/
Автор: Натанзон С.М.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика дифференциальное исчисление естественные науки интегральное исчисление
ISBN: 5-900916-75-8
Год: 2004
Текст
Совреме'нные
ЛЕКЦИОННЫЕ КУРСЫ
I
О
('()
I
<t:
1-----
<t:
I
.
u
Краткий курс
математическоrо
анализа
I
,о'.
...
'",. t>
.
.-
<..
УДК 517
ББК 22.16
Н33
i..;.
НатаНЗ0Н С. М.
Н33 Краткий курс математическоrо анализа.
М.: МЦНМО,
2004.
96 с.
ISBN 5
900916
75
8
Эта публикация ЯВJJяется краткой залИ,сью прочитанноrо автором курса лек
ЦИЙ ДJlЯ студентов 1 курса,Независимоrо MOCKOBCKOro уииверситета в 1997
1998 и
2ОО2
200З учебиых rодзх.
ББt< 22.16
Автор блаroдарит с. М. rусейна
Заде и А. Ю. Пирковскоrо
за помощь в редактировании л
кций.
ISBN 5
900916
75
8
@ с. М. Натанзон, 2004.
@ МЦНМО, 2004.
Сереей Миронович Натанзон
Краткий курс математическоrо анализа
Издательство MOCKoBcKoro Центра
HenpepbIBHoro математическоrо образования.
Лицензия ИД .N
01335 от 24.03.2000 r.
Подписано в печать 10.12.2003 r. Формат 60 х 90 1/16. Бумаrа офсетная .N
1.
Печать офсетная. Печ.J1.6,0. Тираж 1000 экз. Заказ 4820.
МЦНМО.
119002, Москва, Большой ВJ1асьевский пер., д. 11. Тел. 241 72 85.
Отпечатано с roTOBbIX диапозитивов
в ФfУП «Производственно
издательский комбннат ВИНИТИ».
140010, r.Люберцы Московской обл., Октябрьский пр
т, д.403. Тел. 554 2186.
L
I
Ославление
Часть 1. ФУНКЦИИ одной переменной
1. Вещественные числа ......
2. Пределы последовательностей .
3. Пределы функций . . . . . . .
4. Непрерывные функции .. . .
5. Равномерная непрерывность .
6. Производная........
7. Производная на интервале
8. интеrpал..........
9. Первообразная . . . . . . .
10. Методы интеrpирования рациональных
комбинаций элементарных функций
11. Формула Тейлора .............
12. Разложение Тейлора ...........
13. Локальное поведение кривых на плоскости
14. Бесконечные ветви кривых. . . .
15. Построение кривых на плоскости
16. Полярные координаТbI ......
17. Положительные ряды. . . . . . .
18. Признак raycca и rиперrеометрический ряд
19. Произвольные РЯДbl . . . . . . . .
20. Функциональные рЯДbl ......
21. Степенные ряды и ряды Тейлора
5
5
7
9
1I
13
14
16
18
21
23
27
29
31
33
35
37
38
41
44
47
50
Часть 2. ФУНКЦИИ нескольких переменных
53
53
54
56
58
59
61
64
66
68
70
74
76
78
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Тополоrия пространства IRп .
Компакты в IR" . . . . . . . .
Непрерывные отображения .
Дифференциал . . . . . . .
Свойства дифференциала .
Формула Тейлора ... . .
rрафик функции . . . . . .
Теорема о неявной функции
Теорема о неявном отображении.
Приведение отображений к каноническому виду .
Лемма Морса ..................
Условный экстремум. Множители Лаrранжа .
J
Интеrрал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
14. Теорема Фубини . . . . . . . . . . . . .
15. Множества меры О ...... . . . . .
16. Критерий Лебеrа интеrрируемости по Риману.
17. Несобственные интеrралы' . .
18. Разбиение единицы. Замена переменных
в интеrрале . . . . . . . . . . . . . . .
19. Интеrралы, зависящие от пара метра.
20. r и В Функuии Эйлера. . . . . . . .
81
82
83
86
Часть 1
Функции одной переменной
88
90
93
1. Вещественные числа
Определение вещественноro. числа основано на определении рацио
нальноro числа (т. е. т/ n, rде т и n принадлежат множеству Z целых
чисел). Рациональным числом является, в частности, конечная десятичная
дробь
C O ,C.C 2 ".C k ==с о + С,. IO I + ... + C k . lO k,
rде СО Е Z, С; Е {О, 1, ...,'9}.
Определение. Десятичной дробью назЫвается конечная или беско
нечная последовательность Со,С. С 2 ..., rде СО Е Z, С; Е {О, 1, ..., 9}. Бес
конечные десятичные дроби СО,С 1 С 2 ... C k 99... (rде C k -=f. 9) и Со,С. С 2 ...
... Ck .(Ck + 1)00... считаются эквивалентными конечной десятичной
дроби С о ,С,С 2 ... Ck I(Ck + 1). Класс эквивалентности десятичных дpo
бей называется вещественньо,( числом. Множество вещественных чисел
обозначается IR.
Далее, если не oroBopeHo противное, под числом понимается веще
ственное число, а под последовательностью понимается бесконечная
последовательность вещественных чисел. Десятичной nоследователь
ностью веществеfiНОi!О числа r == Со,С, С 2 ... называется бесконечная
последовательность q" q2, qз, ..., rде qk == Со,С, С 2 ... C k .
Пусть Е бесконечная десятичная дробь. Мы считаем, что 1 , Е,
если 1 == , или если существует конечная десятичная дробь /) из десятичной
последовательности числа Е такая, что qk qk < /) д.IIЯ любоrо k, начиная
с HeKoToporo n.
Подмножество [а. Ь] == {, Е IR: а , О, , Ь О} называется (за
мкнутым) отрезком с концами а и Ь, а множество (а, Ь) == [а, Ь] \
({а} u {Ь}) (открытым) интервалом с концами а и Ь. Неравенство
11 '1 < Е означает, что 1 , < Е И , 1 < Е.
Определение. Последовательности,== ('1. '2, ...) и 1== (11,12, ...) Ha
зываются эквивалентными (, '" 1), если д.IIЯ любоrо Е > О существует n
такое, что д.IIЯ любоrо i > n выполнено неравенство 1,; 1;1 < Е.
Далее вместо условий TaKoro типа мы будем писать формулу
V'E > О 3n Е N V'i > п: 1,; 1;1 < Е,
используя стандартные кванторы V' любой, 3 существует и символ N
пля множества HaTVDa ьных ЧИСР.JI.
Задача 1.1. Докажите, что если r '" r' и r' '" r", то r '" r".
Задача 1.2. Докажите, что несовпадающим вещественным числам OT
вечают неЭКВJ1валентные десятичные последовательности.
Определение. Последовательность r., r2, ... называется nоследова
тельностtJю Коши, если
содержится не более одноrо тяжелоrо отрезка. Кроме Toro, каждая из
пар ([а, Ь'], [Ь', Ь]) и ([Ь, 1)11], [Ь", cD содержит не менее одноrо тяже
лоrо отрезка. Следовательно, [а, Ь'] и [Ь", с] леrкие отрезки. Таким
образом, существует L > n такое, что r; Е [Ь', Ь"] при i > L, и, значит,
Ir; Ь;/ < 'Ь' Ь"' == lO n. О
Д о к а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 1.1. Для каждоrо n Е N разобьем IR
на отрезки [q. lO п, (q + 1) . lO п], rде q Е z. Если одно из разбиений co
держит два тяжелых отрезка. то по леммам 1.2 и 1.3 они имеют общую
точку и ее десятичная последовательность эквивалентна последователь
ности {r;}. А в противном случае тяжелые отрезки образуют вложенную
последовательность [qo, qo + 11[ql . 1O ', (ql + 1) . 1 O I], ... Следователъ
но, {r;} '" {q; . 10 ;}, причем последняя последовательность является дe
сятичной последовательностью HeKoToporo числа. О
Определение. Пусть а, Ь вещественные числа и {а;}, {Ь;} их
десятичные последовательности. Как следует из леммы 1.1, {а; + Ь;},
{а;Ь;} последовательности Коши. Соrласно теореме 1.1, они экви
валентны десятичным последовательностям некоторых чисел CI, С2 Е IR.
Положим а + Ь CI, аЬ С2.
Задача 1.4. Докажите, что IR поле (в частности, докажите, что
а(Ь + с) == аЬ + ас).
V'E > О 3n Е N V'i, j > n: Ir; rjj < Е.
Задача 1.3. Докажите, что бесконечная десятичная последовательность
вещественноro числа являет<:я последовательностью Коши.
Лемма 1.1. Пусть а == (al, а2, ...) и Ь == (b l , Ь 2 , ...) nоследо
вательнасти Коши. Тоеда (а + Ь) == «аl + b l ), (а2 + Ь 2 ), ...), ( a) ==
== « aJ), ( a2),.") II (аЬ) == «а.Ь,). (а 2 Ь 2 ),...) тоже nоследователь
ности Коши. Если l a; 1 > м > О для всех i то и a 1 == ( a 1 a ' )
. I , 2 '...
moже последовательность Коши.
Дока за тельство. По условию
'VE > О 3n Е N 'Vi, j > n: 'а; аА < , 'Ь; bjl < .
Ноетоr д : I(a; + Ь;) (а; + bj)l == I(a; Dj) + (Ь; b j )/ ja; ajl + Ib; Ь;! <
< 2" + 2" == Е. Остальные доказательства строятся аналоrично. О
Теорема 1.1. Всякая последовательность Коши r == (rl. r2, ...) эк
вивалентна десятичной последовательности веществеННОi!О числа.
Для доказательства нам понадобятся еще одно определение и две лем
мы. Пусть r == (rl, r2, ...) последовательность Коши. Отрезок lа, Ь] с IR
назовем тяжеAblJ.l., если он содержит бесконечно MHoro точек последова
тельности r.
Лемма 1.2. Если [а, Ь] и [с, d] тяжелые отрезки, то (а, Ь) n
n [с, d] i= 0.
До к а з а тел ь с т В о. Предположим, что Ь < с. Тоrда
2. П редеЛbL последоватеЛЫLOстей
Определение. rоворят, что последовательность чисел al, а2, ... UMe
ет предел а, если V'E > О 3n Е N V'i > n: la; al < Е. Пишут .Iim а; == а.
. OO
Пример. Десятичная последовательность числа сходится к этому чи
слу.
Задача 2.1. Докажите, что всякая последовательность имеет не более
одноrо предела и если он существует, то любая ее бесконечная подпосле
довательность имеет тот же самый предел.
Теорема 2.1. Если Iim а п == а и liт Ь п == Ь, то lim (а п + Ь п ) == а + Ь.
п.......оо ".......00 n.....оо
Доказаrел ьство. По условию
V'E > О 3т Е N V'n > т: 'а п а\ < ,Ibn bl < .
Значит, при n > т мы имеем
'(а n + Ь n ) (а + b)1 == '(а п а) + (Ь" Ь}l \а n аl + Ib n ы < Е. О
Задача 2.2. Пусть lim а п == а и liт Ь" == Ь. Докажите, что liт (-..--а n ) ==
n.....оо п........оо n.....оо
== a, liт (апЬ п ) == аЬ, liт (aп) 1 == a ', если а " i= о, а i= о.
n........оо ".......00
Лемма 2.1. Пусть liт а п == а, liт Ь п == Ь и а n Ь п . Тоеда а Ь.
п.....оо n.......СХ)
V'n Е N 3i,j > n: r; Е(а, Ь], rj Е (с, d]
и Iri rjl > с Ь. Но это противоречит определению последовательности
Коши. О
Лемма 1.3. Если (а,Ь] и [Ь,с] тяжелые отрезки, то nоследО!за
тельность r эквивалентна десятичной последовательности точки Ь.
Доказательство. Пусть (Ь., Ь 2 , ...) десятичная последователь
ность точки Ь, не соде р жащая «хвоста девяток» Ь' == Ь' == Ь 10 п 1
, n n ,
Ь" == b == Ь" + I O п 1 o п l. Тоrда существует п такое, что при n > п
выполнены неравенства а < Ь' < Ь < Ь" < с. Зафиксируем произвольное
n, удовлетворяющее этим условиям. В 'этом случае соrласно лемме 1.2
в каждой из пар отрезков ([а, Ь'], [Ь, Ь"]), ([Ь', Ь], [Ь", с]), «(а, Ь'.], [Ь", с])
6
7
b a
Д о к а з а т ел ь с т В о. Предположим, что а < Ь. Положим Е == .
Тоrда
3 т Е N v' п > т: \а" аl < Е, 'Ь" bl < Е.
а+Ь
Таким образом. а" < < Ь", что противоречит условию леммы. О
Задача 2.3. Докажите, что эквивалентные последоватеЛЫIOСТII или обе
не имеют предела, или имеют одинаковый предел.
Теорема 2.2 (критерий Коши). Последовательность al, az, . .. и,че
ет предел, если и только если она является последовательностью
Коши.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть Iim а" == а. Torдa
п........:::ю
Определение. rоворят, что последовательность al, а2, ... стремится
к +00, если v' А Е IR 3 п Е N v' i > п: а; > А. Обозначение lim а; == +00.
Равенство .lim а; == oo означает, что lim ( a;) == +00. ; cx>
,..........00 ;........00
Задача 2.6. Пусть lim а " == +00, lim Ь" == +00, Jim с " == с Е IR. ДOKa
п......-JoОО " oo п.......joOO
жите, что lim (а n + СП) == +00; lim (а"С,,) == +00, если с> о; Iim (a;l) == о;
п..........оо п..........оо "..........00
Iim (C;I) == +00, если С == О и Сп > о. Что можно сказать о П р еделах по
"..........00
следовательностей (а" Ь,,) и йn ?
Ь"
е:
v' Е > О 3 т Е N v' п > т: 'а n а \ < 2".
3. Пределы функций
Определение. Функцией f на подмножестве 1 с IR называют отобра
жение {: 1 IR.
Определение. Пусть С Е IR таково, что д.IIЯ любоrо 8 > О существует
х Е 1, такое что О < Ix сl < 8. rоворят, что функция f стреJчится к 1 при
х. стреJчящемся к С, и пишут lim {(х) == 1, если
х..........(.
Следовательно, если i, j > т, то
'а; ail == I(a; а) +(а aj)! laj al + laj аl < Е,
т. е. al, а2, ... последоватеЛl,НОСТЬ Коши. Обратно: если а), а2, ... по
следовательность Коши, то по теореме 1.1 она эквивалентна десятичной
последовательности HeKoToporo Чllсла и сходится к этому числу. О
Теорема 2.3 (теорема Больцано Вейерштрасса). Из всякой (беско
нечной) последовательности на отрезке можно выбрать сходящу
юся подnоследовательность.
До ка за тел ь с т во. Пусть al, а2, ... Е [Ь, с] == 1.. Поделим I1 на paB
ные отрезки [Ь, Ь.] и [Ь., с]. Один из них (назовем ero /2) содержит беско
неЧllое число элементов последовательности. Разделим теперь ero пополам
и т. д. В результате мы ПОJ1УЧИМ бесконечную последоватеЛl,НОСТЬ вложен
c b
IIЫХ отрезков /.. /2, ..., дЛина которых равна 2j . и стремится к нулю.
Каждый из них содержит бесконечное число точек последовательности.
.
Возьмем из каждоrо отрезка по однои точке С; Е /;. Тоrда Ic; cjl < 2"' I
при i, j > т. Следовательно, соrласно критерию Коши последовательность
С., С2, . .. имеет предел. О
Задача 2.4. Докажите, что из любоrо покрытия отрезка открытыми
интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение. Последовательность al, а2, ... называется Jчонотонно
возрастающей, если V'i Е N: а;+1 > aj, и монотонно убывающей, если
V'i Е N: aj > a;+I.
Задача 2.5. Докажите, что оrраниченная монотонно возрастающая по
следовательность имеет предел.
V'E > 038> О V'O < Ix cl < 8: If(x) I1 < Е.
Существование nравоео предела lim {(х) == 1 означает, что
х.........с+О
V'E> О 38 > О V'O < х с < 8: If(x) I1 < Е.
Равенство lim {(х) == 1 означает, что
х..........+оо
v' Е > О 38 > О v' х > 8: If(x) I1 < Е.
Задача 3.1. Дайте определения левоrо предела lim {(х) == 1 и предела
x........c o
lim {(х) == 1.
x......... oo
Задача 3.2. Докажите, что если функция имеет предел, то он един
ственный.
Задача 3.3. Дайте определение монотонной функции и докажите, что
монотонная оrраниченная функция, определенная на интервале, имеет пре
делы справа и слева в каждой точке этоrо интервала.
Теорема 3.1. Если limt.(x) == /. и Iimf2(x) == 12, то существуют пpe
х........с х........с
делыlim(fl + ы(х) == I1 + 12, Iim(t.f2)(x) == 11/2' lim ( f t. ) (х) == !.! (если 12 =f. о);
х..........с х..........с х........с 2 12
если {l (х) Мх), то I1 12.
Доказательство. Положим Е > о. Тоrда
8
38> О V'O < Ix сl < 8: 'Мх) 1.1 < и lf2(x) 121 < .
9
Следовательно, l(f,(x) + Мх» (/, + /2)1 < Е. Остальные доказательства
проведите самостоятельно. О
Задача 3.4. Сформулируйте и докажите критерий Коши для пределов
функций.
Определение. rоворят, что lim {(х) == +00, если
x c
Определение. Если {", ах п (а -j. О) при х ----+ О, то rоворят, что {(х) есть
бесконечно малая порядка п.
Обозначение. Обычно пишут «! == o(g) при х ----+ хо», если при х i= хо
{(х) == g(x) х h(x), rде lim h(x) == О. Аналоrично пишут «! == O(g) при
х..........хо
Х ----+ хо», если {(х) == g(x)h(x) при х -j. хо, rде функция h(x) оrраничена в
окрестности точки хо.
\/r Е IR 38> 0\/0 < Ix cl < 8: {(х) > r.
rоворят, что lim {(х) == oo, если lim( f(x» == +00. Равенство Iim {(х) == 00
с..........с х..........с х..........с
означает, что
\/r Е IR 38 > О \/0 < 'х сl < 8: If(x) 1 > r.
Задача 3.5. Сформулируйте и докажите теорему о пределах функций,
аналоrичную теореме 3.1, в случае, коrда один или оба предела принимают
значения oo, +00, 00.
Теорема 3.2. Пусть lim {(х) == Ь, причем
x a
4. Непрерывные функции
Определение. Функция {, определенная на множестве 1 с IR, называ
ется непрерывной в точке хо Е 1, если
Кроме Toro,
V'E > О 38 > О \/(х Е 1,Ix хоl < 8): If(x) f(xo)1 < Е.
Задача 4.1. Докажите. что если lim {(х) == {(хо), то функция f He
х..........хо
прерывна в точке хо. Докажите, что если функция f непрерывна в точ
ке хо и определена на некотором интервале, содержащем точку хо, то
lim {(х) == {(хо).
х..........хо
Задача 4.2. Докажите, что функция {, определенная на множестве
1 с IR, непрерывна в точке хо, если и тоЛ!,ко если f переводит любую
последовательность, принад.llежащую 1 и сходящуюся к точке хо, в после
довательность, сходящуюся к {(хо).
Определение. Функция f называется непрерывной справа в точке Хо.
если lim {(х) == {(хо), и непрерывной слева, если lim {(х) == {(хо).
х..........хо+о x..........xo o
Определение. Функция f называется непрерывной на множестве
1 с IR, если она непрерывна в каждой точке множества 1.
Задача 4.3. Докажите, что суперпозиция, сумма, разность и произве
дение непрерывных функций f и g тоже непрерывны. Кроме Toro, если
g(x) -j. О, то непрерывна и функция .
Напомним, что множество I с IR называется Оi!раниченным сверху
(снизу), если существует М Е IR (т Е Щ, такое что V х Е 1: х М (х т).
Обозначим через sup(l) наименьшее из чисел Ь таких, что v' х Е 1: х Ь.
Обозначим через inf(l) наибольшее из чисел а, таких что v' х Е 1: а х.
Задача 4.4. Пусть I с IR.. Докажите, что тоrда 1) если множество I
оrраничено сверху. то sup(l) существует; 2) если множество 1 оrраничено
снизу, то inf(l) существует.
Задача 4.5. Пусть множество 1 с IR состоит из рациональных чисел.
Может ли sup(l) или inf(l) быть иррациональным?
Определение. Пусть ' функция на 1. rоворят, что f достиеает
максиМУNД на 1, если существует у Е 1, такое что v' х Е 1: {(x), {(у).
3Ео > О V'O < 'х al < Ео: {(х) -j. Ь,
и lim g(x) == /, причеN. функция g определена в точках {(х) для всех х,
x b
достаточно близких к а. Т02да lim g(f(x) == /.
x a
Д О К а з а' т е л ь с Т В о. Пусть Е > о. Torдa
381 > 0\/0 < 'у bl < 8,: Ig(y) /1 < Е.
30 < 8 < Ео \/0 < Ix al < 8: 0< If(x) ы < 8.,
и, следовательно, Ig(f(x») /1 < Е. О
Задача 3.6. Что получится, если в теореме 3.2 убрать условие
«3Ео > О \/0 < Ix al < Ео: {(х) -j. Ь»?
Определение. rоворят, что функции {(х) и g(x) эквивалентны при
х ----+ ХО, если в окрестности точки хо существует функция h(x), такая что
{(х) == g(x)h(x) при х -j. хо и Iim h(x) == 1. Эквивалентность обозначается
. х......хо
f '" g.
Пример. Если lim {(х) == /, /-j. О, то {", / при х ----+ хо.
х..........Хо
Задача 3.7. Докажите, что sinx '" х при х ----+ о.
Задача 3.8. Пусть {. '" {2 И g, '" g2, при Х ----+ хо, причем g,g2 -j. О В
'. '2
окрестности точки хо. Докажите, что f,gl '" f2g2 И '" при х ----+ хо.
g. g2
Верно ли, что {. + gl '" {2 + g2?
Задача 3.9. Докажите, что если {. '" {2 И {2 '" fз, то {, '" fз.
10
11
rоворят, что f достиеает минимума на 1, если существует У Е 1, такое
что V'x Е 1: {(х) {(у).
Теорема 4.1. Непрерывная функция на отрезке [а, Ь] достиеаеm
минимума и максимума.
Доказател ьство. Пусть f непрерывная ФУНКЦИЯ на отрезке [а, Ь].
Докажем сначала, что функция f оrраничена сверху. Предположим про
тивное. Тоrда V'n Е N 3х" Е [а, Ь]: {(х,,) > n. В частности, lim {(х,,) == +00.
,, +oo
Соrласно теореме Больцано Вейерштрасса существует последователь
ность X"I' Х"2' ..., имеющая предел .liт Х n , == Х Е [а, Ь). Следовательно,
, oo
{(х) == .liт f(х щ ) == lim {(х,,) == +00, что невозможно. Таким образом, MHO
'......-+00 п oo
жество {([а, Ь]) оrраничено сверху и, соrласно задаче 4.4, существует
1\1 == sup ({(х». По определению, это означает, что
xEla.bl
Задача 4.8. Обязательно ли является непрерывной функция, перево
дящая любой отрезок в отрезок?
Определение. Функция {, определенная на множестве 1, и функция g,
определенная на множестве J, называются обратны)tu друr к друry, если
f(l) == J, g(J) == 1 и V' х Е J: f(g(x» == х, V' х Е 1: g(f(x» == х.
Задача 4.9. Докажите, что cTporo монотонная непрерывная функция
имеет обратную, она непрерывна, и ее rрафик симметричен относительно
прямой у == х rрафику исходной функции.
38> о V'c < с' < с + 8: If(c') f(c)1 < сх,
5. Равномерная непрерывность
Начиная с этоrо параrрафа, мы считаем, что I одно из множеств вида
[а, Ь], [а, Ь), (а, Ь], (а, Ь), ( oo, а), ( oo, а), [а, +00), (а, +00), ( oo, +00).
Определение. rоворят, что функция f равномерно непрерывна на 1,
если V'E > О 38 > О V'lx x'l < 8; х, х' Е 1: If(x) {(х')I < Е.
Задача 5.1. Докажите. что равномерно непрерывная функция непре
рывна.
Пример. Функция {(х) == х 2 на IR непрерывна. С друrой стороны, если
х == 1/8, х' == 1/8 + 8, то Ix х'l == 8, но
If(x) {(х') I == 11/82 1/82 2 821 == 2 + 82> 2.
Таким образом, функция {(х) не равномерно непрерывна на IR.
Теорема 5.1. Функция, непрерывная на отрезке [а, Ь], равномерно
непрерывна на нем.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Предположим обратное, т. е. пусть функция f He
прерывна, но не равномерно непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тоrда
3Е > О V'(n Е N) 31х" уnl < I/n: If(x n ) {(уn)l Е.
Соrласно теореме Больцано Вейерштрасса, существует подпоследо
вательность X"I' Х"2' ..., такая что .liт Х щ == Х Е [а, Ь]. Поскольку
, oo
.lim (Х n , y"J == о, мы имеем .liт Уn; == х. Ввиду непрерывности {(х), выпол
,........00 '........00
няются равенства .lim f(xnJ == {(х) == .lim f(y"J. Следовательно, If(x".)
,........00 '........00 '
f(y"JI < Е д.IIЯ достаточно больших i, что невозможно. О
Пусть {., {2, ... последовательность функций на 1 с IR.
Определение. rоворят, что последовательность (f., {2, .. .) nоточечно
сходится к функции f на 1, если Iiт {,,(х) == {(х) д.IIя всех х Е 1.
n oo
Определение. rоворят, что последовательность (fl' {2, ...) paвHOMep
но сходится к функции f на 1, если lim sup Ifn(x) {(х)l == О, т. е.
n........оо ХЕI
1
V'n Е N 3Уn Е [а, Ь]: М {(у,,) М.
п
Значит, lim {(у,,) == М. Соrласно теореме Больuано Вейерштрасса, суще
".........:0
ствует последовательность Уn!' У"2' ..., имеющая предел .liт у", == у Е [а, Ь).
, OO
НО тоrда {(у) == .liт {(у",) == Iiт {(уn) == М, и, следовательно, функция f дo
,........00 n........оо
стиrает максимума в точке у. О
Задача 4.6. С помощью аналоrичноrо рассуждения докажите суще
ствование минимума непрерывной функции на отрезке.
Задача 4.7. Верна ли эта теорема д.IIЯ (OTKpbIToro) интервала (а, Ь)?
Теорема 4.2. Непрерывная функция f на отрезке [а, Ь] принимает
все значения между {(а) и {(Ь).
ДО каза тел ь ство. Пусть {(а) < {(Ь) и Е ({(а), {(Ь». Положим Е==
== {х Е [а, Ь): {(х) } и с == sup(E). Тоrда {(с) < {(Ь), значит, с < Ь. Дo
кажем, что {(с) == . Предположим, что {(с) < . Положим сх == {(с) > о.
Torдa ввиду непрерывности f мы имеем
т. е. {(с') < {(с) + сх == и с' Е Е. С друrой стороны, с == sup(E) > с' > с, что
невозможно. Случай {(а) > {(Ь) разбирается аналоrично. О
Следствие 4.1. Непрерывный образ отрезка является отрезком.
Доказательство. Пусть функция f непрерывна на [а, Ь]. Co
rласно теореме 4.1, существуют с, d Е [а, Ь], такие что {(с) == min {(х)
xEla.bl
И f(d) == тах {(х) , т. е. {([а, Ь]) с (f(C), f(d)]. Но, соrласно теореме 4.2,
<Е(а.ы
МЫ имеем [f(c), f(d)] с f(J) с {([а, Ь]), rде I отрезок с концами с и d.
Следовательно, {«(а, Ь]) == [f(c) , f(d)]. О
V'E > о 3т Е N V'n > т: suplfn(x) {(х)l < Е.
хЕI
12
13
Задача 5.2. Докажите, что если последовательность {fn} равномерно
сходится к функции {, то она поточечно сходится к функции {. .
При мер. Рассмотрим функцию {n(х) == х п на [О, 1). Для каждои точки
х Е [О, 1) мы имеем lim {п(х) == о. Следовательно, {п поточечно сходится
п..........оо ...
К {(х) == о. Однако sup (fп(x) {(х») == sup х n == 1, и равномернои сходи
xElo.l) O x<1
мости нет.
Задача 5.3. Пусть последовательности {fn} и {gn} равномерно сходятся
на 1. Докажите, что тоща последовательности {fn + gn}, {Ifnl} и {лfп} тоже
равномерно сходятся.
Задача 5.4. Докажите, что если последоватеЛl,НОСТЬ непрерывных
ФУНКLlИЙ равномерно сходится к функции {, то функция f непрерывна.
6. Производная
Определение. Функция {, определенная на множестве 1 с IR, Ha
зывается дифференцируемой в точке хо Е 1, если существует предел
Iim '(х) ,(х о ) . Он называется про извод ной
x xo х хо
функции f в точке хо и обозначается {'(хо).
Теорема 6.1. Если функция f дифференци
руема в точке хо, то
1(x) I(xo)
хо х
l' (хо) o=tga.
Рис. 1. tga.
Следовательно,
Задача 6.1. Дайте определения: а) производной справа; б) производной
слева; в) бесконечной производной (00, +00 и oo).
Задача 6.2. Докажите, что (и + и)' == и' + и', (ии)' == и'и + ии', (и n )' ==
( И ) ' И'V ИV'
== пun lu', и если v -::f. О, то v == и 2 .
Теорема 6.2. Предположим, что функция и(х) дифференцируе
ма в точке хо, а функция {(х) дифференцируема в точке и(хо). To
еда функция F(x) == {(и(х» дифференцируеNД в точке хо и F'(xo) ==
== {'(и(хо»и'(хо).
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть ио == и(хо). Соrласно теореме б.1 мы Haxo
дим, что {(ио + h) == {(ио) + hg(h), rде (im g(h) == {'(ио), и и(хо + h) == и(хо) +
h O
+ hv(h), rде (im v(h) == и'(хо). Поэтому
h O
Р(хо + h) == {(и(хо + h») == {(ио + hv(h» ==
== {(ио) + hv(h)g(hv(h») == F(xo) + hv(h)g(hv(h».
Отсюда
F' (хо) == liт Р(хо + h) Р(хо) == lim v(h)g(hv(h» ==
h O h h O
== (lim v(h»(limg(hv(h») == u'(xo)f'(uo). О
h O h O
{(хо + h) == {(хо) + hf'(xo) + ho(l)
Задача 6.3. Докажите, что если {( x) == {(х,) и функция f дифференци
руема, то {'( x) == f'(x).
Задача 6.4. Пусть {'(хо) > о. Докажите, что тоrда 3Е > О v'0 < 8 < Е:
{(хо 8) < {(хо) < {(хо + 8).
Теорема 6.3. Пусть функции {(х) и g(y) являются обратными
дру<! к дру<!у, функция {(х) дифференцируема в точке хо, {'(хо) -::f. О
и функция g(y) непрерывна в точке уо == {(хо). То<!да функция g(y)
дифференцируема в точке уо == {(хо) и g'(yo) == "( o) .
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Рассмотрим интервал / == (хо Е, хо + Е), rде Е
удовлетворяет условию задачи б.4. Положим J == {(l). Тоrда при у Е J мы
имеем
при h ----+ о.
Д О ка з а тел ь с т В о. Соrласно нашим опре
делениям
1 . '(хо + h) '(хо) 1 . '(х) '(хо) { ' (х )
1т == 1т о .
h O h x xo х хо
{(хо + h) {(хо) == h(f'(xo) + E(h»,
rде Iim E(h) == о. о
h O
Следствие 6.1. Если функция f дифференцируОtа в точке хо, то
она непрерывна в точке хо.
До ка з а тел ь с тв о. Если {'(хо) -::f. О, то {(хо + h) {(хо) rv hf'(xo) ----+ О
при h ----+ о. Таким образом, при х ----+ хо функция {(х) эквивалентна функции
{(хо) + (х xo)f'(xo) и непрерывна в точке хо соrласно задаче 4.1. Случай,
коrда {'(хо) == О, разберите самостоятельно. О
lim g(y) g(yo) == lim х хо == lim ( t(X) '(х о » ) I == (f'(XO» I. О
и иo у Уо x xo '(х) '(хо) X Xo Х хо
Задача 6.5. В каком месте доказательства теоремы б.3 использована
непрерывность функции g?
Задача 6.6. Найдите производные функций ха, sinx, cosx, tgx, ctgx,
аХ, loga х, arcsin х, arccos х, arctg х, arcctg х.
14
15
7. Производная на интервале
Определение. rоворят, что функция дифференцируема на интервале
1 с IR., если она дифференцируема в каждоЙ точке интервала 1.
В этом параrрафе мы считаем, что функция t непрерывна на отрезке
1 == [а, Ь), rде а < Ь, и дифференцируема на интервале (а, Ь).
Определение. rоворят, что хо Е (а, Ь) точка локаЛЬНОi!О ),fДKCu),tYMa
на (а, Ь), если 3сх > О V'lx хоl < сх: {(х) {(хо). Аналоrично определяется
точка локальноrо минимума.
Теорема 7.1 (теорема Ферма). Производная в точках локальною
минимума и максимума равна нулю.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть хо Е (а, Ь) точка локалыюrо минимума
или максимума. Тоrда неравенство {'(хо) > о невозможно ввиду задачи б.4.
Этот же apryMeHT, примененный к функции f, доказывает, что lIepaBeH
ство {'(хо) < О также невозможно. О
Теорема 7.2 (теорема Ролля). Если {(а) == {(Ь). то существует точ
ка с Е (а, Ь). такая что {'(с) == о.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно теореме 4.1, существуют точки xl, Х2 Е
Е [а, Ь], такие что sup {(х) == f(xl) и inf {(х) == {(Х2). Если точки ХI И Х2
хЕ(а.ы xEla.b)
являются концами отрезка, то SUp {(х) == inf {(х) == {(а) == {(Ь). а значит
хЕ(а.Ь) ХЕ(а,Ь)
{(х) == const и {'(х) == О на всем (а, Ь). В противном случае или минималь
ное, или максимальное значение функции достиrается на (а, Ь) и, соrласнО
теореме 7.1, в ЭТОЙ точке {'(х) == о. о
Теорема 7.3 (теорема Лаrранжа). Существует точка с Е (а, Ь), тa
кая что {(Ь) {(а) == (Ь a)f'(c).
До ка з а тел ьс т во. Положим !fJ(x) == ({(х) {(а» '(b = (a) (х а).
Torдa !fJ(a) == 0== !fJ(b) и. соrласно теореме 7.2, существует точка с Е (а, Ь),
такая что 0== ID'(С) == {'(с) '(Ь) '(а) . о
т b a
Следствие 7.1. Функция f на интервале (а, Ь)
1) постоянна, если и только если {'(х) == О при х Е (а, Ь);
2) не убываеm, если и только если {'(х) О при х Е (а, Ь);
3) монотонно возрастаеm, если {'(х) > О при х Е (а, Ь).
Задача 7.1. Верно ли обратное утверждение к п.3 следствия 7.1?
Теорема 7.4 (теорема Коши). Если функции f и g непрерывны на
[а, Ь]. дифференцируемы на (а, Ь) и g'(x) =f. о на (а, Ь). то существует
'(Ь) '(а) " (с)
точка с Е (а, Ь), такая что g(b) g(a) == g'(C) .
Д о к а з а т е л ь с Т В о. По теореме 7.2 мы имеем g(b) =f. g(a), и, следо
вательно, функция F(x) == (f(x) {(а» ; = ) (g(x) g(b» опреде
Iб
лена. Но Torдa F(b)== {(Ь) {(а) == F(a) и, соrласно теореме 7.2, существует
точка с Е (а, Ь), такая что 0== Р(с) == {'(с) '(Ь) '(а) g'(c) о
. g(b) g(a) .
Теорема 7.5 (правило Лопиталя). Пусть функции f и g непрерывны
на (а, bt дифференцируемы ,на (а, Ь), {(а) == g(a) == О и g'(x) =f. о на
(а, Ь). Тоеда если предел lim ',(Х) существуеm, то lim '(х) == liт .f'(x)
X a g (х). X a g(x) x a g'(x) .
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно теореме 7.4, д.IIЯ любоrо х Е (а, Ь) cy
ществует точка с(х) Е (а, х), такая что ЛХ) == '(х) '(а) {'(с(х» т:
g(x) g(x) g(a) g'(c(x». аким
образом, lim '(х) == lim {'(с(х» == lim {'(х)
X a g(x) c(x) a g'(c(x» x a g'(x) , О
Пример. По правилу Лопиталя lim tg х -:-- х == liт 1/ cos 2 х 1 ==
2 x ox slnx x o. 1 cosx
== lim . 1 cos х == lim 1 + cos х
x o COs 2 Х 1 cos х x o cos2 Х 2.
Теорема 7.6. Пусть функции f и g определены и дифференци
руемы на nолуnрямой [а, +00), а > О, lim {(х) == lim g(x) == О и
X +OO х......+оо
g'(x) =f. о на (а, +00). Тоеда. если предел lim {'(х) суiцестЩJет то
x +oo g'(x) ,
lim '(х) == lim {' (х)
x +oo g(x) x +oo g'(x) .
До ка з а тел ьств о. Положим I == . Torдa li mf ( ! ) == Ii mg ( ! ) == О и
. t'(I/t) . {'(х) t O t / O t
! g'(:/t) == x.!! oo g'(x) . Кроме Toro, если g(/) == g( f ), то й'.(t) == g' (f) х
х ( t2) =f. о на [а, +00). Соrласно теореме 7.5, мы получаем, что
liт '(х) == liт t(l/t) = lim {'(I/t)( I/t2) == li {'(1ft) . {'(х) О
x +oo g(x) t O g(l/t) t O g'(I/t)( I/t2) t g'(I/t) x oo g'(x) '
Теорема 7.7. Пусть функции f и g непрерывны на nолуинтер
вале (а, Ь] и дифференцируемы на (а, Ь), lim '(х) == liт g(x) == +00
x a х.....а
и g'(x) =f. о на (а, Ь). Тоеда, если предел lim {'(х) существует, то
X a g'(x)
lim '(х) == lim "(х)
X a g(x) X a g'(x) .
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть К == lim " (х) . Torдa
X a g'(x)
V'r. > 033> О V'lx al < 3: К ! < {'(х) < К +!
2 g(x) 2',
Пусть а < х < ХО < а + 3. Соrласно теореме Коши, существует точка
17
1. Существует последовательность ступенчатых фунkций
fl' {2, ..., равномерно сходящаяся к f на отрезке [а, Ь];
. " ". ь
2. В этом случае последовательность {J {n(х) dx} также cxo
а
дится;
{(х) '(Хо) {'(с) т е
с Е (х, хо), такая что g(x) g(Xo) g'(c) , . .
к ! < {(х) '(хо) < К + !.
2 g(x) g(xo) 2
{(х) '(;о) '(х) ( ) 1 t(Xo)/t(x) ;l: О
С друrой сторонЬ1, g(x) g(xo) == g(x) h(x), rде h х == 1 g(Xo)/ g(x)
при х, достаточно близких к а. Следовательно,
( К ! ) 'h '(X) " {(x) ( К + ! ) h '(X).
2 ..... g(x)..... . 2
Но lim h(x) == 1, и потому I {(х) К I Е при х, достаточно близких к а.
x a g(x)
Это И означает, что liт {« х» == к lim g {:« X» . о
x a g Х X a Х
Задача 7.2. Сформулируйте и докаЖИ'l'е правило Лопиталя д.IIя
lim {' (х) == +00 и в случае lim 1(4 == liт g(x) == +00,
X a g'(X) Х....ОО . X OO "
ь
Интеrрал J '(х) dx функции f на отрезке (а, b] это площадь фиryры,
оrраииченнойаrрафиком функции {; осью Ох и прямыми х == а и у == Ь. При
этом площадь областей, лежащих выше оси Ох, берется со знаком плюс,
а ниже' со' знаком минус. Осталось определить, что такое площадь.
Определение. Ступенчатой функцией, отвечающе разбиению
а == хо < Ха < . .. < х" == Ь, называется функция {, такая' что {(х) == с; при
х Е (Х;, X;+I) (О i < n) и {(а) == со (см. рис.2).
ДЛя ступенчатой функции интеrрал по опре
ь п 1
делению равен J {(х) dx L с; (Х;+ 1 Х;).
а .. ;=0
Задача 8.1. Докажите, что сумма и
произведение ступенчатых функций....,., TO
же ступенчатые функции и при этом
ь ь ь
а ХI Х2 Xn 1 Ь Х J(I + g)(x) dx == J {(х) dx + J g(x) dx" и
Q а, а
Рис. 2. 11 '(х) dX\ 1 1f (X)l dx.
Теорема определение 8.1. Пусть 1 неnреры.вная функция на
оmреэке (а,. Ь]. ТQzда справедливы следующие утверждения:
8. Инте2рал
у
о
ь ь
3. Предел lim J fn(х) dx J {(х) dx не зависит от выбора nоследо
"....ОО
а а
вательности {{п} и называется интеrралом функции f на отрезке [а, Ь].
Д о к а з а т е л ь с Т В о. 1. Из теоремы 5.1 следует, что
Уn Е N 38 > О Vlx х'l < б: If(x) {(х')I < 1/";.
Рассмотрим произвольное разбиение а == хо < ... < х" == Ь, такое что
ХНI Х; < б. Положим fn(х) == {(х;) при х Е (Х;, х;+I] И fn(а) == {(а). To
rдa "(х) fn(х)' < 1/n при х Е [а, Ь]. Значит, последовательность лn}
равномерно сходится к функции f на отрезке [а, Ь]. . :
2. Пусть последовательность {fn} равномерно сходится к функции {.
Torдa
Е
УЕ > О 3т Е N Уn > т: If(x) fn(x)1 < 4(Ь а) '
Следовательно,
Е
Ifn(x) {n,(х)1 = I(fn(x) {(х» + ({(х) {n,(х»l < 2(Ь а) ""
при любых n, n' > т. Таким образом,
ь ь ь ь
'f {п(х) dx ! {n'(Х) dX/ f Ifn{x) {n'(Х) I dx f 2(Ь а) dx:;:; .< Е
а а Q ,. fl .
и, соrласно критериlp Коши, последовательность {! {n'(Х) dx} сходится.
3. Пусть {gn} друrая последовательность ступенчаТЬJХ функций, TO
же равномерно сходящаяся к,. Torдa последовательность fl, gl, {2, g2, . ..
равномерно сх()дится к f и, как уже доказано, последовательность
ь ь ь ь
f t.(x)dx, f g.(x)dx, f Mx)dx, f g2(x)dx,...
а
а
а
а
тоже сходится. Таким образом, ее подпоследовательности {j 'n(х) dx} и
а
{j gn(x) dx} "имеют одинаков й предел. ..0
а
18 _
19
Задача 8.2. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, Ь]. Докажите,
что 1) J b ).f(x) dx == ). J b {(х) dx; 2) I J b {(х) dX \ J b If(x) I dx; 3) min {(х)
xEla.bl
а а n а
Ь
JM ь
а тах {(х); 4) Существует точка с Е [а, Ь], такая что J {(х) dx ==
ь а xEla.bl а .
== {(с)(Ь а).
Задача 8.3. Пусть f и g непрерывные функции на отрезке [а, Ь]. Дo
ь ь ь
кажите, что Torдa J (! + g)(x) dx == J '(х) dx + J g(x) dx и, если {(х) g(x) ,
а а а
Ь Ь Ь Ь Ь
то J {(х) dx J g(X) dx. Верно ли, что f (fg)(x) dx == J {(х) dx. J g(x) dx?
Q Q fl Q Q
Определение. Пусть функция f непрерывна на отрезке (а, Ь] (а < Ь).
а Ь
Положим J {(х) dx f {(х) dx.
ь а
Задача 8.4. Докажите, что д.IIЯ любых точек сх, , у Е (а, Ь] выполнено
р у у
равенство: J {(х) dx + J '(х) dx == J {(х) dx.
о: Р о:
Задача 8.5. Пусть функция f непрерывна на отрезке [а, Ь], f(x) О и
ь
J '(х) dx == О. Докажите, что {(х) == о.
а
Теорема 8.2 (неравенство Коши Шварца). Если f и g Henpepыв
ные функции на отрезке (а, Ь]. то
Итак, мы задали следующее скалярное произведение на векторном про
ь
странстве непрерывных функций: ({, g) J (fg)(x) dx.
а
Задача 8.6 (метод прямоуroльников и трапеций). Будем аппроксими
ровать интеrрал суммой площадей прямоуroльников и трапеций. ДЛя этоrо
разобьем отрезок [а, Ь] точками а == хо< ХI < ... < х n == Ь на -n равных OT
резков. На полуинтервале (Х;, х;н] аппроксимируем функцию f функцией
gn(x) == '(х;) д.IIя метода прямоуro.льников и функцией
hn(x) == {(Х;) + t(Xi+I) '(Х;) (х Х;)
Х;+I X;
д.IIя метода трапеций. Докажите, что при достаточной rпадкости функции f
справедливы оценки
I ь ь
! /(х) dx ! g.(x) dxl.. м, (Ь ;:)'
и
I ь ь
! /(х) dx ! h.(x) dxl.. м, (Ь 1 ;. )' ,
rде М. == sup If'(x)1 и М 2 == sup If"(x)l.
xEIa.b1 хЕ(а.ы
( ь ) 2 Ь Ь
/ (fg)(x) dx / Р(Х) dx . f g2(x) dx.
а а а
9.Первообразная
Определение. Функция F называется nервообразной функции {, если
она дифференцируема и F' == {.
Теорема 9.1. Множество nервообраЗНblХ функции f на некотором
интервале имеет вид F + )., еде F одна из nервообразных и ). Е IR..
Доказательство. Если о=р +const, то О' == F'==f. Если O'=F'=f
то (О F)' == о и О F = const соrласно следствию 7.1. О
Теорема 9.2 (теорема Ньютона Лейбница). Пусть функция 1 He
х
nрерывна на интервале 1 с IR. и хо Е /. Тоеда функция F(x) == J I(t) dt
Хо
является nервообразной функции {.
Д о к а з а т е л ь с Т во. Соrласно задаче 8.4 мы имеем F(x + h) Р(х) ==
x+h
== J f(t) dt, а corпaCHO задаче 8.2 получаем
х
min f(t) F(x + F(x) тах f(/).
/Elx.x+hl tElx.x+hl
ь ь
До казател ьство. Положим 8 == J(fg)(x)dx, А == J Р(Х) dx, С ==
а а
ь
= J g2(x) dx. Тоrда
а Ь
Ar + 28z + С == / (zf(x) + g(x»2 dx О.
а
Таким образом, при А :f. о уравнение Az2 + 28z + С имеет не более одноrо
корня и, следовательно, 82 АС о. Случай А == О следует из задачи 8.5. О
20
2)
Задача 8.2. Пусть функция f непрерывна на отрезке (а, Ь]. Докажите,
что 1) J b ).f(x) dx == ). J b {(х) dx; 2) I J b {(х) dX \ J b If(x) I dx; 3) min {(х)
xEla.bl
а а п Q
Ь
J Ь
а Ь. тах {(х); 4) Существует точка с Е (а, Ь], такая что J {(х) dx ==
а xEla.bl а .
== {(с)(Ь а).
Задача 8.3. Пусть f и g непрерывные функции на отрезке (а, Ь]. Дo
ь ь ь
кажите, что тоrда J (! + g)(x) dx == J '(х) dx + f g(x) dx и, если '(х) g(X),
а а а
Ь Ь Ь Ь Ь
то J {(х) dx J g(X) dx. Верно ли, что J (fg)(x) dx == J {(х) dx - J g(x) dx?
Q Q а Q Q
Определение. Пусть функция f непрерывна на отрезке (а, Ь] (а < Ь).
а Ь
Положим f {(х) dx J {(х) dx.
ь а
Задача 8.4. Докажите, что д.IIЯ любых точек сх, , у Е (а. Ь] выполнено
р у у
равенство: J {(х) dx + J {(х) dx == J {(х) dx.
о: р о:
Задача 8.5. Пусть функция f непрерывна на отрезке (а, Ь], {(х) о и
ь
J {(х) dx == О. Докажите, что {(х) == о.
а
Теорема 8.2 (неравенство Коши Шварца). Если f и g Henpepыв
ные функции на отрезке (а, Ь]. то
Итак, мы задали следующее скалярное произведение на векторном про
ь
странстве непрерывных функций: ({, g) J (fg)(x) dx.
. а
Задача 8.6 (метод прямоуroльников и трапеций). Будем аппроксими
ровать интеrрал суммой площадей прямоуroльников и трапеций. Для этоrо
разобьем отрезок (а, Ь] точками а == хо < XI <... < х n == Ь на n равных OT
резков. На полуинтервале (Х;, XHI] аппроксимируем функцию f функцией
gn(x) == {(х;) д.IIЯ метода прямоуrо.льников и функцией
hn(x) == {(Х;) + t(X;+I) '(Х;) (х Х;)
Х;+, X;
д.IIя метода трапеций. Докажите, что при достаточной rладкости функции f
справедливы оценки
I ь ь
! (х) dx ! g.(x) dxl.. м, (Ь ;:)'
и
I ь ь
(Ь а)3
! (х) dx ! h.(x) dxl.. м, 1'" '
rдe М, == sup If'(x) I и М 2 == sup ""(х}l.
xEla.bl хЕ(а.ы
а
9. Первообразная
Определение. Функция F называется nервообразной функции {, если
она дифференцируема и F' == {.
Теорема 9.1. Множество nервообразных функции f на некотором
интервале имеет вид F + )., еде F одна из nервообраЗНblХ и л Е IR..
Доказател ьство. Если G==F + const, то О' ==F' ==f. Если G'==F' ==f,
то (О F)' == о и G F == const соrласно следствию 7.1. О
Теорема 9.2 (теорема Ньютона Лейбница). Пусть функция f He
х
nрерывна на интервале / с IR. и хо Е /. Тоеда функция F(x) == J I(t) dt
хо
является nервообразной функции {.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно задаче 8.4 мы имеем F(x + h) F(x) ==
x+h
== J f(t) dt, а corпaCHO задаче 8.2 получаем
х
min f(t) F(x + F(x) тах f(/).
tElx.x+hl tE(x.x+hl
(i (т)(х) dx )' .. j f(x) dx.j g'(x) dx.
а а а
ь ь
Доказательство. Положим В== J(fg)(x)dx, А == Jf(x)dx, С==
а а
ь
== J g2(x) dx. Torдa
а Ь
Ar + 2Bz + С == f (zf(x) + g(x»2 dx О.
Таким образом, при А :f. о уравнение Az2 + 2Bz + С имеет не более одноrо
корня и, следовательно, В2 АС О. СЛучай А == О следует из задачи 8.5. О
20
21
. F(x + h) F(x)
Из непрерывности функции f следует, что 11т h существует
h O
и равен {(х). Таким о.бразом, F'(x) == {(х) (см. рис.3).. О
Следствие 9.1. Если F nервообразная
F(x+h) F(x) непрерывной функции f на отрезке (а, Ь],
1(/) ь
то !f(x) dx == F(b) F(a).
Рис. 3.
а
Обозначение. Семейство первообразных
{F(x): Р(х) == !(х)} обозначается J {(х) dx и
называется' неопределенным интеi!ралом.
Задача 9.1 (иитеrрирование по частям).
Докажите, что
3) J sin х dx == cosx + const, J cos х d-x == sin х + const;
J аХ
4) аХ dx == In а + const (а > О, а :f. 1);
5) J sh х dx == chx + const, J ch х dx == sh х + const;
J dx . . '. J dX
6) V'f-=X2 == аrсslП х + const, 1 + х 2 == arctg х + const;
J dx
7) VJ+X2 == arcsh х + const == 'п(х + "1 + х 2 ) + col1st.
Задача 9.3. Пусть с > Ь 2 И t1 == ус Ь 2 . Положим
/ f dx
n (х2 + 2Ьх + с)"
ХО
о
1. Докажите, что
f и'(х)и(х) dx == и(х)и(х) 1 и(х)и'(х) dx
и
ь ь
1 и'(х)и(х) dx == и(b)и b) и(а)и(а) f и(х)и'(х) dx.
а а
и
( Х + Ь )
arctg
/, == l:1 + const
l:1 !
,
'1'(11) 11
1 {(х) dx == f f(q>(/»q>'.(/) dl.
'1'10:) о:
.
/ х+Ь 2n 3
n 2l:12(п 1)(x2 + 2Ьх + c)n 1 + 2l:12(n 1) /п 1 + onst
при n > 1.
2. Докажите, что
f xdx 1 2 '
х2 + 2Ьс + С == 2 'п 'х + 2Ьх + cl Ь/ I + const
Теорема 9.3 (теорема о замене переменной). ПустьJ ==(сх, ], функция
q>: J ----+ IR. дифференцируема, q>(J) Е / и функция {: / ----+ IR. непрерывна.
Тоеда
и
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть F первообразная функции 1. Torдa
! xdx 1
(х 2 + 2Ьс + с)" == 2(n I)(х 2 + 2Ьх + c)n 1
при n > 1.
Ь/" + const
(F(q>(/)))' == F'(q>(t»q>'(/) == f(q>(/»q>'(/).
Таким образом, соrласно формуле Ньютона".,..-Лейбница,
11 - '1'1/1)
1 f(q>(/»q>'(/) dt == F(q>( » F(q>(cx» == 1 f(x)dx.
о: '1'(0:)
.0
10. Методы инте2рирования рациональных
комбинаций элементарных функций
1. Напомним, что рациональная функция это функция вида {(х) ==
n / т
== Е CXjxi Е ;,к;, rде СХ;, ; Е IR.;
;=1 ;=1
Задача 10.1. Докажите, что всякая рациональная функция представля
ется в виде:
Задача 9.2..Докажите следующие формулы:
.кп+ 1
1) f х" dx == п + 1 + const (n Е Z, п :f.. 1);
f dx { lnlxl + const l , х> О,
2)
х Iп ]хl + const 2 , х < о;
11 1; ; , 1 У/ . ; ;
R(x) + '" '" Aj + '" '" Bjx + C j ;
(х + aj)j (х 2 + 2Ь;х + c;) J '
. I 1=1 .=1 r=1
rде R(x) вещественный мноtочлен, Aj, Bj, Cj, а;, Ь;,с; Е R и с; > bf.
22
23
k >Ч A 1 У; В(х + С(
R(x) + '" '" / + '" '" 1 /
(х+ a;)i (х 2 + 2Ь;х + с;У'
'=) i=1 ;=1 i=1
2. Проинтеrpируем полученные дроби:
/ == { ln1x 11 + constl,x > 1,
х 1 'П Ix 11 + const 2 , х < 1;
Рациональные функции интеrрируются в 2 этапа:
1. При ведение к виду
(*)
А(
1
(х + а;У'
BJx
(х 2 + 2Ь;х + c;)i'
С ;
i
(х 2 + 2Ь;х + c;)i
arct g ( х+ 1/2 )
/ ? 1 dx """ у' 1 (1 / 2)2
+ const ==
x +x+1 y' 1 (I/2)2
2. Интеrр"рование функций
т 11 1
2: ixi == П (х + а;)>Ч П (х 2 + 2Ь;х + С;)У;
i=1 ;=1 ;=1
== ff arct g ( ff(x + ) ) + const;
/ х2 +: + 1 dx == 'П Ix 2 + х + I1 ff arct g ( ff (х + ) ) + const.
Итоro:
/ x xl ==
Inlx I1 2ffarctg( ff(x+ ))
== ( lnlx2+x+II ffarctg(ff(x+4)))+const" x>l;
Inlx 11 2ffarctg( ff(x+ 4))
( 'П Ix 2 + х + 11 4ff arct g ( ff (х + ) ) ) + const 2 , х < I
1
In 'х I1 2 'П ,х 2 + х + 11
== v'3arctg eX 1 ) -+: const l , х> 1;
I
'" 'х 11 2 'П ,х 2 + х + I1
v'3 arctg( 2 1 ) + const 2 , х < 1.
11. Пусть f(t) рациональная функция. Найдем J {(е/) dt. Положим
х == е и t == 'п(х). Тоrда J I(e t ) dl == J f(e t ) . (е/)' dl == J '(х) dx интеrрал
. ф х
от рационапьнои ункции.
(задача 9.3). Коэффициенты в разложении (*) удобно искать по следующей
схеме.
1. Представим знаменатель в виде
и тем самым найдем k, 1. Л;, У;. а;. Ь;, С;.
n т
2. Найдем R(x) как частное от деления мноrочленов Е cx,xi и Е ixi.
;=1 i=1
3. Напишем разложение (*) функции {, считая, что А;, В;. с; неиз
вестные коэффициенты.
4. При ведем выражение (*) к общему знаменателю и при равняем KO
эффициенты полиномов числителей.
5. Решим полученную систему линейных уравнений на А;, В;, с;.
При мер. Найдем J х3 1 dx.
3
1. Разложим х3 1 :
3 А Вх+С
x3 1 == x 1 + x 2 +x+l;
3 == А(х 2 + х + 1) + (Вх + С)(х 1) ==
== (А + В)х 2 + (А + С В)х + (А С); \ l
{ А + В == О, { А == 1,
А + С В == О, <==> В == 1.
А С == 3;. '. С == 2;
3 1 х 2 1
x3 1 == x 1 х 2 +х+ 1 х2+х+ l'
24
25
31+1 е 3 /+1
Пример. Найдем J + 1 d/. Заметим, что et + 1 == {(е'), rде '(х) ==
= r х + 1. Положим х == e' Тоrда, при х > О,
v J JX+Т C"7I
Пример. Наидем х"""""""" dx. Положим / == v х + 1, тоrда х == 12 1.
х' == 2/ и мы получаем
/ {(е/) d/ == / х 2 : + 1 dx == / (х 1 + ) dx ==
== 4х2 Х + In Ixl + const == 4e2t е/ + / + const.
. Р(и, v)
111. Пусть '(u, и) рациональная функция, т. е. {(u, v) == Q(и, v) .
rде Р(u, и) и Q(u, и) 7" 'полиномы. Найдем J f(cosx, sinx) dx. Положим
1== tg:!:. Тоrда х == q>(/) == 2 . arctg /,
2
1 trf(x/2) 1 12 . 2 . tg(x/2)
cosx J 2' SIПХ == 1 + t J (x/2) .
1 + t (х/2) == J+Т
/ ух+ 1 dx== / 2/dl == / d/==
х 12 I 12 I
== f (2 + 1 1 1 1 ) d/ == 21 + 'п 1I 11, '" 1/ + I1 + сопst l . 2 . з ==
== 2JX+1 + InlJX+1 I1 InlJX+1 + I1 + const l . 2 .
V. Комбинируя подстановки 11, 111 и IV, можно Интеrрировать любую
рациональную функцию от е, cos /, sin / и \I;:: .
интеrрал от рациональной функции.
П р и мер. Найдем J 3 dx . Мы имеем
+ cosx
) ). Формула Тейлора
На протяжении этоrо параrpафа {(х) непрерывная функция на OT
резке [а, Ь]. Символом ,(n)(х) будет обозначаться результат n KpaTHoro
дифференцирования функции {.
Теорема 11.1 (теорема Тейлора Коши). Пусть функция ,(n)(х) cy
ществует и непрерывна на отрезке [а, Ь]. Тоеда
{(Ь) == {(а) + Ь а "(а) + (Ь ;,а)2 ' ''(а) +...
ь
... + ( n )I I 'n ')(a) + / ( п );) 1 l(n)(/) dl.
а
2
и (0'(/) == """"""""""""2' Таким образом,
т 1 + 1
f / ( 1 12 21 ) 2
f(cosx, sinx)dx == f 1 + 12 ' 1 + 12 1 + 12 dt
/ dx 1 1 2 d/ == / d/ ==
3 + cosx 1 12 1 + 12 2 + 1
3+ 1+12 .
1 1 1 tg(x/2)
== arctg + const == rn arctg + const.
./2 ./2! v2 v2
'IV. Пусть {(и, и) рациональная функция. Найдем интеrрал
J ,(х, \1;:: ) dx. Положим / == \1::: . Тоrда х == q>(/) == : ba
и (1)'(/) == ad Ьс 2 тlт I..Таким образом,
т ( clт + а)
д о к а з а т е л ь с тв о. Будем ДОЮfЗЫвать эту формулу индукцией по n
ДЛя n == I утверждение теоремы совпадает с формулой Ньютона Лейб
ь
ница {(Ь) == {(а) + J 1'(/) d/. Предположим, что теорема доказана д.IIЯ n N
а
и функция '(Н+I/(Х) непрерывна. Интеrрируя по частям и используя пред
ПОЛожение индукции, находим, что
ь
/ (Ь !/)N 'Н+I)(/) d/ =
а
/I( Vax + Ь ) d == /f( dlт b l ) ad Ьс mlт 1 dl ..
х, сх + d х clт + а' ( clт + а)2
ь
== / (Ь /)H (fM(t)' dl = (Ь /)N 'Н)(/{ + f ( ; ); I fN/(/) d/ =
а а
== (Ь a)N f N / ( {( Ь ) (1 ' Ь а " (Ь a)(N I) f N 1) )
N! а)+ (a)+i! (а)+...+ (N I)! (а) .
интеrрал от рациональной функции.
26
27
а
Теорема 11.3 (теорема Тейлора Юнrа). Пусть функция ,(n,(х) cy
ществует и непрерывна на [а, Ь]. Пусть хо Е (а, Ь). Тоеда
{(хо + h) == {(хо) + f'(xo) + ... + rn'(xo) + hno(l).
при h ----+ о.
Д О К а з а т е л ь t:: т в о. Соrласно теореме 11.2, мы получаем
{(хо + h) == {(хо) + f'(xo) + ... + (nh :)! rn I)(xo) + ,n)(с),
rде с Е [хо Ihl, хо + Ihl]. Рассмотрим Функuию
1 ( h n Ь" )
g(h) == h n n! ,n)( ) n! ,n)(хо) .
Torдa limg(h) == О, Т.е. g(h) == 0(1). Следовательно,
h O
h: rn)(c):::; h: rn)(xo) + hno(I). О
n. n.
Задача 11.1. Докажите утверждение теоремы 11.2 без предположения
о непрерывности ,(n)(х).
Таким образом,
ь
{(Ь) == {(а) + Ь а {'(а) +... + (Ь )N 'М(а) + 1 (Ь /)N rN+I)(/) dl. о
Лемма 11.1. Пусть функция g(x) О непрерывна на (а. Ь]. Тоеда
ь ь
существует с Е [а. Ь], такое что f f(x)g(x) dx == {(с) J g(x) dx.
а а
Доказательство. Положим т == min {(х) и М == maxf(x). Torдa
xt;IQ.bl xEla.bl
т {(х) М и, соrласно задаче 8.3, мы получаем
ь ь ь ь
т 1 g(x) dx == f mg(x) dx f f(x)g(x) dx 1 Mg(x) dx.
а а Q а
ь
J t(x)g(x) dx
Отсюда т а М. Следовательно, соrласно теореме 4.2, cy
ь
J g(x) dx
а
ь
f t(x)g(x) dx
ществует с Е (а, Ь], такое что {(с) == а Ь
J g(X) dx
а
Теорема 11.2 (теорема Тейлора Лаrранжа). Пусть функция {,n)(х)
существует и непрерывна на отрезке (а. Ь]. Тоеда существует mоч
ка с е [а, bt такая чmо
о
э 12. Разложение Тейлора
Представление вида
{(х) == '(хо) + а,(х хо) + .... + аn(х Хо)" + (х xo)no(l) при х ----+ хо
называется разложением Тейлора степени n в .окрестности точки хо. При
хо == О оно называется также разложением Маклорена.
Задача 12.1. Докажите, что разложение Тейлора степени n единст
вен но.
Теорема 12.1. Если функция {,n)(х) существует и непрерывна в
окрестности точки Хо. то разложение Тейлора степени n 8 OKpecт
' .)
ности точки хо существует и а; == J :O) .
'. " .
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Существование разложения следует из теоремы
fi)(x ) .\,
11.3. Формула а; == следует из теоремы 11.3 и задачи 12.1. О
'.
Задача 12.2. Докажите существование следу,ющих разложений Макло
рена:
1 ) х I '" а Inn а n n ( 1 ) ' " ..х I Х
а +их+".+-п!х +хо И,вчастности,с:: +и+."
х"
'.. +, +хnо(l);
n.
Ь а , (Ь а)2 ( ' )
{(Ь) == {(а) + 111 (а) + 2! (а +...
... + ( п )ln) 1 'n lI(a) + (Ь !a)n rni(c).
До ка за тел ьс тво. Соrласнолемме 11.1, существует точка с Е (а, Ь],
такая что
ь ь
1 (Ь [)n 1 rn'(/) dl == ,n)(с) f (Ь t)n 1 dl ==
(п I)! (n I)!
а 1 а
. == rnl(c) ( (Ь t)n I b ) == ,n)(с) (Ь Ia)n .
п! а п.
Воспользуемся теперь теоремой 11.1. О
28
29
2) h I х2 х2" ..2п+1 (1) '
. с х + 2! +... + (2п)! + Т; о ,
х х3 х2 n + '
3) shx == i1 + 3! +... + (2п + I)! + х 2n +2 0 (l);
2 2n:
4) I ( I) n 2п+' ( 1) .
cosx 2! +...+ (2п)! +х о ,
. х х3 n х2 n +l 2п+2
5) SlПх == i1 3! +... + ( I) (2п + I)! + х 0(1);
6)(1+ ) a:== I+ + 11(11 1) ..2 + 11(11 1)...(I1 n+l) n " . (1)
х I ,x 2 ' Т; ... + , х +х о .
.. п.
Задача 12.3. Как выражаются разложения Тейлора функций f + g, fg,
' ' и f о g через разложения Тейлора функций f и g?
n
Теорема 12.2. Пусть разложение Тейлора {(х) == Е а;х ; + хnсх(х) тa
;=0
ково, что функция сх(х) == 0(1) дифференцируема и сх'(х) Оi!раничена.
Тоеда
1) {'(х) == а. + 2а2Х +... + naпXn ' + xn lo(l);
х
J al' а
2) f(/)dt == аох + "2 х2 +... + п 1 х"+' + x"+'0(1).
о
Доказательство. 1) Мы имеем "(х) == ( a;xi)'+nxn lcx(X) +
+ хnсх'(х) == ( a;xi)' + x" lo(l).
х
2) Положим F(x) == J I(t) dt. Почленно интеrрируя разложение Тейло
о .
ра функции 1, находим (интеrрируя последний член по частям) разложение
"+'
Тейлора F(x) == Е Ь;'к; + x"+'o(I), удОвЛетворяющее условиям теоремы.'
;=1
Применяя к нему утвеРЖдение п. 1, находим, что
х 4
d) х 2 cosx == х 2 "2 + Х>о(l);
2 х 4
е) sin х ,x2 cosx = 6" + х 4 0(l);
f) r(1 cosx) == х 2 ( 2 + х30(l») == + X>0(1).
х 4
si 2 2 . + x 4 o(l)
Следовательно, lim П 2 х Х cosx == lim 6 == з l .
x o х (1 cos х) x o х 4
. "2 + x5o(l)
Задача 12.4. Существуют ли несовпадающие функции с совпадающим
разложением Тейлора всех порядков?
n I
Еа;х; + x"0(1) == '(х) == Р(х) == LiЬ;'к; ' + x"o(I). О
;=0 ;=1
13. Локальное поведение кривых на плоскости
Определение. Параметризованной кривой на плоскости называется
вектор функцня (т.е. пара функций) f(t) == (x(/), y(t», {: / ----+ 1R.2, заданная
на некотором подмножестве / с IR.. Переменная t Е / называется napaMe
тро.м. Множество ((x(/), y(t» Е 1R.2: I Е /} называется множе твом тo
чек кривой. В частности, разные параметризованные кривые MOryт иметь
одинаковое множество точек.
Пример.
1. Пусть /1 == R, t.(ф) == (а ch ф, Ь sh ф). Torдa :: :: == ch 2 Ф sh 2 Ф ==
== ( е Ф е Ф )2 ( е Ф е Ф У == 1.
2. Пусть /2 == (О, +00), f2(t) == (4a(t + f), 4 b (t f)). Torдa ::
:: == ((/+ f)2 (1 fY) ='1.
3 ( n N ) ( а ) х2 У 2 J
. Пусть /з = 2 ' 2 ,/з(q» == ,btgq> . Torдa == ...............
cos q> а 2 Ь 2 cos 2 q>
sin 2 q> I
cos 2 q> .
Таким образом. параметризойа'нные кривые /1, /2, /з имеют одинаковое
МНожество точек {( х , у) Е 1R. 2 . х 2 y == 1 х >.; о}
. а 2 Ь 2 ,.... .
Определение. Пусть {: / ----+ IR. некоторая параметризованная кривая
и s: J 1 функция на подмножестве J с IR., причемs(J} == /. Torдa ro
Ворят, что кривая g == (! о s): J ----+ 1R. 2 получается из кривой 1(/) заменой
параметра t на s. Такая кривая g(s) имеет то же самое множество точек.
Пример. В предыдущем примере кривая {l получается из кривой 12
заменой пара метра I t---+ е Ф .
Разложения Тейлора удобны д.IIЯ поиска пределов.
. . sin 2 х x 2 cosx .
Пример. Наити 11т 2(1 )
x o Х cosx
а) sinx == х . + x 4 0(l);
х 4
Ь) sin 2 х == х 2 "3 + x'o(l);
х 2
с) cosx = I "2 + x30(1);
30.
31
Определение. Параметризованная кривая 1(1) == (x(/), у(l» наз.ывает
ся непрерывной, если функции x(/) и y(/) непрерывны; и дифференци
руемой, если x(/) и y(/) дифференцируемы. Кривая {'n)(/) (x'n)(/), y'n)(t»
называется n й производной кривой f(/).
Теорема 13.1 (теорема Тейлора Юнrа д.IIя кривых). Пусть {:'[а, bl----+
----+ 1R. 2 nараметризованная кривая, причем кривая {'n) непрерывна
и /0 Е (а, Ь). Тоеда
{(lо + h) == {(/о) + 1'(/o) + ... + rnl(lo) + hn(o(I), (I»
при h ----+ О.
ДО К а з а тел ьс тво. Пусть {(х) == (x(/), y(t)). Тоrда применяя теорему
11.3 к функциям х и у, мы получим
(х(/о + h), у(/о + h» == (x(/ o ), y(/o» + (X'(to), y'(/o» +< ."
... + h: (x1n)(/o), у'n)(lо» + hn(o(I), 0(1».
n.
А это и есть утверждение теоремы. О
Пример. Рассмотрим окружность 1(1) == (cos 1, sin 1). Torдa
h 2
l(h) == (cosO, sinO) + ( sinO, cosO)h + ( cosO, sinO)2 +
+ h 2 (0(1), 0(1» == (1, О) + (О, I)h + ( 1/2, 0)h 2 + (0(1), o(l»h 2
при h ----+ о.
Определение. rоворят, что параметризованная кривая {: / ----+ IR. имеет
касательную в точке 10 Е /, если
1) 3& > О V'II 101 < &: f(/) :f. 1(/0);
2) Прямая 1" проходящая через точки f(/) и 1(10), имеет предельное
положение при 1----+10 (т.е. yrол наклона кривой I1 имеет предел при 1----+/0).
Теорема '13.2. Пусть {: / ----+ 1R.2 nараметризованная кривая. тa
кая что f'(/o) == ... == Iln I)(/o) == О и {'n)(/ o ) :f. О. Тоеда кривая f имеет
касательную в точке 10 вида I(s) == f(/o) + {'n)(/o)s.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно теореме Тейлора Юнrа,
1(/) == f(/o) + fn :o) (1 lо)" + (1 lо)n(о(1)"о(1».
Отсюда lim t(/) 1(/0) == fn)(/o) :f. о. Следовательно, условие 1) определе
' /o (1 10)" n!
ния касательной выполнено. При каждом I через точки 1(/) и 1(/0) проходит
прямая
It(s) == 1(/0) '+ 1(/) t(/o) ( п! I S ) == {(хо) + rn)(/o)s + (0(1), o(I»s.
1 10 (1 lo)n
Следовательно, предел liт 1, существует и равен прямой I(s) == 1(10) +
1 /o
+ Iln)(/o)s. О
Опишем теперь поведение кривой относительно касательной. Пусть
{';I(/o) == О д.IIя 0< i < р, {'PI(/o) :f. О, 11;)(/0) == "J...;/lp)(/ o ) при Р ; < q, и BeK
тор Ilq)(/ o ) не равен О и не параллелен вектору IIP)(/o). Torдa, соrласно
теореме Тейлора Юнrа,
f(/o + h) Юо) == rp)(,/o) h P + P+I)(:;: h P +' + ... + q (:;: hq 1 +
р. р+ . q.
+ rq)(:o) h q + hq(o(I), 0(1» == (h)rPI(/o) + (h)rq)(/o) + hq(o(l), 0(1»,
q.
h P h q
rде (h) == .. + h P o(l) и (h) == .. + h q o(I). Рассмотрим отдельно разные
р. q.
случаи:
1) р нечетное, q чет
ное; тоrда имеет тот же знак,
что и h, а l: О (см. рис.4а»;
2) р нечетное, q нечет
ное; тоrда и имеют тот же
знак, что и h (см. рис.4б»;
3) р четное, q нечет
ное; тоrда О и имеет тот
же знак, что и h (см. рис.4в»;
4) Р четное, q четное;
тоrда O и O (см. рис.4r».
На практике чаще Bcero
встречаются следующие слу
чаи: 1) точка общеrо положе
ния (все производные отличны
от нуля: р == 1 и q == 2, Т.е. слу
чай 1); 2) переrиб: р == 1, q == 3 (т. е. случай 2); 3) полукубическая парабола:
р == 2, q == 3 (т.е. случай 3), например, (х == 13, У == (2) (у == ).
pq)(to)
I(t.)
а)
pq)(/O)
I(,,)
в)
f 1q ) (/0)
(I'1
б)
f 1q ) (/0)
(l')
r)
Рис. 4.
14. Бесконечные ветви кривых
Определение. Пусть 10 Е IR. u { oo, +оо}. rоворят, что параметризо
ванная кривая {: / ----+ 1R.2 образует бесконечную ветвь при / ----+ 10, если
liт 11(/)1 == 00. rоворят, что прямая 1 представляет асимптотическое Ha
1........,0
nравление д.IIя этой ветви, если существует предел }!.. I : I ' и этот предел
образует вектор, параллельный прямой 1.
32
33
Пусть It прямая. проходящая через точку (х(/), y(/» и представля
ющая асимптотическое направление д.IIЯ бесконечной ветви / ----+ /0. Если
прямая I1 стремится к 00 при / ----+ 10, то rоворят, что ветвь nараболиче
ская, если liт 1, == 1, то' rоворят, что 1 асимптота ветви.
t /o
,Примеры.
1. Пусть {(/) == (tg /, tft 1), 10 == 1t/ 2. Тоrда
lim If(/)I == lim -/t ft 1 + tg 4 I == 00,
t a/2 ' a/2
,. t(/) I' ( tgl tflt ) (O:I)
t '!)2 It(/)1 I Jt fl 1 + tg 4 l' Jt fl t + tg 4 1 , .
Таким образом (О, 1) вектор асимптотическоrо направления при / ----+ 1t/2,
1/ == {(х, у) Е 1R. 2 1 х == tg /} и lim I1 == 00. Следовательно, кривая f имеет
t a/2
при I ----+ 10 бесконечную параболическую ветвь.
2. Пусть {(/) == ( / ' tg/ ) , /о == 1t/2. Torдa
cos .
lim If(/)1 == lim . / I + tft 1== 00,
' a/2 t a/2 V cos
,. 1(1) l' ( l/cosI tgl , )
' '!)2 It(/)1 == t '!)2 J I/ cos 2 1 + tfl t' J I/ cos 2 1 + tfl t ==
== Iim ( 1 .. , sin 1 ) == ( , )
' a/2 v' 1 + sin 2 1 v' 1 + sin 2 1 v'2 v'2
вектор асимптотическоrо направления;
1, == { Co 1 + " tg I + ') Е IR 2 1 r Е IR.} ==
== { (х, у) Е 1R. 2 1 у х =='tg/ I == sint ' } .
. cos cos
liт I1 == { (х. у) Е 1R. 2 I У х == liт sin 1 1 == О } . Следовательно, 1 ==
t a/2 ' a/2 cos.
== {(х, у) Е 1R.2 1 х == у} асимптота бесконечной ветви кривой '(х) I}РИ
/ ----+ /0.
Следующая теорема обобщает эти при еры.
Теорема 14.1. Пусть кривая 1(/) == (x(/), y(t)) имеет бесконечную
eem(Jb при I ----+ 10 и 'im X« I I» == О. Тоеда прямая 1 == {(х, у) Е 1R.2 I х == О}
t toY
представляет асимптотическое направление. В этом случае
з4
а) если lim x(/) == 00, то это параболическая ветвь'
1....../0 '
б) если liт x(/) == хо Е IR, то прямая 1 == {(х, у) Е IR . 1 х == хо } является
I to
асимптотой.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Справед.llИВЫ равенства
lim t(/) == lim { x(/) Y(/) }
t /o It(/)I t /o v' x 2 (/} + y 2 (t)' V x 2 (/) + y2(/)
== liт ( x(/)/y(/) . 1 ) . О 1
t 'o v' «X(/)/y(/»2 + " v'(X(/)/y(/»2 + 1 ( , ),
т. е. 1 асимптотическое направление и It == {(х, у) Е 1R.21 х == x(/)}. Отсюда
сразу следует заключительное утверждение теоремы. О
Задача 14.1. Сформулируйте и докажите аналоrичную теорему д.IIЯ слу
1 . хЩ
чая 1т (/) == 00. '
t to У
Теорема 14.2. Пусть кривая f(t) == (x(/), y(t)) имеет бесконеч
ную ветвь при 1----+ /0. Тоеда если lim y(/) == т Е IR. \ {О}, то прямая
I to x(/)
1 == {(х, у) Е 1R.21 у == тх} представляет асимптотическое наnравле
ние. В этом случае .
а) если lim(y(/) тх(/») == 00, то это параболическая ветвь.
t to '
б) если } (y(/) mx(/» == р Е IR., то l == {(х, у) Е 1R.21 у == тх + p}
асимптота.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Справед.llИВЫ равенства
liт 1(/) == lim (x(/), y(/» ==
I to 11(/)1 I 'o v'x 2 (/) + y2(/)
== liт ( 1 y(/)/x(/) ) , ( 1 т! )
t 'o v' 1 + (y(/) /X (t))2' v' 1 + (y(/) /X (t))2 v'1 + т 2 ' v'1 + т 2 .
Таким образом, 1 асимптотическое направление и It == {(х, у) E.1R.2 1
У == тх + (у(/) mx(/»}. Отсюда следует заключительное утверждеНl:Jе
теоремы. О
15. Построение кривых на плоскости
Опишем алrоритм построения кривой 1(/) == (x(/), y(/».
1. Найти область определения А.кривой f и ее ,компоненты связности.
, 2. Найти точки 10, в которых x'(to) == О или y'(/o) == О, и точки, в которых
{'(Хо) == )..f(xo). ". .
3. Исследовать форму кривой в окрестностях этих точек.
3i
Ь. Если 10 = :f:oo, то liт Y« I I» == lim 1 + 1/ t2 = 1 и lim (y(/) x(/» ==
t oo Х t oo 1 + 1 1 t oo
= t ( 2 2 ) == о. Соrласно теореме 14.2, эта ветвь имеет асимптоту
12 == {(х, у) Е 1R.2 1 х = у}.
5. Теперь можно нарисовать картинку.
3
2 ,
;.... 1=1
, 1
, 1
" 12
, 1
t';:Y 2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
t..... r;i,,'
4. Найти бесконечные ветви и их асимптотические направления. Bыдe
лить параболические ветви и найти асимптоты.
5. Построить кривую.
Пример. Построим кривую 1(/) == (1 + , I + 2 2 ).
1. Область определения имеет вид А == IR. \ о == IR.+ u IR. , rде IR.+ == {I Е IR.;
1> о}, IR. == {I Е IR.; I < о}.
1 1
2. Имеем х' = I 12' у' == I [3. Если x'(/ o ) == о, то 10 == :f:1. Если
y'(/o) = о, то 10 = 1. Кроме Toro, 1'(/) = (1 , I ), 1"(/) = ( , ),
( 6 12 ) , ( 2 3 ) ( 1 1 )
f"(/) = t4' t5 . Если 1"(/0) == 'ЛI (/0)' то 'li = 'л I /g' I
1
и, следовательно, 10 == I или 10 = 2'
3. а. Если 10 == 1, то 1(1) = (2, i), 1'(1) = о, f'(I) == (2,3), 1"'(1) =
== (6, 12). Мы имеем
( 3 ) h2 h 3 3 .
f(1 + h) == 2, 2 + (2, 3)"2 (6, 12)6" + (0(1), o(l»h .'
Это точка типа 3.
Ь. Если 10 = I, то I( I) == ( 2, 4), "( l) = (О, 2), f'( I) = ( 2, 3).
Мы имеем
( 1 ) h2
I( I + h) == 2, 2 + (о, 2)h + ( 2, 3)"2 + (0(1), 0(I»h 2 .
Это точка типа 1. 1
с. Если 10 == 4, то '( 4) == ( , i), 1'( 4) = ( 3, 9), {,,( 2) =
= ( 16, 3,16), 1"'( 4) == ( 6,16, 12,32). Мы имеем
( 1 ) ( 5 3 ) h2
1 2 + h = 2' 2 + 3( I, 3)h + 16( I, 3)"2 +
+ ( 16, 64)h 3 + (0(1), 0(I»h 3 .
Рис. 5.
16. Полярные координаты
Обычные координаты {х, y}d на плоскости 1R. 2 называются дeKapTOBЫ
ми. Можно рассматривать и друrие координаты. Особенно полезны no
лярные координаты {r, q>}p, rде х == rcosq>, у == rsinq> и " q> Е IR..
Задача 16.1. Докажите, что полярныt! координаты {r.. q>.}p и {r2' q>2}P
обозначают одну и ту же точку, если и только если '2 == 3rl. q>2 = q>1 +
8 1
+ """"21t + 2м, rде 3 = Н, n == о, Н, :f:2, .. .
При мер. Прямзя ах + Ьу == с в полярных координатах иМt!ет вид
arcosq> + brsinq> = с.
Задача 16.2. Описать в полярных координатах параболу у2 == I 2х.
Это точка типа 2.
4. Заметим, что lim 11(/)12 == lim ( /2 + 2 + I + 12 + t l + 4 1 ( 2 ) ' Этот предел
I to t to
равен 00, если и только если 10 = О или 10 == 00.
а. Если 10 ==0, то lim X« I) = lim 1 + 112 =0 и limx(/)= Iim ( /+ I I ) =00.
, t O У 1 , o 1 + 1 21 t O I O
Соrласно теореме 14.1, это параболическая ветвь с асимптотическим Ha
правлением 1. == {(х, у) Е 1R. 2 I х = о}.
36
37
Параметризованная кривая f(t) == {x(/), y(/)}d в полярных координа
тах имеет вид 1(/) == {r(/), q>(/)}p, rAe x(/) == r(/) cos q>(/) и y(/) == r(t) х
х sin q>(/). ДЛ ее описания удобно использовать вектор функцию u(s) ==
== {COSS, sinS}d == {I, S}p. Torдa f(/) == r(/)u(q>(t)).
Параметрическую кривую вида f(t) == {r(/), I}р == r(/)u(t) называют
кривой в полярных координатах. .
Задача 16.3. Представьте известные вам кривые в виде кривых в по
лярных координатах.
00 00
Toro, сходится ряд Е Ь;, то ряд Е(а; + Ь;) тоЖе сходится и ero сумма равна
;=1 ;=1
ос> 00
Еа; + ЕЬ;.
;=1 ;=1
17. Положительные ряды
Определение. Ряд это сумма бесконечноrо числа слаrаемых,
00
аl + а2 + . . . == Е а;. Слаrаемые называются членами ряда. Суммы Аn ==
;=1
== а. называются частичными су.м..м.ами ряда. Если предел lim Аn
, п
;=1
существует и конечен, то он называется су.м..м.ой ряда и обозначается (так
00
же, как сам ряд) Е а;. В. этом случае rоворят, что ряд сходится. Если
i:=1
конечный предел не существует, то rоворят, что ряд расходится. Ряд, все
члены KOToporo неотрицательны, называется положительным.
Пример 1. Бесконечной десятичной дроби CO,CIC2... соответствует ряд
00 .
Е с; I o ;. Элементы ряда имеют вид с; I O '. Частичиые суммы образуют дe
;=0
сятичную последовательность числа. Она сходится к вещественному числу,
отвечающему CO,CIC2.',
00 n
Пример 2. Рассмотрим ряд Е". При q i= 1 положим Аn == Eq; ==
;=0 ;=0
1 q n+1 . 1 00 .
== . Если Iql < 1, то lim Аn == I == Eq;. При Iql I ряд L.Jq'
1 q n oo q '=0 ;=0
расходится.
Задача 17.1. Докажите, что д.IIЯ всякой числовой последовательности
существует ряд. частичные суммы KOToporo 06раjyют эту последователь
НОСТЬ. Таким образом, ряд этодруrая запись последовательности.
. . 00
Задача 17.2. Докажите,. что' ряд Е а, сходится, если и только если
, . I n+1 ' ,==1 .
V'e > О 3т Е NV(n > т. l O): a; <Е. В частности, СJ1И ряд ходится,
, .=n
то lim а; == О.
i
За ча 17.3. Докажите, чrо если ряд Е а; сходится, то д.IIЯ Л)9боrо
;==1 .
00 00
л Е IR. ряд Е Ла; тоже сходится и ero сумма равна л Е а;, а если, кроме
; 1 ;=1' , . ';=1 . , " -
00
'Задача 17.4 Докажите, что положительный ряд 2: а; сходится, если и
;==1
только если ero частичные суммы оrраничены.
00 00
Определение. rоворят, что ряд Е Ь; мажорирует ряд Е а;, если
;=1 ;==1
3т Е N V'n > т: Ь" а n .
00
Теорема 17.1. Пусть положительный ряд ЕЬ; мажорирует no
;=1
00 00 00
ложительныu ряд Е а;. Тоеда если ряд Е Ь; сходится, то ряд Е а;
;=1 ;=1 . ;==1
тоже сходится.
n n
Д О К а з а т ел Ь с т В о. Положим А" == Е й,;, Вn == Е Ь,. Из сходимости
;=1 ;=1
00 .
ряда Е Ь; вытекает оrраниченность множества ВN' Отсюда следует orpa
;==1
ниченность множества. А", а значит, соrласно задаче J 7.4, и 'СХQДИМОСТЬ
00
ряда Еа;. о
;==1
00 00
Следствие 17.1. Пусть Еа; и Eb; такие положительные ряды,
;==1 ;=1
что предел ; :; уществуеm, конечен и отличен от О. Тоеда ряд
00 00
Е а; сходится, если и только если сходится ряд Е Ь;.
;=1 ;=1
а. 00
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Пусть К == ; Ь; и ряд Ь; сходится. Torдa
. а
V' Е > О 3 т Е N V' n > т: К Е Ь: к + Е
и, в частности, а n Ьn(К + Е). Соrласно теореме 17.1, отсюда следует cxo
00
димость . ряда Е а;. Обратное утверждение следует из доказанноrо выше
;=1
, . Ь; 1
ввиду равенства .Im == K .
'......00 й;
00 00
Следствие 17.2. Пусть Еа, и ЕЬ;......nоложителЬНые ряды, а" Ь; i=
'=1 ;==1.
а . Ь . 00
=f. О и 3т Е N V'n > т: n+1 b n+l . Тоеда если ряд ЕЬ; сходится, то
а n n ;==1
00
ряд Е а; тоже сходится.
;=1
о
38
39
Д П йт+' Ь т + 1
о к а з а т е л ь с Т В о. еремножим ПОЧ.llенно неравенства b '
йт т
йт+2 Ь т +2 Йт+М+1 Ь т + М + 1 Пол у чим Йт+М+1 Ьт+М+1 или
йт+' -....::: bm+l' ..., йт+М .....:;: Ьт+М . йт .....:;: Ь т '
ат+М+1 :: b m + M + 1 . Соrласно теореме 17.1, отсюда следует сходимость
00 ""
ряда Е а;, а значит, и ряда Еа;.
;=т ;=1
о
Х
Доказател ьство. Пусть F(x)== J f(t)dt и b;==F(i+ 1) F(i). Тоrда по
1 .
1+1
теореме о среднем значении (задача 8.2) Ь;== J f(t)dt==f(i+e), rде о<е< t;
;
;
и, следовательно, b; a;. Аналоrично b; 1 == J f(t)dt==f(i 1 +e) a;. Таким
; I
00
образом, соrласно теореме 17.1, ряд Еа; сходится, если и только если
;=1
00
Теорема 17.2 (признак Коши). Пусть Еа; положительный ряд.
;=1
00
сходится ряд Е Ь;. Но
;=1
Тоеда 1) если 3 q < I 3 т Е N v' n > т: :fii;. q, то ряд сходится: 2) ec
ли 3т Е N v.n > m:.:fii;. 1, то ряд расходится. В частности, еС.ли
предел р == liт f(ii:, существуеm. то ряд сходится при р < 1 и pac
n oo
ходится при р > 1.
Доказательство. 1) Положим Ь; == t/. Тоrда а n Ь N при n > т и ряд
00
ЕЬ; сходится. если q < I (пример 2). Соrласно теореме 17.1, отсюда сле
;=1
00
дует, что ряд Е а; тоже сходится. Утверждение 2) следует из задачи 17.2. О
;=1
00
Теорема 17.3 (признак Даламбера). Пусть Е а; положительный
;=1
n n Х
} b; == } (F(n + 1) F(I» == } f f(t)dt == ж)1Z!-:JOf f(t)dt. о
,=1 1 1
Х
Пример. Положим '(х) == .!.. Torдa liт / f(t) dt == lim 'пх == +00.
х X +OO X +OO
1
00 1 00
Таким образом. ряд Е == Е {(n) расходится.
n=1 n n='
00 cos n
Задача 17.5. Докажите. что ряд Е расходится.
n=' n
ряд. Тоеда 1) если 3q < 1 3т Е N V'n > т: йn+' q, то ряд сходится;
йп
2) если 3т Е N V'n > т: йnН 1, то ряд расходится. В частности.
йn
если предел р == liт йn+1 существуеm. то ряд сходится при р < I и
п oo йп
расходится при р > 1.
. йn+1 ьn+'
Дока за тел ьство. 1) Положим Ь; == q'. Тоrда q == b при
ап п
00
n > т и ряд ЕЬ; сходится при q < 1. Соrласно следствию 17.2, отсюда
;=1 .
00
вытекает, что ряд Е а; тоже сходится. Утверждение 2) следует из зада
;=1
чи 17.2. О
Теорема 17.4 (интеrpальный признак Коши). Пусть '(х) nоложи
тельная непрерывная .монотонно убывающая функция на множе
00
стве (1, +00) и а; == f(i). Тоzда ряд Еа; сходится, если и только если
;=,
Х
существует конечный предел X Z!-:JO J f(t) dt.
I
18. Признак Faycca и zиперzео.метрический ряд
00
Теорема 18.1 (признак Куммера). Пусть Е а; положительный
;=1
ряд и CI, С2, . .. последовательность положительных чисел. Тоеда
1) если
33>03mENVn>m:c n ..!!!!.... Cп+1 3,
йn+'
00
то ряд Е а; сходится;
;=1
001
2) если ряд Е расходится и
;=1 с;
3mENV'n>m:c n ..!!!!.... cn+1 o,
йn+'
00
то ряд Е а; расходится.
;=1
40
41
Дока зател ьств.о. 1) По условию теоремы сnа п Cn+lan+1 8а n +1 > О
и О Cn+lan+1 < сnа n . Значит, существует предел р == .Iim с;а;. Положим
, oo
n 00
Ь; == с;а; ,c;+la;+I. Тоrда Вn == Е Ь; == Clal cnHan+I, т.е. Е Ь; == с.аl р.
;=1 ;=1
Кроме Toro, Ь N == сnа n cn+lan+1 8a n +l. Соrласно теореме 17.1, отсюда
00
следует сходимость ряда Еа;. 2) Соrласно следствию 17.2, из расходимо
;=1
00 1 аn+1 I/c +1 00
сти ряда Е и условия / n следует расходимость ряда Е а;. о
;=1 с; ап 1 сп ;=1
00
Следствие 18.1 (признак Раабе). Пусть Ea;' положительный
;=1
ряд. Тоеда
1) если 3r > 1 3т Е N Vn > т: N ( ..!2!.... 1 ) r, то ряд Ёа; cxo
аn+1 ;=1
дится;
2) если 3т Е N V'n > т: N ( 1 ) 1, то ряд Ёа; расходится.
. ап+1 ;=1 ,. .
До ка з а тел ьс т в о. Положим Сп == n. Torдa
1) Cn сn+' == ( n N ) 1 r I > О, и ряд сходится ввиду
аn+1 аn+1
теоремы 18.1;
2) cn Сп+1 == ( n N ) 1 О и ряд расх()дится ввиду Teope
аn+1 аn+1
мы 18.1. О
00
Следствие 1.8.2 (признак Бертрана). Пусть Е а; n04ржительный
;=1
ряд и nослеi)овательность Вn == (In n) (n ( а::. 1) 1) имеет. конеч
n
НЫЙ или бесконечный предел В. Toi!дa при В > I ряд Е а; сходится,. а
;=1
при В < I расходится.
001
Д о к а з а т е л ь с Т в о. Положим Сп == n 'П n. Torдa ряд Е расходится
;=1 сп
соrласно теореме 17.4. Кроме Toro,
Таким образом, lim ( СП С n + 1 ) == в 1. и нужное утвеРЖдение следует
n oo аn+1 . .
из теоремы 18.1. О
00
Теорема 18.2 (признак raycca). Пусть Еа; nоложительнЬ/.й ряд
;=1
. а n iL8n д д
такои, что == /\ + + 2' i! е после овательность е n Оi!раничена.
аn+1 п n
Тоеда
1) если л> I или л == 1, I-t> 1, то ряд сходится;
2) Если л < I или л == 1, I-t 1, то ряд расходится.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. При л i= I признак raycca это признак Дa
. . ( аn ) . 8n
ламбера (теорема 17.3). Если л == 1, но I-t i= 1, то n I == I-t + , и
an+1 п
утвеРЖдение следует из признака Раабе (следствие 18.1). Если л == I-t == (,
( ( аn ) ) In n
то (In n) n I I == en и ввиду признака Бертрана (след
an 1 п
ствие 18.2) ряд расходится. О
Определение. rиnерi!еометрическим рядом rауссана'зывается ряд
00
Р(сх, , у, х) == 1 + Е 11(11 + 1)... 11 + п lт«(3 + 1)... ( + n 1) Х".
п.у(у + 1)... (у + п 1)
n='
Положим
11(11+ 1)...(I1+n lтФ+ I).,..( +n 1) х"
а n n!у(у + 1)... (у + п 1) .
Torдa lim аn+1 == limn oo (11 + n)«(3 + п) х == х.
n oo а n (1 + n)(у + п)
Будем пока считать, что сх, , у, х > о. Torдa по признаку Даламбера
ряд сходится при х < I и расходится при х > 1. Если х == 1, то, используя
1 1) Тj2 1
равенство ! == I + / 2 ' находим, что
I+Тjn n I+Тjпn
( 1 ) n+1 ( ( 1 ) n+l )
(im 'П I + == 'П (jm 1 + '== In е == 1.
п.....оо п п oo n
== (1 + n)(у + п) == .(1 + Ijп)(l + у/л) == ( 1 + .!. ) ( 1 + ! ) х
аn+l (11 + n)( + п) (1 + l1/n)(1 + /п) n n
>s ( 1 + 112 ) ( 1 + 2 1 ) I + у 11 + 1 + 8n
. n 1 + 11/ п n 2 n I + / n n 2 n п 2 '
rде -последовательность е п оrраничена; Таким образом, соrласно призна
ку raycca ряд P(cx, , у, 1) сходится при у сх > о и расходится при
y cx P Q .
Далее мы покажем, что функцию F(cx, , у, х) можно определить д.IIЯ
всех cx, , у, х Е IR., rде у i= О, I, 2, ... и Ixl < 1'.
Cn Сп+! == nlnn (n + 1)ln(n + 1) ==
аn+1 ап+1
== (Inn) [n( а::1 1) 1] Iп(1 + )n+1 == Вn 'П(I + )n+l.
С друrой стороны,
42
43
(1 + z)n == F( n, 1, 1, z),
1"(1 + z) == zF(l, 1, 2 z),
arctgz == ZFa, 1, , Z2),
In (: : ) == 2ZFa, 1, ,r),
. F ' ( 1 1 3 2 )
аrсslПZ == z 2' 2' 2' z ,
exp(z) == ь F( 1, Ь, 1, ).
n
До казател ьство. Положим Аn == Еа;. Пусть аl > О, тоrда после
; I
2п
довательность А 2n == Е а; == (аl + а2) + '" + (a2n 1 + а2n) > О монотонно
;=1
возрастает и
А 2n == аl + (а2 + аз) + ... + (a2n 2 + a2n l) + а2n < al.
Следовательно, существует конечный предел А == lim А 2n . Но тоrда А ==
п.......оо
== liт (А 2n + a2n+l) == lim A 2n + l . Отсюда следует, что А == lim Аn.' О
п.....оо п.....оо п.....оо
00 ( l)n 1 .
Пример. При О < s I ряд Е s сходится, но не абсолютно.
п=' п
00 00
Лемма 19.1. Пусть ряд Е а; абсолютно сходится, ряд Е Ь; cocтa
;=1 ;=1
""
влен из ezo положительных членов, а ряд Е с; составлен из еео oтpи
;=1
00 00 00
цательных членов. Тоеда все эти ряды сходятся и Е Ь; + Е с; == Е а;.
;=1 ;=1 ;=1
Доказательство. Положим рn== lanl:a n и qn== lanl;a n . To
00 00
rда О Рn, qn lanl. Следовательно, ряды Е р; и Е q; сходятся, причем
;=1 ;=1
00 00 00 00 00 00
Еа; == Е(р; q;) == Ер; Eq; == ЕЬ; + Е с;. о
;=1 ;=1 ;=1 ;=1 ;=1 ;=1
Определение. Биекция множества натуральных чисел 1:: N ----+ N назы
вается перестановкой.
""
Зафиксируем произвольную перестановку а. Она переводит ряд Е а;
;=1
Задача 18.1. Докажите, что функция ы(х) == F(cx, , у, х) удовлетворяет
rиперreометрическому уравнению
x(1 х)ы" + (у (сх + + I)х)ы' cx ы == О.
Задача 18.2. Докажите, что
19. П роизвольные ряды
00
Определение. Ряд Е а; называется абсолютно сходящ , имся если
;=1
00
сходится ряд Е la;l.
;=1
Теорема 19.1. Абсолютно сходящийся ряд сходится.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно задаче 17.2, сходимость
00
ряда Е Ь;
;=1
эквивалентна следующему условию: V'E > О 3т Е N V'n > т Vk: IE ь;1 < Е.
""
Если это условие выполнено д.IIЯ ряда Е \a;I, то оно выполнено и д.IIЯ ря
;=1
""
да Еа;. о
;=1
Следствие 19.1. rиnерi!еометрический ряд сходится абсолют
но при любых сх, , у, х Е IR., еде у -::F О, 1, 2, ..., Ix\ < 1, и pacxo
диmся при \xl> 1. Если Ixl == 1, то ряд сходится абсолютно при
(у сх ) > О.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. При \xl -::F I утверждение следует из признака
Y I1 +1 L
Даламбера и задачи 17.2. Если Ix\ == 1, то x == I + + 2'
аn+1 п п
. rде последовательность е п оrpаничена, и нужное утверждение следует из
признака raycca. о
00
Теорема 19.2. Знакопеременный ряд Е а; (т е. ряд, такой что
;=1
а;а;+1 < О) сходится, если la;+I\ < la;1 и Ijm а; == О.
,.....00
00
в ряд Е а"щ == а"т + а,,(2) + . . .
;=1
00
Теорема 19.3. Пусть ряд Е а; абсолютно сходится. Тоеда ряд
;=1
00
Е а,,(п также сходится абсолютно и имеет ту же сумму.
;=1
00
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Пусть Е а; положительный ряд и А ero
;=1
п
сумма. Тоrда последовательность A == Е а,,(;) монотонно возрастает и
;=1
00
A А. Следовательно, существует предел А' == Е а,,(;) А. Ввиду обра
;=1
тимости отображения а верно и неравенство А А', значит, А == А'.
00
Пусть теперь Е а; ПРОИЗВОЛЬНt>lЙ абсолютно сходящийся ряд. Как уже
;=1
44
45
00 00 00
доказано, L lа;1 == L la.,(i) I и, следовательно, ряд L а.,щ абсолютно cxo
;=1 ;=1 ;=1
дится. Равенство сумм вытекает из леммы .9.1. О
00
Определение. Сходящийся ряд L а; называется условно сходящим
;=,
00
ся, если ряд Е lа;1 расходится.
;=1
00
Лемма 19.2. Пусть ряд Е а; условно сходится. Тоеда ряды еео
;=1
положительных и отрицательных членов расходятся..
Доказательство. Предположим, что ряд из положительных членов
00 la'l+a' 00 ( lа;1 a; )
Е......!........ сходится. Тоrда ряд из отрицательных членов ' ==
;=1 2 ,=.
00 ( la '+а ) 00 . 00 la'l+a.
== a; тожесходится,Спедовательно,ряд IQjI== '2 '+
+ Ё la;l;a; тоже сходится, что противоречит условию леМмы. О
;=1
. 00
Теорема 19.4 (теорема Римана). Пусть' ряд Еа; условно cxoдит
;=1
ся. Тоеда для люБОi!О В Е IR. существует nерестановка а такая, что
00
Еа.,(;)==В.
;=1
, ()Q.OO i,. f'
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Пусть Е Ь; и Е с; ряды положительных и OT
;=1 ;==1
рицателрных членов ряда cOQTBel'CTвeHHo. Соrл сно лемме 19.2. они pac
ходятся. Рассмотрим минимальную конечную сумму первых членов Ь;, Ta
кую что L Ь; > В, затем минимальную конечную сумму Е С;, такую что
I 1=1
111 '112. .
Е Ь; + Е с; < В, затем минимальную сумму следующих членов Ь;, такую
;==1 ;==1
11, 112 113
что L Ь; + Е с; + . L Ь; > В и т.д. BBI1ДY Toro, что .liт а; == О, сумма ряда
;==1 ;==1 1==11,+' ' oo
Ь., ..., b lll , CI, ..., Cll 2 , b lll + I , ..., b Il3 ,... будет равна В. О
Задача 19.1. Докажите, что можно переставить члены условно сходя
щеrося ряда так, чтобы частичные суммы стремились 1) к +00; 2) к oo.
60 00
Задача 19.2. Пусть ряды Е а; и Е Ь; абсолютно сходятся. Докажите,
;==1 /==1 .
что ряд f: (а;Ь;) тоже абсолютно сходится.и Ё а;Ь; == (Ёа;}(Ёь;).
;== I J== I ;==1 J== 1 ;=1 ;=1
46
20. Функциональные ряды
Рассмотрим последовательность функций fl (х), МХ), ..., 'n(х), '" на
подмножестве L с IR.. Мы уже отмечали, что существует два понятия cxo
димости фукций lim fn(х) == '(х):
п....оо
1) ,поточечная сходимость, коrда условие liт 'n(хо) == {(хо) выполнено
. п.....ОО "t '
д.IIЯ каждой точки хо Е L;
2) равномерная сходимость, коrда V'.E > О 3 т Е N V' (n > пi., х Е Ц:
'fn(х) f(x)1 < Е.
00 .
Определение. Бесконечная сумма функций Е а;(х) называется ФУНК
;=1
n
циональным рядом. Функции Аn(х) == L а;(х) называются частичными
;==1
'00
суммами ряда. rоворят, что ряд L а;(х) nоточечно (равномерно) cxo
. ;==1
дится к функции а(х), если последовательность функций Аn(х) сходится к
функции а(х) поточечно (равномерно).
00
Теорема 20.1 (теорема Коши). Функциональный ряд Е а;(х) paвHO
;==1
мерно сходится, если и только если
I "+I J
V' t > О 3 т Е N V (х Е L, n > т и 1 О): а;(х) < Е.
00
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Если ряд Е а;(х) сходится равномерно к функ
;==1
ции а(х), то V'E > О 3т Е N V'(n, n' т, х Е L): ' a;(x) a(x)1 ,
n'
It;a;(x) а(х)/ . Отсюда
I n+1 / / n+1 п l / n+1 , / п /
a;(x) == a;(x) a;(x) a;(x) a(x) + a;(x) a(x) ,<Е.
I n+I , I
Пустьтеперь VE >03т ENV'(n > т: 1> О, хЕ Ц: a;(x) <Е. Тоrда дЛя
. - п. :
К8ждоrо хо Е L последовательность Ап(хо) == Е а;(хо) у.цовлепюряет крите
;==,
. ер .
РИю Коши, и, следовательно, ряд Е al(x) поточечно сходится к некоторой
. ;==1 " ..
функции а(х). Докажем, что эта сходимость равномерная. Действительно,
47
из неравенства ' а;(х) а;(х) I == I а;(х) I < Е следует, что
V'(n > m, х Е L): Ita;(X) а(х)1 == 1 I a;(x) ta;(X)1 Е. О
Определение. Пусть la;(x) 1 с;(х) при всех i и х Е L. Torдa rоворят,
00 00
что ряд Е с;(х) мажорирует ряд Е а;(х) на множестве L.
;=1 ;=1
00 00
Следствие 20.1. Пусть ряд Ес;(х) мажорирует ряд Еа;(х) на
;=1 ;=1
00
множестве L и ряд Е с;(х) равномерно сходится на L. Тоеда и ряд
;=1
00
Е а;(х) тоже равномерно сходится на L.
;=1
До ка з а тел ьств о. Соrласно теореме 20.1, мы имеем
/ n+1 I
V'E>03mENV'n>mV'(l>0,xEL): c;(x) <Е,
I n+1 I n+1 "+I
и, следовательно, а;(х) 'а;(х)' с;(х) < €. Соrласно
00
ме 20.1, отсюда следует равномерная сходимость ряда Еа;(х).
;=1
Teope
о
00
Теорема 20.2. Если функции а;(х) непрерывны и ряд Е а;(х) paвHO
;=1
00
мерно сходится на L, то функция а(х) == Е а;(х) тоже непрерывна
;=1
на L.
Доказательство. Пусть€ > О И хо Е L. По условию 3т Е NV'n > т:
I а;(х) а(х)1 < и 33> О V'lx xol < 8: I a;(x) а; (хо) I < . Сле
довательно,
la(x) a(xo)1 ==
== la(x) ta;(X) + ta;(X) ta;(x o ) + ta;(Xo) a(xo)1
/а(х) ta;(X)/ + /ta;(X) ta;(xo)1 + /ta;(xo) а(хо) I Е. О
Задача 20.1. Пусть ряд положительных непрерывных функций на OT
резке [А, В] поточечно сходится к непрерывной функции. Докажите, что
тоrда он сходится равномерно на (А, В).
48
00
Задача 20.2. Пусть ряд Е а;(х) равномерно сходится на (А. 81 rде
;=1
А Е IR. или А == oo. Предположим, что д.IIЯ любоrо i предел lim а;(х) cy
x A
00 00
ществует. Докажите, что Torдa ряд Е lim а;(х) сходится и Е lim а;(х) ==
00 . ;==1 x A ;==1 х........А
== lim Е а;(х).
x A;=1
00
Теорема 20.3. Пусть ряд непрерывных функций Е а;(х) paвHOMep
;=1
но сходится на отрезке L == [А. В]. Тоеда
/ (t. .,(К) ) dK t. (f .0 (К) dK ).
00
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Интеrрируемость функции Е а;(х) следует из
;=1
теоремы 20.2. Кроме Toro, соrласно теореме 20.1, мы имеем
V' € > О 3 т Е N V' n > т, V' х Е L: '; I а;(х) I < €,
и, следовательно,
1/ (t. .,(К) ) dK t (f .0(К) dK) I 1/ ( , .0 (К) ) dxl
в 00 в
/1.2: а;(х)/ dx / Edx == Е(В А). О
А .=n+1 А
00
Теорема 20.4. Пусть ряд дифференцируемых функций Е а;(х) cxo
;=1
00
дится в точке А Е IR., а рядЕ а;(х) равномерно сходится на отрезке
;=1
00
[А, В]. Тоеда ряд Е а;(х) равномерно сходится на отрезке (А, В] и
;=1
(Ёа;(х»)' == Ёа;(х).
;=1 ;=1
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Докажем, что ряд :Ё а;(х) а;(А) равномерно
;=1 x A
сходится на множестве L == (А, В]. Соrласно теореме 20.1, мы имеем
V'E> О 3т Е N V(x Е L, n > m,l > О): l a;(x)1 < Е.
49
n+'
Применяя теорему Лаrранжа к функции Е а;(х), находим, что
;=п
,
Е ai(X) == (х А) Е a;(x = (A) + Е а;(А)
;=1 ;=1 ;=1
Теорема 21.1. Пусть О радиус cxoauJ,tocmu стеnенноео ря
00 00
да Е а;х; и О < d < О. Тоеда ряд Е a;xi равномерно сходится на
;=0 ;=0
L == [ d, d] и расходится при 'хl > О.
Доказательство. 1. Если 0==00, то . liт "{IiaJ==o, откуда .Нт ' ==
,.....00 '......00
= О и .Iim {lla;x;1 == О при всех х Е IR.. Соrласно признаку Коши (Teo
'.....00
00
рема 17.2), отсюда следует, что p д Е la;ld; сходится. Если х Е L, то
;=0
00
la;x;1 la;ltf. Таким образом. соrласно следствию 20.1, ряд Еа;х; paB
;=0
номерно сходится на L. 2. ЕслИ- О = О, то существует nодпоследователь
ность а;., такая что lim V[aj.1 == 00. Значит, при любом х i= О мы имеем
n oo
I n+1 n+1 I
n+1 Е а;(х) Е а;И> n+1
It; a;(x = ;(A) 1== ;=n х ;n == lt;aac)1 < Е,
rде с Е (А, В]. Соrласно теореме 20.1, отсюда следует равномерная сходи
00 а'(х) а'(А)
мость ряда Е ' на множестве (А, В]. Следовательно, ряд
;=1 х
( 00 ) ' ( f:a;(x) f:a;(xo» )
Е ( ) 1 . .=1 .=1
а; х == 1т ==
X XO Х хо
;=1
00
liт lа/.х;.1 == 00 и ряд Еа;х; расходится. 3. Пусть О Е IR. \ {О}. Допустим,
п......оо ;=0
что О < е: < I/d 1/0 и 'хl d. По условию, 3т Е N V'n > т: V'lanll xl <
""
< d(I/O + Е) < I и, соrласно признаку Коши (теорема 17.2), ряд Еа;х;
;=0
сходится при 'хl d. С друrой стороны, если х Е L, то lа;х;1 la;ld;
также сходится равномерно на (А, В). Соrласно задаче 20.2, он сходит
ся равномерно и на множестве [А, В]. Кроме тою. ввиду задачи 20.2. мы
получаем
(I ' а;(х) а;(х о » ) ' ( ) О
L., 1т L., а; х .
;=, X XO х хо ;=1
00
и, соrЛ<J НО следствию 20.1, ряд Е а;х; сходится на L равномерно. Пусть
;=0
Ixl > о и О < Е < 1/0 1/14 Torдa существует подпоследовательность а;.,
такая что Vla;.1 > 1/0 е:. ДЛя нее Vla;.xi.l > Ixl(I/O Е) > 1, откуда
la;.x;.I> 1. О
Следствие 21.1. Пусть О радиус сходимости стеnенноео ряда
00
Е а;х;. Тоеда еео сумма а(х) является бесконечно дифференцируе
;=0
00
мой функцией на ( o, О), а'(х) = Е ia;x; ' и при О < d < О вы.nолнено
;=1
21. Степенные ряды и ряды Тейлора
00
Ряд вида Е а;(х хо); назыв ется стеnенны.м. ДЛя простоты обозна
;=0
чений мы будем считать, что хо == О, но все результаты леrко обобщаются
на случай произвольных точек хо Е IR..
Определение. Пусть {а;} произвольная последовательность. Bepx
ним пределом liт а; называется наибольший из пределов последователь
; QO
ностей вида lim а;..
n oo
Задача 21.1. Докажите, что верхний предел (конечный или бесконеч
ный) всеrда существует. '
1
Определение. Число О == {IjйJ называется радиусом cxoдuмo
.lim · la;1
. OO
d ""
равенство f а(х) dx == Е i : 1 d;+' .
О ;=0
00
сти CTeneHHoro ряда Е а;х;.
;=0
00
Д о 1\ а з а т е л ь с Т В о. Рассмотрим ряд Е а;х; на отрезке L == [ d, d]
;=0
00
при d < о. Соrласно теореме 21.1, ряд а(х) == Еа;х; равномерно сходит
;=0
00
ся на L, причем по теореме 20.4 выполняется равенство а'(х) == Е ia;x; I,
;=0
00
поскольку радиус сходимости этоrо ряда такой же, как и у ряда Е а;х;.
;=0
50
51
По той же причине процесс дифференцирования можно продолжать. Pa
d 00
венство f а(х) dx == L ; : 1 d;+1 следует из теоремы 20.3. О
о ;=0
Определение. Пусть '(х) бесконечно дифференцируемая функция
00 rn)(O)
на отрезке L == ( D. О). Ряд Е x" называется рядом Тейлора Функ
n=О п.
ции '(х).
Следствие 21.2. Ряд Тейлора равномерно сходится на отрезке
1
[ d, d], еде О < d < .
lim -(/ 1';1(0)/;!
t oo
Задача 21.2. Всеrда ли ряд Тейлора функции f сходится к функции f?
00 00
Задача 21.3. Пусть а(х) == Е ajxI, Ь(х) == Е Ь;х; и радиус сходимо
;=0 ;=0
сти рядов равен 00. Какими степенными рядами представляются функции
а(х) :i:: Ь(х), а(х)Ь(х) и а(Ь(х»?
Часть 2
Функции нескольких nеременных
1. ТопОЛОi!UЯ пространства JRп
Функция мноеих nеременных это отображение, определенное на
подмножестве BeKTopHoro пространства IR.n. Напомним, что векторное про
странство IR.n состоит из точек х == (х', ... ,х n ), I"де х; Е IR.. Расстояние
n
между точками определяется формулой d(XI, Х2) == E(x x )2. Поло
;=1
жим "х" == d(x, О).
Роль интервала иrpают открытые шары. В(а,3) == {хЕ IR.n I d(a,x) < 8}.
Определение. Множество О С IR. n называется omKPblmblM, если
v' х Е О 38> о: В(х, 3) сО.
Примеры открытых множеств
1. Открытый брусок G(a l , Ь ' , ..., а n , ь n ) == {(х.,..., х") 1 а; < ,к; < lt}.
2. Открытый шар В(а, ') == {х Е IR.n I d(a, х) < ,}.
3. Внешность шара {х Е IR.n I d(a, х) > ,}.
Теорема 1.1. 1) Объединение люБОi!О числа открытых множеств
открыто. 2) Пересечение конеЧНОi!О чuсла OmKPblmblX Мftожеств Oт
крыто.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. 1) Первое утверждение очевидно. 2) Пусть MHO
жества О" ..., ОП открыты, а Е ПО; и В(а, 3;) с о;. Torдa
;
В(а, min(3 l , .. . , 3n» с по;.
о
Пересечение бесконечноrо числа открытых множеств может и не быть
открытым. Например, множество n В(а, 3) == {а} не открыто.
&>0
Определение. Открытое множество, содержащее точку х, называется
окрестностью точки х.
Определение. 1. Точка х называется внутренней точкой множе
ства Е, если она имеет окрестность В 3 х, такую что В с Е.
2. Точка х Е IR.n называется внешней д.IIя множества Е, если она BHY
тренняя д.IIя IR.n \ Е.
3. Множество точек пространства IR.n, не явnяющихся ни внешними, ни
внутренними д.IIЯ множества Е, образует rраницу дЕ множества Е.
52
Пример. rраница шара дВ(а, 8) == {х Е IR. n I d(a, х) == 8} с IR.n.
Определение. Множество F с IR.n называется замкнутым, если ero
дополн ние IR.n \ F ОТКР,ыто.
Примеры замкнутых множеств
1. Замкнутый шар В(а, ') == {х Е IR.n I d(a, х) ,}.
2. Замкнутый брусок F(a l , b l , ..., а n , ь n ) == {х Е IR.n I а; х; lt}.
Задача 1.1. Может ли множество быть одновременно открытым и за
мкнутым?
Задача 1.2. Докажите, что пересечение любоrо числа замкнутых MHO
жеств замкнуто. Докажите, чТо объединение конечноrо числа замкнутых
множеств замкнуто. Верно ли последнее утверждение д.IIЯ любоrо числа
замкнутых множеств?
Определение. Точка i Е Rn называется предельной д.IIЯ множества
Е с IR.n, если любая ее окрестность содержит бесконечное число точек из Е.
Определение. Объединение множества Е и ero предельных точек Ha
зывается замыканием множества Е и обозначается Е.
Пример. Замыканием OTKpblToro шара В(а, ') == {х Е IR.n I d(a, х) < '}
является замкнутый шар В(а, ') == {х Е IR.n 1 d(a, х) ,}.
Теорема 1.2. Множество замкнуто. если и только если еео замы
кание совпадает с ним самим.
Д о к а з а т е л ь с Т во. 1) Если множество F замкнуто, то множество
IR.n \ F открыто: это означает, что любая точка х Е IR.n \ F имеет OKpeCT
"ость, лежащую в IR.n \ F и, значит, не содержащую точек множества F.
Таким образом, точка х не предельная д.IIЯ F, следовательно, все предель
ные точки множества F лежат в F и f: == F. 2) Пусть теперь f: == F. Torдa
любая точка х Е lR.п \ F == lR.п \ f: не является предельной, т. е. имеет OKpeCT
ность, содержащую лишь конечное число точек из F. Но Torдa точка х
имеет окрестность, не содержащую точек из F, т. е. множество IR.n \ F OT
крыто, а F замкнуто. О
2. Компакты в JRп
Определение. Множество К С IR.n называется комnактом, если из
любоrо покрытия открытыми множествами К с U ОО: с lR.п можно выбрать
о:
конечное подпокрытие К С ОО: 1 U ... U O .
Лемма пример 2.1. Замкнутый брусок
F(a l , ь', ..., а n , ь n ) == {х Е lR.п 1 а; х1 b i }
является комnактом.
54
Д о к а з а т е л ь с Т В О. Пусть из покрытия открытыми множествами
F с U ОО: нельзя выбрать конечное ПОДnОКРlilтие. Разбив каждую CTO
о:
рану бруска F пополам, получим 2" брусков. Хотя бы один из ни", не
покрывается конечным подмножеством покрытия ОО:. Обозначим этот
брусок FI' Продолжая этот процесс, найдем последовательность брусков
F ::> F, ::> F 2 ::> . . ., каждый из которых не покрывается конечным под
множеством покрытия {ОО:}. Их пересечение имеет общую точку х Е F.
Она содержится в некотором множестве Оо:, и, значит, существует шар
В(х. 8) с ОО:. Но Torдa F; с В(х, 8) с ОО: при достаточно большом i, что
противоречит выбору бруска F;. О
Лемма 2.2. Комnакт замкнут
Дока за тел ьство. Пусть К компакт и а fi. К. ДЛя каждой точки
х Е К существует окрестность х Е:: Щх) == 8(х, рх), такая что а fi. Щх). Из
покрытия К С U О(х) выберем конечное покрытие К С G(XI) U... U О(х т ).
хЕК
Положим 8; == d(a. Х;) рх; и 8 < m.in 8;. Torдa В(а, 8) n О(х;) == flJ. Сле
, , i
доватепьно, '. ,
В(а, 8) n К с В(а, 8) n (О щх;») == U (В(а, 8) n О(х;» == О,
;=1 ;=1
т.е. a He предельная точка множества К. Таким образом, все предельные
точки множества К лежат в К, т. е. R == к. о
Лемма 2.3. Замкнутое подмножество комnакта является KOM
nактом.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть F замкнутое подмножество компакта К,
F с U ОО: произвольное покрытие открытыми множествами и G == IR.n \ F.
о:
Torдa К с G U (U ОО:) покрытие компакта открытыми множествами. Bы
о:
делим конечное подпокрытие F с К с G U ОО: 1 U... U о.....: так как G n F == О,
мы получаем, что F с ОО: 1 U... U О..,.. О
Определение. Множество Е с IR.n называется Оi!раниченным, если
оно принад.llежит некоторому шару Е с В(а, ,).
Лемма 2.4. Комnакт Оi!раничен.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть К компакт. Рассмотрим множество
всех открытых шаров В, == В(О, ,). Тоrда К с Rn с UB,. Выделим'теперь
конечное подnокрытие в покрытии {В,}. о
Теорема 2.1. Множество К С IR.n является комnактом. если и
только если оно оzраничено'и замкнуто.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Если множество.к компакт, то соrласно пeM
мам 2.2 и 2.4, оно оrраничено и замкнуто. Если множество К оrраничено,
55
то оно лежит в некотором замкнутом бруске К с/ == F(a', Ь', ..., а n , ь n ),
который является компактом, соrласно лемме 2.1. Если, кроме Toro, MHO
жеств К замкнуто, то, соrласно лемме 2.3, оно является компактом. О
Определение. rоворят. что последовательность XI, Х2... E]R имеет
предел х или сходится к х. если V' Е > О 3 N V n > N: d(x n , х) < Е, т. е.
х" Е В(х, Е).
Задача 2.1. Докажите, что множество К является компактом, если и
только если из любой последовательности Х" Х2, ... Е К можно выбрать
подnоследовательность, сходящуюся к некоторой точке х Е К.
Определение. Последовательность х 1, Х2, . .. Е ]Rn называется nосле
довательностью Коши, если V'E > О 3N V'(n" n2 > М: d(xnl' х п2 ) < Е.
Задача 2.2. Докажите, что последовательность является последова
тельностью Коши тоrда и только Torдa, коrда она сходится.
Доказател ьство. Пусть Е > о. Torдa
Е
381 > О V' х Е в(хо, 81) n Е: If(x) {(хо>! < 2
и
и
Е
382> О V Х Е в(хо, 82) n Е: Ig(x) g(xo)1 < 2.
Положим 8 == min(8" 82). Тоrда V' х Е в(хо, 8):
I<! + g)(x) (! + g)(xo)1 If(x) '(хо>! + Ig(x) х(хо)1 < Е.
Задача 3.3. Докажите остальные утверждения теоремы. О
Функция {(х., Х2) может быть непрерывна как функция от ХI И от Х2 по
отдельности, но не быть непрерывной от совокупности переменных.
Пример. Пусть
{ 2 Х + У 2 при (х, у) t= (о, о),
{(х, у) == х у
О. при (х, у) == (о, о).
1
Тоrда /(0, у) == {(х, о) == о, но {(х, х) == 2.
Определение. rоворят, что отображение {: Е ----+ ]Rт непрерывно на Е,
если оно непрерывно в каждой точке множества Е.
Лемма 3.1. Пусть отображение {: Е ----+ lR.т непрерывно на множе
стве Е с ]Rn. Рассмотрим открытое множество V С lR.т и еео npo
образ U == {х Е Е: {(х) Е V} == f I(V). Тоеда существует открытое
множество U С ]Rn. такое что U == U n Е.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть х Е и. Так как множество V открыто,
3Ех > о: B(f(x), Ех) С V. Ввиду непрерывности f 38х > о: {(В(х, 8х) n Е) с
с B(f(x), Ех) С V. Положим U == U В(х, 8х). Тоrда U n Е::> U и {( U n Е) с
хЕи
С U B(f(x), Ех) С V, а значит U n Е с и. Таким образом, U n Е == и. о
хЕи
Теорема 3.3. Непрерывный образ комnакта является комnактом.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть множество Е с ]Rn компакт и отображе
ние /: Е ----+]Rт непрерывно. Рассмотрим произвольное открытое покрытие
U Vo: ::> {(Е). Соrласно лемме 3.1, существуют открытые множества ОО: С
3. Непрерывные отображения
Определение. Пусть Е с ]Rn. Отображение {: Е ----+ ]Rт называется He
nрерывным в точке хо Е Е, если
V'E > 038> О V х Е в(хо, 8) n Е: {(х) Е B(f(xo), Е).
Теорема 3.1. Суnерnозиция непрерывных отображений Henpepыв
на.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть отображение {: Е ----+]Rт непрерывно в
точке хо Е Е, а отображение g: /(Е) ----+ IR. II непрерывно в точке f(xo). Pac
смотрим Е > О. Тоrда
381 > О V {(х) Е в(/(хо), 81) n {(Е): g(f(x» Е B(g(f(xo», Е)
382 > О V х Е в(хо, 82) n Е: /(х) Е B(f(xo), 8,).
Таким образом, V' х Е в(хо, 82) n Е: g(f(x» Е B(g(f(xo» , Е). А это и означает
непрерывность функции g о f в точке хо. О
Задача 3.1. Докажите, что отображение /: Е ----+]Rn непрерывно в точке
х Е Е, если и только если f переводит любую сходящуюся к х последова
тельность {х n } С Е в последовательность, сходящуюся к {(х).
Определение. Отображения вида {: Е ----+]R называются функциями.
Задача 3.2. Докажите, что отображение {: Е ----+ ]Rn, rде {(х) == (р (х), ...
... , /n(х», является непрерывным, если и только если все функции f He
прерывны.
Теорема 3.2. Пусть функции {(х) и g(x) непрерывны в точке хо Е Е.
Тоеда функции f + g, fg и f/g (если g(xo) t= о) тоже непрерывны в
точке хо.
о:
С IR.n, такие что ОО: n Е == {х Е Е I {(х) Е VO:}. Таким образом. U ОО: ::> Е. Bы
о:
берем конечное покрытие й0: 1 u... u О... ::> Е. Torдa V, u... u V n ::> {(Е). о
Следствие 3.1. Функция {: Е ----+]R, непрерывная на ко.мnакте Е,
достиеает на нем максимума и минимума.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно теоремам 3.3 и 2.1, множество {(Е)
оrраниченно и замкнуто. Ввиду замкнутости множества {(Е) оно coдep
жит число М == sup {(х). Следовательно, существует точка хо Е Е (точка
хЕЕ
56
57
максимума). такая что {(хо) == М. Существование,минимума доказывается
аналоrично. О
4. Дифференциал
Теорема 4.1. Пусть отображение {: E....o?]Rm дифференцируемо в
точке х. Тоеда
( дf./дХ 1 ... дf l / дХn ) ( hl )
{(х ' + h l ,..., х" + h n ) {(х.,..., х") == ..................... : + o(h).
дfт/дх. ... дfт/дx" h n
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Утверждение сразу <;ледует из леммы 4.1. О
( дfl/дХ1 ... дfl/дХ n )
Определение. Матрица .......... ............ называется Maтpи
дfт/дх l ... дfтjдх n
цей Якоби или якобианам отображения {. Соrласно теореме 4.1, она
описывает дифференциал df.
Если функция дифференцируема в точке х, то матрица Якоби суще
ствует. Но обратное утверждение неверно.
Пример. Пусть
{ ху
+ 2 при (х, у) =F (О, О),
{(х, у) == х у
О при (х, у) == (О, О);
Torдa {(О, у) == '(х, О) == О и дf/дх(О, О) == дf/ду(О, О) == о. ОДНl\КО функ
ция f разрывна в точке (О, О) и, следовательно, не дифференцируема (см.
задачу 4.2).
Далее, если не oroвopeHo противное, мы считаем, что все рассматри
ваемые отображения определены на открытом подмножестве ]Rn. Отобра
жение '(х) == (р (х), ..., {т(х» описывается координатными функция
ми '(х).
Определение. rоворят, что функция {: Е ----+]Rm есть «о малое» от функ
ции h: Е....о? IR. при х ----+ а (! == o(h) при х ----+ а), если '(х) == cx(x)h(x) при
х =F а, rде сх: Е ----+ ]Rm и Ijm сх(х) == о.
x a
Определение. Отображение {: Е ----+]Rm н зывается дифференциру
емым в точке х, если существует линейный оператор Цх): IR.n ----+ IR.m.
такой что {(х + h) '(х) == L(x)h + o(h) при h ----+ О. (Здесь и далее мы
полаrаем по определению o(h) == o(llhll).) Оператор Цх) называется диф
ференциало-м отображения f в точке х и обозначается Цх) == df(x).
Задача 4.1. Докажите, что отображение дифференцируемо, есJIИ и
только если все ero координатные функции дифференцируемы.
Задача 4.2. Докажите, что дифференцируемая функция непрерывна.
Перейдем к вычислению оператора Цх).
Определение. Пусть {: Е ----+ ]R произвольная функция на множестве
Е с ]Rn. Предел
д! ( 1 х" ) == l' f(x l ,. . . . х; + h, ... , х n ) {(х. . .. . . х n )
дxi х , .. . 'h h '
если он существует, называется частной производной функции f в точке
( 1 N ) . Х' .
Х == х,..., х по переменнои .
Лемма 4.1. Дифференцируемая в точке х Е Е функция f имеет в
точке х частные nроизводные по всем nеременным xi и
5. Свойства дифференциала
Теорема 5.1. Пусть все частные nроизводные дf/дх; функqии
{: Е ----+]R существуют и непрерывны в точке ХЕЕ. Тоеда функция f
дифференцируема в точке х.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно теореме Лаrранжа и ввиду непрерыв
ности частных производных,
( дf дf )
df(x) == дxi (х), . . ., дх" (х) .
{(х + h) {(х) == {(х' + h ' , ..., х" + h n ) {(х', . .., х") ==
== '(х ' + h l , . . . , х" + h n ) f(x l , х 2 + h 2 , .. . , х" + h n ) +
+ {(х', х 2 + h 2 , ..., х" + h n ) f(x l , х 2 , х З + h З , ..., х" + h n ) +...
. . . f(x l , х 2 , . . . , х") == ::. (х. + 81 h l , х 2 + h 2 , . . . , х" + hn)h ' +
+ ::2 (х., х 2 + 8 2 h 2 , XfJ + h З , ..., х" + h n )h 2 +...
д! ( . 2 ..n lI" h n )h n дf h ' h . д! h n + h n
. .. + дх" х , х , ... ,.л + u ::;:: дх' + СХI + . .' + дх" сх n ,
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Мы имеем
n
{(х' + h ' , ..., х" + h n ) {(х., ._., х") == df(x)h + o(h) == L Li(x)h i + o(h).
i=.
в частности,
{(х., ..., xi + h;, ..., х") {(х', ..., х") == L;(x)h; + o(h;),
д!
а, значит, д (x) == L;(x).
х'
о
n
rдe сх; == 0(1) при h ----+ о. Таким образом, {(х + h) {(х) == Е(дf/дх;)h; +
;=.
+ o(h). о
58
59
дt;
Следствие 5.1. Пусть все частНf:Jlе nроизводНf:Jlе д . отображения
х l
{: Е ----+]Rm существуют и Henpepf:JlBHf:Jl в точке х Е Е. Тоеда отобра
жение f дифференцируемо в точке х.
Теорема 5.2. Если отображения fl : Е ----+ IRm, /2: Е ----+ IRm дифферен
цируеМf:Jl в точке х, то отображение ЛI/I + Л2f2 тоже дифференци
руемо в точке х и d(л.fl + Л2Ы == л.df. + Л2df2'
Дока за тел ьство. Мы имеем
(л.fl + Л2Ы(Х + h) (ЛI/. + Л2Ы(Х) ==
== л.(fa(х + h) Мх» + Л2(f2(х + h) МХ» == л.df.h + Л2df2h + o(h).
при h ----+ О О
Теорема 5.3. Если функции /, : Е ----+ IR и {2: Е ----+ IR. дифференцируе
Mf:Jl в точке х, то функция {./2 также дифференцируема в точке х
и d(f.ы == f.df2 + /2dfl' Если, кроме тоео, Мх) '" О, то тоже диф
ференцируема в точке х и d ( !.! ) == {2 d {. {. d{2 .
{2 п
Д о к а з а т е л ь с Т В о.
Ы + ЫW== + W + +
+ Мх)(Мх + h) Мх» == (df1h + o(h»(f2(x) + df2h + o(h» +
+ t.(x)(df2h + o(h» == (fld/ 2 + f2dt.)h + o(h).
Случай d( ) рассматривается аналоrично. О
Теорема 5.4. Пусть отображение /: Е ----+ F с IR.m дифференциру
емо в точке х, а отображение g: F ----+ ]RII дифференцируемо в точ
ке у == {(х). Тоеда композиция g о f дифференцируема в точке х и
d(g о {)(х) == dg(y)df(x).
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Мы имеем
(g о {)(х + h) (g о {)(х) == g(f(x + h» g(/(x» ==
== dg(f(x»(f(x + h) /(х» + o(f(x + h) {(х» ==
== dg(y)(df(x)h + o(h» + o(d/(x)h + o(h» == dg(y)df(x)h + o(h). о
Теорема 5.5. Пусть /: Е ----+ F взаимно однозначное отображе
ние, дифференцируемое в точке х Е Е, причем дифференциал df(x)
обратим. Тоеда если функция / I : F ----+ Е Henpepf:JlBHa в точке у == {(х),
то она дифференцируема в этой точке и (df '(y» == (df(x» I.
Доказательство. Положим I==f(x+h) f(x)==f(x+h) y. Тоrда h==
==f '(y+/) f l(y). Из дифференцируем ости следует, что I==d/(x)h+o(h),
а значит
(d/(X» II == h + (df(x» 'o(h) == h + o(h).
60
в частности, поскольку функция ' I непрерывна в точке у, то
38> О V'II/II < 8: Il<df(x» ltll > 411hll,
т. е. IIhll < 211(df(x» 1/11 < const 11/11. Следовательно, мы получаем
(df(x» ( 1== h + 0(1), а, значит,
f l(y + 1) f l(y) == h == (df(x» '1 + 0(/),
т.е. df l(y) == (df(x» '. о
. I
I
: I
i
6. Формула Тейлора
Теорема 6.1 (теорема llаrранжа). Пусть G с IRn, и пусть oтpe
зок [х, х + h] содержится в о, функция {: G ----+]R Henpepf:JlBHa на
[х, х + h] и дифференцируема на (х, х + h). Тоеда существует точка
Е (х, х + h), такая что {(х + h) {(х) == dfr,h.
До к а з а т ел ь с т В о. Функция F(/) == {(х + Ih), I Е [О, 1], удовлетво
ряет условиям теоремы Лаrранжа .Д.rIЯ функций на отрезке. Поэтому
/(х + h) {(х) == F(I) F(O) == F'(8),
rде 8 Е (О, 1). Но F == f о g, rде g(/) == х + Ih, и по теореме 5.4 мы получаем
F'(8) == dF 8 (l) == d(f о g>e(1} == dfg(8)(dg 8 (l» == dfX+8h(g'(8» == dfr,h. О
Определение. Множество G с ]Rn называется (линейно) свЯЗНf:JlМ, ec
ли любые ero точки х., Х2 можно соединить путем 1 с о, т. е. если существу
ет непрерывное отображение {: [О, 1] ----+ о, такое что {(О) == xl, f(l) == Х2.
Теорема 6.2. Если функция {: G ----+]R дифференцируема в связной
области G C]R" и df == О в каждой точке области о, то f == const.
Доказател ьство. Пусть Х(, Х2 Е о. Докажем, что {(х.) == /(Х2).
Пусть 1 путь, соединяющий точки XI и Х2. Покроем ero шарами ВХ ==
== В(х, 8х) с о, rде х Е 1. Выберем из них конечное подмножество BO:I' . . .
... , Во:", покрывающее путь 1. Если х, х + h Е Во:, /(х + h) /(х) == dfr,h == О,
т. е. "В. == const, отсюда fll == const. О
Определение. Частной производной порядка k функции f(x l , . . .
. .. , х") называется функция
д 1 ( д i2 (... д J )...) == дxil ?дХ;k .
д 2 { д 2 {
Теорема 6.3. Пусть частНf:Jlе nроизводНf:Jlе и д . д . функции
дх' дх l х l х'
f(x l , . . . , х n ) существуют на OmKPf:JlmOM множестве G и HeQpepf:JlBHf:Jl
д 2 { д 2 { .
в точке х Е о. Тоеда д д . (х) == д . д . (х).
х' х l х l х'
61
fP(/) == {(х ' + Ih ' , х 2 + h 2 ) {(х' + Ih', х 2 ).
Лемма 6.1. Пусть {(х) == {(х', ..., х n ) Е CII(G), [х, х + h] с G u fP(/) ==
== {(х + Ih), еде h == (h', ..., h n ) u I Е [О, 1]. Тоеда
dll n 11
fP'III(O) == ......!l(0) ==" д { (X)h;' h;k
dt ll д:х;'. . . дxik . . . .
;1.....;k=1
Д о к а з а т е л ь с т В о. Достаточно рассмотреть функцию f в шаре
В С G с JR.2 С центром х == (х', х 2 ). Рассмотрим вектор h == (h l , h 2 ), такой
что х + h Е В. Положим
Torдa
д о к а з а т е л ь с Т во. Применим индукцию по k. При k == I представим
функцию fP в виде fP == f о g, rдe g(t) == х + Ih. Torдa, соrласно теореме 5.4,
мы получаем
F(h l , h 2 ) == {(х' + h l . х 2 + h 2 ) {(х ' + h ' , х 2 ) f(x l , х 2 + h 2 ) + f(x l , х 2 ) ==
== fP( 1) fP(O).
( hl ) n
fP'(O) == dfP(O) == df(x)dg(O) == ( :1. ... :; ) : == L : (x)h;.
h n ;=,
Пусть теперь утверждение доказано д.IIЯ k == т 1. Torдa
Соrласно теореме Лаrранжа, существуют 81, 62 Е (О, 1), такие что
F(h ' , h 2 ) == fP'(8 1 ) == ( :1, (х ' + 6 1 h l , х 2 + h 2 ) :11 (х ' + 811,1, r) )hl ==
д 2 { .
== ( xl + 8 h ' х 2 + 8 h 2 ) h' h2.
дхl дх 2 1, 2
Аналоrично, существуют ё" ё 2 Е (О, 1), такие что
F ( h ' h2 ) == ( xl + ё h l х 2 + о h 2 ) h 1 h 2
, дх2 дх' ., V2 .
fP,тl(O) == q>(т 'I(O) == ( . дт . {. (х + Ih)h;1 ... h;m . ) I ==
dt dt дх" . .. дx'т '
11...;m .=1 . 1=0
==
n n
L L д"'{ (x)h ;1 h ;m ' h ;
д . дх' . д . ...
X'I... т 1 х'
;1'..;m I=1 ;=1
Таким образом,
д 2 { ( . 6 h l 2 11 2 ) д2{ 1 1 2 2
дх' дх2 Х + , ,х + U2 h == дх 2 дх' (х + 8 1 h , х + 02h ).
Переходим к пределу .при h ----+ О и находим, что
д 2 { ( 1 2 ) д2{ ( I 2
дх' дх2 Х ,х == дх 2 дх l Х, Х ). О
Без условия непрерывности частных производных теорема 6.3 неверна.
Приме.,. Пусть
"
==L
il.....im==1
д т {
дxi д 1т (x)h/ I . . . h;m О
1... Х
Теорема 6.4 (формула Тейлора). Пусть {(х) == f(x l , ..., х") Е CN(G) и
[х, х + h] с а. Тоеда
{(х + h) {(х) == {(х ' + h ' , ..., х" + h n ) {(х', ..., х") ==
N I n 11
== L k " L д I д {д I (x)h;I...h ik + rN(X, h),
. Х'... Xk
11=1 ;......;k=1
еде
{ r у2.
'( ) ХУТ------------ + 2 при (х, У) '" (О, О),
х, у == х у
О при (х, У) == (О, О).
д 2 { д 2 {
Torдa дхд/ О, О) == 1, дудх (О, О) == I.
Обозначим через CII(G) множество всех непрерывных функций, част
ные производные которых определены и непрерывны до k ro порядка
включит\:льно на множестве а.
Задача 6.1. Докажите, что если f Е C II (О), то все частные производные
до порядка k включительно не зависят от порядка дифференцирования.
n ( 1 )
(1 t)N 1 д N { ..
rN == ;I I ! (N I)! дх;'... дхlN (х + Ih)dl h'I... h'N ==
1" N
" д { (х + O h)h l, h iN
N ' д I д I ...
. X 1 ... XN
;I ...;N=I
" N
== ! L дХ;I . :дхIN (x)h;' ... h iN + o(llhII N )
i......;N=J
u 8 Е (О, 1).
62
63
Отсюда, используя лемму 6.1, получаем нужный результат.
о
Но, соrласно формуле Тейлора,
df(x(t» (О) == Ijm f(x(t» {(х(О» == liт '(х(О) + x'(O)t + о(т {(х(О» ==
dt / o t ' O t
. 1 ( ( n д! . ) ) "
== ! t t; дх ; (х(О»«x')'(O)t + 0(/» + 0(/) == t; : (Xo)«i')'(O».
Таким образом, v== (XI)'(O), ..., (хn)'(о), t д f ; (х о )(х1)'(О» ) , и точка
;=1 дх
(хо, /(х о » + v лежит в плоскости вида
{ x + v l , .., , х;: + v n , {(х о ) + t :;; (xo)v; I (v l , ... , v") Е ]Rn} ==
== {х" ..., х", {(хо) + t :;; (хо)(х1 х1о) I (x l , ..., х") E]Rn} == ТХО'
Обратно, если (хо, {(хо» + v Е ТХО, то, используя первую часть дo
казательства теоремы 7.1, нетрудно проверить, что v == (v l , ..., v"+I)
касательный вектор к линии (хо + I(v', ..., v"), {(хо + t(v', ..., v"») на
rрафике r, в точке хо. . О
Лемма 7.1. Если функция {: Е ----+ IR имеет в точке хо максимум или
минимум и частная nроизводная д д f . (хо) существует то д! (хо) == О
х' 'дх;.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Функция ч>(х1) == {(x , .. . , x1o 1, х1, х1о+l. ..., x )
имеет в точке хо экстремум, откуда следует. что : (хо) == ч>'( ) == о. о
Соrласно формуле Тейлора,
f ( 1 д 2 ! ....
2 х) == "2 дxi дх ; (хо)(х' х'о)(х l ),
ц='
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Применяя обычную формулу Тейлора к функции
ч>(t) == {(х + th), находим, что
N I (11) О
{(х + Ih) {(х) == ч>( 1) ч>(0) == L qI k ) + 'N,
11=1
rдe
I
, == ! (1 t)N 1 I,,'N) ( / ) dl == /,,'M(e) == /,,'NI(O) + O(tN)
N (N I)! т N!T N!T .
О
7. Трафик функции
Формула Тейлора дает представление функции в виде
{(х) == fo(х) + {.(х) +...,
rде fk(X) == fk(x l , ..., х") функция степени k от переменных (x l , .. . , х").
Добавление каждой новой функции fll это более точная аппроксимация
функции {.
rрафик функции f это rиперповерхность
r == r, == {(х, {(х»} == {(x l , ..., х", f(x l , .'., х"»} с ]Rn+l.
Она складывается из rрафиков функций {(хо), fl, {2, ... rрафик функции
/(хо) + /1 (х) == /(хо) + :;i (хо)(х1 xio) обозначается ТХО. Таким обра
зом, уравнение плоскости ТХО в координатах (x l ,..., х", z) имеет вид
n д!
z == {(хо) + Е д i (Xo)(xi ).
;=1 х
Теорема 7.1. Плоскость ТХО совпадает с касательной плоскостью,
т.е. состоит из всех точек вида (хо, /(хо» + v, еде v касательный
вектор к некоторой линии на zрафике r, в точке (хо, {(хо».
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Если (х( 1), {(х( 1») произвольная линия на
rрафике, с началом в точке х(О) == хо, то касательный вектор имеет вид
т. е. функция {2 является квадратичной формой от h; == (х; .4). rрафик
функции Мх) зависит от сиrнатуры этой формы.
Теорема 7.2. Пусть /: Е ----+ /R., f Е С 2 (Е) и dfxo == О. Тоеда если форма
n д2! ..
. I дxi дхi h'h l положительно (отрицательно) определена в точке хо,
'Р
то функция f имеет в точке хо минимум (максимум).
Доказател ьство. Мы имеем
1 . (x(t), f(x(t») (хо, {(хо»
v==lm
I O t
(1 . x(t) х(О) 1 . f(x(t» {(Х(О» ) == ( dx l (О) dxn (О) df(x(t» ( О»)
I t ' I t dt' . . ., dt ' dt .
IIhll 2 ( n д2! h;h i )
{(хо + h) /(хо) 2 дxi дх ; (хо) IIhll 2 + о( 1) ==
ч=1
== IIhIl2 ( 2! . ( X ) S;sl+ 0 ( 1 »)
2 дх' дх l О ,
;.1=1
64
65
n д2!
rде (s', ..., sn) Е дВ(О, 1). Квадратичная форма А == L a:a-:(Х()Si s i не
Ц=I х, Х 1
меняет знак на сфере дВ(О, 1). Следовательно, этот же знак имеет и раз
ность {(хо + h) {(хо) при достаточно малом h. О
3адач 7.1. Возможен ли экстремум, если форма принимает как отри
цательные, так' и положительные значения?
Ввиду непрерывности функции F. существует число сх > о, такое что
Р>сх>Ои
F(x,yo р) < о < F(x, уо + р).
8. Теорема о'неЯ8НОй функции
rеометрические объекты можно задавать не только как rрафики функ
ций. Мноrие из них это корни системы у'равнений
при /х хо' < сх. Функция F(x, у) непрерывна и монотонно возрастает по у
при каждом таком х Е (х о сх, хо + сх). Следовательно, существует .еди
нственное число уо р < у < Уо + , такое что
F(x, У) == О (см. рис. 9).
Определим функцию f равенством у ==
== {(х). Torдa
у
Yo+f3
{ :'I. I:. : . . .
Fk(x', . .. , х") ;:;: о.
{(х, У) Ilx хо/ < сх, 'у уоl < , F(x, у) == о} == Уо
У'
== {(х, у): 'х хо' < сх, 'у Yol < р, у == '(х)}. Yo f3
Докажем, что функция f непрерывна. Пусть
О < Е < . Повторим первую часть доказа
тельства и найдем число О 8 < сх, такое что
XO cx х хо хо+сх х
TeQpeMa о неявной функции показыва т, что множество решений этой си
стемы локально можно тракт(>вать как rрафик HeKoToporo отображения.
Пример. Единичная окружность х 2 + 11 1 == О
при у > о является rрафиком функции у == JI=X2;
при у < о является rрафиком ФУfJКЦИИ у == .JJ=X2;
. при х > О является rрафиком функции х == .Jl=Y2;
при х < О является rрафиком функции х == Yl у2 .
Теорема 8.1 (теорема о неявной функции). Пусть U с IR.n+J, F Е СР( и),
р > о и F(x , ..., хё, Уо) == о. Предположим, что p (x , ..., .хо, уо) =f. о.
у ,
Тоеда существуют окрестность V точки хо, число р > О и фУНК
ция f Е СР(У), такие что
1) й == V х (Уо р, уо + р) с И;
2) {(х, у) I х Е У, У == '(х)} == {(х, у) Е U I F(x. У) == о}.
При этом
{(х, у) /Ix хоl < 8, 'у Уо' < Е, F(x, у) == о} ==
== {(х, У) Ilx xol < 8, 'у yol < Е, у == {(х)}.
Но Torдa If(x) {(хо) 1== If(x) уоl < Е при всех Х, таких что 'х хо/ < 8. Это
доказывает непрерывность функции f в точке хо. В остальных точках шара
в«хо, Уо), р) условия теоремы тоже ВЫПОЛl-lены, и, значит, в них функция f
также непрерывна. '
Докажем, что f Е CI(V). Соrласно теореме Лаrранжа,
Рис, 6,
. д!
дх;
дР
дХТ(х, f(x»
(х; {(х»
0== F(x + дх, {(х + &» F(x, {(х» == F(x + дх, у + ду) Р(х, У) ==
дР дР
== дх (х + едх, у' + еду)& + ду (х + едх, у + еду)ду,
дР
rде О < е < 1. Поскольку ду =f. о, мы имеем
дР
l1y . ах(Х + 8l1x, у + 811y)
I1x дР .
ду (х + 8l1x, у + 811y)
"
Д о к а з а т е л ь с Т В о. ДЛя простоты будем считать, что n, == 1;. С.I\учай
дР'.' , .
n > I разбирается аналоrично. Пусть ду (Хо, уо) .o. Выберем > О таким
. : ; 'дР
образом, чтобы на шаре В«хо, уо), р) выполнялось неравенство ду > о.
Тоrда функция F(xo, у) монотонно возрастает при Iy уоl < Р и
,
F(xo, Уо ) < F(xo, уо) == о < F(xo, Уо + ).
дР
дх (х, '(х»
. Произ
дР
ду (х, {(х»
v дР дР
водная непрерывна ввиду. непрерывности функции 'дх ' ду . Если F Е СР.
. д{
Переходя к пределу при дх ----+ о, получаем дх (х) ==
66.
67
то последнюю формулу можно дифференцировать Р I раз, например,
d 2 f I (( д 2 F д2F I ) дF дF ( д2F д 2 F I ))
dx2 == (дF/ду)2 дх 2 + д, ,J/ (х) ду дх дхду + д у 2 f (х) . О
дF m
дут f:. о. ИСПОЛЬЗУЯ теорему 8.1, находим область U == иn+m 1 х и' С U
И функцию f Е CP(On+m I), Т: On+m 1 ----+ 01, такие что
{(х, у) Е О I Fm(x, у) == о} == {(х, у) Е О I ут == Т(Х, yl, ..., ym I)}.
9. Теорема о неявном отображении
rрафик есть не только у функции, но и у отображения {: Е ----+ IR.m. По
определению, rрафик это совокупность точек вида
Положим
фll ( х l n 1 m l ) F k ( . ..n 1 т 1 { ( 1 ,,т I »
,...,х,у,....у х,...,А,у,...,у ,х,...,у .
{ I.( I... :: '. '''...'. : . . '
Fm(x', ..., х", у', ..., ут) == о,
k k k
Tor A a фk Е CP ( On+m l ) фll (х l .,т . ) == О И дФ == дF + дF при
, о' . . . , УО ду; ду; дут ду;
i т 1. По построению, фm(х l , ..., ym l) == О, откуда получаем д д rп. +
у'
дF m дl
+ дут ду; == О. Таким образом,
(х', ..., х", fl(X I , ..., х"). .... {т(х ' , ..., х n » Е IR. n + m .
Опишем условия, при которых подмноrообразие в IRn+m, заданное ypaB
нениями
можно представить в виде rрафика некоторой функции. Положим х ==
== (х', ..., х n ), у == (yl, ..., ут),
дF 1 дF 1
дуl ... ду'"
det F;(x, у) == ..............
д F'" д F'"
ду' ... дут
дF 1 дF 1 дl дF 1 дF 1 дl дF 1
+ +
дуl дутду' ... дут 1 дyтдyт ' дут
............................................ ==
( дF 1 дF 1 )
, дх' . .. дх n
F;(x, у) == .дpn. . . . . . -др;.
дх' ... дх"
( д У ' ... дут )
и Р'(х, у) .::.. .. . . :: .
ду' ... дут
дF т + дР" дl дF т + дF т дР"
дуl дУ'" ду' ... дyт 1 дут дyт ' дут
дфl дфl дF 1
ду' дут 1 дут
Теорема 9.1 (о неявном отображении). Пусть отображение F: и----+
----+ /R."' определено в окрестности точки (хо, уо), еде хо Е IRn, Уо Е IRm,
причем F Е сР(и), р 1, F(xo, Уо) == о и F;(xo, уо) обратимая Maтpи
ца.
Тоеда существуют такие шары
== дфт I
дТ
о
дфт ' дFт 1
дут 1 y;
О дут
Следовательно, матрица
/х == {х Е IR n : Ix хо' < сх}, /и == {у Е IR. m : Iy уоl < р},
( .. ;:. .... . . I. )
дфт 1 дфт 1
дТ ... дym 1
еде /х х /и с и, и функция f Е СР, {: {х ----+ /и' такая что
{(х, у) Е 'х х 'и: F(x, у) == о} == {(х, у) Е 'х х 'и: у == {(х)}.
При этом df == (F;(x. f(X))) 'F (x, '(х».
д о к а з а т е л ь с Т В о. Воспользуемся индукцией по т. При т == I
утверждение совпадает с утверждением теоремы 8.1. Пусть теорема спра
вед.llива .д.rIЯ размерности т 1. Докажем ее .д.rIЯ размерности т. Матрица
F;, невырождена, и после перенумерации перемеННЫХ"11 можно считать, что
невырождена в окрестности точки (x , ..., хо, y , ..., y:; I). ПО предпо
ложению индукции, находим область О == оп х Oт 1 С On+т 1 И функцию
f Е ср(Оn), {: ОП ----+ Oт .. такие что
{(х, у) Е 01 Ф(х, у) == о} ==
== {(х, у) Е О I у; ==f(x l , ..., хn), i == 1, ..., т I}.
68
69
Положим
Мы имеем
{ т ( 1 ..n ) { ( 1 n { ' ( I " ) l 'm 1 ( 1 " »
Х,....,А == Х,.....,Х, Х,....,Х ''О..' х,....,х..
дt l
дх'
д/ ' д/ '
дх т дх т + '
дt l
дх"
Итак, мы построили отображение {: /х ----+ 'и' такое что f Е СР(Ц, 1; с IRn,
/и с IR.m. Нетрудно видеть, что
............... .................
df ==
д/ т дt m
дх' ... дх т
О О
дfт дr
дхт+l . .. дх"
1 О
{(х, у) Е /х Х /и I F(x, у) == О} == {(х, у) Е /х Х /и I у == {(х)}.
................. .................
о ... о о
Таким образом,' FiI(x', .... хn, f'(x l , ..., хn)..., "(х', ..., х n » == О и
т . ,
д ; + L д . д l == О д.IIя k == 1, ..., т и 1 == 1, .", n, т. е. р" == Fиdf
х j 1 уl Х _
И df == [F J IF o О
Определение. Пусть и, V с IR.n. Биекция {: U ----+ V называется CP
диффеоморфизмом, если f Е ср(и) и ' ' Е СР(У).
Следствие 9.1 (теорема об обратной функции). Пусть область G с IRn
и функция {: G ----+ IRn таковы, что f Е СР(О), еде р > О, и диффе
ренциал dfxo обратим. Тоеда существуют 'окрестности хо Е U С G
и {(хо) Е V С IR.n, такие что отображение h == "и: U ...... V является
СР диффеО'морфизмо'м. При этом d(f l) == (df) I.
Д О К а з а т е л ь с т.в о. Рассмотрим функцию F: G Х IR.n ----+ IR.n, rде
F(x, у) == {(х) у. Torдa F Е СР(О Х IR."), F == df и F == I. ПО теореме о
неявном отображении, существуют такие окрестности /х 3 х о , /и 3 уо == {(хо)
и такая функция g: 'и ----+ /х, g Е CP(Jи), что
Отсюда видно, что paHr матриuы
( f ......... ; )
дх' ." дх т
равен т. Значит, существует rлавный минор, не равный нулю. Пусть.О.д.rlя
определенности, это
( . . :. ....... . ; ) .
дfт 1 д/т I
-дXI ... дxт 1
{(х, у) Е /х Х /и I у == {(х)} == {(х, у) Е /х Х /и I х == g(y)}
Рассмотрим отображение 1 == (1', ..., ]n), rде Р == f при i =f:. т и 1т == х"'.
Torдa
и при этом dg == (df) I.
о
дt' д/'
дх' дxт 1
*
......................
dl-=
д/т 1 дr 1
-дXI ... дxт '
О О
1 ... о
10. Приведение отображений к каноническому виду
Определение. Назовем.Ср дИффеоморфизм g: U ----+ IRn nростейшим,
если он имеет вид g == (g', ..., g"'), rде д.IIя HeKoToporo i gi(x l , ... , х n ) == Jci
при i =f:. i (т. е. меняется лишь одна координата).
Лемма 10.1. Пусть хо Е G с IR.n и {: G ----+ V СР дuффеоМорфuзМ,
такой что f(x.,..., х n ) == х; при i > k. Тоеда найдется OKpecт
ность и, хо Е U С О, в которой f == gl О . . . о gll U g; nростейшие
дuффеО'морфиз'мЫ.
Д о к а з а т е л ь с Т во. Проведем индукцию по k. При k == 1 лемма оче
видна. Пусть утверждение доказано д.IIЯ при k < т. Докажем ero .Д.rIЯ k == т.
о
о
о ... 1
Соrласно следствиюl9.I, отображение 1 является СР диффеоморфизмом в
некоторой окрестности точки хо. Отображение h == f о ' ' является про
стейшим. Но f == h о j, а к отображению 1 можно ПР\,менить предположение
индукции. О
Определение. Отображения {: U ----+Е, {Е СР(Щ, и h: V ----+F, h Е СР(У)
называются СР эК8ивалеНтНыМи, если существуют СР диффеоморфизмы
ч>: U ----+ V И ф: Е ----+ F, такие что h о ч> == Ф о {, т.е. следующая диаrрамма
70
71
коммутативна:
и y
,1 h!
E F
Соrласно следствию 9.1, существует окрестность G ::> U 3 хо, в которой
q> является СР диффеоморфизмом. Положим g == f о q> I. Torдa g == (gl, ...
... , g"'), rде gi(x l , ..., х n ) == х; при i k. Матрица Якоби отображения g
равна
Определение. Ран<!ом отображения {: U ----+ Е в точке хо Е U называ
ется paHr оператора dfxo, т. е. paHr описывающей ero матрицы.
Теорема 10.1. Пусть в точке хо С G с IR.n ран<! отображения ': О----+
----+ IRn, f Е СР(О), равен n. То<!да существует окрестность хо Е U С а,
в которой это отображение СР эквивалентно тождественному
отображению.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Соrласно СJlедствию 9.1, существуют OKpeCTHO
сти G ::> U 3 хо и Е 3 {(хо), такие что flи: U ----+ V есть СР диффеоморфизм.
Положим Ф == f I, h == q> == Id. Тоrда h о q> == ф о {. П
Задача 10.1. Пусть paHr отображения {: G ----+ IRn в точке хо Е G pa
вен '. Докажите, что существует окрестность G ::> U 3 хо, в которой paHr
отображения f больше или равен '. Бывает ли так, что paHr отображения f
больше, чем r во всех точках х =f:. хо?
Рассмотрим отображения постоянноro paHra.
Пример. Отображение P".II: (x l , . . . , х n ) ----+ (x l , . . . , x , О. ..., О) Е lR.т
(rде k n) имеет paHr k.
Теорема 10.2. Пусть ран<! отображения {: G ----+ IRт, f Е сР(а), pa
вен k всюду на G с IR.n. То<!да для любой точки хо Е G существует
окрестность U 3 хо, в которой это отображение СР эквивалентно
nроекции Pn.lI'
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Можно считать,ЧТО х == (х' , . . . , хn), f == (fl, ...
. .. , {Ш), и матрица ( .:; .:::. .:; ) невырождена. Положим q> == (q>I, ...
дх l ... дx
... , q>n), rде q>i == f при i k и q>;(x l , ..., х n ) == х; при i > k. Torдa
о о о
................. .................
о 1 О О
dg== дi'+1 дi'+1 дi'+1 дi'+1
дх l дx дхН I дх п
................. ....................
дgn дgn дgn дgn
дх ' дx дх ll + 1 ... дх п
С друrой cTopo ы, соrласно теореме 5.4, мы имеем dg == dfd(q> '), и, зна
чит, paHr g на V == q>(U) равен k. Следовательно, правая нижняя четверть
матрицы нулевая. Соrласно теореме 6.2, отсюда вытекает, что функции
gk+I, . . . , g'" не зависят от x +I , . . . , х n . Рассмотрим теперь отображение
Ф == (фl, ... , фт), rдe ф;(уl, ..., уn) == у; при i k и Ф;(У', ..., у") == у;
. ( I 11 )
g у , . . . ,У при i > k. Torдa Ф Е СР( У) и матрица Якоби отображения Ф
имеет следующий вид:
о о ... о
dф ==
о
дi'+1
дТ
1
дi'+1
дуll
о ... о
1 ... О
дgn
ду'
дgn
дуll
о .,. 1
Соrласно следствию 9.1. существует окрестность '(хо) Е V С У, в которой
Ф является СР диффеоморфизмом. Положим теперь h == фо f о q> 1 Е СР(У).
Torдa
д/ ' dfl дf' df'
дх' ... дх ll дх ll + 1 ... дх n
h(x) == Ф о f о q> I(X) == ф(g(х» == ф(gl(х), ..., g"'(x» ==
== (фl(gl(х), ..., g"'(x», ..., фт(gl(х), ..., g"'(x»).
dq>==
дfll дfll дf дfll
дх ' .'. дx дхН' ... дх"
О ... О 1 О
При i k мы имеем gi(x) == х; и, значит,
о ... о о
h(x) == (x l , ..., xll, gk+1 (х) gk+1 (х), ..., g"'(x) g"'(x» ==
== (x l , . . . , xll, О, .. ., О). О
...... .... ........ .... ...... .. .. .... .. .. .. .." .. .. .. .. .. .. ..
72
73
11. Лемма Морса
Пусть U с IRn, Е с IRm. Максимально возможный paHr отображения
{: U ----+ Е в точке х Е U равен min(n, т). Такие точки образуют OTKpЫ
тое множество (задача 10.1) и на нем отображение f локально (т. е. в
окрестности каждой точки) эквивалентно линейному вложению или линей
ной проекции (теорема 10.2). Остальные точки называются критическими.
Именно они определяют rлобальные свойства отображений.
Определение. Точки хо, в которых paHr отображения {: U ----+ Е меньше
min(n, т), называются критическими.
В частности, точка хо Е IR.n является критической точкой функции {,
1 д 2 t
если и только если dfxo == о. в этом случае {(х) '(хо) == 2 L дх ! дх i (хо) Х
Х (х ! )(xi ) + 0(1IX" хоН 2 ).
д 2 t
Определение. Матрица д . д . называется еессианом. Если она He
х' х l
вырожденна, то и критическая точка называется невырожденной.
'Пример. Точка o критическая точка функци {(х) == L aiixixi (a;j==a i ;).
Она невырожденна, если и только если матрица a;i невыроЖденна.
Задача 11.1. Докажите, что если функции {: U ----+ Е и g: V ----+ F
С2 эквивалентны и хо невырожденная критическая точка функции {,
то соответствующая точка Уо Е V является невырожденой критической
точкой для функци g.
Наша цель доказать, что в окрестности невы рожденной критической
n
точки любая функция эквивалентна функции L ,;(xi)2, rде '! == ::1: 1.
; I
Определение. Окрестность U точки О Е IRn назовем звездной, если
лU С U для любоro О < л < 1.
Лемма 11.1 (лемма Адамара). Пусть функция f с С Р ( И) (р > О) oпpe
делена в звездной окрестности U точки О и {(О) == О. Тоеда существу
ют функции gi Е Cp I(U), такие что
n
g;(O) == : (О) и f(x l ,..., х") == I>igi(X I , ..., х n ).
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Мы имеем ; I
Задача 11.2. Докажите, что g; Е Cp I(U) и gi(O) == ::; (О). о
Теорема 11.1 (лемма Морса). Пусть хо Е G с IRn невырожденная
критическая точка функции f Е СЗ(G). Тоеда существует OKpecт
насть U ЭХО, в которой функция f СР эквивалентна функции g(x) ==
n
== L,;(xi)2, '; == ::1:1.
; I
Д ок а з а т е л ь с Т В о. Используя линейные замены и дважды рименяя
лемму 11.1, сведем доказательство к случаю, коrда хо == О и
n
{( I ,"," 1
Х , ..., х") == L..,.x'x1hij(X , ..., х"),
;,i 1
1 д 2 t
rде hij(O) == 2 дх; дх j (О). Будем приводить эту «квадратичную форму» К диа
rонально у виду с пом?щью диффеоморфизмов. Сначала приведем ее к
виду ::I:(x )2 + . h;i X ' x 1 , потрм к виду ::I:(x l )2 ::1: (х 2 )2 + L h;jX; xi, И т. д.
'.1>1 Ц>2
Опишем общий шаr. Пусть
f(x l , ... , х n ) == ::I:(X I )2 ::1: ... ::1: (xr I)2 + L xixihij(XI, ..., х n ).
Ц T
Соrласно задаче 11.1, точка О невырожДенная критическая точка, и,
следовательно, матрица {hij(O)} невырождена. Можно считать, что hrr(O) =f.
=f. О и, более Toro, h" =f. О на V 3 о. Положим Ф(х) == Vlhrr(x) 1 : V ----+ IR.
Рассмотрим фун цию q>: V ----+ IRn, rде q>i(X) == х; при i =f. r И. q>r(x) ==
Ф ( )( r "X'h;r(X» ) Я . .
== х х + L- h ( ) . кобиан функции q> не равен нулю в точ
'>' ТТ Х
ке О, и, следовательно, q> диффеоморфизм внекоторой окрес'fНОСТИ U
(V::) U 3 О). Кроме Toro,'
::1: (XI)2 ::1: .:. ::1: (xr I)2 + L xihij(xl, ..., х n ) == ::I:(X I )2 ::1:...
Ц T
...::1: (xr I)2 + (x)2h rr (x) + 2 Lxrxihri(x) +'L Xihij(x) == ::I:(q>I(x»2::1:...
i>r ;,i>r
1 J .
{( I N ) == ! dt(txl,...,txn) dt == !( i !!L (t I t ..Jl »)dt ==
х , . . . , х dt L..,. Х 'дх i Х,..., л
О О ; I
n ! . 1 n
== ?=х; ::i (tX I , ..., txn)dt == I>i gi ,
1 . , I О , I
r.oдe gi(X I , ..., х n ) == J ::i (tX I , ..., txn)dt.
о
1 ( . ) 2 "
... ::1: (q>r(X»2 h rr (х) L q>'(x)h;r(X) + L(q>;(X»2( (X)}2hij(x).
,>r i.j>r
Таким образом, мы нашли диффеоморфизм q>, увеличивающий количество
«правилышх» членов в представлении функции {. о
Задача 11.3. Количество плюсов и минусов среди чисел '; называет
ся. сиr атурой критической точки. Как найти иrнатуру по ряду Тейлора
функции {?
74
75
12. Условный экстремум. Множители Лаzранжа
Определение. Множество S == {х Е D I F(x', ..., х n ) == О}, rде F Е
Е С'(О), называется i!иnерnоверхностью в области D С IRn. Если хо Е S
и dF(xo) =F О, то множество TF(xo) == {хо + v Е IRn 1 dFxo(v) == О} называется
касательной плоскостью к S в точке хо.
Определение. Множество
Следствие 12.1. Пусть S == {х Е D с IRm: F;(x) == О} неособая no
верхность коразмерности k, и хо точка условНОi!О экстремума
на S функции {: D ----+ IR. Тоеда существуют числа л., ..., лk Е IR. такие
k
что grad {(хо) == Е л; grad F;(xo).
; I
ЭТО наводит на мысль рассмотреть функцию Лаrранжа
S == {х Е D I F;(x l , ..., х n ) == О, i == 1, ..., k}, rде F; Е С'(О),
k
Цх, л) == {(х) 2: ЛiF;(х).
называется неособой поверхностью коразмррности k, если paHr Ma
{ дЕ }
трицы дх; равен k во всех точках х Е s. Для хо Е S множество
k
TS xo == n TF;(xo) называется касательной плоскостью к S в точке хо.
; .
Лемма 12.1. Справедливо равенство TS xo == хо + т, еде T MHO
dx
жество всех векторов вида dt (О), х: [О, 1] ----+ S дифференцируемое
отображение и х(О) == хо.
Д о к а з а т ел ь с т В о. Включение хо + Т с TS xo достаточно доказать д.IIЯ
k == 1. В этом случае условие x(/) Е S эквивалентно условию F(x(t)) == О.
дF di(t) ( dx )
следовательно, Е дх; == О и, в частности, dFxo dt (О) == о. Чтобы дo
казать обратное включение, представим поверхность F == О в виде rрафика
(теорема 9.1). Torдa нужное утверждение следует из теоремы 7.1. О
Определение. Локальный экстремум функции fls называется услов
HblМ экстрем.умом функции f на s.
Это понятие очень важно в приложениях.
Теорема 12.1. Пусть хо Е S точка условНОi!О экстрему,иа Функ
ции {: D ----+ IR. на S и df(xo) =F О. Тоеда TS xo с та {(хо»(хо).
Доказательство. Пусть {(хо) + v Е TS xo . Из леммы 12.1 следует,
dx
что v == dt (О), rде x(/) С S, I Е [О, 1], х(О) == {(хо). Функция f(x(t» имеет
d ( dx )
экстремум в точке о. Отсюда 0== dt (f(x(O))) == dfxo dt (О) == dfxo(v), т. е.
{(хо) + v Е т(! {(Хо»(Хо). о
Определение. rpaaueпmOM отображения {: D ----+ IR в точке хо Е D Ha
зывается вектор grad {(хо) Е IR.n, такой что
; I
Числа л; называются множителями Лаi!ранжа. rлобальный экстре
мум функции Цх, л) является условным экстремумом функции {(х) на S.
Теорема 12.2. Пусть F;, f Е С 2 (О).
S == {х Е D I F;(xl, ..., х n ) == О, i == 1, ... , k}
k
неособая поверхность, grad {(хо) == Е л; grad F;(xo),
; I
k
Цх) == {(х', ..., х n ) 2: л ;F;(х', ..., х n )
; I
dfxo(v) == (grad {(хо) , и)
д Ф д 2 L . .
и ква ратичная орма L.. д " д "(XO) ' I знакооnределена на TS To
х' х l .
еда хо точка условНОi!О экстремума функции f на s. Это точка
локаЛЬНОi!О минимума, если форма положительно определена, и точ
ка локаЛЬНОi!О максимума, если форма отрицательно определена.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть форма положительна определена. По
условию grad Цхо) == о. По формуле Тейлора
L ( ) L( ) 1" д 2 L ....
х хо == 2 дх; дх ; (хо)(х' х'о)(х l х(,) + o(llx xoll 2 )
при Х ----+ хо. Пусть x(t) с S, I Е [О, 1), х(О) == хо. При достаточно малом I
первое слаrаемое равно
1" &L di dx i 2 2
2 дх ; дх ; (xo)dtdt l + 0(1)
и, следовательно, положительно. Второй член убывает быстрее nepBoro,
значит, функция L(x(t» Цхо) положительна при достаточно малом 1,
т. е. хо условный экстремум. О
Замечание задача 12.1. На практике, чтобы найти условный экстре
мум, необходимы следующие шаrи:
1) написать функцию Цх, л), считая х и л неизвестными;
д.IIЯ всех векторов и.
В этих обозначениях TS xo == {хо + v I (и, grad F;(xo» == О, i == 1, ..., k} и
т(! {(хо»(хо) == {хо + v I (и, gradf(xo» == О}. Тоrда утверждение теоремы
12.1 означает, что gradf(xo) порожден векторами {grad F;(xo)}.
76
77
2) найти хо и (ЛI, . . . , Лk) из условия dL == О (докажите, что это условие
эквивалентно равенству grad {(хо) == L Л; grad Fj(xo»;
д 2 L
3) найти квадратичную форму дх; дх i (хо);
4) оrраничить ее на плоскость TS xo ;
5) найти ее сиrнатуру.
{( ? 2 v
При мер. Найдем экстремум функции х, у) == x у на прямои
1 == 2х у 3 == о. Функция Лаrранжа имеет вид Цх, л) == х 2 у2
л(2х у 3). Множители Лаrранжа и критические точки найдем из
уравнений
О == дL == 2х 2л, О == дL == 2y + Л, о == д д == 2x + у + 3.
дх ду л
Мы получим
== 2, == I д2L == 2 д2L == 2 д 2 L == О.
л хо == 2, уо 'дх2 д у 2 дхду
д 2 L .
Форма д д на векторах ( x, и) равна 2( ). Если ( x, и) Kaca
х у
тельный вектор к прямой, то 2 x + и == О И и == 2 x. Оrраничение формы
равно 2( 4 ) == 6 < О. т. е. мы нашли максимум.
13. Интесрал
Ц одномерной ситуации мы интеrрируем по отрезку. В мноrомерной
ситуации роль отрезка иrрает брусок
/n == {(x l , .. " х n ) Е IR n : сх; ;! P;(i == 1, .. . , n)} С IR n .
n
Ero объем вычисляется по формуле Vol(Jn) == п(р; cx i ). Прямое произ
i 1
ведение /n х /т с IR n + m тоже брусок. В частности, /n прямое про
изведение отрезков : == {сх; Х р;} С 1R 1 . Разбиение отрезка / : это
IJ} u / u... u / , rде сх ; < YI < ... < Yk < р;. Прямое произведение таких
разбиений задает разбиение (на бруски) {/.} бруска /n. Длина м<lкси
мальноrо из ребер брусков разбиения называется диаметром разбиения.
Суммой разбиений {/ } и {/ } называется разбиение {l n ' }.
Определение. Пусть {: 1 ----+ IR оrраниченная функция и {l.} раз
биение бруска /. Положим т.(!) == inf {(х) и M.(f) == sup {(х). Суммы
xE/. хЕ/.
S{/.}(f) == L mo(f) Vol(J.) и S{/.}(f) == !: М.(!) Vol(l.) называются нижней
. .
и верхней суммой Дарбу функции f по разбиению {l.}.
Лемма 13.1. Любая верхняя сумма Дарбу функции f больше любой
нижней. .
78
,
1
t
Доказательство. Пусть {1a:} CYMMa разбиений {J.} и {Ja. Torдa
S{/.}(f) == L mo(f) Vol(Jt) L ma:(f) Vol(la)
а
L Ма:т Vol(la) L M&(f) Vol(J ) == S{/5}(f). О
а &
Определение. Функция f называется интеi!рируемой (по Риману) на
бруске /, если на множестве всех ero разбиений 11/11 выполняется paBeH
ство sup S{/.}(f) == inf S{/.}(f). В таком случае общее значение этих
{/.EII/II} {/.}E"/II
величин называется uнтеi!ралом и обозначается J {(х) dx ' . . . dx n .
1
При мер. Если {(х) == с == const, то J {(х) dx l . . . dx n == с Vol(J)oo
1
Ь
Задача 13.1. Докажите, что J {(х) dx == J {(х) dx.
(а.Ь) а
Докажем, что непрерывная фУНКЦI1Я интеI:рируемз. Для этоrо нам по
надобится следующее определение.
Определение. rоворят, что функция {: G ----+ IR pa HOMepHO flепрерывна
на множестве G с IRn, если
VE > О 38 > О V(llx x'll < 8, х, х' Е О): If(x) {(х')1 < Е.
Лемма 13.2. Непрерывная функция на бруске {: / ----+ IR равномерно
непрерывна на нем.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Предположим обратное. Тоrда
3Е > О V(n > о, n Е Z) 3 (х n , x , IIx n x 11 < I/n): If(x n ) f(x )1 > Е.
Применяя теорему Больцано........ Вейерштрасса к каждой координате (или
используя задачу 2.1), находим сходящуюся подпоследовательность Х nр
х n2 , ..., такую что .lim Хп; == х Е 1. Поскольку .liт (х n ; x .) == о, мы име
,........сю '........00 I
ем .Iim x . == х. Ввиду непрерывности функции f мы получаем .Iim f(xnJ ==
,........сю ' > ,.......(XI
== {(х) == .lim {(x ), и, следовательно If(x n .) {(x .)1 < Е для достаточно
'.......00 I , I
больших i, что щ)отиворечит нашему предположению. О
Задача 13.2. Докажите, что непрерывная на компакте функuия paBHO
мерно непрерывна на нем.
Теорема 13.1. Непрерывная функция на бруске {: / ----+ R иHтeepи
руема на нем.
Д о к а з а т е л ь с Т в о. Пусть Е > о. Соrласно лемме 13.2, существует
8> о, такое что If(x) f(x') I < Е при Ilx x'lI < 8. Рассмотрим разбие
ние {/а} бруска / с диаметром не больше 8. Torдa supf(x) iпf f(x) < Е.
xE/ xEJ .
79'
Следовательно,
S{/ } S{I } == 2.:(Mo:(f) mo:(f) Vol(lo:) Е 2.: Vol(lo:) == Е Уоl и) ,
о:
о:
т. е. inf S{i } == sup s{; }.
{/ } {/..}EII/II
Теорема 13.2. Если функции {. и {2 интеерируемы на бруске 1, то
функция ).,Ifl + ).,2f2 тоже интеерируема на 1 для любых ).,., ).,2 Е IR и
/ ().,If. + ).,2Mdx' ... dx n == ).,. / f.dx l . .. dx n + ).,2 / f2dxl ... dx n .
1 1 /
Доказательство. Пусть {/ } и {/;} разбиения бруска 1 и раз
биение {/.} их сумма. Torдa
S{/ }(t.) + SЩ'}(Ы S{/.}(t.) + S{/.}(M == 2.: 1 !. мх) Vol(l.) +
.
+ '"' inf МХ) Vol(l.) 2.: inf«f, + Ы(х» Vol(l.) == S{/.}(fl + Ы
xE/. xE/.
. .
S{/.}(f1 + Ы == 2.: sup«fl + ы(х» Vol(J.) 2.: sup мх) Vol(/.) +
. xE/. . xE/.
+ 2.: supf2(x) Vol(/.) == S{/.}(t.) + S{/.}(M S{/ }(t.) + S{/р(Ы.
. xE/.
Таким образом,
/f l(X)dXI...dX n + / f2(X)dx....dX n == SUPS{/ }(t.) + SUРS{/р(Ы
{/ } {Ij,'}
1 1
SUp S{/.} ({. + Ы inf S{/.} (f. + {2) i')f S{/ } (м + { ip,f } S{/P (Ы ==
{/.} {/.} {/..} Р
== / f,(x)dx'...dx n + / Mx)dx'...dx n .
1 1
Отсюда следует, что
SUps{/.}(f, + Ы == inf S{/.}(fl + Ы == j fJ(X)dx l ... dx n + / f2(X)dx l ... dx n .
{ I } {/.}
. 1 1
Значит, функция {. + {2 интеrрируема и
/(fl + M(x)dx'...dx n == / t.(x)dxl...dx" + / f2(x)dx ' ...dx".
1 1 1
Равенство / /
).,f(x)dx' . . . dx n == )., f(x)dx' . . . dx n
1 1
доказывается аналоrично.
80
о
о
1
1
?
:1
,.
tt
14. Теорема Фу6ини
Разобьем координаты на две rpYnnbl (и, и), т. е. запишем (x l , . . ., х n ) ==
== (u J , ..., и Р , и', ,.., v Ч ). Torдa J == lа х 'О.
Теорема 14.1. Если функция {: 1 ----+ IR непрерывна на бруске 1. то
функция F(u) == J {(и, v)dv J . . . dv Q тоже непрерывна.
1"
До к а з а т ел ь с т в о. Пусть Е > о. Соrласно лемме 13.2,
38 > О \1' Ilx х' 11 < 8: If(x) {(х') 1 < Е/ Vol(lV).
Пусть {/H разбиение бруска Iи, диаметр KOToporo меньше чем 8/2. Пусть
'иl и21 < 8/2 и д.IIЯ определенности F(u,) F(U2), Тоrда
IF(UJ) F(U2)1 ==
== / f(U I , v)dv / f(U 2 . v)dv 2.:(supf(u., и) inf f(щ, и» Vol(lf;) Е,
оЕ/р ОЕ/р
Р Р Р
т. е. F(u) непрерывна. О
Теорема 14.2 (теорема Фубини). Пусть функция {(и, и) иHтeepиpy
ема на бруске 1 == 1/1 Х ," и функция F(u) == J {(и, v)dv существует при
1"
каждом и Е //1. Тоеда функция F интеерируема на 1" и
! '(и. и) du du ! р(ц) du ! (f ии. а}а.
Доказательство. Пусть {/:} и {/Н разбиения брусков 1" и /".
Положим {/.} == {/: х 'Н. Тоrда
S{/.}(f) == 2.: i, f {(и, и) Vol(l:) Vol(lp) ==
"E/ .иE'P
о:.Р
== 2.: inf ( 2.: inf {(и, и) VOI(lp» ) VoIU:) 2.: inf (/ f(U, V)dV ) Vol(l:) ==
"E/ ОЕ/р IIE/
о: Р о: 1"
== s{/ }(F) S{/ }(F) == 2.: sUP (/ f(U, V)dV ) Vol(l:)
"Е/"
а а. /iJ
2.: sUP ( 2.: supf(u, и) VOI(lp» ) Vol(l:) == S{/.}(f)
о: "E/ Р VE/ p
Отсюда следует, что F интеrрируема, и
/ f(u, и) dudv== SUpS{/.}(f) / F(U)dU inf S{/.}(f) == / f(u, и) dudv. О
{ } { }
/ /" /
81
Следствие 14.1. Если функция {(и, и) непрерывна на 1 == lа х 1", то
! '(и. u)dudu ! ([ '(и. V)dV)dU
15. Множества меры О
Определение. rоворят, что множество Е с IRn имеет n мерную меру
(Лебеi!а) о, и пишут I!n(E) == о, если д.IIЯ любоrо Е > О существует по
крытие 0/; этоrо множества n мерными брусками {/I' /2, ...}, такое что
;=1
00
Е Vol(J;) < Е.
;=1
Задача 15.1. Объединение счетноrо числа множеств меры О также име
ет меру о. Множество рациональных точек в IRn имеет n мерную меру о.
Задача 15.2. Пусть / с IR.n n мерный брусок и {: / ----+ IR непрерыв
ная функция. Torдa ее rрафик r, с IRn+1 имеет (n + l) мерную меру о.
Задача 15.3. Если / с IRn брусок и В с 1 множество меры о, то
(1 \ В) == 1.
Теорема 15.1. Пусть В с IRn компактное подмножество, такое
что при всех I Е IR множества Bt == {(x l , . . . , х n ) Е В I х' == t} имеют
(n 1 ) мерную меру О. Тоеда множество В имеет n мерную меру о.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть Е > о. Зафиксируем 1. По кроем множе
00
ство В множеством открытых кубов A с IR.n I, таких что Е Vol(A ) < Е.
/ ;=1
(Такое покрытие леrко получить из покрытия компактными кубами A , rде
00
Е Vol(A ) < Е.) Положим
;=1
00
А, == UA: с IRn ' и A1,o: == [t СХ, 1+ сх] Х А, с IR n .
;=1
Докажем, что существует сх > о, такое что U Bs с А/,о:.
/ o::!i;s:!i;/+o:
Действительно, в противном случае существуют такая последователь
ность {t",} С IR, сходящаяся к I и такие Ь т Е В,.., что Ь", fi At.I/ /тl. Тоrда,
соrласно теореме Больцано Вейерштрасса, с ществуе.! сходящаяся под
последовательность Ь",; == (b / ..., b ,) == (/",1' Ь т /), rде Ь'Щ Е IRn l. Но А/
открытое в IRn 1 множество, и поэтому Ь",; Е А/ начиная с HeKoTporo i, т.е.
Ь == ( 1 . Ь . ) Е А ' I/ ' 1 . Пол у ченное противоречие показывает, что
пI; т., т, 9 т;
V'/3cx,:
U
Bs сА/,о:/'
/ o:/:!i;s:!i;/+..,
82
,
'1
j
1.
: i '
.
,
,.
: .
',.
,
'
fj:"
t
"
Ii
.,t
'! .
.
.'t.
..;,
.
:!\
\
(
;f..'
!
J:'
;
Пусть [а, Ь) отрезок, содержащий проекцию множества В на x l . Ин
тервалы (t СХ/, t + CX t ) покрывают весь отрезок [а, Ь). Выберем минима.ль
n
ное конечное подпокрытие U[a;, b i ) отрезка [а, Ь) (rде а; == t; СХ/I' Ь; == t; +
;=1
+ cx/J, т.е. такое покрытие, что д.IIЯ любоrо k разность [а, Ь) ( U[a;, Ь;] )
;#k
непуста. Torдa каждая точка покрыта не более чем двумя отрезками, сле
n
довательно, Е la; b;1 21а bl. Таким образом,
;=1
n n
L:Vol(A/;.o:,) == L:Vol(A,Jla; b;1 2Ela bl
;=1 ;=1
и
в с О( U Bs) с OA 1 ,,,,;.
,==1 ai s'b; ,'=.
Следовательно, n мерная мера множества В равна о. О
Определение. Если какое нибудь свойство выполняется во всех точ
ках, кроме множества меры о, то rоворят, что оно выполняется почти
всюду.
Задача 15.4. Пусть 1 == 1" Х 1" и {: 1 ----+ IR. интеrрируемая на бруске
функция. Докажите, что Torдa интеrрал J {(и, v)dv существует д.IIЯ почти
1"
всех и Е 1".
16. Критерий Ле6еса интесрируемости по Риману.
Определение. Пусть {: Е ----+ IR оrраниченная функция. Колебанием
функции f в точке х Е Е называется число
bl(f, х) == lim sup If(xl) f(X2)1.
& O xl.'2E EnB (x,&)
Задача 16.1. Докажите, что функция f непрерывна в точке х, если и
только если bl(f, х) == о.
Лемма 16.1. Пусть E KOMnaKт и функция {: Е ----+ IR такова, что
ыа, х) с для люБОi!О хЕЕ. Тоеда
V'E > 038> О V'llx. Х211 < 8: If(xl) {(Х2)1 < с + Е.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Будем рассуждать так же, как при доказатель
стве леммы 13.2. Если лемма не верна, то
3Е > О 'v'n > О 3 (х n , х,,: Ix n x 1 < I/n): If(x n ) {(x >I > с + Е.
Переходя к подпоследовательности (теорема Больцано Вейерштрасса),
83
можно считать, что Iim Х n == Х == lim Х:, и If(x n ) {(x )! с + Е при ДOCTa
п.......-+СХ) п oo , О
точно больших n по условию леммы, что противоресит выбору х п ИХ".
Теорема 16.1. Пусть 1 с IR n брусок и {: 1 ----+ IR Оi!раниченная,
инте2рируемая (по Рима ну ) функция. ТО2да множество точек раз
рыва функции f имеет n мерную меру (Лебе2а) о.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть Е множество точек разрыва функции {.
Положим Е", == {х Е 1: ыа, х) l/т}. Зафиксируем т. Рассмотрим про
k
извольное разбиение 1 == U 1;. Пусть '? == 1; \ al;. Пусть АI объединение
; I
брусков 1;, таких что '? n Е т -:J. О, А2 объединение брусков 1;, таких что
sup If(x,) {(Х2)! 1/2m. Если точка х Е Е т лежит на rранице несколь
XI.x2 E/ , /
ких брусков 1;, то хотя бы на одном из них sup If(xl) {(Х2)! 1 2т.
X,.x2 E/ j
Таким образом, Е т с АI U А 2 . Предположим теперь, что Е т не является
множеством n мерной меры о, т. е. существует с > о, такое что д.IIЯ любоrо
покрытия U J; множества Е т выполнено неравенство f Vol(J;) > с. Тоrда
; , ' '
Vol(A.) + Vol(A 2 ) > с И
равен \У2. Положим '? == 1; \ al;*. Тоrда Е. с U 1? и, ввиду компактности
i '
множества Е., можно выделить конечное подпокрытие этоrо множества
k k
U 1;, причем L VolU;) < 2Е.
i 1 ; ,
k
Положим К == 1 \ ( 1;). На компакте К функция f удовлетворяет свой
ству ыа, х) < Е. Соrласно лемме 16.1, отсюда следует. что
38> О \1'(II Х I Х211 < 8, х" Х2 Е К): If(x,) {(Х2)1 < Е + Е == 2Е.
т
Рассмотрим теперь разбиение 1 == U J; с диаметром меньше 8/";n. Пе
; I
реходя к друroму более мелкому разбиению. можно считать, что Ka
ждый брусок 1; является объединением нескольких брусков J j . Положим
{/:'} == {Ц \ {/:}. Torдa
00
S{Jj}(f) s{Jj}(f) == 2: sup If(xl) {(Х2) I Vol(l;)
; I x,.x2 E/ j С
2: sup If(xl) {(Х2) I Vol(l;) 2т .
J;EA 1 UA 2 xI,X2E/,
Так как {/;} произвольное разбиение, отсюда следует, что rt S{/;}(f)
SUPS{/;}(f) с/2щ что противоречит интеrрируемости функции {. Таким
{/ j }
образом. д.IIЯ любоrо т справед.llИВО равенство n(Eт) == о. Ввиду равенства
Е == U Е т и соrласно задаче 15.1, отсюда следует, что n(E) == о. о
т 1
Te peMa 16.2. Пусть 1 с IRn брусок и {: 1 ----+ IRn Оi!раниченная
функция, множество точек разрыва которой имеет n мерную меру
(Лебеi!а) О. Тоеда функция f интеерируема.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть Е > о. Множество
Е. == {х Е J: ыа, х) Е}
замкнуто и, следовательно, компактно. Соrласно задаче 16.1, оно имеет
меру о, и, следовательно, существует покрытие этоrо множества брусками
U 1;, такое что f: Vol(/ i ) < Е. Пусть 1; брусок, полученный из бруска 1;
'мотетией, цe ; которой совпадает с центром бруска, а коэффициент
S{J;}(f) S{J,}(f) == L sup If(x,) {(Х2)1 Vol(J;) +
JjE{/;} x,.x2EJ;
+ L sup If(xl) '(Х2)1 Vol(J;) L (sup {(х) inf {(х» Vol(J;) +
1; Е {/;'} x'.'2Elj IjЕ{/П хЕI хЕI
+ L 2Е Vol(J i ) 2E(SUp {(х) inf {(х) + Vol(l».
IjE{/;'} 1 1
Эта величина может быть сколь уrодно малой, и, следовательно, функция f
интеrрируема. О
Следствие 16.1 (критерий Лебеrа). Оi!раниченная функция на брус
ке 1 с IRn интеерируема (по Риману) тоеда и только тоеда, коеда
множество ее точек разрыва имеет п мерную меру (Лебеi!а) О (т е.
функция f непрерывна почти всюду).
Следствие 16.2. Пусть функция на бруске {: 1----+ IR интеерируема,
неотрицательна и J fdx == о. Тоеда {(х) == о почти всюду на 1.
1
Д О К а з а т е л ь с Т В о. Предположим, что функция f непрерывна в точ
ке а Е 1 и {(а) > о. Torдa существует n мерный брусок J', на котором
{(х) с > о. Положим
f х { f(x) на 1',
I ( ) о на J \ l'
и
{ Она J',
МХ) == {(х) на 1 \ J'.
Соrласно следствию 16.1 и по задаче 15.2, функции {l и {2 интеrрируемы,
84
85
и, соrласно теореме 13.2, мы получаем
1 fdx == 1 f1dx + 1 f2 dx 1 f1dx cVol(l') > о.
/ I / /
Это противоречие доказывает, что {(х) == о во всех точках, в которых f
непрерывна. Соrласно следствию 16.1, функция f непрерывна (и, значит,
равна нулю) почти всюду на 1. О
17. Несо6ственные интеzралы
Определение. Пусть {: Е ----+ IR оrраниченная функция на оrpани
ченном множестве Е с IR. rоворят, что функция f интеерируема, если
интеrpируема функция ': 1 IR., rде 1:;) Е брусок И
х { f(x) при х Е Е,
{( ) о при х Е 1 \ Е.
В этом случае положим J fdx == J fdx.
Е 1
Определение. Оrраниченное множество Е с IRn называется измери
мым, если функция {(х) == I на нем интеrрируеМ8. В этом случае положим
Vol(E) == J I dx.
Е
Задача 17.1. Пусть Е измеримое множество. Докажите, что тоrда
k
Д.IIЯ любоro Е> О существуют бруски 11, ..., I k . такие что дЕ с U 1; и
;=1
k
Е Vol(l;) < Е.
;=1
Определение. Исчерnанием множества Е с IRn называется последо
вательносТЬ измеримых множеСтВ Е. с Е 2 с... с Е, такая что UE; == Е.
;
Задача 17.2. Докажите, что если {Е;} исчерпание измеримоrо MHO
жества Е, то Vol(E) == .liт Vol(E;).
, oo
Задача t 7.3. Докажите, что если {Е;} исчерпание измеримоrо MHO
жества Е и функция {: Е ----+ R интеrрируема, то функции f\EI интеrрируемы
при всех i 11 f f(x)dx == п' f f(x)dx.
Е Е.
Определение. Пусть {: Е ----+ IR Функция на множестве Е с IRn (воз
можно, неоrpаниченная). rоворят, что функция f интеерuруема на MHO
жестве Е, если 1) существует исчерпание множества Е измеримыми MHO
жествами {Е;}, такое что функции "Е; оrpаничены и интеrрируемы при
всех i, а предел .Iim J f(x)dx существует; 2) этот предел одинаков д.IIЯ
' ""
Е;
86
I
I
всех таких исчерпан ий. В этом случае J fdX == .lim J f(x)dX называется
' OO
Е Е;
несобственным интеi!ралом функции f на множестве Е.
Лемма 17.1. Пусть {: Е IR неотрицателЬная функция на MHO
жестве Е с IRn и {Щ}k=I.2 два различных исчерnания множества Е
измеримыми множествами, причем функции "E интеерируемы при
всех i и пределы Ak == .Iim J f dx С ущ еств у ют. To дa А == А .
'----+00 I 2
E
Доказательство. По ожим Fa:I3==E n . Множества {Fa:l, Fa:2, ...}
образуют исчерпание множества E . Соrласно задаче 17.3, мы имеем
1 f(x)dx == n 1 fdx n 1 fdx А 2 .
E FfJrI
Таким образом, А. А 2 . Противоположное неравенство доказывается aHa
лоrично. О
+00
При мер. Вычислим J x 2 dx:
.
+00 n
1 x 2dx == Iim I X 2dX == IiI11 ( ( .!. 1 )) == 1.
п........оо п........оо п
1 . .
Теорема 17.1. Пусть функции {, g: Е IR Оi!раничены и иHтeepи
руемы на одних и тех же измеримых подмножествах множества Е.
Тоеда если If(x) I g(x) на Е и функция g интеерируема на Е, то
функции If(x)l и {(х) тоже интеерируемы на Е.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть {Еn} измеримое исчерпание, на KOTO
ром функции f и g интеrрируемы. Torдa по критерию Лебеrа функция 111
тоже интеrpируема на всех множествах Еn и
О 1 Ifldx 1 Ifldx == 1 IlIdx 1 gdx == 1 gdx 1 gdx.
E.+k Ek E.+k \Ek E.+k \Ek E.+k Е.
ПО условию, последовательность J gdx сходится, следовательно, она yдo
Е.
влетворяет критерию Коши. Таким образом, последовательность J Ifldx
Е.
тоже удовлетворяет критерию Коши и, значит, сходится. Поэтому, соrлас
но лемме 17.1, функция Ifl интеrрируема на Е. Положим {+ == 4<111 + {),
1
' == 2(111 {). Поскольку о {ж 111, функции {+ и ' тоже интеrрируемы
на Е. Следовательно, функция f == f + f тоже интеrрируема. О
87
Задача 17.4. Докажите, что
1 ()..If. + )..2f2)dx == )..1 1 f1dx + )..2 1 f2 dx
Е Е Е
и
1 fdx == 1 fdx + 1 fdx, если ЕI n Е 2 == 0.
E1UE2 EI Е2
18. Разбиение единицы. Замена nеременных
в инmе2рале
Лемма 18.1. Пусть подмножества А, В с IRn таковы. что А n В:::
== 0, А комnакт и В замкнуто. Тоеда существует функция q> Е С ,
q>: IRn ----+ IR., такая что q>(x) == I на А и q>(x) == О
на В.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть О < а < Ь. Поло
жим
у
F(x)
о
{ ( 1 1 )
ех
{(х) == о р х Ь х а
ь ь
Р(х) == (1 f(t)dt) / 1 f(t)dt,
а
при х Ь и х а;
а
х
при а < х < Ь,
ь
Рис. 7.
ф(х l , ..., х n ) == F(t(i)2).
х
Тоrда Ф Е coo(IRn), IФ(х)1 I и
ф(х) == {
при \Ixll .jQ,
при Ilxll .Jb.
в частности, д.IIЯ вся Koro шара U С IR.n \ В существует функция
фи С coo(IRn), такая что фи == I на U и фи == О на В. Ввиду замкн ости
множества В д.IIЯ любоrо х Е А существует Б > О, такое что В(х, Б) с IR \ В.
Используя компактность множества А, найде среди этих шаров
В(х, Б) шары и., ..., U k С IRn \ В, такие что А с ; и;. ДЛя каЖдоrо И;
k
рассмотрим функцию ф; == фu;. Положим <р(х) == I }J(l ф;(х». Torдa
{ I на А, О
<р Е coo(IRn) и q>(x) == О на В.
88
1,
'
f
I
I
I
"1
Теорема 18.1 (теорема о разбиении единицы). Пусть М С IRn KOM
k
nакт и М С U и;, еде И; открытые шары. Тоеда существуют
;=1
функции gl, ..., gk: IR" ----+IR, g; Е Coo(IRn), такие что О g; 1, g;(x) == О
k
вне И; и Eg;(x) == I на М.
;=1
Доказательство. Рассмотрим подмножества V., ..., V k , такие что
k
М С U V; и V; С ц. Соrласно лемме 18.1, существуют функции ф; Е
;=1
Е coo(IRn), такие что ф;(х) О и
ф; == {
на V;,
вне и;.
k
Положим ф(х) == Е ф;(х) и g;(x) == ф;(х)/ф(х).
;=,
о
Теорема 18.2. Пусть Д, Ь 2 С IRn Оi!раниченные открытые MHO
жества и q>: О, ----+ д СI диффеоморфизм. Пусть 02 С 02 замкну
тое подмножество, О. == q>+ 1(02), функция {: Д ----+ IR непрерывна
на 02 и равна О вне 02. Тоеда
1 f(x)dx == 1 f(<p(t»/ det(dq>(t»! dt.
О 2 о,
Лемма 18.2. Теорема 18.2 верна, если q> nростейший диффео
морфизм.
Доказательство. Можно считать, что q>;(x)==x; при i> 1. По Te
орем е Фубини и формуле замены переменной в одномерlIОМ случае, мы
имеем
[ fdx =.1 QOOf(X" - - - , x")dX') dx' - - - dx"
1. rz {(Х' (t), х', - - - , x")1 det( d (I)) I dt') dx' -- - dx"
== 1 f(tl, ..., tn)1 det(dq>(t» I dt l ... dt n . О
о,
Лемма 18.3. Если теорема верна для диффеоморфизмов q>.: 01----+D 2
и q>2: Ь 2 ----+Ь 3 , то она верна и для диффеоморфизма <P20q>1: 0........03.
89
Доказательство. Соrласно теореме 5.4, мы имеем d(q>2 о q>1) ==
== dq>2dq>.. Поэтому
f f(x)dx == f f(q>2(t)) Idet(dq>2(t))I dl ==
О3 [).1
== f f(q>2(q>. (s))) Idet(dq>2(I(s))) I Idet(dq> 1 (s» I ds ==
о,
== f f(q>2(q> I (s») Idet(d(q>2 о q>1)(s»1 ds. о
ОI
Д О К а з а т е л ь с Т В О Т е о р е м ы 1 8. 2. Соrласно лемме 10.1. д.IIЯ
1 Е iJ существует окрестность И/ 3 1, в которой функция q> разлаrается в
комп зицию простейших. Ввиду компактности множества D. существует
D С U k И . такими множествами И;. Соrласно Teope
конечное покрытие 1 .
;==1 . IDn IR. такие что g. Е coo(lR.n),
ме 18.1, существуют функции gl, ... , gk. n ----+ . ·
( ) О ( И ) и g . ( x ) 1 на D 2 Соrласно леммам 18.2 и 18.3, Te
g; х == вне q> ; L.J. .
орема выполняется н = аждом из множеств И; д.IIЯ функции g;{. Поэтому
J f(x)dx J (t,g;(X) )f(X)dx t, / g;(x)f(x)dx
2
== t f g;(x)f(x)dx == t 1 g;(x(/»f(x(/» I det(dq>(/» I dl ==
;=I.,(U;) .==1 и/
== f tg;(X(t))f(X(/»I det(dq>(/»I dl == f f(x(t)) I det(dq>(/» I dl. О
k ;=! ОI
U и;
/=1
Задача 18.1. Докажите, что теорема 18.2 остается верной д.IIЯ всех
Х фу нк ци й а также д.IIЯ несобственных интеrралов по MHO
интеrрируемы ,
жеству Е с IR. n .
19. ИнтеzраЛbl, зависящие от параметра.
Пусть Х с Rn, Т с R k . Функцию {: Х Х Т ----+ IR. можно рассм тривать
как семейство функций на Х, зависящих от параметра 1 Е Т, МХ) {(х, 1).
Пусть t o конечная или бесконечная предельная точка множества Т.
90
j
" ,
11
I
Определение. rоворят, что семейство функций Мх) сходится к {(х)
равномерно при 1 ----+ 10, если д.IIЯ любоrо Е > О существует окрестность И
точки 10, такая что 'МХ) {(х) I < Е при 1 Е И n Т Д.IIЯ любых х.
Теорема 19.1 (критерий Коши). Для тою чтобы семейство Функ
ций Мх) равномерно сходuлось к некоторой функции при 1 ----+ 10.
необходимо и достаточно, чтобы для люБОi!О Е > О существова
да окрестность И точки 10, такая что Iftl (х) {'2 (х)! < Е при всех
t 1, 12 Е И n Т, х Е Х.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Если Мх) сходится равномерно к {(х), то суще
Е
ствует окрестность И точки 10. такая что Ift(x) {(х) I < 2 при 1 Е И n Т. Но
тоrда д.IIЯ любых t l , t 2 Е И n Т выполняется равенство Iftl (х) f t 2(x)l < Е.
Пусть теперь описанный в теореме критерий ВЫполнен. Torдa, соrласно
критерию Коши, функция {(х) == liт Мх) существует. Пусть Е > О И И
t to
окрестность, такая что Ift, (х) {/ 2 (х) I < Е при всех х Е Х и 11, t 2 Е и n Т.
Тоrда Iftl (х) {(х)1 == liт Iftl (х) f t 2(x)l Е. О
'2 to
Теорема 19.2. Пусть каждая из функций семейства ft(X) Henpe
рывна (на Х). а само семейство Мх) равномерно сходится к {(х) при
t ----+ 10. Тоеда функция {(х) непрерывна.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Пусть хо Е Х, Е > О И и окрестность точки 10.
такая что Ift(x) {(х)l < Е/3 при любых х Е Х, 1 Е и n Т. Пусть l' Е И n Т и
V OKpeCTHOCTb точки хо, такая что ",,(х) ft'(xo) I < Е/3 при х Е V. Тоrда
If(x) '(Хо)l I(f(x) {,,(х» + (ft'(x) {,'(хо» + (ft'(xo) {(хо»1
If(x) ft'(x)/ + Ift'(x) {/,(хо)1 + Ift'(xo) {(Хо)l < Е. О
Задача 19.1. Докажите, что если последовательность функций, непре
рывных на компакте, монотонно сходится к непрерывной функции, то эта
последовательность сходится равномерно. В частности, последователь
ность {n(х) == n( I х'/n) при n ----+ 00 равномерно сходится к In( 1/ х) на
промежутке [а, Ь] с (О, 1).
Теорема 19.3. Пусть семейство интеерируемых Оi!раниченных на
измеримом Х функций Мх) равномерно сходится к функции {(х) при
t ----+ t o . Тоеда функция {(х) интеерируема на Х и
! f(X)dX == liт f ft(X)dx.
, to
х Х
Доказательство. Пусть Е> О И U OKpeCTHOCTb точки t o , такая
е:
что Ift(x) '(х)1 < з Vol(X) при любых х Е Х, 1 Е и n Т. Пусть l' Е и n Т и
91
{(а:} покрытие множества Х, такое что S{/ }(f/,) S{/ }(f/,) < Е/3. Тоrда
S{/ }(f) S{/ }(f) == (S{/ }(f) S{/ }(f/,» + (S{/ }(f/,) S{/ }(f/,» +
+ (S { l } (ft') S{/ }(f)) sup If(x) {/.(х)! Vol(X) + (S{/ }(f/,)
хЕХ
S{/ }(ft'» + sup If(x) {/,(х)l Vol(X) < Е,
хЕХ
т. е. интеrpал J f(x)dx существует. Но Torдa при t Е U выполняются pa
Х
ь
Определение. rоворят, что интеrрал F(y) == J {(х, y)dx равномерно
а
сходится на отрезке [с, d), если д.IIЯ любоrо t, а t < Ь, и у Е [с. d] инте
/
rpал F/(y) == J {(х, y)dx существует и функции F/(y) равномерно сходятся
а
при t ----+ Ь на отрезке [с, d). Аналоrично определяется равномерная сходи
ь
мость д.IIЯ J {(х, y)dx, rде а < х Ь.
венства
1I f(x)dx / ft(X)dXI 1 If(x) f/(x)ldx ,
Х Х Х
и
Задача 19.2. Докажите, что д.IIЯ равномерной сходимости необходимо
/2
и достаточно, чтобы \1'Е > О 3Б > О \1't., t 2 Е (Ь 'Б, Ь): IJ {(х, y)dxl < Е при
11
т. e.lim J fr(x)dx == J f(x)dx. О
t to Х Х
Теорема 19.4. Пусть {== {(х, у)!х Е {х с IRn, у Е 'и tIR} замкну
тый брусок, функция {: /----+ IR непрерывна, функция ду существует
и непрерывна. Тоеда функция F(y) == J {(х, y)dx принадлежит классу
1.
всех у.
ь
Задача 19.3. Докажите, что если If(x,y)l g(x,y) и интеrрал J g(x,y)dx
а
ь
сходится равномерно на У, то интеrрал J f(x,y)dx тоже сходится paBHO
IF(Yo + h) F(yo) (/ ; (x, yo)dx )hl
1.
Ilf(X, Уо + h) {(х, уо) ; (х, Yo)hldX Ssuplhl,
1.
мерно на У.
Задача 19.4. Докажите, что д.IIЯ несобственных равномерно сходящих
ся интеrралов верны аналоrи теорем 19.2, 19.3 и если, кроме Toro, интеrрал
ь дt
J ду dx сходится равномерно, то верен и аналоr теоремы 19.4.
а
а
J дt
С' и Р(у) == д(Х' y)dx.
1. у
Д О К а з а т е л ь с Т В о. По теореме Лаrранжа
20. r u В функцuu Эйлера.
I дt дt I
r д: е S ве р хняя сумма Дарбу функции sup д (х, уо + 8h) д у (Х, уо)
sup 0<8< I 'у
на бруске /Х. Таким образом, соrласно теореме 19.3 и задаче 19.1
+00
Определение. Положим r(cx) == J xa: 'e xdx, rдe сх > о.
о
Лемма 20.1. Функция r(cx) бесконечно дифференцируема и
1F'(Yo) 1 ; (x, yo)dXI ==
1.
== liт l F(yo + h) F(yo) 1 дt (х, yo)dX I Iim Ssup == о. о
h O h ду h O
1.
Рассмотрим теперь несобственный интеrрал от функции {: / ----+ IR, rде
/ == {(х, у) I а х < Ь, с у d} и Ь Е IR. или Ь == 00.
+00
r1n)(cx) == 1 x"' llnn xe xdx.
о
Д о к а з а т е л ь с Т В о: Пусть О < а сх. Тоrда
I Xa: 11 n I а
Iim а n Х == lim /xa: 2 Inn х/ == о.
x +o X2 I x +O
Следовательно,
а
3 с \1'0 < х с: 1x"' llnn xe XI < X2 '.
92
93
с
Значит, соrласно задаче 19.3, J x"' llnn xe xdx сходится равномерно на
о
сх Е (а, +00). Пусть сх Ь < 00. Torдa
1x"' 1 ,пn xe XI xb lllnn xle x
+00
при Х 1. Поэтому интеrрал J x"' I ,пn xe X dx сходится равномерно на
с
+00
схЕ (О, Ь]. Таким образом, интеrрал J x"' llnn xe xdx равномерно сходится
о
на любом (а, Ь]. Далее используем задачу 19.4. О
Лемма 20.2. Справедливы равенства r(cx+ 1) ==схПсх) и r(n) ==(n I)!
при цеЛblХ n.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Проинтеrрировав по частям, получаем
Лемма 20.4. Справедливо равенство
r( ) 1 . о: (п I)!
сх == 1т n .
n oo CX(11 + 1)... (11 + п 1)
1
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Сделаем замену х == In и, используя задачи
и
19.1, 19.4, получим, что
I I
r(cx) == J lnO: '(.!.)dU == liт nO: ! J (l U )O: 'dU.
и n oo
О О
Сделав замену и == v n И используя лемму 20.3, получим, что
+00
r(cx + 1) == x"'e xltoo + сх J x"' 'e xdx == I1r(cx).
о
I J
no: 1 J(l u )o: ldu == по: J vn I(l v)o: Jdv ==
о о
+00
Кроме Toro, r(l) == J e xdx == e xltoo == 1.
о
о
о: В( ) О: (п 1 )! О
==n n,сх ==n 11(11+1)...(I1+n I)'
f(l1)f( )
Задача 20.1. Докажите, что В(сх, ) == f(11 + ) .
f(y)f(y I1 )
Задача 20.2. Докажите, что F(cx, , У, 1) == [(у (1)f(y ) rипер
rеометрическая функция.
I
Определение. ДЛя сх, > о положим B(cx, ) == J x"' '(1 X)IHdx.
о
Лемма 20.3. Справедливы равенства
В(сх, ) == B( , сх),
(п 1)1
В(сх. n) == 11(11+ 1)...(I1+n 1) '
I1 I
В(сх, ) == 1 В(сх 1, ),
11+
В( ) == (п I)!(m I)!
m. n (п + m I)! '
если n и т цеЛblе.
Д о к а з а т е л ь с Т В о. Равенство В(сх, ) == B( , сх) доказывается с по
мощью замены х t---+ I х. Проинтеrрировав по частям, получаем
I I
В(сх, ) == x"' J(l x)pl + 11; 1 f x"' 2(l x)Pdx ==
о о
I
== 11; I f x"' 2((1 x)P 1 (1 x)P 1 x)dx== 11; 1 В(сх 1, ) 11; 1 В(сх, )
о
Кроме TOro, В(сх. 1) == l/cx.
о
94
95