Автор: Кнойбюль Ф.К.  

Теги: физика   энергоиздат   справочное пособие  

Год: 1981

Похожие

Курс физики

Физика. Полный курс. Примеры, задачи, решения

Справочник по элементарной физике

Физика. Том 1

Текст
                    Ф.К. Кнойбюлъ
Пособи е
для повторения
ФИЗИКИ


Ф.К. Кнойбюлъ
Пособие для повторения
ФИЗИКИ
Перевод с немецкого
кандидата физико-математических
наук
Л. В. БЕ Ρ КОВ А
МОСКВА ЭНЕРГОИЗДАТ 1981


Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Механика материальной
точки 8
§ 1.1. Основные понятия 8
1.1.1. Механика 8
1.1.2. Масса и материальная точка 8
1.1.3. Длина 9
1.1.4. Время 9
§ 1.2. Кинематика материальной точки 12
1.2.1. Движение материальной точки в
одном измерении 12
1.2.2. Движение материальной точки в
пространстве 13
1.2.3. Движение по окружности 15
1.2.4. Кинематика, связанная с
траекторией материальной точки . 17
§ 1.3. Законы Ньютона 19
1.3.1. Закон параллелограмма сил, или 1Q
четвертый закон Ньютона (следствие) l y
1.3.2. Закон равенства действия и
противодействия, или третий закон Нью- 1Q
тона, или закон взаимодействия сил 1У
1.3.3. Закон инерции, или первый за- оп
кон Ньютона lKi
1.3.4. Основной закон динамики, или 9П
второй закон Ньютона zu
1.3.5. Интегральная форма основного 01
закона гх
§ 1.4. Работа и энергия 21
1.4.1. Работа 21
1.4.2. Мощность 2^
1.4.3. Силовые поля *^
1.4.4. Консервативные силовые поля ^4
1.4.5. Потенциальная энергия *5
1.4.6. Кинетическая энергия ... 25
§ 1.5. Тяготение 26
1.5.1. Законы Кеплера 26
1.5.2. Закон всемирного тяготения
Ньютона 26
1.5.3. Гравитационное поле
материальной точки 27
1.5.4. Гравитационное поле системы
материальных точек 28
1.5.5. Распределение масс и плотность 29
1.5.6. Гравитационное поле
непрерывного распределения масс 29
1.57. Гравитационное поле однородного
шара 30
1.5.8. Вес 30
1.5.9. Движения, обусловленные весом 31
1.5.10. Равенство тяжелой и инертной
масс 32
§ 1.6. Центральные движения . . . . зз
1.6.1. Механический вращательный
момент и момент импульса .... 33
1.6.2. Движения, обусловленные
центральными силами 33
§ 1.7. Отдача и ракетный двигатель 34
1.7.1. Отдача орудия 34
1.7.2. Тяга сопла 35
1.7.3. Общее уравнение движения
ракеты 35
1.7.4. Движение ракеты, на которую не
действуют внешние силы ... 35
§ 1.8. Система материальных точек . . 35
1.8.1. Изменение полного импульса под
действием внешних сил 35
1.8.2. Сохранение импульса .... 36
1.8.3. Теорема о центре инерции 36
1.8.4. Теорема об изменении момента
импульса 36
1.8.5. Сохранение момента импульса 37
1.8.6. Закон сохранения энергии 38
§ 1.9. Столкновения 38
1.9.1. Задача о столкновениях 38
1.9.2. Законы сохранения ' · ' qq
1.9.3. Типы столкновений «
1.9.4. Столкновение по прямой ... 39
1.9.5. Плоское упругое столкновение
одинаковых масс 39
Глава 2. Теория относительности . . 39
§ 2.1. Классическая теория
относительности равномерно движущихся
систем отсчета 40
§ 2.2. Классическая относительность
ускоренных систем отсчета 40
2.2.1. Силы инерции 40
2.2.2. Принцип Ж. д'Аламбера ... 41
2.2.3. Равномерно вращающиеся
системы отсчета 41
2.2.4. Земля как вращающаяся система
отсчета 42
§ 2.3. Частная теория относительности 43
2.3.1. Противоречия классической
теории относительности 43
2.3.2. Теория Эйнштейна ... 44
2.3.3. Предел малых скоростей . .44
§ 2.4. Некоторые следствия частной
теории относительности .... 45
2.4.1. Сложение скоростей .... 45
2.4.2. Лоренцевское сокращение 4 5
2.4.3. Замедление времени .... 45
2.4.4. Относительность одновременности 46
2.4.5. Релятивистское ускорение 46
§ 2.5. Релятивистская энергия ... 46
2.5.1. Соотношение Эйнштейна ... 46
2.5.2. Релятивистская энергия и масса
покоя 46
2.5.3. Энергия медленных частиц . 47
2.5.4. Релятивистские энергия и
импульс 47
Глава 3. Механика абсолютно
твердых тел 47
§ 3.1. Основные положения и
кинематика 47
3.1.1. Определение абсолютно твер- ?
дого тела Л.
3.1.2. Масса и плотность *'
3.1.3. Центр инерции *'
3.1.4. Вращения абсолютно твердого
тела II
3.1.5. Степени свободы движения **
§ 3.2. Статика абсолютно твердого
тела 49
3.2.1. Силы, действующие на абсолют-
но твердое тело т*
3.2.2. Пара сил "
3.2.3. Динама 50
3.2.4. Действие силы тяжести на абсо-
лютно твердое тело öü
§ 3.3. Жесткий ротатор 51
3.3.1. Кинематика жесткого ротатора . 51
3.3.2. Момент инерции 51
3.3.3. Момент импульса жесткого
ротатора J» J
3.3.4. Динамика жесткого ротатора j>j
3.3.5. Физический маятник 54
§ 3.4. ВОЛЧОК . . 54
3.4.1. Кинематика волчка ... 54
3.4.2. Момент импульса и кинетическая
энергия 55
3.4.3. Динамика свободного волчка *?ь
3.4.4. Волчок под действием сил öö
Глава 4. Механика деформируемых
сред 59
§ 4.1. Механические свойства вещества 59
4.1.1. Механические напряжения 59
4.1.2. Поверхностное натяжение £*
4.1.3. Механические свойства тел 63
§ 4.2. Статика жидкостей и газов . . 64
4.2.1. Массовые силы £4
4.2.2. Объемные силы °*
4.2.3. Давление и градиент давления . Ь4
4.2.4. Жидкости и газы в поле тяжести 65
§ 4.3. Кинематика жидкостей и газов . 66
4.3.1. Локальные и полные временные
изменения Ь6


4.3.2. Уравнение непрерывности ... 67
4.3.3. Стационарные течения ... 68
4.3.4. Течения несжимаемых жидкостей 68
4.3.5. Стационарные потенциальные
течения 69
4.3.6. Вращение и циркуляция ... 69
§ 4.4. Динамика невязких жидкостей и
газов . 69
4.4.1. Дифференциальное уравнение
движения 69
4.4.2. Уравнение Бернулли .... 70
4.4.3. Уравнение Бернулли для
несжимаемых невязких жидкостей ... 70
4.4.4. Ламинарное течение
несжимаемой невязкой жидкости в трубе 71
§ 4.5. Потенциальные течения
несжимаемых жидкостей 71
4.5.1. Определение 7l
4.5.2. Потенциал скорости .... 71
4.5.3. Парадокс д'Аламбера . ... 71
4.5.4. Комплексное представление
плоского потенциального течения .71
4.5.5. Комплексное представление
источника на плоскости 72
4.5.6. Комплексное представление
потенциального обтекания цилиндра 73
§ 4.6. Вихрь .73
4.6.1. Потенциальный вихрь .... 73
4.6.2. Теоремы Гельмгольца о вихре 74
§ 4.7. Сверхзвуковые течения .... 74
4.7.1. Конус Маха 74
4.7.2. Дозвуковое и сверхзвуковое
течение идеального'газа в трубе . 75
§ 4.8. Динамика вязких жидкостей и
газов . 76
4.8.1. Простое описание вязкости 1**
4.8.2. Тензоры вязких напряжений . Ί-1
4.8.3. Вязкие объемные силы . JJ
4.8.4. Уравнение движения вязких сред *7
4.8.5. Пограничный слой Прандтля 78
4.8.6. Сопротивление трения вязкой
жидкости 78
§ 4.9. Турбулентные течения .... 79
4.9.1. Понятие турбулентного течения . 79
4.9.2. Критерий Рейнольдса . ... 8°
4.9.3. Турбулентное течение в круглой
трубе 80
4.9.4. Сопротивление давления
обтекаемых тел .80
§4.10. Динамическая подъемная сила . 81
4.10.1. Закон Жуковского— Кутты 81
4.10.2. Эффект Магнуса 82
4.10.3. Подъемная сила и
индуцированное сопротивление крыла ... 82
Глава 5. Электричество и магнетизм . 83
§ 5.1. Электростатика 83
5.1.1. Электрический заряд . ... 83
5.1.2. Взаимодействие двух точечных
электрических зарядов 84
5.1.3. Электрические поля . ... 84
5.1.4. Уравнение электростатического
поля 86
5.1.5. Электростатика металлов . .87
5.1.6. Энергия в электрическом поле 90
5.1.7. Силы в электрическом поле . 90
5.1.8. Постоянный электрический
диполь 91
5.1.9. Индуцированный электрический
диполь 92
5.1.10. Диэлектрики в электрическом
поле 93
§ 5.2. Постоянный электрический ток . 96
5.2.1. Электрический ток . ... 96
5.2.2. Законы Фарадея для
электролитов 97
5.2.3. Закон Ома 9 7
5.2.4. Удельное сопротивление и
электрическая проводимость . 98
5.2.5. Температурная зависимость
удельного сопротивления . . .98
5.2.6. Микроскопический смысл
электрической проводимости 99
5.2.7. Уравнение непрерывности
электрического тока 100
5.2.8. Потенциальная теория омических
проводников 101
5.2.9. Мощность электрического тока . 101
§ 5.3. Магнетизм ιοί
5.3.1. Введение 101
5.3.2. Магнитный диполь . ... 102
5.3.3. Уравнение магнитного поля, или
четвертое уравнение Максвелла .103
5.3.4. Магнитные поля электрических
токов 103
5.3.5. Движущиеся электрические
заряды в магнитном поле 104
5.3.6. Закон индукции Фарадея, или
второй закон Максвелла . . .105
5.3.7. Энергия магнитного поля . . .108
5.3.8. Магнитный диполь как круговой
ток 108
5.3.9. Магнитные свойства вещества . 109
§ 5.4. Квазистационарные токи . . . из
5.4.1. Введение 113
5.4.2. Линейные схемы 114
5.4.3. Переменные токи 114
5.4.4. Переходные процессы и импульсы 1 16
§ 5.5. Уравнения Максвелла . . . . ns
5.5.1. Исправление закона протекяния
тока Ампера 118
5.5.2. Полная феноменологическая
теория электричества и магнетизма 118
5.5.3. Электромагнитные свойства
вакуума 118
Глава 6. Колебания и волны . . . . 119
§ 6.1. Гармонические колебания . . . 119
6.1.1. Определение 119
6.1.2. Примеры гармонических
осцилляторов Н9
6.1.3. Решение уравнения движения
гармонического осциллятора .119
6.1.4. Энергия гармонического
осциллятора 120
§ 6.2. Линейные затухающие
гармонические колебания ...... 120
6.2.1. Определение 120
6.2.2. Примеры линейных затухающих
гармонических осцилляторов .120
6.2.3. Решения уравнения движения . 121
§ 6.3. Вынужденные гармонические
колебания 122
6.3.1. Определение 122
6.3.2. Пример. Вынужденные колебания
в последовательном LRC
колебательном контуре 122
6.3.3. Вынужденные колебания при
подкритическом затухании . . . .122
6.3.4. Резонанс и добротность . . .123
§ 6.4. Положительная и отрицательная
обратная связь 124
6.4.1. Определение 124
6.4.2. Пропорциональная току
положительная или отрицательная обратная
связь в LRC колебательном контуре . 124
6.4.3. Влияние на колебания
положительной и отрицательной обратной
связи 124
§ 6.5. Связанные колебания . . . . 125
6.5.1. Система уравнений движения . 125
6.5.2. Нормальные координаты и
собственные круговые частоты . . -125
6.5.3. Нормальные, или собственные,
колебания 125
6.5.4. Влияние связи на вырожденные
нормальные колебания 126
6.5.5. Колебания двухатомных молекул 126
6.5.6. Колебания многоатомных
молекул 127
6.5.7. Биения 127
§ 6.6. Частотный спектр 127
6.6.1. Ряды Фурье 127
6.6.2. Амплитудная модуляция -128
6.6.3. Преобразование Фурье 129
§ 6.7. Двумерные гармонические
колебания 129
6.7.1. Фигуры Лиссажу '29
6.7.2. Сравнение фаз колебаний с
одинаковыми частотами 129
6.7.3. Двумерные колебания е
различными частотами * . . * . . .130


§ 6.8. Волны и скорости волн . . .130
6.8.1. Основные положения . . J 30
6.8.2. Гармонические волны . . . {31
6.8.3. Дисперсия и групповая скорость 132
§ 6.9. Волны без дисперсии . . . .134
6.9.1. Волновое уравнение .134
6.9.2. Решение волнового уравнения . J 34
6.9.3. Волны в струне 135
6.9.4. Звуковые волны в жидкостях и
газах 135
6.9.5. Электромагнитные волны в
вакууме 137
§6.10. Волны с дисперсией 139
6.10.1. Волны в линейной цепочке . .139
6.10.2. Волны на поверхности
жидкостей 139
6.10.3. Электромагнитные волны в
диспергирующих средах 140
6.10.4. Плазменные волны . .140
§ 6.11. Стоячие волны 141
6.11.1. Основные положения . .141
6.11.2. Стоячие волны в струнах .142
6.11.3. Стоячие волны в мембранах . 142
§6.12. Отражение и преломление волн
на плоских поверхностях раздела из
6.12.1. Отражение при нормальном
падении 143
6.12.2. Закон преломления Снеллиуса . 143
6.12.3. Полное внутреннее отражение . 144
6.12.4. Поляризация при отражении и
преломлении 144
§6.13. Лучевая оптика 145
6.13.1. Геометрическая оптика .145
6.13.2. Время распространения и
световой путь 145
6.13.3. Принцип Ферма 145
6.13.4. Теневая оптика 146
6.13.5. Фотометрия 147
§6.14. Интерференция 148
6.14.1. Принцип суперпозиции 148
6.14.2. Двухлучевая интерференция . 148
6.14.3. Интерференция звука по Квинке 149
6.14.4. Интерферометр Майкельсона . 149
6.14.5. Фурье-спектроскопия . -149
6.14.6. Многолучевая интерференция . 150
6.14.7. Интерферометр Фабри—Перо . 150
6.14.8. Когерентность 15i
§6.15. Дифракция 151
6.15.1. Дифракция и геометрическая
оптика 151
6.15.2. Принцип Гюйгенса .152
6.15.3. Дифракция Фраунгофера на
щели 152
6.15.4. Дифракционная решетка .153
6.15.5. Изображение в линзах 154
§6.16. Эффект Доплера .154
6.16.1. Нормальный эффект Доплера . 155
6.16.2. Эффект Доплера для
электромагнитных волн в вакууме . .155
Глава 7. Квантовая и волновая
механика ,55
§ 7.1. Квантовая теория
электромагнитного излучения 155
7.1.1. Соотношения Планка . . .155
7.1.2. Фотоэлектрический эффект .156
7.1.3. Тормозное излучение . .156
7.1.4. Эффект Комптона 157
7.1.5. Давление излучения . . .157
§ 7.2. Волновая природа материальных
частиц 158
7.2.1. Соотношения де Бройля . .158
7.2.2. Дисперсионное соотношение для
волн де Бройля 158
7.2.3. Катодные лучи 158
§ 7.3. Основы волновой механики . .159
7.3.1. Предмет и особенности волновой
механики 159
7.3.2. Квантовомеханические операторы 160
7.3.3. Оператор Гамильтона . . . .160
7.3.4. Зависящее от времени уравнение
Шредингера 161
7.3.5. Не зависящее от времени
уравнение Шредингера 161
§ 7.4. Смысл волновой функции . . .163
7.4.1. Вероятность местонахождения . 163
7.4.2. Средние значения и
среднеквадратичные отклонения наблюдаемых . 164
7.4.3. Перестановочные соотношения
Гейзенберга и соотношение
неопределенностей 165
7.4.4. Уравнение непрерывности в
волновой механике 165
7.4.5. Математические свойства
собственных функций 166
7.4.6. Матричное представление кванто-
вомеханических операторов . . . .167
§ 7.5. Волновая механика одномерного
гармонического осциллятора . .168
7.5.1. Уравнение Шредингера
гармонического осциллятора 168
7.5.2. Решение уравнения Шредингера 169
§ 7.6. Квантовая механика момента
импульса .170
7.6.1. Операторы момента импульса . 170
7.6.2. Собственные функции и
собственные значения 170
§ 7.7. Квантованные магнитные ди-
польные моменты 171
7.7.1. Магнетон Бора 171
7.7.2. Квантованный магнитный диполь-
ный момент, связанный с моментом
импульса электрона 172
7.7.3. Спин электрона и его магнитный
момент 173
7.7.4. Ядерные спины и их магнитные
моменты 173
§ 7.8. Квантовая механика атома
водорода 174
7.8.1. Простая модель атома водорода 174
7.8.2. Уравнение Шредингера атома во- „
дорода \'\
7.8.3. Решение уравнения Шредингера j'jj
7.8.4. Момент импульса атома водорода 176
7.8.5. Точно измеримые наблюдаемые
в атоме водорода 177
7.8.6. Спектральные линии атома
водорода I77
Глава 8. Термодинамика '77
§ 8.1. Уравнение состояния и
температура \Ц
8.1.1. Основные понятия · · · 178
8.1.2. Агрегатные состояния и фазы . }7q
8.1.3. Температурные шкалы . . .
8.1.4. Уравнение состояния идеальных 180
газов
8.1.5. Уравнение состояния реальных lfln
газов 180
§ 8.2. Теплоемкости \\\
8.2.1. Теплота löi
8.2.2. Удельная и молярная теплоемко- 1Я9
сти lö
8.2.3. Молярные теплоемкости идеаль- 1ft2
ных газов
8.2.4. Молярные теплоемкости твердых 1QO
тел 182
§ 8.3. Теплопроводность JJ3
8.3.1. Тепловой поток 1ЪО
8.3.2. Первое уравнение теплопровод-
ности ХЬ6
8.3.3. Уравнение непрерывности для
теплоты ' °4
8.3.4. Второе уравнение теплопроводно-
сти ,ö4
8.3.5. Стационарное одномерное
распространение теплоты J«*
8.3.6. Одномерный тепловой источник . *°4
§ 8.4. Теплота, работа и энергия . .185
8.4.1. Работа, совершаемая над
термодинамической системой и получаемая
от нее }Ц
8.4.2. Первое начало термодинамики . *öd
8.4.3. Молярные теплоемкости
идеальных газов *86
§ 8.5. Энтропия и второе начало
термодинамики 187
8.5.1. Термодинамические процессы . 187
8.5.2. Обратимые адиабатические
процессы в идеальных газах . J 87
8.5.3. Цикл Карно <88


8.5.4. Энтропия 189
8.5.5. Второе начало термодинамики . 190
§ 8.6. Термодинамические потенциалы 191
8.6.1. Обзор 191
8.6.2. Внутренняя энергия .191
8.6.3. Энтальпия 191
8.6.4. Свободная энергия Гельмгольца . 192
8.6.5. Потенциал Гиббса . .192
8.6.6. Соотношения между
термодинамическими потенциалами и
параметрами состояния 193
§ 8.7. Специальные термодинамические
процессы 193
8.7.1. Изотермо-изобарический процесс
фазового превращения 193
8.7.2. Эффект Джоуля—Томсона .194
§ 8.8. Тепловая теорема Нернста . .194
8.8.1. Энтропия при абсолютном нуле . 194
8.8.2. Недостижимость абсолютного
нуля 195
Глава 9. Статистическая механика . 195
§ 9.1. Броуновское движение . . . .196
9.1.1. Явление и его значение .196
9.1.2. Формула Эйнштейна .196
§ 9.2. Статистика Больцмана . . . .196
9.2.1. Описание системы 196
9.2.2. Фазовое пространство .196
9.2.3. Статистические средние значения 197
9.2.4. Термодинамическая вероятность . 198
9.2.5. Статистика Больцмана для
канонического ансамбля 199
9.2.6. Статистический смысл
термодинамических величин 199
9.2.7. Статистические флуктуации
термодинамических величин .... 200
§ 9.3. Кинетическая теория
одноатомных идеальных газов .... 200
9.3.1. Фазовое пространство .200
9.3.2. Статистическая сумма . . .200
9.3.3. Термодинамические величины . 200
9.3.4. Максвелловское распределение по
скоростям 201
9.3.5. Закон равнораспределения . .201
§ 9.4. Квантовая статистика .... 202
9.4.1. Фермионы и бозоны . .202
9.4.2. Функции распределения Ферми-
Дирака и Бозе—Эйнштейна .2 02
9.4.3. Статистика гармонического
осциллятора 2Όό
9.4.4. Эйнштейновская модель
удельной теплоемкости 204
9.4.5. Плотности состояний . . . . 204
9.4.6. Электронный газ в металлах . 205
9.4.7. Теория теплового излучения . . 205
Глава 10. Атомные ядра и
элементарные частицы 207
§ 10.1. Введение 207
10.1.1. Размеры и энергии .... 207
10.1.2. Эффективное сечение . 208
10.1.3. Рассеяние 208
§ 10.2. Строение атомного ядра . . . 209
10.2.1. Структурные элементы ядра . 209
10.2.2. Радиусы ядер 209
10.2.3. Ядерные силы 210
10.2.4. Энергия связи ядер .210
10.2.5. Ядерные уровни 211
§ 10.3. Радиоактивность 212
10.3.1. Нестабильные ядра .212
10.3.2. Статистический закон распада . 212
10.3.3. α-Распад 213
10.3.4. ß-Распад 214
10.3.5. v-Излучение 215
§ 10.4. Ядерные реакции 215
10.4.1. Ядерные реакции с захватом
нейтронов 216
10.4.2. Ядерные реакции с
заряженными частицами 216
10.4.3. Деление ядер 216
10.4.4. Ядерный синтез 217
§ 10.5. Элементарные частицы . . . .218
Приложения 220
Ш. Список литературы 220
Π 1.1. Общая физика 220
Π 1.2 Специальные вопросы физики . 222
П1.3. Общая математика 224
Π 1.4. Специальные вопросы математики 225
Π 1.5. Словари и справочники . . . 225
П2. Физические единицы 22б
П2.1. Введение 226
П2.1.1. Системы единиц 22*>
П2.1.2. Дольные и кратные единицы . 22£
П2.1.3. Логарифмические единицы . . 226
П2.2. Единицы механических величин 227
П2.3. Единицы электрических и
магнитных величин 229
П2.3.1. Сравнение различных единиц . 229
П2.3.2. Уравнения электромагнитного оол
поля 230
П2.3.3. Описание электрических свойств
вещества 231
П2.3.4. Описание магнитных свойств
вещества 231
П2.4. Шкала электромагнитных волн . 231
П2.5. Единицы термодинамических
величин 231
П2.6. Единицы энергии в
молекулярной физике 232
П2.7. Фотометрические единицы . . \ 232
ПЗ. Физические константы 232
П4. Математические таблицы .... 233
П4.1. Математические константы . . 233
П4.1.1. Действительные числа . по о
П4.1.2. Комплексные числа ....
П4.2. Специальные функции .... 233
П4.2.1. Экспоненциальная функция . ««?
П4.2.2. Натуральный логарифм . . . jol
П4.2.3. Гиперболические функции . . Ζό*
П4.2.4. Обратные гиперболические фун- 0Qf;
кции "в
П4.2.5. Тригонометрические функции .
П4.2.6. Обратные тригонометрические 9Ч7
функции Δόί
П4.2.7. Цилиндрические функции цело- 9Ч7
го порядка "о
П4.2.8. Полиномы Эрмита ^«эу
П4.2.9. Полиномы Лежандра и присое- 94Q
динбнные полиномы Лежандра . "л
П4.2.10. Полиномы Лагерра . 4 υ
П4.2.11. Сферические функции и орби- 0 Λ
тали J4U
П4.2.12. Нормированные собственные 9
функции атома водорода . . 7>А\
П4.2.13. 6-Функция ^4l
П4.3. Ряды Фурье 242
П4.4. Преобразование Лапласа . . . 242
П4.5. Векторная алгебра в
действительном трехмерном
пространстве 2^з
П4.5.1. Определение вектора . .243
П4.5.2. Умножение вектора на действи- 9
тельное число %*i
П4.5.3. Сложение двух векторов . ~4«*
П4.5.4. Линейные комбинации векторов ^44
П4.5.5. Скалярное произведение двух
векторов J44
П4.5.6. Векторное произведение двух
векторов 1\\
П4.5.7. Смешанные произведения . ***
П4.5.8. Декартова система координат . 244
П4.5.9. Полярные и аксиальные
векторы 245
П4.6. Векторный анализ в
действительном трехмерном
пространстве 245
П4.6.1. Определение операторов в
декартовых координатах 245
П4.6.2. Операторы в цилиндрических
координатах 245
П4.6.3. Операторы в сферических
координатах 24°
П4.6.4. Общие правила вычислений . *4°
П4.6.5. Интегральные теоремы . .246
П5. Предметный указатель .... 247


Предисловие
Опыт чтения подготовительного
курса лекций по физике в Федеральной
высшей технической школе в Цюрихе в
течение последних восьми лет побудил
меня написать данное пособие для
повторения. Коллеги и сотрудники
оказали мне в этом полную поддержку.
Особую благодарность я приношу Е. Ви-
зендангеру за внимательный просмотр
рукописи, а также за многочисленные
предложения и исправления. Ценные
советы по главе «Теория относительности»
получил я от В. Бальтеншпергера и по
главе «Атомные ядра и элементарные
частицы» от В. Рюэгга и Л. Реша. Я
также признателен К. Нолль и Г. Шту-
дер за перепечатку текста и формул
и Г. Р. Фогту за исполнение рисунков.
Издательство заслуживает упоминания
за неустанную поддержку и советы, а
моя семья — за неистощимое терпение.
Пособие для повторения задумано как
основа подготовительных лекций по
физике и как. справочник. Студентам оно
поможет слушать лекции,
самостоятельно заниматься и готовиться к
экзаменам. Преподавателям оно может
помочь в борьбе с обычным для
подготовительных лекций цейтнотом, избавляя
их от необходимости долго излагать
формулы, учебные задачи и
доказательства. Пособие даст им возможность
освободить лекционное время для
описания и демонстрации многообразия и
красоты физических явлений.
Содержание пособия для повторения
должно полностью удовлетворить
потребности подготовительных лекций.
Изложены сведения по механике
материальной точки, абсолютно твердым и
деформируемым телам, теории
относительности, электричеству и магнетизму,
колебаниям и волнам, квантовой и
волновой механике, термодинамике и
статистической механике, а также физике
атомного ядра и элементарных частиц.
Круг проблем физики твердого тела
обсуждается в соответствующих главах.
На основании собственного опыта я
думаю, что при двухсеместровом курсе
лекций некоторые из представленных в
пособии тем отпадают.
В тексте используется международная
система единиц (СИ). Связь единиц СИ
с другими физическими единицами
подробно описана в приложении, где для
удобства помещены обширные таблицы.
Численные значения физических
постоянных приведены в тексте и в
приложении по новейшим данным измерений.
Буквенные символы физических
величин отвечают рекомендациям
Международного союза чистой и прикладной
физики.
Математические познания студентов
в сильной степени различны. Поэтому
предусмотрено приложение, в котором
собрано большое количество
математических формул. Там же содержится и
словарь специальных терминов,
причем принято во внимание, что
английский язык является основным языком
современной физики*.
Фриц Кнойбюль
Цюрих, 15 августа 1974 г.
Профессор, доктор естествознания Фриц
Курт Кнойбюль
Родился в 1931 г. в Цюрихе. Изучал
физику в Федеральной высшей технической
школе, Цюрих. В 1955 г. — диплом у Г. Буша,
в 1959 г. — аспирантура у. Г. Г. Гюнтхарда.
Стипендия имени Рамсея в
Университетском колледже, Лондон, и в Саутгемптонском
университете, Великобритания. В 1960 г.
стипендия Греффлина в Университете им.
Джона Гопкинса, Балтимор, США. С 1961 г.
научный сотрудник у Г. Буша и В. Канцига
в Федеральной высшей технической школе,
Цюрих. 1963 г. — защита диссертации, 1966 г.
— профессор-ассистент, 1970 г. — и. о.
профессора, 1972 г. — ординарный профессор
Федеральной высшей технической школы,
Цюрих. В 1976 г. избран членом Общества
ученых им. Джона Гопкинса при
Университете им. Джона Гопкинса, Балтимор. С 1976
по 1978 гг. председатель Отдела квантовой
электроники Европейского физического
Общества. В 1978 г. избран руководителем
физического отделения Федеральной высшей
технической школы, Цюрих.
Научные интересы: физика
инфракрасного излучения, спектроскопия,
спектроскопия Солнца с помощью стратосферных зондов,
измерения спектра теплового излучения
чистых и технических поверхностей. Лазеры и их
применения.
* В русском издании этот словарь
опущен. — Прим. пер.


глава 1. Механика материальной точки
§ 1.1. Основные понятия
1.1.1. Механика. Механика есть
учение о равновесии и движении тел под
действием сил. Классическая механика
(см. гл. 1—4) ограничивается
рассмотрением макроскопических тел, движущихся
со скоростями, значительно меньшими
скорости света в вакууме,
приблизительно равной 300 000 км/с.
Исследование движения тел со скоростями,
сравнимыми со скоростью света в
вакууме, является предметом теории
относительности (см. § 2.3 и 2.4).
Нерелятивистская квантовая и волновая
механика (см. гл. 7) рассматривает
механику электронов и ядер, движущихся с
нерелятивистскими скоростями в
вакууме, атомах, молекулах и кристаллах,
а также взаимодействие этих частиц с
электромагнитными волнами, например
со светом. Элементарные частицы с
большими энергиями и релятивистскими
скоростями изучаются в релятивистской
квантовой механике — квантовой
теории поля.
Классическая механика содержит три
раздела: статику, или учение о силах,
кинематику, или учение о формах
движения, и динамику, или учение о
влиянии сил на движение тел.
Вопросы внутренней структуры тел
и природы их взаимодействий выходят
за рамки классической механики. Для
постановки задач и описания свойств
тел классическая механика
ограничивается рассмотрением соответствующих
модельных тел: материальной точки,
абсолютно твердого тела, упругого тела,
несжимаемой невязкой жидкости,
идеального газа, линейной цепочки и т. п.
Важнейшими единицами механики
являются метр, килограмм и секунда. Эти
же единицы являются базисными
единицами Международной системы единиц
(СИ), которая в основном
используется в данной книге. Дальнейшие
сведения о единицах СИ приведены в
приложении П2.
1.1.2. Масса и материальная точка.
Масса т некоторого тела есть по
определению мера количества вещества,
содержащегося в этом теле. Единицей
массы в системе СИ является
[т] = 1 килограмм = 1 кг.
Килограмм есть масса прототипа
килограмма из платино-иридиевого
сплава, хранящегося во дворце Бретейль под
Парижем. Практически 1 кг равен массе
1 л чистой воды при температуре 4° С.
Типичные массы, кг
Электрон 0,9· Ю-30
Атом водорода 1,7 Ю-27
Молекула протеина 2,2 Ю-24
Вирус гриппа 6· Ю-19
1 л воды 1
Земля 6-10"
Солнце 2-Ю30
Млечный Путь Ю41
Вселенная Ю52
Определение
материальной точки.
Материальная точка есть идеализированное тело,
все вещество которого сосредоточено в
одной точке.
Реализация
материальной точки. Любое реальное тело,
размеры и форма которого
несущественны для рассматриваемой механической
задачи, может быть представлено как
материальная точка. Например:
а) при вычислении движения планет
вокруг Солнца в первом приближении
за материальные точки можно принять
планеты;
б) при вычислении траектории полета
теннисного мяча этот мяч можно в
первом приближении рассматривать как
материальную точку;


в) в простейшей модели атома
водорода электрон и протон принимаются за
материальные точки.
Положение материальной
точки. Положение или координаты
материальной точки в определенный
момент времени / описываются зависящим
от времени радиус-вектором г (t) —
— {* (Οι У (О» ζ (0} или
соответствующими координатами.
1.1.3, Длина. Описание положения ма-
териальной точки с помощью координат
х, у, ζ или радиус-вектора г (t) требует
измерения длины. Длина определяет
геометрическое расстояние между двумя
точками.
Измерение длины и
эталон длины. Измерение некоторой
длины означает количественное
сравнение ее с эталоном длины. Применяемый
эталон длины должен быть
универсальным. Это означает, что он может быть
использован или воспроизведен в
любом месте. Старые эталоны длины не
удовлетворяли этим условиям. Лишь
в настоящее время появились эталоны
длины и методы измерений, которые
могут считаться универсальными.
Субъективные эталоны
длины. Старые меры длины
большей частью отвечали размерам
человеческого тела: дюйм, фут, локоть. В
качестве типичного примера можно
упомянуть 1 каролингский туаз — 6
ступней Карла Великого = 1,9603 м.
Подобные использовавшиеся в торговле
эталоны длины были различны для
разных местностей. Даже в прошлом веке
каждое государство имело свой
собственный эталон.
Метр. В поисках универсального
эталона длины Комитет общественного
спасения определил в Париже 19 фримера
VIII года по революционному
календарю (10 декабря 1799 г.) «метр
истинный и определенный» как 1 метр =
= 1/40 000 000 длины меридиана
Земли = 443,296 парижской «линии»
перуанского туаза.
К сожалению, позднее выяснилось,
что длина меридиана составляет
40 009 100 м и, кроме того, из-за формы
Земли не может быть точно
определена. Поэтому возникла необходимость
определить метр иначе: 1 метр ==
расстоянию между штрихами, нанесенными на
прототип метра из платино-иридиевого
сплава, хранящийся в Международном
бюро мер и весов в Севре.
Метр является единицей длины в
используемой в данной книге системе
единиц СИ:
1 м — 102 см — 103 мм = 106 мкм =
= 1010 А.
Микрофизический
эталон длины. Прототип метра в
Париже имел очевидные недостатки:
точная калибровка любого другого метра
возможна была только в Париже;
прототип метра подвергался внешним
воздействиям, которые невозможно
полностью проконтролировать и
скомпенсировать. Поэтому в 1960 г. был введен
атомно-спектроскопический эталон
длины. По определению,
1 м = 1 650 763,73λ,
где λ — длина волны в вакууме
красного света, который испускается чистым
изотопом криптона 86Кг при переходе
из состояния Ыъ в состояние 2р10.
Такое определение метра на девять
порядков точнее предыдущего и может быть
в принципе воспроизведено в любой
момент и в любом месте. Для этого
достаточно располагать интерферометром и
лазером. Однако новейшие измерения
показали, что даже криптоновый
стандарт не может быть воспроизведен с
достаточной точностью. Возможно, что
в будущем метр будет определен с
помощью более подходящей спектральной
линии (например, с помощью линии
метана с длиной волны 3,39 мкм).
Типичные длины
Размеры Вселенной Ю26 м
Расстояние до соседней галактики
Андромеда Ю22 м
Диаметр Млечного Пути 7 -1020 м
Расстояние до ближайшей звезды
(Альфа Центавра) 4-Ю16 м
Расстояние Солнце—Земля . . .1,5· 10й м
Диаметр Солнца 1,4-10· м
Диаметр Земли 1,3 10' м
Рост человека .1,7 м
Длина волны видимого света . .5· Ю-7 м
Диаметр атома 3 10~10 м
Диаметр ядра ЗЮ~15 м
1.1.4. Время. Другой
фундаментальной величиной в механике является вре-


мя t. Определением времени служит
правило его измерения.
Измерение времени.
Время i между двумя событиями в одном
и том же месте считается измеренным,
если параллельно с этими событиями
наблюдается некоторый физический
процесс, служащий эталоном времени,
который на основании всей совокупности
наших знаний можно рассматривать как
строго периодический или равномерный.
Секунда как
астрофизический эталон времени.
Смена дня и ночи является
приблизительно периодическим событием. Раньше
единственной мерой времени были сутки.
К сожалению, солнечные сутки,
определяемые как интервал времени между
двумя наивысшими положениями Солнца
над горизонтом, не совсем постоянны.
Если взять среднюю продолжительность
солнечных суток в течение года, то
получим средние солнечные сутки. Так как
во многих случаях сутки слишком
велики, чтобы служить мерой времени,
их с древних пор делят на часы (ч),
минуты (мин) и секунды (с):
1 сут = 24 ч = 1440 мин = 86 400 с.
В системе СИ и почти во всех других
системах единицей времени является
секунда (с).
До 1967 г. секунда определялась
длительностью тропического года в 1900 г.
Тропический год — это время между
двумя последовательными прохождениями
Солнца через точки весеннего
равноденствия. При этом тропический год в 1900 г.
равнялся 31 556 925,9747 с.
Периодические эталоны
времени. Любые часы, за
исключением песочных, представляют собой
периодический эталон времени.
Подобный эталон основывается на некотором
как можно более точно периодическом
физическом процессе, именуемом
осциллятором, для наблюдаемой
характеристики которого w как функции времени
справедливо условие
w (ή - w (t + Τ) - w (t + 2Γ) - ...
... = w (t + nT) = ....
Это означает, что наблюдаемая
характеристика w принимает то же самое
значение по прошествии периода времени Т.
Во многих случаях в качестве
периодических эталонов времени используют
гармонические осцилляторы, наблюдаемая
характеристика которых является
гармонической функцией времени:
w (t) = w (ί -f Τ) = w0 cos (2ntlT —
— α) — w0 cos (2πν/ — α) =
= w0 cos (ω^ — °0»
где w0 — амплитуда; ν = 1/7 —
частота; ω = 2π/Γ = 2πν — круговая
частота; α — фаза. Хорошие эталоны времени
требуют применения осцилляторов с
максимально коротким периодом Τ или
большой частотой v.
Эталонами времени служат следующие
осцилляторы:
часы с маятниками, балансами или
камертонами (аккутрон);
электронные часы.
Пример: ν = 5 000 000 с1,
стабильность за 1 мин равна 5 · 10~12.
В последнее время в качестве
эталонов времени стали использовать
атомные и молекулярные часы — так
называемые мазеры. Слово «мазер»
образовано начальными буквами английской
фразы «микроволновое усиление с помощью
вынужденного испускания излучения».
Мазер — это осциллятор, частота
которого определяется изменением
квантовых состояний отдельных атомов или
молекул. Частота ν лежит, как на это
указывает само название мазера, в
микроволновом диапазоне, т. е. равна по
порядку значения 1010 с-1. Подобный
эталон времени весьма стабилен и слабо
зависит от окружающей среды.
Сравнение с другими часами и
осцилляторами осуществляется путем умножения и
смешения частот.
Как эталоны времени представляют
интерес следующие мазеры:
водородный мазер с ν =
= 1420 405 741,7864 с"1, стабильность
за 1 мин равна 7-Ю*"15;
мазер на аммиаке с ν=23 870110 000 с*1,
стабильность за 1 мин равна 7-10"11.
Частота ν этого мазера отвечает инвер;
сионным колебаниям молекул ΝΗ3, на-


холящихся в определенном
вращательном состоянии в газе (рис. 1);
рубидиевый мазер с ν = б 834 682,608
с-1, стабильность за 1 мин равна 6· 10"13;
мазер на 133Cs с ν = 9 192 631 770 с"1,
стабильность за 1 мин равна ^3 X
χ 10~13. С 1967 г. цезиевый мазер
используется как международный эталон
времени для определения секунды.
Принимается, что
1 с - 9 192 631 770Г (133 Cs),
где Τ (133Cs) — период осцилляции це-
зиевого мазера.
Эталоны для больших
промежутков времени. Для
датировки событий, происшедших от 500
до 5-Ю9 лет назад, служит медленный
радиоактивный распад известных
нестабильных ядер. Закон распада
нестабильного ядра утверждает, что
средняя наблюдаемая скорость распада
— dN (/, X)/dt нестабильного ядра X в
момент времени t пропорциональна
количеству этих ядер N (/, X) в данный
момент времени:
— dN {U Х)Ш = (1/τ) Ν (*, X).
Решение этого дифференциального
уравнения имеет вид
N (U Х) = N (0, X) ехр (— //τ),
где τ — среднее время жизни ядра X:
Ν (0.Χ)
τ-#(0, X)"1 f Ш =
= #(0, X)-1? #(*,Х)Л.
Период полураспада пропорционален τ:
7ι/2 = (1η2)τ.
Важнейшие методы измерений с
помощью нестабильных ядер следующие.
Радиоуглеродный
метод. Используется для установления
возраста углеродсодержащих пород в
интервале от 5-Ю2 до 5-10* лет.
Углекислый газ С02 содержит постоянную
примесь 14С. Распад 14С
компенсируется его образованием под воздействием
космического излучения (рис. 2). Со-
Часто вместо τ используют период
полураспада Γι/2, определяемый уравнением
N (7,/2, X) = N (0, Х)/2.

Стратосфера
Атмосфера

Поверхность
Земли
Рис. 2
держание углерода в живых растениях
находится в равновесии с содержанием
С02 в воздухе. Воздух и растения
содержат поэтому одинаковую долю 14С
в углероде. После смерти растения
углеродный обмен прекращается и
содержание в нем 14С начинает
экспоненциально падать с периодом полураспада
7\/2(14С) - 5768 лет = 1,819-10" с.
Урановый метод.
Определение возраста пород и метеоритов
основано на радиоактивном распаде ос-
23 8Т
новного изотопа урана 238U:
23)
U-
. 206
Pb -f 8 4Не Ч- лептоны.
В уране урансодержащих пород,
образовавшихся в давние времена в
результате плавления или химических реакций,
содержатся 20вРЬ и 4Не в атомарном
отношении 1 : 8. Поэтому следует
считать, что они образовались в результате
радиоактивного распада 238U.
Измерение указанных трех компонентов
позволяет установить возраст пород,
пользуясь периодом полураспада
Γι/2(238υ) = 4,5- 10е лет = 1,42 · 1017 с.


Измерение очень
коротких промежутков
времени в физике
элементарных частиц. В физике
элементарных частиц можно определить
время пролета t частиц, движущихся со
скоростью, близкой к скорости света
в вакууме с = 300 000 км/с, измеряя
траекторию полета этих частиц.
Траектории регистрируются
фотопластинками, в камерах Вильсона и
пузырьковых камерах. Так как измеримыми
являются пробеги s порядка 10~6 м, то
можно в соответствии с уравнением t = sic
определить промежутки времени t вплоть
до 3-Ю-15 с.
Типичные промежутки времени
Возраст Вселенной . . . 31017 с = 11010 лет
Возраст Земли 1.41017 с=4,5109лет
Время с момента
появления синантропа . . . 1-10хз с = 3105 лет
Средняя
продолжительность жизни человека 2,1 Ю9 с = 7101 лет
Год 3 107 с=1 год
Сутки 8,64· 104 с
Период маятника часов . 1 с
Период звуковых
колебаний 10-3 с
Период вращения
молекулы 10-12 с
Период световой волны 10~15 с
Время прохождения
светом поперечника атома Ю-19 с
Период колебаний
атомного ядра Ю-21 с
Время прохождения
светом поперечника ядра Ю-24 с
§ 1.2. Кинематика
материальной точки
Предметом кинематики является
описание движения тел независимо от
вызвавшей их причины. В кинематике
материальной точки ее движение
описывается с помощью зависящего от времени
радиус-вектора г (t). Если рассматривать
время t как параметр, то г (t) есть
траектория материальной точки. Другими
важными величинами кинематики
являются скорость ν (t) — dv (t)ldt и
ускорение а (0 = dh (t)/dt2.
Если материальная точка движется
в одном измерении, то для кинематики
достаточно задать скалярную, зависящую
от времени координату χ (t). Для
искривленных траекторий материальной точки
в общем случае представляет интерес
влияние радиуса кривизны R на
ускорение а (t).
1.2.1. Движение материальной точки
в одном измерении.
Задание по л о ж е н и я.
Движение материальной точки в одном
измерении определяется заданием
положения этой точки с помощью скалярной
координаты χ как функции времени t,
что может быть изображено на графике
пути (рис. 3).
x=x(t)
х0=х(0)
Рис. 3
Скорость. Скорость материальной
точки есть, по определению, изменение
положения этой точки за единицу
времени. Если при движении материальной
точки в одном измерении зависимость
координаты от времени задается
функцией χ (/), то скорость материальной
точки υ (0, определяется так (рис. 4):
Рис. 4
υ (t) = lim
Δ*
lim
Δ<-»0 tit
x{t+te)—x(t)
^- = χ,ν(0)
at
= v0.
Ускорение. Ускорение
материальной точки есть, по определению,
изменение ее скорости за единицу
времени. Если материальная точка
движется в одном измерении со скоростью


υ (t), то ее ускорение a (t) определяется
так (рис. 5):
а1
О
t
Рис. 5
a(t) =
,. v(t + M)
hm ——-—-
At-+0 Δί
du (О
v(t) ,. Δι»
—— = hm
\t-+o Μ
dt
= v = x, а (0) = a0.
Единицы. Единицы координаты
χ (t), скорости ν (t) и ускорения a (t)
получаются из единиц СИ для длины
и времени и приведенных выше
определений: [χ (ή] = 1 м; [v (t)] — 1 м-с-1
= 3,6 км-ч"1; [a(t)] = \ м-с~2.
Соотношения между
кинематическими
величинами. В соответствии с определениями,
координата χ (t), скорость υ (t) и
ускорение a (t) связаны математически
следующими соотношениями:
*(0 = *о+ J и (О
dt' =
t
о
t·
= Xo+J{üo+Ja(0^
О I 0
dt'\
t
υ (t) = dx (t)/dt = v0 + Г а (Г) dt"\
о
a (t) = d2x (t)/dt2 = dv (t)/dt.
Пример. Свободное падение
материальной точки при отсутствии сопротивления
воздуха (х—высота материальной точки; g = 9,81
мс-2 — ускорение свободного падения):
х (0 = *о+
+οβί~(er/2) <f;
χ (0) = χ0
ν (t)=v0
a (t)
ST.
ν (0) = y0; a (0) = a0 =
—g
Типичные скорости, м-с-1
Электроны в металлах 5 10~~3
Пешеход 1,4
Автомобиль 15—50
Возбуждение в нервах 40
Ветер силой в 12 баллов .... 50
Самолет
Звук в воздухе при нормальных
условиях
Орудийный снаряд в полете . . .
Спутник Земли
Звук в металлах
Земля на орбите вокруг Солнца .
Свет в вакууме
70—500
340
800—1000
1,2-10»
5-Ю3
310*
3-108
Типичные ускорения, мс-2
Пассажирский поезд 0,1—0,3
Автомобиль 3—8
Свободное падение 9,81
Орудийный снаряд в стволе . . . 5-Ю3
Электрон в вакуумной трубке . . 11016
1.2.2. Движение материальной точки
в пространстве.
1.2.2.1. Общая кинематика.
Радиус-вектор. В
классической механике движение материальной
точки можно однозначно описать с
помощью зависящего от времени радиус-
вектора г = г (0 (рис. 6).
t+At
Начало
системы
отсчета
Траектория
материальной
точки
Рис. 6
Скорость. Определение:
ν (t) = lim
Γ(ί + Δ/)-Γ(0
Δγ(0
lim
Ы-+0 Δί
Δί
dr(t)
dt
Г.
Ускорение. Определение (рис. 7):
v-0
v(t+ot)
Рис. 7


1.2.2.2. Кинематика в декартовых ко-
ординатах. Во многих случаях для опи-
сания движения материальной точки
достаточно задания компонент χ (/), у (/),
г (t) радиус-вектора г (t) в декартовой
системе координат. Компоненты χ (/)»
у (/), г (t) называются просто
координатами точки.
Радиус-вектор (рис. 8)
ify-OCb X
x(t)
Qj-ОСЬ
Рис. 8
г (/) = χ (/) ег + у (t) e2 -f 2 (t) e3 =
Н*(0^(0.*(0)·
Здесь elt е2» е3 — ортонормированный
базис:
ортогональность tx J_ e2 _L e3 ±_ et или
ei · е2 — е2 · ез — ез * ei== 0;
нормированность | е, | = | е21 = | е31 = 1
или
е1-е1 = е2-е2 = е3-е3= 1.
Векторы elt e2, е3 образуют правую
систему, т. е. большой палец правой
руки направлен вдоль ех (ось х),
указательный — вдоль е2 (ось у), средний
вдоль е3 (ось ζ).
Абсолютное значение
радиус-вектора:
г (/) -1 г (0 I - W (/)+*« (0 + г2 (/).
Скорость:
ν (t) = vx (t) ej -f vy (t) e2 -f vz (t) e3 =
HMO. MO. MO);
dr [ dx dy dz
v(/) =
dt { dt ' dt ' dt
= {x(t)ty(t),2(t)\;
vx(t) = x(t), vy(t)^y(t), uz(0=i(Q.
Абсолютное значение ска
ρ о с τ и:
v(t) = \v(t)\ = VOl(t) + Ol(t) + Oi(t) =
Ускорение:
a (t) = ах (0 er + ay (t) e2 + аг (t) e3
НМ0.М0.М01;
*«>=тг={
rf^x dy
г/
άυ.
a(/) =
d/ d/ di
Η МО. МОЯ «I;
d2r Г d2 χ d*y d*z Ί
β* (0 =
d/2 (. d/2 d/2 ' dt*
4*(0.</'(0. *(0l;
do*
У
V/
dt* y '
dt
d*y
dl*
. MO
dl>
dt
dl· ζ
dt*
Абсолютное значение
ускорения:
a (t) = I a (/) | = Kfl^ (0 + a£ (0 + ai (/).
Пример: парабола водяной струи. В
первом приближении можно считать, что
каждая капля воды в водяной струе
представляет собой материальную точку. В
направлении испускания струи на эту каплю
не действует гидравлическое сопротивление
и сопротивление воздуха. В этих
предположениях движение отдельной капли воды в
водяной струе описывается радиус-вектором
г (t) с декартовыми компонентами:
x(t) = x (0) + όχ (0) / - (g/2) /ι = - [g 12) /«;
y(t)=y(0) + Oy(0)t = 0;
*(0=*(0) + M0)/ «MO ·
Компонента по оси χ отвечает движению
материальной точки при свободном падении
без учета сопротивления воздуха, в
соответствии с разд 1.5.9. Так как (/-компонента
равна нулю, то это значит, что частица воды
описывает плоскую траекторию. Эта тра-


ектория является параболой, что очевидно
после исключения из уравнений времени t
как параметра кривой (рис. 9):
Водяная
струя
Рис. 9
*= -(g/2) /2= ~{gl<2) (г/1»0)2= -(g/2vl) г*.
1.2.2.3. Кинематика в сферических
координатах. Сферические координаты
используются в механике главным
образом в тех случаях, когда
рассматриваемая задача в каком-то отношении
обладает сферической симметрией.
Примерами могут служить движения по
поверхности Земли и движения электронов в
атомах.
Определение
сферических координат (рис. 10):
Северный
* А полюс п
Экбатор"
»Меридиан"
Рис. 10
χ = г sin θ cos φ, г2 = χ2 + у2 + ζ2;
y = r sin θ sin φ, cos Q = z/r =
= zlVx2 + y2 + z2\
Новые координаты г, θ, φ являются в
общем случае функциями времени t.
Для земного шара π/2 — θ —
северная географическая широта; φ —
долгота к востоку от гринвичского
меридиана.
Скорость:
vr = vx sin θ cos φ + vy sin θ sin φ -f
4- vz cos θ = r;
vq = vx cos θ cos φ -f vy cos θ sin φ —
— uzsin Θ = γΘ;
νφ=—υχ sin φ + vy cos φ = г sin θ · φ;
ν2 = 'Ζ + г2 (θ2 -f-sin2 θ ·φ2).
Ускорение:
ar = αχ sin θ cos φ + ay sin θ sin φ -f-
+ a2cos6 = "r — /-(e2 + sin20.(p2);
öe = ßx cos θ cos φ + CLy cos θ sin φ —
— аг sin 6 = r θ—/-sinGcosG-(p2 + 2rO;
αφ— —я* sin ц>-}-ay cos φ = r sin θ·φ +
+ 2(p(rsin θ + r cosO-O);
a2 = Q%r + ol+al.
1.2.3. Движение по окружности
(рис. 11). Движение материальной точки
Ук
a(t)
v(t) / „ ,t]
С
χ
z — rcos Θ,
tg φ = y/x;
Puc. U
по окружности, являющейся прототипом
произвольной кривой, для кинематики
материальной точки столь же
фундаментально, как и одномерное движение.
Для движения по окружности наиболее
типично появление радиального
ускорения.


1.2.3.1. Представление в действитель-
ной форме.
Круговая траектория.
Плоскость, в которой лежит окружность:
плоскость ху.
Радиус траектории г = (х2 + у2)1/2 =
— R = const.
Угол поворота φ = arctg (у Ι χ) = φ (t).
Радиус-вектор:
г(0 = {*(0. y(t)} = tf {cos φ (0,
sin φ (0);
χ (t) = R cos φ (/); ί/ (ή =R sin φ (/).
Определение угловой
скорости:
ω (/) = dtp {t)ldt.
Скорость:
ν (0 = dx (t)ldt = {ϋχ (/), и, (0} =
= ω (/) /?{ — sin φ (/), cos φ (0};
Ι ν (01 = ü(f) = <ü{f)R.
Радиальная скорость:
ür (ί) = + νχ (t) COS φ (0 + Vy (t) Χ
X sin φ (/) = 0.
Тангенциальная скорость:
ΐ>φ (0 = — όχ (t) sin φ (t) + νυ (/) X
X cos φ (t) = ν (t).
Ускорение:
a (t) = dv (*)/d* = {ож (0; α, (/)} =
= — ω2 (t) R {cos φ (Q, sin φ (0} +
+ -^ R {- sin φ (0, cos φ (/)};
| а (/) I - a (t) = R {ω4 (t) +
+ (άω(ί)/άή2)1'2.
Радиальное ускорение:
ar (0 = +ax (t) cos φ (t) + ay (t) χ
X sin φ (0 = — /?ω2 (ί).
Тангенциальное ускорение:
οφ (/) = — αΛ (0 sin φ (0 + ay (ή χ
Χ cos φ (/) = + Rdm (t)/dt.
1.2.3.2. Представление в комплексной
форме. Представление движения по
окружности в комплексной форме играет
важную роль в физике. Такое
представление находит применения в теории
колебаний, технике переменных токов,
теории волн и волновой механике. В
основе комплексного представления
движения по окружности лежит теорема
А. де Муавра (1667—1754)
exp (i α) == eia = cos a -f i sin a.
Если заменить действительную плоскость
(ху) плоскостью комплексных чисел ζ =
= х + \у, то, используя приведенную
теорему, можно получить следующие
формулы.
Круговая траектория:
z(t) = x (t) + \у (0 = R exp {ίφ (0} s
χ (t) = Re ζ (ί) = /? cos φ (/); у (t) =
— Im z (t) = R sin φ (/);
|ζ «I = {г (/) г* (f)}"2 = Я.
Скорость:
vK(t) = üx(t) + wy(t) = ^-z(t) = m(t)z(t).
at
Ускорение:
aK(t)=ax(t) + \ay(t)=-£-z(t) =
Ct2
at
1.2.3.3. Равномерное движение по
окружности. Многие движения по
окружности в физике являются
равномерными. По определению, в этом случае
угловая скорость постоянна: ω (t) =
= ω = const; ω = 2πν = 2π/7\ Здесь
ω — круговая частота', ν — частота;
Τ — период. Для угла поворота
получаем φ (t) = ω( + φ0, где φ0 — фаза.
Представление в
действительной форме:
г (t) = R {cos (ωί + φ0), sin (ω/ + φ0)};
| г (/) | = г = Я;
ν (/) = (uR {— sin (ωί + φ0),
cos (ω/ + φ„)};
ν | (/) | = ν = (öR\
a (t) = — (ü2R {cos (tut + φ0),
sin (ω/ + φ0)} = — ω2Γ (t);
I а (0| = а = ω2# = v2/R.
Ускорение а (0 направлено по ра-
диусу\


Представление в
плексной форме:
ком·
г (0 = R exp [i (ωί + φ0)] ξξ Re'1 («<+φ.);
d
vAt)
dt
«к (О
rf2
dt*
г(^)==1Ш2(/);
z(t)=— ω2ζ(ί)
1.2.3.4. Кинематика в плоских
полярных координатах (рис. 12). Плоские
ν или a
yru/!u ar
Рис. 12
полярные координаты приспособлены для
описания движения по окружности.
Однако с их помощью возможно также
описание радиальных движений и скоростей.
Определение плоских полярных
координат:
г (0 = {х2 (0 + у2 (О}'/2;
φ (t) = arctg {у (t)lx (*)};
χ (t) = r (t) cos φ (/);
у (t) = r (t) sin φ (0·
Скорость:
о* = ϋ* + t>J = г* + г2 φ*·
Радиальная скорость:
Vr = vx cos φ -f vy sin φ = r.
Тангенциальная скорость:
ϋφ = — vx sin φ + ν у cos φ =
Ускорение:
а2 = ür + αφ.
Радиальное ускорение:
ar = αΛ cos φ -f α„ sin φ = г -
= r<p.
'2
Тангенциальное ускорение:
·· ·
αφ = — aÄ sin φ -f- Qy cos φ = τφ + 2r φ.
1.2.4. Кинематика, связанная с
траекторией материальной точки. Наиболее
общее и наглядное описание движения
материальной точки основано на
изучении ее траектории методами
дифференциальной геометрии.
1.2.4.1. Дифференциальная геометрия
траектории (рис. 13). Траектория не-
траектория
материальной точки т
т касатель
ная
lis)
\ Соприкасающаяся
окружность
б соприкасающейся
плоскости
Рис. 13
которой точки описывается в
дифференциальной геометрии как кривая, для
которой путь s является параметром.
Время t не играет никакой роли. Оно
впервые вводится в кинематике
материальной точки.
Радиус-вектор как
функция пути:
Радиус-вектор: г = {л:, у, ζ).
Определение пути: ds = | d г | =
= Vdx2 + dy2 + dz2;
s= f ds= (Vdx2 + dy2 +
dz·
Параметризация траектории: r (s) =
= \x(s\ y(s), z(s)}.
Касательный вектор.
Касательный вектор т в точке s траектории
г (s) определяется как
τ (s) = dr (s)/dst I τ (s) \ = 1.
Направление
T(S)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,
касательного вектора:
T = lim ——■—-
As->0 As
Равенство длины единице:
I T (s) I = I dr/ds | = | dr \lds = ds/ds = 1.


Нормаль к траектории
и радиус кривизны.
Нормаль η (s) и радиус кривизны R (s) в
точке s траектории г (s) определяются
формулами:
dx(s)/ds = n(s)/R(s)t |n(s)|=l.
Доказательство. Первый шаг:
(t(s))2-t(s).t(s) = l,
S'O
-f-(t(s))2 = 2t(s)
ds
dT (s) __
откуда
dx(s)
ds
ds
.t(s).
= 0,
Второй шаг: из рис. 14 следует, что
As = R (s) Δφ, Ι Δτ Ι = Ι τ Ι Δφ = Δφ. Это
Соприкасающаяся
окружность
I
Траектория
материальной.
точки т
X(S+US)
AX(s)
Рис. 14
означает, что | Δΐ/Δδ] = | Δτ |/As =
= Δφ//? (s) Δφ = MR (s), откуда | dxlds \ =
= MR (s).
1.2.4.2. Движение материальной
точки по траектории (рис. 15). Способ
Траектория
материальной
точки
касательного вектора т, вектора
нормали η и радиуса кривизны R, если в
зависящий от времени радиус-вектор г(/)
ввести в качестве промежуточного
параметра путь s. При этом радиус-вектор
г = г (s) описывает дифференциальную
геометрию траектории; путь s = s (t)
задает зависимость пути вдоль
траектории от времени. Объединение этих двух
величин дает:
r = r{s(0).
С помощью такого представления
получаем, что скорость
\(t) = v(t)x(t), v(t) = ds(t)/dt.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
ν (t) = dr (s (/)) _= dT ds
' dt ds dt
= t(s (/))»(/).
Ускорение
efM{Lt(/) + ÜÖ.n(0f
dt ' R (t) w
где a, (t) — тангенциальное ускорение,
a an (t) — центростремительное
ускорение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
b{t) = -±-v{t) = -±-{v{t)x(s(t))\ =
at at
dt
ds
dt
Рис. 15
описания. Движение материальной
точки по траектории может быть
описано с помощью
дифференциально-геометрических параметров (см. разд. 1.2.4.1):
dt w R(t)
1.2.4.3. Движение материальной
точки по плоской траектории. В случае,
когда материальная точка движется по
плоской траектории, ее кинематические
характеристики — радиус-вектор,
скорость и ускорение — особенно просто
выражаются через параметры траектории
— касательный вектор, вектор нормали
и радиус кривизны. В декартовых
координатах:
радиус-вектор г = {х (t), у (0} =


скорость ν = {νχ (0, vy (t)) = {*, у);
ускорение а = {ах (t), ay (t)} = (x, у};
элемент пути, равный элементу
длины, ds = V к2 + у2 dt;
касательный вектор τ = (χ/ν χ2 + у2,
ylVx2 + у2};
вектор нормали η = {— ylV x2 -f у2,
x/Vx2 -f у2};
радиус кривизны R =
= (χ2 + y2f'21 (xy - xy)\
величина скорости υ = V χ2 + у2\
тангенциальное ускорение at =
= (хх + yy)/V'x2 + y2\
центростремительное ускорение ап =
= (*# — i#)/V> + #2 = о»/#.
§ 1.3. Законы Ньютона
Физическое понятие силы
определяется косвенно по производимым ею
действиям, а именно по деформации тел
и изменению их движения.
И. Ньютон (1643—1727) в 1686 г.
сумел окончательно связать понятия силы
и «инертной» массы с помощью
следующих четырех законов: 1) закона
инерции; 2) основного закона динамики; 3)
закона равенства действия и
противодействия; 4) закона параллелограмма
сил (как следствия предыдущих
законов).
Первый закон описывает свободные
движения, на которые не действуют
силы. Второй закон определяет силу через
производимое ею изменение движения
тела. Два последних закона определяют
соотношение между силами и
совместное действие сил.
1.3. К Закон параллелограмма сил, или
четвертый закон Ньютона (следствие).
Закон. Закон параллелограмма сил
утверждает, что сила, приложенная в
некоторой точке Р, ведет себя как
связанный с этой точкой вектор F. Тремя
характеристиками силы являются
поэтому точка приложения Р, величина F
и направление е = F/F (рис. 16).
Сложение сил. В
соответствии с законом параллелограмма сил
силы Ff, приложенные в одной точке
Я, складываются как векторы, так что
Рполн (в точке Р) =
= Σ F, (в точке Р).
Рис. 16
Определение равновесия.
По определению, силы F*, приложенные
в одной точке Я, находятся в
равновесии, если
FnoaH (в точке Р) = 2 Fi (в точке Р) = 0.
Пример (рис. 17).
Fi+F2+F3=0;
F.^-F^F,.
1.3.2. Закон равенства действия и
противодействия, или третий закон
Ньютона, или закон взаимодействия сил.
Если тело 1 действует на другое тело 2
с некоторой силой Fi2, то тело 2
действует на тело 1 с такой же, но противо-


положно направленной силой F21· Это
означает, что
Пример. Растяжение пружины (рис.
21): F0 = /χ
Fr, где χ — удлинение пру-
F,i =
-F12 или действие равно
противодействию.
Сила и сила реакции приложены к
разным телам!
Пример 1. Давление шара на опору-
Шар давит в точке касания Ρ на опору
с силой F12. Опора давит на шар с
противоположно направленной силой F2i = — F12
(рис. 18).
Пример 2. Расталкивание двух элек
трически заряженных шаров (рис. 19).
'21
12
Рис. 19
Субъективная
формулировка. Если воздействовать на
механическую систему в точке Ρ с силой FG,
то система реагирует на это воздействие
с силой Fr. В этом случае (рис. 20).
Fr (в точке Р)— —?а (в точке Р)
Принято называть Fa приложенной
силой, a Fr — силой реакции.
Механическая
система j те/10
Рис. 21
жины; / — коэффициент жесткости пружины.
1.3.3. Закон инерции, или первый
закон Ньютона. Всякое тело постоянной
массы сохраняет состояние покоя или
равномерного прямолинейного
движения до тех пор, пока оно не будет
вынуждено изменить это свое состояние
в результате действия сил. В случае
т = const и F = 0
v = const, т. е. а = 0.
Здесь т — масса; F — сила; ν =
dr/dt — скорость и а = dv/dt ■—
ускорение.
Для понимания этого закона
требуется смелая абстракция, так как все
встречающиеся в природе движения
возмущаются различными силами, например
трением или гравитацией.
1.3.4. Основной закон динамики, или
второй закон Ньютона.
шш/^шшшаашшшшшшшшя^шшшшшшшяяшшшшшшшвшшшшшшяаяяшшяшшшш^^шш
Импульс. Основной закон
динамики связывает понятие силы с
динамической величиной, характеризующей
движение, — импульсом р. Для
отдельной материальной точки импульс
определяется соотношением
p = mv.
Рис. 20
Здесь ν — скорость материальной
точки; т — ее «инертная» масса. Название
«инертная масса» указывает на
инертность материальной точки по
отношению к изменению ее движения. В
противоположность инертной массе
«тяжелая» масса определяется законом
тяготения (см. разд. 1.5.2).
В начале XX в. удалось
постулировать (см. 1.5.10), что между инертной


и тяжелой массами нет никакого
различия. На этом основании принято
говорить просто о массе т материальной
точки или тела.
Единица импульса в системе СИ
[р] = Imv] — 1 кг-м-с1.
Второй закон Ньютона.
Производная по времени от импульса ρ
материальной точки равна
действующей силе F:
Этот закон определяет величину и
направление силы через производную от
произведения массы и скорости.
Изменение движения
при постоянной массе.
Если масса т материальной точки
постоянна, то
F = та = там I dt = md2 vidt2,
где а — ускорение материальной точки.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
dp
dt
dt
(mv)
dm
dt
, d\ dv
+ m— — m — .
dt dt
Свободное движение. Если
на материальную точку с импульсом ρ
не действуют силы, то импульс
остается постоянным:
dpi dt = О или ρ = mv = const.
Если масса т постоянна, то отсюда
следует закон инерции (1.3.3):
а = dvldt = О, ν = const.
Динамическая единица
силы. Второй закон Ньютона
позволяет выразить единицу силы через
единицы массы, длины и времени.
Соответствующая единица в системе СИ
— ньютон (Н):
[F] = [dpldt] = 1 Η = 1 кг-м-с2.
Единица силы в системе СГС — дина
(дин):
[F] =1 дин = 1 г-см-с-2 = Ю-5 Н.
1.3.5. Интегральная форма основного
закона.
Импульс силы и
действие силы. Некоторая сила только
тогда оказывает заметное воздействие,
когда ее действие длится достаточное
время. Это становится очевидным, если
проинтегрировать уравнение,
выражающее второй закон Ньютона:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
* 2
Гр<0
dt =
d?(t)
dt
dt =
P(<2)
= j dp.
Описание быстрых
процессов. В случае быстропротекаю-
щих процессов часто невозможно
проследить за характером движения. В
этих случаях обычно известны только
начальное и конечное состояния. Тем
не менее можно с помощью интегральной
формы второго закона Ньютона
высказать суждения о тех силах, которые
действовали в быстром процессе.
Пример. Действие шарика на
поверхность, от которой он отскакивает при
падении. Импульс силы, действующей на поверх
ность (рис. 22, 23):
t* t2
j" ¥r(t)dt=-$F(t)dt=p(ti)~p(t2).
p(V\fflFW S№
ЧЧЧЧЧЧЧЧ^
ti U t
Длительность
соударения
Рис. 22
Рис. 23
§ 1.4. Работа и энергия
1.4.1. Работа.
Определение. Физическое по
нятие работы может быть наглядно оп
ределено как
Работа=действующая сила X путь.


Это можно выразить следующим образом
(рис. 24):
Рис. 24
A№=FQ.Ar; W= Σ FarArj.
Путь s
Здесь W — работа; Fa — действующая
сила; Δγ — перемещение тела под
действием силы. С помощью такого
представления можно определить работу W
более строго (рис. 25). Пусть материаль-
Рис. 25
ная точка т движется под действием
силы Fa по траектории Ь, которая
задается радиус-вектором гь (s), где путь
s — параметр. Тогда работа,
совершенная при перемещении из точки Ах ss
= Г! г rb (sx) в точку А 2 ss г2 = rb (s2),
\W--
= W(Alt
г*
ί
6) =
г,, траектория Ь
S*
Si
,|Гь
(*))
= W (г., г2,
F„(r)dr =
■xb(s)ds.
b) = \
где xb (s) = drb (s)/ds — касательный
вектор к траектории Ь (см. разд. 1.2.4.1).
В общем случае работа зависит от
траектории Ь, а также от начальной
Τι и конечной г2 точек.
Пример( Трение скольжения. Сила
трения скольжения действует в направлении,
противоположном направлению движения; в
идеальном случае она постоянна и равна
Ртр.ск = —^тр.ок t (s) = —.FTp.CK (ν/ν),
где x{s) — касательный вектор к
траектории тела.
Работа, совершаемая при движении по
траектории Ь из точки тх в точку г2 на
преодоление силы трения скольжения, равна
V(rlfrt,ft)=J (-FTp.CK)Tb(s)rfs =
Si
= +Ftv.ck§ Tb(s)'ib(s)ds =
s»
s,
= +^tp.ckJ rfs=+^тр.ск (s2 —Si).
Таким образом, работа, затрачиваемая на
преодоление трения скольжения,
пропорциональна пройденному пути s.
Единица работы. Единица
работы в системе СИ названа джоулем
(Дж) в честь Дж. П. Джоуля (1818—
1889); она равна
[W] = [Fs] = 1 Дж = 1 Н-м -
= 1 кг-м2-с-2 = 1 Вт-с.
1.4.2. Мощность.
Определение. В понятии
работы время не играет никакой роли.
В технике, однако, существенно, какое
время необходимо затратить на
совершение определенной работы. Сведения об
этом дает мощность. Эта величина
определяется как количество работы в
единицу времени:
P^dW/dt
Мощность при движении
материальной точки. Если
материальная точка т движется под
действием силы Fa (/) со скоростью
ν (/), то мощность Ρ (t) равна
i(«=F.W'vW = -FrW'V(0,
где Fr (t) — сила реакции.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Материальная
точка т движется под действием силы


Fc (/) по траектории г (/) (рис. 26).
Работа, совершаемая за время от t0
до /, равна
OVW
-^fa(t)
Рис. 26
№(/о,0 = №(г(/0),г(0) =
г (О t
= jj F«(/)dr(/) = jFa(0-v(0d/ =
г (/») U
t
= \P{t)dt.
Единица мощности.
Единица мощности Ρ в системе СИ — ватт
(Вт) — названа по имени изобретателя
паровой машины Дж. Уатта (1736—
1819):
[Я] = [wit] = 1 Вт = 1 кг-м2 . с-3 =
= 1 Дж· с"1.
Пример. Ускорение автомобиля.
Автомобиль массой т ускоряется из состояния
покоя с помощью двигателя постоянной
мощности Р. Скорость ν и ускорение а
вычисляются следующим образом (рис. 27):
F = P/v = mdv/dt\ 2vdv = d(v*) = {QP/m) dt;
t
"Ч
4P 2P
dt--= /;
m
m
о
ü = T/2P/mVi; o = l/P/2m(l/V/).
1.4.3. Силовые поля.
Определение. Силовое поле
есть область пространства G, в которой
на материальную точку т в каждый
момент времени t действует сила F,
однозначно определяемая радиус-вектором г:
Во многих случаях силовое поле
статично, т. е. F не зависит от t: F (на т) =
= F (г).
Π ρ и м е ρ ы. Поле тяжести (см. 1.5.8),
гравитационное поле (см. 1.5.3),
электрическое поле (см. 5.1.3).
Силовые линии
силового поля. Силовые линии
представляют собой кривые rc>J1(s) в силовом
поле, которые в каждой точке
параллельны силе F. Математически это означает,
что
F {Гсл(*)} = ± ^{Гс.лФ} Тсл (*).
Тел (S) = ^Гсл (s)/ds,
где тс,л (s) — касательный вектор к
рассматриваемой силовой линии (рис. 28).
Сило бая
линия
Ffejistf
Рис. 28
Работа в статическом
силовом поле. Работа W (rlf r2, b),
совершаемая в статическом силовом
поле при перемещении материальной
точки т из точки Γχ в точку г2 по
траектории b против действия силы F (г),
равна
Рис. 27
W (гх, г2, Ь) = +
Fadr
rlf траектория Ъ
\ F (г) dr.


Работа на пути туда и
обратно в статическом
силовом поле. Если движение
туда и обратно в статическом силовом
поле между двумя точками гг и г2
происходит по одной и той же траектории,
то полная совершаемая при этом работа
равна нулю:
W{ritr2,b) + W(r2trub) = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Движение туда: W (г, г + dr, b) =
= — F (г) dr.
Движение обратно: W (г + <2г, г, Ь) =
= + F (г) dr.
Если при движении туда и обратно
в статическом силовом поле между
двумя точками ι*! и г2 используются
различные траектории (Ь и Ь*), то в общем
случае полная совершаемая работа
отлична от нуля: сумма W (гх, г2, Ь) +
+ W (г2, rx, b*) неопределенна для
b Φ b*.
1.4.4. Консервативные силовые поля.
Обзор. Консервативные силовые
поля — это такие силовые поля,
которые удовлетворяют некоторым сильным
ограничениям. Эти ограничения могут
быть описаны с помощью четырех
различных утверждений: 1) работа по
любому замкнутому пути равна нулю;
2) работа не зависит от пути; 3) силовое
поле — безвихревое; 4) в силовом поле
существует потенциальная энергия
(1.4.5).
Все четыре утверждения
эквивалентны. Если выполнено любое из них, то
силовое поле является консервативным.
Примеры. Поле тяжести
гравитационное поле (см. 1.5.3),
тическое поле (см. 5.1.3).
(см. 1.5.8),
электроста-
Определение
консервативного силового поля.
Односвязная область G со статическим
силовым полем F (г) образует
консервативное силовое поле, если работа W,
совершаемая против действия силы F (г)
по любому замкнутому пути b из G,
равна нулю (рис. 29):
/
Траектория Ь
\
Рис. 29
W (Аи Аъ b) = W (гь гь Ь)
-. I
(j) F(r)dr = 0.
rlt путь b
Внутренность шара, эллипсоида,
куба или цилиндра представляет собой
односвязную область. Примером неодно-
связной области является внутренность
тора.
Работа по различным
путям в консервативном
силовом поле. Работа W по пути от
некоторой точки Ах до другой точки А2
в консервативном статическом силовом
поле не зависит от пути b (рис. 30):
Рис. 30
W (rlt тъ Ь) = W (rlt r2, P).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
W (г», г2, Ь) - W (гь г2, &*) =
= W (т19 г» Ь) + W (r2t rlt P) =
= W(rbrub + b*) = 0.
Безвихревой характер
поля. В консервативном силовом поле
G вектор силы F (г) в любой точке г
является безвихревым, т. е.
I rotF(r) = 0


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,
екая теорема Г. Г. Стокса
утверждает, что
Математиче-
(1819—1903)
§
F(r)dr=*-
г ι, путь Ъ Поверхность S
f rotF(r) · nda^O
для любого замкнутого пути ЬУ
ограничивающего некоторую
поверхность S. Следовательно, должно
выполняться условие rot F (г) = 0 в
любой точке г. Вектор η есть вектор
нормали к элементу поверхности da (рис. 31)
/
/ G
F(r) N
W
I
I
\
\
\
I
/
Рис. 31
1.4.5. Потенциальная энергия.
Определение. Зависящая от
координат потенциальная энергия в
консервативном статическом силовом поле
£пот (г) определяется как та работа W,
которую нужно совершить против
действия силы F (г), чтобы попасть из
некоторой произвольной фиксированной
точки г0 в точку г (рис. 32):
пот
(г0)-0
Рис. 32
^пот \Ч -
г
= -\F(r)dr = W(r0,r,b).
1/
Го
Единица потенциальной
энергии. Энергия определяется как
работа. Поэтому единица энергии в
системе СИ — джоуль:
[£пот1 = 1 Дж = 1 Вт-с =
= 1 кг · м:
-2
Однозначность.
Потенциальная энергия в консервативном силовом
поле есть однозначная скалярная
функция координат, так как работа W (г0, г, Ь)
не зависит от пути Ь (1.4.4).
Потенциальная энергия
и работа силы. Если
материальная точка т движется в консервативном
силовом поле под действием силы F (г)
по некоторому пути b от точки г1
до точки г2, то при этом поле совершает
работу
Поэтому потенциальная энергия £пот (г)
характеризует возможность совершения
работы силой F (г) (рис. 33).
Рис. 33
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
№(гь г2, b)=+ j F(r)dr =
rt, путь Ь
Го Г2
f F(r)Jr+ J F(r)dr
г,, путь Ь
г0, путь 6*
= Е„т(г1) — Εη0Ί(τ2).
пот
Сила как градиент
потенциальной энергии. В
консервативном статическом силовом
поле сила F (г) однозначно определяется
потенциальной энергией:
F(r)
grad £пот (г).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: d {Εηοτ (г)} =
= grad £пот (r)dr = — F (r)-dr для
любого dt, откуда следует, что grad £пот (г) =
= - F (г).
1.4.6. Кинетическая энергия.
Определение. Кинетическая
энергия £кин (р) есть работа, которую
нужно затратить для того, чтобы
перевести материальную точку массой т из


состояния покоя в состояние движения
с импульсом ρ (рис. 34).
Рис. 34
Кинетическая энергия
как однозначна я φ ункци я
импульса. Справедлива формула
£кин (Р = гпч) = р2/2т = mv2/2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. На основании
второго закона Ньютона
J dt m J m Qm
0
Единица кинетической
энергии. Кинетическая энергия
измеряется в тех же единицах, что и
работа:
[£Вин1 = [т va/2] - 1 Дж - 1 Вт · с =
= 1 кг-м2-с-2.
§ 1.5. Тяготение
Основные положения. Под
тяготением понимается взаимное
притяжение тел, обусловленное их массами.
Сила тяжести (или вес), действующая
на поверхности Земли на любое тело,
отвечает силе тяготения между телом
и Землей. Сила тяготения и сила
тяжести удовлетворяют требованиям (1.4.4)
для консервативных силовых полей.
Поэтому в поле силы тяжести и
гравитационном поле (поле тяготения) всегда
существует потенциальная энергия
(1.4.5).
1.5.1. Законы Кеплера. Закон
всемирного тяготения и четыре закона
механики (1.3) были сформулированы
Ньютоном для объяснения трех законов
Кеплера о движении планет. Эти
законы явились результатом
астрономических наблюдений и гипотез, сделанных
в XV—XVI вв. Н. Коперник (1473—
1543) постулировал систему мироздания,
в которой Солнце находится в центре.
Эта гелиоцентрическая система, или
система Коперника, основана на идеях,
выдвинутых еще Аристархом Самос-
ским (310—250 до н. э.). Т. Браге
(1546—1601) пытался заменить копер-
никанскую систему своей собственной
модифицированной геоцентрической
системой мироздания. Для обоснования
своей системы Браге провел
максимально точные для того времени измерения
орбит планет. Его астрономические
наблюдения были наилучшими вплоть до
изобретения телескопов. Ассистент
Браге и впоследствии его преемник на
посту математика и придворного астронома
императора Рудольфа II в Праге И.
Кеплер (1571—1630) был, напротив,
убежден в справедливости системы
Коперника и использовал измерения Браге для
формулировки трех основных
кинематических законов движения планет:
первый закон Кеплера (1609):
планеты движутся по эллипсам с Солнцем
в одном из фокусов;
второй закон Кеплера (1609): любой
луч, проведенный от Солнца к какой-то
планете, заметает в равные времена
равные площади;
третий закон Кеплера (1619):
квадраты периодов обращения планет
относятся друг к другу как кубы
больших полуосей их орбит вокруг Солнца.
Законы Кеплера — чисто
кинематические: они описывают движение
планет, не давая никакого объяснения
причинам этого движения.
1.5.2. Закон всемирного тяготения
Ньютона. Ньютон (1643—1727) впервые
попытался ответить на вопрос о
причине движения планет. Наряду с
четырьмя законами механики (§ 1.3) он
ввел тяготение как силу,
ответственную за движение планет (1686). Сила
тяготения удовлетворяет следующему
универсальному закону. Если две
материальные точки 1 и 2 с «тяжелыми» массами
тх и т2 находятся на расстоянии г12
друг от друга, то они притягиваются с
силами Fl2 = — F2i, причем
I Fi2= — Fa= —Gm1m2'r12/rh', I
^i2= ^2i — отх m2/r\2.


Здесь г12—вектор, проведенный от
точки 1 к точке 2; F12 — сила,
приложенная к материальной точке 2 и
вызванная материальной точкой 1, a F21 —
соответствующая сила, приложенная к
материальной точке 1 (рис. 35).
Рис. 35
Определяемая всемирным законом
тяготения тяжелая масса тела не
отличается (см. 1.5.10) от инертной массы,
определяющейся первым и вторым
законами Ньютона (см. 1.3.3 и 1.3.4).
Гравитационная постоянная
(постоянная тяготения) равна, по последним
измерениям, G = 6,672· Ю"11 Н-м2.кг"2.
1.5.3. Гравитационное поле
материальной точки.
Гравитационное поле. В случае
пространственно-дискретного или
непрерывного распределения масс на пробную
материальную точку т0 в точке г
действует зависящая от координат сила
тяготения F (г) — сила
гравитационного поля, представляющего собой
консервативное силовое поле.
Гравитационное поле материальной точки т
определяется формально законом
всемирного тяготения. Это является
исходным пунктом для вычисления всех
других гравитационных полей. Если
материальная точка т находится в
начале координат 0, то на пробную
материальную точку т0 в точке г действует сила
F (г) = — Gm (г/г3) т0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — с помощью
закона всемирного тяготения: т1 = /л,
Щ = Wo» г12 = г.
Вектор напряженности
поля. Если на пробную
материальную точку т0 в гравитационном поле
действует сила F (г), то зависящий от
координат вектор напряженности поля
g (г) определяется как
g(r) = F(r)/m0.
Описание гравитационного поля
пространственного распределения масс с
помощью вектора напряженности поля
g (г) не зависит от пробной массы mQ.
В системе СИ единицей напряженности
поля служит единица ускорения:
[g/r)] = [F/m] = M-c-2
Вектор напряженности
гравитационного поля материальной точки т,
находящейся в начале координат 0,
равен, в соответствии с выражением для
силы F (г),
g(r)= — Gm г/г3.
Безвихревой характер
поля. Гравитационное поле
материальной точки т — безвихревое. Это
следует из прямого вычисления:
rot g (г) = rot (— Gm-r/r3) = 0.
Такое равенство означает, согласно § 1.4,
что гравитационное поле
консервативно. Следовательно, существует
потенциальная энергия.
Потенциальная энергия.
Потенциальную энергию £пот(г)
пробной материальной точки т0,
находящейся в точке г гравитационного поля
материальной точки т, помещенной в
начало координат 0, определяют чаще
всего по отношению к бесконечно
удаленной фиксированной точке г0: г0 = оо:
£Пот (г) = — Gmmjr, Εαοτ (г = оо) = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Потенциальная энергия вычисляется проще всего
как работа, затрачиваемая на
перемещение вдоль радиальной силовой линии
против сил поля (рис. 36):
Рис. 36


£ποτ(Γ) = Ψ (Го, T,b)=-W (Г, Го, ft) =
- - f -(F (r)) dr- + f (~-GmmQ j^dv -
Г Г
J r« r
Гравитационный
потенциал. Если пробная материальная
точка т0 имеет в точке г
гравитационного поля потенциальную энергию
£цот(г)» то гравитационный
потенциал Φ (г) определяется как
Ф(г)-£пот(г)/т0.
Единица гравитационного
потенциала в системе СИ
[Ф] = [EnJm\ = м2.с-2.
В соответствии с разд. 1.4.5
справедливо равенство F (г) = —grad £пот(л),
поэтому вектор напряженности равен
g(r)= — grad Φ (г).
Из этого определения следует, что
гравитационный потенциал
материальной точки т, находящейся в начале
координат 0, равен
Ф(г)= —Gm/г.
Поверхностный
интеграл от вектора
напряженности поля. Поверхностный
интеграл от вектора g (г) для
материальной точки т, взятый по поверхности
концентрической сферы, принимает
значение, играющее важную роль в
потенциальной теории гравитационного
поля:
f g(r)n da= — 4nGm.
Сфера
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (рис. 37):
вектор нормали η = г/г. Элемент поверх-
Рис. 37
ности в сферических координатах da =
— г2 sin ЫЫ^. Тогда
j g(r)nda =
Сфера
= f ( — Gm) — — r2$\nQdQd(p =
J гз г
Сфера
= —Gm f s'mQdQdy——4nGm.
Сфера
Можно показать, что интеграл
сохраняет свое значение, если вместо
концентрической сферической поверхности
взять произвольную поверхность,
окружающую материальную точку.
1.5.4. Гравитационное поле системы
материальных точек.
Вектор напряженности
и гравитационный
потенциал. Система из η материальных
точек с массами mh и координатами rft
обладает следующим гравитационным
полем:
гь
g <r) =-02«»-^
k=l
гь)|з
Ф(г) =
)=-GI>^
ft=l
l(r-rfc)l
Это поле складывается из полей
отдельных материальных точек mfe, поэтому
оно является консервативным и
безвихревым:
rot g (г) = 0.
Поверхностный интеграл
от вектора
напряженности поля. Интеграл от вектора
напряженности поля g(r) по замкнутой


поверхности 5 равен (без
доказательства :
Jg(r)n(5,r)da(Sfr) =
s
= —AnG 2 tnk (внутри S) = —4nGra,
k
где т — полная масса внутри 5.
Вектор нормали к элементу η =
= η (S, г) некоторой замкнутой
поверхности считается всегда направленным
наружу (рис. 38).
Рис. 38
1.5.5. Распределение масс и плотность.
Дискретные и
непрерывные распределения масс.
Дискретное распределение масс
описывается в соответствии с разд. 1.5.4
заданием положения rfe каждой
материальной точки k с массой mfe. Напротив, для
описания непрерывного распределения
масс в макроскопических телах
требуется задание плотности как функции
координат.
Определение плотности.
Если в малом объеме AV вокруг
точки г некоторого непрерывного
распределения масс содержится масса Am, то
плотность ρ в точке г = {*, у, ζ)
определяется как
Р = Р(г) = р(*.0.2)= Hm
&V-+0
Единица плотности.
Единица плотности в системе СИ
отличается от обычно применяемой единицы
1 г-см"3. Она равна
[р] = [m/V] = 1 кг-м-3 = Ю-3 г-см-3.
Типичные значения плотности,
кг-м-3
Межгалактическое пространство . 4 -10— 33
Галактические плотности . . . Л0~2Ъ—Ю-28
Воздух (0°С, 1 атм) 1 ,29
Сатурн 6,9· 10я
Вода Ю3
Солнце 1,4 103
Горные породы на Земле . . . . 2,6· 103
Земля 5,5103
Золото 1,93·10*
Нейтронная звезда, атомное ядро 1017
Плотность и полная мас-
с а. Полная масса т, содержащаяся
в объеме V некоторого распределения
масс и выраженная через плотность
р = р (г) = ρ (дс, у, ζ), равна
т = f ρ (г) dV = j j j ρ (χ, у, ζ) dx dy dz.
V V
1.5.6. Гравитационное поле непрерыв-
ного распределения масс.
Поверхностный
интеграл от вектора
напряженности поля. Если замкнутая
поверхность S ограничивает некоторый
объем V непрерывного распределения
масс с плотностью ρ = ρ (г) = ρ (χ, у, ζ),
то поверхностный интеграл от вектора
напряженности g (г) соответствующего
гравитационного поля равен
g(r)-n(r)da(r) = — 4nGm (внутри S) =
s
= — 4nG (p(r)dV.
Замечание. Этот результат
согласуется с полученным в разд. 1.5.4.
Уравнение поля
тяготения. Для некоторого непрерывного
распределения масс с плотностью ρ =
= ρ (г) вектор напряженности
гравитационного поля g (г) удовлетворяет
уравнению
divg(r) = — 4nGp(r).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — с помощью
математической теоремы К· Ф. Гаусса
(1777—1855). Для любого объема V
некоторого распределения масс с
плотностью ρ = ρ (г), ограниченного зам-


кнутой поверхностью S, выполняется
равенство
^g(r)n(r)dfl(r)=fdivg(r)dV =
= f(-4nGp(r))dV\
откуда следует, что
div g (г) = — 4π Gp (г).
Решение уравнения по-
л я. Решение приведенного уравнения
для гравитационного поля,
отвечающего распределению масс с плотностью
ρ = ρ (г), есть
L(r)=—G f ρ (О (г~г') dV'l
SW J * ' 1(г-г')|з
Пространство
где dV — элемент объема в точке г'.
Замечание. Это решение
соответствует закону всемирного тяготения Ньютона
для большого числа материальных частиц,
возникающих при разбиении пространства
на малые объемы dV.
Уравнение Пуассона
для гравитационного
потенциала. Гравитационный
потенциал Φ (г) непрерывного распределения
масс с плотностью ρ = ρ (г)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
С. Д. Пуассона (1781—1840):
ΔΦ (г) = div grad Φ (г) = + 4rcGp (г).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
div g (г) = div (-— grad Φ (г)) =
= — ΔΦ (г) = — 4nGp (г).
Решение уравнения Π у-,
а с с о н а . Решение уравнения
Пуассона для гравитационного потенциала
Φ (г) некоторого распределения масс
с плотностью ρ = ρ (г) имеет вид
Ф(г)=-С Г ρ (О ' dV\
J I (г—г') I
Пространство
где dV—элемент объема в точке г'.
1.5.7. Гравитационное поле
однородного шара. Гравитационное поле
однородного шара радиусом R и плотностью
ρ =J р0 при г < R описывает в первом
приближении гравитационное поле или
поле тяжести Земли. В силу
сферической симметрии задачи можно вычислить
g (г) на любом расстоянии от центра
шара с помощью уравнения поля
тяготения и математической теоремы
Гаусса.
Масса шара равна т = (4π/3) #3ρο·
Вектор напряженности поля g(r)
и гравитационный потенциал Φ (г)
равны:
при г > R
£ (г) = - Gmlr\
Φ (г) - — Gm/r,
при г = R
£ W = - GmlR\
Φ (г) - — GmlR\
при r<R g(r) = -G-^- r,
φ (Γ) = _G JL- (Α. #2_ J_ Α.
Здесь величина g (г) взята
отрицательной, так как вектор g (г) направлен в
сторону, противоположную вектору г
(рис. 39).
Рис. 39
Гравитационное поле
вне шара. Гравитационное поле
вне шара выглядит таким образом, как
будто вся масса шара сосредоточена в
его центре. Для этой области можно
заменить шар материальной точкой
массы т, помещенной в центр шара.
1.5.8. Вес.
Вес как следствие
тяготения. Вес Fof или сила тяжести,
некоторого тела на поверхности Земли
есть следствие притяжения между
массой Μ Земли и массой т тела. Если
приближенно считать Землю шаром ра-


диусом R и массой Λί, то вес Fg,
приходящийся на единицу массы m
некоторого тела, будет равен вектору
напряженности g (г) гравитационного поля
Земли на ее поверхности:
FG/m = g = g(r = R)
GMR/R\
где R — вектор, проведенный из центра
Земли к точке на поверхности, в
которой находится тело; g — так называемое
ускорение свободного падения; среднее
значение этой величины на поверхности
Земли равно g = 9,81 м-с-2.
Поле тяжести. Если
наблюдать вес Fg тела массой m в
лаборатории, то он оказывается постоянным и
одинаково направленным:
FG/m = g = const.
Вектор g есть вектор напряженности
этого так называемого поля тяжести.
Оно консервативное и безвихревое, так
как rot g = 0.
Потенциальная энергия
в поле тяжести. Так как
поле тяжести консервативно, оно
обладает потенциальной энергией Εποτ
и потенциалом Ф. Эти величины
зависят только от высоты h материальной
точки:
Ε пот = тФ = mgh.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (рис. 40). Ось
ζ направлена вертикально вверх про-
0
I
Рис. 40
тивоположно вектору g = {0, 0, —g).
Если материальная точка m переносится
из начала координат 0 ==ξ {0, 0, 0} по
траектории b в точку А с координатами
г = {х, у, ζ = /ι}, то при этом
совершается работа против действия силы
тяжести Fg == mg:
W(0tr,b) = -§FGdr
о
г
m f g · τ dr
о
h
+ mg f cos α dr = -f mg f dz =
о о
+ mgh = Ε
ποτ·
Технические единицы. Вес
часто используют в технике для
определения единицы силы килопонд
(килограмм-сила :
[F] = 1 кп = 1 кгс,
что отвечает весу Fg массы т — \ кг.
Но так как вес слабо зависит от
координат, такая единица не универсальна.
Поэтому нужно связать ее с
динамической единицей силы в системе СИ
(ньютон)), используя соотношение Fg =
= mg:
1 кп = 1 кгс = 9,81 Η =
= 9,81 кг · м · с"2.
Техническая единица силы служит для
определения соответствующих единиц
работы Ψ и мощности Р:
[W1 = 1 кгс-м
IP] = 1 л. с. :
735,75 Вт.
= 9,81 Дж;
= 75 кгС'М'С-1
1.5.9. Движения, обусловленные ве-
сом.
Свободное падение в
пустоте. Если на материальную точку
с постоянной массой т действует
только вес Fg = mg, то дифференциальное
уравнение движения точки имеет вид
на
d2r/dt2=dv/dt = ii = 2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО основано
втором законе Ньютона:
а == F/m = mg/m = g.
Решение дифференциального
уравнения движения с начальными ус-


ловиями г (t = 0)
имеет вид:
г0 и ν (t = 0) = ν
о
г (0 = r0 + tv0 + (tV2) g; v (0
о
'g; а = g.
В компонентах, перпендикулярных и
параллельных полю тяжести,
χ (t) = vx (t) = υχ0,
αχ = 0;
y(t) =
= Уо + tvy0y
ζ (t) =
= Ζ0 + /ϋ2θ —
vy (t) = vy0, ay = 0;
βζ =
£·
Математический маятник.
Математический маятник состоит из
материальной точки массой т,
подвешенной на безмассовой нити длиной d.
На материальную точку действуют
только вес Fq = tng и натяжение нити.
Требуется определить колебания
маятника, описываемые углом отклонения
нити φ как функции времени t.
Дифференциальное уравнение движения
математического маятника имеет вид
d2 φ (t)/dt* 4- ω£ sin φ (0 = 0,
где (o0 = (g/d)'/2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (рис. 41):
Fg sin φ = mg sin φ =
= — md-d\/di2;
d2y/dt2 = — igld) sin φ.
Для малых
отклонений φ колебания
математического маятника —
гармонические (см. § 6.1).
В этом случае sin ф«ф
и
Рис. 41
d· φ (*)/<*'*+α>ί φ (/) = 0.
Решением этого
дифференциального уравнения движения является
гармоническое колебание с амплитудой φ0
и фазой а:
φ (t) = φ0 cos (ω0 t — а) =
= (p0cos(2^/T—а).
Здесь ω0 — круговая частота',
= 2π/ω0 — период.
1.5.10. Равенство тяжелой и инерт-
ной масс. При рассмотрении вопросов
данного параграфа (§ 1.5) все время
подразумевалось равенство «тяжелой» и
«инертной» масс. «Тяжелая» масса щ
материальной точки определяется
законом всемирного тяготения (см. 1.5.2),
а ее инертная масса тн определяется
первым и вторым законами Ньютона
(см. 1.3.3 и 1.3.4). Связь между тяжелой
и инертной массами можно изучать
классическими способами,
предложенными Г. Галилеем (1564—1642), И.
Ньютоном (1643—1727) и Р. Этвешем (1848—
1919). Галилей проводил опыты со
свободным падением тел (см. 1.5.9),
Ньютон — с математическим маятником, а
Этвеш сравнивал тяготение Земли с
центробежной силой (2.2.3),
возникающей при ее вращении. Результат этих
опытов заключается в том, что тТ —
= сети, где α — некоторая
универсальная константа, не зависящая ни от
массы тела, ни от природы вещества,
из которого оно состоит.
В качестве примера рассмотрим
свободное падение материальной точки
постоянной массы. Если различать
тяжелую массу пц и инертную массу ти,
то на основании второго закона
Ньютона и закона всемирного тяготения,
примененного к притяжению Земли (1.5.8),
получим
F = /пи а =
Gm.
Μ
tf3
R
или а =
G
tu
Μ
m
и
R
R
Экспериментально установлено, как
это сделал еще Галилей, что а = g —
= const, g « 9,81 м-с-2, независимо от
рассматриваемого тела и его массы.
Тоэтому величина α = пц/Шц
универсальна.


А. Эйнштейн (1879—1955)
постулировал в общей теории относительности
(1916), что α = 1, или
тт равно ти,
так что можно везде полагать тп =
= тТ = т.
§ 1.6. Центральные движения
Многие задачи механики сводятся к
движению вокруг некоторого центра.
Часто этот центр выделен тем, что все
силы, которые действуют на
материальную точку или точки, направлены
к этому центру или от него. Такие силы
называют центральными силами.
Примером движения вокруг центра
является движение планет вокруг Солнца.
При изучении движений под
действием центральных сил оказывается, что
для их описания наиболее подходят две
специальные механические величины —
механический вращательный момент Τ
и момент количества движения, или
момент импульса L.
1.6.1. Механический вращательный
момент и момент импульса.
Определение
механического вращательного
момента. Если на материальную
точку т действует сила Fm, то, по
определению, механический вращательный
момент этой силы (Т0) по отношению к
некоторому центру 0 равен
О — г0т X «т»
где г0т — вектор, направленный из
центра 0 в точку приложения т силы Fm
(рис. 42).
Рис. 42
Определение момента
импульса. Момент импульса, или
момент количества движения L0
материальной точки т с импульсом ρ —
= mv по отношению к некоторому
центру 0, по определению, равен
Lo = Гот Χ ρ = r0m X mv,
гдег0т — вектор, направленный из
центра 0 к материальной точке т (рис. 43).
Рис. 43
Теорема о моменте
импульса. Производная по времени
момента импульса L0 равна
действующему механическому вращательному
моменту Т0, если Lo и Т0 определены по
отношению к одному и тому же
центру 0:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
^-L0 = ^(r0rnxp) =
= (^r0mxmvj + (r0mx-A.p) =
= Г0т X Fm =Τ0·
1.6.2. Движения, обусловленные
центральными силами.
Определение
центральной силы. Сила Fm, действующая
на материальную точку т, является
центральной силой по отношению к центру
0, если она параллельна или антипарал-
лельна вектору г0т.
Механический
вращательный момент
центральных сил. Механический
вращательный момент Т0 центральной силы
Fm равен нулю:
Т0 (центральная сила) = 0.


mi
Для цент-
откуда Τо =
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
ральной силы Fm || г0
~ Гот X "т ~ "·
Сохранение момента
импульса. Если материальная точка
т движется под действием центральной
силы Fm, то момент импульса точки L0
по отношению к центру силы 0 постоянен:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для
центральной силы Fm имеем: j L0 = Т0 — 0.
Закон площадей, или
второй закон Кеплера (1.5.1).
Радиус-вектор г (t) материальной
точки постоянной массы т перемещается
под влиянием центральной силы в
некоторой плоскости и заметает за
равные промежутки времени t равные
площади А (рис. 44):
■"А
Траектория
материальной
точки
Рис. 44
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для
центральной силы Lo = const,
i^-d/ = ~(r χ v)d/ = -i-(r χ dr) = dAt
2m 2 2 '
откуда следует, что r_L L0 и dr_L L0,
т. е. движение плоское, и А — L0t/2m.
§ 1.7. Отдача и ракетный
двигатель
Введение. Масса большинства
рассматриваемых в механике тел
постоянна. В противоположность этому
масса ракеты уменьшается со временем.
Поэтому для описания движения ракеты
следует использовать общий вид
основного закона динамики (1.3.4):
d , . dm .
(wv)= —r- v-(-ma.
dt
dt
dt
Принцип работы ракетного двигателя
основан на законе равенства действия
и противодействия (1.3.2), и поэтому
здесь имеется аналогия с отдачей при
выстреле из орудия.
1.7.1. Отдача орудия (рис. 45). Для
силы отдачи Fr орудия справедлива
формула:
где т — масса снаряда; v0 — скорость
снаряда в стволе; t0 — время полета
снаряда в стволе; d— длина ствола.
?а- действующа?-?
сила Fr~ сила
отдачи
7777777777777777777777777777777
Рис. 45
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Закон
равенства действия и противодействия:
F = F
■а * г·
Второй закон Ньютона: ρ = mv0 =
= FJo = — Fr/0; Fr = — m\0/t0.
Работа и кинетическая энергия: £ки ,-—
= mv20/2 = W (0, d) = Fad.
Пример. Если т — 40 кг, v0
м ♦ с-1, d = 5 м, то /> = 10е Н.
500


1.7.2. Тяга сопла (рис. 46). Для сопла
с массой рабочего тела т (/), которое
£-сила*^
газ
Рис. 46
при сгорании вылетает из сопла в виде
газа со скоростью vraa, сила тяги FT
равна
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Fa= -FT= -4. =-i- {тгаз (Ol vra3 =
dt
где Fa — сила, с которой газ
выталкивается из сопла.
Пример. Еслиигаз — 500 м/с, dm/dt ~
= 1 кг - с-1, то FT = 500 Η.
1.7.3. Общее уравнение движения
ракеты. Уравнение движения ракеты
(рис. 47) с зависящей от времени полной
vW+vMi
Рис. 47
массой т (/) и скоростью истечения газа
по отношению к ракете νΓ33 в случае,
когда на ракету действует внешняя
сила F, имеет вид
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. j тгаз (t)
— £mW;
._ d? _
dt
= /m(0*i2. + Ü»iÖv(o]-
dt
dt
dm(t)
dt
(v(0 + vrM) =
-m(0
dv(
dm(t)
dt
dt
Следствие. Работа ракетного
двигателя не зависит от скорости
ракеты и от окружающей ракету среды.
1.7.4. Движение ракеты, на которую
не действуют внешние силы. Если на
ракету не действуют никакие внешние
силы F, то из начальных условий т (0) =
= т0 и ν (0) = vo следует, что
движение происходит со скоростью
ν (0 = vo—vra3 In {mjm (ή).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из /п^ =
dm
dm
dT
'газ
следует, что dv — — vra3.
m
§ 1.8. Система материальных
точек
Определение. Система
материальных точек состоит из п
материальных точек с массами тх. Массы mt
считаются постоянными.
Примеры. Газы, жидкости, упругие
тела, жесткие тела, атомы, молекулы,
планетная система.
Цель рассмотрения.
Встречающиеся в природе и технике
механические системы и тела состоят в
большинстве случаев из большого
количества маленьких частиц, которые можно
рассматривать как материальные
точки. Например, в одном моле вещества
содержится п « 6-Ю23 молекул. Связь
и поведение механических величин
таких механических систем описывают,
не прибегая к описанию динамики
отдельной материальной точки.
1.8.1. Изменение полного импульса
под действием внешних сил.
Теорема об изменении
импульса. Если в некоторой
системе на материальные точки т<
действуют внешние силы Fai, то
производная по времени полного импульса ρ =


= Zpi = ZrtiiVi определяется суммой
i I
внешних сил:
-£р=-£?р.-р.-2'..
(теорема об изменении импульса).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (рис. 48): Fai —
внешняя сила, действующая на матери-
Рис. 48
альную точку гщ\ ?ц—внутренняя сила,
действующая со стороны материальной
точки rtij на материальную точку т*;
Fji= — Fjj — закон равенства действия
и противодействия; р, = Fai + Σ F^ — из-
ίφί
менение импульса материальной точки i:
ρ = Σρ£ = Σ?αί + F12 + F21 +
+ F13 '+ F31 + '.· =Σ?αί = Ψα - из-
i
менение полного импульса.
1.8.2. Сохранение импульса. Если на
систему материальных точек не
действуют внешние силы, то полный импульс
этой системы постоянен:
Ρ = Σ Ρί = Σ W« Vf = const.
I ' '
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО— на основании
(1.8.1):
P = Fa = SFai = 0.
1.8.3. Теорема о центре инерции.
Определение центра
инерции. Если описывать
положение центра инерции 5 заданием
радиус-вектора rs, то этот
радиус-вектор определится формулой
rs=2miri /%т1 = (\/т),%т1г1.
i I i i
Полный импульс и
скорость центра инерции. Для
полного импульса системы
материальных точек справедлива формула
p = mvs = — (mrs).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если г* =
= rs + Ri, то 2m/Ri = Σ/π^ —
— mvs = 0. Тогда, так как m* = const,
получаем, что
Ρ = 2 mi yi = — Σ m^fs + R«) =
i dt i
= — (mrs)=mvs.
dt
Движение центра
инерции. Теорему об изменении импульса
системы материальных точек можно с
учетом предыдущего соотношения
записать как теорему о центре инерции:
mas = mvs=SFai.
Отсюда следует, что центр инерции S
движется таким образом, как будто все
массы системы сосредоточены в этой
точке и к ней приложены все внешние
силы.
Постоянство скорости
центра инерции. Если на
систему материальных точек с
постоянными массами т* не действуют внешние
силы, то центр инерции системы
движется с постоянной скоростью vs'·
xs = TS = const.
dt
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: р = const,
откуда vs = p/m = const.
1.8.4. Теорема об изменении момента
импульса.
Механический момент.
Полный механический момент Т0
внешних сил Fai, действующих на систему
материальных точек, относительно
некоторого центра 0 определяется
формулой
Τ0 = ΣΤοί=Σ(Τοι xFal).


Для механического момента Т$
внешних сил относительно центра инерции
S системы выполняется соотношение
Т0 = Ts + TS x Fa.
Доказательство. Так как r0i =rs + rSi, то
То - S(rs + rSi) X Fai = rs χ Σ Fai -f
i i
+ 2(rSi X Fai) = (r5xFfl)+Ts.
Момент импульса. Полный
момент импульса L0 системы
относительно центра О определяется формулой
Lo = Σ Loi = Σ(Γοί Χ Ρ/).
Момент импульса относительно точки О
Lo и момент импульса относительно
центра инерции Ls связаны
соотношением
'Lo = Ls + rsxp.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — аналогично
проведенному для механического
момента.
Теорема об изменении
момента импульса.
Производная по времени полного импульса
Lo системы относительно центра 0
определяется формулой
— L0-T0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
= Σ(Γ„ί Χ Ρι) + Σ(Γ0ίΧΡι) =
Ι ί
= S((Pi/m,) X ρ£) + Σ(Γ0ί Χ Fai) +
i i
+ Σ(γ0Χ Σ F^) = 2(roXFai).
Обращение в нуль третьего члена
можно пояснить геометрически (рис. 49):
Σ Σ (U х Fyi) = r01 х F21 +
i } Φ i
+ 1*02 X F12+ ••• = 0.
\τ****\
Рис. 49
Теорема об изменении момента
импульса справедлива не только для
момента импульса Lo относительно точки
0, но и для момента импульса Ls
относительно центра инерции S, т. е.
она выполняется также в системе
координат с центром в точке S, движущейся
со скоростью vs:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
— Lo = — (Ls + rs χ ρ) -
at at
d , , d , d
=irLs+^rrsXP+r5X^p=
d
dt
Ls + rn (vs X vs) + rsxFa-
= T0=Ts + rs xFa.
1.8.5. Сохранение момента импульса.
Момент импульса
относительно неподвижного
центра. Если на систему
материальных точек mi с центром 0 не действуют
никакие или действуют только
центральные внешние силы, то полный момент
импульса Lo относительно центра 0
постоянен:
Lo = 2(1*01 X Pi) = const.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если Fai
или Fai||roi, то
= 0
dt
Lo = T0 = 2(r°i x ροι) = °·


Момент импульса
относительно центра инерции.
Если на систему материальных точек
ηΐχ не действуют внешние силы, то
момент импульса этой системы Ls
относительно центра инерции S постоянен:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
dt
Ls = Ts^^(rsi xFfli)-0.
1.8.6. Закон сохранения энергии.
^■■■■^■■■■■^■■^■■■■■■■■■■■■■■■■^■■■^■■■■■■■■■■■■■■■^^■■■ш^^^внвняш^вмншн^шнвмнвнвнннннвнннш
Если в замкнутой системе
материальных точек действуют только
консервативные силы, то полная энергия этой
системы постоянна:
L· ькин -f- ьппт — Const.
ποτ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: для системы из
одной материальной точки. Силовое
поле консервативной силы входит в
систему! Поэтому
F = — grad £пот = dp/dt.
Умножение на dr = vdt = (p/m) dt дает
Fdr = — grad EU0Tdr = — dE,
пот
= ρ -dp/m — dE
KHH'
+ dE
пот
dE 4-
dE = 0; Ε — const.
Пример. Энергия пружинного маятни
ка (см. 6.1.2.1):
dpi dt — F——fx; p — mx\
dp dp ρ ρ
—— dx = — dt=dp — = Fdx = — fxdx;
dt dt m m
2m
"Скин "
fx*
= —dE
пот·
dE = dEKHH + αΕηοτ = 0;
Ε = ρ*/2m -f /*a/2 = const.
§ 1.9. Столкновения
1.9.1. Задача о столкновениях. Если
две материальные точки тх и тг с
начальными импульсами рх и р2
сталкиваются друг с другом, то это
означает, что они вступают во взаимодействие.
Можно принять, что в процессе
столкновения не действуют никакие
внешние силы или что эти силы
пренебрежимо малы по сравнению со
взаимодействием частиц.
Определению подлежат импульсы
частиц р\ и р2 после столкновения (рис. 50)
/77,
До столкно~
бвния
После
столкновения
Рис. 50
Задача о столкновении в такой
постановке часто встречается в
экспериментах в ядерной физккз и физике
элементарных частиц. При этом в
столкновениях главным образом участвуют очень
быстрые релятивистские частицы с
массой, зависящей от скорости, и коротким
временем жизни, а также кванты
электромагнитного излучения.
1.9.2. Законы сохранения. Так как
действующие в процессе столкновения
внешние силы либо равны нулю, либо
пренебрежимо малы, то в общем
случае выполняются следующие законы
сохранения:
закон сохранения импульса: р, +
+ Рг = рГ Ч- Р2*.
закон сохранения момента импульса
по отношению к точке 0: Li + L2 =
— Lt -f- L2.
Если массы частиц постоянны, то
помимо этого справедливы:
закон движения центра инерции vs —
= const;
закон сохранения момента импульса
относительно центра инерции S: Lsi +
~\~ Ls2 = Lsi ·+· Ls2·
1.9.3. Типы столкновений. В
соответствии с законом сохранения энергии
полная энергия обеих частиц до и
после столкновения сохраняется.
Столкновение называют упругим, если
сохраняется кинетическая энергия:
+ Ε
кии.? ^КИН,1 Н~~ ^КИН,2·
кинД
кин.2


Если некоторая доля Q
кинетической энергии переходит в другую
форму, то такое столкновение называют
неупругим:
+ ^кин,2 £кин,1 + £кин,2 ι Q*
Q>0.
Специальным случаем неупругого
столкновения является абсолютно
неупругое столкновение, при котором
обе материальные точки после
столкновения соединяются: νί = \1·
1.9.4. Столкновение по прямой (рис.
51). Предположения: тх= const,
m2 = const, v2 = 0.
Wo
vy v2m0
Кг
Щ
П)2 П\ ή
Рис. 51
ΤΠχ
mxv\
Закон сохранения импульса: mxvx =
= mxv\ + m2v\.
Упругое столкновение:
-ψηιχ ν\2 + -γηι2ν*22. Отсюда
——t—- νχ;ν2 = —r2- ν*. В слу-
чае, если тх = m2, то υϊ = 0, ι/£ = ι*!·
Абсолютно неупругое
столкновение:
mi üj. Отсюда Q —
2
Vi = V2
2 l l mx-{-m2
В случае, если тх =
= т2 υ\ — υ\ — νχ/2, το Q = m^i/4.
1.9.5. Плоское упругое столкновение
одинаковых масс (рис. 52).
/>«с. 52
Предположения: тх = т2 =
= m = const; v2 = 0, Q = 0.
Вычисления. Закон
сохранения импульса mvx = т\\ + mv2 дает
Vi = Vi + V2.
Закон сохранения энергии mvJ/2 =
- mvP/2 -f- mv*2V2 дает vf = vi2 +
+ V22. Следовательно, для vx, v\ и υ\
выполнена теорема Пифагора (582—507
до н. э.) (рис. 53). Поэтому θ = π/2.
тх -\-пг.2
Рис. 53
глава 2. Теория относительности
Введение
Предметом различных теорий
относительности является связь между
физическими законами в системах
отсчета, движущихся друг относительно
друга.
Классическая теория
относительности (см. § 2.1 и 2.2) основана на
постулатах Галилея (1564—1642) и
Ньютона (1643—1727). Отличительной
чертой классической теории
относительности является разделение понятий
пространства и времени и суперпозиция
скоростей с помощью простого сложения.
Законы классической теории
относительности отвечают повседневным
представлениям о пространстве и времени.
К концу XIX в. выяснилось, что
соотношения классической теории
относительности, считавшиеся ранее
тривиальными и само собой
разумеющимися, на самом деле вызывают сомнения
в их справедливости. В частности, из
опытов А. Майкельсона (1852—1931) и
других следовало, что скорости света в
вакууме, измеренные в двух движущихся
друг относительно друга системах, рав-


ны. Это противоречило теореме
сложенья скоростей классической теории
относительности. Одновременно было
показано противоречие между
классической теорией относительности и
уравнениями (см. 5.5.3) Дж. К. Максвелла
(1831—1879), лежащими в основе
понимания света как электромагнитной
волны.
После того как окончились неудачей
все попытки объяснить
экспериментальные данные о свойствах
распространения света с помощью «эфира» —
носителя света и других
электромагнитных волн, А. Эйнштейн (1879—1955)
принял в 1905 г. эти данные за
исходный пункт своей частной теории
относительности. В этой теории
пространство и время неразрывно связаны.
Общая теория относительности,
созданная А. Эйнштейном в 1916 г.,
объяснила явление гравитации и
постулировала равенство тяжелой и инертной
масс.
§ 2.1. Классическая теория
относительности равномерно
движущихся систем отсчета
Классическое понимание
относительности равномерно движущихся систем
отсчета покоится на трех основных
допущениях о справедливости: принципа
относительности Ньютона,
преобразования Галилея и классической
механики Ньютона.
Принцип
относительности. Этот принцип описывает связь
между двумя наиболее простыми
системами отсчета, так называемыми инер-
циальными системами (рис. 54).
Рис. 54
Систему координат х, у, z, t называют
инерциальной системой, если
свободная материальная точка в такой
системе движется равномерно и
прямолинейно или покоится.
Принцип относительности
постулирует: если система координат х\ у\
z', t' движется относительно
инерциальной системы ху у, z, t с постоянной
скоростью и, то такая система также
инерциальна.
Преобразование
Галилея. Преобразование Галилея дает
кинематическую связь между
движущимися друг относительно друга
координатными системами х, у, z, t и х', у',
ζ', /'. Это преобразование выглядит
тривиально. Если и — {и, 0, 0}, то
χ
χ — ut\
а: — х' ~\- ut,
ζ = ζ',
t = t\
Теорема сложения. При
преобразовании Галилея скорости
складываются:
У
Z'':
V.
= </;
= ζ;
= t.
\ = v' + u.
Классическая механика.
Законы классической механики
инвариантны относительно преобразования
Галилея:
т = т
F = m
dv_
dt
F = F\
F'=m'
—
dt'
§ 2.2. Классическая
относительность ускоренных
систем отсчета
2.2.1. Силы инерции. Рассмотрим си-
стему отсчета х\ у\ z', t\ движущуюся
относительно инерциальной системы
отсчета х, у, z, t с ускорением as. Тогда
а — а' + as-
Для того чтобы массы т и время t
были одинаковыми в обеих системах,
а основные законы механики не
меняли своего вида, т. е.
t = t'\ т = т\ F = md\ldt\ F' =
= m'd\'ldt\


следует учитывать различие сил F и F'.
Разность между F' и F называют силой
инерции.
В системе отсчета х\ у', z', t',
движущейся ускоренно по отношению к
системе отсчета х, у, ζ, /, на каждую
материальную точку т одновременно с
другими силами действует сила
инерции F„:
F + F„ = F', FH=-mas,
где as — ускорение системы х\ у', z\
t' относительно системы х, у, z, t.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: m = m\t=t\
а = a' -f as; F = ma, F' = ma'. Тогда
F = ma = m (a' + as) = ma' -f m&s =
= F' + mas;
F' = F - mas.
Пример. Невесомость в свободно
падающем лифте. В свободно падающем лифте
вес Fq материальной точки га равен нулю:
Fg = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: FG= mg (тяжелая
масса равна инертной массе!); as =g; Fq = Fg -f
H~ FH = mg — mas = mg — mg = 0.
2.2.2. Принцип Ж. д'Аламбера (1717—
1783).
Задача. Система материальных
точек mi движется под действием внешних
и внутренних сил Fai и ?н. Движение
определяется совокупностью уравнений
движения для материальных точек т*.
Решение этой системы
дифференциальных уравнений может оказаться очень
сложным и ненаглядным. Поэтому
возникает вопрос: нельзя ли эту задачу
динамики формально свести к задаче
статики? Такая задача в большинстве
случаев нагляднее соответствующей
задачи динамики.
Принцип. «Если в движущейся
системе материальных точек mt
заменить соответствующие ускорения а*
силами инерции F„ i = — т*а,, то
динамическая задача сведется формально к
статической».
С точки зрения неподвижного
наблюдателя (рис. 55):
второй закон Ньютона т,а* = fai +
-f Σψη. Динамика.
i
Рис. 55 Рис. 56
С точки зрения сопутствующего
наблюдателя (рис. 56):
принцип д'Аламбера тга; = — FG; +
+ Σ?л или Fui + Fai + Σ?η = 0. Фор-
j !
мальное равновесие. Статика.
2.2.3. Равномерно вращающиеся
системы отсчета.
Введение. Земля, карусель и
молекула в разреженном газе — все это
примеры приблизительно равномерно
вращающихся систем отсчета.
Типичными силами инерции во вращающихся
системах являются центробежная сила
и сила Ко ρ ио лиса
Предположения.
Движущаяся система отсчета х', у\ ζ', t'
вращается в неподвижной системе отсчета х,
у, z, t с постоянной угловой скоростью
ω вокруг неподвижной оси е: ω = ше =
= const, | со | = ω. Обе координатные
системы имеют общее начало, т. е. ось
вращения проходит через нулевую
точку.
Производные по
времени от векторов. Так как
движения относительно обеих систем
различны, то производные по времени от
векторов α в этих системах различаются.
Обозначим производную по времени
от α в неподвижной системе χ, t/, г, t
d
как -β- α; во вращающейся системе χ ,
у', ζ', t' как η?- α. Связь между этими
производными дается формулой
d
dt
-α =
д
dt
■α
Ηώ χ ο.


Скорости. Полагая α = г, на- деляется относительной скоростью ν
ходим для ν = dvldt и ν' = drldt (рис. 57):
Ускорения. Ускорение в
неподвижной системе отсчета определяет-
d
ся как а = —г ν, а относительное
ускорение во вращающейся системе
отсчета — как а' = -^- ν'. Полагая α = ν,
dt
находим
d д ,
— v = ν + ω Χ ν =
dt dt
Рис. 57
Fk= —2m (ω χ ν')^ + 2m(v' χ ω).
2.2.4. Земля как вращающаяся систе-
ма отсчета (рис. 58). В первом прибли-
dt
(ν'+ω Χ Γ) + ω Χ (ν'+ω Χ г) =
dt
ν' + 2ω χ ν' + ω χ (ω χ г).
Отсюда следует соотношение
а = а' + <й χ (ω χ Γ)+2ω χ ν'.
Если разложить г на компоненту г*,
параллельную ω, и компоненту R,
перпендикулярную ω, то г = г* + R, и
тогда
а = а' — ü)2R + 2o> χ ν'.
Силы инерции. Соотношение
между ускорениями а и а' позволяет
с помощью сил инерции установить связь
между силами F и F'
F + F„ = F',
где сила инерции FH представляется
суммой двух членов:
F„
т (ω Χω X г) — 2m (ω Χ ν').
Первый член, центробежная сила,
зависит только от координаты г, но не от
относительной скорости ν':
Fu = — m (ω χ (ω χ г)) = + mw2 R
Второй член, сила Кориолиса (Г. де Ко
риолис (1792—1843)), полностью опре
жении можно считать, что Земля
равномерно вращается вокруг своей оси,
проходящей через Северный и Южный
полюсы, с круговой частотой ω = 2π/1 сут =
= 0,727· 10~4 с~х. Поэтому систему
отсчета, связанную с лабораторией на
поверхности Земли, нельзя
рассматривать как инерциальную систему по
отношению к мировому пространству.
Определим неподвижную систему
отсчета х, у, г, / как декартову систему
координат с началом в центре Земли и
осями, имеющими постоянное
направление в мировом пространстве. Примем
за ось ζ ось юг—север Земли.
В качестве движущейся системы
отсчета рассмотрим лабораторную
систему в некоторой точке поверхности Земли


с географической широтой φ (Цюрих —
47°23'). Расстояние этой точки от центра
Земли г0 составляет г0 —6,36·106 м.
Для координатных осей выберем
следующие направления: ось χ — на
восток, ось у' — на север, ось ζ —
вертикально вверх. Если обозначить ν'
относительную скорость, то получим
следующие выражения для угловой
скорости и сил инерции в такой
движущейся системе отсчета х\ у', z', t'\
вектор угловой скорости
ω = ω {0, cos φ, sin φ},
центробежная сила
?ц = mb)2R0 = т(о2г0 {0, —
— sin φ cos φ, cos2 φ},
сила Кориолиса
Fk = 2mw {v'y sin φ — υ'ζ cos φ,
— ν'χ sin φ, v'y cos φ}.
Маятник Фуко. Названный по имени
Ж. Б. Л. Фуко (1819—1868), опыт с
маятником для доказательства
вращения Земли был впервые проведен в 1661 г.
В. Вивиани и затем воспроизведен
Фуко в 1851 г. в качестве
демонстрационного эксперимента в парижском
Пантеоне. Фуко использовал маятник длиной
67 м, так что период его колебаний
составлял 16,4 с. Вращение Земли
приводит к медленному повороту
наблюдаемой плоскости качания маятника.
Так как маятник связан с Землей
только в точке подвеса и плоскость качаний
маятника поворачивается вокруг
вертикальной оси ζ' у круговая частота ω*
относительного поворота плоскости
качаний маятника равна взятой со
знаком минус проекции вектора ω
вращения Земли на вертикальную ось ζ':
ω* = — о>2 —— ω sin φ.
Поэтому плоскость качаний маятника
вращается с периодом
Т* = 2π/ω sin φ — 1 сут/sin φ =
= 86 400 c/sin φ
вокруг вертикальной оси, где φ —
географическая широта (Париж — 48°50').
§ 2.3. Частная теория
относительности
2.3.1. Противоречия классической
теории относительности.
Противоречие с
электродинамикой. Явления
электричества, магнетизма и
электромагнитных волн (свет, радиоволны,
инфракрасное и ультрафиолетовое
излучение и т. п. ) могут быть описаны с
помощью уравнений (см. 5.5.3) Дж. К.
Максвелла (1831—1879). Эти уравнения,
однако, неинвариантны относительно
преобразования Галилея (см. 2.1.2)
классической теории относительности.
Однако они остаются инвариантными
относительно преобразования,
сформулированного Г. А. Лоренцем (1853—1928).
Если принцип относительности и
уравнения Максвелла должны оставаться
в неизменной форме, то преобразования
Галилея следует модифицировать.
Опыт Майкельсона и
Μ ο ρ л и. Первоначально
постулировалось существование «покоящегося»
мирового пространства, заполненного
средой — «эфиром», в котором свет
распространяется со скоростью с в
любом направлении е (|е| = 1).
«Покоящееся» мировое пространство играет в
такой модели роль жесткой
покоящейся инерциальной системы,
относительно которой звезды описывают свои
траектории. Скорость и любой точки Ρ на
Земле относительно покоящегося
мирового пространства изменяется во
времени. Для каждого момента времени
можно определить вклад вращения
Земли вокруг Солнца (приблизительно
30 км-с-1) и собственного вращения
Земли (0—450 м-с-1). Если измерять
в точке Ρ скорость света в вакууме с*
в направлении е, то в соответствии с
описанной выше моделью и
преобразованием Галилея следует ожидать, что
с* = с — и«е.
Наблюдаемая скорость света с*
должна, следовательно, зависеть от
направления и от времени. А. А. Майкельсон
(1852—1931) и Е. В. Морли (1838—1923)
предложили в 1881 г. очень точный экс-


периментальный способ обнаружения
этого изменения скорости света с*. С
этой целью они использовали
монохроматический пучок света и
названный по имени Майкельсона
интерферометр (6.14.4).
Опыт Майкельсона и Морли дал
отрицательный результат: не было
обнаружено никакой разницы скоростей.
Скорость света с не зависит от
величины и направления скорости и
интерферометра. Преобразование Галилея не
выполняется для света! Концепция
«покоящегося» мирового пространства
несостоятельна.
Существование постоянной скорости
распространения с света в вакууме,
не зависящей от скорости наблюдателя,
находится, однако, в согласии с
уравнениями Максвелла.
2.3.2. Теория Эйнштейна. А.
Эйнштейн (1879—1955) сумел в 1905 г.
объяснить результат опыта
Майкельсона и Морли с помощью частной
теории относительности (ЧТО). Эта теория
рассматривает физические системы,
которые могут обладать очень большими
скоростями. При этом скорость света
в вакууме с играет роль максимально
допустимой скорости. ЧТО вносит
изменения в классическое понимание
относительности (2.1), которое основано
на принципе относительности,
преобразовании Галилея и классической
механике. Собственно принцип
относительности остается неизменным.
Преобразование Галилея заменяется
преобразованием Лоренца. Уравнения
Максвелла считаются справедливыми. С
помощью искусственного приема —
введения зависящей от скорости массы —
можно в определенных случаях
сохранить формально вид ньютоновских
законов механики.
Принцип
относительности. Выполняется принцип
относительности (см. 2.1.1) в классическом
понимании.
Преобразование Лорен-
ц а. Преобразование Г. А. Лоренца
(1853—1928) заменяет преобразование
Галилея (см. 2.1.2). В случае, когда
система координат χ', у', z\ t'
движется относительно системы координат х, у,
z, t со скоростью и = {w, 0, 0}, пре
образование Лоренца имеет вид
х' =
lit
У [—и*/с*
у'" = у.
ζ =zy
χ —
χ' +ut'
Vi —Φ /с2
у^у;
г — г\
t' =
t—их/с2
У1 __ М2/С2
*-=
t'+ux'jc*
Vi— «2 /С*
Электродинамика.
Уравнения Максвелла инвариантны
относительно преобразования Лоренца. Их вид
не изменяется.
Релятивистская
механика. Метрика пространства —
времени в ЧТО существенно отличается
от метрики классической,
ньютоновской . С помощью зависящей от скорости
массы можно, однако, сохранить вид
законов Ньютона.
т —
щ
У\—&/С*
Скорость: ν = — г.
dt
Импульс: ρ = т\
m0v
Сила: F
iL
dt
Vi— fW
m0v
dt lVl~f2/c2
Следствие. С помощью силы F,
имеющей конечное значение,
невозможно ускорить тело с массой покоя т0
до скорости, равной скорости света с.
2.3.3. Предел малых скоростей. Для
физических систем, имеющих скорости
и и и, малые по сравнению со скоростью
света в вакууме с, ЧТО приводит к
результатам, вытекающим из
классического понимания относительности.
Для и <^ с и ν С с или для с « оо
получаем: а) принцип относительности;
б) переход преобразования Лоренца в
преобразование Галилея; в) переход
зависящей от скорости массы т в
постоянную массу т0.


§ 2.4. Некоторые следствия
частной теории относительности
2.4.1. Сложение скоростей.
Материальная точка т движется со скоростью
ν' = {v't О, 0} в инерциальной
системе координат х', у\ z\ t\ которая, в
свою очередь, движется относительно
другой инерциальной системы
координат х, у, z, t со скоростью и = {и, 0, 0}.
Тогда скорость ν = {υ, 0, 0}
материальной точки в другой системе
координат определится формулой
u4-v'
ϋ— ■ .
l-fuo'/c2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Скорости υ =
= x/t, v' = χ'It'.
Преобразование Лоренца (см. 2.3.2):
__*_ _ х*+ut' _ x'/t'+u
~~ t ~~ t' + ux'/c* ~~ l-\-ux'/c2t'
Следствие. Последнее
соотношение может быть преобразовано к виду:
! _ (±V Ä {l-(v'/c)*){l-(u/c)*}
\ С ) {1 +ЫУ' /С2}2
Эта формула подтверждает исходный
пункт релятивистской теории:
скорость света одинакова в любой
инерциальной системе, так как из υ' = с
следует ν = с для любых и ^ с;
тело с массой покоя т0 не может ни
в какой инерциальной системе достичь
скорости света с или превысить ее, так
как из υ' <С с и и <С с следует ν <Ζ с
2.4.2. Лоренцевское сокращение. Инер-
циальная система координат х', у', ζ , t'
движется относительно инерциальной
системы координат х, у, г, t со скоростью
и = {и, 0, 0}.
В движущейся системе х\ у', /, /'
покоится стержень s', расположенный
вдоль оси χ и имеющий длину а'.
Если теперь измерить длину
движущегося стержня s из покоящейся системы
х, у, z, t при условии, что положения
обоих концов стержня s' фиксируются
в один и тот же момент времени ί,
то будет обнаружена меньшая длина а:
a = V^l—и2!с2а' (сокращение длины).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Величина а'
ограничена точками х' = 0 и х' — X':
а' — X' — 0 — Х'\ величина а
ограничена точками χ — Х0 и х' — X: а =
= л — а0.
Преобразование Лоренца (см. 2.3.2):
Х9 Л.—ut η Ао—" ut
У V _
а = Х — Xo = V~~ X' = V~a'.
Пример. Для и = 0,5 с, а' = 1 м
а = 0,87 м.
Замечание. Знак и несуществен в
явлении сокращения длины. Это значит, что
если поменять ролями обе системы,
рассматривая систему х, у, 2, t как движущуюся
со скоростью и ={— и, 0, 0}, а систему
х', у', ζ', V — как покоящуюся, то будет
наблюдаться сокращение длины. Именно, если
в момент времени V измерять из системы
х', у', г', V стержень s длиной а в
движущейся системе х, у, z, t, то будет обнаружена
меньшая длина а' —у а.
2.4.3. Замедление времени. Инерциаль-
ная система координат х'. у', г', /'
движется относительно инерциальной
системы координат х, у, z, t со скоростью
и = {и, 0, 0}. Пусть в движущейся
системе х', у\ г', t' в начале координат
х' = 0, у' — 0, ζ' = 0 происходят два
события А' и В', промежуток времени
между которыми равен /'. Если
наблюдатель в покоящейся системе х, у, г, /
измеряет время, прошедшее между
событиями Л' и θ' в движущейся
системе, то он обнаруживает больший
промежуток времени /:
t{x =
= ut
> У =
= 0,
Vi
-0,
*
У =
— u2
2 =
= 0,
/С2
= 0)
z' =
= 0)
(замедление времени).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — с помощью
преобразования Лоренца (2.3.2).
Пример. Для и = 0,5 с, V = 1 с
/ = 1,15 с.
Экспериментальное
подтверждение замедления
времени. Среднее время жизни
положительного μ-мезона, движущегося со
скоростью, близкой к скорости света,
превышает во много раз время жизни
покоящегося μ-мезона, равное 2· Ю-6 с.
Замечание. Как и в случае
сокращения длины, замедление времени не зависит


от знака скорости и. Здесь также можно
поменять ролями обе системы χ*', у', г\ V и
х, у, z, t в смысле, указанном в разд. 2.4.2.
2.4.4. Относительность одновремен-
ности. Система координат х\ у\ z', t'
движется относительно системы
координат jc, у, z, t со скоростью и =
— {и, О, 0}. Если два события А и В
происходят в системе х\ у', г', /' в
один и тот же момент времени /д = t'B
в точках с координатами {х' — 0.5а,
у' = о, г' = 0} и {х' = — 0,5а, у' = 0,
ζ' = 0}, то эти же события не являются
одновременными для наблюдателя в
системе х, у, г, /:
Δ/' =
= /в-/л = 0; M = tB-
иа 1
•
с" У)-«2/с2
-tA =
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО —
преобразования Лоренца
с помощью
(2.3.2).
и = 0,99 с.
Пример. Для Δ/' = 0,
а = 300 км Δ/ = 0,007 с.
Замечание. В рамках классической
теории относительности понятие
«одновременно» не содержит неясностей. В ЧТО
оказывается, однако, что фраза «два пространственно-
разделенных события А и В одновременны»
имеет смысл только по отношению к
избранной инерциальной системе. Понятие
«одновременно» является, таким образом,
определенным относительно наблюдателя.
2.4.5. Релятивистское ускорение.
Задача. Постоянная сила F
действует на некоторую массу т и
ускоряет ее. Начальные условия: / = 0, ν =
= 0 , т = т0. Каковы скорость ν и
ускорение а массы т как функции
времени Ω
Второй закон Ньютона
и зависящая от скорости
масса:
d , d ( т0 ν
dt
(mv) =
dt \ y\—v*/c*
m.Q а
(|_02/c2)3/2
Решение (рис. 59):
v(t) =
ß(/)-
/
1
mo yi-\-(Ft/m0c)2
F 1
m° {l + (Ft/m0c)*}3/2
Предельные случаи. Для
малых промежутков времени / скорость
ν мала. В соответствии с классической
механикой
ν = Ft/m0, а = F/m0.
Для больших промежутков времени
скорость ν асимптотически
приближается к скорости света с:
ν = с\\ — (m0clFt)2l2\,
а = (mJFY'2(cltyi2 » 0.
§ 2.5. Релятивистская энергия
2.5.1. Соотношение
Эйнштейна.
Разность энергии Ε частицы с массой
покоя т0 и скоростью ν и
потенциальной энергии £пот равна
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
d(E
£пот) = F<*r =
dt
m\\'\dt
— d (mv) · ν — dmv2 + mv · d\.
Из равенства т — m0 (1 — v2lc2)xl2 еле
дует:
с2 {1 — (mjm)2} и \d\ =
= mlc2 dm/m3,
поэтому
d (E — ΕΏ0Τ) = dmc2 {1
(m0/m)2} +
+ mm\c2dmlm*\ d (E — Εποτ) = dmc2.
2.5.2. Релятивистская энергия и мае»
са покоя. В соответствии с приведенной
выше формулой покоящаяся частица с
массой покоя т0 обладает энергией
Е0 = т0с2.
Отсюда следует, что масса и энергия
являются эквивалентными формами од-


ного и того же явления и могут
превращаться друг в друга. Масса т0 — 1 кг
отвечает энергии 0,9-1017 Дж или 20Мт
ТНТ.
Ядерно-физические
применения. При синтезе легких и
делении тяжелых атомных ядер
выделяется колоссальная энергия, связанная
с дефектами масс. Эта энергия
высвобождается в ядерных реакторах и при
взрывах атомных бомб.
Электромагнитные
волны в поле тяжести. Из
эквивалентности массы и энергии
следует, что энергии hv (7.1.1) фотона
отвечает масса hv/c2. Эта «масса» при
падении с высоты Η в поле тяжести Земли
приобретает потенциальную энергию
А£ = mgH = hvgH/c2, что
проявляется в увеличении частоты фотона. Для
относительного сдвига частоты
получаем
AE/hv = Δ ν/ν = gH/c2.
Такой сдвиг частоты может быть
обнаружен у γ-квантов с помощью эффекта
Р. Л. Мёссбауэра (род. в 1929 г.).
2.5.3. Энергия медленных частиц.
Энергия Ε медленной частицы,
скорость которой υ <^ с, может быть в
хорошем приближении представлена как
сумма потенциальной энергии £пот,
энергии покоя Е0 и кинетической энергии
Ε ■
F = F 4-F4-F — F 4-
-f т0с2 -f~ m0v2/2 ■
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
разложения в ряд
Е—ЕВ0Т = тс2 = т0с2 {\ - {ν21с2)}-^2 =
= т0с2{1 + (1/2) (vVc2) + ... .}.
2.5.4. Релятивистские энергия и им-
пульс. Из соотношений Ε = тс2 и
ρ = mv следует:
помощью
Для малых импульсов ρ <С т0с
получаем
£ — £пот = тоС2 И- P22m0 -f ...
Глава 3. Механика абсолютно твердых тел
§3.1. Основные положения
и кинематика
3.1.1. Определение абсолютно твердо-
го тела. По определению, тело является
абсолютно твердым, если расстояние
ru ~ \ги\ межДУ двумя произвольными
материальными точками i и / тела
остается при всех обстоятельствах
постоянным (рис. 60).
Рис. 60
3.1.2. Масса и плотность.
Плотность. Распределение мае
сы в абсолютно твердом теле описывает
ся заданием плотности ρ как функции
радиус-вектора г. Плотность
определяется как
Ρ (г)
lim
ДУ-*0
Am (г)
где Am (г) — масса в объеме Δ V в
точке г абсолютно твердого тела.
Вычисление массы. Масса
т абсолютно твердого тела может быть
вычислена по формуле
т = f dm — f ρ (г) dV =
ν ν
= H§p(x,y,z)dxdydz.
Здесь V — полный объем абсолютно
твердого тела; х, у, ζ — декартовы
координаты радиус-вектора г.
3.1.3. Центр инерции.
Определение. Центр инерции
S абсолютно твердого тела занимает
фиксированное положение по отноше-


нию к точкам этого тела. Радиус-вектор
rs центра инерции определяется
формулой
rs = — Г г dm = — \ гр (г) dV.
т
Кинематический смысл
центра инерции. Движение
абсолютно твердого тела часто
описывается заданием движения центра
инерции тела 5, которое определяется
функцией Ts = rs (t), и вращением тела
вокруг центра инерции. Вращение вокруг
центра инерции может быть описано
с помощью трех углов Эйлера α. β, γ
как функций времени / (3.1.4).
Система центра инерции.
Системы координат, начало которых
помещено в центр инерции абсолютно
твердого тела S, служат для описания
вращения абсолютно твердого тела
вокруг центра инерции. В таких системах
координат выполнено равенство
f vdm = f гр (г) dV — mvs = 0.
V V
3.1.4. Вращения абсолютно твердого
тела.
Неподвижная и
движущаяся системы
координат. В механике абсолютно твердых
тел используются в основном две
координатные системы с одним и тем же
закрепленным по отношению к телу
началом, которое выгоднее всего
поместить в центр инерции 5 тела. Это
неподвижная система координат #*, у*, ζ*
с фиксированным направлением осей в
пространстве и движущаяся система
координат x,y,zc осями, жестко
связанными с телом. Радиус-вектор материальной
точки абсолютно твердого тела может
быть тогда представлен как
г (Ζ) = х* (0 е* + #* (t) е* + z* (t) ei
=хеЛ(0 + */е„(/)-ЬгеЛ0·
где е*, е^, е* — не зависящие от
времени базисные векторы неподвижной
системы, а ех (t), ty {t), tz (t) —
зависящие по отношению к пространству от
времени базисные векторы движущейся
системы.
Все базисные векторы имеют
единичную длину.
Углы Эйлера. Положение
абсолютно твердого тела в пространстве
может быть однозначно описано
заданием радиус-вектора rs его центра
инерции 5 и поворотом движущейся
системы координат с базисными векторами e^.,
еу, ez по отношению к неподвижной
системе координат с базисными векторами
ej, e^, е£. Такой поворот определяется
введенными Л. Эйлером (1707—1783)
углами α, β, у или φ, θ. ψ. Эти углы
отвечают следующим последовательным
поворотам абсолютно твердого тела из
начального положения,
определяющегося совпадением обеих координатных
систем с осями е*, еу, е2 и ei, e*y, е*
(рис. 61):
Рис. 61
а или φ: 1-й поворот вокруг е*;
β или 6:2-й поворот вокруг ОА\
у или ψ:3 й поворот вокруг е2.
ζ* ра-
Компоненты х, у, ζ и χ*, ί/*,
диус-вектора г материальной точки
абсолютно твердого тела преобразуются
следующим образом:
X — дц^ ι Ray ι /\ΐ3^»
У* — ^21* ~Ь ^22*/ ~Ь А2 32;
Ζ = R 31Х "Т~ R ЪъУ I Д33г)
х = Rnx* + Rny* + RsiZ*',
У — Rl2X I A22# ~^~ R 32? »
Ζ — Rl3X Η" R2 зУ I A332 ·
Величины Rik представляют собой
элементы некоторой матрицы. Выражения
для матричных элементов Rih как функ-


ций углов Эйлера дает следующая таб
лица:
/= 1
г = 2
ι*=3
Ä=l
— cos ß sin asin ν
-fcos a cos V
-f cos β cos α sin V
+ sin a cos ν
-f sin β sin ν
*=2
— cos β sin α cos ν
— cos a sin ν
+cos β cos α cos ν
— sin α sin ν
+ sin β cos V
k = 3
+sinßsina
—sinßcosa
+ cos β
Матрица с элементами Rih
ортогональна, т. е. удовлетворяет условию
Σ# #· =f° для iz**k*
i 1 1 для i — k.
3.1.5. Степени свободы движения. По-
ложение и движение абсолютно
твердого тела определяются шестью
независимыми переменными или параметрами.
Например, такими параметрами могут
быть: а) три компоненты
радиус-вектора г5 центра инерции xs, ys, zs;
б) три угла Эйлера α, β, у. Поэтому
абсолютно твердое тело обладает
шестью степенями свободы движения. Эти
шесть степеней свободы разделяются на
три степени свободы перемещения,
определяющегося движением центра
инерции, и три степени свободы вращения,
описываемого углами Эйлера.
§ 3.2. Статика абсолютно
твердого тела
3.2.1. Силы, действующие на
абсолютно твердое тело. В случае, когда
на абсолютно твердое тело действует
одна сила, помимо закона
параллелограмма сил и закона равенства действия
и противодействия выполняется еще один
закон, который можно сформулировать
различными способами.
а. Точка приложения i силы F,
действующей на абсолютно твердое тело,
может быть сдвинута в направлении
действия силы (рис. 62).
Рис. 62
б. Сила F в точке i эквивалентна
силе F в точке /, если прямая g,
проходящая через точки i и /. параллельна
F (см. рис. 62).
в. Силы, действующие на абсолютно
твердое тело, являются векторами,
заданными на прямой.
Этот закон немедленно вытекает из
определения абсолютно твердого тела
(3.1.1).
3.2.2. Пара сил. Определение.
По определению Л. Пуансо (1777 —
1853), пара сил, приложенная к
абсолютно твердому телу, состоит из силы
+ F в некоторой точке / и
противоположно направленной силе — F в другой
точке i тела (рис. 63).
Рис. 63
Механический
вращательный момент. Механический
вращательный момент Τ пары сил
определяется как
T = r,,xF.
Механический вращательный момент Τ
не изменяется, если силы F и — F
сдвигаются вдоль своих направлений,
т. е. вдоль прямых gj и gt (см. рис. 63).


Закон эквивалентности.
Для пар сил выполняется важный
закон, в значительной степени
определяющий статику абсолютно твердых тел.
Две пары сил эквивалентны, если
они создают одинаковый вращательный
момент Τ (рис. 64). Это означает, что пара
Рис. 64
сил, приложенная к абсолютно
твердому телу, может быть заменена другой
парой сил, если обе пары создают
одинаковый вращательный момент Т:
Τ = г х F = г' х F'.
3.2.3. Динама. Определение.
Динама состоит, по определению, из
силы F, приложенной в некоторой
точке ί абсолютно твердого тела, и пары сил
с механическим вращательным
моментом Т.
Локальное действие си-
л ы .
Задача: дана сила F/ в точке i
абсолютно твердого тела; требуется
определить действие этой силы в точке О
абсолютно твердого тела.
Решение: введение
противоположно направленных сил F, и — F* в
точке 0.
Результат: динама в точке 0
(рис. 65), т. е.: 1) сила F, в точке 0;
2) пара сил с вращательным моментом
Τ г0, X Fb
Рис. 65
Локальное совместное
действие сил и
вращательных моментов. Зада-
ч а: даны действующие на абсолютно
твердое тело силы Ff в точках i и пары
сил / с вращательными моментами Т/,
требуется определить действие этих сил
и пар в точке 0 тела.
Решение: как и выше.
Результат: динама в точке 0.
т. е.: 1) сила F = ZF, в точке 0;
ι
2) пара сил с Τ = Σ (г0/ χ F,·) -+- ΣΤ;·.
• ·
Вывод. Действие всех сил и пар
сил на абсолютно твердое тело может
быть описано с помощью динамы,
помещенной в произвольно выбранную точку
тела 0. При этом сила
а механический вращательный момент,
создаваемый парами сил,
Т0= ΣΤ;+ Σ (го/ X Fi).
• ·
Для вычисления динамического
поведения абсолютно твердого тела
используются должным образом
обобщенные законы изменения импульса (1.8.1)
и момента импульса (1.8.4) системы
материальных точек. При этом в них
подставляются приведенные выше
выражения для F и Т0.
3.2.4. Действие силы тяжести на
абсолютно твердое тело. Действие силы
тяжести на абсолютно твердое тело проще
всего устанавливается с помощью
результирующей динамы в центре инерции
тела.
Динама в центре
инерции 5: 1) сила F = ΣFf = ΣΔ/η,-g =
I I
= mg:
F = mg = F0;
2) пара сил и вращательный момент
(рис. 66):
Ts = Σ (rs/ X Am,- g) = Σ (Ami rSi X g).
* ·


Из определения центра инерции (3.1.3)
следует, что SAm^s,- = 0. Отсюда
I
Вес Fg абсолютно твердого тела
приложен в его центре инерции S.
§ 3.3. Жесткий ротатор
3.3.1. Кинематика жесткого ротатора.
По определению, жестким ротатором
называют абсолютно твердое тело,
вращающееся вокруг неподвижной оси.
Положение rf материальной точки Атг
по отношению к оси вращения
жесткого ротатора может быть описано
следующим образом: начало отсчета на
оси 0; материальная точка Am,·;
радиус-вектор rf; разложение
радиус-вектора г,- = af + Ri, где а,
параллелен оси, a Rj перпендикулярен оси
(рис. 67).
Рис. 67
Вектор угловой
скорости. Вращение жесткого ротатора
вокруг своей оси может быть определено
заданием вектора ω угловой скорости:
ω(/) = ω(ί)β.
Здесь е — единичный вектор вдоль оси
вращения, а ω (t) = dq> {t)ldt —
мгновенная угловая скорость.
Основной закон
кинематики жесткого ротатора.
Скорость vf любой материальной точки
Amf однозначно определяется ее
радиус-вектором rf = af -f Ri и вектором
угловой скорости ω жесткого ротатора:
Vi = г· = Rf = ω χ г* = ω χ R£.
3.3.2. Момент инерции.
Кинетическая энергия и
момент инерции.
Кинетическая энергия жесткого ротатора,
вращающегося с угловой скоростью ω
вокруг оси сможет быть определена, если
известен момент инерции I жесткого
ротатора относительно оси е:
£кин = (1/2)/<и2
/ = Σ W Δ"ΐι = J R2 pdV =
= J(e X r)2pdV.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С помощью
формулы (а х b)2 = a2b2 — (a-b)2
получаем
i 1
_ 1
" 2
P?
^A/MioxRi)2-
Am* |ω2#?— (co.Ri)2}^
2 '
Теорема Штейнера.
Теорема И. Штейнера (1796—1863)
связывает момент инерции / жесткого ротатора
относительно оси е с моментом инерции
Is этого ротатора относительно парал-


лельной оси es, проходящей через
центр инерции ротатора (рис. 68). Рас-
кин
стояние между
pa m
Рис. 68
осями а, масса ротато-
Благодаря теореме Штейнера
достаточно знать только моменты инерции is
относительно осей, проходящих через
центр инерции 5.
Моменты инерции
простых тел относительно
осей, проходящих через
центр инерции.
Однородный шар: масса т. радиус а,
is = (2/5) та2.
Однородный сплошной цилиндр:
масса т, радиус а, ось es совпадает с осью
цилиндра. Is = (1/2) та2.
Полый цилиндр: масса т, радиус а.
тонкая однородная поверхность, ось es
совпадает с осью цилиндра, Is = та2.
Тонкий однородный стержень: масса
т, длина а, ось es перпендикулярна
к стержню, /s = (1/12) та2.
Простое применение.
Скатывание с наклонной плоскости
(рис. 69).
v=v5=ö
Рис. 69
Скорость центра инерции S: υ = vs =
αω.
Потенциальная энергия: £пот = mgh.
пот
+
Кинетическая энергия:
= (т/2) ν2 + (/s/2) ω2.
Закон сохранения энергии: Ε
-0 = 0 + £кин. _
Конечная скорость ν = Y2gh x
Χ (1 + Islma1)-"*.
3.3.3. Момент импульса жесткого рота-
тора.
Определение. По аналогии с
моментом импульса материальной
точки момент импульса или момент L0
жесткого ротатора относительно точки
0 на оси вращения е определяется
следующим образом:
Lo = Σ (η х ΔρΟ = 2 Am( (η χ ν*) =
i i
= Σ &Щ (Γι Χ (ω χ rt)) =
Ι
= J ρ (г) (г χ (ωχ r))dV.
ν
Кинетическая энергия и
момент импульса.
Жесткий ротатор с вектором угловой скорости
ω и моментом импульса или моментом
L0 относительно точки 0 на оси
вращения е имеет кинетическую энергию
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С помощью фор
мулы
(а х b)2 = a2b2— (ab)2 =
= b(ax (b x a))
и равенства L0 = 2 &т»(ϊΊ XV|)
получаем
кин
\_
2
2
2iAm* v'?
2 Am* (ω Χ η)
2
ω 2 Am* (Γ* Χ (ω Χ г*))
cöLo-
Разложение момента
импульса. Для понимания динамики
жесткого ротатора необходимо разло-


жить момент относительно точки 0 на
оси вращения е на две компоненты —
параллельную и перпендикулярную оси
вращения:
Lo — L|| + Lj_;
Lii = /ω;
Lj. = —ω Γ Radm =
= —ω2^ΐ ai Атг.
Здесь (рис. 70): ω — вектор круговой
частоты; е — единичный вектор вдоль
Рис. 70
оси; / — момент инерции
относительно е; Γι = Rj -f 8Li — радиус-вектор
материальной точки Δ/η,·; г = R -j- a —
радиус-вектор материальной точки dm.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С помощью
формулы (ах (Ь х с)) = (а-с) b —
— (a-b) с получаем
ι
= SA"ii((ai + Ri) X (« xRj)) =
= 21 Amf (Rf χ (ω χ Rf) +
Ι
+ 2Ami(ai χ (ω χ R,)) =
ω
2 Δ/η4 R* ω
2 Атг öj Rj = Lii + L
j_
Замечания. Момент импульса L0
относительно точки 0 на оси в общем случае
не параллелен оси или вектору ω; Ц не
зависит от положения точки 0 на оси; для
L, это, вообще говоря, не так.
3.3.4. Динамика жесткого ротатора.
Теорема о моменте
импульса. Динамика жесткого
ротатора определяется теоремой о моменте
импульса относительно некоторой
точки или опоры 0 на оси вращения. Если
L0 — момент импульса, а Т0 —
механический вращательный момент,
действующий на ротатор в точке 0, то
Равномерное вращение
жесткого ротатора. В
случае равномерного вращения вектор ω =
= ше постоянен. При этом, однако,
момент L0 в общем случае не постоянен.
Его производная по времени равна
d Lo = 4-(/· +Li) =
dt
dt
= Lx = ω χ Lj_ = ω χ L0.
dt
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
dt
= —ω
'X
dt
dt
ω [ Radm\ =
adtn = — ω Γ(ωχR)adm
= ω Χ
ω f Radmj =
= wxLi = wX (L||+Lx) = co X Lo·
Если кроме сил со стороны опоры на
ротатор не действуют никакие внешние
силы и моменты сил, то обратная
реакция ротатора на опору оси в точке 0
выражается зависящей от времени ди·
намой, состоящей из силы
F (реакции) = — т (ω Χ (ω Χ rs)) =
и механического вращательного
мента
Τ (реакции) = Lx Χ ω = Lo X ω

Modi
о
(теорема о моменте импульса)


Здесь rs — радиус-вектор центра
инерции 5 ротатора.
Уравновешивание
жесткого ротатора. Если динама
в точке опоры оси ротатора исчезает,
то такой ротатор называют
уравновешенным. Он статически уравновешен, если
F (реакции) — m(o2i\s = 0. Это
значит, что центр инерции лежит на оси
вращения. Ротатор динамически
уравновешен, если Lx = 0 при ω Φ 0. Это
значит, что ось вращения совпадает
с одной из главных осей эллипсоида
инерции (3.4.2).
Жесткий ротатор под
воздействием осевого
вращательного момента.
Если на жесткий ротатор действует
внешний вращательный момент Τ =Те,
направленный по оси, то теорема о
моменте записывается в виде
Τ — Τ (реакции) = Lo-
dt
Отсюда для компонент в направлении
оси и перпендикулярно к ней получаем

ΤΙ
- Τ (по оси) — ·
(реакции) = —
= ωίω
d I -
dt L"-
dt
, d(u
~7t
—ω
X fRadm\.
Λ*
xLi =
3.3.5. Физический маятник. Жесткий
ротатор, находящийся под действием
силы тяжести, называют физическим
маятником (рис. 71).
Рис. 71
Механический вращательный момент:
Τ (по оси) = — | гos X mg | =
= — sin q>roSmg.
Момент импульса:
L\\ = /ω = (Is + twos) ω;
Τ (по оси) = Ιάω/dt
или
— si n yrosmg = (Is + mrls) ω ==
= Us + mrls) <P·
Гармонические
колебания. Для малых углов φ получаем
дифференциальное уравнение
гармонического осциллятора (6.1)
φ + ω5φ = 0, где ω§ = £
ros + /s/mros
Физический маятник можно
сопоставить с математическим маятником,
если ввести приведенную длину маятни-
KCl Ö fi n ·
flnP = ros + Is/tnr0s\ ω§ = #/απρ.
§ 3.4. Волчок
3.4.1. Кинематика волчка.
Определение волчка.
Абсолютно твердое тело, движение
которого определяется наличием одной
неподвижной точки 0, называется
волчком. Движение волчка называется
гироскопическим вращением.
Угловая скорость и
мгновенная ось вращения.
Гироскопическое вращение в общем
случае состоит из вращения вокруг
зависящей от времени мгновенной оси
вращения е (/) с зависящей от времени
круговой частотой ω (t). Произведение обеих
величин образует вектор угловой
скорости :
ω(/) = ω(/)β(/).
Основной закон
кинематики волчка. Скорость v,- (t)


материальной точки Am* волчка
определяется формулой (рис. 72)
Vi (0 = ω (0 χ rf (О
Рис. 72
Конус. Мгновенная ось вращения
е (t) меняет в общем случае свое
положение в пространстве и в теле.
Множество осей вращения в пространстве
образует неподвижный конус F. это же
множество в теле — подвижный конус
G. При всяком гироскопическом
вращении подвижный конус G катится по
неподвижному F. Общая образующая
представляет собой в каждый момент
времени мгновенную ось вращения (рис. 73).
Рис. 73
3.4.2. Момент импульса и
кинетическая энергия.
Тензор инерции.
Гироскопическое вращение в большинстве
случаев трудно исследовать, потому что
связь между кинематическим вектором
ω(/) и динамическим вектором L0 (/)
довольно сложна. В движущейся
системе координат с началом в
неподвижной точке 0 эту связь можно установить
с помощью тензора инерции:
Lx — J χχ<**χ Τ ' хуЮу ι J χζ^Ζ»
Ly = lyx<*>x + IyyMy + /ί,2ω2;
Lz = ΙΖχωχ + Izy^y + /22ω2.
Компоненты ω и L0 линейно связаны.
Величины Ixx = Г (у2 + г2) dm и т. д.
и величины I ху = Г (— ху) dm и т. д.
образуют компоненты тензора инерции
/0 относительно неподвижной точки 0.
Тензор инерции симметричен, т. е. li} =
= Iji. Величины / ху = Г xydm и т. д.
называют центробежными или девиа-
ционными моментами.
След (сумма диагональных элементов)
тензора инерции не изменяется при
вращении системы координат:
/**+ lyy + lzz =2jV + l/2 +
+ ζ2) dm = 2 Γ r2dm = const.
Кроме того, выполняются следующие
неравенства: 1 хх + 1УУ — 1гг =
= 2 [z2dm ^ 0 (циклическая переста
новка индексов).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ху у, ζ —
компоненты в движущейся системе с
началом в точке 0;
L =Г (rxv) dm=^ (ΓΧ(ω χ г)) dm =
= ω Г x2dm — Г г· (г·ω) dm;
Lx = ωχ J (г2 — χ2) dm —
— (оу f xydm — ω2 j" xzdm.
Главные оси и главные
моменты инерции. Так как
тензор инерции симметричен, то для
каждого волчка существует
движущаяся система координат elt e2, е3 с
началом в неподвижной точке 0, в которой
недиагональные элементы тензора
инерции обращаются в нуль, т. е. для ί,
/ = 1,2,3, и ί\ Φ j Ii} = 0. Такую
систему координат называют системой
главных осей, а соответствующие
диагональные элементы тензора инерции—
главными моментами инерции: 1ц = /*.
Чаще всего базисные векторы elf e2, е3
нумеруются так, что выполняется
неравенство Л^/г^/з- Если задавать


мгновенную ось вращения е (t), вектор
угловой скорости ω (t) и момент L0 (t)
в системе главных осей, то:
Lx(t) = Л<М0 = Ι^(ήβχ(ή\
Ly(t) = l2<üy(t) = /,ω (*) <?„(/);
Lz{t) = ί3ωζ(ή = h<*{t)ez(t).
Кинетическая энергия.
Кинетическая энергия волчка
выражается той же формулой, что и для
жесткого ротатора:
£khh = (1/2)L0cd.
Если векторы ω (/) и L0 (t) заданы в
движущейся системе главных осей, то
^кин- 2 { Л -t" u + /з
= γ (Λ ωί (0 + /, ω;(0 + /3ωΙ (/))
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
^кин = — ΙΛ ωχ» ^2 «у, /3 ωζ) Χ
Χ |ωχ, ω,,, ω2)
1
= — (Λ ω^+ /2 ω£ + /3 ω*).
Момент инерции
относительно мгновенной оси
вращения. Момент инерции /
волчка относительно мгновенной оси
вращения е (/) с компонентами ех (/), еу (t).
ez (t) в движущейся системе главных
осей равен
/ = ei (t) Λ + el (t) h + el (t) /3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как ω
сое. то
£кин = у«2 (еНг + еЩ + е\1 ъ) =
1 2/
Эллипсоид инерции. Если
построить из осей вращения е и
соответствующих моментов инерции /
векторы
и = \их> иу, uz\ = tlYT=
= \exlVl,eylV7,ezlV~l\,
то эти векторы будут удовлетворять
уравнению эллипсоида инерции:
1 = 1хи\ + hul + /з"
2
Ζ
Эллипсоид инерции связан с телом и
имеет те же главные оси, что и волчок.
Длина полуосей равна 1/1/77.
Для волчка с неподвижной точкой 0
в центре инерции S возникает
следующая картина.
Волчок
Шар, куб,
тетраэдр

Аксиально-симметричный
сплюснутый

Аксиально-симметричный
вытянутый
Асимметричный
Главные
моменты
инерции
Эллипсоид
инерции
/i = /2=/a Сфера
/ι>/2=/;
/ι = /2>/
/1>/2>/3
Эллипсоид
вращения
сплюснутый
Эллипсоид
вращения
вытянутый
Произвольный
эллипсоид
3.4.3. Динамика свободного волчка.
Определение свободного
волчка. Волчок с неподвижной
точкой 0 называют свободным, если
механический момент вращения Т0
относительно этой неподвижной точки равен
нулю:
При этом условии из теоремы о момен
те следует, что момент импульса отно
сительно неподвижной точки 0 постоя
нен:
(dldt) L0 = 0, L0 = const.
Точно так же постоянна кинетическая
энергия вращения:
£кин = (1/2) L0<ö(f) = const.
Реализация свободного
волчка. Свободными волчками
являются абсолютно твердые тела, на
которые действует только сила тяжести
и которые либо закреплены в центре
инерции S, либо свободно движутся
в пространстве. В этих случаях в
сопутствующей координатной системе
движение абсолютно твердых тел отвечает
движению свободного волчка.


Основной закон
вращения свободного волчка.
Мгновенная ось вращения и угловая
скорость свободного волчка в общем
случае зависят от времени:
ω (t) = <a(t)e(t).
В силу того, что кинетическая энергия
£кин свободного волчка постоянна,
проекция ω/, вектора ω(/) на направление
постоянного момента импульса L0 также
постоянна (рис. 74):
Рис. 74
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
ü)l
ω (t)- L0/L0 = 2£KIiH/L0 = const.
Если вектор ω угловой скорости
параллелен моменту импульса L0, то, в
соответствии с основным законом, этот
вектор постоянен. В этом случае говорят
о постоянном вращении волчка. Если
ω не параллелен L0, то он зависит от
времени: ω = ω(/). Такое движение
свободного волчка называют нутацией. Она
зависит от начальных условий движения.
Постоянное вращение.
Вектор ω угловой скорости постоянен,
если он параллелен моменту импульса
L0. Это значит, что волчок вращается
вокруг одной из главных осей. Поэтому
ω =
L0 = const, i = 1,2, 3.
Для асимметричного волчка с 1Х> /2
> /3 не все вращения вокруг главных
осей устойчивы. Выполняется следующий
критерий устойчивости:
вращение вокруг главной оси ej —
устойчиво;
вращение вокруг главной оси е2 —
неустойчиво;
вращение вокруг главной оси е3 —
устойчиво.
Малое возмущение вращения вокруг
главной оси е2 приводит к резкому
изменению движения свободного волчка.
Нутация в неподвижной
системе координат. Вектор
угловой скорости ω(^) соединяет
в.пространстве неподвижную точку 0 и
точку касания А между перпендикулярной
к постоянному моменту импульса
плоскостью Ε и катящимся по ней
связанным с телом эллипсоидом Л. Пуансо
(1777—1853) (рис. 75). Плоскость Ε
Эллипсоид
Пуансо (Р)
\ W£
описывается переменным вектором ω£,
который удовлетворяет следующему
условию:
ö)£-L0 = cö£.L0 = 2£
кин
const.
Эллипсоид Пуансо Р. определяющий
ся переменным вектором сор, концентри
чен и подобен эллипсоиду инерции:
LqG>
ω
Ρχ
2Е
+
ω
Py
кин
2Якин/'1 2£кин//
+
+
ω
Ρζ
2£кин/'
- 1.
кин
//.) 1/2
Его полуоси равны (2Е
Точка касания Л между плоскостью
Ε и эллипсоидом Пуансо Ρ
определяется условием (ö£ = сор = ω.
Траекторию точки А на
поверхности эллипсоида Пуансо называют по-


лодией, а траекторию точки А на
неподвижной плоскости Ε — герполодией.
Нутация в движущейся
системе главных осей. В
связанной с телом системе главных осей
вектор угловой скорости о> (/)
соединяет центр инерции S и некоторую
точку на полодии. Эта точка определяется
пересечением эллипсоида Пуансо Ρ и
эллипсоида момента М:
Lg __ «>мх . <*%iy . <*ш _1
l\ (Lo//2)2 (Lo/h)2 (UII3)2
На рис. 76 представлены полодии на
эллипсоиде Пуансо в случае 1Х > /2 >
Рис. 76
> /3. Для эллипсоида вращения Пуансо
полодии являются окружностями.
3.4.4. Волчок под действием сил.
Динамика. Если волчок
подвергается действию сил и механических
вращательных моментов, то его
гироскопическое вращение определяется
законом о моменте относительно
неподвижной точки 0:
(d/dt) U = Т0.
Связь между моментом L0 и вектором
угловой скорости ω определяется с
помощью тензора инерции. К этому
следует добавить, что момент L0 в теореме
о моменте дается лишь с точностью до
некоторой аддитивной постоянной L5,
которая определяется начальным
состоянием движения волчка. Начальные
условия могут оказаться такими, что на
вызванное механическим
вращательным моментом гироскопическое
вращение будет наслаиваться нутация как
движение свободного волчка. Только
специальные начальные условия
обеспечивают гироскопическое движение,
свободное от нутации.
Прецессия.
Прецессией называют такое движение
волчка, которое характеризуется
вращением момента импульса L0 с угловой
скоростью, определяющейся вектором Ω:
dL0/dt = Ω xLo.
Пример — детский волчок. Детский
волчок представляет собой симметричный
волчок, вращающийся вокруг своей оси
симметрии. Так как центр инерции волчка не
совпадает с точкой опоры 0, то на него действует
в общем случае сопутствующий
непостоянный по величине механический
вращательный момент Т0, зависящий от угла наклона
волчка α (рис. 77). Тогда для прецессии Ω
получим
Г0 = roS sin α mg = Ω sin α L0;
Ω = roS тё 'Lo = roSmg/(ut h ·
Угловая скорость прецессии Ω не зависит
от наклона волчка!
Вынужденная прецессия. Если
свободный волчок с моментом L0
вынуждается к прецессии с вектором угловой
скорости Ω, то он реагирует на это в
силу теоремы о моменте и законе
равенства действия и противодействия
возникновением механического
вращательного момента:
Т0 (реакции) = L0 = L0 Χ Ω.
dt
Вынужденная прецессия и
возникающий вследствие этого вращательный
момент находят применения в технике:
гирокомпас, указатель поворота, бегуны,
стабилизация кораблей и ракет.


глава 4. Механика деформируемых сред
§ 4.1. Механические свойства
вещества
4.1.1. Механические напряжения.
4.1.1.1. Нормальное напряжение.
Нагрузка. Нагрузка тонкого
круглого стержня длиной а и поперечным
сечением А = πα*2/4 (рис.78) при растя-
^тЛ
'J—1-15
TT
Λα
Рис. 78
жении или сжатии вдоль оси
описывается нормальным напряжением а,
определяемым соотношением
Fn = аЛп.
Здесь η — нормаль к поверхности, а
F„ — сила растяжения или сжатия.
Напряжение, возникающее при
растяжении, отвечает σ >» 0, нагрузка при
сжатии вдоль оси отвечает σ<0. Единицей
нормального напряжения является π а-
скаль: 1 Па — 1Н-м~2.
Влияние нагрузки.
Действие нормального напряжения σ
заключается:
а) в относительном изменении длины
ε, которое определяется как ε = Аа/а =
= Δ In α (ε > 0 — удлинение, ε < 0 —
сжатие);
б) в относительном изменении
поперечных размеров Adld = Δ In d — — με,
где μ — коэффициент Пуассона (Ad
О — поперечное сжатие, a Ad > О
поперечное расширение);
в) в следующем из а) и б)
относительном изменении объема AVIV =
= A In V = (1 — 2μ) ε.
Закон Гука. Р. Гук (1636—
— 1708) постулировал
пропорциональность между относительным
изменением длины ε и нормальным
напряжением σ: σ == Ее. Величина Ε называется
модулем упругости или модулем Т. Юнга
(1773—1829). Единица этой
величины — паскаль: 1 Па = 1 Η-м-2.
Закон Гука справедлив лишь в
ограниченной области относительного
изменения длины ε. Экспериментально
установленная зависимость σ от ε для
твердого тела выглядит так, как показано
на рис. 79. Закон Гука выполняется
Рис. 79
вплоть до границы
пропорциональности А. В области от А до границы
упругости В а уже не пропорциональна ε.
После того как пройдена граница
упругости £, при снятии нормального
напряжения остается остаточная
деформация eR. Граница текучести С
достигается, когда тело продолжает
удлиняться без дальнейшего увеличения
нормального напряжения. За границей
разрушения D любое дальнейшее
увеличение растяжения ε приводит к
рушению тела.
4.1.1.2. Напряжение при сдвиге
сательное напряжение).
Нагрузка. Нагрузка тела при
сдвиге или срезе описывается
напряжением при сдвиге (касательным
напряжением) τ, определяемым из равенства
Ft = тЛ, где Ft — скалывающая или
срезывающая сила, действующая на
поверхности Л перпендикулярно к нормали
η (рис. 80). Единицей τ является
паскаль: 1 Па = 1 Н«м~2.
раз-
(ка-
Ап
аА
Рис. 80


Влияние нагрузки«
Касательное напряжение τ приводит к
сдвигу тела, измеряемому углом а. Так как
в большинстве случаев этот угол мал,
то можно полагать α ä sin α « tg α.
Объем тела при чистом сдвиге в первом
приближении не изменяется.
Закон Гука. В соответствии
с законом Гука для относительного
изменения длины тела под действием
нагрузки в виде нормального напряжения
(см. 4.1.1.1) получим для касательного
напряжения соотношение
τ = G tg α « Ga.
Величина G обозначает модуль сдвига;
единица его — паскаль: 1 Па = 1 Η-м-2.
Для изотропного твердого тела G =
= Е/2 (1 + μ).
4.1.1.3. Изотропное давление.
Нагрузка. Если на каждый
элемент площади поверхности тела АЛ
действует сила AFn = — ρ A An, то
говорят о нагрузке тела изотропным
давлением ρ (рис. 81). Единицей давления ρ
Рис. 81
является паскаль: 1 Па = 1 Η-м-2.
Другие применяемые единицы
приведены в приложении П2.2.
Влияние нагрузки. Для
изотропного тела изменение
изотропного давления Ар приводит к
относительному изменению объема:
θ = AV/V = Δ In V.
Локально его можно описать
изменением плотности: θ = — Δρ/ρ = — Δ In p.
Модуль сжатия и
сжимаемость. В соответствии с
законом Гука относительное изменение
объема пропорционально изменению Ар
изотропного давления:
Ар= — KQ= -θ или β =
= 1_ jlV_ __ 1 dp
V dp p dp
Единицей модуля сжатия К является
паскаль: 1 Па = 1Η·μ~2, а единицей
сжимаемости β: 1 м2-Н-1.
Сжимаемость
изотропного твердого тела. Для
изотропного твердого тела в области
применимости закона Гука
выполняется соотношение
β = К'1 = 3(1 —2μ)Ε-Κ
Оно получается в том случае, когда
изотропное давление формально
представляется в виде трех давлений,
направленных по трем взаимно
перпендикулярным осям.
Сжимаемость
идеальных газов. Следует различать
изотермическую (постоянная
температура) и адиабатическую (отсутствие
теплообмена с окружающей средой)
сжимаемости. Так как при быстром сжатии
какой-то среды практически не
происходит обмена теплом с окружающей
средой, то этому случаю отвечает
адиабатическая сжимаемость. Поэтому звук в
жидкости или газе определяется
адиабатической сжимаемостью.
Изотермическая и адиабатическая сжимаемости
идеального газа различны:
β (изотермическая) = 1/р;
β (адиабатическая) = CvlCp ρ = \/кр.
Здесь Ср — молярная теплоемкость при
постоянном давлении, a Cv —
молярная теплоемкость при постоянном
объеме.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Уравнение
состояния: pV = (mIM) RT.
Плотность при постоянной
температуре ρ (ρ) = m/V = (M/RT) p.
Изотермическая сжимаемость: β =
= (\/р) dp/dp = Up.
Адиабата: 6Q = (m/M) CvdT -f
+ pdV = 0, R = Cp — Cv (см. 8.5.2),
(m/M)CvdT __pdV
= —ζ— откуда
(m/M)RT pV J
•nCv'R) V = const.


Адиабатическое изменение
плотности: ρ {ρ) = ро (p/p0fv/Cp.
Адиабатическая сжимаемость: β =
= Cv/(Cpp).
Примеры изотермических сжима е-
мостей β при 20° С, 1 атм, м^Н-1
Ртуть 0,4· 10-10
Вода 5· Ю-10
Бензол 10· Ю-10
Этиловый спирт 10·10~10
Несжимаемая жидкость 0
Идеальный газ при нормальном
давлении 10~5
4.1.1.4. Тензор напряжений. В точке
Ρ внутри тела на каждый элемент
площади Δ А = пАЛ, имеющий площадь
Δ А и вектор нормали η (|η| = 1),
действует сила AF, значение которой
А/7 пропорционально площади АЛ, а
направление в общем случае не
совпадает с вектором нормали η (рис. 82).
Рис. 82
Поэтому можно разложить силу AF на
нормальную силу AFn, параллельную п.
и касательную силу AF<,
перпендикулярную к n: AF = AFn + ÄF<. В силу
пропорциональности А/7 и АЛ можно
определить вектор напряжений: dF/dA =
= t = tn + tf. Компонента t,
параллельная η, представляет собой, в
соответствии с 4.1.1.1, нормальное
напряжение ίη = σ, а компонента t,
перпендикулярная к п, равна, в соответствии
с 4.1.1.2, касательному напряжению tt =
= τ. Между вектором напряжений t
и вектором нормали η существует
линейная связь: t = Γη, или в записи
через компоненты:
tv =
X
t„ =
у
t,=
^хх Κχ
Τ'ух ft-χ
Tzjc "ж
Т'ху Яу ~Т~ ^χζ ^z>
" хуу пу
Tzy Пу
Xyz tlz\
τζζ ^ζ>
где xih — элементы симметричного
тензора напряжений Т\ компоненты τχχ =
= σ
= σ
= σ
элементы
ХУ "yj/ "{/» "2Z "Ζ
нормального напряжения, а компоненты
тху, τχζ, Tyz — элементы касательного
напряжения.
4.1.1.5. Напряжения в жидкостях и
газах.
Статическое состояние.
По определению жидкости и газы —
это такие тела, в которых отсутствуют
статические касательные напряжения:
tt (статическое) = 0, τ (статическое) = 0.
Поэтому жидкости (при пренебрежении
поверхностным натяжением (4.1.2)) и
газы не обладают постоянством формы.
Молекулы этих сред могут без
приложения силы (медленно) перемещаться друг
относительно друга.
Отсутствие статического касательного
напряжения it приводит к простому
виду статического тензора напряжений
Τ (статическое):
t = Τ (статическое) η = —ρη
или в компонентах
*зе
- рпх + 0
0 — рпу
0 + 0 -
0 =
о =
рпг =
^х =
°у =
рпх\
рпу\
ρηζ
σ, -
Здесь ρ = —
изотропное статическое давление.
Динамическое
состояние. Несмотря на отсутствие
статических касательных напряжений, в
движущихся жидкостях и газах в общем
случае возникают динамические
касательные напряжения, обусловленные
внутренним трением или вязкостью:
it (динамическое) Φ 0.
τ (динамическое) Φ 0.
Жидкости и газы без динамических
касательных напряжений называют
невязкими.
4.1.2. Поверхностное натяжение.
4.1.2.1. Поверхностная энергия и
поверхностное натяжение.
Поверхность жидкости.
Жидкости отличаются от газов тем. что


имеют свободные поверхности. Между
молекулами жидкости действуют большие
короткодействующие силы, которые
проявляются только между ближайшими
соседями. Если молекула находится в
глубине жидкости (рис. 83), то в сред-
£пот (поверхность) = Os S\
as = пЕП0Т(М) = ί/3"φ2 £пот (Λί).
Рис 83
где os — константа поверхностного
натяжения, а аЭф — эффективный размер
молекулы на поверхности.
Единицей σ$ является 1 Η-м-1.
Феноменология
поверхностного натяжения.
Межмолекулярные силы в жидкости
стремятся уменьшить ее поверхность. Если
вырезать прямую щель длиной Δ* в
тонкой пленке жидкости, то на края этой
щели будут действовать силы ± 2Δ77,
лежащие на поверхности и
направленные перпендикулярно к щели (рис. 85).
нем по времени эти силы
уравновешиваются. Если же молекула находится на
поверхности 5 (рис. 84). то возникает
результирующая сила Fs(M),
стремящаяся увлечь молекулу в глубь
жидкости. Поэтому поверхность жидкости
ведет себя как резиновая пленка,
которая стягивается, насколько это
возможно.
Микроскопическое
обоснование поверхностной
энергии. Если молекула
переносится из глубины жидкости на ее
поверхность, то при этом на преодоление
поверхностной силы Fs (M) затрачивается
работа Ais(M), которая вновь
выигрывается при обратном проникновении
молекулы в глубь жидкости. Поэтому
работа A is (M) имеет характер
потенциальной энергии £ποτ (Μ) — Ats (M).
Жидкость, имеющая nS молекул на
поверхности S, обладает, отсюда,
поверхностной энергией:
Рис. 85
Эти силы определяются материальной
константой — поверхностным
натяжением os:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если пленка
жидкости натянута в прямоугольной
рамке с подвижной стороной, то,
смещая эту сторону на Ау, можно найти
связь между поверхностной энергией и
силами, действующими на обеих
поверхностях пленки (рис. 86):
ь А »'»
Рис. 86


2Δ/7Δί/ = 2£пот(поверхность) =
ряют соотношению
os2AA = ös 2/АхАу, AF = osAx.
1 /?1+1//?2=Δ/?/2σ5.
Примеры поверхностных
натяжений, Ю-3 Н-м-1
Эфир 16,5
Мыльный раствор . 25
Вода
Ртуть
• · ·
• · ·
72
500
4.1.2.2. Статика свободнонесущей
пленки жидкости.
Уравнение поверхности.
Если между двумя сторонами свободно-
несущей пленки жидкости (например,
мыльной пленки) существует разность
давления Δ/?, то поверхность пленки
обладает тем свойством, что в каждой
точке Ρ главные радиусы кривизны
поверхности /?! и R2 (рис. 87) удовлетво-
Иллюстрация для сферического
мыльного пузыря (рис. 88). В экваториальном
сечении
ApA=2osU; ApnR* = 2os2nR;
2/R = l/Rx+\/R2=Ap/2os.
Рис. 88
Минимальные
поверхности. Если между обеими сторонами
пленки жидкости нет разности
давления, то такая пленка образует
минимальную поверхность, для которой
1/^+1/^2 = 0.
Рис. 87
Минимальными поверхностями
являются: аксиально-симметричный катеноид
(д.2 _|_ ^2)1/2 = #о сп (z/RQ); поверхность
спирали ζ = ρ arctg (у Iχ).
4.1.3 Механические свойства тел
Тело
Газ
I аз без
внутреннего трения
Жидкость
Жидкость невязкая
Жидкость
несжимаемая
Твердое тело
А &
Абсолютно твердое
тело
Плотность ρ
Мала
»
Велика
»
»
»
*
1
Сжимаемость
Велика
»
Мала
»
0
Мала
0
Касательное
статическое
0
0
0
0
0
Существенно
»
напряжение τ
динамическое
Мало
0
Существенно
0
Существенно
»
—
Поверхностное
натяжение ос
s
0
0
Существенно
»
»
Большей частью
несущественно
Несущественно


§ 4.2. Статика жидкостей
и газов
4.2.1. Массовые силы.
Определение. Для описания
динамики некоторой массы Am
жидкости или газа удобно ввести понятие
массовой силы. Если на массу Δ/η
действует сила AF, то массовая сила
Единица. В соответствии с
определением массовая сила отвечает
ускорению с единицей 1 м-с-2.
Примеры массовых сил.
Часто встречающиеся в механике жидкостей
и газов массовые силы: сила тяжести FT =g;
центробежная сила Fn = cu2R; сила Корио-
лиса FK = 2(ν0ΤΗ Χ ω).
4.2.2. Объемные силы.
Определение. Если на массу
жидкости или газа в заданном элементе
объема AV действует сила AF, то
объемная сила определяется как
Fv= lim (AF/AV).
ДУ-»0
Единица. Единицей объемной
силы является кг-м-2-с-2.
Связь между объемной
силой и массовой силой.
Объемные и массовые силы связаны
через плотность:
Связь между объемной
силой и тензором
напряжений. Нормальные и касательные
напряжения, действующие на замкнутой
поверхности малого объема тела,
складываются в объемную силу. Справедливо
равенство
Fv(T) = div7\
где Fv(T) — порожденная тензором на
пряжений объемная сила. В компонен
тах эта формула имеет вид:
Fvx(T)=—ox-\ τ
дх
дУ
ху
dz
JCZ«
Fvy (Γ) =
дх
Vw + "Г" σί/+
ду
У
dz
Уг·
Fvz (T) = -^— τχζ -f -^- τϋι + — σ,.
дх
дУ
dz
Примеры объемных сил.
В большинстве случаев объемные силы
связаны с соответствующими массовыми силами:
силой тяжести
Fv = pco2R;
силой
pg; центробежной силой
Кориолиса
V
— 2 (ν0ΤΗ Χ ω). В противоположность этим
силам градиент давления (см. 4.2.3) F^ =
= — grad p.
4.2.3. Давление и градиент давления.
Градиент давления как
объемная сила. Зависящий в
общем случае от координат тензор
напряжений Τ (г) сводится в жидкостях
и газах, в соответствии с (4.1.1.4), к
давлению р, которое является
скалярной функцией координат ρ = ρ (г).
Зависимость давления от координат
обусловливает появление объемной силы,
градиента давления:
Fv(r)= —grad ρ (г).
Градиент давления типичен для
механики жидкостей и газов. Он порождает
статическую выталкивающую силу.
1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДЛЯ
СЛУЧАЯ ДАВЛЕНИЯ,
ИЗМЕНЯЮЩЕГОСЯ В НАПРАВЛЕНИИ ОСИ ζ (рис. 89).
А
ζ+Δζ\
-ΔΓ(ζ*Αζ)*-Δχ Ayp(z+Az)
ΔΧ
AF(z)=AxAyp(z)
Рис. 89
Нормальные напряжения в направле
нии осей χ и у взаимно уравновеши
ваются; ζ-компонента нормального на
пряжения равна
— AF(z+Az) + AF(z) =
= — \ ρ {ζ + Αζ) — ρ (ζ)} Αχ Ay =
dp (z)
ρ ^ Αζ Αχ Ay =
dz
dz
AV.


2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО С
ПОМОЩЬЮ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ. В
жидкостях и газах
σχ = συ = σζ
= — ρ; τ*
У
τχζ ^yz
0;
Pvx =
дх
σ
dp ρ д
— ; tvy= σ„ =
дх
ду
у
» rVz= ОГ,=
ду
dz
др_
dz
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО С
ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ.
Сила AF, действующая на произвольно
выделенный объем AV с поверхностью
Δα, равна, согласно П4.6.5,
AF = J d?= Г ( — p)nda =
Δα Δα
= J grad(—p)dV\ Fv=— grad p.
Давление как потенциал.
Так как градиент давления равен
объемной силе, то, следовательно, давление
является потенциалом этой объемной си-
г
лы: ρ (г) = р{т0)~J Fv(r) dx (рис. 90).
о
Ρι<Ρι
Рг<Рз
Рз
щихся в поле тяжести g, удовлетворяет
соотношению
gradp=-og.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (рис. 91). На
Рис. 91
малый объем AV покоящейся среды
действуют в состоянии равновесия силы
— grad ρ-Δν + gAm =
= —grad p-AV + pgAV — 0.
4.2.4.1. Π окоя щая ся несжимаемая
жидкость.
Давление. Под влиянием силы
тяжести в покоящейся несжимаемой
жидкости возникает давление, линейно
растущее с глубиной ζ:
Рис. 90
P = Po + Pgz-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Несжимаемая
жидкость ρ — const; равновесие
объемных сил: — grad ρ 4- pg = 0; ζ —
компонента объемных сил: — dpi dz -f- 9g ~
= 0.
Пример. Вода, p0 = 760 мм рт. ст. =
= 1 атм, Τ = 15° С, ρ (атм) = 1 + 0,097 *(м).
Выталкивающая сила
(рис. 92). Выталкивающая сила А, дей-
Поверхности жидкости.
Поверхность жидкости является
поверхностью постоянного давления р0 и
поэтому эквипотенциальной
поверхностью градиента давления. Градиент
давления всегда перпендикулярен к
поверхности и направлен внутрь жидкости.
4.2.4. Жидкости и газы в поле
тяжести. Распределение давления в покоя-
щихся жидкостях или газах, находя-
Рис. 92
ствующая на тело в жидкости, есть
следствие градиента давления. В поко-


ящейся несжимаемой жидкости
плотности рж
А = —рж Vg = —вес вытесненной
жидкости
(закон Архимеда).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО, grad ρ = рж^
А= J dF = — §pndS= J (—grad ρ) dV=
ν
4.2.4.2. Покоящийся идеальный газ.
Под действием силы тяжести
покоящийся идеальный газ имеет при постоянной
температуре Τ на высоте ζ давление
ρ = ро exp (—gMz/RT)
(изотермическая барометрическая
формула).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как и для
покоящейся жидкости, — grad ρ + pg =
= 0. Плотность, однако, зависит от
давления: ρ = m/V — MplRT.
z-Компонента объемных сил: dpi dz = — pg =
= - gMp/RT.
Пример. Po = 760 мм рт. ст., Т =
= 0° С, ρ (мм рт. ст.) = 760 ехр (— ζ (м)/7900).
§ 4.3. Кинематика жидкостей
и газов
4.3.1. Локальные и полные временные
изменения.
4.3.1.1. Введение. В кинематике
жидкостей и газов принято использовать
два типа систем отсчета: неподвижную
в пространстве лабораторную систему
S* и сопутствующую систему S (t),
которая движется вместе с материальной
частицей т. Неподвижной
лабораторной системе 5* отвечают локальные
изменения во времени и частные
производные по времени гидро- и
аэродинамических величин; сопутствующей системе
S (t) отвечают полные изменения во
времени и полные производные по времени
этих величин (рис. 93). В большинстве
случаев наблюдается и измеряется
поток жидкости или газа в неподвижной
лабораторной системе S*. Для этого
наблюдается некоторый выделенный
неподвижный объем Δ У или V среды.
Динамика жидкостей и газов
базируется на основном законе механики —
втором законе Ньютона. Однако этот
закон может быть применен только к
отдельным частицам жидкости или газа.
Это обстоятельство и обусловливает
введение сопутствующей системы 5 (t). Если
принять, что масса Δ/η или т частицы
постоянна, то основной закон
механики принимает вид
Fm = ?/т = а = awl dt, I
где Fm — массовая сила; а —
ускорение и ν — скорость.
Ниже будет найдена связь между
частными и полными производными
плотности ρ и скорости ν по времени.
4.3.1.2. Частные производные
повремени. Если потоки в жидкостях и газах


наблюдаются в малом постоянном
объеме AV вокруг неподвижной точки г,
то, следовательно, наблюдается
локальное поведение гидро- и
аэродинамических величин. Так как в неподвижной
лабораторной системе S* точка г
фиксирована, можно писать частные
производные по времени:
Для плотности
_др__
dt
dv
dt
д
dt
д
dl
Ρ (Γ,
v(r
о=
.0 =
а
dt
d
dt
ρ (χ,
ν(*,
У>
У>
*.0;
*.0·
4.3.1.3. Полные производные по
времени. В сопутствующей системе 5 (/)
физические величины описывают в
каждый момент времени состояние одной
и той же частицы жидкости или газа.
Траектория частицы определяется
зависящим от времени радиус-вектором
г = г (/) = {х (0, у (/), ζ (/)}.
Внимание: χ (t), у (t) и г (t) —
координаты в покоящейся системе S*\
Изменение физической величины во
времени в сопутствующей системе будет
поэтому определяться как через /, так
и через г (/). Например, в системе 5 (t)
ρ = ρ (г (ή, t) = ρ (χ (/), у (/), ζ (t), /);
ν = ν (г (/), /) =
= v(x(t), у (t), z(t), t).
Производные физических величин на
траектории частицы г (t) обозначают как
полные производные и используют для
этого обычный дифференциальный
символ:
-£■ = -£- Ρ (* (0.1/(0. г (0,0;
at at
·=-£-=-г-ν (*(0. *W.* (0,0-
at at
Здесь а — ускорение частицы.
4.3.1.4. Связь между полными и
частными производными. Соотношения между
полными и частными производными
вытекают из приведенных определений в
разд. 4.3.1.2 и 4.3.1.3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
^Р =-^ Ρ (* (0.0 (0.г(0.0 =
dp dx dp dy dp dz _£_
dx dt dy dt dz ~dT ~dt~^~
dp dp . dp , d
Для ускорения
a=^r=ir+|vgradlv=
= ——+grad(—v2)—vxrot ν
dt V 2 /
(без доказательства).
4.3.2. Уравнение непрерывности.
Благодаря сохранению массы плотность
ρ (/, г) и скорость ν (/, г) произвольного
течения связаны уравнением
непрерывности
dp/dt -f div (pv) = dp/dt +
+ ρ div ν = 0.
1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для течения
в направлении оси ζ (рис. 94). Измене-
νζ(ζ)
4/77
Δλ
) 4--J Ъ(**М
Vty
Ζ+Δι
Рис. 94
ние массы Am в неподвижном объеме
Δ К = AxAyAz за время δ/:
δ (Am) = AxAyAz — plz + — Az) 6t =
= — ρ (ζ + Az) vz (z + Az) St Ax Ay +
+ ρ (ζ) vz (ζ) öt Ax Ay;


*l^?L = AxAyAZ-Lp(z) =
8/
at
= _a{P (*)„(»)} ДгА;ед
JJL=_i-|p(z)t>,(*)l·
2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО С
ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ГАУССА (рис. 95).
Рис. 95
Баланс массы в некотором
фиксированном произвольном объеме V:
|L=^_jpijV/=_j(pv)niiQ =
V а
= —fdiv(pv)dV;
_др_
dt
= — div (pv);
—— = —— -f ν grad ρ = — ρ d iv ν.
dt dt ^ r
4.3.3. Стационарные течения. При ста-
ционарном течении никакие гидро- или
аэродинамические величины в некоторой
фиксированной точке г не изменяются
во времени. Отсюда для любой
физической величины
д/д/ = 0 пРи стационарном течении
Полная производная
плотности
dp/dt = ν grad ρ
Уравнение
непрерывности
div(pv) = 0.
Ускорение
а -= dv/dt = grad (v2/2)
—ν rot ν .
В стационарных ламинарных
течениях частицы жидкости или газа
движутся в слоях или нитях тока. Для
нити тока стационарного ламинарного
течения справедливо уравнение
непрерывности:
Α Ριυι = ^2 Рг υ2~ const.
Здесь Alt2 — площади поперечного
сечения нити тока; р12— соответствующие
плотности; υχ 2 — средние скорости
(рис. 96).
Рис. 96
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — с помощью
теоремы Гаусса. Так как векторы
скорости ν на боковой поверхности нити
тока направлены по касательной, то
поверхностный интеграл сводится к
интегралу по поверхностям Аг и Л2:
0= Г div(pv) dV = fpv-nda^
V а
= p1V1.n17l1 + p2V2-n2^2 =
= — p1v1Al-\-p2v2Az.
4.3.4. Течения несжимаемых жидкостей.
Несжимаемые жидкости имеют
постоянную плотность р. Отсюда следует, что
dp/dt = dp/dt = 0. Уравнение
непрерывности сводится поэтому к виду
divv = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: ρ = const,
dpi dt = dpldt = — ρ div ν = 0. Для
нити тока стационарного ламинарного
течения несжимаемой жидкости
справедливо поэтому равенство
Αχ Vj = Аг v2 = const.
Доказательство см. в 4.3.3.


4.3.5. Стационарные потенциальные
течения.
Скорость. Скорость ν = ν (г)
стационарного потенциального течения
может быть по определению записана
через не зависящий от времени
потенциал скорости Φ (г):
ν (г) = grad Φ (г).
Скорость ν (г) является безвихревым
вектором:
rot v (г) = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: rot v (г) =
= rot grad Φ (г) — 0.
Ускорение. Ускорение а = а (г)
потенциального течения также обладает
потенциалом:
а = dwldt = grad Φ* (г);
Φ* (г) = 1/2 ν2 = 1/2 (grad Φ (г))2
и является безвихревым вектором:
rota = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
а = dwidt = dwldt -f grad (1/2 ν2)
— ν χ rot ν = grad (1/2 ν2).
4.3.6. Вращение и циркуляция.
4.3.6.1. Равномерное вращение. Если
жидкость вращается с постоянной
угловой скоростью вокруг неподвижной оси
е, она образует стационарное течение,
имеющее скорость (рис. 97):
0^
R
Рис. 97
v = oxr=(oxR; v = ü4> = ü)R.
Ни в какой точке равномерное
вращение не является безвихревым:
rot ν (г) = rot (ω χ г) = 2ω Φ 0
(без доказательства). В этом случае
ускорение а (г) отвечает
центростремительному ускорению:
а (г) - dwldt = dwldt + grad (v2/2)
— ν x rot ν = 0 +
+ grad (ω2#2/2) — 2 ((ω Χ г) Χ ω) =
= 0 + ü)2R — 2(ö2R = — (ö2R.
4.3.6.2. Локальное вращение в
некотором течении. В случае произвольного
течения ν = ν (г, /) вектор
представляет собой локальное вращение
жидкости или газа в точке г в момент
времени t.
4.3.6.3. Циркуляция Г. По
определению, циркуляцией вдоль некоторой
замкнутой кривой s называется линейный
интеграл Г = & wds. Для потенциаль-
S
ных течений циркуляция обращается
в нуль в силу теоремы Стокса (П4.6.5):
Г = § wds = J rot vda = 0.
§ 4.4. Динамика невязких
жидкостей и газов
По определению, в невязких
жидкостях и газах отсутствуют касательные
напряжения, т. е. в них нет вязкости
или внутреннего трения.
4.4.1. Дифференциальное уравнение
движения. Дифференциальное уравне-
ние движения невязких жидкостей и
газов, соответствующее второму закону
Ньютона, названо по имени Л. Эйлера
(1707—1783). Для сред, находящихся
под влиянием силы тяжести и других
возможных массовых сил F*m% это
уравнение имеет вид
а = dwldt = dwldt + grad (v2/2) —
(ν χ rot ν) = — (l/p)gradp + g + Fm.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (рис. 98). На
-graap'AV
Am Гт
Рис. 98
материальную частицу Δ/η действует
сила
ÄF = Amg — grad p-AV -f AmF*m.
В соответствии со вторым законом
Ньютона и с учетом условия dAmldt = О
получаем уравнение
d (Amv)Idt = Amdsidt = Δ/na =
= \F = Am (g—(1/p) grad ρ + FTO).
4.4.2, Уравнение Бернулли. Уравнение
Д. Бернулли (1700—1782) основано на
законе сохранения энергии. Оно
применимо для таких стационарных
ламинарных течений жидкости или газа,
при которых вязкость несущественна.
В частности, оно справедливо для
невязких жидкостей и газов. Однако его
можно применять и в случае течений
вязкой среды, при которой вязкость не
играет никакой роли или играет
только подчиненную роль (4.8.4).
Если действует только сила тяжести,
то вдоль стационарной трубки тока
идеальной сжимаемой жидкости
выполняется соотношение между скоростью
ν, давлением ρ и высотой h (рис. 99):
ßo,Po>ho
и
Рис. 99
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Предполагается: наличие только силы тяжести, F^= 0;
стационарность течения, dv/d/ = 0;
сжимаемая жидкость, ρ = ρ (ρ). Уравнение
движения (4.4.1)
grad (v2/2) — ν X rot ν
+ (1/p) grad ρ — g = 0.
Скалярное умножение на вектор
= \dt дает, с учетом формулы
X rot ν)·ν = 0,
dv =
(ν χ
d (v2/2) + 0 + dp/p + gdh = 0.
С помощью интегрирования вдоль
трубки тока отсюда получается
приведенное выше уравнение Бернулли.
4.4.3. Уравнение Бернулли для
несжимаемых невязких жидкостей. При
постоянной плотности уравнение
Бернулли сводится к уравнению
(l/2)pu2 + p + pg/i =
=(1/2) pvo + ро + pgho=const.
Доказательство: ρ = const даёт
dp_
Ρ
Ρ—Po
Po
Применения. Приведенное
уравнение Бернулли часто используют и
тогда, когда предположения, при которых
оно получено, выполняются не строго.
Это возможно во многих случаях, так
что для дозвуковых течений реальных
жидкостей и газов уравнение Бернулли
чаще всего представляет собой хорошее
приближение.
Пример. Сосуд Э. Торричелли (1608—
1647) (рис. 100)
h.vO, Po
5^> 0, V, Ρ о
Рис. 100


0 + Po + PgÄ=0 + P + 0 = pü2/2 + Po + 0;
4.4.4. Ламинарное течение
несжимаемой невязкой жидкости в трубе. В
случае ламинарного течения несжимаемой
невязкой жидкости в трубе
переменного сечения А выполняются соотношения:
Av = Amvm — уравнение
непрерывности; (ρ/2) ν* + ρ = р0 = (p/2) v2m -
уравнение Бернулли, где vm —
максимальная скорость, а А т — минимальное
поперечное сечение, определяемые
условием ρ = 0. Из этих соотношений
можно найти поперечное сечение А и
давление ρ как функции скорости:
(рис. 101). Эти характеристики течения
1 Ф,
/77
1 v/vm
Рис. 101
несжимаемой жидкости в трубе
существенно отличаются от подобных
характеристик течения сжимаемой среды,
для которой существует конечная
скорость звука (4.7).
§ 4.5. Потенциальные течения
несжимаемых жидкостей
4.5.1. Определение. Скорость
стационарного потенциального течения
несжимаемой жидкости удовлетворяет
соотношениям:
ν = ν (г) = grad Φ (г)—существование
потенциала скорости;
rot ν (г) = 2ω (г) = 0 — безвихревой
характер;
div ν (г) = 0 — несжимаемость.
Такой тип течения сравнительно прост
и представляет собой хорошее
приближение к реальным течениям. В силу
условия rot ν (г) == 0 уравнение
Бернулли в потенциальном течении
выполняется не только вдоль нити тока, но и для
двух произвольных точек течения.
4.5.2. Потенциал скорости. Потенциал
скорости Φ (г) удовлетворяет
дифференциальному уравнению П. С.
Лапласа (1749—1827):
ΔΦ(γ) = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 0 - div ν =
= div (grad Φ) = ΔΦ.
Слои тока, нити тока и линии тока
расположены перпендикулярно к
поверхностям Φ (г) = const
(эквипотенциальные поверхности) (рис. 102).
Экдипотенциальнь ie
yTwöepxHocmu
Линии
тона
Рис. 102
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Φ (г) = const = Φ (г + dv) = Φ (г) +
grad Φ (г) dx = Φ (г) + v-dr;
\dv = 0, откуда на потенциальной
поверхности ν _L dv.
4.5.3. Парадокс д'Аламбера.
Ж· д'Аламбер (1717—1783) обнаружил,
что гидравлическое сопротивление тела
в потенциальном течении равно нулю:
Гидравлическое сопротивление
возникает только в вязких жидкостях и
газах.
4.5.4. Комплексное представление
плоского потенциального течения. В
случае плоского стационарного потенциаль-


ного течения несжимаемой жидкости вы
полнены следующие соотношения:
v={vx(x,y),vy(x,y))^
дФ(х,у) дф(х,у)
0 =
дх
д*Ф(х,у)
дх*
+
д*Ф(х, у)
ду*
- = ΔΦ.
Эти соотношения можно представить
также с помощью аналитической
комплексной функции
f(z) = Φ (χ, у) + ίψ(χ, У)·
Здесь: ζ — χ + \у — точка в
комплексной плоскости течения; Φ (χ, у) —
потенциал скорости; Φ (χ, у) = Сх —
эквипотенциальная кривая; ψ (χ, у)
функция тока; ψ {χ, у) = С2 — линия
тока.
Утверждение об аналитичности f (z)
в точке ζ означает, что / (ζ) в точке ζ
произвольное число раз
дифференцируема и может быть представлена в виде
разложения в ряд Б. Тейлора (1685—
1731), т. е.
f{z + l±z) = f(z)+-±rf'{z)Sz +
+ ^г/"(2)Аг2+...;
действительная и мнимая части / (ζ)
удовлетворяют дифференциальным
уравнениям А. Л. Коши (1789—1857) и
Б. Римана (1826—1866):
дФ/дх = д"$1ду\ dty/dx = — дФ/ду.
Поэтому функции Φ и ψ удовлетворяют
также потенциальному уравнению
Дф = д2Ф/дх2 + д2Ф1ду2 =
= д2Ц/дхду — д2Ц/дудх = 0
(аналогично для ψ).
Умножением / (ζ) на —
где звездочкой отмечены комплексно
сопряженные величины.
Из уравнения Бернулли ρ = р0 —
— ри2/2 для плоского потенциального
течения следует выражение
комплексного представления давления:
Р^Ро
1
*
pVV = ро
1 df dt·
— ρ — —
2 dz dz*
Литература по комплексному
представлению плоских течений:
Лаврентьев Μ. Α., Шабат Б. В. Методы теории
функций комплексного переменного. М.,
Наука, 1965.
Коппенфельс В., Штальман Ц. Практика
конформного отображения. М., Изд-во иностр.
лит., 1963.
4.5.5. Комплексное представление
источника на плоскости (рис. 103).
Линия тона ,/
ψ-const
~^bbLda~dzrdy
ι Ъндипотенци-
'ильная линия,
Ф= const
Рис. 103
Характеристическая функция: / (ζ) =
= (Q/2ji) In z.
Полярные координаты: z=rel<f>, /(rei(P) =
= (Q/2n) (In r + i<p).
Потенциал скорости: Ф = (Q/2ji) In r.
Функция тока: ψ = (?<ρ/2π.
Линии тока: φ = const.
Скорость: υ = (Q/2n) (1/ζ*), \ν
= (Q/2n) (1/г).
i можно no- Сила источника: \ vnda =
менять местами функцию тока и по
тенциал скорости
— \f (ζ) = ψ (л\ у) + i (— Φ (*, у)).
Скорость ν определяется при ком
плексном представлении плоского по
тенциального течения как
ν = vx + i vy = дФ/дх -+- \дФ/ду =
= (/' (*))* = (df/dz)* = df*ldz*,
2π
:ί
2лг
rdq> = Q.
о
1
Давление: ρ = р0 — ρνν* =
= Ро — Р
Q
1
8π2


4.5,6. Комплексное представление по-
тенциального обтекания цилиндра
(рис. 104):
Рис. 104
Характеристическая функция: / (ζ) =
= и«, (ζ + Rh-1).
Полярные координаты: ζ = re1',
/ (ге*ф) = Oaor (e"> + (R/r)2 e~i(P).
Потенциал скорости: Ф = vx cos φ Χ
X {г + Rh-1}.
Функция тока: ψ = i^sin φ {г — Rh'1}
Скорость: υ = »«{Ι — (R/z*)2}.
Поверхность цилиндра: z=Relv,
dz = ifle^dq), Ό = Voo (1 — е21">), ρ =
= Po — l/2pw* = po — pu»(l — cos 2φ).
Сопротивление
цилиндра в потенциальном
течении. Распределение давления на
поверхности цилиндра симметрично по
отношению к осям χ и у. Поэтому силы,
действующие на поверхность, взаимно
уничтожаются. В частности, отсутствует
сила в направлении скорости течения ν
σο ·
§ 4.6. Вихрь
4.6.1. Потенциальный вихрь.
Определение. Равномерное
вращение не пригодно для описания
реального вихря. У реального вихря
скорость внутри велика, а снаружи мала,
в случае же равномерного вращения —
наоборот. Кроме того, равномерное
вращение нигде не является безвихревым
(4.3.6.1). Потенциальный вихрь,
напротив, дает хорошее описание
реального вихря. Он определяется формулами
(рис. 105). В декартовых координатах
ν = (Γ/2π) {— у/г2, х/г2, 0}.
К"-"*
Рис. 105
Потенциальный вихрь —
безвихревой во всех точках, за исключением оси:
rot ν = 0 для г > 0, rot ν Φ 0 для
г = 0. Поэтому для г -Ф 0 он обладает
потенциалом скорости
Φ = (Γ/2π) φ, 0< φ< 2π.
Потенциальный вихрь представляет
собой течение несжимаемой жидкости:
div v — 0.
Комплексное
представление потенциального
вихря. Для г Φ 0 потенциальный
вихрь образует плоское потенциальное
течение несжимаемой жидкости (4.5.3).
Поэтому он допускает комплексное
представление. Характеристическая функция
/ (г) = — i (Γ/2π) In г =
= (Γ/2π) (φ — i In r).
Потенциальный вихрь отвечает
перестановке функции тока и потенциала
скорости для источника (4.5.5):
/ \*7П0Т.
вихрь
>/(*)
ИСТОЧНИК»
если Q = Г.
Потенциал скорости: Φ = (Γ/2π) φ.
Функция тока: ψ = — (Γ/2π) In r.
Линии тока: г = const.
Скорость: ν = i
ι
2π
υ
1
2π
Циркуляция (интенсивность вихря):
2π
§ yds — ) vrdy = Г.
о
Давление и градиент
давления в
потенциальном вихре. Согласно закону Бер-
нулли для потенциальных течений, дав-


ление ρ убывает в глубину потенциаль
ного вихря:
Р = Ро
1
,*
ρνυ* = ро — Ρ
Π
1
ρ = 0 при r0 =
8л2 г2
1/2
2π \ 2р0
Для г < г0 понятие потенциального
вихря в несжимаемой жидкости теряет
смысл. Этому соответствует появление
отверстия на оси реальных вихрей в
жидкостях.
Объемная сила градиента давления в
потенциальном вихре действует в
направлении оси вихря:
Fv = — grad ρ = — ρ (Γ2/4π2) (r/r4).
4.6.2. Теоремы Гельмгольца о вихре.
Г. Гельмгольц (1821—1894)
сформулировал законы поведения вихря в газах
и жидкостях без касательных
напряжений (без вязкости). Три его теоремы
описывают также вихри в реальных
газах и жидкостях, если предположить,
что вязкость не слишком велика.
1-я теорема: внутри жидкости
или газа никакой вихрь не может
начинаться или кончаться.
Примеры: завихрение воды в ванне,
дымовые кольца.
2-я теорема: в любой момент
времени вихрь содержит одни и те же частицы.
Пример: дымовое кольцо.
3-я теорема: для каждого
поперечного сечения вихря Q,
перпендикулярного к вихревой нити, циркуляция
Г = § vds постоянна (рис. 106).
дихребая нить
Рис. 106
Примеры: дымовое кольцо,
циальный вихрь.
потен-
§ 4.7. Сверхзвуковые течения
В несжимаемых средах любое
возмущение распространяется бесконечно
быстро. Наоборот, в сжимаемых средах
возмущение распространяется с
конечной скоростью звука. В жидкостях и
газах эта скорость определяется
адиабатической сжимаемостью рад и
плотностью ρ (6.9.4):
" = (PßaÄ)
1/2 =
1/2
(dp/dp)ü'.
Течения сжимаемых сред со скоростью vt
большей скорости звука w,
существенно отличаются от медленных
дозвуковых течений.
4.7.1. Конус Маха. Типичным
проявлением сверхзвукового течения
является конус Маха, который расходится
от летящих со сверхзвуковой скоростью
снарядов, ракет и самолетов.
Половинный угол раствора этого конуса θ
определяется отношением скоростей и и ν:
sin θ = u/v = 1/Λί,
где М — число Маха (рис. 107).
"и
Рис. 107
Пояснение. Возникновение конуса
Маха можно пояснить с помощью принципа
X. Гюйгенса (1629—1695). В данном случае
этот принцип утверждает, что в каждый
момент времени от острия летящего со
сверхзвуковой скоростью объекта исходит
звуковая волна, которая распространяется в виде
сферы со скоростью, равной скорости звука.
Последовательное наложение всех этих
сферических волн и образует конус Маха.
Наблюдение. Если боковая
поверхность конуса Маха проходит мимо
наблюдателя, то он слышит так называемый
сверхзвуковой удар, так как конус Маха соответствует
волне уплотнения. В лаборатории конус Маха
можно наблюдать с помощью теневого
метода (см. 6.13.4).


Связанные явления. Конус
Маха в сверхзвуковом течении отвечает
эффекту Доплера (см. 6.16.1) в дозвуковой
области. Кроме того, с конусом Маха связаны
волны, расходящиеся от носа плывущего
корабля, и эффект П. А. Черепкова (род. 1904 г.),
который заключается в том, что если
электрически заряженная частица летит в среде
с показателем преломления η (например,
плексиглас) со скоростью и, большей скорости
света ein в среде, то эта частица порождает
свечение. Оно соответствует конусообразной
электромагнитной волне, аналогичной
конусу Маха в воздухе. Эффект Черенкова
используют в ядерной физике для регистрации
быстрых частиц.
4.7.2. Дозвуковое и сверхзвуковое те-
чение идеального газа в трубе.
Скорость звука в
идеальном газе. Адиабатическая
сжимаемость идеального газа равна,
согласно 4.1.1.3, β = l/κρ, где κ =
= Ср/Су. Здесь Ср означает молярную
теплоемкость при постоянном давлении,
а Су — молярную теплоемкость при
постоянном объеме. Отсюда скорость
звука в идеальном газе
" = (*р/р)1/2.
Уравнение Бернулли для
идеального газа. В
случае быстрых течений идеального
газа величины, характеризующие его
состояние, меняются адиабатически. Для
адиабатических изменений в идеальном
газе выполняется соотношение р/р0 =
— (р/ро)х. где κ = Ср/Су. Совместно с
уравнением состояния ρ = pRT/M*
получаем, пренебрегая тяготением,
уравнение Бернулли для идеального газа
в виде
2
κ —1
Ρ
κ-1
2 Μ* κ—1 ρο
1
κ — 1 2 Μ*
Здесь Τ — абсолютная температура
газа; Μ* — молекулярная масса.
Критическая скорость.
При достижении критической скорости
скорость течения газа ν равна
скорости звука и:
u* = u* = -|/-2 (x-h 1)~1/2 «0
κ —1 у/2
κ+1 /
Данные для воздух а: κ =
= 1,4; Т0 = 20°С == 293,17 К; р„ =
= 1,205 кг-м-3; vm = 770 м-с-\ Μ* =
=0,029 кг/моль; р0=1 атм = 105 Н-м"2;
и0 = 344 м-с-\ и* = 314 м-с"1.
Уравнение
непрерывности. Уравнение непрерывности для
стационарного ламинарного течения
газа имеет вид
Αρυ = Λ* ρ* ν* =
1 1
= A*p0vm2 κ~ι (κ—1) 2 χ
х + 1
χ (κ+1) 2<κ-ι> f
где А — поперечное сечение, а А* —
поперечное сечение при критической
скорости.
Уравнения течения.
Считая, что течение остается ламинарным
и при больших скоростях, можно с
помощью уравнения Бернулли,
уравнения непрерывности и соотношения
ρ/ρ0=(ρ/ρ0)κ получить величины М, р,
ρ, Τ и А как функции скорости ν
(рис. 108):
О /7//л 1 v/vm
Я
V/Vm 0 7/7щ U/Vm
Рис. 108
M^v/u = 2^2{K—l)-^2(v/vm) χ
х{1-(оЧг)2Г1/2;


κ
i
p/po = (l-(f/4,)2) —, ;
TIT, = 1 - (vbm)\
1
Л*/Л = 2 κ-ί (κ —1)-ι/2 χ
Χ (κ+1) 2<*-ΐ) χ
1
Если газ вытекает из резервуара,
где он находится при давлении р0 и
температуре Г0, через суживающуюся
трубку, то при этом растет скорость и
постоянно падают давление р,
плотность ρ и температура Т. При
критической скорости и* = и* число Маха М= 1
и сечение трубы А = А* имеет
минимум. Если скорость должна и дальше
возрастать, то необходимо при Μ > 1
вновь увеличить сечение трубы А. Этому
требованию удовлетворяет сопло К· Г.
де Лаваля (1845—1913), которое
используется прежде всего в ракетных
двигателях (рис. 109).
Обычное сопло Сопло Ладаля
Рис. 109
§ 4.8. Динамика вязких
жидкостей и газов
4.8.1. Простое описание вязкости.
Вязкость описывает внутреннее трение,
т. е. динамические касательные и
нормальные напряжения в жидкостях и
газах.
Динамическая вязкость.
По определению, в жидкостях и газах
отсутствуют статические касательные
напряжения. Однако в движущихся
жидкостях и газах имеются динамические
касательные напряжения. Их можно
охарактеризовать динамической
вязкостью, называемой также первой
вязкостью или просто вязкостью. Согласно
И. Ньютону (1643—1727),
динамические касательные напряжения можно
описать следующим образом (рис. 110).
Рис. ПО
Между покоящейся и движущейся со
скоростью ν пластинами площадью А
находится слой жидкости толщиной ά.
Благодаря наличию вязкости для
смещения одной пластины относительно
другой нужно приложить силу F,
которая определяется соотношением
x=F/A = y\v/d,
где коэффициент пропорциональности
называется динамической вязкостью
жидкости. Вектор τ характеризует
касательное напряжение, обусловленное
динамической вязкостью.
Объемная вязкость. При
сжатии или расширении газов или
сжимаемых жидкостей наряду с нормальным
напряжением давления возникает
добавочное напряжение, вызыванное
внутренним динамическим трением:
σ*η=-^=-ζ-1^η =
А р dt
= —ζ -—lnpn.
Коэффициент пропорциональности ζ
называют объемной вязкостью или второй
вязкостью.
Единицы. Из предыдущих
соотношений следует, что единицей вяз-
костей η и ζ является кг · м-1 «с-1.
Единица вязкостей в системе СГС
названа пуазом (Пз) в честь Ж. Л. М. Пу-
азейля (1799—1869): 1 кг-м^-с"1 =
= 10 Пз = 10 г-см"1-с-1.
Примеры динамической вязкости;
Н20 при20°С . . . 1.0-10-8 кгм-^с-'
Глицерин при 20° С . . . 1,5· 10"3 кг м-1 с-1
Воздух при 0°С, 1 атм1,710-5 кгм-^с-1


4.8.2, Тензоры вязких напряжений.
Динамическая вязкость.
Обусловленное динамической
вязкостью η напряжение t связано с
векторами нормали к поверхности п через
тензор напряжений Τ (η). Эта связь
имеет вид:
t = Fl А = Τ (η) n,
или в компонентах:
η
χ 3
dvx
dx
dv
у
dv
dv.
+μ^+
dx
dvx
dy
)пу +
ду
dv
1
η
ty=
dv
дх
*-+
дх
dvx
ду
+
dz
dvx
dz
)"x +
2 dVy
dv
dy
dz
dvx
dx
j"y +
+
dvz , düy
l_
η
tz =
dy
dvz
+
dx
+
dz
dvx
dz
η
w+
+
dvz , dv
+
dy
dv,
+
-£)-■+
dz
dz
dvx
dx
dv
у
ду
Π
Ζ'
Объемная вязкость. Тензор
напряжений Τ (ζ) объемной вязкости
сводится к скаляру. Связь между
вызванным объемной вязкостью ζ
напряжением t и вектором нормали к
поверхности п имеет вид
t = F*/A = Τ (ζ) η = Cdivv-n,
или в компонентах
(Ι/ζ) tx = (dvjdx -f dVy/ду + dvjdz)nx\
(Ι/ζ) ty = (dvjdx + dVy/ду -f dvjdz) ny\
(l/ζ) tz = (dvjdx -f dvyldy + dvjdz) nz.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,
равенство ζ(1/ρ) dpi dt =
4.8.3. Вязкие объемные
Справедливо
- ζ div v.
силы. Из
общего соотношения между тензором
напряжений Τ и объемной силой Fv:
Fv = div T и математической формулы
Δν = (Ανχ% Αν у, Avz) =
= grad (div ν) — rot (rot ν)
получается в случае сжимаемой
жидкости выражение для объемной силы
динамической вязкости:
Fv(i\) = η (τ ßrad (div v)
— rot (rot ν)} = η {jgrad (div v) -f
4 1
+ Δν} = η {-j Δν + j rot (rot ν)},
а для объемной силы объемной вязкости
Fv(i) = ζ grad (div v).
В несжимаемой жидкости,
характеризующейся условием div ν = 0,
существует объемная сила динамической
вязкости
Ыч)
η rot (rot ν) = -f- ηΔν,
но отсутствует объемная сила
объемной вязкости.
4.8.4. Уравнение движения вязких
сред. Уравнение движения Навье—Сток-
са для течения вязкой жидкости или
вязкого газа под действием объемной
силы Fv названо по именам Л. Навье
(1785—1836) и Г. Г. Стокса (1819—
1903). Оно имеет вид:
pd\/dt = ρ (dv/dt-\- grad (v*/2) —
—ν χ rot v) = Fy — grad ρ +ηΔν +
+ (C + V3)graddivv = Fv — grad ρ-
— η rot (rot v) + (ζ + 4/3η) grad div ν.
Упрощения уравнения
Навье — Стокса.
а. Невязкие среды: η = 0,
ζ = 0. Уравнение Навье—Стокса
сводится к уравнению Эйлера (4.4.1).
б. Несжимаемые среды:
div v = 0.
pd\/dt = Fv —
η rot (rot ν) = Fv
grad ρ —
— grad ρ + ηΔν.
Объемная вязкость не играет роли.
в. Потенциальные
течения несжимаемых жидкостей: div ν =
= 0, rot v = 0.
pdv/dt
ν
grad ρ
= ρ grad (ν2/2).
При потенциальных течениях вязкость
не играет роли. Поэтому в случае по-


тенциальных течений уравнение Бернул-
ли (4.4.2) справедливо и для вязких
сред.
4.8.5. Пограничный слой Π ранд тля.
Обтекание самолета, движущегося
медленнее звука, по большей части лами-
нарно. Вдали от самолета это обтекание
можно описать как потенциальное
течение. Так как в этом случае вязкость
воздуха несущественна, то это
обтекание не вносит вклада в
аэродинамическое сопротивление.
Из-за шероховатостей обшивки на
поверхности самолета относительная
скорость равна нулю. Однако
относительная скорость потенциального течения
на поверхности должна быть, за
исключением отдельных мест, конечна. Исходя
из этого, Л. Прандтль (1875—1953)
постулировал существование
пограничного слоя, находящегося между
потенциальным течением и поверхностью
самолета (рис. 111; здесь показано реаль-
Внутри этого слоя относительная
скорость падает до нуля.
Рис. 111
ное течение: Ρ — потенциальное
течение; G — пограничный слой). Этот
пограничный слой не является
безвихревым, отчего в нем благодаря вязкости
воздуха действует трение. Оно
обусловливает сопротивление обтеканию в
ламинарном течении. Соответствующие
пограничные слои возникают около всех
тел, которые ламинарно обтекаются
реальными жидкостями или газами.
Толщина пограничного
слоя Прандтля. Толщина d
пограничного слоя Прандтля зависит
от плотности ρ и вязкости η среды,
а также от скорости ν и длины χ
обтекаемого тела:
Пример. Крыло самолета
ρ = 1,29 кг/мз; η=1,75·10-5
jt=2 м; ν = 360 км/ч = 100
= 0,9 мм.
в воздухе:
кг/(м · с);
м/с1, d —
Срыв пограничного слоя.
Если число Рейнольдса (см. 4.9.2) при
ламинарном обтекании тела превышает
критическое значение, то часть
пограничного слоя отрывается. Это
приводит к тому, что часть потока становится
турбулентной. При этом значительно
возрастает сопротивление обтеканию.
Определяемое вязкостью η собственно
сопротивление трения переходит,
согласно 4.9.4, в большее по значению и
определяемое плотностью жидкости или газа
ρ сопротивление давления.
4.8.6. Сопротивление трения вязкой
жидкости. Если ламинарное течение
вязкой жидкости не безвихревое, то
появляются потери на трение. Они
определяют сопротивление трения, которое
пропорционально скорости υ и вязкости
η. Это сопротивление можно
определить, зная вязкую объемную силу
(4.8.3). Так как ламинарные течения
переходят при больших скоростях в
вихревые и турбулентные, то понятие
сопротивления трения применимо лишь
при малых скоростях υ.
4.8.6.1. Сопротивление трения шара.
Согласно Г. Г. Стоксу (1819—1903),
сопротивление трения шара равно
WTp= —6лцг\ш,
где г — радиус, а \ш — скорость шара
(рис. 112).
d (Прандтль) = \^§χκ\Ιρν.
Рис. 112
4.8.6.2. Сопротивление трения в трубе
Дифференциальное
уравнение движения. Стационар
ное ламинарное течение вязкой несжи


маемой жидкости в горизонтальной
трубе произвольного постоянного сечения
удовлетворяет условию
grad ρ = ηΔν = — η rot (rot v),
причем ν = 0 на стенке трубы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО см. в 4.8.4.
Труба горизонтальна, поэтому сила Fy =
= pg не играет роли. На стенке трубы
ν = 0, так как там вязкая жидкость
остается прилипшей.
Стационарное
ламинарное течение в круглой трубе
(рис. 113). Стационарное ламинарное
Рис. 113
течение вязкой несжимаемой жидкости
в круглой трубе радиусом R было
описано Г. Хагеном (1797—1883) и Ж. Л. М.
Пуазейлем (1799—1869). Если к
отрезку трубы приложен градиент давления
dp/dz, то возникает ламинарное
течение, зависящее от расстояния г от оси
трубы:
Это ламинарное течение не является
потенциальным!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Дифференциальное уравнение движения: — grad ρ +
+ ηΔν = 0. z-Компонента этого
уравнения
dp_
dz
) + ηΔϋζ (г) = 0 или
7^ + "-
dz r
dr
dr
v2(r)) = 0
(выражение для оператора Лапласа в
полярных координатах см. в П4.6.2).
Линейное распределение давления:
ρ = р0 + zdpldz.
Граничное условие: υζ (R) = 0.
Распределение скоростей: vz (r) =
Расход жидкости и
средняя скорость. С помощью этого
распределения скоростей можно
вычислить расход жидкости Q (м3-с-1) и
среднюю скорость ν (м-с-1):
(закон Хагена и Пуазейля).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
я я
Q = f Vz (г) da = f vz (r) 2nrdr =
о о
π dp
8η dz
R* и υ =
Q
#2π
J_d_p
8η dz
R\
§ 4.9. Турбулентные течения
4.9.1. Понятие турбулентного течения.
Если скорость ламинарного течения
вязкой жидкости в трубе или вокруг
некоторого тела растет, то течение
полностью или частично переходит в
турбулентное. Этот переход чаще всего
связан со срывом пограничного слоя Пранд-
тля. Турбулентное течение имеет
статистический характер. Динамика его
определяется главным образом
плотностью ρ среды, но не ее вязкостью η.
Роль вязкости заключается в том, что с
нею связано условие срыва
пограничного слоя Прандтля. Поэтому
сопротивление обтекания турбулентного течения
называют сопротивлением давления, в
противоположность сопротивлению
трения для ламинарного течения.
Сравнение турбулентного и
ламинарного течения показывает следующие
главные различия.
Стационарное Турбулентное
ламинарное "течение:
течение:
a) dv/dt^O;
б) траектория
частицы Am
определяется нитью тока;
в) сопротивление
обтекания
определяется вязкостью η и
пропорционально
скорости
ν:«сопротивление трения*.
а) ν=ν (χ, у, ζ, /)
(статистически за -
висит от *, у, г, /);
б) траектория частицы
Δ/n не может быть
предсказана;
в) сопротивление
обтекания
определяется
турбулентностью и примерно
пропорционально
ν2: «сопротивление
давления».


4.9.2. Критерий Рейнольдса. О.
Рейнольде (1842—1912) нашел критерий
перехода ламинарного течения в
турбулентное. Так как речь идет о критерии
стабильности, то переход очень
чувствителен к малым возмущениям и не
обязательно происходит точно при тех
значениях параметров, которые даются
критерием. Переход определяется
безразмерным числом Рейнольдса, которое в
значительной степени характеризует
любое течение:
Re = dvp/\\,
где d — типичный линейный размер
(диаметр) трубы или обтекаемого тела;
υ — средняя скорость; ρ — плотность
среды; η — вязкость среды.
Для трубы или тела любого профиля
существует критическое значение числа
Рейнольдса, которое определяет, какой
тип течения стабилен: Re<cReKp —
ламинарное течение; Re > ReKp —
турбулентное течение.
4.9.3. Турбулентное течение в круглой
трубе.
Картина течения (рис. 114).
U--2K
N
*3
L
π
л
d*2R
π
Λ
τ
«
и
?
^3
У
Ламинарное vz(r)
течение: hc^heHpum
Турбулентное
течение: Я β » bcHpuin
Рис. 114
Число Рейнольдса. В
круглой трубе с диаметром d = 2R число
Рейнольдса определяется так:
Re = dpv/t] = 2Rpv/r\.
где ν — средняя скорость расхода
жидкости или газа.
Критическое число Рейнольдса для
круглой гладкой трубы лежит в
интервале ReKp = 2000 -г 20 000.
Коэффициент
сопротивления. Коэффициент сопротивления
λ круглой трубы определяется из
соотношения
Δρ = λ-^--£-о»,
н d 2
где Δ/? — разность давлений на концах
отрезка трубы Аг. Соотношения между
величинами, характеризующими течение
в круглой трубе, в общем случае
описываются коэффициентом
сопротивления λ как функцией числа Рейнольдса
Re.
Коэффициент
сопротивления ламинарного
течения. Коэффициент сопротивления
ламинарного течения определяется
законом Хагена — Пуазейля (4.8.6.2).
Вводя λ и Re, получаем
64 Re
-ι
Коэффициент
сопротивления турбулентного
течения. Для турбулентного течения
в круглой гладкой трубе П. Р. Г. Бла-
зиус (род. в 1883 г.) нашел
соотношение λ = 0,316 Re-1/4, которое хорошо
описывает зависимости вплоть до чисел
Re порядка 10* (рис. 115).
λ а ген- Пуаз ей. ль
блазиус
5 Lg Re
Рис. 115
4.9.4. Сопротивление давления обте-
каемых тел. Сопротивление давления
действует на тело в том течении,
которое образовалось после срыва
пограничного слоя Прандтля. Следовательно, это
сопротивление возникает при средних
и больших дозвуковых скоростях.


Картина обтекания (рис. 116).
Потенциальное
течение
Пограничный
слой
Вихревая
дорожка
Кармана
Сопротивление давления: Wp «
ж А Ар = Α (ρ/2) ν2 = Α (ρ/2) ν£.
Коэффициент сопротив-
л е н и я. Коэффициент сопротивления
безразмерен и в идеальном случае
зависит только от геометрии обтекаемого
тела. В качестве примера на рис. 118 при-
СрыО пограничного слоя
Рис. 116
Формула ДЛЯ СОПрОТИВ- CW'1,17 Сц*0,Ч1 CW=%17 Cw=0,47 Cw-0,OH
л e η и я. Сопротивление давления Wp
при обтекании тела не зависит от
вязкости η среды. Однако вязкость
ответственна за срыв пограничного слоя. Wp
пропорционально плотности ρ и
квадрату скорости потока v^\
Wp = cwA(p/2)vh
где
А -
Cw — коэффициент сопротивления;
главное поперечное сечение
обтекаемого тела.
Качественное
обоснование. Частицы, налетающие со
скоростью — v/< на тело с главным
поперечным сечением А, тормозятся в
точке подпора, из-за чего давление
возрастает на Ар (рис. 117). За телом частицы
ν«
Ро
Точна подпора Турбулентность
Рис. 117
Рис. 118
ведены коэффициенты сопротивления
аксиально-симметричных тел.
Сопротивление
обтекания шара. Число Рейнольдса для
шара Re = 2rpv^/r\. Если
формально ввести коэффициент сопротивления
также и для сопротивления трения, то с
помощью формулы Стокса (4.8.6.1) можно
получить простое соотношение Cw =
= 24 Re1. Критическое число
Рейнольдса, при котором формула Стокса
теряет применимость, лежит в области
lgReKp « 0,4 (рис. 119).
lgcw
г
1
0
~1
1
t
\
-\
V
Стонс-\
10 12
Рис.
-постоянная
J 'f S Lg Re
119
вовлекаются в турбулентное движение.
Их средняя скорость приблизительно
равна скорости потока ι>*, поэтому
давление за телом вновь возвращается к
первоначальному значению. Разность
давлений между передней и задней
сторонами тела дает сопротивление
давления. Подобные представления можно
математически сформулировать с
помощью уравнения Бернулли.
Невозмущенное течение Перед телом
р0 + (р/2)ук = р0 + Ар =
За телом
= Ρο + (ρ/2)ν2
§ 4.10. Динамическая
подъемная сила
Воздушные шары и дирижабли летают
благодаря статической подъемной силе;
напротив, птицы и самолеты летают
благодаря динамической подъемной силе.
Поступательное движение самолета
порождает на несущих крыльях силы,
направленные перпендикулярно вверх по
отношению к направлению полета и
поэтому несущие самолет.
4.10.1. Закон Жуковского — Кутты.
Η. Ε. Жуковский (1847—1921) и


Μ. Β. Кутта (1867—1944) показали, что
динамическая подъемная сила профиля
тесно связана с циркуляцией потока
вокруг профиля. Профиль (рис. 120) дли-
Рис. 120
ной / в жидкости или газе со скоростью
течения Voo и примерно постоянной
плотностью ρ испытывает при данной
циркуляции Г подъемную силу А:
Обоснование — с помощью
воображаемого обтекания пластинки (рис. 121).
Ρο'Δρ/2
+ ÄV
кчЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧЧччччччч^
'оо
Ро
Рис. 121
Уравнение Бернулли: р0
£- υ2
2 °°
= ^ - ^ + JL (о. + Δο)« =
= Ρο+4?-+4>«-Διι)».
Разность давлений: Ар = 2ρν00Δν.
Циркуляция: Г = — 2bAv.
Подъемная сила: А = ЫАр =
= Ы 2püoo Δϋ = — фу« Г.
4.10.2. Эффект Магнуса. Если в
ламинарном потоке вращается цилиндр,
то он испытывает, согласно Г. Г.
Магнусу (1802—1870), подъемную силу.
Причиной этой силы является порождаемая
шероховатостью цилиндра циркуляция.
Для цилиндра радиусом R и длиной /
(рис. 122), вращающегося с круговой
Рис. 122
частотой ω в жидкости или газе
приблизительно постоянной плотности ρ и
скоростью течения ν», подъемная сила А
равна
А - 2п(дриж R21 = гаю«, ρ (π#2 /).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Циркуляция: Г = — (2π#) (ω/?) =
= — 2πω#2.
Подъемная сила: А — — ν^ /ρΓ =
= υ» /ρ (2ло)Я2).
4.10.3. Подъемная сила и индуциро-
ванное сопротивление крыла.
Картина обтекай ия (рис. 123).
Индуциробанная
циркуляция Г[
£} дихредая
О^уО Ша
f-X J dUÄpb
. "VQ ^ ^-/ J разгона
носа
^У
Рис. 123
Острая задняя кромка крыла порождает
при разгоне систему вихрей, состоящую
из вихря разгона, двух боковых
вихревых кос и индуцированной вокруг крыла
циркуляции Г,. Система вихрей
сохраняется в течение полета. Вихрь разгона
существует во время старта, а
индуцированная циркуляция сопровождает
крыло. При приземлении и торможении
индуцированная циркуляция крыла
переходит в форму тормозного вихря. В силу
первой теоремы Гельмгольца о вихрях
система вихрей замкнута.


Индуцированная
циркуляция. Индуцированная циркуля
ция Tj пропорциональна ширине кры
ла Ь и скорости потока vt
Отсюда с помощью закона
σο·
г,
ι_
2
CAbvx
где Ca — коэффициент подъемной силы.
Индуцированная
подъемная сила. В соответствии с
законом Жуковского — Кутты
индуцированная циркуляция порождает
индуцированную подъемную силу:
A = cA(p/2)vlbl.
Индуцированное
сопротивление. Создаваемое вихревыми
косами отклонение потока вокруг
профиля крыла порождает, согласно Пранд-
тлю, изменение первоначального
направления набегания потока на крыло на
так называемый индуцированный угол
атаки а^ По этой причине подъемная
сила приобретает составляющую в
направлении первоначального набегания
потока, которая связана с эффективной
подъемной силой, направленной
перпендикулярно к первоначальному
набеганию потока, соотношением
Wt = Л tga,.
Ψi = cWi (p/2) vi Ы
можно получить индуцированное
сопротивление.
Полярная диаграмма. Для
крыльев дозвуковых самолетов
отношение caIcwi имеет большое значение, так
как оно сопоставляет подъемную силу
с необходимой мощностью двигателя.
Это отношение существенно зависит от
угла атаки профиля крыла (рис. 124).
Срыв
пограничного
слоя
Voo
О
Рис. 124
Ст (а)
Рис. 125
Функцию Ca (cwd называют полярой
крыла. На полярной диаграмме по оси
абсцисс откладывается Cwi, а по оси
ординат — Ca, при этом угол атаки a
является параметром кривой (рис. 125).
Если угол атаки α выбран слишком
большим, то от крыла отрывается
пограничный слой Прандтля, и
связанная с ламинарным обтеканием
индуцированная подъемная сила исчезает. Это
происходит при проваливании самолета
и при приземлении птиц.
глава 5. Электричество и магнетизм
Единицы. Для описания
электрических и магнитных явлений
используются различные системы единиц.
В данной главе практически
использована только система единиц СИ. Гауссов-
ская система единиц,
электростатическая и электромагнитная СГС-системы
описаны и сопоставлены с системой СИ в
приложении П2.
§5.1. Электростатика
5.1.1. Электрический заряд. Единицей
электрического заряда в СИ является
кулон (Кл): I Кл = 1 А-с.
Электрический заряд
характеризуется следующими свойствами и
проявлениями.
Знак. Имеется два различных типа
заряда. Следуя Г. К. Лихтенбергу
(1742—1799), их называют
положительным и отрицательным электрическими
зарядами. Заряды одинакового знака
отталкиваются, заряды разных знаков
притягиваются. Определение знака
электрического заряда сложилось
исторически:
отрицательный заряд: палочка из
искусственной смолы, натертая
кошачьим мехом, заряжается отрицательно;


положительный заряд: стеклянная
палочка, натертая кожей, заряжается
положительно.
Разделение и слияние
(рекомбинация). Электрические
заряды могут разделяться и сливаться
(рекомбинировать).
Сохранение. Если учесть знаки
зарядов, то сумма электрических
зарядов в замкнутой системе постоянна.
Дробность. Любой
электрический заряд Q есть целое кратное
элементарного заряда е:
Q = ne\ я = 0, ± 1, ±2, ±3,...
e=l,6022.10-» Кл.
Примеры. Электрон: Q = — е.
Атомное ядро: Q = + Ze, Ζ — 1, 2, 3, ...
Связь с массой. Любой
электрический заряд связан с некоторой
массой.
Примеры.
Электрон: Q=—e= — 1,6022 · \0~i9 Кл;
Μ = me= 0,91096 · Ю-30 кг.
Протон: Q = + е = + 1,6022 · 10~19 Кл,
Μ = тр= 1,6726 . Ю-27 кг.
5.1.2. Взаимодействие двух точечных
электрических зарядов.
5.1.2.1. Закон Кулона. Если две
материальные точки т1 и т2 (рис. 126)
QiQz>o
mZlQ
Рис. 126
с электрическими зарядами Qx и Q2
находятся в вакууме на взаимном
расстоянии г12, то они действуют друг на друга
с силами F12 и F21, которые
удовлетворяют закону Кулона (Ш. О. Кулон, 1736—
— 1806):
12
21
+
1
4πε0
QiQ:
Γΐ2
i 2
F
12
* 21 — "Ь
4πε0
QiQ:
! 2
Здесь
ная\ f
- электрическая постоян-
0,88542· 10-иКл2/(Н.м2) =
= 0,88542-10-" А2-с4-кг"1-м-3.
Пример. Для сравнения
электростатического взаимодействия с гравитационным
вычислим соответствующие силы,
действующие на два электрона, находящихся на
расстоянии 1 см друг от друга: F (тяготения) =
= 5,5 · Ю-67 Н, F (кулоновская) = 2,3 X
X Ю-24 Н. Так как электрон является
элементарной частицей, из этого результата
можно заключить, что гравитационное
взаимодействие много слабее электростатического.
5.1.2.2. Потенциальная энергия
взаимодействия двух точечных
электрических зарядов. Определяемое законом
Кулона силовое поле F (г) == F12 (г12)
консервативно, т. е. всегда выполняется
условие
rot F (г) = rot
1
4πβι
QiQ
2—-—
4πε,
QiQ2rot
гз
= 0
Следовательно, существует
потенциальная энергия Εηοτ (г). Если положить,
что при г = оо £пот (г) — 0, то
потенциальная энергия электростатического
взаимодействия двух точечных
электрических зарядов Ql и Q2 на расстоянии г
будет
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
£-«,(r)-£nor(oo) + ir(oo,r) =
ПОТ
ι
0 — J F (г) dr =
сю
8i3i f-!Ldr =
4πε0 J r3
CO
QiQ2 Π
4πε0 J \
dr
= +
Q1Q2 i
4πε,
oo
5.1.3. Электрические поля.
5.1.3.1. Определения. Часто
необходимо определить электростатическое
взаимодействие между распределением
электрических зарядов и точечным проб-


ным зарядом q, находящимся в
произвольной точке г. Для этого вводят
понятия электрического поля и
электростатического потенциала, в которых
формально отсутствует пробный заряд q.
Электрическое поле.
Если в точке г на точечный электрический
заряд q в отсутствие магнитного поля
действует сила F (г), то электрическое
поле Ε (г) определяется как
Ε (г) = lim (F (г)/?).
<7->0
Электростатический потенциал. Так
же, как и Ε (г), поле F (г) является
консервативным векторным полем.
Справедливо равенство
rot Ε (г) = 0.
Внимание! Это выполнено только
в электростатике!
Существует потенциал поля Ε (г) —
электростатический потенциал U (г).
В соответствии с общей связью
между F (г) и £пот(г) имеем для
электрического поля Ε (г) и его потенциала U(r):
U (τ)
Е(г)=-
= 1/(г.)-
-grad С (г).
- (Έ(γ')Λ·'.
Го
Электрическое
напряжение V. Электрическое напряжение
V = V (г1? г2) между точками гг и г2 в
консервативном электрическом поле
Ε (г) равно разности потенциалов этих
точек:
v (rlf г2) = υ (Γι) - υ (г2).
Если V = V (гь г2) > 0, то точечный
электрический заряд q получает на пути
от г2 до г2 от электрического поля Ε (г)
энергию
АЕ = qV (гь r2) = q(U (Γι)- U (г2) =
— ^ пот (rl) ^пот (г2) ·
5.1.3.2. Единицы величин,
характеризующих электрическое поле.
Электрический
потенциал и электрическое
напряжение. Единица измерения
потенциала вольт (В) получается из
определения электростатического
потенциала:
1 В = 1 Дж/Кл -
- 1 Дж(А-с)-1 = 1 Вт· А"1.
Электронвольт (эВ).
Определяется как энергия, приобретаемая
электроном при прохождении разности
потенциалов в 1 В: 1 эВ = 1.6022 χ
Χ ΙΟ"19 Дж.
5.1.3.3. Электрическое поле. Из
соотношения Ε (г) = — grad U (г)
получается единица измерения
электрического поля вольт на метр: 1 В-м-1.
Электрическое поле
одиночного точечного заря-
д а. Точечный заряд Q.
находящийся в точке г0 (рис. 127), обладает, в
Рис. 127
соответствии с законом Кулона,
консервативным электрическим полем.
Е(г) = -
Q
г —г0
4πε0 I г —г013
с электростатическим потенциалом
5.1.3.4. Электрическое поле
совокупности точечных зарядов. N точечных
зарядов Qt. расположенных в точках
гг, обладают электрическим полем.
E(D = 2
Qi
i= I
4πε0 |r—r,|3


с электростатическим потенциалом
N
ί/«=2
Qi
/=ι
4πε0
г—г
5.1.4. Уравнение электростатического
поля. Уравнение электростатического
поля называют иначе теоремой Гаусса
для электростатики или третьим
уравнением Максвелла.
5.1.4.1. Плотность электрического
заряда. Если в малом объеме Δ V вокруг
точки г находится электрический заряд
AQ (г), то плотность электрического
заряда определяется как
р8Л(г) = Ит[Л<г(г)/ЛП.
Для электрического заряда
V, ограниченном замкнутой
стью S,
в объеме
поверхно-
Q (внутри S)= J pdn(r)dV.
V (S)
5.1.4.2. Электрическое смещение.
Найдем поверхностный интеграл от вектора
Ε вокруг точечного заряда Q (рис. 128).
Ссрера
Рис. 128
-ι
Вектор нормали: η = г г
Элемент поверхности в сферических
координатах: da ~ г2 sin QdQdy.
Электрическое поле: Ε = (ζ)/4πε0) r~3r.
Endo.
Сфера
-ί
Сфера
4πε
Χ
ο
Χ г"3 (г· г) г"1 г2 sin QdQdy =
- \ sin θίίθίίφ = -S- .
4πε
Поверхностный интеграл упрощается,
если ввести вектор электрического
смещения D (г). Для вакуума
т. е. отличие D (г) от Ε (г) состоит
только в изменении масштаба. Однако эта
связь изменяется и приобретает
физический смысл, если пространство
заполнено веществом (см. 5.1.10).
Физическая единица электрического
смещения D есть 1 Кл-м~2 = 1 А-с-м~2.
Поверхностный интеграл от вектора D
вокруг точечного заряда Q
j Ша= j D-nda=Q.
Сфера Сфера
5.1.4.3. Интегральная форма
уравнения поля. Обобщая предыдущее
соотношение (см. 5.1.4.2), получаем для
электрического смещения распределения
электрических зарядов
jj D (г) da (г) =
s
= jD(r).n(r)da(r)=Q (внутри 5),
где S — замкнутая поверхность (рис.
129).
Рис. 129
5.1.4.4. Дифференциальная форма
уравнения поля. Если распределение
электрических зарядов может быть
описано плотностью электрических зарядов
Рэл О*)* ТО
Сфера
divD(r) = p3JI(r).


Дифференциальная форма уравнения
поля следует из интегральной формы,
если применить математическую теорему
К. Ф. Гаусса (1777—1855):
Q (внутри S) - J рэл (г) dV -
(V)S
= jD(r)cfa = f d\vD(r)dV.
S (V)S
Так как это соотношение справедливо
для любой замкнутой поверхности S,
ограничивающей объем V, то отсюда
div D (г) = рэл (г). Электрические
заряды являются источниками
электрического смещения.
5.1.4.5. Уравнение поля в отсутствие
зарядов в пространстве. Для сред, в
которых отсутствует пространственный
электрический заряд, выполняется
уравнение
divD(r)=0 и [D(r)da(r) = 0.
Эти соотношения аналогичны уравнению
непрерывности несжимаемой жидкости.
Для поля скоростей ν (г) справедливы
равенства
div v (г) = 0 и jv(r)da(r) = 0.
s
5.1.4.6. Поле распределения
электрических зарядов, уравнение для
потенциала.
Задача. Дано: вакуум,
характеризующийся величиной ε0;
распределение электрических зарядов,
характеризующееся плотностью рэл (г) ;
граничные условия: U (г) = 0 при г = оо.
Ε (г) — О при г — оо.
Требуется определить:
ί/(Γ), Ε (г).
Дифференциальное
уравнение:
Рэл (г) = div D (г) - ε0 div Ε (г); Ε (г)=
= — grad £/(г);
~ (1/ε0) Рэл Μ = — div Ε (г) =
« + div grad U (r) = Δί/ (г);
Л1/(г)=-(1/е0)рвл(г)
(уравнение для потенциала, уравнение
Пуассона).
Решение. По аналогии с
электрическим полем и потенциалом
совокупности пространственно-разделенных
точечных зарядов (5.1.3.4) получаем в
случае распределения электрических
зарядов
E(r)=— grad U (г) =
Эти формулы представляют собой
решение приведенного выше
дифференциального уравнения и поставленной задачи.
5.1.5. Электростатика металлов.
5.1.5.1. Внутренняя область металлов.
Электрическое поле.
Внутри металла имеются свободно
движущиеся носители заряда, т. е.
квазисвободные электроны с зарядом —е и
массой т, которые движутся под
действием электрического поля Е. В
металлах, находящихся в нормальном
состоянии, на движущийся носитель заряда
действует сопротивление трения, которое
можно принять пропорциональным
скорости v. Поэтому дифференциальное
уравнение движения носителя заряда
имеет вид
— еЕ = т d\ldt + αν.
Для металлов в сверхпроводящем
состоянии сопротивление трения
практически равно нулю (см. 5.2.5).
В электростатике предполагается,
что носители электрического заряда
покоятся. Отсюда
Ε (внутри металла) = 0.
Потенциал
электростатического поля. Так как Ε = 0
внутри металла и справедливо
соотношение
ί/(Γ) = ί/(Γβ) —JE(r')dr\
Га


получаем, что в электростатике
(/(внутри металла) = const.
Электрический заряд.
Электрические заряды электронов
проводимости и ионов металла внутри
металла взаимно уничтожаются:
Q (внутри металла) = 0;
Рэл (внутри металла) = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
div D = div ε0Ε = ρ
эл
0.
5.1.5.2. Поверхность металла (рис. 130)
* 4 I * * * * А
Е?«Еа
Снаружи.
Рис. 130
Электрическое поле.
Разложим электрическое поле Еа на
внешней поверхности металла на компоненту
Ef(, параллельную поверхности и
компоненту Еа . перпендикулярную к
поверхности. В электростатике на
поверхности металла выполняются
равенства
Е* = 0; ΕΩ = Ε^_.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Электростатическое поле является безвихревым
(rot Ε—0). Теорема Г. Г. Стокса (1819—
1903) дает при интегрировании по
замкнутой петле s
ο^&ε^-Μεϊ-ε;).
Так как поле Ег' внутри проводника
отсутствует, то отсюда Еа.. = 0.
Потенциал
электростатического поля. Внутри
металла Ε = 0, а на поверхности Е., = 0.
Это приводит к тому, что в электростати
ке
(/(на поверхности металла) =
= U (внутри металла) = const.
Поверхность электрического
проводника является эквипотенциальной
поверхностью (U=const).
Поверхностный
электрический заряд. При
рассмотрении электростатических задач
электрический заряд находится на
поверхности металлов. Заряд определяется
уравнением электростатического поля
Щ (внутри S) = AQ (на поверхности Δα) =
= j* D (г) da (г) = f D (г) da (г) =
Δα
= D (г) ·η (г) Δα = D± Δα.
Поверхностная плотность электричес
кого заряда
<*эл(г)= lim (Δ<?(Γ)/Δα)
Δα-+0
равна поэтому
оэл (г) - D (г) η (г) = D± (r) = ε0 Ε± (г).
Электрическое смещение D определяет
поверхностную плотность
электрического заряда оэл. Единицей обеих
величин является А-с-м-2.
5.1.5.3. Электрическое поле между
металлическими телами. Линии
электрического поля ортогональны к
эквипотенциальным поверхностям.
Задача (рис. 131). Дано: два
Экбипотенциаль- ,
мая подерхность ι
Силобая
ι линия
вакуум:
Vrr
Рис. 131
металлических тела с потенциалами U2
Ux в вакууме, характеризующемся


величинами ε0 и рэл = 0. Требуется
найти: электрическое поле Ε (г) и
потенциал U (г) в вакууме между телами,
поверхностную плотность заряда аэл (г) и
электрические заряды.
Дифференциальное
уравнение: в вакууме
div ε0 Ε (г) - рэл = 0;
Ε (г)
—grad U (г),
в
0.
на
на
(уравнение Лапласа).
Граничные условия:
вакууме V (г — оо) — 0, Ε (г = оо) =
На поверхности металлов: V (г
поверхности тела 1) = Ult V (г
поверхности тела 2) = U2.
Решение. Дифференциальное
уравнение Δί/ (г) = 0 с заданными
граничными условиями должно решаться
математическими средствами. Исходя
из решения этого уравнения U (г),
можно вычислить
Ε (г)
grad U (г);
аэл (г на поверхности 1) = г0Е± (г на
поверхности 1);
оэл (г на поверхности
поверхности 2);
2) = е0Е± (г на
ί
Q= J ε0 Ε (r) da (г) =
Поверхность 2
ί
ε0 Ε (γ) da (г).
Поверхность 1
5.1.5.4. Электрическая емкость. Если
на два изолированных металлических
тела 1 и 2 поместить электрические
заряды ± Q, то между телами возникнет
электрическое напряжение V (2,1),
пропорциональное Q:
V(2A) = Ut— Ut = QIC (2, 1),
где С — электрическая емкость
системы. Она зависит от геометрической
формы и размеров обоих металлических тел.
а также от находящейся между ними
изолирующей среды. На величину С
не оказывают влияния Q и V (2,1).
Электрическая емкость измеряется в
фарадах (Ф):
1Ф = 1 Кл/t В = 1 А-с-В-1.
5.1.5.5. Плоский конденсатор.
Плоский конденсатор состоит из двух
одинаковых круглых плоских параллельных
металлических пластин площадью Л,
расстояние между которыми очень мало
(d2 <C А) (рис. 132). Будем считать, что
Вану ум: 10
-Q
с
Прододник
1
+
+
+
+
+
О
Прободник
2
vn ί , Vz'ur*
l·
Рис. 132
плоский конденсатор находится в
вакууме. Тогда его электрическая
емкость
С— ε0 Aid.
Кроме того,
Пример. А =
= 10~6 м; С= 8,85
= 8,85 · 10~в А · с; D
Ε = ΙΟ6 Β - м-1.
1м2; ά — \ мкм
мкФ; V = 1 В; Q
= 8,85 · 10~6 А- с м
-2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Расстояние
между пластинами d столь мало, что их
края не влияют на электрическое поле
Ε между ними. Поэтому можно считать,
что Ε = {0, — £, 0} = const. Отсюда
U = U(y)=U1-$(-E)dy=U1+Ey\
о
U (d) = Цг + Ed = Ux + V = ί/,;
Ε = V/d.
U (у) удовлетворяет
дифференциальному уравнению Δί/ = 0:
MJ = MJ{y) =
d*
dy-
(Ux + Ey) = 0.


Согласно предположениям, электри
ческие заряды распределены равномер
но по внутренним поверхностям:
σ
эл
= QIA = D = г0Е; Q = DA =
= г0ЕА = г0 (Vld) A =
= ε0 (Л/rf) К = CV.
5.1.6. Энергия в электрическом поле.
5.1.6.1. Потенциальная энергия в
конденсаторе. Потенциальная энергия
пот
в конденсаторе с емкостью С
равна
£пот=СК2/2= QV2C.
вычислением
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО —
работы при зарядке и разрядке
конденсатора:
W (Q, Q + AQ) = KAQ - QAQ/C;
№ (О, Q)
QdQ
2С
пот
№);
О
№ (Qu Qi) = ^оот (Q2) = £Пот (Qi).
Пример. С =8,85 мкФ; V = 1 В;
Q =8,85 · Ю-6 А · с; £пот =4,43 · 10"6 Дж.
5.1.6.2. Объемная плотность энергии
электрического поля. Объемная
плотность энергии электрического поля Ε в
вакууме
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Электрическая
потенциальная энергия заряженного
плоского конденсатора заключена в
электрическом поле между обкладками.
Так как поле Ε в конденсаторе
постоянно, то
F — — V2
*" пот "~ 9
Г-7(Ed)%
— ε0 Ε2 (Ad) = — ε0 Ε2 · объём =
2 2
= ы>эл · объём.
Пример. Ε = ΙΟ6 Β · м-1, w3Ji
= 4,43 Дж · м-з.
5.1.7. Силы в электрическом поле.
5.1.7.1. Сила, действующая на
точечный заряд. В соответствии с
определением электрического поля сила F (г),
действующая на точечный электрический
заряд q в точке г электрического поля
Ε (г), равна
5.1.7.2. Объемная сила в
электрическом поле. Объемная сила ¥у,эл (г),
действующая на
пространственно-распределенный электрический заряд с
плотностью рэл (г) в точке г электрического
поля Ε (г), равна
FV, эл (Г)
lim (AF(r)/AV)
ДУ-»0
Рэл (г) Ε (г).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сила AF (г),
действующая на малый объем AV с
зарядом \Q — рэл (г) Δ V, равна
AF (г) = AQE (г) = А1/рэл (г)Е (г).
5.1.7.3. Сила, действующая на
заряженную металлическую поверхность.
Механическое натяжение ом
электрически заряженной металлической
поверхности с поверхностной плотностью
заряда оэл = Dj_ = ε0Ε±
определяется формулой
Величина σ^ представляет собой
некоторое натяжение и поэтому называется
максвелловским натяжением.
Замечание: максвелловское натя"
жение равно плотности электрической
энергии в граничащем с поверхностью
пространстве, заполненном полем.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО —
определением сил ± F, действующих на
пластины плоского конденсатора, путем
вычисления работы, которую нужно
затратить на увеличение расстояния между


пластинами d на Ad при постоянном
электрическом заряде Q (рис. 133):
-о
+Q
-Г
ш
^ Ε
*~ of L
=о-
Ld
Q
+F
Яыс. 133
W (d, d + Ad) = FAd = £n0T (d + Ad)
^ ποτ \Ρί
Q
2eqA
Ad
^- E2 AAd;
2
ом = Fl A = ε0Ε2/2.
σ
Μ
Пример. £= ΙΟ6 Β . м-1,
- 4,43 Η . м-2.
Применения. Электростатический
вольтметр, весы В. Гомсона (лорда Кельвина)
(1828—1907).
5.1.8. Постоянный электрический ди-
поль.
5.1.8.1. Определение электрического
диполя. Электрический диполь
является электрически нейтральным
образованием. В идеализированном случае
он состоит из двух противоположных по
знаку точечных электрических зарядов
— Q и + Q, соединенных вектором а.
Электрический диполь
характеризуется своим электрическим дипольным
моментом р. По определению, в физике
(рис. 134). В химии электрический ди-
польный момент рхим определяется с
противоположным знаком, так как ди-
польные моменты молекул возникают из-
за смещения валентных электронов от-
-Q
Рис. 134
носительно положительно заряженного
ионного остатка (рис. 135):
хим
Q (- а) = - Qa -
Ρ·
В данной книге используется
физическое определение.
Электрический диполь считается
постоянным, если его дипольный момент
ρ не изменяется при наложении
электрического поля.
Электрические диполи в
природе (рис. 136).
н
CL
Η
Η
^>—Ν
О
0
Рис. 136
Единицы
электрического дипольного момента:
1 Кл«м = 1 А'С'М =
=2,998· 10исм5/2.г1/2с-\
1 дебай - Ю-18 см5/2-г1'2-с"1 «
« ß-0,2 А (в честь П. Дебая (1884—
— 1966)).
5.1.8.2. Электрический диполь в
однородном электрическом поле. На
постоянный диполь в однородном
электрическом поле Ε (рис. 137) не действуют си·
Абстрактно:
Наглядно:
Рис. 137
лы, а действует только механический
вращательный момент:
Т = рхЕ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Τ = (α/2) QE sin θ + (α/2) (—Q) Ε χ
χ (—sin θ) = QaE sin θ = | ρ χ Εποτ|.
Соответственно этому постоянный элект
рический диполь в однородном электри


ческом поле Ε обладает потенциальной
энергией
(рис. 138).
^пот Р'Ь,
причём Εηοτ = О, если p_LE.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
^ПОТ ^ПОТ
π/2
TdQ-
= 0 +
l pEs'm QdQ= — pEcosQ.
π/2
Механический вращательный момент
Τ исчезает, если ρ параллелен или анти-
параллелен Е. Случай, когда ρ
параллелен Е, отвечает устойчивому
равновесию: Εαοτ имеет минимум. Случай,
когда ρ антипараллелен Е, отвечает
неустойчивому равновесию: £пот
максимальна. При устойчивом равновесии
вектор ρ направлен по электрическому полю
Е.
5.1.8.3. Постоянный электрический
диполь в неоднородном поле.
Постоянный электрический диполь можно
представлять как абсолютно твердое тело в
форме гантели. Действие неоднородного
электрического поля Ε (г) на
постоянный электрический диполь в точке г
может быть поэтому описано с помощью
динамы, состоящей из силы F (г) и
механического вращательного момента
Τ (г):
F(r) = (pgrad} Ε (г); Т(г) = рхЕ(г);
F (г) = QE (г + а) - QE (г) «
« Q{a grad}E (r) = {Qa grad} E (г);
Τ (г) - а х QE (г + а) « ах QE(r) =
= QaXE(r)
5.1.8.4. Поле постоянного
электрического диполя в вакууме.
Электрический диполь обладает собственным
электрическим полем, для которого
i/(r)=-
р-г
; Е(г) =
4πε0 гз
= -UradU (r) = -L 3(Р-г)г-(гт)р
4ле0 г5
Рис. 138
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для U (г):
Положение пробного заряда ц\ г.
Положение заряда + Q в диполе:
+ Аг = + p/2Q.
Положение заряда —Q в диполе: —Δγ=
- —p/2Q.
Приближение: |Δγ |<γ = | г | , | г+ Δγ| »
« г (1 + г · Δγ/γ2).
i/(D = -
1
+ Q
-Q
4πε0 V |r-p/2Q|
Q
lr + p/2Q
1
Ane0r \\ — p-r/2Qr2 i+p.r/2Qr2
_ Q P-r
~ 4πε0/· Qr2
5.1.9. Индуцированный электрический
диполь.
5.1.9.1. Атом в однородном
электрическом поле. Электрическое поле
создает смещение отрицательно заряженного
электронного облака относительно
положительно заряженного ядра атома
(рис. 139) и индуцирует электрический
Вез электрического по/19
/
I
I
\
*Ze J^ оболочка:-Ze \
В электрическом поле
•ze
/
Рис. 139
диполь. Дипольный момент можно
вычислить, если формально ввести
коэффициент жесткости /для смещения а яд-


pa относительно центра инерции
электронного облака:
F = Ze Ε = /а и ρ
ИНД
Ze a;
ИНД
(Ζ<?)2Ε// = αΕ,
где ринд — индуцированный диполь-
ный момент, а α — поляризованность.
Единица поляризованности (в
системе СГСЭ)
1 φ.Μ2 = ι А-с-м-В-1 = 9-1015 см3.
Пример. Значения α в единицах
Ю-« φ . ма_
Заполненная
Не 0,2
Ne 0,4
Хе 3,5
ССЦ 10
Li+ 0,03
ι оболочка
К+ 0,9
О-- 3,5
С1- 4
I- 7
Незаполненная оболочка
Η
Li
К
Cs
0,7
13
38
46
5.1.9.2. Потенциальная энергия
индуцированного диполя.
Потенциальная энергия
индуцированного диполя в однородном поле Ε
равна
Ε =
-°пот
α
Е2 =
Р2
нинд
2а
_ 1
2
^ 'Ринд·
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
A£noT = №(p,p + Ap)=QEAa = EAp =
=-^-.Δρ; Ε
а
пот
J а
2а
о
5.1.10. Диэлектрики в электрическом
поле.
5.1.10.1. Феноменология. До сих пор
предполагалось, что между
электрическими зарядами находится вакуум. В
данном разделе будут обсуждаться те
явления, которые происходят, когда
вместо вакуума между зарядами имеется
диэлектрик (электрический изолятор).
Электрические свойства изолятора
описываются связью между D и Е,
причем для вакуума в системе СИ D =
= б0Ь.
Экспериментальное
определение функции D (Е).
Функция D (Е) для изотропного
изолятора может быть измерена, если
поместить этот изолятор между пластинами
плоского конденсатора с расстоянием
между пластинами d и площадью
пластин А (рис. 140).
Рис. 140
Напряженность электрического поля
Ε и электрическое смещение D можно
независимо определить, если известны
приложенное к пластинам плоского
конденсатора напряжение V и
электрический заряд Q:
Нормальные диэлектри·
к и. Для многих изоляторов связь меж
ду D и Ε при любой температуре линей
на, т. е.
где ε — диэлектрическая проницаемость,
а Хе — диэлектрическая
восприимчивость. Изоляторы, для которых
выполняется это соотношение, называют
диэлектриками. Для изотропных
диэлектриков ε и Хе — скаляры, в случае же
анизотропных диэлектриков — тензоры.
Примеры. Значение ε для некоторых
веществ: вакуум — 1; воздух — 1,0006;
парафин — 2,1; стекло — 5 -f 9; вода (18° С) —
81.
Для диэлектриков справедливы все
формулы электростатики вакуума,
если ε0 заменить на εε0:
Электростатика вакуума (ε0) -*-
Электростатика диэлектриков (εε0).


Сегнетоэлектрики. Для сег-
нетоэлектриков функция D (Е) имеет
вид петли гистерезиса (рис. 141).
Сегнетоэлектрический гистерезис
исчезает выше некоторой определенной
температуры — температуры перехода Та.
Для сегнетоэлектрического гистерезиса
характерно появление так называемой
спонтанной поляризации Ps (см. 5.1.10.3)
и коэрцитивного поля Ес.
Примеры сегнетоэлектриков и их
температуры перехода: сегнетова соль 297 К;
ВаТЮ3 405 К; LiNb03 1420 К; триглицин-
сульфат 322 К; КН2Р04 123 К; KD2P04213 К.
При температуре выше температуры
перехода для многих
сегнетоэлектриков в случае малых полей выполняется
соотношение
D
εε0 Ε
О+ХеКЕ; Хе=С/(Т-Тс).
Температура Кюри Тс, названная так в
честь П. Кюри (1859—1906), чуть
меньше Тп или совпадает с ней.
Материальную константу С называют постоянной
Кюри.
Примеры: ВаТЮ3: Тп = 405 К, Тс =
= 385 К, С= 1,8 · 105 К; КН2Р04: ТП =
= Те = 123 К, С = 3,3 - 103 К.
5.1.10.2. Электрическая
поляризованное™. Отличие электрического смещения
D изолятора, от электрического
смещения ε0Ε вакуума называют
электрической поляризованностью Р:
D = ε0Ε + Р.
Электрическая поляризованность Ρ
может быть описана как плотность
индуцированных и постоянных дипольных
моментов pf в изоляторе:
Чтобы сделать это соотношение
правдоподобным, рассмотрим плоский
конденсатор с расстоянием между
пластинами d и площадью пластин А, который
заряжен до напряжения V. Его объем
A d содержит электрические диполи с
моментами pf = q&i (рис. 142, а).
Величины р4 складываются векторно,
образуя при этом цепочки (см. рис. 142, б).
Совпадающие электрические заряды
± q диполей компенсируются. Таким
образом, возникает макроскопический
диполь с полным дипольным моментом
AQd (см. рис. 142, в). Электрические
заряды AQ находятся непосредственно
на внутренней поверхности пластин
конденсатора и приводят к появлению
на пластинах добавочных зарядов ±AQ.
Они складываются с зарядами ±Q0
пустого конденсатора. Имеем:
2Pi=AQd; Q = Q0 + AQ;Q0 =
ε0 AVId = ε0 ЛЕ;
D = o
ЭЛ
+
AQd
Ad
_ Qq + AQ d
A d
ε0Ε + Ρ, Ρ =
= V рг/объём.
ε0£ +
AQd
Ad
5.1.10.3. Микроскопический смысл
электрических свойств.
Микроскопический смысл функции D (Е) изолятора
выясняется в большинстве случаев с
помощью вычисления в рамках некоторой
модели поляризованности Ρ как
функции напряженности электрического поля
Ε и температуры Т. Однако из-за даль-
нодействующих и часто сильных
электростатических и других взаимодействий
электрических диполей такое
вычисление возможно лишь в небольшом числе
случаев. Приведем здесь в качестве
примера вычисление ε диэлектрика с
индуцированными диполями. Явление гис-


-Q0-AQ
-WW
D
a
+Q0+AQ -Qq-UQ
*Q0+AQ
+AQ
D
Ö
-4
Ж
-&Q
1
\2i+QQ+AQ
Рис. 142
терезиса у сегнетоэлектриков не будем
рассчитывать микроскопически, а
разъясним его с помощью экспериментально
наблюдаемой доменной структуры.
Диэлектрики с
индуцированными диполями.
Диэлектрики, не имеющие постоянных
диполей, обнаруживают слабую, не
зависящую от температуры диэлектрическую
восприимчивость Хе, вызванную
индуцированными электрическими диполями.
Рассмотрим для иллюстрации
диэлектрик, имеющий в единице объема N
одинаковых индуцированных диполей.
Тогда для поляризованности Ρ
получаем
Ρ = #Ринд = МхЕЛ0К,
где α — поляризуемость, а Елок
—электрическое поле в точке, где
находится индуцированный диполь. Из-за
влияния окружающих индуцированных
диполей это поле отличается от
приложенного к диэлектрику электрического
поля Е.
Для вычисления Елок возьмем
диэлектрик с некоторой неизвестной поля-
ризованностью Ρ и вырежем в нем
сферическую полость, внутри которой
находится рассматриваемый
индуцированный диполь. Действующее на этот
диполь поле Елок не зависит от радиуса
полости:
лок
Е + Р/Зео.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Тамм И. Е. Основы теории электричества.
Изд. 9-е. М., Наука, 1976.
Иос Г. Курс теоретической физики. Т. 1—2.
М., Учпедгиз, 1963—1964.
Принимая во внимание, что
Ρ = (ε — 1)ε0Ε = χβε0Ε,
получим, комбинируя предыдущие фор
мулы, уравнение Р. Клаузиуса (1822—
—1888) и О. Мосотти (1791—1863)
(ε— 1)/(β + 2) = Μζ/3ε0.


Рис. 144
Для газов ε « 1, и уравнение Кла- рически нейтральными изоляторами
узиуса — Мосотти можно упростить: (рис. 144) выполняются соотношения:
ε — 1 = Nol/bq.
Это уравнение показывает, что в
разреженных системах взаимодействие
индуцированных диполей пренебрежимо
мало. Действующее на молекулы
локальное поле равно приложенному
внешнему полю.
Сегнетоэлектрики.
Разрешая уравнение Клаузиуса — Мосотти
относительно ε, получаем
ε = (1 +2 Μχ/3ε0)/(1 — Μχ/3ε0).
Если Να как функция температуры
приближается к 3 ε0, то
диэлектрическая проницаемость может стать очень
большой, что и имеет место у сегнето-
электриков.
При температуре перехода ионная
решетка нестабильна, в результате
смещения ионов образуются спонтанные
дипольные моменты. Они являются
причиной спонтанной поляризованности
Ps, которая наблюдается на петле
гистерезиса:
D (Е = 0) = Р5.
Di±=D21; Еп = Е
2||
Направление спонтанной
поляризованности может быть изменено на
противоположное приложением внешнего
электрического поля (скачки на петле
гистерезиса).
В большинстве случаев сегнетоэлектри-
ческие кристаллы имеют области с
однородной спонтанной поляризованностью—
сегнетоэлектрические домены, которые
отделены друг от друга доменными
стенками (рис. 143).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как
изоляторы электрически нейтральны, то рэл =
= div D = 0 или для поверхности S,
окружающей кусок АЛ поверхности
раздела,
f Dda = — Dtl AA + D2± АЛ =0
s
или Di± =D2±.
Если предположить, что изоляторы не
находятся в переменном во времени
магнитном поле, то электрическое поле Ε
везде безвихревое: rot E =0 (5.1.3).
Рассматривая петлю s, дважды
пересекающую поверхность раздела, получаем
= £Irs/2 — £2rs/2=0
φ Eds =
ιι
или Ен =£211·
§ 5.2. Постоянный
электрический ток
Рис. 143
5.1.10.4. Поверхности раздела между
разными изоляторами. На любой
поверхности раздела между двумя элект-
5.2.1. Электрический ток. В
противоположность изоляторам, в
электрических проводниках может переноситься
электрический заряд. К электрическим
проводникам относятся металлы,
полупроводники, электролиты, плазма
(ионизованный газ) и катодно-лучевые
трубки. Если к двум граничным
поверхностям или электродам электрического
проводника приложить электрическое
напряжение V = £/2 — Ui> το в ПР°"
воднике возникает движение электри-


ческих зарядов. Электрическим током
или силой электрического тока I
называют величину
/- lim (AQ/M) = dQ/dt,
At-*-oo
где AQ — заряд, переносимый по
проводнику за время At (рис. 145).
2. Выделенные одинаковыми
электрическими зарядами Q массы веществ
т в различных электролитах
соотносятся как эквивалентные массы тл
выделенных веществ. Эквивалентная масса
вещества равна атомной массе та или
молекулярной массе тм, деленной на
валентность Ζ соответствующего иона.
Справедливо равенство
ΔΟ-Ιά
Электрический прободник
Рис. 145
Единица силы электрического тока
— ампер (А) — названа в честь А. М.
Ампера (1775—1836):
[/] = [Q/t] = Кл-с-1 = А,
[Q] = [//] = кулон = А- с.
5.2.2 Законы Фарадея для
электролитов. Электролитами являются
вещества, растворы или расплавы которых
проводят электрический ток.
Проводимость возникает благодаря электрически
заряженным атомам или молекулам,
которые именуются ионами. В
противоположность металлам или
полупроводникам, ток в электролитах связан с
химическим разложением. Поэтому на
электродах в электролитах выделяются
вещества, которые химически наиболее
чисты. Законы М. Фарадея (1791 —
1867) о выделении веществ на
электродах в электролитах позволяют получить
точную меру перенесенного
электрического заряда и электрического тока.
1. Электролитически выделившаяся
на электроде масса вещества т
пропорциональна перенесенному через
электролит электрическому заряду Q:
т = AQ,
где Л, кг/(А-с), — коэффициент
пропорциональности, называемый
электрохимическим эквивалентом.
mx=F-*Q4 F = NA e,
где F = 9,6487-10* А · с · (г-экв)"1 —
постоянная Фарадея;
е — 1,6022· 10~19 А·с — элементарный
электрический заряд;
NA = 6,0222· 1026 кмоль"1 — число Аво-
гадро.
Раньше электролитическое выделение
серебра служило для определения
ампера как единицы силы тока. Току в
1 А отвечало выделение 1,1180 - 10~в
кг· с-1 Ag.
5.2.3. Закон Ома. Г. С. Ом (1789—
1854) постулировал, что в
электрическом проводнике сила тока /
пропорциональна приложенному напряжению
V = U2 - Ux:
V = R1.
Коэффициент пропорциональности R
называют электрическим или омическим
сопротивлением. Единица омического
сопротивления ом (Ом) есть
[R] = [VII] - В-А"1 -Ом;
[R-1] - U/V) = А·В-1 = мо (США) =
сименс.
Постулированное Омом соотношение
не является универсальным законом.
Однако оно дает полезную
классификацию электрических проводников по
отношению к электрическим
двухполюсникам на омические и неомические.
Неомические проводники и
двухполюсники играют в современной
электротехнике главенствующую роль. Решить
вопрос о том, является ли проводник или
двухполюсник омическим или
неомическим, можно с помощью вольт-ампер-


ной характеристики проводника или
двухполюсника (рис. 146).
П
/у
f
/ Неонический
Омичешй
Рис. 146
Примеры: а) омические проводники и
двухполюсники (рис. 147); б) неомические
проводники и двухполюсники (рис. 148).
Разомннутый Поротное
двухполюсник замынание
Я* о
Сопротидление
Сопротидление с
отрицательным
температурным коэффициентом
7\
Ii/T2
'Ротосопротидление
11 / Светло
Темно
г,>г,
Рис. 147
Диод(ЫМ)
ДиодЗенера
П.
Фотодиод
Ik
Темно
Сопротидление, завися
шее от напряжения
I \
СОетло
Рис. 148
5.2.4. Удельное сопротивление и
электрическая проводимость.
Электрическое сопротивление R не является
материальной константой, оно зависит
от геометрии и размеров электрического
проводника. Однако с помощью
преобразования закона Ома можно заменить
омическое сопротивление
соответствующей материальной константой —
удельным сопротивлением р*. Для этого
нужно заменить напряжение V и ток /
локальными величинами. Напряжению
V отвечает напряженность
электрического поля Ε (г), а силе тока — вектор
j (г) плотности тока.
Определение плотности
тока j (г). Вектор j (г) направлен
в точке г в сторону переноса
заряда. Значение j (г) равно отношению
тока к площади поперечного сечения АЛ,
где АЛ перпендикулярно к j (г):
У (г) Η J (г) | =Hm (Δ//ΔΛ).
ДЛ-0
Локальный закон Ома.
Электрическое поле Ε (г) создает в точке
г электрического проводника плотность
тока j (г):
E(r) = p*(r)j(r) или ](Γ) = σ(Γ)Ε(Γ).
Здесь р* — удельное электрическое
сопротивление, α σ = ρ*-1 —
электрическая проводимость проводника в
точке г.
Для однородных материалов р* и
σ не зависят от точки г.
Для анизотропных материалов р* и
σ — тензоры.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для устройства
на рис. 145:
Еа= V = RI = RAjt ρ* = Elf =
= RA/a.
Единицы:
[ρ*] = 1 Ομ·μ = 100 Ом-см; [σ] =
= 1 mo-м-1 = 10~2 mo-см-1 = 1 См/м.
Примеры: Значения ρ*, Ом · см, при
Τ = 300 К.
Металлы: Ag — 16 · 10~7; Fe — 98· 10-';
Hg — 960 · Ю-7. Полупроводники: Si, Ge —
ΙΟ7—Ю-7. Изоляторы: фарфор — 1014;
расплавленный кварц > 1018. Электролиты:
Н2О+10-7моль - cM-3NaCl —9,3-Ю4, Н20+
+ 10-3 моль · см-3 NaCl — 13,5.
5.2.5. Температурная зависимость
удельного сопротивления.
Важнейшими группами твердых электрических
проводников являются нормальные
металлы, сверхпроводящие металлы и
полупроводники. Они существенно разли-


чаются по температурной зависимости
удельного сопротивления.
Нормальные металлы
(рис. 149). У нормальных металлов элек-
•Ростат
Рис. 149
трическое сопротивление падает с
уменьшением температуры. При очень
низкой температуре оно достигает
некоторого граничного значения — так
называемого остаточного сопротивления,
которое определяется неоднородностями
кристаллической решетки и примесями.
Примеры. Для Ag, Au, Pt, Li, K, Na,
Fe, Co, Ni p* = l,6-10-7 —10~4 Ом см при
300 К-
Сверхпроводники (рис. 150).
2·10'°\-
Рис. 150
Сверхпроводящие металлы при
температуре, ниже некоторой, разной для
разных веществ, температуры перехода Т0
обладают практически нулевым
удельным сопротивлением р*. Этот эффект
был обнаружен в 1911 г. Г. Камерлинг-
Оннесом (1853—1926) и впервые
теоретически объяснен в 1960 г. Дж. Барди-
ном (род. в 1908 г.), Л. Н. Купером (род.
в 1930 г.) и Дж. Р. Шриффером (род. в
1931 г.). Обнаруженные до настоящего
времени температуры перехода лежат
в области Т0 <; 23 К.
Примеры:
Nb
Полупроводники (рис. 151).
Рис. 151
Чистые полупроводники при низкой
температуре являются изоляторами.
Напротив, с увеличением температуры или
при загрязнении примесными атомами
другого вещества полупроводники
проводят электрический ток.
Полупроводник считается чистым, если он
содержит в 1 см3 менее 10 12 примесных
атомов. Такая чистота может быть
достигнута только специальными методами
очистки, из которых следует упомянуть
метод зонной плавки. Перенос заряда в
полупроводниках осуществляется
квазисвободными электронами и (или)
положительно заряженными «дырками».
Удельное сопротивление
полупроводников сильно зависит от температуры.
Для чистых полупроводников
справедлив экспоненциальный закон:
ρ* (Г) = ехр (Ев/2кТ),
где Τ — абсолютная температура,
К; k — постоянная Больцмана; Eg —
так называемая энергетическая щель.
Примеры
Ε а, эВ
р* (300 К), Ом-см;
Ge
0,7
10
Si
1,1
10е
С (алмаз)
5,3
10м
Т0, К:
РЬ
9,2 7,2
V
5,3
AI
1,2
Cd Nb3Sn
0,55 18
5.2.6. Микроскопический смысл элек-
трической проводимости. Перенос заряда
в электрическом проводнике (металл,
полупроводник, электролит, плазма)
осуществляется положительными (р)
или отрицательными (п) носителями
электрического заряда (электроны, ионы
и т. п.) с массами т* и зарядами q. В
электрически нейтральном проводнике
электрические заряды носителей
компенсируются либо взаимно, либо
электрическими зарядами неподвижных
ионов кристаллической решетки. В про-


тивоположность электростатике, внутри
проводника при наличии электрического
тока электрическое поле Ε не исчезает.
Оно способствует тому, что носители
заряда из-за трения в проводнике
продолжают двигаться с некоторой средней
скоростью v. Поскольку трение в
проводнике относительно велико, выражение для
средней скорости ν (t) какого-то сорта
носителей заряда можно записать в
виде
или
at
ν (О,
где т*/х — коэффициент трения. При
ν (0) = 0 его решение имеет вид ν (t) —
= Vd [1 — exp (—t/τ)] с обычно
крайне малым временем релаксации τ и
скоростью дрейфа
vD = ЬЕ; Ь = qxlm*.
Величину Ь называют подвижностью
носителя заряда.
Возникновение трения при движении
носителей заряда в проводнике можно
пояснить следующим образом.
Носители заряда движутся с
некоторой скоростью, определяемой вкладами
теплового движения и ускорения в
электрическое поле Е. При этом они часто
сталкиваются с ионами и атомами,
совершающими тепловое движение, но не
участвующими в переносе заряда.
Можно показать, что среднее время между
двумя последовательными
столкновениями 2τ определяет соответствующую
среднюю длину свободного пробега Λ =
= 2τντ.
Рассмотрим электрический проводник,
содержащий лишь один сорт носителей
заряда с концентрацией η (рис. 152).
Рис. 152
Тогда
j = nq\D.
Отсюда получаем для электрической
проводимости
а = nqb = nq2x/m.
Если в проводнике имеются
положительные (р) и отрицательные (п) носители
заряда, то проводимость представляется
суммой
σ = nnqnbn + npqpbp =
= nnq2nTn/mn + npq2pxplmp.
Ниже приведены характерные
примеры эффективной массы, подвижности,
времени релаксации и средней длины
свободного пробега.
Эффективная масса (т/т0, где mo-
масса электрона;
Металлы: Na,
л=0,9
Полупроводники:
электроны: Si, n Ge, n InSb, n
0,3 0,2 0,014
дырки Si, pilp2 Ge, P\ipi InSb,
Pi/Pt
0,5/0,2 0,3/0,05 0,4/0,01
Подвижность, см2/(В-с)
Металлы (300 К):
Полупроводники:
электроны
дырки
Электролиты
300 К:
Na, n
55
Si, n
1350
Si, ρ
480
Η+
Си, п Ag, n
48 70
Ge, η InSb, η
4500 78000
Ge, ρ InSb, ρ
3500 750
Ag+
ci-
33 10-* 5,7· 10-* 6.8-10-4
Время релаксации, 10~14 с
Металлы (300 К): Na, η Си, η Ag, n
3,1 2,7 4,0
Полупроводники
(300 К):
электроны: Si, n Ge, n InSb, n
25
45
62
I = Aj = (Αα) nqvD/a
Средняя длина свободного
пробега, А
Металлы (300 К): Na, η Си, η Ag, n
350 420 570
Полупроводники
(300 К):
электроны Si, n Ge, n InSb, η
550 1200 6600
5.2.7. Уравнение непрерывности
электрического тока. В электрическом
проводнике, в котором локально не рожда-


ются и не уничтожаются носители
электрического заряда, заряд Q ведет себя
как масса вещества в некоторой
сжимаемой жидкости. Для пространственно-
фиксированного объема V получаем
тогда баланс заряда:
-^- = ^r\p3Ar)dV = -\)(r)n(r)da
V S
(рис. 153). Математическая теорема Га-
Рис. 153
усса приводит к уравнению
непрерывности
dpn(r)/dt + d\vl(T) = 0.
5.2.8- Потенциальная теория
омических проводников.
Задача. Однородный,
изотропный проводник, не содержащий
пространственного заряда, помещен между
двумя электродами с потенциалами £/2 и
U1 (рис. 154). Требуется найти закон προ-
Рис. 154
текания тока, описываемый вектором
j (г), полный ток / и электрическое
сопротивление R проводника, если
известна электрическая проводимость σ.
Дано: σ, Лъ Л2, 5, V = U2 — Uu
Рэл = О-
Требуется найти: j, /, R.
Решение: div j = 0; j = σ Ε;
div j = div (σΕ) = σ div (— grad U) =
= — σΑϋ= 0;
Ι Δί/ = 0; J= — ogradt/; I
/= f j-nda;
i
R = V/I.
5.2.9. Мощность электрического тока.
Если электрический ток / течет по про-
воднику, находящемуся под
напряжением V, то за время Δ/ в проводнике
теряется электростатическая энергия
£пот = V&Q = V/Δ/. Соответственно
этому мощность электрических потерь
в общем случае равна
P=VI.
Единица этой величины [Р] = В-А =
= Вт = Дж-с-1.
Для омического сопротивления, в
силу V = RI,
Р = к2//? = RP.
Теряемая в омическом сопротивлении
электростатическая энергия переходит
в тепло. Раньше количество теплоты
чаще всего выражали в калориях. Для
пересчета при этом использовали
электрический эквивалент теплоты: 1 Дж =
= 1 Вт-с = 0,2389 кал.
§ 5.3. Магнетизм
5.3.1. Введение
Магнетизм как
электрическое явление Магнитные
поля описывают так же, как и
электрические поля. Правда, в противоположность
электричеству, в магнетизме
отсутствуют магнитные заряды, а есть только
магнитные диполи. Однако более детальное
рассмотрение показывает, что
магнитные диполи представляют собой
электрические круговые токи, т. е.
вращающиеся электрические заряды. Поэтому
магнетизм следует рассматривать как
электрическое явление. Отсюда в СИ
единицы магнитных величин
определяются с помощью электрических и
механических единиц.


Магнитная индукция и
магнитное поле. Для описания
магнитных полей вводят магнитную
индукцию В и магнитное поле Н. Эти
обозначения сложились исторически.
Оказалось, что собственно магнитное
поле описывается величиной В, в то
время как Η характеризует часть
магнитного поля, порождаемую
макроскопическими токами /. Другая часть
магнитного поля определяется атомными
диполями или круговыми токами в среде.
Магнитная постоянная
В вакууме магнитная индукция В и
напряженность магнитного поля Η
эквивалентны, так как отсутствуют
атомные магнитные диполи. В СИ В и Η
различаются постоянным скалярным
множителем, магнитной постоянной μ0:
= 1,2566- 10~eBc/(A. м).
5.3.2. Магнитный диполь. До
установления связи между магнитными
полями и электрическими токами магнетизм
был отдельной от электрических явлений
областью физики. Теория магнетизма
состояла в описании силовых
взаимодействий между постоянными магнитными
диполями и магнитными полями.
Первыми известными магнитными диполями
были стрелки компаса. Лишь много
позднее было обнаружено, что и
электроны, и другие элементарные частицы,
многие ядра, а также многочисленные
атомы и ионы ведут себя как
магнитные диполи. Величиной,
характеризующей магнитный диполь, является
магнитный дипольный момент т. В
противоположность электрическому диполю,
магнитный диполь не может быть
представлен двумя
пространственно-разделенными зарядами одной величины и
противоположного знака, так как не
существует магнитных зарядов.
Оказывается, что магнитные диполи надо
понимать как круговые токи (см. 5.3.8).
Отсюда следует, что единица дипольного
момента m в СИ [т] = Α·μ2.
5.3.2.1. Магнитный диполь в
однородном магнитном поле. Стрелки компаса
устанавливаются параллельно
магнитному полю Земли. Оно создает,
очевидно, механический вращательный момент,
действующий на стрелку,
установленную поперек поля. В общем случае, на
любой магнитный диполь с моментом m
в однородном магнитном поле,
характеризуемым магнитной индукцией В,
действует механический вращательный
момент
Т = шхВ
Рис. 155
(рис. 155), аналогичный тому, который
действует на электрический диполь с
моментом ρ в однородном электрическом
поле Е. Соответствующая
механическому вращательному моменту
потенциальная энергия
Из этого соотношения устанавливается
единица магнитной индукции в СИ
(тесла — Тл), названная по имени Н. Тесла
(1858—1943):
[J3] = 1 Тл = [£пот/1 m 11 =
= 1 Вт-с/(А-м2) = 1 В-с/м2.
5.3.2.2. Магнитный диполь в
неоднородном магнитном поле. На магнитный
диполь с моментом т, находящийся в
зависящем от координат магнитном поле
В (г), действует динама, состоящая из
силы F и вращательного момента Т:
F = {m grad} В, Τ = m χ Β.Ι
5.3.2.3. Магнитное поле магнитного
диполя. Магнитный диполь, как и
электрический, обладает собственным
магнитным полем. Если магнитный диполь с
моментом m находится в вакууме, то его
магнитное поле, описываемое
магнитной индукцией В, равно
Β(Γ) = (μο/4π){[3(ηι.Γ)Γ
-(r.r)ml//-5},


где радиус-вектор г имеет начало в
точке нахождения магнитного диполя m
(ср. с 5.1.8.4) (рис. 156).
(
ζ'
Рис. 156
5.3.3. Уравнение магнитного поля,
или четвертое уравнение Максвелла
Экспериментально магнитные точенные
заряды QM не обнаружены, поэтому
плотность магнитных зарядов в пространстве
рм принято считать равной нулю.
Поэтому, по аналогии с электростатикой,
divB-pM = 0,
т. е. магнитные силовые линии в
однородной среде ведут себя так же, как
линии тока несжимаемой жидкости,
уравнение непрерывности для которой
имеет вид div ν = 0.
В силу математической теоремы
Гаусса любой поверхностный интеграл
от вектора В по замкнутой поверхности
S равен нулю:
f В (г).η (г) Ж* = 0.
5.3.4. Магнитные поля электрических
токов. Магнитные поля электричес-
ких токов описываются с помощью так
называемого магнитного поля Н. Связь
магнитного поля Η и собственно
магнитного поля — магнитной индукции В,
определяется средой. Для вакуума,
согласно 5.3.1, выполняется соотношение
В = μ0Η (об общей связи см. 5.3.9).
Единица магнитного поля Η в СИ есть
[Я] = А/м.
5.3.4.1. Закон протекания тока
Ампера. Если в среде течет стационарный
электрический ток с зависящей от
координат плотностью тока j (г), то он
порождает магнитное поле Η (г), так
что выполняется соотношение
| rot Н (г) = J (г).
Для замкнутой кривой s, ограничиваю
щей некоторую поверхность Л, это со
отношение в силу математической тео
ремы Стокса принимает вид
Пример 1. Магнитное поле Η тока
/ вокруг бесконечно длинного тонкого
провода (рис. 157)
Φ Η (г) dx =2m7/ (г)=
S
= 1 J(r).n(r)rffl = /;
А
Η (r)=I/2nr.
Рис. 157
Согласно этой формуле, ток / отвечает
интенсивности вихря Г, а магнитное поле Η —
скорости ν потенциального вихря в
несжимаемой жидкости (см. 4.6.1).
Пример 2. Магнитное поле в тонкой
длинной катушке (рис. 158). Для а > R
имеем: Η = ΙΝ/α.
Г
Ί
s
L
I
_1
г
|# ΤοκΙ
=> Η
*"N битпод
Рис. 158
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Интегрирование
вдоль s, поле снаружи катушки ж 0.
§ Hds = aH = § l(r)-n(r)dA = N/.
s A
5.3.4.2. Закон Био — Савара. В
общем случае закон протекания тока
Ампера не годится для вычисления
напряженности магнитных полей тонких
проводников с током. Для этого используют


эквивалентный закон Био — Савара. к однородному магнитному полю В, то
Магнитное поле Η электрического тока эта частица описывает круговую траек-
в тонком проводе в точке Ρ вне провода торию, характеризующуюся (рис. 161):
определяется интегралом
»'»ч-^гР^
(рис. 159). Из этой формулы видно, что
магнитное поле есть аксиальный вектор
(см. Π 4.5.9).
Рис. 159
Пример. Вычисление магнитного поля
кругового тока (см. 5.3.8.3).
5.3.5. Движущиеся электрические
заряды в магнитном поле.
5.3.5.1. Сила Лоренца. Если
электрический заряд Q движется со скоростью
ν в магнитном поле, описываемом
магнитной индукцией В, то на этот заряд
действует сила. Согласно Г. А. Лоренцу
(1853—1928), эта сила Рл равна
РЛ=<?(УХВ):
Рис. 160
(рис. 160). Она всегда
перпендикулярна к скорости, поэтому частица в
статическом магнитном поле не может
приобрести энергию.
5.3.5.2. Циклотрон
Принцип. Если элементарная
частица, имеющая массу т и заряд Q,
движется со скоростью ν перпендикулярно
Рис. 161
циклотронной круговой частотой
|о)ц = Bqlm
циклотронным радиусом
|Гщ = (m/q) (v/B)\
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
F46 = то)£/-ц = Fn = QvB =
= Qrn(ünB;
(оц = QB/m и Гц = 1//шц =
= (m/Q)(v/B).
Первое применение:
электронная центрифуга.
Электроны с массой т = 9,1 · 10~31 кг
и электрическим зарядом — е =
= — 1,602 · 10-19 Ас, испускаемые
нагретым катодом, ускоряются электрическим
напряжением V до скорости υ < с и
впускаются в область однородного
магнитного поля В перпендикулярно к
нему. Циклотронный радиус
электронной траектории гц = У2т/е-УУ/В
можно сделать видимым с помощью
флуоресцирующего экрана. Циклотронная
частота электронов определяется
соотношением
ω
■ц/θ = elm = 1,760-1011 (с-Тл)"
Второе применение:
классический циклотрон. В цик-


лотроне (рис. 162) заряженные
элементарные частицы, испускаемые,
например, расположенным в центре радио*
Пучок элементарных
частиц
Отклонение
пучка
УсноряющаЯ[
щель
Радиоактид-
ный источник
пературу (^4 К), а частота должна быть
высока (10е — 1011 Гц).
5.3.5.3. Магнитные силы,
действующие на проводники с током.
Электрические токи соответствуют множеству
движущихся носителей электрического
заряда. Поэтому, согласно 5.3.4.1, на
шмрУдТнньш диант ПР0В°Д с током в магнитном поле
действует сила Био — Савара
ВЧ-
генератор
, Электрически изо-
мирооанный дуант
Элементарная
частица
Рис. 162
активным источником, начинают
двигаться по круговым траекториям в
магнитном поле разделенных щелью
электрически изолированных дуантов. С
помощью ВЧ-генератора в щели между
дуантами создается переменное
напряжение, частота которого совпадает с
циклотронной частотой частиц. Так как
циклотронная круговая частота частиц
(1)ц не зависит от их скорости, то всем
частицам одного сорта нужно одно и то
же время л/шц для того, чтобы
совершить пол-оборота по траектории.
Поэтому все частицы, оказывающиеся в фазе
с переменным электрическим полем
частоты о)ц в щели между дуантами,
одновременно ускоряются. Таким образом,
при каждом прохождении щели частицы
увеличивают радиус своей траектории.
Максимально ускоренные частицы
электрически отклоняются на периферии
циклотрона.
Третье применение:
циклотронный резонанс в
полупроводниках. Можно
измерить массу т* (эффективную) носителей
электрического заряда с зарядами ±е в
полупроводнике, если поместить
полупроводник в магнитное поле В и
переменное электрическое поле с круговой
частотой ω. Поглощение переменного
поля наступает, когда поля
удовлетворяют циклотронному соотношению
ω/В = elm*. В этом эксперименте
образцы должны иметь весьма низкую тем-
AFB-c=/(AsxB),
где вектор As имеет длину As и
направление тока / (рис. 163).
Рис. 163
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предыдущая
формула непосредственно вытекает из
формулы для силы Лоренца:
Q(vx В) = Q(As/7WxB) =
= (Q/A/)(AsXB) = / (As X В).
5.3.5.4. Объемная сила. На
единичный объем электрического проводника
с плотностью электрического тока j
действует в магнитном поле В объемная
сила
Fk.b-c = Hm (AFB-c/AV)=jxB.
ΔΚ-»0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Fb-c = AVFv, б-с = / (Asx В) =
= /АЛ (As X B) = AAAs (j X B) =
= AV(jxB).
5.3.6. Закон индукции Фарадея, или
второй закон Максвелла.
5.3.6.1. Магнитный поток. Для
формулировки закона индукции М. Фарадея
(1791—1867) вводится новая величина,
называемая магнитным потоком Φ или
потоком индукции. Если линии магнит-


ной индукции В
тый контур s (рис.
пронизывают замкну
64), то
Рис. 164
где А — поверхность, опирающаяся на
контур s. Поток Φ не зависит от формы
поверхности А. Это утверждение
немедленно вытекает из равенства нулю
дивергенции магнитного поля и теоремы
Гаусса. Для двух поверхностей Αχ и
А 2, ограниченных одним и тем же
контуром s и охватывающих объем V,
фг — ф2 = С Ъ-nda— f B-nda =
At
divBdV = 0.
Φ (ее-
Вебера
Единица магнитного потока
бер, Вб) названа в честь В.
(1804—1891):
[Ф] = [В-А1 = 1 Вс= 1 Вб.
5.3.6.2. Индуцированное
электрическое напряжение. Магнитный поток
Φ может изменяться во времени либо в
результате изменения положения или
деформации контура s, либо из-за
изменения во времени поля В. Согласно
М. Фарадею (1791—1867),
изменяющийся во времени магнитный поток Φ
порождает между двумя концами
проволочной петли (см. рис. 164)
индуцированное электрическое напряжение
V ·
кинд·
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для изменяю
щейся петли с током (рис. 165) при по-
Рис. 165
стоянном поле В с помощью закона
(5.3.5.3):
Магнитный поток: Φ =
= ΒΧν.
Мощность:
= -IV
ΒΧΥ; Ι Φ
Fb-c ν = ΙΧΒν
инд·
Индуцированное напряжение: Уинд =
= — ΒΧν = — £ φ.
at
5 3 6.3. Правило Ленца.
Индуцированные токи всегда направлены таким
образом, чтобы препятствовать
причине, вызвавшей индукцию.
Примеры. При изменении
магнитного поля В в жестком контуре
порожденное индуцированным током поле
противодействует этому изменению. При движении
контура на проводники, по которым течет
индуцированный ток, действуют силы,
препятствующие движению.
5.3.6.4. Дифференциальная форма
закона индукции. Закон индукции Фа-
радея может быть записан и в локальной
форме:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для жесткого
контура с изменяющимся магнитным
полем — с помощью математической
теоремы Стокса:
VW = ($Eds = frotE-mia =
А
dt
nda =
ав
dt
-η da,
где s и соответствующая поверхность А
могут быть выбраны произвольно. От-


сюда следует, что должно выполняться
равенство rot Ε = — дЪ/dt.
5.3.6.5. Генератор переменного
напряжения. Закон индукции Фарадея
представляет собой теоретическую
основу генераторов переменного
напряжения. Простая модель такого
генератора состоит из плоской проволочной
петли площадью А и нормалью к
поверхности п, которая вращается с частотой
ν = ω/2π вокруг оси а в магнитном поле
В (рис. 166). Векторы В и η перпендику-
Рис. 166
лярны к а. Индуцированное в петле
напряжение равно
инд dt J dt
А
= В cos ω/Л = + ωΒΑ sin ω/.
dt
5.3.6.6. Самоиндукция. Согласно
закону Био — Савара, каждому
электрическому току сопутствует магнитное
поле. Если ток изменяется во времени,
то сопутствующее магнитное поле
индуцирует на концах проводника
электрическое напряжение Vc.n (/), которое
противодействует породившему его
току / (t). Для проводника произвольной
формы
Vc.At)=-L-^I(t).
Коэффициент пропорциональности L
называют самоиндукцией. Она
характеризует форму проводника и магнитные
свойства окружающих материалов.
Единица самоиндукции названа генри
(Гн) по имени Дж. Генри (1797—1878):
[LI =1 Гн = В-с/А = Оме.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для
доказательства связи между током и
порожденным им напряжением самоиндукции
рассмотрим длинную проволочную
катушку длиной / и поперечным сечением Л,
имеющую N витков и находящуюся в
вакууме (рис. 167). Для нее
Μι ν 1
^c.u (t)
Рис. 167
_ μ0Ν*Α dl(t) , L μ0№Α
I dt ' /
Другое общее представление
самоиндукции L проводника с током имеет вид
I = ®-= N f B-iuto//,
А
где Φ — порождаемый током /
магнитный поток.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО состоит в
интегрировании по времени напряжения
самоиндукции с учетом начальных
условий / (0) = О и Φ (0) = 0:
\vc.At)dt=-LI{t) = -<S>{tl
о
5.3.6.7. Вихревой ток. Изменяющаяся
во времени магнитная индукция В (/)
порождает в электрическом проводнике
с электрической проводимостью σ
вихревой ток плотности j. Для изотропного
проводника справедливо соотношение
rotJ(0=-o4-B«.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
rot j (t) = rot σΕ (t) - σ rot Ε (Ο
d
σ
dt
Β(θ.
Действие вихревого то-
к а. Вследствие электрического
сопротивления вихревой ток производит
весьма нежелательное нагревание
проводников, помещенных в переменное во
времени магнитное поле. В
электродвигателях, генераторах и
трансформаторах со стальными сердечниками
вихревой ток подавляют, набирая
сердечник из слоев тонких изолированных
стальных листов.
5.3.7. Энергия магнитного поля. Плот-
ность энергии домагн магнитного поля
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим в
вакууме длинную катушку из
проволоки, имеющую длину а, площадь
поперечного сечения А и N витков. Работа,
затрачиваемая при включении
электрического тока на создание в катушке
магнитного поля,
t
t
Ψ
Jvc../di=+Lj^-/Ä =
о о
Эта работа переходит в потенциальную
энергию ЕП0Т магнитного поля
катушки:
W = LI2/2
w,
V\
w
магн
2
пот ^магн
LIV2V = μ0Ν2Αα-42/2Αα
1
(μ0ΝΙ/α) {ΝIIa)
Β Η
Пример. Η = ΙΟ4 Α · м-1, вакуум;
и'магн = 62,8 Вт · с · м~3.
О. О. О.
диполь как
круговой ток.
5.3.8.1. Аналогия Ампера. Согласно
А. М. Амперу (1775—1836), каждому
магнитному дипольному моменту m
отвечает круговой ток, в котором
электрический ток / обтекает некоторую
поверхность А. Если эта поверхность плоская,
то направление вектора нормали η по
отношению к направлению циркуляции
тока / устанавливается с помощью
правила буравчика:
Единица магнитного дипольного
момента Im] = А-м2 соответствует этой
формуле.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО в общем
случае сложно. Поэтому ограничимся
сравнением двух физических величин,
связанных с магнитным диполем и
соответствующим круговым током:
возникающего в однородном магнитном поле В
механического вращательного момента
Τ и собственного магнитного поля.
5.3.8.2. Механический вращательный
момент, действующий на круговой ток
в магнитном поле (рис. 168). А — π/?2,
Рис. 168
п = {0, 0, 1}; В= jßsina, О, В cos a);
R = [R sin β, — R cos β, 0); ds =
= {R cos β dß, tf sinßdß,0}.
Механический вращательный момент
Τ, действующий на круговой ток /Лп в
магнитном поле В, можно вычислить с
помощью закона силы:
Т= f(Rx/(dsxB)) =
2π
f IB sin aR2 {sin β cos ßdß, sin2 ßdß, 0}
= /ßsina#2{0, π, 0} =
= InR2 sin α Β {0, 1,0};
Τ = /Л(пхВ)
Сравнивая с 5.3.2.1, находим Т = mxB.


5.3.8.3. Магнитное поле кругового
тока (рис. 169). А - π/?2; η = {0, 0, 1);
Гзг~5гх f(r.R)
ds
= (И0//4я)(г-32Лп-0-
— Зг-5(гх(Лпхг)));
В (г) ~ μ° / ΙΑη ι 3 UAlLllL'
для г> R.
Рис. 169
г = {г sin α, 0, г cos α};
R = {Я sin β, — R cos β, 0};
ds = {R cosßdß, R sinß dß, 0}.
Поле В (г) кругового тока /Лп,
охватывающего малую площадь, можно
вычислить с помощью закона Био —
Савара. Три интеграла, требуемых для
вычисления:
2Л
j*Rx<is=j* {0,0,/?2ίφ} = 2π/?2η = 2Лп;
s 0
2π
J* ds = j R {cos ßdß, sin ßdß, 0} = 0;
s 0
2π
J(R-r)ds = J R2r sin α {sin β cos β dp,
s 0
sin2 ßdß, 0} = π/?2 г sin α {0, 1,0}= Лп χ г.
При г > R справедливы следующие
приближенные формулы:
Сравнивая их с 5.3.2.3, находим что
В (г) = (μ0/4π) (— m/r3 + 3 (m-rjr/r5).
5.3.9. Магнитные свойства вещества.
5.3.9.1. Феноменология. Магнитные
свойства вещества описываются связью
между В и Н. Согласно 5.3.1, в вакууме
в единицах СИ выполнено равенство В =
= μ0Η. Вещество классифицируется
по своим магнитным свойствам в
соответствии с видом и температурной
зависимостью функции В (Н). Важнейшими
магнитными классами веществ являются
диамагнетики, парамагнетики и
ферромагнетики. Кроме них следует упомянуть
антиферромагнетики и ферримагнети-
ки.
Определение функции
В(Н). Для изотропного материала в
случае низкочастотного поля Η можно
определить зависимость В (Н) с помощью
двух катушек, намотанных на
сердечник из исследуемого материала. Через
первую катушку (рис. 170) пропускает-
Сердечнин
г* = |г
г
— R|«r(l — г-R/r2);
■*-"~ г"3 + 3r~5(r-R);
(г) = J*L / Г (r*xds) _
μο / Γ ((R-r)xrfs) Λ 3 r-R \
4π J г» [ ~*~ г* )~
в<
Рис. 170
ся низкочастотный периодический ток
I (0 = h sm ω^· На концах второй
катушки измеряется индуцированное
напряжение Кинд (t) = — Ν* Α dB/dt.
Используя связь Η (t) = Ν ί {t)la,
можно после интегрирования dB/dt
найти функцию В (Н) = В{Н (*)}.


Линейная связь между В и Η
описывается магнитной проницаемостью μ
или магнитной восприимчивостью Хт:
Β = μ(μ0Η) = (1+χιη)(μοΗ).
В анизотропных средах μ и Хт являются
тензорами.
Следует различать вещества с
отрицательной и положительной
восприимчивостью: Хт < 0 — диамагнетики,
Хт > 0 — парамагнетики.
Диамагнетики. Вещества
типа Н2, Н20, благородные газы и
отдельные металлы диамагнитны (Хт<0).
Абсолютное значение Хт мало (|ХТО| «
« 10~Б). В неоднородном магнитном
поле на диамагнетик действует сила в
направлении уменьшения поля.
Парамагнетики. Среди
прочих парамагнитными являются 02,
большинство металлов, а также вещества,
атомы которых имеют лишь частично
заполненные внутренние электронные
оболочки. Во многих случаях
парамагнитная восприимчивость сильно зависит от
температуры:
Χτη^μ — l^const/Г
(закон П. Кюри (1859—1906)). В
неоднородном магнитном поле на
парамагнетик действует сила в направлении
увеличения поля.
Ферромагнетики. Каждому
ферромагнитному веществу, например
Fe, Co, Ni, EuO, отвечает названная по
имени П. Кюри характеристическая
температура Тс- Для температур Т,
меньших Тс, ферромагнетики
находятся в ферромагнитной фазе, описываемой
явлением гистерезиса (рис. 171). Сле-
Насыщение
< /г Кривая
намагничивания
Коэрцитивная
сила Ик
Рис. 171
дует отметить в связи с явлением
гистерезиса, что даже в отсутствие
магнитного поля Η может существовать поле В,
отвечающее остаточной индукции Вд.
Этот случай соответствует постоянным
магнитам. Поле В можно уничтожить,
лишь приложив соответствующее
сильное магнитное поле Нк — так
называемую коэрцитивную силу.
Если температура поднимается выше
Тс, ферромагнетик переходит в
псевдопарамагнитную фазу. При этом
Т>ТС:
(Β = μ(μ0Η) = (1+χιη)(μοΗ),
μ> ι. Xm>0;
(Χτη=μ — l=const/(r— Тс)
(закон П. Кюри и П. Вейсса (1865-
1940).
Примеры Гс
Вещество:
Тс. К:
Fe
1043
Со
1400
Ni
631
Сг02
392
EuO
69
5.3.9.2. Намагничивание.
Определение. В магнитном
поле вид функции В (Н) отличается от
ее вида в вакууме В = μ0Η.
С помощью понятия намагниченности
Μ можно полностью описать связь
между В и Η для любого типа вещества.
В единицах СИ намагниченность Μ
определяется уравнением
Β = μ0(Η + Μ).
Единица намагниченности Μ
совпадает с единицей напряженности
магнитного поля Н: [М] = [Hl = А/м.
Согласно определению, для вакуума
Μ = 0.
Намагниченность как
плотность дипольных
моментов. По аналогии с
электрической поляризованностью Ρ
намагниченность Μ отвечает плотности магнитных
моментов т* микроскопических
магнитных диполей в веществе:
Μ = 2 mi/объём.
Часто намагниченность зависит от
температуры, так как температура влияет
на направление отдельных
микроскопических магнитных диполей.


Намагниченность как
плотность
микроскопических круговых токов.
Согласно 5.3.8, микроскопическим
магнитным диполям fiif отвечают круговые
токи. Главным образом, это токи,
создаваемые в атомах электронами,
вращающимися вокруг ядер и вокруг
собственной оси. Эти микроскопические
диполи исследуются квантовомеханически
в гл. 7. Формально можно положить
Ш{ = /*Л*п*, где It — ток; At —
площадь поверхности и п,- — нормаль
кругового тока с номером i. Отсюда
Μ = 2 It Αι пробьём.
i
Намагниченность есть сумма
микроскопических круговых токов в единице
объема (плотность микроскопических
круговых токов).
5.3.9.3. Связь между магнитным
полем, намагниченностью и магнитной
индукцией. Напряженность
магнитного поля Н, намагниченность Μ и
магнитная индукция В могут быть описаны
как круговые токи:
Η — это внешний макроскопический
круговой ток, отнесенный к единице
объема;
Μ — плотность микроскопических
круговых токов;
В — совокупность всех круговых
токов в единице объема, умноженная на
магнитную постоянную μ0.
Закон протекания тока
Ампера. Смысл трех величин Η, М,
В становится ясным, если для них
написать закон протекания тока Ампера в
дифференциальной форме (5.3.4.1):
rot Η = j = jMaKp; rot Μ = jMI1Kp;
rot (Β/μ0) = jn0JIH.
Иллюстрация. Для иллюстрации
рассмотрим длинный круговой цилиндр с
поперечным сечением nR* и длиной а > R,
выполненный из однородного магнитного
материала с Nf одинаковыми микроскопическими
круговыми токами /,м4^. Для простоты
примем, что все векторы нормали п* параллельны
оси цилиндра (рис. 172). При этих
предположениях намагниченность
Рис. 172
Μ = Νι (ItAi)/nRza =
— сумма микроскопических круговых токов
в единице объема.
Если намотать на рассматриваемый цилиндр
N витков проволоки, то ток / создаст
магнитное поле
Η = Nlla = Ν (/π/?2)/π/?2α =
=сумма макроскопических круговых токов
в единице объема.
Магнитная индукция В определяется
совокупностью круговых токов независимо от
того, является ли круговой ток
микроскопическим или макроскопическим:
Β/μ0 = Η + М =
= {Ν (/π/?2) + Ni(Ii I Ai)}/nR*a=
=сумма всех круговых токов в единице объема.
5.3.9.4. Микроскопический смысл
свойств вещества.
Диамагнетики.
Диамагнитное вещество, например бензол, не
содержит постоянных атомных или
молекулярных диполей. Если оно внесено в
магнитное поле, то поле индуцирует в
электронных облаках его атомов и
молекул круговые токи. Из-за
отрицательного знака в правой части закона
индукции Фарадея эти токи порождают,
согласно правилу Ф. Е. Ленца (1804—
1865), противоположно направленное
магнитное поле. В результате
суммарное магнитное поле В меньше, чем в
вакууме: В < μ0 Η.
Для иллюстрации
рассмотрим диамагнитное вещество,
содержащее в единице объема N одинаковых
атомов или молекул, в которых могут
индуцироваться круговые токи. Кроме
того, примем, что круговые токи
порождаются электронами с массой т и
электрическим зарядом — е, которые
движутся по круговым траекториям радиусом г


перпендикулярно к магнитному полю
(рис. 173). Так как речь идет об атом-
Н
н
Рис. 173
ных или молекулярных круговых токах,
то можно пренебречь трением, т. е.
электрическим сопротивлением. При
таких предположениях
В=(Ц-Хт)ЦоН;
Хдиам=-ЦоМ?2г2/4т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Электрическое
поле вдоль электронной траектории при
включении магнитного поля равно
= 2лгЕ = \ rot Eda =
(ft Eds =
-ί
dB
dt
ndatt — πΓ2μ0
dH
dt
E=-
μο
dH
dt
Под действием электрического поля элек
трон ускоряется до скорости ν и враща
ется с частотой ν по траектории:
еЕ ~т
dv
dt
г dH
е — μ0 —
2 r dt
-ί
dt — μ0 Я = 2nvr.
dt
2m
Индуцированный ток: /инд = ex
\аф2Н1Ыт\
Μ = Хдиам Я = ΝΙΆΗΆπή =
= — μ0Ν (β2/4 m) r2H.
Парамагнетики.
Парамагнетики содержат постоянные атомные
магнитные диполи т, которые стремятся
повернуться параллельно
приложенному магнитному полю. Этому
упорядочению препятствует тепловое движение,
так что оно происходит не полностью.
Результатом является зависящая от
температуры намагниченность М,
пропорциональная и параллельная
приложенному магнитному полю Н.
Для иллюстрации
рассмотрим парамагнитное вещество с N
одинаковыми атомными магнитными
диполями m в единице объема. Для простоты
примем, что направление атомных
магнитных диполей не квантовано
(квантование по направлениям см. § 7.7).
Влияние теплового движения на
намагничение определяется статистикой
Больцмана. В результате для не
слишком низкой температуры Τ получается
формула П. Кюри:
Β = (1+χΛ)μ0Η,
где χηι« + μ0Λ^πι2/3^Γ
(k = 1,3805· ΙΟ"23 Вт-с/К —постоянная
Больцмана).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для
вычисления Μ воспользуемся сферическими
координатами:
напряженность магнитного поля Η =
= (0, 0, Я);
дипольный момент m = \т sin θχ
X cos φ, m sin θ sin φ, m cos Θ};
элемент телесного угла dQ —
= sin θ dOdtp = — d (cos Θ) dq>. Энергия Е
диполя в магнитном поле Η зависит
только от θ или от и = cos θ:
Ε =
т · (μ0Η) = — т\и^Н cos θ
= — mμ0Яw.
Намагниченность Μζ в направлении
поля Я
Μζ = (MV) (Σηι)ζ = Nm <cos θ>.
Для среднего значения <cos θ> = <w>
находим с помощью статистического
распределения Больцмана:
<cos6> =
J cos θ exp ( — E/kT)dQ
Ω
J exp(— ElkT)d£l
Ω
2π π
J Γ cos θ exp (— χ cos θ) sin ВсШф
о о
2π π
f j exp (— χ cos Θ) sin BdBdcp
о о


+ 1
Г и ехр (— xu)du
<U> =
— I
+ 1
Г ехр(
-1
= cth л:
1
χ
хи) du
= L{x)y
где L (χ) — функция Ланжевена (рис.
174).
HU(x)~ri(H/T)
5 x=mjuaH/kT
При больших χ (большие магнитные
поля, низкие температуры) наступает
насыщение (все диполи упорядочены).
Намагниченность
шН
ι
kT
μ0 пгН
Μζ (Η) = Nm ^cth μ0 ^
При kT > ηιμ0Η
Mz = %mH = μ0Νηι2Η/3/ίΤ.
Ферромагнетики.
Ферромагнетики обладают постоянными
атомными магнитными диполями т,
которые сильно связаны между собой. Ниже
температуры Кюри Тс диполи
расположены параллельно в целых областях.
Величина и структура этих областей,
называемых доменами Вейсса, зависят
от температуры и напряженности
приложенного магнитного поля μ0Η, что
находит отражение в зависящей от
температуры петле гистерезиса. Выше Тс
неупорядоченное тепловое движение
разрушает обусловленное связью
параллельное расположение магнитных
диполей. Поэтому ферромагнетик ведет себя
почти как парамагнетик.
П. Вейссу удалось убедительно
описать поведение ферромагнетика выше
Тс- Для этого он рассмотрел
дополнительное локальное магнитное поле
Нлок в месте нахождения каждого
диполя, которое порождается соседними
связанными диполями. Вейсс принял это
локальное магнитное поле
пропорциональным намагниченности:
Поле Нлок называют обменным полем
или молекулярным полем. Значение
локального поля Вейсса подставляется
в формулу Кюри:
Μ = μ0 (NmVS kT) (Η + Нлок).
Исключив локальное поле, получим
1
т
М/Н = (μ0 NmV3 k)l {Τ — Тс),
где
Таким образом, температура Кюри есть
мера связи λ магнитных диполей в
ферромагнетике.
5.3.9.5. Граничные поверхности между
магнитными материалами. На границе
раздела двух магнитных материалов 1 и
2, в силу уравнения div B = 0 (5.3.3),
всегда выполняется условие
Если отсутствуют токи проводимости
и ток смещения, то в силу rot Η =
= 0(5.3.4.1 и 5.5.1)
Η
Hl
#211.
§ 5.4. Квазистационарные токи
5.4.1. Введение. Изменяющиеся во
времени токи / (t) называют
квазистационарными, если максимальные
линейные размеры dMaKC электрической
схемы и минимальная длительность /мин
электрических процессов в них
находятся в таком соотношении, что скорость
распространения электрических и
магнитных полей не играет роли. Эта
скорость соответствует скорости
электромагнитных волн (6.2.5), т. е. скорости
света с. Поэтому должно выполняться
неравенство *мин > dMaKC/c.
Например, теория
квазистационарных токов применима к
электронному прибору с dMaKC = 1 м лишь в том
случае, если ^мин > 3,33· 10"9 с. В част-


ности, теория квазистационарных
токов неприменима к антеннам, линиям
задержки и микроволновым приборам.
В дальнейшем ограничим
рассмотрение переменными токами,
электрическими импульсами и переходными
процессами в линейных электрических схемах.
5.4.2. Линейные схемы. В
большинстве случаев линейные схемы можно
представить как комбинации
элементарных линейных двухполюсников и че-
тыр ех пол юсн и ков.
Линейные
двухполюсники. У линейных двухполюсников
существует линейная связь между
протекающим током 1(f) и электрическим
напряжением V (/) на обоих полюсах.
Простейшие двухполюсники:
омическое сопротивление, конденсатор без
потерь, катушка индуктивности без
сопротивления. Для них выполнены
равенства:
омическое сопротивление: V (t)
= +/?/(/);
катушка индуктивности: V (t)
d
= +L
dt
I (*);
*
ёмкость: V(t)=V(t = 0)+ f
x
о
Xl(t)dt= ^; —V(t) = — f(t).
с
dt
Символы (рис. 175).
1
R

Двухполюсник
τ
Резистор
Катушка Конденса
индуктидности тор
Рис. 175
Линейные
четырехполюсники. Под линейным
четырехполюсником понимается электрическая
цепь, для которой справедливо
линейное соотношение между токами 7^), 72(/)
и напряжениями V1 (/), V2 (t) на обеих
парах полюсов (зажимов) (рис. 176).
Произбопьный
up
tea
Низкочастотный
LR - фильтр
четырехполюсник
Рис. 176
Рис. 177
Если нагрузить четырехполюсник на
второй паре полюсов каким-то
двухполюсником, то первую пару полюсов
четырехполюсника можно
рассматривать как двухполюсник. В режиме
холостого хода вторая пара полюсов
остается ненагруженной, т. е. 72 (/) =s 0.
В таком режиме работы измеряют
выходное напряжение V2 (t)
четырехполюсника как функцию входного напряжения
Vi (/) или входного тока Ix (t).
Рассмотрим в виде примера
изображенный на рис. 177 LR-фильтр
низких частот. Между токами и
напряжениями имеются линейные
соотношения
V2(t)=+Vl(t)-L-4-I1(f);
dt
hit)
R
г
V,(/)+ \l +
R dt
hit).
Если нагрузить L^-фильтр низких
частот омическим сопротивлением R', то
V2 (ή = R'h (0· При этом
дополнительном условии находим для входной
пары полюсов
™-'т+тг
4w+£ d
dt
h (/).
В режиме холостого хода с учетом того,
что 72 (/) = 0,
У г (/) = Rh (t) и Vx (t) = Rh (t) +
+ L
dt
h (0-
5.4.3. Переменные токи.
5.4.3.1. Комплексные амплитуды
напряжения и тока. Поведение линейных
элементов схем по отношению к
периодическим напряжениям и токам с по-


стоянкой круговой частотой ω
представить в комплексной
Для этого положим
можно
форме.
t
V(t) = V0cos((ut—(p) =
= Re [V0 exp (— iqo) exp (ίω/)]
= Re[Ve\p(i(ut)Y,
J (/) = I0 cos (ω/ — ψ) =
= Re [/о exp (—ίψ) exp (iotf)] =
= Re [/exp (ίω/)],
где V и / — комплексные амплитуды на
пряжения и тока (рис. 178).
Уехр(Ш)
Iexp(iu)t)
Рис. 178
5.4.3.2. Импедансы линейных
двухполюсников.
Определение. По определе
нию, импеданс линейного двухполюсни
ка равен отношению комплексной амп
литуды напряжения к комплексной ам
плитуде тока:
Z = V/I.
Примеры импедансов:
омическое сопротивление: Ζ (R)
катушка индуктивности: Ζ (L) =
конденсатор: Ζ (С) = l/iooC.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
V (t) = Re У exp (ϊωί) = RI (t)
= R Re / exp (ιωί) =
= Re RI exp (ϊωί);
V (t) = ReV exp(i<uf) = L— I(t) =
dt
= R\
iiuL;
dt
Re / exp (ϊωί)
= ReL
dt
I exp (ίω/) = Re Lico/ exp (ίω/);
V(t) = ReVexv(mt)
\l(t)dt +
о
t
+ V(0)
f [Re/exp(i<o/)]df+V(0) =
о
t
1
= Re -L-/exp (Ш) dt + V (0)
о
= Re — — exp(io)/),
С ίω
причем следует выбрать V (0) = / /оаС.
Вычисления с
импеданса м и. С импедансами, которые в
общем случае комплексны, можно
проводить вычисления так же, как с
омическими сопротивлениями. Для двух
импедансов Ζ1 и Ζ2 общий импеданс Ζ
равен
Ζ = Ζχ-\-Ζ2—при последовательном
соединении;
Ζ = (1ΙΖΧ 4-1 /Ζ2)~' — при параллель
ном соединении.
Пример. Омическое сопротивление и
катушка индуктивности при последовательном
соединении: Ζ — Ζ (R) + Ζ (L) = R + ΐωΖ,.
5.4.3.3. Комплексное представление
четырехполюсника. Линейные
соотношения между напряжениями и
токами в четырехполюснике могут быть при
постоянной круговой частоте ω
представлены в комплексной форме. Для
этого служит следующая схема перевода:
d*
dt2
/(0-4*ω)2/;
t f
\dt' f dt" f (/")
о
о
(ίω)"2/,
где функция / (/) с комплексной
амплитудой / означает любую из величин
Λ (0. /« (')♦ У ι (t) или V2 (/) для
четырехполюсника.


Пример. Для LR-фильтра низких
частот:
Vo = + Vi — io>L/i;
или
/,=
γλ = (i + mLlR) V2 — ίω/./2,
V^ + il+iroL//?)/!; /! = —V2+/2;
#
tf
V1=(^ + iwL)/1-/?/2,
1
/1= Vi
X · ψ X
1
ΐωΖ,
Vt,
или
Vt=Rh-Rtt,
l /11
ia>L l l # ΐωΐ
т. е. поведение линейного четырехполюсника
по отношению к переменному току можно
представить комплексными двухрядными
матрицами или тензорами.
Если нагрузить L/^-фильтр низких
частот омическим сопротивлением R', то
входная пара полюсов образует двухполюсник
с импедансом
Ζ = VJU = {MR + l/tf')-i + i«^·
В режиме холостого хода V2 = R/i
V2 = RVXI{R + ίωΖ.).
и
5.4.3.4. Комплексное представление
мощности переменного тока.
Потребляемая двухполюсником мгновенная
мощность
Ρ(ί)=Ι (ί) V (/)=/(, cos (ω/ — ψ)χ
Xl/Ocos (ω/—φ) = (/0Κ0/2) (cos(a|) — φ) +
+ cos (2 ω/ — ψ — φ)}.
Отсюда находится средняя мощность:
P = P(t) =
foVo
Τ
P(t)dt
о
cos (ψ— φ)
или
Ρ =(/ο//2) (V0/V2) cos (гр-φ) =
= (l/2)Re/*V = (l/2)Re/V*.
В электротехнике величины /Э(Ь =
= /0/[^2 и V3d) = VJV2 принято
называть эффективным током и
эффективным напряжением.
5.4.4. Переходные процессы и
импульсы.
5.4.4.1. Преобразование Лапласа. В
электротехнике для вычисления
переходных процессов и преобразования
импульсов в линейных схемах используется
чаще всего специальный математический
прием—преобразование П. С. де Лапласа
(1749—1827). Если / (/) — функция,
определенная для всех значений
времени /> 0, то ее лапласовский образ F (р)
определяется интегралом
оо
M/(OI = f/(*)exp(-
с/
0
-pt)dt = F(p).
Образ F (р) является функцией новой
переменной р.
Пример: / (/ > 0) = ехр (— t/τ); F (р) =
= j exp( — t/x)exp{-pt)dt = (p-\-\/r)-K
о
Преобразования Лапласа важнейших
математических операций и функций
приведены в приложении П4.4. Там же
указаны учебники и ссылки на
подробные таблицы.
5.4.4.2. Переходные и импульсные
функции. Для описания переходных
процессов и преобразования импульсов
в линейных схемах используются
специальные функции, как, например,
функция включения или функция Хе-
висайда (рис. 179):
,Ü_
г>0
Рис. 179
θ(ί — τ) =
0 для t <C t,
1 для t~^x\
1
L {θ(ί —1)) = — exp(—τρ);
Ρ


функция выключения (рис. 180):
Рис. 180
1
θ(/ —т) = |
1 для t <c τ,
0 для /^>т;
1
£ {1 -θ (t-τ)] =— (1 -ехр(-тр));
идеальный импульс или б-функция
(см. П4.2.13) (рис. 181):
а
О
I
г>0
Яыс. Ш
б(/ — т) = 0 для ίφτ;
b(t — τ) = οο для t = x\
t
f <Ч*' — T)dt'=Q(t — τ);
о
£{ö(/ — τ))=βχρ(—ρτ);
прямоугольный импульс (рис. 182):
Я«с. /52
θ(/ — τ,) — θ(ί — τ2), где τ1<τ2;
£{θ(^_τι)-θ(^-τ2))-
= — (exp(—Tip)—exp(—τ2ρ)).
5.4.4.3. Применения.
Процесс включения в
/^L-д вухполюснике (рис. 183).
^0
Рис. 183
Дифференциальное уравнение
двухполюсника: V (t) = RI (t) -f L ^- / (ί).
Лапласовский образ: V (ρ) = /?/ (р)+
4-Lp/ (p) - LI (0).
Предположения: К (/) = V0 θ (/ — τ),
/ (0) - 0.
Лапласовский образ: V (ρ) =
= V0- exp (—τρ).
Неизвестное: / (/).
Лапласовский образ:
/ (ρ)=ν (ρ)
ι
Vo
R + Lp R
exp( —τρ) χ
X
1
= -^Lexp(
p{\+LpiR) R FV
τρ) χ
X
1
1
P+R/L
Vo
Решение: I(t)= '" θ(ί—τ) χ
R
x 1-
«P (£*))·
Преобразование импуль-
c а RL-φ ильтром низких
частот на холостом ходу.
Дифференциальные уравнения такого
фильтра (см. 5.4.2):
V2(t) = Rh(ty, ^(0 = А/1(0 +
at
Лапласовский образ: V2 (ρ) = RIX (p);
Vx (ρ) = Rh (p) + Lph (Ρ) - Щ0),
/2 (Ρ) = 0.
Предположения: V^/) = K0(^/#) δ(ί—τ);
/ι (0) = 0.
Лапласовский образ: V^ (ρ) =
= V0 (L/R) exp (— τρ).
Неизвестное: K2 (0·


Лапласовский образ:
xR/{R + Lp).
Решение: V2 (t) =
= Κ0Θ (/ — τ) exp [
У г (Р) = Vi (P) Χ
(R/L) (/ — τ)].
§ 5.5. Уравнения Максвелла
5.5.1. Исправление закона
протекания тока Ампера. Дж. К. Максвелл
(1831—1879) путем исправления
закона протекания тока Ампера (5.3.4.1.)
истолковал свет как электромагнитную
волну (см. 6.9.5). Исправленный закон
гласит:
и носит название первого закона
Максвелла. Из него видно, что наряду с
плотностью тока j магнитное поле Η
определяется также плотностью тока
смещения du/dt.
5.5.2. Полная феноменологическая те-
ория электричества и магнетизма. Ис-
правление Максвеллом закона
протекания тока Ампера позволяет полностью
описать с помощью одной системы
уравнений явления электричества и
магнетизма. Четыре основных уравнения,
названные по имени Максвелла, имеют
вид:
первый закон Максвелла: rotH —
= j + — D;
dt
второй закон Максвелла, или закон
индукции Фарадея: rot Ε = В;
третий закон Максвелла, или
основной закон электростатики:
divD = paJI;
четвертый закон Максвелла, или
основной закон магнитостатики:
divB=0.
I
Эти четыре уравнения
относительно шести величин: Е, D, В, Н, рэл и j
дополняются уравнениями,
описывающими электрические и магнитные
свойства среды:
эл
_ ( 0 — электрически нейтральная,
Рэл (г)—электрически заряженная;
J
О—изолятор,
σΕ—омический проводник,
k j (E) —неомический проводник;
D = e0E + P =
εε0 Ε—нормально диэлектрическая,
D (Ε) — (гистерезис, закон Кюри —
k Вейсса) сегнетоэлектрическая;
Β = μ0(ΗΗ-Μ) =
μμ0 Η—диа-или парамагнитная,
В (Η) — (гистерезис, закон Кюри —
k Вейсса) ферромагнитная.
5.5.3. Электромагнитные свойства
вакуума. Вакуум занимает в теории
электричества и магнетизма
(электродинамике) особое положение. В
вакууме выполнены следующие
соотношения:
первое уравнение Максвелла
rot Н= +εο-τ- Ε.
второе уравнение Максвелла
= —μ0—- Η,
dt
rot E
третье уравнение Максвелла —
divE=0,
четвертое уравнение Максвелла
divH=0,
Рэл = °» J = °» D = εοΕ. Β = μ0Η.
Кроме того, из теории электромагнит
ных волн (6.9.5) следует, что
где с — скорость света.


глава 6. Колебания и волны
§ 6.1. Гармонические колебания
6.1.1. Определение. Колебанием на-
зывают периодическое изменение
состояния физической системы. Если
соответствующая зависящая от времени
физическая характеристика системы w {ή
удовлетворяет дифференциальному
уравнению
(d2/dt2) w (t) -\-alw (/) = О
то изменение состояния называют
гармоническим колебанием, а систему —
гармоническим осциллятором.
Мгновенное состояние гармонического
осциллятора называется фазой.
Гармоническое колебание обладает
периодом или длительностью колебания
Т0, которая определяется из условия
периодичности
w(t + T0) = w(t).
Период Т0 связан с собственной
частотой v0 и собственной круговой частотой
щ\
Единицами этих параметров колебания
являются [Т0] — с,
ίν0] = герц = Гц = с-1, [ω0] = с-1.
6.1.2. Примеры гармонических
осцилляторов.
6.1.2.1. Пружинный маятник (рис.
184).
У//////,

f-коэффициент
жесткости
I

Q-положение
равновесия
*-х-откло-
т- масса
нение
Уравнение движения:
(dVdt2) χ (t) + ©J* (/) = 0, ω0 =
= (flmyi2.
Переменная χ (t) представляет собой
отклонение маятника от положения
равновесия.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: второй закон
Ньютона т (d2ldt2)x = F — — fx.
6.1.2.2. Параллельный LC
колебательный контур (рис. 185).
Ott)
i
Q(t)
Щ
Рис. 185
Уравнение движения:
(dW) Q (/) + ö>J Q (/) = 0, ω0 =
= (Щ-,/2,
где переменная Q (t) — электрический
заряд на конденсаторе С.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Сумма
электрических напряжений для замкнутой
цепи тока равна нулю:
Q + L— /=0,
dt
dt
Q·
6.1.3. Решения уравнения движения
гармонического осциллятора. Так как
уравнение движения (6.1.1)
гармонического осциллятора представляет собой
линейное дифференциальное уравнение
второго порядка, его решения
определяются двумя параметрами, например
двумя начальными условиями.
6.1.3.1. Решения в действительной
форме. Параметры: W — амплитуда,
а— фазовый угол:
Рис. 184
w(t) = W cos (ω0 t — a) —
= U?cos(2jiv0/—α) =
= Wcos(2ntlT0—a).


Параметры: А, В — амплитуды:
А = Г cos α, Β = Г sin α, Г = (Л2+
+ Я2)1/2, α = arctg (BIA)\
w (t) = Α cos ω01 + В sin ωό £.
Параметры: начальные условия w (0),
ώ(0);
W2 = аЯ (0) -f ω~2 ώ2 (0),
α = arctg (w (0)/ω0α) (0));
w (t) = w (0) cos ω01 + ωο * до (0) sin ω0 ί.
6.1.3.2. Решение в комплексной форме.
Параметры: WK= W ехр (— ia) —
комплексная амплитуда:
WK (t) = Re wK (t) + i Im wK (t) =
= WKexp (ίω0/)·
Связь с решением в действительной
форме:
до (t) = Re док (t) = Re (WK exp (ίω0 /)).
6.1.4. Энергия гармонического
осциллятора. Полная энергия Ε
гармонического осциллятора постоянна. Она
переходит с частотой, равной
удвоенной собственной частоте гармонического
осциллятора 2ν0, из одной формы, Еъ в
другую, £2:
EX = (EI2) {l+cos2(<M —a)),
£2 = (£/2){1— cos2(g)0/—a) .
Пример. Пружинный маятник.
Отклонение: χ (t) = X cos (ω0ί — a).
Потенциальная энергия: Ει=:Εποτ =
f f 1
2 2 2
X {l+cos2 (<d0t — a)}.
Кинетическая энергия: Е2=Екпн =
— xHt) = ^r X2—{I-cos 2 (ω0ί-α)}.
Полная энергия:
fXV2.
Е- ^пот *т" ^кин
§ 6.2. Линейные затухающие
гармонические колебания
6.2.1. Определение. Линейное зату
хающее гармоническое колебание опи
сывается уравнением движения
</2
dP
до (t) + ω0
-ι
dt
W(t) +
+ (o20w(t) = 0.
Здесь ω0 — собственная круговая
частота незатухающего гармонического
колебания, а <й — безразмерная величина —
добротность. Величину (Щ называют
также фактором качества. Она связана с
характерным временем затухания τ
соотношением
2(Щ = ω0 τ.
Единицы: [t] = с; Ш] = 1.
Добротность (Щ определяет тип зату
хания гармонического осциллятора:
ω0 τ =
ω0τ
ω0τ =
= 2®
> 1 — подкритическое
затухание,
= 2(3. = 1 —критическое
■2®.
затухание,
< 1—надкритическое
затухание.
6.2.2. Примеры линейных затухающих
гармонических осцилляторов.
шшшшшш^шшшаш^шшшшшш/^ашяаашвшвашвшшшяшщшшшашшшшшшшшшаявааашшаш»
6.2.2.1. Линейный затухающий
пружинный маятник.
Уравнение движения:
а*
х {t) + ω0
-ι
*(0 +
dt* dt
+ ω20χ(ί) = 0;
τ = 2@/ω0 = m/3nr\R.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Шар
радиусом R движется в жидкости с вязкостью
η (рис. 186). Согласно второму закону


ν//////////////////,
л
Рис. 186
Ньютона и выражению для силы сопро
тивления Стокса (см. 4.8.6.1),
т
Ф-
dt*
x = F— —fx — 6πη^ χ.
dt
6.2.2.2. LRC колебательный контур
(рис. 187). Уравнение
движения:
Q(t)
i
-Q(t)
KU
Рис. 187
6.2.3. Решения уравнения движения.
6.2.3.1. Подкритическое слабое
затухание. Признак: @ = ω0τ/2 >1/2.
«Период» слабо затухающего колебания
7\, = 1/ν«, = 2π/ω,
r0[i
— (1/4) ©-2]"1/2.
Начальные условия: w (0), w (0).
w (t) = exp (— t/τ) {w0 (0) coscö31-\-
+ (w (0)/ω3 τ + w (0)/ω3) sin ω31.
Логарифмический декремент:
Λ = In (w (t)/w (t + 73)) = T3/ τ
= π
[1 — (1/4) @-2]-1/2.
6.2.3.2. Критическое затухание. Приз
нак: @ = ω0 τ/2 = 1/2. Начальные ус
ловия: w (0), w (0).
йу(^) = ехр { — t/τ) χ
χ (а>(0)(1+*/т) + а;(0)*1.
6.2.3.3. Сильное, надкритическое
затухание. Признак Ш — ω0τ/2 <С 1/2. Ха
рактерное время затухания:
τι,2=τ/(ι ±V\-m2).
Начальные условия: w (0), w (Ό).
/Λ w(0) + x2w(0)
w (t) — —■L-L-i—=—-^- exp
1— τ2/τι
t
+
d2
df2
Q (0 + ω„
-1
QW +
df
+ (o§Q(0 = 0;
ω0 = (^)-,/2, @=(1/Я)0</С)1/2,
T = 2L/#.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сумма
электрических напряжений в замкнутой цепи
тока равна нулю:
1 Q + R1 + L— /=0; / = —Q.
С d/ d/
[ ю(0)+тцр(0)
1—τι/τ2
(рис. 188).
w{0)
t
w exp (-t/τ)
^^ «*^ ^^ ^^ ^^
^ ^^ ^^ ^^ шам
Рис. 188


§ 6.3. Вынужденные
гармонические колебания
6.3.1. Определение. Вынужденное
гармоническое колебание
удовлетворяет дифференциальному уравнению
движения
W (0) ω j cos ω/
d*
dt*
w(t) +
+ ω0
-ι
dt
w(t)-\-(UQ w(t).
Здесь ω0 — круговая частота
незатухающего гармонического осциллятора;
@ — добротность; ω — круговая
частота; W0 — амплитуда возбуждения.
6.3.2. Пример. Вынужденные колеба-
швшшшяшшшя^шшашаяшашвшшя^шяя^шшшша^ш^шшташшяшшшшяшшшшшшяшш^шшашшшшшшшшшшшяшаяшшшшт
ния в последовательном LRC
колебательном контуре (рис. 189).
Уравнение движения
ό
VQ cos ωί
о
Рис. 189
V0 L'1 cos ω/ =
d*
dt*
Q(t) +
+ RL
-i
dt
Q(/) + (LC)-iQ(0;
coo-aC)-"2, (^/^(L/C)»/2,
W (0) - K0 С.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО,
рических напряжений в
пи тока равна нулю:
Сумма элект-
замкнутой це
Kocosü)/ — L —I — RI — С-1 Q = 0,
dt
/ =
dt
Q.
6.3.3. Вынужденные колебания при
подкритическом затухании.
6.3.3.1. Общая форма вынужденных
колебаний. Вынужденные колебания
w (t) образуются из двух различных
типов колебаний, переходного процесса
wn (t) и стационарного колебания wCT (t):
Переходный процесс wn {ή является:
а) общим решением однородного
дифференциального уравнения движения
(W (0) = 0); б) зависящим от
начальных условий; в) затухающим.
Стационарное колебание wCT (t)
является: а) периодическим решением
неоднородного дифференциального
уравнения движения (W (0) Φ 0); б) не
зависящим от начальных условий; в)
стационарным.
6.3.3.2. Переходный процесс. В
случае вынужденных колебаний подкрити-
чески затухающего осциллятора
переходный процесс отвечает затухающему
колебанию:
Амплитуду W0 и фазу а0 можно
определить из начальных условий для
вынужденного колебания, например,
задавая w (0) и w (0).
6.3.3.3. Стационарное колебание.
Стационарное колебание wCT (t)
представляет собой чисто гармоническое
колебание с круговой частотой возбуждения ω:
В противоположность амплитуде W0 и
фазе α о переходного процесса амплитуда
W (ω) и фаза α (ω) стационарного
колебания зависят не от начальных условий,
а от круговой частоты ω и амплитуды
W (0) возбуждения. Подставив wCT (t) =
= Ψ(ω) {cos α cos (ωή + sin α sin (ω/)}
в дифференциальное уравнение
движения, получим для амплитуды W (ω)
стационарного колебания
W(a>) =
= W (0)(К( Ι -ω/ω0)2)2 + (ω/@ωο)2)-\


Амплитуда W (0) возбуждения
соответствует амплитуде статического
отклонения (рис. 190).
ь>рез ^ о ω
Рис. 190
Фаза α (ω) вынужденного колебания
определяется соотношением
tg α (ω) = (11й) ωω0/(ω£ — ω2)
(рис. 191). При круговой частоте
возбуждения, равной ω, можно указать
следующие области изменения фазы
стационарного вынужденного колебания:
ω = 0: α = 0, возбуждение и
осциллятор в такте;
0<ω<ω0: 0<α< π/2;
ω = ω0: α = π/2;
ω > ω0: π/2 < α < π;
ω > ω0: α ä π, возбуждение и
осциллятор в противотакте.
Комплексное представление
стационарного вынужденного колебания:
о>к,ст W = w« (ω) ехР ([Ш)·
Связь с решением в действительной
форме: wCT (t) = Re ayKjCT (ή.
Амплитуда WK (ω) стационарного
колебания равна
WK (ω) = WK (0) (1 - (ω/ω0)2 +
+ ίω/^ωο)"1·
6.3.4. Резонанс и добротность.
6.3.4.1. Резонанс. При @ > 1/2 для
определенной круговой частоты ω = ωρβ3
наступает возбуждение максимальной
амплитуды W (сорез) = WMaKC
стационарного вынужденного колебания. При
этом
ωρβ3=ω0(1-1/2βΓ2)1/2;
tgape3=2^(l-V2@-2)l/2.
В случае ® » 1 ωρβ3 » ω0; №макс«
« W (0) й\ tg арез « 2й\ арез «π/2.
6.3.4.2. Потеря энергии затухающим
гармоническим осциллятором.
Накопленная затухающим гармоническим
осциллятором энергия £ пропорциональна
квадрату амплитуды W. В отсутствие
внешнего возбуждения эта энергия
экспоненциально уменьшается:
£ (/) = £ (0) ехр (— 2th) =
=Е(0) ехр(— щШ).
Для слабозатухающего гармонического
осциллятора с @ > 1 за «период» Г3»
ж Т0 теряется энергия
Δ£ = £(/) — £(/ + Га) « £ (О —
-£(/+Г0)=£(/) (1-ехр(-2Г0/т))«
« £ (/) 270/т = £(/)2 л/@.
Поэтому относительная потеря
энергии за период равна
Δ£/£« 2π/@.
В случае стационарного гармонического
колебания слабозатухающего
гармонического осциллятора с резонансной
круговой частотой шрез « ω0 эта
теряемая за период энергия должна для
поддержания колебания поступать извне.
6.3.4.3. Полуширина резонанса.
Полушириной резонанса называют
интервал Δω между двумя значениями
круговой частоты возбуждения, для которых
энергия вынужденного колебания
гармонического осциллятора составляет
половину резонансной энергии при ωρβ3.
Так как энергия пропорциональна квад-


ο>ι
рату амплитуды W (со), то Δω =
— ω2 определяется условием
= ^Ke3)/K2 = rMaKC/j/"2
(рис. 192). При © > 1 Δω/ω0 = 1/<§,
•Vmokc
\П
ωρβ3
Рис. 192
6.3.4.4. Порядки значений
добротности.
Электронный колебательный контур:
ν0 = 104 Гц; @ = 100.
Кварцевый резонатор в электронных
часах: ν0 = 105 Гц; (а = 20 000.
Микроволновый объемный резонатор:
ν0 = 10 10 Гц; (а = 1000 ч- 20 000.
Оптическая спектральная линия: ν0 =
= 6-1014 Гц; ©> 100 000.
Частотно-стабилизированный С02-ла-
зер: ν0 = 3-1013 Гц; (а = Ю9.
§ 6.4. Положительная
и отрицательная обратная связь
6.4.1. Определение. Если у некоторого
осциллятора снимается сигнал, который
затем возвращается усиленным, то в
случае положительного усиления
говорят о положительной обратной связи,
а в случае отрицательного усиления —
об отрицательной обратной связи.
Положительная обратная связь служит
для уменьшения затухания и
поддержания осцилляции, отрицательная
обратная связь — для увеличения затухания
и стабилизации.
Затухающим гармоническим
осциллятором с пропорциональной скорости
положительной или отрицательной
обратной связью называют физическую
систему, описываемую
дифференциальным уравнением
&
dP
w (t) + ω0
-ι
dt
W(t) +
+ (u%w{t) = a ίω0 (ä'1 w (t)\ .
Знак параметра связи определяет тип
связи: а > 0 — положительная
обратная связь; а < 0 — отрицательная
обратная связь.
6.4.2. Пропорциональная току
положительная или отрицательная обратная
связь в LRC колебательном контуре
(рис. 193).
Усилитель:
V(t)=a{RI(t)}.
Рис. 193
Параметр а соответствует усилению
напряжения.
Связь колебательного
контура и усилителя:
LJ-f(t) + RI(t)+±Q(t) =
at С
= V(t) = a{Rl{t)}.
Уравнение
при связи,
нальной току:
колебаний
пропорцио-
d*
dP
QW + ωο
= а ω0
-1
dt
Q(0 + <»5Q(0 =
-1
dt
Q (0 .
где ω0 = {LQ-il2 и © = (MR) (L/C)1'2.
6.4.3. Влияние на колебания
положительной и отрицательной обратной свя-
зи. В 6.4.1 дифференциальное
уравнение затухающего гармонического
осциллятора с пропорциональной
скорости положительной или
отрицательной обратной связью
соответствует дифференциальному уравнению
затухающего или возбужденного гармо-


нического осциллятора с
модифицированной добротностью ^*
dt2
w (t) -f ω0
*-ι
dt
W(t) +
+ ш?ш(/) = 0,
(1-α)
-ι
где
Влияние положительной и
отрицательной обратной связи можно описать с
помощью модифицированной
добротности.
ного маятника; κ = f*!m — коэффициент
связи.
Два связанных пружинных маятника
обладают двумя степенями свободы, так как их
движение описывается двумя зависящими от
времени переменными.
6.5.2. Нормальные координаты и
собственные круговые частоты. Если
физическая система с η степенями свободы
описывается системой η линейных
дифференциальных уравнений вида
—2
О
+2
Ш


ненциальный рост
W (()
1
Ρ 1

Экспоненциально
нарастающие
колебания
Р 1

Экспоненциально
уменьшающиеся
колебания


ненциальное
падение
«МО
τ τ
Стацион
колеба
арные Критич
шия затух
еское
ание
Положительная обратная связь
уменьшает затухание, что приводит в
предельном случае к возбуждению колебания.
Напротив, отрицательная обратная
связь гасит или стабилизирует
колебания и может также использоваться для
подавления нежелательных колебаний.
§ 6.5. Связанные колебания
6.5.1. Система уравнений движения.
Пример. Два одинаковых связанных
пружинных маятника (рис. 194).
Второй закон Ньютона
^^^^ Дает:
т ((P/dt2) Х\= — fx\ —
т (d2/dt2) х2 = — fx2 —
—/ \х2 — *ι)·
Связанные
дифференциальные уравнения
движения:
(d2/dt2) хх = -0)2 хх —
— κ (*ι —*2)'.
(d2/dt2) x2 = — cog x2 —
— X («^2—Х\) *
f
ч
т
!
т
♦
f
d2
dt2
Щ (0 =
ij= 1,
•
i
2 η
(0;
то с помощью линейного преобразования
переменных можно расцепить
дифференциальные уравнения; η новых
переменных qlt q2, ..., qn называют
нормальными координатами', они удовлетворяют
расцепленным дифференциальным
уравнениям
d2
dt2
<М0= — Ω'<7ί(0» ι'= 1»2,..., η
Величины Qf называют собственными
круговыми частотами физической сис-
Нормальная координата qt (ί)
штельной Ω{ удовлетворяет
уравнениям движения гармонического
осциллятора.
Пример. Два одинаковых связанных
пружинных маятника.
Система дифференциальных уравнений
движения:
(d2/dt2) хх = — (о)2 + κ) Χχ-\-κχ2\
(d2/dt2)x2 = +κ*ι — (ω^+κ) χ2.
Линейное преобразование переменных:
ü\ = Χγ -\- χ2\ α2 — Χ\ χ2·
Система расцепленных дифференциальных
уравнений движения:
(dVd*2)<7i=-ü>j|<7, = -Q;<7i;
(d*/dt*) q2 = -{α* +2κ) gt= -Ω* q2.
Собственные круговые частоты: Ωχ — ω0,
Ω2 = (ω> + 2κ) χ'2.
ттш*
Рис. 194
6.5.3. Нормальные, или собственные,
Здесь хг, х2 — связанные, колебания. Нормальными, или собст-
зависящие от времени
переменные; ω0 = (flmy12 —
круговая частота несвязан-
венными, колебаниями называют
колебания физической системы, при кото-


рых осциллирует только одна
нормальная координата qH с соответствующей
круговой частотой Ωκ:
<7k = QkC0S(^k*—ακ)ί ^1=0 для гфк.
Возбуждение нормальных колебаний
макрофизической системы возможно при
специальном выборе начальных условий.
Пример. Два одинаковых связанных
пружинных маятника. Возбуждение
первого нормального колебания qx (0) = 2Л;
Яг(0)=0; <72(0)=0; q%(0)=0 дает
qx = 2AcosQxt; q2 = Q и xx=AcosQxt\
х2 =А cos Ωχ Л·
Колебания в такте\
Возбуждение второго нормального
колебания qx (0) = 0; ^(0)=0; q2 (0)=2A\ q2(0)=0
дает
<7ι=0; q2 = 2AcosQ2t и x1=4cosQ2/;
х2— — A cos Ω2 /.
Колебания в противотакте\
Замечание. Простота обоих
нормальных колебаний объясняется симметрией
системы связанных пружинных маятников.
Для физических систем с меньшей степенью
симметрии нормальные колебания
усложняются.
6,5,4, Влияние связи на вырожденные
нормальные колебания. При отсутствии
связи (κ = 0) собственные круговые
частоты нормальных колебаний двух
одинаковых пружинных маятников совпадают:
Ωι = Ω2 = ω0. В этом случае говорят о
вырождении нормальных колебаний. При
наличии связи (κ Φ 0) это вырождение
снимается: Qx = ω0, Ω2 = (ω^ + 2κ),/2
(рис. 195). Снятие вырождения путем
6 ν- ^
0 щ г
Рис. 195
наложения связи — частое явление в
макро- и микрофизических системах.
6.5.5. Колебания двухатомных моле-
кул. Одномерная модель. Колебание или
вибрацию ядер двухатомной молекулы,
например HCl, HF, CN, H2, N2, можно
в первом приближении описать
одномерной моделью пружины (рис. 196), где
т2 f m1
•^гттттппг^Ф
х2 XS X1
Рис. 196
Щ* т-г — массы атомных ядер; / —
эффективный коэффициент жесткости
пружины, отвечающий молекулярной
связи; xlt х2 — смещения ядер; xs =
= (тгхх + m2x2)l{mx + m2) —
смещение центра инерции.
Дифференциальные уравнения движе-
НИН·
« ·
m1x1 = —f(x1—xj,
№4X2.— I \%2 -^l)
ИЛИ
х\= —if/m1)(xl—x2),
*2= — (f / *ηώ (Хг—Χι)-
Колебательные степени свободы: 2.
Нормальные колебания и собственные
круговые частоты: ql = xs\ q\ — 0; qx =
= v0t + xQ\ q2 = χγ — x2, q2 + Ω^8=0;
q2 = Q2 cos (Ω2/ — α2); Ωχ = 0 —
«собственная круговая частота»
трансляции, Ω2 = Vf/μ — собственная
круговая частота вибрации; μ =
=т1т2/{т1 + т2) — приведенная масса.
Примеры.
Молекулы: Н2 N2 02 F2 HF HCl CO
Ω2, 10м с-1: 7,74,42,91,77,55,45 4,05
Энергия:
сполн о" 2~
+ γ (Χι—Χζ)2 = 2 Xs +
+ -%·(Χι-ΧζΤ + -!ϊ-(Χι-χύ% =
2 9\ + γ 92 + — ?2·
энергия энергия
трансляции вибрации


Волновая механика молекулярных
колебаний — см. § 7.5.
6.5.6. Колебания многоатомных
молекул.
Колебательные,
поступательные и
вращательные степени свободы.
Колебательные, поступательные и
вращательные степени свободы N-атомной
молекулы в трехмерном пространстве
распределяются следующим образом.
Линейная Нелинейная
молекула молекула
Колебания: 3 N — 5 3 N— 6
Трансляции: 3 3
Вращение: 2 3
Всего: 3 N 3 /V
Пример: СН4, N = 5.
Колебательные степени свободы: 9,
поступательные степени свободы: 3, вращательные
степени свободы: 3.
Собственные частоты.
(3 N — 5) или, соответственно, (3 N —6)
степеням свободы молекулярных
колебаний отвечает такое же количество
собственных круговых частот Ωκ. Однако все
эти частоты возникают только у
несимметричных молекул. У симметричных
молекул многие собственные круговые
частоты Ω вырождены.
Пример. СН4> (3Λ/ — 6) = 9.
Q1 = 5,75.1014c-1; Ω2_3 = 2,61 ·1014 с-1;
Ω4_6 = 5,95·10-ί4 c-i; Ω7_9=2,58· ΙΟ14 с-1.
Дальнейшие сведения
Герцберг Г. Спектры и строение двухатомных
молекул. Пер. с англ. М., Изд-во иностр.
лит., 1949.
Волькенштейн М. В., Эльяшевич Η. Α.,
Степанов Б. И. Колебания молекул. М.~Л.,
Гостехиздат, 1949.
Wilson Ε. В., Decius J. С, Cross P. C.
Molecular Vibrations. Ν. Υ., 1955.
6.5.7. Биения. Биениями называют
колебания с медленно периодически
затухающими амплитудами. Биения
могут возникать в системах слабо
связанных гармонических осцилляторов.
Пример. Два одинаковых связанных
пружинных маятника. Начальные условия:
*! (0) = А; *! (0) = 0; х2 (0) = 0; х2 (0) = 0
дают ft = A cos Ω^; q2 = A cos Ω2/ и
xl=Acos1/2(^l-Q2) icos1/2(öi-T-ö2) t\
дг2= —Л sin 1/2 (Ωι —Ω2) /sin Vzißi-f Ω2) t.
При слабой связи κ < ω£; Ω2 = Ωχ + ΔΩ «
ж Qx\ ΔΩ « ßj;
xx =\ A cos —- ΔΩ / [ cos Ω! t;
x2 =\A sin — ΔΩ/ [ sin Ω! t.
Период 4π/ΔΩ амплитудной модуляции
много больше периода 2π/Ωχ основного
колебания (рис. 197).
§ 6.6. Частотный спектр
Гармонические колебания
характеризуются единственной круговой частотой
ω. С помощью гармонического анализа
можно представить негармонические
колебания и процессы в виде совокупности
конечного или бесконечно большого
числа различных гармонических колебаний.
Совокупность возникающих при этом
круговых частот ω(· образует частотный
спектр.
6.6.1. Ряды Фурье. Периодическая
функция может быть разложена в ряд
Ж. Б. Ж. Фурье (1768—1830), поэтому
она обладает дискретным частотным
спектром.
Периодические функции.
Функцию w(t) называют периодической,
если
т (/) = w(t-\-T) с периодом Τ =
= 2π/ω = 1/ν.
Действительный ряд
Фурье. Для действительной
периодической функции w (I) при
определенных предположениях справедливо
разложение


σο
w(t) = w(t-\-T) = a0-\- 2 amcos(m(ö/)+
oo
+ 2 bms\n(m<at)
ИЛИ
w(t) = w(t + T) =
oo
Ло+ 2 Äm cos (ηιωί — am).
8Г
x(0 = X
X I sin Ш — — sin 3o>/ + —— sin 5ωί — ... + ... 1 ·
Частотный спектр (рис. 199).
^т*
ряда
ι
Ζ —
Коэффициенты действительного
Фурье:
τ
ö0 = Л0= — Ги;(/)Л; ат =
о
г
= — \ w (t) cos (m<üt) dt; bm =
^f j»(0s.n(««0Ä;^ =
0
= а&+Ь?п\ tgam^bjam.
Комплексные ряды
Фурье. Для периодической функции
w (t) при определенных предположениях
справедливо разложение
О 1ω 2 ω 3ω 4 ω 5ω πιω
ОГ/77Д
ο ο ο ο ο ^
0^
-я/2
/ω
2ω
4ω 5ω πιω
Рис. 199
w(t)
2 ^ехрОтшО.
т=— oo
Замечание. Для представления
частотного спектра годится как амплитуда (Лт),
так и фаза (ат)! Другие ряды Фурье — см.
П4.3.
6.6.2. Амплитудная модуляция. Важ-
ное для технических приложений ампли-
тудно-модулированное колебание не
является периодическим. Однако
периодически амплитудно-модулированное
колебание обладает дискретным частотным
спектром. Это явно видно на примере
гармонической амплитудной
модуляции:
Коэффициенты комплексного ряда \w (f) — W {1 + Μ cos (ωΜ t — αΜ)} cos ω01.
1 ΐ
Фурье: Fm = ■=,] w(t) exp (— \тЫ) dt.
о
Для действительной периодической
функции w(t): F0 = α0; F|OT, =
= 2-(öm —ibm); F-im, = j(am + i bm) =
= F\ml·
Здесь ω0 — несущая круговая частота;
ü)m — модулирующая круговая
частота; ссм — фаза модуляции; Μ —
глубина модуляции.
Частотный спектр гармонической
амплитудной модуляции:
198)
Пример. Пилообразная функция (рис.
w(t) = W COS (ω0 /) +
+
MW
cos {(щ + ωΜ) t —αΜ}+
+
MW
несущая
частота
cos{(ü)0 — ωΜ)/ + αΜ}
верхняя боко- нижняя боко
вая частота вая частота
(рис. 200).


«I
f
51
с
t
^
I m "
2
MW,
2
<ч
ω0-ωΗ
ω
-α
Μ
ω
Рис. 200
6.6.3. Преобразование Фурье.
Апериодические процессы обладают
непрерывным частотным спектром.
Этот спектр определяется с помощью
преобразования Фурье:
w(t) =
1
сх>
1/2
π
\ F (ω) ехр (-\-Ш) ащ
оо
F (ω) = | F (ω) | ехр (— ία (ω)) =
оо
ΐ/2π
w(t) exp( — \(dt)dt.
— оо
Для действительных функций о; (/)
выполнено равенство
F (— ω) = F* (ω).
6.6.3.1. Частотный спектр взрыва.
Взрыв, удар или толчок можно описать
функцией w (t) = 0 для | /1 > т/2;
ау (0 = Л/τ для \ t К т/2 (рис. 201)
Ямс. 20/
Фурье-образ этой функции есть F (ω)
= * sin (ωτ/2) (рис. 202).
"|/2π ωτ/2
2 л/т
-fjr/r
ta/τ
ω
α1
я
2 π/τ
4π/τ
Рис. 202
απ/τ
ω
6.6.3.2. Частотный спектр гауссовской
функции ошибок. Взрыв, удар или
толчок можно описать также с помощью
гауссовской функции ошибок
w (0 = (Α/τ) (2π)-ί/2 ехр (— *2/2τ2).
Фурье-образ этой функции также есть
гауссовская функция ошибок:
F (ω) = Α (2π)-!/2 ехр (— ω2τ2/2).
§ 6.7. Двумерные
гармонические колебания
6.7.1. Фигуры Лиссажу. В техни-
ке часто встречается задача о
сравнении частот а)ь ω2 и фазового сдвига α
двух гармонических колебаний. Для
этого проще всего использовать катодно-
лучевой осциллограф, в котором
горизонтальное отклонение луча χ
выбирается пропорциональным первому
колебанию, а вертикальное отклонение у —
пропорциональным второму колебанию:
#(£) = Ai cos (ωχ t);
y(t) = A2cos((a2t—α)
Катодный луч описывает в этом случае
на экране кривые, названные фигурами
Лиссажу — по имени Ж. А. Лиссажу
(1822—1880). Функции χ {ή и у (t)
дают параметрическое представление
этих фигур. Исключением параметра —
времени t — можно получить
зависимость у = у (х).
6.7.2. Сравнение фаз колебаний с оди-
наковыми частотами. Если оба коле-
бания χ (t) и у (t) имеют одинаковые


круговые частоты ωχ = ω2 = ω, то
фигура Лиссажу представляет собой в
общем случае эллипс, при α = 0, π, 2 π, ...
— прямую, а при Л1 = Л2 и α = -я- π,
Д ι · · ·
окружность.
Примеры (рис. 203).
ос« 0 Q<cc<ir/2 α=π/2 я/2*сс<л
i i i » *
d--Ti fi<*<3fi/2 *°3/Г/2 5Я/2«К2!Г <X.*2JT
Рис. 203
Из вида и положения фигуры Лиссажу
можно определить фазу а.
6.7.3. Двумерные колебания с
различными частотами. Для колебаний
x(ty и у (ή с различными круговыми
частотами щф о>2 замкнутые, т. е.
стационарные, фигуры Лиссажу
возникают лишь в том случае, если обе
круговые частоты находятся в
некотором рациональном отношении щ1щ.
Если это выполнено, то число
максимумов MXi в направлении оси х,
деленное на число максимумов Myi в
направлении оси у, равно отношению ωι/ω2.
Пример. ωχ/ω2 = 2/3 (рис. 204).
§ 6.8. Волны и скорости волн
6.8.1. Основные положения.
6.8.1.1. Понятие волны. Волной
называют распространение возмущения
в непрерывной среде или в
пространственно-периодической структуре. Волна
описывается заданием возмущения как
функции координат г = (х, у, г\ и
времени /:
скалярное возмущение w = w (r, t)\
векторное возмущение w = w(r,/).
Рис. 204
Среды и типы возмущений
многообразны.
В случае одномерной волны вдоль
струны средой является упругая
струна. Возмущению отвечает поперечное
отклонение струны.
В случае поверхностных волн средой
является двумерная поверхность
жидкости или кристалла. Возмущение
представляет собой отклонение частиц
жидкости или атомов на поверхности от их
положения равновесия.
В случае звуковой или акустической
волны средой является твердое тело,
жидкость или газ. Возмущение —
локальное изменение давления, связанное со
средним локальным смещением атомов
или молекул. В абсолютно твердом теле
звуковые волны невозможны.
В случае электромагнитной волны,
например света, средой является
трехмерное пустое пространство или
твердое, жидкое или газообразное вещество.
Возмущение состоит из изменяющихся
во времени электрических и магнитных
полей.
В случае волны в линейной цепочке
средой может быть, например, линейно-
упорядоченное расположение
идентичных материальных точек т на равных
расстояниях друг от друга и связанных
одинаковыми пружинами с
коэффициентом жесткости /. Возмущению отвечает
смещение масс вдоль цепочки.
Причиной распространения
возмущения в среде в форме волны является
связь между частицами или локальными
возмущениями среды. В большинстве
случаев волна переносит энергию.


6.8.1.2. Продольные и поперечные
волны. Следует различать поперечные
и продольные волны. У поперечных волн,
например волн в струне,
электромагнитных волн в вакууме, поверхностных волн,
возмущение направлено
перпендикулярно к направлению распространения.
У поперечных волн в трехмерных средах,
например электромагнитных волн в
вакууме, обнаруживаются
поляризационные эффекты. В продольных волнах,
например звуковых волнах в жидкостях и
газах, возмущение параллельно
направлению распространения.
Поляризационные явления в таких волнах отсутствуют.
В трехмерных средах продольные и
поперечные волны различаются по
следующему признаку:
продольные волны: rot w (r, t) == 0;
поперечные волны: div w(r, t) = 0.
В кристаллах могут распространяться
электромагнитные и акустические
волны, содержащие как продольные, так и
поперечные компоненты.
6.8.1.3. Фазовая и групповая скорости.
В волне принципиально отличаются
друг от друга два типа скоростей
распространения: фазовая скорость и и
групповая скорость ис.
Фазовая скорость и описывает скорость
распространения гармонической, т. е.
синусоидальной или косинусоидальной,
волны.
Групповая скорость иг определяет
скорость распространения локального
возмущения импульсного типа или так
называемого волнового пакета и
соответствует скорости, с которой в волне
переносится энергия или передается
сигнал. Верхним пределом групповой
скорости является скорость света в вакууме:
иг^с.
Если в какой-то волне фазовая скорость
и отличается от групповой скорости иг,
то говорят о наличии дисперсии.
6.8.2. Гармонические волны.
6.8.2.1. Определение. Возмущение
w (ху t) в одномерной гармонической
волне имеет по определению следующую
математическую форму:
шшшшшшшшшшяявшвшяшшшшш^вяшшшшшяяишшшяшшяшвяшвшшшяшшвшявшашшв
w (дс, t) — W0 cos (ω/—kx—α) =
= Wo cos (2πν/—2πν*—α) =
= W0cos(2nt/T—2π*/λ— α).
Здесь W0 — амплитуда; α — фаза;
ω — круговая частота; ν — частота;
Τ — период; k — круговое волновое
число; ν — волновое число; λ — длина
волны. При этом
ω = 2πν = 2π/ΓΗ k = 2nv= 2π/λ.
6.8.2.2. Периодичность гармонической
волны. Гармонические волны
периодичны в пространстве и во времени:
w(x + X,t) = w(*, 0 и и;(*, t+T) =
= w(x, t).
Волновая картина в фиксированном
месте:
Пример: α = 0, χ — 0, w (0, t) =
= W0cos(ut= W0 cos (2n/T) t (рис. 205).
Рис. 205
Волновая картина в фиксированный
момент времени:
Пример: α = 0, / = 0, w (χ, 0) =
= W0 cos kx = W0 cos (2π/λ) χ (рис. 206).
w(xm
Рис. 206
6.8.2.3. Фазовая скорость. Фазовая
скорость и волны по определению есть
скорость распространения точек одинаковой


фазы: ωί — kx — α = const. Эта
скорость равна скорости гармонической
волны (рис. 207). Фазовая скорость
и
ω/k — νλ.
Uai
Рис. 207
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Дифференцируя
равенство ωί — kx — α = const,
получаем ωΑί — kAx = 0 и
и = lim (Ах/At) = ω/k.
6.8.2.4. Комплексное представление
гармонической волны. Комплексное
представление гармонической волны
соответствует комплексному
представлению гармонического колебания:
wK (χ, t) — Wk exp (i (ωί—kx))
= W0 exp(i (ωί — kx — a));
WK=\WK\exp(—ia)=W0exp(
—ia).
Связь между комплексным и
действительным представлениями
гармонической волны дается равенством
С помощью теоремы А. де Муавра (см.
1.2.3.2) получаем:
wK (χ, t) — WK {cos (ωί — kx) +
+ i sin (ωί — kx)} —
— W0 {cos (ωί — kx — a) + i sin (ωί —
— kx — a)};
w (x, t) = Re WK cos (ωί — kx) —
— Im Wk sin (ωί — kx) =
= W0 c°s a cos (ωί — kx) + W0 sin ax
X sin (ωί — kx) = Wq cos (ωί — kx —a).
6.8.3. Дисперсия и групповая скорость.
6.8.3.1. Дисперсия.
Определение. Волна
обнаруживает дисперсию, когда фазовая
скорость и зависит от длины волны λ.
Следует различать случаи:
du(k)/dl=0—нет дисперсии;
du (λ)/άλ > 0 — нормальная
дисперсия;
du (λ)/ίίλ<;0—аномальная
дисперсия.
Дисперсионное
соотношение. Дисперсионным
соотношением называют функцию ω (k),
однозначно определяющую дисперсию волны.
Из предыдущих условий
άω (k)ldk = ω (k)/k-
άω (k)/dk <C ω (k)/k
нет дисперсии;
-нормальная
da) (k)/dk
дисперсия;
ω(k)/k — аномальная
дисперсия.
6.8.3.2. Волновой пакет.
Графическое
представление. Важной формой волны
является волновой пакет. В
фиксированный момент времени он дает волновую
картину, показанную на рис. 208.
Рис. 208
Последовательность
бесконечного числа
волновых пакетов. Математическое
представление волнового пакета
нетривиально. Проще всего начать с
представления последовательности бесконечного


числа волновых пакетов. Эта
последовательность задается выражением
Подстановка в w (#, t) дает
w(x,
t)-
= + Wo cos |(ω0 — Δω) t —
-(k0 — Ak)x —α) -f
+ W0cos{{(d0 + A(u)t —
— (k0-\-Ak)x — a].
Простое преобразование дает
w (x, f) = 2 W0 cos (Δω/ — Akx) χ
X cos (ω0/ — kßX — α).
Такая волна с круговой частотой ω0 и
круговым волновым числом k0 амплитуд-
но-модулирована с круговой частотой
Δω и круговым волновым числом Ak.
Она отвечает последовательности
бесконечного числа волновых пакетов с
длиной Lr = nlAk (см. рис. 208).
Величины Δω и Ak не являются
независимыми: выражение для w (x, t) лишь
тогда представляет собой решение
волнового уравнения, когда выполнено
дисперсионное соотношение, т. е. ω (&0±
± Ak) = ω0 ± Δω.
Отдельный волновой
пакет. Отдельный волновой пакет может
быть представлен интегралом Фурье.
По аналогии с математическим
представлением последовательности бесконечного
числа волновых пакетов можно
написать
X
w(x
exp [i
,/) = Re
k0 4*Δ£
Re j
k0 — Ak
[(u(k')t
щ (*» t) =
W0{k') χ
-k'χ — α)] dk\
где k0 > Ak > 0. Величина ω (k')
учитывает дисперсию. Если разложить
ω (k') в ряд Тейлора по переменной
Ak' = k' — kQ, то в первом
приближении получим
ω (k') = ω (k0 + Ak') «s ω0 +
+ Ak' (d/dk) ω (k).
+ ΔΑ:
w(xJ)&Re f W0(k0 + Ak') χ
χ exp
[Ak'
dk
(u(k)t— x\\ dAk' χ
X exp [i {ω0/—k0x — a)].
Это выражение описывает амплитудно-
модулированную волну с круговой
частотой ω0 и круговым волновым числом
k0. Первый множитель определяет
амплитудную модуляцию и, следовательно,
огибающую волнового пакета.
6.8.3.3. Групповая скорость. Отдельные
цуги волн в волновом пакете движутся
с фазовой скоростью и — ω/k. Однако
сам волновой пакет, т. е. его огибающая,
движется с другой скоростью —
групповой иг:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для
последовательности волновых пакетов. Фазовая
скорость: ω/ — kx — a = const; и =
= dxldt = ω/k.
Групповая скорость: Δω/ — Akx =
= const; ur = dxldt = Δω/Δ£ =
=άω dk.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для отдельного
волнового пакета. Фазовая скорость
ω/ — kx — a = const; и = dxldt —
= ω/k.
Групповая скорость (скорость
огибающей):
ω (k) t — χ = const,
dk
и,
dx d ,,4 day
= ω (k) = —
dt dk dk
Групповая скорость — это скорость,
с которой в волновом процессе
переносится энергия.
Связь между групповой
и фазовой скоростями.
Групповая скорость «г и фазовая
скорость и связаны соотношением
иГ (λ) = и (λ) — Kdu (λ)Ιάλ.


ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
άω d (uk) . , du άλ
Ur = = v ' = U + k
r dk dk άλ dk
Соотношение для иг позволяет дать
следующую классификацию типов
дисперсии:
иг-
иг<и-
иг>и-
= и — нет дисперсии;
-нормальная
-аномальная
дисперсия;
дисперсия.
§ 6.9. Волны без дисперсии
6.9.1. Волновое уравнение. Волны без
дисперсии удовлетворяют
дифференциальному уравнению
(d2/dt2)w(r, t)=u2Aw(r, t);
и = (ύ/k =ur = d(u/dk= const.
Здесь Δ — оператор Лапласа:
Aw (χ, у, ζ, t) = d2w (χ, у, ζ, ή/дх2 +
+ d2w (χ, у, ζ, t)ldy2 + d2w (χ, у, ζ, O/dz».
6.9.2. Решения волнового уравнения.
6.9.2.1. Общее решение одномерного
волнового уравнения. Волновое
уравнение
d2w (χ, t)/dt2 = u2d2w {χ, t)ldx2
имеет общее решение
w (χ, t) = f (x — ut) + g(x + ut),
где f и g — произвольные функции.
Функция f (χ — ut) — волна, бегущая
вперед, а функция g (χ -f ut) — волна,
бегущая назад (рис. 209).
| -«, /
1 У^
\щг
ш
/W™.
«{?ш<
W
Рис. 209
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначив ζ =
= χ — ut, получим
IL =:JL _££_-_ JL
dt dz dt ~ dz '
d2f 2 d2/ 2 a2/
—— = u2 —— = u2 ——
а/2 агз dx*
и аналогично для g (χ -\- ut).
6.9.2.2. Одномерная гармоническая
волна. Частным решением одномерного
волнового уравнения является
гармоническая волна (см. 6.8.2):
w (х, t) = W0 cos (ω/ — kx — α).
Величины W0 и α зависят от начальных
условий.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
w {х, t) = W0 cos (ωί — kx — α) =
= Wo cos (— k (x — ut) —a} =
= f(x- ut).
6.9.2.3. Круговая волна. Важным
решением двумерного волнового
уравнения
(d2/dt2) w (χ, у, t) = и2 (д2/дх2 + д2/ду2)х
χ w (х, у, ή
является круговая волна, которая для
г > λ может быть записана в виде
w(r,t) = w(r,t)=(W0/Vr)x
X cos{(ut~kr — α); r=|/*2+i/2> λ.
Распространение этой волны
происходит по радиусу.
6.9.2.4. Трехмерная плоская волна.
Плоская гармоническая волна
w(r,t) = W0cos((ut—k-r-
x=[x,y,z}\
Ι ■* 1 JC· ^?У* 21 rvC
= κ \ex, eyj ez\
-a);
есть частное решение трехмерного
волнового уравнения (см. 6.9.1). Здесь к —
волновой вектор; k — круговое
волновое число, а е — нормаль к поверхности
равной фазы волны. Поверхности
равной фазы для этой волны являются
плоскостями: kt'T = kr = const.


6.9.2.5. Сферическая волна.
Сферически-симметричное решение
трехмерного волнового уравнения есть
сферическая волна, которая для г > λ может
быть записана в виде
ш(г, t) = w(r,t) = (W0/r)x
X cos (ω/—kr—α);
/· = ]/ν+ί/2+ζ2»λ.
Поверхности равной фазы в такой волне—
сферы г = const. Распространение
волны происходит по радиусу.
6.9.3. Волны в струне. В натянутой
с силой F струне с поперечным сечением
А и плотностью ρ могут
распространяться одномерные поперечные волны без
дисперсии. Отклонение w {χ, ί)
удовлетворяет волновому уравнению
д2 w (х, t)Jdt2 = и2 д2 w (х, t)ldx2\
U=(F/pA)1^.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
А . as
(рис. 210).
ϊ(χ+Δχ)
и χ χ+Δχ χ
Рис. 210
Считается, что отклонение w (χ, ή и
кривизна струны малы. Масса малого
отрезка струны As в точке χ
Am = pi4As « рЛАх.
В первом приближении силы,
действующие на отрезок струны в направлении
оси х% сокращаются:
— Fx(x) + Fx (x -f Ax) =
= — F cos α (χ) -j- F cos α (χ + Αχ)
— f + F = 0.
Однако, согласно второму закону
Ньютона, они сообщают отрезку струны
ускорение в направлении w:
Amd2 w (x, t)ldt2 =—Ρω(χ) +
+ Fw (x + Δ*) = — F sin α(χ) +
+ F sin a (x + Ajc) « — F tg a (*) +
+ F tg a (x + A*)
g/ dw(*4-Ax, t)
dx
dt2
dw (x, t)
Tx
или Apd2w(x, t)/dt2 = Fd2w(x, t)ldx2.
6.9.4. Звуковые волны в жидкостях
и газах.
6.9.4.1. Волновые уравнения.
Свободные от дисперсии продольные
звуковые волны в покоящейся жидкости или
покоящемся газе со статической
плотностью р0, адиабатической
сжимаемостью ßaÄ и статическим давлением р0
определяются уравнениями:
д2 ρ /dt2 = и2 Ар; д2 p/dt2= и2 Ар;
д2 \/dt2 = и2 Αν;
"=(poßaÄ)-,/2;
dv/dt = — ро1 gradp =
= —po~2ßaVgradp.
Здесь ρ — локальная плотность; р —
локальное давление; ν — локальная
скорость; А — оператор Лапласа.
Волны распространяются со скоростью
звука и.
Предположения:
а. Изменения давления р' = р—р0
и изменения плотности ρ' = ρ — р0 малы
по сравнению со средними значениями
Ро и р0:|р'| «Ро и|р'| « р0.
б. Локальная скорость много
меньше скорости звука: |v| <^u. Поэтому
локальные и полные производные по
времени скорости ν практически не
различаются: d\ldt = d\ldt + (grad ν) ν «
« d\/dt.
в. Вязкостью пренебрегается.
Поэтому применимо уравнение Эйлера (см.
4.4.1).
г. Области сжатия и разрежения в
звуковой волне разделены расстоянием в
половину длины волны. За время,
равное половине периода колебаний,
теплопроводность не играет роли, т. е. не
происходит выравнивания температуры.
Поэтому можно использовать адиабати-


ческую сжимаемость рад. Тогда
изменения плотности и давления связаны
соотношением р' ^ рад р0р' = U'2 р'.
д. Уравнение непрерывности можно
приближенно записать в виде dp/dt =
= —div (ρν) « — р0 div ν.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С учетом этих
предположений уравнение Эйлера
(см. 4.4.1) принимает вид:
dv/dt « dv/dt = — ρ _1 grad ρ
— pV grad p'
w2pV grad p\
Тогда частная производная по времени
уравнения непрерывности (см. п. «д»)
приводит к выражению
д2р / dt2 = — р0 div dvldt =
= +div grad p'= +(ρ0β3Α)"'1 div grad p'.
Это волновое уравнение для плотности
d2pldt2 = (РоРад)"1 Δρ.
Волновое уравнение для ρ получается
из предыдущего уравнения и
соотношения р' = и~2р .
Волновое уравнение для ν получается
с помощью следующей выкладки:
grad (d2p/d/2) = — р0 grad div dvldt =
= — Po {rot rot dv/dt + Δ ö\/dt\ =
= — p0 Adv/dt,
так как rot ν = 0 в продольных волнах
(см. 6.8.1.2);
grad
d* р \ _ d*
dt*
) = — (grad pf) =
/ dt* ъ к ;
d*
dt*
р0 и
d*
-2
dt
= —р0и
-2
d* dv
dt* dt »
= μ2Δ —
dt* dt dt
Интегрируя это соотношение по времени
t, получаем для звука в покоящейся
среде
d^ldt2 = и2 Ay.
Скорость звука в
идеальных газах. Для скорости
звука и в идеальном газе из формулы
Рад = (κΡ)-1 и уравнения состояния
pV = RTm/M или ρ = ρ RT/M
следует выражение
u=Vxp/p = V*RT/M.
Скорости продольных звуковых
волн
Газ (1 атм, 20 °С)
М = С, MC-1
Двуокись углерода 266
Кислород .... 326
Воздух (0 °С) . . 331
Азот 349
Гелий 1000
Водород 1324
Mud кость (I атм, 20 °С)
Teepdoe тело
u = ci, м
РЬ .
Си .
AI .
Fe .
W .
Be
Алмаз
.-ι
1 960
5000
6 400
5 950
5 400
13000
17 500
и
С, MC
-1
Ацетон 1190
Бензол 1324
Вода 1485
6.9.4.2. Плотность энергии и
плотность потока энергии. Мгновенное
значение плотности энергии w и вектор
S мгновенного значения плотности
потока энергии в звуковой волне можно
представить в виде
W = V2Po V2 + V2ßaÄ (p — Po)2.
S = {p—po)v.
Баланс энергии для фиксированного
объема звуковой среды записывается в виде
dw/dt + divS = 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Плотность
энергии w может меняться в результате
изменения кинетической энергии или
работы сжатия:
dw = d (V2 ρν2) — {ρ - ρ0) dVIV «
» d (V2 Pov2) + p'paÄ dp.
Интегрирование dw дает приведенную
выше формулу для w. Для dwldt тогда
dwldt = \pod\ldt + р'рад dp'ldt =
= — ν grad p' + p'p'o1 dp'ldt =
= — ν grad ρ — ρ' div ν = — div p'v =
= — div S.
6.9.4.3. Интенсивность звука и
удельное акустическое сопротивление.
Интенсивность звука I равна среднему
значению по времени от вектора мгновен-


ной плотности потока энергии. Для
плоской гармонической звуковой волны
/ =
| <S>e I = | <(р
= {\/2Z){p-
Po)v>t\ =
Po)
макс у
Z = p0W = (po/ßaÄ),/
Здесь (ρ — р0)макс — амплитуда дав
ления; Ζ — удельное акустическое со
противление, или акустический импе
дане.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
/>о;
Р = Ро + Рманс cos (ut — kx — a),
Р'=Р-
{d/dt)vx=—pöidp/dx-
= —{kp'mKC po) sin (Ы—kx
α);
vx = -f (/грмакс/ωρο) cos ((at — kx
ρ' Vx = (Ршкс/Р0 ") COS2 {(dt — kx
<p'vxyt=p^KCl2p0u.
α);
Примеры удельного акустического
сопротивления
Среда Ζ, кг/(м2с)
Воздух (1 атм, О °С) 4,27-Ю2
Вода (1 атм, 20 °С) 1,48106
Железо (1 атм, 20 °С) .... 4-Ю7
6.9.4.4. Уровень звука и громкость.
Уровнем звука у или уровнем звуковой
мощности Lp называют величину
Lp =10 lg (///0), где /0 = Ю-12 Вт-м"2.
Единицей уровня звука является
децибел (дБ) (см. П2.1.3).
Субъективно воспринимаемая ухом громкость А
связана, согласно В. Веберу (1804—
1891) и Г. Т. Фехнеру (1801—1887), с
интенсивностью звука / соотношением
где /0 — порог слышимости. Поэтому
громкость есть линейная функция
уровня звука. Для частоты ν = 1000 Гц обе
величины произвольно приравнены друг
другу. Для других частот они
различаются из-за зависящей от частоты
чувствительности уха. Определенную таким
образом единицу громкости называют
фоном. Связь между интенсивностью
звука, уровнем звука и громкостью
представлена на рис. 211. Порог слиши-
Громкость
Фон
120
1000 ЮООО
Частота, Гц
Рис. 211
мости соответствует громкости, равной
0 фонов, а болевой порог — громкости
120 фонов.
6.9.5. Электромагнитные волны в ва-
кууме.
6.9.5.1. Волновое уравнение. Дж. К.
Максвелл (1831—1879) показал, что
свет и родственные ему излучения
являются электромагнитными волнами.
В вакууме они представляют собой
трехмерные поперечные волны, свободные
от дисперсии, у которых электрическое
поле Ε и магнитное поле Η играют роль
возмущения w. Волновые уравнения
имеют вид
д2Е/д/2 = с2АЕ и d2H/W=c2AH;
где с — скорость света в вакууме.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для электричес
кого поля Е. Исходя из второго урав
нения Максвелла в вакууме, имеем
rot (rot E) =grad (div Ε)— ΔΕ = — ΔΕ =
dH \ д
= rot
μο
dt
= —μο
dt
(rot Η) =
=—μο
dt
(+ε0
dt
E) = —ε0μ0
θ2
dt*
или
d*E/dt2 = (1/ε0μ0) ΔΕ = c2AE.
В этом доказательстве важную роль
играет введенный Дж. К- Максвеллом
член dD/dt.
6.9.5.2. Плоская гармоническая
электромагнитная волна. В плоской элект-


ромагнитной волне в вакууме векторы Ε
и Η перпендикулярны друг к другу и к
волновому вектору к:
Ε (ztt) = {Ex{z, t)% 0,0) =
= (£0cos((Df — kz — a), 0, 0J;
Н(г,0 = (0,Яу(г,0,0} =
= (0, Η ο cos (<ot — kz—a), 0);
к = {0,0,/г}; /г=2лАвак=оо/с;
£ο/#ο=(μο/εον/2=Ζο=377θΜ
Здесь Ζ0 — волновое сопротивление
вакуума.
Волновая картина в
фиксированный момент
времени (рис. 212).
Классификация
электромагнитных волн. Различают
следующие типы волн в зависимости
от длины волны Хвак = civ
электромагнитного излучения в вакууме:
до 10 см — радиоволны;
от 10 см до 1 мм — ультракороткие
волны;
от 1 мм до 0,7 мкм — инфракрасные
волны;
от 0,7 до 0,4 мкм — свет;
от 4000 до 100 А — ультрафиолетовое
излучение;
от 100 до 0,1 Ä — рентгеновское
излучение;
^0,1 Ä — γ-излучение.
6.9.5.3. Плотность энергии и вектор
Пойнтинга. Для электромагнитных
волн в вакууме мгновенное значение
плотности энергии w и вектор S
мгновенного значения плотности потока
энергии (вектор Пойнтинга), названный по
имени введшего его Дж. Г. Пойнтинга
(1852 — 1914), имеют следующий вид:
α;=1/2ε0Ε2 + 1/2μ0Η2, S=ExH. I
Они удовлетворяют соотношению
Пойнтинга (закон сохранения энергии):
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Исходя из
четвертого уравнения Максвелла для
вакуума, вычисляем разность
H-rotE — E.rotH = — μοΗ-dHldt —
— e0£-dEldt= iL-L(u0H2 +
dt 2 r
+ e0E2) = div(ExH).
6.9.5.4. Интенсивность излучения и
волновое сопротивление.
Интенсивность I электромагнитной волны равна
среднему значению по времени от
вектора Пойнтинга S. Для плоской
гармонической электромагнитной волны
^ = I <S>, | = |<(Е X Н)>, j =^_ Zo Я8 =
2Z0 \ «о /
где Е0 и #о — амплитуды
электрического и магнитного полей излучения, а
Ζ0 — волновое сопротивление вакуума.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Ех (ζ, ί) = £0 cos (ω/ — kz — a);
Ну (ζ, t) — #o cos (ω* — kz — a);
Sz (z, t) = Ε0Η0 cos2 (ω/ — kz — a);
6.9.5.5. Поляризация. Возмущение w
в поперечной волне (здесь —
электрическое поле Е) может колебаться в
различных направлениях
перпендикулярно к волновому вектору к. Зависимость
направления возмущения w от времени
называют поляризацией волны.
В естественном свете вектор Ε
неупорядоченно колеблется во всех
направлениях, перпендикулярных к вектору к.
Такое излучение называют неполяризо-
ванным. Если вектор Ε колеблется
всегда в одной плоскости, то волну называют
линейно-поляризованной. Определяемая
векторами Ε и к плоскость —
плоскость колебаний, а перпендикулярная
к ней плоскость, в которой колеблется


вектор Н,—плоскость поляризации.
Если конец вектора Ε описывает
эллипс или окружность, то говорят об
эллиптически или циркулярно
поляризованном свете. Эллиптически
поляризованную волну можно разложить на
две линейно-поляризованные волны,
например вдоль осей χ и у, которые
сдвинуты по фазе (см. 6.7.1, фигуры Лис-
сажу):
Ех (z, t) = Ех0 cos (ω/ — kz)\
Ey (ζ, /) = Ey0 cos (ω/ — kz — a).
§ 6.10. Волны с дисперсией
6.10.1. Волны в линейной цепочке.
6.10.1.1. Волновое уравнение. В
бесконечно длинной линейной цепочке
(рис. 213) одинаковые массы т рас-
6.10.1.2. Гармонические волны в
цепочке. Решениями волнового
уравнения линейной цепочки являются
следующие гармонические волны:
®п (t) = W0cos{(u(k)t — kna—a};
ω (k) = сомакс sin (kal2)\ о)макс = 2 VJJm.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подстановка
этих формул в волновое уравнение.
6.10.1.3. Дисперсия волн в цепочке.
Фазовая скорость и и групповая
скорость иг волны в цепочке (рис. 214) за-
ω
макс
ЩкГ\
π"макс
Рис. 214
/77
f т f /77 f
т
f /77 f
Щ-№ *η-ι(*Ι ЩШ
W/ W/
Рис. 213
положены вдоль прямой и соединены
одинаковыми пружинами с
коэффициентом жесткости /. В положении
равновесия расстояния между массами
одинаковы и равны а. Массы пронумерованы
целыми числами п, так что их
положения равновесия задаются координатой
χ — па. Массы могут смещаться только
в направлении цепочки. Смещения
обозначены wn (ί) = w (χ — na, t).
Волны вдоль цепочки описываются
уравнениями движения отдельных масс:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Второй закон
Ньютона:
md?wn (t)ldf = —f{wn (ί) - wn+l (ί)}
-/{α>„ W-a>„-i(/)|.
висят от длины волны:
и J2i*L=„
макс
sin (ka/2)
ka/2
иг (k) = da) (k)ldk = имакс cos (ka/2)\
"макс = aVJJm = (a/2) о)макс.
Особенности дисперсии волн в
цепочке:
м,
и
макс
нет дис-
и,
λ> а: к « 0, и
персии;
2α<λ<οο: 0 <С £ <С π/α, и
дисперсия;
λ = λΜΗΗ = 2a: k = π/α, и = 2 uMaKC/n,
иг = 0 (!) — нет переноса энергии.
6.10.2. Волны на поверхности жидко-
стей.
6.10.2.1. Дисперсия. Поперечные
поверхностные волны в слое жидкости
плотностью р, поверхностным
натяжением σ и глубиной h удовлетворяют
дисперсионному соотношению
ω (k) = [gk th (kh) + aArVp]1 '2.
Здесь g — ускорение свободного
падения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Зоммерфельд А. Механика деформируемых
сред. Пер. с нем. М., Изд-во иностр. лит.,
1954.


6.10.2.2. Гравитационные волны на
поверхности неглубоких слоев
жидкости. У гравитационных волн в
неглубоких жидкостях отсутствует
дисперсия:
v(k)lk = u = ur = (ghyi2% И «λ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае
гравитационных волн поверхностным
натяжением σ можно пренебречь. Так как
h < λ, то отсюда kh < 1 или th (kh) «
» kh.
6.10.2.3. Гравитационные волны на
поверхности глубоких слоев жидкости.
Гравитационные волны в глубоких
жидкостях имеют нормальную
дисперсию:
ur = 1/2(g/k)^2=42u.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В случае
гравитационных волн поверхностным
натяжением σ можно пренебречь. Так как
h > λ, то отсюда kh > 1 или th (kh) «1.
6.10.2.4. Капиллярные волны. Для
поверхностных волн очень малой длины
доминирует поверхностное натяжение
σ жидкости. Такие так называемые
капиллярные волны обнаруживают
аномальную дисперсию
(d(k) = (ok3/p)l/\ λ«Λ и λ<(σ/£ρ)·/2;
w=(a£/p)'/2, Ul=3/2{ok/py'2=3/2u.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Учитывая
предположения относительно λ, можно
пренебречь первым членом в
дисперсионном соотношении (см. 6.10.2.1).
6.10.3. Электромагнитные волны в
диспергирующих средах.
6.10.3.1. Показатель преломления и
волновое сопротивление. Для описания
электромагнитных волн в
диспергирующей однородной изотропной среде с
диэлектрической проницаемостью ε и
магнитной проницаемостью μ, зависящими
от длины волны или соответствующей
частоты, достаточно задать показатель
преломления η и волновое сопротивление
Ζ:
п=с1и=Хъак1'К=\гщ\ Ζ/Ζ0 = Υμ/ε.|
При этом следует брать те значения ε и μ,
которые соответствуют частоте
рассматриваемой электромагнитной волны.
Например, для воды ε (Η20, ω = 0) =81;
ε (Н20, свет с ω = 4· 1015 с"1) = 1,78.
6.10.3.2. Дисперсия. С помощью
показателя преломления можно найти
величины, определяющие дисперсию:
(o(k) =
иг (k) = ·
ck
n(k)
U (k) =
(
n(k)
1
n(k)
dn(k)
η (k) dk
Вместо величины k волнового вектора в
оптике часто используют длину волны
λ в среде, соответствующую длину
волны в вакууме λΒ3Κ = /ιλ, частоту ν или
круговую частоту ω. Для групповой
скорости иг получаем:
Г η (λ) 1 ^ η (λ) dl } UK)
du (λ) с f, λΒ8κ
Χ
άλ η (λΒ3κ)
dn (λΒ3Κ)
1
η (^вак)
Χ
dKan J η (ν)
dn (ν) ϊ - 1
c · 1+^-χ
η (ν)
Χ
dv
η (ω) [ η
ω
dn (ω) Ί - 1
(ω)
ί/ω
Отсюда вытекает классификация on
тических свойств среды:
о
<о
>0 >0
dn/dk dn/άλ dn/dXBaK dn/d(udn/dv
Нормальная
дисперсия: >0
Нет
дисперсии: 0 0 0 0 0
Аномальная
дисперсия: <0 >0 >0 <0 <0
6.10.3.3. Оптические свойства
немагнитных веществ. Для немагнитных
веществ μ = 1. Отсюда следует, что
показатель преломления η и волновое
сопротивление Ζ зависят только от ε.
Поэтому Zun связаны друг с другом:
η =Ζ0/Ζ =У ε, μ = 1.
6.10.4. Плазменные волны. Плазмой
называют совокупность свободно дви-


жущихся электрически заряженных
частиц. Примерами являются носители
заряда в полупроводнике или электроны
и ионы в электрическом разряде в газе.
Если холодная плазма содержит в
единице объема η одинаковых частиц с
массой т и электрическим зарядом Q, то
в ней существуют продольные
плазменные волны:
Ег (г, t) = £20 exp [i (ωΡ t — kz)],
ω ρ =(nQ2/ee0m)1/2.
Здесь Ez — электрическое поле в
направлении оси г\ ε — диэлектрическая
проницаемость плазменной среды.
Величину (up называют плазменной частотой.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ищем
решение уравнений Максвелла в виде
продольной волны (к | Е). Для нее rot E =0
(см. 6.8.1.1), поэтому
dt
rotH =
1
μμο
rot rot Ε =
d . . d2
= — J + εεο
dt
E=0.
dt2
Для производной по времени плотности
тока j в плазме
^j=^_(nQ<v>)«
nQ-^-(\}=nQm-iQE.
dt
Отсюда следует, что
0 =
—^ Ε + εε0 — Ε
т
_/ nq-
m
dt*
ω2 εε0|Ε.
Максвелловские уравнения имеют
решение в виде продольной волны лишь
тогда, когда ω2 = ωρ = nQ2/rme0.
Следствия. Из специальной
формы дисперсионного соотношения
ω (k) = (ύΡ = const следует, что для
плазменных волн
и = (ulk = (йр/k, иГ = άω/dk = 0.
Для k < (üp/c фазовая скорость и
больше скорости света с. С другой стороны,
в плазме не может распространяться
волновой пакет, волны не переносят
энергию. Поэтому чаще говорят не о
плазменных волнах, а о плазменных
колебаниях.
§ 6.11. Стоячие волны
6.11.1. Основные положения.
Определение. Стоячие волны
представляют собой колебания
непрерывной среды или
пространственно-периодической структуры. Для каждой
возможной частоты колебаний среда во
всех точках колеблется в одной и той же
фазе. Это означает, что колебания среды
находятся в фазе или в противофазе.
Стоячие и бегущие
βολή ы. Стоячие волны могут быть
представлены наложением бегущих волн.
Граничные условия и
собственные частоты.
Стоячие волны существуют лишь при
определенных частотах, называемых
собственными частотами. Эти частоты
определяются граничными условиями,
которым удовлетворяет среда или
пространственно-периодическая структура.
Каждой собственной частоте стоячей
волны отвечает определенная
пространственная картина колебаний, которая в
частных случаях может быть описана с
помощью характеристической длины
волны. По этим причинам стоячие волны
можно понимать как собственные
колебания систем с бесконечным числом
степеней свободы.
Классические стоячие
волны. Классическими стоячими
волнами являются колебания натянутой
струны (скрипка, фортепиано, арфа),
натянутой мембраны (литавры,
громкоговоритель, микрофон), воздуха в
звуковых резонаторах (органные трубы,
флейты) и электромагнитные колебания
в микроволновых и лазерных
резонаторах.
Стоячие волны в
волновой механике. Стоячие волны
играют важную роль в волновой
механике, так как они являются решениями
не зависящего от времени уравнения
Шредингера. При этом аналогом
собственных частот являются
собственные значения энергии.


6.11.2, Стоячие волны в струнах
(рис. 215).
wiMi
Рис. 215
6.11.2.1. Представление стоячих волн.
Стоячие волны в натянутой струне или
натянутом тросе удовлетворяют
уравнениям:
w (xt t)=W (x) cos (ω/ — α);
d2W{x)/dx2 + k2W{x)=0;
u = (oIk = (F/pAy2t
где F — сила натяжения струны
плотностью ρ и поперечным сечением А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Определение
стоячей волны требует выполнения
условия w(xt t) = W {x) cos (ω* — α).
Если подставить это выражение в волновое
уравнение натянутой струны (см. 6.9.3),
то получится дифференциальное
уравнение для W {х).
6.11.2.2. Собственные частоты и
характеристические длины волн. Из
дифференциального уравнения для W (х)
и граничных условий w (О, /) = W (0) =
= 0; w (a, i) = W (α)= 0 получаются
собственные круговые частоты ωπ
стоячих волн в струне:
ωη = 2лпи/2а, η = 1, 2, 3,4,...,
λη = 2α/η, kn = 2лп/2а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Общее
решение уравнения d2W/dx2 + k2W = 0
имеет вид ψ(χ) = Wx cos kx+ W2s\n kx.
Поэтому граничные условия
записываются в виде Ψ (0) = Wi = 0 и W (а) =
= W2 sin (ka) — 0. Отсюда следует, что
ka — kna = лл, η = 1,2, 3, ... или
kn = πη/α, λη = 2α/η, ω = ukn =
= яп и/а.
Длина струны есть целое кратное
половины длины волны.
6.11.2.3. Собственные колебания и
формы колебаний. Собственные
колебания или характеристические стоячие
волны в натянутой струне или натянутом
тросе описываются формулой
wn (χ, ί) = Wn sin (knx) cos (ωηί — αη).
Произвольные стоячие волны
представляют собой линейные суперпозиции
собственных колебаний:
W (*» 0 = 2^« Si" (kn Х) C0S (Wn t~an)'
η
Так как kn = nkx и ωη = пшъ то
стоячие волны в струне или тросе можно
представить также рядом Фурье по
времени:
w(x= const, /) =
= 2^"sin (£n*)}cos(/2ü)/—αη),
η
где ω1 = ли/а, или рядом Фурье по
координате:
w(x,t = const) =
= 2 ί^7"cos (ω" t~an)}sin (nki χ)>
η
где kx = л/а.
6.11.3. Стоячие волны в мембранах.
6.11.3.1. Представление стоячих волн.
Стоячие волны в натянутых тонких
мембранах или пленках удовлетворяют
уравнениям:
w (х, у, ή
AW (χ,
и =
= W(x
у)+ь2
(d/k = {
, у) cos (ω/ -
W(x,
plpdy
y) =
/2
У
-α);
0;
где σ — поверхностное натяжение
мембраны толщиной d и плотностью р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Волновое
уравнение натянутой тонкой мембраны
можно вывести аналогично волновому
уравнению натянутой струны (см. 6. 9.3).
Определение стоячей волны
предполагает выполнение условия w (х, у, ί) =
= W (χ, у) cos ((dt — а). Если
подставить его в волновое уравнение, то
получится дифференциальное уравнение в
частных производных для W (х> у).


6.11.3.2. Собственные частоты.
Собственные круговые частоты ωη, m
стоячих волн в натянутой мембране
получаются из дифференциального уравнения
в частных производных для W (х, у) и
граничных условий. Для квадратной
натянутой мембраны это: w (χ, О, /) =
= w (χ, att) = w (0, y,t) = w (a, y, t) =
= 0. Отсюда получаются следующие
собственные частоты:
ω„
,m
η,
π (η'
m =
4/η2)1/2
1, Лу о,...
и/а,
Так как здесь речь идет о стоячих
волнах в двумерной среде, то собственные
частоты имеют два индекса.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выражение
W (*, у) = W0 sin (kxx) sin (k2y)
удовлетворяет дифференциальному
уравнению Δ W (*, у) + k2W (*, у) = 0, если
(ω/и)2 = k2 = k\ + k\. Из граничных
условий получаем тогда, что
kx = лп/а, k2 = nrnla, ntm = 1,2,3, ...
6.11.3.3. Собственные колебания. Из
формул 6.11.3.1 и 6.11.3.2 получаем
следующие собственные колебания
мембраны:
w η,
X COS
m
{Л
0>n ,m (*. У> 0 =
sin (nn(x/a))s\n(mn
(n2 + m2y/2(u/a)t
(y/a)) X
— a}.
6.11.3.4. Фигуры Хладни.
Собственные колебания и спектр собственных
частот произвольно натянутой тонкой меб-
браны могут быть очень сложными.
Собственные колебания мембраны можно
сделать видимыми, если посыпать
горизонтально натянутую мембрану
мелким песком. При собственных
колебаниях мембраны на ней существуют линии
узлов, которые находятся в покое:
W (** у) = 0. Мелкий песок благодаря
собственным колебаниям перемещается
по мембране, но остается лежать вдоль
линий узлов, которые поэтому
становятся видимыми. Получаемые таким
образом линии названы фигурами Хладни
— по имени Е. Хладни (1756—1824).
§ 6.12. Отражение
и преломление волн на плоских
поверхностях раздела
6.12.1. Отражение при нормальном
падении. Если электромагнитная или
звуковая волна с плоским волновым
фронтом падает из среды 1
перпендикулярно к плоской поверхности раздела
со средой 2 (рис. 216), то интенсивность
Рис. 216
отраженной волны IR и интенсивность
прошедшей волны /2 относятся к
интенсивности падающей волны 1Х как
h/2 = /1422^i/(^2 + 21)2,
где Zlt Z2 — импедансы Ζ =]/μ/εΖ0 для
электромагнитной волны (см. 6.10.3.1)
и Ζ = ρ« для звуковой волны (см.
6.9.4.3) в средах / и 2 соответственно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для
электромагнитной волны на поверхности
раздела выполняются равенства
Ех = Е2 + Е* и IX-IR = (Ε?-
— E^)/2Z1 — /2 = E2/2Z2,
откуда можно получить приведенные
выше соотношения.
Для электромагнитных волн в
немагнитных средах выполняется
соотношение (см. 6.10.3.3): Ζ = ZJn> откуда
получаются известные соотношения
//? = h {(«2 — Λι)/(Λι + "ι)}2 и /2 =
= /j 4я2п1/(п2 + Πι)2.
6.12.2. Закон преломления Снеллиуса.
Если плоская гармоническая волна
падает из среды / с волновым вектором ki


под углом падения ах на плоскую
границу раздела со средой 2 (рис. 217), то
Рис. 217
волна распространяется в среде 2 с
волновым вектором к2 под углом
преломления сс2. Углы падения и преломления
связаны законом В. Снеллиуса (1591 —
1626), установленным в 1621 г..
sin otj/sin α2 = uxlu2 = п21пъ
где иъ и2 — фазовые скорости, а пи пг—
показатели преломления в средах.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
а = λχ /sin a1 = X2/sin α2;
sin ctj/sin α2 = λχ/λ2 = их1иг = k2lkx =
= n2/nv
6.12.3. Полное внутреннее отражение.
Если волна падает из среды / под углом
падения аг на плоскую границу раздела
со средой 2, в которой фазовая скорость
больше (и2 ^ wt), то при выполнении
условия
αι > αο = aresin {uju^ = aresin {n2ln^)
волна полностью отражается (рис. 218).
Рис. 218
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно
закону Снеллиуса должно выполняться
условие
sin α2 = (w2/Wi) sin <xx ^ 1.
6.12.4. Поляризация при отражении
и преломлении. Если плоская
гармоническая электромагнитная волна падает
из вакуума (п = 1) или из воздуха
(« « 1) под углом падения ах на непог-
лощающую среду с показателем
преломления η = (ε)'/2, то в отраженной и
преломленной волнах обнаруживаются
поляризационные явления. Пусть /1р и
/ls — интенсивности компонент
падающей волны с направлением колебаний
(Е), параллельным и
перпендикулярным к плоскости падения, которая
определяется волновым вектором кг и
нормалью к поверхности раздела. Тогда,
согласно О. Ж. Френелю (1788—1827),
имеем для интенсивностей /Гр и /rs
отраженной волны и интенсивностей /2 и
/2б. преломленной волны:
/ _/ιρ*82(«ι —«2> .
rp tg2(«i+a2) '
_ 2/1Р sin2ai cos ax sin α2
[sin2 (αχ + «г) cos2 (αι—аг1)'
. /18sina(ai — а2) .
sin^otj + aa)
2/lssin2cti cos ax sin a2
2s = ·
sin2 (ai + a2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.,
Наука, 1973.
Если отражается неполяризованная
электромагнитная волна, то при
выполнении условия Д. Брюстера (1781—1868)
отраженный луч полностью поляризован,
причем направление колебаний (Е)
перпендикулярно к плоскости падения.
Условие таково:
tgal = n; αχ + α2 = π/2


Угол αχ = arctg n называют углом Брюс-
тера (рис. 219).
Рис. 219
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1Гр = О при
αι "τ- α2 = π/2;
tgax = sin αχ/cos ax = sin αχ/cos (π/2—
—a2) = sin αχ/sin a2 = n.
§ 6.13. Лучевая оптика
6.13.1. Геометрическая оптика.
Геометрическая оптика охватывает раздел
оптики, в котором пренебрегается
конечным значением длины волны λ,
т. е. отвечающий предельному переходу
λ -> О или k = 2π/λ -► оо
В этом предельном случае
распространение света соответствует
распространению световых лучей, представляющих
собой геометрические кривые.
6.13.2. Время распространения и све-
товой путь.
Плоек а я волна. Предельный
переход λ -*· О можно описать с помощью
понятий времени распространения f или
светового пути L. Эти понятия можно
определить по отношению к плоской
гармонической электромагнитной
волне в среде с показателем преломления п.
Электрическая компонента такой волны
записывается в комплексной форме как
£ (/, г) = £0 exp i (ω/ — k-r) =
= £0 exp [ω (t — t') = E0 exp i (ω/c) χ
x(ct — L),
где
V
и
= k
L =
τ/ω =
-t'lc =
η
с
η ■
k
Γ
k
k
Г.
k
Произвольная волна.
Пользуясь понятиями «время
распространения /'» или «световой путь L», можно
описать произвольную волну с помощью
формулы
Ε (t% г) = Ε0 (г) exp i ω (t — t' (r)) =
= E0 (г) exp i (ω/c) (et — L (г)).
Это выражение должно удовлетворять
волновому уравнению
(д2Ш2) Ε (/, г) = (с2/п2) Δ£ (/, г).
Для этого показатель преломления η =
= η (г) должен медленно изменяться
по сравнению с £0 (г). После
подстановки и деления на — ω2 получаем для Е0 (г)
и L (г):
Е0 = — (с/(дп)2АЕ0 + i (c/ωη2) χ
x{E0AL + 2 grad £0 grad £}+дг2£0х
χ (grad L) 2.
Предельным переходом ω ->■ с» отсюда
получается основной закон
геометрической оптики:
| (grad L (г))2 = с2 {grad /' (г)}2 = η2 \
(уравнение эйконала). Этот закон
утверждает, что при смещении ds вдоль
светового луча изменение светового пути
L или времени распространения f
составляет dL = nds или dt' = c~l nds.
6.13.3. Принцип Ферма.
Постулированный П. Ферма (1605—1665)
принцип кратчайшего светового пути L
или наименьшего времени
распространения t' утверждает, что световой луч
распространяется между двумя
точками Ρχ и Р2 по такому пути, который
отвечает кратчайшему световому пути L
и наименьшему времени
распространения /':
L (Рь Р2) = J nds = min;
t' (Pi, P2) = с-1 L (Ρχ, Ρ2) =min.


Минимум Lmln (Ρχ, Ρ2) называют
эйконалом.
Для однородных сред из принципа
Ферма следует, что в них свет
распространяется по прямым линиям.
Закон преломления Снел-
л и у с а. С помощью принципа Ферма
можно легко вывести закон
преломления Снеллиуса (см. 6.12.2) (рис. 220):
П 1M/J
Среда 1
Среда 2
Р2 (χ2»Уг)
Рис. 220
+
L (Я„ Ρύ = \ηά8 = nxV(x-xJ* + у\
dLldx = ηλ (χ—Χι)/Υ (χ —λγχ)2 + у] —
—n2(x2—x)lV{Xz—x)2 + y2 =0;
ηχ sin αλ — я2 sina2 = 0.
Искривленные световые
лучи. Принцип Ферма применим и
тогда, когда показатель преломления
изменяется: я = я (г). В этом случае
световые лучи искривляются.
Пример. Одномерное изменение
показателя преломления.
Рассмотрим среду, показатель
преломления которой изменяется в направлении оси
χ, η = η (χ), и световой луч, выходящий из
точки Рг = (0, 0, 0} в плоскости ху под
углом a = arctgi/' (0) к оси х. Из принципа
Ферма получаем для светового луча у (х)
L=$n(x)ds=$n (x) V(dA:)2 + (di/)2 =
= Jrt (Ar)(l+i/'2)l/2^ = min.
Интеграл берется от начальной точки Р1 =
= (0, 0, 0} до конечной точки Р2 = {х0, у0, 0}.
Найти траекторию светового луча у (х)
можно с помощью вариационного исчисления.
Рассматриваются другие световые лучи между
начальной точкой Ρχ и конечной точкой Р2,
отличающиеся от у (х) на Ьу (х). Согласно
принципу Ферма, вариация светового пути
&L = 6§ n (x) (i+y'*)1*2 dx = 0.
Учитывая, что by' = б (dy/dx) = dbyldx, и
принимая во внимание граничные условия
Ьу (0) = Ьу (х0) = 0, получаем для Ы:
$п(х)(1+у'*Г1/2Ьу' dx =
= -J (d/dx) η (χ) (1 +ί/'2Γ1/2 У' bydx = 0
или
(d/dx)(n(x)(\+y'*)-^2y')=0't
n(x)(l+y'*)-l/2y' (χ) =
= л(0)(1+«/'2(0)Г1/2*/'(0).
Пример
Χ (1 + αχγΙ2\
(рис. 221): η (χ) = η (0) Χ
Рис. 221
у {χ) = (2 sin α/α) {(αχ + cos2 α)1/2 — cosa}.
6.13.4. Теневая оптика. Одним из
и
известнейших методов изучения малых
изменений показателя преломления
является теневой метод (1865) А. Теплера
(1836—1912), с помощью которого Э. Мах
(1838—1916) впервые наблюдал
уплотнения воздуха в сверхзвуковых течениях.
Теневая оптика позволяет сделать
видимой зависимость показателя
преломления я (г) в прозрачной среде от
координат. Так как в газах, а также в
других средах показатель преломления
зависит от плотности, то с помощью
теневого метода можно непосредственно
наблюдать изменения плотности.
ПИ
I
ι
ι
ι
ι
I
I
I
Рис. 222
Освещаемая источником света Q щель
S (рис. 222) отображается с помощью
двух линз JIi и Л2 на бленду Б, где
собирается весь падающий свет.
Благодаря неоднородностям показателя
преломления в плоскости объекта ПО свет


отклоняется от нормального пути
и обходит бленду Б. Все точки
плоскости объекта ПО отображаются
отклоненным светом на плоскость изображения
ПИ. Если показатель преломления в
плоскости объекта однороден, то
плоскость изображения ПИ остается темной.
Любая неоднородность в плоскости
объекта ПО приводит к просветлению в
плоскости изображения.
Согласно теории дифракции (см.
6.15), теневой метод можно описать
следующим образом. Падающий на точку
Ρ плоскости объекта ПО свет
испытывает вследствие оптических неоднород-
ностей дифракцию различных порядков.
Дифракционная картина нулевого
порядка поглощается блендой Б.
Изображение Ρ в плоскости изображения ПИ
возникает из-за дифракции более
высоких порядков.
6.13.5, Фотометрия. Предметом фото.
метрии являются световые измерения,
т. е. измерения видимого
электромагнитного излучения. При этом интерес
представляют не чисто физические
величины, а субъективные впечатления,
создаваемые светом. На этом основании
определяют физиологические величины,
причем принимают во внимание законы
геометрической оптики. Связь между
физиологическими и физическими
величинами сложна, так как
чувствительность глаза зависит от частоты и
интенсивности света. Поэтому
физиологические фотометрические единицы
принимаются в СИ дополнительно к чисто
физическим единицам.
Световой поток и сила
света. Плоская поверхность Ах
источника света испускает в малый
телесный угол Ω под углом Qt к нормали
к поверхности nt световой поток Φ
(рис. 223)
Рис. 223
Φ(Θ1)-/(Θ1)Ω,
где / (θχ) — сила света.
Физиологической единицей силы света
является кандела (кд) — основная
единица в СИ. По определению,
абсолютно черное тело (см. 9.4.7) при
температуре плавления платины Τ = 2042,5 К
испускает перпендикулярно к отверстию
площадью 1 см2 свет силой 60 кд.
Физиологической единицей светового потока
является люмен (лм). При этом 1 лм =
= 1 кд-ср.
Закон Ламберта и
яркость. Во многих случаях источник
испускает свет в соответствии с законом
Ж. Г. Ламберта (1728—1777):
/ (θ^ = / (0) cos θχ.
Исходя из этого яркость L можно
определить как / (0)/Αι, тогда
Φ(θ1) = ΙΛΰθ8θ1Ω.
Физиологической единицей яркости L
является кд-м~2. Старой единицей был
стильб (сб): 1 сб = 1 кд-см-2 =
= 104 кд-м~2.
Светимость и полный
световой поток. Светимостью
в полупространство вокруг источника
света называют величину
М = — [l(Q1)dQ =
π/2
= lL· Γ / (ΘΟ sin θχ ίίθχ.
о
Для источника, подчиняющегося
закону Ламберта, имеем
π/2
М=— f LA1cosQ1sind1dQ1 = nL.
о
Физиологической единицей светимости
является люкс (лк):
1 лк = 1 лм-м~2 = 1 кд-ср «м-2.
Полный световой поток в общем
случае равен Фп = ΑχΜ, а для источника,
подчиняющегося закону Ламберта, Фп =


= nAxL. Единица полного светового
потока — люмен.
Примеры.
Яркость,
Источник света кд-м-2
Солнце 1,5-10·
Ксеноновая лампа высокого
давления 1 · 1010
Кратер электрической дуги ... 2-Ю8
Матовая лампа накаливания ... 1 · 105
Люминесцентная лампа 5-103
Полный
световой по·
Источник света ток, лм
Ксеноновая лампа высокого
давления, 100 кВт 3-10·
Электрическая дуга, 250 Вт . . . 1 · 10*
Люминесцентная лампа, 65 Вт . 3,3· Ю3
Лампа накаливания, 60 Вт ... 6,2· 102
Освещение. Освещенность Ε
плоского объекта площадью А2 на
расстоянии г от источника света
определяется соотношением
£=/(01)^2cos92/r2.
Для источника, подчиняющегося зако
ну Ламберта (рис. 224),
Рис. 224
Ε = LAXA2 cos θχ cos θ2 r~2 =
= — L (Л^-г) (Л2п2-г)/г4.
Физиологической единицей освещенно
сти является люкс (лк).
Примеры
Освещен-
Освещение чость, л к
Яркий солнечный день 10* —105
Облачное небо 103
Уличное освещение 0,5—30
Освещение внутренних помещений
для тонкой работы 300 — 1000
§ 6.14. Интерференция
6.14.1. Принцип суперпозиции. Прин-
цип суперпозиции утверждает, что два
однотипных волновых поля wx (#, у,
ζ, /) и w2 (х, у у ζ, ή налагаются
аддитивно:
w (х, у, ζ, 0 = wx (χ, у, ζ, t) +
+ w2 (χ, у, ζ, t).
Этот принцип эквивалентен принципу
невозмущенного наложения, согласно
которому любое волновое поле
распространяется так, как будто другие
однотипные волновые поля отсутствуют.
Вообще говоря, принцип суперпозиции не
выполняется, если в среде, в которой
распространяется волна, возникают
нелинейные эффекты. В этом случае
принцип суперпозиции применим лишь для
волн с малыми амплитудами. Для
поперечных волн он выполняется только
для компонент волновых полей с
одинаковым направлением поляризации.
6.14.2. Двухлучевая и н терференция.
Возникающее при наложении
однотипных волн явление зависимости
интенсивности от фазы, координаты или
направления называют интерференцией.
Двухлучевая интерференция возникает
в результате аддитивного наложения
двух одинаково направленных
гармонических волн с различными фазами at и
[ ^
ι
V
υ
a2 или (и) разностью хода s Φ 0:
Wx (х, t) = Ψχ cos (ω/ — kx — aj);
w2 (χ, t) = W2 cos (ωί — kx — ks -
a2).
Принцип суперпозиции дает для
полной волны:
w (х, t) = Wx {χ, t) + w2 (χ, t).
Интенсивность этой волны вычисляется
как среднее значение по времени:
11+2 = Z1 <ш2 (*, 0>| = (1/2 Z)[W* +
+ W\ + 2 WxW2 cos (ks + a2 — аг)\
или
= Λ + /2-
'1 + 2
~2]/ΊχΙ2 cos(ks + a2-
<*i),


где Ζ — волновое сопротивление; /х и
/2 — интенсивности отдельных
гармонических волн.
6.14.3. Интерференция звука по Квинке
(рис. 225). Типичным примером двухлуче-
0
Источник
збука
О
*2
Приемник
Рис. 225
вой интерференции является
интерференция звука по Г. Г. Квинке (1834—1924).
Если выбрать s = х2 — xlt αχ =
= α2 = α, Ιχ = /2 = / (0)/4, то для
интенсивности в приемнике получим
I (s) = /(0) 1/2(1 + cosks) =
= / (0)cos2 (ks/2),
где k = 2π/λ. При s = (Ν + 1/2) λ
получатся минимумы, а при s = Νλ —
максимумы интенсивности (Ν =
= 0,± 1,±2, ...).
Пример, и = 330 м · с-1
λ = 22 см.
Минимумы интенсивности
= 11 см + 22Ν см.
Максимумы интенсивности
==22Ν см.
ν =1500 Гц,
— ПрИ 5 =
при s =
6,14.4. Интерферометр Майкельсона.
Двухлучевая интерференция возникает
также в интерферометре А. А·
Майкельсона (1852—1931) (рис. 226). Для гар-
Отражатель
Источник
<υ
Полупрозрачное
зеркало
ипи мембрана
V
Детектор
Рис. 226
монической электромагнитной волны с
круговой частотой ω = uk получается,
что
= /
I(s)
при условии
= / (0)/4,
= / (0) 1 (1 + cos
= 2 π/λ,
аг = α2 и /χ =
ks), где Ä =
как и в звуковом интерферометре
Квинке (см. 6.14.3).
6.14.5. Фурье-спектроскопия.
Интерферометр Майкельсона пригоден для
так называемой фурье-спектроскопии,
которая в настоящее время находит
применение в инфракрасном спектральном
диапазоне с длинами волн от 20 мкм
до 1 мм. В обычной спектроскопии
неизвестный спектр источника разлагают
с помощью призмы или
дифракционной решетки на спектральные элементы
Δ/г, а затем измеряют их интенсивность
/ (k) Δ&. В противоположность этому,
в фурье-спектроскопии измеряют с
помощью интерферометра фурье-образ
неизвестного спектра, без разложения
на спектральные элементы. Сам спектр
затем определяют математически с
помощью обратного преобразования Фурье
измеренных значений.
Если разложить полную
интенсивность / источника в интеграл от
подлежащей определению спектральной
плотности I (k) = I (— k) согласно
формуле
/ = Г l(k)dk=— f I(k)dk,
о
σο
где k =
2π
то на выходе интерферометра получим
измеренную как функцию разности
хода s интенсивность / (s):
Частными значениями / (s) являются
/ (0) = / и при известных
предположениях / (± с») = 112 С помощью об-


ратного преобразования / (s) (см. 6.6.3)
можно вычислить спектр / (к):
-|-<Х>
'«-тИ'и-т'}*
ОО
χ ехр( — iks)ds, где k = —
6.14.6. Многолучевая интерференция.
Столь же важной, как двухлучевая
интерференция, является многолучевая
интерференция — аддитивное наложение
большого числа волновых полей. В
случае многолучевой интерференции часто
можно записать амплитуду волнового
поля в виде геометрической
прогрессии, так как отдельные амплитуды
различаются постоянным множителем
г ехр (— \ks). Суммируя ряд, получаем
m = 0
оо
= ш0 2 (гехр(—iks))m =
т = 0
= ш0 (1— г ехр (—iks))'1.
Тогда для интенсивности имеем
/ (kst г) = Г0{[\ — г ехр (— iks)]x
χ [1 — г ехр 0 ks))}-1 = П {(1 — г)2 +
+ 4 г sin2 (ks/2)}'1.
Здесь /ό — интенсивность,
соответствующая первому члену в сумме: Ιό —
=w0wl/2 Ζ-
Многократное
отражение в
плоскопараллельной пластине. В качестве
примера многолучевой интерференции
рассмотрим многократное отражение в
плоскопараллельной пластине
толщиной d. Для интенсивности прошедшей
волны It (kdy R) и интенсивности
отраженной волны /г (kdt R) справедливы
формулы Г. Б. Эйр и (1801 — 1892):
ft(kd,R) = I0 — IT(kd,R) =
= /0il +—1*_ sin» (*<0 Г
I Ο-*)2 J
Здесь /0 — интенсивность падающей
волны; R — коэффициент отражения на
поверхностях пластин; k = 2 πη/λΒ£ΙΚ —
круговое волновое число в пластине.
Если выполнено условие kd = Nn,
где N — целое, то все излучение
проходит через пластину без потерь на
отражение (рис. 227).
iit(kd,*)/i0
Рис. 227
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При каждом
двукратном отражении амплитуда
ослабляется в R = ΥRYR раз. При этом
возникает разность хода s = 2 d и,
соответственно, разность фаз 2π 2nd/XBUK = 2kd.
Амплитуда непосредственно прошедшей
волны (первый член суммы в
геометрической прогрессии) ослаблена по
сравнению с амплитудой падающей волны в
Л — R) раз. Отсюда
/ (kst г) = П {(1 — г)2 + 4r sin2 (ks/2)}'1,
где I = It\s= 2d; г = Д; /{ = (1 —
- R? /о-
Применения
многолучевой интерференции:
интерференционный фильтр; просветление
оптических линз; интерферометр Фабри —
Перо (см. 6.14.7); интерференционный
спектроскоп Люммера — Герке.
6.14.7. Интерферометр Фабри — Перо.
Оптический интерферометр М. П. А. К-
Фабри (1867—1945) и А. Перо (1863—
1925) состоит из двух стеклянных
пластин, между которыми находится
плоскопараллельный слой воздуха
толщиной d. Обе пластины покрыты с
внутренней стороны полупрозрачным слоем
серебра, так что коэффициент
отражения R = 0,95-^-0,99. Если подставить
эти значения в формулы Эйри (6.14.6),


то получатся очень острые максимумы
интенсивности при
π
dN= — N = —N =
An =
k 2 2ην
ν, λ фиксированы;
2d с
Ν,
\ы =
Ν4
Ν
Ν ' " 2nd
d фиксировано;
= db 1» it 2, ± 3,...,
где λ — длина волны, а я — показатель
преломления в среде между пластинами.
В случае фиксированного d
максимумы возникают при эквидистантных
частотах vn; расстояние между
максимумами равно Vtf+i — vn = δν = с/2 nd.
Разрешающая способность
интерферометра определяется полушириной Δν/ν
максимума интенсивности. Для
больших коэффициентов отражения {R « 1)
из формулы Эйри следует при It = /0/2:
1 =
4Я
0-Я):
sin2i&N d
Ak
Ak *
\—R 2
Отсюда разрешающая способность
ности /х и /2 двух одинаково
направленных когерентных гармонических
волн складываются согласно формуле
6.14.2. Если же фазы двух волн
изменяются хаотично, то между обеими
волнами нет никакой постоянной разности
фаз. Они некогерентны. В этом случае
интенсивности Ιλ и /2 отдельных волн
просто складываются, так как среднее
по времени от зависящего от фазы члена
в интенсивности обращается в нуль:
I1+2 = Z-1(w^(xit))t=l1 + I2
У некогерентных волн интерференция
отсутствует.
§ 6.15. Дифракция
6.15.1. Дифракция и геометричес-
и—^——
кая оптика. Геометрическая или
лучевая оптика применима в том случае,
когда предметы, которые огибаются
волнами (светом, звуком, поверхностной
волной на воде), не имеют размеров d,
соизмеримых с длиной волны λ. В
случае же соизмеримости их с λ возникает
дифракция. В соответствии с
расстоянием а, с которого наблюдается волна
за предметом, на котором происходит
дифракция, различают дифракцию И.
Фраунгофера (1787—1826) или О.
Френеля (1788—1827). Имеем, таким
образом, следующие ограничения:
где N — порядок интерференции, а / —
так называемая «тонкость». Связь
между расстояниями δ ν по частоте между
максимумами интенсивности и их
полуширинами имеет вид
δν/Δν = (c/2nd) 2nnlctAk =
= ndld (1 — R) = f.
Пример. Для λ = 0,5 мкм, d — 1 см
и Я = 0,95 Ν = 2 · ΙΟ3, / = 62,8 и ν/Δν =
= 1,26 · 10δ. Подобная разрешающая
способность не может быть достигнута ни в
призмах, ни в спектрометрах с дифракционной
решеткой (см. 6.15.4.2).
6.14.8. Когерентность. Два волновых Прожектор
поля с постоянной разностью фаз или
разностью хода когерентны. Интенсив-
геометрическая оптика: λ <^ d « а;
дифракция Фраунгофера: λ«ίί«α;
дифракция Френеля: λ ä? d « а.
Здесь λ — длина волны; d — размеры
предмета; а — расстояние до предмета.
Геометрическое отображение
«световыми лучами» (рис. 228).
Отверстие
„ Сбетовые лучи.
цЭкран
V
Изображение
' отверстия
\1Стенка
и
Рис. 228


/
/
/
/
/
'
/
/
и
Дифракция Фраунгофера волн на от-
верстии (рис. 229).
а
! Дифракционная
картина
1-го порядка
Дифракционная
картина
нулевого порядка
- „ изображение и
Дифракционная
картина
(-l)-zo порядка
Стенка
W
OmSepc
тие
Экран
Рис. 229
6.15.2. Принцип Гюйгенса. В
расчетах дифракционных явлений
используют принцип Гюйгенса и принцип
суперпозиции (6.14.1). Принцип X.
Гюйгенса (1629—1695) гласит: «Волна
распространяется таким образом, что
каждая точка, которой она достигает,
становится центром сферической, круговой
или цилиндрической волны.
Суперпозиция всех этих волн с учетом их фаз дает
общую картину волны в последующие
моменты времени».
6.15.3. Дифракция Фраунгофера на
щели (рис. 230). Согласно принципу
у sin ψ
sin ψ
k'
sz
k
Рис. 230
Гюйгенса, каждый элемент длины щели
dy испускает цилиндрическую волну,
которая на больших расстояниях от
щели имеет вид
dw (у, ky\ г, 0 =
= W0r-^2 dy exp (iyky) exp [i (ωί — kr)].
Поэтому фаза в некоторой точке Ρ на
большом расстоянии г под углом φ
равна k (г — у sin φ) = kr — yky.
Интегрирование по всем элементам dy щели
дает для амплитуды.
(ky\r,t)= j dw =
Щель
=r-"*exp[i{<Bt—kr)]We(by)\
W.(k„)=Wo j exp (iyky) dy =
-s/2
= W0 [exp (\ky s/2)—exp ( — iky sl2)]l\ky\
Ws (ky) = sW0 sin <** f) =
kys/2
= WS (φ) =SW0 Sini(b/2)Sin(p] .
(Äs/2) sin φ
Здесь Ws (ky) соответствует
пространственному фурье-образу ступенчатой
функции Fs (у) = θ (у + s/2) — θ {у —
— s/2), где θ — функция Хевисайда
(см. П4.2.13, 6.6.3.1):
Ws(ky)~ jj Fs(y)exp(iyky)dy.
— 00
Для интенсивности дифрагированной
волны получается выражение:
/.
^ sin2 [(ks/2) sin
{(ks/2) sin φΡ
_ „2 sin* {ky s/2)
(ky s/2)«
<P] r _
/o,
где /0 — интенсивность падающей на
щель волны.
Дифракционная картина от щели
(рис. 231).
λ/s Ζλ/s JA/s sit) φ
Рис. 231


Нулевые точки определяются
условием
8ίηφη=ηλ/5, η = ± 1, dz 2,...
Максимумы интенсивности нумеруются
порядком дифракции N = 0,±1,±2,...,
причем порядок дифракции N = 0
соответствует главному максимуму при
φ = 0. Высота дифракционных
максимумов пропорциональна s2, а ширина
s-1, так что проинтегрированная по
всей области углов полная интенсив-
ность пропорциональна ширине щели s.
6.15.4. Дифракционная решетка.
6.15.4.1. Дифракция Φ pay н гофера
на штриховой решетке. Рассмотрим
штриховую решетку, состоящую из Λί
одинаковых щелей шириной s,
расположенных параллельно и на одинаковом
расстоянии d друг от друга (рис. 232).
Дифракция Фраунгофера на такой
ky~ k s\n φ
ds\r\<p
η -
Рис. 232
решетке может быть рассчитана
аналогично дифракции на отдельной
щели. Для амплитуды W (ky) имеем
М- 1
W(ky) = Wa(ky) 2 exp(\ndky) =
/t = 0
= W lb \ exP (Mdky/2) — exp ( — iMdkyl2)
s^ y) exp(idky/2) — exp(—idky/2) X
exp (iMdky/2)
X
exp (idky/2)
Пренебрегая чисто фазовым
множителем в конце формулы, получаем
W (ky) = Ws (ky) WG (ky) =
— W/ s'n (&y 5/2) sin (Mdky/2)
~ ° kys/2 sin (dky/2)
Первый множитель соответствует
амплитуде Ws (ky) отдельной щели
шириной s; второй — амплитуде Wo (ky)
периодического расположения Λί щелей
на расстоянии d. Главные и побочные
максимумы интенсивности
дифракционной картины от штриховой решетки
определяются функцией Wo (ky). Так как
k sin φ = (2 π/λ) sin φ, то
главные максимумы лежат в точках
ky
sin (jpjv = Νλ/d,
где d — постоянная решетки, a JV =0,
± 1, ± 2, ... — порядок дифракции.
Между двумя главными максимумами
находится Μ — 2 побочных максимумов,
интенсивность которых в ММ2 раз
меньше интенсивности главных максимумов.
Амплитуда W$ отдельной щели
модулирует интенсивности главных и
побочных максимумов таким образом, что,
например, отдельные главные
максимумы подавляются (рис. 233).
-X/d
ЗХ/й sin0>
Побочные
максимумы
X/cL 2X/d X/sZX/dUT\q>
\
Глабный
максимум
Рис. 233
6.15.4.2. Спектрометр с
дифракционной решеткой. Прозрачные или
отражающие штриховые дифракционные
решетки применяются в качестве
дисперсионных элементов спектрометров с
дифракционными решетками для
спектрального анализа. Для N-ro порядка функция
спектрометра
λ = (d/N) sin φ.
Спектральная разрешающая способность
спектрометра с дифракционной решет-


кой определяется спектральной
шириной Ν-ΓΟ главного максимума. Отсюда
Таким образом, спектральная
разрешающая способность решетки
пропорциональна числу линий Μ (штрихов,
щелей, бороздок) и используемому
порядку N.
6.15.5. Изображение в линзах (рис.
234).
Решетка
Объект
Фокальная
плоскость
Бленда
Плоскость
изображения
Рис. 234
6.15.5.1. Геометрическая оптика
тонких линз. Так как размеры линз
значительно больше длины волны света,
изображение в линзах можно в первом
приближении рассчитывать с помощью
геометрической оптики. Для тонких линз
и пучков света, почти параллельных оси
линзы, справедливо уравнение линзы
где χ — расстояние до предмета; у —
расстояние до изображения; / —
фокусное расстояние линзы (см. рис. 234).
Увеличение ν дается формулой
6.15.5.2. Разрешающая способность
микроскопа. Разрешающая способность
оптического микроскопа определяется
оптическими свойствами объектива,
который в большинстве случаев собран из
нескольких линз, что позволяет
исправить погрешности изображения
отдельной линзы. Однако Э. Аббе (1840—1905)
указал, что благодаря дифракции
существует теоретический предел
разрешающей способности. Под разрешающей
способностью d понимается минимальное
расстояние между двумя предметами,
которые можно раздельно наблюдать в
микроскопе. Для установления
теоретического предела разрешающей
способности рассмотрим изображение
штриховой решетки с постоянной решетки, или
расстоянием между штрихами, d. Если
эта штриховая решетка освещается
параллельным пучком света, то возникают
дифракционные картины 0, ±1, ±2, ±3,
... порядков. Они фокусируются через
линзу в ее фокальной плоскости, где
возникает дифракционная картина,
существенно отличающаяся от собственного
изображения решетки. В плоскости
изображения появляется собственное
изображение, в то время как дифракции
различных порядков налагаются и
интерферируют. Изображение решетки в линзе
возможно лишь тогда, когда два или
более порядков дифракции захватываются
линзой. Поэтому определяющим для
изображения в линзе является угол 2β,
под которым видно со стороны предмета
отверстие линзы. Для решетки с
постоянной решетки d первый главный
максимум дифракции возникает под углом
(Pi = arcsin {kid). Чтобы 1-й и (—1)-й
главные максимумы дифракции попали
на линзу, должно выполняться условие
β > Φι = arcsin(X/d) или
где D — диаметр линзы, г χ —
расстояние до предмета. Показатель
преломления η среды между предметом и
объективом определяет длину волны света
λ в приведенной формуле согласно
соотношению λ = λΒΆΚ/η. Поэтому можно
увеличить разрешающую способность
микроскопа, заполнив пространство
между предметом и объективом
жидкостью с большим показателем
преломления (иммерсия). Для этого годится,
например, кедровое масло с η — 1,51.
§ 6.16. Эффект Доплера
Названный по имени X. Доплера
(1803—1853) эффект заключается в том,
что испускаемая и наблюдаемая частоты
волны различаются, если источник и наб-


людатель движутся друг относительно
друга в среде, где распространяется
волна. Нормальный эффект Доплера можно
наблюдать, например, у звука.
Напротив, у электромагнитных волн,
например у света,наблюдается
релятивистский эффект Доплера.
6.16.1. Нормальный эффект Доплера.
Если источник Q движется со скоростью
vq, а наблюдатель В — со скоростью Vß
в среде, фазовая скорость в которой
равна и, то наблюдаемая частота vb волны
отличается от испускаемой источником
частоты vq согласно формуле
Шшявшшшвшшвшшшшшшшшшшшшшашшшавшашштша^шшшшшщшашшшшшяяшашшшяшшшшяашшшшшяшшшшшт
Vß = Vq (U + VB COS OLB)l(U -f- Vq COS OLq),
где ав α olq — углы, образуемые
векторами Vß и vq по отношению к вектору
г, соединяющему наблюдателя и
источник (рис. 235). Для малых скоростей
Рис 235
vq, 1»в« и
Vß = Vq (1 — (V/U) COS α),
ГДе V = Vq — Vß И OL — OLq — Otß.
§7.1. Квантовая теория
электромагнитного излучения
7.1.1. Соотношения Планка.
Введение. В 1900 г. М. Планк
(1858—1947) обнаружил, что
электромагнитное излучение можно
рассматривать не только как волну (см.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для
покоящегося источника и движущегося
наблюдателя. Предположения: vQ = 0, ν вф0*
0LB = 0. За единицу времени источник
испускает vq цугов волн. Если
наблюдатель движется со скоростью Vb в
направлении покоящегося источника, то
за одну секунду он дополнительно
проходит ϋβ/λ цугов волн. Отсюда
Vß = Vq + ϋβ/λ = Vq(1 + VbIu).
6.16.2. Эффект Доплера для
электромагнитных волн в вакууме. Если
наблюдатель движется в вакууме со
скоростью Vß относительно источника
монохроматических электромагнитных
волн, то наблюдаемая частота vß
отличается от испускаемой частоты vq
согласно формуле
Vß = vq (1 -ΐίβ/c2)1'2 (1 -(vb/c) cos αβ)-\|
где с — скорость света в вакууме.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО с помощью
преобразований Лоренца — см.:
Левич В. Г. Курс теоретической физики. Т. I.
М., Наука, 1969.
Bergmann L., Schaefer С. Lehrbuch der
Experimental physik. Bd III—Optik, 6. Aufl.,
Berlin, 1973.
Замечания. Считается, что Vq = 0.
Для α,β = 0 источник и наблюдатель
сближаются. При этом возникает фиолетовое
смещение.
Для aQ = π источник и наблюдатель
удаляются друг от друга. При этом возникает
красное смещение.
Для ав = π/2 и Зл/2 возникает
релятивистский поперечный эффект Доплера:
νβ = Vq (1 — VqIc^Y'2. В противоположность
этому, не существует классического
поперечного эффекта Доплера.
6.9.5), но и как совокупность весьма
большого числа частиц — фотонов:
при распространении
электромагнитное излучение ведет себя как волна,
при взаимодействии с веществом —
как частица. М. Планку удалось
выразить этот дуализм соотношениями
между частотой или длиной волны электро-
глава 7. Квантовая и волновая механика


магнитных волн и энергией, импульсом
и массой соответствующих фотонов.
Соотношения Планка послужили
началом развития квантовой и волновой
механики. В противоположность
классической механике, квантовая и
волновая механика может математически
точно описать атомные и
молекулярные состояния и процессы.
Электромагнитное
излучение
Распространение
I
τ
Волны
Прохождение
Отражение
Дифракция
Интерференция
Взаимодействие
с веществом
τ
Частицы· фотоны
Поглощение
Излучение
При взаимодействии
электромагнитного излучения с веществом
монохроматическое электромагнитное излучение
с частотой ν и волновым вектором к
ведет себя как совокупность
одинаковых частиц, называемых фотонами:
с энергией Ε = Ηω = ίιν;
импульсом ρ = Äk, где k — 2π/λ;
с массой m = E/c2 = hv/c2.
Здесь h = 6,6262 · 10~34 Дж -с
» 2π · 10"34 Дж -с; h = Λ/2π
ä? 10"34 Дж · с. Постоянную h
называют постоянной Планка или план·
ковским квантом действия.
Пример. Фотоны в
монохроматическом свете с длиной волны λ = 5000 нм=
= 5 · Ю-7 м и интенсивностью излучения
1 Вт . см-2= 10* Вт · м~а:
Электромагнитные волны
Длина волны λ = 5·10-7 м
Частота ν=6·10~4 с-1
Интенсивность / = 104 Втм
-2
Фотоны
Энергия £=3,8-10-» Дж
Импульс ρ = 1.3·10-27 кгмс-1
Масса т = 4,2-ДО-36 кг
Плотность потока я=2,6· 10м м
-2.Г-1
7.1.2. Фотоэлектрический эффект.
При облучении светом или
ультрафиолетовым излучением металлические
поверхности испускают электроны
(рис. 236). При этом выполняются два
важных закона:]) распределение
скоростей испущенных электронов
зависит только от частоты падающего
электромагнитного излучения, но не от его
интенсивности; 2) кроме того, для
каждого металла существует граничная
частота vr (рис. 237). Электромагнит-
-Ϊ4 Vi
Рис. 236
vr vc/λ
Рис. 237
ное излучение с меньшими частотами не
дает для данного металла фотоэффекта.
В 1905 г. А. Эйнштейн дал
объяснение фотоэлектрического эффекта,
основываясь на соотношениях Планка.
Согласно этому объяснению,
отдельные фотоны электромагнитного
излучения сталкиваются с электронами
и передают им энергию и импульс, так
что электроны выходят из металла.
Поэтому можно использовать закон
сохранения энергии для процесса:
hv = А + m0v2/2 = А + eV;
А = ΛνΓ,
где А — работа выхода; т0 — масса
покоя электрона. Кинетическая энергия
электронов, вылетающих с
нерелятивистской скоростью, измеряется в элек-
тронвольтах. Соотношение
Эйнштейна служит для определения h:
h = eVI (ν — νΓ) =
= (eV/c) (λ"1 - λ-,1)"1·
Работа выхода А для различных металлов,
эВ: Cs — 1,90; Ag — 4,74; Ва — 2,50; Au —
4,92.
7,1.3. Тормозное излучение. При
торможении быстрых электронов в
катодных лучах на металлической
поверхности антикатода возникает
коротковолновое электромагнитное излучение,
названное по имени их
первооткрывателя В. К. Рентгена (1845—1923)
рентгеновским. Это явление можно рассмат-


ривать как обратное
фотоэлектрическому эффекту. Частотный спектр
возникающего рентгеновского излучения
можно понять, если считать, что
каждый заторможенный электрон
испускает один фотон:
eV = тс2—т0 с2 =
электростатическая кинетическая
энергия электрона энергия
электрона
= hv + AE.
энергия фотона
Электрическое напряжение обычно
изменяется в пределах от 20 до 50 кВ.
Потери энергии электроном Δ£ на
ионизацию, нагревание металла и т. п.
определяют характеристическую
форму спектра излучения. Он состоит из
непрерывного спектра, на который
наложены пики испускания. Последние
характерны для используемого
металла. Спектр имеет минимальную
граничную длину волны λΓρ в соответствии
с уравнением
λΓρ = hc/eV или λΓρ (Α) = 12,4/V (kB).
Измерение граничной длины волны λΓ
при определенном напряжении V
позволяет также определить отношение
hie.
7.1.4. Эффект Комптона. В 1923 г.
А. Комптон (1892—1962) подтвердил
теорию фотонов в случае упругого
взаимодействия рентгеновского
излучения со свободными или связанными в
атоме электронами.
Рассеянное рентгеновское
излучение обнаруживает сдвиг длины волны
Δλ, зависящей от угла рассеяния Θ:
Δλ = λ' — X = 2XKsin2(6/2);
XK=/t/m0 с = 2,4263· 10"12 м,
где λκ — комптоновская длина волны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. При
доказательстве формулы эффекта Комптона
существенную роль играют
соотношения Планка. Эффект состоит в упругом
рассеянии отдельного фотона на
отдельном электроне (рис. 238). Движением
p = /?k-e^ij
Рис. 238
электронов перед соударением пренеб-
регается. Так как происходит упругое
столкновение, то выполняются законы
сохранения энергии и импульса. По
отношению к электрону используются
законы релятивистской механики:
закон сохранения импульса: ре + ρ =
= о + Äk = р'е -f р' = ту + Ак';
закон сохранения энергии: Ее -\- Ε =
= т0с2 + Αω = Ее 4* Е' = тс2 4-
4" Н(д'.
Если переписать эти уравнения,
введя релятивистский параметр β = vie
и углы θ и α, то получится система
уравнений:
ω _ ω' = (m0c2/h) ( (1 - β2)-1/2 - 1|;
ω — ω' cos θ =
= (m0c2/A)ß (1 — β2)-1/2 cos α;
ω' sin θ = (moC2/Ä)ß (1 — β2)-1/2 sin α.
Исключив α и β, получим
ω — ω' = 2 (h/m0c2) ωω' sin2 (θ/2).
Заменив ω на 2лс/Х и ω' на 2лс/Х\
получим искомую формулу.
7.1.5. Давление излучения Моно-
энергетическое электромагнитное
излучение с частотой ω и длиной волны в
вакууме λ падает на идеальное зеркало
и отражается. Если рассматривать
излучение как волну, то следует ожидать,
что оно не окажет никакого давления
на зеркало. Однако в силу корпуску-
лярности электромагнитного излучения
оно оказывает давление — так
называемое давление излучения р. Для
идеального зеркала давление излучения р.
создаваемое электромагнитным
излучением с интенсивностью /.
определяется формулой
p = 2I/c = 2w3r


где с — скорость света в вакууме, а
w9,u — плотность энергии падающего
излучения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Давление
излучения р=силе, приходящейся на
единицу площади зеркала E/A, =
изменению импульса излучения за
единицу времени, отнесенному к единице
площади, = Ар'/Abt = 2пр' = 2(///ιν)/ι/λ=
= 211с. Здесь ρ' = η/λ — импульс
фотона, а п = I/hv — число фотонов в
единицу времени, падающих на
единицу площади.
Следствия. Давление
излучения, или световое давление, не зависит
от частоты или длины волны λ
излучения. Множитель 2 в формуле ρ =
= 211с обусловлен полным отражением
от зеркала, что отвечает упругому
отражению фотонов. Если излучение не
отражается от плоской поверхности, а
полностью поглощается, то вместо
множителя 2 возникает множитель 1.
В полости с идеально отражающими
стенками и полной плотностью
электромагнитной энергии w3M ρ = (1/3)шэ.м.
§ 7.2. Волновая природа
материальных частиц
7.2.1. Соотношения де Бройля. В
1926 г. Л. В. де Бройль (род. в 1892 г.)
постулировал, что материальной
частице можно сопоставить волну. Если
частица движется с импульсом р, то
для волнового вектора к и круговой
частоты ω волны де Бройля
справедливы соотношения
ω = 2πν = Elh = mc2lh\ k = /rJp»
где k = 2π/λ.
Эти формулы аналогичны
соотношениями Планка (7.1) для фотонов.
Величина Ε — релятивистская энергия.
Для частицы, которая движется с
импульсом ρ в направлении вдоль оси г,
можно формально записать волну де
Бройля в виде
ψ (г, t) = ψ0 exp li (kz — ω/)) =
= ψ0 exp [i {pzlh — Ei/h].
Смысл функции ψ разъяснен ниже
(7.4).
Примеры: Теннисный мяч: т=0,045 кг;
ν = 25 м . с-1; λ = 6 · Ю-34 м; ν =
= б · 10" с-1.
Электрон: т = 9,108 · Ю-31 кг; υ =■
= 1000 м . с-1; λ = 2400 А = 2,4 · 10~7 м;
ν = 1,2 · 10м с-».
7.2.2. Дисперсионное соотношение
для волн де Бройля. Волна де Бройля
материальной частицы с импульсом ρ
и релятивистской энергией Ε = тс2
обнаруживает сильную дисперсию.
Дисперсионное соотношение имеет вид
ω (k) = {с I К) V(m0 с)2 + {hkf.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Дисперсионное
соотношение для волны де Бройля
получается из соотношений де Бройля с
учетом релятивистских формул для
импульса и энергии:
hk = ρ = mv = m0v (1 — v2/c2)~x/2\
Λω = E = mc2 = m0c2(\ — v2/c2)~xl2.
Исключение из обоих уравнений
релятивистского параметра v/c — β
приводит к указанной формуле для
функции ω (k).
Групповая скорость как
скорость частицы. Групповая
скорость волны де Бройля иГ равна
скорости частицы ν:
иг = άω/dk = υ.
Фазовая скорость. Фазовая
скорость волны де Бройля больше
скорости света в вакууме с:
U = (u/k = C2/v ИЛИ UUr = C2.
7.2.3. Катодные лучи.
Длина волны де Бройля.
«Лучи», испускаемые холодными или
нагретыми катодами в вакуумных
трубках, являются электронами с зарядом
—е0 и массой покоя т0. Если эти
электроны ускоряются напряжением V от
1 до 10 000 В, то они образуют волны
де Бройля длиной от 12,2 до 0,122 А.
При этом, однако, скорость ν
электронов остается значительно меньше ско-


рости света, так что ее можно
рассчитать классически:
Vl50/V(B).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
ρ — m0v = η/λ; eV = m0f2/2 =
= ll2m-Qxh2X'2\ λ2 = hV2m0eV.
Электронный микроскоп.
Электронный пучок ведет себя как
волна и благодаря малости
соответствующей волны де Бройля λ может быть
использован для создания электронного
микроскопа с высокой разрешающей
способностью. В таких микроскопах
вместо стеклянных линз и зеркал
оптических микроскопов используются
электрические и магнитные линзы.
Электронные микроскопы превосходят
оптические по разрешающей способности,
так как длины волн электронов
существенно короче оптических длин волн.
Согласно Аббе, разрешающая
способность микроскопа равна λ/sin β (см.
6.15.5.2). Отсюда получаем следующие
разрешающие способности:
для оптического 0 микроскопа без
иммерсии: > 4000 А;
для электронного микроскопа:
> ΙΟ"2 А.
Современные электронные микроскопы
имеют разрешающую способность,
достигающую 2 Ä. Такое значение
обусловлено погрешностями электрических
и магнитных электронных линз.
Дифракция электронов в
кристаллах. Аналогично
электромагнитным волнам, волны материи
обнаруживают дифракционные и
интерференционные явления. При
дифракции электронов на пространственно-
периодических решетках кристаллов
возникают острые пики отражения, как
и при использовании рентгеновского
излучения. Дифракция электронов
позволяет поэтому исследовать структуру
тонких кристаллов, кристаллических
поверхностей и газов.
Интереференционные явления
наблюдаются также у ионов (ионный
микроскоп).
§ 7.3. Основы волновой механики
7.3.1. Предмет и особенности
волновой механики. Предметом волновой
механики является механика в атомных
масштабах. Характерно, что постоянная
Планка h определяет и свойства
элементарных частиц, например
электронов, с совершенно определенными
признаками, одинаковыми для всех
частиц одного типа: массой покоя,
электрическим зарядом и собственным
моментом импульса или спином.
Волновая механика отражает
дуализм между корпускулярной природой
и волновым характером элементарной
частицы. Примером проявления
волнового характера элементарной частицы
является дифракция электронов в
кристалле, что представляет собой явление,
чуждое классической механике.
В противоположность классической
механике, волновая механика
оперирует не с отдельными частицами, а со
статистическими ансамблями
одинаковых элементарных частиц. Она
рассматривает поведение этих ансамблей по
отношению к макроскопическим
измерениям, с помощью которых
определяется состояние частицы. Состояние
частицы определяет статистический
ансамбль рассматриваемых частиц по
характеристическим признакам,
заимствованным у классической
макроскопической физики: координате,
импульсу, моменту импульса, энергии и др.
Так как эти признаки сопоставляются
статистическому ансамблю, то
понятно, что при известных условиях не все
они одновременно могут служить для
описания состояния частицы.
Например, согласно соотношению
неопределенностей В. Гейзенберга (1901—
1976), координата и импульс как
признаки статистического ансамбля
элементарных частиц являются взаимно
исключающими друг друга понятиями.
Характеристические физические
признаки статистического ансамбля
элементарных частиц определяются в
волновой механике с помощью квантово-
механических математических
операторов, действующих на комплексные
волновые функции ψ, зависящие от ко-


ординат и времени. Эти волновые
функции описывают статистический
ансамбль. Квадрат их модуля
соответствует плотности вероятности
местонахождения частицы.
Классическая волновая механика
ограничивается рассмотрением
исключительно не релятивистских частиц с
ν <ζ с. Для объяснения структуры
электронных оболочек атомов и молекул
такое ограничение несущественно. В то
же время оно неприменимо в теории
ядра.
7.3.2. Квантовомеханические опера»
торы.
ШШ/шшяяшвшяяяшш
Интуитивное
представление. Важную роль в волновой
механике играет представление
физических величин, таких как координата
г, импульс р, момент импульса L,
полная энергия £, с помощью
математических линейных операторов.
Попытаемся дать интуитивное понятие об этом
представлении, рассмотрев сначала
частные производные волновой
функции ψ (г, ή волны де Бройля частицы
с импульсом ρ = |0, 0, ρζ):
dty (г, t)ldz = i {pjh) г|> (г, /);
д$ (г, t)ldt = —/ (E/h) ψ (ζ, t)4
или
Pzty (г, t) = ~ xhdty (г, t)/dz;
£ψ(ζ, t) = +\Щ(г, t)ldt.
Квантовомеханические операторы
будем обозначать шляпками над
соответствующими буквами.
Определение оператора импульса на
основании интуитивного
представления:
ρχ ψ = — \hd^>ldx\ ру ψ = — \hd^ldy\
Ρζ Ψ = — iftdty/dz; ρψ = — \h grad ψ.
Квадраты операторов:
pi φ = _ \п (д/дх) (— ihdty/дх) =
= —Н2д2^/дх2.
Произведение операторов:
Ρχ Ρ у Ψ = — iÄ (д/дх) (—ihdty/dy) =
= —h2d2 $1дх ду = ру рх ψ.
Оператор квадрата импульса:
ρ2 Ψ = pi Ψ -f- pi Ψ + ρ ζ ψ = - Ä2 Δψ.
Первое определение оператора
энергии на основании интуитивного
представления:
E^ = \hd^/dt.
Определение операторов координаты
и времени:
«/■Ч. ./"Ч- ./"Ч. ·'*>-
χψ = χϋ, ί/ψ = ί/ψ; ζψ = ζψ; ^ψ = ^ψ,
и в общем случае
f(x,y,z,t)y = f(x,ytz,i)y.
7.3.3. Оператор Гамильтона. Важней-
шее значение в волновой механике
имеет оператор Гамильтона, или
оператор энергии. Это понятие основано на
классической функции Гамильтона,
введенной В. Р. Гамильтоном (1805—
1865).
Классическая функция
Гамильтона. Функция
Гамильтона механической системы есть полная
энергия этой системы, представленная
как функция координат и импульсов:
И = H(qu <72, <7я>···; Ръ р2»Р2,...; *У=
= £полн W1» <7г» <7з»···» QN\
Pi» Р2»Рз»···» Р^; f).
где qh — координаты (например, jq,
Уъ %1> %2> У2у ^2» **-3> ί/3» ^3ι ··.). Pfe
соответствующие проекции импульсов
(например, /?*ι, /?у1, /?21, рх2. ру2, pz2,
Рхз, РУъ, Р2з, ..·), a iV — число
степеней свободы механической системы.
Пример. Гармонический осциллятор
q = χ, ρ — mv.
н=ЕПОЛН(д, Ρ)=γ№+-^Ρ2·
Основной закон
классической г а м и л ь τ о н о в с к о й
механики. Знание классической
функции Гамильтона позволяет вычис-


лить классическое движение механичес
кой системы согласно основному за ко
ну:
dH/dqh = — ph; dH/dph = qh.
Пример. Гармонический осциллятор:
дН
dp dp \ 2т
+4гя2 |=—= *
£
т
дН
dip2 , /
+~Т-Я2 \=fq = f*=-P
dq dg \ 2т
Квантовомеханический
оператор Гамильтона, или
второе определение
оператора энергии. Оператор
Гамильтона есть оператор энергии,
который получается из функции
Гамильтона, если заменить в ней
координаты и импульсы соответствующими кван-
товомеханическими операторами:
Ж
= H=H{q]
Ръ Ръ Рз>··
= ^полн \Ql*
Ръ Piy Рз*
ь Яъ Уз*-
·, Pn\ t)
...» Pn\
•
—
. ?Νί
0·
Пример. Гармонический осциллятор:
τ ' 2т х 2
•2 I <ih —
г|) =
ft2 ^2ψ , /
2m дх2
7.3.4. Зависящее от времени
уравнение Шредингера. В 1926 г. Э. Шредингер
(1887—1961) постулировал волновое
уравнение классической,
нерелятивистской волновой механики:
\h(d/dt)^(qbit) = M^(qk,t).
Интуитивное
представление. Сравнение первого и второго
определений оператора энергии:
(7.3.2) Ey = ih{d/dt)ty =
(7.3.3) = Ё^=Щ.
Пример. Волна де Бройля равномер
но движущейся частицы.
Уравнение Шредингера: \h
dt
Ж^ =
h2 аз ψ
2т dz2
, Ж = р\/2т, ψ=ι|)(ζ, 0·
Решение: ψ = г|)0 ехр Π (kz — (dt)]; Η(ύ =
= (hk)V2m.
Оператор энергии: ΖΓψ = -f- ihdtyldt =
= /ίωψ = (hk2)l2m г|) = const ψ.
Энергия: Ε = {hk)2l2m.
Оператор импульса: pz г|) = — ihdty/dz =
= НЩ = const ψ>.
Импульс: pz = hk.
Оператор координаты: jn|> = χψ Φ consttj).
Координата: χ — не определена (см. 7.4.3).
7.3.5. Не зависящее от времени урав-
нение Шредингера.
Предполагая, что оператор
Гамильтона не зависит явно от времени,
получаем не зависящее от времени
уравнение Шредингера:
ψ (qh91) = ехр (— Ш) Ψ Ы =
= ехр(
i
V
h
t) Ψ Ш,
где Ψ (qh) — не зависящая от времени
волновая функция я Ε — стационарная
энергия состояния механической
системы. Не зависящее от времени
уравнение Шредингера должно решаться
с учетом граничных условий для Ψ (q^).
Это возможно только при
определенных значениях Е. Эти значения
называют собственными значениями
энергии, а соответствующие не зависящие от
времени волновые функции Ψ (qk) —
собственными функциями. Каждое
собственное значение энергии и
соответствующая ему собственная функция
описывают некоторое состояние
механической системы. Если состояния с
различными собственными функциями
обладают одним и тем же собственным
значением энергии, то эти состояния
называют вырожденными.
Вывод. Волновая функция для
стоячей волны:
ψ (х, у, г, /) = Ψ (χ, у, ζ) ехр (—Ш).


Оператор энергии:
£ψ (χ, у, ζ, f) = -\-'\h {dldt) x
χ {Ψ (*, ί/, ζ) exp (—ίω/)} =
= /ίωψ (χ, у, г, /) = £ψ (χ, yy ζ, /);
Ε = Λω.
Зависящее от времени уравнение
Шредингера:
\h — {Ψ (χ, у, ζ) exp (—ίω/)) =
dt
= exp (—ίω/) Αωψ (#, #, ζ) =
χ {Ψ (χ, ί/, z)exp(—ίω/)) =
= exp (— ίω/) χ
χ Ü (ρχ, pyt ρ2, χ, у, ζ) Ψ (χ, yy ζ).
Частица в потенциале.
Для частицы, которая движется в
не зависящем от времени потенциале
U (ху у, ζ), можно записать не
зависящее от времени уравнение
Шредингера в следующей форме:
ΔΨ + (2m/Ä2) {E — U(x, у, ζ)} Ψ =0.
Здесь Δ обозначает оператор Лапласа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для частицы,
движущейся в поле с потенциалом £/,
имеем:
ι
Ж
2/п
р2 + £/(х,#, ζ)
№
2т
A + U(x,y,z).
ПО-
После подстановки в ΜΨ = £Ψ
лучается приведенное уравнение.
Пример. Частица в потенциальном
ящике. Частица массой т, которая может
двигаться только вдоль оси х, находится в
потенциальном ящике: £Пот — 0 Для 0 < χ <[
<; α, £дот = °° Для к 0 и о fl, В силу
предположения конечности энергии частицы
условие £Пот = °° Для χ < 0 и χ > а
означает, что из-за непрерывности Ψ (χ)
обращается в нуль для χ <! 0 и х > а. Это
следствие можно точнее обосновать с помощью
результатов § 7.4.
Ограничиваясь областью 0 <! χ <[ а и
учитывая, что Εηοτ = 0 и £кин — Р*/2т,
получаем не зависящее от времени уравнение
Шредингера
&Ψ(χ)
h*
1
2т
d*
Ί>1 Ψ (х)
2т dx*
Ψ(χ) = ΕΨ(χ),
с граничными условиями Ψ (0) = Ψ (α) = 0.
Не зависящее от времени уравнение
Шредингера можно преобразовать к виду
(dVdx2) Ψ (χ) + (2mE/h2) Ψ (χ) = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
ψ (*) = ψ0 sin (kx) + Ψ^ cos (kx)9
где k= (2mE/h*)l/2.
Используя граничные условия, находим,
что
Ψό = 0 и ka — ηπ, где η — 0, ± 1, ± 2, ...
Для η = 0 Ψ (χ) ξ 0, и поэтому решение
k — 0 не имеет смысла. Кроме того, знак η
также не имеет смысла, так как sin (— kx)=
= — sin (kx) и sin (kx) представляют одну
и ту же функцию с точностью до
постоянного множителя — 1.
Таким образом, решения не зависящего
от времени уравнения Шредингера для
частицы в потенциальном ящике имеют вид:
Ψп (χ) = Ψ0 sin (плх/а)\
£n = (Ä2/8ma2)n2, где л = 1, 2, 3, 4,...
Квантовое число η характеризует
возможные квантовомеханические состояния
частицы в потенциальном ящике; Еп представляют
собой соответствующие энергии или
собственные значения энергии (рис. 239). Амплитуда
*
п~3
п~2
п-1
0 ах
Потенциальная яма
Рис. 239
Уровни энергии
Ψ0 волновой функции Ψη (χ) определена
ниже (см. 7.4.1).
Следует отметить, что энергетически
наиболее глубокое состояние частицы в
потенциальном ящике имеет энергию, отличную


от нуля. Эта так называемая нулевая энергия
Ех = Нг/8та? тем больше, чем уже
потенциальный ящик. Она растет как ΐ/α2.
Нулевые энергии возникают и при
рассмотрении других квантовомехани-
ческих задач (см. §7.5). Они являются
типичным признаком волновой
механики — в классической механике
аналогичного явления нет.
§ 7.4. Смысл волновой функции
Введение. В классической
механике можно точно задать
координату и импульс материальной точки в
любой момент времени. В
противоположность этому, в волновой механике
возможны лишь вероятностные
предсказания относительно координаты,
времени и импульса. Согласно М. Бор ну
(1882—1970), волны де Бройля и вообще
все волновые функции ψ должны
интерпретироваться статистически. Они
определяют вероятность
местонахождения частицы и средние значения
физических величин, например
координаты, импульса, энергии и т. п. В
соответствии с соотношением
неопределенностей Гейзенберга, в волновой
механике пары определенных физических
величин, например координата и
импульс, принципиально не могут быть
одновременно точно известны.
Статистическая структура волновой
механики подвергает сомнению и
причинность в физике.
7.4.1. Вероятность местонахождения.
Плотность вероятности
местонахождения. Плотность
Ρ (χ, у, г, t) вероятности
местонахождения частицы в точке г = {*, у, ζ} в
момент времени t определяется с
помощью волновой функции ψ (χ, у у г, ί)
по формуле
Ρ (χ, у, ζ, /) = ψ* (χ, у, 2, t) ψ (χ, у,ζ J) =
= Ι Ψ (*» У, *» t) |2.
Вероятность
местонахождения частицы в
некоторой области. Вероятность
W (Ω, t) местонахождения частицы в
области Ω в момент времени t
определяется (рис. 240) интегралом
Рис. 240
W(Qtt)=\\ \ P(x,y,z,t)dxdydz =
Ω
= j j j | ψ (*, У у ζ, t) I2 dx dy dz.
Ω
Вероятность нахождения
частицы гд е-н и б у д ь. Можно
принять, что описываемая волновой
функцией ψ частица в каждый момент
времени где-нибудь находится.
Поэтому вероятность WuonH (t) того, что
частица в момент времени / будет
найдена где-то во всем пространстве,
полагают равной единице:
w пол*
-|-оо +оо -f-oo
- ί ί ί '<*·
— οο — οο —οο
.(0 =
У у 2,
/) dx dy dz =
= 1.
Это утверждение эквивалентно условию
нормировки волновой функции:
J J J Ψ* (χ, ί/, *> t) χ
— οο — οο —οο
Χ ψ (χ'»У',ζ» t)dxdydz~\.
С помощью этого условия полностью
определяется амплитуда волновой
функции.
Плотности вероятности
собственных функций. Если
волновая функция ψ (χ, у, 2, /)
частицы определяется собственной
функцией или решением не зависящего от
времени уравнения Шредингера
MW(x,y,z) = EW(x,y,z),
где ψ (χ, у, 2, t) = Ψ (χ, у, ζ) χ
Χ exp (—lEt/h), то и плотность евро-


ятности местонахождения не зависит
от времени:
Р(х,
у,
z,t) =
* (*, ί/, ζ, ή ψ (χ,
у, ζ) Ψ (χ, у, ζ).
У,
z,t) =
Пример. Частица в потенциальном
ящике (см. 7.3.5).
Амплитуда Ψ0 собственной функции
Ψη (χ) = Ψ0 sin (плх/а) частицы в
потенциальном ящике определяется условием нор-
мирсвки
а а
j ψη (х) Ψη (x) dx= J Ψ* sin2 (плх/а) dx = \.
о о
Она равна Ψ0 = (2/α),/2,
= (2/α)1/2 sin (плх/а).
Плотность вероятности
т. е. Ψη (χ) =
Ρ η (х) = (2 la) sin2 (плх/а) =
=α_1 [1 —cos (2лпх/а)]
для 0 < χ < а, где п= 1, 2, 3, 4, ... (рис. 241).
α χ
Рис. 241
7.4. 2. Средние значения и средне-
квадратические отклонения
наблюдаемых. Η аблюдаемые.
Измеримые действительные физические
величины называют наблюдаемыми. В
соответствии со статистическим
характером волновой механики не все
наблюдаемые точно измеримы. Однако
волновая механика позволяет для всех
наблюдаемых вычислить средние
значения и среднеквадратические
отклонения. Если среднеквадратическое
отклонение некоторой наблюдаемой
обращается в нуль, то ее называют
точно измеримой в данном состоянии кван-
товомеханической системы.
Задача. Дано: а) собственное
состояние: Жу¥к (х,у, z) = Eh Wh (x, у, г),
причем
jXf 4*k(x, У, z)Wh(x, у, z)dxdydz=\\
б) квантовомеханический оператор А
некоторой физической величины Л,
например рх: рх = —\hdldx.
Требуется найти: а)
среднее значение Ak наблюдаемой А в
состоянии k\ б) среднеквадратическое от-
клонение (А — А й)к наблюдаемой А
в состоянии k.
Определение квантово механического
среднего значения:
-\- оо -f- σο -\- оо
Äh= ί ί ί Vt(x,y,z)x
оо — оо — оо
X \Ä}¥h {χ, у у z)\ dx dy dz.
Эрмитовость или
самосопряженность квантов о-
механических операторов.
Средние значения А наблюдаемых_дол-
жны быть действительны, т. е. А* =
= А. Тогда из определения кванто-
вомеханического среднего значения
следует, что
Ц$ ΨΑ (*, у, ζ) \АУт (*, у, z)) dxdydz
= ^ ^т {X, У, Ζ) Χ
х\А*Щ(х,у,г)\ dxdydz.
Математические операторы,
удовлетворяющие этому интегральному
уравнению, называют эрмитовыми. Кванто-
вомеханические операторы наблюдаемых
эрмитовы.
Поведение среднеквад-
ратического отклонения.
В соответствии с определением квантово-
механического среднего значения
наблюдаемой ее среднеквадратическое
отклонение в состоянии k определяется так:
χ
(A-Ah)l = l§W*k{x,y,z)
X {{Ä —~ÄkY Ψ* (х, У, ζ)) dx dy dz.
Среднеквадратическое отклонение
удовлетворяет двум следующим
законам:


1) Если ΑΨ}1 (х,^ у, ζ) =
= const ΨΛ (χ, у, ζ), το ÄWh (χ, у, ζ) =
= АкУк(х, у, ζ) и (А - 1)1 = 0.
Наблюдаемая А точно измерима в
состоянии k, причем А = Ah.
2) Если ÄWh (χ, у, ζ) φ
const ΨΑ (χ, у, ζ), то (А— А~МФ0.
Наблюдаемая А принципиально
не может быть точно измерена в
состоянии k. Среднее значение по
совокупности измерений равно Ah.
Пример. Частица в потенциальном
ящике.
Средние значения координаты χ в
состоянии п: хп = а/2.
Среднеквадратическое отклонение (х — а/2)
в состоянии п: (х — «/2)^ = а2 (1/12 —
—1/2 π2η2).
Среднее значение энергии Ε в состоянии п:
Еп = h2n2/8ma2.
Среднеквадратическое отклонение
энергии Ε в состоянии п: 0.
7.4.3. Перестановочные соотношения
Гейзенберга и соотношение
неопределенностей. Согласно В. Гейзенбергу
(1901—1976), определенные пары
наблюдаемых в волновой механике не
могут быть одновременно измерены.
Примерами являются координата χ и
импульс рх, а также энергия Ek и
время жизни tk состояния k некоторой
квантовомеханической системы.
Перестановочные
соотношения. В основе утверждения
Гейзенберга лежат перестановочные
соотношения для квантовомеханических
операторов координаты и импульса
частицы:
(УЧ ./"Ч УЧ /\ V У •Ч y<S. •Ч УЧ V
х Ρχ— ΡχΧ) = Μ; \хРу — РуХ) = 0;
0/-Ч. УЧ х-ч '~ч ν
/ Ру — РуУ) = М\
ζ ρζ — pzz) = \h и т. д.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для переста-
•ч •>.
новочного соотношения между χ и рх:
χ
\П
d
dx
ψ(*)
\ft
d
dx
xty (x) =
/7 A
■=—\bx —ψ (*) + \ftx—— ψ (x)-\-ihty(x).
Соотношение
неопределенностей для
координаты и импульса. Как показал
Гейзенберг, среднеквадрэтические
отклонения для координаты χ и импульса
рх частицы не могут одновременно
обратиться в нуль. Справедливо
соотношение
Если, например, импульс рх измерен
точно, то координата χ остается
полностью неопределенной.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО с помощью
перестановочных соотношений. Ради
простоты положим χ = рх = 0. Для
действительного μ всегда
-f-oo
= Л (μ* -
j =
hd/dx)ty 12dx > 0. Вычисле-
σο
ние квадрата модуля
ного выражения дает
подынтеграль-
/=μ2 Γχ2 |ψ|2ί*Λ:+ f ψ* pi ψ dx +
+ ίμ j ψ* [xPx — Px x}tydx =
= μ2χ2-\- ρχ— μ#.
Так как J (μ) положителен для
действительных μ, уравнение / (μ) = 0
должно иметь комплексно сопряженные
корни. Это означает, что х2 pl^ h2IA.
Соотношение
неопределенностей для энергии и
времени жизни. Аналогично
координате и импульсу, для энергии Ε и
времени жизни t состояния
квантовомеханической системы справедливо
соотношение
7.4.4. Уравнение непрерывности в вол-
dx
dx
новой механике. Если потребовать для
квантовомеханической системы
сохранение числа частиц, то можно с
помощью зависящего от времени уравнения
Шредингера и уравнения
непрерывности получить квантовомеханическое
выражение для плотности потока
вероятности S:


дР/dt + divS = 0;
S = (\h/2m) (ψ* grad ψ—ψ grad ψ*).
Здесь Ρ (χ, у, ζ у t) — плотность
вероятности местонахождения (см. 7.4.1),
a S (х, у, ζ, ή — плотность потока
вероятности .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО для Ж =
= (l/2m)p2 + U:
\П ψ = — (Н2/2т) Δψ + £/ψ;
— iÄ ψ* = — (/i2/2m) Δψ* -f ί/ψ*;
iÄ (ψ* ψ + ψ* ψ) = — (h2l2m) (ψ* Δψ —
— ψΔψ*);
\ttd (ψ* tyldt =
= — (Ä2/2m) div (ψ* grad ψ—ψ grad ψ*).
Плотность
электрического заряда и плотность
тока. Если рассматриваемая частица
имеет электрический заряд —е, то для
плотности электрического заряда и
плотности тока получаем
Рэл = — ^*Ψ и J = — е$ =
= —(\eh/2m) (ψ* grad ψ — ψ gradij)*).
Локальная скорость и
потенциал скорости.
Средняя локальная скорость ν (χ, у, ζ, t)
частицы массой т определяется
соотношением
S (х, у, г, /) = Ρ (χ, у, г, /) ν (χ, у, ζ, ί).
Если представить волновую функцию
ψ частицы в форме ψ = и ехр (ίφ), то
получим, что Ρ = и2 и S =
= и2 grad (h(p/m), так что локальная
средняя скорость ν = grad (Ηψ/m).
Поэтому Ηφ/m соответствует потенциалу
скорости частицы. Отсюда следует, что
локальная скорость ν и плотность
потока вероятности S только тогда могут
быть отличны от нуля, когда состояние
описывается комплексной функцией:
ψ — действительна: S = О, ν = 0;
ψ — комплексна; S φ 0, ν Φ 0.
7.4.5. Математические свойства соб-
ственных функций.
Предположение. Даны
состояния п квантовомеханической
системы, описываемые собственными
функциями Ψ„ (χ, у, ζ) и собственными
значениями энергии Еп оператора
Гамильтона:
MWn(xry,z) = EnWn(xty,z).
Нормировка. В силу связи
волновых функций Ψ (χ, у, ζ) с
плотностью вероятности Ρ (χ, у, ζ)
собственные функции Ψη (χ, у, ζ) должны
быть, когда это возможно, отнормиро-
ваны:
-)- оо -)- оо -)- оо
ί ί ί ^-{x,y,z)x
— оо — оо — оо
Χ Ψ« {х, У* ζ) dx dy dz =
^Pn(x,y>z)dxdydz= 1.
Ортогональность. Кванто-
вомеханические операторы
наблюдаемых эрмитовы (см. 7.4.2) или
самосопряжены. Оператор Гамильтона,
являющийся оператором энергии, также
эрмитов. Для собственных функций
эрмитовых операторов справедливо
утверждение: собственные функции
эрмитовых операторов, например оператора
Гамильтона, ортогональны, если при
этом считать, что соответствующие
собственные значения, например
собственные значения энергии, различны.
Если Ж Ψη (χ, у, ζ) = Еп Ψη (χ, у, ζ) и
Ж Ψ™ (χ, y,z) = EmWm (χ, у, ζ),
-f- σο -f- oo -j- оо
jjj Vn(x,y,z)x
— оо —оо —оо
Χ Ψ™ (χ, у, ζ) dxdydz = 0,
когда пфт и ЕпфЕт.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: $Ψη=Εη Ψη и
§^*näeWmdxdydz-
- $ Ψ,» Ж* Ψ'η dx dy dz =
= (Em-En) $ Ψ* Wm dx dydz = 0
в силу эрмитовости.


Полнота системы
собственных функций. Собственные
функции Ψ„ (χ, у, ζ) эрмитового
оператора, например оператора
Гамильтона, образуют полный базис в
пространстве квадратично интегрируемых
функций Ψ (jc, у, ζ). Если
-j- оо -f- ох) -|- оо
J J J У*(х,у,г)х
оо —оо
эо
χ Ψ (χ, у, ζ) dx dy dz < оо,
то
Ψ (χ, у, ζ)= ΣαηΨ„(χ, #,ζ).
η
Собственные функции
как полный
ортонормировании й базис. На основании
проведенного выше рассмотрения
возможно и желательно представить
квадратично интегрируемые волновые
функции Ψ (χ, у, ζ) в виде разложения по
полному ортонормированному базису
собственных Ψη (χ, у, ζ) оператора
Гамильтона с собственными
значениями энергии Еп:
Базис Ψη (χ, у, ζ):
Ж Ψη (χ, у, ζ) = Еп Ψη (χ, у, ζ);
-|- οο -(- οο -(- οο
J J J ΨΪ(*.0.2)Χ
οο — οο — οο
ΧΨ/η (χ,У* *) dx dy dz = Ьпт =
1 при п — т\
О при пфт,
гДе бпт — δ-символ Кронекера (Л.
некер, 1823—1891).
Волновая функция Ψ (*, */, г) =
= Σαη Ψη (χ, ί/, г);
Κρο-
П
-}-οο -f-oo 4-00
α
η
j j j Ψ* (χ, у, г) х
οο —οο — οο
χ Ψ (χ, у у ζ) dxdy dz.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО последнего
равенства:
ί Κ Ψί Ψ dx dy dz =
= \{\^n^rnyyrndxdydz =
= yL^m[\[^n^mdxdy dZ =S«m6nm =
Пример. Волновые функции частицы в
потенциальном ящике. Предположения
относительно волновых функций:
ψ(* = 0) = Ψ(* = α) = 0,
а
§\Ψ(χ)\*άχ< οο.
о
Ортонормированный базис: ψη (χ) =
(2/α)1/2 sin (ηπχ/α), η = 1, 2, 3, ...
Пример нормированной волновой
функции:
Ψ (χ) = (12/α3)1/2 χ при О < χ < α/2;
Ψ (χ) = (12/α3)1/2 (α - χ) при α/2 < χ < α.
Представление с помощью базиса Ψη (χ):
Ψ{χ) =
Σ
η—1, 3, 5,...
1_
/Ι*
η—1
(-1) 2
(я/2)*
Ψη (χ).
7.4.6. Матричное представление кван
товомеханических операторов. В
противоположность Л. де Бройлю (1892)
и Э. Шредингеру (1887—1961), В. Гей-
зенберг сформулировал волновую
механику не с помощью волновых функций
и операторов, а с помощью матриц.
Е. П. Иордан (род. в 1902 г.) показал,
что эти представления эквивалентны.
Приведем представление наблюдаемых с
помощью матриц и покажем связь этого
представления с волновыми функциями
и операторами.
Предположение.
Ортонормированный базис:
η
$Ц Ψ·η Ψ» dxdydz = 6„m.
Квантовомеханический оператор: А.
Матричное представление
оператора-.
-f- оо -\- оо -f-oo
Апт= ί § S ψί(*.0. *)х
оо
оо — оо
x{AxYm(x, y,z)\ dxdydz.
Эрмитовость оператора:
Апт — Атп\ Ann — "nn
действительные числа.


Квантовомеханические операторы
представляются эрмитовыми, т. е.
самосопряженными матрицами.
Единичный оператор 1Ψ (л\ у, ζ) =
= Ψ (χ, у, ζ);
\* )пт ®п
тп
— СИ МВОЛ
Кронекера (см. 7.4.5).
Средние значения.
Среднее значение наблюдаемой А в
состоянии п:
Ап = §^Ψ*η\ΑΨη\ dxdydz = Апп.
Не зависящее от времени уравнение
Шредингера в матричной форме:
2и Нптат — Εαη—2ΐΐΕνητηατη·
т
т
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Уравнение
Шредингера в операторной форме:
/'S
ΜΨ = ΕΨ = Ε\Ψ.
Полный ортонормированный базис:
* Т. ^т * т·
т
\\\^пЖ^ dxdydz =
= J$$ Ψί Μ Σ «m Vm dxdydz =
Ζλ лпт otm —
т
WVnEVdxdyd
ζ =
= Ε 2 «m $ ψη Чт dxdydz = Ean.
Секулярное уравнение.
Не зависящее от времени уравнение
Шредингера в матричной форме
позволяет определить собственные значения
энергии с помощью секулярного
уравнения
Во многих случаях это уравнение
позволяет путем решения алгебраических
уравнений найти собственные значения
энергии.
Пример. Частица в потенциальном
ящике (масса частицы равна М). Матрица
энергии, или гамильтонова матрица,
Η пт — °ι
А2/8Ма2
0
0
0
чт к η
0
■bnmh*n*/8Ma* =
0
h2/2Ma2 о
0
0
9/ι2 /8Μα2
0
0
0
0
2h2] Μα2
Матрица координаты
а
хпт ön
2а
X
1
1
X
(п + т)2 (п~- т)2
6=0, ± 1, ±2,...; п, т = \, 2, 3,.
хпт —
а
~2
Ü —
9 π2
0
8
9
а
2
24
2а
π2
2а
16 2а
0
24 2а
25 π2
а
25
π;
225 π2
0
48 2а
49 π2
§ 7.5. Волновая механика
одномерного гармонического
осциллятора
7.5.1. Уравнение Шредингера
гармонического осциллятора.
Дифференциальное уравнение
движения:
• · · ·
тх = —fx; ωό = flm\ χ -f- ωδ x = 0.
Энергия: Ε = (т/2)х2 -f (f/2)x2.
Функция Гамильтона: Н = pl/2m +
+ {fl2)x\
Оператор Гамильтона:
He зависящее от времени уравнение
Шредингера
ΜΨ (х) =
ft2 d2
2 т dx2
Ψ(*) +
т
ω20 χ2 Ψ (χ) = ΕΨ (χ)\
-ψ (χ, t) = Ψ (χ) exp [ — i (Ε/Λ) t]


Граничные условия:
ψ(οο) = ψ(— оо) =
0; f \ΨΜ\*άχ = 1.
; j |Ψ(*)
σο
Вероятность местонахождения Р дол
жна обращаться в нуль на бесконеч
ности.
7.5.2. Решение уравнения Шредингера.
Преобразование
метров:
пара-
х=х' х0', х0=]/гН/т(о0; Е=Е'Ео\
Е0 = #ω0/2;
агх¥{х')1ах'2 + {Е' -χ'2)Ψ(χ')=0.
Подстановка:
Ψ {χ') = exp (—x'V2)f (x').
Преобразованное
уравнение Шредингера:
0 = d2f (x')Idx'2 — 2x'df {x)ldx' +
+ (Ε' - \)f {χ').
Решение преобразованного
уравнения Шредингера. Если Е' = 2п +
+ 1, то f {х') = const Hn(x'),
где Нп — п-й полином Ш. Эрмита
(1822—1901). Полиномы Эрмита
описаны в приложении П4.2.8.
Собственные значения
энергии:
Еп=Пщ(п+М2).
У одномерного гармонического
осциллятора нет вырожденных
состояний.
Разность между соседними уровнями
энергии ΔΕ = Ηω0. Нулевая энергия
Е0 = -~- /kö0 (рис. 242). При каждом из-
Ei
о
уровни энергии
менении квантового числа от η до η + 1
энергия увеличивается на Н(о0. На этом
основании η равно числу квантов
колебаний. Кванты колебаний
кристаллической решетки в твердых телах
называют фононами.
Собственные функции
= ехр[ —ί(/ι+1/2)ωο/]Ψη(*);
ψη (χ) = 1 \уХь γ2η n\Vnx
χ Hn (х/Хо) exp {—x2/2x2o},
где Нп — п-й полином Эрмита,
согласно П4.2.8; х0 — нормировочная
единица длины, х0 = Yhlm^Q, Nn — п-й
нормировочный множитель. Nn =
=(Vx~o V2nn\Vn)~1.
Собственные функции Ψη (χ)
гармонического осциллятора
действительны!
Волновые функции (рис. 243).
Рис. 243
Плотности вероятности
(рис. 244).
Ρ„(χ)·\φη(χ)\
Рис. 242
Рис. 244


Матричное представле
н и е . Матрица энергии:
F =6 Ε =
Е0
0
0
0
β
0
Ει
0
0
•
0
0
Е2
0
•
0 .
0 .
0 .
£3
•
Матрица координаты:
хпт— XoVm/2 ön,m-i~b
+ XoV(m + \)/2 δ
η, m+l>
Ai,m = 0, 1, 2, 3,...
^пш'^О
0
Vi/2
0
0
•
V 1/2
0
j/2/2
0
•
0
1/2/2
0
V3/2
•
0 .
0 .
V3/2 .
0 .
•
§ 7.6. Квантовая механика
момента импульса
7.6.1. Операторы момента импульса.
Момент импульса в
классической механике:
L = г χ р, Lx = ypz — zpy, (L)2 =
= 1-х ~г Ly ~г ^г>
Квантовомеханические
операторы:
г = г; р= —iÄgrad;
/Ν
•Ν
L =
■— "~~"
-—
(LY
■- — i#(rxg
-\h(yd/dz-
-\h(zd/dx-
-\% (хд/ду-
— L-χ-γ- Ly
;rad);
-zd/dy);
- хд/dz);
-yd/dz);
+ Ll
Перестановочные
соотношения:
У«Ч /Ν
Lx = (l/ih)(LyLt-LtLy),
Lx(if-(iTLx = 0;
Ly=(l lift) (Lz Lx—LXLZ),
Lz=(l/\h)(LxLy—LyLx),
Lz(L)2-{LYLz=0.
Операторы любой компоненты
момента импульса коммутируют с
оператором квадрата момента импульса и
не коммутируют друг с другом. Отсюда
следует, что всегда только одна
компонента момента импульса и квадрат
момента импульса могут быть
одновременно точно измерены.
Операторы в сферических
координатах:
χ = г sin θ cos φ; у = r sin θ sin φ;
ζ = r cos θ;
Lx = -f-iÄ ( sin ц>д/дв -f-
+ ctg θ cos cpd/dcp);
L„= — \h (cos (pd/dQ — ctg θ sin (pd/d(p);
Lz = —\Нд/дц>;
(ί,)β=-Α"Δθ,φ =
= — h2
1 d / . Q d
sin θ
sine ae ν ae
+
+-
ι
аз
Sin2 θ аф2
7.6.2. Собственные функции и собст-
венные значения:
(£)2^(θ,φ) = /(/+1)Α2Κ/7η(θ,φ);
ΕζΥ1τηφ, φ) =/пАУ/т (θ, φ).
Квантовое число
момента импульса
Квантовое число
проекции момента импульса:
т = —/, —/ + 1, ·. ., / - 1, /.
Собственные значения —
точно измеримые физические
величины.


Пример. 1=2 (рис. 245).
-2Ь
К т-2
h-Z—zAm-l
\ т=0
—ν—^V/u-f
Υ -У т-2
L2=2(2+1)Ä2 =
= 6Ä2;
LZ=-2Ä. -ΙΑ,
Ο, +1Ä, + 2Й.
Рас. 245
Собственные функции
представляют собой сферические
функции (см. П4.2.11):
η«(θ,φ)= У^
_|т|)!(2/+1)
+ |т |)! 4π
X
XР\т'(cosθ) exp (i/ηφ),
причем
2π π
f \ Υ г т· (θ, φ) Yln (θ, φ) sin 0<Шф =
о о
= δ/' / Öm> m.
Нормировочный
множитель:
Nm = "К(/-|т|)!(2/+1)/(/+|т|)!4я.
Присоединенные и
обычные полиномы А. М. Лежа-
ндр а (1792—1834):
рт (г) = (1 _z2)ml2(dmldzm) Pt (г);
/>, (г) = —i ί!!-{(22-1)'}.
Дальнейшие сведения о полиномах Ле-
жандра приведены в П4.2.9.
Экспоненциальный
множитель
ехр (i/шр) = cos m(p + i sin /ηφ
комплексен, за исключением значения т =
= 0.
Орбитали. Сферические
функции Υ1τη (θ, φ) комплексны, кроме
значения т = 0. Образуя линейные
комбинации сферических функций KZm(9, φ)
и Υι,-m (θ» ψ), можно построить дей
ствительные функции, называемые ор
биталями:
— W,.» + Yl,-m)*
V2
— <У,
V2I
m
Μ, -m)·
Орбитали не являются собственными
функциями L2, так как они
представляют собой смесь состояний (/, т) и
(/, —т).
Орбитали и сферические функции
для значений / = 0, 1, 2 приведены в
П4.2.11.
§ 7.7. Квантованные магнитные
дипольные моменты
7.7.1. Магнетон Бора.
Магнитный момент
электрона на круговой орби-
т е. Электроны, вращающиеся вокруг
атомного ядра, образуют круговой
ток, который, согласно 5.3.8,
эквивалентен магнитному дипольному моменту
т. Так как в соответствии с
предыдущим разделом момент импульса или
орбитальный момент электрона
квантован, то этого же следует ожидать и
для магнитного дипольного момента
электрона.
Связь между магнитным моментом т,
связанным с движением электронов по
орбите, и орбитальным моментом L
электрона определяется с помощью
магнетона Бора, названного по имени
Н. Бора (1885—1962):
где те — масса электрона; —е —
электрический заряд электрона. В
соответствии с отрицательным знаком в этой
формуле, векторы m и L направлены в
противоположные стороны. Причиной
этого является отрицательный знак
электрического заряда электрона —е.
Гиромагнитным отношением в общем
случае называют коэффициент пропор-


циональности у между магнитным мо
ментом m и моментом импульса L эле
ментарной частицы:
[т = γι.
Для электрона на траектории вокруг
ядра
у = — е12те = 8,794 · ΙΟ10 Α · с · кг"1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим
электрон, вращающийся с круговой
частотой ω по круговой траектории
радиусом R вокруг ядра (рис. 246).
те,-е
ω
Рис. 246
Скорость: υ = ω/?.
Момент импульса: L = [R X р] =
= [R X те\] = meR2e>.
Магнитный момент, эквивалентный
круговому току:
m
А
-- IAn; In = (ω/2π) (—е)
= —(ω/2π) е;
π/?2; m = — (ы12п)епЯ2
-(e/2)R2<o = ~(e/2me)L.
Ларморовская
прецессия. Прецессия микроскопического
магнитного диполя с моментом m в
магнитном поле В названа ларморовской
по имени Дж. Лармора (1857—1942).
Частота прецессии, или ларморовская
частота, определяется гиромагнитным
отношением у:
<«>л
уЪ.
Если микроскопический диполь явля"
ется электроном, вращающимся по
круговой траектории, то
1
о)л = (е/2те)В
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Механический
вращательный момент, действующий
на диполь:
Τ = m X В =у L X В =
- —γ (В X L).
Прецессия: Τ = dL/dt = «л X L.
Ларморовская частота: о>л = —γΒ.
7.7.2. Квантованный магнитный ди-
польный момент, связанный с
моментом импульса электрона.
Квантование. Из
соотношения между магнитным моментом m и
моментом импульса L электрона и из
квантования L (см. 7.6.2) следует и
квантование т:
ιη2 = μ£/(/+1); (т)г=—рБт,
т— —/, —/ + 1,..., +/·
Энергия в магнитном по
л е (рис. 247). В магнитном поле В =
Рис. 247
= {О, О, В} магнитный диполь обла
дает энергией Ε = Еп,
от·
о "^цикл ·
Электронный
парамагнитный резонанс (ЭПР). Если
электромагнитное излучение с
частотой ν вступает во взаимодействие с
магнитным дипольным моментом ш,
находящимся в магнитном поле В, то ди-
польный момент поглощает излучение
лишь при выполнении двух условий:
а) правила отбора, которое
определяется типом взаимодействия маг-


нитного дипольного момента m с
излучением:
Дт = ± 1;
б) соотношения Планка ΔΕ = /rv.
Поглощение наступает,
следовательно, при частоте
ν = μΒ(£//ι) или v/ß = l,4 МГц/Гс.
В обычных лабораторных условиях эта
частота находится в микроволновой
области (ν = 1010 Гц).
Парамагнитный резонанс
используется для изучения парамагнитных
ионов в кристаллах.
7.7.3. Спин электрона и его магнит-
ный момент.
Спин. Собственный момент
импульса электрона, или спин электрона, s
ведет себя иначе, чем орбитальный
момент L. Из экспериментов О. Штерна
(1877—1957) и В. Герлаха (род. в 1889 г.)
следует, что
s2 = h2s (s -f
(s)2 = msh ■-
s = 1/2, ms
l)=3/4£2;
= ±VjA;
= ±1/2.
Магнитный момент.
Чтобы получить магнитный дипольный
момент, связанный со спином электрона,
следует умножить магнетон Бора на
так называемый g-фактор:
т = — ^μΒ s/ä;
m2=+gV^(s+l)=-b
(m)z=—gμъms = + 1
g = 2,0023 ж 2.
3/4#Х;
/2#μΒ;
Поправка в виде ^-фактора возникает
потому, что спиновый магнитный
момент электрона определяется
релятивистскими эффектами. Релятивистская
квантовомеханическая теория электрона
была создана П. А. М. Дираком (род.
в 1902 г.).
Энергия в магнитном по-
л е. Магнитный дипольный момент т,
связанный со спином электрона s,
обладает в магнитном поле В = {0, 0, В)
энергией
\E = -m.Ъ = +gμъBms = ±(gf2)μъB. I
Электронный спиновый
резонанс (ЭСР). Если спиновый
магнитный момент m электрона,
находящегося в магнитном поле В, вступает во
взаимодействие с электромагнитным
излучением частоты ν, то выполняется
(рис. 248) правило отбора:
Äms = d= 1 ·
ms-+1/2
ν в
ms—1/2
Рис. 248
Из соотношения Планка ΔΕ = ην
получаем для частоты поглощения
v = g^bB/h или v/B = 2,8 МГц/Гс.
При обычных лабораторных условиях
эта частота находится в микроволновой
области (ν = 1010 Гц).
Электронный спиновый резонанс
служит для изучения свободных
радикалов и парамагнитных ионов в
кристаллах.
7.7.4. Ядерные спины и их
магнитные моменты.
Ядерные спины.
Собственный момент импульса ядра, или
ядерный спин, I может иметь целые или
полуцелые значения квантового числа
/. Следует отметить, что каждое ядро
имеет определенное значение
квантового числа /, которое присуще данному
ядру. Справедливы формулы:
Р = А*/(/ + 1); (l)2=Ämf;
/=0, или 1/2, или 3/2, или 2, или...


Магнитные моменты.
Происхождение магнитных моментов m
ядерных спинов I, как и спинового
магнитного момента электрона, можно
объяснить только в рамках
релятивистской теории. Справедливы формулы:
т =
= + £яД μΝ I/Ä :
m* = g*^hI(I + l) = V
(m)z =
+ £яД μΝ ml =
= yh
!v2/(/ + i);
+ hyrrij.
m.
μΝ = eh/2mp = £- μΒ =
• μ2 — ядерный
Здесь
= 5,0510 · ΙΟ"27 Α
магнетон; £Яд — гиромагнитный
фактор, или g-фактор ядра; у —
гиромагнитное отношение.
Так как масса протона тр много
больше массы электрона те, то ядерный
магнетон μ^ много меньше боровского
магнетона цб. Порядок значения
^-факторов — единица, однако они могут
иметь как положительный, так и
отрицательный знак. У ядра с
положительным ^-фактором в противоположность
электрону магнитный момент
параллелен ядерному спину.
Энергия в магнитном
поле. В магнитном поле В = {0, 0, В}
магнитный момент ядра обладает
энергией
E=-m-B=-(gslApN)BmI = -hyBml
Пример,
рода.
Протон — ядро атома водо-
mj'-'h
Рис. 249
Ядерный магнитный
резонанс (ЯМР). Если магнитный
момент m ядра, находящегося в магнитном
поле В, вступает во взаимодействие с
электромагнитным излучением
частотой ν, то выполняется правило отбора
Дт7 = ± 1.
Соотношение Планка ΔΕ = hv при
водит к частоте поглощения
v=(yl2n)B = gHJS>\kNBlh.
Это поглощение называют ядерным маг
нитным резонансом (ЯМР). Если ядро—
протон, то
/ = 1/2, vA8 = 4,26kIWc.
В лабораторных условиях ЯМР
наблюдается в области частот от 107 до
109 Гц.
Ядерный магнитный резонанс
представляет собой важное вспомогательное
средство в исследованиях по
аналитической органической химии и
биохимии.
§ 7.8. Квантовая механика
атома водорода
7.8.1. Простая модель атома водорода
(рис. 250). Простейшая содержательная
тр,+е
Рис. 250
модель атома водорода может быть
описана следующим образом.
Учитывается: масса
электрона те = 0,911 · 10~30 кг = т\
электрический заряд электрона — е =
= — 1,602 · 10~19 А · с; электрический
заряд протона-}-е= +1,602 · 10~19 А · с.
Пренебрегаете я:
расстоянием между центром инерции
и протоном. Масса протона тр =
= 1,6726 · 10~27 кг много больше
массы электрона те: тр/те = 1836. На этом
основании в рассматриваемой модели


полагают mplme — оо. Это означает, что
протон помещен в центр инерции 5
атома;
движением центра инерции атома
водорода. Считается, что атом водорода
не движется поступательно. Поэтому
можно поместить центр инерции 5 атома
в начало координат;
взаимодействием атома водорода с
окружающей средой. Столкновения с
соседними атомами, химическая связь,
электрические поля в кристаллах,
внешние электрические и магнитные поля не
принимаются во внимание;
собственным моментом импульса
электрона, т. е. спином электрона s, и,
следовательно, связанным с ним
магнитным моментом (см. 7.7.3);
собственным моментом импульса
протона, т. е. спином протона или ядерным
спином I, и, следовательно, связанным
с ним магнитным моментом (см. 7.7.4);
релятивистскими эффектами.
7.8.2. Уравнение Шредингера атома
водорода.
Оператор Гамильтона.
Кинетическая энергия: так как в нашей
модели принимается, что протон
находится в покое, то должна учитываться
только кинетическая энергия электрона:
£кин = mv2/2 = ρ212т.
Потенциальная энергия в кулонов-
ском поле:
Ε =
1
е*
4πε0
Оператор Гамильтона
Не зависящее от
времени уравнение
Шредингера в сферических
координатах. Сферические координаты:
χ = г sin θ cos φ; у = r sin θ sin φ;
ζ = r cos θ. Оператор Лапласа в
сферических координатах:
Δ =
1
Δθ,φ =
г2 дг
1 д
W —Δθ,φ;
sin θ οθ
дг J r*
sin θ
ι
d2
Уравнение Шредингера:
ΜΨ (г, θ, φ) =
Λ2
2т
ΔΨ (г, θ, φ)
«ι II ■
1 £?«
Ψ(Γ,θ,φ) = £Ψ(Γ,θ,φ);
4ле0 г
ψ (/, /\ θ, φ) =
= βχρ[-ΐ(£/Λ)*]Ψ(/·,θ,φ).
Нормировка и граничные условия
волновой функции:
Г f j | Ψ (г, θ, φ) Ι2 sin θίίθίίφ/-2 dr =
0 0 0
Ψ(γ=οο, θ, φ) = 0.
Параметризация.
Боровский радиус:
для
1;
а0 =4пе0П2/те2= 0,53-10-" м = 0,53А.
Энергия ионизации атома водорода:
Ех = (1/16π2ε2) (me*/2h2) = 13,6 эВ.
Постоянная Ридберга:
Ry = E1/h = 3,29-Wbru;
Ry = Ε J he = 109 737,3 см"1.
<?θ/ sin* θ dq>'
Названа в честь Дж. Ридберга (1854—
1919).
Преобразование уравнения Шредингера
г = аУ\ Ε = ЕХЕ'\ Si = ЕХЖ\
Α'Ψ (Λ θ, φ) = -ΔΨ (/■', θ, φ) -
_(2/γ')Ψ(γ', θ,φ) = £'Ψ(/·',Θ, φ),
οο π 2π
причем JJJ Ι Ψ (Λ θ, φ) I2 r'2 dr'X
0 0 0
Χ sin ЫЫ^ = 1.
7.8.3. Решение уравнения
Шредингера.
Квантовые числа. В нашей
модели каждое состояние атома
водорода определяется тремя квантовыми
числами: главным квантовым числом η =
= 1, 2, 3, 4, ...; квантовым числом
орбитального момента импульса / = 0, 1,


2, ..., (η — 1); квантовым числом
проекции орбитального момента импульса
т = —/, —/ ~Ь 1, ..., / — 1, /.
Состояния названы в соответствии со
значением /:
/ = 0—s-состояние; / = 2—d-состояние;
/ = 1—р-состояние; 1 = 3— /-состояние.
Собственные значения энергии
η , I, m
= —E1/n2=—hRy/n2.
Собственные значения энергии не
зависят от / и т. Все п2 состояний с
одинаковым η обладают одинаковой
энергией, т. е. они вырождены.
Уровни энергии (рис. 251).
о
■Ει/9
Ε,/4
^\\ непрерывный^
спектр мектронοβ
-ε,
Обязанные
состояния электронов:
Основное состояние
Е>0
η =$; 9 состояний
п=2; 4 состояния
Е<0
ηΊ; 1 состояние
нет вырождения!
Рис. 251
Собственные функции:
Ψη,ι,*(ΛΘ,φ)=/?ηΙ(Γ')ΚΙιΛ(θ,φ).
Нормированные собственные функции
атома водорода / ^ 2 можно найти
в П4.2.12.
В приведенной формуле: Υ1τη (θ, φ) —
сферические функции, введенные в
§ 7.6; Rnl (г') = Nnl ехр (—г'/п) (2г7я)' X
X Ln+i (2r'/n) — радиальные функции;
г' = г/а0 — безразмерный радиус;
Nnl —нормировочный множитель; Nnl =
= (2/η2) V (η —Ι— 1)! / {(η + /)!}3χ
χα73/2; Li (χ) = (ds /dxs )Lh (x) -
присоединенный полином Лаге ρ pa; Lh (x) =
= ехр (dk/dxk) \xk exp (— χ)] —
полином Лагерра. Остальные сведения о
полиномах, названных по имени Э.
Лагерра (1834—1886), можно найти в
П4.2.10.
Поведение радиальных функций
Rni (r) лучше всего иллюстрируется
радиальными плотностями вероятно
сти Рп1 {г):
Pnl(r)dr = R2nl(r)r2dr.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — с помощью
усреднения по угловой части
вероятности местонахождения Ρ (г, θ, φ):
Г Г Pnl(r)smQdQdq>
θ φ
г2 dr =
= J J Яя/ (r)\Yim(b φ)|2 sin θ de ώρ ή dr =
θ φ
= R2ni(r)r2dr^\Ylrn(Q,4>)\2x
θφ
Χ sin Q dQ dq> = R2nl (r) r2 dr.
Примеры (рис. 252, 253). В состоя-
Щ Pio(r)
0,5
Рис. 252
Рис. 253
нии Is радиальная плотность вероятности
^ι,ο (г) имеет максимум при значении г,
равном воровскому радиусу а0; г = а0\
7.8.4. Момент импульса атома водоро-
да. Собственные функции Ψη1τη (г', θ, φ)
атома водорода являются также
собственными функциями момента импульса L.
Выполняются равенства:
Ψ
1 η
(L)2¥nim(r',0,cp) =
= /(/+1)Α*ΨηΙΙΛ(/·\θ,
φ);
(/-', θ,
φ).


7.8.5. Точно измеримые наблюдаемые Планка ΔΕ = ην знать правило отбора
в атоме водорода. В рамках нашей мо- Для п:
дели в каждом состоянии атома
водорода одновременно точно измеримы три
физические величины:
энергия:
момент импульса:
z-компонента
момента импульса:
Еп =
Ех/п2;
L2 = + /(/+1)#2:
mh.
L,-
Направление оси ζ определяется
внешними условиями, например заданием
магнитного поля В.
В реальном атоме водорода кроме
перечисленных точно измеримы:
спин электрона s2=3/4#2, sz = ±1/2Л\
спин протона I2 = 3/4Ä2, /2 = 1!2h.
7.8.6. Спектральные линии атома
водорода. В нашей модели собственные
значения энергии, или энергетические
уровни, EnJttn вырождены: они
являются функциями только п: ЕпЛчТП =
= —h Ry In2. Поэтому при
рассмотрении взаимодействия атома водорода
с электромагнитным излучением
частоты ν достаточно помимо соотношения
Δαι = ± 1, ±2,...,
т. е. на изменение η нет никаких
ограничений. Отсюда получаем для частот
поглощения при переходах с более
глубокого уровня Еп1)Пт1 на более
высокий уровень £„2,i2,m2:
Таким образом, спектр поглощения
расщепляется на серии, которые
классифицируются по квантовым числам пг
низшего уровня и по фамилиям их
первооткрывателей .
Серия Лаймана: пх = 1, пг = 2, 3,
4, ..., ν = Ry (1 — Мп\) находится в
ультрафиолетовой части спектра.
Серия Бальмера: пх = 2, п2 = 3, 4,
5, ..., ν = Ry (1/4— Мп\) находится в
видимой части спектра.
Серия Пашена: пх = 3, п2 = 4, 5,
6, ..., ν = Ry (1/9 — \ln\) находится в
инфракрасной части спектра.
Серия Брекетта: ηγ = 4. п2 = 5,
6, 7,..., ν = Ry (1/16 — \ln\)
находится в инфракрасной части спектра.
глава 8. Термодинамика
§8.1. Уравнение состояния
и температура
Термоди-
феномено-
8.1.1. Основные понятия.
Термодинамика.
намика — это классическое
логическое учение о теплоте.
Характерными понятиями термодинамики
являются температура Т, количество
теплоты Q и энтропия 5. Несмотря на слово
«динамика» в названии, термодинамика
рассматривает почти исключительно
состояния равновесия
макроскопических тел, называемых
термодинамическими системами. Эти системы в общем
случае состоят из большого числа
частиц.
Параметры состояния.
Состояние термодинамической системы
описывается некоторым числом
измеримых макроскопических величин—
параметров состояния xt. Этими
параметрами, например, являются: объем V,
давление р, плотность р, поляризован-
ность р, намагниченность М. В твердых
телах вместо давления рассматривается
тензор напряжений Т.
Термодинамическое
равновесие. Состояние
термодинамической системы называют
стационарным, если оно не изменяется во времени.
Стационарное состояние называют
состоянием равновесия или равновесным
состоянием, если неизменность системы
во времени не обусловлена внешними
воздействиями.
Температура. В
термодинамике вводится новый
характеристический параметр состояния — темпера-


тура Т. Термодинамическое
равновесие двух систем или двух частей одной
системы характеризуется тем, что обе
системы имеют одинаковые
температуры.
Эксперименты показывают, что
существует наименьшая возможная
температура Т0. Можно сколь угодно
близко подойти к этой температуре, но
достичь ее невозможно. Если в
используемой температурной шкале Т0 = 0, то
говорят об абсолютной температуре.
Температурные шкалы обсуждаются в
8.1.3.
Уравнения состояния.
Равновесные состояния
термодинамической системы часто описывают
уравнениями, связывающими параметры
состояния:
/\Л1» ···» «f» ···» %п
Примерами уравнений состояния
служат:
уравнение состояния идеального газа (см.
8.1.4):
f(p, V, Τ, п)= pV -nRT = 0;
формула П. Кюри для намагниченности
Μ (см. 5.3.9.4):
/(М, Η,Ν, Т)=М-хтН=М-(Мл2/3£Г)Н=0.
Независимые переменные в
уравнениях состояния называют степенями
свободы. Уравнения состояния можно
представить графически на диаграммах
состояния.
Количество вещества.
Уравнения состояния часто содержат
в качестве параметра меру количества
вещества в термодинамической
системе. Единицей количества вещества в
системе СИ является моль: 1 моль есть
количество вещества в системе,
состоящей из такого числа атомов, молекул
или ионов, которое совпадает с
количеством атомов в 12 г чистого изотопа
углерода 12С.
Число молекул, атомов или ионов Να,
содержащихся в 1 моле вещества,
названо по именам А. Авогадро (1776—
1856) или Я. Лошмидта (1821 — 1895).
Из опыта
ΝΑ = 6,0222ΊΟ23 моль-1.
Для физических величин,
пропорциональных количеству вещества,
термин молярная означает величину,
соответствующую 1 молю или jVa молекул
или атомов.
8.1.2. Агрегатные состояния и фазы.
Под агрегатным состоянием всей
термодинамической системы или некоторой
ее части понимают ее физическое
состояние: твердое, жидкое или
газообразное.
В газообразном состоянии вещество
заполняет любой предоставленный ему
объем. Статические касательные
напряжения (см. 4.1.1.2) отсутствуют. Они
отсутствуют и в жидком состоянии.
Однако жидкое состояние отличается от
газообразного наличием
поверхностного натяжения (см. 4.1.2), которое
приводит к образованию плоской
поверхности покоящейся жидкости в поле
тяжести и капель. В веществе,
находящемся в твердом состоянии, имеются
статические касательные напряжения.
Твердое вещество сохраняет любую
форму без воздействия внешних сил.
Фазы. Химически и физически
однородные области, отделенные друг
от друга поверхностями раздела,
называют фазами. Химически и физически
идентичные, но
пространственно-разделенные области в твердых телах и
жидкостях относят к одной фазе. Благодаря
полной перемешиваемости газов в
каждой системе может существовать только
одна газообразная фаза.
Компоненты.
Компонентами называются различные химические
составные части или неизменные
структурные единицы (атомы, ионы,
молекулы), из которых состоят фазы.
Правило фаз Гиббса.
Согласно У. Гиббсу (1839—1903), число
/ степеней свободы термодинамической
системы из k компонент и Φ фаз
определяется уравнением / = 2 + k — Φ.
Химически чистые
вещества. Химически чистые вещества
соответствуют термодинамическим
системам с одной компонентой. В этом
случае правило фаз Гиббса сводится при
k = 1 к уравнению / = 3 — Ф,
которое иллюстрируется диаграммой
состояния на рис. 254.


р-1"-диаграмма р-У-диаграмма
Рис. 254
Обозначения на диаграмме: Τ —
тройная точка; Кр — критическая
точка; т — твердая фаза; ж — жидкая
фаза; г — газообразная фаза; К —
температура кипения как функция ρ
(кривая парообразования); Π л —
температура плавления как функция ρ
(кривая плавления); И — температура
испарения как функция ρ (кривая
испарения).
Производные dpIdT кривых К, Пл и
И даются формулой
Клаузиуса—Клапейрона (см. 8.7.1).
Если система состоит из одной-един-
ственной чистой фазы т, ж или г, т. е.
Φ = 1, то она имеет две степени
свободы. Можно, например, произвольно
задать давление и температуру. При
сосуществовании двух фаз т + ж, ж + г
или т -+- г, т. е. когда Φ = 2, имеется
только одна степень свободы. Давление
и температура уже более не независимы.
Связь между ними дается кривыми на
ρ—Г-диаграмме, которые разделяют
различные фазы. Эти кривые определяют
температуру плавления, температуру
кипения и температуру возгонки как
функции давления.
При Φ = 3 и k = 1 три фазы могут
совместно сосуществовать только в
одной точке ρ—7-диаграммы — так
называемой тройной точке Т. Для чистого
вещества значения параметров
состояния в тройной точке неизменны и
характерны именно для данного вещества.
Этими параметрами являются давление
рт, температура 7> и три объема —
Vt (пг), Vt (ж) и VT (г) твердой,
жидкой и газообразной фаз соответственно.
Критическая точка Кр
характеризует конец разделения жидкой и
газообразной фаз (см. 8.1.5). Этой точке
отвечают критическое давление ркР,
критическая температура ТкР и
критический объем Укр- Характерным при
достижении критической точки является
возникновение критической опалесцен-
ции — чрезвычайно сильного
флуктуирующего рассеяния света.
8.1.3. Температурные шкалы.
Шкала Кельвина. Единица
температуры в системе СИ названа
Кельвином (К) по имени В. Томсона,
лорда Кельвина (1824—1907). Эта
единица соответствует абсолютной
температурной шкале, имеющей минимально
возможную температуру Т0 в качестве
нулевой точки: Т0 = 0 К. Второй
фиксированной точкой шкалы Кельвина
служит температура Τ τ (Η20) тройной
точки (см. 8.1.2) чистой воды: 7V(H20) =
= 273,16 К.
Приняв эти утверждения, можно
получить, что разность температур между
точкой кипения воды при нормальном
давлении и точкой плавления льда
составляет с достаточной точностью 100 К.
Использование тройной точки чистого
вещества имеет то преимущество, что не
требуется никаких дополнительных
сведений о давлении ρ или других
физических величинах.
Для теоретический градуировки
шкалы по предложению Кельвина можно
использовать второе начало
термодинамики (см. 8.5.5). Практически для
градуировки при очень высоких
температурах используются законы теплового
излучения (см. 9.4.6), при средних
температурах — термическое расширение
почти идеального газа при постоянном
давлении (см. 8.1.4), а при низких
температурах — законы статистической
механики (см. гл. 9).
Шкала Цельсия. Часто
используемой неабсолютной шкалой
является шкала Цельсия (А. Цельсий,
1701 — 1744). По определению, между
шкалой Цельсия и шкалой Кельвина
существует соотношение: Τ (К) =
= Τ (°С) + 273,15 К. Минимальная
температура Т0 имеет поэтому
значение по шкале Цельсия, равное
—273,15° С.
По шкале Цельсия в пределах
достижимой в настоящее время точности
измерений точка плавления льда равна 0° С.
точка кипения воды при давлении ρ =


= 760 тор = 1,01325 · 10б Η · м"2
равна 100 °С.
Разность температур в градусах
Цельсия (С) и в градусах Кельвина (К)
одинакова. Поэтому часто называют
единицу разности температур AT «градусом»
или «град»: [Δ7Ί = К = °С = градус =
= град.
Другие шкалы. Во
франкоязычных странах для градуировки
термометров используют также шкалу
Реомюра (Р) (Р. Реомюр, 1683—1757), а в
англоязычных странах — шкалу
Фаренгейта (Ф) (Г. Д. Фаренгейт, 1686—
1736). Эти шкалы следующим образом
связаны со шкалой Цельсия:
Г(°Р) = (4/5)Г(°С), Τ (°Ф) =
= (9/5) Г (° С) + 32 °Ф,
причем 0 °С = 0 °Р = 32 °Ф, 100 °С =
= 80 °Р = 212 °Ф.
8.1.4. Уравнение состояния
идеальных газов.
Описание идеального
газа. Разреженные газы,
взаимодействием молекул или атомов которых
можно пренебречь, описываются моделью
идеального газа. При комнатной
температуре и атмосферном давлении Не и Н2
представляют собой приближенно
идеальные газы. Напротив, водяной пар и
С02 при этих же условиях существенно
отличаются от такой модели.
Уравнение состояния.
Уравнение состояния идеального газа
основано на эмпирических законах
Р. Бойля (1627—1691), Е. Мариотта
(1620—1684) и Ж. Л. Гей-Люссака
(1778—1850). Оно имеет вид:
\ру = (mlM) RT = nRT = NkT.l
Здесь ρ — давление; V — объем; Τ —
температура, К; m — масса; Μ —
масса одного моля; η — количество молей;
N — число молекул; R — молярная,
или универсальная, газовая постоянная;
k — постоянная Больцмана (1844—
1906). Эти постоянные связаны
соотношением
R=NAk,
где Να — число Авогадро. Их значения
равны: R = 8,314 Дж/ (К · моль) =
= 2 кал/ (К · моль); k = 1,380 X
χ ΙΟ"23 Дж/К.
Нормальные условия.
Тело находится при нормальных
условиях, если температура Τ — 273,15 К =
= 0 °С, а давление ρ = 1,01325 χ
χ ΙΟ5Η · μα = 760 тор.
Один моль идеального газа,
содержащий N = ΝΑ = 6,0222 · 10м атомов,
имеет при нормальных условиях объем
Vm = 2,2414 · 10"2 м3 = 22,414 л.
Величину Vm называют молярным
нормальным объемом идеального газа.
Температурная шкала и
измерение температуры.
Уравнение состояния идеального газа
служит для градуировки термометров
(см. 8.1.3) и измерения температуры
Т. Для этого измеряют объем V
идеального газа при постоянном давлении.
Тогда
Τ К = Т°С + 273,15 К = (plnR)V.
8.1.5. Уравнение состояния реаль-
ных газов. Отличие реальных газов от
идеальных проявляется в том, что в их
уравнении состояния принимается во
внимание взаимодействие молекул или
атомов.
Уравнение состояния реального газа
было установлено И. Д. Ван-дер-Ва-
альсом (1837—1923):
(р + an2 IV2) {V—nb) = nRT,
где а и b — постоянные Ван-дер-Вааль-
са. При этом р* = an2/V2 — внутреннее
давление, обусловленное
взаимодействием молекул, а 4К* = Ь — поправка
на собственный объем молекул,
учитывающая конечность собственных
объемов V*/A/a молекул.
Уравнение состояния реального газа
чаще всего изображают графически
изотермами, т. е. кривыми при Τ = const
на ρ — К-диаграмме.
Пример. С02 (рис. 255): а = 7,4 X
Χ ΙΟ6 Η · м4, Ь = 4,3 · Ю-5 м3.


.--?,
Ρ,10°Ν· мЧ
Идеальный
=L
Кр
Жидкость + газ
О
1
2 V/MQf\b,10'4M3'm/\b1
Рис. 255
При низкой плотности и высокой
температуре реальный газ ведет себя
подобно идеальному газу. Существенные
отличия возникают при больших
плотностях и низких температурах, когда
газ конденсируется. Газообразная фаза
ограничена кривой ЕК, жидкая фаза —
кривой А /С. Область под кривой АКЕ
характеризуется сосуществованием
жидкости и газа. Она пересекается
прямыми, например АСЕ, которые
отвечают давлению насыщенного пара и,
соответственно, кипящей жидкости.
Положение прямых определяется условием
равенства площадей ABC и CDE. Кривая
ED отвечает перенасыщенному пару, а
кривая AB — перегретой жидкости с
задержкой кипения. Конденсация
перенасыщенного пара описывается
переходом от кривой CD Ε к прямой СЕ,
кипение перегретой жидкости —
переходом от кривой ABC к прямой АС.
Эти процессы могут происходить либо
при наличии центров конденсации, либо
в результате каких-то возмущений.
Критическая точка.
Температура ТкР, при которой и выше
которой становится невозможным сжижение
газа путем сжатия, называется
критической температурой. Изотерма
Τ = Γκρ имеет горизонтальную
касательную в точке перегиба —
критической точке Кр (см. 8.1.2). В этой точке
Отсюда критические параметры
состояния равны: критический объем Ккр =
= ЗЬп; критическое давление ркР =
= -öy- я/62; критическая температура
7"кР = -ff albR.
Примеры.
Вещество
н2
N2
о2
со2
н2о
ΓΚρ· κ
33,3
126
154
304
647
ΡΚρ· ,0ί
Нм-2
1,3
3,4
5,0
7,4
22,1
^Κρ/η·
ю-4
М3МОЛЬ
0,66
1,17
0,96
1,29
0,91
Приведенное уравнение
состояния. Уравнение
состояния Ван-дер-Ваальса можно
представить в безразмерной форме с помощью
критических параметров состояния
Ркр, Ткр и Укр- Если положить р' =
= р/ркР, Г = 7У7Кр, V = VWKp,
то получим уравнение состояния в
виде
— 2
{p' + 3V'-')(3V — 1) = 8Г.
§ 8.2. Теплоемкости
8.2.1. Теплота. Если к
термодинамической системе подводится теплота,
то система в общем случае повышает свою
температуру. Обычно подвод теплоты
осуществляется так, что система
приводится в контакт с другой системой,
имеющей более высокую температуру.
Теплота переходит от горячей к
холодной системе до тех пор. пока
температуры обеих систем не сравняются. После
этого системы пребывают в состоянии
термодинамического равновесия. Здесь
следует подчеркнуть, что теплота Q не
является параметром состояния
термодинамической системы.
Для малых изменений температуры
dT системы подведенное количество
теплоты ÖQ пропорционально dT
6Q = adT.


Так как теплота Q не является
параметром состояния термодинамической
системы, малое ее количество обозначают
6Q, а не дифференциалом dQ. Значение
ÖQ > О отвечает тому, что система
получает количество теплоты, a 6Q < О —
тому, что у системы отнимается
количество теплоты.
Коэффициент пропорциональности α
называют теплоемкостью.
Классической единицей количества
теплоты Q является калория (кал).
Одна калория (или 1 кал) — это
количество теплоты, которую нужно передать
1 г Н20 при давлении ρ = 760 тор,
чтобы повысить температуру от 14,5 до
15,5 °С.
Единица количества теплоты в
системе СИ соответствует единице энергии:
[Q] = 1 ДЖ = 1 кг · м2 · с"2 =
= 1 В · А · с.
Основанием для этого является тот факт,
что, согласно Ю. Р. Майеру (1814—1878),
теплота есть одна из форм энергии.
Связь между калорией и джоулем
дается механическим и электрическим
эквивалентом теплоты (8.4.2): 1 кал =
= 4,185 Дж. Это установлено
экспериментально в отношении теплоты,
выделяющейся при трении и при
прохождении тока.
8.2.2. Удельная и молярная тепло-
емкости. Удельная теплота или
удельная теплоемкость с (Т) и молярная
теплота или молярная теплоемкость С (Т)
однородного тела массой т,
содержащего, соответственно, η = m/M молей,
определяются соотношением
ÖQ = тс (Г) dT = пС (Т) dTt
где 6Q — подведенное к телу при
температуре Τ количество теплоты, a dT —
отвечающее этому увеличение
температуры. Связь молярной и удельной теп-
лоемкостей определяется массой одного
моля М:
С (Т) = Мс (Т).
Следует различать теплоемкости ср (Г),
Ср (Г) и cv (Г), Су (Т). Первые
отвечают подводу теплоты при постоянном
давлении р, а вторые — подводу
теплоты при постоянном объеме V.
8.2.3. Молярные теплоемкости
идеальных газов.
Связь между молярными
теплоемкостями. Для
идеальных газов существует неизменное
соотношение между молярными
теплоемкостями С ρ и Су. Из 8.4.3 следует
что
С ρ — CV = R «8,4 Дж/(К-моль) =
= 2 кал/(К-моль),
где R — молярная газовая постоянная.
Закон
равнораспределения. Значения молярных теплоемко-
стей Су чистых идеальных газов
следуют из закона равнораспределения. Этот
закон утверждает, что каждая степень
свободы частицы в среднем вносит
энергию, равную kT/2, в полную энергию
системы. Отсюда
= 4,2
Cvlf =
ДЖ/(К
Д/2 =
• мол ь)
NAk/2 =
= 1кал/(К·
•моль).
Здесь / — сумма поступательных и
вращательных степеней свободы молекулы
или атома газа. При комнатной
температуре молекулярные колебания не
дают вклада в энергию газа; как следует
из квантовомеханического
рассмотрения, колебательные степени свободы
«заморожены» (см. 9.4.4). При низкой
температуре замораживаются и
вращательные степени свободы. При этом
молярная теплоемкость Су двухатомного
или многоатомного газа оказывается
меньше того значения, которое дается
законом равнораспределения.
Газ
Одноатомный
Двухатомный
Многоатомный
f
3
5
6
Су
3R/2
5# /2
3#
СР
5R/2
7R/2
4R
Х=Ср/Су
5/3
7/5
4/3

Пример
Не
N2
СН4
8.2.4. Молярные теплоемкости твер-
дых тел. У твердых тел молярные
теплоемкости С ρ и Су означают
теплоемкости, отнесенные к одному молю или к
Να атомам.


Важнейшим параметром,
характеризующим температурную зависимость
молярных теплоемкостей С ν твердых тел,
является температура Левая θ о: для
Τ >■ 0d справедлив закон П. Л. Дюлон-
га (1785—1836) и А. Пти (1791—1820):
CV « SR = 3Na/z « б кал/(К -моль) =
= 25 Дж/ (К · моль) « const;
для Τ<^θο выполняется закон П. Дебая
(1884—1966) (рис. 256):
CA
д кал __
6 и. *3R
/(•моль
Ш
2
0
Рис. 256
Для легких атомов и больших сил
связи в твердом теле температура Дебая
θρ велика, для тяжелых атомов и малых
сил связи — мала.
Примеры.
θο
Pb
105 К
Тяжелые
атомы, слабая
связь, мягкое
вещество
AI С (алмаз)
428 К 2230 К
Легкие атомы,
сильная связь,
твердое
вещество
§ 8.3. Теплопроводность
Предположения. Будем
рассматривать распространение тепла в
однородных изотропных телах. Примем,
что плотности ρ и удельные
теплоемкости с тел не зависят от температуры.
Кроме того, будем рассматривать теплоту
Q как текучую непрерывную
субстанцию.
Несмотря на очевидное противоречие
наших предположений с первыми
двумя началами термодинамики (см. 8.4.2
и 8.5.5), согласно которым теплота
возникает либо переходит в другие формы
энергии, нижеследующее описание
распространения теплоты применимо во
многих случаях, имеющих
практический интерес.
8.3.1. Тепловой поток. Наши пред-
положения дают возможность
определить по аналогии с электрическим
током / и плотностью электрического тока
j тепловой поток Iq и плотность
теплового потока jq. Для этого можно
использовать следующую
экспериментальную установку (рис. 257).
Расстояние δ χ
Η Η
Тепловой
резервуар I
Температура τ
Тепловой
поток Iq
ТеплоЬой
резервуар II
Температура Т+аг
^ Площадь А
Изоляция
Рис. 257
Тепловым потоком Iq называют
количество теплоты, протекшее за
единицу времени через поверхность А:
Iq = SQ/dt.
По аналогии с плотностью
электрического тока плотность потока теплоты
определяется с помощью равенства
Iq = ί k da.
8.3.2. Первое уравнение теплопро-
водности. Тепловой поток в теле
приводит к выравниванию температуры
между областями с различными
температурами. Поэтому температурные
неоднородности проявляют себя как
силы, вызывающие тепловой поток.
Согласно этой гипотезе, для установки на
рис. 257
Iq = jQA = — λΑΑΤ/Αχ
или в общем случае
jq = —λ grad Т.
Коэффициент пропорциональности λ
называют коэффициентом
теплопроводности. Его единица в системе СИ
1 Вт/ (К · м) =
= 2,38 · ΙΟ"3 кал/ (см · с · К).
Примеры. Значения λ при '20 °С,
Вт/(Км).
Серебро 421
Хромовая сталь 20—40
Лед (0 °С) 2,23
Вода 0,58


Воздух (сухой) 0,034
Бетон 0,8—1,3
Стекло 0,7
Кирпич 0,35—0,9
Стекловата 0,06
Пробка 0,035—0,06
Замечание. Приведенное уравнение
теплопроводности формально совпадает с
первым уравнением А. Э. Фика (1829—1901) для
описания диффузии частиц.
8.3.3. Уравнение непрерывности для
теплоты. Если рассматривать теплоту
как непрерывную субстанцию, то для
нее можно написать уравнение
непрерывности, точно так же, как для
жидкостей и газов (см. 4.3.2) и
электрического заряда (см. 5.2.7):
dpQ/d/+divJQ =0.
Здесь jq — плотность теплового
потока', pQ — плотность количества
теплоты: pQ (г) = lim (ÄQ (γ)/Δ1/), где
AV-»-0
AQ (г) — количество теплоты в
малом объеме AV вокруг точки г.
При малых изменениях температуры
dT
6pQ = pcdT и pQ (Τ) — pQ (Γ0) =
= pc (Τ - Г0).
8.3.4. Второе уравнение теплопро-
водности. Если объединить первое
уравнение теплопроводности (8.3.2) и
уравнение непрерывности для теплоты (см.
8.3.3) в предположении, что плотность
ρ и удельная теплоемкость с не зависят
от температуры, то получим второе
уравнение теплопроводности:
dT/dt = Dw ΔΤ; Dw = λ/pc,
где Dw — коэффициент тепловой
диффузии, или коэффициент
температуропроводности. Единицей
коэффициента температуропроводности в
системе СИ является 1 м2 · с-1 =
= 10* см2 · с-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО второго
уравнения теплопроводности:
dpQ/dt = cpdT/dt =
= — div (—λ grad Τ) = λΔΤ.
Примеры. Dw при 20°С, м2 · с-1:
Ag: 1,7 - Ю-4, AI: 9,6 · 10"5, вода:
1,5 · ΙΟ-'.
Замечания. Приведенное второе
уравнение теплопроводности формально
совпадает со вторым уравнением Фика для
диффузии частиц. Как при распространении
тепла, так и при диффузии частиц помимо
фронта распространения существует и скорость
распространения. Диффузионное уравнение
существенно отличается от волнового
уравнения для сред без дисперсии!
Диффузионное уравнение
дТ/dt = DWAT
Волновое уравнение
д2 w/dt2 = и2 Aw
8.3.5. Стационарное одномерное рас-
пространение теплоты. Второе уравнение
теплопроводности имеет особенно
простое решение в случае стационарного
одномерного распространения тепла в
однородном изотропном теле. Это
решение получается из условий
стационарности: dT/dt = 0, Δ Г = 0 и
одномерности: d2Tldx2 = 0. Отсюда
T=T0 + (dT/dx)o(x—x0);
jq = —K(dT/dx)0.
Пример (рис. 258):
0 a b
Рис. 258
JQ=—K(dT/dx)a =
= -lb(dT/dx)b = (T0-T2)/(aK-^+bX^yi
Ti=T0 + (dT/dx)a a =
= («λ"1 Г2 + bkj1 Τ0)/(αλ~ι +ЬХ^1).
8.3.6. Одномерный тепловой источ-
ник. В момент времени t = 0 к тон-
кому стержню подводится в точке χ = 0
количество теплоты Q. Решение второго
уравнения теплопроводности
показывает характер распространения
теплоты:


Τ (χ, t) = Г0 + (Q/Pi с Vn4Dw t) χ
χ exp(—x2/4Dwt).
Здесь рг — линейная плотность, т. е.
масса, приходящаяся на единицу
длины стержня; с — удельная теплоемкость;
Dw — коэффициент
температуропроводности материала стержня (рис. 259).
В момент времени / = О температура
Τ = Т0 при χ Φ О и Τ = оо при χ = 0.
Поэтому говорят о наличии теплового
источника в момент времени t = 0. Для
t > 0 профиль температуры
соответствует распределению Гаусса.
§ 8.4. Теплота,
работа и энергия
8.4.1. Работа, совершаемая над
термодинамической системой и
получаемая от нее.
Изменение состояния
путем совершения рабо-
т ы. Состояние термодинамической
системы может быть изменено внешним
воздействием путем подвода или отвода
теплоты. Но можно изменить состояние
системы и другим способом, совершая
над системой работу или давая ей
возможность самой совершать работу. Так
как работа W не является параметром
состояния термодинамической системы,
то малое изменение работы обозначают
δ IF, а не полным дифференциалом dW.
Работа, совершаемая над системой,
входит с положительным знаком: 6U?>0,
работа, совершаемая самой системой,
входит с отрицательным знаком: 6W <.
<0.
Примерами работы, совершаемой над
термодинамической системой и получаемой
от нее, являются работа при изменении
объема и работа при намагничивании.
Работа при изменении
объема. Работа 6U?, совершаемая
над системой при изменении объема dV,
равна
ÖW = —pdV.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО—рассмотрением
сжатия системы в цилиндрическом
сосуде (рис. 260).
АХ
.Ρ,ν/ . · ··"
F.
Έ
Рис. 260
Система , находящаяся под давлением
р, действует на крышку сосуда
площадью А с силой F = рА. Система
уменьшает свой объем на AV = —А Ах под
действием силы Fa, которая несколько
больше F. При этом затрачивается
работа.
ÖW = FaAxwFAx = рААх = —pAV.
8.4.2. Первое начало термодинамики.
Закон сохранения
энергии. Закон сохранения энергии в
механике (см. 1.8.6) неприменим, если в
системе действуют силы трения. Если
на преодоление сил трения
затрачивается работа, то при этом выделяется
теплота . Р. Майер (1814—1878) установил,
что закон сохранения энергии в
механике можно расширить до имеющего
всеобщую применимость закона сохранения
энергии, если рассматривать теплоту
как особую форму энергии. Это
утверждение находилось в соответствии с
исследованиями И. фон Либиха (1803—
1873), который был убежден в
эквивалентности химической энергии, работы
и теплоты. Несколько позднее Г. фон
Гельмгольц (1821—1894)
сформулировал закон сохранения энергии в
наиболее общем виде и доказал его на
опыте. Одновременно Дж. П. Джоуль
(1818—1889) экспериментально
установил механический эквивалент теплоты:
1 кал = 4,185 Η · м = 4,185 Дж.


Вечный двигатель
первого рода. Вечный двигатель
первого рода представляет собой
периодическую машину, которая отдает
больше энергии, чем к ней подводится. Из
закона сохранения энергии в механике
(см. 1.8.6) следует, что построить
механический вечный двигатель первого
рода невозможно. Включив в
рассмотрение теплоту, электрическую и
химическую энергию, Гельмгольц показал, что
вечный двигатель первого рода вообще
невозможен. Это утверждение
эквивалентно общему закону сохранения энергии.
Внутренняя энергия
термодинамической
системы. Если термодинамическая
система не взаимодействует с окружающей
средой, то в силу закона сохранения
энергии ее полная внутренняя
энергия остается постоянной. В этом случае
систему называют замкнутой.
Внутренняя энергия U есть параметр состояния,
или функция состояния. Она может
изменяться лишь в результате того, что
в систему извне подводится энергия в
какой-то форме или от системы
отнимается энергия.
Первое начало.
Рассматривается термодинамическая система,
которая получает извне или отдает
энергию. Характерным для
термодинамики является разделение получаемой
или отдаваемой энергии на теплоту и
работу. На основании общего закона
сохранения энергии имеем, что если
система получает небольшое количество
теплоты 6Q и над системой совершается
малая работа bW> то изменение
внутренней энергии dU системы
dU = 6Q + bW.
При этом окружающая среда теряет
количество теплоты 6Q.
Значение первого начала для техники
вытекает из другой формы записи:
-bW = —du + 6Q.
Получаемая от термодинамической
системы работа —ÖW> О равна сумме
количества подведенной теплоты ÖQ > О
и величины уменьшения внутренней
энергии —dU >· 0.
8.4.3. Молярные теплоемкости иде-
альных газов.
Опыт Г~ё й-Л ю с с а к а. Как
показал опыт Гей-Люссака,
температура замкнутого идеального газа не
изменяется с изменением объема.
Для опыта требуется
теплоизолированный сосуд, разделенный
непроницаемой перегородкой на две секции с
объемами V и V (рис. 261). В начале
Начало коней,
Рис. 261
опыта первую секцию сосуда с объемом
V заполняют идеальным газом при
температуре Т. Другую секцию с объемом
V откачивают. Если теперь быстро
открыть перегородку, то газ без
совершения работы расширится и займет объем
V -+- V'. За это короткое время не
происходит теплообмена со стенками
сосуда. Поэтому 6W = 0 и 6Q = 0. Затем
измеряют температуру Τ газа. Для
идеального газа Τ = Т. В этих
экспериментальных условиях
dU = {dUldt)vdT + {dUldV)T dV =
= 6Q + № = 0.
Так как dV'Φ 0 и dT = 0, то
{dU/dV}T = 0 или U = U(T).
Молярная теплоемкость
при постоянном объеме.
Для системы из η молей при постоянном
объеме получаем с учетом того, что
U = U (Т):
6Q = nCvdT = du (T)
или
Cv(T)=n-i[dU(T)/dT}v.


Молярная теплоемкость
при постоянном давлении:
6Q = dU + pdV = {dü/dT}vdT +
+ {di//dV}rdV + pdV = rtCWT +
+ 0 + pdV = nCWr + n/?dT
или
Cp = n-4QldT = CV + R,
CP(T)-CV(T) = R.
§ 8.5. Энтропия и второе
начало термодинамики
8.5.1. Термодинамические процессы.
Необратимые процессы.
Необратимые процессы в
термодинамической системе не допускают
возвращения системы в исходное состояние без
того, чтобы в окружающей среде
остались какие-то другие изменения.
Примерами являются
теплопроводность, опыт Гей-Люссака (см. 8.4.3),
смешивание газов путем диффузии и выделение
теплоты при прохождении тока по омическим
проводникам. Без внешнего воздействия
необратимые процессы идут только в одном
направлении. Практически все процессы в
природе необратимы.
Обратимые процессы.
Обратимые процессы в
термодинамической системе допускают возвращение
системы в исходное состояние без того,
чтобы в окружающей среде остались
какие-то другие изменения.
Обратимые процессы играют важную
роль в теоретической термодинамике,
особенно при формулировке второго
начала. Они соответствуют
идеализированным граничным условиям и не
существуют в природе. Чтобы процесс был
обратимым, термодинамическая система в
каждый момент времени должна
находиться в термодинамичеком равновесии.
Поэтому обратимые процессы должны
протекать очень медленно. Для
каждого состояния равновесия, через которое
проходит система при обратимом
процессе, выполняется соответствующее
уравнение состояния.
Примерами являются описанные
ниже обратимые адиабатические процессы в
идеальном газе и цикл Карно,
Процессы с
постоянными параметрами
состояния. Процесс в термодинамической
системе может происходить при различных
внешних условиях. Эти условия в
значительной степени влияют на
протекание процесса и поэтому должны быть
точно известны.
Можно управлять
термодинамическими процессами, если зафиксировать
один или несколько параметров
состояния. Процесс называют:
изохорическим, если V = const, dV =
= 0;
изобарическим, если ρ = const, dp =
= 0;
изотермическим, если Τ = const,
dT = 0.
Процессы в замкнутой
системе. Термодинамическую
систему называют замкнутой, если
отсутствует взаимодействие с окружающей
средой. Следовательно, не происходит
никакого теплообмена и не
совершается работа. Из первого начала
термодинамики вытекает при ÖQ = 0 и 6W = 0
соотношение
замкнутая система -> V = const,
dU = 0.
Адиабатические процес-
с ы. Если процесс в
термодинамической системе происходит без
теплообмена с окружающей средой, его называют
адиабатическим. Таким образом, для
адиабатических процессов 6Q = 0.
Если процесс происходит столь быстро,
что практически нет выравнивания
температур системы и окружающей среды,
то его можно считать приближенно
адиабатическим.
8.5.2. Обратимые адиабатические
процессы в идеальных газах.
Соотношения между
параметрами состояния. При
обратимом адиабатическом процессе
в идеальном газе, уравнение состояния
которого pV = nRT, а дифференциал
внутренней энергии dU = nC\dT,
справедливы следующие соотношения:
для работы
W = —pdV = —ρ (V)dV =
= —nRTdV/V;


для количества подводимого тепла
6Q = du — Ш = nCvdT + pdV = 0.
Комбинация этих уравнений дает
0 = n{CydT/T + RdV/V] и Су In T +
+R In V = const.
Последнее уравнение можно с помощью
уравнения состояния преобразовать
к одной из следующих трех
эквивалентных форм:
ΤΚκ-,= const; pV* = const;
7>tp1-x = const,
где K = CplCv = (Cv + R)ICv.
Работа и внутренняя
энергия. Затрачиваемая при
адиабатическом процессе работа равна
приращению внутренней энергии ÖW =
= dU — ÖQ = dU. Отсюда для
работы W (1 -> 2), затрачиваемой на
обратимый адиабатический переход
идеального газа из состояния 1 в состояние 2,
получаем
W(l-+2) = U(2) — U(\) =
2
= f nCv dT=nCv (T2—Tx).
ι
8.5.3. Цикл Карно.
Задача. Из-за трения работа
полностью переходит в теплоту. Однако
не существует машины, которая могла
бы полностью превратить теплоту в
работу. Изучая цикл Н. Л. С. Карно
(1796—1832), можно установить, какая
доля теплоты может быть превращена
в работу при обратимом круговом
процессе.
Описание цикла Карно.
Используемая в цикле Карно машина
состоит из заполненного идеальным
газом цилиндра, закрытого подвижным
поршнем.
Начальное состояние А газа
характеризуется параметрами состояния рл,
Va, Tv Цилиндр находится в
термостате при температуре 7\.
Цикл состоит из четырех обратимых
процессов (рис. 262):
Ш1
V
Рис. 262
а) обратимого изотермического
расширения газа от объема Va до объема
Vb в термостате с температурой Тх. При
этом газ получает количество теплоты
6Q (7\);
б) обратимого адиабатического
расширения газа от объема Vb до объема
Vc- Цилиндр термически изолирован.
Температура газа падает от 7\ до Т2\
в) обратимого изотермического
сжатия газа от объема Vc до объема Vd в
термостате с температурой Т2. При этом
газ отдает термостату количество
теплоты —6Q (Г2);
г) обратимого адиабатического
сжатия газа от объема Vd до объема Va-
Цилиндр термически изолирован.
Температура возрастает от Тг до 7\.
В результате достигается начальное
состояние А.
Отношения объемов.
Процессы (б) и (г) обратимы и адиабатичны.
Согласно разд. 8.5.2 получаем для (б)
TWV1 = τ^ΤΧ и Для (г) TiyA~l =
= T2VD~l. Отсюда находим, что
In (VbIVa) = In (Vc/Vd).
Работа. В четырех обратимых
процессах цикла Карно затрачивается
или получается следующая работа:
в
a) W(A-+B)=— \p(V)dV =
А
= —nRTx J (dVIV) = nRTx\n(VAlVB).
А
Так как процесс (а) изотермический,
то для идеального газа dU = 0 или


δρ = —6W. Это значит, что
δρ (7\) = -W(A-+B) =
= nRTx In (VaIVbY,
б) для обратимого адиабатического
процесса (б) из 8.5.2 следует, что
W(B-+Q = nCv (Tt — 7\);
в) аналогично процессу (а) имеем
W(C-+D) = -6Q(T2) =
= nRT2 In (VcIVdY,
г) аналогично процессу (б) имеем
W(D-+A) = nCv (7\ — Т2).
Баланс энергии. В
результате кругового процесса внутренняя
энергия идеального газа принимает свое
первоначальное значение. Согласно
первому началу термодинамики,
О = δρ + ÖW =
= ÖQ (7\) + δρ (Т2) + W (А -> В) +
+ W(B-+C) + W (C-+D) +
+ 1F(D--* Л).
Отсюда совершаемая идеальным газом
в цикле Кар но работа
-6W=ÖQ (7\) + ÖQ (Т2) =
= nR {7\ In (VbIVa) + T2 In (WKc)} =
= η/? (Тг - T2) In (Kß/VA).
Коэффициент полезного
действия (КПД) цикла Кар-
н о. КПД тепловой машины
определяется как отношение совершенной ею
работы к подведенной к ней теплоте.
Для цикла Карно, в котором теплота
δρ (Тх) подводится при температуре Tlt
а теплота —6Q (Т2) отнимается при
температуре Т2У получаем из предыдущих
соотношений КПД (рис. 263):
Термостат
Τι
Wt)
-&W
-Шг>
Термодинамическая
шкала температур. Кельвин
указал на то, что цикл Карно можно
использовать для определения
температурной шкалы, не зависящей ни от
какой термодинамической системы. В
цикле Карно и в любом другом
обратимом круговом процессе температуры 7\
и Т2 соотносятся как количества
полученной и отданной теплоты:
ТХ1Т2 = ÖQ (Тг)/ I-6Q (T2)l
Если придать какой-то температуре,
например температуре тройной точки
воды Гт, определенное значение, то
любую другую температуру Τ можно
определить, измерив количество
теплоты δρ (Τ) и δρ (Гт). Этот метод
градуировки лежит в основе шкалы
Кельвина (см. 8.1.3).
Приведенное
количество теплоты. Из соотношения
между количествами теплоты δρ (Γ,·) и
соответствующими температурами Tt
вытекает важное уравнение
δρ (Т^/Тг + δρ (Τ2)ΙΤ2 = О,
где члены в сумме называются
приведенными количествами теплоты.
Холодильная машина с
циклом Карно. Так как любой
процесс в цикле Карно обратим, то,
обратив весь цикл, можно
использовать его как холодильную машину. Эта
машина отнимает тепло δρ (Τ2) у
термостата с более низкой
температурой Т2 и отдает тепло —δρ (7\)
термостату при более высокой температуре
7Υ Такой процесс требует затраты
работы
6Ц7= Τι~Γ2 δρ(Γ2).
8.5.4. Энтропия.
Обратимые круговые
процессы. Можно показать, что любая
периодическая тепловая машина,
использующая обратимый круговой процесс,
имеет тот же коэффициент полезного
действия, что и цикл Карно (см. 8.5 3):
Рис. 263


Отсюда следует, что для любого
кругового процесса, родственного циклу Кар-
но, изотермически подводимые и
отнимаемые количества теплоты 6Qo6p (Г{)
всегда удовлетворяют соотношению
S6Qo6p (Ti)ITi = 0. Произвольный
обратимый круговой процесс можно,
подобно циклу Карно, разделить на
произвольно малые изотермические и
адиабатические процессы. Для
изотермически получаемого или отнимаемого
количества тепла 6Qo6p (T) выполняется
равенство
j>bQo6p(T)/T = 0.
Определение энтропии.
Энтропия 5 определяется интегралом
O.(fl)
где (а) — обратимый процесс с
начальным состоянием 0 и конечным
состоянием X.
Энтропия как функция
состояния. Значение энтропии
в состоянии χ не зависит от процесса,
переводящего систему из начального
состояния 0 в состояние х. Поэтому
энтропия есть функция термодинамического
состояния.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
осуществляется рассмотрением обратимого
кругового процесса, который переводит
систему из начального состояния 0 путем
обратимого процесса (а) в состояние xt a
затем путем второго обратимого
процесса (б) возвращает систему в
начальное состояние 0. Тогда
<£ 6Qo6p (T) _
0, (α), (b)
= с *Qoßp(T) ! с а?обр(П_0
0, (а) х, (Ь)
Дифференциал энтропии.
Дифференциал энтропии dS
определяет получаемое обратимым образом
при температуре Τ количество теплоты
6Qo6p:
6Qo6p = TdS.
Энтропия идеальных
газов (см. также 9.3.3). Энтропия
идеального газа равна
S(T,V) = nCv\nT + nR\nV + S0.
Для доказательства рассмотрим
обратимый процесс. Тогда
dS = 6Qo6p/r = (1/7) (dU - Ш) =
= (\IT) (nCvdT + pdV) =
= nCvdT/T + nRdV/V.
8.5.5. Второе начало термодинами-
ки.
Вечный двигатель
второго рода. Первое начало
термодинамики допускает построение
периодической машины, единственным
результатом работы которой является
получение теплоты из термостата и
превращение ее в работу. Подобная машина
называется вечным двигателем второго
рода. Примером мог бы служить
судовой двигатель, получающий тепло из
моря и использующий его для движения
корабля.
Второе начало. Второе
начало термодинамики утверждает, что
вечный двигатель второго рода
неосуществим или
«не существует периодической
машины, единственным результатом
действия которой является охлаждение
единственного термостата и получение
работы».
КПД тепловых машин. Из
второго начала следует, что никакая
тепловая машина не может иметь КПД
больше, чем у цикла Карно:
Л<Лк=Лобр = (7,1-712)/7,1.
Если действие машины основано на
обратимом круговом процессе, то η = η к,
если на необратимом круговом
процессе, то η < τ]κ·


Изменения энтропии.
Второе начало позволяет сделать
важные выводы об изменении энтропии в
процессах. Основу количественного
описания обратимых и необратимых
процессов с помощью так называемых
термодинамических потенциалов (см.
§ 8.6) представляют следующие
неравенства .
Для малых изменений состояния
системы
TdS = ÖQ—обратимый процесс;
TdS > ÖQ — необратимый процесс.
Так как энтропия есть параметр
состояния, то для любого кругового процесса
При обратимом адиабатическом
процессе энтропия не изменяется: dS = ÖQ/T =
= 0. Такие процессы называют
поэтому изэнтропическими.
Для процессов в замкнутых
термодинамических системах с dU = 6W =
= 6Q = 0 энтропия не может убывать:
Если система находится в состоянии
равновесия, то энтропия имеет максимум:
замкнутая система в состоянии
равновесия: 5 = 5макс.
§ 8.6. Термодинамические
потенциалы
8.6.1. Обзор. Два начала
термодинамики и понятие энтропии
позволяют ввести функции состояния,
специально приспособленные для описания
различных процессов. Эти функции
называют термодинамическими
потенциалами. Основным потенциалом
является внутренняя энергия U.
Определение потен- Независи- Дифференциал
ииала мые
переменные
Внутренняя
энергия U S, V dU<TdS—pdV
Свободная энергия
Гельмгольца F=
= U—TS .... Τ, V dF<—SdT—pdV
Энтальпия H=U-\-
+pV S, ρ dH<TdS+Vdp
Потенциал Гиббса,
свободная
энтальпия G=U — TS+
+pV Τ, ρ dG< — SdT+Vdp
Знак равенства в дифференциалах
возникает только для обратимых процессов.
8.6.2. Внутренняя энергия.
Согласно первому началу, внутренняя энергия
U определяется через дифференциал
dU = ÖQ + ÖW,
где ÖQ и 6W не являются
дифференциалами параметров состояния.
При изохорическом процессе (см. 8.5.1),
например химической реакции в
сосуде с постоянным объемом V, расход
тепла равен изменению внутренней
энергии:
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как dV =
= 0, то 6Q = dU + pdV = dU.
Благодаря тому, что 6Q = dU в
изохорических процессах, получаем, что
молярная теплоемкость CV,
измеренная при постоянном объеме V, равна
Cv = (l/л) {6Q/dT)v = (1/л) [dU/dT)v.
8.6.3. Энтальпия. Энтальпия
определяется уравнением
При изобарических процессах расход
тепла 6Q равен изменению энтальпии
Н:
ÖQ = dH.
На этом основании термодинамический
потенциал Η называют энтальпией, т. е.
тепловой функцией. Примерами
являются теплота ÖQ = dH химической
реакции при постоянном давлении или


теплота плавления 6Q = dH вещества
при постоянном давлении.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как dp =
= О, то
6Q=dU + pdV = dH — pdV —
— Vdp + pdV = dH.
В изобарических процессах 6Q =
= dH, поэтому молярная
теплоемкость С ρ, измеренная при постоянном
давлении р,
Ср = (1//ι) {bQ/dT}p = (I//1) [дН/дТ)р.
8.6.4. Свободная энергия Гельмголь-
ца. Свободная энергия Гельмгольца,
или просто свободная энергия F,
определяется уравнением
\F = U — TS.\
В США величину F называют
«свободной энергией», и иногда «функцией
работы» А.
При изотермических процессах
уменьшение свободной энергии Гельмгольца
F равно максимально достижимой
работе —6W:
из dT = 0 следует — δ№<—dF.
Знак равенства — для обратимых
изотермических процессов.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из dT = О и
TdS — ÖQ ^ О следует, что
—dF = —du + TdS + SdT =
= — dU + TdS = TdS — 6Q —
— öW^—öW.
В случае изотермо-изохорических
процессов в термодинамической системе
из dT = 0 и dV = 0 следует,
что dF*C0.
Знак равенства — для обратимых
процессов. Примером изотермо-изохори-
ческого процесса могут служить
химические реакции в сосуде
постоянного объема при постоянной
температуре окружающей среды.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из dT = О
и dV = 0 следует, что
dF = d(U — TS) = öQ — TdS < 0.
Из предыдущего неравенства для
изотермо-изохорического процесса
получается следующий принцип
минимальности свободной энергии Гельмгольца:
если термодинамическая система при
постоянном объеме и постоянной
температуре окружающей среды находится
в равновесии, то свободная энергия
Гельмгольца имеет минимальное значение
по сравнению с соседними
неравновесными состояниями.
Равновесное
при
и
Т =
V =
=const
= const
состояние I
)'-
--F
1 мин·
8.6.5. Потенциал Гиббса.
Потенциал Гиббса определяется как
\g = u-ts+pV.\
Он также называется свободной
энтальпией (в США, к сожалению, иногда
употребляют название «свободная
энергия»).
Для изотермо-изобарических
процессов в термодинамической системе
из dT = 0 и dp = 0 следует dG^.0.
Знак равенства — для обратимых
процессов. Примерами изотермо-изобари-
ческих процессов могут служить
химические реакции при постоянных
давлении ρ и температуре окружающей
среды Т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из dT = 0 и
dp = 0 следует, что
dG = d (U — TS + pV) = 6Q —
— TdS < 0.
Из предыдущего неравенства для
изотермо-изобарического процесса
получается следующий принцип
минимальности потенциала Гиббса:
если термодинамическая система при
постоянном давлении ρ и постоянной
температуре окружающей среды
находится в равновесии, то потенциал Гиббса


G имеет минимальное значение по
сравнению с соседними неравновесными
состояниями.
Равновесное состояние
при Τ = const I r_r
8.6.6. Соотношения между
термодинамическими потенциалами и
параметрами состояния.
Частные производные
термодинамических
потенциалов. Частные производные
термодинамических потенциалов суть
параметры состояния. Это
немедленно следует из выражений для
дифференциалов потенциалов (см. 8.6.1):
Т-
\s = -
\р= -
V-
= {dU/dS}v =
-{dF/dT}v =
-{dü/dV}s =
= {dH/dp}s =
= [dH/dS]p; 1
= -{dG/dT\J
= -{dF/dV\T;\
= [dG/dp}T.
Эти соотношения определяют связь
термодинамических потенциалов друг
с другом, например
U = F+TS = F — T{dF/dT}v =
= —Τ2 {(д/дТ) {FlT))v.
Соотношения Максвел-
л а. Частные производные некоторой
функции f (χί% χ2, ..., хи ..., хп)
нескольких переменных хъ х2, ..., xit ...,
Xj, ..., хп не являются независимыми.
В силу перестановочности операции
частного дифференцирования
выполняется равенство
(d/dxi) (df/dxj) = (д/dxj) (df/dxt).
Применение этого соотношения к
термодинамическим потенциалам
приводит к так называемым соотношениям
Максвелла:
- (dSldp)T = (д/др) { (d/dT)G (Г, р)} =
= (д/дТ) { (d/dp)G (Г, р)} =
= {дУ/дТ}р.
Процессы спостоянными
параметрами состояния.
Другой класс соотношений между
параметрами состояния возникает, когда
рассматривается небольшое изменение
состояния, при котором отдельные
параметры состояния остаются постоянными,
например изобарический процесс, в
котором
ρ = ρ (Г, V) = const;
О = dp = {dpldT)v dT + {dpldV)T dV
или
{dp/dT)v = — {dp/dV}T {dVldT)p\
{dpldV)T = —{dpldT)v {dT/dV}p.
Разность молярных теп-
лоемкостей Ср и CV. Предыдущие
соотношения позволяют выразить
разность молярной теплоемкости Ср,
измеренной при постоянном давлении р, и
молярной теплоемкости Су, измеренной
при постоянном объеме V, через
коэффициент теплового расширения a = (\/V) x
х{дУ/дТ}р и изотермическую
сжимаемость β = —(MV) {dV/dp}T:
I Cp-C, = (VTM)(aVß). I
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. S = S (ρ, Г),
dS = {dS/dT}pdT + {dS/dp}T dp.
Изохорический процесс:
{dS/dT}v = {dS/dT}p +
+ {dS/dp)T (dpldT)v.
Так как dS = 6Q/7\ то
nCv = nCp + T{dS/dp}T {dp/dT)v =
= nCp + T{dV/dT}p {dV/dT}p{dp/dV}T.
§ 8.7. Специальные
термодинамические процессы
8.7.1. И зотермо- изобарический
процесс фазового превращения.
Постоянство пот е н ц и а-
ла Г и б б с а. В процессах испарения,
возгонки и плавления давление ρ и
температура Τ постоянны. Поэтому при
обратимом переходе между обеими
фазами потенциал Гиббса остается
постоянным:
Γδο=οΓΊ


Теплота перехода. При
переходе одной фазы в другую
выделяется или поглощается теплота 6Q,
которую, в соответствии с характером
перехода, называют теплотой
испарения, возгонки или плавления. Так как
давление ρ постоянно, то выделившаяся
или поглощенная теплота равна
изменению энтальпии АН:
ÖQ = АН = AU + pAV = TAS.
Уравнение Клаузиуса—
Клапейрона. Р. Клаузиус (1822—
1888) и Э. Клапейрон (1799—1864)
получили для теплоты перехода
уравнение
ÖQ = (V2—V1)Tdp/dT.
Производную dp/dT следует вычислять
для кривой равновесия обеих фаз ρ (Τ)
(см. 8.1.2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
dAGIdt = \dAGIdT\-p +
+ [dAGIdp\TdpldT =
= — AS + AVdp/dT = 0;
ÖQ = AH = TAS = AVTdp/dT.
8.7.2. Эффект Джоуля— Томсона.
Эксперимент. Одним из
процессов, находящих важное применение
в технике охлаждения и сжижения
газов, является адиабатическое
уменьшение давления дросселированием. Газ
с начальными давлением pi и
температурой Тг с помощью поршня /
(рис. 264) продавливается через дрос-
Рис. 264
сель (обычно трубку, заполненную
пористой пробкой). Давление р2 < рх
поддерживается с другой стороны
смещением поршня 2.
Постоянство энтальпии.
В процессе Джоуля—Томсона
энтальпия Η остается постоянной:
Н{Търх) = Н{Търг).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Процесс
адиабатический: ÖQ = 0.
0 = 6Q = AU — 6W = Ui — U2 —
- 6Wi + Ш2 = Vi - U2 + PiVi -
— P2V2 =
= (Ух + Pi Vi) - (ί/2 + P2V2).
Изменение температуры.
В эксперименте Джоуля—Томсона
изменяется температура реальных газов,
а в интересных для технических
приложений случаях они охлаждаются.
Изменение температуры равно
AT = Т2 — Тг =
= (1/лСр) (Т {dV/dT}p - V) (pi - р2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО — с помощью
потенциала Гиббса:
0 = АН = A (G + TS) =
= A(G — T{dG/dT}p) =
= —Τ (дЮ/дТ2)АТ +
+ (dG/dp)Ap — Τ (дЮ/дТдр)Ар =
- —nCpAT — VAp + T (dVldT)Ap.
§ 8.8. Тепловая теорема Нернста
Первые два начала термодинамики
дают недостаточно сведений о
поведении термодинамической системы при
абсолютном нуле. Поэтому
необходимо дополнить их третьим постулатом.
Он был впервые сформулирован В. Не-
рнстом (1864—1941) и позднее
расширен М. Планком (1858—1947). Этот
постулат называют третьим началом
термодинамики или тепловой теоремой
Нернста. Он определяет поведение
энтропии при абсолютном нуле и
утверждает недостижимость абсолютного
нуля.
8.8.1. Энтропия при абсолютном нуле.
Тепловая теорема
Нернста в узком смысле. Эта
теорема утверждает, что при абсолютном


нуле Τ = О К все изменения энтропии
Δ5 обращаются в нуль:
limAS = 0.
Т-+0
Тепловая теорема Нерн-
ста в широком смысле.
Расширенная Планком тепловая теорема
Нернста утверждает, что энтропия S
всех чистых веществ при абсолютном
нуле (Т = О К) обращается в нуль:
HmS=0.
Г-0
Замечание. В статистическом
толковании тепловая теорема Нернста постулирует,
что любая система должна при абсолютном
нуле достигать наивысшей степени
упорядоченности. Это, однако, ограничивает
практическое значение теоремы. Конечно, возникающее
при абсолютном нуле равновесное
состояние является состоянием наибольшей
упорядоченности. Но так как при этой температуре
прекращается тепловое движение (9.1)
атомов, ионов и молекул, то могут сколь
угодно долго существовать и неравновесные
состояния. Твердое тело имеет в
кристаллическом состоянии большую степень
упорядоченности, чем в аморфном. Тем не менее стекло
при сколь угодно большом охлаждении
остается стеклом.
Следствия. Утверждение
тепловой теоремы Нернста о поведении
энтропии 5 при Τ = О К позволяет
представить энтропию S однородной
системы так:
τ
S(TtV) = ^nCv(TtV)dT/T;
о
S(T,p)=\nCp(T,p)dT/T.
О
Статистическая механика объясняет
теплоту термодинамической системы
статистическим движением ее частиц.
Такое объяснение подкрепляется и
иллюстрируется броуновским движением
частичек в жидкостях и газах. Число
частиц в такой термодинамической
системе очень велико, т. е. совпадает по
Отсюда вытекает, что
lim Cv = HmCp = Um (Cp—Cv) =0.
I jr-vo r-^o r-»o J
Кроме того, при абсолютном нуле
обращается в нуль и тепловое
расширение тел.
8.8.2. Недостижимость абсолютного
нуля.
Коэффициент полезного
действия холодильной
машины при абсолютном
нуле. Холодильная машина
отнимает у резервуара, находящегося при
более низкой температуре Г2, теплоту
+6Q2 и переводит соответствующую
теплоту — 6Qj в тепловой резервуар,
находящийся при более высокой
температуре 7\. На это требуется затратить
работу ÖW. Согласно второму началу
термодинамики, отношение
необходимой работы 6W (см. 8.5.3) к отнятой
теплоте + 6Q2
6№/δρ2>(7\-Γ2)/7Υ
При Т2 ->0 необходимое количество
работы обращается в бесконечность.
Закон недостижимости.
Из тепловой теоремы Нернста
следует, что абсолютный нуль не может быть
достигнут с помощью адиабатических
процессов. Основанием для этого
служит то, что изотерма Τ = 0 совпадает
с адиабатой 5=0. Поэтому никакая
адиабата с 5 Φ 0 не может пересечься
с изотермой 7 = 0. Но так как любой
термодинамический процесс может быть
представлен как совокупность
адиабатических и изотермических процессов,
то абсолютный нуль никогда не может
быть достигнут.
порядку величины с числом Авогадро
#А = 6,022 · 1023 моль"1. Хотя эти
частицы движутся в соответствии с
известными механическими законами, тем
не менее их движение полностью
хаотично. Поэтому физическим параметрам
макроскопической системы
соответствуют статистические средние значения.
Глава 9. Статистическая механика


§ 9.1. Броуновское движение
9.1.1. Явление и его значение. Если
наблюдать в микроскоп очень
маленькие частички, взвешенные в жидкости
или газе, то обнаруживается, что они
никогда не находятся в состоянии
покоя. Частицы совершают движения,
направление и скорость которых все
время изменяются. Чем меньше размер
частиц, тем оживленнее их движение.
Это явление было обнаружено Р. Бро-
уном (1773—1858).
Объяснение броуновского движения
потребовало осознания того факта, что
теплота представляет собой энергию
неупорядоченного движения мельчайших
частиц, молекул и атомов. При
броуновском движении проявляется
неупорядоченное тепловое движение частиц.
Это значит, что теплоту следует
рассматривать как статистическое
явление.
9.1.2. Формула Эйнштейна. Траек-
тория г (/) частицы, совершающей
броуновское движение, изменяет
направление столь часто, что можно определить
лишь среднее смещение частиц. В 1905 г.
А. Эйнштейн (1879—1955) сумел
вычислить для сферических частиц
радиусом а средний квадрат смещения
<г2 (/)> как функцию времени U где
среднее берется по большому числу
одинаковых частиц (рис. 265). Если час-
Траектория
частицы,-^^^^ частица
Рис. 265
тицы находятся в жидкости с
вязкостью η и температурой Т, то для
среднего квадрата наблюдаемого под
микроскопом двумерного смещения г {t)
частицы справедлива формула:
<г2(0>=<*2(0> + <*/2(0> =
= (2/3παη)£77.
При выводе этой формулы Эйнштейн
предположил, что частицы движутся
настолько медленно, что применим
закон сопротивления Стокса (см. 4.8.6.1).
Пример. а = 10~6 м, η (Η20) =
= Ю-3 кг · м-1 . с-», Τ = 300 К. г (м) =
= «г2 (0>),/2 = 9,4 · \0-НХ12 (с).
§ 9.2. Статистика Больцмана
9.2.1. Описание системы.
Частицы системы.
Статистика Л. Больцмана (1844—1906)
описывает систему из N одинаковых, но
различимых частиц с / степенями свободы
каждая, которые подчиняются законам
классической механики и взаимодействие
между которыми либо отсутствует,
либо крайне мало. Это значит, что
плотность частиц ρ = N/V столь мала, что
среднее расстояние между ними много
больше эффективной области их
взаимодействия.
Энергия системы. Энергию
или функцию Гамильтона Я (см. 7.3.3)
такой системы можно представить в
виде суммы энергий или функций
Гамильтона Hi отдельных частиц:
И (Pil' ЯП* Pi2> <7t2»···· P<N, qiN) =
Ν
= Σ HiiPih'Qih)*
где pih, i = 1, 2 / и qih, i = 1, 2'
..., / — обобщенные импульсы и обоб"
щенные координаты частицы k.
Микросостояния с и с τ е-
м ы. Микросостояние системы
определяется заданием полного набора
обобщенных импульсов pih и обобщенных
координат qih всех N частиц системы.
Изменение микросостояния во времени
получается из соотношений
Гамильтона. С учетом сделанных выше
предположений они имеют вид:
Pih= —dH1(pih,qih)/dqih;
qih = +dH1(pih, qih)fdpih·
9.2.2. Фазовое пространство.
μ-Π ространство. Для того
чтобы легче представить себе
множество различных микросостояний
системы, их описывают с помощью
фазового пространства. Следует различать


^-пространство с меньшей
размерностью и Υ-пространство с большей
размерностью. Если взаимодействие
между частицами системы отсутствует или
мало, то выгоднее использовать μ-προ-
странство. Оно натянуто на базисные
векторы, отвечающие обобщенным
координатам qlt q2, ..., <7ь ··., <]f и
обобщенным импульсам р1э р2, ...,ρι, ...tpf.
Таким образом, размерность μ-прост-
ранства равна 2/. Микросостояние
задается в μ-пространстве Ν точками,
отвечающими Μ частицам системы.
Эволюция микросостояния во времени
отвечает N кривым в μ-пространстве
(рис. 266).
ΑΊ
О
Я1
Рис. 266
Разбиение на ячейки. В
статистике фазовые пространства
разбивают на ячейки. Частицы системы,
находящиеся в соседних, близких
состояниях движения, имеют значения
обобщенных координат и импульсов
?i, pi, лежащие внутри одной и той же
ячейки ^-пространства (рис. 267). В μ-
Pii
W
ΔΩ(μ)
Aqi
О
Qi
Рис. 267
пространстве объем отдельной ячейки
f
ΔΩ = YlApibqi.
Элементарные ячейки.
Произведение Δρ{Δ^£ имеет
размерность планковского кванта действия К.
На основании принципа
неопределенностей Гейзенберга (см. 7.4.3) можно
утверждать, что самое мелкое из
возможных разбиение на ячейки дает
элементарные ячейки с объемом ΔΩ,
мин
ί
= ΠΔρΐΔ<7ΐ = hf. Как следует из это-
го же принципа, нельзя различить
состояния движения двух частиц,
лежащих внутри одной и той же ячейки
μ-пространства с объемом Ы.
9.2.3. Статистические средние значе-
ния.
Средние по времени.
Макроскопические параметры состояния
термодинамической системы являются
средними по времени (f)t функций
обобщенных импульсов и координат
pih, qik частиц k = 1, 2, ..., N
системы:
</>t=lim-i
τ
\ fiPik, 9ih)
dt
о
При этом считается, что, за весьма
редкими исключениями, начальные
условия pik (t = 0) и qih (t = 0) не влияют
на средние по времени. Рассмотрение
средних по времени физически
приемлемо, но их нельзя вычислить.
Средние по ансамблю.
Больцман и Гиббс сделали важный шаг
вперед в решении задачи о нахождении
средних значений в статистической
механике. Вместо того чтобы находить
средние значения по времени, они
предложили рассматривать
совокупность большого числа однотипных
систем, состояния которых определенным
образом статистически распределены.
Такую совокупность называют
ансамблем. Макроскопический параметр
состояния вычисляют тогда как среднее
по ансамблю, иначе называемое средним
по множеству:
<
Sf(Pi,qt)W(Pt.qi)dQ
\W(phqi)dQ,
i=\
где Ψ — термодинамическая
вероятность, или повторяемость. Если сие-


тема может находиться в дискретных
состояниях, как, например, в
квантовой механике, то
i I i
Wl
При переходе от усреднения по
времени к усреднению по ансамблю важную
роль играет так называемая эргодичес-
кая гипотеза. Определение
термодинамической вероятности — одна из
главных задач статистической механики.
9.2.4. Термодинамическая вероятность.
Разбиение μ-π ρ о с τ ρ а н-
ства на ячейки. Для
определения термодинамической
вероятности в μ-пространстве его разбивают на
ячейки одинакового объема ΔΩ.
Частица, находящаяся в ячейке /, имеет
обобщенные импульсы pih обобщенные
координаты qtJ и энергию Ej (рис. 268).
Заполнение ячеек.
Каждому микросостоянию системы
отвечают определенные числа заполнения
Nj = 0, 1, 2, ... каждой ячейки /.
Совокупность всех чисел заполнения Nj
называют заполнением (Νχ, Ν2> ..., Nj, ...)
μ-пространства. Определенному
заполнению чаще всего отвечает много
микросостояний, которые могут быть
получены друг из друга перестановкой
частиц системы.
Полное число частиц N в системе
ограничивает возможные числа
заполнения (Nlt N2, ..., Nj, ...) условием Ν =
/
Априорная гипотеза,
лежащая в основе статистики Бол ь-
ц м а н а. В статистике Больцмана
принимается априори гипотеза, что
вероятности заполнения всех одинаково
больших ячеек / равны и не зависят от чисел
заполнения Nj. В квантовой статистике
независимость вероятности заполнения
от чисел заполнения выполняется
только для бозонов, но не для фермионов
(см. 9.4.1). Ячейка может быть занята
самое большее одним-единственным фер-
мионом.
Вычисление
термодинамической вероятности.
Согласно априорной гипотезе,
термодинамическая вероятность W как
функция заполнения (Nlt N2, ··., Nj,...)
равна числу или повторяемости
микросостояний системы для данного
заполнения. Вероятность W не нормирована
и для реальных систем всегда равна
очень большому числу. Она
определяется формулой
W(NltN2lN3 Nj,...) =
= NU(N1\N2\N3\...Nj\...)t
\nW(NuN2,N3t...,Njt...) =
= —Σ^\ηΝί + Ν\ηΝ.
При получении формулы для In W
использована приближенная формула
Дж. Стирлинга (1692—1770): In x\ «
ä χ ( In χ — 1) « χ In x.
Пример. Три частицы и три ячейки
в фазовом пространстве.
Α^ι.Λ^2. Ν3 Ц^нормир^термодин £полн{£/ = £(/)}
3 0 0
0 3 0
0 0 3
2 1 0
0 2 1
1 0 2
0 1 2
2 0 1
1 2 0
1 1 1
1/27
1/27
1/27
1/9
1/9
1/9
1/9
1/9
1/9
2/9
1
1
1
3
3
3
3
3
3
6
3£(1)
3£(2)
3£(3)
2£(1) + Е(2)
2£(2)+£(3)
2£(3) + £(1)
2£(3) + £(2)
2£(1) + £(3)
2£(2) + £(1)
£(1) + £(2) + £(3)
Равновесие. Согласно Больц-
ману, система находится в равновесии,
если при заданных дополнительных
условиях заполнение (Nlt Ν2, ..., NJt...)
таково, что термодинамическая
вероятность максимальна:
W(NltN2tNs,...tN,,...) = W
макс
при дополнительных условиях.
Дополнительными условиями могут
быть, например, постоянство числа час-


тиц Ν, постоянство полной энергии
^полн И Т. П.
9.2.5. Статистика Больцмана для
канонического ансамбля.
Канонический ансамбль.
По определению, канонический
ансамбль содержит систему с заданным
числом частиц N в чисто тепловом
контакте с большим тепловым резервуаром
при температуре Т.
Равновесие. Равновесие
канонического ансамбля возникает при
следующих условиях:
с дополнительными условиями
Μ = ^iNj = constt Τ = const.
Распределение Больцма-
н а. Условие равновесия выполняется
для распределения Больцмана,
которое определяет наиболее вероятное
заполнение (<Λ^>, <Ν2>, .·., (Nj), ...):
<Nj> =
Nexp(—Ej/kT)
^exp(-EjlkT),
где постоянная Больцмана k = R/Na =
= 1,38 · ΙΟ'23 Дж/R.
Наиболее вероятное заполнение оп
ределяется больцмановскими множа
телями
и статистической суммой, т. е. суммой
всех больцмановских множителей,
Отсюда вычисляется максимальная
термодинамическая вероятность WMaKC:
\nW
макс
N\nZ + EnonH/kT.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
In <Nj} = — Ej/kT — In Ζ + In Ν;
In №Макс = "2 <^> ln <Nj> + N In N =
N
kTZ
^Ejexp(-Ej/kT) +
+-ir£2exp<-£>/*7,)
j
M\nN
2 exp ( — Ej/kT) + N\nN =
kT
^Ej(Nj} + N\nZ =
ПОЛН
kT
-+N\nZ.
9.2.6. Статистический смысл термо
динамических величин.
Принцип Больцмана. Связь
статистических величин с
термодинамическими основана на принципе
Больцмана. Он постулировал, что
энтропия S системы определяется как
S = k\nW. I
Для системы, находящейся в
термодинамическом равновесии,
S = k\nW
макс
]
С учетом того, что при
термодинамическом равновесии полная энергия £Полн
соответствует внутренней энергии С/,
т. е.
= N In Ζ + VlkT\
- NkT In Ζ.
In WMaKC = S/k
U = TS
свободная энергия Гельмгольца
F=U — TS = - NkTlnZ
= —nkTlnZ.
С помощью статистической суммы
можно вычислить все
термодинамические величины, например:
dF
энтропия S = —
= +Nk(\nZ +
дТ IV
Τ dZ
Ζ дТ


давление ρ = — \dFldV)T =
= + (NkTIZ)dZldV\
внутренняя энергия U = F + TS =
= NkT2 (\/Z)dZ/dT = 2Ej<Nj>\
молярная теплоемкость при
постоянном объеме Су = (ΝJN) {dU/dT}v =
= NA (д/дТ) {kT2 (\/Z)dZ/dT);
число заполнения (Nj) =
= —NkT (\/Z)dZ/dEj = dFldEj.
9.2.7. Статистические флуктуации
термодинамических величин. Статис-
тическая механика позволяет
высказать также некоторые суждения о флук-
туациях термодинамических величин.
Для этого рассмотрим
термодинамическую вероятность W (Nlt N2, N3, ...
Njt ...) как функцию полной энер-
при-
• · · ·
гии Ε
полн·
ближенно равна
Флуктуация Δ£
полн
А£П0ЛН = К<(£
ПОЛН
υγ> =
= u/Vn =<еполн>/Уы.
где N — число молекул в системе
(рис. 269). Это же справедливо и для
W
W.
макс
IV
маке
Рис. 269
полн
других термодинамических величин X:
АХ=|<Х>1/К^.|
Пример. Для системы, содержащей
η = 1 моль при jV = jVa частиц, отклонение
энергии £Полн от значений U составляет
Д£полн= 1,3 - 10-12 £/.
§ 9.3. Кинетическая теория
одноатомных идеальных газов
9.3.1. Фазовое пространство.
Атомы идеального газа не
взаимодействуют друг с другом. Поэтому в
статистической механике идеальных газов
следует использовать μ- пространство.
При этом:
координаты отдельного атома: х, у,
степени свободы: 3;
координаты μ-пространства: {х, рх,
У> РУч ζ, рг\\
размерность μ-пространства: 6;
нормированный объем ячейки в μ-
пространстве:
dQ = h~3dpxdpy dptdxdydz.
Энергия отдельного атома равна
кинетической энергии:
Ε (*, рх, i/, py, z, рг) =
= 0/2/л) ой + pi + р\) =
= И' (#, рх, у, ру, ζ, ρζ).
9.3.2. Статистическая сумма:
Ζ = 2 ехр (- Е,1кТ) =
J
= h-s {exp(-E{x'Px'y'Py'z'pz))dQ =
= Vh-3
σο σο σο
ш
— σο —σο —σο
ехр
1
2mkT
Χ
Χ {ρ% + Ρΐ + pi)) dpx dpy dpz.
Отсюда следует, что
Ζ = V {2nmkTlh2yi2 = Κ/λ3,
где λ — длина тепловой волны де Брой-
ля:
\X = {h2/2nmkTy/2.
Она примерно равна длине волны де
Бройля атома с массой т и
кинетической энергией 36772.
Длина тепловой волны де Бройля
дает меру того, при каких условиях
классическая механика газа должна
быть заменена квантовой механикой.
Классическая механика применима
лишь до тех пор, пока занятый
отдельным атомом объем V/N существенно
больше так называемого квантового
объема λ3, τ. е. пока число частиц
много меньше статистической суммы N С
« V/λ3 = Ζ.
9.3.3. Термодинамические величины.
Термодинамические величины одно-


атомного идеального газа можно
вычислить с помощью статистической
суммы (см. 9.3.2) по общим соотношениям
(см. 9.2.6).
Свободная энергия:
F = —NkT In Z =
= —NkT Inj V (2nmkT/hy/2\ =
= —NkT In (Κ/λ3).
Давление:
ρ = —{dFldV\T =
= +NkT (д/dV) (In (Κ/λ3)) =
= NkTIV = nRTlV
(уравнение состояния).
Энтропия:
S = —{dFldT\v = + Nk In (Κ/λ3) +
+ NkT (δλ/дТ) (д/дХ) {In (Κ/λ3));
S = Nk {In (Κ/λ3) +3/2).
Внутренняя энергия:
U = F +TS = ^NkT = InRT
(закон равнораспределения).
Теплоемкость при постоянном
объеме:
Су = (\1п) \dUldT\v = |R = ~Nkk.
Приведенные соотношения нарушают
третье начало термодинамики (см.
§ 8.8). Это означает лишь, что при
низкой температуре не выполняется условие
λ3 С VIN.
9.3.4. Максвелловское распределение
по скоростям.
Статистика. Статистика Больц-
мана приводит к выражению
dN (vx, vy, vz) =
= Ν expC-mvW) . . ,
{2nkT/m}^2 * y 2'
где dN (vx, Vy, vz) — «число» атомов со
скоростями, лежащими в интервале от
ν χ, Vy, νΖί до νχ + dvxy vy + dvy,
vz + dvz.
Если интересоваться только
распределением по скорости ν, то, совершая
преобразование к сферическим
координатам в пространстве скоростей
dVyaüydvz = v4v sin QdQdy и усредняя
по всем направлениям, находим
dN(v) = N{m/2nkT}3/2x
xexp(—mv2/2kT)v2dv,
где dN (v) — «число» атомов со
скоростью в интервале от ν до ν + dv.
Производная dN (v)ldv имеет максимум при
^макс = (2kTlmY'2 (рис. 270).
Рис. 270
Средние значения. С
помощью распределения Максвелла по
скоростям можно найти следующие
средние значения:
<v> = 0; <и> = {(8/π) (kT/m)}1'2;
{vi) = (v2yy = <üj> = kTlm\
<v2> = 3kT/m\
кинетическая энергия
<£кин> = (m/2) <v2> = jkT =
= U/N = U/nNA.
Пример. He, 300 K: <u2>1/2 = 1367
m-C"1, <y> = 1260 M-c-1, 1>Макс = 1116 м-с-1.
9.3.5. Закон равнораспределения. Из
предыдущего рассмотрения вытекает,
что средняя внутренняя энергия,
приходящаяся на один моль и одну степень
свободы, равна γ RT\ средняя
внутренняя энергия, приходящаяся на одну
молекулу и одну степень свободы,
равна -^ kT.
Этот результат основан на
статистической механике, использующей
основные принципы классической
механики.
Закон равнораспределения
нарушается тогда, когда становится
необходимым учитывать квантовомеханические
закономерности.


Пример. С02, / = 5: при Τ = 300 К
U = 5Я772; при Τ = 80 К V = 3RT/2.
При 80 К вращательные степени свободы
«замерзают». Это явление может быть
объяснено только с позиций квантовой механики,
т.е.квантовой статистикой (пример см. в 9.4.3).
§ 9.4. Квантовая статистика
9.4.1. Фермионы и бозоны.
Отличительные
признаки. В квантовой статистике
различают два класса квантовомеханических
частиц: фермионы и бозоны.
Тип частиц

Фермионы
Бозоны
Спин
1/2, 3/2,
5/2, ....
полуцелый
0, 1, 2,
3
целый
Допустимое
заполнение
состояний
0 или 1,
принцип
Паули
0, 1, 2,
3, 4, ...
Примеры

Электроны
Протоны
Нейтрино
Атомы 3Не
Фотоны
Фононы
Дейтроны
Атомы 4Не
Принцип запрета Паули.
Для фермионов справедлив принцип
В. Паули (1900—1958): не может
существовать двух или более
тождественных фермионов, квантовые состояния
которых имеют все одинаковые
квантовые числа.
Принцип Паули запрещает
существование более одного фермиона в данном
квантовом состоянии. Следовательно,
число заполнения квантового состояния
для фермионов равно либо 0, либо 1.
Первоначально Паули сформулировал
свой принцип для электронов в атомах.
Согласно этому принципу, квантовое
состояние, определяемое главным
квантовым числом п, квантовым числом
орбитального момента импульса / и его
проекции тх и спиновым квантовым
числом ms, может быть занято
максимум одним электроном. Это значит,
что на данной орбитали атома или
молекулы могут находиться максимум
два электрона. Эти электроны, однако,
должны иметь разные направления
спина.
В такой форме принцип Паули
представляет собой основу для понимания
периодической системы элементов.
Бозоны. Для бозонов не
существует ограничений на заполнение
квантовых состояний. Это значит, что
число заполнения может равняться 0,
1, 2, 3, ...
К бозонам относятся фотоны —
кванты электромагнитного излучения и
фононы — кванты колебаний
кристаллической решетки.
Энергия системы фотонов или фоно-
нов, обладающих собственной частотой
ω,
£ПОлн = ^ω (Ν + γ),
где Ν — число фотонов или фононов, а
Λω/2 — нулевая энергия системы.
9.4.2. Функции распределения
Ферми—Дирака и Бозе—Эйнштейна.
Задача. Дана простая система,
состоящая из единственного кванто-
вомеханического состояния с энергией
£, которое может быть занято одной или
несколькими частицами. Число
заполнения состояния есть Ν (Ε). Система
находится в тепловом и диффузионном
контакте с большим резервуаром при
температуре Т. Это значит, что
резервуар может обмениваться с системой
теплотой и частицами. Систему и
резервуар, находящиеся в тепловом и
диффузионном контакте, называют большим
каноническим ансамблем.
Требуется определить
статистическое среднее (Ν (£)> числа
заполнения Ν (Е) как функцию температуры
Τ и энергии Е.
Решение. Задача была решена
для фермионов Э. Ферми (1901—1954)
и П. А. М. Дираком (1902), а для
бозонов—С. Н. Бозе (1894—1974) и
А. Эйнштейном (1879—1955).
Статистическое среднее значение <#>
числа заполнения N
<#(£)> = ( ехр [ (£ - μ)/*Γ] ± Ι)"1,
где знак плюс отвечает распределению
Ферми—Дирака для фермионов, а знак
минус — распределению Бозе —
Эйнштейна для бозонов (рис. 271).


Бозе-Эйнштейн
Больцман
-2 -1 0 1 Ζ (E-ß)/kT
Рис. 271
Химический потенциал.
Химический потенциал μ возникает в
обеих функциях распределения,
потому что поставленная задача
основывается на большом каноническом
ансамбле. Смысл химического потенциала
μ иллюстрируется распределением
Ферми—Дирака при температуре 7 = 0
(рис. 272):
п*
<ЛЧ£)>ф_д =
Γ=0π£>μ,
0 при
1/2 при Г
1 при Т=0иЕ <μ
Для фермионов химический
потенциал называют также уровнем Ферми
Еф. Систему фермионов называют
вырожденной, если kT < £ф == μ.
Химический потенциал фотонов и
фононов следует положить равным
нулю: μ = 0. Основанием для этого
является то, что полное число N фотонов
или фононов в системе при тепловом
равновесии не является независимой
переменной, а определяется другими
параметрами состояния, например
температурой Τ и объемом V. В
противоположность этому полное число N для
электронов в металле определяется
числом атомов.
Классический предел.
При малой средней плотности чисел
заполнения <N (£)> или (£ — μ) >
> kT распределения Ферми —
Дирака и Бозе—Эйнштейна переходят в
классическое распределение Больцмана:
<#(£)> = ехр [-(£-μ)/«1 =
= ехр (μ/kT) ехр (—E/kT) « 1.
В этом случае полное число частиц N
равно N = ехр (μ/£Γ)ν7λ3, где λ3—
квантовый объем (см. 9.3.2).
9.4.3. Статистика гармонического
осциллятора. Статистика
Бозе—Эйнштейна может быть применена к
гармоническому осциллятору. Для этого
рассматривают большой канонический
ансамбль, состоящий из одного-единст-
венного состояния с энергией £ =
= Λω. Это состояние занято N
тождественными квантами колебаний,
например фононами. Статистику
гармонического осциллятора можно также
развить, исходя из канонического
ансамбля, состоящего из квантовомехани-
ческого осциллятора (см. § 7.5) с
уровнями энергии £ = Αω (η -f 1/2), η =
= 0, 1,2, ..., находящегося в
тепловом контакте с тепловым резервуаром
при температуре Т. Статистическое
среднее <п> квантового числа η
<л> = [ехр(Лш/6Г) — I]-1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначив χ =
= Ηω/kT, получим для
статистической суммы (см. 9.2.5)
ζ = 2ο«ρ[-(* + τΗ=
= ехр(-*/2) =[2sh(jc/2)]-ia
1 — ехр(— х)
Статистическое среднее значение η
получается из среднего значения для η -f
+ 1/2:
xexp[-(/i+i-)*] :
л = 0
1 dZ_
дх


=J-cth —= —.[exp(x/2)+exp(-*/2)]:
:[exp (jc/2)—exp (—x/2)) =
= 1/(ехрл;— 1)+1/2 = <л> + 1/2.
Следствие. Если
рассматривать кванты колебаний
гармонического осциллятора как бозе-частицьц как
в случае фононов — квантов
колебаний кристаллической решетки, то
полученное выражение для (п)
представляет не что иное, как распределение
Бозе — Эйнштейна <ЛО для этих
частиц (см. 9.4.2), причем химический
потенциал μ равен нулю.
9.4.4. Эйнштейновская модель
удельной теплоемкости.
Твердое тело. Если
рассматривать jVa атомов твердого тела с
тремя степенями свободы каждый как
совокупность ЗЛ^а независимых
одинаковых гармонических осцилляторов с
круговой частотой ω0, то статистика
Бозе—Эйнштейна приводит к следующему
выражению для среднего числа
заполнения (Ν (£)> З/Уд-кратно
вырожденных состояний с энергией Ε = Αω0:
<# (£)> = 3ΝΑ/ [ exp {Нщ/kT) — 1].
Отсюда для внутренней энергии
одного моля твердого тела U/n получаем
UIn = Пщ { (N) + ЗЛ^а/2} =
= 3WaÄü)0 ((exp (Пщ/kT) — Ι)"1 +
+ 1/2),
и для молярной теплоемкости Су при
постоянном объеме
Cv = {\/n){dU/dT}v =
= SR {htoJkT)2 exp (Пщ/kT)/
{exp(h(d0/kT)—\}2.
Для твердого тела этот закон приводит
как к уменьшению Су при низкой
температуре, так и к закону Дюлонга—Пти
(см. 8.2.4), Су = SR при высокой
температуре.
Более точная модель удельной
теплоемкости твердого тела предложена Де-
баем (см. 8.2.4).
Многоатомные газы. Для
одного моля многоатомного газа вклад
Δ Су нормального колебания
молекулы с круговой частотой ω0 в
молярную теплоемкость Су описывается
предыдущей формулой, где SR надо
заменить на R. При kT > Лщ отсюда
следует, что ACV = /?, а при kT < %щ
АСу стремится к нулю. При комнатной
температуре обычно выполняется
условие kT <^ йщ. На основании этого в
большинстве случаев можно пренебречь
колебательными степенями свободы в
законе равнораспределения (см. 8.2.3).
9.4.5. Плотности состояний.
Определение. В разд. 9.4.2
рассматривалась система, обладавшая
одним-единственным состоянием с
энергией Е. Однако, вообще говоря,
для физики представляют интерес
системы фермионов или бозонов с большим
количеством квантовомеханических
состояний с различными энергиями,
например электроны в металлах и
полупроводниках (см. 9.4.6), фотоны в
полости (см. 9.4.7) и фононы в кристалле.
Во многих случаях число состояний
сравнимо с числом Авогадро Να =
= 6,022 · 10м моль-1. Поэтому не
следует рассматривать каждое состояние
в отдельности, а нужно ограничиться
рассмотрением плотности состояний
D(E), которая, по определению,
показывает, сколько состояний ΔΝζ
обладают энергией в интервале от Ε до
Ε + Δ£:
/±Nz = D(E)/iE\ D(E)=dNz(E)/dE.
Плотности состояний
свободных частиц.
Рассмотрим состояния свободных частиц,
например электронов, фотонов или
фононов, в большом кубе с длиной ребра
L и объемом V = L3. Состояния частиц
описываются плоскими волнами вида
ψ = -ψ0 exp [i (kr — ωή] =
= ψ0 exp [i (kxx + kyy + kzz — ωή],
где ψ — например, электромагнитная
или дебройлевская волна (см. 7.2.1).
Кроме того, каждая частица имеет
2s + 1 спиновых состояний (при спине
s). Для куба с длиной ребра L имеем
в качестве граничных условий
exp (ikxL) = exp (ikyL) =
= exp (\kzL) = 1


или
kx = mx2nlL, ky = my2nlL>
kz = mz2n/L,
где mxy niy, mz = 0, ± 1, ± 2, ± 3, ...
Плотность состояний в {m*, ту, тг}-
пространстве равна 2s + 1, и,
соответственно, плотность состояний в {kxy
kyy kz} -пространстве
\ χι ijy ζ) χ U'R'ii (Artγ —
= (2s+l){L/2n}*dkxdkydkt =
= (2s + l) V
(2πγ
CLrC*£ ClfCy CLrCy,
Во многих случаях интересуются не
плотностью D (kx, ky, kz), а
плотностью состояний D (k). Переход от одной
плотности к другой осуществляется
введением сферических координат k, θ, φ
в {&*» ky, kz)-пространстве; тогда
интегрирование по телесному углу 4π дает
D (k) dk = (2s -f 1) (V/2n2) k2dk.
Плотность состояний D (Ε) как
функция энергии £ может быть вычислена
для любого сорта частиц с помощью
соотношения k {E) между величиной к
волнового вектора и энергией £:
D (£)</£ = (2s+1)
V
2π2
Χ
Xk%(E) ÜiS-dE.
v ' dE
9.4.6. Электронный газ в металлах.
Плотность состояний.
Электроны в так называемой зоне
проводимости металла представляют собой
квазисвободные ферм ионы со спином
s = 1/2. Их энергия может быть
представлена в виде
Ε = £кин = +p2/2m* = -f №/2т*,
где Ε = 0 отвечает границе зоны, а
т* — так называемая эффективная
масса (см. 5.2.6). Из разд. 9.4.5
следует для плотности состояний
Id (E)dE = {V72π2) {2m*/Ä2}3/2 Ε112 dE.
Плотность заполнения.
Число Δ/V (Ε) занятых электронами
состояний с энергией в интервале от
Ε до Ε + Δ£ равно
AN (E)=D(E) (ехр[(£
+ 1)-1 АЕ.
£Ф)/£Г] +
Определение уровня Φ е р-
м и. Полное число электронов N в зоне
проводимости равно
оо
N= { D(£){exp[(£ —£Ф)/£Г] +
£=0
+ \}-xdE.
Так как число N электронов в зоне
проводимости уже определено числом
атомов в металле, то приведенное
соотношение является уравнением,
определяющим уровень Ферми Еф(Т) или
химический потенциал μ (Τ). При
температуре Τ = 0 К
£Ф (0 К) = (Ä2/2m*) {3n2N/V}2'3.
Для электронного газа в реальном
металле £Ф (0 K)/k « 50 000 К. В той
области температур, где существует
металл, благодаря тому что уровень
Ферми очень высок, электронный газ
сильно вырожден. К тому же £ф (Г)
слабо зависит от температуры.
Внутренняя энергия.
Внутренняя энергия U электронного газа
σο
U= f ££>(£) {ехр[(£-£ф)/*Л +
£ = 0
+ 1}"М£.
При
гию
Τ = 0 К находим нулевую энер-
£ф(0К)
ί/(0Κ)= f ED(E)dE =
£==0
= — #£ф(0К).
5
9.4.7. Теория теплового излучения.
Введение. Поверхности
нагретых тел испускают электромагнитное
излучение. Для поверхностей с
температурой около 300 К это излучение
находится в инфракрасной области
спектра (λ = 1 ч- 50 мкм). Если темпе-


ратура поверхности повышается до
1000 К, то испускается также и
видимый свет (λ = 0,4 -г 0,7 мкм), т. е. тело
начинает светиться.
Фундаментальной проблемой
теории теплового излучения является
определение спектральной плотности
энергии w (ν, Τ) электромагнитных волн
в большой полости объемом V и
температурой стенок Т. Впервые это удалось
М. Планку (1858—1947), который для
решения задачи ввел планковский квант
действия.
Малое отверстие в большой полости
выглядит более темным или по крайней
мере таким же темным, как любая
другая поверхность при температуре,
равной температуре стенок полости.
Р. Кирхгоф (1824—1887) показал с
помощью термодинамического
рассмотрения, что идеальное абсолютно черное
тело имеет максимальную
спектральную излучательную способность К- (ν, Τ).
Она соответствует спектральной излу-
чательной способности малого
отверстия в полости.
Спектральная излучательная
способность К (ν, Τ) в единичном телесном
угле и спектральная плотность энергии
w (ν, Τ) связаны в вакууме
соотношением
К (ν, Τ) = (c/4n)w (ν, Τ).
Плотность состояний
фотонов в полости. Для
фотонов следует заменить множитель
(2s + 1) в плотности состояний (см.
9.2.3) множителем 2, который
описывает возможные поляризации фотонов.
Для энергии Ε и частоты ν фотонов
справедливы соотношения Ε = Αν =
= Α ω = tick. Отсюда получаем для
плотностей состояний D (Е) и D (ν).
D(v)d\ = Sn(V/c3)v2d\\
D(E)dE = SnE2dE
(he)3
Закон излучения План-
к а. Спектральная плотность энергии
w (ν, Τ) в большой полости объемом V
и температурой стенок Τ может быть
представлена как произведение
плотности состояний D (ν), функции
распределения Бозе—Эйнштейна для фотонов
и энергии Ε = hv отдельного фотона:
w (ν, Τ) dv =— D (ν) dv Αν.
При этом химический потенциал μ
фотонов следует положить равным нулю
(см. 9.4.2).
Отсюда находим для спектральной
излучательной способности:
/C(v, T)dv = — w(v,T)dv =
4π
1
dv;
_ 2/tv3
с2 exp(hv/kT) — 1
K(KT)dK=—w(K,T)dK =
4π
1
2/ic2
λ5 exp (/ic/feTX)— 1
dK
где ν — частота, a λ — длина волны
электромагнитного излучения в
вакууме (рис. 273).
Κ(λ,Τ)
Τ-2000 К
4 Л, мкм
Рис. 273
Предельные случаи. Для
больших и малых длин волн из закона
излучения Планка получаются
следующие приближенные формулы:
λ мала:
К (К T)dX = (с1Щт (λ, T)dX ж
» 2Ас2 exp (—hc/kTK) λ~4λ\
λ велика. Закон Дж. В. Рэлея
(1842—1919) и Дж. Джинса (1877—
1946):
К (λ,Τ)άλ = (c/4n)w (λ, T)dk «
а2с£П-4 dX\
Κ (ν, T)dv = (c/4n)w (v, T)dv ж
ж 2kT (v/c)2dv.


Закон смещения Вина.
Длина волны Ямакс, для которой
спектральная излучательная способность
К (λ, Τ) абсолютно черного тела
достигает максимума, установлена В.
Вином (1864—1928):
^макс^ = 2,898
Ю-3 м - К.
Примеры. Τ = 300 К (комнатная
температура) — А.макс = 9,7 мкм
(инфракрасная область); Т= 1500 К — λ = 1,9 мкм
(близкая инфракрасная область); Τ = 6000 К
(Солнце) — λ = 4850 Ä (зеленый свет).
Закон Стефана—Боль ц-
мана. Полная излучательная
способность абсолютно черного тела в
лежащее над поверхностью
полупространство определяется интенсивностью:
Κ'(Τ) = η\Κ(ΚΤ)άλ =
о
оо
о
где w (Т) — плотность энергии в
полости при температуре Т.
Согласно Дж. Стефану (1835—1893)
и Л. Больцману (1844—1906),
K'(T)=(c/4)w(T) = oT*;
σ = 2π2£4/15£2/ι3 =
= 5,67-ΙΟ"8 Βτ.μ-2·Κ-4.
Примеры.
Γ, К 1 100 1000
К', Вт-м-2 5,7-Ю-8 5,7 5.7-10+4
Термодинамический
вывод. Пропорциональность
плотности энергии четвертой степени
температуры была установлена еще Планком
с помощью законов термодинамики.
Плотность энергии w{T) поля
излучения удовлетворяет термодинамическому
соотношению:
w = U/V = {dU/dV}T = (д/dV) {F +
+ TS) = -ρ + Τ {dS/dV)T,
где {dS/dV}T = —d2F/dVdT ={др/дТ)у.
О 1
В силу соотношения ρ = -jw между
давлением излучения и плотностью
энергии (7.1.5) получаем:
w = Tdp/dT — ρ = j (TdwIdT — w).
После несложного преобразования
отсюда следует, что
dw/w = AdTIT или w ~ Г4.
глава 10. Атомные ядра и элементарные частицы
§ 10.1. Введение
10.1.1. Размеры и энергии. В
поисках мельчайших структурных единиц
материи пройден путь от классической
механики через химию, атомную
физику и физику ядра к физике
элементарных частиц или высоких энергий. На
каждом этапе оказывалось, что
считавшиеся до тех пор неизменными
структурные единицы сами имеют структуру
и делимы на составные части. В
соответствии с принципом
неопределенностей Гейзенберга (см. 7.4.3) для
проникновения в области все меньших
размеров требуются все большие импульсы и
энергии. Поэтому современные
ускорители высоких энергий требуют
гигантских затрат. В таблице приведены
элементарные структурные единицы,
типичные размеры и энергии в различных
областях физики и химии.
Область явлений
Жесткая структура
Изменяющаяся
структура
Типичная
длина волны,
м
Энергия на одну
молекулу, атом, нуклон
Механика
Химия
Атомная физика
Ядерная физика
Физика элементарных
частиц
Атом, химическая
связь
Атом
Атомное ядро
Нуклон

Макроскопическая форма
Молекула
Атом
Атомное ядро
Нуклон
1
Ю-7
10-ю
10-14
10-16
0,01—0,1 эВ
0,1-1 эВ
1 эВ —100 кэВ
100 кэВ—100 МэВ
200 Мэв—30 Гэв


Типичная для ядерной физики и
физики высоких энергий единица
длины — ферми (фм) названа по имени
Э. Ферми (1901—1954): 1 фм = 10"15 м.
В качестве единицы энергии
элементарных частиц используется только
электронвольт (эВ): 1 эВ = 1,6022 X
χ 10"19 Дж=10"3 кэВ=10-6 МэВ =
= Ю-9 ГэВ.
10.1.2. Эффективное сечение. В
описании ядерных реакций важную роль
играет понятие эффективного сечения.
Эта величина характеризует
вероятность того, что при падении пучка частиц
или высокоэнергетических фотонов на
вещество произойдет определенная
реакция. В этом случае исследуемый
образец называется мишенью. Если
мишень бомбардируется пучком частиц или
фотонов, содержащим N0 частиц или
фотонов на единицу площади в единицу
времени, то N0 называют
интенсивностью пучка. Мишень содержит в
единице объема η ядер или других частиц,
с которыми могут взаимодействовать
падающие частицы. Относительное
уменьшение —dNlN интенсивности пучка N
в слое толщиной ах при плотности
частиц η равно
—dNlN = ondx
(рис. 274). Интегрируя по толщине
мишени, находим, что
•
·· ·
• ·
• · ·
• · ·
··
·· »
• ·
•
• ·
• ·
•
•
•
•
•
•
·· ·
.п.
• · ·
• ♦
ш · ·
•
I II I
0 UX X
Рис. 274
N = N0exp(—onx).
Коэффициент пропорциональности σ
называют полным эффективным
сечением. Эта величина имеет размерность
площади. Единицей ее является барн:
1 барн = Ю-28 м2.
Если в мишени могут происходить
различные реакции Ri> то полное
эффективное сечение равно сумме
отдельных эффективных сечений: σ = 2σ/·
ι
10.1.3. Рассеяние. Важным методом
экспериментальной ядерной физики
является рассеяние элементарных
частиц на атомных ядрах и других
элементарных частицах.
Дифференциальное и
полное эффективное
сечение. Для описания поведения
частиц, которые в результате
взаимодействия с ядрами мишени рассеиваются
под некоторым углом θ в телесный угол
dQ (рис. 275), используется
дифференте /W^uN(B)
Рис. 275
циальное эффективное сечение:
σ(β)==άσ/άΩ.
Полное эффективное сечение
рассеяния равно интегралу от
дифференциального эффективного сечения по
всему телесному углу 4π:
<т = г (do/dQ)dQ.
Упругое рассеяние на
непроницаемой сфере.
Упругое рассеяние частиц с массой т на
непроницаемой тяжелой сфере массой
Μ > т и радиусом R изотропно.
Эффективное сечение do/dQ = /?2/4, σ =
= π/?2. Полное эффективное сечение
равно площади поперечного сечения
сферы nR2.
Резерфордовское
рассеяние. Упругое рассеяние частиц с
массой т и электрическим зарядом Z'e
в кулоновском поле относительно
тяжелой частицы с массой Μ > т и
электрическим зарядом Ze было впервые


рассчитано Э. Резерфордом (1871—1937)
(рис. 276, где Ь — прицельный пара-
Ь- прицельный параметр
Z'e,m
метр). Рассеивая ядра 4Не (α-частицы,
см. 10.3.1) на атомах, Резерфорд
установил в 1911—1913 гг. существование
положительно заряженных ядер в
атомах.
Если Ε = mv2/2
энергия частиц до
дифференциального
есть кинетическая
рассеяния, то для
эффективного
сечения справедлива формула
da
dQ
Ζ' Ze2
1
4πε0 4mi>3/2
sm
-4
2
Полное эффективное сечение σ
бесконечно велико, в согласии с тем, что ку-
лоновское поле имеет бесконечный
радиус действия.
§ 10.2. Строение атомного ядра
10.2.1. Структурные элементы ядра.
Нуклоны. Атомные ядра
состоят из протонов ρ и нейтронов п. Эти
частицы называют нуклонами. Протон
и нейтрон имеют одинаковый спин и
почти равные массы: тр = 1,6726 X
X 10-27 кг, тп = 1,6749 · 10~27 кг,
/р = 1/2, /п = 1/2. В
противоположность протону, имеющему заряд -fe,
нейтрон электрически нейтрален.
Несмотря на это, он имеет отличный от
нуля магнитный момент: Qp = +е,
Qn =0; μρ = +1,4106 . ΙΟ"2« д.м«?
μη = —0,96632 - ΙΟ"26 Α · м2.
Числа, характеризующие
ядро. Число Ζ протонов в атомном
ядре равно числу электронов в нейт-
тральном атоме. Это число определяет
химические свойства атома и поэтому
называется либо зарядом ядра, либо
порядковым номером. Число А всех
нуклонов в ядре определяет его массу и
называется поэтому массовым числом.
Разность массового числа А и
порядкового номера Ζ дает число нейтронов N.
Атомы с одинаковым порядковым
номером Ζ, но различными А
называют изотопами элемента. Физические
свойства атомного ядра определяются
порядковым номером Ζ и также числом
нейтронов N.
Описание ядра. Для
однозначного описания данного ядра
достаточно задать два из трех чисел: Z, N
и А. Принято указывать вместо числа
протонов Ζ наименование элемента, а
соответствующий изотоп отмечать
указанием массового числа А.
Пример. Ядро гелия: символ 4Не
означает, что А = 4, Ζ = 2, N = 2.
Стабильные ядра. Легкие
ядра с А ^ 40 стабильны при Ζ«Λί«
« Л/2, а тяжелые ядра стабильны
лишь при N > Ζ. Таблица изотопов
(рис. 277) показывает положение
стабильных ядер.
~п-Распад
Стабильность
__1 L
Рис. 277
10.2.2. Радиусы ядер. В первом при-
ближении форму атомных ядер можно
считать сферической. Кроме того, в
противоположность атомам, они имеют
относительно хорошо определенную
границу, определяющуюся формой
радиальной зависимости квадрата
ядерной волновой функции | Ψ (г) |2. На
этом основании задание радиусов ядер
имеет смысл.
Эксперименты по рассеянию Резер-
форда (см. 10.1.2) и других ученых
установили простой закон для радиусов
различных ядер:
R=R0A4\
Ro = l,3 фм = 1,3-10-15 м.


Эта формула показывает, что ядерная
плотность приблизительно постоянна:
Μ
Am τ
■ = — тр #o
(4π/3) R% Α 4π μ
« 1,7.1017кг-м-3= 170000 т-мм"3.
Постоянство плотности можно
объяснить, предположив, что нуклоны
в ядре упакованы так же плотно, как
молекулы в капле жидкости. Такое
представление соответствует так
называемой капельной модели ядра.
Высокую плотность ядер имеют некоторые
звезды, например нейтронные звезды.
10.2.3. Ядерные силы. Так как, за
исключением ядер водорода и дейтона,
все ядра содержат более одного
протона, которые отталкиваются из-за
одинаковых электрических зарядов, то
должны существовать другие силы,
действующие между нуклонами и
связывающие частицы в ядре. Эти ядерные
силы F больше кулоновских или
гравитационных сил. Поэтому
определяющее их взаимодействие называют
сильным взаимодействием.
Ядерные силы имеют следующие
свойства: малый эффективный радиус
действия; зависимость от спина
нуклонов; зарядовую симметрию Fp_p =
=Fn-n\ зарядовую независимость Fp_p =
= Fp_n. Отсюда следует, что
практически нельзя различить ядерные
силы, действующие между протонами
или нейтронами.
При сильном взаимодействии между
двумя нуклонами потенциальная
энергия имеет следующий вид (рис. 278).
20
0
-20\
Отта/гкибание
W 1.2 2,0 г,фм
^Притяжение
(Юкава)
Рис. 278
Резкий рост потенциальной энергии
на малых расстояниях (г <; 0,4 фм)
между нуклонами означает сильное
отталкивание. Оно отражает
существование характерной «жесткой
сердцевины» нуклона.
В области притяжения
потенциальная энергия может быть описана
потенциалом Юкавы (род. в 1907 г.).
£Пот (/") = — 82r~l exp (—rlru).
Здесь g—константа взаимодействия для
ядерных сил. Существенное отличие
потенциала Юкавы от кулоновского или
гравитационного заключается в наличии
экспоненциальной функции, которая
соответствует короткодействующему
характеру ядерных сил.
10.2.4. Энергия связи ядер.
Дефект массы и энергия
связи. Если объединить Ζ
протонов и N нейтронов в ядро, то при этом
высвобождается энергия,
соответствующая энергии связи В (Ζ, Ν) ядра.
Согласно постулированной Эйнштейном
(см. 2.5.1) эквивалентности энергии и
массы, уменьшение энергии при
слиянии протонов и нейтронов в ядро
соответствует дефекту массы Am (Ζ, Ν).
Этот дефект можно вычислить как
разность между суммой масс нуклонов и
массой ядра т (Ζ, Ν). Таким образом,
энергия связи
B(ZtN)=c*Am(Z,N) =
= c2{Zmp + NmN-m(Z, Ν)}.
Пример. Слияние протона с
нейтроном η -f ρ = ιη + ιΗ = 2D + В (1, 1).
Энергия связи В (1, 1) дейтона 2D находится
следующим вычислением:
+С2тр = Н-938,26 МэВ;
-fc2mn =+939,55 МэВ;
—c2mD = —1875,59 МэВ;
В(\, 1)=с*Ат(1, 1)=2,22 МэВ.
Энергия связи на нуклон.
Благодаря сложной природе ядерных
сил энергия связи В (Ζ, N) ядра не
строго пропорциональна числу
нуклонов А = Ζ -+- N. Энергия связи,
приходящаяся на один нуклон, В (Ζ, Ν)ΙΑ
поэтому непостоянна (рис. 279).


Слияние
(синтез)
ядер
Деление
ядер
60 120 180 240
I I
30 90 150 210
Рис. 279
Средняя энергия связи на нуклон
составляет около
\В (Z, N)l A « 8 МэВ.
Энергия связи на нуклон имеет
максимум при А « 60. Поэтому ядерную
энергию можно высвободить как в процессе
слияния (синтеза) легких ядер, так и при
расщеплении (делении) тяжелых ядер.
Выделение энергии β звездах основано,
например, на процессе слияния ядер
водорода с образованием гелия. При
технически осуществимом делении ядра с Л>
> 230 расщепляются на две примерно
равные части. При этом (рис. 280) высво-
177,
'Lu(Tj#-6,8cym)
ß'-Распады
Оснобное
состояние
0,S21 МэВ
0,250 МэВ
[-у-Излучение
0,113 МэВ
0 МэВ
бождается около 7 МэВ энергии связи
на нуклон, или около 200 МэВ на весь
процесс расщепления.
Формула Вейцзеккера.
Для А ^ 40 можно вычислить энергию
связи В (Ζ, Ν) как функцию Ζ и N по
полуэмпирической формуле К. Ф.
Вейцзеккера (род. в 1912 г):
В (Ζ, Ν) = с2 {Zmp + Nmn -т (Ζ, Ν)} =
= H,U —Ш2/з—0,595ZM-l/3 +
+ 19(Ζ-#)Μ-1+33,5Λ-3/4 χ
ί(—1) для нечетных Ζ и Ν;
х Ι (+1) для четных Ζ и Ν;
[О в остальных случаях.
Величина В (Ζ, Ν) и все коэффициенты
даны в мегаэлектронвольтах. Эта
формула показывает, что ядра с четными
Ζ и N (четно-четные ядра) имеют
наибольшую энергию связи и поэтому
особенно стабильны.
10.2.5. Ядерные уровни.
Электронная оболочка атома и атомное ядро в
определенном смысле похожи. В обеих
системах частицы движутся в
некоторой потенциальной яме. В случае
атомной оболочки это электроны в кулонов-
ском потенциале, в атомном ядре —
нуклоны в ядерном потенциале.
Однако, в противоположность атомной
оболочке, атомное ядро не поддается
строгому квантовомеханическому
рассмотрению, так как природа ядерных сил
сложна и до конца не выяснена. Как
и в атомной оболочке (см. 7.8.2), в
атомном ядре существуют квантованные
состояния с соответствующими
уровнями энергии (см. рис. 280).
Переходы между уровнями энергии
возможны путем испускания или
поглощения у-излучения. Это
электромагнитное излучение имеет очень малую
длину волны. Энергия фотонов
находится в интервале от 0,01 до
нескольких мегаэлектронвольт. Поэтому
корпускулярные свойства этого излучения
доминируют над его волновым
характером. Чаще всего об этом излучении
говорят как о у-квантах.
Ядра могут различными путями
перейти в возбужденные состояния с
более высокими уровнями энергии: при
α-распаде (см. 10.3.3) и ^-распаде (см.
10.3.4); в результате ядерной реакции;
при резонансной флуоресценции,
которая возбуждается γ-квантом подходящей


частоты; путем кулоновского
возбуждения, при котором электрически
заряженная частица пролетает вблизи
ядра; в результате неупругого рассеяния
нуклонов, дейтонов, α-частиц и др.
§ 10.3. Радиоактивность
10.3.1. Нестабильные ядра.
Естественные и
искусственные радиоактивные
ядра. В ядерных реакциях, особенно
при делении ядер, возникает огромное
число нестабильных ядер, которые без
внешнего воздействия, т. е. спонтанно,
распадаются или испытывают
превращения. Если при этом ядра испускают
материальные частицы или
электромагнитное излучение, то их называют
радиоактивными. Помимо искусственно
созданных радиоактивных ядер
имеются и такие, которые встречаются в
природе. В основном это изотопы
урана , актиния и тория с их продуктами
распада; в меньших количествах
встречаются более легкие ядра калия,
рубидия, самария, лютеция. Всех их
называют естественно-радиоактивными
ядрами. Они распадаются
относительно медленно. Естественная
радиоактивность была открыта А. Беккерелем
(1852—1908) и подробно исследована
П. Кюри и М. Кюри (1859—1906,
1867—1934).
Искусственно-радиоактивные ядра удалось обнаружить и
исследовать значительно позже.
Излучение
радиоактивных ядер. Радиоактивные ядра
в общем случае испускают а-, ß-час-
тицы и γ-кванты. α-Частицы
представляют собой дважды положительно
заряженные ядра 4Не, ^-частицы —
электроны или позитроны, а у-кванты —
высокоэнергетические фотоны. Кроме
того, испускаются нейтроны и
нейтрино. Нейтрино — примечательные
частицы со спином 1/2, массой покоя,
равной нулю, скоростью с и нулевым
электрическим зарядом. Их
существование было предсказано Паули в 1930 г.,
но только в 50-е годы они были
экспериментально наблюдены. Нейтрино
очень слабо взаимодействуют с
веществом.
Различные частицы с разной силой
поглощаются веществом.
Соответственно, весьма различны их пробеги.
Пример. Пробеги в воде.
Частица Энергия, Пробег,
МэВ м
α 5 4-10-5
β 0,02 1-10-5
β 1 7-Ю-з
Нейтрон 50 2-10-1
Нейтрино — ~оо
10.3.2. Статистический закон
распада. Распад нестабильных ядер под-
чиняется статистическому закону. Для
большого числа нестабильных атомных
ядер среднее уменьшение их числа —dN
за время dt пропорционально числу
ядер N:
— dN = lNdt.
Здесь λ — вероятность распада;
—dNldt = λΝ = А — активность.
Специальная единица активности
радиоактивных веществ кюри (Ки)
названа в честь П. и М. Кюри: [А] = 1 Ки =
= 3,70 · 1010 расп./с. Она
соответствует активности 1 г радия.
Из формулы закона распада следует,
что среднее число </V (/)> ядер на
момент времени t < Ν (ή > =
= N0 ехр (—λ*), где Ν0 = Ν (0) —
число ядер в момент времени t = 0.
Обратная величина вероятности распада
или постоянной распада λ равна
среднему времени жизни τ:
оо / оо
T=(texp(—kt)dt (exp(-lt)dt = X-1.
о ' о
Со средним временем жизни связан
период полураспада 7Ί/2, который опре-
дел яется соотношен ием
<N(Tl/2)> = lTN(0) = jNo.
Справедлива формула
Γ1/2 = τ1η2.
За время Т\/2 распадается в среднем
половина имевшихся в начале ядер.
В силу статистического характера
закона распада измеренное за время


At <^ τ число распадов Δ N будет
отличаться от ожидаемого среднего
значения (AN) = XNAt = A At.
Вероятность измерения определенного
значения AN описывается распределением
Пуассона:
W(AN)=«AN)*N/AN\) ехр(—<ΔΛΟ).
Для больших <ΔΛ/> распределение
Пуассона переходит в нормальное или
гауссово распределение:
X expi
уштшт
2<Δ#>
Если измерение AN повторяется сколь
угодно часто, то средняя ошибка, или
стандартное отклонение, равна
a = lim
*-»-о
2 {AN?-<AN}*} =
1=1
= Κ<ΔΛ/>.
10.3.3. «-Распад.
■■■^■■■■■■■■■■■■■■■■■■■шнвнв
Описание α-ρ а с π а д а.
Часто встречающимся типом распада
является α-распад, когда нестабильное
ядро распадается на новое ядро и
ядро 4Не, т. е. на α-частицу. Из
нестабильного ядра с порядковым номером
Ζ получается новое ядро с порядковым
номером Ζ — 2. Поэтому продукт
распада находится в периодической
таблице элементов двумя местами левее
исходного элемента. Примером
является распад 238U:
238TJ _^ 234Тп + α + Ε
кин
Особенности α-распада: постоянная
дискретная кинетическая энергия
α-частиц (рис. 281); случайное направление
N(ot)\
KUH
(ос)
вылета α-частиц; случайный момент
времени распада; вероятность
распада сильно различается для разных ядер.
Примеры.
Ядро
238U
210р0
212ро
Ε (ос)кин·
МэВ
4,2
5,3
8,8
Время
жизни
6,5·109 лет
200 сут
4,4 Ю-' с
Камера Вильсона.
а-Частицы можно хорошо наблюдать в
камере К. Т. Р. Вильсона (1869—1959).
В этой камере создается
перенасыщенный пар, в котором ионизованные а-
частицей молекулы или атомы
действуют как центры конденсации.
Поэтому траектория α-частицы становится
видимой как туманный след. Длина
туманного следа дает сведения об
энергии влетевшей α-частицы.
Модель а-р а с π а д а. Чтобы
описать α-распад, принимается, что а-
частица уже имеется в нестабильном
ядре и находится в потенциальной яме,
образованной потенциалом ядерных
сил и кулоновским потенциалом
отталкивания (рис. 282).
\ Ку/юнобский
\ потенций/!
\^/
(X
Ядерный
потенций/!
Рис. 282
Рис. 281
Согласно классической механике,
α-частица может покинуть
потенциальную яму лишь в том случае, если ее
энергия Ε больше энергии края
потенциальной ямы Е0. Однако, согласно
квантовой механике, α-частица в
соответствии с принципом
неопределенностей Гейзенберга (см 7.4.3)
| АЕ | At = (£0 — E)At ^ /г/2 может
на короткое время Δ^ достичь энергии
Е0 и вылететь наружу над краем
потенциальной ямы. Классически это
выглядит таким образом, как будто
частица просачивается наружу сквозь
потенциальный барьер. Это явление на-


зывают туннельным эффектом.
Туннельный эффект приводит к тому, что
даже α-частицы с энергией Ε <. Е0
при попадании на потенциальный
барьер проходят сквозь него с отличной
от нуля вероятностью Т. Эту
вероятность Τ называют коэффициентом
прохождения. Он определяется как
число успешных
гр попыток прохождения , ^>,
число всех " ^
попыток прохождения
где G — множитель Г. Гамова (1904—
1968), зависящий от формы
потенциальной ямы, ее радиуса /?, высоты
барьера Е0 и энергии Ε α-частицы. С
помощью коэффициента прохождения
можно описать α-распад следующим
образом: α-частица осциллирует в
потенциальной яме и ν раз за 1 с ударяется
о потенциальный барьер. В среднем
она проходит его после Μ Τ ударов,
следовательно, за 1/7ν с. Это время
соответствует среднему времени жизни τ
нестабильного ядра: τ = 1/7V
Пример. α-Распад 230U: Ε = 5,9 МэВ
— кинетическая энергия α-частицы; ν = 1,7 X
ΧΙΟ7 м · с-1 — скорость α-частицы; R =
= 0,75 · Ю-14 м — радиус ядра; ν = 1,1 X
Χ 1021 с-1 — число ударов за 1 с; Τ = 3,5 X
χ ю-28 — коэффициент прохождения; τ =
= l/Γν = 2,6 · 106 с — время жизни ядра
230 U
10.3.4. ß-Распад.
Описание. Кроме нестабильных
ядер, распадающихся с испусканием
α-частицы, имеются ядра,
распадающиеся с испусканием электрона е~
(β"-частица) или позитрона е+
(β+-частица). Позитрон отличается от
электрона только противоположными знаками
электрического заряда и магнитного
момента. При р~-распаде зарядовое
число ядра увеличивается от Ζ до Ζ + 1
и дочерний элемент находится в
периодической таблице элементов справа
рядом с материнским элементом. При
Р+-распаде зарядовое число ядра
уменьшается от Ζ до Ζ — 1. Примерами
являются:
р"-распад: 60Со -*60Ni + е~ +"v;
р+-распад: 22Na -^22Ne + е+ + v.
В этих распадах помимо электрона и
позитрона вылетают также нейтрино
ν (см. 10.3.1) и антинейтрино ν,
различающиеся только направлением
спина: у нейтрино ν спин антипараллелен
импульсу, у антинейтрино ν —
параллелен. Паули постулировал
существование этих частиц, чтобы не нарушались
законы сохранения энергии и момента
импульса в ß-распаде. Испускаемые при
распаде ядра ß-частицы имеют, в
противоположность а-частицам,
непрерывный энергетический спектр (рис. 283) с
N(ß)i
0 ^макс ^кцнС^
Рис. 283
максимумом энергии £макс,
соответствующим энергии распада ядра.
Энергия нейтрино (антинейтрино) есть
разность между энергией распада £макс
и кинетической энергией ЕрКИН
ß-частицы.
Теоретическое
объяснение. Фундаментальными процессами
являются:
в ß"-pacnaÄe: п-+р-\-е~-\-\-\-
+ энергия;
в ß+-pao^e: ρ + энергия -+п +
+ е+ + v.
Свободный нейтрон η распадается
по приведенной схеме на протон ρ и
электрон е~ с временем жизни τ = 15,3
мин. В ядре этот процесс также
происходит, когда энергия связи
обеспечивает положительный энергетический
баланс процесса, причем следует
учитывать и энергию покоя испускаемого
электрона.
Существование ß+'распада
показывает, что и протон ρ может
превращаться в нейтрон п. Так как протон ρ
легче нейтрона п, такой процесс может
происходить только в ядре, которое
возмещает недостающую долю энергии своей
энергией связи.
Э. Ферми (1901—1954) с помощью
постулата Паули о существовании нейтри-


но рассчитал энергетический и
импульсный спектры ^-распада.
При теоретическом исследовании ß-
распада выяснилось, что за него
ответствен новый фундаментальный тип
взаимодействий — так называемое слабое
взаимодействие. Оно много слабее
сильного и кулоновского взаимодействий,
однако сильнее гравитационного.
Указанные четыре типа взаимодействий
охватывают все известные в настоящее
время силы (см. § 10.5).
Процессы, обусловленные слабым
взаимодействием, могут нарушать
закон сохранения четности или принцип
инвариантности относительно
пространственной инверсии. Это было
экспериментально установлено в 1957 г.
Ц. С. By (род. в 1913 г.) и ее
сотрудниками в ß-распаде 60Со, после того как
в 1956 г. Т. Д. Ли (род. в 1926 г.) и
Ч. Н. Янг (род. в 1922 г.) указали на
такую возможность. Закон сохранения
четности утверждает, что
пространственное зеркальное отражение
некоторого физического процесса также
представляет возможный физический
процесс и что совокупность законов для
обоих процессов одинакова. До
сегодняшнего дня слабое взаимодействие
является единственным среди известных
фундаментальных взаимодействий,
нарушающим закон сохранения четности.
Захват электронов.
Взаимно дополняющие друг друга
свойства электрона е~ и позитрона е+
иллюстрируются примечательным
процессом электронного захвата. В этом
процессе ядро захватывает электрон со
своей атомной оболочки, причем при
этом протон ρ превращается в нейтрон
п. Примером является электронный
захват в 37Аг:
37Аг + е~ -+- 37С1 + v.
Процессом, который лежит в основе
электронного захвата, является
ρ + е~ + энергия -+п -\- v.
Захват электрона ядром происходит
преимущественно с К-оболочки атома.
Появляющееся в оболочке вакантное
место заполняется другим электроном
с испусканием характеристического
рентгеновского излучения.
10.3.5. γ-Излучение.
Описание, γ-Излучение
возникает при переходах между
различными ядерными уровнями (см. 10.2.5);
это электромагнитное излучение с
энергией фотонов от 0,01 МэВ до нескольких
мегаэлектронвольт.
Доказательство
существования. Существование
γ-излучения доказывается изучением его
взаимодействия с веществом:
фотоэффекта, эффекта Комптона (см. 7.1.4),
образования пар. При фотоэффекте γ-
квант с энергией Еу полностью
поглощается атомом и при этом
выбрасывается электрон с кинетической энергией
£кин. Эта энергия равна разности между
энергией £ν γ-кванта и энергией связи
Есв электрона. Фотоэффект
используется в сцинтилляционных и
полупроводниковых счетчиках.
Образование пар. Если
энергия Ε у γ-кванта превышает
удвоенную энергию покоя электрона £ν =
= hvy > 2т0сг = 1,022 МэВ, то она
может исчезнуть при одновременном
образовании электрона е~ и позитрона е+.
Лишняя энергия в основном передается
обеим родившимся частицам.
Образование пар может происходить только
при наличии партнера по соударению,
который принимает лишний импульс
γ-кванта. Таким партнером является,
например, атомное ядро.
Аннигиляция. Процессом,
обратным образованию пар, является
аннигиляция. В этом процессе исчезает
электронно-позитронная пара и вся
энергия уносится γ-излучением. При
аннигиляции без дополнительного
партнера по соударению для обеспечения
сохранения импульса должно
образовываться как минимум два γ-кванта.
При аннигиляции в системе центра
инерции возникают два γ-кванта. летящих
в противоположных направлениях с
равной энергией 0,511 МэВ.
§ 10.4. Ядерные реакции
Ядерной реакцией называют
вызванное внешними воздействиями
превращение ядра. Наиболее широко
используют бомбардировку ядра X частицей х,
так что это ядро после испускания час-


тицы у превращается в ядро Y.
Символическая запись такого превращения
имеет вид X (х, y)Y.
10.4.1. Ядерные реакции с захватом
нейтронов. Одной из важнейших для
технических приложений ядерной
реакцией является (я, 7)-реакция, в
которой ядро поглощает нейтрон η и после
испускания γ-кванта превращается в
соседний, более тяжелый изотоп того
же элемента: ΖΑ (η, у) Ζ(Α + 1). Так
как нейтрон электрически нейтрален,
то он легко может близко подойти к
ядру. Поэтому нейтроны очень хорошо
подходят для осуществления ядерных
реакций. Нейтроны с низкими
энергиями, составляющими доли электронволь-
та — так называемые тепловые
нейтроны — проникают в ядро. При этом
эффективное сечение σ захвата нейтронов
пропорционально vä1· Эффективное
сечение, кроме того, имеет узкие резо-
нансы (рис. 284). Их происхождение
Ί
KUH
Сп)
Рис. 284
объясняется резонансным
взаимодействием с возбужденными состояниями
вновь образованного ядра
(промежуточное ядро).
Реакции (п, у) имеют большое
значение для получения радионуклидов,
находящих применение в науке и
технике (испытание материалов, лучевая
терапия, биология).
10.4.2. Ядерные реакции с заряжен-
ными частицами. На проникновение
электрически заряженной частицы χ
в ядро X влияет кулоновский
потенциал. С классической точки зрения
энергия частицы должна превысить высоту
барьера кулоновского потенциала.
Квантовомеханическое рассмотрение
показывает, что действует туннельный
эффект, который позволяет проникнуть
сквозь кулоновский барьер уже при
небольшой энергии. Определяющим
является множитель Гамова (см. 10.3.3).
Различают экзотермические и
эндотермические ядерные реакции. В
эндотермических реакциях кинетическая
энергия частицы χ восполняет теряемую
энергию. Граничную энергию, при
которой наступает эндотермическая
реакция, называют порогом реакции Q.
Эффективное сечение σ
эндотермической ядерной реакции с электрически
заряженными частицами
существенно отличается от сечения (/ι, 7)-реакций.
Оно растет с увеличением кинетической
энергии заряженной частицы (рис. 285).
KUH
Рис. 285
Источники нейтронов.
Реакция, в которой Дж. Чедвик
(1891—1974) открыл в 1932 г. нейтрон,
имеет вид 9Ве (а, /г)12С. α-Частицы
используемые для бомбардировки
бериллия, возникают от распада радия:
226
Ra
222
Rn + a
1/2
1600 лет
который смешан в распыленном
состоянии с бериллием.
Счетчики нейтронов. Для
регистрации нейтронов η можно
использовать следующую реакцию, при
которой испускается заряженная частица:
10В (/г, a)'Li. С этой целью счетчик
Г. Гейгера (1882—1945) заполняют
частично BF3. Возникающие в
результате попадания нейтрона η в реакции
(η, α) α-частицы ионизуют газ,
заполняющий счетчик, и дают импульс счета.
10.4.3. Деление ядер. Ядерные
реакции, в которых ядро расщепляется на
два больших осколка, называют
реакциями деления ядер. Первый пример
деления ядра был обнаружен в 1938—
1939 гг. О. Ганом (1879—1968) и
Ф. Штрассманом (род. в 1902 г.):
235U + η
тепл
X' + X'.


Естественный уран содержит 99,3%
238U и 0,7% 225U. Первичные продукты
деления X' и X" часто сопровождаются
легкими частицами, как, например, в
часто встречающейся реакции
235U + ятепл -^1391 + 96Y + п+
+ энергия.
Испускаемый быстрый нейтрон
называется мгновенным нейтроном.
Первичные продукты деления 1391 и 96Υ
нестабильны, так как число нейтронов N
слишком велико. Они испытывают ряд
ß-распадов, например
96Υ _^ 95У _|_ п
1/2
10,9 мин
95Zr
95
Г1/2 = 65 СУТ
Nb
71/2 = 35 сут
95Мо.
Возникающие на первой стадии этой
цепочки реакций нейтроны также
являются мгновенными. Для ядерного
реактора важны реакции деления,
вызванные так называемыми запаздывающими
нейтронами. В то время как
мгновенные нейтроны испускаются за время
10~13 с после деления ядра,
запаздывающие остаются свободными несколько
секунд и могут в принципе
инициировать цепную реакцию. Запаздывающие
нейтроны могут испускаться, например,
в следующей цепочке реакций:
235,
и+л
141
men/i
I
95
Υ
U0I * Π
И"
β
140
Хе
Τγζ=20,3 мин
ß
140
τϋ2·16ο
CS
94
Zr
Хе+ЛзамеЗл
ß"\ ΤΫ2~66c ß'\ Т1/г°43с
При делении нейтроном ядра 235U
могут возникать несколько нейтронов и
становится возможной
самоподдерживающаяся цепная реакция. Однако
мгновенные и запаздывающие нейтроны не
могут сразу осуществить деление
ядра, так как они слишком быстрые (их
энергия составляет несколько
мегаэлектронвольт). Поэтому они
тормозятся в так называемом замедлителе^
только после этого, став тепловыми, они
продолжают дальнейшее деление ядер.
Для получения оптимальной передачи
энергии при упругих столкновениях
(см. § 1.9) ядра замедлителя должны
иметь массу, возможно более близкую
к массе нейтрона. Кроме того, они
должны содержать как можно меньше
нейтронов, чтобы замедлитель не стал
сильнорадиоактивным.
Наиболее подходящими материалами
для этого являются тяжелая вода и
графит.
Возникающие в процессе деления
ядер свободные нейтроны частично
теряются в результате захвата ядрами
238U и вылета через стенки реактора
наружу. Поэтому, чтобы из-за этих потерь
цепная реакция не прекратилась,
нужно иметь некоторое минимальное
количество делящегося вещества — так
называемую критическую массу. Если
критическая масса превышена, то одно-
единственное деление ядра вызывает
цепную реакцию. Она нарастает
лавинообразно и должна быть замедлена до
желаемой мощности. Это
осуществляется поглощением лишних нейтронов в
кадмиевых стержнях^ с помощью
которых управляют работой реактора.
Освобождаемая при делении ядер
энергия колоссальна: около 200 МэВ на одно
деление ядра. Для 1 кг 235U это дает
23 000 000 кВт-ч.
10.4.4. Ядерный синтез. Энергия
связи, приходящаяся на нуклон,
В (Ζ, Ν)ΙΑ, имеет максимум при
массовом числе А = 60. Поэтому можно
получить выигрыш в энергии не только
делением тяжелых ядер, но и слиянием
или синтезом легких ядер. Так, на
Солнце происходит реакция синтеза, в
которой ядра атома водорода, т. е. протоны
р, соединяются в ядро 4Не:
ρ -\- ρ -+d + е+ + v\ d -f ρ ->-3He;
3Не + 3Не-^4Не + 2р.
При этом освобождается энергия
25,7 МэВ.
В другой важной реакции синтеза в
качестве сырья используются тяжелая


вода и литий: 7Li + d ->24Не + п. В
этой реакции освобождается энергия
15,1 МэВ. Тяжелую воду и литий
можно в почти неограниченных количествах
добывать из Мирового океана.
Кроме практически неограниченных
запасов сырья синтез имеет и то
преимущество, что дает мало радиоактивных
отходов. Поэтому в настоящее время
расходуются значительные средства на
то, чтобы осуществить получение
энергии с помощью управляемого
термоядерного синтеза. Для этого должны
быть созданы условия, которые
существуют в центре Солнца. С этой целью
реагирующие вещества в виде плазмы,
т. е. ионизованного газа, должны быть
разогреты до нескольких миллионов
градусов под колоссальным давлением.
Для этого используют магнитогидро-
динамические устройства (типа стел-
ларатор, токамак, плазмафокус) и
сверхмощные лазеры с мощностями свыше
1012 Вт в течение 1 не. Однако до
получения энергии с помощью управляемого
синтеза еще далеко.
§ 10.5. Элементарные частицы
Время жизни.
Первоначально высказывалась надежда, что при
исследовании материи будет найдено
небольшое число элементарных частиц,
из которых построена материя всей
Вселенной. Фактически найдено лишь
несколько элементарных частиц, которые,
по нашим понятиям, живут
произвольно долго. Это электрон и позитрон,
электронные нейтрино и
антинейтрино, мюонные нейтрино и
антинейтрино, протон и фотон.
Наоборот, существует громадное
количество элементарных частиц с
конечным временем жизни τ. Наиболее дол-
гоживущие частицы приведены в
таблице.
Классификация.
Элементарные частицы объединяются в
следующие группы:
барионы — это тяжелые
элементарные частицы с массой покоя свыше
1800 электронных масс. Они являются
фермионами\ их спин / полуцелый:
/ = 1/2, 3/2, 5/2, ... К ним относятся
нуклоны, т. е. протон и нейтрон;
Частица
Фотон
Лептоны
Нейтрино
Электрон
Мюон
Мезоны
л-мезон
/(-мезон
η-мезон
Барионы
Протон
Нейтрон
Л-гипе-
рон
Σ-гипе-
рон

Ξ-гиперон
Ω-
гиперон
Символ
Υ
ν ν
V μ
e~, e+
μ~. μ+
π+, π~
/c+, κ-
η
Ρ. Ρ
η, η
Λ, Λ
Σ+, Σ+
Σ«, Σ«
Σ-, Σ-
wo σο
Β1 — 43 —
Ω", Ω"
Масса покоя.
МэВ
0
0
0
0,5
106
140
135
494
498
549
938
940
1116
1189
1192
1197
1315
1321
1672
Заряд
0
0
0
le
0
±e
0
0
±e
0
0
te
0
0
~e
Спин
1
Vi
Vi
Vi
0
0
0
0
0
Vi
Vi
y2
Vi
Vi
Vi
Vi
Vi
3/a
Время жизни,
с
oo
oo
oo
oo
2,2· Ю-6
2,6-10-8
8,410-15
1,210-8
8,8-10-9
2,510-"
oo
918
2,5-10-ю
8-10-11
<10-i*
1,5-10-ю
3,010-io
1,7-10-ю
1,3-10-ю
мезоны— частицы средней массы,
имеющие массу покоя свыше 250
электронных масс. Они являются
бозонами; их спин / целый: / = 0, 1, 2 , ...
Важнейшими представителями
являются π- и /(-мезоны;
лептоны — легкие частицы с
массой покоя меньше 250 электронных масс.
В противоположность мезонам,
лептоны являются фермионами; их спин /
полуцелый: / = 1/2. Лептоны не
принимают участия в сильном
взаимодействии. К лептонам относятся
электроны, нейтрино и мюоны;


φ ο τ о н ы не имеют массы покоя. Они
бозоны; их спин / = 1. Так как
фотоны движутся со скоростью света, их
спин / = 1 имеет лишь два
направления: параллельное и антипараллельное
импульсу фотона. Это соответствует
правой или левой циркулярной
поляризации.
Бар ионы и мезоны называют еще
адронами, так как они не могут слабо
взаимодействовать друг с другом.
Частицы и античастицы.
Элементарные частицы возникают в
виде пар частиц и античастиц. Процессы
образования пар и аннигиляции
электрона и позитрона (см. 10.3.5) дают
представление о характере этих пар.Такая
пара может родиться только в результате
затраты энергии или полностью перейти
в энергию. Так как при этом должны
соблюдаться различные физические
законы сохранения, то свойства частиц и
античастиц (заряд, магнитный момент
и т. п.) должны дополнять друг
друга.
Фундаментальные
взаимодействия. Элементарным
частицам присущи четыре
фундаментальных взаимодействия: сильное,
электромагнитное, слабое и гравитационное.
Важнейшие свойства этих
взаимодействий приведены в следующей таблице.
Участвующие частицы . . . .
Константа взаимодействия * .
Взаимодействие
Сильное
Ядро
0,1 — 1 фм
Адроны
Адроны
1
Электомагнитное
Атомная физика
00
Электрически
заряженные
Фотоны
1/137
Слабое
ß-Распад
<^0,1 фм
Адроны, леп-
тоны
?
10-и
Гравитационное
Астрофизика
оо
Все
Гравитоны
6.10-39


Приложения
П1. Список литературы"
П1.1. Общая физика
Учебники
Alonso Μ., Finn E. J. Physics (1 vol) Lond.,
1970.
Alonso M.t Finn E. J. Fundamental
University Physics (3 vol) Lond., 1967.
Atkins K. R. Physik. Berlin, 1973.
Ballif J. R., Dibble W. E. Anschauliche Physik.
Berlin, 1973.
BenedekG. В., Villars F. Μ· Η. Physics (3 vol).
Reading, 1973.
Bergmann L., Schaefer С. Lehrbuch der
Experimentalphysik (4 Bde). 6/8. Aufl.
Berlin, 1970.
Dobrinski P., Krakau G., Vogel A. Physik für
Ingenieure. 3. Aufl. Stuttgart, 1974.
Dransfeld K., Kienle P., Vonach H. Physik
(4 Bde). München, 1974.
Фейнман Р. Фм Лейтон Р., Сэндс Μ. Фейнма-
новские лекции по физике. Изд. 3-е. Пер.
с англ. М., Мир, 1976—78.
Fran9on M. Physik für Biologen, Chemiker
und Geologen (2 Bde). Stuttgart, 1972.
Gerthsen Ch., Kneser 0., Vogel H. Physik. 12.
Aufl. Berlin, 1974.
Grimsehl E. Lehrbuch der Rhysik (4 Bde).
15/21. Aufl. Leipzig, 1969/73.
Яворский Б.М., Детлаф A.A. Курс физики.
(Учебник для втузов). Т. 1—3. М., Высшая
школа, 1972.
Берклеевский курс физики. Под ред. Ч. Кит-
теля, В. Найта и М. Рудермана. Т. 1—5.
Пер. с англ. М., Наука, 1971—74.
Lindner H. Physik für Ingenieure. 4. Aufl.
Braunschweig, 1971.
Lüscher E. Experimentalphysik (3 Bde).
Mannhein, 1966/70.
Martiennsen W. Einführung in die Physik
(4 Bde). Frankfurt, 1970.
* Большинство книг, приводимых автором в
обширном списке литературы, не переведено
на русский язык. Поэтому с разрешения
автора и фирмы «Тойбнер» переводчик дополнил
каждый раздел списка литературы ссылками
на некоторые учебники и монографии,
изданные в СССР (в основном, за последние годы).
Все ссылки, добавленные переводчиком,
отмечены звездочкой. Необходимо подчеркнуть, что,
во-первых, добавления не претендуют на
полноту и, во-вторых, в соответствии с замыслом
автора содержат ссылки на совершенно разные
по трудности книги, предназначенные для
разных категорий потенциальных читателей
данного пособия. — Прим. пер.
Neuert H. Experimentalphysik für Mediziner,
Zahnmediziner, Farmazeuten und Biologen.
Mannheim, 1969.
Орир Дж. Физика. Т. 1—2. Пер. с англ. М.,
Мир, 1981.
Поль Р. Введение в физику. Пер. с нем. Т.1:
Механика, акустика и учение о теплоте.
М., Наука, 1971; т. 2: Учение об
электричестве. М., Наука, 1962; т. 3: Оптика и
атомная физика. М., Наука, 1966.
Россель Ж. Общая физика. Пер. с франц. М.,
Мир, 1964,
Stuart Η. Α., Klages G. Kurzes Lehrbuch der
Physik. 7. Aufl. Berlin, 1970.
Weizel W. Einführung in die Physik (3 Bde).
5. Aufl. Mannheim, 1963.
Westphal W. H. Kleines Lehrbuch der Physik.
678. Aufl. Berlin, 1967.
Westphal W. H. Physik. 25./26. Aufl. Berlin,
1970.
* Астахов А. В. Курс физики. (Для втузов).
Т.1. Механика. Кинетическая теория
материи. М., Наука, 1977.
* Астахов А. В., Широков Ю. М. Курс физики.
(Для втузов). Т. 2. Электромагнитное поле.
М., Наука, 1980.
* Геворкян Р. Г. Курс физики. М., Высшая
школа, 1979.
* Гершензон Е. М., Малов Η. Η. Курс общей
физики. Механика. (Учебное пособие для
физ.-мат. фак. пед. ин-тов). М.,
Просвещение, 1979.
* Грабовский Р. И. Курс физики. (Учебное
пособие для с.-х. вузов). Изд. 4-е. М.,
Высшая школа, 1974.
* Купер Л. Н. Физика для всех. Введение в
сущность и структуру физики. Т. 1—2.
Пер. с англ. М., Мир, 1973—1974.
* Ремизов А. Н. Курс физики для
медицинских институтов. Т. 1—2. М., Высшая школа,
1976.
* Савельев И. В. Курс общей физики.
(Учебное пособие для втузов). Т. 1—3. М., Наука,
1977—1979.
* Сивухин Д. В. Общий курс физики.
(Учебное пособие для вузов). Т. 1—3. М., Наука,
1974—1977.
Сборники задач
Luchner К. Aufgaben und Lösungen zur
Experimentalphysik (3 Bde). Mannheim, 1966/73.
Mahler G. Physikalische Aufgabensammlung.
13. Aufl. Berlin, 1969.
Orear J. Programmiertes Uebungsbuch zu den
Grundlagen der modernen Physik. München,
1972.


*
Scherrer PM Stoll Ρ· Physikalische Uebungsauf-
gaben (3 Bde). Mannheim, 1962/64.
ШасКольская М. И., Эльцин И. А. Сборник
избранных задач по физике. Изд. 4-е. М.,
Наука, 1974.
Тег Haar D. Problems of Undergraduate
Physics (3 vol). Oxford, 1965/66.
Зубов В. Г., Шальнов В. Г. Задачи по физике.
Пособие для самообразования. Изд. 10-е.
М., Наука, 1975.
Балаш В. А. Сборник задач по курсу
общей физики. (Учебное пособие для студ.
физ.-мат. фак. пед. ин-тов). М.,
Просвещение, 1978.
Волькенштейн В. С. Сборник задач по
общему курсу физики. (Учебное пособие для
втузов). Изд. 9-е. М., Наука, 1976.
Иродов И. Е. Задачи по общей физике.
(Учебное пособие для вузов). М., Наука,
1979.
КронинДж., Гринберг Д., Телегди В.
Сборник задач по физике с решениями. Изд. 2-е.
Пер. с англ. М., Атомиздат, 1975.
Мин Чен. Задачи по физике с решениями.
Пер. с англ. М., Мир, 1978.
Сборник задач по общему курсу физики.
В 5 частях. Под ред. И. А. Яковлева.
(Учебное пособие для вузов). М., Наука, 1976—
1977.
Холидей Д., Резник Р. Вопросы и задачи
по физике. (Пособие для пед. ин-тов). Пер.
с англ. М., Просвещение, 1979.
Учебники по теоретической физике
Döring W. Einführung in die theoretische
Physik (5 Bde). 2./3. Aufl. Berlin, 1963/68.
Flügge S. Lehrbuch der theoretischen Physik
(5 Bde). 1961.
Hund F. Theoretische Physik (3 Bde). 3./5.
Aufl. Stuttgart, 1962/65.
Иос Г. Курс теоретической физики. Т. 1—2.
Пер. с нем. М., Учпедгиз, 1963—1964.
Ландау Л. Д., Лифшиц Ε. Μ. Теоретическая
физика. В 10-и томах. Т.1: Механика; т.2:
Теория поля; т.З: Квантовая механика
(нерелятивистская теория); т.4:
Квантовая электродинамика; т.5: Статистическая
физика. Ч.1.; т.6: Теория упругости; т.7:
Механика сплошных сред; т.8:
Электродинамика сплошных сред; т.9: Статистическая
физика. 4.2; т. 10: Физическая кинетика.
М., Наука, 1973 1980.
Ludwig G. Einführung in die Grundlagen der
theoretischen Physik (3 Bde). Düsseldorf,
1964.
Schaefer С Einführung in die theoretische
Physik (4 Bde). 2./7. Aufl. Berlin, 1958/62.
Зоммерфельд А. Лекции по теоретической
физике. В 6-и томах. Т.1: Механика; т.2:
Механика деформируемых сред; т.З:
Электродинамика; т.4: Оптика; т.5: Термодинамика
и статистическая физика; т.6:
Дифференциальные уравнения в частных
производных физики. Пер. с нем. М., Изд-во иностр.
лит., 1947—1958.
Weizel W. Lehrbuch der theoretischen Physik
(2 Bde). 2./3. Aufl. Berlin, 1958/63.
* Компанеец А. С. Курс теоретической
физики. (Учебное пособие для физ.-мат. фак.
пед. ин-тов). Т. 1—2. М., Просвещение,
1972—1975.
* Левич В. Г. Курс теоретической физики.
T.I. M., Наука, 1969.
* Левич В. Г., Вдовин Ю. Α., Мямлин В.А.
Курс теоретической физики. Т.2. М.,
Наука, 1971.
* Медведев Б· В· Начала теоретической
физики. М., Наука, 1977.
* Савельев И. В. Основы теоретической
физики. Т. 1—2. М., Наука, 1975—77.
Учебники по прикладной физике
von Angerer E., Ebert H. Technische
Kunstgriffe bei physikalischen Untersichungen. 14.
Aufl. Braunschweig, 1966.
Eder F. X. Moderne Messmethoden der Physik
(3 Bde). Berlin, 1968/72.
Gerthsen Ch., Pollermann M. Einführung in
das physikalische Praktikum für Mediziner und
für das Anfängerpraktikum. 6. Aufl. Berlin,
1971.
Kohlrausch F. Praktische Physik (3 Bde). 22.
Aufl. Stuttgart, 1968.
Stanley R. G. Applied Physical Techniques.
Lond., 1973.
Walcher W. Praktikum der Physik. 2. Aufl.
Stuttgart, 1971.
Westphal W. H. Physikalisches Praktikum.
13.Aufl. Braunschweig, 1971.
Whittle R., Yarwood J. Experimental Physics for
Students. Lond., 1973.
* Ангерер Э. Техника физического
эксперимента. Пер. с нем. М., Физматгиз, 1962.
* Кортнев А. В. и др. Практикум по физике.
(Для втузов). Изд. 3-е, перераб. и доп. М.,
Высшая школа, 1965.
* Лекционные демонстрации по физике. Под
ред. В. И. Ивероновой. Изд. 2-е, перераб.
и доп. М., Наука, 1972.
* Руководство к лабораторным занятиям по
физике. (Учебное пособие для студ. физ.
спец. вузов). Под ред. Л. Л. Гольдина.
Изд. 2-е, доп. и перераб. М., Наука, 1973.
* Портис А. Физическая лаборатория. Пер.
с англ. М., Наука, 1978.
Собрания формул и таблицы
von Ardenne M. Tabellen zur angewandten
Physik (3 Bde). Berlin, 1973.
D'Ans-Lax. Taschenbuch für Chemiker und
Physiker (3 Bde). Berlin, 1964/70.
Эберт Г. Краткий справочник по физике. Пер.
с нем. М., Высшая школа, 1969.
Gray D. Ε. American Institute of Physics
Handbook. 3rd ed. Ν. Υ., 1972.
Landolt-Börnstein. Zahlenwerte und
Funktionen aus Physik, Chemie (4 Bde). 6 Aufl.
Berlin, 1950-.
Landolt-Börnstein, Hellwege Κ Η
Zahlenwerte und Funktionen aus
Naturwissenschaften und Technik Neue Serie. Berlin, 1961.
Mahler G. Physikalische Grundbegriffe und
Formeln. 12. Aufl. Berlin. 1968.


Weast R. G. CRC Handbook of Chemistry and
Physics. 53rd. ed. Cleveland, 1973.
Weizel W. Physikalische Formelsammlung
(3 Bde). Mannheim, 1962/66.
* Бурдун Г. А. Справочник по
Международной системе единиц. М., Изд-во стандартов,
1977.
* Таблицы физических величин. Справочник.
Под ред. И. К. Кикоина. М., Атомиздат,
1976.
* Чертов А. Г. Единицы физических
величин. (Учебное пособие для вузов). М.
Высшая школа, 1977.
* Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник
по физике. Для инженеров и студ. вузов.
Изд. 7-е, испр. М., Наука, 1977.
Π 1.2. Специальные вопросы физики
Механика
Голдстейн Г. Классическая механика. Изд.
2-е. Пер. с англ. М., Наука, 1977.
Hatnel G. Theoretische Mechanik. 2. Aufl.
Berlin, 1967.
Magnus K-, Müller Η. Η. Grundlagen der
technischen Mechanik. Stuttgart, 1973.
Mittelstaedt P. Klassische Mechanik. Mannheim,
1970.
Parkus H. Mechanik fester Körper. 2. Aufl.
Berlin, 1966.
Ziegler H. Mechanik (3 Bde). Basel, 1962.
* Бутенин Η. В. Курс теоретической
механики. (Учебник для втузов). Изд. 2-е Т. 1—2.
М., Наука. 1976—1979.
* Ольховский И. И. Курс теоретической
механики для физиков. М., Наука, 1977.
Теория относительности
Борн М. Эйнштейновская теория
относительности. Пер. с англ. М., Мир, 1964.
Бом. Д. Специальная теория относительности.
Пер. с англ. М., Мир, 1967.
Couderc P. Die Relativitäts theorie. Stuttgart,
1974.
von Laue F. Spezielle Relativitätstheorie.
7. Aufl. Braunschweig, 1965.
von Laue F. Allgemeine Relativitätstheorie.
5. Aufl. Braunschweig, 1965.
* Тейлор Э., Уилер Дж. Физика
пространства— времени. Пер. с англ. Изд. 2-е, испр.
и доп. М., Мир, 1975.
* Угаров В. А. Специальная теория
относительности. (Учебное пособие для вузов).
М., Наука, 1977.
* Утияма Р. Теория относительности. Пер. с
япон. М., Атомиздат, 1979.
Гидро- и аэродинамика
Eck В. Technische Strömungslehre. 7. Aufl.
Berlin, 1966.
Prandtl L., Oswatitsch K., Wieghardt K.
Führer durch die Strömungslehre. 7. Aufl.
Braunschweig, 1969.
Tletjens 0. Strömungslehre (2 Bde). Berlin,
1960/70.
Wieghardt K. Theoretische Störmungslehre.
2. Aufl. Stuttgart, 1974.
* Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и
газа. Изд. 5-е, перераб. М., Наука, 1978.
* Седов Л. И. Механика сплошной среды.
(Учебник для втузов). Т. 1—2. Изд. 3-е,
испр. и доп. М., Наука, 1976.
Электричество и магнетизм
Becker R., Sauter F. Theorie der Elektrizität
(3 Bde). Stuttgart, 1969/72.
Bleaney B. and B. Electricity and Magnetism.
2nd ed. Lond., 1965.
Джексон Дж. Классическая
электродинамика. Пер. с англ. М., Мир, 1965.
Пановский В., Филипс М. Классическая
электродинамика. Пер. с англ. М., Физматгиз,
1963.
Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма.
Пер. с англ. М., Гостехиздат, 1954.
Stumpf Η., Schuler W. Klassische
Elektrodynamik. Braunschweig, 1973.
* Новожилов Ю. В., Яппа Ю. А.
Электродинамика. Μ., Наука, 1978.
* Тамм И. Е. Основы теории электричества.
М., Наука, 1976.
Акустика
Borucki H. Einführung in die Akustik.
Mannheim, 1973.
Meyer E., Neumann E. G. Physikalische und
technische Akustik. 2. Aufl. Braunschweig,
1974.
Reichhardt W. Grundlagen der technischen
Akustik. Leipzig, 1968.
Seto W. W. Theory and Problems of Acoustics.
Ν. Υ., 1970.
* Исакович Μ. Α. Общая акустика. М., Наука,
1973.
* Лепендин Л. Φ. Акустика. (Учебное
пособие для втузов). М., Высшая школа, 1978.
* Скучик Е. Основы акустики. Т. 1—2. Пер.
с англ. М., Мир, 1976.
Оптика
Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Изд. 2-е,
испр. и доп. Пер. с англ. М., Наука, 1973.
Groh G. Holografie. Stuttgart, 1973.
Menzel E., Mirande W., Weingärtner I. Fouri-
er-Optik und Holographie. Wien, 1973.
Regler F. Licht und Farbe/Physikalische
Grundlagen und Anwendungen. München,
1974.
Tenquist T. W., Whittle R. M., Yarwood J.
University Optics (2 vol). Lond., 1969/70.
Zimmer Η. G. Geometrische Optik. Berlin,
1967.
* Годжаев Η. Μ. Оптика. (Учебное пособие
для физич. спец. вузов). М., Высшая школа,
1977.
* Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. Пер.
с англ. М., Мир, 1970.


* Калитеевский Н. И. Волновая оптика. М.,
Высшая школа, 1978.
* Μ ил ер М. Голография. Пер. с венг. Л.,
Машиностроение, 1979.
* Сороко Л. М. Основы голографии и
когерентной оптики. М., Наука, 1971.
Квантовая и волновая механика
Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики.
Изд. 5-е, перераб. и доп. М., Наука, 1976.
Эдмондс А. Угловой момент в квантовой
механике. В сб.: Деформация атомных ядер.
Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1968.
Grawert G. Quantenmechanik. Frankfurt, 1973.
Fick E. Einführung in die Grundlagen der
Quantentheorie. 2. Aufl. Frankfurt, 1972.
Heber G., Weber G. Grundlagen der
Quantenphysik (2 Bde). Stuttgart, 1971.
Heisenberg W. Die physikalischen Prinzipien
der Quantentheorie. Mannheim, 1958.
Heitier W. Elementare Wellenmechanik. 2.
Aufl. Braunschweig, 1961.
Мессиа А. Квантовая механика. Т. 1—2. Пер.
с франц. М., Наука, 1978—1979.
* Давыдов А. С. Квантовая механика. Изд.
2-е, доп. М., Наука, 1975.
* Дирак П. А. М. Принципы квантовой
механики. Пер. с англ. М., Наука, 1980.
* Кемпфер Ф. О. Основные положения
квантовой механики. Пер. с англ. М., Мир,
1967.
* Шифф Л. Квантовая механика. Пер. с
англ. М., Изд-во иностр. лит., 1959.
Термодинамика и статистическая механика
Baehr Η. D. Thermodynamik. 3. Aufl. Berlin,
1973.
Becker R. Theorie der Wärme. Berlin, 1966.
Callen Η. Β. Thermodynamics. Lond., 1960.
Хуанг К. Статистическая механика. Пер. с
англ. М., Мир. 1966.
Киттель Ч. Статистическая термодинамика.
Пер. с англ. М., Наука, 1977.
Кубо Р. Термодинамика. Пер. с англ. М.,
Мир, 1970.
Кубо Р. Статистическая механика. Пер. с
англ. М., Мир, 1967.
Körtum G. Einführung in die ehem.
Thermodynamik. 6. Aufl. Weinheim, 1972.
Schottky W. Thermodynamik. Berlin, 1973.
* Карапетьянц Μ. Χ. Химическая
термодинамика. Μ., Химия, 1975.
* Румер Ю. Б., Рывкин М. Ш.
Термодинамика, статистическая физика и кинетика. М.,
Наука, 1977.
Атомная физика
Hellwege К. Н. Einführung in die Physik der
Atome. 3. Aufl. Berlin, 1970.
Герцберг Г. Атомные спектры и строение
атомов. Пер. с англ. М., Гостехиздат, 1948.
Finkelnburg W. Einführung in die
Atomphysik. 12. Aufl. Berlin, 1967.
Шпольский Э. В. Атомная физика. Т. 1—2.
Μ., Наука, 1974.
* Борн М. Атомная физика. Пер. с англ. М.,
Мир, 1965.
* Гольдин Л. Л., Новикова Г. И. Введение
в атомную физику. (Учебное пособие для
втузов). М., Наука, 1969.
* Зоммерфельд А. Строение атома и
спектры. Т. 1—2. Пер. с нем. М., Изд-во иностр.
лит., 1956.
Молекулярная физика
Эйринг Г., Уолтер Дж., Кнмбалл Г.
Квантовая химия. Пер. с англ. М., Гос. изд-во
иностр. лит., 1948.
Паулинг Л. Природа химической связи. Пер.
с англ. М., Госхимиздат, 1947.
Preuss H. Quantenchemie für Chemiker. 2.
Aufl. Weinheim, 1972.
Schulze W. Molekülbau. 2. Aufl. Berlin, 1970.
Stuart Η. Α. Molekülstruktur. 3. Aufl.
Berlin, 1967.
* Картвелл Э., Фоулз Г. Валентность и
строение молекул. Пер. с англ. М., Химия, 1979.
Физика твердого тела
Busch G., Schade H. Vorlesungen über
Festkörperphysik. Basel, 1973.
Буккель В. Сверхпроводимость. Основы и
приложения. Пер. с нем. М., Мир, 1975.
Erpin A. Magnetisme. Paris, 1968.
Hellwege К. Η. Einführung in die
Festkörperphysik (3 Bde). Berlin, 1968.
Киреев П. С. Физика полупроводников.
(Учебное пособие для втузов). М., Высшая школа,
1975.
Киттель Ч. Введение в физику твердого тела.
Пер. с англ. М., Наука, 1978.
Klose W. Kleine Einführung in die moderne
Festkörperphysik. Düsseldorf, 1974.
Ludwig W. Festkörperphysik (2 Bde).
Frankfurt, 1970.
Madelung O. Grundlagen der Halbleiterphysik.
Springer, 1970.
Madelung O. Festkörpertheorie (3 Bde).
Berlin, 1972/73.
Най Дж. Физические свойства кристаллов.
Пер. с англ. М., Мир, 1967.
Роуз-Инс А. К-, Родерик Е. Введение в
физику сверхпроводимости. Пер. с англ. М.,
Мир, 1972.
Шульце Г. Металлофизика. Пер. с нем. М.,
Мир, 1971.
Бете Г., Зоммерфельд А. Электронная теория
металлов. Пер. с нем. М., Гостехиздат, 1938.
* Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого
тела. Т. 1—2. Пер. с англ. М., Мир, 1979.
* Вонсовский С. В. Магнетизм. М., Наука,
1971.
* Уманский Я. С, Скаков Ю. А. Физика
металлов. М., Атомиздат, 1978.
Магнитные резонансы
Becker Ε. D. High Resolution NMR. Ν.Υ., 1969.
Poole Ch. P. Electron Spin Resonance. N.Y.,
1967.
Pople J. Α., Schneider W. G., Bernstein H. J.
High Resolution NMR, Ν. Υ., 1969


Schneider FM Plato Μ. Elektronenspin- Reso·
nanz. München, 1971.
Слихтер Ч. Основы теории магнитного
резонанса. Пер. с англ. М., Мир, 1981.
* Альтшулер С. Α., Козырев Б. М.
Электронный парамагнитный резонанс. М., Физ-
матгиз, 1961.
* Пейк Дж. Парамагнитный резонанс. Пер.
с англ. М., Мир, 1965.
Мазеры и лазеры
Garret Ch. G. В. Gaslaser. München, 1969.
Kleen W., Müller R. Laser. Berlin, 1969.
Lengyel B. A. Lasers. 2nd ed. N.Y., 1971.
Siegman А. Е. Introduction to Lasers and
Masers. N. Y., 1971.
Weber H.f Herziger G. Laser-Grundlagen und
Anwendungen. Weinheim, 1972.
* Алле и Л., Джонс Д. Основы физики
газовых лазеров. Пер. с англ. М., Наука, 1970.
* Мэйтленд Α., Данн М. Введение в физику
лазеров. Пер. с англ. М., Мир, 1978.
* Страховский Г. М., Успенский А· В.
Основы квантовой электроники. Изд. 2-е, пере-
раб. и доп. М., Высшая школа, 1979.
Физика атомного ядра и элементарных частиц
Baumgartner G., Schuck Р. Kernmodelle.
Mannheim, 1968.
Bodenstedt E. Experimente der Kernphysik
und ihre Deutung. (3 Bde). Mannheim,
1972/73.
Enge H. Introduction to Nuclear Physics.
Reading, 1966.
Газиорович С. Физика элементарных частиц.
Пер. с англ. М., Наука, 1969.
Gourian R. Elementarteilchen und
Beschleuniger. München, 1967.
Howard R. A. Nuclear Physics. Belmont,
1963.
Marinier P., Sheldon E· Physics of Nuclei and
Particles. N. Y., 1969.
Mayer- Kuckuk T· Physik der Atomkerne 2.
Aufl. Stuttgart, 1974.
Paul Ε. Β. Nuclear Particle Physics.
Amsterdam. 1969.
Перкинс Д. Введение в физику высоких
энергий. Пер. с англ. М., Мир, 1975.
Rollnik Η. Teilchenphysik (2 Bde). Mannheim,
1971.
Segre E. Nuclei and Particles. Ν. Υ., 1965.
Swarlz С. Е. The Fundamental Particles.
Reading, 1965.
* Престон Μ. Физика ядра. Пер. с англ. М.,
Мир, 1964.
* Фейнман Р. Теория фундаментальных
процессов. Пер. с англ. М., Наука, 1978.
* Фелд Б· Модели элементарных частиц.
Пер. с англ. М., Мир, 1971.
* Фрауенфельдер Г., Хенли Э. Субатомная
физика. Пер. с англ. М., Мир, 1979.
* Широков Ю. М., Юдин Н. П. Ядерная
физика. М., Наука, 1980.
* Эрдеи-Груз Т. Основы строения материи.
Пер. с нем. М., Мир, 1976.
Π 1.3. Общая математика
Учебники
Aumann G. Höhere Mathematik (3 Bde).
Mannheim, 1970.
Brauch W., Dreyer H. J.f Haacke W.
Mathematik für Ingenieure (3 Bde). 3./4. Aufl.
Stuttgart, 1971/74.
Курант Р., Гильберт Д. Методы
математической физики. Т. 1—2. Пер. с нем. М., Изд-
во иностр. лит., 1951.
Грауэрт Г., Либ И., Фишер В.
Дифференциальное и интегральное исчисление. Пер.
с нем. М., Мир, 1971.
Grossmann S. Mathematischer
Einführungskurs für die Physiker. Stuttgart, 1973.
Hellweg G. Höhere Mathematik (2 Bde).
Mannheim, 1971.
Hadeler К. Р. Mathematik für Biologen.
Berlin, 1973.
Hainzl J, Mathematik für
Naturwissenschaftler. Stuttgart, 1973.
Kastner G. Einführung in die Mathematik
für Naturwissenschaftler. Mannheim, 1971.
von Mangoldt H., Knopp K. Einführung in
die höhere Mathematik (4 Bde). 13. Aufl.
Stuttgart, 1967/73.
Margenau H., Murphy G. M. Die Mathematik
für Physik und Chemie (2 Bde). Frankfurt,
1965/67.
Martensen E. Analysis (5 Bde). Mannheim,
1969/72.
Reiften H. JM Trapp H. W. Einführungin die
Analysis (3 Bde). Mannheim, 1972/73.
Выгодский М. Я. Основы высшей
математики. Т. 1—2. М., Физматгиз, 1963—1965.
Zachmann Η. G. Mathematik für Chemiker.
Weinheim, 1972.
Zurmiihl R. Praktische Mathematik für
Ingenieure und Physiker. 5. Aufl. Berlin, 1965.
* Арфкен Г. Математические методы в физике.
Пер. с англ. М., Атомиздат, 1970.
* Ильин В. Α., Позняк Э. Г. Основы
математического анализа. Т. 1—2. М., Наука,
1973.
* Кудрявцев В. А., Демидович Б. П.
Краткий курс высшей математики. (Для биол.,
геогр., геол. и почв. фак. ун-тов). Изд. 4-е,
перераб. и доп. М., Наука, 1975.
* Кудрявцев Л. Д. Математический анализ.
(Учебник для физ.-мат. и инж.-физ. спец.
вузов). Изд. 2-е, перераб. М., Высшая
школа, 1973—1974.
* Мышкис А. Д. Лекции по высшей
математике. (Для втузов). Изд. 4-е. М., Наука,
1973.
* Мэтьюс Дж., Уокер Р. Математические
методы физики. Пер. с англ. М., Атомиздат,
1972.
* Смирнов В. И. Курс высшей математики.
Т. ι_5. Μ., Наука, 1967.
Собрания формул и таблицы
Справочник по специальным функциям. С
формулами, графиками и математическими
таблицами. Под ред. М. Абрамовица и
И. Стиган. Пер. с англ. М., Наука, 1979.


Bartsch H. J. Taschenbuch mathematischen
Formeln. Frankfurt, 1973.
Бронштейн И. Нм Семендяев К. А.
Справочник по математике для инженеров и
учащихся втузов. М., Наука, 1980.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие
трансцендентные функции Т. 1—3. Пер. с англ. M.f
Наука, 1965—1967.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы
интегральных преобразований. Т. 1—2. Пер. с англ.
М., Наука, 1969—1970.
Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений.
М., Наука, 1971.
Янке Ем Эмде Ф., Леш Ф. Специальные
функции. Формулы, графики, таблицы.
Изд. 3-е, стереотип. Пер. с нем. М., Наука,
1977.
Magnus WM Oberhettinger F., Soni R.
Formulas and Theorems for the Special Functions
of Mathematical Physics. 3rd. ed. Berlin,
1966.
Ringlieb F. 0. Mathematishe Formelsammlung.
8. Aufl. Berlin, 1968.
* Корн Г., Корн Т. Справочник по
математике. М., Наука, 1968.
Π 1.4. Специальные вопросы
математики
Дифференциальные уравнения
Collatz L. Differentialgleichungen. 5. Aufl.
Stuttgart, 1973.
Erwe F., Peschl E. Partielle
Differentialgleichungen 1. Ordnung. Mannheim, 1973.
Камке Э. Справочник по обыкновенным
дифференциальным уравнениям. Изд. 5-е,
стереотип. Пер. с нем. М., Наука, 1975.
Knobloch Η. W., Kappel F. Gewöhnliche
Differentialgleichungen. Stuttgart, 1974.
Sauter F. Differentialgleichungen der Physik.
4. Aufl. Berlin, 1966.
Schäfke F. W., Schmidt D. Gewöhnliche
Differentialgleichungen. Berlin, 1973.
Walter W. Gewöhnliche
Differentialgleichungen. Berlin, 1972.
* Гутер Р. С, Янпольский А. Р.
Дифференциальные уравнения. (Учебное пособие для
вузов). М., Высшая школа, 1976.
* Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные
уравнения и вариационное исчисление. М., Наука,
1969.
Интегральные преобразования
Cham репе у D. С· Fourier Transforms and their
Physical Applications. Lond., 1972.
Doetsch G. Handbuch der Laplace
Transformation (3 Bde). Basel, 1971/73.
Lighthill Μ. J. Einführung in die Theorie der
Fourieranalysis. Mannheim, 1966.
Oberhettinger F., Badii L. Tables of Laplace
Transforms. Berlin, 1973.
Sneddon I. W. The Use of Integral Transforms·
Maidenhead, 1972.
Tranter C. J. Integral Transforms in
Mathematical Physics. Lond., 1971.
* Деч Г. Руководство к практическому
применению преобразования Лапласа. Пер. с
нем. М., Наука, 1965.
* Диткин В. Ам Прудников А. П.
Интегральные преобразования и операционное
исчисление. Изд. 2-е, доп. М., Наука, 1974.
* Диткин В. Α., Прудников А. П.
Операционное исчисление. (Учебное пособие для
втузов). Изд. 2-е, доп. М., Высшая школа,
1975.
Функции комплексной переменной
Bieberbach L. Einführung in die
Funktionentheorie. 4. Aufl. Stuttgart, 1966.
Bieberbach L. Einführung in die konforme
Abbildung. 6. Aufl. Berlin, 1967.
Diederich Км Remmert R. Funktionentheorie.
Berlin, 1972.
Nevanlinna R.f Patero V. Einführung in die
Funktionentheorie. Basel, 1965.
* Маркушевич А· И. Краткий курс теории
аналитических функций. (Для ун-тов).
Изд. 4-е, испр. и доп. М., Наука, 1978.
* Лаврентьев М. Ам Шабат Б· В. Методы
теории функций комплексного переменного.
Изд. 4-е, испр. М., Наука, 1973.
* Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория
функций комплексной переменной. Изд.
4-е, стереотип. М., Наука, 1979.
Матрицы и тензоры
Gröbner W. Matrizenrechnung. Mannheim,
1966.
Klingbeil E. Tensorrechnung für Ingenieure.
Mannheim, 1966.
Kochendörffer R. Determinanten und Matrizen.
Stuttgart, 1970.
Lichnerowicz A. Einführung in die Tensor
analysis. Mannheim, 1966.
Teichmann H. Physikalische Anwendungen der
Vektor- und Tensorrechnung. 3. Aufl.
Mannheim, 1968.
Valentiner S. Vektoren und Matrizen. 4. Aufl.
Berlin, 1967.
* Борисенко А. И., Таранов И. Ε.
Векторный анализ и начала тензорного исчисления.
(Учебное пособие для втузов). Изд. 3-е. М.,
Высшая школа, 1966.
* Гельфанд И. М. Лекции по линейной
алгебре. Изд. 4-е, доп. М., Наука, 1971.
* Ефимов Н. В. Квадратичные формы и
матрицы. (Учебное пособие для вузов). Изд.
6-е. М., Наука, 1975.
* Ильин В. Α., Позняк Э. Г. Линейная
алгебра. Изд. 2-е, стереотип. М., Наука, 1978.
* Схоутен Я. А. Тензорный анализ для
физиков. Пер. с англ. М., Наука, 1965.
Π 1.5. Специальные словари
и лексиконы
Franke Η. Lexikon der Physik (3 Bde). 3.
Aufl. Stuttgart, 1969, oder (10 Bde).
dtv-Ausgabe. München, 1970.


Lenk R., Geliert W. Fachlexikon ABC Physik
(2 Bde). Zürich, 1974.
Marsal D. Russisch für Mathematiker,
Physiker und Ingenieurwissenschaftler.
München, 1973.
Meyers Physik-Lexikon. Mannheim, 1973.
Meschkowski H. Mehrsprachenwörterbuch
mathematischer Begriffe. Mannheim, 1972.
Sube R., Eisenreich G. Wörterbuch Physik:
English, Deutsch, Französisch, Russich
(3 Bde). Zürich, 1973.
Thewlis J. Concise Dictionary of Physics.
Oxford, 1973.
* Англо-русский политехнический словарь.
Изд. 4-е, стереотип, с доп. М., Русский язык,
1979.
* Англо-русский физический словарь. Изд.
3-е, стереотип. М., Русский язык, 1978.
* Немецко-русский политехнический словарь.
М., Физматгиз, 1963.
* Французско-русский политехнический
словарь. Изд. 2-е. стереотип. М., Советская
энциклопедия, 1970.
* Физический энциклопедический словарь.
Т. 1—5. М., Советская энциклопедия,
1960—1966.
Электрическая система единиц СГСЭ
(Электростатические единицы, э. с. е.). В этой
системе электрические и магнитные
единицы описываются с помощью трех
механических СГС-единиц. При этом единица
электрического заряда определяется законом
Кулона. Так как при таком определении закон
Кулона записывается без геометрического
множителя 1/4л, то систему называют
нерациональной (см. П2.3.2).
Единица электрического заряда —
г1/2
*3'2 · С-1.
Электромагнитная система единиц СГСМ
(Электромагнитные единицы э. м. е.). И в этой
системе электрические и магнитные единицы
описываются с помощью трех механических
СГС-единиц. Единица электрического тока
определяется силой, действующей между
двумя проводами с током. Так же, как и в
электростатической (СГСЭ) системе,
геометрический множитель 1/4π опускается, поэтому
система тоже нерациональна.
Единица электрического тока —
,1/2.см1/2
с-1.
П2. Физические единицы
П2.1. Введение
П2.1.1. Системы единиц
Механическая система МКС
Основные единицы:
длины — метр (м);
массы — килограмм (кг);
времени — секунда (с).
Механическая система СГС
Основные единицы:
длины — сантиметр (см);
массы — грамм (г);
времени — секунда (с).
Техническая система единиц в механике
Основные единицы:
длины — метр (м);
силы — килограмм-сила (кгс—вес) = килопонд;
времени — секунда (с).
Международная система единиц (СИ)
Эта система единиц была принята в
качестве предпочтительной XI Генеральной кон-
^еренцией по мерам и весам, Париж, 1960.
сновные единицы:
длины — метр (м);
массы — килограмм (кг);
времени — секунда (с);
электрического тока — ампер (А);
температуры — кельвин (К);
силы света — кандела (кд).
Гауссова система единиц
Гауссова система единиц — это
нерациональная система, которая объединяет
электрические единицы электростатической
системы единиц СГСЭ и магнитные единицы
электромагнитной системы единиц СГСМ. Поэтому
в те уравнения, которые связывают
электрические и магнитные величины, явно входит
скорость света в вакууме.
Дальнейшие сведения
Чертов А. Г. Единицы физических величин.
Учеб. пособие для вузов. М., Высшая
школа, 1977.
Symbole, Einheiten und Nomenklatur in der
Physik. Document U. I. P. 11 (S. U. N.
65—3). Braunschweig, 1965.
Обозначения, единицы измерения и
терминология в физике. Документ U. I. Р. 20, 1978.
Перевод на русский язык: — Успехи физ.
наук, 1979, т. 129, № 2, с. 290—335.
П2.1.2. Дольные и кратные единицы
103 кило (к)
106 мега (М)
109 гига (Г)
10*2 тера (Т)
10~χ деци (д)
Ю-2 санти (с)
10""3 милли (м)
10~6 микро (мк)
10-9 нано (н)
10~12 пико (п)
Ю-1* фемто (ф)
ΙΟ-iß атто (а)
П2.1.3. Логарифмические единицы
непер: 1 Нп = In (А2/Ах) = (1/2) In (12ЦХ)\
децибел: 1дБ = 20 lg (A2/Al) = \0 lg (1%ПХ),
где Ау и А2 — сравниваемые амплитуды, а
Λ и ^2 — сравниваемые интенсивности.


Π2.2. Единицы механических величин
Плоские углы
Длина
Единица СИ: метр (м).
Единица СГС: сантиметр (см); 1 см =
= Ю-2 м.
Единица атомной физики и
физики твердого тела —
ангстрем: 1 А = 10-ю м.
Единица ядерной физики —
ферми: 1 фм = 10~15 м;
1 Х-единица = 1,0020 · 10-13 м.
Морская единица: 1
международная морская миля = 10 кабельтовых =
= 1000 морских саженей = 1852 м.
Астрономические единицы:
световой год — 1 св. год = 9,460530 · 1015 м;
парсек — 1 пк = 3,08572 · 1016 м; _
астрономическая единица = 1 а. е. —
= 1,49600 · 10й м = большой полуоси
орбиты Земли.
Англосаксонские единицы:
1 ярд = 3 фута = 36 дюймов = 360 линий =
= 36 000 милей;
1 ярд = 1/2 фатома = 1/22 чейна = 1/220 фар-
лонга = 1/1760 мили;
1 ярд = 1 yd = 0,9144 м;
1 фут = 1 ft = 0,3048 м;
1 дюйм = 1 in = 2,54 · 10~2 м;
1 миля = 1,609344 · 103 м.
Площадь
Единица СИ: квадратный метр (м2);
Единица СГС: квадратный сантиметр
(см2); 1 см2= Ю-4 ма;
Единица ядерной физики: барн
(б); 1 б = Ю-2» м2;
Единица для измерения
земельных участков: 1 ар =1а =
= 102 м2.
Англосаксонские единицы:
I квадратный ярд = 1296 квадратных
дюймов = 1/4840 акра;
1 акр = 1/640 квадратной мили;
1 квадратный ярд = 0,83613 м2;
1 квадратный дюйм = 6,4516 · 10~4 м2;
1 квадратная миля = 2,58999 · 106 м2.
Плоские углы в физике измеряются мерой
соответствующей дуги. Дуговая мера есть
длина пути, которая вырезается данным
углом из концентрической окружности
единичного радиуса.
Единица: 1 радиан = 1 рад =
= 360°/2π = 57,29578° = 57° 17'44".
Длина окружности единичного радиуса:
2π.
Телесные углы
Телесные углы в физике измеряются
площадью проекции телесного угла на
поверхность концентрической сферы единичного
радиуса.
Единица: стерадиан (ср).
Поверхность сферы единичного радиуса:
4π.
Время
Единица СИ и СГС: секунда (с).
Производные единицы:
1 сут = 24 ч = 86 400 с;
1 ч = 60 мин = 3600 с;
1 год = 3,156 · 107 с.
Частота
Единица СИ и СГС: герц; 1 Гц =
= 1 с-1.
Технические единицы:
оборот в минуту; 1 об /мин = 1/60 Гц; 1 об./с=
= 1 Гц.
Скорость
Единица СИ: 1 м · c~i.
Единица СГС: 1 смс-1 = 10"2 мс-ι.
Техническая единица: 1 км/ч =
= 1/3,6 м - с-1.
Морская единица: 1 узел =
= 1,852 км/ч = 0,514 м · c-i.
Аэродинамическая единица:
мах 1 Μ = скорости звука в воздухе при
нормальных условиях; 1 Μ = 3,316· 102m-c~i.
Англосаксонская единица:
миля в час; 1 миля/ч = 1,609 км/ч =
= 0,447 м · c-i.
Объем
Единица СИ: кубический метр (м3);
Единица СГС: кубический сантиметр
(см2);
Мера емкости: литр; 1 л = 10-3 м3.
Англосаксонские единицы:
1 кубический ярд — 27 кубических футов =
= 0,76456 м3;
1 кубический фут = 1728 кубических
дюймов = 2,8317 - Ю-2 м3;
1 кубический дюйм = 1,6387 · 10"5 м3.
Меры жидкостей:
Великобритания: 1 галлон = 4 кварты =
= 8 пинт = 4,546 - Ю-3 м3;
США: 1 галлон = 3,785 · 10"3 м3, 1 баррель =
= 0,1590 м3.
Ускорение
Единица СИ: 1 м · с-2.
Единица СГС: 1 см · с~2= 10~2 мс~2.
Аэродинамическая
единица: 1 g= 9,80665 м - с-2.
Масса
Единица СИ: килограмм (кг).
Единица СГС: грамм; 1 г = Ю-3 кг.
Техническая единица:
техническая единица массы; 1 т. е. м. =
= 1 кг . м-1 · с2 = 9,80665 кг.
Атомная единица массы:
1 та = 1,6605 · Ю-27 кг.
Единицы массы для
драгоценных камней и благород-


ных металлов: 1 метрический карат =
= 4 грана =0,2 г = 2 . 10~4 кг.
Англосаксонские единицы
(торговые единицы = avoirdupois = avd):
1 фунт =1 lb = 16 унций =16 oz =
= 0,45359 кг.
1 длинная тонна = 20 хандредвейтов =
= 20 хдвт = 2240 фунтов = 1016 кг.
1 короткая тонна = 20 коротких
хандредвейтов = 2000 фунтов.
Плотность
Единица СИ: кг · м-3.
Единица СГС: 1 гсм~3 = 10~3 кгм~3.
Момент инерции
Единица СИ: 1 кг . м2.
Единица СГС: 1 г · см2 = 10~7 кгм2.
Импульс
Единица СИ: 1 кг · м · с-1.
Единица СГС: 1 г · см . с-1 =
= 10~5 кг . м · с-1.
Момент импульса
Единица СИ: 1 кг · м2 · с-* = 1 Джс.
Единица СГС: 1 г · см2 · с-1 =
= 1 эрг . с = 10~7 кг - м2 . с-1.
Сила
Единица СИ: ньютон; 1 Η =
= 1 кг · м . с~2.
Единица СГС: дина; 1 дин =
= 1 г - см · с-2 = 10~5 Н.
Техническая единица: 1
килограмм-сила = 1 килопонд = 1 кгс =
= 9,80665 Н.
Давление
Единицы СИ: паскаль; 1 Па =
= 1 Η ■ м-2 = 1 кг · м-* - с-2; 1 бар =
= 10δ Η . м-2.
Единица СГС: 1 дин · см~2 =
= Ю-1 Η . м-2.
Технические единицы:
1 кгс . м-2 = 9,80665 Η · м-2; техническая
атмосфера: 1 ат = 1 кгс · см~2 = 0,980665Х
ΧΙΟ5 Η - с-2.
Метеорологические едини·
ц ы:
1 тор = 11 ммрт. ст. при0оС=1,33102Нм-2;
физическая атмосфера; 1 атм = 760 тор =
= 1,01 - 10е Η . м-2;
1мм вод. ст. = 1 кгс · м~2 =9,80665 Η м-2.
Англосаксонская единица:
1 фунт на квадратный дюйм = 6,8046χ
X Ю-2 атм = 6,89476 · ΙΟ3 Η . м~2.
Механический вращательный момент
Единица СИ: 1 Η · м = 1 Дж =
= 1 Вт с
Единица СГС: 1 дин · см = 1 эрг =
= Ю-7 Η . м.
Техническая единица: 1 кгсХ
Хм = 9,80665 Η . м.
Динамическая вязкость
Единица СИ: 1 Η · м~2 · с =
= 1 Па · с = 1 кг · м-*1 · с-1.
Единица СГС: пуаз; 1П = 1 г X
X см-1 . с-1 = 10"1 кг · м-1· с-1.
Кинематическая вязкость
Единица СИ: 1 м2 . с-*.
Единица СГС: стоке; 1 Ст =
= 1 см2 . с-* = 10~4 м2 . с-1.
Работа и энергия
Единицы СИ: джоуль; 1 Дж =
= 1 Вт . с = 1 Η . м = 1 кг · м2 . с-2;
киловатт-час; 1 кВт · ч = 3,6 · 106 Дж.
Единица СГС: 1 эрг = 1 дин · см =
= 1 г - см2 - с-2 = 10~7 Дж.
Техническая единица:
1 кгс . м = 9,80665 Дж.
Химическая единица: 1 ккал
(межд.) = 4,1868 . 103 Дж.
Физическая единица: 1 эВ —
= 1,60219 . Ю-*9 Дж.
Англосаксонские единицы:
1 фут-паундаль = 1 фут2 · фунт · с~2 =
= 0,04214011 Дж;
1 британская тепловая единица = 1 б. т. е.=
= 1,05506 · 103 Дж;
1 л .с. - ч = 2,68452 . 106 Дж.
Мощность
Единица СИ: ватт; 1 Вт =
= 1 Дж . с-1 = 1 В . А = 1 кг ■ м2 · с-3.
Единица СГС: 1 эрг . с-* = 10~7 Вт.
Технические единицы:
1 кгс · м · с-* = 9,80665 Вт;
1 л. с. = 75 кгс - м - c-i = 7,355 . 10* Вт.
Химические единицы:
1 ккал · ч"1 = 1,16 Вт; 1 кал · с-*=4,1868 Вт.
Англосаксонские единицы:
1 фут-паундаль · с-1 = 1 фут2 · фунт · с~3 =
= 0,04214011 Вт;
1 б. т. е. · ч-1 = 0,293071 Вт;
1 л. с. = 7,45700 - 10» Вт.
Действие
Единица СИ: 1 Дж - с = 1 м2 - кгс-ι.
Единица СГС: 1 эрг . с = 1 см2Х
χ г . с-1 = 10-7 дж . с.


Π2-3- Единицы электрических и магнитных величин
П2.3.1. Сравнение различных единиц. Коэффициент перевода: с = 2,9979· 1010— скорость света в
вакууме, см с-1
Величина
Электрический ток
Плотность
электрического тока
Электрический заряд
Плотность
электрического заряда
Мощность
Энергия
Электрический
потенциал и напряжение
Электрическое поле
Электрическое
смещение
Плотность
поверхностного электрического
заряда
Электрическая
поляризация
Электрический диполь-
ный момент
Электрическая
поляризуемость
Электрическая емкость
Электрическое
сопротивление
Удельное электрическое
сопротивление
Электрическая
проводимость
Единица СИ
А
А-м-2
1 Кл = 1 Ас
Клм-3
1 Вт = 1В А
1 Дж=1 Втс
1 В =
= 1 ВтА-1 =
= 1 Дж-Кл-1
1 В м-1
1 Клм-2 =
= 1 Асм-2
1 Клм~2 =
= 1 Ас-м-2
1 Клм-2 =
= 1 Асм-2
1 Клм =
= 1 Асм
1 Φ м2 =
= 1 А-СМ2-В-1
1 Ф =
= 1 Ас В-1
1 Ом = 1 Β·Α-ι
1 Омм =
= 1 В м А-1
1 Ом_1м_1 =
= 1 мо-м-1 =
= 1 Смм-1
Единица СГСЭ
Ю-1 с
r1/z · см3'''г ■ с-2
10-5 с
Г,/2-СМ~~,/г-С-2
Ю-1 с
г^см^с-1
10-? с
г!/г-см—'^-с-*1
10?
Г СМ2 С-3
10?
Г СМ2 С-2 (ЭрГ)
10е с-1
г^см^с-1
(статический
| вольт)
10« с-1
1/ 1/
Г/2СМ /2С_1
4π·10-5 с
г,/гсм~,/2с-1
10-5 с
г1/гсм—'Ζ*· с-1
10-5 с
1/ 1/ ,
Г/2-СМ /2С-1
Юс
г1/2-см5/2-с-1
Единица СГСМ
ю-1
У 1/ ι
Г /2. см /2· С-1
10-5
г1/2-см~3/,2-с-1
ю-1
г /2 · см /2
ю-?
1/ 8/
г/2см /2
10?
ГСМ2С-3
10?
гсм2с-2 (эрг)
10*
г^-см3^2-с~2
(статический
вольт)
106
г,/2см1/гс-2
4л 10-5
У — 3 / -
г /«. см /2
10-5
г1/г-см—3/г
ΙΟ"5
г1/2-см_3/г
10
Г/2.СМ /«
ΙΟ"5 С2 Ю-5
см3 см с2
10-9 С2
см
109 с-2
см_1с
10" с-2
с
10- « с2
с-1
ю-9
см-1 с2
Ю9
CMC-1
10"
см2 с-1
10-и
СМ"2 С
Единица в системе
Гаусса
Ю-1 с
г,/2-см3/2-с-2
10-5 с
Г/2СМ /2-С~2
ю-1 с
г,/2см3/2 с-1
10-? с
1/ 3/„ .
г/2см /2-с-1
10?
г см2 с-3
10?
гсм2с~2 (эрг)
108с-1
Г^СМ^-С-1
(статический
вольт)
106 с-1
г,/г-см—^-с-1
4л-Ю-5 с
г,/2-см~~ 1/2-с-1
Ю-5 с
г,/г-см—,/l.c_1
10-5 с
г/2-см /2с-1
Юс
г^см^с-1
Ю-5 с2
см3
10"9 с2
см
Ю9 с-2
см_1с
ЮН с-2
с
10-и с2
с-1


Продолжение табл.
Величина
Магнитная индукция
Магнитный поток
Магнитное поле
Намагниченность
Магнитный дипольный
момент
Индуктивность
Плотность энергии
электромагнитного поля
Плотность энергии
электромагнитного
излучения и вектор Пойнтинга
Единица СИ
1 Т =
= 1 Всм-2
1 Вб=1 В с
1 А-м-1
1 А м-1
1 А м2
1 Гн =
= 1 Вс-А-1
1 Дж м~3 =
= 1 Вт см-3
1 Вт м~2
Единица СГСЭ
104 С"!
Г/2.СМ /2
10е с-1
У У
г /2 · см /2
4л10-3с
г1/2-см1/2с"2
Ю-3 с
Г1/2.ш1/2.с-2
103 с
г^см^с-2
109 с~2
СМ""1· С2
10
Г'СМ~Х-С~2
(эрг· см~3)
103
Г'Г3
Единица СГСМ
104
1/ 1/
г/2-см /гс~1
(гаусс)
108
г^-см'^с-1
4л 10-3
г/2см /2c~l
(эрстед)
Ю-3
Г/2СМ /2С-1
10»
Г^-СМ^-С-1
10»
СМ
10
гсм_1с~2
(эрг см-3)
10»
ГС-3
Единица в системе
Гаусса
ΙΟ*
г1/2-см—1/2-c-i
(гаусс)
10»
г^-см'^-с-1
4π·10~3
гУг - ал~Уг ■ с-1
(эрстед)
Ю-3
г1/2-см~1/2-с-1
103
г1/г · смΊ2 · с-1
109
см~1с2
10
гсм_1-с~2
(эргсм~3)
103
р.С-3
П2.3.2. Уравнения электромагнитного поля
Электрическое сме
щение D
Магнитная индук
ция В
Закон Кулона F
Сила Лоренца F
Первый закон
Максвелла rot Η
Закон Био—Сава
pa dW
Второй закон
Максвелла rot E
Третий закон
Максвелла ре
Плотность
энергии w
Вектор
Пойнтинга S
εε0Ε
μμ0Η
Q&
г-3г
4лее0
Q(vXB)
J +
dD
dt
/ rxdr
4л г3
— dB/dt
divD
1
(Ε D + B Η)
(EXH)
εΕ
μο~2Η
QiQ:
г-зг
ε
Q(vXB)
4л j +
dD
/
dt
rxdr
r»
-dB/dt
1
4л
divD
8л
(Ε D + B Η)
ι
4π
(EXH)
ec_2E
μΗ
QiQ,
-3,
ec~2
Q(vXB)
4л j +
dD
. rxdr
/ '
Г3
—dB/dt
4π
divD
]_
8л
(Ε D + B Η)
1
4л
(EXH)
Система Гаусса
εΕ
μΗ
QiQ;
ε
г-зг
c-iQivXB)
/ ÖD
I rxdr
с1 dB/dt
ι
4л
divD
_1_
8л
(Ε D+B Η)
4π
(EXH)


Π2.3.3. Описание электрических свойств веществ
Единица
Электрическое смещение D
Поляризованность Ρ
Восприимчивость %е
СИ
/ε0ε Ε
\ε0Ε + Ρ
еоХе"
ε-1
П2.3.4. Описание магнитных свойств вещества
Единица
Магнитная индукция В
Намагниченность Μ
Восприимчивость %т
Магнетон Бора μΒ
СИ
ίμμ0Η
|μ0(Η + Μ)
XmH
μ-1
eft/2m0
0,927-ΙΟ-23 Α·м2
СГСЭ, Гаусса
ίεΕ
\Ε + 4πΡ
χβΕ
(ε — 1)/4π
Гаусса
ίμΗ
\Η + 4πΜ
XmH
(μ-1)/4π
eh/2m0c
0,927· ΙΟ"20 эрг/Гс
;
Π2.4. Шкала электромагнитных волн
Определение: v = c/X; ν = λ-*, F(3B) = Ac/βλ; Г(К. Планк) =hc/lk,T (К, Вин) = 2,898Д (мм)
Излучение
Звуковое
Радио
Микроволновое
Инфракрасное
Свет
Ультрафиолетовое
Рентгеновское
γ- Излучение
Длина волны
λ
300 км
300 м
1 м
3 см
1.44 см
1 см
2,90 мм
1 мм
100 мкм
10 мкм
1,24 мкм
1 мкм
7000 А
4000 А
1000 А
100 А
10 А
1000 ХЕ
10 ХЕ
Частота
V
1 кГц
1 МГц
300 МГц
10 ГГц
21 ГГц
30 ГГц
104 ГГц
300 ГГц
3 1012Гц
3-10"Гц
2,34 10иГц
3 101*Гц
4,28 101*Гц
7,5010иГц
3 101*Гц
3 1016Гц
31017Гц
3 1018Гц
3 1020Гц
Волновое
число
V, см" 1
з.ззю-8
з.ззю-5
МО"2
3,33-Ю"1
7,010"1
1
3,45
10
100
1000
8 067
10 000
14285
25 000
105
106
107
10»
1010
Энергия
Е, эВ
4,14-Ю-12
4,14-Ю"9
1,24-10-·
4,14-Ю-5
8,62-Ю"5
1,24-10-*
4,28-Ю-4
1,24-10-»
1,24-10-*
1,24 10"1
1
1,24
1,77
3,10
12,4
124
1,24-10»
1,24-10*
1,24-10«
Планк
Т, К
4,79-10-»
4,79-10-*
1,43-10-*
4,97-Ю"1
1
1,43
4,96
14,3
143
1.43-10»
1,16-10*
1,43-10*
2,06-10*
3,60 10*
1,43-10*
1,43-10»
1,43-107
1,43-10»
1,43.10м
Вин
т, к
7,66-10-»
7,66-10-«
2,90-10-»
7,66-10-*
2,02-Ю"1
2,90-10-»
1
2,90
29
290
2,34-10»
2,90-10»
4,14-10»
7,25· 10»
2,90-10*
2,90-10*
2,9010«
2,90-Ю7
2,90-10»
П2.5. Единицы термодинамических
величин
Температура
Единица СИ: кельвин (К).
Метеорологическая
ц а: градус Цельсия (°С);
едини-
х °с = (х+ 273,15) К.
Англосаксонская
градус Фаренгейта (°Ф);
х °С = (9/5* + 32) °Ф.
Разность температур
Единица СИ: кельвин
= 1 град.
единица:
(К); 1 °С =


Количество теплоты
Единица СИ: джоуль; 1 Дж = 1 Вт·с.
Старые единицы:
1 килокалория = 1 водяная килокалория;
1 ккал15оС = 4,185 · 103 Дж;
1 килокалория = 1 международная
табличная килокалория = 1 ккал (межд.) =
= 4,1868 · 103 Дж.
Количество вещества
Химическая единица: кило-
моль; I кмоль = 6,022 · 1026 молекул или
атомов.
Удельные величины
Определение: удельный —
приходящийся на массу (кг-1).
Молярные величины
Определение: молярный —
приходящийся на моль или киломоль (моль-1
или кмоль-1).
Энтропия
Единица
= 1 м2 · кг · с-2
Единица
г-2
СИ: 1
• К-1.
СГС: 1
Дж К-1 =
1 см 2г ·
Старая единица: 1
4,185 Дж . К"1.
эрг . К-1
Ю-7 Дж -
кал
к-1
П2.6. Единицы энергии
в молекулярной физике
1 э ρ г/м о л е к у л а:
= 1,4388 · 1016 ккал/кмоль;
= 6,2415 1011 эВ/молекула;
= 5,0340 · 1015 см-1;
= 7,2431 · 1015 К.
1 к к а л/м о л ь:
= 6,9502 · Ю-17 эрг/молекула
= 4,3379 . 10~5 эВ
= 3,4987 · Ю-* см-1
= 5,0341 . Ю-1 К
1 э В/м олекула:
= 8,0655 . 103 см-1;
= 1,1605 . 104 К;
= 1,6022 · Ю-" эрг/молекула;
= 2,3053 · 104 ккал/кмоль.
1 с м-1:
= 1,2399 . Ю-4 эВ/молекула
= 1,4388 К
= 1,9865 · Ю-16 эрг/молекула
= 2,8582 ккал/кмоль
1 К:
= 8,6171 . Ю-5 эВ/молекула;
= 6,9501 . 10-1 CM-i;
= 1,3806 · 10~16 эрг/молекула;
= 1,9865 ккал/кмоль.
Пример. Молекулярная спектральная
линия, соответствующая Υ см-1, отвечает
изменению энергии Δ£, равному 1,2399 X
X Ю-4 Υ эВ = 1,9865 - 10-16 γ
эрг/молекула или 2,8582 Υ ккал/кмоль. С помощью
постоянной Больцмана k эту энергию можно
перевести в температуру 1,4388 Υ К.
П2.7. Фотометрические единицы
Единицы СИ.
Сила света источника: кандела (кд).
Яркость источника: кандела на
квадратный метр (кд · м~2);
Старая единица: стильб; 1 сб =
= 1 кд · см~2 = 104 кд · м~2.
Световой поток: люмен (лм); 1 лм =
= 1 кд · ср.
Освещенность принимающей поверхности:
люкс (лк); 1 лк = 1 лм · м-2 = 1 кд· срм~~2.
ПЗ. Физические константы
Точные значения
Тейлор Б., Паркер В., Лангенберг Д.
Фундаментальные константы и квантовая
электродинамика. М.,Атомиздат, 1972.
Постоянная
тяготения . . G = 6,673-10-n м3-кг~1с-"2
Скорость света с = 2,9979108 м-с-1
Элементарный

электрический заряд . β = 1,6022· 10~19 А·с
Постоянная
Планка . . - Л = б,6262 10~34Джс
Λ=Λ/2π = 1,054610~34 Джс
Постоянная
Больцмана . k = 1,3806-10~23 Дж К"1
Магнитная
постоянная
(определение) . μ0=4π10-7Β·ο·(Α·Μ)-1 =
= 1,2566-10-· Be (Am)-1
Электрическая
постоянная . ε0 = 8,8542· Ю-^А-с-ф-м)-1
Волновое
сопротивление
вакуума . . Ζ0= 376,73 ΒΑ*"1
Число Авогад-
ро или Лош-
мидта . . . #А=£ = 6,0222.1023моль-1
Атомная
единица массы . . та = 1.6605· К)-27 кг
Постоянная
Фарадея . . F = 9,6487 104 Ас (г-экв)-1
Универсальная
газовая
постоянная . . /? = 8,3143 Дж-К"1-моль"1
Молярный
объем газа при
нормальных
условиях . . Vm = 22,414-10-3 м^моль-1
Постоянная
Стефана—
Больцмана . σ = 5,6696· 10-* Вт м-2К~4
Постоянная
Вина .... Хмакс^ = 2,8978 Ю-3 Км
Ускорение свободного падения на Земле g,
мс-2:
стандартное .... 9.80665
на уровне моря на экваторе · . . 9.78052
на широте 45° 9,8062
на полюсе 9.83233
Берлин (Потсдам) 9,81263


Вашингтон 9,80082
Лондон (Теддингтон) 9,81183
Цюрих 9,80665
Электрон
Масса покоя .... те= 9,1096.10~31 кг
Энергия покоя . . . тес2 = 0,51100 МэВ
Классический радиус ге=2,8179· 10~15 м
Комптоновская
длина волны ке = 2,4263· 10""12 м
Магнитный момент . μ6 = 9,2848· Ю~24 Ам2
g-Фактор g=2,002319
Протон
Масса покоя .... тр= 1,6726 10~27 кг
Энергия покоя . . . трс2 = 938,26 МэВ
Комптоновская
длина долны .... λρ= 1,3214-1 О*"15 м
Магнитный момент . μρ = 1,410610~26 Ам2
Ядерный магнетон . μΝ = 5,0510 10"27 Ам2
тр/те= 1836,1
Нейтрон
Масса покоя .... тп = 1,6749· Ю-27 кг
Энергия покоя . . . тпс2 = 939,55 МэВ
Комптоновская длина
волны λη = 1,319610-15 м
Магнитный момент . μη = —9,6632· 10 ~27
Ам2
Атом водорода
Боровский радиус . а0 = 5,2918 Ю-11 м
Постоянная Ридберга R^ = 1,09737· 107 м-*1
cR00= 3,2898-Ю15 с-1
hcRoc = 2,1799· 10~18
Дж = 13,6058 эВ
Постоянная тонкой
структуры .... α = 7,2974· Ю-3
α-ι= 137,036
П4. Математические таблицы
П4.1. Математические константы
П4.1.1. Действительные числа
е = 2,718281828; е2 = 7,379056;
e-i =0,367879; Уё = 1,648721;
1п2 = 0,693147; In 10 = 2,302585;
lg е = 0,434294;
π = 3,141592654; π-1 =0,318310;
2π =6,283185307; "|/π = 1,772454;
π2 = 9,869604401; ~[/2π =2,506628;
π/180 =0,017453293 = агс 1 °;
С = 0,577216 — постоянная Эйлера.
Π4.1.2. Комплексные числа
i = +V—1; i2 = —1; i3 = —i; i* = l;
i-i = _i; i — 2 = — ι; i — 3 = i; i — * = 1;
exp(m/2) = i; exp (ΐπ) = — 1;
exp (3ϊπ/2) =— i; exp(2m) = l;
η—целое число:
In 1 =0; In i =ln exp (m/2) =i (π/2 + η2π);
In (—-1) = 1ηβχρ(ίπ) = ί (π + η2π);
In (— i) = In exp (3iл/2) = i (3π/2 + η2π).
exp (ίμ) = cos μ + i sin μ;
m—положительное целое число:
(exp 0ц))1/т = ехр {i (ц/т + 2лл/т)};
ζ = χ + it/ = R exp (ία) = R (cos α + i sin α);
χ = Re z\ y = \mz\ R = Yx2-\-y2',
oc = arctg(t//*) (рис. 286).
Um ζ
x Rez
Рис. 286
П4.2. Специальные функции
П4.2.1. Экспоненциальная функция
Определение: ехр (ах) = еах = lim (1 +
+ ах/п)п.
Графическое представление (рис. 287).
ехр (αχ) ι
Рис. 287
Частные значения функции: е° = 1, е1 = е,
е +°° = со, е~ °° = 0.
Преобразование к степеням 10:
у = ехр(ах) = \0ах ,ge; Ige =0,434294;
*/ = 10а*=ехр(ал:1п10); In 10 = 2,302585.
Теорема сложения: ехр (ах) ехр (Ьх) =
= ехр [ (а + Ь)х]9 ехр (αχ -\- 2ηπ\) =
= ехр (ах), где η = 0, ±1, ±2, ...
Производные: d exp (ax)/dx = а ехр (ах),
dn [ ехр (ax)]/dxn = ап ехр (ах).
χ
Интегрирование: Г ехр (ах) dx =
_ ехр (аде)—ехр (ах0)
а


Ряд: ехр (αχ) = 1
1! 2!
(ax)k
3!
kl '
\x\ < oo.
* = i
Дифференциальные уравнения:
у' — ау = 0.
Общее решение: ι/ = Л ехр (—α*), где А —
произвольно.
Из граничного условия у (0) = у0 следует
у = у0 ехр (—а*),
у'+ау = Ь.
Общее решение: у = b/a -j- Л ехр (—а*),
где А — произвольно.
Из граничного условия у (0) = у0 следует
y = b/a+(y0—b/a) ехр ( — ах);
у" — а*у = 0.
Общее решение: у = Ах ехр (-\-ах) -{-
+ Л2 ехр (—ах), где Alt A2 — произвольны.
Из граничных условий у (0) = у0, у' (0) =
= у'0 следует
У = 0/2){(Уо+У»ехр(ах) +
+ (</<>—ί/ί/β) ехр (— а^)}.
П4.2.2. Натуральный логарифм
Определение: ехр ( In χ) = е1п х = χ;
In (е*) = In ( ехр χ) = χ.
Графическое представление (рис. 288).
Рис. 288
χ
Интегральное представление: In χ = f dyly.
Частные значения функции: In 0 = — сю;
In I = 0; In e = 1; In oo = -J- °°·
Преобразование к десятичным логарифмам:
In (ах) = lg (ах) In 10 = 2,3026 lg (αχ);
lg (αχ) = In (αχ) lg e = 0,4343 lg (ax).
Теорема сложения: In (xy) = In χ + In y\
In (xly) = In χ — In y.
Производная: d In x/dx = \/x.
Интегрирование: j In xdx =
= x(\n x— 1)— x0(\nxQ— 1).
Ряд: In (!+*) = ■
x*
_X* Xs
2^3'
— 1-··· ПРИ —1<*< + 1.
4
Дифференциальное уравнение:
dy/dx = yf(x).
Из начального условия у (х0) = у0 следует:
ln(y/y0) = ]f(x)dx, у = уо ехр {/(*) d* ·
Комплексные аргументы:
1пг=1п (x-f-ii/) =
= (1/2) In (x2 + i/2) + i arctg (y/x)+n2ni,
где η — целое;
In г = In [г ехр (ΐφ)] =1η Γ+ΐφ+η2πί,
где п — целое.
Π4.2.3. Гиперболические функции
Определение:
shx=[exp (αχ)·—ехр (—αχ)]/2;
chx = [exp (ax)+exp (—αχ)]/2;
ехр (ах) —ехр (—αχ)
ехр (ах) -\- ехр ( — ах)
ехр (ах)-|-ехр (—ах)
thx =
cthx=-
ехр (ах) —ехр (—ах)
Соотношения: ехр (ах) = ch (ах) + sh (ах);
ch2 χ — sh2 χ = 1; th χ = sh χ / ch x;
thx · cthx = 1.
Графическое представление (рис. 289, 290).
ychy
y-shx
Яис. 2S5
Рас. 2PÖ
Частные значения функций: sh 0 = 0;
ch 0 = 1; th 0=0; cth 0 = ± oo; sh (± oo) =
= ± oo; ch (± oo) = + oo; th (± oo) =
= ±1; cth(±oo)=±l; sh (—x) =
= - sh (+x); ch (-χ) = + ch (+x);
th (—x) = —th (+x); cth (—x) = — cth (+x).


Теоремы сложения:
sh (χ ± у) = sh χ ch у ± ch χ sh у;
ch {χ ± у) = ch χ ch у ± sh χ sh #;
th χ ± th i/
th(X±l/) =
cth (x ± ι/) =
l±i\\xihy '
cth χ cth у ± 1
cth у ±c\hx
Производные:
d sh x/dx = ch χ = У1 +sh2 x;
d ch x/dx = sh χ = У ch2 χ — 1;
d th x/dx = ch-2 χ = 1 — th2 x; d cthx/dx =
= — sh-2 χ = 1 — cth2 x.
Ряды:
хг . x5 ,
sh * = * -
3!
5!
при I x I < oo;
χ2 λ;4
chx = i+ — + — +... при |x|<oo;
thx=x-
x*
2*5
15
при I x I < π/2;
cthx=x-i+ — -
3
45
■+... 0< |*| <π.
Дифференциальное уравнение:
у"—а2у=0.
Общее решение: у = A1ch (ax) + А2 sh (ax);
Аг и А2 — произвольны.
Из граничных условий у (0) = у0, у' (0) =
= у'ь следует:
y = y0chax+(y'Q/a) sh ax.
П4.2.4. Обратные гиперболические функции
Определения: sh ( arsh χ) = χ,
ch (arch*) = χ, th (arth χ) = χ,
cth (arcth χ) = χ.
Симметрия: arsh (—χ) = — arsh x,
arch (—χ) = arch χ, arth (—χ) =
= —arth χ, arcth (—χ) = — arcth x.
Графическое представление (рис. 291, 292).
Обратные гиперболические функции и
логарифм:
arsh* = In (χ + Уχ*+ϊ) = — In (Уχ^+Ί — χ);
archx = ± 1п(х + Ух2^1) =
= + 1п(х±Ух^1);
♦ц * ι 1+* , ΐ/Ί±Ζ·
arthx = —In- = 1п 1/ »
2 1-х Г 1-х
4u * , * + * , -l/Ü+ΐ.
arcth = —In =ln 1/ *
2 χ —1 Г х —1
Соотношения: arsh χ = arch Ух2 + 1;
arch χ = arsh Ух2 — 1, χ > +1;
arth χ = arcth (1/x); arcth χ = arth (1/x);
Теоремы сложения:
arsh χ ± arsh у = arsh (хУу2 + 1 ± у Ух2 + 1);
arch χ + arch у =arch (χι/ ± У(х2 —l)(t/2 —1));
arth χ ± arth ι/ = arth [(x ± y)/(1 ± xy)J.
Производные:
darshx/rfx = l/yx2+l;
darchx/dx = l/(± Ух^Л);
d arth x/dx = \/( 1-х2)
при I x | < 1;
d arcth x/dx = l/(1-х2)
при I x| > 1.
Интегралы:
ί
ί-
ί
dx
Ух* + г*
dx
■ = arsh \-c\
r
v;
= = arch he;
ή r
dx
r2-
1 X \ X
= — arth \-c = — arcth \-c.
Ряды:
arsh x = x —
1·χ3 , 1·3 ·χ5 1·3·5.χ'
arsh x = ln2x-
1.3-5
2-3 2·4·5 2·4·6-7
4-... при I χ Ι < 1;
1 1.3
2.4·6.6·χ6
± archx = ln2x
2·2χ2 2·4·4·χ4
- —... при | χ | > 1;
1 3
Рис. 291
Рис. 292
4χ2 32χ4
при χ > + 1;
1 , χ3 . χ5 ,
arth χ = arcth — = χ + -τ- ~r ~~Γ~ "+"
χ 3 5
4-... при Ι χ | < 1.


Π4.2.5. Тригонометрические функции
Определения:
sin χ = [ exp (i*) — ехр (—ix)]/2i, cos χ =
= [ ехр (ix) + ехр (—ix)]/2;
ехр (ix) — ехр (— ix)
tg* =
ctg =
exp (ix) + exp ( — ix)
exp (ix) + exp (— ix)
exp (!*)+exp ( — i*)
exp (ix) = cos χ + i sin x\ (cos χ +
+ i sin x)n = exp (inx) = cos (nx) + i sin (nx).
Соотношения: sin2 χ + cos2 χ = 1; tg л: =
= (ctg x)-1 = sin л:/cos x.
Симметрия: sin (—x) = — sin x, cos (—x) =
= cos x, tg (—x) = — tg дг, ctg (—*) =
= — ctg x.
Графическое представление (рис. 293, 294).
fMk sin χ
Sit χ
Рис. 293
Рис. 294
Теоремы сложения и умножения:
χ ± у χ ± у
sin χ ± sin i/=2 sin cos
^22
x-\-y χ — у
cos χ + cos и = 2 cos cos
1 *s f\ л
— 2 sin sin
cos χ—cos у =
2sin* siny = cos (x—y) — cos (x -\- y);
2cosac cosy = cos (x — y) + cos (x + y);
2sin# cos y = sin (x — y) + s*n (* + У)·
Связь аргументов:
sin (χ ± у) = sin χ cos у ± sin ί/ cos χ;
cos (χ ± #) = cos χ cos у ψ sin аг sin y\
igx ±igy
tg(x±y) =
ctg (χ ±y) =
1 Τ tg*tgy
ctg χ ctg ί/ Τ 1
ctg ί/ ± ctg χ
Периодичность:
η = целое число;
sin (χ + 2ηπ) = sin χ\ cos (* + 2ηπ) =
cos a:;
tg (x + ηπ) = tg χ; ctg (* + ηπ) = ctg л;;
sin (χ ± π/2) = ± cos x\ cos (л: ± π/2) =
= Τ sin x\
tg (* ± π/2) = — ctg χ; ctg (χ ± π/2) =
= — tg χ.
Связь с гиперболическими функциями:
sin z = — i sh (iz); cos ζ = ch (iz);
tg ζ = — i th (iz); ctg г = i cth (iz).
Частные значения функций:
η — целое число;
sin ηπ = 0; sin (2n + 1/2)π = 1;
sin (2η — 1/2)π = — 1;
cos ηπ = (— \)η\ cos (η + 1/2)π = 0;
tg ηπ = 0; tg (η + 1/2)π = ± οο;
ctg ηπ = ± οο; ctg (η + 1/2)π = 0.
Производные:
d sin xldx = cos *; d cos x/d# = — sin x\
d tg */d* = (cos x) -2 = 1 + tg2 jc,
rf ctg x/d* = — ( sin *)-*= —(1 + ctg2 x).
Интегралы:
J sin xd* = — cos дг + c\ J cos xdx = sin x+
f tg χ dx = — In cos χ + c; J ctg xdx =
= In sin χ + c.
Ряды:
5ιπλ: = λ:— \-— ... при |*|<oo;
3! 5! '
cosx = l 1 ... при |x|<oo;
2! 4! F
1 2
tgx=*H a:3H г-*5+... при|х|
π
15
2 f
ctgx =
1
1 1
— χ — —— xs
3 45
—... при 0 < Ι χ Ι < π.
Соотношения ортогональности:
η, m = 1, 2, 3, 4, ...;
π
+ JT
J sin
(mx) cos (пде) dx =0;
— jt
+ JT
1 Г
— ι sin (mx) sin (n*) dx
π J
1 при п = т,
0 при η фт;
+ JT
π
cos (тле) cos (nx) dx =
1 при п = т,
0 при η Φ т.
— я


Дифференциальное уравнение:
y+k*y = 0.
Общее решение: у = Αγ cos (kx) -\-
+ А2 sin (kx), Аг и А2 произвольны, или
у = A cos (kx + α), Α, α — произвольны.
Из граничных условий: у (0) = у0, у' (0) =
= УО следует:
у = i/o cos (6х) + (i/o Ik) sin (&х).
П4.2.6. Обратные тригонометрические функции
Определения: sin (aresin χ) = χ;
cos (arecos x) = χ; tg (arctg x) = x;
ctg (arectg x) = χ.
Многозначность:
η — целое число;
aresin χ = у + 2шт; arecos χ = у + 2ηπ;
arctg * = у + ηπ; arectg x = у -\- ηπ.
Симметрия:
aresin (—χ) = — aresin χ; arecos (—x) =
= η — arecos x;
arctg (—x) = — arctg x; arectg (—x) =
= — arectg x.
Связь с обратными гиперболическими
функциями:
arecos x =
arectg x =
aresin χ = — i aresh (ix);
= ± i arch χ;
arctg χ = — i arth (ix);
= i areth (ix).
Графическое представление (рис. 295, 296).
f(xh f(*H
2lt
arcsinx
Рис. 295
Соотношения:
Рис. 296
aresin x + arccosx = jt/2;
aresin χ = arecos *\/l —x2;
arctg χ = arectg (1 Ix) = π/2 —arectg χ =
= aresin (х/У 1 + x2) = arecos (l/l/l +*2)·
Теоремы сложения:
aresin α: ± aresin у =
= aresin (x Vi — i/2 ± у У1 — *2);
arecos л: ± arecos у =
= arecos (χу Τ УI — χ2 V1 — У2 )\
arctg χ ± arctg y = arctg [(χ ± ί/)/(1 τ *y)l·
Производные:
d aresin x/dx = 1 /"j/l — *2;
d arecos x/dx = — 1 /~|/l — *2;
d arctg x/dx = —d arectg x/dx = l/ (1 + x2).
Ряды:
1-3 , ЬЗ
aresin χ =x-\- x3+ ^ x5 +
2-3
2-4-5
... при | χ I < 1;
π Ι
arecos χ = χ
2 2-3
•3
ЬЗ
2.4.5
χ5
при I χ Ι < 1;
arctg χ = arectg (1/x) =π/2 —arectg χ =
= χ —x3/3 + χ5/5 — ... при I χ Ι < 1.
Интегралы:
Г aresin (χ I a) dx=x aresin (x/y)-\-
+ ~)/a2—x2 + c;
f arecos (χ/α) dx = χ arecos (χ/α) —
— У α2 — *2+c\
Γ arctg (χ/α) dx =x arctg (χ/α) —
— (α/2) In (χ2 + α2) + с;
Г arectg (χ/α) dx =x arectg (χ/α) +
+ (a/2)ln(x2 + a2) + c.
Π4.2.7. Цилиндрические функции целого
порядка
Дифференциальное уравнение:
Порядок: η = 0, 1, 2, 3, ...
Общее действительное решение:
Ζη (χ) = AxJn (χ) + Α2Νη (χ),
где Αλ и Α2 — произвольны; Jn (χ) —
функция Бесселя первого рода, функция Бесселя;
Νη (χ) — функция Бесселя второго рода,
функция Неймана. Функцию Бесселя второго
рода обозначают также Υη (χ).
Графическое представление (рис. 297, 298).
10х
Рис. 297
Рис. 298


Частные значения функций:
х=0: У0(0) = 1; /я>0(0)=0;
/Vn(0)=-oo;
0<х<1: /0(*)~1-*2/4;
Jn>0(x)~(l/n\)(x/2)n\
ω·7(|η7+ε);
(η —1)! / 2 \л
а: » л : Уп (*) ж Y2/nxcos(x — π/4 — ля/2);
iVn (χ) ж "]/2/ji*sin (λ: — π/4 — лл/2),
где С = 0,577216 — постоянная Эйлера;
л »χ: /п(х)А(1/У2я7Г)(ел:/2лГп;
JVn(x) ^—У21шГ(ех/2п)~п.
Нули функций:
|*=1 | 2 | 3
/о(*к) = 0
Ji(*h)=0
М**) = °
*ι(**)=°
2,405
3,832
5,136
0,894
2,197
3,384
5,520
7,016
8,417
3,958
5,430
6,794
8,654
20,173
11,620
7,086
8,596
10,023
Рекуррентная формула: Zn+\ (x) =
2л
= —Zn(x)-Zn-l(x).
Производные: ——- Zn(x) = —Zx (x);
-^ Zn>0 W=~ Zn (χ)~Ζη+ι (*) =
= j-Zn(x) + Zn-l(x).
Неопределенные интегралы: Zm (χ), Ζ'η (χ)—
функции Бесселя первого и (или) второго
рода;
| x" + 1 Zm(x)dx=xm+l Zm+1(x);
$x-n + lZm(x)dx = -x-Tn+lZTn-l(x)·,
$xl+m+nZm(x)Z^(x)dx =
= 2(l+m+n)l^w^w+
+ Zm+l(x)Z'n+l(x))
при n-\-m Φ — 1;
$xl-m + nZm(x)Z^x)dx =
2 — m+n
~2(1— m + n) X
X [Zm {x) Z'n W-Zm-t (x) Z'n + l (x)}
при л—тф — 1;
J
x{-m-"Zm(x)Z'n(x)dx =
2 —m — n
~2(1 —m—л)
X
X {Zm (x) Z'n (x) + Zm_! (x) Z'n _! (x)}
при η — m φ\.
Представление рядами:
χι
(*/2)«
+
(χ/2)*
1!(л + 1) 2!(л + 1)(л + 2) *"
N0(x)=~J0(x) (ΐηγ+cj-
2
— -г\ X
X
1
1
+ ...+1
к k—l
Интегральное представление:
2л
Jn{x)=~r- \ ехр [ϊ (χ sin φ — ηφ)]άψ =
ο
π
4
cos (* sin φ —ηφ) ^φ.
Производящие функции:
οο
cos (χ sin θ) =/0 (χ)+ 2 2 Jik {x) cos (2*0);
sin (x sin Θ) =2 2 Afc+i(*)sin{(2£ + l)e}.
A = o
Соотношение ортогональности:
1
Jn (ax) Jn (bx) xdx = ■
о
1
[ Jn (ax) Jn (bx) xdx = — δ (a — b).
у а
Отсюда следует преобразование Фурье-
Бесселя:
/(*)=J Fn(a)Jn(ax)ada;
Fn(a)=] f(x)Jn(ax)xdx.
о


Дальнейшие сведения:
1. Справочник по специальным функциям с
формулами, графиками и таблицами. Под.
ред. М. Абрамовица и И. Стиган. Пер. с
англ. М., Наука, 1979.
2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие
трансцендентные функции. Т. 2. Пер. с англ. М.,
Наука, 1966.
3. Ватсон Г. Теория бесселевых функций.
Пер. с англ., М., Изд-во иностр. лит., 1949.
П4.2.8. Полиномы Эрмита
Определение: η = О, 1, 2, 3, ...;
л(л-1)
Нп(х) = (2х)п-
1!
(2х)"-2 +
+ "(«-О (Ü-2) (я-3) {2χ)η.4_
//„(*) = (-1)"ехр(*2)
dn
[ехр (-*»)].
dxn
Приме ρ ы:
Я0=+1.
#ι= +2х,
Н2=—2 + 4*2,
#3 = —12* +8*3,
#4=+12 — 48*2 +16д:4.
Производные:
d
dx
■Hn(x) = 2nHn-l(x);
— Нп(х) = 4п(п-\)Нп-2(х).
Рекуррентные формулы:
хНп(х) = пНп-х(х) + Ч2Нп+1(х);
2хНп (x)-(d/dx) Ηп {x)=Hn-i (x).
Дифференциальное уравнение:
Производящая функция:
оо
g (*.*)= У ~Т~ Яд (х) = ехр (2xz-z*);
Hn(x) = (dn/dzn)g(x,z)\z=Q.
Соотношение ортогональности:
+ 00
ехп (—х2)
И η (х) Нт (х) \: , ' dx = Ьпт =
1 при п=т,
О при η Φ т.
ί
Дальнейшие сведения:
Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные
функции. Пер. с нем. М., Наука, 1977.
П4.2.9. Полиномы Лежандра и присоединенные
полиномы Лежандра
Определение полинома Лежандра:
Рп(г)=1^Г^(г2-1)п' ^О'1·2·3····
...,|г|< 1.
Определение присоединенного полинома
Лежандра (первого рода):
Р%(*)= (1 -z2)m/2-7^r Рп (г). m=0,l,2,3,...,n.
dzm
Пример ы:
Р% = \\
ρο = ζ, Р\ = (1— гг)1/2;
/>§=1/ϊ(32»-1), Ρ\ = 3{1-ζ*)ι/2ζ,
PI =3(1-22);
Pi = V.(52«--3z), Р| = з/а(1-г2)1/2(5г2_1);
Pf, = 15z (1-ζ*), PI = 15(1— z*)3/2.
Производная:
+(n+m)P™_1(z)=(n+l)zP™(z)-
-(л-m+l)P;?+1(z).
Рекуррентные формулы:
Pn+l (z)-2rnz(l-z*)-l/2P%(z) +
+ (n(n + l)-(m-l)m)P^-1(z)=0;
(n-m + \)PZ+i(z)-(2n+\)zP™(z) +
+ (* + m)P£_1(z)=0;
Р^(г) = (2п + 1)-Ч1-г2Г1/2(Рп + 11(г)-
Дифференциальное уравнение:
+ »(« + 1)-—r J*(i)-0.
Производящие функции:
1
Vi— 2z/+
— = V Pn (z) /«;
'2 Ä


(l_22)'«/2 tm
(2m)!
2™m! {l-2ef + *2}e« + i>/2 ~
oo
n=m
Соотношения ортогональности:
+ ι
Pn{z)Pn,{z)dz = -^— Ьпп
Примеры:
ьо = 1> ^-ι= ι—x; L± = —1;
L2=2—4x-\-x*; L\= — 4 + 2x; L|=2.
Рекуррентная формула:
1п+1(*)-(2/1 + 1-*)1пЫ + л21п-1(*) = 0.
Дифференциальное уравнение:
+ 1
— 1
~m «,' 2 (n-4-m)! „
d2 d
* 7^~L" (J°+(m +x ~x) 1x~ L"{x) +
+ (n~m)Lm(x)=0.
— ι
2/i-fl (n—m)!
tin mm
* ·
Производящие функции:
Дальнейшие сведения:
Бейтмен Гм Эрдейи А. Высшие
трансцендентные функции. Т. 1. Пер. с англ. М.,
Наука, 1965.
Янке Е., Эмде Фм Леш Ф. Специальные
функции. Пер. с нем. М., Наука, 1977.
П4.2.10. Полиномы Лагерра
Определение полинома Лагерра:
dn
(1—0"1ехр
xt
оо
2
п—0
ίη
(—t)m (1 —1)~ (fn+1) exp —
xt
\ — t
tn
Ln(x)=exp (x)
[xnexp (— x)],
dxn
/t = 0,l,2,3, ...
Определение присоединенных полиномов
Лагерра:
Lm(x) = (d^ldx^)Ln(x),
m=0,l,2,... ,n.
П4.2.П. Сферические функции и орбитали
оо
Соотношение ортогональности:
| Ln(x)Ln, (x)exp( — x)dx = (n\)*6n,n.
о
Дальнейшие сведения:
Янке Д., Эмде Фм Леш Ф. Специальные функ
ции. Пер. с англ. М., Наука, 1977.
YimQ, Ф) =
Сферические функции
Аргументы: θ, φ
Функции комплексны
(/--:l)»(2;+1)pjm,(cos9)e;ip(im(p)
(/-J- Im Ι)! 4π
Орбитали
Аргументы: х' = sin θ cos φ;
у' = sin θ sin φ; ζ'=cosQ
Функции действительны
1=0
Υ00 = \/γ4π
s=l/V4
π
l = \
Vio = }/3/4n cos θ
У1>±1 = vJ/8k sin θ exp (±ίφ)
р2=УЗ/4дг'
рх = УШпх'\ py=VWriy'
1 = 2
K20 = K5/16n(3cos2 θ —1)
^2, ±1 = Τ/ΐ5/8π cos θ sin θ exp (±ίφ)
Υ2,±2 =У15/32я sin2 θ exp (±2ίφ)
^=V5/16jt(3z/2 — l)
άζχ = ~[/Ϊ5ΪΈϊ ζ'χ'
а2у=УЩ4п ζ'у'
dx*_yt =y\5/Wn (x'2-y'2)
dxy = Ύΐ5/4π x'y'
ι


П4.2Л2. Нормированные собственные функции П4.2.13. б-Функция
атома водорода
Ύηΐτη (г, θ, φ), где г = а0г'.
Нормировка:
с» π 2л
Г J ί ψη'/'/η' (^. θ, φ)Ψ„ί/η(Γ,θ,φ)Γ2^χ
boo
Χ sin 0<Ш<р = δη / η δι, t δ
m'm'
s-состояния, / = 0:
Ψ ιοο= ηιη —^zrexp(—г');
a0
3/2
Vn
У2оо=-ТТГ ' (2-r')exp(-r'/2);
a0
3/2
У32
π
Ψ3οο=
1
a
3/2
81 ΐ/3π
Xexp(—r'/3);
(27 —18r'+2r'2) χ
р-состояния, / = 1:
I 91 fl
1
1
210
a\'2 "\/32π
r' exp( — r'/2) cose;
Ψ
1
1
21±1
a
3/2
— r' exp(—r'/2)sinex
8/π
Xexp(±iq>);
Ψ3ιο= -Τ7Γ —T^T(6r'-r'2) exp (-r'/3)cos6;
aj/2 81 У π
Ψ
1
31±1
aj/2 81 "|/2π
(6r'-r'2)X
X exp(—r'/3) sin Gexp (±ίφ);
d-состояния, 1 = 2:
X ООП
1
1
320
a
3/2
81 У 6л
r'2exp(—r'/3) X
Ψ
1
Χ (3 cos2 θ — 1);
1
32±1
— r'2exp( —r'/3) X
a*'2 81 Vn
X cos θ sin θ exp (± iqp);
Ψ
1
1
32±2
a*'2 162 Уя
— r'2exp(—r'/3)X
Замечание. Введенная П. А. М.
Дираком (род. в 1902 г.) в 1927 г. 6-функция б (*)
не является функцией в обычном смысле, а
представляет собой обобщенную функцию.
Это значит, что 6 (*) определяется не заданием
значений функции при заданном х, а теми
значениями, которые принимает интеграл
J / (*)δ (·* — Xo)dx для произвольных χ
оо
и определенных функций / (х).
Определение:
j* /(*) Ь(х — х0) dx=f(x0) =
ОО
= Г / (χ) δ (х0—x)dx.
оо
Представление интегралом Фурье:
+ оо
δ (χ—χ0) = (1/2π) J exp [i (x — x0) k] dk.
oo
Представление с помощью предельного пе
рехода:
1
δ (χ — х0) = lim-
ε-*0 "|/π ε
exp
Γ-—
-*ο)
= lim
1
sin k (χ — χ0)
= lim
ε-*ο π ε2 + (χ — χ0)2 Λ-*οο η(χ—χ0)
Специальные интегралы:
оо
Γ δ (λ: — x0)dx = \;
оо
+ оо
j" δ(χ' — x0)dx' = J Q(x — x')6(*' —
ОО
ОО
—x0)dx' =θ (χ — χ0) =
(θ — функция Хевисайда).
Производная:
1 при х>х0,
0 при х<х0
dx
6(х — х0) = Ь' (х — х0) =
1
X ~-~~ Xt
δ (χ — χ0) = — δ' (х0 —*)'.
+ оо
J f(x) δ' (*0-x)dA:=/' (*o),
OO
Xsin26exp(±2i<p)
если /' (χ) существует при х = χ0·


Π4.3. Ряды Фурье
Определение — см. в 6.6.1.
Прямоугольная функция:
4/1 1
x(t)=— sinf + ~-sin(30 + -r-sin(50+...
π \ 3 5
(рис. 299).
\-2Я
+1
-к
\
+я
-1 '
+2Я
t
Рис. 299
X
+1
sin/
-2П -П
+л +2я
Рис. 302
t
Однонаправленный синус:
1,1. 2 / cos (2/)
*(0 = h — sin* ^-^- +
cos (4Q , cos (6/)
3-5
5-7
Симметричная пилообразная функция:
8 / 1
х (t) =—г /sin t — -^- sin (30 +
π2
З2
1
+ — sin (50-
• · ·
(рис. 300).
Рис. 300
Пилообразная функция:
2 / sinf sin (20 , sin (30
(рис. 301).
Рис. 301
Модуль синуса:
• ·
*(') =
_4_ / cos (2/) cos (40
π "" π V 1-3 3.5
cos (6Q
i z~z г ·..
5-7
(рис. 302).
(рис. 303).
Рис. 303
П4.4. Преобразование Лапласа
σο
Определение: L (f (t)) = f / (t) exp (— pt) dt =
0
= F(p).
Математические операции:
t- Пространство
ρ-Пространство
αι/ι(/) + α«Μ<)
/(«0
θ(ί—T)f(t—τ), τ>0
(θ—функция Хеви-
сайда)
exp(-fl/)/(0
(-t)nf(t)
(d/dt) f(t)
t
\Ht')dt'
0
\h{nh{t-t')dv
0
(свертка)
f(t+T) = f(t)
(периодическая
функция)
ctiFi(p) + a2F2(p)
{Ma) F {ρΙα)
exp(—px)F(p)
F(p + a)
(dnldpn) F (p)
pF(p)-f(t = 0)
(Mp)F(p)
Fi (ρ) F2 (ρ)
$exp(-pt)f(t)dt
_o
[1 —exp(—ρτ)]


Функции:
fit). t>0
δ (/-τ), τ>0
θ (/—τ), τ>0
θ(0-θ(/-τ)
1
1
exp ( — α/)
/exp( — at)
exp (—α/) —exp ( — W)
(афЬ)
aexp(—at) — 6 exp ( — 6/)
(афЬ)
sin (a/)
cos (a/)
sin2 (at/2)
F{P)
exp(—τρ)
—- exp (-τρ)
—-[1— exp(— τρ)]
Up
n\lpn+x
l/(p + a)
l/(p + a)2
6_a
(p + a) (p + 6)
(а-Ь)р
(P + a)(P + *>)
a
P2 + a2
Ρ
P2 + a2
a2
2p(p2 + a2)
f(0. <>0
sh (aO
ch (at)
exp (— at) sin (bt)
exp (—a/) cos (—60
/sin (a/)
/ cos (at)
i/УГ
УГ
έ6χρ(-ΐ~)
/Чр)
a/(p2-a2)
p/(p2-a2)
6
(p + a)2 + ö2
P+a
(p + a)2 + &2
2ap
(P2 + a2)2
p2—a2
(p2+a2)2
/π/ρ
(Vn/2)p-3/2
l//p2 + a2
1
-exp (— kyp)
YP
(k>0)
Список литературы
Деч Г. Руководство к практическому
применению преобразования Лапласа. Пер. с нем.
М., Физматгиз, 1958.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных
преобразований. Т. 1—2. Пер. с англ. М.,
Наука, 1969—1970.
П4.5. Векторная алгебра
в действительном трехмерном
пространстве
П4.5.1. Определение вектора
Вектор г есть направленный отрезок. Он
определяется своей величиной (модулем) г =
= |г| и направлением. Направление
задается единичным вектором е,
|е| = 1
(рис. 304, 305).
П4.5.2. Умножение вектора на действительное
число
Умножение вектора г на действительное
число а дает вектор ат. При этом направление
е сохраняется с точностью до знака. Модуль
г умножается на модуль а.
Направление вектора ат : -f-e, если a > 0,
и —е, если а < 0.
Значение вектора ат; f ат \ = \ а \ | г \ = \а\г.
Примеры: 1г=г, 0-г = 0, г~1-г = е.
П4.5.3. Сложение двух векторов
Два вектора гх и г2 при сложении дают
вектор (тх -\- г2). Сложение векторов отвечает
геометрическому сложению направленных
отрезков (рис. 306).
е /</ Величина
7
*-направление
Рис. 304
Рис. 305
Рис. 306


Π4.5.4. Линейные комбинации векторов
Правила вычислений:
Если из η действительных чисел alf α2, ...f an
и η векторов rlf г2, ..., гп образовать
линейную комбинацию οχΓχ + а2т2 + Язгз + ... +
+ аптп> то она также будет вектором.
П4.5.5. Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение двух векторов Γχ
и г2 определяется как скаляр
(Γι, г2) ΞΞΐνΓ2 = |ΓιΙ | г2| cos φ = гхг2 cos φ,
где φ — угол
(рис. 307).
между двумя векторами
Г/
Рис. 307
Правила вычислений: Γχ · г2 =
Γι · (яг2 + Ьт3) = ati · г2 + Ьтх . г3.
Представление модуля вектора: г
|г
г) = + 1/г2.
Два вектора ι*! и г2 перпендикулярны или
ортогональны, если Γχ · г2 — 0, φ = π/2, 3π/2;
параллельны, если гх - г2
антипараллельны, если Γχ ·
П4.5.6. Векторное произведение двух векторов
Если из двух векторов Γχ и г2 в трехмерном
действительном пространстве образовать
векторное произведение Γχ X r2 ~ [rlf г2] ξ
= ίΓι х гг)' то оно представит собой вектор:
а) равный площади определяемого
векторами Γχ и г2 параллелограмма: | гх X r2 I =
= | Γχ | | г2 | sin φ = rxr2 sin φ, где φ — угол
между векторами гх и г2;
б) перпендикулярный к гх и г2: Γχ·(Γχ Χ
X г2) = г2 . (Γχ Χ г2) = 0;
в) направленный так, что возможно
следующее упорядочение: Γχ направлен вдоль
большого пальца правой руки, г2 направлен
вдоль указательного пальца правой руки,
Γχ Χ г2 направлен вдоль среднего пальца
правой руки (рис. 308).
Ψ4 1
ΓιΧΓ2 = — Г2Х14; rXr = 0; аг1хг2=а(г1хг2) =
=гххаг2;
г1Х(г2 + г3)=г1хг2 + г1хг3;
Γι(γ2Χγ3) + γ3Χ(γ1Χγ2) + γ2Χ(γ3Χγ1) = 0.
П4.5.7. Смешанные произведения
γ1·(γ2Χγ3) = γ2·(γ3Χγ1) = γ3·(γ1Χγ2),
где гх · (г2 X г3) — с точностью до знака
объем параллелепипеда, построенного на трех
1
векторах; -g- гг · (r2 X г3) — с точностью до
знака объем натянутого на три вектора
тетраэдра;
(ΓιΧΓ2) (г3хг4) =г1-(г2Х(г3Хг4)) =
= 0vr8) (г2-г4) —(г2-г3) (ггг4);
Г!Х(г2хг3) = (гг-г8) г2 —(Γχ.Γ2) г3;
(ΓιΧγ2)χ(γ3Χγ4)=((γ1χγ2).γ4)γ3 —
— ((γιΧγ2)·γ3)γ4.
П4.5.8. Декартова система координат
Каждый вектор в трехмерном
действительном простанстве может быть представлен в
виде линейной комбинации трех различных,
не лежащих в одной плоскости векторов elt
е2, е3, которые называют базисными
векторами. В декартовой системе координат
базисные векторы определяются соотношениями:
е| =е|=е|=1; е1-е2 = е2-е3 = е3.е1 = 0;
eiXe2 = e3, CjXe3 = ei, c3Xej. = e2,
где βι, е2, е3 имеют единичную длину и
перпендикулярны друг к другу.
Базис из векторов, обладающих
указанными свойствами, называют ортонормирован-
ным.
Каждый вектор г может быть представлен
в виде
r = xt1-\-yti-\-zea = {xt у, г}.
Базисные векторы записываются в виде
ei = {1, 0, 0}, е2 = {0, 1, 0}, е3 = {0, 0, 1}
(рис. 309).
Ось ζ
Ось у
Ось χ
Рис. 308
Рис. 309


В декартовой системе координат
справедливы следующие представления:
модуль вектора: г = | г| = Ух2 + У2 + ζ2
(Пифагор);
скалярное произведение : тг · г2 = ΧχΧ2 +
векторное произведение: гх X г2 =
= Ofι*2 — У&ъ *\Ч — гг*1> х\Уъ — *2#ι>·
П4.5.9. Полярные и аксиальные векторы
Различие между полярными и
аксиальными векторами важно для физики. Эти
векторы различают по их поведению по отношению
к инверсии Ρ (операция зеркального
отражения пространства относительно начала
координат). Для полярного вектора р, например
радиус-вектора г, инверсия Ρ приводит к
изменению знака: Яр = —р. Напротив,
аксиальный вектор а в результате инверсии не
изменяется: Яа = а. Для базисных векторов
*ii e2, ез ДекаРТ0В°й системы координат
Pti = — βι, Яе2 = —е2, Ре3 = —е3. Отсюда
следует, что
(Ре1)2 = (Ре2)2 = (Ре3)2 = 1;
(Pex) (Ре,) = (Ре2) (Ре3) = (Ре3) (Рех)
(РеО X (Ре2) = - Ре3, (Ре2) X (Ре3) = -
(Pe3)x(Pei) = -Pe2.
= 0;
-Ρβ!,
Векторное произведение связывает
полярные и аксиальные векторы. Для
произвольных полярных ρ и аксиальных а векторов
имеем
рХр = а, аХа = а, ахр = р, рха=р.
Примеры:
полярных векторов: радиус-вектор г,
скорость ν, ускорение а, импульс р, сила F,
электрическое поле Е, электрический диполь
ω, плотность тока j;
аксиальных векторов: угловая скорость ω,
момент импульса L, механический
вращательный момент Т, напряженность Η и
магнитная индукция В магнитного поля,
магнитный диполь т.
П4.6. Векторный анализ
в действительном
трехмерном пространстве
П4.6.1. Определение операторов
в декартовых координатах
Декартовы координаты:
радиус-вектор: г = {*, у, ζ}\
линейный элемент: ds = {dx, dy, dz}\
элемент длины: ds2 = dx2 + dy2 + dz2\
элемент объема: dV = dxdydz\
элемент поверхности: äa = ί — dz/dx,
—dz/dy,\] dxdy,
где поверхность задана как ζ = ζ (χ, у).
Заданы: Ψ (χ, у, ζ) — скалярная
функция координат (например, потенциальная
энергия); ν (χ, у, ζ) — векторная функция
координат (например, сила, скорость).
Оператор набла V = {д/дх, д/ду, dl dz}.
С оператором набла можно формально
проводить вычисления, как с вектором.
Градиент: Vy¥ = gvady¥ = {d}¥/dx9 dW/dy,
οψ/dz).
Дивергенция: Vv = div v = dvx/dx-\-
Jrdvy/dy-{-dvz/dz.
Ротор: Vxv = rotv =
dvz
ду
düy dvx
dz ' dz
dv7 dv
у
dx ' dx
dy
Оператор Лапласа: (νν)Ψ=ΔΨ =
= divgrady¥ = d2Ψ/dx2+d*ψ/dy2+d2Ψ/dz2.
Π4.6.2. Операторы
в цилиндрических координатах
Цилиндрические координа-
т ы:
радиус-вектор: г = г (ρ, φ, ζ) = {ρ cos φ,
ρ sin φ, ζ};
ρ2 = χ2 -f ί/2, φ = arctg (у/χ);
локальный базис: е = {cos φ, sin φ, 0};
еф = {— sin φ,cos φ, 0};
e2 = {0, 0, 1};
линейный элемент: ds = dpt -j- pdyt -j-
+ dztz\
элемент длины: ds2 = dp2 -j- p2d(p2 -j- dz2\
элемент объема: dV = pdpdydz;
j / dz
элемент поверхности: аа = (— — ел —
F dp p
1 dz .
—— ^еф -f- e2) pdpdy, где поверхность
задана как ζ = ζ (ρ, φ).
3 а д а н ы: Ψ = Ψ (ρ, φ, ζ) — скалярная
функция координат; ν = ν (ρ, φ, ζ) =
= vptp + ι>φβφ + vztz — векторная
функция координат.
ΟΨ . 1 3Ψ
Градиент: grad Ψ= -7— е0Н~ — -^j- еф+
+
dz
dp
Ρ αφ
ζ ·
Дивергенция:
div ν =
Ρ дР
(Р°р) +
dz
Ротор: rot v
1 д
Ρ дУ
ν
V.
dz *
е„ +


Оператор Лапласа:
02
а2
ΔΨ = TT ψ +
ар2
ι а ι а2 а2
+ -—ψη ψη— ψ.
ρ аР р2 аФ2 аг2
П4.6.3. Операторы в сферических координатах
Сферические координаты:
радиус-вектор: г = г (г, θ, φ) = {г sin θ Χ
X cos φ, г sin θ sin φ, r cos θ};
гг = χ2 + уг + ζ2, θ = arccos (г/г), φ =
= arctg (у/χ);
локальный базис: ег = {sin θ cos φ,
sin θ sin φ, cos θ};
ee = { cos θ cos φ, cos θ sin φ, — sin θ } ;
еф= {— sin φ, cos φ, 0};
линейный элемент: ds = drtr + rdQ eö +
+ r sin θ<ίφ eφ;
длины:
ds* = dr% + r2d92 +
элемент
+ г2 sin2 . .
элемент объема: dV = rzdr sin QdQdy;
элемент поверхности:
1 dr_
r sine аФ е<р)х
r ae
Xr2sin6d6d9,
где поверхность задана как г = г (θ, φ).
Заданы: Ψ = Ψ (г, θ, φ) — скалярная
функция координат; ν = ν (г, θ, φ) =
= vrtr + ϋθβθ + νφβφ - векторная
функция координат.
οψ ι οψ
Градиент: grad^ = — егН ^~ею +
dr г συ
νφ
+ —
1 1 3Ψ
г sine аФ
φι а
Дивергенция: div ν = — — (г2 сг) +
Ротор: rot v =
1
~^0·^4
г sin е [ae
ι г а
^(sineV-
r sin θ l аф
■Vr —
a ι ι г а
-sin6-(%) ee + 7-K)-
ae
ι a / a \
Оператор Лапласа: ΔΨ= г2 — Ψ +
+
а2
ψ-
1
')·
г2 sin2 θ а<р2
П4.6.4. Общие правила вычислений
νχνΨ = Γοί gradΨ = 0, V(Vxv)=divrot v=0;
VX (Vx ν) = V (Vv) - (VV) ν = V (Vv) - Δν;
rot rot ν = grad div ν — Δν;
V (Ψν) = (νψχν) + Ψ (Vv);
div (Ψν) = ν grad Ψ + Ψ<Πνν.
Π4.6.5. Интегральные теоремы
Объемный интеграл от градиента
Заданы: 1) скалярная функция
координат Ψ; 2) замкнутая поверхность а,
ограничивающая объем V. Тогда
J grad ΨάV = [ Ч/da = [ Ψηάα.
V а а
Вектор нормали η направлен наружу.
Теорема К. Ф. Гаусса (1777—1855).
Заданы: 1) векторная функция
координат ν; 2) замкнутая поверхность а,
ограничивающая объем V. Тогда
j div ν dV=\ vda= Г \nda.
V a a
Вектор нормали направлен наружу.
Третья теорема Г. Грина (1793—1841).
Заданы: 1) скалярная функция
координат; 2) замкнутая поверхность а,
ограничивающая объем V. Тогда
j ύ^Ψαν = § grad Wda =J grad Wnda.
V a a
Теорема Г. Г. Стокса (1819—1903).
Заданы: 1) векторная функция
координат ν; 2) замкнутый контур s,
ограничивающий поверхность а. Тогда
f rot vda = Г rot vnda = & \ds.
aas
Каждый элемент поверхности обходится
так, что движение соответствующей нормали
η отвечает движению правого винта.
Предельные значения:
grad Ψ =
ψ = ΗΓη-!-f
v-*o V J
а
ί
Ψίκια;
div v = lim —
V-+Q V


Предметный указатель
Абсолютный нуль температуры 178, 179,
203, 205
Агрегатное состояние 178
Адиабатический 187
Адрон 219
Активность (яд. физ.) 212
Акустика 135, 137, 155
α-распад 213
Ампер (единица) 97, 229
Амплитуда 119
Амплитудная модуляция 128
Ангстрем (единица) 227
Аннигиляция 215
Античастицы 219
Атом водорода 174, 233, 241
Атомное ядро 209
Барион 218
Барн (единица) 208
Барометрическая формула 66
Безвихревое поле 24, 69, 71
ß-распад 214
Биение 127, 132
Бозон 202
Большой канонический ансамбль 202, 203
Боровский радиус 175
Броуновское движение 196
Вариационное исчисление 145
Ватт (единица) 23
Вектор 243
— аксиальный 245
— Пойнтинга 138, 230
Вероятность местонахождения (квантовая
механика) 163
— термодинамическая 198
Вес 30
Взаимодействие сильное 210, 218, 219
— слабое 215
Взаимодействия фундаментальные 219
Взрыв 129
Вихревая дорожка Кармана 81
Вихревой ток 107
Вихрь 73, 82
Возгонка 179, 181
Волна 130
Волна гармоническая 131
— де Бройля 158
— одномерная 134
— плоская 134
— поперечная 131
— продольная 131
— стоячая 141
Волновая функция 160, 163
Волновое сопротивление 137, 138, 140,
— уравнение 134, 135, 137, 139, 142
квантовомеханическое 161
Волновой пакет 132
Волны в струне 134, 141
— материи 158
— на воде 140
Волчок 54
Вольт (единица) 85, 229
Вольт-амперная характеристика 97, 98
Восприимчивость диэлектрическая 93
— магнитная 110—113
Время 9, 44
— жизни 212, 218
— затухания 120
Вращение 15, 41, 51, 69
— Земли 42
Вырождение 126, 161, 203
Вязкость 76, 80
Газ 61,63, 75
— идеальный 180, 182, 187, 190, 200
— реальный 180, 194
Гаусс (единица) 230
Генри (единица) 107, 230
Герц (единица) 119
Гиперон 218
Гиромагнитное отношение 173, 174
Гистерезис 90, НО
Главные моменты инерции 55
— оси (волчок) 55
Гравитационные волны (в жидкости)
Градиент 25, 245
— давления 64
Градусы Цельсия 179
Громкость звука 137
Групповая скорость 138, 158


Давление 60, 61, 64, 228
— излучения 157, 207
— пара 179, 181, 194
Двухполюсник электрический 114
Дебай (единица) 91
Девиационный момент 55
Декартовы координаты 14, 245
Деление урана 217
— ядер 216
б-символ 167
б-функция 117, 241
Дефект массы 210
Децибел (единица) 226
Джоуль (единица) 22, 182
Диаграмма состояния 179
Диамагнетизм ПО, 111
Дивергенция 68, 86, 245
Динама 50
Динамическая вязкость 76
Диполь магнитный 102, 108, 171
— электрический 91, 92
Дипольный момент магнитный 102, 108, 171
электрический 91, 92
Дисперсия 132, 134, 158
Дифракция 151, 159
— Фраунгофера 151
— Френеля 151
Диффузия 184
Диэлектрик 93
Диэлектрическая проницаемость 93, 95, 140
Длина 9, 227
— волны 131, 140, 157, 159
де Бройля (тепловая) 200
Добротность 120, 123
Домен Вейсса 113
— сегнетоэлектрический 96
Емкость электрическая 89, 115
Жидкость 61, 63
— вязкая 76
— невязкая 63, 69, 71, 77
— несжимаемая 68, 71
Закон Био—Савара 103, 230
— Блазиуса 80
— Гей-Люссака 180
— Гука 59
— Дебая 183
— Дюлонга — Пти 183, 204
— Жуковского — Кутта 81
— индукции Фарадея 105
— инерции 20
— Кулона 84, 230
— Кюри —Вейсса ПО
— Ламберта 147
Закон площадей 34
— преломления 143, 146
— протекания тока Ампера 103, 118
— равенства действия и противодействия
— равнораспределения 182, 201, 204
— смещения Вина 207, 231
— сохранения импульса 36, 38, 50
момента импульса 34
энергии 38, 185
— Стефана — Больцмана 207
— тяготения 26
— Хагена — Пуазейля 80
Законы Кеплера 26
— Ньютона 19
Замедление времени 45
Замедлитель 217
Заряд 83, 218, 229
— ядра 209
Затухание 120, 124
Захват нейтронов 216
Звук 135, 149, 155
Излучательная способность 206
α-Излучение 212
ß-Излучение 212
γ-Излучение 212, 215
Излучение радиоактивное 212
— тепловое 205
— черного тела 206
Изобарический процесс 187
Изображение 154
Изолятор 93
Изотермический процесс 187
Изотоп 109
Изэнтропический процесс 191
Импеданс волновой 136, 138, 140, 143
— электрический 115
Импульс 20, 47, 156
— силы 21
Индукция магнитная 101, 105
Инерциальная система 40
Интегральная теорема Гаусса 29, 246
— Грина 246
— Стокса 24, 246
Интегральные теоремы 246
Интенсивность 136, 138, 143
— вихря 69, 73, 82
Интерференция 148
— двухлучевая 148
— звука по Квикке 149
— многолучевая 150
Интерферометр Майкельсона 149
— Фабри — Перо 150
Испарение 181, 194
Источник 72, 87
— нейтронов 216


Калория (единица) 182, 232
Камера Вильсона 213
Кандела (единица) 147, 232
Канонический ансамбль 199
Капиллярные волны 140
Касательное напряжение 59, 76
Катодные лучи 158
Катушка самоиндукции 107
Квант действия Планка 156, 165, 170
Квантование по направлению 170
Квантовое число 162, 169, 170, 175
Квантовый объем 200
Кванты колебаний 169
Кельвин (единица) 179
Килограмм (единица) 8
Когерентность 151
Колебания ПО
— вынужденные 122
— гармонические 32, 119, 168, 203
— двумерные 130
— затухающие 120
— мембраны 143
— молекул 126
— связанные 125
— стационарные 122
Колебательный контур 121, 122, 124
Комптоновская длина волны 157, 233
Конденсатор 89, 115
Консервативное поле 24, 27, 84
Константы физические 232
Конус Маха 74
Координаты точки 12
Коэрцитивная сила (магн.) ПО
Коэрцитивное поле (электрич.) 96
Коэффициент жесткости пружины 20
— подъемной силы 83
— Пуассона 59
— сопротивления 81
— теплопроводности 183
КПД термодинамический 189, 190
Критерий Рейнольдса 80
Критическая опалесценция 179
— точка 179, 181
Круговое движение 15, 41, 172
Круговой ток 108, 111, 172
Крыло 82
Кулон (единица) 84, 229
Кюри (единица) 212
Лептон 218
Линейная цепочка 139
— цепь (электрическая) 114
Линза оптическая 154
Лоренцевское сокращение 45
Лучевая оптика 143, 145
Люкс (единица) 147, 232
Люмен (единица) 147, 232
Магнетон Бора 171, 231
Магнитная постоянная 102
— проницаемость ПО
Магнитное поле 102, 103, 111
Магнитный поток 106
Мазер 10
Максвелловское натяжение 90
— распределение по скоростям 201
Масса 8, 218, 227, 233
— инертная 20, 32
— критическая 217
— покоя 46, 232, 233
— релятивистская 41, 47
— тяжелая 27, 32
Массовая формула Вейцзеккера 211
Массовое число 209
Материальная точка 8
Матричное представление (квантовая
механика) 167
Маятник математический 32, 43
— пружинный 119, 120
— физический 54
— Фуко 43
Мезон 218
Металл 87, 99
Метр (единица) 9
Механический вращательный момент 33, 49
Микроскоп 154
Микросостояние 196
Минимальная поверхность 63
Мишень 208
Многолучевая интерференция 150
Множитель Больцмана 199
— Гамова 214
Модель удельной теплоемкости Эйнштейна
204
Модуль 59
— сжатия 59
— сдвига 59
— упругости 59
Модуляция 128
Моль (единица) 178
Молярная теплоемкость 182, 186, 196
Молярный объем 180, 232
Момент импульса 33, 52, 55, 170
— инерции 51
— магнитный 102, 171, 230
— механический 33, 52
Мощность 22, 101, 116, 228
Мыльный пузырь 63


Набла (оператор) 245
Намагниченность ПО, 230, 231
Напряжение индуцированное 106
электрическое 85, 89, 97, 114
эффективное 116
Напряжение при сдвиге 59, 63, 76
Насыщение магнитное 110, ИЗ
Натяжение максвелловское 90
— механическое 59
Начала термодинамики 185, 190, 194
Невесомость 41
Необратимый процесс 187
Нормальное колебание 125
— напряжение 59, 76, 90
Нормальные координаты 125
— условия 180
Нормальный объем 180
Нутация 57
Ньютон (единица) 21, 227
Обратимый процесс 187
Обратная связь 124
Одновременность 46
Оператор вращения 69, 245
— Гамильтона 160, 168, 175
— импульса 160
— квантовомеханический 160
— Лапласа 245
Оптика геометрическая 145
Опыт Майкельсона 43
Орбиталь 171, 241
Орбитальный момент импульса 171, 175
Освещенность 148, 232
Остаточная индукция (магнитная) 172,
174
Осциллятор 10, 119
— гармонический 32, 119, 168
— затухающий 120
Отдача 34
Относительность 39
Отражение 143, 150
Падение в пустоте 14, 31
Пар 179, 181, 194
Пара сил 49
Парадокс д'Аламбера 71, 73
Параллелограмм сил 19
Парамагнетизм ПО
Паскаль (единица) 59, 228
Переменное напряжение 107, 114, 122, 124
Переменный ток 114, 124
Перестановочные соотношения 165, 170
Переходный процесс 122
Период 10, 119, 127
— колебаний 119
— полураспада 212
Перпетуум-мобиле 185, 190
Плавление 179, 194
Плазма 140
Плотность 29, 47, 63
— вероятности (квантовая механика)
— заряда 86, 88, 166
— квантовомеханическая 166
— состояний 204
— теплоты 183
— тока электрическая 98, 118
— энергии 90, 108, 138, 203, 230
Поверхностная энергия 62
Поверхностное натяжение 61, 62
Поверхностные волны 139
Поверхностный заряд 88
Поверхность жидкости 61
— раздела 96, 113, 143
Пограничный слой Прандтля 78, 79, 83
Подвижность 100
Подъемная сила динамическая 81
индуцированная 83
статическая 65
Позитрон 214, 215, 218
Показатель преломления 140
Поле тяжести 31
— магнитное 102, 230
— электрическое 84, 94, 229
Полином Лагерра 176, 240
— Лежандра 171, 239
— Эрмита 169, 239
Полное отражение 144
Полупроводник 99, 100
Полуширина 123
Поляризация оптическая 132, 144
— электрическая 94, 231
Поляризуемость 93, 231
Полярная диаграмма 83
Полярные координаты 17, 245
Поперечное сжатие 59
Порог слышимости 137
Порядковый номер 209
Постоянная Больцмана 180, 199
— Ридберга 175, 233
— Фарадея 97
Потенциал гравитационный 28, 30
— Гиббса 192, 193
— скорости 69, 71, 73, 166
— термодинамический 191
— химический 203
— электростатический 85, 86, 97, 101
— Юкавы 210
Потенциальная яма 162, 213
Потенциальное течение 69, 71
Потенциальный вихрь 73
Правило Ленца 106


Правило отбора 172, 177
— фаз Гиббса 178
Преобразование Галилея 40
— Лапласа 116, 242
— Лоренца 44
— Фурье 129
Прецессия 58, 172
— Лармора 172
Принцип Гюйгенса 52
— д'Аламбера 41
— исключения Паули 202
— относительности 40
— суперпозиции 148
— Ферма 145
Проводимость электрическая 98, 99
Протон 174, 214, 233
Процесс термодинамический 187
Пружинный маятник 119, 120
Пуаз (единица) 76
Работа 21, 185, 228
Равновесие 19, 177
Радиальное ускорение 16
Радиоактивность 212
Радиоуглеродный метод 11
Радиус-вектор 12, 13, 17, 48
Радиус кривизны 18, 63
— ядра 209
Разрешающая способность 153, 154
Ракета 35
Распад радиоактивный 11, 212
Распределение Больцмана 199, 203
— Бозе — Эйнштейна 202, 204, 206
— Гаусса 185, 213
— Максвелла 201
— Пуассона 213
— Ферми — Дирака 202, 205
Рассеяние (ядерная физика) 208
Растяжение 59
Резерфордовское рассеяние 208
Рентгеновское излучение 170
Реомюр (единица) 180
Решетка дифракционная 153
Рождение пар 215
Ротатор жесткий 51
Ротор 24, 245
Ряд Фурье 127, 242
Самоиндукция 167, 230
Самосопряженный оператор 164
Сверхпроводимость 99
Световой поток 147, 232
Световые лучи 145
Свободная энергия Гельмгольца 192
Сдвиг 59
Сегнетоэлектрик 94, 96
Секулярное уравнение 168
Секунда (единица) 10, 11, 226
Серия Бальмера 177
— Бреккета 177
— Лаймана 177
— Пашена 177
Сжимаемость 59, 63
Сила инерции 42
— Кориолиса 41, 42, 64
— Лоренца 104, 230
— магнитная 104, 105
— механическая 19, 26, 33, 42
— света 147, 232
— тока электрического 97, 229
— тяжести 31, 50, 64
Силовая линия 23
Силовое поле 23, 27, 83
Символ Кронекера 167
Синтез ядерный 217
Скорость 12, 18, 166
— звука 75, 135, 136, 155
— критическая 75
— света 43, 137, 228
Сложение скоростей 45
Собственная функция 161, 166
— частота 119, 125, 127, 142, 150
Собственное значение энергии 161, 168, 176
Сокращение длины 45
Соотношение неопределенностей Гейзенберга
165, 213
Соотношения Максвелла термодинамические
193
Сопло 35
— Лаваля 76
Сопротивление давления 80
— индуцированное 83
— обтеканию 71, 78, 80, 83
— омическое 97, 115
— удельное электрическое 98
— электрическое 97, 115
Сосуд Торричелли 70
Соударение 38, 208
Спектр 127
Спектральные линии водородного атома 177
Спин 173, 174, 218
— электрона 173, 202
— ядра 174, 210
Спонтанная поляризация 94
Среднее значение 164, 168
— по ансамблю 197
— по множеству 197
Среднеквадратическое отклонение квантово-
механическое 164
статистическое 196, 200


Статистика Больцмана 112, 196
Статистическая сумма 199, 200, 203
Степень свободы движения 48, 126, 182
— термодинамическая 178, 179
Струна 135, 141
Сферическая волна 134
— функция 171, 241
Сферические координаты 15, 246
Счетчик нейтронов 216
Температура 177, 179, 189
— критическая 179, 181
— Кюри 94, ПО
Температурная шкала 179
абсолютная 178
термодинамическая 189
Температуропроводность 181
Теневая оптика 74, 146
Тензор инерции 55
— натяжений 61, 65, 77
Теорема Гюйгенса 52
— Нернста 194, 201
— о моменте импульса 33, 36, 53
— о центре инерции 36
— Штейнера 52
Теоремы о вихре Гельмгольца 74
Теория изображений Аббе 154
Тепловое излучение 205
Тепловой полюс 184
— эквивалент 101, 182
Теплоемкость 182
Теплопроводность 183
Теплота 181
Течение безвихревое 69
— вокруг цилиндра 73, 82
— ламинарное 68
— от источника 72
— сверхзвуковое 74
— стационарное 68
— турбулентное 79
Ток квазистационарный 113
— электрический 97, 103, 229
Точечный заряд 84
Точка подпора 81
Трансляционная энергия 127
Трение скольжения 22
Тройная точка 179, 180
Туннельный эффект 213
Турбулентность 79
Тяга сопла 35
Тяготение 26, 219
Угловая скорость 51
Углы Эйлера 48
Угол Брюстера 144
Удельная теплота 181
Универсальная газовая постоянная 180
Уравнение адиабаты 188
— Бернулли 70, 71, 75, 77, 81, 82
— Ван-дер-Ваальса 180
— динамики Ньютона 20
— Клаузиуса — Клапейрона 194
— Лапласа 71, 89
— Навье — Стокса 77
— непрерывности 67, 101, 165, 184
Уравнение поля гравитационного 29
магнитного 103, 118
электростатического 86, 118, 230
— Пуассона для потенциала 30, 87, 101
— состояния 178, 180
— Шредингера 161, 168, 175
— эйконала 145
— Эйлера 69, 77
Уравнения Максвелла 118, 230
— Фика 184
Уравновешенный ротатор 54
Урановый метод определения возраста 11
Уровень Ферми 203, 205
Ускорение 12, 13, 18, 46, 67
Ускорение свободного падения 31, 232
Фаза 119, 123, 131, 148
— термодинамическая 178
Фазовая скорость 131, 158
Фазовое пространство 196
Фарада (единица) 89, 229
Фаренгейт (единица) 180
Ферми (единица) 208
Фермион 202, 218
Ферромагнетик ПО, 113
Фигуры Лиссажу 129, 138
— Хладни 143
Фильтр низких частот 114
Фон (единица) 137
Фонон 169, 202, 204
Формула Клаузиуса — Мосотти 95
— излучения Планка 206
— Релея — Джинса 206
— сопротивления Стокса 78, 196
Формулы Френеля 144
— Эйри 150
Фотометрия 147, 232
Фотон 47, 156, 203, 206
Фотоэффект 158
Функция Бесселя 237
— включения 116
— Гамильтона 160
— Ланжевена 113
— ошибок Гаусса 129
— тока 72


Функция Хевисайда 116
Фурье-спектроскопия 149
Холодильная машина 189, 195
Центр инерции 36, 47
Центральная сила 33
Центральное движение 33
Центробежная сила 41, 64
Центробежный момент 55
Центростремительное ускорение 19
Цикл Карно 188
Циклотрон 104
Цилиндрическая волна 134, 152
Цилиндрические функции 237
Циркуляция 69, 73, 83
Частная теория относительности 43, 155
Частота 10, 16, 119
Частотный спектр 127
Часы 10, 45
Четность 215
Черное тело 206, 207
Четырехполюсник электрический 114
Число Авогадро 178, 232
— Маха 74, 227
— нейтронов 209
— Рейнольдса 80, 81
Эквипотенциальная поверхность 71
Электрическая постоянная 84
Электролиз 97
Электрон 99, 171, 214, 233
Электронвольт (единица) 85
Электронный газ 205
— захват 215
— микроскоп 159
Элементарные частицы 218
Элементарный заряд 84
Эллипсоид инерции 56
— момента импульса 58
— Пуансо 57
Энергия внутренняя 186, 191, 200
— ионизации 175
— кинетическая 25, 46, 200, 201
— потенциальная 25, 27, 31, 84
— релятивистская 46, 47, 158
— свободная 192, 199
— связи 210
Энтальпия 191, 194
— свободная 192
Энтропия 189, 190, 199
Эрмитовость 164
Эффект Джоуля — Томсона 194
— Доплера 154
— Комптона 157
— Магнуса 82
— Черенкова 75
Эффективное сечение 208
Ядерная реакция 215
Ядерные силы 210
— уровни 211
Ядерный магнетон 174, 233
— синтез 217
Яркость 147, 232


Repetitorium der Physik
Von Dr. sc. nat. ΕΤΗ Fritz Kurt Kneubühl
o. Professor an der Eidgenössischen
Technischen Hochschule Zürich
1975. Mit 332 Bildern
B. G. Teubner Stuttgart
УДК 530.1
Кнойбюль Ф. К. Пособие для повторения физики: Пер.
с нем. — М.: Энергоиздат, 1981. — 256 с.
Учебное пособие-справочник, содержащее
систематизированное изложение в сжатой форме основных физических
закономерностей — от классической механики до физики атомного
ядра и элементарных частиц, доказательство ряда важнейших
формул, а также методику и примеры решения простейших
задач. Объем представленного материала примерно
соответствует теоретической части курса общей физики для инженерно-
физических и технических вузов. Пособие богато
иллюстрировано, содержит в качестве приложения таблицы единиц
физических величин, математические таблицы, сводку
важнейших математических формул.
Книга полезна студентам для самостоятельной работы над
лекциями по общей физике и при подготовке к экзаменам.
Преподавателям она поможет эффективно отбирать материал для
лекций и семинарских занятий, для инженеров и научных
работников она будет ценным справочным пособием.
Табл. 10. Ил. 310. Библиография 530.
К
20400—352
051(01)— 81
7—81 (А) · 1704010000
§В. G. Teubner, 1975
Перевод с немецкого языка,
Энергоиздат, 1981


Фриц Курт Кнойбюль
(Швейцария)
ПОСОБИЕ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ ФИЗИКИ
Редактор 3. Д. Андреенко
Художественный редактор А. 7\ Кирьянов
Переплет художника Л. Е. Безрученкова
Технический редактор Л. Ф. Шкилевич
Корректор М. Г. Гулина
ИБ № 962 (Атомиздат)
Сдано в набор 13.10.80 Подписано в печать 30.01.81
Формат 70Х lOOVie Бумага офсетная № 1 Гарнитура
литературная Печать офсетная Усл. печ. л. 20,8
Уч.-изд. л. 20,95 Тираж 40 000 экз. Зак. изд. 77558
Зак. тип. 2146 Цена 1 р. 50 к.
Энергоиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли,
129041, Москва, Б. Переяславская, 46