5 по паре
кривых q и q'. Эти кривые называются
меридианами. Они получаются из кри-
кривой q путем поворота ее на соответствен-
соответственный угол вокруг оси вращения. Каждая
плоскость, перпендикулярная к оси, пе-
пересекает 5 по окружности, называемой
параллелью.
Теорема 1. Все меридианы поверх-
поверхности вращения суть геодезические
кривые.
В самом деле, рассмотрим меридиа-
меридианы q и q', образованные пересечением
поверхности вращения с плоскостью Q, проходящей через ось
АВ. Плоскость Q есть плоскость симметрии поверхности вра-
вращения 5, следовательно, она пересекает поверхность 5 по
геодезическим кривым. Итак, линии q и q'—геодезические.
Пример. Будем вращать эллипс Е вокруг его оси
(черт. 69). Получится так называемый эллипсоид вращения.
Его меридианы суть эллипсы,
равные Е. Эти эллипсы являются
геодезическими.
Замечание. На поверхно-
поверхности цилиндра все параллели
являются геодезическими; на по-
поверхности шара из параллелей
геодезической является только
экватор; на поверхности конуса
ни одна параллель не является
геодезической.
2.	Теорема Клер о. Рассмотрим геодезическую линию q
на поверхности вращения 5. Пусть А—-произвольная
точка геодезической q, r — ее расстояние от оси вращения
(радиус параллели), а —угол между геодезической q и мери-
меридианом в точке А.

Теорема 2 (К л е р о). Во всех точках геодезической q
выражение г sin а. есть величина постоянная:
rsina = c = const.	A)
Если через [3 обозначить угол между геодезической и
параллелью, то формула A) примет вид
г cos ,8 = const.
Частный случай теоремы Клеро для поверхности конуса
и цилиндра уже доказан (см. п. 4 § 3).
Рассмотрим поверхность Sn, образованную вращением
ломаной А0А1 ... Ап вокруг оси L. Поверхность Sn состоит
из п поверхностей su s2, • • • > sn> образованных вращением
соответственно сторон A0Alt АхАг, ..., Ап_хАп. Эти поверх-
поверхности отделены одна от другой «ребрами» tx, t^, ... , tn_x ¦—•
параллелями, полученными вращением вершин ломаной Ах,
А%, ¦ ¦ ¦ , Ап_х.
Рассмотрим две точки А и В на поверхности Sn и соеди-
соединяющую их геодезическую q0. В силу доказанного в п. 4
§ 9 геодезическая q0 состоит из геодезических дуг на по-
поверхностях усеченных конусов или цилиндров
Sj, 52, ... , Sn,
смыкающихся по ребрам
причем углы, образованные каждой из смыкающихся геодези-
геодезических дуг с «ребром», равны между собой. При движении
вдоль <7о угол [3 кривой qQ с параллелью меняется непре-
непрерывно, без скачков (скачок в изменении этого угла мог
бы произойти, когда параллель превращается в одно из
«ребер», но в силу сказанного выше он не наступает). Поэ-
Поэтому и величина г cos В меняется непрерывно, без скачков.
Проследим, что происходит с величиной rcos[3, когда
мы перемещаемся по q0. Пока мы движемся по одной из
поверхностей
So, Sj, ... , Sn,
выражение rcosp остается постоянным (в силу уже дока-
доказанного частного случая теоремы Клеро). При переходе
через одно из «ребер»
tv t3, ... , tn_1
это выражение не делает скачков. Значит, оно остается
58

постоянным вдоль всей линии q0. Таким образом, для всех
точек геодезической q0 имеет место соотношение
г cos p = const.
Произвольная плоская кривая т может быть рассматри-
рассматриваема как предельная для вписанных многоугольников тп,
когда число их сторон п неограниченно растет и длина
наибольшей стороны стремится к нулю. Поверхность 5,
образованная вращением т вокруг некоторой оси, является
предельной для поверхностей Sn, образованных вращением тп
вокруг той же оси. Для кратчайших линий на поверхностях Sn
выполняется теорема Клеро. Отсюда мы делаем заключение,
что она выполняется и для кратчайших на поверхности 5.

ЛЕКЦИЯ 2
ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ, СВЯЗАННЫЕ С ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ
ЭНЕРГИЕЙ НАТЯНУТОЙ НИТИ
§ 11. Движения линий, не меняющие их длин
1.Потенциальная энергия гибкой нити. Будем
считать, что гибкая нить обладает равным натяжением Т
во всех ее точках и что это натяжение сохраняется при
изменении длины нити. Определим потенциальную энер-
энергию нити.
Пусть q — ABC гладкая кривая длины /, состоящая из
дуг АВ длины /0 и ВС длины (/ — /0) (черт. 70). Пусть нить,
занимавшая положение АВ, перешла, извиваясь вдоль кривой q,
в положение ABC, так что точка А закреплена, а точка В
Черт. 70.
описала линию ВС длины (/ — /0)- Рассмотрим работу,
выполненную силами натяжения.
Силы натяжения в точке В выполнили работу, равную
Работа сил натяжения, действующих на малую дугу ЕЕ'
кривой q, равна нулю. В самом деле, равнодействующая этих
сил направлена по нормали к кривой q, между тем как
дуга ЕЕ' скользит по самой кривой q.
60

Таким образом, общая работа сил натяжения при нашем
движении нити сводится к работе силы, приложенной к концу 5,
т. е. равна
T(l — lo)=Tl—Tlo.
Пусть потенциальная энергия нити, когда она занимала
положение АВ, равна Vo, а ее потенциальная энергия, когда
она заняла положение ABC, равна V. Приращение потен-
потенциальной энергии V— Vo равно проделанной работе, т. е.
V—V0=Tl—Tl0
или
V—Tl=V0 — Tl0.	A)
Будем считать, что когда длина нити стремится к нулю,
потенциальная энергия стремится к нулю; при /0 —* О имеем,
следовательно, V0—^0, а значит, (Vo — 770)—>(). Переходя
к пределу в правой части равенства A) при /0—> 0, получаем:
V— Т1 = 0,
отсюда
V—TI.	B)
Потенциальная энергия гибкой нити равна ее длине, умно-
умноженной на натяжение.
Следствие. Если при перемещении нити работа сил
натяжения равна нулю, то длина нити не изменилась. В самом
деле, в этих условиях не изменилась потенциальная энергия
нити, которой пропорциональна длина нити.
Заметим, что если прямолинейный отрезок АВ переме-
перемещается, оставаясь прямолинейным, то общая работа сил натя-
натяжения сводится к работе сил натяжения в концах этого
отрезка.
Работа нити, сохраняющей форму ломаной АСВ, сво-
сводится к работе сил натяжения в концах А а В ломаной и
в ее вершине С.
2. Параллельные линии. Две линии с общими
нормалями называются параллельными. Простейшими при-
примерами параллельных линий являются параллельные прямые
и концентрические окружности.
Теорема 1. Отрезки общих нормалей между парал-
параллельными линиями q и <7i имеют равные длины.
61

Пусть общая нормаль АВ к кривым q и q1 перемещается
от положения А0В0 до положения Афх, оставаясь все время
общей к ним нормалью (черт. 71).
Работа сил натяжения при таком перемещении равна
нулю. В самом деле, в конце А сила натяжения направлена
по нормали к кривой, поэтому при перемещении этого конца
по кривой q работа сил натяжения равна нулю. Аналогично
в конце В, перемещаемом по кривой qlt работа сил натя-
натяжения равна нулю. Итак, при нашем перемещении общей
Черт. 71.
нормали работа сил натяжения равна нулю. В силу сформу-
сформулированного следствия длина / общей нормали при этом не
меняется:
3. Нормали к эллипсу и параболе. Эллипсом
называется геометрическое место точек В, сумма рас-
расстояния которых от заданных точек F и Fx есть вели-
величина постоянная:
FB-\-FiB = 2a C)
(а — постоянная величина).
Точки F и F1 называ-
называются фокусами эллипса,
отрезки FB и FXB — ра-
диус-векторами.
Теорема 2. Нормаль
эллипса в любой его точке В есть биссектриса BD
угла FBFi: образованного радиус-векторами (черт. 72).
В самом деле, пусть упругая нить, имеющая форму лома-
ломаной FBFU закреплена в точках F и F{, если перемещать
Черт. 72.

эту нить, двигая точку В по эллипсу, ее .длина (в силу C))
не меняется. А значит, работа сил натяжения все время
равна нулю. Работа сил натяжения сводится к работе сил
в точке В. В этой точке
приложены две равные силы
натяжения по направлениям
BF и" S/v Их равнодей-
равнодействующая Р направлена по
биссектрисе BD угла FBF^.
Так как при смещении точ-
точки В по эллипсу работа Р
равна все время нулю, то
Р направлено все время
по нормали к эллипсу.
Нормаль к эллипсу в лю-
любой его точке В совпадает,
следовательно, с биссектри-	ерт-
сой угла FBFX.
Параболой называется геометрическое место точек В,
расстояния которых от данной точки F и от данной
прямой d равны, между собой:
FB = BC
D)
(ВС-—перпендикуляр, опущенный из В на прямую d
(черт. 73)). Точка F называется фокусом параболы, прямая
d — ее директрисой, а перпендикулярная Kd прямая LL, про-
проходящая через фокус, — осью параболы. Проведем прямую du
параллельную d, так, что фокус F и директриса d нахо-
находятся по одну сторону dv Обозначим через а расстояние
между параллельными прямыми d и dv Проведем через
точку В параболы общий перпендикуляр CQ к прямым d
и dl (CC1 параллелен оси LL). Имеем:
где а — величина постоянная, равная расстоянию между
параллельными прямыми d и dv В силу D)
E)
Теперь нетрудно доказать следующее утверждение.
63

Теорема 3. Нормаль в произвольной точке В пара-
параболы есть биссектриса угла FBC, образованного радиус-
вектором FB и прямой ВСи параллельной оси LL.
Рассмотрим нить, имеющую форму ломаной FBCU у кото-
которой конец F закреплен, конец Q скользит по прямой dlt
так что ВСг остается ей перпендикулярным, а точка В
скользит по параболе.
Длина этой нити, как видно из формулы E), остается
неизменной, значит, общая работа сил натяжения равна нулю.
Эта работа складывается из работ сил натяжения в точках Ct
и В. Работа силы натяжения в точке С\ равна нулю, так как
направление этой силы (по отрезку Qfi) перпендикулярно
к прямой du по которой смещается точка Q. Значит, и
работа сил натяжения в точке В равна нулю. Повторяя рас-
рассуждения, приведенные при исследовании случая эллипса,
приходим к доказательству теоремы 1).
Примечание. Из теоремы 3 следует правило построе-
построения нормали к параболе. Отложим по оси LL отрезок FD,
равный радиус-вектору FB параболы. Прямая BD есть нор-
нормаль к параболе.
В самом деле, на черт. 73 углы /_ 1 и /, 3 равны, как
внутренние накрестлежащие при параллельных LL и ССг и
секущей BD; углы /_3 и /_ 2 равны, так как треугольник
FBD — равнобедренный. Отсюда получаем: /_ 2= /_ 1, т. е.
BD есть биссектриса угла FBC; значит, в силу теоремы 3 она
есть нормаль к параболе в точке В.
4. Геодезические касательные и нормали.
Если геодезическая дуга АВ перемещается по поверхности, то
работу производят только силы натяжения, действующие на
концы А и В дуги. В самом деле, равнодействующая сил,
действующих на любую малую внутреннюю часть дуги АВ,
направлена по нормали к поверхности, а значит, ее работа
при перемещении по поверхности равна нулю.
Геодезической касательной к кривой q на поверхности
в точке В называется геодезическая линия г, имеющая общую
с q касательную в точке В; геодезической нормалью к кри-
кривой q в точке В называется геодезическая кривая s, орто-
ортогональная к q в точке В (черт. 74).
*) Фактически мы доказали эту теорему для точек, расположен-
расположенных на той части параболы, которая лежит слева от прямой dt.
Но так как положение этой прямой (пяраллельной d) произвольно,
то теорема справедлива для всех точек параболы,
64

Теорема 1 об общих нормалях обобщается на случай
геодезических нормалей.
Теорема 4. Пусть две кривые q и qx на поверхности
имеют все геодезические нормали общими. Отрезки общих
геодезических нормалей между
q и ql имеют равные длины
(черт. 75).
Черт. 74.
Черт. 75.
Пример. Отрезки меридианов на поверхности шара
между двумя параллелями имеют равные длины.
Доказательство теоремы 4 повторяет доказательство
теоремы 1.
5. Геодезическая окружность. Отложим от
точки А поверхности всевозможные геодезические дуги АВ
равной длины. Геометрическое место q их концов В назы-
называют геодезической окружно-
окружностью; геодезические дуги АВ
называют геодезическими ра-
радиусами (черт. 76).
.^Каждый геодезический радиус
АВ есть геодезическая нормаль
к геодезической окружности в
точке В.
В самом деле, пусть упру-
упругая нить АВ, закрепленная в кон-
конце Л и имеющая форму геодезического радиуса, сме-
смещается, так что ее конец В описывает геодезическую окруж-
окружность q. Так как длина геодезической дуги АВ не меняется,
то работа.сил натяжения равна нулю. Эта работа сводится
к работе сил натяжения в конце В. Значит, работа сил натя-
натяжения в точке В все время равна нулю. Силы натяжения
направлены по нормали к линии смещения q. А так как их
направление в точке В есть направление, касательное
к радиусу АВ, то приходим к нашей теореме.
Черт. 76.
'/2 3 JI. A, JIioeiepniiK.
65

Черт. 77.
§ 12. Эволюты и эвольвенты
Рассмотрим плоскую кривую q, пучок нормалей, прове-
проведенных из различных точек этой кривой, и огибающую s
этих нормалей (т. е. кривую s, касающуюся этих нормалей).
Огибающая s называется эволютой кривой q, а кривая q,
секущая ортогонально все ка-
касательные к эволюте s, — ее
эвольвентой (черт. 77).
Каждая точка В эволюты
есть точка пересечения нор-
нормали АВ к эвольвенте и
бесконечно близкой к ней нор-
нормали А'В', т. е. точка В есть
центр кривизны для кривой q
в точке А (см. § 6). Эволюту
s кривой «7 можно определить
как геометрическое место
центров кривизны этой кривой.
Пусть упругая нить имеет форму кривой г, состоящей
из отрезка нормали АВ к эвольвенте и дуги BD эволюты s
(см. черт. 77). Двигаясь по этой кривой от А к D, мы имеем
гладкий переход в точке В от отрезка АВ к дуге BD.
Поэтому упругая нить в положении r = ABD находится
в состоянии равновесия. Будем перемещать нить г так, чтобы
конец А ее двигался по эвольвенте, а точка В — по эволюте;
тогда АВ сохраняет свое положение нормали к эвольвенте,
а оставшаяся часть нити BD прилегает к кривой s. Работа
сил натяжения, действующих на точки нормали АВ, равна их
работе в точках Л и В. Но в точке А эта работа равна нулю,
так как силы натяжения действуют по нормали к кривой q,
по которой скользит конец А. Силы натяжения, дейст-
действующие в точке В, уравновешиваются и их работа в каждый
данный момент равна нулю. Наконец, на не участвующей в дан-
данный момент в движении части BD нити г работа равна нулю.
Итак, работа сил натяжения в каждый момент равна нулю. Во
время нашего движения потенциальная энергия нити г остается
неизменной, а значит, остается неизменной и длина нити г.
Если ABD — начальное положение нити г, а отрезок
CD— ее конечное, то длина ABD равна длине CD:
66

t(ABD)= l(AB)-\-l(BD)
Но
или
откуда
Мы доказали следующую теорему.
Теорема. Если в двух точках А и С эвольвенты
провести их нормали АВ и CD до их точек касания В
и D с эволютой, то разность длин этих отрезков нор-
нормалей равна длине заключен-
заключенной между ними дуги эво-
эволюты BD.
Если к кривой q на поверх-
поверхности провести пучок ее геоде-
геодезических нормалей (черт. 78),
то их огибающая s называется
геодезической эволютой кривой
q, а кривая q — геодезической
эвольвентой кривой s. Теорема
сохраняет свою силу, если сло-
слова «нормали», «эволюта», «эволь-
«эвольвента» понимать как геодезиче-
геодезические нормали, геодезические эво-
эволюту и эвольвенту. Читатель может убедиться, что доказа-
доказательство проходит и в этом случае.
§ 13. Задачи на равновесие системы упругих нитей
1. Принцип Дирихле. Для механической системы
положение минимума ее потенциальной энергии является
положением равновесия. В самом деле, если неподвижная
механическая система смещается из положения 5 минимума
потенциальной энергии, то потенциальная энергия ее может
только возрасти; а значит, по закону сохранения энергии
ее кинетическая энергия может только убывать. Поэто-
Поэтому если в положении S система находилась в неподвиж-
неподвижном состоянии, т. е. при нулевом значении кинетической
энергии, то при смещении она не может приобрести поло-
положительной кинетической энергии, т. е. не может начать
двигаться.
Черт. 78.
67

Пример. Для упругой нити потенциальная энергия про-
пропорциональна ее длине. Поэтому положение, при котором
нить имеет наименьшую длину, есть положение равновесия
нити. Мы неоднократно пользовались этим обстоятельством.
Приведем две задачи на нахождение равновесия системы
из нескольких нитей (вторая из этих задач важна для дальней-
дальнейшего).
2. Задача о минимуме суммы длин. На плоско-
плоскости даны точки В\, В2,..., Вп. Найти точку Л, сумма рас-
расстояний которой от данных точек наименьшая. Рассмотрим
п упругих нитей ABit ABit..., ABn, у которых один
конец Л общий (например, нити
связаны между собой в точке
А), другие концы закреплены
соответственно в точках Ви
В%, . . . , Вп. Потенциальная
энергия нашей системы нитей
пропорциональна сумме длин
нитей АВи АВг, . . ., АВп.
Минимальной сумме длин ни-
нитей, т. е. минимальной потен-
потенциальной энергии, отвечает по-
положение равновесия системы.
В этом положении каждая
нить становится прямолинейным отрезком, и сумма длин
этих отрезков минимальная. Пусть Ло есть положение
точки Л в этом состоянии равновесия (черт. 79). На Ло
действуют п равных сил натяжения, действующих по напра-
направлениям А0В1г Л052, • • •> А^Вп. Эти п сил уравновешиваются.
Итак, в точке Ло, для которой сумма расстояний до точек
Ви В2> • • •> В п. минимальная, равнодействующая п равных
сил, действующих в направлениях A,)BV Л0В2>..., АаВп,
равна нулю ').
Можно нахождение такой точки Ло реализовать меха-
механически: на горизонтальной пластинке сделаны п отверстий
') М. Я. Выгодский указал, что это предложение нуждается
в уточнении. Оно справедливо, если точка А, для которой сумма
длин АВи АВ%	АВп минимальна, не совпадает ни с одной из
точек Ви 52,..., Вп.
Например, в случае трех точек Ви 52, В3 точка А лежит внутри
треугольника В^В^В^, если ни один из его углов не больше 120°.
Если же один из них, например при вершине Ви равен или
больше 120°, то точка А совпадает с этой вершиной.
68

в точках Ви Bit..., Вп (черт. 80); мы скрепляем п вере-
веревочек в одной точке над пластинкой, пропускаем эти вере-
веревочки сквозь отверстия и привешиваем к ним гири равного
веса. Наша система веревочек с гирями придет в состояние
равновесия, и общая точка веревочек в состоянии равнове-
равновесия и есть искомая точка Ао. В самом деле, на эту точку
действуют п равных сил натяжения веревочек, направлен-
направленных к отверстиям Во, Bit..., Вп (каждая из них равна весу
привешенного к веревочке груза). Эти п равных сил урав-
уравновешены.
К нашей задаче сводится следующая: даны п пунктов
Ви В2,..., Вп; требуется построить в точке А склад и
прямолинейные дороги от него ABV АВг,..., АВп. Найти
самое выгодное положение склада так, чтобы сумма длин
дорог АВи АВ2,..., АВп была наименьшей.
Иногда эту задачу усложняют; пусть грузопотоки от
склада А к пунктам Ви В2,..., Вп пропорциональны соот-
соответственно <7i, q^,..., qn. Требуется выбрать положение
точки А, для которой сумма
5 = ?iАВХ
nABn
будет наименьшая (т. е. для которой при подвозке грузов
по путям АВХ, АВ%,..., АВп количество тонно-километров
будет наименьшим).
Задача решается так же, как предыдущая (которая
является ее частным случаем при qx = q3 =... = qn). Ищется
положение равновесия системы из п нитей АВ1г АВг,..., АВп,
закрепленных в точках Вх, /?2> • • ¦> Вп с общей точкой А.
3 Ла At Люстершш
69

Но нити АВи АВч,..., АВп имеют разные натяжения,
пропорциональные числам qv q%,..., qn, — соответст-
соответственно Ц\Т, q%T,..., qnT. Потенциальная энергия ни-
нитей ABi, ABt,..., АВп равна соответственно qxTABx,
q^TAB^,..., qnTABn. Общая потенциальная энергия сис-
системы равна
V = T (qiABl + q2AB2 +... + qnABn) = TS. A)
Положение наименьшего значения V, т. е. наименьшего
значения суммы S, есть положение равновесия системы.
Каждая линия ABt, i=l, 2,..., п, при этом превращается
в прямолинейный отрезок. Общая точка А^=Ай этих нитей
находится в равновесии под влиянием п сил натяжения,
направленных по отрезкам A0Blt Л0б2,..., А0Вп, и пропор-
пропорциональна числам qx, q2,..., qn.
Механический способ нахождения искомой точки Ао, изло-
изложенный выше, сохраняет силу; однако грузы, прикрепленные
к концам веревочек, продетых через отверстия в точках
В\, В2,..., Вп, должны быть пропорциональны числам
3. Одна задача на равновесие системы из
двух нитей. Рассмотрим гибкую неоднородную нить,
имеющую форму q = ACB (черт. 81), у которой кон-
концы А и В закреплены, а точка С перемещается по кри-
кривой s, причем в части АС нити натяжение равно Tlt
в части СВ нити оно равно Та. Потенциальная энергия V (q)
нити равна
V(q)=V(AQ+V(CB).
В силу
v(ac)=t1i(ac),
= Ttl(CB)
имеем:
V(q)=T1l(AC)+T,t(CB).	B)
Пусть в положении qu нить q имеет наименьшую по-
потенциальную энергию. В силу принципа Дирихле нить в
70

положении ^о находится в равновесии. Пусть Со — точка
пересечения q0 и s.
Легко видеть, что каждая из частей АС0 и С0В линии дв
есть прямолинейный отрезок. Рассмотрим условия равно-
равновесия в точке Со.
К этой точке приложены силы натяжения: сила Ри напра-
направленная по С0Л, равная Тх, и сила Р2, направленная по С0В,
равная Г2. Проведем касательную LLX к кривой s в точке Со.
Обозначим углы:
L AC0L =
L
В = $. J
C)
Касательная составляющая силы Рх равна Рх cos a.= Tt cos a
и направлена по C0L; касательная составляющая силы Р2
Л
Черт. 81.
равна Ра cos C = Тг cos C и направлена по C0Li. Точка Со
находится в равновесии, если обе касательные составляющие
уравновешиваются, т. е. если
a=72cos
3*
D)
Итак, линия <70 есть ломаная АС0В с вершиной Со на кри-
кривой раздела s, в которой выполняется условие D).
71

ГЛАВА V. ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
§ 14. Кривизна и геодезическая кривизна
1. Кривизны. Величина -^, обратная радиусу R окруж-
¦л;
ности, называется кривизной окружное™. Это понятие можно
иллюстрировать механически с помощью натянутой нити.
Пусть дана дуга АВ окружности радиуса R с центром О.
Будем предполагать, что эта дуга образована упругой нитью,
к концам которой приложены равные силы натяжения Т\
и Га, направленные по каса-
касательным, как на черт. 82.
Равнодействующая Го сил
7\ и Г2 направлена по биссек-
биссектрисе угла между напра-
направлениями сил 7j и Г2, т. е.
по радиусу, делящему дугу АВ
пополам. Если эта дуга изме-
измеряется в радианах числом а,
то ее длина равна Ra, а стя-
стягивающая ее хорда имеет
длину 2R sin -|- • Так как
очень малую дугу можно при-
приближенно считать равной хор-
де, то отсюда следует
ч 82
зом, при очень
малых
2 R sin -~ «^
значениях
a. Таким обра-
угла <х имеем
sin ~
у, т.е. малый угол, выраженный в радианах, при-
приближенно равен своему синусу.
Примечание. Точнее, отношение угла к своему синусу
стремится к 1, тогда угол стремится к нулю. Доказательство этой
теоремы можно найти в любом курсе математического анализа, а также
в учебниках тригонометрии (например, Рыбкина).
Для того чтобы сделать наши дальнейшие рассуждения строгими,
следует ввести понятие эквивалентных бесконечно малых величин.
Бесконечно малой величиной называется переменная величина,
стремящаяся к нулю.
Пусть одновременно с величиной а стремится к нулю вели-
величина Р (например, вместе с длиной дуги стремится к нулю и длина
q
стягивающей ее хорды). Если при этом отношение — бесконечно
72

м-алых величин р и а тоже является бесконечно малой величиной,
то J3 называется бесконечно малой величиной высшего порядка
малости сравнительно с а. Например, а2 — величина высшего порядка
малости сравнительно с а.
Две бесконечно малые величины а и f называются эквивалент-
эквивалентными, если их отношение стремится к 1:
limi=l.	A)
Например, хорда, стягивающая дугу, эквивалентна самой дуге.
Разность двух эквивалентных бесконечно малых величин { и i
есть величина бесконечно малая высшего порядка По сравнению
с ними. В самом деле, из A) следует:
lim*-=^=0.	B)
0 <*
Поэтому ошибка, которую мы делаем от замены бесконечно
малой величины ей эквивалентной, есть бесконечно малая высшего
порядка. Например, разность длины бесконечно малой дуги и стя-
стягивающей ее хорды есть бесконечно малая высшего порядка.
Ошибка, которую мы делаем, приравнивая друг другу дугу и хорду,
есть бесконечно малая высшего порядка сравнительно со сравни-
сравниваемыми величинами.
Для выражения эквивалентности величин а и f пользуются
записью: а^з ?•
Пример эквивалентных величин: sin a=«a при бесконечно
/	.. sin а ,\
малом а это есть символическая запись равенства htn	= 1 .
\	«-.о а	I
Угол АОВ (черт. 82) в радианном измерении обозначим
через а. Тогда угол между направлениями сил 7\ и Г2 равен
тг—а, а угол между их направлениями и направлением равно-
равнодействующей То равен у—^-.
Из чертежа видно, что ro = 27smy, где Т — общая
величина сил Tt и Г2.
Если обозначим длину дуги АВ через s, то ее вели-
величина <х в радианах выразится так: а = -~- •
к
Следовательно,
Если дуга s очень мала, то
S
S1H ~щ
73

Рассмотрим теперь случай произвольной кривой д. Очень
малую дугу длины 5 этой кривой, содержащую точку А,
можно рассматривать как дугу окружности (радиус которой R
есть радиус кривизны кривой в точке А). Пусть наша линия q
есть упругая нить, в точках которой действует натяжение,
равное Т. Тогда на нашу дугу в ее концах действуют две
силы натяжения, равнодействующая которых в силу преды-
предыдущего направлена по радиусу кривизны и равна (точнее,
эквивалентна) Т
R
Величина -^ называется кривизной нашей линии в точке А.
к
Итак, на малую дугу АВ действует в направлении главной
нормали сила, которая пропорциональна длине дуги s a
кривизне о".
2. Геодезическая кривизна. Рассмотрим
(черт. 83) малую дугу длины 5 кривой q, лежащей на по-
поверхности, и пусть А — середина этой дуги. Кривизну
Черт. 83.
нашей линии в точке А обозначим ~^-, угол между глав-
главной нормалью AN кривой q в точке А и нормалью ANt
поверхности обозначим через у. В точке А действует на
нашу дугу сила, направленная по главной нормали к кривой
q в точке А; величина этой силы равна У 4-. Эту силу
разложим на две силы: одну, действующую по нормали к
74

поверхности (эта сила уничтожается реакцией поверхности),
и другую, касающуюся поверхности. Эта вторая сила будет
заставлять нашу дугу скользить по поверхности. Она равна
(или, вернее, эквивалентна)
Ts sin у
Величина Г ==-—?¦ называется геодезической кривизной
линии q в точке А. Она определяет интенсивность, с кото-
которой в точке А на дугу натянутой нити действует Сила, за-
заставляющая эту дугу скользить по поверхности; сила, дейст-
действующая на малую дугу кривой, пропорциональна длине
дуги s и геодезической кривизне Г.
Для геодезической линии, для которой <? = О, геодези-
геодезическая кривизна равна нулю. Вдоль геодезической линии
отсутствует сила, заставляющая дугу линии скользить по
поверхности (нить, натянутая по геодезической, находится
в состоянии равновесия).
§ 15. Изопериметрическая задача
1. Измерение длины дуги окружности. Пусть
дана окружность q радиуса R и дуга АВ этой окружности.
Пусть АВ — дуга, близкая к последней1).
Обозначим через / длину дуги АВ, че- /
рез I -\- Ы — длину дуги АВ. Если пре- i ,
образовать дугу АВ так, чтобы она пе- / /
решла в дугу АВ, то ее длина / увели- о ^
чится на Д/, а ее потенциальная энергия
увеличится поэтому на ТЬ.1. Будем пре-
преобразовывать АВ к АВ так, чтобы каждая
ее точка С при этом смещалась по ра-
радиусу (черт. 84). Пусть очень малая дуга CD
(часть АВ) перешла в малую же дугу CD' (часть АВ).
Каждая точка этой дуги сместилась, на отрезок СО (по
*) Мы полагаем, говоря о близости новой дуги к дуге окруж-
окружности, что точки новой дуги близки к точкам старой и кривизна
новой дуги близка к кривизне старой.
75

малости CD считаем смещения ее точек приближенно оди-
одинаковыми). Маленькую площадку CC'D'D, ограниченную
нашими дугами и отрезками СС и DD', можем прибли-
приближенно считать прямоугольником, причем если h — длина
малой дуги CD, то площадь CC'D'D равна приближен-
приближенно 0 hCC:
площадь CCD'D ^ h • СС.	A)
Заметим, что на дугу CD действует сила, направленная
Th
по радиусу и равная -к-> где R — радиус нашей окруж-
окружности. Работа, которую мы проделываем, перемещая дугу CD
до ее совпадения с CD', равна силе ~^-, умноженной на
путь СС, т. е. ~ СС или (см. A))
-~СС'=~-(площадь CC'D'D).	B)
Итак, работа, которую нужно совершить для смеще-
смещения малой дуги CD в новое, близкое положение CD', равна
Т
(точнее, эквивалентна) -у-, умноженной на площадь CC'D'D,
н
которую обметет эта дуга в своем перемещении.
Обозначим площадь, заключенную между дугами АВ и
АВ, через Д/7. Разобьем эту площадь радиусами, исходя-
исходящими из центра О, на маленькие площадки (аналогичные
площадке CCD'D). При этом и дуга АВ разобьется на ма-
маленькие дуги. Каждая такая дуга CD в своем перемещении
опишет соответственную площадку CC'D'D (заключенную
между этой дугой, дугой CD' и отрезками радиусов СС
и DD'). Работа, которую нужно совершить при таком пере-
переть
мещении, равна —, умноженной на площадь, описанную
этой дугой. Общая работа, которая совершается при сме-
смещении всей дуги АВ в положение АВ, равна сумме этих
Т ¦
работ, т. е. -тг> умноженной на сумму этих маленьких
') Приближенное равенство понимается в смысле эквивалент-
эквивалентности.
76

т
площадок, т. е. -=г Д^> где Д^7 — площадь, обметенная ду-
н.
гой Л5 при ее перемещении.
Но произведенная работа равна приращению потенциаль-
потенциальной энергии ДУ при изменении дуги АВ в дугу А В:
Д^-^-ДЛ	C)
С другой стороны, из формулы B) § 9 следует:
AV=TM,	D)
где Д/—приращение длины.
Сравнивая выражения C) и D), получаем:
или
Д/=~Д/ч	E)
Приращение Д/ длины дуги АВ равно (точнее, эквивалентно)
кривизне -5-, умноженной на площадь, заключенную между
дугами АВ и
2. Изменение длины дуги произвольной
кривой. Если вместо окружности взять произвольную кри-
кривую, то ее малую дугу АВ можно рассматривать как дугу
окружности радиуса R (R — радиус кривизны), и формула E)
сохраняет силу, если под -~- понимать кривизну кривой
в какой-нибудь средней точке дуги АВ.
Совершенно аналогичная картина имеет место для кри-
кривых, расположенных на поверхности, только всюду вместо
') Все равенства — с точностью до величины высшего порядка
малости сравнительно с Д/.
77

кривизны будет фигурировать геодезическая кривизна. Фор-
Формула E) перейдет в
M = T/\F,	F)
где Г — геодезическая кривизна, Д/—приращение длины
дуги кривой при замене ее близкой дугой на той же по-
поверхности, a &.F—площадь, расположен-
расположенная между первоначальной и измененной
дугами.
На черт. 84 площадь Д/7 лежит вне
круга, дугой которого является АВ. На
черт. 85 она находится внутри круга.
В последнем случае площадь &.F мы
будем считать отрицательной. Прира-
Приращение Д/ длины дуги круга также отри-
отрицательно (мы имеем не удлинение, а
укорочение дуги),
ос	3. Изопериметрическая за-
ерт' '	дача. Рассмотрим следующую задачу.
Среди всех замкнутых кривых, огра-
ограничивающих площадь данной величины F, найти ту, кото-
которая имеет наименьшую длину.
Мы полагаем, что такая кривая существует. Докажем,
что она является окружностью.
Заметим, что кривая постоянной кривизны (т. е. кривая,
имеющая во всех точках одинаковую кривизну ~^-) есть
окружность.
Мы дадим доказательство этого факта, отнюдь не претендую-
претендующее на строгость.
Очень малую дугу кривой постоянной кривизны -jr- можно
R
рассматривать как дуги окружности радиуса R. Будем рассматри-
рассматривать всю кривую как состоящую из очень большого числа таких
малых дуг, причем две соседние дуги отчасти налегают друг на друга.
Две малые дуги окружности одного радиуса, частично налегающие
друг на друга, образуют новую дугу того же радиуса. Таким образом,
каждая пара смежных маленьких дуг, на которые разбита наша
кривая, образует дугу окружности радиуса R. Продолжая эти рас-
рассуждения, мы убедимся, что каждые 3, 4, 5 и т. д. последователь-
последовательных малых дуг образуют дугу окружности радиуса R, а следова-
следовательно, и вся кривая образует дугу окружности радиуса R. Если
мы имеем замкнутую кривую с постоянной кривизной R, то она
есть просто окружность радиуса R.
18

Пусть мы имеем замкнутую кривую q, обладающую наи-
наименьшей длиной среди всех кривых, ограничивающих задан-
заданную площадь F. Положим, что она не является окружностью,
т. е. не обладает всюду одинаковой кривизной.
Пусть, например, в точках А и В этой кривой
(черт. 86) кривизна разная и равна соответственно
Ri	R%
где
Rt Ф R*
Для определенности положим
Рассмотрим две малые дуги CD и С^^нашей кривой q,
содержащие точки А и В. Заменим дугу CD близкой дугой
CA'D, а дугу ClDl — близкой дугой CiB'Dv Обозначим
через AFj площадь, ограниченную CD и CA'D, через A.F2 —
площадь, ограниченную QDj и C1B'D1. В силу формулы E)
от замены дуги CD дугой CA'D длина кривой q получит
приращение, равное (точнее, эквивалентное) -~- A.Flt а от
замены дуги ClDl дугой CtB'Di длина q получит прираще-
приращение, равное — Д/> Общее приращение площади, ограни-
ограниченной q, равно Д/^-^Д^а» а приращение длины равно
(эквивалентно)
Выберем теперь дуги CA'D и СгВ'Ох так, чтобы /\F1
и Д/7^ были равны по абсолютному значению и обратны по
знаку, причем Д/^^О, а Д.Р2 = — Д^-с^О. Тогда прира-
приращение площади Д^1-)-Д^а = () — площадь при нашем из-
изменении кривой q не изменилась. Приращение же длины q
равно (вернее, эквивалентно)
79

а так как
то
Итак, приращение длины ^ отрицательно. Кривая q переш-
перешла в другую кривую qx меньшей длины, ограничивающую ту
же площадь. Значит, q не есть кривая, обладающая наимень-
наименьшей длиной среди кривых, ограничивающих данную площадь.
Отсюда вывод: кривая наименьшей длины среди кривых,
ограничивающих данную площадь, есть окружность ').
4. Изопериметрическая задача на поверх-
поверхности. Аналогичные задачи можно рассматривать и на по-
поверхности, только всюду роль кривизны играет геодезиче-
геодезическая кривизна Г = ¦ ¦ 'п ^ . Например, если малая дуга CD
к
кривой q с геодезической кривизной Г= S1^ заменяется
близкой дугой CA'D, причем площадь, заключенная между
CD и CA'D, равна Д/7, то приращение Д/ длины, которое
получает кривая при замене CD дугой CA'D, выразится:
Повторяя доказательство предыдущей теоремы, но с заменой
всюду кривизны геодезической кривизной, получим теорему.
Среди всех замкнутых кривых на поверхности, огра-
ограничивающих данную площадь, наименьшую длину имеет
кривая постоянной геодезической кривизны (на поверхности
шара такими линиями являются большие и малые круги).
Примечание. На поверхности шара, как и на плоскости,
кривая постоянной геодезической кривизны есть геодезическая
окружность.
На других поверхностях кривые постоянной геодезической кри-
кривизны не являются вообще геодезическими окружностями.
') Целый ряд других доказательств изопериметрических свойств
окружности приведен в книге Д. А. Крыжановского, Изопери-
метры, максимальные и минимальные свойства геометрических фи-
фигур в общедоступном изложении, М. — Л., ОНТИ, 1938; см. также
Л. А. Люстерник, Выпуклые тела, изд. 2-е, М. — Л., Гостех-
издат, 1941.
80

ГЛАВА VI. ПРИНЦИП ФЕРМА И ЕГО СЛЕДСТВИЯ
§ 16. Принцип Ферма
1. Принцип Ферма. К рассмотренным нами задачам
весьма близки задачи геометрической оптики, связанные
с так называемым принципом Ферма.
Мы рассматриваем плоскую оптическую среду, в каж-
каждой точке А (х, у) которой определена скорость света
v = v(x, y) — v(A). Среда называется однородной, если во
всех ее точках скорость света одинакова.
Время T(q), в течение которого при движении со ско-
скоростью света проходится кривая q, называется оптической
длиной кривой q.
В однородной оптической среде, в которой скорость
света равна v, оптическая длина T(q) кривой q пропор-
пропорциональна ее обычной длине /(q) и равна
оптической
лучи света
Принцип ферма. В оптической среде путь света
от точки А к точке В есть линия наименьшей оптиче-
оптической длины среди всех линий, соединяющих А и В.
Отсюда следует, что в однородной оптической среде
свет распространяется по прямым линиям.
2. Закон отражения. В однородной
среде дана кривая s (черт. 87), отражающая
(зеркало). Требуется опре-
определить линию q0, по кото-
которой свет идет от точки А
к точке В, отражаясь от
кривой s. Линия q0 есть
кратчайшая из линий q,
соединяющих А и В и
отражающихся от s. Зна-
Значит, эта линия (см. § 9)
есть ломаная АСВ с верши-
вершиной С на линии s, причем
биссектриса CD угла АСВ есть нормаль к кривой s в
точке С.
Углы a = ACD и ф — DCB лучей АС и СВ с нормалью
CD называются углами падения и отражения. Приходим
к закону отражения света Декарта: угол падения
равен углу отражения.

Из выведенных в § 9 свойств нормалей к эллипсу и
параболе следует:
Если кривая s имеет форму эллипса, то лучи, выхо-
выходящие из фокуса F этого эллипса, отражаясь, соби-
собираются в другом фокусе (черт. 88).
Черт. 88.
Если кривая s имеет форму параболы, то лучи, вы-
выходящие из фокуса параболы, отражаясь, превращаются
в лучи, параллельные оси параболы; и обратно, лучи,
параллельные оси параболы, отражаясь, собираются в
фокусе параболы (черт. 89).
На этом свойстве параболы основано употребление зеркал
в форме параболоида вращения (поверхности, получаемой
вращением параболы вокруг оси) в прожекторах, отража-
отражательных телескопах (рефлекторах) и т. д.
\
\
Черт. 89.
3. Закон преломления. Рассмотрим две одно-
однородные оптические среды I и II, разделенные кривой s
(см. черт. 81); скорость света равная в среде I и v3 в среде II.
Найдем путь света q0 — АВ, идущего от точки А среды I
к точке В среды П.
Будем рассматривать всевозможные линии q, соединяющие
точки А и В, состоящие из дуг АС и СВ, расположенных
82

соответственно в I и II среде, где С — точка s. Опти-
Оптическая длина T(q) кривой q равна
Г(^) = Г(ЛС)+Г(СВ) = /-^ + /-в-.	A)
Линия q0 есть линия наименьшей оптической длины среди
всех кривых q.
Рассмотрим также гибкую неоднородную нить q, закре-
закрепленную в точках Л и В, у которой промежуточная точка С
скользит по кривой s, причем натяжение в части АС кривой q
равно 7\ = —•, а в части СВ равно Г3 = —.
В силу B) § 13 потенциальная энергия V(q) равна
B)
Сравнивая формулы A) и B), получаем:
T(q)=V(q).
Потенциальная энергия нити q совпадает с ее оптиче-
оптической длиной. Значит, q0 — линия наименьшей оптической
длины среди кривых q — есть линия наименьшей потен-
потенциальной энергии среди кривых q.
В силу D) § 13 q0 есть ломаная АС0В. Пусть аир суть
углы, образованные отрезками АС0 и С0В с касательной LLX
к кривой s в точке Со. Из формулы D) § 13 следует:
COSaCOS^	,дч
В этом и заключается закон преломления света. Пусть о^
и (Jj — углы, дополнительные до прямого к углам а и р,
т. е. углы отрезков АСй и С0В с нормалью к 5 в точке Со.
Угол 0ц называют углом падения, pt—_углсш отражения.
Формула C) запишется в виде
sin otj	sin Pj
§ 17. Кривая рефракции
1. Простейший случай. Пусть плоскость разбита
прямыми, параллельными оси х, на полосы, в каждой из
которых скорость света постоянна (черт. 90). Выбе-
Выберем точки А и В, лежащие в разных полосах. Полоса Л10
83

содержит точку А, полоса Мп — точку В; между ними после-
последовательно расположены полосы Mv М3, ... , Мп_х. Ско-
Скорость света в полосе Мо равна v0, в Mt равна vlt ... ,
в Мп равна vn. Луч света, идущий от точки А к точке В,
имеет форму ломаной АСХС% ... СпВ, вершины которой
лежат на линиях раздела между полосами. Углы между сто-
сторонами ACV CjCsj, CaCa, ..., Сп_ъСп_и Сп_хСп, СпВ этой
ломаной и прямыми, параллельными оси х, обозначим соот-
соответственно: а0, at> а2	an_v ая. В точке Сх выпол-
выполняется отношение
В
COS30 	COS at
М	V0 — Vl
Мп	.
	 (в силу закона преломле-
f?_,	ния); в точке С2:
COS
и т. д., наконец, в точ-
точке Ся:
COS an_tCOS an
Отсюда следует:
COS a0	COS ai	COS a2
Vo	Vi	Va
Черт 90	__ cos an_! __ cos an ,
Vn-i	Vn Ч '
Обозначим общее значение всех этих отношений через с,
тогда их можно записать в виде
где а есть угол наклона некоторой стороны ломаной к оси х,
v — скорость света вдоль этой стороны.
Касательная к ломаной в точке какой-нибудь ее стороны
есть прямая, на которой эта сторона лежит. Можно поэтому
считать, что а в уравнении означает угол наклона касатель-
касательной в точке ломаной к оси х, а v — скорость света в той же
точке.
2. Кривая рефракции. Рассмотрим оптическую среду,
в которой скорость света зависит от ординаты:
v = v (у),
84

при этом Ь есть непрерывная функция у. Путь света q
в такой среде есть линия, вдоль которой
COS я	,о,
где v — скорость света в произвольной точке С кривой q
(черт. 91), а — угол между касательной к q в точке С и
осью х, с — постоянная величина (не зависящая от выбора
точки С на кривой).
Для того чтобы обосновать уравнение C), изменим не-
несколько распределение скоростей света в среде, именно
разобьем ее на узкие полоски ширины h и будем считать
в каждой полоске скорость света постоянной, равной, на-
например, скорости света в середине этой полоски (черт. 91).
Тогда путь света от точки А к точке В станет в силу пре-
предыдущего ломаной (AB)h с вершинами на линиях раздела
между полосками, причем для ломаной (AB)h выполняется
Черт. 91.
в силу предыдущего уравнение C). Мы несколько изменили
распределение скоростей, но изменение будет тем меньше,
чем уже будут наши полоски.
В пределе, когда ширина полосок h стремится к нулю,
мы получаем наше первоначальное непрерывное распределе-
распределение скоростей света. При этом ломаные (AB)h стремятся
к кривой q, для которой также будет выполняться усло-
условие C).
3. Модель Пуанкаре геометрии Лобачев-
Лобачевского. Верхнюю полуплоскость, ограниченную осью х,
будем рассматривать как оптическую среду, в которой ско-
скорость света в точке равна ее ординате:
Лучами света в этой среде будут полуокружности
с центрами в точках оси х (черт. 92).
85

Рассмотрим, в самом деле, такую полуокружность q
с центром в точке О оси х. В ее точке А ордината
пусть равна у, угол АСО касательной в этой точке с
осью х равен углу а. Если R — радиус этой окруж-
окружности, то
где
или
т. е.
:-?г — а,
COS а
cos a,
= R.
Итак, полуокружность q удовлетворяет уравнению C),
т. е. уравнению луча света в нашей среде. По мере при-
приближения к оси у скорость стремится к нулю.
Можно показать, что часть AD полуокружности q, один
из концов которой лежит на оси х, имеет бесконечную
оптическую длину. Точки оси х мы будем называть поэтому
«бесконечно удаленными».
Будем считать полуокружности с центром на оси — «пря-
«прямыми», оптические длины дуг таких полуокружностей — их
«длинами», углами между такими прямыми — углы в точке
их пересечения (углы между их касательными).
Получим плоскую геометрию, в которой многие пред-
предложения обычной геометрии сохраняют силу. Так, через
две точки можно провести одну и только одну «прямую»
86

(через две точки на полуплоскости можно провести только
полуокружность с центром на оси х). «Отрезок» обладает
наименьшей «длиной» среди всех линий, соединяющих его
концы. «.Параллельными» естественно считать две прямые,
имеющие общую «бесконечно удаленную точку» (т. е. две
полуокружности, касающиеся друг друга на оси х, на кото-
которой лежат их центры). Через данную точку А, не лежа-
лежащую на «прямой» q, можно провести две «прямые» qx
и qa, параллельные q (черт. 93). Эти прямые делят полу-
полуплоскость на четыре «угла» с вершиной А. Прямые sv
которые проходят через А и лежат в первой паре вер-
вертикальных углов I и II, пересекают «прямую» q. Все же
Черт. 93.
прямые 53, которые лежат в углах III и IV, не пересе-
пересекают q.
Мы получили реализацию геометрии Лобачевского на
плоскости, так называемую модель Пуанкаре этой гео-
геометрии.
В книге Б. Н. Делоне (Краткое изложение доказа-
доказательства непротиворечивости планиметрии Лобачевского, М.,
Изд. АН СССР, 1953) дается подробное исследование этой
модели.
§ 18. Задача о брахистохроне
1. Циклоида. Пусть окружность К радиуса R катится
по прямой LLlt которую мы примем за ось х (черт. 94).
Движение окружности складывается из двух движений:
1)	из вращения вокруг центра О с угловой скоростью со;
линейная скорость точек окружности равна при этом v-=Ru>;
2)	из поступательного движения параллельно оси х с той
же скоростью v. Точка А окружности описывает при этом
линию, называемую циклоидой.
87

Пусть в момент ( = 0 точка А находилась на оси х
(см. черт. 94). К моменту t окружность повернулась на
угол fi = ta>. Ордината у точки А в этот момент равна
A)
Определим направление скорости точки А в этот момент.
Это будет направлением касательной к циклоиде.
,27
1
<Д
/
Г
ч
/г
\
Ц
Черт. 94.
Скорость Т1 = ADX поступательного движения равна v
и направлена параллельно оси х. Скорость Т2 = АО% дви-
движения по окружности равна также v и направлена по каса-
касательной к окружности. Угол DiAD% равен (и — р). При
сложении этих скоростей по правилу параллелограмма най-
найдем скорость движения точки А по циклоиде. Она направ-
направлена по биссектрисе угла D1ADi и образует угол
с направлением оси дг (см. черт. 91). Итак, угол а между
касательной к циклоиде в точке А и осью х равен
Поэтому
cos а = sin
B)

Из формул A) и B) следует:
или
Уравнение C) связывает угол а наклона касательной к ци-
циклоиде в ее точке А с ординатой у этой точки. Обратно,
кривая, удовлетворяющая этому уравнению, есть циклоида.
2. Задача о брахистохроне. Пусть А и В — две
точки (В предполагается расположенной ниже, чем точка А
(черт. 95)). Соединим точки А
и В линией q; точка, двигаясь
от А к В по q без начальной ~
скорости под влиянием силы тя-
тяжести, пройдет кривую q в не-
некоторый промежуток времени,
который называют временем па-
падения по кривой q.
Требуется найти кривую q
быстрейшего падения (no-грече-
ски — брахистохрону), соеди-	Черт. 95.
няющую точки А и В, т. е.
кривую, для которой время падения от Л к В наи-
наименьшее.
В вертикальной плоскости, содержащей точки А и В,
примем в качестве оси х горизонтальную прямую, на кото-
которой лежит точка А, а ось у направим вертикально вниз.
Скорость v точки, движущейся под влиянием силы тяжести
без начальной скорости, и ордината у этой точки связаны
соотношением:
или
v=/2}/J.	D)
Представим себе оптическую среду, в которой скорость
света v определяется по формуле D); оптическая длина
кривой q совпадает с временем падения по этой кривой.
Путь света q0 от точки А к точке В есть кривая наименьшей
оптической длины среди кривых, соединяющих точки А и В;
поэтому q0 совпадает с брахистохроной.
4 Л. А. Люстераик	89

Для линии q0 выполняется равенство (см. C) § 17)
COS С!	COS а	,	ч
	= ,	—— = е (с — постоянная)
или
COS a		.
Отсюда в силу приведенных выше свойств циклоиды (см.
формулу C)) брахистохрона есть дуга циклоиды.
§ 19. Цепная линия и задача о наименьшей
поверхности вращения
1. Цепная линия. Тяжелая однородная цепь (или
нерастяжимая нить), закрепленная в двух точках А а В,
под влиянием силы тяжести располагается в положении равно-
равновесия по кривой, называемой цепной линией (черт. 96).
(Однородность цепи озна-
.?	чает, что ее плотность р
постоянная; любой уча-
участок цепи длины h имеет
массу ph.)
Если цепь АВ до-
дополнительно закрепить в
точках Dt и Z33, то поло-
положение равновесия части
DjD3 цепи не изменится.
Цепная линия АВ есть
продолжение цепной ли-
линии DXDV Можно счи-
считать, что цепная линия
неограниченно продолжается в обе стороны, что линия
АВ есть часть неограниченной цепной линии.
Точка С цепной линии, имеющая наинизшее положение,
называется ее вершиной. Неограниченная цепная линия сим-
симметрична относительно вертикальной оси NN', проходящей
через вершину. Примем эту ось за ось у.
Будем рассматривать правую часть CL цепной линии.
Через у будем обозначать ординату некоторой точки D
N
Черт. 96,
90

цепной линии (черт. 97), через а — угол между касательной
в этой точке и осью х, через s — длину дуги CD цепной
линии.
Закрепим цепную линию в точках С и D. Сила, дейст-
действующая на точку D, называется натяжением Р цепи в точке D
и направлена по касательной к цепной линии в точке D
(черт. 97). Сила Ро, действую-
действующая на точку С, направлена
по касательной к цепной
линии в этой точке, т. е.
параллельна оси х (притом
направлена влево).
Равнодействующая Т сил
тяжести, действующих на
участок CD цепи, направле-
направлена параллельно оси у вниз;
масса участка CD длины s
равна 5р. Отсюда величи-
величина Т равна
K J	Черт. 97.
где ?•—постоянная силы тяжести. Сила Р имеет вертикаль-
вертикальную составляющую, направленную вверх и равную
Psina,
и горизонтальную составляющую, направленную вправо и
равную
Pcosa.
Если цепная линия затвердеет, то она останется равно-
равновесна. Действующие на цепную линию горизонтальные силы
Ро и Pcosa и вертикальные Т и Psina, направленные в про-
противоположные стороны, уравновешиваются, откуда в силу A)
Р sin a=gps,
Pcosa = Ло-
B)
C)
Пусть теперь цепь перемещается по нашей цепной ли-
линии так, что каждая ее точка опишет малую дугу
цепи длины h. При этом цепь перейдет в положение CD'.
91

Найдем работу, которую надо затратить на такое перемеще-
перемещение цепи.
Сила Р, приложенная в точке D, выполнит работу, рав-
равную Ph; сила Ро в точке D — равную — Poh. Итак, общая
работа, затраченная на перемещение цепи, равна
tf = (P-P0)A.	D)
Цепь в старом положении CD состоит из участка CD и
малого дополнительного участка СС. Цепь в новом поло-
положении CD' состоит из того же участка CD и дополнитель-
дополнительного участка DD'. Оба дополнительных участка СС и DD'
имеют равную длину h, равные массы р/г, но СС имел верти-
вертикальную ординату _у0, a DD' — ординату у. Результатом за-
затраченной работы было то, что вместо добавочного участка
с ординатой _Уо появился участок той же массы и ординаты у.
Отсюда мы видим, что затраченная работа равна
y»)-	E)
Из D) и E) следует:
или
F)
Если передвигать цепь параллельно себе по направлению
оси у, то не изменятся ни форма цепи, ни реакции Р в отдель-
отдельных точках. Мы передвинем цепную линию в направлении
оси у так, чтобы ее начальная ордината _у0 стала равной
Такое положение цепной линии называется стандартным.
Ниже мы дадим геометрическое определение стандартного
положения цепной линии.
В этом положении уравнение F) упрощается и прини-
принимает вид
P—pgy=o
92

или
У = —Р.	(8)
Натяжение в точке цепной линии в стандартном по~
ложении пропорционально ее ординате.
Из C) следует:
Pcosa = — A
или, если использовать равенства G) и (8),
j0.	(9)
Уравнение (9) связывает ординату точки цепной линии
с углом а между касательной в этой точке и осью х.
Из сравнения уравнения (9) с уравнением линии рефракции
(см. C) § 17) получаем:
Цепная линия в стандартном положении есть форма
луча в среде, скорость света v в которой обратно про-
порциональна ординате у:
2. Геометрическое определение стандарт-
стандартного положения цепной линии. Из равенств B)
и (8) следует:
далее,
Отсюда
Наконец,
в силу
у —
s=y
¦s=y
sin a
A-
получаем:
- с	м
1 —
- sin а).
sin а
cos я
Обозначим p = -g-"—а ф есть угол между касательной
93

к цепной линии и осью у). Получим:
,	.	2 sin2 -L-
1 — cos В	2
2 sin -|- ¦ cos
(Ю)
Рассмотрим отрезок DE, параллельный оси у, направлен-
направленный вниз и равный длине s (длине дуги CD цепной линии)
(черт. 98). Если сохранить дугу CD закрепленной в точке D,
а точку С оставить свободной, то дуга CD под влиянием
силы тяжести перейдет в но-
новое положение равновесия —
вертикальный отрезок DE.
Коротко мы скажем: дуга CD
цепи «упадет» в положение
DE. Отрезок ЕЕ^ вертикаль-
вертикальной линии, равный у — s, по-
показывает, насколько отстоит
конец Е «упавшей» части цепи
от оси х.
		Из формулы (9) следует:
Черт. 98.
sin B = cosa = —.
Пусть точка D неограниченно уходит по цепной линии
вверх. Ее ордината устремится к бесконечности:
>со.
А тогда в силу A1) sin p стремится к нулю. Но тогда и
Р -^ 0 (угол C между касательной в точке D и осью у стре-
мится к нулю). Вместе с тем, tg-|- —0, и в силу A0)
lim (у— s) = 0.
Расстояние от конца Е упавшей дуги CD до оси х
стремится к нулю, когда конец D этой дуги уходит
в бесконечность.
Ось х при стандартном положении цепной линии есть
та горизонтальная прямая, к которой неограниченно
94

приближается конец упавшей дуги DE, начало которой
неограниченно удаляется.
Этим характеризуется стандартное положение цепной
линии.
3. Наименьшая поверхность вращения. Ре-
Решим следующую задачу:
Среди плоских кривых q, соединяющих две заданные
точки А к В, найти ту, которая при вращении вокруг
оси х даст наименьшую боковую поверхность вращения
(черт. 99).
Будем обозначать через V(q) площадь боковой поверх-
поверхности вращения кривой^ вокруг оси х, через Т (q)— опти-
Д
Черт. 99.
ческую длину кривой q в среде, в которой скорость
света г; определяется формулой
1
A2)
Докажем равенство этих величин:
Пусть CD есть малый участок кривой q длины h. По-
Покажем, что
A3)
95

Считая CD малым прямолинейным отрезком и обозначая
через у ординату центра тяжести CD, получим: боковая по-
поверхность вращения V(CD) равна боковой поверхности
усеченного конуса с образующей, равной h, и радиусом
среднего сечения, равным у. Отсюда
С другой стороны, если скорость света v в средней точке
этого малого отрезка (а значит, приближенно и для всего
этого отрезка) равна к—, то оптическая его длина T(CD)
равна
2тгу~
т. е. приходим к равенству A3).
Из равенства оптической длины Т и площади боковой
поверхности вращения V вокруг оси для малых участков
кривой q следует их равенство для всей кривой q. Поэ-
Поэтому если для кривой q величина V(q) достигает наи-
наименьшего значения, то для этой же кривой достигает
наименьшего значения оптическая длина T(q). В силу принципа
ферма кривая q есть луч света в нашей оптической среде,
соединяющий точки An В. Но в нашей оптической среде луч
света имеет форму цепной линии (в стандартном положении).
Итак, среди кривых q, соединяющих точки А и В,
наименьшую боковую поверхность вращения V (q) вокруг
оси х имеет цепная линия АВ (в стандартном положении).
4. Минимальные поверхности. Подобно тому
как мы решали задачу о кратчайших линиях, соединяющих
данные точки, можно ставить вопрос о наименьшей поверх-
поверхности, натянутой на данную кривую (имеющей данную кривую
своей границей), — так называемой минимальной поверх-
поверхности.
Если кривая г есть плоская кривая, то ограниченный
ею кусок плоскости Q будет минимальной поверхностью,
натянутой на кривую г.
Если кривая г не есть плоская кривая, то минимальная
поверхность отлична от части плоскости.
Точки А и В при вращении вокруг оси х образуют две
окружности, гх и га, лежащие в плоскостях, перпендику-
96

лярных к этой оси с центрами на ней. Поверхность, полу-
получаемая при вращении цепной линии АВ, соединяющей эти
точки, есть минимальная поверхность, натянутая на окруж-
окружности rt и г2.
5. Изометрическая задача о наименьшей
поверхности вращения. Решим более сложную задачу:
среди всех кривых данной длины I, соединяющих точки
А а В, найти ту, которая при вращении вокруг оси дает
наименьшую боковую поверхность. Будем считать ось вра-
вращения LLt горизонтальной (черт. 100).
Соединим точки А а В цепью данной длины /0. Она при-
примет форму цепной линии АВ данной длины /0. Примем за
ось х горизонтальную прямую MMt (параллельную оси вра-
вращения LL{), такую, что относительно нее цепная линия АВ
находится в стандартном положении.
Обозначим через Vt (q) боковую поверхность, образо-
образованную вращением кри-
кривой q вокруг оси х (оси
ММХ), через V(q) — вра-
вращением кривой q вокруг
оси LLi, l(q) обозначает
длину кривой q. Если а
есть расстояние от оси LL^
до оси ММи то
V(q)=Vl(q)-2r:al(q).(U)
Черт. 100.
В самом деле, пусть CD есть малый участок кривой q
длины h. Если у есть расстояние середины CD до оси ЛШЬ
тогда у — а есть ее расстояние до оси LLV Длина /(CZ)) = A.
Далее,
Так как
то
2гс/г (у — а) = 2кНу — 2vah,
V (CD) = Vr (CD) — 2ttal (CD).
A5)
Итак, формула A4) справедлива для любого малого участка
кривой q. Значит, она справедлива и для всей кривой q.
97

Нас интересуют кривые q длины /0 l(qu) = lfs, соединяю-
соединяющие точки А и В. Для этих кривых
т. е. для них величины V(q) и Vj (<?) отличаются на по-
постоянную величину 2тг/0а. Для одной и той же кривой <7о
эти величины достигнут поэтому своего минимального зна-
значения. Цепная линия q0, находящаяся относительно оси х
в стандартном положении, дает минимум величины Vt (q)—
боковой поверхности вращения вокруг этой оси, среди всех
кривых, соединяющих точки А и В, в частности среди кри-
кривых ~q длины !0.
Значит, эта же цепная линия q0 дает минимум ве~
личины Vj (q) среди кривых q длины 10, соединяю'
щих Аи В.
Это же свойство цепной линии можно доказать иначе.
Рассмотрим совокупность линий ~q, соединяющих точ-
точки А и В и обладающих заданной длиной. Каждую такую
линию будем рассматривать как положение однородной
тяжелой цепи плотности р. Потенциальную энергию тяго-
тяготения цепи в положении ~q обозначим через U(q). Мини-
Минимального значения величина U(у) достигает для цепной ли-
линии q = q0.
В самом деле, в силу принципа Дирихле (см. § 11) кри-
кривая q0, для которой U (q) достигает наименьшего значения,
есть положение равновесия цепи.
Примем за ось х горизонтальную прямую ММ^ и поло-
положим, что плотность р равна 2тг. Примем эту прямую за пря-
прямую, на которой U=0. Если у есть ордината середины
малого кусочка CD цепи длины h (черт. 100), то
В то же время боковая поверхность V (CD) вращения этой же
малой дуги CD вокруг оси ММ1 (оси х) равна
V (CD) = 2ъЬ,у.
Отсюда следует:
U(CD)=V(CD),
93

и мы приходим к равенству
U(q)=V(q).
В самом деле, из доказанного равенства значения обе-
обеих величин, U и V, для любых малых частей кривой q
следует их равенство для всей кривой q. Поэтому цеп-
цепная линия, дающая минимум значения величины U(q) среди
всех кривых q~ данной длины /, соединяющих точки А и В,
дает минимум значений для таких кривых и для вели-
величины V(q).
Величина, зависящая от кривой, называется функцио-
функционалом. Так, например, величины l(q), V{q), T(q), U(q)
и т. д. являются функционалами.
Яков Бернулли впервые рассмотрел задачу:
Найти среди кривых заданной длины ту, для которой
некоторый функционал J(q) достигает наибольшего или
наименьшего значения. Такие задачи он назвал изопериметри-
ческими. Частный случай этой задачи, рассмотренный в § 15,
называют иногда изопериметрической задачей в узком смысле.
Другой пример изопериметрической задачи рассмотрен нами
сейчас.
§ 20. Связь между механикой и оптикой
Будем рассматривать движение точки в некотором пло-
плоском поле (в среде, где действуют силы), в котором имеет
место механический закон сохранения энергии:
U+T=c,	A)
где U=U(x,y) — потенциальная энергия движущейся точки,
Т—ее кинетическая энергия, с — полный запас энергии
(остающийся постоянным во время движения). Полагая, что
масса точки равна 1, имеем:
т	w*_
2 '
где w — скорость точки. Отсюда и из A) следует:
w = /2Т= /2 (с — U) = /2[c — U(x, y% B)
Будем рассматривать всевозможные траектории, т. е.
пути, описываемые точкой, при заданном значении полной
99

энергии с. Из формулы B) видно, что w — скорость дви-
движущейся точки — полностью определяется ее координатами
х,у, т. е. ее местоположением.
Например, при движении в поле тяжести U=gy, где
g — постоянная силы тяжести, у— ордината, направленная
вертикально вверх, из формулы B) следует:
- С&У (ct = 2c, c2 = 2g). C)
Рассмотрим также оптическую среду, в которой скорость
света v есть величина, обратная механической скорости w.
v = v{x, у) = —~—г.	D)
4 •" w (л:, у)	v >
Луки света в среде со скоростью v = — совпадают с тра-
траекториями механического движения точки со скоростью
В этом заключается установленная Гамильтоном аналогия
между механикой и оптикой.
Мы знаем, например, что в поле тяжести, в котором
скорость точки выражается по формуле C), траектории суть
параболы; поэтому лучи света в оптической среде со ско-
скоростью света v= 		суть параболы.
V Ci — C3J>
Мы знаем, что лучи света в среде, в которой скорости
света v пропорциональны у, —, -/у, суть соответственно
полуокружности с центром на оси х, цепные линии, циклоиды.
Эти же линии суть траектории механического движения
точки со скоростями, пропорциональными соответственно
1	1
Для обоснования этого положения заметим прежде все-
всего, что силы в поле направлены по нормалям к эквипотен-
эквипотенциальным линиям, т. е. к линиям равного значения по-
потенциала
(U(x, y) = const),
и направлены в стороны меньших значений потенциала
каждой такой линии (в силу B) скорость w = 'W (x, у)
также постоянная). Приведем систему близких между
собой эквипотенциальных линий. На каждой такой линии
100

скорость w постоянна и непрерывно меняется в полосе
между двумя линиями. На черт. 101 через wlt wv ... , wt,
wi+1, ... отмечены эти линии, на которых скорости равны
соответственно wlt wit ... , wit wiJri, ...
Мы теперь заменим наше движение другим. Пусть в по-
полосе между линиями с отметками wt и wi+l сохраняется
постоянная скорость w0 которая скачком меняется при пере-
переходе через линию с отметкой wlJr^. Мы искажаем распреде-
распределение скоростей, но чем ближе друг к другу линии раздела
(чем уже полосы), чем меньше скачки скоростей, тем ближе
скачкообразное распределение скоростей к исходному непре-
непрерывному; последнее может рассматриваться как предел
скачкообразных распределений, когда ширины полосок стре-
стремятся к нулю.
При скачкообразном распределении скоростей вместо не-
непрерывно действующих сил (нормальных к линиям w = const)
действуют импульсы силы, нормальные к линиям раздела,
вызывающие скачок скорости.
Внутри каждой полосы силы не действуют и движение
прямолинейное. Траектории являются ломаными с вершинами
в линиях раздела. Рассмотрим участок CBD такой траекто-
траектории (черт. 102). На отрезке СВ скорость равна wi_1 и на-
направлена по этому отрезку.
Проведем в точке В касательную MN к кривой раздела
и обозначим через а и р углы отрезков СВ и BD с этой
касательной. Касательные составляющие скоростей в точке В
до перелома и после перелома равны соответственно
Щ-i cos а и wt cos p.
Так как импульс силы направлен по нормали к кривой раз-
раздела в точке В, то он не меняет касательных составляющих,
101

т. е.
i_i cos <х = W( cos p.
E)
Формула E) выражает закон преломления траектории при
переходе через линию раздела.
Рассмотрим теперь оптическую среду, для которой ско-
скорость света обратна скорости механического движения v = —,
Черт. 102.
т. е. в наших смежных полосах I и II скорость света равна
соответственно vt^—	, vt= — . В силу закона прелом-
преломления света в точке В имеем:
cos a
COS!
или
?^ cos <х = wt cos |
Итак, лучи в нашей оптической среде преломляются так же,
как траектории в механической; те и другие пред-
представляют собой ломаные, одновременно и одинаковым обра-
образом преломляющиеся, т. е. траектории со скоростями wt в
г'-й полосе совпадают с лучами со скоростями света vi = —
в той же полосе. Для скачкообразных сред мы наше пред-
предложение доказали.
В пределе, когда ширины полос стремятся к нулю и
когда мы получаем механическое поле со скоростями
w = w(x, у) и оптическую среду со скоростью света
1
v = v(x, у) —
102
w (х, у) '
совпадающие ломаные траектории и

лучи переходят в совпадающие криволинейные траектории
и лучи.
Отмеченная Гамильтоном связь между оптикой и меха-
механикой играет весьма большую роль в современной физике.
Заметим в заключение, что общие методы решения задач
на отыскание максимумов и минимумов функционалов пред-
представляют предмет исследований математической дисциплины,
называемой вариационным исчислением. Основы этой дис-
дисциплины заложили великие математики XVIII столетия
Л. Эйлер и Ж. Лагранж.

Люстерник Лазарь Аронович.
Кратчайшие линии. Вариационные задачи.
Редактор А. Ф. Лапко.
Техн. редактор С. С. Гаврилов.
Корректор А. С. Каган.
Сдано в набор 14/IX 1955 г. Подписано к печати
22/XI 1965 г.	Т-08433.	Бумага 84 X 108/32.
Физ. печ. л. 3,26. Условн. п. л. 5,33. Уч.-изд. л. 4,91.
Тираж 40 000 экз. Цена книги 1 р. 50 к. Зак. № 403.
Государственное издательство
технико-теоретической литературы.
Москва, В-71, Б. Калужская, 15.
Министерство культуры СССР.
Главное управление полиграфической промышлен-
промышленности. 2-я типография «Печатный Двор»
имени А. М. Горького.
Ленинград, Гатчинская, 26,